gestion de projets informatique

UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE

Master 1 “Economie et Gestion de l’Environnement et du D´eveloppement Durable”

Gestion de Projets Daniel DE WOLF

Dunkerque, Janvier 2008

Table des mati`eres I Techniques de gestion de projets

9

1 Introduction

11

1.1

Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

D´efinition de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

1.3.1

D´efinition du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2

D´efinition des objectifs du projet . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3

Notion de tˆaches d’un projet . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.4

La d´efinition de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . 14

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 L’ordonnancement de projets

21

2.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Repr´esentation graphique du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1

Graphe de la m´ethode du potentiel . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2

Repr´esentation des autres types de contraintes . . . . . . . 25

2.3.3

Condition d’existence d’une solution . . . . . . . . . . . 26

2.4

Classement des activit´es par niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5

Calcul de l’ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6

2.5.1

Ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2

Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6.1

Notion de tˆache critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3

4

Table des mati`eres 2.6.2

Notion de chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.3

Notions de marge libre et de marge ind´ependante . . . . . 35

2.7

L’ordonnancement par la m´ethode PERT . . . . . . . . . . . . . 36

2.8

R´eduction de la dur´ee du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9

Programmation effective du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10 Pr´esentation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives . . . . . . . . . . . . 43 2.12 Cas de contraintes cumulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.12.1 Crit`ere de minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet 46 2.12.2 Crit`ere de lissage de charge des ressources utilis´ees . . . . 48 2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Analyse du projet 3.1

3.2

3.3

D´efinition du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1

Structuration hi´erarchis´ee du projet . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2

Les phases du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.3

Utilit´e de l’ing´enierie concourante . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.4

Gestion simultan´ee de plusieurs projets . . . . . . . . . . 62

D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations . . . . . . . . 63 3.2.1

Les relations entre tˆaches . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.2

Les caract´eristiques de la tˆache . . . . . . . . . . . . . . 67

Le coˆut du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1

3.4

3.5

57

Analyse des coˆuts sur la dur´ee de vie d’un produit

. . . . 68

Analyse e´ conomique du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.1

L’appel a` l’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.2

Un exemple de choix de capacit´e . . . . . . . . . . . . . 72

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Le suivi du projet

83

4.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2

Le suivi de la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Table des mati`eres 4.3

4.4

5

Le suivi des coˆuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3.1

Les donn´ees de r´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.2

Les donn´ees r´evis´ees a` date t . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.3

Les grandeurs a` comparer . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.4

Analyse de l’´ecart de planning . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.5

Analyse de l’´ecart de coˆut . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 La prise en compte du risque

95

5.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2

L’approche quantitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3

5.4

5.5

5.2.1

Distribution statistique de la dur´ee d’une tˆache . . . . . . 96

5.2.2

L’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.3

L’approche simulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.4

Limites de l’approche quantitative du risque d´elai . . . . . 108

L’analyse qualitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.3.1

Les risques internes encourus en phase d’´elaboration du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3.2

Les risques externes encourus en phase d’´elaboration du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.3

Les risques relatifs a` la pr´evision d’utilisation des ressources111

5.3.4

Les risques encourus en phase d’ex´ecution du projet . . . 112

La prise en compte du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4.1

La diminution du risque en phase d’´elaboration . . . . . . 113

5.4.2

Organisation de la r´eactivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A Formulaire pour la gestion de projets

119

A.1 Notion de marge libre et de marge totale . . . . . . . . . . . . . . 119 A.2 Calcul d’annuit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A.3 D´efinition de l’´ecart de planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 A.4 D´efinition de l’´ecart de coˆut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6

Table des mati`eres A.5 Distribution de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.6 L’approche classique du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B Table de nombres au hasard

125

C Table de la loi normale centr´ee r´eduite

127

´ D Etudes de cas

131

D.1 Cas 1 : Soci´et´e de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 D.2 Cas 2 : Achat de mat´eriel informatique . . . . . . . . . . . . . . 131 D.3 Cas 3 : Conception d’un site Internet . . . . . . . . . . . . . . . 131 D.4 Cas 4 : Construction d’un stade olympique . . . . . . . . . . . . 132

Liste des figures 2.1

Graphe de la m´ethode du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Graphe de la m´ethode PERT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

graphe associ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4

Trois autres types de contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5

Circuit de longueur positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6

Classement par niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7

Relation d’ant´eriorit´e inutile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8

Ordonnancement au plus tˆot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9

Ordonnancement au plus tard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10 Calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.11 Cas de plusieurs chemins critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.12 Graphe associ´e pour la m´ethode PERT. . . . . . . . . . . . . . . 37 2.13 Introduction d’un contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.14 Arc fictif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.15 Ordonnancement par la m´ethode PERT. . . . . . . . . . . . . . . 39 2.16 R´eduction d’un jour de la dur´ee du projet . . . . . . . . . . . . . 40 2.17 R´eduction de la dur´ee du projet de deux jours . . . . . . . . . . . 41 2.18 Graphe de la m´ethode des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.19 Diagramme de Gantt-Ateliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.20 Diagramme de Gantt-Tˆaches (projet) . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.21 Diagramme de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.22 Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource . . . . . . 46 2.23 Solution 2 : priorit´e a` la tˆache critique . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.24 Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 7

47

8

Liste des figures 2.25 Solution 4 : d´efinir une tˆache par sa quantit´e totale de travail. . . . 48 3.1

Organigramme technique : top-down. . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2

Organigramme technique : bottom-up. . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3

Trois graphes potentiels-tˆaches correspondant aux 3 niveaux. . . . 60

3.4

Approche s´equentielle classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5

Overlapping problem solving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6

Gammes alternatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7

Recouvrement : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8

Recouvrement : mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.9

Cycle des coˆuts engag´es et d´ecaiss´es. . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.10 Flux nets de tr´esorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.11 Logique d’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.12 Arbre de d´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.13 Construction de 5 000 en cas de demande forte. . . . . . . . . . . 74 3.14 Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. . . . . . 75 4.1

Le suivi d’ex´ecution des tˆaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2

Le suivi des coˆuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3

Les e´ carts de coˆut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1

Distribution uniforme de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2

Distribution Bˆeta de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3

Distribution normale de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4

Distribution triangulaire de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5

Intervalle a` 95 % sur la dur´ee du projet . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6

Construction de la fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . 106

A.1 Distribution uniforme de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.2 Distribution Bˆeta de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 A.3 Distribution normale de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 123 A.4 Distribution triangulaire de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 124

Partie I Techniques de gestion de projets

9

Chapitre 1 Introduction 1.1 Objectifs du cours Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s’agit, d’une part, de donner aux e´ tudiants les bases pour la formulation de probl`emes de gestion de projets et, d’autre part, d’introduire les techniques de r´esolution de ces probl`emes. On pr´esentera les techniques d’ordonnancement, d’analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque. Comme r´ef´erence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de projets, [2]. Des e´ tudes de cas illustrant les concepts vus au cours pourront eˆ tre trouv´ees dans les les ouvrages suivants : • Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1], • Robert HOUDAYER, Evaluation financi`ere des projets [4], • Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6] • J.R. MEREDITH et al, Project Management [7].

1.2 Plan du cours Le cours est divis´e en cinq chapitres. Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une d´efinition de la gestion de projets que l’on rencontre aussi bien pour les probl`emes de type s´erie unitaire (construction d’ouvrages d’art,..) que pour le lancement de nouveaux produits (lancement d’un nouveau mod`ele automobile 11

12

Chapitre 1. Introduction par exemple). On pr´esentera les objectifs de respect de la qualit´e, de respect des d´elais et de respect des coˆuts. On pr´esentera bri`evement la direction de projet qui rel`eve des d´ecisions strat´egiques (d´efinition des objectifs, des ressources a` mettre en œuvre et appr´eciation des risques) et le contrˆole de projet qui, lui, rel`eve des d´ecisions tactiques (estimation pr´ealable de la dur´ee et des coˆuts des tˆaches, respect des d´elais et des coˆuts durant la r´ealisation du projet).

Chapitre 2 : L’ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous pr´esenterons les deux principales techniques de planification de projets, a` savoir la m´ethode du potentiel et la m´ethode PERT. Pour chacune de ces deux m´ethodes, nous verrons comment repr´esenter le probl`eme a` l’aide d’un graphe, comment calculer les dates de d´ebut au plus tˆot et au plus tard des tˆaches ainsi que la mani`ere de calculer le chemin critique. Nous verrons e´ galement comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un e´ quipement a` partager) ou de lissage de charge des ressources utilis´ees. Nous verrons e´ galement comment l’analyse du chemin critique peut eˆ tre utile pour r´eduire la dur´ee du projet. Chapitre 3 : L’analyse du projet. Lors de la d´efinition du projet, il convient de donner une d´efinition pr´ecise des phases du projet, une d´efinition fine des tˆaches du projet et de leurs relations ainsi qu’un calcul des coˆuts de r´ealisation des tˆaches du projet. On s’int´eressera e´ galement dans ce chapitre a` l’´elaboration du plan d’investissement n´ecessaire a` la r´ealisation du projet et a` l’analyse e´ conomique du projet. Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous pr´esenterons les deux principales techniques de contrˆole d’un projet, a` savoir le suivi de la programmation (suivi de l’ex´ecution des tˆaches) et le suivi des coˆuts (contrˆole budg´etaire du projet). On analysera les e´ carts de planning et les e´ carts de coˆut et on pr´esentera les indicateurs a` mettre en œuvre a` fin de d´etecter ces e´ carts. Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous pr´esenterons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans l’approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de la dur´ee ou du coˆut de r´ealisation d’une tˆache. On peut alors faire des simulations. Dans l’approche qualitative du risque, on pr´esentera les diff´erentes techniques de r´eduction des risques encourus aussi bien dans la phase de d´efinition du projet (mauvaises pr´evisions) que dans la phase d’ex´ecution (rencontre d’al´eas externes).

Section 1.3. D´efinition de la gestion de projets

13

1.3 D´efinition de la gestion de projets 1.3.1 D´efinition du projet Comme l’indique Giard [2], D´efinition 1.1 Un projet est d´efini et mis en œuvre pour e´ laborer une r´eponse au besoin d’un utilisateur, d’un client et il implique un objectif et des actions a` entreprendre avec des ressources donn´ees. Cette d´efinition implique que l’on mette en œuvre une organisation sp´ecifique et temporaire durant la pr´eparation et la r´ealisation du projet. A titre d’exemples, on peut classer ce qui peut faire l’objet d’un projet sous les quatre rubriques suivantes : • La production de type s´erie unitaire qui se d´efinit comme la mobilisation de toutes les ressources de l’entreprise pour la r´ealisation d’un projet de production sur une dur´ee assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de tr`es gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de g´enie civil (tels que le Tunnel sous la manche). • Les activit´es de gestion non r´ep´etitive correspondant a` un enjeu technicoe´ conomique important pour l’entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d’un nouveau produit, le changement de syst`eme informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production. • Mˆeme dans les industries de production de masse, la gestion de projet est utilis´ee pour raccourcir de mani`ere importante l’intervalle de temps qui s´epare la d´ecision de cr´eer un produit de sa production en s´erie. Un exemple classique est le lancement d’un nouveau mod`ele automobile. • Enfin, programmes d’aide aux pays en voie de d´eveloppement sont souvent ordonn´ees et contrˆol´es avec les techniques d’ordonnancement et de contrˆole de projets qui seront pr´esent´ees dans ce cours.

1.3.2 D´efinition des objectifs du projet Dans tout projet, on peut identifier trois cat´egories d’objectif qui sont souvent antagonistes : • Les objectifs de performance technique relatifs au respect des sp´ecifications fonctionnelles et des caract´eristiques techniques du produit. On se d´efinit

14

Chapitre 1. Introduction ainsi un niveau de qualit´e en ce qui concerne, par exemple le respect de tol´erance, la fiabilit´e du produit, la facilit´e d’usage,. . . etc • Les objectifs de d´elai sont un composante tr`es importante pour le client. Ainsi, il ne sert a` rien de livrer un stade olympique 3 mois apr`es la fin des jeux olympiques. D’autre part, dans un march´e concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, eˆ tre le premier a` mettre sur le march´e un nouveau vaccin ou un nouveau m´edicament peut repr´esenter un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arriv´e sur le march´e. • Les objectifs de coˆut sont primordiaux, notamment dans le cadre d’un contrat a` prix non r´evisables ou dans le cas d’un projet interne.

Ces trois cat´egories d’objectif sont fortement li´ees. Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le d´elai imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus on´ereuses.

1.3.3 Notion de tˆaches d’un projet Un projet est constitu´e d’un ensemble de tˆaches ou encore d’activit´es. Chaque tˆache du projet : • est identifi´ee par son rˆole a` jouer dans l’ex´ecution du projet, • se caract´erise par un d´ebut et une fin, • consomme des ressources qui ont un coup d’utilisation et sont disponibles en quantit´e limit´ee, • est souvent reli´ee aux autres tˆaches du projet par des relations d’ant´eriorit´e qui impliquent qu’une tˆache ne peut d´ebuter avant qu’une autre ne soit pr´ealablement termin´ee (bien qu’un certain recouvrement des tˆaches soit possible dans certains cas comme nous le verrons). On r´esumera utilement la liste des tˆaches, de leurs ancˆetres et de leur consommation de ressource par un tableau tel que celui pr´esent´e en tableau 1.1.

1.3.4 La d´efinition de la gestion de projets Le management de projet comporte deux fonctions bien diff´erentes : • La direction de projet qui s’int´eresse aux d´ecisions strat´egiques (d´ecisions a` long terme mettant en jeu l’avenir de l’entreprise).

Section 1.3. D´efinition de la gestion de projets

No tˆache

15

dur´ee pr´ealables Consommation (jours) de ressources

1 terrassement

5

-

1 ouvrier

2 fondations

4

1

3 ouvriers

3 colonnes porteuses

2

2

2 ouvriers

4 charpente toiture

2

3

2 ouvriers

5 couverture

3

4

4 ouvriers

6 ma¸connerie

5

3

3 ouvriers

7 plomberie, e´ lectricit´e

3

2

2 ouvriers

8 coulage dalle b´eton

3

7

2 ouvriers

9 chauffage

4

8 et 6

1 ouvrier

10 plˆatre

10

9 et 5

4 ouvriers

11 finitions

5

10

1 ouvrier

Tableau 1.1: Donn´ees du probl`eme

16

Chapitre 1. Introduction • la gestion de projet qui s’int´eresse aux d´ecisions op´erationnelles (d´ecisions a` court terme de gestion des e´ quipements et du personnel).

La direction de projet est assur´ee par un chef de projet assist´e parfois d’une e´ quipe. La mission de cette direction de projet est quadruple : 1. fixer les objectifs du projet en terme de d´elais, de performances techniques (notamment le choix des solutions techniques), 2. d´efinir les moyens a` mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources mat´erielles et humaines. Ce qui implique directement d’attribuer un budget a` la r´ealisation du projet. 3. d’appr´ecier les risques encourus et de mettre en œuvre des proc´edures de surveillance (par exemple, d´efinir des indicateurs de tenue des d´elais et des coˆuts), 4. d’animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs activit´es, en faisant des e´ valuations r´eguli`eres qui conduisent parfois a` r´eviser les objectifs du projet. La gestion de projet est assur´ee par un contrˆoleur de projet. Elle a pour objectif d’apporter a` la direction de projet les informations relatives a` l’avancement de l’ex´ecution du projet, au respect de ses objectifs et de ses coˆuts. • Durant la phase de pr´eparation, la gestion de projet permet une estimation rapide de la dur´ee des tˆaches et des moyens a` mobiliser et donc des coˆuts induits. Ceci permet de pr´eparer l’ordonnancement. • Durant l’ex´ecution du projet, la gestion de projet vise la maˆıtrise des d´elais et des coˆuts en utilisant des tableaux de bord. • A la fin du projet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des enseignements pour l’avenir. Dans ce cours, nous allons pr´esenter un certain nombre d’outils qui rel`event de la gestion de projets : par exemple, les techniques d’ordonnancement qui seront pr´esent´ees au chapitre 2, les techniques de suivis budg´etaire et de planning qui seront pr´esent´ees au chapitre 4. Nous pr´esenterons e´ galement un certain nombre de techniques relevant de la direction de projets : par exemple, l’analyse e´ conomique du projet qui fera l’objet du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l’objet du chapitre 5.

Section 1.4. Exercices

17

1.4 Exercices 1.1. Installation d’un syst`eme de d´epollution de l’air. Pour installer un syst`eme de d´epollution de l’air, une entreprise a identifi´e 8 tˆaches a` entreprendre. Au d´ebut du projet deux tˆaches peuvent commencer simultan´ement : la construction de composants internes a` l’entreprise (tˆache A) et la modification du plafond de l’usine (tˆache B). La construction du collecteur d’air (tˆache C) n´ecessite la fin de la construction des composants internes (tˆache A). L’installation du nouveau cadre (tˆache D) peut avoir lieu d`es que les composants sont disponibles (tˆache A) et que le plafond de l’usine (tˆache B) a e´ t´e modifi´e. Apr`es l’installation du collecteur d’air (tˆache C), deux tˆaches peuvent commencer : l’installation du brˆuleur haute temp´erature (tˆache E) et le syst`eme de contrˆole des polluants e´ mis (tˆache F). Le syst`eme de d´epollution des fum´ees (tˆache G) peut eˆ tre install´e apr`es que le cadre (tˆache D) et le brˆuleur haute temp´erature (tˆache E) aient e´ t´e install´es. Lorsque le syst`eme de contrˆole des polluants e´ mis (tˆache F) et le syst`eme de d´epollution des fum´ees (tˆache G) sont install´es, on peut tester le syst`eme afin de le mettre en fonctionnement (tˆache H). (a) On demande de remplir le tableau 1.2 en y indiquant les pr´ealables de chaque tˆache. Code

Tˆache

Ant´eriorit´e Dur´ee

A

Construction des composants internes

2

B

Modification du plafond

3

C

Construction du collecteur d’air

2

D

Installation du nouveau cadre

4

E

Installation du brˆuleur haute temp´erature.

4

F

Installation du contrˆole d’´emission

3

G

Installation du syst`eme de d´epollution

5

H

Test et mise en service du syst`eme

2

Tableau 1.2: Tableau des pr´ealables et des dur´ees des tˆaches 1.2. Cas de l’entreprise BURBOX. La soci´et´e BURBOX est une soci´et´e sp´ecialis´ee dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d’´edifier une nouvelle usine a` la place d’un entrepˆot inutilis´e afin de r´epondre a` l’accroissement de sa demande. Les tˆaches a` ex´ecuter sont les suivantes :

18

Chapitre 1. Introduction 1) La d´emolition de l’ancien entrepˆot et l’enl`evement des gravats par la soci´et´e DUPOND a une dur´ee estim´ee a` 10 jours ouvrables. L’op´eration est factur´ee 300.000 euro le premier jour de l’ex´ecution de la tˆache. Le permis de d´emolition est d´ej`a accord´e. 2) L’obtention du permis de bˆatir pour le nouveau bˆatiment devrait prendre 25 jours. 3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent d´ebuter avant que le permis ne soit accord´e, sont pr´evus pour une dur´ee de 5 jours. Le coˆut est de 180 euro par m3 et on estime qu’il y a 5.000 m3 a` enlever. Le paiement est fait pour moiti´e au d´ebut et pour moiti´e a` la fin de la tˆache. 4) Les travaux de fondation du nouveau bˆatiment durent 10 jours pour un coˆut pr´evu de 370.000 euro a` payer le premier jour. 5) Le gros œuvre est scind´e en deux tranches : 5.1 La premi`ere tranche d´ebutant apr`es les fondations est pr´evue pour une dur´ee de 18 jours et un coˆut pr´evisionnel de 478.000 euro qu’il est pr´evu de payer en trois fois (20 % au d´ebut, 40 % le 10`eme jour et le solde a` la fin du gros œuvre 1); 5.2 La seconde tranche, qui peut d´ebuter 5 jours avant la fin de la premi`ere tranche, doit durer 7 jours et a un coˆut pr´evu de 140.000 euro (50 % au d´ebut, 50 % a` la fin). 6) La toiture devrait pouvoir eˆ tre faite en 10 jours au prix de 340.000 euro (`a payer le premier jour) et peut d´ebuter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre. 7) La tˆache de finition du bˆatiment consiste en les cinq tˆaches suivantes : 7.1 La pose de panneaux industriels de plˆatre pour une dur´ee de 6 jours et un coˆut forfaitaire de 150.000 euro a` payer au d´ebut; 7.2 La premi`ere phase d’´electrification du bˆatiment consiste en l’installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectu´ee par la soci´et´e LAMBERT pour 500.000 euro (versement initial de 200.000 euro, versement de 100.000 euro a` la r´eception de chaque transformateur). L’installation et la r´eception d’un transformateur n´ecessite 5 jours (15 jours au total pour la tˆache); 7.3 La seconde phase d’´electrification est prise en charge par le personnel des services g´en´eraux de la soci´et´e BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estim´e a` 320 heures de travail (coˆut horaire de 150 euro). Les fournitures a` acheter coˆutent 15.000 euro. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la premi`ere phase d’´electrification. Les travaux d’´electrification doivent eˆ tre termin´es avant la peinture. Leur coˆut est imput´e le premier jour.

Section 1.4. Exercices

19

7.4 Le travail de peinture des murs est estim´e a` 200 heures et est pris en charge par les services g´en´eraux de BURBOX. 7.5 Le travail de peinture du sol est estim´e a` 120 heures et doit aussi eˆ tre pris en charge par les services g´en´eraux. Les deux phases de peinture peuvent eˆ tre effectu´ees en parall`ele avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent eˆ tre achev´ees avant l’installation des machines. Leur coˆut est imput´e au d´ebut de chaque phase. 8) Le d´emontage des anciennes machines (2 jours) est effectu´e par les 5 employ´es des services g´en´eraux. On programme cette tˆache au plus tard avec une marge de 5 jours. On impute son coˆut le premier jour. 9) Le remontage des machines (2 jours) mobilise les mˆemes ressources. Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontage est programm´e au plus tard. On impute son coˆut le premier jour. 10) L’acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000 euro (moiti´e a` la commande, moiti´e a` la fin des essais) comporte les tˆaches suivantes : 10.1 1 jour pour passer la commande; 10.2 la livraison dure 1 jour et est effectu´ee 21 jours apr`es la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie. 10.3 3 jours d’essai du mat´eriel. 11) L’inauguration des nouvelles installations a` l’issue du remontage et des essais dure 1 jour. (a) R´efl´echir a` la dur´ee des travaux confi´es aux services centraux en : • calculant la dur´ee de la tˆache 7.3 en tenant compte de journ´ee de 8 heures pour les ouvriers des services centraux de la soci´et´e BRUBOX, • imaginant une organisation du travail de peinture (tˆaches 7.4 et 7.5) pour r´ealiser ces deux tˆaches en parall`ele. ´ (b) Etablir un tableau r´ecapitulatif des tˆaches avec leur d´esignation, la liste de leurs ancˆetres, leur dur´ee, leur coˆut et les observations quant a` leur programmation (recouvrement possible avec un ancˆetre, etc...). On remplira le tableau 1.3.

20

Chapitre 1. Introduction

Tˆache

Dur´ee

Pr´ealables

Remarques de

coˆut (keur) et

programmation date de d´ebours 1 - D´emolition

10 jours

-

2- Permis 3- Terrassement 4- Fondations 5.1- Gros-oeuvre

5.2- Gros-oeuvre

6 - Toitures

7.1 Placoplˆatre 7.2 Electricit´e 1

7.3 Electricit´e 2

7.4 Peinture murs 7.5 Peinture sol 8 - D´emontage 9 - Remontage 10.1 - Commande 10.2 - livraison 10.3 - Essais 11 - Inauguration Tableau 1.3: Cas de l’entreprise BURBOX

300 (jour 1)

Chapitre 2 L’ordonnancement de projets 2.1 Introduction Lors de tout projet de grande envergure (construction d’un bateau, d’un avion, d’un bˆatiment,...), un probl`eme crucial qui se pose est celui du calendrier d’ex´ecution des tˆaches. Le probl`eme est de d´eterminer dans quel ordre doivent s’enchaˆıner les diverses tˆaches de mani`ere a` minimiser le temps total d’ex´ecution du projet. Prenons un exemple. On veut construire un nouveau bˆatiment de mani`ere a` pouvoir d´em´enager au plus tˆot. Certaines tˆaches ne peuvent s’ex´ecuter qu’apr`es que d’autres soient termin´ees. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont termin´ees. D’autres tˆaches peuvent s’ex´ecuter simultan´ement. Par exemple, les travaux d’´electricit´e et de plomberie peuvent eˆ tre men´es de pair. Les donn´ees sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

tˆache dur´ee (jours) pr´ealables terrassement 5 fondations 4 1 colonnes porteuses 2 2 charpente toiture 2 3 couverture 3 4 ma¸connerie 5 3 plomberie, e´ lectricit´e 3 2 coulage dalle b´eton 3 7 chauffage 4 8 et 6 plˆatre 10 9 et 5 finitions 5 10 Tableau 2.1: Construction d’un bˆatiment

On doit tenir compte, dans les probl`emes d’ordonnancement, de divers types 21

22

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

de contraintes. • Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’une tˆache dans le temps : une tˆache ne peut commencer avant une telle date, ou apr`es une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques). • Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d’ant´eriorit´e entre les tˆaches : une telle tˆache ne peut commencer avant la fin d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’est pas fini). • Les contraintes cumulatives imposent la prise en compte de la disponibilit´e de ressources non stockables, par exemple des heures de travail en personnel ou d’´equipement dont on peut disposer au cours d’une p´eriode et qui sont perdues si elles ne sont pas utilis´ees durant cette p´eriode. • Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tˆaches ne peuvent avoir lieu en mˆeme temps sans que l’on puisse dire laquelle doit eˆ tre effectu´ee avant l’autre (par exemple, une mˆeme grue est utilis´ee sur deux chantiers). Le probl`eme d’ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appel´e probl`eme central d’ordonnancement. Il s’agit donc de d´eterminer le calendrier de d´ebut de chacune des tˆaches de mani`ere a` terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles. Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa r´esolution, ce probl`eme utilise la notion de graphe. On peut, en effet, repr´esenter le probl`eme sur un graphe et, ensuite, r´esoudre le probl`eme graphiquement. De plus, la pr´esentation du r´esultat de calcul (l’ordonnancement des tˆaches) sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres. Il existe deux m´ethodes de r´esolution pour ce probl`eme, a` savoir : • la m´ethode du potentiel d´evelopp´ee en France dans les ann´ees 60 et qui associe a` chaque tˆache un nœud du r´eseau, tandis que les relations d’ant´eriorit´e sont repr´esent´ees par des arcs entre les tˆaches (voir figure 2.1); • la m´ethode PERT d´evelopp´ee parall`element aux Etats Unis d’Am´erique et qui, elle, associe chaque tˆache a` un arc du r´eseau, et chaque relation d’ant´eriorit´e a` un nœud (voir figure 2.2). Algorithmiquement, les deux m´ethodes de r´esolution sont e´ quivalentes, mais la m´ethode du potentiel permet d’´ecrire le graphe de r´eseau de mani`ere syst´ematique (sans ajouter d’arc fictif).

Section 2.2. Formulation du probl`eme tˆ ache i

d

23

i

tˆ ache j j

i ”i avant j”

Figure 2.1: Graphe de la m´ethode du potentiel. ”i avant j” i, di

j, dj

tˆ ache i

tˆ ache j

Figure 2.2: Graphe de la m´ethode PERT.

2.2 Formulation du probl`eme Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tˆaches a` ex´ecuter, indic´ees i = 1, ...n. Utilisons e´ galement la notation di pour d´esigner la dur´ee d’ex´ecution de la tˆache i (qui est ici une donn´ee). Les variables du probl`eme sont les suivantes : ti note le temps de d´ebut d’ex´ecution de la tˆache i, et tf note le temps de fin de chantier. L’objectif est de minimiser le temps de r´ealisation du chantier : min z = tf − t0 o`u t0 note la date de d´ebut de chantier que l’on fixe a` t0 = 0. Les contraintes du probl`eme sont de trois types : • Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tˆache i ne peut commencer avant le d´ebut de chantier : ti ≥ t0 , ∀i = 1, 2, ...n

(2.1)

• Les contraintes de succession temporelle expriment que la tˆache j ne peut d´ebuter avant que toute tˆache i pr´ealable a` j ne soit finie : ti + di ≤ tj , ∀ tˆache i ant´erieure a` la tˆache j

(2.2)

• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tˆache i doit eˆ tre finie avant la fin de chantier : ti + di ≤ tf , ∀i = 1, 2, ...n

(2.3)

Remarquez que vu la pr´esence des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d’´ecrire (2.1) pour toute tˆache n’ayant pas de pr´ed´ecesseur et (2.3) pout toute tˆache n’ayant pas de successeur.

24

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

2.3 Repr´esentation graphique du probl`eme 2.3.1 Graphe de la m´ethode du potentiel On associe donc au probl`eme central d’ordonnancement un graphe dont les sommets repr´esentent les diverses tˆaches du probl`eme d’ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond a` la date de d´ebut de chantier et un nœud f = n + 1 qui correspond a` la fin de chantier. Les arcs du r´eseau repr´esentent les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante ti + di ≤ tj On peut construire syst´ematiquement le graphe associ´e au probl`eme d’ordonnancement de la mani`ere suivante (voir figure 2.3) : 3

2

4 0

0

1

5

4

2

5 3

2

2

6

10

5

4 7

3

8

3

10

11

5

12

4 9

Figure 2.3: graphe associ´e. 1. On relie d’abord toutes les tˆaches sans pr´ealable (la tˆache 1 dans le cas de l’exemple) au nœud 0, d´ebut de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu’il s’agit de la repr´esentation des contraintes (2.1). 2. Ensuite, on prend une tˆache d´ej`a dans le graphe et on examine si elle pr´ec`ede d’autres. Par exemple, la tˆache 1 doit pr´ec´eder la tˆache 2. On doit donc avoir t1 + d1 ≤ t2 . On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur d1 . On fait de mˆeme pour repr´esenter toutes les contraintes de type (2.2). 3. Pour les seules tˆaches sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier, avec un arc de longueur e´ gale a` la dur´ee de la tˆache. Ici, seule la tˆache finition est dans ce cas. Il s’agit ici de repr´esenter les contraintes du type (2.3). Lors de la construction du graphe d’un probl`eme r´eel qui peut comporter plus d’une centaine de tˆaches, une m´ethode plus syst´ematique de construction du graphe doit eˆ tre utilis´ee, m´ethode faisant appel au classement des activit´es par niveaux (voir section 2.4).

Section 2.3. Repr´esentation graphique du probl`eme

25

2.3.2 Repr´esentation des autres types de contraintes Disons un mot de la repr´esentation des trois autres types de contraintes : 1. Supposons d’abord que la tˆache 3 ne puisse commencer avant 10 : t3 ≥ 10 ⇔ t3 ≥ t0 + 10. Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4). 2. Ensuite, supposons que la tˆache 5 doive eˆ tre commenc´ee avant 40 : t5 ≤ 40 ⇔ t0 ≥ t5 − 40. Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de “longueur” -40. 3. Enfin, supposons que la tˆache 9 doive commencer au plus tard 5 jours apr`es le d´ebut de la tˆache 8 : t9 ≤ t8 + 5 ⇔ t8 ≥ t9 − 5. Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de “longueur” -5. -40

10

3

2

0

1

5

2

5 3

2

4 0

4

6

2

10

5

4 7

3

8

10

4

3

9 -5

Figure 2.4: Trois autres types de contraintes.

11

5

12

26

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

2.3.3 Condition d’existence d’une solution Avant de voir l’algorithme qui permet de r´esoudre le probl`eme d’ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probl`eme est r´ealisable. En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et eˆ tre incompatibles entres elles. Supposons que nous ayons la situation suivante. La tˆache 1, qui dure d1 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 2 ne commence. La tˆache 2, qui dure d2 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 3 ne commence. La tˆache 3, qui dure d3 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 1 ne commence. tˆache dur´ee pr´ealable 1

d1

3

2

d2

1

3

d3

2

Il est clair qu’un tel probl`eme va conduire a` une impossibilit´e. 2 d1

d2 d3

1

3

Figure 2.5: Circuit de longueur positive. Cette situation est repr´esent´ee a` la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient un circuit (cycle avec tous les arcs dans le mˆeme sens) dont la somme des longueurs ´ des arcs est positive. Ecrivons les contraintes correspondantes : t1 + d1 ≤ t2 t2 + d2 ≤ t3 t3 + d3 ≤ t1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : d1 + d2 + d3 ≤ 0 On peut montrer le r´esultat suivant. Lemme 2.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associ´e ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive.

Section 2.4. Classement des activit´es par niveaux

27

Remarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs n´egative ne pose pas de probl`eme. Par exemple, a` la figure 2.4, la tˆache 8 de longueur 3 doit eˆ tre finie avant que ne commence la tˆache 9 et la tˆache 9 doit commencer end´eans les 5 jours de d´ebut de la tˆache 8 : t8 + 3 ≤ t9 t9 − 5 ≤ t8 Ceci se repr´esente, comme vu ci-dessus, par une fl`eche de 8 vers 9 de longueur 3 et une fl`eche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probl`eme, la somme des “longueurs” e´ tant n´egative.

2.4 Classement des activit´es par niveaux D´efinition 2.1 Le niveau d’une tˆache correspond au plus grand nombre de tˆaches rencontr´ees sur un mˆeme itin´eraire depuis le d´ebut du projet, plus un. Pour d´eterminer le niveau des tˆaches, on proc`ede comme suit. On place au premier niveau les tˆaches qui n’ont aucun ancˆetre et on raye ces tˆaches de la liste des tˆaches. On continue comme suit : ´ • Etape 1 : on raye, dans la colonne des ancˆetres, les tˆaches qui viennent d’ˆetre affect´ees au dernier niveau analys´e; ´ • Etape 2 : les tˆaches du nouveau niveau sont les tˆaches non ray´ees de la colonne des tˆaches qui n’ont plus d’ancˆetre; apr`es affectation au nouveau niveau, ces tˆaches sont ray´ees dans la colonne des tˆaches; ´ • Etape 3 : s’il reste des tˆaches non ray´ees dans la colonne des tˆaches, on repart a` l’´etape 1. Sinon le processus est termin´e. Par ailleurs, cette e´ tape permet de d´etecter des ant´eriorit´es redondantes parce que ne portant pas sur des ancˆetres imm´ediats. Cette e´ tape permet e´ galement de mettre en e´ vidence des incoh´erences du type A a pour ancˆetre B, B a pour ancˆetre C, lequel a pour ancˆetre A. L’application de la m´ethode a` l’exemple introductif est illustr´ee au tableau 2.2 pour les trois premi`eres it´erations, au tableau 2.3 pour les trois suivantes et au tableau 2.4 pour l’it´eration finale. On peut alors construire le graphe de la m´ethode des potentiels en visualisant chaque niveau par une bande verticale et en pla¸cant, dans chaque niveau, les tˆaches de ce niveau, puis en visualisant les contraintes d’ant´eriorit´e par des fl`eches dont

28

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets It´eration 1 ´Etape 1 ´ Etape 2 Ancˆetres Tˆache Niveau 1 Ancˆetres Tˆache Niveau 1 1 1 61 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 3 6 3 6 2 7 2 7 7 8 7 8 8,6 9 8,6 9 9,5 10 9,5 10 10 11 10 11 It´eration 2 ´Etape 1 ´ Etape 2 Ancˆetres Tˆache 1 2 Ancˆetres Tˆache 1 2 61 1 61 1 61 2 61 62 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 3 6 3 6 2 7 2 7 7 8 7 8 8,6 9 8,6 9 9,5 10 9,5 10 10 11 10 11 It´eration 3 ´Etape 1 ´ Etape 2 Ancˆetres Tˆache 1 2 3 Ancˆetres Tˆache 1 2 3 61 1 61 1 61 62 2 61 62 2 62 3 62 63 3 3 4 3 4 4 5 4 5 3 6 3 6 62 7 62 67 7 7 8 7 8 8,6 9 8,6 9 9,5 10 9,5 10 10 11 10 11 Tableau 2.2: Classement des tˆaches par niveaux

Section 2.4. Classement des activit´es par niveaux It´eration 4 ´ Etape 1 pi i 1 2 3 4 61 1 61 62 2 62 63 3 63 4 4 5 63 6 62 67 7 67 8 8,6 9 9,5 10 10 11

´ Etape 2 pi i 1 2 3 4 61 1 61 62 2 62 63 3 63 64 4 4 5 63 66 6 62 67 7 67 68 8 8,6 9 9,5 10 10 11 It´eration 5

´ Etape 1 pi i 1 2 3 61 1 61 62 2 62 63 3 63 64 64 5 63 66 62 67 7 67 68 6 8,6 6 9 9,5 10 10 11

pi i 61 61 62 62 63 63 64 64 65 63 66 62 67 67 68 6 8,6 6 6 9 6 9, 6 5 10 10 11

4

4 6 8

´ Etape 1 1 2 3 4 1 2 3 4 6 7 8

´ Etape 2 5 pi i 1 2 3 4 5 61 1 61 62 2 62 63 3 63 64 4 64 65 5 63 66 6 62 67 7 67 68 8 6 8,6 6 6 9 9 9,5 10 10 11 It´eration 6 ´ Etape 2 5 6 pi i 1 2 3 4 5 6 61 1 61 62 2 62 63 3 63 64 4 5 64 65 5 63 66 6 62 67 7 67 68 8 9 6 8,6 6 6 9 9 6 9, 6 5 6 10 10 10 11

Tableau 2.3: Classement des tˆaches par niveaux (suite)

29

30

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets It´eration 7 pi i 61 61 62 62 63 63 64 64 65 63 66 62 67 67 68 6 8,6 6 6 9 6 9, 6 5 6 10 6 10 11

´ Etape 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

´ Etape 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pi i 61 61 62 62 63 63 64 64 65 63 66 62 67 67 68 6 8,6 6 6 9 6 9, 6 5 6 10 6 10 6 11

10

6

7

10 11

Tableau 2.4: Classement des tˆaches par niveaux (fin)

D but

Niveaux

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

7

6 8

6

7

10

11

Fin

l’origine est a` gauche et l’extr´emit´e a` droite. Le d´ebut et la fin sont repr´esent´es par des traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des fl`eches qui aboutissent aux tˆaches de niveau 1 et des tˆaches sans descendant (qu’elles appartiennent au dernier niveau ou non) partent des fl`eches vers le trait de FIN (figure 2.6).

9

Figure 2.6: Classement par niveaux. Outre la facilit´e de trac´e du graphe de la m´ethode du potentiel, le classement par niveaux permet de rep´erer des relations inutiles. Par exemple, a` la figure 2.7, la relation ”A pr´ec`ede C” est inutile et peut eˆ tre omise sur le graphique. B dB

dA

A

C dA

Figure 2.7: Relation d’ant´eriorit´e inutile.

Section 2.5. Calcul de l’ordonnancement

31

2.5 Calcul de l’ordonnancement 2.5.1 Ordonnancement au plus tˆot Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l’ordonnancement au plus tˆot. L’ordonnancement au plus tˆot d´etermine les dates de d´ebut au plus tˆot des diff´erentes tˆaches, not´ees ti , en partant du nœud de d´ebut de chantier. Illustrons les choses sur l’exemple. La tˆache 1 peut commencer au plus tˆot en 0 puisqu’elle est reli´ee au au nœud 0, d´ebut de chantier, par un arc de longueur nulle. La tˆache 2 peut commencer d`es la fin de la tˆache 1, c’est-`a-dire t2 = t1 + d1 = 5 et ainsi de suite, on marque t3 = 9, t4 = 11, t5 = 13, ... Lorsqu’un sommet (comme le sommet 9) a plus d’un pr´ed´ecesseur (8 et 6), on d´etermine la date au plus tˆot par un maximum : t9 = max {t6 + d6 , t8 + d8 } = 16. Il faut, en effet, que les deux tˆaches pr´ec´edentes soient finies avant de pouvoir d´ebuter la tˆache 9. On arrive ainsi a` d´eterminer la dur´ee totale minimum qui est ici de 35 jours (voir figure 2.8 o`u le temps de d´ebut au plus tˆot est indiqu´e au dessus des nœuds). 9

11

3 0 0

0

0 1

5

5 4 2 4

2

13

4

2

2 11

6 9 7

3

12 8

5

5 3

20 10

10

30 11

5

35 12

16 4 9 3

Figure 2.8: Ordonnancement au plus tˆot.

2.5.2 Ordonnancement au plus tard Certaines tˆaches sont telles que si on retarde leur date de d´ebut, cela aura des r´epercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de

32

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

chantier. De mˆeme, si on retarde la tˆache 10 (plˆatre), cela va retarder la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition) qui elle-mˆeme retarde la date de fin de chantier. Par contre, si on retarde le d´ebut de la tˆache 5 (couverture), cela n’aura pas de r´epercussion, car ce n’est pas a` partir de ce nœud que son successeur (10) a e´ t´e marqu´e mais bien a` partir du nœud 9. On voit donc que l’on peut retarder la date de d´ebut de la tˆache 5 sans cons´equence sur la date de fin de chantier jusqu’`a un certain point. En effet, t5 = 13, t10 = 20, et d5 = 3. Autrement dit, la date de d´ebut de la tˆache 5 peut eˆ tre retard´ee jusqu’`a la valeur : t10 − d5 = 20 − 3 = 17

sans retarder la date de d´ebut de la tˆache 10. On dit que 17 est la date de d´ebut au plus tard de la tˆache 5. C’est-`a-dire que la tˆache 5 peut eˆ tre commenc´ee a` cette date au plus tard sans allonger la dur´ee totale minimale des travaux. On notera une date de d´ebut au plus tard par ti . On peut calculer l’ordonnancement au plus tard de la mani`ere suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin, pour lequel la date de d´ebut au plus tard co¨ıncide avec la date de d´ebut au plus tˆot t12 = t12 = 35, on retranche a` la date au plus tard la dur´ee de la derni`ere tˆache. On d´etermine ainsi la date de fin au plus tard de la tˆache 11 : t11 = t12 − d11 = 35 − 5 = 30.

On marque ensuite a` rebours les nœuds 10, 5, ... 9

0 0 0

0

0 1 0

5

5 4 2 5 4

3 9

11 4 15

2 2

2 11

11 9 7 10

13

3

6 12 8 13

5 3

5 17 3

20 10 10 20 16 4 9

30 11

5

30

35 12 35

16

Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard. Lorsqu’un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet que si tous ses successeurs directs sont marqu´es. Prenons, a` titre d’illustration, le cas du nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum : t3 = min{t4 − d3 , t6 − d3 } = min{15 − 2, 11 − 2} = 9,

sans quoi on retarderait la date de fin de chantier.

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges

33

2.6 Chemin critique et calcul des marges 2.6.1 Notion de tˆache critique On voit directement que l’on a deux sortes de tˆaches. • Les tˆaches critiques sont celles qui servent a` marquer de proche en proche le sommet n + 1 a` partir du sommet 0. Elles forment ce que l’on appelle le chemin critique qui donne l’ensemble des tˆaches a` surveiller en premier si l’on veut respecter le d´elai minimum de r´ealisation du projet. Le chemin critique, illustr´e en hachur´e a` la figure 2.9, peut eˆ tre d´etermin´e de la mani`ere suivante. Partant du nœud n + 1, on ne retient, en partant a` rebours, que les sommets correspondant a` des tˆaches critiques jusqu’a joindre le nœud 1. Il s’agit, dans l’exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0. 9 4

0 0 0

0

0

0 1 0

5

5 2 0 5 4

0

3 9

11 4 2 4

2

15 11 6

2

11 0 5 9 12 3 3 7 8 10 1 13 1

13 4 5 17 3 20

0

10 20 16 4 9 16 0

10

30 0 5 11 30

35 12 35

Figure 2.10: Calcul des marges Notez qu’il peut y avoir plusieurs chemins critiques. • Pour toutes les autres tˆaches, c’est-`a-dire les tˆaches non critiques, on peut d´eterminer la marge d’une tˆache comme la diff´erence entre son temps de d´ebut au plus tard et au plus tˆot : mi = ti − ti

(2.4)

et donc la marge mi est strictement positive pour les tˆaches non critiques tandis qu’elle est nulle pour les tˆaches critiques. i

4 5 7 8

mi 4 4 1 1

34

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

2.6.2 Notion de chemin critique D´efinition 2.2 On appelle chemin critique tout chemin liant le nœud d´ebut de projet au nœud fin de projet tel que l’en faisant la somme des dur´ees des tˆaches le long de ce chemin critique on obtienne la dur´ee minimale du projet. Terminons par deux remarques. • Il peut y avoir plusieurs chemins critiques. • D’autre part, il ne suffit pas de prendre une suite de tˆache critiques liant le nœud d´ebut du projet au nœud fin du projet pour avoir un chemin critique. Il faut, en plus que la date de fin au plus tˆot du projet correspondent a` la somme des dur´ees de tˆaches le long de ce chemin. On peut rep´erer, comme indiqu´e ci-dessus, ce type de chemin a` rebours en ne retenant que les tˆaches qui ont permit de calculer la date de fin au plus tˆot du projet a` partir du nœud de d´epart (dates au plus tˆot). Illustrons ces deux ph´enom`enes sur l’exemple de la figure 2.11. Les tˆaches critiques 1

0 0 D b 0

A

0

3

1 0

0

4 C 4

4 0 B 0 0

4

4 0 D 4

5

15 0

5 5

9 6 E 9

F 15

3

0

Figure 2.11: Cas de plusieurs chemins critiques. sont les tˆaches : B, C, D, E et F. Les deux chemins critiques sont : P1 = (B, D, E, F ) P2 = (B, C, E, F ) Il est a` remarquer que le chemin suivant : P3 = (B, C, F ) est constitu´e uniquement de tˆaches critiques mais n’est pas critique.

18 Fin 18

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges

35

2.6.3 Notions de marge libre et de marge ind´ependante Nous venons de d´efinir la notion de marge totale d’une tˆache comme la diff´erence entre sa date de d´ebut au plus tard et sa date de d´ebut au plus tˆot : mi = ti − ti Remarquons cependant que la marge r´eellement disponible d´ependra de la programmation effective des pr´ed´ecesseurs de la tˆache. Prenons l’exemple de la tˆache 5 qui a une marge de 4. Si son pr´ed´ecesseur direct, la tˆache 4 est programm´ee au plus tard, c’est-`a-dire en 15, la date de d´ebut au plus tˆot de la tˆache 5 devient 17 et donc la tˆache 5 voit sa marge s’annuler. D`es qu’on utilise la marge de la tˆache 4, elle r´eduit donc celle de 5. Par contre si on utilise la marge de la tˆache 5 en la programmant au plus tard (en 17) cela ne r´eduit pas la marge des autres tˆaches du projet. On peut donc utiliser librement cette marge de 4 unit´es de la tˆache 5 D´efinition 2.3 On d´efinit la marge libre comme la partie de la marge totale que l’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs. Si l’on consid`ere que les ancˆetres et les descendants de la tˆache sont programm´es au plus tˆot, on d´efinit ainsi la marge libre comme la diff´erence entre : • la date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates si la tˆache a plusieurs descendants); • la date de fin au plus tˆot de la tˆache qui est calcul´ee comme la date de d´ebut au plus tˆot augment´e de la dur´ee de la tˆache. L’application a` notre exemple donne les marges libres suivantes : i

4

5

7

8

marge totale

4

4

1

1

d´ebut au tˆot du descendant

13

20

12

16

fin au plus tˆot de la tˆache marge libre

11 + 2 13 + 3 9 + 3 12 + 3 = 13 = 16 = 12 = 15 0

4

0

1

L’utilisation de la marge libre d’une tˆache non critique n’affecte pas la marge totale des tˆaches non critiques dont elle est l’ancˆetre. Il n’en n’est cependant pas de mˆeme pour les tˆaches non critiques dont elle est le descendant direct et indirect.

36

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

Si on programme d’abord la tˆache 5 en l’affectant au plus tˆot, c’est-`a-dire en 13, la date de d´ebut au plus tard de 4 devient 11 et la tˆache 4 n’a plus de marge. On d´efinit ainsi un second concept. D´efinition 2.4 On d´efinit la marge ind´ependante comme la partie de la marge que l’on peut utiliser sans affecter la marge des pr´ed´ecesseurs et des successeurs. Si l’on consid`ere que les ancˆetres de la tˆache sont programm´es au plus tard (et non au plus tˆot) et ses descendants au plus tˆot, on d´efinit la marge ind´ependante comme la diff´erence 1 entre : • la date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates si la tˆache a plusieurs descendants); • la date de fin au plus tard de son ancˆetre (ou la plus tardive de ces dates, si la tˆache a plusieurs ancˆetres) augment´ee de la dur´ee de la tˆache. L’application a` notre exemple donne les marges ind´ependantes suivantes : i 4 5 7 8 marge totale 4 4 1 1 d´ebut au plus tˆot du descendant 13 20 12 16 fin + tard de l’ancˆetre (9 + 2) (15 + 2) (5 + 4) (10 + 3) + dur´ee de la tˆache +2 = 13 +3 = 20 +3 = 12 +3 = 16 marge ind´ependante 0 0 0 0 La marge ind´ependante de la tˆache 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4. Cette marge ind´ependante est moins utilis´ee que la marge libre, dans la mesure o`u la programmation des tˆaches s’effectue souvent par ordre croissant de niveau.

2.7 L’ordonnancement par la m´ethode PERT La m´ethode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s’est d´evelopp´ee, parall`element a` la m´ethode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la m´ethode du potentiel par le fait que les tˆaches ne sont plus associ´ees aux nœuds mais bien aux arcs du r´eseau. L’algorithme de r´esolution est tr`es semblable a` celui de la m´ethode du potentiel. La diff´erence majeure r´eside donc dans la Il est a` remarquer que si le r´esultat obtenu est n´egatif, la marge ind´ependante est consid´er´ee comme nulle, une marge ne pouvant jamais eˆ tre n´egative. 1

Section 2.7. L’ordonnancement par la m´ethode PERT

37

construction du graphe : le graphe de la m´ethode PERT est souvent plus difficile a` construire que celui de la m´ethode du potentiel car on peut eˆ tre amen´e a` introduire des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tˆache. Dans la m´ethode PERT, chaque tˆache est donc associ´ee a` un arc du graphe. La longueur de l’arc correspondant a` la dur´ee de la tˆache en question. Les sommets sont utilis´es pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tˆache j doit suivre la tˆache i, l’extr´emit´e terminale de l’arc repr´esentant la tˆache i co¨ıncidera avec l’extr´emit´e initiale de l’arc repr´esentant la tˆache j. Ceci permet de tracer le graphe pour l’exemple d´ej`a consid´er´e pour la m´ethode du potentiel. Ceci est fait a` la figure 2.12 o`u l’on a not´e, a` cˆot´e de chaque arc, d’une part, le num´ero correspondant a` la tˆache, d’autre part, la dur´ee de la tˆache. 4, 2 5, 3

3, 2 1, 5

2, 4

10, 10

6, 5 7, 3

11, 5

9, 4 8, 3

Figure 2.12: Graphe associ´e pour la m´ethode PERT. Si, sur cet exemple, le graphe de la m´ethode du potentiel et celui de la m´ethode PERT sont tr`es proches, il n’en va pas toujours de mˆeme. La construction du graphe PERT pose divers probl`emes qui am`enent a` ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tˆache. Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tˆache 1 pr´ec`ede les tˆaches 2 et 3 et que la tˆache 4 pr´ec`ede la tˆache 3. tˆache pr´ed´ecesseur 1 2

− 1

3

1, 4

4

−

On pourrait tracer le graphe de la figure 2.13. Mais ce graphe introduit une contrainte suppl´ementaire qui dit que la tˆache 4 doit pr´ec´eder la tˆache 2. Pour r´esoudre la difficult´e, il faut a` nouveau ajouter un arc fictif de longueur nulle entre l’extr´emit´e de la tˆache 1 et le d´ebut de la tˆache 3. Ceci est illustr´e a` la figure 2.14.

38

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets 1

2

4

3

Figure 2.13: Introduction d’un contrainte. 1

2

4

3

Figure 2.14: Arc fictif. L’ordonnancement se calcule ainsi. D’abord, on d´etermine les dates de d´ebut au plus tˆot des nœuds, que nous noterons ti . Ceci est fait par marquage des nœuds a` partir de l’origine comme dans la m´ethode du potentiel. On additionne au temps du nœud pr´ec´edent le temps de la tˆache. En cas de plusieurs pr´ed´ecesseurs, on prend le maximum. Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pas toujours aux dates au plus tard des tˆaches situ´ees apr`es le nœud. Ainsi la date au plus tard 9 est la date au plus tard de la tˆache 3 mais pas de la tˆache 7, pourtant les deux tˆaches sont situ´ees a` droite du mˆeme nœud. Pour contourner cette difficult´e de la m´ethode PERT, il convient de proc´eder en deux temps. D’abord, on d´etermine les dates au plus tard des nœuds, not´ees t¯i , par marquage a` partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tˆache. En cas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la marge de la tˆache (i, j) entre les nœuds i et j comme : mij = tj − (ti + dij ) Autrement dit, la marge est calcul´ee comme la diff´erence entre la date de fin au plus tard de la tˆache et la date de fin au plus tˆot de la tˆache. On obtient alors les dates au plus tard des tˆaches en additionnant a` la date au plus tˆot du nœud de

Section 2.8. R´eduction de la dur´ee du projet

39

d´epart, la marge de la tˆache. Les r´esultats sont indiqu´es au tableau ci-dessous. Tˆache

1 2 3

4

6

7

8

Date au plus tˆot

0 5 9 11 13 11

9

12 16 20 30

Marge

0 0 0

1

1

4

5

4

0

9

0

10 11

0

0

Date au plus tard 0 5 9 15 17 11 10 13 16 20 30 Un chemin critique peut alors se construire a` partir du nœud de fin en ne retenant que les arcs critiques. L’application a` l’exemple donne l’ordonnancement illustr´e a` la figure 2.15. 11

0 0

1, 5 0

5

3, 2 9 0 2, 4

5

0

11

9 7, 3 1 12 13

13

4, 2 4 6, 5 0 8, 3

17

4

5, 3 20 10, 10

0 20 16 9, 4

1

0

30 11, 5 30

0

35 35

16

Figure 2.15: Ordonnancement par la m´ethode PERT.

2.8 R´eduction de la dur´ee du projet Si l’on veut r´eduire la dur´ee du projet, deux principes sont d’application : Principe 1. Il ne sert a` rien de r´eduire la dur´ee de tˆaches non critiques. Principe 2. Il faut r´eduire simultan´ement la dur´ee de tous les chemins critiques. En effet, si l’on r´eduit la dur´ee d’une tˆache non critique, cela ne changera pas la dur´ee du projet qui est d´etermin´ee par la longueur du chemin critique. Cela ne fera qu’accroˆıtre la marge de la tˆache. D’autre part, si l’on r´eduit la dur´ee d’un chemin critique et qu’il en reste un autre chemin critique non r´eduit, c’est ce second chemin qui continuera a` d´eterminer la dur´ee du projet et sa dur´ee sera inchang´ee.

40

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets No 5 6 8 9

tˆache r´eduction max (jours) surcoˆut par jour couverture 1 120 ma¸connerie 3 150 coulage dalle b´eton 1 180 chauffage 1 200 Tableau 2.5: R´eduction de la dur´ee du projet

Illustrons ceci sur un exemple. On a la possibilit´e de r´eduire la dur´ee de certaines tˆaches moyennant un surcoˆut par jour de r´eduction. Les tˆaches sur lesquelles il est possible d’agir sont reprise au tableau 2.5. On se pose la question suivante : comment r´eduire la dur´ee du projet de deux jours a` coˆut total de r´eduction minimum ? Examinons l’ordonnancement de la figure 2.10. Par application du principe 1, on en d´eduit que seules les tˆaches 6 et 9 sont int´eressantes. Ce sont, en effet, les seules tˆaches critiques parmi les quatre tˆaches dont on peut r´eduire la dur´ee. On r´eduit 6 de 1 jour car cela coˆute moins cher. Le nouveau graphique est illustr´e a` la figure 2.16. On voit que d´esormais il y a deux chemins critiques, a` 9 3 4 0 0 0

0 1 0

5

5 2 5 4

9

9 7 9

2 2

3

11 3 4 14 11 6 11 12 8 12

2

13 3 5 3 16 19 10

4 3

19 15 4 9

10

29 11 29

5

34 12 34

15

Figure 2.16: R´eduction d’un jour de la dur´ee du projet savoir : P1 = (1, 2, 3, 6, 9, 10, 11) P2 = (1, 2, 7, 8, 9, 10, 11) Par application du principe 2, il faut maintenant r´eduire simultan´ement les deux chemins critiques. On a le choix entre les deux strat´egies suivantes : • r´eduire 9 de 1 jour au coˆut de 200;

Section 2.9. Programmation effective du projet

41

• r´eduire 8 et 6 de 1 jour au coˆut total 150 + 180 = 330. On d´ecide donc de r´eduire 9 d’un jour. Le nouveau graphique est illustr´e a` la figure 2.17 9 3 0 0 0

0

0 1 0

5

4 5 2 5 4

9

9 7 9

2 2

3

11 2 2 4 13 11 6 11 4 12 3 8 12

13 2 5 3 15 18 10 18 15 3 9

10

28 11

5

28

33 12 33

15

Figure 2.17: R´eduction de la dur´ee du projet de deux jours On en conclut qu’`a chaque r´eduction de dur´ee d’une ou plusieurs tˆaches, il faut recalculer l’ordonnancement pour voir si de nouveaux chemins critiques n’apparaissent pas.

2.9 Programmation effective du projet L’existence de tˆaches non critiques implique qu’il existe de multiples solutions donnant le mˆeme temps total minimum de r´ealisation du projet. La programmation d´efinitive du projet s’effectuera en fonction des deux principes de prudence et d’´economie : • Le principe de prudence incite a` programmer au plus tˆot les tˆaches non critiques pour que la programmation conduise a` des marges totales les plus grandes possibles pour absorber d’´eventuels al´eas dans l’ex´ecution des tˆaches. Ce principe conduit parfois a` qualifi´e de tˆaches subcritiques les tˆaches de marge totale faible par rapport aux al´eas susceptibles de se produire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe en calculant, pour chaque tˆache, la probabilit´e d’ˆetre critique. Ce qui peut conduire a` d´efinir comme subscritique une tˆache qui a au moins 90 % de chances d’ˆetre critique. • Le principe d’´economie incite a` programmer au plus tard les tˆaches non critiques. En effet, l’ex´ecution des tˆaches n´ecessite l’acquisition de certaines ressources. Ainsi,

42

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets – si on engage des ressources humaines qui seront conserv´ees a` l’issue de l’ex´ecution de la tˆache, la programmation au plus tˆot g´en`ere des d´epenses inutiles; – si on ach`ete des ressources mat´erielles, il peut y avoir un coˆut d’opportunit´e li´e a` un achat pr´ecoce (int´erˆets bancaires, par exemple). La pr´eoccupation d’´economie incitera donc aussi a` programmer au plus tard les tˆaches non critiques.

Les points de vue de prudence et d’´economie sont donc largement antinomiques et le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent le principe d’´economie pr´evaut pour une tˆache non critique. Dans la pratique, on a int´erˆet a` mutualiser les risques et donc a` chercher a` partir d’estimation de dur´ees plutˆot optimistes puis a` : • mettre un tampon entre la date de fin des tˆaches sans descendant et la date de fin du projet. Ce tampon correspondant a` la mutualisation des risques sur les tˆaches du chemin critique, • a` consid´erer chaque chemin non critique en mettant un tampon entre le dernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui est une tˆache critique, ce tampon correspondant a` la mutualisation du risque du chemin non critique. La figure 2.18 illustre les tampons dans le cas de l’exemple. Tampon 2

0 0 0

0

0 1 0

5

4 5 2 5 4

9 3 9

2

11

11 6

3

2

4 15 11

9 7 10

2

12 8 13

5 3

13 5 17 3

20 10 10 20 16 4 9 16

Tampon 1 30 11 30

Tampon 3

Figure 2.18: Graphe de la m´ethode des potentiels

5

35 12 35

Section 2.10. Pr´esentation des r´esultats

43

2.10 Pr´esentation des r´esultats Le graphe de la m´ethode des potentiels est l’instrument privil´egi´e pour le calcul le d’ordonnancement des tˆaches. Une fois l’ordonnancement d´ecid´e, il vaut mieux transmettre les d´ecisions prises sous forme d’un graphique de Gantt. Le diagramme de Gantt est l’outil classiquement utilis´e en gestion de production pour visualiser l’utilisation des machines. Ainsi a` la figure 2.19, on a visualis´e le passage de cinq lot de pi`eces sur deux machines successives. 5

3

1

4

2

Z

machine A 5

Z!

3

1

4

2

machine B

1

2

3

4

5

Temps

Figure 2.19: Diagramme de Gantt-Ateliers En gestion de projets, le diagramme de Gantt est e´ galement caract´eris´e par une ligne horizontale pour le temps mais chaque ligne horizontale correspond cette fois a` une tˆache. Les fl`eches correspondent cette fois a` des relations d’ant´eriorit´e. On obtient le diagramme a` barres de la figure 2.20. On a indiqu´e a` la figure le nombre d’ouvriers n´ecessaires a` l’ex´ecution de chaque tˆache. On peut en d´eduire l’utilisation de la ressource travail en faisant une addition a` chaque jour du projet du nombre d’ouvriers utilis´es par les diff´erentes tˆaches. On obtient alors le diagramme de charge de la figure 2.21.

2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives On parle de contraintes disjonctives lorsque deux tˆaches ne peuvent avoir lieu en mˆeme temps sans que l’on puisse dire, a` priori, laquelle doit eˆ tre effectu´ee avant l’autre. C’est le cas lorsque l’on partage une mˆeme ressource non divisible entre plusieurs tˆaches. Consid´erons les tˆaches i et j. On peut e´ crire la relation d’exclusion sous la forme : soit

(

ti + di ≤ tj si i est r´ealis´ee avant j tj + dj ≤ ti si j est r´ealis´ee avant i

(2.5)

44

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

0

5

9 11 13 16

20

30

35

Temps

1 1 ouv. 3 ouv.

2

2

3

2

4

4

5

3 ouv.

6 7

2 2

8

1 ouv.

9

4 ouvriers

10 11

1 ouv.

Figure 2.20: Diagramme de Gantt-Tˆaches (projet)

Ouvriers 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5

9 11 13 15 16

20

30

Figure 2.21: Diagramme de charge

35

Temps

Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives

45

Si on n’a qu’une seule contrainte disjonctive, on peut e´ videmment r´esoudre deux probl`emes d’ordonnancement : un o`u l’on impose que i soit r´ealis´ee avant j, l’autre o`u l’on impose que j soit r´ealis´ee avant i. Ensuite, on prend le temps d’ex´ecution le plus court. Mais cette m´ethode d’´enum´eration explicite de toutes les possibilit´es devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croˆıt. On peut alors le r´esoudre le probl`eme grˆace au recours a` la programmation en nombres entiers. D´efinissons la variable binaire yij , dont la valeur est 1 si la tache i est r´ealis´ee avant la tˆache j et 0 dans le cas contraire :  

1 si la tˆache i est effectu´ee avant j, yij =  0 sinon

On remplace alors la condition de disjonction (2.5) par les contraintes suivantes :   

ti + di ≤ tj + M (1 − yij ) tj + dj ≤ ti + M yij   yij ∈ {0, 1}

(2.6)

o`u M note une borne sup´erieure sur la date de fin des travaux. D´emontrons l’´equivalence. Deux cas sont possibles pour la variable binaire : 1. Cas ou` yij = 1 : dans ce cas, le syst`eme (2.6) devient : (

ti + di ≤ tj tj + dj ≤ ti + M

La premi`ere contrainte exprime donc que la tˆache i doit eˆ tre finie avant que ne commence la tˆache j. La seconde contrainte est automatiquement satisfaite. 2. Cas yij = 0 : dans ce cas, le syst`eme (2.6) devient : (

ti + di ≤ tj + M tj + dj ≤ ti

La premi`ere contrainte est automatiquement satisfaite. La seconde contrainte exprime que la tˆache j doit eˆ tre finie avant que ne commence la tˆache i.

2.12 Cas de contraintes cumulatives L’introduction de contraintes cumulatives (et disjonctives) est a` peu pr`es in´evitable dans la r´esolution de probl`emes r´eels de gestion de projets. On doit alors d´efinir le crit`ere que l’on veut privil´egier. Il en existe deux : le crit`ere de la minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet et le crit`ere de lissage de charge des ressources.

46

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

2.12.1 Crit`ere de minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet Si on cherche a` minimiser la date d’ach`evement du projet tout en respectant les contraintes d’ant´eriorit´e et les contraintes cumulatives, on parle alors de probl`eme de nivellement. La r´esolution de tels probl`emes est g´en´eralement faite au moyen d’heuristiques. D’un logiciel a` l’autre, la mani`ere de g´erer la consommation d’une ressource peut eˆ tre diff´erente. Illustrons ceci sur l’exemple introductif. Supposons que la soci´et´e ne dispose que de 4 ouvriers pour effectuer le gros œuvre, c’est a` dire les tˆaches 6 (dur´ee 5 jours) et 8 (dur´ee 3 jours) qui requi`erent respectivement la pr´esence de 3 ouvriers pour 6 et de 2 ouvriers pour 8 (voir tableau 2.11). Tˆache Dur´ee Ressource n´ecessaire 6

5

3 ouvriers

8

3

2 ouvriers

Tableau 2.6: Exemple de contrainte cumulative Rappelons que la tˆache 6 est critique. Elle est programm´ee actuellement de 11 a` 16 tandis que la tˆache 8 n’est pas critique et sa programmation au plus tˆot va de 12 en 16. Sa date de d´ebut au plus tard est de 13 puisqu’elle a une marge d’un jour. Examinons bri`evement les solutions possibles : 1. La premi`ere solution consiste a` relaxer la contrainte en mobilisant ponctuellement des ressources suppl´ementaires en main d’œuvre. Ce cas est illustr´e a` la figure 2.22. Le projet reste effectu´e en 35 jours. Ouvriers 5 4 3 2 1

8 6 11

12

13

14

15

16

17

18

Jours

Figure 2.22: Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource On n’a e´ videmment pas vraiment r´esolu le probl`eme.

Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives

47

2. La deuxi`eme solution consiste a` programmer prioritairement les tˆaches critiques en consid´erant que le nombre d’ouvriers est fix´e. Dans ce cas, la tˆache non critique 8 est programm´ee aux jours 16 a` 18, elle devient critique et le projet prend 3 jours de retard. Ce cas est illustr´e a` la figure 2.23. Ouvriers 5 4 3 2 1

6 11

12

13

8 14

15

16

17

18

Jours

Figure 2.23: Solution 2 : priorit´e a` la tˆache critique 3. La troisi`eme solution consiste a` partager de mani`ere fixe les ressources entre les tˆaches, par exemple en affectant 3 ouvriers a` la tˆache 6 (75 % de la ressource) et un ouvrier a` la tˆache 8 (25 % de la ressource), ces valeurs e´ tant choisies par l’utilisateur du logiciel. La programmation reste celle du premier cas, mais la tˆache 8 ne b´en´eficiant que d’un seul ouvrier prendra 6 jours a` la place de 3. Dans ce cas, la tˆache non critique 8 est programm´ee du 12 au 17`eme jour, elle devient critique et le projet prend 2 jours de retard. Ce cas est illustr´e a` la figure 2.24. Ouvriers 5 4 3 2 1

8 6 11

12

13

14

15

16

17

18

Jours

Figure 2.24: Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 4. La quatri`eme solution consiste a` consid´erer la quantit´e de travail par tˆache. Par exemple, pour la tˆache 8, il faut 6 jours-ouvriers de travail. On affecte en priorit´e les ressources a` la tˆache critique et on regarde ce qui reste pour la tˆache non critique. Durant les jours 12 a` 15, on dispose d’un ouvrier, ensuite,

48

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets durant le jour 16, on utilise 2 ouvriers. Dans ce cas, la tˆache non critique 8 est programm´ee du 12 au 16`eme jour, elle devient critique et le projet prend 1 jour de retard. Ce cas est illustr´e a` la figure 2.25. Ouvriers 5 4 3 2 1

8 6 11

12

13

8 14

15

16

17

18

Jours

Figure 2.25: Solution 4 : d´efinir une tˆache par sa quantit´e totale de travail.

Cet exemple n’est pas exhaustif mais est illustratif des techniques possibles pour r´esoudre les conflits. Il attire aussi l’attention sur le fait que si les logiciels annoncent qu’ils permettent de g´erer les ressources, on peut dans la pratique aboutir a` des solutions tr`es diff´erentes en fonction de l’heuristique choisie dans le logiciel.

2.12.2 Crit`ere de lissage de charge des ressources utilis´ees Un ordonnancement de projet respectant les contraintes cumulatives et une dur´ee minimale donn´ee n’est g´en´eralement pas unique. D’autres ordonnancements aboutissant a` la mˆeme dur´ee minimale peuvent eˆ tre trouv´es. Le lissage est un processus de recherche d’un ordonnancement conduisant a` une utilisation la plus r´eguli`ere possible des ressources. On cherche ainsi a` araser certains pics de consommation de la ressource. Ce qui permet de diminuer le niveau de la ressource utilis´ee. Diverses heuristiques ont e´ t´e con¸cues pour ce faire. Nous verrons un exercice d’application (voir exercice 2.7) o`u l’on veut rester dans la limite de cinq ouvriers durant tous le chantier sauf dans une p´eriode maximum de quatre jours o`u l’on autorise un d´epassement (en engageant des travailleurs int´erimaires durant cette courte p´eriode). On d´eterminera une solution respectant ces contraintes cumulatives de mani`ere heuristique en jouant sur les marges des tˆaches non critiques. Ainsi en ne programmant pas syst´ematiquement les tˆaches non critiques au plus tˆot, on peut agir sur le niveau d’utilisation de la ressource sans augmenter la dur´ee minimale du projet.

Section 2.13. Exercices

49

2.13 Exercices ´ 2.1. Equipement d’un ensemble minier. L’´equipement d’un ensemble minier comporte les tˆaches suivantes dont la dur´ee est exprim´ee en trimestres. No 1 2 3 4 5 6 7 8

tˆache dur´ee pr´ealables Commande d’une piste 6 Construction d’un port provisoire 3 Commande de mat´eriel portuaire 2 Pose d’une voie ferr´ee 4 2 Construction d’une cit´e administrative 7 2 Construction du port d´efinitif 2 2 Construction de l’installation mini`ere 4 1 et 4 Equipement portuaire d´efinitif 3 3 et 6

(a) Construire le graphe relatif a` la m´ethode du potentiel. (b) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot, les dates de d´ebut au plus tard. D´eterminer le chemin critique. (c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tˆache 7 ne commence pas avant 8 trimestres ? Recalculez les dates de d´ebut au plus tˆot, les dates de d´ebut au plus tard. (d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tˆache 8 ne commence pas apr`es 4 trimestres ? Dites si le probl`eme reste soluble. 2.2. Construction d’un bˆatiment. Consid´erons les diff´erentes tˆaches a` effectuer pour construire un bˆatiment. Elles sont reprises ci-dessous. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tˆache dur´ee pr´ealables fondations 6 murs 10 1 plomberie int´erieure 5 2 e´ lectricit´e 7 2 toit 6 2 plomberie ext´erieure 4 5 menuiserie 8 3 et 4 sols 4 7 peinture int´erieure 5 7 finitions int´erieures 6 8 et 9 peinture ext´erieure 9 6 finitions ext´erieures 2 11

50

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets (a) Tracez le graphe relatif a` la m´ethode du potentiel. (b) Calculez les dates de d´ebut au plus tˆot, les marges et d´eterminez le(s) chemin(s) critique(s). (c) Les tˆaches 9 (peinture int´erieure) et 11 (peinture ext´erieure) doivent eˆ tre disjointes car effectu´ees par les mˆemes ouvriers. Comment r´esoudre cette disjonction ? La date de fin des travaux est-elle affect´ee ?

2.3. Installation d’une caf´et´eria. Une soci´et´e a d´ecid´e afin d’augmenter la motivation de son personnel de remplacer la cantine actuelle par une caf´et´eria beaucoup plus moderne. Le d´epartement travaux a dress´e la liste suivante des tˆaches a` effectuer avec une estimation de leurs dur´ees et de leur s´equencement. Code Tˆache A B C D E F G H I J K L M

Dur´ee Pr´ealables Personnel (semaines) requis Achat des mat´eriaux de construction 12 3 Achat des e´ quipements de la caf´et´eria 3 2 Intervention de l’architecte d’int´erieur 2 1 Nettoyage du site 3 3 Finalisation des plans 8 C et D 1 Pr´eparation du site pour la construction 3 E 2 Construction de la caf´et´eria 2 A et F 5 Installation des sanitaires 4 G 2 Installation des e´ quipements de cuisine 4 B et H 2 Peinture 2 B et H 2 Constitution du stock de la caf´et´eria 4 I et J 1 Embauche du personnel de la caf´et´eria 8 2 Entraˆınement du personnel 2 I et L 3 Tableau 2.7: Construction d’une caf´etaria

(a) Classer les tˆaches par niveaux. (b) Construire le graphe de la m´ethode PERT correspondant a` ce probl`eme. (c) D´eterminer, sur le graphe de la sous-question 8b), le temps minimum (en semaines) n´ecessaire a` la r´ealisation du projet. (d) Donner dans un tableau, pour chaque tˆache, sa date de d´ebut au plus tˆot, sa marge totale et sa date de d´ebut au plus tard.

Section 2.13. Exercices

51

(e) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probl`eme. (f) Tracez le diagramme de Gantt correspondant au principe d’´economie. (g) Tracer le diagramme donnant la charge (exprim´ee en nombre de personnes). (h) L’entreprise dispose au maximum de 6 personnes a` affecter a` ce projet. Le projet peut-il eˆ tre r´ealis´e dans le d´elai minimum d´etermin´e en c) ? Si oui, indiquez comment on peut le faire. (i) L’entreprise apprend la d´emission d’une des 6 personnes. Le projet peut-il eˆ tre r´ealis´e dans le d´elai minimum d´etermin´e en c) en utilisant au maximum 5 personnes ? Justifier votre r´eponse 2.4. Construction d’un hangar. Le maˆıtre d’ouvrage d’une construction vient de faire l’inventaire, aupr`es des artisans, des tˆaches qui conduisent a` la r´ealisation d’un hangar. Elle sont reprises dans le tableau ci-dessous avec la liste de leurs pr´ealables. Tˆache Dur´ee N´ecessite la fin de A 4 C,G,L B 4 C 5 B,H D 4 B E 16 B,G,L F 7 A,D G 2 D H 3 B I 3 J J 3 G,L K 3 A,F,I L 2 B,C,H On vous demande de concevoir la planification du projet de construction du hangar, l’objectif e´ tant de construire le hangar le plus vite possible. Pour cela, on vous demande de r´ealiser les op´erations suivantes : (a) Classer les tˆaches par niveaux. (b) Utiliser le classement des tˆaches par niveaux pour construire le graphe de la m´ethode des potentiels repr´esentant la r´ealisation de cet ouvrage. (c) Sur ce graphe, de d´eterminer les dates de d´ebuts au plus tˆot et au plus tard des diff´erentes tˆaches.

52

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets (d) Calculer, pour chaque tˆache, la marges totale, la marge libre et la marge ind´ependante. (e) Donner le chemin critique.

2.5. Lancement d’un nouveau produit. Une entreprise d´ecide de commercialiser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaˆıtre les tˆaches reprises au tableau 2.8 avec leur dur´ee (en semaines) et leurs pr´ealables. (a) Tracer le graphe correspondant a` la m´ethode PERT. (b) Calculez les dates de d´ebut au plus tˆot, au plus tard, les marges et le chemin critique. (c) L’entreprise voudrait r´eduire la dur´ee totale d’ex´ecution des travaux. Pour cela, il est possible de r´eduire la dur´ee des tˆaches 5 et 11 de une ou deux semaines au prix d’un coˆut suppl´ementaire de 100 000 EURO par semaine de r´eduction pour la tˆache 5 et de 200 000 EURO par semaine pour la tˆache 11. De combien peut-on r´eduire la dur´ee totale des travaux et a` quel coˆut ? No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

tˆache dur´ee pr´ealables S´election des e´ quipements 1 Choix de la m´ethode de production 2 1 Proc´edures de contrˆole de qualit´e 2 2 Choix des mati`eres premi`eres 2 1 R´eception des e´ quipements 7 1 Commande des mati`eres premi`eres 1 4 R´eception des mati`eres premi`eres 3 6 Essais de production 2 5,3 et 7 Premi`ere fourniture aux magasins 6 8 et 11 Conception du conditionnement 4 1 Production du conditionnement 5 10 R´eunion des vendeurs 1 11 Formation des vendeurs 1 12 Tableau 2.8: Lancement d’un nouveau produit

2.6. Construction d’une maison. Une soci´et´e de promotion immobili`ere souhaite r´ealiser au plus vite la construction d’une maison individuelle. Les pr´ealables et les dur´ees des diff´erentes tˆaches, e´ valu´ees en semaines, sont repris au tableau 2.9.

Section 2.13. Exercices

53

(a) Construire le graphe de la m´ethode PERT correspondant a` ce probl`eme. (b) D´eterminer, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en semaines) n´ecessaire a` la r´ealisation de la maison. Code Tˆache Ant´eriorit´e Dur´ee 1 Excavation 2 2 Fondations 1 4 3 Murs porteurs 2 10 4 Couverture 3 6 5 Plomberie ext´erieure 3 4 6 Electricit´e 3 7 7 Lambris ext´erieur 4 7 8 Peinture ext´erieure 5,7 9 9 Plomberie int´erieure 5 5 10 Plˆatre 9,6 8 11 Revˆetement de sol 10 4 12 Peinture int´erieure 10 5 13 Finitions ext´erieures 8 2 14 Finitions int´erieures 11,12 6 Tableau 2.9: Construction d’une maison (c) Calculer, pour chaque tˆache, la date de d´ebut au plus tˆot, la marge et la date de d´ebut au plus tard. (d) D´eterminer le (ou les) chemins critique(s) pour ce probl`eme. (e) La direction de l’entreprise, inqui`ete du d´elai de r´ealisation de la maison, voudrait r´eduire celui-ci de 2 semaines. On peut agir sur les tˆaches reprises au tableau 2.10. Tˆache R´eduction de dur´ee possible Surcoˆut par semaine 4 1 ou 2 semaines 300 5 1 ou 2 semaines 800 11 1 ou 2 semaines 500 12 1 ou 2 semaines 400 Tableau 2.10: R´eduction de la dur´ee des tˆaches Que proposez-vous comme actions afin de r´eduire la dur´ee du projet de deux semaines a` coˆut minimum ?

54

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets

2.7. Cas de contraintes cumulatives. On veut ex´ecuter 7 tˆaches soumises aux contraintes de succession indiqu´ees dans le tableau 2.11. No pr´ealables dur´ee Main d’oeuvre 1 6 3 2 3 2 3 6 1 4 2 2 1 5 2 4 3 6 4 et 1 3 3 7 3, 5 et 6 1 2 Tableau 2.11: Cas de contraintes cumulatives. (a) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot et au plus tard et d´eterminer le chemin critique par la m´ethode des potentiels. (b) Pr´esenter les r´esultats pr´ec´edents en tra¸cant un diagramme a` barres. Tracer aussi la courbe de charge donnant l’´evolution de la demande en main d’œuvre en fonction du temps. L’effectif permanent de 5 ouvriers est-il suffisant ? (c) On envisage l’embauche de travailleurs temporaires. Comment limiter a` 4 semaines l’embauche de la main d’œuvre suppl´ementaire sans allonger la dur´ee totale d’ex´ecution des travaux ? (d) Si on renonce a` embaucher des travailleurs temporaires, de combien faut-il allonger la dur´ee des travaux pour respecter la contrainte de main d’œuvre ? (e) On reprend le probl`eme de la premi`ere question. En plus des contraintes initiales, on veut que la tˆache 7 ne commence pas apr`es 8 semaines. Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte ? Que pensez-vous de cette nouvelle exigence ? 2.8. Construction d’une piscine. Une soci´et´e a re¸cu la maˆıtrise de la construction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Les dur´ees des diff´erentes tˆaches, e´ valu´ees en jours sont reprises au tableau 2.12. Les travaux d´ebutent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte 20 jours ouvrables. (a) L’inauguration peut-elle avoir lieu comme pr´evu le 15 juin ?

Section 2.13. Exercices

55

Code Tˆache Ant´eriorit´e Dur´ee A Excavation 5 B Fondations A 2 C Pose canalisations B 4 D Essai en pression C,G 8 ´ E Etanch´ eit´e D 9 F Mise en place de la station d’´epuration A 6 G Mise en place du chauffage F 5 H Raccordement e´ lectricit´e G 4 I Sonorisation sous-marine H 5 J Dallage E,I 6 K Construction vestiaires J 8 L Construction du solarium J 2 M Mise en eau K, L 3 Tableau 2.12: Construction d’une piscine. (b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d’incidents techniques, cette op´eration durera 6 jours de plus que pr´evu. Sans recommencer le diagramme, d´eterminez si cela influencera le d´elai final. (c) La direction du campus, inqui`ete quant au respect des d´elais, propose de se passer de la sonorisation sous-marine. Qu’en pensez-vous ? 2.9. Ordonnancement de projets. Un projet est constitu´e des tˆaches 0, 1, 2, 3 et 4. La tˆache 0 n’a pas de pr´ed´ecesseur et dure 2 semaines. La tˆache 1 succ`ede directement a` la tˆache 0 et dure 5 semaines. La tˆache 2 succ`ede directement a` la tˆache 1 mais ne peut pas commencer avant la 10`eme semaine. Elle dure 5 semaines. La tˆache 3 succ`ede directement a` la tˆache 2 et dure 3 semaines. La tˆache 4 succ`ede directement aux tˆaches 2 et 3 mais doit commencer au plus tard 7 semaines apr`es le d´ebut de la tˆache 2. Elle dure 2 semaines. (a) Dessinez le graphique associant les tˆaches aux sommets. (b) Ce projet est-il r´ealisable ? Justifiez bri`evement. (c) Vous avez la possibilit´e d’allonger ou de r´eduire la dur´ee des tˆaches 1 et/ou 2 de une ou deux semaines, a` un coˆut additionnel de 500 euro la semaine et par tˆache. Et aussi d’allonger ou de r´eduire la dur´ee des tˆaches 3 et/ou 4 de une ou deux semaines, a` un coˆut additionnel de 1000 euro la semaine et par tˆache. Quelle solution proposez-vous afin de r´ealiser le projet a` un coˆut minimum ?

56

Chapitre 2. L’ordonnancement de projets (d) Quelle est alors la dur´ee totale du projet ? (e) Quelle(s) activit´e(s) n’appartiennent pas au chemin critique ?

2.10. Installation d’un syst`eme de d´epollution de l’air. Pour l’exercice 1.1, (a) Classer ces tˆaches par niveaux. (b) Construire le graphe de la m´ethode potentiel. (c) D´eterminer sur ce graphe le temps minimum de r´ealisation du projet. (d) Calculer les date de d´ebut au plus tˆot, au plus tard et les marges. (e) D´eterminer le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probl`eme. (f) La direction de l’entreprise voudrait r´eduire celui-ci de 2 semaines a` cout ˆ minimum. On peut agir sur les tˆaches suivantes : Tˆache R´eduction de dur´ee possible Surcoˆut par semaine D

1 ou 2 semaines

300

E

1 ou 2 semaines

400

F

1 ou 2 semaines

500

G

1 ou 2 semaines

800

Que proposez-vous comme actions ? Quel est le coˆut correspondant ? Quel(s) est (sont) maintenant le(s) chemin(s) critique(s) ?

Chapitre 3 Analyse du projet L’analyse du projet porte sur la d´efinition du projet et se traduit concr`etement par une liste de tˆaches avec leurs contraintes (ant´eriorit´e, disjonctives, cumulatives).

3.1 D´efinition du projet La d´emarche souvent utilis´ee pour des projets de grande envergure consiste a` analyser le projet de mani`ere hi´erarchique. Souvent, on d´efinit e´ galement, que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet. Nous verrons ensuite l’analyse du contenu pr´ecis des tˆaches et de leur relations d’ant´eriorit´e. Remarquez que ce travail de d´efinition du projet peut repr´esenter la moiti´e du temps de travail des gestionnaires du projet.

3.1.1 Structuration hi´erarchis´ee du projet L’analyse d’un projet de type non r´ep´etitif d’une certaine envergure conduit a` adopter une approche hi´erarchique de d´efinition des tˆaches a` ex´ecuter. On va progressivement d´ecomposer les tˆaches en des sous-tˆaches pour atteindre un plus grand niveau de d´etail. Le r´esultat de cette analyse est un organigramme technique tel que celui illustr´e a` la figure 3.1. Le principe est le suivant. A un niveau de d´etail k, on dispose de nk tˆaches. Pour passer au niveau de d´etail inf´erieur k + 1, on examine chaque tˆache qui peut eˆ tre d´ecompos´ee en un ensemble de sous-tˆaches dont la r´eunion redonne la tˆache du niveau sup´erieur. Ceci conduit a` un accroissement du nombre de tˆaches avec le niveau, autrement dit : nk+1 > nk Remarquez qu’`a ce niveau, on ne donne aucune information sur les relations d’ant´eriorit´e entre tˆaches. Ainsi dans l’organigramme de la figure 3.1, les fl`eches 57

58

Chapitre 3. Analyse du projet

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Tâche 1

Tâche1.1

Tâche1.1.1

Tâche 1.2

Tâche1.1.2

Tâche 2

Tâche 2.1

Tâche 3

Tâche 2.2

Tâche 3.1

Tâche 3.2

Tâche 2.1.1 Tâche 2.2.1 Tâche3.1.1

Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3

Tâche3.2.1

Tâche3.2.2

Tâche3.2.3

Figure 3.1: Organigramme technique : top-down. repr´esentent des relations d’inclusion et non des relations d’ant´eriorit´e. Le nombre de niveaux peut aller jusqu’`a 6 dans les tr`es gros projets. G´en´eralement, on attribue un nom pour d´esigner les tˆaches d’un mˆeme niveau. Ainsi : • le niveau 1 correspond au programme, • le niveau 2 correspond au projet, • le niveau 3 correspond a` la tˆache, • le niveau 4 correspond a` la sous-tˆache, • le niveau 5 correspond au lot de travaux, • le niveau 6 correspond au travail e´ l´ementaire. Quelques r`egles de bonne pratique sont a` retenir dans l’´etablissement de cet organigramme technique : • Les tˆaches du dernier niveau ne doivent pas eˆ tre trop nombreuses : on se limite g´en´eralement a` une centaine pour un projet. Le cabinet Arthur D. ´ Little a ainsi pu montrer pour les programmes de la D´efense aux Etats-Unis que l’exc`es de d´etail est un facteur accroissant le risque d’´echec. • Les tˆaches ne doivent pas eˆ tre d’importance trop in´egale que ce soit en terme du dur´ee ou de consommation de ressources. • Les tˆaches doivent eˆ tre suffisamment homog`enes pour les traiter comme un centre de coˆut diff´erent : ainsi il doit y avoir unicit´e de responsabilit´e.

Section 3.1. D´efinition du projet

59

La technique que nous venons de pr´esenter est appel´ee, pour une raison e´ vidente, d´emarche descendante (ou top-down). On peut imaginer la d´emarche inverse d’agr´egations successives qui est qualifi´ee de d´emarche ascendante (ou bottomup). Cette d´emarche est illustr´ee par le second organigramme (voir figure 3.2) o`u l’on est parti des mˆemes tˆaches de niveau 3 mais o`u les regroupements de niveau 2 et de niveau 1 sont diff´erents.

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Tâche 2‘

Tâche 1‘

Tâche1.1‘

Tâche1.1.1

Tâche 2.1‘

Tâche1.1.2

Tâche 2.3‘

Tâche 2.2‘

Tâche 2.1.1 Tâche 2.2.1 Tâche3.1.1

Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3

Tâche3.2.1

Tâche3.2.2

Tâche3.2.3

Figure 3.2: Organigramme technique : bottom-up. On peut imaginer que dans la premi`ere organisation (voir figure 3.1), on a privil´egi´e la dimension technique tandis que dans la deuxi`eme organisation (voir figure 3.2), on a privil´egi´e la dimension organisationnelle (par exemple, la tˆache 1’ correspond a` un sous-traitant, la tˆache 2’ au maˆıtre d’œuvre. Les tˆaches du projet, d´efinies pour un niveau donn´e, se caract´erisent par des relations d’ant´eriorit´e qui conduisent a` un graphe Potentiel-Tˆaches pour ce niveau. Il y aura donc autant de graphes que de niveaux retenus par l’organigramme technique. On illustre a` la figure 3.3 l’effet de zoom que l’on a en passant d’un niveau au niveau sup´erieur et montre que la transformation des relations d’ant´eriorit´e peut s’av´erer fort complexe en passant d’un niveau a` l’autre. Remarquez que si l’approche hi´erarchique (ou d´esagr´egative) des projets complexes est pr´econis´ee pour des raisons d’efficacit´e, du point de vue de l’ordonnancement il n’y a pas e´ quivalence entre les diff´erents niveau. En effet, on peut montrer que • si dans la d´efinition du projet consid´er´e comme un ensemble de sousprojets, on a une mauvaise d´efinition des recouvrements possibles, l’approche hi´erarchis´ee conduit a` un allongement de la dur´ee d’ex´ecution du projet. La difficult´e r´eside e´ videmment dans le fait qu’une bonne d´efinition des recouvrements possibles n´ecessite de repartir de la d´efinition d´etaill´ee (le niveau le plus bas que l’on cherche justement a` e´ viter).

60

Chapitre 3. Analyse du projet

Niveau 1

Niveau 2

Tâche 2

Tâche 1

Tâche1.1

Tâche 3

Tâche 3.1

Tâche 1.2

Tâche 3.2

Tâche 2.1 Tâche1.1.2

Tâche 2.1.1

Tâche3.1.1

Tâche3.2.1 Tâche3.2.3

Tâche1.2.2

Niveau 3 Tâche1.1.1

Tâche3.2.2

Tâche1.2.1 Tâche1.2.3

Figure 3.3: Trois graphes potentiels-tˆaches correspondant aux 3 niveaux. • l’approche hi´erarchique conduit a` rendre inutilement critiques certaines tˆaches. Pour e´ viter cet effet pervers, il faut e´ galement repartir de l’analyse du niveau de d´etail le plus fin.

3.1.2 Les phases du projet Les phases du projet correspondent a` des groupes homog`enes de tˆaches s’achevant par un jalon o`u la bonne fin d’un ensemble de tˆaches est attest´ee. Nous allons d´efinir les principales phases concernant : • les cas de fabrication d’un e´ quipement ou d’un ouvrage, • le cas de la fabrication en s´erie, Nous dirons ensuite un mot de l’ing´enierie concourante dont le but est de lutter contre les effets n´efastes de la division du projet en phases ainsi que des probl`emes sp´ecifiques li´es a` la gestion simultan´ee de plusieurs projets. Dans le cas de la fabrication d’un e´ quipement ou d’un ouvrage, on distingue g´en´eralement les phases suivantes : • L’avant-projet est une e´ tude sommaire de l’ouvrage envisag´e permettant d’en d´efinir les principales caract´eristiques. Son but est de pouvoir prendre la d´ecision de poursuivre ou abandonner le projet. • La seconde phase est la r´eponse a` l’appel d’offre consiste a` e´ laborer de mani`ere d´etaill´ee l’offre que l’entreprise va faire. Les moyens consacr´es a` cette phase sont limit´es vu les risques g´en´eralement importants de ne pas obtenir le contrat.

Section 3.1. D´efinition du projet

61

• En cas de succ`es, on passe alors a` la phase de lancement du projet o`u l’organisation est d´efinie. • On passe alors a` l’´etape suivi du projet afin de v´erifier que l’on respecte bien les objectifs de d´elai et de coˆut. • Enfin vient la phase de fin des travaux qui passe g´en´eralement par trois r´eceptions : – L’´etape d’acceptation m´ecanique constatant la fin des travaux a` l’exception de certaines finitions. On proc`ede alors a` la mise en route, phase durant laquelle on proc`ede aux essais des fluides (air, eau,...) qui pr´ec`ede l’´etape de d´eclaration de l’ouvrage en ordre de marche. – La r´eception provisoire est un acte l´egal mat´erialis´e par un proc`es verbal constatant de mani`ere contradictoire avec le client que l’ouvrage peut eˆ tre accept´e par le client car r´epondant aux obligations contractuelles du maˆıtre d’ouvrage. D´ebute alors le d´elai de garantie. – La r´eception d´efinitive a lieu au bout du d´elai de garantie et d´egage d´efinitivement la responsabilit´e du fournisseur. Dans le cas de la fabrication en s´erie, on distingue g´en´eralement les phases suivantes : • La construction d’un prototype qui est un produit techniquement identique au produit en s´erie mais r´ealis´e seulement en quelques exemplaires avec des ressources (machines, op´erateurs) diff´erentes de celles qui seront utilis´ees pour le produit en s´erie. L’objectif est de tester si les fonctionnalit´es du produit r´epondent bien a` l’utilisation envisag´ee. Ceci permet de rem´edier a` certaines imperfections du produit constat´ees a` cette e´ tape. • La pr´es´erie est un produit identique a` celui qui sera produit en s´erie, r´ealis´e en quelques unit´es mais cette fois-ci a` l’aide de ressources identiques a` celles qui seront utilis´ees en s´erie. Le but est cette fois-ci de tester le processus de production. Ce qui peut amener a` modifier le produit ou le processus de production si certains probl`emes de fabrication sont constat´es a` cette e´ tape. • Vient alors la phase d’industrialisation du produit qui consiste a` lancer la production en s´erie. • Elle est suivie par la phase production proprement dite qui consiste produire le produit a` un haut niveau.

62

Chapitre 3. Analyse du projet

3.1.3 Utilit´e de l’ing´enierie concourante Le but de l’ing´enierie concourante a pour but de lutter contre les effets nuisibles du d´ecoupage en phases du projet. En effet, le d´ecoupage en phases conduit a` associer a` chaque phase un ensemble de tˆaches n’appartenant qu’`a une seule phase. Ceci a pour effet de rendre autonomes les tˆaches appartenant a` diff´erentes phases et peut conduire a` : • des travaux additionnels li´es a` un manque de coordination technique, • des dur´ees d’ex´ecution inutilement longues. Pour rem´edier a` cela, on utilise les techniques d’ing´enierie concourante qui consiste a` une int´egration syst´ematique des activit´es de conception des produits et de conception de leurs gammes de fabrication et de maintenance durant leur dur´ee de vie. Ceci a pour effet, non seulement d’am´eliorer la qualit´e des produits mais aussi de diminuer leur d´elai et leur coˆut. Dans l’approche s´equentielle classique (voir figure 3.4), les phases d’analyse des besoins, de d´efinition du produit, de d´efinition du processus de fabrication et de fabrication du prototype se succ`edent. La solution optimale d’une phase devient une contrainte pour la phase suivante, ce qui conduit le plus souvent a` une solution globalement sous-optimale. Analyse des besoins

Définition du produit

Définition du processus de fabrication

Fabrication du prototype

Figure 3.4: Approche s´equentielle classique. Dans la r´ealit´e, on a tout int´erˆet a` accepter un recouvrement important de ces phases pour avoir une r´etroaction permanente de la phase aval pour discuter des r´epercutions sur la phase aval des d´ecisions prises par la phase amont. Ce processus s’appelle overlapping problem solving et est illustr´e par la figure 3.5.

3.1.4 Gestion simultan´ee de plusieurs projets Dans la pratique, souvent les entreprises ont a` g´erer simultan´ement plusieurs gros projets, par exemple, la construction simultan´ee de plusieurs navires dans un chantier naval. Le partage de certains e´ quipements techniques conduit a` une certaine interd´ependance des projets. Trois approches sont utiles dans la pratique pour r´esoudre les conflits ainsi g´en´er´es :

Section 3.2. D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations

63

Analyse des besoins Définition du produit Définition du processus de fabrication

Fabrication du prototype Figure 3.5: Overlapping problem solving. • La premi`ere approche consiste a` classer les projets et a` programmer chaque projet dans cet ordre en tenant compte des ressources r´esiduelles laiss´ees par les projets ant´erieurement programm´es. C’est ce qui se passe dans la plupart des entreprises. Lors de l’arriv´ee de nouveaux projets, on consid`ere que les ressources affect´ees aux projets d´ej`a en cours ne peuvent pas eˆ tre remises en cause. • La deuxi`eme approche consiste p´eriodiquement, lors de l’introduction d’un nouveau projet, a` proc´eder a` une r´eallocation des ressources entre les projets. On analysera ainsi l’int´erˆet de transf´erer des ressources d’un projet a` l’autre. • La troisi`eme approche consiste a` consid´erer le probl`eme d’ordonnancement comme un probl`eme global dont on cherche une solution tenant compte des contraintes cumulatives. Il faut cependant veiller a` ne pas remettre en cause sans cesse l’allocation des ressources car cette instabilit´e peut perturber le fonctionnement des projets.

3.2 D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations Afin de proc´eder a` l’ordonnancement vu au chapitre 2, il convient de donner une description pr´ecise de chaque tˆache et d’identifier les relations entre tˆaches.

64

Chapitre 3. Analyse du projet

3.2.1 Les relations entre tˆaches Nous avons vu au chapitre 2, que trois cat´egories de relation entre tˆaches peuvent eˆ tre rencontr´ees : 1. les contraintes d’ant´eriorit´e qui disent qu’une tˆache ne peut commencer avant la fin d’une autre. Ces contraintes sont cependant a` nuancer dans le cas d’un recouvrement partiel possible entre tˆaches, 2. les contraintes de localisation temporelle qui disent qu’une tˆache ne peut commencer avant une date donn´ee ou ne peut d´ebuter apr`es une date donn´ee. Ces contraintes se compliquent s’il s’agit d’interdire l’ex´ecution de la tˆache durant une p´eriode donn´ee, 3. les contraintes disjonctives qui disent que deux tˆaches ne peuvent eˆ tre ex´ecut´ees en mˆeme temps car faisant appel a` la mˆeme ressource, 4. les contraintes cumulatives qui tiennent compte du partage d’une ressource entre plusieurs tˆaches. Nous allons maintenant dire un mot des contraintes gˆenantes non prises en compte dans les logiciels : • La relation ”ou”. Jusqu’`a pr´esent, dans le cas de plusieurs ancˆetres (par exemple A et B sont ancˆetres de C), nous avons indiqu´e qu’il fallait que tous les ancˆetres soient finis avant de d´ebuter la tˆache suivante (C ne peut commencer que si A et B sont finies). Il arrive parfois qu’il suffise que A ou B soit termin´ee pour commencer C (si par exemple, C est une tˆache de contrˆole qui peut commencer d`es qu’une des deux tˆaches est finie). La solution simple a` appliquer dans ce cas est de dire que le descendant peut commencer au plus tˆot apr`es la date maximum des deux suivantes : – la date la plus tardive des dates de fin au plus tˆot des ancˆetres avec lesquels le descendant est li´e par une relation et (comme avant); – la date la plus pr´ecoce de fin au plus tˆot des ancˆetres avec lesquels le descendant est li´e par une relation ou. Le probl`eme se complique fortement si l’on passe d’une contrainte du type ach`evement pr´ealable d’un ancˆetre a` ach`evement pr´ealable de k ancˆetres parmi une liste de n ancˆetres avec bien sˆur k < n. Il est a` remarquer que la prise en compte de relations du type ou n’´etant pas prise en compte par les logiciels d’ordonnancement, cela oblige a` certaines acrobaties : il faut faire appel a` un recouvrement correctement calcul´e pour les tˆaches a` neutraliser.

Section 3.2. D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations

65

• Le probl`eme des gammes alternatives est celui qui r´esulte du choix possibles entre deux m´ethodes de production, ce qui conduit a` faire un ou exclusif non pas entre deux tˆaches mais entre deux groupes de tˆaches, ce qui conduit a` consid´erer deux chemins alternatifs dans le graphe comme le montre la figure 3.6 o`u l’on a le choix pour passer de l’activit´e A a` l’activit´e B

D F

A C

E

Figure 3.6: Gammes alternatives. F a` passer par les activit´es B et D, soit par les activit´es C et E, le choix final s’effectuant sur base de la minimisation de la dur´ee du projet. A nouveau les logiciels ne permettent pas de tenir compte d’une telle contrainte et il convient de construire deux graphes reprenant s´epar´ement les deux alternatives en conservant celle de temps minimum. • Les contraintes de temporisation maximale entre deux tˆaches indiquent que la tˆache qui suit ne peut commencer apr`es un certain temps maximum apr`es la fin de l’ancˆetre. C’est le cas, par exemple, si on doit lisser une dalle de b´eton avant qu’elle ne soit compl`etement s`eche. Ce type de contrainte, facile a` int´egrer dans le calcul de l’ordonnancement au plus tˆot ou au plus tard, n’est e´ galement pas pris en compte dans les logiciels. Terminons en disant un mot des formulations alternatives des contraintes de recouvrement. Le chevauchement ou recouvrement entre deux tˆaches i et j telles que i est l’ancˆetre de j consiste a` pouvoir d´ebuter j avant que i ne soit achev´ee. Ce cas se rencontre lorsque l’analyse plus fine de la tˆache i conduit a` un des des cas de figures suivants : • La tˆache i est compos´ee de tˆaches e´ l´ementaires diff´erentes, les derni`eres n’´etant pas requises pour que j puisse d´ebuter. • La tˆache i et la tˆache j sont compos´ees de tˆaches e´ l´ementaires ex´ecut´ees a` la suite les unes des autres qui ont e´ t´e regroup´ees en deux tˆaches dans la logique de proc´eder par lot. La relation d’ant´eriorit´e n’a vraiment de sens qu’entre une tˆache e´ l´ementaire de i et une tˆache e´ l´ementaire de j et, bien sˆur, le regroupement en deux lots a` pour effet d’augmenter artificiellement le temps du projet.

66

Chapitre 3. Analyse du projet

Vincent GIARD [2] remarque qu’il existe quatre possibilit´es de d´efinir une relation d’ant´eriorit´e entre deux tˆaches et donc autant de fa¸con de d´efinir le recouvrement. Nous reprenons ci-dessous uniquement la relation initiale qui est une relation entre le d´ebut de l’ancˆetre et le d´ebut du descendant. Ce cas est illustr´e a` la figure 3.7 o`u la tˆache i de dur´ee 7 jours pr´ec`ede la tˆache j de dur´ee 5 jours. Il y a un recouvrement possible de 3 jours. Le param`etre d donne le d´ecalage positif 0

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

temps

i d = +4 j Figure 3.7: Recouvrement : un exemple entre la date de d´ebut de l’ancˆetre et celle de d´ebut du successeur : ti + 4 ≤ tj

Ce param`etre se calcule comme la dur´ee de la tˆache pr´ealable moins la dur´ee du recouvrement possible. Methode Potentiel :

i2, 3

di = 7 i

4

Methode PERT :

i1, 4 j

dj = 5

j, 5

Figure 3.8: Recouvrement : mise en œuvre Pratiquement, on peut utiliser une des deux m´ethodes suivantes pour tenir compte d’un recouvrement : • Cas de la m´ethode Potentiel. Soit, on indique la relation d´ebut-d´ebut rappel´ee ci-dessous : ti + 4 ≤ tj

Dans ce cas, il ne faut pas oublier de terminer la tˆache i avant la fin du projet.

• Cas de la m´ethode PERT. Soit on d´ecoupe la tˆache pr´ealable i en deux sous-tˆaches i1 et i2 . La premi`ere correspondra a` la partie non commune des deux tˆaches, soit 7 - 3 = 4 jours, tandis que la seconde correspondra a` la partie commune des deux tˆaches soit 3 jours. On indiquera les relations d’ant´eriorit´e : i1 avant i2 et avant j.

Section 3.2. D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations

67

3.2.2 Les caract´eristiques de la tˆache Chaque tˆache est identifi´ee par le rˆole qu’elle a a` jouer dans la bonne fin du projet, par un d´ebut et une fin bien identifi´ee, et par le fait qu’elle consomme des ressources disponibles en quantit´e limit´ee. Disons un mot des hypoth`eses restrictives du mod`ele classique. • Dans le mod`ele classique d’ordonnancement au chapitre 2, on suppose que la dur´ee de la tˆache, d´efinie comme l’intervalle de temps s´eparant son d´ebut d’ex´ecution de sa fin d’ex´ecution, comme invariante. Nous avons d´ej`a indiqu´e plus haut que cette hypoth`ese n’est pas toujours v´erifi´ee. Si le temps total de r´ealisation du projet est trop long, on peut raccourcir la dur´ee de certaines tˆaches critiques, moyennant un surcout. ˆ Le nouveau probl`eme pos´e est de trouver la combinaison d’actions a` entreprendre pour atteindre au moindre coˆut, la diminution voulue de la dur´ee du projet. • Dans le mod`ele classique, la dur´ee d’une tˆache et le niveau d’utilisation des ressources sont constants. Ce interdit donc de consid´erer les cas suivants : – le cas de la c´esure d’une tˆache, c’est-`a-dire le fait de pouvoir interrompre et reprendre plus tard l’ex´ecution d’une tˆache, – le cas de l’´etirement d’une tˆache, c’est-`a-dire le fait de pouvoir allonger la dur´ee d’une tˆache. En effet, dans la plupart des cas, ce qui est important pour ex´ecuter une tˆache ce n’est pas sa dur´ee mais c’est le travail a` ex´ecuter. La dur´ee d´ependra alors de la quantit´e de ressource mise en œuvre (ainsi une tˆache demandant 15 journ´ees de travail pourra eˆ tre ex´ecut´ee en 15 jours avec un ouvrier ou en 5 jours avec trois ouvriers). – l’utilisation des ressources est constante dans le mod`ele classique ce qui exclut, par exemple, d’utiliser un ouvrier durant cinq jours puis deux ouvriers durant les cinq jours suivants. • Enfin, dans le mod`ele classique, on consid`ere que la dur´ee des tˆaches est certaine. Le rejet de cette hypoth`ese conduit a` remplacer la dur´ee certaine des tˆaches par une dur´ee al´eatoire des tˆaches. Nous reviendrons a` ce probl`eme dans le chapitre 5 consacr´e a` la gestion du risque.

68

Chapitre 3. Analyse du projet

3.3 Le cout ˆ du projet Tout projet g´en`ere des d´epenses ainsi que, pour certains d’entre eux, des recettes. Pour des projets internes comme le lancement d’un nouveau produit, il importe de faire l’analyse de ces flux de tr´esorerie sur une p´eriode assez longue, de pr´ef´erence sur une p´eriode allant de la conception du produit a` son retrait du march´e. Ceci va nous amener a` consid´erer la dur´ee de vie des produits.

3.3.1 Analyse des couts ˆ sur la dur´ee de vie d’un produit En marketing, on consid`ere classiquement une courbe de cycle de vie d’un produit comme une courbe donnant en fonction du temps l’´evolution des ventes du produit. On distingue g´en´eralement quatre phases : • le lancement du produit • la phase de croissance rapide, • la maturit´e du produit, • le d´eclin du produit. Nous allons maintenant voir les cons´equences financi`eres de la notion de cycle de vie du produit. Les couts ˆ du cycle de vie d’un produit correspondent a` l’ensemble des charges que devra supporter l’entreprise sur la dur´ee de vie du produit : • les coˆuts de recherche et d´eveloppement li´es au d´eveloppement du nouveau produit, • les coˆuts d’acquisition de ressources de production telle que l’achat des machines, la formation du personnel,. . . etc • les coˆuts de production li´es a` la fabrication du produit • les coˆuts du service apr`es-vente comme la gestion du stock de pi`eces d´etach´es, l’assistance, la documentation technique,. . . • les coˆuts de retrait du produit comme la purge des stocks. Il y aura un arbitrage a` faire entre ces diff´erents couts. ˆ En effet, une diminution des coˆuts de recherche et d´eveloppement peut se traduire, par exemple, par un accroissement des coˆuts de production ou des coˆuts d’apr`es-vente.

Section 3.3. Le coˆ ut du projet

69

Il est important de faire la distinction entre les couts ˆ engag´es et les couts ˆ d´ecaiss´es. Comme l’illustre la figure 3.9, avant mˆeme la phase de production plus de 80 % des coˆuts du cycle de vie sont engag´es contre seulement 20 % des coˆuts d´ecaiss´es. C’est donc essentiellement au cours de la phase de recherche et d´eveloppement que des gains substantiels de coˆuts peuvent eˆ tre d´egag´es. Cumul des coûts engagés 100 % Cumul des coûts décaissés

Recherche et Industrialisation Production développement

temps

Figure 3.9: Cycle des coˆuts engag´es et d´ecaiss´es. Il convient donc de passer d’une logique purement comptable de contrˆole des coˆuts d´ecaiss´es a` une logique de conception a` cout ˆ objectif, c’est a` dire a` demander aux ing´enieurs des bureaux d’´etude de d´efinir des produits et des processus de fabrication sur base non seulement des sp´ecifications fonctionnelles du produit mais aussi en ayant en vue les futurs coˆuts de production du produit. Comme on peut le remarquer a` la figure 3.10, les flux nets de tr´esorerie seront n´egatifs durant la phase de d´eveloppement et d’industrialisation du produit pour devenir largement positifs lors de la phase de production. C’est le d´ecalage classique entre le coˆut d’investissement les b´en´efices futurs attendus de l’investissement. flux de trésorerie

Recherche Industrialisation Développement

Production

temps

Figure 3.10: Flux nets de tr´esorerie

70

Chapitre 3. Analyse du projet

3.4 Analyse e´ conomique du projet Le dossier d’investissement s’accompagne d’une e´ tude e´ conomique chiffr´ee d´ecrivant les cons´equences e´ conomiques du projet sous la forme d’un e´ ch´eancier des valeurs allant jusqu’`a la fin de l’horizon e´ conomique retenu. Cette e´ tude est souvent qualifi´ee de bilan e´ conomique. La comparaison de plusieurs projets d’investissement conduit a` consid´erer un indicateur synth´etique. A cet e´ gard, il est important d’introduire un facteur d’actualisation pour ramener a` une mˆeme p´eriode (g´en´eralement la p´eriode initiale) l’ensembles des flux de tr´esorerie : on d´efinit ainsi la VAN pour valeur actualis´ee nette.

3.4.1 L’appel a` l’actualisation Chacun des encaissements (correspondant a` des flux de tr´esorerie positifs) ou des d´ecaissements (correspondant a` des flux de tr´esorerie n´egatifs) sont dat´es. L’actualisation permet de ramener toutes ces valeurs a` une mˆeme date afin de pouvoir les comparer. On peut plus facilement expliquer le principe de l’actualisation en consid´erant l’op´eration sym´etrique, a` savoir la capitalisation. Lorsque la dur´ee d’un placement exc`ede un an, il est d’usage que l’int´erˆet soit pay´e p´eriodiquement (g´en´eralement, une fois l’an) et non en une seule fois. On peut alors replacer les int´erˆets durant la dur´ee restante du prˆet. Illustrons les choses par l’exemple d’une somme initiale x0 = 1.000 plac´ee a` un taux d’int´erˆet de 5 % l’an. Apr`es un an, la somme, capital et int´erˆets s’´el`eve a` : x1 = 1.000 + 0, 05 × 1.000 = 1.050 Apr`es deux ans, la somme s’´el`eve, capital et int´erˆets compris a` : x2 = 1.050 × (1 + 0, 05) = (1 + 0, 05) × (1 + 0, 05) × 1.000 En g´en´eral, si les int´erˆets sont vers´es annuellement, une somme initiale de x0 plac´ee durant un an a` un taux d’int´erˆet i rapporte ix0 . La somme disponible au bout d’un an est donc : x1 = x0 + ix0 = (1 + i)x0

Section 3.4. Analyse ´economique du projet

71

Au bout de la deuxi`eme ann´ee, la somme capitalis´ee avec les int´erˆets de la deuxi`eme ann´ee est de : x2 = x1 + ix1 = (1 + i)x1 = (1 + i)2 x0 En utilisant le mˆeme raisonnement, il est facile d’´etablir la relation entre la somme initiale x0 et la somme capitalis´ee au bout de t ann´ees : xt = x0 (1 + i)t

(3.1)

Lorsque les int´erˆets sont aussitˆot et int´egralement replac´es, on parle de placement a` int´erˆets compos´es. On appelle la valeur future xt la valeur acquise. L’op´eration qui consiste a` calculer xt a` partir du capital initial x0 s’appelle la capitalisation, tandis que le coefficient (1 + i)t est appel´e coefficient de capitalisation. Il est a` remarquer que si l’on dispose de la somme initiale, de la somme capitalis´ee et du nombre de p´eriodes, on peut calculer l’int´erˆet par p´eriode en r´esolvant (3.1) par rapport a` i. On obtient : µ

xn i= x0

∂1

n

−1

(3.2)

A titre d’illustration, la capitalisation d’un investissement de 100 au bout de 2 ans au taux annuel de 10 % rapporte : 10 × 1, 12 = 121 Sym´etriquement, si l’on connaˆıt la valeur future xt et que l’on veut d´eterminer a` quel capital initial elle correspond, on parle alors d’actualisation. Et donc l’actualisation de xt donne le capital au temps t = 0 de : xt x0 = (3.3) (1 + i)t Le coefficient (1 + i)−t qui, multipli´e a` la valeur future xt , permet de retrouver la valeur actuelle x0 est appel´e coefficient d’actualisation. On remarquera que le coefficient d’actualisation est exactement l’inverse du coefficient de capitalisation. Remarquez que, en actualisation, on ne parle pas de taux d’int´erˆet i mais plutˆot de taux d’actualisation α. La figure 3.11 pr´esente l’actualisation d’une somme future de 121 au bout de 2 ans au taux d’actualisation 10 % l’an. On dispose donc de x2 = 121 et on cherche x0 . On suppose donc un taux de 10 % l’an. On peut calculer successivement : 121 = 110 1, 1 x1 110 = = = 100 1, 1 1, 1

x1 = x0

72

Chapitre 3. Analyse du projet 121 logique d’actualisation

0

1

2

temps

i = 10 % -100 = -121/(1,1)-2

Figure 3.11: Logique d’actualisation On peut encore remarquer que : x1 x2 1 = × 1, 1 1, 1 1, 1 x2 = 1, 12

x0 =

justifiant la formule (3.3) ci-dessus.

3.4.2 Un exemple de choix de capacit´e Nous allons illustrer l’utilit´e de la VAN sur un exemple de choix d’une capacit´e sur l’exemple tir´e de Mac Clain [5] d’une boulangerie industrielle qui fournit les supermarch´es de sa r´egion et qui s’attend a` une croissance de la demande. Les donn´ees num´eriques sont les suivantes : 1. Mod´elisation de la demande : il y a incertitude sur la demande future du produit. Si le succ`es du produit est important, une capacit´e suppl´ementaire de 5 000 unit´es par semaine sera n´ecessaire pour un profit de 40 000 $ par semaine hors frais d’amortissement du capital. Si le succ`es du produit est mitig´e, une capacit´e de 2 000 unit´es par semaine sera suffisante et la compagnie fera un profit de 16 000 $ par semaine. La demande est connue au bout d’un an. On suppose que les b´en´efices sont comptabilis´es en fin d’ann´ee. Une ann´ee comporte 52 semaines d’ouverture du magasin.

Section 3.4. Analyse ´economique du projet

73

2. Donn´ees de coˆut d’investissement. Une capacit´e de 2 000 unit´es par semaine peut eˆ tre construite pour 800 000 $. Une capacit´e de 5 000 unit´es par semaine peut eˆ tre construite pour 1,5 millions de $. Une capacit´e de 2 000 peut eˆ tre e´ tendue a` une capacit´e de 5 000 pour 1 million de $. Les surcapacit´es sont sans valeur. 3. La dur´ee de vie des e´ quipements est de 20 ans. 4. Le facteur d’actualisation, n´ecessaire car les profits sont r´epartis dans le futur, est de 25 % l’an. 5. La probabilit´e de succ`es du lancement du produit est estim´ee a` 20 % sur base d’exp´eriences d’introduction d’autres produits. Les diff´erents choix possibles peuvent eˆ tre utilement illustr´es sur un arbre de d´ecision tel que celui de la figure 3.12. Un carr´e repr´esente une d´ecision. Un haute demande

00

faible demande

0 e5

ns co

ir tru

rester à 2000

construire 2000 ne

rie n

ute e ha and m de

+3000

faible demande

con

stru

Investiss. Profit. 1,500,000 40,000

1,500,000 16,000 800,000 16,000 800,000 16,000 +1,000,000 +24,000 800,000 16,000

ire

0

0

Figure 3.12: Arbre de d´ecision cercle repr´esente un e´ tat du monde. D´efinition 3.1 On appelle valeur nette pr´esente, la somme actualis´ee des profits futurs moins l’investissement initial. Consid´erons la construction initiale de 5 000 en cas de demande forte. Ce cas est illustr´e a` la figure 3.13. La VAN se calcule donc comme suit :

74

Chapitre 3. Analyse du projet F Nt

40.000 × 52 0 1

2

3

20 t

.. .

-1.500.000

Figure 3.13: Construction de 5 000 en cas de demande forte. V AN =

20 X

40 000 × 52 − 1 500 000 1, 25t t=1

= 40 000 × 52 ×

20 X t=1

√

1 1, 25

!t

− 1 500 000

On peut d´emonter la formule suivante pour le calcul d’annuit´es : n µ X t=1

1 1+i

∂t

"

1 − (1 + i)−n = i

#

(3.4)

Appliquons ceci a` notre exemple : 20 X t=1

√

1 1, 25

!t

"

#

1 − (1, 25)−20 = = 3, 953883 0, 25

D’o`u la valeur nette au bout d’un an de : V AN = 40 000 × 52 × 3, 953883 − 1 500 000 = 6 724 077. Consid´erons maintenant la construction initiale de 5 000 en cas de demande faible. La VAN se calcule comme suit : V AN = (16 000 × 52) ×

20 X t=1

√

1 1, 25

!t

− 1 500 000 = 1 789 631.

Consid´erons maintenant la construction de 2000 en cas de demande haute et sans investissement suppl´ementaire. La VAN se calcule comme suit : V AN = (16 000 × 52) ×

20 X t=1

√

1 1, 25

!t

− 800 000 = 2 489 631.

Section 3.4. Analyse ´economique du projet

75

Consid´erons la construction initiale de 2 000 augment´ee de 3 000, en cas de demande forte. L’investissement initial de 2 000 rapporte 16 000 $ durant 20 ans et l’investissement de d´ebut de 2`eme ann´ee rapporte un suppl´ement de profit de 24 000 durant 19 ans. Ce cas est illustr´e a` la figure 3.14. La VAN au temps 1 de F Nt

40.000 × 52 16.000 × 52 0

1

2

3

20 t

.. .

-800.000 -1.000.000

Figure 3.14: Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. l’investissement suppl´ementaire se calcule comme suit : V AN1 = (24 000 × 52) ×

19 X t=1

√

1 1, 25

!t

− 1 000 000.

Appliquons la formule (3.4) a` la somme des facteurs d’actualisation : 19 X t=1

√

1 1, 25

!t

"

#

1 − (1, 25)−19 = = 3, 942 0, 25

On obtient donc une valeur nette au bout d’un an de l’investissement suppl´ementaire : V AN1 = 24 000 × 52 × 3, 942 − 1 000 000 = 3 920 058. On en conclut que l’on a int´erˆet a` faire l’investissement puisque la Valeur Actualis´ee Nette est positive : on aura un return positif de l’investissement. Pour obtenir la VAN de ce cas, il faut ajouter la VAN de l’investissement initial de 2 000 qui rapporte 16 000 durant 20 ans : V AN0

√

20 X 1 1 = 3 920 058 + (16 000 × 52) × 1, 25 t=1 1, 25 1 = 3 920 058 + 2 489 631 = 5 625 677. 1, 25

!t

− 800 000

76

Chapitre 3. Analyse du projet

Enfin, le cas d’une demande faible avec un investissement initial de 2 000 est identique au cas de la construction intiale de 2 000 et d’une demande forte lorsque l’on reste a` 2 000. Il a d´ej`a e´ t´e calcul´e plus haut. Les r´esultats dans les diff´erents cas sont r´esum´es au tableau 3.1. On peut alors D´ecision

demande

VAN

construire 5 000

forte

6 724 077

construire 5 000

faible

1 789 631

construire 2 000 + 3 000

forte

5 625 677

construire 2 000

faible

2 489 631

construire 0

forte

0

construire 0

faible

0

Tableau 3.1: Calcul de la VAN calculer les profits esp´er´es dans chacun des trois cas : • Construire 5 000 : E(V AN) = 0, 2 × 6 724 077 + 0, 8 × 1 789 631 = 2 776 520 $. • Construire 2 000 : E(V AN) = 0, 2 × 5 625 677 + 0, 8 × 2 489 631 = 3 116 840 $. • Ne rien construire :

E(V AN) = 0

En conclusion, il vaut mieux construire une petite capacit´e et e´ tendre apr`es un an si n´ecessaire. Remarquons que le r´esultat d´epend crucialement de la probabilit´e de succ`es du produit (voir exercice ci-dessous).

Section 3.5. Exercices

77

3.5 Exercices 3.1. Lancement d’un nouveau produit. Une soci´et´e met a` l’´etude le lancement d’un nouveau produit. Ce lancement n´ecessite la r´ealisation de 10 tˆaches rep´er´ees par les lettres A a` J, et dont les caract´eristiques sont donn´ees a` la table 3.2. tˆache dur´ee ancˆetre(s) observations A 7 C,F Recouvrement possible avec C de 3 semaines B 3 D,H,G C 6 J Ne peut commencer avant le d´ebut de la 14`eme semaine. D 3 E 2 D F 5 J et I G 4 H 5 I 7 G et H J 4 E et B Tableau 3.2: Lancement d’un nouveau produit ´ (a) Etablir le graphique de la m´ethode du potentiel. (b) V´erifier sur le graphique que le probl`eme est soluble (expliquer succinctement pourquoi). (c) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot, au plus tard, les marges. (d) Donner tous les chemins critiques. tˆache coˆut C 10.000 EURO F 15.000 EURO B 5.000 EURO I 6.000 EURO Tableau 3.3: R´eduction possible de la dur´ee (e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la dur´ee d’ex´ecution du projet d’une semaine. Les tˆaches sur lesquelles il est possible d’agir ainsi que le coˆut correspondant a` leur diminution de dur´ee d’une semaine sont donn´es a` la table 3.3. Que sugg´erez-vous ?

78

Chapitre 3. Analyse du projet

3.2. Planification d’un projet de t´el´ecommunications. La soci´et´e PTV veut moderniser son r´eseau de t´el´edistribution de chaˆınes priv´ees. Le projet s’articule selon les activit´es cit´ees au tableau ci-dessous. Activit´e A B C D E F G

Description

Dur´ee Ant´ec´edents (mois) Etude de march´e 5 D´eveloppement du mat´eriel 6 A D´eveloppement des logiciels 5 (*) Accr´editation du mat´eriel 3 B Mise en œuvre du nouveau r´eseau 10 C,D Arrˆet de l’ancien r´eseau 2 (**) Fin du support client`ele 1 E, F

(*) : le d´eveloppement des logiciels (C) peut commencer 3 mois apr`es le d´ebut du d´eveloppement du mat´eriel. (**) : L’arrˆet de l’ancien r´eseau peut avoir lieu 6 mois apr`es le d´emarrage de la mise en œuvre du nouveau r´eseau. (a) Dessinez le graphique de la m´ethode PERT. (b) Quelle est la dur´ee minimale du projet ? (c) Quelles sont les activit´es critiques ? (d) Quel est le retard d’ex´ecution que chaque activit´e peut prendre sans allonger la dur´ee minimale du projet ? (e) L’administrateur d´esire r´eduire la dur´ee du projet de 2 mois au moindre coˆut. Les tˆaches suivantes peuvent eˆ tre r´eduites de 2 mois au maximum, sachant que le coˆut de r´eduction d’un mois est respectivement pour A : 350 euro ; C : 200 euro ; D : 100 euro ; F : 100 euro ; G : 400 euro. Que proposez-vous et quel est le coˆut de votre solution ? 3.3. Capitalisation a` int´erˆet compos´e. On place une somme initialement disponible de 20.000 euro a` un taux annuel de 9 % pour une p´eriode de 12 ans. Les int´erˆets sont r´einvestis dans le capital. (a) Calculer le capital disponible au bout de 12 ann´ees. (b) Repr´esenter graphiquement l’op´eration de capitalisation. (c) Si l’on verse les int´erˆets mensuellement, quel devrait eˆ tre le taux mensuel pour obtenir 9 % au bout d’un an ?

Section 3.5. Exercices

79

3.4. Calcul des Flux Nets de Tr´esorerie Actualis´es. Calculer la VAN d’un investissement dont l’´ech´eancier est le suivant : -2.000 (investissement, et donc d´ecaissement) r´ealis´e a` la date 0, et de +1.000 de flux net de tr´esorerie (=b´en´efice apr`es impˆot + amortissement) disponible a` la fin de l’ann´ee 1, +900 a` la fin de l’ann´ee 2, et +1.200 a` la fin de l’ann´ee 3, le taux d’actualisation e´ tant de 5 %. 3.5. Choix d’une capacit´e. Pour les donn´ees d’investissement de la section 3.4.2 mais avec une probabilit´e de succ`es du produit de 50 %, (a) recalculer les esp´erances de valeurs actualis´ees nettes des deux investissements possibles; (b) expliquer pourquoi la d´ecision optimale change; (c) d´eterminer la probabilit´e pour laquelle la d´ecision optimale change. 3.6. Ouverture d’un restaurant. Un ind´ependant envisage d’ouvrir un restaurant dans le centre de Bruxelles. Il doit d´ecider s’il ouvre un restaurant • de 250 personnes (coˆut de l’investissement : 500 milliers d’euro),

• de 500 personnes (coˆut de l’investissement : 1000 milliers d’euro), En cas de succ`es (demande forte) le restaurant de 500 couverts est pleinement utilis´e et rapporte un b´en´efice annuel de 200 (milliers d’euro). En cas de demande faible, une capacit´e de 250 couverts est suffisante et rapporte un b´en´efice annuel de 100 (milliers d’euro). Le succ`es est connu au bout de la premi`ere ann´ee. Les b´en´efices annuels sont comptabilis´es en fin d’ann´ee. • Au bout d’un an, si l’installation initiale comporte 500 couverts, l’ind´ependant peut r´eduire la capacit´e en revendant une partie des installations pour 200 milliers d’euro. • Au bout d’un an, si l’installation initiale comporte 250 couverts, l’ind´ependant peut agrandir son restaurant a` 500 couverts avec un coˆut additionnel de 700 milliers d’euro. L’ind´ependant compte exploiter le restaurant pendant 20 ans. On n´eglige la valeur des installations au bout de 20 ans. Le facteur d’actualisation est de 10% l’an. (a) On demande de dessiner l’arbre de d´ecision relatif a` ce probl`eme. (b) On demande de calculer la VAN dans chaque cas possible. (c) Sachant que la probabilit´e de succ`es (demande forte) a e´ t´e estim´ee a` 55% sur base d’une e´ tude marketing, on demande de calculer

80

Chapitre 3. Analyse du projet • la VPN esp´er´ee si la premi`ere d´ecision consiste a` ouvrir un restaurant de 500 couverts • la VPN esp´er´ee si la premi`ere d´ecision consiste a` ouvrir un restaurant de 250 couverts ´ (d) Etant donn´e les r´esultats ci-dessus, quelle d´ecision initiale d’investissement prendra l’investisseur ?

3.7. Calcul des flux nets de tr´esorerie actualis´es. Une entreprise sp´ecialis´ee en m´ecanique e´ tudie les cons´equences e´ conomiques du lancement d’un nouveau produit en mars 2006 dont le cycle de vie est pr´evu sur quatre ann´ees (2006 a` 2009). Afin de produire le nouvel article, des e´ tudes et des investissements sont r´ealis´es en 2005. Ils sont budg´etis´e au 31/12/2005 pour un montant de 5.500.00 euro. Le coˆut unitaire de fabrication est de 300 euro. On pr´evoit une d´ecroissance de ce coˆut par rapport a` l’ann´ee pr´ec´edente telle que donn´ee en premi`ere ligne du tableau 3.4. Le march´e est suppos´e Ann´ee

2006 2007 2008 2009

Coefficient de d´ecroissance du coˆut

1

0,9

0,85

0,85

Coefficient d’´evolution du march´e

1

1,25

0,70

0,50

´ Evolution du prix de vente

500

500

450

400

Tableau 3.4: Donn´ees du probl`eme. croˆıtre puis d´ecroˆıtre. Le tableau 3.4 donne en deuxi`eme ligne le coefficient de variation du march´e par rapport a` l’ann´ee pr´ec´edente en ann´ee pleine. En ann´ee pleine, le march´e est de 10.000 articles en 2006. Le tableau 3.4 donne en troisi`eme ligne l’´evolution du prix unitaire de vente qui est suppos´e baisser d’ann´ee en ann´ee. (a) Calculer, ann´ee par ann´ee, les coˆuts unitaires, les marges unitaires et le march´e (sur base annuelle). (b) Calculer, ann´ee par ann´ee, les flux nets de tr´esorerie en tenant compte du fait que le produit n’est introduit sur le march´e que le 1er mars 2006 (pour simplifier, on consid`ere que les ventes se r´epartissent uniform´ement sur les 12 mois de l’ann´ee). (c) Sur base d’un facteur d’actualisation de 5 % l’an, calculer la somme des flux nets actualis´es. (d) Si on retarde de 3 mois la commercialisation du produit, quelle est la cons´equence sur la somme des FNTA ?

Section 3.5. Exercices

81

3.8. Agrandissement d’une clinique. Une clinique priv´ee, devant le manque de lits disponibles et l’´etroitesse de son terrain actuel a d´ecid´e de construire une nouvelle implantation. Le projet de construction de la nouvelle infrastructure est g´er´e par projet. La direction a identifi´e 11 e´ tapes pour mener a` bien le projet. Elle sont reprises au tableau ci-dessous avec une estimation de leurs dur´ees et de leurs pr´ealables. Code Tˆache A B C D E F G H I J K

Dur´ee Pr´ealables (semaines) S´election du personnel m´edical et administratif 12 S´election du nouveau site 9 S´election des nouveaux e´ quipements 10 A ´ Etablissement des plans finaux 10 B Acheminement sur site des e´ quipements 24 B Interview du personnel pour son affectation 10 A Achat des nouveaux e´ quipements 35 C Construction du nouveau bˆatiment 40 D D´eveloppement du syst`eme informatique 15 A Installation des e´ quipements 4 E,G,H Entraˆınement du personnel 6 F,I,J

(a) Classer les tˆaches par niveaux. (b) Construire le graphe de la m´ethode potentielle correspondant. (c) D´eterminer le temps minimum pour r´ealiser le projet. (d) Calculer, pour chaque tˆache, la date de d´ebut au plus tˆot, la marge totale, la date de d´ebut au plus tard, la marge libre et la marge ind´ependante. (e) Donner le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probl`eme. (f) On veut d´eterminer la programmation des tˆaches qui minimise le cout ˆ total de r´ealisation du projet. Les coˆuts indirects du projet sont de 8.000 euro par semaine. En plus, une p´enalit´e de 20.000 euro par semaine est due si la nouvelle clinique n’est pas construite en 65 semaines. Les coˆuts directs de r´ealisation des tˆaches sont donn´es cidessous. On vous demande de calculer le coˆut de la r´eduction d’une semaine de la dur´ee de chacune des tˆaches. (g) En partant de la programmation d´etermin´ee ci-dessus, d´eterminer en r´eduisant progressivement la dur´ee du projet, la dur´ee des tˆaches qui permet de r´ealiser le projet a` cout ˆ minimum. Pour information, il faut proc´eder en quatre e´ tapes. A chaque e´ tape, justifiez le choix de la (des)

82

Chapitre 3. Analyse du projet activit´es dont on r´eduit la dur´ee et donnez le nombre de semaines de r´eduction de la dur´ee des tˆaches, le(s) nouveau(x) chemin(s) critique(s) ainsi que les r´eductions de dur´ee et de coˆut du projet. Code A B C D E F G H I J K Total

Temps Coˆut Temps Coˆut du R´eduction normal normal min tmin maximum 12 12.000 11 13.000 1 9 50.000 7 64.000 2 10 4.000 5 7.000 5 10 16.000 8 20.000 2 24 120.000 14 200.000 10 10 10.000 6 16.000 4 35 500.000 25 530.000 10 40 1.200.000 35 1.260.000 5 15 40.000 10 52.500 5 4 10.000 1 13.000 3 6 30.000 5 34.000 1 1.992.000 2.209.500

3.9. Choix d’investissement pour l’installation d’une caf´et´eria. La direction de l’entreprise, doit maintenant d´ecider de son plan d’investissement dans les e´ quipements de cuisine. Deux solutions s’offrent a` elle : Solution 1 : achat. L’entreprise peut acheter l’´equipement de cuisine pour un investissement initial de 45.000 euro. Ce coˆut comprend un contrat de maintenance pour l’ann´ee 1. A la fin de chaque ann´ee, on souscrit alors un contrat de maintenance d’un montant de 2.500 euro qui prolonge la garantie d’un an. Au bout des 5 ann´ees, l’´equipement est obsol`ete et sa valeur de revente est de 1.000 euro. Solution 2 : leasing. Dans le cas d’un leasing du mat´eriel sur cinq ann´ees, l’entreprise paie chaque ann´ee, en d´ebut d’ann´ee une somme de 12.000 euro. La soci´et´e de leasing r´ecup`ere son mat´eriel au bout des cinq ann´ees. (a) Calculer, pour chacune des deux solutions, les flux nets de tr´esorerie par ann´ee. (b) Sachant que le groupe utilise un taux d’actualisation de son capital de 10 % l’an, quelle solution conseillez-vous a` la soci´et´e ? Donnez le d´etail de vos calculs.

Chapitre 4 Le suivi du projet 4.1 Introduction Au chapitre 1, nous avions introduit les trois cat´egories possibles d’objectif en gestion de projets. En cours d’ex´ecution du projet, il convient de suivre chacun de ces objectifs. Il faut donc proc´eder au : • suivi des d´elais, • suivi budg´etaire, • suivi de la qualit´e. Nous allons nous concentrer dans ce chapitre sur les deux premiers points. Pour un bon suivi des projets, la collecte des informations est un e´ l´ement crucial. Leur collecte a` intervalles r´eguliers (d´ependant de la longueur du projet) permet de d´etecter des d´erives et d’entamer des actions correctrices. Deux e´ l´ements importants sont donc a` consid´erer : • la rapidit´e d’obtention de l’information, • la qualit´e de l’information obtenue. Une information trop tardive peut amener des actions correctrices plus coˆuteuses et une information erron´ee peut amener a` prendre de mauvaises d´ecisions.

4.2 Le suivi de la programmation Les logiciels commerciaux permettent tous un suivi d´etaill´e de l’ex´ecution des tˆaches. A cette fin, l’assistant du contrˆoleur de projet saisi de mani`ere informatique 83

84

Chapitre 4. Le suivi du projet

la date de d´ebut r´eel et la date de fin observ´ee de chaque tˆache. En cas d’´ecart par rapport au pr´evisionnel (retard ou avance dans le d´ebut ou la fin d’une tˆache), le logiciel recalcule automatiquement l’ordonnancement des tˆaches non ex´ecut´ees. Nous avions vu au chapitre 2, la mani`ere de pr´esenter les r´esultats de l’ordonnancement sous forme d’un diagramme de Gantt o`u chaque ligne horizontale correspond a` une tˆache. Le mˆeme graphique peut eˆ tre utilis´e pour le suivi du projet. Pour chaque tˆache on reprend dans sa ligne, le pr´evisionnel et le r´ealis´e en utilisant par exemple des couleurs diff´erentes (voir figure 4.1). Les diff´erences apparaissent alors facilement. 0

5

10

15

20

25

30

35 37

Tâche 1

Temps

Tâche 2 Tâche 3 Tâche 4 Tâche 5 Tâche 6 Tâche 7 Tâche 8 Tâche 9 Tâche 10 Tâche 11

τd = 0

t = 22

prévu

réalisé

τf,d = 35 τ f,22 = 37

Figure 4.1: Le suivi d’ex´ecution des tˆaches Si le suivi d´etaill´e des tˆaches permet de d´etecter les retards et de prendre les actions correctrices (par exemple, en augmentant les moyens consacr´es a` une tˆache), la masse d’informations empˆeche parfois un diagnostic global. La solution pour un contrˆole global de l’ex´ecution du projet est de sommer des donn´ees appartenant a` des tˆaches diff´erentes. A cet e´ gard, un bon indicateur est la valorisation des ressources consomm´ees par un ensemble de tˆaches que l’on comparera avec la valeur de r´ef´erence pour voir si globalement le projet a pris du retard ou non.

Section 4.3. Le suivi des coˆ uts

85

4.3 Le suivi des couts ˆ Le suivi des couts ˆ implique que lors de l’analyse du projet, on ait fait une e´ valuation des coˆuts des tˆaches. On peut alors sur base de la constatation des ressources consomm´ees et du coˆut unitaire de ces ressources, proc´eder a` l’´evaluation des couts ˆ encourus.

4.3.1 Les donn´ees de r´ef´erences Classiquement en contrˆole de gestion, on part des donn´ees de r´ef´erences pour analyser ce qui a e´ t´e ex´ecut´e. Ainsi, on d´efinit le budget initial comme celui d´efini a` la date de lancement du projet que nous noterons τd . On ajoute en g´en´eral aux charges initialement pr´evues pour l’ex´ecution des tˆaches, une provision pour faire face aux impr´evus. Il s’agit d’une assurance group´ee qui est plus efficace qu’un saupoudrage des moyens a` chacune des tˆaches (car g´en´eralement les reliquats ne sont pas restitu´es a` la fin d’ex´ecution d’une tˆache). D´efinition 4.1 On appelle budget a` date le budget initialement pr´evu du projet. En plus de ce budget initial, on d´efinit un e´ ch´eancier de la consommation de ce budget (voir figure 4.2). Comme une tˆache met un certain temps a` eˆ tre r´ealis´ee, il se pose le probl`eme de savoir comment r´epartir dans le temps la consommation de moyens financiers par la tˆache. On distingue trois solutions possibles : • la r´epartition uniforme du coˆut de la tache durant toute sa dur´ee d’ex´ecution, • la r´epartition de la d´epense durant son ex´ecution au prorata de la consommation des ressources (si la consommation des ressources n’est pas constante durant l’ex´ecution de la tˆache, cela donnera un r´esultat diff´erent), • l’imputation de la moiti´e du coˆut au d´ebut d’ex´ecution de la tˆache et du solde a` la fin. La derni`ere solution conduit e´ videmment a` une courbe plus heurt´ee.

4.3.2 Les donn´ees r´evis´ees a` date t Consid´erons maintenant une date ult´erieure t comprise entre les dates de d´ebut du projet et la date de fin pr´evue initialement du projet : τd ≤ t ≤ τf,d

86

Chapitre 4. Le suivi du projet

Coût prévisionnel réestimé en date t

Ecart sur budget Budget à date

Prévision de consommation de budget à date, définie à la date τd

t

τf,d

τf,t

Date initialement prévue de fin

Date de fin prévue en t

Date de début du projet

τd

Date courante

Retard final prévu en t

Figure 4.2: Le suivi des coˆuts

Section 4.3. Le suivi des coˆ uts

87

A cette date, un certain nombre d’´ev´enements se sont produits conduisant a` r´eviser officiellement certains objectifs de d´elai et de coˆuts. Ainsi, on va modifier : • la date finale du projet est r´evis´ee de τf,d , la date initialement pr´evue, en τf,t qui est maintenant l’objectif de d´elai consid´er´e comme r´ealiste (voir figure 4.2 o`u est indiqu´e le retard pr´evisionnel a` date t); • le coˆut pr´evisionnel r´eestim´e a` date t est g´en´eralement plus e´ lev´e que le budget a` date car tenant compte des nouveaux e´ l´ements apparus depuis la derni`ere r´evision du budget (voir figure 4.2 o`u est indiqu´e l’´ecart final pr´evisionnel a` date t sur le budget); • l’´ech´eancier des consommations pr´evisionnelles du budget est r´evis´e.

4.3.3 Les grandeurs a` comparer A la date t, un certain nombre de tˆaches ont e´ t´e effectu´ees en totalit´e ou partiellement. Ce qui se traduit par un cout ˆ encouru illustr´e a` la figure 4.3. D´efinition 4.2 Le cout ˆ encouru est d´efinit comme le coˆut r´eel du travail effectu´e ou CRTE a` la date t. Si l’on avait travaill´e en conformit´e avec le budget a` date, les travaux qui auraient dˆu eˆ tre r´ealis´es a` la date t auraient d´epens´e le budget encouru. D´efinition 4.3 On appelle budget encouru a` la date t le coˆut budg´et´e du travail pr´evu pour cette date ou encore CBTP. La diff´erence entre le budget encouru (ce qui est pr´evu) et le cout ˆ encouru (le coˆut r´ealis´e) a une double origine : • un effet quantit´e dˆu aux e´ carts de planning : le travail effectu´e est en avance ou en retard par rapport aux pr´evisions; • un effet prix : la valeur des facteurs consomm´es est diff´erente de la valeur pr´evue a` cause : – d’une diff´erence de quantit´e de facteurs utilis´es (am´elioration ou plus g´en´eralement d´egradation de la productivit´e); – d’une diff´erence de prix unitaires (prix unitaires sup´erieurs ou inf´erieurs a` ceux des pr´evisions).

88

Chapitre 4. Le suivi du projet

Pour mettre en e´ vidence les diff´erents effets, l’id´ee est de comparer ce qui est pr´evu (budget encouru) et ce qui est r´ealis´e (coˆut encouru) a` une troisi`eme grandeur la valeur th´eorique des travaux ex´ecut´es qui doit eˆ tre : • comparable au coˆut encouru, parce qu’adoptant la mˆeme hypoth`ese d’avancement de planning (mˆemes tˆaches achev´ees ou en cours); • comparable au budget encouru, parce qu’adoptant la mˆeme hypoth`ese de valeurs des ressources consomm´ees (pas de d´erive de coˆut des tˆaches). D´efinition 4.4 Le cout ˆ budg´et´e du travail effectu´e (ou CBTE) s’obtient tout simplement en valorisant les tˆaches effectu´ees aux coˆuts pr´evus dans le budget a` date. Ces diff´erents valeurs sont illustr´ees a` la figure 4.3 o`u le cas d´ecrit est particuli`erement d´efavorable puisque : • le budget encouru (ou coˆut budg´et´e du travail pr´evu) est sup´erieur a` la valeur budg´etaire du r´ealis´e; • le budget encouru est inf´erieur au coˆut encouru (ou coˆut r´eel du travail effectu´e). Ce coˆut budg´et´e du travail r´ealis´e est compar´e au budget encouru pour d´eterminer l’´ecart de planning et au coˆut encouru pour d´eterminer l’´ecart de cout. ˆ

4.3.4 Analyse de l’´ecart de planning On compare donc ici le coˆut budg´et´e du travail r´ealis´e et le budget encouru, c’esta` -dire le coˆut budg´et´e du travail initialement pr´evu. Ils sont valoris´es au mˆeme coˆut d’utilisation des ressources. La diff´erence des ces deux valeurs correspond donc uniquement a` une diff´erence de planning. Ainsi, on d´efinit l’´ecart de planning comme la diff´erence entre le coˆut budg´et´e du travail r´ealis´e et le budget encouru : EP = CBTE - CBTP L’analyse de cet e´ cart conduit a` dire que : • Si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est sup´erieur au budget encouru (´ecart positif), les r´ealisations du projet sont en avance par rapport aux pr´evisions; • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est inf´erieur au budget encouru (´ecart n´egatif), les r´ealisations du projet sont en retard par rapport aux pr´evisions.

Section 4.3. Le suivi des coˆ uts

89

Coût prévisionnel réestimé en date t

Ecart final prévisionnel à la date t ou écart sur budget

Estimation du coût prévisionnel définie à la date t

Budget à date Coût Réel du Travail Effectué ou Coût encouru

Prévision de consommation de budget à date, définie à la date τd

Coût Budgété du Travail Prévu ou Budget encouru

Prévision de consommation de budget à date, définie à la date t

Coût Budgété du Travail Effectué ou valeur budgétaire du réalisé

Retard final prévu en t

τf,d

τf,t Date de fin prévue en t

θ t Date courante

Date de début du projet

τd

Date initialement prévue de fin

Retard constaté à la date t

Figure 4.3: Les e´ carts de coˆut

90

Chapitre 4. Le suivi du projet

On peut d´efinir l’´ecart de planning relatif comme l’´ecart de planning divis´e par le budget encouru : CBTE - CBTP EPR = CBTP Une autre approche possible pour l’´ecart de planning consiste a` d´eterminer sur la courbe pr´evisionnelle du budget encouru, la date θ qui est celle a` laquelle on avait pr´evu d’atteindre la consommation budg´etaire correspondant a` la valeur du coˆut budg´et´e du travail effectu´e a` la date t. L’analyse est e´ galement simple : • une diff´erence (t − θ) positive correspond a` un retard dans le planning, • une diff´erence (t − θ) n´egative correspond a` une avance dans le planning.

4.3.5 Analyse de l’´ecart de cout ˆ On compare donc ici le coˆut budg´et´e du travail effectu´e et le cout ˆ encouru, c’esta` -dire le coˆut r´eel du travail effectu´e. Ils ont donc en commun la mˆeme hypoth`ese d’avancement des travaux. La diff´erence des ces deux valeurs correspond donc uniquement a` une diff´erence de coˆut (entre le coˆut r´eel et le coˆut pr´evu). Ainsi, on d´efinit l’´ecart de cout ˆ comme la diff´erence entre le coˆut budg´et´e du travail r´ealis´e et le coˆut encouru : EC = CBTE - CRTE Cette diff´erence qui a donc pour origine uniquement des variations de coˆut de r´ealisation des tˆaches peut s’expliquer par : • des variations de consommations de ressources utilis´es; • des variations de coˆut unitaire de ces ressources. L’analyse de cet e´ cart conduit a` dire que : • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est inf´erieur au coˆut encouru (´ecart de coˆut n´egatif), les r´ealisations du projet ont cout´ ˆ e plus cher que pr´evu; on est en pr´esence d’un risque de d´epassement budg´etaire si l’on ne peut pas compenser par des e´ conomies ult´erieures; • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est sup´erieur au coˆut encouru (´ecart de coˆut positif), les r´ealisations du projet ont cout´ ˆ e moins cher que pr´evu; on a donc plus de chance de tenir l’enveloppe budg´etaire initiale.

Section 4.4. Exercices

91

4.4 Exercices 4.1. Cas de l’entreprise BURBOX. Pour le projet de l’entreprise BURBOX introduit au chapitre 1 (voir exercice 1.2), on demande : ´ (a) Etablir le classement des tˆaches par niveaux. (b) De construire le graphe du potentiel, d’y calculer les dates au plus tˆot, plus tard et les marges totales. (c) D’indiquer la date d’inauguration au plus tˆot. (d) De proposer une programmation effective r´epondant (sauf indication contraire de l’´enonc´e) au principe de prudence, en tenant compte du fait que la semaine comporte 5 jours de travail et que les 14 juillet, premier et 11 novembre sont f´eri´es (voir tableau 4.1). (e) D’´etablir l’´evolution de la consommation pr´evisionnelle du budget du projet. (f) Le projet a commenc´e conform´ement aux pr´evisions. Au premier septembre, les informations disponibles sur le bon d´eroulement du projet sont les suivantes : • la tˆache de d´emolition a e´ t´e effectu´ee en 11 jours du 15 au 29 juin; • les formalit´es administratives ont pu eˆ tre boucl´ees en 20 jours du 15 juin au 10 juillet; • le terrassement a port´e sur 5.500 m3 et a e´ t´e effectu´e du 13 au 17 juillet; • les fondations ont coˆut´e 420.000 euro et ont e´ t´e ex´ecut´ees du 20 juillet au 7 aoˆut (15 jours): • suite a` un retard d’ex´ecution, le deuxi`eme acompte du gros œuvre a e´ t´e vers´e le 26 aoˆut, ces 2 jours de retard ne peuvent eˆ tre rattrap´es et se r´epercutent sur le d´ebut de la seconde tranche du gros œuvre et celle de la toiture. Sachant que la seconde tranche de gros œuvre d´ebute le premier septembre, il vous est demand´e d’´etablir la consommation budg´etaire effective a` cette date (ou le cout ˆ encouru). (g) Pour e´ liminer l’incidence des e´ carts de planning et e´ valuer correctement la d´erive de coˆut du projet, calculer la consommation budg´etaire th´eorique si les coˆuts avaient e´ t´e ceux initialement pr´evus (valeur budg´etaire du r´ealis´e). En d´eduire la d´erive de coˆut au premier septembre.

92

Chapitre 4. Le suivi du projet

N˚

Lundi

N˚

Mardi

N˚ Mercredi

N˚

Jeudi

N˚ Vendredi

1 15-juin

2 16-juin

3

17-juin

4 18-juin

5

19-juin

6 22-juin

7 23-juin

8

24-juin

9 25-juin

10

26-juin

11 29-juin

12 30-juin

13

1-juil

14

2-juil

15

3-juil

16

6-juil

17

7-juil

18

8-juil

19

9-juil

20

10-juil

21

13-juil

-

14-juil

22

15-juil

23

16-juil

24

17-juil

25

20-juil

26

21-juil

27

22-juil

28

23-juil

29

24-juil

30

27-juil

31

28-juil

32

29-juil

33

30-juil

34

31-juil

35

3-aoˆu

36

4-aoˆu

37

5-aoˆu

38

6-aoˆu

39

7-aoˆu

40

10-aoˆu

41

11-aoˆu

42

12-aoˆu

43

13-aoˆu

44

14-aoˆu

45

17-aoˆu

46

18-aoˆu

47

19-aoˆu

48

20-aoˆu

49

21-aoˆu

50

24-aoˆu

51

25-aoˆu

52

26-aoˆu

53

27-aoˆu

54

28-aoˆu

55

31-aoˆu

56

1-sep

57

2-sep

58

3-sep

59

4-sep

60

7-sep

61

8-sep

62

9-sep

63

10-sep

64

11-sep

65

14-sep

66

15-sep

67

16-sep

68

17-sep

69

18-sep

70

21-sep

71

22-sep

72

23-sep

73

24-sep

74

25-sep

75

28-sep

76

29-sep

77

30-sep

78

1-oct

79

2-oct

80

5-oct

81

6-oct

82

7-oct

83

8-oct

84

9-oct

85

12-oct

86

13-oct

87

14-oct

88

15-oct

89

16-oct

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19-oct

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20-oct

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21-oct

93

22-oct

94

23-oct

95

26-oct

96

27-oct

97

28-oct

98

29-oct

99

30-oct

100

2-nov

101

3-nov

102

4-nov

103

5-nov

104

6-nov

105

9-nov

106

10-nov

-

11-nov

107

12-nov

108

13-nov

109

16-nov

110

17-nov

111

18-nov

112

19-nov

113

20-nov

114

23-nov

115

24-nov

116

25-nov

117

26-nov

118

27-nov

Tableau 4.1: Calendrier

Section 4.4. Exercices

93

4.2. Budget de lancement d’un nouveau produit. Une soci´et´e pr´epare le budget du lancement d’un nouveau produit sur le march´e. Le tableau suivant indique les tˆaches du projet avec leurs dur´ees (donn´ees en jours) et leurs pr´ealables. Code A B C D E F G H

Tˆache Dur´ee Pr´ealables Estimation du volume des ventes 5 ´ Etude compl`ete du march´e 6 Design du produit 3 A Planification de la production 8 A Estimation du coˆut du produit 2 B et C D´etermination du prix de vente 11 B et C Lancement de la publicit´e 1 D Pr´eparation du budget 12 D et E

Tableau 4.2: Budget de lancement d’un nouveau produit (a) Construire le graphe de la m´ethode PERT correspondant a` ce probl`eme. (b) D´eterminer, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en jours) n´ecessaire a` la r´ealisation du projet. (c) Calculer, pour chaque tˆache, sa date de d´ebut au plus tˆot, sa marge totale, sa date de d´ebut au plus tard et sa marge libre. (d) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probl`eme. (e) Tracez le diagramme de Gantt correspondant a` la programmation des diff´erentes tˆaches du projet respectant le principe de pr´ecaution. Code A B C D E F G H

di Coˆut Imput´e 5 500 50 % au d´ebut, 50 % a` la fin 6 700 a` la fin 3 300 a` la fin 8 1 200 a` la fin 2 250 au d´ebut 11 1500 50 % au d´ebut, 50 % a` la fin 1 100 a` la fin 12 800 le e` me jour ´ Tableau 4.3: Etablissement du budget

94

Chapitre 4. Le suivi du projet (f) Coˆut budg´et´e du travail pr´evu. Nous allons maintenant e´ tablir le budget pr´evisionnel pour ce projet. Le tableau 4.3 reprend le coˆut de r´ealisation de chacune des tˆaches du projet et le moment o`u ce coˆut est imput´e au budget. On vous demande d’´etablir le budget pr´evisionnel du projet ainsi que l’´ech´eancier des d´epenses pr´evues en remplissant un tableau du type suivant : Coˆut budg´et´e du travail pr´evu Jour Tˆache et moment Montant Cumul

(g) Coˆut r´eel du travail effectu´e. Le projet a d´ebut´e. La tˆache A a e´ t´e r´ealis´ee en 5 jours au coˆut de 600. La tˆache B a e´ t´e r´ealis´ee en un jour de moins que pr´evu au coˆut pr´evu. La tˆache C a dur´e un jour de plus que pr´evu et a coˆut´e 300. La tache D a dur´e 10 jours et a eu un d´epassement budg´etaire de 200. La tache E a e´ t´e effectu´ee en deux jours au coˆut de 250. La tˆache F vient de d´ebuter. On vous demande d’´etablir le coˆut r´eel du travail effectu´e le 10`eme jour au soir en remplissant un tableau du mˆeme type que ci-dessus. En cas de d´epassement budg´etaire, c’est a` la fin de la tˆache que l’on impute le surcoˆut. (h) Coˆut budg´et´e du travail effectu´e. Afin de s´eparer l’´ecart de coˆut de l’´ecart de planning, calculer le coˆut budg´et´e du travail effectu´e le 10`eme jour au soir en remplissant un tableau du mˆeme type que ci-dessus. (i) Calculer l’´ecart absolu de coˆut. Comment interpr´etez-vous son signe? (j) Calculer l’´ecart absolu de planning. Comment interpr´etez-vous son signe ?

Chapitre 5 La prise en compte du risque 5.1 Introduction On d´efinit le risque comme e´ tant la possibilit´e que le projet ne s’ex´ecute pas conform´ement aux pr´evisions de date d’ach`evement, de coˆut ou de qualit´e, ces e´ carts par rapport aux pr´evisions e´ tant consid´er´es comme inacceptables. Le traitement des risques est li´e a` chaque cat´egorique d’objectif : • L’analyse du risque de d´epassement du cout ˆ du projet s’effectue en cours d’ex´ecution du projet en utilisant les techniques de contrˆoles de gestion pr´esent´ees au chapitre 4. Mais cette analyse du risque peut e´ galement eˆ tre faite lors de la phase de d´efinition du projet. Nous verrons deux types d’approches pour l’analyse de ce risque : l’approche quantitative du risque et l’approche qualitative du risque. • L’analyse du risque de non respect des d´elais est classiquement abord´ee en cours d’ex´ecution du projet en utilisant les techniques de suivi de planning pr´esent´ees au chapitre 4. Nous compl´eterons ces m´ethodes par une approche quantitative du risque. • L’analyse du risque de non respect des performances rel`eve des sciences de l’ing´enieur et ne sera pas consid´er´ee ici. Nous verrons deux familles d’approches utilis´ees pour maˆıtriser les risques : • l’approche quantitative, qui repose sur une vision stochastique du probl`eme, vise a` quantifier la dispersion de la r´ealisation des objectifs de coˆut et de dur´ee, • l’approche qualitative, qui repose sur l’intuition et la connaissance de l’entreprise, vise a` permettre des diagnostics rapides au moyen de listes de contrˆole. 95

96

Chapitre 5. La prise en compte du risque

5.2 L’approche quantitative du risque Les deux risques fondamentaux auxquels il faut faire face dans la gestion d’un projet sont : • le risque de ne pas tenir les d´elais, • le risque de d´epassement budg´etaire.

5.2.1 Distribution statistique de la dur´ee d’une tˆache Dans l’approche quantitative classique du risque d´elai, on remplace la dur´ee d’ex´ecution des tˆaches par une variable al´eatoire. Le responsable de l’ex´ecution d’une tˆache est bien sˆur incapable de donner la loi de probabilit´e de cette variable ainsi que la valeur de ses param`etres. Il existe deux m´ethodes pour obtenir cette distribution : • Dans l’approche empirique, on pose au responsable de l’ex´ecution de la tˆache, des questions du type : ”Quelle est la probabilit´e pour que la tˆache mette plus de x jours ?” en prenant des valeurs croissantes de x. On obtient alors directement une fonction de r´epartition de la dur´ee d’ex´ecution de la tˆache. • Dans l’approche th´eorique, on privil´egie une distribution statistique donn´ee. Le cas le plus simple est celui de la distribution uniforme. Trois autres distributions statistiques sont souvent utilis´ees : la distribution Bˆeta, la distribution normale et la distribution triangulaire. Ceci n’´evite e´ videmment pas l’´ecueil de devoir recueillir aupr`es des op´erationnels les param`etres de la distribution par un jeu de questions simples. La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la valeur minimale A et la valeur maximale B sont e´ quiprobables. Si l’on note X la variable al´eatoire, il est facile de voir (voir figure 5.1) que : • sa fonction de densit´e de probabilit´e f (x) est donn´ee par (cas continu) : f (x) =

1 B−A

(5.1)

• sa fonction de r´epartition F (X < x) est donn´ee par (cas continu) : F (X < x) = avec bien sˆur F (X < A) = 0

x−A B−A

(5.2)

Section 5.2. L’approche quantitative du risque

97

Fonction de densite de probabilite f (x) 1 B

A

A

B

x

Fonction de repartition F (X < x) 1

0 A

B

x

Figure 5.1: Distribution uniforme de probabilit´e

98

Chapitre 5. La prise en compte du risque La distribution Bˆeta (voir figure 5.2) est une distribution unimodale qui : • a une fonction de r´epartition telle que F (X < A) = 0 et F (X > B) = 1, • a une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par : (x − A)α (B − x)∞

f (x) = (B −

A)α+∞+1

Z

1

0

α

(5.3) ∞

t (1 − t) dt

• a une esp´erance math´ematique E(X) donn´ee par : α+1 α+∞+2

(5.4)

(B − A)2 (α + 1)(∞ + 1) (α + ∞ + 3)(α + ∞ + 2)2

(5.5)

E(X) = A + (B − A) • a une variance V (X) donn´ee par : V (X) = • et a un mode M0 donn´e par : M0 =

A∞ + Bα α+∞

(5.6)

f (x)

A

M0

B

x

Figure 5.2: Distribution Bˆeta de probabilit´e La connaissance de A , B, α et ∞ sp´ecifie totalement la loi. S’il est facile d’identifier A et B, il est impossible de recueillir directement aupr`es des op´erationnels les valeurs de α et ∞. On peut remarquer que la connaissance de A, B, E(X) et M0 sp´ecifie e´ galement totalement la loi. En effet, les relations permettant de calculer E(X) et M0 d´efinissent un syst`eme de deux e´ quations en deux inconnues (α et ∞).

Section 5.2. L’approche quantitative du risque

99

Cependant, il est difficile pour un praticien d’identifier la diff´erence entre le mode et la moyenne. La distribution Normale (voir figure 5.3) est une distribution unimodale qui : • a une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par :

≥ x − µ ¥2 /2 − 1 σ f (x) = √ · e σ 2π

(5.7)

• a une fonction de r´epartition donnant P (X < xα ) donn´ee par : ≥ µ ¥2 /2 1 Z xα − x − σ P (X < xα ) = √ e dx = α σ 2π −1

f (x)

(5.8)

N ( , σ)

α

xα

x

Figure 5.3: Distribution normale de probabilit´e Le probl`eme de cette distribution est qu’elle porte sur une variable continue pouvant aller de moins l’infini a` plus l’infini. Si l’on restreint le domaine de X aux seules valeurs positives, on obtient une distribution tronqu´ee de la loi normale : Z xα ≥ x − µ ¥2 − /2 1 σ P (X < xα ) = e dx = α µ 0 ∂2 0 Z 1 − x − µ /2 σ e dx0

(5.9)

0

La difficult´e est ici l’estimation des param`etres µ et σ de la distribution a` partir d’un e´ chantillon d’observations. La distribution triangulaire (voir figure 5.4) constitue une alternative a` la loi Bˆeta. En effet, elle ne n´ecessite que de connaˆıtre les trois param`etres A, B et M0 , autrement dit les deux valeurs extrˆemes et le mode de la distribution. Cette distribution est d’un grand int´erˆet pratique vu la facilit´e de collecte de ses param`etres. Elle a :

100

Chapitre 5. La prise en compte du risque • une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par :     

2(x − A) (M0 − A)(B − A) f (x) =  2(B − x)    (B − M0 )(B − A)

si A ≤ x ≤ M0 si M0 ≤ x ≤ B

• une fonction de r´epartition donnant P (X < x) donn´ee par :     

(x − A)2 (M0 − A)(B − A) P (X < x) =   (B − x)2   1− (B − M0 )(B − A)

si A ≤ x ≤ M0 si M0 ≤ x ≤ B

• une esp´erance math´ematique E(X) donn´ee par : E(X) =

A + M0 + B 3

• une variance V (X) donn´ee par : V (X) =

A(A − M0 ) + B(B − A) + M0 (M0 − B) 18 Densite de probabilite

f (x) 2 B

A

A

M0

B

Valeur minimum

Mode

Valeur maximum

Figure 5.4: Distribution triangulaire de probabilit´e

x

Section 5.2. L’approche quantitative du risque

101

5.2.2 L’approche classique L’approche classique est bas´ee sur les principes suivants : • la dur´ee di de chaque tˆache du projet est consid´er´ee comme al´eatoire de distribution Bˆeta. Les param`etres de la distribution Bˆeta sont calcul´es moyennant une hypoth`ese de calcul assez forte1 a` partir des trois param`etres Ai , Bi et M0i . Il suffit donc de poser les trois questions suivantes : – Quelle est la dur´ee minimum de r´ealisation de la tˆache ? – Quelle est la dur´ee maximale de r´ealisation de la tˆache ? – Quelle est la dur´ee la plus probable ? pour obtenir respectivement les param`etres A, B et M0 qui permettent de calculer la moyenne et la variance, a` partir des formules suivantes : E(di ) =

Ai + Bi + 4M0i 6

V (di ) =

µ

Bi − Ai 6

(5.10)

∂2

(5.11)

• on d´etermine le chemin critique du projet en se pla¸cant dans l’univers certain en mettant la dur´ee de chaque tˆache e´ gale a` sa moyenne donn´ee par la formule (5.10). On d´etermine ainsi un ou plusieurs chemins critiques. • On se place en univers incertain et on fait l’hypoth`ese que la dur´ee du projet est la somme des dur´ees des tˆaches du chemin critique, ce qui bien sˆur est une forte hypoth`ese simplificatrice. • On utilise le th´eor`eme central limite pour approximer D, la loi de distribution de probabilit´e d’ex´ecution du projet. Ainsi, l’esp´erance et la variance de la dur´ee du projet se calculent comme la somme des esp´erances et des variances des tˆaches du chemin critique : E(D) = E

√

X

di

i∈CC

V (D) = V

√

X

i∈CC

di

!

=

X

E(di )

i∈CC

!

=

X

V (di )

i∈CC

o`u CC note l’ensemble des tˆaches du chemin critique. 1

√

√

On suppose que α = 2 + 2 et que ∞ = 2 − 2

102

Chapitre 5. La prise en compte du risque • La connaissance de la loi de la dur´ee du projet permet alors de calculer des intervalles de confiance sur la dur´ee du projet.

Illustrons ces principes sur un exemple num´erique. Le tableau 5.1, fournit, pour les 10 tˆaches critiques du projet, les valeurs extrˆemes et le mode qui permettent de calculer la moyenne et la variance de la dur´ee de chaque tˆache critique par les formules (5.10) et (5.11). Tˆache (i) Ai 1 3 2 2 3 2 5 3 7 1 8 3 9 3 11 4 13 1 15 2 Σ -

M0i 5 4 5 8 2 6 5 7 3 5 -

Bi 7 5 7 10 5 8 6 9 7 9 -

E(di ) V (di ) 5 16/36 3,83 9/36 4,83 25/36 7,5 49/36 2,33 16/36 5,83 25/36 4,83 9/36 6,83 25/36 3,33 36/36 5,17 49/36 49,5 7,19

Tableau 5.1: M´ethode classique On en d´eduit que la distribution de probabilit´e de D, la dur´ee minimale d’ex´ecution du projet est une loi normale de param`etres connus : q

N (49, 5; 7, 19) = N (49, 5; 2, 68) On peut donc en d´eduire des intervalles de confiance sur la dur´ee du projet. Par exemple, si l’on veut d´eterminer un intervalle a` 95 % sur la dur´ee du projet, on peut utiliser la sym´etrie de la courbe de la normale (voir figure 5.5). On cherche donc les valeurs extrˆemes de l’intervalle [x1 , x2 ] tel que la probabilit´e que la dur´ee soit entre ces deux bornes est 95 % : P [x1 ≤ D ≤ x2 ] = 95% Vu la sym´etrie de la courbe de la Normale, cela signifie qu’il y aura 2,5 % a` chaque extr´emit´e du graphe (voir figure 5.5). Il suffit de d´eterminer x2 et x1 sera calcul´e par sym´etrie par rapport a` µ = 49,5. L’annexe C fournit, pour la loi normale centr´ee r´eduite, Z ∼ N (0, 1), la probabilit´e P (Z > z). On cherche donc x2 tel que :

Section 5.2. L’approche quantitative du risque f (x)

103

N ( , σ)

95 % 2,5 %

2,5 % x1

x2

49,5

x

Figure 5.5: Intervalle a` 95 % sur la dur´ee du projet P (D > x2 ) = 2, 5% Pour faire la lecture dans la table, il faut centrer et r´eduire des deux cˆot´es de l’in´egalit´e ci-dessus. On obtient : "

#

D−µ x2 − 49, 5 P > = 2, 5% σ 2, 68 Dans la table de la loi Normale N (0, 1), on lit que : P (Z > 1, 96) = 2, 5% On en d´eduit que

x2 − 49, 5 = 1, 96 2, 68

Autrement dit que : x2 = 1, 96 × 2, 68 + 49, 5 = 54, 75. On d´etermine x1 comme e´ tant le point sym´etrique de x2 par rapport a` la moyenne µ = 49,5 : x1 = 49, 5 − (x2 − 49, 5) = 44, 25 On en d´eduit finalement l’intervalle suivant.

P (44, 25 < D < 54, 75) = 95% Il est a` remarquer cependant que l’utilisation du th´eor`eme central limite suppose d’avoir au moins une trentaine de tˆaches dans le chemin critique. Hors dans notre exemple, on dispose a` peine de 10 tˆaches. On est a` la limite des conditions d’utilisation du th´eor`eme ! D’autre part, la m´ethode privil´egie un chemin critique. En situation al´eatoire, d’autre chemins peuvent devenir critiques dans certains cas. Pour l’analyse des effets combin´es de ces chemins critiques et sous critiques, il vaut mieux recourir a` l’approche simulatoire.

104

Chapitre 5. La prise en compte du risque

5.2.3 L’approche simulatoire Le principe de l’approche simulatoire est de faire une simulation sur base d’un sc´enario privil´egi´e pour chacune des tˆaches. En utilisant la m´ethode de MonteCarlo, on peut g´en´erer diff´erents sc´enarios pour les tˆaches du projet. Ce qui permet de calculer, par exemple, la probabilit´e d’une tˆache d’ˆetre critique. Nous introduisons d’abord la m´ethode de Monte-Carlo. Supposons que l’on s’int´eresse a` la grandeur X (qui ici repr´esente la dur´ee d’une tˆache). Il faut d’abord identifier la fonction de r´epartition de la variable X. Ceci est fait, par exemple, en posant une s´erie de questions du type : ”Quelle est la probabilit´e que la variable X prenne une valeur inf´erieure a` x ?” Le tableau 5.2 pr´esente les r´esultats obtenus a` cette s´erie de questions. x P (X < x) 3 900 0% 4 100 20 % 4 400 40 % 4 800 60 % 4 950 70 % 5 100 80 % 5 200 100% Tableau 5.2: M´ethode de Monte-Carlo On peut alors construire la fonction de r´epartition par interpolation lin´eaire comme c’est fait a` la figure 5.6. On obtient la table 5.3. Par ailleurs, il faut disposer d’un g´en´erateur de nombres al´eatoires. Le tableau 5.4 reprend un extrait d’une table de nombres g´en´er´es au hasard. Cette table permet de simuler des valeurs e´ quiprobables de probabilit´es cumul´ees. Il suffit de consid´erer les s´equences de 2 chiffres cons´ecutifs dans cette table comme fait au tableau 5.5. On obtient ainsi autant de valeurs e´ quiprobables de probabilit´es cumul´ees : 43 %, 64 %, 58 %, 92 %, 32 %, 0 %, 38 %, 41 %, 8 %, 58 %. Au moyen de la table 5.3, on peut retrouver les valeurs correspondantes de X. On obtient ainsi des valeurs e´ quiprobables de X reprises au tableau 5.6. C’est l`a le principe de la m´ethode de Monte-Carlo. Une fois connues les distributions de probabilit´es des dur´ees des tˆaches, on utilise la m´ethode de Monte-Carlo pour obtenir par simulation des dur´ees des diff´erentes tˆaches. On proc`ede alors a` un grand nombre de simulations qui

Section 5.2. L’approche quantitative du risque Fi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

xi 3910 3920 3930 3940 3950 3960 3970 3980 3990 4000 4010 4020 4030 4040 4050 4060 4070 4080 4090 4100 4115 4130 4145 4160 4175

Fi 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

xi 4190 4205 4220 4235 4250 4265 4280 4295 4310 4325 4340 4355 4370 4385 4400 4420 4440 4460 4480 4500 4520 4540 4560 4580 4600

Fi 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

xi 4620 4640 4660 4680 4700 4720 4740 4760 4780 4800 4815 4830 4845 4860 4875 4890 4905 4920 4935 4950 4965 4980 4995 5010 5025

105 Fi 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

xi 5040 5055 5070 5085 5100 5105 5110 5115 5120 5125 5130 5135 5140 5145 5150 5155 5160 5165 5170 5175 5180 5185 5190 5195 5200

Tableau 5.3: Construction de la fonction de r´epartition 43645 14093 61618 98601 ...

89232 06268 19275 19089

00384 46460 40744 53166

10858 97660 22482 41836

21789 23490 12424 28205

Tableau 5.4: Table de nombres au hasard (extraits)

106

Chapitre 5. La prise en compte du risque Fi (%)

100 % 80 % 70 % 60 % 40 % 20 %

3900

4100

4400

4800 4950 5100 5200

xi

Figure 5.6: Construction de la fonction de r´epartition 43 64 58 92 32 00 38 41 08 58 21789 14093 06268 46460 97660 23490 61618 19275 40744 22482 12424 98601 19089 53166 41836 28205 ... Tableau 5.5: Table de nombres au hasard (s´electionn´es par 2) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fi 43 % 64 % 58 % 92 % 32 % 0% 38 % 41 % 8% 58 %

xi 4460 4860 4760 5160 4280 3900 4370 4420 3980 4760

Tableau 5.6: M´ethode de Monte-Carlo : g´en´erations de xi

Section 5.2. L’approche quantitative du risque

107

permettent de tirer des enseignements impossibles a` obtenir de mani`ere analytique. La m´ethode repose donc sur les principes suivants : • On suppose connue la fonction de r´epartition P (Xi < xi ) de la dur´ee Xi de la tˆache i du projet qui comporte n tˆaches. • On proc`ede a` K jeux de simulations (voir tableau 5.7) du probl`eme d’ordonnancement. On note di,k la dur´ee de la tˆache i dans la simulation num´ero k.

Tˆache i

jeu de simulation 1

2

...

k

...

% critique K

1

d1,1 d1,2

d1,k

d1,K

c1 /K

2 .. .

d2,1 d2,2

d2,k

d1,K

c2 /K

i .. .

di,1

di,2

di,k

di,K

ci /K

n

dn,1 dn,2

dn,k

dn,K

cn /K

Dk

DK

Dur´ee du projet D1

D2

Tableau 5.7: M´ethode de Monte-Carlo : ordonnancements • La simulation d’une dur´ee di,k d’une tˆache i pour le jeu de donn´ees k s’obtient par l’utilisation d’un nombre g´en´er´e al´eatoirement. Ce nombre a` deux chiffres correspond a` une probabilit´e exprim´ee en % d’une valeur de la fonction de r´epartition de la dur´ee de la tˆache. • La table de la fonction de r´epartition de la dur´ee de la tˆache i permet de passer de la valeur tir´ee al´eatoirement de la probabilit´e cumul´ee a` la valeur de la dur´ee, not´ee di,k . • Pour chaque jeu de donn´ees k, on r´esout le probl`eme d’ordonnancement en univers certain. On obtient la dur´ee minimale d’ex´ecution du projet not´ee Dk pour le jeu de donn´ees num´ero k. On rep`ere e´ galement les tˆaches critiques pour le jeu de donn´ees.

108

Chapitre 5. La prise en compte du risque • l’analyse statistique des K jeux de donn´ees permet d’obtenir les trois informations suivantes : 1. pour le projet : une estimation de l’esp´erance math´ematique de la dur´ee d’ex´ecution du projet. Il suffit de faire la moyenne des Dk , 2. pour chaque tˆache : une estimation de la probabilit´e que cette tˆache soit critique. Il suffit, en effet, dans chaque ligne, de compter de nombre de fois que la tˆache a e´ t´e critique, soit ci et la fr´equence ci /K est un indicateur de la probabilit´e que la tˆache soit critique. Cet indicateur porte le nom d’indice de criticit´e de la tˆache.

Giard [2] pr´esente un exemple de simulation portant sur 1 000 jeux de donn´ees pour l’exemple introductif du chapitre 2 en retenant comme mode la dur´ee de l’univers certain et en utilisant des distributions triangulaires. De ces simulations plusieurs enseignements peuvent eˆ tre tir´es : • Certaines tˆaches qui e´ taient critiques dans l’univers certain n’ont plus qu’une chance sur deux d’ˆetre critiques en univers al´eatoire. A l’inverse, certaines tˆaches non critiques dans l’univers certain ont une chance sur 5 d’ˆetre critique en univers al´eatoire. Ceci traduit l’apparition de nouveaux chemins critiques en univers al´eatoire. • La dur´ee d’ach`evement moyenne du projet est sup´erieure : elle est de 37 jours contre 35 jours dans le cas certain. En effet, on peut montrer en g´en´eral que l’apparition de nouveaux chemins critiques se traduit par une augmentation de l’esp´erance du temps d’ex´ecution du projet.

5.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque d´elai L’approche quantitative, que ce soit sous la forme classique ou via des simulations de Monte-Carlo, pr´esente des limites : • En focalisant l’attention sur l’objectif de d´elai, on pourrait perdre de vue les autres objectifs que sont le respect des coˆuts et le respect des performances. • Du point de vue de l’action, l’absence d’analyse causale fait que le gestionnaire ne dispose d’aucun guide d’action. L’avantage principal de la m´ethode de simulation est de d’affiner la notion de tˆache critique.

Section 5.3. L’analyse qualitative du risque

109

5.3 L’analyse qualitative du risque Les limites de l’approche quantitative soulign´ee ci-dessus conduise a` une approche plus qualitative dont le but est de comprendre les causes possibles de d´erapage des d´elais.

5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’´elaboration du projet Ces risques peuvent eˆ tre class´es en quatre cat´egories : • Les impr´ecisions des tˆaches : lors de l’´etude pr´eliminaire du projet, la liste des tˆaches, leur dur´ees associ´ees, la consommation de ressources peuvent eˆ tre d´efinies avec une relative impr´ecision. Ces impr´ecisions peuvent avoir plusieurs causes : – un manque de temps dans la phase pr´eliminaire pour recherche l’information; – une m´econnaissance du travail pr´ecis a` ex´ecuter li´ee a` une absence d’exp´erience ant´erieure; – l’existence de plusieurs sc´enarios techniques possibles entre lesquels on h´esite a` trancher; – des impr´ecisions quant aux objectifs du projet. • Les incoh´erences du cahier des charges du projet : dans le cahier de charges, on sp´ecifie les objectifs principaux et les moyens qui seront allou´es au projet. Rien ne garantit la coh´erence entre les objectifs et les moyens. Ces incoh´erences peuvent avoir plusieurs causes : – le budget affect´e au projet est insuffisant; – la date d’ach`evement du projet est intenable; – les ambitions en mati`ere de qualit´e du produit sont trop e´ lev´ees; – les performances des ressources utilis´ees ont e´ t´e surestim´ees. • Les risques techniques et d’industrialisation : les risques techniques peuvent eˆ tre d´efinis comme la possibilit´e de ne pas pouvoir fabriquer le produit en utilisant une certaine technologie tandis que les risques d’industrialisation sont d´efinis comme le risque ne pas pouvoir passer du prototype a` la s´erie sans modification importante des ressources disponibles. Ces risques techniques et d’industrialisation peuvent avoir plusieurs causes :

110

Chapitre 5. La prise en compte du risque – la sous-estimation de la complexit´e du produit, en particulier pour un produit innovant, peut conduire a` une sous-estimation des difficult´es qui seront rencontr´ees dans sa mise en fabrication, – le choix d’un nouveau proc´ed´e peut demander de mobiliser d’avantage de ressources; – l’apparition d’un nouveau proc´ed´e de fabrication en cours de projet peut conduire a` l’abandon de la solution technique initialement retenue; – la combinaison de plusieurs solutions e´ prouv´ees peut conduire a` des probl`emes impr´evisibles (la fabrication d’un prototype automobile au moyen de composants connus peut conduire a` probl`emes de bruit d´ecouverts au moment du prototype). • Les manques de maˆıtrise du suivi des projets : la d´etection tardive de d´erives (que ce soit de coˆut ou de d´elai) entraˆınent des actions correctrices prises dans l’urgence. Ces manques de maˆıtrise ont plusieurs causes : – l’absence de proc´edures formelles de d´etection des d´erives; – un manque de mise a` jour des informations transmises par les op´erationnels a` la direction de projet; – une absence de proc´edure de r´esolution en cas de conflits entre les diff´erents services impliqu´es dans le projet; – les impasses sur la validation technique du produit qui transf`erent les risques sur le produit final.

5.3.2 Les risques externes encourus en phase d’´elaboration du projet Lors du lancement d’un nouveau produit, il importe d’anticiper la demande du nouveau produit. Il y a deux cat´egories de risques majeurs : • L’obsolescence commerciale : la demande du produit n’est pas en conformit´e avec les attentes. Cette obsolescence commerciale a plusieurs causes possibles : – une erreur d’appr´eciation des attentes du march´e : les caract´eristiques retenues pour le produit n’int´eressent pas le client au prix retenu (´echec du t´el´ephone satellitaire au prix demand´e); – une erreur d’appr´eciation sur les volumes demand´es : peut conduire a` des invendus ou a` des ruptures de stock (l’exemple d’Apple qui vend toujours mieux ses hauts de gammes alors que la firme produit en masse ses bas de gamme);

Section 5.3. L’analyse qualitative du risque

111

– l’introduction par la concurrence de produits plus attractifs (l’introduction du GSM a e´ limin´e du march´e les autres t´el´ephones portables); – la modification rapide de certains facteurs consid´er´es comme stables : par exemple, le r´egime politique, le cours des mati`eres premi`eres. • les risques r´eglementaires : les normes que doivent respecter les produits peuvent changer. Ces risques sont li´es le plus souvent soit : – a` une date incertaine de mise en œuvre d’un nouveau r`eglement dans un pays d´ebouch´e : par exemple, une nouvelle r´eglementation en mati`ere d’´emission de gaz polluants dont la date est incertaine; – a` la m´econnaissance du contenu exact du nouveau r`eglement : par exemple, quel sera le niveau de bruit accept´e pour les avions de nuit. La solution est e´ videmment de retenir la solution qui r´epond aux normes les plus strictes mais elle risque d’ˆetre la plus coˆuteuse.

5.3.3 Les risques relatifs a` la pr´evision d’utilisation des ressources Il y a deux grandes cat´egories de risques li´es a` la pr´evision d’utilisation des ressources requises par le projet : • Les risques relatifs a` la d´efinition des ressources requises : les ressources n´ecessaires ont e´ t´e mal d´efinies. Les causes possibles de ces impr´ecisions dans la d´efinition des ressources requises sont multiples. – En ce qui concerne le personnel, un changement de l’environnement r´eglementaire peut modifier la disponibilit´e du personnel (par exemple, l’introduction de la loi sur les 35 heures). – En ce qui concerne les e´ quipements, un changement de normes de s´ecurit´e (impliquant le remplacement d’outils v´etustes) ou de normes en mati`ere d’impacts sur l’environnement (par exemple, une diminution des normes de rejet atmosph´erique de dioxine). – Dans le cahier de charge, il peut y avoir une m´econnaissance des ressources pr´ecises, qu’elles soient humaines ou mat´erielles qui seront a` mobiliser pour ex´ecuter le projet. – Il peut y avoir incoh´erence entre les ressources choisies : par exemple, l’introduction d’une nouvelle machine a` commande num´erique n´ecessite le recyclage de l’op´erateur.

112

Chapitre 5. La prise en compte du risque • Les risques relatifs a` la disponibilit´e des ressources requises : souvent lors de l’ordonnancement initial du projet on fait l’hypoth`ese de capacit´e infinie pour les ressources. C’est e´ videmment prendre le risque de se trouver face a` des goulets d’´etranglement en mati`ere de disponibilit´e des facteurs. Les causes possibles de la mauvaise d´efinition du potentiel des ressources sont : – une m´econnaissance de la performance de nouveaux e´ quipements; – une sous-estimation de la dur´ee de l’apprentissage de nouveaux e´ quipements; – une mauvaise coordination entre l’utilisation de ressources sur plusieurs projets. Il importe que les conflits entre projets sur l’utilisation des ressources disponibles soit g´er´es a` un niveau hi´erarchique e´ lev´e. Il est a` remarquer que mˆeme si des proc´edures de r´eservation des ressources sont mises en œuvre, un retard sur un projet peut lib´erer en retard la ressource pour un autre projet.

5.3.4 Les risques encourus en phase d’ex´ecution du projet En cours d’ex´ecution du projet, des e´ v´enements impr´evus peuvent compromettre les objectifs du projet. Les risques encourus en phase d’ex´ecution du projet sont de trois ordres : • Les risques li´es a` une d´etection tardive du probl`eme : pour pouvoir faire un diagnostic, il faut, d’une part, disposer des bonnes informations et, d’autre part, les traiter a` temps. Les causes principales de d´etection tardive d’un probl`eme sont li´es a` : – En ce qui concerne l’information externe, une attitude passive vis-`a-vis de la collecte d’information (il faut eˆ tre pro-actif, c’est-`a-dire chercher les signes avant coureurs, par exemple d’un changement du march´e plutˆot que d’attendre et de constater l’effondrement du march´e); – en ce qui concerne l’information interne, elle peut eˆ tre disponible mais rarement sous sa bonne forme et au bon endroit; – en ce qui concerne le traitement de l’information : l’absence d’indicateurs calcul´es automatiquement peut faire qu’une information, mˆeme disponible, n’est pas trait´ee en temps utile; – en ce qui concerne le traitement de l’information : a` l’inverse, une absence de filtrage de l’information peut conduire a` une inondation d’informations qui a le mˆeme effet que de ne pas transmettre l’information.

Section 5.4. La prise en compte du risque

113

• Les risques li´es a` un diagnostic erron´e : il peut y avoir une erreur de diagnostic li´ee a` une mauvaise interpr´etation des faits. En effet, – plusieurs causes peuvent avoir le mˆeme effet et la cause retenue n’est pas la bonne; – on peut s’attacher a` une cause apparente sans chercher la cause profonde; – l’hypoth`ese de relation causale peut eˆ tre tout simplement erron´ee. • Les risques de r´eponse inappropri´ee : mˆeme si le diagnostic formul´e est correct, la r´eponse apport´ee peut eˆ tre inappropri´ee. A cet e´ gard, comme source de r´eponses inappropri´ees, on peut citer : – le report de la faute sur autrui qui est souvent une r´eponse d’un service prestataire (c’est pas moi, c’est lui); – la logique de temporisation qui privil´egie la solution de court terme en repoussant la solution du probl`eme profond a` plus tard; – la cr´eation de nouvelles r`egles qui visent a` pr´evenir le probl`eme rencontr´e mais asphyxie le syst`eme (par exemple, par un exc`es de proc´edures de contrˆole).

5.4 La prise en compte du risque Nous allons, pour terminer, donner quelques strat´egies possibles pour la diminution des risques encourus, que ce soit en phase d’´elaboration ou en phase d’ex´ecution du projet.

5.4.1 La diminution du risque en phase d’´elaboration Fondamentalement, durant la phase d’´elaboration du projet deux strat´egies de limitation du risque peuvent eˆ tre consid´er´ees : • L’am´elioration du niveau de l’information : il s’agit ici d’am´eliorer le nombre, la qualit´e et la pertinence des informations relatives aux tˆaches. Cette am´elioration peut prendre plusieurs formes : – d´ecoupage de tˆaches en des tˆaches plus e´ l´ementaires; – consultation a` un niveau hi´erarchique plus bas; – comptes-rendus e´ crits des r´eunions de travail.

114

Chapitre 5. La prise en compte du risque • L’externalisation des risques : on peut vouloir transf´erer des risques chez un fournisseur ou un sous-traitant. Ainsi l’ex´ecution de certaines tˆaches peut eˆ tre confi´ees a` des tiers sur base d’un cahier de charges pr´ecis. Il faut e´ videmment que le sous-traitant respecte les clauses du contrat sinon le risque n’est pas trait´e mais simplement d´eplac´e.

5.4.2 Organisation de la r´eactivit´e En phase d’ex´ecution du projet, lorsque des d´erives sont constat´ees, trois strat´egies visant a` r´eagir a` la nouvelle situation peuvent eˆ tre mises en œuvre : • La r´eactivit´e par r´evision des objectifs : on peut r´eagir aux impr´evus en r´eajustant les objectifs afin que les nouveaux objectifs restent r´ealistes et accept´es de tous. Parmi les mesures de r´eaction aux d´erives constat´ees, on peut citer les suivantes : – retarder les dates butoirs de certains jalons du projet, ce qui va le plus souvent se traduire par une nouvelle date de fin du projet; – diminuer le niveau de qualit´e requis par rapport au niveau pr´evu initialement dans le cahier de charges, dans la mesure e´ videmment o`u ce niveau reste acceptable pour le client; – r´eviser a` la hausse le coˆut du projet. Mais la r´eactivit´e par r´evision des objectifs est souvent un constat d’´echec. • La r´eactivit´e par r´evision des tˆaches : il s’agit ici de modifier la liste des tˆaches, leurs liens ou leur contenu. Les solutions envisageables sont : – le chevauchement de plusieurs tˆaches critiques (mais ceci suppose que la tˆache aval puisse d´ebuter plus tˆot, par exemple, grˆace a` des moyens additionnels); – la suppression de certaines tˆaches jug´ees accessoires (par exemple un contrˆole interm´ediaire); – la modification du contenu d’une tˆache (par exemple, l’abandon d’un nouveau proc´ed´e au profit d’une technologie mieux maˆıtris´ee). • La mobilisation momentan´ee de ressources additionnelles pour respecter les d´elais. On distingue : – l’appel a` des ressources internes : heures suppl´ementaires, travail un jour f´eri´e, appel a` du personnel d’autres services; – l’appel a` des ressources externes : int´erim, sous-traitance.

Section 5.5. Exercices

115

5.5 Exercices 5.1. Approche classique du risque. Consid´erons l’exemple introductif du chapitre 2 de construction d’un bˆatiment donn´e au tableau 2.1 mais avec une dur´ee de chaque tˆache du projet consid´er´ee comme al´eatoire de distribution Bˆeta. On note respectivement par : • Ai , la dur´ee minimum,

• M0i , sa dur´ee la plus probable, • Bi , sa dur´ee maximum.

Ces donn´ees sont reprises au tableau 5.8 avec les pr´ealables de chaque tˆache.

No tˆache

Ai

M0i

Bi

pr´ealables

1 terrassement

3

5

7

-

2 fondations

2

4

5

1

3 colonnes porteuses

1

2

3

2

4 charpente toiture

1

2

5

3

5 couverture

2

3

5

4

6 ma¸connerie

2

5

7

3

7 plomberie, e´ lectricit´e

1

3

7

2

8 coulage dalle b´eton

2

3

4

7

9 chauffage

2

4

6

8 et 6

10 plˆatre

8

10

13

9 et 5

11 finitions

3

5

8

10

Tableau 5.8: Construction d’un bˆatiment : dur´ee al´eatoire des tˆaches. (a) Sur base des formules de l’approche classique, calculez la moyenne et la variance de la dur´ee d’ex´ecution de chaque tˆache. (b) Faire un ordonnancement bas´e sur les dur´ees moyennes des tˆaches. (c) En d´eduire la dur´ee moyenne du projet ainsi que la variance de la dur´ee du projet. (d) En d´eduire un intervalle de confiance a` 95 % sur la dur´ee du projet.

116

Chapitre 5. La prise en compte du risque

5.2. Approche simulatoire du risque. On consid`ere le mˆeme exemple mais avec cette fois-ci des distributions uniformes entre A et B. al´eatoire de distribution Bˆeta. On note respectivement par : • Ai la dur´ee minimum d’ex´ecution de la tˆache i;

• Bi , la dur´ee maximum d’ex´ecution de la tˆache i. Ces valeurs sont donn´ees a` la table 5.9. No tˆache

Ai

Bi

pr´ealables

1 terrassement

3

7

-

2 fondations

2

5

1

3 colonnes porteuses

1

3

2

4 charpente toiture

1

5

3

5 couverture

2

5

4

6 ma¸connerie

2

7

3

7 plomberie, e´ lectricit´e

1

7

2

8 coulage dalle b´eton

2

4

7

9 chauffage

2

6

8 et 6

10 plˆatre

8

13

9 et 5

11 finitions

3

8

10

Tableau 5.9: Construction d’un bˆatiment : distribution uniforme. (a) Donner la formule de calcul des valeurs des probabilit´es cumul´ees des dur´ees des tˆaches du projet. (b) En d´eduire la formule permettant de d´eduire la dur´ee x en fonction de la probabilit´e cumul´ee P (X < x). (c) En utilisant la table de nombres al´eatoires, faire 4 simulations successives pour les dur´ees des tˆaches. (d) En d´eduire la dur´ee moyenne du projet. (e) En d´eduire la criticit´e des tˆaches.

Section 5.5. Exercices

117

5.3. Agrandissement d’une clinique (suite). Pour le projet d’agrandissement d’une clinique (voir exercice 3.8), on veut tenir compte de l’incertitude sur la dur´ee d’ex´ecution des tˆaches. On a d´etermin´e, pour chaque tˆache : • ai , sa dur´ee optimiste,

• mi , sa dur´ee la plus probable, • bi , sa dur´ee pessimiste.

Le tableau 5.10 donne ces valeurs pour chacune des tˆaches. Tˆache

ai

mi

bi

A

11

12 13

B

7

8 15

C

5

10 15

D

8

9 16

E

14

25 30

F

6

9 18

G

25

36 41

H

35

40 45

I

10

13 28

J

1

2 15

K

5

6

7

Tableau 5.10: Agrandissement d’une clinique (a) Calculez l’esp´erance et la variance de la dur´ee de chaque tˆache via les formules de la m´ethode PERT. 2 (b) D´eterminez les param`etres µX et σX de la variable al´eatoire X repr´esentant la dur´ee du projet.

(c) Calculez la probabilit´e que le projet ne dure pas plus de 72 semaines.

118

Chapitre 5. La prise en compte du risque

5.4. Budget de lancement d’un nouveau produit (suite). Pour l’exercice 4.2, la direction de l’entreprise, inqui`ete du d´elai de r´ealisation du projet, voudrait pr´evoir une intervalle de confiance a` 99 % sur la dur´ee du projet. Pour cela, elle a collect´e les informations suivantes sur les tˆaches : • ai , la dur´ee plus faible jamais observ´ee pour la tˆache i;

• bi , la dur´ee plus e´ lev´ee jamais observ´ee pour la tˆache i; • mi , la dur´ee le plus souvent observ´ee pour la tˆache i. Le tableau 5.11 reprend ces informations. Tˆache ai

mi

bi

A

3

5

7

B

4

6

8

C

1

3

5

D

5

8

11

E

1

2

3

F

9

11

13

G

1

1

1

H

10

12

14

Tableau 5.11: Budget de lancement (suite) 2 (a) D´eterminer les param`etres µX et σX de la variable X donnant la dur´ee du projet.

(b) D´eterminer un intervalle de confiance a` 99 % pour X.

Annexe A Formulaire pour la gestion de projets A.1 Notion de marge libre et de marge totale D´efinition A.1 On d´efinit la marge libre comme la partie de la marge totale que l’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs. Si l’on consid`ere que les ancˆetres et les descendants de la tˆache sont programm´es au plus tˆot, on d´efinit ainsi la marge libre comme la diff´erence entre : • La date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates si la tˆache a plusieurs descendants); • la date de fin au plus tˆot de la tˆache. D´efinition A.2 On d´efinit la marge ind´ependante comme la partie de la marge que l’on peut utiliser sans affecter la marge des pr´ed´ecesseurs et des successeurs. Si l’on consid`ere que les ancˆetres de la tˆache sont programm´es au plus tard et ses descendants au plus tˆot, la marge ind´ependante est la diff´erence entre : • la date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates si la tˆache a plusieurs descendants); • la date de fin au plus tard de son ancˆetre (ou la plus tardive de ces dates, si la tˆache a plusieurs ancˆetres) augment´ee de la dur´ee de la tˆache.

A.2 Calcul d’annuit´es n µ X t=1

1 1+i

∂t

"

1 − (1 + i)−n = i

avec n = nombre d’ann´ees, i = taux d’actualisation annuel. 119

#

120

Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets

A.3 D´efinition de l’´ecart de planning D´efinition A.3 On d´efinit l’´ecart de planning comme la diff´erence entre le coˆut budg´et´e du travail effectu´e et le budget encouru, c’est-`a-dire le coˆut budg´et´e du travail initialement pr´evu : Ecart de planning = CBTE - CBTP L’analyse de cet e´ cart conduit a` dire que : • Si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est sup´erieur au budget encouru (´ecart positif), les r´ealisations du projet sont en avance par rapport aux pr´evisions; • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est inf´erieur au budget encouru (´ecart n´egatif), les r´ealisations du projet sont en retard par rapport aux pr´evisions. D´efinition A.4 On d´efinit l’´ecart de planning relatif comme l’´ecart de planning divis´e par le budget encouru : Ecart de planning relatif =

CBTE - CBTP CBTP

A.4 D´efinition de l’´ecart de cout ˆ D´efinition A.5 On d´efinit l’´ecart de cout ˆ comme la diff´erence entre le coˆut budg´et´e du travail effectu´e et le cout ˆ encouru, c’est-`a-dire le coˆut r´eel du travail effectu´e : Ecart de coˆut = CBTE - CRTE L’analyse de cet e´ cart conduit a` dire que : • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est inf´erieur au coˆut encouru (´ecart de coˆut n´egatif), les r´ealisations du projet ont cout´ ˆ e plus cher que pr´evu; on est en pr´esence d’un risque de d´epassement budg´etaire si l’on ne peut pas compenser par des e´ conomies ult´erieures; • si le coˆut budg´et´e du travail effectu´e est sup´erieur au coˆut encouru (´ecart de coˆut positif), les r´ealisations du projet ont cout´ ˆ e moins cher que pr´evu; on a donc plus de chance de tenir l’enveloppe budg´etaire initiale.

Section A.5. Distribution de probabilit´e

121

A.5 Distribution de probabilit´e (voir figure A.1) • La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la Fonction de densite de probabilite f (x) 1 B

A

A

B

x

Fonction de repartition F (X < x) 1

0 A

B

x

Figure A.1: Distribution uniforme de probabilit´e valeur minimale A et la valeur maximale B sont e´ quiprobables. – sa fonction de densit´e de probabilit´e f (x) est donn´ee par : f (x) =

1 B−A

(A.1)

– sa fonction de r´epartition F (X < x) est donn´ee par : F (X < x) = avec F (X < A) = 0

x−A B−A

(A.2)

122

Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets

f (x)

A

M0

x

B

Figure A.2: Distribution Bˆeta de probabilit´e • La distribution Bˆeta (voir figure A.2) est une distribution unimodale qui : – a une fonction de r´epartition t. q. F (X < A) = 0 et F (X > B) = 1, – a une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par : (x − A)α (B − x)∞

f (x) = (B −

A)α+∞+1

Z

1

0

α

(A.3) ∞

t (1 − t) dt

– a une esp´erance math´ematique E(X) donn´ee par : α+1 α+∞+2

(A.4)

(B − A)2 (α + 1)(∞ + 1) (α + ∞ + 3)(α + ∞ + 2)2

(A.5)

E(X) = A + (B − A) – a une variance V (X) donn´ee par : V (X) =

– et a un mode M0 donn´e par : M0 =

A∞ + Bα α+∞

(A.6)

• La distribution Normale (voir figure A.3) est une distribution unimodale qui : – a une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par : ≥ x − µ ¥2 /2 − 1 σ f (x) = √ · e σ 2π

(A.7)

Section A.5. Distribution de probabilit´e

123

f (x)

N ( , σ)

α

xα

x

Figure A.3: Distribution normale de probabilit´e – a une fonction de r´epartition donnant P (X < xα ) donn´ee par : ≥ µ ¥2 /2 1 Z xα − x − σ P (X < xα ) = √ e dx = α σ 2π −1

(A.8)

• La distribution triangulaire (voir figure A.4) ne n´ecessite que de connaˆıtre les trois param`etres A, B et M0 , autrement dit les deux valeurs extrˆemes et le mode de la distribution. Cette distribution a : – une fonction de densit´e de probabilit´e donn´ee par :     

f (x) =    

2(x − A) (M0 − A)(B − A) 2(B − x) (B − M0 )(B − A)

si A ≤ x ≤ M0 si M0 ≤ x ≤ B

– une fonction de r´epartition donnant P (X < x) donn´ee par :     

(x − A)2 (M0 − A)(B − A) P (X < x) =   (B − x)2   1− (B − M0 )(B − A)

si A ≤ x ≤ M0 si M0 ≤ x ≤ B

– une esp´erance math´ematique E(X) donn´ee par : E(X) =

A + M0 + B 3

– une variance V (X) donn´ee par : V (X) =

A(A − M0 ) + B(B − A) + M0 (M0 − B) 18

124

Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets Densite de probabilite

f (x) 2 B

A

A

M0

B

Valeur minimum

Mode

Valeur maximum

x

Figure A.4: Distribution triangulaire de probabilit´e

A.6 L’approche classique du risque • la dur´ee t de chaque tˆache du projet est consid´er´ee comme al´eatoire de distribution Bˆeta. Les param`etres de la distribution Bˆeta sont calcul´es moyen√ nant une hypoth` √ ese de calcul assez forte (on suppose que α = 2 + 2 et que ∞ = 2 − 2) a` partir des trois param`etres A, B et M0 . Il suffit donc de poser les trois questions suivantes : – Quelle est la dur´ee minimum de r´ealisation de la tˆache ? – Quelle est la dur´ee maximale de r´ealisation de la tˆache ? – Quelle est la dur´ee la plus probable ? pour obtenir respectivement les param`etres A, B et M0 . • Ces trois param`etres permettent de calculer la moyenne et la variance, a` partir des formules suivantes : E(t) =

A + B + 4M0 6 µ

B−A V (t) = 6

∂2

(A.9) (A.10)

Annexe B Table de nombres au hasard

125

126

Annexe B. Table de nombres au hasard

43 64 58 92 32 00 38 41 08 58 21 78 91 40 93 06 26 84 64 60 97 66 02 34 90 61 61 81 92 75 40 74 42 24 82 12 42 49 86 01 19 08 95 31 66 41 83 62 82 05 39 65 76 45 45 19 90 69 64 61 20 26 36 31 62 58 24 97 14 97 95 06 70 99 00 73 71 23 70 90 65 97 60 12 11 31 56 34 19 19 47 83 75 51 33 30 62 38 20 46 72 20 47 33 84 51 67 47 97 19 98 40 07 17 66 23 05 09 51 80 59 78 11 52 49 75 17 25 69 17 17 95 21 78 58 24 33 45 77 48 69 81 84 09 29 93 22 70 45 80 37 48 79 88 74 63 52 06 34 30 01 31 60 10 27 35 07 79 71 53 28 99 52 01 41 02 89 08 16 94 85 53 83 29 95 56 27 09 24 43 21 78 55 09 82 72 61 88 73 61 87 18 15 70 07 37 79 49 12 38 48 13 93 55 96 41 92 45 71 51 09 18 25 58 94 98 83 71 70 15 89 09 39 59 24 00 06 41 41 20 14 36 59 25 47 54 45 17 24 89 10 08 58 07 04 76 62 16 48 68 58 76 17 14 86 59 53 11 52 21 66 04 18 72 87 Tableau B.1: Table de nombres au hasard

Annexe C Table de la loi normale centr´ee r´eduite

127

128

Annexe C. Table de la loi normale centr´ee r´eduite P zi

zj 0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,5000

0,4960

0,4920

0,4880

0,4840

0,4801

0,4761

0,4721

0,4681

0,4641

0,1

0,4602

0,4562

0,4522

0,4483

0,4443

0,4404

0,4364

0,4325

0,4286

0,4247

0,2

0,4207

0,4168

0,4129

0,4090

0,4052

0,4013

0,3974

0,3936

0,3897

0,3859

0,3

0,3821

0,3783

0,3745

0,3707

0,3669

0,3632

0,3594

0,3557

0,3520

0,3483

0,4

0,3446

0,3409

0,3372

0,3336

0,3300

0,3264

0,3228

0,3192

0,3156

0,3121

0,5

0,3085

0,3050

0,3015

0,2981

0,2946

0,2912

0,2877

0,2843

0,2810

0,2776

0,6

0,2743

0,2709

0,2676

0,2643

0,2611

0,2578

0,2546

0,2514

0,2483

0,2451

0,7

0,2420

0,2389

0,2358

0,2327

0,2296

0,2266

0,2236

0,2206

0,2177

0,2148

0,8

0,2119

0,2090

0,2061

0,2033

0,2005

0,1977

0,1949

0,1922

0,1894

0,1867

0,9

0,1841

0,1814

0,1788

0,1762

0,1736

0,1711

0,1685

0,1660

0,1635

0,1611

1,0

0,1587

0,1562

0,1539

0,1515

0,1492

0,1469

0,1446

0,1423

0,1401

0,1379

1,1

0,1357

0,1335

0,1314

0,1292

0,1271

0,1251

0,1230

0,1210

0,1190

0,1170

1,2

0,1151

0,1131

0,1112

0,1093

0,1075

0,1056

0,1038

0,1020

0,1003

0,0985

1,3

0,0968

0,0951

0,0934

0,0918

0,0901

0,0885

0,0869

0,0853

0,0838

0,0823

1,4

0,0808

0,0793

0,0778

0,0764

0,0749

0,0735

0,0721

0,0708

0,0694

0,0681

1,5

0,0668

0,0655

0,0643

0,0630

0,0618

0,0606

0,0594

0,0582

0,0571

0,0559

1,6

0,0548

0,0537

0,0526

0,0516

0,0505

0,0495

0,0485

0,0475

0,0465

0,0455

1,7

0,0446

0,0436

0,0427

0,0418

0,0409

0,0401

0,0392

0,0384

0,0375

0,0367

1,8

0,0359

0,0351

0,0344

0,0336

0,0329

0,0322

0,0314

0,0307

0,0301

0,0294

1,9

0,0287

0,0281

0,0274

0,0268

0,0262

0,0256

0,0250

0,0244

0,0239

0,0233

2,0

0,0228

0,0222

0,0217

0,0212

0,0207

0,0202

0,0197

0,0192

0,0188

0,0183

2,1

0,0179

0,0174

0,0170

0,0166

0,0162

0,0158

0,0154

0,0150

0,0146

0,0143

2,2

0,0139

0,0136

0,0132

0,0129

0,0125

0,0122

0,0119

0,0116

0,0113

0,0110

2,3

0,0107

0,0104

0,0102

0,0099

0,0096

0,0094

0,0091

0,0089

0,0087

0,0084

2,4

0,0082

0,0080

0,0078

0,0075

0,0073

0,0071

0,0069

0,0068

0,0066

0,0064

2,5

0,0062

0,0060

0,0059

0,0057

0,0055

0,0054

0,0052

0,0051

0,0049

0,0048

2,6

0,0047

0,0045

0,0044

0,0043

0,0041

0,0040

0,0039

0,0038

0,0037

0,0036

2,7

0,0035

0,0034

0,0033

0,0032

0,0031

0,0030

0,0029

0,0028

0,0027

0,0026

2,8

0,0026

0,0025

0,0024

0,0023

0,0023

0,0022

0,0021

0,0021

0,0020

0,0019

2,9

0,0019

0,0018

0,0018

0,0017

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015

0,0014

0,0014

3,0

0,0013

0,0013

0,0013

0,0012

0,0012

0,0011

0,0011

0,0011

0,0010

0,0010

Donne la probabilit´e P (Z > zi + zj )

Bibliographie [1] Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR, Paris, 2000. [2] Vincent GIARD, Gestion de Projets, Economica, Paris, 1991. [3] GIARD Vincent, Gestion de la production et des flux, 3`eme Edition, Economica, Paris, 2003. [4] Robert HOUDAYER, Evaluation financi`ere des projets, Economica, Paris, 1999. [5] J.O. MAC CLAIN, L.J. THOMAS et J.B. MAZZOLA, Operations Management: Production of Goods and Services, Prentice Hall, 1992. [6] Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques, AFNOR, Paris, 1996. [7] J.R. MEREDITH, et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley, 2003.

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Annexe D ´ Etudes de cas D.1 Cas 1 : Soci´et´e de routage Il s’agit ici de d´evelopper un logiciel de transmission pour la communication avec les camions, de mani`ere a` transmettre en temps r´eel aux camions les enl`evements a` r´ealiser et a` permettre le suivi en temps r´eel de la flotte et des colis. L’´enonc´e de cette e´ tude de cas ainsi que des e´ l´ements de solutions peuvent eˆ tre trouv´e dans Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques, AFNOR, Paris, 1996 [6, pages 185 a` 216].

D.2 Cas 2 : Achat de mat´eriel informatique La direction d’une soci´et´e d´ecide d’informatiser sa gestion. On comparera, sur le plan financier, les trois solutions envisag´ees : achat de mat´eriel informatique, location de ce mat´eriel, sous-traitance des services informatiques. Pour les donn´ees pr´ecises de cette e´ tude de cas et des e´ l´ements de solution, on ´ se r´ef´erera a` l’ouvrage de Robert HOUDAYER, Evaluation financi`ere des projets, Economica, Paris, 1999 [4, pages 257 a` 273].

D.3 Cas 3 : Conception d’un site Internet Un organisme de formation continue d´ecide, pour faire connaˆıtre son offre de formation, de se lancer dans la conception d’un site Internet. Il s’agit de d´efinir le cahier de charge fonctionnel du site Internet et de planifier le d´eveloppement, la mise en service et la mise a` jour du site Internet. Pour les donn´ees de cette e´ tude de cas, on se r´ef´erera a` l’ouvrage de Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR, Paris, 2000 [1, 131

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´ Annexe D. Etudes de cas

pages 184 a` 213].

D.4 Cas 4 : Construction d’un stade olympique La mairie d’une grande ville choisie pour les jeux olympiques doit planifier la construction du stade en tenant compte de l’incertitude sur la dur´ee des tˆaches (risques li´es aux intemp´eries, risque de gr`eves, retards possibles dans les livraisons). Pour les donn´ees de cette e´ tude de cas, on se r´ef´erera a` l’ouvrage de J.R. MEREDITH et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley, 2003 [7, pages 441-442].