Geometría Analítica - Luis Zegarra a.

GEOMETRIA ANALITICA

Luis Zegarra.

Sistema Unidimensional 153

Introducci´ on La geometr´ıa anal´ıtica es el estudio de la geometr´ıa mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. Dos problemas fundamentales: 1. Dada una ecuación dependiente de las variables x e y, dibujar su gráfica es decir representarla geométricamente como un conjunto de puntos en el plano. 2. Dado un conjunto de puntos en el plano, relacionados por ciertas condiciones geométricas, determinar una ecuación cuya representación gráfica corresponda enteramente aquellos puntos. Este problema es conocido con el nombre de Lugar Geométrico.

Cap´ıtulo 6 Sistema Unidimensional 6.1.

Sistema coordenado lineal

Sobre una recta fijamos un punto O, al cual se acostumbra a llamar origen, un sentido (de los dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivo y el otro como negativo y sobre el definimos un segmento unidad, asi diremos que dicha recta esta metrizada (o que en ella podemos medir distancias)

Definici´ on. Se llama abscisa, de un punto P de una recta metrizada a la medida del segmento OP , tomando OA como unidad. Dicha medida, la consideraremos positiva cuando el sentido es acorde con el positivo y negativa en caso contrario. Notaci´ on A la abscisa de un punto P lo denotaremos por ”p” o bien ”xp ”.

154


Luis Zegarra.

Nota Admitiremos que se cumple la siguiente propiedad fundamental llamado postulado de Dedekind. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos de una recta metrizada y el conjunto de los n´ umeros reales.

6.2.

Relaci´ on Fundamental - Distancia

Definici´ on. Un segmento AB, se considera positivo cuando el sentido de A hacia B es acorde con el sentido positivo de la recta dirigida y negativo en caso contrario, as´ı: AB = −BA Definici´ on. La suma de varios segmentos orientados consecutivos (es decir, tales que el origen de cada uno coincide con el extremo del anterior, excepto para el primero, que no tiene anterior), es el segmento orientado que tiene por origen el del primero y por extremo el del u ´ltimo, as´ı: AB + BC + CD = AD Una consecuencia inmediata de esta definición es que: La suma de varios segmentos orientados y consecutivos, tales como el origen del primero se confunda con el extremo del u ´ltimo, es nula, AB + BC + CA = 0 pues un segmento que tenga su origen y extremos coincidentes AA, tiene longitud nula. ¨ A esta u ´ltima relación se conoce como la relación fundamental de MOBIOS - CHASLES. Una consecuencia directa de la relaicón de CHASLES, es: Sea el punto A coincidente con el origen O(0) de las abscisas, se tiene entonces


Luis Zegarra.

OB + BC + CO = 0 =⇒ BC = −CO − OB pero − CO = OC asi BC = OC − OB, ahora si representamos las abscisas de B y C sobre la recta orientada por b y c respect´ıvamente tenemos, se tiene que BC = c − b Relación importante en la geometr´ıa anal´ıtica unidimensional, ya que expresa: La longitud de un segmento orientado, contenido en una recta metrizada es igual a la abscisa de su extremo (C) menos la abscisa de su origen (B).

Note que hemos dejado impl´ıcito en la notación: ”B(b)” la abscisa del punto B es b.

6.3.

Distancia

Dados los puntos A(a) y B(b), entonces dAB = |AB| = |b − a| Notemos que dAB ≥ 0, dAB = 0 ⇐⇒ A = B dAB = dBA pues: dAB = |b − a| = | − (a − b)| = |a − b| = dBA .


Luis Zegarra.

6.4.

Divisi´ on de un segmento en una raz´ on dada

Dados los puntos: A(a) y B(b) a + λb na + mb o bien p = n+m 1+λ

tales que

AP m = = λ entonces p = PB n

Demostraci´ on.

AP m p−a m = ⇐⇒ = ⇐⇒ np − na = mb − mp PB n b−p n ⇐⇒ (m + n)p = na + mb ⇐⇒ p =

na + mb n+m

a+b abscisa del punto medio del segmento AB 2 λ > 0 =⇒ puntos interiores del segmento AB

Note que si: λ = 1 =⇒ p =

λ < 0 =⇒ puntos exteriores al segmento AB.

6.5.

Ejercicios Resueltos

1. Determine la abscisa del punto P tal que Soluci´ on.

De la fórmula p =

na + mb se tiene n+m

AB 1 = si A(−2) y B(7) BP 4


Luis Zegarra.

7=

1 · Xp + 4(−2) =⇒ 35 = Xp − 8 1+4

de donde Xp = 43 3 2. Dados los puntos A(−5) y B( ), determine las abscisas de los puntos 2 X e Y , que dividen al segmento AB en tres partes iguales. Soluci´ on.

AX = 21 XB 3 2· 2 +1·(−5) = − 32 2+1

De inmediato de tiene Y =

2·(−5)+1· 23 2+1

= − 17 y de YAYB = 21 se 6 2 luego los puntos son X − 17 e Y − 6 3

=⇒ X =

3. Se dice que 4 puntos forman un juego armónico, si los puntos C y D dividen al segmento AB; interior y exteriormente en la misma razón CA DA 2 · AC · AD es decir =− entonces demuestre que AB = CB DB AC + AD Demostraci´ on. Sea A el origen, as´ı

CA DA o−c o−d =− ⇐⇒ =− ⇐⇒ cd − bc = bd − cd CB DB b−c b−d de donde b =

2(c − o)(d − o) 2AC AD 2cd ⇐⇒ AB = = . c+d (c − o) + (d − 0) AC + BD


Luis Zegarra.

4. Dos focos luminosos de intensidades α y α′ estan situados en los puntos F (f ) y F ′ (f ′ ) respect´ıvamente. Determine el punto X(x) de la recta F F ′ , que recibe la misma iluminación de ambos focos. (Observe que, la luz recibida por un punto es directamente proporcional a la intensidad del foco emisor e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto y el foco). Soluci´ on.

De acuerdo a la ley f´ısica, enunciada entre paréntesis tenemos α′ α α′ α = ⇐⇒ = F x2 F ′ x2 (x − f )2 (x − f ′ )2 ⇐⇒

(x − f )2 x − f′ (x − f ′ )2 x−f √ √ = ± = ⇐⇒ α α′ α α′

de donde resolviendo estas ecuaciones, una con el signo (+) y otra con el (-) se obtienen √ √ α′ f ± αf ′ x= √ √ α′ ± α 5. Si A, B, C, P y Q son puntos en un eje ordenado donde M es el punto AP AQ medio entre A y B y si =− , demuéstrese que PB AB a) M A2 = M P M Q 1 2 1 + = b) AP AQ AB Demostraci´ on.


Luis Zegarra.

a) M punto medio de AB ⇐⇒ m = p(a + b) + q(a + b) = 2ab + 2pq

a+b AP AQ y de =− ⇐⇒ 2 PB AB

⇐⇒ 2pm + 2qm = 2ab + 2pq ⇐⇒ pm + qm = a(2m − a) + pq ⇐⇒ a2 − 2am + m2 = pq − pm − qm + m2 ⇐⇒ (a − m)2 = (p − m)(q − m) ⇐⇒ M A2 = M P M Q b) Análogamente de p(a + b) + q(a + b) = 2ab + 2pq qb − qa + pb − pa − 2ab + 2a2 = 2pq − 2pa − 2aq + 2a2 (q − a) + (p − a)(b − a) = 2(p − a)(q − a) ⇐⇒ 2 1 1 2 (q − a) + (p − a) = ⇐⇒ + = (p − a)(q − a) b−a q−a p−a b−a ⇐⇒

1 1 2 + = AQ AP AB

6. Si A, B, C y D son 4 puntos colineales y P es un punto en la misma recta tal que P A P B = P C P D demuestre P A · BC · BD = P B · AC · AD Demostraci´ on.


Luis Zegarra.

Sea P (o) el origen P A · P B = P C · P D ⇐⇒ (a − p)(b − p) = (c − p)(d − p) ⇐⇒ ab = cd

(1)

P A · BC · BD = (a − o)(c − b)(d − b) = a(cd − cb − bd + b2 ) por (1) se tiene: = a(ab − cb − bd + b2 ) = b(a2 − ac − ad − ab) = b(c − a)(d − a) = (b − o)(c − a)(d − a) = P B · AC · AD 7. Si A, B, C son tres puntos colineales y P es un punto sobre la misma AP m recta tal que = , demuestre que PB n n(AC)2 + m(BC)2 = n(AP )2 + m(BP )2 + (n + m)(CP )2 Demostraci´ on. Eligiendo P como origen, se tiene m na + mb AP = ⇐⇒ p = ⇐⇒ na + mb = 0 PB n n+m luego de n(AP )2 + m(BP )2 + (n + m)(CP )2 = na2 + mb2 + (n + m)c2 = na2 + mb2 + (n + m)c2 − 2c(na + mb) por (1) esto es válido = n(a2 − 2ac + c2 ) + m(b2 − 2bc + c2 ) = n(AC)2 + m(BC)2

(1)


Luis Zegarra.

6.6.

Ejercicios Propuestos

1. Dados los puntos A(−3) y B(5), determinar las abscisas de los puntos que dividen a AB en 4 partes iguales. Respuesta. P1 (−1), P2 (1) y P3 (3) 2. La ecuación x2 − 8x + 15 = 0 (1), tiene dos soluciones P1 (x1 ) y P2 (x2 ) sobre una recta. Hallar la abscisa del punto medio del segmento P1 P2 . Si se toma como nuevo origen a este punto cual será la ecuación transformada de (1), referida a este nuevo origen. Respuesta. 2

4, x′ − 1 = 0 3. Dados los puntos A(−2), B(4) y P (1) ¿cuál es la razón

PA ? PB

Respuesta. P es el punto medio de AB. 4. Si los puntos A, B, C y D forman un juego armónico, demostrar que se cumple 2(ab + bc) − (a + b)(b + c) = 0 5. Dos móviles parten al mismo tiempo, de los puntos A(a) y B(b) moviéndose con movimiento uniforme sobre la recta AB y al encuentro el uno del otro. El primero con velocidad v y el segundo con velocidad v′. Encontrar la abscisa del punto en que se cruzan.


Luis Zegarra.

Respuesta. v ′ a − vb v′ − v 6. Dados los segmentos AB y CD. M y N son sus puntos medios respect´ıvamente, demuestre 2M N = AC + BD = AD + BC 7. Demostrar que si M es el punto medio de AB y P es un punto cualquiera de la recta que contiene a A y a B, se tiene P A · P B = (P M )2 − (M A)2 8. Si P y Q dividen a AB armónicamente, determine la abscisa de Q en AP términos de a, b y t dado que A(a) y B(b) y se verifica = t. AB Respuesta. q=

t(a + b) − a 2t − 1

9. Que condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 ∧ a′ x2 + b′ x2 + c′ = 0 para que las ra´ıces de la primera y las de la segunda correspondan a puntos de un juego armónico. Respuesta. 2(ac′ − a′ c) = bb′ 10. Un movil P parte del origen en el sentido positivo de una recta orientada, con una velocidad de 30 Km/h. Una hora después parte otro


Luis Zegarra.

móvil del punto Q(500) en el sentido opuesto de la recta con una velocidad de 40 Km/h. Determinar la abscisa del punto del encuentro y el instante de dicho encuentro a partir del momento de partida del primer movil . Unidades de la recta en Km. Respuesta. 371.42 Km

7.71 hr.

11. Un movil parte del punto A(−5), en el sentido positivo y con una velocidad de 50 Km/h. Otro movil parte de B(5) en el mismo sentido y con una velocidad de 48 Km/h. Hallar la abscisa del punto de encuentro y el instante del encuentro a partir del momento de partida de los dos móviles. Unidades de la recta en Km. Respuesta. 245Km;

5 hr.

12. Si A y B son puntos fijos sobre una recta y K una constante dada, demostrar que existen dos, uno o ning´ un puntos P que satisfagan la relación (P A)2 + (P B)2 = K(AB)2 seg´ un si K es mayor, igual o menor que

1 . 2

13. Dados los puntos A(a) y B(b) sobre una recta, encontrar las abscisas de P y Q tales que 1 1 P A = AB = BQ 2 3 Respuesta. p = 3a − 3b; q = 4b − 3a

Cap´ıtulo 7 Sistema Bidimensional 7.1.

Sistema Cartesiano

La correspondencia entre pares ordenados de n´ umeros reales y puntos en el plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596 - 1650), es lo que planteamos en forma breve a continuación. Definici´ on Sea un punto P (x, y) en el plano, (x, y) se llama par ordenado en que ”x” es el primer elemento del par e ”y” el segundo, por tanto; (x, y) 6= (y, x). Sean dos rectas perpendiculares en el plano, su punto de intersección se acostumbra a llamar origen O, dichas rectas las llamaremos eje X y eje Y . Sobre el eje X, considérese n´ umeros reales y diremos que hay correspondencia biun´ıvoca con los puntos de dicho eje, análogamente sobre el eje Y . Sea el O(0, 0) el origen O, en el eje X a la derecha de O colocamos los n´ umeros reales positivos y su izquierda los negativos, con respecto al eje Y los reales positivos por encima del origen O(0, 0) y los reales negativos por debajo.

165

Sistema Bidimensional 166

Luis Zegarra.

La intersección del eje X y eje Y definen 4 cuadrantes que se acostumbran a denotar como: I, II, III y IV. (ver fig).

Utilizando este esquema podemos asociar un par ordenado de n´ umeros reales (x, y) a cada punto P del plano y viceversa (correspondencia biun´ıvoca entre los puntos del plano y los pares ordenados (x, y)). Por tanto para todo P (x, y) del plano cartesiano ”x” se acostumbra a llamar abscisa del punto P ”y” se acostumbra a llamar ordenada del punto P (x, y) se acostumbran a llamar coordenadas de P Del punto P (x, y) se trazan perpendiculares a ambos ejes, que definen: la abscisa OA y de P igual a x y la ordenada OB de P igual a y. (ver fig.)


Luis Zegarra.

Note que la abscisa y ordenada del origen son 0.

7.2.

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) la distancia entre P1 y P2 está dada por d=

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Demostraci´ on. Notemos que las coordenadas del punto Q, son Q(x2 , y1 ). Por Pitágoras en el △ P1 Q P2 , se tiene que: d2 = |x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 mp d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2


Luis Zegarra.

7.3.

Divisi´ on de un Segmento en una raz´ on dada

Dados los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) que definen el segmento P1 P2 y sea dada la razón P1 P m = = λ, P P2 n

λ ∈ R,

λ 6= −1

entonces P (x, y) x1 + λx2 nx1 + mx2 = x= n+m 1+λ y= Demostraci´ on.

ny1 + my2 y1 + λy2 = n+m 1+λ

    

(2)

   

De la geometr´ıa elemental las rectas P1 A, P R y P2 B intersecan segmentos proporcionales sobre las dos transversales P1 P2 y AB luego


Luis Zegarra.

AR m x − x1 m P1 P = = ⇐⇒ = P P2 RB n x2 − x n ⇐⇒ n(x − x1 ) = m(x2 − x) ⇐⇒ (n + m)x = nx1 + mx2 ⇐⇒ x = x=

nx1 + mx2 de aqu´ı también se tiene n+m

x x1 + m x1 + λx2 n 2 = m 1+ n 1+λ

análogamente para el caso de las ordenadas, se tiene P1 P CQ m ny1 + my2 y1 + λy2 = = ⇐⇒ y = = P P2 QD n n+m 1+λ Note que si el punto de división es interno a P1 P2 entonces λ > 0, si en cambio el punto es externo λ < 0

7.4.

Coordenadas del Punto medio de un trazo

Notemos que si m = n o bien λ = 1, P (x, y) representa a las coordenadas del punto medio del trazo P1 P2 , que es: x1 + x2 y1 + y2 , P 2 2 Ejemplo. Sea A(−2, −3) y B(7, 1), determinamos P y Q tales que 1.

AP 2 = PB 3

2.

AQ 1 =− QB 3


Luis Zegarra.

Soluci´ on. 1.

3(−2) + 2 · 7 8 nx1 + mx2 =⇒ x = = e n+m 3+2 5 3(−3) + 2 · 1 8 −7 −7 = por tanto: P , y= 3+2 5 5 5 Aplicando x =

2.

1 QA 1 AQ = − ⇐⇒ = (ver figura) QB 3 AB 3

De la figura, se tiene: −2 =

1 · 7 + 3x =⇒ x = −5 1+3

−3 =

13 1 · 1 + 3y =⇒ y = − 1+3 3


Luis Zegarra.

7.5.

Pendiente

Dado un segmento P1 P2 mediante los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) la pendiente del segmento P1 P2 esta dada por y2 − y1 , x1 6= x2 x2 − x1 si x2 = x1 se dice que el segmento no tiene pendiente. m = tg α =

(3)

Nótese que la pendiente mide el grado de inclinación que tiene el segmento con relación a la horizontal paralela al eje X. Si α = 0◦ o α = 180◦ note que la pendiente del segmento es cero

Del concepto de segmento o trazo, podemos pasar en forma simple al concepto de una recta en el plano, basta con dejar libres en forma indefinida los extremos del segmento, notemos que el concepto de pendiente no var´ıa, el ángulo α ahora se mide con respecto al eje X. (ver fig.)


Luis Zegarra.

Es decir la pendiente com´ un a todos los puntos que forman la recta, esta dada por m = tg α donde α es el ángulo medido desde el eje X, hasta su encuentro con dicha recta, el ángulo α (positivo) puede ser medido en contra de los punteros de un reloj o bien a favor (negativo). Por tanto para determinar la pendiente de una recta, basta tomar dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) con x1 6= x2 que pertenezcan a la recta y aplicar la fórmula de pendiente de un segmento. m = tg α =

y2 − y1 , x2 6= x1 x2 − x1

En efecto: tg(180◦ − α) = m

−tg α =

y2 − y1 x2 − x1

y2 − y1 x1 − x2

m y2 − y1 , Notemos que x1 − x2 > 0 ∧ y2 − y1 > 0 tg α = x2 − x1 por tanto, al igual que para los segmentos, se tienen:


Luis Zegarra.

7.6.

Paralelismo y Perpendicularidad

Sean dos segmentos dados P1 P2 y P3 P4 cuyas pendientes son conocidas m1 y m2 . Consideremos que los segmentos se cortan o bien sus prolongaciones asi sean α y β los ángulos que forman dichos segmentos al cortarse. Note que una relación entre estos ángulos es que: α + β = 180◦

(4)

y como se conocen m1 y m2 esto implica que tg α1 = m1 y tg α2 = m2 , de la figura α = α2 − α1 ⇐⇒ tg α = tg(α2 − α1 ) tg α =

tg α2 − tg α1 m2 − m 1 ⇐⇒ tg α = 1 + tgα2 tg α1 1 + m2 m1

(5)

de aqu´ı si los segmentos son paralelos o coincidentes α = 0◦ o α = 180◦ en ambos casos


Luis Zegarra.

m2 − m1 = 0 ⇐⇒ m2 = m1 (condición de paralelismo)

si los segmentos son perpendiculares α = 90◦ o α = 270◦ en ambos casos tg α no existe y por tanto de (5) 1 + m2 m1 = 0 ⇐⇒ m2 m1 = −1 (condición de perpendicularidad).

7.7.

Lugares Geom´ etricos - Ecuaci´ on

Definici´ on El lugar geométrico de un punto se puede definir como aquel conjunto de puntos del plano cartesiano que satisfacen ciertas condiciones geométricas dadas para dicho punto. El lugar geométrico de un punto cosntituye por lo general una curva en el plano cartesiano, asi entonces también podemos agregar que una curva es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas. Dicha curva en general se representa en el plano cartesiano por medio de una ecuación que involucra a las variables x e y, es decir por F (x, y) = 0

Luis Zegarra.


As´ı, los valores reales x e y son todas las coordenadas de los puntos y solamente de aquellos puntos, que cumplen la condición o condiciones geométricas dadas y que definen el lugar geométrico. Ejemplo. 1. Sea P un punto cualquiera del plano cartesiano, tal que P está a una distancia constante de un punto fijo C, del mismo plano. El lugar geométrico definido es una circunferencia de centro C. A la distancia constante se suele llamar radio. 2. Sea P un punto del plano cartesiano que equidista (está a igual distancia) de dos puntos fijos A y B del mismo plano. El lugar geométrico es la mediatriz ( o simetral) del segmento AB. 3. Sea P un punto fijo de una circunferencia que rueda a lo largo de una recta. Este lugar se llama cicloide. Note que el punto aunque esta fijo en la circunferencia es movil con respecto a la recta. Observaci´ on. El problema que se nos plantea cuando nos definen un lugar geométrico, es el de encontrar una ecuación que lo represente. A esta ecuación como se dijo se llama ecuación del lugar geométrico. Una vez encontrada dicha ecuación estudiaremos sus propiedades algebraicamente y deduciremos de ellas las propiedades del lugar.

7.8.


1. Determine un punto P (x, y) tal que equidiste de tres puntos fijos dados por: A(−3, 2), B(1, 3) y C(0, −3)


Luis Zegarra.

Soluci´ on. Notemos que P (x, y) , es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Se debe tener: P A = P C = P 13 PA = PC = PB =

p

(1)

(x + 3)2 + (y − 2)2

p

x2 + (y + 3)2

p

(x − 1)2 + (y − 3)2

as´ı de (1) se obtienen  3x − 5y = −2 

2x + 12y = 1 cuyas soluciones son: x = − 19 ey= 46

7 46



2. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son los puntos O(0, 0) y A(−2, −3). Determine las coordenadas de los otros vértices. Soluci´ on. Notemos que hay √ dos soluciones posibles, y también que el cuadrado es de lado l = 13. Sea el vértice B(x, y), se debe tener: AB =

√

OB =

√

AB = OB =

p

 13  26



(x + 2)2 + (y + 3)2

p

x2 + y 2


Luis Zegarra.

de donde resulta el sistema: x2 + y 2 = 26 2x + 3y = −13 cuyas soluciones son: B(1, −5) y E(−5, −1) análogamente el vértice C(x, y), debe cumplir OC = AC =

√

√

 13 ⇐⇒ x2 + y 2 = 13 

26 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y + 3)2 = 26

de donde resolviendo se obtienen C(3, −2) y D(−3, 2)



3. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto P (x, y) cuya distancia al punto A(2, 0) es el doble de su distancia al punto B(−3, −1). Soluci´ on. Condición del L.G. de P (x, y) es PA = 2PB m 2 (P A) = 4(P B)2 (x − 2)2 + y 2 = 4[(x + 3)2 + (y + 1)2 ] de donde simplificando resulta: 3x2 + 3y 2 + 28x + 8y + 36 = 0 4. Probar que el punto cuyas coordenadas son x = x1 + t(x2 − x1 ) e y = y1 + t(y2 − y1 ) divide el segmento que une P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) t en la razón , x1 6= x2 , y1 6= y2 ∧ t 6= 1. 1−t


Luis Zegarra.

Soluci´ on. Sabemos que x=

x1 + λ x 2 1+λ

y=

y1 + λ y 2 1+λ

de aqu´ı x1 + t(x2 − x1 ) =

x1 + λ x 2 ⇐⇒ 1+λ

λ [(x1 − x2 ) + t(x2 − x1 )] = −t(x2 − x1 ) como x1 6= x2 λ(−1 + t) = −t =⇒ λ =

t , t 6= 1 1−t

resulta lo mismo si se toma y. 5. Dado elsegmento AB, donde A(0, 2) y B(3, 6). Determine la razón en 3 14 divide a AB. Como también P2 − , 0 . que P1 2, 3 2 Soluci´ on. 1 AP1 = P1 B t m x=

t·0+1·3 =2 t+1 m t = 1/2


Luis Zegarra.

y también y=

t·2+1·6 14 = t+1 3 m t = 1/2

asi

2 1 AP1 = 1 = , análogamente para P2 P1 B 1 2

1·3+t· P2 A 1 = ⇐⇒ 0 = AB t 1+t y2=

−3 2

=⇒ t = 2

1·6+t·0 ⇐⇒ 2 + 2t = 6 =⇒ t = 2 1+t

luego 1 P2 B − P2 A P2 B P2 A = ⇐⇒ = 2 ⇐⇒ =3 AB 2 P2 A P2 A ⇐⇒

1 AP2 1 P2 A = ⇐⇒ =− P2 B 3 P2 B 3

6. Determine la ecuación del L.G. del vértice C(x, y) de un triángulo ABC donde A(0, 0), B(a, 3a), a 6= 0 y tal que el producto de las pendientes de los lados AC y BC sea el doble de la pendiente del lado AB.


Luis Zegarra.

Soluci´ on. Condición del L.G. del vértice C(x, y) mAC · mBC = 2 mAB 3a y y − 3a · = 2 , a 6= 0 x x−a a y(y − 3a) = 6x(x − a) 6x2 − y 2 − 6ax + 3ay = 0 7. Un segmento de longitud l, desliza apoyado siempre sobre los ejes coordenados, determine la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) que 2 divide al segmento dado en la razón medido desde su extremo sobre 1 el eje X. ¿En que se transforma dicha ecuación si el punto P es el punto medio del segmento? Soluci´ on. Sea A(λ, 0) las coordenadas del extremo inferior del segmento, λ 6= 0 √ parámetro variable se debe tener que B(0, l2 − λ2 ) y que: 1·λ+2·0 x= =⇒ λ = 3x 3 √ 1 · 0 + 2 l2 − λ2 ⇐⇒ y= 3 √ 3y = 2 l2 − λ2 pero λ = 3x, entonces √ 1 3y = 2 l2 − 9x2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 4 Si es el caso de que P es el punto medio se obtiene 2 l x +y = 2 2

2

2 l 3


Luis Zegarra.

8. Determine la ecuacioón del L.G. del vértice C(x, y) de un triángulo ABC si A(0, 0) y B(0, a) tal que el ángulo CAB es doble que el ángulo CBA (a > 0). Soluci´ on. Condición del L.G. de C(x, y) ∢ CAB = 2 ∢ CBA por otra parte x x ∧ tg 2α = a−y y 2 tg α ⇐⇒ pero tg 2α = 1 − tg 2 α

tg α =

x 2 a−y x = ⇐⇒ x2 − 3y 2 + 4ay − a2 = 0 x2 y 1 − (a−y)2

9. Determine las coordenadas del ortocentro del triángulo ABC si A(−1, 1), B(4, 3) y C(3, −2). Soluci´ on. Recuerde que el ortocentro es el punto de intersección de las alturas del triángulo. Sean las coordenadas del ortocentro del △, H(x, y) mHC · mAB = −1 y+2 2 · = −1, x−3 5 5x + 2y − 11 = 0 análogamente mHB · mAC = −1 ⇐⇒

(1) y−3 3 · = −1 x − 4 −4


Luis Zegarra.

⇐⇒ 4x − 3y − 7 = 0 (2), resolviendo (1) y (2) se obtiene H

47 8 , 23 23

10. Demuestre anal´ıticamente que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si. Soluci´ on. Sea el rombo de vértices A(0, 0), B(a, 0), C(c, h) y D(a + c, h). Por demostrar mBC mAD = −1 mBC =

h h , mAD = c−a a+c

mBC mAD

h2 = 2 c − a2

pero c2 − a2 = −h2 luego mBC mAD =

h2 = −1. −h2


Luis Zegarra.

11. Dado el △ ABC, A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) y C(x3 , y3 ) determine el centro de gravedad del △ y demuestre que el centro de gravedad de △ P QR es el mismo que el del △ ABC, siendo P, Q y R los puntos en que dividen a los lados AB, BC y CA del triángulo ABC en la misma razón. Soluci´ on. El centro de gravedad del △ ABC es el punto de intersección de sus transversales de gravedad. 2 AG = , en que Sea G(¯ x, y¯), sabemos de la geometr´ıa elemental que GM 1 x2 + x 3 y 2 + y 3 M es el punto medio del lado BC, M , entonces , 2 2 3 2 x2 +x + 1x1 x1 + x2 + x3 y 1 + y 2 + y3 2 x¯ = = , análogamente y¯ = se 2+1 3 3 obtiene el mismo resultado tomando las otras transversales. λ AP = ⇐⇒ Coordenadas de P, Q y R si PB 1 λ x 2 + x1 λ y 2 + y1 xP = , yP = λ+1 λ+1 xQ =

λ x 3 + x2 , λ+1

yQ =

λ y 3 + y2 λ+1

xR =

λ x 1 + x3 , λ+1

yR =

λ y 1 + y3 λ+1

Si G′ es el centro de gravedad de △ P QR, se tiene x G′ =

x1 + x2 + x3 xP + xQ + xR = = xG 3 3

análogamente para yG′ = yG . 12. Probar anal´ıticamente que en cualquier △ABC se tiene AB 2 +AC 2 = 2(AD2 + DC 2 ) donde D es el punto medio de BC.


Luis Zegarra.

Soluci´ on. Sea el △ ABC que se muestra c en la figura de inmediato D , 0 2 2 2 2 AB = a + b AC 2 = (a − c)2 + b2 = a2 + c2 + b2 − 2ac AB 2 + AC 2 = 2a2 + 2b2 + c2 − 2ac

(1)

por otra parte c2 c 2 + b2 = a2 − ac + + b2 AD2 = a − 2 4 DC 2 =

2

2

2(AD + DC ) = 2

c2 4

c2 a − ac + b + 2 2

2

= 2a2 + 2b2 + c2 − 2ac (2)

como (1) = (2) se tiene lo pedido. 13. Determinar la ecuación del L.G. del vértice C de un triángulo de base AB fija, en cual se verifica que AD · BC = DB · AC siendo D el pie de la altura bajada desde el vértice C. Soluci´ on. Sea el △ ABC que se muestra en la figura


Luis Zegarra.

AD = |x| BC =

p

(x − b)2 + y 2

DB = |b − x| AC =

p

x2 + y 2

p p as´ı |x| (b − x)2 + y 2 = |b − x| x2 + y 2 de donde simplificando se b obtiene x = 2

7.9.


1. Sean los puntos P1 (2, 4) y P2 (8, −4) los extremos de un segmento. Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales 2 P2 P =− que P P1 1 Respuesta. (−4, 12) 2. Si M, N y P son los puntos medios de los lados de un triángulo ABC, determine las coordenadas de los vértices del triángulo, donde M (−2, 1), N (3, 2) y P (0, −2). Respuesta. A(−5, −3), B(5, −1) y C(1, 5) 3. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3, −2). Si la abscisa del extremo es 6. Hallar su ordenada. Respuesta.

Luis Zegarra.


2 y -6 4. Dos extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(−1, −4). P1 P en que el punto P (1, −2) divide al segmento. Hallar la razón P P2 Respuesta. 3 5. Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(−6, 3) y B(12, −6). Respuesta. (0, 0) y (6, −3) 6. Uno de los extremos de un segmento es el punto (2,3) y su punto medio es (6,-8). Determine las coordenadas del otro extremo. Respuesta. (10, -19) 7. Dos vértices de un triángulo equilátero son A(2, 0) y B(5, 4). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos soluciones) Respuesta. √ ! √ 7 + 5 2 16 − 15 2 y , 2 8

√ √ ! 7 − 5 2 16 + 15 2 , 2 8

8. Demostrar que los puntos A(0, 0), B(2, 3), C(4, 3), D(1, − 23 ) son los vértices de un trapecio. Calcular su per´ımetro y su área.

Luis Zegarra.


Respuesta. ≃ 12.866; 7.5 9. Uno de los extremos de un segmento de longitud 10 es el punto A(2, 0). Si la ordenada del otro extremo es 6. Hallar su abscisa. (Dos soluciones) Respuesta. -6 y 10 10. En un triángulo rectángulo cualquiera demuestre que el punto medio de su hipotenusa equidista de los tres vértices. 11. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto P (x, y) que equidista del punto fijo (0,0) una distancia de r unidades (r > 0). Respuesta. x2 + y 2 = r 2 12. Demuestre que el triángulo inscrito en una semicircunferencia de radio r, es rectángulo. (ocupe la ecuación del ejercicio 11). 13. Determine la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) que equidista de los puntos fijos A(2, −1) y B(6, 5). Demuestre también que el punto medio de AB satisface a esta ecuación. Respuesta. 2x + 3y − 14 = 0

Luis Zegarra.


14. Determine la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos P1 (x1 , y1 ) yP2 (x2 , y2 ), es cero. Respuesta. 2(x2 − x1 )x + 2(y2 − y1 )y = x22 − x21 + y22 − y12 15. Determine la ecuación del L.G. del vértice C(x, y) de un △ ABC, rectángulo en C, donde A(2, −1) y B(4, 5). Respuesta. x2 + y 2 − 6x − 4y + 3 = 0 16. Demostrar que los puntos A(−1, 6), B(5, −4) y C(−3, −2) son los vértices de un triángulo rectángulo. Calcule su área. Respuesta. 34 17. Calcular los ángulos interiores del triángulo cuyas vértices son los puntos A(−2, 1), B(2, 5) y C(−3, 4) Respuesta. 33.7◦ , 63.43◦ y 82.87◦ 18. Un segmento de pendiente 4 pasa por el punto (−1, 5) y por los puntos P1 (x1 , 3) y P2 (6, y2 ). Determine x1 e y2 . Respuesta.

Luis Zegarra.

x1 =


−3 e y2 = 33 2

19. Tres vértices de un paralelogramo son (3, 3), (−3, 6) y (−6, 5). Determine las coordenadas del cuarto vértice. Respuesta. (0,2) 20. Hallar la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) que debe estar sobre el segmento determinado por los puntos P1 (−2, 8) y P2 (4, 1). Respuesta. 7x + 6y − 34 = 0 21. Dos segmentos se cortan en el punto (3, 4) formando un ángulo de 45◦ o bien de 135◦ , si uno de ellos pasa por el punto (−1, 6) determine la ordenada de un punto A de abscisa -5 y que pertenece al otro segmento. Respuesta. 4 3 22. Dos vértices extremos de lado diferente de un triángulo isósceles son los puntos A(1, 1) y B(5, 3). Determine las coordenadas del tercer vértice C si este satisface la ecuación x − 6 = 0. Respuesta. (6,-4)

Luis Zegarra.


23. Demuestre anal´ıticamente que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases e igual a su semisuma. 24. Demuestre que el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de sus lados no paralelos. 25. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de cada dos lados opuestos de un cuadrilátero cualquiera se dimidian entre si. 26. Determinar la ecuación del L.G. del vértice C(x, y) de un triángulo de base fija AB = c, de modo que la transversal de gravedad que pasa por el vértice B, sea igual a la mitad del lado AC. Respuesta. Considerando A(0, 0) y B(c, 0), c > 0 la ecuación del L.G. pedido es: x = c. 27. Dados los puntos A(2, 5) y B(3, 1). Determine: a) Las coordenadas de un punto C, que equidiste de A y de B tal que satisfaga a la ecuación x − 2y + 3 = 0.

b) Las coordenadas de un punto D tal que el área del triángulo 15 ABD sea igual a . 2 c) Las coordenadas de un punto E tal que la perpendicular de AB 5 por E pase por el origen y el área del triángulo ABE sea . 2 Respuesta. 7 13 32 8 b) D pertenece a: 4x + y = 28 c) . a) , , 2 4 17 17

Luis Zegarra.


28. Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualquiera de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. 29. Demostrar que los dos segmentos que se obtienen uniendo dos vértices opuestos de un paralelogramo, con los puntos medios de sus lados opuestos son iguales y paralelos. 30. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales. 31. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(−1, 2) es igual al doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Respuesta. x2 − 3y 2 + 2x − 4y + 5 = 0 32. Demostrar que los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilatero y los puntos medios de sus diagonales son los vértices de un paralelogramo. 33. Encontrar la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) cuya distancia al punto (−2, 1) es igual a su distancia al origen de coordenadas y demuestre que dicho L.G. es una recta perpendicular al segmento que une (−2, 1) con el origen. Respuesta. 4x − 2y + 5 = 0


Luis Zegarra.

34. Determine la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos A(a, 0), B(a, a) y C(0, a) es igual al triple del cuadrado de su distancia al origen. Respuesta. x+y =a 35. Un segmento de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro sobre el eje Y . Hallar la ecuación del L.G. del punto medio del segmento. Respuesta. x2 + y 2 = 4 36. Demostrar que el punto de intersección de los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero coincide con el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. 37. Hallar la ecuación del L.G. de un punto para el cual la diferencia de los cuadrados de sus distancias a A y B vértices de un triángulo isósceles ABC, de lados AC = BC = a, es igual a, a2 . Respuesta. x−y =

a 2

38. Un triángulo equilátero tiene sus lados de longitud 2. Se toma el lado AB sobre el eje X tal que la simetral del lado AB coincide con el eje Y , sobre los lados AC y BC se construyen cuadrados hacia el exterior. Determinar las coordenadas de los vértices del triángulo y del cuadrado. Respuesta.

Luis Zegarra.


√ √ √ √ √ (−1, 0), (1, 0), (0, 3), (± 2, 2 2), (±2 2, 2) 39. Dados los puntos A(0, 3) yB(3, 2). Determine sobre el eje X un punto C tal que el ángulo agudo que forme AC con el eje X sea igual al ángulo formado con dicho eje por el trazo CB. Respuesta. 9 ,0 5

Cap´ıtulo 8

La Recta 8.1.

Definici´ on

Se llama recta al lugar geométrico de los puntos P (x, y) de un plano, tales que para todo par de puntos P1 y P2 de ella, las pendientes de P P1 , P P2 y P1 P2 son iguales. Ecuaci´ on La igualdad de pendientes implica y − y1 y − y2 y2 − y1 = = = m, x1 6= x2 x − x1 x − x2 x2 − x1

8.2.

(1)

Ecuaci´ on punto pendiente

De (1) se obtiene: y − y1 = m(x − x1 ),

(2)

conocida como la ecuación de una recta que pasa por un punto dado P1 (x1 , y1 ) y pendiente m conocida.

8.3.

Ecuaci´ on que pasa por dos puntos

En tanto (1) o bien de aqu´ı se obtiene: y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 205

(3)

Secciones 6-7-8-9 206

Luis Zegarra.

que representan a la ecuación de una recta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dados. Note que si x1 = x2 la recta es paralela o coincidente con el eje Y , en este caso con ninguna de las tres ecuaciones anteriores podemos representar a dicha recta, esto quedará para más adelante.

8.4.

Diversas formas de la ecuaci´ on de una recta

Si en (3) x1 = y1 = 0 la ecuación se convierte en y = mx

(4)

esta es la forma de las rectas que pasan por el origen exceptuando la ecuación del eje Y . Ahora, también de (3), obtenemos y = mx1 + y1 − mx2 pero y1 − mx2 es un parámetro real que vamos a denotar por n, as´ı y = mx + n

(5)

se llama ecuaci´ on principal de una recta, con la cual podemos representar todos las rectas en el plano cartesiano a excepción de las paralelas con el eje Y y el eje Y mismo. Esta ecuación nos indica que el coeficiente de la variable x, es igual a la pendiente de la recta, en tanto note que ”n” es el corte que tiene dicha recta con el eje Y . Sean a y b los cortes de una recta con los ejes X e Y respect´ıvamente con a y b no nulos la recta pasa por A(a, 0) y B(0, b) entonces por (3) b x y y − 0 = − (x − a) ⇐⇒ + = 1 a a b ecuación conocida como la ecuación de segmentos de una recta. Forma General de una recta Se llama forma general de la ecuación de una recta a:

(6)


Luis Zegarra.

Ax + By + C = 0

(7)

en que A, B y C son parámetros reales A yB no nulos a la vez. Se llama forma principal de una recta pues con ella podemos representar a todas las rectas en el plano cartesiano, as´ı: C A C A x− ;m = − y n = − B B B B familia de rectas que cortan en dos puntos, a los ejes coordenados.

I) A, B y C 6= 0, de (7) se obtiene y = −

A A x, ; m = − B B familia de rectas que pasan por el origen.

II) A y B 6= 0 ∧ C = 0 de (7) =⇒ y = −

III) B y C 6= 0 ∧ A = 0 de (7) =⇒ By + C = 0 ⇐⇒ y = −

C B

C B familia de rectas paralelas al eje X.

m = 0, n = −

IV) B 6= 0 ∧ C = A = 0, de (7) =⇒ By = 0 ⇐⇒ y = 0 m=0yn=0

y = 0 es la ecuación del eje X. V) A y C 6= 0 ∧ B = 0 de (7) =⇒ Ax + C = 0 ⇐⇒ x = − C A familia de rectas paralelas al eje Y .

m indefinida, p = −

VI) A 6= 0 ∧ B = C = 0 de (7) =⇒ Ax = 0 ⇐⇒ x = 0 m indefinida p = 0

x = 0 es la ecuación del eje Y .

C =p A


Luis Zegarra.

8.5.

Ecuaci´ on Normal

La forma normal de la ecuación de una recta es x cosα + y sen α = d

(8)

donde d > 0, numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta y α es el ángulo positivo (0◦ < α < 360◦ ) medido a partir de la parte positiva del eje X, a la normal. (ver figura) Recordemos que si a y b son los cortes que tiene dicha recta con los ejes X e Y , su ecuación esta dada por d d x y + = 1, a = ∧ b= a b cos α sen α de aqu´ı se obtiene: x cos α + y sen α = d. Si la recta esta dada en su forma general por Ax + By + C = 0 y su forma normal x cos α + y sen α − d = 0 como ambas representan la misma recta se debe tener: cos α = kA; sen α = kB

y

− d = kC

de aqu´ı 1

A B C √ x+ √ y+ √ = 0 (8) ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 √ d > 0 =⇒ k ∧ C deben ser de signos diferentes, por tanto C y ± A2 + b2 deben ser de signos diferentes. √ Si C = 0 y B 6= 0 =⇒ B y ± A2 + B 2 deben tener el mismo signo k=

√

, as´ı

√ Si C = 0 y B = 0 =⇒ A y ± A2 + B 2 tienen el mismo signo.


Luis Zegarra.

8.6.

Angulo entre dos rectas. Paralelismo y Perpendicularidad

Análogamente, el párrafo 7.6, se tiene que si las rectas estan dadas por y = m1 +n1 e y = m2 + n 2 m1 = tg α1

y m2 = tg α2 ,

α + β = 180◦

se obtiene

tg α2 − tg α1 m2 − m1 = (9) 1 + tg α2 tg α1 1 + m 2 m1 Notemos que α ∨ β son agudos (no ambos), si son iguales entonces las rectas son perpendiculares entre si. tg α = tg(α2 − α1 ) =

Recordemos que la condición de paralelismo exije m1 = m2 y la de perpendicularidad, m1 m2 = −1. Si las rectas estan dadas en su forma general l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ∧ l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0

La fórmula (8) se transforma en

A1 B2 − A2 B1 A1 A2 + B1 B2 ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯=0 paralelismo ⇐⇒ A1 B2 − A2 B1 = 0 ⇐⇒ ¯¯ ¯ ¯ A2 B2 ¯ tg α =

(10)

Perpendicularidad ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 = 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ B1 C1 ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ B1 C1 A1 ¯=0 ¯=0 ∧¯ = = ⇐⇒ ¯¯ Coincidencia ⇐⇒ ¯ ¯ ¯ A2 B2 C2 ¯ B2 C2 ¯ ¯ A2 B2 ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯= Intersección ⇐⇒ A1 B2 − A2 B1 = 6 0 ⇐⇒ ¯¯ ¯6 0 ¯ A2 B2 ¯


Luis Zegarra.

8.7.

Distancia de un punto a una recta

Dado P1 (x1 , y1 ) y una recta en su forma general Ax + By + C = 0, la distancia desde P1 a la recta esta dada por d=

|Ax1 + By1 + C1 | √ A2 + B 2

(11)

Demostraci´ on. Primero calculamos la distancia OQ, desde el origen a la recta para lo cual cos α =

OQ −C A

sen α =

OQ C −B

eliminando α, se obtiene OQ = √

|C| A2 + B 2

(∗)

Trasladando los ejes en forma paralela al nuevo origen P1 (x1 , y1 ), se tienen las ecuaciones de traslación x = x′ + x1 y = y ′ + y1 as´ı la ecuación de la recta dada referida a este nuevo sistema toma la forma Ax′ + By ′ + C ′ = 0,

C ′ = Ax1 + By1 + C

luego por (*) la distancia desde el nuevo origen P1 (x1 , y1 ) a la recta Ax′ + By ′ + C ′ = 0 esta dada por d= √

|Ax1 + By1 + C| |C ′ | √ = A2 + B 2 A2 + B 2


Luis Zegarra.

8.8.

Distancia Dirigida

La distancia dirigida d de la recta dada por Ax + By + C = 0 al punto P1 (x1 , y1 ), esta dada por la fórmula Ax1 + By1 + C √ (12) ± A2 + B 2 en donde el signo del radical se elige de acuerdo a lo expuesto en 8.5, además se debe considerar lo que sigue: d=

Si la recta dada no pasa por el origen, d es positiva o negativa seg´ un al punto P1 (x1 , y1 ) y el origen esten en lados opuestos o del mismo lado de la recta. Si la recta pasa por el origen, d es positiva o negativa seg´ un que el punto P1 , esté arriba o abajo de la recta.

8.9.

Familias

Ya sabemos que para determinar una recta se necesitan dos condiciones geométricas independientes. Todas las rectas que satisfacen una y sólo una condición geométrica forman una familia o haz de recta, por ejemplo 1. La familia de rectas que tienen pendiente variable y que pasan por un punto fijo y − y1 = m(x − x1 ), m parámetro P1 (x1 , y1 ) punto fijo. 2. Todas las rectas que tienen pendiente a, a > 0 (fijo) y el corte con el eje Y sea n, y = ax + n, n parámetro


Luis Zegarra.

y as´ı podemos seguir dando diversos ejemplos de familias de rectas que tienen una propiedad en com´ un, es de particular importancia el siguiente caso. Familia de rectas por la intersecci´ on de dos rectas dadas Sean las rectas l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 tales que A1 B2 6= A2 B1 ( condición de intersección). La familia de rectas que pasan por el punto de intersección de l1 y l2 , esta dada por la ecuación A1 x + B1 y + C1 + λ(A2 x + B2 y + C2 ) = 0, λ ∈ R

con la sólo excepción de la recta l2 (λ2 = 0).

Familia de perpendiculares a una recta dada Dada la recta Ax + By + C = 0 la familia de rectas perpendiculares a esta recta, estan dadas por Bx − Ay + λ = 0,

λ es un parámetro real.

Para el caso particular que una recta de esta familia pase por el punto P1 (x1 , y1 ) se tiene Bx1 − Ay1 + λ = 0 =⇒ Bx − Ay = Bx1 − Ay1

es una recta pependicular a la recta dada y que pasa por P1 (x1 , y1 ). Familia de paralelas a una recta dada Dada la recta Ax + By + C = 0 la familia de rectas paralelas a esta recta, estan dadas por λ Ax + λ By + D = 0, λ es un parámetro real. análogamente un elemento de esta familia que pasa por P1 (x1 , y1 ) esta dada por Ax + By = Ax1 + By1 ,

λ 6= 0


Luis Zegarra.

8.10.

T´ opicos Varios

Area Area de un triángulo que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) y P3 (x3 , y3 ) ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ 1 Area = | ¯¯ x2 y2 1 ¯¯ | la demostración se deja propuesta. 2 ¯ x3 y3 1 ¯

Si los tres puntos estan sobre la misma recta ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ x2 y2 1 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ x3 y3 1 ¯

Si en lugar de x3 e y3 se dejan x e y en la fórmula anterior, es decir ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x2 y2 1 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y 1 ¯

representa a una recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) Recordemos que: ¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d f ¯ ¯ d e ¯ ¯ e f ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d e f ¯ = a¯ ¯ − b¯ ¯ + c¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g i ¯ ¯ g h ¯ ¯ h i ¯ ¯ ¯ ¯ g h i ¯

Intersecci´ on de dos rectas dadas Dadas

 A1 x + B1 y + C1 = 0  A2 x + B2 y + C2 = 0

Eliminando y, se obtiene:



¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯


Luis Zegarra.

Casos

¯ ¯ −C1 ¯ ¯ −C2 B1 C2 − B2 C1 x= = ¯ ¯ A1 A1 B2 − A2 B1 ¯ ¯ A2

¯ B1 ¯¯ B2 ¯ ¯ ; B1 ¯¯ B2 ¯

¯ ¯ A1 ¯ ¯ A2 y= ¯ ¯ A1 ¯ ¯ A2

¯ −C1 ¯¯ −C2 ¯ ¯ B1 ¯¯ B2 ¯

¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ 6= 0, las rectas no son paralelas la solución da un u 1. Si ¯ ńico punto A2 B2 ¯ de intersección. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 −C1 ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ −C1 B1 ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ 6 0 las rectas son 2. Si ¯ =0 ∧ ¯ 6= 0 ∨ ¯ A2 −C2 ¯ A2 B2 ¯ −C2 B2 ¯ paralelas y no existe un punto de intersección, el sistema es incompatible. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ −C1 B1 ¯ ¯ A1 −C1 ¯ ¯=0∧¯ ¯ = 0 ⇐⇒ A1 = B1 = C1 ¯=¯ 3. Si ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A2 B2 A2 −C2 ¯ −C2 B2 A2 B2 C1 las rectas son coincidentes por tanto existen infinitas soluciones para el sistema. Ejemplo. Resolver:

 2x − 3y = 10  x + 7y = 1



Soluci´ on. Caso 1 ¯ ¯ ¯ 10 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 7 ¯ 67 ¯ = x= ¯ ¯ 2 −3 ¯ 17 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 7

¯ ¯ −3 10 ¯ ¯ 7 1 e y= 17

¯ ¯ ¯ ¯

=

−73 17


Luis Zegarra.

8.11.


1. Dada la recta (a − 2)x + (1 − 3a)y + a + 1 = 0. Determine a de modo que la recta: a) Pase por el punto (−2, 1) 2 b) Tenga pendiente − 3 c) Sea perpendicular a la recta ax − 2y + 10 = 0 3 d ) Forme un triángulo de área con los ejes coordenados. 2 Soluci´ on. a) El punto (−2, 1) debe satisfacer la ecuación de la recta dada, es decir (a − 2)(−2) + (1 − 3a)1 + a + 1 = 0 de donde a =

3 2

a−2 2 8 = − =⇒ a = 3a − 1 3 9 ¶ µ √ a−2 a = −1 =⇒ a = −2 ± 6 c) Se debe tener que: 3a − 1 2

b) De inmediato m =

d ) Coordenadas de A, y = 0 (a − 2)x + a + 1 = 0 =⇒ a+1 , a 6= 2 2−a µ ¶ a+1 as´ı A ,0 2−a

x=

Coordenadas de B, x = 0 =⇒ (1 − 3a)y + a + 1 = 0


Luis Zegarra.

=⇒ y =

µ ¶ a+1 a+1 luego B 0, por tanto se debe 3a − 1 3a − 1

¯ ¯ 1 ¯¯ a + 1 ¯¯ tener que ¯ 2 2 − a¯

¯ ¯ ¯ a+1 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ 3a − 1 ¯ = 2

Considerando (2 − a)(3a − 1) > 0(∗) conduce a 10a2 − 19a + 7 = 0 de 1 19 o a = (ambos valores son válidos). donde a = 10 2 Si (2 − a)(3a − 1) < 0 =⇒ 8a2 − 23a + 5 = 0 de donde a = 2.638 o a = 0.237 (también válidos)

2. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 2x − 3y − 5 = 0; x + 2y − 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje x, es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta. Soluci´ on. La ecuación de la familia de rectas por la intersección de las rectas dadas esta dada por: 2x − 3y − 5 + λ(x + 2y − 13) = 0 (1) Intersecando con el eje X, es decir haciendo y = 0 se obtiene x = por otra parte la pendiente de (1) está dada por m =

13λ + 5 λ+2

λ+2 , y se pide que 3 − 2λ

λ+2 1 13λ + 5 =2 =⇒ λ = 1 o λ = − λ+2 3 − 2λ 4 Para λ = 1 =⇒ y = 3x − 18 1 1 1 Para λ = − =⇒ y = x − 4 2 2 3. Determine los valores de a y b para que las ecuaciones ax − 7y + 18 = 0 y 8x − by + 9a = 0 a) Concurran en un punto b) Sean paralelas


Luis Zegarra.

c) Sean perpendiculares d ) Sean coincidentes. Soluci´ on. a) Por 8.6 se tiene de inmediato ¯ ¯ ¯ a −7 ¯ ¯ ¯ ¯ 8 −b ¯ = 56 − ab 6= 0 ⇐⇒ ab 6= 56 que es la condición de concurrencia.

b) Sean paralelas ⇐⇒ ab = 56.

c) Sean perpendiculares ⇐⇒ 8a + 7b = 0. ¯ ¯ ¯ −7 18 ¯ ¯ = 0 ⇐⇒ −63a + 18b = 0 de aqu´ı resultan ¯ d ) ab = 56 ∧ ¯ −b 9a ¯ a = 4 ∧ b = 14 o a = −4 ∧ b = −14 4. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 2) y que forme un ángulo de 45◦ con la recta 2x + y − 3 = 0. Soluci´ on. Seg´ un la figura se vislumbran dos soluciones posibles. La recta buscada es de la forma y − 2 = m(x − 1)

(1)

y la pendiente de la recta dada es m′ = −2, por tanto se deben cumplir m − (−2) −2 − m 1 tg 45◦ = 1 = o bien 1 = de donde se obtiene m = − o 1 − 2m 1 − 2m 3 m = 3 as´ı las ecuaciones de las rectas pedidas son 1 y − 2 = − (x − 1) o y − 2 = 3(x − 2) 3 5. Demuestre que las rectas cuyas pendientes son a y 45◦ (a 6= 0 ∧ a 6= 1).

1+a se cortan en 1−a


Luis Zegarra.

Demostraci´ on. Sean α1 y α2 las inclinaciones de las rectas mencionadas, as´ı m1 = tg α1 = a m2 = tg α2 = tg α2 =

1+a de aqu´ı 1−a

1 + tg α1 tg 45◦ + tg α1 = = tg(45◦ + α1 ) 1 − tg α1 1 − tg 45◦ tg α1

as´ı α2 = α1 + 45◦ lo que demuestra que l1 y l2 se cortan en 45◦ . 6. Se trazan perpendiculares desde el origen a las rectas cuyas ecuaciones son x + 2y = 10 y 2x + y = 10. Determine la ecuación de la recta que une los pies de estos perpendiculares y su longitud. Soluci´ on. Sean l1 : x + 2y = 10; m1 = −

1 2

l2 : 2x + y = 10; m2 = −2 Ecuaciones de OA y OB 1 y = 2x e y = x respect´ıvamente. 2 Coordenadas de A

 x + 2y = 10 

=⇒ A(2, 4)

 2x + y = 10  

=⇒ B(4, 2)

y = 2x

Coordenadas de B



1  y= x  2


Luis Zegarra.

As´ n pedida es: y −4 = −(x−4) y la longitud entre A y B resulta √ ı la ecuació√ 2 2 2 + 2 = 2 2. 7. Sobre los catetos AC = a y CB = b de un triángulo rectángulo ABC se construyen cuadrados ACF G y BCED. Demostrar anal´ıticamente que las rectas AD y BG se cortan sobre la altura hc . Soluci´ on. Eligiendo el △ABC como se indica en la figura Ecuación de AD

y=−

b (x − a) a+b

Ecuación de BG y−b= Ecuación de hc , mAB = −

b a y=

(1)

a+b x −a

(2)

a x b

(3)

a2 b ab2 , Resolviendo (1) y (2) se obtiene a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 satisface la ecuación (3), as´ı queda demostrado lo pedido. µ

¶

punto que

8. Determine el punto de intersección de las simetrales del triángulo de vértices A(−2a, b), B(0, b) y C(2a, −b). Soluci´ on. Sean M punto medio de AC luego M (0, 0). N punto medio de AB, N (−a, b) mAB = 0, Ecuación de S1 , es y=

mAC = − 2a x b

b 2a

(1)


Luis Zegarra.

Ecuación de S2 , es x = −a

(2) ¶ 2a2 resolviendo el sistema formado por (1) y (2) obtenemos A −a, − que b es el circuncentro o punto de intersección de las simetrales del triángulo. µ

9. Determine las ecuaciones de las bisectrices del ángulo formado por las rectas 2x + 3y − 12 = 0 ∧ x − 2y + 6 = 0. Soluci´ on. Ecuaciones de las bisectrices dadas por |x − 2y + 6 |2x + 3y − 12| √ √ = 13 5 de donde resultan dos casos posibles x − 2y + 6 2x + 3y − 12 √ √ = =⇒ 13 5 √ √ √ √ √ √ (2 5 − 13)x + (3 5 + 2 13)y − 6(2 5 + 13) = 0 I)

x − 2y + 6 2x + 3y − 12 √ √ =− =⇒ II) 13 5 √ √ √ √ √ √ (2 5 + 13)x + (3 5 − 2 13)y − 6(2 5 − 13) = 0 10. Demostrar anal´ıticamente que en el triángulo de vértices A(0, 0), B(−1, 5) y C(5, 1) la bisectriz del ángulo interior del vértice C y los bisectrices de los ángulos exteriores de los otros dos vértices son concurrentes. Soluci´ on. Primero determinamos las ecuaciones de los lados del triángulo: lAC : x − 5y = 0 lBC : 2x + 3y − 13 = 0 lAB : 5x + y = 0


Luis Zegarra.

|x − 5y| |2x + 3y − 13| √ √ = (*) 26 13 La ecuación de la bisectriz interior b1 , tiene la pendiente negativa, asi de (*) se obtiene que su ecuación es √ (1) x − 5y = 2(2x + 3y − 13) Bisectrices del vértice C dadas por

|2x + 3y − 13| |5x + y| √ = √ 13 26 de aqu´ı la ecuación de b2 es: √ 2(2x + 3y − 13) = 5x + y Bisectriz del vértice B,

(2)

|x − 5y| |5x + y| √ = √ 26 26 de aqu´ı se obtiene la ecuación de b3 (tiene pendiente negativa)

Bisectriz del vértice A,

2x + 3y = 0

(3)

ahora resolviendo √ el sistema√formado por las ecuaciones (1) y (3), se obtienen x = −3 2 e y = 2 2 y nótemos √ √que estos valores satisfacen la ecuación (2) por tanto el punto R(−3 2, 2 2) es el punto donde concurren las bisectrices mencionadas. 11. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x − y + 5 = 0 y x + y + 1 = 0 y liste del origen 3 unidades. Soluci´ on. Gráficamente se notan dos soluciones posibles, as´ı la familia de rectas por el punto de intersección de las rectas dadas l1 y l2 , esta dada por: x − y + 5 + λ(x + y + 1) = 0 se debe cumplir que 3= m

|(1 + λ)0 + (λ − 1)0 + λ + 5| p (1 + λ)2 + (λ − 1)2

17λ2 − 10λ − 7 = 0 =⇒ λ = 1 o λ = −

7 17


Luis Zegarra.

as´ı las ecuaciones de las 2 rectas que verifican esta condición son x = −3 y

5x − 12y + 39 = 0

12. Sean l1 y l2 dos rectas perpendiculares entre si por el origen, demuestre que la recta que pasa por los puntos de intersección de l1 y l2 con la curva y = x2 también pasa por el punto (0, 1). Soluci´ on. 1 Sea y = mx, m 6= 0 la ecuación de l1 entonces y = − x es la ecuación de m l2 Coordenadas de P1 ,  y = mx  y = x2

Coordenadas de P2

=⇒ P1 (m, m2 )



1  µ ¶ x   1 1 m =⇒ P2 − , 2  m m  y = x2 y=−

m2 − 1 (x − m). m Note que el punto (0, 1) satisface a esta ecuación.

Ecuación de la recta P1 P2 , y − m2 =

13. Demostrar que la recta y − x + 2 = 0 corta el segmento que une los puntos (3, −1) y (8, 9) en la razón 2 : 3. Demostraci´ on. Ecuación del segmento que une (3, −1) y (8, 9) es, y + 1 = 2(x − 3) intersecando con la recta y − x + 2 = 0 se obtiene P (5, 3) Note que, para el caso de las abscisas

xP − xA 5−3 2 AP = = = PB xB − xP 8−5 3


Luis Zegarra.

análogamente para las coordenadas AP yP − yA 3+1 4 2 = = = = PB yB − yP 9−3 6 3 14. En un triángulo cualquiera demostrar que el baricentro, el cincuncentro y el ortocentro son puntos que estan sobre una misma recta. Soluci´ on. Sea el triáµngulo de¶vértices ¶ 0), B(b, 0) y C(0, c) a, b, c > 0, as´ı se µ A(−a, c b b − a tienen A′ , 0 , B′ , P, Q y R coordenadas del ortocentro, 2 2 2 baricentro y circuncentro respect´ıvamente. Coordenadas de P . (punto de intersección de las alturas)  hC : x = 0  µ ¶  ab =⇒ P 0, a  c hB : y = − (x − b)  c Coordenadas de Q. (punto de intersección de las transversales de gravedad) tA : y =

c (x + a) b + 2a

2c x tC : y − c = a−b

      

=⇒ Q

µ

b−a c , 3 3

¶

Coordenadas de R. (punto de intersección de las simetrales)  b−a   SA′ : x =  µ ¶  2 b − a c2 − ab =⇒ R , µ ¶ 2 2c  c b b    SB ′ : y − = x− 2 c 2 Si los otros puntos P, Q y R son colineales, por 8.9- el siguiente determinante, debe ser nulo


Luis Zegarra.

¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ b−a ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ b−a ¯ 2

ab c c 3 c2 − ab 2c

¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b−a 1 ¯¯ = ¯¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b−a 1 ¯ ¯ 2

ab c 2

c − 3ab 3c c2 − 3ab 2c

¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ (b − a) 2 ¯ ¯ ¯ = (c −3ab) 0 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ 0 ¯

¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ ¯

15. Dado un triángulo isósceles de lados AB = AC sobre AB se toma un punto D y sobre BC un punto E, tal que la proyección de DE sobre el lado BC BC . Demuestre que la perpendicular a DE en E pasa por un sea igual a 2 punto fijo. Soluci´ on. Tomemos el triángulo isósceles como se indica en la figura, as´ı A(0, c), B(−b, 0) y C(b, 0), b > 0 y c > 0. Sea el punto E sobre BC de coordenadas (λ, 0), as´ı las coordenadas de F son y = 0 ∧ x = −(F E − DE) pero F E es BC b − (−b) la proyección de DE sobre BC y es igual a = = b, luego 2 2 x = −(b − λ) = λ − b as´ı F (λ − b, 0) Coordenadas de D, intersección de las rectas:  x=λ−b  µ ¶  cλ =⇒ D λ − b, y x  b + =1  −b c mDE = −

cλ de aqu´ı que la ecuación de l, es b2

b2 x b2 b2 b2 b2 (x − λ) =⇒ y = − ⇐⇒ y + = (x − 0) cλ cλ c c cλ µ ¶ b2 ecuación que nos indica que la recta pasa por el punto fijo 0, − c y=

16. Sea el rectángulo ABCD y su diagonal BD, por el vértice C se traza una perpendicular CM a BD. Demuestre que la recta CM pasa por un punto


Luis Zegarra.

fijo si el per´ımetro de dicho rectángulo es constante igual a 2K, K > 0 en que DA y AB son rectas fijas. Demostraci´ on. Por hipótesis 2b + 2d = 2k ⇐⇒ b + d = k mBC = −

(1)

b d =⇒ mCM = ; b, d > 0 b d

Ecuación de CM . y−d=

b (x − b) ⇐⇒ dy − bx = d2 − b2 = (d − b)(d + b) pero por d

dy − bx = (d − b)k ⇐⇒ d(y − k) = b(y − k) ⇐⇒ y − k =

(1)

b (y − k) d

ecuación que nos indica que la recta pasa por el punto fijo (k, k). √ 17. Sean los puntos A(a, 0) y B(0, b) tales que AB = c = a2 + b2 . Determine la ecuación de la recta que pasa por los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo dado (a, b > 0. Soluci´ on. Es claro que el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo es el µ ¶ a b circuncentro M , 2 2 El incentro punto de intersección de las bisectrices, se obtiene resolviendo el sistema: |bx + ay − ab| y = x ∧ |y| = √ a2 + b2 bx + ay − ab note que en ésta u ´ltima ecuación debemos tomar y = − pues c es la bisectriz del vértice A, que tiene pendiente negativa.


Luis Zegarra.

µ ¶ b m=− , note que c > a , as´ı resolviendo el sistema indicado resulta c−a ab por tanto la ecuación pedida es: x=y= a+b+c y−

b(a − b − c) a b = (x − ) 2 a(b − a − c) 2

18. Dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, demostrar que la suma de las distancias de dicho punto a los lados del triángulo es igual a su altura. Soluci´ on. √ Sea el triángulo equilátero que se indica, as´ı A(−a, 0), B(a, 0) y C(0, 3a), a > 0 y sea P (x, y) un punto interior del triángulo √ −a < x < a ∧ 0 < y < 3a Ocupando el concepto de distancia dirigida (8.7-) se tienen: √ √ √ √ 3x + y − 3a 3x − y + 3a d1 = y > 0; d2 = , d2 < 0; d3 = , d3 < 0 2 −2 √ √ √ √ 3x + y − 3a 3x − y + 3a √ − = 3a = hc d1 + d2 + d3 = y − 2 −2 19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto √ (3, 1) y tal que la distancia de ésta recta al punto (−1, 1) sea igual a 2 2. Soluci´ on. La ecuación de la recta pedida es de la forma y − 1 = m(x − 3) as´ı se debe verificar √ |m(−1) − 1 − 3m + 1| √ ⇐⇒ 8(m2 + 1) = 16m2 ⇐⇒ m = ±1 2 2= m2 + 1 luego hay dos rectas que cumplen estas condiciones, que son y − 1 = ±1(x − 3).


Luis Zegarra.

20. El ángulo de inclinación de cada una de dos rectas paralelas es α. Si una de ellas pasa por el punto (a, b) y la otra por el punto (c, d). Demostrar que la distancia que hay entre ellas es: |(c − a)sen α − (d − b)cos α| Soluci´ on. Las ecuaciones de l y l′ son y − b = tg α(x − a) y − d = tg α(x − c) respect´ıvamente. Es suficiente tomar la distancia entre el punto (c, d) a la recta l′ ¯ ¯ |tg α · c − d + b − a tg α| ¯¯ (c − a)tg α + (b − d) ¯¯ p =¯ d= ¯ sec α tg 2 α + 1

d = |(c − a)sen α + (b − d)cos α|

21. Determine el valor del parámetro λ de modo que las rectas l1 : λ x + (λ − 1)y − 2(λ + 2) = 0 l2 : 3λ x − (3λ + 1)y − (5λ + 4) = 0 formen un ángulo de 45◦ entre ellas. Hallar también el lugar geométrico de los puntos de intersección de las dos familias. Soluci´ on. De inmediato tg 45◦ = o bien tg 45◦ =

λ + λ−1 ³ ´ λ 3λ − λ−1 1 + 3λ+1 3λ 3λ+1

λ 3λ − λ−1 − 3λ+1 ´³ ´ ³ 3λ λ 1 + − λ−1 3λ+1

(1)

(2)


Luis Zegarra.

la ecuación (1) no da solución real, y de (2) se obtiene λ ≃ 0.623 o bien λ ≃ −178. y+4 4+y Lugar geométrico pedido, l1 =⇒ λ = y de l2 , λ = x+y−2 3x − 3y − 5 de donde igualando se obtiene: 2x − 4y − 3 = 0. 22. Ocupando el concepto de familia, hallar la ecuación de la transversal de gravedad (mediana) relativa al vértice A del triángulo definido por las rectas lAB : 2x − y + 1 = 0 lBC : x + y − 1 = 0 lCA : x − 3y − 1 = 0 Soluci´ on. Familia de rectas por el vértice A 2x − y + 1 + λ(x − 3y − 1) = 0

(1)

el punto medio de BC debe satisfacer a (1), as´ı: Coordenadas de B  2x − y + 1 = 0 

x+y−1=0 Coordenadas de C  x+y−1=0  x − 3y − 1 = 0



=⇒ B(0, 1)



=⇒ C(1, 0) as´ı M

µ

1 1 , 2 2

¶

3 en (1) resulta λ = , por tanto la ecuación de la mediana del vértice A, es: 4 11x − 13y + 1 = 0


Luis Zegarra.

23. Las rectas; l1 : x + y = 0, l2 : x − 5y + 12 = 0 y l3 : 5x − y − 12 = 0 determinan un triángulo. Determine a) El área y su per´ımetro. b) Las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Soluci´ on. a) Coordenadas de los vértices del triángulo x+y =0 x − 5y + 12 = 0 x+y =0 5x − y − 12 = 0

 

=⇒ A(−2, 2)



  

=⇒ C(2, −2)

 x − 5y + 12 = 0 

=⇒ B(3, 3)  5x − y − 12 = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 ¯ 0 2 1 ¯¯ 0 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯    ¯ Area = ¯ 2 −2 1 ¯ = ¯ 2 −2 1 ¯¯  = · 2(6 + 6) = 12 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 3 1 ¯ 3 1 ¯ √ √ √ √ √ Per´ımetro = AB + AC + CA = 4 2 + 26 + 26 = 4 2 + 2 26 b) El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo equidista de los tres vértices, as´ı: (x + 2)2 + (y − 2)2 = (x − 2)2 + (y + 2)2 = (x − 3)2 + (y − 3)2 de donde Q

µ

5 5 , 6 6

¶


Luis Zegarra.

24. Demostrar que el triángulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + n1 ; y = m2 x + n2 , m1 6= m2 esta dado por 1 (n2 − n1 )2 2 |m2 − m1 | Demostraci´ on. Las coordenadas de A y B son inmediatas, A(0, n2 ) y B(n1 , 0), para C  ¶ µ y = m1 x + n 1  n2 − n1 n1 m2 − m1 n2 , =⇒ C −  m2 − m1 m2 − m1 y = m2 x + n 2 1 1 Area = AB · hc = |n2 − n1 | 2 2 =

1 (n2 − n1 )2 2 |m2 − m1 |

¯ ¯ ¯ n2 − n1 ¯ ¯− ¯ ¯ m2 − m1 ¯

25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3x − 4y = 0; 2x − 5y + 7 = 0 y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 8. Soluci´ on. Familia de rectas por la intersección de las rectas dadas, es 3x − 4y + λ(2x − 5y + 7) = 0 Coordenadas de A, y = 0 ∧ 3x + λ(2x + 7) = 0 =⇒ x = −

7λ 3 + 2λ

Coordenadas de B x = 0 ∧ −4y + λ(−5y + 7) = 0 =⇒ y =

7λ 5λ + 4


Luis Zegarra.

luego se debe tener ¯ ¯¯ ¯ 7λ ¯¯ ¯¯ 7λ ¯¯ 1 ¯¯ − = 8 ⇐⇒ 49λ2 = 16|(3 + 2λ)(5λ + 4)| 2 ¯ 3 + 2λ ¯ ¯ 5λ + 4 ¯ si (3 + 2λ)(5λ + 4) > 0(∗) =⇒ 111λ2 + 368λ + 192 = 0 =⇒ λ1 = − o λ2 = − si λ = −

24 37

8 ambos valores satisfacen (*), por tanto 3

24 =⇒ 9x − 4y − 24 = 0 37

8 si λ = − =⇒ x − 4y + 8 = 0 3 si (3 + 2λ)(5λ + 4) < 0 no existen valores reales para λ. 26. La base de un triángulo tiene longitud constante, b, b > 0. Si la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados es igual a a2 . Demuestre que el L.G. del vértice opuesto a la base es una recta. Demostraci´ on. Sea el triángulo que se muestra en la figura, as´ı A(0, 0), B(b, 0) y C(x, y) Se dice que AC 2 − BC 2 = a2 x2 + y 2 − ((x − b)2 + y 2 ) = a2 =⇒ x = al eje Y .

a2 − b2 se trata de una recta paralela 2b

27. Sea P un punto variable sobre el eje Y , y dos puntos fijos A(a, 0) yB(b, 0) sobre el eje X con b > a, a y b no nulos. Hallar el L.G. de los puntos de intersección de las perpendiculares a las rectas P A y P B trazadas por A y B cuando P se mueve sobre el eje Y . Soluci´ on.


Luis Zegarra.

Sea el parámetro λ, λ 6= 0 P (0, λ) móvil sobre el eje Y . mP A = −

λ a =⇒ mAQ = a λ

mP B = −

b λ =⇒ mP B = b λ

as´ı ecuación de AQ es y=

a (x − a) λ

(1)

y=

b (x − b) λ

(2)

ecuación de BQ

para obtener la ecuació del L.G. de Q debemos eliminar el parámetro b(x − b) de donde x = a + b concom´ un, entre (1) y (2) as´ı resulta 1 = a(x − a) siderando b > a. x y + = 1, a ∧ b 6= 0 que corta al eje X en el punto a b P y al eje Y en el punto Q, sea l′ una recta perpendicular a l que corta al eje X en P ′ y al eje Y en Q′ . Determine el L.G. del punto de intersección de las rectas P Q′ y P ′ Q.

28. Dada una recta, l :

Soluci´ on. De la figura, se tiene P (a, 0) y Q(0, b). ml = − Ecuación de l′ : y =

b a ⇐⇒ ml′ = a b

a x + n con ”n” parámetro. b

Coordenadas de Q′ x = 0 ⇐⇒ y = n =⇒ Q′ (0, n) Coordenadas de P ′ ¶ µ nb nb ′ =⇒ P − , 0 y = 0 ⇐⇒ x = − a a


Luis Zegarra.

luego n lQ′ P : y = − (x − a) a lP ′ Q : y − b =

a x n

      

entre estas dos u ´ltimas ecuaciones eliminando el parámetro n, se obtiene y(y − b) = −x(x − a) ⇐⇒ x2 + y 2 = ax + by 29. Sea l una recta variable por un punto fijo A(a, b), l corta al eje a en un punto B y sea l′ perpendicular a l que pasa por A, l′ corta al eje Y en C. Determine el L.G. del punto medio P del trazo BC. Soluci´ on. Ecuación de l, es y − b = m(x − a) Ecuación de l′ , es y−b=−

1 (x − a) m

(1)

(2)

Coordenadas de B µ ¶ b ma − b as´ı B a − , 0 y = 0 en (1) =⇒ x = m m Coordenadas de C ³ a´ mb + a as´ı C 0, b + x = 0 en (2) =⇒ y = m m Sea P (x, y) el punto medio de BC, luego µ ¶ 1 a´ b 1³ x= a− ∧y= b+ 2 m 2 m eliminando m entre estas dos u ´ ltimas ecuaciones se obtiene: 2ax + 2by = a2 + b2 .

Luis Zegarra.


30. Determine la ecuación del L.G. del punto de intersección de las diagonales de un rectángulo inscrito en un triángulo dado ABC, que tiene uno de sus lados coincidiendo con el lado AB del triángulo. Soluci´ on. Dado el triángulo que se indica en la figura. Sean sus vértices: A(−a, 0), B(b, 0) y C(0, c), a, b, c > 0. Ecuación de RQ : y = λ; λ parámetro. y x + =1 Ecuación de AC : −a c µ ¶ µ ¶ λ λ =⇒ x = − 1 a =⇒ R ( − 1)a, λ c c µ ¶ µ µ ¶ ¶ x y λ λ Ecuación de BC : + = 1 =⇒ x = b 1 − =⇒ Q b 1 − ,λ b c c c Sea P (x, y) punto de intersección de las diagonales del rectángulo asi ¶ ¶ µ µ λ λ −1 a + b 1− λ c c ∧y= x= 2 2 µ ¶ ¶ µ 2y 2y c c =⇒ 2x = b 1 − − 1 a ⇐⇒ y = x+ + c c a−b 2 ecuación del L.G. pedido si a 6= b. Si a = b ⇐⇒ x = 0 es el L.G. 31. Dado un punto fijo A(a, 0), a 6= 0 y dos puntos variables en el eje Y, B(0, α) y C(0, β) tales que αβ = 1. Determine la ecuación del L.G. de los puntos de intersección de las perpendiculares a AB en B y a AC en C. Soluci´ on.


Luis Zegarra.

Supongamos α < β, α, β 6= 0 con αβ = 1 a α mAB = − =⇒ mBP = , a 6= 0 a α mAC = −

β a =⇒ mCP = a β

Ecuación de BP : y − α = Ecuación de CP : y − β =

a  x   α 

 a  x  β

1 Eliminando el parámetro αβ, considerando que αβ = 1 resulta x = ± a ecuación del L.G. pedido. 32. Por un punto P (a, b) se traza una recta variable que corta en A al eje X en B al eje Y . Se une A con el punto medio C del trazo OP ( O el origen), hasta cortar al eje Y en D. Por D se traza DM paralela con OP hasta cortar en M a la recta AB. Determine la ecuación del L.G. del punto M . Soluci´ on. Sea y − b = m(x − a) (1), la recta variable por P , m parámetro . Coordenadas de A µ ¶ b b y = 0 =⇒ x = a − =⇒ A a − , 0 m m Coordenadas de C

¶ a b , C 2 2 b bm ³ a´ Ecuación de AD es y − = x− haciendo x = 0 en ésta u ´lti2 2b − ma 2 µ ¶ b(b − ma ma ecuación obtenemos las coordenadas de D, 0, . 2b − ma µ

Ecuación de DM y−

b b(b − ma) = x 2b − ma a

(2)


Luis Zegarra.

Eliminando el parámetro m, entre (1) y (2) finalmente obtenemos: a2 y 2 − 3abxy + 2b2 x2 = 0 que es la ecuación del L.G. pedido. 33. Sobre los lados de un ángulo α, resbalan los extremos de un segmento AB de longitud ”a”, determine la ecuación del L.G. del punto de intersección P de las perpendiculares en A y B a los lados del ángulo. Soluci´ on. De inmediato mOA = tg α, mAP = −cotg α Ecuación de recta l y = tg αx Sea C(k, 0) entonces A(k, k tg α) Ecuación de recta BP es x = λ (1), λ parámetro. Ecuación de recta AP es y − k tg α = −cotg α(x − k)

Además debe verificarse que

(k −λ)2 +k 2 tg 2 α

=

a2

(2) (3)

finalmente reemplazando los valores de λ y k de (1) y (2) en (3), se tiene: µ

¶2 µ ¶ y + x cotgα y + x cotg α 2 2 −x + tg α = a2 tg α + cotg α tg α + cotg α

de donde simplificando se llega a: x2 + y 2 = a2 cosec2 α. 34. Desde un punto P se bajan las perpendiculares P S y P T a los lados de un ángulo α, determinar la ecuación del L.G. del punto P de modo que la suma de sus distancias del vértice A del ángulo α, a los pies de las perpendiculares sea ”a”. Soluci´ on. Por condición del L.G. de P (x, y), AS + AT = a

(1)


Luis Zegarra.

AS = x En △ AQT

sen α =

En △ P RT , se tiene tg α = RT =

y + RT y + RT =⇒ AT = AT sen α x − AQ , pero AQ = AT cos α as´ı RT

x AT cos α cos α cos2 α − ⇐⇒ RT = x− AT en tg α tg α sen α sen α

AT sen α = y +

(2)

(2)

cos α cos2 α x− AT ⇐⇒ AT = y sen α + x cos α sen α sen α

finalmente en (1), x + y sen α + x cosα = a es decir (1 + cos α)x + sen αy = a, que es la ecuación L.G. pedido.

8.12.


1. Determine el parámetro λ para que las rectas l1 : λ x + (λ − 1)y − 2(λ + 2) = 0 l2 : 3λx − (3λ + 1)y − (5λ + 4) = 0 sean: Paralelas, perpendiculares entre si, concurrentes en un punto y coincidentes. Respuesta. 1 1 1 λ = ; λ = − ; λ 6= 0 ∧ λ 6= ; λ = 0 3 2 3 2. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 5x + 2y − 11 = 0 y −2x + 3y − 6 = 0 y el segmento que determina sobre el eje Y es igual a la mitad de su pendiente. Hallar la ecuación de la recta.

Luis Zegarra.


Respuesta. 104x − 61y + 52 = 0 3. Determine una recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x − y + 2 = 0; x − y + 1 = 0 y forme con los ejes coordenados un triángulo 3 de área igual a . 2 Respuesta. 3x + y + 3 = 0 4. Determine el parámetro k de manera que la recta 2y + kx − 11 = 0 pase por el punto de intersección de las rectas x − 2y + 5 = 0 y 2x + 3y + 3 = 0. Respuesta. k = −3 5. Determine el valor del parámetro k de modo que las rectas de la familia 5x − 12y + k = 0 disten del origen 5 unidades. Respuesta. k = ±65. 6. Determine √el valor del parámetro k de modo que las rectas de la familia kx − y + 3 5 = 0, disten del origen 3 unidades. Respuesta. k = ±2 7. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(−1, 1), B(3, 4) y C(5, −1), también hallar el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.


Luis Zegarra.

Respuesta. 13; (2.309, 1.537) 1 8. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son l1 : y = ax − bc; l2 : y = 2 1 1 bx − ac; l3 : y = cx − ab. Demostrar que el área del triángulo es 2 2 1 A = (a − b)(b − c)(c − a), 8

c>a>b

9. Un punto móvil en el plano cartesiano tiene las coordenadas (3t − 1, t + 2) en cada instante t, ¿cuál es la ecuación de la trayectoria de dicho punto? Respuesta. x − 3y + 7 = 0 10. Dado el triángulo ABC, donde A(0, 0), B(b, 0) y C(0, c). Un trazo DE se desplaza paralelamente al lado AB apoyado en los lados AC y BC respect´ıvamente. Determine la ecuación del L.G. del punto P (x, y) de intersección de las rectas AE y BD. Respuesta. 2cx + by − bc = 0 11. Demostrar que el L.G. de un punto que se mueve de modo que la suma de las perpendiculares bajadas desde él a dos rectas dadas es constante, es una recta. 12. Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan todos de las rectas paralelas 12x − 5y + 3 = 0 y 12x − 5y − 6 = 0. Respuesta. 24x − 10y − 3 = 0

Luis Zegarra.


13. Hallar la ecuación del L.G. de un punto P (x, y) que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x = 2 es siempre 3 unidades mayor que su distancia del punto (−1, −3). Respuesta. y + 3 = 0 si x < 2 14. Hallar la recta que pasa por la intersección de las rectas l1 : x + 2y − 1 = 0 1 y l2 : 2x − y + 3 = 0 y que diste del punto (0, 1) una longitud a √ . 5 Respuesta. x + 2y − 1 = 0; x − 2y + 3 = 0 15. Determine la ecuación del L.G. de un punto P cuya distancia al origen sea el doble de su distancia a la recta y = x. Respuesta. x2 + y 2 = 2x − 2y 16. Hallar las longitudes de las perpendiculares bajadas desde el origen a los lados del triángulo cuyos vértices son (2, 1), (3, 2) y (−1, −1). Respuesta. 1 1 1 , √ , √ 5 13 2 17. Hallar la distancia entre las rectas paralelas x + y + 8 = 0 y x + y − 1 = 0. Respuesta. 9 √ 2

Luis Zegarra.


18. Hallar la ecuación del L.G. de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta 4x − 3y + 12 = 0 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. Respuesta. 4x + 7y + 12 = 0; 4x − 13y + 12 = 0 19. La perpendicular desde el origen a una recta mide 6 unidades y forma con 3 el eje X un ángulo cuya tangente es igual a . Determine la ecuación de la 4 recta. Respuesta. 4x + 3y ± 30 = 0 20. Hallar la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas x − 2y − 4 = 0 y 4x − y − 4 = 0. Respuesta. √ √ √ √ √ √ ( 17 + 4 5)x − (2 17 + 5)y − 4( 17 + 5) = 0 21. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto com´ un de las rectas x + 2y − 1 = 0 y 2x − y + 3 = 0 y que diste del punto (0, 1) una longitud 1 de √ . 5 Respuesta. x − 2y + 3 = 0 y x + 2y − 1 = 0 22. Determine las ecuaciones de las bisectrices de las rectas 3x − 4y − 3 = 0 y 4x − 3y + 12 = 0. Respuesta.

Luis Zegarra.


x + y + 15 = 0 y 7x − 7y + 9 = 0 23. Si a, b, c son parámetros reales no todos nulos que verifican 2a + 3b − 5c = 0. Demostrar que todas las rectas de la familia ax + by + c = 0 pasan por un punto fijo. 24. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x−9y+11 = 0 y 3x+2y−7 = 0 también hallar la ecuación de la recta que pasa por su intersecci´ on y por el punto (2, −1). Respuesta. 80◦ 16′ ; 96x + 29y − 163 = 0 25. Una recta se mueve de tal manera que la suma de los rec´ıprocos de los segmentos que determina sobre los ejes coordenados es siempre igual a una constante k, k 6= 0. Demostrar que la recta pasa por un punto fijo. 26. Hallar el valor de k, de modo que una recta de la familia kx+(k−1)y−18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Respuesta. 4. 27. Hallar el valor de k para que las rectas de la familia k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0. Respuesta. √ −1 ± 7 3 28. Determine el valor de k, de modo que las rectas 3x+y−2 = 0, kx+2y−3 = 0 y 2x − y − 3 = 0 concurran en un punto.

Luis Zegarra.


Respuesta. k = 5. 29. Sea el triángulo cuyos vértices sean A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3) se pide: a) Las ecuaciones de sus lados b) La recta que pasa por el vértice A y es paralela a BC c) La ecuación de las rectas por B y que trisecan a AC d ) Hallar las coordenadas del punto de intersección de: las transversales de gravedad, de las simetrales y de las alturas. e) El área del triángulo. Respuesta. a) x − y + 3 = 0; 5x + y − 27 = 0 y x + 2y = 0 b) 5x + y + 9 = 0

c) 11x − 5y − 9 = 0; 13x − y − 45 = 0 ¶ µ ¶ µ ¶ µ 10 5 4 5 8 5 , , , d) ; y 3 3 3 3 3 3 e) 21

30. Sea el punto A cuya ordenada es 10 y se encuentra sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7, −2). Determ´ınese la abscisa de P. Respuesta. 11 31. Dos rectas l1 y l2 forman entre s´ı un ángulo de 135◦ . Sabiendo que l2 tiene pendiente -3. Calcular la pendiente de la recta l1 . Respuesta.


Luis Zegarra.

±

1 2

32. Hallar anal´ıticamente los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos A(−2, 1), B(3, 4) y C(5, −2). Respuesta. 77◦ 28′ , 54◦ 10′ , 48◦ 22′ 33. Demostrar que los puntos (2, 5), (8, −1) y (−2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos interiores. Respuesta. 33◦ 41′

56◦ 19′

34. Hallar la distancia desde el origen a cada una de las rectas paralelas 2x + 3y − 4 = 0 y 6x + 9y − 5 = 0. Deducir de éste resultado la distancia entre las rectas. Respuesta. √ 7 13 39 35. Hallar la ecuación del L.G. de un punto que se mueve, de tal manera que: a) Equidiste de los puntos (2, 3) y (4, −1).

b) Forme con los puntos (5, 1) y (−1, 2) un triángulo de área 6. c) La diferencia de los cuadrados de sus distancias a (−1, 3) y (2, 4) sea igual a 8.

Respuesta. a) 3x + y + 1 = 0 b) x + 6y + 1 = 0

Luis Zegarra.


c) 3x + y = 9 36. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 4x + 7y + 9 = 0 y tal que el 7 área del triángulo que forma con los ejes coordenados sea . 2 Respuesta. 7x − 4y = ±14 x y 37. Hallar la ecuación de la recta paralela a + = 1 y tal que la distancia a 3 4 ella desde el origen sea 8. Respuesta. 4x + 3y = ±40 38. Desde un punto P se bajan perpendiculares P S y P T sobre las rectas fijas OS y OT que se cortan formando un ángulo α. Determine la ecuación del L.G. de P si ST es paralela a una recta fija. Respuesta. y + x cosα = m(x + y cosα); m pendiente de la recta fija. 39. Demostrar que las rectas que unen un vértice de un paralelógramo con los puntos medios de los lados opuestos, trisecan la diagonal que no concurre al vértice y esta a su vez triseca a dichas rectas. x y x y x y 40. Si + = 1 interseca a las rectas = y = en P y Q con a y a b 4a b a 4b b 6= 0, encuentre la distancia P Q. Respuesta. 3p 2 a + b2 5

Luis Zegarra.


41. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de 2x − y − 1 = 0 y x + 2y − 4 = 0 y su corte con el eje X, determina una distancia de 1 unidad, medida desde el origen. Respuesta. 7x − y − 7 = 0; 7x − 11y + 7 = 0 42. Dado el triángulo ABC cuyos vértices son A(1, 2), B(8, 4) y C(4, 10). Hallar las coordenadas de un punto P tal que los triángulos P CB, P CA y P AB tengan la misma área en magnitud y signo. Respuesta. (11, 12)

8.13.

Ejercicios Propuestos de nivel avanzado

1. Sea P (a, b) el punto medio del trazo AB. La recta OQ es paralela a AB. 2 1 1 La recta P Q es cualquier recta por P . Demostrar que = + , PQ PX PY siendo X e Y las intersecciones con los ejes coordenados. 2. Si los vértices de un triángulo están respect´ıvamente en tres rectas concurrentes y si dos de los lados pasan por un punto fijo, entonces el tercer lado también pasa por un punto fijo. 3. Se toman por ejes a los lados opuestos de un cuadrilátero y los otros dos x y x y lados tienen por ecuaciones + = 1, + = 1. Hallar el punto 2a 2b 2a1 2b1 medio de las diagonales, a, a1 , b, b1 6= 0. Respuesta. (a, b1 ) y (a1 , b) 4. Sea una recta AB que corta sobre los ejes coordenados segmentos iguales. Se toma un punto M , variable sobre AB y se trazan las perpendiculares M P y M Q a los ejes coordenados, se traza enseguida M R perpendicular a

Luis Zegarra.


P Q. Demostrar que M R pasa por un punto fijo cuando M recorre la recta AB. 5. Si m1 , m2 y m3 son diferentes entre si, demostrar que la condición necesaria y suficiente para que las tres rectas: y = m1 x + n1 ; y = m2 x + n2 ; y = m3 x + n3 concurran en un punto es: m1 n2 − m2 n1 − m3 n2 + m3 n1 − m1 n3 + m2 n3 = 0 6. Sean P1 y P2 dos puntos fijos, sea l una recta variable, y sean d1 la distancia de P1 a l y sea d2 la distancia de P2 a l. Demostrar que si d1 = 2d2 la recta pasa por un punto fijo. 7. Demostrar en un triángulo rectángulo, que la recta que une el vértice del ángulo recto con el centro del cuadrado constru´ıdo sobre la hipotenusa (hac´ıa el exterior del triángulo) es bisectriz del ángulo recto. 8. Demostrar anal´ıticamente que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados contiguos a los respectivos segmentos. 9. Desde un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles se trazan perpendiculares a los lados iguales. Demostrar que la suma de las longitudes de estas perpendiculares es constante e igual a la longitud de la altura correspondiente al vértice opuesto de dicha base. 10. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos exteriores de cualquier triángulo forman un ángulo igual a la mitad del tercer ángulo exterior. 11. Dado un ángulo AOB, sobre el lado OA se toman los puntos P y Q y sobre OB los puntos R y S; P S y QR se cortan en C. Demostrar que L, M y N puntos medios de OC, P R y QS respect´ıvamente son colineales. (Elija un sistema obl´ıcuo de coordenadas).

Luis Zegarra.


12. En un triángulo dado ABC, se traza de un punto en su interior las rectas P D paralela a C y P E paralela a AB. Determine la ecuación del L.G. de PD 1 P de modo que = . PE 2 Respuesta. Si los vértices del triángulo son A(0, 0), B(b, 0) y C(0, c) entonces la ecuación del L.G. es cx + (2c + b)y − bc = 0 13. Entre los lados de un ángulo α, se mueve un punto P de modo que la suma de sus distancias a los lados del ángulo es constante. Hallar la ecuación del L.G. de dicho punto. Respuesta. √ (x + y) 1 + cos2 α = k, k constante. 14. Desde un punto P se bajan perpendiculares P S Y P T sobre dos rectas fijas OS y OT que se cortan formando un ángulo α. Hallar la ecuación del L.G. de P si ST es dimidiada por la recta y = mx + n. Respuesta. y + x cosα = m(x + y cosα) + 2n 15. Con referencia al problema anterior, suponga que P se mueve sobre la recta y = mx. Hallar el L.G. del punto medio de ST . Respuesta. 2y − 2x cos α = m(2x − 2y cosα) + n sen2 α

Cap´ıtulo 9

La Circunferencia 9.1.

Definici´ on

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio. Ecuaci´ on Sea C(a, b) las coordenadas del centro, r el radio r > 0 y P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Condición del L.G. de P (x, y) CP = r p

(x − a)2 + (y − b)2 = r m

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(1)

A esta ecuación (1) se suele llamar ecuación canónica o standard de una circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

205

Luis Zegarra.

Sección 9

206

Notemos que de (1) desarrollando los cuadrados obtenemos x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

(2)

una ecuación de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y además iguales a 1, carece del término en xy. Por tanto la ecuación en particular x2 + 3xy + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0 no representa a una circunferencia. Vamos estudiar en el párrafo siguiente en forma mas general una ecuación tal como (2).

9.2.

Forma general centro y radio

Dada la ecuación general de 2o grado, por: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

A, B, C, D, Ey F parámetros reales De la observación anterior B = 0, A = C 6= 0, as´ı Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y 2 +

D E F x+ y+ =0 A A A

completando cuadrados obtenemos: E 2 D2 + E 2 − 4AF D 2 + y+ = x+ 2A 2A 4A2

(4)

De la definición de circunferencia real (9.1-) se deduce que el centro tiene las coordenadas D E D2 + E 2 − 4AF C − ,− y al radio r2 = 2A 2A 4A2 esta u ´ltima expresión para el radio nos impone que para (3) represente a una circunferencia real D2 + E 2 − 4AF > 0.

Luis Zegarra.

9.3.

Sección 9

207

Casos Notables

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el origen y radio r. De (1) se obtiene haciendo a = b = 0 x2 + y 2 = r2

(5)

Notemos también que en general una circunferencia tal como (x − a)2 + (y − b)2 = r2 necesita exáctamente de tres condiciones independientes para ser determinada. Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuación x2 + y 2 + M x + N y + P = 0

(6)

como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 + N 2 − 4P > 0 (condición del radio). En este caso el centro esta dado por √ M 2 + N 2 − 4P M N C − ,− y en radio por r = 2 2 2

9.4.

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = −b, en el primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x, as´ı su ecuación estará dada por (x ± λ)2 + (y ± λ)2 = λ2 , a = b = r = ±λ 6= 0 λ parámetro real, para el 2o caso el centro pertenece a y = −x, as´ı su ecuación será: (x ± λ)2 + (y ∓ λ)2 = λ2 Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos circunferencias dadas. Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

Sección 9

C1 : x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 = 0,

M1 + N1 − 4P1 > 0

C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

M2 + N2 − 4P2 > 0

208

estamos en el supuesto que C1 ∩ C2 = {P1 , P2 } ⇐⇒ △ > 0 ”△” es el discriminante de ecuación de 2o grado que se forma al efectuar la intersección de C1 y C2 , as´ı la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 está dada por x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + λ(x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 ) = 0 (7) λ parámetro real λ 6= −1. Esta ecuación representa a todas las circunferencias por P1 y P2 con excepción, en este caso de C2 . Si λ = −1 se obtiene la ecuación de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje radical, es decir (M1 − M2 )x + (N1 − N2 )y + P1 − P2 = 0

(8)

Notemos también que todas las circunferencias deésta familia tienen sus centros M2 N2 M1 N1 ,− ,− y O2 − , es decir sobre la recta que une los centros O1 − 2 2 2 2 1 (N2 − N1 )x − (M2 − M1 )y − (M1 N2 − M2 N1 ) = 0 2

(9)

ésta u ´ltima ecuación se llama recta de centros.

9.5.

Tangencia

Dada una circunferencia y una recta mediante las ecuaciones  x2 + y 2 + M x + N y + P = 0  y = mx + n



Sea △ el discriminante de la curva de 2o grado de intersección de la circunferencia y la recta. Se pueden dar los siguientes casos:

Luis Zegarra.

Sección 9

209

△ = 0 caso de tangencia de la circunferencia con la recta △ > 0 caso de dos puntos de intersección △ < 0 caso que indica que no hay intersección entre ambas curvas. En particular vamos a estudiar la intersección de la circunferencia; x2 + y 2 = r2 y de la recta; y − y0 = m(x − x0 ) con la condición x20 + y02 = r2 es decir que el punto P0 (x0 , y0 ) pertenece a la circunferencia. Con lo que, se trata de determinar la forma de la ecuación que es tangente a la circunferencia en un punto P0 (xo , y0 ) de ella. Podemos seguir dos caminos para tal efecto, imponemos la condición △ = 0 o bien x0 y0 (n se llama normal) de aqu´ı mt = − de la figura obtenemos que mn = x0 y0 luego la ecuación de la tangente resulta ser y − y0 = −

x0 (x − x0 ) ⇐⇒ x0 x + y0 y = r2 y0

(10)

Si es el caso de la circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 = r2 en forma análoga o mediante una traslación paralela de los ejes, la ecuación de la tangente en P0 (x0 , y0 ) punto de tangencia, esta dada por (x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = r2

(11)

También podemos obtener las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia en cierta dirección. Sea x2 + y 2 = r2 la circunferencia dada, haciendo la intersección con y = mx + n con m pendiente conocida e imponiendo la condición △ = 0, se tiene: △ = (2mn)2 − 4(1 + m2 )(n2 − r2 ) = 0 √ =⇒ n = ±r 1 + m2

as´ı la ecuación de estas tangentes en cierta dirección ”m” son: p y = mx ± r 1 + m2

(12)

Luis Zegarra.

9.6.

Sección 9

210


1. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, −1), B(0, 2) y C(−3, 0). Soluci´ on. 2 3 · = −1 el triángulo es rectángulo luego el 3 −2 centro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa AC del triángulo, 1 1 que es M − , − su radio es: 2 2 2 2 1 1 13 2 r = − +3 + − = 2 2 2

Note que mBC · mAB =

1 2 13 1 2 + y+ = luego la ecuación pedida resulta ser: x + 2 2 2 2. Análogo al problema anterior pero los puntos son A(2, 3), B(0, −1) y C(−2, 1). Soluci´ on. Hay a lo menos 3 formas diferentes de resolver el ejercicio , daremos una, ud. intente otras. Sea x2 + y 2 + M x + N y + P = 0 la ecuación de la circunferencia buscada, los tres puntos deben satisfacer la ecuación, as´ı se deben tener: 2  M =− 3 4 + 9 + 2M + 3N + P = 0 =⇒ 2M + 3N + P = −13      8 1 − N + P = 0 =⇒ −N + P = −1 =⇒ N = −  3     4 + 1 − 2M + N + P = 0 =⇒ −2M + N + P = −5 11 P =− 3 1 4 8 11 5√ 2 2 2 = 0 cuyo centro es C , y su radio r = 2 as´ı: x +y − x− y − 3 3 3 3 3 3

Luis Zegarra.

Sección 9

211

3. Determine la ecuación de una circunferencia que tiene su centro sobre la recta x + y = 2 y que pasa por los puntos A(−3, 0) y B(2, −1). Soluci´ on. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia, entonces se debe tener:  (a + 3)2 + b2 = (a − 2)2 + (b + 1)2  a+b=2



resolviendo este sistema obtenemos a = 0 y b = 2 el radio resulta r = as´ı la ecuación de la circunferencia pedida es x2 + (y − 2)2 = 13.

√

13,

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y pasa por el punto (2, 1). Soluci´ on. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia. Por ser tangente a los ejes coordenados: a = b = r as´ı (x − a)2 + (y − a)2 = a2 como debe pasar por (2, 1), entonces (2 − a)2 + (1 − a)2 = a2 de donde resultan a = 1 o a = 5, luego (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1; (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 5. Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta en el punto de intersección de las rectas x − y = 1, 2x + 3y = 22 y que sea tangente a la recta l1 : 3x + 4y = 16. Encuentre también una recta l2 paralela a l1 y que sea tangente a la circunferencia mencionada. Soluci´ on. En centro de la circunferencia pedida es la solución del sistema  x−y =1  =⇒ C(5, 4)  2x + 3y = 22

Luis Zegarra.

Sección 9

212

y el radio es la distancia desde el centro hasta la recta 3x + 4y = 16 r=

|3(5) + 4(4) − 16| √ =3 32 + 42

luego la ecuación resulta (x − 5)2 + (y − 4)2 = 9

sean P0 (x0 , y0 ) y Q(x1 , y1 ) puntos diametralmente opuestos pertenecientes a las tangentes l1 y l2 , la ecuación de la recta por el centro de la circunferencia es −4x + 3y + 8 = 0, las coordenadas de P0 se determinan resolviendo el sistema  3x + 4y − 16 = 0  16 8 , =⇒ P0  5 5 −4x + 3y + 8 = 0 y como C es punto medio de QP0 , las coordenadas de Q se obtienen mediante  x1 + 16 34  5  = 5 =⇒ x1 =  2 5  32 3 34 =⇒ y − x− =−  5 4 5 y1 + 58  32   = 4 =⇒ y1 = 2 5 que es la ecuación de la tangente l2 . 6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 8x − 6y = 0. Soluci´ on. La ecuación de la tangente pedida es y − 4 = m(x − 11) haciendo la intersección con la circunferencia x2 + [m(x − 11) + 4]2 − 8x − 6[m(x − 11) + 4] = 0 e imponiendo la condición de tangencia

Luis Zegarra.

Sección 9

213

△ = 0 =⇒ (−22m2 + 2m − 8)2 − 4(1 + m2 )(121m2 − 22m − 8) = 0 =⇒ 12m2 − 7m − 12 = 0 =⇒ m =

4 3 om=− 3 4

as´ı resultan 4x − 3y − 32 = 0 y 3x + 4y − 49 = 0 7. Determine el valor de k de modo que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 4y = 0. Soluci´ on. (1o forma) Tal como en el ejercicio anterior imponiendo △ = 0 resulta k = −1 o k = 25. (2o forma) La tangente a la circunferencia (x + 3)2 + (y + 2)2 = 13 en un punto (x0 , y0 ) debe ser (x0 + 3)(x + 3) + (y0 + 2)(y + 2) = 13 ⇐⇒ (x0 + 3)x + (y0 + 2)y + 3x0 + 2y0 = 0 ésta ecuación debe ser la misma que 2x + 3y + k = 0 luego se debe cumplir que y0 + 2 3x0 + 2y0 x0 + 3 = = (∗) 2 3 k 1 de aqu´ı y0 = (3x0 + 5), como P0 (x0 , y0 ) pertenece a la circunferencia, 2 entonces   x0 = −5 ∧ y0 = −5

1 x20 + (3x0 + 5)2 + 6x0 + 2(3x0 + 5) = 0 =⇒  4 finalmente en (*) −1 =

x0 = −1 ∧ y0 = 1

−1 −25 =⇒ k = 25 o bien 1 = =⇒ k = −1 k k

8. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos vértices 9 son A(−1, 0), B(2, ) y C(5, 0). 4

Luis Zegarra.

Sección 9

214

Soluci´ on. El centro O(x, y) de la circunferencia inscrita al triángulo se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices bB : x = 2 bC : d1 = d2 , d1 > 0 y d2 < 0 y=−

9x + 12y − 45 √ =⇒ 225

15y = −18 − 12y + 45 =⇒ y = 1 =⇒ 0(2, 1) notemos que r = d1 = 1; as´ı la ecuación de la circunferencia es (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1. 9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje X y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6). Soluci´ on. (forma 1) Ecuación de la cuerda AB es y − 3 = x − 1

5 9 , M punto medio de AB, M as´ı la ecuación de OM es 2 2 5 9 ⇐⇒ x + y − 7 = 0 y − = −1 x − 2 2 Coordenadas del centro O, y = 0 =⇒ x = 7 =⇒ O(7, 0) as´ı: (x − 7)2 + y 2 = (6)2 + (−3)2 = 45 10. Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro esta sobre la recta l1 : 6x + 7y − 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas l2 : 8x + 15y + 7 = 0 y l3 : 3x − 4y − 18 = 0. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

Sección 9

215

Determinamos los centros Oy O′ de las circunferencias que cumplen las condiciones pedidas. b1 y b2 bisectrices O intersección de l1 y b1 d1 > 0 y d2 < 0, d1 = −d2 8x + 15y + 7 3x − 4y − 18 =− =⇒ −17 5 11x − 143y − 341 = 0 resolviendo el sistema  x − 13y − 31 = 0  6x + 7y − 16 = 0



=⇒ O(5, −2) =⇒ r =

|3(5) − 4(−2) − 18| =1 5

as´ı: (x − 5)2 + (y + 2)2 = 1 es una de las circunferencias, análogamente d3 < 0 ∧ d4 < 0, d3 = d4 =⇒  91x + 7y − 271 = 0  6x + 7y − 16 = 0



=⇒

O′

2 2 2 121 2 3, − =⇒ (x − 3) + y + = 7 7 48

que es la ecuación de la otra circunferencia en cuestión. 11. Determine la ecuación de la circunferencia de radio 1 tangente a la recta l : 3x − 4y + 1 = 0 en el punto de ordenada y = 1. Soluci´ on. Gráficamente notamos dos soluciones posibles. El punto de tangencia pertenece a la recta tangente, as´ı y = 1 =⇒ 3x − 4 + 1 = 0 =⇒ x = 1 as´ı P0 (1, 1) ml′ = −

4 por ser perpendicular a l luego la ecuación de l′ es 3 4 y − 1 = − (x − 1) ⇐⇒ 4x + 3y − 7 = 0 3

Luis Zegarra.

216

Sección 9

Sea la ecuación de la circunferencia pedida: (x − a)2 + (y − b)2 = 1 cuyo centro es C(a, b), este se encuentra sobre l′ , as´ı 4a + 3b − 7 = 0

(1)

por otra parte P0 (1, 1) pertenece a la circunferencia, por tanto (1 − a)2 + (1 − b)2 = 1 resolviendo el sistema formado por (1) y (2), obtenemos C1

(2)

2 9 , 5 5

y C2

8 1 , , 5 5

con lo que las ecuaciones de las circunferencias son: 2 2 9 2 x− + y− =1y 5 5

8 x− 5

2

1 2 + y− =1 5

12. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por la intersección de las circunferencias C1 : x2 +y 2 −4x+2y−8 = 0 y C2 : x2 +y 2 −2x+2y−7 = 0 y que tiene su centro en la recta 2x + y = 5. Soluci´ on. La ecuación de la circunferencia pedida pertenece a la familia x2 + y 2 − 4x + 2y − 8 + λ(x2 + y 2 − 2x + 2y − 7) = 0 (1 + λ)x2 + (1 + λ)y 2 − (4 + 2λ)x + (2 + 2λ)y − 7λ − 8 = 0 su centro esta dado por C

2+λ , −1 1+λ

el cual debe satisfacer a la recta 1 2+λ 2+λ = 3 =⇒ λ = − − 1 = 5 =⇒ 2x + y = 5 =⇒ 2 1+λ 1+λ 2 as´ı la circunferencia tiene por ecuación x2 + y 2 − 6x + 2y − 9 = 0

Luis Zegarra.

Sección 9

217

13. Una cuerda de la circunferencia x2 +y 2 = 25 tiene por ecuación x−7y+25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda y la simetral de ella. Soluci´ on. Resolviendo x2 + y 2 = 25 x − 7y + 25 = 0

obtenemos las coordenadas de P1 y P2 punto de intersección de la cuerda con la circunferencia as´ı P1 (−4, 3) y P2 (3, 4).La longitud de la cuerda es √ 1 7 50 y la ecuación de la simetral y − = −7 x + . 2 2 √ 14. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuación. Soluci´ on. Sea la ecuación de la circunferencia dada (x − 2)2 + (y + 1)2 = 52. La tangente a esta circunferencia en el punto (6, 5) es: (6 − 2)(x − 2) + (5 + 1)(y + 1) = 52 de donde 2x + 3y − 27 = 0. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia pedida que, debe satisfacer a la perpendicular a la recta tangente en el punto (6, 5) esto es 3a − 2b = 8, por otra parte

√

13 =

2a + 3b − 27 √ 13

(1)

(2),

(considerando distancia dirigia). Resolviendo el sistema formado por (1) y (2): a = b = 8 as´ı: (x − 8)2 + (y − 8)2 = 13.

Luis Zegarra.

Sección 9

218

15. Determine la ecuación del L. G. de un punto P (x, y) que se mueve en el plano XY de manera que la suma de: el cuadrado de su distancia al punto (−1, 0) y el doble del cuadrado de su distancia al punto (2, 3) es igual a 30. Soluci´ on. Condición del L.G. de P (x, y) es (x + 1)2 + y 2 + 2[(x − 2)2 + (y − 3)2 ] = 30 de aqu´ı se deduce: x2 +√y 2 − 2x − 4y − 1 = 0 ecuación de una circunferencia de C(1, 2) y radio r = 6. 16. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto A(0, 5) y que corta una cuerda de longitud 2 en la circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 9. Soluci´ on. Ecuación de la familia de rectas por el punto A(0, 5) y = kx + 5 De la figura notemos que como el radio es 3, la distancia del centro a la cuerda es p √ d = 32 − 12 = 8 Por otra parte, se debe tener √

8=

|k(1) − 1(0) + 5| 17 √ =⇒ k = −1 o k = , 2 7 k +1

luego resultan 2 cuerdas con estas condiciones, que son y = −x + 5 e y =

17 x+5 7

17. Dadas las circunferencias C1 : x2 + y 2 = 25 y C2 : x2 + y 2 − 2x + 6y = 39. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por la intersección de C1 y C2 y por el centro de la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 2y = 0. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

219

Sección 9

La circunferencia pedida pertenece a la familia x2 + y 2 − 25 + λ(x2 + y 2 − 2x + 6y − 39) = 0

(1)

el centro C(1, −3) de la circunferencia dada debe satisfacer a (1) luego de 15 aqui se obtiene λ = − de donde remplazando en (1) se obtiene 41 26x2 + 26y 2 + 30x − 40y − 440 = 0 18. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x − 2y − 6 = 0 tal que forme un ángulo de 45◦ con el eje X. Soluci´ on. La familia de rectas que forman un ángulo de 45◦ con el eje x, son y = x + k,

m=1

Recordemos que las tangentes a x2 + y 2 = r2 de pendiente m, estan dadas por p y = mx ± r 1 + m2 Como la circunferencia dada no esta centrada, hacemos una traslación paralela, es decir sea x = x′ − 3 y = y′ + 1 2

2

nuevo origen el punto (−3, 1), as´ı en (x+3)2 +(y−1)2 = 16 =⇒ x′ +y ′ = 16 entonces las tangentes resultan √ de donde y ′ = x′ ± 4 2 √ y−1=x+3±4 2

√ t1 : x − y = 4( 2 − 1)

as´ı √ y t2 : x − y = −4( 2 + 1)

19. Si O es el origen y Q se mueve sobre la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 3 = 0. Encuentre la ecuación del L.G. de P , el punto de trisección de OQ más cercano al origen.

Luis Zegarra.

Sección 9

220

Soluci´ on. Sean las coordenadas de P (x, y) y de Q(α, β), as´ı de: 1 OP = =⇒ PQ 2

x 1 = =⇒ α = 3x α−x 2 y 1 = =⇒ β = 3y β−y 2

seno como Q(α, β) satisface la ecuación de la circunferencia, se tiene 2 1 2 2 2 2 2 +y = 9x + 9y − 12x + 3 = 0 =⇒ x − 3 3 El L. G. de P es otra circunferencia de C

1 2 ,0 y r = . 3 3

20. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias C1 : x2 + y 2 + 2x − 4y − 6 = 0;

C2 : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0

C3 : x2 + y 2 + 2x + 12y − 36 = 0 y también hallar las longitudes de las tangentes trazadas del centro radical a las tres circunferencias. Soluci´ on. Ecuaciones de los ejes radicales C1 − C2 =⇒ 3x − y − 3 = 0

(1)

C2 − C3 =⇒ −3x − 7y − 18 = 0

(2)

C3 − C1 =⇒ 8y + 21 = 0

(3)

Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3) se obtiene las coordenadas 1 21 del centro radical: R ,− 8 8

Luis Zegarra.

Sección 9

√

221

r

746 análogamente 64 se obtienen RT2 y RT3 y note que RT1 = RT2 = RT3 como deber´ıa ser. Por otra parte como O1 (−1, 2) y r1 =

11 =⇒ RT1 =

21. Desde un punto fijo de una circunferencia se trazan cuerdas. Demostrar que el L.G. de los puntos medios de estas cuerdas es una circunferencia. Soluci´ on. Sea Q(a, b) el punto fijo sobre la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = r2 R(α, β) el punto variable también en la circunferencia. β+b α+a ey= de donde Luego la condición del L.G. de P (x, y) es: x = 2 2 α = 2x − a y β = 2y − b =⇒ α2 + β 2 = (2x − a)2 + (2y − b)2 =⇒ (2x −

a)2

+ (2y −

b)2

=

r2

pero α2 + β 2 = r2

a 2 b 2 r 2 ⇐⇒ x − = + y− 2 2 2

ecuación de una circunferencia. 22. Dadas las circunferencias C1 : (x − a1 )2 + (y − b1 )2 = r12 C2 : (x − a2 )2 + (y − b2 )2 = r22 Demuestre que si las circunferencias se cortan ortogonalmente entonces a21 + b21 − r12 + a22 + b22 − r22 = 2(a1 a2 + b1 b2 ) . Demostraci´ on.

Luis Zegarra.

Sección 9

222

Si son ortogonales el radio de la primera debe ser tangente a la segunda y rec´ıprocamente, entonces se debe tener r12 + r22 = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 de donde se obtiene lo pedido. 23. Si P0 es un punto fijo y L una recta variable por P0 que corta a una circunferencia en P1 y P2 , las tangentes desde P1 y P2 se intersecan en P . Demostrar que el L.G. de P es una recta. Demostraci´ on. Sea la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = r2 y sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) los puntos donde L interseca a la circunferencia, las tangentes en P1 y P2 son: x1 x + y1 y = r2 x2 x + y2 y = r2 El L.G. de P (x, y) esta determinado por la intersección de estas dos rectas, as´ı eliminando el parámetro r, se tiene x1 x + y1 y = x2 x + y2 y esta ecuación representa a una recta que pasa por el origen. 24. Determine la ecuación del L.G. de los puntos P (x, y) desde donde se trazan tangentes a la circunferencia dada por x2 + y 2 = r2 , si dichas tangentes forman un ángulo α entre si b) El L.G. de estos puntos si α = 90◦ . Soluci´ on. Como P P12 = P P22 P P12 = x2 + y 2 − r2 por otra parte P P22 = r2 cotg 2

α en (1) resulta 2

(1)

Luis Zegarra.

Sección 9

223

α x2 + y 2 = r2 (1 + cotg 2 ) 2 x2 + y 2 = r2 cosec2

=⇒ x2 + y 2 =

r2 α = α 2 sen2 2

2r2 1 − cosα

ahora si

α = 90◦ =⇒ x2 + y 2 = 2r2 25. Dada la ecuación de una circunferencia por (x − a)2 + (y − b)2 = r2 y el punto P0 (x0 , y0 ) se traza por P0 una familia de rectas (secantes variables). Determinar el L.G. de los puntos medios de las cuerdas determinadas por estos secantes. Soluci´ on. Familia de secantes variables por P0 (x0 , y0 ), y − y0 = m(x − x0 )

(1)

Familia de rectas variables por los puntos medios (pasan por el centro de la circunferencia) 1 y − b = − (x − a) (2) m Eliminando el parámetro m, entre (1) y (2) obtenemos la ecuación del L.G. pedido as´ı: x2 + y 2 − (a + x0 )x − (b − y0 )y + ax0 + by0 = 0 que es una circunferencia. 26. Un segmento AB = l, se mueve de manera que sus extremos se apoyan sobre dos rectas perpendiculares. Demuestre que el L.G. descrito por el punto medio del segmento, es una circunferencia. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

Sección 9

224

Sea un extremo del segmento el punto A(λ, 0); λ variable entonces B tiene √ 2 por coordenadas B(0, l − λ2 ), por tanto el punto medio P (x, y) debe cumplir que: 1p 2 λ l − λ2 e y= x= 2 2 2 l 2 2 de donde eliminando el parámetro λ, se obtiene: x + y = que es la 2 ecuación de una circunferencia. 27. Hallar el L.G. de los puntos P (x, y), desde los cuales se ve el segmento OA bajo un ángulo recto O(0, 0) y A(a, 0) a > 0. Soluci´ on. 1 Sea l : y = λx, λ 6= 0 la familia de rectas por el origen y y = − (x − a) la λ perpendicular a, l. Eliminando el parámetro λ, se tiene la ecuación del L.G. que resulta ser x2 + y 2 − ax = 0. 28. Un punto interior de un △ isósceles, se mueve de manera que el cuadrado de su distancia a la base del triángulo es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demostrar que el L.G. del punto P es una circunferencia. Soluci´ on. Sea el triángulo isósceles de vértices A(−a, 0), B(a, 0) y C(0, b) a, b > 0. Condición del L.G. de P (x, y) d21 = d2 · d3 Note que d1 > 0, d2 y d3 < 0

Luis Zegarra.

d1 = y,

Sección 9

d2 = −

as´ı y 2 = −

225

(bx − ay + ab) (bx + ay − ab) √ √ ; d3 = − 2 2 − b +a + b2 + a2

(bx − (ay − ab))(bx + (ay − ab)) b2 + a2

(a2 + b2 )y 2 = −(b2 x2 − (ay − ab)2 ) (a2 + b2 )y 2 = −b2 x2 + a2 y 2 − 2a2 by + a2 b2 b2 x2 + b2 y 2 + 2a2 by − a2 b2 = 0 de aqu´ı resulta x2

9.7.

a2 + y+ b

2

=

ap b

a2 + b2

2

ec. de una circunferencia.


1. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 1), B(4, 0) y C(2, 5). Respuesta. 16 2 23 2 1105 x− + y− = 7 14 196 2. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 0) y B(2, −1) y tiene su centro sobre la recta x + y = 2. Respuesta. (x + λ − 2)2 + (y − λ)2 = (λ + 1)2 + λ2 ,

λ parámetro.

3. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2), (3, 4) y tiene su centro en la recta 2x + y − 1 = 0.

Luis Zegarra.

Sección 9

226

Respuesta. (x + 4)2 + (y − 3)2 = 74 4. Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a los ejes coordenados y que tenga su centro en el punto (2, 1) . Respuesta. No existe una circunferencia que cumpla a la vez con estas condiciones. 5. Demuestre que las tangentes trazadas desde el punto (11, 4) a la circunferencia (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25 son perpendiculares entre si. 6. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje Y y que pasa por los puntos (4, 1) y (−3, 2). Respuesta. 2 13 2 2 2 = x + y+ 3 3 7. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos vértices son A(0, −2), B(0, 4) y C(3, 1). Respuesta. √ √ (x − 3( 2 − 1))2 + (y − 1)2 = 9( 2 − 1)2 8. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por la intersección de las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 4x − 2y − 8 = 0 C2 : x2 + y 2 − 6x = 0 y que:

Luis Zegarra.

Sección 9

227

a) Pasa por el punto (2, 6) b) Tiene su centro sobre el eje Y c) Tiene su centro sobre la recta 2y = x − 4

d ) Es tangente a la recta y = x Respuesta. a) 2x2 + 2y 2 − 5x − 7y = 28 b) x2 + y 2 − 6y − 24 = 0

c) 3x2 + 3y 2 − 20x + 2y + 8 = 0

d ) 8x2 + 8y 2 − 57x + 9y + 36 = 0 9. Desde un punto de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyas vértices son A(−3, −1), B(0, 2) y C(3, 1), que no sea uno de los vértices, se bajan perpendiculares a sus lados o prolongaciones. Demostrar que los pies de estas perpendiculares son colineales. 10. Dadas las rectas l1 : x − y + 9 = 0 y l2 : x + 2y − 24 = 0. Encuentre una recta que pasa por la intersección de l1 y l2 , y que determine √ en la circunferencia 3 . x2 + y 2 − 4x + 4y + 7 = 0 una cuerda de longitud 2 Respuesta. √ y − 11 = ± 207(x − 2) 11. El punto (3, −1) es el centro de una circunferencia. La recta 2x − 5y + 18 = 0 intercepta con dicha circunferencia una cuerda de longitud 6. Hallar la ecuación de la circunferencia. Respuesta. (x − 3)2 + (y + 1)2 = 38

Luis Zegarra.

Sección 9

228

12. Demostrar anal´ıticamente que el triángulo inscrito en una semicircunferencia cuya hipotenusa es el diámetro de ella, es rectángulo. 13. Demostrar que las circunferencias x2 +y 2 +2x−4y = 0 y x2 +y 2 +4x+2y = 0 se cortan ortogonalmente. (aplique condición del ejercicio resuelto 22.) 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (−4, −1) y que es tangente a la recta 3x + 2y − 12 = 0. Respuesta. (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 15. Hallar el L.G. de los puntos P (x, y) de un plano desde los cuales se vé bajo ángulo recto el segmento AB si A(0, 1) y B(1, 1). Respuesta. x2 + y 2 − x − 2y + 1 = 0 16. Un punto P se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas 3x − y + 4 = 0; x + 3y − 7 = 0 es siempre igual a 2. Determine la ecuación del L.G. de P . Respuesta. x2 + y 2 + x − 5y +

9 =0 2

9 17. Dado un triángulo de vértices A(−1, 0), B(2, ), C(5, 0) se pide: 4 a) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. b) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.

Luis Zegarra.

Sección 9

229

Respuesta. 25 7 a) (x − 2)2 + (y + )2 = ( )2 8 8 25 25 b) (x − 2)2 + (y − )2 = ( )2 16 16 18. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X y tiene su centro sobre la recta x − 2y + 2 = 0 y pasa por el punto (7, 3). Respuesta. (x − 13)2 + (y −

15 2 15 ) = ( )2 ; 2 2

(x − 4)2 + (y − 3)2 = 9

19. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento interceptado por la recta 2x + 3y − 6 = 0 con los ejes coordenados. Respuesta. 3 2 x− + (y − 1)2 = 13. 2 20. Una circunferencia es tangente a las rectas paralelas 5x − 3y + 1 = 0 y 5x − 3y − 4 = 0 y tiene su centro sobre la recta 3x − 2y − 4 = 0. Determine su ecuación. Respuesta. 2 5 31 2 √ . = (x + 9)2 + y + 2 2 34 21. Sea la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = 17 y la recta y = 4x. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia dada paralelas a la recta dada. Respuesta. y = 4x ± 17

Luis Zegarra.

Sección 9

230

25 22. La ecuación de una circunferencia es x2 + y 2 − 4x + 5y + = 0. Hallar 4 la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x − 12y − 1 = 0. Respuesta. 5 (x − 2)2 + (y + )2 = 9 2 23. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 +y 2 +2x−2y−39 = 0 en el punto (4, 5). Respuesta. 5x + 4y − 40 = 0 24. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación. Respuesta. x2 + (y − 6)2 = 25;

(x − 6)2 + (y + 2)2 = 25

25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto(6, 1) y es tangente a cada una de las rectas 4x − 3y + 6 = 0, 12x + 5y − 2 = 0. Respuesta. x2 + y 2 − 6x − 2y + 1 = 0;

4x2 + 4y 2 − 384x + 37y + 2119 = 0

26. Determine la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x+y−2 = 0 y x − y − 2 = 0 cuyo centro está sobre la recta x − 2y + 4 = 0. Respuesta. 9 (x − 2)2 + (y − 3)2 = ; 2

(x + 4)2 + y 2 = 18

Luis Zegarra.

Sección 9

231

27. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda com´ un de las circuferencias 2 2 2 2 x + y − 8y + 6 = 0 y x + y − 14x − 6y + 38 = 0. Respuesta. 7x − y − 16 = 0;

√ 2 2

28. Por el punto (−5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 +y 2 −10x+7 = 0. Hallar el ángulo agudo que forman estas tangentes. Respuesta. 46◦ 24′ 29. Demostrar que las tangentes desde el origen a la circunferencia x2 + y 2 − 14x + 2y + 25 = 0 son perpendiculares entre si. 30. Probar que las circunferencias (x−3)2 +(y −1)2 = 8 y (x−2)2 +(y +2)2 = 2 se cortan ortogonalmente.

9.8.

Ejercicios Propuestos de nivel avanzado

1. Demostrar que en un triángulo cualquiera los pies de las alturas, los pies de las medianas, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro a los vértices, son conc´ıclicos. 2. Desde un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo dado se trazan las perpendiculares a los lados de dicho triángulo. Probar que los pies de las perpendiculares son colineales. 3. Se trazan dos tangentes paralelas a una circunferencia, que cortan a una tercera tangente en los puntos A y B. Demostrar que las rectas que unen A y B con el centro de la circunferencia, son perpendiculares entre si.

Luis Zegarra.

Sección 9

232

4. Se tiene una circunferencia circunscrita a cualquier triángulo dado. Demostrar que el producto de las longitudes de dos lados cualquiera del triángulo es igual al producto de la longitud del diámetro por la longitud de la altura trazada al tercer lado. √ 5. Demostrar que la recta y = m(x − a) + a 1 + m2 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 2ax para todos los valores reales de m. (m ∈ R)

Capítulo "!

Traslación y Rotación 10.1 Introducción. La necesidad del estudio de Lugares Geométricos de puntos más complejos en un sistema de referencia que en otro y las inter relaciones entre ellos, hace necesario definir la traslación paralela de los ejes coordenados y también la rotación en torno a un punto dado, que muy bien puede ser el origen o el nuevo origen una vez efectuada la traslación. Las ecuaciones resultantes en uno u otro caso, con respecto a las variables de los ejes iniciales versus las nuevas variables, es lo que presentaremos a continuación y ocuparemos posteriormente cuando sea el caso.

10.2 Traslación.

Sea un punto T de coordenadas aBß Cb con respecto de los ejes rectangulares \ e ] Þ Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas aBw ß C w b del mismo punto T con respecto al nuevo referencial tambien rectangular \ w e ] w . Sean los nuevos ejes \ w e ] w obtenidos por una traslación paralela y en el mismo sentido con respecto a los ejes \ e ] ß al nuevo origen a2ß 5 b. afig.1b y

y′

y′

P(x, y)

k

o′

x′

o

h

x

y

P(x′, y′)

fig.1 De inmediato de la fig.1 se tiene:

B œ Bw  2 C œ Cw  5

x′

x

Estas dos ecuaciones son llamadas las ecuaciones de traslación paralela de los ejes. Ejemplo 1 Demostraremos que la pendiente de una recta dada, no varía cuando se efectúa una traslación paralela de los ejes \ e ] Þ Dada la recta EB  FC  G œ !ß F Á ! es claro que la pendiente es 7 œ 

E F

efectuando la traslación al nuevo origen a2ß 5 b, entonces resulta la ecuación de la recta EaBw  2b  F aCw  5 b  G œ ! Í EB w  FC w  aE2  F5  G b œ ! también es claro que la pendiente de ésta recta en el sistema \ w e ] w ß es E 7œ F ß como se pretendía.

10.$ Rotación.

Sea un punto T de coordenadas aBß Cb con respecto de los ejes rectangulares \ e ] Þ Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas aBw ß C w b del mismo punto T con respecto al nuevo referencial tambien rectangular \ w e ] w pero rotado un ángulo ! en torno al origen, con respecto al eje \ en el sentido positivo.(fig. 2).

y P(x, y) B

P′(x′, y′)

ρ

θ O

x′

A′

α A

x fig. #

En ˜SET À B œ 3 -9=a!  )b œ 3-9= ) -9= !  3=/8 ) =/8 !

C œ 3 =/8a!  )b œ 3=/8 ) -9= !  3-9= ) =/8 !

a"b

a#b

pero, en ˜SEw T À B w œ 3-9= ) e C w œ 3=/8 )ß entonces resulta en a"b y en a#b B œ B w -9= !  C w =/8 ! C œ B w =/8 !  C w -9= ! de estas últimas ecuaciones tambien se obtienen:

Bw œ

B -9= !  C =/8 !

w

C œ  B =/8 !  C -9= ! Estas últimas cuatro ecuaciones, son las que regulan una rotación de los ejes coordenados, en un ángulo ! en torno al origen.

10.4 Ejercicios Resueltos

1. Dada la recta $B  #C  & œ !ß determine la ecuación de ella referida a los nuevos ejes \ w e ] w que son paralelos con respecto a los ejes \ß ] y con el nuevo origen en el punto a#ß  $b. Solución. De inmediato las ecuaciones de traslación son: B œ B w  # e C œ C w  $ luego resulta $ aB w  # b  # aC w  $b  & œ ! Í $B w  #C w  & œ !

2. Dadas las rectas #B  $C  ' œ ! • %B  $C  "# œ !ß determine el nuevo origen donde se deben trasladar los ejes \ e ] de modo que las ecuaciones de las rectas dadas carezcan de términos libres. Solución. El nuevo origen se obtiene resolviendo el sistema formado por las rectas dadas, así las nuevas ecuaciones en este nuevo sistema, serán dos rectas por el origen y carecerán de términos libres. ) Al resolver el sistema indicado, resultan: B œ " e C œ luego las ecuaciones de $ ) traslación son B œ B w  " e C œ C w  de donde se obtienen #Bw  $Cw œ ! $ • %Bw  $Cw œ !Þ 3. Considere una rotación de 45° en el sentido positivo, para graficar la hipérbola BC œ #ß indique sus elementos principales. Solución. Ecuaciones de rotación: Bœ

" w È# aB

 C wb • C œ

" ˆ w# # B

w#‰

" w È# aB

 C w bß de donde

Bw # Cw # BC œ # Í C œ# Í #  # œ" # # " " w w también: B œ È# aB  C b • C œ È# a  B  C b

\w  ] w

Centro À

\]

S a!ß !b

Sa!ß !b

w

Z"w a#ß !bà Z#w a  #ß !b

Focos:

J"w Š#È#ß !‹à J#w Š  #È#ß !‹

Z" ŠÈ#ß È#‹à Z# Š  È#ß  È#‹

Asíntotas:

Cw œ Bw e Cw œ  Bw

Bœ! e Cœ!

Vértices À

J" a#ß #bà J# a  #ß  #b

Ecuaciones de los ejes \ w e ] w son:  B  C œ ! y B  C œ ! y

2

2

x

4. Transformar por giro la ecuación B  C  " œ !ß referida a un nuevo sistema ortogonal de modo que el nuevo sistema ortogonal tenga el mismo origen que el anterir y sus ejes dimidian los ángulos formados por los ejes anteriores. Solución. Nótese que el giro es de 45°, con lo que, las ecuaciones de rotación son: Bœ

" w È# aB

 C wb • C œ

" w È# aB

y remplazando en B  C  " œ ! resulta B w œ

 C wb

È# # Þ

5. Transformar la ecuación $B#  %C#  $B  %C  "" œ !ß por traslación paralela de los ejes, de modo que la ecuación referida al nuevo sistema de coordenadas no tenga términos de primer grado. Solución. Sean las ecuaciones de traslación B œ B w  2 C œ Cw 5

Vamos a determinar 2 y 5 de modo que la nueva ecuación caresca de términos de primer grado, así $aB w  2b#  %aC w  5 b#  $aB w  2b  %aC w  5 b  "" œ !ß de donde

$Bw #  %Cw #  a'2  $bBw  a)5  %bCw  $2#  %5 #  $2  %5  "" œ !ß luego se debe tener: " '2  $ œ ! Í 2 œ # " )5  % œ ! Í 5 œ  # # # Así, la ecuación queda: "#Bw  "'Cw  *& œ !

6. Hallar las nuevas coordenadas del punto a  "ß $b cuando los ejes coordenados son trasladados primero al nuevo origen a%ß &b y después se gira un ángulo de 60°. Solución. 1) B œ Bw  % • C œ Cw  & #Ñ Bw œ Bww -9= '!°  Cww =/8 '!° • Cw œ Bww =/8 '!°  Cww -9= '!° È$ " Remplazando a#b en a"b se tiene: B  % œ Bww  Cww # # È$ " C&œ Bww  Cww # # " ww È$ ww Como B œ  " • C œ $ entonces: B  C œ & # # È$ " Bww  Cww œ  # # # ww ww Resolviendo el sistema para B e C se obtienen: & & Bww œ   È$ e Cww œ È$  " # # 7. Eliminar el término en BCß en la ecuación B#  BC œ " Solución. Para eliminar el término en BCß efectuamos una rotación en un ángulo ) adecuado Sean: B œ Bw -9= )  Cw =/8 ) C œ Bw =/8 )  Cw -9= )ß remplazando en la ecuación resulta:

donde aBw -9= )  Cw =/8 )b#  ÐBw -9= )  Cw =/8 )ÑÐBw =/8 )  C w -9= )Ñ œ "ß de w# # w# # w w B Ð-9= )  =/8 ) -9= )Ñ  C Ð=/8 )  =/8 ) -9= )Ñ  B C Ð=/8 #)  -9= #)) œ "

se debe tener =/8 #)  -9= #) œ ! Í >1 #) œ  " Í #) œ "$&° Ê =/8 #) œ È#  " " " "  -9= #) " • -9= #) œ  Ñ# œ Ð Ñ# de aquí que : =/8 ) œ Ð È# # #È # È#  " " "  -9= #) " -9= ) œ Ð Ñ# œ Ð Ñ# # #È # finalmente la ecuación queda: ("  È#Ñ Bw #  Ð"  È#Ñ Cw # œ #

" È#

8. Demuestre que la distancia entre dos puntos del plano cartesiano no se altera con la transformación de coordenadas. Demostración. Sean: B œ Bw  2 • C œ Cw  5 Bw œ Bww -9= )  Cww =/8 ) • Cw œ Bww =/8 )  C ww -9= ) ß de donde se obtiene B œ Bww -9= )  Cww =/8 )  2 • C œ Bww =/8 )  C ww -9= )  5

Por otra parte sean À T" aB" ß C" b y T# aB# ß C# b en el sistema \] donde

B" œ Bww" -9= )  C"ww =/8 )  2 • C œ Bww" =/8 )  C"ww -9= )  5

y

B# œ Bww# -9= )  C#ww =/8 )  2 • C œ Bww# =/8 )  C#ww -9= )  5

. œ ÉaB"  B# b#  aC"  C# b#

œ ÒÐBww" -9= )  C"ww =/8 )  Bww# -9= )  C#ww =/8 )Ñ#  ÐBww" =/8 )  C"ww -9= )  Bww# =/8 "

)  C#ww -9= )Ñ# Ó # "

œ ÒÐBww#  Bww" Ñ# Ð=/8# )  -9=# )Ñ  ÐC#ww  C"ww Ñ# Ð=/8# )  -9=# )ÑÓ #

œ ÉaBww#  Bww" b#  ÐC#ww  C"ww Ñ#

10.& Ejercicios Propuestos 1. Hallar las nuevas coordenadas de los puntos a#ß $bß a&ß 'bß a"ß #b cuando los ejes se trasladan al punto a  #ß $b como nuevo origen, coservando la dirección y sentido. Respuesta.

a%ß !bß a(ß $bß a$ß  "b

2. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos a"ß  #bß a&ß 'b y cuando los ejes se giran 45°, en el sentido antihorario?

Respuesta.

Ð  È#ß $È# Ñ

Ð

È# #

ß

$È# ""È# È# Ñß Ð ß Ñ y Ð#ß %ÑÞ # # #

3. ¿Cuál es el ángulo de rotación que transforma el punto a$ß %b del sistema \] ß en el punto a&ß !b del sistema \ w ] w ß cuyo centro de giro es el origen del sistema \] ?

Respuesta. % >1" Ð Ñ $

4. Las coordenadas de un punto son a$ß 'bÞ ¿Cuáles son las coordenadas del mismo punto cuando los ejes se giran 30° y el origen se traslada al punto a#ß  'b?

Respuesta. $È $ * Ð"  ß  $È $ Ñ # # 5. Transformar la ecuación

&B#  %BC  )C#  $' œ ! refiriéndola a unos nuevos " ejes que forman con los antiguos un ángulo ), tal que >1 ) œ  ß siendo el # centro de giro el origen del sistema \] Þ

Respuesta. %Bw #  *Cw # œ $' 6. Una curva está representada por la ecuación B#  C#  %B  'C  ( œ !Þ ¿Cuál es su ecuación cuando se trasladan los ejes al nuevo origen Sw a#ß $b?.

Respuesta. Bw #  C w # œ ' 7. ¿Cuál será el origen al que hay que trasladar los ejes para que la ecuación * B#  C#  #BC  $C  "' œ ! se transforme en otra que carezca de término en BC y de término independiente?

Respuesta. ˆ $) ß  $) ‰ 8. Determine el ángulo que deben girar los ejes para que la transformada de la ecuación (B#  'È$ BC  "$ C# œ "' carezca de término en BCÞ

Respuesta. $!° 9. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en %Bw #  *Cw # œ $'Þ Hallar la ecuación original.

Respuesta. &B#  #'BC  &C#  (# œ !

10. Por una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen a$ß $b y después una rotación en un ángulo de 30° las coordenadas de cierto punto T se transforma en el punto a(ß 'bÞ Hallar las coordenadas de T ß con respecto a los ejes coordenados originales.

Respuesta. (È$ "$ Ð ß  $È$ ÑÞ # #

Capítulo "" La Parábola 11.1 Definición. Se llama parábola, al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. El punto fijo se acostumbra a llamar foco y la recta fija directriz. A la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de simetría de la parábola. Sea U, el punto de intersección entre el eje de simetría y la directriz de la parábola, entonces el punto medio entre el foco J y el punto U pertenece a dicho lugar geométrico, dicho punto se llama vértice Z de la parábola. a0 31Þ "b Y

a x +b y +c = 0

Q

P(x, y )

V

O

F

X

0 31Þ " Ecuación:

Sean: +B  ,C  - œ ! la ecuación de la directrizß J a?ß @b las coordenadas del foco ÐJ no esta sobre la directriz) y T aBß Cb un punto cualquiera que pertenece al PÞKÞ en cuestión, entonces de la definición se debe tener, | +B  ,C  - | È œ ÐB  ?Ñ#  ÐC  @Ñ# È +#  , #

Para el caso particular en que las coordenadas del vértice sea Z a2ß 5 b y el eje de simetría sea paralelo al eje ] ß entonces se tendrán: J Ð2ß 5  :Ñ y la ecuación de la directriz C œ 5  : con :  !, así Y

P(x, y) F V

p p

A(x, k − p)

O

X

0 31Þ # ÉaB  2b#  aC  5  :b# œ ÉaB  Bb#  aC  5  :b#

aB  2b#  C#  #C a5  :b  a5  :b# œ C #  #C a5  :b  a5  :b# de donde simplificando se obtiene

aB  2b# œ %:aC  5 b

a"b

esta es la ecuación canónica de una parábola cuyo vértice es Z a2ß 5 b y eje de simetría paralelo al eje ] Þ Si 2 œ 5 œ !ß resulta B# œ %: C

a#b

ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje ] Þ

Analogamente, si las coordenadas del vértice son: Z a2ß 5 b y el eje de simetría sea paralelo al eje \ß entonces se tendrán: J Ð2  :ß 5Ñ y la ecuación de la directriz B œ 2  : con :  !, la ecuación en cuestión resulta

aC  5 b# œ %:aB  2b

Si 2 œ 5 œ !ß resulta C# œ %: B

a$b

a%b

ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje \Þ

11.2 El trinomio de segundo grado. Se llama trinomio (función) de segundo grado a:

C œ 0 aBb œ EB#  FB  Gß E Á !

vamos a mostrar, que esta ecuación representa a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje ] o el mismo eje ] Þ Completando cuadrados, se tiene F F F# EÐB  BÑ  G œ C Í EŒB  G œC Í   E #E %E #

#

ŒB 

F " F# œ Ò C  ÐG  ÑÓß  #E E %E #

F F# " comparando con la ecuación a"b se tiene À 2 œ  ß 5œG , %: œ #E %E E de aquí : œ

" luego si :  ! Í E  ! • :  ! Í E  ! %E

coordenadas del vértice Z Ð 

F F# ßG  ÑÞ #E %E

""Þ$ Tangencia. La ecuación de la tangente a la parábola C# œ %: Bß en el punto T! ÐB! ß C! Ñ de ella es C! C œ #: ÐB  B! Ñ

a&b

En efecto, T! ÐB! ß C! Ñ pertenece a la parábola entonces C!# œ %: B! sea

C  C! œ 7ÐB  B! Ñ

la ecuación de la tangente en cuestión, entonces efectuando la intersección de esta tangente con la parábola resulta Ò7ÐB  B! Ñ  C! Ó# œ %: B Í 7# B#  Ð#7C!  #7# B!  %:ÑB  7# B!#

 #7B! C!  C!# œ !

imponiendo la condición de tangencia ? œ !ß resulta Ð#7C!  #7# B!  %:Ñ#  7# Ð7# B#!  #7B! C!  C!# Ñ œ !

de donde simplificando se llega a C! „ É C!#  %: B!

#

B! 7  C ! 7  : œ ! Í 7 œ

7œ

#B!

pero C!# œ %: B! , entonces

C! C! ß así la ecuación de la tangente resulta C  C! œ ÐB  B! Ñ Í #B! #B!

#B! C œ C! ÐB  B! Ñ multiplicando por

C! se recibe C! C œ #: ÐB  B! Ñ. #B!

Analogamenteß para la familia de parábolas de la forma B# œ %: C la ecuación de la tangente en T! ÐB! ß C! Ñ es

a'b

B! B œ #:ÐC  C! Ñ Para los casos de

aC  5 b# œ %:aB  2b •

aB  2b# œ %:aC  5 b

las ecuaciones de las tangentes en T! ÐB! ß C! Ñ sonß respectívamente ÐC!  5ÑÐC  5Ñ œ #:ÐB  B!  #2Ñ ÐB!  2ÑÐB  2Ñ œ #:ÐC  C!  #5Ñ

a)b

a(b

""Þ% Ecuación general

Desarrollando a"b y ordenando resulta

B#  %:C  #2B  2#  %:5 œ !

que podemos escribirla como B#  +" C  + # B  + $ œ ! donde +" œ  %:ß +# œ  #2ß +$ œ 2#  %:5Þ

a"!b

Recíprocamente, se puede demostrar que a"!b representa al PÞKÞ de una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje ] Þ

La discusión de la ecuación a"!b supone +" Á !Þ

Si es el caso que +" œ ! Ê B#  +# B  +$ œ !ß si las raíces de esta ecuación son reales y distintas, digamos <" y <# entonces ÐB  <" ÑÐB  <# Ñ œ ! y el PÞKÞ correspondiente consta de dos rectas diferentes B œ <" y B œ <# Þ Si las raíces son reales e iguales el PÞKÞ consta de dos rectas B œ <" œ <# Þ Si las raíces son complejas, no existe lugar geométrico. Resumiendo una ecuación de la forma

EB#  GC#  HB  IC  J œ !

a""b

Si E Á !ß G œ ! y I Á !ß la ecuación representa a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje ] o coincide con el eje ] Þ Si E Á !ß G œ ! y I œ !ß la ecuación representa dos rectas distintas paralelas al eje ] ß dos rectas coincidentes paralelas al eje ] ß o ningún lugar geométrico según que las raíces de EB#  HB  J œ ! sean reales y distintas, reales e iguales o bien complejas. Si E œ !ß G Á ! y H Á !ß la ecuación representa a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje \ o coincide con el eje \Þ Si E œ !ß G Á ! y H œ !ß la ecuación representa dos rectas distintas paralelas al eje \ß dos rectas coincidentes paralelas al eje \ß o ningún lugar geométrico según que las raíces de GC#  IC  J œ ! sean reales y distintas, reales e iguales o bien complejas.

""Þ5 Ejercicios Resueltos 1. Determine el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la ecuación del eje de la parábola C œ #B#  $B  " Solución. $ " " Completando cuadrados se obtiene ÐB  Ñ# œ ÐC  Ñ de aquí se deducen: % # ) $ " $ " y ecuación del eje Z Ð ß  Ñß J Ð ß !Ñß ecuación de la directriz C œ  % ) % % $ Bœ % 2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje \ y que pasa por los puntos Ð!ß !Ñß a)ß  %b y Ð$ß "ÑÞ Solución. Una forma es, suponiendo que la ecuación de la parábola mencionada es de la forma B œ +C#  ,C  -ß con +ß , y - por determinar

imponiendo la condición, que pasa por los puntos Ð!ß !Ñß a)ß  %b y Ð$ß "Ñ se obtiene: - œ !ß "'+  %,  - œ ) y +  ,  - œ $ de donde resolviendo este

sistema de tres ecuaciones resultan: + œ "ß , œ # y - œ !Þ Así la ecuación de la parábola pedida es B œ C#  #C 3. Hallar las tangentes trazadas desde el punto Ð"ß %Ñ a la parábola cuya ecuación es C#  $B  'C  * œ ! Solución. La ecuación de la tangente buscada es de la forma C  % œ 7ÐB  "Ñ efectuando la intersección con la parábola dada resulta

a"b

Ò7ÐB  "Ñ  %Ó#  $B  'Ò7ÐB  "Ñ  %Ó  * œ ! de donde ordenando, 7# B#  Ð#7  #7#  $ÑB  7#  #7  " œ ! ahora imponiendo la condición de tangenciaß ? œ ! Ê Ð#7  #7#  $Ñ#  %7# Ð7#  #7  "Ñ œ ! Í %7#  %7  $ œ ! Ê " $ 7" œ  ß 7# œ Þ Así hay dos tangentes cuyas ecuaciones son: # # B  #C  * œ !ß $B  #C  & œ ! 4. Con referencia a la parábola C#  #B  'C  * œ !ß hallar los valores de 5 para los cuales las rectas de la familia B  #C  5 œ !Þ a) Corta a la parábola en dos puntos diferentes. b) Son tangentes a la parábola. c) No cortan a la parábola Solución. Resolviendo el sistema formado por la parábola y recta se tiene, C#  #Ð  #C  5Ñ  'C  * œ ! Í C#  "!C  #5  * œ !ß Así: ? œ "!!  %Ð#5  *Ñ œ '%  )ß entonces a) ?  ! Ê '%  )5  ! Í 5  ) b) ? œ ! Ê 5 œ ) c) ?  ! Ê 5  ) 5. Dada la parábola B#  %B  %C  & œ ! a) Determine las ecuaciones de las tangentes a la parábola, en los puntos de intersección de ella con el eje \Þ

b) Hallar las ecuaciónes de las tangentes a la parábola dada, trazadas desde el punto Ð!ß $ÑÞ Solución. a) Primero determinamos las intersecciones de la parábola con el eje \ , haciendo C œ ! resulta B#  %B  & œ ! Ê B œ " ” B œ  & así los puntos son T" Ð"ß !Ñ y T# Ð  &ß !Ñß por otra parte

* B#  %B  %C  & œ ! Í aB  #b# œ %Ð  "ÑÐC  Ñ % y sabemos que la tangente en T! ÐB! ß C! Ñ a la parábola ÐB  2Ñ# œ %:ÐC  5Ñ esta dada por ÐB!  2ÑÐB  2Ñ œ #:ÐC  C!  #2Ñ luego resultan para T" y T# $B  #C  $ œ ! y $B  #C  "& œ ! b) Se resuelve como en el ejercicio 3. para luego obtener: CœÐ

È( #

 "ÑB  $ y C œ  Ð

È( #

 "ÑB  $

6. Hallar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia variable, que es tangente À al eje \ y a una circunferencia dada cuyo centro yace sobre el eje ] Þ Solución. Y

M( 0, a ) M r

P( x, y ) P y

O

X

Sea la ecuación de la circunferencia dada, por: B#  ÐC  +Ñ# œ <# ß + y < conocidos y se supuso +  <  !Þ Condición del L.G. pedidoß T Q œ lC 
7. Por un punto T cualquiera de la parábola C# œ #:B, se traza 6ß paralela al eje ] ß y por el vértice de la parábola se traza 6w ß paralela a la normal en T Þ Determine la ecuación del L.G. del punto de intersección de las dos rectas 6 y 6w ß cuando T se mueve sobre la parábola. ÐT no puede ser el vértice) Y

Y l l'

t

l'

P(x, y)

P

η

O

l

B

O

X

A

X

M(x, y )

0 31Þ /4/<Þ (

0 31Þ /4/<Þ )

Solución.

Sea T a?ß @bß como T pertenece a la parábola Ê @# œ #:? Ê T Ð

@# ß @Ñ #:

@# Ñß de aquí se obtiene la #: : @ pendiente de la tangente que es 7> œ Ê 78 œ  œ 76w @ : La tangente en T ß tiene por ecuación @C œ :ÐB 

luego la ecuación de 6w es À

@ @# C œ  B y la de 6 es À B œ à entre estas dos : #:

ecuaciones eliminando el parámetro se obtiene el L.G. del punto Q aBß Cb que

resulta ser #B$ œ : C# Þ

8. Por el punto Ea+ß !b se traza una recta cualquiera 6 que corta al eje ] en FÞ Por F una paralela al eje \ß que corta a la perpendicular a la recta EF trazada desde el origen, en un punto T Þ Encontrar la ecuación del L.G. de T cuando la recta 6 gire en torno al punto EÞ Solución. La familia de rectas por el punto EÐ+ß !Ñß tiene por ecuación C œ 7ÐB  +Ñ

intersecando con el eje ] resulta F a!ß  7+bß

así la ecuación de la recta 6 es:

C œ  7+

a"b

" a#b Bß 7 Á ! 7 eliminando el parámetro 7 obtenemos el PÞKÞ de T , que resulta C# œ +B una + parábola con vértice en el origen y foco J Š ß !‹Þ % entonces la ecuación de la recta 6 w es:

Cœ 

9. Encuentre la ecuación del PÞKÞ de los puntos desde donde se pueden trazar tangentes a la parábola C# œ #:B, que forman entre si ángulo constante Y

p1

θ

O

X p2

Solución.

Ecuación de la tangente >" a la parábola en T" aB" ß C" bß : :B" : C" C œ :aB  B" b Í C œ B  Ê 7" œ C" C" C" como T" pertenece a la parábola : C" B" " C"# œ #:B" Ê œ œ 7" Ê œ C" #B" #C" #7" : a"b Así resulta C œ 7" B  #7" : a#b analogamente para ># ß resulta C œ 7# B  #7#

restando miembro a miembro a"b y a#b y considerando 7" Á 7# se obtiene : a$bà ahora sumando a"b y a#b e introduciendo a$b se logra 7" 7 # œ #B C a%bß 7"  7 # œ B 7#  7 " Por otra parte sea 5 œ >1 ) œ Í 7#  7" œ 5 a"  7" 7# b "  7" 7 # ÉÐ7"  7# Ñ#  %7" 7# œ 5 a"  7" 7# bß remplazando a$b y a%b resulta C : : C : : # œ 5 Š"  œ 5 # Š"  ‹ Í Ð Ñ#  % ‹ ÊÐ Ñ#  % B #B #B B #B #B

10Þ Dada la circunferencia B#  C# œ <# sea un punto T sobre ella en el primer o segundo cuadrante. Determine la ecuación del lugar geométrico del punto de intersección de las rectas ST y FU cuando T recorre la circunferencia, donde U es el pie de la perpendicular bajada desde T sobre el eje \ß F a!ß
x2 + y2 = r2

B

P

Q

O

X

Sea T Ð-ß È<#  -# Ñ el punto sobre la circunferencia, entonces Ua-ß !bß parámetro variable distinto de 0 y de <ß

La ecuación de la recta ST es

Cœ

È <#  -# -

a"b

< a#b B Eliminando el parámetro - entre las ecuaciones a"b y a#b se obtendrá la

La ecuación de la recta FU es

C< œ

ecuación del PÞKÞ del punto de intersección de ambas rectas,
Y

(2p, 3p) Q P X

Sea T aB! ß C! bß la ecuación de la tangente en T ß es C! C œ #:aB  B! b la #: pendiente de esta tangente es 7 œ que debe ser igual a la pendiente entre T C! $:  C! #: $:  C! y el punto a#:ß $:b es decir 7 œ por tanto œ de donde #:  B! C! #:  B! %:#  #:B! œ $:C!  C!#

a"b ß pero C!# œ %:B! puesto que T pertenece a la

C!# en a"b se recibe C!#  ': C!  ):# œ ! cuyas raíces %: son: %: y #:, y en consecuencia se obtiene para B! ß %: y : respectivamente. parábola, de aquí B! œ

Así, los puntos en cuestión resultan: T a:ß #:b y Ua%:ß %:b.

16. Hallar e identificar el lugar geométrico del centro de una circunferencia variable que pasa por un punto fijo y es tangente a una recta dada. Y

Q(0,k)

C(x, y)

O

X

Solución. Sea UÐ!ß 5Ñ el punto fijo sobre el eje ] ß y sea el eje \ la recta tangente a la circunferencia ß luego PÞKÞ del centro GÐBß CÑ debe cumplir con

a\  Bb#  a]  Cb# œ C# , como el punto UÐ!ß 5Ñ se encuentra sobre esta circunferencia, entonces

a!  Bb#  a5  Cb# œ C# Í B# œ #5ÐC 

5 Ñ # Se trata de una parábola cuyo vértice es Z Ð!ß 5# Ñ y foco J a!ß 5 bÞ 17. Un punto cualquiera T de una parábola se une con el vértice E de ella. La tangente en T corta a la tangente en Eß en Vß sea el punto U simétrico de T con respecto al eje de la parábola. Determinar la ecuación del PÞKÞ del punto de intersección Q de ET y VUß en el caso que T se mueva sobre la parábola. Y t P

R A

M(x, y ) X Q

Solución. Sea la ecuación de la parábola C# œ #:B con vértice E en el origen, así sea T aB! ß C! bß como T pertenece a la parábola entonces C!# œ #:B! Í B! œ

C!# C# C# à luego T Ð ! ß C! Ñ y UÐ ! ß  C! Ñ #: #: #:

Por otra parte la tangente en Eß tiene por ecuación B œ ! y la tangente en T C!# C Ñ intersecando estas ecuaciones resulta VÐ!ß ! Ñß luego la #: # C $: a"b ecuación de la recta VU resulta C œ !  B # C! #: a#b y la ecuación de la recta ET Cœ B C! C! C œ :ÐB 

finalmente eliminando el parámetro C! entre a"b y a#b se obtiene el PÞKÞ de

los puntos Q aBß Cbß que es C# œ #& :Bß que es la ecuación de otra parábola.

18. Identifique el lugar geométrico del vértice G de un triángulo, cuya base es EF œ +. Sabiendo que la altura 2- es media proporcional geométrica entre la suma y diferencia de los lados EG y FG del triángulo.

Y C( x, y)

hC

A(

−a ,0) 2

a B( ,0) 2

O

X

Solución. De inmediato se tiene, 2-# œ ÐEG  FGÑÐEG  FGÑ œ EG #  FG # Í + + ÒÐB  Ñ#  C# Ó  ÒÐB  Ñ#  C # Ó œ C # Í C # œ #+Bß que es una parábola con # # + vértice en el origen Z Ð!ß !Ñ y foco J Ð ß !ÑÞ # 20. Determinar la ecuación del lugar geométrico del ortocentro de un triángulo cuya base es constante lo mismo que la altura correspondiente.

Y C(c,h)

hC A(0,0)

hB

B(a,0)

X

Solución. Sean la base

EF œ + y

constante la altura correspondiente, 2 considerando a - como parámetro se tiene: 7EG œ Ê 72, œ  entonces la 2 ecuación de 2, es C œ  ÐB  +Ñ y la de 2- es B œ - eliminando el parámetro 2 - entre estas dos últimas ecuaciones se obtiene el PÞKÞ pedido, es decir 2- œ 2

B + +# ÐB  +Ñ Í ÐB  Ñ# œ  2ÐC  Ñß que es una parábola de vértice 2 # %2 + +# + +# 2 ZÐ ß Ñ y Foco J Ð ß  ÑÞ # %2 # %2 % Cœ 

""Þ6 Ejercicios Propuestos 1. Determine la ecuación del L.G. de los puntos aBß Cb cuya distancia a la recta C  $ œ ! es igual a la distancia del punto a  $ß %bÞ Identifique la curva y grafíquela. Solución. B#  'B  "%C  "' œ ! 2. Dada la parábola

aC  "b# œ %aB  "b

Determine 5ß de modo que la recta C œ # B  5 a) Corte a la parábola en dos puntos distintos b) Sea tangente a la parábola. Respuesta. a) ˜  ! Ê 5  b) ˜ œ ! Ê 5 œ

( # ( #

3. Grafique las parábolas que se indican, indicando sus elementos principales a) #B#  C  )B  % œ ! b) C#  #B  'C  " œ ! 4. Determine la ecuación de una parábola cuyo eje de simetría es paralelo con el eje \ y que pasa por los puntos a  "ß #bß a!ß !b y a'ß %bÞ Respuesta. & B œ C#  CÞ # 5. Determine la ecuación de la parábola, si los puntos que pertenecen a ella equidistan de la recta $B  %C œ "# y del punto a  #ß !bÞ Indique sus elementos principales. Indicación: use la definición de parábola. Respuesta.

#$ $' ß Ñß J a  #ß !b #& #& Ec. eje: %B  $C  ) œ !ß Ec. directriz: $B  %C  "# œ !Þ "'B#  *C#  #%BC  "(#B  *'C  %% œ !ß Z Ð 

6. Determine la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola B#  #C  %B  ' œ ! y que es perpendicular a la recta $B  #C  ' œ ! Respuesta. %B  'C  $& œ ! 7. Determine las ecuaciones de las tangentes a la parábola C #  %B  %C  % œ ! en los puntos de intersección con su lado rectoÞ Respuesta. B  C  " œ !à B  C  & œ ! 8. Determine 5ß de modo que el foco de la parábola encuentre sobre À a) el eje \Þ b) la recta #B  C œ &Þ

% C œ aB  "b#  # 5 se

Respuesta. a) 5 œ  #Þ b) 5 œ "#Þ

9. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos T aBß Cb tal que su distancia al eje ] sea igual a su distancia al punto a#ß  $bÞ GrafiqueÞ Respuesta. C#  'C  %B  "$ œ ! 10Þ Una cuerda de la parábola C#  %B œ ! es un segmento de la recta B  #C  $ œ !. Hallar su longitud. Respuesta. %È & 11. Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que estas rectas son perpendiculares entre si. 12. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola C#  #B  #C  $ œ ! que es perpendicular a la recta #B  C  ( œ !Þ Respuesta. " 5œ  # 13. Dada la ecuación de una parábola por C#  #C  #B  $ œ ! a) Grafique la curva indicando: Coordenadas de su vértice y foco, ecuaciones de su eje de simetría y directriz. b) Determine la ecuación de la tangente a la curva en el punto de contacto de

abscisa B œ ! y ordenada positiva. Luego calcule el área del triángulo formado por la tangente y los ejes coordenadosÞ Respuesta. $ & a) Z Ð  #ß "Ñß J Ð  ß "Ñß Ec. eje: C œ "ß Ec. directriz: B œ  Þ # # b) B  #C  ' œ !à Área œ * 14. a) Determine la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante, si la luz entre los extremos es de 150 m. y la distancia desde el vértice a la linea horizontal que une sus extremos, es 20 m.(los extremos se encuentran en la misma horizontal) b) Si la altura desde el vértice a una carretera horizontal que pasa por debajo del puente es de 15 m. Calcule la altura que hay desde la carretera a un punto del arco parabólico el cual se encuentra a 30 m. desde la vertical de uno de sus extremos Respuesta. Situando el origen del sistema de referencia en el extremo izquierdo, entonces % # #% a) C œ  B  B b) ##Þ# m. ""#& %& 15. Un proyectil se dispara bajo un ángulo de 45° con una velocidad inicial de 20 Km/min. Encontrar: a) Las ecuaciones paramétricas de su trayectoria. b) La ecuación cartesiana de dicha curva. c) El alcance máximo y la altura máxima que alcanza dicho proyectil. Respuesta.

* * # %!! "!! a) B œ "!È# >ß C œ "!È# >  ># b) C œ  B  B c) à # %!! * *

16. Desde un punto cualquiera de una parábola se traza una perpendicular a su eje de simetría. Demostrar que esta perpendicular es media proporcional entre el lado recto y la porción del eje comprendida entre el vértice y el pie de la perpendicular. 17. Demuestre que el PÞKÞ de los puntos medios de las cuerdas focales de una parábola, es otra parábola. 18. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto parábola ÐC  5Ñ# œ %:ÐB  2Ñ es igual a |+  2  :lÞ

T a+ß ,b de la

19. Hallar e identificar el PÞKÞ de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta B  $ œ ! es siempre # unidades mayor que su distancia del punto Ð"ß "ÑÞ

Respuesta. C#  %B  #C  " œ !Þ 20. Hallar el PÞKÞ del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta C œ " y a la circunferencia B#  C# œ *Þ Respuesta. B#  %C  % œ !à B#  )C  "' œ ! 21. Demostrar que la ecuación de la normal a la parábola C# œ %:B en el punto T! Ð+ß ,Ñ es: ,B  #:C œ +,  #:,Þ 22. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola B#  %B  "#C  ) œ !ß que es paralela a la recta $B  *C  "" œ !Þ Respuesta. B  $C  # œ !

23. Desde el punto a  "ß "bß se trazan dos tangentes a la parábola C#  B  %C  ' œ !

Hallar el ángulo formado por estas tangentes. Respuesta. 36° 2' 24. Hallar el ángulo de intersección de la circunferencia B#  C# œ #& y la parábola B#  %C  % œ ! en uno cualquiera de sus puntos de intersección. Respuesta. 63° 26' 25. Se han trazado dos círculos cada uno de los cuales tiene por diámetro una cuerda focal de una parábola. Demostrar que la cuerda común de los círculos pasa por el vértice de la parábola. 26. Una viga simplemente apoyada de longitud 6 Ðm.Ñ está uniformemente cargada con ; kgÎm. En mecánica se demuestra que a una distancia de B m. del apoyo " " izquierdo, el momento flector Q Ðkg † mÑß esta dado por Q œ ;6B  ;B# Þ # # Demostrar que el momento flector es máximo en el centro de la viga y que su valor " es ;6# Þ ) 27. Entre dos torres de alta tensión que distan entre si 120 m., cuelga un cable en forma parabólica, se sabe que las dos torres tienen una altura de 30 m. c/u y que la segunda se encuentra en una cima de 10 m. de altura con respecto a la horizontal de la otra, además la altura que debe haber entre el cable y el suelo que se considera

horizontal (al mismo nivel de la primera torre) en el punto medio de la distancia que las separa es de 20 m. a) Determine la ecuación del cable. b) ¿Cuál es la menor altura entre el suelo y el cable? Respuesta. a) Tomando el eje ] coincidente con la primera torre y el eje \ con el suelo, se " # & obtiene C œ B  B  $!Þ #%! "# b) 19.58 m.

Capítulo "2 La elipse y la hipérbola 12." Definición. Se llama elipse, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos. y

P ( x, y )

F1 ( −c, o)

F2 ( c, o)

x

Ecuación: Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por #+ß +  !ß sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar geométrico y sean J" a  -ß !b y J# a-ß !bß -  !ß las coordenadas de los focosß entonces de la definición se tiene T J"  T J# œ #+

ÈÐB  -Ñ#  C #  ÈÐB  -Ñ#  C # œ #+ de donde se obtiene la ecuación - # B#  +% œ +# B#  +# - #  +# C #

a"b

Nótese que en el triángulo J" T J# se tiene que Ahora de a"b resulta À

T J"  T J#  J" J# Ê +  Ð+#  - # ÑB#  +# C # œ Ð+#  - # Ñ+#

sea ,# œ +#  - # Í +  - y +  , en tal caso ,# B#  +# C # œ , # +# y de aquí

Discusión de la ecuación a#b y gráfico

a#b

B# C#  œ" +# ,#

Intersecciones con los ejes coordenados Intersección con el eje \ß B œ „ + de donde Z" Ð  +ß !Ñ y Z# Ð+ß !Ñ son las coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ

Intersección con el eje ] ß C œ „ , de donde F" a!ß  ,b y F# a!ß ,b son las coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ Simetrías

Al sustituir B por  Bß la ecuación a#b no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por  Cß es decir la curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez B por  B e C por  Cß la ecuación a#b no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría. Dominio Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „ a:  + Ÿ B Ÿ +Þ

,È # +  B# ß lo que nos conduce +

Recorrido

+ Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „ È,#  C # ß lo que nos conduce , a:  , Ÿ C Ÿ ,Þ

Concavidad

,È # , +  B#  Ð+  BÑß lo que nos + + indica que la curva es cóncava hacia abajo aC  !Þ

Nótese también que À si  + Ÿ B Ÿ + Í

y

a B2 b

a F2

F1

V1

V2 c

B1

c

x

Elementos de una elipse: 1. Sean J" y J# los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focalß en donde J" a  -ß !b y J# a-ß !bß -  !Þ 2. El eje focal corta a la curva en dos puntos Z" y Z# llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z" a  +ß !b y Z# a+ß !b $Þ El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, Z" Z# ß se llama eje mayor cuya longitud es #+Þ El valor de + se llama semieje mayor. %Þ El punto medio G del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curvaÞ &Þ La recta que pasa por G y es perpendicular al eje focal se llama eje normal. 6. El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, F" F# ß se llama eje menor cuya longitud es #,Þ El valor de , se llama semieje menor. (Þ Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Gß se llama diámetro de la elipse. 8. El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos E" y E# se llama cuerda focal. 9. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llama radio focal. 10. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado #,# recto, y su longitud es igual a + ""Þ Por convenio, tomaremos siempre +  ,ß si es el caso vértices de la elipse yacen sobre el eje \ß y si fuese encuentran sobre el eje ] Þ

B# C#  œ ", los +# ,#

B# C#  œ "ß los vértices se ,# +#

"#Þ Se define por excentricidad de la elipseß al cuociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir /œ

ß note que siempre /  " +

Observe que si / Ä ! la elipse tiende a una circunferencia y si / Ä " la elipse tiende a un trazo.

"2Þ2 Otra forma de la ecuación de una elipse

Sea el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetría de una elipse, por tanto las ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: B œ B w  2 e C œ C w  5ß y la ecuación de la elipse con respecto a los nuevos ejes \ w ] w cuyo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es:

B w# C w# ÐB  2Ñ# ÐC  5Ñ# de donde  œ "  œ" +# ,# +# ,# Obsérvese que los vértices son: Z" Ð2  +ß 5Ñ y Z# Ð2  +ß 5Ñ y los focos: J" Ð2  -ß 5Ñ y J# Ð2  -ß 5Ñ y a a

b

F2

F1

V1

V2

k

c

c x

h

Analogamente para el caso de

ÐC  5Ñ# ÐB  2Ñ#  œ" +# ,# cuyo gráfico es y

h

k

O

x

12.3 Definición. Se llama hipérbola, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos. y

P ( x, y )

F1 ( −c, o)

F2 ( c, o)

x

Ecuación: Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por #+ß +  !ß sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar geométrico y sean J" a  -ß !b y J# a-ß !bß -  !ß las coordenadas de los focosß entonces de la definición se tiene | T J"  T J# | œ #+

¹ÈÐB  -Ñ#  C #  ÈÐB  -Ñ#  C # ¹ œ #+ de donde se obtiene la ecuación - # B#  +% œ +# B#  +# - #  +# C #

a"b

Nótese que en el triángulo J" T J# se tiene que lT J"  T J# l  J" J# Ê -  +

Ahora, de a"b resulta À

Ð- #  +# ÑB#  +# C # œ Ð- #  +# Ñ+#

sea ,# œ - #  +# Í -  + y -  , en tal caso ,# B#  +# C # œ , # +# y de aquí

Discusión de la ecuación a#b y gráfico

B# C#  # œ" +# ,

a#b

Intersecciones con los ejes coordenados Intersección con el eje \ß B œ „ + de donde Z" Ð  +ß !Ñ y Z# Ð+ß !Ñ son las coordenadas de los vértices.

Intersección con el eje ] ß no tiene. Simetrías

Al sustituir B por  Bß la ecuación a#b no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por  Cß es decir la curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez B por  B e C por  Cß la ecuación a#b no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría. Dominio Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „ a: B Ÿ  + ” B +

,È # B  +# ß lo que nos conduce +

Recorrido

+ Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „ È,#  C # ß lo que nos conduce , a:  _ Ÿ C Ÿ _Þ Concavidad

,È # , B  +#  ÐB  +Ñß lo que + + nos indica que la curva es cóncava hacia abajo aC  !Þ

Nótese también que À si B Ÿ  + ” B + Í

y y= bx a

b

F1

V1

a

a

V2

F2

x

b

c

c

y=−bx a

Elementos de una hipérbola: 1. Sean J" y J# los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasversoß en donde J" a  -ß !b y J# a-ß !bß -  !Þ 2. El eje real corta a la curva en dos puntos Z" y Z# llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z" a  +ß !b y Z# a+ß !b

$Þ El valor de + se llama semieje real. El valor de , se conoce por semieje conjugado o imaginario. %Þ El punto medio G del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curvaÞ &Þ La recta que pasa por G y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario. 6Þ Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Gß se llama diámetro de la hipérbola. 7. El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos E" y E# se llama cuerda focal. 8. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hipérbola se llama radio focal. 9. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado #,# recto, y su longitud es igual a + B# C#  œ ", los vértices de la hipérbola yacen sobre el eje \ß +# ,# C# B# y si fuese #  # œ "ß los vértices se encuentran sobre el eje ] Þ + , "0Þ Si es el caso

"1Þ Se define por excentricidad de la hipérbolaß al cuociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir /œ

ß note que siempre /  " +

, B# C# "2Þ Las rectas C œ „ Bß se llaman asíntotas de la hipérbola #  # œ ", en + + , + C# B# tanto que C œ „ Bß son las asíntotas de la hipérbola #  # œ " , + ,

12Þ2 Otra forma de la ecuación de una hipérbola Sea el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetría de una hipérbola, por tanto las ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: B œ B w  2 e C œ C w  5ß

y la ecuación de la hipérbola con respecto a los nuevos ejes \ w ] w cuyo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es:

B w# C w# ÐB  2Ñ# ÐC  5Ñ# de donde  œ "  œ" +# ,# +# ,# Obsérvese que los vértices son: Z" Ð2  +ß 5Ñ y Z# Ð2  +ß 5Ñ y los focos: J" Ð2  -ß 5Ñ y J# Ð2  -ß 5Ñ y

a

b

F1

y − k = ba ( x − h )

a

V1

V2

F2

b

k

c

y − k = − ab ( x − h )

c

h

x

Note que las ecuaciones de sus asíntotas son en este caso C5 œ „

, ÐB  2Ñ +

Analogamente para el caso de

ÐC  5Ñ# ÐB  2Ñ#  œ" +# ,# cuyo gráfico es y y − k = a ( x − h) b

b

b

F1 V1

c

a

a

c

V2

F2

k

y − k = − a ( x − h) b

h

x

12.3 Tangencia. La ecuación de la tangente a la elipse o hipérbola T! ÐB! ß C! Ñ de ella es

B# C# „ œ " en el punto +# ,#

B! B C! C „ # œ" +# , En efecto, T! ÐB! ß C! Ñ pertenece a estas curvas entonces sea

B#! C!# „ œ" +# ,#

C  C! œ 7ÐB  B! Ñ

a"b

a#b

la ecuación de la tangente en cuestión, entonces efectuando la intersección de esta tangente con las curvas resulta ,# B „ +# ÒC!  7ÐB  B! ÑÓ# œ +# , # , # B! imponiendo la condición de tangencia ? œ !ß resulta 7 œ … # ß por tanto de + C! , # B! a#b se tiene C  C! œ … # ÐB  B! Ñ de aquí ocupando a"b se obtiene + C!

B! B C! C „ # œ" +# , por supuesto que el signo "  " para la elipse y el "  " para la hipérbola

Para los casos de

ÐB  2Ñ# ÐC  5Ñ# „ œ" +# ,# las ecuaciones de las tangentes en T! ÐB! ß C! Ñ sonß respectívamente ÐB!  2ÑÐB  2Ñ ÐC!  5ÑÐC  5Ñ „ œ" +# ,# la demostración se deja propuesta.

12.4 Ecuación general Una ecuación de la forma EB#  GC#  HB  IC  J œ !

a"b

Representa el lugar geométrico de una elipse real, si y solo si EG  ! con E Á G y J 

H# I#  ß %E %G

note que si E œ G y %EJ  H#  I # ß el lugar, es el de una circunferencia EG  ! con E Á G y J œ

H# I#  ß entonces el lugar se resume a un punto %E %G

EG  ! con E Á G y J  geométrico real

H# I#  ß entonces se dice que no hay un lugar %E %G

Para el caso de una hipérbola, EG  ! y J Á real EG  ! y J œ se cortan.

H# I#  ß entonces el lugar geométrico es el de una hipérbola %E %G H# I#  ß entonces el lugar geométrico es el de # rectas que %E %G

La demostración de estas afirmaciones, se deja al estudiante.

12Þ5 Ejercicios Resueltos 1. Determine: vértices, focos y las ecuaciónes de las asíntotas de la hipérbola #B#  C#  )B  #C  $ œ ! Solución. Completando cuadrados se obtiene

ÐB  #Ñ# ÐC  "Ñ#  œ " de aquí se # %

deducen: + œ È#ß , œ # y - œ È' con lo que Z" Ð#  È#ß "Ñß Z# Ð#  È#ß "Ñ ß J" Ð#  È'ß "Ñ y J# Ð#  È'ß "Ñ y las ecuaciónes de sus asíntotas C  " œ „ È#ÐB  #Ñ 2. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto Š

È( # ß $‹ß

tiene su centro en el

origen, su eje menor coincide con el eje \ y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.

Solución. La ecuación pedida es de la forma

C# B#  œ "ß donde + œ #, entonces ,# +#

È( C# B#  œ " como el punto  # ß $ pertenece a la elipse se debe tener ,# %,# ( % ,#

* C# B# #  # œ " Ê , œ %ß con lo que  œ" %, % "'

3. Los vértices de una hipérbola son los puntos a  "ß $b y a$ß $b y su excentricidad $ es . Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y las # longitudes de sus ejes transverso, conjugado y de cada lado recto. Solución.

Nótese que su centro de simetría es el punto a"ß $b entonces su ecuación es de la forma ÐB  "Ñ# ÐC  $Ñ#  œ ", donde +# œ % +# ,#

È +#  , # $ ÐB  "Ñ# ÐC  $Ñ# œ œ Ê , # œ &ß entonces  œ" + + # % & Ahora como - œ $ Ê J" Ð  #ß $Ñ y J# Ð%ß $Ñ Longitud del eje trasverso #+ œ %ß longitud del eje conjugado #, œ #È& y la #,# œ& longitud de cada lado recto + como / œ

%Þ Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos B# C#  œ ", y luego encuentre las ecuaciones de sus asíntotas. de la elipse #& * Solución.

4

3

y= 3x 4

4

V1

V2 x

3 5

5

y=− 3 x 4

Para la elipse +# œ #& y ,# œ * Ê - # œ "'

Para la hipérbola +# œ 16 y - # œ * Ê ,# œ "' C# B#  œ" "' * $ Las ecuaciones de sus asíntotas son C œ „ B % Por tanto la ecución pedida es

5. Demostrar que el triángulo formado por una tangente cualquiera a una hipérbola y sus asíntotas tiene un área constante Demostración. Sin perder generalidad se puede tomar la hipérbola de ecuación

C# B#  œ" +# ,#

y

y= bx a

a A b

F1

V1

P0

O

B

x

F2

c

y=−bx a

Sea T! a?ß @b que pertenece a la hipérbola, entonces

@# ?# a"b  œ" +# ,# La ecuación de la tangente en T! está dada por ,# ?B  +# @C œ +# , # a#b , Las ecuaciones de las asíntotas son: C œ „ B a$b + Resolviendo el sistema formado por a#b y a$bß obtenemos las coordenadas de E y Fß es decir À EÐ

+# , +,# +# , +,# ß Ñ y FÐ ß Ñ ?,  @+ ?,  @+ ?,  @+ ?,  @+

Ahora, el área del triángulo SEF está dado por â ! ! â â # â +,# "â + ,  E
â "â â â +$ , $ "â œ â â ?# , #  @ # + # â "â â

pero de a"b À ?# ,#  @# +# œ +# , # con lo que finalmente E
6. Demuestre que la normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos, es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto. Solución. No se pierde generalidad al tomar la elipse cuya ecuación es ,# B#  +# C# œ +# ,# a"b

Sea ( la normal a la elipse en un punto T! a?ß @b de la curva. y

η αβ P0

F1

x

F2

Sean ! el ángulo formado por J" T! y (ß y " el ángulo entre J# T! y ( , vamos a demostrar que ! œ " Þ Sabemos que la ecuación de la tangente en T! ß está dada por ,# ?B  +# @C œ +# , # ,# ? +# @ en que su pendiente es 7> œ  # por tanto 7( œ # + @ , ? Por otra parte las pendientes de los radios vectores @ @ respectivamente À y ß entonces ??-

J" T!

y

J# T!

son

@ +# @  # # # # , ? œ , ?@  + ?@  + -@ >1 ! œ ?  @ +# @ ,# ?#  ,# -?  +# @# " ?  - ,# ? imponiendo la relación - # œ +#  ,# y la condición ,# ?#  +# @# œ +# , # y simplificando resulta >1 ! œ

-@ ,#

a"b

Analogamente se obtiene también que >1 " œ

Por tanto por a"b y a#b se tiene ! œ " Þ

-@ ,#

a#b

7. Demostrar que las tangentes a la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# y a la circunferencia

B#  C# œ +# en T! Ð?ß @" Ñ y U! a?ß @# b ? Á ! respectivamente, se cortan en un

mismo punto sobre el eje \Þ Demostración.

Las tangentes respectivas en los puntos indicados son.

,# ?B  +# @" C œ +# , # y ?B  @# C œ +# intersecando cada una con el eje \ß se obtiene el punto Ð

+# ß !Ñ en ambos casos. ?

8. Demostrar que las tangentes a la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# en una dirección 7 son: C œ 7B „ È7# +#  , # Demostración. Sea el haz de rectas tangentes dadas por: C œ 7B  8ß intersecando con la elipse dada se tiene Ð,#  +# 7# ÑB#  #78+# B  +# Ð8#  , # Ñ œ ! Ahora, imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! resulta %7# 8# +%  % Ð,#  +# 7# Ñ+# Ð8#  , # Ñ œ !

de donde resolviendo para 8ß se obtiene 8 œ „ È7# +#  , # luego la tangente es C œ 7B „ È7# +#  , # .

9. Determine el lugar geométrico de los puntos desde donde se puedan trazar tangentes perpendiculares entre si a la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# . Solución.

Sean C œ 7B „ È7# +#  , # las tangentes a la elipse dada en cierta dirección B +# 7ß con 7 Á ! y sus perpendiculares serán de la forma C œ  „ Ê #  ,# 7 7 Eliminando el parámetro 7 entre ambas familias, obtenemos los puntos de intersección, que es el lugar geométrico en cuestión De la primera se obtiene De la segunda se obtiene

C  7B œ „ È7# +#  , #

B  7C œ „ È7# , #  +#

De donde elevando al cuadrado cada una y sumando miembro a miembro se tiene Ð"  7# ÑC#  Ð"  7# ÑB# œ +# Ð"  7# Ñ  , # Ð"  7# Ñ

y de aquí resulta la circunferencia con centro en el origen y radio È+#  ,# es decir B#  C# œ +#  ,# ß que es la ecuación del lugar geométrico pedido. 10. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de las proyecciones de los focos de la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# sobre las tangentes a la misma en una dirección 7ß con 7 Á ! dada.

Solución. Sabemos que la familia de tangentes a la elipse dada en cierta dirección 7ß están dadas por C œ 7B „ È7# +#  , # Í C #  #7BC  7# B# œ +# 7#  , # ß a"b Las perpendiculares a estas tangentes porlos focos, están dadas por Cœ 

" ÐB „ -Ñ Í 7C  B œ … - Í 7# C #  #7BC  B# œ - # œ +#  , # 7

Eliminando el parámetro 7 entre esta última ecuación y a"b se obtiene la ecuación del lugar geométrico pedido, que resulta ser À B#  C# œ +# Þ

11. El punto medio de la cuerda de una elipse es a&ß #bÞ Hallar la ecuación de la cuerda, si la elipse tiene por ecuación B#  %C#  'B  )C  $ œ !Þ Solución. Sea C  # œ 7ÐB  &Ñ la ecuación de la cuerda en cuestión, intersecando con la ecuación de la elipse dada, obtenemos: Ð"  %7# ÑB#  Ð)7  %!7#  'ÑB  "!!7#  %!7  $ œ ! sabemos que si B" y B# son las raíces de ésta última ecuación, se cumple que B"  B # œ 

)7  %!7#  ' ß por otra parte también B"  B# œ 10 "  %7#

entonces, '  %!7#  )7 œ "!Ð"  %7# Ñ de aquí se obtiene 7 œ  " tanto la ecuación de la cuerda resulta ser C  # œ  ÐB  &ÑÞ #

" por #

12. Sea 6 la tangente en T a?ß @b a la elipse ,# B#  +# C # œ +# , # . Sean X" y X# las intersecciones de 6 con las tangentes trazadas desde los vértices de la elipse. Demostrar que la circunferencia que tiene por diámetro el trazo X" X# pasa por los focos Demostración. y

•

•

F2

F1

x

T1

P (u, v ) T2

Primeroß determinamos las coordenadas de X" y X# ß intersecando la ecuación de la tangente en T ß que está dada por ,# ?B  +# @C œ +# , # con B œ „ +ß de ,# ? ,# ? donde resultan: X" Œ+ß Š"  ‹ y X2 Œ  +ß Š"  ‹ @ + @ + Por otra parte la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos X" y X# diametralmente opuestos, esta dada por ,# ? ,# ? ÐB  +ÑÐB  +Ñ  ÒC  Š"  ‹ÓÒC  Š"  ‹Ó œ ! @ + @ + Esta circunferencia cuando corta al eje B se debe tener C œ !ß así resulta B#  + # 

T a?ß @b satisface la ecuación de la

,% ?# "  Œ  œ !ß pero como @# +#

elipse, entonces ,# ?#  +# @# œ +# ,# Í " 

?# @# œ así se tiene +# ,#

B#  +#  ,# œ ! Í B# œ +#  , # œ - # Í B œ „ -ß luego la circunferencia pasa por los focos. 13. Demuestre que el producto de las distancias desde los focos de una elipse, a una tangente cualquiera de ella, es constante. Demostración. y

P (u , v )

F1

O A

F2

x

Sabemos que la ecuación de la tangente en el punto T Ð?ß @Ñ de la elipse, está dada por ,# ?B  +# @C œ +# , # , por tanto las distancias ." y .# desde los focos J" a  -ß !b y J# a-ß !b son: ." œ

l  -?,#  +# ,# l l-?, #  +# , # l y .2 œ È ?# , %  @ # + % È ?# , %  @ # + %

Así, ." .# œ Entonces,

l- # ?# ,%  +% ,% l ß pero ?# , %  @ # + %

, # ?#  + # @ # œ + # , # y - # œ + #  , #

." .# œ ,#

l- # ?#  +% l l- # ?#  +% l l- # ?#  +% l # # œ , œ , # # ?# , #  + %  ? # + # ?# ,#  @,# +% ?# ,#  Ð"  ?+# Ñ+%

œ ,#

% # # l- # ?#  +% l # + - ? œ , œ ,# ?# Ð,#  +# Ñ  +%  - # ?#  + %

14. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto a$ß  "b a la elipse cuya ecuación es: #B#  $C#  B  C  & œ !Þ Solución. Las ecuaciónes de la tangentes mencionadas son de la forma C  " œ 7ÐB  $Ñß intersecando con la elipse se obtiene: Ð#  $7# ÑB#  Ð  ")7#  (7  "ÑB  #(7#  #"7  " œ ! Imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! Ê Ð  ")7#  (7  "Ñ#  %Ð#  $7# ÑÐ#(7#  #"7  "Ñ œ ! resolviendo para 7 se obtiene: 7" œ  " ” 7# œ

* con lo que resultan "*"

B  C  # œ ! y *B  "*"C  #") œ !

15. Los extremos de la base de un triánguloson los puntos Ea!ß !b y F a$ß !bÞ Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice G si se mueve de modo que el ángulo de la base GFE es siempre igual al doble del ángulo GEF Solución. y

C ( x, y )

α

2α B

A

x

C C • >1 #! œ ß ! Á ! parámetro B $B Eliminando el parámetro ! se obtendrá la ecuación del lugar geométrico del vértice GÞ

De la figura se tiene que: >1 ! œ

Sabemos que À C # #>1 ! C B Í ÐB  "Ñ#  C œ " >1 #! œ Í œ "  >1# ! $B $ C# " # B Se trata de una hipérbola centrada en el punto a"ß !b #

16. Probar que la normal en a?ß @b a la hipérbola equilátera B#  C# œ +# es @B  ?C œ #?@Þ Prueba.

La tangente en a?ß @b está dada por la ecuación ?B  @C œ +# por tanto su ? pendiente es 7> œ entonces la pendiente de la normal en dicho punto resulta @ @ 7( œ  Þ ? @ Por tanto la ecuación de la normal en dicho punto es C  @ œ  ÐB  ?Ñ de aquí ? se tiene @B  ?C œ #?@Þ 17. Demostrar que en una hipérbola equilátera la distancia de un punto de ella , al centro de simetría es media proporcional geométrica entre sus distancias focales. Demostración. y

a P( x, y ) a

F1 y=x

o

F2

c

x

y = −x

La ecuación de la hipérbola es B#  C# œ +# y se cumple que - # œ #+# De la figura À

ST # œ B#  C# , "

T J" † T J# œ ÖÒÐB  -Ñ#  C # ÓÒÐB  -Ñ#  C # Ó× # "

œ ÒÐB#  C# Ñ#  - %  #- # ÐB#  C # ÑÓ # œ B#  C# œ ST # ß pues - %  #- # ÐB#  C # Ñ œ ! 18. Demostrar que la parte de la normal de una hipérbola comprendida entre los ejes +# coordenados queda dividida por la curva en la razón # , Demostración.

y

A P ( u, v )

P1

b

B

O

x

a

Vamos a demostrar que TE T" E +# œ œ # TF T" S , Determinemos las coordenadas de Eß para lo cual obtenemos la ecuación de la normal en el punto de tangencia T a?ß @bß que es @+# B  ?, # C œ ?@Ð+#  , # Ñ intersecando con el eje Cß resulta EŒ!ß T" E œ

+#  , # @ ß por otra parte note que T" Ð!ß @Ñ entonces se tiene ,#

T" E +#  , # +# @ +# @  @ œ ß T S œ @ß luego œ " ,# ,# T" S ,#

19. La tangente en un punto T de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# , # corta al eje transversal en X ß y la recta ST corta en V a la tangente en Eß demostrar que VX es paralela a T EÞ Solución. y

R

P (u, v )

b

O

T

A

x

a

Sabemos que la tangente en T a?ß @b a la hipérbola está dada por,

,# ?B  +# @C œ +# , # ß intersecando con el eje

XŒ

+# ß !ß ahora ? @ C œ B, resulta ?

B se tiene

intersecando

B œ + con la recta ST cuya ecuación es @ + @ @ ? V Š+ß +‹ß entonces 7VX œ œ œ 7EX ß por tanto VX llT EÞ # ? ?+ + + ?

20. Sea una cuerda cuyo punto medio es a%ß "b de la hipérbola B#  $C# œ ', Hallar su ecuación. Solución.

Sea la ecuación de la cuerda C  " œ 7aB  %b intersecando con la hipérbola se tiene: a"  $7# bB#  Ð#%7#  '7ÑB  %)7#  #%7  * œ !

#%7#  '7 " de donde ÐB"  B# Ñ œ %ß luego # "  $7 # # "#7  $7 % % %œ  Í 7 œ ß por tanto C  " œ aB  %b es la ecuación en # "  $7 $ $ cuestión. de aquí se sabe que B"  B# œ 

21. Desde el foco de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# se traza una perpendicular a una de sus asíntotas. Demostrar que su pie tiene las distancias + y , al centro de simetría y al foco de la hipérbola respectivamente. Demostración. y

d1

b

O

d2

F1(c,0)

x

a

La ecuación de la asíntota que se muestra en la figura es ,B  +C œ !ß por tanto .# œ

l, † -  + † !l ,œ œ, È +#  , # -

La recta por el foco y perpendicular a la asíntota es C œ  obtenemos +B  ,C  +- œ !ß con lo que

+ ÐB  -Ñ de aquí ,

." œ

l+ † !  , † !  +-l +œ œ+ È +#  , # -

22. Desde el foco de una hipérbola, como centro se describe una circunferencia con radio igual al semieje conjugado. Demostrar que ésta circunferencia es tangente a las asíntotas en los puntos que cortan a la directriz. Demostración.

La ecuación de la circunferencia mencionada es aB  - b#  C# œ ,# y las , ecuaciones de las asíntotas son: C œ „ Bß efectuando la intersección con la + ,# # +# # circunferencia se tiene aB  - b  # B œ ,# y resolviendo B œ Ê + +, Cœ „ ß solo dos interseccciones una por cada asíntota y además es tangente en los puntos de intersección con la directriz pues recordemos que su ecuación es +# Bœ . 23. Bajo que ángulos se cortan la hipérbola equilátera B#  C# œ +# y la circunferencia B#  C# œ *+# Þ Solución. Efectuando la intersección de ambas curvas obtenemos 4 puntos, que son:

T" ŠÈ&+ß #+‹ß T# ŠÈ&+ß  #+‹ß T$ Š  È&+ß #+‹ y T% Š  È&+ß  #+‹

basta considerar T" ß determinamos las tangentes a ambas curvas en este punto, es decir " >" À È&+B  #+C œ +# Ê 7" œ È& # " ># À È&+B  #+C œ *+# Ê 7# œ  È& # Luego el ángulo en cuestión estará dado por >1 ) œ

7#  7 " œ %È& Ê ) œ )$ß '#° "  7# 7 "

24. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola B#  C# œ +# a sus asíntotas es constante. Solución.

Sea T! aB! ß C! b un punto cualquiera de la hipérbola, entonces: lB!  C! l lB!  C! l l B#  C!# l " œ ! œ +# ß pues È# È# # # hipérbola.

." .# œ

T!

pertenece

a

la

25. Determine la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus asíntotas son las rectas B  C  " œ ! ß C  B  $ œ !ß cuyo eje real es paralelo al eje ] y que pasa por el punto a!ß %bÞ Solución. El centro de simetría de la hipérbola en cuestión, está en la intersección de sus asíntotas, dado por la solución de BC"œ! CB$œ!

que resulta ser a  "ß #b así la ecuación pedida es ÐC  #Ñ# ÐB  "Ñ#  œ" +# ,# + œ " Í + œ , , y como la hipérbola pasa por el punto , Ð%  #Ñ# Ð!  "Ñ# a!ß %b Ê  œ " Í ,# œ $Þ Así resulta la ecuación dada por ,# ,#

pero como C œ B  $ Ê

ÐC  #Ñ# ÐB  "Ñ#  œ" $ $ 26. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje ] es siempre igual a la mitad de su distancia al punto a$ß #bÞ Grafique la curva. Solución. Y

Y

P( x , y )

2

2 O

3

−1

X

X

T aBß Cb debe cumplir lBl œ

"È ÐB #



$Ñ#

 ÐC 

#Ñ#

ÐB  "Ñ# ÐC  #Ñ# Í  œ" % "#

Se trata de una hipérbola de centro de simetría G a  "ß #b

12Þ6 Ejercicios Propuestos $ 1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto Œ"ß È$ y tiene una # # excentricidad de Þ È& Respuesta. %B#  #!C# œ "$*

2. Los puntos a$ß !b y a  $ß !b son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es *Þ Hallar la ecuación dela elipse. Respuesta. #(B#  $'C# œ "!&$ 3. Si T Ð?ß @Ñ es un punto cualquiera de la elipse ,# B#  +# C# œ +# , # Þ Demostrar que los radios vectores son: <" œ +  /? y <# œ +  /?Þ %Þ Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia B#  C# œ "' en la razón " À %Þ Respuesta. B#  #&C# œ "'. 5. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje BÞ Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos ŠÈ'ß  "‹ y Š#ß È#‹Þ Respuesta. B#  #C# œ ).

6. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos a!ß !b y a'ß !bÞ Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de modo que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a %Þ Respuesta. %B#  C#  #%B œ !. 7. Los extremos de un diámetro de la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# son T" y T# Þ Si J es uno de los focos de la elipse. Demostrar que la suma de los radios vectores J T" y J T# es igual a la longitud del eje mayor.

8. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B#  %C# œ 5 representa " a una familia de elipses, cuya excentricidad es . #

9. El centro de una elipse es el punto a#ß  %bß el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos a  #ß  %b y a  "ß  %b respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. Respuesta.

(aB  #b#  "'aC  %b# œ ""#ß / œ !Þ(&ß #, œ #È(ß

( #

10. Dada la elipse B#  %C#  'B  "'C  #" œ !ß determine: La ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad. Respuesta.

aB  $b#  %aC  #b# œ %à a$ß  #bà a&ß  #bß Ð"ß  #Ñ à Š$  È$ß  #‹ß È$ Þ Š$  È$ß  #‹à % y #à "à # 11. Desde cada punto de la circunferencia B#  C#  %B  %C  ) œ ! se traza una perpendicular al diámetro paralelo al eje BÞ Hallar la ecuación del lugar gemétrico de los puntos medios de estas perpendiculares. Respuesta. B#  %C#  %B  "'C  % œ ! 12. Demostrar que las tangentes a una elipse trazadas desde los extremos de un diámetro cualquiera son paralelas entre si. 13. Desde el punto a#ß (bß se trazan paralelas a la elipse #B#  C#  #B  $C  # œ !Þ Hallar las coordenadas de los puntos de contacto. Respuesta.

a"ß "bà Œ 

"$ #* ß  * *

14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a a elipse $B#  C#  %B  #C  $ œ ! y que son perpendiculares a la recta B  C  & œ !Þ Respuesta. B  C  " œ !à $B  $C  "$ œ !

15. Hallar la ecuación de la tangente trazada desde el punto a?ß @b a la elipse

,# B#  +# C# œ +# ,# ß Note que a?ß @b no pertenece a la elipse. Respuesta. ,# ?B  +# @C œ +# , # 16. Demostrar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmente opuestos, son paralelas. 17. Para que valores del parámetro >ß los puntos de la forma a"  >ß #>b se encuentran en el interior de la elipse. Respuesta. "Ÿ>Ÿ

% &

18. Dadas: la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# , la circunferencia B#  C# œ , # y la recta C  : œ !ß ésta ultima interseca al eje C en el punto R ß a la circunferencia en U RT + y a la elipse en T Þ Demostrar que se verifica œ Þ RU , 19. Si U y U w son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, de modo que un punto T de la elipse tiene la ordenada de U y la abscisa de U w Þ Demostrar que la recta UU w pasa por el origen de coordenadas. 20. El punto medio de una cuerda de la elipse Encontrar la ecuación de la cuerda.

, # B#  + # C # œ + # , #

es

a?ß @b

Respuesta. ,# ? C  @ œ  # ÐB  ?Ñ + @ 21. Demostrar que el módulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el punto donde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad. 22. El lado recto de una elipse corta a ella en Vß se traza una cuerda por el foco J" a-ß !b y por el punto Ð!ß ,Ñ que corta en T a dicha elipse. Demostrar que J" T J" V œ J" F J# V siendo J# el otro foco. 23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidiámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes. 24. Un segmento EF de longitud ' unidades se desliza de forma que sus extremos se apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos E y F se elige un punto tal que T E œ  #T FÞ Determine el lugar geométrico descrito por T Þ

Respuesta. "'B#  %C# œ '% 25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a los vértices E y E w Þ Estas rectas cortan al eje FF w en los puntos Q y R Þ Probar que SQ † SR œ ,# .

26. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos a$ß  #b y a(ß 'bß tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje BÞ Respuesta. %B#  &C# œ "'Þ

27. Los vértices de una hipérbola son los puntos a#ß !b y a  #ß !b si sus focos son a$ß !b y a  $ß !bÞ hallar su ecuación y su excentricidad. Respuesta. &B#  %C# œ #!à "Þ&

28. Los vértices de una hipérbola son los puntos a  #ß #b y a  #ß  %b y la longitud de su lado recto es # Þ Hallar su ecuación, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Respuesta.

$aC  "b#  *aB  #b# œ #(à Ð  #ß  "  È$Ñà Ð  #ß  "È$Ñà

#È $ $

29. Dada la hipérbola #&B#  $'C# œ *!! Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triángulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice Z Ð'ß !ÑÞ Respuesta. J" ÐÈ'"ß !Ñß J# Ð  È'"ß !Ñà 'C œ „ &Bà $!Þ 30Þ Dada la hipérbola B#  %C#  'B  "'C  #" œ !ß determine: Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas , longitud de su lado recto y excentricidad. Respuesta.

%aC  #b#  aB  $b# œ "'à a$ß  #bà a$ß !bß Ð"ß  #Ñ à Š$ß  #  È&‹ß È& Š$ß  #  È&‹à #C  % œ „ ÐB  $Ñà %à # 31. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B#  $C# œ 5 representa a una familia de hipérbolas, cuya excentricidad es È#.

32. Hallar los puntos de intersección de la recta #B  *C  "# œ ! con las asíntotas de la hipérbola %B#  *C# œ ""Þ Respuesta.

a$ß #bà a  "Þ&ß "b

33. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre si, la hipérbola es equilátera. 34. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por el punto a  "ß  &b y tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Respuesta. BC œ & 35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera a su centro es media proporcional geométrica entre las longitudes de los radios vectores del punto. 36. La excentridad de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# es /" Þ Si la excentricidad de su hipérbola conjugada es /# Þ Demostrar que /" À /# œ , À +Þ 37. Si ! es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# . Demostrar que su excentricidad es igual a =/- Þ 38. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola, corta a la curva solamente en un punto.

39. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos a!ß !b y a%ß !bÞ Hallar e identificar el lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro. Respuesta. $B#  C#  "'B  "' œ !à $B#  C #  )B œ !Þ

40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola B#  #C#  %B  )C  ' œ ! que son paralelas a la recta %B  %C  "" œ !Þ Respuesta. B  C  " œ !à B  C  " œ !

41. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas desde el punto a$ß 'b ala hipérbola B#  C#  %B  #C  & œ !Þ Respuesta. #$° #$'.

42. Demostrar que la elipse #B#  C# œ "! y la hipérbola ortogonales entre sí, en sus puntos de intersección.

%C#  B# œ % son

43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hipérbola en cualquier extremo de sus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad. 44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de tangente comprendido entre las asíntotas. 45. En cualquier punto T ß excepto uno de sus vértices de una hipérbola equilátera, se traza una normal que corta al eje focal en el punto UÞ Si S es el centro de simetría de la hipérbola, demostrar que lST l œ lT UlÞ 46. Demostrar que en una hipérbola equilátera dos diámetros ortogonales tienen longitudes iguales. 47. Por un punto T de una hipérbola se traza una recta 6ß paralela al eje transversal y ésta recta corta a las asíntotas en los puntos U y Vß demuestre que se cumple que T U † T V œ +# y cuano 6 es paralela al eje conjugado se verifica T U † T V œ , # Þ 48. Sean dos hipérbolas equiláteras y concéntricas de modo que los ejes de una de ellas sean las asíntotas de la otra. Demostrar que las hipérbolas se cortan ortogonalmente. 49. Estudiar para que valores de +ß ,ß - la ecuación BC  +B  ,C  - œ ! representa a una hipérbola con asíntotas paralelas a los ejes coordenadosÞ 50. Determinar el área de un rectángulo formado por las perpendiculares bajadas desde los focos de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# a una tangente cualquiera de ella. 51. Una tangente a una hipérbola se prolonga hasta sus puntos de intersección con sus asíntotas. Encuentre la magnitud ST" † ST# siendo T" y T# los puntos de intersección y S el centro de la hipérbola. 52. Si las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de #=, demuestre que >1 = œ È/#  "

donde / es su excentricidad. 53. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos de la elipse %B#  *C#  %)B  (#C  "%% œ ! respectívamente. Encuentre las asíntotas de la misma. Grafique ambas cónicas. 54. Determine la ecuación de la elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de las asíntotas de la hipérbola *B#  %C#  $'B  $#C  '% œ ! con el eje ] ß $È $ y que pasa por el punto Ð ß $ÑÞ # 55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse: B#  % C# œ % sea paralela a la recta C œ BÞ

Respuesta. % " B! œ … ß C œ „ È& ! È&

56. Por el punto T a#ß (b se trazan tangentes a la elipse #B#  C#  #B  $C œ # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto. Respuesta. a"ß "bß Œ 

"$ #* ß  * *

57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse $B#  C#  %B  #C  $ œ ! que son perpendiculares a la recta B  C  & œ ! Respuesta. B  C  "à $B  $C  "$ œ !

58. Dados los focos J" a#ß $b y J a  #ß "b y la longitud del eje mayor que es 8, obtener la ecuación y los elementos de la elipse. Respuesta. "#B#  %BC  "&C#  )B  '!C  ""' œ ! 59. Una circunferencia móvil es tangente a las circunferencias: G" À B#  C#  %B œ !;

G# À B#  C #  "'B  $' œ !

Identifique el lugar geométrico que describe el centro de la circunferencia móvil. Respuesta. $B#  %C#  $!B  $$ œ ! 60. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola B#  #C#  #B  )C  $ œ !

en el punto a"ß %bÞ Determine también las ecuaciones de sus asíntotas. Respuesta.

B  #C  ( œ !à #C  % œ „ È#aB  "bÞ

Geometría Analítica - Luis Zegarra a.

Recommend Documents