GCivil Structures

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Pratique

BAEL

91 Cours avec exercices corriges

Jean Perchât Jean Roux

Pratique Cours du avec BAEL exercices corrigés

91

Quatrième édition

Jean Perchât Jean Roux

 Pratique du BAEL 91 présente, 91  présente, à partir des lois classiques classiques de la Résistance Résistance des Matériaux, et après l'étude étude des méthodes de calcul  propres à chaque sollicitation sollicitation élémentaire (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant, moment de torsion) et au flambement, le dimensionnement des éléments de base d'un e structure (tirant, poteau, poutre, dalle). Chaque chapitre comporte un rappel de cours suivi d'un ou p lusieurs exercices d'application d'application traités en détail. Il y est tenu compte des nouvelles règles de prise en compte de la fissuration définies par les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. Les exercices sont accompagnés de nombreuses informations utiles pour les calculs. Cette quatrième édition est enrichie par : O des formules plus précises pour les pourcentages p ourcentages minimaux d'armatures d'armatures en flexion simple et composée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques, O une formule approchée d u moment limite ultime au-delà Jean Perchât, ingénieur ECP, duquel des armatures a, pendant plus de trente ans, comprimées sont nécessaires dans  participé activement, activement, au sein de les sections rectangulaires, en commissions commissions nationales ou flexion simple, valables pour des internationales, internationales, à la rédaction des textes normatifs relatifs au b éton armé, et enseigné les méthodes de calcul qui en découlent.

 bétons de résistance caractéristique caractéristique allant jusqu'à 60 MPa, Q des compléments portant sur les effets de l'effort tranchant Jean Roux, ingénieur ETP  permettant de mieux mieux CHEBAP, pratique le calcul des appréhender les prescriptions des  structures en béton sous une Règles BAEL 91 modifiées 99, double approche du fait de ses activités d'ingénieur d'ingénieur à la SNCF et de professeur à l'ESTP. O la distinction entre torsion d'équilibre et torsion de compatibilité définissant les cas où une étude de la torsion des éléments en béton armé est nécessaire. Code éditeur :G11049 ISBN: 2-212-11049-9 Cet ouvrage est extrait du cours de l'École spéciale des travaux publics (ESTP) professé jusqu'à ces dernières années par Jean Perchât et repris depuis par Jean Roux. Il s'adresse aux étudiants en bâtiment et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et  projeteurs désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour leurs connaissances dans ce domaine. L I a N/illettfi

)mpatibles avec la géométrie du tunnel pour un gabarit de véhicule donné, de réduire consiârablement les coûts de « mise au gabarit » des tunnels de la SNCF. e retour au Département des Ouvrages d'Art en 1983, il devient responsable des études tech- es et informatiques de la Division des Tunnels, dans un domaine où la Résistance des atériaux et la Mécanique des Sols sont si étroitement confrontées.

on expérience et ses compétences lui valent  plusieurs missions missions à l'étranger étranger pour des projets rénovation de tunnels, auxquels il apporte toutes ses connaissances techniques et écono- iques. tégré à la SNCF dans une solide équipe d'ingénieurs émérites, tels que J. Gandil, Trufandier, J. Eyraud, A. Rozière, Jean Roux garde le contact avec l'École Spéciale des 'ravaux Publics en tant que Maître assistant puis Professeur de béton armé. Il est aussi ofesseur de Résistance des Matériaux au Centre des Hautes

Études de la Construction depuis 983. ; présent ouvrage a trois objectifs : - il est d'abord un vade-mecum de l'ingénieur par le rappel constant des bases de la Résistance des Matériaux, fondement logique de toute réflexion sur la construction ; - il est aussi l'image vivante d'un cours agréable. Certes il faut y trouver la trame de l'exposé théorique et la rigueur de la formule car il s'agit bien là de règles et de normes, mais l'exercice appliqué et expliqué y ajoute l'exemple, l'utile et le concret ; - il est enfin un recours pour l'ingénieur confirmé, confirmé, en lui  présentant les les dernières évolu- tions, tions, qui relèvent relèvent d'expérimentations d'expérimentations ou de dispositions réglementaires réglementaires dans une dyna- mique d'actualité et de progrès. Sous la double signature de Jean Perchât et de Jean Roux, qui furent dans la relation de maître a élève avant d'œuvrer dans une fructueuse collaboration, cet ouvrage arrive à son heure pour tous ceux qui participent à l'art d'édifier et de construire.

E. CHAMBRON Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées Directeur honoraire de l'Équipement de la SNCF •

AVANT-PROPOS

Les dernières mises à jour des Règles de calcul des ouvrages en béton armé aux états- limites dites Règles BAEL 91 modifiées 99 sont applicables applicables depuis le 15 février 1999.

Cet ouvrage, extrait du cours de béton armé  professé à l'École Spéciale des Travaux Publics (ESTP) jusqu'à ces toutes dernières années par J. Perchât et maintenant par J. Roux, qui intègre ces modifications, est destiné : - aux projeteurs, élèves-ingénieurs, jeunes ingénieurs et étudiants ayant le béton armé à leur  programme d'études, d'études, désireux désireux d'acquérir d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur cou- ramment  pratiqués dans le domaine domaine du calcul des structures structures de génie civil en béton armé, - ainsi qu'aux ingénieurs confirmés qui souhaitent appliquer directement les derniers errements réglementaires. Après quelques rappels sommaires de Résistance des Matériaux (matière qu'il est indispen- sable de connaître avant d'aborder le calcul d'une construction en quelque matériau que ce soit), puis des généralités concernant l'évaluation des sollicitations et des caractéristiques des matériaux acier et béton, chaque chapitre est consacré aux méthodes de calcul propres à une sollicitation élémentaire (traction simple, compression simple, flexion simple, ...) ce qui per- met d'aborder dans les derniers chapitres les calculs relatifs aux éléments constitutifs d'une construction simple (dalles, poutres, planchers,...). Chaque chapitre est organisé en deux parties : 1) des rappels de cours présentant les méthodes de calcul et formules réglementaires avec des démonstrations et des explications permettant de comprendre leur fondement scienti- fique et expérimental expérimental ainsi que leur philosophie, 2) un ou plusieurs exercices d'application commentés et des compléments permettant de visualiser les techniques et hypothèses en même temps que d'acquérir une expérience et de «  bonnes » habitudes dans le domaine du béton armé appliqué aux bâtiments et aux travaux  publics.

Si les Règles BAEL se prêtent bien aux calculs informatiques, il ne nous a pas paru néces- saire, devant la multiplicité

 programmation  programmation (basic, C, turbo pascal,...), de dondon - ner, chaque fois que l'usage d'un micro-ordinateur se justifiait, justifiait, des progra  Nous avons préféré donner donner plutôt des organigrammes organigrammes et enchaînements enchaînements explicitant explicitant le dérouledéroule- ment des processus de calcul que aisément transcrire sur son Les nombreuses informations relatives au génie civil (valeurs des charges permanentes et d'exploitation, contraintes limites des matériaux, caractéristiques géométriques des aciers en barres, formulaires pour poutres isostatiques, tableaux de Dans cette nouvelle édition de « Pratique du caractéristiques des sections,...) ren- contrées en BAEL 91 », les auteurs ont introduit les nou parcourant les divers chapitres chapitres faciliteront la tâche velles valeurs des contraintes limites de l'acier à du technicien dans l'élaboration de ses projets. l'état-limite de service, telles qu'elles sont définies Cet ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif dans les Règles BAEL 91 modifiées 99 et complet dans ce vaste domaine qu'est le béton applicables depuis le 15 février 1999. La nécessité armé (ce n'est qu'un extrait du cours de l'ESTP). Il d'atténuer, pour les bétons courants, la sévérité des a pour seul objectif de bien faire comprendre les valeurs résultant de l'application stricte des Règles méthodes de calcul propres au béton armé aux BAEL 91 s'est révélée à l'usage. Pour ces bétons, états-limites, de répondre aux interrogations et de les nouvelles limites pro- posées conduisent à des faciliter la tâche de l'ingénieur d'études qui dimensionnements quasi identiques à ceux des appliquera les Règles BAEL91. Règles BAEL 83 en cas de fissuration AVERTISSEMENT  préjudiciable,  préjudiciable, mais légèrement plus favorables en cas de fissuration très pré- judiciable. Les modifications précitées étendent par ailleurs le domaine d'application des Règles aux bétons de résistance comprise entre 6 modifications corrélatives des données et formules de base sont nombreuses et importantes. En tenir compte, même en mentionner, aurait exigé une refonte totale du présent ouvrage. Compte tenu du caractère exceptionnel, actuellement, actuellement, de l'empl BAEL 91. ceux-ci restent hors du domaine visé par Pratique par Pratique du BAEL Les auteurs ont mis à profit cette nouvelle édition pour expliciter certains points comme, par exemple : - les formules relatives au pourcentage minimal d'armatures en flexion simple et compo- sée, basées sur des valeurs plus réaliste levier des forces élastiques que celles figurant dans les commentaires des Règles BAEL 91, - une formule approchée du moment  pour les sections sections rectangulaires rectangulaires en flexion simple, simple, permettant permettant d'en étendre étendre le domaine domaine d'application d'application à des bétons de résis- tance tance a MPa, - des compléments concernant les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appréhender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99, l'introduction des notions de torsion d'équilibre et de torsion de com définir les cas où il est nécessaire de faire une étude de la torsion des éléments en béton armé.

Les auteurs.

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : RAPPELS DE RÉSISTANCE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1 I. RAPPELS DE COURS 1 1. Caractéristiques Caractéristiques géométrique contraintes 6 3. Théorie des poutres 10 4. Éléments de réduction 12 5. Conditions générales d'appui des poutres 14 6. Systè hyperstatiques hyperstatiques 15 7. Équations intrinsèques des poutres droites 16 8. Relations contraintes-efforts 18 9. T ronçons de IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES 34

CHAPITRE 2 : BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS 41 I. RAPPELS DE COURS 41 1. Unités 41 2. Actions et sollicitations 41 3. C matériaux 50 4. Hypothèses et données pour le calcul II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS 57

CHAPITRE 3 : ASSOCIATION ACIER - BÉTON 65 I. RAPPELS DE COURS 65 1- Définitions 65 2. Disposition des armatures 6 d'adhérence 67 4. Ancrage des barres 5. Jonctions par recouvrement 76 II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL 6. Pourcentage minimal d'armatures 7. Vérification des contraintes à l'E.L.S 8. Organigrammes récapitulatifs récapitulatifs pour le dimensionnement des CHAPITRE 4 : TRACTION SIMPLE armatures 9. Vérification à l'E.L.U. d'une section TIRANTS I. RAPPELS DE COURS rectangulaire rectangulaire dont on connaît les armatures.. 1. Introduction 2. Dimensionnement des armatures 3. II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU Vérification des contraintes 4. Détermination du PRÉJUDICIABLE coffrage 5. Condition de non-fragilité 6. Armatures SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS transversales COMPRIMÉS IL EXERCICE : TIRANT - FISSURATION III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE PRÉJUDICIABLE - SECTION À TABLE DECOMPRESSION CHAPITRE 5 : COMPRESSION SIMPLE I. 8085858585878787889093939393949 RAPPELS DE COURS 1. Hypothèses 2. Élancement 3. Armatures longitudinales 4. Armatures transversales 5. Coffrage !

79899

IL EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

105

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

113 113 113 113 129 133 133 138 140 143 146

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU - GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

147

CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE I. RAPPELS DE COURS 1. Introduction 2. Section rectangulaire rectangulaire - fissuration  peu préjudiciable 3. Section rectangulaire rectangulaire fissuration préjudiciable ou très préjudiciable 4. Coffrage des sections rectangulaires 5. Sections en T

102

152

TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE SECTION RECTANGULAIRE 158 SECTION RECTANGULAIRE 158

V EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE V EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE ' SECTION EN T(Mu>MTu).... 161 ' SECTION EN T(Mu>MTu).... 161

CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT 173 I. RAPPELS DE COURS 173 CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT 173 I. RAPPELS DE COURS 173 1. Définition 2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant 3. Vérification du béton 4. Calcul des armatures d'âme 5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 186 6. Zones d'application des efforts 7. Jonction hourdis-nervure 8. Poutres à talon 1. Définition 2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant 3. Vérification du béton 4. Calcul des armatures d'âme 5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 186 6. Zones d'application des efforts 7. Jonction hourdis-nervure 8. Poutres à talon 1. Définition 2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant 3. Vérification du béton 4. Calcul des armatures d'âme 5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 186 6. Zones d'application des efforts 7. Jonction hourdis-nervure 8. Poutres à talon 1. Définition 2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant 3. Vérification du béton 4. Calcul des armatures d'âme 5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 186 6. Zones d'application des efforts 7. Jonction hourdis-nervure 8. Poutres à talon IL EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT 198 IL EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT 198 III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE ARMATURES D'ÂME INCLINÉES 205 ARMATURES D'ÂME INCLINÉES 205

CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217 I. RAPPELS DE COURS 217 CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217 I. RAPPELS DE COURS 217

CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217 I. RAPPELS DE COURS 217 CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217 I. RAPPELS DE COURS 217 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction 1. Généralités - Introduction 2. Sections  partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction H. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION H. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE SECTION PARTIELLEMENT TENDUE III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION SECTION ENTIÈREMENT TENDUE SECTION ENTIÈREMENT TENDUE IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE SECTION PARTIELLEMENT TENDUE 244 244 244 244

251 251 251 251 254 254 254 254

CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME I. RAPPELS DE COURS 259 CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME I. RAPPELS DE COURS 259 CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME I. RAPPELS DE COURS 259 CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME I. RAPPELS DE COURS 259 1. Introduction 2. Répartition des armatures longitudinales 1. Introduction 2. Répartition des armatures longitudinales 1. Introduction 2. Répartition des armatures longitudinales 3. Répartition des armatures d'âme 267

CHAPITRE 10 : TORSION 269 I. RAPPELS DE COURS 269 1. Introduction 269 2. Rappels de Résistance des Matériaux 270 3. Vérification du  béton 272 4. Armatures 274 IL EXERCICE : AUVENT 277

CHAPITRE 11 : FLAMBEMENT 285 I. RAPPELS DE COURS 285 1. Excentricités 285 2. État-limite ultime de stabilité de forme 287 3. Équations du problème 288 4. Méthode de l'équilibre - Méthode des déformations internes 293 5. Utilisation des tables de Faessel - Robinson -

Morisset 298 6. Corrections diverses 302 7. Utilisation des abaques de Capra 307 II. EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE 5. Méthode Caquot « minorée »

C. Planchers - Méthode Caquot 338 1 Domaine de validité 2. Évaluation des moments 3. Efforts tranchants 343 4. Travées de rive avec console 347 D. Poutres continues - Dimensionnement 348 1 Conditions de déformation 348 2. Résistance à la flexion 350 3. Vérification à l'effort tranchant 351 II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER - MÉTHODE FORFAITAIRE 351 III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT 370

CHAPITRE 13 : DALLES RECTANGULAIRES SUR APPUIS CONTINUS 383 I. RAPPELS DE COURS 383 1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386 4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 390 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE) III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE ET PAR LES TABLES IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE PAR LES ABAQUES DE CAPRA 311 314

320

1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386

4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 390 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments 1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386 4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 390 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments 1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386 4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 390 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments 1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386 4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 390 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40) 394 II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40) 394

CHAPITRE 12 : POUTRES CONTINUES PLANCHERS 325 I. RAPPELS DE COURS 325 A. Poutres continues - Rappels - Adaptation 325 1. Rappels de Résistance des Matériaux 325 2. Essais de poutres en béton armé 326 3. Portées des poutres et portiques 328 4. Poutres de planchers 330 B. Planchers - Méthode forfaitaire 333 1. Domaine de validité 333 Principe de la méthode - Adaptation 334 3. Moments fléchissants „.,,.. 335 4. Efforts tranchants 337 CHAPITRE 14 : DESCENTE DE CHARGES 403 I. ' RAPPELS DE COURS 403 1. Principe 403 2. Valeurs des charges permanentes et des charges d'exploitation 3. Dégression des charges variables d'exploitation 4. Effet de la continuité sur les poteaux voisins de rive 406

I. RAPPELS DE COURS

II. EXERCICE : BÂTIMENT - DESCENTE DE CHARGES 409 ANNEXE 1 : CALCUL MANUEL D'UNE SECTION RECTANGULAIRE À ARMATURES SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PAR APPROXIMATIONS SUCCESSIVES 427 ANNEXE 2 : VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES 433 ANNEXE 3 : MOMENT LIMITE ULTIME EN FLEXION COMPOSÉE 435

CHAPITRE 1  NOTATIONS - SYMBOLES.  RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 461 467

RAPPELS DE RESISTANCE DES MATÉRIAUX RAPPELS DE RESISTANCE DES MATÉRIAUX

Ce chapitre rassemble les notions de base indispensables en Résistance des Matériaux pour bien aborder les calculs de béton armé selon les  Règles BAEL 91. Il se présente donc plutôt sous la  forme d'un aide-mémoire.

1. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES

1.1. MOMENT STATIQUE - CENTRE DE GRAVITÉ • Pour une surface S repérée par rapport aux axes Oy et Oz :

 — -tI On appelle AIRE d'une SURFACE, la quantité :

 2. MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE

• On appelle MOMENTS STATIQUES de la surface  I,  par rapport aux axes (A) Oz et Oy, les quantités :

y.z.dZ 'I. • On appelle CENTRE DE GRAVITÉ (ou BARYCENTRE) de la surface 2, le point G de 2 dont les coordonnées sont définies par les relations :

,2_Iz .

uy~s~

G=-

.dl Z

f  dl

I La distance du centre de gravité G à l'axe (A) est définie par

• On appelle MOMENT D'INERTIE POLAIRE de la surface E par rapport au point O la quantité :

1.3. REMARQUES

Ô L b - SAS

If

Jô.dZ "I

• On appelle MOMENTS D'INERTIE de la surface I,  par rapport aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

• Si le point O est choisi au centre de gravité G : Z G = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL. • Si le point O est choisi au centre de gravité G : Z G = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL.

• II est possible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2  par addition des moments d'iner- tie des aires 2j constituant l'aire 2 : • II est possible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2  par addition des moments d'iner- tie des aires 2j constituant l'aire 2 : l On appelle PRODUIT D'INERTIE de la surface I par rapport aux axes Oz et Oy la quan- tité :

l On appelle RAYONS DE GIRATION relatifs aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

Si Ivz = 0, les axes Oz et Oy sont dits : AXES PRINCIPAUX D'INERTIE .

G de 2, A = axe quelconque parallèle à A', d = distance entre ces deux axes,

I Le produit d'inertie est nul si l'un des axes Oz ou Oy est axe de symétrie de l'aire £

on a : S = S' + d ! 5. FORMULES USUELLES .„,

yt

= y.z.dZ+ U.z.dZ

I*=- 12

• Comme r 2 = y2 + z2, on peut exprimer le moment d'inertie polaire en fonction des moments d'inertie :

36[B+b]

1.4. CHANGEMENT D'AXE - THÉORÈME DE HUYGHENS En posant : A' = axe passant par le centre de gravité

yt

ï

= 2R

(DG) et (D D), + S(f) = système des forces de contact exercées par (D G) sur (D D) à travers Z 12, S(FG) et S(FD) = actions appliquées au domaine de gauche (DG) et de droite (D D).

yt , h=Th[2B+b] ' 3[B+b] , h[B+2b] '~ 3[B+b]

En écrivant, d'une part, l'équilibre de la partie (D D) du solide et, d'autre part, celui de l'ensemble du solide, puis en identifiant ces deux relations :

D'où: il y a équivalence entre le système des forces appliquées au domaine de gauche (D G) et le système des forces transmises par (D G) à (D D) à travers la surface Z12.

v=v'=R v=v'=R <  :'-:iH,L$

,- •:•( ,- •:•(

,* I.S ,* I.S

(37T-4)R "'' (37T-4)R "''

d'où :

IA= SA, = o vvn  — >z 72K , 4R =- "uX!

2 .THÉORIE DES CONTRAINTES 2.1. PRINCIPE D'EQUIVALENCE

2.2. DÉFINITIONS 2.2.1. Vecteur contrainte AI étant une surface élémentaire de Z 12, de centre M, si Af est la résultante des forces de contact transmises par (D G) à (DD) à travers AZ, on définit le VECTEUR CONTRAINTE par :

t= lim

2.2.2. Facettes • On appelle FACETTE un élément d'aire dl de L 12. • On grisera le côté de la facette situé du côté du matériau conservé. • On orientera la normale à la facette vers l'intérieur du domaine conservé.

2.3. PRINCIPE ACTION-RÉACTION

Z12 = surface à normale unique divisant le corps en deux domaines (D G) et (DD), £ = section commune à

2.4. PRINCIPE DE CONTINUITE

2.5. FAISCEAU DES CONTRAINTES

Toute facette est définie par sa normale orientée.

- une composante normale Oy portée par la normale O\-t à la facette, - deux composantes Ty et T ik portées par les deux autres axes Oxj et Ox k . Les facettes contiguës appartenant aux deux domaines (D G) et (D D) sont soumises à des contraintes T opposées, mais de même natu traction...) compte tenu de l'orientation de la normale n à la facette.

Les contraintes relatives à deux facettes parallèles, infiniment voisines, distantes de dx, ne diffèrent entre elles que d'un infiniment peti que dx.

2.5.1. Notations

Le vecteur contrainte agissant sur une facette dont la normale est parallèle à l'un des axes Ox  b Ox2 ou Ox3, se décompose en : 2.5.2. Réciprocité des cisaillements • Pour le tétraèdre OABC repéré dans Ox!X 2x3 (tétraèdre élémentaire), les aires des facettes sont obtenues par : =n2 .ds=-_-dx1 .dx3 =n^ . ds=-jdx 2 . dx3 n; = cosinus directeur de la facette dont la normale est parallèle à Ox ;.

La contrainte agissant sur la face ABC considérée comme n'appartenant pas au tétraèdre

If! •

vaut :

• Les facettes OBC, OAC et ABC sont soumises aux contraintes représentées sur la figure ci-après : d'où, en multipliant les contraintes par l'aire des facettes, les composantes des efforts sui - vant les axes valent :

Facette Pr o j ec sur t i on OBC OÀC OÀB ABC Ox 712nlds t2ds Ox 713nlds

ds

' -S agissant«à ( f ) dû aux droite» f oxc.es du tétraèdre. et en écrivant que la projection des efforts suivant chacun des axes de coordonnées est nulle, on obtient : d'où: I Pour la facette OAC dans le plan  plans, on en déduit : Xinfiniment devant dxi petit '31n3QS>dx - = Ti quel que soit ixj >

Aux infiniment petits du second ordre près, les moments en O' donnent : dx, dx,

or :

d'où: HJ ds = —  dx2 dx3 et n3 ds = —  dxj dx 2

3. THÉORIE DES POUTRES

3.1. POUTRE - Une POUTRE est un solide engendré par une aire  plane (L) délimitée par un contour fermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l'espace de telle sorte : - que le plan de (Z) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C), - que la trajectoire décrite par un point P quelconque de (Z) soit toujours parallèle à la courbe (C).

Œ) (C)

soit, en simplifiant par  —  dx l dx 2 dx3 : T B = T31 Cette démonstration étant valable dans les trois

3.2. SECTION DROITE :

• L'aire plane (E) est appelée. : SECTION DROITE ou PROFIL. • Elle peut être : * • constante ou lentement variable, pour pouvoir résister notamment aux efforts au voisinage des appuis.

- Suivant la forme de la ligne moyenne, on obtient : une POUTRE DROITE lorsque (C) est une droite, une POUTRE GAUCHE lorsque (C) est une courbe gauche, - un ARC lorsque (C) est une courbe plane ouverte, - un ANNEAU lorsque (C) est une courbe  plane fermée, - une POUTRE À PLAN MOYEN lorsque (C) est une courbe plane dans le plan de symétrie de la section droite (appelé PLAN MOYEN).

• Les dimensions de la section droite doivent être  petites relativement à la longueur par-

/! ',* t *-| '

courue

 par G sur la courbe (C).

3.4. DOMAINE DE VALIDITÉ DES HYPOTHÈSES DE LA THÉORIE DES POUTRES En désignant par : h t = plus grande dimension transversale de la section droite,

- La courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite est dite : FIBRE ou LIGNE MOYENNE de la poutre.

 b = plus petite dimension transversale de la section droite, R = rayon de courbure de la ligne moyenne,

• plane ou évidée,

3.3. FIBRE MOYENNE T = rayon de torsion de la ligne moyenne, L = longueur développée de la poutre, il faut : -^-110 b1 ht 1 1 f   — -< —  : poutres 30 L 5 1 ht 1 1

< — £. < 4- : arcs 100 L 5 TIT >

5 : poutres courbes r=R ou T Rou-T

4. ELEMENTS DE REDUCTION 4.1. EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE

• Repère associé au centre de gravité de la section droite (Z) : Gx, orienté de la gauche vers la droite sur la tangente à la ligne moyenne,

Gy et Gz, portés par les axes principaux d'inertie de la section droite. B Remarque : Pour les poutres à plan moyen, Gy est dans le plan moyen.

• la résultante générale R se décompose en :

Le système des forces extérieures agissant sur la  partie (DG) se réduit, au centre de gravi- té G de la section droite, à : /R(s) = RÉSULTANTE

T = COUPLE DE TORSION d'axe porté par Gx,

GÉNÉRALE \M(s) = MOMENT RÉSULTANT

M=|

My = MOMENTS FLÉCHISSANTS dans le plan de

(Z).

• Dans le repère Gxyz, lié au centre de gravité G de (Z), la décomposition des efforts s'écrit, pour la section d'abscisse curviligne s :

/R(s) = N . x + V y.y + V z.z \M(s) = T . x + M y .y + M z.z I D'où :  N = EFFORT NORMAL porté par Gx, V = | yy = EFFORTS TRANCHANTS dans le plan de (Z). le moment résultant M se décompose en : 4.2. EFFORT NORMAL ET TRANCHANT  Nous avons défini l'effort normal (resp. tranchant) relatif à la section (Z) de centre de gravité G, d'abscisse curviligne s, comme étant égal : - à la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE), - à l'opposé de la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces appliquées sur la  partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES DE DROITE).

4.3. MOMENT FLÉCHISSANT ET COUPLE DE TORSION De la même manière, le moment fléchissant (ou le couple de torsion) relatif à la section (£) de centre de gravité G d'abscisse curviligne s est défini comme étant égal : - à la composante située dans le plan de la section

droite (ou suivant la normale Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée  par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE), - à l'opposé de la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la norma- le Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES DE DROITE).

5. CONDITIONS GÉNÉRALES D'APPUI DES POUTRES

5.1. APPUI SIMPLE • Appui qui n'empêche le déplacement que dans le sens  perpendiculaire à sa surface. Un tel appui permet la translation suivant l'axe Ox et la rotation autour de l'axe Oz :

 yt

• Appui interdisant toute translation et toute rotation

>

ou ,-'//, ••'/•

• Une seule composante de la réaction d'appui. 5 2. ARTICULATION B Appui

s'opposant à toute translation, mais autorisant les rotations :

l Deux composantes de la réaction d'appui et une du moment d'encastrement.

6. SYSTÈMES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES • D'après le principe fondamental de la Statique, un solide est en équilibre si le système S(F) des forces qui lui sont appliquées (charges et réactions d'appui) est équivalent à un système de forces nul. Cela conduit, dans le cas général, à six équations : • Deux composantes de la réaction d'appui.

5.3. ENCASTREMENT PARFAIT 16 PRATIQUE DU BAEL 91

• Par conséquent : r = nombre de réactions et moments d'appui inconnus, k - nombre d'équations fournies par la Statique (k < 6), si r - k, le système est dit ISOSTATIQUE et les équations de la Statique permettent de déterminer toutes les réactions d'appui, si r > k, le système est dit HYPERSTATIQUE d'ordre r - k car il manque r - k équations pour calculer toutes les réactions d'appui, si r < k, le système est dit INSTABLE puisqu'il y a k - r équations d'équilibre surabondantes. • Dans le cas de forces agissant dans le plan moyen et de couples d'axes perpendiculaires à ce plan, k < 3 (cf. V z = My = T = 0).

7. ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DES POUTRES DROITES 7.1. CONVENTIONS DE SIGNE • On se bornera à l'étude des poutres à plan moyen chargées dans leur plan : p(x) = densité de charge suivant Gx, q(x) = dens ité de cha "y(x) = densité de couple d'axe normal au plan moyen.  Rappels de Kesismnce aes muienuiui

I Les conventions de signe pour les charges sont indiquées sur ta figure ci -dessus 2 ÉQUILIBRE DU TRONÇON ÉLÉMENTAIRE DE POUTRE Le tronçon GG' limité par deux sections droites infiniment voisines (Z) et (£') d'abs- cisses respectives x et x + dx est en équilibre sous charges appliquées : p(x), q(x) et y(x), . , , , ' . ' & - des éléments de réduction des forces de gauche : M, N et V, , f ^ _ des éléments de r  forces de droite : ,» dx dx dx

l Par projection, il vient :

>r\\m !,« ; <• u m dx V - q (x) dx - v + dx dV dx 0 M + V . ^L + Y(x) dx - (M + M dx) + (v + dV ^ dx_ = 0 ! 1 \ dx / \ dx / 1 I Après simplification, il vient, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à 2 : dNdx- = p(x) ' dV dx- = -q(x) dMdx- = V(x) + Y(x)

8. RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS 8.1. LOI DE HOOKE - Toute contrainte normale est accompagnée d'une dilatation unitaire : - de même direction que la contrainte, - de signe opposé à  proportionnelle à la contrainte : IE est appelé MODULE D'ÉLASTICITÉ ou MODULE D'YOUNG. 8.2. PRINCIPE DE NAVIER-BERNOULLI • Les variations unitaires de longueur —  sont des fonctions linéaires des coordonnées y et z des fibres dans le plan de la section droite (déplacement simple = rotation + translation).

t dx

AVANT APRES DEFORMATION l On a donc pour / = dx: rotation/Gy et Gz translation d'où, la loi de Hooke s'écrit : a = -E - =-E[a+by+cz] m Cette équation traduit le PRINCIPE DE PIGEAUD. 8 3. CHAMP DES CONTRAINTES NORMALES • D'après le principe d'équivalence, le système des forces de contact est équivalent au sys- tème des forces de gauche. S(adZ)=S(F G)=(N,M y,M z) •'• <' € l Nous obtenons donc :adZ=N

aydZ=Mz azdZ=-My résultante générale momen t résultant :»• •••"

D'après le principe de Pigeaud : a = - E[a + by + cz] = a + (îy + yz, d'où le système linéaire en a, p, y :

| zdZ = 'Z a yzdl+r z

'

l Or, par définition du centre de gravité et des axes principaux d'inertie : |jydZ=j|zdI=0 et |L2d2; = 0 "z

"z "z

l D'où, compte tenu de la définition des aires et des moments d'inertie : aS=N

l On obtient donc :

N Mz.y My.z • La contrainte normale, due à la flexion composée déviée, dans une section droite homo - gène et élastique à plan moyen vaut :

a- a s  N M z.y Iz My.z !y S=aire droite, de la section M z Iy=moment d ' inertie/Gy, M Dans le cas d'une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes :

S=bh I Iz =  — 12

.

N-

Iz=moment d'inertie^Gz.

,.±±

hb3 «É=>  N  bh2 + hb2

»M4

8.4. SOLLICITATIONS PARTICULIÈRES 8.4.1. Compression et traction simple • Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à un effort normal : • positif pour une compression, • négatif pour une traction. • Dans ces conditions, la contrainte normale et le déplacement dus à la compression ou à la traction simple, dans une section  droite d'u homogène et élastique, valent :

-1 dx

dl "

0 E

 NES H 8.4.2. Flexion simple • Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite à un moment fléchissant M z d'axe Gz. • Dans ces conditions, la contrainte normale due à la flexion simple, dans une section droi - te homogène et élastique, vaut :

I Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2) :

• Pour deux sections droites (1,^ et (£2), infiniment voisines, distantes de dx et soumises ; l'action d'un moment fléchissant M, : do;

•Vï'sU 'US;/] •

1 dûJ Mz J? dx EIZ

-.-./•K> î.*f -.-./•K> î.*f - i  f ;i"\

• D'après la loi de Hooke, la déformation relative de la fibre d'ordonnée y vaut :

d/__ q(y)__M z.y dx~ ~ÊT: " E.Iz La rotation relative dœ entre les deux sections est : d/ Mz , dx

l D'où la valeur de la courbure de la ligne moyenne :

•:. ;< >Hï A'

; -• 5« 8-4.3.

Flexion déviée ! J

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à. - un moment fléchissant M y d'axe Gy, - un mo Mz d'axe Gz. • Dans ces conditions, la contrainte normale et les déplacements relatifs dus à la flexion déviée, dans une section droite ho mogène et él Vt

M z.y My.z °~ Iz ly dtf y My_

dx EIZ

J

w+ ^ iH;T^:::::::::S

ma& 4

S

r .+ l Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2 et z - ± b/2) : yt

o-  —  6M7 SI 

+

 bh2 H 6MV hhb 2

•4| 9. TRONÇONS DE POUTRES DROITES 9.1. CHARGEMENT ENVISAGÉ • On considère un tronçon de poutre droite limité par deux sections droites : (S A) (origine) et (S B) (extrémité). • Ce tronçon de poutre est supposé sollicité par des forces situées dans son plan moyen : - densité de charge répartie p(Ç) d'abscisse £ forces verticales concentrées P ; d'abscisse xt depuis  _ VA et MA = éléments de réduction des forces de gauche en (Z A),

 _ VB et MB = éléments de réduction des forces de droite en (S B).

VA*

fp(€)

 pi aB

(SB) ;,- , ";S »

'•'E l Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus. 9.2. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION DANS TOUTE SECTION (I) DU TRONÇON DE POUTRE

9.2.1. Effort tranchant Les forces de gauche donnent en G : '0

9.2.2. Moment fléchissant De la même façon : x0 9-3. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION •3.1. Éléments de réduction en fonction des éléments de réduction isostatiques d'appui de la poutre isostatique associée 1 Pour une poutre sur deux appuis simples soumise aux mêmes charges et de même lon- gueur que le tronçon de poutre étudié (POUT ISOSTATIQUE ASSOCIÉE) : 26 PRATIQUE DU BAEL 91

M A-M B MB-MA l La réaction R B est obtenue en écrivant que la résultante générale des forces est nulle : ,1  Rappels de Résistance des Matériaux 27

>K Ri

• R A est obtenue en écrivant que le moment résultant en B est nul : b) Éléments de réduction Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :

h nous obtenons, par identification : *

soit :

• Dans toute section droite (Z) du tronçon de poutre étudié :

l En remarquant que pour la poutre isostatique associée au tronçon étudié :

HV AX +

 f - 7 M ,-MB) ^ \ A / J"

x

 f - 7 M ,-MB) ^ \ A / J"

l Nous obtenons par identification :

Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a : dx %/ ^/

 f - 7 M ,-MB) ^ \ A / J"  f - 7 M ,-MB) ^ \ A / J" ,1

nous obtenons par identification : soit :

M,-M R , = V A-V B-R A avec R A = VA + \ B d'où, il vient : M-M A MB-MA M=MA+VÀx-I Pitx-Si)-

>\:- - . • . ; . ' .

d^i M A-M B

I Soit, après simplification : 9.3.2. Définition On appelle éléments de réduction isostatiques (respectivement MOMENT et EFFORT TRANCHANT ISOSTATIQUES), les éléments de réduction dans toute section droite (I) d'un tronçon de poutre, lorsque ce tronçon de poutre repose à ses deux extrémités sur des appuis simples.

Réactions d'appui :

9.3.3. Poutres droites isostatiques : éléments de réduction a) Cas d'une charge concentrée

(E)-H1 R B=-vB I Réactions d'appui : MB =

0=>R A./-P(/-a) = 0=>R A=P|l--

«=P-R A^RB=PSollicitations : Remarque : dans le cas où a = - on pose :

0
V(x) = R A = 1 (forces de gauche) ; Sollicitations :

= R A.x-px^ = ^x- x p/ px2 px (/ ~ X) = R A.x-px^ = ^x- x p/ px2 px (/ ~ X)

(Z) P

|M(x)=R B(/-x) = p(l- x-)a a
V(x) =-&,=-PCas d'une charge uniformément répartie I On pose : Mr Pl

c) Cas d'un couple concentré d'axe perpendiculaire

au plan moyen

.MBi i-V--^ 4/ 4

H 2J (+• ^  a®R  =-^

(I)

r

B

Réactions d'appui : =0

. R A . / + r = o

R-

Sollicitations :

0
9.3.4. Éléments de réduction dans un tronçon de poutre • Les éléments de réduction dans un tronçon de  poutre peuvent, d'après ce qui précède, être évalués à  partir des éléments de réduction de la travée isostatique associée, en opérant par superposition : • Les éléments de réduction dans un tronçon de  poutre peuvent, d'après ce qui précède, être évalués à  partir des éléments de réduction de la travée isostatique associée, en opérant par superposition :

(forces de gauche)

M(x) = Rg (/ - x) = F 1 - 1 a
Xitu

r H1 I Cas particulier des couples sur appuis ai • Pi

D'

Pour a =M»

•-1^ i

•vM trx.

Pour a = l;r=-Mij:

ai • Pi

D'

Tronçon de poutre

© Tronçon de poutre Tronçon de poutre I D'où par superposition :

Travée de référence sou- mise aux mêmes charges(ou | travée isostatique asso- ciée) :

;M(X)=^(X) Travée de référence sou- mise à M : Travée de référence sou- mise à M B:MR V(x)=f M4 APPLICATION

AUX POUTRES CONSOLES • En dissociant les deux consoles de la travée centrale, on obtient la décomposition des efforts suivante :

"(ï

(S) Mi=moment à gauche

À

deA, MTD=moment de B. à droite l D'où le diagram

T IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES 1. CONVENTIONS Les sens positifs adoptés pour les forces, les éléments de réduction et les déformations sont les suivants.

FORCES APPLIQUÉES

P = charge appliquée concentrée, p = charge appliquée répartie, R A, R B = réactions d'appui.

ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION • M = moment fléchissant, V = effort tranchant, N = effort normal.

<

f ibre f ibre

H +

tendue tendue forces de gauche forces de droite

• Les efforts tranchants à gauche et à droite d'un appui I sont notés respectivement (indice w pour ouest, indice e pour est)  : TT

"*

„! ©

DÉFORMATIONS f = flèche, (0 = rotation.

*.;:3 1 2. FORMULAIRESCHEMA Chargement : (

Diagrammes : FORMULES FORMULES

RdM(I)

24 £=- 384EI

Diagrammes: (À) j== FORMULES SCHEMA RdM MÀ=-P1 Chargement : (À ;.!

y, =P *ç**"" VÀ f — 

F

^

Diagrammes : PI3 3EICha

Diagrammes : f=pa MÀ=MB=~T Mt=M0+MÀ p!2(512-24a2) 384EI pa(!3-6a2l-3a3) 24EI pl(!2+6a2)

SCHEMA Charcremen t P ,

€t'""-î

U

RA f 

Diagrammes : - :V ^

RdM1/2 (Z) h® WA_.

4-

^'-•^ i) :(B)^

N(:

1

l

FORMULES VÀW=-VBe=-P VAe=VBw=0 f-, f ' Pal2 BEIPa2(4a+31)

fl

"~ 12EI

ûJ». "V ûJ "fe- = v à ~^

Pla

2EI

VAe

_ VBw ®_ L

à

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3 RB. >a vl?._ =

!f

'X

Chargement

uummuww

:Diagrammes :

V 21 SCHEMA RdM Chargement :

®î Diagrammes : . :M:V

ZA:!^^* _ FORMULES MB=-Pa VBe=P * •&-^ w~>

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CHAPITRE 2

BÉTON ARMÉ : GÉNÉRALITÉS

I. RAPPELS DE COURS 1. UNITÉS Longueurs en mètres (m). Sous-multiple : 1 cm = 10- 2m. Forces en newtons (N). Multiples : 1 kN = 10 3 N (kilonewton), 1 MN = 106 N (méganewton). Remarque : 1 MN = 10 5 daN (décanewton) ~ 105 kg (kilogramme) = 1001 (tonne). Pressions, contraintes en pascals (Pa) : 1 Pa = 1 N/m 2. Multiple : 1 MPa = KPPa (mégapascal) = 1 N/mm 2. Remarque : 1 MPa = 10 daN/cm 2 = 10 bars = 10 kg/cm2 = 100 t/m2.

• ACTIONS ET SOLLICITATIONS 2-1. TERMINOLOGIE ACTION = toute cause produisant un état de contrainte dans la construction. - Actions permanentes : • poids propre, • poids des superstructures, • poussées des remblais, •etc. - Actions variables : • charges d'exploitation, • charges appliquées en cours d'exécution, • action de la température, • vent, neige, • etc. - Actions accidentelles : • chocs de véhicules routiers ou de bateaux sur appuis des ponts, • séismes, • etc. SOLLICITATIONS = forces et moments produits par les actions dans les éléments d'i construction : - effort normal : N, - effort tranc moment fléchissant : M, - couple de torsion : T. 2.2. VALEURS DES ACTIONS La variabilité des actions agissant sur une structure est prise en compte en définissant pour chacune d'elles des VALEURS REPRÉSE déterminées : - par exploitation statistique des données nécessaires existantes, - par estimation fondée sur l'expérience. La VALEUR DE CALCUL d'une action est obtenue par multiplication de sa valeur repré- sentative à l'aide d'un COEFFICIENT DE P y destiné à couvrir : - les incertitudes résultant de la connaissance imparfaite des données de base, - l'imprécision des hypothèses de c imperfections de l'exécution. 2.3. ÉTATS-LIMITES 2.3.1. Définition Un ÉTAT-LIMITE est un état particulier dans lequel une condition requise pour une construction (ou l'un de ses éléments) est strictem cesserait de l'être en cas de modification défavorable d'une action. 2.3.2. Différents états-limites a) États-limites ultimes (E.L. U.) Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes. Ils correspondent à l'atteinte du maximum de la capacité portante de l'ouvrage

éléments avant dépassement par :  _ perte d'équilibre statique, _ rupture de sections par déformation excessive, _ instabilité de forme (flambement), _ transformation de l mécanisme. •'' ^ ' ' Critères de calcul : / \ ( , ,,, ; _ déformations relatives (ou courbure) limites, ,. (
l États-limites de service (E.L.S.) •I i.. Ils sont liés aux conditions normales d'exploitation et de durabilité. Ils correspondent aux phénomènes suivants : - ouvertures exce

fissures, - compression excessive du béton, - déformations excessives des éléments porteurs, - vibrations excessives et/ou inconfortabl d'étanchéité, -etc. Critères de calcul : - contraintes (ou déformations) limites, - calculs de type élastique (loi de Hooke, coefficient d'éq 2.3.3. Vérifications

a) États-limites ultimes (E.L.U.) La SOLLICITATION AGISSANTE DE CALCUL est obtenue pour une combinaison d'actions F, : J - coefficient de sécurité partiel S [S y. • \ j/. • Fjl avec pour l'action i : / \\i F { - valeur représentative (cf. 2.2 et 2.4.1.)  j = 1 s'il s'agit d'une action permanente La SOLLICITATION RÉSISTANTE est celle pour laquelle l'un des matériaux constitutifs de la structure atteint soit une déformation l résistance limite : R ?">! ou : 'u.-.

Ys Yb Yb

f e.fcjetf tj =

YsetYb = résistances caractéristiques des matériaux acier et béton en compression et en traction, coefficients de sécurité partiels au moins égaux le béton. On doit vérifier : b) États-limites de service (E.L.S.) On doit montrer que la sollicitation de calcul agissante ne provoque pas le dépassement des limites de l'E.L.S. considéré : - pour les c ^CJHn
- pour la flèche : S = M et/ou N S = V et/ou T S = M ou M + N 2.4. COMBINAISONS D'ACTIONS 2.4.1. Notations On désigne par : '-•min

Qi

= ensemble des actions permanentes défavorables, = ensemble des actions permanentes favorables, = action variable de base (va leur c 1), Qi = action variable d'accompagnement (i>l) : Voi-Qi = valeur de combinaison, Vn-Qi - valeur fréquente, \|/2i-Qi = valeur quasi per  action accidentelle. On note : G = valeur probable d'une charge permanente, Q  prc = charges d'exécution connues (en grandeur et en posi charges d'exécution aléatoires, Q r = charges routières sans caractère particulier (systèmes A, B et leurs effets annexes, charges de trotto multiplication des charges figurant au Fascicule 61-titre II par : • 1,07 aux E.L.U., il •1,20 aux E.L.S., - i ] • 1,00 aux E.L.S. pour charges de trottoirs, il = On» charges routières de caractère particulier (convois militaires et exceptionnels) définies au Fascicule 61-titre II, QB= charges d'exploitati = charges d'exploitation ferroviaires définies par le livret 2.01 du CPC

(1) de

la QexSNCF, W

= action du vent définie : - par le Fascicule 61 - titre II pour les ponts-routes, - par les Règles NV 65 pour les autres constructions, les normal étant multipliées par : . 1,20 aux E.L.U., - 1,00 aux E.L.S., Qiv Qiv Sn= action du vent sur les ponts-rails à vide, = action du vent sur les ponts-rails en cours d'exploitation, = action de la neige pour les bâtiments définie par le Fascicule 61 - titre IV, tion II (Règles N 84), T= variations uniformes de la température,

A0température h - = gradient entre thermique les deux faces prescrit d'un par élément le marché à l'épaisseur (rapport de h de la cel

A0 de Qe = effet des variations de température sur les ponts-rails : - dilatation des longs rails soudés, - gradient de température, - variation de température. Dans ce qui suit, pour les COMBINAISONS D'ACTIONS, il faut : - prendre la combinaison la plus défavorable pour l'effet recherché, n'intervenant au plus qu'une seule fois dans la combinaison, - choisir une (ou aucune) action parmi celles se trouvant derrière une accol valeurs entre crochets ([...]) ne sont généralement pas à prendre en compte. 2.4.2. États-limites ultimes (E.L.U.) a) Combinaison fondamentale - Formulation symbolique : • Cas des ponts-routes : I situation d'exécution : •amer des prescriptions communes applicables aux marchés de travaux d'ouvrages d'art.

1,OW w|w l,OQ pra +1,3{[0,615T+0,50A6] 1,35[T] I[0,615T+0,30A0] J - situation d'exploitation : 1,5 1 35 U5 WQr 1,3 {[0,615 T +0,50 A0] I Cas des bâtiments : • situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts -routes. situation d'exploitation : / 1' 3 5- G

QB

/0.77.W 1,5 ( W0,77. Sn

sn '1

/ Vo-Qfi \ 0,77. 0,77.Sn + x)/0.QB 0,77. W +0,77. S n V|/0 = coefficient défini dans l'annexe à la norme NFP 06-001. • Cas des ponts-rails : - situation d'exécution : 1,35. Qex+1,5. Q pr; pr;i 1,5

'w + 1,3 {W + 1,3 (0,615. Q,

 _ situation d'exploitation : l,35Gmax + G Combinaisons accidentelles • Formulation symbolique : 1,35. Qe 1,5 1,3 (Qiv + 1,3 (0,615 . Q e in +F À+Vii.Qi+2 V2i. où : = valeur fréquente d'une action variable,

^Qj = valeur quasi permanente d'une autre action variable. Cas des ponts-routes : max "•" - min "t"1A" L F j. l" >- ;••'»• J« ' • - ;. ;.' I d -

0,6 \ pont de 1 re classe 0,4 \Q r pour / pont de 2e classe ' ' pont de 3e classe Q7W 0,5 T 0,5 A0

I Cas des bâtiments : 0,75 . QB 0,20. W 0,15. Sn + (0,65 . Q B +1\|/2.. T si le C.P.S. 0> le prescrit. 0,50. T I Cas des ponts-rails : 0,8

1 voie

Gmax + Gmin + FA + { 0,6 Q ex pour 2 voies + (0,6 Q 0

i °'4 1 > 3 voies (D CoM r des prescriptions spéciales au marché.

2.4.3. États-limites de service (E.L.S.) • Formulation symbolique : • Cas des ponts-routes : - situation d'exécution : (Gmax +Q prc) + (G^ + Q prc) + , Qpra

IW Ae

WT

0,6 T 0,5 . A9 0,6 . T + 0,5 . A0 - situation d'exploitation : QrQrp Gmax

+Gmin + / AO + ((0,6 . T + 0,5 . A0)

T(w Cas des bâtiments : situation d'exécution : combinaison identique à celle d es ponts-routes. situation d'exploitation :

QB

/QB

W 0,77 . W

0,77 . Sn + { 0,77 . W + 0,77 . S n QB + 0,77 . W QB + 0,77 . Sn \QB + 0

(0,6 T Cas des ponts-rails : situation d'exécution : e

+Q prc j + (Gmin + Q prc) + / wQe

{0,6 . Q@ .situation d'exploitation: Gmax (

Qex +Gmin+

Qiv),6 . Q e Qe 2 4.4.

Équilibre statique H s'agit de cas délicats pour lesquels une analyse particulière est à faire. Par exemple :  _ pour une poutre-console, il faut considérer : G+1,5QB 0,9G - pour les bâtiments, il faut faire un calcul avec le maximum de précision (densité moyen- ne des aciers, poids minimal des cloisons stabilisatr  2.4.5. Stabilité de forme Voir chapitre 11 « FLAMBEMENT ». 2.5. REMARQUES 2.5.1. Combinaisons d'actions et cas de charge Combinaisons d'actions et cas de charge constituent deux notions distinctes (le CAS DE CHARGE correspondant à la répartition des actions d'actions sur la structure). Par exemple, pour une poutre-console, la combinaison avec Gmax et QB conduit aux cas de charge suivants pour la détermination des sollicitati ;max+1-SQB0Qg

l,35Gmax+1.5QB

A

0

CÀSfï) ^^ donne ^ MÀ max

( avec : et Gmin+l, Mmin 5QB et Gmin) A 1.35G.

0 CAS0 donne Mitiax CAS0 donne Mmax

2.5.2. Origine et nature des actions Gmax et Gmjn désignent des actions d'origine et de nature différentes. D'où : le poids prop re d'une poutre continue, dans toutes les travées : - a Gmax (ou G^,,), - entre dans les combinaisons avec le même coefficient : 1,35 (ou 1). 2.5.3. Actions variables Les actions variables sont à considérer les unes après les autres comme « action de base » et doivent être introduites dans les combinaisons d'a manière la plus défavorable. 2.5.4. Cas des bâtiments Planchers-terrasses des bâtiments : considérer les charges d'exploitation ou les charges cli- matiques, mais non les deux simultanément. Pour les IGH (1\ la dégression des charges d'exploitation s'effectue avant la prise en comp- J te des coefficients : \j/ 0i, i|/u et \|/2i.

3. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX 3.1. VALEURS DES RÉSISTANCES La variabilité de la résistance (et des autres propriétés) du béton et de l'acier est prise en! compte en définissant sur une base statistique, à parti effectuées en laboratoi- re sur éprouvettes, des RÉSISTANCES CARACTÉRISTIQUES. La VALEUR CARACTÉRISTIQUE d'ordre p d'un caractère déduit d'un ensemble dej valeurs est la valeur de ce caractère telle que la populat lui est inférieure i est égale à p (0 < p < 1). On définit ainsi la valeur du caractère considéré qui a une probabilité p, acceptée a priori, de ne pas être atteinte. (1) Immeubles de grande hauteur.

Fonction répartition de 'Fonction de distributi Dn x=valeur du caractère | moyenne caractéristique Valeur d'ordre p 0,5 x=valeur du caractère On procède à la régularisation des courbes de répartition normales (gaussiennes) afin d'évi- ter les trop fortes dispersions (surtout lorsque l'on nombre d'essais) :

Fonction de distribution

K, et K 2 = « contraintes » fonction : - du nombre d'échantillons essayés, - de la résistance caractéristique à la compression du béto  paragraph 3.3.1.). 3.2. ACIERS 3.2.1. Caractéristiques géométriques Les barres utilisées sont caractérisées par leur diamètre nominal : <|> (mm) Section (cm2) Poids (kg/m) Ronds lisses et barres HA Fils HA (1) Treillis soudés

3 3.5

4

4,5

7 0.0/1 0,096 0.126 0,159 0,385 0,0560,076 0,0990,125 0,302•

• * 5 0,196 0,154• 5,5 0,238 0,187

6 0,283 0,222• 8 0,50 0,395•

9 0636 0,499* 10 0,79

0,616•

12 1.13 0,888•

14 1,54

1,208

16 2,01

1,579

20 3,14

2,466

25 4,91 3,854

32 8,04

6,313

40 12,57 9,864 (1) : diamètres 7 et 9 mm pour armatures préfabriquées seulement.

3.2.2. Caractéristiques mécaniques f e= LIMITE D'ÉLASTICITÉ GARANTIE (résistance caractéristique). On distingue : - des ronds lisses : FeE215 f e=215MPa FeE235 f e=235MPa - des barres à haute adhérence (HA) : FeE400 f e = 400MPa FeE500 f e=500MPa - des fils tréfilés HA et des treillis soudés formés de ces fils (TSHA) : Fe TE 400 f e = 400 MPa : fils HA FeTESOO f e = 500 MPa : fils HA et TSHA - des fils tréfilés lisses qui sont assemblés en treillis soudés (TSL) : TSL 500 f e= 500 MPa 3.2.3. Diagramme contraintes-déformations Le diagramme de calcul se déduit du diagramme caractéristique (idéalisé) par une affinité parallèle à la droite de Hooke et de rapport l/

f« ; , f ed^"-

Diagramme caractéristique •j Diagramme de calcul

;E s='2.105MPa ~ J  sl

1,00 pour les combinaisons accidentelles led

3.2.4. Caractères d'adhérence

ed Y '^s ( 1,15 dans

les autres cas

a) Coefficient de fissuration î] , -\f•U.

;,

1,0 pour ronds lisses et fils tréfilés lisses en treillis soudés r\ = { 1,3 pour fils HA <ï>< 6 mm 1,6 pour barres HA et fils HA $ > 6 mm b) Coefficient de scellement  _ 1,0 pour ronds lisses s \ 1,5 pour barres et fils HA 3.3. BÉTONS 3-3.1. Résistances *c28 - résistance caractéristique à la compression, f It2s - résistance - • caractéristique à la traction, f t28=0,6+0,06.f c28 (MPa) soit, dans les cas courants : f c28(MPa) 25303540

f, 28 (MPa) 2,10

Pour j > 28 jours et f c28 < 40 MPa, on adopte (cf. § 3.4.2. chapitre « État limite de service vis-à-vis des déformations » de l'ouvrage  Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés) :

2,40 2.70

c28

3,00

3.3.3. Diagramme contraintes-déformations 3.3.2. Modules de déformation Instantanée à j jours d'âge (avec j < 28) : fonction de la durée t d'application de la combinaison d'actions considérée 11,00 :t>24heures 9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures 11,00 :t>24heures 9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures 11,00 :t>24heures 9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures 0,85 :t
3 3.4. Retrait du béton 3 3.4. Retrait du béton 1,5.10 4 dans les climats très humides 2,0 . 10~4 en climat humide, ce qui est le cas de la France métropolitaine .1 j sauf dans le quart sud-est 3 000 \/f À long terme :

Diagramme parabole-rectangle : (7,

OS = parabole du 2 e degré tangente en son sommet S à l'horizontale.

',28

avec : 1,15 : combinaisons accidentelles 1,50 : autres cas 3,0 . 10~ 4 en climat tempéré sec, tel que le quart sudest de la France métropolitaine 4,0 .10" en climat chaud et sec i 5,0 . 10" 4 en climat très sec ou désertique

4. HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ On distingue deux types d'états-limites pour le

dimensionnement (armatures et béton) : - étatslimites ultimes (E.L.U.), • de résistance, • de stabilité de forme, - états-limites de service (E.L.S.) atteints : • par compression excessive du béton, • par ouverture excessive des fissures, • par déformation excessive. 4.1. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES GÉNÉRALES VALABLES POUR TOUS LES ÉTATS-LIMITES

Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs dimen- sions (principe de Navier-Bernoulli). La résistance du  béton tendu est considérée comme nulle. Par adhérence, les déformations relatives de l'acier et du  béton au contact sont les mêmes.

En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont  proportionnelles aux déformations relatives : Al

4-2.

HYPOTHÈSE SUPPLÉMENTAIRE POUR LES E.L.S. On définit le coefficient d'équivalence par la relation : n = —  = 15 (valeur conventionnelle) E b

4.3. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES POUR L'E.L.U. Le raccourcissement relatif du béton est limité : - à 3,5/1 000 en flexion, - à 2/1 000 en compression simple. L'allongement relatif de l'acier est limité : - à 10/1 000. Le dimensionnement à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagramme des déformations passe par l'un des trois pivots ci-dessous. Allongements^Raccourcissements^ • Pivot A Région 1 - Allongement de l'acier le plus tendu : e s = 10.1Q-3 ;  pièces soumises à la traction simple ou à la flexion simple ou composée. • Pivot B Région 2 - Raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : e^ = 3,5.10~ 3 ;  pièces soumises à la flexion simple ou composée. • Pivot C Région 3 - Raccourcissement de la fibre de béton à la distance 3h/7 de la fibre la plus comprimée : e  bc=2.10-3;  pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple.

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS  —  ÉNONCÉ — 

©

^__ Jàçrotère_

00(RdC)

0

^^^^

(B)

Pour l'ossature de bâtiment figurée ci- contre : • Charges : • sur terrasse et les trois planchers : g = 17 kN/m2 permanentes, q = 17,83 kN/m2 variables (VI/Q = 0,77). • acrotères et façades : G = 48 kN/m à l'E.L.S., • vent : 18,00 m w = 5,60 kN/m2 à l'E.L.U. • On se propose : 1) de déterminer les charges globales pour une longueur unitaire de bâti - ment, en supposant pour simplifier : • que les planchers sont simplement appuyés sur les poteaux, au niveau du plancher haut du rez -de-chaussée (RdC) pour les charges ve

• que la base des poteaux est articulée pour les charges horizontales. 2) de calculer les efforts normaux extrêmes à l'E.L.U. dans le poteau A.

 —  CORRIGÉ —  1- CHARGES À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME Ll- CHARGES VERTICALES

Pour 1 mètre de longueur de bâtiment : - Charges permanentes : g = (3 + 1).17 = 68 kN/m - Charges variables : q = (3 + 1). 17,83 = 71, Façades : G = 48 kN/façade 1.2. CHARGES HORIZONTALES W = w.h appliquée à h/2 au dessus des fondations W = 5,60. 18= 100,80 kN appliquée à 9,00 m au dessus du niveau

2. COMBINAISONS D'ACTIONS A L'E.L.U. La formule générale des combinaisons d'actions à considérer à l'E.L.U. s'écrit : (0.77.W 0,77. Sn

•1-3 + 1,3 {0,615 T

l,jj . ^-*niax * min

1,35 [T] o,77.Sn + Vo.Q 0,77 W + 0,77. S „ Elle conduit à deux combinaisons d'actions lorsque l'on prend Q B comme action variable de base : l,35.Gmax+Gmin+l,5.QB (1) l,35.G max + Gmin+l,5.QB+W (2) et à deux autres combinaisons d'actions lorsque l'on choisit W comme action variable de base : l,35.Gmax+ Gmin+ 1.5.W + U.VO.QB (3) l,35.G max+Gmin+l,5.W (4) Chacune de ces quatre combinaisons d'actions est à décomposer en cas de charge suivant l'effet re cherché (cas de charge = disposition chaque travée de la structure). 3. COMBINAISON (1) : l,35.G max + Gmin+ 1,5.QB 3.1. INTRODUCTION Sous l'effet des charges verticales, l'étude du bâtiment se ramène au schéma statique suivant : Pi .L-P2. J + PI — 2 -P2 — 2

|p2et p2 mini min IF, et pi mini |P 2et p2maxi De la même manière : M' VB . L = P 2 (L + /) + pi — + P2 • / 3.2. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A a) Cas de charge L^MB = 2

D'où:

P2(L + /) + Pi —  + P2./ L + -

L + - =» VB = P2~G P^l,

2

2 P=l,35g+l,5q  p=1,35g

35. 48 = 64, 8QkN F2=48kN P1 = l,35.68+l,5.71,32=198,78kN/'m p =1,35. 68=91, 80kN/m L=7,50m 1=2, 50m b) Remarque Le poids propre des planchers, g, intervient sur toute la longueur de ces derniers dans G max. Le poids G des façades est tantôt multiplié  par 1,00 dans la mesure où ces deux façades ne sont pas identiques ni composées des mêmes matériaux. c ) Réaction d'appui Pi.L-Pz / + P 1^-P2^ 64,80.7,50-48.2,5 + 198,78^ -91,80^ 7,50

VAmax = 755,98 kN

3.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A a) Remarque Compte tenu du rapport des portées L// =3, la part de VA due au poids propre des planchers est: VA = (9.p1-P2)-/^=4-^^  I max JVA \ min \A

2.L L

 p=l,35.g Cas fle charge E,= P2=1,35GPl=48kN

P =68kN/m p=68+1,5.71,32=174,98kNXm L=7,50m 1=2,50m c) Réaction d'appui VA = 2 2 2 2 Pi

. L - P 2 . / + pi —  - p2 —  48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 ^_ - 174,93 ^- 2 2 2 2

7,50 VAmin = 208,49 kN

4. COMBINAISON (2) : l,35.G max+ 0^ + 1,5.QB +W 4.1. INTRODUCTION L'effet du vent au niveau des fondations se ramène au schéma statique suivant : 'B max_ v _ W - h VA ~ V B~ 2.L

v

max ^ Vent soufflant de B verg A

v

f "lin <=> Vent soufflant de A vers B

Pour VB, c'est l'inverse qui se produit. 4.2. REACTION D'APPUI MAXIMALE EN A a) Cas de charge P1 = l,35.G P! = 1,35.48 = 64,80 kN P! = 1,35.68 + 1,5.71,32 = 198,78 kN/m p2= 1,35.68 = 91,80 kN/m W = 100,80 kN h =18,00 m L = 7,50 m 1 = 2,50 m b) Réaction d'appui VA = - 2.L2 2

64,8 . 7,50 - 48 . 2,5 + 198,78 ^°- - 91,8 2^)- VA = 7,50 ? 2 — + 100,80 -l^W- 2 . 7,50 VAmax _ 755,98 + 120,96 = 876,94 kN (voir 3.2.c) 4.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A a) Cas de charge (Compte tenu de la remarque du paragraphe 3.3. a avec p, = g) : P = P -G 2

1.35.G

P2 = g+l,B.q

4.MUUU, ^ k L = tO Kl>

= 64,80 kN = 68 kN/m = 68+1,5.7 = 100,80 kî

1 O f\t~\ »-_

L = 7,50 m 1 = 2,50 m b) Réaction d'appui VA = , ¥ \ r l

A 2 P2 A J

 /

t®

\\s si/ *\/ \J/^  f

P2 VA

F ?B W 1_ f i^- r 2-^F.Y-F 2y w h

L 2.L 2

48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 2

^- 7,50 - 174,98 2,50 - 100,80 2 . 7,50 s VAmin = 208,49 -120,96 = 87,53 kN I 5. COMBINAISON (3) : l,35.G max+ Gmm+ 1,5.W + l,3. ¥o.QB ] 5.1. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A : 4\ Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.2. avec

t P! = 1,35 . 68 + 1,3 . 0,77 . 71,32 et W = 1,5 . 100,80 donne : V Amax = 803,69 kN

! I1 5.2. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.3. avec p 2 = 68 + 1,3 . 0, W= 1,5. 100,80 donne: Vimin = 41,91 kN 6 COMBINAISON

(4) : l,35.Gmax + Gmm+ 1,5.W

Cette combinaison d'actions est moins « agressive » que la combinaison (3) qui comporte en plus 1 e terme en 1,3.\|/ 0.QB, donc qui charges d'exploitation unique- ment dans les sections où elles induisent l'effet recherché (maxi ou mini). 7 CONCLUSION - RÉACTIONS EXTRÊMES EN A On a le tableau récapitulatif : REACTION COMBINAISON (1) (2) ( 3 ) Enveloppe ,Max 755,98 876,94 803,69 876,94 , min 208,49 87,53 41,91 41,91  NB. L'astérisque correspond à la combinaison d'action déterminante.

CHAPITRE 3

ASSOCIATION ACIER-BÉTON I. RAPPELS DE COURS 1. DÉFINITIONS Dans une section droite d'une poutre rectiligne, on utilisera la terminologie ci-après :

r

0000

£\ 0 ier _ lit lit i f > lits supérieurs ^ ' ' " '•' ,»,  — 3e lit ) ". :. . 0 0 2e lit > lits inférieurs 0 0 _l«lit ) ••'-^ \\

\

f   \—   2e

^a,r,-

armatur

0000

Files verticales

2. DISPOSITION DES ARMATURES 2.1. ENROBAGE C'est la distance du nu d'une armature à la paroi la plus proche. c (ou c t)=Max 1cm

avec :

(

5 cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns,

3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives, c - j parois exposées aux intempéries, aux condensations ou en cont liquide, ouvrages à la mer avec béton protégé par un procédé efficace, [ 1 cm : parois situées dans des locaux clos ou couverts, non expo condensations. <ï> = diamètre de l'armature considérée. 2.2. DISTANCES ENTRE BARRES Les barres d'acier sont disposées : - de manière isolée, - en paquet vertical (jamais horizontal) de deux barres, - en paquet de troi considéré dans la suite). 2.2.1. Verticalement 2. MaK .

avec : ev - distance libre verticale entre : - deux barres isolées,  _ ou deux paquets de deux barres, _ ou une barre isolée et un paquet de deux barres, c = plus grosse dimension du granulat utilisé général). 2 2.2. Horizontalement

* Max

l,5.Cg

avec eh = distance : libre horizontale entre : - deux barres isolées, • • :jî >-3;!.t!^-i" - ou deux paquets de deux

barres, - ou une barre isolée et un paquet La distance entre axes des files de deux barres. v

être telle • •- que • • '• le ••&?•&  bétonnage e'TO ;-V' soit ? réalisé M' • cor- rectement entre elles (ménager le aiguilles de vibration du béton...) : *

À titre indicatif et sans que cela soit une obligation réglementaire, on peut prendre <î>w+<£e (8cm si <25mm SH = Sh+ 2 ~)lOcm si $2;

3. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE 3.1. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE MOYENNE La contrainte d'adhérence moyenne est égale au quotient de la variation d'effort axial par

le périmètre de l'armature :

dFdF dx 3.2. CONTRAINTE LIMITE D'ADHÉRENCE Pour assurer un ancrage correct, c'est-à-dire empêcher le glissement de l'armature dans l a gaine de béton qui l'entoure, il faut limiter la d'adhérence à la valeur : avec : 1 : ronds lisses, 1,5 : barres HA courantes. f  jt = résistance caractéristique à la traction du béton à j jours. 3.3. ANCRAGE DES BARRES DROITES TENDUES ISOLÉES En supposant T S = constante entre deux sections droites A et B distantes de / AB et soumises respectivement aux efforts F A et FB (> FA), LÀB i =• dFdx n. <ï>

dF = 7t. 4>. i . dx

d'où par intégration : ce qui conduit à : F B-F A=Ji.
ANCRER une barre, soumise dans une section B à un effort de traction F s axial, c'est assu- rer, à partir de cette section, la transmission effort au béton par adhérence. (c'est-à-dire si la contrainte en B vaut f e) on a un « ANCRAGE TOTAL ». 3.4. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT C'est la longueur nécessaire pour assurer un ancrage total sous contrainte d'adhérence T s = tsu : 71. 1 AB

-'s

n.® d'où: On peut prendre pour les barres HA : f cj (MPa) 4 pour ys= 1,5 202530354045505560FeE400 413531272522211918Fe E 500

51

44 39 34 31 28 26 24 22 Remarque : si A réel > Acalculé, on substitue à Z s la longueur d'ancrage /„ définie par : vcal

d'où :

10. <

'réel

3.5. ADHÉRENCE DES BARRES COURBES

Considérons un tronçon de barre courbe tendue, infiniment petit, représenté par sa lig ne moyenne AB d'ouverture d6. On suppose que l'on est à l'état-limite de glissement (x s = Tsu). d6 dR */

F+dF Le tronçon AB est soumis : - aux forces de traction F en A et F + dF en B avec dF > 0, - à la force due à l'adhérence sur l'arc AB la réaction transversale du béton : dR. Par projection des forces sur le rayon OB : -F.sinde-dT. sin —  + dR . cos —  = 0 soit puisque d0 et dT sont des infiniment petits : dR = F.dG En désignant par jo, le coefficient de frottement acier sur béton, l'effort dR développe une force tangentielle : de sens opposé au sens du glissement de la barre. Par projection des forces sur la tangente en B à la barre : F + dF - F . cos de - (i . F . d0 - dT . cos de  —  = 0 dF - |a . F . de - n . . r . T que

l'on écrit :

F+ H1 =0

soit: dF F+

7t .«S.r. t

- = (i. de Pour un tronçon courbe de barre AB d'angle au centre 6 et soumis à ses extrémités aux efforts FA et FB (> FA), <î>

,-.>•.<:/M A fc

-•>.•  , . -ilti» nO 1 ..-

, .'; s .-• ir-tt-

 par intégration entre A et B, il vient : Log|F + - B

1B

J A Log

7t. . r. t 7l. «6 . r. T S.

T^y

soit: expression que l'on écrit : SU

avec :=0,4 Remarque : Cette formule est à rapprocher de celle concernant les ancrages des barres droites isolées la formule

 pour les ancrages courbes s'en déduisant : 1) en multipliant F A par \\t, 2) en multipliant 7t.<ï>.T su./AB pari|/', 3) en faisant / AB = r.

4. ANCRAGE DES BARRES 4.1. TYPES D'ANCRAGES D'EXTRÉMITÉ On utilise le plus couramment : - les « crochets normaux » :

Ils résultent : 1) des conditions de façonnage des  barres en posant r = p • <|) :

 p=- (1) 0 Barres longitudinales Armatures transversales Ronds lisses Ronds lisses  p>3 p>2  p>3 p>2

Barres HA Barres HA Barres HA P>5,5 p>3 P>5,5 p>3 P>5,5 p>3

- les « retours d'équerre » : l ies « ancrages à 60° » (0 = 120°) :

8 =120'

avec : o s = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime, e r = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche,

0=90'

L

//////////////////////// -f-

- les « ancrages à 45° » (0 = 135°) :

r COUPE À_À

8 =135 4 2. RAYONS DE COURBURE DE L'AXE DES BARRES

2) de la condition de non-écrasement du béton : l 0,20.0 (l+--)v f cj er

l+2m

^s mandrins de cintrage respectifs ont des diamètres D > 5 < I > e t D > 1 0 * pour les barres longitudinales et D 2 3 * " > 5 <(> pour les armatures transversales.

m = nombre de lits courbés simultanément, fq =

résistance caractéristique à la compression du béton

à j jours.

 p . v|/' . f

3) des conditions propres à certaines formes de  barres ou d'ancrages :

d'où, après division par 7t.3>.t su : r et 0 étant fixés, on a donc deux possibilités :

- courbes sur toute leur longueur, - constituant les boucles de jonction de barres tendues (épingles à cheveux)

1) calcul de la longueur X.O du retour rectiligne d'extrémité si X,. est connu :

 Ll 2 . n . r>0,35.
avec : f e = limite d'élasticité de l'acier, n = nombre de  barres composant un lit, b = largeur de l'élément.

4.3. MÉTHODE DE CALCUL D'UN  ANCRAGE COURBE

2) calcul de la profondeur d'ancrage l a si l'on connaît L

soit :

Pour l'ancrage courbe ABCD ci-dessous, soumis en D à un effort :

/.-* que l'on écrit :

-enA:F A=0 - en B : F B = FA + n . <ï> (À . O). t su = À . n . &. isu - en C : F c = y . FB + y' . n . O . r. TSU = n . O2. TSU (A,. v|/ + p . V|/') l a=

4-4.

L ancrage des cadres, étriers et épingles est considéré comme total si on respecte :

ANCRAGE TOTAL DES CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES

Rayons de courbure des cadres, étriers et épingles : = p.O

(diamètre du mandrin de cintrage (voir § 4.2.) : D = 2r - O)

u

On a parfois aussi recours : - au soudage, lorsque l'acier est soudable, - ou au manchonnage, pour les barres HA uniquement.

Etrier Epingle Cadre

5.1. RECOUVREMENT DES BARRES TENDUES 5.1.1. Transmission des efforts

V Cadre

Considérons deux barres parallèles : - de même type, de même diamètre <|), - dont les axes sont distants de c, se chevauchant sur une longueur 1T  , soumises à deux forces égales et opposées.

10

. F 1 / / / / /

 / / / / ,'V5* ' F" l* l* On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression de « bielles » de  béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres. Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur :

Chaque barre doit être totalement ancrée d'où :

l r = l  s + c si c > 5 <|> /, = /, si c < 5 4 > 5=180' 0=135* 8=30'

I pour des barres munies de crochets normaux :

-ELEVATIOH-

5. JONCTIONS PAR RECOUVREMENT Lorsque les longueurs des barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales, on peut rétablir la continuité des différents tronçons en utilisant l'adhérence. On fait alors chevaucher deux tronçons successifs sur une certaine longueur appelée « LONGUEUR DE RECOUVREMENT ».

• ronds lisses avec crochets CONSIDÈRE (p = 3) :

si c<

l t = l a + c = 0,6 • /s + c si c> 5 <)> 5.1.2. Longueur de recouvrement lr

• pour des barres rectilignes :

-VUE EH PLÀH- barres HA avec crochets « normaux » (p = 5,5) : l t = l a + c - 0,4 • / s + c si c> 5 < /r = /a = 0,4-/s si c<5< Les plans des recouvrements doivent être cousus par des armatures transversales (cf. § 6.1.3. du chapitre 4 « TRACTION SIMPLE »). Remarque : Si les deux barres ont des diamètres différents, la longueur de recouvrement / r doit être évaluée à partir de la plus grande lo scellement droit l  s.

5.1.3. Barres couvre-joints - Jonctions par chaînage Les BARRES COUVRE-JOINTS sont utilisées pour transmettre les efforts entre deux barres situées dans le prolongement l'un longueur est au moins égale à 2-L.

,-P 2.1. A  Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continues et ne se dis- tinguent plus des autres barres. On a un « C Règle : un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de j scellement droit est mécaniquement équiv  barres continues. Par exemple pour : - m = 4 barres, - p = 2 coupures par longueur de scellement droit, le nombre de barres utiles est de 2. P=2 T^ ' I I

f e f e e

f

1111

n

^ys^ ^s^y^Y^i^V^

1 1 Pr~r^,l,^f

"11

M iïnk, ton 111

4. F 3, 5. F 2,5

m 1

irTfTT

£e

*eTîT>,l "1 f\f e

11

r \-

i

fflî! F2.F 2. F ,5. F 3, 5. F 4. F * *

, Efforts développés par les barres en présence (F= j fe) a  —   — 

5.2. EN  ANCRAGE PERMANENCE ET RECOUVREMENT DES BARRES COMPRIMÉES ,. Les ancrages de ces barres sont obligatoirement droits. =M » 5.2.1. Longueurs d'ancrage /a et de recouvrement / r Les extrémités des barres prenant appui sur le béton et la dilatation transversale ayant pour effet de plaquer la surface des barres  béton, la longueur nécessaire pour 1 ancrage d'une barre comprimée est inférieure à la longueur de scellement droit / s. On peut prendr  d'une barre comprimée isolée :  pour le recouvrement de deux barres comprimées de même diamètre : exception : pièces soumises à des chocs de direction axiale (exemples : pieux mis en Place par battage, zones sismiques) pour lesquelle

f!ri^rTf i

r-*-TTT

2

5.2.2. Armatures de couture à disposer sur 1T Voir armatures transversales des poteaux (cf. § 4 du chapitre 5 « COMPRESSION SIMPLE »).

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

 —   ENONCE —  On cherche à réaliser l'ancrage total d'une barre 32 HA à partir d'un point A situé à 30

ICCe

en t

mih

>eton arme.

= 3 Ocm de

-paisseur « mi •:-\.-à*y:-:-x-:-x-:-:-x-:-x-:-::

Si*

nie »

• Matériaux : • béton : f c28 = 25 MPa, f t28 = 2,10 MPa, • acier : Fe E 500, r > 5,5.O. • Enrobage des aciers : e = 3 cm. • On se propose de déterminer les caractéristiques géométriques de l'ancrage retour d'un crochet à 45° si nécessaire).

 —  CORRIGE —  1. TYPE D'ANCRAGE Contrainte limite d'adhérence : TSU = 0,6 . 1,5 2. 2,10 = 2,84 MPa 1 : ronds lisses, 1,5 : barres HA. •ur,1 500 Barres HAÏ =4> _*«_ FeESOO / s 4 tsu / > type d'ancrage /s = 141 cm > /, = 30 cm => ancrage courbe

2. CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE « À 45° » 2.1. RAYON DE COURBURE a) Rayon minimal r 1 = 5,5.$ b) Non-écrasement du béton Enrobage : c = Max = 5,5 . 3,2 = 17,60 cm

e'1 cm. ! 3cm 3,2cm 1 cm

Rayon de courbure (en fait, la vérification est inutile si on respecte r > 5,55». On ne fait donc le calcul qu'à titre d'exemple) :  —  .v

avec : os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime, A-f e=A.Os+7I.O(?l1.
1 d'où : r> 0,20 . 3,2 L [SOO 25-0,8.2,84(1+0)1 - £>f ~ V (30 - 3,2 - ^ ^) / 2,84J J (1 + 0) 1 r >r 2 = 11,56  ) Retenu

c

avec : r > Max r 2 r = 17,60 cm = Max 1 c = 25 MPa c = f cc28

117,60 11,60 cm cm 2.2. LONGUEUR 1 = À.* DU RETOUR RECTILIGNE D'EXTRÉMITÉ

Cr = distance du centre de courbu

redel

 barre à la paroi la plus voisine, V~

1 _L O TM

^

eur délai infinie J  _^ > e, ' infini et
avec * m ~~ nombre de lits c n|ir ^^e cimnltatipmpnt D'où: r > 0 20 a îpaiss pièce

^Jjgj_e.l35* = ^L VK|_ L* ' S

©1 v_y " jf AL* '^i1 ' f ^ (DÏ JJj .• ^ -^ ^ 4c][)

/ . i-c $ ? r ^su 1 + d)  y 1. fe X-3032 ' ' — 2 176 ' <ï> fcj -j

A,! O~76cm-238 équation du 1er degré en r : 0 fe 32 500 r f cj - 0,20 . O . —  TSU 1 +°<ï> Cr v

4

> 0,20 .
, ' l-C O 2

TSU

1 +°Cr

"4 - Tsu /s ~ 4 •2,84-14°Cm \[/ = e^ \j/ = e ' ~4~ = 2,566 S

|i ,.,» ' 0,4 ^ 01 A d'où:

iir' — 

cm