GCI 210 Résistance des matériaux
CHAPITRE 2
2.1
CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS DUES AUX CHARGES AXIALES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Diagramme des efforts normaux Contraintes dues aux charges axiales Déformations dues aux charges axiales Dimensionnement des éléments Applications à des systèmes isostatiques Éléments sous pression et réservoirs Systèmes hyperstatiques OBJECTIFS
Savoir calculer des efforts normaux et tracer des diagrammes
d’efforts normaux; Savoir calculer et représenter les contraintes normales, de cisaillement et d’appui sur des plans parallèles, perpendiculaires et inclinés par rapport à N et les contraintes dans des joints boulonnés ou collés; Savoir calculer les variations de dimensions dans des éléments soumis à des charges axiales; Savoir dimensionner des systèmes isostatiques simples soumis à des charges axiales ( barres, bar res, treillis, axes, boulons, joints,…); Savoir calculer les contraintes et les déformations dans des cylindres à parois minces et dans des sphères; Comprendre le comportement et savoir calculer les contraintes et les déplacements dans des systèmes hyperstatiques composés de barres ou de plusieurs matériaux soumis à des charges axiales; Savoir calculer les contraintes et les déformations dues à une variation uniforme de température.
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2.2
2.1 DIAGRAMME DES DES EFFORTS NORMAUX N (Rappel du cours GCI 105 ) Le DEN donne la valeur de l’ effort normal dans toutes les sections perpendiculaires à la force ou charge axiale. Le DEN est obtenu par la méthode des sections en faisant une coupe entre chaque force concentrée et à travers chaque charge répartie. Exemple avec des forces concentrées O A B
R = 40 40 kN kN 0
C
10 kN
D
20 kN
30 kN
50 kN 10 kN
1
2
3
4
40
DEN
30
+
-40
10
- 20
+
30
-10
Exemple avec une charge répartie ( poids de l’élément )
P + g A L
X
L
N(x) = P + W(x) = P + g A (L - x)
L-X
W(x) = g A (L - x)
DEN P
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P
P
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2.2 CONTRAINTES DUES AUX CHARGES AXIALES (Rappel du cours GCI 105 ) Les contraintes dues aux charges axiales sont égales à l’effort qui existe dans la section considérée divisé par l’aire de la surface de matière qui résiste à cet effort, soit : Pour un effort N perpendiculaire à la section : N N A réstan is t avec Arésis tan t aire de la surface de matière qui résiste à N. Pour un effort V parallèle à la section : moyen V Arésis tan t
avec Arésis tan t = aire de la surface de matière qui résiste à V. Pour un effort N qui appuie sur une surface : appui N Aappui avec Aappui aire de la surface de matière sur laquelle N appuie. Pour des efforts N et V sur un plan incliné : b h cos N Pcos V Psin A R
N R
2 Pcos
A
bh
V R
Psin cos
A
bh Y
b N
P
G h
P
V
h / cos Université de Sherbrooke, Génie civil
X
2.3
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2.4
2.3 DÉFORMATIONS DUES AUX CHARGES AXIALES (Rappel du cours GCI 105 ) Déformations et contraintes x
x
E , x N/ A Lo L oi de Hooke
/ L x L
déformation de L
x / dx
X
déformation de dx
L
Allongement d’un élément de longueur dx x dx
x
dx E
N dx
dX
AE
Allongement d’un élément de longueur x x
N( x) dx
( x) 0
L
N( x) et A( x) var ient avec x
A( x) E
P
Allongement d’un élément de longueur L avec N, E et A constants L
L
N dx
AE
0
NL AE
Allongement d’un élément avec N, A et E constants par intervalles O
A B
L
N i Li
D
OA
50 kN
C
D
20 kN
30 kN
Ai E i
AB
BC
CD
NOA LOA AOA E
N
AB
L AB
AAB E
NBC LBC ABC E
NCD LCD ACD E
Allongement d’un élément sous son propre poids (A=cte, N=var.) N ( x) g A ( L x )
g A ( L x ) dx g ( ) ( x AE E 0 x
L
g E
Lx x 2
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2
L
0
g L2 2 E
x2
2
) Lx
X L
N(x)
L-x
W(x)
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2.4 COMPORTEMENT ET DIMENSIONNEMENT DES ÉLÉMENTS SOUMIS À DES CHARGES AXIALES
2.5
1. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE Déterminer les contraintes, les déformations, les charges, les déplacements ou les sections à partir des relations suivantes : ch arg e adm 0 F .S . ch arg e adm 0 F .S .
Lch arg e Ladm
Exemples : section des éléments tendus ou comprimés avec ou sans trous; contraintes permises dans des éléments collés; dimensions des surfaces d’appui; section des boulons; contraintes autour des trous de boulons; des éléments; allongements ou rétrécissements des épaisseur des cylindres à parois minces sous pression…. 2. COMPORTEMENT ÉLASTO – PLASTIQUE Comportement qui suit les courbes contrainte – déformation élastique –parfaitement plastique ou élastique avec écrouissage linéaire. Exemples : contraintes dans des éléments composés de 2 matériaux; charge élastique P (charge qui produit une contrainte égale à dans un élément du système ), effondrement élastique; charge ultime P (charge qui produit une contrainte égale à dans tous les éléments du système ), effondrement plastique. E
0
L
0
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2.5 APPLICATIONS AUX SYSTÈMES ISOSTATIQUES ( Rappel du cours GCI 105 )
2.6
CONTRAINTES NORMALES N P AR
A R b t
A R d 4
A R ( b d) t
2
CONTRAINTES DE CISAILLEMENT moyen
V A R
P L W
L W
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A R b t
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CONTRAINTES NORMALE ET DE CISAILLEMENT colle
P A R
4000 8 25 15
4000
1, 33
colleMPa 0, 381 7 100 15
CONTRAINTES SUR UN PLAN INCLINÉ
Calculer Padm si adm 2 MPa et adm 1, 5 MPa N P adm
20°V 50 mm
P adm
Colle
100 mm 20° P adm
2u0e cos 70 Notseiznq20 résis tan t
20 14620 5A0 100 sin 20
Nadm P adm sin 20 ,
adm adm donc
cos 2e0t sin 70
N
adm
A R Vadm A R
sin 20 P sin AR
Padm cos20
Padm 23,3 kN
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mm
Vadm P adm cos 20
adm
AR
2
Padm Padm
adm
R
sin sin 20
adm AR cos20
A
85,5 kN 23,3 kN
2.7 MPa
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CISAILLEMENT DES AXES ET DES BOULONS 1. Simple cisaillement
P A R
P
d 2 4
2. Double cisaillement
P A R
P
2 d 2 4
2. Cisaillement multiple
P A R
P
2
n d 4
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( n 3 ) 3 boulons 1 plan de cisaillement
2.8
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2.9
CONTRAINTES D’APPUI SUR UNE SURFACE PLANE Calculer ler la valeur de lmin si
admappui 3 MPa. appui
P Aappui
donc : lmin
P
125 l
3 MPa
100 103 125 3
267 mm
CONTRAINTES D’APPUI SUR LES BORDS D’UN TROU appui
P Aappui
P dt
CAS GÉNÉRAL appui
P A
appui
P
2 d 2 b 4
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, normal
P
A
R
P 2
d4
,
P A
cisail .
P
dt
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2.10
CALCUL DE LA CHARGE ADMISSIBLE Calculer Qadm si :
150 MPa normal normal adm appuiadm 150 MPa adm 100 MPa
E200000
MPa
1. Calcul des efforts (DCL de ABC )
M 0, 38 Q 0, 2 F 0 F Q C 1, 9Q 0 C
BD
X
X
FBD 1, 9 Q C X 0, 9 Q
2.Cisaillement des boulons Boulo n C
Boulo, ns B D
0,9 0, 9 Q ADM 2 9 4 AD2 M
1, 9 Q ADM 2 12 4 ADM2
100
4,13ADM 1Q
100
Q 11, 90ADM
kN kN
3. Contrainte normale dans les barres BD
,
N
1, 9Q ADM
20 12 8 2 4. Contraintes d’appui
ADM
150
Q
1, 9Q A ppui D, APPUIADM ADM 150 12 12 1, 9Q ADM 150 A ppui D, APPUIADM 2 8 12 0,9 0, 9Q A ppui C, APPUIADM ADM 150 289 donc : Q ADM 10,10 kN
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10AD,1M0 kN
A1DM1Q, 3 7
kN
A1D5Q M, 1 5
kN
AD2Q 4, 0 M
kN
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2.11
DIMENSIONNEMENT D’UN TREILLIS Dimensionner les barres en choisissant des des cornières doubles et en utilisant les données suivantes : dboulon 20 mm ( double cisaillement ) adm ,tension 175
, MaP , compression 120 dma
, MadPm,aboulon 120
150kN A
150kN
B
A
400 m 9 , 0
225
75kN C
D 1,2m
MPa
E
400
1,2m
C
+ 100 +
B
3 7 5
+
5 2 2 -
D
-400
1 2 5
-100
75kN E
Nombre de boulons
Un boulon résiste à : Fb adm 2 d 2 / 4 120 2 202 / 4 75, 3kN Barre:BE F 125 BE
kN
: F 100 kN Barre DE D E
n 1r2 eq5 uis 75 1, 67 n 2
Barre AB: F 100 kN A n 2 B
2n
: F 225 kN Barre BD BD
Barre AD: F 375 kN n 5 AD
: CD Barre CD F 400 kN n 6
Dimensionnement des barres Section requise en tension: Arequis F adm ,tension d t ( ou 2 d t ) Section requiseenco eencompression: Arequis ( F / adm ,compression )
(125000 / 175 ) ( 20 10 ) 914 Ba: rrrequis e BE A
2
2( 4L5 45 6) ( A1010
mm 2
) mm
2 2( 4L5 45 6) ( : r A 833 mm Barre DE
A1010
Barre B:D r A 1875
A1950 m2m)
2 6L5 65 8 ) ( mm 2( 65
2 45 5) 5) ( Barre A:B r A 771 mm 2( 4L5 45
2
mm)
2 A 850 mm)
A 2800 m2m
Barre A:D r A 2650
2 mm 2( 7L5 75 10 )
Barre C:D r A 3333
2 7L5 75 13) ( A 3560 mm 2( 75
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n 3
2
) mm
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2.12 ALLONGEMENT D’UN CABLE SOUS SON PROPRE POIDS Calculer l’allongement et la contrainte maximale dans le câble soumis à son propre poids avec : 5000 kg / m3 , g 10 m / s 2 , A 100 mm 2 104 m 2 , E 150 000 MPa 150 000 10
6
2 N/ m,
L 500 m
Effort normal 4 N( x) g A( L x) 5000 10 10 ( L x ) N( x) 5 (500 x) N MAX 2500 N pour x 0 Contrainte maximale MAX
W A
2500
X
L N(x)
L-x W(x)
25 MPa
104
Allongement x
x
( )x dx N
( ) x
4 10 1 5 1 0 1 0 0
A E
0
5( 500 )x dx
6
2
DÉPLACEMENT D’UN POINT Calculer le déplacement du point B du système montré barreAB
62 / 4
cylindreAC
AB
N L A E
50 3
7, 4 MPa
3, 5 103 250
62 4
AC
124 MPa
3, 5 103
50 3 3,1 10
0,155mm
200 103
3, 5 103 30 3
0,072mm
072 0, 22 227 LAC 0,155 0, 07
AB
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x
( ) 0x, 33 10 (500 x )
MAX 41, 7 mm pour L 500m
3, 5 103
2
mm
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2.6 ÉLÉMENTS SOUS PRESSION ET RÉSERVOIRS 1. Cylindres à bouts ouverts
2.13
Équilibre d’un demi cylindre à parois minces ( t r 10 )soumis
à une pression p : Calculons
F
0 avec dA b r d et pverticale p sin
verticale
2 F
il vient :
p
verticale
dA
0
et :
pbr sin d 2 pbr 0
F bt
pbr
bt
pr t
Allongement du cylindre déroulé soumis à et T L
F L
T L
2 p r 2
AE
2 r T
tE
Périmétre final 2 r L Rayo final n
l 2
r
2
p r
tE
r T r
2. Cylindre à bouts fermés soumis à p : force sur le bout fermé et contrainte longitudinale dans les parois Flong p A p r 2
long
F long A
parois
p r
2
pr
2 r t 2 t
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2.7 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES
2.14
TYPES DE SYSTÈMES -
Systèmes composés de barres avec plus de 3 inconnues dans le plan;
-
Comportement au delà de la limite élastique ( comportement élasto-plastique );
-
Systèmes composés de plusieurs matériaux;
-
Variation de température avec déformation empêchée.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION
1.Tracer le DCL de chaque élément du système afin de mettre en évidence les inconnues à calculer et appliquer les équations d’équilibre; 2.Faire un schéma du système déformé et écrire les équations de compatibilité des déplacements ou des déformations ; 3.Écrire la loi de comportement en tenant compte des différentes phases de la courbe contrainte– déformation et de la convention de signe suivante : F+ (tension ), F- (compression ), + ( allongement ), - ( rétrécissement ) déplacement dû à une variation de température selon le signe de T .
4.Résoudre les équations.
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2.17
VARIATION DE TEMPÉRATURE UNIFORME 1. Déformation libre x y z T
Y
L T L h T h b T b
L
Z
h
x y z 0 0
X
b
2. Déformation empêchée (comportement )
T
T
1
L
L
L
Position intermédiaire
T 1 0 L1 T1 L 0
T 1 0 L1 T1 L 0
T2 L (
Résolution : F
A E
T2 L A E
L et : F A
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2
Position finale
T2 T 1 L2 0
3.Méthode de résolution Équilibre : Rmur F Compatibilité : temp force Loi de comportement : F L
L
L
1
Position initiale
2
) Rmur
F
L
F L / A E = TL=
F O R C E
T E M P
GCI 210 Résistance des matériaux
2.18
VARIATION DE TEMPÉRATURE UNIFORME EXEMPLE Si l’on fait varier la température dans l’élément 2 seulement, calculer la variation de température qui produit la rupture du système lorsque la contrainte atteint la valeur de 0 dans un élément avec : 1 A 50 m2m, 1E 200000 MP, a1 105 / 0 ,C 01 300 MP, a 2
A 200
2
, mm
2
E 80000
2 2 105 / 0 MP, a
1 m 1
m 5 , 0
0,1mm
2F
2
T2
F
2T 2
2
.a MP
1
F
F
1
,C 02 100
0,1mm
1F
F
Équilibre F1 F2 F Compatibilité géométrique des déplacements 2 1 0,1 mm Loi de Hooke F h2 F h1 2 T L 0,1 mm A2 E2 A1 E1 Résolution 1 Fh1 Fh2 T 2 L A1 E1 A2 E2
La valeur maximale de F qui crée la rupture dans l’élément 1 est : Fmax1 01 A1 300 50 15 kN .
En remplaçant F par 15 kN dans l’équation précédente, on trouve : T 102 1, 5 0, 47 0,1 206.9O C Université de Sherbrooke, Génie civil
