Correction Mécanique des sols (10 points)
Avertissement Ce sujet « option géotechnique-qualité des ambiances » répondait aux nouvelles orientations de l’Agrégation de Génie Civil, telles que définies réglementairement en 2004. Il s’adressait en conséquence à des candidats présentant un profil plus « global» que celui des candidats de l’ancienne « option A » du précédent système. Pour la rédaction de ce sujet, les membres du jury avaient souhaité proposer aux candidats une problématique connue du plus grand nombre, qui permette des développements originaux aussi bien en direction des chantiers (contrôle) que des méthodes de justification. La présente composition traitait d’aspects « traditionnels » de la mécanique des sols ; elle intégrait, sur un projet donné, des aspects relatifs : - à la compréhension des grands mécanismes, mécaniques et hydrauliques, régissant les massifs de sol dans leur état naturel, - au dimensionnement des ouvrages, - à l’interaction sol-structure, - aux techniques de chantier, - à la surveillance et à la réparation des ouvrages. Le sujet était rédigé de façon à ce que les différentes parties puissent être traitées de manière relativement indépendante. Toute donnée numérique non fournie était laissée à l‘appréciation des candidats.
Dans le cadre du réaménagement de ses installations nautiques, la ville alpine de V. décide la réalisation d’infrastructures enterrées, de type tranchées (couvertes ou non) de grande longueur à proximité du lac de L. qui fait sa réputation touristique. La figure 1 donne une coupe transversale de la tranchée ouverte faisant l’objet de ce problème. Cette tranchée sera soutenue latéralement par deux parois moulées ancrées en tête ; après terrassement jusqu’à une profondeur de 7,5 m, un radier étanche en béton armé sera coulé en fond de fouille. Après avoir examiné la définition des grandeurs géotechniques à partir d’essais en laboratoire nécessaires aux calculs des parties suivantes, le problème traite d’une part des conditions hydrauliques relatives au terrassement et d’autre part de la stabilité des parois à la fin de cette opération. La suite de l’épreuve est consacrée à certains aspects des phases suivantes de la construction et de la vie de l’ouvrage. A) Reconnaissance et caractérisation des sols Des sondages carottés ont été réalisés pour identifier les formations rencontrées (géométrie, continuité, épaisseur, géologie, niveau d’eau ...) et pour permettre le prélèvement d’échantillons afin de caractériser les matériaux à partir d’essais en laboratoire. La figure 1 donne la coupe géologique du site d’étude. Les résultats des essais de laboratoire indiqués ci après permettent de calculer les grandeurs nécessaires aux calculs géotechniques. 1. .Compte tenu du site et du projet, listez les problèmes techniques, qui doivent être examinés pour réaliser l’ouvrage dans de bonnes conditions de sécurité et en respectant les règles de l’art. -
stabilité et résistance des parois : section et longueur des tirants, longueur de scellement, hauteur de fiche, section de béton armé de la paroi et du radier ; contrôle des venues d’eau dans le fond de fouille et stabilité du fond de fouille, en phase d’excavation ; (rabattement de la nappe) – maîtrise des sous-pressions d’eau sur l’ouvrage en phase de service
Cette question a été correctement traitée, quelques candidats ont toutefois mal compris le sens de la question en décrivant la technique d’exécution de la paroi moulée. 2. Evaluez les caractéristiques physiques des matériaux en remplissant le tableau suivant : Paramètres d’identification
Grave limoneuse
Limon
Sable dense
Poids volumique sec γd
14,1
14,5
16,4
Poids volumique des grains γs
25,2
26,4
26,1
Indice des vides Degré de saturation
0,79 1
0,82 1
0,59 1
Poids volumique saturé γsat
18,50
19,01
20,12
Teneur en eau
31,2%
31,1%
22,6%
On rappelle les formules classiques liant les paramètres d’identification : γ γ 1 1 γ sat = γ d * (1 − w ) + γ w e = s −1 ω sat = γ w * ( − ) γs γd γd γs Cette question élémentaire n’est pas toujours maîtrisée par tous les candidats, notamment la définition de l’indice des vides, exprimé en % et du degré de saturation 3. Déterminez les caractéristiques mécaniques et hydrauliques des matériaux du site.
3.1 - Essai au perméamètre à niveau constant – L’échantillon cylindrique a une hauteur de 11,5 cm et un diamètre de 9,5 cm. La quantité d’eau percolée sous une charge d’eau de 1 m est mesurée au bout de 10 s ou de 100 s suivant la nature des matériaux : Matériaux Grave limoneuse Limon Sable dense
Quantité d’eau 616,37 g 6,16 g 123,27 g
Temps 10 s 100 s 10 s
Le gradient hydraulique (perte de charge par unité de longueur) s’exprime par i = Dh/Di où Dh = 1 m et Di = 0,115 m. La loi de Darcy donne accès à la vitesse apparente de l’écoulement dans le sol v = ki avec v= Q/S = ki. La perméabilité s’exprime donc par k = Q/S*Di/Dh. Matériaux Quantité d’eau Temps (s) Q(m3 /s) (g) Grave 616.37 10 61.637.10-6 limoneuse Limon 6.16 100 12.327. 10-6 Sable dense 123.27 10 0.06. 10-6
k (m/s) 0.001 1. 10-6 2. 10-4
Bien que la question soit simple, seulement une moitié des candidats l’ont traitée, avec souvent des erreurs dans l’évaluation des grandeurs élémentaires (différence de charge, débit) ainsi que dans le maniement des unités. 3.2 - Essais triaxiaux Sur le sable dense, deux essais triaxiaux drainés menés sous des pressions latérales respectivement de 200 et 300 kPa ont été effectués sur le sable dense. La rupture se produit, quand on applique une pression verticale supplémentaire de 920 kPa dans le premier cas et de 1380 kPa dans le second cas. Pour l’interprétation de ces essais, on considérera la cohésion effective c’ =0. Déterminez ϕ’. Sur le limon, un essai consolidé non drainé (CU) est effectué. Les valeurs suivantes sont mesurées : ϕcu = 14° et ccu= 0.
On supposera que l’échantillon a été prélevé à 9 m de profondeur et qu’il est resté saturé entre le moment de son prélèvement et l’instant où il a été soumis à l’essai. S’agissant d’alluvions récentes, quel est l’état de consolidation du sol ? Déduisez-en la pression de préconsolidation σ0 à la profondeur de prélèvement. Calculez c u à partir de la formule ci dessous. On vérifiera cette formule à partir d’une schématisation dans le plan de Mohr.
cu = σ o
sin ϕ cu cos ϕ cu + c cu 1 − sin ϕ cu 1 − sin ϕ cu
Pour le sable dense
Essai 1 Essai 2
σ3
σ1
200 300
1120 1680
(σ1-σ3)/2 (σ1+σ3)/2 460 690
660 990
sin ϕ'
ϕ'
0,70 0,70
44 44
La représentation de Mohr n’est pas connue par tous les candidats. Les candidats ont fréquemment confondu la pression verticale σ1 avec le supplément de pression verticale (σ1-σ3). Dans quelques cas, les correcteurs ont observé des confusions existent entre la représentation de Mohr et d’autres représentations courantes en mécanique des sols (diagrammes (p, q) ou (s, t)) et des diagrammes « hybrides » (faux) ont été proposés. A noter enfin que les correcteurs ont relevé quelques erreurs proprement inadmissibles sur les expressions trigonométriques élémentaires. Pour le limon Le sol de formation récente est normalement consolidé. La contrainte de préconsolidation correspond donc à la contrainte effective existant in situ au niveau ou s’est effectué le prélèvement de l’échantillon ( profondeur de 9 m) Dans le plan de Mohr (σ,τ), le cercle de Mohr représente les contraintes totales s’appliquant à l’éprouvette. La droite enveloppe des cercles de Mohr représentant les états de rupture n’est pas la droite intrinsèque.
Essai 1
σv (kPa) 167
σ'v =σ (kPa) 87
ϕcu (degrés) 14°
Ccu (kPa) 0
Cu (kPa) 28
Les candidats ont généralement bien déduit le caractère normalement consolidé du sol. Une trop grande partie (plus de la moitié) des candidats qui ont traité la question ont cependant pris comme valeur de la contrainte de préconsolidation la contrainte totale existant au niveau du
prélèvement de l’échantillon. Cette erreur dans l’application de la théorie de la consolidation a été rigoureusement sanctionnée. 4. Pourquoi et pour quel type de sols distingue t-on les caractéristiques à court terme et à long terme ? Les comportements « à court terme » et « à long terme » font référence à la théorie de la consolidation des sols : -
-
-
les chargements appliqués au sol se reportent initialement (« à court terme ») sur l’eau interstitielle peu mobile et incompressible et génèrent des surpressions de l’eau interstitielle. Le sol se comporte comme un milieu incompressible. durant la phase de consolidation du matériau, l’écoulement de l’eau induit par les surpressions interstitielles permet leur dissipation. La variation de teneur en eau du matériau s’accompagne d’une déformation du squelette granulaire. « a long terme », les surpressions interstitielles générées par le chargement se sont dissipées.
La distinction entre les comportements « à court terme » et « à long terme » s’applique aux sols fins peu perméables, pour lesquels la durée de la phase transitoire de consolidation est importante (n’est pas négligeable par rapport à la durée des phases de travaux). C’est en particulier le cas des argiles et des limons.
Les réponses à cette question de cours restent souvent fragmentaires, l’ensemble des notions participant au phénomène en jeu n’étant en général pas présentes dans les réponses des candidats : - l’incompressibilité du terrain à court terme est rarement évoquée - la notion de perméabilité des sols n’est pas toujours évoquée ; - des confusions existent entre la surpression interstitielle et la pression interstitielle ; - la référence à la consolidation da matériau n’est pas souvent présentée ; - des références inexactes sont constatées (utilisation de l’oedomètre pour identifier le comportement à long terme). B) Conception et prédimensionnement Le schéma de principe de l’ouvrage est donné à la figure 1. Dans la suite du problème, on prendra les caractéristiques géotechniques des sols suivantes : Sols Grave limoneuse Limon Sable dense Substratum sous-jacent B1 - Stabilité du fond de fouille
γsat 18 kN/m3 18 kN/m3 20 kN/m3 Non défini
k perméabilité 10-3 m/s 10-6 m/s 2 10-4 m/s imperméable
ϕ’ 35° 30° 40° Non défini
5. Quelle est la particularité de la nappe dans la couche de sable dense compte tenu de la disposition des couches de sol du site ? La faible perméabilité des limons sus-jacents aux sables denses rend la nappe des sables denses captive. La charge hydraulique de cette nappe captive est déterminée par le niveau d’eau dans le lac. Malgré la simplicité de la question, 70% des candidats n’ont pas répondu ou n’ont pas répondu correctement. 6.
Etudiez la stabilité du fond de fouille dans le cas où l’on ne rabattrait pas la nappe dans la couche de sable dense (alimentée directement par le lac) avant l’exécution des terrassements et où la fouille resterait sèche par ailleurs. On tracera pour ce faire la distribution des pressions d’eau de part et d’autre de la paroi.
Faire le bilan des forces agissant sur (A,A’,C’,C) - Poids déjaugé (Poids sol saturé + poussée d’Archimède) W’=20kN - Forces d’écoulement ascendant E= i*γw*Vol=[(ha- hc)/AC] *γw * (AC*1*1) = 65 kN Le calcul de la charge en A, B, C se fait à partir de l’expression suivante : h = z+u/γw (théorême de Bernouilli) GL
A B C
z 10 12 12.5
u/γw 9 0.5 0
h 19 12.5 12.5
C
C’
B
B’
L
SD
0.5 m
2m
A
A’
La force E est supérieure à W’, la fouille est donc instable dans ces conditions. Le nombre de candidats ayant proposé des réponse à cette question était très faible. Par ailleurs malgré la question précédente qui attirait l’attention des candidats sur le caractère artésien de la nappe des sables denses, des réponses ne prenant pas en compte ce phénomène ont été proposées, les candidats proposant diverses évaluations fausses de la charge dans les sables denses (charge rabattue ou bien écoulement autour du soutènement). 7.
Devant les résultats du calcul précédent, le bureau d’études préconise un rabattement de 6,5 m de la nappe de la couche de sable dense, captive sous la fouille, à l’aide de puits complets. Les puits complets, espacés de 5,5 m, sont répartis en deux rangées, de façon symétrique par rapport à l’axe de la trémie (voir figure 2).
Dans un premier temps, on considère que ces lignes de puits sont « équivalentes » à deux tranchées complètes de longueurs infinies. On s’intéresse au fonctionnement du massif de sol compris entre le lac et l’axe de la trémie. 7.1 Définissez les conditions aux limites de l’écoulement dans l’horizon de sable dense. Déterminez et tracez sur la figure 2 (à remettre avec la copie) la surface piézométrique de la nappe captive du sable dense, les équipotentielles particulières et les lignes de courant particulières.
Le réseau d’écoulement est composé de deux familles de courbes. Les lignes de courant représentent le trajet de l’eau. Les équipotentielles ont pour équation générale h=Cte et sont orthogonales aux lignes de courant dans le cas d’un milieu isotrope. L’écoulement est permanent. Les conditions aux limites sont : - surfaces imperméables : aucun débit ne les traverse ; elles constituent donc des lignes de courant ; - surfaces filtrantes : elles sont normales aux lignes de courant, ce sont des équipotentielles ; - surface libre : la pression est uniforme, égale à la pression atmosphérique ; Le fond du lac est une ligne équipotentielle, le toit du substratum imperméable correspond à une ligne de courant. Les lignes de courant sont perpendiculaires à la surface du puits. Les fondamentaux sur les lignes de courant et les équipotentielles sont connus, toutefois mal appliqués. Très souvent, il y a eu confusion entre la situation de pompage, sur laquelle posait la question et la situation d’excavation sans pompage. La surface piézométrique de la nappe des sables denses n’a été présentée que par quelques candidats. 7.2 Calculez le débit par mètre linéaire de tranchée. On démontrera que ce débit, en régime permanent, est donné par la formule : Q = k.D.(H – he) / L où k est la perméabilité de la couche de sable dans le sens de l’écoulement et D, H, he et L des dimensions explicitées sur la figure 2. La couche perméable d’épaisseur D est limitée supérieurement et inférieurement par des couches imperméables. L’écoulement provoqué par le pompage au sein de cette couche est horizontal et uniforme. La charge varie donc linéairement entre les conditions aux limites h=he pour y=0 et h= H pour y=L. Par application de la loi de Darcy, le débit s’exprime, par ml de tranchée, comme suit : Q = k * D * ( H − he) / L
avec H= 19 m, he= 12.5 m, D=10 m, L= 13 m et k=2.10-4 m/s
Q= 3.6 m3 /h = 0,001 m3 /s et par ml de tranchée 7.3
En déduire la valeur moyenne du débit à pomper par puits.
Le débit estimé par puits espacés de 5.5 m est déduit simplement par Qpuits= Qtranchée*5.5 = 19.80 m3 /h Une part significative des candidats a bien exploité, d’une part la forme du réseau d’écoulement et d’autre part la loi de Darcy pour exprimer le débit, les autres candidats se contentant de l’application numérique.
8. Dans un deuxième temps, de façon plus générale, on considère l’action d’un puits isolé dans une nappe en charge dans un horizon d’extension infinie (puits artésien pénétrant complè tement un horizon aquifère alimenté par une source circulaire). On considérera les conditions géométriques similaires, à savoir une couche aquifère de sable dense d’épaisseur 10 m encadrée par deux horizons imperméables (figure 3). 8.1 Déterminez le débit de pompage nécessaire pour obtenir un rabattement de 6,50 m, en régime permanent. On considérera que l’effet du pompage se fait sentir jusqu’à une distance R =250 m du puits (R : rayon d’action) et que le puits à un rayon égal à r = 0,15 m. Dans le cas d’un écoulement en régime permanent et d’une nappe phréatique captive, le débit est établi par la formule suivante : hw rw H − hw Q = k * 2 * π * D * ∫ dh ∫ r / dr = 2 * k * π * D * pour tout (h,r)) R H R ln( ) rw 3 Après résolution, on obtient Q = 0,0110 m /s = 39,6 m3 /h
8.2
Déterminez la surface piézométrique dans cette configuration.
La charge h donné en un points situé à r du puits (rw
précontraints. Les tirants d’ancrage ont une longueur de 10 m (dont 8 m de longueur libre) et sont inclinés de 20 degrés sur l’horizontale. 10. Quelles sont les méthodes d’usage courant pour dimensionner un rideau ancré ? Vous en préciserez les principes et les différences. 1. Méthodes classiques On détermine les états de poussée et de butée des sols de part et d’autre du rideau par la théorie de Rankine ou celle de Boussinesq (états d’équilibre limite). S’agissant d’écrans encastrés, deux configurations sont envisagées, les écrans ancrés et simplement butés (cas isostatique) et les écrans ancrés et encastrés en pied (cas hyperstatique). Les écrans ancrés et simplement butés sont étudiés en faisant appel aux équations d’équilibre (1) des moments par rapport au point d’ancrage pour déterminer la fiche et (2) des forces horizontales pour la force d’ancrage. Pour l’étude des écrans ancrés et –encastrés en pied, on admet qu’il se développe une contre butée suffisante pour encastrer parfaitement le rideau en pied. Pour simplifier, on admet qu’elle est concentrée au niveau du centre de rotation en pied. Le problème étant hyperstatique (3 inconnues), il faut imposer une équation supplémentaire ; on utilise la méthode dite de Blum ou de la poutre équivalente (le point de moment nul et le point de pression nul sont confondus) ou la méthode de la ligne élastique. 2. Méthodes au coefficient de réaction La méthode fait l’hypothèse que le sol applique à l’écran une pression variant avec le déplacement horizontal de l’écran (hypothèse de Winkler). La loi de réaction du sol au déplacement de l’écran comprend typiquement trois paliers : une variation linéaire de la pression avec le déplacement de l’écran, tant que l’état d’équilibre limite du sol n’est pas atteint, et les deux paliers correspondant aux états d’équilibre limite de poussée et de butée. Ces deux paliers sont déterminés par les théories de poussée et de butée (Rankine, Boussinesq). Le palier linéaire est caractérisé par le coefficient de réaction dont la détermination peut faire appel à la formule de Ménard. La question posée a été souvent traitée de façon fragmentaire, ce que le jury a regretté compte tenu du fait que nombre des candidats, s’agissant d’une question de cours, possédaient probablement l’ensemble des éléments de la réponse. Ainsi, des candidats se sont contentés d’évoquer les théories de calcul des poussées et butées, ce qui est nécessaire au calcul de l’ouvrage mais pas suffisant. D’autres candidats n’ont pas apporté les précisions attendues sur les méthodes de calcul, se contentant de les citer. 11. Etablissez les diagrammes de contraintes effectives du sol soutenu et de pression d’eau sur la paroi. On fera l’hypothèse que le sol est à l’état d’équilibre limite de poussée et on fera appel à la théorie de Rankine, en précisant toutefois ses limites dans le cas présent. On considérera que le rabattement de la nappe dans la couche de sable dense est actif pour les phases de travaux considéré et que le niveau de la nappe libre des graves limoneuses reste pour sa part égal à celui du lac. Les coefficients Ka et Kp s’expriment, à partir de la théorie de Rankine, par : Ka= tg2 (π/4 - ϕ/2) et Kp= tg2 (π/4 + ϕ/2) Les contraintes effectives de poussée et de butée s’expriment par : σ’a =Ka*γ*h + Ka*q – u et σ’p =Kp*γ*h + Kp*q -u
Il faut donc évaluer les pressions interstitielles s’exerçant sur l’écran. Le site est le siège de deux nappes ; la nappe libre des graves sableuses et la nappe partiellement captive des sables denses. Les surfaces piezométriques sont initialement confondues. Le rabattement provoque une diminution de la charge hydraulique de la nappe des sables denses et la couche de limon devient le siège d’un écoulement descendant. Evaluation des coefficients Ka et Kp. sols GL L SD
Ka 0.27 0.33 0.22
Kp/2 1.85 1.5 2.3
Tableau récapitulatif des valeurs aux points caractéristiques : z 0 1 8 8 10 10 12
σv 0 18 144 144 180 180 220
σ'v 0 18 74 74 155 155 175
u 0 0 70 70 25 25 45
σ'h 0 4,86 19,98 24,42 51,15 34,1 38,5
σh 0 4,86 89,98 94,42 76,15 59,1 83,5
70 kPa
25 kPa
25 kPa D
25+10D kPa
25+10D kPa
Diagramme de la répartition des pressions interstitie lles
20 kPa
25 kPa 51.5 kPa
30 kPa 34 kPa 34 +2,2D kPa
46 kPa 46 +23D kPa
Diagramme de la répartition des contraintes effectives appliquées sur l’écran
Si les notions de poussée–butée sont a priori connues, leur application est plus délicate notamment dans la prise en compte de l’effet du rabattement sur le diagramme des pressions interstitielles : - de façon relativement systématique, les candidats n’ont pas fait le lien avec les questions 5 à 9 et ont estimé les contraintes effectives dans la couche de limon et dans la couche de grave sur la base du poids déjaugé, ce qui ne vaut que si la nappe est statique ; l’effet du rabattement de la nappe sur les pressions interstitielles dans les graves et les limons n’a pas été considéré ; - certains candidats ont considéré qu’il n’y avait plus d’eau dans les grave s(u = 0) Cette question met clairement en évidence la généralisation abusive de l’utilisation de la notion de poids déjaugé pour l’évaluation des contraintes au détriment de l’expression plus générale σ’v = σv – u a privilégier de façon systématique pour se mettre à l’abri de ce type d’erreur.
12. On considère que la paroi est simplement butée en pied et ancrée en tête (absence d’encastrement dans le terrain de fondation). Déterminez les conditions d’appui assurant à l’écran, un coefficient de sécurité de 2 sur l’état d’équilibre limite de butée en pied : - la fiche F de la paroi en dessous du niveau du fond de fouille (on se satisfera d’une approximation de la valeur), - la réaction d’ancrage par mètre linéaire de paroi. Dans le cas d’un écran simplement buté et ancré en tête, l’équation des moments calculés au point d’ancrage du rideau permet de déterminer la fiche D, on trouve après résolution de l’équation, D= 3.6 m et une fiche de 6.10 m
Le calcul de la force d’ancrage est obtenu avec l’équation d’équilibre des forces horizontales. Après résolution de l’équation d’équilibre des forces horizontales, on obtient F=257 kN par mètre de paroi Les principes de calcul sont bien connus : définition des efforts à partir des diagrammes de contraintes et de pressions et détermination des inconnues par la résolution des équations d’équilibre. S’agissant d’une question relativement calculatoire, les candidats n’ont généralement pas développé au delà des principes de résolution. Par ailleurs, les diagrammes de pressions déterminés à la question précédente étant entachés d’erreurs, les candidats ne pouvaient généralement pas espérer obtenir la réponse attendue. Les correcteurs ont jugé les principes de résolution proposés par les candidats et noté en conséquence. 13. Quelle méthode utiliseriez- vous pour déterminer le point de moment fléchissant maximum ? Pourquoi cherche t’on à déterminer ce paramètre ? Les points d’effort tranchant nuls donnent les maxima du moment fléchissant. On recherche donc ces points d’effort tranchant nul et on calcule le moment fléchissant maximal pour dimensionner la section résistante de la paroi. Nombreux sont les candidats qui n’ont pas saisi l’occasion de marquer des points pour cette question évidente. 14. Pour vérifier la longueur des tirants d’ancrage, on envisage la possibilité de glissement du bloc délimité - par deux surfaces verticales : le parement de la paroi et le plan vertical passant au milieu des longueurs scellées des tirants - une surface inclinée, reliant le massif de scellement de l’ancrage et le niveau de la fiche pour lequel les pressions exercées de part et d’autre de l’écran sont égales. 14.1
Faites le bilan des forces appliquées à ce massif de sol.
Les forces appliquées sur le massif des sol sont : - La réaction totale (pression effective sur le squelette granulaire et pression sur l’eau) de l’écran sur le massif de sol - La poussée totale (pression effective et poussée de l’eau) à l’arrière du prisme considéré - Le poid s total du prisme considéré - L’effort d’ancrage - La réaction totale (contraintes effectives sur le squelette granulaire et pression de l’eau) à la base du prisme considéré Comme précédemment, les correcteurs ont constaté que les candidats n’ont pas saisi la simplicité de la question. 14.2 Evaluez graphiquement la force d’ancrage qui déséquilibre ce massif de sol. Comparez la valeur obtenue à la tension de service de l’ancrage. On considérera dans cette évaluation, en le justifiant, que la réaction à la base du bloc considéré présente une obliquité de 35° sur la normale à la surface de glissement.
Méthode de Kranz 8.50 m
2.00 m
5.10 m
13.60 m
2.00 m
ϕ
3.60 m
Cette question n’a pas été traitée par les candidats.
B3 - Conception du radier 15. A la fin de l’étape de terrassement, la tranchée est « fermée » par un radier étanche de béton armé et couverte par une dalle (figure 4); les pompages (étudiés dans la première partie) sont alors arrêtés. 15.1 Représentez sur la figure 4, à rendre avec la copie, le champ de pression appliqué par l’eau à long terme sur les différentes parties de l’ouvrage. La pression hydrostatique derrière le soutènement varie de 0 kPa à 1 m de profondeur à 125kPa en pied d’écran. La pression hydrostatique devant le soutènement va rie linéairement de125 kPa en pied d’écran à 65 kPa à la base du radier. Celle sous le radier est uniforme, égale à 65 kPa,. Comme pour la question 7.1, les correcteurs ont noté des réponses imprécises (pas de valeurs) et des erreurs grossières et notamment, dans nombre de copies, une absence de continuité de la pression d’eau le long des éléments de structure et en particulier entre la partie en fiche de la paroi et l’intrados du radier .
15.2 Quelles solutions techniques (au minimum 2) peuvent-elles être mises en œuvre pour assurer la stabilité du radier vis-à-vis des sous-pressions d’eau ? Vous commenterez en détail ces solutions proposées. Poids du radier : = 1,05*65/2,5 m d’épaisseur de béton = 2,73 m Radier ancré par micropieux Radier drainant Cette question a été bien traitée, avec souvent des illustrations soignées. B4 - Comparaison des calculs de pré -dimensionnement et coefficient de réaction Le bureau d’étude a procédé à une vérification des sollicitations dans la paroi par la méthode du coefficient de réaction. Les résultats du calcul sont donnés sur la figure 5 (pressions du sol sur l’ouvrage, diagrammes de moment). 16. Rappelez le principe de la méthode de calcul au coefficient de réaction. Rappelez en particulier la relation pression – déplacement qui sous-tend cette méthode, et en donnez la construction de principe en introduisant les paramètres K0 , coefficient des terres au repos, Kh, coefficient de réaction, Ka et Kp, coefficients de poussée et de butée. Les déplacements nécessaires pour mobiliser les états limites de poussée et de butée sont dépendants de la rigidité du terrain. Pour passer de l’état au repos à l’état d’équilibre de poussée, le déplacement nécessaire est très faible (h/1000 à h/10000). Pour passer de l’état au repos à l’état d’équilibre de butée, le déplacement nécessaire est plus important (h/10 à h/30). La méthode fait l’hypothèse que le sol applique à l’écran une pression variant avec le déplacement horizontal de l’écran (hypothèse de Winkler). La loi de réaction du sol la plus communément adoptée comprend typiquement trois pallier : une variation linéaire de la pression
avec le déplacement de l’écran, tant que les états d’équilibre limite du sol ne sont pas atteints, et les deux paliers correspondant aux états d’équilibre limite de poussée et de butée. Ces deux paliers sont déterminés par les théories de poussée et de butée (Rankine, Boussinesq). Le palier linéaire est caractérisé par le coefficient de réaction dont la détermination peut faire appel à la formule de Ménard. La méthode du coefficient de réaction constitue la méthode de référence pour le calcul pratique des écrans et parois de soutènement. Les correcteurs ont été surpris que peu de candidats répondent à une question de principe sur le sujet. 17. La figure 5 donne les résultats d’un calcul au coefficient de réaction, pour la phase de terrassement au fond de fouille. Comparez les résultats obtenus aux valeurs calculées en B2: - à quoi attribuez- vous les différences de distribution de poussée du sol, par rapport aux valeurs calculées en B2 - le calcul par la méthode du coefficient de réaction donne une valeur de l’effort horizontal d’ancrage de 240 kN/m. A quoi attribuez-vous l’écart constaté avec la valeur calculée en B2. On observe les différences de poussée suivantes : - en partie supérieure la précontrainte appliquée aux tirants conduit à une compression du sol ; la poussée active, observée pour des états de décompression du sol, n’est donc pas observée - en partie supérieure la rotation de la paroi au-dessus de son pied fait apparaître une contrebutée ; la poussée active, observée pour des états de décompression du sol, n’est donc pas observée La réaction dans les tirants est plus faible de celle obtenue à la question 12 du fait d’une condition d’appui en fiche déterminée par la méthode du coefficient de réaction moins défavorable que calculé à la question 12 (paroi simplement butée). Peu de candidats ont répondu à cette question. 18. Les déplacements calculés sont- ils suffisants pour permettre le développement de la poussée active. Sont-ils compatibles avec les exigences de service de l’ouvrage ? L’ordre de grandeur des déplacements nécessaires pour mobiliser les états limites de poussée et de butée est le suivant : - Pour passer de l’état au repos à la poussée, le déplacement nécessaire est très faible (h/1000 à h/10000). - Pour passer de l’état au repos à la butée, le déplacement nécessaire est plus important (h/10 à h/30) La notion de poussée associée à un déplacement est correctement maîtrisée par les quelques candidats qui ont traité cette question. C) Surveillance et exploitation 19. Citez les facteurs de risques de désordres susceptibles d’affecter la stabilité et la pérennité des parois latérales de la tranchée. Quels types d’instrumentations préconiseriez-vous en conséquence pour en assurer la surveillance et le diagnostic ?
Les désordres peuvent avoir plusieurs origines : à la conception, lors de la réalisation de l’ouvrage, en service dues à des agressions externes physico-chimiques. Deux types de facteurs de risque de désordres peuvent être distingués ; ceux liés à l’environnement et ceux liés à l’ouvrage proprement dit. Parmi ceux liés à l’environnement, on peut citer l’instabilité générale, l’agressivité des sols et eaux, la nature évolutive des sols (tassements des sols fins) ou ayant présentés des difficultés lors de l’exécution (blocs, éboulis, poches de dissolution), les conditions d’exploitation des ouvrages et du site (sels de déverglaçage, sollicitations particulières, ouverture de fouilles en pied d’ouvrage) Parmi ceux liés à l’ouvrage, on peut citer l’insuffisance du dimensionnement (épaisseur, rigidité insuffisance), rupture des tirants ou des butons, défaillance de l’ancrage ainsi que les défauts de construction (défauts de dans la mise en œuvre du ferraillage ou du béton. Le suivi et la surveillance des ouvrages devraient commencer dès sa réalisation. Les dispositifs de suivi sont classiquement : les tubes d’auscultation sonique par transparence, afin de vérifier la qualité de la mise en œuvre du béton, les piézomètres pour suivre les mouvements de la nappe, les témoins de déplacement, les cales dynamométriques et la mesure de la tension pour le contrôle des tirants, l’inclinomètre vertical pour suivre la déformée des parois. 20. Les textes en vigueur prévoient d’équiper de tels ouvrages d’un dispositif d’assainissement (chaussée) et d’un dispositif interne de drainage (parois et radier), même dans le cas où la solution par radier étanche serait retenue. - quelle est l’origine des effluents traités par chacun de ces deux systèmes ? - quels sont les paramètres intervenant dans la conception et leur dimensionnement ? - que préconiseriez-vous pour leur surveillance ? Les effluents traités par le dispositif d’assainissement sont ceux liés à la circulation des eaux sur la chaussée, se chargeant de métaux lourds, d’hydrocarbures, de plastiques et de sels de déverglaçage. Ceux provenant du dispositif interne de drainage proviennent de la circulation des eaux du site au travers des ouvrages béton ; suivant leur nature chimique, elles auront un effet plus ou moins agressif et corrosif. Les dispositifs devront être conçus pour assurer une collecte et évacuation suffisante et efficace (débit maximal autorisé, assurer une bonne étanchéité). Ils devront intégrer le dispositif de traitement (traitement physique et chimique avant rejet) ou un dispositif de rétention pour traitement ultérieur. L’entretien régulier des dispositifs de drainage et d’assainissement reste le plus efficace ; éviter les dégradations, le colmatage, la stagnation de l’eau…. Des éléments de réponse fragmentaires ont été présentés. Ces deux questions ont été traitées simplement, les correcteurs notent le manque de connaissances précises en métrologie des candidats ; souvent l’idée est présente mais les termes techniques employés sont imprécis (le contrôle des déformations de la paroi est souvent associé à des capteurs de déplacements, ou celui de la tension des tirants d’ancrage à des capteurs de pression)
AGREGATION DE GENIE CIVIL Epreuve « Qualité des ambiances » Ambiance sonore au voisinage d’un lotissement en construction situé à proximité d’une unité de production industrielle Session de 2006
- CORRECTION DE L’EPREUVE D’ACOUSTIQUE -
Question n°1 : Rappel de cours 1.1 Ecrire la relation entre la puissance acoustique W et la pression acoustique p [en Pa] au point R1 en fonction la distance d, la masse volumique de l’air ρ 0 et la vitesse du son dans l’air c. La puissance acoustique W d’une source sonore en champ libre s’exprime en fonction de la pression acoustique p [en Pa] et de la distance d [en m] entre la source et un récepteur par la relatio n :
W=
p2 ⋅ 4π d 2 ρ0 c
pour laquelle, ρ 0 est la masse volumique de l’air et c la vitesse du son dans l’air. Dans le cas où la source repose sur un sol réfléchissant la précédente relation devient :
p2 W = ⋅ 2π d 2 ρ 0c 2
p De plus, la puissance acoustique de référence W0 s’exprime par la relation : W0 = 0 ρ0c 2
p2 p W 1 W p2 2 ⋅ Donc : = 2 ⋅ 4 π d ; ou bien encore 2 = = 2 W0 p0 p0 W0 4 π d p0 Dans le cas où la source repose sur un sol réfléchissant la précédente relation devient : 2
p2 p W 1 = = ⋅ 2 2 p0 p0 W0 2π d
1.2 En déduire l’expression du niveau de pression acoustique Lp [en dB(A)] en fonction du niveau de puissance acoustique L W [en dB(A)] et de la distance d. A partir de la précédente relation précédente, on peut écrire : 2
p W 1 L p = 10 ⋅ lg 10 = 10 ⋅ lg 10 + 10 ⋅ lg 10 2 p0 W0 4π d
en dB(A)
1 soit : L p = LW + 10 ⋅ lg 10 2 4π d Soit : L p ≈ LW − 20 ⋅ lg 10 d − 11
= LW − 10 ⋅ lg 10 4 π d 2 = LW − 10 ⋅ lg 10 d 2 − 10 ⋅ lg 10 (4 π )
(
)
( )
LW ≈ L p + 20 ⋅ lg 10 d + 11 en dB(A)
⇔
Dans le cas où la source repose sur un sol réfléchissant la précédente relation devient :
1 = LW − 10 ⋅ lg10 2 π d 2 = LW − 10 ⋅ lg10 d 2 − 10 ⋅ lg10 (2 π ) Lp = LW + 10 ⋅ lg10 2 2π d
(
⇔
)
( )
LW ≈ Lp + 20 ⋅ lg10 d + 8 en dB(A)
1.3 Déterminer l’effet d’un doublement de distance entre la source sonore et le récepteur sur la valeur du niveau de pression acoustique. Si d 2 = 2 d1 , il est possible d’écrire à partir de la relation établie à la question 1.2 :
Lp1 ≈ LW − 20 ⋅ lg 10 d1 − 11
et
Lp 2 ≈ LW − 20 ⋅ lg 10 d 2 − 11
On en déduit :
Lp 2 − L p1 ≈ −20 ⋅ lg 10 d 2 − 20 ⋅ lg 10 d1 = −20 ⋅ lg 10
En conclusion, lors d’un doublement de distance :
d2 2d = −20 ⋅ lg 10 1 = −20 ⋅ lg 10 2 = −6 d1 d1 L p2 − L p1 = −6 dB(A)
Note : Quelle que soit l’hypoth èse faite sur la position de la source par rapport au sol, la loi de doublement de distance est inchangée.
1.4 Déterminer l’effet d’un doublement de puissance acoustique de la source sonore sur la valeur du niveau de pression acoustique. Si W2 = 2W1 , il est possible d’écrire à partir de la relation établie à la question 1.2 :
Lp1 ≈ LW 1 − 20 ⋅ lg 10 d − 11
et
Lp 2 ≈ LW 2 − 20 ⋅ lg 10 d − 11
On en déduit :
Lp 2 − Lp1 = LW 2 − LW 1 = 10 ⋅ lg 10
W2 W W 2W1 − 10 ⋅ lg 10 1 = 10 ⋅ lg 10 2 = 10 ⋅ lg 10 = 10 ⋅ lg 10 2 = +3 W0 W0 W1 W1
En conclusion, lors d’un doublement de puissance de la source :
Lp 2 − Lp1 = +3 dB(A)
Note : Quelle que soit l’hypoth èse faite sur la position de la source par rapport au sol, la loi de doublement de puissance est inchangée.
1.5 Application Numérique : Connaissant le niveau de puissance acoustique LW [en dB(A)] de la source sonore en période diurne, calculer le niveau de pression acoustique Lp [en dB(A)] enregistré au récepteur R1 au cours de la même période. Si LW = 107 dB(A)
et
d = 20 m ;
sachant que
Lp ≈ LW − 20 ⋅ lg 10 d − 11
Alors : Lp ≈ 107 − 20 ⋅ lg 10 20 − 11 = 70 dB(A)
Dans le cas où la source repose sur un sol réfléchissant la précédente relation devient :
Lp ≈ 107 − 20 ⋅ lg10 20 − 8 = 73 dB(A)
Question n°2 : Etude de l’influence de la nature d’un sol réfléchissant
2.1 Expliquer sommairement les phénomènes physiques représentés par la relation. L’expression de la pression acoustique :
p 1 Q = ⋅ exp ( j k0 rd )+ ⋅ exp ( j k 0rr ) p0 4π rd 4π rr
(équation 1)
1 ⋅ exp ( j k 0rd ) (fonction de Green d’une 4π rd source ponctuelle, omnidirectionnelle d’amplitude unit é) et d’une onde sonore réfléchie sur Q un sol impédant ⋅ exp ( j k 0rr ) où Q représente le coefficient de ré flexion en onde 4π rr sphérique.
représente la somme d’une onde sonore directe
2.2 Expression du module au carré de la pression acoustique en un point de réception R La relation fournie à l’équation 1 est la somme de deux nombres complexes, soit : 1 Q z = z1 + z 2 avec : z1 = ⋅ exp ( j k 0rd ) et z 2 = ⋅ exp ( j k 0rr ). 4π rd 4π rr Sachant que : z = z1 + z 2 + 2 z1 z2 cos (ϕz 2 − ϕz1 ) et que : 2
1 z1 = ⇒ z1 4π rd
2
2
2
1 = 4 π rd
Q Q 2 z2 = ⇒ z 2 = 4π rr 4π rr ϕ z1 = k0 rd ; ϕ z2 = k0 rr + γ
2
1 = 16 π
2
2
⋅
1 ; rd2
2
Q = 1 2 ⋅ 2 ; rr 16π
On en déduit : 2
2
Q Q p 1 1 1 z = = ⋅ 2+ ⋅ 2 +2 cos(k 0rr + γ − k0 rd ). Soit encore : 2 2 p0 16 π rd 16 π rr 4 π rd ⋅ 4 π rr 2
2
p 1 = p0 16 π 2
2 1 Q Q ⋅ 2 +⋅ 2 + 2 cos [k 0 (rr − rd )+ γ ] . rr rd ⋅ rr rd
Sachant que : k 0 =
2π f 2π f ⇒ k 0 (rr − rd )= (rr − rd ) = 2π f rr − rd c c c c
Sachant de plus que : τ r =
.
rr r et τ d = d ; alors, k 0 (rr − rd ) = 2π f (τ r − τ d ). c c
On trouve ainsi l’expression recherchée, soit :
2 1 Q 2Q ⋅ 2 +⋅ 2 + cos [2π f (τ r − τ d )+ γ ] rr rd ⋅ rr rd
2
p 1 = p0 16 π 2
2
p 2.3 Expression de 1 en considérant les caractéristiques du sol p0
Le sol entre l’unit é de production industrielle et le lotissement étant réfléchissant, nous pouvons faire l’hypothèse que Q = 1 et γ ≈ 0 . Dans ce cas :
2
p1 1 1 1 2 ≈ ⋅ +⋅ 2 + cos [2π f (τ r ,1 − τ d ,1 )] 2 2 p0 16 π rd ,1 rr ,1 rd ,1 ⋅ rr ,1 2.4 Calcul de L p2 − L p1 lorsque R2 est placé en limite du lotissement
De même que nous avons identifié p2 p0
2
2
p 1 , soit : 2 ≈ p0 16 π 2
p1 p0
2
à la question précédente, nous pouvons calculer
1 1 2 ⋅ 2 +⋅ 2 + cos [2π f (τ r , 2 − τ d , 2 )] . rr ,2 rd ,2 ⋅ rr , 2 rd ,2
Afin d’effectuer nos approximations, nous allons calculer les valeurs de rd ,1 , rr ,1 , rd ,2 et rr ,2 pour la géométrie considérée. A partir de la figure 2 de l’annexe 1, nous pouvons écrire :
[ ] = [(20) + (2 − 2 ) ] = 20m = [d + (h + h ) ] = [(20 ) + (2 + 2) ] = 20 ,4m = [D + (h − h ) ] = [(100 ) + (3 − 2) ] = 100,005m = [D + (h + h ) ] = [(100 ) + (3 + 2 ) ] = 100 ,125m .
rd ,1 = d 2 + (h 1− h S ) rr ,1 rd ,2 rr , 2
2
1
2
S
2
S
2
1 = 10 −4 m− 2 2 rd ,2
2
2 1 2
2 12
2
2 12
S
2
On en déduit :
2 12
2 12
2
2 12
2 12
2
2 12
1 1 1 1 1 = 0 ,0025m −2 ; 2 = 0,0024 m−2 ⇒ 2 ≈ 2 = 2 et, 2 rd ,1 rr ,1 rd ,1 rr ,1 r1 1 1 1 1 ; 2 = 10 −4 m− 2 ⇒ 2 ≈ 2 = 2 . rr ,2 rd , 2 rr ,2 r2
Connaissant la vitesse du son (340 ms-1 ), nous calculons les temps de trajet : τ d ,1 = 0,058824 s ; τ r ,1 = 0 ,060s et τ d ,2 = 0 ,294132s ; τ r ,2 = 0 ,294485s .
Nous pouvons en déduire : τ r ,1 − τ d ,1 = ∆τ 1 = 0,00118s et τ r ,2 − τ d , 2 = ∆τ 2 = 0,00035s . p Moyennant ces approximations, 1 p0
2
p et 2 p0
2
deviennent respectivement :
2
p1 1 1 1 2 1 ≈ ⋅ +⋅ 2 + cos [2π f ∆τ 1 ] ≈ ⋅ {2 + 2 cos [2π f ∆τ1 ] } 2 2 2 2 p0 16 π r1 r1 r1 ⋅ r1 16 π r1 2
p1 1 ≈ ⋅ {1 + cos [2π f ∆τ 1 ]}, p0 8 π 2r12
Et de façon identique : 2
p2 1 ≈ ⋅ {1 + cos [2π f ∆τ 2 ] }. p0 8 π 2r22
L’atténuation sonore entre les deux récepteurs R1 et R2 s’écrit :
p p2 p0 2 2 L p2 − L p1 = 10 ⋅ lg 10 = 10 ⋅ lg 10 2 p1 p0 p1 p En remplaçant 1 p0
2
p et 2 p0
2
.
2
par leur expression respective, nous obtenons :
1 1 8π 2 ⋅ r 2 ⋅ [1 + cos (2π f ∆τ 2 )] r12 1 + cos (2π f ∆τ 2 ) 2 L p2 − L p1 = 10 ⋅ lg 10 = 10 ⋅ lg 10 2 + 10 ⋅ lg 10 r2 1 + cos (2π f ∆τ 1 ) 1 2 ⋅ 12 ⋅ [1 + cos (2π f ∆τ 1 )] 8π r1 r 2 Sachant que r1 ≈ 20 m et r2 ≈ 100 m , alors 10 ⋅ lg10 12 ≈ −14 dB. r2
Dans ce cas, nous obtenons la relation recherchée, soit : 1 + cos(2π f ∆τ 2 ) L p2 − L p1 ≈ 10 ⋅ lg 10 − 14 1 + cos(2π f ∆τ 1 )
2.5 Application numérique
Fréquence [Hz]
63
125
250
500
1000
2000
1 + cos (2π f ∆τ 2 )
1,99
1,96
1,85
1,45
0,41
0,69
1 + cos (2π f ∆τ 1 )
1,89
1,60
0,72
0,16
1,43
0,36
1 + cos (2π f ∆τ 2 ) 1 + cos (2π f ∆τ 1 )
1,053
1,225
2,569
9,063
0,287
1,917
1 + cos (2π f ∆τ 2 ) 10 ⋅ lg 10 1 + cos (2π f ∆τ 1 )
0,2
0,9
4,1
9,6
-5,4
2,8
∆L = Lp2 − Lp1
-13,8
-13,1
-9,9
-4,4
-19,4
-11,2
Global A
Spectre en R1
60
59
61
63
66
60
70
Spectre en R2
46,2
45,9
51,1
58,6
46,6
48,8
60,2
Le niveau global en R2 est obtenu en appliquant la relation :
Soit : S R = 60 ,2 dB(A). 2 Nous en déduisons :
6 0 ,1 S Spectre en R2 = S R 2 = 10 ⋅ lg 10 ∑ 10 R 2 ,i i=1
∆L = Lp2 − Lp1 = 70 − 60,2 = 9,8 dB(A) ⇔ L p2 = 60,2 dB(A)
Question n°3 : Influence d’un sol naturel
3.1 En reprenant la relation démontrée à la question 2.2, montrer qu’il est possible de trouver une relation similaire à celle déterminée à la question 2.4 en y introduisant les caractéristiques de réflexion du sol (Qi = Qi exp( j γ i )) respectivement pour chaque récepteur Ri. Le niveau en R2 étant proche de la valeur réglementaire, afin de s’assurer une marge de sécurité, le sol réfléchissant va être recouvert d’un revêtement engazonné dont nous allons calculer l’efficacité acoustique. En reprenant la relation démontrée à la question 2, en appliquant aux deux points de réception R1 et R2 et en tenant compte de la présence du sol engazonné, nous obtenons : 2
2 1 Q1 2 Q1 ⋅ 2 +⋅ 2 + cos [2π f (τ r ,1 − τ d ,1 )+ γ1 ] rr ,1 rd ,1 ⋅ rr ,1 rd ,1
2
2 1 Q2 2 Q2 ⋅ 2 +⋅ 2 + cos [2π f (τ r , 2 − τ d ,2 )+ γ 2 ] rr ,2 rd ,2 ⋅ rr ,2 rd ,2
p1 1 ≈ p0 16 π 2 et
p2 1 ≈ p0 16 π 2
En appliquant les mêmes approximations qu’ à la question précédente, soit :
1 1 1 1 1 1 ≈ 2 = 2 , 2 ≈ 2 = 2 2 rd ,1 rr ,1 r1 rd , 2 rr ,2 r2 pouvons écrire :
p2 p1
2
[ [
et en notant : ∆τ 1 = τ r ,1 − τ d ,1 et ∆τ 2 = τ r ,2 − τ d ,2 , nous
] ]
1 2 ⋅ 1 + Q2 + 2 Q2 cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 ) 2 r = 2 1 2 ⋅ 1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ 1 ) 2 r1 2
p r2 Soit encore : 2 = 12 p1 r2
1 + Q 2 + 2 Q cos (2π f ∆τ + γ ) 2 2 2 2 ⋅ . 2 1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ 1 )
∆L = Lp2 − Lp1 s’écrit alors :
r12 Lp2 − Lp1 = 10 ⋅ lg10 2 + 10 ⋅ lg10 r2
1 + Q 2 + 2 Q cos (2π f ∆τ + γ ) 2 2 2 2 2 1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ 1 )
r12 Sachant que r1 ≈ 20 m et r2 ≈ 100 m , et que 10 ⋅ lg10 2 ≈ −14 dB, nous obtenons r2 l’expression suivante :
1 + Q 2 + 2 Q cos (2π f ∆τ + γ ) 2 2 2 2 Lp2 − Lp1 = 10 ⋅ lg 10 − 14 2 1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ1 + γ 1 )
3.2 Application numérique
Fréquence [Hz]
63
125
250
500
1000
2000
0,92
0,79
0,59
0,41
0,44
0,53
cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 )
0,85
0,42
-0,55 -0,97
0,12
0,58
2 Q2 cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 )
1,63
0,75
-0,85 -1,24
0,16
0,85
1 + Q2 + 2 Q 2 cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 )
3,55
2,54
0,74
0,17
1,60
2,38
0,92
0,81
0,61
0,38
0,22
0,16
cos (2π f ∆τ 1 + γ 1 )
0,82
0,36
-0,69 -0,22
-0,70
-0,61
2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ1 )
1,57
0,64
-1,08 -0,28
-0,66
-0,48
1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ1 + γ 1 )
3,49
2,45
0,53
1,10
0,57
0,68
1,02
1,04
1,40
0,16
2,81
3,5
Q2
2
2
Q1
2
2
1 + Q2 + 2 Q2 cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 ) 2
1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ1 ) 2
10 ⋅ lg 10⋅ 1 + Q2 2 + 2 Q2 cos (2π f ∆τ 2 + γ 2 ) 0,07 2 1 + Q1 + 2 Q1 cos (2π f ∆τ 1 + γ 1 )
0,16
1,45
-8,10
4,48
5,44
-12,6 -22,1
-9,5
-8,6
Global A
∆L = Lp2 − Lp1
-13,9
-13,8
Spectre en R1
60
59
61
63
66
60
70
Spectre en R2
46,1
45,2
48,4
40,9
56,5
51,4
58,7
Le niveau global en R2 est obtenu en appliquant de nouveau la relation :
Soit : S R = 58,7 dB(A). 2 Nous en déduisons :
6 0 ,1 S Spectre en R2 = S R 2 = 10 ⋅ lg 10 ∑ 10 R 2 ,i i=1
∆L = L p2 − L p1 = 70 − 58,7 = 11,3 dB(A) ⇔ L p2 = 58,7 dB(A)
3.3 En déduire l’apport complémentaire de la surface engazonnée vis à vis de l’atténuation sonore au récepteur R2 . L’effet du sol engazonné est donc de :
60,2 – 58,7 = 1,5 dB(A)
Question n°4 : Dimensionnement du projet
1 La nuit, l’unit é de production industrielle fonctionne à demi-régime [ Wnuit = W jour ] . 2 Sachant que :
LW nuit = 10 ⋅ lg10
W jour W jour Wnuit 1 = 10 ⋅ lg10 = 10 ⋅ lg10 + 10 ⋅ lg10 = LW jour − 3 (cf. Question 1), W0 2 W0 W0 2
et que : LW jour = 107 dB(A), alors : LW nuit = 107 − 3 = 104 dB(A) En appliquant la relation établie à la question 1, nous obtenons en R1 :
Lp1 nuit ≈ 104 − 20 ⋅ lg10 20 −11 = 67 dB(A)
Sachant qu’en présence d’un sol engazonné : L p2 − L p1 = 11,3 dB(A), on en déduit alors : L p2 nuit ≈ 67 − 11,3 = 55,7 dB (A).
Si l’on construisait une maison en limite de propriété du lotissement, compte-tenu de l’effet de réflexion de la façade, nous aurio ns au point Rm : L pm nuit ≈ 55 ,7 + 3 = 58,7 dB (A).
Ce niveau dépasserait la limite réglementaire de : 58,7 – 55 = 3,7 dB(A). Il sera donc nécessaire de reculer la première habitation de telle façon que l’effet d’éloignement apporte au moins 3,7 dB(A) de réduction du bruit, soit : 2
D + x − dm L pm nuit − Lp2 nuit = −10 ⋅ lg10 = −3,7 D D + x − dm ⇔ 20 ⋅ lg10 = 3,7 D
⇔
D + x − dm = 103 ,7 20 D
⇔ D + x − d m = D ⋅ 103,7 20 ⇔ x = D ⋅ (103,7 20 − 1)+ d m
Application numérique
x = 100 ⋅ (1,53 − 1)+ 2 ≈ 55 m Afin que le niveau sonore en façade soit réglementaire, il faudra éloigner la première habitation d’au moins 55 m de la limite de propriété du lotissement.
—¦–
COMMENTAIRES : Question 1 : De façon générale, les questions de cours ont été bien traitées. Question 2 : Beaucoup trop de candidats ont encore de grandes difficultés à calculer le module carré d'un nombre complexe ce qui est guère admissible à ce niveau d'étude. De plus, certains candidats ignorent la valeur du coefficient de réflexion d'un matériau réfléchissant. C'est une notion de base qu'il est indispensable de conna ître lorsque l'on veut faire une rapide estimation d'un niveau sonore en environnement. Question 3 : Cette question a rarement été abordée par les candidats. Il semblerait que les candidats aient beaucoup de mal à appréhender des impédances non infinies. Ceci est problématique car dans notre environnement proche, la quasi totalité des milieux naturels présentent des impédances acoustiques finies. Question 4 : Cette question plus technologique n'a été abordée que par 2 candidats alors qu’il ne s’agissait que d’un simple calcul inverse.
Commentaires généraux : Lorsque le résultat à trouver est mentionné dans l'énoncé, il est inutile de malmener les équations mathématiques pour l'atteindre. La physique n'est pas de la magie ! Concernant les applications numériques, très peu de candidats les ont faites et de plus que très partiellement. Les résultats figurant sur les copies montrent une lacune certaine sur les notions de valeurs relatives.
- CORRECTION DE L’EPREUVE DE THERMIQUE Convention : on établira les flux en prenant comme repère un axe descendant. Rayonnement net E*
Tair
Flux de chaleur sensible ϕh
Flux de chaleur latente ϕL
Ts Flux de chaleur par conduction dans le sol ϕs Tsol
Question 1 : Calcul des flux radiatifs
1.1
La densité de flux radiatif de courte longueur d’onde qui peut parvenir à une paroi (flux incident) provient de trois composantes : la composante directe, la composante diffuse et la composante réfléchie (réflexion de l’énergie par les autres surfaces de la scène). Exprimer la densité de flux radiatif de courte longueur d’onde qui parvient à la surface du sol, ϕCLO , en fonction de : •
la densité de flux d’ensoleillement direct incident, I,
•
la hauteur du soleil, h,
•
la densité de flux diffus incident Rd.
Calcul de la densité de flux direct :
h dS.sinh
dS
I.sin( h).dS = ϕincident_ direct .dS La densité de flux direct sur une surface horizontale est : ϕ incident_ direct = I.sin( h) Le flux net de courtes longueurs d’onde est la somme du flux direct incident, du flux diffus et du flux réfléchi (donné dans l’énoncé). Or, le flux réfléchi est nul car la surface étudiée ne voit pas d’autres surfaces. Donc, ϕCLO = I.sin( h) + Rd
1.2
Exprimer la densité de flux de chaleur échangée par rayonnement de grande longueur d’onde entre la surface et la voûte céleste, ϕGLO , en fonction des températures, émissivités du ciel et de la surface. Simplifiez cette expression en justifiant les hypothèses faites.
ϕGLO =
1− εsol εsol or Ssol pp Sciel
4 4 σ (Tciel − Tsol ) 1 1− εciel Ssol + + Fsol−ciel ε ciel S ciel
4 σ (Tciel − Ts4 ) donc ϕGLO = 1 −ε sol 1 + εsol Fsol−ciel Le sol voit tout le ciel et n’échange qu’avec lui donc Fsol−ciel ≈1 4 et ϕGLO = εsolσ (Tciel − Ts4 )
1.3
Pour le calcul de la température du ciel, on utilisera la relation donnée par Brunt qui exprime la température du ciel en fonction de la pression de vapeur de l’eau Pva et de la température de l’air : σ .Tciel 4 = σ .Tair 4 0,56 + 0,08 Pva . En
(
)
exprimant la pression de vapeur d’eau en fonction de l’humidité relative, H, et de la pression de vapeur saturante de l’eau à la tempé rature Tair, Pvsat et en utilisant la formule de Magnus qui relie Pvsat à Tair, exprimer ϕ GLO en fonction de la température de l’air. Rappel : formule de Magnus Pvsat (Tair ) = 6,107 *10 7,5Tair/(237,3 +Tair) avec Tair en °C.
(
σ .Tciel 4 = σ .Tair 4 0,56 + 0,08 Pva
( (
)
)
4 ϕGLO = εsolσ Tair 0,56 + 0,08 Pva − Ts4
)
Pva Pvsat et Pvsat (Tair ) = 6,107 *10 7,5(Tair−273)/(Tair−35,7) (formule de Magnus avec Tair en K) H Pva = * 6,107 *107,5(Tair−273) /(Tair−35,7) à remplacer dans ϕ GLO 100 H 4 ϕGLO = εsolσ Tair * 6,107 *10 7,5(Tair−273) /(Tair−35,7) − Ts4 0,56 + 0,08 100 or H =100
1.4
α étant l’albédo du sol, exprimer le rayonnement net, E* , reçu par la surface de sol.
E * = ϕ GLO + (1− α)ϕ CLO
Question 2 : Bilan des flux énergétiques à l’interface sol/atmosphè re
2.1
De quels paramètres microclimatiques dépend le coefficient d’échange surfacique par convection ? Exprimer la densité de flux de chaleur échangé par convection au niveau de la surface sol/atmosphère.
Le coefficient de convection dépend de la vitesse de l’air (convection forcée) à proximité de la surface et de l’écart de temp érature air / surface ( convection naturelle). ϕ h = hconv (Tair − Ts)
2.2
Les flux de chaleurs conduits dans le sol étant très faibles devant les autres flux en jeu, on négligera le phénomène de stockage. Exprimer la densité de flux de chaleur dans le sol en fonction de : •
Ts, la température de l’interface sol/atmosphère,
•
Tsol, la tempé rature du sol à la profondeur zref,
•
λsol, la conductivité thermique du sol,
•
zref, la profondeur à laquelle la température est constante.
On utilise (intégration de la loi de Fourier entre la surface et zref) : λ ϕ cond = sol (Ts − Tsol ) zref
2.3
La densité de flux de chaleur latente dans l’air peut s’exprimer simplement en fonction de la tempé rature de l’interface et de la température de l’air
environnant par : ϕL = 0,0168. f .hconv .(a.Ts + b) −
H (a.Tair+ b) 100
avec : •
H, l’humidité relative de l’air environnant,
•
hconv, le coefficient d’échange surfacique par convection (W.m-2 .K-1 ),
•
f , un ratio qui dépend de couverture du sol et de son degré d’humidité,
•
a=103 PaK-1 , b=609 Pa.
Ecrire le bilan des flux énergétiques à l’interface sol/atmosphère. Exprimer le bilan des flux énergétiques, en remplaçant les flux calculés dans les questions précédentes de maniè re à faire appara ître les tempé ratures de l’air, du sol et de l’interface. On obtient un polynôme de degré 4 en Ts.
H ϕL = 0,0168. f .hconv .(a.Ts + b) − (a.Tair+ b) flux dans le sens inverse des autres, il y 100 aura un signe – dans le bilan de flux.
Bilan de flux à la surface (pour tous les flux, nous avons pris la convention de flux positifs si dirigés vers les z négatifs) : ϕ h + E * −ϕ L = ϕ cond
ϕ h + ϕGLO + (1− α)ϕCLO − ϕL = ϕ cond hconv (Tair − Ts) 4 H +εsolσ Tair * 6,107 *10 7,5(Tair−273) /(Tair−35,7) − Ts4 + (1 −α )(I.sinh h + RD ) 0,56 + 0,08 100 H −0,0168. f .hconv .(a.Ts + b) − (a.Tair + b) 100 λ = sol (Ts − Tsol ) zref Soit le polynôme de degré 4 en Ts : λ Ts4 (εsolσ ) + Ts sol + h conv (1+ 0,0168. f .a) zref H +0,0168. f .hconv .b1− − (1 −α )(I.sinh h + RD ) 100 H H 4 −h convTair1+ 0,0168. f . .a −ε solσTair * 6,107 *10 7,5(Tair−273) /(Tair−35,7) 0,56 + 0,08 100 100 λ − sol Tsol = 0 zref Question n°3 : Application numérique Pour l’application numé rique, on étudiera une surface de sol située à une latitude de 47° Nord, à la date du 21 juin. Pour ce site et cette date, la variation horaire de la hauteur du soleil, de la densité de flux d’ensoleillement direct incident, I, et de la densité de flux diffus incident Rd sont donnés dans le tableau 1 de l’annexe T2. On considère que la température de l’air et l’humidité relative sont constantes, égales respectivement à 25°C et 70%, que la température du sol est 12°C à 1m. On prendra un coefficient d’échange surfacique par convection de 10 Wm-2 K-1 . 3.1 Calculer, à chaque pas horaire de la journée (5h00-19h00), Ts pour : •
un sol organique humide,
•
un sol organique sec,
•
une pelouse humide.
Les caractéristiques physiques de ces sols sont données en tableau 2 de l’annexe T2. Inutile de faire les calculs au delà de 12h, du fait de la symétrie des sollicitations solaires. Sol argileux sec Equation à résoudre Ts 4 5h 5,50E-08 *Ts +15,44 *Ts -4593,5 =0 276,6 4 6h 5,50E-08 *Ts +15,44 *Ts -4699,9 =0 281,9 7h 5,50E-08 *Ts4 +15,44 *Ts -4818,9 =0 287,7
8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h
5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08 5,50E-08
*Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4 *Ts4
Sol argileux humide Equation à résoudre 5h 5,50E-08 *Ts4 6h 5,50E-08 *Ts4 7h 5,50E-08 *Ts4 8h 5,50E-08 *Ts4 9h 5,50E-08 *Ts4 10h 5,50E-08 *Ts4 11h 5,50E-08 *Ts4 12h 5,50E-08 *Ts4
+15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44 +15,44
*Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts
-4940 -5049,2 -5136 -5192 -5210,9 -5192 -5136 -5049,2 -4940 -4818,9 -4699,9 -4593,5
=0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0
293,5 298,7 302,7 305,3 306,2 305,3 302,7 298,7 293,5 287,7 281,9 276,6
Ts +23,69 +23,69 +23,69 +23,69 +23,69 +23,69 +23,69 +23,69
Pelouse sur sol argileux humide Equation à résoudre 5h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 6h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 7h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 8h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 9h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 10h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 11h 5,22E-08 *Ts4 +20,23 12h 5,22E-08 *Ts4 +20,23
*Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts
-6417,46 -6546,66 -6691,16 -6838,21 -6970,81 -7076,21 -7144,21 -7167,16
=0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0
260,2 264,9 270,1 275,3 280 283,6 286 286,8
Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts *Ts
-5676,28 -5797,88 -5933,88 -6072,28 -6197,08 -6296,28 -6360,28 -6381,88
=0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0
267,4 272,4 277,9 283,5 288,5 292,4 294,9 295,7
Remarque : les résultats donnent des températures en début et fin de journée très basses, négatives même. Ceci est dû : -un coefficient de convection égal à 10, très défavorisant, -à la non prise en compte de l’inertie du sol, -à la condition imposée de température de l’air constante, qui comme on va le voir pour le calcul des flux, pilote le flux latent, qui de ce fait est trop important en extrémité de journée. 3.2 Pour le pas horaire 12h, calculer les valeurs • du flux de chaleur latente dans l’air (évaporation de l’eau), • du flux convectif de chaleur échangé au niveau de la surface sol – air, • du flux de chaleur par conduction dans le sol, • du rayonnement net. Sol
Sol
pelouse
ϕ CLO = I.sinhh + R D H ϕGLO = εsolσ Tair4 0,56 + 0,08 * 6,107 * 107,5(Tair−273) /(Tair−35,7) − Ts4 100
E * = ϕ GLO + (1− α)ϕ CLO ϕ h = hconv (Tair − Ts) λ ϕ cond = sol (Ts − Tsol ) zref H ϕ L = 0,0168. f .hconv .(a.Ts + b) − a.Tair+ b) ( 100
3.3
argileux sec 971 -77,2
argileux humide 971 971 34,15 -13,5
602,5 -82 5,3
859,5 112 2,8
763 23 16,9
-515,9
-968,7
-768,9
Que déduire de l’ordre de grandeur de ces diffé rents flux ?
Les flux convectifs et conductifs sont très faibles. Les flux latents et radiatifs se compensent. Le flux radiatif dépend essentiellement du flux CLO, le flux GLO est très faible. 3.4
Vers quelles caracté ristiques de sol faut -il tendre si l’on veut limiter le phénomène d’îlot de chaleur en ville ?
Il faut choisir des sols avec un fort alb édo de manière à limiter l’absorption du flux CLO. On peut également jouer sur le flux latent en humidifiant les sols. Question 4 : Conduction de la chaleur dans le sol Comment traiter le problè me si on ne veut pas négliger le stockage de la chaleur dans le sol ? En quoi les températures de l’interface sol/atmosphère seraient-elles diffé rentes de celles obtenues ici ? On peut traiter le problème en faisant une analyse de Fourier (température du sol supposée varier de manière sinusoïdale). On peut également diviser la couche de sol en sous-couches et appliquer un schéma de différences finies en faisant des bilans énergétiques sur chaque couche. Les températures de surface seraient plus proches des températures du sol, mais surtout, elles ne seraient plus en phase avec les sollicitations solaires, du fait de l’inertie. —¦–
COMMENTAIRES : Question 1 : Le rayonnement a été abordé par un nombre faible de candidats. La notion d’albédo leur est, pour une grande majorité inconnue. Question 2 : Les flux convectifs et conductifs ont été correctement établis par la plupart des candidats. Cependant, très peu d’entre eux ont adopté des conventions d’orientation si bien que le bilan de surface était en général faux. Question 3 : Question rarement abordée. On pouvait répondre à la question 3.4 sans avoir traité la partie numérique, juste à partir des équations établies pour les flux. Question 4 : Cette question était complètement indépendante, ne nécessitait aucun calcul et plusieurs réponses étaient possibles. Elle n’a cependant pratiquement pas été abordée. Commentaires généraux : Un grand nombre de candidats ne respectent pas les notations utilisées dans l’énoncé.
