Trapezoide simétrico o bisósceles Q b
a
Definición. Es aquel polígono de cuadro lados. En todo
Eje de simetría
R
P
cuad cuadri rilá láte tero ro la suma suma de las las medi medida das s de sus sus ángu ángulos los
a
b
interiores es 360°.
T
Cuadrilátero Convexo ABCD
Trapecio. Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados
2.
opuest opuestos os parale paralelos los a los cuales cuales se les denom denomina ina
D
β θ
bases.
Elementos
C
Vértices: A, B, C y D Si: BC // AD
Lados: AB, BC, CD y DA
φ
α
B
A
Diagonales: AC y BD
B
ABCD : trapecio C
a
α+ β +θ + φ
Elementos b N
M a
= 360°
Base Bases s : AD y BC h b D
A
Laterales: AB y CD Base media:
MN
Altura : h
Cuadrilát Cuadrilátero ero Cóncavo Cóncavo PQRT ; en T
cóncavo
Tipos de Trapecios
Q y
A.
Elementos ω x
diferente longitud.
Vértices: P, Q, R y T
T
z
P
Trap Trapec ecio io Esc Escal alen eno. o. Es aquel cuyos laterales son de
R
C
B
Lados: PQ, QR, RT y TP
En la figura:
Diagonales: PR, y QT
BC // AD D
A
x + y + z + w = 360°
→ ABCD es un trapecio escaleno
Clasificación 1.
AB ≠ CD
Q
R
En la figura: PT // QR
Trapezoide. Es aquel aquel cuadri cuadrilát látero ero cuyos cuyos lados lados
PQ ≠ RT
opuestos no son paralelos.
P
En el caso que:
Trapezoide asimétrico
T
PQ ⊥ PT y PQ ⊥ QR
B
→ PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapecio
C
rectángulo A
D
-1– Av. Universitaria 1875 Teléfono: 261-8730
B.
Trapecio Isósceles. Es aquel cuyos laterales son de
PQ =
igual longitud. B
C
β a
A
a
α
2
Observación:
β p
a−b
α
A
m
B
Si: AP = PD Se cumple: D
P
x C
En la figura: Si: AD // BC y AB = CD
x=
n−m 2
D
n
→ ABC es un trapecio isósceles Entonces:
m∠ BAD = m∠ ADC; m∠ ABC = m∠ BCD
PA = PD; PB = PC → AC = BD
dos pares de lados opuestos son paralelos.
Sus ángulos opuestos son suplementarios
AB // CD
Propiedades
BC // AD
b
B
C
α
β a
N
M
D
a
C
a
β
α A
A
D
b
Propiedades
MN : Mediana del trapecio
BC // AD
y
ABCD es un paralelogramo b
B
1.
Paralelogramo. Es aquel cuadrilátero en el cual sus
- AB = CD y BC = AD
MN // BC // AD
- Sus ángulos opuestos son de igual medida - Sus diagonales se bisecan MN =
a+b 2
Tipos de Paralelogramos A.
Romboide b
B
β
n
m
a
m x
n
C
α a
n
α A
m
β D
b
Si: AB ≠ BC y BD ≠ AC
→ ABCD : romboide Observación: Se cumple: x =
m+n 2
B.
Rombo
B
ββ n
a b
B
2.
C
A
AD // BC Si: BQ = QD y AP = PC
Q
P
a
m a
α α
m n ββ
C
a
D
→ PQ // AD // BC A
α α
a
D
-2–
Cuadriláteros
Si: AB = BC y BD ≠ AC
4.
La altura de un trapecio rectángulo mide 16 m. El lado no paralelo mide 20 m. Hallar la distancia que une los puntos medios de las diagonales.
5.
La diagonal de un rectángulo mide 10 y su base 8. Si su perímetro es el mismo que el de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo. Diga cuánto mide la diagonal mayor del rombo.
6.
En la figura, ABCD es un trapecio, ML = 4 cm, BL = 2 cm, AL = 8 cm y AD = 9 cm. Calcular “BC.
→ ABCD : rombo Consecuencia: AC ⊥ BD C.
Rectángulo C
B m
m
m
m D
A
Si: AB ≠ BC, y además es equiángulo
→ ABCD: rectángulo
B
Consecuencia: AC = BD D.
C
L
Cuadrado
M
B m
C m
A
7.
m
D
En un trapecio ABCD de bases
AB
y CD la base
AB = 7; BC = 12. Hallar la base mayor si m∠ B =
m
2m∠ D. A
D
Si: AB = BC y AC = BD
8.
→ ABCD: cuadrado
ˆ que interseca al lado AD en el bisectriz del ángulo C
Consecuencia: es equiángulo y las diagonales
punto “P” y en AB se toma un punto “F” tal que
son bisectrices
m∠ FPC = 90°. Hallar “BF” si: BC = 7; CD = 5. 9.
1.
2.
3.
En un paralelogramo ABCD el lado AB = 2AD. Se ubica M, punto medio de CD y se une con los vértices A y B. El triángulo AMB es: En un romboide ABCD, el ángulo exterior de B es los 5/13 del ángulo interior en D. Calcular la medida del menor ángulo. En la figura, se sabe que el trapecio ABCD es isósceles y que ABFE es un cuadrado. Determinar la longitud de la mediana del trapecio. A
B
Si la suma de las distancias de los vértices de un paralelogramo a una recta exterior es de 24 m. Calcular la distancia del punto de corte de las diagonales a la recta exterior.
10. Se tiene un trapecio ABCD ( BC // AD ) sobre la prolongación de DC se toma un punto “P”; calcular “PM” si: (M, punto medio de AB), MA = MB; m ∠ MPC = m∠ D; BC = 5m; AD = 13m. 11. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz interior DE (E en BC ). Hallar la distancia de E a la prolongación de AB si las alturas del paralelogramo son 3 y 7. 12. Se tiene un trapecio ABCD, en el cual BC y AD son
5
D
Se tiene un romboide ABCD ( AB
sus bases. En CD se ubica su punto medio M y en 3
E
F
C AD
el punto N, tal que MN // AB . S i B C = 6 ,
AN = 10, calcular ND.
-3–
Cuadriláteros
13. En un romboide ABCD, se traza BH ⊥ AD (H en y además BH
interseca a
AD
(QC) = 24 cm2. Calcular la longitud del segmento que
)
une los puntos medios de AQ y CD .
en P, tal que
AC
PC = 2(CD). Calcular la m∠ CAB, si la m∠ CAD = 20°. 14. Se tiene un rectángulo ABCD, cuyas diagonales se cortan en el punto “O”. Por “O” se levanta una perpendicular OF a BD de modo que: AO = Calcular el menor ángulo que forman AF y
BC
OF
A) 4 cm C) 6 cm E) 9 cm B) 7 cm D) 8 cm 6. En un paralelogramo ABCD (AD > AB) se traza la bisectriz interior BE (E en AD); si AB mide 6 µ. Hallar
.
la longitud del segmento que une los puntos medios
.
de BD y EC . A) 4µ
15. En la figura, ABCD es un rectángulo, si BD = 10,
B) 3µ
C) 2µ
D) 6µ
E) 2,5µ
DE = 2 y α + β = 90°, calcular AF: 7.
C
B
β
α
A
D
Se tiene un cuadrilátero ABCD m∠ A = m∠ C = 90° desde el punto medio “M” de BC
se traza la
perpendicular MN al lado
). Hallar MN
AD
(N en
AD
si AB = 10; CD = 20; m∠ D = 53°. A) 13 B) 16 C) 12 D) 11
E
8.
F
E) 10
Se tiene un romboide ABCD se prolonga BD hasta E, por A se traza una paralela a
BD
que corta a la
prolongación de CE en F. Hallar AF, BD = 6, DE = 4. A) 12 9. 1.
En un paralelogramo ABCD la bisectriz interior del ángulo A interseca a BC en “R”. Hallar “AD” si CD = 8; RC = 6. A) 10 B) 9
2.
C) 11
D) 14
E) 13
Se tiene un cuadrado ABCD, interiormente se construye un triángulo equilátero AMD. Se prolonga CM hasta un punto “F” tal que CF = DF. Halla la m∠ CFD. A) 15° B) 10°
C) 30°
D) 45°
E) N.A.
B) 14
C) 16
D) 13
E) 15
En un cuadrado ABCD, en la prolongación
AD
se
ubica el punto E, tal que: m∠ ACE = 82°. Calcular el perímetro del cuadrado si CE = 25. A) 60 B) 50 C) 70 D) 80 E) 75 10. En un trapezoide ABCD la suma de las medidas de los ángulos interiores de A y B es 200°. Hallar la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores de C y D. A) 50° B) 100° C) 60° D) 80° E) 120° 11. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B se cortan en P. Si la m∠ APB = 30°
3.
4.
En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales están en la relación de cuatro a tres. Hallar en qué relación están las bases. A) 2/3 B) 3/5 C) 1/7 D) 2/7 E) 1/8 En un paralelogramo ABCD cuyo ángulo A mide 45° y AB = 8, se traza la altura
BH
relativa a CD (H en
CD ) si AD = 7 2 . Calcular HD. A) 2 5.
B) 1
C) 3
D) 2/3
E) 5/4
En un rectángulo ABCD, se sabe que CD = 6 cm la
y m∠ D = 20°. Hallar la m∠ C. A) 20° B) 30° C) 40°
D) 50°
E) 25°
12. Se tiene el rombo ABCD. Desde “O” punto de intersección de las diagonales, se traza OQ (Q punto medio de AD). Si OQ = 3. Hallar el perímetro del rombo. A) 24 B) 12 C) 18 D) 20 E) 16 13. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales. En qué relación están las bases. A) 3:2 B) 3:1 C) 2:1 D) 4:1 E) N.A.
bisectriz del ángulo A corta a BC en Q tal que: (BQ)
-4–
Cuadriláteros
14. Interiormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero AFD. La prolongación de BF corta a CD en P. Hallar la m∠ DFP. A) 30° B) 45° C) 15° D) 75° E) 60° 15. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz del ángulo “C” que corta a AD en E y a la prolongación de BA en F. Si ED = 6 y BF = 10. Hallar el perímetro de dicho paralelogramo. A) 40 B) 36 C) 30 D) 32 E) 30 16. En un trapezoide ABCD, m∠ B = 80° y m∠ C = 150°. Hallar el menor ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo D. A) 30° B) 20° C) 25° D) 35° E) 40° 17. Se tiene un trapezoide ABCD, m∠ B = 144°. m∠ BCD = 60°, BC = CD = AD. Hallar la m∠ ACB. A) 6° B) 8° C) 12° D) 15°
E) 18°
23. En
un
romboide
ABCD
m∠ A
se
traza
BH ⊥ AD , de modo que el ángulo: m∠ ABH=m∠ DBC, si BC= 5 m y CD=4 m. Calcular DB. A) 1m B) 2m C) 3m
D) 4m
E) 5m
24. Se tiene un trapecio ABCD (BC : base menor), AB=BC=CD= A) 30°
AD 2
. Calcular la m∠ D.
B) 60°
C) 75°
D) 53°
E) 45°
25. En el trapecio ABCD ( AD // BC ) se sabe que AB = BC y AC = CD. Si la medida del ángulo D es 40°, hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos ABC y ACD. A) 10° B) 45° C) 50° D) 25° E) 20° 26. En un paralelogramo ABCD se tiene que el ángulo ABC mide 120° y BC = 3CD: Si se traza la altura
18. Se tiene un cuadrilátero ABCD, si m∠ BCD = 60°. m∠ D = 90° y BC = CD = AD. Hallar la m∠ BAC. A) 45° B) 30° C) 15° D) 20° E) 10° 19. En un trapecio ABCD (BC // AD ), se cumple: AB = BC = 2; m∠ BAC = m∠ ADC = α y m∠ ACD = 90 + α. Hallar AD. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 20. En un romboide ABCD, AB = 3 y BC = 14 las bisectrices interior y exterior del ángulo “D” intersecan
y la mediana del trapecio ABHD es 5,5, halla el perímetro del paralelogramo ABCD. A) 11 B) 12 C) 16 D) 18 E) 19 27. En un trapecio de bases BC=4 y AD=12, se traza la diagonal AC que corta a la mediana del trapecio EN y ME , sabiendo que M pertenece al lado AB . A) 2
B) 3
C) 6
D) 4
P
α
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) N.A.
AN y MD . C) 5
D) 3,5
E) 10 B
C
21. En un rectángulo ABCD, se traza CH ⊥ BD luego se M
traza CM bisectriz del ángulo ACH. Calcular BC si
A) 3
B) 6
C) 10
D) 12
E) 10 2
22. Calcular la base mayor AD de un trapecio ABCD en el cual BC=CD. La bisectriz exterior del ángulo C corta a la prolongación de AD en “F” y el segmento que une los puntos medios de AC y BF mide 12 m. A) 6m
B) 12m
C) 18m
α D
A
AM = 6 y CM = 4 2 (M en AD ).
D) 24m
E) 30m
E) 1,5
28. BC // AD; BC = 5; AD = 13. Hallar MP.
longitud del segmento que une los puntos medios de
B) 4
MN
en un punto E. Hallar la relación entre las medidas de
a la recta BC en los puntos M y N. Calcular la
A) 3
DH
29. Dado un paralelogramo ABCD, de manera que los ángulos ADB y BDC sean de 90°. Si M es el punto medio de AD y por el vértice A y B se trazan paralelas a BM y Cm que cortan en N, calcular la longitud de AN si BC = 18. A) 4 m B) 3,5 C) 6 D) 4,5 E) 5 30. Hallar “MN”. AB = 20 m; MB = 5 m; BC = 6 m. B M C
A) 4 m B) 5 m
Cuadriláteros
-5–
N 45° A
D
C) 6 m D) 7 m E) 8 m
-6–
Cuadriláteros
