Funções - Exercícios Resolvidos - Parte 1 - Matemática Didática.pdf

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Exercícios resolvidos - Funções - Parte 1

Função Fun ção Constante Função Fun ção Polinomial do 1° Grau Função Linear Var ariação iação de Sinal da Função Afim Função Fun ção Polinomial Polinomial do 2° Grau Variação de Sinal da Função Quadrática Função Fun ção Exponencial Exponencial Função Fun ção Logarítmica Função Par e Função Ímpar Função Fun ção Composta

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1) Dados o conjunto conjunto A = {3, 7, 9} e o conjunto conjunto B = {1, 5, 11, 13}, além das relações R 1 = {(3, 1), (9, 13)},

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R 2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R 3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)}, quais destas relações não se tratam de funções de A em B, sendo que R 1, R 2 e R 3 são relações de A em B? Embora não seja estritamente necessário, a resolução desta questão também se utiliza de diagramas de flechas para que você tenha uma visão gráfica do conteúdo explanado.

Pela definição de função sabemos que uma relação de A em B é função quando todos os elementos do conjunto A estão relacionados a um, e somente um, elemento do conjunto B. Segundo tal definição a relação R 1 não é função, pois não existe nenhum par ordenado que relacione o elemento 7 do conjunto A, a qualquer elemento do conjunto B. Em nenhum dos pares ordenados da relação R 1 o primeiro elemento do par ordenado é o número 7 do conjunto A. Observe no diagrama de flechas desta relação, que do elemento 7 do conjunto A não parte nenhuma flecha. Então, segundo da definição de função, a relação função.

R 1 não é

Na relação R 2, para todo elemento do conjunto A há ao menos um par ordenado que relaciona um elemento de A a um elemento de B. O problema neste caso é que o elemento 7 do conjunto A esta relacionado a mais de um elemento do conjunto B, através dos pares ordenados (7, 5) e (7, 11). Note no diagrama de flechas da relação R 2, que do elemento 7 do conjunto A partem duas flechas em direção ao conjunto de chegada, relacionando-o com os elementos http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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5 e 11 do conjunto B. Então, segundo da definição de função, a relação também não é função.

A R 3 relaciona cada elemento do conjunto somente um, elemento do conjunto B.

R 2

A a um, e

Veja que nem todos os elementos de B recebem flechadas de algum elemento de A, mas isto não contraria a definição de função. Os elementos 5 e 13 pertencem ao contradomínio da função, mas não pertencem ao seu conjunto imagem. Observe também que o elemento 1 do conjunto B recebe mais de uma flechada, não contrariando contudo, a definição de função. Portanto, a relação R 3 é função.

B.

As relações R 1 e R 2 não se tratam de funções de A em

2) A função f(x) = x2 - 2x + 3 é bijetora? Uma função para ser bijetora deve ser simultaneamente sobrejetora e injetora. http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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Uma função é sobrejetora quando não há no contradomínio qualquer elemento que não esteja relacionado a nenhum elemento do domínio, ou em outras sobrejetoraa o conjunto imagem é palavras, em uma função sobrejetor o próprio contradomínio, visto que todos os elementos do conjunto de chegada recebem ao menos uma flechada. Uma função é injetora quando cada elemento do conjunto imagem está relacionado a somente um elemento do conjunto de partida, ou seja, cada elemento do conjunto imagem recebe exatamente uma flechada. Como sabemos,

f(x) = x2 - 2x + 3 é uma função polinomial do segundo grau, não sendo portanto, uma função injetora, pois sendo o seu gráfico uma parábola, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas que corte a parábola em algum local que não seja o seu vértice, tal reta a interceptará em dois pontos com a mesma imagem. Observe a figura ao lado. Note que a parábola é interceptada nos pontos (3, 6) pela reta r, paralela ao eixo x.

(-1, 6) e

Veja que tanto para x = -1, quanto para x = 3, temos y = 6, ou seja, ambos os elementos do domínio possuem a mesma imagem 6. Agora observe o vértice da parábola no ponto que este é o ponto de mínimo desta função . Perceba que para quaisquer valores de ao conjunto imagem da

(1, 2), note

y < 2 não pertencem função,

pois

Como no caso desta função o conjunto imagem não é o próprio contradomínio, então esta função também não é sobrejetora, pois existem elementos no contradomínio que não estão relacionados a nenhum elemento do domínio, por http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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exemplo, não existe qualquer valor real que atribuído ao da função resulte em y = 1 , já que o valor mínimo é y = 2 .

x

Não, a função f(x) = x 2 - 2x + 3 não é bijetora, pois não é nem injetora, nem tampouco sobrejetora.

3) Qual é o domínio e o contradomínio da função ? Em caso de omissão do domínio e do contradomínio, assumimos que o contradomínio é o conjunto dos números reais , . Já em relação ao domínio precisamos levar em conta outras considerações. No caso desta função temos um fração.

radical no numerador da

Como sabemos, o radicando real de um radical de índice par não pode ser negativo , de onde concluímos em relação ao numerador que:

logaritmando de um logaritmo em qualquer base deve ser maior que zero , o que nos Também sabemos que o

leva a esta outra consideração em relação ao denominador:

Não podemos nos esquecer es quecer que o logaritmo decimal de 1 é igual a 0, então x não pode ser igual a 1, caso contrário teremos um denominador igual a 0 e sabemos que não podemos realizar a divisão por zero no conjunto dos números reais, portanto temos uma terceira condição que é:

x = 1/2. Veja que este valor satisfaz a segunda condição, pois 1/2 é maior que 0, e também a terceira já que 1/2 é diferente de 1, no entanto não satisfaz a primeira condição, visto que x deve ser maior ou igual a 1 e não é. Vamos tomar como exemplo

Como as três condições precisam ser satisfeitas, a condição adotada será x > 1, já que quando x > 1, certamente será maior que 0 e diferente de 1, além de satisfazer a primeira condição. Ao lado temos a representação gráfica da explicação acima. Na primeira linha temos a condição x ≥ 1 . Na segunda linha temos a condição x > 0 . Na terceira linha temos a condição x ≠ 1 . http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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Na quarta linha temos a condição que satisfaz todas as três condições simultaneamente. Em função disto o domínio desta função é:

E a função pode ser assim definida:

e

.

4) Sendo f -1 a função inversa de , obtenha a sua definição. O que temos de fazer neste problema é encontrarmos a função inversa de . Para simplificar o desenvolvimento vamos substituir por y:

f(x)

Agora invertemos a posição das variáveis x e y:

O próximo passo é isolarmos a variável membro:

y no primeiro

Como y é igual a f(x), a função inversa y-1 será:

Veja que o gráfico de f(x), em vermelho, é simétrico ao gráfico de f -1(x), em azul, em relação à bissetriz dos quadrantes plano ímpares do cartesiano. Esta é uma característica do gráfico de uma função com o da sua função inversa. http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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Funções como esta, que possuem uma função inversa, as denominamos funções inversíveis . Lembre-se que para ser uma ser bijetora.

função inversível , ela precisa

f -1 é definida como

.

5) Qual é a função inversa da função 3x 2? Como não foi informado, o contradomínio próprio conjunto dos números reais .

da função é o

Já que não há qualquer restrição, visto que todo número real possui um quadrado, então o domínio da função também é o próprio conjunto dos números reais . Então a definição desta função é:

Para obtermos a definição da função inversa vamos substituir f(x) por y e depois isolá-la no primeiro membro:

Então teríamos a seguinte função inversa:

Falta ainda definirmos o função inversa .

domínio e o contradomínio desta

Para isto devemos nos lembrar que implica em . Traduzindo, significa dizer que o domínio da função é o contradomínio da sua inversa e o contradomínio da função é o domínio da sua inversa. Em função disto a definição da função inversa seria:

Você consegue identificar alguma coisa errada nesta definição? Em outras palavras, ela diz que para todo número real x, existe um outro número real f -1(x), obtido a partir da lei de formação , mas sabemos que isto não é verdade. Por quê? Simplesmente porque não existe raiz quadrada real de um número real negativo. Então, corrigindo, a definição da função seria: http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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Observe que o domínio de f -1(x) não é o contradomínio f(x). Isto quer dizer o quê? Quer dizer que a função f 1(x) não é verdadeiramente a função inversa da f(x), pois f -1(x) não está definida para qualquer x menor que zero. Veja que o gráfico de f -1(x), em azul, não ultrapassa o eixo x. Observe que o gráfico de f(x), em vermelho, não é simétrico ao gráfico de f -1(x) em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. Isto demonstra graficamente que estas funções não são uma o inverso da outra. Não existe a função inversa de f(x), pois ela não é As funções quadráticas não o são.

bijetora.

Isto já basta para resolver o problema. Ao invés de tão prolixo, este artigo poderia ser bem conciso, no entanto foi redigido desta forma para lhe passar mais alguns conceitos importantes. Veja também que f -1(x) não é uma consequentemente não é bijetora.

função sobrejetora e

Se você não se recorda do que se tratam estes tipos de função, esta é uma boa oportunidade para fazer uma recapitulação

A função 3x 2 não é inversível, pois não é bijetora e, portanto, não possui uma função inversa.

6) O gráfico de uma função afim intercepta os eixos do plano cartesiano em um ponto com abscissa igual -3 e em um outro com ordenada igual 1. Qual é a lei de formação desta função? Funções afim são representadas graficamente por uma reta não paralela ao eixo x. Ao lado temos o gráfico da função afim que passa pelos referidos pontos, os quais também pertencem aos eixos do plano cartesiano . O ponto http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

(-3, 0) é comum à reta e ao eixo das abscissas . 8/14

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O ponto

(0, 1) é comum à função e ao eixo das ordenadas .

lei de formação de uma função afim é da forma

A

. Podemos identificar o valor numérico dos coeficientes b, substituindo os valores de x e y dos referidos pontos. Para o ponto

ae

(0, 1) temos:

Agora que sabemos que

b = 1 , para o ponto (-3, 0) temos:

Conhecendo a e b já temos condição de obter a lei de formação da função:

Assim a função , cujo gráfico tem em comum aos eixos do plano cartesiano os pontos (-3, 0) e (0, 1) é definida por:

A lei de formação desta função é

.

7) Uma função linear cujos pontos tem abscissa com valor simétrico ao da ordenada, é uma função afim crescente? Uma função linear é da forma ou seja, é uma função afim da forma com e com .

com

, ,

Segundo o enunciado, um determinado ponto desta função linear é identificado por (x, -x), isto é, o valor da ordenada y é o oposto do valor da abscissa x. O seu gráfico temos ao lado.


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Para obtê-lo escolhemos dois pontos aleatoriamente, segundo a indicação do enunciado e traçamos a reta que os contém. Obviamente este é o gráfico de uma função decrescente e não de uma

função crescente .

Mas você não precisa ter o gráfico para solucionar este problema. Já que os pontos do gráfico são (x, -x), quando aumentamos o valor de x, consequentemente diminuímos o valor de y que é igual a -x, então tal função é decrescente, pois para ser crescente, ao aumentarmos o valor de x, o valor de y também deveria aumentar.

Não, embora a função linear com tais características seja uma função afim, ela é uma função decrescente.

8) O gráfico de uma certa função afim passa pelo ponto (3, 22). Além disto sabe-se que f(7) = 78. Pergunta-se: Qual a ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12? Dizer que f(7) = 78 é a mesma coisa que dizer que o gráfico desta função afim passa pelo ponto (7, 78). Então este problema requer na verdade que se obtenha a lei de formação da função afim que passa pelos pontos (3, 22) e (7, 78) e que a partir dela calculemos a ordenada do ponto desta função, cuja abscissa é igual a 12. Já temos no site exemplos de problemas onde damos dois pontos de uma função afim e solicitamos que seja obtida a regra de associação da função. Para variar um pouco, agora vamos solucionar este problema através da resolução de um

sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas pelo método da adição .

Visto que a lei de formação de uma função afim é da forma , a partir dos pontos conhecidos podemos equacionar o seguinte sistema:


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Note que para cada ponto temos uma equação obtida da lei de formação, na qual x e y foram substituídos pelo respectivo elemento do par ordenado do ponto em questão. A primeira linha se refere ao ponto (3, 22) e a segunda ao ponto (7, 78). Para solucionar o sistema vamos começar multiplicando a primeira equação por -1:

Agora podemos somá-las para que o valor de a seja obtido:

O valor de b vamos obter substituindo a por 14 na primeira equação:

Sendo a = associação:

14 e b = -20 temos a seguinte regra de

Então só nos resta calcular a ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12, que nada mais é que f(12):

A ordenada do ponto desta função cujo valor da abscissa é igual a 12 é 148.

9) Uma função quadrática tangencia o eixo x no ponto (3, 0) e intercepta o eixo y no ponto (0, -9). Defina esta função . relações entre coeficientes e raízes das equações do segundo grau vimos as seguintes relações:

Ao estudarmos as

Como no ponto (3, 0) a função apenas tangencia o eixo das abscissas, isto significa que tal função possui duas raízes reais e iguais a 3. http://ww w.m atem ati cadi dati ca.com .br /FuncaoExer ci ci os1.aspx#anchor _ex10

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No caso as raízes são a abscissa deste ponto, ou seja, ambas as raízes são iguais a 3.

função quadrática e

é a lei de formação de uma , com ( ,

.

O fato de a função interceptar o eixo das ordenadas no ponto (0, -9), nos indica que o valor do coeficiente c é -9, pois a parábola do gráfico de uma função polinomial do segundo grau sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c). Sabendo-se que c =-9 e que x1 = x2 = 3, a partir da segunda relação acima temos:

Agora sabemos que c =-9, x1 = x2 = 3 e que a =-1. Então, a partir da primeira relação supracitada:

Os coeficientes da função quadrática são então:

Que nos leva à seguinte definição de função:

A

definição

desta

.

função

é:

10) Os pontos (0, -60), (2, -42) e (7, 108) pertencem à parábola y = ax 2 + bx + c para quais valores de a, b e c? O ponto (0, -60) deve pertencer à parábola do gráfico da função e para que isto ocorra c deve ser igual a ordenada deste ponto, ou seja, c deve ser igual a -60, o que nos permite momentaneamente definir a parábola como:

Agora a partir da equação da parábola e dos pontos (2, -42) e (7, 108) podemos montar um sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis:


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Vamos solucioná-lo pelo método da adição . Para isto vamos multiplicar a primeira equação por -7 e a segunda por 2:

Agora podemos somar as equações para obtermos o valor do coeficiente a:

O valor do coeficiente b iremos obter substituindo a por na primeira equação:

3

Os valores de a, b e c são respectivamente 3, 3 e -60.

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