ANALISIS KOMPLEKS FUNGSI KOMPLEKS
Disusun Kelompok V: Rahmi asmarani
(2021121092)
Meta Ramadona
(2012121096)
Riani
(2012121103)
Imam Setiawan
(2012121113)
Dosen Pengasuh : Eka Fitri Puspasari, M.pd
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM SETUDI PENDIDKAN MATEMATIKA JURUSAN MIPA UNIVERSITAS PGRI PELEMBANG 2014
Fungsi Kompleks Definisi fungsi kompleks adalah dengan definisi fungsi variabel nyata. Fungsi Nyata
Fungsi Kompleks
Variabel terikat
X
z
Variabel bebas
y
w
y = f (x)
w = f (z)
Fungsi
Contoh : fungsi kompleks 1. w = z 2. w = 5i 3. w = x – iy iy2 4. w = 3z2 + 6z8 Fungsi kompleks w = f (z) dapat dipikirkan dan dapat diuraikan menjadi jumlahan dua fungsi yang masing-masing merupakan fungsi nyata dan variabel nyata.
Dalam bentuk polar (kutub), menjadi :
Contoh : Tentukan nilai f(z) = w berikut : 1. w = z2 + z + 1 dengan z = x + iy Jawab:
w = z2 + z + 1 w = (x + iy)2 + x + iy + 1 w = x2 + 2ixy – y y2 + x + iy + 1 w = (x2 – y y2 + x + 1) + i (2xy ( 2xy + y)
jadi : u = x2 – y y2 + x + 1 dan v = 2xy + y
2. w =
dengan z =
Maka :
w = w = w = w = w=
Jadi, u =
dan v =
2.1. Geometri fungsi kompleks ( Pemetaan dari bidang z ke bidang w )
Fungsi w = f(z) dapat dipandang sebagai suatu pemetaan dari domainnya di bidang z terdapat kaitan dengan bidang w. Jadi untuk semua titik P (x,y) yang diberikan pada bidang z terdapat kaitan dengan suatu titik P’(u,v) pada bidang w. Titik P’ merupakan bayangan ba yangan (image) dari P. Contoh : 1. w = z2 , karena z = x + iy u + iv = (x + iy) 2 u + iv = x 2 – y y2 + 2ixy Jawab: u = (x2 – y y2) dan v = 2xy
Untuk mencari bayangan titik A (1,2), adalah :
Jadi titik A’ (-3,4) Bidang z
Bidang w
y
v
A’(-3,4) A(1,2) x
u
2.2. Fungsi Eksponen dan Logaritma 1. Fungsi Eksponen
Definisi Fungsi eksponen adalah fungsi f yang menentukan z ke z ke z e . Rumusnya ialah f(z) = z e . Fungsi eksponen dengan peubah bebas z =x + yi (x dan y bilangan real) adalah z e = x e (cos y + i sin y ). Dari definisi ini, jika : * y = 0 maka z maka z e = z e merupakan fungsi eksponen real * x = 0 maka iy e = cos y + i sin y yng kita kenal sebagai rumus Euler dan kebenaranya dapat diperiksa melalui deret Maclaurin untuk z e , dengan mengganti z dengan iy. Turunan fungsi f(z) = z = z e didapat sebagai berikut : f(z) = z = z e = x e ( cos y + i sin y ) bagian real dan imaginer berturut-turut : * u (x,y) = x = x e cos y * v (x,y) = x = x e sin y fungsi u, v, u x ,uy ,vx ,vy adalah fungsi yang kontiniu untuk setiap x dan y dan persamaan Cauchy Rieman dipenuhi dengan dengan demikian diperoleh :
f(z) = u x + i v x f(z) = e x cos y + i e xsin y , berarti :
= ,ada untuk setiap z pada bidang z Jadi f(z) = e = e z merupakan fungsi yang menyeluruh . sifat-sifat fungsi eksponen merupakan teorema-teorema ringan yang boleh dijadikan rumus. Contoh ; Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e
(2 10)
= 1
Jawab : Misalkan ; z = x + yi
2z – 1 1 = (2x-1)+2yi
e(2z-1) = 1 e(2z-1) ( cos 2y + i sin 2y) + 1 (cos 00 + i sin 0 0) Dengan menggunakan kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh: e(2x-1) = 1 = e0 2x – 1 1 = 0 x=
cos 2y = cos 0 0 dan sin 2y = sin 0 0 didapat y = k , k bilangan bulat, memenuhi dua persamaan tersebut. Maka nilai z yang memenuhi persmaan ialah : z = x + yi
z = + k i, k bilangan bulat
2. Fungsi Logaritma
Jika z = ew , maka w = ln z ( logaritma natural dari z ) jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat dan dari definisi tersebut sebagai berikut: W = ln r + i (
= r.
Dimana: z = r.
Nilai utama atau cabang utama dari ln z sering didefinisikan : ln z = ln r + i
,r=
||
in z = ln
√ + i arg (x + iy), dimana 0
tetapi selang lain dengan panjang
seperti -
sifat- sifat logaritma: 1. ln (z1.z2) = ln z1+ ln z2 2. ln
ln z – ln ln z 1
2
contoh: 1. jika z1 = -i dan z 2 = -1, maka: a. ln (z1 . z2) = ln ( -i . (-1) ) = ln i
= ln 1 + i =0+i b. ln
2.3. Fungsi Trigonometri Trigonometri dan Invers Trigonometri Trigonometri 1. Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri atau fungsi lingkaran sin z, cos z, seterus dalam suku-suku fungsi pangkat sebagai berikut: eix = cos x + i sin x e-ix = cos x – i i isn x cos x =
( ) = ( )
maka fungsi trigonomertinya:
Sin z = Tan z = ( ) Cos z =
cosec z = c tan z = sec z =
sifat-sifat trigonometri real juga berlaku untuk fungsi trigonometri komleks. Contoh: Carilah semua solusi untuk persamaan berikut: 1. cos (z) = 1 penyelesaian : kareana cos z =
( ) maka:
( )
( ) = 0 -
y cos x = 0
-y=0
cos x = 0 cos x = 0
2.
x=
z=
Invers Trigonometri
- untuk cos(arcsin x)
- untuk sin(arccos x)
- untuk tan(arcsin x)
- untuk tan (arccos x)
y=0
- untuk cos(arctan x):
- untuk sin(arctan x)
2.3. Fungsi Hiperbolik dan Infres Hiperbolik 1. Fungsi Hiperbolik
Sinh z = Tanh z = Cosh z =
cosech z = c tanh z = sec h z =
Hubungan yang ada antara fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik: Sin iz = i sinh z
i sin z = sinh iz
Cos z = cosh iz
tan iz = i tanh z
Cos iz = cosh z
tanh iz = i tan z
Contoh: 3. sinh (z) = 0 penyelesaian:
karena sinh z =
maka:
2z = ln 1 Z=0 2. Invers Hiperbolik
Seperti kita ketahui bahwa fungsi hiperbol juga memiliki turunan, maka fungsi hiperbol pun memiliki balikan atau invers. Oleh karena sinus hiperbol dan tangent hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi tersebut naik. Dibawah ini adalah balikan fungsi kosinus hiperbol dan sekan hiperbol dengan daerah
asalnya yang dibatasi pada x ≥ 0. Maka;
⇔ y = sinh x x = cosh y ⇔ y = cosh x dan x ≥ 0 x = tan y ⇔ y = tanh x x = sech y ⇔ y = sech x dan x ≥ 0 -1
x = sinh y -1
-1
-1
karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan e x dan e-x, maka tidak terlalu mengejutkan apabila balikan fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli.
Perhatikanlah : y = cosh x untuk x ≥ 0, ini artinya bahwa ; y = ex + e-x/2 , x ≥ 0 dari persamaan diatas kita akan mencari nilai x nya. Dengan mengalikan kedua ruas itu dengan 2e x maka kita akan memperoleh ;
y2ex = ex + e-x/2 . 2e x
,x≥0
2yex =2e2x + 2e0/2 , x ≥ 0 2yex = e2x + 1 , x ≥ 0 atau (ex)2 – 2ye 2yex + = 0, x ≥ 0 Apabila kita mencari ex dari persamaan tersebut, maka kita peroleh : ex = 2y ± (√(2y) 2 – 4) 4) /2 ex = y ± √y2 – 1 1 setelah ditarik logaritma aslinya, kita dapatkan ;
x = ln(y ± √y2 – 1) 1) syarat agar x ≥ 0, mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif, sehingga ; = ln(y ± √y2 – 1) 1)
x = cosh-1 y
dengan cara sama kita akan mendapatkan balikan fungsi hiperbol yang lain yaitu setelah peranan x dan y kita tukar. -1
2
sinh x = ln(y ± √y – 1) – 1)
cosh x = ln(y ± √y – 1), x ≥ 0
tanh x = ½ ln 1 + x/1- x , – , – 1 1 < x < 1
sech x = ln(1 + √1 – x – x )/ x , 0 < x ≤ 1
-1
2
-1
-1
2
semua fungsi diatas dapat didiferensialkan yaitu : -1
2
Dx sinh x = 1/√x + 1
Dx cosh x = 1/√x – 1 – 1 ; x > 1
-1
-1
2
2
Dx tanh x = 1/1 – 1/1 – x x ; -1 < x < 1 -1
2
Dx sech x = – = – 1 /x√1 – x – x ; 0 < x < 1
Contoh : Buktikan bahwa D x sinh-1 x = 1/√x 2 – 1 1 dengan dua cara yang berlainan. Penyelesaian : Cara 1 :
Andaikan y = sinh -1 x, maka x = sinh y. setelah itu ruas kanan dan kiri kita turunkan berdasarkan x. maka , 1 = (cosh y) D x y sehingga ; Dx y = Dx sinh-1 x 1/cosh y
1/√1 + sinh2y 1/√1 + x2 Cara 2 :
Dx (sinh-1 x) = D x ln (x +√x 2 +1)
⇒ 1/x + √x +1 D 2
⇒ 1/x + √x
2
⇒ 1/√x +1 2
x
(x +√x2 +1)
+1 [1 + x/√x2 +1]
Daftar Pustaka
Roihanah. 2009. Analisis 2009. Analisis Kompleks. Kompleks. Palembang: Universitas PGRI Palembang http://mtkanwar.blogspot.com/2011/01/invers-trigonometri.html http://cerdaskan.com/balikan-fungsi-hiperbolik-invers-fungsi-hiperbol.htm tanggal pengambilan : 18 April 2014
