Fundamentos Trans Calor

Subido por:

Libros de Ingeniería Química y más

https://www.facebook.com/pages/InterfaseIQ/146073555478947?ref=bookmarks

Si te gusta este libro y tienes la posibilidad, posibilidad, cómpralo para apoyar al autor.

Fundamentos Funda mentos de Transmisión de Calor

2ª Edición

Fundamentos de Transmisión de Calor José Antonio Fernández Benítez · Carlos Corrochano Sánchez

2ª Edición

D XTRA EDITORIAL

Consulte la página www.dextraeditorial.com www.dextraeditorial.com

Diseño de cubierta: ©TheIdeas · www.i www.ideasjc.net deasjc.net © José Antonio Fernández Benítez Carlos Corrochano Sánchez © Sección de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica Politécnica de Madrid © Dextra Editorial S.L. C/Arroyo de Fontarrón, Fontarrón, 271, 28010 Madrid Teléfono: 91 773 37 10 Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o trasmitir esta publicación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L.

ISBN: 978‐84‐16277‐20‐9 Depósito legal: M‐29436‐2014 Impreso en España. Printed in Spain

PRÓLOGO

[Prólogo.]

Con este texto los autores pretenden ayudar al lector a abordar un curso sobre Fundamentos de la Transmisión de Calor, contenido que es común a las asignaturas que sobre esta materia se imparten en muchas facultades y escuelas técnicas. Este texto no pretende sustituir a las tradicionales referencias bibliográicas pero sí reconocen los autores que abordar completamente estos manuales requiere mucho más que las ho ras de las que habitualmente se dis‐ pone en las aulas. Este es el enfoque único de este texto: adquirir los conocimientos en un tiempo de estudio li‐ mitado. Por ello se adopta el formato de “cuaderno”, que recogen de forma esquemática las deiniciones, conceptos, métodos, ecuaciones y correlaciones necesarios para comprender y resolver problemas y cuestiones sobre los mecanismos de transferencia de calor calor.. Los autores esperan que este cuaderno ayude al lector a estructurar y organizar los conceptos (imprescindible para la comprensión de la materia) y les facilite la asimilación de los conocimientos. La segunda edición de estos Cuadernos de Transmisión de Calor repara, en primer lugar, los errores cometidos en la edición previa, algunos tipográicos. En segundo lugar, repara los problemas que surgen al emplear este cuaderno como libro de texto único y excluyente, pues la primera edición no contenía algunas iguras y tablas de datos esenciales para la resolución d e problemas. En este sentido, los autores animan a los lectores a aprovechar las capacidades multimedia que nos brinda este siglo XXI haciendo uso de software especíico que, sin duda al‐ guna, les facilitará mucho tareas ingratas y ajenas a la Termotecnia como la búsqueda de propiedades térmicas (adiós a las consultas en interminables manuales recopilatorios de datos) o la resolución numérica de sistemas complejos de ecuaciones (adiós a los insufribles procesos iterativos). Sin menosprecio de otras herramientas in‐ formáticas, no podemos sino recomendar el software comercial EES (www.f‐chart.com), ligado a la referencia bi‐ bliográica [8], complemento imprescindible para un aprendizaje moderno, esto es, rápido y eicaz. Finalmente, el texto ha crecido en los capítulos ya existentes al incorporar algunos apartados seccionados en la primera edición y, sobre todo, un capítulo dedicado expresamente al cálculo y análisis térmico de intercam‐ biadores de calor, paradigma de las aplicaciones de los mecanismos mecanis mos de transferencia de calor calor.. Los autores.

(5)

ÍNDICE

Capítulo 1. Introducción 1.1. Conceptos Fundamentales...........................................................................................................................................................9 1.2. Mecanismos de Transf Transferencia erencia de Calor ....................................................................................... ...............................................................................................................................15 ........................................15 1.3. Balance de Energía en Volúmenes Volúmenes y Super�icies .................................................................................. .............................................................................................................21 ...........................21

Capítulo 2. Propiedades Termo�ísicas de los Materiales 2.1. Dimensiones y unidades ............................................................................ ............................................................................................................................................................25 ................................................................................25

Capítulo 3. Conducción de Calor 3.1. Ecuación General de la difusión del Calor ................................................................................ ..........................................................................................................................37 ..........................................37 3.2. Régimen Permanente en una Dimensión............................................................................................................................51 Dimensión............................................................................................................................51 3.3. Régimen Permanente en una Dimensión con Fuente/Sumidero .............................................................................65 3.4. Super�icies Adicionales/Aletas ........................................................................... ...............................................................................................................................................77 ....................................................................77 3.5. Régimen Transitorio.................................................................................. Transitorio ....................................................................................................................................................................91 ..................................................................................91 3.6. Métodos Numéricos. Régimen Permanente....................................................................................................................111 3.7. Métodos Numéricos. Régimen Transitorio......................................................................................................................119 Transitorio......................................................................................................................119

Capítulo 4. Convección 4.1. Introducción ................................................................................ ....................................................................................................................................................................... .................................................................................................125 ..........125 4.2. Correlaciones de Convección Forzada...............................................................................................................................135 Forzada...............................................................................................................................135 4.3. Correlaciones de Convección Libre ............................................................................... ....................................................................................................................................147 .....................................................147

Capítulo 5. Convección con Cambio de Fase 5.1. Correlaciones de Condensación ....................................................................................... ...........................................................................................................................................155 ....................................................155 5.2. Correlaciones de Ebullición .............................................................................. ...................................................................................................................................................163 .....................................................................163

[Índice.]

Capítulo 6. Intercambiadores de Calor 6.1. Métodos de Cálculo y Análisis...............................................................................................................................................171

Capítulo 7. Transmisión de Calor por Radiación 7.1. Fundamentos....................................................................................................... Fundamentos................................................................................................................................................................................189 .........................................................................189 7.2. Intercambio de Calor en Supericies ......................................................................................................... ..................................................................................................................................203 .........................203

Capítulo 8. Materiales y Fluidos 8.1. Tablas Tablas de Propiedades Térmicas ....................................................................................... .........................................................................................................................................215 ..................................................215

Bibliograía ................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................241 ...........................................................................................241

(8)

1. Introducción 1.1 Conceptos Fundamentales

[9]

CONCEPTOS FUNDAMENTALES [Cuadernos [Conceptos ] ] de Transmisión F undamen undamentales tales de Calor.

1

La Termotecnia estudia los procesos de transferencia de calor y su aprovechamiento práctico en multitud de aplicaciones. En sí, la Termotecnia deriva de la Termodinámica que ya nos introduce los conceptos de energía interna, temperatura y calor, relacionándolos en los principios fundamentales. El Principio Cero de la Termodinámica establece que el intercambio de energía calorífica entre dos sistemas se debe a la diferencia de temperatura entre ambos, cesando cuando se alcanza el equilibrio térmico. Por otra parte, el Segundo Principio establece que el flujo de calor se produce únicamente en el sentido de las temperaturas decrecientes. Finalmente el Primer Principio nos dice qué cantidad de energía calorífica han intercambiado dos sistemas durante un proceso termodinámico. No obstante, la Termodinámica no determina la velocidad a la que tiene lugar el proceso de transferencia de energía calorífica, lo que es precisamente el objeto de la Termotecnia.

Energía interna (U) Aunque muy difícil de conceptualizar, la ENERGIA INTERNA (U) de un sistema es una representación del contenido energético a escala microscópica. Se debe a la suma de las energías cinética y potencial interior, fruto de la disposición e interacción entre las partículas o subsistemas que lo componen. Se trata de una variable de estado. En un sistema cerrado, la variación de energía interna entre dos estados se explica como suma del calor y el trabajo intercambiados con el entorno (U=Q-W). Así la energía no puede ser creada ni destruida sino que su variación aparece en forma de calor o trabajo. En un sistema abierto, la variación de energía interna entre dos estados se explica como suma del calor y el trabajo intercambiados con el entorno más la variación de flujo entálpico entre las corrientes de entrada y salida ( U=Q-W+hi·mi). Aparece así el concepto de energía asociada a una corriente de flujo (ENTALPIA, H) dependiente de las condiciones de temperatura y presión (h=u+Pv). Energía interna específica (u) y entalpía específica (h) se miden en kJ/kg. De las formas de variación de energía mencionadas -calor y trabajo- la Termotecnia estudia la primera de ellas, mientras el estudio de las máquinas térmicas se centra fundamentalmente en la segunda.

Calor (Q) El calor es, por tanto, una forma de energía en tránsito, esto es, sólo tiene sentido durante un proceso de intercambio de energía entre dos sistemas o un sistema y su entorno. El calor es la transferencia de parte de dicha energía interna (energía calorífica o térmica) de un sistema a otro, siempre que se encuentren a diferente temperatura. Los cuerpos no almacenan calor, sino energía interna.. interna El calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes. Obviamente, en la interacción entre dos sistemas las variaciones de energía interna son iguales y de sentido contrario (un sistema absorbe calor mientras el otro lo cede).

Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) [10]

JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTRODUCCION CONCEPTOS [CuadernosFUNDAMENTALES [de ] de Calor.] Introducción. Transmisión

1 2

El calor puede ser transferido entre sistemas por tres mecanismos distintos: radiación, conducción y convección, aunque en la mayor parte de los procesos reales todos los mecanismos mencionados participan en mayor o menor grado.

Variación de energía interna (U) de un sistema La variación de la energía interna de un sistema en forma de calor (cedido o absorbido) puede manifestarse de varias maneras:

•

Intercambio de calor sensible Sin cambio de estado de la materia del sistema. El resultado de este proceso es la variación de la temperatura del sistema. U = Q = m·Cp·T Q = es la variación de energía o de calor del sistema en un tiempo definido [J ; kJ] Cp = calor específico del material [J/kg-K ; kJ/kg-K] m = masa del sistema [kg] T= temperatura final - temperatura inicial [K]

•

Intercambio de calor latente Se produce un cambio de estado en el sistema. Durante el proceso la temperatura del sistema permanece constante. U = Q = m·Hfg Hfg es el calor latente de cambio de estado, medido en [kJ/kg]

•

Energía interna química La variación de la energía interna del sistema puede deberse a reacciones químicas (por ejemplo, la oxidación/combustión), reacciones de fusión/fisión e interacción electromagnética. Se habla entonces de calor de combustión, energía de fisión …

Calor específico (Cp) El intercambio de calor sensible origina una variación de la temperatura del sistema. Sin embargo, si se cede calor a dos cuerpos con la misma masa y temperatura inicial, la temperatura final puede ser distinta. Ello depende de la propia naturaleza del cuerpo. Esta propiedad se conoce como calor específico y se define como la cantidad de calor (kJ) que debe absorber 1 kg de sustancia para aumentar su temperatura 1 K. Sus unidades son kJ/kg-K

   

La capacidad calorífica de una sustancia es un parámetro que indica la capacidad de una sustancia para experimentar cambios de temperatura al absorber/ceder calor. Se denota por C, sus unidades son kJ/K y se define como:

    

[11] Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES [Cuadernos [Conceptos ] ] de Transmisión Fundamentales. de Calor.

1 3

Calor latente de cambio de estado (Hfg) Un sistema formado por dos fases o estados de agregación (sólido/líquido o líquido/gas) de una misma sustancia, a una presión constante dada, puede estar en equilibrio térmico únicamente a una temperatura fija llamada temperatura de cambio de fase (punto de fusión/ punto de ebullición). A esta temperatura cualquier aportación de calor supone la fusión/gasificación de parte de la sustancia. A la cantidad de calor necesaria para transformar 1 kg de sustancia se le denomina calor latente de cambio de fase (o entalpía de cambio de fase). Es función de la naturaleza de la sustancia. Sus unidades son kJ/kg

Temperatura (T) Es una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico. Más concretamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna "sensible" , asociada a los movimientos de las partículas del sistema. A medida que aumenta la energía sensible de un sistema se observa que está más "caliente", esto es, su temperatura es mayor. Así, por ejemplo, la energía interna de un gas ideal es función únicamente de la temperatura. La temperatura es una propiedad intensiva: no depende del tamaño del sistema ni la naturaleza del material del que esté compuesto. El concepto “equilibrio térmico” de dos sistemas es equivalente a decir que ambos comparten un valor común de alguna propiedad física. Llamamos a esta propiedad temperatura. La temperatura en los distintos puntos de un sistema será función de la posición del punto y del instante de tiempo. La resolución de un problema de transmisión de calor pasa por conocer el mapa de temperaturas del sistema en todo momento. Existen distintas escalas para reflejar la medida de la temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura absoluta es el Kelvin (K). Sin embargo, también son de uso común otras escalas relativas como la escala Celsius (centígrada) y, en los países anglosajones, la escala Fahrenheit.

Escalas de Temperatura. Unidades Las escalas de medición de la temperatura se dividen fundamentalmente en dos tipos: las relativas y las absolutas. En esta última existe un valor mínimo llamado cero absoluto. Relativas

•

•

Grado Celsius (°C). Para establecer una base de medida de la temperatura Celsius utilizó los puntos de fusión y ebullición del agua, dividiendo el intervalo de temperatura que existe entre éstos dos puntos en 100 partes iguales a las que llamó grados centígrados. En 1954, la escala Celsius fue redefinida. Así, la magnitud del nuevo grado Celsius se definió, a partir del cero absoluto, como la fracción 1/273,16 del intervalo de temperatura entre el punto triple del agua 0,01 °C y el cero absoluto. Grado Fahrenheit (°F). Cada uno de los 180 intervalos iguales entre los puntos de congelación y evaporación del agua, que se corresponden con 32 °F y 212 °F, respectivamente. Es la unidad habitualmente empleada en los países anglosajones.

[12] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTRODUCCION CONCEPTOS [CuadernosFUNDAMENTALES [de ] de Calor.] Introducción. Transmisión

•

1 4

Grado Réaumur (°Re). Usada para procesos industriales específicos. En desuso

Absolutas Las escalas que asignan los valores de la temperatura en dos puntos diferentes se conocen como escalas a dos puntos. puntos . Sin embargo en el estudio de la termodinámica es necesario tener una escala de medición que no dependa de las propiedades de las sustancias. Las escalas de éste tipo se conocen como escalas absolutas o escalas de temperatura termodinámicas.

• •

Kelvin (K). El Kelvin es la unidad de medida del SI. Parte del cero absoluto y define la magnitud de sus unidades de forma que el punto triple del agua está exactamente a 273,16 K. Grado Rankine (°Ra). Escala con intervalos de grado equivalentes a la escala Fahrenheit. Con el origen en -459,67 °F

Conversión de escalas de temperatura Las siguientes fórmulas relacionan las diferentes escalas de temperatura

Kelvin

Grado Celsius

Kelvin

Grado Celsius

Grado Fahrenheit

Grado Rankine

K = = C + + 273,15

C = = K  273,15

F = = 9/5 K K -- 459,67

F = 9/5 C + 32

Ra = Ra = 9/5 K

Ra = 9/5 (C+273,15)

Grado Fahrenheit

Grado Rankine

K = = 5/9 (F (F +459,67) +459,67)

K = = 5/9 Ra

C = 5/9 (F-32)

C = 5/9 (Ra-491,67)

F = = Ra  459,67

Ra = Ra = F + + 459,67

Distíngase entre Temperatura Temperatura (T) e Incremento de temperatura (T). La primera tiene escalas de medida y conversión entre las mismas, según el cuadro señalado. En cambio, el Incremento de temperatura tiene unidades (K, en el SI) y la equivalencia entre distintas unidades es tal que un incremento de 1 oC es igual a un incremento de 1,8 oF. Nota: obviamente, un incremento de 1 oC es equivalente a un incremento de 1 K. Por ello, es indiferente referir la conductividad, por ejemplo, en W/m-K (unidades del SI) ó W/m-C.

DEFINICIONES relacionadas con la transferencia de calor El calor total transferido (Q) durante el intercambio de energía interna entre dos sistemas tiene unidades de energía (Julios, J). Se denomina potencia térmica transmitida (q), velocidad de transmisión de calor o, simplemente, transferencia de calor a la energía térmica transmitida por unidad de tiempo en régimen permanente. Tiene unidades de potencia (watios, W)


INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES [Cuadernos [Conceptos ] ] de Transmisión Fundamentales. de Calor.

1 5

Se denomina potencia térmica lineal (q’), velocidad lineal de transferencia de calor o transmisión de calor lineal a la potencia térmica transmitida por unidad de longitud. Se mide en W/m Se denomina flujo de calor (q”), potencia térmica por unidad de área o velocidad de transmisión de calor por unidad de área a la potencia térmica transmitida por unidad de área (flujo neto de energía calorífica que atraviesa una superficie en la unidad de tiempo). Se mide en W/m 2

Resumen de magnitudes de trabajo y unidades utilizadas en Transmisión de Calor Unidades FUNDAMENTALES Masa: kg Longitud: m Tiempo: s Temperatura: K Unidades DERIVADAS Fuerza: N Energía: J Potencia: W Unidades de CALOR (Q) –también –también energía térmica o caloríficacalorífica 1 cal = 4,186 J 1 kcal = 1000 cal = 4186 J 1 frigoría = 1 kcal 1 kWh = 860 kcal = 3,6E6 J 1 termia (te) = 1,0E6 cal 1 Btu = 0.252 kcal Unidades de POTENCIA TERMICA (q) 1 kcal/h = 1,16 W 1 CV = 0,7355 kW Unidades de POTENCIA TERMICA LINEAL (q’) W/m Unidades de FLUJO DE CALOR (q”) W/m2 Otras propiedades de uso común Calor específico (Cp): kJ/kg-K Calor latente de cambio de fase (H fg): kJ/kg Entalpía (h): kJ/kg


1. Introducción 1.2 Mecanismos Mecani smos de Transferencia de Calor

[15]

INTRODUCCION MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DECalor. CALOR [Cuadernos [de ] de ] Introducción. Transmisión

1 6

El calor se transfiere por tres mecanismos distintos: conducción, convección y/o radiación. Habitualmente la transmisión de calor se produce por los tres mecanismos simultáneamente..

T1

T2 Tfluido T2 Tsup

Conducción a través de un sólido/líquido

T1

Convección desde una superficie a un fluido

Radiación entre superficies

Conducción Transferencia de energía que tienen lugar mediante un soporte físico (sólido o fluido) de manera que la energía interna de las zonas de mayor temperatura se desplaza hacia las de menor temperatura. Se trata de un intercambio molecular de energía cinética, a la que suma el flujo libre de electrones (caso de metales) y el estado vibracional (caso de un sólido sólido cristalino). La transmisión de calor por conducción requiere un soporte físico. Su tratamiento matemático es sencillo, a través de la Ley de Fourier. Ley de Fourier En estado estacionario la velocidad de transmisión de calor o potencia térmica transmitida depende de la diferencia de temperaturas y de la naturaleza del material, a través de una propiedad térmica llamada conductividad. Ley de Fourier (flujo unidireccional) En forma diferencial: q = -k · A · T/x q” = -k · T/x En forma integrada: q (W) = k · A · T/L q” (W/m2) = k · T/L

T T1 T2 q” x L

con T = T1- T2

k es la conductividad térmica del material. Se relaciona con su capacidad para conducir el calor. Es una propiedad intrínseca de los materiales. Se expresa en W/m-K. El valor de la conductividad es muy variable: desde 10 -2 W/m-K, en el caso de aislantes a 102 W/m-K en el caso de metales.

[16]

Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTRODUCCION MECANISMOS DE TRANSMISION CALOR [Mecanismos [Cuadernos ]] de Transmisión TransferenciaDE dedeCalor. Calor.

1 7

Al cociente k/L se le denomina conductancia térmica (W/m 2K). Su inverso es la llamada resistencia térmica unitaria (m2K/W) que viene a representar el impedimento de un cuerpo (forma y naturaleza) para conducir el calor. Así … q” (W/m2) = T/Rt Nótese el paralelismo que existe entre la Ley de Fourier (transmisión de calor) y la Ley de Ohm (electricidad): I = ∆U/Re

q

I es intensidad de corriente ∆U es diferencia de potencial (tensión) Re es la resistencia eléctrica

T1

Rt

i

T2

U1

Ley de Fourier

U2

Re Ley de Joule

Convección Mecanismo de transmisión de calor basado en el desplazamiento de masa en el seno de un fluido lo que origina la mezcla de unas zonas con otras y, por consiguiente, el intercambio de calor entre ellas. Obviamente también se produce en el sentido de las temperaturas decrecientes. A diferencia de la conducción de calor, aunque la convección requiere un soporte físico (un fluido) este no es fijo sino en movimiento. El tratamiento matemático de la convección es difícil por lo que se recurre a fórmulas empíricas derivadas de la experimentación. La convección de calor cobra especial importancia en el intercambio de calor entre una superficie y el fluido que la baña (transmisión de calor superficial). Tipos de convección El movimiento del fluido puede originarse de forma natural, por la diferencia de densidades entre distintas partes del mismo, o de forma artificial mediante un equipo mecánico externo, como un ventilador o una bomba. Ello da origen a dos tipos de convección: libre y forzada. Adicionalmente también se considera convección al mecanismo de transferencia de calor que implica un cambio de estado: condensación y ebullición. Ley de Newton La potencia térmica transmitida por un fluido hacia una superficie (o viceversa) depende de las propiedades del mismo, de la velocidad de circulación (régimen ó flujo). Prandtl introdujo el concepto de capa límite como región próxima a la superficie donde se concentra toda la resistencia a la transmisión de calor. Esta idea permitió un tratamiento más simplificado del fenómeno de la convección. Considerando que la transmisión de calor en la interfase sólido/líquido es por conducción, se puede aplicar la ley de Fourier a dicha capa límite de espesor  muy reducido:


fluido o d i l ó s

q” Tfluido Tsup

INTRODUCCION MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DECalor. CALOR [Cuadernos [de ] de ] Introducción. Transmisión

1 8

q (W) = kF · A · T/ = (kF/) · A · T = h · A · T con T = Tsup - Tfluido y donde h es el coeficiente de película (W/m2K), coeficiente de transmisión superficial o coeficiente de transferencia de calor por convección, que da idea de la capacidad de transmisión de calor superficial. y

FLUIDO

y

Velocidad (y)

Temperatura (y)

q’’ Superficie caliente

El valor de h depende de la naturaleza del fluido, de la geometría de la superficie, de la dirección del fluido (vertical, horizontal), del tipo de convección (libre, forzada) y del tipo de régimen de flujo (laminar, turbulento). El valor de h se estima mediante correlaciones empíricas. El inverso de h es una resistencia térmica unitaria. Por convenio … q (W) = h A (Tsup-Tf ) q” (W/m2) = h (Tsup-Tf )

Valores típicos de coeficientes de película, h (W/m2K) Proceso

min

max

Convección libre en gases

5

25

Convección forzada en gases

15

250

Convección libre en líquidos

50

1.000

Convección forzada en líquidos

100

15.000

Ebullición de líquidos

2500

25.000

Condensación de vapores

5000

100.000

Radiación Todo cuerpo a temperatura por encima del cero absoluto emite radiación electromagnética. Esta radiación es emitida en todas direcciones y puede ser interceptada por otros cuerpos dando lugar a un intercambio radiante entre las superficies de dichos cuerpos. Si la radiación emitida está en un rango de longitudes de onda adecuado (rango térmico) es susceptible de afectar al contenido energético de un cuerpo y de variar la temperatura. [18] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTRODUCCION MECANISMOS DE TRANSMISION DE CALOR [Mecanismos [Cuadernos ]] de Transmisión Transferencia dedeCalor. Calor.

1 9

Es importante destacar que el mecanismo de transferencia de calor por radiación no requiere un medio de trasporte o soporte físico. De hecho la presencia de este medio puede dificultar (atenuar) el intercambio radiante entre superficies. Nótese que, en sí, la emisión radiante no requiere una diferencia de temperatura entre los cuerpos. La emisión neta (o intercambio radiante) entre dos superficies es tanto mayor cuanto más elevadas sean las temperaturas, aunque la diferencia T sea la misma. Además de emitir, los cuerpos también reciben radiación (por ejemplo, radiación solar). A la energía recibida por unidad de tiempo y superficie de absorción se le llama Irradiación (G). La irradiación recibida por un cuerpo puede ser reflejada, transmitida y/o absorbida.  es la absortividad de una superficie… “ G” es la parte de la irradiación absorbida por la superficie  es la reflectividad de una superficie… “ G” es la parte de la irradiación reflejada por la superficie  es la transmisividad de una superficie… “ G” es la parte de la irradiación transmitida por la superficie , ,  son parámetros adimensionales y varían entre 0 y 1. Además …  +  +  = 1. Por ejemplo, en el espectro visible un espejo tendría =1 y una superficie opaca =0.

Irradiación, G

G

E emitida

Tsup

* G

El intercambio neto radiante (sentido saliente) sería q” = Eemitida - G La parte reflejada + transmitida no participa en el balance de calor en la superficie

G

El tratamiento de la transmisión de calor por radiación se realiza con la Ley de Stefan-Boltzmann E (W/m2) =   Tsup4 donde E es la emitancia ó potencia emisiva de la superficie Tsup se expresa en K  es la emisividad de la superficie (adimensional, 0< <1), propiedad intrínseca de ésta 2 4  es la contante de Stefan-Boltzmann (  = 5,67E-8 W/m K ) Es importante destacar el carácter espectral de la emisión térmica radiante. La radiación electromagnética se emite en un rango de frecuencias o longitudes de onda () característicos. Esta circunstancia es muy importante ya que los parámetros descritos pueden ser función de la longitud de onda.


INTRODUCCION MECANISMOS DE TRANSFERENCIA [Introducción.] DE CALOR

1 10

Ejemplo de aplicación de los mecanismos m ecanismos de convección y radiación combinados: Intercambio radiativo entre una superficie (T sup) y el recinto que la contiene (T R)

E

G TR

Tf

Tsup

qrad q conv

q” = E – G =   Tsup4 – G =   Tsup4 –   TR4 =   (Tsup4 - TR4) Nota: se ha supuesto que se trata de una superficie gris y se verifica la ley de Kirchoff. Además, la irradiación recibida por la superficie es igual a la potencia emisiva del recinto, considerado éste como superficie negra. Asimismo se ha supuesto que el recinto es mucho más grande que la superficie contenida en él y que el gas que lo rellena no es participativo.

Con objeto de linealizar esta expresión puede idearse un coeficiente de transferencia de calor por radiación (hrad), a semejanza del de convección q" = hrad (Tsup-TR) Entonces hrad (Tsup-TR) =   (Tsup4 - TR4) ÷ (Tsup - TR) =   (Tsup2 + TR2) (Tsup + TR) Así el tratamiento combinado de convección y radiación puede calcularse: q = qconv + qrad = h A (Tsup – Tf ) + hrad A (Tsup-TR) Si además puede aproximarse que … Tf = = TR q = qconv + qrad = hCR A (Tsup – Tf ) donde …

hCR = hconv + hrad

[20]


1. Introducción 1.3 Balance de Energía    

[21]

INTRODUCCION BALANCE DE ENERGIA EN[Introducción. VOLUMENES ] Y SUPERFICIES

1 11

Balance de energía en un volumen de control En un sistema cerrado (cuerpo o volumen de control) el balance de energía nos dice que el intercambio neto de energía se emplea en almacenar calor en el conjunto, con el consiguiente incremento de la temperatura. Llamando qe … potencia térmica entrante qs … potencia térmica saliente qg … potencia térmica generada Q a … calor neto aportado t … tiempo

qe

q gen

qs

Considerando potencias positivas las entrantes y/o generadas en el sistema, entonces el balance de energía en el sistema es … qe – qs + qg = Q a/t Por otra parte, si consideramos un proceso de intercambio de calor sensible … Q a/t = m Cp (T/t) Casos posibles: Q a > 0 … T/t > 0 … T aumenta Q a < 0 … T/t < 0 … T disminuye Q a = 0 … T/t = 0 … T no varía Si alternativamente consideramos un intercambio de calor latente (con cambio de fase), entonces … Q a/t = Hfg · ∆mfg donde ∆mfg es la cantidad de materia (kg) que cambia de fase

T Q

Sens Se nsib ible le

Ejemplo de calentamiento sensible seguido de evaporación de un fluido

Late La tent nte e

tiempo


INTRODUCCION BALANCE DE ENERGIA EN de VOLUMENES YSUPERFICIES [ [Cuadernos ] ]   Transmisión  de Calor. 

1 12

Balance de calor en una superficie Sobre una superficie no cabe hablar de almacenamiento de calor. Por tanto, el balance de calor debe ser nulo: qe – qs + qg = Q a/t = 0 x

Tsup

Tsi

q rad

Tse

q cond

T/x

q conv

*q

gen

Balance genérico con el criterio de signos señalado anteriormente: qe – qs + qgen = 0 Balance en la superficie exterior (ver figura): q”cond – (q”conv + q”rad ) + q”gen = 0 -k T/x + q”gen = h (Tse – Tfluido) + q”rad donde q”gen (W/m2) representa una fuente superficial de calor (por ejemplo, energía de fricción o irradiación) SI podemos aplicar las condiciones para linealizar la transferencia de calor por radiación (T f = TR; recinto grande frente a la superficie), entonces el gradiente de temperatura en la superficie exterior puede expresarse de la forma … - T/x = hCR/k · A · (Tse – Tfluido)


[Cuadernos de Transmisión de Calor.]

   de los Materiales 2.1 Dimensiones y unidades

[25]

PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES UNIDADES [DIMENSIONES [Cuadernos    de Y Transmisión   de Calor.] ]

2 1

La ecuación general de transmisión de calor, la Ley de Newton, la Ley de Stefan-Boltzmann, los principios de la Termodinámica y los balances de energía aplicados en volúmenes y superficies incluyen en su formulación parámetros que representan propiedades térmicas o termofísicas de las substancias. Con objeto de aplicar de forma práctica los mecanismos de transferencia de calor es conveniente tener un conocimiento aproximados de los valores de dichos parámetros así como sus dependencias con respecto a otras propiedades o a distintas condiciones de trabajo. De entre todas las propiedades termofísicas cabe destacar:  - densidad cp – calor específico k – conductividad térmica  – difusividad térmica ß – coeficiente volumétrico de expansión térmica  – viscosidad (dinámica)  – viscosidad cinemática Pr – número de Prandtl  – emisividad  - tensión superficial Hfg – calor latente de cambio de fase Punto de fusión y Punto de ebullición

DENSIDAD (kg/m3) La densidad de una sustancia es el inverso del volumen específico. Dos argumentos (típicamente P y T) son requeridos para las sustancias puras. Por regla general, la densidad de una sustancia es mayor en estado sólido que en estado líquido. Y este frente al estado gaseoso. Asimismo, aumenta al hacerlo presión y disminuye al aumentar la temperatura. Excepcionalmente, a presión ambiente la densidad del H2O sólido es menor que la densidad del H2O líquido, alcanzando un máximo a la temperatura de 4 C.

1010 1000

 

990 980 970 960 950 940

Variación de la densidad del agua saturada con la temperatura

930 920

 

910 20

40

60

80

100

120

140

160

[26]


PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES DIMENSIONES UNIDADES [Cuadernos [Dimensiones ] ] de Y Transmisión y unidades. de Calor.

2 2

1010 1000

 

990 980 970 960 950 940

Variación de la densidad del agua (a 60 C) con la presión

930 920

 

910 20

40

60

80

100

En muchas aplicaciones de la Termotecnia, en las que el rango de variación de la temperatura es limitado, los fluidos utilizados pueden considerarse incompresibles, esto es, de densidad constante. Por ejemplo, agua de calefacción (40 a 90 C). No obstante, cuando se trata de gases y de incrementos de temperatura elevados (por ejemplo, recalentamiento de vapor de agua) esta hipótesis es incorrecta. NOTA: dado que, en el caso de líquidos, la influencia de la presión es despreciable frente a la temperatura, las tablas de propiedades suelen darnos información únicamente de las condiciones de líquido saturado. Búsquese, por tanto, la temperatura requerida sin importar la presión de trabajo.

15 14 13

 

12 11

30 bar

10 9 8

20 bar

7 6 5

2 1 220

Variación de la densidad del vapor de agua con la temperatura y la presión

10 bar

4 3

 

240

260

280

300

320

340

360

A veces se emplea el término densidad relativa, cociente entre la densidad de una sustancia y la correspondiente al agua (o al aire) en las mismas condiciones. En primera aproximación, el aire ambiente empleado como fluido de transporte se considerará como aire seco, mezcla de oxígeno y nitrógeno. Es común ofrecer las propiedades térmicas del aire seco como si se tratara de un gas simple. Esta suposición no es válida cuando se hacen cálculos psicrométricos, donde la humedad tiene un papel relevante.


PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES DIMENSIONES Y UNIDADES [ [Cuadernos   de Transmisión   de Calor.] ]

2 3

1,5  

1,4

1,3

1,2

Variación de la densidad del aire seco (a presión atmosférica) con la temperatura

1,1  

1 -10

0

10

20

30

40

50

CALOR ESPECIFICO (kJ/kg-K) Indica la facilidad con la que una sustancia incrementa su temperatura al absorber una cierta cantidad de calor. Dado que la mayor parte de los procesos de transmisión de calor se realizan sin variación de la presión de trabajo se emplea habitualmente el calor específico a P constante (c p). Recuérdese que (si cp es aprox constante …)

    

(calor absorbido por una masa de sustancia) (potencia térmica absorbida por una corriente fluida)

En el caso de sólidos y líquidos, la dependencia del calor específico con la temperatura es limitada, mostrando en todo caso un ligero aumento del cp al hacerlo la temperatura. Además, sólo en el caso de muy altas presiones de trabajo cabe considerar la influencia de la presión. Por ello, en materiales comunes (empleados en la construcción y la industria) y en un rango de temperaturas bajas (< 100 C) suele emplearse el valor constante del c p de la sustancia a 300 K.

6  

5 H2O

4 3

Variación del calor específico de distintos líquidos y sólidos con la temperatura

HTF

2 1

carbon steel

 

0 25

70

115

160

205

250


PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES DIMENSIONES Y UNIDADES [Cuadernos [Dimensiones ] ] de Transmisión y unidades. de Calor.

2 4

En el caso de los gases, la dependencia con la temperatura es más acusada. A mayor temperatura mayor valor de cp. Con respecto al efecto de la presión, este es despreciable lejos de los límites de presión crítica y de saturación. Además, a mayor temperatura menor es el efecto de la presión. 1,1 

5 bar

1 1 bar

0,9 0,8

Variación del calor específico del CO2 (a diferentes presiones) con la temperatura

0,7 0,6  

0,5 25

70

115

160

205

250

El caso del vapor de agua, también es excepcional, ya que el c p disminuye al aumentar la temperatura. 4,5  

4 3,5 50 bar

3

Variación del calor específico del vapor de agua (a diferentes presiones) con la temperatura

30 bar

2,5 10 bar

2

 

1,5 240

260

280

300

320

340

360

NOTA: Examínese en este caso la conveniencia de emplear la formulación antes expuesta, o como alternativa la expresión más general … q’ = m’ · h donde las entalpías (entrada (entrada y salida) son función de la presión presión y temperatura del gas.

Al producto (·Cp) se le conoce como CAPACIDAD CALORIFICA VOLUMETRICA e indica la capacidad de un material para almacenar energía térmica. Muchos sólidos y líquidos son buenos buenos medios de 3 almacenamiento de energía (·Cp del orden de 1 MJ/m K). No es el caso de los gases (·Cp del orden de 1 kJ/m3K), debido a su baja densidad.


PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES UNIDADES [DIMENSIONES [Cuadernos    de Y Transmisión   de Calor.] ]

2 5

CONDUCTIVIDAD TERMICA (W/m-K) Indica la facilidad con que un material conduce el calor, esto es, transmite energía por el mecanismo de conducción. Recuérdese que la Ley de Fourier establece la proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura, a partir de la conductividad (k). q” (W/m2) = k · T/L La conductividad de un material depende de su naturaleza (composición, estado de agregación y homogeneidad) de su estructura cristalina y de las condiciones (P-T) a las que está sometido. La conductividad de los materiales puede variar entre 0.02 W/m-K en el caso del aire y 417 W/m-K para la plata sólida pura. En general pueden observarse las siguientes leyes de comportamiento:

• • •

Los sólidos conducen mejor que los líquidos, y estos que los gases (debido a las menores distancias intermoleculares Los sólidos con estructura cristalina tienen mayor conductividad que los sólidos amorfos (debido al movimiento vibracional de la red) Los metales tienen mayor conductividad que los no metales (debido a la migración de electrones libres)

En cuanto a las condiciones de trabajo, la variación de k con la presión es prácticamente despreciable en sólidos y líquidos. En los metales puros, la conductividad decrece sensiblemente con la temperatura. Sin embargo las aleaciones metálicas muestran un comportamiento menos acusado e incluso, invierten esta tendencia en compuestos fuertemente aleados. Usualmente esta dependencia con la temperatura suele expresarse de forma lineal … k = ko (1 - bT) En materiales no metálicos la variación de la conductividad con la temperatura también es lineal pero la conductividad aumenta con ella.

Aire Corcho Fibra de vidrio Madera Ladrillo Vidrio Piedra Acero Aluminio Cobre

0,1

1,0

10

100 W/mK

Variación de la conductividad d e los materiales sólidos con la temperatura


PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES DIMENSIONES Y UNIDADES [Cuadernos [Dimensiones ] ] de Transmisión y Unidades. de Calor.

2 6

En la mayoría de las sustancias líquidas la conductividad decrece al aumentar la temperatura. No obstante, el agua y las mezclas anticongelantes constituyen una importante excepción). El agua líquida posee una conductividad térmica muy elevada que alcanza un valor máximo cerca de 135 C. 0,8  

0,7 H2O (liq)

0,6 0,5 0,4

amoniaco

Variación de la conductividad de los líquidos saturados con la temperatura

0,3 0,2

etanol

 

0,1 20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Un caso particular es el de los metales líquidos que tienen conductividades muy elevadas frente a otros líquidos (plomo, 17 W/m-K; sodio 81 W/m-; mercurio 11 W/m-K)

En el caso de los gases, la teoría cinética explica el comportamiento de la conductividad térmica, que aumenta con la velocidad media molecular, el número de moléculas por unidad de volumen y el recorrido libre medio. Por ello, la conductividad de un gas aumenta al hacerlo la temperatura. Además, la conductividad de las sustancias con peso molecular elevado es inferior a la de compuestos más ligeros. Por otra parte, la dependencia de la presión no es despreciable en torno a la presión de saturación o a presiones muy elevadas. 0,25  

0,2

helio

0,15

Variación de la conductividad de los gases con la temperatura

0,1

0,05

aire seco CO2

0 50

95

140


 

185

230

275

PROPIEDADES TERMOFISICAS DE LOS MATERIALES DIMENSIONES Y UNIDADES [ [Cuadernos   de Transmisión   de Calor.] ] El vapor de agua muestra también un comportamiento singular, con gran dependencia de la temperatura.

2 7

0,055  

0,05

0,045 0,04

0,035

Variación de la conductividad del vapor de agua con la temperatura y la presión

100 bar

0,03

10 bar

 

0,025 150

195

240

285

330

375

Materiales no homogéneos: son materiales de estructura porosa en cuyo interior hay aire o algún gas (CO2, R141…) lo que influye directamente en el valor de la conductividad y el carácter direccional de la misma (anisotropía). El valor medio estimado recibe el nombre de conductividad térmica aparente. Los materiales aislantes se emplean en cuando se desea reducir el flujo de calor entre un recinto y su entorno. Los hay de baja y alta temperatura. El carácter aislante se debe a la estructura porosa del material por lo que influye notablemente la densidad volumétrica aparente. La conductividad aumenta ligeramente con la temperatura. Los materiales refractarios se emplean cuando se pretende que el material soporte elevadas temperaturas (y altos flujos de calor) sin deterioro físico. En resumen:



2 8

DIFUSIVIDAD TERMICA (m2/s) Se define como la relación entre la capacidad de un material para conducir energía térmica y su capacidad para almacenarla. La difusividad térmica aparece en la ecuación general de la conducción de calor. El transitorio de difusión del calor a través de un cuerpo sólido depende directamente de esta propiedad. Esta se define a partir de la conductividad, el calor específico y la densidad, según la siguiente expresión

  

Un material de alta difusividad térmica responderá rápidamente a cambios térmicos en su entorno, mientras que otro de baja difusividad necesitará más tiempo para alcanzar la nueva situación de equilibrio. Dado que en sólidos la densidad, el calor específico y la conductividad son función de la temperatura la difusividad térmica muestra la misma dependencia de la temperatura que estos. No obstante, en la mayoría de los sólidos habitualmente empleados en la construcción puede considerarse constante. En el caso de los metales la influencia de la temperatura es variable. -4

1,18x10

-6

4,35x10

  -4

1,16x10 -6

4,26x10

-4

1,14x10 acero inoxidable -6

4,18x10

-4

1,12x10

-6

-4

4,10x10

1,10x10 cobre

-4

1,08x10

-6

4,01x10

 

0

50

100

150

Difusividad térmica del cobre y el acero inoxidable

-4

200

1,06x10 250

Los valores de difusividad térmica, expresada en m2/s, en sólidos habitualmente empleados son del orden de 10-4 a 10-7.

COEFICIENTE DE DILATACION TERMICA VOLUMETRICA (K-1) El movimiento de los fluidos por convección natural se debe a la diferencia de densidades debida a la dilatación térmica diferencial provocada por la diferencia de temperaturas en el seno del fluido. Esta propiedad térmica tiene interés en los líquidos y en los gases.

    



2 9

En los gases ideales (Pv=nRT) el coeficiente de dilatación térmica se calcula como la inversa de la temperatura (expresada en K)

  

En el caso de los líquidos, si no soportan presiones extremas, el coeficiente de dilatación (K -1) depende únicamente de la temperatura. Puede estimarse con carácter general y de forma aproximada por

     

… T y Tcrit en K

0,005

 

0,004

0.0776*(Tcrit-T)**(-0.641)

0,003

0,002

Coeficiente de expansión volumétrica del agua líquida saturada. Comparativa con la expresión genérica

H2O liq sat

0,001  

0 300

345

390

435

480

525

VISCOSIDAD DINAMICA (kg/m-s) La viscosidad dinámica o absoluta aparece en la formulación del número de Reynolds, que determina el régimen de flujo de una corriente fluida. Se define como la constante de proporcionalidad que relaciona el esfuerzo cortante () producido por el movimiento relativo entre capas del fluido y el gradiente de velocidades ( v/y).

   

-3

10

  2

Se mide en kg/m-s ó N-s/m . También en poises (10 poises = 1 kg/m-s)

-4

8x10

etanol

-4

6x10

agua -4

4x10

-4

Viscosidad de distintos líquidos

2x10

amoniaco

 

0

0x10

0

50

100


150

200

250


2 10

La viscosidad dinámica en los líquidos depende fundamentalmente de la temperatura, descendiendo su valor a medida que aumenta esta. El efecto de la presión es prácticamente despreciable excepto a presiones extremas. La viscosidad dinámica en los gases suele ser más pequeña que para los líquidos. Depende fundamentalmente de la temperatura. El efecto de la presión es pequeño excepto en las cercanías de la saturación y la presión crítica. -5

2,6x10

  -5

2,4x10

aire seco

-5

2,1x10

CO2

-5

1,9x10

-5

1,6x10

Viscosidad de distintos gases a presión atmosférica

R-134a -5

1,3x10

  -5 1,1x10

20

40

60

80

100

120

140

160

180

VISCOSIDAD CINEMATICA (m2/s)

  

La viscosidad cinemática relaciona las fuerzas viscosas con las de inercia.

Se expresa como cociente entre la viscosidad dinámica ( ) y la densidad de un fluido ( ). Esta relación aparece precisamente en la expresión del número de Reynolds. La viscosidad cinemática en los líquidos sólo depende de la temperatura, disminuyendo al aumentar esta. En el caso de los gases depende de la temperatura y la presión (debido a la contribución de la densidad). La viscosidad cinemática de los gases puede ser superior a la de los líquidos (por el efecto también de la menor densidad). Se mide en m2/s. También en Stokes o centistokes (100 cSt = 1 cm 2/s)

NUMERO DE PRANDTL (-) La transmisión de calor por convección de un fluido depende en gran medida del número adimensional de Prandtl. Es la relación entre el transporte de la cantidad de movimiento y el transporte de energía térmica a través de la capa límite de un fluido. Se define como la relación entre la viscosidad cinemática y la difusividad térmica. Tiene gran importancia en los procesos en los que la viscosidad y la conducción de calor participan simultáneamente.



2 11

  

En los metales líquidos predomina la difusividad térmica por los que Pr  10-2. Para los líquidos viscosos (aceites, por ejemplo) predomina la viscosidad por lo que Pr  10 4. En el caso de los gases el valor es próximo a la unidad. El número de Prandtl para el agua saturada decrece con la temperatura excepto a valores muy altos de esta. Para el aire seco es prácticamente constante y próximo a 0,7 4

0,72 



3,5

0,715

3 0,71

2,5 2

0,705

1,5

0,7

1 0,695

0,5

 

 

0 50

0,69 100

150

200

250

300

Número de Prandtl del agua saturada

350

10

20

30

40

50

60

70

Número de Prandtl del aire seco a presión atmosférica

EMISIVIDAD (-) La emisividad de una superficie es una propiedad termofísica que interviene en el intercambio radiante de calor. E =   T4 (Ley de Stefan-Boltzmann) Aunque la emisividad tienen un carácter espectral (depende de la longitud de onda de la radiación) en ocasiones puede considerarse un valor constante (cuerpo gris). La emisividad de un cuerpo negro es la unidad. Es un parámetro adimensional. Varía desde valores muy bajos (0.03 en el aluminio pulido) hasta muy altos (0.9 para hormigón, ladrillo, nieve o pintura blanca). En problemas de radiación solar conviene relacionar la emisividad con la ABSORTIVIDAD SOLAR. Un cuerpo absorbe radiación solar de baja longitud de onda mientras emite radiación térmica en un espectro de mayor longitud de onda. Por ello, se suelen ofrecer ambos datos para hacer un correcto balance de energía cuando participa la radiación solar. La absortividad solar del ladrillo o el hormigón es del orden de 0,6 y la de la nieve < 0,3.



2 12

TENSION SUPERFICIAL (N/m) Aparece en las correlaciones de ebullición. La tensión superficial de un líquido se define como la cantidad de energía necesaria para disminuir su superficie por unidad de área. El valor de la tensión superficial disminuye con la temperatura, debido al aumento de la agitación térmica, lo que redunda en una menor intensidad efectiva de las fuerzas intermoleculares. El valor de la tensión superficial tiende a cero conforme la temperatura se aproxima a la temperatura crítica Tcrit. Las unidades son N/m (J/m2). Su valor es del orden de 70.0E-3 N/m para el agua a temperatura ambiente. 80  

70

60

50

40

Tensión superficial del agua saturada

30  

20 25

70

115

160

205

250

El valor de la tensión superficial del agua puede estimarse en función de la temperatura de saturación (expresada en Kelvin) mediante la expresión …

          CALOR LATENTE DE CAMBIO DE ESTADO (Hfg, en kJ/kg) TEMPERATURA DE FUSION / EBULLICION

Los puntos de fusión y ebullición definen las condiciones límite de las diferentes fases de la materia o estados de agregación. Se denotan por las temperaturas de cambio de fase. A tales temperaturas, el calor necesario para que una masa de 1 kg cambie de estado se denomina calor latente de cambio de fase. El calor latente de vaporización se estima a partir de las entalpías de vapor y liquido saturada de la sustancia … Hfg = hvapsat - hliqsat Los valores de temperatura de fusión/ebullición y calor latente de cambio de estado dependen de la presión del sistema. NOTA: fg … fluid/gas


DIMENSIONES Y UNIDADES [ [Cuadernos   de Transmisión   de Calor.] ]

13

Cuadro resumen de la variación de las propiedades térmicas de las sustancias (conductividad, calor específico y viscosidad) al aumentar la temperatura

Metales puros Aleaciones Sólidos no metálicos Líquidos Aislantes Gases

k

Cp



    (1)  

   



 (2)



(1) Excepción: agua y mezclas mezclas glicoladas (2) Excepción: al aire seco y el agua saturada. En el aire seco alcanza un mínimo a -18 C. En el agua saturada es constante por debajo de 60 C

Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) [38] JA Fdez-Benítez / C Corrochano

3. Conducción de Calor 3.1 Ecuación General de la difusión dif usión del Calor

[39]

CONDUCCION DEL CALOR ECUACION GENERAL DE LA DIFUSION DE CALOR [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.1 1

Apliquemos un balance de energía a un volumen de control diferencial (dxdydz) en el interior de un sólido donde existe una fuente de calor uniformemente repartida de valor q* (W/m 3).

y

z dy

x

dz dx La variación de la potencia térmica transferida en dirección x (también en y, z) puede expresarse como un desarrollo en serie de Taylor:

                      Por otra parte, la fuente de calor … q gen = q* · dV = q* · dxdydz

Balance de energía en el volumen de control … qe –qs + qgen = qx - qx+dx + qgen= m cp T/t

−

∂  ∂  ∂ ∂   −  −   +    = ρ ⋅   ⋅  ⋅ ∂  ∂  ∂  ∂ 

Aplicando la Ley de Fourier en dirección x (también y, z): qx = -k · dydz · T/x … ∂  ∂ 

 = −

 ∂       ∂   ∂   ∂

Reordenando y agrupando …

 ∂   ∂  ∂   ∂  ∂   ∂    +    +    +  = ρ ⋅   ⋅  ∂   ∂   ∂   ∂   ∂   ∂   ∂  ∂

Ecuación general de la conducción de calor en régimen transitorio con fuente interior y parámetros (propiedades térmicas) dependientes de la temperatura

Cuadernos de Transmisión [40] de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

CONDUCCION DE CALOR ECUACION[Ecuación GENERAL DE DE CALOR [Cuadernos ] ] General deLA Transmisión deDIFUSION la Difusión dedel Calor. Calor.

3.1 2

Caso particular: parámetros constantes (, cp, k)

                         

donde el cociente k/Cp es la difusividad térmica , por lo que …

Y con carácter general …

Caso particular: régimen permanente (T/t=0) con fuente interior (Ecuación de Poisson)

 ∂  ∂  ∂      + + + =  ∂   ∂   ∂         ∂  ∂        ∂   + ∂    +  =    ∂  ∂



+

 

… en tres direcciones

… en dos direcciones

… en una dirección

=

Caso particular: régimen permanente (T/t=0) sin fuente interior (Ecuación de Laplace)

∂  ∂



+

∂  ∂



+

∂  ∂  

=

Para el caso de una única dirección esta última ecuación diferencial se resuelve fácilmente, siendo la solución del campo de temperaturas … T(x) = T o + a·x

Nótese que el objeto principal de los problemas de Termotecnia es conocer el campo de temperaturas del sistema. Conocido éste es fácil derivar la potencia térmica o el flujo de calor.


CONDUCCION DEL CALOR ECUACION GENERAL DE DIFUSION CALOR [Cuadernos [Conducción ] deLA Transmisión de Calor. de] DE Calor. Ecuación general de la conducción de calor en coordenadas cilíndricas …

Cambio de coordenadas … x = r cos  y = r sen  z=z



 



 

Expresión del gradiante y el laplaciano en coordenadas cilíndricas:

                                  Por tanto …

∂  ∂  ∂   ∂  ∂  ∂  ∂     +    +  = ρ ⋅   ⋅      +  ∂  ∂  ∂   ∂φ  ∂φ  ∂   ∂   Caso de propiedades constantes …

∂   ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2   * = α + + + + ∂  ∂ 2  ∂  2 ∂φ 2 ∂  2  ρ ⋅  

Ecuación general de la conducción de calor en coordenadas esféricas …

   

Cambio de coordenadas … x = r sen  cos  y = r sen  sen  z = r cos 



  

 


3.1 3

CONDUCCION DE CALOR ECUACION[Ecuación GENERAL DE DECalor. CALOR [Cuadernos ] ] General de LA Transmisión deDIFUSION la Difusión dedel Calor.

3.1 4

Expresión del gradiante y el laplaciano en coordenadas esféricas:

                                              Por tanto …

∂  ∂  ∂  ∂  ∂  ∂     ∂        + + + = ⋅ ⋅ ρ             ∂      ∂φ  ∂φ      ∂   ∂   ∂   ∂   Caso de propiedades constantes …

∂ = α   1 ∂   2 ∂  + 1 ∂  θ ∂  + 1 ∂ 2  +  *    2 ∂  ∂   2 θ ∂θ  ∂ ∂θ   2 2θ ∂φ 2  ρ    Condiciones iniciales y de frontera La ecuación de la difusión de calor es una ecuación en derivadas parciales: de segundo orden en el espacio y de primer orden en el tiempo. Por ello, para resolver el campo de temperaturas T=T(x,t) son necesarias dos condiciones de contorno y una condición temporal. Las condiciones de contorno más habituales son: de temperatura superficial constante; de flujo de calor constante; de convección superficial y de convección/radiación superficial.

•

Temperatura constante en la superficie (x=L) Condición de frontera de primera clase

Tsup

T(L,t) = Tsup

•

T(x,t)

Flujo de calor constante en la superficie Condición de frontera de segunda clase

q”

q”(L) = - k · T(L,t)/x

•

T/x

Superficie adiabática (flujo de calor nulo en la superficie)

q”(L) = 0 = T(L,t)/x


T(L,t)

CONDUCCION DEL CALOR ECUACION GENERAL DE DIFUSION CALOR [Cuadernos [Conducción ] deLA Transmisión de Calor. de] DE Calor.

•

3.1 5

x

T recinto

Condición de convección superficial (x=L) Condición de frontera de tercera clase

T fluid T(x,t)

-k · T(L,t)/x = h · [T(L,t) -Tfluid]

q rad

•

Condición de convección/radiación superficial (x=L)

q cond

q conv T/x

-k · T(L,t)/x = h · [T(L,t) -Tfluid] +   · [T4(L,t) – T4recinto]

T(L,t)

Métodos de resolución de un problema genérico de transmisión de calor por conducción Integración directa de la ecuación general (método I) 1. Plantear la ecuación general de la difusión de calor en derivadas parciales 2. Integrar la ecuación general para hallar la expresión del campo de temperaturas T=T(x,y,z,t) 3. Plantear las condiciones de contorno e iniciales, sobre la propia solución T(x,t) ó sobre su gradiente T/x, T/y, T/z 4. Ajustar los coeficientes de la solución para satisfacer las condiciones dichas condiciones 5. Calcular los flujos de calor a partir de las derivadas espaciales T/x, T/y, T/z Por balances de energía (método II) 1. Plantear un balance térmico global, esto es, en todo el conjunto, aplicando las condiciones de frontera sobre el contorno del sistema 2. Plantear un balance térmico local, en el interior del sólido, aplicando la ley de Fourier



Ejemplo 1: Resolución de la ecuación de difusión de calor en régimen permanente para una pared plana con fuente interna uniformemente distribuida, adiabática en una de sus caras y temperatura superficial conocida en la otra.

3.1 6

q*

To

Ts

•

Ecuación simplificada

                                                                      •

L

Condiciones de contorno

[1] flujo de calor nulo en el origen (derivada nula x=0)

[2] temperatura superficial conocida (T s en x=L)

•

Perfil de temperatura (solución)

Se trata de un perfil parabólico con un valor máximo en la cara adiabática (si la fuente es positiva)

q*

To

q*

To

Ts

Ts

L

Nota: la solución es la misma que en el caso de una pared de espesor 2L con igual temperatura superficial (Ts) en ambas caras.

L

Si no hubiera generación interna de calor entonces q*=0 por lo que el perfil de temperatura sería constante … T(x) = Ts

•

Flujo de calor a través de la superficie de contorno

Efectuando un balance de calor … q” = q* · L O bien, de otra forma …

                 [45] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

CONDUCCION DEL CALOR [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.] ECUACION GENERAL DE LA DIFUSION DE CALOR

3.1 7

Ejemplo 2: Resolución de la ecuación de difusión de calor en régimen permanente para un cilindro macizo de longitud infinita con fuente interna uniformemente distribuida y condición convectiva superficial.

•


•


                                                  R

[1] valor finito –pero desconocido- en el eje (r=0) C1 = 0

…

Además

          Entonces

  

To Ts q*

Se trata de un perfil parabólico con un valor máximo en el eje (si q*>0)

[2] condición convectiva superficial (r=R)

                             q = [-k A T/r]r=R = h A (TR-Tfluido)

…

También se había podido llegar a esta expresión mediante un balance de energía en el conjunto: 2 R L q* = h·2RL (T R-T fluido )

Se puede obtener el valor de la temperatura en el eje en función de la temperatura del fluido a partir del perfil de temperaturas …

                               Y el perfil de temperatura (en temperatura (en función de la temperatura del fluido) …

                                          •

Potencia térmica lineal transmitida a través de la superficie del cilindro

Efectuando un balance de calor … q = q* · R2L

…

q/L= q* · R2

[46]



3.1 8

Ejemplo 3: Resolución de la ecuación de difusión difusión de calor en régimen permanente para una esfera sólida con fuente interna uniformemente distribuida y temperatura superficial conocida.

•


                                                      Integrando dos veces …

•

To


[1] valor finito –pero desconocido- en el eje (r=0) C1 = 0

…

Además

          Entonces

R

  

q*

Ts

Se trata de un perfil parabólico con un valor máximo en el centro (si q*>0).

                     [2] temperatura superficial conocida (r=R)

Por lo que el perfil de temperatura en temperatura en el interior de la esfera en función de la temperatura superficial es …

                          •

Potencia térmica transmitida a través de la superficie de la esfera

Efectuando un balance de calor en el conjunto … q = q* · 4/3 R3



3.1 9

Ejemplo 4: Resolución de la ecuación de difusión de calor en régimen permanente con propiedades dependientes de la temperatura aplicado a una placa sin fuente y con temperaturas superficiales conocidas. Suponiendo una variación lineal de la conductividad con la temperatura ... k = k o (1+bT) aplicado a una placa de espesor L

•


                                                                                              Integrando entre los límites superficiales T1 (x=0) y T2 (x=L):

Así ...

•

Flujo de calor a través de la superficie de contorno

Esto es, la misma expresión que en el caso de propiedades térmicas constantes pero tomando un valor de k promediado entre las temperaturas superficiales T 1 y T2.



3.1 10

Ejemplo 5: Resolución de la ecuación de difusión de calor en régimen permanente aplicado a un cilindro macizo con una fuente interior constante y uniformemente repartida sometido exteriormente a convección. Se aplicará el método alternativo (II) de balances de energía

•

Balance local de energía en el interior del cilindro (para un radio genérico r) Aplicación de la ley de Fourier

        

                  

En r=0  T(r) = T0 = c1 Por lo que ...

       •

R

Balance de energía en el conjunto (en r=R ... T=T S)

To

2

 R L · q* = h · 2RL · (TS-TF)

                                                                                De la expresión anterior [i], aplicada a r=R ...

Igualando ambas expresiones

Y así, el perfil de temperatura es ...


Ts q*


3.1 11

Resumen de resultados Problemas unidimensionales sin fuente interior

                       

     

Pared plana

Ecuación

lineal

Perfil temperatura Potencia transmitida constante

95

   

Cilindro

Esfera

logarítmico

f(1/r)

90 85 80 75 70

x

65

1/r

60

ln(r)

55 50 45 0,028

0,03

0,032

0,034

0,036

0,038

0,04

0,042

 

Resumen de resultados 3

Problemas unidimensionales con fuente interior uniformemente repartida (q* en W/m )

                      

Ecuación Perfil temperatura

Pared plana

Cilndro sólido

Esfera sólida

parabólico

parabólico

parabólico

q” = q*/L

q’ = q*· R2

q = q*· 4/3 R3

Potencia transmitida por el contorno exterior

100

   

95 90

Tplaca Tcil Tesf

85 80 75 70 65 60 55

fuente ... 1,4E6 (W/m3)

50 45 0,028

0,03

0,032

0,034

0,036

0,038

0,04

0,042

 


3. Conducción de Calor 3.2 Régimen Régi men Permanente en una Dimensión

[51]

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.2 12

Caso de PLACA (PARED PLANA) Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(x,y,z,t) Unidimensional … T=T(x,t) Régimen permanente … T=T(x) Sin fuentes ni sumideros … q*=0

T10

qx

Ecuación general (con propiedades termofísicas contantes):

                        

k

x=0

TTL2

x=L

Particularizando:

Condiciones de contorno (temperatura superficial conocida) T(x=0)=T1 … c2=T1 T(x=L)=T2 … c1=(T2-T1)/L Solución: T(x) = T 1 + (T2-T2)/L · x

                             De otra manera …

donde L/k = R”t es la resistencia térmica unitaria de conducción (m2K/W) de una capa de espesor L y conductividad del material k En resumen: el perfil de temperatura es LINEAL y el flujo de calor CONSTANTE Circuito térmico equivalente:

q”

T1

Rt ” =L/k

q

T2

T1

Rt = L/Ak

T2

[52]


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN[PERMANENTE EN UNA [Cuadernos Régimen Permanente de Transmisión en unaDIMENSION de Dimensión. Calor.] ]

3.2 13

Pared multicapa

T1

T2

T3 T 4 q” 12 = q” 23 q” 23 = q” 34

q”12 q”23 q”23 q”34

x12

x23 x34

                 

Circuito térmico equivalente: q”

T1

x 12 12 /k 12 12

T2

x 23 23 /k 23 23

T3

x 34 34 /k 34 34

T4

             Condición convectiva superficial

  

Ecuación particularizada:

T1

q”

Solución propuesta: T(x) = c1 x + c2 T2

h

Condiciones de contorno: [1] Temperatura superficial conocida x=0

T(x=0)=T1 … c2=T1 [2] flujo convectivo superficial q” = -k [dT/dx]x=L = -K c1 = h (T2-Tfluido)


x=L

Tfluido


Así el perfil de soluciones es …

                          Particularizando en x=L …

Por lo que el flujo de calor puede expresarse como …

El circuito térmico equivalente es … q”

T1

T2

12 /k 12 12 x 12

Tfluido

1/h

Caso general: pared multicapa con condición convectiva en ambas superficies

T1

T2

T 3 T4

Tf1 h1 Tf2 h2

x12

x23 x34

Circuito térmico equivalente: q”

Tf1

1/h1

T1

x 12 12 /k 12 12

T2

x 23 23 /k 23 23

T3

x 34 34 /k 34 34

T4

1/h2

[54]


Tf2

3.2 14

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN[Régimen PERMANENTE EN UNA [Cuadernos Permanente de Transmisión en unaDIMENSION de Dimensión. Calor.] ]

3.2 15

Entonces …

                   

El flujo de calor a través de la pared depende de las temperaturas de los fluidos que la bañan así como de la geometría (espesores) y naturaleza de los materiales que la componen. En cada capa la evolución de la temperatura es lineal, lo que permite calcular la temperatura en cada punto. NOTA: En la expresión de R" t es evidente que no todos lo sumandos son iguales. El lector deberá comparar los valores de las distintas resistencias térmicas y, en su caso, despreciar los valores insignificantes.

Coeficiente global de transferencia de calor (U) a través de una pared plana Se trata de una conductancia térmica (W/m2K), calculada como inversa de la resistencia térmica unitaria total (suma de resistencias térmicas de cada capa). También recibe el nombre de transmitancia.

             qx = U · A · T

El valor de U (o de R”t) es característico de cada composición constructiva.

Resistencia térmica de una cámara de aire Es frecuente encontrar “capas” de aire entre las soluciones constructivas habituales. Esta cámara de aire suele caracterizarse directamente como una resistencia térmica de valor R”aire (m2K/W).

        

Resistencia térmica de contacto En ocasiones la discontinuidad física existente entre dos materiales en contacto supone una discontinuidad en el perfil de temperatura, que puede ser tratada como si se añadiese una resistencia térmica adicional (resistencia de contacto).


REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

U

. 16

       

La discontinuidad se debe a la presencia de huecos donde la conductividad del aire puede jugar un papel importante (aunque también la convección y la radiación). Para reducir el valor de la resistencia de contacto puede aumentarse la presión de contacto, pulimentar las superficies, emplear materiales blandos y deformables o aplicar grasas. Las resistencias de contacto se determinan de forma experimental para distintos pares de materiales Los valores de resistencias de contacto habituales son del orden de 1E-4 m 2K/W

Caso de materiales no homogéneos En ocasiones es interesante encontrar el valor de la transmitancia característica de un material que no responde al formato unidimensional multicapas. Es el caso, por ejemplo, de un ladrillo hueco. Al tratarse de un problema de transferencia de calor bidimensional todo acercamiento unidimensional es sólo una aproximación. Así, por ejemplo, ante un problema como el ilustrado en la figura adjunta, el acercamiento unidimensional nos podría llevar a un planteamiento doble: isotermas verticales (izqda) o adiabáticas horizontales (dcha).

k2 k1

k4 k3


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN[PERMANENTE EN UNA [Cuadernos Régimen Permanente de Transmisión en unaDIMENSION de Dimensión. Calor.] ]

3.2 17

Caso de CILINDRO con temperaturas de contorno conocidas Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(r, , z, t) Unidimensional … T=T(r,t) Régimen permanente … T=T(r) Sin fuentes ni sumideros … q*=0 Ecuación general (con propiedades termofísicas constantes):

∂  ∂ 

= α ∇ +

T2 r2 T1

r1



ρ ⋅  

Particularizando:

                               Condiciones de contorno:

[1] contorno interior r=r1 … [2] contorno exterior r=r2 …

 

          Entonces la solución del perfil de temperatura es logarítmica:

        

La potencia térmica transmitida es … q = -k A · dT/dr = -K 2rL · dT/dr dT/dr = -K · 2rL · c1 · 1/r = -K · 2L · c1 … q es independiente del radio r

             

Nótese que q es constante (también q’) pero no así q”=q/2rL ya que el área de transferencia de calor se incrementa al aumentar el radio del cilindro.

[57]


El cociente



CONDUCCION DE [Cuadernos [Conducción de Transmisión de CALOR Calor. de] Calor.] REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION

3.2 18

…

 

es la resistencia térmica total Rt (en K/W) de la capa con conductividad k y radios de contorno r1 y r2.

También se denomina resistencia térmica lineal Rt’ (en mK/W) al cociente Circuito térmico equivalente:

q

T1

Ln(r 2 /r 1 )

q’

T2

T1

2kL

Ln(r 2 /r 1 ) )

T2

2k

Cilindro multicapas

k23 k34

k12 r3 r1 r2

La potencia térmica transmitida de dentro a fuera (o viceversa) es constante a través de todas y cada una de las capas, pues ya se ha visto es independiente de r.

                               

En función de las temperaturas de las superficies de contorno

[58]


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN [PERMANENTE EN UNA DIMENSION [Cuadernos Régimen Permanente de Transmisión en una de Dimensión. Calor.] ]

3.2 19

Caso de existir resistencias superficiales

k23 k34

hi Tfi

he Tfe

k12

El balance de energía en la superficie exterior: q = he · Ae (T4-Tfe) = he · 2 r4 L · (T4-Tfe) El balance de energía en la superficie exterior: q = hi · Ai (Tfi-T1) = hi · 2 r1 L · (Tfi-T1) Lo que define las resistencias térmicas superficiales (convección)

                 

      

junto a las resistencias térmicas internas (conducción):

La expresión de la potencia térmica en función de las temperaturas de los fluidos interior y exterior es:

                          Circuito térmico equivalente: q

Tfi

1 i hi 1/A 2riL·hi

T1

12 Rt 12

T2

r i+1 lnRt 23 r2i3

T3

34 Rt 34

T4

2LKi

1 2reL·he


Tfe

CONDUCCION DE CALOR [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.] REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION

3.2 20

En ocasiones puede hacerse referencia al flujo de calor por conducción que atraviesa una superficie cilíndrica (q”=q/A). En este caso es necesario señalar qué superficie es la afectada, pues ésta varía del interior al exterior. Se define así el coeficiente global de transmisión de calor en cilindros … q = U · A · (T fi-Tfe) que puede tomar dos valores en función de la superficie tomada: q = Ui · Ai · (Tfi-Tfe) = Ue· Ae · (Tfi-Tfe) Obviamente … q = (Tfi-Tfe) / Rttotal de donde se puede deducir la expresión de Ue y de Ui. Típicamente el valor de U es referido al área exterior.

Radio crítico en tuberías Al aumentar el radio exterior de una tubería, la resistencia térmica de conducción aumenta mientras la resistencia de convección disminuye. Ello puede ocasionar que en determinadas circunstancias disponer un determinado espesor aislante sea contraproducente. En el caso de una tubería recubierta de aislante (k A) desde r2 hasta un radio r, la resistencia térmica total sería

                                 

r1

r2

he

r kA

Si derivamos la expresión Rt(r) e igualamos a cero para obtener un máximo/mínimo …

Solución:

  

16 14

  

radio exterior tubo desnudo = 1 mm

12

Además se demuestra que corresponde a un valor mínimo de la resistencia térmica y, por tanto, maximiza la potencia térmica transmitida por la tubería.

Rtotal

10 Rcond

8 6 4

Así, disponer un espesor de aislante tal que la superficie exterior coincida con el radio crítico contribuye a maximizar las pérdidas de calor, en lugar de reducirlas.

Rconv

2 0 0

espesor crítico

2

4

6

8

10

  

Nótese que para valores habituales de h e (5 a 10 W/m2K) y de k ( 0,04 W/m-K) el radio crítico sería de 4 a 8 mm, lo que ya es inferior a los espesores comerciales de aislamiento para tuberías, por lo que se trata de un resultado sin interés práctico. [60]


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN[Régimen PERMANENTE EN UNA [Cuadernos Permanente de Transmisión en unaDIMENSION de Dimensión. Calor.] ]

3.2 21

Caso de ESFERA con temperaturas de contorno conocidas Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(r, , , t) Unidimensional … T=T(r,t) Régimen permanente … T=T(r) Sin fuentes ni sumideros … q*=0

                          

T2 T1 r1 r2


k12

Particularizando:

Condiciones de contorno:

[1] contorno interior r=r1 … [2] contorno exterior r=r2 …

 

            Entonces la solución del perfil de temperatura es:

                                       La potencia térmica transmitida es …

… q es independiente del radio r

Nótese que q es constante pero no así q”=q/4 r2 ya que el área de transferencia de calor se incrementa al aumentar el radio del cilindro.

[61]



El cociente

  

3.2 22

… es la resistencia térmica total Rt (K/W) de la capa con conductividad

k y radios de contorno r 1 y r2. El circuito térmico equivalente es …

q

T1

T2

1/r 1 -1/r 2 4k

Esfera multicapas T3 T2 T1 r1 r2 r3 k12 k23

La potencia térmica transmitida de dentro a fuera (o viceversa) es constante a través de todas y cada una de las capas, pues ya se ha visto es independiente de r.

                                       

En función de las temperaturas de las superficies de contorno


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN [PERMANENTE EN UNA [Cuadernos Régimen Permanente de Transmisión en unaDIMENSION de Dimensión. Calor.] ]

3.2 23

Caso de existir resistencias superficiales

hi Tfi

r1

he Tfe

r2 r3

k12 k23

El balance de energía en la superficie exterior: q = he · Ae (T3-Tfe) = he · 4 r32 · (T3-Tfe) El balance de energía en la superficie exterior: q = hi · Ai (Tfi-T1) = hi · 4 r12 · (Tfi-T1) Lo que define las resistencias térmicas superficiales (convección)

          junto a las resistencias térmicas internas (conducción):

             

La expresión de la potencia térmica en función de las temperaturas de los fluidos interior y exterior es:

                           Circuito térmico equivalente: q

Tfi

1 i hi 1/A 4ri2·hi

T1

12 Rt 12

T2

231 1 Rt 23 -

ri

T3

34 Rt 34

T4

ri+1

4Ki


1 4re2·he

Tfe


3.2 24

En ocasiones puede hacerse referencia al flujo de calor por conducción que atraviesa una superficie esférica (q”=q/A). En este caso es necesario señalar qué superficie es la afectada pues esta varía del interior al exterior. Al igual que en el caso de los cilindros puede aparecer el coeficiente global de transmisión de calor en esferas … q = U · A · (Tfi-Tfe) que puede tomar dos valores en función de la superficie tomada: q = Ui · Ai · (Tfi-Tfe) = Ue· Ae · (Tfi-Tfe) q = (Tfi-Tfe) / Rttotal Típicamente el valor de U es referido al área exterior (4 re2).

Radio crítico en esferas Al igual que en el caso de geometrías cilíndricas existe un radio crítico que maximiza las pérdidas de calor de una esfera. Haciendo un estudio similar al efectuado para los cilindros se llega al siguiente resultado:

  

No obstante, para valores habituales de k y h e, el radio crítico es de 2-3 cm. Por ello, este resultado no tiene interés práctico en la industria.



3. Conducción de Calor 3.3 Régimen Régi men Permanente en una Dimensión con Fuente/Sumidero

[65]

. 25

REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

Caso de PLACA (PARED PLANA) con fuente uniforme y temperaturas de contorno conocidas Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(x,y,z,t) Unidimensional … T=T(x,t) Régimen permanente … T=T(x) Con fuente de calor uniformemente repartida … q* (W/m 3)

•


                          Particularizando:

•

2L

q* q”(-)

q”(+)

TS1

x=-L

TS2

x=L


[1] temperatura superficial conocida (x=-L) [2] temperatura superficial conocida (x=L)

           •

Perfil de temperatura

                

Se trata de un perfil parabólico con un valor máximo en las cercanías de la cara más caliente (en el centro si Ts1 = Ts2)

•

Potencia térmica (flujo de calor)

q = -k A dT/dx …

            

donde el término “k/2L (T S1 S1-T S2 S2 )” representa el flujo de calor sin fuente (q” sin) mientras el término “q*x” no no es sino el flujo debido a la fuente de calor.



CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE UNAenDIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Régimen Permanente [EN ] ] Cuadernos de una Transmisión Dimensión de conCalor. Fuente/Sumidero.

3.3 26 2L

Así, el flujo de calor por los contornos … q”(+) = q” sin + q* L q”(-) = q” sin - q* L

q*

q”(-)

q”(+)

donde L es el semiespesor y los indicadores (+) y (-) (-) representan los flujos de calor por la derecha y por la izquierda Obviamente la resta de ambas expresiones no es sino el balance de energía en el conjunto: q”(+) - q”(-) = q” sin + q* L - q” sin + q* L = q* 2L … q”(-) + q* 2L = q”(+) donde q* 2L = q”gen Por tanto …

q*

q”(+) = q” sin + ½ q”gen q”(-) = q” sin - ½ q”gen

q”(-) TS1

q”(+) fuente

TS2

sumidero

Caso de simetría (Ts1=Ts2) q” sin = 0 pues T=0 q”(+) = ½ q” gen q”(-) = - ½ q” gen

2L

q*

T(x=0) = q*L2/2k + Ts

Caso adiabático (L = semiespesor)

q”(+) TS2

q”(+) = q* L

Caso de pared multicapa con fuente interna q”(+) = (TF1 – TS1) / Rt”1 q”(-) = (TS2 – TF2) / Rt”2 Por otro lado, según acabamos de ver …

               Despejando …


L

. 27

REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.] 2L

Entonces el flujo de calor a través de cada una de las superficies …

                               Además …

q* q”(-)

q”(+) TS1

TF1 h1

TS2

x=-L R”1

    

TF2 h2

x=L R”gen

R”2

R”t

Así la diferencia de temperaturas entre fluidos …

T F1 F1-T F2 F2 = (T F1 F1 – T 1 ) + (T 1 – T 2 ) + … + (T S1 S1 – T S2 S2 ) + … + (T 8 – T 9 ) + (T 9 – T F2 F2 )

                        Rt"

                      Y como

q”(-) + q* 2L = q”(+) entonces también …

                   En caso de condiciones simétricas (T F1=TF2 ; h1=h2) q”(+) = - q”(-) q”(+) = ½ q”gen = q* semiespesor q”(-) = - ½ q”gen = - q* semiespesor

[68] Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano Corrochano

Rt 2"

. 28

REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Régimen Permanente [Cuadernos ] ] en de una Transmisión Dimensión de conCalor. Fuente/Sumidero.

Caso de CILINDRO INFINITO (tubería) con fuente uniforme y temperaturas de contorno conocidas Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(r, , z, t) Unidimensional … T=T(r,t) Régimen permanente … T=T(r) Con fuente de calor uniformemente repartida … q* (W/m 3)

•


•


•


T2 r2 T1

r1

                                                        [1] temperatura superficial conocida: conocida: T(r1)=TS1 [2] temperatura superficial conocida: T(r2)=TS2

                                                •


Se trata de un perfil compuesto logarítmico y parabólico.

•

Potencia térmica (a través de un cilindro de radio r y longitud L)

                                                    



CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.3 29

R2

q(+) q*

R1

Aplicándolo a los contornos r 1 y r2 … q(r=r1) = q(-) q(r=r2) = q(+)

q(-)

                                                                           Y como el balance de energía en el conjunto es … q(+) = q(-) q(-) + q* · (r22-r21)L



donde el primer término



representa la potencia térmica sin fuente (qsin) mientras el

    

segundo término se corresponde con la fuente de calor corregida por el efecto de curvatura de las superficies

Nótese que las expresiones anteriores son también válidas para la potencia térmica lineal (q’, W/m) sin más que eliminar L

         

Generalizando al caso de cilindro multicapa con fuente interna y condiciones convectivas superficiales q(+) = q(-) + q* ·

2 2  (r 3-r 2)

R4 R3

q(+)

L

TF1 h1

q(+) = (T4 – TF2) / Rt2 q(-) = (TF1 – T1) / Rt1

           Cuadernos de Transmisión [70] de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

TF2 h2

q*

R2 R1

q(-) Rt1 Rtgen Rt2

Rtot


3.3 30

Descomponiendo … (TF1-TF2 ) = (TF1-T1) + (T1-T2) + (T2-T3) + (T3-T4) + (T4-TF2) Y teniendo en cuenta que …

               

Como además … q(+) = q(-) + q* ·  (R23-R22) L Sustituyendo y reagrupando puede demostrarse que …

                                                            Donde Rtgen es la resistencia térmica de la fuente

 

• Caso de cilindro macizo con fuente interior (ver capítulo 3.1 página 7) La singularidad en el eje de un cilindro macizo (r=0) se resuelve durante la integración de la ecuación general anulando el término conflictivo (c 1/r). En este caso particular: q(-) carece de sentido q(+) = q*· vol fuente NOTA: en régimen permanente todo el calor generado en el interior debe disiparse por el contorno del objeto


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE[Cuadernos EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Conducción ] de Transmisión de Calor. de] Calor.

3.3 31

Caso de ESFERA con fuente uniforme y temperaturas de contorno conocidas Sistema de coordenadas cartesianas … T=T(r, , , t) Unidimensional … T=T(r,t) Régimen permanente … T=T(r) Con fuente de calor uniformemente repartida … q* (W/m 3)

T2

r1 r2

•

hi Tfi

Ecuación general (con propiedades termofísicas ctes):

     •

T1

k12


                    

                                    •


[1] temperatura superficial conocida: T(r1)=TS1 [2] temperatura superficial conocida: T(r2)=TS2

                                                    •


Se trata de un perfil compuesto parabólico y (1/r).

•

Potencia térmica (a través de una esfera de radio r)

                    

[72]


he Tfe

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE UNAenDIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Régimen Permanente [EN ] ] Cuadernos de una Transmisión Dimensión de con Calor. Fuente/Sumidero.

3.3 32

                      Aplicándolo a los contornos r1 y r2 … q(r=r1) = q(-) q(r=r2) = q(+)

                             Y como el balance de energía en el conjunto es … q(+) = q(-) + q* · 4/3  (r32-r31)

R2

                        

R1

donde el primer término

q(+) q* q(-)

representa la potencia térmica sin fuente (qsin) mientras el

      

segundo término se corresponde con la fuente de calor corregida por el efecto de curvatura de las superficies

Generalizando al caso de esfera multicapa con fuente interna y condiciones convectivas superficiales

R4 R3

q(+) = q(-) + q* · 4/3  (r32-r31)

R2 R1

q(+) = (T4 – TF2) / Rt2 q(-) = (TF1 – T1) / Rt1

q(+)

TF1 h1

                [73] Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

TF2 h2

q*

q(-) Rt1 Rtgen Rt2

Rtot

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN PERMANENTE[EN UNA DIMENSION CON FUENTE/SUMIDERO [Conducción ] Cuadernos de Transmisión de Calor. de] Calor.

3.3 33

Descomponiendo … (TF1-TF2 ) = (TF1-T1) + (T1-T2) + (T2-T3) + (T3-T4) + (T4-TF2) Y teniendo en cuenta que …

                 

Como además … q(+) = q(-) + q* · 4/3  (r32-r31) Sustituyendo y reagrupando se llega a …

                                                    donde Rtgen es la resistencia térmica de la fuente

• Caso de esfera maciza con fuente interior (ver capítulo 3.1 página 8) La singularidad en el centro de una esfera maciza (r=0) se resuelve durante la integración de la ecuación general anulando el término conflictivo (c 1/r). En este caso particular: q(-) carece de sentido q(+) = q*· vol fuente NOTA: en régimen permanente todo el calor generado en el interior debe disiparse por el contorno del objeto



3.3 34

Fuentes de calor: El lector debe entender que el término fuente/sumidero de calor puede representar muy diferentes situaciones prácticas: la aportación de calor sensible desde una corriente fluida o la disipación de calor latente en un proceso con cambio de fase; el calor generado en un proceso químico exotérmico o absorbido en una reacción endotérmica; el calor liberado por efecto Joule en resistencias eléctricas; la liberación de energía en procesos de desintegración de radionucleidos; el calentamiento debido a la fricción de dos sólidos, etc ...

Tipo Térmica

Química Eléctrica Nuclear Otras

Expresión matemática q = m · Cp · T q = m · h q = m · Hfg q = mfuel · PCI q = mreac · hreac q = U · I = I2 · R = I2 ·  ·L / S  q = No ·  e- t · Ed Fricción Radiación



3. Conducción de Calor         

[77]

SUPERFICIES ADICIONALES. ALETAS [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

. 35

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA De acuerdo con la Ley de Newton (q=h·A·T) para incrementar el calor disipado por convección desde un cuerpo hacia un medio las soluciones posibles son:

• • •

Incrementar el coeficiente de película, h Reducir la temperatura del medio y, por tanto, incrementar T (T =Tsup-Tfluido) Aumentar la superficie de intercambio de calor, A

Esta última opción justifica la aparición de SUPERFICIES ADICIONALES, conocidas también como ALETAS ( fins). fins). El adjetivo “adicional” indica que se trata de añadir una superficie auxiliar a la superficie base del cuerpo para incrementar el área de intercambio. La resolución de un problema con superficies adicionales pasa por resolver la ecuación de difusión de calor en el seno del material de la aleta y considerar la convección como condición de contorno. Nótese que la condición convectiva puede ser convectivo-radiativa (aleta radiante). Para ello se considerará una geometría UNIDIMENSIONAL, correspondiente a una aleta de cierta longitud y espesor reducido frente a aquella. Existen multitud de ejemplos de superficies aleteadas en aplicaciones industriales: baterías de calefacción y refrigeración, cilindros de motores, disipadores de calor de microprocesadores …

Tipos de aletas Se estudiarán tres tipos de superficies adicionales: aletas rectas, agujas y aletas anulares. Las aletas rectas pueden ser de espesor uniforme, triangulares, trapezoidales o de sección parabólica. Las agujas pueden ser cilíndricas, troncocónicas (y cónicas) o de sección parabólica. Las aletas anulares pueden ser independientes (aisladas) o for mando una placa. Las aletas pueden ser fundidas junto con material base, mecanizadas a partir de este, soldadas/pegadas a la superficie base, encajadas en ranuras o simplemente en contacto con esta (láminas). En este último caso, puede existir una resistencia de contacto entre la superficie de la base y de la aleta, frecuentemente de distintos materiales (Cu, Acero, Al).

[78]

CONDUCCION DE CALOR SUPERFICIES ADICIONALES. ALETAS [Cuadernos [ ] ] de  Transmisión  de Calor.

3.4 36

Las aletas fundidas son de mayor espesor y, por tanto, de mayor peso y consistencia mecánica. Por el contrario, las láminas son muy finas, maleables, ligeras y de menor resistencia mecánica. Estas suelen ser de aluminio (densidad baja y alta conductividad). La separación entre aletas (o densidad de aleteado) determina el área de la superficie adicional, también el peso del conjunto. Pero también condiciona la pérdida de carga del fluido a través de las mismas o el propio proceso de intercambio de calor por la acumulación de suciedad o de hielo en los espacios entre aletas. Todos estos factores han de tenerse presente en el diseño.

Estudio de la transmisión de calor en una aleta Sea una aleta genérica en contacto con una superficie base a la temperatura Tb y sometida a un flujo convectivo de temperatura TF y coeficiente de película h.

S(x)

qb

A(x)

qS

Ab qx

qx+dx

k dS

x

dx

                                                                                                     

Balance de energía:

Sustituyendo:


CONDUCCION DE CALOR SUPERFICIES ALETAS [Cuadernos [ADICIONALES. Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.] Reordenando:

3.4 37

                                 

Expresión general del comportamiento de una aleta:

La potencia térmica disipada por la aleta proviene de la potencia térmica aportada desde la(s) base(s) de la misma:

Caso de aleta recta de espesor uniforme En este caso la sección recta A es constante … A=B·w {B=anchura; w=espesor} La superficie lateral de disipación de calor … S(x)=(2B+2w)·x = P·x {P=perímetro} Simplificando la expresión general:

                          

x B W

cuya solución es del tipo:

L

Tb b

Te e

TF x=0

x=L x

k



3.4 38

Para calcular los coeficientes c1 y c2 es necesario imponer dos condiciones de contorno cualesquiera. La primera será: “temperatura conocida en la superficie base” base” … T(x=0)=Tb La segunda condición depende del caso considerado:

• Extremo activo, esto es, disipación de calor convectiva (he) por el extremo

                                               

El perfil de temperatura en la aleta es:

La potencia disipada es:

Nótese que el parámetro “m” incluye el coeficiente de película h (aplicado a la superficie de transmisión lateral) mientras el parámetro “H” incluye el coeficiente de película h e, aplicado al borde de la aleta. En ocasiones (o para simplificar) puede considerarse h=h e Nota: cuando el espesor de la aleta es despreciable frente a la anchura de esta entonces el perímetro P y la superficie lateral pueden simplificarse (P2·B; SP·L)

• Extremo adiabático, esto es, no existe o se desprecia la transmisión de calor por el extremo.

        

Este caso no es sino un caso particular del anterior en el que h e0 y, por tanto, H=0 El perfil de temperatura y la potencia disipada en la aleta son:

       

Dado que esta segunda expresión de q fin es mucho más manejable que la primera, la condición de convección en el extremo puede sustituirse por esta última (siendo el error es despreciable si (hw/k) < 0,0625) bajo las siguientes hipótesis: h = he Lc = L + ½ w

(longitud corregida)

.... y entonces:

    


CONDUCCION DE CALOR SUPERFICIES ALETAS [Cuadernos [ADICIONALES. Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.4 39

• Temperatura fija en el extremo

                        (el extremo está a una temperatura fija conocida)

El perfil de temperatura y la potencia disipada en la aleta son:

Nótese que en el caso de que las temperaturas tanto de la base como del extremo sean impuestas, además del calor disipado por la aleta a través de la base (qfin) existe un calor disipado también desde el extremo (qext). Puede obtenerse este calor derivando la expresión =(x) particularizada en x=L.

          

Nota: el lector podría comparar el perfil de temperatura para el caso particular de una aleta con extremo libre convectivo y temperatura resultante en el extremo (T e ) con la misma aleta con temperatura fija en el extremo (T L ) coincidente con aquella (T e ). Matemáticamente el resultado será el mismo, pero el problema físico puede ser di ferente.

      

• Aleta infinita

(el extremo está a la temperatura del fluido)

El concepto de "aleta infinita" se debe a que la aleta ha agotado sus posibilidades de disipación de calor: aunque se aumente su longitud el calor disipado no se incrementará por lo que a partir de una cierta longitud se "desperdicia inútilmente el material" sin beneficio alguno. El perfil de temperatura y la potencia disipada en la aleta son:

           

Al comparar las expresiones correspondientes a las condiciones de extremo adiabático y aleta infinita se puede comprobar que:

•

La potencia disipada sería la misma si ... th(mL)=1 Con un error inferior al 1% del valor de q fin esto es equivalente a … mL > 2,65

•

El valor de la temperatura en el extremo sería el mismo si … exp(-mL)=cosh-1(mL) Con un error inferior al 1% del valor de ( /b) esto es equivalente equivalente a … mL > 4,60 En otras palabras, Si mL > 2,65 la aleta se puede considerar infinita a efectos del cálculo de la potencia disipada Si mL > 4,60 la aleta se puede considerar infinita (la temperatura en el extremo será la del fluido)


SUPERFICIES ADICIONALES. ALETAS [Cuadernos [ ] ] de  Transmisión  de Calor.

. 40

Comparación entre una aleta poco eficiente (mL>3) y otra más eficiente (mL<3). En la figura izqda gran parte de la aleta es improductiva al estar a la temperatura del fluido

        

       

Al examinar la expresión del calor disipado por la aleta (caso más general)

se puede demostrar que la condición para que el calor disipado por la aleta aumente con la longitud de esta … q/L > 0 es que … H2 < 1 Aplicado al caso de una aleta recta de espesor uniforme y considerando h=h e la condición es …

  

Esta condición es semejante a la del radio crítico en el aislamiento de tuberías cilíndricas.

Caso de agujas cilíndricas Las expresiones anteriores son perfectamente aplicables al caso de agujas de sección constante. En particular, para agujas de sección circular … A =  R2 S = 2  R L P = 2  R Así, el parámetro “m” … m2 = hP/kA = 2h/KR




3.4 41

Caso de aleta anular Partiendo de la ecuación general de una aleta, expresada en coordenadas cilíndricas:

            

To

h Tf

w Rb

Y aplicando las siguientes condiciones:

Re

A = 2  r · w S = 2  · (r2-rb2) Se obtiene la expresión (Ecuación de Bessel de orden cero)

                        Cuya solución es

donde Io es la función modificada de Bessel de primera especie de orden 0 Ko es la función modificada de Bessel de segunda especie de orden 0 NOTA: las funciones modificadas de Bessel son accesibles desde cualquier programa matemático (ver, por ejemplo, las funciones ingenieriles de Excel). Suelen ser tabuladas o representadas como producto de la exponencial e-x por dichas funciones: 3

   2,5

2

1

   1,5 0,8 orden 1

1 0,6

orden 0

0,5 0,4

0,2

0 0

orden 0

0 0

2

4



orden 1

2

4



6

8

10


6

8

10


3.4 42

Caso de extremo adiabático El perfil de temperatura y la potencia disipada en la aleta para una condición de contorno de extremo adiabático son:

              

Condiciones de diseño de una aleta (eficacia de una aleta) Comparemos el calor disipado a través de una aleta y el disipado por el mismo cuerpo sin aleta a través de la base o superficie primaria (A b) a la temperatura Tb: Con aleta … (caso de aleta infinita, por ejemplo)

      

Sin aleta … qsin = h · Ab ·  b Entonces el cociente (ratio) es …

  

Para incrementar este ratio 1. K debe ser alta … emplear un material de alta conductividad (Cu, Al) 2. El cociente P/Ab deber ser elevado … emplear aletas delgadas 3. h deber ser pequeño … Esta última condición nos dice que las aletas están especialmente indicadas cuando se trata de convección libre. Nótese que esto no quiere decir que el calor disipado por la aleta sea mayor cuanto menor sea el valor del coeficiente de convección (¡todo ( ¡todo lo contrario!). Es habitual utilizar como condición de diseño que dicho ratio sea superior a 2.

EFECTIVIDAD DE UNA ALETA Se define la efectividad de una aleta como el cociente entre el calor disipado por la misma y el que disiparía en caso de que toda la superficie de la aleta estuviese a la temperatura de la base. Obviamente es un valor comprendido entre 0 y 1.

     



3.4 43

De esta manera, el calor disipado por una aleta se podrá calcular fácilmente a partir del q max y de la efectividad de la misma: qfin = qmax · f = h S b · f En el caso de aleta recta de espesor uniforme con extremo adiabático …

             

Esto significa que la efectividad de la aleta disminuye a medida que su longitud es mayor Esta expresión también es válida para el caso aleta recta con extremo activo, corrigiendo la longitud de la aleta y en el supuesto de que h=h e

    donde

Lc = L + ½ w (longitud corregida para aleta de espesor w) Lc = L +  4 D (longitud corregida para aguja de diámetro D) Esta expresión se muestra en la gráfica adjunta en la que se representa la efectividad de una aleta recta de espesor uniforme en función del parámetro mL

η Aleta A leta recta recta de espesor espesor uniform uniforme e

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

   0,3 0

0,5

1

1,5

2

2,5

NOTA: En numerosas referencias bibliográficas aparece representada esta función (f ) no sólo para aletas rectas de espesor uniforme sino también para aletas de perfil triangular o parabólico.



3.4 44

Caso de aletas anulares Se definen los parámetros  y , de modo que la efectividad … f = f(,)

                                                                                                             Sustituyendo y simplificando…



Esta compleja expresión de la efectividad de una aleta anular en función de los parámetros  y  suele ser representada gráficamente …

 

       


CONDUCCION DE CALOR SUPERFICIES [ADICIONALES. ALETAS ] Conducción de Calor.

3.4 45

EFECTIVIDAD GLOBAL DE UNA SUPERFICIE ALETEADA Resolución de un problema de disipación de calor a través de una superficie aleteada Definiciones: Sb - Area de la superficie base Tb – Temperatura de la superficie base b = Tb - T Sf - Area de la superficie de una aleta N – número de aletas



N·Sf – – Area total de las aletas Stotal – Area total de transferencia de calor Stotal = N·Sf + + Sb

Por definición de efectividad de una superficie aleteada ( total):

                         El cociente N·Sf /S /Stotal depende de la geometría y del espaciado entre aletas ( ). Así, la efectividad de una superficie aleteada (total) y la efectividad de la aleta aislada (fin) están relacionadas. En la siguiente gráfica puede verse tal relación 1

η ηfin = 0,9

0,9 ηfin = 0,7

0,8 ηfin = 0,5

0,7

0,6   0,5 0

0,2

0, 4

0,6

0, 8

1

Finalmente, se puede estimar el calor disipado por la superficie total aleteada como ...

        


. 46

SUPERFICIES ADICIONALES. ALETAS [Cuadernos [ ] ] de  Transmisión  de Calor. Resistencia térmica equivalente de la superficie aleteada

El circuito térmico equivalente de una superficie aleteada se representa por un circuito paralelo con la superficie primaria y la superficie adicional. En algún caso (aletas soldadas o sin buen contacto) podría contemplarse una resistencia térmica de contacto entre ambas superficies. aletas

Tb

Resistencia de contacto

Tf Superficie primaria

Rcont aletas

Tb

Tf Superficie primaria

El circuito puede simplificarse teniendo en cuenta el concepto de efectividad global de la superficie aleteada, que permite obtener una resistencia térmica equivalente del conjunto:

                    

q

Tb

Tf

1 h Stotal total

En el caso más general, no se conocerá la temperatura de la superficie exterior de la base (Tb) sino la temperatura del fluido que baña la superficie interior de la misma con coeficiente de convección hi. En ese caso, podemos extender el circuito térmico equivalente añadiendo las resistencias térmicas adecuadas:

q

hi Tfi

he Tfe

Tfi

1

T1

T2

Rt 12 12

hi Si


T3

Rt 23 23

1 he Stotal total

Tfe

3. Conducción de Calor 3.5 Régimen Transitorio

[91]

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN TRANSITORIO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.5 47

INTRODUCCION Se trata de resolver de forma analítica un tipo concreto de problemas de transferencia de calor en régimen variable (transitorios) en el que un objeto, inicialmente en equilibrio térmico con el medio, es sumergido en otro medio a temperatura diferente hasta encontrar un nuevo estado de equilibrio. La resolución del problema pasa por encontrar el campo de temperaturas T(x,y,z,t), en cualquier momento y posición, así como la energía (Q) intercambiada durante el transitorio.

METODO DE LA CAPACITANCIA Para el caso de un cuerpo delgado (placa) hecho de un material con alta conductividad térmica, el gradiente de temperatura entre el centro y la superficie es pequeño, esto es, la resistencia térmica conductiva (Rk=L/k) puede considerarse despreciable y el cuerpo se encuentra a temperatura prácticamente uniforme en cada instante. Así pues, el perfil de temperatura siempre es plano pero va cambiando en el tiempo. Se trata de una función dependiente sólo del tiempo, T(t). Balance de energía en el cuerpo:

                                            

Se trata de una evolución exponencial de la temperatura donde  es la constante de tiempo (tiempo para el que el valor de la variable T-T f se reduce en un factor e).

180 160



140 120 100

Ejemplo: Evolución temporal de la temperatura en un mismo cuerpo en diferentes condiciones convectivas 2 (h = 20/50/100 W/m K ;  = 9000/3600/1800 s)

80 60 τ=9000

40 τ=3600

20

τ=1800

0 0

4000

8000

12000

16000

20000



[92]


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN TRANSITORIO [Cuadernos [Régimen de Transmisión Transitorio. de] Calor.]

3.5 48

Existe cierta similitud entre el comportamiento térmico de este cuerpo y la evolución temporal de un circuito eléctrico del tipo capacitivo RC (resistencia + condensador)

                 

… donde C es la capacitancia (o capacidad térmica del cuerpo)

Evolución de la tensión (intensidad de corriente) en un circuito eléctrico RC (carga, descarga). La constante de tiempo es R·C

Si la constante de tiempo ( ) es elevada entonces la temperatura del cuerpo evoluciona lentamente. Ello se produce en las siguientes circunstancias:

• • •

Densidad y/o calor específico elevados Relación V/A elevada Coeficiente de convección h reducido

De la expresión anterior también puede calcularse el tiempo necesario para que el cuerpo alcance una determinada temperatura a partir de un valor inicial Ti.

                  

Asimismo, el calor o energía transferida durante el proceso desde el momento inicial y hasta un instante t es …

                            Criterio de aplicación del método de la capacitancia La aplicabilidad del método de la capacitancia pasa por comprobar la hipótesis de partida: la resistencia térmica conductiva (Rk = L/k) debe ser despreciable frente a la resistencia convectiva (Rh = 1/h), esto es …

     



3.5 49

donde L es una longitud característica que se corresponde con la máxima diferencia de temperaturas en el interior del cuerpo. De forma general, puede estimarse L como el cociente entre el volumen del sólido y la superficie expuesta al fluido. Así resulta el semiespesor en el caso de placas. Sin embargo, para el caso de cilindros y esferas macizas, es preferible adoptar un criterio más conservador, tomando como longitud característica el propio RADIO (R), en lugar de aplicar el criterio general que nos llevaría a valores de L de R/2 para cilindros y R/3 para esferas. 2L

La aplicación de este método puede ser aceptable para (hL/k) < 0,1 si bien el resultado debe considerarse sólo aproximado.

NUMEROS ADIMENSIONALES de FOURIER y BIOT En lo que sigue será de gran interés definir los números adimensionales de Fourier (Fo) y Biot (Bi):

     

donde  es la difusividad térmica ( =k/Cp), t es el tiempo y L es una longitud característica del cuerpo (semiespesor o radio). El número de Fourier es un parámetro adimensional del tiempo.

donde h es el coeficiente de convección y k es la conductividad térmica del material. El número de Biot es el ratio entre la resistencia térmica conductiva interna del cuerpo (L/k) y la resistencia térmica convectiva superficial (1/h). Viene a mostrar el gradiente de temperatura en el interior del cuerpo frente al gradiente de temperatura superficial.

(1/Bi) alto

(1/Bi) bajo

Así, el criterio de aplicabilidad del método dela capacitancia sería equivalente a … Bi < 0,01 … o lo que es lo mismo … 1/Bi > 100



3.5 50

RESOLUCION DE LA ECUACION GENERAL Se planteará la ecuación general de conducción de calor en régimen transitorio y sin fuentes internas en una única dirección, axial o radial (x, r)

                                     

Se aplicará la técnica de superposición por la que la solución T(x,t) puede expresarse como producto de dos funciones independientes T(x,t) = f(x) · g(t) Así, la ecuación general queda como sigue …

                         Separando variables …

Así la solución es del tipo …

                   •

Caso de PARED PLANA

Una placa de espesor 2L a temperatura inicial uniforme Ti se sumerge en un fluido a temperatura Tf (coeficiente de convección h) … Solución general:

         

TF h

TF h

Condiciones de contorno: t=0 t>0 t>0

… … …

T(0,x) = Ti [T/x]x=0 = 0 -k · [T/x]x=L = h (TL-TF)

2L



3.5 51

Se demuestra que la solución exacta es la siguiente serie infinita:

                                                                        donde

y

son las raíces positivas de la ecuación trascendente …

Por otra parte, la energía transferida durante el proceso es …

Cuya solución es la serie infinita …

donde Qi es el calor necesario para llegar al equilibrio térmico con el medio (máximo calor transferible en un tiempo infinito)

           Solución aproximada

Cuando Fo > 0,2, lo cual se verifica para espesores reducidos y tiempos de cálculo suficientemente largos, la serie infinita puede aproximarse por el primer término:

                   

Por lo que, particularizando en x=0 …

Y entonces para cualquier x…



3.5 52

Por otra parte …

          Nota: Bi =hL/k (L es el semiespesor de la placa) placa)

Resumen del procedimiento simplificado: Se calcula el número de Bi, lo que permite estimar la raíz primera 1 y con esta el valor de c 1. Para un instante de tiempo t (,y por tanto, un número de Fo) se puede calcular el valor de la temperatura en el eje, a través de la expresión o/i . Finalmente, puede estimarse la temperatura en una posición dada (x/L) a través de la expresión /i Estas relaciones (o/i) y (/i) han sido representadas gráficamente por Heisler en función de los números Bi y Fo (ver anexo). Asimismo, la expresión del calor transferido durante el proceso (hasta el instante Fo) se reduce a …

      

Esta expresión también ha sido representada gráficamente por Heisler en función del producto Bi 2Fo (ver anexo).

Algunas consideraciones:

    



Los gráficos de Heisler y, por tanto, estas expresiones tienen validez en el rango …



El problema de una placa de espesor L y con una de las superficies adiabática tiene, por simetría, la misma solución que la señalada anteriormente



También son de aplicación estas soluciones para el caso de cambio súbito* en la temperatura superficial, sin más que considerar que el ratio 1/Bi se aproxima a cero (1/Bi=0), o lo que es lo mismo, h … Tsup=Tfluido * Ejemplo: se pone en contacto la superficie del objeto con una superficie cuya temperatura se mantiene constante en el tiempo



El coeficiente de película h puede ser un coeficiente combinado de convección y radiación



•

3.5 53

Caso de CILINDRO MACIZO

Un cilindro macizo de radio exterior R a temperatura inicial uniforme T i se sumerge en un fluido a temperatura Tf (coeficiente (coeficiente de convección h) … Solución general: T(x,t) = f(x) · g(t) Condiciones de contorno: 1

t=0 t>0 t>0

… … …

 

T(0,r) = Ti [T/x]r=0 = 0 -k · [T/x]r=R = h (TR-TF)

0,8 0,6 0,4

orden 1

La solución es del tipo

     

0,2 orden 0

0 -0,2

donde Jo es la función de Bessel de orden 0

0

•



-0,4 2

4

6

8

10

Caso de ESFERA MACIZA

Una esfera maciza de radio exterior R a temperatura inicial uniforme Ti se sumerge en un fluido a temperatura Tf (coeficiente (coeficiente de convección h) … Solución general: T(x,t) = f(x) · g(t) Condiciones de contorno: t=0 t>0 t>0

… … …

T(0,r) = Ti [T/x]r=0 = 0 -k · [T/x]r=R = -h (TR-TF)

La solución es del tipo

      

NOTA: el número de Biot (Bi) aplicado al caso de un cilindro/esfera cilindro/esfera macizo es … Bi = hR/k, donde R es el radio exterior del cilindro/esfera



3.5 54

Resumen de soluciones aproximadas (Fo > 0,2) para los casos de cilindro y esfera Caso de cilindro macizo /i

o/i

C1

1

Q/Qi

                                

                                        

Caso de esfera maciza

 o /  i i ;  i ; Q/Qi) Heisler representó gráficamente las funciones (  /   para las geometrías básicas (placa, cilindro, esfera).

Criterio general de aplicación de métodos en régimen transitorio: Si (1/Bi > 100) y (Ti uniforme) … Método de la capacitancia Si (1/Bi < 100) y (Ti uniforme) y (Fo>0,2) … Método aproximado y método gráfico Si (1/Bi < 100) y (Ti uniforme) y (Fo<0,2) … Método exacto Si (1/Bi < 100) y (Ti no uniforme) … Métodos numéricos

REGIMEN TRANSITORIO MULTIDIMENSIONAL Cuando los efectos bidimensionales o tridimensionales son significativos es posible resolver los transitorios de inmersión súbita aplicando nuevamente el principio de superposición de soluciones unidimensionales. Partiendo de la ecuación general de difusión de calor:

               

Simplificando para el caso bidimensional sin fuentes y sustituyendo la T(x,y,t) por la variable "diferencia de temperatura adimensionalizada":



3.5 55

Se obtiene:

      

Para el problema de temperatura inicial uniforme, de valor Ti, las condiciones temporal y de contorno para resolver la ecuación son: t=0 t>0 t>0 t>0 t>0

… *(x,y,t) = 1 … [*/x]x=0 = 0 … [*/y]y=0 = 0 … -k · [*/x]x=L1 = h (TL1-TF) … -k · [*/y]y=L2 = h (TL2-TF)

Aplicando el principio de superposición, es posible encontrar una solución de la temperatura adimensionalizada *(x,y,t) que puede expresarse como composición de soluciones independientes en cada una de las variables x, y.

                                           

Esto es, el problema bidimensional se ha descompuesto en dos problemas unidimensionales

cuya solución individual individual conocemos a través de los gráficos de Heisler (*=/i)

Aplicación al caso de formas básicas Sea, por tanto, un prisma recto de base rectangular y dimensiones (2Lx,2Ly,2Lz) inicialmente a temperatura uniforme Ti Ti (i = Ti – TF) Aplicando el principio de superposición, la solución al problema es *(x,y,z,t) = *x(x,t) · *y(y,t) · *z(z,t)

Así, finalmente …

          [100] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano


3.5 56

De esta manera para obtener solución final (x,y,z,t) en un instante instante de tiempo (Fo) deben obtenerse la solución de 3 problemas unidimensionales unidimensionales en el mismo instante y combinarlas. Así, el caso de una barra infinita (de sección 2·L x x 2·Ly) puede estudiarse como intersección de dos placas (de espesores 2·Lx y 2·Ly, respectivamente), un cilindro finito (radio R y altura 2Lz) como intersección de un cilindro infinito (de radio R) y una placa (de espesor 2L z) y un prisma como intersección de tres placas planas.

Si el problema consiste en estimar la temperatura (T) en el interior del objeto sumergido al cabo de un cierto tiempo (t), entonces la resolución es directa a través de los gráficos de Heisler o la formulación simplificada. Si el problema consiste en calcular el tiempo necesario (t) para alcanzar una determinada temperatura (T) en un punto escogido (x,y,z) entonces la resolución es algo más laboriosa. Para ello se supondrá un tiempo t 1 y se estimará la temperatura T1 en la posición requerida; posteriormente se supondrá un tiempo t2 y se estimará T2. Si la solución es tal que T1
•

si la forma básica es obtenida por intersección de dos cuerpos [1] y [2], entonces Q/Qi = (Q/Qi)1 + (Q/Qi)2 - (Q/Qi)1(Q/Qi)2

•

si la forma básica es obtenida por intersección de tres cuerpos, entonces Q/Qi = (Q/Qi)1 + (Q/Qi)2 + (Q/Qi)3 - (Q/Qi)1(Q/Qi)2 - (Q/Qi)1(Q/Qi)3 - (Q/Qi)2(Q/Qi)3 + + (Q/Qi)1 · (Q/Qi)2 · (Q/Qi)3

Criterio de aplicación del método de superposición multidimensional: Puede considerarse despreciable aquella dimensión que excede en 10 veces la menor de las otras. Por ejemplo, el caso de un cilindro de radio R y altura 10·R puede evaluarse como un problema unidimensional.



3.5 57

Caso de sólido semi-infinito Se trata de un objeto definido por una única superficie plana, extendiéndose hasta el infinito por el resto de direcciones. El problema es, por tanto, unidimensional. El problema a estudiar es el cambio súbito de condiciones sobre la superficie, partiendo inicialmente del sólido semi-infinito a temperatura uniforme y conocida. Por tanto, dos de las condiciones del ejercicio son: t=0 ... T(x)=Ti t>0 ... T(x , t)=Ti La tercera condición puede ser:

• • •

TF , h

qo”

Temperatura superficial constante: t>0 ... T(0,t)=Ts Flujo de calor superficial constante: t>0 ... qo"=-k(T/x)x=0 convección superficial: t>0 ... h [TF -T(0,t)]=-k(T/x)x=0

T(0,t)=Ts x T(x,0)= Ti

T(x,0)=Ti

T(x,0)=Ti

i) Solución al problema del sólido semi-infinito con condición de temperatura superficial constante

           

El flujo de calor se obtiene aplicando la ley de Fourier en x=0 ...

1

  0,8

0,6

erf(x) es la función gaussiana de error (función matemática estándar accesible en cualquier programa matemático)

0,4

0,2

0 0

 0,5

1


1,5

2

2,5

3

REGIMEN TRANSITORIO [Cuadernos [Régimen de Transmisión Transitorio. de] Calor.]

. 58

ii) Solución al problema del sólido semi-infinito con condición de flujo superficial constante constante

                

iii) Solución al problema del sólido semi-infinito con condición de convección constante

               

donde erfc (x) es la función complementaria de error ... erfc (x) = 1 - erf(x )

•

Un caso particular

Cuando se ponen en contacto las superficies libres de dos sólidos semi-infinitos, inicialmente a temperaturas TA y TB, se inicia un transitorio en el que la temperatura de ambas superficies debe ser la misma e invariable en el tiempo (T S). Por ello, el perfil de temperatura debe ser resuelto doblemente (en cada una de los sólidos) para el caso de temperatura superficial impuesta. El equilibrio de temperatura en la superficie requiere que que ... q"A = q"B balance del que se obtiene la temperatura superficial T S.



CONDUCCION DE CALOR REGIMEN TRANSITORIO. ANEXO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.5 59

Tabla: Valores de la primera raíz de las ecuaciones transcendentes de régimen transitorio unidireccional, y primer coeficiente para la determinación analítica de las soluciones. Biot

Placa

Cilindro

Esfera

ξ[1]

C[1]

ξ[1]

C[1]

ξ[1]

C[1]

0,01

0,099834

1,001661

0,141245

1,002496

0,173032

1,002998

0,02

0,140952

1,003310

0,199501

1,004983

0,244460

1,005992

0,03

0,172344

1,004948

0,244033

1,007462

0,299102

1,008982

0,04

0,198676

1,006574

0,281434

1,009933

0,345028

1,011969

0,05

0,221760

1,008189

0,314262

1,012395

0,385368

1,014951

0,06

0,242526

1,009792

0,343828

1,014849

0,421728

1,017929

0,07

0,261528

1,011385

0,370916

1,017294

0,455064

1,020902

0,08

0,279126

1,012966

0,396033

1,019731

0,485999

1,023872

0,09

0,295574

1,014535

0,419536

1,022160

0,514966

1,026837

0,1

0,311053

1,016094

0,441682

1,024579

0,542281 0,542281

1,029798

0,125

0,346354

1,019943

0,492289

1,030591

0,604780

1,037180

0,15

0,377878

1,023724

0,537614

1,036550

0,660857

1,044535

0,175

0,406512

1,027439

0,578903

1,042454

0,712034

1,051860

0,2

0,432841

1,031088

0,616975

1,048304

0,759308 0,759308

1,059155

0,25

0,480094

1,038192

0,685588

1,059842

0,844731

1,073652

0,3

0,521791

1,045047

0,746461

1,071162

0,920787 0,920787

1,088021

0,4

0,593242

1,058039

0,851578

1,093145

1,052795

1,116351

0,5

0,653271

1,070128

0,940771

1,114255

1,165561 1,165561

1,144106

0,6

0,705065

1,081378

1,018442

1,134498

1,264404

1,171252

0,7

0,750558

1,091848

1,087254

1,153885

1,352522 1,352522

1,197759

0,8

0,791034

1,101595

1,148972

1,172434

1,432032

1,223605

0,9

0,827401

1,110673

1,204840

1,190162

1,504423 1,504423

1,248770

1

0,860334

1,119132

1,255784

1,207092

1,570849

1,273252

1,5

0,988241

1,153670

1,456949

1,280677

1,836597 1,836597

1,384963

2

1,076874

1,178456

1,599449

1,338377

2,028758

1,479319

2,5

1,142227

1,196623

1,706021

1,383559

2,174626 2,174626

1,557837

3

1,192459

1,210226

1,788657

1,419095

2,288930

1,622681

4

1,264592

1,228708

1,908079

1,469796

2,455643

1,720172

5

1,313838

1,240249

1,989815

1,502869

2,570432

1,787001

6

1,349553

1,247884

2,049012

1,525313

2,653662

1,833779

7

1,376615

1,253175

2,093731

1,541106

2,716460

1,867347

8

1,397816

1,256983

2,128639

1,552578

2,765360

1,892038

9

1,414865

1,259809

2,156607

1,561143

2,804425

1,910624

10

1,428870

1,261963

2,179497

1,567692

2,836300

1,924909 1,924909

15

1,472916

1,267649

2,250879

1,585035

2,934946

1,962958 1,962958

20

1,496129

1,269916

2,288048

1,591944

2,985724

1,978138 1,978138

25

1,510452

1,271040

2,310798

1,595358

3,016558

1,985622 1,985622

30

1,520167

1,271678

2,326143

1,597288

3,037241

1,989840 1,989840

35

1,527190

1,272074

2,337189

1,598483

3,052066

1,992445 1,992445

40

1,532502

1,272336

2,345518

1,599274

3,063210

1,994165 1,994165

45

1,536662

1,272519

2,352022

1,599824

3,071890

1,995359 1,995359

50

1,540006

1,272652

2,357242

1,600221

3,078842

1,996221 1,996221

60

1,545051

1,272827

2,365098

1,600745

3,089280

1,997355 1,997355

70

1,548676

1,272934

2,370728

1,601066

3,096742

1,998046 1,998046

80

1,551406

1,273004

2,374961

1,601275

3,102343

1,998498 1,998498

90

1,553537

1,273053

2,378259

1,601420

3,106700

1,998810 1,998810

100

1,555245

1,273088

2,380902

1,601524

3,110187

1,999033 1,999033



1,570142

1,273239

2,404777

1,601975

3,141593

2,000000


CONDUCCION DE CALOR REGIMEN TRANSITORIO. ANEXO [Cuadernos [ ] ] de Transmisión  de Calor.


3.5 60



3.5 61

[Cuadernos [de ] ] Transmisión de Calor.

[107]


3.5 63

Ejemplo de solución analítica para la esfera de radio R, por el método de la aproximación a la primera raíz de la ecuación transcendente 1) Caso directo: Determinar la temperatura a ¾ partes del radio R de la esfera a partir de Biot y Fourier: Sea, por ejemplo, Bi= 0,1 (1/Bi=10), Fo=7 a) En el centro de la esfera ·exp ( −ζ12 ·Fo ) θ* = C1 ·e 0

Buscando en la tabla para Bi = 0,1:

ζ1

C1 1,029798

0,542281

θ* = 1,029798·exp ( −0,5422812 ·7 ) = 0,131

Así:

0

b) Temperatura a ¾ partes del radio R de la esfera

ρ=

r R

θ* = θ0*

Así:

=

0, 75 · R R 1

ζ1 ρ

= 0,75

sen ( ζ1ρ )     

secalcula enradianes

θ* = 0,131

1 0,542281·0,75

sen ( 0, 542281 ·0, 75 ) = 0,1274

2) Caso indirecto: Determinar el tiempo para el que se alcanza una temperatura determinada a ¾ partes del radio R de la esfera a partir de Fourier. ∗

Sea, por ejemplo, Bi= 0,1 (1/Bi=10), θ =0,2 Buscando en la tabla para Bi = 0,1:

ζ1 0,542281

C1 1,029798

Así:

θ* = θ0*

1

ζ1 ρ

sen ( ζ 1ρ )  θ*0 =    

secalcula enradianes

θ* 1

ζ1 ρ

se n ( ζ1ρ )

=

0, 2 1 sen ( 0, 542 281 ·0, 75) 0,542281·0,75


= 0, 2056

CONDUCCION DE CALOR REGIMEN[Cuadernos TRANSITORIO. ANEXO [de ] ] Transmisión  de Calor.

3.5 64

Entonces ln

θ* = C1 ·exp ( −ζ12 ·Fo )  Fo = 0

θ*

0

C1

−ζ12

0,2056 1,029798 −0,5422812

ln

=

= 5, 48

3) Determinación del calor disipado, a partir de Bi y Fo Sea, por ejemplo, Bi= 0,1 (1/Bi=10), Fo=7 Q Qi

= 1−

3 θ0*

sen ( ξ1 ) − ξ1 cos ( ζ1 ) ζ13 

Buscando en la tabla para Bi = 0,1:

ζ1 0,542281

Así:

C1 1,029798

θ* = C1 ·exp ( −ζ − ζ12 ·Fo ) = 1,029798·exp ( −0,5422812 ·7 ) = 0,131 0

Q Qi

= 1−

3 ·0,131

 sen ( 0, 542281) − 0, 542281·cos( 0, 542281)  0, 5422813 

… Y a partir del valor de Qi

= 0, 873

= m·cP ·( Ti − TF ) se obtiene la energía intercambiada hasta el

instante Fo.



[110]


3. Conducción de Calor 3.6 Métodos Numéricos. Régimen Rég imen Permanente

[111]

CONDUCCION DE CALOR METODOS NUMERICOS. PERMANENTE [Cuadernos [Conducción deREGIMEN Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.6 65

INTRODUCCION La resolución analítica de problemas de conducción de calor queda restringida a geometrías comunes (placas, cilindros, esferas) y a condiciones de contorno particulares (temperatura superficial o flujo superficial impuesto, condición convectiva …). Además, en la mayoría de los casos, las propiedades térmicas implicadas (densidad, conductividad, calor específico …) se consideran constantes. Sin embargo, en muchas ocasiones es necesario encontrar una solución a un problema de transferencia de calor que no reúne las condiciones anteriores citadas o un problema en el que no resulta aceptable forzar tales hipótesis. Así surgen los métodos o técnicas numéricas de resolución que permiten manejar todo tipo de problemas, en especial los de [1] geometría complicada, [2] propiedades térmicas variables y [3] condiciones de contorno no lineales. Los métodos numéricos dan lugar a soluciones numéricas (perfil de temperatura, flujo de calor) en puntos discretos del objeto estudiado y a intervalos discretos de tiempo. No obstante, la aplicación de la informática en la ingeniería permite abordar la mayoría de problemas con el suficiente grado de detalle. Las técnicas numéricas más empleadas son el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos. En este capítulo nos centraremos exclusivamente en el primero de ellos, basado en la expresión de la ecuación de difusión de calor por medio de aproximaciones en diferencias finitas. Esta formulación mostrará una evidente analogía con el estudio de circuitos eléctricos.

DISCRETIZACION DEL ESCENARIO. MALLADO NODAL El método de diferencias finitas se basa en la sustitución de la ecuación diferencial que define el campo de temperaturas como una función continua en el seno de un sólido conductor por una ecuación de diferencias finitas que se satisface para puntos discretos espacio-temporales. Nótese que la solución buscada es del tipo T=T(x,y,z,t). Antes de proceder a la manipulación de las ecuaciones es necesario discretizar el cuerpo objeto de estudio en intervalos espaciales y discretizar el tiempo en intervalos temporales. El mallado espacial establece puntos discretos, nodos tipos 3D/2D/1D caracterizados por dimensiones x-y-z, de modo que la solución hallada en temperatura es representativa de una temperatura promedio en dicho nodo. Del mismo modo, el mallado temporal establece instantes de tiempo discretos, mediante intervalos de tiempo t, de modo que la solución hallada es representativa de un valor promedio en dicho intervalo de tiempo. El usuario debe seleccionar inicialmente el mallado espacio-temporal más adecuado a la tipología del problema a estudiar. La precisión de la solución depende del mallado escogido (número de nodos e intervalos espacio-temporales x-y-z-t). El mallado puede ser irregular (xyz); adaptavo, esto es, con mayor o menor detalle según las zonas o los instantes de tiempo (x-y-z-t variables); puede ser tal que defina nodos rectangulares, cilíndricos, esféricos u otros.


CONDUCCION DE CALOR METODOS NUMERICOS. REGIMEN PERMANENTE [Métodos [Cuadernos Numéricos. de Transmisión Régimen Permanente. de Calor.] ]

3.5 66

 r z

Mallado rectangular 2D

Mallado cilíndrico 2D y 3D

Aunque la selección del mallado obedece a consideraciones particulares del usuario, siempre resulta más cómodo y sencillo a nivel de programación, acometer un mallado regular tanto es el espacio como en el tiempo. Ello nos permite simplificar la tipología de los nodos así como las expresiones de las ecuaciones diferenciales discretizadas. En un mallado espacial regular … x=y=z, por lo que los nodos son cubos de lado x. Existen entonces cuatro tipos de nodos: interiores, de frontera, de esquina interior y de esquina exterior. x

x

 y/2

y

N W

W

P E

P E S

S

Tipología de nodos en un mallado regular 2D: (1) Nodo interior (2) Nodo frontera (3) Nodo de esquina exterior (4) Nodo de esquina interior x/2

x/2 y/2

W

y/2

P

N

S

W

P E S



. 67

METODOS NUMERICOS. REGIMEN PERMANENTE [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.] También resulta simplificador el aplicar un mallado temporal regular, esto es, todos los nodos temporales están separados por un intervalo temporal constante (t). Dicho intervalo temporal recibe el nombre de “paso de tiempo”.

t

tiempo=0

n=1

n=2

n =3

n=4

n =5

n=6

n =7

tiempo = n · t

DIFERENCIACION NUMERICA

•

Aproximación de la derivada primera de una función f en un punto x, utilizando los valores de la función en los puntos [x] y [x+ x]:

                    

Despreciando los términos de segundo orden y sucesivos, podemos aproximar la derivada por …

El error cometido al aproximar la primera derivada con este esquema de diferenciación es de orden (x)2.

•

Aproximación de la derivada segunda de una función f en un punto x, utilizando los valores de la función en los puntos [x], [x+x], [x-x]:

A partir de los desarrollos de Taylor de tercer orden …

                                     

Restando ambas expresiones y despreciando términos de cuarto orden, podemos aproximar la derivada segunda por …

           

El error cometido al aproximar la segunda derivada con este esquema de diferenciación es de orden (x)4.


CONDUCCION DE CALOR METODOS [NUMERICOS. [Cuadernos Métodos Numéricos. deREGIMEN Transmisión RégimenPERMANENTE Permanente. de Calor.] ]

3.5 68

METODOS NUMERICOS PARA LA ECUACION DE CONDUCCION EN REGIMEN PERMANENTE Ecuación diferencial de la conducción de calor en régimen permanente:

          •

Aplicación al caso de un nodo interior 2D sin fuente de calor

La ecuación anterior quedaría simplificada …

                           Aplicando el esquema de discretización señalado anteriormente …

Si se trata de un mallado regular ( x = y), entonces la expresión anterior se simplifica obteniéndose la expresión de la temperatura de un nodo interior sin fuente de calor, en función de las temperaturas de los nodos adyacentes …

                     

DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES MEDIANTE BALANCE DE ENERGIA NODAL Se podía haber llegado a la expresión anterior planteando un balance de energía en el nodo considerado, teniendo en cuenta la interacción con los nodos vecinos a través de las superficies de contorno.

•

Caso de nodo interior sin fuente de calor en régimen permanente

                               Balance de energía:

(Se considerarán todos los flujos entrantes: T i -T -T P)







y




∆x




                                                                                                                                                                          

3.6 69

Reordenando …

Dividiendo por (k x y z) …

En caso de tratarse de un mallado regular ( x=y)

… que es la misma expresión obtenida en el apartado anterior NOTA: en el caso de un problema tridimensional es fácil demostrar que el resultado hubiera sido …

e igualmente en el caso unidimensional …

•

Caso de nodo frontera sin fuente de calor

Balance de energía:



∆y

Reordenando y en caso de mallado regular (x=y)…






h TF 

∆x

. 70

METODOS NUMERICOS. REGIMEN PERMANENTE [Métodos [Cuadernos Numéricos. de Transmisión Régimen Permanente. de Calor.] ]

                CIRCUITO TERMICO EQUIVALENTE La formulación obtenida permite mostrar una evidente analogía con el estudio de circuitos eléctricos. En efecto, el balance de energía nodal puede contemplarse mediante resistencias térmicas (convectivas, conductivas) que transmiten el calor hacia nodos (frontera) adyacentes. adyacentes.

TN 



y KAxz





TW

y

x KAyz



TE





TS

∆x

TN 

x KAyz

y KAxz/2

∆y 

1 hAyz

TW 



h TF

Tf 

TS

∆x

Así, el balance de energía en cada nodo puede expresarse de forma genérica como …

               

∆x

La aplicación de circuitos térmicos equivalentes es de gran utilidad en determinados casos singulares, como por ejemplo, cuando existen distintos materiales …

              


Mat A

Mat B

N

∆y

P

∆y


3.6 71

A modo de ejemplo, este podría ser el circuito térmico equivalente para el estudio de la disipación de calor mediante una aleta ale ta tipo aguja (modelo unidimensional):

1

Rk

2

3 Rk

4 Rk

6

5 Rk

Rk

7 Rk

Tbase

q=0

Rh

Rh

Rh

Rh

Rh

Rh

Rh

Tfluido

RESOLUCION DEL PROBLEMA COMPLETO MEDIANTE METODOS NUMERICOS El planteamiento completo del problema pasa por establecer el balance energético nodal en cada uno de los nodos, lo cual generará un sistema de n ecuaciones con n incógnitas (los n valores de las temperaturas Tn o de los flujos de calor qn). Se tratará de un sistema de ecuaciones lineales si se considera que las propiedades térmicas son independientes de la temperatura. La resolución numérica de este sistema de ecuaciones puede hacerse de diferentes formas:

• •

Por métodos matriciales (inversión de matriz de coeficientes, triangulación …) Por métodos iterativos, mediante aproximaciones sucesivas a partir de un valor inicial -valor semilla- hasta que se alcanza el nivel de convergencia estipulado. Estos métodos son particularmente útiles cuando se emplean métodos computacionales. Entre los métodos iterativos cabe mencionar  

método de Jacoby: las soluciones Ti en la iteración [n+1] se obtiene a partir de los valores T j obtenidos en la iteración anterior [n] método de Gauss-Seidel: las soluciones T i en la iteración [n+1] se obtiene a partir de valores T j obtenidos en la iteración anterior [n] y de los valores actualizados T j de la iteración actual [n+1]

El método de Gauss-Seidel es más efectivo que el método de Jacoby (necesita menos iteraciones para alcanzar el criterio de convergencia, esto es, la solución aceptable) ya que recurre a valores actualizados de las variables.

En círculos, el esquema iterativo del método de Jacoby (basado en resultados previos). En rectángulos, el esquema empleado en el método de Gauss-Seide (basado en resultados actualizados)

n=0 n=1 n=2 … n=18 n=1 8

T1 a0 a0 a1 a2

T2 b0 b1 b2

T3 c0 c1

…. |a1 |a18-a 8-a17| 17|< <


T4 d0

T5 …

(solución inicial)

(criterio de convergencia)

3. Conducción de Calor 3.7 3. 7 Métodos Numéricos. Régimen Rég imen Transitorio

[119]

CONDUCCION DE CALOR METODOS NUMERICOS. REGIMEN TRANSITORIO [Cuadernos [Conducción de Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.7 72

METODOS NUMERICOS PARA LA ECUACION DE CONDUCCION EN REGIMEN TRANSITORIO Ecuación diferencial de la conducción de calor en régimen transitorio:

                              

Aplicando el esquema de diferenciación a la ecuación en régimen transitorio …

donde T’(x) indica el valor de temperatura en el nodo x en el instante de tiempo t+t (valor actualizado), mientras T(x) es el valor de la temperatura en el nodo x en el instante de tiempo t (valor en el instante anterior). Recuérdese que el error cometido al aproximar la segunda derivada espacial con este esquema de diferenciación es de orden (x)4 mientras el error en la aproximación de la primera derivada temporal es de orden (t)2. La solución en cada instante de tiempo pasa por resolver un sistema de n ecuaciones con otras tantas incógnitas T'(x), correspondientes a cada uno de los nodos existentes. Al plantear la ecuación nodal, los valores de T(x), T(x+ x) y T(x-x) en el lado derecho de la expresión [i] pueden ser considerados de dos formas diferentes: (a) como valores conocidos de las variables en el instante de tiempo anterior … T(x) (b) como valores actualizados de las variables, correspondientes al tiempo actual … T’(x) La primera de las opciones se corresponde con un METODO EXPLICITO de resolución numérica de las ecuaciones discretizadas:

                     

La segunda opción se corresponde con un METODO IMPLICITO de resolución:

Es evidente que la resolución del sistema empleando el método explícito parece más sencilla, toda vez que la solución de cualquiera de los valores T’(x i) “avanza” a partir de la solución conocida en el instante de tiempo anterior, T(x j). Por el contrario, en el método implícito se han de resolver simultáneamente todas las ecuaciones, pues se desconocen los valores de T’(x j). Sin embargo, en el método explícito se produce un arrastre de errores que puede conllevar a la inestabilidad de la solución encontrada.


CONDUCCION DE CALOR METODOS [NUMERICOS. TRANSITORIO [Cuadernos ] ] Métodos Numéricos. deREGIMEN Transmisión Régimen de Transi Transitorio. Calor. torio.

3.7 73

Existen otros esquemas de resolución llamados SEMI-IMPLICITOS y en los que se toma una combinación lineal de valores actualizados y sin actualizar. Uno de los más conocidos es el método de CRANK-NICHOLSON (John Crank y Phillis Nicholson) en el que el valor considerado es la media entre los valores actualizados y sin actualizar:

                      •

Aplicación al caso de un nodo interior 2D sin fuente de calor 

La ecuación en régimen transitorio quedaría simplificada a …

               







y 

Discretizando la ecuación para el nodo (x,y) y empleando un método EXPLICITO …

∆x

                             Para el caso de una mallado regular, x=y, se define el número de Fourier numérico …

                               Y entonces se llega a …

Empleando un método IMPLICITO ...

                          Y para el caso de mallado regular, se obtiene una expresión similar ...

                       

DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES MEDIANTE BALANCE DE ENERGIA NODAL Se podía haber llegado a las expresiones anteriores planteando un balance de energía en el nodo considerado, teniendo en cuenta la interacción con los nodos vecinos a través de las superficies de contorno.


CONDUCCION DE CALOR METODOS NUMERICOS. TRANSITORIO [Cuadernos [Conducción deREGIMEN Transmisión de Calor. de] Calor.]

•

3.7 74

Caso de nodo interior sin fuente de calor

                                                                                                         Balance de energía:

donde los flujos de calor qip son …

El balance de energía (método explícito) queda así …

Para el caso de un mallado regular, x=y,

y teniendo en cuenta la definición de Fo …

CIRCUITO TERMICO EQUIVALENTE La formulación obtenida nuevamente permite mostrar la analogía con los circuitos eléctricos. Para el estudio en régimen transitorio es necesario incorporar un “condensador” que hace las veces de almacenamiento de energía …

∆y


CONDUCCION DE CALOR METODOS [NUMERICOS. TRANSITORIO [Cuadernos ] ] Métodos Numéricos. deREGIMEN Transmisión Régimen de Transi Transitorio. Calor. torio.

3.7 75

ESTABILIDAD DE LA SOLUCION La utilización de métodos computacionales introduce errores de tipo numérico al emplear variables numéricas representadas sólo por 32-64-128 bits (redondeo (redondeo). ). Por otra parte, la aproximación en diferencias finitas de la ecuación de difusión de calor introduce errores por truncamiento de desarrollos en serie de Taylor (orden ( x)4 y (t)2). Queda, pues, plantearse si los errores numéricos y de truncamiento se acumulan desde las primeras soluciones o por el contrario se atenúan en el tiempo. El estudio del problema de convergencia o estabilidad de las soluciones escapa al alcance de este curso, por lo que nos conformaremos con las conclusiones prácticas. Se demuestra que los METODOS IMPLICITOS Y SEMI-IMPLICITOS son incondicionalmente estables. Por el contrario, el método EXPLICITO no lo es. Para asegurar una solución estable, el mallado espacio/temporal debe cumplir ciertos requisitos: “En la ecuación de balance energético en el nodo P, el coeficiente asociado al valor de T P en el instante previo debe ser positivo” Así, para la ecuación nodal correspondiente a un nodo interior 2D …

                La condición de estabilidad es ...

(1 – 4 Fo) > 0 … Fo < 0,25 … t < (x)2/ (4)

En el caso de un nodo de frontera 1D, se puede demostrar que la condición de estabilidad es … (1 – 2 Bi Fo – 2 Fo) > 0 donde Bi es el número adimensional de de Biot numérico …

  

Metodología para Metodología para la resolución numérica de problemas por métodos explícitos: En la resolución numérica de problemas de transferencia de calor por métodos explícitos se plantearán, en primer lugar, las ecuaciones correspondientes al balance energético nodal. Del examen de cada ecuación se determinará el criterio de estabilidad para las diferentes tipologías nodales (nodo interior, frontera, esquina interior/exterior) y se seleccionará aquella condición más restrictiva a la hora de establecer el paso de tiempo.


CONDUCCION DE CALOR METODOS NUMERICOS. TRANSITORIO [Cuadernos [Conducción deREGIMEN Transmisión de Calor. de] Calor.]

3.7 76

Las siguientes tablas resumen las ecuaciones nodales para problemas unidimensionales y bidimensionales sin fuentes ni sumideros de c alor. Para el caso de métodos explícitos se incluyen los criterios de estabilidad de la solución

T’=Fo (TE+TW+TN+TS) + (1-4 Fo) T T’=Fo (2 TE+TN+TS+2 Bi TF)+ (1-4 Fo-2 Bi Fo) T

Criterio de estabilidad (1-4 Fo) > 0 (1-4 Fo-2 Bi Fo) >0

T’=2/3 Fo (2TE+TW+2TN+TS+2 Bi TF)+(1-4 Fo-4/3 Bi Fo) T

(1-4 Fo-4/3 Bi Fo) >0

T’= 2 Fo (TE+TS+2 Bi TF)+ (1-4 Fo-4 Bi Fo) T

(1-4 Fo-4 Bi Fo) >0

Ecuación del nodo 2D Nodo interior Nodo de frontera Nodo de esquina interior Nodo de esquina exterior

Ecuaciones nodales y criterio de estabilidad para problemas 2D resueltos por el método explícito

Nodo interior Nodo de frontera

Ecuación del nodo 1D T’= Fo (TE +TW) + (1-2 Fo) T T’= 2 Fo (TW + Bi TF) + (1-2 Fo-2 Bi Fo) T

Criterio de estabilidad (1-2 Fo) > 0 (1-2 Fo-2 Bi Fo) >0

Ecuaciones nodales y criterio de estabilidad para problemas 1D resueltos por el método explícito

En el caso de ecuaciones implícitas, el método es intrínsecamente estable, por lo que no es necesario indicar criterio alguno:

Nodo interior Nodo de frontera Nodo de esquina interior Nodo de esquina exterior

Ecuación del nodo 2D (1+4 Fo) T’ = Fo (T'E +T'W +T'N +T'S ) + T (1+4 Fo +2 Bi Fo) T’= Fo (2 T'E +T'N +T'S +2 Bi TF) + T (1+4 Fo +4/3 Bi Fo) T’=2/3 Fo (2T'E +T'W +2T'N +T'S + 2 Bi TF) + T (1+4 Fo +4 Bi Fo) T’= 2 Fo (T'E +T'S + 2 Bi TF) + T

Ecuaciones nodales para problemas 2D resueltos por el método implícito

Nodo interior Nodo de frontera

Ecuación del nodo 1D (1+2 Fo) T’ = Fo (T'E +T'W) + T (1+2 Fo +2 Bi Fo) T’= 2 Fo (T'E + Bi TF) + T Ecuaciones nodales para problemas 1D resueltos por el método implícito

Recuérdese que ...

        [124] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

4. Convección 4.1 Introducción

[125]

CONVECCION INTRODUCCION [Cuadernos [de ] de Calor.] Convección. Transmisión

4.0 1

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION Se trata de un mecanismo de transmisión de calor que tiene lugar en un fluido debido a la conducción y al transporte de energía como consecuencia del movimiento del fluido, producido bien de forma natural o por medios mecánicos. De forma general existen tres tipos de procesos de convección:

• • •

Convección libre: el movimiento del fluido se debe a las variaciones de densidad en el seno del mismo, motivado –normalmente- por diferencias de temperatura (efecto termosifón) Convección forzada: el movimiento del fluido se debe a la diferencia de presiones provocada por un equipo mecánico (bomba, ventilador) Convección con cambio de fase: los procesos de ebullición y condensación responden también a un fenómeno de convección

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON El intercambio convectivo cobra sentido cuando se produce entre una superficie (sólida/líquida) y el fluido que la baña. La potencia térmica transferida en un proceso convectivo depende de la diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido, según la expresión: q = h · A · (Tsup – Tf) siendo A la superficie bañada por el fluido y h el coeficiente de película. El coeficiente de película o coeficiente de transmisión de calor por convección es una conductancia térmica (W/m2-K). No se trata de una propiedad del material sino que depende de las propiedades del fluido, de la geometría de la superficie y de la hidrodinámica del movimiento del fluido a lo largo de la superficie. Los valores de h son muy diferentes según el tipo de convección que caracteriza el proceso. Así varía entre valores próximos a la unidad en convección natural hasta valores del del orden de 10+5 en procesos de condensación de vapores. 2

Valores típicos de coeficientes de película, h (W/m K) Proceso Convección libre en gases Convección forzada en gases Convección libre en líquidos Convección forzada en líquidos Ebullición de líquidos Condensación de vapores

min 1 15 50 100 2500 5000

max 25 250 1.000 15.000 25.000 100.000 100.000

Luego se demostrará que el conocimiento del gradiente de temperatura en las proximidades de la superficie permitiría estimar el valor de h. No obstante, dada la dificultad para caracterizar este gradiente, el valor del coeficiente de película se estima habitualmente mediante correlaciones empíricas. [126] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

CONVECCION INTRODUCCION [Cuadernos [de ] de Calor.] Introducción. Transmisión

4.0 2

CONCEPTO DE CAPA LIMITE HIDRODINAMICA Y TERMICA Ya que el movimiento del fluido es el responsable principal del proceso de convección es necesario conocer y caracterizar el comportamiento de un fluido real en la vecindad de una superficie. Para el caso general, la descripción completa del movimiento fluido exige determinar la magnitud y dirección del vector velocidad (tres componentes), la presión, temperatura y densidad del fluido, variables que dependen de la posición y del tiempo. Estas seis incógnitas pueden calcularse resolviendo otras tantas ecuaciones: conservación de masa, conservación de energía, conservación de la cantidad de movimiento (3 ecuaciones de Navier –Stokes) y la ecuación de estado del fluido. A pesar de que la mayoría de los casos se reducen a un estudio bidimensional del fluido incompresible en régimen estacionario (4 ecuaciones con 4 incógnitas) la resolución de este sistema de ecuaciones sólo es conocida para geometrías y condiciones de contorno muy concretas. En 1904 Ludwig Prandtl propuso su teoría de la capa límite hidrodinámica, por la que el movimiento de un fluido de viscosidad reducida que baña una superficie puede estudiarse en dos regiones diferenciadas: la capa límite –próxima a la superficie- donde el gradiente de velocidad es evidente por lo que no puede despreciarse el efecto de la viscosidad; y la región potencial, donde la influencia de la superficie es prácticamente nula, desapareciendo los gradientes de velocidad. En este supuesto, las partículas del fluido en contacto con la superficie se adhieren a esta y tienen velocidad nula. El gradiente de velocidades en la capa límite es tan grande que aunque la viscosidad sea reducida el producto de ambos (el esfuerzo viscoso) no es despreciable:

    

En la práctica, el espesor de la capa límite de velocidad queda definido en aquel punto donde se alcanza el 99 % del valor de la velocidad de la corriente libre no perturbada (u∞). Este espesor es muy pequeño frente a las dimensiones lineales del cuerpo.

y

FLUIDO

Velocidad (y)

y

Temperatura Tem peratura (y)

q’’

Superficie caliente

Paralelo al concepto de capa límite de velocidad aparece el concepto de capa límite térmica, donde el intercambio de cantidad de movimiento queda sustituido por el intercambio de calor, obteniéndose un perfil de temperatura en lugar de un perfil de velocidades. El espesor de la capa límite térmica es similar al de la capa límite de velocidad por lo que el gradiente de temperaturas es también acusado.



4.0 3

Si aceptamos que el fluido en contacto con la superficie tiene velocidad nula (teoría de la capa límite) entonces en las proximidades de esta el calor se transmitiría por conducción en el seno del fluido, por lo que combinando las leyes de Fourier y Newton …

           

Así el coeficiente de película puede relacionarse con el gradiente de temperaturas en la capa límite térmica:

            En resumen:

Capa límite hidrodinámica Espesor  Gradiente de velocidades Viscosidad Esfuerzo cortante

Capa límite térmica Espesor T Gradiente de temperaturas Conductividad Calor transferido

No obstante, la capa límite hidrodinámica siempre existe mientras que la capa límite térmica sólo existe si hay diferencia de temperatura entre el fluido y la superficie.

NOTA: a medida que aumenta la distancia con el borde de ataque, los efectos de la viscosidad afectan más al flujo libre por lo que la capa límite de velocidad crece. Lo mismo ocurre con la capa límite térmica. Cuando el efecto de borde desaparece entonces se considera un flujo completamente desarrollado.

PARAMETROS DE SEMEJANZA EN LA TRANSMISION DE CALOR El circunscribir el estudio a la capa límite hidrodinámica nos permite adoptar una serie de simplificaciones sobre las ecuaciones (régimen permanente bidimensional) que caracterizan el movimiento del fluido: incompresibilidad (  constante), propiedades constantes (Cp, k,  …), fuerzas másicas despreciables y generación nula de energía. Además, la componente de la velocidad paralela a la superficie es mucho mayor que la componente normal a la superficie. Por su parte, los gradientes de velocidad normales son mucho más grandes que los gradientes a lo largo de la superficie por lo que sólo se consideran los esfuerzos cortantes según u/y. Las ecuaciones se reducen, por tanto, a

•

Conservación de masa:

    



•

Conservación del momento (dirección x)

•

Conservación de la energía

4.0 4

                       

Se aplica entonces el principio de semejanza, que nos permitirá encontrar parámetros que faciliten la aplicaciónde soluciones a geometrías análogas. Para ello, las ecuaciones de la capa límite pueden normalizarse introduciendo ciertas variables adimensionales: x* = x/L {L es la longitud característica del problema} y* = y/L u* = u/U {U es la velocidad media del fluido: m= ·sección·U ·sección·U}} v* = v/U T* = (T-T∞)/(Tsup-T∞) Π = P / (½U2) Sustituyendo estas nuevas variables en las ecuaciones anteriores podemos llegar a una solución del campo de temperaturas en la capa límite del tipo

              

Aparecen entonces unos grupos adimensionales que reciben nombres singulares:

        

El número de Reynolds relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas viscosas. Un valor de Re alto indica la prevalencia de las fuerzas de inercia mientras que valores pequeños indican la importancia del término de fricción. Se emplea en convección forzada.

                      

El número de Grashof relaciona las fuerzas de empuje con las fuerzas viscosas. Es equivalente al número de Reynolds pero en convección libre, esto es, en campos de velocidad inducidos por gradientes de densidad debidos a variaciones de temperatura

        



4.0 5

El número de Prandtl relaciona la difusión de la cantidad de movimiento debida al efecto de la viscosidad con la difusión de calor por conducción en el fluido. Mide la importancia del transporte por difusión del momento en la capa límite de velocidad frente al transporte de energía en la capa límite térmica.

          

El número de Eckert relaciona la energía cinética del flujo con la diferencia de entalpías en la capa límite. Interviene en los procesos en que es importante la disipación viscosa. Este término es despreciado habitualmente en la mayoría de los casos a estudiar en este curso. El número de Pr depende únicamente de las propiedades del fluido, mientras que en los números de Re, Gr y Ec existe dependencia de la geometría.

         

Derivado de los números de Grashof y Prandtl aparece el número de Rayleigh, que juega un papel relevante en procesos de convección natural Asimismo, es posible adimensionalizar la expresión del coeficiente de película:

                      

obteniéndose así Nu Nu,, número de Nusselt, que no es otra cosa que una expresión adimensional del coeficiente de película, y que se relaciona con el gradiente adimensional de temperatura del fluido en las proximidades de la superficie. De forma general, el número adimensional de Nusselt se se estima en función de (x*,y*, Re, Gr, Ec, Pr) y el coeficiente de película h se obtiene a partir de aquel … Nu = h·L/KF

FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO En todo problema de convección es necesario conocer si el régimen de flujo, esto es, si la capa límite es de tipo laminar o turbulento. En el flujo laminar el movimiento fluido es ordenado en líneas de flujo sensiblemente paralelas (" filetes fluidos" ). ). La componente normal de la velocidad es responsable del crecimiento de la capa límite en dirección x. La difusión de cantidad de movimiento y la difusión de calor son reducidas, lo que es equivalente a decir que los coeficientes de película son relativamente bajos.



4.0 6

En el flujo turbulento, el movimiento del fluido es muy irregular caracterizándose por grandes fluctuaciones de velocidad en todas direcciones. Esto aumenta la transferencia transversal de momento y energía, aumentando así la fricción y el calor transferido (coeficientes de película mayores). El espesor de capa límite es superior al del caso laminar. En dicha capa se pueden observar dos zonas diferenciadas: la subcapa laminar, donde se produce el mayor gradiente de velocidades, y la región turbulenta, con un perfil más uniforme de velocidades. Entre ambas hay una capa de amortiguamiento.

U(y) U(y)

U∞

Región turbulenta

Subcapa laminar

Régimen laminar

Régimen turbulento

La transición de capa límite laminar a turbulenta se produce en una zona intermedia llamada zona ( X c) se de transición. Al comienzo, la capa límite es laminar pero a cierta distancia de aquel ( X incrementan las perturbaciones originando la transición hacia el régimen turbulento. Dicha distancia o longitud característica se corresponde con el número de Reynolds crítico:

  

Frecuentemente se supone un valor representativo de Rec de 5·105 (caso de placas planas)

El espesor de la capa límite ( ) aumenta conforme el fluido baña la superficie. El movimiento irregular y desorganizado de la capa turbulenta contribuye al aumento brusco del espesor de la capa límite. Por su parte, el coeficiente de película (h) es sensiblemente menor en la capa laminar que en la capa turbulenta. En cualquiera de ellas h va decreciendo conforme aumenta el espesor de la capa debido al aumento de la resistencia térmica de la capa.

hturbulento

hlaminar U∞, T∞

 turbulento

 laminar

Superficie caliente, T sup



4.0 7

El número de Prandtl relaciona los espesores de las capas límite de velocidad y térmica

              En el caso de los gases (Pr  1) … v  t. En el caso de metales líquidos (Pr << 1) … v << t En el caso de aceites (Pr >> 1) … v >> t Caso de placas …

          

régimen laminar

régimen turbulento

APLICACION A DIFERENTES TIPOS DE CONVECCION. Correlaciones para convección forzada y libre

•

Convección forzada con disipación viscosa

Nu = f (Re, Ec, Pr) Se desprecian las fuerzas de empuje frente a las de inercia

•

Convección forzada sin disipación viscosa

Nu = f (Re, Pr) Se desprecia la disipación de calor debido a la viscosidad, así como el efecto de las fuerzas de empuje frente a las de inercia. Esta hipótesis es válida para gases y líquidos de baja viscosidad pero no sería aceptables para aceites y otros fluidos de alta viscosidad. 



Las correlaciones son del tipo:       

•

Convección libre

Nu = f (Gr, Pr) = f (Ra, Pr) donde Ra es el número de Rayleigh (Ra=Gr·Pr) No existen fuerzas de inercia sino de tipo natural, por lo que las velocidades del fluido son pequeñas y se puede despreciar la disipación viscosa. 



Las correlaciones son del tipo:       



4.0 8

NOTAS: [1] En la estimación de coeficientes de película pueden intervenir las siguientes temperaturas:

• • •

temperatura superficial (Tsup) temperatura del fluido sin perturbar (T ∞ , TF) temperatura de media de masa fluida -bulk - bulk fluid - (Tb) Puede calcularse como promedio de las temperaturas de entrada y salida del fluido

• •

temperatura media de película ... Tmp = ½ (Tsup + TF) diferencia de temperaturas ... T = (Tsup - TF)

[2] Los valores de los números adimensionales (Re, Nu) y del coeficiente de película (h) pueden ser locales o promediados en una cierta longitud

•

Valores locales (en x):

•

Valores medios o promediados:

                                                     

Así, el calor total transferido puede expresarse de dos formas alternativas:

METODOLOGIA PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE CONVECCION 1. Determinar GEOMETRIA del problema 2. Estimar las TEMPERATURAS implicadas 3. Decidir si se requiere un valor LOCAL o PROMEDIO 4. Calcular el número de Reynolds (Re) o Rayleigh (Ra) para determinar el régimen de flujo 5. Seleccionar la CORRELACION adecuada



4. Convección 4.2 Correlaciones de Convección Forzada

[135]

CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA [Cuadernos [de ] de Calor.] Convección. Transmisión

. 9

METODOS EMPIRICOS La dificultad de resolver analíticamente las ecuaciones del movimiento fluido lleva a la estimación de coeficientes de película para diversas geometrías y condiciones de flujo mediante técnicas experimentales. Para ello basta con disponer un elemento calefactado eléctricamente y convenientemente aislado por la parte no expuesta y exponerlo a una corriente convectiva de velocidad conocida hasta alcanzar el régimen permanente. A partir de la medida de la diferencia de temperatura ( T), del consumo eléctrico (q) y de la superficie expuesta (A) se puede inferir el valor del número de Nusselt medio y, por tanto, el coeficiente de película medio. Habitualmente, el experimentador puede anticipar una formulación genérica del Nu, en función del tipo de geometría y condición convectiva. Por ejemplo, para el caso de convección forzada, la expresión podría ser del tipo

    

A partir de distintos valores de longitud L expuesta (por tanto, de A L y de ReL) se puede buscar una curva (recta) de ajuste para resolver los valores de los parámetros c, m, n. Se dispone entonces de una nueva correlación empírica para el caso estudiado. Las correlaciones empíricas tienen habitualmente un cierto rango de utilización, en términos de los números adimensionales implicados. Dado que las propiedades térmicas del fluido varían con la temperatura, la hipótesis de propiedades constantes no sería correcta en el seno de la capa límite térmica. Por ello suelen estimarse dichas propiedades a la temperatura media de película (Tmp). Alternativamente, podrían calcularse a la temperatura del fluido (TF) introduciendo un factor de corrección en la correlación empírica del tipo

    

donde el subíndice ∞ denota las condiciones del fluido (T F) y el subíndice sup sup denota denota las condiciones de la superficie (Tsup). NOTA: existen multitud de correlaciones empíricas publicadas disponibles para todo tipo de aplicaciones. Obviamente se trata de valores aproximados de h (Nu) por lo que las variaciones entre las distintas estimaciones pueden diferir notablemente (hasta un 20%)

CASO DE SUPERFICIES PLANAS (PLACAS) El flujo paralelo sobre una placa es una aplicación bastante común en ingeniería y afortunadamente las ecuaciones del fluido en la capa límite, bajo el supuesto de despreciar la disipación viscosa, pueden resolverse directamente. Al comienzo el flujo es laminar hasta cierta longitud x c caracterizada por el número de Reynolds crítico (Rexc=5·105). A partir de entonces el régimen de flujo es turbulento.

[136]

CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA

10

[Correlaciones [Cuadernos dede Transmisión Convecciónde Forzada. Calor.] ]

U∞

Rex =0

Región laminar

Región turbulenta

 = 5x·Rex-0.5

Rex > 5E5

FLUJO LAMINAR Nux = 0,332 Rex 0.5 Pr1/3 NuL = 2 Nux = 0,664 Rex 0.5 Pr1/3 Re < Rexc = 5·105 0,6 ≤ Pr ≤ 50 Propiedades a Tmp * El NuL resulta de la integración de Nu x en el intervalo laminar [0,L] FLUJO TURBULENTO Nux = 0,0296 Rex 0.8 Pr1/3 Nux = 0,185 Rex (log10 Rex)-2.584 Pr1/3 0,6 ≤ Pr ≤ 60 Propiedades a Tmp

5 · 105 < Rex < 107 Rex > 107

INTEGRACION SOBRE REGION LAMINAR + TURBULENTA Si se quiere obtener un valor medio de Nu en un rango L superior a la longitud crítica xc entonces es necesario integrar los coeficientes de película locales (hx) sobre la región laminar y sobre la región turbulenta.

         

Obviamente Nux = hx x/k, mientras NuL = hL L/k

NuL = [0.037 ReL0.8 - 872] Pr1/3 NuL = [0.228 ReL(log10 ReL)-2.584 - 872]Pr1/3 0.6 ≤ Pr ≤ 60 Rexc = 5 x 105 Propiedades a Tmp

5 · 105 < ReL < 107 107 < ReL < 109

En caso de que L >> xc entonces la primera de las expresiones puede simplificarse a NuL = 0.037 ReL0.8 Pr1/3

Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano [137]

CONVECCION CORRELACIONES DE CONVECCION [Cuadernos [de ] deFORZADA Convección. Transmisión Calor.]

4.1 11

CONVECCION FORZADA EN EL INTERIOR DE TUBERIAS T UBERIAS U∞, T∞ 



U(r,x) Longitud hidrodinámica de entrada

Flujo completamente desarrollado

En el estudio de flujos internos es necesario considerar el efecto de borde o de entrada. La capa límite de velocidad va creciendo desde la superficie interior del tubo al avanzar la corriente fluida hasta que en cierto punto (longitud (longitud hidrodinámica de entrada) entrada ) converge en la línea central. A partir de entonces el efecto de la viscosidad se extiende a toda la sección recta y el perfil de velocidades ya no cambia, considerándose entonces que el flujo está completamente desarrollado (fd - fully developed). En régimen laminar el perfil de velocidades es parabólico mientras en régimen turbulento el perfil es más plano debido al mayor grado de mezcla. El número de Reynolds crítico ReDC (transición de laminar a turbulento) es aproximadamente 2300. El paralelismo existente entre la capa límite de velocidades y la capa límite de temperaturas lleva a suponer que también existe una longitud de entrada térmica a partir de la cual el perfil de temperatura está completamente desarrollado. No existe una expresión general válida para estimar la longitud de entrada térmica para todos los casos. A efectos prácticos puede considerarse que para flujo laminar esta longitud de entrada adimensional (x fd/D) es un 5% del producto ReDPr. Por otra parte, puede considerarse que el flujo turbulento alcanza la condición térmica completamente desarrollada a partir de una longitud igual a 10 veces el diámetro.

Velocidad y temperatura medias El movimiento fluido en el interior de una tubería se caracteriza por perfiles de velocidad y temperatura no planos, por lo que no es posible hablar propiamente de U ∞ y T∞. En su sustitución aparecen los valores medios de velocidad y temperatura (U m y Tm) en cada sección de la misma.

      

La velocidad media del fluido satisface la ecuación de conservación de la masa: La temperatura media del fluido se define en térmicos de energía térmica que atraviesa la sección recta:

              

A efectos de cálculo, la temperatura del fluido (TF) se calculará como promedio de las temperaturas medias en las secciones de entrada y salida.


CONVECCION CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA [Correlaciones [Cuadernos dede Transmisión Convecciónde Forzada. Calor.] ]

4.1 12

La formulación de la Ley de Newton se hace también en términos de T m … q = h · A · (Tsup-Tm)

Balance de energía Se desea conocer cómo varía la temperatura media del fluido (Tm) a lo largo de una tubería sometida a una condición de temperatura o flujo de calor constante en toda su longitud. Se supondrá que el flujo está completamente desarrollado. Los únicos sumandos a considerar en la ecuación de conservación de la energía sobre un volumen de control son la variación de energía interna y el trabajo de flujo, que se combinan para la expresión más general:

      

que integrada entre las condiciones de entrada y salida resulta …

       

Por otra parte el calor transferido hacia el fluido se debe a la convección desde una superficie a temperatura constante (Tsup) o debida a un flujo superficial de calor constante (q” sup) …

                                   

Por lo que, igualando las expresiones anteriores se obtiene que …

•

Flujo de calor superficial constante (q”sup cte)

Tm evoluciona de forma lineal. Se puede demostrar que en la región completamente desarrollada h no depende de x, por lo que …

                                               •

Temperatura superficial constante (Tsup cte)

Tm evoluciona de forma exponencial.


CONVECCION CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA [Cuadernos [de ] de Convección. Transmisión Calor.]

4.1 13

El calor total transferido en este caso es …

              T

Tsup

T

Tsup Ts

Te

T

Tx Tx

x Flujo superficial de calor constante

x Temperatura superficial constante

CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA EN EL INTERIOR DE TUBERIAS (D=diámetro interior) FLUJO LAMINAR

•

Flujo completamente desarrollado

NuD = 3.66 NuD = 4.36 ReD < 2300

•

{condición de Tsup constante} {condición de q”sup constante}

Influencia de la longitud de entrada

Si los perfiles de temperatura y velocidad no están completamente desarrollados cabe plantearse dos situaciones: problema de longitud de entrada térmica (con campo de velocidades completamente desarrollado) y problema de longitud de entrada combinado (ambos perfiles en desarrollo). Las siguientes correlaciones muestran expresiones del número de Nusselt medio aplicables a la longitud L completa de tubería.

Correlación de HAUSEN (problema de longitud de entrada térmica) Nu D

= 3.66 +

0.06 0. 0668(D/ 68(D/ L)ReD Pr 1 + 0. 0.04 04[( [(D D / L)ReD Pr Pr]]2 / 3

Propiedades a Tb Condición de Tsup constante



4.1 14

Correlación de SIEDER Y TATE (problema de longitud de entrada combinada) 1/3

 D    µ  Nu D = 186 .   Re D Pr     L    µ s 

0.14

0.48 < Pr < 16700 (D/L) ReD Pr > 10 0.0044 < (/sup) < 9.75 ReD < 2300 Propiedades a Tb excepto µs a Ts Condición de Tsup constante FLUJO TURBULENTO Las siguientes correlaciones permiten calcular el Nu local para flujo turbulento completamente desarrollado. Sin embargo, para el flujo turbulento las longitudes de entrada suelen ser reducidas por lo que es razonable suponer que el número de Reynolds local calculado para flujo completamente desarrollado puede ser tomado como valor medio para toda la longitud del tramo. No obstante, para el caso de tubos cortos puede efectuarse la siguiente corrección:

      

donde c y m son coeficientes que dependen de la geometría de la entrada, de la longitud de entrada (térmica o combinada) y de los números adimensionales. Correlación de DITTUS-BOELTER NuD = 0.023 ReD 0.8 Prn n = 0.4 para Ts > Tb (caso de calentamiento del fluido) n = 0.3 para Ts < Tb (caso de enfriamiento del fluido) L/D > 10 0.7 < Pr < 160 104 < ReD < 106 Tsup - Tb< 6°C para líquidos líquidos Tsup - Tb< 60°C para gases Propiedades a Tb Esta correlación es también aplicable, aplicable, con menor precisión, en el rango siguiente: 2300 < ReD < 104 Correlación de SIEDER y TATE

Nu D

. Re = 0027

0.8 D

 µ  Pr   Pr  µ s 

0.14

1/ 3

L/D > 10 0.7 < Pr < 16700 104 < ReD < 106 [141] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

CONVECCION CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA [Cuadernos [de ] de Convección. Transmisión Calor.]

4.1 15

Propiedades a Tb, excepto µs a Tsup Tsup - Tb > 6°C para líquidos Tsup - Tb> 60°C para gases Ambas correlaciones pueden aplicarse con buena aproximación a condiciones de contorno de temperatura o flujo de calor superficial constante. Correlación de GNIELINSKI (Petukhov modificada)

        

f = = [0,790 ln(Re) - 1,64]-2 L/D > 10 0,5 < Pr < 2000 3000 < Re < 5·106 Propiedades a Tb

4

4

Las correlaciones mostradas son aplicables, con carácter general, para Re>10 . En el rango 2300
APLICACIÓN A CONDUCTOS NO CIRCULARES En primera aproximación, las correlaciones mencionadas son de aplicación al caso de conductos no circulares si se emplea el diámetro hidráulico como longitud característica.

  

donde A es la sección recta del conducto y P es el perímetro mojado. La aproximación es mayor en el caso de flujo turbulento. En régimen laminar es menos preciso, sobre todo si el conducto muestra esquinas acusadas.

CONVECCION FORZADA EN ESPACIOS ANULARES Aplicando el concepto de diámetro hidráulico al espacio anular comprendido entre los dos conductos …

                         Caso de FLUJO TURBULENTO: Aplíquese la correlación de Dittus-Boelter



4.1 16

CONVECCION FORZADA FLUJO NORMAL A UN CILINDRO El estudio del movimiento fluido perpendicular a un cilindro muestra una fenomenología muy distinta a la de otros escenarios.

U() U∞, T∞

El gradiente de presiones es positivo en la cara delantera por lo que el fluido se acelera en torno al cilindro desde un punto de estancamiento delantero (con velocidad nula). Luego entra en una región de gradiente de presiones negativo y se desacelera hasta no tener suficiente momento para vencer el gradiente de presión, ocurriendo la separación de la capa límite (generación de vórtices) y la formación de una estela corriente abajo. El punto (o ángulo) donde se produce la separación depende de la zona de transición de laminar a turbulento, dependiente del número de Reynolds. A mayor valor de este, mayor será el ángulo de desprendimiento. Las correlaciones que a continuación se citan muestran valores de Nu promediados. La longitud característica es el diámetro exterior.

Correlación de ZHUKAUSKAS 1/ 4

 Pr  Nu D = C ⋅ Re Pr    Pr S  m D

ReD

n

1 - 40 0,75 40 - 1. 1.000 0,51 1.000 – 200.000 0,26 200. 20 0.00 000 0 – 1. 1.00 000. 0.00 000 0 0, 0,07 076 6

6

1 < ReD < 10 0.7 10 Propiedades a Tb , excepto Prs a Tsup

Correlación de CHURCHILL y BERNSTEIN

Nu D

= 0.3 +

C

5 /8 R e1D/ 2 Pr Pr1 / 3   ReD   0.62 Re 1+    1/4  . ⋅105     0.4  2 / 3    282 1 +      Pr  

4 /5

Recomendado para ReD·Pr > 0.2 Propiedades a Tmp [143] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

m 0,,4 0 0 ,5 0,6 0, 0,7

CONVECCION CORRELACIONES DE [de CONVECCION [Cuadernos ] deFORZADA Convección. Transmisión Calor.]

4.1 17

Correlación de HILPERT m

1/3

NuD=C · Re · Pr Pr > 0,7 0.4 < Re < 4·105 C y m de la tabla adjunta Propiedades a Tmp

ReD

C

m

0,4 - 4 4 - 40 40 - 4. 4.000 4.00 4. 000 0 - 40 40.0 .000 00 40.000 - 400.000

0,989 0,911 0,683 0,19 0, 193 3 0,027

0,330 0,385 0,466 0,61 0, 618 8 0,805

FLUJO EXTERIOR A UNA ESFERA (L=Diámetro exterior)

                Correlación de WHITAKER

0,71 < Pr < 380 3,5 < ReD < 7,6 ·104 1 < (/sup) < 3,2 Propiedades a Tb, excepto sup a Tsup

FLUJO NORMAL A UN HAZ DE TUBOS La disposición en haz de tubos es muy habitual en baterías de transmisión de calor. En ellas dos fluidos intercambian calor en una configuración de flujos cruzados, habitualmente de agua o un refrigerante por el interior y aire por el exterior. Las filas de tubos pueden disponerse alineadas (configuración rectangular) o escalonadas (configuración triangular). Se caracterizan por el diámetro de los tubos y el paso entre ellos: separación transversal (ST), separación longitudinal (S L) y separación diagonal (S D) entre centros de tubo. SD

U∞, T∞

D D ST

ST

SL SL Disposición rectangular y triangular de los tubos en una batería



4.1 18

Las condiciones de flujo en el banco de tubos están dominadas por los efectos de separación de capa límite e interacción entre estelas. Los coeficientes de película son distintos entre tubos de primera columna y tubos interiores. Estos últimos tienen mayores valores de h, pues las primeras columnas actúan como generadores de turbulencia. Más allá de la 4ª o 5ª columna los coeficientes de película ya no mejoran. No obstante, es de mayor interés conocer el coeficiente de película promediado para toda la configuración del haz de tubos

Correlación de ZHUKAUSKAS 1/ 4

Nu D

= C ⋅ Re

m Dm

 Pr  Pr    Pr s  0.36

Nº columnas > 20 0.7 < Pr < 500 1000 < ReDm < 106 C y m de la Tabla adjunta Propiedades a Tb, excepto Prs a Ts

ν ReDm = Umax D / ν Um = U∞ ·ST/(ST - D) Um = U∞ ·ST/(ST - D) Um = U∞ ·ST/[2·(SD - D)]

Alineados C

ReDm 10-100 100-1000 3 5 10 -2·10 5

para tubos alineados para tubos alternados y SD > (ST + D)/2 para tubos alternados y SD < (ST + D)/2

6

2·10 -10

Escalonados C

m

0,8 0,4 ver nota 1 ST/SL < 0,7 : ver nota 2 ST/SL > 0,7 : 0.27 0.63 0,021 0,84

m

0,9 ver nota 1 15 ST/SL < 2 : 0, 0,35 35 (ST/SL) ST/SL > 2 : 0,4 0,40 0 0,022

0,4 0,6 0,6 0,84

Nota 1: En este intervalo de ReD emplear la correlación para un tubo Nota 2: En este intervalo de ReD para configuraciones alineadas, la transmisión de calor es pequeña y no se recomiendan diseños con ésta geometría.

Si el número de columnas es inferior a 20, se aplicará la siguiente siguiente corrección: Nu Dm (N <20) = C2 · Nu Dm con los siguientes valores de C2 NL

1

2

3

4

5

7

10

13

16

Alineados

0.70

0 .8 0

0 .8 6

0 .9 0

0 .9 2

0 .9 5

0 .9 7

0 .9 8

0 .9 9

Escalonados

0 .6 4

0.76

0 .8 4

0.89

0.92

0.95

0.97

0 .9 8

0.99


. 19

CORRELACIONES DE CONVECCION FORZADA [Cuadernos [de ] de Calor.] Convección. Transmisión Correlación de GRIMISON

      

Tubos Alineados ST/D 1.25 1 .2 5 SL/D C m 1.25 0 .3 4 8 0.592 1.50 0 .3 6 7 0.586 2 .0 0 .4 1 8 0.570 3 .0 0 .2 9 0 0.601

Nº filas > 10 0.7 < Pr 2000 < ReD,máx < 40000 C y m de la Tabla adjunta Propiedades a Tmp

Tubos Escalonados ST/D 1 .2 5 1 .2 5 SL/D C m 0 .6 0 .9 1 1.125 1.25 0.518 0.556 1 .5 0.451 0.568 2 0.404 0.572 3 0.310 0.592

1 .5 C 0.275 0.250 0.299 0.357

1 .5 m 0 .6 0 8 0 .6 2 0 0.602 0.584

2 .0 C 0 .1 0 0 0 .1 0 1 0.229 0.374

2 .0 m 0 .7 0 4 0 .7 0 2 0 .6 3 2 0 .5 8 1

3 .0 C 0 .0 6 3 3 0 .0 6 7 8 0 .1 9 8 0 .2 8 6

3 .0 m 0 .7 5 2 0 .7 4 4 0.648 0. 0.608 0.

1 .5 C

1 .5 m

2 .0 C

2 .0 m

0 .4 4 6

0.571

3 .0 C 0.213 0.401

3 .0 m 0.636 0.581

0 .4 9 7

0 .5 5 8

0 .5 0 5 0 .4 6 0 0 .4 1 6 0 .3 5 6

0 .5 5 4 0 .5 6 2 0 .5 6 8 0 .5 8 0

0 .4 7 8 0 .5 1 9 0 .4 5 2 0 .4 8 2 0 .4 4 0

0.565 0.556 0 .5 6 8 0.556 0.562

0.518 0.522 0 .4 8 8 0.449 0.428

0.560 0 .5 6 2 0 .5 6 8 0.570 0.574

Si el número de columnas es inferior a 10, se aplicará la siguiente corrección: NuD (N <10) = C2 · NuD con los siguientes valores de C 2 NL

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Alineados

0.64

0 .8 0

0.87

0.90

0 .9 2

0.94

0 .9 6

0 .9 8

0 .9 9

Escalonados

0 .6 .64

0 .7 5

0 .8 3

0 .8 9

0.92

0 .9 5

0.97

0.98

0 .9 9

Para la estimación del calor intercambiado debe emplearse la diferencia de temperatura logarítmico media (Tlm) ya que la temperatura media del fluido (entrada/salida) no es adecuada para una evolución exponencial.

                     


4. Convección 4.3 Correlacion Correlaciones es de Conv Convección ección Libre

[147]

CONVECCION CORRELACIONES DE[de CONVECCION LIBRE] [Cuadernos ] de Calor. Convección. Transmisión

4.2 20

INTRODUCCION A diferencia de la convección forzada, en la que existe una acción externa, el movimiento de un fluido por convección natural o libre se debe a las fuerzas de empuje en el interior de éste. Estas fuerzas de empuje, actúan ante la presencia de un gradiente de densidad en el fluido. Aunque existen otros escenarios posibles, habitualmente las fuerzas de empuje son de tipo gravitacional y el gradiente de densidades se debe a un gradiente de temperaturas en el seno del fluido. No obstante, la existencia de un gradiente de temperatura (densidad) no asegura el establecimiento de un lazo de convección natural. Un techo caliente ocasiona un escenario estable pues el gas menos denso -más caliente- se sitúa en la zona superior (proceso de estratificación). Por el contrario un techo frío origina un lazo convectivo por el que el gas más denso (zona superior) tiende a circular hacia la parte inferior. Los flujos de convección libre son de dos tipos: de frontera libre y limitados por una superficie. Entre los primeros cabe mencionar los penachos y los chorros ascendentes, cuya única diferencia es la velocidad inicial del fluido. En los flujos limitados por una superficie la diferencia de densidades se establece a partir de la diferencia entre la de temperatura del fluido libre y la temperatura superficial. En el fluido implicado es de particular importancia el coeficiente volumétrico de expansión térmica, que relaciona la variación de densidad del fluido con la temperatura:

    

En la introducción a los mecanismos de convección ya se señaló el importante papel que juega el número adimensional de Grashof (razón ( razón de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas) viscosas ) en los procesos de convección natural.

                     

Las correlaciones que a continuación se describen implican a los números de Pr, Re y Gr:

• • •

Cuando los efectos de convección forzada y libre se solapan y resultan comparables la correlación será del tipo Nu=f(Re, Gr, Pr). Cuantitativamente esto se produce cuando el cociente (Gr/Re2)  1. Si (Gr/Re2) << 1 entonces los efectos de convección libre se pueden ignorar y la correlación a utilizar será de convección convección forzada pura: Nu=f(Re, Pr). 2 Si (Gr/Re ) >> 1 entonces los efectos de convección forzada se pueden ignorar y la correlación a utilizar será de de convección libre: libre: Nu=f(Gr, Pr).

El producto Gr·Pr recibe el nombre de número adimensional de Rayleigh (Ra).

[148]


CONVECCION CORRELACIONES DE CONVECCION LIBRE [ [Cuadernos Correlaciones de Transmisión de Convección de Libre. Calor.]

4.2 21

FLUJO EXTERNO SOBRE SUPERFICIE PLANA VERTICAL Se considera el caso de una superficie cuya temperatura es superior/inferior a la del fluido que la baña. La diferencia de temperaturas es enjugada en la capa límite térmica que se desarrolla paralelamente a la capa límite de velocidad. Al igual que en el caso de convección forzada a lo largo de una placa, aquí también se suceden las regiones laminar y turbulenta. La altura Xc para la cual se produce la transición al régimen turbulento se corresponde con un número de Rayleigh crítico de aproximadamente 109. Rax,c = Gr·Pr = 109

U(y)

p u s

T , e t n e i l a c e i c i f r e p u S

T(y)

gravedad x

y

• FLUJO LAMINAR

                                    Propiedades evaluadas a la Tmp

Los resultados aplican tanto al caso de superficie caliente como fría (tómese en este caso el origen de x en la parte superior).

•

Correlación genérica (LAMINAR/TURBULENTO)

(Condición de temperatura superficial) Log10 NuL

Ra > 104 NuL = C · Ran Ver tabla adjunta

3.0 2.5 2.0

Laminar Turbulento

C 0.59 0.10

N 1/4 1/3

Ra < 104 Ver gráfico adjunto

1.5 1.0 0.5 Log10 GrLPr 0.0 0

2

4

6

8 10

12

Si la condición es de flujo superficial entonces las expresiones son válidas si se considera la T correspondiente al punto medio de la placa.


CONVECCION CORRELACIONES CONVECCION LIBRE [CuadernosDE [de ] de Calor. ] Convección. Transmisión

•

4.2 22

Correlaciones de CHURCHILL y CHU

−8 / 27 9 / 16     0492 .   1/ 6   Nu L = 0.825 + 0. 38 387 Ra L 1 +      Pr      

2

RaL > 109 (turbulento) Propiedades a Tmp 9 / 16   0492 .   1/ 4 Nu L = 0.68 + 0.670Ra L 1 +      Pr  

−4 / 9

0 < RaL <109 (laminar) Propiedades a Tmp

Aplicabilidad a CILINDROS VERTICALES Las correlaciones anteriores son aplicables a cilindros verticales de altura L (tanto interna como externamente) siempre que el espesor de la capa límite sea menor que el diámetro (D) del cilindro:

  

Caso de PLACAS INCLINADAS En una placa vertical las fuerzas de empuje, debidas a la gravedad, están alineadas con la placa de modo que el movimiento inducido al fluido es siempre ascendente/descendente según la vertical. Sin embargo en el caso de placas inclinadas un ángulo  con respecto a la vertical, existen dos componentes de la fuerza de empuje: una en sentido paralelo a la placa y otra en sentido normal. La reducción de la magnitud de la primera ocasiona un perfil de velocidades más bajas a lo largo de la placa, por lo que cabe esperar una reducción del coeficiente de transferencia de calor por convección.

x



No obstante se presentan situaciones diferentes para el caso de placas frías o calientes:

•

•

En el caso de placas frías bañadas por un fluido caliente el flujo es descendente. Por la cara superior la componente normal de la fuerza de empuje tiende a mantener el flujo en contacto con la superficie desarrollándose normalmente la capa límite. Sin embargo, por la cara inferior, esa misma componente tiende a descargar el fluido de la superficie, interrumpiendo el desarrollo de la capa límite. En el caso de placas calientes bañadas por un fluido frío, el flujo es ascendente. En esta situación acontecen los mismos fenómenos descritos antes si bien el desarrollo normal de capa límite tiene lugar en la cara inferior mientras en la superior se produce la descarga hacia el fluido libre.


Placa fría



x

Placa caliente

CONVECCION CORRELACIONES DE LIBRE [[Cuadernos ]] Correlaciones deCONVECCION Transmisión de Convección de Libre. Calor.

4.2 23

RICH propuso, entonces, que el cálculo de los coeficientes de convección podrían estimarse a partir de las correlaciones de placa vertical sustituyendo la constante de gravedad “g” por la expresión “g · cos ”, esto es ... Para cara superior de placa inclinada fría o cara inferior de placa inclinada caliente, tal que 0 <  < 60o (siendo  el ángulo formado con la vertical)

                                        

Empléense las correlaciones de CHURCHILL y CHU (página anterior).

CONVECCION LIBRE ALREDEDOR DE PLACAS HORIZONTALES Se pueden extrapolar las conclusiones obtenidas para placas inclinadas al caso de superficies horizontales. Si se trata de una placa caliente, la tendencia del fluido es ascender, lo que estará impedido por la cara inferior. Así, el fluido bañará horizontalmente la placa para ascender por los extremos, ocasionando un flujo convectivo poco efectivo. En cambio por la cara superior se formarán flujos convectivos de reemplazo, esto es, el fluido caliente en contacto con la placa tenderá a ascender siendo reemplazado por fluido más frío. La transferencia de calor es así más intensa. El mismo razonamiento pero en caras opuestas puede efectuarse para el caso de placa fría.

Techo frío

Suelo caliente

Las correlaciones que se sugiere emplear en cualquiera de los cuatro casos (cara superior/inferior; placa caliente/fría) modifican el valor de la longitud característica del problema, de modo que … Lc = área superficial / perímetro Correlaciones de GOLDSTEIN/SPARROW/JONES (1973) y LLOYD/MORAN (1974) Placa caliente por la cara superior, placa fría por la cara inferior: NuLc = 0.54 RaLc1/4 NuLc = 0.15 RaLc1/3 Propiedades a Tmp

2,6·104 < RaLc < 107 107 < RaLc < 3.1010


CONVECCION CORRELACIONES CONVECCION LIBRE [CuadernosDE [de ] de Calor. ] Convección. Transmisión

4.2 24

Placa caliente por la cara inferior, placa fría por la cara superior: NuLc = 0.27 RaLc1/4 Propiedades a Tmp

si 3·105 < RaLc < 3·1010

CONVECCION LIBRE ALREDEDOR DE CILINDROS HORIZONTALES DE GRAN LONGITUD Se trata de una geometría muy estudiada para condiciones de contorno de temperatura superficial impuesta (cilindro isotermo). En el caso de cilindros calientes (ver figura adjunta) se advierte la formación de una capa límite en torno al cilindro que se desprende por la parte superior en forma de columna de fluido. El número de Nusselt local es máximo en la generatriz inferior y va descendiendo monótonamente hacia la generatriz superior. El número de Nusselt promediado sobre toda la circunferencia puede obtenerse de la siguiente correlación.

90o

Correlación de CHURCHILL y CHU

0o

−8 / 27 9 / 16     0559 .   1 / 6   Nu D = 0.60 + 0.387 Ra D 1 +       Pr    

2

0 < Pr < ∞ RaD < 1012 Propiedades a Tmp

Nux

0

Caso particular de ESFERAS (Correlación de CHURCHILL)

               0,7 < Pr RaD < 1011 Propiedades a Tmp

CONVECCION LIBRE EN CANALES Y RECINTOS Un caso particular de estudio es el de canales de placas paralelas, verticales o inclinadas, abiertos al ambiente en los extremos. Podemos encontrar condiciones de contorno variadas (isotermas simétricas, isoflujo simétrico y combinaciones isoterma/adiabática e isoflujo/adiabática). El problema se define por la longitud característica S/L, sonde S es la separación de las placas que definen el canal y L es la longitud del mismo.


180

CONVECCION CORRELACIONES DE LIBRE [[Cuadernos ]] Correlaciones deCONVECCION Transmisión de Convección de Libre. Calor. Otra geometría singular es la de recintos o cavidades rectangulares, horizontales o verticales, calentadas por una de las caras. En condiciones adecuadas en el interior de la cavidad se forma un flujo celular o flujo convectivo de calor motivado por la presencia de superficies a distinta temperatura. El parámetro característico es H/L donde H es la altura de la cavidad y L es el espesor de la misma (con la tercera dimensión w mucho más grande que L).

4.2 25

L

H

a í r f p u S

e t n e i l a c p u S

Otro recinto particular es el espacio anular entre cilindros concéntricos horizontales, donde se forman dos bucles o celdas de convección simétricas respecto del plano central vertical. Si el cilindro interior está caliente el movimiento fluido es ascendente junto al cilindro interior y descendente por la superficie del cilindro exterior. El parámetro dimensional característico es el cociente Di/De (diámetros interior y exterior). El lector puede encontrar las correlaciones apropiadas en la referencia básica “Fundamentos de Transferencia de Calor” de FP Incropera y DP DeWitt.

CONVECCION LIBRE Y FORZADA COMBINADAS En lo enunciado anteriormente, se han descrito diferentes escenarios donde la convección forzada resultaba despreciable frente a la convección natural. No obstante, existen casos en los que los efectos de convección forzada y libre libre se solapan lo que se había cuantificado de la siguiente forma: 2 (Gr/Re )  1. La dirección y sentido de las fuerzas inerciales (forzada) y de empuje (natural) origina tres tipos de acoplamiento entre convección forzada y libre:

• • •

Flujo asistido (en idéntica dirección y sentido) Flujos opuestos (igual dirección, sentido opuesto) Flujos transversales (dirección perpendicular)

Como primera aproximación el acoplamiento de números de Nusselt, característicos de cada uno de los flujos aislados, pueden realizarse de la siguiente manera:

      Formulación general:

Flujo asistido y transversal: suma (+) Flujos opuestos: resta (-) Otros casos particulares: Flujo transversal (placas horizontales)

           

Flujo transversal (tubos horizontales o esferas)



[154]


5. Convección con Cambio de Fase 5.1 Correlaciones de Condensación

[155]

CORRELACIONES DE CONDENSACION [Cuadernos [Convección ]] de con Transmisión Cambio de deFase. Calor.

. 1

INTRODUCCION Cuando se pone en contacto una superficie con un vapor saturado, éste se condensa sobre aquella si la temperatura superficial es inferior a la de saturación del vapor. El proceso se caracteriza por la transferencia de calor por convección desde el fluido a la superficie con un coeficiente de película muy elevado (hasta 5·104 W/m2K). Puesto que el vapor se encuentra en condiciones de saturación, durante el proceso de intercambio de calor no desciende su temperatura sino que se produce el cambio de estado gaseoso a estado líquido (condensación). La energía que se transfiere a la superficie es, por consiguiente, el calor latente de condensación. Por ejemplo, si se condensa vapor de agua saturado a presión atmosférica (T sat = 100°C), se ceden a la superficie 2257 kJ por cada kg de líquido condensado. Existen dos formas de condensación: [1] condensación en gotas y [2] condensación en película. La condensación en gotas se produce sobre superficies pulimentadas o tratadas (por ejemplo, con aceites y ácidos grasos, que hacen de barrera de vapor). En ese caso, el líquido se concentra en forma de gotas de mayor o menor diámetro (D < 100 m) cubriendo una gran parte de la la superficie. Las gotas coalescen entre sí, resbalando por gravedad a continuación, y dejando la superficie libre nuevamente. Como la resistencia térmica a través de las gotas es pequeña, los coeficientes de película pueden ser muy altos. Se han llegado a medir valores de hasta 300.000 W/m2K. La condensación en película se produce sobre superficies limpias y humedecibles. Una película líquida cubre totalmente la superficie condensadora, y resbala por gravedad, en el caso de que aquella esté colocada verticalmente. Las altas velocidades de transmisión de calor que se producen en los procesos de condensación en gotas harían éstos preferibles en ingeniería. No obstante, en la práctica se utiliza habitualmente la condensación en película debido a la poca estabilidad de los recubrimientos anti-humedad de las superficies. Nótese que la película líquida formada supone una barrera o resistencia al paso del calor, tanto mayor cuanto mayor sea el espesor de la misma. La acumulación de condensados resulta, pues, desfavorable. Por ello, la disposición más habitual de superficies condensadoras es el exterior de tubos horizontales lo que facilita la evacuación de condensados. La presencia de gases incondensables puede dificultar el acceso del vapor saturado a la superficie fría reduciendo la capacidad de condensación del equipo. Además la T sat se reduce al considerar sólo la presión parcial del vapor en la mezcla.

GENERALIDADES Calor transferido en términos convectivos: q = h · A · (Tfluido-Tsup) Calor transferido en términos de flujo de vapor condensado: q = m’cond · hfg donde h fg es el calor latente de cambio de fase a la presión del fluido

En su caso se podría producir el subenfriamiento del condensado, siempre que el contacto de la película líquida con la superficie se prolongue el tiempo suficiente. Este efecto se cuantifica a través del número de de Jakob, Ja = Cp liq · (Tfluido-Tsup) / hfg de modo que se corrige el valor de hfg del siguiente modo: h’fg = hfg (1 + 0,68 Ja) y así … q = m’cond · h’fg

[156]

CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DE CONDENSACION [Cuadernos [Correlaciones ]] de Transmisión de Condensación. de Calor.

5.1 2

Condensación en película laminar sobre paredes o cilindros c ilindros verticales El proceso se caracteriza por la formación en toda la superficie vertical de una película líquida, cuyo espesor va aumentando al mismo tiempo que desciende desciende por acción de la gravedad. Si la velocidad de condensación no es muy alta el flujo será laminar. La velocidad local de condensación varía con la altura pues tanto la velocidad de deslizamiento como el espesor de película son función de ésta. Resulta interesante determinar: [1] la transferencia de calor a la superficie mediante el cálculo del coeficiente de película; y [2] la velocidad de condensado, a partir del calor cedido a la pared. Para el caso de flujo laminar de un vapor saturado, considerando que no existe esfuerzo cortante en la interfase líquido-vapor y que el espesor de la película crece lentamente y además se desplaza tan despacio que se pueden despreciar las fuerzas de inercia, Nusselt encontró la siguiente solución del campo de velocidades en la capa líquida:

∂ 2 VX 1 = − g (ρ L − ρ V ) 2 µL ∂y

x=0

Integrando dos veces y aplicando las condiciones de contorno de velocidad nula en el origen (VXo=0) y derivada nula de la velocidad en la interfase liq/vap (Vx/y)y= =0

(x)

y Vx(y)

Tsup

El flujo másico de condensado por unidad de ancho de la película líquida (x), en kg/s-m, es:

Tliq Tsup

x=L Efectuando la integración:

Γ( x) =

g ρ L (ρ L − ρ V ) 3 µL

δ

                       

        

b

3

x

Es necesario, entonces, conocer el espesor de condensado. La función (x) se obtiene aplicando aplicando un balance de energía en un elemento diferencial de líquido dx (ancho b y longitud ) y considerando conducción de calor a través del espesor de condensado , con una resistencia de valor /kF .



mcond max


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DEcon CONDENSACION [Cuadernos [Convección ]] de Transmisión Cambio de deFase. Calor.

                              

5.1 3

b kliq

qcond 

Obteniéndose …

Este resultado se puede introducir en la expresión de (x) para determinar la masa condensada por unidad de ancho de la película, desde la cota 0 hasta la cota x. Si se considera que el calor conducido en el interior de la capa de condensado es transferido por convección desde el fluido libre, esto es …

        

Entonces, el coeficiente de película local h(x) y el correspondiente número de Nusselt local adoptan las siguientes expresiones:

                                           

A partir de los valores locales se puede obtener los valores promediados a lo largo de la placa, por integración entre x=0 y x=L …

                                              Condiciones de uso:

Re max < 1800 (régimen laminar) 1 < Pr < 100 Propiedades a Tmp, excepto hfg y v a la Tsat Errores aceptables si Ja < 0.1 …

  

* Si existe subenfriamiento, entonces debe corregirse h fg por h’fg … donde h’fg = hfg (1 + 0,68 Ja) El número de Reynolds, Remax hace referencia a una velocidad de condensado que puede relacionarse con el caudal de condensado finalmente obtenido (y recogido en el extremo de la placa):


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DETransmisión CONDENSACION [Cuadernos [Correlaciones ]] de de Condensación. de Calor.

Re =

v

.

.

.

m

4S P

.

5.1 4

.

4 ΓMAX ρ Dh m Dh m Dh 4m 4m = = = = = = S µL S· µ L S · µ L P · µ L b · µ L µL µL

                   Además …

Por lo que el Re max puede expresarse como …

Nótese que Re max puede calcularse una vez conocido el flujo másico de condensado (m) o el coeficiente de convección (h). Pero estos, a su vez, serán válidos siempre que Re < 1800. En caso de placas inclinadas* ( grados con respecto a la vertical) la expresión anterior es válida sustituyendo “g” por “g·cos()”. * Para placas sensiblemente verticales También es válida la aplicación a tubos verticales, tanto por el interior como por el exterior, siempre y cuando el radio del cilindro sea muy superior al espesor de capa de condensado: R >>  Correlación de McADAMS/ ROSHENOW/SPARROW/GREG/DHIR/LIENHARD

                             

Re max < 1800 (régimen laminar) h’fg = hfg (1 + 0,68 Ja) Ja < 1,0 Pr > 0,5 Propiedades a Tmp, excepto hfg y v a la Tsat

Condensación en película turbulenta sobre superficies verticales Si la superficie vertical es suficientemente larga, en la película de líquido empiezan a aparecer en una determinada altura perfiles ondulatorios, desembocando al final en un flujo turbulento completamente desarrollado. Para el régimen de transición (números de Reynolds comprendidos entre 30 y 1800), la correlación obtenida para el flujo laminar puede emplearse con ciertas reservas. Para régimen turbulento una correlación más apropiada es … Correlación de McADAMS

                     

Re > 1800 Pr > 0.5 Propiedades a Tmp, excepto hfg y v a la Tsat


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DEcon CONDENSACION [Cuadernos [Convección ]] de Transmisión Cambio de deFase. Calor.

5.1 5

    

Nótese que habitualmente puede simplificarse la anterior expresión teniendo en cuenta que …

Esta correlación es también válida para cilindros verticales, con las mismas consideraciones que en el apartado anterior.

Condensación en película laminar sobre la superficie superior de placas horizontales Correlación de CLIFTON y CHAPMAN:

                     

L es una longitud representativa del problema (tómese L=superficie/perímetro) Propiedades de los líquidos a T mp, excepto hfg a Tsat F=f(Ja/Pr) según la tabla adjunta …

Ja Pr

=

kl

⋅ ∆t

µ l ⋅ h fg

0,176 0,381 0,698 2,270 4,080

F 0,329 0,322 0,320 0,285 0,264

Condensación en cilindros horizontales y esferas Sobre cilindros horizontales se produce siempre condensación en régimen laminar, ya que el tiempo de residencia de la película líquida sobre la superficie es escaso Correlación de NUSSELT

                         

C=0,826 (esfera) C=0,729 (cilindro) Pr > 0.5 Ja < 1.0 Propiedades a Tmp, excepto hfg y v a la Tsat Para un haz de N tubos horizontales sobre la misma vertical, el número de Nusselt promedio queda:

                           

Propiedades a Tmp, excepto hfg y v a la Tsat NOTA: En caso de tubos inclinados inclinados ligeramente (siempre que L/D > 1,8 tg ) es posible utilizar esta correlación reemplazando “g” por “g cos ”, siendo  el ángulo formado con la horizontal.


CORRELACIONES DE CONDENSACION [Cuadernos [Correlaciones ]] de Transmisión de Condensación. de Calor.

. 6

El coeficiente de película disminuye en los tubos inferiores pues el espesor de capa líquida crece al recibir el condensado procedente de los tubos superiores. Para disminuir este efecto los tubos pueden disponerse al tresbolillo (formación triangular). Relacionando las expresiones del número de Nusselt para la configuración horizontal y vertical se deduce que la capacidad de condensación aumenta considerablemente para cilindros horizontales, llegando a suponer más del doble que la correspondiente a cilindros iguales dispuestos de forma vertical.

Condensación en el interior de tuberías horizontales De gran importancia en circuitos frigoríficos donde se condensan fluidos fluidos refrigerantes, los resultados dependen fuertemente de la velocidad del vapor. Si ésta es pequeña, la condensación comienza en la parte superior del tubo y va ampliándose hacia la parte inferior donde además el condensado se va acumulando. A altas velocidades el flujo bifásico es anular, ocupando el vapor la zona interna, que va disminuyendo conforme el flujo avanza y el espesor de capa líquida crece. Correlación de CHATO (baja velocidad del vapor)

                          D es el diámetro interior h’fg = hfg + 3/8 Cpliq T

                Condensación en gotas Los coeficientes de transmisión de calor para fenómenos de condensación en gotas son muy altos, debido a que no toda la superficie está bañada por líquido, que al fin y al cabo supone una cierta resistencia térmica. Se han estudiado distintos pares “fluido+superficie”; para el caso de vapor de agua sobre superficies frías de cobre se tiene … hgotas (W/m2K) = 51104 + 2044 TSAT hgotas (W/m2K) = 255510

si 22°C < TSAT < 100°C si 100°C > TSAT



[162]


5. Convección con Cambio de Fase 5.2 Correlaciones de Ebullición

[163]

CORRELACIONES DE EBULLICION [Cuadernos [Convección ]] de con Transmisión Cambio de deFase. Calor.

. 7

INTRODUCCION La ebullición se produce cuando un fluido en estado líquido se pone en contacto con una superficie caliente a temperatura superior a la de saturación del fluido (T sup > Tsat). En tales circunstancias el líquido se evapora a temperatura y presión constantes absorbiendo una cantidad de calor igual al calor latente de cambio de fase (hfg). La ebullición es contemplada como un fenómeno de convección con cambio de fase. En realidad se distinguen dos tipos distintos de ebullición: la ebullición en piscina (pool boiling), en boiling), en la que el calor es transmitido desde la superficie calefactora al fluido en reposo por convección libre; y la ebullición por convección forzada, en la que el movimiento del fluido responde a variaciones de presión impuestas externamente. Asimismo, la ebullición puede ser saturada o subenfriada, en función de las condiciones del líquido. Los coeficientes de película que caracterizan a este tipo de convección con cambio de fase son elevados (hasta 25000 W/m 2K). El fenómeno de la ebullición está muy relacionado con la formación de burbujas a partir de defectos e irregularidades de la superficie caliente (focos de nucleación). La formación, crecimiento y desprendimiento de burbujas de vapor explican el proceso de transmisión de calor. El balance de fuerzas sobre una burbuja esférica …

    

indica que la presión del vapor (P vap) en el interior de la burbuja debe exceder la presión de líquido circundante (P liq) para compensar la tensión superficial en la interfase (). Ello explica que las burbujas nazcan en defectos superficiales de R finito pues de lo contrario (R 0) serían necesarias presiones de vapor exageradas. Si el conjunto se halla en equilibrio térmico (a la temperatura de saturación del vapor) entonces el líquido debe estar ligeramente recalentado en las cercanías de la burbuja, ya que su presión es algo inferior. Esta diferencia justifica el crecimiento de la burbuja. Si la burbuja asciende hacia zonas líquidas más frías entonces puede aplastarse e incluso condensarse. El análisis de las ecuaciones adimensionalizadas muestra que el número de Nusselt (hL/K) puede expresarse mediante 4 grupos adimensionales:

                     

donde el primer grupo tiene gran semejanza con el número número de Gr, Pr el número de de Prandtl, Ja es el número de Jakob, relacionado aquí con el sobrecalentamiento del vapor, y Bo es el número de Bond, que relaciona las fuerzas de empuje con la fuerza de tensión superficial.

            



CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES EBULLICION [Cuadernos [Correlaciones ] ] de DE Transmisión de Ebullición. de Calor.

5.2 8

GENERALIDADES Calor transferido en términos convectivos: q = h · A · (Tsup-Tsat) = h · A · Te Calor transferido en términos de vapor generado: q = mevap · hfg donde h fg es el calor latente de cambio de fase a la presión del fluido

En su caso se podría contemplar el sobrecalentamiento del líquido evaporado en las cercanías de la superficie calefactora, efecto que se cuantifica corrigiendo el valor de h fg, del siguiente modo … h’fg = hfg + 0,80 Cpv (Tsup-Tsat) y así también … q = m´evap · h’fg



EBULLICION EN PISCINA (pool boiling) Caso de ebullición saturada

 

Considérese el caso de una superficie caliente sumergida en una masa líquida en condiciones de saturación. Nukiyama llevó a cabo este experimento introduciendo en un baño en saturación (agua a presión ambiente) un hilo conductor asociado a una fuente externa de potencia eléctrica. Al variar la potencia eléctrica suministrada, Nukiyama fue describiendo la curva de ebullición, que revelaba distintas fases en el proceso:

Convección libre

Ebullición nucleada

Ebullición transición

Ebullición película

q” (W/m2) DNB

1E+6

1E+5

Punto de Leidenfrost

1E+4 ONB

5

•

10

30

120

T (K)

Fase de ebullición por convección libre:

La formación de burbujas no se evidenció hasta una diferencia de temperaturas entre el hilo conductor y el líquido saturado del orden de 5 K. Hasta ese momento el fluido asciende en un tipo de movimiento caracterizado por la convección natural. El punto en el que se inicia el burbujeo, esto es, (Tsup-Tsat)  5 K, se denomina ONB (onset (onset nucleate boiling). boiling ).


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DE EBULLICION [Cuadernos [Convección ]] de con Transmisión Cambio de deFase. Calor.

•

5.2 9

Fase de ebullición nucleada

Al elevar la potencia, el flujo de calor se incrementa rápidamente hasta valores muy altos, alcanzado un máximo q”max cuando la diferencia de temperaturas ronda los 30 K. Se distinguen, no obstante, dos subfases: [1] en la primera se forman burbujas aisladas que comienzan a separarse de la superficie caliente. Ello induce agitación y mezcla en el líquido cercano a la superficie, lo que incrementa el valor de h (y del flujo de calor). El intercambio de calor es mayoritariamente por contacto directo del líquido sobre la superficie. Esta fase se desarrolla hasta (T sup-Tsat)  10 K [2] en la segunda fase, la formación de burbujas es tan intensa que se forman columnas o chorros de vapor hacia la superficie libre del fluido. Ello dificulta el contacto del líquido con la superficie por lo que el flujo de calor empieza a ascender a menor velocidad (punto de inflexión de la curva de flujo). Si se incrementa la diferencia de temperatura se alcanza el máximo valor de flujo, denominado flujo crítico o crisis de ebullición nucleada (DNB, departure from nucleate boiling). boiling ). Este punto se alcanza cuando (Tsup-Tsat)  30 K

•

Fase de ebullición de transición

También llamada ebullición en película inestable, se prolonga hasta diferencias de temperatura del orden de 120 K. La formación de burbujas es muy rápida lo que origina por zonas aisladas una fina película de vapor en torno a la superficie caliente. Dado que dicha película supone una resistencia térmica adicional, el flujo de calor (y h) disminuyen sensiblemente. Al aumentar la temperatura superficial, la película se extiende por completo a toda la superficie alcanzándose entonces un mínimo local del flujo de calor. Este punto se denomina punto de Leidenfrost.

•

Fase de ebullición en película

Por encima del punto de Leidenfrost la superficie se halla cubierta por un manto de vapor. Pero a medida que la temperatura de la superficie aumenta la transferencia de calor por radiación a través de la película de vapor hace que el flujo de calor se incremente nuevamente y de forma indefinida hasta superar la resistencia mecánica del hilo conductor.

Histéresis de la curva de ebullición El experimento de Nukiyama considera la temperatura superficial como variable independiente, pero la realidad es que esta temperatura es la resultante del balance de energía del proceso. En efecto, la variable independiente es el flujo de calor (potencia externa) por lo que la diferencia de temperatura evolucionará de forma subordinada. En tal situación y en las cercanías del punto crítico cualquier pequeña variación de potencia (flujo de calor) puede conducir directamente a un punto en la zona de ebullición en película, con el consiguiente y dramático incremento de la temperatura superficial –quizás con fallo del material-. Por ello, en la práctica se suele trabajar en las cercanías del punto crítico, para obtener la mayor efectividad en la transferencia de calor, pero de forma conservadora con el margen de seguridad necesario para evitar fallos catastróficos.


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DE EBULLICION [Cuadernos [Correlaciones ] ] de Transmisión de Ebullición. de Calor. Cuando la curva de ebullición se recorre en sentido inverso (curva de enfriamiento) desde la zona de ebullición en película, al alcanzar el punto de Leidenfrost un pequeño descenso en el flujo de calor puede conducir directamente a la zona de ebullición nucleada, con el consiguiente enfriamiento brusco de la superficie calefactora.

5.2 10

q”

Mediante un experimento de potencia controlada y a partir de la curva de enfriamiento se pudo obtener un análisis fenomenológico de la curva de ebullición.

T (K)

CORRELACIONES DE EBULLICION EN PISCINA (Pool Boiling)

• Ebullición nucleada CORRELACION DE ROHSENOW

g ⋅ (ρl − ρ V )  = µ l ⋅ h fg   σ A  q

1/ 2

 Cp l ⋅ ∆t    s ⋅ ⋅ C h Pr  sf fg l 

3

Propiedades a Tsat

Agua + Acero inoxidable Agua + Cobre Agua + Latón Agua + Níquel Agua + Platino Agua + Teflón Otros líquidos (aprox)

Csf 0.013 0.013 0.006 0.006 0.013 0.006 0.003

s 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.7

• Predicción del flujo crítico (q''max) CORRELACION DE KUTATELADZE y ZUBER

 q     A  max

=

 σ ⋅ g ⋅ (ρ l ⋅ h fg ⋅ ρv ⋅  24 ρ2v 

π

1/ 4

− ρv )  

ρv  1 +      ρl 

1/ 2

Propiedades a Tsat Esta ecuación fue objeto de un leve ajuste experimental (Lienhard y Dhir), y simplificando el último término queda como sigue …

                 


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DE Cambio EBULLICION [Cuadernos [Convección ]] de con Transmisión de deFase. Calor.

• Predicción del flujo mínimo de calor

5.2 11

(Punto de Leidenfrost)

CORRELACION DE ZUBER/BERENSON

                    Propiedades a Tsat

•

Ebullición en película

CORRELACION DE BROMLEY (por semejanza con la fenomenología de condensación)

                             C= 0,62 para cilindros horizontales C= 0,67 para esferas C= 0,943 para tubos verticales h’fg = hfg + 0,80 Cpv (Tsup-Tsat) hfg y ρL a Tsat Resto propiedades a Tmp

• Ebullición en película en tubos horizontales (con influencia de la radiación de calor) HIPOTESIS DE BROMLEY Cuando la superficie alcanza elevadas temperaturas el calor transmitido por radiación a través de la película de vapor empieza a jugar un papel relevante que se traduce en un incremento del coeficiente de película. Sin embargo, el calor de radiación contribuye a aumentar el espesor de la película. Convección y radiación se hallan ligados y no cabe tratarlos aditivamente. Bromley sugiere el siguiente tratamiento:

                 

expresión que puede simplificarse si la contribución radiativa es significativamente menor que la convectiva …

Nótese que el coeficiente hrad puede calcularse según … hrad (Tsup-Tsat) = sup  (Tsup4-Tsat4)


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DE EBULLICION [Cuadernos [Correlaciones ] ] de Transmisión de Ebullición. de Calor.

5.2 12

pool boiling) boiling) Otras consideraciones sobre la ebullición en piscina ( pool

•

Influencia del subenfriamiento del líquido

En caso de que el líquido que rodea la superficie caliente esté subenfriado ( T=Tsup-Tliq) el efecto sobre el flujo de calor depende de la fase del proceso: [1] en ebullición con convección libre, el flujo de calor aumenta con T5/4 [2] en ebullición nucleada, la influencia del subenfriamiento es despreciable, si bien los flujos de calor mínimo y máximo aumentan linealmente con T [3] en ebullición en película, el flujo de calor aumenta fuertemente con el subenfriamiento.

•

Influencia de la rugosidad de la superficie

Durante la fase de ebullición en película la rugosidad superficial tiene una influencia nula. Sin embargo, durante la fase de ebullición nucleada, el flujo de calor en una superficie rugosa es significativamente más alto que en el caso de una superficie lisa. Eso es debido a que en la primera existe un mayor número de puntos de nucleación, lo que es determinante a la hora de la formación de burbujas. Esta circunstancia es aprovechada a nivel ingenieril para intensificar el flujo de calor en procesos de ebullición nucleada mediante la aplicación de recubrimientos de materiales porosos.

EBULLICION POR CONVECCION FORZADA En los procesos de pool boiling el movimiento del fluido se debe a la aparición de burbujas formadas sobre la superficie caliente y su empuje hacia la superficie libre. En el caso de ebullición por convección forzada el flujo es impulsado por una fuerza exterior que se combina con los efectos de empuje natural. Los casos más estudiados son los de flujo externo alrededor de placas y cilindros y el flujo interior a una tubería caliente, que habitualmente se conoce como flujo bifásico. Flujo bifásico Describe el proceso de ebullición de un fluido en el interior de un tubo caliente. La formación y separación de burbujas está muy condicionada por la velocidad del flujo. El análisis teórico del proceso de transferencia de calor es difícil, ya que existen diferentes fases o regímenes de flujo, a saber: i. ii.

iii.

Régimen de convección forzada de líquido subenfriado (hasta que el flujo alcanza condiciones de saturación) Régimen de flujo con burbujas. Aparecen las primeras burbujas que son arrastradas por la corriente principal de líquido. El coeficiente de película aumenta conforme la densidad de burbujas va en aumento Régimen de flujo en grupo. Las burbujas se unen formando grupos o núcleos de vapor que dificultan la circulación del líquido, aumentando su velocidad. Téngase en cuenta que, aunque la producción de vapor es todavía pequeña, el volumen específico del gas es muy superior al de la fase líquida. El coeficiente de película sigue aumentando.


CONVECCION CON CAMBIO DE FASE CORRELACIONES DECambio EBULLICION [Cuadernos [Convección ]] de con Transmisión de deFase. Calor. iv.

v.

vi.

5.2 13

Régimen de flujo anular. Aparece una película de líquido que baña la superficie del tubo (zona anular) mientras el vapor circula a mayor velocidad por el espacio interior. El coeficiente de película se hace máximo. La presencia de vapor es ya significativa, alcanzando títulos del orden de 0,25. Régimen de transición. Se empieza a producir el arrastre de líquido por el flujo interno de vapor lo que origina que la superficie caliente comience a secarse siendo “mal refrigerada” por el flujo de vapor. Ello conduce a un descenso del coeficiente de película, tanto más acusado cuanto mayor es la superficie no mojada. Al final de esta fase, la superficie está completamente seca y el líquido es disuelto en forma de gotas en el flujo de vapor (fase de niebla). Régimen de convección forzada de gas. Una vez que todo el líquido es evaporado, el vapor se sobrecalienta por convección forzada sobre la superficie caliente.

Convección forzada líquido

h , a l u c í l e p e d e t n e i c i f e o C

Flujo burbujeante

Flujo de transición

Flujo anular

Convección forzada vapor

Flujo de vapor

x=0

Título de vapor, x

x=1

Regímenes de flujo para ebullición por convección forzada en el interior de un tubo



6. Intercambiadores de Calor      

[171]

METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [Intercambiadores ] ] de Transmisión de Calor. de Calor.

1

INTRODUCCION Los mecanismos de transferencia de calor tienen aplicación directa en multitud de escenarios naturales (ambiental, confort ...) pero son aprovechados artificialmente en equipos industriales conocidos como intercambiadores de calor, donde la potencia térmica es transferida desde una corriente caliente a otra fría. Ello posibilita posibilita aplicaciones específicas en prácticamente todos los campos de la actividad humana, desde el confort hasta la producción de energía a gran escala. Existe una gran variedad de diseños de intercambiadores de calor en función de diversos factores: número y tipo de corrientes fluidas, tipo de superficie de intercambio, disposición de los flujos, con/sin mezcla de corrientes fluidas, con/sin cambio de fase, con/sin superficies adicionales, aplicación (calentar, enfriar, evaporar, condensar) ... Sería muy osado hacer una clasificación de los intercambiadores de calor sin excluir ningún diseño. Por ello simplemente se mencionarán aquellos que todo ingeniero debe reconocer, dada su amplia presencia en la industria y en la vida cotidiana:

• • • •

intercambiadores de placas intercambiadores de carcasa y tubos intercambiadores de flujos cruzados (baterías, compactos) intercambiadores de tubos concéntricos (doble tubo ...)

Intercambiadores de calor: de placas (izqda) y de carcasa y tubos (dcha)

[172]

INTERCAMBIADORES DE CALOR METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [ ] ] de Transmisión   de Calor.

6 2

Intercambiador de calor: compacto o batería de tubos (izqda) y de doble tubo (dcha)

Comportamiento térmico de los fluidos en un intercambiador de calor Hasta el momento se ha supuesto que la temperatura de los fluidos implicados permanecía constante en cualquiera de los escenarios de intercambio de calor propuestos (convección libre/forzada; cambio de fase ...). Esto no ocurre en la realidad, ya que el fluido al ceder o absorber calor modifica, en mayor o menor medida, su propia temperatura. Ello conlleva una variación en las propiedades termofísicas empleadas en las distintas correlaciones de intercambio de calor. Es por eso que la potencia térmica intercambiada varía de un punto a otro del sistema. Esto es lo que ocurre efectivamente en un intercambiador de calor: las corrientes fluidas van modificando su temperatura por lo que en cada sección del intercambiador existe un mapa de temperaturas distinto y, por tanto, coeficientes de película distintos y coeficientes locales de transmisión de calor distintos. Para poder obtener un coeficiente global representativo del conjunto del intercambiador habrá que tener presente el mapa de temperaturas y la disposición de los flujos.

T TCe TCs

TFs

∆T2

∆T 1 TFe

L

Dicho esquema de temperaturas se muestra en la figura adjunta, donde se recogen las temperaturas de entrada (e) y salida (s) de los fluidos caliente (C) y frío (F). El sentido de las flechas muestra la disposición de los flujos (en este caso, en sentido contrario o contracorriente).

[173] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano Corrochano


3

Es también evidente que para que haya intercambio de calor debe existir diferencia de temperatura entre ambos fluidos. Por ello, en ninguna sección del intercambiador (marcada genéricamente con trazo discontinuo en la figura previa) las curvas pueden llegar a tocarse. El mayor acercamiento se produce en los extremos del conjunto denominándose diferencias terminales de temperatura temperatura a las indicadas como ∆T1 y ∆T2.

CALCULO TERMICO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR En todo intercambiador de calor de superficie existen al menos dos corrientes fluidas: caliente o donante y fría o receptora. Se caracterizarán por su capacidad calorífica a presión constante ...

   

Aplicando un balance de energía al conjunto es evidente que el calor transferido hacia el fluido frío (F) es igual al calor donado por el fluido caliente (C), despreciando las pérdidas del intercambiador a su entorno, muy pequeñas frente al calor intercambiado. Entonces ...

          

Los subíndices e/s denotan las secciones de entrada y salida del fluido en cuestión. Esta doble ecuación es una representación ideal del intercambiador ya que, en la práctica, siempre pueden considerarse pérdidas de calor al entorno desde uno u otro fluido a través del cuerpo o superficie exterior del intercambiador. Estas dos ecuaciones nos describen el esquema de temperaturas del conjunto y así, en apariencia, el ingeniero podría proyectar cualquier combinación de temperaturas siempre y cuando se satisfaga el balance de energía mencionado. Sin embargo, los fluidos transfieren calor por convección sobre la superficie de intercambio, lo que es gobernado por coeficientes de película cuyo valor depende del escenario y pueden variar sensiblemente desde 100 (convección libre) hasta 10 4 (condensación). Así, las corrientes fluidas deben satisfacer una tercera condición: la ecuación de termotransferencia, que implica al mapa de temperaturas, al tamaño del intercambiador y a las condiciones de transferencia de calor, según la expresión ...

      

La ecuación de termotransferencia debe ser analizada cuidadosamente:

• U (W/m2K) representa el coeficiente global de transferencia de calor del conjunto • A (m2) es la superficie de transferencia de calor interpuesta entre los fluidos • ∆T (K) es una diferencia representativa de temperatura entre ambos fluidos • Rt (K/W) es la resistencia térmica global de la barrera que separa ambos fluidos

[174]

INTERCAMBIADORES DE CALOR METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [de ] ] Transmisión    de Calor.

6 4

El coeficiente global de transferencia de calor, U, debe tener en cuenta hasta cinco resistencias térmicas diferentes:

•

Resistencia convectiva, lado frío

   

donde hF es el coeficiente de película para la corriente fría en contacto con la superficie A F

•

Resistencia de ensuciamiento, lado frío

debida a la acumulación de residuos sobre la cara fría de la superficie de intercambio de calor. Su valor es variable en el tiempo y sólo es posible una estimación basada en la experiencia.

•

Resistencia conductiva de la superficie s ólida que separa los fluidos

•

Resistencia de ensuciamiento, lado caliente

•

Resistencia convectiva, lado caliente

                             

donde hC es el coeficiente de película para la corriente fría en contacto con la superficie A C

q C

F sup

C

sup(C)

Rh

Re

Rk

sup(F)

F

Re

Rh

Así, la resistencia total del conjunto es la suma de todas estas resistencias en serie ...

             

La inversa de esta resistencia es el llamado "tamaño térmico del intercambiador" (UA). Y el coeficiente global de transferencia de calor (U, en W/m 2K) puede expresarse ...

                  Cuadernos de Transmisión [175] de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano

INTERCAMBIADORES DE CALOR METODOS DE CALCULO Y de ANALISIS [Cuadernos [Intercambiadores ] ] de Transmisión Calor. de Calor.

6 5

2

Fluido

Resistencia de ensuciamiento (m K/W)

Agua de red (v < 1 m/s)

1.8E-4

Agua de mar (v > 1 m/s)

1.8E-4

Agua de río (v > 1 m/s)

7,0E-4

Agua tratada de torre (v > 1 m/s)

3.5E-4

Agua tratada de alimentación a calderas

1,8E-4

Vapor de agua

9,0E-5

Refrigerante vapor

3,5E-4

Refrigerante líquido

1,8E-4

Gas natural

1,8E-4

Aire comprimido

3,5E-4

Aceite vegetal

5,2E-4

Aceite lubricante, térmico

1.8E-4

FO

9,0E-4

Gasolina

1.8E-4

Resistencia térmica de ensuciamiento de algunos fluidos habituales

Fluidos

Coeficiente Global de 2

Transferencia de Calor, U (W/m K)

Aire/aire, flujos cruzados

10-50

Aire/agua, flujos cruzados

25-80

Agua/agua, carcasa y tubos

850-1700

Agua/aceite, carcasa y tubos

110-350

Agua/condensador de vapor, carcasa y tubos

1100-5600

Agua/condensador NH3, carcasa y tubos

800-1400

Agua/condensador freón, carcasa y tubos

450-900

Agua/salmuera, carcasa y tubos

500-1100

Valores representativos del coeficiente global de transmisión de calor en intercambiadores con fluidos habituales

DIFERENCIA MEDIA DE TEMPERATURA Por otro lado, debe estudiarse cuál es el valor más representativo de la diferencia de temperaturas entre ambos fluidos, teniendo en cuenta que ambas temperaturas varían a lo largo del cambiador de calor.

∆T

debería representar un valor promedio de la diferencia de temperatura a lo largo del

intercambiador entre los fluidos frío y caliente. Además, dicha ∆T (diferencia media de temperatura) debe ser tal que multiplicada por el coeficiente global de transferencia de calor y por la superficie de intercambio permita obtener el calor total intercambiado.


INTERCAMBIADORES DE CALOR METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [ ] ] de Transmisión    de Calor.

6 6

Los perfiles de temperatura de los fluidos no son constantes. Los esquemas posibles de temperatura en un intercambiador de calor son los siguientes: contracorriente, equicorriente (paralelo), condensación, evaporación, flujos cruzados y paso múltiple.

T

T

L

L

(izqda) Flujos en contracorriente (dcha) Flujos en paralelo

T

T

L

L

(izqda) Condensación (dcha) Evaporación

Nótese que el fluido frío nunca podrá calentarse por encima de la temperatura máxima del fluido caliente, ni este enfriarse por debajo de la temperatura mínima del fluido frío. La igualdad exigiría un intercambiador de dimensiones infinitas. El estudio detallado del perfil de temperatura de

T

cualquiera de las corrientes fluidas a lo largo del

∆T 2

intercambiador muestra una evolución logarítmica. Para el caso de flujos en contracorriente, se demuestra que dicha

∆T

adopta la siguiente

∆T 1

expresión:

     

L

donde 1 y 2 denotan las secciones de entrada y salida del intercambiador. (DTLM = Diferencia de temperatura logarítmico media) * NOTA: si

∆T1 = ∆T2

(intercambiador de calor equilibrado equilibrado)) entonces DTLM = ∆T1 = ∆T2



7

Este resultado también es válido para configuración de flujos paralelos así como para el caso de que exista cambio de fase en alguno de los lados (ver demostración final) por lo que, en general, se podrá expresar:

         

Puede comprobarse que para las mismas temperaturas iniciales (T Fe, TCe) la disposición en contracorriente se muestra mucho más ventajosa que la configuración en paralelo, ya que [1] existe un impedimento adicional para reducir la temperatura del fluido caliente (o elevar la temperatura del fluido frío); [2] la DTLM cc es mayor que la DTLMparalelo Para el caso de intercambio de calor con cambio de fase, es indiferente la disposición de los fluidos en contracorriente o en paralelo. Para otras configuraciones distintas a las mencionadas, entre las que se encuentran los cambiadores de flujos cruzados y los de paso múltiple, la diferencia media de temperatura no coincide con la expresión indicada para el DTLM, por lo que es necesario introducir factores de corrección.

METODOS DE ANALISIS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR 1. Método del factor de corrección de la DTLM Para los casos no descritos en el apartado anterior, este método no pretende sino estimar la diferencia media de temperatura a partir del valor DTLM calculado para la configuración en contracorriente. Dicho valor será corregido por un factor F, ilustrado gráficamente para distintas configuraciones por varios autores ya desde los años 30.

                     Así ...

Para calcular el factor de corrección es necesario definir los parámetros R (relación de capacidades térmicas) y P (efectividad del lado frío):

P representa la efectividad del fluido frío, esto es, la relación entre el salto térmico que realmente experimenta y el salto térmico máximo posible, que experimentaría si a la salida el fluido frío tuviese la temperatura de entrada del fluido caliente. Entonces ... F = f (configuración, P, R)

[178]

[Cuadernos [deTransmisión ] ]    de Calor.

[179]

INTERCAMBIADORES DE CALOR METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [Intercambiadores ] ] de Transmisión de Calor. de Calor.

6 9

2. Método NTU Este método obvia los inconvenientes del procedimiento anterior cuando sólo se conocen las temperaturas iniciales de los dos fluidos implicados. Keys y London demostraron que las ecuaciones que gobiernan un intercambiador de calor se pueden caracterizar por tres parámetros adimensionales: Relación de capacidades (RC), ratio entre la capacidad calorífica mínima y máxima de las corrientes fluidas implicadas.

                 

Efectividad del intercambiador (ε), ratio entre el calor realmente intercambiado y el máximo calor que potencialmente se podría intercambiar (teórico, q max).

Número de unidades de transferencia de calor (NTU), que es una medida del tamaño del intercambiador de calor.

   Resolución:

El primer paso para resolver el intercambiador de calor es determinar la relación de capacidades (RC), esto es, qué fluido tiene una menor capacidad calorífica. Del balance de energía es evidente que la relación de capacidades es igual a la relación entre saltos térmicos de uno y otro lado (ver caso específico de cambio de fase). Se trata de determinar qué fluido tiene menor capacidad (inercia térmica) y, por tanto, mayor facilidad para alcanzar la temperatura inicial del otro fluido. si (m·Cp) frío > (m·c p) caliente ... entonces tcs tiende a tfe más fácilmente que tfs tiende a tce si (m·Cp) caliente > (m·cp) frío ... entonces tfs tiende a tce más fácilmente que tcs tiende a tfe Una vez calculada la relación de capacidades se estima el NTU mediante la expresión antes mencionada. Será necesario conocer el área de intercambio (A) y el coeficiente global de transferencia de calor (U) o, al menos, una estimación aproximada de este. Entonces la efectividad del intercambiador ... ε = f (configuración, Rc, NTU) Existen gráficas y expresiones analíticas que permiten relacionar

ε,

Rc y NTU para distintas

geometrías y disposiciones de flujo. Algunas se recogen al final de este apartado.

[180]


6 10

Finalmente, con el valor calculada de la efectividad ( ε) del intercambiador puede calcularse el calor transferido entre corrientes:

    

El concepto de calor máximo transferido (q max) tiene que ver con aquella corriente fluida con menor inercia térmica que potencialmente sería capaz de experimentar el salto térmico máximo, igual a la diferencia entre temperaturas iniciales de ambos fluidos.

        

Así, se define la efectividad de un intercambiador como el cociente entre el flujo real de calor intercambiado y el máximo posible que conduciría a la igualdad entre la temperatura de salida del fluido con menor inercia térmica y la de entrada del otro.

               ________________ ______________ __

A continuación se muestran las expresiones que relacionan la efectividad y el número de unidades de transferencia de calor para las configuraciones habituales: Relaciones directas ε = f (NTU)

•

Caso i:i: flujos en contracorriente

                              si Rc = 1 ...

•

Caso ii: flujos paralelos

si NTU   ...



•

Caso iii: flujos cruzados (sin mezclado; un solo paso)

        

* Esta relación sólo es exacta para Rc=1. No obstante, puede usarse con muy buena aproximación para 0
•

Caso iv: intercambiador de carcasa y tubos (1 paso por carcasa; 2/4/6 ... pasos por tubos)

                                     •

Caso v: condensadores y evaporadores (Rc=0)

Relaciones inversas NTU = f (ε)

•

Caso i:i: flujos en contracorriente

                 si Rc=1 ...

•

Caso ii: flujos paralelos

•

Caso iii: intercambiador de carcasa y tubos (1 paso por carcasa; 2/4/6 ... pasos por tubos)

              •

          

Caso iv: condensadores y evaporadores (Rc=0)

      [182] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano

6 11

METODOS DE CALCULO Y ANALISIS [Cuadernos [de ] ] Transmisión    de Calor.

12

METODOLOGIA DE DIMENSIONAMIENTO Y ANALISIS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR Se han expuestos dos métodos para el análisis energético de un intercambiador de calor: métodos DTLM y NTU. Ambos son equivalentes en cuanto a resultados pero su uso dependerá del planteamiento inicial del problema. El método DTLM se emplea cuando se quiere dimensionar un intercambiador de calor, conocidas las velocidades de flujo -caudales- y tres de las 4 temperaturas (la cuarta se deduce inmediatamente por balance de energía). El problema consiste en obtener la superficie (tamaño) para un intercambiador de un tipo determinado. El empleo del método NTU es preferible cuando se desea analizar el comportamiento térmico de un intercambiador determinado, esto es, cuando se quieren estimar el calor total transferido y las temperaturas de salida, conocidos los caudales y las temperaturas de entrada. El método DTLM también sería válido pero exigiría un proceso iterativo a partir de la suposición de una de las temperaturas de salida.




6 13

Demostración: Cálculo de la diferencia media de temperatura en intercambiadores de calor Hipótesis: El coeficiente U es constante a lo largo del cambiador Los caudales másicos y capacidades caloríficas de ambas corrientes son constantes No se consideran pérdidas de calor al entorno El perfil de temperatura es unidimensional (a lo largo del intercambiador) Objetivo: Obtener una expresión general, tal que ... q = U A ∆T Considérese una sección diferencial en un intercambiador de calor de flujos en contracorriente:

T

C

dA

TCe TFs

TCs

dq

∆ T2

∆T 1

TFe

F

L

donde se verifica ... dq = U dA (TC-TF) dA = s dL

(s, expresado en m2 por metro lineal de longitud)

Y por tanto ... ... dq = U s (TC-TF) dL

      

                                                   Por otro lado, el balance de calor aplicado a dicha sección ... Entonces [1] ...

Si se efectúa un balance entre la sección inicial y la sección de estudio ...

Sustituyendo el valor de TC en la expresión [1] ...

expresión que sólo depende de las variables T F y L.



6 14

Integrando dicha expresión entre las secciones inicial y final del intercambiador, donde las temperaturas son TFE y TFS, respectivamente ...

                  

Se obtiene:

                                                                          Según el esquema de temperaturas ...

T1=TCs-TFe

y

T2=TCe-TFs (ver página anterior)

Como

Finalmente ...

Por lo que ...

... quod erat demonstrandum (Q.E.D.)

•

Caso de flujos paralelos

En el caso de flujos paralelos, las ecuaciones de partida del estudio previo realizado siguen siendo válidas, sin más que considerar que dT C y dL tienen signos contrarios:

                 

T

La resolución de la ecuación planteada lleva al mismo resultado:

∆T1

∆T2 L

NOTA: obsérvese que las definiciones de T1 y T2 varían con respecto al caso anterior. [185] de Calor (2012) Cuadernos de Transmisión JA Fdez-Benítez / C Corrochano


•

6 15

Caso de intercambio de calor con cambio de fase (condensación y evaporación)

En el caso de cambio de fase, las ecuaciones de partida del estudio inicial siguen siendo válidas, con excepción del balance de calor en el lado de cambio de fase:

                             

T Tsat

∆T 2

∆T 1

L

La resolución de ambos sistemas de ecuaciones lleva al

T

mismo resultado:

∆T 1

En este caso resulta indiferente si la disposición de flujos es en contracorriente o en paralelo.


∆T 2 Tsat L

INTERCAMBIADORES DE CALOR RESOLUCION DE PROBLEMAS (ANEXO) [ [Cuadernos   de Transmisión   de  Calor.]  ]

6 16

ESQUEMA DE RESOLUCION de problemas de dimensionamiento y análisis de cambiadores de calor

• Problema tipo 1: conocidos los datos de intercambio térmico, dimensionar el intercambiador Se conocen ... Se desea calcular ...

ambos fluidos, mc, TCe, TCs, TFe, TFs tipo de intercambiador de calor, tamaño

Procedimiento i: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cálculo de las temperaturas medias de ambos fluidos, temperaturas media de masa (Tbc, Tbf) Cálculo de la potencia térmica por balance de energía del conjunto (q) Cálculo del flujo másico de la corriente fría (m F) Selección del tipo de intercambiador de calor. En su caso, del diámetro de los tubos Comprobar si las pérdidas de carga son admisibles Cálculo de la la diferencia de temperatura media (DTM=F·DTLM) Cálculo del producto UA Cálculo del coeficiente global teórico ("limpio") de transferencia de calor, U limpio 8.1. Cálculo del coeficiente de convección interior (hi) 8.2. Cálculo del coeficiente de convección exterior (he) 8.3. Cálculo de U a partir de los valores de hi, he 9. Cálculo del coeficiente global ("sucio") de transferencia de calor, U , añadiendo el valor de las resistencias de ensuciamiento 10. Cálculo de la superficie de transferencia de calor, A, a partir del producto UA En el punto 8.2 puede ser necesario emplear el siguiente proceso iterativo (por ejemplo, para intercambiadores de carcasa y tubos): Se supone una temperatura superficial exterior  Se calcula el coeficiente de convección exterior (he) para el valor Tsup supuesto  Se calcula U a partir de los valores de hi, he  Se recalcula y comprueba el valor de Tsup. En su caso, recalcular he 

• Problema tipo 2:

conocida la geometría de un intercambiador de calor estimar su comportamiento térmico

Se conocen ... Se desea calcular ...

tipo de intercambiador, U, A, ambos fluidos, mc, TCe, TFe TCs, TFs, q

Procedimiento ii: 1. Se elige un flujo másico, lado frío 2. Cálculo de la relación de capacidades, Rc 3. Cálculo del NTU 4. Cálculo de la efectividad del intercambiador, a partir de Rc y NTU 5. Cálculo de las temperaturas de salida TCs, TFs 6. Cálculo del calor total intercambiado, q Si los los resultados TCs, TFs, q no resultan admisibles, volver al punto 1


INTERCAMBIADORES DE CALOR RESOLUCION DE PROBLEMAS (ANEXO) [Cuadernos [ ]] de Transmisión  de  Calor.

6 17

En caso de no disponer del coeficiente global U, será necesario calcularlo. Pero para ello es necesario conocer las temperaturas medias de los fluidos. Entonces se aplica el siguiente proceso iterativo: 1. Suponer un valor de U (ver tabla de valores aproximados) 2. Aplicar el procedimiento [ii] para calcular las temperaturas de salida 3. Recalcular el valor de U, de acuerdo con los pasos 8 y 10 del procedimiento [i] 4. Aplicar nuevamente el procedimiento [ii] y comprobar las temperaturas de salida. En su caso volver al punto 3



7. Transmisión Tr ansmisión de Calor C alor por Radiación R adiación 7.1 Fundamentos Fu ndamentos

[189]

. 1

FUNDAMENTOS [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor por Radiación. de Calor.]]

INTRODUCCION Todo cuerpo a temperatura por encima del cero absoluto emite radiación electromagnética. Dicha emisión se produce como resultado de transiciones atómicas, relacionadas con la energía interna de la materia y, por consiguiente, su magnitud depende de la temperatura del mismo. La radiación puede verse como propagación de ondas electromagnéticas o como transporte de partículas (fotones). De cualquier forma, es energía en tránsito. Esta radiación es emitida en todas direcciones y puede ser interceptada por otros cuerpos dando lugar a un intercambio radiante entre las superficies de dichos cuerpos. Si el intercambio radiante es de tipo térmico (en las condiciones adecuadas) la energía transmitida se traduce en calor que varía la temperatura de los cuerpos. La radiación electromagnética no necesita un soporte físico (sólido o fluido) para propagarse. El intercambio radiativo entre superficies puede efectuarse en el vacío o en presencia de gases transparentes a la radiación (no atenúan la intensidad de la radiación) o participativos participativos,, como el vapor de agua y el dióxido de carbono. La radiación se propaga en el vacío a la velocidad de la luz (c=2,99·10 8 m/s). Las emisiones electromagnéticas se caracterizan por parámetros como la frecuencia ν (ν) o la longitud de onda ( λ ),), relacionadas según la expresión: λν = c . La energía de un fotón está asociada a la frecuencia de la onda asociada, asociada, según: E = h· ν ν, donde h es la constante de Planck (6,626·10-34 J·s). El espectro de radiación electromagnética se divide en las zonas indicadas en el gráfico a m m a g s o y a r

10 -6

0,3 m

X s o y a r

a t e l o i v a r t l u

10 -3

o j o r r a r f n i

10 3

r a d a r

F H V / F H U

o i d a r

10 6

0, 8 m

m

Tipo Rayos cósmicos Rayos Gamma Rayos X Ultravioleta Visible Infrarrojo Radio y TV

λ ( (µm) -8

< 10 -8 -4 de 10 a 10 -5 de 10 a 0,1 de 0,1 a 0,4 de 0,4 a 0,7 de 0,7 a 1000 >1000

La retina del ojo humano sólo es estimulada por radiaciones de longitudes de onda comprendidas entre 0,4 y 0,7 µm; es el rango que corresponde al llamado espectro visible. Cuando el ojo humano recibe ondas de todas las longitudes comprendidas en el espectro visible, percibe el color blanco. Por el contrario, cuando no recibe ninguna onda comprendida en el espectro visible, percibe el color negro. Por esta razón, una habitación a oscuras se ve negra: ve negra: no hay ninguna onda de luz visible. Si un objeto es de color rojo, significa que la única radiación visible que refleja tiene una longitud de onda de 0,7 µm. Este hecho no significa que el objeto no emita a otras longitudes de onda, sino que el ojo humano no lo puede percibir. No todas las radiaciones electromagnéticas tiene energía suficiente para provocar variaciones de temperatura en los cuerpos irradiados. En ingeniería se considera   a todas las emisiones cuya longitud de onda se encuentra entre 0,1 y 1000 µm. Esto incluye las zonas ultravioleta (parcialmente), visible e infrarroja del espectro.

[190]

TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION FUNDAMENTOS [Cuadernos [ Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión

7.1 2

Característica espectral y direccional de la radiación Un cuerpo real emite radiación de muy diferentes longitudes de onda. Como la radiación es transporte de energía, cada onda llevará asociada una energía. Si se representa la energía asociada a cada emisión monocromática (de una sola longitud de onda) se obtiene la distribución espectral de de la radiación. Integrando el valor de la radiación emitida en todo el espectro se obtendría la radiación total . 6

10

105

2m)  (W/m Eb λ 

2000 K

4

10

3

10

2

Emisión espectral de una Superficie negra a 2000 y 500K

10

500 K 1

10

 ( m)  λ 

0

10 0,1

1

10

100

Otra característica de la radiación es la direccionalidad: una superficie puede emitir de forma diferente según la dirección en el espacio. Así, puede definirse una distribución direccional. Existen superficies que emiten de forma difusa difusa,, esto es, uniforme en todas las direcciones. Otras, por el contrario, emiten (o reflejan) de forma especular , es decir, en una única dirección. El total hemisférico hace referencia a la suma de emisiones en todas las direcciones del espacio.

Distribución direccional de la radiación

(Caso de superficie difusa)

INTENSIDAD DE LA RADIACION Sea una superficie diferencial dA1 que emite una potencia térmica dq (watios) en una dirección dada (θ,φ), de acuerdo con un sistema de coordenadas esféricas.

r d r se sen n  d


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION FUNDAMENTOS [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor por Radiación. de Calor.]]

7.1 3

NOTA: Una superficie de área A definida sobre la superficie de una esfera de radio R determina o subtiende un ángulo sólido ( ), tal que  = A/R2. En el sistema internacional el ángulo sólido se mide en estereorradianes (sr). Un estereorradián es el ángulo sólido que forma una superficie de 1 m2 sobre una esfera de radio 1 m. El ángulo sólido correspondiente a toda la semiesfera es: 2 2  = 2R / R = 2 En un sistema de coordenadas esféricas … d = r2 sen d d / r2 = sen  d d

Intensidad de radiación (I) es la energía radiante por unidad de tiempo por unidad de ángulo sólido interceptado en la dirección (θ,φ), y por unidad de área de la superficie considerada normal a esa dirección. Por tanto se puede escribir:

I e ( θ, φ) =

dq dA1 cos θ ⋅ dω

 W   2   m sr 

(dA1 cosθ … … es el área normal a la dirección considerada) La intensidad de radiación puede tener también carácter espectral o monocromática, siendo su expresión, para un intervalo dλ centrado centrado en λ :

  W  2  dA1 cos θ ⋅ dω ⋅ dλ  m ⋅ sr ⋅ µm  dq

I λ ,e (λ , θ, φ ) =

El flujo de calor emitido en una dirección ( θ,φ) que recoge un ángulo sólido d:

                    

Integrando la expresión anterior para el ángulo sólido correspondiente a toda la semiesfera podemos calcular el flujo el flujo de calor total emitido

" =



ω

  (θ , φ ) ⋅ cosθ ⋅  ω

2π

= 0



π

0

2

   2   

  (θ ,φ ) ⋅ cosθ ⋅ senθ ⋅ θ ⋅ φ 

El flujo El flujo de calor monocromático emitido en una cierta longitud de onda λ es: es:

 ''λ

=

2π

π / 2

0

0

 

 λ , (λ ,θ , φ ) ⋅ cos θ ⋅ se sen θ ⋅  θ ⋅  φ 

y por consiguiente el flujo de calor total queda:

 '' =

∞

2π

   0

0

π

0

2

 λ , ( λ , θ , φ ) ⋅ cos θ ⋅ sen θ ⋅  θ ⋅  φ ⋅  λ


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION FUNDAMENTOS [Cuadernos [Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión

7.1 4

POTENCIA EMISIVA, RADIOSIDAD, IRRADIACION Aprovechando la expresión de intensidad de radiación se pueden definir los siguientes conceptos.

•

Al considerar la radiación emitida (Ie) por una superficie en razón de su temperatura, se define …

POTENCIA EMISIVA (W/m2) de una superficie es la velocidad de emisión de energía por unidad de dicha superficie. La potencia emisiva monocromática (W/m2µm) es:

λ (λ ) =

2π

π / 2

0

0

 

 λ , (λ ,θ , φ ) ⋅ cos θ ⋅ θ ⋅ θ ⋅  φ

La potencia emisiva total (W/m2 ) ) … …

E=

λ

∞

2π

π/ 2

0

0

0

0

 E λ ( λ ) dλ =   

I λ ,e ( λ, θ, φ) ⋅ cos θ ⋅se s en θ ⋅ dθ ⋅ dφ ⋅ dλ

Si la superficie es un emisor difuso difuso (no tiene direcciones preferenciales) se cumple para cualquier dirección que I λ ,e ,e (λ ,θ,φ) = I λ ,e ,e … ∞

2π

π/ 2

0

0

0



E = I λ ,e (λ )

•

 

∞



cos θ ⋅ sen θ ⋅ dθ ⋅ dφ ⋅ d λ = π ⋅ Iλ ,e ( λ) = π ⋅ Ie 0

Al considerar la radiación que abandona una superficie, se define …

RADIOSIDAD (W/m2) de una superficie es la velocidad de emisión de energía por unidad de dicha superficie. Nótese que incluye tanto energía reflejada como emisión debida a temperatura. Así, la radiosidad monocromática (W/m 2·µm) es …

J λ (λ ) =

2π

π/2

0

0

 

I λ ,e + r ( λ, θ, φ) cos θ senθ d θ d φ

y la radiosidad total (W/m 2) …

J=

∞



J λ ( λ) d λ =

0

∞

2π

π/2

0

0

0

  

I λ ,e + r ( λ, θ, φ) cos θ sen θ d θ d φ d λ

Si la superficie es a la vez reflector difuso y emisor difuso, entonces …

   



•

7.1 5

Al considerar la radiación que incide sobre una superficie, se define …

IRRADIACION (W/m2) es el flujo de energía radiante que incide sobre una superficie. Comprende la radiación incidente desde todas las direcciones. Es, por definición, una irradiación hemisférica. 2

λ , θ ,φ ), en W/m ·sr· µ µ m, θ , φ ), por Iλ i ( λ m, es la intensidad de la radiación de longitud de onda λ que que incide desde la dirección ( θ unidad de área de la superficie interceptora normal a dicha dirección, por unidad de ángulo sólido sobre esa dirección y por unidad de intervalo de longitud de onda d λ centrado centrado en λ .

La irradiación monocromática (W/m2·sr) es ... 2π π / 2

Gλ

=



0

0

Iλ ,i (λ, θ, φ) cos θ sen θ dθ dφ

La irradiación total (W/m2) … ∞

∞

2π

π/2

0

0

0

0



G = G λ dλ =

   Iλ (λ, θ, φ) cos θ sen θ dθ dφ dλ ,i

Si la radiación incidente es difusa, entonces …

    

Absorción, Reflexión y Transmisión Cuando un cuerpo es irradiado, la radiación incidente puede experimentar tres fenómenos: [1] puede ser absorbida por el cuerpo; [2] puede ser reflejada por el cuerpo; y [3] puede ser transmitida a través del cuerpo. Así, la irradiación puede dividirse en tres componentes … Gλ = = Gλ ,ref ,ref + Gλ ,abs ,abs + Gλ ,tr ,tr La radiación es absorbida en los primeros milímetros de profundidad del cuerpo receptor. Luego la energía absorbida es transmitida por conducción hacia el interior del cuerpo. La radiación reflejada o transmitida no participa en el balance energético del cuerpo. La mayoría de los materiales usados en ingeniería son opacos opacos a a la radiación, es decir, sólo absorben o reflejan la radiación, pero no la transmiten (G λ ,tr ,tr = 0). Los plásticos y vidrios son notables excepciones. La absortividad () o absortancia, determina la fracción de la irradiación absorbida por una superficie. Tiene dependencia espectral y direccional. Así, pueden definirse … Absortividad direccional espectral

α λ,θ (λ , θ, φ, ) =

Iλ ,i,abs (λ, θ, φ) Iλ ,i (λ, θ , φ)


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION [Cuadernos [Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión FUNDAMENTOS

7.1 6

Absortividad hemisférica espectral 2π π / 2

α λ (λ) =

G λ ,abs (λ ) G λ (λ )

  αλ θ (λ, θ, Φ) ⋅ Iλ (λ, θ, Φ ) ⋅ cos θ ⋅ sen θ ⋅ dθ ⋅ dΦ ,

=

0

,i

0 2π π / 2

  Iλ (λ, θ, Φ ) ⋅ cos θ ⋅ sen θ ⋅ dθ ⋅ dΦ ,i

0

0

Absortividad hemisférica total ∞

α=

G abs G

 αλ (λ) G λ ( λ ) dλ

=0

∞



G λ ( λ ) dλ

0

La reflectividad () o reflectancia determina la fracción de la irradiación reflejada por una superficie. Tiene dependencia espectral y direccional, tanto de la radiación incidente como de la reflejada. Si no se considera esta última, se puede definir la reflectividad direccional espectral o monocromática, reflectividad hemosférica espectral y la reflectividad hemisférica total del mismo modo que en el caso de la absortividad. Las superficies pueden ser difusas o especulares, atendiendo a la forma de reflejar la radiación. En una superficie especular la radiación reflejada forma el mismo ángulo respecto a la normal a la superficie que la radiación incidente. La transmisividad (τ) o transmitancia determina la fracción de la irradiación transmitida por una superficie. Tiene dependencia espectral y direccional. Así, se pueden definir la transmisividad direccional espectral o monocromática, la transmisividad hemisférica espectral y la transmisividad hemisférica total. La transmisividad sólo es de interés en el caso de superficies semitransparentes. Medio opaco (τ=0) + αλ = 1 ρλ + ρ + α = 1

Medio semitransparente

Relaciones entre propiedades ópticas de la radiación sobre una superficie:

+ αλ + + τλ = = 1 ρλ + ρ + α + τ = 1

Nótese que la dependencia espectral de estas propiedades es aprovechada en muy diferentes aplicaciones, por ejemplo, en captadores solares.



 Comportamiento selectivo de una superficie transparente (izqda) y de una placa absorbedora (dcha)





[195]



7.1 7

INTERCAMBIO NETO DE RADIACION De las definiciones anteriores, se entiende que el calor neto q que abandona una superficie por radiación es … q = A (J – G) donde A (m2) es el área de la superficie, J (W/m2) es la radiosidad -radiación térmica saliente desde la superficie- y G (W/m2) es la irradiación –radiación incidente sobre la superficie-.

EL CUERPO NEGRO Un cuerpo negro es aquel que absorbe la totalidad de la radiación que incide sobre su superficie. Por consiguiente, no refleja ni transmite radiación. Se trata de una idealización que permitirá “calificar” el resto de superficies por comparación con este patrón de referencia. NOTA: no debe confundirse una superficie de color negro con un cuerpo negro. El “color negro” sólo hace referencia a la ausencia de emisión en el espectro visible (0,4 y 0,7 µm) lo que no impide la existencia de radiación emitida en otro rango (por ejemplo, infrarrojo).

Propiedades del cuerpo negro:

• • •

El cuerpo negro es el absorbente perfecto de la radiación incidente El cuerpo negro es el emisor perfecto: ningún cuerpo puede emitir más que un cuerpo negro que se encuentre a la misma temperatura. El cuerpo negro es un emisor/receptor difuso

NOTA: Estas propiedades pueden justificarse al aproximar el cuerpo negro como una cavidad cuya temperatura interior es uniforme.

LEYES DE LA RADIACION [1] Ley de distribución de Planck Un cuerpo negro a la temperatura absoluta T (K) emite con una intensidad de radiación espectral …

Iλ ,b (λ, T) T) =

2hco2



 − 1   λ kT  

λ5 exp  

W

hco 

m

2

⋅ µm ⋅ sr 6

10

105

donde: -34

h es la constante de Planck, h = 6,6256 · 10 J·s k es la constante de Boltzmann, k = 1,3805 · 10 -23 J/K co es la velocidad de la luz en el vacío, co = 2,998 · 108 m/s T es la temperatura absoluta del cuerpo negro

2m)  (W/m Eb λ 

2000 K

4

10

3

10

2

10

500 K 1

10

Dado que el cuerpo negro emite difusamente, la potencia emisiva espectral es …

E λ ,b (λ, T ) = π ⋅ Iλ ,b (λ , T )

 (m)  λ 

0

10 0,1

W m 2 µm


1

10

100

FUNDAMENTOS [Cuadernos[Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión

. 8

[2] Ley de desplazamiento de Wien Al unir los máximos de las distribuciones espectrales del cuerpo negro a diferentes temperaturas estos forman una línea recta en ejes logarítmicos. La expresión matemática de dicha línea es …

λ máx máx T = 2897,8 µm·K

[3] La Ley de Stefan-Boltzmann Integrando la distribución de Planck para todas las longitudes de onda, se obtiene la potencia emisiva total (W/m2) del cuerpo negro …

         

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann ( Stefan-Boltzmann (σ = 5,67 · 10-8 W/m2· K4) Esta expresión permite calcular la energía radiante emitida por un cuerpo negro por unidad de tiempo y unidad de superficie.

Funciones de radiación de Planck Representan la fracción de la energía total emitida por un cuerpo negro en el intervalo de longitudes de onda [0, λ ]. ]. λ

λ

 E λ dλ  Eλ dλ ,b

F0 −λ =

Eb

,b

=

0

∞

0

σT

 Eλ dλ

4

λ

= 0

E λ ,b

σT

4

dλ =

λ T

E λ  σT d(λT) = f (λT) ,b

5

0



,b

0

Por tanto, la fracción de la energía radiante emitida entre

Fλ1 −λ2

= F0 −λ − F0 −λ 2

1

λ 1 y λ 2 es …

De la expresión anterior se deduce que las funciones de radiación de Planck dependen del producto λ T y pueden obtenerse como integración en λ T del producto Eλ b/σT5. En la tabla siguiente quedan reflejados estos valores.


. 9

FUNDAMENTOS [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor por Radiación. de Calor.]]

λ ·T ·T

F

200 0.00000 400 40 0 0.00 0. 0000 000 0 600 60 0 0.00 0. 0000 000 0 800 80 0 0.00 0.0000 0016 16 1000 10 00 0. 0.00 0003 0321 21 1200 12 00 0. 0.00 0021 213 3 1400 14 00 0. 0.00 0077 779 9 1600 16 00 0. 0.01 0197 972 2 1800 0.03934 2000 0.06673 2200 0.10089 2400 0.14026 2600 0.18312 2800 0.22789 3000 0.27324 3200 0.31811 340 400 0 0. 0.36 3617 174 4 360 600 0 0. 0.40 4036 361 1 380 800 0 0. 0.44 4433 339 9 400 000 0 0. 0.48 4808 088 8 420 200 0 0. 0.51 5160 602 2 440 400 0 0. 0.54 5488 880 0 460 600 0 0. 0.57 5792 929 9 480 800 0 0. 0.60 6075 757 7 500 000 0 0. 0.63 6337 376 6 5200 52 00 0. 0.65 6579 798 8 5400 54 00 0. 0.68 6803 037 7

Ebλ /σT5×105

λ ·T ·T

F

0.000000 0.000 0.0 0000 000 0 0.000 0.0 0032 327 7 0.03 0. 0311 1138 38 0.37 0. 3722 2299 99 1.6459 1.64 5987 87 4.2226 4.22 2689 89 7.8267 7.82 6754 54 11.798976 11 15.501815 15 18.524615 18 20.699142 20 22.032021 22 22.627285 22 22.627756 22 22.179113 22 21.4 21 .41 116 1605 05 20.4 20 .43 330 3047 47 19.3 19 .32 281 8113 13 18.1 18 .16 606 0669 69 16.9 16 .97 772 7204 04 15.8 15 .81 103 0377 77 14.6 14 .68 821 2199 99 13.6 13 .60 067 6701 01 12.5 12 .59 920 2066 66 11.6 11 .642 4227 275 5 10.7 10 .758 5837 370 0

5600 5800 58 00 6000 60 00 6200 62 00 6400 640 0 6600 66 00 6800 68 00 7000 70 00 7200 7400 7600 7800 8000 8500 9000 9500 1000 10 000 0 1050 10 500 0 1100 11 000 0 1150 11 500 0 1200 12 000 0 1250 12 500 0 1300 13 000 0 1350 13 500 0 1400 14 000 0 1450 14 500 0 1500 15 000 0

0.70106 0.72 0. 7201 017 7 0.73 0. 7378 783 3 0.75 0. 7541 415 5 0.76 0. 7692 924 4 0.78 0. 7832 321 1 0.79 0. 7961 614 4 0.80 0. 8081 812 2 0.81923 0.82954 0.83911 0.84802 0.85630 0.87462 0.89004 0.90310 0.9 .914 142 21 0.9 .923 237 72 0.9 .931 319 90 0.9 .938 389 97 0.9 .945 451 11 0.9 .950 504 46 0.9 .955 551 15 0.9 .959 592 27 0.9 .962 629 91 0.96 0. 9661 613 3 0.96 0. 9689 899 9

Ebλ /σT5×105

λ ·T ·T

9.939385 15500 9.18 9. 1830 3038 38 16 1600 000 0 8.48 8. 4862 6223 23 16 1650 500 0 7.84 7. 8453 5373 73 17 1700 000 0 7.25 7. 2567 6703 03 17 1750 500 0 6.71 6. 7163 6388 88 18 1800 000 0 6.22 6. 2206 0676 76 18 1850 500 0 5.76 5. 7659 5960 60 19 1900 000 0 5.348830 19500 4.966089 20000 4.614771 25000 4.292139 30000 3.995676 35000 3.354395 40000 2.832067 45000 2.404412 50000 2.0 .052 523 363 55 5500 000 0 1.7 .760 609 953 60 6000 000 0 1.5 .518 184 419 65 6500 000 0 1.3 .315 154 481 70 7000 000 0 1.1 .144 447 791 75 7500 000 0 1.0 .000 005 506 80 8000 000 0 0.8 .877 779 952 85 8500 000 0 0.7 .773 733 377 90 9000 000 0 0.6 .683 837 748 95 9500 000 0 0.60 0. 6066 6604 04 1000 100000 00 0.53 0. 5399 9939 39 in infi fini nito to

F

Ebλ /σT5×105

0.97155 0.97 0. 9738 383 3 0.97 0. 9758 587 7 0.97 0. 9777 771 1 0.97 0. 9793 937 7 0.98 0. 9808 087 7 0.98 0. 9822 223 3 0.98 0. 9834 347 7 0.98459 0.98562 0.99223 0.99535 0.99702 0.99798 0.99858 0.99897 0.9 .999 992 23 0.9 .999 994 42 0.9 .999 995 55 0.9 .999 996 65 0.9 .999 997 73 0.9 .999 997 78 0.9 .999 998 83 0.9 .999 998 87 0.9 .999 998 89 0.99 0. 9999 992 2 1.00 1. 0000 000 0

0.482106 0.431 0.4 3175 753 3 0.387 0.3 8775 756 6 0.34918 0.349 185 5 0.31 0. 3152 5262 62 0.2853 0.28 5336 36 0.2588 0.25 8858 58 0.2353 0.23 5364 64 0.214463 0.195821 0.086858 0.044130 0.024713 0.014888 0.009493 0.006334 0.0 .004 043 386 0.0 .003 031 132 0.0 .002 022 296 0.0 .001 017 721 0.0 .001 013 315 0.0 .001 010 022 0.0 .000 008 806 0.0 .000 006 645 0.0 .000 005 522 0.00 0. 0004 0426 26 0.00000 0.000 000 0

Funciones de radiación de Planck

SUPERFICIES REALES. Emisividad Dado que ninguna superficie puede emitir más potencia radiante que un cuerpo negro a la misma temperatura, se define la emisividad emisividad o emitancia emitancia como la relación entre la radiación emitida por una superficie y la emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura. Al comparar las emisiones de una superfice no negra y la de una superficie negra a la misma temperatura, podemos encontrar diferencias de índole espectral y también direccional. Por ello, se habla también de emisividad monocromática/direccional …

E Potencia emisiva espectral real frente a la de un cuerpo negro a la misma temperatura (izquierda)

Superficie Negra

Superficie Real

Distribución direccional de superficie real y superficie negra (derecha)



[198]

TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION FUNDAMENTOS [Cuadernos [Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión

7.1 10

Emisividad direccional espectral ( ελ ): ): relación entre la intensidad de la radiación emitida a la longitud de onda λ y y en la dirección ( θ,φ) y la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro a las mismas longitud de onda y temperatura y en la misma dirección.

ελ,θ (λ , θ, φ, Τ) =

Iλ ,e (λ, θ, φ , Τ ) Iλ ,b (λ , T) T)

Emisividad hemisférica espectral:

ελ (λ, Τ) =

E λ (λ , Τ) E λ ,b (λ , T) T)

Emisividad hemisférica total: ∞

ε (Τ ) =

E( Τ) E b (T)

, T ) E λ (λ ,T , T) dλ  ελ (λ ,T ,b

=

0

E b (T )

Por tanto, la potencia emisiva de una superficie no negra puede calcularse a partir de la potencia emisiva de un cuerpo negro y la emisividad superficial . Superficie gris: es la superficie que tiene una emisividad constante para cualquier longitud de onda (ελ = = ε). Para una superficie gris la la potencia emisiva total es … E (W/m2) = ε · Eb = ε · σ T4

LEY DE KIRCHOFF Considérese un recinto isotermo de temperatura superficial T S, dentro del cual se alojan varios cuerpos pequeños, que no influyen en el campo de radiación (cuerpo negro). La irradiación sufrida por cada cuerpo en la cavidad (recinto) es difusa e igual a la emisión desde un cuerpo negro a temperatura TS, esto es, G = Eb(TS) = σ Ts4 En régimen permanente, debe existir equilibrio térmico entre los cuerpos y el recinto, esto es: T1 = T2= Ti = TS, y por tanto el flujo neto de energía en cada superficie debe ser nulo:

α G A - E1(TS) A = 0 Dado que E(TS) = ε σ Ts4 … α · σ Ts4 - ε σ Ts4 = 0 Por lo que … α = ε (LEY DE KIRCHOFF) No obstante, la expresión anterior es válida …

• • •

en su forma direccional-espectral, siempre … αλ , = ελ , en su forma espectral, si la irradiación es difusa o si la superficie es difusa ( ελ ,θ y αλ ,θ independientes de θ) … αλ = = ελ en su forma total, si la irradiación es de un cuerpo negro a la misma temperatura o si la superficie es gris (αλ y y ελ independientes independientes de λ ) … α = ε



7.1 11

RADIACION AMBIENTAL El sol, fuente radiante de calor, se puede considerar como un emisor negro a la temperatura absoluta de 5800 K. Por ello, la máxima potencia emisiva monocromática corresponde a longitudes de onda alrededor de 0.5 m (compruébese con la Ley de Wien). La constante solar (1353 W/m2) es la irradiación normal extraterrestre, esto es, la irradiación recibida por una superficie dispuesta perpendicularmente al foco emisor fuera de la atmósfera terrestre. Su valor varía ±3% dependiendo de la época del año. Sin embargo, la irradiación solar a nivel de superficie terrestre varía entre 800-900 W/m2 (día soleado despejado) y 200 W/m2 (día nuboso). Ello se debe a la dispersión y atenuación de la radiación a su paso por la atmósfera, donde el CO 2 y el vapor de agua (también el polvo) son gases participativos desde el punto de vista radiativo. Por ello, se habla de radiación directa y difusa. Paralelamente, el cielo (“bóveda (“bóveda celeste” ) se comporta como una inmensa superficie negra con una determinada temperatura equivalente a efectos de intercambio radiante con la superficie terrestre. Dicha temperatura efectiva del cielo varía entre 230 K (día frío y despejado) y 285 K (día cálido y nuboso). Existen expresiones en la bibliografía especializada que ligan la temperatura efectiva del cielo con la temperatura de rocío del aire. Así, la irradiación desde el cielo es equivalente a … Gcielo =  Tcielo4 Nótese que las emisiones radiantes que caracterizan tanto al cielo como a la superficie terrestre son de gran longitud de onda (aprox 10 micras) por lo que son muy diferentes a la irradiación solar. Por ello el balance de energía sobre una superficie dispuesta sobre la tierra incluye los siguientes términos … solar · Gsolar 4 300K · Gcielo = 300K ·  Tcielo 4 300K ·  Tsup

… es la parte de la irradiación solar absorbida por la superficie … es la parte de la irradiación del cielo absorbida por la superficie … es la emisión radiante desde la superficie

[1] considerado el cielo como un recinto que envuelve por completo a la superficie [2] 300K es la emisividad de la superficie para 10 m, esto es, a temperatura terrestre [3] solar es la absortividad de la superficie para 0.5 m, esto es, a la temperatura del sol (5800 K)

Intercambio radiativo insolación

convección


. 12

FUNDAMENTOS [Cuadernos[Fundamentos. ] de Calor.] de Transmisión

* NOTA: sería incorrecto aplicar aquí la Ley de Kirchoff generalizada … solar = 300K Sin embargo, dado que las temperaturas terrestre y del cielo son similares, entonces sí es correcto aplicar … 300K = 300K Así, el intercambio radiativo entre Tierra y cielo es …

4

4

300K  (Tsup -Tcielo )

Al intercambio radiante puede superponerse la transferencia por convección al fluido ambiente … h · (Tsup – Taire) … intercambio convectivo con el aire ambiente Por lo que el balance final es … 4 4 solar · G = 300K  (Tsup -Tcielo ) + h · (Tsup – Taire)



[202]


7. Transmisión Tr ansmisión de Calor C alor por Radiación R adiación      

[203]

TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor porSUPERFICIES Radiación. de Calor.]]

7.2 13

INTRODUCCION El escenario a considerar es un conjunto de n superficies a distinta temperatura, lo que implica el intercambio de energía radiante entre todas las superficies. Obviamente, las dimensiones y posiciones relativas de éstas juegan un papel fundamental en la solución del problema. En el escenario más simple encontramos un cuerpo cuyo contorno o superficie exterior radia y es irradiada por la superficie interior del recinto que la contiene. Asimismo, el suelo (pavimento) y el cielo son en sí superficies implicadas en un problema que se desarrolla en un ambiente exterior.

FACTORES DE FORMA Dado que la posición relativa entre superficies es determinante en el intercambio radiativo, es necesario determinar la fracción de la radiación que abandona una superficie y es interceptada por otra. Se trata de un problema puramente geométrico, habitualmente complejo, pero sobradamente estudiado y resuelto para muchas configuraciones de interés práctico. Para ello se define el factor de forma Fij como la fracción de la radiación que abandona la superficie i y es interceptada por la superficie j

                                                                   m

2

R

d12 = [cos 2 · dA2 ] / R2

Si se trata de superficies emisoras y receptoras difusas …

Donde el factor de forma F ij …

 

Dicha expresión es simétrica, por lo que la fracción de la radiación que abandona la superficie j y es interceptada por la superficie i es …

         


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE SUPERFICIES [[  Cuadernos deTransmisión    de Calor.]

7.2 14

Relaciones de los Factores de Forma 

Relación de reciprocidad … Ai Fij = A j F ji

•

Propiedad de recinto cerrado: si j superficies forman un recinto cerrado, entonces …

•

Propiedad aditiva: si una superficie está dividida en subáreas (A i1, Ai2, Ai3…Ain) tal que entonces …

      

ΣAin = Ai,

                       Otras consecuencias:  

Si una superficie en convexa (“no (“no se ve a sí misma”) misma”) entonces … Fii = 0 Para N superficies implicadas será necesario conocer los factores de forma Fii y Fij (pues Fji se calculan por reciprocidad). Total … = ½ N (N+1)

 

En el anexo a este capítulo se pueden encontrar expresiones que permiten calcular los factores de forma entre superficies en disposiciones habituales.

INTERCAMBIO RADIANTE NETO ENTRE DOS SUPERFICIES El flujo de calor que llega a 2 procedente de 1 es …

                            y el que llega a 1 procedente de la radiación que abandona 2 es …

Por tanto, el intercambio neto de energía radiante por unidad de tiempo desde la superficie 1 a la superficie 2 es …

Expresado de otra manera: J − J2 q12 = 1 1

A1F12 Es posible contemplar un esquema térmico equivalente, donde la diferencia de radiosidades (J 1-J2) promueve un flujo radiativo de calor (q12) según el valor de la resistencia térmica (1/A 1F12)


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE SUPERFICIES [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor por Radiación. de Calor.]]

7.2 15

q ij

Ji

(AiFij)-1

Jj

Por otro lado, si la superficie es OPACA ( =0) … J = ε E b

+ρ

G

Aplicando la Ley de Kirchoff a una superficie gris …

α + ρ = ε + ρ = 1  ρ = 1− ε J- ε E b J = ε E b + (1-ε ) G  G= 1-ε Entonces la potencia neta que abandona una superficie gris opaca adopta la expresión …

q = A (J − G ) =

E b − J 1− ε

εA Nuevamente es posible desarrollar un circuito térmico equivalente, en el que el calor transmitido (q) se debe a la existencia de una diferencia de potencial (Eb –J) en presencia de una resistencia térmica de valor: 1− ε R = ε·A

Eb i

qi

Ji

(1-) / i A i

Representando el problema mediante circuitos térmicos equivalentes es posible determinar los calores netos intercambiados por múltiples superficies así como sus temperaturas (ya que E b=T4)

J[2] (A1F12)-1

Eb[1] q[1]

J[1] (1-) / i Ai

q12

(A1F13)-1

J[3]

q13 q14 (A1F14)-1

Circuito térmico equivalente correspondiente a la superficie gris 1 que “ve” a las superficies 2, 3 y 4

J[4]



7.2 16

APLICACION AL CASO DE DOS SUPERFICIES GRISES Sean dos superficies a distinta temperatura que intercambian calor por radiación entre sí exclusivamente (F11+F12=1). El calor neto que abandona la superficie 1 será igual al calor neto que recibe 2, y ambas cantidades iguales al flujo neto de calor entre 1 y 2 … q 1 = -q2 = q12 = -q21

Eb[1]

J[1]

q[1]

J[2] q12

Eb[2]

q21 (A1F12)-1

(1-) / 1 A1

q[2] (1-) / 2 A2

Ecuación nodo 1:

                Ecuación nodo 2:

Balance en nodo 1: q1 = q12 Balance en nodo 2: q2 = q21

     

Lo que resulta en un sistema de 4 ecuaciones con 6 incógnitas (q 1, q2, J1, J2, T1, T2) por lo que requerirá 2 condiciones de contorno (temperaturas o flujo de calor conocidos). Sumando las tres ecuaciones y reordenando, queda:

q12

=

1 − ε1

ε1 A1 

E b1

− E b2

+

1 A1 F12

+

1 − ε2

ε2 A 2

=

σ ( T14 − T24 ) 1 − ε1

ε1 A1

+

1 A1 F12

+

1 − ε2

( W)

ε2 A2

Caso de superficies negras (1=2=1) q12

= A1 F12 σ ( T14 − T24 )


TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor porSUPERFICIES Radiación. de Calor.]] 

Caso de 2 superficies grises, planas, paralelas, paralela s, infinitas (A1=A2; F12=1)



Caso de 2 superficies grises, cilíndricas, concéntricas, infinitas (F12=1)



                                 

7.2 17

[1 es la sup interior]

Caso de que superficie convexa encerrada por una superficie grande (A1 << A2 ; F11=0; F12=1) q12

==

σ

A1 ( T14 1 − ε1

ε1

− T24 )

+1

= σA1ε1 ( T14 − T24 )

( W)

NOTA: Este resultado se ha venido empleando al aplicar una condición de contorno convectivo-radiante (h=hconv +h +hrad ), donde se linealiza el término h rad considerando considerando que el objeto es encerrado completamente por gas=T recinto recinto. un recinto tal que T gas

APLICACION AL CASO DE MULTIPLES SUPERFICIES (NEGRAS-GRISES-VIRTUALES-RERRADIANTES) La representación gráfica del circuito térmico equivalente nos ayuda a plantear el sistema de ecuaciones que nos permite calcular todas las variables del problema. Un recinto de n superficies conlleva 3n variables: radiosidad (J i), potencia térmica (qi) y temperatura (Ti). En cada uno de los nodos (superficies) se plantean estas 2 ecuaciones:

                             

Será necesario, por tanto, establecer una condición de contorno adicional: - temperatura conocida … Ti=te - flujo de calor (o potencia térmica) conocido … q i= cte

•

Caso particular de superficies negras ( =1) …. J=E b=T4

•

Caso particular de superficie rerradiante (negra/adiabática) Una superficie rerradiante es una superficie bien aislada térmicamente por el lado no radiante y con convección despreciable desde la cara radiante. El balance de energía sobre esta superficie es nulo, por lo que devuelve toda la energía radiante que le llega. En la práctica … q i=0



7.2 18

En régimen permanente la radiación incidente absorbida por la superficie rerradiante debe ser igual a la radiación emitida, por lo que la temperatura de equilibrio no depende del valor de . En la práctica, una superficie rerradiante puede ser considerada también una superficie negra ( =1)

•

Caso particular de recinto abierto

En el caso de que el recinto no esté cerrado, debe considerarse una nueva superficie (virtual) que complete el cierre del recinto. Dicha superficie no emite ni refleja (J=0) y deja escapar toda la radiación incidente. No cabe calcular la temperatura de esta superficie virtual. A efectos prácticos puede considerarse como una superficie negra a la temperatura del gas que llena el recinto (caso de recinto grande). 1-i i Ai

q[1]

1 AiFij

J[1]

J[2] = Eb[2 [2]]

Eb[1 [1]]

q[2] Superficie NEGRA

Superficie GRIS 1 AiFij

1 AiFij

J[3] = Eb[3 [3]] Superficie NEGRA RERRADIANTE

q[3]=0

PANTALLAS DE RADIACION Se trata de un caso particular de intercambio radiativo entre superficies planas y paralelas El calor intercambiado entre dos planos paralelos infinitos (F 12=1) es …

               

Con objeto de reducir el calor intercambiado q” 12 se coloca entre ambas superficies una pantalla plana opaca (3) con emisividad superficial baja ( 31, 32)…

J´[3] 1 A1F13

1-31 31 A3

Eb[1] Eb[3] 

 

q[1]

1-1 1 A1

J[2]

1-2 2 A 2

Eb[2]

J[1] 1-32 32 A3

J[3]


1 A2F23

q[2]

TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor porSUPERFICIES Radiación. de Calor.]]

7.2 19

Por tanto …

                                                        Como q1 = q13 = -q31 = -q3 ... entonces

Por lo que el calor intercambiado disminuye mucho para valores bajos de 31 y 32. La temperatura T3 de la pantalla intermedia puede calcularse a partir de las expresiones previas. Para el caso particular de N pantallas intermedias con emisividad idéntica, el flujo radiativo de calor intercambiado entre las dos superficies extremas se reduce en la proporción … q” (N) = q” (0) / (N+1)

TRANSFERENCIA DE CALOR MULTIMODAL La mayoría de los problemas de termotecnia aúnan los tres mecanismos de transferencia de calor, por lo que los balances de energía deben tener en cuenta todas las contribuciones posibles (conducción, convección, radiación, fuentes). La representación gráfica en circuitos térmicos equivalentes puede ayudar a plantear problemas complejos. Para ello, téngase en cuenta que en el intercambio radiante, a diferencia de la conducción/convección, las temperaturas superficiales son remplazadas por radiosidades (Ji) y potencias emisivas (E b), y que estos últimos pueden expresarse finalmente en términos de temperatura (Eb= T4).

Ji q rad

q ext

1-i i Ai

q conv

1 h Ai

Tsup,i 4 = Eb,i q cond x k Ai

q ext Tint


T fluido

TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE [ [Cuadernos ]ANEXO ] de  Transmisión SUPERFICIES.  de Calor. 

7.2 20

Factores de forma para disposiciones geométricas habituales

B1

1. Placas paralelas infinitas de distinta anchura (B 1, B2), centradas y



separadas una distancia L

                     

L 

B2

2. Placas infinitas de igual anchura B, con una arista común y formando un



ángulo 

B

     

 

B

3. Placas infinitas de distinta anchura (B 1, B2), con una arista común y



formando un ángulo recto

                  

B1 

B2

4. Cilindros paralelos de longitud infinita y radios R 1 y R2, separados una distancia L





                                              R1


L

R2

. 21

INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE SUPERFICIES. ANEXO [[Transmisión Cuadernos dedeTransmisión Calor por Radiación. de Calor.]]



5. Cilindro de radio R y placa de anchura B y longitud infinitas (eje y aristas paralelos)

R

        

L 

B

S

6. Plano infinito e hilera de cilindros de diámetro D y separación entre centros P

P

                       



D



7. Recinto formado por tres superficies infinitas de anchuras B 1, B2, B3

     

B3

B2 

 

B1

8. Rectángulos paralelos alineados



L

                                                       

y

x

[212]

. [ [Cuadernos ] ] de  Transmisión   de Calor.  9. Discos paralelos coaxiales, de radios R1 y R2, separados una distancia L

                            

R2



L R1





10. Rectángulos perpendiculares de arista común

z

                                       

y

Cuadernos de Transmisión de Calor (2012) JA Fdez-Benítez / C Corrochano [213]

x

8. Materiales y Fluid Fluidos os 8.1 Tablas de Propiedades Térmicas

[215]

[Cuadernos [Materiales de Transmisión y Fluidos. de] Calor.]

INDICE •

Propiedades térmicas de fluidos líquidos

Propiedades del agua saturada Propiedades de mezclas anticongelantes Propiedades de aceites térmicos Propiedades de sales fundidas

•

Propiedades térmicas de fluidos gaseosos

Propiedades del aire seco a presión atmosférica Propiedades del CO2 Propiedades del N2 Propiedades del He Propiedades del vapor de agua saturado Propiedades del vapor de agua sobrecalentado

•

Propiedades térmicas de materiales sólidos

Propiedades de metales Propiedades de materiales para construcción Propiedades de materiales aislantes

•

Propiedades térmicas superficiales

Emisividad y absortividad de superficies

[216]

TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS

3

[Tablas de Propiedades Térmicas.]

Propiedades del agua saturada T [C] 0,1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

P_sat [ bar] 0,01 0,01 0,02 0,04 0,07 0,12 0,20 0,31 0,47 0,70 1,01 1,43 1,98 2,70 3,61 4,76 6,18 7,91 10,02 12,54 15,54 19,06 23,18 27,95 33,45 39,74 46,89 55,00 64,13 74,38 85,84 98,61 112,79 128,52 145,94 165,21

h_fg [J /kg] 2,500E+06 2,477E+06 2,453E+06 2,430E+06 2,406E+06 2,382E+06 2,358E+06 2,333E+06 2,308E+06 2,283E+06 2,257E+06 2,230E+06 2,202E+06 2,174E+06 2,145E+06 2,114E+06 2,082E+06 2,049E+06 2,015E+06 1,978E+06 1,940E+06 1,900E+06 1,858E+06 1,813E+06 1,766E+06 1,715E+06 1,662E+06 1,605E+06 1,543E+06 1,477E+06 1,405E+06 1,326E+06 1,238E+06 1,140E+06 1,027E+06 8,930E+05

sigma [N/m] 0,076 0,074 0,073 0,071 0,070 0,068 0,066 0,064 0,063 0,061 0,059 0,057 0,055 0,053 0,051 0,049 0,047 0,044 0,042 0,040 0,038 0,035 0,033 0,031 0,028 0,026 0,024 0,021 0,019 0,017 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004

 [kg/m3] 999,79 999,69 998,19 995,61 992,17 987,99 983,16 977,75 971,79 965,33 958,39 951,00 943,16 934,88 926,18 917,06 907,50 897,51 887,06 876,15 864,74 852,82 840,34 827,25 813,52 799,07 783,83 767,68 750,52 732,16 712,41 690,95 667,36 641,00 610,77 574,69

Cp [J/kg- K] 4227,95 4188,18 4183,31 4183,34 4182,44 4181,66 4182,81 4186,92 4194,19 4204,36 4217,02 4231,81 4248,58 4267,32 4288,25 4311,73 4338,25 4368,43 4402,98 4442,70 4489,11 4542,17 4603,69 4675,22 4758,72 4856,73 4972,62 5111,00 5278,44 5484,57 5744,26 6083,39 6541,51 7200,49 8236,66 10122,26

[217]

k [W/m-K] 0, 548 0, 567 0, 586 0, 603 0, 618 0, 630 0, 641 0, 649 0, 656 0, 661 0, 665 0, 668 0, 669 0, 670 0, 669 0, 668 0, 666 0, 664 0, 660 0, 656 0, 651 0, 645 0, 638 0, 630 0, 620 0, 610 0, 598 0, 585 0, 569 0, 552 0, 533 0, 511 0, 487 0, 459 0, 427 0, 39 390

 [m2/s] 1,296E-07 1,355E-07 1,403E-07 1,448E-07 1,489E-07 1,526E-07 1,559E-07 1,586E-07 1,610E-07 1,629E-07 1,646E-07 1,659E-07 1,670E-07 1,679E-07 1,685E-07 1,690E-07 1,693E-07 1,693E-07 1,690E-07 1,685E-07 1,676E-07 1,664E-07 1,648E-07 1,628E-07 1,602E-07 1,571E-07 1,534E-07 1,490E-07 1,437E-07 1,375E-07 1,303E-07 1,217E-07 1,115E-07 9,941E-08 8,486E-08 6,699E-08

 [kg/m-s] 1,787E-03 1, 1,306E-03 1, 1,002E-03 1, 7,977E-04 7, 6,533E-04 6, 5,471E-04 5, 4,666E-04 4, 4,040E-04 4, 3,545E-04 3, 3,145E-04 3, 2,819E-04 2,548E-04 2,321E-04 2,130E-04 1,966E-04 1,825E-04 1,703E-04 1,596E-04 1,502E-04 1, 1,418E-04 1, 1,344E-04 1, 1,277E-04 1, 1,215E-04 1, 1,160E-04 1, 1,109E-04 1, 1,061E-04 1, 1,017E-04 1, 9,755E-05 9, 9,356E-05 9, 8,971E-05 8, 8,595E-05 8, 8,222E-05 8, 7,846E-05 7, 7,457E-05 7, 7,045E-05 7, 6,588E-05 6,

Pr [-] 13,79 9,64 7,15 5,53 4,42 3,63 3,04 2,60 2,27 2,00 1,79 1,62 1,47 1,36 1,26 1,18 1,11 1,05 1,00 0,96 0,93 0,90 0,88 0,86 0,85 0,85 0,85 0,85 0,87 0,89 0,93 0,98 1,05 1,17 1,36 1,71

 [1/K] -7, 862E-05 8,719E-05 2,089E-04 3,050E-04 3,859E-04 4,572E-04 5,222E-04 5,827E-04 6,403E-04 6,958E-04 7,501E-04 8,038E-04 8,576E-04 9,122E-04 9,683E-04 1,026E-03 1,087E-03 1,151E-03 1,220E-03 1,295E-03 1,377E-03 1,466E-03 1,566E-03 1,679E-03 1,807E-03 1,954E-03 2,126E-03 2,330E-03 2,576E-03 2,880E-03 3,266E-03 3,773E-03 4,470E-03 5,489E-03 7,116E-03 1,010E-02

TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Materiales y Fluidos.]

4

Propiedades de la mezcla anticongelante etilenglicol + agua (25% masa) Temperatura de congelación: -10,96 C

T [ C] -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100



[kg/m3] 1039,34 1037,71 1035,21 1031,92 1027,91 1023,24 1018,01 1012,26 1006,09 999,56 992,75 985,72

Cp [ J / k g - K] 3766,64 3789,91 3814,49 3839,59 3864,45 3888,26 3910,26 3929,66 3945,68 3957,53 3964,44 3965,63

k [W/m-K] 0,455 0,466 0,476 0,487 0,497 0,505 0,513 0,519 0,523 0,525 0,524 0,520





[m2/s] 1,161E-07 1,183E-07 1,206E-07 1,228E-07 1,250E-07 1,270E-07 1,288E-07 1,304E-07 1,317E-07 1,326E-07 1,331E-07 1,330E-07

[kg/m-s] 5,648E-03 5, 3,726E-03 3, 2,591E-03 2, 1,897E-03 1, 1,458E-03 1, 1,175E-03 1, 9,909E-04 9, 8,725E-04 8, 8,007E-04 8, 7,644E-04 7,576E-04 7,780E-04 7,

Pr [-] 46,78 30,33 20,75 14,96 11,35 9,04 7,56 6,61 6,04 5,77 5,74 5,93

Propiedades de la mezcla anticongelante etilenglicol + agua (50% masa) Temperatura de congelación: -36,03 C

T [ C] -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90



[kg/m3] 1086,46 1083,62 1080,09 1075,94 1071,22 1065,98 1060,29 1054,21 1047,78 1041,07 1034,14 1027,04 1019,83

Cp [ J / k g - K] 3033,06 3085,07 3137,23 3189,61 3242,26 3295,25 3348,62 3402,44 3456,77 3511,66 3567,17 3623,36 3680,28

k [W/m-K] 0,359 0,365 0,371 0,377 0,383 0,389 0,395 0,402 0,408 0,414 0,420 0,427 0,433





[m2/s] 1,089E-07 1,091E-07 1,094E-07 1,098E-07 1,102E-07 1,107E-07 1,113E-07 1,119E-07 1,125E-07 1,132E-07 1,139E-07 1,146E-07 1,154E-07

[kg/m-s] 4,130E-02 2,204E-02 1,280E-02 8,022E-03 8, 5,371E-03 5, 3,808E-03 3, 2,831E-03 2, 2,187E-03 2, 1,739E-03 1, 1,411E-03 1, 1,156E-03 1, 9,487E-04 9, 7,720E-04 7,


Pr [-] 349,00 186,30 108,30 67,89 45,47 32,24 23,98 18,53 14,74 11,97 9,81 8,06 6,56

TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Tablas de Propiedades Térmicas.]

5

Propiedades de la mezcla anticongelante propilenglicol + agua (25% masa) Temperatura de congelación: -9,99 C

T [C] -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100



[kg/m3] 1027,61 1025,96 1023,22 1019,56 1015,19 1010,29 1005,06 999,67 994,32 989,20 984,50 980,40

Cp [J/kg-K] 3984,92 3973,62 3969,81 3972,38 3980,20 3992,16 4007,13 4024,00 4041,64 4058,94 4074,77 4088,01

k [W/m-K] 0,441 0,451 0,460 0,468 0,477 0,487 0,497 0,508 0,520 0,534 0,549 0,566





[ m2/s] 1,078E-07 1,105E-07 1,131E-07 1,156E-07 1,181E-07 1,207E-07 1,233E-07 1,262E-07 1,294E-07 1,329E-07 1,368E-07 1,413E-07

[kg/m-s] 9,244E-03 9, 5,461E-03 5, 3,560E-03 3, 2,495E-03 2, 1,831E-03 1, 1,370E-03 1, 1,019E-03 1, 7,337E-04 4,981E-04 3,105E-04 1,732E-04 8,422E-05 8,

Pr [-] 83,44 48,14 30,75 21,16 15,26 11,24 8,22 5,82 3,87 2,36 1,29 0,61

Propiedades de la mezcla anticongelante propilenglicol + agua (50% masa) Temperatura de congelación: -33,11 C

T [C] -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90



[kg/m3] 1063,77 1059,90 1055,43 1050,39 1044,83 1038,79 1032,32 1025,46 1018,25 1010,73 1002,95 994,96 986,78

Cp [J/kg-K] 3462,30 3482,03 3502,90 3525,04 3548,57 3573,59 3600,23 3628,59 3658,81 3690,99 3725,24 3761,70 3800,46

k [W/m-K] 0,336 0,341 0,346 0,351 0,355 0,360 0,365 0,369 0,374 0,378 0,382 0,386 0,390

[219]





[ m2/s] 9,123E-08 9,235E-08 9,350E-08 9,466E-08 9,583E-08 9,699E-08 9,813E-08 9,924E-08 1,003E-07 1,013E-07 1,022E-07 1,031E-07 1,039E-07

[kg/m-s] 2,359E-01 2, 8,662E-02 8, 3,743E-02 3, 1,861E-02 1, 1,042E-02 1, 6,431E-03 6, 4,277E-03 4, 3,000E-03 3, 2,171E-03 2, 1,586E-03 1, 1,145E-03 1, 7,980E-04 5,259E-04

Pr [-] 2431,00 884,90 379,20 187,20 104,10 63,83 42,22 29,48 21,26 15,49 11,16 7,77 5,13


6

Propiedades de fluidos de transferencia de calor (aceite térmico, HTF) Punto de cristalización: 12 C Rango de uso: 12-400 C (fase líquida) 260-400 C (fase vapor)

T [C] 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Pvap [bar] 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,013 0,031 0,066 0,130 0,240 0,417 0,686 1,085 1,638 2,396 3,400 4,708 6,360 8,402 10,900



[kg/m3] 1064,60 1047,60 1031,60 1015,60 998,60 982,60 965,60 948,60 930,80 912,80 894,80 876,80 857,80 838,00 817,00 795,20 772,40 748,60 722,60 694,00

Cp [ J/kg-K] 1544,00 1604,00 1664,00 1716,00 1774,00 1834,00 1884,00 1944,00 1994,00 2046,00 2104,00 2154,00 2206,00 2264,00 2314,00 2366,00 2424,00 2484,00 2552,00 2630,00

k [W/m-K] 0,136 0,134 0,132 0,130 0,128 0,125 0,123 0,120 0,117 0,114 0,111 0,107 0,104 0,100 0,096 0,093 0,089 0,084 0,080 0,076





[m2/s] 8,291E-08 7,998E-08 7,703E-08 7,461E-08 7,205E-08 6,945E-08 6,737E-08 6,495E-08 6,293E-08 6,093E-08 5,876E-08 5,678E-08 5,483E-08 5,279E-08 5,098E-08 4,916E-08 4,727E-08 4,534E-08 4,340E-08 4,142E-08

[kg/m-s] 4,336E-03 4, 2,616E-03 2, 1,768E-03 1, 1,290E-03 1, 9,876E-04 7,856E-04 6,426E-04 5,374E-04 4,572E-04 3,948E-04 3,456E-04 3,048E-04 2,720E-04 2,446E-04 2,212E-04 2,018E-04 1,846E-04 1,704E-04 1,572E-04 1,460E-04 1,


TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Tablas de Propiedades Térmicas.]

7

Propiedades de sales fundidas a baja temperatura Rango de uso: 260-600 C (fase líquida)

T [C] 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600



[kg/m3] 1923,88 1911,07 1898,32 1885,53 1872,36 1859,59 1846,89 1834,19 1821,49 1808,47 1795,44 1782,74 1770,04 1757,34 1744,64 1731,94 1718,91 1705,74

Cp [ J / k g- K ] 1490,50 1496,50 1500,70 1503,71 1506,74 1509,75 1512,75 1515,75 1518,75 1521,82 1525,80 1531,80 1535,10 1538,06 1541,00 1544,00 1547,08 1550,19

k [W/m-K] 0,492 0,496 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,519 0,523 0,527 0,531 0,535 0,539 0,543 0,547 0,551 0,555 0,559

[221]





[m2/s] 1,716E-07 1,735E-07 1,755E-07 1,777E-07 1,800E-07 1,823E-07 1,845E-07 1,869E-07 1,892E-07 1,916E-07 1,939E-07 1,960E-07 1,984E-07 2,009E-07 2,034E-07 2,059E-07 2,086E-07 2,113E-07

[kg/m-s] 4,343E-03 4, 3,782E-03 3, 3,288E-03 3, 2,856E-03 2, 2,492E-03 2, 2,209E-03 2, 1,973E-03 1, 1,779E-03 1, 1,639E-03 1, 1,525E-03 1, 1,434E-03 1, 1,368E-03 1, 1,315E-03 1, 1,266E-03 1, 1,217E-03 1, 1,159E-03 1, 1,082E-03 1, 9,959E-04 9,


8

Propiedades de sales fundidas a alta temperatura Rango de uso: 450-1000 C (fase líquida)

T [C] 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 975 1000



[kg/m3] 2069,31 2056,27 2043,26 2030,69 2018,12 2005,54 1992,97 1980,40 1967,82 1954,96 1941,92 1929,10 1916,53 1903,95 1891,38 1878,81 1866,23 1853,66 1841,09 1828,51 1815,53 1802,49 1789,79

Cp [ J/ k g- K ] 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19 1080,19

k [W/m-K] 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430 0,430





[m2/s] 1,924E-07 1,936E-07 1,948E-07 1,960E-07 1,973E-07 1,985E-07 1,997E-07 2,010E-07 2,023E-07 2,036E-07 2,050E-07 2,064E-07 2,077E-07 2,091E-07 2,105E-07 2,119E-07 2,133E-07 2,148E-07 2,162E-07 2,177E-07 2,193E-07 2,208E-07 2,224E-07

[kg/m-s] 2,101E-04 2, 1,972E-04 1, 1,845E-04 1, 1,746E-04 1, 1,648E-04 1, 1,569E-04 1, 1,492E-04 1, 1,426E-04 1, 1,364E-04 1, 1,310E-04 1, 1,259E-04 1, 1,213E-04 1, 1,171E-04 1, 1,132E-04 1, 1,097E-04 1, 1,063E-04 1, 1,033E-04 1, 1,003E-04 1, 9,778E-05 9, 9,523E-05 9, 9,298E-05 9, 9,077E-05 9, 8,876E-05


MATERIALES Y FLUIDOS TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Tablas de Propiedades Térmicas.]

8 9

Propiedades del aire seco a presión atmosférica T [C] - 150 - 125 - 100 - 75 - 50 - 25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 975 1000



[kg/m3] 2,87 2,38 2,04 1,78 1,58 1,42 1,29 1,18 1,09 1,01 0,95 0,89 0,83 0,79 0,75 0,71 0,67 0,64 0,62 0,59 0,57 0,54 0,52 0,51 0,49 0,47 0,46 0,44 0,43 0,42 0,40 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,35 0,34 0,33 0,32 0,31 0,31 0,30 0,29 0,29 0,28 0,28

Cp [J /kg- K ] 1002, 15 1002, 17 1002, 22 1002, 32 1002, 54 1002, 94 1003, 61 1004, 62 1006, 02 1007, 87 1010, 21 1013, 03 1016, 34 1020, 12 1024, 34 1028, 95 1033, 92 1039, 18 1044, 68 1050, 38 1056, 23 1062, 18 1068, 19 1074, 23 1080, 25 1086, 24 1092, 17 1098, 02 1103, 77 1109, 41 1114, 93 1120, 32 1125, 57 1130, 68 1135, 65 1140, 47 1145, 16 1149, 69 1154, 09 1158, 35 1162, 48 1166, 47 1170, 33 1174, 07 1177, 69 1181, 19 1184, 58

k [ W/m- K] 0, 012 0, 014 0, 016 0, 018 0, 020 0, 022 0, 024 0, 026 0, 027 0, 029 0, 031 0, 033 0, 034 0, 036 0, 038 0, 039 0, 041 0, 043 0, 044 0, 046 0, 047 0, 049 0, 050 0, 052 0, 053 0, 054 0, 056 0, 057 0, 058 0, 060 0, 061 0, 062 0, 063 0, 065 0, 066 0, 067 0, 068 0, 069 0, 070 0, 071 0, 073 0, 074 0, 075 0, 076 0, 077 0, 078 0, 079





[ m2/s] 4, 076E- 06 5, 770E- 06 7, 740E- 06 9, 979E- 06 1, 247E- 05 1, 522E- 05 1, 822E- 05 2, 145E- 05 2, 489E- 05 2, 854E- 05 3, 238E- 05 3, 641E- 05 4, 060E- 05 4, 495E- 05 4, 944E- 05 5, 407E- 05 5, 882E- 05 6, 369E- 05 6, 866E- 05 7, 373E- 05 7, 891E- 05 8, 417E- 05 8, 952E- 05 9, 495E- 05 1, 004E- 04 1, 060E- 04 1, 117E- 04 1, 174E- 04 1, 233E- 04 1, 292E- 04 1, 352E- 04 1, 412E- 04 1, 473E- 04 1, 535E- 04 1, 597E- 04 1, 660E- 04 1, 724E- 04 1, 789E- 04 1, 854E- 04 1, 919E- 04 1, 985E- 04 2, 052E- 04 2, 120E- 04 2, 188E- 04 2, 256E- 04 2, 326E- 04 2, 395E- 04

[ kg/m- s] 8,636E- 06 1,033E- 05 1,189E- 05 1,336E- 05 1,473E- 05 1,605E- 05 1,729E- 05 1,849E- 05 1,963E- 05 2,074E- 05 2,181E- 05 2,284E- 05 2,385E- 05 2,482E- 05 2,577E- 05 2,670E- 05 2,760E- 05 2,848E- 05 2,934E- 05 3,018E- 05 3,101E- 05 3,181E- 05 3,261E- 05 3,338E- 05 3,415E- 05 3,490E- 05 3,563E- 05 3,636E- 05 3,707E- 05 3,777E- 05 3,846E- 05 3,914E- 05 3,981E- 05 4,046E- 05 4,111E- 05 4,175E- 05 4,239E- 05 4,301E- 05 4,362E- 05 4,423E- 05 4,483E- 05 4,542E- 05 4,600E- 05 4,658E- 05 4,715E- 05 4,771E- 05 4,826E- 05


Pr [- ] 0, 74 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 74 0,73 0, 73 0, 72 0, 72 0, 71 0, 71 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 69 0, 69 0, 69 0, 69 0, 69 0, 69 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 70 0, 71 0, 71 0, 71 0, 71 0, 71 0, 71 0, 71 0, 72 0, 72 0, 72 0, 72 0, 72 0, 72 0, 72 0, 73 0, 73



[1/K] 8, 120E- 03 6, 750E- 03 5, 775E- 03 5, 047E- 03 4, 481E- 03 4, 030E- 03 3, 661E- 03 3, 354E- 03 3, 095E- 03 2, 872E- 03 2, 680E- 03 2, 512E- 03 2, 363E- 03 2, 231E- 03 2, 113E- 03 2, 007E- 03 1, 911E- 03 1, 824E- 03 1, 745E- 03 1, 672E- 03 1, 605E- 03 1, 542E- 03 1, 485E- 03 1, 432E- 03 1, 382E- 03 1, 336E- 03 1, 293E- 03 1, 252E- 03 1, 214E- 03 1, 179E- 03 1, 145E- 03 1, 113E- 03 1, 083E- 03 1, 054E- 03 1, 027E- 03 1, 001E- 03 9, 774E- 04 9, 541E- 04 9, 318E- 04 9, 106E- 04 8, 904E- 04 8, 710E- 04 8, 524E- 04 8, 346E- 04 8, 176E- 04 8, 012E- 04 7, 855E- 04

MATERIALES Y FLUIDOS TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Materiales y Fluidos. ]

8 10

Propiedades del dióxido de carbono (CO2) T [C] - 75 - 50 - 25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 975 1000



[kg/m3] 2,71 2,40 2,16 1,96 1,80 1,66 1,54 1,44 1,35 1,27 1,20 1,13 1,08 1,03 0,98 0,94 0,90 0,86 0,83 0,80 0,77 0,74 0,72 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,60 0,58 0,57 0,55 0,54 0,52 0,51 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,44 0,43 0,42

Cp [ J/ kg- K] 738, 96 760, 64 786, 81 814, 29 841, 54 867, 83 892, 86 916, 50 938, 78 959, 73 979, 44 997, 99 1015,47 1031,97 1047,56 1062,32 1076,31 1089,59 1102,21 1114,22 1125,67 1136,60 1147,04 1157,02 1166,57 1175,72 1184,49 1192,91 1200,99 1208,76 1216,23 1223,41 1230,32 1236,97 1243,38 1249,55 1255,50 1261,24 1266,77 1272,11 1277,25 1282,22 1287,01 1291, 64

k [ W/m- K] 0, 008 0, 011 0, 013 0, 015 0, 017 0, 019 0, 021 0, 023 0, 025 0, 027 0, 028 0, 030 0, 032 0, 034 0, 036 0, 038 0, 040 0, 042 0, 044 0, 046 0, 047 0, 049 0, 051 0, 053 0, 055 0, 056 0, 058 0, 060 0, 062 0, 063 0, 065 0, 067 0, 068 0, 070 0, 072 0, 073 0, 075 0, 076 0, 078 0, 079 0, 081 0, 082 0, 084 0, 085





[m2/s] 4,237E- 06 5,748E- 06 7,371E- 06 9,104E- 06 1,094E- 05 1,289E- 05 1,496E- 05 1,713E- 05 1,941E- 05 2,180E- 05 2,430E- 05 2,691E- 05 2,962E- 05 3,243E- 05 3,535E- 05 3,837E- 05 4,149E- 05 4,470E- 05 4,801E- 05 5,142E- 05 5,492E- 05 5,850E- 05 6,218E- 05 6,594E- 05 6,979E- 05 7,372E- 05 7,773E- 05 8,182E- 05 8,598E- 05 9,022E- 05 9,453E- 05 9,891E- 05 1,033E- 04 1,078E- 04

[ kg/ m- s] 1,003E- 05 1,129E- 05 1,253E- 05 1, 375E- 05 1,494E- 05 1,612E- 05 1,728E- 05 1,841E- 05 1,953E- 05 2,063E- 05 2,170E- 05 2,276E- 05 2,381E- 05 2,483E- 05 2,583E- 05 2,682E- 05 2,779E- 05 2,875E- 05 2,969E- 05 3,061E- 05 3,152E- 05 3,241E- 05 3,329E- 05 3,416E- 05 3,501E- 05 3,584E- 05 3,667E- 05 3,748E- 05 3,828E- 05 3,906E- 05 3,983E- 05 4,060E- 05 4,135E- 05 4,209E- 05

1,124E- 04 1,170E- 04 1,217E- 04 1,265E- 04 1,313E- 04 1,362E- 04

4,282E- 05 4,354E- 05 4,425E- 05 4,495E- 05 4,564E- 05 4,633E- 05

1,411E- 04 1,460E- 04

4,700E- 05 4,767E- 05

1,510E- 04 1,560E- 04

4,833E- 05 4,898E- 05


Pr [- ] 0, 88 0, 82 0, 79 0, 77 0, 76 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 74 0, 75 0, 75



[ 1/ K] 5,047E- 03 4,481E- 03 4,030E- 03 3, 661E- 03 3, 354E- 03 3, 095E- 03 2, 872E- 03 2, 680E- 03 2, 512E- 03 2, 363E- 03 2, 231E- 03 2, 113E- 03 2, 007E- 03 1, 911E- 03 1, 824E- 03 1, 745E- 03 1, 672E- 03 1, 605E- 03 1, 542E- 03 1, 485E- 03 1, 432E- 03 1, 382E- 03 1, 336E- 03 1, 293E- 03 1, 252E- 03 1, 214E- 03 1, 179E- 03 1, 145E- 03 1, 113E- 03 1, 083E- 03 1, 054E- 03 1, 027E- 03 1, 001E- 03 9, 774E- 04 9, 541E- 04 9, 318E- 04 9, 106E- 04 8, 904E- 04 8, 710E- 04 8, 524E- 04 8, 346E- 04 8, 176E- 04 8, 012E- 04 7, 855E- 04


8 11

Propiedades del nitrógeno (N) T [C] -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000



[kg/m3] 1,53 1,25 1,06 0,91 0,81 0,72 0,65 0,60 0,55 0,51 0,47 0,44 0,41 0,39 0,37 0,35 0,33 0,32 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26 0,25 0,24 0,23 0,22 0,22 0,21 0,20 0,20 0,19 0,19 0,18 0,18 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 0,15 0,15

Cp [J/kg- K] 1039,79 1037,99 1038,12 1041,09 1046,55 1053,91 1062,66 1072,39 1082,76 1093,53 1104,50 1115,52 1126,48 1137,28 1147,86 1158,17 1168,16 1177,80 1187,08 1195,97 1204,46 1212,56 1220,25 1227,54 1234,43 1240,92 1247,02 1252,75 1258,10 1263,09 1267,74 1272,06 1276,05 1279,73 1283,13 1286,25 1289,10 1291,71 1294,09 1296,26 1298,24 1300,03

k [W/m-K] 0,020 0,024 0,027 0,031 0,034 0,037 0,040 0,043 0,046 0,048 0,051 0,054 0,056 0,059 0,061 0,063 0,066 0,068 0,071 0,074 0,077 0,079 0,082 0,086 0,089 0,092 0,096 0,100 0,104 0,108 0,113 0,118 0,123 0,129 0,134 0,141 0,147 0,154 0,161 0,169 0,177 0,186





[m2/s] 1,257E- 05 1,838E-05 2,504E- 05 3,244E- 05 4,046E- 05 4,902E- 05 5,803E- 05 6,745E- 05 7,725E- 05 8,741E- 05 9,792E- 05 1,087E- 04 1,199E- 04 1,316E- 04 1,436E- 04 1,561E- 04 1,692E- 04 1,827E- 04 1,969E- 04 2,119E- 04 2,276E- 04 2,442E- 04 2,617E- 04 2,803E- 04 3,001E- 04 3,211E- 04 3,436E- 04 3,675E- 04 3,932E- 04 4,206E- 04 4,500E- 04 4,815E- 04 5,153E- 04 5,515E- 04 5,904E- 04 6,320E- 04 6,767E- 04 7,245E- 04 7,758E- 04 8,307E- 04 8,894E- 04 9,521E- 04

[ kg/m-s] 1,390E-05 1,640E-05 1,874E-05 2,094E-05 2,300E-05 2,494E-05 2,677E-05 2,849E-05 3,012E-05 3,166E-05 3,312E-05 3,451E-05 3,584E-05 3,711E-05 3,834E-05 3,951E-05 4,065E-05 4,176E-05 4,284E-05 4,389E-05 4,492E-05 4,594E-05 4,694E-05 4,793E-05 4,891E-05 4,988E-05 5,085E-05 5,181E-05 5,277E-05 5,373E-05 5,467E-05 5,562E-05 5,655E-05 5,748E-05 5,840E-05 5,930E-05 6,019E-05 6,106E-05 6,190E-05 6,272E-05 6,351E-05 6,426E-05


Pr [-] 0,72 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,72 0,71 0,71 0,70 0,70 0,69 0,68 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,61 0,60 0,59 0,57 0,56 0,54 0,53 0,51 0,50 0,48 0,47 0,45



[1/K] 4,481E-03 3,661E-03 3,095E-03 2,680E-03 2,363E-03 2,113E-03 1,911E-03 1,745E-03 1,605E-03 1,485E-03 1,382E-03 1,293E-03 1,214E-03 1,145E-03 1,083E-03 1,027E-03 9,774E-04 9,318E-04 8,904E-04 8,524E-04 8,176E-04 7,855E-04 7,558E-04 7,283E-04 7,027E-04 6,788E-04 6,565E-04 6,357E-04 6,161E-04 5,977E-04 5,803E-04 5,640E-04 5,485E-04 5,339E-04 5,200E-04 5,068E-04 4,943E-04 4,824E-04 4,710E-04 4,602E-04 4,498E-04 4,399E-04


8 12

Propiedades del helio (He) T [C] -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850



[kg/m3] 0,67 0,40 0,28 0,22 0,18 0,15 0,13 0,12 0,10 0,09 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,06 0,05 0,05 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02

Cp [J/kg-K] 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61 5192,61

k [W/m-K] 0,079 0,095 0,111 0,127 0,142 0,158 0,173 0,189 0,204 0,219 0,234 0,249 0,264 0,279 0,293 0,308 0,322 0,336 0,350 0,364 0,378 0,392 0,406 0,419 0,433 0,446 0,459 0,472 0,485 0,498 0,511 0,523 0,536 0,548 0,561 0,573 0,585 0,597 0,609 0,620 0,632 0,644





[m2/s] 2,277E-05 4,613E-05 7,575E-05 1,115E-04 1,535E-04 2,015E-04 2,555E-04 3,154E-04 3,811E-04 4,526E-04 5,299E-04 6,128E-04 7,013E-04 7,953E-04 8,948E-04 9,996E-04 1,109E-03 1,225E-03 1,345E-03 1,471E-03 1,602E-03 1,738E-03 1,879E-03 2,024E-03 2,174E-03 2,329E-03 2,489E-03 2,653E-03 2,822E-03 2,995E-03 3,172E-03 3,354E-03 3,540E-03 3,730E-03 3,925E-03 4,123E-03 4,325E-03 4,532E-03 4,742E-03 4,956E-03 5,173E-03 5,394E-03

[kg/m-s] 1,032E-05 1,248E-05 1,462E-05 1,674E-05 1,882E-05 2,088E-05 2,292E-05 2,493E-05 2,691E-05 2,887E-05 3,080E-05 3,270E-05 3,458E-05 3,644E-05 3,826E-05 4,007E-05 4,184E-05 4,359E-05 4,531E-05 4,701E-05 4,868E-05 5,033E-05 5,195E-05 5,355E-05 5,511E-05 5,666E-05 5,817E-05 5,966E-05 6,113E-05 6,257E-05 6,398E-05 6,537E-05 6,673E-05 6,806E-05 6,937E-05 7,066E-05 7,191E-05 7,315E-05 7,435E-05 7,553E-05 7,669E-05 7,781E-05


Pr [ -] 0,68 0,68 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,66 0,66 0,66 0,66 0,66 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,64 0,64 0,64 0,64 0,64 0,63 0,63 0,63 0,63



[1/K] 1,367E-02 8,120E-03 5,775E-03 4,481E-03 3,661E-03 3,095E-03 2,680E-03 2,363E-03 2,113E-03 1,911E-03 1,745E-03 1,605E-03 1,485E-03 1,382E-03 1,293E-03 1,214E-03 1,145E-03 1,083E-03 1,027E-03 9,774E-04 9,318E-04 8,904E-04 8,524E-04 8,176E-04 7,855E-04 7,558E-04 7,283E-04 7,027E-04 6,788E-04 6,565E-04 6,357E-04 6,161E-04 5,977E-04 5,803E-04 5,640E-04 5,485E-04 5,339E-04 5,200E-04 5,068E-04 4,943E-04 4,824E-04 4,710E-04


8 13

Propiedades del vapor de agua saturado T [C] 0,1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

P_sat [ bar] 0, 006 0, 012 0, 023 0, 042 0, 074 0,12 0,20 0,31 0,47 0,70 1,01 1,43 1,98 2,70 3,61 4,76 6,18 7,91 10,02 12,54 15,54 19,06 23,18 27,95 33,45 39,74 46,89 55,00 64,13 74,38 85,84 98,61 112,79 128,52 145,94 165,21 186,55 210,30

h_fg [J/kg] 2,500E+06 2,477E+06 2,453E+06 2,430E+06 2,406E+06 2,382E+06 2,358E+06 2,333E+06 2,308E+06 2,283E+06 2,257E+06 2,230E+06 2,202E+06 2,174E+06 2,145E+06 2,114E+06 2,082E+06 2,049E+06 2,015E+06 1,978E+06 1,940E+06 1,900E+06 1,858E+06 1,813E+06 1,766E+06 1,715E+06 1,662E+06 1,605E+06 1,543E+06 1,477E+06 1,405E+06 1,326E+06 1,238E+06 1,140E+06 1,027E+06 8,930E+05 7,211E+05 4,504E+05

si gma [N/m] 0,076 0,074 0,073 0,071 0,07 0,068 0,066 0,064 0,063 0,061 0,059 0,057 0,055 0,053 0,051 0,049 0,047 0,044 0, 042 0,04 0, 038 0, 035 0, 033 0, 031 0, 028 0, 026 0, 024 0, 021 0, 019 0, 017 0, 014 0, 012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0

 [kg/m3] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,05 0,08 0,13 0,20 0,29 0,42 0,60 0,83 1,12 1,50 1,96 2,55 3,26 4,12 5,15 6,39 7,85 9,58 11,61 13,98 16,74 19,96 23,70 28,06 33,15 39,12 46,15 54,52 64,62 77,01 92,69 113,48 143,64 200,29

Cp [ J / k g - K] 1867,61 1873,88 1881,95 1892,04 1904,42 1919,36 1937,15 1958,10 1982,57 2010,99 2043,84 2081,71 2125,25 2175,24 2232,55 2298,17 2373,22 2458,95 2556,79 2668,39 2795,65 2940,85 3106, 76 3296, 82 3515, 43 3768, 37 4063, 39 4411, 25 4827, 25 5333, 95 5965, 91 6778, 71 7867,60 9410,24 11780,79 15930,13 25229,60 70394,78

k [W/m-K] 0, 017 0, 018 0, 018 0, 019 0, 020 0, 020 0, 021 0, 022 0, 023 0, 024 0, 025 0, 026 0, 027 0, 029 0, 030 0, 032 0, 033 0, 035 0, 036 0, 038 0, 040 0, 042 0, 044 0, 046 0, 048 0, 050 0, 053 0, 055 0, 058 0, 061 0, 065 0, 068 0, 073 0, 078 0, 085 0, 09 093 0, 10 107 0, 133

 [ m2/s] 1,872E-03 9,997E-04 5,595E-04 3,283E-04 2,009E-04 1,277E-04 8,391E-05 5,683E-05 3,954E-05 2,819E-05 2,053E-05 1,524E-05 1,151E-05 8,831E-06 6,861E-06 5,391E-06 4,278E-06 3,423E-06 2,757E-06 2,234E-06 1,819E-06 1,485E-06 1,216E-06 9,974E-07 8,183E-07 6,710E-07 5,493E-07 4,483E-07 3,642E-07 2,939E-07 2,349E-07 1,852E-07 1,433E-07 1,077E-07 7,755E-08 5,171E-08 2,941E-08 9,405E-09


 [kg/m- s] 9,218E- 06 9,461E- 06 9,727E- 06 1,001E- 05 1,030E- 05 1,061E- 05 1,093E- 05 1,126E- 05 1,159E- 05 1,192E- 05 1,226E- 05 1,261E- 05 1,295E- 05 1,330E- 05 1,364E- 05 1,399E- 05 1,433E- 05 1,468E- 05 1,502E- 05 1, 1,537E- 05 1,571E- 05 1, 1,606E- 05 1, 1,641E-05 1,676E-05 1,712E-05 1,749E-05 1,788E-05 1,828E-05 1,870E-05 1,915E-05 1,965E-05 2,021E-05 2,084E-05 2,160E- 05 2, 2,255E-05 2, 2,381E-05 2, 2,571E-05 2, 2,957E- 05

Pr [-] 1, 01 1, 01 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1, 01 1, 01 1, 02 1, 03 1, 04 1, 06 1,08 1, 10 1, 13 1,16 1,20 1,25 1,31 1,37 1,45 1,55 1,67 1,81 2,00 2, 25 2, 60 3, 14 4, 06 06 6, 09 09 15,70

 [ 1/K] 3, 671E-03 3, 548E-03 3, 435E-03 3, 332E-03 3, 239E-03 3, 156E-03 3, 082E-03 3, 017E-03 2, 962E-03 2, 917E-03 2, 882E-03 2, 857E-03 2, 843E-03 2, 840E-03 2, 849E-03 2, 872E-03 2, 908E-03 2, 959E-03 3, 027E- 03 3, 114E- 03 3, 221E- 03 3, 351E- 03 3, 508E- 03 3, 697E- 03 3, 923E- 03 4, 195E- 03 4, 523E- 03 4, 923E- 03 5, 415E- 03 6, 032E- 03 6, 822E- 03 7, 861E- 03 9, 278E-03 1, 130E-02 1, 442E-02 1, 97 977E-02 3, 07 079E-02 6, 453E-02

[Materiales y Fluidos.]

Propiedades del vapor de agua sobrecalentada (1 de 5) P [bar]

T [C]

T_sat [ J / k g]

h [kJ/kg]

 [ kg/m3]

Cp [J /kg-K]

k [W/ m-K]

 [ m2/s]

 [kg/m-s]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61 99, 61

0,05995 209,4 2676 2776 2875 2974 3074 3175 3278 3382 3488 3596

999,83 988,03 0,59 0,52 0,46 0,42 0,38 0,35 0,32 0, 3 0,28 0,26

4228,21 4181,47 2041,69 1980,17 1975,17 1989,84 2012,92 2040,26 2070,13 2101,7 2134,55 2168,36

0,548 0,63 0,025 0,029 0,033 0,038 0,043 0,049 0,055 0,061 0,067 0,073

1,30E-07 1,53E-07 2,08E-05 2,82E-05 3,66E-05 4,62E-05 5,69E-05 6,89E-05 8,21E-05 9,64E-05 1,12E-04 1,28E-04

1,79E-03 5,,47E-04 5 1,23E-05 1, 1,42E-05 1, 1,62E-05 1, 1,82E-05 1, 2,03E-05 2, 2,24E-05 2, 2,45E-05 2, 2, 65E-05 2, 2,86E-05 2, 3,06E-05 3,

13, 84 3,63 1 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,92 0,91 0, 9

-8,32E+01 4,57E-04 2,88E-03 2,45E-03 2,16E-03 1,94E-03 1,76E-03 1,62E-03 1,49E-03 1,39E-03 1,30E-03 1,22E-03

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9 179,9

0,98 210,20 419,70 632,60 2827,00 2942,00 3051,00 3157,00 3264,00 3371,00 3479,00 3588,00

1000,29 988,42 958,81 917,36 4,86 4,30 3,88 3,54 3,26 3,03 2,82 2,65

4223,26 4179,42 4214,99 4310,24 2399,76 2212,51 2146,78 2128,20 2131,54 2146,53 2168,38 2194,59

0,55 0,63 0,67 0,67 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,07

1,297E-07 1,527E-07 1,647E-07 1,691E-07 3,185E-06 4,251E-06 5,390E-06 6,632E-06 7,987E-06 9,454E-06 1,103E-05 1,271E-05

1, 790E-03 5, 472E-04 2, 821E-04 1, 827E-04 1, 589E-05 1, 804E-05 2, 018E-05 2, 231E-05 2, 442E-05 2, 652E-05 2, 858E-05 3, 063E-05

13, 80 3,63 1,79 1,18 1,03 0,99 0,97 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91

-8,359E+01 4,571E-04 7,485E-04 1,024E-03 2,714E-03 2,221E-03 1,926E-03 1,720E-03 1,563E-03 1,437E-03 1,332E-03 1,244E-03

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4 212,4

2,00 211,00 420,50 633,30 852,60 2902,00 3023,00 3137,00 3248,00 3358,00 3468,00 3578,00

1000,79 988,86 959,28 917,92 865,08 8,98 7,97 7,22 6,61 6,12 5,69 5,33

4217,81 4177,16 4212,69 4307,02 4486,40 2554,09 2327,30 2238,42 2205,29 2199,03 2207,43 2224,60

0,55 0,63 0,67 0,67 0,65 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08

1,299E-07 1,528E-07 1,648E-07 1,693E-07 1,678E-07 1,888E-06 2,512E-06 3,167E-06 3,869E-06 4,624E-06 5,431E-06 6,289E-06

1, 788E-03 5, 474E-04 2, 824E-04 1, 829E-04 1, 345E-04 1, 786E-05 2, 007E-05 2, 225E-05 2, 440E-05 2, 652E-05 2, 860E-05 3, 066E-05

13, 75 3,62 1,79 1,18 0,93 1,05 1,00 0,97 0,95 0,94 0,93 0,91

-8,405E+01 4,569E-04 7,468E-04 1,020E-03 1,373E-03 2,653E-03 2,147E-03 1,851E-03 1,648E-03 1,495E-03 1,374E-03 1,274E-03

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9 233,9

3,02 211,90 421,20 633,90 853,00 2855,00 2993,00 3115,00 3231,00 3344,00 3457,00 3569,00

1001,30 989,29 959,75 918,49 865,85 14, 17 12, 33 11, 05 10, 07 9,27 8,61 8,04

4212,43 4174,91 4210,41 4303,83 4480,63 3044,90 2549,76 2363,76 2285,42 2254,56 2248,08 2255,54

0,55 0,63 0,67 0,67 0,65 0,05 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08

1,301E-07 1,529E-07 1,649E-07 1,695E-07 1,680E-07 1,079E-06 1,542E-06 2,008E-06 2,495E-06 3,013E-06 3,563E-06 4,147E-06

1, 786E-03 5, 476E-04 2, 826E-04 1, 832E-04 1, 347E-04 1, 767E-05 1, 997E-05 2, 220E-05 2, 438E-05 2, 652E-05 2, 862E-05 3, 069E-05

13, 70 3,62 1,79 1,18 0,93 1,15 1,05 1,00 0,97 0,95 0,93 0,92

-8,452E+01 4,567E-04 7,451E-04 1,017E-03 1,366E-03 3,284E-03 2,421E-03 2,001E-03 1,740E-03 1,557E-03 1,417E-03 1,306E-03


Pr [-]

 [1/K]


8 15


T [ C]

T_sat [J/kg]

h [ k J/ k g]

 [kg/m3]

Cp [ J / k g- K]

k [W/m-K]

 [m2/s]

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4 250,4

4,03 212, 80 422, 00 634, 50 853, 40 1085,00 2960,00 3092,00 3213,00 3330,00 3445,00 3560,00

1001,81 989,73 960,22 919,05 866,60 799,10 17,00 15,05 13,62 12,50 11,57 10,79

4207,11 4172,67 4208,13 4300,67 4474,95 4856,39 2827,00 2506,81 2372,59 2313,32 2290,40 2287,43

0,55 0,63 0,67 0,67 0,65 0,61 0, 05 0, 05 0, 06 0, 06 0, 07 0, 08

1,304E-07 1,531E-07 1, 651E-07 1, 696E-07 1, 683E-07 1, 572E-07 1, 052E-06 1, 425E-06 1, 806E-06 2, 207E-06 2, 630E-06 3, 076E-06

1,783E-03 5,478E-04 2,829E-04 1,834E-04 1,350E-04 1,061E-04 1,988E-05 2,216E-05 2,437E-05 2,653E-05 2,865E-05 3,073E-05

13,65 3,62 1,78 1,18 0,93 0,85 1,11 1,03 0,99 0,96 0,94 0,93

-8,498E+01 4,566E-04 7,434E-04 1,013E-03 1,358E-03 1,954E-03 2,766E-03 2,173E-03 1,842E-03 1,623E-03 1,463E-03 1,338E-03

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

264 264 264 264 264 264 264 264 264 264 264 264

5,05 213, 60 422, 70 635, 10 853, 80 1085,00 2924,00 3068,00 3196,00 3316,00 3434,00 3550,00

1002,31 990,16 960,68 919,61 867,35 800,27 22,07 19,25 17,30 15,80 14,59 13,57

4201,86 4170,44 4205,88 4297,54 4469,34 4842,83 3179,00 2670,84 2467,58 2375,55 2334,46 2320,29

0,55 0,63 0,67 0,67 0,65 0,61 0, 05 0, 06 0, 06 0, 07 0, 07 0, 08

1,306E-07 1,532E-07 1,652E-07 1,698E-07 1,686E-07 1,577E-07 7, 537E-07 1, 073E-06 1, 392E-06 1, 723E-06 2, 070E-06 2, 434E-06

1,781E-03 5,479E-04 2,832E-04 1,837E-04 1,352E-04 1,064E-04 1,980E-05 2,213E-05 2,437E-05 2,655E-05 2,868E-05 3,077E-05

13,61 3,61 1,78 1,18 0,92 0,84 1,19 1,07 1,01 0,98 0,95 0,93

-8,544E+01 4,565E-04 7,417E-04 1,010E-03 1,351E-03 1,935E-03 3,211E-03 2,371E-03 1,953E-03 1,693E-03 1,510E-03 1,372E-03

60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6 275,6

6,06 214, 50 423, 50 635, 70 854, 20 1085,00 2883,00 3042,00 3177,00 3302,00 3422,00 3541,00

1002,81 990,59 961,14 920,17 868,10 801,42 27,66 23,69 21,10 19,18 17,65 16,39

4196,67 4168,23 4203,63 4294,43 4463,82 4829,63 3638,94 2860,15 2571,32 2441,49 2380,33 2354,14

0,55 0,63 0,67 0,67 0,65 0,61 0, 06 0, 06 0, 06 0, 07 0, 07 0, 08

1,308E-07 1,533E-07 1, 653E-07 1, 700E-07 1, 689E-07 1, 582E-07 5, 515E-07 8, 376E-07 1, 116E-06 1, 400E-06 1, 696E-06 2, 005E-06

1,778E-03 5,481E-04 2,834E-04 1,839E-04 1,355E-04 1,067E-04 1,973E-05 2,210E-05 2,437E-05 2,657E-05 2,872E-05 3,081E-05

13,56 3,61 1,78 1,18 0,92 0,84 1,29 1,11 1,03 0,99 0,96 0,94

-8,590E+01 4,563E-04 7,401E-04 1,006E-03 1,344E-03 1,917E-03 3,805E-03 2,603E-03 2,075E-03 1,768E-03 1,560E-03 1,408E-03

70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9 285,9

7,07 215, 30 424, 30 636, 40 854, 60 1085,00 2838,00 3015,00 3158,00 3287,00 3411,00 3531,00

1003,32 991,02 961,60 920,72 868,84 802,56 33,94 28,38 25,05 22,65 20,78 19,25

4191,54 4166,03 4201,40 4291,35 4458,37 4816,77 4266,92 3080,46 2684,86 2511,42 2428,11 2389,02

0,55 0,63 0,67 0,67 0,66 0,61 0, 06 0, 06 0, 06 0, 07 0, 07 0, 08

1,310E-07 1,534E-07 1, 655E-07 1, 702E-07 1, 691E-07 1, 587E-07 4, 042E-07 6, 681E-07 9, 180E-07 1, 169E-06 1, 429E-06 1, 700E-06

1,776E-03 5,483E-04 2,837E-04 1,842E-04 1,357E-04 1,070E-04 1,968E-05 2,209E-05 2,439E-05 2,660E-05 2,876E-05 3,086E-05

13,51 3,61 1,78 1,18 0,92 0,84 1,43 1,16 1,06 1,00 0,97 0,94

-8,636E+01 4,562E-04 7,385E-04 1,003E-03 1,337E-03 1,899E-03 4,639E-03 2,875E-03 2,210E-03 1,848E-03 1,613E-03 1,444E-03


 [kg/m-s]

Pr [-]

 [1/K]


8 16


T [C]

T_sat [ J / k g]

h [kJ/kg]

 [ kg/m3]

Cp [J /kg-K]

k [W/ m-K]

 [ m2/s]

80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

295 295 295 295 295 295 295 295 295 295 295 295

8,08 216,20 425,00 637,00 855,10 1085,00 2785,00 2986,00 3138,00 3272,00 3399,00 3521,00

1003,82 991,45 962,06 921,28 869,57 803,69 41, 23 33, 39 29, 14 26, 20 23, 96 22, 15

4186,47 4163,85 4199,18 4288,30 4452,99 4804,23 5187,06 3339,58 2809,50 2585,64 2477,87 2424,94

0,55 0,63 0,67 0,67 0,66 0,62 0,06 0,06 0,06 0,07 0,07 0,08

1,312E-07 1,535E-07 1,656E-07 1,703E-07 1,694E-07 1,592E-07 2,907E-07 5,401E-07 7,692E-07 9,968E-07 1,229E-06 1,470E-06

1, 774E-03 5, 485E-04 2, 840E-04 1, 844E-04 1, 360E-04 1, 072E-04 1, 965E-05 2, 209E-05 2, 441E-05 2, 664E-05 2, 880E-05 3, 091E-05

13, 47 3,60 1,78 1,18 0,92 0,84 1,64 1,23 1,09 1,02 0,98 0,95

-8,681E+01 4,561E-04 7,368E-04 9,998E-04 1,330E-03 1,882E-03 5,904E-03 3,201E-03 2,360E-03 1,933E-03 1,668E-03 1,481E-03

90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4 303,4

9,09 217,10 425,80 637,60 855,50 1085,00 1344,00 2955,00 3117,00 3257,00 3386,00 3511,00

1004,31 991,88 962,52 921,83 870,31 804,80 713,36 38, 78 33, 41 29, 86 27, 20 25, 09

4181,46 4161,67 4196,98 4285,27 4447,69 4792,00 5724,24 3648,53 2946,73 2664,48 2529,71 2461,93

0,55 0,63 0,67 0,67 0,66 0,62 0,53 0,06 0,06 0,07 0,07 0,08

1,314E-07 1,536E-07 1,657E-07 1,705E-07 1,697E-07 1,597E-07 1,308E-07 4,398E-07 6,531E-07 8,621E-07 1,074E-06 1,292E-06

1, 771E-03 5, 487E-04 2, 842E-04 1, 847E-04 1, 362E-04 1, 075E-04 8, 612E-05 2, 211E-05 2, 444E-05 2, 668E-05 2, 885E-05 3, 097E-05

13, 42 3,60 1,78 1,17 0,92 0,84 0,92 1,30 1,12 1,04 0,99 0,95

-8,726E+01 4,559E-04 7,352E-04 9,964E-04 1,323E-03 1,865E-03 3,241E-03 3,595E-03 2,526E-03 2,025E-03 1,725E-03 1,520E-03

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

311 311 311 311 311 311 311 311 311 311 311 311

10,10 217,90 426,50 638,20 855,90 1085,00 1342,00 2922,00 3096,00 3241,00 3374,00 3501,00

1004,81 992,31 962,98 922,38 871,03 805,90 715,58 44, 61 37, 87 33, 61 30, 50 28, 06

4176,51 4159,51 4194,79 4282,27 4442,46 4780,06 5675,44 4023,36 3098,40 2748,31 2583,72 2500,01

0,55 0,64 0,67 0,67 0,66 0,62 0,54 0, 06 0, 07 0, 07 0, 08 0, 08

1,316E-07 1,538E-07 1,659E-07 1,707E-07 1,699E-07 1,602E-07 1,321E-07 3,589E-07 5,600E-07 7,544E-07 9,501E-07 1,150E-06

1, 769E-03 5, 488E-04 2, 845E-04 1, 849E-04 1, 365E-04 1, 078E-04 8, 652E-05 2, 215E-05 2, 449E-05 2, 673E-05 2, 891E-05 3, 103E-05

13, 37 3,60 1,78 1,17 0,92 0,84 0,92 1,38 1,15 1,05 1,00 0,96

-8,772E+01 4,558E-04 7,336E-04 9,931E-04 1,316E-03 1,848E-03 3,167E-03 4,082E-03 2,711E-03 2,122E-03 1,785E-03 1,560E-03

110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1 318,1

11,10 218,80 427,30 638,90 856,30 1085,00 1341,00 2886,00 3074,00 3225,00 3361,00 3491,00

1005, 31 992,73 963,44 922,92 871,75 806,99 717,75 51, 01 42, 53 37, 48 33, 87 31, 09

4171,62 4157,36 4192,61 4279,29 4437,30 4768,40 5629,58 4488,66 3266,73 2837,55 2639,99 2539,22

0, 55 0,64 0,67 0,68 0,66 0,62 0,54 0, 07 0, 07 0, 07 0, 08 0, 08

1,318E-07 1,539E-07 1,660E-07 1,709E-07 1,702E-07 1,607E-07 1,334E-07 2, 921E-07 4, 837E-07 6, 661E-07 8, 485E-07 1, 034E-06

1, 767E-03 5, 490E-04 2, 848E-04 1, 852E-04 1, 367E-04 1, 081E-04 8, 691E-05 2, 221E-05 2, 454E-05 2, 679E-05 2, 897E-05 3, 109E-05

13, 33 3,59 1,78 1,17 0,92 0,83 0,91 1,49 1,19 1,07 1,01 0,97

- 8,817E+01 4,557E-04 7,321E-04 9,898E-04 1,310E-03 1,832E-03 3,098E-03 4,699E-03 2,918E-03 2,227E-03 1,848E-03 1,602E-03


 [kg/m-s]

Pr [-]

 [1/K]


8 17


T [ C]

T_sat [J/kg]

h [ k J/ k g]

 [kg/m3]

Cp [ J / k g- K]

k [W/m-K]

 [m2/s]

120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7 324,7

12, 11 219, 60 428,00 639,50 856,80 1085,00 1340,00 2846,00 3051,00 3209,00 3349,00 3480,00

1005,81 993,16 963,89 923,47 872,47 808,06 719,85 58,13 47,44 41,46 37,31 34,15

4166,78 4155,23 4190,44 4276,34 4432,20 4757,02 5586,35 5084, 32 3454, 42 2932, 65 2698, 65 2579, 56

0, 55 0,64 0, 67 0, 68 0, 66 0, 62 0, 54 0, 07 0, 07 0, 07 0, 08 0, 08

1, 321E-07 1, 540E-07 1, 661E-07 1, 710E-07 1, 705E-07 1, 612E-07 1, 346E-07 2, 358E-07 4, 200E-07 5, 926E-07 7, 639E-07 9, 375E-07

1,765E-03 5,492E-04 2,850E-04 1,854E-04 1,369E-04 1,083E-04 8,729E-05 2,231E-05 2,461E-05 2,686E-05 2,904E-05 3,116E-05

13, 28 3,59 1,78 1,17 0,92 0,83 0,90 1,63 1,24 1,09 1,02 0,97

-8,862E+01 4,556E-04 7,305E-04 9,865E-04 1,303E-03 1,816E-03 3,034E-03 5,508E-03 3,152E-03 2,339E-03 1,913E-03 1,645E-03

130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9 330,9

13, 11 220, 50 428,80 640,10 857,20 1086,00 1339,00 2802,00 3027,00 3192,00 3336,00 3470,00

1006,30 993,58 964,34 924,01 873,19 809,13 721,91 66,21 52,61 45,57 40,82 37,26

4162,01 4153,10 4188,29 4273,41 4427,17 4745,89 5545,51 5880, 29 3664, 87 3034, 11 2759, 79 2621, 08

0, 55 0,64 0, 67 0, 68 0, 66 0, 62 0, 54 0, 07 0, 07 0, 07 0, 08 0, 08

1, 323E-07 1, 541E-07 1, 663E-07 1, 712E-07 1, 707E-07 1, 616E-07 1, 358E-07 1, 874E-07 3, 660E-07 5, 305E-07 6, 924E-07 8, 557E-07

1,762E-03 5,494E-04 2,853E-04 1,857E-04 1,372E-04 1,086E-04 8,767E-05 2,244E-05 2,470E-05 2,694E-05 2,912E-05 3,124E-05

13, 24 3,59 1,78 1,17 0,92 0,83 0,89 1,81 1,28 1,11 1,03 0,98

-8,906E+01 4,555E-04 7,290E-04 9,833E-04 1,297E-03 1,801E-03 2,973E-03 6,616E-03 3,417E-03 2,460E-03 1,982E-03 1,689E-03

140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7 336,7

14, 11 221, 40 429,50 640,80 857,70 1086,00 1338,00 2751,00 3001,00 3174,00 3323,00 3459,00

1006,79 994,01 964,80 924,55 873,89 810,18 723,91 75,65 58,08 49,81 44,41 40,42

4157,29 4150,99 4186,15 4270,51 4422,21 4735,01 5506,84 7013, 74 3902, 33 3142, 48 2823, 53 2663, 79

0, 55 0,64 0, 67 0, 68 0, 66 0, 62 0, 55 0, 08 0, 07 0, 08 0, 08 0, 09

1, 325E-07 1, 542E-07 1, 664E-07 1, 714E-07 1, 710E-07 1, 621E-07 1, 369E-07 1, 449E-07 3, 196E-07 4, 772E-07 6, 311E-07 7, 857E-07

1,760E-03 5,496E-04 2,856E-04 1,859E-04 1,374E-04 1,089E-04 8,804E-05 2,264E-05 2,480E-05 2,703E-05 2,920E-05 3,132E-05

13, 20 3,59 1,78 1,17 0,92 0,83 0,89 2,07 1,34 1,14 1,04 0,99

-8,951E+01 4,554E-04 7,274E-04 9,801E-04 1,290E-03 1,786E-03 2,916E-03 8,239E-03 3,720E-03 2,589E-03 2,054E-03 1,735E-03

150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2 342,2

15, 11 222, 20 430,30 641,40 858,10 1086,00 1337,00 2691,00 2975,00 3157,00 3309,00 3449,00

1007,28 994,43 965,25 925,08 874,60 811,22 725,87 87,19 63,89 54,20 48,08 43,63

4152,62 4148,89 4184,02 4267,63 4417,31 4724,38 5470,13 8802, 80 4172, 21 3258, 41 2889, 99 2707, 73

0, 56 0,64 0, 67 0, 68 0, 66 0, 62 0, 55 0, 08 0, 07 0, 08 0, 08 0, 09

1, 327E-07 1, 543E-07 1, 665E-07 1, 716E-07 1, 713E-07 1, 626E-07 1, 380E-07 1, 065E-07 2, 794E-07 4, 310E-07 5, 781E-07 7, 251E-07

1,758E-03 5,498E-04 2,858E-04 1,862E-04 1,377E-04 1,091E-04 8,840E-05 2,294E-05 2,493E-05 2,713E-05 2,929E-05 3,140E-05

13, 15 3,58 1,78 1,17 0,92 0,83 0,88 2,47 1,40 1,16 1,05 0,99

-8,996E+01 4,553E-04 7,259E-04 9,770E-04 1,284E-03 1,772E-03 2,862E-03 1,088E-02 4,068E-03 2,728E-03 2,130E-03 1,782E-03

[231]

 [kg/m-s]

Pr [-]

 [1/K]


8 18


T [C]

T_sat [ J / k g]

h [kJ/kg]

 [ kg/m3]

Cp [J /kg-K]

k [W/ m-K]

160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4 347,4

16,11 223,10 431,00 642,00 858,60 1086,00 1336,00 2615,00 2947,00 3138,00 3296,00 3438,00

1007, 78 994,85 965,70 925,62 875,30 812,26 727,78 102,51 70, 10 58, 74 51, 82 46, 88

4148,01 4146,81 4181,90 4264,78 4412,47 4713,97 5435,23 12239,25 4481,53 3382,58 2959,30 2752,91

0, 56 0,64 0,67 0,68 0,66 0,62 0,55 0, 09 0, 08 0, 08 0, 08 0, 09

1,329E-07 1,544E-07 1,667E-07 1,717E-07 1,715E-07 1,630E-07 1,391E-07 7, 056E-08 2, 441E-07 3, 907E-07 5, 318E-07 6, 722E-07

1, 756E-03 5, 500E-04 2, 861E-04 1, 864E-04 1, 379E-04 1, 094E-04 8, 875E-05 2, 341E-05 2, 508E-05 2, 724E-05 2, 939E-05 3, 149E-05

13, 11 3,58 1,78 1,17 0,92 0,83 0,88 3,24 1,47 1,19 1,07 1,00

- 9,040E+01 4,552E-04 7,244E-04 9,738E-04 1,278E-03 1,757E-03 2,811E-03 1,619E-02 4,473E-03 2,879E-03 2,209E-03 1,830E-03

170 170 170 170 170 170 170 170 170 170 170 170

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3 352,3

17,10 223,90 431,80 642,70 859,00 1086,00 1336,00 1666,00 2917,00 3120,00 3282,00 3427,00

1008, 27 995,27 966,14 926,15 876,00 813,28 729,65 579,08 76, 78 63, 46 55, 66 50, 19

4143,46 4144,73 4179,80 4261,94 4407,69 4703,78 5401,99 9700,88 4839,57 3515,78 3031,59 2799,37

0, 56 0,64 0,67 0,68 0,66 0,63 0,55 0,39 0, 08 0, 08 0, 08 0, 09

1,331E-07 1,546E-07 1,668E-07 1,719E-07 1,718E-07 1,634E-07 1,401E-07 7,017E-08 2, 130E-07 3, 551E-07 4, 910E-07 6, 256E-07

1, 754E-03 5, 502E-04 2, 864E-04 1, 867E-04 1, 381E-04 1, 096E-04 8, 910E-05 6, 645E-05 2, 526E-05 2, 736E-05 2, 949E-05 3, 158E-05

13, 07 3,58 1,78 1,17 0,92 0,83 0,87 1,64 1,54 1,21 1,08 1,01

- 9,084E+01 4,551E-04 7,229E-04 9,707E-04 1,272E-03 1,744E-03 2,762E-03 9,645E-03 4,948E-03 3,041E-03 2,291E-03 1,880E-03

180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

357 357 357 357 357 357 357 357 357 357 357 357

18,10 224,80 432,60 643,30 859,50 1086,00 1335,00 1658,00 2886,00 3101,00 3268,00 3416,00

1008,75 995,69 966,59 926,68 876,69 814,29 731,48 587,25 84, 00 68, 35 59, 58 53, 55

4138,96 4142,67 4177,71 4259,13 4402,97 4693,81 5370,26 9023,83 5258,82 3658,88 3106,99 2847,12

0,56 0,64 0,67 0,68 0,66 0,63 0,55 0,40 0, 08 0, 08 0, 08 0, 09

1,333E-07 1,547E-07 1,669E-07 1,721E-07 1,720E-07 1,639E-07 1,411E-07 7,599E-08 1,853E-07 3,236E-07 4,548E-07 5,843E-07

1, 752E-03 5, 504E-04 2, 866E-04 1, 869E-04 1, 384E-04 1, 099E-04 8, 945E-05 6, 752E-05 2, 547E-05 2, 750E-05 2, 960E-05 3, 168E-05

13, 03 3,57 1,78 1,17 0,92 0,82 0,87 1,51 1,64 1,24 1,09 1,01

-9,128E+01 4,550E-04 7,214E-04 9,677E-04 1,266E-03 1,730E-03 2,716E-03 8,501E-03 5,512E-03 3,217E-03 2,378E-03 1,932E-03

 [ m2/s]


 [kg/m-s]

Pr [-]

 [1/K]


8 19

Propiedades de materiales metálicos (1 de 3)

Acero al Carbono A ISI 1010

T_fus

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

7839,47 7832,51 7825,56 7811,65 7796,59 7780,20 7763,81 7747,41 7730,18 7711,97 7693,76 7675,55 7657,27 7638,89 7620,52 7602,14 7583,77 7565,39 7547,02 7528,64 7510,27 7491,89

422,19 433,19 444,19 466,19 487,38 507,63 527,88 548,13 573,58 605,08 636,58 668,08 741,02 862,02 983,02 1104,02 1225,02 1346,02 1467,02 1588,02 1709,02 1830,02

65,30 64,00 62,70 60,10 57,55 55,08 52,60 50,13 47,69 45,29 42,89 40,49 38,29 36,31 34,34 32,36 30,39 28,41 26,44 24,46 22,49 20,51

Aluminio

T_fus

13 1375 C

A ce ce ro ro Inox id idabl e A IS ISI 316

T_fus

m2/s

T C

rho kg/ m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

1,973E- 05 1,886E- 05 1,804E- 05 1,650E- 05 1,514E- 05 1,394E- 05 1,283E- 05 1,180E- 05 1,075E- 05 9,705E- 06 8,757E- 06 7,896E- 06 6,747E- 06 5,514E- 06 4,583E- 06 3,856E- 06 3,271E- 06 2,790E- 06 2,388E- 06 2,046E- 06 1,752E- 06 1,496E- 06

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

8248,26 8238,71 8229,15 8210,04 8189,87 8168,47 8147,07 8125,67 8103,33 8079,90 8056,47 8033,04 8009,10 7984,56 7960,03 7935,49 7910,95 7886,42 7861,88 7837,34 7812,80 7788,27

458,33 467,33 476,33 494,33 509,32 520,82 532,32 543,82 553,01 559,51 566,01 572,51 579,01 585,51 592,01 598,51 605,01 611,51 618,01 624,51 631,01 637,51

12,92 13,37 13,82 14,72 15,56 16,33 17,11 17,88 18,64 19,36 20,09 20,81 21,55 22,30 23,05 23,80 24,55 25,30 26,05 26,80 27,55 28,30



655 C

Cobre

T_fus

1400 C 

m2/s 3,417E- 06 3,472E- 06 3,525E- 06 3,626E- 06 3,730E- 06 3,839E- 06 3,945E- 06 4,047E- 06 4,159E- 06 4,283E- 06 4,405E- 06 4,525E- 06 4,646E- 06 4,769E- 06 4,891E- 06 5,011E- 06 5,129E- 06 5,246E- 06 5,361E- 06 5,475E- 06 5,588E- 06 5,699E- 06 1085 C

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

 m2/s

T C

rho kg/ m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

 m2/s

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

2706,81 2702,33 2697,48 2687,72 2677,62 2667,14 2656,65 2646,17 2634,96 2622,90 2610,85 2598,80 2592,25 2592,09 2591,92

874,81 901,06 913,65 936,65 958,72 979,72 1000,72 1021,72 1046,08 1074,33 1102,58 1130,83 1146,00 1146,00 1146,00

236,27 236,02 236,93 238,93 239,07 237,07 235,07 233,07 230,38 226,88 223,38 219,88 216,84 214,34 211,84

9,978E- 05 9,693E- 05 9,613E- 05 9,491E- 05 9,313E- 05 9,073E- 05 8,842E- 05 8,621E- 05 8,358E- 05 8,051E- 05 7,760E- 05 7,482E- 05 7,299E- 05 7,216E- 05 7,132E- 05

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

8944,54 8933,80 8922,48 8899,77 8876,35 8852,11 8827,87 8803,63 8778,86 8753,49 8728,11 8702,74 8676,46 8649,12 8621,78 8594, 45 8566, 08 8536, 52 8506, 96 8477, 40 8447, 83 8418, 27

377,21 384,46 387,78 393,78 399,32 404,32 409,32 414,32 418,85 422,85 426,85 430,85 435,08 439,58 444,08 448,58 454,36 461,61 468,86 476,11 483,36 490,61

404,22 401,22 399,15 395,15 391,38 387,88 384,38 380,88 377,50 374,25 371,00 367,75 364,38 360,88 357,38 353, 88 350, 50 347, 25 344, 00 340, 75 337, 50 334, 25




8 20


Bronze

T_fus

1020 C

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

m2/s

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

8813,69 8800,94 8789,19 8765,83 8741,73 8716,76 8691,79 8666,82 8641,85 8616,88 8591,91 8566,94 8541,97 8517,00 8492,03 8467,06 8442,09 8417,12 8392,15 8367,18 8342,21 8317,24

518,00 426,75 429,26 449,26 469,84 491,09 512,34 533,59 554,84 576,09 597,34 618,59 639,84 661,09 682,34 703,59 724,84 746,09 767,34 788,59 809,84 831,09

49,32 51,82 52,00 52, 00 52, 81 54, 56 56, 31 58, 06 59, 81 61, 56 63, 31 65, 06 66, 81 68, 56 70, 31 72, 06 73, 81 75, 56 77, 31 79, 06 80, 81 82, 56




Latón

T_fus

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900

8530, 00 8530, 00 8530, 00 8530, 00 8544, 24 8574, 99 8605, 74 8636, 49 8667, 24 8697, 99 8728, 74 8759, 49 8790, 24 8820, 99 8851, 74 8882, 49 8913, 24 8943, 99 8974, 74 9005, 49

372, 80 377,18 381,55 390,30 398,47 405,97 413,47 420,97 428,47 435,97 443,47 450,97 458,47 465,97 473,47 480,97 488,47 495,97 503,47 510,97

110,36 115,61 120,86 131, 36 138, 39 141, 39 144, 39 147, 39 150, 39 153, 39 156, 39 159, 39 162, 39 165, 39 168, 39 171, 39 174, 39 177, 39 180, 39 183, 39

Inconel

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

 m2/s

T C

rho k g/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

8517,60 8510,52 8502,67 8486,85 8469,96 8451,84 8433,71 8415,59 8396,25 8375,48 8354,71 8333,94 8312,23 8289,41 8266,59 8243,78 8220,96 8198,14 8175,33 8152,51 8129,69 8106,87

421,01 437,76 446,87 463,87 477,28 486,53 495,78 505,03 514,17 523,17 532,17 541,17 555,26 575,26 595,26 615,26 635,26 655,26 675,26 695,26 715,26 735,26

11,32 11,67 12,12 13,02 13,91 14,78 15,66 16,53 17,41 18,28 19,16 20,03 20,91 21,78 22,66 23,53 24,41 25,28 26,16 27,03 27,91 28, 78


0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

6572, 91 6570, 20 6567, 44 6561, 92 6555, 96 6549, 49 6543, 02 6536, 55 6529, 66 6522, 30 6514, 94 6507, 58 6499, 99 6492, 14 6484, 29 6476, 44 6471, 46 6469, 82 6468, 18 6466, 54 6461, 44 6452,33

274,24 277,74 283,09 294, 09 302, 55 308, 05 313, 55 319, 05 324, 32 329, 32 334, 32 339, 32 344, 32 349, 32 354, 32 359, 32 359, 92 355, 42 350, 92 346, 42 344, 00 344,00

23,37 22, 75 22, 45 21,90 21,50 21,27 21,05 20,82 20,80 21,03 21,25 21,48 21,84 22,37 22,89 23,42 23,97 24,54 25,12 25,69 26,22 26,68

T_fus

1392 C

Zi rconi o


T_fus

915 C 

m2/s 3,470E- 05 3,593E- 05 3,714E- 05 3,946E- 05 4,065E- 05 4,061E- 05 4,058E- 05 4,054E- 05 4,050E- 05 4,045E- 05 4,040E- 05 4,035E- 05 4,029E- 05 4,024E- 05 4,018E- 05 4,012E- 05 4,005E- 05 3,999E- 05 3,992E- 05 3,985E- 05

1855 C  m2/s


MATERIALES Y FLUIDOS TABLAS[Cuadernos DE PROPIEDADES TERMICAS [Tablas ]] dede Propiedades Transmisión Térmicas. de Calor.

8 21


Titanio

T_fus

T C

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m- K

0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

4502,91 4500,20 4497,20 4491,16 4484,82 4478,16 4471,49 4464,83 4457,94 4450,80 4443,66 4436,52 4429,24 4421,79 4414,35 4406,91 4400,18 4394,26 4388,35 4382,44 4375,63 4367,76

506,70 520,95 528,71 543,21 555,63 565,63 575,63 585,63 595,86 606,36 616,86 627,36 637,86 648,36 658,86 669,36 668,63 654,88 641,13 627,38 625,09 636,09

22,60 21,95 21,55 20,80 20,28 20,03 19,78 19,53 19,43 19,51 19,58 19,66 19,82 20,07 20,32 20,57 20,85 21,18 21,50 21,83 22,19 22,61

1680 C

Si l i ci o

T_fus

m2/s

T C

rho k g/ m 3

Cp J / k g- K

k W/m- K


0 25 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

2330,67 2330,05 2329,49 2328,41 2327,28 2326,06 2324,85 2323,67 2322,39 2321,00 2319,62 2318,27 2316,86 2315,39 2313,92 2312,45 2310,94 2309,38 2307,83 2306,28 2304,71 2303,12

670,11 709,11 730,06 769,06 798,91 818,16 837,41 856,66 872,32 883,82 895,32 906,82 916,82 925,07 933,32 941,57 948,43 953,68 958,93 964,18 968,93 973,10

171,09 149,59 136,63 112,08 93,64 82,29 72,89 65,74 59,33 53,78 48,81 44,51 40,74 37,59 34,81 32,46 30,44 28,79 27,39 26,29 25,40 24,75




1412 C 

m2/s 1,095E- 04 9,054E- 05 8,034E- 05 6,259E- 05 5,037E- 05 4,324E- 05 3,744E- 05 3,302E- 05 2,929E- 05 2,622E- 05 2,350E- 05 2,117E- 05 1,918E- 05 1,755E- 05 1,612E- 05 1,490E- 05 1,388E- 05 1,307E- 05 1,237E- 05 1,182E- 05 1,137E- 05 1,104E- 05

MATERIALES Y FLUIDOS TABLAS[Cuadernos DE PROPIEDADES TERMICAS [Materiales de Transmisión y Fluidos. de] Calor.]

8 22

Propiedades de materiales aislantes

f i bra de vi dri o 16 kg/m3

re l l e no sue l to de pe rl i ta 105 kg/m3

T [ C]

k [ W/m- K]

T [ C]

k [ W/m- K]

- 100 - 80 - 60 - 40 - 20 0 20

0, 024 0,027 0, 029 0, 032 0, 035 0, 037 0, 041

- 100 - 80 - 60 - 40 - 20 0 20

0, 025 0,026 0, 027 0, 029 0, 030 0, 032 0, 035

40 60 80

0, 047 0, 053 0, 059

40 60 80

0, 039 0, 042 0, 046

100 120 140 160 180 200 220 240

0, 064 0, 070 0, 076 0, 082 0, 088 0, 093 0, 099 0, 105

100 120 140 160 180 200 220 240

0, 049 0, 053 0, 057 0, 060 0, 064 0, 068 0, 071 0, 075

260 280 300

0, 111 0, 117 0, 123

260 280 300

0, 079 0, 082 0, 086

T [ C]

k [ W/m- K]

T [ C]

k [ W/m- K]

- 200 - 180 - 160

0,011 0,015 0, 019

- 100 - 80 - 60

0,031 0, 032 0, 033

- 140 - 120 - 100

0, 023 0, 027 0, 031

- 40 - 20 0

0, 035 0, 036 0, 037

- 80 - 60 - 40 - 20 0

0, 035 0, 039 0, 042 0, 046 0, 049

20 40 60 80 100

0, 039 0, 043 0, 049 0, 055 0, 061

20 40 60 80 100 120

0, 052 0, 057 0, 063 0, 069 0, 075 0, 081

120 140 160 180 200 220

0, 067 0, 073 0, 079 0, 085 0, 091 0, 097

140 160 180 200

0, 087 0, 093 0, 099 0, 105

240 260 280 300

0, 103 0, 109 0, 115 0, 121

f i bra de vi dri o 32 kg/m3

re l l e no sue l to de made ra 45 kg/m3


MATERIALES Y FLUIDOS TABLAS[Cuadernos DE PROPIEDADES TERMICAS [Tablas ]] dede Propiedades Transmisión Térmicas. de Calor.

8 23

Propiedades de materiales aislantes

f i bra de óx i do de Si -A l 64 kg/m3

T [ C]

k [ W/m-K]

180 220 240 260 280 300 320

0,040 0 ,050 0, 0, 055 0, 060 0, 065 0, 070 0, 074

340 360 380

0, 079 0, 084 0, 090

400 420 440 460 480

0, 097 0, 104 0, 112 0, 119 0, 126

500 520 540 560 580 600

0, 133 0, 141 0, 148 0, 155 0, 162 0, 170

T [ C]

k [ W/m- K]

corcho 120 kg/m3

23

0, 045

e spuma de pol i ure tano 40 kg/m3

23

0,029

EPS ( corch o bl anco) 55 kg/m3

- 50 - 20 0

0, 023 0, 023 0, 025

12 24 36

0, 026 0, 027 0, 029


TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Cuadernos [Materiales de Transmisión y Fluidos. de] Calor.]

24

Propiedades de materiales para construcción

Props Pr ops . a 25 C

arci l l a arci l l a re fractari a arena azul ejo bal dosa de gres contrachapado goma dura grani to hormi gón l adri l l o made ra de arce mármol morte ro de ce me nto pi zarra tabl ero al ta densi dad tabl e ro baja de nsi dad te j a terre no vi dri o ye so

rho kg/m3

Cp J / k g- K

k W/m-K

m2/s

1460 2000 1515 2300 2500 545 1150 2630 2300 1920 720 2680 1860 2650 1000 590 2000 2050 2700 1680

880 879 800 840 1000 1215 2009 775 880 1154 1255 830 780 758 1300 1300 800 1840 833 1085

1,30 0,46 0,27 1,30 2,30 0,12 0,16 2,79 1,40 0,72 0,16 2,80 0,72 0,42 0,17 0,08 1,00 0,52 0,81 0,22

1,011E-06 2,610E-07 2,228E-07 6,729E-07 9,200E-07 1,812E-07 7,000E-07 1,368E-06 6,917E-07 6, 3,248E-07 3, 1,771E-07 1,258E-06 4,963E-07 2,090E-07 1,308E-07 1,016E-07 6,250E-07 1,379E-07 1, 3,600E-07 1,207E-07




TABLAS DE PROPIEDADES TERMICAS [Cuadernos [Tablas dede ]] Propiedades Transmisión Térmicas. de Calor.

Propiedades térmicas superficiales

Metales Al umi ni o Cobre Acero gal vani zado Ace ro i nox i dabl e Níquel Cinc

emis em isiv ivid ida ad a 300 K

abso sorrtiv ivid ida ad so sola larr

0,05 0,04-0,50 0,13-0,28 0,22-0,85 0,09-0,40 0,23

0,15 0,18-0,64 0,65-0,80 0,33-0,52 0,15-0,79 0,34

nuevo (pulido) - viejo (desgastado, oxidado)

Entorno asf al to rocas vege taci ón arena ( ti e rra) agua ni e ve hi e l o

0,85 0,88 0,92 0,90 0,96 0,82 0,95

0,93 0,76 0,98 0,13 -

Materiales constr construcción ucción l adri l l o rojo hormi gón pizarra grani to te j a

0,93 0,88 0,91

0,70 0,65 0,88 0,45 -

Revestimientos pintura negra pintura bl anca negro de Cromo óxi do de níquel

0,98 0,90 0,09 0,08

0,98 0,26 0,87 0,92

Varios papel te l a pi el

0,92 0,75 0,95

0,28 -


25

BIBLIOGRAFIA

[Cuadernos[de   Transmisión  ] de Calor.]

[1] Çengel. "Heat and mass transfer. A practical approach". Ed McGraw-Hill [2] Chapman. “Transmisión de Calor”. Calor”. Ed Bellisco [3] Holman. “Transferencia de Calor”. Calor”. Ed McGraw-Hill [4] Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine. “Fundamentals of Heat and Mass Transfer“ . Transfer“ . Ed Wiley [5] Isachenko, Osipova, Sukomel . “Transmisión del Calor”. Calor”. Ed Marcombo [6] Lienhard. “A Heat Transfer Textbook”. Ed Phlogiston Press [7] Mills. “Transferencia de Calor”. Calor”. Ed Irwin [8] Nellis, Klein. “Heat Transfer”. Ed Cambridge Univ Press Otros:

Bejan. "Convection heat transfer". Ed John Wiley & Sons Sons Lewis, Morgan, Zienkiewicz. "Numerical methods in heat transfer". Ed John Wiley & Sons transfer". Ed McGraw-Hill Siegel, Howell. "Thermal radiation heat transfer". técnica”. Ed Reverté Sigalés. "Transferencia de calor técnica”.


0 2

Fundamentos Trans Calor

Recommend Documents