Función potencia La función potencia es de la forma
f ( ( x )= a x
n
donde a y n son números reales
distintos de 0. Observa que si el exponente n es un número entero positivo no hay restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia, es decir, la función está denida para todo , lue!o, dom f " . #n cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distin!uir qu$ sucede en los casos cuando n es par o impar. impar.
%i te &as, los valores de y correspondientes correspondientes a la función
f ( ( x )= a x
n
, para n
par positivo, dependen de si a es mayor o menor que 0. 'uando a ( 0, los valores que puede adoptar f)x* son siempre positivos o cero. Lue!o, rec f " +0. demás, la !ráca de la función se encuentra en el primer y se!undo cuadrante y tiene su v$rtice en el punto más ba&o de la curva. -or otra parte, cuando a 0, la !ráca de cada función tiene su v$rtice en el punto más alto y la curva está en el tercer y cuarto cuadrante. demás, el recorrido de la función potencia son los números reales ne!ativos y el cero, es decir, rec f " /0. la forma de la !ráca de f)x* " axn, con n par positivo, es similar a una parábola, aunque realmente la curva es una parábola solo en el caso de n " , es decir, si f es una función cuadrática. #n !eneral, cuando a ( 0, la curva se abre hacia arriba y el v$rtice es el punto más ba&o de la !ráca, mientras que cuando a 0, la curva se abre hacia aba&o y el v$rtice es el punto más alto de la !ráca. #n ambas situaciones, las coordenadas del v$rtice son )0, 0*. Las si!uientes !rácas corresponden a funciones potencia, con n impar positivo.
%i te &as, cuando n es impar positivo, el recorrido de la función siempre es el con&unto de los números reales, independiente del valor que adopta a, es decir, rec f " . -or otra parte, la !ráca de la función f)x* " axn, para n impar positivo y a ( 0, se encuentra en el primer y tercer cuadrante y la función siempre es creciente. #n cambio, cuando a 0, la fun ción es decreciente y se encuentra en el se!undo y cuarto cuadrante. #n todos los casos anteriores, la !ráca pasa por el ori!en. Observa las si!uientes funciones potencia, si n es un número impar ne!ativo
partir de las !rácas anteriores podemos observar que en todos los casos tanto el dominio de f como su recorrido es el con&unto de todos los números reales menos el cero. #s decir, dom f " rec f " / 102. #n este caso, los e&es 3 e 4 son as5ntotas de la función. demás, cuando a ( 0 la función es decreciente y se encuentra en el primer y tercer cuadrante, mientras que si a 0, la función es creciente y se encuentra en el se!undo y cuarto cuadrante. 6inalmente, observa las si!uientes !rácas que representan funciones potencia cuando el exponente n es un número ne!ativo par.
%i te &as en las !rácas anteriores, podemos vericar que cuando n es un numero par ne!ativo, el dominio de la función potencia son los números reales diferentes de 0, o sea, dom f " / 102. %in embar!o, el recorrido de f , depende del si!no de a7 'uando a ( 0 los valores que puede tomar la función son todos los números reales positivos. #s decir, rec f " +. #n este caso, la función es creciente para los valores ne!ativos de x y decreciente para los valores positivos de x. -or último, la función tiene dos as5ntotas7 en x " 0 e y " 0, o sea, los e&es 4 y 3, respectivamente. #n el caso de que a 0, el recorrido de la función potencia son todos los nú meros reales ne!ativos, es decir, rec f " /. demás, la función decrece para los valores ne!ativos de x y es creciente para los valores positivos de x. l i!ual que en el caso anterior, la función tiene dos as5ntotas, las cuales son los e&es 3 e 4.
Traslaciones horizontales y verticales
Las funciones ! y h no son funciones potencia ya que no son de la forma f)x* " axn, sino que pertenecen a otro tipo de funciones llamado funciones polinomiales. Las funciones polinomiales se pueden formar sumando múltiplos
de potencias de x con exponentes enteros positivos o cero8 por e&emplo7 f)x* " x9 + :x; + x / <.
