KUMPULAN SOAL UTN “Per
POKOK BAHASAN” MATEMATIKA
Disusun Oleh: MAHASISWA PPG MATEMATIKA UNMUL
2017
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
DAFTAR ISI Halaman ................................................. ................................
3
SIFAT-SIFAT SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN KETERBAGIAN..................................................... .................................................................. .............
5
BILANGAN BILANGAN PRIMA
KONGRUENSI KONGRUENSI ....................................... ..................................................................................... .............................................. .......... MODULO
.................................................................................
7
8
KESALAHAN MUTLAK DAN RELATIF DAN HASIL PENAKSIRAN ........
11
LOGIKA LOGIKA MATEMATIKA..................................................................... MATEMATIKA..................................................................... .....
15
BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG SISI DATAR ........... ..... ........... ......... ....
19
PELUANG PELUANG ................................................... .................................................
22
STATISTIKA STATISTIKA .......................................... ......................................................................................... ............................................... .......
25
BARISAN BARISAN DAN DERET ............................................... ................................
27
FUNGSI DAN KOMPOSISI FUNGSI ................................................. .............
32
NILAI MUTLAK , PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN .............
36
KONSPE ALJABAR ........................................................................................ ........................................................................................
38
LIMIT FUNGSI FUNGSI ALJBAR.................................. ALJBAR.................................. .............................................
44
KEMIRINGAN
.................................................................................
47
INTEGRAL INTEGRAL ....................................................................................... .............
50
JARAK (PYTHAGORAS)............................................................................. (PYTHAGORAS).............................................................................
53
KAIDAH KAIDAH PENCACAHAN PENCACAHAN..................................................... ............................................................................ .......................
55
TRIGONOMETR TRIGONOMETRII.......................................................................... ........................ .................................................. ...............
58
MATRIKS ....................................................................................................
63
VEKTOR....................................................... VEKTOR............................................................................. ...................... ...........................
68
2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
DAFTAR ISI Halaman ................................................. ................................
3
SIFAT-SIFAT SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN KETERBAGIAN..................................................... .................................................................. .............
5
BILANGAN BILANGAN PRIMA
KONGRUENSI KONGRUENSI ....................................... ..................................................................................... .............................................. .......... MODULO
.................................................................................
7
8
KESALAHAN MUTLAK DAN RELATIF DAN HASIL PENAKSIRAN ........
11
LOGIKA LOGIKA MATEMATIKA..................................................................... MATEMATIKA..................................................................... .....
15
BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG SISI DATAR ........... ..... ........... ......... ....
19
PELUANG PELUANG ................................................... .................................................
22
STATISTIKA STATISTIKA .......................................... ......................................................................................... ............................................... .......
25
BARISAN BARISAN DAN DERET ............................................... ................................
27
FUNGSI DAN KOMPOSISI FUNGSI ................................................. .............
32
NILAI MUTLAK , PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN .............
36
KONSPE ALJABAR ........................................................................................ ........................................................................................
38
LIMIT FUNGSI FUNGSI ALJBAR.................................. ALJBAR.................................. .............................................
44
KEMIRINGAN
.................................................................................
47
INTEGRAL INTEGRAL ....................................................................................... .............
50
JARAK (PYTHAGORAS)............................................................................. (PYTHAGORAS).............................................................................
53
KAIDAH KAIDAH PENCACAHAN PENCACAHAN..................................................... ............................................................................ .......................
55
TRIGONOMETR TRIGONOMETRII.......................................................................... ........................ .................................................. ...............
58
MATRIKS ....................................................................................................
63
VEKTOR....................................................... VEKTOR............................................................................. ...................... ...........................
68
2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 BILANGAN PRIMA Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat-sifat bilangan prima Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat-sifat faktor prima
NO 1.
2.
3.
4.
PENYELESAIAN Karena selisih terbesar, maka kita mencari bilangan prima terbesar yang terdekat dengan 126 Bilangan prima dari 100 150 101, 101, 103, 103, 107,109, 107,109,113 113 113 13 = 100
−
−
Penyelesaian 40! 40 = 5 × 8 39 = 3 × 13 36 = 3 × 3 × 22 35 = 5 × 7 33 = 3 × 11 30 = 2 × 3 × 5 7 = 33 25 = 52 24 = 3 × 23
20!
21 = 3 × 7 20 = 5 × 4 18 = 3 × 3 × 2 15 = 3 × 5 12 = 3 × 4 10 = 5 × 2 9 =3×3 5=5 6 =3×2 3=3
Faktor dari 40.000 = 26 × 54 2 40.0 40.000 00 = . 40.0 40.000 00 = 23 × 52 2 40.0 40.000 00 = 8 × 2 5 2 =8 = 25 Maka, + = 8 + 2 5 = 3 3
Faktor dari 10.000 = 24 × 54 = 16 × 625 = 16 = 625 Maka, + = 16 + 625 = 641
3
20 = 5 × 4 18 = 3 × 3 × 2 15 = 3 × 5 12 = 3 × 4 10 = 5 × 2 9=3×3 5=5 6 =3×2 3=3
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 5.
Angka kembar 200-300 adalah211, 221, 223, 227, 229, 233, 277,299 221 dan 299 habi dibagi 13 Jadi 6 buah
6.
140: 7 = 20 17,18,19,20,21,22,23 Jumlahnya 17 + 19 + 23 = 59
7.
8.
Faktor dari 10.000 = 27 × 53 = 128 × 125 Maka, 128 125 = 3
−
Karena selisih terkeci maka kita mencari bilangan prima dari tengah terdekat 128: 2 = 64 61, 62, 63, 64,64, 65, 66,67 67 61 = 6
− 9.
Bilangan prima dari 1-100 ada 25 yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 73, 79, 78, 89, 97 Ada 8 angka
10
980: 7 = 140 137,138,139,140,141,142,143 137 + 139 = 276
11.
Bilangan prima dari 1-50 yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 Ada 6 angka
4
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Sifat-Sifat Keterbagian Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat-sifat Keterbagian
NO
PENYELESAIAN
1.
50!
50!
10
=
2 5 50
Bilangan kelipatan 5 dari 1-50 sebanyak = 10 buah 5
Bilangan kelipatan 52 = 25 yakni 25 dan 50 terdapat 2 buah Total terdapat 12 faktor 5.
Bilangan kelipatan 2 dari 1-50 paling sedikit
50 2
= 25 buah
diperoleh
50!
50!
10
=
2 5
=
50! 225 512
=
50! 213 . 212 512
=
50! 213 . 1012
Jadi k terbesar 12
30!
2.
30!
6
=
2 3 30
Bilangan kelipatan 3 dari 1-30 sebanyak = 10 buah 3
Bilangan kelipatan 32 = 9 yakni 9, 18 dan 27 terdapat 3 buah Bilangan kelipatan 33 = 27 yakni 27 terdapat 1 buah Total terdapat 14 faktor 3. Bilangan kelipatan 2 dari 1-30 paling sedikit
30 2
= 15 buah
diperoleh
30! Jadi k terbesar 14
30!
30!
6
=
2 3
=
6
5
=
30! 215 314
=
30! 2. 214 314
=
30! 2.614
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 3.
…
4.
3 bilanga berurutan yang habis dibagi 5, artinya bilangan itu habis dibagi 3! .5 = 30. Jelas D yang tidak bisa membagi
5.
…
6
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Sifat-Sifat Kongruensi Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat-sifat Kongruensi
NO
PENYELESAIAN
1.
2.
3.
4.
5.
…
7
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Modulo Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat-sifat invers modulo n pada sistem matematika
Materi :
Modulus adalah operasi matematika yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan yang lain. Modulus biasa dinotasikan sebagai: a mod b = c yang berarti n.b + c = a,
dimana: a = bilangan bulat b = bilangan asli c = sisa pembagian Adapun sifat-sifat dasar:
Teori Fermat/Wilson:
− ≡ 1
1
Ket: ( p adalah bilangan prima)
8
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 NO 1.
PENYELESAIAN
≡≡ ≡≡ ≡≡ ≡
Cara I: ( Metode Euler)
102017
7
(10 3 3 3
7)2017 7 2017 2017 7 2017
7 7
(7)
7
7 = 7.
6 3 2017 7 1 3 7 3 Artinya hari ke 102017 adalah tiga hari setelah senin yaitu kamis.
−
7 1 7
=6
Cara II: Metode Wilson
−− ≡ ≡≡ ≡≡ ≡≡ → → ⋯ − − ≡ ≡≡ ≡≡ ≡≡ ≡ 1
1 10 =1 6 10 = 1 7 1
Maka: 102017
7
7
[ 106 7 356 .(101 7)] 7 1 1. (10 7)] 7 10 7 3 7 Jadi sisanya adalah 3. Maknanya tiga hari setelah hari Senin. Yaitu hari Kamis.
2.
7
4
5
11
=
5
2
11
=
Sehingga
3.
444 + 4
11 +5 4
ambil
11 +2
11 = 28
5
ambil
= 1,
=4
= 3,
=7
11 = 6
11
11 =
1
1 4 =1 10 4 =1 Maka: 444 + 4 11 1
11 11
11
[ 410 11 4 . (44 11)] 11 + 4 2 2 1. 4 11 ] 11 + 4 11 2 16 11 0 11 + 4 11 2 5 11 ] 11 + 4 11 25 11 + 4 11 3 11 + 4 11 7 11
Jadi sisanya adalah
9
11
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 4.
≡ ≡ → ≡ ≡ ≡ → → ≡ ≡ ≡ → ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ → ≡ ≡ ≡ → → ≡ ≡ ≡ → ≡ ≡ ≡ ≡ ≡
3
5
11
Ambil
3
11
1
11
3×4
3
11
1
11
12
3
11
1
11
11
11
11
1
1
11
1
11 kali 5 kedua ruas
12×5
11
5×1
60
11
5
60
11
11
11
11
Diperoleh
3
11
60
11
11
11
3
20
11
9
11
Diperoleh =9
2
7
11
Ambil
2
11
1
11
2×6
3
11
1
11
12
3
11
11
11
1
11
11
1
11
1
11
1
12×7
11 kali 7 kedua ruas
11
7×1
12×7
11
12×7
11
7
11
11
Diperoleh
2
11
11
11
Diperoleh jadi jadi 5.
11
2
11
9
11
=9
+
+
42
12×7
11 = 9 + 9
11 = 18
11 = 7
11
=7
32015 . 72017 = 32015 . 72015+2 = 32015 . 72015 . 72 = 3.7
2015
. 72 = 212015 . 72 satuan
dari 212015 adalah 1, dan satuan dari 72 adalah 9, dengan demikian satuan dari
212015 . 72 = 1 . 9 = 9
10
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 6.
7.
8.
Angka satuan dari 32015 artinya 32015 mod 10, sehingga 32015
4
10 = 33
10 = 27
10 = 4
10 = 7
10
jadi angka satuan dari 32015 adalah 7
9.
⋯ − ≡ 3247 + 11 1
−
≡≡ ≡≡ ≡≡ ≡
1 3 =1 16 3 =1 Maka: 3247 + 11 17 1
17 =
17 17
[ 316 17 15 . (37 17)] 17 + 11 17 3 2 1. 3 17 ]. (3 17) 17 + 11 17 100 17 . 3 17 17 + 11 17 [ 15 17 . (3 17)] 17 + 11 17 45 17 + 11 17 11 17 + 11 17 5 11 Jadi sisanya adalah 5 (D) 17
11
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
12
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
Kesalahan mutlak dan Relatif dan Hasil Penaksiran Indikator Esensi:
Menggunakan konsep kesalahan mutlak dan relative Menggunakan hasil penaksiran
Materi: SatuanPengukuranTerkecil (SPT)
HasilPengukuran (HP)
SatuanPengukuranTerkecil (SPT)
100 cm
1 cm
15,3 cm
0,1 cm
4,27 cm
0,01 cm
Kesalahan Mutlak (KM)
=
Kesalahan Relatif (KR)
1 2
×
=
NO 1.
→
HP = 17,20 SPT = 0,1 1
KM = × 2
KR = 2.
PENYELESAIAN
=
0,05
17,20
= 7,4 = 0,5 =
1
= × 0,1 = 0,05 2
= 0,002907 = 0,0029
= 0,5 × 0,1 = 0,05 0,005 = = 0,006756 0,0068 7,4
≈
13
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 3.
4.
5.
=
0,0002
− −
=
− −
5×10
3
2×10
4
=
−
5×10 2
3+4
=
5×10 2
= 25
= 2,2 = 0,1 1 = × 0,1 = 0,05 2 0,05 = = 0,0227273 = 0,0227 2,2
=
=
6.
=
0,005
0,05
0,001
=
5×10 2
−
1×10 3
=
5×10 2+3 1
=
5×10 1
= 50
Jumlahkansetiap option 0,2014 + 0,20172017 = 0.40312017 0,2015 + 0,20152015 = 0.40302015 0,2016 + 0,20162016 = 0.40322016(paling mendekati karena memiliki angka yang sama hingga 4 desimal)
0,2017 + 0,20142014 = 0.40312014 7.
4,236 + 6,598 = 10,834 = 10,85
8.
11,293
9.
10,652
− −
1,569 = 9,724
1,928 = 8,724
≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ 9,72
9,7
10
8,72
8,7
9
10
11.
14
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
Logika Matematika Indikator Esensi: Menggunakan Kaidah Logika Matematika dalam penarikan kesimpulan
NO 1.
PENYELESAIAN
⟹
Soalnya : jika a anggota A maka a bukan anggota B p q
⇒≡ ⟹ ≡ ⋁ ~
~
~
⟹ ⋁ ∧⟹ ⟹ ⟹ ∴ ⟹ ∧
kalimat pernyataan di atas ekuivalen dengan : ~ ~ (Jika a anggota B maka a bukan anggota A) (a bukan anggota A atau a bukan anggota B) ~ Berdasarkan 2 pilihan kalimat yang ekuivalen dengan kalimat soal maka yang sesuai dengan pilihan adalah D
2.
~
~
d c ~d ~c ~ B B S S S B B S S B B S S B B S B S S S B B B S Jadi untuk adalah negasi dari ~ ~
∧ ⟹ ∧ ⟹ ⟹ ∧∧ ∴ ⟹ ⇒≡ ⟹ ≡ ⋁ ⟹ ≡∧ ⟹⟹ ⟹ ⟹ ∴ ⟹ ⟹ ~ berarti bisa dituliskan ~(
~ ~ Diperoleh ~ ~ ~ Jadi jawabannya C
3.
~ ~
~
~
~
~
a
b
~a
~b
~
B B S S
B S B S
S S B B
S B S B
15
S B B B
~ S B B B
)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
⟹ ≡⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ∴ ⟹ ⟹ ≡⟹ ≡ ∨ ⟹ ⟹ ⟹ ∨ ≡ ∧
Berdasarkan tabel kebenaran di atas pernyataan tuliskan bahwa ~ ~ ~ ~ ~ ~ Diperoleh ~ ~ ~ ~ 4.
⟹
~ sama dengan
⟹
~ bisa kita
⇒≡ ⟹ ≡ ⋁ ~
~
~
Premis 1 : Jika adik tidak lulus maka ayah sedih Premis 2 : Jika ayah sedih, maka kakak tidak makan
Kesimpulan: pernyataan 2 premis di atas menunjukkan modus silogisme yang kesimpulannya jadi kalimatnya Jika adik tidak lulus maka kakak tidak makan
5.
Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan
~
Negasi dari
∨
~ berarti kalimatnya matematika mengasyikkan dan tidak
membosankan jawabannya C 6.
Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktivitas kembali
∀ ∃ ∨
(
∧
∀ ∧ ≡∃ ∨ )
Pertanyaan soal adalah negasi dari pernyataan ~ ~(
)
(~
~ )
Kata “Semua” negasinya adalah “Beberapa”, “Terdapat”, Ada”
(
) berarti Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat
beraktivitas kembali jadi jawabannya B 7.
Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan akan berjalan lancar
⟹
Kontraposisi : ~
⟹
~
Berarti kalimatnya menjadi “ jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara membayar pajak Jawabannya A
16
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 8.
Premis 1 : Jika hari panas maka Agus memakai topi Premis 2 : Agus tidak memakai topi atau ia memakai payung ~
Premis 3 : Agus tidak memakai payung
~
~
Jadi kesimpulannya ~ berarti hari tidak panas jawabannya B 9.
⟹ ⋁≡⟹ ∴⟹ ∴
Premis I: Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih. Premis II: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.
⟹ ⇒ ∴ ⟹ P1 : P2 :
Jadi kalimatnya “Jika Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman, jawabannya A 10
“Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik”
⇒≡ ⟹ ≡ ⋁ ~
⇒
~
~
Jika Harga kebutuhan pokok tidak naik maka harga BBM tidak naik
Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik
Sesuai dengan pilihan yang ada disoal maka jawabannya B 11.
o
o
o
o
− − − −
− − − − − −
Pilihan A berarti nilai = 3 kita substitusikan ke pernyataan menjadi “jika ( 3)2 + ( 3 ) = 6 (benar) maka ( 3)2 + 3( 3 ) < 9 (benar) kesimpulannya pernyataannya benar Pilihan B berarti nilai = 2 kita substitusikan ke pernyataan menjadi “jika ( 2)2 + ( 2 ) = 6(salah) maka ( 2)2 + 3( 2) < 9 (salah) kesimpulannya pernyataannya benar Pilihan C berarti nilai = 2 kita substitusikan ke pernyataan menjadi “jika (2)2 + (2) = 6 (benar) maka (2)2 + 3(2) < 9 (salah) kesimpulannya pernyataannya salah Pilihan D berarti nilai = 6 kita substitusikan ke pernyataan menjadi “jika
17
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
o
12.
(6)2 + (6) = 6 (salah) maka (6)2 + 3(6) < 9 (salah) kesimpulannya pernyataannya benar Pilihan E berarti nilai = 4 kita substitusikan k e pernyataan menjadi “jika (4)2 + (4) = 6 (salah) maka (4)2 + 3(4) < 9 (salah) kesimpulannya pernyataannya benar
≡ ⟹ ∨ ∧ ∧∨− ⟹ ≡⟺ ⋁⟹⟹ ≡⟹ ⋁ ≡⟹ ∴⟹ ≡ ⋁ ~
Jawabannya E
13
~
~
~
~
~
Jadi
~
~
~
~
jawabannya B
14.
15.
16
18
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 BANGUNG DATAR dan BANGUN RUANG SISI DATAR Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep bangun datar. Menyelesaikan masalah dengan menggunkan konsep bangun ruang sisi datar.
NO
PENYELESAIAN
1.
= 6 3(diagonal ruang)
BG = 6 2(diagonal bidang) AB = 6 (rusuk)
B’
Perhatikan ∆ABG ! ∆ABG memiliki dua tinggi yaitu BG dan BB’. Oleh karena itu diperoleh : Luas ∆ABG1 = ∆ABG2 1 2 1 2
AG BB '
6
BB'
3 BB'
1 2 1 2
AB BG
6 6
2
6 2
3
BB' jarak 6garis AG ke titik B adalah 2 6 cm. 2 Jadi,
2.
Penyelesaian :
′ ′ =3
,
= 2 cm
=
32 + 22 = 13
19
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 3.
Penyelesaian : jarak titik A ke bidang BDE sama dengan jarak titik A ke titik O,
=
O
1
=
3
1 3
6 3=2 3
4. Misalkan panjang rusuk kubus adalah a. 2 Luas persegi ABCD = a AB = AD = a, BE = DF = x, dan EC = CF = a – x Luas ∆ABE = ∆ADF = ∆AEF + ∆ECF =
Perhatikan ∆ ADF.
1
L ∆ ADF = 1
. =
2
2
3 2
1 3
2a
= 3x
a
=
3 2
Perhatikan ∆ ECF. 1
L ∆ ECF = × ( 2
1
− −
= ×(
3
)2
2
=
)2
1
2
2
8
L ∆ AEF = L ABCD ─ L ∆ ECF
= = =
1
1
2 8 3 1 × ( )2 ─ 3 2 8 5 2 8 3 1
2
─
2
Perbandingan L ∆ AEF dan L ABCD adalah 5 8
5
2
:
9
2
4
: 18
20
1 3
2
.
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 5.
Misalkan panjang sisi kubus adalah , maka panjang diagonal ruangnya adalah
3= 6 = 2 maka luas permukaan kubus tersebut adalah =6 2 2
= 6. 2 = 12
6.
7.
8.
9.
21
2
3,
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 PELUANG Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunkan konsep peluang
NO 1.
PENYELESAIAN
Peluang terambinya 1 kelereng merah dalam 9 kali pengambilan: ( ) = 9 2
banyaknya kemungkinan terambilnya dua kelereng merah:
2
2.
3.
=
1 9 2
36
×36=
512
Peluangnya yakni
=
9
=
9!
7!2!
=
14 2 15 3
=
14×13 2 15×14×13 6
=
1 5
5
∩
∩
P M M P(M)
= 36, sehingga
= 0,2
P(M)= , maka peluang merah setelah terambil 1 merah P M M = P MM =
2
128
Cara I 8
1 9
maka P M
Cara II:
M =P M × P MM =
=
5 2 8 2
5!
=
3!2! 8! 6!2!
=
10 28
=
5 8
4 7
4
20
7
56
× =
=
5 14
5
14
4.. n(S) = 20,
Nomor bola yang habis dibagi 4 adalah A= 4,8,12,16,20 maka n(A) = 5 P(A)=
5 20
= 0,25
5.
6
n(S) dadu dilambungkan 6 kali = 6
A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 8 dari pelambungan 6 kali yaitu:
(1,1,1,1,1,3)
→
=
6! 5!1!
= 6 kejadian 22
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
(1,1,1,1,2,2)
Maka n(A) = 21 P(A) =
6.
n(A) n(S)
P(M)= 0,5;
=
→
=
6! 4!2!
= 15 kejadian
21 66
P(S) = 0,2;
P(K) = 0,3
Peluang minimum 2 kali menang dan tidak pernah kalah dari 3 kali pertandingan:
∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩
P(M
M
M) = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125
P(M
M
S) = 0,5 × 0,5 × 0,2 = 0,05
P(M
S
M) = 0,5 × 0,2 × 0,5 = 0,05
P(S
M
M) = 0,2 × 0,5 × 0,5 = 0,05
Maka Peluangnya adalah 0,125 + 3(0,5) = 0,275 7.
n(S) = 2 = 16 Kejadian muncul paling sedikit dua muka, misal muka adalah angka: A={(AAAA), (AAAG), (AAGA), (AAGG), (AGAA), (AGAG), (AGGA), (GAAA), (GAAG), (GAGA), (GGAA)} n(A) = 11 n(A)
maka P(A)=
8.
n(S)
=
11 16
2
n(S) = 2 = 4, peluang menang atau A={(GG)}
→
n(A) = 1
Peluang menang jika dilambungkan 3 kali P(A) =
9.
1 3 4
1
=
43
=
1 64
c
Peluang A masuk P(A) = 0,7 maka peluang A tidak masuk P(A ) = 0,3 c
Peluang B masuk P(B) = 0,2 maka peluang B tidak masuk P(B ) = 0,8. Peluang Seri jika tidak ada yang masuk. Sehingga, c
c
Peluang Seri: P(S) = P(A ) x P(B )= 0,3 x 0,8 = 0,24
23
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 10.
11
24
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 STATISTIKA Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan Ukuran pemusatan data
NO
⇒
1.
=
+ +
=
PENYELESAIAN
86. +74. +
⇔ ⇔⇔ ⇔ − − −− 83 =
83
+
86 + 74 +
= 86 + 74
83 + 83 = 86 + 74 83
86 = 74 3 =
83
9
=3
Perbandigan p:l adalah 1:3, maka persentase perempuan 75% 2.
a. Siswa tersebut dapat mengerjakan dengan benar 85 butir soal dari 100 butir soal yang diujikan. b.
Skor siswa tersebut berada di atas rata-rata skor di kelasnya
c. Terdapat 15% siswa yang skornya di atas siswa tersebut
d. Dalam pelajaran matematika, siswa tersebut banyak mendapat nilai A di rapornya. 3.
A. Median < rata-rata B. Median = rata-rata C. Kuartil atas > median D. Kuartil atas = median
4.
25
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
5.
6.
7.
26
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Barisan dan Deret Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan Barisan Menyelesaikan masalah dengan menggunakan Deret
NO 1.
PENYELESAIAN Misalkan 7, 14, 21, …, 2016 adalah barisan 1 a1 = 7 dan b1 = 7 4, 15, 26, …, 2017 adalah barisan 2 a2 = 4 dan b2 = 11 KPK dari 7 dan 11 adalah 77, maka banyak bilangan yang sama dari kedua barisan aritmatika tersebut yang kurang dari atau sama dengan 2016 adalah2016 : 77 = 26 + s , (s < 77).
2.
Misalkan 5, 12, 19, …, 2014adalahbarisan 1 a1 = 5 dan b1 = 7 2, 13, 24, …, 2015adalahbarisan 2 a2 = 2 dan b2 = 11 KPK dari 7 dan 11 adalah 77, maka banyak bilangan yang sama dari kedua barisan aritmatika tersebut yang kurang dari atau sama dengan 2015 adalah 2015 : 77 = 26 + s , (s < 77)
3.
4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, …pola berulang setiap 12 suku. Jumlahdari 12suku yang berulang adalah60
=16×60+7
1000 ,
N terkecil yang memenuhi
7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 + 3 = 41 = 960 + 41 >
> 1000 yakni 16×12+7=192+7=199
27
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 4.
3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3,4, 7, 1, …pola berulang setiap12suku. Jumlah dari 12suku yang berulangadalah60
= 1 × 60 + 7
> 100 yakni 1×12+7=12+7=19
n minimum yang memenuhi
5.
4 + 7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 = 42 = 60 + 42 > 100,
7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1,8, 9, …pola berulang setiap12suku. Jumlah dari 12suku yang berulang adalah60
=16×60+7
1 + 8 + 9 + 7 + 6 + 3 + 9 = 43 = 960 + 43 > 1000,
> 1000 yakni 16×12+7=192+7=199
n minimum yang memenuhi
6. Aritmetika 2 =2+ =2+2
Geometri 2 +2=2 + 12 = 2
⟹ ⟹ − … − ⟹ ⟹⟹−− − ⟹ − − → − → 2
Diperoleh
2+
+2=2
2 + 2 + 12 = 2
=2
2
2
4 pada persamaan 2),
2
2
2r
r
3 r+1 =0
3=0
= 3atau
mungkin, sehingga
7.
2)
2
4+7=
Diperoleh
2
+7 =
=2
+7 =
4…1)
=
1, ambil
+ 12 = 2
2
= 3 agar mendapatkan
= 2 32
12
= 6
Misalkan adalah beda pada barisan aritmetika Un U1 U2 U3
Aritmetika 2 = 2+ =2+2
Geometri 2 +2=2 + 12 = 2
28
2
yang
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Diperoleh
⟹ ⟹ − … − ⟹ ⟹⟹−− − ⟹ − − − − 2+
+2=2
=2
2
2 + 2 + 12 = 2
+7=
=2
3
8.
2
2
2r
r
3 r+1 = 0
2
=2
(2)
4 pada persamaan (2),
4+7=
3=0
= 3atau
Diperoleh
2
2
+7 =
2
4…(1)
=2
1
=
2
1, ambil
=
=2
⋯ ⋯ − − − 3
+
5
+
+2 +
7
1 agar mendapatkan
= 15
+4 +
+ 6 = 15
3 + 12 = 15
+ 4 = 5………………………………………………. 1)
3
+
4
+
+2 +
+
13
= 121
+3 +
+
+ 12 = 121, sebanyak 11 suku
11 + 77 = 121
+ 7 = 11………………………………………………2)
Eliminasi Persamaan 2) &1)
= 2dan =
3
Selanjutnya dari
= 31
31 =
3+
1 2
= 18
29
3
, sehingga
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
⋯ ⋯ − − −
9.
4
+
6
+
8
+3 +
= 15
+5 +
+ 7 = 15
3 + 15 = 15
+ 5 = 5………………………………………………. 1)
4
+
5
+
+
+3 +
14
= 121
+4 +
+
+ 13 = 121, sebanyak 11 suku
11 + 88 = 121
+ 8 = 11………………………………………………2)
Eliminasi Persamaan 2) &1)
= 2dan =
5
Selanjutnya dari
= 31
31 =
5+
1 2
= 19
10
11
?
− − → − → − − − 10 + 1 3
12
3
=
3
3
+1 = 10 2 + 29
=
2
( +
2
3
2
= 10 + 1
+ 11 + 1 8 = 0 , jadi
1
×
)
2944 = (32 +
3
)
Jika n = 13, maka 30
2
=
+1
8
9
2
18 + 9
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
∉ ∉ ∉ → − 2944 = 13 32 +
+ 32 A (bil.asli) jadi
Diperole h
Jika n = 14, maka
2944 = 14 32 +
+ 32 A (bil.asli) jadi
Diperoleh
Jika n = 15, maka
2944 = 15 32 +
+ 32 A (bil.asli) jadi
Diperoleh
Jika n = 16, maka
2944 = 16 32 + 184 = 32 +
= 152sehingga
Jadi,
13.
= 12
= 16 memenuhi
= 21/2 =
21/3
=2
21/2
1/2
U 4= 2
(
* 2
−
1 3 ) 6
1/6
1
=
( ) 22 1 ( ) 22
=1
14.
15.
31
= 13 tidak memenuhi
= 14 tidak memenuhi
= 15 tidak memenuhi
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Fungsi dan Komposisi Fungsi Indikator Esensi:
NO 1.
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan Barisan Menyelesaikan masalah dengan menggunakan Deret
PENYELESAIAN
∘ → − − − − − − 1
=
=
2
2
1
2 2 +2 1
=
+2 dan
2
1
1
=
1
2 +2
2
1
1
=
+2
4
=2
2
3
1
2
12 11 10 9 8 7 6 5 4
+2
=
+1
+1 1
2
1
=
+5
+1
2 +1
+2 =
2
3 = 45
+2 2 +1 2
=
2 +4 +5
2
12 = 4 5 +
1 + 3, setelah dihitung diperoleh
+1 =
=
1 2
2
+4 +5
3 = 45 + 10 = 55
4
+5
2
2
+1 =
2
+1
2
2
+3
=
+1
2
+3
1 , ganti
1 setelah dihitung
+3
1
=
Ambil
diperoleh
+2
1, sehingga
+ 1, sehingga
2
diperoleh
2
2
12
=
2
1
=
11 = 5 10 = 5 9 =5 8 =5 7 =5 6 =5 5 =5 4 =5 3 =5
Misal =
1
=
diperoleh
=
5.
2
3=2
2 +1 Sehingga
4.
2
+5=2
sehingga
∘ → → → −− −− −− − → −− − → − − − − − − − → − − − − =
3.
+5
+5
1 =2
2.
1
=
2 =
2 1 2
1
=
=
, diperoleh
1
1 2
32
=
1
=
1
1
ambil
= 2,
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− − → − →− − −− − − − − − − − − − − − − 1
6.
1
=
,
+1
=
Ambil
7.
+1 = =
Missal
=
2
diperoleh (1
+1
=
2
1
=
=
7 6
1
= 3 2 +2 Ambil = 3 1 +2
7
1
2
2
4
)=
+2
2
2 2
= 1
4 1
=
2
5
Ambil
9.
=
1 = 13 2 =7
1 diperoleh
+
+
Diperoleh 3 = 8 = 2 dan Jadi + = 2 + 3 = 5
−− − − −− −
+
2
3
=
+
+
2 =5
+
2
+
= 21
2 +3
1 = 37
Ambil =
2
1 +3
2 = 13
Denganmengeliminasi
6
1 diperoleh
−
3 =9
+
+
=9
6 +
3 +
=9
3 =9 =3 33
2 =
+
= 8 + 21
7 = 21
Ambil =
2
= 5,
6
5, setelah dihitung diperoleh
, sehingga
Denganmengeliminasi
11
ambil
−− − − → → →
8.
10
+1
1
1 +1 +1
1, sehingga
2
2
1
6
1
=
, diperoleh
5
+1
1
=1
1 +1 5+1
2
1
=
1
5 =
diperoleh
1
7
=3
2
4
2 , ganti
2 setelah dihitung
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− −− 12
2 =
+
(
+ )
= 12 +
(2 + )
= 10
= 10 3
= 30
12
∘ → − → → − − − − − ∘ → → − → − − − − − − − −− − − − 1
=
Sehingga 2
+1=
2
1 =
13.
=
sehingga
14.
15.
=
2 +2
1
=
2
2
1
1
1
2 2 +1
2 2 +1
+1 =3 + + =3 +1 + + + + =3 =3 12 = + = 3 12
2
(
=2 1 1 1=2 2
1
2(
1
)+1
2 + 2)
1
=
+2
1
( )+2
4 +1
4 =8 + =8 4 + =8 12 + = 8 = 4
=3
4 = 32 (gak ada di option)
1 2
Periksa
+1 +
2 =2+
2
=
dan
2 +1
=
2
2
− +
=
1
2
1
2
+2=2 +1 1 =2 2 1=2
=
=
2
2
=
dan
+2
1)2
(
1
2 +2
1
1 2
=
=
1
+1+ +1 2
5 2
34
−
1
+ = 3 jadi 2
=
1
+ benar maka 2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 16.
17
18
35
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Nilai Mutlak, Persamaan dan Pertidaksamaan Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak Menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan dan pertidaksamaan
PENYELESAIAN NO 1.
− − −− → − − → − → ≥ − ≥ → − ≥ → − ≥ ≥ − ≤− ≥ ≤ ≥− → − − ≤ →− − ≤≤ ≤≤ 2
2
+1
6
3
18
=
Titik kritisnya adalah
2.
=
2
2
2
2
+
=
4. . 4
3
2
1 2
,
+1
+3
6 >0
= 6 karena tanda”>” maka solusinya
2
2
2
=
2
3 ,
4
0
titik kritisnya
3.
2
2
>0
3
4
2
0
2+4
2
4
>6
”
1
2
2
0
3
+1
2
0
3, bilangan bulat positif berarti
> 0, maka solusinya
3 terdapat 3 bilangan bulat.
5.
−− − ≤ →− −≥ − − ≤ → − ≤ → ≤ −− − ≤ →−−− ≤ → ≥ − ≤ → ≤ 1 =
3
1
1
1,
3
1 =
3
1
Jadi
1
=
+1
1
1 ,
3+
<0
1
1
2
36
"dan
1
atau
4.
6.
0, sehingga
0
1
Himpunan penyelesaianya yakni 1 sekarang menjadi 1
3
+ 2 + 4 = 0, agar memiliki solusi maka
= maka snilai k yang memenuhi adalah
2
<
1 maka 4
1
0
< 1 maka 3+ 1 0
4
3
2
0
0
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− − → − −
7.
>0
2
2
8
4
>0
2
+2
>0 + 2 = 2, Jadi nilai x yang memenuhi yakni < 2
2+ + + 2 Titik kritisya yakni = 4dan Titik uji -3 0 5
−
− − − ≤ → − − − − −− ≤ → −− ≤ → −− ≤ − − ≤ ≅ ≤≤
8.
1
+2 4 =
3
1,
-2 +
uji Tanda Jadi
1
= 1,
0 +
=1
1
+2
3
2
4
4
1
0
4
3 =
=
4
5 +
<4
1
3(
2
+
2
=
+
4
= 2
+
)
4 sehingga
3
+4=0
2
+
3
+4=0
Agar memiliki penyelesaian maka
0,
3 2
Diperoleh
4. 1 4
3
3
4
4
0
3 2
42
?
11
37
0
3+4
3
4
+1
4
=4
2
3
1
0
→ − − → → ≥ − ≥ → − ≥ → − ≥ − ≤≤
9.
10
>4
0,
0
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 KONSEP ALJABAR Suku Hasil Perkalian DAN Deskriminan persamanaan Kuadrat (PK) Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah tentang suatu suku hasil perkalian bentuk Aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deskriminan persamaan kuadrat
PENYELESAIAN NO 1.
− −− ⟹ −− ⟹ − − ⟹ − ⟹ − ⟹ − ⟹ ⟹ − ⟹ − − −− ⟹ −− ⟹ − − ⟹ − ⟹ − ⟹ 4
koefisien
1
8 8
1
3
dan
=
1
dari ( + )8
, a koefisien
=
8
8
8 8
=
8 8 2
=
=
Diperoleh
8 2
=
3
= 3,
5 2
(
3=8
)artinya koefisen 4
= 4,
Maka koefisen
4
2
koefisien
dan
1
7 7
1
=
8 2
=
yakni
=
4
dan
Jadi Selisih koefisien
2.
8 2
=
3
8 2
3
4
8!
6!2!
=
adalah 0
4=8
=
2
2
= 2(
= 28 1
dari ( + )8 adalah 28
0 = 2 8
1
dari ( + )7
, a koefisien
=
7
7
7 7
=
7 7 2
=
=
Diperoleh
=
= 2,
2
=
7 2
38
7 2
2=7
2
=
(B)
)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− ⟹ ⟹ − ⟹ − − − −− − − − − − − − − ≥ − − ≥ ≥ − ≥ −− − ≤ − − − − − − ≤≤ → − − → → 5
(
2
3
= 3,
Maka koefisen
3
=
yakni
Jadi Selisih koefisien 3.
2
)artinya koefisen
2
3
dan
7 2
=
7 2
adalah 0
=
7!
3=7
1
dari ( + )7adalah 0 2
+
=
=0
3
=
2
4
21 =
21
4
=
Substitusi nilai
= 2(
= 21
5!2!
3 = 3
2
2
4
ke persamaan 3
=0
=0
3
( 4
3 +4 + 2
0
16
2
9
0
=0
4
32
2
2
0
2
16
)=0
+3 +4 =0
Karena memiliki penyelesaian maka
9
2
0
4( )(4 )
0
+
+
3
3
0
4
4
Pembuat nol
2
16
4
4
3 4 +3 =0
3 = 0atau 4 + 3 = 0
3
3
4
4
= atau =
Maka nilai k yang memenuhi adalah 4.
9=0
2 =
=
2
2
2
+
=
+
4
=
3
3
4
4
(D)
4sehingga
2
+
2
Agar memiliki penyelesaian maka
39
+4=0
2
+
2
+4=0
)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
≥ − ≥ → − ≥ → − ≥ − ≤≤ 0,
2 2
diperoleh
5.
4. 1 4
1
1
2
2
2 2
0
2+4
0
2
10 3
=
7
=
10
3
3
10 2
=
3 =7
=
10 3
3
=
=1
31 = 5 × 3 = 15
3 =
0,
7
(B)
−
6.
5 3 5 3 ) 3 (4
1
3
2
5!
16
6
= 10 × 16
6
=
3!2!
1
= 20
3
8
1
8
3
3
= 10 × 2
3
−− − ⟹ −− ⟹ − − ⟹ − ⟹ − ⟹ ⟹ − ⟹ − ⟹
Jadi, koefisien
7.
4
− − − − → − → 2 5
42
3
2
koefisien
pada 4
2
2
7 7
3
dan
=
3
+
5
1
adalah 20
2
(B)
2
dari ( + )7
, a koefisien
=
7
7
2
7
=
7
2
7
=
2
7 2
=
Diperoleh
=
2
= 2,
Artinya koefisen = 3,
Maka koefisen
3
2
2
7 2
2=7
adalah 0 3 = 7 7 22
=
yakni
Jadi, Jumlah koefisien
=
dan
3
40
7 2
=
2
2
3=7
7!
5!2!
=
2
5 2
(
=2(
2
2 =21×4=84 1
dari ( + )7 adalah0 + 84 = 84 (D)
)
)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− − − − − −
32
8.
Misalkan, 3 = , maka
+2
3
+3
3 +3=0
32 . 32
3 . 33
3 +3=0
9(3 )2
27. 3
3 +3=0
− − − − − − − − − 9
2
9
27
2
9
9
1 = 0atau
+3=0
28 + 3 = 0
1
3 =0
3 =0
=
1 9
=3
1
Substitusi nilai = dan = 3ke 3 = , maka 9
1
3 =
dan
9
3 =3
3 =3
2
=1 =
2
Jadi, banyak nilai x yang memenuhi adalah 2
41
(B)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 9.
4
Misalkan, 4 =
4
− − − 4
1
4 .
4
− − − 1 4
4
1
= 24
= 24
4
4
4
= 24
= 24
4 = 96
3 = 96 = 32
4 = 32
22 = 25 2 =5 =
5
Jadi, (2 ) = 2
5 2
2
2
=5
5 2
55
=
= 25 5
(C)
10
− − − −− − − + 1 = 0atau
=
5
−− −
2 =0
2
2=0
+1
2 =0
1atau = 2
Substitusinilai =
=
8 +2 =
4
4
1 dan
= 2 ke persamaan
………… (1) ……….... (2)
42
3
+
+4=0
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Eliminasipers (1) dan (2)
−− − − =
8 +2 =
− − −− − − −− − − − −−
4
4
x8
8
8 =
x1
8 +2 =
32
4
6 =
36
=6
Substitusi nilai
= 6 ke persamaan 1
6=
=
Diperoleh nilai =
2 dan
4
2
= 6, maka
=
11
43
=
6 2
3
(A)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah limit fungsi Aljabar dan Trigonometri
PENYELESAIAN NO 1.
Penyelesaian:
− − − − − → →− − − → → − ∙ ∙− ∙ → → → ∙− − − − → − → − − − → − → − − → − → ∙ → → → 2sin2 maka cos 4 = 1
Ingat: cos2 = 1
1 + cos4
lim
sin3
0
=1
2.
lim
2
2
3
2
+5 2
= lim
= lim
2
= lim
2
=
3.
lim
0
sin3
tan2 2
= lim
2
2
3
2
2sin2 2
×
2
+5
2
9
2
2
2
2
+5
3+
2
+5
+5
2
2
3+
2 3 + 22 + 5
lim
sin3
0 tan2
44
0
=
= lim 2
+5
2
2+2
0 tan 2
3+
3+
2+
2lim
sin2
sin2
sin
sin
=
×
2
2
=1
sin2
0
2×
sin3
0
lim
sin
2sin2 2
= lim
sin3
0
0
2sin2 2
1+1
= lim = lim
2sin2 2
1+ 1
= lim
sin3
0
2sin2 2
2
4
2 3+3
=
1 2
×
3 2
=
=
3 4
4
12
2
2
3+
2+
= lim
+5
2
4
3+
=
2
+5
2
+5
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 4.
Masing-masing pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi dari
penyebut (pada soal ini, pangkat tertinggi dari penyebut adalah Ingat bahwa:
2
)
→∞ →∞ − − ∙ − →∞ − →∞ − →∞ − − ∙ →∞ −− − →∞ − − − − − − − ∙ ∙ → → → → − − − →∞ → − − − →∞ − →∞ − →∞ − ∙ ∙ − →∞ − ∙ →∞ ∙ ∙ → ∙ ∙ → ∙ ∙ → ∙ →∞ −→ −
lim
sin
cos
= 0 d an lim
=0
Sehingga
lim
3
2
3 2
2cos
2
= lim
2
2
2 cos 2
2
5.
Ingat: cos
lim
0
cos
cos3
cos
=
= lim
tan2 2
0
=
6.
Misalkan
1
lim
2
5
3cot
2
2
+
2
2
×
2
Misalkan Untuk
1
0
0
1
=
1 2
2 lim
sin2
0 tan2
1
2×
2
0 tan 2
=
1
tan
2
2
= lim
2 5
3 cot
5
3
5
2
0
= lim
2
2
lim
2
lim
1
tan2
=
1
2 5
cot
2
3
5
2
2
lim
Ingat: cos 2 = 1
0
2sin2 maka cos 4 = 1 45
=
0 tan 2
=
maka
sin
lim
0
=
=
2
3
=
tan 2 tan2
= lim
7.
sin
2sin2 sin
2×
maka
2 cot
1
1
= dan cot =
Untuk
=
2
2sin
1
2
cos
2
lim
cos
2
2
2
lim 3
=
= lim
2
2
2
3
2sin2 2
2 5
=
1
cot
lim
cot 2
0
2 1 5 2
2
=
1 5
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− − − ∙ ∙ − − ∙ ∙ →∞ → → ∙ ∙ → → ∙ ∙ →∞ → →∞ → → → lim
1
cos 4 = 1
1
cos
1
tan
1
4
= lim
3
1
cos4
tan3
0
= lim
2sin2 2
Misalkan
1
lim
2 sin2
lim
sin2
tan3
sin2
0 tan 3
=2 2
2 3
=
8 3
0
maka
1
cot
2
cosec
2 sin2
sin2
=
Untuk
cot
= lim
0
0
8.
= 2 sin2 2 = 2 sin2
3
= lim
1
1 2
0 cosec
= lim
3
0
tan
1 2
1
sin 3
9.
10
11
46
= lim
sin3
0 tan 1 2
=
3 1 2
=6
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 KEMIRINGAN Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah kemiringan (gradien) dengan menggunakan turunan fungsi
PENYELESAIAN NO 1.
− − ′ ′ ⟺ − ⟺ − − − − − − −− − − − − − − − − ′ −′ ⟺ − ⟺ − − − −− − −− − − − =
+ 15, maka
1
=1
Karena garis yang menyinggung parabola sejajar dengan garis gradien garis tersebut
=
=
1
=
2
= 15, maka
=1
2
4 +3=1
= 15
Tentukan gradien dari garis
4 =
1
=
Substitusi nilai
2
2
1
=
2
ke fungsi parabola
=2
2
+3
5 untuk mendapatkan
nilai y
=2
=
2
1 2
1
3
2
2
1
+3
5=
5
2
6
1
Jadi, Koordinat titik singgung parabola tersebut adalah
2.
10, maka
1
=1
Karena garis yang menyinggung parabola tegak lurus dengan garis maka gradien garis tersebut
=
=
4 +7 =
, 6
= 10
Tentukan gradien dari garis
=
2
1
×
2
=
1 sehingga
2
=
4 =
=
Substitusi nilai
8
=
2
2 ke fungsi parabola
=2
2
+7
4 untuk mendapatkan
nilai y
2
2
=8
14
1
2
1
=2
= 10,
+7
4=
2
4
10
Jadi, Koordinat titik singgung parabola tersebut adalah
47
2, 10
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 3.
Gradien garis yang menyinggung parabola adalah singgungnya berada di (0, 0)
− ′′ − − ⟺ − − − − − − ( )=
1
2
=
0 , karena titik
2
2
( )=2 0 =
′
1
=2 0
2
1
=
2
1
Karena garis singgung tersebut tegak lurus dengan garis lainnya (garis satunya yang disebut di awal soal) maka gradien garis tersebut adalah garis yang saling tegak lurus
1
×
2
=
Persamaan garis yang memiliki gradien 1
=
1(
0 = 1(
1
1
1
= 1, karena
= 1 dan melalui titik (0, 0) adalah
1)
0)
=
Untuk option C (4, 4) jika disubstitusikan ke persamaan parabola akan memenuhi
− − ⟺ − − − ⟺ − ⟺ ≠ − − − − − ′ −′ ⟺ − ⟺ − =
4=
1
2
2
1 2
42
4
4=8
4(
)
Untuk option D (2, 2) jika disubstitusikan ke persamaan parabola tidak memenuhi
=
2=
1
2
2
1 2
22
2
2=2
2
2
0(
)
Jadi, jawaban yang memenuhi adalah (4, 4)
4.
=
10
2
, maka
1
=
1 2
Karena garis yang menyinggung parabola tegak lurus terhadap garis maka gradien garis tersebut
2 = 10
Tentukan gradien dari garis
=
2 +4 =
= 2
1
×
2
=
2
2 =
6
=
48
3
1 sehingga
2
=
2
2 = 10,
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Jadi, absis titik potong garis singgung dengan sumbu – x nya nya adalah
5.
Tentukan gradien dari garis
10
2
1
2 = 10
2
2 = 10 adalah -2, maka gradien garis tersebut
sehingga
2
1
=
3
Karena hasil kali dari gradient garis yang menyinggung parabola dikalikan dengan
garis
, maka maka
=
−
− − − ′− −′ ⟺ ⟺ − − − =
−
2
=
=
=
4=
4
Substitusi nilai
4
=
2
4 0
1
×
2
=
2
2
2 =0
=0
= 0 ke fungsi parabola
nilai y
= 0
−
− − =
2
4
6
6
Jadi, garis tersebut berpotongan di sumbu y pada
6.
7.
49
− =
6
6 untuk mendapatkan
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Integral Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah integral yang melibatkan fungsi trigonometri Menyelesaikan masalah integral tentu dengan menggunakan teorema dasar Kalkulus
PENYELESAIAN
NO 1.
− − − − − − − − −− − − − − − − − − − sin3
sin2 sin
=
= cos
2.
cos3
= sin
3
+
sin2 ) (sin ) 1 3
sin3
+
6sin cos2
=
2sin2 )
6sin (1
12 sin sin3 )
= (6sin
12 sin3
= 6 sin
12 sin2
=
6cos
=
6cos + 12 (1
=
6cos + 12(co 12(coss
=
6cos + 12 cos
sin
cos2 ) (cos ) 1 3
cos3 )
4cos 3 )
4 cos3 )
=6cos
4.
1
+ cos3
cos2 cos
=
= (1
3.
cos2 ) (cos )
(1
=
cot sin2
=
cos sin
sin2
=
cos sin
=
cos
(cos )
cos2
+
=
1 2
50
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
−− − − − −−− −− − −− −
5.
1
L = =
( 2
2
2
2
3
1
3
=
16
16
3
2
3
2
3
32
48
4
6
6
1
16
6
6
17 6
− − − tan cos4 sin
=
cos3
sin
cos3
=
1
=
7.
cos3
cos
=
4
(cos )
cos4
+
cos2 )
cos (1
1
=
sin2
=
sin2
= sin3 3
8.
1 2
]
1
= +
6.
4
2
)
2
=
=
3
2
cos
(sin )
+
0
= =
( ) +2
0 +2
( )
+2 +2
0 +2 +2
( )
=
maka
3
( )
2 0
( )
=
0
=
0
( )
5
( )
2
+
2
( )
51
=
( )
4
=
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
↔ ↔ − − 2
0=
+
( )
2
( )
Sehingga
2
=
4
( )
=
( )
=
3
Jadi,
5
( )
0
2
=
( )
+
( )
+
0
4
+
( )
+
3
( )
5
( )
4
− − 5
( )
=
+
0
9
10
52
+
3
+
+
=
2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 Jarak ( Pythagoras) Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah jarak dengan menggunakan rumus pythagoras
PENYELESAIAN NO 1.
′ ′ = 3,
= 2,
= 32 + 22 = 13
2.
P
3.
Jarak terdekat yang melalui permukaan prisma yakni
53
= 102 + 52 = 125 = 5 5 cm
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
−− ≈
4.
Solusi
=
102
82 = 6
= =
242 +
82 = 16 2 22,63 = 6 + 22,63 = 28,63
Berdasarkan pilihan yang memenuhi adalah
5.
6.
?
7.
54
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 KAIDAH PENCACAHAN Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah pencacahan dengan menggunakan kaidah pencacahan Menyelesaikan masalah peluang kejadian dengan menggunakan kaidah pencacahan
PENYELESAIAN NO 1.
Kasus ini di selesaikan dengan dalil s ekatan g olongan sehingga 2 3 5 Banyak cara yang mungkin adalah =
2.
3.
10! 2!×3!×5!
= 2520
Kasus ini menggunakan aturan kombinasi, karena untuk setiap 3 bilangan sebarang > > misal 321 hanya terhitung satu cara dimana bilangan tersebut memenuhi 10! 10 120 Banyak bilangan tersebut adalah = 3 =
7!×3!
Jika jabat tangan hanya boleh satu kali maka banyak jabat tangan meerupakan kombinasi 2 unsur dari unsur sehingga: 2 = 45 ! = 45 2 !×2! × 1 × ! = 45 ( )!×2 1 = 90 2 90=0 = 9 = 10
−− − − −−− −
Jadi banyak tamu adalah 10 orang 4.
Kasus ini di selesaikan dengan aturan permutas i dengan pengulangan sehingga: Terdapat 3 huruf vokal yaitu EEA, banyak cara menyusun huruf vokal tersebut adalah:
3! 2!×1!
= 3 cara
Banyak cara menyusun kata “BELERANG” =
Banyak cara menyusun 2 berdekatan :
8! 2!
= 20.160
Misalkan pasangan EE adalah 1 objek ( EEBLRANG) berarti cara menyusun kata tersebut adalah 7! Dan misalkan lagi EE dan A adalah 1 objek ( EEA B LRNG) karena merupakan huruf vokal maka cara menyusun kata tersebut adalah 6! Maka Banyak cara menyusun 2 berdekatan 7! 6! = 4320 Maka banyak cara menyusun 2 huruf vokal tidak berdekatan adalah
−
20.160
−
55
3 4320 = 7200
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 5.
Kasus ini di selesaikan dengan aturan permutas i dengan pengulangan sehingga: Terdapat 3 huruf vokal yaitu EEA, banyak cara menyusun huruf vokal tersebut adalah:
3! 2!×1!
= 3 cara
Banyak cara menyusun kata “TERCEPAT” =
Banyak cara menyusun 2 berdekatan :
8! 2!×2!
= 10.080
Misalkan pasangan EE adalah 1 objek ( EETRCAPT) berarti cara menyusun kata 7!
tersebut adalah 2! Dan misalkan lagi EE dan A adalah 1 objek ( EEATR C PT) karena merupakan huruf vokal maka cara menyusun kata tersebut adalah Maka Banyak cara menyusun 2 berdekatan
2!
−
6! 2!
2!
= 2160
Maka banyak cara menyusun 2 huruf vokal tidak berdekatan adalah 10.080
6.
7!
6!
→→ →
−
3 2.160 = 3.600
Kemungkinan mata yang memenuhi syarat: 5! 66654 = 20 66663
3!×1!×1! 5! 4!×1! 5!
=5
= 10 6 6 55 5 2!×3! 2 0 + 5 + 1 0 35 = = 5 65 6
7.
111113
→→
6! 5!×1! 6!
=6
111122 = 15 4!×2! 6 + 1 5 21 = = 6 66 6
8.
3
3 3 9!
3!×3!×3!
9
= 1680
Banyak cara menyusun CONGRESS jika S boleh sembarang letaknya 8!
= 20160 2! Jika S harus berdampingan maka SS di anggap 1 objek
7! = 5040 Maka cara menyusun huruf tersebut jika S tidak boleh berdampingan adalah 20160
−
5040 = 15120 cara
56
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 10
4 =
3
2
5 17!
1
2
4!×3!×2!×5!×1!×2!
11
12
13
57
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 TRIGONOMETRI Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah segitiga dengan menggunakan identitas trigonometri Menyelesaikan masalah trigonometri dengna menggunakan rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri
PENYELESAIAN NO 1.
Terlebih dahulu dibuat sketsa jajargenjang ABCD. D
A
120
C
o
B
Berdasarkan sifat pada jajargenjang, diketahui bahwa AB // CD dan AD // BC, sehingga AB = CD = 6 cm dan AD = BC = 4 cm. Berdasarkan sketsa jajarenjang ABCD tersebut, dapat kita perhatikan segitiga ABD. Dengan menggunakan aturan kosinus, dapat kita tentukan panjang BD, yaitu: 2
2
BD
2
o
= AB + AD – 2. AB.AD cos 120 2 2 = 6 + 4 – 2 (6) (4) (- ½) = 36 + 16 + 24 = 76 = 76 = 2 19
BD
Jadi, panjang garis BD adalah 2 19 cm. 2.
Dari persamaan lingkaran diperoleh informasi bahwa lingkaran tersebut berpusat di titik P(3,4) dengan panjang jari-jari 5 satuan. Kemudian lingkaran P memotong sumbu – x di titik A dan B. kita tahu jika memotong sumbu – x, otomatis y bernilai 0. Sehingga kita dapat mensubstitusi y = 0 ke dalam persamaan lingkaran P. 2
2
( x – 3) + (0 – 4) = 25 2 x – 6 x + 9 + 16 = 25 2 x – 6 x = 0 x ( x – 6) = 0 x = 0 atau x = 6 setelah diperoleh koordinat masing-masing titik potong yaitu A(0,0) dan B(6,0), 58
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 selanjutnya dianalisis. Ternyata jarak antara titik A ke titik B adalah 6 satuan. Untuk memperjelasnya silahkan dibuat sketsa lingkaran P tersebut berdasarkan informasi yang diperoleh. Kita peroleh segitiga APB dengan AP = r = 25, BP = r = 5, dan AB = 6. Untuk menentukan cos dapat kita gunakan aturan cosinus, yaitu: 2 2 2 AB = AP + BP – 2 AP BP cos 2 2 2 6 = 5 + 5 – 2 . 5 . 5 . cos 36 = 50 – 50 cos
∠
Cos
∠ − ∠ = = =
50 36
14
50
50 7 25
Jadi, cos 3.
∠ ∠ ∠
adalah
7 25
.
Dalam menentukan faktor dari persamaan kuadrat x – 4 x + 2 = 0, tidak dapat langsung difaktorkan, sehingga dapat kita gunakan rumus kuadrat ABC. x1,2 = = =
− − − ±
2
4
2 4 ± 16 8 2 4±2 3 2
=2+ 3
jika x1 dan x2 adalah 2 + 3 dan 2 - 3 , maka a dan b adalah 2 + 3 dan 2 - 3. Dari informasi yang telah diperoleh, dapat dibuat sketsa segitiga tersebut. C
60
b
o
A
a B
Untuk menentukan panjang sisi AB, dapat kita gunakan aturan kosinus, yaitu: 2 2 2 o AB = AC + BC – 2 AC. BC cos 60 2 2 = (2 + 3 ) + (2 - 3 ) – 2. (2 + 3 ) (2 - 3 ) ½ = 4 + 4 3 + 3 + 4 - 4 3 + 3 – 4 + 3 = 10 AB = 10
Jadi, panjang AB adalah 10.
59
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 4.
−− − − − − − − −− − −− −− − − − − − − − − =
4)2 + ( 1
(2
= ( 2)2 + ( 2)2 + (1)2 = 4+4+1 = 9 =3
2)2 + ( 1
(2
=
0)2 + (4
= (0)2 + ( 1)2 + ( 1)2 = 0+1+1 = 2
2)2 + (1
(4
=
−
3)2
−
5)2
1)2 + (4
0)2 + (3
= (2)2 + (1)2 + ( 2)2 = 4+1+4 = 9 =3
−
5)2
Misalkan merupakan sudut yang mengapit garis AB dan AC, maka garis BC terletak di depan , sehingga untuk menentukan cos dapat kita gunakan aturan kosinus. 2
2
2
BC = AB + AC – 2 . AB . AC . Cos 2 2 2 3 = 3 + ( 2 ) – 2 . 3 . 2 . Cos 9 = 9 + 2 - 6 2 Cos Cos =
=
2
6 2 1 6
2
Jadi, kosinus sudut antara 5.
=
(3
5)2 + (1
dan
adalah
2)2
= ( 2)2 + ( 1)2 = 4+1 = 5
=
(3
1)2 + (1
5)2
= (2)2 + ( 4)2 = 4+16 = 20
=
(5
1)2 + (2
5)2
(4)2 + ( 3)2 = 16+9 =
60
1 6
2 .
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
= 25 =5 Misalkan merupakan sudut BAC yang mengapit garis AB dan AC, maka garis BC terletak di depan , sehingga untuk menentukan besar dapat kita gunakan aturan kosinus. 2
− 2
2
BC = AB + AC – 2 . AB . AC . Cos 2 2 2 5 = ( 5 ) + ( 20 ) – 2 . 5 . 20 . Cos 25 = 5 + 20 - 20 Cos Cos =
0
20
=0 o Jika cos adalah 0, maka besar adalah 90 . o
Jadi, besar sudut BAC adalah 90 .
6.
− − − − ∠ ∠ − − ∠→∠∠ ∠ ∠→∠ →∠∠ − ∠ → − − − − − − − − − −− −− − 105 =
60 + 45
= cos 60 cos 45
105 =
7.
8.
1 4
1
2
6=
4
= 1: 2
+
+
1
45 =
2
4
1 2
×
1 2
1 2 1
=
2
3×
2
1 2
2
= 90
sudut
=
1
2
6
= ,
Misalkan sudut Sehingga 1 1 cos2 + cos2 2 2 1 1 cos2 + cos2 2 2
:
sin 60
cos2
+ cos 2 90
cos2
+ sin2
=
1 2
.1 =
1 2
=2
= 180
=
=
= 180
=
= sin 3
=2
.
= sin 3
=2
.
= sin 3
=2
=2
2
1
= sin 3
2 .
+
2
2 sin
.
2
2
1
3
3
2
+ 2
2
+ 2 1
+ 1
2
+ 2
2
61
2
1 sin
1 sin
1
=2
=2
2
3
2
+
3
2
+ 2 3
=3
2
2
4
1
3
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 9
− − → ⟹ ≠ ⟹ ⟹ − ≤≤ ≠ ⟹ − − − − − − ≤− ≥ =
2
2
= 2
=
2
=
dan
cos
.
2
cos
=
3
=
= , dengan sin
2 cos 2
2 3
1
2
3
9
. =
1
0
= 2 diketahui 1
1
1 dengan sin
0
=2
cos
cos x
K
cos x
1
1
K
1
2
1
1 2
1
-1
2
1
2
1
1
-5
10
5
10
1
1
-50
100
50
100
1
1
-50 lebih
100
Jadi
3
=
2 cos cos
1
=
1+cos2
1
3
=
Sehingga
10
2 .
3
2
2
2
2
+
2
+
=
100
1
1
2
2
11
62
50 lebih
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 MATRIKS Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perkalian dan invers matriks
PENYELESAIAN NO 1.
− − − −
2 + 3 = 4 dan
3 2
2.
3.
2 +
=3
2 2
=
4 3
− − − → − − − ⇒ ⇒ → − → − − − →− − −
2 +3 = 2 3 2 =4 2 +3 =2
2
2 3 2
+2 4
+2
2
+
2 4 2
=
1
2
2 +2
2
x
1 0 3
1
+2 + =0 2
3 2 1
2 4
2 1 + 2 0
1
+
2
0 0 = 1 0
1 0
0 0 = 1 0
0 0
0 0
Diperoleh
2 +2=0 2
1
+2 +2 +1=0
0
1
2
+2 +2
1 +1=1+2
=0
1 =1
⇒ ⇒ → − → − − ⇒ 2
=
2+1=2 =
=0
Jadi
4.
=
+3
=
2
+ 2 2 Diperoleh 2 + 2
Sub titusi
2 +
2
2
=
=
2
1 0
+3
+3
=
0 1
+3
+3
2
=0
1
1
2
4
= diperoleh +
2
2
1 2
=3
63
1
= 0 didapat
2
=
13 4
, Jadi
2
= 0 atau =
13 4
=
1 2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
− −
5.
2 2
+ 3 = 4 = 3
Maka,
6.
2 2
3 x
4 3 2 y 4 3 1 2 x 3 1 y
→ → → − − 1 1 = 0 1
+0 1 = +0 1 1 = 1
1 2 = 2 1
+2 +2
+2 =2 1+2 = 2 2 =2 1 1 = 2
=
2 1
+2 =1 1+2 = 1 2 =1 1 =0
Maka, 1 3+1 3 4 1 2 2 = 3+0 = 3 1 0 7.
− − − − − − − − − − − 1 0 1
2 1
1 1 2 0 1 4 1 = 1.1.4 + 2. . 1 + 1.0. 1.1.1 . .1 2 kedua ruas dikalikan (-1) +2 +3=0 2 2 3=0 3 +1 =0 atau 3 = 0 +1=0 =3 = 1
4.0.2 =
+
2
+2 +3
-
-1
3
Karena determinan positif maka yang memenuhi adalah < 1 >3
8.
− − −− −− −− − − ≤≤ Det
1
= 4 = 2 4 = Anggap D sebagai 0. 2 2 =0 2=0 atau =2 Sehingga Hp = 2
2=0 = 2 2 64
+
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 9
− ⇒ − − − ⇒ − − − − − → − −− ⇒ − − − ⇒ ⇒ ⇒ → − → − − ⇒ − 2
2 =
1 0
2
2 0
0 = 1
2
0 = 2
2
+ 2
2 2 +
2
+ 2
=
2
2
2 +
2
2
Diperoleh 2
2
+
=2
2
=0
Jika
Jika
2
2=0
2
+
1
1
2
4
2
2
+
1
2
= 0 atau
2
2
1
=
2
=
1 2
+ 1 = 0 didapat
= 2 atau
2
+
9 4
=1
2
=
10 4
2 +
2
2
9
=
=
=
2
+ 2
2
+
=2
+3
2
2
= 4 atau
= maka +
Diperoleh
=
= 0 didapat
1
Diperoleh
2
1
2
= 0 maka
=
10
2
4
5 2
+3
1 0
0 1
+3
=
+3
Diperoleh 2
2
11
3 3
4 1
=
=
+3
2
=0
1
1
2
4
= diperoleh +
Subtitusi
jadi
2
+
2
2
+
=
=
1 2
2
+
9 4
2
1
2
2
=
10 4
=2
=
3 2
65
5 2
1
= 0 didapat
2
=
9
4
= 0 atau
=
1 2
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 12
− − − − − − − − − = 1 1
Jadi,
1 3 =
0 1
1
=
+
= 1+ 3 = 1 1 0 = 1 3 1 1 0 = 3 1
2
2
13
=
+3
=
2
+ 2
Maka, 2
2
2
=
=
2 +
2
1 2
2
2
2
2
+
=
Jadi,
14
+
1
1
2
2
= +
13 =
1 2
0 1 1 3
0 1 1 3
1 6 1 9
0 1 1 3 0 = 1
0 = 1
0 = 1
+3
=
+3
2
= +3
1 2
4
13 4
1 2
13
1 + 13
1 3
0 3
13
= =
3 0
+3
=
2
+
1
+
Maka,
66
+
+
= 1 + 0 + 9 = 10
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 15.
16.
17
18.
67
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017 VEKTOR Indikator Esensi:
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan vektor dalam bidang
PENYELESAIAN
NO 1.
Dimisalkan V = {(1, 1, 0), ( +1,0,0), (1,1, )} 1 = (1, 1, 0) 2 = ( +1,0,0) 3 = (1, 1, )
= 0=
1
1
1
1
+ +
2 2
+ 3 3 2 + 3 3 0,0,0 = 2
1 (1, 1, 0)
+
2(
+ 1, 0, 0) +
Dengan menyamakan komponen-komponennya didapat:
0= 0= 0=
1 1
+ ( + 1) + 3
2
+
3
3
3
Sehingga didapat nilai n = 0 atau n = -1
Atau dengan menggunakan OBE: B1 – B2
nB1 – B3
1 1 0
+1 0 0
0 1 0
+1 0 0
0
+1 0 0
0
Didapat n = 0, dan n + 1 = 0 n = -1
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
atau dapat pula dicari dengan menggunakan determinan matriks 1 +1 1 1 +1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 68
(1,1, )
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
−− −
Det = 0 + 0 + 0 – ( 0 + 0 + ( + 1)) = 0 ( + 1) = 0 = 0 atau + 1 = 0 = 0 atau = 1 2.
Dimisalkan V = {(1, 1, 0), (1,0,0), (1,1,1)} 1 = (1, 1, 0) 2 = (1, 0, 0) 3 = (1, 1, 1)
= (1,2,
1
+ )= 1
2
1
+ 3 3 1 + 2 2 + (1, 2, ) = 2
3
3
1 (1, 1,0) +
2 (1, 0, 0)
+
Dengan menyamakan komponen-komponennya didapat:
1= 2=
1 1
+ +
2
+
3
3
dengan menggunakan OBE: B2 – B1 B1 – B3
B1 + B2
−
=
3
− − − − − 1 1 0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
1 1 1 2 1
1 1 0 1 1
1 0 0
1 1 0
0 1 0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 2 0 1 1
Didapat m = 1, dan1 = 2 m = 1 atau dapat juga dengan menggunakan determinan matriks
69
3 (1,1,1)
PPg –sm3t MATEMATIKA UNMUL 2017
3.
− − − − − − − − −− − − 1 1 0
2
0 0
1 1
1 1 1 0
2
0 0
Det = 0 + 0 + 0 – (0+ 0 + (
1) (
2) = 0
1
2 =0
+1 2 =0 + 1 = 0 atau 2 =0 = 1 atau = 2
4.
Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear jika matriks koevisiennya mempunyai determinan tidak nol. Sebaliknya, jika suatu himpunan vektor dikatakan bergantung
− − − − −− − − − −
linear jika matriks koevisiennya mempunyai determinan nol a.
− − − − 1 2 3
2 3 1
1 1 2 2 3 3
2 3 1
Det = -9 + 12 + (-2) – (-9 + (-2) + 12) = 0
b.
1 2 3
2 3 1
2 1 3 2 1 3
2 3 1
Det = 3 -18 – 4 – (-18 + 3 – 4) = 0
c.
− − − − − − 1 2 3
2 3 1
2 1 3 2 1 3
2 3 1
Det = 3 + 18 + 4 – (18 - 3 – 4) = 14
d.
1 2 3
2 3 1
3 1 1 2 2 3
2 3 1
Det = 6 + 6 + 6 – (27 - 1 – 8) = 0
70
