1. Fraktali – opšti pojam
geometrijski oblik koji se može razložiti razložiti na manje delove tako da je svaki od Fraktal je geometrijski njih, makar približno, umanjena kopija celine. Još se kaže da je takav lik sam sebi sličan. Termin je izveo Benoa Mandelbrot 1975. godine iz latinske reči fractus koja ima značenje „slomljen“, „razlomljen“. Fraktal često ima sledeće osobine: • • • •
•
finu strukturu na proizvoljno malom uvećanju; previše je nepravilan da bi mogao biti opisan tradicionalnim euklidskim jezikom ; sam je sebi sličan (makar približno ili stohastično); Hauzdorfovu dimenziju koja je veća od njegove topološke dimenzije (iako koji ovaj uslov ne ispunjavaju beskonačno guste krive kao što je Hilbertova kriva); jednostavnu i rekurzivnu definiciju.
Pošto se čine sličnim na svim nivoima uvećanja, fraktali se često smatraju beskonačno kompleksnim u neformalnom smislu reči. Prirodni oblici koji aproksimiraju fraktale do izvesne granice su oblaci, planinski venci, munje, morske obale i snežne pahuljice. Međutim, nisu svi objekti koji su sami sebi slični istovremeno i fraktali — primer je realna prava koja je formalno sama sebi slična, ali ne poseduje ostale osobine fraktala.
1
2. Istorijat fraktala Matematika koja se nalazi u osnovi fraktala je počela da poprima svoj oblik u 17. veku kada je matematičar i filozof Lajbnic razmatrao osobinu rekurzivne sličnosti samom sebi, iako je on, greškom, smatrao da je samo prava linija slična samoj sebi u tom smislu. Tek 1872. godine pojavljuje se prva funkcija čiji bismo grafik danas smatrali fraktalom, kada je Karl Vajerštras definisao funkciju koja je imala neintuitivnu osobinu da je na celoj oblasti definisanosti bila neprekidna, ali da ni u jednoj tački nije bila diferencijabilna. Tri decenije kasnije, 1904. godine Helg Koh, nezadovoljan Vajerštrasovom previše apstraktnom i analitičkom definicijom, u svom radu O jednoj neprekidnoj krivoj bez tangenti, dobijenoj pomoću elementarne geometrijske konstrukcije (Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire) objavljenom u časopisu Arkivfor Matematik daje geometrijski definiciju krive koja je danas poznata kao Kohova pahuljica. 1915. godine Vaclav Sjerpinski je konstruisao svoj trougao, a godinu dana kasnije i tepih Sjerpinskog. U originalu, svi ti geometrijski fraktali su bili opisani kao krive, a ne kao dvodimenzionalni oblici, kako se tretiraju u modernim definicijama. Ideju o krivama koje su slične same sebi je dalje razvio Pol Pjer Levi, koji je 1938. godine u svom radu Ravanske ili prostorne krive i površi koje su satavljene od delova sličnih celini ( Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole) opisao novu fraktalnu krivu, poznatu danas kao Levijeva C kriva. I Georg Kantor je, u periodu 1879 — 1884, kada je objavljivao seriju od šest članaka koji su zajedno bili uvod u njegovu teoriju skupova, razmatrao primere podskupova realne prave sa neuobičajenim osobinama. Ti Kantorovi skupovi su danas svrstani u fraktale. Pred kraj 19. i početkom 20. veka Anri Poenkare, Feliks Klajn, Pjer Fatu i Gaston Žulija su istraživali iterirajuće funkcije u kompleksnoj ravni. Međutim bez pomoći grafike savremenih računara, nisu imali mogućnost vizuelizacije lepote većine objekata koje su otkrili. Benoa Mandelbrot je šezdesetih godina 20. veka počeo da se bavi samosličnošću u svojim radovima kao što je članak Koliko je dugačka britanska obala? Statistička samosličnost i razlomljene dimezije ( How Long Is the Coast of Britain? Statistical SelfSimilarity and Fractional Dimension), zasnovan na jednom ranijem delu koje je objavio Luis Fraj Ričardson. Napokon, 1975. godine, Mandelbrot je upotrebio reč „fraktal“ da njome označi objekat koji je imao osobinu da mu je Hauzdorfova dimenzija veća od topološke. Tu matematičku definiciju je ilustrovao zadivljujućom vizuelizacijom dobijenom pomoću računara. Većina generisanih slika bila je zasnovana na rekurziji, i time odredila opšteprihvaćeno značenje reči „fraktal“.
2
Mandelbrot – matematičar s maštom! Benoa Mandelbrot, matematičar. Rođen 1924. u Poljskoj, Varšavi školovan u Francuskoj. Danas živi u Americi, član je više akademija nauka i penzionisani profesor na Univerzitetu Jejl.
3
Mandelbrotov skup je najsavršeniji od svih fraktala. Kad povećamo njegove delove, ponovno se ukazuju isti oblici – on ima svojstvo samosličnosti. Mandelbrotov skup zapravo je skup koji obuhvata samo neke, tačno zadane, tačke T(a,b) u ravnini. Ako te tačke, dakle one koje pripadaju Mandelbrotovom skupu, prikažemo crnom bojom, a sve ostale belom (ili ih uopšte ne nacrtamo), dobili smo crno belu sliku koja predstavlja pravi Mandelbrotov skup .
3. Oblasti pojavljivanja i primene fraktala Fraktali se javljaju kroz vekove, počev od upotrebe u arhitekturi pa do današnje primene u fraktalnoj kompresiji. Njihovi oblici, koji se javljaju u prirodi pokazali su se kao konstrukcijski održivi pa su tako našli primenu u Baroknoj i Gotskoj arhiteturi. Fraktali se često pojavljuju kao atraktori dinamičkih sistema, čak i u situacijama koje se čine prilično jednostavnim (npr. Žulijin skup). U kompjuterskoj grafici, fraktali se koriste za generisanje slika koje predstavljaju prirodne objekte: oblake, sneg, morske obale, planinske vence, hrpe otpada... Danas su fraktali našli iznenađujuće mnogo primena. U nauci nema oblasti gde se ne koriste njihove funkcije za opisivanje prirodnih fenomena. Oni tu gube svoju slikovitost i postaju puko oruđe za, na primer, objašnjavanje funkcije dobijene eksperimentom. U fizici su se tako uvukli gde god je bilo slobodnog mesta za njihovu primenu .
4
Koriste se u seizmologiji, biologiji, pa čak su i u medicini postali poželjna alatka. Naši mobilni telefoni imaju antenu koja je u obliku fraktala i zauzima malo mesta, ali obuhvata širok opseg frekvencija. Prisutni su i u grafičkom dizajnu, a sve ih više ima u umetnosti. Ima ih u video igricama, na hipi majicama, maskirnim uniformama. Svako ko želi može da crta ove matematičke smicalice uz pomoć programa Fractal Explorer. Mogućnost primene fraktala leži u činjenici da mnogi od njih liče prirodnim pojavama. Često se kao primer spominje posebna vrsta brokolija i paprati. Med kristališe u fraktalne oblike, a drveće je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na grančice...). Zapravo, na neki je način gotovo celi svet sačinjen od fraktalnih oblika. Mandelbrot je koristio primer obale mora kao fraktal – uvale liče zalivima, rtovi poluostrvima... Kad bismo se malo približili, svaka bi stena ličila poluostrvu. Veće približavanje otkriva izbočine u steni koje takođe podsećaju na poluostrva. U tim izbočinama postoje sitne udubine koje imaju isti oblik kao i zalivi. Takav se postupak može nastaviti sve do molekulskih razmera. Mnogo je delova ljudskog tela fraktalne strukture. Očit je primer sastav krvnih žila, koje u principu imaju istu strukturu kao i drveće. DNA se namata dajući fraktalnu strukturu... Primeri su bezbrojni.
5
4. Klasifikacija fraktala Prema osnovnoj podeli razlikuju se • • •
geometrijski, algebarski i stohastični fraktali.
Pored toga, fraktali se, prema postanku, mogu podeliti na prirodne i veštačke, gde se pod veštačkim fraktalima podrazumevaju oni do kojih su došli naučnici, a koji, pri proizvoljnom uvećanju, zadržavaju osobine fraktala. Kod prirodnih fraktala se javlja ograničenost oblasti egzistencije - postoje maksimalna i minimalna veličina razmere objekta za koju on poseduje fraktalne osobine. Fraktali se još dele na • •
determinisane (ovde spadaju geometrijski i algebarski fraktali) i nedeterminisane (stohastične fraktale).
U odnosu na stepen samosličnosti, fraktali mogu biti: •
•
•
- najveći stepen samosličnosti. Fraktal je identičan samom sebi na proizvoljnom nivou uvećanja. Ovu osobinu imaju fraktali koj se dobijaju pomoću iterativnih funkcija. skoro samoslični - manje strog oblik samosličnosti; fraktal deluje približno (ali ne i potpuno) identičan samom sebi na različitim nivoima uvećanja. Ovakve fraktale čine umanjene kopije celog fraktala u izobličenim i degenerisanim oblicima. Obično su to fraktali koji se dobijaju pomoću rekurentnih veza. statistički samoslični - najniži nivo samosličnosti. Fraktal poseduje numeričke ili statističke mere koje se čuvaju kroz uvećanje ili umanjenje. Najjednostavnije definicije fraktala trivijalno ukazuju na neku vrstu statističke samosličnosti (fraktalna dimenzija je sama po sebi numerička veličina koja se ne menja sa uvećanjem, odnosno umanjenjem). Ovde spadaju fraktali generisani stohastičkim procesima. potpuno samoslični
4.1 Geometrijski fraktali Geometrijski fraktali su prvi fraktali koje su izučavali matematičari u 19. veku, zahvaljujući njihovoj očiglednosti, odnosno, zato što je kod njih odmah primetna osobina samosličnosti.
6
Dvodimenzione geometrijske fraktale je moguće dobiti zadavanjem proizvoljne krive koja će poslužiti kako generator . Zatim se, u svakom sledećem koraku, srednji deo te krive zameni generatorom - umanjenim likom cele krive. Beskonačnim ponavljanjem ovog postupka dobija se izlomljena fraktalna kriva. Iako je ta kriva dosta složena, njen opšti oblik moguće je zadati samo generatorom. Na taj način mogu se generisati: -
Kohova kriva, zmajeva kriva, Levijeva kriva, Kriva Minkovskog Peanova kriva i Hilbertova kriva.
Pored navedenih fraktalnih krivih, u geometrijske fraktale spadaju i Kohova pahuljica, Kantorov skup, trougao Sjerpinskog, tepih Sjerpinskog, Pitagorino drvo i Mengerov sunđer koji se dobijaju sličnim postupkom.
4.1.1 Kohova kriva i pahuljica Kohova kriva (sl. 1.1) i Kohova pahuljica (sl. 1.2) su jedne od prvih opisanih fraktalnih krivih. Predstavio ju je švedski matematičar Niels Fabian Helge von Koch 1904. godine. To je jedan od najpoznatijih fraktala koji se često koristi kao reprezentativni primer. Razlika između krive i pahuljice je u tome što se kod krive počinje s dužinom, a kod pahuljice s jednakostraničnim trouglom. Topološka dimenzija im je 1, a fraktalna 1.2619.
Slika 1.1 – Kohova kriva
slika 1.2 - Kohova pahuljica
7
4.1.2 Zmajeva kriva Zmajeva kriva (sl. 1.3) je beskonačno gusta kriva koja je dobila ime po mitološkom biću kojemu liči. Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krive koje se mogu konstruisati rekurzivnim metodama kao što je Lindenmayerov sastav.
slika 1.3 - Zmajeva kriva
4.1.3 Trougao Sjerpinskog Trougao Sjerpinskog (sl. 1.4) je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1915. godine. Jedan je od najjednostavnijih primera fraktala, fraktalna mu je dimenzija 1.585.
slika 1.4 – Trougao Sjerpinskog
4.1.4 Kantorov Skup Kantorov skup (sl. 1.5) je skup odvojenih tačaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je fraktal topološke dimenzije 0 (nula). Predstavio ga je njemački matematičar Georg Cantor 1883. godine.
slika 1.5 – Kantorov skup
8
4.2 Algebarski fraktali Za konstrukciju algebarskih fraktala koriste se iterativne nelinearne funkcije koje se zadaju jednostavnim algebarskim formulama. Primeri algebarskih fraktala su: - Mandelbrotov skup, - goruci brod, - Žulijin skup i - Njutnov fraktal.
4.2.1 Žulijin skup (sl. 1.6) Žulijin skup (u širem smislu) je granica dvaju skupova tačaka z 0 = x + yi: onog gde niz z n + 1 = f ( z n) konvergiše nekoj vriednosti te onog gde taj niz divergiše, odnosno teži u beskonačnost ( f ( z n) može biti bilo koja funkcija). Žulijin skup (u užem smislu) dobijemo ako u gorenavedeni niz uvrstimo f ( z n) = z n ² + C . Dobio je ime po francuskom matematičaru Gastonu Juliji.
slika 1.6 – Žulijin skup
4.2.2 Gorući brod Gorući brod (sl. 1.7) je fraktal kojeg su opisali Michael Michelitsch i Otto E. Rössler 1992. Konstruiše se na sličan način kao i Žulijin skup: za svaku se tačku kompleksne ravnine z 0 = x0 + y0i odredi niz tačaka z n + 1 = xn + 1 + yn + 1i tako da je xn + 1 = xn² - yn² - x0 i yn + 1 = 2 | xn yn | − y0. Tačke koje nakon mnogo iteracija konvergišu jednoj vrednosti pripadaju skupu te se oboje jednom bojom. Ostale tačke divergišu i oboje se različitim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergišu.
9
slika 1.7 – Gorući brod
4.3 Stohastični fraktali Primeri stohastičnih fraktala su: -
bifurkacijski dijagram, Lorencov atraktor, Bronovo gibanje i Bronovo drvo, Perlinov šum
4.3.1 Lorencov atraktor Lorencov atraktor (sl.1.8) je haotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sastava (tri varijante trodimenzionalnog sastava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku.Sam atraktor, kao i jednačine iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednačina konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednacinai Zemljine atmosfere.
slika 1.8 – Lorencov atraktor
10
4.3.2 Bronovo gibanje Bronovo gibanje (sl. 1.9) može biti haotično gibanje čestice malih dimenzija uronjene u neki fluid ili matematički model koji opisuje takvo gibanje (često zvan Wienerov proces). Dobilo je ime po britanskom botaničaru Robertu Brownu.
slika 1.9 – Bronovo gibanje
4.3.3 Perlinov šum Perlinov šum (sl. 2.0) jeste vrsta matematičke funkcije koja se koristi na bezbrojne načine u računarskoj grafici. Funkcija se dobije zbrajanjem više funkcija koje su dobijene slučajnim odabiranjem tačaka, gde svaka sledeća funkcija ima dvostruko manju amplitudu i dvostruko veću frekvenciju. Osmislio ju je Ken Perlin 1983. godine.
Slika 2.0 – Perlinov šum
11
Literatura • • • • • • •
•
•
http://sr.wikipedia.org/sr-el/Fraktal http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal http://phidac.mongeometrija.org/radovi/Stankovic_Ivan.pdf http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_4.htm#zadatak5 http://www.b92.net/zivot/nauka.php?nav_id=310439 http://images.google.com/imghp?hl=en&tab=wi Falconer, Kenneth (1982). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. (2004) In: Miroslav M. Novak Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company
12
