UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET ODSJEK MATEMATIKA
POPULARNA MATEMATIKA FRAKTALI
(3. ZADAĆA)
DARIJA RAJKOVIĆ
U Tuzli, 04.2013.
Trougao Sierpinskog
Trougao Sierpinskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Waclaw Franciszek Sierpinski 1915. godine i mnogi ga smatraju jednim od najjednostavnijih primjera fraktala. Kons Konstr truk ukci cija ja zapo započi činj nje e jedn jednak akos ostr tran anič ični nim m trou trougl glom om.. Odre Odredi dimo mo polovišta stranica pa od početnog trougla oduzmemo trougao koji nastaje spajan spajanjem jem tih polovi polovišta šta.. Ostaju Ostaju tri jednak jednakost ostran raničn ična a trougl trougla a kojima kojima su duljine stranica dvostruko manje od duljina stranica početnog trougla. Postupak nastavljamo sa svakim od novih trouglova beskonačno mnogo puta.
Ovako konstruiran trougao je primjer fraktala koji je potpuno samo-sličan, tj. svaki njegov dio je tačna kopija originala. Fraktalna dimenzija ovog skupa je d = ln (broj duži nakon 1. iteracije)/ln (faktor multiplikacije ) d = ln 3/ln 2
1.585
Trougao u prvoj iteraciji se sastoji od 3 kopije samog sebe skaliranih faktorom
(tj. faktor multiplikacije je 2 ) .
U ovom ovom prim primje jeru ru pose posebn bno o je inte intere resa sant ntno no posm posmat atra rati ti odno odnoss povr površin šine e ko koju ju zauz zauzim ima a praz prazni ni dio dio trou trougl gla a i obim obima a ispun ispunje jeno nog g dije dijela la trougla. ♥
ako pretpostavimo da je površina originalnog trougla 1, onda se u prvoj iteraciji iteraciji ukloni ukloni
te površine, površine, u drugoj drugoj iteraciji iteraciji
, u trećoj trećoj
itd. Nakon n-te iteracije ukupna površina uklonjena iz početnog trougla je ♥
(
)
ako ak o pret pretpo posta stavi vimo mo da je obim obim poče početn tnog og trou trougl gla a 1, nako nakon n prve prve iterac iteracije ije taj broj broj se poveća poveća za poveća
za
itd.
, nakon nakon druge druge iter iteraci acije je obim obim se
Nakon (
n-te
iteracije
obim
iznosi
)
Dakle, ako posmatramo beskonačan broj iteracija, trougao Sierpinskog bi imao praznu površinu i beskonačnu granicu. Trodimenzionalni analogon trougla Sierpinskog je fraktal poznat pod nazivom tetraedar Sierpinskog.
Mengerova spužva
Ovo je primjer fraktala kojeg je opisao austrijski matematičar Karl Menger 1926. godine. Mengerova spužva je trodimenzionalni analogon tepi tepihu hu Sier Sierpi pinsk nskog og,, tj. tj. prec preciz izni nije je,, svak svaka a stra strana na ove ove spuž spužve ve je tepih Sierpinskog, dok Cantorov skup (skup odvojenih dok je svak svaka a dija dijago gona nala la Cantorov odvojenih tačaka dužine koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata).
tepih Sierpinskog
Konstrukcija Mangerove spužve započinje kockom koja se podijeli na 27 jedn jednaki akih h kocaka kocaka.. Duljin Duljina a stranic stranice e svake svake male male kocke kocke je je
duljin duljine e
stranice početne kocke. U prvoj iteraciji se izvadi 7 kocaka – 1 iz sredine početne kocke i po jedna središnja iz svake od 6 strana početne kocke. U drugoj iteraciji postupak se ponavlja sa preostalih 20 kocaka. Na isti način postupak se ponavlja beskonačno mnogo puta.
a - prve tri iteracije iteracije u konstrukciji konstrukciji Mangerove spužve spužve b – prve tri iteracije u konstrukciji tepiha Sierpinskog
Fraktalna dimenzija Mangerove spužve je
Posebno interesantna činjenica vezana uz Mangerovu spužvu se skriva u njenom presjeku. Naime, iako je ovaj fraktal poznat još od 1926. godine, tek je dosta kasnije otkriveno da praznine koje su vidljive pri dijagonalnom presjeku spužve nisu kvadrati, nego su oblika šesterokrake zvijezde.
Ova zanimljivost je poznata kao „misterij Mangerove spužve“ ( The Mystery of the Menger Sponge).
