Univerzitet u Beogradu
Mašinski fakultet
Seminarski rad
FRAKTALI I MULTIFRAKTALI
Predmet: Fraktalna mehanika Profesor: prof.dr. Đuro Koruga Student: Ana Nedeljković 1207/12
Beograd, 2014.
Sadržaj
1.Uvod ............................................................................................................................................3 1.2. Fraktalna stuktura..................................................................................................................3 1.3.Fraktalna dimenzija.................................................................................................................7 1.4. Multifraktali……………………………………………………………………………. .....10
2. Primena fraktalne analize u biomedicinskom inženjerstvu.................................................12
2.1. Fraktalna analiza u dijagnostici i utvrdivanju stadijuma cervikalnog kancera.............13
2.2. Fraktalna analiza u dijagnostici kancera dojke………………………...………….….....14
2.3. Fraktalna analiza u dijagnostici kancera kože...................................................................16
2
1.Uvod Fraktalna geometrija je relativno mlad koncept koji je formulisao Benoit Mandelbrot (19242010),francusko-americki matematicar, a koji se bazira na radovima Poenkarea, Kantora, Sierpinskog i drugih (Mandelbrot, 1982). Mandelbrot je prvi i uveo termin fraktal, prema latinskoj reci fractus, što znaci„slomljen“, „nepravilan“ ili „iregularan“ (Mandelbrot, 1975). Termin fraktal uveden je u cilju karakterizacije prostornih ili vremenskih fenomena koji su kontinualne, ali nediferencijabilne funkcije. Od pojave Mandelbrotove knjige 1982. godine u kojoj je na sveobuhvatan način Mandelbrot predstavio ovaj novi koncept, fraktalna geometrija je u godinama koje slede dobila znacajno mesto u matematici, a narocito u primenjenim prirodnim naukama. Fraktali i fraktalna geometrija predstavljaju koncept u matematici koji je proizišao iz „velike matematicke krize“, i nemogucnosti klasicne Euklidove geometrije da opiše ili posluži u analizi kompleksnih i nepravilnih oblika i procesa koji se dešavaju u prirodi. Mnoge kompleksne anatomske strukture kao što su mreža krvnih sudova ili neuronska mreža, zatim grananje kardiopulmonarnih struktura samo su neki primeri fraktalne geometrije u ljudskom ogranizmu. Fraktalnost nije samo morfološka kategorija, u smislu da se neregularni obrazac ponavljanja, kao osnovna karakteristika fraktala, ponavlja u smislu anatomskog oblika, ono je takođe i odlika procesa koji se dešavaju u ljudskom organizmu kao što su srčani ritam, ili pak moždani talasi. Koncept fraktala i fraktalne geometrije omogućuje jednostavnu, geometrijsku interpretaciju kompleksnih objekata koje tradicionalna Euklidova geometrija nije u stanju da opiše, kao što su neregelurani ili fragmentirani oblici i karakteristike prirodnih objekata koji se mogu sresti u ra zličitim oblastima od geologije, biologije pa do anatomije i fiziologije. Teorija fraktala i teorija haosa mogu se primeniti za analizu i rešavanje problema sistema kompleksne strukture, i primenjene su u mnogim naucnim disciplinama pocev od ekonomije za m odeliranje socijalnog ponašanja do biologije i geografije za modeliranje vegetacionih obrazaca širom planete.
1.2. Fraktalna stuktura
Za opisivanje objekata i fenomena u prirodi koriste se razlicite mere koje nazivamo dimenzije. Da bismo što bolje okarakterisali odredeni objekat potrebno je da koristimo više razlicitih detalja. Upotrebom adekvatne dimenzije veštacki generisani objekti se veoma lako opisuju. Dimenzije takvih objekata se mogu izmeriti i numericki izraziti poredenjem sa referentnom jedinicnom merom. Najpoznatije dimenzije u upotrebi su Euklikidska dimenzija D E i topološka dimenzija DT . Obie dimenzije mogu da uzimaju samo celobrojne vrijednosti 0,1,2, ... i za veliki broj objekata imaju istu vrednost. Medutim, razlike postoje i jasno se vide iz nacina na koji su dimenzije definisane. Topološka dimenzija se definiše na osnovu toga kako posmatrani objekat može da se izdeli na gradivne elemente, dok Euklidska dimenzija uzima u obzir prostor koji objekat zauzima. Na primer, tacka je bez dimenzi je jer ona nije kontinuum, pa su i Euklidska i topološka dimenzija tacke iste, tj. DE = DT = 0. Razlike izmedu ove dve dimenzije se javljaju vec u slucaju linije. Sa stanovišta topološke dimenzije, linija ima dimenziju 1 bez obzira na njen oblik jer se može izdeliti na tacke koje nisu kontinuumi. Slicno, površine se dele na linije pa je topološka dimenzija površine 2. Kako su za podelu prostora potrebne površine, topološka dimenzija prostora je 3. Po Euklidskoj definiciji dimenzije, struktura je jednodimenzionalna ukoliko se može uklopiti na pravu liniju, dvodimenzionalna ako se može postaviti na ravnu površinu I trodimenzionalna ako zauzima prostor. Po ovoj definiciji, samo prava linija je jednodimenzionalna, jer jedino ona ne zauzima ni površinu ni prostor.
3
Ali kriva linija koja leži na površini je dvodimenzionalna, dok je kompleksna kriva linija koja zauzima proctor trodimenzionalna. Takode, ravna površina ima Euklidsku dimenziju dva, dok je zakrivljena površ trodimenzionalna. Dimenzije se mogu izmeriti i brojčano opisati ukoliko ih poredimo sa nekim usvojenim uzorkom (etalonom) mere. Ili, analiticki gledano, dužina linije (luka) se odreduje krivolinijskim integralom, a velicina neke površine p rimenom površinskog integrala. Benoit Mandelbrot, poljski matematicar i fizicar, je skovao termin "fraktal" (lat. fractus – izlomljen, prelomljen) da oznaci objekte cija je Hausdorff-Besicovitch-ova dimenzija veca od njihove topološke dimenzije. Ilustrovao je ovu matematicku definiciju sa upadljivim kompjuterski konstruisanim vizuelizacijama. Ove su slike su osvojile javnu imaginaciju; mnoge od njih su bile zasnovane na rekurziji i sugerisale su popularno znacenje termina fraktal. U svom poznatom radu “How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension”, objavljenom 1967. godine u casopisu Science Magazine, Mandelbrot je prvi put uveo pojam fraktala, što je kasnije upotpunio i sistematizovao. Tu je pokazao da je koncept dužine besmislen ukoliko se želi izmeriti neki nepravilan objekat kao što je morska obala – dužina zavisi od izbora jedinice mere. Analiticki posmatrano, linija morske obale nije diferencijabilna u svim tackama, tako da krivolinijski integral nije definisan. Za opisivanje nepravilnih struktura raznih prirodnih objekata i fenomena, kao što su oblaci, izgled reljefa, razne prirodne teksture, turbulencije u atmosferi, kretanja u ekonomiji, I slicno koristi se fraktalna geometrija. Centralna filozofska tema fraktalne geometrije je da priroda – mada naizgled složena – pokazuje jednu fundamentalnu osobinu poznatu kao samoslicnost (self-similarity). Bez obzira na ociglednu kompleksnost oblika i/ili dinamickog ponašanja sistema, ukoliko pogledamo pažljivije, možemo naci oblike na jednoj skali koji lice na one na drugim skalama Mnogi prirodni objekti iskazuju takva svojstva, pri cemu skale mogu biti prostorne i vremenske, Pa imamo samo-slicne structure I samoslicne fluktuacije. Primeri takvih struktura i fluktuacija su dati na slici 1.
Sli ka 1. Fraktalne strukture i
fluktuacije
4
Mandelbrot je, zapravo, objedinio i upotpunio neka prethodna saznanja koja su se pojavila sredinom 19. veka. Theodor Weierstrass (1815-1897) je pokazao da može postojati kontinualna kriva koja ni u jednoj tacki nije diferencijabilna, Felix Hausdorff (1869-1942) je prvi uveo pojam necelobrojne dimenzije, koja je veca od topološke dimenzije, zatim, Georg Cantor (1845-1918) je definisao beskonacan skup tacaka u jedinicnom intervalu [0,1] koji iskazuje f raktalna svojstva – tzv. Kantorov skup (Cantor Set), Helge von Koch i Waclaw Sierpinski su definisali pravila na osnovu kojih se mogu konstruisati fraktalne krive ili objekti (Koch curve I Sierpinski carpet), itd. Postoje dva glavna pristupa za generisanje fraktalne strukture. Jedan je narastanjem jedinicnog objekta, a drugi je konstruisanje fraktala uzastopnim dijeljenjem originalne strukture. Veliki broj fraktalnih struktura se može veštacki generisati primenom relativno prostih pravila, tako što se rezultati posle svake iteracije vracaju ponovo u istu proceduru. Fraktalni oblici ili signali su karakterisani sledecim svojstvima: 1. Nemaju karakteristicnu dužinu - uzimanjem sve manje i manje jedinice mere dobijamo sve veću i veću izmerenu dužinu fraktalne strukture. Razlog je taj što se oblik strukture beskonacno ponavlja ukoliko strukturu posmatramo sa sve vece blizine. Za razliku od glatke krive koja uvijek ima konacnu dužinu, fraktalna linija nije diferencijabilna pa krivolinijski integral nije definisan. 2. Poseduju svojstvo samo-slicnosti (svojstvo invarijantne skale, skalirajuce simetrije) - skalirajuca simetrija podrazumeva samoslicnost posmatranih objekata na promjenljivoj skali uvecanja, u bilo kojoj skali posmatrano, fraktalni oblici su iste ili slicne strukture. 3. Imaju necelobrojnu dimenziju - fraktalna dimenzija je osnovni analiticki parametar za opisivanje struktura koje poseduju svojstvo samo-slicnosti; dimenzija je veca od odgovarajuce topološke dimenzije nefraktalnog objekta. Veštacki generisane strukture primenom pravila koja se primjenjuju u iterativnoj proceduri mogu biti samo-slicne ali u nekim slucajevima se ne povecava složenost polaznog objekta pa ovako generisani novi objekti nisu fraktalni jer imaju celobrojnu dimenzij u. Iz toga možemo zakljuciti da fraktalni objekti iskazuju svojstvo samo-slicnosti dok obrnuto ne mora da važi. Fraktali mogu biti deterministicki i stohasticki (tj. nedeterministicki). Na primer trajektorije Braunovskog kretanja imaju Hausdorffovudimenziju 2. Haoticni dinamickisistemi se u nekim slucajevima povezuju sa fraktalima. Cak i jednostavne glatke krive mogu da pokazuju fraktalno svojstvo samo-slicnosti. Na primer, stepena funkcija ("power-law", poznata i kao Pareto raspodjela) proizvodi slicne oblike na različitim stepenima uvecanja. Tri uobicajene tehnike za generisanje fraktala su: Escape-time fraktali – oni su definisani rekurentnom funkcijom u svakoj tacki prostora (kao što je kompleksna ravan). Primeri ove vrste fraktala su Mandelbrotov skup, Julia skup i Ljapunov fraktal.
5
Slika 2. Mandelbortov skup Iterativne funkcije – ovi fraktali se dobijaju pomocu fiksnih geometrijskih pravila zamene. Kantorov skup, Sierpinski tepih, Peanova kriva, Kohova pahulja su neki primjeri ovakvih fraktala.
Random fraktali – generisani stohastickim pre nego deterministickim procesima, na primer, trajektorije Braunovskog kretanja, Levijev let, fraktalni pejzaži i Braunovo drvo.
Fraktali se takode mogu klasifikovati prema osobini samo-slicnosti. Postoje tri tipa samoslicnosti: Egzaktna samo-slicnost – ovo je najstrožiji tip samo-slicnosti; fraktal se javlja u identicnom obliku na svim skalama. Fraktali genisani iterativnim funkcijama obicno ispoljavaju egzaktnu samo-slicnost. Kvazi-samo-slicnost – ovo je slobodnija forma samo-slicnosti; fraktal s e javlja u približno istom obliku na svim skalama. Kvazi-samo-slicni fraktali sadrže male kopije čitavog fraktala u iskrivljenoj i degenerisanoj formi. Fraktali definisani rekurentnim relacijama su najcešce kvazisamo -slicni. Statisticka samo-slicnost – ovo je najslabiji tip samo-slicnosti; fraktali imaju numericke ili statisticke mere koje su očuvane na svim skalama. Najumerenija definicija fraktala implicira neku vrstu statisticke samo-slicnosti. Fraktalna dimenzija je sama po sebi numericka mera koja se ne menja na razlicitim skalama uvecanja. Random fraktali su primer fraktala koji su statisticki samo-slicni a da pritom ne poseduju ni svojstvo egzaktne samo-slicnosti ni kvazi-samo-slicnosti.
6
1.3.Fraktalna dimenzija
Tabela 1.
Izraz "fraktalna dimenzija" odnosi se na necelobrojnu, ili prelomljenu dimenziju bilo kog objekta. FD analiza se često koristi u procesiranju biomedicinskih signala, kao što su EEG (electroencephalographic), HRV (heart rate variability) i koracni intervali. Primena fraktalne dimenzije u ovim okolnostima ukljucuje vremenski pristup, procenjuje se fraktalna dimenzija talasnog oblika. Ra čunanje fraktalne dimenzije talasnih oblika je korisno za detekciju tranzientnih pojava, i posjeduje dodatnu prednost brzog izracunavanja. Sastoji se iz procene dimenzije vremenski promjenljivog signala direktno u vremenskom domenu čime se obezbeđuje značajna ušteda u trajanju izvrš avanja programa. U fraktalnoj geometriji, fraktalna dimenzija, D, je statistička velič ina koja daje indikaciju koliko fraktalni objekat popunjava prostor i to na razlicitim skalama uvećanja. Postoji puno specificnih definicija fraktalne dimenzije i nijedna od njih se ne tretitira kao univerzalna. Sa teoretske tacke gledišta, najbitnije su Hausdorffova dimenzija, dimenzija pakovanja i, generalnije, Renijeva dimenzija. Sa druge strane, metoda brojanja kvadrata (box-counting) i korelaciona dimenzija se više koriste u praksi zbog jednostavne implementacije. Iako se za neke klasične fraktale ove dimenzije poklapaju, u opštem slucaju one nisu ekvivalentne. Na primer, koja je dimenzija Kohove pahulje? Ona ima topološku dimenziju jedan, ali ona ni u kom slucaju nije kriva – dužina krive izmedu bilo koje dve tacke na njoj je beskonacna. Nijedan njen deo nije niti linija niti površina. U nekom smislu, možemo za nju reci da je prevelika
7
da bismo je smatrali jednodimenzionim objektom, ali pretanka da bi bila dvodimenzioni objekat, što sve vodi do pitanja da li bi se Kohova pahulja najbolje mogla okarakterisati dimenzijom izmedu 1 i 2. Ovo je samo jedan od motiva za uvodenje fraktalne dimenzije kao nove mogucnosti za analiticko opisivanje ovakvih struktura. Za strukture koje su dobijene primenom strogo definisanih pravila, kao što su vec pomenuti Kantorov skup, Kohova kriva, Sierpinski tepih, i slicno, može se odrediti tzv. dimenzija samo -sličnosti DS , na sledeci nacin. Za skup S koji je ogranicen u Euklidskom n-dimenzionom prostoru kažemo da je samo-slican ako je on unija N razdvojenih (nepreklapajucih) sopstvenih kopija, od kojih je svaka naredna skalirana skala faktorom r<1 po svim dimenzijama prostora. Izmedu navedenih velicina postoji sledeca veza :
odakle je dimnezija samo-slicnosti jednaka:
Fraktalna struktura dimenzije izmedu 0 i 1 poznata je kao fraktalna prašina. Fraktalne strukture dimenzije izmedu 1 i 2 se nazivaju fraktalnim signalima. Strukture dimenzije izmedu 2 i 3 nazivaju se fraktalnim površinama (fraktalnim slikama), a strukture dimenzije izmedu 3 i 4 jesu fraktalne zapremine. Za fraktalne strukture koje nisu dobijene strogo definisanim pravilima, kao što su razne prirodne strukture i signali, fraktalna dimenzija se ne može odrediti kao dimenzija samoslicnosti. Istorijski je poja m dimenzije kao veličine koja odreduje meru kojom objekat ispunjava prostor, cime se dozvoljava mogucnost necelobrojne dimenzije, uveo F. Hausdorff. D-dimenziona Hausdorffova mera na skupu S je:
gdje je D>0 realan broj koji definiše optimalno pokrivanje datog skupa korišcenjem sfera promjenljivog radijusa r k . Vrednost D za koju M naglo prelazi iz ∞ u 0 se definiše kao Hausdorffova dimenzija D H.
U praksi je mnogo lakše raditi sa box-dimenzijom. Postoje razne druge metode koje se mogu primeniti u tim slucajevima, a jedna od često korišcenih je tzv. box -counting metoda, ili metoda prekrivanja (brojanja kvadrata) čime se određuje dimenzija prekrivanja (cover dimension). Metoda se zasniva na prekrivanju fraktalnog objekta mrežom bokseva - kvadrata, u slucaju jednodimenzionih (1D) signala kao što su vremenske serije, ili kocki, u slucaju dvodimenzionih (2D) signala, kao što su signali slike. Dimenzije ivice kvadrata su ε . Zatim se odreduje broj nepraznih kvadrata, N(ε), dakle, broj kvadrata koji prekrivaju posmatrani objekat. Rekurzivno se uzimaju kvadrati razlicitih dimenzija i iz log-log dijagrama zavisnosti N(ε) od ε , gde je D box-counting dimenzija datog fraktala; dakle dobija se:
8
Box-counting metoda daje tačne procene za fraktalne dimenzije između signala i 2 i 2.5 kod 2D signala, uz to je jednostavna i brzo se racuna.
Sli ka 2 . Ilustracija
Slik a 5. Rezultujući
prekrivanja Košijeve krive kvadratnih različitih dimenzija
log -log dijagram preko kojeg se određujeD B za Kohovu pahuljicu
Kapacitivna dimenzija DC , uvedena od strane A.N. Kolmogorova i definiše podelu fraktala na jednake kocke ivice ε:
gde N(ε) oznacava minimalan broj kocki potrebnih da se pokrije skup. D H i DC se razlikuju vec za veoma jednostavne skupove. Tako je za skup racionalnih brojeva izmedu 0 i 1 D H =0, a DC = 1. 9
Ako verovatnoću nalaženja tack e fraktala u i-toj kocki ivice ε ob eležimo sa P i (ε), tada je informaciona dimenzija Di :
Konacno, korelaciona dimenzija Dk je definisana sa:
gde je korelacioni integral dat sa :
gde je c(s) gustina verovatnoće za predefinisano rastojanje dva proizvoljna vektora x1 i x2 . U opštem slucaju sve ove dimenzije su razlicite za proizvoljan fraktalni objekat. Jedino u slucaju dobro poznatih, jednostavnih fraktala, monofraktala, samo jedna dimenzija je dovoljna i važi D H = DC = D K =Di. Jedinstven "otisak prsta" multifraktalnog objekta zahteva uvođenje neograničene hijerarhije fraktalnih dimenzija poznate kao generalizovana fraktalna dimenzija – koncept uveden od strane H. G. E. Hentschel, P.Grassberger i I. Proccacia .
1.4. Multifraktali Veštacki generisani objekti, primenom precizno definisanih algoritama, iskazuju stroga fraktalna svojstva. Prirodni objekti i pojave, medutim, ne iskazuju tako stroga fraktalna svojstva, čak i kada jesu samo-slični. Prirodni objek ti i pojave mogu imati statističku samo -sličnost. Na primer, struktura morske obale, izgled reljefa ili oblaka, struktura nekih bioloških sistema ili signala, iskazuju samo-slicna svojstva, ali u raznim skalama oblik nije sasvim isti, mada jeste-slican. U tim slucajevima se govori o multifraktalima. Multifraktalni parametri, kojima se mogu opisati takve pojave, mogu se iskoristiti u klasifikaciji objekata, a time omoguciti nov pristup u medicinskoj dijagnostici. Pri analizi fizioloških vremenskih serija može se dobiti se monofraktalno ili multifraktalno ponašanje. Monofraktali su okarakterisani istim skalirajucim osobinama duž čitavog signala, oni se mogu indeksirati samo jednim eksponentom h0 (Hurstov eksponent) ili jednom fraktalnom dimenzijom, što indikuje da su oni stacionarni sa tacke gledišta njihovih lokalnih skalirajucih osobina. Multifraktali su kompleksniji, mogu se rastaviti na više podskupova okarakterisanih razlicitim Hurstovim eksponentima ili fra ktalnim dimenzijama, koje kvantifikuju lokalno singularno ponašanje pa se samim tim odnose na lokalne
10
skalirajuce osobine vremenske serije. Multifraktali zahtevaju više eksponenata za karakterizaciju njihovih skalirajucih osobina; oni su suštinski komplek sniji i nehomogeniji od monofraktala. Multifraktalni sistem je generalizacija fraktalnog sistema u kome jedan eksponenet, fraktalna dimenzija, nije dovoljan da opiše njegovu dinamiku vec je potreban kontinualni spektar eksponenata (tako zvani spektar singulariteta). Primer spektra singulariteta za signale srcanog ritma kod zdravog i bolesnog ispitanika dat je na slici 5. Sa slike se može uociti da je spektar zdravog ispitanika znacajno širi od spektra bolesnog ispitanika, tj. multifraktalnost slabi sa patologijom.
Slika 5. Spektar singulariteta za signale srčanog ritma
U multifraktalnom sistemu s, ponašanje sistema u bilo kojoj tacki je definasano lokalnom stepenom funkcijom: ( )(⃗). Eksponent ( ⃗ ⃗ ) ) (( ⃗ ) se naziva eksponent singulariteta i on opisuje lokalni stepen singulariteta ili regularnosti oko date tacke. Ansambl formiran od svih tačaka koje imaju isti eksponent singulariteta se naziva singularitetna celina eksponenta h, I predstavlja fraktalni skup fraktalne dimenzije D(h). Kriva D(h) vs. h se naziva spektar singlulariteta i u potpunosti opisuje (statisticku) distribuciju promenljive s. Većina struktura se ne može opisati preko krajnosti tipa: crno -belo, tacno-netacno, 1-0, itd. Zbog toga se ovakvi objekti ne mogu analizirati preko skupova, vec preko uopštenijih matematickih veličina kojima mogu da se opišu nivoi u skali između krajnjih vrednosti. Te uopštenije veličine se nazivaju mere. Slobodnije rečeno, umesto jedne mere, µ, javlja se skup mera koje opisuju samoslicnu pojavu. Na primer, za definisanje mere se mogu koristiti amplitude signala u prostornom domenu. Box-counting metod nije pogodan za opisivanje multifraktala jer on daje samo vezu izmedu broja nepraznih kvadrata i velicine kvadrata, a ne uzima u obzir vrednost signala koji je obuhvacen kvadratom.. Za multifraktalne pojave uvodi se neka vrsta "težine" za svaki od kvadrata. Za kar akterisanje multifraktala najpre se uvodi veličina α opisana sa:
11
poznata kao grubi Hõlder-ov eksponent, gde je µ(box) mera kvadrata, a ε veličina kvadrata. Ovako definisana velicina α bi odgovarala fraktalnoj boks-dimenziji posmatrane mere. Pokazuje se da velicina uzima vrednosti iz intervala [ ], sa 0< < < ∞.
Vrednost parametra
je bliska
odgovarajucoj fraktalnoj dimenziji posmatrane strukture , dakle, za 1D signale je raspodeljena oko vrednosti 1, za 2D signale oko vrijednosti 2, itd. Zatim se posmatra frekvencijska raspodela nacin. Za svaku vrednost
na sledeci
odredi se broj Nε (α) kvadrata ivice ε koji imaju grubi Hõlder-ov eksponent
jednak a. Kako je ukupan broj kvadrata ivice srazmeran sa ε – d , gde je d Euklidska dimenzija kvadrata, verovatnoca da se medu boksevima nade onaj sa grubim Hõlder-ovim eksponentom iznosi
Crtanje raspodele ove verovatnoce ne bi dalo željeni rezultat, jer pri ε →0 ova raspodjela ne teži granicnoj vrednosti. Umesto toga uvodimo težinske logaritme i posmatramo funkciju :
Kada ε →0, funkcija f ε (α) teži granicnoj definisanoj vr ednosti f(α) . Ovako definisana funkcija f(α) oznacava da za svako broj kvadrata raste pri smanjenju ε.
2. Primena fraktalne analize u biomedicinskom inženjerstvu Primena fraktalne analize u biomedicinskom inženjerstvu podrazumeva analizu morfologije pojedinih anatomskih struktura kao što su na primer, mreža krvnih sudova, mreža neurona i drugog. Slična analiza može biti primenjena i na otkrivanje razlika između zdravog i bolesnog tkiva, ili na primer na oblik ivica kožnih lezija. Fraktalna geometrija je u veoma širokoj primeni u oblasti analize slike, odnosno digitalne fotografije i mikrofotografije u medicini. Međutim, fraktalna analiza može biti primenjena i na fiziološke fenomene poput varijacija u srčanom ritmu ili elektroencefalografske moždane talase. U ovim slucajevima, promenljivost parametara može biti izražena preko krive na č iju morfologiju se može primeniti fraktalna analiza. Metode fraktalne analize našle su primenu u sledecim biomedinskim oblastima interesa:
analiza biosignala, prepoznavanje oblika
analiza radioloških i ultrazvnučnih snimaka ćelijska morfometrija, organizacija hromatina, ekspresija gena
fiziološka i patološka stanja nervnog sistema i mozga, srca i kardiovaskularnog sistema
analiza vezivnog tkiva, remodeliranje tkiva
angiogeneza, morfogeneza, grananje krvnih sudova,
kompleksnost, samoorganizacija i haos u tumorima membrane i ćelijske organele u toku rasta i smrti (apoptoza, nekroza)
starenje, imunološki odgovor, autoimune i hronicne bolesti
kompleksnost, samoorganizacija i haos u metabolickim i signalnim putevima
struktura biopolimera (proteini, nukleinske kiseline, DNK)
12
2.1. Fraktalna analiza u dijagnostici i utvrdivanju stadijuma cervikalnog kancera Kancer grlića materice je jedan od najcešcih kancera kod žena i treći je po uzroku smrti posle kancera dojke i pluca (Ferlay et al., 2004). Kancer grlića materice je bolest koja nastaje usled abnormalnog rasta I deobe ćelija cerviksa. Skoro svaki kancer grlića materice nastaje od ćelija koje č ini unutrašnji sloj cerviksa. Kada kontrola ćelijskog ciklusa biva narušena, ove ćelije se dele veoma č esto i većom brzinom. U istraživanju koje su predstavili Jayalitha i saradnici fraktalna analiza je primenjena za prepoznavanje kancera grlića materice na osnovu histoloških slika (Jayalitha et al., 2009). U istraživanju je primenjena metoda brojanja kvadrata i specijalizovani Harfa programme software za racunanje fraktalnih dimenzija zdravih i kanceroznih ćelija cerviksa (Slike 6 I 7). Lakunarnost je takođe određena u cilju procene teksture kiva (Slika 8.).
Sli ka 6 . Normalne ćelije
cerviksa
Sli ka 7. Abnormalne ćelije cerviksa 13
Sli ka 8.
Teksturni obrazac ćelija cerviksa
Jayalitha i saradnici su se rukovodili prostom logikom da ce se fraktalna dimenzija ćelija povećavati zajedno sa rastom celije i zato su na histološke mikrofotografije zdravih i kanceroznih ć elija (slike 6 i 7) primenili metod brojanja kvadrata radi dobijanja karakteristicne fraktalne dimenzije za normalne ćelije cerviksa i abnormalne celije. Kako je njihova analiza pokazala, ova dimenzija iznosi 1,1 za normalnu celiju, dok je za abnormalnu 1,26. Isti tim je u daljem istra živanju na osnovu fraktalne dimenzije utvrđivao stepen kancera (Jayalitha et al. 2011). Kako je utvrDeno, vece vrednosti fraktalne dimenzije odgovaraju kasnijem stadijumu razvoja kancera. Odnosno, kako su istraživaci zakljucili, stadijum kancera zavisi od dimenzije ćelija. Lakunarnost je u vezi sa distribucijom praznina između ćelija. Fraktalni objekti koji imaju malu lakunarnost su zapravo homogeni, jer su sve praznine iste veličine, dok visoka lakunarnost govori o heterogenosti. U pomenutoj studiji, analizom lakunarnosti, došlo se do zakljucka da veca dimenzija lakunarnosti odgovara širenju kancera. Lakunarnost pokazuje kako se pojacava izražena tekstura između ćelija zahvacenim kancerom. Utvrđeno je da i kako se lakunarnost povećava tako cerviks na slikama poprima braon boju, što je i inace jedan od pokazatelja kancerom zahvacenog tkiva. Zaključeno je da fraktalna dimenzija D B i lakunarnost mogu biti od velike pomoći u patologiji pri dijagnozi kancera cerviksa, kao i utvrđivanja stadijuma razvoja kancera i tako olakšati odluku o adekvatnoj terapiji.
2.2. Fraktalna analiza u dijagnostici kancera dojke Postojanje tumora dojke je obicno indikovano na mamogramu prisustvom gustih masa i/ili promenama u teksturi ili pojavama distorzije u tkivu dojke (Rangayyan et al., 2007). Kako se cini prema literaturnim izvorima, fraktalna analiza je našla najvecu primenu upravo u dijagnostici kancera dojke i to u kako u analizi mamograma, tako i u analizi histopatoloških preparata i citologiji. Jedna od sad vec pionirskih studija primene fraktalne analize u istraživanju kancera dojke, izvršena je 1998. godine od strane Einsteina i saradnika (Einstein et al. 1998). Ova studija primenila je fraktalnu analizu za numeričku deskripciju izgleda hromatina u citologiji epitelnih ćelija dojke dobijenih biopsijom za 19 pacijenata sa benignim epitelijalnim lezijama i 22 pacijenta sa invazivnim duktalnim karcinomom. Za svaki od pripremljenih preparata nezavisno je potvrDena dijagnoza od strane patologa i izvršena je akvizicija digitalnih fotografija pomocu mikroskopa opremljenog sa kamerom. Na svakoj slici je nasumicno odabrano jedno celijsko jedro i izvršena je segmentacija slike. U ovom istraživanju za karakterizaciju površine jedra normalnih i tumorskih ćelija korišcena jeMinkovski-Buliganova (Minkowski-Bouligand) i racunata je lakunarnost preko metode klizecih kvadrata(gliding box method). 14
Sli ka 9. Površina
jedra epitelijalne ćelije benignog tumora
Sli ka 10. Površina jedra
epitelijalne ćelije malignog tumora
Dimenzija Minkovskog za benigne tumore iznosila je 2,527 dok je za maligne bila 2,510 i ova razlika jeu maloj meri bila statisticki signifikantna (p=0.067). U slucaju lakunarnosti (Slika 11) dobijena je statisticki znacajna razlika između benignih i malignih slucajeva. Kao što se može i ustanoviti vizuelnim pregledom na slikama 10 i 11 , jedro malignih ćelija pokazuje mnogo izraženiju teksturu u 15
poređenju sa jedrom benigne ćelije. Lakunarnost u ovom slučaju se pokazala kao vrlo korisna dijagnosticka informacija koja karakteriše izgled hromatinske teksture. Za klasifikaciju izmeđ u benignih i malignih jedara primenjena je veštacka neuronska mreža sa internom metodom verifikacije (leave-oneout ) i tacnost klasifikacije iznosila je 95.1% slučajeva.
Sli ka 11. Dva
jedra epitelijalnih ćelija sa istom Minkovski-Buliganovom dimenzijom, ali sa razlicitom lakunarnošću – jedru na levoj strani odgovara veća lakunarnost.
2.3. Fraktalna analiza u dijagnostici kancera kože Dijagnoza melanoma u ranoj fazi je neophodna za njegovo praćenje, lečenje i smanjenje smrtnosti. Stoga za ove svrhe postoji posebna posvećenost tehnikama za ranu dijagnostiku, kao što su dermoskopija i razvijanje drugih poluautomatskih algori tama na osnovu analize različitih elemenata. Primenom box counting metode može se odrediti fraktalna dimenzija pigmentih kožnih lezija. Sto deset kožnih lezija je digitalno fotografisano tokom rutinskih kliničkih pregleda, a akvizicija slike je rađena u dermoskopskoj analizi samo kod lezija sa sumnjom na malignitet koje je trebalo ukloniti (obrađene su sve sumnjive lezije koje je trebalo ukloniti). Na osnovu histopatološke analize, 22 lezije su bile melanomi, 87 nevusi i jedna lentigo simplex, klasifikov ano kao što je navedeno u Tabeli 1. Naročito kod melanoma, deset je bilo intraepidermalno, 11 od 0,25 do 0,88 mm debljine po Breslowu i samo jedna debljine 1,88 mm. Na benignim uzorcima 48 je bilo identifikovano kao displastična forma. Izvršena je segmentacija slike. To je procedura koja omogućava razlikovanje i odvajanje onoga što treba da se ispituje u odnosu na celu sliku. Metod razlikovanja pigmentne lezije od okolnog tkiva se zasniva na njihovim različitim hromatskim karakteristikama. Prvo, najmanji kvadrat BL koji može da obuhvati celu leziju se manualno selektuje; B L obično sadrži i piksele zdrave kože oko lezije, a B H koji obuhvata samo zdravu kožu se manualno selektuje unutar B L. Kvalitet izvadjene ivice se zasniva na poređenju hromatskih osobina piksela u B H i piksela pigmentisane lezije koja se posmatra, tako da B H mora da se selektuje što je moguće bliže leziji i ne sme da sadrži melaninske mrlje. Odavde nadalje, algoritam implementiran u Matlab softver automatski radi na određivanju fraktalne d imenzije D. Zatim se izračunava histogram kože koji predstavlja broj piksela u B L u odnosu na intenzitet boje. Kako tri histograma, crveni, zeleni i plavi (RGB), uvek kvalitativno izgledaju slično, koristimo samo jednu komponentu, to jest crvenu, čiji najviši intenzitet u odnosu na ostale predstavlja tipičnu boju kože. 16
Najniža vrednost intenziteta piksela crvene komponente koji pripadaju zdravoj koži u B H predstavlja prag koji odvaja leziju od okolne kože. To znači da je svaki piksel u celoj slici sa vrednošću intenziteta crvene komponente većim od praga resetovan na nulu, a drugi pikseli, na primer pikseli lezije, se postavljaju na jedinicu.Slika se na taj našin preacuje u binarnu. Konačno, ivica lezije se izdvaja upotrebom filtera koji detektuje konture n a prethodno izračunatoj binarnoj slici
Slika 12:
Sli ka 13. Primena
Slika ivice koja prekriva originalni melanom
modifikovane metode brojanja u kvadratu na ivicu pigmentne kožne lezije (a) uobičajena metoda najmanjih kvadrata
Vrednosti procena D svake obrađene slike dobijene analiziranjem pigmentne kožne lezije ovom metodom su podeljene u tri grupe: obični nevus (nevus + 1 lentigo simpleks), nevus sa displazijom i melanom.. Statistički značaj različitosti između tri grupe je do bijen jednosmernom analizom odstupanja (univarijantna Anova), praćena post hoc metodama. Razlike su procenjene kao statistički značajne za vrednosti verovatnoće p≤0,05.
17
Slika 14. ANOVA
statistička metoda. Dobijene tri grupe.
(()) ( ) Linearna regresija svih procenjenih vrednosti D pokazala je da fraktalna dimenzija značajno raste od običnog nevusa do displastičnog nevusa i melanoma (p<0,05): grupa 1: običan nevus; grupa 2: nevus sa displazijom; grupa 3: melanom. 2.4. Multifraktalna analiza
Literatura: [1] Hausdorff JM, Peng C-K, Ladin Z, Wei JY, Gol dberger AL. Is walking a random walk?Evidence for long-range correlations in the stride interval of human gait. J Appl Physiol1995;78:349-358. [2] .... Prof. Ð. Koruga, hendauti Rana dijagnostika melanoma i karcinoma , Mašinski fakultet, Beograd, 2012 [3] Klonowski W., Stepien R., Stepien P., Simple fractal method of assessment of histological images
forapplication in medical diagnostics,Nonlinear Biomedical Physics, Vol.4, No.7, 2010
18
