El sistema de ecuaciones del método de desplazamientos, obtenidos tanto en la forma canónica, como en la forma descompuesta, contienen coeficientes en la diagonal principal, los cuales son positivos, es decir r ii > 0 . Los coeficientes ubicados en forma simétrica en el sistema de ecuaciones, son iguales, esto quiere decir, que r ik
r ki . En consecuencia, la matriz de los
=
coeficientes del sistema de ecuaciones siempre será simétrica. La solución del sistema de ecuaciones permite determinar los ángulos de giro y desplazamientos lineales de los nudos del pórtico dado, los cuales a su vez permitirán graficar los diagramas finales de fuerzas internas para el pórtico hiperestático dado. Tabla 6.1 Momentos en los apoyos de vigas hiperestáticas de un solo tramo Nº
Esquema de la viga y cargas
Fórmulas de cálculo
1
M ab
=
4i
M ba
=
2i
Vab
=
V ba
M ab
=
M ba
Vab
=
V ba
= −
M
M
V ba'
L
L2
' ba = −
= −
6i
12i
=
3
Vab'
L
= −
2
' ab = −
6i
=
wL2 12
wL 2
M 'ab = −PLuv 2 ' M ba
4
Vab'
= −
M 'ab
= −
Vab'
PLu 2 v
Pv 2 (1 + 2u )
V ba'
5
6
=
=
Pu 2 (1 + 2v) ' M ba
= −
= −
V ba'
=
PL 8
P 2
M 'ab
=
Mv(3u − 1)
' M ba
=
Mu (3v − 1)
'
Vab
=
'
V ba
145
= −
6M L
uv
Diagrama de momento flector
M 'ab 7
Vab'
M 8
' ab = −
' M ba
' M ba
=
V ba'
=
wL2
=
V ba'
10
Vab
13
M
= −
3 32
wL
=
3i
M ba
=
0
V ba
=
=
= −
= −
V ba
'' V ba
=
8
= −
146
L
3i L
=
3i L2
wL2 8 0
=
5
3i
0
=
'' ab = −
'' Vab
wL2
wL2
M ab
'' M ba
12
L
wL
32
M ba
11b
192
192
=
M ab
Vab
11 5
9
Vab'
1,5M
u 3 (2 − 1,5u )
= −
' M ba
4
u 2 (3 − 4u + 1,5u 2 )
6
M 'ab
11a
= −
6 wL2
=
M
=
wL
3 8
wL
M ''ab
PL
= −
'' M ba
Vab''
13
(3 − v 2 )
2
Pu 2
'' ba = −
V
M ''ab
= −
'' Vab
'' V ba
M 'ab' 15
=
V ba''
M
=
'' ab = −
Vab''
=
V ba'' M 'ab' '' Vab
=
= −
= −
57 128
8
M
=
0
−
u 3 (3 + v)]
u 3 (3 + v)
'' wL2 ; M ba
'' wL ; V ba
147
9
u 2 (2 − u ) 2
wL
128
0
= −
[8u
9
8
=
8
8
(1 − v 2 )
M
=
wL2
8
P
0
L
V ba''
wL
16
1,5M
'' M ba
17
5
=
'' M ba
Vab''
P
(1 − 3v 2 )
2
= −
16
18
16
M
M 'ab'
0
11
=
PL
16
=
'' M ba
Vab''
3
= −
=
(3 − u )
2
'' M ba
14
0
=
Pv
=
uv(1 + v)
2
= −
=
7 128
0
wL
M
wL2
'' ab = −
8
'' M ba
19
Vab'' " V ba
=
= −
wL
wL
v[8 − v(6 − v 2 )]
8
= −
7 128
'' M ba
Vab''
=
V ba''
21
Vab
22a
0
=
v 2 (6 − v 2 )
8
M 'ab'
20
v 2 (2 − v 2 )
0
=
23
wL
128
= −
41 128
M ab
=
0
M ba
=
3i
V ba
=
M ab M ba Vab
=
V ba
L
V ba''
L2
0
8 3 8
= −
148
3i
wL2
M
=
L
3i
=
=
'' ba =
Vab''
3i
0
=
22b
23
wL
= −
= −
M 'ab'
wL2
wL
5 8
wL
''
M ab
24
PL
'' M ba
=
Vab''
=
V ba''
uv(1 + u )
2
Pv 2 2 Pu
= −
2
M 'ab' '' M ba
25
Vab''
=
=
V ba''
M ab 26
(3 − u 2 ) 0
(1 − 3u 2 )
2
= −
(3 − v)
=
M
= −
0
=
1,5M L
M ba
Vab
=
V ba
M ab
=
M ba
M
=
' ab =
V ba
Vab'
=
0
=
6i
=
= −
12i
' ba = −
M
28
V ba'
=
2i
=
27
Vab
(1 − u 2 )
5 16
L wL2 32 wL
Nota: En la tabla 6.1, la rigidez por metro lineal i ab y la luz L ab de las vigas, son simbolizadas por i y L , respectivamente.
6.3 DIAGRAMA FINAL DE MOMENTO FLECTOR
Si se resuelve el problema en la forma descompuesta, entonces será necesario graficar previamente el diagrama de momentos en los nudos. Los momentos en los nudos se determinarán por las fórmulas 6.1, 6.2, 6.5 para los valores de los desplazamientos determinados del sistema de ecuaciones. En los tramos, donde existen cargas externas, será necesario agregar al diagrama de momentos en los nudos, el diagrama de momentos debido a la acción de las cargas externas, como si se tratase de una viga simplemente apoyada sometida a dichas cargas. En caso se utilice la forma canónica, el diagrama final de momento flector se construirá como una suma de diagramas, de acuerdo a la siguiente fórmula: 149
