Fórmulas del Operador Nabla.pdf

´ Algebra del operador nabla Operadores de primer orden Gradiente:

Divergencia:

Rotacional:

∇φ

=

∂φ ∂φ ∂φ ux  + uy  + uz ∂x ∂y ∂z 

∇·A

=

∂A x ∂A y ∂A z + + ∂x ∂y ∂z 

=



∇∧A

∂A z ∂y

−

∂A y ∂z 

  ux  +

∂A x ∂z 

−

∂A z ∂x

  uy  +

∂A y ∂x

−

´ n sobre productos Aplicaci´ Aplicacion o ∇(φψ ) ∇ · (φA) ∇ ∧ (φA) ∇ · (A ∧ B) ∇ ∧ (A ∧ B) ∇(A · B)

= ψ ∇φ + φ ∇ψ = ∇φ · A + φ ∇ · A = ∇φ ∧ A + φ ∇ ∧ A = (∇ ∧ A) · B − (∇ ∧ B) · A = A(∇ · B) + ( B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B = A ∧ (∇ ∧ B) + ( A · ∇)B + B ∧ (∇ ∧ A) + ( B · ∇)A

Operadores de segundo orden ∇ · (∇φ)

∇ ∧ (∇φ)

=

2

∇

= 0

φ  =

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(Laplaciano)

∂A x ∂y



uz

Resumen de f o ´ rmulas de coordenadas curvil´ıneas ortogonales x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ

 

x2 + y 2 = ρ  = r sen θ

 y =ϕ= y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ   arctg x z =

z

=

r cos θ

x2 + y 2 + z 2 =

ϕ   arctg

= z  = r cos θ

z

 

Diferencial de longitud: dr  =  h 1 dq 1 u1  +  h2 dq 2 u2  +  h3 dq 3 u3 dr  =  dxux  +  dy uy  +  dz uz dr  =  dρ uρ +  ρ dϕ uϕ  +  dz uz dr  =  dr ur  +  r dθ uθ  +  r sen θ dϕ uϕ

 

 

  + ρ2

 z 2 =  r

Vector de posici´ on:

 y arctg x

=

ϕ

Diferencial de volumen: dτ  =  h 1 h2 h3 dq 1 dq 2 dq 3 dτ  =  dx dy dz dτ  =  ρ dρ dϕ dz dτ  =  r 2 sen θdrdθdϕ

 

r  =  ρ uρ  +  z uz r  =  r ur

=ϕ

Delta de Dirac: δ (r − r ) = 



hy  = 1 hϕ  =  ρ hθ  =  r









δ (r − r )δ (θ − θ )δ (ϕ − ϕ ) r2 sen θ 



δ (r − r ) =



hz = 1 hz = 1 hϕ  =  r sen θ

δ (ρ − ρ )δ (ϕ − ϕ )δ (z  − z ) ρ 





δ (r − r ) =  δ (x − x )δ (y  − y )δ (z  − z ) 

 

δ (r − r ) =

δ (q 1  − q 1 )δ (q 2  − q 2 )δ (q 3  − q 3 ) h1 h2 h3 

hx  = 1 hρ  = 1 hr  = 1

Factores de escala: ∂ r hi  = ∂q i

r  =  x ux  +  y uy  +  z uz

x2 + y 2  ρ = arctg = θ z z





Gradiente:

1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ u1  + u2  + u3 h1 ∂q 1 h2 ∂q 2 h3 ∂q 3

∇φ  =

ux = cos ϕuρ − sen ϕuϕ = sen θ cos ϕur  +

cos θ cos ϕuθ − sen ϕuϕ uy  = sen ϕuρ  + cos ϕuϕ = sen θ sen ϕur  + cos θ sen ϕuθ  + cos ϕuϕ = cos θur − sen θuθ uz = uz sen θ cos ϕux + sen θ sen ϕuy  + cos θuz = sen θuρ  + cos θ uz = ur cos θ cos ϕux  + cos θ sen ϕuy − sen θuz  = cos θuρ  − sen θ uz = uθ = = uϕ uϕ − sen ϕux  + cos ϕuy

Vectores unitarios: 1 ∂ r ui  = hi ∂q i cos ϕux + sen ϕuy = uρ = sen θur  + cos θuθ uϕ − sen ϕux  + cos ϕuy  = uϕ = = uz  =cos θ ur − sen θuθ uz

∇φ  =

∇ ∧ A  =

1 h1 h2 h3

   

h3 u3

∂  ∂q 1

∂  ∂q 2

∂  ∂q 3

h1 A1

h2 A2

h3 A3

   

∇ ∧ A =

∇ ∧ A =

∇ ∧ A  =

1 r sen θ



1

∂A z ∂y

∂A z ρ ∂ϕ

∂A ϕ ∂z

−

 (sen ∂ 

−

θAϕ ) ∂θ

−

   +    +  1

∂A y ∂z

∂A x ∂z

ux

∂A ρ ∂z

uρ

∂A θ ∂ϕ

ur  +

r

−

−

∂A z ∂ρ

∇ · A =

h1 h2 h3



∇ · A  =

ρ

∂ρ

2

∇ · A  =

1 ∂ (r Ar )

+



2

∇

φ =

1 h1 h2 h3

  ∂  ∂q 1

∂A x ∂A y ∂A z + + ∂x ∂y ∂z

1 ∂ (ρAρ ) 1

2

∂A z + + ρ ∂ϕ ∂z

+

h2 h3 ∂φ h1 ∂q 1 ∇

1 ∂A ϕ

∂ (sen θAθ )

∂A y ∂x

uy

−

−

∂A x ∂y

∂  ρAϕ ) ∂ρ

ρ

∂  rAϕ ∂r

uθ  +

−

1 r





uz

∂A ρ ∂ϕ



uz

∂ (rAθ ) ∂r

−

∂A r ∂θ



uϕ

Laplaciano:

∂ (A1 h2 h3 ) ∂ (h1 A2 h3 ) ∂ (h1 h2 A3 ) + + ∂q 1 ∂q 2 ∂q 3

∇ · A =



uϕ

1 ∂A r sen θ ∂ϕ

Divergencia:

1

  +  1 (  +  ( )

∂A z ∂x

 1 ∂φ ∂φ ∂φ uρ  + uϕ  + uz ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

 1 ∂φ 1 ∂φ ∂φ ur  + uθ  + uϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ

∇φ  =

Rotacional: h1 u1 h2 u2

∂φ ∂φ ∂φ ux + uy  + uz ∂x ∂y ∂z

∇φ  =

2

∇

1

∂A ϕ

2

∇

φ  =

1 ∂ 

φ  =

φ =

1 ∂  ρ ∂ρ

  r2

∂φ

+



+

∂  ∂q 2



h1 h3 ∂φ h2 ∂q 2



+

∂  ∂q 3



h1 h2 ∂φ h3 ∂q 3

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

  ρ

∂φ ∂ρ

1

+ ∂ 

1 ∂ 2φ 2

ρ ∂ϕ



2

sen θ

+

∂φ

∂ 2φ ∂z 2



+

1

∂ 2φ

