Escuela Superior Politécnica Del Litoral
Teoría y Ejercicios Autor:
Jasmany Barba Sánchez “Métodos y Estrategias para Resolución de problemas”. problemas”. Cursos vacacionales de Materias de ESPOL, Clases Particulares y grupales, preparación para el examen examen del senescyt, Nivelación de estudiantes estudiantes de escuela y colegio y Control de tareas.
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2014-2015 Jasmany Barba Sánchez
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Contenido 1er Parcial 1) Definición de Ecuación Diferencial. 2) Definición de Solución de una Ecuación Ecuaci ón Diferencial. 3) Ecuación diferencial de variables separables. 4) Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden.
4.1) Caso Homogéneo. 4.2) Teorema 1 4.3) Caso no Homogéneo o Método Clásico. 4.4) Método de la Solución Complementaria y Particular. 4.5) Ecuación de Bernoulli. 4.6) Teorema de Existencia y Unicidad. 4.7) Ecuación Diferencial Exacta. 5) Ecuación Diferencial No Lineal Homogénea. 5.1) Ecuación diferencial polinomio para polinomio. 5.2) Ecuación Diferencial de la forma y’=f(ax+by+c) . 6) Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden. O rden. 6.1) Cuando no depende de “ X ”. 6.2) Cuando no depende de ” Y ”.
6.3) Wronskiano. 6.4) Forma General de una E.D.O de Segundo Orden. 6.5) Teorema de Abel. 6.6) Teorema de la Solución General de una E.D.O de Segundo Orden. 6.7) Teorema de Reducción de Orden. 6.8) Método de Coeficientes Contantes. 6.8.1) Raíces Iguales. 6.8.2) Raíces no Iguales. 6.8.3) Raíces complejas. 6.9) Ecuación Diferencial Ordinaria de Cauchy-Euler. 6.10) Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden Lineal no Homogénea. 6.11) Teorema de Independencia o Dependencia. 6.12) Teorema de Existencia y Unicidad. 6.13) Método de Variación de Parámetros. 6.14) Método de Coeficientes Indeterminados. 7) Principio de Superposición. 7) Principio de Superposición. 7.1) Teorema de Solución de una E.D.O. 7.2) Método de Coeficientes constantes. 7.3) Método de Variación de Parámetros. 7.4) Teorema de Independencia o Dependencia. 7.5) Método de Coeficientes Indeterminados. 8) Ecuación Diferencial Ordinaria de Orden Superior. 9) Solución de Series de Potencias para EDO Lineales (Taylor). 10) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer O rden 9.1) Aplicaciones para Física. 9.2) Crecimiento y Decrecimiento. 9.3) Aplicaciones para Quimia. Jasmany Barba Sánchez
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1)
Ecuación Diferencial.
Definición: Es una ecuación que contiene la o las derivadas de una o más funciones desconocidas,
relacionadas con otras constantes y variables. Ejemplos: a)
b)
c)
d)
2)
Solución de una Ecuación Diferencial.
Definición: La solución de una ecuación diferencial es una función continua con derivadas continuas
en algún intervalo o dominio común, tal que al reemplazar a la función y a sus derivadas en la ecuación, la misma se reduzca a una identidad. Ejemplo: a)
b)
Nota: Estos son ejemplos con ecuaciones diferenciales de orden 2, ya que podemos tener de orden “n”.
3)
Ecuación diferencial de variables Separables.
El orden de una ecuación diferencial lo proporciona la derivada mas alta presente en la ecuación, además se dice que una ecuación diferencial es ordinaria si la función o funciones desconocidas son de una variable independiente y solo una. Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de variables separables, si es de la
forma:
Estrategia de Solución:
Nota: Las funciones p(x) y q(x) son datos del problema.
El objetivo es encontrar una función tal que:
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continua con derivada continua. Ambas en un intervalo I,
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I.
Enviamos a multiplicar el respectivo diferencial con la función la cual solo dependa de la variables del diferencial que se está multiplicando.
II.
Anti-derivamos a ambos lados.
III.
Suponga que P(x) y Q(y) sean anti derivadas cualesquiera, luego:
La solución general implícita.
Observación: Otra presentación de la E.D.O de primer orden con variables separables es:
Dividimos todo para
.
4)
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden.
Es importante tener en presente que una E.D.O de primer orden, sea lineal o no lineal, es de la forma:
Donde
es dato del problema y
.
Una E.D.O lineal de primer orden tiene la siguiente presentación:
Donde
son datos del problema, dividimos todo la ecuación para
. .
; Ecuación Canónica.
4.1) Caso Homogeneo.
En este caso tendremos que g(x)=0 y la ecuación diferencial nos queda de la siguiente manera:
Note que la ecuación diferencial se presenta como una E.D.O de variables separables.
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|| ∫
|| || || ,
Por lo tanto la solución general (familia de soluciones) de
Reescribiendo la ecuación:
Entonces:
, es:
Solución general implícita de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden. Es implícita ya que no se conoce el valor de .
4.2) Teorema 1. El conjunto que contiene todas las soluciones de la E.D.O lineal homogénea de primer orden:
Es un espacio vectorial con las operaciones tradicionales entre funciones de variable real (adición y multiplicación por escalar). Además el conjunto B= { } donde:
Es una base para dicho espacio vectorial por lo que la solución general de la E.D.O es:
4.3) Caso No Homogeneo ó Método Clásico.
En este caso tendremos que g(x) 0 y la ecuación diferencial nos queda de la siguiente manera:
, -,- ,-
Note que la ecuación diferencial ya no es de variable separable. En este caso se buscara una función llamada llamada factor integrante. De la condición:
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Integramos a ambos lados.
∫ , -,-
Entonces la solución general de explicita de la lineal No homogénea de primer orden es:
Ahora hallamos
Distribuimos y simplificamos.
Se tiene una E.D.O lineal de primer orden, entonces:
Como no queremos la familia de funciones, entonces
.
Ecuación de uso directo.
4.4) Método de la Solución Solución Complementaria Complementaria y Particular Particular. Este método se utiliza para resolver la E.D.O no homogénea lineal de primer orden. o rden.
∫
Recordando la solución general anterior, se tiene que:
Realizando la siguiente equivalencia:
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Problema de examen:
Sustituimos X=u y Y=v , para evitar evitar errores. errores.
Observación: Este problema tiene un error con los valores de “k y h”, los valores correctos son “k= -2 y h=1”, el procedimiento esta correcto solo que al volver a las variables originales cambia un poco la
solución:
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| | |
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6) Ecuación Diferencial de segundo Orden Una ecuación de este tipo tiene la forma general. y” = f (x, y, y’)
6.1) ¿Qué ocurre si f NO depende de X? Y” = f (y, y’)
Se recomienda el cambio de variable w= y’
y ” =
(y’)
y ” =
Luego: y ” = f (y, (y, y’)
w
(w)
Regla de la Cadena =
= f (y, w)
f (y, w)
g (y, w)
y” = w
= g (y, w )
EDO de primer
Orden 6.2) ¿Qué ocurre si f NO depende de Y? y ” = f (x, y’) Se recomienda el cambio de variable:
w = y’
Luego:
y” = f (x, y’)
6.3) Wronskiano
Independiente Dependiente
EDO de primer Orden
Definición: Sean f y g funciones de la clase
para todo x
Se define el Wronskiano de f y g, denotado Se
,
como: como:
Observación:
Suponga que f y g son funciones linealmente dependientes en el intervalo
Luego:
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, , - , -
6.4) Forma General de una EDO de Segundo Orden Es una ecuación de la forma: Forma General:
Forma estándar o canónica:
El objetivo es encontrar una función ecuación diferencial. Además suponemos que Si
Si
=0 =0 para toda
de de clase
en un intervalo abierto , que satisfaga la son funciones continuas en
se tiene la EDO lineal homogénea de orden dos:
0, se tiene la EDO lineal NO homogénea de Segundo Orden:
6.5) Teorema de ABEL ó Identidad de ABEL Sean
soluciones de la EDO:
(Lineal homogénea de 2do Orden)
En un intervalo donde además:
Las funciones
son son continuas.
Luego, por hipótesis:
Recordar:
]
(
Note que:
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=(
=
Se tiene entonces la EDO:
=
FORMULA DIRECTA
Conclusión:
Para dos soluciones
de la lineal homogénea de segundo orden ocurre que:
(1) El Wronskiano se anula en todo punto del intervalo
es es decir:
(2) El Wronskiano no es cero en ningún punto del intervalo
es es decir:
En otras palabras, el Wronskiano se anula en todo punto de o o nunca se anula.
6.6) Teorema de la Solución General de una EDO de Segundo Orden El conjunto que contiene todas las soluciones de la EDO:
+ Lineal homogénea de Segundo Orden
En un intervalo donde además son funciones continuas en un espacio vectorial de dimensión son igual a 2 con operaciones usuales entre funciones. Sea B= { una base de dicho espacio vectorial. una Entonces la solución general de la EDO es la combinación lineal arbitraria:
6.7) Teorema del Método de Reducción de Orden Sea
una solución no nula de la EDO lineal homogénea de Segundo Orden: una
En un intervalo donde donde las funciones son continuas. Se desea encontrar otra solución son de de forma tal que sean linealmente li nealmente independientes.
en
Nota: La función nula es solución de la lineal homogénea de Segundo Orden.
Se va a suponer que:
De forma abreviada: Jasmany Barba Sánchez
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Reemplazamos:
, , - ,, - Es CERO ya que
Luego:
es una solución de
Cambio de Variable:
Reemplazamos:
(Lineal homogénea de Primer Orden)
, . /-
Suponemos K=1 debido a que se busca una solución
particular: particular:
,. /- || ./ .
. .
.
()
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Formula del Método de Reducción de Orden
∫
6.8) Métodos de Coeficientes Constantes
∫ ./ ./ ./
Se va a estudiar la EDO:
Donde a, b y c son constantes (a, b y c no dependen de x) Suponga que la solución es de la forma:
Luego:
Reemplazamos:
Existen 3 posibles escenarios:
(1) Raíces Reales Iguales ( (2) Raíces Reales NO Iguales ( (3) Raíces Complejas Conjugadas ( 6.8.1) Raíces Reales Iguales Ahora suponemos que:
Se necesita encontrar una segunda solución de de tal forma que sean Linealmente Independientes.
Debemos aplicar entonces el método de Reducción de Orden. O rden.
La ecuación Diferencial. (Recordar que la forma de Reducción de Orden aplica cuando la ecuació n está en su forma canónica)
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De la ecuación cuadrática
√ . / ∫ ∫ , se tiene que:
Pero
Uso directo:
La solución General:
6.8.2) Raíces NO iguales Sean
raíces reales diferentes
entonces, tenemos 2 soluciones para la EDO:
¿Son linealmente Independientes en algún intervalo ? ? Calculamos el Wronskiano:
Son Linealmente Independientes
.
La solución general es:
6.8.3) Raíces Complejas. Sean las raíces complejas conjugadas de Entonces:
.
Usando la ecuación de Euler:
Para todo
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Luego de utilizar la ecuación de Euler se obtiene la solución general:
,
Se puede proba que simplemente verificando que:
y y
, ,
Nota: Para la EDO:
son linealmente independientes. En cualquier intervalo , son
] ]
, siempre podemos encontrar dos soluciones linealmente
independientes. En algún intervalo .
6.9) E.D.O de Cauchy-Euler. Se trata de una ecuación lineal de la forma:
;
“EDO de segundo orden con coeficientes co eficientes variables”
Esta ecuación se puede convertir en otra EDO con coeficientes constantes mediante el cambio de variable:
(La nueva variable independiente será ‘’z” y dejara de ser “x”).
Entonces se obtiene la siguiente ecuación:
“EDO de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes.”
6.10) E.D.O de segundo orden lineal No Homogénea.
Sea la E.D.O:
Donde p(x), q(x) y g(x) son funciones continuas en . Entonces la solución general de la ecuación anterior se puede escribir como:
Donde , conocida como la “solución complementaria”, es la solución general de la homogénea correspondiente.
La solución particular .
, es una solución cualquiera de la no homogénea
Es decir que :
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Donde correspondiente.
son dos soluciones linealmente independientes.
de la homogénea
6.11) Teorema.
Sean
dos soluciones en un intervalo de dos de la E.D.O:
Donde las funciones p(x) y q(x) son continuas
. Se cumple que:
I.
Las funciones
son son L.I en si si y solo si
II.
Las funciones
son son L.D en si si y solo si
.
6.12) Teorema de Existencia y Unicidad. Sea la ecuación diferencial ordinaria:
Suponga que: Donde continuas.
y
son reales y el punto
, donde además las funciones p(x), q(x) y g(x) son funciones
Entonces el problemas de valor inicial Tiene solución
y dicha solución es Única.
6.13) Método de Variación de Parámetros.
El objetivo de este método es de encontrar una solución particular homogénea de segundo orden.
Sean
para la E.D.O lineal No
dos soluciones L.I. En un intervalo para dos para la homogénea correspondiente.
Suponemos que ya conocemos
, entonces.
Se va a suponer que:
Para hallar
y
resolvemos el siguiente sistema ya analizado previamente.
Debemos chequear que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea distinto de cero.
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; ya que el supuesto era que
son L.I.
Utilizando la regla de Cramer.
∫
y
∫
6.14) Método de Coeficientes Indeterminados.
Es otro método que permite encontrar la solución particular
de la E.D.O lineal no homogénea.
Sin embargo es un método que presenta ciertas limitaciones, es decir NO aplica a toda ecuación como lo hace el método de variación de parámetros. El método de coeficientes indeterminados únicamente se usa si: 1) La E.D.O homogénea correspondiente es de coeficientes constantes.
2) La función
N°
1 2 3 4 5 Ó
6
debe ser una de las funciones que se encuentra en la siguiente tabla.
Ó
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( (No se conocen las constantes)
(
)
+
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* + 7
Ó
+
se debe multiplicar por el Nota: en cualquier caso (1 al 7) de la tabla, la solución particular factor donde “s” es el mínimo valor del conjunto tal que no existe conflicto entre tal con .
En otras palabras que correspondiente.
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no sea una combinación lineal de las soluciones L.I de la homogénea
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7) Principio de superposición.
/ . / ( ) . ( ) ( ) ( ) ∑ ( )
Suponga que
son soluciones particulares, respectivamente de las ecuaciones: son ecuacio nes:
. .
Entonces por hipótesis:
. .
Si sumamos las n ecuaciones:
Por el teorema de linealidad de la derivada.
Donde nos damos cuenta que: particular de la E.D.O
, es una solución
Ejemplo:
Resuelva lo siguiente:
1. Solución complementaria.
0
; Raíces no idénticas, entonces la solución para la E.D.O es: R:____
2. Solución Particular:
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( ) Reemplazando en la ecuación original:
Es una combinación lineal entonces igualamos término t érmino a término:
Ahora hallamos la solución particular
Reemplazando en la ecuación original:
Es una combinación lineal entonces igualamos término t érmino a término:
Las solución general de la E.D.O es:
R:
8) E.D.O Lineales de Orden Superior. Una E.D.O lineal de orden “n” en su forma general tiene la siguiente presentación:
Entonces en su forma canónica la E.D.O lineal de orden “n” es:
Si Si
entonces se tiene la lineal homogénea de orden “n”. entonces se tiene la lineal No homogénea de orden “n”.
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Teorema
El conjunto de todas las soluciones de la lineal homogénea de or den “n”.
* +
Es un espacio vectorial de dimensión “ n”.
Sea una base de dicho espacio vectorial. Las soluciones una intervalo Ω son linealmente independientes, donde además las componentes funciones continuas. Entonces, la solución general de la E.D.O es la combinación lineal arbitraria.
en un de de la E.D.O son
8.1) Coeficientes Constantes de orden “n”.
Suponga que se tiene una E.D.O lineal homogénea de orden “n” con coeficientes constantes. Suponemos
entonces que la solución es de la forma:
;
,
,
,…..,
Reemplazamos en la ecuación:
. .
,es el polinomio característico de la E.D.O de grado “n” en términos de “r”. cada raíz debería
aportar con una solución L.I para la E.D.O homogénea.
Supóngase que
es de coeficientes reales. El teorema fundamental del algebra, dice que entonces es
tiene “n” raíces entre reales y c omplejas, de ser complejas estas se presentan en pares conjugadas.
Una vez encontradas todas las “n” valores de de “r”, tales que
, para determinar las “n”
soluciones L.I de la E.D.O homogénea.
8.1.1) Caso I (Raíces Distintas).
Suponga que , son K soluciones de multiplicidad uno, entonces:
,
; reales distintas dos a dos con
. .
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8.1.2) Caso II (Raíces Iguales). Suponga que entonces:
, tiene una raíz
repetida K veces (es decir que la multiplicidad de
es igual a k),
. .
, -
8.1.3) Caso III (Raíces Complejas). Suponga que ( ). Entonces:
son dos raíces complejas conjugadas de son
, cada una, de multiplicidad k
¡2 k soluciones linealmente independientes para la E.D.O homogénea! Por ejemplo:
Las soluciones serán las siguientes:
Teorema La solución general de la E.D.O lineal no homogénea de orden “n” se la puede expresar como:
= solución complementaria o de la homogénea correspondiente. = = solución particular de la no homogénea.
Donde la solución complementaria
es la solución general de la E.D.O lineal homogénea es una solución particular de la misma E.D.O no correspondiente de orden “n”, mientras que homogénea.
8.2) E.D.O de Cauchy - Euler orden “n”.
Vamos a suponer que es una ecuación diferencial de grado n=3, entonces son el cambio de variable
,
su derivada
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, haciendo la demostración respectiva se obtiene: o btiene:
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∫ ∫ ;
(E.D.O de Coeficientes constantes)
8.3) 8.3) Variación de Parámetros de orden “n”. Supóngase correspondiente.
, son “n” solucio nes linealmente independientes de la homogénea
;
Suponemos que:
Se necesitaran “n” ecuaciones para encontrar las “n” parámetros:
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
. . .
Recordar que la E.D.O a resolver debe estar en su forma canónica.
. . .
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∫
Es importante suponer la solución y colocar el sistema de ecuaciones con sus respectivas derivadas, y tenemos que hallar el wroskiano. Teorema
Sean
, soluciones linealmente independientes dela E.D.O:
E.D.O lineal homogénea de orden “n”. en un intervalo Ω donde también las funciones , son continuas Entonces, .
Nota: El reciproco del teorema también verdadero.
8.4) 8.4) Coeficientes Indeterminados de orden “n”. En este método no hay mucha variación lo único que cambia es cuando hallemos la homogénea correspondiente por que se podría hallar por medio de coeficientes coeficientes constantes o el método de cauchy – euler, mientas para hallar la no homogénea podemos utilizar el método de superposición y luego procedemos con lo mismo que se estudió para par a coeficientes indeterminados para grados n=2. Observamos en la tabla la componente y hacemos lo lo mismo para orden de n=2.
Ejemplo:
Resuelva
1. Solución complementaria.
2. Solución particular.
Reemplazamos
en en la ecuación:
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Reemplazamos
en en la ecuación:
Tenemos una combinación lineal y por ende podemos hallar A y B.
La solución es:
9) Solución con Series de Potencias para E.D.O Lineales. Definición: se dice que la función
se se puede representar con una serie de potencias de (x-a) que tenga un radio de convergencia positivo o infinito.
Es decir:
de variable real es analítica en “a”. si
(cantidad finita), se tiene convergencia
Observación:
1. Un polinomio de grado “n” es analítico para toda 2. Una función racional es analítica en , siempre que . (a no debe ser una raíz del polinomio del denominador o de cualquier función que haga que la función racional sea una indeterminación.)
9.1) Punto Ordinario. Se dice que “a” es un punto ord inario de la E.D.O:
Si las funciones
.
, son analíticas ambas en “a”. si una de ellas no es analítica o si ninguna lo es,
decimos que “a” es un punto singular.
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9.2) Teorema del Punto Ordinario.
, es decir que p(x) y q(x)
Sea “a” un punto ordinario de la E.D.O: son analíticas en “a”.
Entonces, al suponer la solución de la forma:
Se puede encontrar 2 soluciones son funciones continuas y las soluciones son un radio de convergencia positivo o infinito.
Observación:
, en un intervalo Ω donde
se expresan en series de potencias con se
Aplicando derivada termino a término:
Problema de Examen:
Halle la solución general de la ecuación homogénea de segundo orden por medio de series de potencias de X, halle las soluciones linealmente independientes y si en caso de hallar una sola utilice otro método para hallar la segunda solución L.I.
1. Pasamos la ecuación a la forma canónica para poder observar a
y verificar que sean
analíticas en “0”.
, son analíticas en “0”.
2. Suponemos la solución y derivamos dos veces la misma.
Al derivar los iteradores n=i se corren en una unidad.
3. Reemplazamos la solución y las derivadas en la ecuación original, no en la canónica, distribuimos.
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4.
Ingresamos la “x” a las sumatorias.
.
Observamos que al comenzar a evaluar los valores de “n” para cada serie, se pued e ver que algunos arrancan en n= 2 , n=1 y n=0 n=0 , pero lo importante es ver que exponente exponente de “x” se tiene al evaluar evaluar el , en este caso primer valor de “n” para cada serie, y nos damos cuenta que unos arranca en
elegimos el que tenga mayor exponente es decir
y realizamos los siguientes cambios de variables con
el objetivo de que todas arranquen con un solo exponente de “x” y un mismo iterador que en este caso es “n” sin su cambio de variable.
a rranque en un solo exponente. 5. Soltamos términos para que todos arranque .
el mismo, entonces 6. Vemos que ahora todos los exponentes de “x” al evaluar los valores de “n” dan el realizamos el cambio de variable, para no arrastrar muchas variables asumiremos que es “k” para todas las series. o o o o
, -
7. Luego reemplazamos “k” en las series, agrupamos lo s términos que contengan a “x” del mismo grado, extraemos el operador sumatoria y factorizamos “ ”.
si tenemos más de dos términos igualmente lo igualamos a cero. 8. Igualamos a cero ambos términos, y si ; (Ecuación de relación)
De esta ecuación despejamos el coeficiente “C” que tenga el máximo s ubíndice.
;
; (Ecuación de Recurrencia).
9. Ahora evaluamos la ecuación de recurrencia desde k=1 ya que de “1” parte las series, y asi hallamos
las demás relaciones. Jasmany Barba Sánchez
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;
Se puede notar que la estructura de los coeficientes es: en n=0 y n=1 n=1 ya que no existen existen relaciones para
, pero excepto
.
10. Finalmente colocamos la solución y comenzamos a soltar términos.
Nos damos cuenta que en la serie nos hace falta un termino
Entonces lo que vamos hacer es colocar la serie de serie.
, para poder decir que esa serie es
.
y luego restamos el término que le sobra a dicha
La solución de ecuación diferencial de segundo orden con ;
es:
ó
;
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10) Aplicaciones E.D.O de Primer Orden.
Física.
Se lanza con una velocidad inicial un objeto de masa , desde una altura “ H”, a la caída se opone una fuerza de fricción ó de amortiguamiento , normalmente suponemos que:
La fuerza de fricción es directamente proporcional a la velocidad instantánea, con la que el objeto cae.
H
;
(E.D.O lineal no homogénea de 1er orden)
,∫ ;
; (Ecuación modelo).
∫ ∫ . / . / Sabemos que
; (Ecuación modelo)
A la constate se la puede hallar por medio de datos que nos del problema como la velocidad limite, l imite, etc., o el mismo problema nos da el valor de .
Los problemas pueden tener variantes como cambiar la forma de la fuerza de fricción, ejemplo:
, todo depende de cómo planteen el problema. Jasmany Barba Sánchez
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Crecimiento y Decrecimiento.
Suponga que una variable “
”, depende del tiempo. ”,
¿Qué representa ? La razón de cambio ó la tasa con la cual
cambia o varía conforme transcurre el tiempo . cambia
(+):
Aumenta conforme pasa el tiempo. Aumenta
(-):
Disminuye conforme pasa el tiempo. Disminuye
La E.D.O es entonces:
= cantidad que se tiene de “ ” en un tiempo .
La solución de la ecuación diferencial es:
Supóngase que
Para resolver los problemas hay que verificar que las condiciones se están dando crecientemente o decrecientemente, para poder comprobar con la ecuación que se ha obtenido.
. /
; Ecuación decreciente. ; Ecuación Creciente. Creciente.
Variantes del método. Se representara las variantes por medio de un sencillo ejemplo: El virus se propaga en la población, hay que ver la razón o tasa lo cual aumenta la cantidad de infectados. Población con N habitantes Infectados
en en un tiempo t.
<
La ecuación se la plantea de la siguiente manera:
,-
Tasa de cambio.
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Infectados en un tiempo t.
No infectados en un tiempo t.
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Se proporciona como datos:
; sirve para hallar la constante de integración. ; sirve para hallar la constante de proporcionalidad.
Química.
Una aplicación de mezclas. Se desea fabricar un compuesto, para hacerlo necesitamos “n” sustancias.
Suponemos que se necesita una unidad de cada sustancia para producir una unidad de compuesto. La tasa con la cual se produce el compuesto es proporcional al número de unidades no usadas para el compuesto. Suponga que al iniciar el procedimiento de transformación se tienen de las “n” sustancias, respectivam ente.
unidades de cada una
Sea el número de unidades del compuesto que se ha elaborado en un tiempo t. quiere decir que se el han utilizado número de unidades de una sustancia y para producir “n” unidades del compuesto en este tiempo t. Entonces, la E.D.O que modela este problema es:
∏,
tasa de transformación del compuesto es proporcional al producto de las unidades No transformadas de cada una de las sustancias.
,( )()( ) , - ∫ ∫
Sin embargo en algunos problemas ocurre que:
Obviamente al inicio
Temperatura.
Se sabe suponer la siguiente ecuación diferencial:
ó
La tasa de cambio de temperatura es directamente proporcional a la diferencia de la temperatura en algún tiempo y la temperatura del amiente o del entorno donde se encuentra el suceso. Siempre se toma como cuando la temperatura comienza a cambiar, hallar A, y nos darán otros dato como que nos servirá para ha llar “k”.
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, con esto podremos
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Circuitos RC y RL.
Para la parte de circuitos las ecuaciones diferenciales modelos son, por lo general ya nos dan todos los datos y solo nos toca anti derivar. Circuito RL:
A veces la función
puede ser constante o una función cualesquiera.
Circuito RC:
A veces la función
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puede ser constante o una función cualesquiera.
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Problemas
1)
Variables Separables.
Tenemos que darnos cuenta si al maniobrar un poco la ecuación podemos obtener una E.D.O de variables separables y si lo obtenemos procedemos a resolverla.
2)
Jasmany Barba Sánchez
;
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3)
√
Cambio de Variables
√ √ ∫ √ ∫
Dado que la identidad trigonométrica es
Anti-derivamos a ambos lados, con sus respectivas constantes:
La solución de la ecuación diferencial es:
4)
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5)
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Primer Orden.
La solución explicita es:
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,- Página 39
6)
, , -
Se puede observar que se trata de una ecuación no lineal de Bernoulli y tenemos que realizar el cambio de variable: ; este método es el más extenso ya que no utilizaremos la ecuación de uso directo si no paso a paso como si fuera un problema simplemente con un cambio de variable.
Nota: Hay que tener cuidado porque algunas veces hay problemas en la cual parecería
que es factible resolver por variables separables y eso nos lleva al error, pos tenemos que tratar de llevarla a la formas que estudiamos previamente previamente y si lo logras procedes a utilizar el método.
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7)
Este problema lleva algunas confusiones ya que algunos estudiantes tienden pensar que se puede resolver por variables separables, pero la forma más sencilla es por Bernoulli.
././ ; Donde
, entonces procedemos procedemos a realizar el cambio de variable:
, entonces; Algunos profesores permiten que los estudiantes puedan utilizar la ecuación directa previa la demostración: Cambio de variable
Entonces tenemos una ecuación diferencial no homogénea.
+ C + C
∫ ∫ ,
Recordando el cambio de variable: La Solución de la ecuación es: 8)
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9)
. /. /
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10)
. /
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11)
Ecuación Diferencial No Lineal Homogénea.
. /
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12)
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13)
Se puede observar que no tiene la forma común de la ecuación polinomio para polinomio pero si nos damos cuenta solamente está puesto de otra manera solo basta con una simple manipulación algebraica y obtenemos la forma esperada:
14)
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15)
16)
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17)
Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden
Si nos damos cuenta falta la variable “y”, entonces aplicamos el método de resolución apropiado:
La solución de la ecuación diferencial es: 18)
En este caso nos damos cuenta c uenta que la variable que hace falta es la “x”, entonces utilizamos el método
apropiado:
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19)
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20)
Se puede notar que la ecuación es de coeficientes variables y además cumple una característica muy importante, que es la de cauchy-euler, entonces procedemos a aplicar el método que es mediante un cambio de variable pasar de coeficientes variables a coeficientes contantes: Cambio de variable
Ahora podemos resolverla por el método de coeficientes constantes.
; raíces iguales. Entonces colocamos la solución previamente demostrada. Volvemos a la variable original. ;
21)
, - ./
./
Bueno este problema no es difícil pero lleva a la confusión donde evaluar , ya que la ecuación está dada por tramos y como sabemos sabemos los valores iniciales nos sirve casi para hallar constantes pero hay hay que ver a simple vista que tendremos dos soluciones pero en si es una sola pero por tramos y por ende tendremos 2 constantes.
La cuestión es observar donde se nos hace más fácil manejar ese , si la utilizamos donde intervenga funciones trigonométricas nos será más sencillo manipular y hallar el valor de la constante que se busca. o
Primeramente trabajaremos para
, -
.
|| ∫ ∫ ∫
La colocamos en su forma canónica para proceder a resolver; Es una ecuación lineal no homogénea y la podemos resolver por el método del factor integrante; ; Entonces,
Integración por Partes
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, - ./ ./ ./ -
Ahora evaluando el valor de , vamos hallar el valor de C;
Se preguntaran porque el límite del intervalo cambio, es por simple inspección que se puede ver que la solución no está definida para “0”. o
|| ∫ ∫
Ahora con el intervalo
; ya colocándola en forma canónica también procedemos a
resolver de forma idéntica que lo anterior;
.
; Entonces,
, Integración por Partes
Ahora se preguntaran y como hallo el val or de “ ”, simplemente recordaremos las definiciones de continuidad y procedemos a evaluar las dos soluciones en el mismo punto de continuidad que es .
La solución general explicita es:
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22)
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23)
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24)
Este problema se nos va a complicar un poco si no sabemos o no recordamos el principio de superposición que para este tipo de problemas es importantísimo ya que si lo resolvemos por variación de parámetros nos tocara una componente “g” muy fea y si lo queremos resolver por coeficientes indeterminados no es posible porque la componente “g” no se encuentra en la tabla.
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25)
Nos dan dos soluciones de la homogénea correspondiente lo cual nos lleva a concluir que debemos hallar las particulares pero ahora hallaremos las soluciones por el método de variación de parámetros.
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La solución de la ecuación es;
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26)
homogénea correspondiente es: solución
y una solución solución de la
, use el teorema de Abel para hallar la
.
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27)
Ecuaciones diferenciales de orden superior.
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28)
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29)
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30)
Se puede observar que la ecuación es de coeficientes variables, entonces nos lleva a la conclusión que podemos utilizar el método de cauchy-euler. Y recordando la forma general que se debe presentar las ecuaciones: y haciendo el cambio de variable correspondiente para pasar a coeficientes constantes es y .
La solución de la ecuación diferencial es;
Aplicaciones.
31) Una taza de Té caliente que estaba inicialmente a 95°C, se enfría y llega a 80°C en tan
solo 5 min, mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21°C. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50°C.
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32) Supóngase que un alumno de la universidad Laica de Guayaquil es portador del virus
H1N1 y a pesar que él va a la universidad donde hay 5000 alumnos. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solamente a la cantidad de infectados sino también a la cantidad que aún no están infectados. Determine la cantidad de alumnos con el virus a los 6 días después de que comenzó a propagarse, si se observa que a los 4 días la cantidad de contagiados era de 50.
33) Un objeto que pesa 30kg se deja caer desde una altura de 40m, con una velocidad de
3m/s. Supóngase que la resistencia puesta por el aire es proporcional a la velocidad del cuerpo cayendo. Se sabe que la velocidad limite debe ser 40m/s. Encuentre la expresión que describe la velocidad en un tiempo cualesquiera. La posición del cuerpo en un tiempo t.
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Contenido 2do Parcial
1) Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares. 2) Transformada de Laplace. 2.1) Transformada de una constante. 2.2) Transformada de una exponencial. 2.3) Transformada de 2.4) Transformada de escalón. 2.5) Teorema de Linealidad. 2.6) Transformada de seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico.
2.7) Primer Teorema de Traslación en el eje “s”.
3) 4)
5) 6) 7)
2.8) Segundo Teorema de Traslación en el eje “t”. 2.9) Transformada Inversa de Laplace. 2.10) La Derivada de la Transformada de Laplace. 2.11) Transformada de Laplace de la Derivada. 2.12) Transformada de Laplace de Funciones Periódicas. 2.13) Teorema de la Convolución de Funciones. 2.13.1) Corolario (Transformada de la Integral). 2.14) Transformada de Delta de Dirac. 2.15) Propiedad Filtro. 2.16) Condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Laplace. 2.17) Función Gamma. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. 4.1) Método de Eliminación. 4.2) Método de Operadores Operadores Diferenciales. 4.3) Método de Laplace. 4.4) Método de Valores y Vectores Propios. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Series de Fourier Ecuaciones en derivada parciales
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1) Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares. 5.1) Punto Singular Regular Definición: Sea “a” un punto singular de la E.D.O:
Si las funciones:
, Son analíticas en “a”, se dice que “a” es un punto singular regular.
Sí “a” NO es singular regular, llamamos al punto “a”, un punto sin gular irregular. U otro método o forma de saber si es punto singular regular es aplicando un límite en el punto “a”.
y
Ya que en los problemas que resolveremos la mayoría son en el punto “0” entonces
y nos quedaría:
Si estos límites no dan indeterminación el punto será singular regular y se procederá a resolver la ecuación diferencial.
5.2) Teorema de Frobenius.
Sea “a” un punto singular regular de la E.D.O:
Al suponer la solución de la forma:
Podemos encontrar al menos una solución no nula expresada como una serie de potencias de (x-a) con un radio de convergencia positivo positivo o infinito. Observación:
1) El valor de “r” se debe encontrar dependiendo dependiendo del problema a resolver. Para una E.D.O de orden 2 se debe encontrar una ecuación cuadrática en términos de “r” (se conoce como ecuación de la singularidad). Para encontrar los valores posibles para “r”. (las cuales se conoces como raíces
indíciales ó raíces de la singularidad). 2) Al suponer esa solución, entonces se tiene t iene sus derivadas;
Ambos operadores sigma inician en n=0.
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Vamos a resolver un problema clásico y donde podremos observar cómo se analiza la ecuación y la solución algo parecido al teorema del punto ordinario pero hay unas variaciones. Ejercicio tipo examen:
. /
Probamos si el cero es un punto singular regular, pero recordando que tenemos que tener la ecuación de forma canónica para poder visualizar p(x) y q(x).
. / .. /
, estas ecuaciones no son analíticas en “0”, entonces aplicamos la
definición para ver si el cero es un punto singular regular. y
Entonces el cero “0” si es un punto singular regular, ojo algunos profesores exigen que le demuestren que
el punto sea singular regular porque es parte de la resolución del problema, ahora si podemos aplicar el teorema de Frobenius. Ahora reemplazamos la supuesta solución y sus derivadas en la ecuación que nos plantea el problema no en la forma canónica;
Este paso es importante ya que hay que tener cuidado al ingresar la “x” al operador sigma y al distribuir en algún factor ya que podría traer graves errores en la continuación de la resolución;
Extraemos el factor de
.
Ya que queremos que “x” no sea cero entonces analizamos el otro factor, y el siguiente paso en la cual muchos se confunden es que tenemos que soltar términos hasta que el factor que esta , aranque en un mismo exponente, pero hay que tomar en cuanta que sea el de mayor grado al evaluar el primer subíndice en este caso seria n=0:
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Veamos paso a paso:
En este caso evaluaremos el primer termino n=0; y nos da;
El siguiente;
El siguiente;
Y el ultimo;
, entonces tenemos que llegar a que , para ello tenemos que soltar términos hasta lograr ese objetivo;
Lo que vemos es que el factor de “x” de mayor grado es el de
todas las series arranquen en
Nota: la ecuación de la singularidad se obtiene igualando a cero la expresión en términos de “r” que acompañe a la potencia más baja de la “x”.
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0 1
, , entonces esta ecuación será para nosotros la ecuación de la singularidad.
Ahora hallamos los ceros o las raíces de la ecuación cuadrática que tenemos presente con la ecuación de la singularidad.
Ahora aquí viene la pregunta que tenemos uno como estudiante, ¿Cual escojo como raíz para hallar la ecuación recursiva? En ciertos casos es más conveniente escoger la raíz menor, si en un caso nos sale una sola ecuación igualada a cero, pero en esta ocasión no es así , ahora tenemos que probar en la segunda ecuación, ecuación, para que su coeficiente relacionado no se anule, entonces analizaremos la segunda ecuación;
Analizamos el valor de
, entonces la única solución es que y eso no queremos, entonces descartamos esa raíz, si en un caso con las dos raíces el coeficiente no se anula se podrá escoger cualquiera de las dos raíces pero son muy raros ese tipo de problemas.
Analizamos con
Vemos aquí que ya no se anula el coeficiente recomienda escoger la menor raíz.
, entonces estamos con la raíz indicada por eso se
Ojo no siempre se cumple así que hay que probar para evitar algún error, si las dos funcionan en hora buena. Ahora si retomando las series tenemos que hacer un cambio de variable para que al iniciar el subíndice el exponente de “x” arranque en un mismo va lor.
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Si evaluamos el primer subíndice subíndice de cada serie nos damos cuenta cuenta que todos arrancan en un solo valor y allí podemos realizar un simple cambio de variable a cada serie pero para no introducir algunas variables traba jaremos con la letra “k “k ”. ”.
Cabe recalcar que a cada serie se le realiza el cambio de variable al exponente de cada “x” de cada serie,
solamente que para cada serie utilizamos la misma variable. Como ahora todas las series ya arrancan en un solo exponente de “x”, procedemos a factorizar
Igualamos a cero el argumento del operador sigma ya que sabemos de ante mano que
.
.
Aquí evaluamos la raíz escogida y realizamos lo mismo que en teorema de punto ordinario el coeficiente de mayor subíndice la colocamos en función de las de menor subíndice. Evaluamos
;
; Ecuación recursiva para
Ahora comenzamos a ir evaluando cada valor de “k “ k ”. ”.
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Ya tenemos una idea de cómo está la sucesión al seguir evaluando entonces utilizamos la solución asumida:
,
Reemplazamos los valores de los coeficientes;
Hemos obtenido una solución de de la ecuación diferencial con dos soluciones soluciones linealmente independiente, independiente, pero en algunos casos solo podemos hallar una y la otra la podemos hallar por medio del teorema de reducción de orden o el teorema de Abel. Otra forma de resolver es la siguiente pero la ecuación canónica no las presentan de una manera distinta pero en si llegamos a lo mismo.
La forma de la ecuación tomada es:
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, de ahí es similar el análisis;
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Ecuación recursiva
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Aquí se utilizó el teorema de reducción de orden para hallar la segunda solución de la complementaria.
2) Transformada de Laplace.
* + ∫ * +
Sea una función de variable real definida para siguiente manera:
, la transformada de Laplace se denota de la
Siempre que la integral impropia sea convergente en algún intervalo para “s”.
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2.1) Transformada de una constante.
*+ ∫ ∫
*+ *+ ∫ ∫ 0 1 *+ || *+ || || *+ ||
2.2) Transformada de una exponencial.
2.3) Transformada de
.
* + 0 1 1 0 ℎ ℎ *+1 0 *+ *+ *+ Integración por Partes
Aplicando L´Hopital para el límite, se nos reducirá a cero el límite y nos quedara que la t ransformada de
Como está definido para
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; ; Entonces obtenemos una ecuación recursiva.
, entonces;
*+ *+ *+ *+ *+ *+ * *+ *+
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Entonces esto se puede establecer que:
*+
2.4) Transformada de la Función Escalón.
Es una función definida por tramos y para cada segmento tiene su valor.
2
1
0
Note que la transformada de la función es:
*+ ∫ ∫
2
Supongamos que un valor
.
1
a
Ahora si aplicamos la transformada de Laplace a esta función no que lo siguiente:
* + ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 * +
2.5) Teorema de Linealidad.
Sean
i) ii)
las transformadas de Laplace, respectivamente, de las funciones de variable real
+ * + * + ** + * +
Entonces si se cumple esto, se dice que el operador Transformada de Laplace es lineal.
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2.6) Transformada de seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico. o
*+
Para demostrar cómo se llega a hallar la transformada se utilizan las siguientes identidades:
*+ [ {} {} ] *+ *+ *+ *+ * + *+ [ {} {} ] *+ *+ *+ *+ 1) 2)
Luego:
o
1) 2)
Luego:
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o
o
* +
ℎ ℎ ℎ ℎ *ℎ ℎ+ , *+ *+ *ℎ ℎ+ *ℎ ℎ+ *ℎ ℎ+ * + ℎ ℎ ℎ ℎ *ℎ ℎ+ , *+ *+ *ℎ ℎ+ *ℎ ℎ+ *ℎ ℎ+
2.7) 1er Teorema de Traslación (eje “s”) . Se va a suponer que:
* + ∫ * + ∫ , - ∫ ∫
Es decir suponemos que la función
De la hipótesis:
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tiene transformada de Laplace y es válida para
.
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* + || || * + || || ** +ℎℎ ||+ | | ** ++ ||| | ||
Entonces:
Ejemplos:
2.7) 2doTeorema de Traslación (eje “t”).
* + ∫ ∫ * + ∫ ∫ * + ∫ * + * + * + ∫ ∫ * + ∫
Sea suponga suponga que es una función que tiene transformada de Laplace es definición de la función escalón.
Y Y aplicando la
y
Luego.
Observación.
y
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* + ∫ ∫ * + * + 2.8) Transformada Inversa de Laplace. Definición.
Sea la transformada de Laplace dela función de variable real la transformada inversa de Laplace , lo cual se denota.
*+ * +
Observación.
El operador
* +
También es lineal al igual que También
. Se dice entonces que
es la
.
Ahora vamos a resolver un problema para ver cómo se procede cuando hay que hallar una inversa. 2.8.1) Problema
primero hallamos la inversa de la función para llegar a funciones conocidas.
, hay veces que hay que manipular un poco las funciones
* + * + * * + + * +
Nos damos cuenta que al expresar de manera distinta el polinomio nos da una traslación en el eje ( ‘s’).
Después utilizaremos el 2do teorema de traslación.
Observamos a la numerador de la función que nos dan que le hallemos su inversa y nos damos cuenta c uenta la siguiente igualdad. y
Pero nosotros tenemos la transformada inversa de
, simplemente la desplazamos a
la función y ordenamos la igualdad.
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* + * + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , - * + * + * + * + * + * + * + * + * + * + * + * + Ahora hazlo tu anímate y práctica.
2.9) La derivada de la Transformada de Laplace. Suponemos que
Intercambiamos operadores.
Observación.
Se puede probar usando inducción matemática, que para todo numero natural
Con
se cumple que.
ya se demostró!
Se va a suponer que la proposición se cumple para .
y se debe demostrar que se cumple para
D!
Se cumple para
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.
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Bibliografía Toda la información acido recopilada en clases de ecuaciones diferenciales en ESPOL y de libros como; Boyce Diprima (Ecuaciones Diferenciales con valores en la frontera).
Nota: A continuación se presenta problemas con soluciones, cabe recalcar que algunos problemas tienen algunas respuestas erróneas cuidado con las equivocaciones siempre evalúen la solución en la E.D.O para comprobar lo realizado.
Jasmany Barba Sanchez Jasmany Barba Sánchez
Firmado digitalmente por Jasmany Barba Sanchez Nombre de reconocimiento (DN): cn=Jasmany Barba Sanchez, o=ECPOL, ou=ECPOL,
[email protected],
[email protected], c=EC Fecha: 2014.05.30 23:51:20 -05'00'
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