PAZARA TIBERIU
CULEGERE DE PROBLEME REZOLVATE DE FIZICĂ PENTRU STUDENŢI
Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân” Constanţa, 2009
CUPRINS
CAPITOLUL I OSCILAŢII…………………………………………………….…. 7 CAPITOLUL II UNDE ELASTICE ŞI ELECTROMAGNETICE …………….. 36 CAPITOLUL III TERMODINAMICĂ ……………………………………………. 76
CAPITOLUL I OSCILAŢII
1. Un punct material oscilează armonic cu amplitudinea A = 5cm şi perioada T = 4 s. a) Să se găsească valorile maxime ale vitezei şi acceleraţiei de mişcare a punctului material. b) Să se găsească momentul când viteza şi acceleraţia sunt maxime, faza iniţială a mişcării fiind α = 0. a) x = A cos(ωt + ϕ) ω=
2 π π −1 = s T 2
v=
dx = −ωA sin(ωt + ϕ) dt
a=
dv = −ω2 A cos(ωt + ϕ) dt 5π 2
v = vmax ⇔ sin(ωt + ϕ) = −1 ⇒ vmax = −ωA ⋅ (−1) = ωA = a = amax ⇔ cos(ωt + ϕ) = ±1 ⇒ amax
5π2 =ω A= 4 2
b) deoarece φ = 0, condiţiile de maxim vor fi:
v = vmax ⇔ sin ωt = −1 ⇒ ωt = (2n + 1)
a = amax ⇔ cos ωt = ±1 ⇒ ωt = 2n unde ω =
π ⇒ t = 2n + 1 2
π ⇒ t = 2n 2
π −1 s 2
2. Să se afle amplitudinea şi faza iniţială a mişcărilor descrise de următoarele ecuaţii: a) x(t ) = 20sin 2 15t b) x (t ) = 3 sin 6, 28 t + cos 6, 28 t a) sin 2 α = 1 − cos 2α ⇒ x(t ) = 20 1 − cos 30t = 10(1 − cos 30t ) ⇒ A = 10 ; ϕ = 0 2
2
π π π sin sin sin6,28t + cos cos6,28t π 3 b) tg = 3 ⇒ x(t) = 3 sin6,28t + cos6,28t = 3 = π π 3 cos cos 3 3
7
π cos 6, 28 t − π π 3 = = 2 cos 2 π t − ⇒ A = 2 ; ϕ = − π 3 3 cos 3
3. Un punct material execută o oscilaţie armonică după legea x(t ) = 3 sin 2t − cos 2t . Care sunt amplitudinea, perioada şi faza iniţială a mişcării? π π π sin sin sin 2t − cos cos 2t π 3 sin 2t − cos 2t = 3 3 x (t ) = tg sin 2t − cos 2t = = π π 3 cos cos 3 3
π = −2 cos 2t − 3
Rezultă: A = −2 ; T =
2π 2π = = π; ϕ= − π. ω 2 3
4. Faza iniţială a unui punct material aflat în mişcare oscilatorie armonică este nulă. La o elongaţie
x1 = 2, 4 cm , viteza punctului material este v1 = 3 cm / s , iar la o elongaţie x2 = 2,8 cm , viteza este v2 = 2 cm / s . Să se găsească ecuaţia de mişcare a punctului material. x = A sin(ωt + ϕ) Dar φ = 0 ⇒ x = A sin ωt Pentru a afla ecuaţia de mişcare trebuie determinate A şi ω.
v=
dx = ωA cos ωt dt
Din datele problemei se poate scrie:
x1 = A sin ωt1 ; v1 = ωA cos ωt1 x2 = A sin ωt2 ; v2 = ωA cos ωt2 x12 v12 2 2 2 2 2 + sin ωt1 + cos ωt1 = 1 A2 ω2 A2 = 1 A 1+ω = ω x1 + v1 ⇔ 2 ⇔ ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ωt2 + cos ωt2 =1 x2 + v2 = 1 A 1+ω = ω x2 + v2 A2 ω2 A2 2
( (
2
(
)
) )
⇒ ω2 x12 + v12 = ω2 x22 + v22 ⇒ ω2 x22 − x12 = v12 − v22 ⇒ ω = Iar A =
ω2 x12 + v12 1 + ω2
8
v12 − v22 x22 − x12
5. Energia totală a unui material ce execută o oscilaţie armonică este E t = 3⋅10 5 J . Forţa maximă ce acţionează asupra lui este F = 1,5 10 –3 N. Să se scrie ecuaţia de mişcare dacă perioada de oscilaţie este T = 2 s şi faza iniţială φ =
π . 3
Legea de mişcare a corpului este: x(t ) = A sin (ωt + ϕ) . ω=
2π T
Rămâne de determinat amplitudinea. Et Fmax
6.
kA2 3 ⋅ 105 A = 2 ⇒ = ⇒ A = 4 ⋅ 108 −3 kA 2 1,5 ⋅ 10
Amplitudinea
de
oscilaţie
a
unui
punct
material
este
A = 2 cm, energia totală Et = 3 ⋅ 10−3 J . Pentru ce elongaţie forţa elastică are valoarea 2, 25 ⋅10 −3 N ?
Fe = k∆x ⇒ ∆x = Et = ∆x =
Fe k
kA2 2E ⇒ k = 2t 2 A Fe = 1,5 cm 2 Et A2
7. Legea de oscilaţie a unui punct material de masă m = 2 g este: 1 x = B sin 10t − cos 10t , unde B = 5 3 3 Să se determine: a) viteza maximă a punctului material în decursul oscilaţiei şi momentul de timp la care se realizează, considerat din momentul în care a început mişcarea; b) forţa maximă ce acţionează asupra punctului material în decursul mişcării. 1 π a) x = B sin 10t − cos 10t = 5 3 sin 10t − tg cos 10t = 6 3 =5 3
sin 10t cos
π π − sin cos 10t π 6 6 = 10 sin 10t − π 6 cos 6
9
π v = 100 cos10t − 6 π π v = vmax = 100 m / s pentru cos10t − = 1 ⇒ t = 6 60 b) Fmax = kA = mω2 A = 2 N
8. Un corp execută o mişcare dată de legea: π x(t ) = 4 sin 2 6πt + [cm] 4 Să se demonstreze că mişcarea este una oscilatorie armonică şi să se calculeze amplitudinea, faza iniţială, perioada şi viteza mişcării. π 1 − cos 2 6πt + π π 4 x (t ) = 4 sin 2 6πt + = 4 ⋅ = 2 − 2 cos 12πt + 4 2 2
A = 2; ϕ =
π 2π π π = ; v = 24π sin 12πt + ;T= 2 ω 6 2
9. Să se determine amplitudinea oscilaţiei armonice a unui corp dacă la un moment dat raportul dintre pătratul vitezei şi acceleraţie are valoarea α, iar diferenţa dintre amplitudine şi elongaţie este β. x = A sin (ωt + ϕ) v = ωA cos(ωt + ϕ) a = −ω2 A sin (ωt + ϕ) ω2 A2 cos 2 (ωt + ϕ) v2 =α β−α =α ⇔ − ω2 A sin (ωt + ϕ) ⇒ A=β a 2β − α A − x = β A − A sin (ωt + ϕ) = β
10. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de două resorturi ideale identice, fiecare cu constanta elastică k = 40 N/m , astfel încât la echilibru sistemul arată ca în figura de mai jos, valoarea unghiului α fiind de 450. Să se determine: a) alungirea resorturilor la echilibru; b) perioada oscilaţiilor verticale ale corpului.
10
La echilibru:
Fe sin α + Fe sin α = mg ⇔ 2 Fe sin α = mg ⇔ 2k ∆y sin α = mg unde Δy este alungirea.
⇒ ∆y = ω=
mg 2 = 2k sin α 10
2k 2π m π ⇒T = = 2π = m ω 2k 5
11. Un resort ideal, suspendat vertical, are legat la capătul liber un corp cu masa m1, perioada oscilaţiilor armonice fiind T1. Dacă se adaugă o masă suplimentară m2, resortul se alungeşte cu h, iar pendulul oscilează cu perioada T2. Ştiind că diferenţa între perioadele de oscilaţie este ΔT, să se afle: constanta elastică a resortului, perioadele T1 şi T2, precum şi masa m2. Din datele problemei se pot scrie următoarele ecuaţii:
ω1 =
k k m 2π ⇔ = ⇒ T1 = 2π 1 m1 T1 m1 k
ω2 =
m + m2 k 2π k ⇔ = ⇒ T2 = 2π 1 m1 + m2 T2 m1 + m2 k
k ∆y = m1 g k (∆y + h) = (m1 + m2 ) g ∆T = T2 − T1 În aceste ecuaţii necunoscute sunt: ∆y , T1 şi T2, m2 şi k. După ce se elimină ∆y , se află pe rând m2 : m2 =
m1 g ∆T 2π − 2 πh ∆T
2
apoi T1 şi T2 şi k. 12. Un corp execută o mişcare oscilatorie dată de ecuaţia:
11
1 cosωt). 3
x = x0 (sinωt + Să se afle:
a) amplitudinea (A) şi faza iniţială (φ) a mişcării oscilatorii b) raportul dintre Ec şi Ep în momentul în care oscilatorul trece prin punctul de elongaţie x1=A/4. π sin 1 π 6 cos ωt = x = x0 sin ωt + cos ωt = x0 sin ωt + tg cos ωt = x0 sin ωt + π 6 3 cos 6 π π π sin ωt + sin ωt cos + sin cos ωt π 6 2 x0 6 6 sin ωt + = x0 = x0 = π 6 3 3 cos 6 2
Rezultă: A =
π 2 x0 ; ϕ= 6 3
mv 2 kx 2 kA2 Ec = ; Ep = ; Et = Ec + E p = 2 2 2 2
E p1
2
A A 15kA 2 k k 2 2 kx kA 4 4 = 1 = ; E c1 = E t − E p 1 = − = 16 2 2 2 2 2 2
A 15k 4 Ec1 2 = = 15 2 E p1 A k 4 2
13.
Să
se
determine
perioada
şi
pulsaţia
unui
corp
cu
masa
m = 5 kg suspendat de un resort ce se alungeşte sub acţiunea acestuia cu ∆x = 9,8 cm.
La echilibru:
Fe = mg ⇒ k∆y = mg ⇒
k g g 2π π = ⇒ω= = 10 s−1 ⇒ T = = s m ∆y ∆y ω 5
14. Să se determine amplitudinea şi faza iniţială a unei oscilaţii armonice dacă la momentul iniţial corpul care execută mişcarea se află la distanţa x0 = 1cm faţă de poziţia de echilibru şi are viteza v0 = 0,6 cm/s, perioada mişcării fiind T = 3,14 s.
ω=
2π T 12
x (0) = x0 v (0) = v0
Din condiţiile iniţiale, la t = 0:
Deoarece este o mişcare armonică:
x(t ) = A sin(ωt + ϕ) v (t ) =
dx = ωA cos(ωt + ϕ) dt
Atunci, condiţiile iniţiale devin:
x0 = A sin ϕ x(0) = A sin ϕ ⇔ v(0) = ωA cos ϕ v0 = ωA cos ϕ v0 = Deci, A =
ωx0 v v cos ϕ ⇒ ctg ϕ = 0 ⇒ ϕ = arcctg 0 sin ϕ ωx0 ωx0 x0
v sin arcctg 0 ωx0
.
15. Un resort suspendat în punctul O are o lungime l = 40 cm. Un corp de greutate G = 20 N, atârnat de celălalt capăt al resortului îi imprimă o alungire ∆l = 4 cm. Ridicând corpul astfel ca OA = 42 cm şi lăsându-l liber, să se afle perioada de oscilaţie, forţa maximă de întindere a resortului şi să se scrie ecuaţia de mişcare.
Fe = mg ⇔ k ∆l = mg ⇒ ω =
g ∆l ⇒ T = 2π g ∆l
La momentul iniţial (t = 0):
x(0) = 2 cm v(0) = 0 Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este:
x(t ) = A sin ( ωt + ϕ ) v(t ) = ωA cos ( ωt + ϕ ) Din condiţiile iniţiale se obţine: 13
A = 2 cm x(0) = A sin ϕ A sin ϕ = 2 A sin ϕ = 2 ⇒ ⇒ ⇒ π v(0) = ωA cos ϕ ωA cos ϕ = 0 cos ϕ = 0 ϕ = 2 Fmax = kA 16. Un corp cu masa m = 10 kg se află pe un suport orizontal pe care se poate mişca fără frecare, fiind racordat la două resorturi de constante elastice k1 = 4 ∙ 10 3 N/m şi k2 = 5 ∙ 10 3 N/m. În poziţia de echilibru, cele două resorturi sunt nedeformate. Să se găsească legea de mişcare şi perioada de oscilaţie a corpului dacă la momentul iniţial se află la distanţa x = 4 cm faţă de poziţia de echilibru şi are o viteză v = 90 cm/s.
ma = − k1 x − k2 x ma + (k1 + k2 ) x = 0 m
d2x d 2 x k1 + k2 + ( + ) = 0 ⇒ + k k x x=0 1 2 dt 2 dt 2 m
⇒ ω2 =
k1 + k2 m ⇒ T = 2π m k1 + k2
Deci soluţia ecuaţiei, adică legea de mişcare va fi de forma
x(t ) = A sin(ωt + ϕ) .
x(0) = x0 = 4 cm v(0) = v0 = 90 cm / s
La t = 0 :
A sin ϕ = 4 1 2 2ω 4 ⇒ tg ϕ = ⇒ ϕ = arctg ; A= 45 45 sin ϕ ωA cos ϕ = 90 ω
Rezultă:
17. De un resort aşezat vertical se suspendă o greutate. Sub acţiunea ei, resortul se alungeşte cu Δl = 5cm. Care este legea de mişcare a greutăţii dacă la momentul iniţial ea se află în echilibru şi i se imprimă o viteză pe verticală în jos v0 = 20cm/s? (g = 10 m/s2). y(t) = Asin(ωt+φ) v(t) = ωAcos(ωt+φ) ϕ= 0 sin ϕ= 0 ϕ= 0 ⇒ ⇒ ⇒ 20 ωAcos ϕ= 20 ωA = 20 A = ω
La t = 0: y(0) = 0 ⇒ y(0) = Asin ϕ ⇔Asin ϕ= 0 v(0) = v0
v(0) = ωAcos ϕ
mg = kΔl ⇒ ω =
k g = m ∆l
14
18. Un corp cu masa m = 4 kg este suspendat de un resort ideal ce are constanta elastică
k = 900 N/m . Corpul este împins în sus cu 50 mm faţă de poziţia de echilibru şi apoi este eliberat din repaus. Aflaţi legea de mişcare a corpului.
Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este:
x = A sin (ωt + ϕ) ; v = ωA cos(ωt + ϕ) Din condiţiile iniţiale (la t = 0): x( 0 ) = x0 = 50 mm A sin = 50 A sin = 50 ⇒ ⇒ ⇔ ωA cos = 0 cos = 0 v( 0 ) = v0 = 0 A sin = 50 ⇒ ⇒ A = 50 mm π = 2 ω=
k = 15 s −1 m
19. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de un resort ideal cu constanta elastică k = 80 N/m . Dacă se imprimă corpului o viteză v = 0,8 m/s în momentul când acesta se află la 4 cm în sus faţă de poziţia de echilibru, să se determine legea de mişcare a corpului considerând că viteza aplicată este orientată spre poziţia de echilibru a corpului.
Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este: x = A sin (ωt + ϕ) ; v = ωA cos(ωt + ϕ)
ω=
k = 10 s −1 m
Din condiţiile iniţiale (la t = 0):
x(0) = x0 = 0,04 m Asin ϕ = 0,04 1 0,04 1 ⇔ ⇒ tgϕ = ⇒ϕ = arctg 0,8 2 v(0) = v0 = 0,8m/ s ωAcos ϕ= 0,8 ω
A=
0, 04 sin ϕ
20. Ecuaţia unei mişcări oscilatorii amortizate este: x = 5e − 0 , 25 t sin punctului material la momentele t = 0, T, 2T, 3T şi 4T?
π π π v(t ) = −0, 25 ⋅ 5e −0,25t sin t + 5 e −0,25t cos t 2 2 2 15
π t [m]. Care este viteza 2
ω=
π 2π ⇒T = =4 π 2 2
v(0) = 5
π π π ; v(T ) = 5 e−1 ; v(2T ) = 5 e −2 ; 2 2 2
π π v(T ) = 5 e−3 ; v(T ) = 5 e−4 2 2 21.
Un
mobil
se
află
într-o
mişcare
oscilatorie
amortizată
descrisă
de
ecuaţia
x(t ) = Ae −δt cos(ωt + ϕ) . Să se afle momentul în care viteza se anulează prima oară.
v=
dx = − Ae −δt cos(ωt + ϕ) − ωAe −δt sin(ωt + ϕ) dt
v = 0 ⇒ − Ae −δt [δ cos(ωt + ϕ) + ω sin(ωt + ϕ)] = 0 ⇒ δ 1 δ δ ⇒ tg(ωt +ϕ) = − ⇒ωt +ϕ = arctg − ⇒ t = arctg − −ϕ ω ω ω ω 22. Un punct material cu masa m = 100g, suspendat de un resort, oscilează sub acţiunea forţei elastice a acestuia. a) dacă pentru o elongaţie Δx = 1 cm, forţa elastică are valoarea F = 10
– 1
N, să se afle pulsaţia mişcării
proprii; b) în prezenţa unei forţe de rezistenţă (proporţională cu viteza) care are valoarea R = 10 − 3 N pentru o viteză v = 1 cm/s, care este noua pulsaţie a mişcării? c) care este decrementul logaritmic al amortizării? d) dacă la momentul iniţial corpul este în poziţia de echilibru şi i se imprimă o viteză v0 = 1 cm/s, care va fi ecuaţia de mişcare a lui în condiţiile de la punctul b) şi care va fi deplasarea maximă a lui faţă de poziţia de echilibru?
a) ω0 =
k m
Fe F 10 −1 Fe = k∆x ⇒ k = ; deci k = = = 10 ∆x ∆x 10 − 2 ω0 =
10 = 10 s −1 −1 10
b) În prezenţa unei forţe de rezistenţă, corpul va oscila amortizat. Deci, noua pulsaţie a mişcării va fi:
ω = ω02 − δ 2 16
Fr = −ρv ⇒ R = − ρv = ρv ⇒ ρ = 2δ =
R 10 −3 = = 10 −1 v 10 −2
10 −1 1 ρ ρ ⇒δ= = = −1 m 2m 2 ⋅10 2
c) ∆ = δT = δ
2π ω
d) Corpul oscilează amortizat şi, deci, legea de mişcare este:
x(t ) = Ae − δt cos(ωt − ϕ) Iar viteza este: v(t ) = −δAe − δt cos(ωt − ϕ ) − ωAe − δt sin (ωt − ϕ) Din condiţiile iniţiale (t = 0):
x(0) = 0 v(0) = v0 = 1cm / s se obţin amplitudinea şi faza iniţială. x (0) = 0 x (0) = A cos ϕ A cos ϕ = 0 ⇔ ⇒ ⇒ v (0) = −δA cos ϕ + ωA sin ϕ − δA cos ϕ + ωA sin ϕ = 1 v (0) = v 0
⇒ cos ϕ = 0 ⇒ ϕ =
π 1 ⇒ ωA = 1 ⇒ A = 2 ω
23. Un corp cu greutatea G = 49 N execută oscilaţii amortizate într-un mediu a cărui forţă de rezistenţă este proporţională cu viteza. Cunoscând pseudoperioada de oscilaţie T = logaritmic ∆ =
π s , decrementul 4
3π şi, ştiind că la momentul iniţial x = x0 = 10 cm şi v = v0 = 20 cm/s, să se determine legea 2
de mişcare şi coeficientul de amortizare. În cazul în care coeficientul de amortizare creşte de 3 ori, să se determine noua lege de mişcare.
T=
π 3π s; ∆ = 4 2 x(0) = x0 v(0) = v0
Din condiţiile iniţiale, la t = 0 :
17
ω0 2 = ω2 + δ2 ω2 = ω0 2 − δ 2 ⇒ ω = 2π = 2π = 8s −1 π T 4 3π A(t ) ∆ ∆ = ln = δ T ⇒ δ = = 2 = 6 s −1 π A(t + T ) T 4 −1 ⇒ ω0 = 64 + 36 = 10 s ⇒ ω0 > δ ⇒ x(t ) = Ae −δt cos(ωt − ϕ) – este o oscilaţie amortizată (cazul rezistenţelor mici) dx = A{−δe −δt cos(ωt − ϕ) + e −δt ω[− sin(ωt − ϕ)]} dt v = Ae−δt [−δ cos(ωt − ϕ) − ω sin(ωt − ϕ)] v (t ) =
x(0) = A cos ϕ = 10cm v(0) = A[−δ cos ϕ − ω sin ϕ] = 20cm A cos ϕ = 10cm ⇒ −6 A cos ϕ − 8 A sin ϕ = 20cm − A(6 cos ϕ − 8sin ϕ) = 20cm ⇒ 8 A sin ϕ = 40cm ⇒ A sin ϕ = −10
tg ϕ =
−10 = −1 ⇒ ϕ = arctg (−1) 10
ρ = 2δm G = mg ⇒ m =
G g
ρ1 = 3ρ ⇒ 2δ1m = 6δm ⇒ δ1 = 18s −1 ρ1 = 2δ1m
δ1 > ω0 ⇒ x(t ) = C1e
( −δ1 + δ12 −ω20 ) t
+ C2 e
( −δ1 − δ12 −ω02 ) t
– este o oscilaţie amortizată (cazul rezistenţelor mari)
δ12 − ω20 = 182 − 102 ≅ 15 s −1 x(t ) = C1e −3t + C2 e −33t v(t ) = −3C1e −3t − 33C2 e −33t ⋅3 x(0) = C1 + C2 C + C2 = 10 ⇒ 1 v(0) = −3C1 − 33C2 −3C1 − 33C2 = 20 −30C2 = 50 ⇒ C2 = −
5 5 35 ⇒ C1 = 10 + = 3 3 3
18
24. Un oscilator amortizat are masa m = 1 kg şi coeficientul de amortizare ρ = 0, 2 g / s . Să se calculeze timpul τ în care amplitudinea scade la 10% din valoarea sa la momentul t = 0.
2δ =
ρ ρ ⇒δ= m 2m
A(t ) = Ae −δt La t = 0: A(0) = A −ρ
La t = τ: A(τ) = Ae 2 m
τ
Dar A(τ) = 10% A(0) . ⇒ Ae − δτ =
1 ln10 ln10 A ⇒ e − δτ = 10 −1 ⇒ −δτ = ln10 −1 ⇒ τ = = ρ 10 δ 2m
25. Un corp cu masa m = 0,4 kg este suspendat de un resort cu constantă elastică k = 200 N/m. Dacă pseudopulsaţia este mai mică cu 0,005 s
−1
decât pulsaţia proprie a pendulului, să se determine coeficientul
de rezistenţă al forţei care produce amortizarea (forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza).
2δ =
ρ ⇒ ρ = 2δm m
ω0 =
k m
ω = ω0 − 0, 005 2
k k k ω= ω −δ ⇒ω =ω −δ ⇒δ= ω −ω= −ω2 = − −0,005 m m m 2 0
2
ρ = 2m
2
2 0
2
2 0
k k − − 0, 005 m m
2
26. Un corp oscilează amortizat cu frecvenţa proprie de 1 Hz. Să se determine pseudopulsaţia oscilaţiilor amortizate dacă amplitudinea acestora scade de la 25 cm la 12,5 cm după 10 s de la începerea mişcării. Forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza. Se cunoaşte că ln 2 ≅ 0,693 .
ω = ω02 − δ2 A(t ) = A0 e−δt
19
A(0) = A0 −δτ A(τ) = A0 e dar τ = 10 s ; A(0) = 25 cm ; A(τ) = 12,5 cm
25 = A0 ln 2 ⇒ ⇒ 2 = e10 δ ⇒ δ = −10 δ 10 12,5 = A0 e Se înlocuieşte δ şi se află pseudopulsaţia.
27. Un corp efectuează o mişcare oscilatorie amortizată, forţa de rezistenţă fiind proporţională cu viteza.
Pseudoperioada
este
T = 0,25 s. Dacă în primele 10 s de la începerea mişcării amplitudinea oscilaţiilor scade de 5 ori, să se determine: a) factorul de amortizare a oscilaţiilor b) decrementul logaritmic al amortizării c) perioada proprie a oscilaţiilor Se cunoaşte ln5 = 1,6. a) la t: A(t ) = Ae −δt la t = 10 s : A(t + 10) = Ae −δ (t +10) =
A(t ) 5
ln 5 Ae −δt ⇒ e −δ10 = 5−1 ⇒ 10δ = ln 5 ⇒ δ = 5 10
⇒ Ae −δ ( t +10) =
b) ∆ = δT c) ω0 =
2π 2π ⇒ T0 = T0 ω0
ω2 = ω0 2 − δ 2 ⇒ ω0 = ω2 + δ2 T0 =
2π ω2 + δ 2
28. Un corp cu masa m = 0,25 kg suspendat de un resort ideal efectuează oscilaţii amortizate, forţa de frânare fiind proporţională cu viteza corpului. Dacă elongaţia maximă a resortului scade la un sfert după N = 10 oscilaţii complete, efectuate în timpul ∆t = 8,4 s, să se determine: a) coeficientul de amortizare al oscilaţiilor b) decrementul logaritmic c) constanta elastică a resortului
20
a) la momentul t: A1 = Ae − δt la momentul t + Δt: A2 = Ae −δ (t +∆t ) −δt Dar: A2 = A1 ⇒ Ae−δ(t +∆t ) = Ae ⇒ e−δ∆t = 4−1 ⇒δ∆t = ln 4 ⇒ δ = ln 4 4 4 ∆t
Coeficientul de amortizare este ρ = 2δm . b) Perioada mişcării corpului este: T =
∆t = 0, 8 4 s N
Decrementul logaritmic este: ∆ = δT
c) Constanta elastică se determină astfel: ω= ω02 −δ2 ⇒ω02 = ω2 +δ2 ⇒
2π 2 k = ω2 +δ2 ⇒ k = m(ω2 +δ2 ) = m +δ2 m T
29. O sferă de rază r este legată de un resort de constantă elastică k. Sfera oscilează încet într-un lichid vâscos de vâscozitate η. Să se calculeze raza sferei în aşa fel încât, în timp de o perioadă amplitudinea oscilaţiei să scadă de 2 ori. Fr = – ρv
ρ = 6πηr Ae −δt −δ ( t +T ) A(t ) = Ae −δt Ae ⇒ = ⇒ e−δT = 2−1 ⇒ δT = ln 2 2 A(t + T ) = Ae−δ( t +T )
A(t + T ) =
2δ =
A(t ) 2
ρ 6πηr δm ⇒δ= ⇒r= 2m 3πη m
Deci r =
δm m ln 2 = 3πη 3πηT
ω2 = ω02 − δ2 k ln 2 m 2π 4π 2 + ln 2 2 = − ⇒T = m T k T 2
⇒r=
2
2m ln 2 m 6πη 4π2 + ln 2 2 k
(
(
)
21
)
30. Asupra unui corp cu masa m = 0,5 g, aflat la distanţa Δx = 2 cm faţă de poziţia de echilibru, acţionează o forţă elastică F = 1,936 N. a) dacă corpul este lăsat liber şi se neglijează frecările, care este ecuaţia mişcării considerând că se află în poziţia de echilibru şi are viteza v0 = 4 cm/s ? Care este energia totală a acestui oscilator? b) dacă oscilaţia ar fi amortizată, ce factor de amortizare ar trebui să aibă mediul pentru ca după t = 0,23 s, amplitudinea mişcării să fie numai 0,2 mm? c) ce pulsaţie ar trebui să aibă o forţă exterioară sinusoidală care acţionând asupra corpului ar produce fenomenul de rezonanţă?
a) Fiind o oscilaţie armonică, legea de mişcare este:
x(t ) = A sin (ωt + ϕ) Condiţiile iniţiale sunt: x(0) = x0 = 0 v(0) = v0 = 4 cm / s v(t ) = ωA cos (ωt + ϕ) x(0) = A sin A sin = 0 4 ⇒ ⇒ sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = 0 ⇒ ωA = 4 ⇒ A = v ( 0 ) = ω A cos ϕ ω A cos ϕ = 4 ω
k m
ω=
La distanţa Δx, F = k∆x ⇒ k = Et =
F ∆x
kA2 = 4 ⋅103 J 2
b) La momentul t = 0,23 s, amplitudinea are expresia: A(t ) = Ae −δt ⇔ 0,2 ⋅ 10−3 =
1 −0, 23 δ ln 50 e ⇒δ≅ 110 0,23
c) Ω r = ω20 − 2δ 2
31. Asupra unui corp cu masa m = 2 kg, legat de un resort ideal şi de un amortizor, acţionează o forţă externă F = 3, 2sin Ω t ( N ) . Dacă rezonanţa amplitudinilor se produce la frecvenţa ν r = 4,8 Hz, amplitudinea la rezonanţă fiind Br = 2,3 cm, să se determine: a) constanta elastică a resortului şi factorul de amortizare; b) amplitudinea oscilaţiilor forţate la o frecvenţă a forţei externe de 4 Hz; c) amplitudinea oscilaţiilor forţate (frecvenţa forţei externe este 4 Hz) în condiţiile înlăturării amortizorului. 22
a)
Fmax B = r 2mδ ω0 2 − δ2 2 ω0 2 − Ω r 2 2 2 Ω = ω − 2 δ ⇒ δ = r 0 2 Fmax
Br =
2mδ ω02 − ω02 =
ω −Ω 2 2 0
2 r
k m
=
ω +Ω 2mδ ⇒ 2 Fmax 2 0
k + Ω2r k − Ω2r m m = 2 ⇒ 2mBr 2 k − Ω2r ω02 − Ωr 2 m δ= = 2 2
⇒ 2mδBr =
2 r
Fmax
⇒ k = m Ω r4 +
Fmax k + Ω2r m 2
⇒
2 Fmax m 2 Br2
cu Ω r = 2πν r
b) B (Ω) =
Fmax m ( ω − Ω 2 ) 2 + 4δ 2 Ω 2 2 0
Ω = 2πν c) Dacă se înlătură amortizorul δ = 0 şi B (Ω) =
Fmax , cu Ω = 2πν m(ω20 − Ω 2 )
32. Trei corpuri de masă m sunt aşezate pe un suport orizontal fiind legate între ele şi de 2 elemente verticale cu ajutorul a 4 arcuri identice având constanta elastică k. Ştiind că mişcarea are loc fără frecare, să se determine pulsaţiile proprii ale sistemului.
23
Considerăm că sistemul din figura de mai sus este deplasat din poziţia de echilibru spre dreapta. Cele 3 corpuri se vor deplasa cu x1, x2 şi x3 (x1 < x2 < x3). Conform principiului II al mecanicii:
ma1 = − kx1 + k ( x2 − x1 ) ma2 = − k ( x2 − x1 ) + k ( x3 − x1 ) ma = − k ( x − x ) 3 2 3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării celor 3 corpuri sunt:
d 2 x1 d 2 x1 m 2 = −2kx1 + kx2 m 2 + 2kx1 − kx2 = 0 dt dt 2 d x2 d 2 x2 m 2 = kx1 − 2kx2 + kx3 ⇒ m 2 − kx1 + 2kx2 − kx3 = 0 dt dt 2 d x3 d 2 x3 = − m kx kx m 2 − kx2 + kx3 = 0 2 3 2 dt dt Mişcările corpurilor sunt mişcări oscilatorii armonice (nu există frecare), deci legile de mişcare (soluţiile ecuaţiilor de mişcare) vor fi de forma:
x1 = A1 sin ωt ; x2 = A2 sin ωt; x3 = A3 sin ωt dx1 = A1ω cos ωt ; dt dx2 = A1ω cos ωt ; dt dx3 = A1ω cos ωt; dt
d 2 x1 = −ω2 A1 sin ωt 2 dt d 2 x2 = −ω2 A2 sin ωt 2 dt d 2 x3 = −ω2 A3 sin ωt 2 dt
Se înlocuiesc în sistem şi se obţine:
(2 k − mω2 ) A1 − kA2 = 0 2 − kA1 + (2 k − mω ) A2 − kA3 = 0 2 − kA2 + (2 k − mω ) A1 = 0 Sistemul admite pentru A1, A2, A3 soluţii diferite de zero dacă determinantul său se anulează:
24
2k 2 2k −mω = 0⇒ω1 = m −mω2 + 2k −k 0 (2+ 2)k det −k −mω2 +2k −k = 0 ⇒2k −mω2 − 2k = 0 ⇒ω2 = m 0 k −mω2 + 2k (2− 2)k 2 2k −mω + 2k = 0⇒ω3 = m
33. Un corp de masă m se află pe un suport orizontal cu care interacţionează printr-o frecare uscată (coeficientul de frecare fiind μ). Corpul este legat de un suport fix cu ajutorul unui resort de constantă elastică k. Să se afle legea de mişcare a corpului.
Forţele care acţionează asupra corpului sunt:
Fe = − kx; Ff = −µN = −µmg Deci, se va putea scrie:
ma = − kx − µmg d2x + kx = −µmg dt 2 d2x + ω02 x = −µg 2 dt
m
Ultima ecuaţie este o ecuaţie diferenţială neomogenă de gradul II a cărei soluţie este de forma:
x(t ) = xomogen (t ) + C1µg d 2x + ω0 2 x = 0 dt 2 xomogen (t ) = C2e α1t + C3e α2t
ec. omogena :
ec. caracteristica : α 2 + ω0 2 = 0 α1,2 = ±iω0 xomogen (t ) = C2eiω0t + C3e −iω0t x(t ) = C1µg + C2eiω0t + C3e− iω0t Alegem următoarele condiţii iniţiale:
x(0) = − A la t = 0 : v(0) = 0 e ± iω0 t = cos ω0 t ± i sin ω0 t x(t ) = C1µg + C2 (cos ω0t + i sin ω0t ) + C3 (cos ω0t − i sin ω0t ) = = C1µg + (C2 + C3 ) cos ω0t + i(C2 − C3 ) sin ω0 t Se notează:
B1 = C2 + C3 B2 = i (C2 − C3 ) 25
x(t ) = C1µg + B1 cos ω0 t + B2 sin ω0t dx = −ω0 B1 sin ω0 t + ω0 B2 cos ω0t dt a(t ) = −ω0 2 B1 cos ω0t − ω0 2 B2 sin ω0t
v (t ) =
x(0) = C1µg + B1 C1µg + B1 = − A ⇒ v(0) = ω0 B2 ω0 B2 = 0 ⇒ B2 = 0 ⇒ a (t ) = −ω0 2 B1 cos ω0t Se înlocuieşte a(t) astfel obţinut, precum şi x(t) în ec. diferenţială a mişcării corpului:
−ω0 2 B1 cos ω0t + ω0 2C1µg + ω0 2 B1 cos ω0t = −µg ω0 2C1µg = −µg ⇒ C1 = −
1 ω0 2
Deci B1 = − A − C1µg
B1 = C2 + C3 B2 = i (C2 − C3 )
C2 şi C3 se determină din sistemul:
34. Să se găsească amplitudinea şi faza iniţială a oscilaţiei armonice obţinută prin compunerea a
două oscilaţii paralele de ecuaţii: x1 = 4sin πt şi x2 = 3sin πt −
π . Să se scrie ecuaţia mişcării oscilatorii 2
rezultate.
A1 = 4; ϕ1 = 0 A2 = 3; ϕ2 = −
π 2
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ϕ1 − ϕ2 ) = 5
tgϕ =
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 3 =− A2 cos ϕ2 + A2 cos ϕ2 4
35. Să se găsească ecuaţia de mişcare a punctului material supus simultan acţiunii a două oscilaţii paralele de aceeaşi perioadă T = 8 s şi amplitudine A = 2 cm. Diferenţa de fază este Δφ = a unei oscilaţii este nulă.
A1 = A2 + A2 + 2 AA cos ∆ϕ = A 2 + 2
26
π , iar faza iniţială 4
π 2 2 4 = tgϕ1 = ⇒ ϕ1 = arctg π 2+ 2 2+ 2 A cos 0 + A cos 4 A sin 0 + A sin
ω=
2π π −1 = s T 4
x1 = A1 sin ( ωt + ϕ1 ) 36. Un punct material efectuează concomitent 2 mişcări oscilatorii armonice pe direcţii perpendiculare între ele. Ecuaţiile celor 2 mişcări sunt: x = cosπt; y = 2 cos
π t . Să se afle traiectoria 2
punctului material.
π π π π cos 2 t = cos 2 t − sin 2 t = 2 cos 2 t − 1 2 2 2 2 Prin identificare:
π π y cos 2 t = x ; cos t = 2 2 2 Rezultă:
y2 y2 x = 2 −1 ⇒ x = −1 4 2
37. Să se scrie ecuaţia mişcării rezultate din compunerea a două oscilaţii perpendiculare cu frecvenţele ν1 = ν 2 = 10 Hz , fazele iniţiale α1 = α 2 =
π şi amplitudinile A1 = 0,1m , A2 = 0, 2 m . Să se 3
interpreteze rezultatul. Pentru că ω1 = ω2 ( ν1 = ν 2 ) , se poate utiliza formula:
x 2 y 2 2 xy + − cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ A2 B 2 AB unde A = A1 = 0,1 ; B = A2 = 0, 2 ; ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = 0 Se obţine:
x2 y2 2 xy 2 + − = 0 ⇒ ( 0, 2 x − 0,1 y ) = 0 ⇒ y = 2 x 2 2 0,1 0, 2 0,1 ⋅ 0, 2 Deci, traiectoria nu este o elipsă, ci o dreaptă, deci mişcarea este tot o oscilaţie liniară.
27
38. Un punct material este supus simultan la două oscilaţii perpendiculare de ecuaţii x = 2 sin ωt şi
y = cos ωt . Care este traiectoria de mişcare a punctului? π cos ωt = sin ωt + 2 Deoarece x şi y au aceeaşi pulsaţie, se poate scrie:
x 2 y 2 2 xy + − cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ A2 B 2 AB unde A = 2 ; B = 1 ; ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =
π 2
x2 y2 + =1 4 1 Rezultă că traiectoria este o elipsă.
Elipsa este parcursă în sens trigonometric ∆ϕ =
π . 2
39. Un punct material este supus acţiunii simultane a două oscilaţii perpendiculare de ecuaţii
π x = cos πt şi y = cos t . Să se găsească traiectoria mişcării rezultante. 2 π π x = cos πt = cos 2 t = 2 cos 2 t − 1 = 2 y 2 − 1 2 2 40. Se consideră următoarele oscilaţii perpendiculare: π π π a) x(t ) = 3 cos t + şi y (t ) = 2 cos t ; 2 6 6 π π π b) x(t ) = sin t + şi y (t ) = 2 cos t . 2 4 2 Să se găsească traiectoria particulei care este supusă simultan acestor oscilaţii.
a) Pentru că au aceeaşi pulsaţie, se poate folosi formula:
x 2 y 2 2 xy cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ + − A2 B 2 AB A = 3; B = 2 ; ∆ϕ =
π 2 28
⇒ 4 x 2 + 9 y 2 = 36 π 2
π 2
π 2
π 2
π 2
b) x(t ) = sin t + = sin t cos + cos t sin
= 2cos 2
π π π = cos t = cos2 t = 2 2 4
π y2 t −1 = −1 4 2
41. Ecuaţia traiectoriei unui corp supus la două mişcări oscilatorii armonice cu aceeaşi pulsaţie este: 4x2 + 9y2 – 6xy = 27 cm2. Să se determine: a) amplitudinile de oscilaţie ale proiecţiilor corpului pe axele OX si OY; b) defazajul dintre oscilaţii.
4x2 + 9y2 – 6xy = 27 : 36
x 2 y 2 xy 3 + − = 32 22 6 4 Deoarece corpul oscilează după axele Ox şi Oy, ecuaţia traiectoriei poate fi de forma:
x 2 y 2 2 xy + 2− cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ 2 A B AB După identificare: A = 3 ; B = 3 ; sin2Δφ = 3/4 ⇒ ∆ϕ = arcsin
3 π = 2 3
29
CAPITOLUL II UNDE ELASTICE ŞI ELECTROMAGNETICE
1. O membrană elastică dreptunghiulară de lungime L şi lăţime l, cu marginile fixate rigid, este pusă în vibraţie. Să se demonstreze că frecvenţa vibraţiei libere a membranei poate lua doar anumite valori şi să se găsească o soluţie particulară a ecuaţiei undelor în această situaţie.
∆Ψ =
1 ∂ 2Ψ c 2 ∂t 2
∂2 Ψ ∂2 Ψ 1 ∂ 2Ψ + 2 = 2 2 ∂x 2 ∂y c ∂t
Ψ ( x, y , t ) = f ( x, y )eiωt ∂Ψ ∂f ∂Ψ ∂f = eiωt ; = eiωt ∂x ∂x ∂y ∂y 2 2 2 ∂2Ψ iωt ∂ f ∂ Ψ iωt ∂ f = e ; = e ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2
∂Ψ ∂ 2Ψ = f ( x , y )iω e iω t ; 2 = f ( x , y )(iω) 2 e i ωt = − f ( x , y ) ω 2 e iωt ∂t ∂t eiωt
2 ∂2 f ∂2 f ∂2 f 1 1 iωt ∂ f 2 iωt + e = − f ( x , y ) ω e ⇒ + 2 = − 2 ω2 f ( x, y ) 2 2 2 2 ∂x ∂y c ∂x ∂y c
ω 2πν 2π = = =k c λν λ f ( x, y ) = g ( x ) h( y ) ∂f dg ∂f dh = h( y ) ; = g ( x) ∂x dx ∂y dy ∂2 f d 2 g ∂2 f d 2h = h( y ) 2 ; 2 = g ( x ) 2 ∂x 2 dx ∂y dy h( y )
d 2g d 2h ω2 + g ( x ) = − g ( x) h( y ) dx 2 dy 2 c2
h( y )
d2g d 2h + g ( x ) = − k 2 g ( x)h( y ) |: gh 2 2 dx dy
1 d 2 g 1 d 2h + = −k 2 2 2 g dx h dy 30
1 d2g 1 d 2h = − − k2 g dx 2 h dy 2 a = c ⇒a=b b = c a = c . b = c
Dacă a = b, atunci ∃ un c, astfel încât
1 d2g d 2g 2 2 = − α 2 2 +α g = 0 g dx dx ⇒ 2 2 d h 1 2 2 − d h + (k 2 − α 2 )h = 0 − k = −α h dy 2 dy 2 g ( x ) = A1 sin α x + B1 cos α x h( y ) = A2 sin (k 2 − α 2 ) y + B2 cos (k 2 − α 2 ) y Membrana are marginile fixate rigid – rezultă că funcţia de undă Ψ ( x, y , t ) are valoarea 0 pe întreg conturul.
Ψ (0, y, t ) = 0 Ψ ( L, y , t ) = 0 Ψ ( x, 0, t ) = 0 Ψ ( x, l , t ) = 0 g (0)h( y )eiωt = 0 B1 = 0 g (0) = 0 iωt g ( L ) h ( y )e = 0 g ( L) = 0 A1 sin αL = 0 ⇔ ⇔ iωt B =0 g ( x )h(0)e = 0 h(0) = 0 2 2 2 i ωt h(l ) = 0 A2 sin k − α l = 0 g ( x )h(l )e = 0 sin αL = 0 ⇒ αL = mπ, m ∈ Z ⇒ 2 2 2 2 sin k − α l = 0 ⇒ k − α l = nπ, n ∈ Z k=
ω 2πν kc = ⇒ν= c c π 2
2
nπ nπ mπ k = + α2 = + l l L
c nπ mπ c n m + ⇒ν= + 2π l L 2 l L 2
ν=
2
Ψ ( x, y, t ) = A1 sin
2
2
2
mπ nπ iωt xA2 sin ye ⇒ Ψ ( x, y, t ) = A1 A2 eiωt L l
31
2. De câte ori trebuie să crească temperatura absolută a unui gaz ideal pentru ca lungimea de undă a unui sunet care se propagă prin el să crească cu o fracţiune f ?
λ1 = λ 0 + f λ 0 c=
γRT ; c = λν µ
γRT0 ; c0 = λ 0ν c0 = µ c ⇒ 1 = c RT γ 0 c = 1 ; c1 = λ1ν 1 µ
γRT1 µ γRT0 µ
2
=
λ1ν T λ T λ T 2 ⇒ 1 = 1 ⇒ 1 = 1 ⇒ 1 = (1 + f ) T0 λ 0 T0 λ 0 T0 λ 0ν
3. Fie o coardă elastică semiinfinită, una din extremităţi oscilând după legea Ψ = 0,5cos 20πt . a) Aflaţi frecvenţa şi perioada oscilaţiilor extremităţii. b) Calculaţi lungimea de undă a undelor elastice transversale care se propagă în coardă cu viteza c = 0,5 m/s. c) Ce diferenţă de fază există între oscilaţiile punctelor de pe coardă aflate la o distanţă ∆x = 5 cm unul de altul? d) La ce distanţă se află două puncte de pe coardă ale căror oscilaţii sunt defazate cu
π rad ? 6
a) Ψ = A cos ( ωt − kx )
Ψ = 0,5cos 20πt ω = 20π ⇒ ν =
ω 20π 1 = = 10 s −1 ; T = = 10−1 s 2π 2π ν
b) c = λν ⇒ λ = cT = 0, 05 m c) Ψ1 = 0,5cos ( 20πt − kx1 )
Ψ 2 = 0,5cos ( 20πt − kx2 ) ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 = ( 20π − kx1 ) − ( 20π − kx2 ) = k ( x2 − x1 ) = k ∆x
unde k =
2π λ
d) ∆ϕ ' =
π ∆ϕ ' ; ∆ϕ ' = k ∆x ' ⇒ ∆x ' = 6 k
4. Să se demonstreze că o coardă de lungime l fixată la ambele capete poate oscila liber numai cu frecvenţe care sunt multiplii întregi ai unei valori inferioare care urmează a fi determinată.
32
Ecuaţia undelor pentru o coardă este:
∆Ψ =
1 ∂ 2Ψ c 2 ∂t 2
∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ = ∂x 2 c 2 ∂t 2 Capetele fiind fixate, pe coardă se va propaga o undă progresivă şi una regresivă datorită reflexiei la capete. Vor apare unde staţionare. Prin urmare, elongaţia oscilaţiei unui punct oarecare de pe coardă va depinde de poziţia acestuia, dar va oscila şi armonic în timp. Soluţia ecuaţiei undei va fi sub forma unui produs dintre o funcţie care descrie oscilaţia armonică şi o funcţie care dă distribuţia elongaţiei în funcţie de x.
Ψ ( x, t ) = f ( x)eiωt ∂Ψ df ∂Ψ = eiωt ; = iωeiωt f ∂x dx ∂t 2 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ iωt d f = ; = −ω2 eiωt f e 2 2 2 ∂x ∂t dx
eiωt
d2 f d 2 f ω2 f 1 2 iωt e f = −ω ⇒ + 2 =0 dx 2 c 2 dx 2 c
(
)
Soluţia acestei ecuaţii este de forma:
f ( x) = C1 sin
ω ω x + C2 cos x c c
unde C1 şi C2 sunt două constante arbitrare. Se pot scrie condiţiile la limită deoarece coarda este fixată la ambele capete: Ψ(0, t ) = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ C2 = 0 ω ω ω ⇒ sin l = 0 ⇒ l = nπ, n ∈ c c Ψ(l, t ) = 0 ⇒ f (l ) = 0 ⇒ C1 sin c l = 0
ω=
nπc nc ⇒ν= l 2l
Frecvenţa fundamentală (frecvenţa oscilaţiei fundamentale) se obţine pentru n = 1:
νf =
c 2l
Celelalte frecvenţe sunt multiplii întregi ai acestei valori.
5. O undă electromagnetică plană cade la incidenţă normală pe o lamă cu feţe plan-paralele de grosime l. Lama este formată dintr-o substanţă cu permeabilitatea magnetică relativă µ r = 1 şi a cărei permitivitate electrică scade liniar de la valoarea ε1 pe faţa superioară la ε0 pe faţa inferioară. Să se afle timpul în care unda electromagnetică străbate lama. 33
Fie un strat de grosime dy care este străbătut de undă cu viteza c în timpul dt.
c=
τ
l
l
dy dy dy 1 ⇒ dt = ⇒ ∫ dt = ∫ ⇒ τ = ∫ dy dt c c c 0 0 0
unde τ este timpul în care unda străbate întreaga lamă.
1 1 1 = = εµ ε( y ) µ 0 µ r ε( y ) µ 0
c=
ε( y ) = a − by a = ε1 ε(0) = ε1 ; ε(0) = a a = ε1 a = ε1 ⇒ ⇒ ⇒ ε1 − ε 0 ε ( l ) = ε ; ε ( l ) = a − bl a − bl = ε ε − bl = ε 0 0 1 0 b = l
ε( y ) = ε1 −
ε1 − ε0 y l 1
c=
ε −ε µ0 ε1 − 1 0 y l
3 ε −ε 2 µ 0 l 32 τ = ∫ µ 0 ε1 − 1 0 y dy = ε 0 − ε12 l 3 ε 0 − ε1 0
l
(
)
6. Să se deducă relaţia vectorială care se stabileşte între viteza de propagare a unei unde
r
r
electromagnetice plane în vid şi componentele sale E si B .
Din ecuaţiile lui Maxwell:
ur uur uur ∂E rot H = jc + ε0 ∂t ur uur uur ∂E ∇ × H = jc + ε 0 ∂t
uur
În vid nu există curenţi de conducţie şi deci, jc = 0 . Unda fiind armonică plană:
r r ∂ ∇ rr = r = −ik , unde i este numărul imaginar şi k este vectorul de undă. ∂r ∂ = iω ∂t Ecuaţia lui Maxwell se va scrie:
r uur ur r uur ur −ik × H = ε0iω E ⇒ − k × H = ε0 ωE r r 2π r r k = k ⋅ξ = ⋅ ξ , unde ξ este versorul direcţiei de propagare a undei. λ 34
−
ur 2 π r uur 2 π ur 2 π r uur 2 π ur 1 r uur ξ × H = ε0 E ⇔ − ξ × H = ε0 E ⇔ − ξ × H = ε0 E λ T cT T c
r r r r c Dar c = c ⋅ ξ ⇒ ξ = c r ur c uur 1 − 2 × H = ε 0 E , iar c = deoarece unda se propagă în vid. c ε 0µ 0 r uur ur r uur ur r uur ur r ur ur −ε0µ0 c × H = ε0 E ⇒ −µ0 c × H = E ⇒ −c ×µ0 H = E ⇒ −c × B = E ur ur r Sau E = B × c
7. Din cauza refracţiei din atmosfera terestră, poziţia unghiulară reală a unei stele diferă puţin de cea aparentă. Evaluaţi eroarea în determinarea poziţiei unghiulare a unei stele observate sub un unghi de 450 faţă de verticală. Indicele mediu de refracţie al atmosferei este n = 1,0003.
Din legea refracţiei: n0 sin ( α + ∆α ) = n sin α ⇒ n0 sin α cos ∆α + n0 cos α sin ∆α = n sin α Dar eroarea ∆α este foarte mică ⇒ sin ∆α ≅ ∆α şi cos ∆α ≅ 1 Se obţine:
n0 sin α + n0 cos α∆α = n sin α ⇒ ⇒
2 2 2 + ∆α = 1, 0003 ⇒ 1 + ∆α = 1, 0003 ⇒ ∆α = 0, 0003 2 2 2
8. O undă este dirijată sub un unghi i0 faţă de normală într-o atmosferă în care temperatura se modifică continuu după legea T = ay 2 − by + T0 , unde a şi b sunt constante pozitive. Neglijând absorbţia undei, să se afle înălţimea maximă la care are loc întoarcerea undei.
Se consideră un strat de grosime infinit de mică, aflat la înălţimea y. Pe acest strat presupunem că viteza undei scade cu dc, iar unghiul de refracţie va fi mai mic decât unghiul de incidenţă cu o valoare infinitezimală di. 35
Se aplică legea refracţiei pentru acest strat: sin i sin (i − di ) sin (i − di ) c − dc sin i cos di − cos i sin di dc = ⇒ = ⇒ = 1− sin i sin i c c − dc c c
Dar cos di ≅ 1 şi sin di ≅ di .
⇒ 1−
di cos i dc = 1− sin i c i
c
d (sin i) dc d (sin i ) dc i c ⇒ = ⇒∫ = ∫ ⇒ ln(sin i ) i = ln c c ⇒ 0 0 sin i c sin i c i0 c0 ⇒ ln
sin i sin i0 sin i c = ln ⇒ = sin i0 c0 c c0
unde i0 şi c0 sunt constante (sunt valori cunoscute).
sin i = const c
⇒
Pe de altă parte, viteza sunetului are expresia:
c=
γRT ( y ) µ
sin i γR T ( y ) = α T ( y ) , unde α este o constantă. = const ⇒ sin i = const ⋅ µ γRT ( y ) µ Înălţimea la care unda începe să revină la suprafaţa Pământului este înălţimea la care are loc fenomenul de reflexie totală pentru că temperatura începe să crească şi deci, va creşte şi unghiul de incidenţă; la această înălţime i =
π . Se obţine: 2
1 = α T ( y) ⇒ T ( y ) =
(
⇒ ay 2 − by + T0
)
1 2
=
1 1 ⇒ ay 2 − by + T0 = ⇒ α α
1 α
1 b ± b 2 − 4a T0 − 2 α 1 ⇒ ay 2 − by + T0 − 2 = 0 ⇒ y1,2 = α 2a Se alege soluţia cu „+“.
9. O undă se propagă pornind dintr-un punct A situat într-un mediu în care viteza sa de propagare este c1 şi ajunge într-un punct situat într-un mediu în care viteza sa de propagare este c2. Să se demonstreze că din infinitatea de drumuri posibile, unda se propagă pe acel drum prin care ajunge din A în B în timpul minim.
36
Se notează: CD = d şi CI = x.
c1 =
AI IB ; c2 = t1 t2
h22 + ( d − x ) h2 + x 2 AI IB t = t1 + t2 = + = 1 + ⇒ t = t ( x) c1 c2 c1 c2 2
t este timpul în care unda parcurge distanţa de la A la B şi este o funcţie de distanţa x. Timpul este minim dacă derivata sa de ordinul I este 0 şi derivata sa de ordinul II este pozitivă.
dt 1 = dx c1
x h12 + x 2
−
d −x
1 c2
h22 + ( d − x )
2
=
sin i sin r − c1 c2
La suprafaţa de separaţie dintre cele două medii are loc refracţia undei şi, deci:
sin i sin r = c1 c2 Rezultă că
2
h12 + x 2
h +x 2 1
h12
(
h12 + x 2
)
Rezultă că
d 2t > 0. dx 2
2
3
(d − x) 2 h22 + ( d − x ) 2 h22 + ( d − x )
h22 + ( d − x ) −
x2
h +x − 2 1
d 2t 1 = dx 2 c1
1 = c1
dt = 0. dx 2
2
−
1 c2
=
1 h22 + 3 c2 2 2 h2 + ( d − x )
Deci, timpul în care unda ajunge în B este minim. 10. O coardă elastică este întinsă de o forţă de 100N şi are masa pe unitatea de lungime
µ = 10 g / m . Un capăt al corzii oscilează după legea: Ψ = 0,1sin 6, 28t . Să se calculeze: a) viteza de propagare a undei pe coardă b) frecvenţa şi perioada oscilaţiei c) lungimea de undă 37
d) defazajul dintre capătul corzii şi un punct situat la distanţa de 3 m de acest capăt.
a) c =
F = 100 m / s µ
b) ω = 6, 28 ⇒ ν =
ω = 1 s −1 ⇒ T = 1 s 2π
c) λ = cT = 100 m d) ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 = ωt − ( ωt − kx ) = kx =
2π 3π x= 50 λ
11. Să se calculeze coeficientul de reflexie R la suprafaţa aer-fier şi la suprafaţa aer-apă; ştiind că: pentru aer: ρ1 = 1, 293 km / m3 , c1 = 340 m / s pentru fier: ρ 2 = 7,8 ⋅103 km / m3 , c2 = 5000 m / s pentru apă: ρ3 = 103 km / m3 , c3 = 1450 m / s
(z − z ) R= 1 2 2 ; ( z1 + z2 ) 2
Raer − fier
Raer −apa
(z = (z (z = (z
aer
zaer = ρ1c1 ; z fier = ρ2c2 ; zapa = ρ3c3
− z fier )
aer
+ z fier )
aer
− zapa )
aer
+ z apa )
2 2
2 2
12. Cu cât se schimbă frecvenţa percepută de un observator în repaus faţă de cea emisă de o sursă, dacă sursa se depărtează de observator cu o viteză egală cu jumătatea vitezei undei? Frecvenţa undei emise de sursă este ν = 450 Hz .
νR = νS
c ± vR c m vS
Observatorul este în repaus: vR = 0 . Sursa se depărtează:
νR = νS
c , unde c este viteza undei, iar vS este viteza sursei. c + vS
38
νR = νS
c c = 450 = 300 Hz c c + vS c+ 2
Frecvenţa se schimbă cu ∆ν = 450 − 300 = 150 Hz 13. Ce valoare trebuie să aibă efortul unitar într-o coardă cu modul Young E = 1011 N / m 2 pentru ca frecvenţa fundamentală a oscilaţiei longitudinale să coincidă cu prima armonică a oscilaţiei transversale?
Frecvenţa primei armonice a oscilaţiei transversale are valoarea νt1 = 2νt , unde νt =
c T şi c = , 2l µ
T – tensiunea în coardă. Pentru oscilaţia longitudinală frecvenţa fundamentală are expresia νl = νl = νt1 ⇔
1 2l
E . ρ
E 1 T E T =2 ⇒ =4 ρ 2l µ ρ µ
Efortul unitar are expresia σ =
µ=
c , unde c = 2l
F T . Pentru coardă, σ = . S S
m ρ ⋅V ρ ⋅ l ⋅ S = = = ρS l l l
E T E T T E =4 ⇔ =4 ⇔ E = 4 ⇔ E = 4σ ⇒ σ = = 2,5 ⋅1010 N / m2 ρ µ ρ ρS S 4
14. O sarcină q pozitivă este distribuită uniform în interiorul unei sfere dielectrice omogene cu permitivitatea ε. Se cere intensitatea câmpului electric în afara sferei şi în interiorul ei. Câmpul electric în interiorul sferei şi în exteriorul ei are direcţia razei sferei din motive de simetrie:
Se foloseşte forma integrală a legii lui Gauss:
r r DdS ∫∫ = q
r
r
Pentru un mediu omogen D = εE . Atunci, pentru punctele din exteriorul sferei se va putea scrie: 39
rr q q ε0 ∫∫ EndS = q ⇒ E 4πR 2 = ⇒ E = ε0 4πε0 R 2 Pentru punctele din interiorul sferei se va putea scrie:
E 4πr 2 =
q' ε0
unde q’ reprezintă sarcina din interiorul sferei de rază r.
4 3 3 πr r 3 q'= q = q 4 3 R0 πR0 3 Deci, intensitatea câmpului electric în interiorul sferei este:
E=
q r 4πε 0 R03
15. Se dă o distribuţie liniară de sarcină, a cărei densitate este λ (sarcina pe unitatea de lungime). Să se găsească expresia intensităţii câmpului electric la distanţa r de aceasta dacă distribuţia de sarcină se găseşte în vid.
ur Din considerente de simetrie, E are o direcţie radială ca în figura de mai jos:
Pentru a determina câmpul electric se consideră o suprafaţă cilindrică a cărei axă de simetrie o constituie distribuţia liniară de sarcină. Se observă că fluxul câmpului electric este diferit de zero doar pe suprafaţa laterală a cilindrului. Pe baze, fluxul este nul deoarece unghiul dintre normală şi intensitatea câmpului electric este
π . Deoarece D = ε0 E , legea lui Gauss se scrie: 2
rr ε0 ∫∫ EndS = q ⇒ ε0 E ( 2πrh ) = λh ⇒ E =
λ 2πε0 r
16. Permitivitatea unei sfere neomogene de rază R aflată în vid variază după legea:
r ε( r ) = ε 0 + 2 R Să se calculeze câmpul electric creat de o sarcină Q distribuită în întregul volum al sferei. 40
Se aplică legea lui Gauss:
rr DndS =Q ∫∫ Pentru r < R, unde R este raza sferei, rezultă: r3 Qr r D 4πr 2 = Qint ⇔ ε 0 + 2 4πr 2 = Qint = 3 Q ⇒ E = 2 R 4πε0 R ( r + 2 R ) R
Pentru r > R, rezultă:
ε0 E 4πr 2 = Q ⇒ E =
Q 4πε 0 r 2
17. Un mediu neomogen dar izotrop, caracterizat prin constantele ε şi σ, este străbătut de un curent
r
staţionar de densitate j . Să se arate că în mediul respectiv există sarcini de volum şi să se calculeze densitatea ρ a acestora.
Conform legii lui Gauss:
ur ∇D = ρ ur ur D = εE r ur j = σE ε r j σ r r r Dar ∇ ab = a∇b + b∇a Deci ρ = ∇
( )
Rezultă:
ε r ε r r ε ∇ j = ∇ j + j∇ σ σ σ
r
Deoarece densitatea de curent j este aceeaşi în orice punct al mediului:
r ∇j=0 Atunci:
r ε ρ = j∇ σ 18. O sferă de rază a încărcată cu sarcina Q este învelită într-un strat dielectric cu permitivitatea relativă εr astfel încât raza sferei astfel construită este b. Să se determine potenţialul la care se află sfera. Se aplică legea lui Gauss pentru o suprafaţă sferică cu raza r, unde a < r < b. 41
∫∫ ε ε
0 r
ur ur Ed S = Q
Câmpul din interiorul dielectricului va fi:
E=
Q 4πε r ε0 r 2
Pentru o suprafaţă sferică cu raza r > b din afara dielectricului, legea lui Gauss este:
ur ur ε ∫∫ 0 Ed S = Q Se obţine:
E=
Q 4πε 0 r 2
Potenţialul sferei este: ∞ ur r ∞ ur r b ur r V = ∫ Ed r = ∫ Edr + ∫ Edr = a
a
b
Q dr Q dr Q 1 1 Q + = − + 4πε r ε0 ∫a r 2 4πε0 ∫a r 2 4πε r ε0 a b 4πε0b b
b
19. Să se determine câmpul magnetic în interiorul unei bobine toroidale (o bobină toroidală este un solenoid de lungime finită, curbat sub forma unui tor). Se cunosc numărul de spire N şi curentul care trece prin bobină.
Liniile câmpului magnetic formează cercuri concentrice în interiorul torului. Se aplică legea lui Ampere pe un contur circular de rază r :
ur r ∫ Bdl = µ0 I unde I = I 0 N .
B 2πr = µ0 NI 0 Se obţine:
B=
µ0 I 0 N ⋅ 2π r
20. Să se determine câmpul magnetic în interiorul şi în exteriorul unui cilindru de rază R prin care circulă un curent de densitate j, ştiind că liniile de câmp sunt cercuri concentrice în plane perpendiculare pe axa cilindrului.
42
În interiorul cilindrului se calculează câmpul magnetic folosind legea lui Ampere pe un contur circular cu centrul pe axa cilindrului aflat într-un plan perpendicular pe cilindru de rază r < R :
∫
C
ur r r ur Bdl = µ0 ∫∫ jd S
unde S este suprafaţa care se sprijină pe conturul C.
B 2πr = µ0 jπr 2 Se obţine:
B=
µ0 jr 2
În exteriorul cilindrului se calculează câmpul magnetic folosind legea lui Ampere pe un contur circular cu centrul pe axa cilindrului aflat într-un plan perpendicular pe cilindru de rază r > R . Se obţine relaţia:
2πrB = µ0 jπR 2 ⇒ B =
µ0 jR 2 2r
21. Într-o regiune a spaţiului există un câmp magnetic uniform paralel cu axa Oz. Mărimea lui variază în timp după legea:
B = B0 sin ωt Să se determine câmpul electric în fiecare punct.
Pentru a calcula câmpul electric se alege un contur circular de rază r într-un plan perpendicular pe axa Oz. Se aplică legea inducţiei electromagnetice:
ur r dΦ ∫ Edl = − dt unde Φ este fluxul magnetic prin suprafaţa S = πr 2 .
ur r ∫ Edl = 2πrE
Φ = BS = πr 2 B0 sin ωt Se obţine:
1 2πrE = −πr 2 B0 ω cos ωt ⇒ E = − rB0 ω cos ωt 2
22. Un punct material oscilează după ecuaţia y = 10 sin
π t . Dacă această oscilaţie se propagă sub 2
forma unei unde plane, fără pierderi, cu viteza c = 300 m / s , să se afle: a) ecuaţia de oscilaţie a unui punct material al mediului, atins de undă, situat la distanţa x de sursa de unde; 43
b) ecuaţia de oscilaţie a unui punct material situat la x = 600 m de sursă. Să se calculeze viteza de mişcare a acestui punct la t = 8 s de la începerea mişcării; c) ecuaţia punctelor atinse de undă la t = 4 s de la începerea oscilaţiilor. a) y = A cos(ωt − kx )
y = 10 sin
π t 2
Prin comparaţie, rezultă: A = 10 ; ω =
k=
π 2
ω π = c 600 π 2
Deci: y = 10 cos t −
πx 600 π 2
b) la x = 600 m : y = 10 cos t − π
v=
dy π π = −10 sin t − π dt 2 2
la t = 8 s : v = 0 c) la t = 4 s : y = 10 cos(2π − π ) = −10 23. Ecuaţia de oscilaţie neamortizată a unui punct material este y = sin 2,5πt . Undele plane produse în mediul înconjurător se propagă neamortizat cu viteza c = 100 m / s . Care este elongaţia, viteza şi acceleraţia unui punct atins de undă situat la distanţa x = 20 m de sursă la momentul t = 1 s ?
y = A cos(ωt − kx ) ; y = sin 2,5πt Prin comparaţie, rezultă: A = 1 ; ω = 2,5π
k=
ω π = c 40
Deci: y = cos 2,5πt −
v=
πx 40
dy πx dv πx = −2,5π sin 2,5πt − ; a = = −6, 25π 2 cos 2,5πt − dt 40 dt 40
La distanţa x şi la momentul t se obţin relaţiile:
y = 1 ; v = 0 ; a = −6,25π 2
44
24. Să se găsească elongaţia, viteza şi acceleraţia unui punct situat la distanţa x = unde plane, la momentul t =
λ de o sursă de 12
T . Amplitudinea de oscilaţie este A = 5 cm , iar perioada este T = 1 s . 6
y = A cos (ωt − kx ) ; v=
dy = −ωA sin (ωt − kx ) ; dt
a=
dv = −ω2 A cos (ωt − kx ) dt
ω=
2π = 2π T
y = 5 cos
11π 11π 11π ; v = −10π sin ; a = −20π 2 cos 6 6 6
25. Să se găsească diferenţa de fază între punctele ce oscilează aflate la x1 = 10 m , respectiv x2 = 16 m de sursa de unde. Se cunosc: perioada de oscilaţie T = 0,04 s şi viteza de propagare a undei c = 300 m / s .
y1 = A cos(ωt − kx1 ) ; y 2 = A cos(ωt − kx2 ) ∆ϕ = (ωt − kx1 ) − (ωt − kx2 ) = k ( x2 − x1 ) =
2π (x2 − x1 ) = π cT
26. Să se calculeze diferenţa de fază între două puncte aflate pe direcţia de propagare a unei unde la distanţa δ = 2 m unul de celălalt. Lungimea de undă este λ = 1m .
∆ϕ = (ωt − kx1 ) − (ωt − kx2 ) = k (x2 − x1 ) =
2π δ = 4π λ
27. Să se calculeze indicele de refracţie a sunetului la suprafaţa de separaţie aer-sticlă, cunoscând densitatea sticlei ρ = 2600 kg / m 3 , modulul de elasticitate E = 7 ⋅ 1010 N / m 2 şi viteza sunetului în aer c = 340 m / s .
sin i sin r = ; naer sin i = nsticla sin r c c1 sin i c sin i nsticla = ; = sin r csticla sin r naer 45
⇒ nsticla = naer
sin i c c = naer = naer sin r csticla E ρ
28. Ştiind viteza c0 a sunetului în aer la 0 0C, să se calculeze timpul de propagare a sunetului în aer de la sol până la înălţimea h, dacă temperatura variază liniar pe această distanţă de la T1 la T2. T ( y ) = a − by T (0) = a T −T T ( h) = a − bh a = T1 ⇒ T1 − bh = T2 ⇒ b = 1 2 ⇒ h T (0) = T1 a − bh = T2 T ( h) = T2 T ( y ) = T1 + c= τ
∫
⇒ dt = 0
T2 − T1 y h γRT ( y ) ⇒ dt = µ
dy γRT ( y ) ⇔ = dt µ h
∫ o
µ dy γRT ( y)
h
1 2h µ µ dy ⇒ τ = dy ⇒ τ = T2 − T1 γRT ( y) γR o T ( y )
∫
1 1 µ 2 T2 − T12 γR
29. O undă sonoră plană este emisă de la suprafaţa Pământului sub unghiul i0 = 30 0 faţă de verticală. Ştiind că dependenţa de înălţimea h deasupra Pământului a temperaturii atmosferice este dată de ah(2 H − h ) expresia T ( h) = T0 1 + , să se determine distanţa de la locul emisiei la care unda sonoră revine H2 −1
la suprafaţa Pământului. Se cunosc: a = 0,25 ; H = 25 km . Se va presupune că aerul se comportă ca un gaz ideal.
Se consideră un strat de grosime infinit de mică, aflat la înălţimea y. Pe acest strat presupunem că viteza undei scade cu dc, iar unghiul de refracţie va fi mai mic decât unghiul de incidenţă cu o valoare infinitezimală di. Se aplică legea refracţiei pentru acest strat: sin i sin (i − di ) sin (i − di ) c − dc sin i cos di − cos i sin di dc = ⇒ = ⇒ = 1− c c − dc sin i c sin i c
Dar cos di ≅ 1 şi sin di ≅ di . ⇒ 1−
di cos i dc =1− sin i c i
c
d (sin i) dc d (sin i) dc i c ⇒ = ⇒∫ = ∫ ⇒ ln(sin i) i = ln c c ⇒ 0 0 sin i c sin i c i0 c0 46
⇒ ln
sin i c sin i sin i0 = ln ⇒ = sin i0 c0 c c0
unde i0 şi c0 sunt constante (sunt valori cunoscute). ⇒
sin i = const c
Pe de altă parte, viteza sunetului are expresia: c=
γRT (h) µ
sin i γR T ( h) = α T ( h) , unde α este o constantă. = const ⇒ sin i = const ⋅ µ γRT (h) µ Înălţimea la care unda începe să revină la suprafaţa Pământului este înălţimea la care are loc fenomenul de reflexie totală pentru că temperatura începe să crească şi deci va creşte şi unghiul de incidenţă; la această înălţime i =
π . Se obţine: 2
1 ah(2 H − h ) 1 = α T (h) ⇒ T ( h) = ⇒ T0 1 + α H2 1 ⇒ T02
ah(2 H − h ) 1 + H2
−
1 2
=
−1
=
1 ⇒ α
1 α
α 2T0 − 1 ⇒ ah2 − 2aHh + H 2 α 2T0 − 1 = 0 ⇒ h1, 2 = H 1 ± 1 − a
(
)
Se alege soluţia cu „+“.
x c
x c
30. Să se demonstreze că funcţia Ψ ( x ,t ) = f 1 t − + f 2 t + verifică ecuaţia unidimensională a undelor, indiferent de forma funcţiilor f1 şi f2. Ecuaţia unidimensională a undelor este: ∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ = ∂x 2 c 2 ∂t 2 Se notează cu τ = t −
x x şi cu σ = t + şi se calculează derivatele parţiale ale funcţiei în raport cu x c c
şi t. ∂Ψ df1 dτ df 2 dσ df1 1 df 2 1 = + = − + ∂x dτ dx dσ dx dτ c dσ c ∂ 2 Ψ d 2 f1 1 dτ d 2 f 2 1 dσ 1 d 2 f1 d 2 f 2 = + = − + ∂x 2 dτ 2 c dx dσ 2 c dx c 2 dτ 2 dσ2 47
∂Ψ df1 dτ df 2 dσ df1 df 2 = + = + ∂t dτ dt dσ dt dτ dσ ∂ 2 Ψ d 2 f1 d 2 f 2 = + ∂t 2 dτ 2 dσ2 Înlocuind, se observă că se verifică ecuaţia undelor.
31. Să se demonstreze că funcţia: Ψ ( x, y , z, t ) = Aeiωt sin
πlx πmy πnz sin sin a0 b0 c0
a) satisface ecuaţia tridimensională a undelor dacă: l 2 m 2 n2 ω2 = π 2 c 2 2 + 2 + 2 a0 b0 c0 b) se anulează în x = 0 si x = a0 , în y = 0 si y = b0 şi în z = 0 si z = c0 dacă l, m şi n sunt numere întregi.
Ecuaţia tridimensională a undelor este: ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 1 ∂ 2Ψ + 2 + 2 = 2 ∂x 2 ∂y ∂z c ∂t 2 ∂Ψ πl iωt πlx πmy πnz Ae cos = sin sin ∂x a0 a0 b0 c0 2
πl ∂ 2Ψ πlx πmy πnz = − Ae iωt sin sin sin 2 ∂x a0 b0 c0 a0 Analog, se calculează pentru derivatele în raport cu y şi cu z. 2
πm ∂ 2Ψ πlx πmy πnz Aeiωt sin = − sin sin 2 ∂y a0 b0 c0 b0 2
πn ∂ 2Ψ πlx πmy πnz = − Aeiωt sin sin sin 2 ∂z a0 b0 c0 c0 ∂Ψ πlx πmy πnz = iωAe iωt sin sin sin ∂t a0 b0 c0 ∂ 2Ψ πlx πmy πnz sin sin = −ω2 Aeiωt sin 2 ∂t a0 b0 c0 Înlocuind în ecuaţie, se obţine: 2 πl πl πl m2 n2 ω2 2 2 2 l − − − = − 2 ⇒ ω = π c 2 + 2 + 2 c0 c a0 a0 a0 a0 b0 2
2
2
b) în x = 0 ⇒ Ψ = 0 ; în y = 0 ⇒ Ψ = 0 ; în z = 0 ⇒ Ψ = 0 ; în x = a0 ⇒ sin πl = 0 dacă l este număr întreg; în x = b0 ⇒ sin πm = 0 dacă m este număr întreg; 48
în x = c0 ⇒ sin πn = 0 dacă n este număr întreg. 32. Pe suprafaţa de separare dintre două plăci transparente, cu indicii de refracţie n1 = 2 şi
n2 = 1,41 , cade un fascicul de lumină sub unghiul de incidenţă i. Care este valoarea maximă a unghiului i astfel încât lumina să iasă din a doua placă?
Deoarece n2 < n1, raza refractată se va depărta de normală. La suprafaţa de separare dintre placa a 2-a şi aer fasciculul de lumină se va depărta şi mai mult de normală pentru că naer < n 2 . Pe măsură ce creşte i, creşte r, dar şi r’ astfel încât, la un moment dat, se ajunge la o valoare maximă a lui i pentru care r ' =
π şi deci, fasciculul de lumină nu se va mai refracta, ci se va propaga de-a lungul 2
suprafeţei de separare dintre placa a 2-a şi aer sau se va întoarce în placa 2 (are loc reflexia totală). Se pot scrie relaţiile la reflexie totală:
n1 sin imax = n2 sin r π naer ⇒ n2 sin r = naer sin r ⇒ n1 sin imax = naer sin ⇒ sin imax = n1 2 π unde r ' = 2
⇒ sin imax =
1 ⇒ imax = 300 2
33. La adâncimea h = 1 m sub apă se află o sursă punctiformă de lumină. Să se calculeze raza minimă a discului de pe suprafaţa apei, cu centrul pe perpendiculara dusă din punctul în care se află sursa, pentru ca un observator aflat în aer să nu poată observa sursa de lumină. Indicele de refracţie al apei este
n=
4 . 3
49
Cu cât se depărtează observatorul de sursă, cu atât creşte unghiul de refracţie şi, la un moment dat, atinge valoarea maximă la care are loc reflexia totală şi, deci, observatorul nu va mai vedea lumina de la sursă. Discul imaginar de pe suprafaţa apei apare deoarece lumina se propagă în toate direcţiile. La reflexie totală: n apa sin i = n aer sin r 3 ⇒ n apa sin i = n aer ⇒ sin i = π 4 unde r = 2
Din triunghiul dreptunghic SOA: rm in h ⇒ rm in = h tg i u n d e rm in − ra za d isc u lu i im a g in a r tg i =
rm in = h
sin i 1 − sin i 2
=
3 7
34. O sursă sonoră se află pe suprafaţa Pământului la temperatura t0 = 16 0C . Gradientul temperaturii atmosferei este a =
∆T = −7 ⋅10 − 3 K / m . Să se calculeze timpul în care sunetul atinge ∆h
înălţimea h = 10 km .
T ( y) = α − βy T (0) = T0 ; T (0) = α α = T0 T0 − T1 ⇒ ⇒ T0 − βh = T1 ⇒ β = T ( h ) = T ; T ( h ) = α − β h α − β h = T h 1 1 a =
∆T T − T0 = 1 ⇒ a = −β ∆h h−0
Se obţine: T ( y ) = T0 + ay γR T ( y ) dy ⇔ = µ dt
c= ⇒
τ
∫ dt = 0
h
∫ 0
γR T ( y ) ⇒ dt = µ
µ 2 dy ⇒ τ = γR T ( y ) a
µ dy ⇒ γRT ( y )
1 1 µ 2 (T 0 + a h ) 2 − T 0 γR
50
35. O undă armonică plană se propagă printr-o bară foarte lungă de densitate ρ = 8 ⋅103 kg / m 3 şi are modulul de elasticitate E = 2 ⋅1011 N / m 2 . Frecvenţa oscilaţiilor este ν = 100 Hz . Să se calculeze: a) viteza de propagare a undei; b) lungimea de undă.
c=
E c ; c = λ ⋅ν ⇒ λ = ν ρ
36. Un tren se deplasează cu viteza de 60 km/h, apropiindu-se de un alt tren care vine spre el cu 40 km/h. Din primul tren se emite un sunet cu frecvenţa ν = 840 Hz . Ce frecvenţă are sunetul auzit de un observator din al doilea tren înaintea întâlnirii celor două trenuri? Dar dacă cel de-al doilea tren ar merge în acelaşi sens cu primul?
νR = νS
c ± vR c m vS
în sensuri opuse: ν R = ν S
c + vR c − vS
al doilea în acelaşi sens cu primul: ν R = ν S
c − vR c + vS
37. Două trenuri cu vitezele v1 = 72 km / h şi v2 = 54 km / h se apropie unul de altul pe căi ferate paralele. Din primul tren se emite un semnal sonor cu frecvenţa ν = 600 Hz . Să se calculeze frecvenţa sunetului recepţionat de pasagerii din cel de-al doilea tren: a) înainte ca trenurile să treacă unul pe lângă celălalt; b) după ce trenurile au trecut unul pe lângă celălalt.
νR = νS
c ± vR c m vS
a) înainte să treacă unul pe lângă celălalt: ν R = ν S
c + vR c − vS
b) după ce au trecut unul pe lângă celălalt: ν R = ν S
c − vR c + vS
38. O sursă produce în vid oscilaţii electrice care au amplitudinea câmpului electric Emax = 30 V / m şi frecvenţa 10 GHz. Unda electromagnetică produsă se propagă pe o direcţie definită în planul XOY de 51
ur
ur
prima bisectoare. Să se afle expresiile lui E şi B în punctul P situat la x0 = 3000 m şi y0 = 2000 m de origine.
Punctul P, se află o distanţă suficient de mare de origine astfel încât se poate considera că unda
ur
ur
electromagnetică produsă de sursă este de forma unei unde armonice plane. Atunci expresiile lui E şi B sunt:
ur r rr E r , t = Emax cos ωt − kr
( ) ur r B ( r, t ) = B
max
( ) rr cos ( ωt − kr ) ur
ur
Se calculează pe rând fiecare necunoscută din expresiile lui E şi B .
ω = 2πν λ=
c ν
r 2π r k= ξ λ r ξ este versorul direcţiei de propagare şi se scrie cu ajutorul cosinusurilor directoare: r r r ξ = cos αi + cos β j α = β = 450 r 2π 2 r r k= i+ j λ 2 r r r r = 3000i + 2000 j r r k ⋅ r ≅ 5 2 ⋅105
(
Bmax =
)
Emax c
ur r E r , t = 30cos105 6, 28 ⋅105 t − 5 2 V/m
( ) ur r B ( r , t ) = 10
(
−7
)
(
)
cos105 6, 28 ⋅105 t − 5 2 T
39. O undă armonică plană cu frecvenţa ν = 450 Hz se propagă într-un mediu omogen cu viteza c = 340 m/s. Dacă amplitudinea de oscilaţie a particulelor mediului este A = 0,3 mm , să se afle: a) lungimea de undă; b) viteza maximă de oscilaţie a particulelor mediului.
a) c = λν ⇒ λ =
c ν 52
b) y = A cos ( ωt − kx )
dy = −ωA sin ( ωt − kx ) dt ⇒ vmax = ωA = 2πνA v = vmax ⇔ sin ( ωt − kx ) = −1 v=
40. Printr-un mediu cu modulul de elasticitate E = 75G N/m 2 se propagă o undă longitudinală cu faza iniţială nulă. Ecuaţia oscilaţiilor particulelor mediului la distanţa
x = 5 m de sursă este
ξ = 2 cos(500t − 0,5) [mm ] . Să se determine: a) frecvenţa şi perioada undei; b) densitatea mediului; c) lungimea de undă a undei; d) ecuaţia oscilaţiilor particulelor mediului la distanţa x ′ = 1 m de sursă şi diferenţa de fază dintre aceste oscilaţii şi cele de la distanţa x = 5 m de sursă, pentru acelaşi moment de timp;
a) ω = 500 ⇒ ν = b) c =
E E ⇒ρ= 2 ρ c
c) c = λν ⇒ λ =
k=
ω 1 ⇒T = 2π ν
c ν
2π 2π ⇒λ= λ k
kx = 0,5 ⇒ λ = 20π d) ∆ϕ = ( ωt − kx′ ) − ( ωt − kx ) = k ( x − x′ ) =
2π ( x − x′ ) λ
41. Amplitudinea unei perturbaţii este A = 10 cm, frecvenţa ν = 4 Hz , iar viteza de propagare a perturbaţiei într-un mediu elastic este c = 100 m/s. Să se afle deplasarea faţă de poziţia de echilibru, viteza şi acceleraţia punctelor aflate la distanţa x = 100 m faţă de sursa de oscilaţii la momentul t = 1 s de la începerea mişcării.
ξ = A cos ( ωt − kx ) ; v=
dξ = −ωA sin ( ωt − kx ) ; dt
53
a=
dv = −ω2 A cos ( ωt − kx ) dt
ωt − kx = 2πνt −
2π 99 x = 8π λ 100
99 ξ = 10−1 cos 8π ; 100 99 v = −8π⋅10−1 sin 8π ; 100 99 a = −64π 210 −1 cos 8π 100 42. Un punct material dintr-un mediu cu modulul de elasticitate E = 27 kN/m 2 şi densitatea
ρ = 3 g/cm 3 este supus simultan oscilaţiilor descrise de ecuaţiile ξ1 = 4 cos 2π(300t − 5) [mm ] şi ξ 2 = 3 cos 2π(300t − 4,5) [mm ] . Se cere: a) să se calculeze lungimea de undă a oscilaţiilor longitudinale care interferă; b) să se studieze dacă în locul unde se află punctul material se obţine un minim sau un maxim de interferenţă; c) să se calculeze amplitudinea şi faza oscilaţiei rezultante.
a) c =
E ω c ; ω = 2πν ⇒ ν = ; c = λν ⇒ λ = 2π ν ρ
b) ∆ϕ = ( ωt − kx1 ) − ( ωt − kx2 ) = kx2 − kx1 = 9π − 10π = −π ⇒ ⇒ este un minim de interferenţă c) A =
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ = 1
ϕ = arctg
A1 sin10π + A2 sin 9π =0 A1 cos10π + A2 cos 9π
43. Capetele unei bare având densitatea
ρ = 8000 kg/m 3
şi modulul de elasticitate
E = 2 ⋅ 10 11 N/m 2 , oscilează cu aceeaşi frecvenţă, dar cu amplitudini diferite. Oscilaţiile se propagă în bară sub forma unor unde longitudinale, astfel că într-un punct al barei ajung undele:
ξ1 = 4 cos π(10 3 t − 3,5) [mm ] şi ξ 2 = 5 cos π(10 3 t − 2,5) [mm ] . Se cere: 54
a) frecvenţa şi lungimea de undă a undelor; b) lungimea barei; c) să se cerceteze dacă în punctul considerat se formează un maxim sau un minim de interferenţă; d) amplitudinea oscilaţiilor punctului considerat.
a) ω = 2πν ⇒ ν =
ω c ; c = λν ⇒ λ = ; c = 2π ν
E ρ
b) ξ = A cos ( ωt − kx ) ⇒ kx1 = 3, 5π şi kx2 = 2,5π
L = x1 + x2 =
3,5π + 2,5π 6π = = 3λ 2π k λ
c) ∆ϕ = ( ωt − kx1 ) − ( ωt − kx2 ) = 2,5π − 3,5π = −π ⇒ este un minim de interferenţă d) A =
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ = 1
44. La distanţa r1 = 5 m de o sursă punctiformă de unde sferice, aflată într-un mediu absorbant, amplitudinea oscilaţiilor particulelor mediului este A1 = 50 µm . Într-un punct situat la o distanţă de p = 2 ori mai mare amplitudinea scade de n = 3 ori. Să se determine: a) coeficientul de amortizare μ a undei; b) amplitudinea A0 de oscilaţie a sursei. Se dă ln 1,5 ≅ 0,4 .
I=
1 2 2 zω A ; I = I 0 e−µr 2
I1 =
1 2 2 z ω A1 ; I1 = I 0 e −µr1 2
I2 =
1 2 2 zω A2 ; I 2 = I 0 e−µr2 2
2ln 3 −µ ( r1 − r2 ) 2 ⇒µ= ⇒3 =e r1 A A2 = 1 ; r2 = 2r1 3 A12 e −µr1 = A22 e −µr2
1 2 2 zω A1 µr1 I1 1 2 2 I 0 = z ω A0 ; I 0 = −µr1 = 2 −µr1 ; ⇒ A0 = A1e 2 2 e e
55
45. La distanţa r1 = 10 m de o sursă punctiformă de unde sferice aflată într-un mediu absorbant, intensitatea undei este de n = 5 ori mai mare decât la r2 = 20 m . Să se determine coeficientul de amortizare μ al undei.
I1 = I 0 e −µr1 ; I 2 = I 0 e−µr2 ; ⇒
5I 2 e −µr1 ln 5 = −µr2 ⇒ µ = I2 e 10
46. O sursă de unde sonore emite unde cu frecvenţa ν = 10 kHz . Cu ce viteză trebuie să se deplaseze sursa faţă de observatorul în repaus pentru ca acesta să nu audă sunetul? Viteza sunetului este c = 340 m/s.
νR = νS
c ± vR c m vS
Pentru că observatorul este în repaus, vR = 0 .
ν S = 10 kHz Un om aude în domeniul 20 Hz – 20 kHz. Deci, sub 20 Hz şi peste 20 kHz nu aude sunetul emis de sursă. Se va calcula viteza sursei pentru aceste limite ale frecvenţei:
20 = 10 ⋅ 103
340 ⇒ vS = 340 ⋅ 499 m / s 340 + vS
20 ⋅103 = 10 ⋅103
340 ⇒ vS = −170 m / s 340 + vS
În concluzie: •
pentru 20 Hz sursa trebuie să se depărteze de observator cu viteza 340 ⋅ 499 m / s pentru ca să nu audă sunetul emis de sursă;
•
pentru 20 kHz sursa trebuie să se apropie de observator cu viteza 170 m / s pentru ca să nu audă sunetul emis de sursă. 47. O sursă sonoră se află între un observator în repaus şi un obstacol în repaus şi se deplasează spre
obstacol cu viteza v S = 10 m/s emiţând sunete cu frecvenţa ν S = 1 kHz . a) Care este frecvenţa sunetului receptat direct de la sursă? b) Care este frecvenţa cu care se recepţionează sunetul reflectat de stâncă? Viteza sunetului în aer este c = 340 m/s.
56
a) ν R = ν S
c − vR 34 3 = 10 Hz c + vS 35
b) ν R = ν S
c + vR 34 3 = 10 Hz c − vS 33
48. O undă armonică plană se propagă printr-o bară foarte lungă cu densitatea ρ = 8 ⋅10 −3 kg m 3 şi modulul de elasticitate
E = 2 · 1011 N m 2 . Amplitudinea oscilaţiilor este constanta A = 1 mm şi frecvenţa
ν = 100 s −1 . Să se calculeze: a) viteza de propagare a undei; b) lungimea de undă; c) densitatea de energie; d) impedanţa acustică a mediului.
E = 5 ⋅106 m / s ρ
a) c =
b) c = λν ⇒ λ = c) w =
c = 5 ⋅10 4 m ν
1 2 2 ρω A ; ω = 2πν 2
d) z = ρc
49. Un tren se deplasează cu viteza v = 30 m/s, paralel cu un perete stâncos aflat la distanţa d = 200m. După cât timp se va sesiza din tren ecoul unui semnal sonor, emis de acesta. Viteza sunetului în aer este c = 340 m/s.
c=
OA AB OA AB = ⇒ t1 = ; t2 = t1 t2 c c
v=
OB OB ⇒ τ= τ v
Pentru ca un observator din tren să poată sesiza ecoul trebuie ca timpul în care sunetul ajunge înapoi la tren să fie egal cu timpul în care se deplasează trenul până în punctul de întâlnire. 57
Deci:
τ = t1 + t2 ⇔
OB OA AB = + v c c
OB OA = AB; OA = d + 2
2
2
⇒
OB = v
τ=
d 2
OB 2 v 4 ⇒ OB = d 2 2 c − v2 c
2 d2 +
1 c2 − v 2
50. O membrană elastică dreptunghiulară cu lungimea L = 2m şi lăţimea l = 1m, încastrată la margini, vibrează cu o astfel de frecvenţă încât de-a lungul Ox formează două ventre, iar de-a lungul axei Oy un singur ventru. Cunoscând că viteza cu care se propagă perturbaţia pe membrană este de c = 200 m/s, să se
calculeze această frecvenţă şi să se determine amplitudinea oscilaţiei punctului P 1 m;
1 m , amplitudinea 6
oscilaţiei în centrul membranei fiind A = 1mm.
Folosind formulele deduse în problema 1 din capitolul curent, se poate scrie: ν=
c 2
m2 n2 + 2 L2 l
m = 2; n = 1 ν =
200 2
4 1 + = 1 0 0 2 s −1 4 1
1 π2 πmx πny iωt π 2 ⋅1 −3 6 eiωt = 3 10−3 eiωt Ψ = A sin sin e = 10 sin sin L l 4 1 2
51. Într-o experienţă de difracţie cu două fante, una dintre fante este acoperită cu o placă din sticlă cu indicele de refracţie n1 = 1,4, iar cealaltă cu o placă din sticlă cu indicele de refracţie n2 = 1,7 şi de aceeaşi grosime cu prima. Punctul de pe ecran în care se afla maximul central, înaintea introducerii plăcilor din sticlă, este acum ocupat de a 5-a franjă luminoasă. Să se determine grosimea plăcilor de sticlă. Se dă λ = 650 nm.
Diferenţa de drum optic este: •
înainte de introducerea plăcilor de sticlă:
δ = r2 − r1 = k λ 58
dar k = 0 (este un maxim central) ⇒ δ = r2 − r1 = 0 •
după introducerea plăcilor de sticlă:
δ′ = ( r2 + n2 d ) − ( r1 + n1d ) = r2 − r1 + ( n2 − n1 ) d = ( n2 − n1 ) d ⇒ δ′ = k1λ ⇒ ( n2 − n1 ) d = k1λ ⇒ d =
k1λ ; unde k1 = 5. n2 − n1
52. În calea unuia dintre fasciculele din dispozitivul lui Young se aşează o lamă subţire cu indicele de refracţie n = 1,58. Maximul central se formează în locul minimului de ordinul al treilea (fără lamă). Să se calculeze grosimea lamei dacă λ = 5800 Ǻ.
Diferenţa de drum optic este: •
înainte de introducerea lamei:
δ = r2 − r1 = k λ dar k = 3 (minim de ordin 3) ⇒ δ = r2 − r1 = 3λ •
după introducerea lamei: δ′ = r2 − ( r1 + nd ) = r2 − r1 − nd = 3λ − nd
3λ ⇒ 3λ − nd = 0 ⇒ d = n δ′ = k1λ = 0 (k1 = 0, este un maxim central )
59
CAPITOLUL III TERMODINAMICĂ
1. Să se deducă formula barometrică considerând că temperatura scade liniar cu înălţimea
T = T0 − αy . dE p = dL mgdy = pdV pV = νRT ⇒ d ( pV ) = d (νRT ) ⇔ pdV + Vdp = νRdT
dT = − αdy mgdy = −Vdp − νRαdy Ţinând cont de m =
pVµ pVµ = , rezultă: RT R (T0 − αy )
pVµ Rα dy = −Vdp g + R (T0 − αy ) µ p
⇒
∫
p0
dp =− p
Rα h dy µ R T − αy 0 0 µ
g+
αh ⇒ p = p0 1 − T0
∫
µg − α + R
2. Să se calculeze diferenţa căldurilor molare la presiune şi volum constant, Cp – CV, pentru un gaz real şi să se particularizeze pentru un gaz ideal.
Din primul principiu al termodinamicii: ∂U ∂U dQ = dT + dV + pdV ∂T V ∂V T Prin definiţie: 1 ∂Q 1 ∂U ∂U dV dV Cp = = + + p n ∂T p n ∂T ∂V T dT p dT p Pentru un gaz Van der Waals: 60
1 ∂U CV = n ∂T V Diferenţiind ecuaţia termică de stare Van der Waals 2 a p + n 2 (V − nb ) = nRT V şi ţinând seama că presiunea trebuie să rămână constantă, se obţine relaţia: −
na a nR dV dV (V − nb ) + p + n 2 2 dV = nRdT ⇒ = 2 V V dT p p + n 4 ab V3
Rezultă: C p − CV =
nR 2T n 4 ab p + 3 (V − nb ) V
Pentru un gaz ideal, pentru care a = b = 0, se obţine: C p − CV = R , adică relaţia Robert Mayer. 3. La unele metale, căldura specifică depinde de temperatura absolută după legea c(T ) = a + bT , unde a şi b sunt constante pozitive. Să se calculeze căldura necesară încălzirii unei mase de Cu de 1 kg în intervalul T1 = 273,15 K şi T2 = 373,15 K . T2
dQ = νCdT = mcdT = m(a + bT )dT ⇒ Q = ∫ m(a + bT )dT T1
4. Într-un mediu fluid având temperatura Tfl se află un corp de masă m, căldură specifică c şi temperatură iniţială T0. Între fluid şi corp are loc un schimb de căldură astfel încât temperatura corpului variază. Să se afle dependenţa de timp a temperaturii corpului. Se va presupune T0 < Tfl.
dQ = α(T fl − T )Sdτ dQ – schimbul elementar de căldură în intervalul de timp dτ α – coeficientul schimbului de căldură S – suprafaţa corpului
dQ = mcdT ⇒ α(T fl − T )Sdτ = mcdT ⇒
αS dT =− dτ ⇒ T − T fl mc
⇒ T (τ) = T fl − (T fl − T0 )e
−
T ( τ)
∫
T0
αSτ mc
61
τ
αS dT =− dτ ⇒ T − T fl mc ∫0
5. Un corp de masă m, căldură specifică c şi temperatură iniţială t 0 =0 0 C , cade liber de la o înălţime oarecare faţă de pământ. Forţa de rezistenţă datorită frecării cu aerul este proporţională cu viteza (constanta de proporţionalitate k se cunoaşte). Căldura degajată prin frecarea cu aerul este preluată numai de corp. Neglijând forţa arhimedică, să se afle dependenţa de timp a temperaturii corpului înainte de atingerea vitezei limită.
G − F f = ma ⇔ mg − kv = ma ⇔ mg − kv = m dv m ⇒− = dτ ⇒ − k v − mg k k
v ( τ)
∫ 0
dv ⇒ dτ
τ
dv = dτ ⇒ mg ∫0 v− k
− τ mg m e ⇒ v ( τ) = 1 − k k
Pe de altă parte: dQ = dL . unde dQ = mcdt ; dL = F f dy = kvdy ; v =
dy ⇒ dy = vdτ dτ
Înlocuind se obţine:
k 2 mcdt = kv dτ ⇒ dt = v dτ ⇒ mc 2
t (τ)
τ
k m2 g 2 = dt ∫0 ∫0 mc ⋅ k 2
2
k − τ 1 − e m dτ
k 2k mg 2 2m − m τ m − m τ t ( τ) = e − 1 − − 1 τ + e kc k 2k
6. Fie funcţia f(x,y,z) unde x, y, z sunt parametrii stării. Să se arate că dacă:
∂f ∂f ∂f ∂y = + ∂x z ∂x y ∂y x ∂x z
a) z = ct. atunci
b)
∂x ∂y ∂z f ( x, y, z ) = 0 este ecuaţia de stare a sistemului, atunci = −1 ∂y z ∂z x ∂x y ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz : dx ∂x y , z ∂z x , y ∂y x , z
a) df =
∂f dy ∂f dz df ∂f = + + dx ∂x y , z ∂y x , z dx ∂z x, y dx dacă z = ct ⇒ dz = 0
∂f ∂f ∂f ∂y = + . ∂x z ∂x y ∂y x ∂x z
Rezultă:
62
b)
∂f 1 ∂f ∂y ∂f x = ct ⇒ dx = 0 ⇒ dy + dz = 0 ⇒ = − ⋅ ∂z x , y ∂z x ∂z x , y ∂f ∂y x , z ∂y x,z
1 ∂f ∂f ∂z ∂f y = ct ⇒ dy = 0 ⇒ dx + dz = 0 ⇒ = − ⋅ ∂x y , z ∂z x , y ∂x y ∂x y , z ∂f ∂ z x, y ∂f ∂x ∂f 1 ∂f z = ct ⇒ dz = 0 ⇒ dx + dy = 0 ⇒ = − ⋅ f ∂ x y y y ∂ ∂ ∂ ∂ y,z x,z z x,z ∂ x y,z
∂x ∂y ∂z Efectuând înmulţirile, se obţine = −1 . ∂y z ∂z x ∂x y 7. Să se stabilească relaţia dintre coeficientul termic al presiunii, coeficientul de dilatare în volum şi coeficientul de compresibilitate.
α=
1 ∂V - coeficientul de dilatare în volum V ∂T p
β=
1 ∂p - coeficientul termic al presiunii p ∂T V
ℵ= −
1 ∂V - coeficientul de compresibilitate V ∂p T
Pentru funcţia de stare f = f ( p, V , T ) care este egală cu 0 se poate scrie relaţia:
∂p ∂V ∂T ∂V ∂T ∂p = −1 T p V Din formulele de definiţie ale coeficienţilor se obţin relaţiile:
∂T 1 1 ∂p ∂V ; = αV ; = =− ℵ V ∂T p ∂V T ∂p V β p Înlocuind, se obţine:
α = ℵβ p 8. Un gaz ideal trece din starea caracterizată de parametrii p1, V1 în starea caracterizată de parametrii p2, V2 printr-un proces descris de ecuaţia p = a − bV , unde a şi b sunt constante pozitive. a) Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de gaz în cursul acestui proces. b) Să se stabilească dependenţa temperaturii de presiune.
(V a) L = ∫ pdV = ∫ ( a − bV ) dV = a (V − V ) − b V2
V2
2
V1
1
V1
63
2 2
− V12 2
)
b) pV = νRT ⇒ T =
pV p a − p ap − p 2 = = νR νR b νRb
9. În cazul unei substanţe a cărei ecuaţie termică de stare este de forma p = p (V , T ) , să se arate că
pβ =
α , unde β este coeficientul de variaţie a presiunii cu temperatura, α este coeficientul de dilatare liniar, ℵ
iar ℵ este coeficientul de compresibilitate izoterm. Din p = p (V , T ) rezultă:
∂p ∂p dp = dT + dV ∂T V ∂V T Dar, β =
1 ∂p 1 ∂V şi ℵ = − V ∂p . p ∂T V T ∂V 1 ∂p şi − ℵV = ∂p . ∂T V T
De unde rezultă: β p = Prin înlocuire, se obţine:
dp = pβ dT −
1 dV ℵ V
Când p = const. şi dp = 0, se obţine:
pβ dT − De unde: α =
1 dV =0 ℵ V
1 ∂V α = pβℵ ⇒ p β = V ∂T p ℵ
10. Să se determine ecuaţia termică de stare în cazul unei substanţe pentru care se cunosc coeficientul termic al presiunii şi coeficientul de compresibilitate izoterm.
Din problema precedentă:
α = pβℵ Iar coeficientul termic al presiunii este: β =
1 ∂p = f (T ) p ∂T V
şi coeficientul de compresibilitate izoterm este
ℵ= −
1 ∂V 1 = . V ∂p T p
Pe de altă parte, coeficientul de dilatare izobar este: 64
α=
1 ∂V ∂ ( ln V ) = V ∂T p ∂T p
Rezultă:
∂ ( ln V ) 1 = pβ ⋅ = β p ∂T p ℵ= −
∂ ( ln V ) 1 ∂V 1 1 = = ⇔ − V ∂p T p ∂p T p
∂ ( ln V ) ∂ ( ln V ) d ( ln V ) = dT + dp ∂T p ∂p T Înlocuind în ultima relaţie, rezultă:
d ( ln V ) = f (T )dT −
1 dp p
Astfel, se ajunge la următoarea ecuaţie termică de stare:
ln V = ∫ f (T )dT − ln p + const 11. Să se deducă ecuaţia termică de stare a unei substanţe pentru care coeficientul de dilatare volumică α şi coeficientul de compresibilitate izoterm ℵ sunt daţi de expresiile:
α=
1 ∂V V −a = V ∂T p VT
ℵ= −
1 ∂V 3(V − a ) = V ∂p T 4 pV
unde a este o constantă. Fie V o funcţie de T şi p. Prin diferenţiere, se obţine: ∂V dT 3 (V − a ) dp ∂V dV = − ⇒ dp = αVdT − KT Vdp = (V − a ) dT + 4 T p ∂T p ∂p T
⇒
dV dT 3 dp V − a = − ⇒ p 3/ 4 = const V −a T 4 p T
12. Se presupune că atunci când aerul (considerat gaz ideal) se ridică, suferă un proces de destindere adiabatică. Să se determine variaţia temperaturii cu creşterea altitudinii, ştiind că
µ = 28,9 g / mol şi g = 9,8 m / s 2 . Presupunem că avem un cilindru de înălţime dz şi bază S în care se găseşte aer. 65
γ = 1, 41 ,
Pentru aerul cu acest volum, condiţia de echilibru este: p( z ) S − p( z + dz ) S − ρ( z ) Sgdz = 0 ⇒ −dp( z ) = ρ( z ) gdz ⇒
Pentru un gaz ideal: pV =
dp ( z ) = −ρ( z ) g dz
m µp RT ⇒ ρ = µ RT
Se obţine:
dp( z ) pµg dp µg =− ⇒ =− dz dz RT p RT Deoarece gazul suferă o destindere adiabatică, se poate scrie:
p1−γT γ = const Diferenţiind ultima relaţie, se obţine: (1 − γ ) p −γ T γ dp + γp1−γT γ −1 dT = 0 ⇒ (1 − γ )Tdp + pdT = 0 ⇒
dp γ dT = p γ −1 T
Rezultă:
γ µg dT γ − 1 µg dT = − dz ⇒ =− γ −1 R dz γ R
13. Propagarea sunetului în aer are loc adiabatic cu viteza vs =
dp , unde ρ este densitatea aerului. dρ
a) Să se determine relaţia care există între exponentul adiabatic γ şi viteza sunetului vs. b) Să se determine variaţia lui vs în funcţie de temperatură. a) Din ecuaţia transformării adiabatice pentru gazul ideal pV γ = const se obţine prin diferenţiere:
V γ dp + γV γ −1dV = 0 ⇒ Din ρ =
dp dV +γ =0 p V
dV dV dρ dV m ⇒ =− rezultă: dρ = − m 2 = −ρ V V ρ V V
Se obţine:
66
dp dρ dp p =0⇒ =γ −γ p ρ dρ ρ Rezultă:
vs =
γp ρ
b) pV = νRT ⇔ pV =
m p RT RT ⇔ = µ ρ µ
Astfel, viteza sunetului devine:
vs = γ
RT µ
14. Care va fi temperatura finală a unui mol de gaz care se destinde adiabatic în vid de la volumul V1 la volumul V2 considerând că: a) gazul este ideal, iar expresia energiei interne este de forma U = b) gazul este real, iar expresia energiei interne este de forma U =
3RT . 2
3RT a − , unde a este o constantă. 2 V
Deoarece gazul se destinde adiabatic în vid, acesta va ocupa noul volum de gaz datorită agitaţiei termice, şi deci, δQ = 0 , δL = 0 , ceea ce înseamnă că ∆U = 0 , adică U = const şi U 1 = U 2 . a)
3RT1 3RT2 = ⇒ T1 = T2 2 2
b)
3RT1 a 3RT2 a 2a 1 1 − − = − ⇒ T2 = T1 + 2 V1 2 V2 3R V2 V1
Rezultă că T2 < T1, deci gazul se răceşte. 15. Să se arate că procesul de destindere adiabatică a unui gaz ideal dintr-o incintă cu volumul V1 şi temperatura T1, într-o incintă vidată cu volumul V2 este ireversibil. Să se calculeze variaţia de entropie în cursul acestui proces. Deoarece destinderea este adiabatică şi s-a realizat în vid, Q = 0 şi L = 0 . Rezultă că ∆U = 0 şi cum pentru un gaz ideal ∆U = CV ∆T , rezultă că ∆T = 0 , adică temperatura finală este egală cu cea iniţială.
67
Procesul ar fi reversibil dacă sistemul şi mediul ar putea reveni la starea iniţială prin aceleaşi stări intermediare, lucru care nu este posibil deoarece gazul ar trebui să treacă de la sine în incinta cu volum V1, în incinta cu volumul V2 rămânând vid. Procesul este ireversibil şi este asociat cu creştere de entropie. Calculul variaţiei de entropie se realizează pornind de la faptul că aceasta este o funcţie de stare şi există posibilitatea evaluării ei în cursul unui proces reversibil între cele două stări. În această situaţie se consideră o transformare izotermă reversibilă între cele două stări. Astfel se va putea scrie: dS =
δQ T
Într-o transformare izotermă a unui gaz ideal: dU = δQ − δL = 0 ⇒ δQ = δL = pdV Folosind ecuaţia termică de stare a gazului ideal se obţine:
dV V
dS = νR
Prin integrare:
∆S = νR
V1 +V2
∫
V1
V + V2 dV >0 = νR ln 1 V V1
16. Să se determine expresia entropiei unui gaz ideal alcătuit din ν kmoli, cunoscând CV – căldura molară la volum constant şi C p – căldura molară la presiune constantă.
Pentru procese reversibile, ecuaţia fundamentală este:
TdS = dU + pdV = νCV dT + νRT
dV dT dV ⇒ dS = νCV + νR V T V
Prin integrare, se obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii T şi V:
S (T , V ) = νCV ln T + νR ln V + const Pentru a obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii p şi T se înlocuieşte volumul:
V =
νRT p
S (T , p ) = νCV ln T + νR ln
νRT + const = νC p ln T − νR ln p + const p 68
Pentru a obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii p şi V se înlocuieşte temperatura:
T=
pV νR
S ( p, V ) = νCV ln
pV + νR ln V + const = νCV ln p + νC p ln V + const νR
17. Fie un gaz ideal care satisface ecuaţia de stare Van der Waals:
ν2a p + 2 (V − νb ) = νRT V Considerând constantă căldura molară la volum constant CV , să se stabilească: a) expresia energiei interne b) expresia entropiei c) ecuaţia transformării adiabatice a) Se consideră energia o funcţie de volum şi temperatură: U = U (V , T ) Se obţine:
∂U ∂U dU = dT dV + ∂T V ∂V T ∂U ∂p ∂U = νCV şi − p. = T ∂T V ∂T V ∂V T
Dar
Din ecuaţia de stare a gazului real:
p=
νRT ν 2a − 2 V − νb V
Diferenţiind, se obţine:
νR ∂p = ∂T V V − ν b Înlocuind, rezultă:
ν2a ∂U = 2 ∂T V V Atunci, se obţine:
dU = νCV dT + ν 2 a
dV V2
Şi, prin integrare:
U = νCV T −
ν2a + const V
69
Se observă că în cazul gazului real în afara termenului νCV T în expresia energiei interne intră şi termenul −
ν2a care exprimă contribuţia energiilor potenţiale de interacţiune dintre moleculele gazului. V
b) Din relaţia fundamentală pentru procesele reversibile rezultă:
dS =
δQ dU + pdV = T T
Ţinând cont de expresia presiunii din ecuaţia de stare a gazului real şi de cea a energiei interne dU, se obţine:
dS =
νCV dT νRdV + T V − νb
Prin integrare rezultă:
S = νCV ln T + νR ln (V − νb ) + S 0 c) În cazul unui proces adiabatic S = const . Din ultima expresie a entropiei de la punctul b se obţine ecuaţia procesului adiabatic:
T
CV R
(V − νb ) = const
18. Să se determine randamentul ciclului Otto format din două adiabate şi două izocore (vezi figura) având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc ε =
Cp V1 şi γ = . V2 CV
Căldura schimbată de sistem pentru fiecare transformare în parte este:
Q12 = 0 Q23 = νCV (T3 − T2 ) Q34 = 0 Q41 = νCV (T1 − T4 ) Deci, randamentul se va scrie:
70
Q41
η = 1−
Q12
T4 −1 T4 − T1 T1 T1 =1− =1− T3 − T2 T2 T3 −1 T2
Din transformările ce au loc între cele 4 stări se poate scrie:
T1V1γ −1 = T2V2γ −1 T3V2γ −1 = T4V1γ −1 T1 V2 = T2 V1
γ −1
=
1 ε γ −1
T4 T3 = T1 T2 Înlocuind, expresia randamentului devine:
η =1−
1 εγ
19. Să se determine randamentul ciclului Diesel format din două adiabate, o izobară şi o izocoră (vezi figura) având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc ε =
Cp V1 V , γ= şi ρ = 3 . V2 CV V2
Se calculează căldurile schimbate de sistem pentru fiecare transformare în parte:
Q12 = 0 Q23 = νC p (T3 − T2 ) > 0 Q34 = 0 Q41 = νCV (T1 − T4 ) < 0 Randamentul ciclului este:
η = 1−
Q41 Q23
T4 −1 1 T1 T1 = 1− γ T2 T3 −1 T2
Din transformările ce au loc între cele 4 stări se poate scrie: 71
T1V1γ −1 = T2V2γ −1 T3V2γ −1 = T4V1γ −1 T1 V2 = T2 V1
γ −1
=
1 ε γ −1
T3 V3 = =ρ T2 V2 T4 V3 = T3 V1
γ −1
V V = 3 2 V2 V1
Pentru a calcula raportul
γ −1
ρ = ε
γ −1
T4 se va scrie: T1
T4 T4 T3 T2 = = ρε T1 T3 T2 T1 Deci, randamentul ciclului este:
1 ργ −1 η = 1− γ ε γ −1 (ρ − 1) 20. Să se calculeze randamentul unei maşini termice ce lucrează după un ciclu Joule care este compus din două adiabate şi din două izobare, substanţa de lucru fiind un gaz ideal cu exponentul adiabatic γ. Se cunoaşte raportul ε =
p2 . p1
Q12 = νC p ( T2 − T1 ) > 0 Q23 = 0 Q34 = νC p ( T4 − T3 ) < 0 Q41 = 0 Randamentul ciclului este: 72
Q34 Q12
η = 1−
T4 T −T T T3 = 1− 3 4 = 1− 3 T2 − T1 T2 1 − T1 T2 1−
Transformările 2-3 şi 4-1 sunt transformări adiabatice şi se pot scrie următoarele relaţii: 1−γ
1−γ
T2 p1 γ = T3 p2 γ 1−γ γ 1 1
Tp
1−γ γ 2
= T4 p
Din care rezultă:
T1 T4 = T2 T3 Deci, randamentul va avea expresia:
p T η = 1− 3 = 1− 1 T2 p2
1−γ γ
1 = 1− ε
1−γ γ
21. Să se calculeze lucrul mecanic minim necesar transformării unui volum V = 10−3 m3 de apă la temperatura de 50°C în ceaţă formată din picături sferice cu raza r = 5 µm . Coeficientul de tensiune superficială a apei la 50°C este σ = 0, 063 Nm −1 .
Prin transformarea volumului V de apă în ceaţă, suprafaţa totală a celor N picături sferice de rază r obţinute este:
A = N ⋅ 4πr 2 =
V V ⋅ 4πr 2 = 3 ⇒ A = 600m 2 . 3 4πr r 3
Conform definiţiei, lucrul mecanic necesar în acest proces va fi: A
L = ∫ σdA = 37.8 J . 0
S-a neglijat energia membranei volumului de apă în starea iniţială.
22. Un cilindru închis la ambele capete, confecţionat dintr-un material izolator termic, este împărţit în două compartimente de un piston termic conductor care se deplasează fără frecare. Cele două compartimente conţin un gaz la presiunea p1, volumul V1, şi temperatura T1, respectiv p2, V2 şi T2. Ce relaţie există între temperaturile şi presiunile gazelor din cele două compartimente la echilibru? Pistonul se deplasează şi sistemul evoluează spre starea de echilibru, de entropie maximă şi deci: 73
dS sistem = dS1 + dS 2 = 0 Dar:
dS1 =
dU1 p1 + dV1 T1 T1
dS2 =
dU 2 p2 + dV2 . T2 T2
şi:
Sistemul fiind izolat faţă de exterior, dU2 = -dU1 şi dV2= -dV1, ceea ce conduce la:
1 1 p p dS sistem = − dU1 + 1 − 2 dV1 = 0 . T1 T2 T1 T2 Aceasta implică, pentru orice dU1 şi dV1, anularea coeficienţilor corespunzători:
1 1 − =0; T1 T2
p1 p2 − = 0. T1 T2
Rezultă că la echilibru: T 1 = T 2 ; p1 = p 2
23. Pentru a menţine temperatura unei lăzi frigorifice la –40°C atunci când temperatura mediului înconjurător este 27°C, căldura din interiorul acesteia trebuie extrasă cu o viteză de 1,25kW. Care este puterea minimă care trebuie furnizată dispozitivului frigorific de la reţea pentru ca acesta să funcţioneze în acest regim ? Se ştie că:
η frig . =
Q2 Lconsumat
=
T2 . T1 − T2
În condiţiile de funcţionare date: T2 = 233,15K, T1 = 300,15K, η = 3, 48 . Folosind definiţia eficienţei η frig :
Lconsumat =
Q2 η frig
se obţine Pminim = 359W .
24. Pornind de la ecuaţia diferenţială care leagă presiunea hidrostatică de înălţimea unui fluid:
dp = −ρgdz
74
unde ρ este densitatea fluidului, g acceleraţia gravitaţională, iar z înălţimea fluidului faţă de un nivel de referinţă, să se obţină expresia presiunii atmosferice ca funcţie de înălţime, măsurată de la suprafaţa pământului presupunând că: a) temperatura aerului nu variază cu înălţimea b) temperatura aerului variază cu înălţimea conform ecuaţiei T = T0 − kz , relaţie valabilă pentru z < 10 km.
a) Presupunând ca aerul atmosferic se comportă ca un gaz perfect, aceasta va satisface ecuaţia de stare pV =
pµ m RT , de unde rezultă ca densitatea aerului este ρ = . Folosind ecuaţia diferenţială a RT µ
presiunii hidrostatice:
dp µg =− dz p RT prin integrare, rezultă
µg p( z ) = p0 exp − RT
z.
Aceasta este formula barometrică, strict valabilă la T = const., condiţie satisfăcută în stratosferă, pentru care
z ∈ (10 − 25 ) km. b) În cazul variaţiei temperaturii cu înălţimea avem:
dp µg =− dz . p R ( T0 − kz ) Prin integrare, obţinem:
ln
p µg T0 − kz = ln p0 kR T0
sau: µg
kz kR p = p0 1 − . T0 25. O cantitate m = 1kg de apă aflată la temperatura T0 = 273 K este pusă în contact termic cu un termostat având temperatura T = 373 K. a) Care este variaţia entropiei apei, a termostatului şi a ansamblului apă-termostat? b) Dacă apa este pusă în contact termic întâi cu un termostat de temperatură T1 = 323K şi apoi, după atingerea echilibrului termic cu un alt termostat cu temperatura T2 = 373K, care este variaţia entropiei ansamblului apă-termostate? Sistemul apă-termostate este izolat adiabatic faţă de mediul exterior. 75
a) Căldura primită de apă este: T
Q = ∫ mc dT T0
3 unde c = 4,18 ⋅10
J este căldura specifică a apei. Variaţia de entropie a apei va fi atunci: kg ⋅ K
mc dT J T = mc ln = 1305 . T0 T T0 K
∆S apa = ∫
T
Termostatul aflat la temperatura T = const. cedează apei cantitatea de căldură −Q = − mc ( T − T0 ) , iar variaţia de entropie corespunzătoare va fi:
∆ST = −
mc ( T-T0 ) T
= −1120
J . K
Variaţia de entropie a ansamblului va fi:
∆S apa + ∆ST = 185
J > 0. K
b) Ţinând cont de rezultatul de mai sus,
T1 T0 J ⇒ ∆S apa = 1305 T K = mc ln 2 T0
1 ∆S apa = mc ln
2 ∆S apa
T ∆ST(1) = − mc 1 − 0 J T1 ⇒ ∆ST = −1207 . K T ∆ST( 2) = − mc 1 − 1 T2 Variaţia entropiei ansamblului va fi în acest caz:
∆S = ∆S apa + ∆ST = 98
J > 0. K
Se observă că în cazul acesta, variaţia entropiei ansamblului este mai mică decât in primul caz.
26. Arătaţi că pentru 1 mol de gaz real descris de ecuaţia Van der Waals:
a p + 2 (V − b ) = RT V având căldura molară la volum constant CV constantă, ecuaţia procesului adiabatic este: R
T (V − b ) CV = const
76
Diferenţiala entropiei pentru 1 mol de gaz Van der Waals este:
dS =
CV ( T ) T
dT +
R dV . V −b
Într-un proces adiabatic dS = 0 şi atunci:
CV ( T ) T
dT +
R dV = 0 V −b
unde pentru gazul real descris de ecuaţia Van der Waals, CV nu depinde de V şi este doar în funcţie de T. Prin integrarea ecuaţiei de mai sus se obţine:
CV ln T + R ln (V − b ) = const. şi ecuaţia adiabatei este:
T (V − b )
R CV
= const.
27. Un mol de gaz ideal având CV = 32 R şi C p = 52 R , unde, R = 8,314 molJ⋅ K aflat iniţial la temperatura T1 = 450K se destinde adiabatic de la volumul V1 = 3 litri la volumul V2 = 5 litri. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat şi variaţia entalpiei gazului în acest proces.
Într-o transformare adiabatică: V T2 = T1 1 V2
γ −1
= 320 K
C
unde γ = CVp = 53 . Transformarea fiind adiabatică, ∆S = 0 şi lucrul mecanic efectuat va fi: L = ∆U = CV ⋅ ∆T = −1620 J iar entalpia: ∆H = C p ⋅ ∆T = −2700 J .
28. Un gaz real are ecuaţia de stare p(V-b) = nRT, unde 0 < b < V este o constantă. Să se găsească expresia lucrului mecanic efectuat de gaz atunci când se destinde izoterm reversibil de la volumul iniţial Vi , la volumul final Vf > Vi . Comparaţi rezultatul de mai sus cu cel obţinut în cazul destinderii unui gaz ideal între aceleaşi stări.
În cazul gazului real: Lreal i →f = − ∫i pdV = − nRT ∫i f
f
dV V −b = − nRT ln f V−b Vi − b
Pentru un gaz ideal: Lideal i →f = − ∫i pdV = − nRT ln f
Vf . Vi 77
Deoarece b > 0 şi Vf > Vi , rezultă că:
Lideal < Lreal i→ f i →f . 29. O cantitate de oxigen, care se comportă ca un gaz real, se găseşte în starea caracterizată de parametrii p1, T1 şi ρ1 , unde ρ1 este densitatea. Să se determine: a) Densitatea gazului în starea iniţială, dacă mărindu-i presiunea de patru ori, densitatea creşte de două ori, iar temperatura gazului scade de două ori. b) Densitatea iniţială a gazului în cazul în care, păstrând temperatura constantă, presiunea se măreşte de patru ori, iar densitatea creşte de două ori.
a) Gazul are o comportare de gaz real care se supune ecuaţiei Van der Waals. Conform acestei ecuaţii, temperatura ca funcţie de presiune şi densitate este: T =
µ ρ 2 a b p + 2 1 − ρ . R ρ µ µ
Se exprimă raportul temperaturilor celor două stări: b T µ x= 1 = T2 b 21 − 2ρ1 µ 1 − ρ1
şi rezultă: ρ1 =
µ 2x −1 ⋅ b 4x −1
cum x = 2 ⇒ ρ1 = 4,34 ⋅ 10 2
kg . m3
b) Considerând x = 1, se obţine:
ρ1 =
µ kg = ρc = 3,375 ⋅ 102 3 . 3b m
30. Se consideră un gaz ideal de masă m caracterizat prin parametrii de stare p şi T1. Sistemul suferă o destindere izobară la un volum V2. Se cere: a) Cantitatea de căldură Q schimbată de sistem cu exteriorul şi semnul ei. b) Variaţia energiei interne ∆U a gazului. c) Lucrul mecanic L schimbat de sistem cu exteriorul. d) Aplicaţie numerică: m = 2g azot, p1 = 2atm, T1 = 300K şi V2 = 8,2dm3. a) Din ecuaţia de stare: 78
pV2 = nRT2 rezultă temperatura T2: T2 =
pV2 . Rn
Cantitatea de căldură schimbată de sistem cu exteriorul este:
Q = nC pT = n
i+2 RT 2
unde i este numărul gradelor de libertate Q > 0, cantitatea de căldură este primită de gaz.
b) Variaţia energiei interne este: i ∆U = n R ⋅ ∆T 2 c) Lucrul mecanic schimbat de sistem cu exteriorul rezultă din primul principiu al termodinamicii: ∆U = Q + L
de unde: L = ∆U − Q
L > 0, lucrul mecanic este cedat. d) T2 = 2800° K , Q = 1250 ⋅ 4,18 J = 5225 J , U = 3731,9 J , L = −1593,1 J . 31. Se consideră un gaz perfect monoatomic aflat la presiunea p1 şi volumul V1. Se cere să se scrie expresiile pentru: a) Lucrul mecanic efectuat într-o transformare izotermă în care volumul gazului se dublează. b) Cantitatea de căldură primită în această transformare.
a) Lucrul mecanic efectuat de sistem într-o transformare izotermă este: L=−
V2
∫
V1
p dV = − nRT
V2
∫
V1
dV V V = −nRT ln 2 = − P1V1 ln 2 V V1 V1
deci L = − p1V1 ln2 .
b) Pentru un gaz perfect, energia internă este dată de energia cinetică a moleculelor 3 3 3 U = N ⋅ kT = nN A ⋅ kT = nRT . 2 2 2 Astfel ∆U =
3 nR ⋅ ∆T . 2
Într-o transformare izotermă ∆T = 0, deci ∆U = 0 Din primul principiu al termodinamicii, rezultă 79
Q=–L Deci, Q = p1V1 ln2 32. Un mol de gaz perfect monoatomic aflat în condiţii normale de temperatură şi presiune se dilată adiabatic, triplându-şi volumul. Se cere: a) Să se calculeze lucrul mecanic efectuat. b) Variaţia energiei interne.
a) Lucrul mecanic efectuat de sistem într-o transformare adiabatică este: γ
V L = − p 2 dV = − p1 1 dV V1 V1 V2
∫
V2
∫
V2
unde s-a ţinut seama de ecuaţia transformării adiabatice p1V1γ = p2V2γ . Integrând, obţinem: γ −1 p1V1 1−γ p1V1 V1 1− γ 1 − L=− V2 − V1 = − 1− γ γ − 1 V2
nRT1 V1 1 − sau L = − γ − 1 V2
γ −1
= −2019 J .
b) Într-o transformare adiabatică (Q = 0) din primul principiu al termodinamicii rezultă: U 2 − U1 = − L = +2019J . 33. Un gaz perfect suferă o comprimare de la un volum de 5 dm3 la 1 dm3. Comprimarea se poate face adiabatic sau izoterm. În care caz lucrul mecanic efectuat este mai mic? Se ştie că lucrul mecanic într-o transformare adiabatică este: Lad
nRT1 V1 1 − = γ − 1 V2
γ −1
iar lucrul mecanic într-o transformare izotermă este: V Lizot = nRT1 ln 2 . V1 Făcând raportul celor două relaţii, se obţine:
80
γ −1
V 1 − 1 1 V2 = γ −1 V ln 2 V1
Lad Lizot
= 1,3 .
Deci, comprimarea izotermă a unui gaz este mai avantajoasă din punct de vedere al lucrului mecanic consumat.
34. Să se demonstreze că randamentul ciclului Carnot este mai mare decât randamentul ciclului Carnot generalizat.
Randamentul ciclului Carnot generalizat este: η=
T1 − T2 C (T1 − T2 ) T1 + V R ln 2 V1
iar randamentul ciclului Carnot este: ηc =
T1 − T2 . T1
Expresia primului randament conduce la: 1 T1 R V 1 R V2 + ln . = + ln 2 = η T1 − T2 C V1 ηc C V1 Deoarece C > 0, iar V2 > V1 , rezultă că
R V2 ln > 0 , şi deci din ultima relaţie se obţine: C V1
1 1 > η ηc De aici, rezultă: ηc > η .
35. Se consideră un sistem termodinamic format dintr-un mol de gaz perfect biatomic, care suferă o dilatare politropă pV n = const. de la un volum V1 la un volum V2. Care este variaţia entropiei dacă dilatarea are loc? a) pe o izotermă; b) pe o adiabată.
a) Variaţia entropiei este: ∆S = S 2 − S1 = CV ln
T2 V + R ln 2 . T1 V1 81
Într-o transformare politropă: T1 V2 = T2 V1
n −1
astfel că: ∆S = ln
[
]
V1 CV n − C p . V2
Pentru gazul biatomic se obţine: ∆S = ln
V1 V2
7 5 2 ⋅ 2 R − 2 R .
Dacă dilatarea are loc după o izotermă, n = 1, astfel că ∆S = ln
[
]
V1 V CV − C p = − R ln 1 . V2 V2
b) Dacă dilatarea are loc pe o adiabată, n = γ, deci: S = ln
[
]
V1 γ ⋅ CV − C p = 0 . V2
36. Un sistem termodinamic format dintr-un gaz perfect parcurge ciclul din figură. Să se arate că pe drumurile 1 → 2 → 3 şi 1 → 4 → 3 cantiţătile de căldură schimbate sunt diferite, dar variaţiile de entropie sunt egale.
Ciclul parcurs de sistem este format din două izobare 1 → 2 şi 3 → 4, şi două izocore 2 → 3 şi 4 →1. Cantitatea de căldură QI , pe ramura 1 → 2 → 3 este: QI = Q12 + Q23 unde:
Q12 = CV ∆T + p1∆V = CV (T2 − T1 ) + p1 (V2 − V1 ) Q23 = CV (T3 − T2 ) . Atunci: 82
QI = CV (T2 − T1 ) + p1 (V2 − V1 ) + CV (T3 − T2 ) . Pe ramura 1 → 4 → 3, cantitatea de căldură este: QII = ∆Q12 + ∆Q43 =
= CV (T4 − T1 ) + CV (T3 − T4 ) + p2 (V2 − V1 )
Dar, din ciclu se vede că: T2 T1 = T3 T4
p1 T2 = p2 T3
şi
astfel încât: QII = CV (T3 − T2 )
T4 T + CV (T2 − T1 ) 3 + T3 T32
+ p1 (V2 − V1 )
T4 T3
Deoarece T2 > T3 şi T3 > T4, rezultă că: QI > QII .
Variaţia entropiei pe cele două ramuri este: ∆S I =
∫
Q12 Q23 + = T T
∫
∫
∆S II =
∫
Q14 Q43 + = T T
∫
∫
T2
C p dT
T1 T4
T1
T
+
T3 C dT V
∫
CV dT + T
T2
T
T3 C p dT
∫
T4
T
.
Integrând, rezultă: ∆S I = C p ln
T2 T + CV ln 3 T1 T2
∆S Ii = CV ln
T3 T + C p ln 2 . T2 T1
Comparând relaţiile obţinute, rezultă: ∆S I = ∆S II
37. Într-un cilindru cu piston se află 5 l de apă la 293 K. Cunoscând coeficientul de dilatare în volum
α = 2 ⋅10 4 K −1 şi cel de compresibilitate β = 4 ⋅10 −10 m 2 / N , să se calculeze lucrul mecanic efectuat în următoarele procese cuasistatice: a) izoterm, cu creşterea presiunii de la 1 atm la 100 atm b) izobar, la presiunea de 1 atm şi la creşterea temperaturii de la 0 o C la 80 o C
a) β = −
1 ∂V V0 ∂p
∂V ⇒ = −βV0 T ∂p T
83
pV = νRT ⇒ V =
νRT ⇒ V = V ( p, T ) p
∂V ∂V dp + ⇒ dV = dT ∂T p ∂p T Pentru că transformarea e izotermă dT = 0 : ∂V dp . ⇒ dV = ∂p T p2
p2
p1
p1
δL = − pdV ⇒ L = − p (− βV0 dp ) = β V0 pdp
∫
∫
unde V0 = 5 l = 5∙10 – 3 m3 b) α =
1 V0
∂V ∂V ⇒ = αV0 ∂ T p ∂T p
∂V Pentru că transformarea e izobară dp = 0 ⇒ dV = dT . ∂T p T2
T2
T1
T1
δL = − pdV ⇒ L = − p(αV0 dT ) = − pαV0 dT
∫
∫
unde V0 = 5 l = 5∙10 – 3 m3 şi p = 1 atm 38. Să se calculeze expresia lucrului mecanic efectuat de ν moli de gaz Van der Waals, care se destind izoterm la o temperatură T de la volumul V 1 la un volum V 2 .
p=
νRT ν 2 a − V −b V 2 V2
δL = − pdV ⇒ L = −
∫ 1
⇒ L = −νRT ln
V2
V
2 νRT ν2a V 1 dV − − 2 dV = − νRT ln (V − b ) V2 − ν 2 a 1 V − b V V V V V
∫
1
1
1 1 V2 − b − ν 2 a − V1 − b V2 V1
39. O masă m de gaz ideal, având masa molară μ este închis într-un corp de pompă, având la o anumită temperatura volumul V1 . Fiind încălzit parametrii gazului devin p 2 , V2 . Să se afle temperatura maximă la care a fost încălzit gazul, ştiind că presiunea depinde de volum prin relaţia p = b − aV , a şi b fiind constante.
pV=
m RT µ 84
(b-aV)V=
µ ( bV − aV 2 ) m RT ⇒ T= µ mR
Pentru ca temperatura să aibă un maxim trebuie ca
d 2T dT = 0 şi < 0. dV dV 2
μ dT μ dV = mR (b − 2aV ) mR (b − 2aV ) = 0 ⇒ 2 ⇔ d T = − 2aμ − 2aμ < 0 mR dV 2 mR
Dacă (∃) T max ⇒ (∃) V max ⇒ b – 2aV max = 0 ⇒ V max =
⇒ T max =
b ⇒ 2a
µ b2 b 2 µb 2 − a = mR 2a 4a 2 4maR
p − p2 a=− 1 V1 − V2 p1 = b − aV1 p = b − aV1 ⇒ 1 ⇒ p2 = b − aV2 p2 = −b + aV2 b = p2V1 − p1V2 V1 − V2 2
p V − p1V2 µ 2 1 2 = µ ( p1V1 − p2V2 ) T max = V1V2 p − p1 4mR( p2 − p1 ) (V1 − V2 ) 4mR 2 V1 − V2
40. Să se calculeze randamentul unei maşini termice care lucrează după un ciclu Carnot generalizat (format din 2 izoterme şi 2 politrope) (T1 > T2 ) substanţa de lucru fiind un gaz perfect.
1–2 T 1 = ct.: L12 = Q12 = νRT1 ln
V2 p = νRT1 ln 1 > 0 ⇒ Q12 = Qabs V1 p2
2–3: transf. politropă: pV γ = const ; Cγ = CV + δL23 = δQ23 − dU 23 = ν(Cγ − CV )dT ⇒ L23 = ν
R 1− γ
R (T2 − T1 ) 1− γ
δQ 23 = dU 23 − δL 23 = νCV dT + pdV = νCV dT − ν (C γ − CV )dT = 2νCV dT − νC γ dT
R Q23 = ν CV − (T2 − T1 ) < 0 ⇒ Q23 = Qcedat 1− γ 3–4: T 2 =ct.: L34 = Q34 = νRT2 ln
V4 p = νRT2 ln 3 < 0 ⇒ Q34 = Qcedat V3 p4
4-1: transf. politropă: pV γ = const ; Cγ = CV +
R 1− γ
85
δL41 = δQ41 − dU 41 = ν (Cγ − CV )dT ⇒ L41 = ν
R (T1 − T2 ) 1− γ
δQ41 = dU 41 − δL41 = νCV dT + pdV = νCV dT − ν(C γ − CV )dT = 2νCV dT − νC γ dT
R Q41 = ν CV − ( T1 − T2 ) > 0 ⇒ Q41 = Qabs 1− γ η=
L1234 Qabs
V2 V + T2 ln 4 V1 V3 =R V R RT1 ln 2 + Cv − (T − T ) 1 − γ 1 2 V1 T1 ln
41. Să se demonstreze că în cazul unui proces adiabatic aplicat unui gaz ideal este adevărată relaţia: γ pV =ct. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat în cursul unui astfel de proces, când gazul trece din starea
caracterizată prin parametrii p1 , V1 , T1 în starea caracterizată prin parametrii p2 , V2 , T2 . δQ = dU + δL Fiind o transformare adiabată Q = 0 şi deci δQ = 0 . ⇒ νCV dT + pdV = 0 unde CV = ⇒
R γ −1
νRdT + pdV = 0 γ −1
Pentru că este un gaz ideal ecuaţia de stare este: pV = νRT ⇒ d ( pV ) = d (νRT ) ⇔ pdV + Vdp = νRdT Înlocuind, se obţine: pdV + Vdp dp dV dp dV + pdV = 0 ⇒ Vdp − γpdV = 0 ⇒ = −γ ⇒ = −γ γ −1 p V p V
∫
∫
⇒ ln p = − γ ln V + ct ⇒ pV γ = ct L=
V2
∫
V1
V2
V2
1
1
ct ct ⋅ V −γ +1 ct ⋅ V2−γ +1 − ct ⋅ V1−γ +1 pdV = dV = = − γ +1 V − γ +1 Vγ V
∫
Dar: p1V1γ = p2V2γ = ct . Înlocuind constanta se obţine: L=
p2V2 − p1V1 1− γ
86
3 2
42. Să se găsească creşterea energiei interne ∆U a unui mol de lichid (presupus gaz ideal CV = R ), care se dilată izobar de la V1 = 5l la V2 = 10l , procesul având loc la presiunea p = 20 N / m 2 . La gazele ideale, în transformarea izobară, energia internă depinde de temperatură şi volum: U = U (T ) ∂U ⇒ dU = dT ; ∂T V dar CV =
1 ∂U ; rezultă: dU = νCV dT ν ∂T V
pV = νRT ⇒ T =
pV νR
Pentru 1 mol de gaz se va scrie: ∆U = CV ∆T = CV
p2V2 − p1V1 3 = p(V2 − V1 ) R 2
43. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de o cantitate de 0,25kg amoniac într-o transformare izotermă la temperatura de 270C cunoscând volumul iniţial al gazului V0 = 0,1 m 3 şi presiunea finală a acestuia p = 1,17 atm .
L = Q = νRT ln
V m V = RT ln V0 µ amoniac V0
µ amoniac = 31 kg / mol Fiind o transformare izotermă T = const.: νRT V0 p0V0 V0 mRT p0V0 = pV ⇒ V = = = µ amoniac p p p
L=
m µ amoniac
RT ln
mRT µ amoniac pV0
44. Într-un motor Diesel se aspiră aer atmosferic la presiunea p = 10 5 N / m 2 şi la temperatura
t = 15 0C . Aerul este apoi comprimat adiabatic până ce volumul scade de 15,6 ori. Ştiind că lucrul mecanic cheltuit la comprimare este de 1260 J se cere: a) masa de aer aspirată la o cursă a pistonului b) temperatura aerului la sfârşitul comprimării c) presiunea aerului la sfârşitul comprimării 87
Se dă exponentul adiabatic pentru aer γ = 1,4 şi densitatea aerului ρ aer = 1,3 kg / m 3
a) ρ aer =
m1 ⇒ maer = m1 = ρ aerV1 V1
Lcomprimare =
V2
V2
V1
V1
∫ pdV = ∫
ct ⋅ dV p2V2 − p1V1 = = V1 1− γ Vγ
p2
V2 − p1 V1 1− γ
V2 1 = V1 15,6 V p1V1γ p1V1 = p 2V ⇒ p 2 = = p1 1 γ V2 V2 γ
γ
γ 2
Lcomprimare = V1
0,4 ⋅ Lcomprimare 1 − 15,6 0, 4 p1 ⋅15,61, 4 ⋅15,6 −1 − p1 = p1V1 ⇒ V1 = 1 − 1,4 0,4 p1 1 − 15,6 0 , 4
(
)
γ
V V pV pV pV pV b) 1 1 = νR ; 2 2 = νR ; ⇒ 1 1 = 2 2 ⇒ T2 = T1 1 2 T1 T2 T1 T2 V2 V1 V pVγ c) p V = p V ⇒ p2 = 1 γ1 = p1 1 V2 V2 γ 1 1
γ
γ 2 2
45. Într-un cilindru se află o cantitate de aer la p1 = 105 N / m 2 , T1 = 300 K , ocupând volumul V1 = 30 l . Gazul din cilindru este supus la următoarele transformări: 1. O încălzire izocoră până la p2 = 1,5 ⋅ 105 N / m 2 2. O destindere izobară până la V3 = 60 l 3. O răcire izocoră până la p4 = p1 4. O comprimare izobară până la starea iniţială. Se cunosc: CV = 0,7 J / g ⋅ grad ; C p = 1,1 J / g ⋅ grad ; µ = 28,9 kg / kmol . Aerul se consideră gaz ideal. Să se afle: 88
a) Masa aerului din cilindru. b) Temperatura la sfârşitul fiecărui proces. c) Lucrul mecanic efectuat şi cantitatea de căldură schimbată de aerul din cilindru în fiecare proces.
a) p1V1 = νRT1 ⇔ p1V1 =
m pV RT1 ⇒ m = 1 1 µ µ RT1
b) 1 – 2: izocoră: V1 = V2 ;
p1 p2 p = ⇒ T2 = T1 2 ; p2 = 1,5 ⋅ 105 N / m 2 T1 T2 p1
2 – 3: izobară: p2 = p3 ;
V2 V3 V = ⇒ T3 = T2 3 ; V3 = 60 l T2 T3 V2
4 – 1: izobară:
p 4 = p1 ;
V4 V1 V = ⇒ T4 = T1 4 T4 T1 V1
3 – 4: izocoră:
V3 = V4 = 60 l ;
p3 p 4 p p p = ⇔ 2 = 1 ⇒ T4 = T1 1 T3 T4 T3 T4 p2
c) 1 – 2: izocoră: T2
L12 = 0 ; Q12 = ∆U12 = ∫ νCV dT = νCV (T2 − T1 ) T1
2 - 3: izobară:
L23 =
V2
∫ pdV = p (V 2
3
− V2 ) = νR (T3 − T2 )
V1
T3
Q23 = ∫ νC p dT = νC p (T3 − T2 ) T2
3 – 4: izocoră: T4
L34 = 0 ; Q34 = ∆U 34 = ∫ νCV dT = νCV (T4 − T3 ) T3
4 – 1: izobară:
L41 =
V1
∫ pdV = p (V − V ) = νR (T − T ) 1
1
4
1
4
V4
T1
Q41 = ∫ νC p dT = νC p ( T1 − T4 ) T4
89
90
