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CAPÍTULO 30 Inductancia
30.8 Determinación de la autoinductancia de un solenoide toroidal con embobinado compacto. Por claridad, solo se ilustran algunas espiras del embobinado. Se ha hecho un corte en el toroide para mostrar el área de la sección transversal A y el radio r . Número de espiras 5 N (solo se muestran algunas)
A
EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (30.6), la autoinductancia es L = N £ Bi. Del ejemplo 28.10, la magnitud del campo a una distancia r del eje del toroide es B = m 0 Ni2pr. Si suponemos que el campo tiene esta magnitud en toda el área A de la sección transversal, entonces £ B = BA =
m0 NiA 2pr
El flujo magnético £ B es el mismo a través de cada espira, y la autoinductancia L es
r
L =
N £ B
=
i
m0 N 2 A 2pr
(autoinductancia de un solenoide toroidal)
i
EVALUAR: Suponga que N = 200 espiras, A = 5.0 cm2 = 5.0 * 10-4m2,
i
y r = 0.10 m; entonces la corriente i en la bobina. Para esto, se usan los resultados del ejemplo 28.10 (sección 28.7) en el que se determinó el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal como una función de la corriente.
Ejemplo 30.4
L = =
1
> 21 2 1 1 2
4p * 10 -7 Wb A # m 200
2
2
5.0 * 10 -4 m2
2p 0.10 m
40 * 10
-6
H = 40 mH
Cálculo de la fem autoinducida
Si la corriente en el solenoide toroidal del ejemplo 30.3 se incrementa de manera uniforme de 0 a 6.0 A en 3.0 ms, calcule la magnitud y el sentido de la fem autoinducida.
SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Se conocen el valor de L, la autoinductancia y didt , la razón de cambio de la corriente del solenoide. Se encuentra la magnitud de la fem autoinducida E mediante la ecuación (30.7) y su dirección usando la ley de Lenz.
EJECUTAR: Tenemos didt = (6.0 A)(3.0 * 10-6 s) = 2.0 * 106 As. De acuerdo con la ecuación (30.7), la magnitud de la fem inducida es
ƒ E ƒ
= L
` ` 1 di
dt
=
21
>2
40 * 10 -6 H 2.0 * 10 6 A s = 80 V
La corriente va en aumento por lo que, de acuerdo con la ley de Lenz, el sentido de la fem es opuesto al de la corriente. Esto corresponde a la situación de la figura 30.6 c; el sentido de la fem es de b a a, como una batería con a en la terminal + y b en la terminal -, y tiende a oponerse al incremento de la corriente que proviene del circuito externo.
EVALUAR: Este ejemplo demuestra que incluso una inductancia pequeña L puede dar lugar a una fem inducida sustancial si la corriente cambia con rapidez.
Evalúe su comprensión de la sección 30.2 Ordene los siguientes inductores según la diferencia de potencial vab, del más positivo al más negativo. En cada caso, el inductor tiene una resistencia igual a cero y la corriente fluye a través del inductor del punto a al b. i. La corriente a través de un inductor de 2.0 mH se incrementa de 1.0 a 2.0 A en 0.50 s; ii. la corriente a través de un inductor de 4.0 mH disminuye de 3.0 A a 0 en 2.0 s; iii. la corriente a través de un inductor de 1.0 mH permanece constante e igual a 4.0 A; iv. la corriente a través de un inductor de 1.0 mH se incrementa de 0 a 4.0 A en 0.25 s.
30.3
Energía del campo magnético
El establecimiento de una corriente en un inductor requiere una aportación de energía, y un inductor que conduce corriente contiene energía almacenada. Veamos cómo sucede esto. En la figura 30.5, una corriente creciente i en el inductor causa una fem E entre sus terminales, y una diferencia de potencial correspondiente V ab entre las terminales de la fuente, con el punto a a mayor potencial que el b. Así, la fuente debe estar agregando energía al inductor, y la potencia instantánea P (la razón de transferencia de energía al inductor) es P = V abi.
Energía almacenada en un inductor Podemos calcular la entrada total de energía U necesaria para establecer una corriente final I en un inductor con inductancia L si la corriente inicial es igual a cero. Suponemos que el inductor tiene una resistencia igual a cero, por lo que dentro del induc-
