fisica santillana 3

año medio

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

Autores L. A. Pavez F.

Profesor de Física Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

J. E. Jiménez C.

Licenciado en Física Pontificia Universidad Católica de Chile

E. Ramos M.

Doctor en Física Pontificia Universidad Católica de Chile

SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID MÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTA FE DE BOGOTÁ • SÂO PAULO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTO

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Física 3° año medio TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Autores Luis A. Pavez F. Javier E. Jiménez C. Esteban Ramos M. Editora Paola González Diseño y diagramación Pamela Madrid Corrección de prueba Patricia Romero Ilustraciones Faviel Ferrada Jacob Bustamante Archivo gráfico Banco imágenes McGraw-Hill

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2009 McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. Carmencita 25, oficina 51, Las Condes Teléfono 56-2-6613000 Santiago de Chile La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-220-3 N˚ de Inscripción: 186.064 Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile. Se terminó de imprimir esta primera edición de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de 2009.


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Presentación La Física va más allá de las ecuaciones y los números. Muchas cosas que suceden en nuestro alrededor tienen relación con ella: los colores del arco iris, el brillo, la dureza del diamante son temas de la Física, asimismo, acciones como caminar, correr o andar en bicicleta involucran los principios de esta ciencia. Por ello, se ha tenido especial cuidado en establecer la relación entre los contenidos y aspectos de la vida diaria, como la tecnología de uso común, la salud, etc. Este libro pretende ser una herramienta útil para todos los estudiantes que cursan el tercer año medio. El objetivo es que, leyendo con atención cada una de las secciones, puedas obtener en forma paulatina, progresiva y ordenada los conceptos básicos necesarios para su formación científica. Los contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didácticas: Mecánica y Fluidos, las que a su vez se han separado en capítulos y secciones para entregarte una estructura más dinámica y didáctica. Todas las secciones te presentarán actividades de indagación, ejemplos, contexto histórico, actividades de profundización, síntesis, preguntas y ejercicios propuestos y evaluaciones. La Física es una actividad humana, una aventura excitante y en este curso conocerás el fruto de muchos hombres y mujeres que dedicaron su vida a la investigación para comprender nuestro mundo.

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Estructura gráfica El texto para el estudiante está ordenado siguiendo el siguiente esquema:

Unidad 1. Mecánica Capítulo 1: Movimiento circular

Sección 1: Movimiento circular uniforme Sección 2: Momento angular y su conservación

Capítulo 2: Energía mecánica

Sección 3: Energía y movimiento Sección 4: Conservación de la energía mecánica

Unidad 2. Fluidos Capítulo 3: Hidrostática

Sección 5: Presión y principio de Pascal Sección 6: El principio de Arquímedes

Capítulo 4: Hidrodinámica

Entrada de Unidad presenta los aprendizajes esperados y las primeras interrogantes motivadoras respecto a los temas a trabajar.

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Sección 7: Fluidos en movimiento

Entrada de capítulo con preguntas motivadoras iniciales. Estas preguntas tienen un sentido diagnóstico, ya que, por una parte, aluden a conocimientos que se espera sean de dominio del estudiante y, por otra parte, aluden a conceptos relacionados con el contenido del capítulo.

Física 3° Año Medio


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Indagación, actividades que permiten a los estudiantes incentivar la curiosidad y desarrollar habilidades de investigación científica.

Contexto histórico de la física da referencias de las personas que contribuyeron al desarrollo del conocimiento en el área de la física relacionada con la sección.

Evaluación intermedia permite evaluar el grado de avance en la comprensión de los contenidos.

Síntesis, muestra un mapa conceptual que lleva a los estudiantes a ordenar y jerarquizar los contenidos de la sección.

Actividad de profundización sirve para consolidar el aprendizaje de la primera parte de la sección y desafía a los estudiantes a enfrentar un problema en base al método científico.

Preguntas y ejercicios: batería de ejercicios propuestos que tienen por objetivo que el estudiante aplique los contenidos desarrollados en la sección.

Evaluación final, pone a prueba los aprendizajes logrados en la sección.

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Índice Unidad 1. Mecánica CAPÍTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPÍTULO 2: ENERGÍA MECÁNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Indagación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indagación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Sección 1: Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . 15 Trayectoria circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 El período. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indagación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 La aceleración centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 La fuerza centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Algunos casos de la fuerza centrípeta . . . . . . . . . . . . . 25 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Indagación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Indagación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Sección 2: Momento angular y su conservación . . . . . . 37 El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 La inercia rotacional o momento de inercia . . . . . . . . 40 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Indagación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Inercia y conservación del momento angular . . . . . . . 48 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Indagación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Indagación 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Sección 3: Energía y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Indagación 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Energía mecánica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Indagación 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Indagación 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Sección 4: Conservación de la energía mecánica . . . . . 86 Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas . . . . . . . . 86 El principio de conservación de la energía mecánica . 88 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Indagación 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Conservación de la energía y roce . . . . . . . . . . . . . . 101 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 109 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111



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Unidad 2. Fluidos CAPÍTULO 3: HIDROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

CAPÍTULO 4: HIDRODINÁMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Indagación 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Indagación 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Indagación 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Indagación 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Sección 5: Presión y principio de Pascal . . . . . . . . . . . 117

Sección 7: Fluidos en movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Líquidos y gases en el Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Líneas de flujo y ecuación de continuidad . . . . . . . . 162

Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Indagación 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Presión hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Indagación 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . 176

Presión atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Viscosidad y velocidad límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

El flujo sanguíneo en el cuerpo humano . . . . . . . . . . 182

Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 136

Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 185

Indagación 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Sección 6: El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . 140 ¿Por qué un objeto se hunde o flota? . . . . . . . . . . . . 142

Solucionario

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Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Indagación 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Tensión superficial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 147 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Preguntas y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . 155 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Seguridad en el laboratorio El laboratorio de ciencias es un lugar seguro para trabajar si eres cuidadoso y estás atento a las normas de seguridad. Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los demás. Las reglas que aquí se proporcionan te protegerán a ti y a los otros de sufrir daños. Mientras realices procedimientos en cualquiera de las actividades, presta atención en los enunciados de precaución.

1

Siempre obtén el permiso de tu profesor o profesora para comenzar la práctica.

2

Estudia el procedimiento. Si tienes preguntas, plantéaselas a tu profesor(a). Asegúrate de entender todas las normas de seguridad sugeridas.

3

4

Usa el equipo de seguridad que se te proporcione. Cuando cualquier práctica requiera usar sustancias químicas, debes usar lentes, delantal y guantes de seguridad. Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre ladéalo de modo que la boca apunte lejos de ti y de los demás.

5

Nunca comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhales químicos. No pruebes sustancias o introduzcas algún material en tu boca.

6

Si derramas algún químico, reporta el derrame a tu profesor(a) sin pérdida de tiempo.

7

Aprende la ubicación y el uso adecuado del extintor de incendios, el botiquín de primeros auxilios y cualquier equipo de seguridad complementario.

8

Mantén todos los materiales lejos de flamas abiertas. Amárrate el cabello si lo tienes largo.

9

Si en el salón de clase se inicia un fuego o si tu ropa se incendia, sofócalo con un abrigo o ponte bajo la llave del agua. NUNCA CORRAS.

10

Reporta a tu profesor o profesora cualquier accidente o lesión, sin importar lo pequeño que éste sea.

Sigue estos procedimientos mientras limpias tu área de trabajo. 1

Cierra el agua y el gas. Desconecta los dispositivos eléctricos.

2

Regresa los materiales a sus lugares.

3

Desecha las sustancias químicas y otros materiales de acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a). Coloca los vidrios rotos y las sustancias sólidas en los contenedores adecuados. Nunca deseches materiales en la cañería.

4

Limpia tu área de trabajo.

5

Lávate las manos a conciencia después de trabajar en el laboratorio.

Primeros auxilios en el laboratorio Lesión

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Respuesta segura

Quemaduras

Aplicar agua fría. Llamar de inmediato al profesor o profesora.

Cortaduras y raspones

Detener cualquier sangrado mediante la aplicación de presión directa. Cubrir los cortes con un paño limpio. Aplicar compresas frías a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a).

Desmayo

Dejar que la persona se recueste. Aflojar cualquier ropa apretada y alejar a las personas. Llamar de inmediato al profesor(a).

Materia extraña en el ojo

Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o directamente bajo la llave.

Envenenamiento

Anotar el agente venenoso sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a).

Cualquier derrame en la piel

Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al profesor(a).



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Símbolos de las medidas de seguridad

SÍMBOLOS

PELIGRO

EJEMPLOS

PRECAUCIÓN

REMEDIO

DESECHAR CON PRECAUCIÓN

Se debe seguir un procedimiento especial para desechar los materiales.

Algunos productos químicos y organismos vivos.

No deseches estos materiales en el drenaje o basurero.

Desecha los residuos como lo indique tu profesor(a).

PELIGRO BIOLÓGICO

Organismos o material biológico que puede causar daño a los humanos.

Bacterias, hongos, sangre, tejidos no conservados, materiales vegetales.

Evita el contacto de estos materiales con tu piel. Utiliza una mascarilla y guantes.

Avisa a tu profesor(a) si entras en contacto con material biológico. Lávate las manos minuciosamente.

RIESGO DE QUEMADURAS

Objetos que pueden quemar la piel por estar muy fríos o muy calientes.

Líquidos hirviendo, parrillas de calentamiento, hielo seco, nitrógeno líquido.

Utiliza protección indicada cuando trabajes con estos objetos.

Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios.

PRECAUCIÓN, OBJETOS PUNZOCORTANTES

Uso de herramientas o material de vidrio que fácilmente pueden perforar o cortar la piel.

Cuchillos cartoneros, herramientas con punta, agujas de disección, vidrio roto.

Utiliza tu sentido común cuando trabajes con objetos punzocortantes y sigue las indicaciones pertinentes cuando utilices herramientas.


PRECAUCIÓN, VAPORES PELIGROSOS

Posible daño al tracto respiratorio por exposición directa a los vapores.

Amoniaco, acetona, quitaesmalte, azufre caliente, pastillas contra las polillas.

Asegúrate de que haya una buena ventilación. Nunca aspires los vapores directamente. Utiliza una mascarilla.

Aléjate del área y avisa a tu profesor(A) inmediatamente.

PRECAUCIÓN, ELECTRICIDAD

Posible daño por choque eléctrico o quemadura.

Conexiones mal hechas, derrame de líquidos, cortocircuitos, cables expuestos.

Revisa dos veces el circuito con tu profesor(a). Revisa las condiciones de los cables y los aparatos.

No intentes arreglar los problemas eléctricos. Avisa a tu profesor(a) inmediatamente.

Sustancias que pueden irritar la piel o las membranas mucosas del tracto respiratorio.

Polen, pastillas contra las polillas, lima de acero, fibra de vidrio, permanganato de potasio.

Utiliza una mascarilla para polvo y guantes. Toma precauciones extras cuando trabajes con estos materiales.


PRODUCTOS QUÍMICOS PELIGROSOS

Productos químicos que pueden reaccionar y destruir tejido y otros materiales.

Blanqueadores, como el peróxido de hidrógeno; ácidos como el ácido clorhídrico; bases como el amoniaco y el hidróxido de sodio.

Utiliza lentes de protección, guantes y un delantal.

Enjuaga inmediatamente el área con agua y avisa a tu profesor(a).

PRECAUCIÓN, VENENO

Sustancias que resultan venenosas cuando se tocan, se inhalan o se ingieren.

Mercurio, muchos compuestos metálicos, yodo, algunas partes de la flor de nochebuena.

Sigue las instrucciones que te indique tu profesor(a).

Lava bien tus manos después de utilizar estas sustancias. Pide a tu profesor(a) ayuda de primeros auxilios.

PRECAUCIÓN, SUSTANCIA INFLAMABLE

Productos químicos inflamables que pueden encenderse debido a la presencia de fuego, chispas o calor.

Alcohol, queroseno, permanganato de potasio.

Cuando trabajes con sustancias químicas inflamables, evita utilizar mecheros y fuentes de calor.

Avisa a tu profesor(a) inmediatamente. Si es posible, usa equipo de seguridad contra fuego.

PELIGRO DE INCENDIO

Los mecheros en uso pueden ocasionar incendios.

Cabello, ropa, papel, materiales sintéticos.

Amarra tu cabello y ropa holgada. Sigue las instrucciones que te indique tu profesor sobre incendios y extintores.

Avisa a tu profesor(a) inmediatamente. Si es posible, usa equipo de seguridad contra fuego.

SUSTANCIAS IRRITANTES

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Aprendizajes esperados Al completar la Unidad, alumnos y alumnas: •

reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento;

•

deducen y aplican con soltura las relaciones del movimiento circular uniforme a una variada gama de situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita en torno al Sol);

•

reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza centrípeta y explican su origen en diferentes y variadas situaciones en que objetos se mueven en trayectorias circulares y con rapidez constante;

•

aplican la definición de momento angular a objetos de formas simples que rotan en relación a un eje y reconocen la conservación de esta magnitud física tanto en valor como en dirección y las condiciones bajo las cuales ella se conserva;

•

aprecian la utilidad predictiva de las leyes de conservación del momento angular y de la energía mecánica;

•

construyen y analizan gráficos de las distintas energías mecánicas;

•

reconocen en el roce cinético una forma en que habitualmente se disipa la energía mecánica;

•

conocen las situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservación de la energía mecánica y usan procedimientos adecuados en su aplicación;

•

reconocen en los fenómenos con movimiento circular y aquellos debidos a la acción de la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el entorno cotidiano, los conceptos más relevantes con los que se les describe y las leyes físicas que los rigen;

•

son capaces de argumentar en base a los conceptos básicos de la física la explicación de algún fenómeno físico;

•

pueden comunicar las ideas y principios físicos que explican un determinado fenómeno de la naturaleza.

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En la competición de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, “el martillo” es en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las mujeres o de 7,26 kg para los hombres) unida a un cable que tiene un asa en el otro extremo. El atleta gira varias veces para impulsar la bola, cuidando de no salir de un círculo de 2,1 m de diámetro, y después la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a mayor distancia. ¿Cuánta fuerza debe ejercer el atleta sobre el asa para hacer que el martillo gire en trayectoria circular? ¿Qué tipo de trayectoria sigue el martillo después de ser lanzado?

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Mecánica

Capítulo 1

Antes de empezar... 1 ¿Dónde puedes apreciar movimientos circulares en tu vida cotidiana? 2 ¿Cómo se calcula el área y el perímetro de un círculo cuyo radio es R? 3 ¿En qué unidad se miden los ángulos? 4 Suponiendo que la Tierra orbita al Sol en una órbita circular de radio R, ¿cuál es la relación entre la rapidez angular (ω) y la rapidez tangencial (v) de la Tierra? 5 Si un automóvil realiza un movimiento circular uniforme al doblar en una curva, ¿cambia su velocidad? 6 ¿Cuál crees que es la diferencia entre el momento lineal y el momento angular? 7 ¿Por qué una gimnasta de patinaje artístico gira más rápido cuando junta sus brazos al cuerpo? 8 ¿Cómo dos personas de distinto peso pueden mantener en equilibrio un balancín? 9 ¿Por qué crees que la mayoría de las puertas tienen la manilla en el extremo y no en el medio?

“Con ninguna disposición he encontrado simetría tan maravillosa, conexión tan armónica de los astros, como colocando la antorcha del mundo, el Sol, que gobierna las revoluciones circulares de toda la familia de los astros, sobre el trono en el magnífico templo de la naturaleza”.

10 ¿Qué duración tendría el año solar si la distancia Tierra-Sol fuera la mitad de lo que es? 11 Imagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno hueco y el otro macizo. ¿Cuál de los cilindros rueda más rápido por un plano inclinado? ¿Por qué?

Nicolás Copérnico (1473 – 1543), sacerdote y astrónomo polaco.

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Capítulo 1: Movimiento Circular

Indagación N°1 ¿Cómo se hace una curva? PARTE I: Trabajo personal Seguramente te has dado cuenta que muchos de los movimientos que observamos a diario no son siempre rectilíneos. Por ejemplo, el movimiento de un automóvil en una curva o el movimiento del té al revolverlo con una cuchara. Reflexiona sobre las siguientes preguntas y responde en tu cuaderno. a) ¿Qué características tiene el movimiento circular uniforme? ¿Qué magnitudes cambian en el tiempo y qué magnitudes se mantienen constantes? b) ¿Cómo es que los automóviles pueden doblar en las curvas sin seguir de largo por el camino? PARTE II: Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la segunda pregunta. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados.

Recuerden que una hipótesis es una explicación posible que se supone cierta hasta que pueda ser contrastada empíricamente. Por esta razón, es fundamental que la hipótesis se refiera a un número reducido de variables observables y de algún modo medibles, que eventualmente pueden ser controladas en un experimento.

c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

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Mecánica

Indagación N°2 ¿Por qué la Luna no cae directamente a la Tierra? PARTE I: Trabajo personal Cuando un objeto se deja caer libremente sobre la superficie terrestre, sigue una trayectoria rectilínea dirigida hacia el centro de la Tierra. En cambio, un objeto que es lanzado como un proyectil con cierta velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero igualmente cae al suelo. Sin embargo, la Luna no cae verticalmente. ¿Por qué no se comporta como el resto de los objetos que se mueven sobre la superficie de la Tierra? ¿Cómo puedes explicar esta diferencia? Plantea una hipótesis que dé respuesta a estas preguntas y regístrala en tu cuaderno. PARTE II: Observación compartida Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atención la demostración que dirigirá su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas. a) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un tirón con el cordel?

proyectil

b) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujón y el cordel se tensa? c) ¿Cuál es la diferencia que define las trayectorias que observaron? PARTE III: Trabajo en equipo

Tú

En esta parte de la actividad, junto a tu compañero(a) realizarán un sencillo experimento, para el cual solo necesitan una goma de borrar. Primero, uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la altura de su cabeza, aproximadamente. El compañero o la compañera observa la trayectoria del objeto y la dibuja de manera aproximada en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra). A continuación, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de borrar un pequeño impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen la trayectoria del objeto. Repitan el experimento varias veces, pero con un impulso horizontal cada vez mayor, hasta que no puedan lanzar la goma más lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproximadamente la trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para finalizar, analicen sus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:

Tierra Imagen 1.1

a) ¿Cómo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando se lanza con más impulso horizontal? b) ¿Cómo se relacionan los movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad, y de la goma de borrar en la tercera parte? c) De acuerdo a su análisis anterior, ¿cómo se relacionan los movimientos de la goma de borrar y de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la hipótesis inicial que cada uno planteó.

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21/7/10 17:02:40

Capítulo 1: Movimiento Circular ci S ec ó n

1

Movimiento circular uniforme (M.C.U.)

La trayectoria circular Un móvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria. Por ejemplo, en una carretera un automóvil puede moverse describiendo una línea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada, generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia. Para describir la distancia, la posición o el desplazamiento en un movimiento rectilíneo, utilizamos como unidad de medida el metro [m]; en cambio, en la descripción del movimiento circular usamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, y para determinar la posición y el desplazamiento utilizamos también una unidad angular, conocida como radián [rad]. Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamental la relación entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1: el arco recorrido (∆s), el radio de curvatura (r) y el ángulo descrito (∆θ).

Figura 1.2. La trayectoria de un planeta en torno al Sol puede ser considerada como una trayectoria circular.

∆ es la letra griega “delta” que utilizamos en física para indicar diferencia o cambio. θ es la letra griega “theta” que utilizamos para indicar una medida angular. Por lo tanto, ∆θ indica una diferencia angular.

longitud = r 1 rad

r móvil

r

∆s

∆θ eje de referencia

Figura 1.3. Representación geométrica de 1 rad.

Un radián (1 rad) es la unidad para medir ángulos o desplazamiento angular en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Corresponde al cuociente entre un arco de circunferencia (∆s), cuya longitud es igual al radio (∆s = r), y el valor del radio r:

∆θ = ∆s = r = 1 rad r r

Figura 1.1. Movimiento circular de un automóvil en una pista de carreras, r es el radio de curvatura, ∆s es el arco recorrido y ∆θ es el ángulo descrito.

La posición de un móvil en movimiento circular queda definida por el ángulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ángulo se mide en radianes.

(1.1)

1 radián mide, aproximadamente, 57,3° y una vuelta o revolución mide 360° = 6,28 rad = 2π rad. El radián, al no tener dimensión, opera como neutro multiplicativo, es decir: 1rad · 1m = 1m

(1.2)

Sección 1: Movimiento circular uniforme


15

21/7/10 17:02:51

Mecánica

Cuando cambia la posición del móvil, decimos que realiza un desplazamiento angular ∆θ, desde un ángulo inicial θi hasta un ángulo final θf: ∆θ = θf − θi

Δs

r

Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimiento describe un desplazamiento angular ∆θ, expresado en radianes, hay un arco de circunferencia ∆s asociado a este desplazamiento. Estos elementos se relacionan a través del radio de curvatura, de la siguiente manera:

θf Δθ

θi

∆θ = ∆s r

Figura 1.4. Cambio de posición de un móvil en movimiento circular. La posición inicial del móvil es θi y su posición final es θf, de modo que el desplazamiento angular es ∆θ = θf – θi.

(1.4)

De la ecuación (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia, quedando la relación como sigue: ∆θ ⋅ r = ∆s

(1.5)

La ecuación (1.5) muestra que la distancia recorrida es directamente proporcional al ángulo descrito por el móvil. Si ahora relacionamos el cambio de posición con el intervalo de tiempo (∆t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relación fundamental:

ω es la letra griega “omega”.

Los conceptos de rapidez angular media y rapidez tangencial media se pueden expresar, en el límite, como medidas instantáneas de la rapidez angular y la rapidez tangencial.

ω m ⋅ r = vm

Lo anterior se puede hacer considerando que el intervalo de tiempo que transcurre entre dos posiciones sucesivas es muy cercano a cero. Esta condición se expresa a través del concepto de límite, de la siguiente forma:

En la ecuación (1.6), ω m = ∆θ es la rapidez angular media y ∆t vm = ∆s es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapidez ∆t tangencial media es directamente proporcional a la rapidez angular media.

ω = lim ∆θ ∆t → 0 ∆t v = lim ∆s ∆t → 0 ∆t

Cuando el movimiento del móvil es uniforme, entonces su rapidez angular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todo el proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimiento circular uniforme (M.C.U.).

(1.7) (1.8)

Las ecuaciones (1.7) y (1.8) definen la rapidez angular instantánea y la rapidez tangencial instantánea, respectivamente. Con esta definición, la ecuación (1.6) se puede expresar como:

ω⋅r = v

16

(1.3)

(1.9)

∆θ ⋅ r = ∆s ∆t ∆t (1.6)

¿Cuál es el desplazamiento angular del minutero de un reloj analógico cuando se mueve desde los 15 a los 45 minutos?



21/7/10 17:03:08


Ejemplo 1 El segundero de un reloj analógico tiene una longitud radial de 20 cm y describe un ángulo de 90° en un tiempo de 15 s. a)

¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes?

b)

¿Cuál es el valor de la rapidez angular media?

c)

¿Cuál es el valor de la rapidez tangencial media?

a:

Una vuelta o revolución corresponde a un ángulo de 360°. Expresado en radianes, este ángulo corresponde a 2π rad, entonces podemos establecer la siguiente proporción: 360° = 2 πrad 90° ∆θ π ∆θ = rad 2

b:

La rapidez angular media es, entonces: ω = ∆θ ∆t π rad ω= 2 15 s π rad = 0 ,1 rad ω= 30 s s

c:

De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radio del segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es: v = ω⋅r v = 0 ,1 rad ⋅ 0 , 2 m s v = 0 , 02 m s

Donde hemos expresado el radio en metros.

¿Cuánto tiempo, expresado en segundos, se demora el puntero del horario de un reloj analógico en dar una vuelta?

En la cinemática del movimiento rectilíneo, aprendimos que la rapidez es el módulo del vector velocidad. En el movimiento circular, también podemos hablar de velocidad tangencial y velocidad angular, que definen el sentido y el plano de giro, respectivamente. De acuerdo a lo anterior, la rapidez tangencial y la rapidez angular son los módulos de los correspondientes vectores velocidad:

 v =v  ω =ω

(1.10)

De acuerdo a esto, la ecuación (1.9) se puede expresar vectorialmente como un producto vectorial de la siguiente forma:

   (1.11) v=ω×r  En esta expresión, r es el vector posición del móvil.

 ω

trayectoria

 r  v 

Figura 1.5. ω es perpendicular al  plano del movimiento. v es siempre tangencial a la trayectoria. La dirección de ambos vectores se relaciona a través de la regla de la mano derecha: cuando el pulgar se apunta en la dirección de  ω , la mano, extendida tangencialmente a la trayectoria, apunta en la  dirección de v .



17

21/7/10 17:03:24

Mecánica

El período

h

Cuando un movimiento es repetitivo, emplea un tiempo determinado para completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denomina período (T) y su unidad de medida es el segundo [s], en el S.I. m

Así, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realiza una vuelta o una revolución en un tiempo T. Desde el punto de vista de las unidades angulares, se puede decir también que en un período, el móvil describe un ángulo de 360° ó 2π rad.

s

Figura 1.6. El reloj analógico indica 10 h: 15 min: 37 s. Cuando el minutero avance hasta 45 min, habrá efectuado un desplazamiento angular ∆θ = −180°=−πrad. El valor negativo del desplazamiento aparece por la convención de medir los ángulos positivos en sentido antihorario a partir de un eje de referencia. Esta convención permite distinguir hacia dónde apunta el vector velocidad angular. En el caso del reloj analógico, el giro se realiza en sentido horario,  por lo que ω apunta hacia dentro (entrando a la página). Esto lo podemos corroborar aplicando la regla de la mano derecha.

La característica más importante del movimiento circular uniforme es que el  vector velocidad angular ω es constante. Esto quiere decir que tanto su magnitud o módulo, como su dirección y sentido permanecen invariantes. En consecuencia, el plano de giro es siempre el mismo. En particular, en un movimiento circular uniforme, como definimos en las ecuaciones (1.10), el módulo de la velocidad angular, es siempre positivo y constante:

 ω = ∆θ ∆t ω = 2 πrad T

18

(1.12)

Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme, entonces su período de revolución es constante, es decir, demora lo mismo en dar cada vuelta. Ejemplo 2 Supongamos que nuestro planeta describe una órbita circular en torno al Sol, con movimiento circular uniforme. a)

¿Cuánto demora nuestro planeta en realizar una vuelta en torno al Sol? Expresa el resultado en segundos.

a:

Tenemos que calcular el período de revolución de la Tierra en torno al Sol. Como sabemos, nuestro planeta demora un año en completar una traslación, lo cual equivale a 365,25 días. De esta manera: T = 365,25 días T = 365,25 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60s T = 3,16 ⋅ 107s

La frecuencia El concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentido común. Por ejemplo, cuando preguntamos: “¿Con qué frecuencia pasan los trenes?”, una posible respuesta sería: “Pasan 3 trenes cada diez minutos”. Otro ejemplo se da cuando preguntamos: “¿Cuántas veces has ido al estadio este año?”. En este caso, la respuesta puede ser: “4 veces en el año”. En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respecto a un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el concepto de frecuencia.



21/7/10 17:03:41


Para el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expresiones comunes como “veces de ida al estadio” o “trenes que pasan por la estación”, sino que prestaremos nuestra atención al número de vueltas o revoluciones que realizan los objetos en movimiento. La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando el número de vueltas en un determinado tiempo, ó 2) calculando el recíproco del periodo, ya que en un periodo se efectúa una vuelta: f = 1 T

(1.13)

La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacional es el hertz [Hz], cuyo significado operacional es el siguiente:  =  revoluciones  =  1  [ Hz ] =  vueltas   s  s   s

Otra característica del M.C.U. es que el



módulo de la velocidad tangencial v es constante. Es decir, la rapidez instantánea es constante. De acuerdo a esto, no tiene sentido hablar de la rapidez tangencial media, ya que la rapidez es la misma en todo instante de tiempo. Por lo tanto, en el M.C.U. el módulo de la velocidad instantánea coincide con la rapidez tangencial media y no hacemos distinción entre ellas. Por esta razón, en el ejemplo 1 usamos los símbolos ω y v, en vez de escribir ωm y vm.

(1.14)

v

Ejemplo 3 Nuevamente, supongamos que la Tierra describe una órbita circular en torno al Sol, con movimiento uniforme. a)

¿Cuál es la frecuencia de revolución de nuestro planeta en torno al Sol?

a:

De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2, el periodo de traslación de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16 ·107s. Entonces: f = 1 T f =

1 3,16 ⋅ 10 7 s

f = 3,16 ⋅ 10 −8 vueltas = 3,16 ⋅ 10 −8 Hz s

En conclusión, cuando preguntamos por la frecuencia, estamos preguntando por el número de vueltas en una unidad de tiempo.

vʼ vʼʼ

Figura 1.7. Obsérvese que si bien la velocidad tangencial tiene siempre el mismo módulo o magnitud, su sentido y dirección cambian en todos los puntos de la trayectoria.

Frecuencia y rapidez angular son conceptos totalmente distintos. De acuerdo a las ecuaciones (1.12), se relacionan entre sí de la siguiente manera:

ω = 2 πf

(1.15)

Una unidad de uso común en máquinas eléctricas y motores de todo tipo es rpm, que significa revoluciones por minuto. ¿Qué concepto de los que has aprendido mide esta unidad? ¿Por qué?



19

21/7/10 17:03:54

Mecánica

Actividad de profundización ¿Cómo se relaciona la frecuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media de su movimiento? Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una bicicleta, una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj. Según la disponibilidad de bicicletas en el curso, reúnete con algunos compañeros y compañeras (entre 2 y 5, idealmente) y formen un equipo de trabajo.

Rpiñón

a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿Cómo se relaciona la frecuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media de su movimiento? Como equipo, planteen una hipótesis para responder. A continuación, realicen el siguiente experimento: un estudiante recorre en bicicleta una trayectoria rectilínea de largo conocido. Pueden marcar dos puntos en el patio del colegio y medir la distancia entre ellos. Es muy importante que el ciclista no pase cambios, que realice un pedaleo constante y que cuente el número de veces que pedaleó. El resto del equipo mide el tiempo que su compañero demora en ir de un punto a otro y se asegura de que siga una trayectoria rectilínea con rapidez aproximadamente constante.

Rplato

Imagen 1.2

Analicen el funcionamiento del sistema de transmisión de la bicicleta, que se puede observar en la imagen 1.2, y respondan: b) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial del plato (vplato) con la rapidez tangencial del piñón (vpiñón)? Expresen esta relación matemáticamente. c) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del plato (ωplato) con la rapidez angular del pedaleo (ωpedaleo)? Expresen esta relación matemáticamente. d) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del piñón (ωpiñón) con la rapidez angular de la rueda (ωrueda)? Expresen esta relación matemáticamente. e) Considerando estas relaciones y a partir de las medidas de los radios del piñón (Rpiñón), del plato (Rplato) y de la rueda (Rrueda), usen la frecuencia de pedaleo medida para calcular la rapidez tangencial de la rueda trasera de la bicicleta. f) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con la rapidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalúen la validez de su hipótesis.

20



21/7/10 17:04:07


Evaluación intermedia PARTE I: Problema de planteamiento A partir de la imagen de la actividad de profundización, determina la relación matemática entre la rapidez angular del pedaleo y la rapidez angular de las ruedas, en función de los radios del piñón (Rpiñón) y del plato (Rplato).

1

PARTE II: Análisis A partir del problema anterior:

2

a) Expresa la distancia recorrida en función del número de vueltas, Rplato, Rrueda y Rpiñón. b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3 Rpiñón ¿Qué distancia medida en unidades Rrueda recorre la bicicleta en 20 pedaleos?

Indagación N°3 ¿Cómo sería la trayectoria de la Tierra si el Sol desapareciera repentinamente? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: La trayectoria de la Tierra no cambia, sino que mantiene su movimiento, aproximadamente, circular y uniforme. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados.

Imagen 1.3

Recuerda que un modelo es una representación simplificada del fenómeno que se intenta explicar, que incorpora sus principales características y, en especial, las variables medibles.

b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a). Sección 1: Movimiento circular uniforme


21

21/7/10 17:04:24

Mecánica

El vector aceleración centrípeta y el cambio del vector velocidad tangencial se relacionan de la siguiente forma:

  ∆ v ac = ∆t

(1.16)

La ecuación (1.16) implica que el vector aceleración centrípeta tiene la misma dirección y el mismo sentido que el cambio de velocidad.

�

� vi

vf

��

�

�r

rf

vf �v

vi

La aceleración centrípeta En un movimiento circular cualquiera, la aceleración puede tener una componente en dirección tangencial a la circunferencia y otra componente en dirección radial y dirigida hacia el centro de la trayectoria. A la primera se le llama aceleración tangencial y a la segunda, aceleración centrípeta. La aceleración tangencial se manifiesta como un cambio en el módulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración centrípeta aparece como un cambio en la dirección y sentido de la velocidad. En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo de la velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleración que cambia la dirección y el sentido de la velocidad, es decir, la aceleración centrípeta. El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centro   de curvatura, al igual que la aceleración centrípeta ac .

( )

�

ri �



Figura 1.9. ∆r es el cambio de posición de un móvil en M.C.U. en un  intervalo de tiempo muy pequeño. ∆v corresponde al cambio de velocidad en el mismo intervalo.

vf -vi

vi

De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U. se cumplen las siguientes condiciones:

   ri = rf = r    vi = v f = v 

(1.17)

Δv

vf

rf



ri

Además, r ⊥ v en todo momento, por lo tanto:  AOB ∼ A ′O ′B ′ (son triángulos semejantes).



(Continúa en la página 23)

 



Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, ∆ v = v f − vi , que

experimenta un móvil en un pequeño intervalo de tiempo ( ∆t ) , se ve que

 ∆v es radial y está dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, por

lo tanto, también tiene esa dirección y sentido, y por eso se denomina aceleración centrípeta.

22



21/7/10 17:04:45


De acuerdo a la ecuación (1.26), para determinar la aceleración centrípeta se puede utilizar la siguiente relación:

(Continuación)

Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleración centrípeta también puede ser determinada como:

Dadas las condiciones geométricas de las ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9 y la relación de semejanza entre los triángulos AOB y  A ′O ′B ′ , podemos ver que:

(1.19)

(1.23)

2 ac = v r

ac = ω 2 ⋅ r

(1.18)

La fuerza centrípeta

 

En la mecánica de Newton, los cambios en el movimiento son explicados por medio de fuerzas de interacción. En particular, la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es proporcional a la aceleración del cuerpo:    F neta = ∑ F = ma

(1.20)

Considerando solo el módulo de los vectores, también podemos escribir la ecuación (1.20) como: Fneta = ma

(1.21)

En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo de trayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura y la denominamos fuerza centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta provoca una aceleración centrípeta y, por lo tanto, en términos de sus módulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma: Fc = mac

  ∆v ∆r = v r

(1.22)

Ejemplo 4 En el contenido de física de 2º medio, aprendimos que el radio orbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 · 1011 m y su masa es de 5,98 · 1024 Kg. a)

¿Cuál es la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta que ejerce el Sol sobre la Tierra?

b)

De acuerdo a este resultado, ¿nuestro planeta puede ser considerado como un sistema inercial?

Al sustituir ac = (1.23), se obtiene:

 ∆ v , en la ecuación ∆t

ac ⋅ ∆t ∆r = v r ∆ r ⋅ v ac = r ⋅ ∆t ∆ ac = r ⋅ v ∆t r 2 ac = v ⋅ v = v r r

(1.24)

Donde hemos simplificado la notación, ya que:

  ac = ac  ∆ r = ∆r

(1.25)

Es decir, en términos de magnitudes podemos escribir el módulo de la aceleración centrípeta como: 2 ac = v r

(1.26)

Por lo tanto, la magnitud o módulo de la aceleración centrípeta es constante en un M.C.U.

∑ es la letra griega “sigma” y se usa para representar una sumatoria.



23

21/7/10 17:05:02

Mecánica

a:

Para determinar la aceleración centrípeta, necesitamos saber la rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra con respecto al Sol. Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo de traslación de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente:

Fc

ω = ∆θ ∆t ω = 2 πrad T 2 πrad = 1, 99 ⋅ 10 −7 rad ω= s 3,16 ⋅ 10 7 s

ac

Figura 1.10. La fuerza de gravitación actúa sobre la Tierra como una fuerza centrípeta y provoca su órbita alrededor del Sol. La intensidad de la fuerza es relativamente grande, en cambio, la aceleración que experimenta el planeta es pequeña. La explicación de esta diferencia se relaciona con la gran magnitud de la masa de la Tierra.

De acuerdo a la ecuación (1.19), la aceleración centrípeta es: ac = ω 2 ⋅ r

(

ac = 1, 99 ⋅ 10 −7 rad s ac = 5 , 9 ⋅ 10 −3 m2 s

) ⋅1, 49 ⋅10 2

11

m

Con este resultado podemos determinar el módulo de la fuerza centrípeta: Fc = mac Fc = 5 , 98 ⋅ 10 24 kg ⋅ 5 , 9 ⋅ 10 −3 m2 s 22 Fc = 3, 53 ⋅ 10 N Aunque comúnmente se menciona la fuerza centrífuga, en el contexto de la mecánica newtoniana esta fuerza no existe, ya que solo se trata de un efecto inercial.

b:

Observamos en el resultado anterior que la aceleración centrípeta tiene un valor muy bajo con respecto a la aceleración de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo que la aceleración experimentada por la Tierra en su traslación es prácticamente cero. Esta es la razón por la que nuestro planeta puede ser considerado un sistema aproximadamente inercial. En cambio, la fuerza centrípeta alcanza un valor muy grande, ya que se necesita una gran fuerza para mantener el planeta en órbita.

Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande, ¿por qué nuestro planeta se acelera tan poco?

24



21/7/10 17:05:15


Algunos casos de fuerza centrípeta UNA CURVA CON ROCE Cuando un automovilista se encuentra en la carretera con una curva, señales reflectantes en la orilla del camino le advierten sobre el peligro que significa exceder la velocidad límite impuesta por las leyes del tránsito. Exceder la velocidad límite significaría salir derrapando en la dirección tangente al camino, ya que hay una velocidad sobre la cual se pierde el soporte físico que genera el rozamiento entre los neumáticos y la carretera. Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de  curvas la fuer   F = F za de roce actúa como fuerza centrípeta, es decir, c r , por lo que de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuación (1.22) se puede escribir como: Fr = mac 2

Fr = m v r

(1.27)

50 Figura 1.11. El peligro de superar la velocidad máxima permitida en una curva se relaciona con la fuerza de roce necesaria para realizar la trayectoria.

μ es la letra griega “mi” o “mu”.

Por otra parte, sabemos que el módulo de la fuerza de roce máxima es proporcional a la fuerza normal: Fr = µN

(1.28)

Donde μ es el coeficiente de roce estático entre los neumáticos y el suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28), tenemos: 2 m v = µN r 2 m v = µmg r v = µgr

vʼʼ vʼ v r Fr

(1.29)

− N

Para obtener las ecuaciones (1.29), hemos usado N = mg, dado el equilibrio en la dirección vertical de las fuerzas que actúan sobre el automóvil, el peso y la fuerza normal. El resultado anterior corresponde a una velocidad límite a la cual el vehículo puede efectuar el movimiento circular, para un coeficiente de roce dado, y que depende del radio de curvatura. Mientras más cerrada es la curva (menor radio) menor será la velocidad límite permitida y mayor el riesgo.

Fr

P

Figura 1.12. En la curva, la fuerza de roce actúa como fuerza centrípeta y mantiene al vehículo en movimiento circular. En la dirección vertical, actúan  P y la sobre el automóvil  el peso  fuerza normal N . En la dirección   horizontal, actúa la fuerza de roce Fr entre los neumáticos y el suelo.

( )

( )

( )



25

21/7/10 17:05:33

Mecánica

Ejemplo 5 Un automóvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva en una pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coeficiente de roce estático entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5 a)

¿Cuál es la velocidad máxima permitida que debería aparecer en la señalización de advertencia?

a:

Para resolver, simplemente evaluamos la última de las ecuaciones (1.29) v = µgr v = 0 , 5 ⋅ 10 m2 ⋅ 40 m = 14 ,14 m s s

Donde hemos usado g = 10 m2 para simplificar el cálculo. s El resultado indica que la velocidad máxima permitida debe ser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente. Cualquier velocidad superior a esta causaría un deslizamiento o derrapamiento del vehículo, por lo que saldría “patinando” en dirección tangente a la trayectoria.

FUERZA CENTRÍPETA EN EL SISTEMA PLANETARIO Una manera interesante de relacionar la fuerza centrípeta con el Sistema Solar es a partir de la ley de gravitación universal, en la cual se establece que el módulo de la fuerza con la que se atraen dos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, r. Es decir: FG = G

m1 ⋅ m2 r2

(1.30)

Donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es 2 de G = 6 , 67 x10 −11 Nm2 Kg

En el caso de los planetas, la fuerza de gravitación actúa sobre ellos como una fuerza centrípeta y provoca su órbita alrededor del Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer que el movimiento planetario es circular y uniforme.

26



21/7/10 17:05:47


Planeta -FG

Mercurio

FG

Venus Tierra

Figura 1.13. Al igual que los planetas interactúan gravitacionalmente con el Sol, la Luna también experimenta la atracción gravitacional de la

Marte

Radio orbital (UA)

Masa 0,06

0,38

0,82

0,72

1,00

1,00

0,11

1,52

Tierra. Sin embargo, de acuerdo con la ley de acción y reacción, si la



Tierra atrae a la Luna con una fuerza FG , el satélite también atrae al



planeta con una fuerza igual, pero de sentido opuesto, −FG .

En el caso del sistema Tierra-Luna, la fuerza de gravitación actúa como fuerza centrípeta sobre la Luna debido a la acción a distancia de la Tierra. En el caso de un planeta cualquiera y el Sol, suponiendo una órbita circular, podemos establecer la siguiente relación, de acuerdo a las ecuaciones (1.22) y (1.30) G

msol ⋅ m planeta 2

r msol G = v2 r 2 msol = v ⋅ r G

=

m planeta ⋅ v r

(1.31)

Este resultado implica que podemos conocer la masa del Sol conociendo la velocidad tangencial del planeta y su radio orbital. Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad angular de la Tierra y el radio de su órbita, podemos obtener su velocidad tangencial de un modo muy sencillo, haciendo uso de la ecuación (1.9) y con ese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para calcular la masa del Sol. Si el radio medio de la órbita terrestre es de 1,49 · 1011 m, ¿cuál es la masa del Sol?

5,20

95

9,54

Júpiter

Saturno Urano Neptuno

2

318

14,6

19,22

17,2

30,06

Figura 1.14. Masas y radios orbitales medios de los planetas del Sistema Solar, relativos a los valores de la Tierra. La masa de la Tierra es de 5,9736 · 1024 kg y una Unidad Astronómica (UA) corresponde aproximadamente a su distancia media al Sol, es decir, 1UA = 149 597 870 km.

Fc v

Figura 1.15. La atracción gravitacional del Sol sobre la Tierra actúa como una fuerza centrípeta y provoca la órbita curvilínea del planeta.



27

21/7/10 17:06:00

Mecánica

LAS BOLEADORAS Una boleadora es un arma manual muy antigua que consiste en un proyectil sujeto en el extremo de una bolsa atada a una cuerda, la que se hace girar en torno a la cabeza con el fin de provocar una gran velocidad tangencial para el lanzamiento del proyectil. En este caso, la fuerza mecánica que opera sobre el proyectil es la fuerza de tensión de la cuerda y una de sus componentes actúa como fuerza centrípeta.

θ trayectoria circular

T

Figura 1.17. Ejemplo de boleadora usada por habitantes de pueblos sudamericanos originarios.

masa

r FC

P

Figura 1.16. En la figura se muestra esquematizado el movimiento de una boleadora y las fuerzas que actúan sobre la masa en el extremo del cordel. La imagen muestra que una parte de la tensión actúa como fuerza centrípeta.

Figura 1.18. Un antiguo habitante de la Patagonia usa una boleadora para atacar un puma.

En la Figura 1.16, se puede observar que la componente de la tensión que actúa como fuerza centrípeta es:    Fc = T ⋅ senθ

(1.32)

Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (1.22), en términos del módulo de la tensión, podemos escribir: v2 (1.33) r Por otra parte, el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa en la dirección vertical implica que: T ⋅ senθ = m

T ⋅ cos θ = mg

28

(1.34)



21/7/10 17:06:18


Dividiendo entre sí las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtener lo siguiente: v2 (1.35) tan θ = r⋅g Este resultado indica que mientras más grande es el ángulo de la fuerza de tensión respecto a la vertical, mayor es la velocidad tangencial con la que puede ser liberado el proyectil.

Para dividir las ecuaciones 1.33 y 1.34 procedemos de la siguiente manera: v2 r T ⋅ cosθ = m ⋅ g T ⋅ sen θ = m

Dividiendo miembro a miembro este sistema de ecuaciones, tenemos:

De manera inversa, se puede ver que la velocidad de lanzamiento del proyectil depende de la fuerza de tensión que ejerza la persona que hace girar la boleadora. Así, mientras mayor es la fuerza, mayor es el ángulo de elevación mencionado y mayor es la velocidad de disparo. Ejemplo 6

sen θ v2 = cosθ r ⋅ g

(1.36)

sen θ corresponde a la cosθ función tangente del ángulo: La razón

Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo de un hilo. La masa de la goma es de 0,03 kg. Mientras la goma gira con M.C.U., el estudiante mide un ángulo de 60° del hilo con respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5 m. a)

Cuando el estudiante suelta el hilo, ¿cuál es la velocidad tangencial de salida del proyectil?

b)

¿Cuál es la tensión ejercida sobre el proyectil a través de la cuerda?

a:

Para determinar la velocidad, utilizamos la ecuación (1.35): tan θ =

v2 T ⋅ sen θ = r T ⋅ cosθ m ⋅ g m

tan θ =

v2 r⋅g

v2 r⋅g

v = r ⋅ g ⋅ tan θ v = 0, 5m ⋅ 9, 8 b:

m m ⋅ tan 60 º = 2, 91 2 s s

Para obtener la fuerza de tensión, podemos reemplazar el resultado anterior en la ecuación (1.33) o usar la ecuación (1.35): T ⋅ cos θ = mg mg T= = cos θ

0, 03kg ⋅ 9, 8 cos 60

m s 2 = 0, 588 N



29

21/7/10 17:06:44

Mecánica

Contexto histórico de la física Hasta Copérnico el movimiento de los cuerpos celestes se explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se suponía que los cuerpos celestes se encontraban situados en esferas huecas concéntricas a la Tierra, que giraban con distintas velocidades alrededor de la Tierra. Copérnico se planteó que, en vez de ser las esferas las que giraban alrededor de la Tierra, podría ocurrir que la Tierra girara alrededor de su eje una vez al día. Sin embargo, el verdadero aporte de Copérnico fue el proponer que la Tierra no era el centro del mundo, sino que la Tierra y todos los demás planetas se Este hombre fue un revolucionario. Nació en Torun, Polonia, el 19 de febrero de 1473 y murió el día 24 de mayo de 1543. En el año 1507, presentó su primera exposición de un sistema astronómico donde ubicaba al Sol en su centro y la Tierra y los demás planetas girando en torno a él. Fue criticado por filósofos y parte de la Iglesia, debido a que negar que nuestro planeta fuera el centro del Sistema Solar tenía consecuencias no solo científicas, sino también sociales y teológicas. Antes, el ser humano era el centro del Universo, de la creación. La teoría de Copérnico desechaba esta opinión, por lo menos desde un punto de vista astronómico. Muy pocos creyeron en sus teorías, pero quienes lo siguieron fueron los fundadores de la ciencia moderna: Johannes Kepler, Galileo Galilei e Isaac Newton, entre otros. La historia de las ideas es imbricada y compleja. El 24 de febrero de 1616, una comisión de teólogos consultores de la Inquisición censuró la teoría heliocéntrica de Copérnico, reafirmando la inmovilidad de la Tierra.

30

movían describiendo círculos alrededor del Sol. Este nuevo modelo permitía explicar fácilmente el aparente movimiento de avance y retroceso que describen los planetas en el firmamento. Aunque en nuestros días se acepta la tesis copernicana, ésta ha sido corregida. Las órbitas de los planetas no son circulares, sino elípticas, como mostró Johannes Kepler (1571 – 1630), gracias al enorme y riguroso trabajo de observación que había realizado Tycho Brahe (1546 – 1601). Asimismo, el Sol, como los demás astros del firmamento, también se mueve. El proceso empezó el 19 de febrero con la propuesta de censura de una comisión de expertos, entre quienes no había ningún astrónomo. Luego, en una reunión de la Congregación del Santo Oficio y por orden del papa Paulo V, se inició la amonestación a Galileo (1564 – 1642), por la que se le exige que abandone la opinión de que la Tierra se mueve. En marzo del mismo año, la Congregación del Índice prohíbe una serie de libros relacionados con el heliocentrismo y su validez desde un punto de vista teológico, y se suspende la obra copernicana Sobre el movimiento de las esferas celestiales hasta que sea “corregida”. Así, la obra maestra de Copérnico permanecería en el índice de libros prohibidos hasta 1835. Años más tarde, el 22 de junio de 1633, a pesar de la protección de la poderosa familia Medici, Galileo será formalmente condenado por la Inquisición y forzado a abjurar, de rodillas y bajo amenaza de torturas, de la teoría de Copérnico, calificada de herética. Así le decía Kepler a Galileo: “... Dadme las naves y adaptadme las velas al viento celeste; habrá gente que no tendrá miedo ni siquiera de cara a aquella inmensidad. Y para estos descendientes que ya dentro de muy poco se aventurarán por estos caminos preparemos, oh Galileo, yo una astronomía lunar y tú una joviana”.



21/7/10 17:06:51


Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Radio B Círculo C Frecuencia D Velocidad Tangencial

I II III IV

E

Fuerza Centrípeta

V

F

Aceleración Centrípeta

VI

Frases Conectoras (FC) Mantiene constante su Se realiza en una trayectoria Definen Que corresponde al módulo del vector Y en cada punto de ella existe una Que, junto a un

Movimiento Circular Uniforme

1

La cual define un

Periodo de revolución

9 6

El cual define una

Circunferencial

10 Tangente Que es perpendicular al

12 5 Rapidez Tangencial

Rapidez Angular

Que corresponde al módulo del vector

8

3

7

Ángulo de 2π

Velocidad Angular

2 Cuya variación en el tiempo define

Desafío

11 Que corresponde al efecto de la

4

Cuando hayas terminado esta actividad, vuelve a leer el texto de la sección, con mucha atención, y genera tu propio mapa conceptual.


31

Mecánica

Preguntas y ejercicios propuestos 1

En tus palabras, ¿qué relación se puede hacer entre el movimiento circular, Copérnico y la posición del ser humano en el Universo?

2

Desde un punto de vista físico, ¿cuál es la principal característica de un movimiento circular?

3

¿Existe más de un tipo de velocidad en el movimiento circular uniforme? ¿Por qué?

4

¿Qué son período y frecuencia en el movimiento circular?

5

¿Por qué una piedra que gira atada a una cuerda sale disparada tangencialmente y no radialmente al soltarse la cuerda?

Un planeta orbita según la trayectoria punteada en la Figura 1.19 y en el sentido de la velocidad angular indicado. Dibuja la dirección y el sentido de los siguientes vectores, suponiendo que el movimiento es uniforme: (a) Velocidad tangencial y aceleración centrípeta en A. (b) Velocidad tangencial y aceleración centrípeta en B. A B ω Figura 1.19

6

Si un automóvil realiza un movimiento circular uniforme al doblar en una curva, ¿cambia su velocidad? Explica.

12

En un movimiento circular uniforme, ¿cómo se relaciona la frecuencia (f) con la rapidez angular (ω) del movimiento?

7

El segundero de un reloj analógico tiene una longitud radial de 10 cm y describe un ángulo de 45° en un tiempo de 7,5 s. (a) ¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes? (b) ¿Cuál es la rapidez angular del segundero? (c) ¿Cuál es la rapidez lineal de su extremo?

13

El reloj de la Figura 1.20 muestra tres punteros que corresponden a la hora (H), los minutos (M) y los segundos (S). ¿Cuál es la rapidez angular de cada uno de estos elementos?

8

9

10

32

11

�

¿Cuál es la frecuencia de rotación de la Tierra sobre su propio eje?

�

El ventilador de un secador de pelo gira a 3 000 rpm. (a) ¿Cuál es la frecuencia de rotación, expresada en Hz? (b) ¿Cuál es su rapidez angular? (c) ¿Cuál es el periodo de giro del ventilador? Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altitud de 600 km sobre el nivel del mar, completando una vuelta respecto al centro de la tierra en 70 minutos. ¿Cuánto vale la aceleración del satélite? (considera que el radio de la Tierra es de 6 400 km).

�

Figura 1.20 14

Una matraca gira con un movimiento uniforme, alrededor de un eje que pasa por el punto O, como se muestra en la Figura 1.21. Efectúa dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra, situados a las distancias rA = 0,2 m y rB = 0,3 m del eje de rotación, calcula las siguientes magnitudes (considera π = 3,14): (a) El período de revolución. (b) La rapidez angular de cada uno



21/7/10 17:07:45


(ωA y ωB). (c) La rapidez tangencial de cada uno (vA y vB). (d) La aceleración centrípeta de cada uno (acA y acB). B

módulo de la velocidad tangencial de traslación del planeta es: v = G M s . Donde G es la constante r R de gravitación universal, Ms es la masa del Sol y

vA

R es la distancia entre la Tierra y el Sol.

ω

19

Una bola de 0,5 kg. de masa unida al extremo de una cuerda cuya longitud es de 1 m se hace girar cada vez más rápido, como una boleadora. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 newton, ¿cuál es la máxima rápidez que puede alcanzar la bola antes de que la cuerda se rompa?

20

Un automóvil de 1 000 kg, da vuelta en una esquina circular, a 25 km/h. Si el radio de giro es de 10 m, (a) ¿cuál es el valor de la aceleración centrípeta? (b) ¿Qué fuerza horizontal debe ejercer el roce del pavimento con los neumáticos para mantener el vehículo en trayectoria circunferencial? (c) ¿Cuál es el coeficiente de roce mínimo entre las ruedas y el pavimento necesario para que el auto no se deslice?

21

Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kg y toma una curva circular en una pista plana y sin pendiente de 50 m de radio. El coeficiente de roce entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5. ¿Cuál es la máxima rapidez a la que la camioneta podría dar el giro sin resbalar?

22

Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo de un hilo. La masa de la goma es de 0,02 kg. Mientras la goma gira con movimiento circular uniforme, el estudiante mide un ángulo de 60° del hilo con respecto a la vertical y un radio de giro de 0,4 m. (a) En estas condiciones, ¿cuál es la tensión ejercida sobre la goma a través de la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo, ¿cuál es la velocidad tangencial con que la goma de borrar sale disparada?

Figura 1.21 15

De acuerdo al esquema de la Figura 1.22, donde se muestra el sistema de transmisión de una bicicleta, Rpiñón < Rplato. ¿Es correcto decir que la velocidad angular del plato es igual a la del piñón? ¿Por qué? Rpiñón Rplato

Figura 1.22 16

17

Suponiendo que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es circunferencial, demuestra que el

vB

A 0

18

Si el sistema de transmisión de la bicicleta que se muestra en la Figura 1.22 es impulsado por un ciclista que pedalea con rapidez angular constante y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo. Considerando que Rplato = 10 cm y Rpiñón = 4 cm, (a) ¿cuál es la rapidez tangencial del piñón? (b) ¿Cuál es la rapidez angular del piñón? (c) Si el radio de las ruedas es de 50 cm, ¿cuál es la rapidez del ciclista? ¿Cuál es la velocidad tangencial de una persona parada sobre el ecuador de la Tierra a nivel del mar?



33

21/7/10 17:07:59

Mecánica

Evaluación final de la sección PARTE I: Anota en el recuadro el número de la magnitud que corresponde a la descripción o definición dada. 1

Magnitud Ángulo descrito

Descripción o definición Cambio angular en el transcurso del tiempo.

2

Arco recorrido

Se mide en radianes en el S.I.

3

Período de revolución

Tiempo empleado en realizar una vuelta.

4

Frecuencia

Se mide en m en el S.I.

5

Rapidez angular

Es el recíproco del período.

PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus respuestas. VoF 1 2 3 4 5

Si un auto recorre una curva pronunciada de la carretera a una velocidad superior a la máxima permitida, entonces derrapará. Un movimiento circular es uniforme si su aceleración y fuerza centrípetas permanecen constantes. El planeta Tierra puede ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera. Si el Sol desapareciera la Tierra continuaría con movimiento circular y uniforme por siempre. La dirección de la aceleración en un movimiento circular uniforme es siempre paralela a la fuerza centrípeta.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1 3 Un aspa se mueve con M.C.U., una aceleración ¿En cuál de los siguientes movimientos la centrípeta a0 y un período T0. Si se cambia el aceleración es constante? motor al ventilador, aumentando su período a 2T0, a) Movimiento circular uniforme (M.C.U.). ¿Cómo cambia su aceleración centrípeta? b) Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). a) Aumenta al doble de su magnitud. c) Movimiento uniformemente acelerado b) Disminuye a un medio de su magnitud. (M.U.A.). c) Aumenta al cuádruple de su magnitud. d) Movimiento circular acelerado (M.C.A.). d) Disminuye a un cuarto de su magnitud. 4 Un automóvil está diseñado para moverse a una rapidez fija v0. Si cambia de una curva 2 ¿Cuál de los siguientes movimientos puede ser circular de radio R a una de radio 2R, ¿Cómo modelado como movimiento circular? se ha modificado su aceleración centrípeta al a) Traslación de un planeta en torno al Sol. pasar de una curva a la otra? b) Una piedra que se lanzó horizontalmente a) Aumenta al doble. desde la cima de un cerro. b) Disminuye a la mitad. c) Un atleta corriendo los 100 m planos. c) Aumenta al cuádruple. d) El aterrizaje de un avión. d) Disminuye a la cuarta parte.

34



21/7/10 17:08:05


Indagación N°4 ¿Cómo girar más rápido? PARTE I. Trabajo personal En las fotografías del movimiento de la patinadora (imagen 2.1), se puede ver una secuencia de varios giros en los cuales ella mueve continuamente partes de su cuerpo y adopta diferentes formas. Seguramente has observado secuencias como esta, y has notado que la bailarina puede alcanzar una alta rapidez de rotación. a) ¿Qué magnitud física aumenta durante su movimiento y qué magnitud disminuye? b) ¿Qué hace la bailarina para girar más rápido? PARTE II. Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la segunda pregunta. Recuerden que una hipótesis es una explicación posible que se supone cierta hasta que pueda ser contrastada empíricamente. Por esta razón, es fundamental que la hipótesis se refiera a un número reducido de variables observables y de algún modo medibles, que eventualmente pueden ser controladas en un experimento. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

Imagen 2.1

35


21/7/10 17:08:15

Mecánica

Indagación N°5 ¿Rueda hueca o rueda maciza? ¿Cuál gana la carrera? PARTE I. Trabajo personal

plasticina

Imagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es hueco y el otro es macizo (es decir, relleno) como en la imagen 2.2. ¿Cuál de los cilindros rueda más rápido por un plano inclinado? a) Responde la pregunta anterior y plantea una hipótesis que explique el resultado de una carrera entre los dos cilindros. PARTE II. Diálogo con argumentos

Caso 1

Caso 2

Imagen 2.2

a) Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Idealmente, procura que tu compañero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que tú. Comenten sus hipótesis y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de cartón, como el tubo vacío de un rollo de papel higiénico; 6 barras de plasticina; un trozo rectangular de cartón rígido o de madera (1 m de largo y por 10 cm de ancho, aproximadamente) que servirá como plano inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un reloj con cronómetro. PARTE III. Trabajo en equipo Corten el tubo de cartón en tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un “riel” por el cual se puedan desplazar los cilindros por el plano inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se desvíen. Para esto, ajusten dos líneas de hilo paralelas al plano inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por una distancia igual al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas. A continuación, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina adhieriéndola en las dos bases de uno de los cilindros por el interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar restos sueltos de plasticina. Luego, dejen rodar el cilindro por el plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5 lanzamientos, registrando el tiempo que demora en recorrer la distancia medida y contando el número de vueltas que ejecuta durante el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es imprescindible que la inclinación del plano sea mínima (ajusten la pendiente hasta que puedan realizar la observación). Anoten estos datos en una tabla y calculen un promedio para el tiempo y el número de vueltas. Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior, pero cambiando la distribución de la plasticina en el interior del cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared, es decir, a su manto como en el caso 2 de la imagen 2.2. En esta parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar la masa del objeto. Para finalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos casos? b) ¿Cuál es la diferencia en el número de vueltas? c) ¿Cómo influye la distribución de masa del cilindro en su comportamiento rotacional? d) Comparen su respuesta anterior con sus hipótesis iniciales. ¿Con cuál de los dos casos se puede comparar el movimiento de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? ¿Cuál rodaría más rápido?

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21/7/10 17:08:21

Capítulo 1: Movimiento Circular ci S ec ó n

2

Momento angular y su conservación

El momento angular En cursos anteriores ya has estudiado el concepto de momento  lineal ( p ), expresión latina que en español significa cantidad de movimiento lineal. El momento lineal de un objeto es una medida de su “inercia de movimiento”, que es la propiedad que lo mantiene en movimiento hasta que algo lo detiene o cambia su velocidad, y se puede calcular como el producto de la masa del objeto y su velocidad. Los objetos que giran también experimentan una “inercia de rotación” que los mantiene girando hasta que algo los detiene o cambia su velocidad. Una medida de esta propiedad es lo que llamamos cantidad de movimiento angular o, simplemente, mo mento angular ( L ).

Figura 2.1. Una lata de bebida que rueda por una calle con pendiente, gira y aumenta su momento angular.

Por ejemplo, una lata de bebida que rueda por una calle con pendiente, la rueda de una bicicleta o una estrella alrededor del centro de la galaxia siguen girando hasta que algo las detenga. En este sentido, todos estos objetos tienen momento angular. El módulo del momento angular de un objeto en movimiento circular se relaciona con los módulos de su momento lineal y del radio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente forma: L=r⋅p

(2.1)

Figura 2.2. Las estrellas se mantienen en órbita alrededor del centro galáctico y tienen momento angular.

Sin embargo, considerando el módulo del momento lineal:

p = m⋅v

(2.2)

De acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), tenemos: L = r ⋅ m⋅v

(2.3)

La ecuación (2.3) también se puede escribir en términos de la rapidez angular: L = m ⋅ r 2 ⋅ω

(2.4)

Es decir, el momento angular depende directamente de la masa del objeto que gira, de su radio de giro y de su velocidad angular.

Sección 2: Momento angular y su conservación


37

21/7/10 17:08:42

Mecánica

Dos ventiladores idénticos se hacen girar simultáneamente. Si la rapidez angular que uno de ellos alcanza es el doble que la del otro, ¿cuál tiene mayor momento angular?

Es necesario destacar que las cantidades involucradas en la definición del momento angular tienen naturaleza vectorial. Es decir, el momento angular se puede expresar como un producto vectorial de la siguiente forma:    (2.5) L=r× p

A r

Como se muestra en la Figura 2.4, el momento angular de un objeto es un vector perpendicular al plano de la trayectoria. L

Sentido del giro

p

L r

trayectoria r

ω r

p

L

Figura 2.3. Al girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspas p

v

 Figura 2.4. L es perpendicular al plano del movimiento, por lo tanto, mantiene la misma dirección que la  velocidad angular ω . La dirección de ambos vectores se obtiene usando la regla de la mano derecha.

que rotan en un ventilador. La dirección y sentido del vector momento angular se puede determinar por medio  de la regla  de la mano derecha: el pulgar apunta en la dirección de

L (ó de ω ), cuando los dedos de  r

la mano apuntan en el sentido de giro. Aquí se muestran los vectores  y

p de un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masa

casi en el extremo de las aspas del ventilador.

Ejemplo 7 Una piedra de 0,2 kg gira en una boleadora con un radio de 50 cm y una velocidad angular de 2 rad/s. a)

¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra?

a:

Para resolver usamos la ecuación (2.4): L = m ⋅ r 2 ⋅ω

(

)

2

L = 0, 2 kg ⋅ 0, 5m ⋅ 2 L = 0,1

rad s

kg m2 s

A partir de este resultado, vemos que el momento angular se mide  kg m2  en unidades de   en el Sistema Internacional de Unidades.  s  Esta unidad de medida no recibe un nombre especial.

38



21/7/10 17:09:03


Ejemplo 8 En el ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos boleadoras simultáneamente, como se muestra en la Figura 2.5. Ambas boleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo módulo es rad , constante. ω =2 s a) ¿Cuál es el módulo del momento angular del sistema de boleadoras? 0,2 kg

0,5 m 0,6 m

0,3 kg

Figura 2.5. La bailarina hace girar simultáneamente dos boledoras. Las líneas punteadas representan las trayectorias de las masas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo y se ha pintado para evitar la ambigüedad debida a la perspectiva. En un sistema de varias masas en rotación, se puede calcular el momento angular total, sumando los momentos angulares individuales.

a:

Como se trata de dos masas que rotan con igual velocidad angular, podemos calcular el módulo del momento angular total del sistema compuesto por las dos masas, de la siguiente forma: Ltotal = L1 + L2

La generalización de L para n partículas que cumplen esa condición, se expresa así:

Ltotal = m1 ⋅ r12 ⋅ ω + m2 ⋅ r2 2 ⋅ ω Ltotal = ( m1 ⋅ r12 + m2 ⋅ r2 2 ) ⋅ ω

(

(

)

2

(

Ltotal = 0, 2 kg ⋅ 0, 5m + 0, 3kg ⋅ 0, 6 m Ltotal

)) 2

El ejemplo 8 sirve para definir el momento angular de un conjunto de partículas que giran con igual velocidad angular.

⋅2

rad s

kg m2 = 0, 3156 s

Este desarrollo permite observar la aparición de una cantidad importante en el estudio de las rotaciones, el producto de la masa de un objeto en rotación y el cuadrado de su radio de giro. Esta cantidad se denomina momento de inercia.

L = m1 ⋅ r12 ⋅ ω + m2 ⋅ r22 ⋅ ω +  + mn ⋅ rn2 ⋅ ω Escrita con la simbología de sumatoria, esta expresión queda así

 n  L =  ∑ mi ⋅ ri2  ⋅ ω  i=1 

(2.6)

L = I ⋅ω

(2.7)

(

n

(

)

)

2 El término I = ∑ mi ⋅ ri se denomina i =1

inercia rotacional o momento de inercia de un sistema de n partículas.



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21/7/10 17:09:23

Mecánica

Recuerda el modelo atómico de Bohr, en el que los electrones giran en órbitas alrededor del núcleo. De acuerdo a este modelo, ¿tienen momento angular los electrones en un átomo? ¿Por qué?

La inercia rotacional o momento de inercia Cuando se analiza un movimiento traslacional y rectilíneo se considera a la masa del objeto como una medida de su inercia. Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camión y luego a un auto, observamos que el auto acelera más que el camión. En este caso, decimos que el auto cambia su estado de movimiento con mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En términos técnicos, el auto tiene menos inercia que el camión. Figura 2.6. Un equilibrista utiliza una varilla de masa m para equilibrarse. Mientras más longitud tiene la varilla, mayor es su inercia rotacional y más cuesta hacerla rotar.

Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es en este sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad. Análogamente, al hacer que un objeto sólido rote o se mueva en trayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimiento rotacional. Esta oposición del objeto al cambio de su rotación se conoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otras palabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumple el mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilíneo. El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles de sistemas:

SISTEMAS DE OBJETOS

Figura 2.7. En un móvil giratorio de bebé podemos modelar el giro de los objetos alrededor del eje central como si se tratara de partículas. Sin embargo, los objetos también giran sobre sí mismos, alrededor de un eje que los atraviesa. En esta rotación no podemos considerarlos como partículas, sino como cuerpos extensos.

40



Se trata de objetos físicos que modelamos como si se tratara de partículas que tienen toda su masa concentrada en un punto y que giran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un eje de giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el eje de giro no atraviesa el objeto. Por ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes cuerpos masivos, su tamaño en relación al tamaño del Sistema Solar es en la práctica muy pequeño y por esta razón podemos modelar el movimiento de los planetas como si se tratara de partículas cuya masa se concentra en un punto. Modelar a los planetas como partículas es una simplificación física importante, pero podemos lograr una muy buena aproximación a sus movimientos de esta manera.

21/7/10 17:09:36


Para este tipo de sistema usamos la ecuación (2.7), que define el momento de inercia de un sistema de n partículas como: n

I = ∑ mi ⋅ r12 i =1

(2.8)

Donde mi son las masas de las diferentes partículas que forman el sistema y ri son sus radios de giro alrededor de un eje común. Esta relación indica que si varios objetos puntuales componen un sistema, el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos de inercia de cada partícula respecto al mismo eje de rotación: I = m1 ⋅ r12 + m2 ⋅ r2 2 + m3 ⋅ r32 + m4 ⋅ r4 2 + ...

(2.9)

Si el sistema está compuesto de una única partícula que gira alrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia se reduce a: I = m⋅ r2

(2.10)

La ecuación (2.10) indica que el momento de inercia de un objeto puntual de masa m depende directamente del cuadrado de su radio de giro r. De esta manera, mientras más alejada del eje está la masa, más esfuerzo se requiere para hacerla girar con la misma rapidez angular. En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas de masas unidas a los extremos de fósforos de distinto largo. Si las cuatro pequeñas esferas de plasticina tienen igual masa, ¿qué sistema tiene mayor inercia rotacional? ¿Por qué? ¿De qué depende esto?

Figura 2.9. Las masas en este mecanismo pueden ser modeladas como partículas que giran alrededor de un eje común. ¿En cuál de las dos situaciones el momento de inercia del sistema compuesto por las dos masas es mayor? ¿Por qué?

Figura 2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usan dos fósforos de distinto tamaño para confeccionar los sistemas con dos masas. Los posibles ejes de rotación de cada sistema son infinitos. Sección 2: Momento angular y su conservación


41

21/7/10 17:10:02

Mecánica

OBJETOS EXTENSOS Se trata de objetos sólidos y rígidos que giran sobre un eje que atraviesa sus contornos. Son objetos rígidos aquellos que no experimentan deformaciones. Ejemplos de objetos extensos en rotación hay muchos a nuestro alrededor. El caso más directo, aunque tal vez no el más evidente, es la propia rotación de la Tierra alrededor del eje imaginario que la atraviesa de polo a polo. Si lanzas un martillo al aire o haces girar un trompo, verás también cuerpos rígidos en rotación. Para calcular el momento de inercia de un objeto rígido no es posible usar la ecuación (2.8) directamente, ya que este tipo de cuerpo distribuye su masa en toda su extensión de distinta manera, de acuerdo a la geometría que posee. Así, por ejemplo, un cilindro sólido tiene mayor momento de inercia que una esfera sólida del mismo radio y de igual masa. En general, cada cuerpo geométrico, regular o irregular, tiene su propia inercia rotacional. La técnica matemática para calcular la inercia de objetos sólidos y extensos pertenece al área del cálculo diferencial e integral. Para evitar este tipo cálculos, tenemos la Figura 2.11, que muestra algunos cuerpos geométricos comunes y sus respectivos momentos de inercia. Eje

Figura 2.10. Un gato es deformable, y por lo tanto, no es un cuerpo rígido. Cuando cae de espalda realiza contorsiones en el aire modificando la inercia rotacional de su cuerpo hasta alcanzar una posición cómoda y segura de caída.

Eje

Eje

Eje

Eje

Eje

Eje

Eje

Figura 2.11. Momentos de inercia de algunos cuerpos geométricos respecto a diferentes ejes de rotación.

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21/7/10 17:10:16


Actividad de profundización ¿Qué sucede con el momento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una rueda de bicicleta y una silla que pueda rotar sobre su eje. Según la disponibilidad de sillas giratorias y ruedas de bicicleta en el curso, reúnete con algunos compañeros y compañeras (entre 4 y 6, idealmente) y formen un equipo de trabajo. a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿Qué sucede con el momento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Como equipo, planteen una hipótesis para responder. A continuación, realicen el siguiente experimento: el estudiante más liviano se sienta en la silla y sostiene la rueda de la bicicleta verticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la rueda (imagen 2.3). Dos compañeros(as) pueden sujetar la base de la silla para que no se traslade, mientras otro estudiante da impulso a la rueda para que gire. Luego, respondan: b) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento angular de la rueda? Dibuja en tu cuaderno un esquema del movimiento, indicando el vector momento angular de la rueda. A continuación, con la rueda en movimiento, el estudiante que está sentado debe inclinar el eje de rotación de la rueda, lentamente hasta que quede horizontal. c) Describe en tu cuaderno qué observas. d) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento angular de la rueda? ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento angular de la silla? Dibuja un esquema de la situación. e) ¿Qué ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado? Dibuja un esquema de la situación. f) Exploren las posibilidades del experimento. ¿Qué ocurre si en vez de hacer girar la rueda, se empieza por hacer girar la silla?

Imagen 2.3

g) Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis que plantearon. Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos. Sección 2: Momento angular y su conservación


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21/7/10 17:10:37

Mecánica

Evaluación intermedia PARTE I. Problema de planteamiento 1

b) Si el niño B gira con una rapidez tangencial de 4,5 m/s ¿Cuál es la rapidez angular del niño A?

Observa la siguiente imagen. Ella corresponde a un balancín giratorio.

2m

c) Considerando los valores obtenidos anteriormente, ¿cuál es el módulo del momento angular total? (Sin considerar el travesaño)

1,5 m

PARTE II. Análisis 2

Niño A: 30 kg

Niño B: 40 kg

¿De qué manera influye el largo distinto de cada brazo del balancín en el equilibrio rotacional de los niños de distinta masa?

a) Encuentra los momentos de inercia de cada niño y compáralos entre sí.

Indagación N°6 ¿Por qué las manillas de las puertas están ubicadas en el extremo? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando esta se aplica más lejos del eje de rotación. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

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Recuerda que un modelo es una representación simplificada del fenómeno que se intenta explicar, que incorpora sus principales características y, en especial, las variables medibles.



21/7/10 17:10:56


Torque El torque mecánico (τ) es un concepto físico muy simple con el que nos encontramos frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo, al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar con una tijera o usar un alicate, al mover los pedales de la bicicleta, y en cualquier movimiento de nuestros brazos, ya que nuestro propio sistema locomotor hace uso de variadas aplicaciones de torque. El concepto de torque se compone de las tres magnitudes que se  muestran en la Figura 2.12: la fuerza aplicada ( ), el radio vector F  ( r ) y el ángulo entre estos vectores ( φ ).

r

Fy

F

τ es la letra griega “tau”.

  El ángulo φ entre r y F  se mide desde la dirección de r hasta F , en sentido positivo según la convención matemática: los ángulos son positivos al medirlos en sentido anti-horario.

φ r

Fx

Línea de acción  Figura 2.12. La fuerza F aplica un torque sobre la llave inglesa y provoca la rotación que permite soltar la tuerca. Solo la componente perpendicular al radio (Fy = F ⋅ sen φ ) hace que el sistema gire, la componente paralela no contribuye al torque.

Cuando se ejerce fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un cierto eje gracias a un “pivote” o punto de rotación, y siempre que la línea de acción de la fuerza no pase por el pivote, entonces el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje. El torque es una medida de la capacidad de una fuerza para provocar esta rotación. Si la fuerza y el radio vector son perpendiculares entre sí ( φ = 90°), entonces se aplica un torque máximo. Este es el caso cuando se abre una puerta aplicando una fuerza perpendicular al plano de la puerta. Además, este ejemplo es útil para comprender la influencia del radio vector en el torque. ¿A qué distancia del eje de rotación de la puerta conviene aplicar la fuerza para realizar el menor esfuerzo al abrirla?

Figura 2.13. Las aplicaciones del torque en la vida cotidiana son muy frecuentes.



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21/7/10 17:11:13

Mecánica

Es necesario considerar que las cantidades involucradas en la definición del torque tienen naturaleza vectorial. Es decir, en la ecuación (2.11) hemos usado los  módulos del radio vector ( r ) y de la  fuerza ( F ), de modo que:  r =r  F =F

De acuerdo a nuestra experiencia, mientras más lejos del eje de rotación se aplica la fuerza, menor es el esfuerzo que implica abrir una puerta. Por eso, en general, las manillas se colocan en el lado opuesto a las bisagras, para que el módulo del radio vector sea máximo y, de esta manera, aumentar el torque. El módulo del torque de una fuerza (F) se puede determinar por la siguiente relación:

τ = r ⋅ F ⋅ sen φ

De acuerdo esto, la ecuación (2.11) expresa el módulo del torque, cuya expresión vectorial corresponde a un producto de la siguiente forma:    (2.16) τ =r×F Como se muestra en la Figura 2.14, el torque aplicado a un objeto es un vector perpendicular al plano formado por el radio vector y la fuerza.

(2.11)

De acuerdo a la ecuación (2.11) el torque se expresa en la unidad [N m].

TORQUE Y MOMENTO ANGULAR Como aprendiste en segundo medio, la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es equivalente al cambio de momento lineal en un intervalo de tiempo. En términos de los módulos de los vectores involucrados, podemos expresar esta relación del siguiente modo: ∆p (2.12) ∆t Si reemplazamos esta definición en la ecuación (2.11), tenemos: F=

τ

τ =r⋅

r

τ =r⋅ F

τ=

Figura 2.14. Al abrir o cerrar una puerta,  del eje τ está orientado en la dirección  de rotación. En general τ es perpendi  cular al plano formado por r y F . La dirección del torque se obtiene usando la regla de la mano derecha: primero se apunta la mano en la dirección del radio vector y luego se dobla, cerrando la palma, para apuntar en la dirección de la fuerza. El torque apunta en la dirección del dedo pulgar.

46

∆p ⋅ sen φ ∆t p f − pi

(

) ⋅ sen φ

∆t r ⋅ p f ⋅ sen φ − r ⋅

i

(2.13)

⋅ sen φ

∆t r p Pero, al considerar la ecuación 2.5, el módulo del momento angular se puede expresar como:

L = r ⋅ p ⋅ sen φ

(2.14)

De modo que las ecuaciones (2.13) indican que:

τ=

L f − Li ∆t

=

∆L ∆t

(2.15)

Es decir, el torque produce un cambio o variación en el momento angular del sistema mecánico, sea este un conjunto de partículas o un objeto rígido.



21/7/10 17:11:42


Ejemplo 9 Consideremos una piedra de 400 g atada a una cuerda de 80 cm que se hace girar desde el reposo hasta alcanzar una rapidez tangencial de 2 m/s. a)

¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra en reposo?

b)

Cuando la piedra alcanza la rapidez de 2 m/s, ¿cuál es el módulo de su momento angular ?

c)

¿Cuál es la variación del momento angular de la piedra?

d)

¿Cuál fue el torque aplicado sobre la piedra si demora 0,32 s en alcanzar los 2 m/s?

a:

El momento angular inicial es cero, ya que la piedra no se mueve.

b:

En este caso, de acuerdo a la ecuación (2.3):

Figura 2.15. Para hacer rotar un sistema, a partir del reposo, se requiere de un torque externo. El torque produce un aumento en el momento angular a partir de cero.

L = r ⋅ m⋅v L = 0, 8m ⋅ 0, 4 kg ⋅ 2 L = 0, 64 c:

m s

kg m2 s

La variación del momento angular corresponde a la diferencia entre el momento angular final y el inicial: ∆L = L f − Li ∆L = 0, 64

d:

kg m2 kg m2 kg m2 −0 = 0, 64 s s s

De acuerdo a la ecuación (2.15), tenemos:

τ=

∆L ∆t

Figura 2.16. El sistema de pedales, biela y eje del pedalier de una bicicleta, es un buen ejemplo de cómo al aplicar un torque se produce el cambio del momento angular del sistema.

kg m2 s τ= 0, 32s τ = 2N m 0, 64



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21/7/10 17:12:13

Mecánica

Inercia y conservación del momento angular De la misma forma en que el momento lineal de un cuerpo en movimiento corresponde al producto de su masa y su velocidad, el momento angular de un objeto corresponde al producto de su inercia rotacional y su velocidad angular. Este resultado es válido independientemente de la forma geométrica del objeto, o de si es un cuerpo extenso o puntual. De esta manera, como adelantamos en la ecuación (2.7), en términos de los módulos de los vectores involucrados, el momento angular lo expresaremos como: L = I ⋅ω

Figura 2.17. En una bicicleta el momento angular de las ruedas aumenta con la rapidez del movimiento y esto le da mayor estabilidad

(2.17)

En un movimiento lineal, la aplicación de una fuerza neta sobre el objeto produce un cambio de la velocidad o, equivalentemente, un cambio del momento lineal del objeto. Por su parte, de acuerdo a la ecuación (2.15), la aplicación de un torque neto sobre un sistema giratorio produce un cambio de la velocidad angular o, equivalentemente, un cambio en el momento angular del sistema. Movimiento lineal p = m⋅v ∆p F= ∆t

Movimiento rotacional L = I ⋅ω ∆L τ= ∆t

Tabla 2.1. Comparación entre las magnitudes propias del movimiento lineal y del movimiento rotacional. El momento angular (L) en el movimiento rotacional es análogo al momentum lineal (p) en el movimiento lineal. El rol que juega la masa (m) en el caso lineal, lo juega el momento de inercia (I) en el caso rotacional. La fuerza neta (F) corresponde al cambio de momento lineal en el tiempo y, en cambio, el torque neto (τ) corresponde al cambio de momento angular en el tiempo.

¿Qué ocurre si el torque neto que actúa sobre un sistema es cero? Figura 2.18. Al hacer girar una rueda a alta velocidad, es posible sostenerla en un punto del eje con una varilla ,sin que el peso ejerza un torque suficiente para desestabilizarla y botarla.

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De acuerdo a las ecuaciones para el movimiento rotacional en la Tabla 2.1, si el torque neto sobre un sistema es cero, el sistema no varía su momento angular, es decir, su momento angular se mantiene constante. Este importante resultado se conoce como ley de conservación del momento angular.



21/7/10 17:12:34


De acuerdo a la ecuación (2.15), la ley de conservación del momento angular implica: ∆L =0 ∆t ∆L = 0 L f − Li = 0

(2.18)

L f = Li Es decir, el momento angular final es igual al inicial en un proceso sin torque neto. Ejemplo 10 Para analizar la conservación del momento angular, un estudiante realiza el siguiente ejercicio: se sienta en una silla de escritorio giratoria y extiende los brazos, sosteniendo en cada mano tres libros cuyo peso total es de 2 kg. Luego, se da un impulso que lo hace girar de modo que los libros en su mano alcanzan una m rapidez lineal de 2 y tienen un radio de giro de 70 cm. s a)

Sin considerar la masa del estudiante, ¿cuál es la rapidez lineal de los libros cuando el estudiante baja sus brazos hasta quedar con un radio de giro de 20 cm?

a:

Si el momento angular de los libros se conserva, entonces, de la ecuaciones (2.3) y (2.18), tenemos:

Figura 2.19. La patinadora aprovecha la conservación del momento angular para aumentar o disminuir su rapidez angular. Al extender los brazos aumenta su inercia rotacional, disminuyendo su rapidez y viceversa.

Li = L f ri ⋅ mi ⋅ vi = r f ⋅ m f ⋅ v f ri ⋅ vi = r f ⋅ v f m = 0, 2 m ⋅ v f s m 0, 7 m ⋅ 2 = 0, 2 m ⋅ v f s m 0, 7 m ⋅ 2 s =v f 0, 2 m m 7 = vf s 0, 7 m ⋅ 2

Es decir, la rapidez lineal aumenta más de tres veces su valor inicial.

Figura 2.20. En el experimento de la silla o base giratoria, al extender o juntar los brazos se modifica el momento de inercia, y por conservación del momento angular la rapidez de rotación aumenta o disminuye. Sección 2: Momento angular y su conservación


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21/7/10 17:13:13

Mecánica

Ejemplo 11

goma

V

Un estudiante toma el tubo de un lápiz en desuso y lo atraviesa con un hilo. Luego amarra una goma de borrar de 50 g en uno de los extremos del hilo y la hace girar a 2 rad/s con un radio de 40 cm, mientras sostiene el otro extremo del hilo. En seguida, le da un tirón al hilo de manera que el radio de giro disminuye a 20 cm. a)

¿Cuál es el módulo del momento angular inicial de la goma de borrar?

b)

¿Cuál es la rapidez angular de la goma cuando disminuye su radio de giro?

a:

Para encontrar el momento angular inicial, consideramos la ecuación (2.4): Li = mi ⋅ ri 2 ⋅ ω i

Figura 2.21. Mientras se hace girar la goma de borrar amarrada a un hilo, alrededor del tubo, se da un tirón en el otro extremo del hilo para reducir el radio de giro. Analizando el sistema se puede observar que la fuerza ejercida por la mano en el tirón del hilo, se transmite como una fuerza de tensión que actúa sobre la goma de borrar en dirección radial en todo instante, por lo tanto, esta fuerza no aplica ningún torque sobre la goma. En consecuencia, el momento angular de la goma de borrar se conserva y su rapidez angular aumenta al disminuir el radio de giro.

Li = 0, 05kg ⋅ (0, 4 m)2 ⋅ 2 Li = 0, 016 b:

rad s

k m2 kgs

Por conservación del momento angular obtenemos: Li = L f mi ⋅ ri ⋅ ω i = m f ⋅ r f 2 ⋅ ω f 2

2 Kg m2 = 0, 05kg ⋅ 0, 2 m ⋅ ω f s Kg m2 0, 016 s =ωf 2 0, 05kg ⋅ 0, 2 m

(

0, 016

(

)

)

8

rad =ωf s

En este resultado, observamos que la rapidez angular aumentó 4 veces, mientras el radio disminuyó sólo a la mitad. Además, al igual que en el Ejemplo 10, la masa ha permanecido constante durante el proceso. En el sistema mencionado en el Ejemplo 11, el estudiante da un tirón al hilo para disminuir el radio de giro. ¿Produce torque esta fuerza? ¿Por qué?

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21/7/10 17:13:31


Ejemplo 12 Cuando se inicie el ciclo final del Sol, su radio aumentará hasta 200 veces, desde que comience su expansión hasta que alcance un tamaño máximo como una estrella gigante roja. Supongamos que inicialmente el Sol rota sobre su eje con rapidez angular inicial ω i y su masa (M) permanece constante durante el proceso. a)

¿Cuál sería el momento de inercia inicial y final del Sol?

b)

¿Cuál sería la rapidez angular del Sol cuando alcance su radio máximo?

a:

De acuerdo al planteamiento del problema, podemos modelar al Sol como una masa esférica, cuyo momento de inercia podemos calcular usando la información de la Figura 2.11: 2 I esfera sólida = mR 2 5 Por lo tanto, el momento de inercia inicial es: 2 MRi2 5 Análogamente, el momento de inercia final es:

Protoestrella

Sol actual

Gigante roja

Ii =

2 2 M ⋅ 200 Ri 5 2 I f = M ⋅ 40 000 ⋅ Ri2 5 I f = 40 000 I i

If =

(

)

Nebulosa planetaria

Es decir, el momento de inercia del Sol aumenta 40 000 veces. b:

Considerando la conservación del momento angular, usamos la ecuación (2.17) para calcular la rapidez angular final: Li = L f Ii ⋅ω i = I f ⋅ω f I i ⋅ ω i = 40 000 I i ⋅ ω f

ω i = 40 000 ⋅ ω f ωi =ωf 40 000

Enana blanca Figura 2.22. En su evolución como estrella, el Sol pasa diferentes etapas. Actualmente se encuentra aproximadamente en la mitad de su vida. Antes de convertirse en una enana blanca, se expandirá y convertirá en una gigante roja, absorbiendo a los planetas interiores y, tal vez, también a la Tierra. En el proceso de expansión, el Sol perderá gran parte de su masa, por lo que la suposición del ejemplo no es correcta. Sección 2: Momento angular y su conservación


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21/7/10 17:23:15

Mecánica

Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Inercia de rotación B Momento lineal C Momento de inercia D Torque E Masa

I II III IV V

Frases Conectoras (FC) Y del En ausencia de Tiende a Es una medida de la Es el producto de

Momento angular

Depende de

Radio de giro

1

Que se expresa con el

4

Semejante a la

Velocidad angular

Depende de

Conservarse

2 6 y de la

Inercia de movimiento

8

9

10

7

Depende de la distribución de la

3

5

Desafío Cuando hayas terminado esta actividad, vuelve a leer el texto de la sección, con mucha atención, y genera tu propio mapa conceptual.

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21/7/10 17:23:21



¿Por cuál de sus extremos es más fácil equilibrar verticalmente un escobillón?

2

¿Depende el momento de inercia de un objeto de su eje de rotación? ¿Depende el momento de inercia de la rapidez angular?

3

Una esfera maciza y un cilindro macizo tienen la misma masa y el mismo radio, ¿cuál de los dos objetos rueda más rápido por un plano inclinado?

4

¿Por qué es más fácil para un equilibrista que camina por la cuerda floja hacer uso de una garrocha para mantener el equilibrio?

5

Considera el sistema de masas de la Figura 2.23. ¿En qué caso es más difícil hacer girar la manilla? ¿Por qué? A

sobre el plano del ecuador. Suponiendo que la masa de cada satélite es de 500 kg: (a) ¿Cuál es el periodo orbital de cada uno? (b) ¿Cuál es el módulo del momento angular de cada satélite con respecto al eje de rotación de la Tierra?, (c) ¿Cuál es el módulo del momento angular total del sistema de satélites, con respecto al mismo eje? 9

Considera un cuerpo formado por dos masas esféricas de 5 kg cada una, conectadas entre sí por una barra rígida ligera de 1 m de largo, Figura 2.24. Despreciando la masa de la varilla: (a) ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a él? (b) ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por una de las esferas y es perpendicular a él?

B

Figura 2.24 Figura 2.23 6

Una niña pequeña se divierte sentada en una silla giratoria, porque descubrió que al rotar, puede cambiar su rapidez si extiende o pliega sus brazos y piernas. Si en un momento la niña está girando con los brazos extendidos y luego los apega a su cuerpo, ¿cómo cambia su rapidez angular?

7

Una piedra de 0,5 kg gira en una boleadora con un radio de 70 cm y una rapidez angular de 4 rad/s. ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra?

8

360 satélites geoestacionarios que forman una red de comunicaciones global, orbitan en un mismo plano alrededor de la Tierra. Se encuentran aproximadamente a 36 000 km sobre el nivel del mar, en el llamado cinturón de Clarke, justo

10

¿Cuál es el momento de inercia de una persona de masa M, respecto al eje de rotación terrestre, cuando la persona se encuentra (a) en el Polo Norte, (b) en el ecuador y (c) a θ = 45° de latitud sur (cerca de Coyhaique)? Expresa tus respuestas en términos del rádio de la Tierra (R).

11

Si la masa de la Tierra es M = 6 x 1024 kg y su radio es R = 6 400 km: (a) ¿cuál es su momento de inercia respecto a su propio eje de rotación? (b) ¿Cuál es módulo de su momento angular respecto a su propio eje de rotación (llamado momento angular de spin)? (c) Suponiendo que el radio medio de la órbita terrestre es r = 1,5 x 1011 m y que la órbita es circular, ¿cuál es el módulo del momento angular de traslación de la Tierra, es decir, respecto al Sol? Sección 2: Momento angular y su conservación


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21/7/10 17:23:31

Mecánica

12

13

Una joven está sentada sobre un taburete giratorio, sosteniendo un par de pesas de gimnasia a una distancia de 60 cm del eje de rotación de la silla. Un compañero le da un impulso, de manera que empieza a girar con una rapidez angular de 2 rad/s después de lo cual acerca las dos pesas hasta que están a una distancia de 20 cm del eje. El momento de inercia de la joven respecto al eje de rotación es de 5,5 kg · m2 y puede considerarse constante. Las pesas tienen una masa de 2 kg cada una y pueden tratarse como masas puntuales. Si se desprecia el rozamiento: (a) ¿cuál es el módulo del momento angular inicial del sistema? (b) ¿Cuál es la rapidez angular del sistema después que las dos pesas se han acercado al eje de giro?

14

El combustible nuclear de una estrella de masa M = 2 x 1030 kg y radio RE = 7 x 105 km, se extingue y súbitamente colapsa formando una estrella llamada enana blanca, del tamaño de la Tierra (RT = 6400 km). Suponiendo que no hay pérdida de masa en el proceso, (a) ¿cuál es el momento de inercia de la estrella, antes y después del colapso? (b) ¿Cuál es el nuevo periodo de rotación de la estrella, si el periodo inicial era de 25 días? (Se puede suponer que la estrella tiene forma esférica en todo el proceso)

15

Considera el balancín de la Figura 2.26. (a) ¿Qué condición deben cumplir los torques de la derecha y de la izquierda del balancín para que esté en equilibrio? (b) ¿Cuál es el valor de X para que el balancín esté en equilibrio? (c) ¿Cuál es el momento de inercia del lado derecho del balancín? (d) ¿Cuál es el momento de inercia del lado izquierda del balancín? (e) ¿Cuál es el momento de inercia total del sistema respecto al centro del balancín? (f) Si el balancín está en equilibrio, es decir, el torque neto es nulo, ¿puede estar girando? ¿Por qué?

Un estudiante toma el tubo de un lápiz en desuso y lo atraviesa con un hilo. Luego amarra una goma de borrar de 80 g en uno de los extremos del hilo y la hace girar a 10 rad/s con un radio de 50 cm, mientras sostiene el otro extremo del hilo, como se muestra en la Figura 2.25. Luego, le da un tirón al hilo de manera que el radio de giro disminuye a 20 cm. (a) ¿Cuál es el módulo del momento angular inicial de la goma de borrar? (b) ¿Cuál es la rapidez angular de la goma cuando disminuye su radio de giro?

1m

11 kg kg

1m

88 kg kg

x

1100 kg kg

r

Figura 2.26

V F

Figura 2.25

54

16

Consideremos una piedra de 200 g atada a una cuerda de 50 cm que se hace girar desde el reposo hasta alcanzar una rapidez tangencial de 8 m/s. (a) ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra en reposo? (b) ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra en movimiento? (c) ¿Cuál es la variación del momento angular de la piedra? (d) ¿Cuál fue el torque aplicado sobre la piedra si demora 2 s en alcanzar los 8 m/s?



21/7/10 17:23:37


Evaluación final de la sección PARTE I: Anota en el recuadro el número de la descripción o definición que corresponde a la magnitud dada. 1

Magnitud Relaciona la fuerza, el radio de giro y el ángulo entre ellos.

Unidad Momento de inercia.

2

Es el producto de la masa y la velocidad.

Torque.

3

Vector que se mide en kg m2/s en el S.I. de unidades

Momento lineal.

4

Es una medida de la resistencia al cambio de movimiento circular

Momento angular.

PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus respuestas. 1 2 3 4 5

VoF

El momento angular está asociado al movimiento de traslación de un objeto, mientras que el momento lineal está asociado a su rotación respecto de un eje. Un objeto que se traslada en movimiento circular uniforme tiene momento angular distinto a cero, respecto al eje de giro. Un balancín giratorio puede estar en equilibrio rotacional cuando los pesos de ambos lados del pivote son distintos. Al abrir los brazos una bailarina aleja su masa del eje de rotación, aumentando su momento de inercia. El momento de inercia es una medida de la forma en que se distribuye la masa de un objeto (o varios objetos) alrededor de un eje de rotación.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1 3 Un cuerpo está constituido por dos masas esfé¿Cuál es el módulo del momento angular de ricas de 1 kg cada una, conectadas entre sí por una silla voladora de 100 kg que gira en un una barra rígida de 2 m de largo. Si se desprecia juego de fantasilandia con un radio de 5 m y la masa de la varilla, ¿cuál es el momento de una rapidez angular de 10 rad/s? inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por el a) 5x103 kg · m2/s centro de la varilla y es perpendicular a ella? b) 25 kg · m2/s 2 a) 0,25 kg · m c) 50x103 kg · m2/s b) 0,5 kg · m d) 25x103 kg · m2/s 2 c) 1 kg · m 4 Una estrella de masa M y radio R colapsa súbid) 2 kg · m tamente, formando una enana blanca de radio 2 Si ω es la rapidez angular de la Luna alrededor 10-4 R. ¿Cuál es la nueva rapidez angular de de la Tierra, ¿cuál es el módulo del momento la estrella, si su rapidez angular inicial era de angular de nuestro satélite, respecto al eje de 2,9x10-6 rad/s? (La estrella es esférica, uniforme, su órbita en torno a la Tierra? (ML es la masa y no pierde masa) de la Luna y RT-L es la distancia media entre la a) 290 rad/s Tierra y la Luna) b) 29 rad/s a) (1/2) ML · RT-L · ω c) 2,9 rad/s b) (1/2) ML · R2T-L · ω d) 0,29 rad/s c) (2/5) ML · RT-L · ω 2 ·ω d) (2/2) ML · RT-L Sección 2: Momento angular y su conservación


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21/7/10 17:23:43

Mecánica

Capítulo 2

Antes de empezar... 1 ¿Qué es un sistema físico? 2 Si consideras a la mesa del profesor como un sistema, ¿qué fuerzas actúan sobre él? 3 ¿Puede ser nulo el trabajo mecánico? 4 ¿Realiza trabajo mecánico un levantador de pesas que alza sobre su cabeza una masa de 100 kg y las mantiene quietas? 5 ¿Cuál es la energía asociada a la posición de un objeto? 6 ¿Tiene energía un resorte comprimido? 7 ¿Cómo se relaciona el trabajo mecánico con la energía mecánica? 8 ¿Cuáles son los principales tipos de energía mecánica? 9 ¿Hay energía mecánica en la lluvia que cae del cielo? 10 ¿Cómo se relaciona la fuerza de roce con la fuerza normal? 11 ¿Qué es una fuerza conservativa y una fuerza disipativa?

“Es importante notar que en la física de hoy día no tenemos conocimiento acerca de lo que es la energía... Es un algo abstracto

12 ¿Qué tipo de energía se manifiesta cuando nos frotamos las manos? 13 ¿Por qué la fuerza de roce se dice disipativa?

en el sentido que no nos dice el mecanismo o las razones para las diversas fórmulas (sic)”. Richard Phillips Feynman (1918 – 1988), físico estadounidense.

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21/7/10 17:23:49

Capítulo 2: Energía Mecánica

Indagación Nº7 ¿Cómo romper el cofre? PARTE I. Trabajo personal Decidiste abrir el cofre que contiene la herencia en oro que te dejó tu tatarabuelo pirata. Pero no tienes llaves, ni herramientas. Solo encontraste una polea, una gran masa de hierro y una cuerda muy resistente (imagen 3.1). ¿Qué haces para abrir el cofre con estos elementos? En relación a este problema reflexiona sobre lo siguiente:

fuerza

peso h

a) Si dejas caer la masa desde una altura inicial y el cofre no se rompe, ¿qué magnitud física podrías cambiar para intentar nuevamente? b) Por fin, después de varios intentos, el cofre se rompe. ¿De dónde obtuvo la masa su capacidad para romper el cofre? c) ¿Cómo se logró aumentar esta “capacidad” de la masa para que pudiera romper el cofre? PARTE II. Trabajo en equipo Antes de que disfrutes de tu herencia, junto a un compañero o una compañera, contrasten sus respuestas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.

Imagen 3.1

A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto, que dé respuesta a la pregunta formulada en la letra b de la primera parte de esta indagación. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).


57


21/7/10 17:23:55

Mecánica

Indagación Nº8 ¿Cómo arrastrar un sofá eficientemente? PARTE I. Trabajo personal Para esta actividad, necesitas los siguientes materiales: un elástico de billete cortado, de manera que quede una sola hebra elástica de 15 cm; una regla; un clip y un tarro de café pequeño, que contenga monedas hasta la mitad (imagen 3.2a). Primero, has una observación individual muy simple: escoge 3 objetos pequeños distintos que tengas alrededor; por ejemplo, una goma de borrar, el estuche con lápices, etc. A continuación, amarra el clip en el extremo del elástico y a través de él sostén cada uno de los objetos separadamente. Cuélgalos del elástico y observa las diferencias. a) ¿Por qué el elástico se estira hasta distintas longitudes? b) Si al colgar dos cuerpos por separado, usando elásticos iguales se observa el mismo estiramiento, ¿cómo se relacionan las fuerzas aplicadas por los elásticos? c) ¿Cómo arrastrarías un sofá para que alcance mayor rapidez? PARTE II. Trabajo en equipo Reúnete con dos compañeros(as) para compartir sus respuestas obtenidas en la parte I. En conjunto, elaboren una hipótesis que dé respuesta a la tercera pregunta y argumenten a favor o en contra de ella. A través del siguiente experimento, podrán poner a prueba la hipótesis. Hagan un nudo en un extremo del elástico, y luego atrapen este extremo con la tapa del tarro de café. Sobre una mesa lisa, uno(a) de ustedes tire del elástico horizontalmente hasta que alcance una extensión de 30 cm, mientras un compañero(a) sostiene el tarro para que no se deslice (imagen 3.2b). A continuación, el tercer integrante del equipo marca la posición inicial del tarro y luego lo sueltan. Midan la distancia recorrida por el tarro. Repitan el procedimiento, pero dando una inclinación de 10° a 20° al elástico, respecto a la mesa (imagen 3.2c). Es muy importante que en ambos casos el estiramiento del elástico sea el mismo (30 cm).

A

B

a) ¿Por qué es importante que el estiramiento del elástico sea el mismo en ambos casos? b) ¿En qué caso el desplazamiento del tarro es mayor? c) Si suponemos que el tiempo del movimiento en ambos casos es el mismo, ¿en qué caso la rapidez del tarro es mayor? ¿Por qué ocurre esto?

C

d) Si el elástico se estirara en la dirección vertical, ¿qué sucedería con el desplazamiento del tarro al soltarlo? ¿Adquiriría rapidez horizontal? ¿Cómo explicarías esto?

Imagen 3.2

e) Comparen sus respuestas con la hipótesis inicial y escriban sus conclusiones.

58



21/7/10 17:24:02

Capítulo 2: Energía Mecánica ci S ec ó n

3

Energía y movimiento

En segundo año medio, con el estudio de la cinemática y la dinámica, aprendimos a describir el movimiento de un objeto utilizando conceptos como posición, velocidad, aceleración y fuerza. En el Capítulo 1 de este texto, hicimos uso de esos conceptos para aplicarlos al caso del movimiento circunferencial. En ese curso también aprendimos un método alternativo para estudiar el movimiento de los objetos. Este método incluye algunas nuevas cantidades, con cuyos conceptos tenemos una relación cotidiana, pero no siempre los aplicamos con la precisión física que estudiaremos en esta sección y en la siguiente. Empezaremos nuestra exploración recordando la relación entre energía y trabajo. La energía se manifiesta de diversas formas. Todos los procesos o fenómenos físicos en el Universo implican energía y transferencia o transformación de energía. Sin embargo, no es fácil de definir, aunque sí es fácil de reconocer: cuando hervimos agua para tomar té, cuando pedaleamos al movernos en bicicleta, cuando percibimos la luz del sol y su calor, cuando escuchamos voces y música, cuando encendemos el computador, etc. En fin, comprender el concepto de energía, como verás, resulta extremadamente importante.

Sistemas y entorno Habitualmente, la comprensión física de un fenómeno supone algunas simplificaciones importantes. Así, por ejemplo, nos referimos al movimiento de un automóvil o de una persona y los modelamos como si se tratara de partículas puntuales. Estas son simplificaciones, por cierto, pero resultan útiles y válidas porque el tamaño de los objetos o las relaciones entre sus partes no son significativas en comparación con la trayectoria que el objeto realiza, y tampoco es nuestro interés dar una explicación de los mecanismos del automóvil o de las relaciones anatómicas del cuerpo, sino describir el movimiento en general. Cuando hablamos de energía, es necesario también recurrir a un modelo simplificado que nos permite centrar nuestra atención en una pequeña región del Universo e ignorar los detalles acerca del resto. Es decir, para aplicar correctamente el “enfoque energético” a los fenómenos tenemos que partir por identificar un sistema físico.

Figura 3.1. Todos los procesos físicos en el Universo implican energía y transferencia o transformación de energía. Sección 3: Energía y movimiento


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21/7/10 17:24:16

Mecánica

Desde un punto de vista físico, un sistema puede ser un objeto (o partícula), varios objetos (o partículas) o una región del espacio. En cualquier caso, un sistema puede cambiar de tamaño y forma, como una pelota de tenis que se deforma al golpear contra la raqueta.

Universo

frontera sistema

entorno Figura 3.2. Un sistema es una pequeña región del Universo, que está separada del entorno por una frontera imaginaria.

De acuerdo a la Figura 3.2, vemos que: sistema + entorno = Universo

La frontera del sistema es una superficie imaginaria que puede coincidir con una superficie física, y separa al Universo en dos partes: el sistema y el entorno del sistema. Pero, ¿cómo escoger el sistema? La respuesta depende de la situación física que estemos observando. Tenemos que recordar que la separación entre sistema y entorno es una simplificación del Universo que nosotros mismos hacemos. Por ejemplo, consideremos la situación en la que la fuerza de gravedad actúa sobre un libro que se encuentra en reposo sobre una mesa: a) Podemos identificar al libro (un objeto) como nuestro sistema, y en este caso la fuerza de gravedad influye en el sistema desde el entorno. También la mesa es parte del entorno y ejerce otra fuerza sobre el sistema “libro”.

N

P

Figura 3.3. En la imagen se aprecia una manzana apoyada en una pila de libros. Sobre el sistema “manzana”  actúan dos fuerzas: el peso ( P ) y la   normal ( N ). Los libros y la Tierra (que no aparece en la imagen) son parte del entorno del sistema.

60

b) Podemos identificar el conjunto de la mesa y el libro como nuestro sistema, entonces la fuerza de gravedad también proviene desde el entorno del sistema y actúa sobre él, pero la fuerza entre la mesa y el libro es una fuerza interna al sistema. c) Podemos identificar el conjunto de la Tierra, la mesa y el libro como nuestro sistema, entonces las dos fuerzas que mencionamos son internas. Cualquiera de las opciones anteriores es igualmente válida, pero será correcta aquella que sea apropiada para comprender la situación física que nos interesa explicar.

En la Figura 3.3 se puede observar una manzana apoyada sobre una pila de libros. ¿Qué fuerzas actúan sobre el sistema “manzana”? Si escogemos como sistema el conjunto “manzana-libros”, ¿qué fuerzas actúan sobre él?



21/7/10 17:24:26


Trabajo mecánico En la vida cotidiana, realizamos muchas actividades distintas a las que relacionamos con la ejecución de un trabajo (W). Decimos, por ejemplo: ʻme costó trabajo levantarmeʼ, ʻtengo un trabajo de historia para mañanaʼ, etc. Así, hablamos de trabajo para referirnos a una tarea o acción que demanda nuestro esfuerzo, físico o mental.

Usamos el símbolo W del inglés work (trabajo), para no confundirlo con la temperatura o el periodo, habitualmente simbolizados por T.

El trabajo en física, en cambio, es un concepto más preciso y sólo se aplica al caso en que un agente ejerce una fuerza sobre un sistema a lo largo del desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza. Se dice, entonces, que el trabajo es realizado por el agente sobre el sistema. Si movemos un sillón empujándolo de un lugar a otro, entonces podemos decir que realizamos trabajo sobre el sillón. Igualmente, cuando levantamos nuestra mochila, elevándola desde el suelo para colgarla en los hombros, realizamos trabajo sobre la mochila.

Figura 3.5. El joven realiza trabajo mecánico al elevar la caja desde el suelo. Realiza más trabajo cuando la caja es más pesada, o cuando la eleva hasta una altura mayor.

En el caso más sencillo, la fuerza aplicada sobre el sistema es constante y su dirección es paralela a la dirección del movimiento del sistema. Entonces, se define el trabajo mecánico como el producto entre el módulo de la fuerza y el módulo del desplazamiento: W = F ⋅ ∆x

(3.1)

Al levantar la mochila, por ejemplo, realizamos más trabajo cuando la mochila es más pesada o cuando la elevamos a mayor altura.

F

�x

�

��

�x

 Figura 3.4. Sobre el bloque actúa una fuerza F mientras se produce  un desplazamiento ∆x . La magnitud del trabajo realizado por la fuerza es el producto del módulo de ambos vectores: W = F ⋅ ∆x

Figura 3.6. La niña realiza trabajo mecánico al empujar el coche.

 ∆x corresponde al cambio de posición del objeto en la dirección del eje x, es decir, es el vector desplazamiento:    (3.2) ∆x = x f − xi Como la fuerza y el desplazamiento son vectores, simbolizamos sus módulos de la siguiente manera:  F =F  ∆ x = ∆x (3.3)

Sección 3: Energía y movimiento


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21/7/10 17:25:13

Mecánica

Vemos que en la definición de trabajo intervienen una medida de fuerza y una medida de distancia. Por lo tanto, ¿realiza trabajo un pesista que mantiene quietas por encima de su cabeza unas pesas de 1 000 N? ¿Por qué? Lo anterior indica además que en la unidad de medición del trabajo se combinan una unidad de fuerza [N] con una unidad de distancia [m]; es decir, la unidad de trabajo es el newton-metro [Nm], también conocida como joule [J]: Figura 3.8. Cuando el pesista sostiene las pesas quietas, no realiza trabajo mecánico, ya que aunque aplica una gran fuerza no se está produciendo un desplazamiento.

y B

Fy

F

 Nm  =  J 

En general, ocurre que la dirección de la fuerza aplicada sobre un sistema y la dirección del desplazamiento del sistema no siempre son paralelas. Habitualmente, la fuerza mantiene un ángulo respecto del desplazamiento. En estos casos, el trabajo es producto solo de la componente de la fuerza que actúa en la dirección del movimiento. A la parte de la fuerza que realiza trabajo podemos llamarla componente paralela, porque es la parte de la fuerza paralela al desplazamiento.

� A

(

  Figura 3.9. Fx y Fy son las compo nentes rectangulares del vector F .

senθ =

BC AB AC

=

Fy F

F cosθ = = x AB F En particular, se encuentra: Fx = F cosθ

62

(3.7)

(3.5)

F

x

En la Figura 3.9 se observa que:    (3.6) F = Fx + Fy  El vector F y sus componentes forman un triángulo rectángulo, en el que podemos definir las razones trigonométricas del ángulo θ , usando los módulos de los vectores:

)

W = F cos θ ⋅ ∆x

C

Fx

(3.4)

�

�x

��

�� x

 Figura 3.7. La fuerza F mantiene un ángulo respecto al desplazamien to ∆x . El trabajo es efectuado solo por la componente paralela de la  fuerza Fx .

( )

De acuerdo a lo anterior, cuando una fuerza actúa en ángulo recto a la dirección del movimiento de un objeto, es decir, cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento ( θ = 90º ), no existe una componente paralela que realice trabajo sobre el objeto y, por lo tanto, W = 0.



21/7/10 17:25:40


En la Figura 3.11, por ejemplo, la maleta se mueve horizontalmente: ¿Realiza trabajo sobre ella la fuerza con que la tira la joven? ¿Realiza trabajo sobre la maleta la fuerza de gravedad? ¿Por qué?

Aquí es importante notar otra situación: puede ser el caso que una fuerza apunte en un sentido opuesto al movimiento, por ejemplo, cuando sacamos a pasear un perro amarrado con una correa y él insiste en correr, pero nosotros se lo impedimos para que no escape. ¿Qué efectos puede tener una fuerza que apunta en el sentido contrario al movimiento? ¿Realiza trabajo? Al tirar la maleta hacia adelante, como en la Figura 3.11, la maleta se pone en movimiento en ese sentido, de manera que el trabajo realizado por la fuerza sirve para provocar el desplazamiento. Pero en el caso en que tiramos con la correa al perro como en la Figura 3.10, la fuerza no se usa para provocar el desplazamiento, sino para impedirlo, suponiendo que el perro logre moverse hacia delante de todos modos. En esta situación ejerceríamos fuerza hacia atrás y el perro avanzaría hacia adelante, oponiéndose a nuestras intenciones por supuesto.

 ∆x

θ

 F

  Figura 3.10. El ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento ∆x es  θ > 90º . Solo la componente paralela al movimiento Fx realiza trabajo sobre el sistema. En este caso, el trabajo realizado por Fx es negativo, ya que su sentido se opone al desplazamiento.

Es importante observar que en esta situación también estamos ante la presencia de un desplazamiento y de una fuerza cuya componente paralela sí realiza trabajo. Sin embargo, en este caso el trabajo no sirve para provocar el desplazamiento, sino para impedirlo, por lo tanto, se trata de un trabajo negativo.

Figura 3.11. Al tirar de la maleta y moverla, una parte de la fuerza que la joven ejerce sirve para levantar el objeto y otra parte de la fuerza sirve para moverlo hacia adelante. La parte de la fuerza que actúa hacia arriba no realiza trabajo sobre la maleta, ya que no hay desplazamiento en esa dirección. En cambio, la parte de la fuerza que actúa en la misma dirección del movimiento sí realiza trabajo.

De acuerdo con la ecuación (3.5), la definición de trabajo en términos vectoriales se puede expresar como el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento:   (3.9) W = F ⋅ ∆x El producto escalar de dos vectores cua  lesquiera, a y b , es una cantidad escalar igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo ( θ ) que forman entre ellos:   (3.10) a ⋅ b = a ⋅ b cosθ En esta ecuación, θ se mide respetando la convención matemática.



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21/7/10 17:26:06

Mecánica

a) W > 0

�x F

b) W

<0

�x

F c) W

=0

�x

Este resultado está de acuerdo con la definición de la ecuación (3.5), ya que cos θ < 0 cuando 90 º < θ < 270 º En resumen, como lo muestra la Figura 3.12, podemos distinguir tres casos sencillos de acción de una fuerza y el trabajo que realiza sobre un sistema: a) Cuando la fuerza actúa en la misma dirección y sentido que el desplazamiento, el trabajo que realiza tiene un valor positivo (W > 0). b) Cuando la fuerza actúa en la misma dirección, pero en sentido contrario al desplazamiento, el trabajo que realiza tiene un valor negativo (W < 0).

F Figura 3.12. a) La fuerza actúa en la misma dirección y sentido que el desplazamiento. b) La fuerza actúa en la misma dirección, pero en sentido contrario al desplazamiento. c) La fuerza actúa en dirección perpendicular al desplazamiento.

a)

c) Cuando la fuerza actúa en dirección perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo (W = 0). ¿Qué diferencias hay entre el concepto de trabajo mecánico y la idea de trabajo en la vida cotidiana? Menciona ejemplos de situaciones en que las fuerzas realicen trabajo positivo, negativo y nulo.

b)

c)

Figura 3.13. a) Al empujar el auto, el trabajo realizado sobre el auto es positivo, ya que la fuerza actúa en la misma dirección y sentido que su desplazamiento. b) Al atajar el balón, el trabajo realizado sobre él es negativo, ya que la fuerza actúa en sentido contrario al movimiento para poder detenerlo. c) Al caminar soportando el peso de la mochila en la espalda, el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre la mochila es nulo, ya que la fuerza actúa en dirección perpendicular al desplazamiento.

En los casos de las figuras 3.5, 3.6, 3.8, 3.10, 3.11 y 3.13, identifica al sistema y al agente que realiza trabajo sobre él.

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21/7/10 17:26:23


Ejemplo 1 Para empujar su bicicleta, un peatón aplica una fuerza constante de 20 N, en dirección paralela al piso. a)

¿Cuánto trabajo sobre la bicicleta realiza el peatón al cruzar una calle de 10 m de ancho?

b)

¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de gravedad sobre la bicicleta en el mismo trayecto?

a:

De acuerdo al planteamiento del problema, el peatón es el agente que realiza trabajo sobre la bicicleta, el sistema. Como la fuerza aplicada es paralela al desplazamiento θ = 00 ;cosθ = 1 , tenemos:

(

)

W W W W

= F ⋅ ∆x = 20 N ⋅ 10 m = 200 Nm = 200 J

Aquí consideramos que el módulo del desplazamiento es ∆x = 10 m b:

Cuando la bicicleta cruza la calle, empujada por el peatón, en todo momento también actúa sobre ella la fuerza de gravedad. Sin embargo, esta fuerza es perpendicular al desplazamiento de la bicicleta, por lo que no realiza trabajo sobre el sistema. Es decir, W = 0

Ejemplo 2 Como se muestra en la Figura 3.16, para arrastrar una carretilla una distancia horizontal de 3 m, una persona aplica una fuerza constante de 260 N, manteniendo un ángulo de 60° con respecto a la horizontal. a)

¿Cuál es el módulo de la componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento?

b)

¿Cuánto trabajo realiza la persona sobre la carretilla durante el movimiento?

a:

Una parte de la fuerza que la persona aplica sirve para levantar la carretilla. Otra parte de la fuerza se usa para empujarla en la misma dirección y sentido del desplazamiento.

Figura 3.14. Al empujar la bicicleta, el peatón realiza un trabajo sobre ella cuando el sistema “bicicleta” efectúa un desplazamiento. La fuerza de gravedad, en cambio, no realiza trabajo sobre el sistema.

Hasta ahora hemos considerado el trabajo efectuado por una única fuerza actuando sobre un sistema. Sin embargo, en general, un sistema puede moverse bajo la influencia de varias fuerzas, como las representadas en la Figura 3.15.

N FR

F �x

P

�x

Figura 3.15. Cuatro fuerzas actúan sobre el objeto, mientras se produce   el desplazamiento ∆x : El peso P ,    la normal N , la fuerza de roce FR y  otra fuerza externa F .

El trabajo total o neto realizado sobre el sistema, cuando el sistema efectúa un desplazamiento, es la suma algebraica del trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el sistema. En este caso: Wneto = WP + WN + WF + WF R



65

21/7/10 17:26:49

Mecánica

Podemos representar gráficamente el módulo de una fuerza que realiza trabajo sobre un objeto en función de la posición del objeto. Por ejemplo, consideremos la fuerza en la dirección del desplazamiento  del Ejemplo 2 ( Fx ):

F Fy

60º

�x

Fx ( N )

Fx

��

��

��

��

Figura 3.17. Representación gráfica del módulo de la fuerza que realiza trabajo sobre la carretilla en el Ejemplo 2.

En el caso anterior, la fuerza es constante y podemos observar que el trabajo W = Fx ⋅ ∆x es, simplemente, el área del rectángulo sombreado en la Figura 3.17. ¿Qué ocurre si la fuerza no es constante? Consideremos un objeto que se desplaza en la direccióndel eje x, bajo la acción de una fuerza Fx , orientada en la misma dirección. El módulo Fx de esta fuerza varía con la posición, como muestra la Figura 3.18 y el objeto se desplaza desde x = xi hasta x = x f .

�x  Figura 3.16. La niña de la imagen aplica sobre la carretilla una fuerza F , constante, que mantiene un ángulo θ = 60º con respecto a la horizontal.    Fy y Fx son las componentes rectangulares de F . De acuerdo al planteamiento del Ejemplo 2, ∆x = 3m . Solo la componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento realiza trabajo sobre la carretilla.

La componente de la fuerza que sirve para levantar la carretilla es perpendicular al desplazamiento y, por lo tanto, no realiza trabajo sobre el sistema. La componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento sí realiza trabajo. De acuerdo a la ecuación (3.8), esta componente tiene un módulo igual a: Fx = 260 N ⋅ cos 60 º Fx = 260 N ⋅ 0, 5

��

Fx = 130 N Donde usamos cos 60° = 0,5 b: ��

��

��

Figura 3.18. Representación gráfica de una fuerza variable.

Por lo tanto, el trabajo realizado sobre la carretilla por la  fuerza F que aplica la niña es: W = 130 N ⋅ 3m W = 390 J Ya que el módulo del desplazamiento es ∆x = 3m .


66



21/7/10 17:27:17


(Continuación)

Ejemplo 3

En el caso de la Figura 3.18 no podemos usar la ecuación (3.1), ya que la fuerza no es constante. Sin embargo, consideremos solo un pequeño desplazamiento del objeto ( ∆x * ), en el que la fuerza es aproximadamente constante ( Fx* ), de modo que podemos aproximar el trabajo realizado por la fuerza en este pequeño desplazamiento como:

Observemos la siguiente figura:   N  F

  Px   Py  P

  Fr θ

Figura 3.19. El personaje empuja la caja por un plano inclinado, apli cando sobre ella una fuerza F , paralela al plano inclinado. Al movi   miento de la caja se opone la fuerza de roce ( Fr ). El peso ( P ) tiene dirección vertical y su acción sobre la caja puede descomponerse en   una parte paralela al plano inclinado ( Px ) y otra parte perpendicular     ( Py ). La fuerza normal ( N ) es perpendicular al plano inclinado.

De acuerdo a la Figura 3.20a, observamos que esta cantidad es simplemente el área del rectángulo sombreado. Por lo tanto, si la curva descrita por Fx se subdivide en una serie de intervalos pequeños, entonces, el trabajo total realizado por la fuerza variable es aproximadamente igual a la suma de las áreas de todos los rectángulos. Si los intervalos se hacen muy pequeños, el trabajo de la fuerza variable es exactamente igual al área bajo la curva, como muestra la Figura 3.20b.

¿Cuánto trabajo realiza la persona sobre la caja al empujarla por la rampa?

b)

¿Cuánto trabajo realiza el roce sobre la caja al oponerse a su deslizamiento?

c)

¿Cuál es el trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la caja?

a:

La persona aplica una fuerza constante de 400 N que es paralela al desplazamiento y apunta en el mismo sentido. Por lo tanto, el trabajo realizado por la persona sobre la caja es: W persona = 400 N ⋅ 5m W persona = 2 000 J

(a)

Fx(N) Fx*

El plano inclinado de la figura mantiene un ángulo de 30° respecto al suelo. Para subir la caja de 30 kg arrastrándola por la rampa, la persona aplica una fuerza constante de 400 N, desplazando la caja 5 m desde la base hasta el extremo superior. El módulo de la fuerza de roce es de 200 N. a)

(3.11)

W * = Fx* ⋅ ∆x *

xi Fx(N)

ΔA = Fx* · Δx*

Δx* (b)

xf

x (m)

xf

x (m)

Trabajo

xi

Figura 3.20. (a) El trabajo realizado por una fuerza Fx* para un pequeño * desplazamiento ∆x es el área del rectángulo sombreado. El trabajo total realizado por la fuerza variable en el desplazamiento desde xi hasta x f es aproximadamente igual a la suma de las áreas de todos los rectángulos. (b) El trabajo realizado por la fuerza variable Fx es igual al área bajo la curva. (Continúa en la página 68)



67

21/7/10 17:27:54

Mecánica

(Continuación)

En el caso de un resorte, la fuerza variable que aplica depende de su compresión y se puede expresar a través de la Ley de Hooke:

b:

La fuerza de roce también realiza trabajo sobre la caja, pero en este caso el sentido de la fuerza es contrario al desplazamiento, por lo tanto: Wroce = −200 N ⋅ 5m

Fresorte = –k · x Donde k es la constante elástica del resorte, x corresponde a su compresión o elongación y el signo indica que la fuerza se opone a la deformación. Gráficamente, el módulo de esta fuerza tiene la siguiente forma: Fresorte (N) k·x

Wroce = −1000 J c:

Las fuerzas que actúan sobre la caja son: la fuerza de la persona que empuja, la fuerza de roce, la fuerza normal y el peso. El trabajo neto o total realizado sobre la caja es la suma algebraica del trabajo realizado por cada una estas fuerzas: WNeto = W persona + Wroce + Wnormal + W peso

x (m)

x

Por lo tanto, el trabajo realizado sobre un resorte al deformarlo una distancia x, es igual al área bajo la curva en el gráfico anterior, la cual corresponde a un triángulo de base x y altura k · x: W = 1 x⋅k⋅x 2 W = 1 k ⋅ x2 2

Ya hemos calculado los dos primeros términos de esta ecuación. Por otra parte, la fuerza normal es en todo momento perpendicular al movimiento de la caja, de modo que Wnormal = 0 Tenemos que calcular el trabajo del peso, es decir, el trabajo que la fuerza de gravedad realiza sobre la caja. De acuerdo a la Figura 3.19 el peso se puede separar en dos componentes.   La componente perpendicular al desplazamiento ( Py ) no realiza trabajo sobre la  caja. En cambio, la componente paralela  al desplazamiento ( Px ) sí realiza trabajo y esta componente apunta en el sentido opuesto al desplazamiento. m Usando razones trigonométricas, y usando g = 10 2 , encons tramos:

En el Ejemplo 3, el mismo resultado para el trabajo realizado por el peso obtendríamos con la ecuación (3.10). Al usar esta relación tenemos que identificar cual es el ángulo menor que forman los dos vectores involucrados, en este caso: el peso y el desplazamiento. Analizando las relaciones geométricas entre los vectores en la Figura 3.19, observamos que este ángulo es θ = 120º

W peso = P ⋅ ∆x ⋅ cos 120 º

(

)

W peso = 300 N ⋅ 5m ⋅ −0, 5

68

Px = 300 N ⋅ 0, 5 Px = 150 N Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre la caja es: W peso = −150 N ⋅ 5m W peso = −750 J

Por lo tanto:

W peso = 750J =−

Px = P ⋅ sen30 º

En suma, el trabajo neto realizado sobre la caja es: WNeto = 2 000J – 1 000 + 0 – 750J WNeto = 250J



21/7/10 17:28:16


Actividad de profundización ¿Cómo conocer el trabajo realizado por una fuerza variable? Reúnete con 3 ó 4 compañeros(as) y recolecten los siguientes materiales: 3 m de hilo de coser, una goma de borrar, una tasa de porotos, una regla, un vaso plástico (chico) y dos lápices o barras cilíndricas lisas.

hilo lápices

a la goma

a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿Cómo medir el trabajo realizado por una fuerza variable, al levantar un objeto? Como equipo, planteen una hipótesis para responder.

Lápices

A continuación, realicen el siguiente experimento: Armen el montaje del imagen 3.3, en el cual se muestra una goma de borrar balanceada con el vaso plástico a través de un hilo de coser que pasa por los lápices, como si éstos fueran poleas. Idealmente, los lápices deben estar fijos, pero de manera alternativa uno(a) de ustedes puede sostenerlos ambos. Otro miembro del equipo coloca porotos en el vaso, lentamente, es decir, uno a uno. Es muy importante que lleven la cuenta de la cantidad de porotos que depositan en el vaso.

hilo

al vaso

Cuando el vaso y la goma están en equilibrio a la misma altura, empiecen a anotar la cantidad de porotos que hay en el vaso, y registren la posición (altura) inicial de la goma. En este minuto, el montaje puede volverse vertiginoso. Mientras siguen poniendo porotos en el vaso, uno a la vez, y cuando la goma comience a subir, otro estudiante debe medir su posición (altura). Es decir, registra la altura de la goma apenas se deposita un nuevo poroto en el vaso. De esta manera, pueden construir una tabla de datos que contiene la cantidad de porotos y la altura correspondiente. Agreguen porotos y anoten la posición hasta que la goma alcance el tope. b) Cuando el sistema está en equilibrio, ¿cómo se relaciona la cantidad de porotos con el peso de la goma? c) Despreciando la masa del vaso plástico, y suponiendo que cada poroto tiene una masa de 0,5 g, aproximadamente, ¿cuál es la masa de la goma? ¿Cuál es el peso de la goma? d) Considerando la masa total de los porotos en el vaso, calculen su peso para cada medida de altitud y a continuación construyan un gráfico para el peso del vaso versus la posición de la goma.

vaso plástico goma de borrar

Imagen 3.3

e) A partir del gráfico, ¿cómo pueden calcular el trabajo realizado por el peso del vaso sobre la goma de borrar? Calculen el trabajo total realizado por el peso del vaso sobre la goma de borrar, expresado en joules. Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis que plantearon. Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a), y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos. Sección 3: Energía y movimiento


69

21/7/10 17:28:25

Mecánica


En una competencia escolar, un estudiante es seleccionado para empujar un auto de madera que lleva a uno de sus compañeros como piloto. Dos compañeros de distinta masa postulan a ocupar el puesto de piloto. La masa del más pequeño es de 50 kg, mientras que el más grande tiene una masa de 65 kg. a) ¿Qué cantidad de trabajo realiza el estudiante sobre el auto, al empujarlo con una fuerza horizontal de 20 N por una pista horizontal de 30 m, cuando el piloto es el compañero más pequeño?

b) En las mismas condiciones anteriores, ¿qué cantidad de trabajo realiza el estudiante sobre el auto, cuando el piloto es el compañero más grande? c) En el mismo trayecto, ¿realiza trabajo la fuerza de gravedad sobre el auto? ¿Por qué? PARTE II. Análisis 2

En la situación que se muestra en la figura, define un sistema físico e identifica en él dos fuerzas externas y una fuerza interna, representándolas mediante flechas.

Indagación N°9 ¿Qué relación existe entre trabajo y energía? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: El trabajo es una manera de transferir energía. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

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Recuerda que un modelo es una representación simplificada del fenómeno que se intenta explicar, que incorpora sus principales características y, en especial, las variables medibles.



21/7/10 17:28:31


Energía mecánica Para elevar un objeto hasta una cierta altura sobre un nivel de referencia, se debe realizar trabajo sobre el objeto. En consecuencia, el objeto también adquiere la capacidad para realizar trabajo. Por ejemplo, consideremos el siguiente experimento: elevamos una naranja hasta 2 m de altura y luego la dejamos caer sobre el émbolo extendido de una jeringa. Primero, la naranja adquiere velocidad mientras cae y, luego, empuja el émbolo al impactar con él, dejándolo comprimido. Podríamos reemplazar la jeringa por un huevo, y observaríamos cómo la naranja rompe el huevo con facilidad. En ambos casos, la naranja realiza trabajo, ya sea sobre el émbolo o sobre la cáscara del huevo, y su capacidad para realizar trabajo provino del trabajo realizado inicialmente al levantarla. Un balón de fútbol en reposo adquiere la capacidad para realizar trabajo después de que un jugador lo impulsa con fuerza. El balón adquiere velocidad y puede incluso llegar a empujar las manos de un arquero que trate de detenerlo. Se efectúa trabajo al dar cuerda a un reloj mecánico, y el mecanismo de cuerda adquiere la capacidad de realizar trabajo al mover los engranajes y las piezas del reloj.

Figura 3.21. ¿Qué ocurrirá cuando la naranja impacte con el huevo al finalizar su caída?

Cuando calentamos el agua de una tetera, podemos usar el vapor para hacer girar las aspas de un molino de papel. ¿De dónde provino esta capacidad del vapor para realizar trabajo sobre el molino? A la capacidad de un sistema para realizar trabajo la denominamos energía. Al igual que el trabajo, la energía se mide en joule [J] y se manifiesta de muchas formas. Aquí estudiaremos una forma de energía relacionada con la posición y el movimiento de los objetos, la energía mecánica. Veremos que la energía mecánica puede estar en forma de energía potencial o de energía cinética, o de ambas.

Energía cinética Los cuerpos en movimiento tienen energía por el solo hecho de estar en movimiento. Para comprobarlo, basta que imaginemos que somos el blanco de un pequeño proyectil lanzado hacia nosotros con cierta velocidad; por ejemplo, una pelota de tenis.

Figura 3.22. El remolino de papel se pone en movimiento con el vapor de una tetera, ¿de dónde proviene la capacidad del vapor para realizar trabajo?



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21/7/10 17:29:58

Mecánica

El trabajo y la energía cinética se relacionan mediante el teorema del trabajo y la energía cinética. Veamos cómo podemos obtener este resultado:

vi � 0

�x

m

v

F t � tf

t�0

Cuando mayor es la rapidez del proyectil mayor es el efecto de su impacto. Y también los efectos son mayores cuando la masa del proyectil es mayor. Así, una bala de revólver, por ejemplo, tiene pequeña masa, pero tan grande rapidez que su impacto puede tener efectos notables. O un camión de gran masa apenas en movimiento, puede también provocar efectos cuantiosos al impactar un automóvil más pequeño. Los ejemplos anteriores sirven para comprender que la energía de un objeto en movimiento depende de su rapidez y de su masa. A esta forma de energía la denominamos energía cinética de traslación (EC). La energía cinética de traslación se expresa formalmente como:

�x

Figura 3.23. Un objeto de masa m es desplazado una distancia ∆x , bajo la acción de una fuerza neta constante  F . El objeto parte del reposo en t = 0 y alcanza una rapidez v en t = tf .

De acuerdo a la Figura 3.23, las ecuaciones cinemáticas de la masa m, que dan su posición y su rapidez en función del tiempo, se pueden expresar como: 1 2 at 2 v (t ) = at

x (t ) =

(3.13)

1 2 at 2 f v = at f

1 m ⋅ v2 2

(3.12)

Vemos que EC es directamente proporcional al cuadrado de la rapidez. También debe advertirse que siempre es una cantidad positiva. El resultado de las ecuaciones (3.15) indica que la energía cinética corresponde al trabajo que realiza una fuerza constante, sobre un objeto de masa m, inicialmente en reposo, para que alcance una rapidez v. Ejemplo 4

En particular, cuando t = tf estas relaciones indican que: ∆x =

EC =

Un automóvil de 800 kg acelera de manera constante, cambiando su rapidez de 54 km/h a 90 km/h en 10 s.

(3.14)

a)

¿Cuál es su energía cinética cuando viaja a 54 km/h y cuando viaja a 90 km/h?

Además, de acuerdo a la 2a ley de Newton, F = ma. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza neta es:

b)

¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre el vehículo, cambiando su rapidez?

a:

Primero, expresamos la rapidez del automóvil en metros por segundo.

Wneto = F ⋅ ∆x 1 Wneto = ma ⋅ at 2f 2 2 1 Wneto = m at f 2 1 Wneto = mv 2 2

( )

(3.15)

1 000 m m km = 54 = 15 h 3 600 s s km 1 000 m m 90 = 90 = 25 h 3 600 s s

54


72



21/7/10 17:30:22


Por lo tanto, su energía cinética inicial es: EC

 m 1 = 800 kg ⋅  15  2  s

EC

= 90 000J

inicial

inicial

2

La energía cinética del vehículo luego de aumentar su rapidez es: 2  m 1 EC = 800 kg ⋅  25  final 2  s EC

final

= 250 000 J

Este resultado es notable porque indica que un cambio pequeño en la rapidez del vehículo implica un aumento significativo de su energía cinética.

(Continuación)

El teorema del trabajo y la energía cinética indica lo siguiente: Cuando se realiza trabajo sobre un sistema y el único cambio que se produce es en su rapidez, el trabajo realizado por la fuerza neta es igual al cambio de la energía cinética del sistema. Este resultado está expresado en las ecuaciones (3.15) para el caso particular en el que la energía cinética inicial es cero. Sin embargo, el teorema es general y se puede expresar como:

Wneto = ∆EC Wneto = EC

final

− EC

(3.16) inicial

¿Cómo crees que se relaciona esta diferencia de energía cinética con las consecuencias de un posible accidente en que el automóvil se viera involucrado? b:

De acuerdo a las ecuaciones (3.16), el trabajo neto corresponde al cambio de energía cinética experimentado por el vehículo. En este caso: Wneto = 250 000 J − 90 000 J Wneto = 160 000 J

Ejemplo 5 Un camión de 24 000 kg y un automóvil de 800 kg se mueven en la carretera uno delante del otro a la misma rapidez. a)

¿Cuántas veces mayor es la energía cinética del camión que la del automóvil? ¿A qué se debe esta diferencia?

a:

Considerando que la rapidez (v) es la misma, la energía cinética de cada vehículo es: EC

camión

EC

automóvil

1 24 000 kg ⋅ v 2 2 1 = 800 kg ⋅ v 2 2 =

Figura 3.24. Durante el ejercicio en una bicicleta estática, la mujer aplica una fuerza sobre los pedales y estos se desplazan; por lo tanto, podemos decir que ella realiza trabajo sobre la bicicleta. Sin embargo, aunque se produce el giro de la rueda, la bicicleta no se desplaza. Entonces, ¿a dónde va el trabajo realizado sobre la bicicleta?

En el caso de la Figura 3.24, el trabajo realizado por la deportista se traduce en el giro de la rueda, y este movimiento implica la existencia de energía cinética, porque hay una masa en movimiento. En este caso decimos que se trata de energía cinética de rotación. Sección 3: Energía y movimiento


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21/7/10 17:30:43

Mecánica

Por lo tanto,

EC

camión

��

EC

ri

EC

vi

camión

mi

��

��

Figura 3.25. Representación de un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto (O). Cada pequeña porción del cuerpo tiene masa mi, y se mueve con rapidez tangencial vi a una distancia ri de O.

De acuerdo a la Figura 3.25, podemos modelar el movimiento de la rueda de la bicicleta estática de la figura 3.24 como un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje. Según la ecuación (3.12), la energía cinética de cada porción del cuerpo rígido se puede expresar como: 1 (3.17) m v2 2 i i De modo que la energía cinética total del cuerpo rígido en rotación (ER) es la suma de las energías cinéticas de todas las porciones individuales: EC = i

n 1  E R = ∑  mi ⋅ vi 2   i =1  2

ER =

 1 n ∑ m ⋅ r 2 ⋅ ω 2  (3.18) 2  i=1 i i

ER =

 1 n mi ⋅ ri 2  ω 2 ∑  2  i=1 

En estas ecuaciones, hemos usado la ecuación 1.9. La rapidez angular (ω) es la misma para todas las partes del cuerpo rígido. Además, identificamos el momento de inercia, que definimos en la sección 2. Por lo tanto, la energía cinética de rotación es: ER =

1 I ⋅ω 2 2

(3.19)

= 30

automóvil

= 30 ⋅ EC

automóvil

Es decir, la energía cinética del camión equivale a 30 veces la energía cinética del automóvil. Como la rapidez es la misma para ambos vehículos, la diferencia se explica únicamente por su diferencia de masa.

Energía potencial Pensemos nuevamente en el ejemplo de la naranja que elevamos hasta 2 m de altura y dejamos caer justo sobre un huevo, para romperlo. De acuerdo a la definición de trabajo, realizamos un trabajo para levantar la naranja hasta su posición en altura. Supongamos que la mantenemos quieta varios segundos antes de soltarla. Cuando la soltamos, la naranja adquiere velocidad al caer y, por lo tanto, tiene energía cinética. Después, realiza trabajo al romper el cascarón. Si la naranja adquirió la capacidad para realizar trabajo debido al trabajo que hacemos al elevarla, ¿dónde estaba esa capacidad mientras la mantuvimos quieta en altura? ¿De dónde salió la energía cinética de su movimiento de caída? Ambas preguntas tienen la misma respuesta: la capacidad para realizar trabajo que adquiere la naranja estaba “almacenada” en su posición respecto a la Tierra. En ese estado, la naranja tiene el “potencial” de efectuar trabajo, y por ello le asociamos una forma de energía conocida como energía potencial. Un resorte estirado o comprimido tiene el potencial de efectuar trabajo, al igual que el elástico estirado de una honda, por lo tanto, ambos tienen energía potencial. La energía química de los combustibles también es energía potencial, debida a las posiciones relativas de los átomos en sus moléculas. Este es el caso de la energía de los alimentos, por ejemplo. Existen varios tipos de energía potencial, entre otros, tenemos: a) Energía potencial gravitatoria: debida a la posición de un objeto masivo respecto a otro. Este es el caso de la naranja de nuestro ejemplo respecto a la Tierra. b) Energía potencial elástica: debida a la deformación de un cuerpo elástico respecto a su posición de equilibrio.

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21/7/10 17:30:59


c) Energía potencial eléctrostática: debida a la interacción eléctrica entre objetos cargados eléctricamente. A continuación estudiaremos la primera.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA Ya sabemos que se requiere trabajo para elevar un objeto contra la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra. Esta es la razón por la que el objeto adquiere la capacidad para realizar trabajo a causa de su posición elevada. En estas condiciones, se dice que el objeto adquiere energía potencial gravitatoria. La energía potencial gravitatoria, por supuesto, no solo la adquieren los objetos bajo la atracción de la gravedad terrestre, sino que también se trata de una condición general que experimenta un objeto bajo la interacción gravitatoria de cualquier otro objeto. En general, la energía potencial gravitatoria asociada a un objeto elevado es igual al trabajo efectuado para elevarlo contra la fuerza de gravedad, hasta una altura h respecto a su posición inicial: W = F ⋅ ∆y W = m⋅ g ⋅ h

(3.20)

En la ecuación (3.20) hemos considerado F = mg, ya que elevamos el objeto con una fuerza igual y opuesta a su peso para que el movimiento se realice con velocidad y energía cinética constantes. Y también ∆y = h , ya que el desplazamiento se produce en la dirección vertical y tiene un módulo igual a la altura.

Todo cuerpo que tiene masa genera a su alrededor un campo gravitacional que afecta a otros cuerpos. De la manera más general, se puede decir que es la posición de un objeto dentro de un campo gravitacional el que determina su energía potencial gravitatoria asociada. El módulo de la fuerza de gravedad con la que se atraen dos objetos se expresa mediante la Ley de Gravitación Universal de la siguiente manera: F =G

m1 ⋅ m2

(3.21)

r2 En esta ecuación, m1 y m2 son las masas de los objetos y r es la distancia entre ellos. G es la constante de gravitación universal cuyo valor es: G = 6, 67 ⋅ 10−11

Nm2 kg 2

(3.22)

Esta relación implica que la fuerza de gravedad depende de la distancia entre los objetos que interactúan, de modo que su intensidad disminuye cuando la distancia se incrementa. De acuerdo a esto, la ecuación 3.20 es válida sólo en las cercanías de la superficie terrestre, donde la intensidad del campo gravitacional mantiene un valor aproximadamente constante. Una expresión más general de la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m1 en el campo gravitacional de un objeto de masa m2 se obtiene usando la fuerza dada por la ecuación (3.21): EP = −G

m1 ⋅ m2 r

(3.23)

Considerando como nivel de referencia EP = 0 cuando las masas están muy alejadas entre sí.

Δy Δy = h

Figura 3.26. La persona eleva un objeto hasta una altura h, aplicando una  fuerza F . Si el movimiento es rectilíneo y uniforme, entonces F = mg. Sección 3: Energía y movimiento


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21/7/10 17:31:22

Mecánica

Si establecemos la posición inicial del objeto como el nivel de referencia de la energía potencial (EP = 0), entonces la ecuación (3.20) define la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m a una altura h:

(a)

EP = m ⋅ g ⋅ h Analicemos esta definición a través del siguiente ejemplo.

xf = x

xi = 0

(3.24)

Ejemplo 6

(b)

Consideremos un libro de 0,5 kg apoyado en la superficie de una mesa y supongamos que una persona toma el libro y lo levanta con rapidez constante, como muestra la siguiente figura.

Δx

0,5 m

Figura 3.28. Una masa se encuentra unida a un resorte. (a) En un primer momento, la masa está en reposo y el resorte se encuentra en equilibrio, es decir, no está ni estirado ni comprimido. (b) Debido a la acción de un agente externo que ha realizado trabajo sobre el sistema, la masa se ha desplazado una distancia ∆x y el resorte se ha comprimido en la misma cantidad.

La Figura 3.28 muestra un sistema masa-resorte, sobre el cual actúa un agente externo para mover la masa y comprimir el resorte. Si es necesario realizar trabajo para que el sistema pase del estado (a) al estado (b), ¿a dónde va este trabajo cuando la masa se encuentra en su nueva posición? De manera análoga al caso gravitacional, el sistema adquiere energía potencial debido a un cambio de posición. Así, el trabajo realizado por la fuerza variable al comprimir el resorte (ver página 68) se convierte en energía potencial elástica (EE), que está almacenada en el resorte deformado. La energía potencial elástica se expresa como: EE =

1 k ⋅ ∆x 2

( )

2

(3.25)


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1,3 m

0,8 m

Figura 3.27. En la imagen se muestra la siguiente secuencia: en primera instancia el libro está en reposo sobre la superficie de la mesa, a continuación, una persona toma el libro y lo levanta.

a)

¿Cuál es la energía potencial gravitatoria asociada al libro cuando está apoyado sobre la mesa?

b)

¿Cuál es la energía potencial gravitatoria asociada al libro cuando es sostenido por la persona a 50 cm de altura sobre la mesa?

c)

¿Qué trabajo realiza la persona al elevar el libro 50 cm sobre la superficie de la mesa?

a:

El primer paso para responder la pregunta es definir el nivel de referencia de la energía potencial, para el cual EP = 0. Las posibilidades son infinitas, pero la situación sugiere dos alternativas adecuadas.



21/7/10 17:31:42


Una opción es considerar como referencia el nivel del suelo. Esto quiere decir que si el libro estuviera en el suelo su energía potencial gravitatoria sería EP = 0. Respecto de este nivel, el libro está a una altura h = 0,8 m de modo que la ecuación (3.24) da: E P = 0, 5kg ⋅ 10 EP = 4 J

m ⋅ 0, 8m s2

Esta es la energía potencial gravitatoria del libro respecto al suelo. La otra opción es considerar como referencia el nivel de la misma superficie de la mesa. Desde este punto de vista, la altura del libro respecto al nivel de referencia es h = 0 y, por lo tanto, la energía potencial gravitatoria del libro en relación con la mesa es EP = 0. Pero, ¿cuál es LA energía potencial gravitatoria del libro? El análisis anterior indica que no hay UNA energía potencial gravitatoria. Es decir, siempre podemos determinar la EP en relación con cualquier nivel de referencia que establezcamos. b:

(Continuación)

La ecuación (3.25) define la energía potencial elástica de un resorte que se ha deformado una distancia ∆x desde su posición de equilibrio. Por supuesto, esta deformación puede consistir tanto en una compresión, como en una elongación respecto al largo natural del resorte. La constante k, en la ecuación (3.25), tiene un valor positivo y se denomina constante del resorte o constante elástica, y es un indicador de su rigidez.

m x=0

(b)

E P = 6, 5 J

m ⋅ 1, 3m s2

EE = 0 m x=0

Al igual que en la respuesta anterior, de acuerdo a la ecuación (3.24), con h = 1,3 m tenemos: E P = 0, 5kg ⋅ 10

EE = 0

(a)

(c)

EE = 1 k · (∆x)2 2 m Δx

Esta es la energía potencial gravitatoria del libro en relación con el suelo. Pero también podemos decir, con h = 0,5 m: m E P = 0, 5kg ⋅ 10 2 ⋅ 0, 5m s E P = 2, 5 J Esta es la energía potencial gravitatoria del libro en relación con la superficie de la mesa.

EE = 0 (d)

m x=0

Figura 3.29. Compresión de un resorte con una masa en su extremo. En su posición de equilibrio, el resorte no tiene energía potencial elástica, pero la adquiere cuando se realiza trabajo sobre él para comprimirlo. Luego el resorte libera la EE, volviendo a su largo natural. ¿En qué se convierte la energía potencial del resorte cuando restituye su longitud natural? Sección 3: Energía y movimiento


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21/7/10 17:32:07

Mecánica

c:

Recordando el concepto de potencia mecánica, si en la parte c) del ejemplo 6 suponemos que la persona empleó 2,5 s en elevar el libro, podemos calcular la potencia desarrollada por ella: P= Es decir,

W ∆t

(3.26)

2, 5 J P= =1W 2, 5s Por lo tanto, la persona desarrolla una potencia de 1 watt.

Para elevar el libro con rapidez constante, la persona debe ejercer sobre él una fuerza de igual módulo que el peso del libro. Por otra parte, el módulo del desplazamiento es ∆y = 0, 5m . De acuerdo a la ecuación (3.20), encontramos que: m W = 0, 5kg ⋅ 10 2 ⋅ 0, 5m s W = 2, 5 J

Este resultado confirma la correspondencia entre el trabajo realizado para elevar el libro desde la superficie de la mesa y su energía potencial gravitatoria cuando es levantado. Si la energía potencial gravitatoria del libro proviene del trabajo efectuado sobre él para levantarlo contra la fuerza de gravedad, ¿cómo el libro pudo obtener 6,5 J de energía potencial respecto al suelo si la persona solo realizó sobre él 2,5 J de trabajo?

Energía mecánica total A continuación, estudiaremos el comportamiento de la energía en distintos sistemas mecánicos. En general, veremos que podemos comprender mejor los procesos y cambios que ocurren a nuestro alrededor en términos de transformaciones y transferencias de energía. En particular, veremos que esto sucede en todos los movimientos cotidianos. Por ejemplo, analicemos desde un punto de vista mecánico, los cambios de energía que experimenta el clavadista de la Figura 3.30 al saltar desde el trampolín. Para empezar, el deportista realiza trabajo para subir hasta el trampolín y producto de este trabajo adquiere energía potencial gravitatoria (EP) con respecto al nivel del suelo. Cuando el clavadista salta, pierde energía potencial gravitatoria, ya que su altura disminuye, pero simultáneamente aumenta su rapidez y, por lo tanto, gana energía cinética (EC). Figura 3.30. El clavadista adquiere energía potencial gravitatoria al realizar trabajo para subir hasta el trampolín. Durante la caída, su energía potencial se transforma en energía cinética

Considerado en detalle, el ejemplo anterior podría incorporar otros tipos de energía mecánica, como la energía potencial elástica (EE) del tablón, que se dobla para empujar al nadador, y la energía cinética de rotación del propio nadador al caer. Todos estos componentes constituyen lo que llamamos energía mecánica total (E), y captará nuestra atención a continuación: E = EC + E R + E P + E E

78

(3.27)



21/7/10 17:34:49


Contexto histórico de la física De las fuerzas vivas a la energía El origen del concepto de trabajo mecánico como equivalente al producto de la fuerza por el desplazamiento se remonta a la Antigüedad. Aparece de modo implícito en los estudios relativos a las palancas llevados a cabo por Arquímedes (287 a. C. – 212 a. C.). El concepto de energía hace su aparición de forma clara e inequívoca a finales del siglo XVIII y principios del XIX cuando, como consecuencia del desarrollo de la termodinámica, toma cuerpo el principio de conservación de la energía en su acepción más amplia. Sin embargo, desde los tiempos de Galileo (1564 – 1642), y sobre todo desde Christiaan Huygens (1629 – 1695) y Gottfried Leibniz (1646-1716), se hacía uso del confuso concepto de vis viva (“fuerza viva”), hoy conocido como energía cinética.

Galileo Galilei

Galileo, en su obra Dos nuevas ciencias, describe lo que ocurre cuando sobre una estaca ligeramente clavada en el suelo se deja caer una piedra. La estaca se clava más en el suelo si se lanza la piedra desde una mayor altura. Por tanto, una combinación de peso (fuerza) y altura (desplazamiento) es la responsable de que la estaca se clave más, o menos. Este es justamente el concepto de trabajo que usamos actualmente. Los estudios de Huygens sobre colisiones elásticas entre bolas duras, como las del pool, le llevaron a la consideración de que, además de conservarse el momento lineal (p = m · v), se conservaba la cantidad m · v2. Leibniz demostró que esta nueva cantidad aparecía también al resolver el problema de la estaca de Galileo, por lo que supuso que debía tener una gran trascendencia en la explicación de los movimientos. La cantidad m · v2 fue denominada vis viva (fuerza viva), y se consideró que todos los cuerpos en movimiento estaban dotados de una vis viva que era capaz de hacer que una estaca se clavara en el suelo o de poner en movimiento cuerpos que estaban en reposo. Leibniz consideró que era la vis viva la magnitud que definía el estado de movimiento de los cuerpos y no el momento lineal que defendía René Descartes (1596 – 1650).

Christiaan Huygens

Thomas Young

En 1743, fue Jean le Rond dʼAlembert (1717 – 1783) quien propuso que ninguna de las dos cantidades se designara con el nombre de fuerza (vis), para evitar confusiones, y que se limitara el ámbito de aplicación de cada una. Sugirió el nombre de momentum para la magnitud de Descartes (p = m · v). Por fin, a principios del siglo XIX, Thomas Young (1773-1829) definió la cantidad mv2 como “energía”. Poco tiempo después, William Thomsom (1824 – 1907), conocido como Lord Kelvin, le pondría el apellido con la que la conocemos hoy: energía cinética.

William Thomson Sección 3: Energía y movimiento


79

21/7/10 17:34:56

Mecánica

Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Elástica B Trabajo C Rotacional D Fuerza E Gravitatoria F Traslacional

I II III IV

Frases Conectoras (FC) Es el producto entre Depende del Es una parte del Es la suma de

Energía mecánica

Es la capacidad para realizar

9

Por un Energía cinética

3

Sistema Sobre un

Energía potencial

10

7

Puede ser

Puede ser 6

Desplazamiento 2

Universo 8

Ángulo entre ellos

1

5

4


80



21/7/10 17:35:02



Históricamente, ¿cómo se relaciona la idea de las “fuerzas vivas” con nuestro actual concepto de energía mecánica?

2

¿Cuándo realiza más trabajo una pesista profesional: al levantar desde el suelo una pesa de 70 kg o al mantener en altura una pesa de 100 kg?

3

En tus palabras, ¿qué diferencia a un sistema de un agente?

4

¿Realiza trabajo una fueza variable que es paralela al desplazamiento?

5

¿Realiza trabajo el peso de una naranja que cae sobre la superficie terrestre?

6

¿Cómo se relaciona la energía cinética de un automóvil y las posibles consecuencias de un accidente en el que participara?

7

¿Tiene energía mecánica un trompo que gira parado en un mismo punto? Explica.

8

¿Tiene energía mecánica un resorte estirado? ¿Por qué?

9

Para empujar su bicicleta, a través de una calle de 15 m de ancho, un peatón aplica una fuerza constante de 20 N, en dirección paralela al piso. (a) ¿Cuál es el trabajo mecánico aplicado a la bicicleta por el peatón al cruzar la calle? (b) ¿Cuál es el trabajo mecánico realizado por la fuerza normal que actúa sobre la bicicleta?

10

¿Cuál es la energía mecánica, respecto al suelo, de un vaso de 300 g apoyado sobre una mesa a 70 cm del piso?

11

(a) ¿Cuál es la energía mecánica de un gorrión de 0,03 kg en el instante en que su rapidez es de 4 m/s y se encuentra a 15 m sobre el suelo? (b) ¿Depende la energía cinética del gorrión de la dirección y el sentido de su velocidad?

12

De acuerdo a la Figura 3.31, un hombre aplica una fuerza sobre un carro de supermercado, con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, para arrastrarlo 5 m en línea recta. Si la fuerza aplicada por el hombre es de 300N, (a) ¿cuál es el módulo de la componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el hombre sobre el carro?

Figura 3.31 13

Observa la Figura 3.32. El plano inclinado de la figura mantiene un ángulo de 20° respecto al suelo. Para subir la caja de 50 kg, arrastrándola por la rampa, la persona aplica una fuerza constante de 500 N, desplazando la caja 4 m desde la base hasta el extremo superior. El módulo de la fuerza de roce es de 300 N. (a) ¿Cuál es el trabajo que realiza la persona sobre la caja al empujarla por la rampa? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de roce en el ascenso? (c) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso de la caja en el ascenso?

20°

Figura 3.32 Sección 3: Energía y movimiento


81

21/7/10 17:40:46

Mecánica

14

15

16

Un vehículo de 1 500 kg acelera de manera constante, cambiando su rapidez de 20 km/h a 120 km/h en 10 s. (a) ¿Cuál es la energía cinética cuando comienza y cuando termina el intervalo de aceleración? (b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza neta que actúa sobre el vehículo? Un camión de 30 000 kg y un automóvil de 1 000 kg se mueven en la carretera uno en sentido opuesto hacia el otro, pero con la misma rapidez v. (a) ¿Cuál es la energía cinética de cada vehículo? (b) ¿Por qué son distintas si van a la misma rapidez?

de roce. (a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza? (b) ¿Qué potencia desarrolla la fuerza? 18

Una piedra de 2 kg es arrojada verticalmente hacia arriba y alcanza una altura de 20 m. Sin considerar la influencia del roce con el aire: (a) ¿cuál es el trabajo realizado por el peso en la subida? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso en la bajada?

19

Como muestra la figura 3.34, para detener un carro de supermercado que se escapó hacia abajo por una pendiente, se aplica una fuerza opuesta al movimiento del carro que forma un ángulo de 30° respecto al suelo y tiene una magnitud de 50 N. Si se desplaza 2 m antes de detenerse: (a) ¿Cuál es el trabajo aplicado por la fuerza? (b) ¿Qué interpretación física asignarías al signo del resultado? v

Considera un libro de 1 kg apoyado en la superficie de una mesa. Supón que una persona toma el libro y lo levanta con rapidez constante, como muestra la Figura 3.33, suponiendo que la energía potencial gravitatoria es cero a nivel del piso. (a) ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria asociada al libro cuando está apoyado sobre la mesa? (b) ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria asociada al libro cuando es sostenido por la persona a 60 cm de altura sobre la mesa? (c) ¿Cuál es el trabajo por la persona al elevar el libro con rapidez constante, 60 cm sobre la superficie de la mesa?

F 30º a

Figura 3.34

0,6 m

20 1,4 m

0,8 m

21

Figura 3.33 17

82

Una fuerza de 80 N se aplica a un objeto con un ángulo de 30°, respecto de la horizontal. El objeto se desplaza 200 m en 3 minutos y no existe fuerza

Un atleta de 70 kg realiza un salto alto de 2,45 m para pasar exitosamente la vara sin tocarla. Sin considerar el roce con el aire ni alguna posible rotación: (a) ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria respecto al suelo alcanzada por el atleta al pasar la vara? (b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el peso del atleta cuando sube? Una pelota saltarina de 50 g se suelta desde 1,5 m de altura y después del primer bote alcanza una altura de 1 m. Considerando el nivel de referencia de la energía potencial gravitatoria a nivel del suelo: (a) ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria inicial? (b) ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria a 1 m de altura? (c) ¿Cuál es la variación de la energía de la pelota?



21/7/10 17:40:53


Evaluación final de la sección PARTE I: Relaciona las magnitudes con su respectiva unidad de medida. Magnitud

Unidad 2 1 k ∆x 2

( )

1

Trabajo.

2

Energía potencial gravitatoria.

F ⋅ ∆x

3

Energía mecánica.

m⋅ g ⋅ h

4

Energía potencial elástica.

 1  m ⋅  g ⋅ h + v2  2  


La energía mecánica es una cantidad vectorial. Cuando se lanza una piedra hacia arriba el trabajo de la fuerza de gravedad es negativo. El trabajo neto produce en el objeto un cambio en su energía potencial gravitatoria. La energía potencial elástica se relaciona con la masa y la velocidad de un objeto. La energía cinética se relaciona con la altura, medida desde la superficie de la Tierra.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1 3 El trabajo es un concepto de tipo escalar. ¿En Si en un objeto o sistema mecánico solo ocurre qué unidad se mide en el Sistema Internacional un cambio en su energía cinética, de modo que de Unidades? la energía cinética final es de 200 J y la energía a) Joule. cinética inicial es de 100 J, ¿qué cantidad de b) Erg. trabajo se realizó sobre el sistema? c) Newton. a) 300 J d) Watt. b) 100 J c) -100 J 2 ¿En cuál de los siguientes desplazamientos d) -300 J el trabajo realizado por la fuerza de gravedad 4 sobre el móvil es mayor? ¿Para cuál de los siguientes ángulos entre a) Un camión de 20 toneladas recorre 100 m fuerza y desplazamiento, el trabajo realizado por una calle horizontal. es nulo? b) Un atleta sube un cerro por una calle con a) 0° pendiente y alcanza una altura de 40 m. b) 130° c) Una persona sube verticalmente, en ascensor, c) 180° hasta el piso 20 de un edificio y alcanza una d) 270° altura de 40 m. d) Una mazana de 0,1 kg cae desde la rama del árbol a 2 m de altura. Sección 3: Energía y movimiento


83

21/7/10 17:41:06

Mecánica

Indagación N°10 ¿Ganancia o pérdida? PARTE I: Trabajo personal Cuenta la leyenda científica que Newton observó la caída de una manzana y la relacionó con el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. Es muy probable que la leyenda sea falsa, pero revela de manera notable la magnitud de su logro: relacionar la caída de un objeto con el movimiento de cualquier astro en el Universo.

Imagen 4.1

Imagina, por un momento, la caída de la manzana sobre la cabeza de Newton. Él piensa: ¿Y este objeto, de dónde sacó energía para golpearme la cabeza y provocarme un chichón? a) ¿Qué piensas tú sobre la pregunta de Newton? ¿De qué depende la energía mecánica de la manzana antes de caer? ¿Y justo en el momento en que golpea a Newton? b) Desde que estaba colgada en el árbol hasta que dio en la cabeza de Newton, ¿la manzana ganó o perdió energía mecánica? ¿O acaso se mantuvo constante? PARTE II: Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la pregunta b de la parte I. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental, y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

84




21/7/10 17:41:16


Indagación Nº11 ¿Rebota la energía? PARTE I. Trabajo personal Imagina que tienes una pelota “saltarina” y la dejas caer desde una cierta altura. ¿Crees que después del primer rebote llegue a la misma altura? ¿Qué sucede con la energía mecánica del sistema cada vez que rebota? Responde las preguntas anteriores y plantea una hipótesis para la segunda. PARTE II. Diálogo con argumentos Reúnete con 2 compañeros(as), expongan sus hipótesis obtenidas en la parte I y argumenten con tolerancia a favor o en contra de ellas. Formulen una hipótesis en consenso. Para poner a prueba su hipótesis, necesitarán los siguientes materiales: una pelota de tenis, una pelota “saltarina” y un reloj. PARTE III. Trabajo en equipo Uno de los estudiantes debe dejar caer la pelota de tenis desde una altura de 2 metros (el alto de las puertas de las salas de clase). Otro estudiante cuenta los segundos con el reloj, mientras otro cuenta el número de rebotes hasta que se detenga completamente. Elaboren una tabla de datos que contenga una columna con el tiempo, y otra con el número de rebotes. Repitan el experimento 5 veces y calculen un promedio de cada dato. ¿Coinciden los 5 datos? Repitan el experimento con la pelota “saltarina”. Para finalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Cómo se compara el número de rebotes para ambas pelotas? Si hay diferencias, ¿por qué crees que existen? b) ¿Cómo se compara el tiempo total de rebote (desde que se deja caer hasta que se detiene completamente)? Si hay diferencias, ¿por qué crees que existen? c) ¿Se conserva la energía del sistema pelota-Tierra? ¿Cómo influye la composición interna en el cambio de energía de cada pelota? d) Comparen sus respuestas anteriores con sus hipótesis iniciales y escriban sus conclusiones.

85


21/7/10 17:41:21

Mecánica ci S ec ó n

4

(a)

Conservación de la energía mecánica

Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas Para empezar, consideremos los lanzamientos representados en la Figura 4.1, donde despreciamos el roce con el aire. En ambas situaciones, la pelota parte desde la misma altura inicial (h), de manera que luego cae hasta el suelo. En el caso (a), la pelota experimenta una caída libre, es decir, se deja caer desde el reposo, siguiendo una trayectoria rectilínea en su movimiento. En el caso (b), la trayectoria es parabólica debido a que la pelota se lanza diagonalmente con cierta velocidad inicial.

h

hmax

(b)

Evaluemos el trabajo de la fuerza de gravedad sobre la pelota, durante su caída en la situación de la Figura 4.1a. De acuerdo a la ecuación (3.1), tenemos: W(a) = P · h

h

(4.1)

Donde P es el peso de la pelota. Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido W(a) > 0. ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de gravedad sobre la pelota, durante su caída en la situación de la Figura 4.1b?

Figura 4.1. Dos trayectorias distintas para la caída de una pelota. (a) Caída libre desde el reposo, con trayectoria rectilínea. (b) La pelota es lanzada diagonalmente con cierta velocidad inicial y realiza una trayectoria parabólica. El trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre la pelota es el mismo en ambos casos.

Inicialmente, la pelota sube desde h hasta hmax, por la velocidad inicial del lanzamiento. En este tramo, la fuerza de gravedad realiza un trabajo Wh – hmax < 0, ya que el peso y el desplazamiento vertical tienen sentidos opuestos (el peso no realiza trabajo en la dirección horizontal del desplazamiento). La situación inversa ocurre en la caída desde hmax hasta h, donde la fuerza de gravedad realiza un trabajo Whmax – h > 0 Desde la altura h hasta el suelo, el trabajo de la fuerza de gravedad es el mismo que en el caso (a), es decir: W(h – 0) = P · h

(4.2)

Y por lo tanto, el trabajo total de la fuerza de gravedad sobre la pelota en el caso (b) es: W( b ) = Wh− h

max

W( b ) = P ⋅ h

86

+ Wh

max − h

+ Wh−0

(4.3)



21/7/10 17:41:33


En la ecuación (4.3) usamos la relación: Wh− h

max

(

= − Wh

max − h

)

(4.4)

Ya que los movimientos de subida y bajada son simétricos entre h y hmax. El resultado de la ecuación (4.3) indica que: W( a ) = W( b )

(4.5)

Es decir, en ausencia de roce, el trabajo de la fuerza de gravedad sobre la pelota en su desplazamiento desde una altura inicial hasta una altura final es independiente de la trayectoria de la pelota. Podemos generalizar este resultado diciendo que la fuerza de gravedad es una fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza sobre un sistema en su desplazamiento entre dos posiciones cualesquiera no depende de la trayectoria del sistema. Otras fuerzas existentes en la naturaleza también poseen esta propiedad, es el caso del trabajo efectuado por una fuerza elástica, como la de un resorte o del trabajo efectuado por la fuerza eléctrica. En resumen, las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria se denominan fuerzas conservativas. En cambio, las fuerzas cuyo trabajo depende de la trayectoria se denominan fuerzas disipativas, o bien, fuerzas no conservativas. Un ejemplo típico de fuerza disipativa es la fuerza de roce. Así, en general, si se hace desplazar un cuerpo sobre una superficie, llevándolo de un punto A a otro punto B, el trabajo efectuado por el roce tiene valores diferentes de acuerdo a la trayectoria del cuerpo. Cada vez que empujamos un objeto y éste se desliza hasta detenerse por causa del roce, estamos viendo el resultado de una fuerza disipativa. Por ejemplo, si damos un empujón con el dedo a una moneda sobre la superficie de la mesa, la moneda adquiere energía cinética inicialmente, pero en su estado final no hay movimiento alguno. ¿A dónde fue la energía cinética de la moneda? La fuerza de roce entre ella y la mesa transforma la energía mecánica en un tipo de energía que llamamos energía interna: aunque no podamos percibirlo, la moneda y la superficie de la mesa aumentan su temperatura.

Figura 4.2. Al desplazar la moneda sobre la superficie de la mesa, la fuerza de roce realiza trabajo sobre ella, pero este trabajo depende de la trayectoria de la moneda. Así, el trabajo de la fuerza de roce es diferente si la moneda sigue la trayectoria 1 o la trayectoria 2.

El trabajo es un método para transferir energía a un sistema, a través de una fuerza sobre él. El trabajo de una fuerza conservativa cambia la energía cinética o potencial del sistema. En cambio, el trabajo de una fuerza disipativa cambia la energía interna del sistema, que es la energía asociada a los movimientos aleatorios de traslación, rotación y vibración de los átomos y moléculas que constituyen el sistema, así como a la energía potencial intermolecular. Un cambio en la energía interna de un sistema se expresa como un cambio en su temperatura. En un sistema aislado, un aumento de la energía interna implica una disminución de la energía mecánica.

Sección 4: Conservación de la energía mecánica


87

21/7/10 17:41:49

Mecánica

El principio de conservación de la energía mecánica

ya

Por definición, un sistema aislado es aquel en el que no se produce transferencia de energía a través de sus fronteras. Veremos que cuando en un sistema aislado actúan solo fuerzas conservativas, la energía mecánica del sistema es constante en cuaquier instante.

P

Δy

yb

Consideremos la caída de una naranja sobre la superficie terrestre, despreciando los efectos de la resistencia del aire. Entonces, sobre la naranja solo actúa la fuerza de gravedad, que es una fuerza conservativa. Cuando la naranja cae desde la posición ya hasta la posición yb el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre ella es positivo, ya que la fuerza y el desplazamiento tienen igual dirección y sentido. Por su parte, el cambio de energía potencial gravitatoria experimentado por la naranja es negativo ya que:

(

∆E P = m ⋅ g ⋅ yb − ya

Donde yb < ya . Se puede demostrar que, en el caso del trabajo realizado por la fuerza de gravedad, W = – ∆EP. Es decir:

(

W = − m ⋅ g ⋅ yb − y a

(

W = m ⋅ g ⋅ y a − yb  Figura 4.3. Desplazamiento ( ∆ y ) de una naranja cayendo por la acción de  la fuerza de gravedad ( P ) entre dos puntos de su trayectoria, desde la posición ya hasta la posición yb.

Notemos que en estricto rigor, los términos en la ecuación (4.8) se refieren al sistema formado por la Tierra y la naranja. En el lado izquierdo de la ecuación, la energía potencial gravitatoria “de la naranja” se debe a su interacción con el planeta, por lo tanto, es en realidad la energía potencial del sistema formado por el planeta y la naranja. Por otra parte, como la naranja es el único elemento del sistema que está en movimiento, los términos en el lado derecho de la ecuación (4.8) equivalen al cambio de energía cinética del sistema Tierra-naranja. En suma, todos los términos involucrados en esta ecuación se refieren a la energía mecánica de este sistema.

88

)

)

)

(4.6)

Como el peso es la única fuerza que actúa sobre la naranja, el trabajo expresado en la ecuación (4.6) corresponde al trabajo neto realizado sobre la naranja. Por lo tanto, de acuerdo al teorema del trabajo y la energía cinética, visto en la sección anterior, este trabajo también corresponde al cambio de energía cinética experimentado por la naranja en su desplazamiento: W = ∆EC W =

1 2

(4.7)

m ⋅ vb2 −

1 2

m ⋅ va2

Igualando las ecuaciones (4.6) y (4.7) tenemos que los cambios de energía experimentados por la naranja se relacionan del siguiente modo: − ∆E P = ∆EC

(

)

m ⋅ g ⋅ y a − yb = m ⋅ g ⋅ y a − m ⋅ g ⋅ yb =

1 2 1 2

m ⋅ vb2 − m ⋅ vb2 −

1 2 1 2

m ⋅ va2

(4.8)

m ⋅ va2



21/7/10 17:42:10


Es decir, los términos de la ecuación (4.8) se refieren a la energía mecánica de la naranja.

Ei = mgh

Reagrupando los términos en la última de las ecuaciones (4.8), encontramos: 1 1 m ⋅ g ⋅ ya + m ⋅ va2 = m ⋅ g ⋅ yb + m ⋅ vb2 2 2

(4.9)

h

Recordemos que en ausencia de rotaciones o energía potencial elástica, la energía mecánica total de un sistema corresponde a la suma de sus energías potencial gravitatoria y cinética traslacional, tal como indica la ecuación (3.26). Por lo tanto, el resultado en (4.9) indica que la energía mecánica del sistema es la misma en dos posiciones distintas de la naranja en su caída. Ea = Eb

(4.10)

Ef = 1 mv2f 2

Figura 4.4. Caída libre de una piedra sobre la superficie terrestre, como en el Ejemplo 7. La conservación de la energía mecánica implica que Ei = E f

En otras palabras, entre un estado inicial y un estado final la energía mecánica del sistema se conserva: EP

inicial

+ EC

inicial

= EP

final

+ EC

final

(4.11)

Este es un enunciado del principio de conservación de la energía mecánica para un sistema aislado, en el que las fuerzas involucradas son conservativas. Ejemplo 7 m Despreciando la resistencia del aire y considerando g = 10 2 , s ¿con qué rapidez impacta en el suelo una piedra de 0,8 kg que se deja caer libremente y sin rotar desde una altura de 2 m? La energía mecánica inicial de la piedra, al momento de soltarla, es solamente su energía potencial gravitatoria, ya que parte del reposo: Einicial = m ⋅ g ⋅ hinicial Einicial = 0, 8kg ⋅ 10 Einicial = 16 J

m ⋅ 2m s2

Ei = mgh

h L

L

Δy

Ef = mg (L − Δy) + 1 k(Δy)2 2 Figura 4.5. Variación de la caída de la piedra del Ejemplo 7. En este caso, la piedra cae sobre un resorte de constante elástica k, el cual es comprimido una distancia ∆y por el impacto de la piedra. Cuando la piedra alcanza el punto más bajo, su energía mecánica es en parte potencial gravitatoria y en parte potencial elástica. Pero al igual que en el Ejemplo 7, la conservación de la energía implica que Ei = E f .



89

21/7/10 17:42:33

Mecánica

En el instante justo anterior al impacto de la piedra con el suelo, su energía potencial gravitatoria es cero, y por lo tanto, su energía mecánica final es solamente cinética: 1 m ⋅ v 2final 2 1 = 0, 8kg ⋅ v 2final 2 = 0, 4 kg ⋅ v 2final

E final = E final E final

En esta ecuación, vfinal es la rapidez con la que la piedra impacta el suelo. Como en el sistema solo actúa una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva, por lo tanto: Einicial = E final 16 J = 0, 4 kg ⋅ v 2final 16 J = v final 0, 4 kg 6, 32

h = 4m

m = v final s

¿Dependen estos resultados de la masa de la piedra? ¿Con que rapidez impacta el suelo una piedra de 2 kg soltada en iguales condiciones? Comprueba tu respuesta.

Ejemplo 8 Consideremos la siguiente situación: desde el segundo piso de un edificio, a 4 m del suelo, una persona deja caer un balón de básquetbol de 0,6 kg y 0,12 m de radio. El balón parte del reposo, pero se le da una leve rotación inicial de rapidez angular rad , que se mantiene constante en el transcurso de la ω = 10 s m caída. Supongamos g = 10 2 y despreciemos los efectos de s la resistencia del aire. Figura 4.6. Caída de un balón que rota con rapidez angular constante. El ejemplo 8 muestra que, si se desprecia el efecto de resistencia del aire, la energía mecánica del balón se conserva durante la caída.

90

a)

¿Cuál es la energía mecánica del balón, justo en el instante en que se deja caer?

b)

¿Cuál es la energía mecánica del balón y su rapidez, justo en el instante anterior a que toque el suelo?



21/7/10 17:42:56


a:

La energía mecánica del balón está compuesta por la suma de su energía potencial gravitatoria y su energía cinética. En este caso, como el balón está rotando, tenemos que considerar tanto la energía cinética de traslación como la energía cinética de rotación. Para empezar, necesitamos definir un nivel de referencia para la energía potencial. Es conveniente establecer el nivel del suelo. Por lo tanto, en el instante en que el balón es soltado, de acuerdo a la ecuación (3.24), su energía potencial gravitatoria en relación al suelo es: EP

= m⋅ g ⋅ h

EP

= 0, 6 kg ⋅ 10

EP

= 24 J

inicial

inicial

ini l icia

m ⋅ 4m s2

Sin embargo, cuando empieza a caer, el balón está rotando, por lo tanto, tiene energía cinética de rotación. Por lo menos durante su caída, el balón no experimenta ninguna deformación y podemos considerarlo como un cuerpo rígido que rota en torno a un eje. Para eso, podemos modelarlo como una esfera hueca, cuyo momento de inercia es, de acuerdo a la Figura 2.11: 2 I = mR 2 3 2 I = 0, 6 kg ⋅ 0,12 m 3 I = 0, 00576 kg m2

(

)

2

Por lo tanto, la energía cinética de rotación del balón es: =

1 I ⋅ω 2 2  rad  1 0, 00576 kg m2 ⋅  10 2 s  

ER

=

ER

= 0, 288 J

inicial

inicial

Einicial = E P

inicial

+ EC

inicial

Einicial = 24 J + 0 Einicial = 24 J

E = 24J

inicial

inicial

La energía mecánica inicial del balón es la suma de su energía potencial gravitatoria inicial y su energía cinética de traslación inicial:

Por conservación de la energía mecánica, este resultado corresponde también a la energía mecánica del balón en cualquier instante de la caída. Es decir, podemos escribir:

Como el balón parte del reposo, en el instante en que es soltado su rapidez es cero, es decir, no tiene energía cinética de traslación: EC = 0

ER

Consideremos el Ejemplo 8, suponiendo que el balón cae sin rotación.

2

Para cualquier momento, durante la caída libre del balón. Observemos este resultado gráficamente, haciendo uso de algunos datos cinemáticos del movimiento. El balón de básquetbol parte del reposo, desde la posición h = 4m en la dirección m vertical. Su aceleración es g = 10 2 , s constante. Por lo tanto, su itinerario sería el resumido en la Tabla 4.1. t (s)

y (m)

v (m/s)

0

4,00

0

0,09

3,96

0,90

0,18

3,84

1,80

0,27

3,64

2,70

0,36

3,35

3,60

0,45

2,99

4,50

0,54

2,54

5,40

0,63

2,02

6,30

0,72

1,14

7,20

0,80

0,80

8,00

0,89

0

8,95

Tabla 4.1. Itinerario de caída del balón de básquetbol.




91

21/7/10 17:56:58

Mecánica

En suma, la energía mecánica del balón de básquetbol cuando empieza su caída es:

(Continuación)

De acuerdo a los datos de itinerario del balón de básquetbol, dados en la Tabla 4.1, podemos obtener la energía potencial gravitatoria y la energía cinética del balón en cada instante de tiempo. t (s) 0 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,63 0,72 0,80 0,89

EF (J) 24,00 23,76 23,03 21,81 20,11 17,93 15,25 12,09 8,45 4,80 0

EC (J) 0 0,24 0,97 2,19 3,89 6,08 8,75 11,91 15,55 19,20 24,00

E (J) 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00

Tabla 4.2. Energía mecánica del balón en caída libre, sin rotación.

La Tabla 4.2 muestra que la energía mecánica del balón en su caída se mantiene constante.

��

��

��

inicial

+ EC

+ ER

inicial

inicial

Einicial = 24 J + 0 + 0, 288 J Einicial = 24, 288 J b:

Si consideramos el sistema balón-Tierra, el balón sólo está afectado por la acción de una fuerza conservativa, de modo que la energía mecánica del sistema se conserva. Por lo tanto, la energía mecánica final del balón es igual a la inicial: Einicial = E final 24, 288 J = E final Sin embargo, aunque la energía mecánica es la misma en el inicio del movimiento que al final de la caída, un cambio importante ha sucedido: cuando el balón alcanza el nivel del suelo su energía potencial gravitatoria es: EP

final

=0

En cambio, la energía cinética de traslación se ha incrementado, ya que en la caída el balón incrementó su rapidez, hasta alcanzar una rapidez final desconocida:

��

��

�

� � ��

Einicial = E P

� ��

��

� ��

� ��

��

��

EC

final

EC

final

EC

final

1 m ⋅ v 2final 2 1 = 0, 6 kg ⋅ v 2final 2 = 0, 3kg ⋅ v 2final =

Por su parte, como la rotación del balón mantiene una rapidez constante, la energía cinética de rotación es la misma durante toda la caída, es decir:

� � ��

� � ��

ER

inicial

Figura 4.7. Energía mecánica del balón en caída libre, sin rotación.

Obtendríamos el mismo resultado si incorporamos la rotación del balón, como en el Ejemplo 8, pero en la Tabla 4.2 tendríamos que agregar su energía cinética de rotación y, por lo tanto, la energía mecánica sería la calculada en el ejemplo.

92

= ER

final

0, 288 J = E R

final

Así, podemos usar estos resultados, junto a la conservación de la energía para obtener la rapidez final del balón, ya que: E final = E P

final

+ EC

final

+ ER

final



21/7/10 17:57:19


24, 288 J = 0 + 0, 3kg ⋅ v 2final + 0, 288 J 24 J = 0, 3kg ⋅ v 2final m2 = v final s2 m 8, 9 = v final s

Una situación diferente a la caída libre del balón de básquetbol se encuentra si un balón rota por un plano inclinado. Consideremos, por ejemplo, el balón de fútbol en la Figura 4.8.

80

¿Cuál sería la rapidez final del balón si no rotara en la caída?

�

Ejemplo 9 Supongamos que en vez de dejar caer un balón de básquetbol, en el ejemplo anterior se deja caer, sin rotación, una pelota de tenis, cuya masa es 10 veces menor y su radio es de 6,5 cm. a)

¿Cuál es la rapidez de impacto de la pelota en el suelo?

a:

Podemos empezar escribiendo la ecuación de conservación de la energía mecánica de la pelota del siguiente modo: Einicial = E final EP

inicial

+ EC

inicial

= EP

final

+ EC

final

1 1 2 m ⋅ g ⋅ hinicial + m ⋅ vinicial = m ⋅ g ⋅ h fina + m ⋅ v 2 2 2 al final 1 2 1 2 + v = g⋅h n + v g⋅h 2 inicial 2 final inicial final La última ecuación muestra que la conservación de la energía es independiente de la masa de la pelota. Considerando los datos del problema, el resultado se reduce a: 1 g ⋅ hinicial = v 2final 2 2 ⋅ g ⋅ hinicial = v final 2 ⋅ 10

m ⋅ 4 m = v final s2 m 8, 9 = v final s

¿Cuál sería la rapidez final de la pelota de tenis si cayera rotando en iguales condiciones que el balón del Ejemplo 8?

Figura 4.8. Balón de fútbol rodando por una pendiente, desde una altura h.

Si suponemos que el balón en la Figura 4.8 se deja rodar por la pendiente, a partir del reposo desde una altura h, ¿cómo es su rapidez de rotación final en comparación con su rapidez de rotación inicial? La rapidez angular inicial del balón será ω inicial = 0 , y su rapidez angular final será ω final > ω inicial . Esto indica que durante su movimiento, el balón incrementa su energía cinética de rotación. No obstante, la energía mecánica se conserva: Einicial = E final EP

inicial

+ ER

inicial

= EC

final

+ ER

final

Como la rapidez angular aumenta: ER

inicial

< ER

final

Por lo tanto: EP

inicial

> EC

final

1 m ⋅ g ⋅ h > m ⋅ v 2final 2 2 ⋅ g ⋅ h > v final Este resultado muestra que parte de la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética de rotación y parte de ella, en energía cinética de traslación. Sección 4: Conservación de la energía mecánica


93

21/7/10 17:57:47

Mecánica

Actividad de profundización ¿Cómo se transforma la energía? Para realizar esta actividad, necesitarán los siguientes materiales: dos globos, hilo de coser, cinta adhesiva, dos bombillas para beber y una huincha de medir de al menos 1 metro. Según la disponibilidad de huinchas, reúnete con 2 o 3 compañeros y compañeras y formen un equipo de trabajo. Uno de ustedes solo debe dedicarse a anotar todo lo que se hace, cómo se hace y los resultados que se van obteniendo. a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿qué procesos de transferencia de energía se observan en la elaboración de un cohete? Planteen una hipótesis en conjunto. A continuación, usaremos un modelo simplificado de un cohete para estudiar la conservación de la energía. Corten la bombilla en 2 partes e inflen provisoriamente uno de los globos hasta unos 15 cm de diámetro para pegar la bombilla al globo de manera que quede vertical, como muestra la imagen 4.2. Luego pasen el hilo de coser dentro de la bombilla y entre dos compañeros, estiren el hilo lo más posible (por lo menos 2 metros) en dirección vertical, sujetando su extremo inferior a ras de piso y el superior sosteniéndolo con la mano en alto desde una cierta altura. Luego liberen el aire.

Globo

Hilo de coser

Bombilla

Cinta adhesiva

Aire

Imagen 4.2

Inflen el globo hasta 5 cm de diámetro, liberen el aire y midan la altura que alcanza. Repitan la misma experiencia, pero inflando el globo hasta 10, 15 y 20 cm de diámetro. Elaboren una tabla de datos que contenga el diámetro del globo y la altura alcanzada. Luego lleven la tabla a un gráfico. b) A partir del gráfico, ¿qué puedes decir de la relación entre el diámetro del globo y la altura alcanzada para cada caso? c) ¿Cómo se relaciona el estiramiento del globo con la energía potencial gravitatoria que alcanza en cada caso? d) ¿Cómo se relaciona el estiramiento del globo con la energía cinética inicial al despegar? e) ¿Qué tipos de transformaciones de energía están involucradas en todo el proceso? f) Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis que plantearon. Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.

94



21/7/10 17:57:54



Desde 3 m de altura, se deja caer libremente y sin rotación, un balón de 0,8 kg. En el suelo, impacta sobre un resorte vertical, de constante elástica 4 ⋅ 10 2 N , cuya extensión natural es de 0,4 m. m Despreciando los efectos del roce y la resistencia del aire, responde las siguientes preguntas. a) ¿Con qué rapidez impacta el balón sobre el resorte? b) ¿Qué compresión máxima se produce en el resorte? c) ¿Qué altura alcanza el balón después de ser lanzado hacia arriba por el resorte cuando se descomprime?

PARTE II. Análisis 2

De acuerdo a la figura, sobre una superficie horizontal se arrastra una moneda con rapidez constante, al empujarla con un dedo por una trayectoria cerrada. a) ¿Cuál es la relación entre la fuerza aplicada y la fuerza de roce? b) ¿Cómo se compara el trabajo que se realiza sobre la moneda en el tramo 1, desde A hasta B, con el trabajo en el tramo 2, desde B hasta A? c) ¿Cómo se compara el trabajo del dedo al empujar, con el trabajo de la fuerza de roce? ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre la moneda en la trayectoria cerrada?

Indagación N°12 ¿Existe alguna situación donde se conserve perfectamente la energía mecánica? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: La energía mecánica se conserva perfectamente cuando no hay roce por el deslizamiento de dos superficies en contacto. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).



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Mecánica

EL CASO DE UNA MONTAÑA RUSA Una interesante situación real para estudiar la conservación de la energía mecánica es el movimiento de un carro en una montaña rusa. Este estudio, sin embargo, está restringido por la suposición de que los efectos de roce con el riel y resistencia del aire son despreciables.

Figura 4.11. Una montaña rusa es un sistema ideal para estudiar la conservación de la energía mecánica. A

E

C D B

h

hC h hB

hD

Figura 4.12. En la mayor parte de su movimiento en la montaña rusa, los carros hacen uso de la transformación de energía potencial gravitatoria en energía cinética de traslación, en virtud de la ley de conservación de la energía mecánica, cuando se desprecian los efectos disipativos del roce.

Para el análisis del movimiento en la montaña rusa de la Figura 4.12, consideremos un carro que parte del reposo desde la posición A. Despreciando los efectos de fricción, la única fuerza que actúa sobre el carro es la fuerza de gravedad. En estas condiciones, no hay fuerzas disipativas y la energía mecánica del sistema se conserva. Esto significa que la energía mecánica el carro es la misma en todos los puntos de su trayectoria: E( A) = E( B ) = E( C ) = E( D ) = E( E )

(4.12)

Antes de comenzar a moverse, la energía mecánica del carro corresponde completamente a energía potencial gravitatoria. Mientras se aproxima a la posición B, el carro aumenta su energía cinética, pero disminuye su energía potencial gravitatoria.

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Después de pasar por la posición B, la energía cinética disminuye en la medida que el carro sube, aumentando su energía potencial gravitatoria. ¿Qué ocurre cuando el carro alcanza la posición E? ¿Por qué?

Ejemplo 10 De acuerdo con la Figura 4.12, consideremos la siguiente información: h = 12 m hB = 4 m hC = 6 m hD = 5m a)

Si un carro se suelta desde la posición A, ¿con qué rapidez pasa por las posiciones B, C y D?

b)

¿Cuál es la rapidez del carro en la posición E? ¿Qué le sucede al carro después de alcanzar esta posición?

c)

¿A qué altura puede encontrarse el carro cuando su rapidez es de 10 m/s?

a:

En la posición A, tenemos: E( A) = m ⋅ g ⋅ h

El análisis de la montaña rusa sirve para establecer una distinción cualitativa muy importante entre algunos puntos de la trayectoria. ¿Qué ocurre si soltamos un carro en las cercanías de la posición B? Observaremos que siempre el movimiento del carro se dirige precisamente hacia esa posición. Por esta razón, la posición B es un punto de equilibrio estable del sistema. En cambio, si soltamos un carro en las cercanías de la posición C, el carro siempre se aleja de C, ya sea hacia B o hacia D. Equivalentemente, si un carro queda en reposo en la posición C, cualquier perturbación que experimente lo haría salir de esa posición y se movería hacia B ó D. Por esta razón, la posición C es un punto de equilibrio inestable. La posición E, a diferencia de las posiciones anteriores, no es un punto de equilibrio, sino un punto de retorno, ya que en ese lugar su rapidez es cero. La misma condición se cumple en la posición A, por lo tanto, también corresponde a un punto de retorno. En general, un carro en una montaña rusa o una bolita sobre una superficie presenta tres tipos de equilibrio: estable, inestable e indiferente.

(a) En la posición B: 1 E( B ) = m ⋅ g ⋅ hB + m ⋅ v B2 2 Aplicando la conservación de la energía mecánica del carro entre las posiciones A y B de su trayectoria, encontramos: E( A) = E( B ) 1 m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ hB + m ⋅ v B2 2 1 g ⋅ h = g ⋅ hB + v B2 2

(b)

(c) Figura 4.13. Tipos de equilibrio de un cuerpo: (a) equilibrio inestable; (b) equilibrio estable; (c) equilibrio indiferente.



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Mecánica

(

)

2 ⋅ g ⋅ h − hB = v B 2 ⋅ 10

m ⋅ (12 m − 4 m) = v B s2 m 12, 64 = v B s

Análogamente, para la posición C, tenemos:

(

)

2 ⋅ g ⋅ h − hC = vC 2 ⋅ 10

m ⋅ (12 m − 6 m) = vC s2 m 10, 95 = vC s

Y para la posición D:

(

)

2 ⋅ g ⋅ h − hD = v D m ⋅ (12 m − 5m) = v D s2 m 11, 83 = v D s Cuando el carro alcanza la posición E, su altura con respecto al suelo coincide con la altura inicial, de modo que su energía potencial gravitatoria tiene el mismo valor que tenía en la posición A. Esto significa que toda la energía disponible para el movimiento, nuevamente, tiene la forma de energía potencial. Es decir, la rapidez del carro es cero: 2 ⋅ 10

b:

(

)

2 ⋅ g ⋅ h − hE = v E 2 ⋅ 10

m ⋅ (12 m − 12 m) = v E s2 0 = vE

Entonces, cuando el carro alcanza la posición E no puede seguir avanzando y, eventualmente, inicia su camino de regreso a la posición A. Por esta razón, la posición E corresponde a lo que llamamos punto de retorno. En la práctica, en una montaña rusa real esto no ocurre, ya que el carro no alcanza la posición E debido a la disipación de energía a través del roce con los rieles.

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c:

El problema ahora es encontrar el lugar donde puede hallarse el carro, dada su rapidez. Consideremos la energía mecánica en un punto cualquiera de la trayectoria cuya altura es y: 1 E = m ⋅ g ⋅ y + m ⋅ v2 2

Como la energía mecánica del carro se conserva, esta expresión es igual a la energía en cualquier posición del carro, en particular, en la posición A: E( A) = E 1 m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y + m ⋅ v2 2 Con esta relación podemos conocer la altura a la cual el carro tiene una rapidez de 10 m/s: 1 g ⋅ h = g ⋅ y + v2 2 2 1v h− =y 2 g 2

 m 10 1  s  12 m − =y m 2 10 2 s 7m = y Con los datos proporcionados en el ejemplo, el carro alcanza esta altura en más de un lugar en su trayectoria. De acuerdo a este resultado, identifica en la Figura 4.12, cuáles son, aproximadamente, las posiciones en las que el carro tiene una rapidez de 10 m/s.

ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO El movimiento de un carro en la montaña rusa se puede analizar en términos de su energía potencial y de sus posiciones de equilibrio. Por ejemplo, supongamos que dos carros (A y B) se mueven en una montaña rusa, donde su energía potencial gravitatoria varía con respecto a la posición horizontal de los carros. Sección 4: Conservación de la energía mecánica


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Mecánica

Energía EA

Carro A Puntos de retorno para (B) Carro B

EB

2

Carro A 1

No permitido para B

E. mecánica carro A

Permitido para A y B

E. potencial carro A 3

E. mecánica carro B Posición horizontal

Figura 4.14. En el gráfico se muestra un diagrama de la energía de dos carros de igual masa en una montaña rusa, en función de su posición horizontal. 1 y 3 corresponden a posiciones de equilibrio estable. 2 corresponde a una posición de equilibrio inestable.

En la Figura 4.14 se muestra un diagrama de energías de los carros A y B. Ambos tienen energía mecánica constante (EA y EB) y la misma energía potencial, pero la energía mecánica del carro A es mayor a la energía mecánica del carro B (EA > EB), ya que este se deja caer desde una altura menor que el carro A. Por la curva que representa la energía potencial gravitatoria del carro A, representada por la línea roja, se puede concluir que este carro puede recorrer toda la trayectoria, ya que su energía mecánica es siempre mayor a la energía potencial. Por otra parte, como el carro (B) se mueve con una energía mecánica menor, representada por la línea verde claro, está confinado a moverse entre los puntos de retorno, que son los lugares en que su rapidez es cero. En los lugares en los que la energía mecánica del carro (B) es menor a la energía potencial asociada a esas posiciones, su movimiento no está permitido. En un caso como el representado en la Figura 4.14 se dice que el carro (B) se encuentra en un pozo de energía potencial con respecto al suelo (h = 0). Figura 4.15. En su movimiento en una rampa, el skater se encuentra en un pozo de energía potencial, confinado a moverse entre los puntos de retorno. Si los puntos de retorno están en los extremos de la rampa, ¿cómo puede el skater dar saltos en el aire?

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Las posiciones que corresponden a mínimos locales de la función energía potencial, son posiciones de equilibrio estable (1 y 3, en el gráfico); a las cuales un carro se mueve espontáneamente. En cambio, las posiciones que corresponden a máximos locales de la función energía potencial, son posiciones de equilibrio inestable (2, en el gráfico); es decir, si el carro queda en reposo en uno de estos lugares, cualquier perturbación lo alejará de él.



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Conservación de la energía y roce A continuación, vamos a generalizar la ley de conservación de la energía. De acuerdo a la discusión en el apartado anterior, establecimos la conservación de la energía mecánica en un sistema aislado en el que solo actúan fuerzas conservativas. Así, nos abocamos al análisis de la caída de un balón y al movimiento de un carro en una montaña rusa. Sin embargo, en ambos tipos de sistemas supusimos despreciables los efectos de la fricción, es decir, supusimos que no había fuerzas disipativas. En nuestra vida cotidiana, las fuerzas disipativas son muy importantes y, por supuesto, son inevitables. Por ejemplo, porque hay fuerzas disipativas en el movimiento de un vehículo es necesario mantener siempre el motor encendido y apretado el acelerador. Y también, gracias a las fuerzas disipativas, el vehículo se detiene al aplicar el mecanismo de freno.

Figura 4.16. Tal vez el mejor ejemplo de cómo el roce provoca un cambio en la energía interna de un sistema sea el simple acto de frotar las manos. ¿Has experimentado la agradable sensación de calor que aparece al frotar las manos en una fría noche de invierno?

¿Ocurre, entonces, que en la vida cotidiana la energía mecánica no se conserva? Recordemos el ejemplo que mencionamos al definir las fuerzas disipativas: cuando damos un impulso inicial a una moneda sobre la mesa, la moneda se arrastra con cierta energía cinética inicial, pero pronto queda en reposo por efecto del roce con la superficie. ¡Esto constituye una violación de la ley de conservación de la energía mecánica! Es decir, la energía mecánica del sistema moneda-mesa no se conserva, y esto ocurre porque en el sistema participa una fuerza disipativa. Sin embargo, si el sistema está aislado, ¿qué sucede con la energía cinética de la moneda? Ya hemos anticipado la respuesta a esta pregunta: la energía cinética se convierte en energía interna del sistema, lo que podemos reconocer por un aumento de su temperatura. En otras palabras, en un sistema aislado el cambio de energía mecánica corresponde a un cambio en su energía interna y viceversa: ∆E = ∆Einterna

(4.13)



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21/7/10 18:16:31

Mecánica

De acuerdo con el modelo cinético molecular de la materia, un aumento de la energía interna de un sistema corresponde a un incremento de la energía cinética de los átomos y moléculas que lo componen. Una medida macroscópica de esta energía se obtiene a través de la temperatura del sistema. En otras palabras, en un sistema aislado, las fuerzas disipativas transfieren al nivel microscópico la energía mecánica que aparentemente se pierde en el nivel macroscópico, de manera que aparece a nivel molecular también como energía mecánica. La razón de que observemos una pérdida de energía mecánica es que resulta muy difícil percibir el cambio de energía interna experimentado por un sistema.

La ecuación (4.13) es equivalente a establecer el principio general de conservación de la energía para un sistema aislado: EP + EC + Einterna = constante

(4.14)

En la ecuación (4.14), hemos escrito un término para la energía potencial gravitatoria y un término para la energía cinética de traslación, pero también podríamos incorporar otro tipo de energías potencial y cinética. Cuando la fuerza disipativa involucrada en el sistema es la fuerza de roce, entonces el cambio de energía interna es provocado por el trabajo que esta fuerza realiza. Por lo tanto, el cambio de energía mecánica corresponde también al trabajo realizado por la fuerza de roce sobre el sistema: ∆E = Wroce E final − Einicial = Wroce

(4.15)

Δh hinicial hfinal

Figura 4.18. James Prescott Joule (1818 - 1889) nació en Salford, Manchester. Fue uno de los más notables físicos de su época y es conocido sobre todo por su investigación en electricidad y termodinámica. En estos trabajos, Joule estableció la equivalencia entre el trabajo mecánico y el calor como formas de transferir energía a un sistema para cambiar su energía interna. La unidad internacional de energía y trabajo, el joule, fue bautizada en su honor.

Figura 4.17. En el montaje de la figura se suelta una pieza de dominó desde una altura inicial (hinicial) hasta que se detiene (hfinal), debido a la acción de la fuerza de roce. Podemos comprobar que su energía mecánica no se conserva.

Consideremos, por ejemplo, el montaje de la Figura 4.17. La pieza de dominó se suelta desde el reposo, de manera que el cambio de energía mecánica entre su posición inicial y final es: ∆E = m ⋅ g ⋅ ∆h

Y según la relación (4.15), este cambio corresponde al trabajo efectuado por la fuerza de roce sobre la pieza de dominó: Wroce = m ⋅ g ⋅ ∆h

102

(4.16)

(4.17)



21/7/10 18:16:46


ROCE ESTÁTICO Y ROCE DINÁMICO O CINÉTICO En este punto conviene recordar cómo podemos evaluar la magnitud de la fuerza de roce que actúa entre dos superficies. Imaginemos la siguiente situación: tratamos de arrastrar un gran sillón sobre un piso de madera, pero en nuestro primer intento, la fuerza que aplicamos al empujar no es suficiente para mover el sillón ni un milímetro. Lo intentamos nuevamente, aplicando una fuerza mayor, pero aún así, el sillón no se arrastra. Por fin, nos ayuda a empujar otra persona y esta vez sí logramos desplazar el mueble. Sin embargo, notamos que después de que el movimiento empieza, no necesitamos ayuda para empujar el sillón, ya que la fuerza que ejercemos es suficiente para mantenerlo en movimiento. En cualquiera de los casos mencionados, aplicamos fuerza contra el roce que actúa entre las superficies en contacto del sillón y del suelo. Sin embargo, observamos una diferencia significativa: para sacar al sillón de su estado de reposo se requiere una fuerza mayor que para mantenerlo en movimiento. En general, esta situación se puede modelar haciendo la distinción entre un roce estático y un roce cinético.

N

FR

F

P

Figura 4.20. Para mover la caja, la persona debe vencer primero el roce estático máximo. Cuando supera el roce estático máximo, para mantener el movimiento  al menos debe aplicar una fuerza (F ) de igual módulo que la fuerza de roce dinámico o cinético. En  general, la fuerza de roce (F R ) debido al deslizamiento es un vector cuyo sentido siempre se   opone al movimiento. En la figura, P es el peso y N es la fuerza normal.

Fuerza de roce Roce estático

Fe

Roce cinético

Fc

Fuerza aplicada Reposo

Movimiento

Figura 4.19. Módulo de la fuerza de roce en función de la fuerza aplicada. En general, la fuerza de roce cinético es independiente de la fuerza aplicada y de la velocidad relativa de las superficies en contacto.

Cuando empujamos el sillón del ejemplo anterior, inicialmente actúa el roce estático, oponiéndose a que el mueble cambie su estado de reposo. Si aplicamos más fuerza, el roce estático también aumenta, como se muestra en la Figura 4.19, hasta que alcanza un límite máximo. Esta magnitud corresponde a la fuerza de roce estático máximo (Fe), que actúa en el instante justo anterior al movimiento. Sección 4: Conservación de la energía mecánica


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21/7/10 18:17:00

Mecánica

Materiales en μe contacto Articulaciones 0,01 humanas Acero / Hielo 0,03 Acero / Acero 0,74 Aluminio / Acero 0,61 0,53 Cobre / Acero Hielo / Hielo 0,1 Esquí (encerado) 0,1 / Nieve (0˚C) Madera / Cuero 0,5 Madera / Madera 0,25 a 0,5 Vidrio / Vidrio 0,94

μc 0,003 0,02 0,57 0,47 0,36 0,03 0,05 0,4 0,2 0,4

Tabla 4.3. Coeficientes de roce de algunos materiales. Todos los valores son aproximados.

Cuando empujamos el sillón mientras está en movimiento, también actúa una fuerza de roce, pero se trata de una fuerza de menor magnitud que el roce estático máximo, por eso se denomina fuerza de roce dinámico o cinético (Fc), ya que actúa durante el movimiento. El módulo de la fuerza de roce estático máximo, que actúa sobre un objeto apoyado en una superficie, se define del siguiente modo: Fe = µe ⋅ N

(4.18)

Donde N es el módulo de la fuerza normal que actúa sobre el objeto y µe es el coeficiente de roce estático, un número adimensional cuyo valor se obtiene experimentalmente y que, en general, sólo depende del tipo de materiales de las superficies en contacto. Por su parte, el módulo de la fuerza de roce cinético, que actúa sobre un objeto que se arrastra sobre una superficie, se define del siguiente modo: Fc = µc ⋅ N

(4.19)

Donde µc es el coeficiente de roce cinético, que tiene las mismas características de µe . En general, para el mismo tipo de superficies en contacto se encuentra que:

µe > µc

(4.20)

Ejemplo 11 Consideremos la secuencia mostrada en la Figura 4.21: sobre una superficie de acero se desliza un bloque de aluminio de 0,5 kg, con el cual se comprime un resorte una distancia ∆x = 0, 05m . A continuación, el bloque es liberado y se mueve impulsado inicialmente por el resorte. El largo natural del resorte es N L = 0,1 m y su constante elástica es k = 103 . m

104

a)

¿Cuál es la energía mecánica del sistema resorte-bloque cuando el resorte está comprimido?

b)

¿Cuál es la rapidez del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte (x = L) después de ser liberado?

c)

¿En qué posición se detiene el bloque de aluminio?



21/7/10 18:17:23


a:

Primero establecemos el nivel de referencia de la energía potencial gravitatoria al mismo nivel de la superficie de acero. De esta manera, la energía mecánica inicial del sistema resorte-bloque es solamente energía potencial elástica. De acuerdo a la ecuación (3.25), esto es: Einicial Einicial Einicial

b:

2 1 = k ⋅ ∆x 2 1 N = 103 0, 05m 2 m = 1, 25 J

( ) (

)

x=L

x=0

x=L

2

Cuando el bloque pasa por la posición x = L, la energía potencial elástica del sistema bloque-resorte es cero, ya que en ese momento el resorte tiene su largo natural. Por lo tanto, toda la energía del sistema se encuentra en el movimiento del bloque de aluminio, es decir, como energía cinética: 1 m ⋅ v L2 2 = 0, 25 kg ⋅ v L2

E( x= L ) = E( x= L )

x=0

x=0

Δx

Donde vL es la rapidez del bloque de aluminio cuando pasa por la posición x = L. x=0

x=L

E( x= L ) − Einicial = − Fc ⋅ ∆x

x=0

x=L

E( x= L ) − Einicial = − µc ⋅ N ⋅ ∆x

Figura 4.21. Movimiento de un bloque de aluminio sobre una superficie de acero. La energía mecánica del bloque no se conserva, debido a la acción de la fuerza disipativa.

La disipación de energía implica que se pierde una parte de la energía mecánica, debido al trabajo que la fuerza de roce cinético realiza sobre el sistema, en el desplazamiento del bloque entre su posición inicial y la posición x = L: ∆E = Wroce

0, 25 kg ⋅ v L2 − 1, 25 J = − µc ⋅ m ⋅ g ⋅ ∆x v L2 = vL =

m ⋅ 0, 05m + 1, 25 J s2 0, 25 kg

−0, 47 ⋅ 0, 5 kg ⋅ 10

x=d

−0,1175 J + 1, 25 J 0, 25 kg

v L = 2,12

m s



105

21/7/10 18:17:59

Mecánica

Para obtener vL, hemos usado el coeficiente de roce cinético entre una superficie de aluminio y una de acero, dado en la Tabla 4.3.

Energía (J) 1,4 1,2

c:

1 0,8 0,6 0,4

Como vimos antes, la energía inicial del bloque es:

0,2 0 0,05

De manera análoga al procedimiento anterior, podemos calcular la distancia que alcanza a recorrer el bloque de aluminio desde que parte hasta que se detiene.

0,15

0,25

0,35

0,45

Energía potencial

Einicial = 1, 25 J

0,55

Posición (m) Energía cinética

Figura 4.22. Variación de la energía mecánica en el sistema resorte-bloque-superficie del Ejemplo 11. La curva de la energía cinética disminuye constantemente debido al trabajo que realiza la fuerza de roce cinético en contra del desplazamiento.

Cuando el bloque se detiene por efecto del roce, su energía mecánica es: E final = 0 Por su parte, el cambio de energía mecánica del bloque es igual al trabajo realizado por la fuerza de roce cinético, la cual actúa a lo largo del desplazamiento total del bloque. De acuerdo a la Figura 4.21 y considerando que ∆x = 0, 05m , el bloque efectúa un desplazamiento cuyo módulo es: D = d − 0, 05m Donde D es la distancia total que recorre el bloque de aluminio, desde la posición de equilibrio del resorte. Por lo tanto: ∆E = Wroce E final − Einicial = − Fc ⋅ D

(

)

0 − 1, 25 J = − µc ⋅ N ⋅ d − 0, 05 d m m −1, 25 = −0, 47 ⋅ 0, 5 g ⋅ 10 2 ⋅ d − 0, 05m s J k 1, 25 J = d − 0, 05m kg m 2, 35 2 s 0, 53m + 0, 05m = d 0, 58m = d

(

)

El bloque de aluminio se detiene en la posición x = 0,58 m.

¿Por qué el trabajo realizado por la fuerza de roce cinético sobre el bloque es negativo?

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21/7/10 18:18:21


Contexto histórico de la física La energía cambia de forma, pero no desaparece Al estudiar un sistema desde el punto de vista de la energía, podemos ver que en cualquier cambio que ocurra en él, tenemos una transferencia de energía entre unos cuerpos y otros. Incluso, a veces, la transferencia de energía ocurre al interior de un mismo cuerpo. Así, al poner en contacto un cuerpo frío con otro caliente, el cuerpo frío aumenta su energía interna, disminuyendo la energía interna del cuerpo caliente, hasta llegar al equilibrio. En un cuerpo que cae en caída libre, aumenta su energía cinética, disminuyendo su energía potencial gravitatoria.

La termodinámica estudia los efectos de los cambios de la temperatura, presión y volumen de los sistemas físicos a un nivel microscópico, y explica los procesos de intercambio de masa, energía térmica y energía mecánica entre dos sistemas físicos.

De acuerdo a esto, las transferencias de energía se pueden realizar de dos formas: a) Debido a una diferencia de temperatura. En este caso, se habla de que se transfiere calor (Q). b) Por medio de un desplazamiento, bajo la acción de una fuerza; es decir, mediante la realización de un trabajo (W). En otras palabras, el trabajo y el calor son dos formas de transferencia de energía. Esto es importante: ni el calor, ni el trabajo son formas de energía. Por eso no podemos decir que un cuerpo tiene trabajo o que tiene calor; pero sí podemos decir que tiene energía. Hemos mencionado que cuando se involucra la transferencia de energía a través del trabajo mecánico y a través del calor, en un sistema cerrado, la energía total permanece constante. Este resultado es una generalización de la ley de conservación de la energía y se conoce como primera ley de la termodinámica. Sin embargo, un vaso de agua caliente que se deja al aire, con el tiempo, acabará enfriándose y quedándose con la misma temperatura que el ambiente. El agua ha perdido energía interna y el aire del exterior ha ganado la misma cantidad de energía. Cuando un automóvil frena hasta detenerse, pierde la energía cinética que tenía cuando estaba en movimiento. ¿A dónde va esa energía? Pues, a los discos de freno, al suelo y al aire, que ganan energía interna debido al roce. Se dice que han disipado energía. En estos ejemplos y cualquier otro proceso, la energía siempre acaba pasando al medio ambiente, calentándolo, de manera que es energía que ya no es aprovechable. Por eso se dice que la energía “pierde calidad”, se degrada. Aunque la cantidad de la energía total es la misma, su degradación es un hecho inevitable, y constituye uno de los principios fundamentales de la Física: la segunda ley de la termodinámica.

Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796 -1832) fue un físico francés pionero en el estudio de la termodinámica.



107

21/7/10 18:18:30

Mecánica

Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Energía interna B Energía cinética C Sistema cerrado D Fuerzas conservativas E Energía potencial F Trayectoria G Fuerzas disipativas

Frases Conectoras (FC) I Produce un cambio en la II No depende de la III Depende de la


Conservación de la Energía Mecánica

En un 6

Por ejemplo Fuerza de gravedad 8

3

4

Se cumple si hay

No se cumple si hay

1

2

Cuyo

Cuyo

Trabajo

Trabajo

9

10

Por ejemplo Fuerza de roce Producen un cambio en la 7 del

del 5

108



21/7/10 18:18:36



¿Qué hizo James Joule que en su honor se llama joule a la unidad de energía en el Sistema Internacional de Unidades?

2

¿Cuál es la diferencia entre una fuerza conservativa y una fuerza disipativa?

3

¿De qué depende el trabajo que realiza la fuerza de gravedad sobre una mariposa que vuela entre una flor y otra?

4

5

De acuerdo a la Figura 4.23, supón que se trata de una montaña rusa ideal, de roce despreciable, donde la energía mecánica se conserva. En estas condiciones, un carro de 300 kg, se deja caer desde la altura inicial h = 100 m. (a) ¿Cuál es la altura a la que se encuentra el carro en el punto C, donde su rapidez es de 20 m/s? (b) ¿Cuál es la rapidez del carro en el punto D, donde la altura es de 40 m? (c) ¿Cuál es su rapidez en el punto E? A

¿De qué depende la rapidez con que impacta en el suelo una manzana que se desprende de la rama del árbol?

E C

¿Cuáles son los tipos de equilibrio que puede tener un objeto? ¿Cómo se caracterizan?

6

¿Qué diferencias hay entre la fuerza de roce estático y la fuerza de roce cinético?

7

Una piedra de 1 kg se deja caer libremente desde 3 m de altura. Despreciando la resistencia del aire: (a) ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria cuando empieza a caer? (b) ¿Con qué rapidez llega al suelo?

8

9

Una persona arroja un balón de fútbol de 0,5 kg verticalmente hacia arriba, sin rotar, desde la terraza de un edificio. La terraza está a 20 m del suelo y la persona lanza el balón con una rapidez de 10 m/s. Despreciando el roce con el aire y suponiendo que la energía potencial gravitatoria es cero a nivel del piso (EP = 0): (a) ¿cuál es la energía mecánica total del balón al inicio del lanzamiento? (b) ¿Qué altura alcanza el balón? (c) ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria que el balón tiene en su altura máxima? (d) ¿Con qué rapidez llega el balón al suelo?

B

D h

hC

h

hD

hB

Figura 4.23 10

De acuerdo a la Figura 4.24, se deja caer un bloque de 2 kg desde la posición A y se desliza por la superficie sin roce. Al final choca con un resorte de constante elástica 2000 N/m. La altura inicial del bloque es h = 5 m. (a) ¿Cuál es la rapidez del bloque en el punto B, justo antes de tocar el resorte? (b) ¿Cuál es la máxima compresión del resorte cuando detiene al bloque? �

�

�

Figura 4.24



109

21/7/10 18:18:44

Mecánica

11

En la Figura 4.25 se muestra un sistema mecánico sin roce. En el punto A, se sostiene la masa de 2 kg junto al resorte, comprimido 15 cm. La constante elástica del resorte es k = 1 000 N/m. (a) ¿Cuál es la energía potencial elástica asociada al resorte? (b) ¿Hasta qué altura sube la masa del péndulo cuando se libera el resorte?

altura de 10 cm. Despreciamos el roce con el aire: (a) ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria máxima que el lápiz alcanza? (b) ¿Qué valor tiene la constante elástica del resorte si fue comprimido 1 cm antes del lanzamiento? 15

Una pelota de tenis de 200 g se dejar caer desde 3 m de altura. En el suelo impacta sobre un resorte, cuya constante elástica es 2000 N/m. (a) ¿Con qué rapidez llega la pelota al resorte? (b) ¿Cuál es la compresión del resorte? (En ambas respuestas, puedes despreciar la extensión del resorte, en comparación con la altura)

16

Un elástico de billete se estira 5 cm para lanzar una pequeña cáscara de naranja. La masa de la cáscara es de 4 g y se le imprime una energía mecánica de 0,5 J. (a) ¿Cuál es la constante elástica del elástico? (En buena aproximación, supón que se comporta como un resorte) (b) ¿Con qué rapidez sale lanzada la cáscara de naranja? (c) ¿Qué altura alcanza si es lanzada verticalmente hacia arriba, despreciando la resistencia del aire?

17

Un bloque de 1 kg baja por la pendiente, como indica la Figura 4.26, partiendo con una velocidad de 4 m/s desde una altura de 5 m. En el otro extremo choca con un resorte, cuya constante elástica es k = 100 N/m y lo comprime al máximo cuando el bloque alcanza los 2 m de altura. Considera que solo hay roce en el tramo AB y la fuerza de roce cinético tiene un módulo de 1,96 N. (a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de roce cinético con el piso en el tramo AB? (b) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte? (c) ¿Qué altura alcanza el bloque cuando regresa hacia su posición inicial, después de ser impulsado por el resorte?

�

�

�

Figura 4.25 12

13

14

110

Consideremos la siguiente situación: desde el segundo piso de un edificio, a 4 m del suelo, una persona deja caer un balón de básquetbol de 0,6 kg y 0,12 m de radio. El balón parte del reposo, pero se le da una leve rotación inicial de rapidez angular ω = 10 rad/s, que se mantiene constante en el transcurso de la caída. Despreciando los efectos de la resistencia del aire: (a) ¿cuál es la energía mecánica del balón en el instante en que se suelta? (b) ¿Cuál es la energía mecánica del balón cuando llega al suelo? (b) ¿Con qué rapidez llega el balón al suelo? Una bola de acero de 100 g es impulsada por medio de un resorte en un flipper, adquiriendo una rapidez inicial de 2 m/s. El resorte se ha comprimido inicialmente 5 cm y no existe perdidas de energía por rozamiento. (a) ¿Cuál es la energía cinética con la cual sale impulsada la bola de acero? (b) ¿Qué valor tiene la constante elástica del resorte? Un lápiz de pasta de 40 g que tiene un mecanismo de resorte incorporado, se empuja contra la mesa comprimiento el resorte y al soltarlo alcanza una

v

��

�

�

��

��

Figura 4.26 Física 3° Año Medio


21/7/10 18:18:52


Evaluación final de la sección PARTE I: Relaciona las magnitudes con su respectiva unidad de medida. Magnitud Energía mecánica

1

Unidad kg ⋅ m2 s 2

 kg ⋅ m   kg ⋅ m   s 2  ÷  s 2  Coeficiente de roce 3 kg ⋅ m2 s3 Potencia 4 kg ⋅ m s 2 PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus respuestas. Fuerza de roce

2

1 2 3

VoF

4 5

La fuerza de roce es una fuerza que permite la conservación de la energía mecánica en un sistema. La energía mecánica, al existir fuerza de roce, desaparece. La energía asociada a la compresión o estiramiento de un cuerpo deformable, elástico, se denomina energía potencial gravitatoria. La energía rotacional es un tipo de energía potencial. Un sistema mecánico se dice conservativo si la suma de todas las diferencias de energía es mayor que cero.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. d) La energía potencial gravitatoria asociada 1 Si la fuerza de rozamiento con el aire es cero, a la esfera es mayor. ¿de qué depende la velocidad con la cual un objeto en caída libre llega al suelo? 3 Un resorte sujeto al suelo, en dirección vertical, a) De la altura inicial, de la aceleración de es comprimido una cantidad X. Si tiene una gravedad en la superficie del planeta y de constante elástica K y lanza una bolita de masa m, su masa. ¿qué altura alcanza la bolita? Considera que el b) De la energía inicial, de la aceleración de largo del resorte es despreciable respecto a la gravedad en la superficie del planeta y de su altura alcanzada por la bolita. masa. a) KX2/(2mg) c) De la energía inicial, la altura inicial y de b) 2KX2/(mg) su masa. c) 2KX / ( mg ) d) Solo de la altura inicial y de la aceleración d) KX2/2 de gravedad en la superficie del planeta. 2

Si una pluma y una esfera de acero de masa 20 veces mayor, caen desde el reposo, al mismo tiempo, desde la misma altura inicial, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en cualquier instante? a) La energía potencial gravitatoria para ambas es la misma. b) La energía total para ambas es la misma. c) La energía cinética para ambas es la misma.

4

Una piedra de masa m se deja caer desde una altura h, entonces la expresión que representa la rapidez de llegada al suelo, sin considerar roce con el aire es: a) mv 2 g b) gv 2 m c)

2gv

d)

2gh Sección 4: Conservación de la energía mecánica


111

21/7/10 18:19:24

Al completar la unidad, alumnas y alumnos: •

reconocen situaciones de la vida diaria que se explican en base a la presión, como por ejemplo, el poder tomar bebida con una pajilla;

•

replican el modelo atómico y molecular para explicar el comportamiento de los fluidos y los efectos de la presión;

•

comprenden el funcionamiento de diversos sistemas hidráulicos, como por ejemplo, el de los frenos de los automóviles;

•

en base al principio de Arquímedes, comprenden las condiciones de flotabilidad, por ejemplo, de los barcos;

•

explican el fenómeno de la capilaridad y reconocen su importancia, por ejemplo, a nivel biológico:

•

utilizan el principio de Bernoulli para explicar, por ejemplo, la sustentación de los aviones;

•

reconocen en las leyes que describen el movimiento de un cuerpo en un fluido una explicación para la velocidad límite que alcanza, por ejemplo, una gota de lluvia en la atmósfera;

•

describen las principales características físicas del sistema cardiovascular;

•

conocen aspectos biográficos de quienes desarrollaron la física de los fluidos.

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22/7/10 16:06:44

Un hipopótamo requiere alimentarse de la vegetación que crece en el fondo de un estanque. Cuando el hipopótamo vadea en el estanque, flota. ¿Por qué flota en lugar de hundirse hasta el fondo del estanque?

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22/7/10 16:06:49

Fluidos

Capítulo 3

Antes de empezar... 1 ¿En cuántos estados o fases se encuentra la materia conocida? 2 ¿Qué diferencia a un sólido de un fluido? 3 ¿Si un gas y un líquido son fluidos, que diferencia entonces a un gas de un líquido? 4 ¿Cómo se llama la relación por cuociente entre la masa y el volumen de un cuerpo? 5 ¿Cómo se llama la relación entre la masa de una hoja de cuaderno y su área? 6 ¿Cuál es la magnitud que corresponde a la medida en que una fuerza se distribuye sobre el área de una superficie? 7 ¿Se pueden comprimir los fluidos? 8 ¿Qué ocurre con el nivel del agua cuando te sumerges en una piscina? 9 ¿Qué ocurre con el peso de tu cuerpo cuando nadas en una piscina?

“Proposición 6: si un sólido es más ligero que un fluido y se sumerge fuertemente en él, el sólido será llevado hacia arriba por una fuerza igual a la diferencia entre su peso y el peso del fluido desplazado”. Arquímedes de Siracusa (287 a. C. – 212 a. C.), físico y filósofo griego.

114

10 ¿Puede una aguja de acero “flotar” en la superficie del agua? 11 ¿Qué tienen en común las burbujas de jabón con las gotas de rocío en una tela de araña? 12 ¿Cómo llega el agua desde las raíces de un árbol hasta sus hojas más altas? 13 ¿Cuándo un líquido moja una superficie? ¿Todos los líquidos mojan cualquier superficie?



22/7/10 16:06:57

Capítulo 3: Hidrostática

Indagación N°13 ¿Cómo puede un faquir acostarse en una cama de clavos? PARTE I: Trabajo personal En física es habitual hacer uso de modelos simplificados de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. En la aplicación de las leyes de Newton, por ejemplo, los cuerpos en general son tratados como si fueran partículas u objetos puntuales. Así, podemos hablar de objetos puntuales y, a veces, de objetos extensos. a) ¿En qué circunstancias consideras que un globo inflado puede ser modelado como una partícula y en qué circunstancias, como un objeto extenso? b) ¿Cuál es el procedimiento más efectivo que imaginas para reventar un globo?

Imagen 5.1

c) Si aprietas un globo contra una cama de clavos, como la de un faquir (imagen 5.1), ¿se revienta? PARTE II: Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la tercera pregunta. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipotesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados.


c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

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22/7/10 16:07:03

Fluidos

Indagación N°14 ¿Cómo clavar un clavo? PARTE I: Trabajo personal Cuando el carpintero clava un clavo en un trozo de madera, pone la punta del clavo hacia la madera y le pega luego con el martillo, en lo que se llama cabeza del clavo. Esto le permite ejecutar un buen clavado. Sin embargo, si se equivoca y pone el clavo al revés, por más fuerte que lo golpeé con el martillo, el clavo no entra. De acuerdo a lo anterior, ¿por qué el clavo no entra en la madera al ponerlo de cabeza en la tabla, si la fuerza aplicada por el carpintero es la misma o incluso mayor? a) Plantea una hipótesis que dé respuesta a esta pregunta y regístrala en tu cuaderno. PARTE II. Diálogo con argumentos Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Comenten y argumenten a favor o en contra de ella. Luego, sigan con atención los dos casos que mostrará su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la diferencia entre los dos casos mostrados? b) ¿Cómo se compara la fuerza aplicada por los chinches o tachuelas en el primer caso, respecto al segundo? c) ¿Cómo se compara el área de contacto de los chinches o tachuelas con el globo en el primer caso, respecto al segundo? d) ¿Cuál de los dos casos es más efectivo para reventar el globo? ¿Por qué? PARTE III. Trabajo en equipo En esta parte de la actividad, junto a tu compañero(a) realizarán un sencillo experimento. Necesitan los siguientes materiales: un trozo de madera trupán de 10 cm x 10 cm aproximadamente, un martillo, un alfiler, un chinche, 4 clavos de distintas medidas (media pulgada: (½)"; una pulgada: (1)"; tres pulgadas: (3)"; 4 pulgadas: (4)") y un perno de 3 pulgadas: (3)". Primero, uno(a) de ustedes, usando el martillo, clava en la madera el alfiler, el chinche y los 4 clavos. Observen la fuerza aplicada en cada caso. A continuación, intentan aplicar la misma fuerza que en el caso de un clavo, para “clavar” el perno en la madera, también usando el martillo. Intenten introducir el perno en la madera, aplicando golpes cada vez más fuertes con el martillo sobre la cabeza del perno, hasta lograr insertarlo un poco. a) ¿Cómo es, comparativamente, la dificultad para clavar cada objeto en la madera? Comparen sus observaciones para el caso de los clavos, el alfiler y el perno. b) ¿Qué papel cumple el área de la superficie de contacto, entre los objetos y la madera? c) Comparen sus respuestas con sus hipótesis iniciales.

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22/7/10 16:07:09

Capítulo 3: Hidrostática ci S ec ó n

5

Presión y principio de Pascal

La materia se presenta en distintos estados o fases, cuyas propiedades y características son diferentes. Históricamente, se reconocieron tres estados, de acuerdo a distinciones cualitativas entre sus propiedades macroscópicas. Actualmente, las distinciones entre estados de la materia están basadas en diferencias en sus interacciones moleculares y así se pueden reconocer por lo menos cuatro estados diferentes: •

Sólido. Es el estado en el cual la materia tiene forma y volumen definidos. En este caso, la atracción intermolecular mantiene a las moléculas en posiciones relativas fijas.

•

Líquido. Es el estado en el que la materia mantiene un volumen definido, pero cambia su forma de acuerdo a su contenedor. En este caso, la atracción entre las moléculas logra mantenerlas relativamente próximas, pero no lo suficiente para fijar sus posiciones relativas.

•

Gas. Es el estado en el que la materia se expande hasta ocupar cualquier volumen disponible. En este caso, las moléculas están relativamente separadas y la atracción intermolecular tiene un efecto despreciable en su movimiento.

•

Plasma. Se trata de una sustancia compuesta por una colección de partículas libres con carga eléctrica.

A las sustancias en estado gaseoso o en estado líquido les llamamos fluidos. Esta denominación se debe a que, en determinadas circunstancias, este tipo de sustancia tiene la propiedad de escurrir o fluir, ya que su forma se adapta cualquier contenedor sólido.

Sólido

Líquido

Gas

Figura 5.1. Los tres estados clásicos de la materia. A nivel molecular se diferencian por su grado de cohesión.

Los estados de la materia también se pueden definir en términos de transiciones de fase, las que indican un cambio de estructura interna y pueden ser reconocidas por abruptos cambios en las propiedades. De este modo, el número de estados diferentes crece significativamente.

Figura 5.2. Un fluido gaseoso no solo se adapta al recipiente que lo contiene, sino que también se puede comprimir.

En esta sección nos concentraremos en el estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos que se encuentan en reposo.

¿Cuál es el estado de la materia más abundante en el Universo?

Figura 5.3. Un fluido líquido puede cambiar su forma, pero no puede ser comprimido (a temperatura cons-

tante).

Sección 5: Presión y principio de Pascal


117

22/7/10 16:08:26

Fluidos

En ocasiones, se ha considerado que el vidrio es un ejemplo de una sustancia comunmente considerada sólida, pero que en realidad fluye en forma muy lenta como si fuera un líquido. Aparentemente, esta idea surge porque se ha observado que los vidrios de antiguas catedrales tienen un espesor claramente mayor en su parte inferior que en la superior. Sin embargo, esta información no está estadísticamente validada, y tampoco existe consenso científico en considerar al vidrio como un líquido. Sí, en cambio, hay consenso en considerar la estructura molecular del vidrio como la de un sólido amorfo.

Figura 5.4. Un planeta fluido. El planeta Júpiter tiene la cuarta parte de la densidad de nuestro planeta, lo que permite inferir que es mucho más gaseoso en su estructura interna que la Tierra.

Los objetos físicos son sensibles al cambio de magnitud de algunas de sus propiedades. Por ejemplo, un sólido, como un riel de la línea férrea o una puerta, al experimentar cambios de temperatura, experimenta dilatación térmica. Es decir, aun siendo un sólido pierde su propiedad de tener volumen fijo. En esta sección no consideramos los efectos de los cambios de temperatura en los fluidos, ni en los sólidos que actúan como contenedores.

118

Líquidos y gases en el Universo Aunque los líquidos y gases son fluidos, la distinción entre fluidos y solidos no es completamente obvia. Para hacer una distinción rigurosa, es necesario evaluar una propiedad de las sustancias conocida como viscosidad, que estudiaremos en la siguiente sección. Un caso bien documentado, por ejemplo, es el de una sustancia muy común en nuestras ciudades y carreteras, conocida como asfalto. El asfalto se puede encontrar de manera natural en depósitos de petróleo crudo, pero se obtiene también fácilmente como un subproducto en las refinerías petroleras. Se trata de una sustancia que al tacto parece dura, pero que en realidad puede fluir. Esto lo demuestra el experimento de la gota de asfalto, que se empezó en 1927 y ¡todavía continua! Consiste en dejar caer gotas de asfalto desde un embudo a otro recipiente. 70 años después de iniciar el experimento, cayó la octava gota de asfalto, y actualmente sigue formándose la gota número 9. Pero no solo los líquidos que parecen sólidos son interesantes en el mundo de los fluidos. De hecho, gran parte del Universo está hecha de fluidos. La atmósfera y los océanos de la Tierra, son gases y líquidos, respectivamente. Incluso la roca y el metal a elevadas temperaturas son fluidos en las profundidades de la Tierra. En el Sistema Solar, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno son planetas gigantes gaseosos, constituidos principalmente de gases o gases comprimidos en estado líquido. Sin embargo, la materia visible más abundante en el Universo se encuentra en forma de plasma en las estrellas y en las nubes interestelares. La forma que adoptan los fluidos está determinada por las fuerzas externas que actúan sobre ellos. En el caso de la atmósfera terrestre, por ejemplo, el gas adapta la forma de una cáscara esférica que rodea al planeta, debido a la acción de la fuerza de gravedad. Lo mismo ocurre en el caso de las estrellas y planetas gaseosos, ya que su simetría esférica obedece a la acción de la fuerza de gravedad. En el espacio interestelar, los fluidos tienden a adoptar una forma esférica, como las gotitas microscópicas de agua que se forman en las nubes. Sin embargo, y a nivel terrestre, un líquido en un vaso, por ejemplo, adquiere su forma por la acción de la fuerza de gravedad y de las paredes del vaso.



22/7/10 16:08:37


Conceptos preliminares EXTENSIÓN Y DIMENSIONALIDAD DE LOS OBJETOS En general, los objetos que nos rodean, independientemente de su forma, son cuerpos que ocupan un volumen determinado, distribuido en las tres dimensiones espaciales. Sin embargo, algunos objetos pueden presentar una distribución geométrica que privilegia una, dos o tres dimensiones espaciales. Por ejemplo, una varilla cilíndrica, cuya longitud es mucho mayor que su diámetro, puede ser modelada como un objeto unidimensional. La tapa de un cuaderno, en cambio, cuyas dimensiones significativas son el largo y el ancho, en comparación con el espesor del cartón, puede ser modelada como un objeto bidimensional.

Figura 5.6. Un objeto que tiene su masa distribuida principalmente en una sola dimensión, como las agujas o un trozo de hilo, podemos considerarlo unidimensional.

En esta sección, solo consideramos objetos cuya masa se distribuye en una estructura geométrica que tiene dos o tres dimensiones principales, es decir: superficies y volúmenes. V = a ⋅b ⋅c

V = π ⋅ r2 ⋅ h

V = a3 c

h

a r

b a paralelepípedo

cilindro V=

a cubo

π ⋅ r2 ⋅ h 3

V= h

a

Figura 5.7. Un objeto que tiene su masa distribuida principalmente en dos dimensiones, como la lámina de vidrio, podemos considerarlo bidimensional.

4 π ⋅ r3 3

r r

cono

esfera

Figura 5.5. Parámetros para el cálculo del volumen (V) de algunos cuerpos geométricos regulares.

¿Por qué, a pesar de su espesor, el vidrio que se muestra en la Figura 5.7 puede modelarse como una superficie?



119

22/7/10 16:09:09

Fluidos

DENSIDAD VOLUMÉTRICA Al relacionar la masa de un objeto con sus dimensiones geométricas, se obtiene una magnitud conocida como densidad (ρ). La densidad de un cuerpo se puede determinar de distintas formas, dependiendo de la geometría del objeto y su dimensionalidad. Así, al considerar un objeto cuya masa se encuentra distribuida en una sola dimensión principal, como el caso de la varilla larga, hablamos de densidad lineal. Cuando se trata de un cuerpo cuya masa está distribuida principalmente en dos dimensiones, hacemos uso de una densidad superficial. Cuando la masa se distribuye sin privilegiar ninguna dimensión, como el caso de una roca o un cilindro, consideramos la densidad volumétrica.

Figura 5.8. Un globo aerostático se eleva porque la densidad del fluido en su interior es menor que la densidad del fluido en su exterior. ¿Cuál es el fluido dentro y fuera del globo aerostático? ¿Por qué tienen diferente densidad?

Para el estudio de los fluidos, centramos nuestra atención en la comprensión de la idea de densidad volumétrica. Por eso, en adelante, cada vez que nos refiramos a la densidad de un cuerpo, estaremos hablando de su densidad volumétrica a menos que se indique otra cosa. De acuerdo a esto, la densidad de un cuerpo cualquiera es una magnitud escalar, cuya unidad de medida en el Sistema InternaKg cional es 3 , y se determina de la siguiente forma: m m (5.1) ρ= V En la ecuación 5.1 m es la masa y V es el volumen del cuerpo. Ejemplo 1 Un ladrillo de 5 kg tiene las siguientes dimensiones: 30 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto.

ρ es la letra griega “rho”.

a)

¿Cuál es el volumen del ladrillo y su densidad?

a:

De acuerdo al enunciado, el ladrillo puede ser modelado como un paralelepípedo. De esta manera, el volumen del ladrillo es: V = a ⋅b⋅c V = 0, 3 m ⋅ 0,1 m ⋅ 0, 05 m V = 0, 0015 m3

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22/7/10 16:09:30


Para calcular la densidad volumétrica, usamos la ecuación (5.1), reemplazando el volumen y la masa conocida del ladrillo: m ρ= V

5 Kg ρ= 0, 0015m3 kg ρ = 3 333, 3 3 m Es decir, de acuerdo a la Tabla 5.1, podemos decir que el ladrillo tiene una densidad 3 veces mayor que la del agua. Como has aprendido en cursos anteriores, agua, aceite y mercurio son líquidos inmiscibles, es decir, no pueden mezclarse entre sí. Si se pone en un vaso una parte de cada una de estas sustancias, ¿cuál sería su distribución, por capas, en el interior del vaso?

LA PRESIÓN En el estudio del movimiento, en segundo año medio, y también en el capítulo anterior sobre el movimiento circular, has aprendido en qué consiste una fuerza y cuáles son sus efectos. Hemos visto que la fuerza siempre es una interacción entre dos objetos.

Sustancia

Densidad

Agua (a 4°C) Aceite Gasolina Plomo Acero Mercurio Madera Aire

1 000 920 680 11 300 7 800 13 600 90 1,3

 kg   m 3 

Densidad

 g   cm 3 

1,0000 0,92 0,6800 11,300 7,8000 13,6000 0,9000 0,0013

Tabla 5.1. Densidad volumétrica de algunas sustancias sólidas y líquidas. Estos valores varían ligeramente con la temperatura, porque el volumen de una sustancia depende de la temperatura a la que se encuentre.

El centro de masa de un sistema es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. Este concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Un sistema, en este sentido, puede ser un cuerpo extenso, o una colección de varios cuerpos masivos.

Por lo general, al modelar las interacciones, consideramos los objetos como si fueran partículas puntuales, de modo que las fuerzas actúan en un punto específico de cada objeto. Este punto se llama centro de masa. Es decir, es en el centro de masa del objeto donde operacionalmente se aplica una fuerza. Sin embargo, cuando dos objetos extensos interactúan mediante una fuerza, de manera que una gran cantidad de puntos de sus superficies están en contacto, decimos que los objetos ejercen presión entre sí. La presión es, entonces, una fuerza que se distribuye en una superficie y actúa en un área determinada. De acuerdo a esto, la presión se define del siguiente modo: P=

F A

(5.2)

Donde F es el módulo de la fuerza perpendicular a la superficie cuya área de contacto es A.

Figura 5.9. El globo no revienta debido a que la fuerza que se aplica se distribuye en todos los puntos de contacto. Entre mayor es la superficie de contacto menor es la presión.



121

22/7/10 16:56:57

Fluidos

De acuerdo a lo anterior, la unidad de medida corresponde a  N2  , m  que recibe el nombre de pascal [Pa]: N   Pa  =  2  m 

X

Y

(5.3)

Z

Figura 5.10. Un ladrillo apoyado sobre cada uno de sus lados. ¿En qué caso el peso del ladrillo ejerce mayor presión sobre el suelo?

Ejemplo 2 Supongamos que la masa del ladrillo de la Figura 5.10 es de 5 kg, y tiene las siguientes dimensiones: 30 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto.

Figura 5.11. La presión que ejerce la suela del calzado sobre el suelo es mucho mayor en el taco que en la planta, ya que mientras menor es el área de contacto mayor es la presión.

a)

Entre los lados del ladrillo, ¿cuál es el área menor y el área mayor?

b)

¿Cuál es la presión que ejerce el ladrillo al estar apoyado en cada uno de esos lados?

a:

Las áreas de los tres lados del ladrillo son: AX = 0,1 m ⋅ 0, 05 m AX = 0, 005 m2 AY = 0, 3 m ⋅ 0, 05 m AY = 0, 015 m2 AZ = 0, 3 m ⋅ 0,1 m AZ = 0, 03 m2

Por lo tanto, las caras de menor área son las superficies de apoyo del ladrillo en los casos X e Y de la Figura 5.10.

122



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b:

Para encontrar la presión ejercida en cada caso, necesitamos precisar la fuerza que se aplica sobre el suelo. Esta fuerza corresponde al peso. Aproximando la aceleración de m gravedad como g = 10 , de acuerdo a la ecuación (5.2), s2 la presión ejercida por el área menor es: F P= A mg P= A m 5kg ⋅ 10 2 s P= 0, 005m2 N P = 10 000 2 m P = 10 000Pa

Análogamente, la presión ejercida por el área mayor es: P=

5kg ⋅ 10

m s2

0, 03m2

N m2 P = 1 666, 7 Pa P = 1 666, 7

Imagina que un compañero te empuja con mucha fuerza con la palma de su mano extendida y, luego, te pincha con una aguja, pero con una pequeña fuerza muy leve. ¿Por qué te duele el pinchazo y no el empujón si te lo dio con más fuerza?

Es importante observar que la fuerza y la presión son magnitudes diferentes. Podemos obtener una presión muy grande a partir de una fuerza relativamente pequeña, haciendo que el área sobre la que se aplica la fuerza sea pequeña, como es el caso de una aguja o el taco de la Figura 5.11. También podemos producir una presión pequeña a partir de una fuerza grande, aumentando el área sobre la que actúa la fuerza, como es el caso de los esquíes en la nieve o del globo en la Figura 5.9. Sección 5: Presión y principio de Pascal


123

22/7/10 16:57:48

Fluidos

Actividad de profundización ¿De qué depende la flotación de un objeto? Reúnete con 4 ó 5 compañeros y compañeras y formen un equipo de trabajo. Para realizar esta actividad, necesitan lo siguiente: 100 cm 3 de agua, 100 cm3 de aceite y 100 cm3 de alcohol de quemar (etanol). También necesitan una botella plástica de bebida de 0,5 litros. Por último, incluyan en la lista: una nuez (con cáscara), una mandarina, 10 chinches metálicos, 1 bolita de vidrio y/o de acero (como la de un rodamiento). Si es posible, consideren también un cubo de hielo y otro de aceite congelado. a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿cómo se relaciona la flotación de un cuerpo con su densidad? Como equipo, planteen una hipótesis para responder. A continuación, realicen el siguiente experimento. Primero, midan la masa y el volumen de cada líquido con precisión, haciendo uso de los instrumentos proporcionados por tu profesor(a). Luego, respondan: b) ¿Cuál es la densidad de cada uno de los líquidos? c) ¿Cómo pueden medir el volumen del 1 chinche metálico o de la nuez? ¿Cuál es la densidad de cada uno de los objetos? A continuación, corten el cuello de la botella, de manera que la abertura superior tenga 4 cm de diámetro aproximadamente. Introduzcan lentamente en su interior cada uno de los líquidos en el siguiente orden: agua, aceite y etanol. d) Describe en tu cuaderno qué observas una vez que todos los líquidos se han vertido en la botella. e) ¿Qué papel desempeña la densidad de los líquidos en lo que observas? A continuación, dejen caer dentro de la botella, uno a uno, los objetos que consiguieron. Antes de depositarlos en la botella, predigan hasta donde se hundirá cada objeto. Luego, observen. f) Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis que plantearon. Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.

124



22/7/10 16:57:52


Evaluación intermedia PARTE I: Problema de planteamiento 1

Observa la siguiente imagen: a) En la imagen se observan los pies de tres niños que caminan en zancos hechos de tarros con arena en el interior. El radio de un tarro es de 0,07 m. Si la masa de un niño es de 50 kg y la de cada uno de sus zancos es de 1 kg, ¿cuál es la presión que se ejerce sobre el suelo cuando el niño está parado en un pie?

PARTE II: Análisis 2

A partir del problema anterior, ¿cuánto aumenta la presión de un zanco sobre el suelo si el radio del tarro se reduce a la mitad?

Indagación N°15 ¿Cómo cambia la presión en el interior de un líquido con la profundidad? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: La presión en el interior de un líquido es siempre la misma a cualquier profundidad, es decir, la presión es constante. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).




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22/7/10 16:57:56

Fluidos

Presión hidrostática Aunque la presión no tiene una dirección específica, la fuerza que la produce sí la tiene. En el caso de un fluido que ejerce presión sobre una superficie, hay una fuerza neta que siempre está dirigida en una dirección perpendicular a la superficie. Analicemos esta idea considerando la Figura 5.12. Cuando sumergimos un dedo en un vaso con agua o cuando nos sumergimos en una piscina, podemos percibir la fuerza de contacto del agua en cada punto sumergido de nuestro cuerpo. Al igual que en la Figura 5.12(a), las fuerzas del líquido actúan sobre nuestra piel apuntando en todas direcciones.

Figura 5.13. Incrementando la presión del agua en el interior del globo esférico, al cual se le han practicado orificios en distintos lugares, se puede apreciar cómo los chorros de agua salen siempre en dirección radial, es decir, perpendiculares a las paredes del globo.

Fijemos nuestra atención en el punto medio de una de las caras del bloque triangular. En ese lugar, como en cualquier otro lugar de las superficies del bloque, actúan fuerzas que apuntan en todas direcciones. El esquema muestra que las componentes paralelas a la superficie del objeto se anulan entre sí (las componentes paralelas de las fuerzas azules y verdes), y sólo queda un fuerza neta, perpendicular a cada lado, que es la suma de las componentes perpendiculares de las fuerzas del líquido, actuando sobre las superficies del bloque. Como muestra la Figura 5.12(b), la fuerza ejercida por el líquido sobre las superficies del objeto es siempre perpendicular a ellas. Lo mismo sucede en las paredes del recipiente.

La fuerza que un fluido ejerce sobre una superficie tiene su origen en la colisión de las moléculas del fluido contra la superficie. De acuerdo a la 3a ley de Newton y la relación entre impulso y momentum lineal, cada colisión produce una fuerza sobre la superficie. Como el número de moléculas del fluido es muy grande, también se produce un gran número de colisiones con las superficies en cada instante, lo que da lugar a la fuerza macroscópica constante que relacionamos con la presión.

126

(a)

(b)

Figura 5.12. (a) Las fuerzas del líquido sobre cada punto en las superficies del objeto apuntan en todas direcciones (flechas azules y verdes, por ejemplo), pero una parte de ellas se cancela mutuamente y solo resulta una fuerza neta perpendicular a la superficie (flecha roja). (b) Por lo tanto, la fuerza que ejerce un líquido sobre cualquier punto de un objeto sumergido es perpendicular a la superficie del objeto. La misma idea se puede aplicar a las paredes del recipiente: la fuerza que ejerce el líquido sobre las paredes es perpendicular a ellas en todos los puntos.



22/7/10 16:58:12


Cuando nadamos con la cabeza bajo el agua, podemos notar cómo la presión aumenta en la medida en que más nos sumergimos. A veces, llegamos a sentir un pequeño dolor en el oído, producto del aumento de presión sobre el tímpano. ¿Qué provoca esa presión? Simplemente, el peso del fluido que está sobre nosotros. ¿Y qué fluido tenemos sobre nosotros? Agua, obviamente. Pero no solo agua. Sobre la superficie del agua hay aire, y como tal, también es un fluido cuyo peso tenemos que considerar.

atmósfera

El peso del aire de la atmósfera produce una presión sobre la superficie terrestre y sobre cualquier otra superficie que se encuentre en ella; por ejemplo, la superficie de nuestros cuerpos. Esta presión es llamada presión atmosférica. Analicemos la relación entre el peso del agua, el peso del aire y la presión, cuando un objeto se sumerge a cierta profundidad. Para esto, consideremos el diagrama de la Figura 5.14, en el que se ha representado una porción del agua en reposo, como un cilindro de masa m, cuyo volumen es: V=A ·h

(5.4)

Donde A es el área de la base circular del cilindro y h es la profundidad de la columna de líquido. Como el cilindro de agua está en reposo, todas las fuerzas que actúan sobre él están en equilibrio. Por una parte, actúa la fuerza de gravedad, que identificamos como el peso de la porción de  agua contenida en el cilindro imaginario ( FC ). Por otra parte, actúa también el peso de la columna de aire atmosférico que se  encuentra justo arriba del cilindro de agua ( Fatm ). Ambas fuerzas actúan en dirección vertical y hacia abajo, de modo que hay una fuerza que las equilibra apuntando en sentido contrario. Esta fuerza la identificamos como la fuerza que ejerce el resto del fluido sobre el cilindro de agua ( FFluido ). Aunque el cilindro de agua que estamos imaginando no es un cuerpo rígido, por un momento supongamos que las tres fuerzas en equilibrio actúan en el centro del cilindro. De acuerdo a esto, considerando los módulos de las fuerzas, el equilibrio que hemos mencionado se puede escribir del siguiente modo: FFluido = FC + Fatm

(5.5)

 F Fluido

A  F atm

h

 FC

Figura 5.14. En el esquema, se representa un cilindro imaginario que contiene un porción del agua del recipiente, y cuya masa  es m. El peso del cilindro de agua ( F C )ejerce una presión sobre el resto del fluido en su base, a una profundidad h. Como el líquido está en reposo, las fuerzas que actúan sobre el agua están en equilibrio. Además del peso del agua, actúa sobre la cara superior del cilindro el peso  de la columna de aire atmosférico ( F atm ), inmediatamente arriba de él. Ambas fuerzas son  equilibradas por la fuerza opuesta ( F Fluido) que ejerce el resto del líquido sobre la porción contenida en el cilindro imaginario.

En estricto rigor, el peso del aire atmosférico actúa sobre la cara superior del cilindro, mientras que la fuerza del resto del fluido actúa sobre la base inferior del cilindro. La diferencia entre estas fuerzas equivale al peso del fluido contenido en el cilindro. Sección 5: Presión y principio de Pascal


127

22/7/10 16:58:55

Fluidos

A

B

Para obtener el equilibrio de fuerzas expresado en la ecuación (5.5), hicimos uso de una suposición correcta, pero imprecisa. Es correcta, porque si ese equilibrio no se produjera, entonces la masa de agua contenida en el cilindro que hemos considerado se desplazaría, lo que contradice la idea de que se trata de un fluido en reposo. Sin embargo, se trata de una suposición imprecisa, porque las fuerzas no actúan en el centro del cilindro de agua, sino que lo hacen de manera distribuida, en el área de la base del cilindro, a una profundidad h. Es decir, el concepto apropiado para establecer el equilibrio de la ecuación (5.5) es el de presión. Ya sabemos que para obtener la presión ejercida por una fuerza, es necesario dividir la intensidad de la fuerza por el área en la que actúa. Es decir, dividiendo por A todos los términos de la ecuación (5.5), obtenemos: FFluido = FC + Fatm FFluido A

Figura 5.15. Para medir la presión atmosférica, (a) Torricelli llenó un tubo con mercurio, cerrado en uno de sus extremos, y luego lo tapó con el dedo. (b) A continuación, invirtió el tubo, lo sumergió en una cubeta con mercurio y retiró el dedo cuidando que no entrara aire en el tubo. El mercurio en el tubo descendió hasta una altura de 76 cm aproximadamente, mientras en la parte superior se formó un vacío parcial. El tubo de mercurio no se vacía porque el aire de la atmósfera ejerce una presión sobre la superficie del mercurio en la cubeta, suficiente para equilibrar el peso de la columna de mercurio de 76 cm.

=

FC A

+

Fatm A

Considerando lo anterior, podemos reescribir la ecuación (5.6) FFluido FC Fatm del siguiente modo: = + A A A m⋅ g (5.7) P= + P0 A Donde hemos considerado que FC es el peso del cilindro de agua. Haciendo uso de las relaciones (5.1) y (5.4), la ecuación anterior queda como:

ρ ⋅V ⋅ g + P0 A ρ ⋅ A⋅ h ⋅ g P= + P0 A P=

(5.8)

Es decir, encontramos que la presión del fluido a una profundidad h es: P = ρ ⋅ h ⋅ g + P0

128

(5.6)

(5.9)



22/7/10 16:59:20


En esta expresión, el primer término del lado derecho es la presión del fluido sobre la base del cilindro de agua, es decir, es la presión a una profundidad h, conocida como presión hidrostática. Por su parte, el segundo término es la presión que ejerce el aire de la atmósfera sobre el cilindro o, simplemente, la presión atmosférica (P0). Por lo tanto, este resultado muestra que la presión del fluido depende directamente de la profundidad y de la densidad del fluido y también de la presión en su superficie. Además, de la ecuación se deduce que la presión es la misma en todos los puntos del fluido situados a la misma profundidad, independientemente de la forma del recipiente que lo contiene.

En sistemas alternativos de unidades, la presión se puede medir en: Torricelli (Torr), milímetros de mercurio (mmHg), atmósferas (atm), libras por pulgada cuadrada (psi), bar (bar), entre otras. Algunas equivalencias entre estas unidades, referidas al valor de la presión atmosférica a nivel del mar, son las siguientes: 1 atm = 14, 7 psi 1 atm = 1013 ⋅ 102 Pa 1 atm = 760 Torr 1 Torr = 1 mmHg

La presión atmosférica a nivel del mar es de 1013 · 102 Pa. En adelante, aproximaremos este valor como P0 = 105 Pa Ejemplo 3 Una persona se encuentra sumergida a una profundidad de 3 m en una piscina de agua. a)

¿Qué presión se ejerce sobre la persona?

b)

Si el área de cada uno de sus tímpanos es de 1 cm2, ¿qué fuerza soportan?

a:

De acuerdo a la ecuación (5.9), para encontrar la presión total sobre la persona, consideramos la densidad del fluido, m la profundidad y la presión atmosférica. Usando g = 10 2 s y considerando P0 a nivel del mar, encontramos:

Figura 5.16. Cuando se nada a mayor profundidad, mayor es la presión experimentada.

P = ρ ⋅ h ⋅ g + Po m kg ⋅ 3 m ⋅ 10 2 + 105 Pa 3 m s kg P = 30 000 + 05 Pa 2 ⋅ m s 0 1 P = 0, 3 ⋅ 105 Pa + 105 Pa P = 1 000

P = 1, 3 ⋅ 105 Pa b:

Para encontrar la fuerza que soporta el tímpano usamos la definición operacional de presión dada por la ecuación (5.2): F=P·A Sección 5: Presión y principio de Pascal


129

22/7/10 16:59:45

Fluidos

Antes de reemplazar los datos del enunciado, tenemos que considerar las unidades apropiadas. En particular, para el área de cada tímpano, tenemos:

(

1 cm2 = 1 10−2 m

)

2

1cm2 = 10−4 m2 Entonces,

F = P⋅ A F = 1, 3 ⋅ 105 Pa ⋅ 10−4 m2 F = 13N

Este resultado muestra que, a 3 m de profundidad, el tímpano resiste una fuerza relativamente grande. Figura 5.17. ¿En cuál de los recipientes la presión del líquido en el fondo es mayor?

En la Figura 5.18, todos los agujeros laterales del recipiente tienen el mismo diámetro. ¿A qué se debe que el chorro de agua tenga mayor o menor alcance horizontal al salir del recipiente?

Principio de Pascal En 1648, Blaise Pascal descubrió, realizando experimentos con fluidos, lo siguiente: «El incremento de presión aplicado a la superficie de un fluido incompresible, contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo» Este enunciado se conoce como principio de Pascal.

Figura 5.18. Debido a que la presión es perpendicular a las paredes del recipiente, los chorros de agua salen inicialmente en esa dirección y luego se curvan por efecto de la fuerza de gravedad. Los tres orificios tienen el mismo diámetro.

El montaje que se muestra en la Figura 5.13 también es una demostración del principio de Pascal, ya que la variación de presión ejercida por la jeringa se propaga de manera constante a cualquier lugar en el interior del líquido, lo que queda en evidencia porque se observa que el agua sale por todos los agujeros mostrando que el cambio de presión se trasmite a todos ellos. El principio de Pascal es utilizado en muchos objetos tecnológicos que trabajan con líquidos. Por esta razón, estas máquinas se llaman hidráulicas, ya que usan los fluidos para aplicar y aumentar las fuerzas. Piensa, por ejemplo, en los componentes de un vehículo: ¿qué características tienen en común la dirección hidráulica, los frenos hidráulicos y la gata hidráulica?

130



22/7/10 17:00:03


A continuación, analizaremos el interesante caso de la gata hidráulica, que consiste en un dispositivo capaz de levantar un gran peso a partir de la aplicación de una fuerza relativamente pequeña. Como se muestra en la Figura 5.19, el mecanismo de la gata hidráulica está compuesto por dos émbolos de distinto diámetro conectados por un fluido encerrado en una cavidad, cuyo diámetro varía de un émbolo al otro. Al mecanismo se aplica fuerza de entrada (F1) sobre una pequeña superficie de área A1. Esto genera una presión en el fluido que se transmite de manera constante en todo su interior y, en particular, hasta la superficie A2, cuya área es mayor que A1. Por lo tanto, sobre A2 el fluido aplica una fuerza de salida (F2) que es mayor que la fuerza de entrada.

F1

Figura 5.20. Con un par de jeringas de distinto diámetro, una pequeña manguera y un líquido, se puede demostrar fácilmente el principio de Pascal.

2

1

F2

A2

A1 Figura 5.19. Por el principio de Pascal, la fuerza aplicada sobre el émbolo 1 es amplificada gracias a que la presión ejercida en el fluido es constante.

La fuerza aplicada sobre el émbolo 1 provoca una presión (P1) extra sobre el fluido, que se transmite en todo su interior; en particular, hasta el émbolo 2. Por lo tanto, por el principio de Pascal: P1 = P2

(5.10)

Donde P2 es la presión extra sobre el émbolo 2. A continuación, haciendo uso de la ecuación (5.2), podemos escribir las presiones en términos de fuerza y área. Sección 5: Presión y principio de Pascal


131

22/7/10 17:01:56

Fluidos

Es decir:

F1

A1

F1

A1

=

F2

A2 (5.11)

⋅ A2 = F2

F1 ⋅

A2

= F2 A1 Este resultado muestra claramente que el factor de aumento del área en el émbolo 2 determina un aumento proporcional de la fuerza de salida. Es decir, cuando mayor es el área de salida, en comparación con el área de entrada, mayor es la fuerza útil o de carga de la máquina hidráulica. Ejemplo 4 Figura 5.21. Típica gata hidráulica para levantar un automóvil mediano. ¿Dónde está el émbolo de entrada y el émbolo de salida?

Depósito de líquido de frenos tambor

Consideremos el mecanismo de una gata hidráulica en la cual la fuerza de entrada es de 100 N y se aplica sobre un área de 100 cm2. El área de la superficie de salida es de 10 000 cm2. a)

¿Cuál es la fuerza de salida en este caso?

b)

¿Es suficiente la fuerza de salida para levantar un automóvil de 1 500 kg?

a:

Por el principio de Pascal, la presión ejercida por la fuerza de entrada es la misma que se ejerce sobre la superficie de salida. De acuerdo a la última de las ecuaciones (5.11), tenemos:

neumático

F1 ⋅

pedal

100 N ⋅ Caja maestra

manguera

balata

Figura 5.22. El sistema de frenos de un vehículo también utiliza el principio de Pascal, ya que mediante un fluido se transmite la presión ejercida por la fuerza en el pedal hasta la balata, que con una fuerza mayor presiona el tambor del neumático para frenarlo.

A2 A1

= F2

10 000 cm2 = F2 100 cm2 10 000 N = F2

Es decir, la fuerza aumentó 100 veces en relación a la fuerza aplicada. b:

Como el peso de un automóvil de 1 500 kg es aproximadamente 15 000 N, la fuerza de salida de la gata hidráulica del ejemplo no es suficiente para levantarlo.

Hay varias formas de modificar el funcionamiento de la gata para lograr que levante el vehículo, ¿cuáles son?

132



22/7/10 17:02:59


Figura 5.23. En una gata hidráulica, aprovechando su peso, un hombre de 75 kg logra levantar un auto de 850 kg. Es interesante observar que lo que se desplaza el émbolo hacia abajo es considerablemente mayor que lo que se desplaza el automóvil hacia arriba.

Analizando la situación representada en la Figura 5.23, ¿cómo se relaciona el principio de Pascal con el trabajo y la energía mecánica?

Presión atmosférica Ya hemos mostrado que los gases, a diferencia de los líquidos, pueden ser comprimidos. Nuestra atmósfera es un fluido gaseoso en el que la densidad disminuye gradualmente con la altitud. Entre las capas atmosféricas, la que se encuentra más próxima a la superficie del planeta es llamada troposfera, y tiene la mayor densidad, porque está más comprimida por el peso de las capas superiores. De esta manera, en la medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra la densidad disminuye. De acuerdo a esto, la atmósfera puede ser modelada como un fluido estático formado por capas de distinta densidad. Si en este modelo se considera, además, que la temperatura y la intensidad del campo gravitatorio son constantes, entonces la densidad atmosférica es directamente proporcional a la presión. Al formalizar matemáticamente estas condiciones, la presión atmosférica muestra una relación exponencial con la altitud. Es decir, la presión atmosférica disminuye rápidamente al alejarse de la superficie terrestre.

Figura 5.24. El 19 de septiembre de 1648, un año después de recibir una carta desde París de parte de Blaise Pascal, su cuñado, Florin Périer junto a un grupo de amigos, siguiendo las instrucciones indicadas en esa carta, realizaron el experimento de Torricelli en la cima del Puy de Dôme, en la región central de Francia. Tal como había comprendido Pascal que sucedería, la altura de la columna de mercurio en el barómetro fue 85 mm menor que en la base de la montaña, aproximadamente 1 000 m más abajo. Sección 5: Presión y principio de Pascal


133

22/7/10 17:03:27

Fluidos

La función exponencial es una función matemática muy importante en innumerables procesos naturales y se puede escribir como: f ( x) = e

x

Se puede demostrar, dadas las condiciones anteriores, que la presión atmosférica depende de la altura sobre el nivel del mar (h) de la siguiente forma: −h

(5.13)

Donde Po es la presión atmosférica a nivel del mar. Esta expresión es una buena aproximación para la presión atmosférica a alturas relativamente bajas.

moléculas de aire

40

Altitud (km)

Donde el número e corresponde a un irracional, cuyas primeras cifras decimales son 2,7182818284. Algunos procesos gobernados por la función exponencial son: el número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno, el número de bacterias que se reproducen por mitosis o el número de contagiados en una epidemia de gripe, entre otros.

30

Estratosfera

20 10 Tropo-

900 800

0

700

500 400

Gas 2

Tropopausa

Everest

Troposfera

pausa 0,1

600

Gas 1

(5.12)

P = Po ⋅ e 8,55 km

0,3

0,5

0,7

Presión amosférica (atm)

300

océano

1

200 100 0 mm

Figura 5.26. Manómetro de tubo de vidrio, que indica la diferencia de presión entre dos fluidos gaseosos. Para medir la diferencia, basta determinar la diferencia de altura de la columna de mercurio entre los dos tubos paralelos. Si cada rama del manómetro se conecta a distintas fuentes de presión, el nivel del líquido aumenta en la rama a menor presión y disminuye en la otra.

Para medir la presión absoluta (Pabs) de un gas, a la presión manométrica (Pman) se debe sumar la presión atmosférica (P0). La presión manométrica típica de un neumático de bicicleta, por ejemplo, es de 300 a 450 kPa: Pabs = Pman + P0

134

(5.14)

Figura 5.25. Modelo para la variación de la presión atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar. Se observa que la tropósfera tiene la mayor densidad, porque está más comprimida por el peso de las capas superiores de aire.

A pesar de lo anterior, es evidente que la atmósfera no puede ser considerada realmente como un fluido estático, ya que hay una serie de factores que hacen de ella un sistema dinámico. Por ejemplo: •

Las diferencias de temperatura entre masas de aire polar y masas de aire proveniente de los trópicos, cuya interacción produce los denominados frentes meteorológicos.

•

La diferencia de temperatura entre el mar y las montañas, que generan vientos locales.

•

La rotación del planeta, que produce el efecto Coriolis sobre las masas de aire que se desplazan siguiendo un meridiano.

•

Las diferencias de temperatura entre masas de aire a diferentes altitudes, que producen zonas de ascenso y descenso de aire, los llamados ciclones y anticiclones.



22/7/10 17:03:53


Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Aceleración de gravedad B Líquidos C Gases D Principio de Pascal E Presión atmosférica F Densidad de fluido G Masa

I II III IV V

Frases Conectoras (FC) Es producto de Es cuociente entre Aplica el concepto de Depende de Estudio de

Hidrostática 10

8

Fuerza aplicada 9

Área de contacto

Presión

4 En

Se relaciona con Presión hidrostática 1

Profundidad

12

3

5

6

Reposo

Es producida por el

Cumplen el

Peso del aire atmosférico

7 Si son incompresibles

2 11 Volumen

Desafío Cuando hayas terminado esta actividad, vuelve a leer el texto de la sección, con mucha atención, y genera tu propio mapa conceptual. Sección 5: Presión y principio de Pascal


135

22/7/10 17:04:02

Fluidos


¿Qué quería demostrar Pascal con el experimento que le encargó realizar a su cuñado en el monte Puy de Dôme?

2

¿Cuál se cree actualmente que es el estado de la materia más abundante en el Universo?

3

¿Por qué duele más un pinchazo de una aguja, aunque sea con una fuerza muy leve, que un empujón de gran fuerza hecho con la mano extendida?

4

¿Cómo se relaciona el principio de Pascal con el trabajo?

5

Una caja cúbica de madera que posee una masa de 50 kg y aristas de 1 m de longitud, se ubica en el piso liso de la sala. (a) ¿Cuál es el área de una de sus caras? (b) ¿Cuál es el peso de la caja? (c) ¿Cuál es la presión que ejerce la caja sobre el suelo? (d) ¿Cuál es presión de la caja sobre el suelo, si un niño de 50 kg se sube sobre ella?

6

7

8

136

a la atmosfera: una de aceite, una de agua pura y una de mercurio. ¿A qué profundidad, en cada piscina, la presión absoluta es de: (a) 2Po (b) 3Po? (c) ¿A qué profundidad, en cada caso, el líquido ejerce una presión equivalente a 1 atm (Po)? (Considere para ambas respuestas g = 9,8 m/s2) kg kg ( ρaceite = 0, 91 ⋅ 10 3 3 ; ρagua = 1 ⋅ 10 3 3 ; m m 3 kg ρmercurio = 13, 6 ⋅ 10 3 ) m 9

El último piso de un edificio está a 50 m del suelo. Si el sistema de agua potable tiene una presión absoluta de 4 · 105 Pa, (a) ¿hasta qué altura sube el agua en estas condiciones? (b) ¿Es necesario instalar una bomba para elevar el agua hasta el último piso?

10

Observa la Figura 5.27. Una persona de 80 kg de masa se sube sobre la plataforma, la que tiene un radio de 20 cm. (a) ¿Cuál es el área de la sección transversal de la plataforma cilíndrica? (b) Si el fluido es agua pura, ¿qué altura (h) alcanza en el tubo abierto a la atmósfera?

Un ladrillo de 5 kg de masa tiene las siguientes dimensiones: 20 cm de ancho, 40 cm de largo y 10 cm de espesor. (a) ¿Cuál es el área de la cara de mayor superficie? (b) ¿Cuál es el volumen del ladrillo? (c) ¿Cuál es valor de su densidad? (d) ¿Cuál es el módulo del peso del ladrillo? (e) ¿Qué presión ejerce el peso del ladrillo sobre el piso a través de su área mayor? En su casa, un joven recibe el encargo de apilar 12 ladrillos en una habitación, pero se le indica que no agrupe una sola columna vertical, porque el piso soporta solo la cuarta parte de la presión que esa distribución produce. (a) ¿Cuál sería la distribución más eficiente; es decir, la que ocuparía menos área, pero evitando que se rompa el piso? Explica. En un laboratorio de fluidos se tiene tres piscinas de 15 m de profundidad cada una, abiertas

Po

Po

h

Figura 5.27 11

Se suele decir que la pisada de un elefante no la soporta ningún ser vivo. Supongamos que un joven elefante tiene una masa de 40 toneladas y que se para equilibradamente sobre sus cuatro patas. Si la superficie de apoyo de cada pata se puede modelar como un círculo de 30 cm de diámetro, (a) ¿cuál es el área de cada pata? (b) ¿Cuál es el



22/7/10 17:04:19


módulo del peso del elefante? (c) ¿Qué presión ejerce cada pata del elefante sobre el suelo? 12

15

Una mujer de 60 kg, de pie en la fila de un banco, usa zapatos con tacos delgados. El área de la suela más el área de la tapilla del taco, de cada zapato, suma 6 cm2. (a) ¿Qué presión ejerce uno de sus pies sobre el suelo, al estar normalmente de pie? (b) ¿Cuánto se reduce la presión anterior si cambia los zapatos por zapatillas, cuya superficie de apoyo es 10 veces mayor?

En la Figura 5.30, se muestra un tubo en forma de U que contiene dos volúmenes iguales de agua y mercurio. Cada líquido ocupa una extensión de 20 cm del tubo. (a) ¿Cuál es la presión manométrica en la sección transversal donde se tocan los líquidos? (b) ¿Cuál es la diferencia de altura (ya – yb) entre los líquidos?

agua

ya

mercurio

ym

Figura 5.28 13

14

Un tubo de 80 cm de largo mantiene en posición vertical y se llena hasta la mitad con mercurio y la otra mitad con agua. (a) ¿Cuál es la presión manométrica en el punto de contacto de los líquidos? (b) ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo del tubo? En la Figura 5.29, se muestra un sistema mecánico en equilibrio en el cual el diámetro del pistón de entrada es de 25 cm y el de salida de 75 cm. La persona que ejerce la fuerza en la entrada tiene una masa de 70 kg. (a) ¿Cuál es el módulo del peso de la persona? (b) ¿Qué presión ejerce el émbolo de entrada cuando la persona se para sobre él? (c) ¿Cuál es el peso del vehículo?

Figura 5.29

Figura 5.30 16

De acuerdo a la Figura 5.31, sobre la jeringa pequeña, de radio ro, se ejerce una fuerza Fo que genera una presión sobre el líquido contenido en la manguera. La presión se transmite a través del fluido líquido en el sistema hasta otra jeringa más grande, cuyo émbolo tiene un radio de igual a 2ro. (a) ¿Cuánto aumenta la fuerza del sistema en la jeringa grande? (b) Si el émbolo de la jeringa pequeña se comprime 3 cm, ¿cuál es el trabajo realizado? (c) En estas condiciones, ¿cuánto se desplaza el émbolo de la jeringa grande?

Figura 5.31 Sección 5: Presión y principio de Pascal


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22/7/10 17:05:05

Fluidos

Evaluación final de la sección PARTE I: Anota en el recuadro el número de la magnitud que corresponde a la unidad. Magnitud Profundidad

Unidad Kg/m3

3

Presión hidrostática Área

Pa m2

4

Densidad

m

1 2

PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus respuestas. VoF 1 2 3

La presión al interior de un fluido incompresible es constante. La presión atmosférica aumenta linealmente con la altura, respecto al nivel del mar. La presión externa aplicada a un fluido incompresible en reposo se reduce en los puntos más alejados del fluido. La presión de un fluido solo depende de su densidad. La presión atmosférica es producto de la fuerza que ejercen los vientos.

4 5

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta.

138

1

Una fuerza F ejerce una presión P, sobre un área circular. Si el radio del círculo aumenta hasta un valor que es 2 veces el radio original y la presión se mantiene constante, ¿cuánto aumentó la fuerza? a) 2 veces. b) 3 veces. c) 4 veces. d) Falta información.

3

Los radios de los émbolos de una gata hidráulica son de 2 cm y 20 cm, respectivamente. ¿Qué presión ejerce el émbolo mayor para levantar un automóvil, si sobre el émbolo menor actúa una presión de 5·105 Pa? a) 5·105 Pa b) 0,25·105 Pa c) 200 π Pa d) 5 Pa

2

Se construyen dos barómetros de mercurio, como el de Torricelli, usando dos tubos de distinto diámetro. ¿En cuál de los barómetros la columna de mercurio es más alta? a) En el de mayor diámetro. b) En el de menor diámetro. c) En ninguno, ambos quedan en equilibrio a la misma altura. d) Falta información.

4

¿Cuál de las siguientes opciones no corresponde a la presión atmosférica a nivel del mar? a) 14,7 Psi b) 105 Pa c) 760 Torr d) 760 cmHg



22/7/10 17:05:44


Indagación N°16 ¿Cómo flotan los barcos? PARTE I. Trabajo personal Con seguridad has observado embarcaciones pequeñas y otras gigantescas que navegan en el mar. Sin duda, el caso más desconcertante es el de las naves de gran tamaño y peso, como en el caso de los trasatlánticos, que son verdaderos edificios flotantes. ¿Qué pasaría si tomamos todo el metal y los otros materiales que componen un barco, luego hiciéramos una esfera homogénea con ellos e intentáramos ponerla en flotación? ¿Se hundiría? a) Lo anterior, se puede modelar con un trozo de plasticina. ¿Podría flotar una esfera de plasticina en el agua?

Imagen 6.1

b) ¿Qué magnitud física es necesario cambiar para que la esfera de plasticina flote? PARTE II. Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la segunda pregunta. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipotesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados.


c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor o profesora.

139


22/7/10 17:05:49

Fluidos ci S ec ó n

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El principio de Arquímedes

Arquímedes de Siracusa vivió entre los años 287 y 212 A.C. Entre sus descubrimientos más notables está el principio de flotabilidad de los cuerpos, conocido hoy como principio de Arquímedes. Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido parcial o totalmente en el interior de un fluido, experimenta una fuerza hacia arriba, llamada fuerza de empuje o, simplemente, empuje, cuyo módulo es igual al peso del fluido que desplaza.

líquido desplazado

Figura 6.1. El aumento del nivel de agua en el jarro es el mismo que se tendría si, en vez de poner la piedra en el jarro, se vertiera en él un volumen de agua igual al volumen de la piedra.

En términos de módulos, el empuje se define, entonces, del siguiente modo: Figura 6.2. El peso de un objeto flotante es igual al peso del agua que desplaza su parte sumergida. Este es el principio de Arquímedes.

E = Pfd

(6.1)

Donde E es la fuerza de empuje y Pfd corresponde al peso del fluido desplazado. Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del fluido desplazado (mfd): Pfd = m fd ⋅ g

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(6.2)



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Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es: P=m·g

(6.3)

Ya que el fluido desplazado es el líquido que sube en el contenedor cuando se introduce parcial o totalmente un objeto, ¿cómo podrías determinar el peso del fluido desplazado? Ejemplo 5 Una bolita de acero se introduce en un vaso de precipitado que contiene agua pura. Una vez que la bolita está dentro del líquido se saca con una pipeta exactamente la cantidad de agua desplazada por el objeto, es decir, el recipiente vuelve a tener el nivel de líquido inicial. Al medir la masa del agua extraída, se obtienen 10 g. a)

¿Cuál es el peso del agua desplazada?

b)

¿Cuál es el módulo del empuje que experimenta la bolita de acero?

a:

Para encontrar el peso del agua desplazada solo necesitamos conocer su masa. De acuerdo a la ecuación (6.2), tenemos:

E

P

Pfd = m fd ⋅ g Pfd = 10 ⋅ 10−3 kg ⋅ 10 Pfd = 0,1N

m s2

b: De acuerdo al principio de Arquímedes, expresado en la ecuación (6.1), obtenemos:

Figura 6.3. El principio de Arquímedes se aplica al comportamiento de los fluidos en general. Así, un globo aerostático asciende cuando su peso es menor que el peso del aire atmosférico que desplaza.

E = Pfd E = 0,1N En ocasiones, se conocen las densidades del fluido y del objeto, así como el volumen de este cuerpo. Por eso, el principio de Arquímedes también se puede aplicar considerando el concepto de densidad. En general, la densidad del fluido ( ρ ) es diferente de la densidad del objeto ( ρ0 ). Veremos a continuación que la relación entre estas cantidades determina la flotación del cuerpo. Sección 6: Principio de Arquímedes


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Fluidos

¿Por qué un objeto se hunde o flota? La flotación de un objeto depende de la relación entre su densidad y la densidad del fluido en el que se encuentra. Analizaremos los tres casos posibles. El objeto es más denso que el fluido En este caso, el objeto se va hacia el fondo del líquido en el que es sumergido, debido a que el peso del objeto es mayor que el peso del fluido desplazado y, por lo tanto, mayor que el empuje: P>E

(6.4)

La piedra sumergida completamente en la Figura 6.1 es un buen ejemplo de esta situación. El objeto tiene la misma densidad que el fluido En este caso, no podemos decir que el objeto se hunda o flote, aunque se trata de un caso particular en el que el peso del objeto es igual al peso del fluido desplazado y, por lo tanto, igual al empuje. Sin embargo, el objeto podría encontrarse igualmente en el límite de la superficie del fluido o en el fondo. Figura 6.5. En muchos peces, la vejiga natatoria permite controlar la flotabilidad mediante un complejo sistema de intercambio gaseoso con la sangre. El mecanismo permite al pez ascender o descender en el agua, cambiando la densidad relativa del pez sin necesidad de utilizar la musculatura.

P=E

(6.5)

Un ejemplo de esta condición sería la situación de un globo lleno de agua en el interior de otro recipiente con agua.

Figura 6.4. Un globo lleno de agua sumergido en una piscina se encuentra en una situación en la que su peso está completamente equilibrado por el empuje, y por esta razón no flota, pero tampoco se hunde hasta el fondo.

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El objeto tiene menor densidad que el fluido En este caso el objeto permanece parcialmente sumergido, es decir, flota. Esto se debe a que si el cuerpo se sumerge completamente, su peso es menor que el peso del fluido que desplaza, de manera que asciende hasta la superficie. En estas condiciones, el objeto flotante desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto, lo que permite equilibrar su peso y el empuje. Por supuesto, los ejemplos de esta situación son numerosos. Tal vez, el más espectacular sea el de un iceberg en el mar, cuya versión doméstica podemos observar con cubos de hielo en un vaso de agua.

Figura 6.7. El hielo flota porque su densidad es menor que la densidad del agua líquida.

Figura 6.6. Un objeto cuya densidad neta es menor que la del agua desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto.

¿Qué le ocurre a un fluido como el aceite si se introduce en agua? ¿Sube a la superficie del agua o baja a lo más profundo? ¿Por qué? En suma, el principio de Arquímedes se puede expresar en función de la densidad del fluido del siguiente modo:

Figura 6.8. Un submarino utiliza el principio de Arquímedes para navegar bajo el agua o en la superficie. Para controlar su peso, los submarinos están equipados con tanques de lastre. Para sumergirse o emerger, usan los tanques de proa y popa, llamados tanques principales, que se abren y se llenan completamente de agua para sumergirse o se llenan de aire a presión para emerger.

E = Pfd E = m fd ⋅ g

(6.6)

E = ρ ⋅ V fd ⋅ g Sección 6: Principio de Arquímedes


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22/7/10 17:09:11

Fluidos

(a)

Así, para un objeto flotante, la condición de equilibrio en función de su densidad (ρ0) y la densidad de fluido (ρ) es:

(b)

P= E m ⋅ g = ρ ⋅ V fd ⋅ g

(6.7)

ρ0 ⋅ V = ρ ⋅ V fd Ejemplo 6

P

Pap

Figura 6.9. En (a), el dinamómetro mide el peso del objeto. En (b), cuando se sumerge el objeto en un fluido, el dinamómetro mide un peso menor, que se conoce como peso aparente. En este caso, el dinamómetro marca menos debido a que al peso del objeto se le resta la fuerza de empuje ejercida por el agua. Este es un método directo para medir el empuje.

Un iceberg, como el de la Figura 6.6, tiene una densidad de 920 kg/m3 y flota en la superficie del agua de mar, cuya densidad es de 1 030 kg/m3. a)

¿Qué fracción del iceberg se encuentra sobre la superficie del mar?

a:

Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso, ya que está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, de acuerdo al desarrollo de las ecuaciones (6.7), tenemos: P= E m ⋅ g = ρ ⋅ V fd ⋅ g

ρ0 ⋅ V = ρ ⋅ V fd ρ0 ⋅ V = V fd ρ kg 920 3 m ⋅V = V fd kg 10300 3 m 0, 89 ⋅ V = V fd El equilibrio de fuerzas consiste en que el peso del iceberg es igual al peso del agua desplazada, lo que se logra cuando una gran parte del iceberg está sumergida. Esta porción tiene un volumen igual al volumen del agua desplazada. Por lo tanto, solo el 11% del volumen del iceberg es visible sobre la superficie. ¿Qué fuerzas actúan sobre un objeto sumergido, cuya densidad es mayor que la del fluido en el que se encuentra? Realiza un diagrama de cuerpo libre para ilustrarlas.

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22/7/10 17:09:28


Actividad de profundización ¿Cómo se relaciona el peso de un objeto con la fuerza de empuje que experimenta en un fluido? Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una botella de plástico de 2,5 litros, agua y un tubo de ensayo. Reúnete con algunos compañeros y compañeras (entre 2 y 5, idealmente) y formen un equipo de trabajo. a) Reflexionen sobre la siguiente pregunta: ¿cómo se relacióna el peso de un objeto que se sumerge en agua con la fuerza que el agua ejerce sobre él? Planteen como equipo varias hipótesis y elijan luego, por consenso, la que estimen que es una mejor explicación. A continuación, realicen el siguiente experimento: Llenen la botella con agua hasta el tope, sin dejar aire en el cuello de la botella. Luego viertan agua al tubo de ensayo hasta algo más que la mitad. Uno(a) de ustedes tapa con su dedo pulgar la boca del tubo de ensayo con agua y lo invierte, metiéndolo en seguida a la botella. Por último, tapen la botella de manera hermética. El tubo queda, entonces, invertido dentro de la botella. Observen con atención el sistema y noten que el tubo de ensayo sumergido en el agua se comporta como un submarino. Observen con atención el aire que está dentro del tubo, mientras uno(a) de ustedes aprieta con sus manos la botella. Dejen de apretar, suavemente, y observen el comportamiento del tubo de ensayo. A continuación, respondan: b) ¿Qué ocurre con el tubo de ensayo cuando se aprieta la botella? ¿Qué ocurre cuando se deja de apretar la botella? ¿Por qué? c) ¿Cómo actúa sobre el fluido la fuerza que se aplica en las paredes de la botella? d) Sitúen el tubo al fondo de la botella. ¿Qué fuerzas actúan sobre el tubo en este caso? e) Cuando sitúan el tubo en el centro de la botella, ¿qué fuerzas actúan sobre él? f) ¿Es constante el peso del objeto? ¿Por qué? ¿Cómo se relaciona su peso con la fuerza que el agua ejerce sobre él? A partir de su respuesta, evalúen la validez de su hipótesis. Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.

Sección 6: Principio de Arquímedes


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22/7/10 17:09:35

Fluidos


En esta sección aprendimos que todos los cuerpos contenidos en un fluido experimentan una fuerza llamada empuje. a) ¿Cómo se relaciona esta fuerza con las propiedades del cuerpo y del fluido? Explica.

PARTE II: Análisis 2

Los grandes barcos trasatlánticos pesan mucho, ya que están hechos con materiales muy densos comparados con el agua, como el hierro o el acero. Entonces ¿cómo se explica que puedan flotar?

Indagación N°17 ¿Cómo sería el tamaño de dos pompas de jabón de distinto diámetro si se unen a través de un tubo? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: Las pompas esféricas llegarán a ser del mismo tamaño, ya que la mayor presión de la pompa grande se equilibrará con la menor presión de la pequeña, quedando finalmente con igual diámetro. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

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22/7/10 17:09:41


Tensión superficial y capilaridad ¿Qué tienen en común las burbujas de jabón con las gotas de rocío en una tela de araña?

Figura 6.10. Burbujas de jabón y gotas de rocío en una tela de araña, ¿qué tienen en común?

Las gotas de rocío y las burbujas de jabón son líquidos que adoptan una forma particular. ¿Por qué en ambos casos el líquido adopta una forma esférica? ¿En qué otros casos observamos estas características? A continuación, estudiaremos la propiedad que explica estos fenómenos y qué hace que la superficie de un líquido tienda a comportarse como si fuera una delgada película elástica. Se trata de la tensión superficial. Gracias a ella, algunos insectos pueden desplazarse por la superficie del agua sin hundirse.

Figura 6.11. Este insecto es un “zapatero de agua” o Gerris lacustris. ¿Cómo logra mantenerse sobre la superficie del agua sin hundirse?

En combinación con las fuerzas que se dan entre los líquidos y las superficies sólidas, la tensión superficial produce otro fenómeno muy importante: la capilaridad, que, entre otras cosas, es esencial para el crecimiento de las plantas.

TENSIÓN SUPERFICIAL La tensión superficial es la propiedad que hace que la superficie de los líquidos tienda a contraerse, comportándose como si fuera una membrana elástica. De esta manera se explica la forma esférica de las gotas de los líquidos.

Figura 6.12. ¿Cómo se puede formar esta superficie elástica y tan delgada a partir de una solución jabonosa? Sección 6: Principio de Arquímedes


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22/7/10 17:09:52

Fluidos

Las gotas de agua o de aceite son esféricas porque sus superficies tienden a contraerse y a hacer que cada gota adopte una forma de superficie mínima. Esa forma es la esfera, que es el cuerpo geométrico que ocupa la menor superficie para un determinado volumen. Técnicamente, la tensión superficial es una fuerza por unidad de longitud o, equivalentemente, el trabajo por unidad de área necesario para aumentar la superficie del líquido. En otras palabras, la forma esférica de las gotas de los líquidos es la forma que minimiza su energía. Esta fuerza tiene una explicación a nivel microscópico molecular. Como se muestra en la Figura 6.13, las moléculas en el interior de un líquido experimentan la fuerza de atracción de las otras moléculas. Esta fuerza es de origen eletromagnético y se conoce como fuerza de cohesión.

Figura 6.13. Una molécula bajo la superficie es atraída por igual en todas direcciones por las otras moléculas que la rodean. En cambio, una molécula en la superficie solo es atraída hacia los lados y hacia abajo. Esto proporciona la tensión superficial suficiente para soportar el peso del mosquito.

Para cada molécula bajo la superficie del líquido, las fuerzas de atracción actúan en todas direcciones y, como resultado, no hay una fuerza neta sobre cada molécula, es decir, las fuerzas se encuentran equilibradas entre sí. En cambio, sobre las moléculas en la superficie del líquido, las fuerzas laterales están equilibradas, pero las fuerzas verticales están desequilibradas, ya que no hay otras moléculas de líquido por encima de ellas. Es la acción de este desequilibrio de fuerzas sobre las moléculas superficiales la que provoca la tensión superficial de un líquido. En conjunto, las moléculas superficiales se comportan como una pequeña película o pantalla de protección del líquido, impidiendo que, dentro de ciertos límites, este se rompa por tirones externos o compresiones.

Figura 6.14. ¿Qué forma adopta el agua en los contornos del objeto? ¿El agua moja o no moja al clip? ¿Cómo se relaciona este ejemplo con el uso de detergentes para el lavado de ropa?

Consideremos la situación que se muestra en la Figura 6.14. Si sobre la superficie del agua se deposita una aguja o un clip de acero, secos, quedan suspendidos en la superficie del líquido. ¿Cómo es posible si la densidad del acero es casi ocho veces la densidad del agua? Son las fuerzas moleculares a nivel microscópico las que equilibran el pequeño peso de la aguja acostada en el agua o del clip, actuando desde un punto de vista macroscópico como una superficie elástica. ¿Se puede cambiar la tensión superficial de un líquido?

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22/7/10 17:10:06


Para medir la tensión superficial, podemos usar un procedimiento sencillo, conocido como método de Du Noüy, por el bioquímico y matemático francés que lo inventó. Consiste en aplicar una fuerza hacia arriba sobre una anillo de alambre amarrado con un hilo, el cual se levanta suavemente desde la superficie del líquido. En estas condiciones, la tensión superficial impide que el anillo se levante inmediatamente. Como la tensión superficial (γ) se define como la fuerza por unidad de longitud, podemos obtenerla midiendo la longitud del anillo de alambre (L) y la fuerza (F) aplicada para separarlo del agua, lo cual requiere un instrumento de precisión. De este modo: F (6.8) 2L N Según esto, en el S.I. la tensión superficial se expresa en . m

γ =

Líquido Acetona Eter etílico Etanol Glicerol Mercurio Agua Agua Agua Agua

Temp. (°C) 20 20 20 20 15 0 25 50 100

γ N   m 

23,7 · 10-3 17 · 10-3 22,27 · 10-3 63 · 10-3 487 · 10-3 75,64 · 10-3 71,97 · 10-3 67,91 · 10-3 58,85 · 10-3

Tabla 6.1. Tensión superficial de algunos líquidos. En general, la tensión superficial depende de la temperatura del líquido. Todos los valores están medidos en relación a la superficie entre el líquido y el aire.

Figura 6.15. Tensiómetro de Du Noüy. Una argolla de alambre se levanta en una solución para medir su tensión superficial.

¿Por qué se require un instrumento de precisión para medir la fuerza aplicada por el anillo de Du Noüy?

Ejemplo 7 Un anillo de 10 cm de diámetro ejerce una fuerza de 0,045 N hacia arriba sobre la superficie del agua en un recipiente. a)

¿Cuál es la tensión superficial del fluido?



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22/7/10 17:10:25

Fluidos

a:

Re R Ri

Como la superficie ejerce una tensión sobre el radio interno y el radio externo del anillo, la fuerza por unidad de longitud se expresa, de acuerdo a la ecuación (6.8), del siguiente modo:

Vista superior del anillo

γ = γ =

Superficie del líquido

Si

(

F

2 ⋅ 2 ⋅π ⋅ R

)

0, 045 N 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0, 05m N γ = 0, 071 m

γ =

2r Δh

F 2L

Se

Corte frontal del anillo Figura 6.16. Anillo de Du Noüy. Se puede observar que hay dos superficies del líquido adheridas al alambre, una superficie cilíndrica interna (Si) y una superficie cilíndrica externa (Se). Ri y Re son los radios interno y externo del anillo, respectivamente. r es el radio del alambre.

La Figura 6.16 explica por qué en la ecuación (6.8) usamos el denominador 2L. La razón es que el líquido se adhiere al alambre por su cara interna y por su cara externa, de modo que la longitud en contacto con la superficie es aproximadamente el doble del perímetro del anillo.

Es decir, la superficie ejerce una tensión de 0,071 N por cada metro de longitud.

CAPILARIDAD Cuando se sumerge en agua el extremo de un tubo de vidrio, cuyo diámetro interno es pequeño, el agua es capaz de ascender por él espontáneamente. En un tubo de 0,5 mm de diámetro, por ejemplo, el agua asciende alrededor de 5 cm por el interior del tubo. Este ascenso del agua por un tubo fino y hueco se conoce como capilaridad, ya que a ese tipo de elemento se le llama capilar (palabra que deriva del latín y significa cabello).

Un análisis más riguroso de la Figura 6.16, en términos del trabajo por unidad de area realizado al elevar el anillo una distancia ∆h , conduce al mismo resultado:

γ =

F 4 ⋅π ⋅ R

(6.9)

Donde R es el radio medio del anillo.

Figura 6.17. Como todos los tubos están abiertos en el extremo superior, por el principio de Pascal el nivel del líquido en todos ellos debería ser el mismo. Sin embargo, se observa el efecto de la capilaridad, el cual es mayor cuando el diámetro del tubo es menor.

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22/7/10 17:10:48


La capilaridad ocurre porque, como vimos en el apartado anterior, en cierto modo las moléculas del líquido son “pegajosas”. La atracción entre moléculas de la misma sustancia es llamada cohesión. La atracción entre moléculas de sustancias diferentes se conoce como adhesión. Observemos la secuencia de la Figura 6.18: Figura 6.19. Es algo sabido que las plantas consiguen el agua y los nutrientes del suelo por medio de las raíces, luego transportan este material (savia bruta) a través del tallo hasta las hojas, donde realizan la fotosíntesis gracias a la clorofila y la luz solar, y que por último distribuyen la glucosa, azúcares y aminoácidos obtenidos (savia elaborada) por toda su estructura. Pero, ¿cómo hacen para transportar el agua con las sustancias disueltas? ¿Se contraen? ¿Hay alguna especie de mecanismo de bombeo?

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6.18. Un tubo capilar de vidrio se introduce en un líquido. En la secuencia, (b) se observa como el líquido inicialmente se adhiere al vidrio por la superficie interna y externa del capilar, (c) luego, la tensión superficial hace que la película adherida se contraiga, redondeando sus contornos y (d) la película de la superficie interior se contrae más, elevando el líquido hasta que su peso queda equilibrado con la fuerza de adhesión.

Al introducir el capilar de vidrio en el líquido, la fuerza de adhesión hace que el fluido suba por las paredes del tubo, mientras la tensión superficial tiende a contraer la película de líquido, redondeando los contornos dentro y fuera del capilar. La superficie del líquido en el interior se contrae más y esto eleva al líquido por el tubo, hasta que su peso es equilibrado por la fuerza de adhesión. Así, el agua que asciende por un tubo más delgado tiene un peso menor, por lo que alcanza más altura. La relación entre la fuerza de cohesión de un líquido y la fuerza de adhesión que presenta ante un sólido, determina si el líquido se esparce o no por la superficie del sólido; es decir, si lo moja o no.

La ley de Jurin define la altura máxima que alcanza una columna de fluido que asciende por capilaridad. La altura h de la columna, en metros, está dada por la ecuación: 2 ⋅ γ ⋅ cosθ (6.10) ρ⋅g⋅r Donde γ es la tensión superficial, θ es el ángulo de contacto, ρ es la densidad del líquido, g es la aceleración de gravedad y r es el radio del tubo capilar. h=

Si la fuerza de cohesión de una gota de líquido es menor que la fuerza de adhesión entre sus moléculas y las de la superficie del sólido, entonces la gota se esparce por el sólido, mojándolo. Sección 6: Principio de Arquímedes


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22/7/10 17:11:36

Fluidos

Por el contrario, si la fuerza de cohesión es mayor, el sólido no se moja.

Figura 6.21. El mercurio líquido no moja la superficie de contacto porque la fuerza de cohesión entre sus moléculas es mayor que la fuerza de adhesión con la madera. Es importante señalar que el mercurio que encontramos en termómetros, ampolletas de bajo consumo y otros, es altamente tóxico por contacto, inhalación o ingestión. Cuando se rompe alguno ellos, es indispensable tomar precauciones: Ventilar la zona al menos por 15 minutos. Utilizar guantes desechables y poner los trozos grandes en bolsas plásticas. Con toallas de papel húmedas recoger los residuos más pequeños. No utilizar aspiradora ni escoba, ya que esparcirá material peligroso en el aire. No eliminar por el desagüe. Poner los elementos utilizados en una segunda bolsa gruesa, sellarla y rotularla como “Sustancia peligrosa: contiene mercurio y vidrio”. Idealmente llevarlo a un depósito de sustancias peligrosas o eliminarlo en un basurero de forma segura. Lavar cuidadosamente las manos.

H 2O

Hg

Figura 6.22. ¿Cómo se puede explicar la diferencia de curvatura entre el agua y el mercurio al interior de un capilar?

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Una gota de mercurio líquido, por ejemplo, no se esparce en la superficie limpia de un vidrio. Lo mismo ocurre con una gota de lluvia que cae sobre un automóvil recién encerado: la gota no moja al auto, más bien resbala debido a la nula adherencia. La capacidad de adhesión de una gota con una superficie sólida versus la capacidad de cohesión de las moléculas del líquido se puede cuantificar a través de un ángulo fácilmente medible denominado ángulo de contacto. En la Figura 6.20, se muestran las diferentes formas de contacto de una gota de líquido con un sólido.

aire

aire

θ

θ

sólido

sólido

aire

θ sólido

Figura 6.20. Ángulo de contacto de tres líquidos diferentes sobre la superficie de un sólido.

En la Figura 6.20, se puede observar que si el ángulo de contacto es θ < 90º , entonces la gota se esparce y moja al sólido. Si el ángulo de contacto es 90 º ≤ θ < 180 º , el líquido no se esparce y, por lo tanto, no moja al sólido. Cuando la gota de agua moja la superficie sólida, se debe a que la fuerza de adhesión es más grande que la fuerza de cohesión, y viceversa. De acuerdo a lo anterior, un líquido podría no mojar el interior de un capilar. En el caso en que el líquido logra mojar las paredes del tubo, porque la fuerza de adhesión es mayor que la de cohesión, se produce una concavidad hacia arriba en el fluido o menisco cóncavo. Como se muestra en la Figura 6.22 para el caso del agua, el líquido asciende por el tubo, en el efecto que llamamos capilaridad. Si el líquido no moja a las paredes del tubo, se produce una concavidad hacia abajo o menisco convexo. En este caso, no hay capilaridad, sino, al contrario, el líquido desciende por el tubo, como se muestra en la Figura 6.22, para el caso del mercurio.



22/7/10 17:11:51


LA CAPILARIDAD OCURRE EN TODAS PARTES La capilaridad es un fenómeno fundamental en muchas situaciones naturales y artificiales. Antes de alcanzar las raíces de las plantas, gracias a la capilaridad el agua que cae sobre la tierra se distribuye por los microespacios de aire que quedan entre las partículas del suelo. Después, el transporte de agua y otras sustancias desde las raíces hasta las hojas en las plantas es un problema de la fisiología vegetal en el cual la capilaridad juega un rol crucial. El agua que se introduce por las raíces, a través de los pelos radiculares, penetra en un sistema de células interconectadas que forman el tejido de la planta y que se extienden desde las mismas raíces hasta las hojas, a través del tronco o tallo. Este tejido leñoso, llamado xilema, está formado por varios tipos de células. El ascenso de savia bruta se ve favorecido por el reducido tamaño de los vasos leñosos a los que se adhieren las moléculas de agua, pues el ascenso es más eficaz cuanto menor es el diámetro del vaso, es decir, por capilaridad. Sin embargo, la capilaridad no es suficiente para elevar el agua hasta todos los lugares de la planta. Varios procesos adicionales se requieren para que esto suceda, entre los cuales el más importante es la evaporación de las moléculas del agua a través de las hojas. Como las moléculas de agua tienden a unirse unas con otras gracias a su fuerza de cohesión, cuando una molécula se evapora a través del poro de una hoja, se ejerce un pequeño empuje a las moléculas adyacentes, lo que reduce la presión en las células leñosas y atrae agua de las células contiguas. Este efecto de llamada se extiende por todo el trayecto hasta las raíces y se suma al efecto de la capilaridad. En el sistema circulatorio de nuestros cuerpos también ocurre el fenómeno capilar. Unos diez mil millones de capilares se entrelazan por todos los tejidos del cuerpo, suministrando sangre a todas las células. Son los vasos sanguíneos más pequeños, de tamaño microscópico, y contienen menos del cinco por ciento del volumen total de la sangre que circula. En objetos tecnológicos encontramos capilaridad en muchos casos: esponjas, toallas de papel, telas, mecheros de alcohol, plumones de tinta, bolígrafos, etc. Incluso los muros de una construcción se humedecen y deterioran porque el agua asciende por su interior debido al mismo fenómeno.

Figura 6.23. Tejido xilemático. Estos orificios poseen en su interior una membrana conformada por una red de micro fibras elásticas que actúan como una válvula capilar.

Figura 6.24. La mecha funciona como un elemento absorbente del alcohol, debido al efecto de capilaridad.

SUBSUELO HÚMEDO

Figura 6.25. En un muro, la capilaridad provoca que el agua ascienda internamente.



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22/7/10 17:12:03

Fluidos

Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Adhesión B Volumen C Aceleración de gravedad D Densidad de fluido E Cohesión F Empuje

I II III IV

Frases Conectoras (FC) Producen la Es el cuociente entre Cumplen el Explica el

Fluidos

Tienen

7 Principio de Arquímedes Volumen del fluido desplazado

8 Es el producto de

3

2

Genera la Tensión superficial 9

Produce

10

6

5

1

Masa 4

Flotación de los cuerpos

Capilaridad


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22/7/10 17:12:09



¿En qué situaciones de tu vida diaria puedes apreciar el principio de Arquímides?

2

¿Por qué si se ponen agua y aceite en un recipiente, el aceite permanece arriba del agua?

3

¿Cómo se puede cambiar la tensión superficial de un líquido?

4

¿En qué casos un líquido no moja la superficie? Explica.

5

¿Cómo se relaciona el tejido xilemático de las plantas con la capilaridad?

6

Un objeto sólido de 30 cm3 se sumerge completamente en un fluido. (a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza de empuje que el objeto experimenta si el fluido es agua? (b) ¿Cuál es el empuje si el fluido es mercurio?

7

Cómo muestra la Figura 6.26, un objeto cúbico flota en equilibrio sobre la superficie del agua con el 60% de su volumen sumergido. (a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre el objeto? (b) ¿Cuál es su densidad?

9

Un cuerpo cuyo volumen es de 900 cm3 tiene un peso aparente de 3,6 N cuando se le sumerge en kg alcohol ( ρalcohol = 0, 8 ⋅ 10 3 3 ). (a) ¿cuál es su m peso en el aire y su densidad?

10

Una medalla tiene una masa de 0,1 kg y su peso aparente al sumergirla completamente en agua es de 0,94 N. (a) ¿Cuál es el módulo del peso de la medalla? (b) ¿Cuál es su volumen? (c) ¿Es de kg oro la medalla? ( ρoro = 19, 3 ⋅ 10 3 3 ) m

11

De acuerdo a la Figura 6.27, sobre una balanza hay un recipiente lleno de agua, cuya masa total es de 1 kg. Un cubo de aluminio de 1 cm de arista se suspende en un dinamómetro de resorte y se sumerge en el agua, de manera que la mitad del bloque queda afuera del líquido. (a) ¿Qué medida registra el dinamómetro cuando el cubo de aluminio está en el agua? (b) ¿Qué masa mide la balanza en esta misma situación? kg ρ Al = 2,698 ⋅ 10 3 3 m

Figura 6.27 Figura 6.26 8

Un trozo de metal tiene una masa de 180 kg y un peso aparente de 1 400 N, cuando se le sumerge completamente en agua. (a) ¿Cuánto pesa en el aire el trozo de metal? (b) ¿Cuál es la densidad del metal?

12

kg ) m3 tiene las siguientes dimensiones: 10 cm, 40 cm y Un bloque de madera de pino ( ρ = 300

5 cm. El bloque flota en una piscina con agua, con su cara de mayor área paralela a la superficie del líquido. (a) ¿Cuál es el espesor del bloque que sobresale del agua? (b) ¿Qué masa extra mínima es necesario agregar al bloque para que quede completamente sumergido? Sección 6: Principio de Arquímedes


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22/7/10 17:12:28

Fluidos

13

Observa la Figura 6.28. Un bloque de madera kg ( ρmadera = 600 3 ) flota en agua y tiene las sim guientes dimensiones: 20 cm, 20 cm y 10 cm. (a) ¿Qué espesor debe tener una lámina de hierro de 20 cm por 20 cm que, superpuesta a la madera, permite que la parte superior del bloque quede nivelada con la superficie del agua? (b) ¿Qué espesor debe tener la lámina de hierro si se adhiere al cubo de madera por la parte inferior, de manera que se cumpla la misma condición anterior? kg ( ρhierro = 7860 3 ) m

17

Un tubo capilar de diámetro interno 0,1 mm contiene agua a una temperatura de 25° C. Si el ángulo de contacto entre el agua y el vidrio es θ = 0°, ¿hasta qué altura asciende el agua por el interior del capilar?

18

De acuerdo a la Figura 6.29, se vierte agua a 25°C dentro de un tubo vertical en forma de U donde los brazos tienen diámetros internos diferentes. Si el diámetro de uno de ellos es igual a 0,6 mm y el diámetro del otro es de 1,2 mm, ¿cuál es la diferencia de altura que alcanza el agua entre los dos brazos del tubo? (Considere que el ángulo de contacto es θ = 0°)

hierro

hierro madera

madera agua

agua

Figura 6.28 14

En la corte de un rey, el año 1312, se duda de que una de sus coronas sea de oro, y se afirma que es posible que esté hecha de plomo y recubierta con oro. Cuando se mide la masa, de manera normal en el aire, la balanza registra 0,475 kg. Cuando se sumerge completamente en agua la masa medida es de 0,437 kg. (a) ¿Cuál es la densidad de la corona? (b) ¿Qué porcentaje de su voluKg men es efectivamente de oro? ( ρoro = 19300 3 , ρplomo = 11300

15

16

156

Kg ) m3

Figura 6.29 19

Considerando que la tensión superficial se puede definir como la cantidad de trabajo por unidad de área, necesario para aumentar la superficie de un líquido, ¿en qué factor se incrementa la energía de la superficie de una burbuja de jabón perfectamente esférica, que aumenta su diámetro de 2 cm a 6 cm?

20

Un prisma triangular de hielo flota en agua de mar con la cúspide sumergida. Demuestra que el volumen del hielo satisface la siguiente relación:

m

Un anillo de 4 cm de radio, hecho de alambre delgado, se encuentra horizontalmente sumergido en agua a 25° C. (a) ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para sacarlo y con ello superar la tensión superficial? Un tensiómetro de Du Noüy de 5 cm de diámetro se usa para determinar la tensión superficial de un fluido líquido. Si se mide una fuerza de 2,3 · 10-2 N, ¿cuál es la tensión superficial del fluido?

Vsumergido ρhielo = Vtotal ρaguademar



22/7/10 17:12:49


Evaluación final de la sección PARTE I: Anota en el recuadro el número del concepto que corresponde a su descripción o definición. Magnitud Empuje

Descripción / definición Densidad del cuerpo es menor que la del fluido.

3

Flotación Hundimiento

Fuerza igual al peso del fluido desplazado. Ascenso del fluido debido a la tensión superficial.

4

Capilaridad

Densidad del cuerpo es mayor que la del fluido.

1 2


Un objeto sumergido totalmente en el agua tiene la misma masa que en el aire. Un objeto sumergido totalmente en el agua tiene el mismo peso aparente que en el aire. La fuerza de empuje es inversamente proporcional a la masa del fluido desalojado. En la Capilaridad, la adherencia del fluido al tubo es menor que la cohesión entre sus moléculas. El ángulo de contacto mide la relación entre la adherencia y la cohesión.

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1

Si al sumergir completamente un cuerpo en agua (densidad = 1000 kg/m3), experimenta un empuje de 100 N, ¿cuál es el volumen del cuerpo? a) 0,1 m3 b) 0,01 m3 c) 0,01 cm3 d) 0,02 cm3

3

Un cubo de hielo de 1cm de lado está flotando en agua (densidad = 1 000 kg/m3). Si la densidad del hielo es de 840 kg/m3, ¿qué porcentaje de su volumen está sumergido? a) 84 % b) 0,16 % c) 0,84 % d) 16 %

2

Una esfera de aluminio de densidad 2,7 g/cm3 y de 4 cm de radio, se coloca en agua de mar cuya densidad es de 1025 kg/m3. ¿Qué le ocurre al objeto? a) Flota en la superficie. b) Flota en el interior del fluido. c) Se hunde hasta el fondo. d) Nada de su cuerpo se sumerge.

4

Un contenedor posee hielo solo en su parte inferior, y agua en su parte superior. Si antes de calentarlo y derretir el hielo (sin hervir), el contenedor marcaba 500 ml. ¿Cuánto marcará después de que los hielos se derritan? a) 500 ml. b) Menos de 500 ml. c) Más de 500 ml. d) Depende de la temperatura del agua.



157

22/7/10 17:12:53

Fluidos

Capítulo 4

Antes de empezar... 1 Un flujo estacionario, ¿se mueve? 2 Si el diámetro de una tubería se reduce de manera uniforme, ¿la cantidad de agua que sale por el extremo delgado es igual a la cantidad de agua que entra por el otro extremo? 3 ¿Cuál es la característica básica de un flujo estacionario? 4 ¿Qué le ocurre a la rapidez del flujo de agua cuando pasa por la salida estrecha de una manguera? 5 ¿De qué principio fundamental se deriva la ecuación de Bernoulli? 6 ¿En qué sectores de un río el agua fluye más rápido? 7 ¿Cómo se explica que una pelota que viaja rotando pueda curvarse hacia un lado en su trayectoria? 8 ¿Para qué sirve el medidor de Venturi?

“Un pájaro es una máquina que funciona según las leyes de la matemática. Está al alcance del hombre reproducir esa máquina con todos sus movimientos, aunque no con su misma fuerza... A esa máquina construida por el hombre solo le faltaría el espíritu del pájaro, y ése es el que el hombre ha de imitar con su propio

9 ¿Todo objeto que cae aumenta su rapidez? 10 ¿Cómo vuela un aeroplano? ¿Qué tiene en común con el diseño de los seres voladores?

espíritu”. Leonardo da Vinci (1452-1519), humanista e inventor italiano.

158



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Indagación N°18 ¿Por qué se angosta un flujo de agua en la medida que cae? PARTE I: Trabajo personal Cuando se riega un jardín con una manguera manual y se necesita que el chorro de agua tenga mayor alcance horizontal, la experiencia sugiere que se apriete o estrangule la boca de la manguera, por donde sale el agua. Efectivamente, se logra así un mayor alcance (imagen 7.1). Sin embargo, cuando se produce un flujo regular en la caída de agua de una llave, las cosas no son tan intuitivas. a) En una caída vertical de agua desde una llave (imagen 7.2), el flujo se vuelve cada vez más delgado en la medida que baja. Si suponemos que el líquido se compone de muchas “partículas”, ¿qué tipo de movimiento experimentan estas partículas?

Imagen 7.1. Estrangulamos la manguera para tener mayor alcance con el chorro de agua.

b) ¿Por qué se angosta el flujo de agua en la medida que cae? PARTE II: Trabajo en equipo Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a la segunda pregunta. a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las variables observables que pueden medir y/o controlar. b) Una vez planteada su hipotesis, diseñen un procedimiento experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados. c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a).

Imagen 7.2.


159


22/7/10 17:13:05

Fluidos

Indagación N°19 ¿Por qué un vehículo en movimiento “atrae” a los objetos alrededor? PARTE I: Trabajo personal Es típico usar la presión de un fluido para “empujar” algún objeto. Por ejemplo, cuando soplamos un objeto liviano para moverlo. Sin embargo, cuando pasa junto a nosotros un vehículo moviéndose rápidamente, en vez de empujarnos por el movimiento del aire que provoca, parece atraernos hacie él. En estas condiciones, ¿por qué el movimiento del vehículo nos “atrae”, en vez de empujarnos? a) Plantea una hipótesis que dé respuesta a esta pregunta y regístrala en tu cuaderno. PARTE II: Observación compartida Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atención la demostración que dirigirá su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas. a) ¿Qué les ocurre a los globos cuando se sopla frontalmente a uno de ellos? b) ¿Cómo se mueven los globos cuando se sopla entre ellos? c) ¿A qué se debe la diferencia entre ambos casos? PARTE III. Trabajo en equipo En esta parte de la actividad, junto a tu compañero(a) realizarán un sencillo experimento, para el cual necesitan: una hoja de cuaderno, un embudo y una pelota de ping-pong.

(a)

Uno(a) de ustedes coloca el embudo como muestra el imagen 7.3a y sopla fuertemente, al mismo tiempo que deja de sostener la pelota de ping pong. A continuación, toman una hoja de papel, como en el imagen 7.3b, y soplan fuertemente sobre ella. a) ¿Por qué la pelota no cae y queda suspendida? ¿Por qué se levanta la hoja al soplar sobre ella? b) ¿Cómo se relacionan estas observaciones con el problema inicial? ¿Qué tienen en común las dos situaciones? c) Comparen sus respuestas con la hipótesis inicial que cada uno planteó y escriban sus conclusiones.

160

(b) Imagen 7.3



22/7/10 17:13:11

Capítulo 4: Hidrodinámica ci S ec ó n

7

Fluidos en movimiento

Hasta aquí, nuestro estudio de los fluidos se ha limitado a los fluidos estáticos. Ahora nos concentraremos en el estudio de los fluidos cuando están en movimiento, y para ello haremos uso de algunos de los conceptos que aprendiste en las secciones anteriores, como densidad y presión. En otras palabras, describiremos la dinámica de los fluidos en función de sus propiedades globales. Sin embargo, cuando se trata de fluidos reales, no es fácil describir su movimiento, ya que se producen fenómenos muy complejos que todavía no se comprenden por completo. Por ejemplo, ¿has observado el flujo de un canal de agua de regadío o el movimiento de las partículas de humo en el aire? En ocasiones aparecen comportamientos impredecibles, muy difíciles de explicar. Por esto, como es habitual en física, haremos uso de un modelo simplificado que, a pesar de sus limitaciones, resulta muy efectivo para entender el comportamiento de los fluidos en movimiento.

Figura 7.1. En un túnel de viento, se puede observar el flujo estacionario del aire alrededor del vehículo. Las líneas corresponden a las llamadas líneas de flujo, que en este caso se hacen visibles con partículas de humo.

Flujo Consideremos el movimiento de un fluido de un modo idealizado. De acuerdo a esto, el flujo de un fluido puede ser de dos tipos. Por una parte, se dice que un flujo es estacionario o laminar, cuando cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas. De esta manera, las partículas forman capas o láminas y se mueven sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas. Por otra parte, cuando el fluido se mueve con una rapidez superior a cierta rapidez crítica, el flujo se vuelve turbulento. Este tipo de flujo se caracteriza por ser irregular debido a la presencia de remolinos, como ocurre en las zonas en que los ríos se encuentran con obstáculos. Para caracterizar la fricción interna de un fluido cualquiera se usa un parámetro conocido como viscosidad. Cuando un fluido es más viscoso, entonces hay mayor fricción entre sus capas, lo que dificulta su movimiento, de manera análoga a la acción de la fuerza de roce por deslizamiento entre dos superficies.

Figura 7.2. Flujo turbulento de vapor de agua condensado (el vapor de agua es invisible). En la imagen se puede apreciar la formación de remolinos o vórtices.



161

22/7/10 17:35:52

Fluidos

Así, de acuerdo a nuestra motivación inicial por hacer uso de un modelo simplificado para estudiar la dinámica de los fluidos, consideraremos las siguientes propiedades de un fluido ideal: •

Fluido no viscoso. Es decir, despreciaremos los efectos de la viscosidad. Según esta suposición, las láminas constituyentes del fluido no interactúan entre sí, y tampoco interactúan con las paredes del conducto en el que fluyen.

•

Fluido incompresible. En general, los fluidos pueden ser compresibles. El aire encerrado en una jeringa, por ejemplo, es un gas evidentemente compresible. Sin embargo, en esta sección solo consideramos fluidos homogéneos incompresibles, cuya densidad es constante, independientemente de la presión. Este es el caso de cualquier líquido a temperatura constante que se mueve en un conducto, y también el de algunos gases.

•

Flujo estacionario. Es decir, cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas.

•

Flujo irrotacional. Es decir, en el fluido no se producen remolinos o vórtices.

P

Figura 7.3. Las líneas representan las líneas de flujo de un fluido en régimen estacionario. Una partícula del fluido situada en P sigue una de estas líneas, de manera que su velocidad es tangente a la línea de flujo en toda su trayectoria.

Líneas de flujo y ecuación de continuidad La trayectoria que sigue una “partícula” de fluido en condiciones de flujo estacionario se llama línea de flujo. Un flujo estacionario se caracteriza porque todas las líneas de flujo se presentan bien definidas y separadas unas de otras, de manera que nunca se cruzan entre sí. En otras palabras, las líneas de flujo son líneas imaginarias que representan las huellas de las partículas del fluido. En estas condiciones, la dirección del vector velocidad de cada partícula, en un punto determinado del fluido, es un vector tangente a la línea de flujo que pasa por ese punto, como muestra la figura 7.3.

Figura 7.4. Ejemplos de flujo estacionario a través de conductos de diferentes formas, en los que las líneas de flujo se aproximan o se alejan entre sí, indicando que la rapidez del fluido aumenta o disminuye, respectivamente.

162

Veremos a continuación que el distanciamiento de las líneas de flujo está relacionado con la velocidad del fluido, de manera que cuando las líneas de flujo se acercan entre sí, la velocidad de las partículas del fluido es mayor que cuando las líneas de flujo están más separadas. Observa la Figura 7.4. ¿Por qué debería aumentar la velocidad del fluido en las partes más estrechas del conducto?



22/7/10 17:36:00


Consideremos un fluido ideal que se mueve en el interior de una tubería cuya sección transversal no es uniforme. Si en la tubería no hay agujeros, no es posible agregar ni eliminar fluido, por lo tanto, todo el fluido que ingresa por un extremo de la tubería sale por el otro extremo. En otras palabras, la cantidad de fluido que entra es igual a la cantidad de fluido que sale. Por otra parte, como el fluido es incompresible, su densidad es constante en todos sus puntos, de manera que el volumen de una porción del fluido que se traslada desde un lugar a otro dentro de la tubería, también se mantiene constante, aunque cambie su forma. Analicemos esta situación considerando un pequeño intervalo de tiempo ( ∆t ). De acuerdo a la Figura 7.5, durante este intervalo, el fluido que entra a la tubería por el punto 1 recorre una distancia ∆x1 , mientras que el fluido que sale de la tubería por el punto 2, recorre una distancia ∆x2 . El volumen del fluido que entra es: Ventrada = A1 ⋅ ∆x1

(7.1)

Aunque puede parecer contradictorio, para un fluido ideal es una buena aproximación usar el modelo de “partícula” para referirnos a pequeños elementos que lo componen. En rigor, nos referimos a porciones diminutas de masa del fluido, que imaginariamente se comportan como partículas individuales, de manera que el movimiento del fluido equivale al movimiento de un gran número de estos elementos.

2

A2

v2

1 Δx2

v1

A1 Δx1

Figura 7.5. Un fluido se desplaza de la parte baja del conducto hacia la parte alta, cambiando su sección trasversal. El volumen del fluido que pasa por la sección A1 en un tiempo Δt es igual al volumen del fluido que atraviesa la sección de área A2 en el mismo intervalo de tiempo. Sección 7: Fluidos en movimiento


163

22/7/10 17:36:32

Fluidos

Por su parte, el volumen del fluido que sale de la tubería es: Vsalida = A2 ⋅ ∆x2

(7.2)

Sin embargo, como se trata de un fluido incompresible, el volumen que entra y el volumen que sale son iguales, es decir: A1 ⋅ ∆x1 = A2 ⋅ ∆x2 Figura 7.6. Si despreciamos la pérdida de agua por evaporación y por absorción de la tierra, en un canal de regadío se cumple la ley de conservación de la masa. Es decir, la masa de agua que entra al canal es igual a la masa de agua que sale.

(7.3)

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (7.3) por el intervalo de tiempo en el que se produce el desplazamiento del fluido, tenemos: A1 ⋅ ∆x1

=

A2 ⋅ ∆x2

(7.4)

∆t ∆t Cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño, es decir, en el límite en que se aproxima a cero, el cuociente entre la distancia recorrida por el fluido y el intervalo de tiempo corresponde a la rapidez instantánea del fluido. Por lo tanto, la ecuación (7.4) se puede escribir como: A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2

(7.5)

Es decir, el producto del área por la rapidez del fluido es constante a lo largo de la tubería.

Figura 7.7. Al inyectar una vacuna, el fluido contenido en la jeringa que es empujado lentamente por el émbolo, sale con mucha rapidez por el extremo de la aguja. ¿Por qué?

El flujo de volumen o gasto corresponde a la rapidez con la cual un volumen del fluido atraviesa una sección transversal. Por lo tanto, operacionalmente se expresa como: Q=

V ∆t

(7.7)

La ecuación 7.7 es equivalente a la ecuación 7.6.

164

La ecuación (7.5) expresa cuantitativamente lo que habíamos comentado sobre las características de las líneas de flujo. Es decir, dado que la relación entre el área de la sección transversal de la tubería y la rapidez del fluido es inversamente proporcional, mientras mayor es el área, menor es la rapidez. En términos de líneas de flujo: cuando el área es mayor, más separadas se ven las líneas de flujo y viceversa. La ecuación (7.5) se conoce como ecuación de continuidad de un fluido y es una expresión particular de la conservación de la masa. El producto del área por la rapidez del fluido, en cualquier punto del fluido a lo largo de la tubería, tiene unidades de volumen por  m3  tiempo   y recibe el nombre de flujo de volumen o gasto.  s  Q=A·v (7.6) ¿Cómo se relaciona la ecuación de continuidad con el hecho de que el agua llegue más lejos al poner el pulgar sobre la punta de la manguera del jardín?



22/7/10 17:37:09


Ejemplo 1 El agua al interior de una manguera se comporta aproximadamente como un fluido ideal. Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye agua a 0,5 m/s. a)

¿Cuál es el flujo de volumen o gasto de agua que sale de la manguera?

b)

¿Cuál es la rapidez de salida del agua si en el extremo de la manguera se acopla otra manguera de 0,5 cm de diámetro?

a:

De acuerdo a la definición de flujo de volumen, tenemos: A⋅ v = π ⋅ r2 ⋅ v

(

)

2

A ⋅ v = π ⋅ 10−2 m ⋅ 0, 5

Figura 7.8. Con una boquilla en el extremo de la manguera se disminuye el área de la sección transversal por donde circula el agua y se consigue una mayor velocidad de salida del fluido.

m s

m3 s Donde hemos considerado que el área de la sección transversal de la manguera tiene forma circular. A ⋅ v = 1, 57 ⋅ 10−4

b:

Al acoplar otra manguera de menor diámetro, esperamos que la reducción del área de la sección transversal aumente la rapidez del flujo. En este caso, consideramos la ecuación (7.5): A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2

π ⋅ r12 ⋅ v1 = π ⋅ r22 ⋅ v2

(

2 m = π ⋅ 0, 25 ⋅ 10−2 m ⋅ v2 s 0, 5 m = v2 0, 252 s m 8 = v2 s

)

2

π ⋅ 10−2 m ⋅ 0, 5

(

)

Es decir, como habíamos previsto, la rapidez de salida del agua aumenta 16 veces respecto a su rapidez de entrada. Al abrir un poco una típica llave alta de lavaplatos, el flujo de agua sale a baja velocidad y su comportamiento es como el de un fluido estacionario. En estas condiciones se puede observar que el chorro de agua se estrecha a medida que desciende. ¿Por qué ocurre esto? Sección 7: Fluidos en movimiento


165

22/7/10 17:37:30

Fluidos

Ejemplo 2

Figura 7.9. En la medida en que el agua cae desde la llave disminuye el área de su sección transversal. ¿Por qué ocurre esto?

a)

En la Figura 7.9 se muestra la caída de un chorro de agua. Suponiendo que se trata de un flujo estacionario, ¿cuál es la rapidez de salida del agua?

a:

Vamos a encontrar una expresión para determinar la velocidad de salida del agua en la boquilla de la llave, haciendo uso de la altura de caída y los diámetros inicial y final del flujo.

Cuando el flujo de agua sale de la boquilla con velocidad inicial vi, experimenta la acción de la fuerza de gravedad y podemos modelar el movimiento del agua como si se tratara de un flujo de “partículas” en caída libre. De acuerdo a esto, la velocidad final (vf) de las “partículas” de agua, cuando han caído una distancia (h), se puede obtener a partir de la siguiente expresión cinemática: v 2f = vi2 − 2 ⋅ g ⋅ h Por otra parte, según la ecuación de continuidad para un fluido, tenemos: Ai ⋅ vi = A f ⋅ v f Ai ⋅ vi Af

= vf

Reemplazando este resultado en la ecuación anterior, encontramos finalmente: 2

 A ⋅v  2 i i   = vi − 2 gh A  f  2

 A  2 2 i   ⋅ v i = vi − 2ggh  Af  2

El resultado del Ejemplo 2 muestra que se puede obtener la rapidez de salida del agua a partir de parámetros observables.

 A  2 gh = vi2 −  i  ⋅ v 2 i  Af   A2f − Ai2  2 gh = v   2  Af  2 i

 A2f  2 gh  2 = vi 2  A f − Ai 

166



22/7/10 17:37:49


La ecuación de Bernoulli En general, la presión de un fluido cambia cuando se mueve por una zona en que cambia su rapidez o su altura sobre la superficie terrestre. Daniel Bernoulli, en el siglo XVIII, realizando experimentos con fluidos en movimiento, obtuvo por primera vez una ecuación que relaciona la presión con la rapidez y la elevación de un fluido ideal. La ecuación de Bernoulli se puede derivar de las leyes de Newton. De hecho, es una forma distinta de expresar el teorema de conservación de la energía mecánica. Veremos a continuación cómo es posible mostrar esto. Consideremos la Figura 7.10, donde se muestra una porción de fluido que sube a través de una tubería. Para evaluar el cambio de energía mecánica experimentado por el fluido en su movimiento, fijamos nuestra atención en el sistema formado por la Tierra y el fluido contenido en la tubería entre los puntos 1 y 2. 2 v2

Figura 7.11. El río Baker, ubicado en la región de Aysén, es el río más caudaloso de Chile. Al bajar desde el el lago Bertrand, al sureste del lago General Carrera, su energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética. ¿Podrías aplicar la ecuación de Bernoulli al flujo del Baker?

F2 = P2 · A2

A2 1 v1

h1

F1 = P1 · A1

h1

Δx2

Δx1

Figura 7.10. Un fluido ideal sube a través de una tubería. El volumen del fluido que pasa por la sección A1 en un tiempo Δt es igual al volumen del fluido que atraviesa la sección de área A2 en el mismo intervalo de tiempo. El cambio de energía que tiene lugar en el sistema es equivalente a que si se moviera el fluido contenido en la sección de longitud Δx1 hasta la posición de la sección de longitud Δx2. Sección 7: Fluidos en movimiento


167

22/7/10 17:37:56

Fluidos

Aunque es evidente que el fluido se mueve a lo largo de toda la tubería, podemos observar que el cambio de energía que tiene lugar en el sistema, en un tiempo Δt, es equivalente a que si se moviera el fluido contenido en la sección de longitud Δx1 hasta la posición de la sección de longitud Δx2 (aunque en realidad sabemos que se trata de porciones diferentes del fluido). Es decir, los elementos sombreados en la Figura 7.10 representan el único cambio que ocurre en el sistema entre la situación inicial y la situación final, ya que el resto del fluido comprendido entre estos dos elementos no experimenta ninguna variación. Recordemos que, como vimos en la sección 3, el trabajo mecánico realizado sobre un sistema cambia la energía cinética o la energía potencial del sistema. Por esto, podemos escribir la ecuación de conservación de la energía del siguiente modo: Figura 7.12. Daniel Bernoulli (1700 -1782) nació en Groningen, Holanda. Fue uno de los notables matemáticos de la familia Bernoulli. Pero Daniel Bernoulli es particularmente recordado por sus aplicaciones de la matemática a la mecánica, especialmente a la mecánica de los fluidos. También fue pionero en su trabajo sobre probabilidad y estadística. El trabajo de Bernoulli es estudiado hoy en prácticamente todas las escuelas de ciencia del mundo.

ΔEC + ΔEP = W

(7.8)

Sobre el sistema que hemos definido de acuerdo a la Figura 7.10, actúan fuerzas externas en ambos extremos del fluido, que son aplicadas por el resto del fluido contenido en la tubería. Estas son las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema y, por lo tanto, realizan trabajo sobre él, ya que se produce el desplazamiento de una masa de fluido. Notemos que la fuerza de gravedad también actúa sobre el fluido, pero como hemos definido el sistema compuesto por la Tierra y el fluido, la fuerza de gravedad es una fuerza interna y, por consiguiente, no realiza trabajo sobre el sistema. A continuación, entonces, evaluaremos cada uno de los términos de la ecuación (7.8). En primer lugar, consideremos el trabajo mecánico debido a las   fuerzas externas. Por una parte, la fuerza F1 es aplicada en el mismo  sentido que el desplazamiento ∆x1 . Por otra parte,  la fuerza F2 es aplicada en sentido opuesto al desplazamiento ∆x2 . Por lo tanto, en términos de módulos, el trabajo neto aplicado por ambas fuerzas es: W = F1 ⋅ ∆x1 − F2 ⋅ ∆x2 W = P1 ⋅ A1 ⋅ ∆x1 − P2 ⋅ A2 ⋅ ∆x2

168

(7.9)



22/7/10 17:38:26


En la ecuación (7.9) podemos expresar el producto de la sección transversal por el desplazamiento como el volumen de los elementos, de fluido correspondientes: W = P1 ⋅ A1 ⋅ ∆x1 − P2 ⋅ A2 ⋅ ∆x2 W = P1 ⋅ ∆V1 − P2 ⋅ ∆V2

(7.10)

W = P1 ⋅ ∆V − P2 ⋅ ∆V Ya que el volumen de los elementos de fluido es el mismo (ΔV). En segundo lugar consideremos el cambio de energía potencial gravitatoria experimentado por el sistema. La variación de la energía potencial gravitatoria en este caso está asociada al cambio de posición del elemento de fluido desde la posición 1 hasta la posición 2. Por lo tanto, tenemos: ∆E P = m ⋅ g ⋅ h2 − m ⋅ g ⋅ h1

(7.11)

Donde m es la masa del elemento de fluido. Por último, consideremos el cambio de energía cinética del sistema. Por supuesto, la única variación experimentada está relacionada con el movimiento del elemento del fluido en la posición 1 y en la posición 2, debido al cambio de rapidez. Como la masa del elemento de fluido es la misma en ambas posiciones, encontramos: 1 1 m ⋅ v22 − m ⋅ v12 (7.12) 2 2 Ahora podemos reescribir la ecuación (7.8), usando las relaciones (7.10), (7.11) y (7.12): ∆EC =

∆EC + ∆E P = W 1 2

m ⋅ v22 −

1

(7.13)

m ⋅ v12 + m ⋅ g ⋅ h2 − m ⋅ g ⋅ h1 = P1 ⋅ ∆V − 2 ⋅ ∆V 2 V P

Pero, dividiendo cada término por el volumen del elemento de fluido ΔV: 1

⋅

m

2 ∆V

⋅ v22 −

1

⋅

m

2 ∆V

⋅ v12 +

m ∆V

⋅ g ⋅ h2 −

m ∆V

⋅ g ⋅ h1 = P1 − P2 (7.14)

Pero notemos que el cuociente entre la masa y el volumen del elemento de fluido corresponde a su densidad.



169

22/7/10 17:38:58

Fluidos

Por lo tanto, considerando la densidad del fluido en la ecuación (7.14), podemos escribir: 1

⋅ ρ ⋅ v22 −

1

⋅ ρ ⋅ v 21 + ρ ⋅ g ⋅ h2 − ρ ⋅ g ⋅ h1 = P1 − P2

2 2 Y reordenando los términos, tenemos: 1

1

⋅ ρ ⋅ v22 + ρ ⋅ g ⋅ h2 (7.15) 2 2 Esta es la ecuación de Bernoulli aplicada a un fluido ideal. En términos generales podemos escribir: P1 +

⋅ ρ ⋅ v12 + ρ ⋅ g ⋅ h1 = P2 +

1 (7.16) P + ⋅ ρ ⋅ v 2 + ρ ⋅ g ⋅ h = constante 2 De este resultado se puede inferir que la presión tiene que ver directamente con la energía. En rigor, la ecuación de Bernoulli es una expresión de la densidad de energía del sistema. La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen es constante en todos los puntos a los largo de una línea de flujo. Una consecuencia importante de ella es que los fluidos en movimiento rápido ejercen menos presión que los fluidos que se desplazan con lentitud (ver ejemplo 5).

atmósfera

Ejemplo 3

B h

h2

A h1

a)

A partir de la ecuación de Bernoulli, demuestra que la presión hidrostática se puede obtener como un caso particular de la presión de fluido en movimiento.

a:

Consideremos la Figura 7.13. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos A y B, tenemos: 1 1 PA + ρ ⋅ v A2 + ρ ⋅ g ⋅ h1 = PB + ρ ⋅ v B 2 + ρ ⋅ g ⋅ h2 2 2

Sin embargo, en este caso el fluido está en reposo, por lo tanto: PA + ρ ⋅ g ⋅ h1 = PB + ρ ⋅ g ⋅ h2

Figura 7.13. La presión hidrostática de un fluido se puede obtener como un caso particular de la ecuación de Bernoulli.

PA = PB + ρ ⋅ g ⋅ h2 − ρ ⋅ g ⋅ h1

(

PA = PB + ρ ⋅ g ⋅ h2 − h1

)

PA = PB + ρ ⋅ g ⋅ h Donde PB = P0, es decir, corresponde a la presión atmosférica.

170



22/7/10 17:39:31


Ejemplo 4 Una piscina cilíndrica de plástico tiene un pequeño agujero en la parte inferior por donde escapa el agua. Se llena la piscina con agua potable hasta tener 1 m de profundidad, mientras que el agujero está a 20 cm del suelo. a)

¿Cuál es la rapidez de salida del agua por el agujero?

b)

¿Cómo se puede expresar el flujo de volumen o gasto de agua que sale por el agujero en términos de su sección transversal (A) y las variables del problema?

c)

¿Cuál sería la rapidez de salida por el agujero si la piscina kg se llenara con agua salada de densidad ρ = 1 030 3 ? m

a:

Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli considerando que la presión en la superficie del agua y la presión en la salida por el agujero es igual a la presión atmosférica (P0). Además, como el agujero es relativamente pequeño en comparación con la piscina, podemos suponer que el nivel de agua desciende muy lentamente, con una rapidez despreciable (vsuperficie = 0). Así:

Figura 7.14. Si los 3 agujeros en el recipiente tienen el mismo diámetro, ¿por qué varía el alcance de cada chorro de agua?

1 1 2 2 Po + ρ ⋅ vsuperficie + ρ ⋅ g ⋅ hsuperficie = Po + ρ ⋅ vagujero + ρ ⋅ ⋅ hagujero 2 2 v g 1 2 − ρ⋅g⋅h o ρ ⋅ vagujero = ρ ⋅ g ⋅ hsu 2 uperficie agujer 2 vagujero = 2 ⋅ g ⋅ hsuperf − h o

(

(

ficie

agujer

vagujero = 2 ⋅ g ⋅ hsuperficie − ha

)

o agujer

)

Reemplazando la información dada en el enunciado: v2 = 2 ⋅ 10 v2 = 4 b:

m ⋅ (1m − 0, 2 m) s2

m s

El flujo de volumen o gasto de agua lo obtenemos como el producto del área de la sección transversal del agujero por la rapidez del flujo. Es decir, en término de las alturas involucradas:

(

A ⋅ vagujero = A ⋅ 2 ⋅ g ⋅ hsuperficie − hagujero

)



171

22/7/10 17:14:11

Fluidos

4c: Si la densidad del fluido aumenta, la rapidez de salida no se modifica, ya que esta magnitud solo depende de la profundidad y no de la densidad del fluido. Ejemplo 5 Una tubería horizontal de 10 cm de radio se reduce uniformemente hasta alcanzar una tubería de 5 cm de radio. Por su interior circula agua, cuya presión en la parte más ancha es de 8 x 104 Pa y en la parte más estrecha es de 6 x 104 Pa. a)

¿Cuál es la rapidez del flujo de agua que circula por la tubería en la parte ancha y en la parte estrecha? A

B RB

h

RA

h

Figura 7.15. Tubería horizontal con estrechamiento uniforme.

a:

Consideremos los extremos A y B de la tubería en la Figura 7.15. Al aplicar la ecuación de Bernoulli en el centro del flujo en cada uno de esos puntos, tenemos:

1 1 PA + ρ ⋅ v A2 + ρ ⋅ g ⋅ h = PB + ρ ⋅ v B 2 + ρ ⋅ g ⋅ h 2 2 1 1 ρ ⋅ vB2 PA + ρ ⋅ v A2 = PB 2 2 = + Donde los términos relacionados con la elevación del fluido se cancelan, ya que la tubería está en posición horizontal, de manera que la altura (h) es la misma en ambos extremos. Por otra parte, de la ecuación de continuidad obtenemos:

π ⋅ RA2 ⋅ v A = π ⋅ RB2 ⋅ v B vA =

RB2 RA2

⋅ vB

A continuación, reemplazamos este resultado en la ecuación de Bernoulli para calcular la rapidez del flujo en el punto B, es decir, en la sección más estrecha de la tubería.

172



22/7/10 17:14:38


1 1 PA + ρ ⋅ v A2 = PB + ρ ⋅ v B 2 2 2 2

2  1 R 1 PA + ρ ⋅  B2 ⋅ v B  = PB + ρ ⋅ v B 2 2  RA 2  4 1 R 1 PA + ρ ⋅ B4 ⋅ v B2 = PB + ρ ⋅ v B 2 2 RA 2

PA − PB = PA − PB

R4  1  ρ  1 − B4  ⋅ v B2 2  RA 

= vB

R4  1  ρ  1 − B4  2  RA 

Reemplazando las datos del problema, encontramos: PA − PB

RB4  1  ρ 1− 4  2  RA  8 ⋅ 104 Pa − 6 ⋅ 104 Pa  0, 5 ⋅ 10−2 m 1 3 kg  10 3 1 − 4 2 m  10−2 m 

(

(

)

)

4

   

= vB

= vB

2 ⋅ 104 Pa = vB 1 3 kg  1 10 3  1 − 4  2 m  2  40 m = vB 0, 93 s 6, 55

m = vB s

Y, por último, la rapidez del flujo en el punto A es: vA =

RB2 RA2

⋅ vB

(0, 5 ⋅10 m) = (10 m) −2

vA

v A = 1, 63

−2

2

2

⋅ 6, 55

m s

m s Sección 7: Fluidos en movimiento


173

22/7/10 17:15:03

Fluidos

Actividad de profundización ¿Cómo vuelan los pájaros, los coléopteros, las mariposas, los murciélagos y los aeroplanos? Los pájaros, los coléopteros, las mariposas, los murciélagos y los aeroplanos, necesitan alas para volar. Cuando los hermanos Wright lograron con éxito el primer vuelo a motor, ya habían pasado muchos años en el estudio de las alas. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Qué tienen en común las alas de los seres voladores? ¿En qué se asemejan a las alas de un avión? Para realizar la siguiente actividad, se necesita lo siguiente: un rectángulo de cartulina de 10 cm x 15 cm, tijeras, pegamento, una pajita de bebida, 30 cm de hilo y un secador de pelo. Según la disponibilidad de secadores de pelo en el curso, reúnete con algunos compañeros y compañeras (4, idealmente) y formen un equipo de trabajo. b) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿qué tienen en común los seres voladores y los aviones que les permite volar? Como equipo, planteen una hipótesis para responder. A continuación, realicen el siguiente experimento. Primero, doblen la cartulina en dos partes, dejando una solapa (lengüeta) de 2 cm. Unan la solapa con el borde del frente y péguenla, de modo que un lado del papel se curve. Con un lápiz, hagan un agujero en el ala en la parte de en medio y atraviesen la pajita por él. Recorten la pajita dejando 2 cm a cada lado del ala. Por último, atraviesen la pajita con el hilo, manténganlo en posición vertical y centren su modelo de ala, como se muestra en la imagen 7.4. A continuación, dirijan el aire del secador hacia el borde doblado manteniéndolo a 3 cm del borde del ala. Varíen la inclinación del hilo de manera que la base del ala quede horizontal. Lentamente, muevan el secador hacia arriba y observen que sucede.

Imagen 7.4

c) ¿Cómo se comporta el ala cuando recibe el aire del secador desde el frente? ¿Qué ocurre si el aire se dirige desde el lado opuesto? d) Si el aire incide desde el frente, pero por debajo del ala, ¿se mantiene elevada? e) ¿Cómo se relaciona el comportamiento del ala con el principio de Bernoulli? Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.

174



22/7/10 17:15:08



Observa la siguiente imagen de la derecha:

En la figura se muestra un fluido que circula en régimen estacionario por un tubo de diámetro variable. v1 y v2 son la rapidez del fluido en los puntos 1 y 2. Análogamente, se indica la presión (P1 y P2), y el área transversal (A1 y A2) del conducto en ambos puntos. Por su parte, ρ es la densidad del fluido.

h

A1

v1 P1

A2

v2

ρ

P2

a) ¿Cómo se relacionan v1 y v2 con A1 y A2? b) ¿Cómo se relacionan P1 y P2 con v1 y v2? c) ¿Cómo relaciona la altura h con P1 y P2? PARTE II: Análisis 2

Es bien sabido que el colesterol reduce la sección transversal del flujo de sangre en arterias y venas. Entonces, a partir del problema anterior, responde: ¿por qué es peligroso el exceso de colesterol?

Indagación N°20 ¿Cómo cambia la rapidez un paracaidista desde que se lanza del avión hasta que abre el paracaídas? Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se propone la siguiente hipótesis: El paracaidista primero acelera de manera uniforme, luego desacelera uniformemente y finalmente baja con velocidad constante. ¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis? a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que sugieren. Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la observación y el análisis de sus resultados.


b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indicaciones que les dé su profesor(a). Sección 7: Fluidos en movimiento


175

22/7/10 17:15:13

Fluidos

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli EL MEDIDOR DE VENTURI El efecto Venturi consiste en la disminución de la presión de un fluido cuando fluye a través de la sección reducida de una tubería. Como hemos visto, la rapidez del fluido aumenta en el tramo angosto de la tubería para satisfacer la ecuación de continuidad, mientras que su presión disminuye por la conservación de la energía. El tubo de Venturi es una aplicación de este efecto presentada en el año 1797 por el físico italiano Giovanni Battista Venturi (17461822). Se trata de un dispositivo que sirve para medir la rapidez del flujo que lo atraviesa. El medidor de Venturi consiste en un tubo de diámetro variable por el que circula el fluido. La diferencia de presión entre la región ancha y la región más estrecha puede medirse con un tubo vertical en forma de U conectando ambas regiones, el cual funciona como manómetro. Si se usa un líquido manométrico, como en el caso de la Figura 7.16, la diferencia de altura del líquido en las ramas del tubo en forma de U permite medir la diferencia de presión entre las dos secciones a las que está conectado.

flujo

manómetro

h

líquido manométrico Figura 7.16. Tubo de Venturi. Un flujo de aire circula por el tubo de diametro variable. La diferencia de presión entre la región ancha y la región estrecha se puede obtener directamente midiendo la diferencia de altura entre las columnas del líquido manométrico.

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22/7/10 17:15:27


LA FUERZA DE SUSTENTACIÓN El “efecto” de una pelota en el aire Como muestra la Figura 7.17, una pelota que es lanzada en el aire como un proyectil rotando experimenta una fuerza de ascensión que es resultado de la diferencia entre la presión ejercida por el aire en la parte superior y en la parte inferior de la pelota. Velocidad de traslación trayectoria

Velocidad del aire respecto a la pelota Velocidad tangencial de la superficie Velocidad neta de la superficie Fuerza de sustentación

Figura 7.17. Una pelota que se traslada a través del aire, de derecha a izquierda, rotando en el sentido de las agujas del reloj. Debido a la diferente velocidad relativa entre el aire y la superficie, que ocurre entre los dos puntos opuestos del objeto, se produce una diferencia de presión que tiene como resultado una fuerza neta dirigida hacia arriba. La presión es menor arriba de la pelota, donde la velocidad neta de la superficie respecto al aire es mayor.

¿Hacia dónde estaría dirigida la fuerza de sustentación si la pelota se lanzara rotando en sentido antihorario? ¿Y si la pelota rotara de manera que su eje de giro fuera perpendicular a la superficie terrestre, hacia dónde sería empujada por la fuerza de sustentación? El vuelo de los aviones Tal vez la aplicación más fascinante de la ecuación de Bernoulli sea el principio de sustentación del ala de un avión. El diseño del perfil del ala de un avión genera trayectorias de longitud diferente para el flujo del aire que atraviesa, permitiendo una diferencia significativa en la forma que adquieren las líneas de flujo entre la parte superior del perfil alar y la parte inferior. Aplicando la ecuación de Bernoulli a esta situación, se deduce que por la parte superior del ala el flujo tiene mayor rapidez que por la parte inferior; por lo tanto, la presión del aire es menor arriba que abajo, lo que genera una fuerza resultante que apunta en dirección ascendente.

Figura 7.18. La sustentación aerodinámica está comúnmente asociada con el ala fija de un avión. Sin embargo, la fuerza se sustentación también es generada por motores de propulsión; por rotores de helicóptero; por “alerones” de autos de carrera; por timones, velas y quillas de veleros; etc. Aunque el uso común de la palabra “sustentación” sugiere que se opone a la fuerza de gravedad, como se puede comprobar analizando el “efecto” de una pelota en el aire, la sustentación puede actuar en cualquier dirección. Sección 7: Fluidos en movimiento


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22/7/10 17:15:36

Fluidos

sustentación F

resistencia

Figura 7.19. El aire que se aproxima desde la izquierda es desviado por el ala del avión de manera que las líneas de flujo están más juntas en la parte superior del ala que en la parte inferior. Como la corriente de  aire es desviada por el avión, esta corriente ejerce una fuerza F sobre el ala, cuya componente vertical es la fuerza de sustentación, debida a la diferencia de presión del aire sobre las  superficies superior e inferior del ala. La componente horizontal de F es la resistencia del aire al movimiento del avión.

 De acuerdo a la Figura 7.19, el aire ejerce una fuerza F sobre el ala del avión. Esta fuerza tiene una componente vertical que corresponde a la fuerza de sustentación o sustentación aerodinámica, y una componente horizontal llamada resistencia. En general, la fuerza de sustentación depende de varios factores, como la rapidez del avión, el área del ala y su curvatura, así como del ángulo que forma el ala con la horizontal, llamado ángulo de ataque. Cuando este ángulo aumenta, el flujo por encima del ala puede volverse turbulento, disminuyendo la sustentación.

Viscosidad y velocidad límite Al inicio de esta sección indicamos que la viscosidad es una propiedad de los fluidos relacionada con la fricción interna que experimentan sus capas, de manera que cuando un fluido es más viscoso hay mayor fricción entre sus capas, lo que dificulta su movimiento, de manera análoga a la acción de la fuerza de roce por deslizamiento entre dos superficies. Sin embargo, en nuestro modelo de fluido ideal la viscosidad no está presente.

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22/7/10 17:15:49


En realidad, todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, aunque como hemos visto el modelo de viscosidad nula es una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. A continuación, consideraremos algunas características de un fluido viscoso. La viscosidad se puede explicar por la fuerza de cohesión entre las moléculas del fluido. Por lo tanto, depende del estado físico y de la temperatura del fluido. Así, los gases, por ejemplo, tienen menor viscosidad que los líquidos. La miel es más viscosa que el aceite, ya que su cohesión es mayor; y por la misma razón, la leche es más viscosa que el agua. Sin embargo, al calentar miel se puede observar como su viscosidad disminuye notablemente. Para comprender cómo la viscosidad afecta el movimiento de un fluido en régimen estacionario o laminar, sin turbulencia, suponemos que está constituido por capas. De acuerdo a esto, cuando un fluido viscoso se mueve a través de una tubería sus capas externas interactúan con las paredes del conducto, lo que provoca un movimiento diferente a las capas internas, ya que la viscosidad actúa retrasando a las capas externas. En estas condiciones, el fluido experimenta una baja de presión a lo largo de su dirección de movimiento, que depende directamente del coeficiente de viscosidad del fluido.

P Fluido ideal

P

La ley de Poiseuille permite determinar el flujo de volumen (Q) de un fluido en régimen estacionario o laminar, incompresible y uniformemente viscoso, a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante, como el de la Figura 7.20. Esta ley se expresa matemáticamente del siguiente modo:

( P − P )⋅π ⋅ r 1

2

8 ⋅η ⋅ L

vexterior

pared de la tubería

vinterior

P1 Fluido viscoso P2

Figura 7.20. Un fluido ideal no presenta viscosidad, por lo que su presión se mantiene constante a lo largo de su movimiento al interior de la tubería. En cambio, un fluido viscoso pierde presión en la medida que avanza.

Q=

Figura 7.21. Típicamente, al vertirse leche sobre agua se producen salpicaduras. Fluidos con viscosidad elevada no producen tales efectos al caer con una rapidez similar.

pared de la tubería Figura 7.22. Un fluido viscoso en régimen estacionario se arrastra lámina por lámina. La viscosidad del fluido provoca que sus capas externas, que interactúan con las paredes de la tubería, se retrasen respecto a las capas internas, de manera que la rapidez del fluido es mayor en el centro.

η es la letra griega “eta”.

4

(7.17)



179

22/7/10 17:16:12

Fluidos

Como el fluido viscoso presenta una distribución de velocidades entre sus distintas capas, en la ecuación (7.17) podemos expresar el flujo de volumen (Q) en términos de la rapidez media del fluido (vmedia) y del área de la sección transversal de la tubería (A): Q = A ⋅ υ media

(7.20)

De acuerdo a la ecuación de Bernoulli, la presión es una medida de la densidad de energía de un fluido. ¿Cómo se relaciona la viscosidad con la energía que transporta un fluido? ¿Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli a un fluido viscoso? Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso, la resistencia que presenta el medio depende de la forma del cuerpo y de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. El régimen de flujo estacionario o laminar se mantiene mientras la velocidad relativa es inferior a cierto valor crítico, y en este caso la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de fricción que se oponen al resbalamiento de las capas de fluido.

fluido

Un caso particular es el de un objeto esférico que se mueve en el interior de un fluido viscoso. Este caso especial fue estudiado por Stokes, a mediados del siglo XIX, quien derivó una relación para la fuerza de resistencia experimentada por el objeto. Esta relación es conocida como ley de Stokes y se expresa como:

E

F

v

P

Figura 7.23. Un objeto que se deja caer al interior de un fluido viscoso experimenta  la acción de tres fuerzas: elempuje ( E ), lafuerza de resistencia ( F ) y el peso ( P ).

180

En la ecuación (7.17), Q es el flujo de volumen o gasto de fluido que circula por la tubería, P1 y P2 corresponden a la presión del fluido en dos puntos diferentes que están separados por una distancia L; r es el radio interno del cilindro y η es el coeficiente de viscosidad que en el S.I. se expresa en [Pa · s]

F = 6 ⋅ π ⋅η ⋅ r ⋅ v

(7.18)

Donde η es el coeficiente de viscosidad del fluido, r es el radio del objeto esférico y v es su rapidez. En general, la ley de Stokes es válida en el caso de partículas esféricas pequeñas, moviéndose a velocidades bajas. Consideremos el caso de un objeto esférico que se deja caer al interior de un fluido, representado en la Figura 7.23. El objeto cae acelerado hasta que las tres fuerzas que actúan sobre él se equilibran entre sí, de manera que el movimiento se vuelve uniforme y mantiene una velocidad límite. A continuación, derivaremos una expresión para el módulo de la velocidad límite, usando la ley de Stokes. Cuando el objeto alcanza un movimiento uniforme, el equilibrio de fuerzas se expresa, en términos de módulos, como: E+F–P=0

(7.19)



22/7/10 17:16:38


E+F−P=0 ρ f ⋅ V ⋅ g + 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v − ρo ⋅ V ⋅ g = 0

(7.21)

Donde ρf es la densidad del fluido. Al reemplazar el volumen por el de una esfera, obtenemos:

ρ f ⋅ V ⋅ g + 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v − ρo ⋅ V ⋅ g = 0 4 4 ρ f ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ g + 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v − ρo ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ g = 0 3 3

(7.22)

Rapidez (m/s)

Como se muestra en la Figura 7.23,   en la ecuación (7.19) las fuerzas involucradas son el empuje ( E ), la fuerza de resistencia ( F ) y el peso del objeto ( P ). Por lo tanto, considerando la densidad del objeto (ρ0) y su volumen (V), podemos escribir:

Tiempo (s) Figura 7.24. La velocidad de caída de un cuerpo en el interior de un fluido viscoso aumenta hasta alcanzar la velocidad límite.

Es decir: 4 4 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v = ρo ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ g − ρ f ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ g 3 3 2 2 r ⋅g v= ⋅ ⋅ ( ρo − ρ f ) 9 η

(7.23)

Donde v es la velocidad límite que alcanza el objeto en su caída a través del fluido. ¿Cómo afectaría a las personas la caída de agua durante la lluvia si las gotas no experimentaran la resistencia del aire?

Ejemplo 6 Una esfera de aluminio de 2 mm de diámetro, cae en el interior

Figura 7.25. Al llover, las gotas de agua caen al suelo con una velocidad límite de aproximadamente 7 m/s.

de un tiesto con glicerina a 20°C. La densidad del aluminio es kg kg ρ0 = 2, 7 ⋅ 103 3 y la densidad de la glicerina es ρ f = 1, 26 ⋅ 103 3. m m Además, el coeficiente de viscosidad de la glicerina a esta temperatura es η = 1, 49 Pa ⋅ s a)

¿Qué velocidad alcanza la esfera?

b)

¿Cuál es el módulo de la fuerza de resistencia que actúa sobre la esfera cuando se mueve con velocidad constante?



181

22/7/10 17:17:57

Fluidos

a: Vena tiroidea

Cerebro Tiroides

Arteria tiroidea

2 v= 9

Vena cava superior

b:

Arteria aorta

Vena pulmonar

Vena cava inferior

Arteria hepática

Hígado

−3

2

2

⋅ ( 2, 7 ⋅ 103

kg kg − 1, 26 ⋅ 03 3 ) 3 m m 6 1

Para encontrar la fuerza de resistencia, usamos el resultado anterior para evaluar ley de Stokes: F = 6 ⋅ π ⋅η ⋅ r ⋅ v  m F = 6 ⋅ 3,14 ⋅ 1, 49 Pa ⋅s ⋅ 10−3 m ⋅  2,15 ⋅ 10−3  s 

(

)(

)

F = 6, 04 ⋅ 10−5 N

Bazo

Vena porta

Arteria mesentérica superior

El flujo sanguíneo en el cuerpo humano

Intestino Riñón Vena renal

Arteria renal

Figura 7.26. El sistema circulatorio humano consta de un generador de pulsos de presión o bomba –el corazón–, un sistema para captación de oxígeno y expulsión de desechos – los pulmones–, un medio portador de oxígeno y otros nutrientes –la sangre–, y un sistema de distribución –la red de arterias, venas y capilares en todo el cuerpo. La tarea principal del sistema circulatorio es el transporte de oxígeno y dióxido de carbono desde y hacia el sistema de intercambio con el medio (los pulmones). El corazón es un órgano prodigioso en muchos sentidos, pero desde un punto de vista físico, es interesante porque resuelve el siguiente problema: si la bomba se usa para generar presión y hacer llegar la sangre al sistema de intercambio, queda poca presión para distribuir la sangre oxigenada a los tejidos. Y en cambio, si la bomba se usa para generar presión para hacer llegar sangre a los tejidos, queda poca presión para impulsar la sangre desoxigenada al sistema de intercambio. El corazón es la solución que la naturaleza encontró para esto: una bomba doble.

182

(10 m) ⋅10 sm

1, 49 Pa ⋅ s m v = 2,15 ⋅ 10−3 s

Pulmones

Venas hepáticas

De acuerdo a la ecuación (7.21), la velocidad límite es:

Nuestro corazón es análogo a una máquina que funciona como una bomba para mover fluidos. En este caso, el fluido es la sangre. El ritmo de la frecuencia cardíaca del corazón marca los movimientos de contracción y dilatación periódicos de esta bomba natural. El proceso de contracción se denomina sístole, y el de expansión o relajación, diástole. El flujo sanguíneo que sale del corazón comienza su camino por el cuerpo saliendo por la arteria aorta para distribuirse por el resto de las arterias que recorren las distintas zonas corporales, llegando a distribuirse a todas las células del cuerpo a través de la extensa red de vasos capilares. En el proceso de regreso, la sangre se mueve a través de las venas, para volver al corazón a través de la vena cava. Durante la sístole la presión sanguínea es máxima. En cambio durante la diástole, la presión del flujo sanguíneo disminuye. Por esta razón, las presiones generadas durante un ciclo cardíaco se denominan presión sistólica y presión diastólica. Existen varios procedimientos para medir la presión arterial. Uno de ellos hace uso de un instrumento conocido como esfigmomanómetro, con el cual se puede medir la presión arterial de manera indirecta, ya que se comprimen externamente la arteria y los tejidos adyacentes, y se supone que la presión necesaria para ocluir la arteria es igual a la que hay dentro de ella.



22/7/10 17:18:15


El esfigmomanómetro consiste en una cámara elástica con forma de brazalete, la cual se infla con aire hasta una presión suficiente para eliminar temporalmente los pulsos cardíacos en la zona estrangulada, lo que se puede constatar escuchando a través de un estetoscopio. La presión del aire se mide con un manómetro de mercurio.

aurícula

aorta arteria pulmonar

contracción ventrículo

(a) aurícula


ventrículo

Figura 7.27. Un esfigmomanómetro consiste en un manómetro junto a una cámara con aire y un estetoscopio.

Cuando se baja controladamente la presión del aire en el brazalete, la circulación sanguínea se activa nuevamente en la arteria ocluida, escuchándose claramente los bombeos del corazón a través de las pulsaciones. La presión indicada por el manómetro en el instante en que se escucha la primera pulsación de reactivación es la presión sistólica. Luego de esta medición, se continúa sacando aire de la cámara paulatinamente, de manera que la presión disminuye lo suficiente para que el flujo de sangre se restituya por completo. En el instante en que esto ocurre, el sonido de las pulsaciones a través del estetoscopio deja de ser nítido, y entonces se vuelve a registrar el valor de la presión indicado por el manómetro. El valor medido en este caso corresponde a la presión diastólica. Los valores de presión sistólica y presión diastólica normales son de 120 mmHg y 80 mmHg, respectivamente. Sin embargo, estos valores fluctúan entre 100 y 140 mmHg, para la presión sistólica y entre 70 y 90 mm Hg para la presión diastólica. ¿Qué efecto sobre el flujo sanguíneo produce el colesterol que se deposita en las arterias?

(b)

contracción

aurícula


ventrículo

(c) aurícula


ventrículo

(d) Figura 7.28. La sístole y la diástole no ocurren simultánemente en todas las cavidades del corazón. (a) Sístole auricular. (b) Sístole ventricular. (c) Diástole auricular (d) Diástole ventricular.



183

22/7/10 17:18:29

Fluidos

Síntesis A partir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa conceptual de la figura. Conceptos Relevantes (CR) A Rapidez de flujo B Ecuación de continuidad C Fluidos incompresibles D Movimiento E Fuerza de sustentación F Flujo estacionario G Líquidos

I II III IV V

Frases Conectoras (FC) Se deriva del Expresa que es constante el Cumplen la Estudio de Es el producto entre


Hidrodinámica

8

Explica fenómenos como Tubo de Venturi

Gases

3

Flujo sanguíneo

9

2

4

11

Flujos irrotacionales

Ecuación de Bernoulli

Siempre que sean

y también la Flujo de volumen

Viscosidad

En

1

Principio de conservación de la energía

tienen

6

10

5 Fluidos no viscosos

Área de sección

12 7

184



22/7/10 17:18:38



¿Qué aspecto de los trabajos de Daniel Bernoulli ha sido destacado en el transcurso de los siglos, al punto que todavía hoy no hay escuela de ingeniería, física, medicina o construcción, entre otras, donde no se estudien sus resultados?

2

Observa las situaciones representadas en la Figura 7.29. Realiza estos experimentos y luego explica lo que observas relacionándolo con tu conocimiento sobre la dinámica de los fluidos. (a) Soplar por encima de una hoja de papel dispuesta horizontalmente bajo la boca. (b) Soplar entre dos hojas de papel dispuestas verticalmente. (c) Con un secador de pelo, mantener una pelota de ping-pong en equilibrio. (d) Sostener suavemente con un dedo una pelota de ping-pong dentro de un embudo y luego soplar por el extremo delgado del embudo, mientras se saca el dedo que sostenía a la pelota.

(a)

3

Por una manguera de 2 cm de diámetro fluye gasolina, en régimen estacionario, con una rapidez de 5 m/s. (a) ¿Cuál es el flujo de volumen m3 o gasto, expresado en ? (b) ¿Cuánto tiempo s se requiere para llenar con este flujo un tanque de 100 m3?

4

En la salida de una manguera de 3 cm de diámetro, fluye agua con una rapidez de 2 cm/s. (a) ¿Cuál es el flujo de volumen expresado en l ? min (b) ¿Cuánto tiempo se requiere para llenar con este flujo un recipiente de 50 litros?

5

Por una tubería horizontal de 20 cm de diámetro m3 fluye agua con un flujo de volumen de 30 . min (a) ¿Con qué rapidez sale el agua en la boca de la tubería? (b) Si la tubería está situada a 1,2 m de altura sobre el suelo, como se muestra en la Figura 7.30, ¿qué alcance horizontal (x) tiene la corriente de agua desde la salida?

(b)

1,2 m x

(c)

(d) Figura 7.29

Figura 7.30 6

Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior, tiene un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del líquido. (a) ¿Con qué rapidez sale agua por el orificio? (b) Si el área del orificio es de 1,3 cm2, ¿cuál es el gasto de agua que sale por del recipiente?



185

22/7/10 17:18:56

Fluidos

7

8

9

10

11

186

El agua fluye con un gasto de 6 m3/min, a través de una pequeña abertura en el fondo de un gran tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte superior. El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. (a) ¿Con qué rapidez sale el chorro de agua por la abertura? (b) ¿Cuál sería el gasto de la fuga de agua, si se aplica una presión 3 adicional equivalente a del valor de la presión 4 atmosférica? Un flujo de agua en régimen estacionario circula por una tubería horizontal. En un punto donde la presión absoluta es de 300 kPa, la rapidez es de 2 m/s. (a) ¿Con qué rapidez fluye el agua en un sector donde la tubería se estrecha, de modo que la presión del fluido se reduce a 100 kPa? Un flujo agua en régimen estacionario circula por una tubería horizontal de sección transversal variable. En los puntos donde el área de la sección transversal es de 10-2 m2, la presión del fluido alcanza los 5·105 Pa y su rapidez es de 0,5 m/s. (a) ¿Cuál es la rapidez del fluido en una región constreñida de la tubería, donde el área de la sección transversal es de 4 · 10-4 m2? (b) ¿Cuál es la presión a la que pasa el agua por esta zona estrecha? Un gran tanque de almacenamiento se llena con agua pura. (a) Sin tener en cuenta la viscosidad, demuestra que la rapidez del agua que sale por un agujero, en uno de los lados del tanque, a una distancia de h por debajo de la superficie del agua, es v = 2 ⋅ g ⋅ h . Este resultado fue derivado inicialmente por Torricelli, de ahí que se conoce como teorema de Torricelli. A partir del resultados del ejercicio 10, (a) demuestra que se obtiene el máximo alcance del agua que sale por el agujero cuando la posición del orificio coincide con la mitad de la profundidad del líquido, es decir, a la mitad de la distancia entre la superficie del líquido y el fondo del tanque.

12

Una manguera de jardín de 15 m de largo y diámetro interior de 1,25 cm, en posición horizontal, se utiliza para suministrar agua a 20°C (η = 1,003·10−3 Pa·s), la cual circula en la manguera a una rapidez media de 150 cm/s. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión entre los extremos de la manguera, debido a la viscosidad?

13

Fluye mercurio a 25°C (η = 1,526·10−3 Pa·s) por un tubo de 4 cm de diámetro y 0,5 m de largo. Si la diferencia de presión de un extremo a otro del tubo es igual a 104 Pa (alrededor de 1/10 atm), (a) ¿cuál es la rapidez media del fluido al interior del tubo?

14

Una bola de acero de 8 mm de diámetro se suelta dentro de un cilindro que contiene glicerina a 25°C. (η = 1,49 Pa·s) (a) ¿Cuál es la velocidad límite de la kg kg bola? ( ρ = 7, 8 ⋅ 103 3 , ρglicerina = 1, 26 ⋅ 103 3) acero m m

15

En una botella recién sacada del refrigerador, que contiene un fluido desconocido, a una temperatura de 5° C, se deja caer una bolita, cuyo diámetro es kg de 1,57 cm y cuya densidad es de 2, 5 ⋅ 103 3 . m La bolita cae en todo su movimiento con rapidez constante y tarda 45 s en hundirse hasta el fondo. La profundidad del líquido es de 12,1 cm kg . (a) ¿Cuál es el y su densidad es de 1, 2 ⋅ 103 m3 coeficiente de viscosidad del fluido a 5° C? (b) Cuando se realiza el mismo experimento con el fluido a temperatura ambiente, la bollita cae en similares condiciones, pero demora 5 s en llegar al fondo. ¿Cuál es la viscosidad del fluido a temperatura ambiente?



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Evaluación final de la sección PARTE I: Anota en el recuadro el número del concepto que corresponde a su descripción o definición. Magnitud Densidad

1

3

Flujo laminar o estacionario Flujo turbulento

4

Viscosidad

2

Unidad Cada partícula del fluido sigue una trayectoria denominada línea de flujo, que no se cruza con las demás. Masa del fluido por unidad de volumen. Las trayectorias de las partículas del fluido pueden formar remolinos o cruzarse entre sí. Fricción interna del fluido.

PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus respuestas. VoF 1 2 3

La rapidez de caída libre de un objeto en un fluido alcanza un límite determinado. La fuerza de sustentación empuja hacia adelante a un avión. Un fluido estacionario horizontal se mueve con mayor rapidez cuando mayor es su área transversal. La presión sistólica es menor que la presión diastólica. El esfigmomanómetro permite medir la presión de la sangre en las arterias.

4 5

PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta. 1

El colesterol se acumula en las arterias y venas, reduciendo la sección transversal de la sangre. ¿cómo afecta esto a la presión y rapidez de la sangre? a) La presión aumenta, la rapidez disminuye. b) La presión aumenta, la rapidez aumenta. c) La presión disminuye, la rapidez disminuye. d) La presión disminuye, la rapidez aumenta.

2

Un futbolista le pega a una pelota con “chanfle”, utilizando el borde externo de su pie izquierdo. Justo después del golpe, la pelota sale hacia adelante y rotando con sentido antihorario (vista desde arriba), en torno a un eje vertical. ¿Hacia dónde diría el futbolista que apunta la fuerza de sustentación que actúa sobre la pelota? a) Hacia adelante. b) Hacia su derecha. c) Hacia su izquierda. d) Hacia arriba.


3

Una piscina de 10 m3 tiene un agujero de 10 cm de diámetro en el fondo, y el agua sale a una rapidez de 10 m/s. ¿En cuánto tiempo se vacía? a) 2,12 minutos. b) 0,53 minutos. c) 31,83 segundos. d) 2,12 segundos.

4

Una esfera de aluminio cae en el interior de un tiesto con glicerina. Si la esfera tiene 1 mm de radio y cae a una velocidad límite de 0,0215 m/s, ¿cuál es la rapidez que alcanza si su radio aumenta a 2 mm? a) 0,043 m/s b) 0,086 m/s c) 0,011 m/s d) 0,005 m/s


187

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Solucionario preguntas y ejercicios Sección 1 1

2 3

4

5 6 7 8 9

10 11

Copérnico postuló un sistema heliocéntrico, en el cual los planetas realizaban órbitas circulares alrededor del Sol. De acuerdo a esta idea, contrariamente a lo que se pensaba en tiempos de Copérnico, la Tierra no era el centro del Universo. Desde un punto de vista religioso, la centralidad de la Tierra estaba vinculada a la idea de que el ser humano era el centro de la creación y, por lo tanto, el postulado de Copérnico contradecía esta creencia. La velocidad instantánea es siempre perpendicular al radio de giro. Velocidad tangencial y angular, que corresponden a la variación temporal del arco y el ángulo, respectivamente. El período es el tiempo que demora en realizarse un ciclo, mientras que la frecuencia es el número de ciclos que se realizan por unidad de tiempo. Por inercia, la piedra mantiene la dirección de su velocidad instantánea. Sí, cambia, ya que se modifica la dirección de la velocidad (hay aceleración). a) π rad b) π rad c) π cm 4 30 s 3 s −5 f = 1,16 x10 Hz rad a) f = 50 Hz b) ω = 314,16 s c) T = 0,02 s m a = 15, 67 2 s A v

B

ac

ω = 2π f

13

ω H = 1,45x10 −4

14

a) T = 0,5s

v

15

16

17 18

v = 10m / s m b) 4822 N c) μ = 0,48 20 a) 4, 8 2 s m 21 v = 15,8 s m b) v = 2, 6 22 a) T = 0, 4 N s Sección 2 19

1

2 3 4 5 6 7 8

12

ω S = 0,105

188

ac

rad s

rad ; rad ; ω M = 1,7x10 −3 s s

9 10

b) ω A = ωB = 12,56

rad s

m m vB = 3, 768 s s m m d) a A = 31,55 2 aB = 47,32 2 s s No, porque el piñón da más vueltas en un mismo tiempo. Lo correcto sería que un punto del borde del piñón tiene la misma rapidez tangencial que un punto del borde del plato. m rad a) v = 1,88 b) ω = 47,1 s s m c) v = 23,55 s m v = 465, 4 s Iguale fuerza gravitacional de Newton con fuerza centrípeta y en un paso la demostración está lista. c) v A = 2,512

11

Es más fácil equilibrarlo por el lado que tiene menos masa, de esta manera aumenta el momento de inercia y se hace más difícil rotarlo. Sí. No. La esfera. Gana estabilidad por ser mayor el I. En A pues I es mayor. Aumenta. m2 L = 0,98kg s a) T = 24hr = 86400 s m2 b) L = 6,54 x1013 kg s m2 16 c) L = 2,35 x10 kg s a) I = 2,5 kg m2 b) I = 5 kg m2 a) I = 0 kg m2 b) I = MR 2 c) I = M ( R cos 45) 2 a) I = 9,8x1037 kg m2



22/7/10 17:20:22

2 m2 40 m b) L = 7,1x10 kg c) L = 2, 7 x10 kg s s 2 a) L = 13, 88 kg m b) w = 2, 45 rad s s m2 rad a) L = 0, 2kg b) ω = 62,5 s s 47 2 43 a) IA = 3,92x10 kg m ; ID = 3,3x10 kg m2

16

b) T = 182 s

21

33

12 13 14

a) ∑τ = 0Nm b) X = 1m c) I = 10kg m2 d) I = 12kg m2 e) I = 22kg m2 f) Sí, con velocidad angular constante. m2 m2 b) L = 0,8kg 16 a) L = 0kg s s m2 c) ∆L = 0,8kg d) τ = 0, 4Nm s Sección 3 15

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15

Se refiere a la energía cinética, la cual es parte de la energía mecánica. Al levantarla, ya que al sostenerla no hay desplazamiento. Un sistema es una porción del universo físico, mientras que un agente es quien interactúa con el sistema. Sí Sí A mayor energía cinética mayores daños potenciales. Sí, energía de rotación. Sí, energía potencial elástica. a) W = 300J b) W = 0J a) W = 0,21J a) Emecánica = 4,74 J b) No, solo depende de la magnitud o módulo de la velocidad y de la masa del gorrión. a) F = 260 N b) W = 1300J a) W = 2000J b) W = –1200J c) –684 J a) Ei = 23 x103 J E f = 833 x103 J b) W = 810x103 J a) E1 = 15000v 2 E2 = 500v 2 b) Porque tienen distinta masa.


17 18 19

20

a) E = 8 J b) E = 14 J c) W = 6J a) W= 13,86x103 J b) P = 77Watt a) W = –400J b) W = 400J a) W = –86J b) Lo frena, es decir, el sistema asociado al carro pierde energía mecánica. a) E = 1715 J b) W = –1715J a) E = 0, 75 J b) E = 0,5 J c) ∆E = −0, 25 J

Sección 4

12

Estableció la equivalencia entre el calor y el trabajo mecánico. El trabajo realizado por una fuerza conservativa no depende de la trayectoria. Del ángulo entre el desplazamiento y la fuerza de gravedad, es decir, su peso. Depende de la altura desde la cual cae. Equilibrio estable, inestable e indiferente. La fuerza de roce estático es variable y su valor máximo es generalmente mayor o igual a la fuerza de roce cinético, que es constante. m a) E = 30 J b) v = 7, 7 s a) ETotal = 125 J b) h = 25m m c) E = 125 J d) v = 22, 4 s m a) h = 80m b) v = 34, 6 s m c) v = 0 s m a) v = 10 b) ∆X = 0,32m s a) E = 11, 25 J b) h = 0,56m a) ETotal = 24,288J b) Esuelo = 24,288J

13

a) E = 0, 2 J

14

a) E = 0, 04 J m a) v = 7, 7 s m a) K = 400 N b) v = 15,8 c) h = 12,5m m s a) µk = 0,196 b) ΔX = 0,826 m

1 2 3 4 5 6

7 8

9

10 11

15 16 17

c) v = 8, 9 m

s

N m N b) K = 800 m b) ∆X = 0, 077 m b) K = 160

c) h = 5, 016m Solucionario

189

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Sección 5

8

b) ρ = 4 500 kg m3 a) P = 10,8N b) ρ = 1 200 kg m3 a) P = 1N b) V = 6 x10−6 m3 c) No, pues su densidad es menor que el oro. a) P = 2,198x10-2N b) M = 1,001 kg a) Espesor = 3,5 cm b) Masa extra = 1,4 kg a) E = 5mm b) E = 5,8mm kg a) ρ = 12500 3 b) 15% de oro m a) F = 0, 036 N a) γ = 0, 073 N / m a) h = 0, 29m a) Y = 2,4cm a) 9 veces. a) Comience igualando el peso del objeto con el peso del fluido desalojado y expréselos en función de sus densidades. a) P = 1800N

La presión atmosférica disminuye con la altura. 9 2 El plasma. 3 Como el área de contacto de la aguja es mucho 10 menor, la presión ejercida es mucho mayor, aunque la fuerza sea leve. 11 4 El trabajo mecánico se transmite en la gata hidráulica, así entre mayor es la fuerza menos 12 13 desplazamiento produce y viceversa. b) P = 500N 14 5 a) A = 1m 2 c) P = 500 Pa d) P = 1000 Pa 15 2 b) V = 8 x10−3 m3 6 a) A = 0, 08m 16 kg c) ρ = 625 3 d) P = 50N e) P = 625 Pa 17 m 18 7 Cuatro columnas de tres ladrillos. 8 a) haceite=11,35m; hagua=10,33m;hmercurio=0,76m 19 b) haceite=22,7m; hagua=20,67m; hmercurio=1,52m 20 c) haceite=11,35m; hagua=10,33m; hmercurio=0,76m b) Sí, claro que es necesario. 9 a) h = 30m 2 b) h = 0, 64m 10 a) A = 0,125m Sección 7  2 b) P = 400 000 N 11 a) A = 0, 07 m 1 La ecuación que lleva su nombre, y que sirve c) P = 1, 43 x106 Pa para estudiar los fluidos en movimiento. 12 a) P = 500 000 Pa 2 A mayor rapidez del aire, menor presión ejerce b) P = 50 000 Pa, se reduce 10 veces sobre los cuerpos. 3 b) P = 58400 Pa 13 a) P = 4000 Pa −-3 2 m a) Q = 1,57x10 b) E = 17, 7 hr 3 Q X = 1,57 10 b) P = 14,26x103 Pa 14 a) P = 700N s L c) P = 6 300N b) t = 59 min utos 4 a) Q = 0,85 min b) ∆h = 18,5cm 15 a) P = 2000 Pa m b) X = 7,8m 5 a) v = 16 16 a) Cuatro veces. b) W = 0,03F0 s c) ∆X = 0, 75cm m m3 b) QQ==1,43 6 a) v = 11 4, 47·x10 10-33 s s Sección 6 m m3 b) Q = 8 7 a) v = 14,14 1 Un cubo de hielo flotando en un vaso, burbujas s min m al hervir el agua, etc. 8 a) v = 20 s 2 Porque es menos denso. m b) P = 422000 Pa 9 a) v = 12,5 3 Usando detergentes, por ejemplo. s 4 Cuando su adhesión es menor que su 10 Aplique la ecuación de Bernoulli suponiendo que cohesión. la velocidad de la superficie es despreciable. 5 El tejido posee capilares que ayudan al transporte 12 1155,4 Pa de agua y nutrientes. 4m 13 v = 0,066 · 10 s b) E = 4, 08 N 6 a) E = 0,3 N m -1 kg 14 v = 1,56 · 10 b) ρ = 600 3 7 a) ∑ F = 0 N s m b) η = 7, 2Pa s 15 a) η = 65Pa s 1

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Solucionario evaluaciones intermedias y finales Sección 1: Evaluación Intermedia · Pág. 21 ω pedaleo R 1 = rueda ω rueda Rpedaleo 2

a) d = 2π N

Rrueda Rplato Rpiñon

b) d = 120π Rrueda

Sección 1: Evaluación Final · Pág. 34 Parte I: 5 / 1 / 3 / 2 / 4 Parte II: 1.V / 2.F / 3.F / 4.F / 5.V Parte III: 1.D / 2.A / 3.C / 4.B Sección 2: Evaluación Intermedia · Pág. 44 1 a) I = 120 kg m2 ; I niño B = 90 kg m2 niño A

2

m rad b) v = 4, 5 ; ω niño B = 3 = ω niño A t niño B s s 2 c) L = I ⋅ ω = 630 kg m total total total s Como en el balancín las masas de los extremos son distintas, entonces necesariamente los brazos deben se de largos diferentes, ya que es la única forma en que la suma de torques sea cero (segunda condición de equilibrio).

Sección 2: Evaluación Final · Pág. 55 Parte I: 4 / 1 / 2 / 3 Parte II: 1.F / 2.V / 3.V / 4.V / 5.V Parte III: 1.D / 2.D / 3.D / 4.A Sección 3: Evaluación Intermedia · Pág. 70 1 a) 600 J; b) 600 J; c) No, porque es perpendicular al desplazamiento. 2 Hay varias opciones. Si la vizcacha es el sistema elegido, fuerzas externas son la fuerza de gravedad y la fuerza de contacto de la comida sobre sus patas. Fuerzas internas puede ser cualquier interacción muscular del animal, por ejemplo. Sección 3: Evaluación Final · Pág. 83 Parte I: 4 / 1 / 2 / 3 Parte II: 1.F / 2.V / 3.F / 4.F / 5.F Parte III: 1.A / 2.D / 3.B / 4.D Sección 4: Evaluación Intermedia · Pág. 95 1 a) 7,21 m/s; b) 0,34 m; c) 3 m 2 a) Como la rapidez es constante, las fuerzas tienen igual módulo. b) El trabajo en el tramo 1

es menor. c) Los trabajos tienen igual módulo, pero distinto signo. El trabajo neto es cero. Sección 4: Evaluación Final · Pág. 111 Parte I: 1 / 3 / 4 / 2 Parte II: 1.F / 2.F / 3.F / 4.F / 5.F Parte III: 1.D / 2.D / 3.A / 4.D Sección 5: Evaluación Intermedia · Pág. 125 1 P = 3,3 · 104 Pa 2 Aumenta 4 veces. Sección 5: Evaluación Final · Pág. 138 Parte I: 4 / 2 / 3 / 1 Parte II: 1.F / 2.F / 3.F / 4.F / 5.F Parte III: 1.C / 2.C / 3.A / 4.D Sección 6: Evaluación Intermedia · Pág. 146 1 La fuerza de empuje es igual al peso del fluido que es desplazado por la porción sumergida del cuerpo. Por lo tanto, depende del volumen sumergido del cuerpo y de la densidad del fluido. 2 Aunque los materiales con los que están construidos los trasatlánticos tengan una alta densidad, su flotación está determinada por su densidad media, que se obtiene considerando su masa total y su volumen total. Como en un barco la mayor parte del volumen está ocupado por aire, su densidad media es relativamente baja en relación con la densidad del agua. Sección 6: Evaluación Final · Pág. 157 Parte I: 2 / 1 / 4 / 3 Parte II: 1.V / 2.F / 3.F / 4.F / 5.V Parte III: 1.B / 2.C / 3.A / 4.B Sección 7: Evaluación Intermedia · Pág. 175 1 a) A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2 ; es decir, la rapidez es mayor cuando el área es menor. b) P − P = 1 ρ ⋅ v 2 − v 2 ; es decir, la presión 2 1 1 2 2 es mayor cuando la rapidez es menor. c) h = P1 − P2 Al depositarse en un lugar, el colesterol reduce la sección transversal de la vena o arteria,

(

2

)

Solucionario


191

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y en consecuencia aumenta la rapidez del flujo sanguíneo en ese lugar. Esto provoca la reducción de la presión arterial localmente y puede facilitar el colapso u oclusión de la vena o arteria debido a la presión externa a la que se encuentra sometida. Si de esta forma se obstruye una arteria coronaria se produce un infarto.

Sección 7: Evaluación Final · Pág. 187 Parte I: 2 / 1 / 3 / 4 Parte II: 1.V / 2.F / 3.F / 4.F / 5.V Parte III: 1.D / 2.C / 3.A / 4.B

Claves de respuestas sección Síntesis Síntesis 1 1. CR-B 2. CR-A 3. CR-D 4. CR-E 5. CR-C 6. FC-I 7. FC-III 8. FC-IV 9. FC-II 10. FC-V 11. CR-F 12. FC-VI

Síntesis 2 1. CR-B 2. CR-C 3. CR-D 4. CR-A 5. CR-E 6. FC-II 7. FC-IV 8. FC-I 9. FC-III 10. FC-V

Síntesis 3 1. CR-F 2. CR-A 3. CR-B 4. CR-C 5. CR-E 6. CR-D 7. FC-III 8. FC-II 9. FC-IV 10. FC-I

Síntesis 4 1. CR-D 2. CR-G 3. CR-E 4. CR-B 5. CR-F 6. CR-C 7. CR-A 8. FC-I 9. FC-II 10. FC-III

Síntesis 5 1. CR-A 2. CR-G 3. CR-F 4. CR-B 5. CR-C 6. CR-E 7. CR-D 8. FC-III 9. FC-IV 10. FC-V 11. FC-II 12. FC-I

Síntesis 6 1. CR-E 2. CR-A 3. CR-D 4. CR-B 5. CR-F 6. FC-II 7. FC-III 8. FC-IV 9. FC-I 10. CR-C

Síntesis 7 1. CR-E 2. CR-D 3. CR-G 4. CR-F 5. CR-C 6. CR-B 7. CR-A 8. FC-IV 9. FC-I 10. FC-II 11. FC-III 12. FC-V

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fisica santillana 3

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