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es equivalente a. está definida por
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Acclcmci6n de la gravedad en la superficie
es distinto a
es aprox. igual a es del orden de
es proporcional a g
9,8 1 m/s'Z = 32,2 pies/s:!
de la Tierru
>
es mayor que
>
es mayor o igual que
Radio de la TIerra
RT
6370 km = 3960 mi
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es mucho mayor que
Masa de la TIerra
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5,98 x 1()2A kg
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es menor que e.~
MB1hI del Sol
1.99 x l()lO kg
Ma!>a do;: la Luna
7.36x lOUkg
Vclocidnd de escape en la superficie de la Ticrra
11.2 kmfs = 6.95 mi/s
incremento de x varinci6n diferencial en,t
Tempt:nuuTU y presión en co nd icionc..~ normult:, (eN )
O°C = 273.15 K
valor absoluto de,r
I ntm = 10 1.3 kPa Di"(tuncia 'tierrn· Lunll tt Di~tnnc iu
Tierra·Sol (mC'lia)"
3.84 x lOS m " 2.39 x lOS mi 1.50 x 10 11 m =9.30x 10' mi
VelOCidad del sonido en ulre \CeO (en eN)
33 1 mI~
Den ~ itlild
1.291..g/m l
del aire
Dc:n,idad del agua
1000 kg/m'\
Culor tle fU~16n del nguu Culur de vllpori7uci6n del aguu
333,5 kJlkg
2.257 MJlkg
«
menor o igual que
es mucho menor que
módulo de y
nr
n(n - I)(n- 2) ... 1 suma (o sumatorio)
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Ifmite
"' ... 0 d" d,
llJ tiende a O
derivada de x respecto a r
a" a;
derivada pareial de x ~pec t o a I
j "!(A')tlx "
integrol definida • F(x)l: : = F(.f 2)- F(xl)
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Unld"dl'\ 11\1..1\)'
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unidad ttnnicn briui.nka
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Algunos factores de conversión u:mgiwd
F 11(! r:(I· pre l'i 6 11
1m = 39.37 pulg = 3.28 1 pies = 1,904 yardas
1N=
1m = 10 1~ fm = \010
dinas = 0,2248 lb
1 lb = 4.448 N , 1 aun = 101.3 kPa = 1.0 13 bar= 76,00 cmHg = 14.70 IbJpulg-
109 nm
A=
\O~
1 km = 0.621'5 mi11us (mi) 1 mi = 5280 pies = 1.609 km
Ma.Wl
1 ano luz. = 1 aJ . = 9.46 \ )( \015 m
I u = [(10- 3 rnol- I)lN"J kg
1 pulgada = 2.540 cm
I tonelada = 103 kg = 1 Mg
1 L = I03 cm3..~ 10-)
01 3
= 1.057 qt
TIempo
1 h =3600s=3.6 ks
1 a = 365.24 d = 3.156)( 107 S Ve/"citlad 1 kmlh
=0,278 mis =0.6215 mi/h
I pieJs = 0.3048 mis = 0.68 18 milh ÁlIgulo'\'e!ocidm! ' 1II8u1ur
1 rtv = 2..T rad = 36()° I rad = 57,30
= 1.661 )( 10. 27 kg
1 slug= 14,59kg
VolUlllell
1 kg pesa aprOldmad:nnente 2.205 lb
•
Energía·po/elleja
1 J = 107 crg = 0.7373 pie ' lb = 9.869)( 10- 3 atm · L 1 kW·h =3.6 MJ
I en1 = 4.184 J =4, 129)( 10- 1 alm' L I alm' L= 10 1.3J=24.22cal
= 1,602)( ID 111 J I Blu = 778 pie ' lb = 252 cal = 1054 J 1 cI'lbllll0 de vapor = 550 pie' lb/$. = 746 W
1 eV
Com!lIcl iI'I,/(u!ttfrnlil'tl
0
I W / m . K :::: 6.938 SIU . pulg/h ' piel. °F
I revlmin = 0.1047 rudls Ctllllpo rtltl811/1/jf'n
11' = 104 0 Vi.feos/dad IPa 's", IOpoí~
unllu;::II.1n
•
/'/tuln dI' Id ohm Img/" "I· Ph\'sl~ for Sclentl~l~ IInd En Klnt'<'l"rI. Flnh I(dlllo ll . • 1!/ /iC'/(m ori.~ iIUlI ('ti II '''~I/(I /II~ /t'.\tl /}// hlil'lUl(/ ptlr' W. H. F REEMAN AN O COI\WANY, Nc" Yor k ttnd " l" ht ~~ l ukc 41 M:I(¡¡,nnAvcnuc. Nc\\ Yo r~ (NY) USA
C opyright 10 2003 hy W. 11. Fn..'1!nutn lIud Compult)' Al! Ritthl,
~ c-.erl1:d
Vcrsidn c~'1xllll) I(I ¡mr
Dr. Albert Bramón 1'lünllS Catednh ico de Ffsic:I Tl!óriclt Dr. José C"sus·Vázquez Catedrático de Ffsicn de la MUICri ll CondenslIdll Dr. J osep Enrie Lle bol Ra bnglillti Catedrático de Física de la Mmcrin Condcnslldn Dr. Fernando Lópt·z Aguilnr Catedrntico de Física Aplicnda
Dcpanamento de Física de la Universid ad A utónoma de Barcelona Coorditrada por
Dr. José Casas - Váz(IUeZ
Propiedad de: EDITO RI AL REVERTÉ, S. A. Loreto. 13- 15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA
Tel: (34) 93 4 19 33 36 Fax: (34)934 195 1 89 e- mail : reverte@ reverte.com
",",w.r everte .com
Reservados todos los derechos. La lepuxlucción tot~ o ~ ial de est.a obra. por t'l.lalquicr medio o procedimiento, comprendidos la reprogmffa y el tratamiento inronnático. queda riguroslUncnle prohibida. salvo cxt'Cpción previstH en la ley. Asimisn'C queda prohibida la distribución de ejemplares mcdimllc alquiler o prestamo públicos. la comunicación públicn y la tr.ms(onml(:ión de cualquier parte de esta publiC
t!11
l'f{xI/1ol:
C> EDITORI AL REVE RTÉ, S. A., 2005 Impre.<;o en
E.~p:lñ:L
- Printcd in Sp;,in
ISDN: H4·2t) 1-44 11..()
Volumen 1
ISBN: 114·29144 10-2
Obra oomplcla
Dcpó5110 Legnl: B-3Q2l5·20Q.1
Imprc-w por 1'(, , ~ O\sinu
ViÜlllomilIIS8-t60 f1ROI 5 Ban:clooll
-
Estamos muy sUl isfechos de poder presentllr la quinlll cdid6n de Física p(lra /0 ciellda y /(1
tecnología, En cllranscu rso de esta revisión hemos ido COIl'itfuycndo sobre 10l> pun tol> fuertes de la cuanu edición. pUn! que la llueva versión s..::u un i nst nllTlCnto de aprendizaje alÍn rnál> preci~o.
almclivo y l11otivlldor de los cursos de int roduccióu a lo físic¡¡ bm:udos en e l cálculo in fi nitesimal. Con la ayudu de aquell as personas que la h¡¡bf¡.III rev isado y muchos usuarios de la cuarta edició n hemos examinado y pul ido c;rda aspeclO del libro con la intención de mejorar la comprensión del estud iante y S ll S resultados. Nuestros objetivos incluían ayudar • a l est ud iante u aumentar s u capacidad de resoluc ió n de problemas, haciendo e l texto más asequible y agradable de leer, y conservándolo nexible P¡¡r;.¡ el profesor.
Ejemplos Uno de los modos más importantes de lograr nuestros objetivos consistió en añadir alguna nueva característica a los ejemplos res ueltos en faonato a dos columnas, ya introducidos en la cuana edición. Estos ejemplos yuxtaponen los pasos de la resolución del problema con 1:'ls ecuaciones necesarias. de modo que es más Fácil para e l estudiante ver la re.,solución del problema.
El formato a dos columnas utilizado en los ejemplos resueltos procede de las sugerencias de los estudiantes; nosotros sólo hemos añadido unos cuantos detalles finales :
• Después de elida enunciudo los estudiantes pasan al l ' /olll/!omietflo del problema. Aquí el problerml se analiza tanto desde una perspectiva conceptual como visual. y con frecuencia :,e pide al e,<:; tudiame que dibuje un diagr.uua de fuer/us. ClIda pliSO de In :.oluci6n se presenta con UII U nota c.~c ri t :l en la columna de la i/.quierda y 111.s ecuaciones matcmáticm. correspondientes en la columna de la derecha. • La.. Observacion ~s al fi nal del ejemplo sei\ulan la importancia o pertinencia de l ejemplo, o sugieren un modo diferente de abordarlo. • Lo.. nuevos Comprobar t4 resullad" rccuerolln a lo~ t~ tud illllles (lile han de verificar su.. res ul!ado~ tanto cn lo q uc concu:mc a la prcci.. i6n mluemáticn como B lo f8l.Ono.ble de .. u.. res pue'tms.
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• A tm:nudo un Ejerr::iciu ~iguc a la solución del ejemplo. lo (Ille penniic al cSludilll1te cOlllprobar ~u cOl11pren~¡ón mediQllIc In resolución de un probkma pnl\!cido sin :1)'ud3. Las rc~pu~tuS estún induidnío en el Ejcn:ido paro a... ¡ dar informllción inmcdilll:t y :.oluc1onc, IIh enllllh'3 ~.
• L O!lllUeVOío Ejcrciciu~ intcrttct i \'o\
M w'/f'r Ihf' Ctm rl!pt aparecen nlmenu:. 111111 \el en cUllu capftulo y conMilu)cn
unu llyudu para tk'lamlllllr \[\ hnhihdnd del c\ludiantc en In rc"olución de pl'\" blerna-.. ,
I
Prefacio Cadu ejemplo IliI si(jo cx mni nndo y ~e hun ílñudido lluevo!> p U.\(ls. llueva.., obscrvllcionc.. 'i ejercicios complementarios y haSIiI d iugruma¡. de fllena donde .\c hn con.\idcrado oponuno. Las respuestas aparecen IIhoru rccundrnda:. pllrll que resulte m:í:. fác il cncuntrnrla:.. Elllre 111\ nuevas car
trabaj an d prob le ma con ayudll I.!II cada paso e información inmediata . Esta edición incl uye también dos tipos dI.! ejemplos e~pcc iali zados que proporcionan a los estudiantes ocasiones únicas de resolver problcmlls. Lo~ ejemplos /" tél/te/o us ted mismo inc illln al estudiante a desempe ñar un papel acti vo cn I¡} resoluc ión de l prob lema, y los ejem. plos PÓlIgalo en .\"11 COllte.xto les aprox iman a los cscenarios de la vida reul con los que pudieran enCOntrarse como cientílicos.
Ejemplos " Inténtelo usted mismo" Al igual que los problemas resueltos ordinarios. éstos utilizan e l formato de doble columnl!. pero aquí se omite la secc ión correspondiente al planteamiento del problema y las descrip. c iones de la columna de la izquierda son más concisas . Estos ej emplos llevan a lo:; estudianles a que sigan la solución paso a paso sin tener que hacer los cálculos ellos mi .. mo!".. El estudiante encuentra útil cubrir la colum na de la derecha y tratar de hacer los cálculos por ,í mi smos antes de mi rar las ecuaciones. De este modo, los eSlUdiantes pueden estudiar dt'lalIadameme los pasos a medida que van completando las respuestas.
Nuevos ejemplos " Póngalo en su contexto" Cada capítulo contiene ahora al menos un ejemplo resuelto que puede identificarse Cl' "contexto amplio". Estos ejemplos pueden incluir información que no es necesari resolver e l problema, o pedir al eSlUdiante que encuentre información ¡¡dicional en m! que obtenga de su experiencia o de otra inrormación previa. Los ejemplos de " COl'
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Prefll clo
I
Problemas de final de capítulo Se ha prestado atcnc ión a In mejónt de la clllidad y la claridud de le». proble ma!> propueMos al final de cada capílUlo. Alrededor del veinte por ciento de los 4500 proble mas ~on nuevo!:> y hun sido redactados por Charlc." Adlcr del SI. Mury's Col1cgc de Maryland. Los problemas concel). tuales se ha agrupado 111comicnl.o del conjunto de problemas de euda capítulo. y se ha añadido una nueva cUlcgorfa de problcmus de E.'ilimnoiÓn y Aproxi mnr.:iÓn pum unimar a los estudi antes
a pensar como cicllIíficos o ingenieros. Las respuestas n los problemas irnparc..'i aparecen reeogida'i en el volumen A,J" nd¡ce,l' y Rl'.\'/Jll esU/s. Soluciones n np roximadulllcnlc el veinte por cicnlO de los problemas se recogen en el SlUdcnt 5011llion Manual. nuevamente reviso.do. Esta
nueva versión ha sido c.'\Crila por David MilIs del Colkgc. or Ihe Rcdwoods para dar soluciones detallndas y rcnc.jnr el popular rormato a doble columnll de [os ejemplos dcllibro. Unos 11 00 de los problemas propue,... tOs en el li bro eSlán incluidos e n el nuevo servicio • I . A estos problemas se puede acceder n lravé.c; de www.whrrccmnn .com/tipler5e. Alrededor de un tercio de los problemas iSO LVE 5011 Checkpoin t ProblCIllS (Problemas de Control) que piden a los estudiantes que observen los principios y ecuaciones que están uti lizando y que indique n su ni vel de con fi a nza.
Cada problema está marcado con: • un conj unto de uno. dos o tres círculos, que identifican su nivel de
... - ..... --, __ .. _ .. _._-.. _ ..... -,-_ ... _. _-_...... ---....--._--~.
•
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__ .. ___ _ . . . N_.' - <_._ ........_-.... . . . __ --_ . _-- ~
difi cultad
• un icono
si 111 respuesta está en el Student Solution Manual • • un icono I si el problema es eane del servicio isolve y un icono I .1 si el problema es un problema Checkpoint SSM
--_. .............. --.-..... _ ----'''--''--'--''........... .....----_ --................. -.. .. ~ · it"w
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......
CapItulo
OSCILACION ES
Características
14 .,
Esta nueva edición de FIsica para 1(1 ciencia y la recllologíalicllc una serie de carncleríslicas que hacen del libro un valioso instrumenlo pam la enseñuni'Al . At;pc~IO S clave de la últ.imn edición se han revisado y se han inlroducido nuevos msgos. característicoS para hllcer el hbro mú ab ..tivo y actualilado.
..
Nuava pedagogia en la Introducción de cada capitulo • ....N. cpdp capítulo comienza con una fOlogratTa y una pregunla cuya respue."la
da en Anllo del capítulo. Esto introduce a los esludianle.c¡ en el lema que se va ........ , ... üiUII .. pu_ la molución de los problemas. dlulalde 1M ncciorm principales da una idea general de lo que se va a COftIIihl)'e una apecie de guía del capítulo.
....... ....mao
las ido.. principales a desarrollar en ~I .
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---
IX
x I
."'odo Mejoras en el contenido El Cupflulo R . un " mini" 1:1Ip(11I1o opciunal dd Volumen 1, 10 , uhcicnlCJnellle brc\c PMiI \q dC
ceplo~ h:l .. kos de la COlIll"llI.:ció n de lollg lludc\. dihllaCló n dclllC~lPO y \ lIllUllílllcldad. IIllh· /llI1do experi mento... mCllln lc\ con regla!. y re loje ... de hl/ . Tnmbrén -.c c\liIhlccc 1" re lación
Cnlrc 11I0 l11CIII 0 y c llcrgín rc IUlivif,l:t:.,
~ .
.
..
Tl'uríll cuánl ¡en: lo" Cuprtulo\ 17, ;' Ouolidnd o nda-part ícula, y. Ff.. ,cn C~llÍntlcn . y 27. "Teorfu lll icl'osc6pil;il de In conducción eléctri ca" dc la cuana edIc ió n IUlIl " Ido dc..\pllli'odo\ ,1\ U locllli.lUción más Irlldicional del Volumen 2 de la quinta ed icióII como Cupfluloc, 37 y 38. 1..0-, profcsorcl> que ucseuscn incl ui r cst o~ (;apílUl{I~ ante", en ' u cur,o di ..,ponen de e,tc material
en la "'eh WW\\'. whfrccnulII .com/ tiplcr5c. ClIlIlbios de CllrO(IUC : A lo largo del libro se han hecho docenas de pequeños pero <;ig.nifica_ li vos cambios. Por ejem plo:
•
•
•
•
Versión en dos volúmenes
• • • Volumen 1: Mécanka Oscifaciones y ondas Termodinámica Volumen 2:
Electricidad y magnelismo l u, Física moderna:
+
En la Sección 3.3 se introducen los diagramas del movi miento y ..e utilizan para hacer ulla estimación de la dirección del veclor ace leración 11 partir de la definición de t1¡,:clcrn_ ción. En la Sección 4.4 ahora se introducen cualitati vamente fuenas de ro7A1miemo paiJ que los diagramas de fu erLU puedan inclu ir cs tc. lipo de fu er.ws. En la Secci ón 5. 1 ..e hace un tratam iento cU:ln titlltivo de las fuerLas de ro7...'lmiento. La Sección 4.7 introd uce problemas con dos o más objetos. Ec,coger un ¡,iMcma de cje\ de coordenadas distinto para cada objeto conslituyc un modo exce lente de ejcn:it. '>C en la resolución de prob lemas cuando se utili zan las leyes de Newton en c,istema.\ frnnad()l, por dos o más objetos. El valor de este modo de proceder se d e mu e~ t ra en el mplo donde Sleve baja deslizándose por el glaciar mientras Paul está ya cayendo por t' lrde. En la Sección 8.8. "Sistemas de masa variable". la ecuación básica del mo\' imic, .le un objeto cuyft masa varía de manera conti nua (la ccuación del cohete) se dc~arrt' milizando un objeto que va adquiriendo masa -como un furgón descubierto bajo I .~ Ja",do más que lino que está perdiendo masa -como es el caso de un cohete que va novigases de escape. Este cll fO
Más aplicaciones técnicas y biológicas Las nucvas aplicac iones que se añaden subl1lyan la importiUlcia de la fís ica en lo qUI! respecta a la experiencia del estudiante. la pcrspecl ivu de lluevas estudios y de futuras carreros.
Atención a los escollos comunes Los IClllnl> que frecuentemente originan confusión se identificnn con un nuevo icono ' ;Il1í donde la dificultad surge. Por ejemplo. en la Secc ión 3-4 el icono se usa pum identilh;;lr la di scusión que sdlaln que los movimientos hori Lontal y vertica l son independientes en cllun¡"Imiento de proycctiles.
Nuevo diseño e ilustraciones mejoradas ApéndlceJ y respuestas
El libro presenta un m.pec to mtb cálido y lleno de colN. Cada una ele lo ... iIUMrnci(ln\!~ ha ~ido cuidndo~nmente exam inndm. y Illuchas se hUII revisado para gunar en cJ:u'idaJ. Se han añad~do nproximaclmnente 245 lIUCV:t.s figuras. que incluyen lluevo" diagnll1l:11> de fucrlll~ en
los cJemplol> !'CMICho.s. NUCVll:- fotogrnrfus notó¡ nccrcnn .. Ins mucha!- IIpliC'IlCiOlICI> que t'n d mundo real tiene la ff$.icu.
Prefacio
I
Secciones opcionales Ellibm ~e propOl~e faci litar 11 los profesores e l pod er se r t\ex iblc~ di licñundo pura e llo algunas secc iones o.J>ClOnales. Es ta~ ~ccc i onc:. uparecen marcada.. con UIIII!'Ilerisco •. y lo!> profe~~re!; que escoJ¡Ul saltarse csa secc ió n puedcn hacerlo sabiendo que su!> cSlUdiunte ... no se plc rden un malcri a! que lII!cc:.iturán en capítu los postcri (l rc~.
Resumen l os resúme ne:. de fi nal de cap ítulo se estructuran de tn l manera que los t e m a~ impo rt:uuc:, se colocan n la izquie rda y las observllc io nes pcrt inentC!'I y IlIs ecuac iones corres po n di c nt c~ ;¡ la derecha. Para fucilitar su consulta. las ecuaciones aparecen con e l mislllo número que tiene n en el capítulo.
Ensayos de exploración
Versión en seis volúmenes
l os estudi antes están invitados a eSlUdi ar las interesantes ampl iacio nes de los conceptos del capítul o que se recogen en I:¡S secciones de ex ploració n, que ahora se puedcn encontrar en la web. Estos escritos con os re lacionan los conceptos de l capítu lo con lemas que van desde el tie mpo meteorológ ico hasta los transductores.
Apéndices y respuestas En la versión españo la de esta sa edición de Ffs ica para la Cienc ia yla Tecnología. los Apéndices y las Respuestas a los prob le mas impares de fin al de capít ulo se recogen en un volumen independ iente que sirve como co mplemento de cualq uiera de las dos versiones d isponi bles (en dos y se is volúmenes).
Medios de difusión y suplementos impresos
Volumen lA:
M écanica
Volumen 1B:
Oscilaóones y ondas
Vo lumen l e: Term odInámica
El paquete dc suple mentos ha sido actualizado y mej orado en respuest a a las sugerencias de los q ue revisaro n O utilizaron la cuart a edic ión.
Para el estudiante: Student Solutions Manual : Vol. / 0-7167-8333-9: \10/. 2. 0-7 167·8334-7. El nuevo mllnunl preparado por Dav id Milis de l Co ll ege o f the Redwoods y Charles Adler del SI. Mary's Co llcgc o f Mary lund proporciona las so luc iones de aprox imadamente e l veinti ci nco por c ie nto de los proble mas del libro, uli lil.ando el mismo fo rmuto a dos columnas y el mismo nivel de detalle que los eje mplos resuellos del libro. Study Guide: Vol. /. 0-7 /67-8332-0; Vol. 2. 0-7/67-833 1-2. Preparada IXlr Gene Mo:-ca de la Unitcd Stutcs Nav:11 Academy y Todd Ruskell de In Colo rado Sc hool o f Mines, In SlUdy G uide describe las ¡dea~ c lave y los potenc ia les cscol lo~ de cada Cilpítulo. y también incluye preguntas vcrdadero-falso ~obrc d e fi ni c ¡ o n e~ y relaciones. cuestiones y rc.<,¡ puestss que requiere n un mzonamiento cualitativo. m,f como probl c l11n~ y ~o lll cio n c'!'. Student Web Sltc: Robin Jord:m de la I-l oridn A tlantic Un ivcrs ity ha creado un sit io en la wcb con e l prop6:-. ito de hacer más f!'l cíl el estudio y la comprobnció n a cstudilm tc'!' y proresores. Este .. ilio incluye:
•
•
Volumen 2A: Electricidad y magnetismo Volumen 28:
luz
Volumen 2e:
Física modern.,
+
On-lIne qulzzlng: Cuc~t ionarios de e lecc ió n mt'í ltiplc de cadn capít ulo e,...tán d isponibles en eSle sitio. Los estudi anlc:o. reciben rcspuc.'il:l inmcdi utll y lo!> re:. ultndos de In pnlebu se recogen pam el pro fe sor en un libro de n Ol a~. Lt;OLVE homework servlce: 0-7/6 7-5802-1. Al rededor de un cuun o de lo ... problemas de fin de cupítulo dcllihro. en conj unto I 100. esuin dispon ible.>. e n línea en e l ¡SOlVE homewo rk serv ice de W. H. Frceman. E.'ite servicio o frece a cadn estudhmte ulla vcr~ión di"linla de cada proble ma parecida a CA PA y WebA":..ign. Lo;, proble mas iSOLVE IIparecen man:ados con un ICOIIO e n el libro. 1.0'1 rellultado .. de e<,¡lc lrahajo pcn.onn l c,( pueden recoser en un libro de nOla:,.
Apéndices y respuest as
XI
XII
I
Prefacio
•
•
iSOI.VE Cheekl,oint llroblems: Un tcn;io de nuc<.¡tm<, cuc<.¡,ione, ISOLVE ..un prohlcrn!l1> de COlllrol. que impulsan JI l o~ csludimlle .. ti describir c6mo se llega n la re<'puc'iln 'j a indicar su nivel de conliarllu, Todas 111:' re,;pucsta¡, de lo .. cstudillnte... 'le reunirún e incluirán en el infol'l11e rJeI libro de notas del profe<,or. Rolf Enger. de In U.S. Alr Force Acadelll'j. fue el lInimador del dCli:lrrollo de los problernu!o de control para uyudnr 11 lu!'. profesores en su t¡¡ren de calibl11r el grado de comprensión de 10<' c'itudiantes. Muster Ih e Conc:cpl Excrdscs: Para cud¡t C:tpítulo. uno o rná<, ejercicios del libro e'itnn disponibles en Irlle!1 pum que lo:. c!'.tudiullIes puedan pr
Homcwork Sc r viccs : Además de la red ¡SOLVE hay otros lre... servicios de trabajo en Ca\3 (deberes) que son com patibles con eSte libro. Lo~ problemas de fi n ele copítulo e~ tán disponi· bIes en WcbAssign y en CA PA (Computer·Assisleel Personal ized Approach ). Una lista de todos los problemas cle la quinta edición incluidos en WebAssign y CAPA est::i puesta en la secci6n de l profesor del s it io de la Web de Physin. Nuestro texto es también compatible con el Un iversity ofTexas Intcractivc Homework Service.
Para el profesor: lnstructor 's Resource CD·ROM: 0-7167-9839-5. Este recurso faci lita a los profesore!<. l a~ herra mientas para elaborar sus propias páginas Web y prcsentacione!). El CD contiene liu.<;trac iones del libro e n fonnuto .jpg, Powerpoint LeClUre Slides de cada capítulo dellihn .!b Demonstralion Videos y Applied Physics Videos en formato Quick1ime ~ Pre~\,;. 1I Manager Pro v.2.0, además de IOdas las soluc iones de los problema... de fi n d\: .p" k formato Microsoft Word. Instructor's Rcsource Ma nual: El manual act ual i¿,ldo contiene CI'lSsroom DeO! para cada capítulo. una guí:\ de pelíc ulas y vreleos con ~ uge re n cias para cad~ caru • ces a sitios Web de cal idad y ¡l fue ntes gratuitas de physlets (p hysics applel\'), anur: ) otras he rramie ntas para la enseliallza. Este manual está di sponible en www ..... hfn: tiple r5e. Instruc(or 's Solution MlInulIl: Vol. 1, 0·7/67·9640·6: Vol. 2. 0· 7 / ó 7-96J9.~ l,' 1~ t1 ia contiene sol uciones detallndas de todos los problemas del libro. mili tando el f~\nnato ti ¡Jo~ col umnus sie mpre que ha sido posible. Está disponible e n fonmllo imprc.'\o y lambiell ~c incluye en fo rmula Word en ellnsrruclOr's C D·ROM. Test Bank: En formato impreso. O·7167·9652-X: cn eO-ROM . 0-7 /67-9653-8. Preparudo por Mark Rilc)', Florida State University y David Milis. College of the Redwoods. este COIljun to de más de 4 000 preguntas de elección múltiple se puede obtener tanto en fornlil impresa como en C D·ROM para usuarios de Wi ndows y Macintosh. La vef\ión CD·ROM del Test Bank hace más fácil añadir. editar y reordenar preguntas pam adaptarse a sus Ilccesi· dades. Trnnspnrcncics: 0·7I67-9664-J. Con los tipos aumen tados pum su proyección, este material está fonnado por unas 150 transparencias a tocio color ele figums )' tablas clellibro.
·,w
Agradecimientos Queremos ex presar nuestro agradecimienlo ti los profesores. estudiantes. colcgu.s y amigmo que han contribuido a esta edición y a las precedentes. C harles Ad lcr. del St. Mary's Collcge or Maryland. es autor de excclunte!> problema... nuevo.... David Milis. del Collcgcof the Redwoods. ha 1(uvado a (;ubo unu mnplia rc\'hoión del mUllllal de so lucionc!'. Robin Jordan. de la Plorida AtlanlÍc Uni"crsity, hu ideado lo~ inno\'3' dores cjcrcicios MaSlcr thc Concept y los problcmlls iSOLVE Checkpoint. Luuru Mc('ullough. de ItI Uni vcrsity or Wbconsin cn Stou t. y Thomuo; Foster. de In Southem lllintllS Univcnoil Y e n Edwardsville, paniendo de su experiencia en gnl po" dc ill\·e~ti8a(.·ión en la cn ..cllnll l.lI de In rí'iicll (Phy:-.ics & Iucation RCSCllrch), conlri bu)'cron nuuerial menl~ a pi~
Prefacio
d o.nar ~jemplu!'o de cOllt exln amplio I!I1 cuda clIpft ulo Il~( CO IllO ti lo!'o IlU I!VU" problelllas de cSll.llll\clón y. "prox I'~ n l u compro ' b'.lel ,'6n precisa ' del textu y lo!> problcllluo¡ hOlm)\ . . iurll.:ió,¡ " rcc lbldo ulln Ulcslllnable ayuda de l o~ profc..\ori!:': Kununj(.'Ct Ary". San Juse Slale Uni versity Michllcl Cri"eJlo. San Diego Mesa Colll!ge David Fllust, MI. Hood COl1l munity Collegt!
J eromc Lidni. Lchi gh Uni "crs ity Dan Lu eus, Univers ilY 01' Wiscollsin
Marinn Pcters. Appalm:hi an Slatc Univt!r\ il)' Puul Quinn. KUlJ' IO\V1I Un i"l!r!li lY Michllcl C. Strllus.'i. U n ivcr~i l y uf Okluhoma Ccorgc Zobcr, Yough Senior High School P:Hricia Zobcr, Ringgold Hi gh Sehoo l
,IcllImclt c Myers, Clemson Universit y Muchos profesores y estudiantes nos han facili tado ampl ias y úti les revisiones de lIllO o varios enpítu los. Cuda uno de ellos ha hecho una importante contribución ti lu calidad de c... .w revisión y merecen nuestra grulil ud. Nos gust'lña dar las graci as <1 :
Ed wa rd AdeJson, Thc Ohio State Unive rsity
To01 Furta k, Colorado School of Mines
Todd A"erctt,
The College ofWil liam and Mary
Pa trick C. G ibbons, Washington Universi ly
Yildirim M. A ktas, Univcrsity of North Carol ina al Charl otte
J ohn B. G ruber, San Jose Slalc Univcrsi lY
Kara mj eet Ar ya, San Jose State Univcrsi ty
Christo phcr Gould, University of Southcrn C.. liforniu
Alison nas ki, Virgi nia Commonwea lth UnivcrsilY Ga r}' Stephc n B1anpi cd , University of Soulh Carolina
Phuoc Ha, Creighton Universit )' T hcrcsn Peggy Hartscll, Clark Collcgc
Ro nuld UroW", Cal ifo m ia Polylcchnic Stale Universit y
James W. .J ohnson, Tallahassee Comlllunit y Collcgc
Robert Conklcy, Univcrsity of Southcm M;line
Thomas O. Kra use, Towson UnivcrsilY
Robc rt C OIC01I10 , Emory Univcrsit y
Donald C. La rson, Drcxel Univen;ity
Andrc w Cornelius, UnivcrsilY of Nevada al Las Vegas
Pa ul L. Lec, California State Univcrsity. Northridgc
I'eler P. Crooker, University of Hawa ii
Pctc r M. Le,,}'. New York Univcrsi ty
N. Juhn Di Nardo, Drcxel Uni versity
.l crome Licini, Lchigh Univcrsit y
Willinm Ellis, Universil Y ofTcc hnology· Sydnt!y
Edwurd M tClim ent, University 01' IOWfl
John W. li'urley. Univcr!
Robert R. Mll.rchini . The U ni vcr~ it y of Memph b
Ouvid Flu0101cr,
Pete E.c. M1lrkowitz, ¡"loridll lntcmationfll Univcn.ity
Colorndo Sehaol of Minc!
I
XIII
XIV
I
Prefacio
Fernando McdilUl. Florida At lanl ic Universi ly Luuru McC ullough,
Universit)'
t)f Wisr.:nnsi n
al SIOUI
Michuel 1)1Ib1>on. Uni ver,il)' of Colorado ni Bouldcr Oa\'id Fnus t. Moul11 Hood Communil)' Collcge
Pace Univers it y
PhiUp Fnlulldorr, Uoiver:. it)' al' Mís<;ouri. Sainl LoUl!o CUnl I-Iarper. Moorpark Collcgc
A ntonio Pagnmncnlu.
Kristí
Uni"crsi lY of IIl inoi:. al Chicago John Pursons, Columbia Univcrsi¡ y
Univer.;,ity of Pugel Sound Miclmel f-lildrelh, Uni vcrsilY of NOl r\! Dumc
Dinko PuclIllie,
David lngram,
Univcrs ity of Virgini¡1
Ohio
.Iolln W. Norhury, Uni vcrNi ly of Wi ~co n s i n at MilwHukcc ¡\llch'yn Jlly Orcmlund,
Bcrnard
e. Pope,
Michigan Statc Univcrsil y
R.e. f-I endrickson ,
Univer~ily
Jam es J. Koluta, UnivcrsilY 01' Notre Dame
Yong-Zhong Qian. Uni vcrsity of Mi nnesotu
Erie Lane.
Ajit S. Rupuul,
Jcrome Licini,
Wcstcrn WashingtOn Uni vcrsilY
Lehi gh Univcrsily
Todd
e. Ruskell,
Uni \'crsily ofTen nessee. Chauanooga
Colontdo Sehoo! 01' Mines
Daniel Marlow, Princcton UnivcrsilY
Mesgun Scbhatu, Winthrop Univcrsity
Laura McCu llough, UniversilY 01' Wisco n ~in al
Marllin L. Simon.
Ca r l Mungan,
Auburn Universi ty
Uni ted States
Zbigniew M . Stadnik, Uni vcrs ity 01' Qllawa
Jenr)' S. Olafsen,
e. R. Slcwnrt,
Robert Pompi .
Uni vcrsity 01' Florida
ll1e Slale Uni\crsily 01' lew York. al
Miehacl G. Slrauss,
Binghamlon
Uni vers ity ofOklahoma
R. J. Rollefson.
C hin-C hc Tin,
Wes lt:y¡1J1 Uni"crsity
Auburn UniversilY
Andrcw Sc hcrbako\', Georgia Inslilll1e al' Technology
Stcphcn Wcppncr, Eckerd Collcgc SU7.u nne E. Willis, Northcm IIlinois UnivcrsilY Ron Zammil.
Ca lifornia PolylCchni c Statc Uni versi lY A los que revisaron pmblcmus/solucioncs tuy Nmn C hango
Virg ini a Pol ytechnic Imaitulc Mnrk W. CofTey, Colorado School 01' Mine:.
SIOUI
a"al Academ)
Univcrsity of Kansao,¡
Bruce A. Schumm, Uni ven.i ty al' Cal ifornia. SmHa Cnll D~H1
SI)'cr, Oberli n College JcfTrc)' Sund
Case Weslcrn Rc.'erve Uni vcn.ily Fulin Zuo. Univcrsity 01" Miami
Brent A. Cnrbin.
A los tille revisaron In Sludy Guidl'
UCLA
Anlhon~'
Alan Cre.'is\\ cll,
C.. lifornia Polytechllic Stalc Uni \'cr.-iIY
Ship¡>cosburg Univcrs it y Ricardo S. (.>ceca. IndituHl Uni licro,¡ ity- Purdue Uni vcr,i lY
Mirclu S. Felea. Uni \'cr'iity nI' Richmond
J. HufTa.
P..tKIo
JIII1H'S Cu nu~ r.
UnivCNil Y nI" Nonh Florida
Peter K<.:. Mllrkowllz. Florida Inlcn! IHiollul Univcr.. ily
Tima HlIrrlott .
Dcun ZolluUln.
MOlllI1 Sn inl
V in ~e n l.
Cllnadn
K :\Il ~n~
Slalc Uni"crsity
ROAcr King. Cil)' Collegc of San Francisco
A los I,urlicipulll c...
John A. McClcllllnd. Univcn.ilY 01' Richmond
Ed wi n R . .lunes, Unive ..... il )' o r Sou lh Carolinu
C hun I'-'u S u.
Wlllilllll C. Kerr,
CII
el mcdlu
rUCUl'o
gruup
Wakc Forcsl Uni "crsi ty 1'lIhn Mzou¡,thi • Missisr.:ippi State U n i"e r~ ¡l y
Mississi ppi Slnlc Uni \'crsil)' .101m A. Under wood . AUSlin Communily Collcgc
C hurles Nied crl'itcr.
;\ los que rC\'isll roll los medios de difusilÍn Ouslavus Adolphu s Co llcgc Mick Arnclt.
-
Kirk wood COlllmunily Co llcl!e Coloncl Rolf E ll gcr.
C imly Sc hwllr1.~ Vassur Collcgc
U.S. Air Force Acudcmy
Dave Smith, University or the Virgin Islands
.101m W. Fl'Irlc)', Thc Univcrsity of Nevada at La:- Vegas
0 ..1. Wagncr, Grove Cit)' Collcge
David In grum . Ohio Universit)'
George Walson, Universil)' of Delaware
Shawn .Jack.'ion. The Univer:-it)' of T ulsa
Frank Wolrs~ Univcrsity
Dan M'lclsllac.
NOr1hern Arizona Uni versil)'
También seguimos e n deuda con los que rev isaron las anteriores edicioncs. Por esta ralón nos gustaría agradeccr ¡¡ los que nos dieron s u incalculable apoyo en la preparación de la cuarta edición:
Michacl Arn elt.
P~1U1
lowa Stale Univcrsity
Universi ty 01' lIlinois
W illiam Bassichis,
TexasA&M
Robert W. Detenbeck. University of Vermon!
Joel C. Bcrlinghieri , The Ciwdcl
Uruce DOllk, Arizona St:ltc Uni vcrsit)'
Fr¡mk Hlatt, Michigan SI,ttc Uni versity
J ohn Elliolt,
.1 01m E. Uyrn c,
Jam es Garla nd ,
Dcbevec,
Un iversi lY 01' M a n che~ t e r. England
Gon1.aga Uni vers ity
RClired
Wu)'ne C llrr,
Slevens Institute o fl't!chno logy
lan Glltland , Oeorgia Institutc of Tcchnology
Gcor gc Cassid y.
Ron Gautrcn u.
Uoi ve rsil )' 01' Ulllh I. V. C hivclS. Trinity Collcgc. Universil )' 01' Dublin
Han)' T. e hu, Uni vcrsil Y 01' Akron
.IcfT C ulbcrt. London.Omado
New Jcr:-.ey Insliw lc orTcchnology I)avid Guvcndu. Uni versit)' 01' Tcxa!- all\us!in Newton G rccnbcrg, SUN Y Bingh:ulllOn Huidong G uo,
Columbia Univcr.. ilY
I
xv
XVI
I
Pre fDdo
GCOJ1;C w. f'urk cr. North Curolinu Stnli! Uni vel'\lly
RiclUlrd Hnrllcz. Dn.:xcl Univcrs;IY Miclult::1 Harris. Un ;vcrs;ty 01' Washington RUlldy Harri.s, Un;vcrsity oC Cnliforniu ni
P:dwurd Pollack, Uni vcI'\i ly 01' Ccmneclicul Dnvi ~
.Ioho M. Prallc. CJuyton College and
SUIIC
UllIve.... ily
Brooke Pridmorc, Claylotl SUII CCollege
Oictcr Hnrtmal1l1. Clclllson Uni vcrsit y Un; vcn:ity 01' Pcnllsy lvania
Duvid Ruberts. Brundeis Uni vcrsi lY
MudYII Juli!.
Lylc D. Roc lofs.
Uni vcrsilY01' Millay ..
Haverford College
MOllwhcn Jeng,
Univcrsily of California - Santa Barbara
Larry Rowlln, Uni versity of North Carolina al ChaJX!1HiII
I10n .Joscph ,
Lewis H. Ryd cr,
Columbia Univcrs ity
Universi lY 01' Kcnl , Cantcrbury
Dn\'id Knplan. Uni versity of Ca lifornia -
Bernd Sehuttlcr, Uni versity of Georgia
Rohcrt
~1()lIcheck.
Sanl
.Johll Kidder,
C indy SchwllrJ'.,
Dartmouth Col legc Boris Korsunsky, Nort hficld MI. Hermon School
Vassar Col lege Murray Scu rcm:.tn.
Andrcw Lang (graduatc studcnt), Uni versity 01' Missouri
ScoU Sinawi , Columbi a Uni vcrsity
Onvid Langc,
Wesley H. 5milh, University or Wisconsi n
Uni vcrsity of California - Sanla Barbara
Amdahl Corporation
Isam.: Lcichtcr, Jcrus¡ilern Collcge ofTechnology
Kcvork Spartali an.
WilIimn Lichten.
Yale Universi ly
Kaarc Stcgavik. Universil y or Trondhcim. NONa)
Robert Licbcrnmn.
J1.Y D. Strieb,
Corncll Uni versilY
Vi llanova Un ivcrsi ty
fred LiI)SchuHz,
Martin Ti erstcn.
Uni versit y of ConncelieUl
Cily Collcgc of New York
G rneme Lukc. Colu mbia Univcrsity
Osenr Vilchcs, Univers ilYof Wash ington
Hownrd McAllist cr, Univcrsity of Hawai i
Frcd Walts, Collegc orCharleslon
M. Howard Miles, Washi nglon SIIIIO Uni vcrsilY
.Iohn Wcinstcin , Uni vcrs il)' or Mi ssissippi
MaUllew MocHer.
DlIvid Gordon. \Vilson. MIT
Un ivcrs ity of Pugel Sound EIIgenc Mosen,
Un;lcd Slalcs Naval Acadcmy Ail cclI O ' Donll~IHlc,
University of Vcnnonl
Duvid Wint.er. Columbia Uni vcrsily
SI. Lawrcncc Uni vcrsilY
Frank L.H . "'olfe, Un ivcrsity of Rochestcr
.rack Ord , Univcrs it y 01' Wulcrloo
Roy C. Wood , Ncw Mexico Slatc Univcrs il Y
Richard Packllrd. Univcrs ilYof alif()rnia
"uri)' ZhestkO\'. Columbia Uni \'crsily
.....d.
Clnro que nucSl ro l rabnju nunen ¡.c ;tI.:: aba y I.!spcnulIQ.\ cUllI inUlIf rccibicndu comentario.. '1 sugcI"Cndfl!\ de nuestros lectores pum IIsf poder mejumr e lleXln y cOITcgir cunlquicr error, Si IIslcd cree que ha encont mdo UII emIr o desea hacer cOlllcnlllr;o.¡, <;ugcrcncills O fOl'lnu]arno\ pregu nlas clw(cnos una 110111 :\ nsktiplcr(d)whfrcc mnn.coll1 . IncorpofllfCIllO. . la .. corrc('cio/lc\ en el tex to en poslcriorc.... reimpresiones.
lIuestros amigu), de W. H. FrCeman su uyuda y IIliclll0. SuslIn Orcnnllll . Kulhlt!cll CivctlOl . GC
:1
Com:lskcy. Dena Bet7.. Rcbc¡,;cu Pcarcc. Brion Donm:lltul , JClIuifcr Van Hove. Patricia Murx y Mark Smllce fueron muy generoso:. con su creatividad y su cs f ucrl.Q en cada una de lalo
fases del proceso. También estamos agnldecidos por las cOllt rihucinncs de C;llh y Tow!ll)cd 'j Dense Kadlubowski de l>reMcdiaONE 'j de nuestros colegas I..arry Tankcrsly, John Hencl. Stcvc Montgol1lcry y Don Treac'j. Pou l Tiplcr Alamcdll, California
Genc Mosca An nllpolis, Maryland
•
I
XVI'
PAUL TlPLER Pan! Tiplcr Illlció en la pcqucñn ciudad agrícola de Antigo. Wisconsin, en 1933. Rcalil.ó SUli estudio), medios en Oshkosh. Wisconsin. de donde su padre era supcrimcndente de las Escuelas Públicas. Recibió el t(lulo de Bache lor of Seiencc en la Universidad de Purdue en 1955 y el cmpeñó un papel impo rtante en el desarrollo de los planes de estudio. Duranlc los síguicntCli 20 años. explicó casi todas las di sc iplina ~ de física y escribió la primera y segunda edicione\ de '\us ampliamente difundidos textos Físico Moderna ( 1969. 1978) Y Física ( 1976. 19821. En 1982 se desplazó a Berkeley, California. donde ahom reside y donde escribió Calleg!' Phnics ( 1987). Adenuis de la física, sus aficiones incluyen la música. excu~ion ismo y camping. E\ un excelente pi anista de j azz y un buen jugador de póker.
GENE MOSCA •
Gcnc MOSCll rlilc ió en la ciudad de Nueva York y se crió en Sheltcr Island. en el [.,ltJo de Nueva York . Hi zo sus estudios universitarios en la Universidad de Villanova. micnlr.l\ que sus eslUdio de postgrado l o~ realizó en la Universi dad de Michigan y en la Uni\'c ..... iJad de Yerman!. dondt! obtuvo su Ph.D. en 1974. Fue profesor en la Southumpton High SdlOOI. en la Univt!rsidad de Dakola del Sur y en la Univer.-idad Estatal de Emporia. DeMle 1986 impartió clases en la U.S. Naval Academy. donde coordinó t!1 c urso principal de fí, ica durante 16 ¡;emeSlrcs. Allí fu e e l ini ciador de varias innovaciont!s on la enseñan/a, tmllo en los laboratorios como en las uulus. Proclam ado por Paul Tiplcr como "el mejor crítico que he tenido", MOl<>cn fue el tlu ta r de In popular Study Guide de la tcreen! y cuarta t!dicione.... del libro.
,
VOLUMEN 1
Volumen lA ,
PARTE 1
MECANICA
Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Capítulo 10 Capítulo 11 Capítulo 12 Capítulo 13
Sistemas de medida
El mov imien to en una dimensión Movimiento en dos y tres dimensiones Leyes de Ncwton Aplicaciones de las leyes de Newton Tmbajo y energía Conservación de la energfa Sistemas de pnrtículu.s y conscrva¡;ión dclmOlllcnto lineal Rowción Conservación dcllllolllcnlo angular Grnvcd:IIJ Equilibrio c.\¡lÍtico y clU!.licidad Fluidos
Vo lum en 18
PARTE 11
OSCILACIONES Y ONOAS
Capítulo 14 Capítulo 15
Oscihu.!inllc."
Capítulo 16
Volumen
Movimiento ondu huorio Supcrpo,ición y onda .. c..... t:ldonnria!\
le
PARTE 111
TERMODINÁMICA
Capitulo 17
Tcmpcnuur:.l } Icorra cinética de lo<;. g:t~" Calor) primer pnndpio de la Icrnlo
Capitulo 18 Capítulo 19
Capitulo 20 Capítu lo R
Sct/.ulltlo principIO tIc la Icrmoolll;im lt.-a Propiedade, y procc:.;o," lém,ico:.
,•
xx
I
fndlce abreviado
VOLUMEN 2
Volumen 2A
PARTE IV
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Capítulo 21 Capílu lo 22 Capítulo 23 Capítulo 24 Capítulo 25 Capítulo 26 Capítulo 27 Capítulo 28 Capítulo 29 Capítu lo 30
C:l mpu eléc trico 1: Distribuciones di scretas de. cnrgn Campo eléctri co 11 : Distribuciones continuos de carga I)OIcm:ial eléctrico Encrgra electrostáti ca y capuc idad Corriente eléct rica y circu it os de corrien te continua El campo magnético Fuentes del cam po magnético Inducc ión magnética Ci rcuitos de corriente alterna Ecuaciones de Maxwcll y ondas electromagnéticas
Volumen 2B
PARTE V
LUZ
Capítu lo 31 Capítulo 32 Capítulo 33
Propiedades de la luz Imágenes ópticas Interferencia y difracció n
Volumen
2e •
FISICA MODERNA: MECANICA CUANTICA, RELATlVIIJAD y ESTRUCTURA DE LA MATERIA
PARTE VI
Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo
• •
34 35 36 37 38 39 40 41
Dual idad onda-panícu la y física cuúnücil Aplicaciones de la ecuac ión de SchrOdinger • Atomos Molécul as Sól idos Rcla¡i vidnd Ffsica nuclear Las partículas elementales y el origen del uni verso
,
APENDICES y RESPUESTAS Apé nd ice A: Apéndice C: Apéndice o :
Unidudcs S I Y fac tores de conversión Dat os númcricos Tabla pcriódicll de los elcl1lcnlos Revi sión de mutemdticns
Respuestas:
Rc.... puesl:ls a los problc mas de numcmció n impar
Apéndice B:
VOLUMEN'
Velocidad rcl:lliva 56 VcclOr ucclcraci6n 57 )
PARTE I
MÉCANICA
Capitulo 1
Sistemas de medida 3
Física clásica y moderna 1.1
4
Conversión de unidades
1.3
Dimensiones de las magni tudes físicas
lA
Notación cicmífi ca
9
19
El movimiento en una dimensión
Desplazurni cmo, velocidad y módulo de la velocidad Velocidad instantánea 22 Velocidad relati va
27
Capítulo 4 4.1
3. 1 3.2
35
4 .2 4.3
Primer¡¡ ley de Ncwlon: ley de la inercia
Movim iemo en dos y tres di mensiones
El vector dc..<¡pla1.amiento 49 Su ma de vectores desplut,nmicmo 50 Propiedudc!I generales de los vectores 5 J Producto de un vector por un csc:llllr 5 J Resta de vectores 5 J Componentes de los veclore~ 51
53
Posición. vcloc idud y aceleraci6n 54 Vectores posici ón y velocidad 54
49
4.4
80
80
81 Ln fuco.:a debida n In gl1lVcdad: el peso 83 Fucrla. mu:-¡a y segu ndu ley de Newl011 Unidades de fUl!r/..ll y masa
Vectore .. unitarios
3.3
Leyes de Ncwlon 79
Sistemas de referencia inerciales
Resumen 39 Problemas 40 Cap ítul o 3
19
24
Aceleración 25 Movimiento con aceleración constante Problemas con un objeto 28 Problemas con dos objetos 33 IllIegrnción
68
8
Capítulo 2
2.4
61
7
11
2.3
Segundo caso pan icular: movimiento circular
5
1.5 Ci fms signifi caiivas y órdenes de magnitud Resumen 13 Problemas 14
2.2
3.5
60
7
1.2
2.1
Primer caso panic ular: movimiento de proycclile..
Movimiento circular unifonne Resumen 69 Problemas 70
Unidades 5 El sistema in ternac ional de unid:¡des
Otros sistemas de unidades
3.4
84
Llls fucrt,:\S en la nmul'l.llc/.ll 85 Las fuenas fu ndumcntnlcs 86 A cción a distancia 87 FuemlS de cont acto 87
Resolución de problemas: diugrnmus dc fllenas de sistcmru. aislados 89 La tercero ley de Ncwlon 94 4.6 Problcllllll. con dos O más objetos 95 4.7 Resumen 98 Problemns 99 4.5
,
•
•
VOLUMEN 1
PARTE 1
MÉCANICA
Capítulo 1
S istemas de medida 3
1.2 1.3 lA
Físi ca clásica y moderna 4 Unidades 5 El sistema internacional de unidades 5 Otros sistemas de unidudes 7 Conversión de unidades 7 Dimensiones de [
1.5
Cifras significati vas y órdenes de magnilUd
1.1
Resumen
--
;J
1I
13
Problemas
14
Capítulo 2
El mov imiento en una dimensión
19
2. 1
Desplazamiento. ve locidad y módulo de In velocidad Velocidad insllllllánca 22 Ve locidad relati va 24 2.2 Aceleración 25 2.3 Movimiento con acclcf1lción constante 27 Pro blemas (;0 11 un objeto 28 Proble mas con J os objeto:. 33 2 .4 Integración 35 R c ~ ulllcn 39 Problemas 40 Movimiento en dos y ¡re,; dimensiones -t9 Capitulo 3 3. 1 El vector dc\pl:lI:lIniclllo 49
Suma de vcctore.\ dcspbllamiellto
3.2
3.3
Velocidad relativa 56 Vector aceleración 57 3.4 Primer caso panicu lar: movimiento de proyecti les 60 3.5 Segundo caso particular: movimiento circular 67 Movimiento circular uniforme 68 Resumen 69 Probl emas 70
50 Propiedad\!\ generalc" dc lo!> vCClore., 5 1 Producto de un vector por un c.scnlar 5 1 Resla de vcctorc.\ 5 1 Compollcntc\ dI! los \leclOrc'!' 5 I VCCIOn!\ lIn iwrim;: 53 Poo¡icióll . velocidad y acelcr.lci6n 54 VeClOfC\ po'iid6n y veloc idad 54
19
Capítulo 4
Leye.!. de Ncwton 79
PrimeO! ley de Ncwton: ley de la inerci;¡ 80 Sistemas de referenciu inerciules 80 Fucrzu. maS3 y segunda ley de Newton 81 4.2 .L) La fueíLIl debida a la gmvcdnd: el pe¡.:o 83 Unidades de fucrl:1 y m a~u 84 4.4 Lus fUeíI.H.' en la nllturnlclll 85 La!. fucrUls fundamentule!! 86 Acción a distancia 87 Fucí/:as de coruncto 87 Resolución de problemas: di:lgnunus de fuernl" de $ i s tcma~ nisludol; 89 4.6 ullcrccm ley dc Ncwlon 94 4.7 Problernus con do!' o rná!. objcto\ Q5 Rc<"umen 98 Problcmll~ 99 4. 1
XXII
I
fndlce analiUco
Capitulo 5 Aplicaciones de ¡liS leyes de Newton 5. 1 Rozamiento 109 Rozamiento estático 109 Rozamiento cinél'ico 110 El rozllln iento por rodndurn 110 ¿Cuál es la caU~ll del r07..am iento? II I 5.2 Movim ielllo por una curva I 19 · Curvas con pendiente (pcrullc) 122 5.3 "'Fucrlus de arrastre 124 "'La integración numéricu: el método de Euler Resn rtlen 128 Problemas 129
5.4
109
7.3
Mmw y energía
186 Energía nuclear 187 Mecánica NewlOni:tno. y re1ativ idod
7.4 Cuan tización de la cnergín Resumen 191 ProblemaS 192 Capítu lo 8 126
8. 1
189
189
Sistemas de panículas y conservación del momento lineal 20 1
8.2
Centro de masas 202 Energía pOlencial grav ilUloria de un ~iMe ma 205 "' Determinación del centrO de masas por integración 206
8.3
BalTa uniforme 206 Aro semicircul ar 206 Mov imiento del celllro de ma.<;as
8.4
Conservación del momento lineal
8.5
Energía ci nética de un sistema
8.6
Colisiones 217 Impulso y fuerza med ia 217 Colisiones en un a dimensión (colisiones fromales) Colisiones en tres dimensiones 226
8.7
207 211
216
*Sistema de referencia del centro de masas
220
228
8.8
*Sistemas de masa variable: la propulsión de los cohetes 230 Resumen 233 Problemas 234
Capítulo 6 6. l
6.2
6.3
Trabajo y energía
Capítulo 9
14 l
Trabajo y energía cinética 142 , Movi miento en una dimensión con fuerl:ls constantes 142 T eorema del trabajo-energfa cinética 143 Trabajo realizado por una fuerla variable 146 Produclo escalar 148 Potencia 152
6.4
Energía potencial 155 Fuerlas co n ~erva li v ..s 156 Funciones de energfo potencial 156 Fuerlas no conservutivas 159 Energí.. polencial y equili brio 159 Resumen 16 1 Proble mas 162
Capítulo 7
Conservación de la cnergíll
Cinemática de la rotación: velocidad angul ar y acelcrdch,n angular 247
9.2
Energía cinética de rotación
9.3
Cálcul o del momento de inercia 252 Sistemas de partícula!. di scretas 253 Sistemas con tinuos 253 Teorema de los ejes paralelos 255 "'Demostración del teorema de los ejes paralelos
Conservación de la energía mecán ica Apl icaciones 173
7.2
Conservnd6n de la cncrgfn 178 Teorema trnbajo-energ(n 179 I>roblemas en 10\ que interviene e l rolamicnto cinético I SI Sistema .. cún encrgfa quími ca 185
250
255
9.4
La segund:1 ley de Newton en la rotació n Cálculo de momentos 260 Momento debido u la gravedad 260
9.5
Aplicaciones de la segunda ley de Newlon a la rotación 261 Indicacionc:. út iles para 1:1 resolución de problemas rc lucionados con la aplicación de ItI seg undu le)' de Newlon u sistemas en rotación 26 1 Rotac ión sin dcsl izmnic llIo 263 Indicaciones: úliles pura In resolución de problemas relacionudo!. con la npli cllción de la segunda ley de Ncwton ¡I siste mas en rotación 263 Pote ncia 265
17 1
7.1
247
9.1
154
Trabajo y energía en tres dimensiones
ROlaci6n
172
Objetos rodantcs 266 Rodamiento ~ in des lizamiell to 266 "' Rodamiento con dC.!. li z..'u nicnIO 270 ~ c."lI m e n 272 Problema." 273
9.6
259
rndlce .nalltko
Capitulo 10
onservación delmomcnto nngular
285
10. 1
Nntumlc7..1 vectorial de la rotación 285 Producto vectoria l 286 10.2 Momento angular 287 Mo vi miento de un giroscopio 292 10.3 Conservación del momcnto ungular 293 Demostracioncs dc las ecuaciones 10. 10. 10.12. 10.13. 10. 14.y 10.15 300 10.4 Cuantización del momento angular 302 Resumen 303 Problemas 304
Capítulo 11
Gravedad
I
12.8 Tcnsión y deformación 350 Resu mcn 353 Problcl1ms 354 Capítul o 13 Fluido!-o 365 13. 1 I)cnsidud 366 13.2 Presión en un nuido 367 13.3 Flotación y principio de Arquímcdes 13.4 Fluidos en movimiento 376 Ecuación de Bernou1li 377 · Flujo viscoso 38 1 Resumen 383 Problemus 385
37 1
3 13
11.1 11.2
Leyes de Kepler 3 14 Ley de la gravilación de Newton 31 6 Medida de G 3 19 Masa gravi tatoria y masa inercial 3 19 Deducción de las leyes de Kcplcr 320 11.3 Energía potenc ial gravitatoria 322 Velocidad de escupe 323 Clas ificación energética de las órbitns 324 1104 El campo gravitatori o g 326 Campo gravitatorio g de una coneza esférica y de un a esfera sólida 327 Campo g e n el interior dc una esfera sólida 328 11 .5 Cálculo de la ecuución correspondi ente al cam po gravitatorio de una corteza es férica por integración 330 Resumcn 332 Problemas 333 Capít ulo 12
Equilibrio cstático y elasticidlld
12. 1 Condiciones de equilibrio 12.2 Cen tro de gruvedad 342
12.3
342
OSCILACIONES Y ONDAS
Capítulo 14
Oscilaciones
12.5
Mov imiento armónico simple 396 Movimiento armónico simple y movimiento circular 402 14.2 Energfa del movimiento armónico simple 402 . Movimiento generdl próx.imo al equilibrio 14.3 Algunos sistemas oscilantes 405 Objeto colgado de un muelle vertical 405 El péndulo simple 408 . EI péndulo físico 411 14.4 Osc ilncioncs amortiguada!> 41 3 14.5 Oscilacione..<; fOrL.odas y resonancia 416 . Trauunien to matemático de la resonllncia 417 Resumen 420 ProblellUl!-o 421
12.6
Estabi lidild del equilibri o de rotllción
12.7
Prohlemu<.; indeterminado'
350
349
15. 1 348
395
14 .1
Capítulo 1 5
Ejemplos dc equi librio estático 343 Parde fuerw 'i 347 Equ ¡Iibrio estál ico en un :-; istcmu acelerado
12,4
341
PARTE 11
Movimiento ondubuorio
431
Movimic nto ondulntorio sill1plt'= 432 Ondas Ir.IIl:-;versales y longiludinllle!> PUISOf; de onda 432 Velocidad de 10<'; ondn\ 4~3 - La l!cuuci6n de onclu 436
432
XXIII
XX tV
15.2
15.3 15.4
I
rndlce analftlco
J O'
Ondus periódicac; 438 Ond:ls armónicas 438 Ondas sonor.ts amlónicas 442 Ondas electroll1ngnéticas 443 Ondas en tres dimensiones 444 InICnsidad de unn ondn '144 Ondus y barreras 448 Reflex i6n y refnlcci6n 448 Difracción
Capit ulo 18 18. 1
Capucidad caJor(fica y ca lor c!oopccífico
Calori melría
449
Efecto Doppler 451 Ondas de choque 455 Resumen 456 Problemas 458 Superposición y ondas estacionarias
522
Cambio de fllsc y calor latente 523 El experimento de Joule y el primer principio de la termodinámica 525
18,4
La energía inlernu de un gu!> ideal
18.5
Trabajo y diagrama PV para un gas
Procesos cuasiestálicos Diagramas PV
18.6
cquipartición
Superposición de ondas 468 *La superposición y la ecuación de onda 468 Interferencia de ondas armónicas 469 16.2 Ondas estac ionaria'i 474 Ondas estacionari as en cuerdas 474 Ondas sonoras estacionarias 479 16.3 *Superposición de ondas estacionarias 4 82 16.4 *Análi sis y síntesis annónicos 482 16.5 *Paquetcs de onda y dispersión 484 Resumen 484 Problemas 486
PARTE 111
TERMODINÁMICA
Capítulo 17
Temperutura y teoría cinétic
17.1 Equilibrio térmico y temperatura 495 17.2 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit 496 17.3 Termómetros de gas y esca la de temperaturas absolut as 498 17.4 Ley de los gases ideales 500 17.5 La teoría cinética de los gases 503 Cálculo de la presión ejercida por un golS 503 Interpretación molecular de lo temperatura 504 El tcorcm o¡ de equ iparti ción 506 Recorrido libre medio 506 *Distribución de velocidades moleculares 508 Resumen 512 Problemas 5 J 3
,L
i'\
529
529
534
Capacidades calorílicas de los sólidos
18.8
Fallos delleorema de equjpartici6n
18.9
Compres ión adiabática cuasiesláli ca de un ga~ Velocidad de las onclas sonoras 542
Problemas
495
528
18.7
Resumen
lf
528
Capacidades cal orífica~ de los gases 53 1 Capacidades ca l orífica~ y elleorema de
467
16.1
520
18.2 18.3
15.5
Capítulo 16
Calor y primer principio de la tcnnodin{un ica 5 19
535
536 539
542 544
Capítu lo 19
Segundo principio de la tennod inámic;
551
19. 1
Máquinas térmicas y el segundo principio de la termodinámica 552
19.2
Refri geradores y segundo principio de la termod inámica 556
19.3
Equiva lencia entre los enunci"ldos de la máquina termica y del refrigerador 557
19.4
La máquina de Camol 558 La esca la termodinámica o absoluta de temperaturas 564-
19.5
*Bombas de calor
19.6
Irreversib ilidad y desorden
19.7
Ent ropía 566 Entropíll de un gas ideal 566 Cambios de cllIropía en diversos proceso!' Enlropín y energ ía utilizab le 572
19.8
564
19.9 Entropra y probnbilidl.ld Resumen 574 Problemas 576
Capítulo 20
565
567
573
Propie(h.¡de.. y procesos térm icos
583
20. 1
Dilalación térmica
20.2
Ecuación de vun der \Vaal::; e iSotcnllas Iíq uiclo.vupor 587 Diagramas dc fnsc 588
20. 3
583
Transferenciu de energía térmicn C(l nducción 590 Convección 596 Radi ución 596 RCJ'j umcn 599 Problc l1H1 ~ 600
20.4
589
(
lo B ¡'fIn'nrk\ ~ n-l.lll\ Idokl '\ 1.1 ~t\tl,I"",I,.',",..k' l., \ 'k,,- "I.kl tI\'
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1.\
14
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Derechos y reconocimientos de las ilustraciones Capitulo 1
Capitulo 11
Apertura p. I Jeff Di".¡nc/H >G!Gcuy: p . .. (a) The Grnngcr Coll ection: (h) O 1999 Geotrrey Wheeler: p. 6" (a) M cDooII.ld Qbsel"\'arory: (b) Brucc Cokmlln: p. 6 Eunkc H:uTi slPhoto RC$CUI'(:hers, Im::.; 1" 10 (lI} IBM AhlUulen Re,re.\slL.ellnun Nlhwn: (e) Kcm aud Otmniill Danncl1ll'hoto Researchen; (d ) N/\SA: (1") Srllilhsonhtn Instiuuio n.
Apertura p. J IJ Srotkrrek/Corb¡~: p. 314 Colleclioo of tllwltical Scicntific IMlrumc:nb. li lU"oard Univcf!lily: p. 317 NASA, p . .l 18 NASA, p. J I9 Cor\e\fll de Cenln'll C;Ctcnt,hc
Capítulo 2 Apc-Munl p. 19 CorbislSlOck MlIn:t:r: p. 24 No\'llStocl:JOerllbin~ky PIlOlo Associu le,\; p. 25 !;su!e (lf Harold E. Edb't!nonlPalm Press 11lC.: 1'. 1,6 Guncer Zie'ilcrn'c!cr Amold IIIC.: p. 28 () Syd ney Hnnis: 1'. 28 FlguMl 2-9 Jun~ SugllrllJl lIck Stnr: 1" 31 O I9',H Gcuem! MOCOr1l COOpori1llOlt. A II rights re.sc:n'Cd G}, I Mcdill ,\ reh¡'-es: p. 32 (i,.quicrdo) S mnfl)l'd Unenr Acc.:lrnnor. U.S. Dep.1rtmen! ofEne'l;Y: (derecha) Stun ford U ocar Acrd er:uor Cel1tL'f. U.5. Depanmcnt of 1!lIcrgy: p.3tI Coocsfn de Gene Moseu: 1" 43 Cone.du de Chuel: ¡\dlcr.
Capítulo 3 AperhJI'loI p. 49 Kevin Millc:rlGe ny.
Capítulo 4 Apertul'll p. 79 Joho Neubauern~eny: p. 80 Jose Dupoml E... plorcrlPhoto ReM:an;hcrs: p. 82 NA5NSeicnec Soun;c/PhOlo Rcscarc hel1o : p. 86 (u) Colton Coul5(lnf Woodfin Camp 900 Assoc: eb) Gary Latid: (e) Los Alamos N91ional Lnb: (d ) Seicncc: Photo Llbmry/Pholo Rc:sc:an.:hers; p. 9 J (b) Fundalllental l>tlolographs: Jo"Igurn 4-7 Da ... id J. Ph illiplAI' \Vide Wo rld.
COUlpan)': ". 325 NASA,
Capítulo 12 AJH'MunI p. J4 L Con csla tlcl DePllrtment o( l>tly~ics. I'urdue Univt:r.ity: p. J.U O 2002 H~l ale u f Alexnnder ClllderIAnisl,~ R ¡ghL~ Society (ARS). New York : 1" ~SO Pholo(¡¡ ~k .
Capítulo 13 AllCrtuMI 1'. J6S
Audy I'emicklllurcllu of Rec!anlllli on; p. 370 Vune.\~3 Vid:lPhot" Rcse:lIl:hcrs, IlIc.; p. 372 Chuek O'RearfWoodlil1 C.mp aoo MWC.: p. 375 Da ... id Bumenl Woodfin Cump Dnd Aswc.: p. 376 (nlTiba) Esta/e of liarnld E. Edgcnon. (abajo) Thkel.ki T,,~;uhnm/Photn Relw:archcr;<í. lne.: p. 377 1', MonalPllOlo Re,<;eóln.:hcrs. lne.; p. 380 Mi chael DunnflllC S\1JoC1: M nrket: p. JK.1l'icl:cr Intemationul.
Capítulo 14 A IIC r1uro p. 395 Barry SIDVCnNi~U3\s Unlimlted: p. 3?7 Cltironl:: JI. 398 NASA , p. 402 Insti!ul e for Marine Dynamic!;: p.409 Richurd Mc:ngalFundalllental PhoIogrophc:r.: p. 414 lru'rib.1) Mo nroc Amo r:.quipment: (ab:aJO) David WrobtllVisu.11~ Unlimilcd; p. 416 E~ WirclGetty: 1'. 41 7 Roynl Swed ish AelKltmy of Mu~ic.
Capítulo 15
Apertul'll p. 109 Cones!a de BMW: 1'. 111 ( izq uierda) 1'.1'. Bowde n and D. TilOOr, Frictio" und LubriCUliOlI of !k>/i/u, Oxford Unh'elSily Pre.~s. 1000: (dc:~ha) Uzi LaodrnDll and David W. Lfildlkc/Georgia Insti lu!e ofTc.!hnology: p. 113 Nkole Villamom: p. 11 3 F lg ul'tl 5.7 Jcan·Clnude LclcllnclStlJoCk. Busto n; p. 122 Concsfa de BMW: 1" 123 Sandia Nalional Laborolory: p. 124 NASA: p. 125 (i1.quierda) Joe :'kBridclSlonc: (de~ha) S tuart WillialllSllkmbinsky Photo Assocbu:s: p. 13S Figunl 5-57 David de ~yfTñe lmage Bank.
"perturo p. 431 Jo hn Cc:lrin~11CC1: SixlPicllITC ~t: p. 432 FiRUnl 15- 1 Richanl MengalFund.1lnetltal PhoIogrophs: Jo"Igura 15-l Richard Mc:ngafFund:llnc:ntal Phocograph~ 1'. 444 (arrib.1.) Da\'id Sack.VThe l mage Bank/Geny: (l1b.1jo) Maynard and Boo!:herNiSUJ.I~ Unlimitoo: p. 445 From Winsto n E.. Coct .1Astr.saml l1o/ogn'phy, ~'cr Publicmiom. N
Capítulo 6
Capítulo 16
Ape rtura p. 141 Geny: p. 146 Co nesÍll de Dr. R'lge r C ralg: 1'. 156 BiU BacJ mmlWholo Rescarchcrs: p. ) 58 Fi):ur,¡6-25 Da ... id J. PhilliplAP Wide \Vorld.
Apertura p. 467 Da,'id YOSIIS lci nwlly & Sons: 11. .17 1 Ruhllcrhtll ProdUClit'lIl$: p. 473 ,a) Bcn;nke ¡\bbotl (SJ 1318)/1'11010 Rc....c;tn;hcr.\: p. J 76 fi/.quierdJ ) Un)\'Cl)ity ot WlIShinloltou: (centro) Unl\'e r;ity of W&hingloo: (dcrech3)Unh'Crsily of \ V\Wlmglon: p. 481 Profe-.'>OI' ThomM D. R~.. ing. NOl1hem lIlinois Unh'CfSi ly. DcKalb: 1" 4S7 Cortc\Ca de Otuel: Adkr.
Capítulo 5
Capítulo 7 Apt:rturol p. 171 M mk E. GibsonlDcmbinsky Piloto Associates: p. 173 Loren \Vinters/ Visuals Unlilllilc:d: l' ISO (izquierda) Vi~u31 Ilo ntons/FPG Intemntioo31: (dc~ha) New York SIDIC COOlIlw:ttc: Departme ut: 1" 1M1 Cortc.~rll de lJIylh Off~horc Wind Limitcd: p. 183 The Photo Works/J>hoto R~hcrs. IIIC,: 1'. UI5 Stnn Shollk/FPG ImemHliOllal: p. 190 Lciccster Univer..i tyl Sdcnc:e Ilhoto I..IbrllrynlOOto Rc."Carc:hcl$: p. 199 Co n eo;ia de PASCO.
Capítulo 17 AfX!r1unt p. 495 l'loh)' Ftnnll'hoIODi sklGeu)': 1'. 497 fa) Con~a de l'oI~ Ior 1'reci,.iull PTOducl~: (b) Conc.~fn de I-Iooeywe ll, 1I1C.: JI. 49'} Rich:uu M cngaIFund:UI~nm! f'hoIogr,¡ph\. p. SOO NASA : p. 5 15 Jel 1'ropulsiooIA,borutorylNASA
Capítulo 8
Capítulo 18
" pu turll 1'. 2f)l Jcny Wach!crll'hOl O Rc.~arc~rs. [nc.: ¡l. 1,07 .·I~unl 8-1 4 E.~tnle of HlItl)ld E. Bdgc:non/J'nhn I'n;\\ IIIC.: 1,. 2 12 Coru:s{a de O;K:dulon Corpornuon: p. 213 N ASA: JI. 2ltl (.rriba) Robe/l R . Edwnnlsln O O-E PholOgmphy: F i¡.:n rJ K· 26 Romil ly l..ock)crfIllC ItnlIBe IJ lln~: p. 120 Conc:.la de Mercc:de.';· lJcn/. of N. r\. Monhllle. NJ: p. 223 E(t:llc of JoIlIt\lld E. Edget1(lnll':llm I're.\~ Inc.; p. 226 (amb:!) Joe SU'Unk/Visuab Unlimitcd: (abojo) .\11. i'lan!II'Vundy \ tmIIIlPlloto Rc:-.carchcr
,\ pcrt um 1'. 5 19 Donna l)ayiJ'hc:>toOisk/Gcu y: p. 510 Phocm'l: l'ipe & Tut>dlana Bc:rko\'ich: p. 512 From Frnnl.: I'rc~\ 1Int! Raymond Sie\cn. Un&numJ"w Eurth. ln1 cd. W,ll , FreenH!II und Co .. 200 1: p. 5'13 De 11Imuló \Vink. Shuron G¡~I!1M.KI } Shclla McNicholllS. 711,. /'mellU "f W.II . F~lnan :md Co .. 2002: JI. 540 \Viii and
Natlonal l.aborntory; JI. 232 n~u.,.II047 NAS" I S upc .... tock.
Capitulo 19
Capítulo 9
eh,."';,',....'.
Ikni Mc\ntyrelPholo
Rc.'>I;::m:~.
Apcnum 11. S!H (wnba) l':lul Chcs1eylNlluonal Gc:ographieJGclt)'. p. 55 1 (allol,JO) Samha
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JI. U? I'h()Iodi
Nmionnl I_'\xllntory; 1" SS4 2002 Robert Arias" JI. 556 Ande"on R~~oD1\kI Geu y: p . 56 1 CabaJo. tkrtCha)Mithacl Cnlllc:rlStock. nO~IOII; (llfTib:!. i/.quI('nla) JeulI ' Plcrre IlorlUlffhe Irnage Ball"; p. 562 (amb:l, Ikrechal SlIndia Naüoolll Lahot'aIVl): Cam ba, wlulcnllJ Pelcr f,.hllc:rffhc ImJlb'C n nn ~ ; Cab3.JO) Slmdla NblJCloal LnborntOf)'
l'und:lIIlCntnJ I'hotogrnph.... lne.: p. 265 l'und;UllCnlal J>ho(ogmphi. lne.: p. UiIt Lurcn Wln~rVVi\(lal.~ Unlllmtcd. p. 270 Seo!! GoltI~mlthlStoncJ(icu)' ; p. 1,n FIRul'tI 9041 0Trec
Capítulo 20
Capítulo 10
'\llfr1urn p. 5KJ mnl;: 5itc:malllStotl.. BO§ICKI. I IlCJPlCtun.oQuc~t . 11. 591, AUre.J "1l.~tI'lnl l'hoIn RC:<.CIIIl:hc~. lne .; p. 593 Cont':.rll de Eu gc lle M tI\CII. 1'. 591 S\;I~occ l'hull1 Llbrar)'1
A~ rtu nl
¡\ perlUI'\l p. 285 O Mlchael Newn1an/PhnloF..dit , p. 2'X1 D!c~ l.un alSclcncc SoorcclPh<>lo 1U:!Ie;¡n;he~. II. 293 Con~(a de Sc:g\\-lIy; p. 2901 ~lt1u l'lol 10.23 C l 'ht. lIlImld E. b1gcnOll 1(1)2 Tru ~1. .-I¡.!UMI IO.u MI~c i't'II>clllOcny: 11. 1,\15 Did: l.un"/FI'CI Inlrnl.1Iilll\3l: p . 2~ NAS¡V\lCItIdunl SJlIICe H ltll Cemer. 1" J(t5 CItn~ Son::no;onffhc: S«Ie!. M IU'~c:t; p. J06 lñn ' 1'mw\IInlDl rO~IOC"rbl'. p. J 11 Fhtllrn 10·56 CmC1r. de Thnp:ent Ttl} Co.
l'MIo R~~hef'\.lne .
Relatividad A I)f:rtll rll l'. R ·I C'one.do de NASA
SISTEMAS DE MEDIDA
Capítulo
1.1 Unidades 1.2 Conversión de unidades 1.3 Dimensiones de las magnitudes físicas 1.4 Notación científica 1.5 Cifras significativas y órdenes de mag nitu d En una playa hay demasiados granos de arena para con tarlos uno por uno, pero se puede ob· tener el número aproximado por medio de hipótesis razonables y cálculos sencillos.
?
¿Cuántos granos de arena hay en su playa favorita? (Véase el ejemplo 1.6.)
•
Elhombre siem pre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Como demues-
•
lran los pri meros documentos gráfi cos. e l hombre siempre ha buscado el modo de imponer orden en la enmarañada di versidad de los sucesos observados. La ciencia es un método de búsqueda de los principios fundamenta les y universale.'i que gobiernan las enusas y [os e fectos en el universo. El método científico consiste e n constru ir. probar y relacionar modelos con e l obj etivo de descri bir, explicar y predeci r la rea lidad. Esta mctodología comporta estableccr hipótcsis, rcalii"..ar experi mentos que se puedan repetir y observar y formular nucvas hipótcs is. El critcrio esenci al que determina el valor de un mode lo cient ífico es s u simpl icidad y su uti lidad para elaborar pred icc i onc~ o pam explicar observacio nes referidas a un amplio espectro de fen6me nos. Generalmente consideramos In cicncia corno divid ida en d iversos campos separ¡¡dos. aunq ue esta división s610 IU VO lugar a partir del siglo XIX. Ll separación de sistemus compl ejos en clUegorías más simpl es q ue pucden cstudiarse más fácilmente. constituye uno de los mayores éx itos de la cienc ia. U l bio logíu. por ejemplo. estudia los organismos vivos. La q urmica trata de las ill1cracciones de lo!' elementos y compuestos. Lu geología es e l estudio de la Ticrrn. Lil nSlro no mín estudio. el sistema solar, las estre1I a.~ y las galaxias. y el universo en SU conjunto. La física es la ciencia que trata de la materia y de la energía. del es pacio y del tiempo. Incl uye los princ ipios que gobiernan el movi miento de las pan ícul as y las ondas, las inte racc ione.... de 1m, pll rt íc lll a~ y las propiedades de las moléculas, los ála mos y los núcleos ató micos, así como los sislemas de muyor escalu, como los gases. Jos Ifquidos y los sólidos. Algunos consideran que In fí.,ica es In mtis fundamental de las ciencias porque sus pri nci pios son In bnse de l o~ otro!' campos cie/llflicos .
4
I
Cllplluto t Shtl!!mtll dI!! medid"
La fr/'oica e .. la ciencia de lo exóticu y la clencin de lit vida cOlldlllnll En el extremo de lo exótico. los IIg ujcro~ negros ponen rCIQ!I a tUlRlUgl\\ución. En la vidu diaria. inge· lI icro'l, Illlhico!a. arq uileclo!», quím iCO", olólol!-u\j,. médico ... CIC., cOlUrolun lemu\ tnle .. COIIIO trunsmisión del clIlor, nujo de fl uidos. ondas ,>onora.. , rnd iuetividad y fuerta .. de lensión el1 edilic ic)s o en huesu,,; pura realizllr su trabajO diario. Innumemblt "i cue ..tlOne .. respecto u nuestro mundo puede n rc'ipondeJ"i.C con un conoci mienlo b:bico de la (¡<.. ico.. ¿Por qué un hel icóptcro tiene do~ rotore.;? ¡Yor qué 10\ astronauta.\ notan en el C\Pucio? ¡, Por qué tos re tojes que se mueven van má., IClltu<;'! ¡,Por qué el 'iOnido o,e propaga alrededor de las co¡quinas. micnl ms la lul. <;c propaga en Hnea recia'! ¿Por qué un oboe '1 ue· nn distinto de una nnuta'? ¿Cómo funcionan 1m lcelore.. de di.!>C~ compacto'l (CD)1 ¿Por qué no hay hidrógeno en la atmó¡;fem'l ¿Por qué los objcto!. metálicos parecen má!. frlo~ que los objetos de madera a igual tempemt ura? ¿Por qué el cobre e\ un conductor eléctnco micntms que la madera es un aislante? ¡,Por qué elliuo, con !oIu~ lre~ elecU"One't. ee, enormemente reactivo, l11ientJIIs que el helio, con doo¡ cleclrone.s, es quím icamente inerte? ~
En es te capítulo empC1"..uremos a prepararnos para contestar a algunas de e:.\tas preguntas cxamina ndo las unidad es y sus dimensiones. Cada vez que se reali1".8 una medida, debe saberse con qué precisión se ha hecho. Si un Indicador del contenido de combustible de un depósito indica que hay 100 litros, ello no significa que haya exactamente 100 litros. Por lo tanto, ¿qué significa en realidad este da lo, y cómo tenemos que expresarlo?
Física clásica y moderna
e'
Los primeros esfuerzos registrados por el ser humano para reunir sistemáticamente a. cimiento sobre el movim iento de los cuerpos proceden de la antigua Grecia. En la fiL Id natural establecida por Aristóteles (384-322 a.C.) las explicaciones de los fen ómenos 's se deducían de hipótesis sobre el mundo y no de la experimentación. Por ejemplo, una h ... tesis fundamental afi rmaba que toda sustancia tenía un "lugar natural" en el un i\ erle estableció que el mov imi ento era el resultado del intento de una sustancia de alean! ,u lugar natural. El acuerdo entre las deducciones de la física ari stotélica y los moúmie r )5 observados en el universo físico. y la falta de una tradición experimental que derrocc la física antigua, hizo que el punto de vista de los griegos fuera aceptado dur3l1le ca<;j d< lit años. Fue el científico ita liano Galileo Galilei (1564-1642), quien con sus brillantes ex.pc:ri· mentas sobre el mov imiento estableció para siempre la absoluta necesidad de la ex pe ~· , ·ntación en la física e inició la desintegración de la física de Aristóteles. Unos cien años después, Isaac Newt on general izó los resultados ex perimentales de Galileo en sus tre\; le) es fundamentales del movim iento, y el reino de la fi losofín natural de Aristóteles se extinguió, Du rante los sigu ientes doscientos años la experimentac ión aportó innumerables descubrimientos que inspiraron el deslUTollo de las teoríns físicns para su explicación. A finales del siglo XIX , las leyes de Newtoll referentes a los movimientos de los sistemas mecánicos se asociaron a las igualmeme impresionantes leyes de James Maxwel1. James Joule, Sudi Carnot y otros para describi r el electro magnetismo y In termodinámica. Los temas que ocuparon a los físicos durante la úhima pnrte del sig lo XIX - mecánica, luz. calor, sonido. electricidad y magneti smo- constituyen lo que se dcnominn jisic(l clásica. Como lo que neces itamos para comprender el lIlundo macroscópico donde vivimos es la física clásica, ésta domina en las partes I a V de este tex to. El notable éxi to nlcnnzo:1.do por la físicn clásica llevó ti muchos científicos al convenci· miento de que la de..scri]>ci6n del universo físico se hubíu completudo. Si n emburgo, el descubrim iento de los rayos X rcal izndo por Wi lhelm Roentgen en 1895 y el de la rJd iactividnd por Antaine Bccqucrcl y Marie y PieITe Curie los años siguientes parecían estar fuem del marco de la [(sica clásica. La tcoría de In relatividad especial propucsUl por Albert Ei nSh.: in en 1905 con· tmdecfa las ideas de espac io y licmpo de Gal ileo y Ncwlon. En el mi silla UI' O, Einstein sugirió que la cnergía luminosa cstaba cuantilada; es decir, que la luz se propaga en paqucl e~ di ~rehl' y no en fonllll ondu latorin y contin uu como suponía la ffsicil clásiclI . LlI gcncnl lililci6n de e..m idea [l la cuanti zación de todos los ti pos de cllcrgfn e.s un concepto fu ndamcntal de 111 tm."C.\nica cul\nticn. con sorprendentes e imponalltes consecuencias. Ln aplicación de In relatividad c..pe-
1.t Unklade)
I
s
cial y. paniculnrmentc. la teorín CU!hllicu 1\ sistellla!! microsc6picos tales como títQIIIO!->. lIIoléculns y núcleos. ha conducido n unn comprensión detallmlu de sólido!->. líquidos y gilSC'¡ y constituye lo que generalmente se denomina jisica ItIQll em(/ . A ésta se dcdicn la pane V I de este texto. Comenznrr.:lllos nuestro estud io de lu rrsicn con los temns clásico:.. Sin cmburgo. de vez en cuando elevaremos nuestm mirndll pura nnuli1.ar la relución entre la rfsic" clásica y la físicu moderna . Así. por ejemplo. en el capítulo 2 dedicllremos un espacio a las velocidades próximas a la de la luz. alrnvesnndo brevemente el universo rclmivist:l imagi nado primeramente por Ei nstcin . Iguu lmeme. dr.:spués de :lbordur lu consr.:rvaci6n de la energfu cn el capítulo 7. tratnrcmo:.. de la cuunrización de la cnr.:rg fll y de la rumosa relación de Einstein entre la masa y hl energía, E = mt..l. Unos capítulos más adelame. en d capítulo R. cstudiurcmos la nnturnlcl!1del espacio y del tiempo tnl como los reveló Einstein en 1903.
1 .1
Unidades
Sabemos bien que no todas las cosas pueden medirse, por ejem plo, la belleza de una nor o de unu fu ga de Bach. Cualquiera que seu el conoci miento que tengamos de estas cosas, com· prendemos ráci lmente que este conoci miento no pertenece al campo de la ciencia. La capacidad no sólo de defin ir, si no también de medir, es un requisito de la ciencia, y en física. más que en cualq uier otro campo del conocimiento, la defi nición precisa de los términos y la med ida exac(u de las magnitudes ha conducido a grandes descubri mientos. Comenzaremos nuestro estudio de lu rfsica estableciendo unas pocas defi niciones bás icas, introduciendo las un idades y mostrando cómo estas unidades se tratan en las ecuaciones. La "diversión" vendrá más adelante. La medida de toda magnitud ffsica ex ige compararla con cierto val or unitario de la misma. Así. para medir la distanc ia entre dos puntos, la comparamos con una unidad estándar de distancia tal como el metro. 1....1 afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro; es decir, una regla métTica patrón se ajusta 25 veces en dicha distancia. Es importante añadir la un idad metros junto con el número 25 al expresar una distancia debido a que ex isten otras unidades de longitud de uso común. Decir que una distancia es 25 carece de significado. Toda magni tud física debe expresarse con un a cirra y una unidad . Polo Norte
El sistema internacional de unidades Todas las magnitudes rfs icas pueden ex presarse en fu nción de un pequeño número de unidndes fun damentales. Muchas de las magnitudes que se estudi arán, tales como velocidad. fu crla. ímpet u o momento lineal. trabajo. energía y potenci ,l, pueden ex presarse en ru nción de tres unidades fundamentales: long it ud. tiempo y musa. La selección de las unidades patrón o cst:indar para estas magnitudes rundamen tales determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en In comunidad cient ífica es el Si.flema III1(!rlllIciollol (S I). En el SI la unidad pmrón de long itud es el metro. la unidad patrón del tiempo es el segu ndo y la unidud patrón de 101 musa es el ki logramo. Las defi niciones completas de las unidades del SI se dan en el Apéndice B.
longitud
La unidud patrón de longitud. el metro (sfmbol o m). estaba definido originulmente por la distancio comprendido entre dos royas grabadlls sobre uno barfl'l clr.: una ale,lción de platino e iridio que se guarda en In Ofici na Internacional de Pesas y Medidas . en Sevres, Francin. Se escog ió e.<¡1lI longi tud de modo que In distancin entre el Ecuodor y el Polo Norte u lo largo del mcridiano que pasl! por Paris fu e...e igunl iI diei'. millones de mr.:tros (fi gura 1. 1). El metro patrón se de fin e hoy como la di stancio rccorridll por la hu. en el vado durante un tiempo de ln99792 458 'iCgundo... (E.<¡to <¡u pone que la velocidad de la luz e.<; exactamente 299 792 458 mh..) Ejercido
I,Cud l eOi la circunferencia de la tierra en mctms'! ( Resplle.\ t(l
1 Uno... " x 10 m.)
Figura 1.1 BI I)utrón dc longitud. el IIIClm, ~c e ~ CQgi6 origi nalmente de modo que la distand o d~'1 Ecuador ul Polo Nonc n lo Inrgo del IlIcndiaut) que pa.~3 por Parí:. fue\!! 101 ni.
I
6
Capítulo 1 Sbtcmns de m edida
Tiempo La unidnd de liempo. el se¡.:undo (,J. '-C defi nió origi nalmente en fu nción de la rolllción de la 'lie rra , de modo (jU lo! corrc'Ipondía a ( 1/60)( 1/(lO)( 1/24) del díll <,olllr IIlcdiCl. Ac!U u] tllcnte se de fin e Io! II fu ndón de una frccucncill carúctcrf1itico a"oc iada con el ntOmó de cc:- io. Todos 101' átol11os, despu6s de ll h ...orbcr energía, cmi ten IUI con ]nngilUdc .. de onda y frc cucm:ius c.mtc t cr{sticll~ de l clcme nto cOtlsiderudo. Exi sle una frecuencia y una longitud de Olida panicul aref, a~oci adas a cada tran¡.,ici6n energética dentro del :homo de un elemcnlO y t odu~ las experiencias nmn ifieslull que e¡.,lU .. Ilmgnitudc.!> ..on constllnle$. El '-Cgundo loe defin e de modo quc lu frec ucnciu de In hl1. e miti da en una dcterminada tran .. ici6n del cc<¡io l:S de 9 19263 I 770 ciclos por scgumlo. Con e~ I ¡¡ S dcfi nicioncf" Iu.... unidacJe~ flln dal1lc ntale ~ de longi tud y ele tie mpo son lIcccsiblcs a cuulquicr lllboratorio del mundo.
Masa
(!I)
La unid¡¡d de ma:.a. el kilogrumo (kg), ¡gu fundarnentules más, la un idad de temperatura. el kelvin ( K) (inicia lmcnte llamado grado kelvin); la uni dad de cHnti dad de suswncill , el mol (mol); y la unidad de corrienle eléctrica. el amperiQ (A). Exi ste o tra unidad fu nda mel1lal , la candela (ed), unidad de intensidad luminosa. que no tendremos ocas i6n de uti lizar e n este libro. Estas s iete unidades fundamentlllc~. el mclrO (m). el segundo (s), el kilogramo (kg). el kelv in ( K ). el amperio (A). el mol (mal )} la candela (cd), constituyen el sistcma intemac ional de unidades (S I). Lu un idnd de cual qu ie r magnitud física puede expresarse en funci ón de e~ tas uOlJad~ del S I fundame ntales. Algunas combinac iones imponantes reciben nombres especiJ\e Por ejempl o, la unidad S I de fuerl.a. kg . m/5 2, se denomina newlon (N). Análogamente. I unidad del SI de pOlencia, kg . m2/s3 = N . mIs se denomina vati o (W). Cuando una Unid. tt nmo el newlon o el vatio corresponde al nombre dc una persona. se escribe en nunú,l,(t En cambi o. las ¡lbrcv iaturas de estas unidades se escriben en mayúsculas. ¡tes En la tabla 1.1 se relacionan los prefijos de los múlt'ipl o~ y s u bmúhiplo~ ma:. el de las unidades del SI. EslOs mú hiplos SOI1 todos potencias de 10 y un sislema a.<,i .,'nomina siste ma decimal : el siste ma decimal basado en el metro se ll ama sistcma Illétj Los preHjos pueden ¡lpl icarsc u c ualquie r unidad del SI: por ejemplo. 0.001 segundo~ c, JI' milisegundo (ms): 1000000 vatios es un megav¡ltio (MW).
(b)
«(1 ) Reloj de agua utili1.ado en el siglo XIJI pam medi r intervalos dc tie.:mpo. (b) Los diseñ¡¡dol'Cs Jeftcrts & Meekhor de un reloj de Ulla fuente.: de cesio jUnio al
protOlipo.
TABLA 1.1
Prefijos de las potencias de 101
Múltiplo
Prefijo
Abreviatura
10UI
cxa peta lera • g.lga Illcgn
E
IOI S 10 12
10' 10'
InI
102
kilo
10' 10 ' 10]
hecto decll deci ceOl1
\O -, 1() h
mi Ji micro
10 '
n
\O 12 10 IS
pi CO
fc mlo
1O 111
CIliO
'"
P T
G M k h da d e no
l'
"
" f
" Lu.. rn::fiJo~ hc<:lo eh). dec:1 edil)}' deci (d) nQ "011 mtih ipl{l~ dc 10' lÍ 10 '} .'>C ulil; /n" oJllll I>(X' !I tn.'CUl·OClll El
olro IlrefiJo (lile noc .. Iluilliplode 10 1 Ó 10 I C~ ccnll (e). I... l~ prd¡JIl~ {IUl' ~l' u .. ;tn (:o n nuh rn.'I.' ucnnu \'11 eq(' hhnl 'C c\Crlhen en IlIJO. N6t ... ~c que loda ~ t ll~ :llm,:v l¡¡IUI1I~ tlt' Jll'cliJ()\ Imlllipln¡, dr IO"} supcm'fl" .. ~ " ....'11N'n t'n ma· } u~ulf1 ...: ,odll~ lo .. Olto'> \C :1¡'revlIIlI (On IlIll1li'-C uIM .
1,2 ConverUón eS. unIdAcIft
Otros sistemas de unidades Otro ~is tcmn decimal c¡m; aún se utiliza. pero que l'$t('i .. icndo rccmpla/lldo grudualmcnlc por el sistc:nlll del S I. es..::1sistema cg~. basado cn..::1 {'I.mtíl11ctro. cl grumo y el scgundo. El cent!. metro se define ahon. como 0.01 m y el gnuno CO Ill U 0,001 kg . Originalmcnte el g.ramo '>C definió como la masn de l cm \ de agua a 4 "C. ($cglin C"II\ defin ición un kilogramo e., 111 mtl¡.,a úe 1000 ccnt ímetros Clíbico .. o ulllitro de ligua .) Existen otm~ ¡.,istcmas de unidndcs como el sistema U.kni<;u inglé¡., utilíllldo en l o~ EE.UU . y mro:- pníse¡., de hoblu inglesa, en el que ~e toma lu li brn CUI110 unidud fundmllClllul dI! fucr'¿a. L..'l libru se defin e en funci 6n de la atracciÓn gnwiwtoria de la 'Iíerru ell UII lugar determ inado sobre un cuerpo pntr6n. La IInidad de masa se define tm tonces en función de la libm. La unidad fundl"uuellUlI de 10ngilUd ell eMe sistelllll e¡., el pie (ftl y In unidnd de tiempo es el segundo con la Tlli ~ l1ln definición que la unidad del SI. El pie se dcl ine cumo un tercio de una yarda (yd). y ést:\ se defi ne :Ihora en fu nción del metro como: I yd = 0.9144 m
( 1.1 )
I pie = ~ yd = 0.3048 m
( 1.2)
Esto hacc que la pulgadu sea exactamcnte 2,54 cm . Este sistema no e.;; decimal y es menos con· ven iente que el SI o cuulquier otro sistema decimal. pues los múltiplos comunes de sus unida~ des no son pOlcncias de 10. Por ejemplo I yarda = 3 pies y I pie = 12 pulgadas. En el capítulo 4 veremos que la musa es una elección mejor que la fucr/:a como unidad fundamental , por [ra· tarse de una propiedad intrínseca de un objeto que es independiente de su localiz.'lci6n. En el Apéndice A se dan las relaciones entre el sistema técnico inglés y el SI.
1.2
Conversión de unidades
Todas las magnitudes físicas contie nen un número y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica. la unidad puede trataf'$C como cualquier otra magnitud algebmicH. Por ejempl o. su póngase que descamas hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se muevc con una vcloc idad constante de 80 kilómetros por hora (km/h). La distancia x es precisamente In velocidad \' multiplicada por el tiempo t:
x
80 km )1
x_3 Ji _ 240 km
Eliminamos la unidad de tiempo. la hora. igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener];l diSl:lIlcia en la unidad de longi tud correspondicnte, el kil6mctro. Este método permite fácilmente pasar de una un idad de dist:mciu a a Ira. Supóngnsc quc quisiéramos convenir nueslra respuesta de 240 km en millas (m i). Teniendo en cuent a quc I mi = 1.61 km . si di vidimo¡., los dos micmbros de csta igurllclad por 1.61 k m se obtiene I mi - 1 1,61 km
Corno toda magnitud puede multiplicarse por I sin modificar M I valor. podemos cambi ar 240 km en millas tnult ipl icllndo por el factor ( 1 mi )/( 1.61 km ): I mi 240km = 240knf x 1.61Jff1Í - 149 mi
El factor ( I mi)/( I ,61 km) se denomina ractor de conversión . Todos los f:¡ ctorcs de conVcr· sión ticnen el vuJor de I y se ulilLmn para p¡\sur una mag nitud expresada en lIn ll unidud de medida a <;u equi vale ntc en otra unidad de med ida. Escribiendo explíci tamente IlIs ullidnde:., no e.. nece<;ario pensar si hay que multipli car o dividir por \ .6 1 para pasar de kilómclms a milla..¡ . ya que Inl; unidades indican "i hemos e~cog id (l cl faclOr corrcclO o el incorrecto.
1
8
I
Caprtulo I Slstema.\ de medid"
((1) !-l uces de I ~ se r emitido:. de~de el Ob~e r"utori o Macdonald paro!
medir la di~Ulneja hasta lu Luna. EM centfmetros midiendo cltiempo trnn'>Cumdo en el \'iaje de Ida)' vuelta del rayo lrl...er a la Luna de ~ p ués de renejar'ic en un espejo (h ) alH empl[11.ado por 1 ~ a.~trOnaUlil, del I\polo 14.
EJEMPLO , .,
I
Uso de los factores de conversión
Un empleado d e una empresa con sede en Estados Unidos hu d e viajar, por em.l lrgo d e su empresa. a un puís donde las señaJes d e tráfico muestran la d ist.'lIlcia en kilómetros y los \'elocímetros de Jos coches están ".'aJibrddos en kilómetros por hora. Si con su \'ehíeulo viaja 11 90 km por hora. ¿a cuúnto l'Quh'uJe su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora?
Planteamie nto d e l problema Util izare mos el hecho de que 1000 m = l km. 60 s = I min y 60 min = I h pura convertir los kil6mc.tros por hom en me tro.~ por segundo. Se multiplica lu magnitud 90 km/h por unl! serie de fllctores de con"enlión de valor I de modo que el valor de la vclocidad no varía. ¡:>¡trd convenir la velocidad en mil1l1S por hom. se utili7;l el factor de convenlión (1 mi)/( 1.61 km) = l .
1. Mu ltiplicar 90 km/h por Ulla serie de fac tores de conversión que Irunsfomllln los kilómctros en metros y 1:IS ho"'s e n segundos:
)f
1000 m
1 m1ti x Ij:.m x 6O p»n X 60s
9~1 x 1 .~lr~
2 . Multiplicar 90 kmlh por 1 mi/l.6 1 km:
Ejercicio
90Jari
¡,Cuál es el c<¡ui"l!lellle de 65 milh en metros por segundo? (Respll/!sTa
1 .3
1)(
=155.9 mi/h
I
29,1 mis.)
Dimensiones de las magnitudes físicas
El ¡i.rca de una fi g ura plana se e nc ue lllra mulli p lic and o una lo ng illld por o tm. Por eje mplo. el área de un rectángul o de l ad o~ 2 m y 3 ru es A = (2 m)(3 ru) = 6 m1, La unidad de e.!.lu ¡lrea es el melro cuadrado. Puesto que el áre.\ es e l produclo de dos longit udes. se dice que tiene dimensione:. de longit ud por longitud. o longit ud al cuadrado. que suele escri birse U. La idea de dimensiones se ampUa fáci lme nte a otras magnitudes no geométricas. Por eje mplo. la velocidad ti ene dimensiones ele longiwd dividida po r tie m po o Uf: LIIs dimcnsiones de otms magnitudes. Inl es co rno fuen a o energía, se escri ben en función de Ins rnagni tudell fun~ dnmell tnlcs longitud. tiempo y masa. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene senlidn .. ¡ amblls ti enen la.!. mi smas dimensiones. Por ejemplo. no pod e mo~ sumar un :'irca ~ unu \tt) IQI..' j· dold Y obte ner una sUllla q ue signi fique nlgo. Si tenemos una ecuación corno A = B+ C
1.4 Notación clentfflca
las rnagniwdes A. 8 Y e deben tener la:; tres IIIS mi smas dimcnsiones. La SUIllU de B y e ex ige que la!'. dos magn itudes ~ t é n además ex presada!. en lu!- mi!;Il1I1S uniduclen. Por ejemplo. si B es un tiren de 500 cm! y e es " 111 2• debemos cOllvertir IJ en rn::!: o e en cm2 para hullur la suma de las dos t¡rens. A veces pueden dctcctnrse crrore.... en un c:Uculo comprobando las di mensiones y unida. des de las magnitudes que imervícnen en él. Supónguse. por ejemplo. que estamos utili zando erróneamente In f6 mmla A = 2m' pum el área de un círculo. Veremos illmedilltamcllle que esto no puede ser correcto. yn que 2m', tione di mensiones de longitud. l1l icntnls que el árca tiene dimc nsiones de longitud al cundmdo. Ln cohere ncia dimensional es una condición necesaria. pero no suficiente para que unn ecuación seu correcta . Unu ecuación puede tener las dimensiones correctas en cada término. pero no describir unn situación física. Lu tabla 1.2 relacionn los dimensiones de al gunas magnitudes corrientes en ffsica.
I
Milgnitud
Símbolo
Dimcmlon
Á,""
A
Volumen Velocidad AceleraciÓn
L'
V
I}
"
UT
PU Cr7.3
Presión (FIA I Densidnd (M/V) Energfa P01encin (EfF¡
las dimensiones físicas de la presión
La presión de 1111 Huido en movimiento depende de su densldlld p y su velocidad v. Determinur una combinación sencilla de densidad y \'clocidad que nos dé las dimensiones correctus de la presión.
Planteamiento del problema En la tabla 1.2 se observa que tanto la presión como la densidad tienen unidades de masa en el numerador. mientras que la velocidod no contiene la dimensión M . Dividamos las unidades de presión por las de densidad e inspeccionemos el resullado. 1. Se dividen las unidades de presión por las de densidad:
2. El resullado tiene di mensiones de V!. Las dimensiones de la presión son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado:
!..el _ M I LT2 [pi
MIL'
-
, M(L)' =~ rKl
[pi = [Pl! v-I = L' T
Observación Cuando estudiemos los fluidos en el Ci¡pítulo 13. veremos que según la It!y de Bernoui lli aplicada a un Huido que se mueve a una ahura constante, p + ~ P v2 es constante, en donde p es lu presión del flu ido. Esto también se conoce como el efecto VenlUi'i.
1.4
Notación científica
El manejo de números muy grandes o muy pequeños se si mplifica uti lizando la notación cient ífica. En eslU notación. el mímcro se escribe comO el producto de un número comprendido entre I y 10 Y un a potenc ia de 10. por ejemplo ID! (= 100) Ó 10l (= 1000). etc. Por ejemplo. el nú mero 12000000 se escribe 1.2 x 101 : la distancia entre la 'n crra y el Sol. 150000 ()()() 000 m aproxi madamcnte. Se escri be 1.5 x 10 11 m. El número I I en 10 11 se llama exponente , Cuando los números son menores que I el expone nte es neg¡¡¡ivo. Por ejemplo. 0. 1 = I
10 ' = 100 = .!.. = 10' · 3 = 10. 1 lO ' 1000 10 En la notación científica, 1(/1 se deli no como l . En efecto. dividumos por ejemplo 1000 por s( mi'l mo. Resulta
1000 10' = -1 = 103 J = lO" _ I 10. 1000
9
TABLA 1.2 DimensIones de It" mngnitude, Ilslccn
a F
(172
p
MIl.l'
p
MI L' ML1,y'! ML2,p
MIJTl
E P "
EJEMPLO 1.2
I
10
I
Cap rtulo 1 Sistem as de medida
EJEMPLO 1.3
I
Recuento de átomos
Ion
En 12 g de Cllroono c..ds lcn N.\ = 6.02 x filol1lOS de esUl s ustancia (número de AvO$tDdro). SI l'(mlá ramos un IÍlomo por St.1tllndo, ¡,!.-'UIÍnlo I.iclllpo lan1urútm~ en contur ION átomos de I ~ de Ctl roono? Ex¡>rcsur el 1"CSIIII1IIlo cn uñoso
Planteamiento del problema Neces i tnf1lo~ deterrni nur el mímcro tutul de IÍtOITlOS, N. que hemos de contar y tener en euent:! que el mlmcro cuntudl) es igunl n la t n~n de recuento R multipl icada por el tiempo l . 1. El tiempo es igual nlmímcr() total de álamos N dividido por lu tusa de recuento R = 1 álOmols: 2. Dctcnninur el número de
il tomo~
de carbono en I g:
3. Calcu lar el I\ümcm de segundos necesarios pnm contar los átomos por segundo:
N
!I
I
N
I -
I
-
R
átomos 22 - 6.02 x 10lJ 12g x l g = 5.02 x 10 :'i tomO!l
-
"-
4. Calcular el mímero de segundos que contiene un año: 5 . Utilizar el factor de conversión 3, l 5 x 107 sin (una m
I
365 d
x 2~dh x3~S
I "
S
- 3. 15 xI07 s/a
- 5,02 X 1022 s x 3.15 ~ ~07 s/a -
Observació n
5,02 x 1022 á tomo~ - = 5,02 x 1022 R 1 álomo/s N
;.~; x •
10 2: - 7 a =11.59 x IO'S a
I
El tiempo requerido es aprox imadamente 100000 veces In ednd del universo.
Ejercicio Si dh'idiéramos esta tarea de modo que cada persona contase álomos di ferenles. ¿cuántOS años tardaría un equipo fonnado por 5000 millones (5 x 109) de personas pnra conlllr los átomos que contiene l g de carbono? (Respllesra 3.19 x lOS años.) •
EJEMPLO 1.4
I
¿Cuánta agua?
Un lilro (1.) es el ~'o lumell de un cubo de 10 cm x 10 cm x 10 cm. Si una persona bebe l L de agua, ¿(Iué volumen en ccntímetros cúbicos y en metros cúbicos ocupnrá este líquido en su est6mago'! Planteamiento del problema El volumen de un cubo de lado e es V = [3. El vol umen en cm3 se determina directamenlc a panir de e= 10 cm. Para detenninar el volumen en 111 3• hay que convertir cm3 en mJ utilizando el factor de conversión l cm = 10- 2 111. 1. Calcular el volumen en cmJ:
v = e3 = (lOcm)J
2 . Convertir a m):
10)cm J
= 103 cmJ
m)·' _
1 10= 103 cm]x ( I cm
m') =11O"'m' l
103 cmJ x ( 10"0 \ I cm '
Obse rvaci ón El factOr de cOlwcrsi6n (igual a l) puede elevarse a 1:. tercera polenciu sin modificar su m lor. permitiéndonos cancclar las unidades implicadas.
L.1 suma o resta de dos números escritos en notac ió n c ien lffica cuando los exponente!. no coinciden es ligera mente más del icada. Con~ide rcmos. por ejemplo.
( 1.200 x IO') +(8x 10- 1) = 120.0+0.8 = 120.8 Para calcu lar esta sumo sin ex presar ambos números es su farol a decimal ordinaria. I:ln~tll con volver o escribirlos de rormo q ue la potencio de 10 sea In misma en ambos. En este l'¡¡~O se puede calcu lar In sum:1 c."cri biendo. por ejemplo. 1,200 x 10 2 = 1200 X 10- 1 Y luego sumando:
( 1200x lO ')+(8 x lO ,) = 1208x lO 1 = 120.8
\ .5
Cifrll~ Jlgnlflcallvln y 6rdenes de m.gnllud
I
11
Si lu!. u:->pom.'lItu, -"1)1\ muy di rcrc llt t!~. UIlO de lo... mínll'ro, e...¡ mucho nlunor qlll.: ul (Jtro y rreCllUlltCnll'lltu pucdl! dc,.'> prcciur\c un lu, opcrm: iol1c" dc ' UIIlII o reS I II. Por cJemplo. (2x IOIl)+( 9 x 10
1
)
= 2000000 + 0.009 - 2 000000.009
2 x IOb
en donde el ,ímbolo - .. ignilka "lI]lOl;otcnci:I. lo, cxponente:. . .;c IlIultiplk:m. Por ejemplo.
1 .5
Cifras significativas y órdenes de magnitud
Mucho:. de 1m ntímero... (lue se manejan en la cienci¡ll)On d resultado de un a medida y por 10 tu nl O sólo se conocen CO Il ciertll incertidumbre experimcnta!. La nl1lgnitud de eSIil incertidumbre depende de la hnbilidad del experimentador y del aparato uti lizado. y rrecuentemente s6lo puede estimarse. Se suele dar una indicación aprox imada de 1:1 incertidumbre de una medida med iante el número de díg itos que :-le utilizan. Por ejemplo. si decimos que la longitud de una mesa es 2.50 m, queremos indicar que probablemente su longitud se cncuentra emre 2.-J95 m y 2.505 m: es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproxi mada de ±0.OO5 m = ±0.5 cm de la longitud establecida. Si utilizamos un metro en el que se puede apreciar el milímetro y medimos esta misma longitud de la mesa cu idadosamentc, podemos estimar que hemos medido la longitud con una precisión de ±0,5 mm. en lugar de ±0,5 cm. Indicamos esta preci¡; ión utili zando cuatro dfgi tos. como por ejemplo. 2.503 m. para expresar la longitud. Recibe el nombre dc cifra significl.ttivlI todo dígito (exceptuando el ccro cuando se utiliza para situar el punto dec imal ) cuyo valor se conoce con seguridad. El número 2.50 tiene tres cirras significativas: 2,503 tiene cuat ro. El número 0.00 103 tiene tres ci rras significmivas. (Los tres primeros ceros no son ci frds signi ficati vas ya que simplemente si túan la coma dcdmal.) En notación científica, este número se escribiría como 1.03 x 10- 3• Un crror muy común en los estudiantes. panicu lannentc desde que se ha gencralizado el uso de ca lculadoras de bolsillo. es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se requieren . Supongamos. por ejem plo. que medi mos el área de un campo de juego circular mid iendo el radio en pasos y utilizando la fórmula de l área A = rtr. Si estimamos que la longi tud del radio es 8 m y utilizamos una. calculador:! de 10 dígitos pura detenninar el valor del área. obtenemos n(8 m)2 = 20 1.06 19298 m2• Los dígito!) silUcclo a la ex actitud con la que conocemos el áre¡l. Si se ha calculado el radio medi ante pasos. la exactitud de la medida será tan sólo de 0.5 m. Es decir. la longitud del radi o tendrá como nllhimo un \palor de 8.5 m y como mín imo un va lor ele 7.5 m. Si la longitud elel radio es 8.5 111, el volor del área es Jr(8.5 m)2 = 226.9800692 01 2• mientms que si es 7.5 rn. el áre¡¡ \pale n(7.5 m)2 = 176.714587 m2. Una regla general vá lida cuando se mlll1cjan diferentes números en una operación de multipl icación o di\pisión es:
Moléculas de benceno del orden de lO-lO m de diá· mctro. \'ista<; medianle un micro-.copio electrónico
de barrido.
El número de ci fru:. sign ifica ti vas del resultado de una multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de ci rnl:' ... ign ificll ti\pa:. de cualesquiera de los roctores. En el ejemplo anterior sólo ~e conoce una cifra signi ficativa del radio: por lo IIlnto, sólo se 2 conoce una cirra significativa del área . Ésta se debe cxprc...ar como 2 x 102 m . lo que implica que el área eM:1 comprendidn entre 150 m1 y 250 m2 . La precisión de la suma o re!>ta de dos medidas depende de la precisi6n menor de estas m edidn~ . Una reg la general e.<;:
CroJllOsolllUS del ordell de 10· b 111 \'istm nu.-dinme UI1 m icro~cop i o cleetron il."O eJe mundo.
El resu ltado de. lu SlIlllU o festa de dos números carece de cirras ltign ilh:nti\plls más allá de In ¡¡llImn cirra decimal en que mnbo:. mimero-" originolc.<; tienen ci fras significllIivas.
12
I
Caprtulo 1 Sistemas de medldll
EJEMPLO 1.5
I
Cifras significativas
Delennlnllr la suma 1.0.10 + 0.21342. Planteamiento del problema El primer número, 1,040, tiene sólo tres cirras :;ignificnth'llí. de~ pu~s de In comn decimal, mientras <¡uc d ~cg un do. 0.2 1342. tiene cincO. Dc acuerdo con In regln nnterior, In suma sÓlo puede tener t re~ dfms significmivas de s pu é~ de lu coma decinltll.
Su mar los números manteniendo sólo 3 drgitos más allá de In comll decimal:
J .040
+ 0.2 1342 ".11 .253 1
Ejercicio Aplicar In reglu apropiada pum dClcnninnr el mlmero de ci fm$ significativas en Ins ~ i gu ie n les opcmciones: (a) 1,58 x 0.03: (h) lA + 2,53: y (e) 2.34 x leY + 4,93. (R¡·.\pm'sws (a) 0,05, (h) ),9: (e) 2.39 x lO!.)
Distancias fami liares en nuestro mundo cotidiano. La altura de la muchacha es del orden de I(jJ m y la de la montaña de 1(yI m.
Los dalos de la muyor parte de los ejemplos y ejercicios de este tex to se dan con tre." (y en nlgunas ocasiones cuatro) ci fras significlltivns, pero en ciertos caso .. éstas no se han especifi cudo y se dice. por ejemplo, que las di mensiones del tablero de una mesa son de I y 3 m en lugar de ex presar las longi tude..o¡ como 1.00 m y 3,00 m. A no ser que se indique lo COnlrario, puede suponerse que cualquier dato que se util ice en un problema o ejercicio se conoce con tres cifrus significativas. Esta misma suposici6n vale para los datos de los problemas de fina l de capÍlu lo. Cuando se realizan cálcu los aproximados o comparaciones se suele redondear un número hasta la potencia de 10 más próxima . Tal número recibe el nombre de orden de magnitud. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos un hormiga. puede ~e r 8 x 10-01 m ~ 10- 3 m. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga 's de 10-3 m. De igual modo. como la altura de la mayona de las personas se encuentra próxima a 2 m, podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altur-J ma persona es de I (ji m. Esto no quiere dec ir que la altura típica de una persona sea re.. nle de I m, sino que está más próxima a I m que a 10m 6 10- 1 = 0.1 m. Podemos decir '" na persona típica es tres órdenes de magni tud más alta que una hormiga típica, querien\ .. , Ir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente igual a I ()3 (relación 1, ¡. Un orden de magni tud no proporciona cifras que se conozcan con precisión. Debe ~ que no ti ene cirras signi ficativas. La tabla 1.3 especi fi ca los valores de los órdenes dI ¡IÍtud de algunas longitudes, masas y tiempos relacionados con la física. En muchos casos el orden de magnitud de una camidad puede estimarse medi anl IXItesis razonnbles y cálculos simples. El físico Enrico Femli em un maestro en el cáil d de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecían a primera visla imposibl de resolver por la limitada infomlac i6n disponible, El siguiente es un ejemplo de problema de Fcrmi.
EXPLORANDO ¿ Cu6mús afilladores de piallo hay el/ ChieClgo? Al'erigile esto. J más, el! www.whfreeman.com/[j pler5e.
La T ierra. con un diámetro del orden de 101 m. vista desde el espncio.
El diámetro de la glllnxiu Andrómeda e~ dd orden de 1011 m.
I
Resumen
13
TABLA 1.3 El universo por ó rdenes de magnitud Tamaño o dlst.)ncla
(m)
Masa
(kg)
Intervalo de tiempo
(\)
Protón Átomo Virus Ameba gigante Nuez Ser humano Montaña más alta Tierra Sol DiSlnncitl lierrn-Sol Sistema solar Distancia de In estrella más ccrcanu GnlllltÍu V{3 Láctell Universo vhlible
IO~ " JO- lII JO- 7 10-'
Electrón Protón Aminoácido Hemoglobina Virus de la gripe Ameba gigante GOla de lluvia Honniga Ser humano Cohete espacial Saturno 5 Pirámide liCITa Sol Galaxin Vfll Láctcu Universo
IO~ )O
Tiempo imenido por la luz en atr.m~sar un núcleo Periodo de la mdiación de luz visible Periodo de las microondas Periodo de semidesintegración de un muón Periodo del sonido audible más alto Periodo de las pulsaciones del corazón humano Periodo de semidesintegración de un neUlron libre Periodo de rotación terrestre Perioc.lo de revolución terrestre Vidu media de un ser humano Periodo de semidcsintegmci6n del plutonio 239 Vida media de una cordillera Ednd de In TIerra Edad del universo
10 :u
EJEMPLO 1.6
I
1O~2
lOO
10' lO' 10' 10 11
10 13 10 16 1021
I0'.l6
10-17 10-" \O~22
10 . 19 1O~8 \O~ 6
1 0~
10' 10' 10 10 102>1 10'" 10"
\O~IS
ID 10 10-' 10-' 10" 10' 10' lO' 10' 10 12 1 10 ' 10 11 1018
I O~2
Desgaste de los neumáticos
¿Qué espesor de la banda de caucho de un neumático de a utomóvil se ha desgastado en un nido de 1 km?
r1.'CO-
Pla n teamie nto d e l p ro b le ma Supongrunos que el espesor de la banda de un neumático lluevo es de I cm. Quizás varíe en un factor de 2. pero desde luego no es I mm. ni tampoco 10 cm. Como los neumáticos deben n.--emplaz.nrse Cllda 60000 km, podemos admitir que la banda está gastada completamente después de recorrer esta distancia. es decir. que su espesor disminuye a razón de I cm cada 60000 km. Utilizar la estimación de desgaste de I cm por cada 60 000 km de recorrido para calcular la disminución de espesor en 1 km:
_ Dcsgastede 1.7x IO-S cm 1 km recorrido -
I . . 0.2 ,Ull1 de desg~le por km ret'orrido I
Eje rcido ¿Cuántos granos de arena huyen un tramo de playa de 0,50 km de largo por 100 m de ancho? SI/gerellcia: sl/pólIgase que ha)' arello lUIS/a ulla profuntlidml (le 3 m. El (Iilfmem) de 1111 14 grano de a reJw es del orde" de 1.00 mm. (ReJput'sla .2 x 10 .)
ResulIJell Las unidadc~ fu ndamelllales del SI son el metro (111). el segundo (5). el kilogr.uno (k&). el kel\'in (K). el amperio (A ): el mol (mol) y In candela (cd). La unidud (o las unidudes) de cuulquicr magnitud fisica siempre
pucdc(n) cxprt!Sllrsc en fun ción de estas unidadee; fu ndamentales.
TEMA
1.
U n i d ade~
Unidndes fu ndurncntllles
Las u nidllde.~ en lus t.i :uaciones Conversión
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTtS
L'l magnitud de una cantidud fisicn (por ejemplo. longitud. tiempo. fucrl.ll 'i encrgra) \c ex pre~a mediante un
nlímcro y una unidnd , Lns unidade.<; fundlllllentules del Si Ht'II!(, /IIII'f1/aclOlrtl/ (S I) son el (m). el ~cgumlo (:-.1. el kilo¡:nullo (i..g): el kcl\'in (K). el amperio (A). el mol (mol) 'i In Cfl ndclll (ed). La unidnd (o l:¡s unidudesl dI! toon mngl1ltud fi~lca pucdc(n) eJ;pre5al"'i e en funci6n de e.<¡tuS unidades fu nda mc ntlll~.
L:t.~ unidades en la~ ecuaciones !oC tn\lnn de igual modo que cualquier otro magnnud nlBehnucu. l..os foetores de com·ersiÓn. clue son ~iempre Igual a l. proporeirlOlln un métodO !.:Ofwcn\cntc pnrfl un tipo de unidad en otra.
!"' (' II\
cnlr
I
14
Capitulo 1 Slstema$ de medida
2. Dime n siones
Lo~ d¡) ~
miembro!> de un u "~ II !lc i6n deben lener l u~
m i~ m n ~ d i men ~ i(1nc..\.
3. Notació n clen tffi ca
I"or convcnicnci:I. lO1\" mímcrm. mu)' gr:mdc\ y mlly pe(l ue ñ o~ se cwrihcn por medio de un factor qu~ mul¡j. plicn ti una polcnciu de 10.
4. Expone n te s Multipl icución
Al multiplicar dos n6m ~rO\.
lo~
Di"il'i6n
Al dividir dos n u m cro ~ . lo!>
POIencia
Cuumlo un número que contiene un exponente!'ic CIC VI, a Olro exponente. los exponentes se multiplican.
exponente<.
~ pone ntt,:..\
~ ~ umlln .
se reSIHIl .
5. Cifra s sign ificativa s l\lultiplil'ución y Adición y
di \'i~i6 n
El número de cifrn~ signifi cutivfll. en el n,:sullado de una multiplicación o división nunca menor m111lero de c i fm ~ significlltivas de cualc¡uier.l de lo ... fhelores,
~n\ mnyor que el
El rc suhndo de lü suma O resln de dos núnH:ro, no liene c irrn~ significtltivus más allá de In ultima cirra decj. rIIal cn que :Imbol> mirne ros originules lienen cifrns significtlt iva....
~ u SIr.K·ció n
Un número redondeado ¡¡ la potencia más próxi ma dc 10 se denomina orden de magnitud. El orden de nmg. nitud puede estimarse medi nnte hipótesis ra/.onabl~ y cálculos :-.i mple(.
6. Orde n de magnitud
Proble,,,as
--------------------------------------------------En algunos probleJ1lC1s se • Concepto simple, un solo pl'ISO. relati vamente flíc il. •• •••
Nivel intermedio. puede exigir s íntes is de conceptos . Desafia nte. pam alumnos avanzados. l a solución se encuentra en el SlIIdelll So/u/iolls M atlual. Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tareas para Casll. Estos problemas del servicio "Chec kpoint"' son problenlils de control, que impulsan u Jos estudiantes a desc ribir có mo se llega a la respuesta y a indicar su ni vel de confianza.
SS M •
I
i
./
1 • SSM I e,Cu:!1 de lus ¡.iguicntcs magnitudes físicns 1/0 es una de las fund amcntnlc.s del S i ~ tcTll a h\lemacional'! ( a ) Mns..'l. ( b ) Longitud. (e) Fuer!.;!. (d¡ Tiempo. (1') Tod a~ ellas son magnitudes fís icas fund:lmentalcs. • 2 • I Al hacer un cálculo. el re.,... ullado fi nal tiene las
4 (d)
5
(n 6
•
I
El prcfijogigu ... iglllficD. (,,) l O' . (b) 1<1. (el lO"'.
•
I
El prefijo mega
~ignilic a (11) 1 0~. (h )
(d ) 101!.
10 '. (d) !tI'. te )
• (¡¡) una, O,)
I
I rc~,
lógicas.
-
• i.Cu:\ l~ "
9
•
(ti) Ptlro
Verolldero o fa lso:
( Ulml.r
dos lI1 a~ni tlldes e\ condid ón nccesnriu que tengan In~ mi"'nllL'
di mc nsione~.
(b) l'nro! multiplicar dolo magnitude'i es condición nece
mus djmc n ~ i one~ . (e) Todo~ los fuctOM de eOIl\'ersión tienen el \'ttlor l.
Cálculo y aproxlmodones
SSM •
° estimaóof'
lO-t>. (e) 10 \
10". (e) I ()'I
.
¡uell fes ex/en/as
•
•
•
más daros de Ins relllmem, necesarios: el/ otros fJ(Jco ~, ex/merse alglll/os datos ti!''"' de conocimientos gelleralt
El mímero 23.()().l0 tiene __ • I 7 (lI) dos. lb) tres, (e) cuatro. (ti ) cinco. (t') seis.
Problemas conceptuales
•
d, '
•
I
El jlrclijo pico ,!;ignifica (a ) 10 12, (b ) 10-" ,
ur.
El númcl't) 0.0005 130 tient' __ cifrns signifk ativ3\ . Ce) el/3tm. (ti) siete. (1') ocho.
10 •• SSM El :lnFulo (uhlc.ndido IXlr el dllimetro oc la L.ona en un punto de In TIerra c.., :tpro "(illludnmentc O.5 ~4 (ligum 1.:2). ('(In e'te &t(\ ~ subiendo que In Luml dista 3M" ~ 1 1Il de lu Tiemt, hllllllf MI dt.lnlC'tf\' {l..:! iln~okl
Problemas ,ubtcndloo pur lu Luna e..o¡ IIpro;.;im:uJnmeml· iguul u 1)1". donde IllCtl'l,) de 1:. Lunn y rl es In dbtulicill u In mbma,) (J
.. -.
." •• ••
..
f)
e<¡ el diá-
_. .... .
03:'1 \ ' "
"
15
Unidades
18 • lliprt'5ur 111.. \ $.guieme..~ rlUIgnltlldl'-', u ~ando los prefijo, que <:e no¡. tlln cn la t!lblu l. I )' las nbrevilllurns de In pj¡linn SP· l. por ejemplo. 10000 melros:: 10 km. (a) I 000000 VIIlios. (b) 0.002 grnmos. (e) 3 x IO~ metros. (d)
JO 000 ~¡;undos. Escribir euda una de las !liguicnte~ magnitudes sin u\IIr prefijo!;: (ti) 40 JlW. (11) 4 n ~. (l') 3 MW. (ti) 2.,"\ km. 19
•
20 • SSM Escribir lu~ ~i S\li en l e, Ilutgnitudes (que no ~ expre\an en unidn,le.... del SI) ~in IIS1U" ubrc\'laturns. Por ejemplo. 10) metros.:: 1 kil6mc. tro: (u) 10- 12 ubucllCO<.. (h ) 109 mugidos, (e) I ~ teléfonos. (ti ) 10- 111 chjcc"l'" (e) Id"' teléfonos. (j) 10 9 eabfl4'. (g) 10 11 lOroS. •
Figura 1.2
Problc mll 10
21 •• I En las ccu llcione~ ~ i guie!Ucs. la di ~tan eia .f está en metros. el tiempo I en segundos y la velocidad \' en metros por segundo. ¿Clláles slon las unidades del SI de las constlln t~ e l y e/! (u ) .r:: e l + e l l. ( b) .r = 1 t l 2 . (e) \.2 =2C•.f. «(1) x = C I cos Cll . ( ...) VI = 2e\ - ( C¡x )' .
e
•
11 •• S$M i ./ El Sol post.'C UIlII rn:l~\ de 1,99 x IQJO kl!. Funda.rncntalmenlc el Sol e~lá ':ompue~to de hidrógeno. con 5610 una pequeil~. cantidad de r::Iemenlos más pesu.dm.. El dlOmo de hidrógeno tiene una mUSll de 1.67 x 10-21 kg. Estim:lr el mímcro de dtomos de hidrógeno del Sol.
22 •• I Si en el problema 21 'iC expresa .f en pies. I en segundos y l' en pies por segundos. ¿eultles son IlIs dimensiones de las constantes CI y Cl ?
12 •• Muchns bebidas refrescll ntc..~ se venden utilizlllldo como cnvnse lalns de aluminio. Una lata contiene apro;.;imndamente unos 0.018 kg de aluminio. (a ) E.~timar eunntn.~ 1:1Ias se consumen dumnte un ailo en los Estados Unidm. de Noneamérica. (h) Calcular la nmsu tOUtl de tlluminio atribuible al consumo de latns de bebidas refrescantes. (c) Si por cada kilogr.lmo de alumi · nio. en un centro de reciclaje se obtiene I S. ¿cu/ll es el valor económico del aluminio ncumulado durante ul1año de lns kttas usadus?
Conversión de unidades
Richard Feynman en su ensayo " Hay mucho sitio librc en todas partes" propuso escribir In Enciclopeditl Britállictl completa en la eabeza de un alfi ler. (a) E.~limar el tnmaño que deberían tener las letntS si suponemos. al igual que Richard Feynman. que el diámetro de la cabeza del alfiler mide 1,5875 mm. (h ) Si en un mdal el csp::leio entre átomos es de 0,5 nm (5 x 100tQm). ¿cuántos /ltomos abarca el grosor de cada letra? 13
••
14 •• SSM (a) Estimar cuántos litros de gasolina usan los automóviles eada día en los Estados Unidos de Norteamérica y el coste asociado. (b) Si de un barril de crudo se obtienen 73.45 L de gasolina. enlcular cunntos barriles de petróleo deben imponarse en un uña en los Estados Unidos de Noneamériea paro fnbricar la gasolina nece.'Wia pam la !lutomoción. ¿Cuántos barri les por dín supone eSta eifm? 15 •• Se h:l debatido públicamente con frec uencia cuáles son lus consecuencias ambientales de usn r pañales desechables o pañale.~ reutilizables dc tela. (ti) Supóngase que un bebé. desde
23 • A partir de la definición original de metro en función de la diSUln· cia del Ecuador al Polo None hallar en metros (tI) la circunferencia de la Tierra. (b) el radio de la TIerra. (e) Convertir lag respue~ms dada~ en la) y (b) de metros a millas.
24
•
•
I
La velocidad del sonido en el aire es 340 mIs.. ¿Cuál es. la velocid::ld dc un a\'i6n supersónico que se mueve con un:. velocidad doble a la del sonido? Dar la respuC&1:I en kil6metros por hora y milla, por horn. •
25 • SSM I Un jugooor de baloncesto liene una II.lturn de 6 pies y 10.5 pulgudas. ¿Cuál es su altura ~n c entímetros~
26 • Compleltlr las siguientes igualdades: (a ) 100 km/h = __ milh (b) 60em= _ _ in.(c) IOOyd= m. 27 • La mayor separación entre dos soportc.o¡ del puente es de 4200 pies. Expresar esta distancia en km.
GQItI~n
GCltt"
28 • SSM Hallar el factor de eOIl\'ersión pam convenir millas. por hora en kilómetros por hom. 29 • Complemr las siguientes c :(pre.~iones: (tI) 1.296 x IIY kmlh: = _ _ kmlh · S. (h) 1.296 x 10' k\l1/h ~ = mIs:. (c) 60 milh ::: pies/s. (di 60 milh = mis. 30 • En un litro huy 1.057 eunnos )' 4 cuartos en un gal6n. (a) ¿Cuán· tos litros huyen un gal6n? (b) Un barril equi vule a 42 galones. ¿Cuántos lnt! troS cúbicos ha y en un barri l'? •
Unn milla clladrndatiene 640 acres. ¿Cuántos • I 31 cuadrndos tiene un acre?
Ine~
32 •• i Un cilindro circular rec to tiene un diámetro de 6.8 pul. gadas y una altura de 2 pies. ¿Cuál es el \'olulI1en del cilindro en (a) pief, cúbicos. (b) metros cubicos, (l') lilIO~? 33 •• $SM En las siguientes upresionc..~. x estn en metros. I en segundos. \' en metros por segundo)' la acelemci6n 1I en metros por segundo cuadrado. Dctcrminur las unidades del SI de cada eombinllci6n: (ul \'~/x (h)
J x/a (e) ~
(11' .
16
I
CapItulo 1 Sistemas de medida
Dimensiones de laJ magnitudes fislcas ¿Cudl!!S SQn las di mcnsitmc\ de IlIs c•.'on)lhnte<¡ que aparecen en cada uno de: I()~ ¡1¡>aMndos del prohlemn 21" 34
•
35 •• Ln ley de desintegraci6n mdinctivu e~ NO ) ;; Not'~ AI, en donde NfJ e~ el m\mero de m1cleos r:ldiucti ...o~ en el instunlc I '" O; N(f) es el m\mero (Iue penllancee si n dc~i ntcgrur en el tiempo I y Á e~ 111 IllImudll constunte de desinte. gruci6n, ¡,Qué dimen.~ i on es tiene Á? Ln unidnd del SI de ruen.u. el kilogromo-metro por ~gundo cundrado (kg' m/s 2 ). se denominll newton (N). ~Iull llr lus dimen ~ione..\ y las unidades dd SI de 111 conl>twlle G en h. ley de NcwlOn de In gr'.1vitaci6n 1: = 36
••
SSM
Gmrm¡r. 37 •• Un objeto situlUlo en el extre mo de unn cuerd:1se IlIUC"C segtin un dn:u lo . La ruerza ejen:ida por 111 cuerdu tiene unidades de MU1 ~ y depe nde de lA musa del objeto. de su vclocidlld y del rudio (h.:1 drculo. ¿Qué combinnci6n dc cstns varin b1c~ ofrece las dim('nsioncs correctas de lu fu crl.u'!
ti'
38 •• i Dernostror (IUC el productO de la mn.\>:1 por In ncelcraci6n y In \'elocidnd tiene Ins di rncnsiones dc unn potencia.
39 •• El momento lineal o rrnpem de un objcto es el producto de su mllSll y velocidnd. Demoslrnr que estu magnitud tiene ¡liS di mensiones de una rUel7.B multiplicada por c1tiempo. ¿.Qué combinaci6n de la fuerza y otro magnitud ffsicn tiene las dimensiones de In polencia? 40
••
i
ti
Cuando un objeto cae ti tmvés del aire. se produce una fucr7..a de arrnstre que de pende del producto del área superficial del objeto y el cuadmdo de su \·elocidad. c.~ decir. F""", = CA,.:!. en donde Ce..~ una constante . Detenninllc las di mensiones de C. 41
••
SSM
42 •• La tcrcer.!. ley de Kepler relaciona el periodo de un planela con su radio r. In conSlanle G de la ley de gravitación de Newton ( F = Gmlm¡r) y la mao;u del Sol. Ms. ¿Qué combinaci6n de estos fac tores ofrece has dimcnsiones correctas para el periodo de un planeta'!
Notación científica y cifras slgnlflcatlvas 43 • SSM Expresar los siguientes números como números decimales sin utiliznr la notación de potencias de diez: (a) 3 x ¡ (ti. (b) 6 . 2 x 10·). (c) 4 X JO... 6. (d)2.1 7x lO' . Escribir en notaci6n cienllfica los siguientc...'i v,llores: (a) 3. 1 GW = __ W. (b) 10 pm = m. (e) 2.3 fs = s. (d ) 4 JlS = s. 44
•
•
45 • I Real izar IlIs siguientes operaciones. redondeando hosta el número correcto dc cifras signific:uivas. y ex pcc...~ar el resultado en notaci6n cicntffica: (a) (1.1 4)(9.99 x 1(4). (h) (2.78 x lO· ·) - (5.3 1 x ID·'). (c) 12111(4.56 x 10-3). (d) 27.6 + (5.99 x 1()2).
46
•
Calcular las siguientes operaciones redondenndo al número correcto de cifras significativas y expresando el resultado en notación cientffica: (a) (200.9)(569.3). (b) (0.0000005 13) (62.3 x ID' ). (e) 28.401 + (5,78 x 10"'). (ti) 63.251r 4. 17 x 10-- 3). •
Una membronn celulnr posee un espesor de 7 mm . i,Cuántns membranas de este espesor deberlan upilaTSe pnm conseguir unllllllum de 1 pulgada? 47
•
48
•
SSM
I
Calcular la" siguientes operaciones redondcando al m\mero correcto de eifras significlltivas y exprc....¡mdo el resultndo en flOtaci6n cienlffi ca: ( a) (2.00 x 10")(6. 10 x 10--1). (b) (3 . 14 l 592}(4.00 x 10'). (e) (2.32 x I()lY( 1. 16 x lOS). (d) (5, 14 x 10 1) + (2.78 x l()l). (t') (1.99)( l()lj + (9.99 x 100000s).
49 • ss,,", Reali/.nr lO!> sigulcmc" cák:ulO'> y redondellT lo!. tnuh. do, COn el mime:ro COrrec:IO de cifras signifi c:nlvas: «(1) 3.1415926S4 x (lJ.:.'!tI. (b ) :.'! x 3.1 41 592654 )( 0.76. (e) 4/3/1" x (1.1 )'. (d ) (2,O>,n.141 592654.
Problemas generales
50
•
vehículos 11
Muchas de las carreteras de C1madá limilon In velocidad de lOi 100 km/h.I,Cu61e.~ In velocidad Ifmile en mi/h'!
Contando dólares o razón de 1$ por anos necesitarlamos pllrn Contár 1000 millones de dÓlllres? 51
•
SSM
~gundo.
¿cuám(K
52 • A vc.:ce..~ puede obtenc:n;t: un ractor de convc:rsi6n a paMir del conocimiento de nO(l constante en do~ s i ~ternas diferente... ( a) La velocidad de lu luz en el v:Iclo es 186000 mils = 3 x 10' mis. Utilizar e~te hecho paro hallar el número de kilómetros que tiene una mili .... lb) El peso de un pie) de agua « 62.4 libras. UtilÍ1.ur este duto y el hecho de que 1 cm l de agua tiene unn masa de I g par-.t hnlhlr el peso en libros dc I kg de ma~a . •
•• I 53 Ln musa de un álomo de uranio es 4.0 x lO-lo kg.. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 8 g de urnnio puro?
i
ti'
Durnnte una tonnenLn cae un total de 1,4 pulgadas de lluvia . ¿Cuánta agua ha cardo sobre un :tcre de tierra? (1 mi %= 640 acre.¡ 54
••
55 •• Un núclco de hierro tiene un radio de 5,4 x 10. 15 m y una mas:n de 9.3 x 10... 26 kg. (a) ¿Cuál es su masa por unidad de volumen en kilogralTlO!> por metro cúbico? (b) Si la TIcmltuviern la mismll masa por unidad de '·olumen. ¿cuál sería su radio? (La masn de la Tierra es 5.98 x I()%' kg . ) 56 •• Calcular las siguientes expresiones. (a) (5.6 x 10-)(O.()(}()O'175 .11 (2..4 x 10... 12). (b) ( 14 . 2)(6.4 x 107)(8.2 x 1
57 •• SSM La unidad astronómica (UA) se define como la f1. media de la TIerra al Sol. a saber. 1.496 x 10. 1 m. El parsec es la longitu. desde la cual una UA de longitud de arco subtiende un ángulo de I set: año luz es 111 distancia que la luz recorre en un año. (tI) ¿Cuántos par; contenidos en una unidad astronómica? (b) ¿Cu6ntos metros tiene u¡ (e) ¿Cuántos metros existen en un año luz? (ti) ¿Cuántas unidades astn: existen en un año luz? (e) ¿CUánIOS años luz contiene un par\eC?
"
il1l
El :lIn
, •
...
58 •• Para que el universo deje algún día de expansionarse)' COI: contraerse. su densidad media debe ser al menos de 6 x 10--2"7 kgfm'. (o, (umlOS d ectro nes por metro Clíbico deberían existir en el universo para a..:anlllt esta densidad crítica? (b) ¿CuánloS protones por mctro cúbico produdnJn lA de nsidad critica? (me= 9. 11 x 10--11 kg: 11/,,= 1.67 x 10- 21 kg.) El dctector japonés de neulnnos Super·KamiokanJt est6 formado por un largo cilindro trnnsparente de 39.3 In de diámetro y 4104 1\1 de alto. relleno de agua extrcmndamente pura. Calcular 111 musa de agua que hay en el interior del cilindro. ¿Se corresponde la cifra obtenida con el d:J.to que coosta en el sitio ofi cial del Super-K. según el cual el detector contient:. 50. 000 tooeladls de agua? Densidad del agua: 1000 kglm.3. 59
••
SSM
60 ••• La tabln adjunta da los resu ltados expen mentllles correspondi(!nt c...~ a una medidu del periodo del mo\'imiento T de un objeto de masa m ~us pendido de un muelle en funciÓn de la 1T\nsu del objeto. Estos dulOS eSldn de ncuerdo con una ecunci6n sencilla que expresa T ell fun ci6n de m de la forma T = Cm". en donde C y ti son constantes y ti no es nccesarillmente un entero. (ti) Hnllar ti y C. (Para ello existen varios procedimientos . Uno de ello<; consiste en suponer un valor de ti y comprobarlo representando T en funciÓn Ik mil en papel milimelrndo . Si la suposiciÓn es con ecta. In representación M'I"Í una recta. Otro consiste en re presentar log T en funciÓn de log m. Ln pc.nÚleatt
Problemas
obtenidu en este papel es 11.) (b) ¿Qué datos se dcsv(uII más de la representución en ¡(nell !"Cetll de Ten función de III~ '! Musa m . kg
0. 10
0.20
0.40
0.50
0,75
1.00
1.50
Periodo T. s
0.56
0.83
1.05
1,28
1.55
1.75
2,22
61 ••• La tabla adjunta dll el periodo T y el mdio r de lBórbita correspondientes 1I los movimientos de eUlIIro S.'11élites qUe giran alrededor de un asteroide pe.~udo y denl>O. (a) Estos dutos se relacionan mediBnte In fómmlu T = C,". Hal lar e y 11. (b) Se descubre un quinto satélite que ticne un periodo (1\: 6.20 años. Delenninar la órbitn de este smélile que ~e ajuste a 111 misma fóm1Uln. Periodo T. años
0.44
I ,61
3.88
7,89
Rudio r, GOl
0.088
0,208
0,374
0.600
I
17
••• SSM El periodo T dI! un péndulo simple depende de In longitud L del ~ndulo y lB ucelerución R de lu grnvedad (dimensiones l/f'l). (o) Hallar unn combinación sencilla de l. y g que tenga las dimensiones de tiempo. (h) Comprobar la dependenein cxistente entre el periodO T Y la longitud L midiendo el periodo (tiempo paro! unn ida y vlleltn oomple\Jl) de un péndulo para dos vnlores diferenle.~ de L (e) En III fórmula correcttl que relnciona T eon L y g interviene una constunte que es un múltiplo de Tr Y que no puede ootenen;e mcdiallle el análisis dimensionnl de III parte (a). Puede hall¡me experimental62
mente como en lB pane (b) si se conoce 8. U,iliz:mdo el valor g = 9,8 1 mfsl y lO!! resultados experimentales de la pane (b), hallnr la fórmula que relncionll T eon L yg.
63 ••• i .1 La atmósfera de la Tierrn ejerce una presión sobre la superficie terre..~lre de valor 14 .7 libras por pulgada cundrndu de sUJlI!rficie. ¿Cuál es el peso en libras de la Btmósfera tcrre.
EL MOVIMIENTO EN UNA DI ENSIÓN
Capítulo
2.1
Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad 2.2 Aceleración 2.3 Movimiento con aceleración constante 2.4 Integración El movimiento en una dirección se asemeja al movimiento a lo largo de una linea recta, como el de un coche en una carretera recta. La conductora se encuentra con semáforos y distintos limites de velocidad en su camino por la carretera hacia la escuela.
? •
¿Cómo puede estimar el tiempo que tardará en llegar? (Véase el ejemplo 2.2.)
C o menzare mos e l estudio del uni verso físico examinando los objetos en movi miento. El eSlUdio del movi miento, cuyo anál isis experimental comenzó huce más de 400 uñoso dando lugar <1 1 nacimie nlo de la física , se denomin n cinemática. , Partiremos del caso más simple, el movimiento de una partícula lllo largo de una línea recta, como el d e un coche que se mueve a lo la rgo de una cnrrctera horizontal} recta)' t'Strecha. Una partícula es un objeto cuya posición puede d escribirse por un solo punto. Cualquie r cosa pued e considerarse como una partícula -una molécula, una personn o una galnxia- siempre que podamos ignorar razonnblement e su cs· tructuru interna.
2.1
Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad'
La fi g ura 2. 1 muestra un coche que eSlá en la posición x, en e l inslante t, y en In posici ón x, en un instante posterior f f' La variación de la posición del coche Xt - Xi_ l'e denomina d es pht ~ zamic nto. Es costumbre utili zar la letra griega d (delta mayl1scula) para ind icur la vnriación O incremento de una magnit ud . Asf pues. la variaci ón de x se cscrilx: Ax:
l . t:n inglk \.C 1I!k1n 10" u!:rrnín(K IY'lodl)" )' .rpud p.im denominnr la w:loculllll vec torial y In vdocidad c:.."Cubr o mótlul" de In '·elucidod. AIlntlllC..c h:111 hec ho i n lenlO~ ¡ll'ro dcnomin:lf celeridad ni módulo de In ' clodú.1l1. "" sude nombnar 10) dM
concelllo:. romo 'clocidlld
•
20
o
I
Capftulo 2 El movimiento en una dimensión
-.-- -
- - Oc,
(2.1) DmNlCIÓN -DESPlAlAMlOOO
,- .
-',
Fi g ura 2. 1 Un uUlom6vil M.~ mueve en Ifnea recia en un sistema dc coordenadllS formado por una Ifnca en la que ~e escoge un punto O como origen. A cada punto de la Ifnea se IIsignu un número .\'. cuyo valor e.... proporcional a la distanciulI O. Lo... puntos u In derecha de O son positivo... y a la izquierda. negativos. Cuando el coche se des plaza desde el punto .\'¡ al punto .ti' su desplazamiento e.... 6.x = x, - .x,.
Lu notación dx (léase "delta de x") corresponde a una sola magnitud . el incremento de x (no al produclo de A por x. como IlLmpoco cos es el produclo del cos por 8). Por convenio. la vnriación experimentada por una magnitud es siempre su va lor final menos su valor inicial. Se define ItI vclocidlld m cdill de la partfcuia V m• como el cociente entre el desplazamiento Ax y el intervalo de ticmpo ÓI = lf - 1, :
e
Vm -
t.x
-/J.I
(2.2)
DEFINICiÓN -VElOCIDAD MEDIA
El desplazam iento y la velocidad mcdia pueden ser positivas o negmivas. Un vaJor positivo ind ica el movimiento en la dirección x positiva. La unidad del SI de veloc idad es el mis.
EJEMPLO 2 .1
I
Desplazamiento y velocidad de un cometa
Un cometa que ,,¡aja directamente hacia el Sol es d etectado por primera vez en XI = 3,0 X 10 12 m respecto ni Sol (figura 2.2). E xacta mente un año después se en cuentra en X r = 2,1 x 10 12 m . Dete rmina r su des pla7.amiento y velocidad m ed ia.
X;
Pla nteamie nto del pro ble ma Los cometas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol. Aquí se considera la distancia desde el Sol como si el camela se moviese en una dimensión. Conocemos x¡ y:er. Si elegimos t ¡ = O será.re= I uña = 3. 16 x la' s. La velocidad media es Ad61. 1. El desplazamiento se obtiene de su definici6n: 2 . La velocidad media es el desplaumliento dividido por el intervalo de
liempo:
ÓX
= xr-xi = (2. l x IOI2 m)-(3.0xIO I2 m) - -9x10 I ÓX
"
m
Figura 2.2
-al -
-9xlO ll m 3, 16 x 10's
_ - 2,85 x 10' mis
_rl_"'2~ 8"' .5~Iu-n1 ~s'l
Observació n Ambas magnitudes, desplazamiento y velocidad media. son negativos. pues el cometa se mueve hacia los valores más pequeños de.\'. Obsérvese que las unidades. m para 6.x y mIs o kmls paro! l/m' son partes esenciales de las respuestas. Carece de significado decir que "el desplalümiento es -9 x 10 11" o "la velocidad media de UM partrcula es -28.5". Eje rcicio Un avión de rcncción sale de Delroil ;¡ las 2: 15 p.m. y llega u Chicugo. tl 483 km de distancia. completando el viaje con una velocidad media de 500 km/h. I,A qué hora llega a Chicago? (Respuesta 3: 13 p.m., hora de Detroil . que es en realidad 2: 13 p.m. hom de Chicago.)
EJEMPLO 2 .2
I
Camino d e la escuela
Habitualmente turdamos 10 minutl)S en Ir de CIlSU II hl c....cuclu situndu JI 5 km de dislltllcia, yendo por una calle r eCia. Si un dla, SlIlimos de c.asa 15 min a ntes del comienzo dc la clase, pero no.'i encontramos con un semáfo ro c..'i tropclldo que hace que 111 velocidad durante los 2 primeros kilómetros sea de 20 kntlh, ¿Ih.'garemos a tiempo? Plante amiento del proble m a A fin de resolver el problema hoy que encontmr el liumIX) lotal que necesitumos panl llegar n la escuela. Pum ello. huy que c:delllnr el tiemlXl 11'2 lon dumnte el euol vumos n 20 kmlh Yel tiempo 61] tm del res lO del tmyecto. dumnte el cual lu velocidad c,'I la hnbituoJ.
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
2.1 Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad
I
21
1. El tiempo 10lnl coincide con el tiempo invertido en los dos primeros kilómetros más el tiempo uti1i7.lIdo paro recom:r los tres reSlantes: 2. Usando.6..l' =
delenninllr el tiempo que nos cuesla recorrer los dos primeroll ki lómetros !I 20 kmlh: l ·m l1l.
3. Usundo Ax = l'mAt. cnlcular el tiempo (¡ue IlIrdnmos en recom!r los lres kilómetros restantes: 4 . USílndo Al'
= v",AI. despejar v",I1lIl' In velocidad que nos permite reco--
At nm = tu
-,' m
01 ) l m
6.
Des~j ar el tiempo
- 6min
3 km -
.
"
\ ·" .....1
5km 10 min
km - 0.5 3kmlmin
=
61~
= 0. 1 h
t.x
- 6 /""", -
I'~ ....I
O t ) m,
lotal:
20 kmlh
Ax 101
rrcr 5 km en IOmin :
S. Despejar el tiempo t) lm:
2km
8 t H",
- 0.5 km/ min
= 6 mili
+ At Hm
- 12 min
7. El desplazumiento cuestn 12 mi nulOS comparado con los 10 minUIOll habituales. Sin embargo. habíamos salido de Ca.<¡1I con 15 minutos de antelación. por lo tanto no llagamos U/rrle a la esclwla.
El módulo de la ,'elocidad media de una partícula es el cociente de la distancia 10lal recorrida y e lliempo total desde el principio al final : Módulo de la velocidad media = dislancin total _ s tiempo total I
(2.3)
La distancia total y e l tiempo 10lal son siempre positi vos, por lo tanto el módulo de la ve locidad media también es siempre positivo.
EJEMPLO 2.3
I
Mód ulo de la velocidad media en una carrera
Un corredor recorre 100m en 12 Si luego da la vuella y recorre 50 m más despacio en 30 s y en direeción al punto desde el que inició su mOvimiento. ¿ Cmil es el valor del módulo de la velocidad media y el de la velocidad media para toda su trayectoria?
o
50
_...... _---_ ... _---_._. _. __ ..
..-._-. __
12 s
Planteamiento del problema Uti lizaremos las definiciones de módulo de la velocidad media y velocidad media. recordando que el módulo de !tI L'elocidad media es la dis((lllcia lotal dividida por 111. mientras que la velocidad media es el desplaZllllliento nejo dividido por ó.J. (a) 1. El módulo de la velocidad media es igual a la distancia lotol dividida por el tiempo total:
2. Calcular la distancia 10lal recorrida y el tiempo lotal:
Módulo de la velocidad media s -
(b) 1. La velocidad media es el cociente del desplazamienlo neto Ar y el intervalo de tiempo Al: 2. El desplllzamiento neto es
inicial y
x{ -
.fr. en donde .f¡ = O es la posición
x, = 50 m es la posición final :
3. Utiliznr .6..x y ot parJ hallur lu velocidlld medin:
•
Xf
Figura 2.3
6, 6/
= loo m+ 50 m - 150 m
Módulo de la velocidad media _ l'
_
• 6.f
I'm
_
6/
=
=
Xt -XI
8 1
= 50m -0 = 50 m
50 m = 42 s
, =1,'9""' 1
Comprobar el resu ltado La marea mundial de una CIlITeríl de 100 m está algo por debnjo de los 10 s. es decir. 10 mis es aprolti madamcnte la velocidad m:b.: ima que puede obtenerse. El resultado de 3.57 mis para el módulo de In velocidad media en (a) es razonable. ~a que ~I co,:cdor fu e mucho má.'I lenlamente duranle un Icrcio de su recorrido. Si el resultado oblemdo hubIera SIdo 35.7 mis Icndrfamos flL l.Ón para pensar que nlgo hnbra fallado en el cálculo.
l;~ ~n
=13.57 mis
I
_-.
._ .. __ .
lOs
= 12 s+30 s =42s
r
3. Utilizar s y 1 pnra hallar el módulo de la velocidad media:
.f l +S::!.
100
x. m
,
I
22
Caprtuto 2 El movimiento en una dimensión
Observación El módulo de 111 vdocidfld media es muyor que In velocidad mediu porque 111 distandu IOtal rccorridu es mayor que el desplazumienlo total. Nó¡t:se tumbién que el desplazamiento ncto es la s UlIla de los desplazamientos individuales, E-~ decir /:1...:= 6x 1 + Ax2 = (100 111) + (- 50 m). que es el resu lludo del paso 2 de In parte (b).
EJEMPLO 2.4
I
La aventura del pájaro viajero
Dos trenes separados 75 km se uproxlnum uno ni olro por "ills paralelas, moviéndose cada uno de ellos ti 15 k m/h. Un pájllro " Uelll de un tren 111 otro en el espacio {Iue los separ a, hasta que se cruzan. ¿Cuál LOS la distnncht lolnl I'Cl"orridll por el pájaro si éste vuel1l8 20 km/h'! Este problcmu paI'Cce diffcil ti primera vista, pero rcnlmcntc es muy simple si se enfoca adecuudamente. Para ello escrib i remo~ en primer lugar una ecuaoión para 13 magnitud ti detemlinar. t:S decir. la distancia IOtalll.~· recorrida por el pájaro. Pla n teamiento de l p roblema
1. L.., distanci:l totul es igual al módulo de la vclocidud media llluhipliclldo por el tiempo:
.r = ( módu lo de la velocidad
2. El tiempo que el pájaro está en el aire es igual al liempo que los trenes turdan en encontrorse. La suma de las distancias recorridas por los dos trenes es O = 75 km. Determinar el tiempo que tardan los dos trenes en recorrer una distancia total O:
S I + S2
3. La distancia total recorrida por el pájaro es, por lo tanto:
S
- (velocidad) mr'jaro X
media )~ x
/
/
= (velocidad )mlx /+ (velocidad) m2x / - O
por lo taOlo D r = ( velocidad)m 1 + ( velocidad)m 2 = (velocidad) m!"jlRl x
_ (velocidad) = 20 km/h
I
pi' . D . m J'''' (veIOCldad )m 1 + (veIOCldad)m2
75 km_ =150 km 15 km/h + 1,:> kmIh
I
Observación Algunos tratan de resolver este problema determinando y sumando las distancias recorridas por el pájaro cada vez que se mueve de un tren aJ otro. Este sistema es muy complejo. Es imponante dcsarrolilu un enfoque meditado y sistemático para resolver los problemas. Es útil comenzar por escribir una ecuación que relacione la magnitud desconocida en fu nción de otras magnitudes. Después se procede a detennimlr los valores de cada una de las restantes magnitudes de la ecuación.
, .
(x, . I~) .
xz --- ---- ----------- --
La figura 2.4 representa gráficamente la velocidad media. Una línea recia une l o~ puntos P I Y P2 Y forma la hipotenusa del triángulo de catetos Al' y tll. El cociente ó.xlÓ! e~ lo pendiente de la línea y nos ofrece una interpretación geométrica de la velocidad media: La velocidad media es l
En general , la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. Por ejemplo. si en la fi gura 2.4 tomamos un intervalo menor de tiempo. escogiendo un instante I~ más
,
,, ,
",
/lJ .. ¡.¡ - 11
,,
,, ¡;¡_ "" pend'lente
.. \'",
"
,
Figura 2.4 Gráficode .r c n fun ción de I par,¡ un3 partfcula que se mueve en unn dimensión. Cada punto de la curva reprcsenla la posición x en un tiempo determinado t . Se ha dibujado 111m línea TC(!tn entre 1:15 posiciones PI y 1'2' El dt:s pht1.amielllo 6x = X2 - X I y el intervalo de tiempo 61 = 12 - ti se indican en la fi gura. L.t1fneu recta entre ¡JI y 1'2 es la hipotenusa del triangulo de Il}dos 6.x y ill Y 111 relación IlxJil/ es su pcndicntt:. En términos geométri cos. la pendiente es unn medidn de la inclinación de la recta_
próximo a t i ' la ve locidad media será mayor, según indica la mayor inclinación de lo línea que une los pun tos PI y Pío
Velocidad instantánea A pri me ra "i stn puede parecer im posible defi nir la ve locidad de la p8l1'ículu en un solo ins-
tante, es decir. en un tiempo es pecífico. En un instante determinado la Pilrtículn está en un solo punto. S i e."tá en un solo punto, ¿cómo puede estar moviéndose? Por otra parte. si no se es tá mov iendo. ¿cómo puede tener ve locidad'! Esto constituye unu untigua pumdojo que puede resolverse cUilndo nos damos cuent'a que para obscrvnr el movimiento)' así definirlo. debemos observar la posición del objeto en más de un instante. EnlOnccs re..~ulw posible definir In velocidad en un instant e mediante un proceso de. paso a l lfmite. Veamos ahon! la figura 2.5. CUllndo consideramoS sucesivamente intervalos de tiempo más corto~ a partir Jl.' 11, l:l velocidad med ia para cada intervalo se aproxin1l\ nuh a lu pe ndiente de la tnngellte en 'l ' l..'1 pendiente de e.t;ta tangente se define como la velocidad ¡nstnnlánea en 11' Esta tan ·
I
2.1 Delplazamlento. velocidad y módulo de la velocidad
23
ge nte c:. el límite de l a rclm:ión /l.r/Ar cuando ó,r y. por lo tnllto. Ax 1'e IIproximilll n cero. A ¡.,f podrcmo:-. dec ir, La vdocidud instantlÍnen e::- c llfmi te de la re lación t1.r/!:J./ cuando At 1'C ~lprox i nHl al vulor ce ro.
"(1) -
· ~, l un - - pendiente de la línca tungerue <1 111 curva x fu nción de
~\I
10 1..\ 1
• •• --l ._ . . ..... ~ •• _
ti
(2.4)
,, DEfINICIÓN - VELOCIDAD tN51ANTÁNf.A
E.\l C
límite se denomina dcrivadu de x respecto .
~I
JI /.
!:J.x
\' = lun -
loÓt
=
La notl.lci6n us uu l pam lu derivada el> dxltlt:
do\"
-ti,
I
(2.5)
Posición de una pa rtícu la en funci ó n del tiempo
¡INTÉNTELO USTED MISMO! .r. In g 7
Planteamie nto d e l pro blema En la fi gum 2.6 hemos dibujlldo In línea de tangente a la curva en el in:otamc 1 = 2 S. 1..:1 pendiellte de la línea langeme es la velocidad instantáncn de la partícula en el tiempo dado. Puede utilizarscesllI fi gura para medir 1:1 pendiente de la línea tangente.
5 4 3
Pasos
Respuestas
1. Determinar los valores XI y.t2 sobre la línen t
.,
"
.,
6
-~~I~;O~~'--'2--~3'--4,--,'--Z6--'7--0,71.,
2
Tope la columno de lo derecha e intente resolverlo usted mismo
.1 m.
Figura 2.6 1' ,
8.5 m
11=21>y/~=5s.
2. Calcular la pendicnlc de la línea tangente a purtir de estos valores. Est:l pendiemc es igual ;¡ la velocidad inst:lm:'i nell en I = 2 s.
l'
. S,5m - .t m = pen d¡cmc '"
-
.5 ........
=
3. Según la rlgum. la pcndicmc (y por lo 1.11110. la vcloc idad instantánea) es mayor en aproximudulIlclllC1 = 4 s. La pcndicmc y la velocidad son cero p'lm 1 = O Y1 = 6 s y son negativas anles dc O y después dc 6 s. Eje rcido
¿Cuál e~ la velocidad mcdia de csta ¡Xlnfcultl entre I = 2 s y 1 = 5 5? (Respue.\·w
1. 17 mIs.)
.lo
EJEMPLO 2.6
I
Caída de una pi edra d esde un acantilado
Lu Iwsiciií n de unll piedra que u purtir del reposo se dcjn Cller dc..;¡de un IIcnnl illlllo viene dllcln por x = SIl, cn donde x se midc CII lIletros y had ll abajo desde In l)IIsiclón inidul cunndo t = O, Y t se cxpresu en segund us. Hallar la vclocidlld en un instllnte ( cuahluicru . (Sc 1I111i1e lu ¡lIdieu· d 6n l!xplícita de In unidades para slmplilic,ur la nO!:ldón. ) Plante amie nto del proble m a Pode rno~ ca lcular 111 velocidad de UII in ~ llInt..: delem'¡nado 1 cul· culando la derivad:1(L'fIiJ¡ dircctumenle :¡ partir de M I definición en la ccuución 2.4. En In ligur:! 2.7 1>C I1lU e.~Lr.1 la curva corres pondientc que no:; dn .l' en función d..: t. L:h IfIlC;¡ ~ IlIngell!e¡, esuln dibujodal> en lo¡, ticmpos ' 1./2 y IJ. Las ¡>cndicntc.\ de e$llb lfnea"langenle.!o crl,."Ccn unironnemcnte. indieando que la ve lucidad ins t ll m ~ n c:1 crece un iformemente con el tiempo. l. La pc:mhcnlc Uc la línea. umg~nt e :\ la cu/'\ a , uele IImll.1l'oC lIe un moJo m.1, ~ unpk " pemhcllle de 111 CUr'l a".
,, ,,
Fig ura 2.5 GrMico de l' en función de t. Obllér· vese la ~ecue ncia de illlerva l o~ de tiempo ~ u ces i va· mente mrh pcqueño~ ÓJ t. ÓJ 2...\1, . .... L:l velocidad media de cada ime ....-nlo e~ la pendiente de la línea rce"l pan\ dicho IIllervulo. A medid:! que 10l> intervalos ~c hacen m:b t>equeño~. e'la" pendicnte~ :oC apmltiman a la pendiente de lu t:mgcnle.1 I:i curva cn el punlo 11' La pendiente de e"ta línea ,e define como 1:\ velocidad in!it¡mtánen en d tiemPQ t i'
LII posición de una partícula viene dcscritn por la funci 6n indicada en In figu ra 2.6. Hnllar la ,·c.locidlld instllntá nclI en cl instante t = 2 s. ¿Cuándo es 1l111)'or 111 "clocidlld? ¿Cuándo es nulll? ¿Es negath'lI alguna vez',
,
•• .¡ - .•••
I,
E:.. lll pc n d i ~ nt c p u ~(k ser positi vlI. negati va o nula; pur consig ui ente. en un movirni elll o unidi mcnsio llul la velocidad inSUlll1ánca puede ser pos itiva (x crcdel1 tc) o negativa (x dccrcciclI1c) o nula (no hay El1 ov i m i ~ n t o). Su módulo lo dcnominamos m 6dulo de la veloci dad ins tuntiÍ ncll .
EJEMPLO 2.5
, , ,
m
400 350 300
"
250
'00 150
100
'0 I 2 _, "
;'i
Fig ura 2.7
(i
1 S r. ,
24
I
Capitulo 2 El movimien to en una
dlmen~16n
1 , P\1r deliruci6n lu \ t)locidad ilNantáncu e .. :
· ÓX XCI + Al) , = l 1111 1 un lit) M 00 Al .\•• u Al
2. J>odemo~ cnlculur el despJn/nmicllw ÓX u purtir de lu fu nción po~id6 n
x(t) = 5t 2
xcn
\'(1):
3. En un ticmpo po!.lcrior / + 1lJ. lu po"ici6nl"(l + 1lJ) viene duda por:
,
4. El
r(t+At) = 5(1+.6.1)2 = 51/~+21.6.t+(At}21
= 51 l + 10/ .6.1 + 5{AI)1
dc~p l n7.(uniento p:lrwc~tc
inlcrvulo de tiempo ..crá:
+ .61) "x = 15t:+ 101.6./+5(61)11-5t x(t)
(1
= = 10t 6/ + 5(61)2
5. Dividir i.l\' por 6.t pum detcnninar In velcx:idud medin en este intervalo
de tiempo: 6. A medidn que conl'illcr:.ullos il1lcrvlllo.o; de tiempo euda vez más cortos. dt se uproximu a cero y el scgundo lermi ntl. 51lJ. tiende ¡¡ cero: en cambio. el primer ténnino. 101. pcml¡UlL'Cc invnriablc:
10/ Al + 5(.6./}1
.6.x ". di =
=
.
.6." .
1'(1) _ 11 m -
M - oOÓI
'"
2
- 101+56.1
= lim ( 101 + 5ó/) =r¡o¡l .... ' .... 0
L..:.::J
Obse rvació n Si hubiémmos hL'Choill = Oen los p..sos 4 y 5. el despluzllmiel110 hubiera sido.6.x = O. en cuyo caso la relación 6..\'/AI quedaría indefinida. En su lugar. hemos dejado.6.t como una variable hasta el paso final. cuando d lfmitc Al ~ O está bien definido. •
•
Para determinar las derivadas rápidamellle se utilizan reglas basadas en cst(l\ límite (véase Apéndice Tabla 0.4). Una regla particularmente úti l es Si x = Ct U ,
• ,
Do
, al
2.6)
entonces
e n donde C y 1/ son constantes. Uti lizando esta reg la en el ejemplo 2.6 resulla x = :> dx/d/ = 10/. de acuerdo con los resullados anteriores.
l'
=
•
Velocidad relativa Si usted está se ntado en un av ión que se mueve a 800 kmlh hacia el este. su velocidaJ también es de 800 km/h hacia el este. Si n embargo. 800 km/h hacia el este podría ser su \elocidad relati va a la superficie de la Tierra o su velocidad relativ
Un siste ma de referencia es un objeto material cuyas panes están en reposo entre sí. DEFINtCIÓN-SISTEMA DE RfFERENCtA Para medir la posición de un objeto se usan ejes de coordenndas fijos a sistemas de referencia. La posición de un viajero, si éste está sentado en su asiento. 0.':; constante. en re lurión a un sistelllll de coordenndas horizontal fijo respecto del avión. Sin embargo. parn un sistcmn de coordenadas horizontal fijo respecto de la superficie de la Tierra o para un sistema de coorde nnda:;, horizonwl fij o respecto de un globo que flolu en el llirc exterior al á\'ión. In posición de l viajero cambia continuamente. Si tiene problemas pam imaginarse un si:.lcnll1 de coordenadas fijo en el aire ex teri or. illlngfnese un s istema de coordcnndas ligado n un globo que notn en el aire. El aire y el globo están en reposo mutuo. por lo cual forma n un _'I l'lemn de rcfcrencin único.
2.2 Aceleración
1 2S
Si ulla partícula se mueve con velocidad "pA en relución al sistema de coordcnlldas A y éste a su vez se mueve con velocidad l 'A8 cn re lación a Olro sistema de coordenndas B. In "c loc idnd de In panícula relativa ¡1 Bes IlpU
=
I'pA
+
(2.7,)
l'A 13
Por ejemplo. si unn persona nada en un río pawlclnmente
la direcció n de la corri ente. su velocidad relativa a la ori lla. vpo' es iguul a la velocidad veclOrial relativa al agua, 1'"". más la velocidad de l agua relm iva a la orilla, ""'l: ti
1' po =\1+1' pa DO
Si la persona nadn n 2 mIs contra la corriente y la velocidad vectorial del agua relativa a la o rilla es de 1.2 mIs. su veloc idad respeclO a la orilla será I'pO = -2 mIs + 1.2 mis = - 0.8 mis. en donde hemos escogido la dirección de la corriente como sentido positivo. Una gran sorpresa para los científicos de nuestro siglo fue el descubrimiento de que la ecuación 2.7a es sólo una aprox imación . Un estudio de la teoría de la relntividad nos muestra que la expresión exacta pAra las velocidades relativns es
IIp13
=
I'pA +I'AB
l + "pA 11 ABh·2
(2.7b)
en donde e = 3 x lOS mis es la velocidad de la luz en el vacío. En todos los casos cotidianos con objetos macroscópicos. lipA y VAS son veloc idades mucho menores que e, con lo cual las ecuaciones 2.7a y 2.7b coinciden. pero si se trata de velocidades muy elevadas. tales como la velocidad de un electrón o la velocidad de las galaxias di stames que se alejan de la Tierra, la diferencia entre estas dos ecuaciones puede ser importante. La ecuación 2.7b tiene la imeresante propiedad de que si "pA = e, entonces Vpll también es igual a e, lo cual es un postulado de la relatividad , a saber. la veloc idad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante relativa entre sí.
Ejercicio Use la ecuación 2.7b sustituyendo e por I'pA y resue lva para " pS ' Observe entonces que la ecuación 2.7b está de acuerdo con e l resultado que dice " In velocidad de la luz es la misma en lodos los sisremas de referencia".
2.2
Aceleración
La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad instantánea. Cuando, por ejemplo. un conductor aprieta e l pedal del acelerador de su coche. espera cambiar su velocidad. La aceleración media en un intervalo particular de tiempo 6J = t2 - t .. se defi ne como el cociente Avltlr. en donde tl" = " 2 - VI:
óv = 61
(2.8) DEFINICiÓN -ACELEAACIÓN MEDIA
La ace leración tiene las d imensiones de una longitud d ividida por el tiempo al cuadrado. La unidad en el S I es m/s 2. (En la ecuación 2.8. si el numerador está en mis y el denomi nador en s. las unidades de tll'l6J son (m/s)/s. Multiplicando el numerador y el denominador por 1 s. encontramos que las unidades de Al'ltlr so n m/s 2.) Podemos escribir lAecuación 2.8 como A" = (lrntlr. Por ejcmplo. si dcci mos que una partícula tiene una aceleración de 5. 1 n1ls 2• e llo qu iere decir que. si parte del reposo. después de 1 s se moverá con una velocidad de 5. l mIs: después de 2 s. lo hará con una velocidad de 10 .2 mis y as! sucesivamente. La aceleración Ins tantá nclI es el lfmi te del coc ie nte AII/Ar cuando tlt tiende a cero. Si representamos la
FOlogrnffll eSlroboscópica de In caída de una manzanil 11 60 destellos por segundo. U. aceleración de la manzana viene indicada por el mayor espaciado que se obser.'a en las imágenes inferiores.
26
I
-
Capftulo 2 El movimien to e n una dlmellllón
ve loc idad en fun ción tlclt iempo, la acelCnlción inMan ttinca en el tiempo t <;e defin e Como la pendiente de la Hllea tangente a la curvll en c..e tiempo:
ti
-
-
. Al' lun L'ot ..... () A/ p ~J1d¡ C llI C
(2.9)
de la línea tangente 11 la curva de \' en fu nción de I OlHNlClÓN - ACELERACIÓN INSTANTÁNu.
La ace leración cs. por lo tanto. la deri vada de la veloc idad vectori al respecto llltiempo dl'ldl. 'omo la vclocidad c\ también la derivada de la po~ i c i ón X re.<;pectQ a t. la ¡¡cclcración c\la segunda deri vadu de x rc.<;¡pecto a t , ((2),'/(/t 2 • Pod c m o~ ver el origen de esta no(¡¡ción escribi ~ ndo lu aceleración como d l'/d/ y sustituyendo v por dx/dt: _ ,_ Iv _ d(dxldt ) a dI dI
(2.101
Si la aceleración es cero, no hay cambio de velocidad con el tiempo. es decir. la velocidad es constante. En este caso. la curva de x en fun ción de / e.<¡ una línea recta. Si la :Iccleración no es nula. pero es constantc, la velocidad varí¡l linealmente con el tiempo y la curva de en fu nción de 1 es cuadrática con el tiempo.
EJEMPLO 2.7
I
Un felino rápido
Un gucpardo puede acelerar de O a 96 km/h en 2 s, mientras (IUC una moto rtquicrc 4,5 s. Calcular las aceleraciones medias del guepardo y de la molo y compararlas con la aceleración de caída lih re debida a la gravedad, g = 9,81 m/s2_
1. Determinar la aceleración media a punir de 10<; dmos suministrados:
.1 l= ' 96 kmlh - O =48 , In/(II Gucpardo a = Moto
2 . Conv..:n ir a m1s1 sabiendo que I h = 3600 s = 3.6 k~:
(l
m
2S
= ~ = 96 km/h - O = 2 1.3 km/Ch .~) tJ.t -t.5 ~
Gucpardo 48 km x h · ~
M OlO
3. Comp:lmr los rc!.ultado!> COn In :lI;:eler:lción de In gravedad. multipl icando por el factor de conversión Ig/(9.8 t m/sl );
Al
m
'S
.2-', ' ",1Il - '.",3.; h · ,<¡
X
I h = 1.. 33_ 111ls·'
3.6b
1h _ _ 59" _'"l . _ IILf 3.6 k..
Gucpardo 1::\.3 m/s 1 x 9.8 II gn¡Js-, Moto 5.92
m/s~
1 x 9.81 ~lIs2
=/1.36,1:' I
=/0.608 1
)
2.3 Movimiento con aceleración constante Observación
mente.
Al e.x prc.l>ar el Ilempo en ~ilo'>Cgundo,. lo~ prclijo!'. kilo
(l.. ) ...e
I
27
caneellln mUlua-
Ejercicio Un ..:oche se mueve a 45 km/h en el tiempo t = O. El coche ncelcrll de forma eon~t¡¡nle a nilón de la klll/(h · <;). (a ) ¡,Cuá l C~ MI vclocidnd cuundo (::: 2 ~'l (IJ) ¡,En qué momento el coche ~e IIlUC\' C :I 70 km/h'! (Nr.lplll',Itl/S
(ti) 6) km/h,
(h) 2,5 .... )
Ejercicio d e análi sis dimensio nal Si un eQl.:hc parte del repo&o dt.~dc ,. = O con ace1cmeión c~n~t:Ul~c IJ, ~ u \~Iocid ¡~d \' depende de 1I y de la disumcia recorridu f. ¿Cuál de la,.;. s i gu i ent~ ecuac~on e., tiene 1."<; dUllcnslOnes COm!c tu ~ y por lo tunto. corresponde a unu ecuación posible que reluclonu x, a y "! (Ol \. = 2m:
le)
"=
2 11,\'.)
Sólo (ti) posee la!> mismus dimensiones a ambo, Indos de III ecuación. Aunque el ani'ilisis dimcnsiollllJ no no::. penn ite obtener In ecuación C!.xaClil, con frecuencia es lítil pan! obtener la dependencia fundo nnl.) (Rt'JpUI'S((l
I
EJEMPLO 2. 8
l a velocidad y la aceleración en funci ó n del tiempo
e
1...'1 posición de una partícula viene dlldll por x = Cf'" siendo unll cons ta nte cuyas unidades SOIlIll/s-' . Ha llllr la \'elocida d y Ilcc\ernción en funci ón del tiempo.
1. L'l \'elocidad puede detennina.rse aplicnlldo tLr/dt = Cmn - I(ecuación 2.ó):
x
" 2. La derivada de la velocidnd res pecto al tiempo nos da la ncelcradón:
a
- CI' - ~ =13Ct!1
- d,' - =16CI I dI
Compro bar e l resultado Podemos comprobar las unidades de nuestras respucSlas. P-,¡m la velocidad [\,] = (CJ[r] = (m/s 3 )(s2) = mis. Para la lIcclemción [a] = ICll t] = (01/5'\)(5) = mlil.
2.3 Movimiento con aceleración constante El movi mien to de una partícu la que tiene aceleración constante es corriente en la naturaleza. Por ejemplo, cerca de la superficic de la Tierra todos los objetos caen verticalmente con aceleración de la gravedad constante (si puede despreciarse la resistencia del aire). Si una partí~ cula tiene una aceleración constante tl, su ¡lcelcración mcdia en cualquier intervalo de tiempo es t.unbién ll. Es decir, _
6" -
_
II
(2, 11)
61
Si la ve locidad es pondiente es
1'0
"
en el tiempo f = O Y l' al cabo de cierto tiempo
f,
la uceleración corres\'0
a __ 61
-
v - 110
1- 0
-
1 1
Reajustando esta cx.pres ió n se obtiene \' en fu nción de , .
l'
Figura 2.8 Gráfico de la velocidad en función del liempo con aceleración con ~lante. (2, 12)
= \lo + ( 1(
ACElERA9óN CONSTANTE, v EN fUNCiÓN DE t
en fu nc ión de t (figura 2.8), La pendiente de In línea es la ace lemción a y su intersecc ión con el eje vcn ical es la \ eloc idad ini· cial VI). Esta e:. la ecuac ión de una !fnca recia en un gráfico de
\1
28
I
Capítulo 2 El movImiento en una dImensión
El despl aza miento llx = x - .ro en el intervalo de tiempo Ó t = t - O es 12.13)
Para una aceleración constante, la velocidad varía li nealmente con el tiempo y la velocidad media es el valor medio de las velocidades inicial y fi nal. (Esta relación es válida s610 si la llceleración es constante .) Si Vo es la vel oc idad inicial y v la veloc idad final, la velocidad media es
\
\
\ ..
"m
(2. 14)
.
ACELERACIÓN CONSTANTE v,
~;:
~' , 4{~
. .. . i:::!-.. ' ,
, '.
, ,
.
El desplazamiento es, por lo tanto. 12.15)
.'
Podemos el imi nar v sustituyendo v = vo + af de la ecuación 2.12:
"Va de cero a 60 en IIIIOS 3 segundos." © Sydney Harris
El desplazamiento es, así:
.1x -
x - Xo
=
VO l
+ ~a12 ACEURACIÓN CONSTANTt
El término VOl representa el desplazamiento que tendría lugar si a fuera cero y el te ~ar2 es el desplazamiento adicional debido a la aceleración constante. Eliminando 1 entre las ecuaciones 2.12 y 2. 14 se obtiene una expresión entre lit. a. I De la ecuación 2. 12, t = (11- vo)/a y sustituyendo en la ecuación 2.14 se obtiene 1
I
V- va
-
-
a
ó x = "m1 = , (vO+v )t = , (vo +v)
,
,
=
1
\' ~ - vo
20
es decir
\/6 +2a tu
12. 171 ACELERACIÓN CONSTANU
La ecuación 2, 17 es útil. por ejemplo, si se trata de determinar la velocidad de una pelota que se ha dejado caer desde cierta altura x cuando no nos interesa conocer el tiempo de caída.
Problemas con un objeto Muchos problemas prácticos se refieren a objetos en cafda libre. es decir, objetos que caen bajo la única influencia de la gravedad. Todos los objetos en carda libre que parten de In misma velocidad inicial se mueven de forma idéntica. Como se ve en la figura 2.9, se suehnn desde el reposo. si multáneamente. una pluma y una man zana en un a cámaro de vacío, de modo que caen con el mismo movim iento. Ambos objetos tienen la misma aceleración. El módulo de la aceleración causada por la gravedad se designa por g. cuyo valor apro\i mado e.!. g _ 9.8 1 mls 2
Figura 2 ,9
Como g es el módulo de una aceleración, siempre es positi va. Si la dirección hacia abajo ~ considera positiva, la ace leración debida a la grnvedad es a = 8: si "c considera po.!.ltl\'3 hacia arriba, entonces a = - 8 .
'ij~-------------------------------------------------------l
I
2.3 Movimiento con accle rllcl6n constante
EJEMPLO 2.9
1 El birrete volador
y
Un estudinnte de fTsicn cont ento ¡xJf su gruduación Innza su b ir ~tc hllciullrrlbn (un unll velocidlld inicial de 14,7 mIs. Cons ldenllldo que s u ucelc.rución es 9,8 1 m/j,.l huchaII bllJO (desprt.'Cillm os 111 re:;lste ncill del nire), (a) ¡,cuá nto tie mpo lUrdllrli el birrete en UIcUll ro T Sil punto mI\¡; IIJeO? (b) ¿Cuá l ~ In nltuTu m áxi nm IIlcuIlZUdl¡"! (e) S uponie ndo que el birrete se rtcogc 11 111 miSllIlIlllturu de la que hu salido, ¿cuá nto tiempo ~rnmllece en cl lllre'! Planteamiento del problema
t \'
CUllndo el bim:tl! alcanza su puntO más nito, su velocitlnd instanlt\.-
n.
nen es cero. A~í COlI\crtilll ll:> 111 c~pn.'Si~íll " ¡)UIIIO II I1...... u ltu .. a la l'llIIdid(J11 Il1Ulc llllític:1 \' e
)'
(a) 1. Dibujnr el birrete en su posici6n ¡nkiul y en el punto más alto de
su trayectoria. Incluir un eje de coordenadas y scñalnr el origen y lus dos posiciones del birrete. 2. El tiempo se relacionn con In velocidad y la aceleraciÓn:
3. Calcular el tiempo que tarda el birrete en alcanzar su altura máxima. Para ello hacer v = OY despejar t: ( b)
Octerminur la diSlUncin recorrida a partir del tiempo t y la velocidad media:
(e) l . Para calcular el tiempo tOlal hacemos 60)' = Oen la ecuaciÓn 2.16 y
despejamos 1:
Il)'· .\' Yo
- --~
t -
Ay
\'0= 14.7 mis
Yo
v = vo +al
t = 0 - Vo = - 14,7 mIs = ~ (1 - 9.81 mls 2 ~ tly _ \lml
l1y
=
VOl
o
y
"¡-o
Figura 2.10
=i(vo + V) I =~(14,7 mis + 0)( 1.50 s ) =~ + iot2
O = (vo +~al)1
2 . Hay dos soluciones para t cuando tly = O. La primera corresponde
al tiempo en que se lanza el birrete y la segunda corresponde al tiempo en que se recoge:
(primera solución)
1=0 I _
_ 21'0
a
=_2(14,7 mis) =rJ7"l -9 •80
mls 2
(segunda solución)
l:...::.J
Altura
y(t), m
Observación La solución f = 3 s también resulta de la simetría del sistema. El tiempo que tarda el birrete en caer desde la altura máxima es el mismo que transcurre hasta alcanzar dicha altura (figura 2. 11). En realidad, el birrete no está sometido a una aceleración constante debido a que la resistencia del aire sobre un objeto ligero como es el birrete ejerce un efecto significativo. Si la resistencia del aire no es despreciable, el tiempo de carda es mayor que el de subida. Eje rcicio Calcular Ymb - Yo utilizando (a) la ecuación 2.15 y (h) la ecuación 2. 16. (e) Detenninar la velocidad del birrete cuando vuelve a su punto de partida. (Respuestas (a) y (h) Ymb - )'0 = 11 ,0 m, (e) -14,7 mis; obsérvese que la velocidad final es la misma que la velocidad inicial.) Ejercicio ¿Cuál es la velocidad del birrete (a) 0,1 s antes de que alcance su punto más alto y (h) O, 1 s después de alcanzar su punto más alto? (e ) Calcular 60vlllr para este intervalo de tiempo de 0,2 s. (Respu~sfas (a) +0,981 mis, (b) -0.981 mis. (e) {(-0,981 mis - (+0,981 mls)Y(0.2 s) = - 9,81 mlSl.) Ejercicio Un coche acelera desde el reposo a 8 rnls2 • (a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 10 s1 (h) ¿Qu.! distancia ha recorrido después de 10 s1 (e) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo r =Oa I = 10 s1 ( R~spu~stas (a) 80 mis, (h) 400 m, (e) 40 mis.)
El ejempl o siguiente se refie re a la distancia de frenado de un coche. es decir. al espacio que recorre desde que comienza a fre nar hasta que se detiene.
EJEMPLO 2,10
29
I
Dlstancla de frenado de un vehículo
Una persona que conduce un vehfculo de noche por una autopista ve de pronlo a cierta distancia un coche parado y frena hasta detenene con una aceleracl6n de 5 rt1Is'- (una acelerad6n que reduce la velocidad suele lIamane desaceleracl6n). ¿Cu41 es la distancia de frenado del vehfculo si su velocidad Inicial es (a) 15 mis o (b) 30 mis?
15 10
5 O
•• • • •
O
I
•• ••
15
-10 - 15
3~s
Velocidad
••
10
-5
2
• • •
\' (l). mis
5 O
•
(al •
• • •
• I
('l Figura 2.11
2
,,,
I
30
Capítulo 2 El movlmlenlo en una dimensión
Planteam iento de l prob lema Si elegimos In dirccci6n dd lIlov irnicruo como po<;ilivn, In dis!Unda de frclmdo y la \docidnd inicial son po<;iti\'!l" pero la uce!enlción e~ negaliva. A <: f, la velocidad midal el' \'0 = 15 mI:" 111 \'d ncidad final es \' = O y In m:elemd6n e:. ti = -5 m/s 2. Qucremo<; dctenninar In di~t:Ul c ia recol'rida. d\, COIIIO no necesitamos conOCer cllicmpo (IIJC tardll el coche en detenerse. ut¡Iil..unos 111 l,.'CUíll'iÓn 2. 17 COIIIO la 1m\>< cOll\'cnielllc. (a) Hal'cmos \' = O cn la ccuación 2.17:
Dc~pejmllos
\" =
ilr:
I'd + 2a 6..\
por lo lanlo
0 2 - I'~ 20
"
8.l' =
( b ) A punir del apanado !lllll~rior vcmos que si \' = O. Al = -l'd/(2a). Así. A\' ~s proporcionul al cuadmdo dc la velocidad inidal. Haciendo uso de esw ()b~crvaci6n y del rcsu h'ldo del apanado (a). encontrar la dis·
landa de fn.:nnd o pum unu \'elocidlld inici al el doble de la del apur· tndo anterior. Observación La I'l·:.puestll (b) también puedc obtener~e sustituyendo directamente la velocidad inicial de 30 mIs en la cxpresi6n de d\' dcducida en e l apanado (a), Noventa metro!> el> una distancia co nsiderable. aproximadamente In longitud de un cumpo de fútbol. El incremento de \'0 en un fllctor 2 modifka In diSlUncia de fre nado en un factor 2 2 = 4 (ver fi gura 2, 12). La consecucncia práctica de loNa depcndencin cuadrática es que incluso incrementos modestos e n [a velocidad originlln aumentos importantes en In distancia de frenado.
•
90
8O 70 60
- 50
fl
- 'O
= -5m/s1
•
30
20 10
0
0
10
5
15
20
30
\'0' mIs
EJEMPLO 2. 11
I
Figura 2.12 Distancia de frenado en fun ci6n de la velocidad inicial. La curva muestra el caso del ejemplo 2,10. en que la lIcelemci6n es a = -5.0 mis:?; los puntos que se mucstnlll en la c urva son las !>oluciones de los apanados (a) y (b).
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Distancia de frenado
En el ejemplo 2. 10, (a) ¿euá nto tiempo larda el coche en d etenerse si su velocida d inidal es 30 mis? Ch) ¿Qué d ista ncia reco rre el coch e durante el último segundo ?
Pla ntea mie nto d e l pro ble m a (a) Excepto en los valores. este ejemplo coincide con el npanudo (a) del cjemplo 2.9. Utili7.lIr el mismo procedimicnlo que se hu mostmdo en el ejemplo 2. 10, (1) Como la velocidad disminuye en 5 mIs cada segundo. la velocidad que tendrá el coche 1 s anle<; de detenerse debe 'iCr de 5 mI", Determinar la velocidad medin durante el úl timo segundo y con ella calcular la diSl:mcin recorrida. Tope la columno de la derecho e Intente resolverlo usted mismo
Pasos ( a)
Respuestas Determinar elliempo total de rrenado,
(b) 1. Calcular la vclocidlld media durante e l último segundo. 2. Ca.lculur la distancia recorrida a panir de dx = ,.rnAt.
I
=
Ó ..
I -1:2,5m l
\'", a I2.5m/.. .\.t l
:= 1 ....11
•
, 2.3 Movimiento con I'lccleracl6 n comll'ln te
Observación Si el np:mudu (b) huh,era preguntado por In \cloddnd medlu durante lo-. lllt¡Il1()~ I:J '>t!gund\l\ (e n H'/ tlt: uumme d tl luU\o 'c!!ulldol. se hublcm podidu dl:lCrnlll1nr la ve klCidud ini· cml \', dunullt: I:'[C' mu,'r"u!!) lllMI1 U' l k lu C(: u IIl'ió n 2.11 6.\' = (' Ó./ . A \ cee.. 11th POdC1UU', ~'(Jrlllnr un;1 lIutlgen \':llio\;\ ,obre cl1U{l\'imlcntu dc un objeto .. upmucndo ~uc podcmo... apltenr !tI' tormulu:. pan, la a..:ch:r:.ll· l(~m Cll lI ' I IUlh.' nU!ltluc é,."IU. en rt;:uliduu, no lo .-..ca. Este es el ClIst) dd cJclllpl(l",gtlll~ntC .
EJEMPLO 2.12
I
El choque de prueba
Un co(:he (lile \'11 a 100 km/ h dHll'lI l' unl ,':, UIIIIIlIlrt'tI dl' hurTlliJlú n ríJlidn. ¡,Cuál el. s u IIcclun-
l'iún? Plan tea m iento d e l probl e ma En c>;\c l'jClllplo 110 ~.. correcto co n ~ idcntr el cnche COI1\O uni. pal1kuln. ~n que la~ di>;li nta .. pm'l c~ de l mi,mo ~ufrirúnlLcelel11donc~ di~ tin tu !> al urmgur:-e ..obre lu pared. t\ dcm:b. c~tn~ acclcNlc io n ~~ no ~OJl eonstant\!s. Si n emburgo {)Odl'II/(J,I" obtener unu rc ~ pu e'l lL upn¡\inmdn ~ up{lllicndo <¡U\! una p¡lrtkulu pU11luallocnlizlIdu cn el CcJ1lro del cQUhc pos\!e uuu acckml'ión con~I:l11le . I'ura I'\!~o l \'cr c~ t~ problc1ll11 n\!ccsitamo~ ml~s información: la dist:1I1cin dc detención \) el tiempo de detención del coche. Podemos c..,¡imar la distanciu de detención utllil:lnuo el ..emido cOlluin. [)e~pu é, del impacto. el eentro del coche ~e dcsplnlllru hucia ndclamc algo meno!>
l . U"llndo \.: -
\'ti + ::!lI!l.t.
obl\!ner la acelcr.\ción: por lo !flOto
,
,
=
(l
2. Convertir la velocidad exprc.<¡ada en kmlh en mis. En una hom hay 601 s = 3.6 k,,:
3. Completar el cálculo d\! la acclcración:
\.- - I'/) _ 0 2 _ (100 kmlh )2
2Ax
(100 km/h) x
"
2 (0.75 m)
(3.~ ~,)
0 2- ( IOO km/h )2 2(0.75 m)
- 27.8 mi, (27,8 mls)1 1.5 s
-51-\
mI~ " ..1-500 m/s l l
Observaci ó n Nótese que el módulo de esta aceleración c.<; superior a 50S " Esta c~ l i maci ó n de la accleración se basa en Itls suposic iones de que el dcsplazamiento del centro del coche \!s de 0,75 m y que lu aceleración es constante.
EJEMPLO 2.13
¡ INTÉNTELO USTED MISMO!
1 El movimiento de un electrón
Un electrón en un tuho de rayos catódicos acelera desde el reposo con unu acelernción de 5.33 x 10 1l 1ll/sl durante 0,15 IJS (1 #J.S = 10-' s). Después, el clectron se nllle'"c con "clocidud 13 cons tante durante IJ.2 1J.'i, Fi nulmente IIlcnn7. U el reposo con una aceleración de - 2,67 x 10 mtsl. ¿Qué dis tanciu totlll recorre cl electron?
•
Planteamiento del problema Las ecuaciones de aceleración constante no se pueden aplicar directamente a c"tc problema. ya que ItI acclcrn..:ión del eleCtrón \'ariu con el tiempo. Dividir el movi miento del electrón en tres intervalos. cada uno con una :lcclernción const:mte distinta y utilizar la po-.ición y vclocidud fi nnlcs de cada intervalo cellllO condiciones inicinles I)arn el inleTVlll0 ~iguiente. TOlllnr como origen la 1)O~ición de partid:l del electr6n y asignllr la dirccci6n p(hiti\'a 11 In dirección dd movimiento. Tape lo columna de lo derecho e Intente resolverlo usted
•
m ;1n10
Pasos
Respuestas tl.I MI ¡;m:
,. Determílmr el clesplaliuni\!nto y In vd ocidud fi nal en el primer inter· \'alo de 0. 15 ¡JS. 2. Ulili/ur esl:1 velocidad finul como \clocid3d con ~llIllIe para determinar el dc~p l a/ nllli e nlo m icnt r,,~ ~c mueve unifonnementC.
\.
111 ~111
\
'" S,1I0 x 10 1l1/~
1 31
32
I
C"pflulo 2 El movimie nto en una dimensión
3. Utilizar esta mislIlu velocidud como valor inicial y In ecuación 2.17 con v = O pum detenninar el despluznmielllo del tercer intervulo. en el cuul el electrón tennilln en reposo.
.\\,
4. Sumar los dcsplnzlllnientos obtenido!> en los pasos lo 2 Y 3 pan! culcular el reconido 101111.
_h
1,20CIII
=
\t ,
+ ,\ \
+.'l.,
h.lX¡ cm + 16 cm + 1.20 cm 4 ::!3.2l.·m
I
Observación En un up.mllO de myos X los electrones son acelerados desde un alambre caliente hacia un blanco mellnico. Al chocar CO nlTC éSle, se par.1Il bruscamente. Como consecuencia. el blanco emite myo!> X cumclcrlsticos dclmetul.
,
(Izquierda) Acelerador lineal de unos
tres kilómetros de longitud de la Universidad de Stanford (EE.UU,). Se utili7.3 para acelerar electrones y positrones en línea recta a velocidades próximas a las de la luz. (Du~ chal Sección transversal del ha7. electrones del acelerador. tal como se observa en un monitor de video,
EJEMPLO 2. 14
l anzamie nto de prismáti cos
¡ INTÉNTfW USTED MISMO !
Juan trtpa a un úrbol pa ra presenciar mejor al conferenciante de una ceremonia de graduación que se celebra al aire libre. Desgraciadamente ha olvidado sus prismáticos abajo. María lanza los prismáticos hacia Juan pero su fue• .18 es mayor que su pn.-eisión. Los prismáticos pasan 11 la alturll de 111 mllno extendida de Juan 0,69 s después del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo punto 1,68 s más tarde. ¿A qué altura se encuentra Juan? Pla n team iento del p ro bl e m a En este problema hay dos incógnitas: In altura /¡ de Juan y la velocidad inicial de los prismáticos. \'0' Sabemos que)' JI pum ' 1 0.69 S e y JI pam'2 0.69 s + 1.68 s = 2.37 s. Expresnndo h en fun ción delliempo I tendremos dos ecuaciones a partir de las cuales se pueden determinar las dos incógnitas.
=
=
=
=
Tape la columno de la derecha e intente resolverlo usted mismo Respuestas
Pasos 1. Utilii'..1ndo 8)' =
"o' + ~• a t2 .
igualar )' para los tiempos t I y tl leniendo en cuenta que)' = h Y a = - 8 en cada caso.
¡'"I
I :¡
J: '
,
•
2. Eliminar Vo de estas dos ecuaciones y de... pejar " en función de los tiempos 1I y ' '2' Es to puede hacerse despejando \'0 e n la primen. ccuación y sustituyendo el resultndo en la segundn ecuación.
por In tanto
h
X.O:!
11\
O bservación Te n e lll OS dOlo incógnitas h y \'0. pero disponemos de dos tiempos. lo cual nos permite escribir dos ccunciollc'I y re:mlver las dos incógnitas. DclemlÍnar la velocidad inicial de los prismáticos y la \'elocidad que. llevan cuando paSO" a la altum de Juan en su trdyccloria descendente. tRespUUl11 \'0 = 15.0 mis Y \'2 = - 8.24 mis.) Ejercicio
" =\,,1, !, ., , '
2.3 Movimiento con aceleración constante
I
33
Problemas con dos objetos A contin.lI:lci6n e~ponemos algunos problemas que incluyen dos objetos que se muevcn con acclcr.lcl6n constnlUe.
•
, EJEMPLO 2.15
I
A la caza de un coche con exceso de velocidad
x,
Un coche Uc\'a unu "elocldad de 2S mIs (_ 90 km/h) en una zUlla e.'icolar. Un coche de pollcfa que estÁ paru~o. arranca cuando el Inrraclor le adelant1t y acelera con una velocidad cons!finte de S mIs·. (a) ¿Cuánto tiempo tardn el coche de pollda en alcanUlr al "ehfculo Inrractor? (b ) ¿Qué \'elocidad lIe\'a el coche de pollda cuando le ulcanza'!
\'. 1
,la,
tI
,
Figura 2.13 Las dos curvas muestran la posición del coche infractor y del coche de policía. Tienen la misma posición en el instante inicial. 1 = 0, y dc nuevo cuando t = ,~. 1
•
xJI = l Uir
(a) 1. Funciones de posición del infractor y del coche polida: te
CI
X, :::
Planteamiento del problema Pum detenninar CUlIndo los dos coches se cncuelllrnn en la misma posición, c."'presamos las posiciones Xv del vehfcuJo infractor y xJI del coche de policfu en fun · ción del tiempo y despejamos 1 1)801 Xv = x P'
2. Hacer X v = x p y resolver para el tiempo t~, para
Vehfculo infractor • Vehículo de pollera
v,t e =
> O:
~apt; ~ v. = ~ap'o
-
-
, = 2v y = 2(25 mis) = r¡Q";l e a 5m1S2 ~
•
(b) 1. La velocidad del coche de policía viene en donde Vo = O:
e~presada
por \' =
VA
+ aro
Observación La velocidad fina l del coche de policía en (b) es exactamente el doble que la del coche infractor. Como los dos coches cubren la misma distancia en igual tiempo. ambos hicieron el recorrido con igual velocidad media. La velocidad media del infractor es, natura1menle de 25 mis. Como el policía parte del reposo y su velocidad media es de 25 mis. debe alcanzar una velocidad final de 50 mis. Ejercicio
¿Qué distancia han recorrido los coches cuando el policía alcanza al infraclOr'? (Respuesta 250 m.)
EJEMPLO 2.16
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
El coche de policía
¿Qué "elocidad lleva el coche de pollda del ejemplo 2.15 cuando se encuentra a 2S ro por detrás del "ehiculo infractor? Planteamiento del problema La velocidad viene expresada por \'JI = tiempo en el cual D = Xv - xp = 25 m.
a11'
en donde
tL
es el
x
Vehículo infractor • Vehículo de polkfa
Top e fa columna de lo derecha e Intente resolverlo usted mismo
Pasos 1. Dibujar una curva x·t que muestre las posiciones de los dos coches en el tiempo tt (figura 2.14). 2. Utilizar las ecuaciones para xp y Xv del ejemplo 2.15 y despejar ti cuando x~ _ x p :Z: 25 m. Hay dos soluciones, una que corresponde a pocos instan· tes después del inicio del movimienlo y otra que corresponde a poco antes de que el vehículo con exce.w de velocidad sea alcanzado.
Respu estas ,, t
=15,%J I51 ..
3. Utilizar \'p = IIp' para calcular In velocidad del coche de policía cuando I
= ' L'
Observación En la figura 2. 14 se observa que la distancia entre los dos coches al principio es cero, crece hasta un valor máximo y luego disminuye. La separación en cualquier momento es D = X v _ x = \'~( _ ~ap,l . Cuando la separación es máxima, dDldl = 0.10 cua1 QCUI'Te en el instante p , = 5 s. Para intervalos de tiempo iguale.~ antes y después de: t .. 5 s. las vperacioncs son Iu miJrDU,
F~ura
" 2,14
,
, ) '1
I
c;,p rtulo 2 El mo vimiento en UI\:1 dlmemlón
EJEMPLO 2.17
I
•
Un ascen sor en movi mi en t o
,I
1111 pe rsu tlu l'tI UII IISt'('II'lIr l e IIn 11lrn iUu tlue CIIl' del h·chu. Lu ultul'Il dcl n'iccnSor c.o¡ de 3 111 . ¿Cm\uto Iiclll po lnrdll el lurn illu t' lI dU..H.~lI r cont ru el sudo si cl lls{'cn"or IIsd cnd c con UIllI Ill'CIc rll C¡(1II l'tllls l mll C II ~ = -1.0 nús l '!
1/ . _
/' , • -1:
/
" -:-1-
Plantea mient o del p ro blema EAp rc~!l r 11I~ po~id ('U1 t', dcl t~lrnillo .", y del .. uclo \ . en función dd licmp(l, C u¡¡ndo d IOrnilln du )Cu COlHnt el suclu, "1= 1'., TOlllar curno qrigen la 1)()~ici 6n inicinl del suelo y dc..i~nnr COIIIO di rección po~ lti\'a 11\ dirección hnciuurriba,
1
.",
",
1. Dibujur d a wc n ~or y ellornillu CUI1\O"C rl\U C~ 11'lt en la figur
E,.,criblr la, fun ciones de In ptl,lción deluscen¡,or y dcllOrni llo:
y, - Yo, y, -
3. CUllndo r = ' 1' el tornillo llega ul
~ue l o.
En
~c
Y /JI
=
1'0,1 + VOl '
instante la, posiciones
+
S.
Usar ItI información obten ida pura simplifi car:
!tI ,t
= 1'01 por lo tamo I'o~
a, =
= O,
Jo,
= 11 = 3 m.
4.0 mfs2 al
=- g
por lo tUl1to 1 0 1 0 ¡1- 5g t¡ - 0 + in,ti
o
~(g + " s )/r
h
6. Despejar el tiempo:
I1
=
211
-
2(3 m ) 9.8 1 mls 2 + 4.0 mIs:!
=10.659, 1 Observación El liempo de cuída depende de In aceleración del ascensor, pero no de la velocidud. En el sistema de refcrenci:1del ascensor hay una "gravcdad decli"a" g' = g + a,. En el tusa (supuestumente hipotético) en que el ascen!>or eSlU vicnl en cuida libre, es decir (I~ = - g'. el tiempo de curda sena infin ito y el torn illo parecerfa. "i ngrávido" .
Cuundo un buen jugador de béisbol corre entre bases va a unu velocidad de 9.5 mIs. L:I dislancia elll rc las buses C!> de 26 In Yel lllnzador está u unos 18,5 m de la hase, Si un jugador está u UIIOS 2 m de la primera base y comien7..a u correr hacia la segunda base en el mismo instante en que el lan7.ador lanzu lu bolu, ¿cuál es la probubilidad de que el jugador llegue ¡¡ la ~cgu nd a ba~e antes que In bola?
EJEMPLO 2.18
I
I
1,.·
Figura 2.1S El eje dc coorden(lda~ cl>Iá fijo al edificio.
1
y, = y,
Yo~
h", 1 m
~(I, 1 2
~o n :
4, Cuando f = O. el suelo del a!>ccn~or y cllOrnillo tienen la misma velocidad, U~ur este hecho para simpli ficar el resultado del paso 3:
4 111/,1
Un ascensor en movimiento
¡INTtNTELO USTED MISMOI
Considerar el ascen.wr y el lomillo del ej emplo 2.17, Suponer que la velocldad de subid. del Ilscensor es de 16 mis cuando cllomillo se desprende dellecbo y empieza a caer. (a ) ¿~ dJs.. tanda recorre el ascensor mlenlrao; el tomillo cae? ¿Qué dlstanda ftCOITe d tomillo? (b)¿O·f l c... la velocidad del lomlllu y del 8,o;censor en el momento del impacto de aqu4!1 en el suelo? (e) ¿CuAl es la \'eb.i dad relativa del lomillo con respecto almelo del p.........,sor? •
2.4 •
p.'anleamle nlo d el p,? blema EltiellllXJ dc vuelu del ltlmillo ~e hu Obtenido en la soludón del eJcmplo 2. 17. U~lIre ..te lu.:l1Il)(I PUl1Il'csul"cr lo~ apmtudn, (ti ) y (b). Por lo llUC \C rclicn: ni apartado Ce), lu vdundnd del Illnullu 1~~ lx'Clu dcl cdifidn c<¡ igual a lu SUIlIll de la velocidad del tumillo con rc.'lx:cto (11n'\(.·c n~or !\lIt.. In ... clocidud dcla"CClhur re<¡peclo ni ediliciu. •
Tope la columna de la deret:;11O e ''''ente relolvrrlo usted m lllllO
Pasos
Respues tas
(a) 1. U~n' In ccunr.:iÓn 1.1 6 pam cnlculur lu di~t :mciu que ..e mueve el suelo del a~cen ..or d\lrante el liempo 11 '
2. El tornillo :-c llc<¡prumlc airo... 1110001ro:- del sucio. ( b ) Usar In e;':l1n;,:i6111.12 panl CII CtJl\l rlL\' In "clllch.lnd del i ll1])1IclO del tor-
lIillo con el .. m:IQ del
t' '" t'CI
a:-ccn ~or,
1', • \'
(e)
U~.'Ir
In ecuación 2.7:1 1)<101 detcnnillllr lu velocidad relativa del tomillo rc~pt.'CIO del aSccnsor.
)'
'"
"
+ (1/. pur In 1:1111(1
i 9 ..'il nlf.. 1 L'.o+rl, 11 9 IK,6m/~ 1 1"
'" l'
foIll
,+
l'
IX" lo lunto 1',
=
1'.. - l'
= 9.5311\/\
=19.10,,", 1 Observación El lOmillo imp:\ct:\ con e l suelo del ascensor 8.4 m por enci mu de su posición inidal. Con respecto al edificio. en el momento del contacto, el lomillo todavía está subiendo. Nótese que en el momento del impacto la velocidad del tomillo relati va al edificio es positiva.
2 .4
Integración
Para delenn inar la veloc idad a partir de una determinada aceleración. observemos que la ve locidad es la fun ción v(r) cuya derivada es la aceleración a(t):
dll(r) = (f(l) di Si la ace leración es constante. la veloc idad es aque lla fu nción del tiempo que cuando se deriva es igual a esta constante. Por ejemplo l'
=
a = constante
al .
Dc un modo m{¡s gencraL podemos añ~l dir a la func ión ar cualqu ier constante sin que se modi flque la derivad:. respecto al tie mpo. Llamando e a esta nueva constante, resulta
v = ar + e C u.mdo 1 = 0, l' = c. Así pues, (' es la velocidad inicial 1'0' Análog:lI11cnle. la funció n posición x{l) es aquella función cuya derivada es la velocidad:
d..: - = di
\1
=
1'0
+al
Cada uno dc estos términos puede. tratarse separadamente. La fun ció n cuya derivada es una constante \'0 es 1'01 m{¡s cualquier constante. La función cuya derivada es al es ~(l12 más cualqui er constantc. Ll amando Xn a la suma combinada de todas estas constantes arbitrarias resu lta
x = .to + "01 + k (l! 2 •
Cuando r = O. .t = ru. Así pues, .l'o es la posició n inicial.
IK,tl mi"
Int~rad6n
I
35
36
I
, C.,prt ulo 2 El m o.... lm len t o en unll dimensión
\'1/)
\'H } :: \'0 '" COIISIIIIllC
I
"0
,.
,, • Aren sombrend:l
,
•
.. \'0
6,/ '"
At
6.x =
Figura 2.16 El desplnzamiento 6.1' durante el in· tervalo de tiempo t!J es igual al área bajo la curva de v en fu nción de t. Pam l,t) =1'0 =constante. el desplazamiento es igual al áreAdel reclángulo somo breudo.
\'(1)
VI
Siempre que se obtiene una función a pani r de su derivllda . debe anndirse una constante llrbitmri .. en la función general. Como para obtener x(t) a panir de la aceleración debemos inlegrar dos veces. aparecen dos CQnSlllnles. Normalmente estas constantes se determinan a panir de la velocidad y la pos ición iniciales en un instante dctcrmimtdo. Generalmente se elige el inslante en que r = O. Es por esto que estas constantes reciben el nombre de condicio. nes illicilllcs. Un problema comú n llamado problema del valor inicial toma la forma: ··dudo a(r) y los valores iniciales de x y de v dctcnn inar x(t)" . Este problema es particular_ mente importante en física porque la lIcelcraci6n de una partícul a está determinada por las fuerLus que actúan sobre ella. Así pues, si conocemos las fuerzas que actúan sobre una panículu y su posición y velocidad en un instante determinado, podemos hallar unívocamente su posición en cualquier otro instante. Una funci ón F(l) cuya derivada (respecto a t) es igual a la funciónft) se denomina anUo derivada de j{t). El problema de la antiderivada está relacionado con el de la obtención del área bujo una curva. Consideremos el caso del movim iento con velocidad constante \'0. El cambio de posición lU du rante un intervulo 6.t es Vo
6.t
Ésta es e l área baj o la curva de v en función de t (figura 2. 16). Si Vo es negativa. tanto el des. plazamiento como el área bajo la curva son negativos. Normalmente pensamos en el área como una magnitud que no puede ser negativa, pero en este contexto no es así. En este caso el " área bajo la curva" (el área entre la curva y el eje temporal) es una magnitud negativa . La interpretac ión geométrica del desplazamiento como el área bajo la curva de v en IUI\ció n de ( es válida no s6lo para la velocidad constante, sino también en general. como ~ ilustra en la fig ura 2. 17. En este caso , el área bajo la curva puede aproxi marse divi diendl intervalo de tiempo en cierto número de pequeños intervalos 6.t " tJ.r 2• etc .. y trazando serie de áreas rectangulares. El área del rectángulo correspondiente a] intervalo de tiempo es V;6.I" el cual es aproximadamente igua] a] desplazamiento 6.x¡ durante el intervalo 6.1, suma de las áreas de los rectángulos es. por lo tanto, la s uma de los desplazamientos rea: dos durante los intervalos de tiempo correspondientes y es aproximadamente igual al de zamiento total desde el instante t, al (2' Matemáticamente, escribiremos esto en la forro.
.......... .... ... .
en donde la letra L (sigma mayúscul a) representa una ··suma". Podemos hacer la aproxH"' ción tan exacta como queramos escogiendo sufi cientes rectángulos bajo la curva, cada ur de los cuales corresponde a un valor pequeño de tJ.r. En el límite correspondiente a interval, de tiempo cada vez más pequeños, esta suma es igual al área comprendida bajo la curva. qut' equivale. por 10 tanto, al des plazamiento. Este límite se denomina integral y se escribe del modo siguiente .
",
,,
"
Figura 2.17 Gráfico de una curva general de \.(t) en fu nción de r. El desplazamiento lotal desde " hllSla ': es el área bajo la curva en este intervalo. que puede oblenerse aproximadnmeme sumando las áreas de los rectángulos.
.1.x = x(t.,)-x(t -
l)=
lim (~ V¡ AI~ O ~ ¡
Mi) = (1 : \' elr
(2, 18)
J II
Es útil imaginar que el signo integral 1es una S alargada que indica una suma. Los límites 11 y t2 indican los valores inicial y final de la variable t. El desplazamiento es, por 10 tanlO. el área bajo la curva de \' en fu nción de t. La figura 2. 18 demuestra que la velocidad media tiene unu interpretación geométrica simple en función del área bajo la curva. Para ilustrar que el desplazamiento iguala el área bajo una curva v-l. consideremos lo que ocurre cuando se lanz..1 una pelota de golf directamente hacia arribu. La pelota sube aproximadamente un metro, invien e s u sentido de movimiento, y cae de nuevo acelerando hasta que la volvemos a coger con la mano. Si se supone que la resistencia del aire es despreciable. la velocidad de la pelota viene dada por l ' = Vo + al (ecuación 2. I 2), donde la dirección hacia arriba se considera positiva y a = -g. La fi gura 2. 19 representa esta velocidad durante el tie mpo de vuelo de la pelota. Inicialmente la velocidad de la pelota es positiva. a medio camino vale cero, y justo antes de cogerla vale -1'0- Durante !lou ascenso, el área bajo la cUf'\'1 es positiva, mientras que durante el descenso es negativa. AsC. el área 10la! bajo la cun"
2.4 Integración
durante el vuclo es cero. Dndo que la pelota se lan7.:1 desde el mismo sit io donde fi nalmente es rccogid:l. el cambio de posición es cero. Por consiguiente. el desplazamiellto y el área bajo la curva 1'-' son iguales porque ambos son cero. El proceso de calcular unu integral se ¡huna integración. En la ecuación 2. 18. l ' es la derivada de x y x es lu :uuiderivada de 1'. Este es un ejemplo deltcoremn fu ndamental de cálculo. cuya fon nulnci6n durante el sig lo XVII .. celero el desarrollo matemático de la física:
,.
x=Il'dt La operación de determinar x a part ir de la derivada v (es decir, determinar la antiderivada) \lo (una constante) entonces, se ll ama también intcgración. Por ejemplo. si
,
, ,
,
,, ,,
,, ,, ,, ,,
,,
T EOREMA fUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
escribe sin lími tes sobre el signo integral:
,
,,
37
,,
-----.,,----- ---------.,, -------
(2, \9)
La antiderivnda de una fu nción se denomina también integral indefin ida de la func ión y se
,, ,, ,
I
"
\.m
,
Figura 2.18 El desplazamiento ~:c durante el intervalo de tiempo llJ = I! - 11 es iguol al área de la región sombreado. Segun la definición de velocidad medio 6.r = \p.. tu. I1sta es justamente el área del rectángulo de a1tUrtll'. y base 1lJ. Asf pues. el área rectangular 1'. tu Y el área bajo la curva \' en funci ón de I deben ser iguales.
,,=
,\' =
J\lo dI
= 1'01+XO
donde Xo es la constante arbitraria de integración. A partir de la ecuac ión 2 .6 que expresa la regla general para la derivada de una potencia, podemos determinar una regla general para la integración de una potencia de (. El resullado es
f
(n
+1
1" dI = '-----;-\ + e,
n+
n:;t-l
(2.20)
" Área positiva O -'---------'''''--"'''Áre~.---,7,
e
en do nde es una constante arbilraria. Puede comprobarse fác ilmente derivando el segundo miembro mediante la regla de la ecuac ión 2.6. (para el caso especial n = - l. JI - L dI = In t + e, en donde In t es el logaritmo nalural de /. ) El cambio de velocidad durante cierto intervalo de tiempo puede interpretarse análogamente como e l área bajo la curva a en función de I en dicho intervalo. Así se escribe ó. 1'
(~ Áf --t o L... ,
= li m
(/ ,
ilf¡) = J'I a dI r 'l
(2.2\)
Así pueden deduc irse las ecuaciones de la acelerac ión constante calculando las integrales indefinidas de la aceleración y la velocidad. Si a es constante, tenemos
v =
J
(l
J
dI = n df = Vo + al
(2.22)
en donde hemos escrilo en pri mer lugar la constante de integrac ión 110' Integrando de nuevo y llamando Xo a la constante de in tegración resulla (2.23) Es instructivo ded ucir las ecuaciones 2.22 y 2.23 usando integrales definidas en vez de integrales indefinidas. Si la aceleración es constante. la ecuación 2.2 1. con ( t = 0, nos da
donde el tiempo
(2
es arbitrario. Como es arbitrario. se puede poner 12 = I Y se obtiene \1
= \'o+a l
-\'0
Figura 2.19 Curva \' en función de I pal"'" una pe10m de golf que se lanza directamente hacia arriba. El área bajo lo cUI'\'a es positiva en la pane que corresponde al ascenso. y negati\!a en la del descenso. El área bajo la cUI'\'a correspondiente a lodo el vuelo
es cero.
I
38
Capítulo 2 El movimien to en una dimensió n
d? nde v = \/(1) Y1'0 = I~O). Pam obtener la ecuación 2.23. se sustituye \ '0 + m por " en la ecua. cl6n 2. 18 con 1 I = O. Esto nos Ilevu a
+ (j{
l ' '" \ 'tl
Esta integra l e:- igual al área bajo la curva viendo pura x nos da
V_I
(figu ra 2.20) . Evaluando la inlcgm l y rc....ol.
•
Are:,
°0, - - - - - --""--,, Figura 2 .20
El área bajo 1/1 c urva 11-/ es e! dcspla· ltl1lliC IllO l~X = x(12) - x (O).
donde
-
1..
es arbitntrio. Pon iendo 1., = 1 obtenemos
-
'
donde x = X(I) Y Xo = x(O ). Una vez deducidas las ecuaciones cinemáticlls de aceleración constante sin ninguna referencia a la velocidad media, podemos demostrar que para el caso especial de aceleración constante, la velocidad media es el valor med io entre las velocidades inicial)' final (ecuación 2. 14). Sea Vo la velocidad in icial en 1 = OY v la velocidad fin al en el tiempo l. De neuerdocon la defi nición de velocidad media, el despla7.amiento es
", m
12
Igualmente, de la ecuación 2.23 resulta
,
+!
Ot 2
Podemos el iminar la aceleración según la ecuación 2. 12 uti lizando o = (1' - I'O)/t. Es decir
¡' = \·o+lIr ...........
l'
l',
1'", l' l l ',
A,
7"
Comparando este resultudo conllx =
(ecuación 2.24) resulta
--<
.,
\'2
I'm
l',
'J,o
I'n/
,l
"
,
Figura 2.21
EJEMPLO 2.19
I
que coincide con la ecuación 2.14. Puede visualizarse la velocidad media mediante el uso de In curva 1'- 1 (figura 2.21). El desplazamiento llx corresponde al área bajo la c urva. Sin embargo, la velocidad medi:1 e!> d arca bajo la c urva \1 = I'm por el mismo intervalo de liempo. Así. la altura de la cur\'a l' = I'¡n es tal que las áreas bajo las dos curvas coinciden. Esto implica que las área!> de los dos triángulos gri!>es se1l/1 iguales y que 1'11\ = ~ (VI + I·~).
Un transbordador
Un t rans bordador lleva una velocldud constante "o = 8 mis duranle 60 So A continuación para sus motores y se !Icercll ü la costa. Su velocidad es entonces una (unción del tiempo dada por la c~ p rcs i ó n l' = I'tlfll !, siendo " = fiO s. ¿eu' l es d despluamlenlo dellransbordador en el lolervllloO < I plulllmicmo dumntc el intervalo ' l < I < oo.
2.4 Inlegraclón
\',
I
39
rn/~
, 6
"
2
"O
,, , , A•• ,, ,,, ,, ,, ,,: áx1 60
120
180
1, LII velocidlld del tnlllsbordador t!.~ COlIst:lllte dura nte los primeros 60 segundos: asf. el dcsplal.llmicllto es simplemcnte el producto de In \'elocidlld por d tiempo trllllscurrido:
2, El desplnzamiento restante viene dndo por la integral de la veloeid3d de~de t ='1 hasta 1 = 00, Utilizmnos la ecuación 2. 18 para calcular la intcgnll :
'oI{I
300
"
.
Figura 2.22
6 .\' 1 = "061 = "011
(8 mls)(60 s) = 480 m
t: ",'1 -:;= \'o/T J- r = I" ' T'-'1,-. = -\'olr(.!. _1.) = 1'0'1 = (8 mls)(60s) = 480 m
lHZ =
J-/,
l'
dI =
"/.
dI
/,
2
di
- 1
-"
3. El desplll:t.amiento total es 13 suma de los dos desplazamientos anleno-re!>:
Óx =
A.\'I
+Axz = 480m+480m =1960m l
Observación El área bajo la curva de ven fu nción del tiempo es fin ita. Así, aunque el transbordador nunca deja de moverse. viuja sólo una distancia fi nita. Una representación mejor de la velocidad de un buque que bordea la costa con los motores (XlrJdos seria una función exponencialmente decreciente \' = \'oC'- b(I - 111, donde b es una constante positiva. En este C:L~O el buque se acercaría a la costa también una distancia tiniu. en el intervalo 60 s:$ t:$ 00,
ResulJJen El desplazumiento. la velocidad y lu acelc.raciÓn son magnitude.<¡ cinemáticas tll'finidas TEM A
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
1, Desp lazamie nto
Interpretación gráfi ca
imponantC'~.
c..\'
(2.1)
=X:-.\'I
El desplrlZ:lmiento es el áren bujo la cur... u \' en función de /,
2. Velocid ad
.
",
.
c.x
c.,r \' =-
Velocidad mcdi:1 Velocidad in~tant:lnca
1'(1)
(2.2) dx
, = ,1,~!I 1m -Al = d,
(2.5)
Illtcrprewción gr:1.lic
l..fi \'elocido.d instuntánca loe reprc$cnlu gnftic81llC'ntC por la ]X'ndicnlc de la curva _1' en función de "
Velocidud relativa
Si un n panfculu se muc\e con velocidad \'"" re!ipet:IO a un sistema de ~nadl\ A, el cual a,su ~l se mue\"e con vclocidad \'1.11 respecto ¡¡ Otro s ¡~t e ma de coordenada.~ B, la veloculad de la partkula relallva a B es
(2.7)
3, M ódulo de la velocidad
Módulu de la ve locidlld media
M 6d uJo de I1
'd . d
ve IOCI.......
medo
.1 -
distancia Iotal • tiempo ""11
I
;
(I.J)
I
40
Cnprtulo 2 El movimiento en una dimensión
4. Aceleración ACl!lcrnción med ia
a", =
O.'
(2.8)
O,
Aceleración instantánea
(2.10)
Interprcttlción grMica
La acelcrnción inStantánea se re presenta gnUicllmente por la pendiente de la curva
Acelernción debida n 111 grn\'cdad
La aceler.lciÓn de un objeto próximo a la superficie de la Tierra en carda libre bajo la inn uenciu de la 8ra\'e. dad está dirigida hncia abujo y su módulo es H = 9,8 1 mlsl
5. El desplazamiento y la velocidad como integrales
=:
l'
en fu nción del tiempo /.
32,2 pies/sI
El desplazumienlO se representa gn'ificarnente por el área bajo la curva l ' en fun ción del tiempo. Esta área es In integrnl de l ' extendidu ul tiempo, desde cieno Yalor inicial lt a cieno valor final '1 y se expre.~a del modo siguiente: LU
=:
lim 4< ... 0
L1 VI A l,
=
f,'"
l'
dI
(2.18)
Igualmente. el cumbio de velocidnd du ra nte cieno tiempo se represenUl gn'ificamente por el área bajo la curva t i en función de f : Al' = lim
.11_0
Velocidad
l'
Desplazamiento en función de
a¡ AI¡ = 1"
J"
t.I dI
= l'o+t.Il
Ax = X - Xo =
1'",
1'.. '
(2.21)
(2.12)
= ~(I'O +I')1
6x = X - Xo = vo l+ ~ al l
Desplazamiento en función de t.I l'
L,
(2. " (2 (2
en fu nci6n de a y ó,:c
Problen.as
• •• ••• •
SSM
I
i
./
Concepto simple. un solo paso, relativamente fáci l. Nivel intermedio. puede exigir síntesis de conceptos . Desafiante . para alumnos avanzados . La solución se encuentra en e l Student SOllltiolls Manual . Problemas que pueden encontrarse en el servicio iSQLVE de tareas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son proble mas de control. que impulsan a los estudiaOles a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza.
En algunos problemas se dan más dOlOS de los realmente necesarios: en olros pocos. deben exlraerse algunos dOlOS a partir de conocimientos generales. fuentes externas o estimociones lógicas.
Usar en todos Jos problemas g = 9,81 mlsl para la aceleración de la gravedad y despreciar, a menos que se indique lo contrario, el rozamiento y la resistencia del aire.
Problemas conceptuales 1 • ¡,Cuál es la velocidad mcdlfl del recorrido de "ida y vuella" de un objeto que se lan7,u venicahnente hncia arriba y que vuelve 11 caer en el mismo sitio desde donde hu sido lanzado?
11Inzado ven icalmcnte hacia arriba vuel ve al alwm mlÚima es H metrOS y su altura en el momento de ~ltarlo e.'1 despreciable. Su velocidad media durante e.~05 T ~Iu~ e.'1 (a ) "'11". (b) O. (l") u n To(ti) 2Hff.
2 • SSM Un objeto ~uelo T ..egundos mil, tarde. Su
•
3 • I Para evitar una cafda demasiado rápida durante el aterrizaje. un avión debe mBntener unu mínima velocidad relativu de vuelo (\'(:10cidad del Bvi6n respecto al aire). Sin embargo, cuanto menor sea la yelocidad , con respecto del suelo durante el aterrizaje. más se8ura es la manioln. ¿QUI! opción es más segura para un avión. aterrizar a favor del vienlo o con el viet\1O en cOnlra'!
4
•
~ un ejemplo de un movimiento en
un. dimensión donde (al 11
\-elocidad sea positiva y l. acelenlci6n sea nol.uVl y. (b, donde la \'CIot.:H'd sea nt8ativa y la aceler-ciÓD sea posiúva.
Problemas 1 41 5 • SS~ . Póng~se en el centro d~ uno habitación espacioso. Consi~ere . que el mOY.lIl1lento hacllI su derecha es positivo y el movimiento hacia su I7.qul~nla, ~egll tl vo .. Muévase por la habitación en Hnen recta de modo que su
(b¡
velOCidad sen negativa pero su aceleroción sea positiva. (a ) . Su desplazamiento inicial .e.~ positivo o negativo'! Explfquelo. (b) Describa cóm~ vllffa su velocidlld a medida que se mueve. (e) Confeccione un esquema del movimiento en un gnlfico \'·1.
("
(e)
(e'
Verolldero O fal so: explfquelo: el desplllUlmiento siempl't! es igual 111 prodUCIO de In ."elocidad me
•
7
• Verdudero o falso: expHquelo: (a) paro que In velocidad sea constante. la IlcelerociÓn debe Jercero. (b) paro que el módulo de la yelocidlld sea conSlO.nte. la acelerociÓn l/ehe ser cero.
8
~!lM
••
Dibuje cuidndosomente los gráfi cos que representan la posiciÓn. la vclocidlld y In uccleroci6n en un periodo de tiempo O ::; I ::; 25 para un IlUIOIIIÓ\'il que (a) dur.¡nte los primeros 5 s se aleja de.'Ipacio y regulannelllc (a velocidad
(h) (e) (d)
(e)
TIempo. 5
constante) del origen: se aleja n mayor velocidlld y regularmente (a velocidad constante) durante los 5 s siguientes: se queda quieto durante los 5 s que siguen: se mueve de nuevo hacia el origen. despacio y regulannenle (a velocidad constante). durante los 5 s siguientes; se queda quieto durante los últimos 5 s.
9 • Verdadero o falso: explfquelo: la velocidad media siempre se cal· cula como la semisuma de las velocidades final e inicial.
Figura 2.24
14 • ¿TIene sentido la siguiente afinnaciÓn? "La velocidnd medin del coche a las 9 de la mai'iann fue 60 kmlh". ¿Es posible que la velocidad media de un objeto sea cero durante algún intervalo aunque su velocidad media en la primera milad del intervalo no sea cero? Razonar la respuesta. 15
•
SSM
16 • El diagrama de la figura 2.25 representa la trayectoria de un objeto que se mueve en línea recta a 10 largo del eje x. Suponiendo que el objeto se encuentra en el origen (x" = O) en t" = 0, ¿qué punto de la figura representa el instante de tiempo en que el objeto está más lejos de su puntOde panida? (a) A (b) B (e)
e (d) o (e) E
° •
Dos hennanos gemelos idénticos lanzan simultáneamente dos 1 piedras al agua desde un puente horizontal. Una piedra llega al agua antes que la Otra. ¿Puede darse t.'lta situación? 11 •• SSM El Dr. Josiah S. Carberry está en 10 alto de la torre Sears en Chicago. Con el objetivo de emular a Galileo e ignorando la seguridad de los peatones que se mueven en la zona cercana a la base del edificio, suelta una bola desde lo más alto del edificio. Un segundo más tarde suelta una segunda bola. Mientras los bolas están en el aire. su separación (a) ¿aumenta con el tiempo, (b) disminuye, o (e) se mantiene constame? Ignórense los efectos de la resistencia del aire. 12 •• ¿Cuál de las curvas posiciólHiempo de la figura 2.23 describe mejor el movimiento de un objeto sometido a una aceleración constante y posiliva?
B
+ A Posición
E
J,2::~c
'-
Figura 2.25
•
TIempo
o
Problema 16
• 17 • I Si la velocidad instantánea no se modifica, ¿variarán las velocidades medias en diferentes intel"\'alos?
18 • Si v.. = O para cierto intel"\'alo de tiempo 61. ¿debe ser cero In velocidad inSluntánea en algún punto de este inten'alo'! Razonar la rel>puesta mediante un esquema que presente una cun'a de .l en función de t con un tlf CE O en algún inlel"\'alo 61. 19 •• Un objeto se mueve a 10 largo del eje x como indica la figura 2.26. ¿En qut punto o puntos el módulo de la q:locidad pasa por un m(nimo? (a) A y E. (b) B. O Y E. (e) Sólo C. (d) Sólo E. (l') Ninguna de esltlS ~puestas es correcta.
(b)
(,¡
Problema 13
(e)
E
B
(e)
E
(d)
Posición
Tiempo
Figura 2 .26 TIempo. s Figura 2. 2 3
Problema 12
13 • SSM . Cuál de las curvAS wJlocidod·,itmpo de la figura 2.24 dC!lCribe mejor el mov~mienlo de un objeto sometido a una aceleración constante y positiva?
o Problema 19
En cada uno de los cuatro grifiro!oo ck ( en I 20 •• SSM funciÓn de' de la figura 2.27 indicar (o) si la velocidad en el in§cante 'l es mayor. menor o Igual q\te la "clocldad en el in,tante ti y (h) si el módulo de la velocidad en elliempo r~ es mayor, menor o Igual que en el tiempo 'l '
42
I
Capfl ul02 Ellllovhnlenlo en una dimensión
,
,
,,
,
"
•
"
,,
,
•
Si un objclo .'OC muc\c con acelernci6n conMBnte
,
"
•
SSM
32 •• En un grMico el eje verticnl represenla In po,ición y el eje hori/Onlal. el tiempo, En e~ te gráfico unft línea I\."CI:I de pendiente negativa repre. senla (a ) una accleroci6n con<;tan te po~ iti va: eh) una aeelernci6n constante negati va; (e) una velocidad nula: (d) una vclocidad coru;tante f/O'ii tiva: {tI una vclocidud constante negativa. •• En un grnfi co. el eje vertical representa la po~ic i6n y el eje hori. zontal. el tiempo. En este gráfi co una parábola que se abre hacia arriba repK. 33
(d)
Fig ura 2.27
•
Si 1:1 \'elocitlad én un Inslante deh!nninndo c" cero. In ncelcmci6n en dicho inlolunte l:unbién dche 'iCr cero. (e) U! eClHlei6n al' '' l'.. Ó l es v:11id¡I paro todo movimiento en una dimen~i6n. 31
A-
,,
(e)
21
,.
,
, •
Verdadero o rnbo:
<,))
(IJ)
(ti)
••
•
(11) Lit ecuación 6 ,1' .. 1'01 + ~fl/J e' válidu pnro lodo movimiento de panfeu. l a~ en unH tlil11en"iÓn. •
•• •• •
"
30
locnla (a) una aceleroci6n positiva: (h) una aceleración negativa: (e) que no Iu~' aceleraci6n: (d) unn nccleroci6n JX">iliva seguida de olra negntivn: (t') una ~. leroci6n negativa scguidn de otro positi va.
Problcmu 20
Vcrdndcro o fa lso:
(a ) Si 1:1 acdcroei6n cs cero, la p:mícula no puede estar moviéndose.
(b) Si la acelemeión es cero, la curVlI.I' en funci ón dI! I es una Hnea recta.
22 • ¿Es l>aSible que un objeto tenga simultáneamente aceler.lción no nula y "e1ocidad cero?
34 •• En un gráfico. el eje vertical reprc.'>Cnl1lla velocidad y el eje horil.ontal. el tiempo. Una acelernción constante nula se repre.\t'nt U por (al una lfnea reCia de pendiente posi ti\'a: (b) uno línea recta de pendiente negati\¡¡: (e) una Hnea recta de pendiente cero: (d) cunlquiero de las (tI ). lb) o (e): Ir guno de las anteriores.
•
23 • I Se lan7.3 una pelota hacia arriba venicahncnte. ¿Cuál es su \'c!ocidlld en el punto más alto de .~u movimiento? ¿Cuál es 1,1 ucc!eraeión en ese puntO'! 24 • Calcular el módulo de la velocidud media en funci6n de In velocidad inicial Vo del movimiento de ida y vuelta de un objeto que. desde el suelo. se lanZó' hacia arri!>.1. alcanza una altum H y cae en el mismo sitio de donde había salido T segundos más tarde.
25 • Una pclot:l.~e lanza hacia amb... Mientras está en el aire. su acelemción es (a) decreciente. (b) constante. (e) cero. «(1) creciente.
35 •• En un gráfico. el eje vertical representa la \'eIOCidad y el ejt 7.onl:l1. el tiempo. U! aceleraci6n constante viene representtld:\ por {ti} un rcctrt de pendiente posi ti va: (b) una Unea recta de pendiente negntiHl: It Unea I'C{;ta de pendiente cero: (á) cualquiero de las (a ). (b) O (e); (t") ningll IIIS anteriores. 36 •• De los grálicos l ' en función de / representados cn la ligur ¿cuál describe mejor cl movimiento de una prtnícula con velocidad poaceleración negAlivn"
,.
,.
+r--- + + , F==,
26 • En el instante r = O. un objeto A se deja caer desde el tejado de una casa. En el mismo instante. Otro objeto B se deja caer desde una ventano a 10m por deb¡¡jo del tejado. Durnnte su descenso al suelo la distancia entre los dos objetos (ti) es proporcional ¡¡ 1, (b) es proporcional a F, (e) decrece. (ti) pcmmneee igual a 10 m constantemente. 27 •• SSM Un au tomóvil Porschc acc1ero unironncmente de 80.5 km/h en el instante / = O hast u 113 kmlb en 1= 9 s. ¿Qué gráfico de la figuro 2.28 repfCSC nta mejor el movimiento del coche?
,.
,.
(a)
Figura 2.28
(h)
,.
,.
+
+
r---=,
, (b)
(a)
,.
, (e)
,.
-
, (d)
, (c)
, -
(e) (d) Figura 2.29 Problema 36 (r)
Problema 27
28 •• SSM Un objeto cne. partiendo del reposo. y recorre una dis· tancin D en un tiempo detenninado. Si el tiempo de lBcaída se dobla, la di~tan cia recorrida "Cm: fu) 4D. (/) 20. (e) D. (tI) Dn. (r ) 014, 29 •• Una pl!lOIa se lallí'a hacia arriba con una vc:1oc idnd inic ial "/J' A medio caminó del punto má¡¡ allO de su recorrido In velocidad el> (el ) 0.25\'0(l1) 0.5\'00 (e) 0,70 71'0' (tI) \'0' (to) a I)anir de la inronnnción disponible no se pUede determinar.
.t
37 •• i De lo~ gráfi cos l' en runciÓn de I representados en la fig unl 2.29. ¿cuál de.<:eribe mejor el mO\'imiento de una partícula C'(lfl \ elocidad negat i\'u y acelernción negativa?
. . Un gráfico del movimiento de un objeco ~ re~ntl con la \ e~ d dad l>Obre el eje ven kal y el tiempo sobre el eje horizontal, El ¡r6fico e!t ODA Ifnca rt('la. ¿Cuál de e<;Ia.~ magnitudes punlr dclermiRlllS(' a partir de tieo'! (CI) El
este'"
quicr intervaln de tiempo representado. (,)
lbd.·
las anteriores.
Problemas L:I 11gum 2.30 I'l!pre~entu 11I I)()~ición de un coche o:n función do.:lticmpo. ¿En eu:tl do.: los tiempos o.:ntTe 1(1 y 11 la velocidad o:~ (fI) neg:Iti\'n. (b) positivlI, (1') cero ¿En cuál de los ticmpos la lIcderución o:s ((/) uegmiv
••
55 M
tro:I In wlocidnd de 60 km/h'! (b) ¿Si comlón cn el Cllr'>Q de todl! ~u vida?
,, ,, ,, ,, ,, ,,
,, ,,
,,
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"
Figura 2.30
"
" " "
,
Problema 39
40 •• Rcpresentur las curvas \' en función de t para cada una de la ... .:.iguicntes condicion~: (a) La aceleroción es cero)' con... tanll:, pero lu velocidaJ no es nula. (h) La aco:leruci6n es conStante. pero no cero. (e) La \'elocldad y la aceleración son ambas pos it iva~. (d) La velocidad y la acelemción son ambas negativas. (e) La \'Clocid¡\d es positiva)' la aceleraci6n n~gati~'a. (j) La velocidad es ncgaliva y la acdo:ración positiva. (g) La vclo(:idad es momentáneamente nula. pero la acclerJción no lo o.: s. 41 •• En la figum 2.31 se represenlan nuevc gráficos de posición. vclocidad y aceleración pUt'..l objetos en mo\'imiento lineal. Indicar los gráficos que cumpkn las siguientes condiciones: (a) L1 velocidad es constante. (h) La velocidnd invierte su dirección. Ce) La aceleración es constilnte. (d) Lil acdcmción no es conSlllnte. (t') ¡,Qué gráficos de posición. velocid:ld y acelerución son mutllumenlC cohercnl es~ x
x
,
,
, (el
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(a)
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(,1,')
Figura 2 .31
cuántos.
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SSM
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IBtido~
reali/.unl
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44 •• Cuando se re~ucl\'en problema.~ relacionados con la carda libre en la mm6~fera de In Tierra. es importante !\.'(;ordar que siempre se da In rer.iMcnciu del aire. Por lo tanto, r.i para simplificar. supon..:mo!> que los objeto~ cuen con acclemción constante, podemos obtener resultados erróneos en varios órdenl!S de magnitud. (,Qué criterio podemos aplicar pam suponer que un objeto c:le con acdcrueión (prácticamente) constante? Cunndo un cuerpo cae. partiendo del reposo. a tt'..lvés dd aire. a medida que ... u velocidad aumenta. su acderncióo disminuye. La velocidad se aproxima. aunque nunca la ulcanza. a la \'(~focidall termil/alo \·..focida(/ Ilmilf!, quo: depende de la m:l ... a y del área tmns\'eml del objeto. A la \'clocidad terminal. la fuena de lB gravedad y la fuerlu ejercida por la n:s i~tencia del aire se igu:!lan. I':lrd un p¡lracaidista. una estimación razonable de la velocidad tcnnin¡11 es de unos 50 mIs. Si c:I pardcaidist3 lle\llla mitad de esta velocidad. su aceleración es ~ g. (a) Tomemos la miUld de la velocidad límite como un limite superior por encima del cunl no podelllO':> US:lf las fónnulas de la acelemci6n constante par.t calcular la velocidad y c:I dl!~plaza miento. ¿Cuanto debe caer el paracaidi~ta pam que podamos utilizar la uproxinmci6n de acelerlu;ión con~tnnte? (a) Repita el análisis para un rotÓn. que tiene Ulll1 \'elocidad tenninlll de 1 mIs. •• El 16 de junio de 1999 M3urice G~ne dI! los Estados Unidos e"ta45 bleció un nuevo récord del mundo en Jo:,. lOO m li:.os con una rnan:a de 9.79 ' Supongamo!' qu~ acelero desdc el reposo a aceleroción co¡u,tante 1/ y que alcanló su velocidad máxima 0:1\ 3.00 s, la cu!!1 mantu\'o hasl:l. llegar a la mel:l.. ¿Cuál fue .. \) :Icc1eraci6n en la prueba del récord?
,
,
,
:U'¡0'0,
46 •• SSM La figuru 2.32 mue~tm In foto¡;rafía lomada con IU:lllpO~ de :lpertUro corto~ ( 1/30--) de un malabarisl:l. con do~ pelol:l~ de teni~ en d aire. La pelota de tenis que eqá :1 m:J.yor altur.! C!;tá meno:. borro~ que la Olro " Por qué? ¿Puede cstimar.<.e In \'docidad de estR ¡¡l1im3 pdota'!
"
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"
95
43
Ocasionulmerue tcnemo~ noticia de personas clllada por la via norte del Eigcr (montaña de lo~ Alpes ,ui7.0'». una lij:lción dd montañero Carlos. Ragone cedi6 y preclpiló al esculudor II una cafda de 150 In ,obre 1:1 nlc\e. SorprcndentcmcllIe sufrió !inicamcrue u na.~ poca.~ magulludut'..ls )' un tirón en el hombro. ( a ) ¿Qué velocidad finnlt cnia m11es del choque con lu nieve'? (De~pl"ée iar la rcsistencill delllirc). (b) Suponiendo
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,,
\ 1\ 0:
I
, (i)
Prohlcl1l!l 41
Estimaciones y aproximaciones •• , . 1••• del conuón nnr minutol. • Mld:I <1.U propiO pulo;() (nllrneru t", ;111....,.. I·~· 42 . , 60 "O baciolle.<1, ........ 111l11l1to, ltl) é.Cu
Figura 2,32
Pn,blt'm4 olft
44
I
Caprtulo 2 El movimiento en una d imensión
47 •• Il usq ue en In vclocidud li la que un impulso nervioso recorre nuestro cuerpo. E5Iill Hl r el tie mpo tr: mscurri do desde q ue el pie tro pic'lu co n unu picdm y la sensación de do lor q ue Se prod uce.
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Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad
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2 48
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(a) VII electron de un milo de televisión IUOm: los 16 c m de dis-
ta ncia de la rejilla a la pantalla con un u \'clocídad media de 4 x
107
mis, ¿Qué
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SSM
Un ntlclll corre 2.5 km en !fnca recIa en 9 mili y luego tarda 30 min en \'oh'cr :mdando al punlO de panida. (a) ¿Cuál es la velocidad media dumnte 10$ primeros 9 mi nUlOS'! (h ) ¿Cuál es In velocidlld media durunle ct tiempo que camina'! (e) ¿Cuál es In velocidlld media u lo ¡urgo de todo el recorrido'! (ti) ¿Cuál es el valor del módulo de In vclocidud mediu para todo el
12
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tiempo larda en recorrer 16 cm'! •
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tiempo tra nscurre en ese trayec to'] (b) Un electl'Ón en un cond uctor por el q ue c irc ula \l nn corrie nte se mueve con unu velocidud mcdiu dI! 4 X IO· j mIs. ¿Qué
49
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I
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Figura 2.33
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•
Problema 57
recorrido'! •
50 • I Un coche viaja en Ifnea recta con velocidnd media de 80 kmlh dumnle 2.5 h Y luego con velocidad media de 40 km/h durante 1.5 h. (a ) ¿Cuál es el desplazamiemo totlll en el viaje de 4 h? (h ) ¿Cuál es In velocidud media del viaje completo'!
51 • Una ruta aérea muy concurrida a través del Océano Atlántico tiene una longitud aproximada de 5500 km. (a) ¿Cuánto tiempo tarda un reactor supersónico quc vuela al doble de la velocidad del sonido en recorrer esta ruta'! Utilizar el valor 340 mis como velocidad del sonido. (h) ¿Cuánto tardarfa un avión subsónico en realizar el mismo viaje volando a 0,9 veces la velocidad del sonido? (e) Suponiendo que se utilizan 2 h al final del viaje para el transportc por tierra, controles y manipulación del equipaje ¿Cuál es la velocidad media "puerta a puerta" cuando se viaja en elllvión supersónico'! (ti) ¿Cuál es la \'clocidad media en el avión subsónico? • SSM La luz se propaga con una velocidad de e = 3 x lOS mis. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en ir del Sol a la lierra al recorrer una distancia de 1.5 x 10 11 m? (h) ¿Cuánto tiem¡x> tarda la luz en recorrer la distancia LunaTierra que es de 3,84 x lOS m? (e) Un año luz es una unidad de distancia que equivale al camino recorrido ¡x>r la luz en I año. Determinar la distancia equivalente a l año luz en kilómetros y en millas. 52
S3
•
La estrella Proxima Centauri es una enana roja muy poco luminosa próxima a las estrellas Alfa Centauri y situada a 4,1 x 1Ol l km de distan-
cio. Desde la proximidad de esta estrella, Gregor manda una orden a la empresa Tony's Pizza de Hoboken, New Jersey. para lo cual utiliza una señal de comunicación luminosa. La nave más rápida de Tony viaja a la velocidad de Io-"c (v«!ase problema 52). (a ) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la orden a la empresa'! (b) ¿Cuánto tiempo tcndrá que esperar Gregor entre que envfa la señal y recibe la piz7..1l'? Si las nonnas de distribución de Tony dicen que la I3rdanza máxima en servir la piz7..1l es de 1000 años y que si sobrepasa este plazo, el servicio será gratuito. ¿tendrá Gregor que pagar la pizza? Un coche que ha de recorrer 100 km cubre los primeros 50 km a 40 km/h. ¿A qu«! velocidad debe recorrer los segundos 50 km para que la velocidud media en todo el trayecto sea de 50 km/h? 54
•
55 •• SSM Un arquero lan7..1l una flecha que produce un ruido sordo al impactar en el bluneo. Si el arquero oye el ruido del impacto exactamente 1 s después del disparo y la velocidad media. de la flecha es de 40 mis, ¿qu«! distancia separa el arquero del blanco'! Use para lo velocidad del sonido el valor de 340 mIs.
John puede comr a 6 mis. Man::ia puede correr un 15% más que JOOn. (a ) En una carrera de 100 m, ¿qu«!. ventaja en metros sacará Marcia sobre John1 (b) ¿Yen segundos'? 56
••
•
57 • I La ligura 2.33 muestra la posición de una panfcula en función de l tiempo. Determinar la velocidad media en los inlervalo.
58 • • Se sabe que las galaxias se alejan de la Tierra a una velocidad ~ porcionlll ll su distancia de nuestro planeta: ley de Hubble. La velocidad de una galllxia u la distancia r es v = Hr. siendo H In constante de Hubble. de valor 1,58 x IQ-Ik 5. 1. Detennine la velocidad de una galaxia (a) que dista 5 x Ion In de la lierra y (h) otra que disla 2 x 102' m de laliena. (e) Si cada una de esta galaxias viaja con velocidad constante. ¿cuánto tiem¡x> ha transcurrido de:< que ambas estuvieron en el mismo lugar que la lierra'? •
59 •• SSM I Un leopardo puede correr a VI = 113 km/h. halcón puede volar a V2 = 161 km/h Y un atún puede nadar a v ) = 105 kmJh nos imaginamos que los ues animales forman un equipo y corren una cande relevos, cada uno recorriendo una distancia L a su velocidad máxima. ¿ sería la velocidad media del equipo'! Comparar el resultado obtenido cor media de las tres velocidades . Dos coches circulan a 10 largo de una carretera recta. El coct mantiene una velocidad constante de 80 km/h; el coche B mantiene una ve dad constante de I JO km/h. En t = O, el coche B está a 45 km detrás del COC' A. ¿A qué distancia medida desde el punto en que 1= Oel coche B adelantan! coche A'!
60
••
•• SSM Un coche que marcha con una velocidad constante lit 20 mis pasa ¡x>r un cruce en el instante I = O Y 5 segundos después pasa por el mismo cruce un segundo coche que viaja en el mismo sentido pero a 30 mis. (a) Hacer un gráfico de las funciones de posición '(1 (1) y Xl(l ) de ambos coches. (b) Hallar cuándo el segundo coche adelanta al primero. (e) ¿Cuánto han m orrido ambos coches desde el cruce al ocurrir eladelanlamiento'? (ti) ¿Dónde se encuentm el primer coche cuando el segundo pasa el cruce'! 61
62 • Joe y Sal1y siempre discuten cuando viajan. Un dfa al llegar a la plataformll móvil delneropueno apuestan sobre quien llegará antes al final de la plataformll. Aunque saltnn robre la plataforma al mismo tiempo, Joe decide estar de pie y dejarse llevar. mientras Sally opta ¡x>r seguir andando. Sall)' 111 final llega en 1 mino mientras Joe tarda 2 mino Si Sally hubiem andado con velocidlld doble, ¿en cuámo tiempo hubiera hecho el recorrido'?
63 •• Margaret tiene el combustible justo pnnt llegar con su lancha al pueno deportivo en un viaje de 4,0 h en contra de la corriente, Al llegar. resulta que el puerto está cerrado y pasa las siguientes 8,0 h flotando a favor de la roniente hasta llegar a su tienda de campafta. El viaje completo es pues de: 12,0 h ¿Cuánto tiempo hubiera invertido si hubiese enoonlr8do combustible en el pueno'?
Aceleración 64 • i Un coche deponlvo BMW M3 acelerll con l. Ie:lCerII marcha de 48,3 kmlh 8 80.S kmlh en 3,7 s, (a) ¿Cuil es su acelenclÓD medi• • mls 2? (h) Si el cocbe continl1l 00II esta .:e1enlci6n otro sopndo. ¡,cúllIri su velocidad?
Problemas En el insuUlte I '" S S. un objeto en .f _ 3 ni se mueve a +S mIs. Para I = ti, s. se en<:uentra en ;r = 9 m y su velocidad es _ 1 m/'i. Determinar la lIee!cración media para este intervalo. 65
•
Unn panfcul:! se !llueve con velocidad l' '" (8 mls2J 1 _ 7 mis. en donde l ' se expreslL en metro!> por segundo y , en segundos. «(/ ) Dctenninllr ItI uceleración media :\ intervalos de un segundo comcnzundo en 1:: 3 s y , '" 4 s. (b) Representar l ' en función de l . i,Cutll es In ucelernción instunttlnea en cunlquier momento'! 66
••
i
./
La posición de una purtfculu depende del liempo según lu ecuaciÓn .~( I ) = ,1 - SI + l. donde;r se expresu en metros y I en segundos. (a) Determinur el despluzu miento y la velocldnd mediu durante .el interv:llo 3 s S I S 4s. (b) Encontrar la fÓrmu lu genernl pura el desplazamiento durante el intervalo entre, )' t + Al. (e) Detemtinur lu velocldnd inslllntánea para nmlquicr tiem po I hnciendo el límite cuundo Al tiende n cero. 67
••
•
68 •• SSM I La posición de un objeto está relacionada con el tiempo por la expresión .\' '" Al~ - BI + C. en donde A = 8 mls ~ . B = 6 mis y e = 4 m. Dctemlinnr In "elocidad inslIlntáneu y la IIceleración como funciontls de l tiempo.
69 •• El movimiento unidimensional de unn panícula \'iene representudo en la figura 2.34. (ti) ¿Cuál es la aceleración en los intervalos AB. Be y CE? (b) ¿A qué distnncia de su punto de partida se encuentra la panícula al cabo de 10 s'! (e) Representar el desplaznmiento de la panícula en funciÓn del tiempo: indicar en ella los instan tes A, B. C. D y E. (d) ¿En qu~ instante la partfcula ~e mueve más lcntamente?
pelota? (e) ¿Cuándo miento?
4S
la pelota a 15 m por encima del puntO de lanZll-
•
••
76
e.~tá
I
I
./ En el corrimiento de tierras de Blackha..... k. en Callfomia. unu masa de rocas y barro cayó 460 m al desprenderse de una montai'ln y luego recorrió 8 km a trav~s de unn llanura sobre una capa de vapor de agua. Suponiendo que esta masa cayÓ con la aceleración de la gravedad y después se des1i7,Ó horizontalmente con desaceleración eonstante, (ll ) ¿cuánto tiempo tardó en caer los .160 m? ( b) ¿Cuál ero su velocidad al llegar ;\1 fondo? (e) ¿Cuánto tie mpo tardó en desli7.1lrse horizontalmente a lo largo de los 8 km? Una gru¡¡ levanta una cllrga de ladrillos a la velocidad constante de S mis, cuando a 6 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. (C/) Describir el movimiento del ladrillo desprendido haciendo un esquema de .l(l ). (b ) ¿Cutll es 111 altura máxima re.~pcctO al suelo que alcanza el ladrillo? (e) ¿Cuánto tiempo Ulrda en lIegllr al suelo'! (d) ¿Cuál es su velocidad en el momento de chocar contra el suelo'! 77
••
SS M
Un tomillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hllcia arriba a la velocidad de 6 mis. El tomillo alcan7.1l el fondo del hueco del ascensor en 3 s. (ll) ¿A qu~ altura e..'itaba el ascensor cuando se desprendió el tomillo'! (b) i.Qué \'elocidad tiene el tomillo al chocar contra el fondo del hueco del ascensor'! 78
••
Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la distancia que recorre durante su úl timo segundo en el aire. 79
••
SSM
80 •• Un objeto cae de una altura h. Durante el segundo fi nal de su carda recorre 38 m. ¿Cuánto vale h? Una piedra cae venicalmente desde un acantilado de 200 m de altura. Durante el último medio segundo de su caída la piedro recorre una distancia de 45 m. Detenninar la velocidad inicial de la piedra. 81
•
SSM
Un objeto en cafda libre desde una altura h recorre 0.4 h durante el primer segundo de su descenso. Determinar la velocidad media del objeto durante su cafda. 82
••
83 •• Un autobús acelera a 1.5 mls1 desde el reposo durante 12 s. A continuación se mueve a velocidad constante durante 25 s. des put.~ de los cuales disminuye su velocidad con una aceleración de - 1.5 mls1. (a) ¿Qu~ distancia total recorrió el autobús? (b) ¿Cuál fue su velocidad media'!
84
Figura 2.34
Problema 69
Acele ració n constante y caída libre 70 • SSM Un objeto lanzado hacia arriba con velocidad inicial Vo alcanza una altura h. Otro objeto lan7,ado en las mismas condicione.<; con velocidad iniciaI 2~'O alcanznrá una altura de (a) 411. (b) 311. (a ) 2h. d)h.
71 • Un coche parado cn la posiciÓn ;r = SO m acelera con aceleración constante de 8 mls2. (a) ¿Transcurridos 10 s. cuál es su velocidad'? (b ) ¿Qué distnncia ha recorrido? (e) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo O S I S lOs? Un objeto con una velocidad inicial de 5 mis posee una ac~lcra ción constante de 2 mls~. Cuando su velocidad es de 15 mls.l.qu~ espacIo ha
72
•
recorrido?
73
• SSM Un objeto con aceler:lción constante posee una velocid3d de 10 mIs cU:lndo se encuentra en.f '" 6 m y de I S mis cuando se encuentra en X" 10 m. i.Cuál el> su aceleración? La velocidad de un objeto aumenta a una UlS.II constnnte de 4 mis cad3 segundo. Su velocidad es I mis cuando t = O. en cuyo instante está en m. ¿Con qué velocidad se mueve cuando está en .x = 8 m? ¡,Cuándo suceded esto. 74
•
x".;
75 •• i ti Se lanza una pelota hacia arriba con una vel~idad I . ., (Despm:lar la mieial de 20 mi!>. (a) ¿Cuán to tiempo eSÚl la pelota en e alfe I a """ allura alcaDlId pot a allUrol del punto de lanzamiento.) (b) ¿eu01 es Ia ma.l_'
••
Para resolver cienns clases de problemas de ffsica es relativamente fácil usar un programa como el Microsoft Excel. con una bnj u de 1.'1Í1t:ul u. Por ejemplo. prob3blemenle ha resuelto el problema 75 usando álgebra; aquf resolveremos aquel problema de Un3 forma ~i fere.nte usando ~na hoja dc cálculo. Aunque éste no es el caso. hay muchas ~IIUaClones en fiStca donde se ha de recurrir como única altemati v3 a la soluciÓn de un problema mediante métodos n um~ricos, (a) Usando una hoja de cálculo. generar un gmlko a/tura- tiempo pam la pelota del ejercicio 75 (lan7.ado hacia arriba con uno velocidad vertical inicial de 20 mis). DeterminlU' la altura máxima alc3JllUda. e~ tiempo que ha estado en el aire. y el tiempo durante el cU311a bola está en d litre por encima de los 15 m de altura (con la ayuda de la gráfica). (11) Imponga que 13 velocidad inicial sea lOmis y encuentre la allura máxima que alcan7.1l la bola y el tiempo que ésta está en el aire. • • 85 •• ss'"' I Al Y Sen han sal ido a correr por un camlllo que discurre por el interior de un bosque. Mantienen una velocidad de 0.15 mis. Al ve que el final del camino y del bosque se encuentra a unos 3S m y ~lef1l con un3 aceleración constante de 0.5 mis!. dejando atrás a Ben. que contlll.ua! velocidad eonstante. (a) ¡.Cuánto le cuesta a Al llegar al final del camino . (a) Cuando alcanza la mela. inmediatamente ~ da la vuelta y deshace el camino a la velocidad constante de 0.85 mis. ¿CuAnto tiemJX? transcurre hasta que se cruza con Ben? (e) ¿A qué distanCia del final del camll'lo se encuentran SSM
cuando se cruzan?
86
••
Re..'iUelva las preguntas (b) Y(e) del problema 8S u.gndo una hujll
dl' n ih:ulu.
•• Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una ~I~ de 20 mls1• Al cabo de 25 5 el eombulbble se qtU y el cohele coaUAÚI como Unl partfeuLa libre: huta que alcanza el mem. c.ku..... (41 el punto .,. abo 87
46
(np rt ulo 2 El movimIent o en una dImensIón
ti ('t lrl!. (d lu
de\de .... 1 re p()~ y (Iue el tejado de lit fábri en e~tñ n 1~O m poi encult,1 del '~1\l ¡,qu!! Ilcelentción uniforme le hilo fu lta para nlennl.ltr :Itluclla \CltlCtdud'l .
Unu macet¡1 clle desde 111m repislI do.: un o.:dllicio de 3 1)crior de lu vcntnna e~tr\ la repisa de la ~'ua l cuyó la maceta'!
elUléridOli (in;.ccto~ cole6ptcroQ pUl!dén pmyectnl'< 'n. tleal mente por ~f mi,mos con una acelernción de uno~ 400g (un ("Irden de T!\;lg. nitud ~ upcri or del (Iue un <,cr humun\) puede re~ I ~ IIr). 1-0'> ellll!!ridO<. \/litan "dc~doh l u ndo" MI' pata~. que tienen unll longilud uJlroximuda de 1I = 0.6 CIl) ¡,A tlllar'! ¡,Cuámo tiempo pcmllllll_'Cen en el aiR:O) (Suponer lu ltcelerueión eo n ~tUl1le micl1tral> e.~tá en eontfietO con el 'iuc!o y tJc~rr«:iar b re~ i , t e ncia del aire.)
:lIeal17adn por el cohete. (/1) el tll:l1Ipo totnl que el cohete está \'elocidud del cohete jU\to ante, de Ch OC llf contra el ~udo,
I!Il
•
88
••
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89
••
SSM
En una c),perienei:t de cátedOl un cuerpo se de~ li 1.a a lo
largo de lUIR pist:1 de aire inclinada ,in rolallliento con una ncd entción eon'tallle a. Se le impulsa desde el origen de 111 pi ~ t a (x "" O) con una velocidad ini· ciall·u. En el i n~t!lnt e l :; S ~ ~e encueJltrtl e n .~ = 100 cm y se mucve a lo largo de la pista con ,'elocid:ld \' '" - 15 cm/s. Dctenuinnr la velocidlld inicial 1'0 y lu acelernción (/. 90
••
Unu piedra
~\I
distancia 10lnl al acnntilodo?
~udo
en c1lthimo ¡.:egulldo de ~ u curda. ¿Qué !lItU rtl tiene el
91 •• Un nutolUlh ,i] ticlle IInu dcsacelernción máxinm de linos 7 m/s2; el tiempo de fencción tfpico I)an! aplicar los frenos es de 0.50 s. Un cartel ind ien que lu ,·clocidad IImilc en una !onu e!-eolnr debe cumplir 1:1 condición de (Iue todos los c,:oches puedun delenerse en UIlU distancio de fren ndo de '¡ 111. (a) ¿Qué \'e1ocidud máxi ma puede alcanznr en esu zona un autom6viltípico'! (b) ¿Qué fmeción de los'¡ m COITCslX)IIde al tiempo de reacción?
92 •• Dos trenc.~ se acercan uno ni Otro sobre \'íll.~ adyacentes. Inicial· mente están en reposo con una separación de -lOm. El tren de la izquierda ace· lera hacia la derecha a lA mlsl . El tren de la derecha ncelera hacia la izquierda a 2.2 mis'. ¿Qué distancia recorre cl tren de la izquierda antes de que se pro-. dUle;! el cruce de ambos'!
•• Dos piedras se dejan caer desde el borde de un acantilado de 60 m. La segunda piedrn se deja e¡Ier 1.6 s después de la primem. ¿Qué distancia ha recorrido la segunda piedra cuando la separación entre ambas es de 36 m? 93
94 •• SSM Un policía motorista escondido en un cruce de calles obser.'a que un coche no respeta la señal de parada. cruza In intersecciÓn y continúa a velocidad constante. El policía emprende su persecución 2,0 s después que el coche sobrepasa la seilnl. acelera a 6.2 mls 2 y alcanza una velocidad de 110 kmlh: continúa con estu vd ocidad hastu que alcanza al coche infmc tof. En esc inSlante, el coche se encuentra n lA km del cruce. ¿Qué velocidad llevaba elcochc'! •
I
En el instnnte I = O se deja caer una piedra desde un acanti l"do sobre un Ingo; 1.6 s más turde. Otra piedra se lanza hacia abajo desde el mismo punto con una velocidad inicial de 32 mIs. Ambas piedras chocan con el agua al mismo tiempo. Determinar la altura del acantilado. 95
••
•
96 ••• I Un tren de pn!>ajeros circula a 29 mis cuando el conductor ,'c delante de él un tren de carga a 360 m de distancia por la misma vra en la misma dirección. El tren de carga IIcva una velocidad de 6 mis. (e/) Si el tiempo de reacción del conductor es de OA s, ¿cuál debe ser la dc.~1ce lcració n del tren de pasajeros par.t evitnr la colisión? (b) Si su res puesta e~ la desaceleroci6n máxima que puede re¡¡liLnr el tR:n de pasajeros. pero el tiempo de reacción del conductor e~ de 0.8 s, ¿cuál será entom;es I¡¡ velocidad relativa de Io.~ dos treo nes en el inl,tante de la colisión y qué distuncia habrá recorrido el tren de pasajeros desde que el conductor divisó el tren de cargfl husto que. se produjo el choque? 97 • Pnra intent¡¡r cstudi:lr los cfectos de la gnl\'edad un estudinnte lan/.a un PCar el tejado'.' Desprccinr la re.,istencia del aire. aunque en c.\te cn.~ tenga poco ~cn titlo ignorarlll. (b) Supóngase que lo vclocidud del .ascenw r después de rompcr el tejado y atr.t\'e\arlo eOl la mitad de la que tenra an t e.~ de chocar con eltccho. Suponiendo que inieió ~ u movi miento
99
••
Alguno~
100 • i ./ Una prueba de un prototipo de un nuevo automth ll mueMra que lu distancia mínimu pnra una pnradn comroladllR 98 ~mIh e\ lit ~O m. Determinllr lu lIeelcraci6n (,upuesta con ~ tantc) y cxprc'lur la rc.\pue<;ta con¡(J una fr:lcdón de In aceleración de la gm,'cdnd. ¡,Cuánto tiempo t:lrda en pumr,e'! 101 •• SSM Consideremos el movi miento de unu partlculn que expe_ rimenUl un 1Il0vimiCnlo de caldn libre con aeelentción constantc. Antes de di,poner de los modernos sistemul. de adq ui ~ ición de dmOll mfonnati7.1ldoo,. el experi mcnto de e:lldu libre de un objeto. como por ejemplo. un di ~(l de hocl.ey, se rculi7.llba usando una ci nta teñida colocado verticalmente junto a In t ru~Ctto riu de c¡Ilda del di sco conductor. Con el w.o de un generudor de aho \Oltd.IC '>C hncfll sulwr una ehispu. a intervalo!> regulares de tiempo, entre do~ cOOll u~IOI"e\ pUrlIlelos en el punto dOnde se encontmba el di¡,co grociru. ¡¡ -,> us pmplectru)Q eonductoros. De este modo en la cinta quedaba rcgistmda la posición dd ,r . ,,:!) a intervalos de tiempo sucesivos. MOSU"3r que la posición del disco sc1 II.l la Regl(l d(' Ce//ilca de los lIIímcros extraños .6)'21 = 3.6Yur .6Y12 = 5.6.\ 10. .6YIO es el cambio en)' durante el primer intervalo de tiempo.61. ó.Y2I e, el bio en .\' dumnte el segundo intervalo dc duración.61, etc.
lÚe
102 •• Una partrcula se mueve con acelemción constante de 3 mi, instante t = 4 s. está en x = 100 m; en t = 6 s posee una \elocidnd l' e I Determi nur su posición en t = 6 s. 103 •• SSM i ./ Un avión que aterri/.Il en una peqUCI tropienl dispom:: de una pista de 70 m pam parar. Si su velocidad inictai 60 mis, (al ¿cuál será la acelemción del avión dur.lIIle el aterrizaje. ~ur constante'? (b) ¿Cuánto tiempo tardará en detenl!I'SC con esta acelerJdÓn·.'
104 •• i ./ Un automóvil acelera desde el reposo a :! n durante 20 s. La velocidad se mantiene cntonces eon!>tante dumntc 20 ,. pués de los cuules experi menta una lIcderación de -3 It1/s~ hasta quc ,e detú: ¿Cuál es la distanciu total recorrida?
,_
.1
1
~.
•
105 •• SSM I Si fuera posible di!>Cllar una nave e~pacial 'Iue pudicm mantener unu acelcmci6n constante de fonna indefi nida. los villle J los pl:metlls del Sistema Solar serian cuestión de dfas o semanal>. y loto \ iaJt~ J cstrellns próxi mas sc podrfan llevar a cabo en pocos año~. (a) Dcmo-¡trat que;:. el m6du lo de la accleraci6n de caída libre e n I¡¡ Tierra. es aproxi madumente I c·¡Iño/añ0 2 Ce es la velocidad de Ill lu/. en el V¡IefO. Véase en el problema 5:! la definición de año luz.) (b) Usando los datos que uparecen en las labias allinal del libro, determinar el tiempo que se invertiria p;tra ir de.sdc la l ierra a ~·1artl.' (Marte es el planeta más cercano a la Tierra) suponiendo que una na\'e parte del reposo, sigue una trnyt.'Ctoria recta. acclera durante medill trayectorin a .~, <,e da la vuelta y el restOdel viaje desacelero u g.
106 • i ./ La Stmtospherc Tower de La!- Vegus e~ un edificiQ de 293.35 tn de altum. Un ascensor rápido invierte I minuto y 20 segundo" en subir desde tu planta baja hasta el último piso del edificio. Suponiendo que d a~ccn~or mnntiene lIlIlI acelcmción constante. encontmr su vltlor expre.-.úndoI3 en funciÓn de In tJcelcmción dc 111 gr.J"ednd.
•• i ./ Un tren <;;lle de una e.\wciÓn con unu acekrdción de 0,4 m/s l . Unu pasajem llega corriendo al andén 6,0 ~ dc<,pué, de que d tren haya inicilldo la marcha. ¿Cuál es la velocidud r.:onMnnte mlnllna con qu(' Jebe correr la paSlljeru para poder alcanzar al tren? Confe«lone un esquema de I~ c urva ~ del movimiento del tren y de la pa'-8Jel1l en función del ticmJX1. 107
Una bola A ~ suelta desde lo lIli!. &110 de un edilicIO en ti ml~ in~tantc en que otm bola 8 \C ¡anl.a ~~¡CIIIme.ntt hacia amba ~. c.( _b Cuando la!- bol~ ~ encucnb1ln. arntt.u $e mueven en !o('IIudo contranO y la 108 •••
Problemits \docitllld dc la bola ,\ c' do, \'CCC,\ lu \'c!ucit1:!d de In Dula 11. ¡,l1n qué fmcc ión dc In uhuru del etlilicitJ ocurrc d CI1CUenlro't 109 ••• ReslIt:h'a el pJ'tJblclIl:1 101{ ~i In coli ~¡ón I'ICllrre cuundo 111\ dos hohh ~c mueven en el mhll1u \cntitlo y In velocidad de A c,\ 4 vccc.~ lu \'ehx:idad ti c H.
~ullln
de
I n~ velocid¡lde~
1',
, 7
", 5
3 2
11 1 •• I Un coche de polidil pretende alcanzar ti un coche oIicfa c.~ de 190 krnlll. ) tlmlllC:1 desdc el rclX>'O con uedemci6n con~luntc de ti km/h . S. huSIU que su \'c!oódad alcanza los 190 km/h y luego prosigue con vcltl(;idnd eonSlanle. (ti ) ¿Cutlndo alCan7.llrá al 01ro cochc si w pone en mnreha al pasar éste j unto a él ~ ( b) i,Qué cSp;lcit) hnbrán l\."'Corrido e n toncc,~ ambos coches? ( e) Uucer un grático de .r(l) p..lrtl cada coche.
114 •• i ,¡ Una pro fesora de físicn prueba ~u pamcafd/lS nntigrdvedad sallando con velocidad inicial cero desdc un helicóptero simado ti 575 m de altura. Dur.lIlte 8 s In profesora se mueve en caíd" libre; inmediawmente d c,~ pués abre e l pnracnfdas de modo que fre na con una acc1cruei6n de 15 mls2 hasta que su velocidad de cufda se sitúa en 5 mis, que c.~ cuando ajusta los controles de modo llue .'oe muntenga estu velocidad hasta llegar al sucio. (tI ) En uml úniCII fi gura. dibuje la IIccleración y lu velocidad dc In profc.'>Otn en función del tiempo, (Considerar positivo el sentido hacia arriba.) (b) ¡.Cuál es ~ u \'clocidnd tronscumdos los primeros 8 s del );I11Io? (e) ¿Dul"Once cuánto tiempo c.<;lá fremmdo'! (ti) ¡,Qué dislanciu recorre mielllrns su velocidud disminuye'! (e) ¿Cuál es el tiempo invertido en todo el :.a1to~ (f) ¡,Cuál t!.~ la velocidnd mediu dur:mte el );11110 cornplelO?
inicinl y finul '!
mJ.\
•
1 13 •• Nccc.<;itundo urgentemente el premio en metálico. Lou se npunta a una compc[ición de autornÓvilc.\ en la cual el coche del concursante comienza y termina la prueba parodo, n:corrieodo una distancia L en el tiempo más cono posible, Hay que dcmostr:lr dCSlre7.a mccánicil y ser buen conductor, asf como consumir la mayor cantidad de combustibles f6silc.... en el mcnor ticmpo posi. blc. La CarTero c."tá diseñada de modo que las velocidades máximas dc los ¡wtomó\lj les no se aJc:mznn nunca. (a) Si el coche de Lou posee una acelefl'ción máxima (1 y una dcsacclefllción máxima 2(1, ¿en qué fracción de 1.. debe Lou mover su pie desde el pedal del ncclemdor al¡x.-dul del freno? (1)) ¿Qué fracción de tiempo ulili7.l1do en ellmyccto IOtal ha tronscurrido hasta este momento~
I
I
2
Fig ura 2.35
3
1. 5
Problema 116
11 7 •• SSM La velocidad de un pan icula en metrOS por segundo viene dndu por l' = (7 m/sJ )r2 - 5 mis. donde I se expresa en segundos y l' cn metros por segundo. Si la partículu sale del origen. Xo = O cuando 'o::: 0, hullar la función posici6n gcncml X(l). 11 8 •• Considcre el gráfi co dc la figuro 2.36. Suponiendo que x = O cuando I '" O, escriba las expresiones algebraicas correctas pánt xCI). "(1) yaV). con tos valores apropiados de todas las conSlantCS,
L' ...
mIs
50
Figura 2.36
Problemn 118
11 9 ••• I..;t figum 2.37 muestro In 3('clef'Jción dc una partículn en fu nción delliempo. (a) ¡.Cuál es el vulor del área del reclángulo señalado'! (b) L'l partícuhl ¡lUrte del reposo a I :::z O. U:llIar la velocidad en los liempos I = 1. 2 Y3 s contando los cuadrJdo~ bajo la curva. (e) Hacer un gráfico 11t) a partir de 1m, resultudos de In parte (b) y hnllnr un valor e.~lillmdo de In distancin rt.'co rridn por la partfculn en el inlen'alo de t = O a I = 3 s.
u. m/s2
Integración y ecuaciones de movimiento
3
11 5 • SSM Lu velocidad dc una pnrlfcula viene dadn por \'(1) = (6m/s 2)/ + (3 mIs). (ti ) I-Iuccr un gráfico dc \' en función de t y hnllur el tiren lunitlldll por la curva en cl intervulo dc , = O s U1'" 5 s. (b) Hullar In funci 6n de posición .\'lt). Ulili:t..arln pm'li cnlcular el dcsplu7.umicnto durante el interVlllo de
2 I
I = Oa l _511.
11 6 • Lit liguril 2.35 mucstro la velocidnd de unu partícula cn función dcllicm¡)(). (a l ¡,Cu:'il c.<;. el vnlor en metros dd tlrea del l\.'Clángulo !>Cñalado"! (b) 11:lllnr d rt.:corrido de 1:1 1l:lrtículu pan. los intervalos de 1 " (Iue clllpiezon a partir
47
Oc I ZI I ,y I "" 2 s. (e) I.Cuál ~ In velocidad metÍiu parll el ullcrvnlo I " S I :S; 3 , '! (d) t..u ecu!tción de In curvlI c, l ' "" (0.5 m / ., 3 )1 2, Ik tcmlinnr el dc"pla¡¡mllcnto de In IJ/lrticldu en el illlcrvnlo h S I S 3l'i por inlegrnción y cOlllllnmr lu re,. l)ue~1lI con In del npurt¡ldo (/l). En c,~t e Clll>O. ¡.In velocidnd medill e.~ Igual n In
1 10 •• SSM Un mctro p.'lrtc de UI1:1e~lación y m:e lem dc.'odc el n.:po\o c,)Il 11M al"Clc.mción de 1.0 m/"l h:I"I11 1:, mitad de In di~lUnda que le ,epum de lu Mguientc e:¡tnción: dc.'pu6. de,ueclcm con el m i~ m t) ri tlllO du mnle lu !oegunda milnd dd tm)'ccto. Lu disttlllci:llOtul entre c.\tnciunes es de 900 111 . (a) Repre. "enlnr gr:Hiculllcllle la \'elocidud l' en fun ci6n del [iempo a lo larSo de tndo el recorridu. (111 Reprc-,enlnr ~n\ l icbm elllc la upropiltdm ¡L 10 lurgo dc ambos cjc~.
1 12 •• Cuando el eoche de policía dd proble ma 111 (marchnndo a 190 km/h) eSlá" 100 melms detrás del otro coche (quc marc ha u 125 km/h) ¿, te ob~cf'lu que le siguen y lIcciona los frenos blocluelmdo las ruedas. (ti) Supo. niendo (Iue coda coche pueda frenar con una aceleración negativa de 6 mIs! y que el cond uctor del coche de policfa frena tan pronlo como ve encenderse las luces de freno del coche qUl: persigue. e... decir, si n tiempo muerto de reacción. dcmo~tror que los coches chocan. (b) ¿En qué momento chocan contando a ])
I
I
Figura 2,37
2
3
,
Problema 119
,. ,
48
I
Cap rtulo 2 El m ovimiento en una dimensió n
120 •• L:l figura 2.38 UlUl!Str:1 un gráfico l ' en función de I puro un u punlcula que se mucve sobre un:\ f\!cm. La po~ ición de 111 misllla en el instullle lO'" O es xo:: 5 111 . (a ) Hallar .\' paro vurios tiempos I contando cmldrados y di bujar x en función de t. (b) Hacer un dibujo nproxinmdo de la aceleración ti en fun ción de t. v. m/s 8
, 6
o ' - - - --
La posición de un cuerpo que oscila sobre un muel ~ viene dada por x :: A sen ca. en donde A y lO son constantes de valores A = 5 cm y liJ = 0. 175 S- l. (a) Representar xen función de 'paraOS IS 36 s. (b) Medir ll pendiente del gráfico en 1 = O para determinar la velocidad en ese instante. (e) Calcular la \lelocidad media para una serie de intervalos que comienzan en 1'" O Y temlinan en 1=6, 3. 2. l. 0.5 Y 0.25 s. (ti) Calcular dxIdl y determinar la \'elocidad en el instante t = O. Comparar los resultados con los apanados (e) y (d).
-' r - --
-2 -1
-6 L--,----;;--,--;-;-;---;; :2 3 4 5 6 7 8 9 10/. s Fig ura 2 .38 ••
Problemll 120
L:l fi gura 2.39 muestra un gráfi co de x en funci ón de /
SSM
la:
126 •••
2
121
desde el borde de la me.c;.a de modo que. cuando pasa por la primera c\!lul pone en marcha el reloj y. cuando pas.1 por la segunda. lo pam. El valor de lernciÓn de colda libre g se determina mediante la ex pre.~ i6n ga = ( 1 m).l~ donde ÓI es el tiempo medido por el cronómetro. Un estudinnte ~o cui~ coloca la primero c\!lula 0.5 cm por debajo la mesa. (Suponga que la segunda célula está bien colocada.) ¿Qué valor de g~r Obtendrá'? ¿Qué porcentaje dt diferencia hubrá entre el '1 alor obtenido y el valor comlln de esta magnitud al ni'lel del mllr?
paro un cuerpo que se mueve en Hnea recta. Dibujar gráfi cos aproximados de en func ión de t y a en fu nción de t para este movi miemo.
l'
x
Ij
/'\
'\
, \
Figura 2 .39
/ Problema 121
122 •• La aceleración de un cohete viene dada por a = bl. donde b es una constnnte positi\la. (a) Determinar la posición en función del tiempo x(t). (b) Calcular la posición y la vclocidad cuando I = 5 s si x = O y \' = Ocuando ( = O. y si b = 3m1sJ . •
123 •• I La acclerac ión de una pan fcula que se mueve cn una dimensión dumnte el intervalo de tiempo comprendido entre 0.0 y 10.0 s viene dada por a = (0.20 mls3 )t. Si la panfcula inicia su movimiento desde el rc poso y en el origen. (a) cakular primero su I'd ocidad i,utamónC(l en cualquier instante de tiempo comprendido dentro del intervalo indicado. (h) Calcular su I'e/ocidad II I(! ( /ia durante el intervalo de tiempo entre 2.0 s y 7.0 s. 124 • Considere el mO\limiento de una panícula que está sometida a una aceleración no constante II dada por (/ = (lo + bl. donde ao y b son constantes. «(1 ) Calcular la velocidnd instanttlnen en fundón del tiempo. (b) DetemlÍnIlr la posición en fundón delliempo. (e) Calcular la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo. entre un tiempo inicial O y un tiempo fi nal arbitrario t.
Problemas generales •
12S ••• I En una clasc de ciencias. con el objetivo de determinar la aceleración de caida libre de los c u~rpos. se monta el siguiente d i~po)iit i"o ex.perimental: se colocan dos cl!lulas fotoeléctricas. una en el borde de una mella de 1.0 In de altum y Otro 0.5 m exactamente debajo. Se suelta una canica
SSM
• 127 ••• I Considere un objeto cuyo motor le da una velocidad descrita por la ecuación v = I·mb. sin(ta). donde ro se expresa en radianes/s. (a) ¿Cuál es la aceleración del objeto'? ¿Es constante? (b) Cuando , =0. la PlXición es .1'0 ' ¿Cuál es la posición en función del tiempo'?
128 ••• Suponga que la aceleración de una panícula es una función de x. donde a(x) = (2s-- 2) x . (a) Si la velocidad cuando x = 1 m es cero. ¿cuál C! velocidad de la panfcula en x = 3 m? (b) ¿CuántO tiempo in\liene la panín en moverse desde.f = I m hasta x = 3 m?
la
129 ••• Suponga que una partícula se mueve en una Hnea recta de que. en cada instante de tiempo. su posición y su velocidad tienen el valor numérico expresado en unidades del SI. ( a) Exprese la posición ción del tiempo. (b) Demuestre que en cada instame de tiempo la a..::e,c. tiene el mismo \lalor numérico que la posición y la velocidad.
130 ••• Una piedra se hunde en el agua con una aceleración que exponencialmente con e! tiempo según a (t) = g~'¡". donde b es una ce positiva que depende de la fonna y del l:lmaño de la piedra y de las prof ffsicas del agua. Basándose en este resultado. deduzca una expresión posición de la piedra en funciÓn del tiempo. suponitmdo que su velociJ.; cial es cero.
1:1
'}() l'
n
t t 'Ji
J
131 ••• SSM En el problema 130 una piedra cae en el agua con 11 aceleración que viene dada por a(t) = ge.-bt. donde b es una constante ¡X1Ml ' L En ffsica. habitualmente. se suele conocer la aceleración en función de la POSI' ción o de la velocidad. pero no se suele tener informnción sobre la BCC I~racwn en función del tiempo. Supongamos que la función que nos da la acelernci60 en función de la I·t locidlld es a = g - bl' donde 8 es el módulo de la acelernción dela gravedad y l' es la velocidad de la piedra. Demuestre que. si la picdl'3 parte del reposo. la runción que da la aceleroción en funci ón del liempo es la que se da al comienzo de! problema. 132 ••• La aceleración de una paracaidista que se laUl a al \'ado desde un a\'ión viene dada. antes de abrir el paracaídas. por la fórm ula a = g - (,1':. dotKk e es una constante que depende del área lrafls\'ersa1 de la saltadora y de la den· sidad de la atmósfera que la rodea. (a) Si su velocidad inicial ~ el momento del sallo es O. demostrar que su velocidad en función del liem~gguc la fórmula V(I) = 1'/ UUlh (tIT). donde \', es la velocidad lfmite ( 1', = J g/c) y T = 1'18 es la eseala que detennina cuánto liempo le cuesta alcanzar la \'elocidad telillj· naL (b ) Use un programa de una hoja de:' cakukl pan lepreSCllW 1'(1) ea fun· ción del tiempo. usando una velocidad tenninal de 36 mfs (use ~ \·aJOf pc1L calcular c: y ¿Tiene !.Cntido la curva re5u Uante1
n.
MOVI lENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Capítulo
3.1
El vector desplazamiento 3.2 Propiedades generales de los vectores 3.3 Posición, velocidad y aceleración
3.4 Primer caso particular: movimiento de
proyectiles 3.5 Segundo caso particular: movimiento circular los barcos a vela no navegan en línea reCla hacia su destino sino que siguen una trayectoria en lig-zag contra el viento. El barco de fa foto que se dirige hacia un puerto situado hacia el sudeste navega primero hacia el este, después hacia el sur para acabar torciendo finalmente hacia el este.
? •
¿Cómo podemos calcular el desplazamiento y la velocidad medias? (Véase el ejemplo 3.3.)
Eneste capítulo extenderemos tas ideas del capítulo amenor a dos y tres dimensiones. Para llevar a cabo esta extensión, introduciremos los vectores y mostraremos cómo se usan para analizar y describir el movimiento . .. El objetivo principal de este capítulo es desarrollar el concepto del vector aceleración, un concepto fundamental para el desarrollo de las leyes de Newton en los capftuJos 4 y 5.
3.1
El vector desplazamiento
Cuando hay movimiento. el desplazamiento de una panfcul a tiene una dirección en el espacio y un módulo. La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea recia comprendida enlre dos puntos del espac io es un segmenlo lineal llamado vector desplazamiento. Se representa gráficamente por una flechil cuya di rección eS la misma que la del vector desplazamiento y cuya longitud es proporcional al módulo del vector des plazamiento. Designaremos los vectores con lelras negritas, como en A. (Cuando se escribe rwmmo. un vector se ind ica mediante una flecha sobre el sfmbolo considerado. por ejemplo. A .) El módulo de A se escri be IAI o simplemente A y. por ejemplo, el módulo del vector desplllzamiento tiene dimensiones de longitud. El módulo de un vector no puede ser negativo.
so
I
Cn pítulo 3 Movi miento e n dos y tre)
dlmenslone~
Suma de vectores desplazamiento
,-
p,•
Lll ligura 3. 1 tlIut.!stra llllrayel:toria de unu pnrl k ula qUt! ~c mueve desde el punto PI híl~ta lIn segundo punto P2y luego ti un lercer punto p ). El desplannnicnto de PI a P2 viene represen. tado por el vector A y el dcsplnl.amiento de 1'2 ti 1'3 por B. Obsérvese que el vcctor desplaJ.a. mien to depende s610 de los puntos extremos y no de la trayectoria rcal ele In partkula. El desp lazHlIliento reslIllllllfe de PI u p ). llumado C. es In suma de los dos d e s plllzami ent~ s u r.::csivo~ A y B:
"
I
-
e
• Figura 3.1
= A+B
(3.1)
Dos veClores desplazamiento se suman gráfi camente situando el origen de uno en el extremo elel airo (fi guT<\ 3.2). El vector resultante se eX lienelc dc"de el origen del primer vec. tor al extremo finn l elel segundo. Obsérvese que e no es igual a A + B ¡¡ menos que A y B estén en la mi smu direcc ión, Es decir e A + B no implica que. e A + B. Unu rorrml equi val enle de sumar veclores es el llamado método del paralelogramo, que consiste en desplazar B hasta que coincida su origen con el de A. La diagonal de l paralelo. gramo rormado por A y B es igual a C. Como puede verse en la fi gura 3.3. no ex iste diferen. cia en el orden en que sumemos los vectores; es decir A + B = B + A .
=
e
=
B
A
A
Figura 3.2 Método para la suma de vec· tores que consiste en situar los dos vectores uno a continuación del otro.
I
.• •
B
EJEMPLO 3.1
A ........... . ...• e • •"
Figura 3.3 Método del parnlelogron la suma de veclOres.
Desplazamiento N
Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
Planteamiento del problema Los dos desplazamientos componentes y el desplazamiento resultante se muestran en la figu ra 3.4. Como A y B forman un ángulo recto enne sf y e = A + B es la hipotenusa del correspondiente triángu lo rectángu lo. el módulo e puede hallarse mediante el teorema de Pitúgoras. La dirección de e se obtiene por trigonometría. 1. El módulo del desplazamiento resultante está relacionado con los
= (3 km )2 + (4 km)2 = 25 km 1 Y de aquí
e 2. Sea 8 el ángulo que forma el eje de dirección este con el despl81amiento C. Según sea la figura podemo~ determinar tg 6 y basta utilizar
una calculadora con funciones trigonométricas para obtener (J.
= J'"2S"k=m'" = S km
tg 9
::o:
B
A
y de aquí
8 = arctg
B A =
Um
A
"m Figura 3.4
el = A'l +Bl
módulos de los dos desplazamientos por el teorema de Pitágoras:
B
4km o arctg 3 km • 53.1
O~servacl6n Un vector viene descrito por su módulo y dirección, En e!ote ejemplo el desplazamlemo resullanle es un vector de longitud S km en una dirección 53.1 0 al none del este.
E
3.2
3.2
Propledade~ generales de los vecto res
I
51
Propiedades generales de los vectores
En m;ico c~is l t! n rnu c ha~ magnitudes que poseen módulo y direcc ión, y se sumlln como los dc:.plaz;;Ulll~ntos. Son ejemp los la veloc idad, lu aceleración, el momento linenl y la fuer"n . Estas n~ag llltlldcs s,e lIan~an "ccto res . Las Ilwgniludcs que carecen de dirección asociadu - por ejemplo, la
Los vcclores son magnitudes con módulo. dirección y sentido que se suman como los dc\plazamien los.
,. DEfINlCIÓN - VEcrORB
Un vcctor se representa gráfi camente por una fl echa cuya di rección es tu mis ma que la del vcclor y cuya longitud es proporciona l al módulo del vector. Cuando se expresa e l módulo
de un veClor, debe venir acompañado de sus unidades. Así. el módulo del vector velocidad-"e ,,:I¡pre ~ a en metros por segundo. Dos vectores son iguales cuando tienen el mi smo módulo y la mi!o.ma dirección. Gráficamente esto sign ifica que tienen la misma longi tud y son paralelos :1 uno al otro. Una consecuencia de esta defi nición es que si un vector se mueve mantenién· e ,c paralelo a sí mismo. no se modifica. Así todos los vectores de la figur'd 3.5 son iguales. rrnsladantos o giramos el sistema de coordenadas, todos los vectores de la figura 3.5 per~ necen iguales. Un vector no depende del sistema de coordenadas util izado para su repre· entllción (excepto los vectores de posici ón, que introduciremos en la sección 3.3).
Figura 3. 5 Los \'CClOres son iguales si sus módulos y direcciones son los mismos. Todos los vcelores de es!::! figura son iguales.
Producto de un vector por un escalar Un veClor A multiplicado por un escalar . . es el vector B = . . A . que tiene módulo Isl A yes paralelo a A si s es positivo. y antiparalelo a A si . . e.o; negat ivo. Así. el vector - A tiene el mismo módulo que A. pero apunta e n dirección opuesta. de modo que A + (- A) = O. Las dimensiones de sA son las de . . multiplicadas por las de A.
D. ,
.~
•
C=A - B
C=A - B
Resta de vectores
A
(b)
(a)
Para reSlar el vector B del vector A basta sumarle - B. El resu ltado es e = A + (- 8) = A - B (figu ra 3.(1). Otro método equivalente de restar B de A es uni r sus orígenes y lr'dZar el vector e de B a A . Es dec ir, e es el vector que debe sumarse a B para obtener el vector resultante A (figu ra 3.6b). Las reglas de sumar restar dos vectores cualesquiera. tales como dos veclores velocidad o dos vectores aceleración. son las mismas que las uti lizadas para los desplazamientos.
Figura 3.6
°
Componentes de los vectores La componente de un vector a lo largo de una Hnea en el e!'>pacio es la longitud de la proyec~ ción del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazando una lín~a perpendicular desde el extremo o fl echa de un vector a la línea. como indica In figur.l3.7. El signo de la componente es positi vo si la proyección de la pu nta del vector se encuent ra en la dirección positiva con relución a su origen. Las componentes de un veclor a lo largo de las direcciones x, y y :. ilustnldas en la fi gura 3.8 par.! un vector en el plano x)'. $e denominnn componente!'> rectangulares. Obsérvese que las componentes de un "cctor dependen de l sistema de coorde nadas ut ilizado para su representación.lIunquc el misma vectOr no dependa de ello. Las componentes rectan gulares son útil es para la :mT1ln o re!'> ta de vcctores. Si (} es el (Ulgulo comprendido entre A y el eje .l'. re!-ult n A.\=;\ COS (}
(3.2) COMPONlN'I[ X DE. UN VEOOR
f
• 8,
../
8
A
s,
B
/
<)
.....•
•
H~ .. H {"0'0 8~ .
BCO'-B
lIJ) Figura 3.7 Delinici(Ín de la romptlnentc de un veclor. La componente del veclor A en la dirección poltill\a de S Clt A,. y A, e'- po\llml. La l"Oll1ponenle
e... ncgali\a.
52
I
Caprtul o 3 Movimiento en dos '1 tre) dimensione!
y
:L............. .. I
1\ , . ,\
A,= A sen8
A
A,
sen O
(3.3)
,••
COMPONlNTE y DE UN vtClOP;
••
A, - - -., A, = A CQ\O
Figura 3 .8 Compone ntes rt.'Cln ngulures de un n~c lor. A. = ¡\ cos 8. A,. = A sen O.
en donde A es el m6dulo de A . Si conocemos Ax YAl'• • podemos obtener el ángu lo 8a partir de A
tg (} = :..:.r,
A,
B=
(3.4)
y e l módul o A a partir deltcorcma de Pitágoras : 8., H,. U
(3.5,)
En tres dimensiones.
e
A
e, O.5b)
e,
Las componentes pueden ser positivas O negativas. Por ejemplo. si A apunta en la dirección negativa de x, Axcs negativa. Consideremos dos vectores A y B en el plano xy. Las componentes rectangulares dt: ada vector y las de la su ma e = A + B se muestran en la figura 3.9. Como puede verse, la ef 100 vecwrial e = A + B es equivalente a las dos ecuaciones de las componentes:
Figura 3.9 N
y
w
E
b)
Ejercicio Un coche recorre 20 km en dirección 30° al norte del oeste. Se supone qu x apunta al este y el eje y al norte, como en la figura 3.10. Determinar las componen'. del vector desplazam iento del coche. (Respuesta A., = -17,3 km, Ay = + I Okm.)
S
Figura 3.10
EJEMPLO 3.2
I
El mapa del tesoro
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
Suponga que usted tru.baja como animador en un centro turístico en una Lsla tropical. Dispone de un mapa que le indica las direcciones a seguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted no desea malgastar el tiempo dando yueltas por la isla, porque quiere acabar pronto para Ir a la playa y hacer surflng. Las In.o¡trucciones son Ir 3 km hacia el oeste y luego 4 km en la dirección de 60" al nordeste. ¿En qué dirección debe moverse y cué.nlo tendrá que caminar para cumplir su objetivo con la máxima rapidez? Encuentre la respuesta (a) gráficamente y (b) usando componentes yectoriales
Planteami ento del problema Hay que enconlrar la resuhanle del desplazamiento, que es e en la ~gura 3.11. El triángulo fonnado por los tres vectores no es rectangular, de modo que no podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Podemos obtener gráficamente la resultante dibujando a escala cada uno de los desplazamientos y midiendo el desplazamiento resultante. (a) Si dibujamos el primer vector despla7.llmiento A de 3 cm de largo y el segundo 8 de 4 cm de largo. enCOnlraremos que el vector resultante e es de unos 3,5 cm de longitud. Asf, el módulo del de.o¡plazamienlo resultante es de 3.5 km. El ángulo 8 fonnado por el desplazamiento resultante y la dirección oeste puede medirse con un transportador angular. Por lo tanto. debe andar 3.5 km a 750.
e, e
N
e, -E
w~
A 3cm
Figuro 3,11
s
•
Je v
3.2 Propiedades generales de los vectores 1 53
(b) 1. I'am I'esol\'~r d problema utilil:tndo las componcllIes \'ec toriale~. sea A ~I prull~'r dC'iI,>ln/umicIlIO y elegimos el eje .\ positi\'o en In direcciÓn e~It.! ) el eJe ), poloitivo en 111 dirección norte, Calcu l amo~ A, y A, de ln ~ ecundone" 3.2 y 3.3: 2. De igual modo calculcmos 1m; componente¡; del scgundo dcsplnl umiento 11:
cOllllxmcntc:;. del de~p l al.t1111 i ento resultanlc Obtienen por sUllla:
3. Las
e=A
+
B, = (4 km) cos 60° :: 2 km
n se
4, El teorema de Pitágoru~ no~ pennitc obten!.!r!tl IIlngnitud dc C:
Bv = (4 km) sen 60° = 3,46 km
C. = A. + B, = - 3 km + 2 km: - I km
e l :
q+c; ""
(- 1 km)2+(2J3km)' = 13.0km 1
e = Jíj km =13.61 km 1 5. El cociente elllre Cy
y e, es igual H la tungente del ángulo 9 entre
e y In dirección negativa de x:
t
g
e 9=lc:1
por lo tUIlIO. 2Jj km
9: arctg I km
Jj = arctg (2 3)
=Iw 1 Observaciones Como d dl'.Splazamiento es una magnitud vectorial, la respuesta debe incluir el módulo y la direcci6n o ambas componentes. En (b) podríamos haber concluido el cálculo en el paso 3. yA que las componentes x e )' definen completamente el vector despla7.nmienlo. Se han convenido en el módulo y la direcci6n pam comparar el resultado con la respuesta a la parte (a). Obsérvese que en el paso 5 de (b) se obtiene un ángulo de 74 o. Este resultado está de acuerdo con el de (a) dentro de la exactitud de nuestm medida.
Vectores unitarios Un vector unitario es un vector sin dim ensiones de módulo unidad. El vector A- l A es un ejemplo de vector unitario que apunta en la dirección de A . (A veces, para ev itar confusiones. los vectores unitarios se escriben en negritas con un pequeño ángu lo en su parte supe• rior: por ejemplo, A = A- l A .) Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x, y y z son convenientes para expresar los vectores en función de su~ componentes rectangulares. Usualmente se escriben i. j Y k, respectivamente. Así, el vector A..,i tiene módulo A ~ y apunta en la dirección x positiva si As es positiva (o la dirección x negaliva si A.. es negativo), Un vector A en general puede escribirse C0l110 suma de tres veclores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 3. 12):
)'
J
;
.,
(a)
(3.7)
La suma de dos vectores A y B puede escribirse en función de veclore!> unitarios en la fanna A + B - (A ,ri + A\j + A;k ) + (B ri + B)j + B:k )
t----•
(3.8)
- ( A .l +B ... )i+ ( A .v + B ).)j +(A : +B:) k
Las propiedade..., gencru les de los veClores se resumen en la tabla 3. 1. Ejercicio
y
8= (2 m)I -(3 01 »).
determinar(u) A, (b) IJ. (e) A + 8 . Y (d) A - 8 . ( Re.f/}//eSUlS A +8
=(6 m)l . (d) A - 8 =(2 m)1+ (6 O1)j .)
•• •• •• ••
AJ
-------A
•
• ••
•
• • • • • •
• • " , ~-------------_. -
A_k
-
(b) Figura 3.12 (a) Vectores unitarios I,j 't k en un
Dados dos vectores A =(4m )I +(3m)j
••
••
1--------------_-' .
• ••
(CI)A = 5 m, ( h) B = 3.61 m. (e)
sistema de coordenadas rectangulares. (b) Veclor A escrito en funci6n de los \·cctore~ unitarios: A . A.•I +,4,J +A,k.
I
54
---------- --,Capitulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
TABLA 3. 1 Propiedades de los
vecto re~
A ,= B.f A. = IJ.
A = U si IA I = In l y sus direcciones y sentidos son ¡gunle!'>
IgUll ldnd
A.• = 8 •.
e, =A... + 8..
Adición
eJ =A},+ B.,
C=A + U
Ncgnti\'o de un vcctor
· -
A.. =-8", Ay = - B), A.• =-8.•
A = - 8 si IIlI = IAI y su sentido es opueSto
e=A-
Sustracción
-
C. =A.+B.
• • • •
U
;
C... =A A- B,t C,=A. - B.,
- . .
C.=A.- B.
e
B.. = sA,l
r.,·lultiplicnción por un escalar
n = sA tiene el módulo IBI = siAl y lo. misma direec ión (loe A si es s positivo o - A si s es negativo
3.3
11
,¿
B, = sA\. D.• = sAo •
''/
Posición, velocidad y aceleración
Vectores posición y velocidad y
El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen de un siste. I de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para una partícula en e l punto (x. y) su \.:ctor posición r es
P1 CI1l 1
" .,
r= .d + yj
( 9) DefINICIÓN - VECTOR POSICIÓN
o
.,
Figura 3.13 El vector desplazamiento ó r es la diferencia de los veclores de posición 6 r = r2 - r l' Oe igunl modo n r es el vector que sunmdo a r l nos dAel lluevo vcctor posición r2'
La fi gura 3. 13 representa la trayectoria o camino real seguido por la partícula. (No confundir In trayectoria con los gráfi cos x en función de r del capítulo anterior.) En el instnnt\! ' l' la partícul .. se encuentra en PI' y S U vector posic ión es r l : en el instante 12 la partícu lo :se ha movido 1I P2 Yel veClor posición es r 2' El cambio de posic ión de la partícula es el vector des' plazamiento ~ r :
(3.10) DEfiNICIÓN -VECTOR DESPI.AZAMIENT"O
El coc iente entre e l veclor dcsplazumiento y el imervalo de tiempo Al
velocidad media .
Vm -
-dI
dr
='2- '1 es el \-edOI'
(3.11)
DEFINICIÓN - VECTOR VUOCIOAO N(ry.t.
Este VeClor apumn en la dirección del desphuamiemo.
3,3 Posición, velocidad y lJceleraclón El módulo del vector de'plauullienlo e~ inferior a la distancia recorrida a lo largo de In c urVll :1 m~no~ que In parlfcula se mueva en Irnen rectn. Sin embargo. si consideramos ¡llIcr. ":IIOS d~ tiempo ca~t\ vez más pequeños (figuru 3, 14), el desplaztlmicnto se uproximu n In dISt?IlCI3. real rec0';1dll por In parlículu a lo largo de la c urva, y la dirección llr se aprox ima a la c!trccc¡ón de In hnea tangente a la c urva ell el comi enl.O del intervalo. [)efinimos el vcclor \'clocid:H1 ins llI nt:1ncu cama el límite del vCctor velocidad media cuando Al tiende a cero:
)'
La tangente a la curva en
\' -
<.\1-0
"1
por definición IlJ dIrección deven/'¡
"
.,.
(3, 12)
dI
Al
55
e$
-
, or d .' 1un -= -
I
LIo r '
ár
DE~INICJÓN - VECTOR VElOCIDAD INSTANTÁNEA
El veclor velocidad in stantánea es In derivada del vectOr posición respecto al tiempo. Su módulo es In velocidad esclllur y apunta en 111 direcc ión del movimiento de la p:lrlículn a lo largo de la línea tangente n lu cllr\'a.
Figura 3. 14 Al considerar intervalos de tiernI'Q cada ve1- más pequeñol>, la dirección del dc..<¡pl!v.a. micnlOM: aprol{i mn a la tangenle a 111 curva.
Pam calcular la derivada en la ccullción 3.12 el{presarnos el vector pos ición en runeión de sus componentes.
Por lo tanto . v
, ór 11111 -= l ·un ó,xi + ó'yj = l.\t ...
o ó'r
Ar--O
llr
1,1m (0-'), - 1 + l'1m (6") ó'r
<.\1-+0
l.\t-+O
Ó,l
es decir.
d.t.
dy .
\' - - I + - J - v i + v J' dI dr x )'
EJEMPLO 3.3
I
(3 ,13)
la velocidad de un velero
=
=
Un barco de vela liene las coordenadas (x\tY ¡) (110 m, 218 m ) en el instante ti 60 s. Dos minutos mós tarde, en el insta nte 12• sus coo rdenadas son (xI'YI) = (130 m. 205 m), (a) Deter· minar la velocid ad m ed ia en este intervalo de dos minutos, Expresar l'm en función de sus componentes rectangulares. (b) Determinar el módulo y la dirección de esta velocidad media. (e) Para t '2: 20 s, la posición d el barto en funci6n del tiempo es x(t) = b l + b~ e y(t ) = C I + C'¡I. donde b ¡ = 100 m , b l = ~ mis, cl = 200 Ye2 = 1080 m ' s. Calcular la ,'eloddad instantánea en el liempo gcn,érico I ;a: 20 s.
y. m
Planteamiento del probl ema Se conocen las posiciones inicial y fina l del barco de veln. (a) El veclOr velocidad media apunta de la posición inicial a la finaL (h) Las componentes de la velocidad in ~ lalllánea se calculan a parti r de la ecunción 3. l 3: ti.• =rlx/t/r y I'y =lly/llt.
210
\' ... /ti
1' .. '"
23" 22<)
(110,218)
,
120
110
Figura 3.15
donde l'
.,.
\'
".
=
"-' - = ót
130m -11 0m = O, 167m/s 120 s
-2 1S m"" -O,I OS mi" = ~- 205 m120 .. Al
por lo tunlO ' . +O,167m1,j 1-(O,I08m1,j j Pil ñgorn~:
,,
200
(a) 1. Dibuje un sistema de coordenadas (figura. 3.15) que mu~lrC el desplazamiento dcl vclero. La dirección dd vector \'clocidud media y del veclor desplazamienlo coincide.
3. El módu lo de YmSC deduce del teorema de
•
\'.. =
J( I·..... l l
+ (\".... )2
,,, ,
• • ---.---- ---- --- •t130.205) 100
2. Las componentes x e y de In veloddlld media \' mse calcu lan direclamente a parlir de sus defi niciones:
o ._--'.-_._- --
I
~O,I99m1s. 1
130 .(, m
56 1 C3prlulo J MovI mien to
tl ll
dos y tres dimensiones
2. El cocientl' enlre I'~.m Y ¡',.m expresn e:1 \'alor de lu tangente del ángulo Oentre \ 'm Yel eje x:
tg O '"'
-
1'. ,nI
\ ' I.m
luego
,,,,,g\\.m _ urctg - O.1 08 mis ",-", 0, 167 mis (e) L'l velocidnd instun ttlnc!l v sc obticne calculundo dxldt y dy!tlt.
,
.
=1 33001 '
~ I +~J dI
dI
mmódulo de v ~e obtiene de \'
= JI' ~ + I'~ Y su dlrecci6n de tg (J = I ' II 'A' Ejercicio Detcrminnr lus componentes x e y y el módulo y dirección de lu velocidlld instontánen del barcl) de vel:! en el instnme ti = 60 ~ (Re,tpll/!sU/~' v .:::! <¿ m/s) l - (0.30 m/.. )j , Observació n
\'1 .: :! 0.34 mIs , (JI .: :! _60.9°,)
Velocidad relativa
(n)
Las velocidades relati vas en dos y tres dimensiones pueden combinarse del mi smo modo que lo hacen en unu dimensión, excepto en el hecho de que los vectores velocidad no coinciden necesariamente u lo largo de la misma línea. Si una panícula se mueve con velocidad , , relaliva a un sislema de coordenadas A, y éste a su vez se mueve con veloc idad vAB relati\a a a iro sislema B, la velocidad de la partícula respecto a B es
(1
YpB= Vp.A" V AB
VELOCIDAD IUlAT
(b)
(e)
Por ejemplo. si Ud. se encuentra en una vagoneta que se mueve respecto al suelo con vel ¡. dad v'"$ (figura 3, 160) Y camina con una velocidad relativa a la vagoneta de vp' (figura 3.1 l. su velocidad relativa respecto al suelo será la suma de estas dos velocidades: Y IX = y... i (figura 3.16c). La velocidad del objeto A relmi va al objcto B es igual en módulo y opuesla en dirccc.:i n a la velocidad del objeto B respecto al objeto A. Por ejemplo, Y p' .:::! - v "p' en donde Y' p e~ Id velocidad de la vagancia respecto a la persona. La adición de velocidades relalivas se reall1 j del mismo modo que la suma de desplazamientos: gráficamente. situando los vectores velocidad el origen de uno en el extremo del otro o bien . analíticamente a panir de las componemes vecloriales.
Figura 3.16
EJEMPLO 3.4
1 Movimiento de un avión
Un avión debe l'olar hada el norte. La velocidad del avión respecto al aire es 200 kmlh Y el "icnto sopla de oeste a este a 90 km/h. (a ) ¿Culil debe ser el rumbo del avión? (b) ¿Qué "ciad. dad debe llevar el a"lón respecto al suelo'! Planteamiento del problema Como el viento sopla hacia el e.<¡te. un avión con rumbo hacia el norte derivará hadu el este, P:J.m compensar el \'icnto de trav6s. el avión debe dirigirse hacia el noreste. La velocidad del avión respecto nI suelo VA. será In suma de la velocidud del Ilvión respecto al aire \ '''1 más lu velocidnd del aire respeclO al suelo " :OS' (a) 1. u¡ velocidad d~1 :lvi6n respecto al liuelo viene dada por In ecuoción 3, 14: 2. Dibuje un diagrnma que muestre la suma de los vectores dt!! pn!iO l. Ponga los ejes de referencia como los que se muc,\lmn en la figura 3. 17.
v.... = v". + v".
N
'. 0---=:":
s Figura 3.17
• 3.3 Posición, velocldad y acele radón
3 . El' seno del áng ulo (J rannado por la velocidad del '.<. d U'L'<:Clu n norte es igual al cociente entre v
v,. .
&< J
.•
nVlull
y Iu
<." n 9 __ "~o
.....
.... .
\'. .
por lo tanto (J
(b ) Como 1'. ) y " M son perpendic ulares podemos uliliz.ar el tcorcmll de Pilágoras para de tenninar el módulo de v",:
= arcsen
v:. : : v
90 kmlh ~ Mesen 200 km!h = ~
con 10 cual
= .f(200kmlh)'-(90 kmlh )' =1 179 kmlh
Vector aceleración Se define el " celor aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instantánea .6.\ ' y el intervalo de tiempo tk
óv
(3. 15)
Ót
DHINICIÓN - VfCTOR AC ELERACIÓN MEDIA
El vector aceleración instantánea es el límite de esta relación cuando el intervalo de liempo se aproxima a cero; es decir, el vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad res peCIO al tiempo:
a
= lim 6. v= d v "'/ -+ o
6.1
(3. 16)
dI D Ef iNICIÓN -
VECTOR ACELERACIÓ N IN STANTÁNEA
Para calcular la aceleración instantánea expresaremos v en función de sus coordenadas rectangulares:
d.t. dy. dZ = -I+-J +- k dI dI dt Por lo tanto.
a =
dVJ: dI i
dv y • dV' k d 2x . d 2y . d 2Z k + d I J + dt' = dI 1+ dI J + dI
(3. 17)
= a) + a}j +a:k
EJEMPLO 3.5
I
El movimiento de una pelota de béisbol
La poslcl6n de una pelota de bBsbolaolpeadl por el baleldor viene d·d. por la esp. d6n r. 1,5 m I + ( l2 mis I + 16 mlsJ)t-4,9 mlr J Determinar su velodded y ~
r.
Planteamiento del problema Dado que r =..rl + yJ. lenemos que x = I.S m + (12 mis)' y que y = (16 mls)t _ (4.9 mis'!.)? Podemos calcular las componenlcsx e y de la velocidad ydc la acelera ción derivando x e y respeclOa r.
I
I
57
58
I
Cnprtulo 3 Movimiento en d os y tres dlmelUiones
1. Laío co m ponc l1le ~ re y dc lo
~'cl()cidad ~e
obticnen derivundo .\ e y.
v,
¡',
=
t!!.:= tlt
- t!1. ll! =
E-[J.5 m +{ 12m/ío) tl= 12 mis
(J/
= !!..[ ( IÓm/!.) t _(4.9m1¡,2) t 2 1 lit
1 6rnls - (9.8m/~2)t
di' •
2. Derivondo de nuevo ,e obtienen las componente!> de la aceleración:
o
(J.
= tlt
0,
= ---o! :::: - 9.8 mls 2
d,' dI
v _ ( 12 m/s) i + [ 16 mI!. + (9.8 mls2) tlj
3. U¡ililanc!o h! notación \cctorial. 111 vclcx:idad y la aceleración son:
11 - (- 9.8 m/s2) j
Observaclón ~ecc i 6 n 3.4.
Este es un ejemplo del movimiento de proyectiles. tcmu que
es tudiaremo~
en In
Para que un vcctor sea constante. lanto su módulo como su dirección deben pemllllll'cer constantes. Si cualquiera de ellas cambia, el veelor se modifica. Por lo tanto. si un l t 'he loma una curva en la cilrretcra con el módulo de la veloc idad constallle. experimem ma acelernci6n. ya que el vector velocidad se modifica debido al cambio de dirección.
EJEMPLO 3.6
I
Doblando u n a esq uina N
Un coche se muC\'e hacia el este a 60 km/h. Toma una cu rVa}' 5 s mús la r de viaja hacia el norte :160 km/h. Delermina r l:lllceleración media del coche.
Planteamiento del problema Los vcclOres inicial y fina l se. indican en la figura 3. 18. Elegi mos el vector unitario i hacia el este y el vector j hacia el none y calculamos In ncelernción media a partir de su definición. n = ñ v/ñr. Obsérvese que Ll v es el vector que sumado ti VI nos dll v r .
2. El cambio de velocidad viene relacionado con las velocidades inicial y final:
,.,
VI - V I
3. Exprese Ins velocidades inicial y final como veclOres:
Observación
o
6v 6/
1. La Ilcclcración mcdin es el cociente entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo:
4. S U ~ lilU yu lo, resul!ado) unteriores para delerminar la aceleración rncdiQ:
,
V¡
= (60 kmIh)i
Vt
= (60 kmlh)j
nm -
Vf - ' "
ñt
(60kmJh)i -(60 kmlh )j 5s
_
=1-[( 12 kmlh )/s JI + [ ( 12 kmIh) /s lj I
v,
El coche acelera. aunque el módu lo de la velocidad no cambia.
Ejercicio Determinar el módulo y la dirección del veclor Ilccleraci6n media. ( 17.0 kmlh)1~. a 45" hacia el oe~ te del none.)
'1
(Re.f/Jl/t>Jtfl
(1m
=
(b) Figura 3.18
~l t~O\l¡ l1lieIllO de un objelo alrededor de una circunferenciu es un ejemplo corriente de mOVU1l1ClllO en el cuul In velocidad de un objeto cambia. aunque su módulo permanezca constanle. La dirección .d el ve.cto~ aceleración En los ejemplos ~iguientes quercnu,l!l mo!otral' c~mo ~e deIC~m1ha la dl,,:ccl6n del Vcelor acclernci6n ti partir de una descripcn~n del mo\1 mtento. Por cJcmplo. anllltcolllo~ e l mO"imiclllo de uno gimno~11l ..aliando en una plataforma 0
3.3 Posición, velocldltd y accler!ldón
'u· • 'I ~
'0 •
•o •
'> •
• ' 11
'2 ·
• 'l O
"
• I~
o',
.. ".
•
-o',•
" "
ti·
o',
(ti)
o',
t
6\0
•
'"
(/))
Fig ura 3. 19 (ti) Diagrarnu del movimicllIo del trenndo de uno snlt.. dorn cuundo llega al suelo. Los pUnlOS se hun dibujmlo o in:-tnntes de tiempo consc:utivos. (b) Dibujamos [os \'eclores v~ y \ ',1 en el mhmo puntO y dctcnninnrnos 6 \' como el vector que une el extremo de \'2 con el punlO que alcanza \ '4 Je modo que \ '2 + 6 \ ' = " J' La ace[ernción (13 vu en la mbma dirección y sentido que 6v.
• "
Figura 3.20 Los puntOS (lue representan el ascenso de In saltadora se dibujun a la derechll de aquellos que representan su descenso con el objetivo de que no se superpongan . Sin embargo, el mo\'imiento de la saltador:!. está dirigido en la misma dirección aunque con sentido contrario.
elástica cuando alcanza el punto más bajo de un salto y frena y. posterionnente, cambi a el ~e ntido de su veloc idad iniciando un nuevo salto. Para determinar la dirección de la aceleración cuando está frenando. en la figura 3.19a dibujamos una serie de puntos que muestran su posición en sucesivos instan tes de tiempo. Cuanto más rápido se mueve, mayor es la distancia que recorre en in stantes de tiempo suces ivos y, por lo tanto. mayor es la distancia entre los correspondientes pumos de la figura. Numeramos los pu ntos correlati vamcnlc, empezando con el cero. En el instante lO la saltadora está en el pun to O. en el instante It en el punto I y as í sucesivamente. Para dete rminar la dirección de la aceleración en el instante dibujamos los vectores que represe ntnn la velocidad de la saltadora en los instantes 12 y 14' La aceleración media en el intervalo entre 12 y 14 es /:::'v//:::'[ donde 6 v = v4 - v2 Y 6 r = [4 - 12' Usamos estas ex presiones para estimar la aceleración de la sa ltadora en el instante de tiempo ' 3' es decir. a3 "" 6 v/61. Como a3 Y 6 v van e n la misma di rección. determinando la dirección de 6 \' e ncon tramos también la dirección de 33' La di rección de 6v se obtiene usando la relación " 2 + 6" = VJ Y dibujando el correspondiente diagrama de suma de vectores (fi gura 3. 19b). Como la saltadora se mueve más rápido en el instante t2 que en el instante tJ (los puntos están más separados). la longitud de \'2 es superior a la de v4' A partir de la figura obtenemos la dirección de /:::'v y. por lo tanto. la dirección de a3'
'3
Eje rci ci o La figura 3.20 es el diagrama del movimiento de la saltadora ames. duranle y después del instante de tiempo t6' cuando se halla momentánemanete en reposo en el punto más bajo de su descenso. En el trozo mostrado de su ascenso la velocidad de la saltadora aumenla. Utilice este diagramn para determi nar la dirección de la aceleración de In salladora (a) en el instante ' 6 y (b) en el instante 19' (RespueSla (a) hacia arriba. (b) hacia arriba)
EJEMPLO 3.7
I
Un birrete volador
Un estudiante de "sita el dfa de su graduación lanza su birrete al aire con un IÚIplo Inlclal de 60" por encima de ID horizontal. Determinar la dirección de la aceleración del blrrele durante su movimiento ascendenle usando un diagrama del movimiento. Planteamiento del problema A medida que el birrete sube. pierde velocidad y varia ~u posición. Dibujaremos el diagrama del movimiento y para determinar la dirección de Av. es decir. la de lu IlccleraciÓn. haremos un e~q uema de la relación "1+ 6" = " r'
I
59
60
I
Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
1. El diagrama de la figura 3.21a muesU"ll el movimiento ascendente del birrete. Como a medida que asciende se frena, el espacio entre los puno tos disminuye.
2. En un punto de la figura se dibuju el vector velocidad en un instnnte de tiempo inmediatamente unterior y posterior al elegido. Nótese que los vectores se dibujan tangentes n In trayectoria del birrete.
3. La representación gráfi ca de la relación
Vi +
a v = v( se obtiene dibuj ando los dos vectores velocidad en un mismo punto. Estos vectores tienen el mismo módulo y dirección que los vectores dibujados en el paso 2. El \'cctor ÓV se obtiene uniendo sus extremos.
(a)
(b)
.,
4. El vector aceleración tiene la misma dirección que el vector av, pero no necesariamente la misma longitud, ya que a = Óv /61.
(d)
(e)
Figura 3.21 Observación El método de determinar la di rección de la aceleración mediante el d iagrama del movimiento no es preciso. Por consiguiente, el resu ltado solamente es una estimación de la aceleración. no un cálculo exacto. Eje rcicio Usar el diagrama del movimiento para determinar la dirección de la aceleración del birrete del ejemplo 3.7 durante su caída. (Re.rpl/esla directamente hllcia abajo)
3.4
Primer caso particular: movimiento de proyectiles
-
La figurn 3.22 muestra el lanzamiento de una partícula con velocidad inicial Vo y form. ~ o un ángu lo 80 con el eje horizontal. Sea (xo. )'0) el punto de lanzamiento; )' es positiva t- la arriba y x positiva hacia la derecha. Las componentes de la velocidnd inicial son
y
(3 .lS') (xl). Yo) \ '010
x
= Vo sen l%
(3. 18b)
En ausencia de la resistencia del aire, la aceleración es la de la gravedad. dirigida verticalmente hacia abajo:
Figura 3.22
,- O
(3.)9,)
1I -
y
(3. 19b) Como .Ia aceleración es COnstante, podemos utilizar las ecuaciones c inemáticas discutidas en el c.apttulo 2. La componente x de lu velocidnd es conStante, ya que no existe aceleración honzontal :
.
v, = 1',
La componente )' varfa con el tiempo según la ecuación 2.11. con
'\= \'u-.- X'
a = _g: (3.2Obl
3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles
G Obs~n.c...¡c que 1'\
I
61
de.peIHIl' d~ 1', )' ViCl','crsll.l...as CfJlll{J(JII/.! lItWi ¡'ori '!.lJlI/(l1 y ¡'crtic al (Id ,,/Olljltll/HIfO ~/p pro)'I'c llfe.\· .HUI lIu(l!IJtJtuliemes . BSlo puede dernostrurse dejllndo caer unn bol:1 dcSd~ c len.a ahum y proyectando horizonttllmelllc desde la misllIll altura unu segunda ~Ia ni mis mo ~ Ielllpo. Ambas bolas chocan contra e l sucio símuhánemnente. Los despinza. mlCntos x e)' \llene n d ndo~ por ( v én~e ecuació n 2. 16.) Ilf)
(3.2Ia) .l'(¡ )
(3.2 1b) ECUACIONES DEL
MOVIMIENTO DE UN PROYECTlL
La notación x( t ) e y{ t ) destaca simplemente que x e)' son funciones delticmpo. Si se conoce lo componente y de la vel ocidad inicial, lu ecuación 3.2 1b nos perm ite determ inar e l instante r en que In part íc ula se CIlCu cntru u 111 ahu m y. Ln posición horizontal en ese mismo tiempo puede colcularse a punir de In ecuación 3.2 Ia . Ln db:aunc ia total horizontal recorrida por un proyectil es su alcalice. (Las formlls vectoriales de las ecuuc ioncs 3.19 a 3.2 1 se dan en las páginas 63 )' 64 .)
EJEMPLO 3.8
I
Otro birrete en el aire
Un estudiante de risita lanz.a un birrete al aire con una velocidad inicial de 24,S mis, formando un á ngulo de 36,9° con la horizontal. Posteriormente, otro estudiante lo coge. Determinar (a) el tiempo total que el birrete está en el aire y (h ) la distancia lotaJ horizontal recorrida.
Plantea miento del problema Elegimos la posición inicial del birrete como origen, de modo que Xo = )'0 = Q. Suponemos que el otrO estudiante lo coge a la misma altura. El tiempo total que el birrete está en el aire se dctcnnina haciendo y = Oen la ecuación 3.2 Ib. Este resultado puede utilizarse en la ecuación 3.21 a para detenninar la distancia total recorrida. (a) 1. Hacemos y = Oen la ecuación 3.2 1b y despejamos r: 2. Existen dos soluciones para r:
, t
o =
(condiciones iniciales)
21'01
g 3. Calcular la componente vertical del vector velocidad inicial: 4. Sustituir este resultado en vil)< del paso 2 para detenninar el tiempo total 1:
(b) Utilizar este valor del tiempo para calcular la distancia total horizontal recorrida:
g
g
_ 2(24,5m1s)sen36.9° =13.00s l 9.81 mis! x = vo~t _ (1'0 cos 80)1 = (24.5 mis) cos 36.9°(3.00 s) =158.8
mi
y. m
Observación El tiempo que el birrete está en el aire es el mismo que obtuvimos en el ejemplo 2.9. en donde el birrete fue lanzado verticalmente hacia arriba con l 'O = 14.7 mIs. La figura 3.23 mueStra la altura y en función de t para el birrete. Esta curva es idéntica a la rep.resentada e.n la figur:a 2. 11 (ejemplo 2.9) porque ambos birretes están sometidos a la misma aceleroclón y velOCidad venlca l. La figura 3.23 puede re interpretarse como un gráfi co de y en función de x si .su escala de tiempo se conviene en una escala de longitud. Para ello basta multiplicar los valore.~ delllcmpo por 19.6 mis. ya que el birrele se desplaza horizontalmente a (24.5 mis) cos 36,9" = 19.6 mis. La. curva y en fun · ción de x es una parábola. . . La figura 3.24 muestra una serie de gráficos de la.,> distancias veni~ales en fun~I~~ de I~ d~stan. cias horizontales paro proyectiles de velocidad inicial 24.5 mis y vanos ángulos IniCiales dlsllnt~. Los ángulos representados son 45°. que es el de alcance máximo. y pares de ángulos que difieren e
10
. - ..
, I I 19.6
,
39.2
Flgur. 3.23
~8.8
.l.
m
I
62
(3pítu lo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
mbmo mimcro de gr.\dos por cncima y por debujo de 45°. Obsérvcse quc estos pare~ de ál~gulo tienen el mismo u1com.:e. Lu CUI'V:l :I/ ul tiene un ángulo iniciul de 36.90 (0.64 md), como en e.<;le ejemplo.
lom
]O
25 0 = 53.1 0 _ _ _ 0 = 45°
,O 15
O'" 36.90
10 5
° 0C--7'0~-~'~0--]o~-~40~-~5~0~-60~-~70~~x~.,~n Figura 3. 24
La ecuación gcneral para la trayectoria y(x) puede obtenerse a partir de las ecuaciones 3.21 eliminando la variable t enlre ambas. Escogiendo .\'o = Yo = O se obtiene t = xlvo.:de la ecuación 3.2 Ia. Sustituyendo estc resu ltado en la ecuación 3.21 b se obtiene
Teniendo en cuenta los valores de las componentes de las velocidades, resulta R Alcance P Punto de impacto
(3.
--.. : .;
v = \'ox i
)
TAAYKTORIA Ol UN PROVEe!
, D,
o
\'(}.r
i
R-
_ _ __
x
Figura 3.25 Trayectoria de un proyectil. en donde se indican lo!> vectores velocidud.
para la trayectoria de un proyecti l. Esta ecuación es de la forma y = ax + br. que es la el ,Jción de una parábola que pasa por el origen. La fig ura 3.25 mueSlrU la trayectoria de un proyecti l con el vector veloc idad y sus componentes indicadas e n diversos pu ntos. bota trayectoria se refiere a un proyectil que choca con el suelo en P. La distancia horizontal entre el pu nlo de lanzamiento y el de impaclo es el alcance R. En el caso especial en que las elevaciones inicial )' fi nal sean iguales, puede deducirse una fórmula general para hallar el alcance de un proyectil en función de su velocidad inicial y el ángulo de proyección. Como en los ejemplos anteriores, el alcance se obtiene multiplicando la componente x de la velocidad por el tiempo total que el proyectil está en el aire. El tiempo tolal de vuelo T se obtiene haciendo)' = O en la ecuac ión 3.2Ib:
Dividiendo por T ~e obtiene
Por lo tanto, el tiempo de vue lo del proyecLi I es
T = yel alcance:
2 \'0 - sen 80 g
3.4 Primer ( aso partlculnr: movimiento de proyectlles 1 63
ESUl expresión puede simplificnrsc l·., ,',gu .' e.l. e' ', de n.·d < . . ul ilizando • I !lel tn' gonolll¡;;lflcU:
sen 2B = 2 sen (J cos
Por cOIl!>iguicIlIC.
f)
va R =-scn 2 fJ g
(3.23 )
o
AlCANn DE UN PROVECTlL PARA tLEVAClONES INICIAL y nNAllGUAUS
Ejercicio Uliliznr la ecuación 3.22 de la trHycclori a para deduci r la ec uación 3.2 3. (Respuesw I lacer y(x) = O '1 despejar x.)
Trayectoria de ~ngulo de liro 01 5-
,'._--.,'3seria U3yecl orlG de 45· la de Iláximo
Ln ecuución 3 .2 3 es úti l pam dell:mn inar el alcance de proyectiles con elevaciones in icial
~
'1 final iguales. Es import ante dcsulcar que es ta ecuac ión muestra cómo el alcance depende de 8. Como d valor máx imo de sen 2 (} es 1. cuando 2 (J = 9 0 °, o sea. 8 = 4 5° . el alcance del proycclil es máx imo cuando (} = 4 5 ° . En muchas aplicaciones prácticas las cotas de al!ura
inicial y fi nal pueden no ser igua les y son importalllcs otras consideraciones. Por ejempl o. en el lanzlI miento de peso. In bola termina su recorrido cuando choca contra el suelo, pero ha sido proyectada desde una ahura inicial de unos 2 m sobre el suelo. Esto hace que el alcance sea máx imo para un ángulo algo inferior a 4 5° . como se ind ica en la figura 3 .26. Los estudios realizados de los mejores lanzadores de peso muestran que el alcance máx imo tiene lugar para un :1ngul o ini cial de unos 4 2 ° .
EJEMPLO 3.9
I
La caída de un paquete de aprovisionamiento
SI las cOln Inicial y /lnal fueran \gUilles,
-' .:::.r....... TrayKtona parabólka mb aplanada
Cota inicial
•
COla final
Figura 3. 26 Si un proyectil loca el suelo en una COIIl inferior a la de proyección, el alcance máximo se alcanza bajo un !ingulo de tiro algo menor de 45 Q •
y. m
Un helicóptero deja caer un paquete con suministros a las víctimas d e una inundaciÓn que se hallan en una balsa . C uando el paquete se lanza, el h elicópte ro se encuentra a 100 m por encimo de In halsa, volando a 25 mis y formando un ángulo d e 36,9° sobre la horizontal. (a) ¿Durante cuá nto tiempo estará el paquete en el aire? (b) ¿Dónde caerá el paquete? (e) SI el helic6ptero vuela a velocidad constante. ¿cuál será su posición en el instante en que el paquete llega al su elo'!
o
• x, m
Planteamiento del problema
La distancia horizontal recorrida por el paquete viene dada por la ecuación 3.2 10. en donde I es el tiempo que el paquete se encuentra en el aire. El valor de 1 puede determi narse a partir de la ecuación 3.21 b. Escoger el origen directamente por debajo del helicóp!ero cuando el paquete se lanza. La velocidad inici .. ] del paquete es la velocidad inicial del helicóptero. (a) 1. L.1 trayectoria del paquete dumnte el tiempo que CStú en el aire se
-'00 . . ..... . ........... . .. . . . . . ..... . . ...
muestra en la figu ra 3.27. 2. Para determi nar el !iempo que cl paque!e est!i en el aire e.<¡cribi· mos y(t).
3. Hacit:ndo Yo = O. podemos aplicar 111 f6rmula para la resolución de la ecuación de segundo grado pllra t:
y(t) = Yo + 1'0,.1 -
o
FIgura 3.27
o = ~g r2 -
I'o.r + y( r)
despejando r
r= 4. Calculamos t cuando y(t) = - 100 m. Para ello se calcula \ '0. y dado que el paquete se suelta cuando r = O, el tiempo que transcurre hasta el impacto no puede ser negativo. Por lo tanto:
~8 r2
\'0.
\'0.
± Jr ,,¡',-_""'2"' , .::;,~c/); , 8
= Vo sen 6 0 = (25 mis) sen 36.9" = IS mis
y sustituyendo 1
IS mld J (lS mi.), - 2(9,81 mI.')(- IOO m ) = 9.81 mls1
hay dos soluciones , . - 3,24 5 o 1=6.305
/./6.30 ,1
64
I
Cl'Ipftulo 3 Movimiento en dos y tres dime nsiones
(b) Cuando el puquete choca con el agua. se ha mayido una distancia horizontal.r. donde.r es la velocidad horizontal por el tiempo de caída del paquete. Primero calculamos la velocidad horizontal; (e) Las coordenodos de la posición del helicóptero en el momento del impacto del paquete con el agua son:
Vo cos 90
\'01 ::::
::::
(25 mis) cos 36.9" = 20 mJs
por lo tanto
vfl~'::: (20 mls)( 6.30 s) =~
.\' :::
.rh
::
"o.. t = (20 mls)(6,30 s) =1126 m 1
)'h
=
)'hO
+ l/hO' = 0+ ( 15 mls)(6,30 s) =194,5 mi
El helicóptero está 194.5 m directamente por encima del paquete.
Observación El tiempo posit ivo es el npropiado. ya que corresponde a un tiempo posterior al lan· zamiento del paquete (el cuul tiene lugar pura t = O). La solución negntiva del tiempo corresponde 01 instante en que el paquete se encontrnrfa a)' :::: O si su movimiento hubiera comenzado con anteriori· dad. como indicn la figura 3.28. Obsérvese que el helicóptero se encuentra por encimo del paquete cuando éste choca contra el agua (yen cualquier momento anterior). La figura 3.29 muestro un grá· fico de)' en función de .r para unu serie de paquetes lanzados con diYersos ángulos iniciales y con una velocidad inicial de 25 mIs. La curva de ángulo inicial 36.9° es la de este ejemplo. Obsérvese que el má:
90 ::: 70 80 .,53.1
80 ::: 45 80 ::: 36,9
- 3.24 , s --1
, ,,'-3
,
-'
-1
1
2
,
6.30 , s
,
5
6',, 7 '-'
y. m
0,.20
20
,
O
c-~------r--------- <.m
20
lOO
120
-20 -40
,, ,, ,, ,, ,, ,
--.--- -100 m
,, ,,, ,, ,, , ,
-------_._----- --------- ---Figura 3.28
EJEMPLO 3.10
I
-SO -100 -
Figura 3.29
A la caza del ladrón
Un policía persigue a un consumado ladrón de joya a lrav& de Jos tejados de la dudad. Ambos están corriendo a la velocidad de 5 mi. cuando IIqao • un espado vado entre dos edificios que tiene 4 m de anchun y un desnivel de 3 m. tal como IDUea:lra la 6¡ura 3.30. El ladrón, que tiene SlpDOS conodmlentOl de "'lea., ..Ita. S mis con una Inclinación de 45 0 y saJva el hueco con racllldad. El pollda nuftca esludló ffslca y pie.... que lo mejor seria aaltar con el múlmo de velocidad horizontal, de modo qae aalQ¡ • S mi. horboIlhlmente.
Planteamiento del problema El tiempo en el aire durante el salto depende sólo del movj. mítnlO venical. Elegir como oriaen el punlo de lanzamienlO con la dirección positiva hacia arriba. ~ poder aplicar las ecuaciones 3.21. Utilizar la ecuación 3.21b para y
¡INTENTELO USTED MISMO!
nn ._-, -
':-Hl
f9mUO
3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles
I
65
Top~ lo columna d~ la derecha (' intenlr r~!olverlo usted misma
Pasos
Re30pUe\ti'l\
(a) 1. Escribir Y(/) paro el polida y calcular t cuando y = -3 m.
t
2. Determinar la dist:mci3 horizOnlnl recorrida durante este tiempo,
1I.7tP,
' 1'.9101 1 ('omo t',t;& ¡h,t.ltllI01 c.. m\'n<'T
(b) 1. Escribir y(t) p.1rn el ladrón y sU!ttiluir )' = -3m. y(1) cs una ecua.
ción de segundo gmdo con dos solucioncs. pero sólo una cs uecp· table. 2. Culculnr la distnncin horizontal correspondientc ni valor positivo de l .
3. Rl!stur 4 rn de est>! distunci n.
In,; s
11
l'rul~lr
1.21,
t
()h\l.\m1'llll·. l'll;lIlron .1kaJ\JU c1lcdllJ J1'~ptll:'
,
,
\' I
4.31m
·1.-'lm
I,O m .¡ o .."\lm l
Observación El 1ndrón probablemcnte sabfa que debía saltnr con una inclinación algo menor de -'5°. pero desde luego. no tu vo tiempo paf'J. resolver exaClnmenle el problema. El polidll realmente consiguió alcanzar el segundo edificio contrayendo sus músculos abdominales antes del impacto. Con ello subió sus pies IIlgo m ás de 9 cm. In distancia mínima necesnria para completar el salto sin ;lccidcntarse.
EJEMP LO 3. 11
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
lanzamiento de suministros
En el ejemplo 3.9, (a) determinar el tiempo tI que tarda el paquete en alcanzar su máxima altura h, (b) calcular esta altura máxima h .,. (e) determinar el tiempo ' 1 transcurrido desde que el paquete alcanzo su nltura máxima hasta que llega al suelo, Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo
Respuestas
Pasos (a) l . Expresar 1).(t) para el paquete. 2. Hacer
~'y(t J)
I,, {f)=rtl\
Itf
tl= I I.5~,1
= O Ydespejar IJ .
r,.m
= 7.5
m/~
(b) 1. Detenninar \·)'.m durante el tiempo en que el paquete se mueve hacia arriba. 2. Utilizar lI,.m para dctenninllr la distancia recorrida hacia arriba. A continuación calcular h.
~.\"
(e) Hallar el tiempo transcurrido mientras el paquete cae la diSlnncia }¡ .
r,= I-'·77' 1
Observación
- 11.5m.
"
=11 1151111
De acuerdo con el ejemplo 3.9. tI + I"}. = 6.3 s.
Ejercicio Resolver el apaI1ado (b) del ejemplo 3. 11 usando la expresión pnrn)~t) de la ecuación 3.21/, en vez de calcular \ '..1' m'
Las ecuaciones 3. 19a y 3. 19b pueden expresarse en forma vectorial. Multiplicando la ecuación 3. 19n por i y la ecuac ión 3. 19b por j y después sumando ambas ecuaciones se obtiene a) +a>,j = -gj, o bien. (3. 19c)
a = g
donde g es e l vector aceleración correspondiente a la caída libre. En la superficie de la Tierra el valor de g es g = 9,81 mJs2. Las ecunciones 3.20a y b también pueden expresarse en forma vectorial. Multiplicando la ecuación 3.20a por i y la ecuación 3.20b por j y sumando ambas ecuaciones se obtiene (v .i + lI)j ) = (vo... i + 1I0)"j ) - g rj o bien
\' = vQ+g'
o
Ilv = gt
el c ..p;. .1"
(3.2Oc)
1 66
I
Cllprtulo 3 Movimiento en dos y tres dime nsiones • Repitiendo el procc \o paro 10<., CClla . donde " = I'" i + v, j . " o = "o, i + I'u, j , y g - - gJ. cionc<.; 3.2 1a y b '>c obtie ne.
r =
1'0
+ " 01 + ~ g/ 2
-
13.21C1
donde r = xi + _\'j Y ro = xoi + Yol Pura de[crminado~ problema... conviene utili zar la~ rOnml\ vcctorillle .. de lu" ecuaciones cincmát ieas (ccuaciones 3.2Oc y 3.21 e). E..'ite es el caso del ejemplo que !o iguc.
EJEMPLO 3. 12
I
El guardabo'q ue, y e l mono
Un [.!lIíln:lnbos(IIIt',s CO I! UlHl l'c rhlltlll!lI intelltll dispunlr IIn dardo trllluluillzUlllc u un 111 0 110 (Iue cllelgn dt' un!! nlmll ( Ii~\lr n 3,28). El gua r dllbns(IIICS IIpuntn directa m ente 111 mUllo silltcllcr en cucnlU (lil e el dilnlo se[.!uirá \lIllltl'llyeclorill pllrllbólicn )' ImsllrJí, I)ur lo 1111110, por d ehajo d el mOlla. S in embllrgo. lisIe. \'iendn salir el dllrdo de lu cC I'hntunu, sc slleltll de 111 rUUlII y cite d el \\rhol. e!¡¡pcrllndu e\'UIII' el dUI'(III. (a ) I)elllostnlr {lile el mnnll será nll'ullzudo huleJlcndielllcIllente dt' ('uá l seu 111 "elocidud inida l del dllrdo, con lul de que éslu sen lo s uficientemenle gr:.lnde puru que el d ardo rccorrn 111 dis tanciu horizo ntal (lile huy hllslu el s'irbol llntcs d e dur contru el suelo, upoller (ltiCel tiempo de reacción del mono es d espreclnblc. (b) Sel! " dO In vclo· cidad d el dllrdo nI salir de la cerhllta na. E ncuentre la velocidad del dllrdo relulÍva 111 mono para un liempo nrbilrurio t durnnle el \'uclo del dnrdo, Planteamie nto del proble ma
Oardo
Se aplica In ecuación 3.2 1c al mono y al dardo Figura 3.3 1
(a) 1. Se aplica la ecuación 3.2 I c al mono en el tiempo /. con la velocidad inicial del mono nula.
2. Se apl ica la ecuación 3.2 1c al dardo en e l tiempo /.
d r d = " d01 + ~ gt2
donde " 00 es la velocidad inicial del dardo cuando sale de la cerbnlana.
3. La figura 3,31 reneja un esquema del mono. el dardo y la cerba. tana. Se muestra el dardo y el mono en sus posiciones en el instunte inicial yen el tiempo t. Los vectores muestran los diferentes témlinos de los pasos I y 2. Nótese que en el tiempo t el dardo y ellllono están u una diStUnci,L por debajo de la línea de mira de la eerbutana. El dardo dllrú con el mono eunndo alcance In línea de curda éste.
icr2
(b ) 1, La velocidad del dardo relati va al mono iguala la velocidad del dardo rclmiva a In cerbataml más la velocidad del arma rclativu ni animal:
2. L, velocidad de la cerbatana relativa al mono es igunl a la veloci. dad del animal relativa al arma cambinda de signo.
3. Con el uso de la ccullción 3.2Oc se consigue expresar la velocidad del dardo relativa a la ccrb..1lana y la velocidad del animal relntiva al armu
" me - gr
4 . La su.<.titución de estas exp re~iones en el paso 2 del apartado b lleva a: Observació n Con respec to al mono. el dardo se mueve con velocidad constante vdO siguiendo una Ifnea recta, El dardo impacta en el animal en el instame de tiempo f = UI'
3.5 Segundo caso particular: movimiento circular
3.5
I
Segundo caso particular: movimiento circular
La ~ g u rn 3.32 mueslr,a una masa sujeta a lIllll cuerda. de modo que forma un péndulo que osc ila en el plano verucnl. La truycctoria que sigue la masa en SIL continua oscilación corre s~ P? nde n uno fru cci ón de una Inlyectorin circular. El movimiento ti lo largo de una trayectoria circular. o de una parte de el la, se dcnomi nu movimiento ci rClI lllr.
Figura 3.32
EJEMPLO 3. 13
I
El péndulo qu e osci la
Consideremos el movimiento de lo musa del péndulo de 111 fi guru 3.32. USllndo el diagrama del mo\'imicnlo de In figunl 3.33, dclcrminllr la dirección del vcclor aceleración Cllundo la masa csl1Í oscilando de izquierda a dcreclm. (a) en In porción descendente de su movimiento, (b) cua ndo ¡msn por el pun to más buj o de su recorrido, y (e) en la porción u.,<¡cendcntc de su recorrido.
"
"
"
'.
'.
'" .
" (b)
'.,
"
•
'.,
•
d
"
,'z
(e)
•
0 ,'
,
.
" d
(a)
(d)
Figu ra 3, 33
Planteamiento de l pro ble m a Cuando la masa desciende aumenta la velocidad y cambia su direc· ción. La aceleración eslá relacionada con el cambio de la velocidad mediante a "" t1vltlt. La dirección de la aceleración en un puma puede estimarse dibujando el diagrama de adición de vectores para la relación \'t +t1v = vr, de donde se encuentra la dirección det1v y. por lo tanto. la dirección del \'ccIOr aceleración. (a) 1. La figura 3.33 muestro la representación de una oscilación complellt de izquierda a derechll de In masa del péndulo, La distancia entre los puntos es mayor en los puntos más bujos de la trnyecloria ya que e n ellos la velocidad es mayor, 2. Para un puntO determinado. se detennina In diferencia entre la velocidad en el punto inmediatamente anterior y en el punto inmediatamente posterior, Nótese que los vectores velocidad se dibujan tangentes a la trayectoria y que su longitud c., proporcional a In velocidad. 3. Se representa la cx prc:.ión gráfica de la relación \'1+ AV = \'r Y el vCClOr aceleración, ya que dado que 11 • t1 vlt1/, a vu en In mismll
dirección que A \', (b) Se repiten los pasos 2 y 3 pam el punto más bajo de la troyectoria. (e) Se repiten los pasos 2 y 3 para un pUnlOen la porción ascendente de In
trayectoria. Ob servación En el punto más bajo de la tmyectoria el vector aceleración tiene la din:cción vertical. hacia arriba (fi gura 3.34). hacia el centro del d rculo P. Cuando la velocidad aumenta (en la por· ción descendente). la aceleración tiene uno componente dirigida hacia delante y otra componente dirigida hacia P. Cuando la aceleración di sminuye tiene uno componente dirigidn hacia alrt!:<¡ y otra (IUC
apunta a p,
Si una partfcula se mueve:;\ lo largo de una trayectoria circulur, In d¡~ccción~ que d~<¡de la panfcula ",eñala el centro de la trayeclOria se denomina dirección ccnl,r lpeta. En el eje mplo 3. 13 se ha visto que la aceleración en el punto m6.$ bajo de la trny~ctonu de la ma.sa de l pén· dulo va en la clt rección centrípeta. En otros puntO'; la acc lemcI6n tlcne una componcnte cenlrfpctr\
y una componentc tange ncial.
p
.
,•
• • • ,, • ,, ,, • • , • •, ,•
,, ,, ,
,, , ,
•
•,
• ,, ,
•
•,
,
• • ,• • • '1 •
" "
., •
'.
", "
Figura 3.34
•, •,
",•
67
68
I
Capítulo 3 Movimiento en dos y tres di me nsione s
Movimiento circular uniforme
o,·
Figura 3.35 Vectores posición y velocidad de una panícula que se mueve en un c{rculo a velocidad escalar constante.
El movimiento en un círculo a velocidad escalar constante se denomina movimiento circu. lar uniforme. Usaremos el método del ejemplo 3.13 para detemlinar la dirección de la uce· lerac ión a fin de encontrar la expresión de la acelerac ión de una purtícu la que se mueve en un círculo a velocidad constante. Los vectores posición y veloc idad de una part ícula que se está moviendo en un círculo a ve locidad constante se muestran en la fi gura 3.35. El ángulo A8 entre v(t) y V(I + Ót ) es el mi smo que entre r (r) y r(r + 6 1). ya que los vectores posición y velocidad deben girar el mi smo ángulo para conservar su perpendicularidad mutua. Con los dos vectores velocidad y con ,ó,v se forma un primer tri ángulo isósceles. El segundo triángulo isósceles se fonnll con los dos vectores posición y con .6.r. Para encontrar la dirección del vector aceleración ex aminamos cltriángulo formado por los dos vectores velocidad y'ó'v. La suma de [os ángulos de un triángulo es 1800 y los ángulos de la base de cualquier tri án· gulo isósceles son iguales. En el límite en que 6 1 es muy pequeño, ó() también es muy pequeño por lo que en este límite los dos ángulos de la base se aprox iman a 900. Esto significa que ,ó,v es perpendicul ar a la velocidad. Si !:lv se dibuja en la posición de la part ícu la seilala en la dirección centrípeta. Los dos triángulos son semejantes, por lo que I'ó' vl/ v = 16 r l/r (dado que las longitudes de fo nnas semejantes son proporcionales). Dividiendo los dos términos por ,Ó,1 y reorganizando nos queda
ILI vi _ "IMI r ,Ó,t
,Ó,t
En el límite cuando .ó.I es muy pequeño, el ténnino ló v[/!:lt se parece cada vez más I módulo de la aceleración instantánea a, y el término 16r! / ,Ó,t se parece a \l. el módu lo de velocidad instantánea. Si sustituimos estas igualdades en el Límite,
(3.2 ACELERACiÓN CENTIÚPeT
Habitualmente se describe el movimiento de una partícula en un círculo con velocid constante a partir del liempo T requerido para realizar un a vuelta completa. magnilUd que denomina periodo. Durante un periodo, la partícula se mueve una distancia 21rr (donde r e el radio del círculo). por lo que la velocidad de la misma está relacionada con r y con 7 medi ante la expresión \1
EJEMPLO 3.14
I
2ITr
= ~ T
(3.25)
Movimiento de un satélite
Un satl!lite se mueve con velocidad constante en una Órbita circular alrededor del centro de la TIerra y arta de la superficie de la Tierra. Si su aceleración es g = 9,81 mJs 2, delennlnar (a) su velocidad escalar y (b ) el tiempo que Invierte en una revolución completa.
Plantea~lento del proble~a Como el sat~lile tiene su órbita cerca de la superficie de la TIerra. consHleraremos que el radiOde la órbita es el radio de la Tierra. r = 6370 km. (a) La aceleruci6n centrípeta
\(11,
se iguala n g y se despej a v:
= •
r
o
" • Fa = '/(6370km )( 9.81 mis') =/ 7.91 (b) Para calcular el valor del periodo T se usa la ecuación 3.25:
T
=
2., v
kmI.,
=-:--::-:.,.....,..., 84,3minl
2. (6370 km ) 1 10 .. 7.9tkmfa D.-'060 I
.a
3.5 Segundo caso particular: movImiento circular
I
69
Observación LII órbita renl de los sal~liles se sitúa unos pocos centenares de kilómelros por encima de la superficie terrestre. es decir. rexcede ligeramente el radio lerreslre (6370 km). En consecuencia In aceleración centrfpeto es algo inferior a 9,8 1 m/S1 a causu del descenso de 111 fuena graviInloria con respecto a In dislancio del centro de In Tierrn. Muchos sllt~liles están en estas órbitas y sus periodos son de unos 90 minutos. Ejercido Un coche va Q 48 km/h Ysigue unll curva de 40 m de radio. ¿Cuál es su aceleración centrípeta" (Respuesla 4,44 mls2)
Una partícu la que se mueve en un d rculo con veloc:idlld variable tiene una componente de la aceleración tangente a In trnyectori a, dl'/dl, y una componente según el rad io, la aceleración centrípeta. VI/ r. Al ana li zar. en general, el movi miento de una partícula a lo largo de una curva. la trayectoria se puede dividir en arcos de circunferencia (figura 3.36). La panícula en cada uno ele estos arcos ele oircunfere ncia tiene una aceleraoión centrípeta VZ/r dirigida hacia el centro de curvalUrn y, si varía la veloc idad, tiene además una aceleración tangencial
(3.26) ACE LERACiÓN TANGENCIAL
.
,
- ... _- --
--- - -- -
, , ,,
,, I I
Figura 3.36 Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva se considera que cada pequeño intervalo de tiempo se mueve siguiendo un arco de.c~n:unfere~cia distinto. El veclor aceleración instantánea tiene una componente a, = vl/r dlnglda haCIa el centro de curvatura del arco y una componente al = dvldr tangencial a la curva.
ResunJen TEMA
OBSERVACIONES '( ECUACIONES RELEVANTES
1. Vectores Definición
. . .....- Se suman como Jos despla?Jmienlos. Los vectores son magnitudes que lienen mód u1o y d'lrecelu".
Componentes
. es su pro)'CCC.I'00 sobre dicha lfnea. Si A La componente de un vector a lo largo de una Unes en el espa:;IO
fonoa un ángulo econ el eje x. sus componenles x e)' son
Ar_Acose
(3.2)
Ay .. A KII e
(3.3)
A ..
Módulo
JA!+A?
(3.$0)
Suma gráfi ca de vectores
Dos vcetores cualesquiera cuyos módulos postcn las mismas unidedes pu<4kD sumane ar'ficey E IIe ., .. _-" la ~la de la ftecha que replcscnta a uno de ellos en el extremo o cabeu del otro. 5111&IIUO
Suma de vectores mediante componentes
Si
e _A + D, enloncca (),t.)
70
I
Ca pítulo 3 Movim ien to en d os y tres dim ensiones y
V...-C IOrcS UIlIWriOS
e, :1\, + B,
(3.6b)
.'l r:sc en . fune! ·'6n d'clo~ Un ,'cetor ¡\ puede c~c nb . vCClorc~ uni tarios 1, j Y k de módulo unidnd dirigido.~ re~pec. livlllncrnc a lo lurgo de los ejes .f, y Y ;::
(3.7) Vector ~ici6n
El veCtor po~ i c i 6n r IIpunto dcM/e el origen dcl siSlcrnll de coo rdcnnd n~ ti In p
VeclOr velocidad instan tánea
. '6 n El \'cctor velocidad \' e~ hl variación de l vcclor IX>SICI dirección es In dclmovilllicnto.
re~peclo
11 I f1empo. Su módulo C~ la velOCIdad y \ti
l!. r lI r \'= Iim - = .u_O 6/ di
.
d l'
a = 11m - = ", .,1, 6' dI
Vcc lOr acl!lcr:ld6n inSI:U1I:'inca
2. Velocidad rela tiva
6v
(3. 12) (3 .16)
. ., ·'dad " If/\ fCSl"\M'lonun si.'>lcmadecoordcnadasA . elcunl flsu vcl.B!íemuC\c SI. unapllrtfculase muevcconVt;OCI 1'--
~on \'~Iocidad
\'11.8 respecto a Olro ~istema de coordenadas B. la velocidad de la parucula rt!.pccto a I
e<;
(3. )4)
3. Movimient os de proyectiles Independencia del mo\'imienIO
En las ecuaciones de ~ta sección se considera que la dirección positiva de l ejcx es horizonlal)' que In diu:cción positi va del eje y es vertical dirigida hucin arriba. En el movimiento de proyectiles. los movimientos horizontal y vertical son independientes. Asf,
a. "" O Y Dependencia con el tiempo
vJt) =
I'Ib:
a,. = -8.
+ a~
(2.4) y(t) = )'0 + vo,r + ~a,ll
X(I) =
d0 11de a. = O,a , = - . •o. - ", "0' ... Qvo y,'" = 1', sen " ó " = gl. Ó r =
V(I
Altcmativamcme,
Vol
+ ~gt:
(2 :6)
(3,20c.3.2 IC)
dondcg = -gj Alcance
El alcance se obtiene multiplicando \', por el tiempo total del proyectil en el aire.
-
4 . Movi mie nto circula r
Aceleración centrípeta
,.' ,
(3.24)
dI' a, = dI
(3.26)
- -2ft ,. r
(3.25)
a~
Aceleración tangencial
= -
donde \' e... In velocidad escalar Periodo
\'
Proble,nos
• •• ••• SSM
•
I •
I
Concepto ¡,implc. un solo paso. relmivnmentc fócil. Nivel intermedio, puede ex igir síntesis de conceptos . Desañante. para alumnos avnnl.ados, Ln ~oluc i6n ..c encuentro en el 5wdellf Solutions Manual . Problemn.. que pueden encontrnr~e en el servicio iSOLVE de tarcfls para ca.\a. Esto!) problemas de l servicio "Chcckpoinl" son problemns de control. que impulsan a cslUdianles a describir c6mo ~c llega a la respueMa y a indicar su nive l de confianza.
-
-
lo~
En algunos probll!ma,~ se dcJn más dalos de los "alment~ nec~sari(1s; t"n otros pocos, d~Nn t'XITClUU u/glmos dalos a partir de ("onodm;entos ~nl!rall!.,. futntrs Ulrntas o l!stimocion~j lógicas.
Problemas
I
71
Vectores y suma de vectores 14
1
•
SSM.
¿~uedc el. módulo del desplnznmienlo de unu purtíeuJa
po, "
'o,
ser mcnor quc la dlslUnCut recomda ,¡nrticula " . ,. • lIrg'o d" ... su tnl yectorm ¿puede su módulo liocr mu yor que In dislunciu recorridn7 Razonar In feSpUC Stn.
~
.2 . .
D:u- un ejemplo en el cual lu distllncia recorrida es UM magnitud Slgllll1catl\·n. nuenlras que el correspondiente ~splazamicnto es !lulo.
3
¿Cuál cs la velocidlld media :tproximlldll de 10$ bólidos (IUe puní. cip:m en la pnleba de lndinnápolis 5OO'!
• La acelernci6n de un vehículo es nula cuando (a ) giTU hacia In dere<:~n a veloddatl eon<¡tame, (b) sube por IIna Cllrretera pendiemc ) recta a velOCldlld consmme, (e) corona la cimll de un¡1 colina a velocidad con~ULn t e, (d) llega u la parte más bujn de un valle a velocidad con51:lIIle, te) ILumenla ~u velocidad cuando bajlllllo largo de una pendienlc recta. 15 • SS M Dur alguno~ ejemplos de movimiento en los cunles In ~ dire<:cione~ de los vcclores velocidad y posición Ia..~ (a) opuest lL~. (b) In<¡ mismas y (e) mutuameme pt:rpendi c ul are.~.
•
•
4
• I Verdadero O fnlso: BII1I&lulo dc 1,1 sUl1ln de dos VeCtores (It bt srr m3}'or que el módulo de cad:! vector.
5
•
¿Puede una componente de un vector tener un módulo mayor que el módulo del propio vector'! ¿En qué circuns tancia.~ 111 componente de un vector puede te ner un módulo igual al módulo del propio vector? 6 • SSM ¡.Puede un vector ser igunl n cero y. sin umbargo. tener una o más componentes distintas de cero'! ,
¿Son las componentes dc e = A + B necesariamente ,upcriores a las corre.'ipondiemes componente.~ de A o B?
7
•
I
8
•
SSM
V~rdudero o falso: El vector velocidad instnntáneu siem-
pre señala en lu direcci6n del movimiento.
16 • I l.Cómo es posible que una partfcula que se mueva a velocidud escalar conswnte tenga IIna acelcr.:,eión eon~ t n me? ¿Puede unu p:lrtículn con vclocidml eon ~tnl1l e estar, a la vez. acelernndo? 17 •• Un dardo se lunl'..iI verticalmente hacia arriba. Cuando sale de la mano del lanzador, pierde velocidad uniformemente a medida que gana alturn haSln que se clava en el techo de la habilación. (a) Dibujar el vector \'e!ocidad en los liempos 11 y 12 , en dondc Ó1 =- f: - /t es un imcrvnlo pequeño. A partir tlcl dibujo detenninar la dirección dcl cambio dI.: velocidad Ó \· '" v1 - \ ', y con ello la di rección del vector aceleración. (b) Poco d~pllés de chocnr con el techo, el dMdo cae y llcelent hasta que llega al suelo. Repita el apartado (al para encontr-.u- la dirección del vector acelernción durante la caída. (e) Ahorn imagine que tira el dardo horizonmlmente. ¿Cuál es la dirección del \'CClor aceleración después que haya dejado su mano pero antes que golpee el suelo?
18
9
• Si un objeto se mueve hacia el oeste, ¿en qué direcciÓn lIcelcra? fa) Norte. {b} Este, (e) Oeste, (ti) Sur. (e) Puede ser cualquier direcciÓn. •
10 • I Un j ugador de gol f gOlpea con fuerza la bola de modo que tsta describe un largo arco. Cuando la bola está en el punto más alto de su vuelo. (a) su vclocid3d y aceleración se anulan, (b) su velocidad es cero pero su aceleración no se an ul n, (e) su aceleraciÓn es cero pero su velocidad es distinta dc cero, (d) su velocidud 'J su aceleración son ambas distintas de cero. (e) fulta infonnación para contestar correctamente. 11 • La velocidad de una partícula se dirige hucia el este mientrns que su aceleración se dirige hacia el noroeste como muestra la figura 3.37. La partícula. (ti) está acelerando y gintndo hacia el norte, (b) está acelerando y girando haci3 el sur, (e) está frena ndo y girando hacia el norte. (d) está frena ndo y girando hucia el sur, (e) mantiene constante su velocidi.ld y gira hacia el sur.
:N ,,• • ,•
o
,
"--_ ..... E
••
Una gimnasta salta sobre una ph:naforma elá.Mica y cuando se aproxima al punto mlis bajo de Sil caMa pierde velocid:td. Suponiendo que cae verticalmente, haga un diagrnm3 del mO\'imiento para escontrar lu dirección de su vector aceleraci6n. dibujando los \'ecto~s velocidad de la saltadora en Jos tiempos ' 1 y I~. siendo pequeño el intervalo 6r =- 12 - / 1, Deducir del dibujo la dirección del cambio de velocidad A v = v 2 _ V ¡ '! con ello. la dirección del vector aceleración. SSM
19 •• La saltudora del problema 18. de.<;pués dc alcan:wr el punto más bajo de su salto en el tiempo II>oJ'" comienza a moverse hacia aniba aumentando su velocidad durante un cono tiempo has!!1 que lu grn\'cdad dominn de nuevo ~u movimiento. Dibujar los vectores \'clocidad en los tiempo<; I( y I!. en donde Ó1 = I~ - 11 es un pequeño intervalo 'J I( < II>Ip < I~. Deducir del dibujo 111 dirección del cambio de velocidad ó \' = \': - v I y con ello, la dirección del \'cctor acelentciÓn. 20 • Un río de orillltS rectas y paralelas tiene unll anchuru de 0,76 km (véase la fi gura 3.38). La corriente del río bajll u 4,0 kmlh y es p.1rulelu a los márgenes. El barquero que t.'Onduce una barcll7.u que puede alcanzar una \'elocidad máxima de 4,0 km/h en aguas quiela..~ dese:l ir de A a B. donde AS es perpen· dicular a la orilla. El barquero debe (a) dirigir 13 barea directamente a ll1I\is dd río. perpendicular a la orilla siguiendo AB. (b) poner un rumbo de 53" dirigido hncin aguas aniba respec tO In dirección AB, (e) poner un rumoo de 37" dirigido hadn liguas umba respecto In din.."cción AB, (d) renu nciar ya que es ill1po~iblc ir de A hastll B con una nll\'C de t.ostas caractcrí~ticas. (t') ningunu de Ins I"el>pUcstlL' anteriore.~ es t.'OITCC11L
s Figura 3.37
Problemn I1
Si ~ conocen los veclOres posición de una p.1rtfc ula en dos puntos de su trayectorin. el tiempo quc tarda en moverse dc un punto a otro 'J se ~upone que la aceleraci6n es constante, ~ puede calcular (a) la \'clocidnd media de In partícula. (b) la aceleración media de la partfcula. (e) la \'e!ocidud mMan t l'l n ~u de In partícula. «(J ) la IIcclemci6n instantl'lnea de la pllrtículn, (lo) no se dispone dc la infomtllción suficiente pum describir el movimiento de 111 partícula. 12
•
SSM
13 •• Considere 111 ttll'Jcctoria de una partlcula en ~u movimiento por el e.\jXlcio. (u) ¿Cómo se relaciona geométricamente el vector velocidad con la trayectoria de la partfcula'! ( h) Es
A
Figura 3.38 Problema 20
21 • 5SM Verdadero O fabo: Cuando un ,M(ljadl !iIC di.,. hI:I1. :r.ontalmenle. invierte d ml,mo tkmpo en acr que un JWO> ~ ccil tohado en lepe'" dcMJe la misma altura. Ignóraoc: 1m erect~ de la rest~ del aire.
72
I
Caprtulo 3 MovI miento en dos y tres dimensiones •
22 • I Un proyectil se lanl.Ucon un ángulo de liro de 35° por encima de la horizontul. En el puntO más alto de la trnycctorill. su velocidad es de 200 0115. La velocidad inicial tenía unn componente horizontnl de (a) O. (b) 200 cos (35<1) mIs, (e) 200 sen (53<1) m/~, (d) (200 m/s)/cos 3.5", (e) 200 mIs. No considere los cft..'Ctos dr.: 111 resistencia del uire.
D DE y EF) ¿cuál es la dirección del vector \', " cllda segmento (A a . BC. C . . ' . ? IQ. . d"[ (b) {,. En qué pu "'OS. el automóvi l tiene aceleracIón . . . En estos ca ~os ' , '''' '''CI Clda es In dirección de 111 llceleración? (e) ¿Qut: relacIón uenen lo~ módUlos lit la aceleración en los trflmos Be y DE'! y
23 • La figurn 3.39 representa la trnyectoria pambólicn de unll boln que va de A 3 E. ¿Cuál es 13 dirección dr.: 13 3ce!t.:rnción r.:n el punto 8 ? ({I) Hocio nmba y hacill la derech3. (h) Hacia bajo y hacia la izquierda. (e) Vcnicalrnentc hncin nmb..'l.. (d) Vcnicalmenle hacia :Ioojo. (e) La acelcmción de In boln es cero.
D'
e
/
E
B F
e
"
x
D
Figura 3.42 E
A
Figura 3.39
Problemas 23 y 24
24 • (a ) ¿En qué pUIllO(S) de la figura 3.39 el módulo de la velocidad es el mayor de todos? (b) ¿En qué punto(s) el módulo de la velocidad es el menor de tocios? (e) ¿En qué dos puntos el módulo de la velocidad es el mis.mo? ¿Es el vector velocidad el mismo en esos puntos?
25
•
•
I
Problema 29
Dos cañones están situados uno frente a otro. COm:l muestra la figura 3.43. Cuando disparen las balas seguirán las trayectorias q~ se muestran. siendo P el puntO donde las trayectorias se cruzan. Si se qtlim que las balas choquen, ¿hoy que dis parar primero el cañón A. el cañón 8 o bittl hay que disparar los dos caí'iones simultáneamente? Ignórense los efectos dt: la resistencia del aire. 30
••
SSM
Verd3dero o fal so:
(a) Si el módulo de I:t vclocid3d es constante. la acelernción debe ser cero. (h) Si la acelernción es cero. el módulo de la velocidad debe ser constante.
26 • Lns velocidades inicial y final de un objeto son las indicadas en lo figuro 3.40. Indicar la dirección de la velocidad media.
p
Figura 3.43
Figura 3.40
Problema 26
27 • Las velocidades de los objetos A y B se muestran en la figura 3.4 1. Dibujar un vector que represente la velocidad de B relntiva a A.
• Figura 3.41
",
..
elipccialcs en que A T'Cpn:.'lCnta la posición de una pw1fcula con respecto a un 5islema de CO(Inien"'QS. (e) ¿Puede A representar un vector vtlocidad? Explicarlo. •• La fi~um 3.42 mucstra la trayectoria de un Qutomóvil, ronnada pt'It segmc:nlOS reculfncos y arcos de circunferencia... El coche pane del tqlOSO n 'h el punto A, De.~pufJ que alcanza el punto 8 marcha con velocidad constante . u ta que nlcanl,8 el punto E A "A •. ca..... en repo50 en el punto F. (11) En el medio de 29
31 •• Galileo r.:n su obra ·'Diálogo respecto los dos sistemas de escribió: .. Enciérrese ... en el camarote pri ncipal si tuado bajo 1:\ cubi barco grande y ... cuelgue una bote lla que se vacíe. gota ti gota, C' piente situado debojo. Después de observar cuidadosamente el fenó de que el ban:;;o haya seguido cualquier velocidad, siempre y cuando miento haya sido unifornle y no fluctuante. las gOlas siempre car.:n c sin que. en ningún caso, se dirijan hacia 111 dirección de la popa del b que el barco recorra un gran trecho mientras las gotas están en el ait que eSta cita . 32 • Una persona mueve una piedra atada a una cuerda en l horizontal a velocidnd constante. La figum 3.44 representa la trnye.. objeto \'isto desde arriba. (a) ¿Cuál de los vectores de la figura repre velocidad de la piedro? (h) ¿Cuál representa la acelcrnción?
Problema 27
SSM Un vector A (t) tiene un módulo constante, pero su direcci6n cambia. (a) Encontrnr dA/di de la siguiente manera: dibujnr los vectores AV + Al) Y A (t) parn un pequeflo intervalo de tiempo ru y detcnninar gráficamente la diferencia ......... A . AA = A(I + & ) - Mt ), ¿Cuál e.~ In dirección de AA res,. __' oa para pequei\os ,"tervalO!> de tiempo? (h) InterprelllJ' este resultado para los ca\OS 28
Problema 30
,,
, , ,
,,• ,
,, ,
, -
.
-
Figura 3.44 Problema 32
_. de un
"", •
.
10 U·
'"'~
",
t pli· ;,ulo ;J de! '''' b
Problemas 33 . • Vcrdadcm o falso : Un objeto culllr '1 no esul aeelcn¡do.
110 M!
mueve en una lruy\.'CtOriu cir-
34 ~. Usando un esquema del movim1cnto. cncontrar la dirt!cción de la :!cdenlclón de In nU1 ~1I de un péndulo cuando In' c., "... e 1 punto do Il(1e camhia el sentido de su movimiento.
m"" oo,'",
35 • Con un b:lIe de béisbol ~e golpea un:! pelo¡u :¡ 177 km/h. Supon8a m.o~ que la pcloln es b:IIC:ld!1 con un ángulo dc 35". que es un v:llor muy \.'O menle en este depone. U~ando 111 ecuución 3.23 p.'1ra calcular la dislancia que ulcam:a untl hola golpcadll en la~ condicione!> ¡¡ntcrionnente men cionada ~ se obtiene que la pelota lIe~a h:1Sl(l 232 rn pero. cn rculid:l(l. la pellllll apcnus 1Ilcanzur.l los 80 111. ¡\ rg Ulllclltc porqué la \.'CulIciÓn J.23 du unu predicción tun nml3 en !!Stc t'1I~. Si pucde. eon~;dcrc cI concepto de l'I!{Qch!(/(1 ft'rmi/wl o
73
Un muchacho explomdor pasea 2.-1 km haeHl el eMe del CtlmpnmenlO. lucgo r.e dewf:¡ hILei;¡ su izquierda y recorre 2..1 km n lo largo de un urco de cfn:ulo cenlmdo en el eumpmncnto. VI) ¡,A
•
43 • Un \'cctor velocidad liene mm componente x de + 5.5 mI~ Y una componente y de - 3,5 mIs. ¿Qué diagra ma dc In figuro. 3..16 rcpresenm la direcciÓn del vcclOr'! )'
\'t'/oddm!!ímift'.
32.5 ~
.,
Aprox imaciones y estimaciones «(1)
36 •• SSM Esti mnr qué distanci;¡ alcanza una pclotll si se lun1.u (a) hori7.ontnlmcnte de..¡de el suelo. (h) con un ángulo de 45 u desde el suelo. (e) horilOnlulmcnte desde In azotea de un edilicio situnda 12 !TI por enci mu del fl¡\el dc la calle. (d) con un ángulo de 45" desde In aZOIca de un edificio siluadll 11 m por enci ma dcl nh'el del suelo.
I
En 1978. Geoff Capes del Reino Unido. lanzó un .
II proximada dellndrillo en el punto más alto de su traycctoria. sin considerar los efectos de la resistc ncia delllire.
Vectores. suma de vectores y sistemas de coordenadas
(e) Ninguno de los anteriores.
Fig ura 3.46
39 • SSM Un oso se mueve 12 m hacia el nordeste y 12 m hacia el este. Muéstrese grtífieamentc cnda desplazamicnto y dctenníncse gráficamente el dcsplai'.umiento total. como cn el ejemplo 3.2«(/).
•
I
Problemu 43
44 • I Tres vectores A. B. Y e ticnen las $iguicll1es compone mes.\' e )': A. = 6. A) = -3: B, = -J. By :. 4: C. :. 2. e, = 5. l..u magnitud de A + 8 + C es (ti) 3.3. (11) 5.0. (e) 11. (dJ 7.8. (e) 14.
45 • H:lllar las eomponcntes rccI:mgulares de lo~ \'Cetore" A. que están comprendidas en d plano.l)' y ronnan un ángulo 9 con el eje x. como ~ ve en la fi gura 3..17. para los siguientes valores de:1 y 9 :(0)/\:' 10 m. 9= 30": (b ) A = 5 m. 9= 45°: (e) A = 7 km. 9= 60°: (d)A = 5 km. 8= 90°: Ce)¡\ = 15 kml:.. 8= 150°: (j) A = 10 mIs. 8= 240°: y (g)A:. 8 mls~. 8= 270~ .
38 • l ..'1 aguja de los minutos de un reloj de pared tiene 0,5 111 de longi· tud y la de Itls horas tiene 0,25 m. Considcrando el centro del reloj como origen )' eligiendo un sistemn de coordenadas apropindo. escríbase la posición de las agujas de lus horas y de los minutos con \'ectores cuando el re loj senll la (a) 12:00. (h) 3:30. (e) 6:30. (d) 7: 15. (t') Si A es la posición del cxtremo de lu aguju de los minUlos y U es 1:1 posición del extremo de la aguja dc las horas. calcular A-U paru IlIs horas dudns cn los apanlldos (a)-(ti) anteriores.
•
(e)
•
•
37
(b)
ti
Un arco ci rcular está centr,ldo cn x ;: O e y = 0, (a) Una estudiante se mueve por el arco ci rcular desde 1:1 po~ici 6n .f = 5 m, y:. O hasta la po~ición fi nnl x = O. y = 5 m. ¿Cuál es su desplu7.amiento? (h) Un segundo estudiante se mueve desdc la misma po~ici6n inicial siguiendo el eje.r ruma el origen paro seguir dcs pu6 a lo largo dcl eje y has ta .r = 5 111 Y x = O. ¿Cuál es su des plazamiento'! 41 • SSM i ./ En d ca'o de los dos vcctores ,\ y U indicados en la fi gura 3.4 5, hallar gráfi camcntc como en el ejemplo 3.2(¡¡): (ll ) A + 11 . (b) A - !J. (e) 2A + n. (ti) IJ - A. (e) 28 - A . y
)"
x
Fig ura 3.47 46
• SSM Un vector A ticllc el módulo de 8 Jll }' fonnll un ángulo de 37" (;on el cje ... el vector JI = (3 m) i - (5 m) j: el 1\.'Ctor e:. (-6 11\) ¡ + (3 m) j. Determinar los siguientcs "cctores: (a) D = A + C : (b) E = U - A : (d f' = A - 28 + 3C: (,/) un \'eelor G tal que G - B :. A + 2C + 3C . •• Hallar el módulo y lu diTL"CCi6n de los siguicntc.\ VI,.'Ctores: (a) A '" 51 + 3j : (11) H = IDi - 7j ; Y (e) =--.2 i - 3j + '¡ k. 47
e
I-Inllar el módulo y dirección de A. H Y C ;: A + B cn los A : - 41 - 7j : U =J I - 2j :y(b) A = li - -Ij. B =21+6j. 48
C:bO~ (al
En el ellso del veClor A :. 31+ -Ij. hnllnr otm.' tres' t.'CIOIl!' cU:lle\· quiero 8 que estén Inmbién comprendidos en el plano \1' y que ,cuBan In pmpiedad de que ti :. 8. l>ero A ':t. H. E.o¡crihir los \'eel(lre~ en función de 'u' cnmpo ncn.c.." y dihujarlos gr.lflclIlIlcn.e.
30"
Figura 3.45
•
49 • DeM:ribir lo.. Ice IOn!:' sigllien t e~ utililllndo lo~ \ cetore' unitario, I y j : (fI) un!! I'elocidad dc 10 mIs con un ángulo do: cle\ucitSn de 60": eh) un \lX'tor A de módulo A '" 5 m y (J = 225 : y ("1 un dc:.plalamielllO de\(/t' el origen al puntO.\:. 14m, ) z-6 m.
SO
•
Problema 45
2m
Problema 4 1
•
51 •• SSM Un (' ubo de arista J nl ticnl' su~ cara~ paralcJn,.1 It\\ plano!> coordenados) un "enice en el origen. L/nn mosca ~lIull(llI en el on gtn '>C mueve a lo IlIrgo de Irc.~ Ilri!olUS ha!>ta llegar al \'énicc OpUC.\to. E.....'n h'f el \ C<'I(II dcspla/.am,emo de.- la 11lO'oC1I ulililJmdo !lJ"iO \' C'(1UoI'C' 1. J ) k. ) hallltf l'l 1\l00Ulll de ' u o.k\pllllamiento.
74 52
I
Capitulo 3 Movimiento en d os y tres dimensiones •
SSM
Un barco Iln !lila mur recibe sci\uh:s de mdjo emitidl\.' desde dos Irtln~ l11 isorcs A y 13 que ~[án scl':umlos 100 kili. uno al sur del otTO.
El localizador de direccio ne., dCICCI:l quc la tm nsm isi6n de.~1,: A está 30" al sudcste, micntrdlo que In trunsm isión de B procede del este. Calcular la distnll' da entre e l b..'\rco y el tnmsmbor O.
Vectores velocidad y aceleración Un operador dc rodar fijo dctcnnina que un burco está n 10 km nI sur de él. Una hom más turde el mismo barco está u 20 km al sudeste. Si el barco se movió con velocidud const:mte siempre en lu mismu dirección, ¿cuál cm su velocidad dUf""J.nte ese tiempo? 53
•
54 • L..'1S coordellndns de posición de una partícula (x, y) son (2 m. 3 m) cuando 1 = O: (6 m, 7 rn) cunndo t = 2 5: y (13 m, 14 m) cunndo t = S s. (u) Hallar In vclocidud medill 1'", desde I = O hustu 1= 2 s. (b) Hallnr I'm desde 1 = O hasta 1 = 5 s. 55
•
SSM
i
./
Unn purtfculll que se mue.....: a 4.0 mis en
la direcciÓn x posi tiva experimenta unu acelef""J.ción de 3.0 mls 2 en la dirección )' posi tiva durante 2,0 s. La velocidad fl nnl de [a pan iculn es (a ) -2,0 mis, (b) 7,2 mis, (e) 6.0 mIs, (ti) 10 mis, (e) Ninguna de las anteriores.
56 • Inicialmente una partícula se mueve hacia el oeste. con un" velocidad de 40 mis y 5 s después se está moviendo hacia el norte a 30 mis. (a) ¿Cuál ha sido el cambio del módulo de las velocidades de [a partícula durante este tiempo? (h) ¿Cuál ha sido la variación de la dirección de la velocidad"! (e) ¿Cuá[es son el módulo y dirección de tJ.v en este intervalo? (d) ¿Cuáles son el módulo y dirección de 8 ", en este intervalo? 57 • Cuando t = O una part(cula situada en el origen tiene una velocidad de 40 mis con 8=45°. Para I = 3 s, In partícula está enx= 100 m,y= 80 m con velocidad de 30 mis y 8 = 50°. Calcular (a) la velocidad media y (h) la aceIcración media de lu partfc ula dura nte este intervalo.
58
••
i
./
Una purtfcula se mueve en un plano x)' con ucelcJ"".tciÓn constante. PaJ""" t = O. 111 panícula .'\e encuentra en la posiciÓn x = 4 m. y = 3 m y poSee la vclocidud v = (2 mis) i + (- 9 mis) j . La ace leración viene dada por el valor a = (4 m/s2) i + (3 mls2) j . (a) Determinar el vector velocidad en el instante t = 2 s. (b) Calcular el vector posiciÓn a I = 4 s. Expresar el módulo y la direcciÓn del vector posición. SSM
•
•• I El vector posición de una part(cula viene dado por r = 2 (30t) I + (401 - 51 ) j. en donde r se expresa en metros y 1 en segundos. Determinar los vectores Velocidad instantánea y aceleraciÓn instantánea en fu nción del tiempo l .
Velocidad relativa •
63 •• Un aviÓn "uda a la velocidad de 250 kmlh ~pecto al aire en reposo. Un viento §or la 11 80 kmlh e n dirección noreste (es decir. cn di rección 45 0 ni C$tc del norte). «(1) ¿En qué dirección debe volar e l u\';Ón IXIrn que su rumbo sea norte? eb) ¡,Cuál es la vclocidud del avión re~pec t o al ~uclo'J 64
••
i
,¡
Una nadadora intenta c nu..ar perpendicularmente UD
rfo nadando con una velocidad de 1.6 mIs reSpectO al agua tmnquila. Sin embargo llega a 111 otro orilla en un punto que está 40 m más lejos en la direc. ción de 1:1 corriente. Sabiendo que el río tiene una anchura de 80 m (a ) ¿cuál es la vclocidud de 1" corriente del río? (h) ¿Cuál es la velocidad de la nadadora respecto fl In ori lla? (e) ¿En qué dirección debería nadnr puro llegar al punto directamente opue.<¡to al punto de partida?
65 •• SSM Un pequeño avión sale del punto ¡\ y se dirige a un ocropueno en el punto IJ, a 520 km en direcciÓn norte. L..'1 velocidad del avión res. pecto al !lire es de 240 kmlh y existe un viento uniforme de 50 kmlh que SOpla del noroeste al sure.~te. Determinur el rumbo que debe tomar el avión y el tiempo de vuelo. 66 •• i ./ Dos embarcaderos e...tán sepamdos 2,0 km uno del otro sobre la misma orilla de un río, cuyas aguas nuycn a 1.4 km/h. Uno lancha a motor hace el recorrido de ida y vuelta entre los dos embarcadcroll en 50 mino ¿Cuál es la velocidad de la lancha respecto al agua? 67 •• Un concurso de aeromodelismo tiene las siguientes normas: Cad:! avión debe volar hasta un puntO silUado a I km de la salida y regre$:lr dc nuc,'O. El vencedor será el avión que realice el circuito completo en el tiempo más cono. Los competidores tienen la libenad de escoger el recorrido que desean. siempre que el avión se aleje I km de la salida y después regrese. FJ dia del concurso, un viento uniforme sopla del norte a 5 mIs. Uno de IQ<, ffiI-.;klos puede mantener una velocidad respectO al aire de 15 mis y se considero qtL' los tiempos de arranque, parada y giro son despredables. Se plantea In CU>. .J.ión siguiente: ¿debe planearse el vuelo a favor del viento y contrn el vient< 1 t:1 circuito o con viento cnn .ado este y oeste'! Analfcese el plnn sobn: c dos alternativas: ( 1) El avión vuela I km al norte y después regresa: (2) iÓII recorre l km hacia el este al arrancar y después regresu. •
68 • I El pilotO de un pequeño aviÓn mantiene una ~ con respecto al aire de 150 nudos (un nudo corresponde;1 la vclocid' milla námicn por hom) y quiere volar hucia el norte «()()(y» con fC5¡X TIerra. Si soplll un viento de 30 nudos del este (090"), calcular que rull mut) debe tomar el piloto .
la'
""l. :1-
59
60 . •• Una prutfcula tiene una acck:rnciÓfl constante a = (6 mfs2)1+ (4 m/sl:tJ. En ellllstante 1=0, In velocidad es cero y el vector de posiciÓn es ro = (10 m)!.
Hallar los vectores posición y velocidnd en un instante cualquiera l . (h) Hallar la ecuación de la trayectoria en el plano X)' y hacer un esquema de la misma.
SSM El coche A se mueve hacill el este a 20 mis y 'le dir crucc. Cuando A cruza la intersección. el coche 8 parte del reposo m del cruce y se mueve hacia el sur con una ucclcf'"ción constantc de (a) ¿Qué posición ocupa 8 respecto a A 6 segundo!. dcspué... de que A ((. intersección? eh) ¿Cuál es la veloc idad de 8 respectO a A cuando t (e) ¿Cuál es la aceleración de B respectOa A parn t = 6 s?
69
••
.w
"" ,.'"• ,o
(a)
•
I Cuando sale del muelle, una barca ruera borda pone rumbo haem el /lime du ran te 20 s con una aeeleruciÓn de 3 m/s 2. Posteriormente la barca viro hacfa el oeste y se mueve durante 10 s con In ve1ocidod 61
•••.
adquirida durante los 20 s anteriofCS. (a) ¿Cuál es la velocidad mL-dia de la b.nrc? duran te los 30 :>egundos de movimiento? (h) ¡.Cuál es la aceleruci6n media en el mismo intervalo de tiempo?, (e) ¿Cuál es el desplawmiento de la barc:a desde su salidll delmueJle hasta pa.-.ados 30 s de iniciado el movimiento? Maria y Robeno deciden encontrarse en el lngo Miehigano~arfa pane en ~u lancha de Pctoskey a las 9:00 a.m. y viaja hacia el none a 8 milh, Robc.to IoIlle de su ca.u. ~ la casla de Bcaver Island, situada a 26 mi y 30" al oeste del norte de Peto5key a IIb 10:00 a.m. y viaja a una velocidad ~tc de 6 mllh. ¿En qué dirección debe poner su rumbo Robeno para Intercepuu- a Maria y dónde y cuindo $e verificarlo el enc:ucnrro? 62
...
SSM
70 ••• SSM Unn pelota eSlá por encima de una raqueta de teni ~ .;010cadn en posición horizontal. Al soltar la pelota. ésta rebota en las cuerdlL~ de la ra'lueta IIICUIlZundo el 64% de su altura inicial. (CI) Encontror lo expn:~i&t p;u1I lA velocidad de la pelota, después de rebotar. en fu nción de 13 \'clocidad tk 11 pelotu justo untes del choque con [a raqueta. (b) Ua misma pc:IOIa y 1m ml~nlll mquetu se lIIi[iznn parnjugar un partido de tenis. Un jug:ldor. :11 ~ucar. golpc.'lll pelotn « Iue ~ upll e~ tament e liene unll velocidad inici:tl nulA) mOViendo la ruquetu a 25 mIs. ¿Con qué velocidad impulsa el j ugudor la bolll'! (S'I,j[('rt'n(l¡JI: UJ·~ ti re,fIIllmJo dd aparU/da (a) y calC/l/~ la I't!lr)(:idllt/ IJ(, /(¡ 00111 rn ('1 mll·mu tlr rrft'lY'lIcill dr lo mquc/{I/mra, /JOSlf'riQmll'ntt:, l'll /r"ftlr fa 1·(.fOCjdIUJ (/1' (.\,
superior a la velocidad de una pc:lol.ll en un '>Cr\'icio, independlcntemente dd dlllCfto de la raquela? (E.'ila cUC;!otión _q: podrá explicar m'~ &\k-I.nte en un ,,-'I!lexlO dlren:nte: la idea de l. c(HlJ('n-ucldll d"lllltpf>llI) .
Problemas 1 7S ".ovlrnlento circular y aceleracl6n ce ntripeta
-
•• Unn boln lunzada ni aire llega al suelo Aunn distancia de 40 m al cubo de 2,44 s. Dctt.:nninar el módulo y la dirección de la vclocidnd inicial.
71 • ¡,Cuál c... lo. ucc1cnlcióu del exttcmo d. I . d 1 bl 18 ' c II agU ja que señala los · '6 d i ' nllnuttY- e.:n e1re loJ e pro emn . '! E.X Iltc.~arln c.:Omo ,,,,- < '6 d i ' . .. .rI\eCI n e módulo de 111 ncde.:rncI n I! n ca dn lIbre g.
Demostrar que si un objeto se Illn7.n con ve!ocidnd 1'0 bajo un ángulo de tiro 9 por encirnn de la horizontal. el módulo de lu velocidad :1 ciena alturn h. I'(h), es independiente de 9.
• Unaccntrirug:ldorn gira u IS.OOOrev/n ,,_... Ialea1cu1IIr 111 ncelera. iÓfl centrfpetu en un tu bo con una muestm Situado 1\ 15 O"~, di ' de . . ' . .. e eje rotaCiÓn. ' bl P'.tra consegUIr In vch)Cldad máxmm de rotación 111 '-" 'n'( I . .. ugad om ace 1cm . durtlIlte I mm.. y 15 ~ . Calcular el m6flu¡() de la ucelc .... o., ... n eucla 1mlcntr:1S acelel'll. ~u pomendo que 6.t.. sea constullte.
83 •• A lu mitad de su allura m:ixima. la velocidad de un proycctil es 314 de su velocidad inicial. ¿Qu~ ángulo fonna el vector velocidad inicial con la horizontal"
72
"·ó,, ,.'. .
73 • Un objeto situndo en reposo e.:n el ecuador ell.pcrimclltll unn acele.:. ración di rigidu hncin el centro de I¡¡ Tierrn de.:bido al movimiento rotacionul de la 11 :1'11 nlrededor de su eje y unn un: le.:mción dirigidu hucia 1.\ 1 Sol debidu ul m O\ 'Icnto orbit:11de In Ti ~ rrn . Culcuhlr los .módulos de ¡mlbag acelcrncione... y clr .trlos corno unll rrncclÓn (~ e In ucelem.clón de cafdn libre de los c uetpQ~ g. l, vlllorcs de los datos rrslcos quc sc mcluye 111 finul de este.: libro. Determine la ucclcrnción quc cll.pcrimentll la Lunu la lierru. usnndo paru ello lo~ vnlores de la distancia mediu y del orbitnl quc u¡mrecen en la tabln de dn tos físicos al fi nal del libro. que In órbita es circular. Exprese estn lIceleraeiÓn como una rracción ¡lo de la aceleración de caídll libre.
• •
7· d<
" S
•
SSM
• Un muchacho hace glrnr una bola atada a una cuerda cn un círculo 1I de 0.8 III de radio. ¿Cunntas revoluciones por minuto realiza la bolu .Julo de su acelernción centrípeta es 8 (el módulo de la aceleración de
,,
-re)?
,
82
••
SSM
I
84 • i ./ Un avión de trnn~pone vue\u horizontalmente a una altum de 12 km con IIfI¡l velocidud de 900 kmlh cuando un carro de combate se de.~ prende de 111 f1l.mpll tra.~rn de carga. (a) ¿Cuánto tiempo tarda e! tanque en chocar contnl el suelo? (bl ¿A qu ~ dis(¡¡ncia horizonllll del punto donde cayó M: encucntnl el tanque cuando choca contra el suelo? (e) ¿A qué di ~la ncin está el tanquc re~pecto alllvión cuando choca contra e! suelo. suponiendo que el avión sigue vohllldo con vclocidud constante? •
Dos personajes de dibujos animados respon· den II su argumento habitual y uno persigue al otro. El coyole Wiley (Cumil'OrolU ¡ulIIgribi/ous) intcntu cazar de nuevo al Correcarninos (Spudibll.t cWllcmclrmi). Ambos. en su frenética carrera llegan al borde de un profundo burmnco de IS !TI de ancho y 100m de profundidad. El Corrccaminos salt.'1 con un ángulo de IS" por encima de la horizontal y aterri1.n al otro lado del barrunco 50brnndole 1,5 m. «(1) ¿Cuál cm la velocidad del Correcaminos antcs de iniciar el salto? Ignore la resistencia del aire. (b) El Coy(){e, con el mismo objetivo de super.!r el obstáculo, salta tam bién con la misma velocidad inicial. pero con distinto ángulo de salida. Para su desgracia. le ralllln 0,5 m para poder alcanzar el otro lado del barranco. ¿Con qué ángulo saltó? (Supóngase que éste fue inrerior a ISO.) 85
••
SSM
I
86 • Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45°. Dispara una bala con una velocidad de 300 mis. (a) ¿A qué altura llegará la bala'! (b) ¿Cunnto tiempo esturn en el aire'! (e) ¿Cuál es el alcance horizontal del cañón'.'
Prt ",ct lles
76 • Un lanzador de béisbol lanza una pelota a 140 kmlh hacia la base, que está a 18,4 ro de distancia. Despreciando la resistencia del aire (no seria una buena cosa para el bateador), detenninar cuánto ha descendido la pclotil por causa de la gravedad en el momento en que alcan'l.lllil base.
n
81
•
Se lanza un proyectil con velocidad de módulo 1'0 y ángulo 90 respecto a la horizontal. Hallllr unu cll.prcsi6n que dé la altura máxima que alcanza por encima de su punto de panida en funci ón de 1,.'0, ~ Y g.
87 •• Una piedra lanr.ada horizontalmente desde lo alto de una torre choca contrn el suelo a una distancia de 18 m de su base. ( a) Sabiendo que la altun! de la torre es de 24 1\1, calcular la velocidad con que fue lanzada la piedra. (b) Calcular la velocidad de la piedra justo antes de que ésta golpee el suelo.
88
••
,
I
Se dispara un proyectil al aire desde la cimu de una montaña 11 200 m por encima de un valle (figura 3.49). Su velocidad inicial es de 60 rrus 11 60° respeeto a la horizont31. Despreciando la resistcncia del aire. ¿dónde cnerá el proyectil'!
Un proyectil se dispara con unil velocidad iniciul \'0 bajo un ángulo de tiro de 30" sobre la horizontal desde una altura de 40 m por encima del suelo. El proyectil chOCA contra el suelo a Unil velocidad de 1,2 1'0' 78
••
SSM
,,
lkterminar 1,.'0'
.., '"
---- ....... '
¡'o = 60 mis
79 •• En la fi gura 3.48. si x es 50 m y h ::: 10 m. ¿cuál es la velocidad mínima inicial del dardo para que choque contra el mono antes de llegar é.~te al suelo que está a 11 ,2 ro por debajo de la posición inicial del mono?
. .. . .. 200m
,, ,
...
',
,
,, \ \
\
,, ,, ,, ,, ,
\
,,
,,
,
[ ';,-_______ Alcance ", ? - - - - --';; •
Figura 3.49
89 Figura 3 .48
Problema 79
•• El alcance de un proyectil dispftmdo horizontnlm~nte.: desde lo
alto de un monte es igual u la alturtl de éste. ¿Cuál es In direcCión del \'!!'C tor vclocidud cuando el proyectil chocn conU'U el suelo? Se dispara un proyectil con un nngulo de 6ft por encima de ~II hori7.0nlal Y con una velocidad inicial de 300. mls.. Calcu~nr (u) la dlstaocl.a hOIi1ontal reconiJ. por el proyecti l y (h) la distancia \'Crtlcal alcaJU'.ada des-
90
locidad inicial de 53 mis. 80 •• Un proyectil se dispara con una ve 1 "'" - "-iroa del 1\.. _ . ' nam que a a U. a IlUUo yqcrminar el ángulo de proyección nece.~o y - PmYectil $Ca igual a su alcance horizonlal.
Problemll 88
•
pués de tran~urridos los primeros 6 s.
•
76
I
Capítulo 3 Movimiento en d os y tre~ dimensiones
91 •• Una 1)l11!! de cnMII ~ di~r:ln' eón ulln \'e!ocid:¡d ¡nidul de 42.2 mIs, de"
DcmOSl rolr que el alcance pan! un problcmn mil!> g.cnernl como el que tra en lu figum 350 donde in T- O "iene dado por
"C
mues_
•
92
••
SSM
I
Un ureo Inrl/.u IIcchll' con IIIIIl vc locidud del orden de -15 m/~ . tu) Un nnJueRl Tánnro ,entado ¡¡ horclljuda~ en Sil cnhullo di~· pa ra ulla fledm de\ lindo el nrco 10" por cm:imn de lu hori/ontll l. Si el urca csuí 2.25 m por enci mu del s uc io. ¿cuál c... clllknncc de la flec ha'! Sup6 ngusc que el 'Iuelo e,,:1 ni\'dudo y no cOJl~ idere lu fC¡;i"lcncin (k l aire. (IJ) Supóngu!!oc ahora que el clIballo se mu!!\'c u gulape tcndillo en la m l ~ lIla dirección en (lile ~c disparol In f1cch:t }' quc el arq ul'ro coloca el urco dc In mimnn forlllu qUIJ en el (Ipar· lado !Ulterior. Si In vdocidnd del caballo e, de 12 mI:;. ¡.cuál e$ ¡¡horo el alcanCe de In tkchn"!
93 • i ,/ Con c.l U1'>O de un cnMn dc pBWUlS (instrumento mt.'
99 •• SSM Un proyecti l se disp:lro con un ángulo de elevnción 9. Un ob:;crv udor siluudo junio n la rnmpa de Innzamiento sitlía la posición del pro.. yecti l midiendo el ángulo de elcV'dCifin ~ que I>C muestrn en hl fi gurn 3.51 cuando éste e.~ul en ' " ml!xinm elcvnción. Demostídr que ~ = 9.
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------- , , I ,
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96 ••• En d texto. se hu calculado que el alcance de un proyectil cuando cae a la misma altura desde la que ha sido disparado es R :: (I'Ó/g) sen(20o). Demostrar que el cambio en el alcance causado por unu pequenn \'arinci6n de la ncelerm:ión de la gmvedud viene dado por I:J.RIR = - 6g/8.
97 ••• En el texto. se ha calculudo que el alcance de un proyectil cUílndo cae a In misma ahurí\ desde la que ha sido disparndo es R =< (vM g) ~e n (2 90 ), Dernostror que el cumbio en e l alcance cuu~1do por un:! pequenn variación de la velocidad inidal viene dado por !:J.R/R = 2!:J.\"of¡·Q-
, "
I I
I I
9
I
Rn
94 •• Calcular dRh/9 :! partir de R = ( I'J I8) sen (2 8o) y mostrar que poniendo dRItIS = O nos da quc par;¡ el ángulo 0= -45° !'>e obtiene el máximo alcance. 95 • SSM En un cono relato de ciencia ficción escritO dUl1l11te los años 1970. Ben Bova describió un conflicto entre dos hipotéticas colonias en la Lunn - una runduda por los Estados Unidos y lH olra fundudll por la Unión Soviética. En la historia, los colonos de cada colonia empiezan a dispararse entre ellos hasta que s~ dnn cuenca. con horror. que sus annas dan sufi ciente velocidad inicial a las balas pura que éscas se sitlÍen en órbita. (a) Si el módulo de la aceleroción dc l¡¡ gravednd en la Luna es 1.67 m/sl. ¿cuál es el ulcunce máximo de una bala cuya velocidad inicial es de 900 mIs? (Supóngase ,¡ue la cur....nturo de la superficie de In Luna es des prt."'Ciable.) eh) ¿Cuál deberla ser In \tclocidad inicial de una bala dbparoda en la superficie de In Luna para que ésta pudiero situarse en 6rbit:1alrededor del Satélite? (Hay que buscar el radio de la Luna.)
, , ,
I
Figura 3.5 1 Proble ma 99 10 0 • Un proyectil se disparo con una Yclocidad inidal desconocida y alerriu!. 20 s más tarde. en la ladera de una colina situad:! a una distancia hori· zontal de 3000 m }' a 450 m por encima del punco desde donde se h:t reali:t.ado el disparo. (a) ¿Cuál es la componente venical de su velocidad inicial" l b) ¿Cuál es la componente horizontal de su velocidad inicial?
101 •• SSM Una piedra se lanza horizontnlmente desde lo nito de una cuest:\ que fonna un ángulo Ocon la horizontal . Si la velocidad inidal de la pie· dra es 1'0' ¿a qué distancia caerá sobre la cuesta'! 102 ••• Un cuiíón de juguete se coloca en una ram pa que tiene unJ !l' diente con un ángulo 9. (a) Si la balu se pro}'ecta hacia arrib..1 por unJ. .13 con un ángulo de (;b por encima de la horizontal (figuro 3.52) y tiene una ). cidad inicial I'{\> demostrur que el alcunce R (mcdido tl lo largo de la ror Jl viene dado por
R =
ha COSlOo{ tg Oo - tg 9) s cos 9
Ignomr la resistencia del nirc.
,.
98 ••• En el tex to. se hn calculado ' Iue el alcance de un proyectil cu:mdo cae a la m i ~ma ahurJ deMle In que hu ~ido disparodo e.~ R = (1'0/8) ~ n (2 0o ) .
~
---- , , , ,
I
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I
...l.
R
I (x,y) I I
I
. . - l '
-
R
R
figura 3.50 Problemn 98
.,' Figura 3.52
Problema 102
103 •• Dc.~de el tejado de un edificio de 20 m de ultum ~e lanl a uml pie· dm con un ángulo de tiro de 53° sobre la horiLontal. Si d alcance hon7onul.l l.k la piedm C!> igunl ti lu altun! del edificio. oon qué velocidad se lanlÓ la f'(X:4' I ¿Cuál c..' la \clocidud de ésta JUSto ante,," de choc:tr rontrn el Mll' lo? 104 •• Unn muchachil que e.\tá :1-4 m de una pared \értlcI111um:11 ronU1l ella una pelota lfigura 3.53). la pclou, \Ale de MI nlD.1I(1 a :! m por COClO13 del lri'
Problemas
I
77
dntI mit!mrtls que pcnnanece sin variar su componente vertical, ¿Dónde caerá In IICI()(a al ~uelo', SUS""!IIcia: Sl~ put!llt! cOIIsillemr (111" {u poTl'd actúa (:omo 1111 "-V~j(}. D,.trmlil1l1r d lIfClIII Cl". j ';1I cOIISid,."l r /tI 11On!(I, )' I/IItI , '(': cOlloddo, c/JII.tit/¡·rrl r {II rr·JfeJ.'j(j" "~'pt!cll/lIr t'1! 1(/IJflr.. d,
---------- ... .-
----
Problema 110
111 • SSM Un plano está inclinado un ángulo de 30~ con la horizontal . Escoger el eje x apuntando hacia abajo segün la pendiente del plano y el eje )' perpendicular al pluno, Detenninar lus componente.<; x e)' de la aceleración de la gravedad. cuya magnitud es 9,81 mIs:! y apulllll verticalmente hacia abajo.
la mh
2m
Figura 3,53
Figura 3,54
'" Problema 104
112 • Dos vectores A y B corresponden ul pluno nes la relación AlH = AjIJ., '1
x)'.
¿En qué condicio-
113 • El vec tor de posición de una pan ¡cula viene dado por r = (5 mIs), I + (10 mls)/ j , en donde, está en segundos y r en metros. (a) Dibujar la tmycctoria de la panícula en el planoxy, (b) Hallar ,. en ronna de sus componentes y calcular su módulo. •
¡ro a l blanco y problemas relacionados
105 • Un muchacho utiliza un tiruchinus para lanzur una piedm desde la ."l!ura del hombro a un blanco simado a 40 m de distancia. El muchacho obser....a que paro hacer diana debe apuntar a 4.85 m por encima del blanco. Detenninar la velocidad de la piedra cuando sale del ti mchinas y el tiempo de ,'uclo, 106 •• SSM La distancia del puesto del lanzador de béisbol a la base es de 18A m. El terraplén donde se sitúa c1lanzador está 0,2 m sobre el nivel del campo. Al lanzar una pelota con una velocidad inicial de 37,5 mIs. é.~ta sale de la mano del hml.1ldor a una altum de 2.3 m sobre eltemlplén. ¿Qué ángulo debe formar v y la horizontal para que la pelotll cruce la base a 0,7 10 por cncima del suelo? (Despreciar la interacción con el aire.) 107 •• Supongamos que un disco de hockey se lanza de tal modo (Iue justamente sobrepasa la pared de plexiglds cuando se encuentro a su al!unl máxima h '" 2.80 m. I)cterminar 1'0,' el tiempo 1 que tarda en salvar la pared y Vu.. "o Y 00 paru eSle caso. Suponga que la distancia horizontal es Xt = 12.0 m. 108 •• Un muchacho se aproxima con su motocicleta al lecho de un ria· chuelo de 7 m de anchum. Se ha construido una rampa con una inclinación de loa para la gente atrevida que quiera saltar ta1,lUljll, El muchucho circula a su máxima velocidlld, 40 km/h. (a) ¿Dcberf:1 el muchllcho intentar el salto O pisar los frenos con encrgfa'1 (b) ¿Cuál e.~ la vehx:idlld mínima que debe llevar lu lllotociclela pum dar este salto? (Suponer lu misma eleVllción en los dos l lldo~ del obstáculo.) 109 ••• Si una bala que sale po.- Ia boca del arma a 250 mis ha de chocar eontro un blllnco situado a 100 m de distnncia y la misma nltufll que el arm3. ésta debe apuntar a un punto por encim:1del blanco, ¿Qué. distancia debe haber entre el blnnco y este punto?
Problemas generales
114 •• I Un albañil simado en el tejado de una casa deja caer involuntariamcnte su manillo. y éste re.~ba l a por el tejado con una velocidad constante de 4 mis , El tejlldo fonna un ángulo de 30a con la horizontal y su punto más bajo está II 10m de alturn sobre el suelo, ¡,Qué distancia horizontal recorrerá el manillo después de abandonar eltcjado de la casa y antes de que choque contra el suelo? 115 •• En 1940. Emanuel Zacchini voló 53 m como un obús humano. récord que todavía no ha sido superudo. Su velocidad inicial rue 24.2 mis bajo un ángulo de ti ro 8. Dctenninar 8y la altura máxima, /1, alcan.tada por Emanue[ durante este I'uelo. Ignore los efectos de la resistencia del aire. 116 •• Una p.1rtfcula se mueve en el plano xy con aceleración constante. Par.¡ t = O.la p.1nfculu se encuentra en la posición r l '" (4 m) i +(3 m) j. C()n velocidad VI' Paro / '" 2 s. lu !)'1nícula se ha despluzmlo a la posición r2 '" (10 m) i -( 2 m) j ysu velocidad ha cambiado a \ 'l '" (5 mIs) i -(6m/s) j . (a) I)ctenninar VI' (b) ¿Cuál es la acelernción de la panícula? (el ¿Cuál es 19 velocidad de la panícula en función delliempo? (ti) ¿Cuál es el \'cctor posición de In partíeula en función del tiempo'! 117 •• SSM Una pequeñu bola de acero '>C proy~..cta horizontalmente desde la pune ~upcrior de unn escaler." de escalunes rectangularo.~, l..;1 \'e1ocidad inicial de la bola es de 3 mIs, Cada escalón tiene 0. 18 m de altura y 0.3 m de ancho. ¿Con cuál escalón chocurn primcrnmcme la bolu? 118 •• Una pen:onn lunza Un:1 pelota a la distuncia .\'0 cuando está de pic sobre un ICrTCno nivelndo. ¿A qué distanci u lunzan! la misma pelOta de..,¡]1' lo alto de un edificio dc ullUm h si lo hucc con ángulos de inclinución ( 11) O"? (b) 30~'1 (e) 45"7 119 ••• Darlen es unu motorista acróbata de un eiren ambulante. P:mt dar más emoción a su actuación. salta desde una rampa que po"Ce una inc1inoci6n O y sobrepa.~a una zlInjn eon llama( de anchum x y alcnn1u el Olro extremo <;obre una pllltaformn elevada (alturtl h respecto dclludo inicinl) (figunl 3.55). ((1) Para
... -.. _.... -..... ,' •
110 • Lo.~ vcctorc.~ despla7.amiento A y 8 de la figura 3.54 tienen ambos una magnitud de I m, (11) Determinar sus componentes.\' e y, (b) Determinar las componentes. módulo y dIrección de la sum3 A + 8 (e) Determinar 13..\ componentes. módulo y dirección de la direrenci3 A - B.
F~ur.
3.55 Problema 119
78
I
Cllpítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
unn ,dctcmlinadu almnl h, encuentre la vcJocidltd de despegue mínima I'mln ¡mm realizar el salto con éxito. (b) ¿Cuál es ",.un pum un ;1ngulo de lanzamiento 0= 30" si la profundidud del ¡J01.o es de 8 rn y la altura de In plntufonn3 It = 4 ni'! (e) Mucslro: que. indepe ndientemente de l módulo de la \'docidnd de despegue. la alt ura mixi nlll de In pl:uafomlu e.<; 'r.., < .f Ig 9. Interprete el resulmdo ffsicumCnlc. (Desprecie los cft.'Ctos de la resislcncin del lIife y trate la motociclcm
como una panícula.) '20 ••• Una pequeña lancha pone rumbo I¡¡¡da un pueno situado Il 32 kili hacia el noroeste de su posición inicinl cu.mdo súbitamente se \le cll\'uellll e n una dcn ~a niebla. El capitán mantiene el rumbo al noroeste y unu \/clocidlld de 10 kmlh rcl:ui\'lI al agua. Tres hora~ más tarde, In niebla se levanta y el cupitán ob~Cr.'3 quc se e ncuentnl cxactamente a 4.0 km al ~u r del pueno. (a) ¿Cuál rue In velocidad media de lu corriente dur.llllc ¡¡(luel1ns tre.~ horas'! (b) ¿En Qué dirección debería haber puestO su rumbo la luncha p3ra alcanzar su destino en
uml troycctoria lineal? (e) Si hubiera ~eguido esto tmye<:toria lineal. ¿qUi tiempo habría necesitndo paro realizar el viaje? 121 •• SSM Galileo indicó que. si se despreciaba lo resistencia del uin:. los a1conces de [os proyectiles lanzados con ángulos de tiro mayores de 45 0 en una detenninada cnntidad eran igunles a los 31cnnces de proyectiles lan. I,ndos con ángulos de tiro menores de 45 0 en In mismn contidnd. DemOStrarlo. 122 •• Desde la parte superior de un acanti ludo de altura h se lanzan dos pelotas con idéntica velocid¡¡d. Una de ellas se lanza hacin arriba con un ángulo Cl respec to n la horizontal. La otra se la07.a hucia abajo coo un dogulo p re¡. pecto a In horizOnlal. Demostrar que ambas pelollls c hoca n contro el suelo con 111 misma velocidad y calcular el valor de esta velocidad en funci ón de h y de la velocidad inicial 1'00
- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -________________ 1
LEYES DE NEWTON
Capítulo
4.1
Prim era ley de Newton : ley de la •
• mercla
4.2 Fuerza, masa y 4.3 4.4 4.5 .E'
avión esta acelerando antes del despegue. Las leyes de Newton relacionan la acelerade un objeto con su masa y con las fuerzas que actúan sobre él.
Si usted fuera un pasajero, ¿cómo usaría las leyes de Newton para determinar la aceleración del avión? (Véase el ejemplo 4.9.)
4.6 4.7
A hora que ya hemos estudiado cómo se mueven
los cuerpos en una. dos y tres dimen-
siones. nos hacemos la siguiente pregunta, "¿por qué los objetos se ponen en movimiento?" ¿Cuáles son las causas que hacen que un cuerpo en movimiento gane veloc idad o cambie la dirección?
La mecánica clásica relaciona las fuerzas que se ejercen los cuerpos entre sí. y también los cambios en el movi miento de un objeto con las fuerzas que actúan sobre él. Des~ cribe los fe nómenos utilizando las tres leyes del movimiento de Newton. Mientras que ya tenemos una idea intuitiva de algunas fuerl.as. como las de empuje o de tracc ión ejercidas por nuestros músculos o por muelles o goma':> elásticas. las leyes de Newlon nos permiten refi nar nuestra comprensión sobre las fucr7-
Una versión moderna de las leyes de Newton es la siguic nlc: Primera ley Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a /IICIIOS qlle sobre él actúe una (ue'.....:a externa. Un cuerpo en movi miento continúa moviéndose con velocidad constante (l mellOS qlle sobre él actúe una fuerza externa. PRIMERA lEY DE NfWTON
segunda ley de Newton Fue rza debida a la gravedad: e l peso Las fu erzas en la naturaleza Resolución de problemas: diagramas de fuerza s de sistemas aislados La tercera ley de Newton Problemas con dos o más objetos
...
80
I
Capítuto 4 leyes de Newton Segunda ley La uccleruci6n de un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza externa neta que actúa sobre él. E." proporcionul a la fuer!.:1 e~ terna neta según F IlC!:l = ma, donde m es la masa del cuerpo. La fllena neta que actúa sobre un cuerpo. también lIamndu fu cr!.1l resu ltante. es el vector suma de todas las fuer!.as que sobre él actúan: FllCb =. Así pues.
r ....
I,F
=
mil
(4. 1) SECU NOA LEY DE NEWTON
Tercera ley Las fu erzas siempre actúan por pares iguales y opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerlH FA .n sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerla igual, pero opuesta FU;A' sobre el cuerpo A. Asf pues, FD.A - - F A.a
(4.2) TERCEAA LEY DE NfI'lTON
4 .1
El rot.amiento se reduce grandemente mediante un colchón dc aire que "apona el acrodeslil.lIdor.
Prim era ley d e Ne wto n : ley d e la ine rcia
Empujemos un tro'lO de hielo sobre una mesa: desliza y luego se para. Si la mesa c,tá húmeda, el hielo recorre un espacio mayor allles de pararse. Si se lralil de un trozo de hIelo seco (dióxido de carbono congelado) sobre un colchón de vapor de dióxido de carbono. el deslizamiento es mucho mayor y el cambio de velocidad es muy pequeño. A nt~ de Gal: :0 se creía que una fuert.a, tal como un empuje o un tirón. era siempre necesaria para ma01 'r un cuerpo en movimiento con velocidad constante. Galileo, y posterionneme Newton. r q. nocieron que si los cuerpos se detenían en su movimiento en las experiencias diariu' ,1 debido al rozamiento (o fricción). Si éste se reduce, el cambio de veloc idad se reduce. a capa de agua o un colchón de gas son especia lmente efectivos para reducir el rOUlmil: 'l, permitiendo que el objeto se des lice ti gmn distancia con un pequeño cambio en ~ u \'eh '¡dad. Si se el imin an todas las fuer!"ls extcmas que actúan sobre un cucrpo - razonuba (: fi· leo-- su velocidad no cambiará. una propiedad de la materia que él describfn COITI \' -u inercia . Esta concl usión restablecida por Newton como su primera ley. se llama también 'l de la inercia .
Sistemas de referencia inerciales La ley primera dc Newton no distingue entre un objeto en reposo y un objeto que se muevc con velocidad constante distinta de cero. El hccho de que un objeto esté en repo'>o O en movimiento con velocidad constante depende del sistema de referenc ia en el cual !-ie obse~ ¡¡ el objeto. Consi deremos un a pelota ~i luadu en la bandeja de su asiento de un avi6n que vueln en una trayectoria horil.Ontnl. En un sistema de coordenudns ligado al avi6n (c~ decir. en el sistema de referencia del avión) la pe lota estú en reposo. y pcmmnccerá en reposo relalÍ\o (11 avión en tantO éste vuele con velocidad eons1Unte. Supongamos ahora que el piloto aumcnwln potencia de los motores y el avión. de fonna brusca, accleru (con rc."pccto al sucio). Usted observará que In pelota, de repente. I'CtrOCede ace lerando con respecto del avión incl uso cuando no uctÚIl ninguna fuer/u sobre ella. Un !> isu!mn de referencia que acelera rc!>pecto de un sistel11:1 inerdol. no I;l!o un MSIC'I11A lIc referencia inercial. As! la primera ley (/t' Newr(m "().~ proporrimw C"I aire,.io ¡xml dl'frnm' flor si "n .{ürem(l de I't!fl'f'('1Icia l'.\ illl'rcial. De hecho. C~ lílil J>t!1l\ur en 13 primem le~ tit' Newton como un criterio que define cuando lo.... ¡"lCrlUt\ de rercrcncin ,on men.·iale"
4.2 Fuerza, masa y segunda ley de Newton
Si ~nbrc un objeto. no actúa .ninguna fucrlll '1 d e' . , cualqu',er• ."" ~ I " cilla e relcrenCIO con respecto al cunl !tI aceleruc lón del oblelo es cero es' ',n s·,slcn •• d e re rcrcncln . .merC!!1 . I. ;J . DEFINI CiÓN OE SISUMA DE REfEREN CIA INERCIAL
Tanto el avió n. cuando• se mueve a velocidad co n •~la ,.'C • "0 . . • .... I' 10 e I suc Io, son una b ueno ¡Iprox llmlclón .de sistemas de rclerencia inerciales.CU . I d e re' ferellCla . que se •'¡I(IUicr SIS elllll mueve a ve lOCidad ~o n s lante con respecto a un Sistema de referencia inercia l tllmbién es un ,istema de rcfcrcncHl inercial. VII sü:te.. m~ de r~ferenc i a ligado a 1:\ superfic ie de In Tierra no es towlrncntc un sistema de re fe renclII mere lal por la pequelia uce lernción de la superfi cie de la Tierra debida a la rol:lción terrestre y :1 In pequeña aceleración de la propia T ierra debido II s u revoluc ión lrededor del So l. Si n ~ m b argo. como estas acelerac iones son del orden de 0.0 1 m/s 2 (o \I~·nos ),. pod e m.o~ co n s l dc ra~ que aproxi mud:\lnente un sistema de referencia ligado a la ¡pcrfic le de la r ICtT:\ es un s¡stemII'(oll SOII líll iclllllew e \'á /idas en .ú.\'Iemas de referencia illlm:ia les.
2 Fuerza, masa y segunda ley de Newton pri men\ y seg unda ley de Newton nos permiten defi nir e l concepto de fu erza. Una uerla es una influ encia externa sobre un cuerpo que causa s u aceleración res pecto a un ~i<.tem n de referencia inerc ial. (Se s upo ne q ue no aet lÍan otras fu erzas.) La direcc ión de la tueita coincide con la d irección de la aceleración causada. El módulo de la fu eita es el producto de la masa del cuerpo por el módulo de s u aceleruc ió n. Esta de fini ción se muestra en la ecuac ió n 4. 1. Se puede comparar fu en!:as. por ejemplo. estirando gomas elásticas. Si esti ramos la misma magni tud gomas e l4sricas idénticas, ej ercerán fu cr¡;as iguales. Los objetos se resisten intrínsecamente a ser acelerados. Imaginemos que damos una patada a una pelota de fútbol o a una bola en la bolera. Ésta úllima se resiste mucho más a ser acelerada que la pelota de fútbol. lo cual se manifiesta inmediatamente en la diferente sensación que notan los dedos de nuestros pies al dar el golpe sobre ambos objetos. Esta propiedad intrínseca de un cuerpo es la masa. Es una medida de la inercia del cuerpo. La relación de dos masas se define cuantitativamente aplicando la misma fu er¡;a y comparando sus aceleraciones. Si la fue rza F produce In aceleración (1 1 cuando se aplica:\ un cuerpo de masa mi Y la misma fuerlu produce la aceleración ll2 cuando se aplica a un objeto de masa 1112' la relación entre las masas se defi ne por I
•
- --
(4.3)
D Ef iNICiÓN _ M ASA
Esta definición está de acuerdo con lIuestru idea intui ti va de masa. Si In mi sma fucrl.U se aplica a dos objetos. el objeto de m{tO:; masa es el que acelem menos. Expcri lllentahnentc se deduce que la relación (1 1/(12' obtenida cuando Fuer1.as de idéntica magnitud acuían sobre dos objetos. es independiente del módulo. dirección o tipo de fuerza util il..1da. La Ilms~ de .un cuerpo es una propiedad intrínseca del mismo y. por lo tanlo. no depende de la localizaCión del cuerpo. Es decir. la masa de un cuerpo continúa .. ¡cndo la misma si el cuerpo está sobre la TIerra. sobre la Luna o el espacio exterior. Si una comparació n directa muestra que m'¡ml = 2 Y m..jm 1= 4. entonces "'-l:.ero doble que mz. cuando se comparen entre sí directamente. Por lo tanto. podemo<., .e<;tublecer una escala de mao;a..'i eligiendo un cuerpo patron y asignándole la ma ..a de I umdad. C().~o ya vimos en el capítulo l. el cuerpo elegido como patrón intemocional de ero un clh.ndro de una aleación de plntino-iridio que!;C con!'ierva cuidado..amente en la Ofictna Internacional
ma:""
I
81
82
I
Caprtulo 4 leyes de Newton
de Pesos y Medidas en SCvres. Francia, y se asigna la masa de I kilogramo, la unidad SI de masa. La fuerla necesaria pam producir una aceleración de I mls2 sobre el c uerpo patrón es por defi nición I newton (N). Oc igual forma la fuerza que produce sobre el mis mo cuerpo una aceleración de 2 m/s 2 se define como 2 N. Y as í suces ivamente.
EJEMPLO 4.1
I
Un paquete de helado
Una fuerl.:B determinada produce una aceleración de 5 mi';' sobre un cuerpo patrón de masa m i ' Cuando la misma fuerza se aplica a un paquete de helado de masa m"2 le produce una aceleración de 1I mb•.2. (a) ¿Cuál es la masa del paquete de helado? (h) ¿Culil es el módulo de la fuerza ? Planteamie nto del problema Aplicar I:F = ma a cada objeto y despejar la masa del paquete de helado y el módulo de la fuerl.a. (a) 1. Aplicar I: F = ma a cada objeto. Únicamente hay una fu ena. por lo que necesitamos simplemente considerar el módulo de las variables vectoriales. 2. UI relación de las masas cslá en razón inversa con la relación de
las
accleracione.~
producidas por la misma fuerza:
F, -
F2 =
F. por lo tanto m .a . = ml a 2
a,
5 m/s 2 II m/s 2
y I1I l
m. a,
3. Despejar 1112 en función de
mI.
5 -m. 11
que es I kg.
(b) El módulo de la fuerza se obtiene mulliplicando la masa por la aceleración de cualquiera de los cuerpos:
I
= ¡5¡ (1 kg) = 0.45 kg
I
F = m i O . - ( 1 kg)(5 m/s 2) =15 N I
Ejercido Una fuerla de 3 N produce una aceleración de 2 m/s2 sobre un objeto de masa desconocida. (a) ¿Cuál es la masa del objeto? (b) Si la fucl7..ll se incrementa a 4 N. ¿cuál es In aceleración? (Respuestas (a) 1,5 kg. (b) 2,67 m/s2.)
Experimentalmente se encuentra que si sobre un cuerpo actúan dos o m;'\s fuerlas, la acel, ción que causo n es igual a la que causaría sobre el cuerpo una sola fu crza igual a lo ~u vectorial de las ruerzas individuales. Es decir. las fue rl.as se combinan corno los "cclore<., scgunda ley de Newton puede expresorsc. por lo ta mo, en la fo nn a
I. F =
EJEMPLO 4.2
I
Foela = lila
Un paseo espacial
Un astronauta se ha extra"lado en t'I espacio lejos de su cápsula espacial. Arortunada mente pcl!JH una unidad de propulsión que le proporciona una fu erza COIlIO,anle F durante J 5. Al cabo de 108 3 5 se h. moyido 2.15 m. SI su malia es 68 kM. detennlnar F.
Plantu mlento del proble ma 1...1 fueml. que actúa \Obre el astronauta Col¡ constante. de modo que. la acelerad6n a lambi~n e.~ L'Onstamc. Por lo tamo. ulili1.8remm la~ ecuacione~ cinemáticas del cap(tulu 2 paro determinar. y I;{)n ello obtener la ruerlD, a panir de 1: F .. ,q, E..(,C()gert'.1TIO'I F en la dirtcci6n del eje .f. de. modo que F = F,I (ligura 4. 1). La componente de la .segunda ley de Newton a lo lUJO del eje 'e
La unidad pj(lpul~ (que no ~ mue..tra en la I~}· loarafla) empuJa.1 & .. tt\lfWIla hM.ia la ~",'hI
I
4.3 Fuerza debida a la gravedad: el peso
r
1. Aplicnr F = 1111'1 para relacionnr In fucr.t.
ma~
F. _
y
,
2. Pnra determinar In ucclerllción utilizamos I ·6 2 . .• uecuucl n .15 con,'o = O:
-o ,2 2 • F
- 0.500 m/s 2
x
3. Sustituir a,. = 0.500 mls2 y m = 68 kg p',m . de'e,.,'mar 111 fuer'/.ll:
EMPLO 4,3 UI
I
FA = ma ,
(68 kg)(0.500 m/ 52) = jJ4.0 NI
'=
Fuerzas que actúan sobre una partícula
¡INTÉNTEL O USTED MISMO!
p~rtíc~11I ~e ,~nllSlJ 0,4 k~ estl1 sometida simultáneamente a dos ruerzas FI = -2 NI- 4 Nj Y
= -•.6 NI +!l NJ. Si la partlcu(¡\ cstá en el origen y parte del re......," ..... ,_ O
, 'ó n r}' \.'6) su \'elocldad , d or poSICI ,. para I = 1.6 s.
l"~""
1 1
()
,ca cu ar a su
-
3n teamiento del problema . :omo F, y F2 son COnSlanles. la aceleración de lu partIcula es n~t~nte. Por lo I1mto. podemos ullh:r.ar las ecuaciones cinemáticas del capítulo 2 para detenninar la J\lCIÓn de la prutkulu y la velocidud en función del tiempo.
rape la columna de /0 derecha e intente reso/verlo usted mismo Pasos
Respuesta s
(a) 1, Escribir la ecuación generul del vector posición r en función del tiempo t para una aceleración constante a en función de ro. v y a. sustituyendo ro= Vo = O.
2. Utilizar:E F = I/Ia pam expresar la accleración a en función de la fuerza resultante:E F Y la masa m. 3. Calcu lar í: F a panir de las fuer'l.as dadas. 4. Determ inar el vector aceleración a. 5. Determinar el vector posición r para un tiempo cualquiera t.
, =
a
-
4.3
-
-
=
'"
[ l· = F,+ F1 = -4.6N i -t LOX j ~F
a = '-
,
r
(b) E.'\Cribir el vector velocidad y en función de la aceleración y el tiempo y calcular sus componentes para t = 1.6 s.
,,
rU+ \ lot+~ a l
'" = -
--_
=
- -5.75
6. Determinar r para I = 1,6 s.
Figura 4 . 1
=1
11..<,1Il~ /1 1' + •'ts •
,,.
-
-(j
.
/." J
III~
," 1-,, . -
1- 1 + -(/
m/s~ I ) 1
+ 1.25 mI,:, j
1.l.7 mi +J .20 mJI
\ = lit
= (
1 15 m/~~ i +251l11\'j lt
=1- ISA 111/' i + 4,011 mI, j I
Fuerza debida a la gravedad : el peso
Si dejamos caer un objeto ccrca de la superficie terre....tre. el objeto acelera hacia la Tierra. Si podemos des preciar la resistencia del aire. todos los objetos po~ccn la misma acelemción. llamada ace leración de la gravedad g en cualquier punto del espacio. La fuerl.U que causa esta aceleración es la fuer/..a de la gravedad sobre el objeto. llamada peso del mismo. w. 1 Si el peso Wes la única fuerl.u que actúa sobre un objeto. se dice que éste se encuentnl en caída libre. Si su mnsa es m. la scgundll ley de Newton = ma) definc el peso del cuerpo en In forma:
crr
1 ReferiBe a ta fucrla de gravedltd como "cl peW" e... de$afonunado Y1I que parece Implicar que "el pcw" ~ una propiedad del Objeto mlis que de una fuer/A eJCleml que acula tohre él. Para eVitar caer en e\CI Inlerpreuc¡ón apuente, cada. lIel que leamos "el f)C.,,"," mentalmente traduciremos esta ócnomin.ciÓrl como"l fuer7A ¡ravillltoria que ICllia"
83
84
I
Ca pít ulo 4 Leyes de Newt on
w
= mg
(4.4)
Puo
Como g es idéntico parn todos los cuerpos. llegamos a la conclusión de que el peso de un cuerpo es proporcional a su maSl!. El vector g se denomina campo gravitatorio terrestre y es In fuer/...L por un idad de ma:.a eje rcida por la Tierr.L sobre c ua lquier objeto. Es igual a la ace· leración e n carda libre ex peri mentada por un objeto. 1 Cerca de la superficie terrestre g tiene el valor g = 9.81 N/kg = 9.81 m/s 2
•
Med idas cuidadosas muestran que g ,,¡¡ría con el lugar. En panicular, en un punto por encima de la superficie terreslre. g apunta hac ia el centro de la Tierra y varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia lL dicho centro. Así pues. un cuerpo pesa ligeramen te me nos cuando se enc uent ra e n lug.u es muy elevados respeclo al ni vel del mar. El campo gravitatorio tam· bién varía ligeramemc con la latitud debido a que la Tierra no es exactamente esférica. sino que está achatada en los polos. Por lo ta nto, el peso. a d iferencia de la masa no es una propi edad intrínseca del cuerpo. Aunque el peso de un cuerpo varía de un lugar a otro debido a las variaciones de g, esta variación es de mas iado pequeña para ser apreciada en la mayor parte de las aplicac iones prácticas sobre o cerca de la superficie terrestre . Un ejemp lo puede clurifl car la di fe rencia entre masa y peso. Supongamos que en la Luna tenemos una bola pesada. como la de j ugar a los bolos. Su peso es la fuerla gravit'ltoriu que ejerce la Luna sobre eUa. pero esta fuer/..3 es sólo una sexta pane de la fuerla que se ejerce sobre la bol a cuando está en la Tierra. En la Luna la bola pesa sólo una sexta pane de lo que pesa en lu Tierra, por [o que para levantar la bola en ella se necesita una sexta parte de la fuer.o;!. Sin embargo. lanzar la bola con cierta velocidad horizontal requiere la misma fucrlu en la Luna que en la Tierra. O en el espacio libre. Aunque el peso de un objeto puede variar de un lugar a otro. en cualquier lugar dctem ,nado, su peso es proporcional a su masa. Así pues. podemos comparar conveniente mente 1's masas de dos objetos en un lugar determinado comparando sus pesos. La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede de las demás fuerza~ qUl equilibran. Por ejemplo. ni estar sentados en una silla. apreciarnos la fuerza ejercida por que equili bru nuestro peso. y por lo lanto evi ta que nos caigamos al suelo. Cuando e-, t4l' situados sobre una balanza de muelles. nuestros pies aprecian 1:1 fuerla ejerc ida sobre ni IroS por la bal anza. Esta balan7..a está calibrada de modo que reg istra la fuerza que debe c: cer (por compresión de su muelle) para equili brar nuestro peso. La fue rLa que equi lit nuestro peso se denomino peso aparente. Este peso aparente es el que viene dado por u balanza de muelle. Si no ex isti ese ninguna fu erza para equilibrar nuestro peso, como ,ueCo en In caído libre, el peso aparente serfa cero. Esta condición denominada ingrm'idcz, e~ que experimentan los astronautas en los sutélites que giran alrededor de la Ticml. La única fuerJ.a que actúa sobre el satélite es In gravedad (su pe.<;o). El astronauta estn también en caída libre. La única fu ena que actúa sobre él es su peso. que produce la aceleración g. Corno no ex isle ninguna t"uert.lI que equ ilibre la fu erla de la gravedad. el peso aparente del astronauta es cero.
Unidades de fuerza y masa La unidad SI de musa c.'. el kilogramo. Como el segundo y el metro. el kilogmmú c:. una unidad fu ndllmental en el SI. La unidad de fuerla. el newton y la.'> u nidad~ de otros nmgnitudl':' que eSludiaremos m:\:. adelunlc. tales como el momenlo linenl y 111 energía. se dcrhuTl de
estas tre:. unidadc..'i. fund amenlolcs: segundo. metro y kilogmmo.
reftm a l. KderKit'ln de la ¡n\-cdad, que« l. ace~l'1ICit'ln tde un ob}elo en t . rda Ii~ ) re tal" . al \ ud",. !\~\ ~ c:omplet&mlmle correc:1O . mb.Uf eMI ace teqdt'ln Unk.-.meme. iaI atta~ IÓII 8ra\'lwt)ri. de l. n~. LII JtwnaÓQ . dl!Ol;\Jlmi mú IKItIInk en et capílu lo 11 _
I •
'>C
4.4 l a \ fuerza~ en la nllturaleza CUII10 dc¡,:ltUIlO\ e n la \CCC1Ó n 4"
kr:tl'IÜIl dt.: I
• m /\- t.'tUllldu ltt:ltín
1
,~ .!! llCW t Ol1 \(,:
ddi nc
e
I
\obl\' I k , S _ Ol11(l U luct'"/u que produce In
Unu utlll.1l1d p:uron t!(1tl "c nic lltu de " ~'O . 1 '1 ' .¡\U Cl! II I ' IC'I '116 n . .. 1 1I19~11 un ific ad l' (u) que ,e d efil1l' COIllO l' d ' ' . llC.1 y !l ile cur c, lu unidüd d e ,1 (x;cav¡¡ pal'le de l' 1 1á ho/ll)·12 (IJCl, L:l unidud de 111:1"11 uniliCltdu c~ 111 '1 ,' .1 11111'11 (: tu mo lle UI I'O d c l ('ur. n: lICtnlllld u 1.:011 el kilot!rfuno por
l u
= I,M0 540 x 10 ~1 kg
:, .. de un áwmo de hidró ~ll cl1() c~, .'11>",,,,',,,.,,1" " "
1 1I Ll fl(lUt' c-n c.'te 1C. \. It ) uti li/an.:ll1o:>. gt! Il C I~ lhll '111 ' 1 1 ·S ' . e l' UllI t n( e:>. , I en un ,¡,tcmll ba:-atlo en t!1 pie. el ~cg tl llClo y In Jih ( . 1 1 ,'"
(4.6)
IIlC Ul e
nt
l o~
EF UU el; Imb't I 1 ' " ,, I I,m e un ll H( (e tuer/a) E.. tc :>'1:>.tCIll '1difiere
It'n 4~e c~t:u.gc ,COI,no 1Il, li~llId fllllclllnlClllUlulIll unicJud de fucrla en' lt:gll r·d~ um; unidad .1'.1. Lu hhrn SI;: dcfimó unglnalml.'nll' COIIIO el 1'" . > 1_' ' . '
:-c
e e un cuerpo patrón clclCrrnmudo en '¡Ir c()ncrc to, Ahol1l:-.e dch nc como una fuer/u igu'tl '1 4 4482'2 N " , d • ' 1 lb . " . , ..(."( on candO:t tres lenclll O~ .. ... A,) N, Cümo I J.. g ,>CS" ' I 9 ,8 1 N, .s" pe'SOcn . I'I bmscs , ,
•
'i¡
9,8 1 N = 2,20 lb
(4.7 ) Peso DE 1 kG
Ln unidad ~e masa en este sistema , lla mada :'ilug, se ulili za muy poco y se defin e como la ma,~ ~e un objeto que pesn 32,2 lb, Cuando se trabaj a en este sistema es más conveniente .. u~tJ,tul r la masa m por \!'/g . en donde 1\1 es el peso en libras y g la ace lcración de la gravcdad en pies por segundo por segundo;
g-
EJEMPLO 4.4
I
32,2 pi es/s 2
Una estudiante acelerada
La ruerza nela que actúa sobre una estudiante de 130 lb es 25 lb fuena. ¿ Cuál es su acelera-
d6n?
Planteamiento del problema Aplicar r.F = detenninarsc a panir del peso de la estudiante,
III{/
Y despejar la accleroción, Ln masa puede
De acuerdo eon la segunda ley de Newlon, su aceleración cs la fuc17..3 divi. dida por su masa:
F F {/= - = - = " , , = ni II'lg (1
= 16.19 p;osls' l
Elerciclo ¡,Qué rueml es necesaria para suminislmr una m::elemci6n de 3 pie.vs2a un bloque de 5 lb? (R(!SpUl'Sla 0,466 lb,)
4.4
Las fuerzas en la naturaleza
La gr.m potencia de la ~egunda ley de Newlon se manifiesta cuando ~ combina con las leyes de Ia.~ fuer"..ru. que describen lao; interaccione!> de los objetos, Por ejemplo. la ley de Newton ~ la gravitación. que estudiaremos en el capítulo 11. nos expresa la fuer".a gruvitatoria ejer· Clda por un objeto sobre otro en funci ón de la distancia que sepnm los objetos y las mac;us de ambos. Esta ley de gravitación combinada con la segunda ley de Newton nos pennite calcular las órbilas de los planetas alrededor del Sol. el movimienlo de la Luna y las variacione.c; COn la altura aceleración de la gravedad.
•
I
85
86
I
Cap rtulo 4 leyes de Newton
Las fuerzas fundamentales Todas las distintas fu erJ.as que se observan en la nalurJ.leza pueden explicarse en funci ón de cuatro in teracc iones básicas que ocurren en tre partículas elemenlales (ver figurJ. 4.2): 1. La fu erza g ravitatoria. La fu erJ.a de mmcción mutua entre los objetos 2. Lu fuer/.u e lectromagnéti cel. La fuert a e nlre las cargas eléctricas 3. La fue rtel nuclear fuene. Lu fuerJ.a entre las pan ícul as subut6micas 4. La fu erf.a nuc lear débi l. La fu erza entre lus partícul as subatómicas duranle algunos procesos de decaimiento radiactivos Las fu erJ.l\s cotidianas que observamos entre cuerpos macroscópicos se deben a [a fucrla gravitatoria o a la fuerl.a electr omagnética.
(a)
(h)
(e )
Figura 4.2 (a) LII fuer/.u grnviuuorin ejercida entre la Tieml y un cuerpo próximo a la superficie 11:· rrcstre c.<; el peso del cuerpo. L.'l fu ena gruvilaloria ejercida por el Sol sobre 111 Tierm y lo). demá.~ pla· netas c.<; la responsable de (Iue 6.to). !tC mantengan en sus órbiHls alrededor del Sol. De igunl modo. la fuert.a grnvi latoria ejercida por la Tierm sobre 111 Luna mantiene a é!tUl en unn órbiw casi circular nlre· dedor de la Tierm. Las fu er.ws gmvitntoria:; ejercidas por la Lunll y e l Sol sobre 1m océanos de In Tietnl \on responsables de I ¡¡~ maren!.. El Mome Snint-MicheJ (Francin) mO$tnldo cn c~l a foto '>C conviene en unn islB cuando sube la mareA. (11) La fucrl.a eleetromngnélicn incluye Ins rucr/.a.~ cléctriclI y nmgnélicn Un ejemplo fBmilinr de las fuerL.a eléclrica e\ la atracción enlrc pequeños trozo'" de (llll>el ) un pe.inc qur se ha eleclrifi cado al JXWlrlo por e l cabello. Los rcltimp:lgo$ sobre el Ob.o.cn'tltorio Nacional Kju Pe,.\.. que ~ mueSlmn en la fOlo re~uh a n de In fuer/ll elcetromngnétien, (17) 1..11 fU l.!rza nudcnr fuerte llene lugur entre Ins p:¡rt fcul n~ elemenUlle, lIam u dn ~ hndrone~. que incluyen I ()~ pmlonc.... )' neUlmnc\. ('on~litu~rn le, de lo!. mk leo¡; nlómico:.;. E\ ta fucrlíl re~ ult n de la interacciÓn de los qunr\..\ , blrl(¡ uc~ ('on ~ l l luli\ ~h J~ lo, hBd ro nc.~ y e~ In rc~p()n\lIbl c de mantener los nticleo~ t!.Mable:.;, L¡¡ c:\plo,itín de la bnmbn de ludnígeno ilm trado en e,IO fOlograffn es un ejemplo de la polencin de esta fu er/tI_ {(/ ) 1';1 fu er/a nuclear dd~11 ocum: ent re lo!> l e plO ne ~ (que mdu)cn e l cc lronc~ y !Iluone:\») lam"ien entrl" hillh'Ifl f" \ pn)lt) n('~ ~ IK'U ' Im m!s). 1:"\13 fOlognlffn de In c/hnara de niehln (en fnl~l) ('olorl ilu, tm lu IIllc !'U('l'ion dt.< t-oll c nl1't' un nlll\11I de In rudiación c{"micn (verde» un electrón Imjo) arrancado de un m\)l1lll,
4.4
lll~ fu erzas en 111 naturaleza
I
87
Acción a distancia fundnmcnlul es grnvednd •y electromagnc, ·,s,no DC, uan . entre purt rcu,as sepanl das , en d espm; 'ó lo. Esto .. N ·d d' crea .un problema hlosófi co lIumudo aec·,ón U d·" l. IIncUl . cwton conSI ern~a la accl. n ti .IStancHI COmo un fall o de su teorra de ID gravitación. pero evitaba dar cualqU1er otrJ.. IIIp6te~l s .•Hoy ~I pr;>ble~lI se eviUl intr~ucicndo el concepto de campo. que actúa como UIl ,lgc~l1e 1Il1ermedlo. I or ~J:lIlplo. la Iltrucclón de la Tierra por el Sol se cOllsideru en dos et:lp~s. El Sol crea una condición en el espacio que IInmumos campo gravi tatorio. Este campo eJcn:c en~onces u.na fu erla sobre la Tierra. Del mismo modo. la Tierra produce Ull C31npo g ra v lt a~ o n o ~u e eJerc~ una fu er!:a sobre el Sol. Nuestro peso es In fu erla ejercida por el campo gmvlttUorlo de In Tierra sobre nosotros mismos. Cunndo estudiemos la eleclricidud )' el mag l~etismo (Cllpítu.los 2 1- 30) ¡~nalizaremos los campos eléctricos. producidos por carga... eléctrica:., y mag néllcos . prodUCidos por cargas eléctricas en movimiento. l,..'lS fuerzas • .'
ue rzas de contacto mayor parte de las fu erla ordinarias que observamos sobre los objetos se ejercen por con~ 10 directo. fu,ms fu erzas son de origen electromagnético y se ejercen entre las moléculas 1,\ superfic ie de cada objeto.
IUdos Si empujamos una superficie. está devuelve el empuje. Consideremos una escalera '>C apoya contr'cl una pared (figura 4.3). En la región de contacto, la escalera empuja la pared , una fuerm horizontal. comprimiendo las moléculas de la superficie de la pared. Como los ud les de un colchón. las moléculas comprimidas de la pared empujan la escalen' con una JCt7.:l horizontal. Tal fu erLa,. perpendicular a las superficies en Contaclo, se denomina fu cl"l'.a IIormal (la denominación lIonllol significa perpendicular). La superficie sopone se defonna lige~.unente en respuesta a la carga. si bien esta defonnación se aprecia difícilmente a simple vista. Las fuerlas normales pueden variar dentro de un amplio intervalo de valores. Una mesa, por ejemplo. ejerce una fuer.la normal dirigida hacia arriba sobre cualquier bloque que esté colocado sobre ella. A menos que el bloque sea mn pesado que la mesa se rompa, esta fuerza nonnal equilibrará la fuerza del peso del bloque. Además, si presionamos hacia abajo el bloque. la mesa ejercerá una fuerLa soporte mayor que el peso del bloque para evitar que acelere hacia abajo. En ciertas circunstancias, los cuerpos en contacto ejercerán fuerzas entre sí que son paralelas a las superficies en contacto. Consideremos el bloque de la fi gura 4.4. Si se le empuja suavemente de lado no resbalará ya que la fuena ejercida por el suelo se opone II que el bloque desli ce. Si, en cambio. se e mpuja fuel1 ementc. el bloque empezará a moverse en la dirección de la fuena. Para mantener el movimiento es neccsario ejercer continuamente una fuerza. A partir del instante en que se deja de empujar el bloque ralentiza su movimiento hasta que se para. La componente paralela de la fuerla de contacto ejercida por un cuerpo sobre otro se llama fuena de ro7.amiento. Aunque las fu erlas de rozamiento y normal se muestran en las fi guras como si actuar.1n en un único punto. en realidad. se distribuyen sobre toda la región de contacto. L.1 S fuerLas de rozamiento se lratan con más delalle en el capítulo 5.
Fuerza normal
Figura 4.3 UI pared sostiene la escalera ejerciendo sobre ella una ruen. . nonnal a In pared.
Fuerza de
rozamiento Figura 4.4 La fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el bloque se opone a su desplazamiento o a su tendencia a deslizar.
F,
en donde k es la constante de fuerla, una medida de la rigidez del muelle (figura ~.5). El signo negativo de la ecuación 4.9 significa que cuando el muelle se estira o cOl1lpnme, la fuerm que ejerce es de sentido opuesto. Esta ecuación conocida como I~~ de Hook~ es de gran interé~. Un objeto en reposo bajo la inHuenc ia de fuenas que se eqUlhbran, se d~ce ~ue está en equilibrio e..'itálico. Si un pequeño de.o;plnzamiento da lugar a una fuer18 de restitución . que el eqUl·'·b . t ble . Para pequeños. desneta hacia la posición de equilibrio. se dice I n o es es a ph\l.amientos. casi todas las fuerzas de restitución obedecen la ley de Hooke.
,
,
,
.',
(b)
x
F,
'----- ,
(4.9) LEY DE H OOK[
,
,_.cl.t ..,
que ejerce, según se demuestra experimentalmente es
,
.x = Xa
(a )
Muelles Cuando un muelle se comprime o se alarga una pequeña cantidad tu. la fuerza
F _ - kAx
.,
•, •
.,"- Ar
..,
,
(e¡ Figura 4.5 Muelle horil.Ontal. (ti ) CUlIndo el muelle no est(i tenso. no ejerce ninguna fuerza robre el bloque. (b) CUllIldo el muelle se estimo de modo que .cl.x es pasiti\·o. ejerce unu fucrta de magnitud l .cl.x en el sentido negntivo de x. (e) Cuando el muelle se comprime. de modo que Ax es negativo. el muelle ejerce una fuerza de magnitud l IA\ I en \Cnlidcl
positivo.
88
I
Capitulo 4 Leyes de Newton
Figura 4 .6 (a) Modelo de un sólido fonnado por átomos concclados entre sí por muelles elásticos. Los muelles son muy rígidos (constante de fuena grande) de modo que cuando un peso actúa sobre el ~6 I i d o. su defornlUción 110 es visible. Sin embargo. la compresión producida por la mordaza sobre un bloque de pltístico en (h), da lugar a proceso:. elásticos que. se hncen visibles mediante luz polari7..1da.
(b)
(a )
La fuen:a molecular de atracción entre los átomos de una molécula o un sólido varía de un modo aproximadameme lineal con el cambio de su separació n (para pequeños cambios); la fuer¿a varía de modo muy parecido al de un muelle. Por ello es frecuente representar el modelo de una molécula d iat6 mica por dos masas conecladas por un muelle y el modelo de un sólido mediante una serie de masas conectadas por muelles co mo se muestra en la fi gura 4.6.
EJEMPLO 4.5
I
El mate
Un jugador de baloncesto de 11 0 kg se cuelga del aro del cesto después de un mate espectacula r (figurn 4.7). An tes de dejarse caer, se queda colgando en reposo. con el anillo doblado hacia abajo una distancia de IS cm. Suponiendo que el aro se comporta como un muelle elástico. calcular su consta nte de fucrI.8 k. Planteamiento del problema Como la aceleración del jugador es cero. la fue r¿a nela ejercida sobre él es nula. L'I fuerl.a hacia arriba ejercida por el aro equi libra su peso (figura 4.6). Sea y = O la posición original del aro. considenmdo J positiva hucia abajo. Por lo tanto . .6.y es positivo. el peso mg es positivo y la fucr¿a ejercida por el aro. -k .6.y es negativa. Aplicar L F = ma al j ugudor. y despejar k:
¿
F . = lU~ + F~ _
111(1,.
m8 + (- k .6.)') = O
k = ~ = ( 1IO kS)(9.8¡ N/ kg) .6.)' 0. 15m
= 17.19X 10' N/m i \\ ". mi!
Observación Aunque el aro del ce. . to no se parece mucho a un muelle. el aro está colgado por una bisagra con UIl muelle que se dcfonna cUllndo el aro se inclina. Como resultado. la fucrJ'JI hucia arriba quc huce el uro ~ob re lus manos del jugador es proporcional u la inclinación del aro y en ..en· tido opuesto. Ob\érve...e que hemos utililUdo pard g lus unidadc\ Nlkg. de modo quc kg se cancela. )' ob tcnemo~ para k las unidades N/m. Pum g siempre puede u ~arse. a ntlcstm convcniencia. 9.81 Nlkg 09.8 1 m/¡;l . yll que I Nlkg= 1 mls~ .
,.
Ejercicio Un racimo de plátano!> de 4 kg e.<.¡ln ~ u~pe nd ido en repo'iO de unu balanl" de muelle. cuya comlante de fuer/U es k = 300 N/m. i.Cuánto se ha c:.lirndo el muelle'! ( Re~f1Ut'.fUl 13.1 CIll.) Ejercicio Un muelle. de con~lanle de fllcrla -lOO N/m está conectndo a un bloque de 3 kg que descam~a w bre una pisla de aire horllonml. de modo que el ro/.amicnto e~ de ... prcciablc. ¿Qué alargamiento debe expcri mcnlllr el muelle para que ni liberor el bloque éste pw.ea una accleración de 4 mI~2•.) (Rl!~{llIfw(l 3.0 cm.) Ejercido de an611sls dimensional Un ohjem de ma":l m osci la cn el extremo de un muelle de c?n ~tante de fuer/a k. El tiempo com: ~pondientc ¡¡ una o~ciloci6n completa c<, el periodo r. Supomendo que T depende de m y k. utililür el Jnáli ~i<, dimen~¡on81 pana detenntnnr la fonna de la relación r =!(m. k). prescindiendo de las COn~l8nle<, nu~rica,. El mélodo má, ~imple C\ comiderar 10\ umdade\_Ob~.... e"-C que las unidadCL~ de k 'ton N/m => (kg m/<,~)/m = kg/<,2 Y Ia.\ un¡d~ dC' m """ ti· !Rt_ff'Uf'IW T = CJm/k en donde e es una comtanle ~IO dimen ..iollC!>. la e"pre~ión cona.1a para el periodo. como veremo!>en el capítulo 14 e\ T :t:. 2,1(' J m/A .)
Figuro 4.7
4.5
cuerdas Un cuerpo ~c puede nrntst rar y move r d' u~ una cuerda e~ como un muelle l>Cro . me ItInte
Re~olución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas alstados I
89
_ . I,:on una constante d ' rl' " qque la ddormnclón que IIdquiert: al aplicar . f •. e Icrt.,~ mu) grundc uC rorma
una clIcrdu. Se puede suponer .L
una ucrla es desprccl'¡ble I 'kS e e .1, -. . -1 entban:.~ O no ~on rI!pe 11'.. yn (IUC nc:tiol' . . .... 1 u ru,k)" ~m . ,-'" y ""e ,ucrcen y por lo ,t· e1J\pujar objeto~ como lo IlUcen 1m, muen. ' : , .UlIO. no pucuen usarse pam es silla quc UllIc'\mcntc pu~d . d 1I L nlugnitud de In fucr'"la que un. trolO de una cuerda cJerCe " . • Sl)• bre otro ·tdyacente e en tIrar seedcnomi e os. a. . tensión. Por lo -6 tanto. , . •1 1a mugnnud '. n.1 _ 1 E ' 1l .'>e 11m' de un objeto con un',1 cucruu. de la .fUCr'"lU coincldc con II tensl n. _n ti sección 4 .7 "e desarroll -, e mu:. ,- (etu 1 11e el com.:e ' o " - -6 . ,on una cUl!rda o en ll1U1 cndcna. p ue lenSI n en
Ligadu Un tr.uwfn se mueve 1'nI)r el rafl -b-d 11o ..uC madem de una IItruCClón - se mueve • ras . ' . Un C.I en un Circulo.• Un. m se'mueve""por In superficie de un ;'sta" 'I'" I,cla-'o 1 1lonzontu. 1 " neo .. .. .... ' u en un puno I~ ~to~
5
condlcloIMnh.::s sobre d 1110V l1ll1ento de los• ob.;c'os - uenomlOun -, - 1Igll - dlIrus, J se
Resolución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas aislados
i!-inc llloS .un trinco I ~rado I~ r un perro que avanza por un terrcno helado. El perro tifU de , c~e rda hgado al tnneo ( tigu["J. ~ .8) con una fuer'"la horizontal que hace que éste gane LICI/Jad. Podemos pensar en el tnneo y la cuerda como un único cuerpo. ¿Qué fuerl--Obre el cuerpo (suponiendo el rozamiento despreciable):
1. El peso del cuerpo trineo-cuerda. w. 2. La fuena de contacto Fn ejercida por el hielo (sin rozamiento. esta fuc rt.a es perpendicular al hielo). 3. La fue rla de contacto F ejercida por el perro. Un diagrama que muestra esquemáticamente todas las fuerzas que actúan sobre un sistema. tal como el de la figura 4.8 b. se denomina diagrama del sistcrnll aislado. Se denomina diagrama del sistemn aislado porque el objelo (el cuerpo) se dibuja sin su entorno. Pam dibu· jar a escala los veCtores fuerza en un diagrama de fuerlas de sistema aislado es necesario determinar primero, usando métodos cinemáticos, la dirección del vector aceleración. Sabe· mas que el objeto se mueve hacia la derecha con velocidad creciente y por lo tantO, que el vector aceleraci6n va en la dirección de su movimiento. hacia In derecha. Obsérvese que Fn Y w en el diagrama tienen magnitudes iguales. Los módulos deben ser iguales. yu que el trineo no acelera verticnlmente. Como prueba de la corrección del diagrama del sistema ai slado que hemos realizado. dibujamos el diagrama de la ad ición vectorial (figura 4.9) verificando que la suma de los vectores fuert.a coincide con la dirección del vector aceleración. La componente x de la segunda ley de Newton da
L. F.r ==
Fn ,x +w(+F.r == mox O+O+F == mo,
o
(a)
F
-,
.lb)
Figura 4.8 {al Un perro ¡ira de un trineo. El pri· mer paso para resolver este problema es aislar el ~is· tema que deseamos analizar. En e.~te ('oso la cur"u cerrada de pumos aísla el cuerpo trineo-cuerda de sus alrededores. (b) Las fuert3<; que 3ctúnn sobre el trinco de (a).
//IR
.
,-
"
F II
,
F =-
FIgura 4.9
m
La componente y de la segunda ley de Newton expresa:
L F. I
,
== F n .\, + 11')" +
T,. =
11/(/ ,
F - 1\'+0 = O o !>ca,
"
En este simple ejemplo hemos determinado dos magnitudes : la aceleración horilontal ftl, = Flm). y la fuer'lil vertical Fnejercida por el hielo (F" ==
wJ.
90
I
ClIpítul o 4 leyes de Newton
EJEMPLO 4.6
I
Un a ca rrera de trineos
---. ----
Durante Ills VBcllciones de Invicnlo, un jo\'cn J>UrticiPII en unu currcrn de trineos donde los estudiantes sw.'1ituyen a los perros. El jo\'en comienza 111 car~nl tlnUldo de unu cuerda ulUda al trinco l'(ln 111111 ruel7.11 de 150 N que ronnu un ángulo de 25" con 111 horb,onlul. La mmw. del cuerpo Irint.'O-cucrdu-lmStlJero es de 8{1 kg Yel roznmlcnto ent~ eltrlnl'O y el hielo l~ despn.-clable. Delennlnnr: (al IU llcelen ld6n del trineo)' (b) 111 fil en.!.1 nonnul Fn ejercldll por 111 superficie sobrt el trineo.
F.
F.
.,
Planteamiento d e l proble m a Tres fUeil.as acltían sobre el euerpo: !.u peso w. que actúa hucia abajo: la fuerl.a nonnal Fn' que IIctún lIadn timba: y la fuena con que el joven tira de la cuerda. F, en dirección 25" sobre la horiZOnlul. Como las fUCil.aS no coinciden en 111 mismíl linea de dirección. eSludinremos el sbtema apl icando 111 :.cgunda ley de Newlon a las direcciones x e y por separado. Escogemos .t en la dirección del movimiento e y perpendicular ¡II hielo. (a) 1. Dibujamos un diagrml1:l de fueillu; (figur.l 4. 1011) del trinco. Incluye un siSlCnl1l de coordenudus en d cual uno de los ejes de coordenudas apunta en In dirección de lB aceleraci6n del trinco. El objeto se mueve haciu la derecha con velocidad creciente, por lo que sabemos que 111 IIceleración va en esa dirección: 2. Nota: Se añaden los \'CC IOrcs fucrua en el diagrama (figura 4. 11 ) par.! verificar que su suma va en la dirección de la aceleración: 3. Se aplica la segunda ley de Newlon al objeto. Se escribe la ecuación tamo en fomla veclorial como en sus componentes:
,
w
w
Figura 4.10 m il
w F
r
Figura 4.11 Fn+ w+l" = ma
o Fn.~ +w~+F.. =
lila ..
Fn., +w), +F,. =
IIIOy
4. Se escriben las componentes.r de Fn' w. y F:
Fn.x =O,
w.. =O,
S. Se suslituyen los resultados del paso 4 en la ecuación para la componente x del paso 3. Se resuelvc para la aceleración aro
O+ O+Fcos () =
y
Fx =Fcos(}
1110..
a = FcoS8=(150N)(COS25 ") =1 1.70m/sl l ..
80kg
m
.
.
a,. = O
(b) 1. Se expresa la componente y de a:
Fn..~ = Fn'
2. Se escriben las componentes y de F n' w. y F:
w, = -lIIg.
,
Y F =F sen(}
¿
F, = Fn-lIIg+Fse n () = O Fn = mg - F sen (} (80kg)(9.81 N/kg)-(150N)(son25 ")
3. Se sustituyen los resultados de los pasos bl y b2 en la ecuución para la componente y del paso ¡¡3. Se resuelve entonces pura Fn
=
=1721 NI
Observadón Sólo la componente.t de F. F cos 6. es la causa de la aceleración del cuerpo. Obsér4 vese también que el hielo sopona un peso inferior al peso total del cuerpo. pues In componente F sen (J es soponada por In cuerdll. •
Comprobar el resultado Si (J = O. el cuerpo es acelerndo por uno fuerla F y el hielo sopon:! todo su peso. Nuestros resultados concuerdan. ya que en este caso darlan ll.. = Flm y Fn = I1Ig . EJercIdo ¿S i (J = 25 cuál es 1:1 mayor fuer/.ll F que puede aplicnrse a la cuerda sin levantar el trinco de ]¡I super/kie'! (Rt'spllesUI F = 1.86 kN.)
El ejemplo 4.6 ilustm un método geneml para resolver problemas uti lizando las leyes de Newton: 1. Dibujar un diagrama claro. 2. Aislar el objeto (part fc ula) que nos interesa y dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que aCtúan sobre el objeto. Si existe más de un objeto de intere» en el problema, dibujar un diagrama IInálogo para cada uno de ellos. Elegir un Si<:4 tema de coordenadas conveniente para cada objeto e incluirlo en el diagr:.llna de fuerzas para este objeto. Si se eonoce la dirección de la aceleración. se elige un eje de coordenadas que sea paralelo a ella. Para objetos que re.,<;balan o que se dC-.\lizan por una superficie. hay que e<:coger un eje de coordenadas paralelo a la supet1kir y otro perpendicular a ella .
•
4.5 Re$o lucl6n de problemas: dlngramas de fuerza s de sistemas nlslndos
I
3 . Aplicar la segu nda ley de Newton , I. F = ma. en forma de componentes. 4. En p roblemas ~onde~ hay dos o más objetos. pam simplificar las ecuaciones que se obtIenen de aplicar 1:F = m a hily que usar la tercera ley de Newton Jo' - F Y todas las ligaduras. ' A,B - - BA
5. Des pej ar las incógnitas de las ecuac iones resu ltantes. 6. Co~pr?bar si los res ultados tienen las unidades correctas y parecen mzonables. SuslltUlr valores extremos en la soluc ión es un buen sistemu paro comprobar si se han comelido errores. RESOLUCIÓN DE PR0 8LEMAS MEDIANTE LAS LEVES DE NEWfON
EJE MPLO 4.7
1
Descarga de un camión
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
Supongu que trnbl\J!l pura unll grn n compañia de trnnsporte y (lile debe descargar unu caja enorme y frágil desde un l~llIlIló n usando una rampa como la que se nmestru en la fi gura 4.12. Si In \'Clocidlld verticnl con que IIcga lu cllJunllinnl de la rnmplI es superior a 2,5 mIs (lu velocl· dad que adquiere un objeto si cue desde una alluro de 30,S cm), su cargu se duñll. ¿Cuál es el mnyor ángulo posible ni que se puede instalar la rampa para conseguir ulla descarga segura? La rllmpu debe supernr Ull metro de Illlura, está formada por rodillos (se puede suponer que no ejerce rozamiento) y cstá inclinDda con la horizontal un ángulo {J. Planteamiento del problema Sobre la caja actúan dos fuerzas, el peso ..... y la fuer/.3 nonnal Fil' Como estas fuerzas no son paralelas no pueden sumar cero, con lo cual. hay una fucrI... resultante sobre el objeto que lo acelera. La rompa hace que la caja se mueva paralela a su superficie. por lo que elegimos la dirección de la pendiente de la rampa como la dirección x. Para determinar la aceleración aplicamos la segunda ley de Newton a la caja. Cuando sepamos el valor de la aceleración. podremos usar un cálculo cinemático para detenninar el mayor ángulo de la pendiente para el que podemos asegurar una descarga segur.!.
1. Se establece una relación entre la componente hacia abajo de la velocidad de la caja y la velocidad v a lo largo de la rampa:
Vd
=
V
Figura 4.12
sen 8
2. La velocidad v está relacionada con el desplazamiento l:J.x a lo largo de la rampa mediante la ecuación cinemática siguiente:
y
3. Pam detenninar (Ix aplicamos a la caja la segunda ley de Newton ( IF = IIW J ). Dibujamos el diagrama de la figura 4 .1 3 donde vemos x
que actúan dos fuenas, el peso y la nonnal. Elegimos la dirección de In aceleración, en la dirección de la rampa hacia abajo, como dirección +x;
Nota: Como se ve en el diagrama, el ángulo entre w y el sentido negativo del eje y es el mismo que el ángulo entre la pendiente de la rampa y la horizontal. También se puede ver que 11'., = 11' sen 8. Fp.~
4. Se aplica la segunda ley de Newton y se obtiene:
+ 1\ '. = ma .
Figura 4.13
donde F O J-O -
Nora: F" es perpendicular al eje x y 11' = mg.
,.
",,=lI'sen8= mgsen(J
O+mgsen8 =
5. Se sustituye y despeja la aceleración obteniendo:
ma~
por lo que a.=gsen8
= O,
v1
= 28 sen
7. De la fi guro 4.12 se ve que cuando t:J.x es la longitud de la rampa, 6x sen 8 = 11, donde 11 es la alturu de la rampa:
VI
= 2gh
6 . Se sustituye con 10 cual:
(Ix
en la ecuación cinemática (paso 2). haciendo
1'0
(J
t:J.x
8. Mediante el uso de 1'11 = l' sen 8. se obtiene paro 1'11: 9. Se despeja el ángulo máximo y se obtiene:
2,5 mis = J 2(9,81 mlsl)( I ,O ni ) sen 8mj.
8mi1 = l34,4P I
•
•
91
92
I
Cn pftulo 4 leyes de Newlon
Observación La IIcelcrnción por la nlln a hacia nb!tio es conslllnlc e iguul íl g "en 6. A~imis mo, la velocidud I' al fill!ll de 1:1 rampa (1' = 28") no depende del :1.ngulo a Ejercicio
Aplicur r.F , =
EJEMPLO 4.8
I
111(1 "
a lu cllja y demo!>U"a.r que F D = /118 eos O.
¡INTÉNTHO USTED MISMO!
Colgando un cuadro
Un cllndro que pcsu 8 N se ngulIntn med iante dos clIbh:s que ejercen tClIsiOIU.'S T J y T z• tul como indicn ln ligunl 4. 14. Delcrminllr lu tensión de los dos cubles. Planteamiento del problema Como el cuadro no posee acclerución. lu fueml neta que actú.1 sobre el mismo debe ser nula. L1S tre... fuerllls que actúan sobre el cuadro, su peso /IIg. In tensión TJ y In tensión T1 deben dar una resu llunle nula.
30'
T
,
Tope la columna de lo derecho e Inlente resolverlo usted mismo
Respuestas
Pasos 1. Dibujar un diagmma de fuer.las pam el cuadro (figura 4.15). Mostmr en el diagrama las componentes x e)' de las tensiones.
2. Aplicar L F = ma en forola vectorial al cuadro.
". Tt . +T~ ,+1r
3. Descomponer cada fuer.la en sus componentes x e y. Así se obtienen dos ecuaciones pam las incógnitas TI y T2.
Figura 4.14
T ,+ T , + " =m u
,.
= ()
TI. +T", +u· = O
T,
T I cos 30' - T~ co~ 6()' + O = O T , ,"en 30 - T: "en 6{)
-
I\'
= O
,
J5
4. Resolver la ecuación de la componente x para 1'2 en función de TI'
T, = T cos JO = T
5. Aplicar el valor de T1 en la ecuación de la componente), del paso 3 y despejar T,.
T t sen30 +(TIJ3I~l!n60<> - 11 = O
•
1', -
J co~
!II
60'
I
Figura 4.15
=~
6. Util izar el resultado de 1', pam obtener 1'z.. Observación El cuble mtis próximo a la vertical es el que soportn la mayor contribución del peso, como er..l de esperar. También vemos que 1', + T2 > 8N. UI fuerln "extra" es debida a los cables que timn u la derecha y a la izquierda.
EJEMPLO 4.9
I
Un avión que acelera
,
C uando un avión acclel'll en la pista del aeropuerto para d espegar. un viajero decide dclenni· nar su acelel1lclón mediante s u )"o-yo )" comprueba que la cuc.rda de.l mismo rorma un ángulo de 22° con la vertical (figura 4.160). (a) ¿Cuál es la aceleración del avión? (b) Si la mHSK del yoyo es de 40 g. ¿eu'l es la tensión de la cuerda?
Planteamiento del problema El avión y el yo~yo tienen la misma aceleración hucla la dere· chaoLa fucn.a neta del yo-yo cs cn la dirección de su aceleración. Esta fuel7.n viene .'; uministrudu por la componeme horilonlal de la lensi6n T. La componcme vertical de T equilibra el peSO del yo-yo. Elegimos un sistema de coordenadas en el cual lo dirección .1· es parule1a al vector áceleración a y la dirección y es vertical. Expresando la Icy de Ncwlon para amba... direccione.<¡ x e y se Clblienen dos ecuaciones que nos ¡>enniten calcular las dos incógnitas. n y T. (a) 1. Dibujar un diagrama de fuen.ns para el yo-yo (figura 4.1611). Ele. gir la dirección po~itiva del ej~;( en la direcci6n de la acc:lenciÓn.
o:
(a)
Figura 4.16
4.5 Re~oluclón de problemas: dlagramlU de fuerzas de sistemas aislados 2. ;\plicnr L F '" 1/111 ~cgún el mélooo de lu~ component '
.
c.." pam el yo-yo:
T. + 11',
r
'"
fila,
SCn 9+ O = /l/a,
o
T sen O = 3. l\plicur r.F y = lIIa r nI yo-yo. Mcdiun!c lu trigonometrfa y \1 ' = , ~impl i ficnr (figur..1 4.16c). La ncclcr..tción apun¡u en la dirección lI~t riv,¡ del eje.l", por lo millO (Ir o: po
r,
=
11'..
IIItJ~
=
""
nI(¡ ,
IIIS
o
T
T cos 9 - 11/8 = O O
(b)
1' cos 8 = 1II8 Dividir el resullado dClynso 2 por el del paso 3 y dcspcjur lu acelcruclón. El vcctor ucclcrnClón señala en la dirección posirivi¡ del eje .t, con lo que {/ = (1.1:
~ Despejar la rensión, usnndo el resuhado del paso 3:
Figura 4.16 9 11111 . =IIIg T cos 9 o (/ = g tg 9 = (9,8 1 m/s 2) tg 22° =13. 96 mi,' 1 T
~c n
7' =
1118
cos 9
2 = (0,04 kg ){9,81 m/5 )
I 3e rvadó n
T es mayor que el peso del yo-yo ( //Ig = 0,392 N), ya que la cuerda no sólo evira caiga el yo-yo, sino que también lo acelera en dirección hori7.onral. En este caso utilizaremos z .1 8 las unidades m/s , yll que estamos calculando una aceleración.
Para 8 = O, resulla T = IIIg Y(/ = Q.
omprobar el resultado
:jercicio t.Para
El ejemplo siguiente aplica las leyes de Newton a objetos que están en reposo relativo respecto a un sistema de referencia acelerado.
EJEMPLO 4.10
Su peso en un ascensor
Un hombre de 80 kg está de pie sobre una balanza de muelle sujeta al suelo de un ascensor, La balanza está calibrada en newtons. ¿Qué peso indicará la balanzu cu.ando (a) el ascensor se mueve con aceleración ti hacia arriba; (b) el ascensor se mue~'e con IIceleración descendente ti ' ; (e) el elevador se mueve hacia arriba a 20 mis, mientras su velocidad dt." (r«e a nuón de 8 m/il?
I
(h) Figura ".17
(e)
cos 22°
=10 .423 NI .
.
I
93
94
I
Capítulo 4 l eyes de NeWlo n
Planteamiento del probl ema La lecturo de lu bu lunza es el módulo de lu fuerLll normal Fn ejercida por In balan7. a sobre el hombre (fig ura 4.17). Como el hombre está en reposo respecto al uscensor. tUntO el uno como el otro poseen la misma aceleraci6n. Sobre el hombre actúan dos fucr· zas: In fuerlll de la gravedlld lIucia nbajo. 11/8 y lu fUel"lU nonnal de la bulanzu. F n , hacia arribn. La sunHI de ambns es In causa de ll! acelemci6n observadu sobre el hombre. Elegiremos como positiva la direcci6n hacia arriba. (a) 1. Dibujar un diagromu de fu erlas purn el hombre:
}'
F n.,. + w,. = lila,.
2. Aplicar L F = fila en lu direcci6n y:
ro
Fn - mg = lila
3. Despejar Fn' Esta es lu lectura de In bl!lanza (el peso uparente del
Fn = III g+ /II a = Im (g+a) l
w
hombre): (b) 1. Aplicur L ,"' = mil en lu dirección y pum el cuso en que el nscensor acelero hacin ,¡bajo con ncelerllción a':
F". y +
wy =
I/U/ y
Figura 4.18
Fn - mg = m(- a ' )
Fn = mg-lIIa'
=lm (g - a')
1
(e) 1. Aplicar L F = ma en la direcci6n y. Obsérvese que la aceleración
del ascensor está dirigida hucia ubajo: 2. Despejar Fn:
Fn - mg
=
/lU/ ,.
Fn = m(g + ay) = (80 kg)(9,8l m/s'l- 8.00 mls2) = 1145 N
I
Observación Cuundo el ascensor acelero hacia arriba. ya sea en su ascenso o descenso. el peso ap.1rente del hombre es muyor que m8 en la cantidad /1/(/. Para el hombre todo ocurre como si la grao vedad se incrementase de 8 a 8 + a. Cuando el ascensor acelera hacia abajo. el peso aparente del hombre es menor que mg en lu cantidad lila'. El hombre se siente más ligero, como si la gmvedad fuera g - a'. Si a' = g. el ascensor estaría en caída libre y el hombre experimentaría la ingravidez.. Ejercido Un ascensor que desciende a la planta baj a llega a una parada con una aceleración de 4 mls 2. Si una persona de 70 kg se encuenlra sobre una balanza en el interior de este ascensor. ¿qué peso marcará la blllanza cuando el ascensor está deteniéndose? (Respuesta 967 N.) Ejercido Un hombre está sobre una balanza dentro de un ascensor que tiene una aceler¡¡· ción ascensional a. La balanza mide 960 N. El hombre coge una caja de 20 kg. Y la balanza mide entonce... 1200 N. Detcnninar la masa del hombre. su peso. y la aceleración a.
4.6
8
Figura 4 .19
La tercera ley de Newton
-
Cuando dos cuerpos interaccionan mutuamen te se ejercen fuerzas entre sí. L1 ICrcera le de Newton establece que estas fuenas son iguales en módulo y van en direcciones opuestu.... E... decir. si un objeto A ejerce una fu erla sobre un objeto B. el objeto B ejerce una fuerza sobre el objeto A que es igual en módulo y opuesta en dirección. Asf las fuenas se dan en pares. E.\ común referirse a estas fu erzas como acción y reacción, si n embargo esta term inología c_\ desafortunada porque parece como si una fu erza reaccionara a la otra. lo cual no es cierto. ya que ambas fu er/..3s actúan simuháneamente. Cad a unn de clltls puede dcnomillur'Sc acción o bicn rcllcción . Si cUl.lndo una fuer¡;a externa actúa sobre un objeto punicul ar la ll amamo.\o fuer/.!! de acción. la correspondiente fu erza de reacción debe actuar sobre un objelO dife· rcnte. Así en ningún caso dos fu erlas exte rnas que actúan sobre un único objeto constitu)cn un par acción· reacción. En la fi gura 4.19 se ve una c¡~a que descansa enci ma de una mesa. Lu fu ernl hucia abajo que aClúa sobre la caja es el pc.<;o w debido a la atracción de la Tieml. El bloque ejerce :.obre lu Tierra una fu eF/..a igual y de signo contrario w' = - w. Estas fue rl us fommn pues un pat ¡¡cción-reacción. Si fu eran las únicas fuerlll~ presentes. el bloque :.c acelerarla hada nh-IJ{'I) In Tierra se Ilcclcraria hacia arribu. Si n embargo. la mt1'.u ejerce ~u brc In cuja IIIHl fuerza hacia arriba Fn que compensa el peso. La cajll también ejerce una fuerzu ,",obre la 1llC'...a F~ = - Fn hacia abajo. Las fuerl.as Fn Y F ~ fonnan un par IIcciÓn-rc:lcción.
4.7 Pro blemas con do s o má.lo obletos Ejercido ¿Las fucr'l.l.ls W y F de In f'igu 4 19 ' , :: . ~ 11 ni . lormun un par acción-reacción'! (Respllesta No. 110 [o forma n. Es tas fuerzas son externas y 'unb" " 8e' ,',·, ' . . . . , ...., • n so bre e l mismo o b'~e t o la caja l>Or lo 1:lIlIO no pueden conslttlltr un par acc ión-reacción.) . .
EJEMPLO 4.11
I
El caba llo y el ca rro
f',,,.
El cnbllllo d e lu fl gu ru 4.2Oa rech ll:t.ll tl rur d el cu r ro nllrflu c l ' "d . d , , . ,' - ... .. n l . e Ilcucr o con ti terccru ~ ley de NewlolI, cuulq Ulcnl que seu 111 fU erlll ll tlC CJ'Cr'Lli sob-' . . . ... • .: curro, ' ::1 e CJCrcCIU u na fucrzu iguul y de senti do contnl n o sobre mi, por lo que la fuena nclll se ' h b á . . 1 " . r Ol cero y no a r mngullII opcl6n pura IIce cru rlo . ¿Dónde csll1 ll1 incorrección en es te argumen to'! '
e'
,. , ,
Plantea mie nto del p roblema ESlUmos interesados en el movimiCnlo del CU....,.. 1 .' d' d r " V, y, por O tanto. lhbuJnmos u~ tagmm~ e UerLllS pura él (figura 4.20b). La fucr'l.a ejercida por el caballo en los
ilrreo~ ...e desIgna por.F. (Los amos eSllln atudos al curro. por lo que los consideramos como pane Jc'1 carro.) Hoy OI~IS lucrL~s q~e nCll1nn sobre el curro, como el peso w, In fucrl.a que ejerce el sucIo I ,y In fuerl.a hOn:wnllll eJercldu por el puvilllcllto, r (fuCrl.ll de roznmiento). Dibujar el diugnul1:l de fuerl.lIs pura el carro (véase la fi gura 4.2Oc). El ..:arro no acelcra vcrticaltneme, por lo quc la sUllla de fucr'/.as en la direcci6n vertical es cero. Las fuerl.lIs horizontalcs son F que va hocio la derecha y r que va hllcia la izquierda. El carro ocelcrurá si F' > f. \i6tese que la fuerm de reacci6n a F, que denominamos F' se ejerce "obre el cllballo, no sobre el carro (ftguru 4.20d), y no tiene ningún efecto sobre el movimiento del carro, sino que afecta al movimiento del cnballo. Si el caballo acelera hacia la derecha, dcbe haber una fuerza F" (hacia la derecha) ejcrcidll por el pavi mento sobre las pczuñus del caballo JIluyor que F' .
(a) F
F. F.
r
(b)
(e)
\ Este ejemplo iluSlm [a imponancia de dibujor un diagmmn de fuerzas cuando se re: uelven problemas de mecánica. Si el caballo lo hubiera hecho. hubiem comprendido que le bastaba con empujar con fu erm sobre el pavimento para que éste le proporcionara la fuerl.a para moverlo hacia delante. Dservació n
Ejercicio Colóquese fre nte a un amigo y pongan las palmos de sus manos una contra otra. ¿Su amigo puede ejercer sobre usted fuena si usted no se resiste? Inténtelo. Ejercicio Verdadero o falso: La fuerla ejercida por el carro sobre el caballo es igual y opuesta n la fuerl.a ejercida por el caballo sobre el carro, pero sólo cuando el caballo y el carro no aceleran. (Resplle,fU1 ¡Falso! Un pllr de fuerl.as acción-reacción describe la illleracción entre dos objetos. Una fuena no puede existir sin la otra. Ambas son siempre iguales y opuestas.)
4.7
Figu ra 4.20
Problemas con dos o más objetos
Algunos problemas tratan de dos o más cuerpos que están en contaclO o cancelados a una cuerda o mue lle. Estos problemas se resuelven dibujando un diagranla de fuer7..a5 para cada cuerpo y después aplicando la segunda ley de Newton a cada uno de ellos. Las ecuaciones resultames, ju nto con Olr'dS ecuaciones que describen las restricciones establecidas. se resuelven simultáneamente para las fuerliLS o acelef"dciones desconocidas. Si los cuerpos e.
Figura 4.21
w
"
I
95
96
I
Capitulo 4 Le.yes de Newton
, Figura 4.22
La t ~nsiót1 en unu cadena o una cuerda e~ el rnótlulo de In ruerza que un st.lgmellto de la cuerda eje rce sobre el inmediatamente cont iguo. La tensión puede variar n trnv6. de la c uerda, 4.:01110 en el caso de una cuerda que cuclg¡1del techo de un gimnasio, donde la ten ~ iÓ n en el Iro7.0 que es!::í ju nto al tec ho es muyor, yll que cn esa zona se aguanta también el peso de toda la cuerdll. Sin cmburgo, en los problema:. quc tratare mos en este libro. no se Suele consi derar la masa de las cue rd¡¡~ y de Iru; cadenas, ya que se suponen pequeñas, de rorma que la variación en la tensión debida al peso de la cuerda o de la cadena es despreciable y. por lo tanto. también se desprecian las vtlfiacioncs en la tensión debidas a alguna acclel"'dción de la cuerda. Pam verlo. consideremos el diagrama de la figura 4.22, donde se muestra la ouerda a la que está atado Stevc, donde !1JlI s es In masa del segmento de cuerda. Ap licando la segunda ley de Newton a este segmento se obtiene T = !1JIII1 {. Si la masa del segmento de cuerda es despreciable, entonces T = 'r y no se necesita una fucn:a neUl para darle una aceleración. (Es decir. sólo se necesita una direrencia de tensión despre. ciable para dar a un trozo de cuerda de masa despreciable una aceleración finita. ) Ahora consideramos toda la cuerda que une a Steve y Paul. Si despreci arnos la gravedad. sobre la cuerda aClLía/l tres fu erlus. Sleve y Paul , cada uno, ejerce n unél ruerla. como tam. bién lo hHce el hielo del borde del glac iar. Despreciar cualqu ier rozamiento entre el hielo y la cuerda signifi ca que la fuer,w ejercida por el hielo siempre es una fuerza normal (véase la fi gura 4.23), y uml ruerza normal nunca tiene una componente a lo largo de la cuerda, por lo que no puede producir ningún cambio en la te nsión. Así la tensión es la misma en tod:lla cuerda . En res umen, si una c uerda de masa de..-;preciable cambia de di rección pasando por una superficie si n rozamien to, la tensión es la misma en toda la cuerda.
r
F
" '1" ,
-
Figura 4.23
Ejercicio Supongamos que la cuerda del ejemplo anterior, en vez de pasar por el borde de
Figura 4.24
EJEMPLO 4.12
I
un glaciar. pase por una polea que tiene unos cojinetes que no ejercen rozamiento. como se mueslra en la figura 4.24. ¿La tensión será la misma a lo largo de toda la cuerda? (Respues/a No. Una cosa es que no haya rozamiento e nlre los coj inetes y la polea. pero olra cosa es que la polea teng,1 masa, es decir. inerci a. Para cambiar la velocidad de füwdó n de la polea se necesita una direrencia de tensión.)
los escaladores
Paul (musa 111,,) se elle pOf el borde de un glaciar. Afortunadamente está atndo Illedia nte UI1I1 largll cuerda a Stcve (masa IIIS), que lIe\'u un piolet. Antes de que Ste\'c clave su piol et para d etener el movimiento. desliza s in r07.nmiento por la superficie de hielo, litado a Pllul por una cuerda (figura 4.21). Se supone que tampoco existe r07..1lmiento entre In cuerdn)' el acantilado, Determinar la aceleración de cada persona)' la tensión de In cllcrdn.
Planteamiento del problema Lm, tensiones de 1<1 cuerda T I y 1'2 son de igual módulo Tpon:IUC se supone que In cuerda es de masa despreciable)' el acanlilado se supone que carece de roznmienlO. La cuerda no se alarga ni se encoge, de modo que Pa\ll y St~vc tienen sicmpre el mismo módulo de velocidad. Sus IIceleraciones (1" y (Is son. por lo tanto. iguales en módulo. pero no en dirección. Stc"c acelcra por la superficie del glaciar. mientras que Paul lo hace verticlI lmente hacia ab,tio. La acelemción de cada pcrsonu estú rclucionada con las fu erl.us ( \UC actúan sobre él por lu segu nda ley de NewlOn. Aplicar 1: F = l1/a a cnda una y de~pejar la acclemción y J:l lensión.
, F
"
----_. o
,. ,
o ---,
1. Dibujar los diagramus de fuerlas que acuían aisllldamcllle sohrc Paul y
•
•
Slevc. Poner los eje.~ x e y en el dillgmma correspondiente u Stevc, escogiendo como dirección positiva del eje x In dirección de la acclern· ción de Stevc. Elegir In dirección de la :lcclcración de Puul CQmo dirección positiva del eje.r
Figura 4.25
2. Aplicar L F = ma en la dirección hori7.0nt:lI a Stcve:
Fu+ T t.• +msg, = "'s"s.•
3 . Aplicar!: F = n/a a PnuI:
T 2. " + m,.8,· =
In p"". ,.
4.7 Problemas (on dos o más obletos
4. Ambo,> '>c mueven e l~ Ifnca recIa y csuln unidos por UII .. t:g.mento de cuerda que no "C. eML r ... por lo tUnto IlIs tlcclcrncionel> de Paul y de Ste\'e c~ t án relacionadas. Ex p~u r e,tu rclnci6n: 5 . Ondo que In CUl!rdu tiene unn musn dcspn.:ciablc y resbula sobre el hielo con I'Ol.umicnto despreciable. Ins fUel"lll:' T I Y T~ están relacionu-
dns. E,'\presur e.¡tn relación:
=
(/1'.,'
1'2 - 7' L = 7'
•
6. Su<¡ti tuir los rc:.ultudos de lo... pa:.os ,1 y 5 en In!> ecuaciones del plt ~() 2 Y dcl pa'>o 3:
T
+ /li Sa sen () =
III S{l,
-T+ III F.g =
/II pfl ,
IIIS
7. Rc~ol\'er I n~ I!cu:ldones de l 1><150 6 p:1I11 1a lIcc1ernci6n c1iminulldo T y despcjundo a.:
a,
:
8. Sust ituir I! I re~I1 I Hldo dcl paso 7 en las do!. ec uu c i o n c.~ del puso 6 y
T
=
de~pejar
= a.
li S.,
7'.
sen
()+ 111[,
IIIs+ /II r III S Ill I' III S
+ 111 ••
g
( I -sen 9)R
Obse rvació n En el puso 3 se elige In dirccción hacia abajo COLllOposilivu pura que hl :.olución sell lo más <¡imple posible. Con esta act:lcraciÓn. cuando Steve se mueve en dirección positiva (hacia In derecha). Paul SI! mueve también en dirección positivH(hacia ab¡tio). Co mprob ar e l res ult ado Si 111" es mucho mayor que IIIS_ es de espemr que la aceleración sea aproximadamente igual a g y 11Itensión aproximadamente cero. SustilU)'endo IIIs = Q realmente nos dn (J =g y T =Q. Si 11Ip es mucho menor que "'s' esperamos que la aceleración sea aproximadamente .Ir sen () e el ejemplo . t8) y que la tensión sea cero. Sustituyendo IIIp = O en los pasos 7 y 8. obtenemos a.f = g sen () y T = O. Comprobamos nuestras respuestas en el valor lfmitc de la pendieme I () = 90") Y obtenemos a,r = 8 YT = O. Esto parece correcto ya que si 9 = 90" Stcve y Paul expcrimenIlIn una caída libre. Ejercici o (a) Determinar la aceleraciÓn si () = 150 Y las masas son I/Is = 78 kg Y mp = 92 kg. (h) Dctemli nar la aceleración si los valores de eSlas dos masas se imercambian. (Respuestas (a) ti,. = O.660g. (h) a,: 0.599g.)
EJEMPLO 4.13
I
¡INTÉNTHO USTED MISMO!
Construyendo una estación espacial
Un aslrollllula que construye unu estación espacial empujn un bloque de lIlasa mt con unu fuerla FA' Este bloque está en contacto directo con un segundo bloquc dc lIlasa 111 2 (fi guru 4.26). (a ) ¿Cuál es la aceleración de las cl\ias? (b) ¿Cuál es el módulo dc la fu crLa t'jercida por una caja sobre la otra?
,
Plante amie nto del p roble m a Sea F 2.1 la fuerl.a ejercida por 11/2 sobre "' t y F I,2 la fuena ejercida por 111 1 sobre 1/1'2' Estas fuer.las son iguales y opuestas ( F 2., 1 = - F t.2 )' de manera que F 2.1 -. F L.2· Aplicar la segunda ley de Newton a cada bloque por separado y tener en cuenta que las aceleraCIOnes a L Y(l'2 son iguales. Fig ura 4.26
Tape la columna de lo derecho e Intente resolverlo usted mismo Respuest as
Pasos (a) 1 _ Dibujar los diagramas de fUCI"I.IIs de cuda uno de los dos bloques (fi gura 4.27).
,. I
2. Aplicar L F = ma al primer bloque.
f
3. Aplicar L F = ma al segundo bloque.
I
111, , /
4. Expresar la relación entre Itas dos aceleraciones y la relación entre los módulos de las fuen as que se ejercen los bloques entre ~i.
«
"
I
m !' / ,
r
,
F~a
• Bm ,
,.
A
• • • G m,
" - I
Figura 4.27 5. Su~tituir estas relaciones en los rcsullados de los pasos 2 y 3 Y despejar a f • (b)
Su:uituir la expresión para a. en los pa.'lOS 2 o 3 y de..spejar f :
a
I
Fr.:
•
I
97
98
I
Capftulo 4 Leyes de Newton
Observación El resu ltado del paso 5 es el mis mo que obtendríamos si la fuerla FA actuase ~obre una sola masa iguIII !l In suma de las masas de los dos bloques. En cfeclO. como las dos masas llenen igual aceleraci6n, podemos considerarlas como un sistema único de masa mi + m2'
. EJercicio (a) Detc.nninar lu aceleraci6n y la fuena de contacto si mi = 2 kg. ffl'l = 3 kg Y FA = 12 N. (b) Determinar la fuerta de contacto pam e l caso en que los bloques se intercambian de modo que el primer bloque liene una masa de 3 kg Y el segundo bloque un!l masa de 2 kg. (Respuestas (ti) a, = 2.4 F= 7,2 N. (h) F= 4.8 N.)
mlr.
ResuIIJen
TEMA
1
Las leyes del rnovirniemo de Newton son leyes fundamenUlIe.'i de l!l n!ltumleza que constituyen la base de la mecánica.
2
L.1 mas!l es una propiedad intrrllseca de todo cuerpo.
3
Lo fueno es una imponante magnitud dinámica derivada.
OBSERVACIONES y ECUACIONES RElEVANTES
1. l eyes de Newto n Primero ley
Un objeto en reposo permanece en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta. Un objeto ~n movimiento conti núa moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerla externa nCla. (Los sistemas de referencia en los que esto ocurre se llaman sistemas de referencia inerciales.)
Segunda ley
El módulo de la aceleración es proporcional al módulo de In fuerLa neta t:xlema Fncu. de acuerdo co FIIO!l ::: muo donde m es la masa del objeto. La fuerza neta que actúa sobre un objeto. también denominad. fuerza resultante, es la suma vectorial de lodas las fuerLas que actúan sobre él: F..... = r F . Así:
L,F Tercera ley
(4. 1)
= lila
Las fuerzas se dan siempre por pares, iguales y opuestas. Si el objeto A ejerce una fuerza sobre el nI .tO B. una fUC17.ll igual y opuesta ejerce el objeto B sobre el A.
4.2)
2. Sistemas de referencia Inerciales
Las leyes de Newton sólo son válidas en un sistema de referencia inercial. es decir un sistema de n para el cual un objeto en reposo pennanece en repo.~o si no hay una fuerta neta que actúe sobre el Cualquier sistema de reCerencia que se mueva con velocidad constante relativa a un sistema de re: inercial es también un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia que se mueve con:lec relativa ti un sistema inercial no es un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia ligado ITa es aproximadamente un sistema de referencia inercial.
'lO. lel.:!
i6n lic-
-
3. Fuerza, masa y peso fuer1.3
1CUI
La fuerza se define en fu nción de la accleruci6n que produce n un detenni nado objeto. Una fuerta de I newton (N) es la fucr/.ll que produce una acelemci6n de I m/s l sobre una masa de I kilogmlllo (kg).
Mnsa
La masa es la propiedad intrínseca de un objeto que mide su resistencia
la aceleración. Lo masa no dependt de la locali7.aci6n del objeto. Las masas de dos objetos pueden compararse aplicando la mi:ioma fuerza a cadl uno de los objetos y midiendo sus aceleraciones. La relación de las m a,O;a5 de los objetos el> igual a la relaci6n inversa de las aceleraciones producidas por In misma fuerza : ti
(4.3) Pe~o
El peso w de un objeto es la fuen.u de atracción gravitaloria ejercida por la TIerra sobre el objeto. a\ proporcional a la masa m del objeto y a In intensidad de.! campo gravilatorio g o acelemción de la carda libre dt'tlldll a la gravedad. w
~
mi
El pe.w no e,\ una propiedad inlrfnsec::a de un objeto: depende de la localización cltl objelO.
('.')
Problemas
4. Fue rzas fundamentales
Todas
!lIS
I
99
fuerl.llS obser\'ooas en la nnl umh:7.l1 pUL"tIen explicaru en fundón de euatro intemceiones funda·
menlales: 1 L1 fue rla gm\'itutoriu. 2 La fuerl.ll e1cctronlUgnética. 3 La fue rl.ll nuclcar fue rte (lhmlRda también fuel7.l1 hadronica). 4 La fuer/.a nuclear débil.
5. Fuerzas de cont acto
Las fuc rlas de contacto de sopone y rozamicnlOy I a.~ ejercida.~ por muelles y w crdas. son debidM n las fuer· zas moleculares que surgc n de la fuer/.ll electromagnética básica.
de Hooke
Cuando un muelle M: comprime o se ulurgu en una pequeña canlidlld tu. la fuer/.a que ejerce c.~ proporcional
Le)'
a dx:
(4.9)
Proble..,as
• •• ••• SSM
•
Concepto simp le. un solo paso. relativamente fácil. Nivel intermed io. puede exigir síntesis de conceptos . Desafiante. para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Swdent Solutiolls Manllal . Problemas que pueden encontrarse en el servicio iSOLVE de tareas para casa. Estos prob lemas del servicio "Checkpoint" son problema.c; de control, que impulsan a los estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza.
En algultos problemas se dtlll más dOlOS de los realmenle necesarios: en otros pocos, deben extraerse algunos datos a partir de conocimientos generales, fuellles externas o estimaciotles lógicas.
Usar en todos los problemas g = 9,81 m/s 2 para la aceleración de la gravedad y despreciar, a menos que se indique lo contrario, el rozamiento y la resistencia del aire.
Problemas: conceptua les 1 •• SSM ¿Cómo se puede saber si un sistema de referencia determinado es un sistema de referencia inercial?
Suponga que usted observa un objeto desde un determinado sistema de refere ncia y encuentra que cuando sobre él no actúan fuerzas el cuerpo tie ne una acelerJción 8 . ¿Cómo puede usar esta información para encontrur un sistema de referencia inercial? 2
••
3 • Si cuando se estudia un cuerpo desde un sistema de referencia inercial no se observa acelemción. ¿se puede concluir que sobre él no actúan fuertaS'?
¿Cómo podrla un astro nauta en una situación uparente de ingravide7. ser consciente de su masa? 8
•
SSM
9
•
SSM
¿En qué circunslancias su peso aparente
•
10 •• Explicar por qué se dice que según la primera y la segunda ley de Newlon es imposible utilizar las leyes de 1:1 mecánico p:lt11 saber si estnmos quietos o moviéndo nos a \'elocidad constante. 11 • Supongamos que un bloque de mllSa m ¡ dCSC'J.nsa sobre otro bloque de masa m2 Y In combinación de ambos se apoya sobre untl mesa. como se muestro en la figura " .28. Encontrar la fuerl8 ejercida (a) por 1/1 1 sobre m~. (h) por m ! sobre m¡ . (e) por m! sobre lo mesa. (ti) por la mesa sobre 111 2-
SSM
Si sobre un objeto actúa una único fuerLa conocida. ¿puede decirse sin tener infomlUción adicional en qué dirección se moverá? 5
•
6 • Se observa un objeto que se mueve o velocidad constante en un 5iSlema de referencia inercilll. Se conc lu ye que (a) no actúan fuerzus sobre el objeto. (b) actúa una fuel7.l1 constante en la dirección del movimientO. (e) la fuerLll neta que actúo sobre el objeto es cero. (ti) la fuerza neta que aclún sobre el objeto es igual y opuesla o su peso.
7 • Imagínese que un objeto se envía al c'~pacio exterior. lejos de cualquie r galaxia. c,'ilrella u Otro objeto c,'itelar. ¿Cómo cambiará su rnL'iII? ¿Y su ])I:$O?
mayor que
su peso real?
Si sobre un objeto aClúa una úniea fuerza distinta de cero. ¿debe tener una aceleración relativa a cualquier sistema de referenci:l inercial? ¿Puede tener incluso velocidad cero? 4
~r.\
FIgura 4.28
Probl~ma
11
100
I
12
Capítulo 4 l eyes de Newton
•
SSM
Verdadero o falso.
(a) Si dOl> fuerzas C.\lcnlllS que son iguaJc.~ en módulo y opuestas en di,recció l1
ac túan !>obn: un mis mo ohjeto. nunclI semn fuer¿as de acciÓn- reacc LÓn. (b) La acciÓlI 1:S igual !I la reacción sólo si los cuerpos no están acelcr.'indosc. . do ti un muchn· 13 • Un hombre de 80 kS patina sobre e , h ·le ,o empuJan, . eho de -lO kg. IUlllbién sobre patines. oon una fucr/.3 de 100 N. Ll'l fUC~/ll Óc~. cida por el muchacho sobre el ho mbre es de «(1) 200 N. (b) 100 N, (d 5 . (dHO N.
rd de tender ropa. se lenSll y se !luje!!! por sus .dos C.\lre. 22 • Una c ue u , ¡ro de In cuerda. ¿ E!- posIble que la '\ unU !Oullu húmeda en e cen mOS. Se coloco " I? Razonar la re!.puesta.
cuerda pcrmnlla.ca hon zonUl .
I vc[ocidnd de un :lsccnJior ~obre el peso
23 • ¿Qué efecto prod IICc 11 aparente de unn persona en el ascensor?
estimaciones y aproximaciones •
14 • Unu muchacha sostiene un pájaro en su mano. Ln fuer"!.:1de ~ae ción al pcw del pájnro e:. (ti) la fuena gravitatoria de la TIerra sobre el páJnro, (/, ) la fuena gra\·itHlori:l del p:ljnro sobre In Tieml. (e) In fuer/,u de conUII:IO de la muno ~obre el pájnro. (d) tu fuerl:l de eOnt:lCto del pájaro ~obre In mano. (t» 13 fUerl:l gr,lVitlltorill de la Ticrm sobre In mano. 15 • Un jugodor de béisbol golpe:1 1:1 pelota con un butc. Si In fucr/;1 con que éste golpea lo pelotu s<.: considcm I,:omo la fu erza ¡Je Hcc ión, ¿cuál es lu fuerz:l de l"Cacci6n? (ti) L:I fuenu quc cl hme ejerce sobre. las mImos del bate:~ . dar. (b) L:I fuerl!1 sobre In pclotn que ejerce cl guante de 13 pcrsonll que conSIgue atraparln. (e) La fUCíl Uquc In pclolU ejerce sobre el bate. (~) Lu fuer/.a Obre la bola mientras lu lanza. ( e) El roza nllento. ya que lu pelot3 est;'i en rotaci6n hasta que se detiene.
16 • Considerotr cualquier situaci6n cn la que se 3p!ica una fu er/.u externa sobre un objeto. por ejemplo el empuje. Si la terccra ley de Newton requiere que por c(u!t¡ m:ciólI 1U/)'tI III/a fencciól/ igual )' opllesf(~ . ¿por q ~é ca~a fuer,m de reacción no anula siempre la fuen.a aplicada. prodUCiendo la me:l(ls, tenci3 de una accteración resu ltante'.' 17 • SSM Un cuerpo de 2.5 kg cuelga en reposo de una cuerda sujeta al techo. (ti) Dibujar un diagmma que muestre las fuenas que actúan sobre el cuerpo e indicar cada una de las fuerms de reacción. (h) Hacer lo mismo con las fuerzlls que actúan sobre la cuerda. ¿Cuál de los diagmmas de fucrl.as de la figura 4.29 representa un bloque que se desli7,i1 por una superficie inclinada sin rozamiento? 18
.. a 90 kmlh choca contr:l la pane tr:lsera de un 24 •• Un coche que vl3Ja . ocupantes. Afon unadamente el conductor Ilevnba hfculo purado sm d ,puesto el . d Uti.,.17.ando valores razonables puro In lIlusa e conduc· " . r6 dI! segunda . cmtll " de r', la fucr.t.:I (supucsta constantc) ejercIda por tor y Innd1.stunet.l rena. do. estimar . el cinturón sobre el conductor.
25 •••
SSM
Haciendo las considemcione!' neecs:ITias. determi nar In . , , r. tangencial ejercida por la carretero! sobre las ruedas . ' . . ' , d d. fuerl.lJ norm,1 y n Ueí/..ll , . . ,eta () e pcn. lente de una blclc a cu,, ndo el ciclista asc1ende por una C.lrret\:r,1 . 8% a vclocl·dad con.SI' n1"" Y (b) cuando dcsdende por la m1sma pendiente . . a ...... ndientc del 8% significa que el :lngulo de mchna· velocl·dnd constante.• (U" ,,ción 8 viene dado por tg 8 = 0,08.)
la primera y la segunda ley de Newton: Masa, in e rci a y fuerza Una pan ícula de masa 1/1 se mueve con una velocidad inicial \'0 = 25.0 mIs. Cuando una fuerza neta de 15,0 N uctúa sobre ella. alcanza d l'I"JlO'iO después de recorrer 62.5 m. ¿Cuál es el valor de 111'.1 (a ) 37.5 kg. (b) 3.00 k.¡ (c) 1.50 kg. (ti) 6,00 kg. (e) 3,75 kg. 26
•
•
(o)
(b)
Figura 4.29
(e)
(ti)
Problema 18
27 • (ti) Un objeto experimenta una acelerJ.ci6n de 3 m/s1 cuundo él actúa unn cien a fu el7.3 Fo' ¿Cuál es su uceleraci6n si la fuena se dur (b) Un segundo objcto experimenta una aceleraci6n de 9 m/s l bajo la inflo de In fuerza Fo. ¿Qué relnci6n existe entre las musas de los dos obje\Q~ '1 los dos objelos se IlIun juntos. ¿qué aceleración prod ucirá In fuerza Fo?
28 • i ti' Un remolcador arrustrJ. un buque con uo:\ constante F I' El incremento en la velocidad del buque en un imcT\'alo de de 4 km/h. Cuando un segundo remolcador aplica un segunda fuerza CI,II' Fl en IU11lisma direeci6n su velocidad crece en 16 km/h cad" intervalo d ¿Qué relaci6n ex iste entre los módulos de las dos fuel7.as? (De.~preci nr 111 cencia del agua.)
Km '31 Ida I Si
,.
•
19 • Ide ntificar cuál o cu¡Ue~ de las froses <;iguiente..<; son verdad o IIOn fal'ill!> suponiendo que !le escá en un ~i.<.tellla dc refcrencia inercial. (ti) S i no huy ninguna fuerla que aetún sobre un objelo. éste no se acelera. (b) Si un objeto no ~ acelero. no puede haber fuerzas que actúen sobre l!1. (e) (ti)
Elmovimiel1lO de un objeto va ~iempre en la direcci6n de la fuerl.'1 res ultunte. La maso de un objeto depende de su localización.
20 • Una panlcllidi~t:1 ¡Je peso 11" salta cerca de la superfi cie lerrestre. ¿Cuál c<; el módulo de In fucl7.a ejercida por su cucrpo sobr(' la 7i rrm ? (ti ) 11'. (b ) Muyor que \l. (r) Menor que 11'. (ti) 9.811'. (t' ) O. (f) Depende de la resistencia dcl ,,¡re. 21
•
SSM La fu crl a netu que l.I ctÚn !iOhrc un objeto en movi miento bru~ull1enCe lIe Imee cero. En clln~l."(:uenda. el objcto ( (1) ~ paro de repe nte. (II) se paro !tI cubo de UII cieno tiempo. ( r ) cambia de dirección. (d) COntinúa 11 velocidad COn~llInte. ft'l..:arnbin de dirttdón de una forma impredecible.
29 •• SSM I Una bala de 1.8 x 1O-~ kg dt: 11l1lS3. qu '\ ;1 un n \'elocidad de 500 mIs choca contra un gron bloque de madero y '>t ro-ducc 6 cm en su interior Ilntes de pararse. Suponer que la desaeelernción I.k la b..'llu e,<; constante y calcular la fu erza ejereida por lo madera sobre la b3ln. 30 •• SSM Una vugoneta de juguete está en una \'(a recta y horilantal y lleva un \'entilador atado a uno de sus extremos. Se coloca In vagoneta en un ex tI'Cmo de lu vfa y se conecta el ventilador. La vagoncta, que estaba m reposo. empieza ti moverse y en 4.55 s se ha mO\'ido 1,5 m. La musa de la \ asoneta y del vcnlil:tdor es de 355 S Y suponemos que se mue\'e COII acclenK'ión constllnte. (ti) ¿Cuál es la fu erl.a neta que se ejerce sobre la \'agonetn'! ¡b) Se van ailndicndo re.ro~ a la vagoncta hasta que tiene una ma~. de 722 g )' 1'C repllc el experi mento. ¡,Cuánto le cOStar.! uhom a la vagoneta IIlm·en.c los 1.5 m'! 19,tlOrur lo!> efectos del ro7.amiento. Una fucn.a FQ produce una ucelcradÓn de J m/~~ cuando n,;lúa ¡¡obre un objeto de masa m que desliza sobre una ,o,upcrfkit' Sin nllanucnto. Hallar la aceleración del mismo objeto cuando 'iC "e "otnelido a la." fuerl.a~ QU<' 5oCLrnue.<.tl1Ul en la figura 4.300 y b.
3T
•
Problemas m
I
101
Dlogramas de fuerzas: e quilibrio está tico 43 • Un semáforo está colgado de un soporte tal como se muestrn en la figura 4.3 1. ¿La tensión del cable más ventcal e.~ mayor o menor que la del otro cable?
(a)
(b)
Figura 4.30
Problema 31
•
• I Una fuerza F = (6 N) i - (3 N) j Ilctúa sobre un cuerpo de masa 1,5 kg. Calcular la acc leruci6n 11 . ¿Cuál es el módulo de (l ? 32 33
•
Una 50ln fuerza de r 2 N nenín sobre una partícula de masu m. Lu
"ícula parte del reposo y se mueve sobre una rt."C11l a lo lArgo de una distancia m en 6 s. Hallar ):\1 mas!! m. •
SSM
Al y Ben cSlfi n quiCIOS en medio de un gron lago helado.
~ujn n Ben con unll fuerl.ll de 20 N dUTante 1,5 s. La masa de Ben es de (a) ¿Cuál es In vclocidnd ti la que se muc \'c Ben des pués de ser empu-
Figura 4.31
Si la masll de Al es de 80 kg. ¿qué velocidad alcanza', Considerar que rozamie nto.
Problcmll43
lb)
• Si se e mpuja un bloque de masa mi con una fuerza hori zontal )jnada. éslC adqu iere una aceleración de 12 m/sl. Si se e mpuja un bloque <.3 "'1 con 13 misma fUCíl1l. su aceleración es de 3 rnls 2 • (a) ¿Qué acelera-
e
•
Una l;impara de masa m '" 42.6 kg cuelga de uno~ alambres como indica la figura 4.32. El anillo tiene masa des preciable. La lensión TI en el alambre venical es (a) 209 N. (b) 4 18 N. (c) 570 N. (ti) 360 N. (e) 730 N.
44
•
I
proporcionuría la mismn fuerzn a un bloque de masa m2 - mi? (b) ¿Qué .ración proporcionarla In misma fuerlll a un bloque de masa 1TI2 + mi? lderar un movimiento sin rozamiento.
36
• Para arrastrar un tronco de 75 kg por el suelo con velocidad constante se le empuja con una fuerl.a de 250 N (horizontalmente). ( a) ¿Cuál es la fuerz.a resisth'3 que ejerce el suelo? (h) ¿Qué fuerza deberemos ejercer si se desea dar al tronco una aceleración de 2 mls 2?
T,
-
37 ~ i ti' Un objeto de 4 kg está sometido a la acción de dos fuenas F I = (2 N) i - (3 N) J y F2 = (4 N) i - (1 1 N) j . El objeto está en reposo en el origen en el instante I = O. «(j) ¿Cuál es la aceleración del objeto? (b) ¿Cuál es su velocidad en el instante I = 3 5? (e) ¿Dónde está el objeto en el installte I = 3 s?
T,
'" lámpara
Figura 4.32
Peso y m asa 38 • SSM En la Luna, la acelernción debida a la grnvooad es sólo 1/6 de la que existe en IIlTIelTtl. Un astronauta cuyo peso en IIlÍlerru es 600 N se desplaza a la superfi cie lunar. Su masa medida en la Luna será (a) 600 kg. (b) 100 kg. (e) 61.2 kg. (ti) 9.8 1 kg. (o!) 360 kg. • 39 • I Especificar el peso de una muchacha de 54 kg en (a) newtons y (b) librd!\. 40
•
Problema 44
45 •• SSM i ti' En la figurn 4.33a se muestro un bloque de 0,500 kg que cuelga de una cuerda. Los eXlremos de la cuerda esu\n sujetos al techo en unos punlOs separados 1,00 m. (a) ¿Qué ángulo forma la cuerda oon el techo? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (e) Se quita el bloque de 0.500 kg y se cuelgnn dos bloques de 0.2.';0 kg cada UflO de forma que la longitud de los tres trnrnm de cuerda e.~ la misma. tal como se ,·c en la fi gurn4.33b. ¿Cuál es In tensión en cada segmento de la cuerda?
Determinar la masa de un hombre de 165 lb en kilogramos.
Fuerzas de contacto 41 • SSM i " Un muelle venical. cuya constante de fucrla vale 600 N/m estó unido al techo por un extremo y a un bloque de 12 kg quedescansu sobre una mesu hori1.onlal por el otro. de modo que el muelle ejeree una fuer/':l h¡lcin arribu sobre el bloque. El muelle se alarga 10 cm. (al ¿Qué fuer/JI ejerce el muelle ~obre el bloque'! (b) ¿Qué fuel7.a ejerce la superficie sobre el bloque? 42 • Un bloque de 6 kg §el de.., Ii /.8
I
(b)
(a)
Flgur. 4.33 Problema 45
102
I
Ca prtulo 4 Leyes de Newlon
46 • Un objeto de 100 N !oC elle]g:1de unas cuelllns mi COIIIO 'I! lTIue~tm en 1:1 figuro 4 . ~ . (.Cuál el> l alen~ión de la cuerdu horimntnJ'!
SO ••• .
n al unos fe .. tiv:, le.~ Y ce lcbrll c i one~ e n unll CUtrlb SSM E g , , ,'o se atan globos lle nos de helio ClI)'l sus dos extrenlO ~ a su •
ll1rg:l. sUJcm por
.
' d dl'lndolc unu
roma
de arco, tn] como k
fUCr'lll nsccnsionullc \'untn la cuer a 'hay N globos alados n intcrvalCK igua. I fi 1m" '\8 Supo ngn m o~ (lile
ve en 11 1~1 ••, . d I n itud L. 'iujeta al s\lclo por sus dos cXlrc il1(h les :1 ulla cucrcln Sin masa e O g . ni F. Ln~ coord enadas horüon
I bo pordona unll fuerza 3scenSlOn . . . . Cad n g o . Pro , d' de la cuerda donde ~e aln el globo i ~on x, e y¡ y 1 I nlc~ y VCnlCII es e P O ' . . d ¡. cuerda (el ~cgnlcnlO C ~ e segmento Cntft C.!o la tenSión del segmento' e .1 N . de su·cciÓn .. 1 suelo y el primer globo y el segmento COITes~nde el punlO . J , 'obo Jo! con el a Iro extremo ni que está \Ujeta l.
""'O
Itllrol.O de cuerdn que une e g cuerda )
' OON F
Fig ura 4.34
Problcmu 46
Un objelO de 10 kg sobre una mesa ~¡n rozarnienlO está sometido u dos fucrln~ horizontales "', )' F1 de módulo F. = 20 N Y Fl = 30 N. como !oc indic:1 en la ligur,¡ 4.35. (ti ) Determinar la aceleración a dcl objeto. 47
•
i
,, ,,,
Yo
ele.
,, ,, ,, ,, ,,
(bl Una tctl:cra fuerlu F3 se aplica paro que el objeto se encuenlre en equil ibrio estático. Detenninur f l.
x,
T
, ,
NFI2
w
.,
(a)
Figura 4.35
Problema 47
Fig ura 4. 36
Problema 48
48 • SSM i ./ Se ejerce una fu er/.a vertical T sobre un cuerpo de 5 kg ceren de la ~ uperlicic dc In Ticml, como indica In fi guro 4.36. Dctemlinar la acelcrnción del cuerpo si (a) T = 5 N. (b) T = 10 N Y(e) T = lOO N. 49
••
T"
Un cundro que pe.MI 2 kg eudga de dos cables de igual longitud
que forman un ángulo 8eon In horizontal como indica la fi gura ·U7. (a) Determinar la ten~ión T en función de () y del peso 11' del cuadro. ¿Paro qué áng ulo () C!o T mínimo? ¿ Y máximo? ( b) Si () = 30". determinar la tensión de [os cables.
•
9
•
F
T, 9,
(b) Figura 4.38 Problema 50
(11) La fi guro 4.3gb muestro el diugmmll de fuerLru; en el globo 1. A p.mir ¡Jc e.~te dillgrnmu demostrar que In componente horil.onllll de In fucrlll 7j (dcnominlldll TII ) e~ la m i ~ ma pard lodos l o~ globos. y que (.:onsidenmdo In componente veniclIl de hl fuerl3 se. puede derivar la ecuad 6n siguiont!', que relacionll ln tensión de los segmenlos i e i _ I
... Figura 4.37 Problema 49
T,., sen 9'.I- T,sen 8, '" F (h) DcmoSlrarquc t8 ~:: - 18 8N*1 = NFnTH (c) A panir del diagroma y de las dos e'pres io~ anteriorali, dclT1O,~lrar qUC!
tg8, "" ( N - 2/ )FI2T H
Probleml'ls
yque
Poste telef6nlco
L ,- L \' = N+I ¿". ~ .... ~"'O .• I I
····l ··· ··········.
,-,
(dI Escribir un progmmn 1.:0 11 unu hllJu dI' (;¡Ikult' que dibuje In fonlla del nn-o teniendo en cuenlll lo:. ~ iguientes parnmctros: N = 10 globo~ : euda uno de lo~ globoS propordOlm una fuerl.ll de I N; In r.: uerda tiene \O m de lonllilUd ) lo l"Omponente horil.ontnl de In Lensión es Tu = lO N. ¿A qué disumciu están los punlOS de sUjeción con el ~ucl()'! ¿Cuál es In máxi ma ahum del
.uro..,
lel OW rve..~e que no hemos indicndo cuál es la sepnrnción entre los puntos de ~ieci6 n de hl cuerda. ya que \!SLn distlmcia viene de h!rminlldu por O\ro~ p.lr.imetros. Vari:lr 1'11 mnlltcniendo fij o~ los Otros parámetros 11IIstll que .L eJa crear un arco C U y¡L ~ sujeciones I!stén sepuradas 8 m. ¡.Qué valor tiene M: A medidn que TI! aumenta. el lIreo se hllcc más plano. ¿El modelo con hojn de cálc ulo re prod uce es te COmllQrtnmicnto?
\.
" Una grou ~lJs tiene un peso de I tonelada ( 1000 kg). Culcu !:lr la del cable que lo ~opona si «(1 ) el peso es Ilcclcrudo hncia arriba a 2 1ll/~2. \&lIn el peso con "clocidnd conSlIlIIli:'. (e) el peso es levantado con unu .Id que disminuye 2 mIs en cada segundo.
5:'
••
le
1
103
.tma~
•
I
Deten11inar las tensiones y Ins masas desconocidas de en equilibrio que se representan en la ligura 4.39.
T
30N
,
Figura 4.40
Problemn 53
Diagramas de fuerzas : Planos Indinados y fuerza normal •
Una caja grande de 20 kg do.: tnu~a c~t ~ en reposo sobre una superficie sin rozamiento. Si se tim de hl caju con un:! fucrlll de 250 N con un ángulO de 35° por debajo de lu hori1.onl:ll, i.curll cs 1:1m:elem· ci6n de lu cajo en la dirección de la superficie'! 54
•
SSM
I
•
La caja del problema 54 está situad:1 ahom en una rampa inclinndu 15° sobre una superficie sin rozamiento. Se tiro de la caja con unu fuer!.1l que formu un ángulo de ~O" con la horizonllll (véase In figur.l. ~.41 J. ¿cuál cs el menor valor de la fuean que hace que la caja suba por la rampa? 55
•
I
80N '
Figura 4.41
(b)
(a)
Problema SS
56 • Un bloque se desliza por un plano inclinado ~in rol.nmie nlo. Dibujur un diagr:ullu do nde ~c representen las fuer/.lls que aClli:1Il sobre cl blo· que. Indicar para cada fuer!.a del diagrama la com:s!xmdicnh.' fuerla de reac· ciÓn.
57 • El sistcmll represcnlOdo en In fi gura ~A2 se encuentra en equili· 0 brio. El valor de lu ma.~a m es: (a) 3.5 kg. (b) 3.5 sen ~Oo "g. (e) 3.5 tg 40 kg. (d) ninguno de los anteriores.
OO'
T,
T, T,
(e) Figura 4 .39
Problema 52
53 •• i " Un coche esu! eSIBncado en terreno blando. El con· ductore~lá ~olo pe!ro dispone de una cuerda largo y fuerte. El conductor. que ha estadiado frska, atn la cuerda tcn5IL a un po~le telefónico y tira de clla lateral· menle como indica la figura 4 .40. (a) Dclcnninar la fucna ejercida por la cuerda ~ el coche cuando el ángulo (J es 30 y el conduclOr lira con UIlI1 fuerza de 400 N, pero el coche no se mueve. (h) ¿Qué l'e\iSlencia deberla tener 0 la cuerda ,¡ 5e nece'lltara una fuerza de 600 N bajo un ángulo de (} '"' 4 para mover el coche?
Figura 4.42
Problema 57
58 • SSM En la figura 4.43. los. ohjclos c..!án \uj('lO~ I dinam(1mC'U'O~ calitndo\ cn newlons. Dar la~ lecturas de I~ dinamómetlUl> en cada ca),(I. suponiendo que Ia.~ cuerda.~ camcen dc ma."Il
104
I
Capítulo 4 leyes de Newto n
Un c51Ud·lan,e de 65 kg
i
( \1 -<1
•
.-. líGl4
rn~1
o
(b)
(a)
30" Fig u ra 4.45
,-
Problema 6 1
~
•
•
""b"la cie sin r07.l1micnt¡ U ob'elo de masa m r..., .. por unn superfi ' 62 . •• n rampa ~ , , 1'o,, ·,6n 8 respecto la horizontal (véase ~ b unu con una \O I . que aca a con , 'd d . . . 1 del obielo es I'n.. Cuando e l objeto alcanza 1< fi 4 46) La vclocl a lOl CIa ~ " . 19ura, rampa sube .hasta una nIlUid }1 ,antes de baJ' ar de nuevo, Demostrar que h ~ mde· pendicnlc de 8,
. :.
", (e )
(dJ Figura 4.43
Problema 58 Figura 4.46
59 •• Un cuerpo se m:mt ienc en posición medinnle un cable a lo larg,o de un plano inclinlldo pu lido (figura 4,44). (a) Si 8= 60° y f// = 5? kg: detenmnar la tcnsi6n del cable y In fucr/.l1 normal cjcrcidn por el pluno Inehnado. ( b) DeterminnT111 tensión en función de B y m y comprobor el resultado pnra 8 = O '1 0 =90".
Proble ma 62
Diagramas de fuerzas: ascensores 63 • Un objeto se suspende del techo de un ascensor que dcscit:, untl velocidad constante dI! 9,81 mis, La tensión de In cuerda que SUj l!Ul al es « 1) igual 01 peso del objclo. (b) menor que el peso del objeto. (e) m:lyor peso del objeto. (d) cero,
•
"
64 • Una persona se encuentro de pie sobre una btllanza de muel' 'n el interior de un ascensor que desciende. Mientras se detiene al llegar" la planta baja. la lecturo de lo balanza sobre cl peso de esta persona ¿sem com UI. más alta o más buju'! Una persona de peso 1\' se encuentro en un nsccn..or subiendo. cuando el cuble del mismo se rompe súbitamente. ¿Cuál es el peso oparenle de In persona inmediatameme de... pués de la rotura del cable? l a ) II~ (b) Mayor que 11'. (e) Menor que w. (d) 9.811'. (e) Cero. 6S
•
SSM
•
66 • I Un hombre que ~sliene un peso dI! 10 kg Illt..d inntl;' una cuerda capaz dc resistir 150 N ~ube en un ascensor, Cuando el ascem.or arrunca. la cuerda se rompe. ¿Cuál fue lo accleroción mrnimu del U!>Cen,or'~
Un cuerpo de 2 kg cuelga de un dinamómetro (culibrodo cn newlons) sujeto al techo de un a.~censor (figura 4.47), Detemlinar la Ic¡:turo que indican!. el dinamómetro (a) cuando el ascen.\Or ~ mueve hacia arriba con \ d ocidad constante de 30 mis. (h) cuando el uscen\Or desdende C(IO \elocidKI constante de 30 mis. (e) cuando el ascensor sube a 20 mh. Y acelera hacia nrriNl l a 10 m/s , (ti) De t = O a , lO 5 s. el ascen!WX' r..e mueve hacia arriba a 10 mf~ . Su velocidad se reduce entoACefo uniformemente a cero en lo,. ~igUlentc!i .a o.c~un dos. de modo que queda en reposo para ~bir la IC'Ctura litl dinarn,i. metro durante el inkrValo O< I < 9 $ . 67
Figura 4.44
Problema 59
60 •• Una l'uerza horizontal de 100 N actún sobre un bloque de 12 kg hnci~ndole ~ubir por un plono inclinado sin nnamienlo. que form.o un ángulo P de 25 con In horilOntal. (a) ¿Cuál ~ la fuerza nonoal que el plano inclinado e)Crce \Obre el bloque? eh) ¿Cuál c.
••
,.9 .
Problemtts
Figura 4.50
71
••
I
105
Problcmus 70 y 7 1
Re petir el problernll IInterior, imercambillndo 111 posición de los
d~ b loq ue ~ .
Dos bloque.~ de l OO k8 son i1rT:l~lmdos 1110 lurgo de unu sUI)Crlicrc SIIl ro/armento con una IIce!ernción conslrlnlC de 1,0 m/sl , como $e indica en [a ligUr:! 4.51 . Cada cuerda tiene unu ma ~a de 1 kg. Delerminur 111 fuerw ¡: y la tcnsión de I:l~ cuerdas en los pUntOS A, 11 Y C. 72
•• •
i.
../ .
a=lmA2 F
I kg
Figura 4 .47
Problema 67
g ramas de fuerzas: Cuerdas, tensión y la tercera ley de "'on • Dos bloques de masas mr )' 1112 conectados entre sí por una euero.1 de '.J..~ despreciable se xekran unifonnemenre sobre una superficie sin rozamienlo. ~'1'U1O se indica en la ligura ~A8 . La relación de las tensiones T¡fT2 vienc dada por ¡al m l/m! , (b) ml m ,. (e) (m , + mi'JIlll2' (ti) 1II 11(ml + /IIz). (e) m¡ (III ¡ +1112)' oS
Figura 4.48
Problema 68
69 •• Un bloque de masa 11/2 = 3,5 kg descansa sobre un estante horizontal sin rowmienlo y está concctlldo mediante cuerdas a dos bloques de masas "'1= 1,5 kg YfII ) = 2.5 kg. que cuelgan librememe. como se muestra en la fi gur-.! 4.49. Las poleas carecen de rozamiento y su masa es despreciable. El sistema se mantiene inicinlmeme en reposo. Cuando se deja en libertad, detenninnr. (a) la aceleración de cada uno de los bloques, y (b) la tensión de cada cuerda.
Figura 4.51
Problema 72
73 •• Se sube un objeto de masa m con un:! cuerda de mllSll M y de longitud L sujeta desde uno de sus extremos. La cuerda y el objeto se aceleran en la dirección vertical con aceleración a. La distri bución de la masa en la cuerda es unifomle. Demostrar que la tensión en la cuerda a una dist:lllciu x « L ) por encima dcl bloque es (a + g)[ m + (xlL )M ). •
74 •• SSM I Una cadena consiste de 5 eslabones, c¡¡da uno con una mas:l de 0. 1 kg. Se sube la cadc na verticalmente con una aceler,¡ción , de 2.5 mIs·. La cadena se sujeta desde el eslabón superior )' ningún punto de la cadena loca con el sucio. Encontrar (a) la fuerla F ejercida en el e:
FIgura 4.49
Problema 69
70 •• SSM Dos bloques esuin en contacto sobre una superfi cie horizontal sin rolamiento. UnA fu er/.:! F horizontlll se aplica a uno de ellos como muestra la I1gura 4.50 y ambo~ son acelemdo:>. Delemlinar la aceleración y la fue r/8 de eontaclO para In) los valores generales de F. mJ y m] y (b ) paru F = 3,2 N, mI = 2 kg Y nl2 = 6 kg.
Figura 4.52
Problema 77
106
Caprtulo '" Leyes de Newton
~a lo que le penmte elevnrse a 0;1 nmrna} • una polca "iltUlda en lo nito ;~:n ~u~ fuerza debe tirnr de la cuerd" plll1l que la pllltnfonnll (figuro 4.55). ( ) (, 1 '6 de O 8 mls 2,? (b) Cuando!;u velocidad . ' nda con una aee Cruel n . el conjunto aStle . d 1 ",rdn de modo que ella ) ~ u mOnlucargas 1 'rJ lor de I mIS. 11111 e o IlIC~nlJ1d' '~'IOC"d" d con~tante . ¿Qué. fuerlll ejerce entonces la cuerda'? (lgno. a-.clen a 1\ ~ .. rnr In mn ~1I de la cuerda.) " ro 4 56 muestra un bloque de 20 kg que de ~ hLa sobre 011'{) 82 ••• ...:"1 Igura . . ' De ~ 'ce se con~idemn Sin roUlmlCnlO. lennmar la de 10 kg. Toda!; 1as SUpelllCI " • , d bl , la ten ~ ión en la euerdll que lO!> conecta. lIeclenlclón de ca 11 oquc
d I
represcntllción esc~niclI uel cueolO de ~elcr Pan, la actriz que: hace el p:tpel ue Peter y peMI 50 kg tm de ""olllr" \'c~ucal mente de fonna que pam l:oincidir con el fondo musical debe bllJllr uon distan" pulida, IOC ,·m il u11 .SO ·• dll dI! 3.2 III en 2.2 ~ . Enu'e bu!>lidores, 111111 ~u perfi cle 'Oportll un ~'ontrnpeso de Illasa m. como ¡lIdiell la figurn 4.53. Inuicur lo~ cálculos qm: debe reali:r..o.r el director de: eM:enll poro dcte:nninur (ti) In !I10Ml del contrnpc.o;;o que: debe ulilizar'Sl! y (11) 111 tensión del euble. 78
•
i
En
UlIII
1:
Figura 4 .56 Figura 4.53
Problema 78
•
79 •• I Un bloque de 8 kg Y otro de JO kg conectndos por una cuerda que pasa por una polca sin rozamiento. desliznn por planos inclinndos sin rozamiento eomo indica la figur.!. 4.54. (al Determinar 111 acelcroción dc los bloques y la tensión de lu cuerda, (b) Los dos bloques se reemplazan por otros de masas /1/ 1 y I/I~. de tul modo que no se produce aceleración. Determinar toda la infonnación posible. sobre las lIIasas de estos do~ nuevos bloques.
83 ••• i .1 Un bloque de 20 kg dotado de una polen se desli7.a a lo largo de una superficie si n rozamicnto. Está conectado mediante unn cuerdo u un bloque de 5 kg según el dispositivo que se muestr3 en la figurn ·4.57. Determinar la aceleración de cada uno de los bloques y la lensión de la cuerda.
Figura 4.57 Figura 4.54
Pro blema 82
Problema 83
Problema 79 Diagrama de fuerzas : máquina de Atwood
80 •• Una cuerdll pesada de longitud S m y masa 4 kg se encucntra sobre unll mesa horizontal sin rozamiento. Un extremo se eonecla 11 un bloque de 6 kg. En el Otro extremo de 111 cuerda se aplica una fuerla horizontlll constIInle de 100 N. (a) ¿Cuál es la IIcclernción del sistema'? (b) Expresar la tensión de la cuerda en función de su posición 11 lo largo de éslll. •• SSM Unll pintora de 60 kg e1>lá de pie sobre un montucargllS de aluminio de 15 kg. El montacargas está sujeto por una cuerda que paslI por 81
•• SSM El apamto de la figum 4.58 se dcnominll máqw Atwood y se utiliza pum. medir la ncelerJción debida a la gravedad JI o. p:. la acclerución de los dos bloques. Suponiendo que lo. cuerdo. y la polca 1.1 una masa despreciable y lu polca can.'Cc de rozumiemo. demostmr que la .. roción de cualquiera de los bloques y lu tensión de la cuerda 1>on 84
a =
111 1 - I//,
-8
111 ) +m~
y
T = 21111111:8
mi
,
", figura 4.55
Problema 81
Figura 4.58
Problemas 84-87
+m ~
Probl~m.s 1
107
•
85
••
I
Si unn de las Inusn,s de la máquinu de Al 00d d 1
I;,uro 4.58 es 1.2 kg. ¿cutil serin la Otro mll~a p'm q" ,1 d 1 w. e u , ,.. 11 d ' esp atamiento de cualqult:rn U<; e as urente el primer segundo dcs pu~ de . 'J comenzar el moVImírutO fuese O.3 m. Unn .", e 1 bl oquc de mnsa . pequeño pioom de masa m dcscansn 50b... /fI , de la máquma de Atwood de lu figuro 4.58. Determinar 1, fu " d • b crLll cJcn:¡ a por la picdrn :.o re m ~. 86
87
••
••
12 m
DeterminllT la fuerlll sobre e l gancho de la ""1, .. d i , . d . ..~ .. cnmqumue
¡\twood de 111 figurn -\.58 mientras los bloques aceleron. Despreciar la masa de la poIt'3. Compruebe s ~ respU~lu considemndo los val o~ Hm;lc apropiados de m, )'/0 /112' para los que se puede dar In respucstu rnzonuru.lo cualil¡ltiva.
••
""" 88 • • • uell L L
Jr. d qt
u'
m S pe. un la.: \'Ie
La ace leraci6n de 111 gr.wcdnd g puede determinarse midiendo el rque turda UIIII musa m ~ de In máquina de Atwood en cacr una distanciu del reposo. (1I ) ~tenninur una expresión pam g en función de mi , "' 2'
Figura 4 ,59
Delllo~lrnr que
St se comete un pe.qucilo error en la medida del tiempo lnductn'i ;1 .u n error en la detcnmnación de 8, dado por 111 expresión :;. dtlt. (e) SI L = 3 m y m i = I kg, detenninar el valor de m~ , de modo '_-d~ ~edin;e con una exactitud de ±5% y una medida del tiempo con inlenor a 0,1 s. Suponer que la única ineenidumbre signiftcmiva es la lel tiempo de cafda.
.•
SSM Tenemos una máquina de Atwood y un conjunlO de ,¡¡ masa total es M, y se tienen instrucciones de fijar algunos pesos a de lu máquina y el resto al otro. Si 1111 representa la masa colocada al uierdo y 1111 la masa colocada al lado derecho. la tensión en la cuerda ~ por la expresión
como ya se ha probado en el problemtl 85. Demostrar quc hJ tensión será máxima cuando "'1 = 1IZ 2 = M/2 . 90 ••• Una máquina de Atwood tienen una masa IIZ J fija en un lado y una masa variable 1#2 (> /li t) en cl otro lado. (a) Demostrar que el valor máximo de la tensión en la cuerda es 21111g . (b ) Interpretar este resu!tndo ffsicamente, sin el uso de cálculo.
Problemas generales
Problema 93
•
94 •• I Una cadena larga y uniforme cuelga del techo aguan. tundo un objeto de 50 kg de masa. La masa de la cadena es de 20 kg, Ysu longitud es 1,5 m. Delenninar la tensión en la cadena (a ) en el punto donde la clldena está sujeta ,11 objeto, ( b) en la mitad de la cadena, y (e) en el puntO donde la cadena está sujeta al techo. •
95 ••• SSM I Un hombre empuja una caja inicialmente en reposo de 24 kg por una superficie sin rozamiento. Primero empuja la caja suavemente pero gradualmente va aumentando su fuerza de modo que la fuerza sigue una ecuación F = (8 N/s),. Pnsados 3 s, deja de empujar la caja. La fuerla siempre la ha ejercido en la misma dirección. ( a) ¿Cuál es la velocidad de la cajtl pasados los primeros 3 s1 (b) ¿Hasta dónde ha empujado el hombre la caja durante 10$ tres primeros segundos? (c) ¿Cuál es la \'elocidad media de la caja entre O s y 3 s? (ti) ¿Cuál es la fuern media que ejerce sobre la caja al empujtlrla1 96 •• Supongamos que una superficie sin rozamiento está inclinada un ángulo de 30" con la horizontal. Un bloque de 270 g está litado a un peso de 75 g que cuelga de una polea, como !'oC muestra en la ligura ~ . 60. (a ) Dibujar los dos diagramas de fuerza, uno paro el bloque y el OU"O paro el peso que cuelga. (b) Determinar la tensión en la cuerda y la IIcclernción del bloque. (e) El bloque parte del reparo, ¿cuánto le cuesta deslizarse una distancia de 1 m por la ~upcrfi c ie?
91 • Un pájaro carpintero golpea la coneza de un árbol extremadn· mentc duro - la velocidad de su cabeza alcam'.a nproximadamente el valor 1';:: 3.5 mis antes del impacto. Si la musa de lB cabezo del p..-{jaro es 0,060 kg. Y111 fuerza media que Bctúa sobre la cabeza durunte el impacto es F = 6,0 N. dcterminnr {a) la aceleración de la cabeí'.a (suponiendo que es constante): (h) la profundidad dc penetración en la coneza: (e) el tiempo' que tarda la cabeza del pájaro en detenerse.
92 •• SSM Puede constru irse un llcclerómctro :lencillo colgando un cuerpo pequeno de uno cuerda sujeta a un punto fijo en el objeto que se acelern, por ejemplo. en el techo de un automóvil que se mue\'c por una superficie plano.. Cuando haya acclemción. el cuerpo se desviará y la cuerda fonnará un ángulo detem\inado con la vcnicnl. (a) ¿En qué sentido se de..(vinrá el cuerpo Suspendido respecto al de la aceleración? (b) Demostrar que lo occlemción (, está relacionadn con el ángulo 9 que la cuerda fonnn con In \'cnical por (1 ;:: g tg 9. (e) Supóngase que clllutomóvil frena hasta llegar ni reposo desde lu velocidttd de 50 kmlh en una distllncia de 60 m. ¿Qu~ ángulo fomlllrn In acelernción? ¿La masa ~ moverá hllcin adelante o hacia atrns? •
93 •• I El mástil de un balnndro esu! sujeto a proa y a poptt por dos cables de acero inoxidable con sus IInclaje.~ scparndos una distancia de 10 m (figura 4.59). El mástil. de 12 m de altum. pesa 800 N Yse apoya venicalmente sobre la cubiena del halandro. El mástil disln 3,5 m del anclaje del cable delantero (el Ilub próximo a la proa). La tensión de estc cable es dc 500 N. Detenninar 1. tensión en el coble trasero y la fuenA que el m&~liI ejerce sobre la cubierta del balandro.
Figura 4 .60
Problema 96
97 •• Un bloque dc ma~ 1111 es impulsado por unll fueru F aplicada en el extremo de una cuerda que liene una mnSll lfl2 mucho menor. COl1l0 se mdica en la ngurn 4.6 1. El bloquc se desliza a lo largo de una "uperfid c horizontal pulida. (a) l)etcnninllr la aceleración de la cuerda y el bloque conjunmmcnte. (bl ¡,Cuál es In ruerza neta que actún sobre la cllcrdtl1 (el Detemlinnr III teMI6n de In cucrna en el puntO donde e.~tá utada :11 bloquc. ( ti) El dibuJO de la Ii~ura 4.61 con la cuerda horizontal no cs totalmcnte COfT"C('tO para C\tu ~ l t Ullclón Corregirlo y detcnninar cómo c.~ta cOlTCCCi(\n afecta a In ~OIU l' i(\n .Iel problema.
108
1 Caprtulo 4 Leyes de Newton
F
100 •• Consideremos la máquina de ,\ twood de la ¡¡guro 4.63. Cuando se trflOsficren N amndelas del lado izquierdo al lado derecho. este tlhimo desciende 47,1 cm en 0.40 s. Detcnninar N. 101
Figura 4,61
Problema 97
•
98 •• SSM I Un cuerpo de 2: kg descanslI ,",obre un p1:mo indinndo 60" <¡i n tol.mniento que se desliza eOIl ulla !IcclerociólI tl h:lciu In derecha de tal modo que In 11111"" pcmlanece estaciunnria con relación ni plano. (a) ])etemlinur a. (b) .', Qué OCllrririll si el phmo adquirie.~e una IIcelcr:lción superior?
••
Dm bloqul!S de masa.<¡ 111 y 2m están sujeto<; por una euerdn (fi gura
Si I:IS fuer/.!lS son constantes, detenninnr In tensión de la cuerda. ( b) Si In<; fuenlls vurlnn con el tiempo según FI = CI Y F1 = 2C/. en donde e es una con ~t nnte y I el tiempo. deh.:nninar e l tiempo lo en el eunlla tensión de la euerda es 70, 4 .(4). ((1 )
F,
Figura 4 .64
Problema 10 1
•
102 ••• 5SM I La polca de una máquina de Atwood cxper;. mentn una itccleración hacia arriba a. como se muestra en la figuro 4 .65. Octerminnr In aceleración de cada masa y la tensión en la cuerda de la máquina. (Pista: l/l/a acell!raciólI COIlSWII/C hllcia arriba /üme el mismo tiec/() 'lile UII incremelllo ell la aceleración debido a la gra l'el!od)
I
Figura 4,62
a
Problema 98
•• j ti' Las masas colocadas n cada lado de una máquina de Alwood son una pila de cinco arandelas. cada una de masa /11. como se mue.<¡tra en [a figura " .63. La tensión de la cuerda t!li T()o Si se quita una arandela del lado izquierdo. las reSlantes arandelas acetcmn )' ta tensión dism inuye en 0.3 N. (O) Delenninar m. (b ) Calcular In nueva tensión y la aceleración de cadu masa cuando se quita una segunda arandela del lazo iUluierdo. 99
Figu ra 4 .65
,,, Fig ura 4 .63
5111
Problema 99 y 100
Problema 102
-
APLI ClONES DE LAS LEYES DE NEWTON
Capítulo
5.1 Rozamie nto 5.2 Movimiento a lo largo de un a t rayecto ria curva *5.3 Fue rzas de arrastre *5.4 Integración numérica :
el método de Euler La fuerza de rozamiento estátíca ejercida por el asfal to sobre los neumáticos del coche evita que éste patine al tomar la curva. ¿Qué factores determinan la velocidad con la que un coche puede girar por una curva sin pa-
tinar? (Véase el ejemplo 5.1 O.)
E n el capílUlo 4 se han introducido las leyes de Newloll y se las ha apl icado n situaciones donde la acción se restringía a movimientos recti líneos y donde no se consideraba el
rozamiento. ~
E n este capítulo extender emos las leyes de Newto n 111 cstudi o del movi mient o en trayectorias curvas e incluiremos los erectos cua nlitl.lti vos del roza mient o.
5.1
Rozamiento
Ni caminar ni moverse en automóvil seda posible sin el roza miento. Pam echar ti andflr por una superficie hori L:on tal hace falta el rozu miento y, una VC I en marclm. p:trn cambiar la dirección o la velocidad del movimiento también hace fo lta roaunicn to. Se necc:.i la rol.U· miento para mantener una tucrca en un lomillo o un c1ovo en In madero. Si n em bargo. aun· que el r07.amiento :.ea muy ill1pon ante. muchu:. veccs !
Rozamiento estático Cuando a p l icamo~ una pequeña (uena hori/onlal a un gmn bloque que dcscnn<;a o;obrc el sucIo. el bloque no r,c mueve debido a la fu erza ele rozamicnl o esttitico f, cjcrcidH por el
110
I
Capitulo S Aplicaciones de las leyes de Newlon
uc c~ U1m OS
.
d
( fi g Ira
5
1)
La r'l
aphcan O 1 .• ertÁ! ' 1 blocluC que equilibru la fu erza q 1: d' sobre el bl oque . puede vari ar deSde b suelo so re c · '1 la f ucrl.ll ap ¡ca u . . . ' de rozamiento estático. que ,se opone . de ndie ndo de In fu eí/..a ejercida. Lo!; ex~nmCnt()S "ro hastn cierto valor !lláXmlof~. n¡j~· pe 01 cJ'crcidu por una superfic ie sobre la
F
ce
.
muestran q ue J~. IrI.h eS pro
porcionfll a la fuerlu norm
OIm:
(5.1) OfFICIENTE. DE ROZAMIENTO ESTÁTICO DEFINID ÓN - C
Figura 5.1
.
en donde la constante de
.'
proporclOn.lh d~
¡hmado coeficiente de ro7..amiento estático.
d Pr'
, lacIO Si eJ' creem os una fu erza hori zontal
. l ' a d. las superfic ies en con , . . · , . t equil ibrará esta fue rza honzontal. depende (1e 1a n,\tura ez, menor queft. tnb sobre el bloque. la rUCil.a de rozamlc n o En genera l. podemos escribir (5.2)
Rozamiento cinético Si se empuj,¡ el bloque de la fig ura 5. 1 co n fuerza suficiente, éste se ~eslizará sobre el suel~. Al deslizar. el suelo ejerce una fuerza de rozamiento cinético, fe (tambIén ll amada de rozrumento por deslizamiento) que se opone al sentido del movimiento. P~ra que e l bloque desh~e ~n velocidad constante debe ejercerse una fuerza sobre el bloque Igual en módulo y de sentido opuesto a la fuerza de rozamiento cinético ejercida por el suelo. El coeficiente de rozamiento cinético Jlc se define como e l coc ie nle entre los mi dulos de la fu erl a de rozamiento cinélico!c y la fuerza norma l. Fn:
J) DEfiNICIÓN - C OEfiCIENTE OE ROZAMIENTO
o
en donde J..lc depende de la naturaleza de las superficies en co ntacto. Experime ntalmenll: que J..lc es menor que Pe' Yes aproximadamente constante para velocidades comprendid.o intervalo de I cm/s a varios metros por segundo. las únicas situacio nes que considemrel
o Jita 1"1 el
El rozamiento por rodadura Cuando una rueda ideal ríg ida rueda sin deslizar a velocidad COllstall1e por una ca: t~ra ideal, rígida y horizontal , no hay ningunn fu er.l a de rozamiento q ue frene su movimiento. Sin embargo, los neumóticos reales y lns carreterns se de forman continuamente. y In banda de rodadurn de l neumótico y la carretera se gastan , lo cual sig nifi ca q ue la carretera cjen:e un rozamiento de rodadura f r q ue se opone al movi miento. Para mante ner la rueda rodando con vel ocidud constante, hay q ue ej ercer una fu crla sobre la rueda que ig uale en magnitud y que se oponga e n direcc ió n a la fuerza de rozamiento de rodadura ej ercida por el asfalto. El coeficiente de rozamiento de rodadura l1r cs e l coefi ciente de proporc iona lidad entre el módulo de la fuerza de rozamiento de rodadura );. y el módulo de la fu erza normnl Fn.
(5.41 DEfiNICIÓN-COEf iCIENTE DE ROZAMIENTO DE ROOAOIJRA
do nde J.lr depende de la naturnle7..a de las superfi cies de contacto y de la composición de 10 rueda y de la carretera. Los valores tipicos de l1t están enlre 0.0 I Y 0.02 pura lo:. n cu tmitiC(l~ de caucho en hormigón. y entre 0,00 I Y 0.002 pura ruedas de acero sobre nlflc.<: de licero.
5.1 Rozamiento
I
111
•
• I pm ;, r~::-1 10 ,um
Sección lIuntCn!ndu de unu superficie de licero pulidn que mueSIO! lus
im:¡.!ulnridades superficiales. La altura medi a de estas irreguluridades es del orden de 5 x lO~s cm, correspondiente a vlIriOS miles de diámetros all m:os.
Dibujo de orde nador que muestra cómo unos cuantos álomos de oro (abajo) se adhieren a la puma fi na (arriba) de una sonda de nfque] que ha estado en contaclO con la
superlicie de oro.
I e s la causa del rozamiento 7 l
amiento es un fenómeno complejo. insufic ienteme nte conocido, que surge como con. 'Jeia de la fuerza de atracción entre las molécul as que forman dos superficies en con -
!-
La naturaleza de esta atracción es electromagnética - la misma naturaleza de enl ace m ular que mantiene la materia unida. Estn fuerza de atracción es de COrlO aJcance y re I prácticamente inapreciable a distancias de pocos diámetros at6micos. amo se muestra en la fig ura 5.2. los objetOs ordinarios, aunque tengan superficies muy pulidas, de aspecto liso y suave, a escala at6m ica son ásperos y rugosos. Cuando entran en contacto dos superficies sólo se tocan por aquellos puntos más prominentes, denominados asperezas. que se muestran en la figura 5.2. La fuerza normal ejercida por la superficie se produce precisamente en estas asperezas. donde la fue rza por unidad de área es muy grande. suficiente para allanar las protuberancias. A medida que la fuerla nornlal aumenta, también lo hace este aplan ado, lo cual conduce a que el área de contacto microscópica aumente. En condiciones muy diversas. el área de COnlac to microscópica es proporcional a la fuerza normal. La fuerza de rozamiento es proporcional al área microscópica de con tacto. por lo que también es proporcional a la fuerla normal. La figura 5.3 muestra un gráfico de la fuerlu de rozamiento ejercida sobre el bloque por el suelo en func ión de la fuerla aplicada. La fuerza de roza miento va compensando la fuerza apl icada hasta que ésta alcanza el valor PeFn. que es cuando la caja empieza a moverse. A punir de entonces la fuerza de rozamiento es PcFn' La tabla 5. 1 da una relac ión de algu nos valores aproxi mados de P.e Yde Pe para varias superficies.
F
t..,.
F
Figura 5.2 El área microscópica de conlaclO enlre el bloque y el suelo es s610 una pequeña fracción del área macroscópica del bloque. Esla (mcción es proporcional a la fuerza normal ejercida enlre las superlicies. Si el bloque descansa sobre una base mayor. el área macroscópica de contaClo:oe incre· menta. pero la fuerza por unidad de área disminu) e en el mismo faclor, de lal modo que el áreo microscópica de conlaCIO no se modifico. Tanto si el bloque descansn sobre una base o sobre aira. hay que apl icar la mismu fu erzn horizonlal F para mantenerlo en movimiento a velocidad constanle.
f
h ."'" ;:: Pt Fa TABLA 5. 1 Valores aprox imados de los coeficientes de rozamiento
Materiales
¡.tco
¡.tc
Acero sobre acero Latón sobre acero Cobre sobre hierro fundido
0.7 0.5 1.1 0.9 0.04 0.04 1.0 0.30 0.10
0.6 0.4 0.3 0.4 0.04 0.04 0.80 0.25 O.OS
Vidrio sobre vidrio
TeMo sobre teHón TeHón \Obre acero
Caucho sobre hormigón (seco) Caucho sobre honnigón (hámedo) Esquí encerado sobre nieve (O OC)
I~=F"I'
'., Figura S.3
'1 2
J
Capítulo 5 ApllCllclones d e las leyes de Newton
EJEMPLO 5.1
I
El juego del Shuffleboard
d IIrn impulsnr UI1 disco de 0,40 kg u Un pasnjero de un crucero usu un lUl'O de shurnebour P d 'bureo El disco rt.'Corre . c una ~'elocidnd de 5.5 mIs por 111 pisln dCJuego SI., UII dll en In cubierlll . . 'nlo · t'nlre el disco y ,u . ocho metros unles de pnrnrse. Ot!tcrnunllr e ' eoefi cicnle de rol.llllUC cubier1n. .
)'
· ·· nético es In t1nicu fuer....a hOrizontal Lu ruerza de rotlllllJcnlO el. . · . .1 lite la 'lcclenlci6n es • . 4) e 1 fi er...,¡¡ de ro:r.alluenlO es cons n . ' . que :lClua sobre e[ diSCO (figuru.5: '. omo n 11. • . ' 'r de Ins ecuaciones de acclcrucI6n tantbién constante. Podemos delerrmnnr [a acelcmcl6n d pllltl constante del capítulo 2 y relacionarla con ~Lc u~an do L F. = ""'.,.
Plantea miento del pro blema
,.
"
111"
l . En 1(1 figurn 5.4 ~c mueStra el diugnulln de fuert:ls pum el di s~o ct~u n do ya lo hu soltndo el InCO. Lns nechns en los ejes indic:ln las dL reCClOne.~ posilivlls de los ejc.~.f e y.
Figura 5.4
2. El coeficiente de rozumienlo estú rchJcionado con la ftn:r.':1I de roza~ miento y In nomllll :
al disco. Despcjur la fueíLIl normal. U~ando el resulcudo del paso 2, obtener In fu erLa de rotamiento:
3. Ap[icllr IF ,. =
- O
/IJa r
por lo tanto
F n=mg
4. Aplicar IF , = lado del paso 3:
1110,
al disco. Despejar la aceleración usando el resul-
'i.F r =
Y
1, = ", "'8 fA"
lIIo,, ~-f~
= ma...
por lo tanto - !Jemg =
5. Relacionar la aeelerución constante con la dislancia (ota[ recorrida y la velocidAd inicial medianle la ecunción 2.15. Uúlizando el resultado del paso 4. calcular J.Lc:
1,2
ma~
y
a . = -!Jeg
= I'~ + 2a"A..\" ~ O = va - 2/Jeg llx
es(O es -
(5.5 mis)'
- 2(9.8' mls')(8 m) Observación
L11 mas!!
=10 . 193 1
del disco se cancela. Cuanto mayor es la masa. más esfuerzo cuesta detenerla, pero unu masa mllyor también va acompañada de muyor rozamiento. El rcsultlldo neto es que la masa no tiene efecto alguno en este proceso. f//
El ejemplo 5. 1 ilustr¡¡ la metodotogfu que conviene apl icar pura resolver problc incluyen rozamiento. Es la sigu iente:
que
Se escoge el eje y en la dirección normal a /¡IS superficies de contacto. Se elige JC X paralelo a la superficie y parn lelo o antiparalelo a la fuerla de rozamielHo. 2. Se aplicn r.~. = 1/10,. Y se obtiene la fuer.l.a normal Fn' • Si el rozamien to es cinético. In fucf7..a de rozam iento se obtiene usando f.: = • , • Si el rozam iemo es estálico. se re laciona la fuerL8 de rozamiento máxima n la fuer¡;u normal usando fe.mln. = JI~Fn' • Si el r07...'lmiento es de rodadura. la fu erza de rozamiento se obtiene usandn .fr = 1.
JlrFn·
3. Se aplicn r.F f = mar al objeto y se obtiene la variable deseadn.
EJEMPLO 5.2
I
Una moneda que resbala
Sobn: la cubierta !'J uperlor de un Jlhro de lapas duras que está sobre una mesll hay una moneda (V~ll~C la " gura 5.5), Poco a poco SC Icvanta la lapa del libro hasta que la mon~dll empieza a deslizar. El liORUlo 0""" 1.'5 el ángulo que rorma la tapa con la horizontal en el momento en que la moneda emplcl.lt a moverse. Calcular el coeficlenle de rozamIento eslátlco ~ enlre la tapa del libro y la moneda cn runción de 0rú,'
5. 1 Rozamiento
Plantea mie nto del proble ma Las fl Ie I7U~ . que nctuan . ~obre In monedu son su peso mg. In ' 'd fucrla nomlR I Fn eJcret a por el plano y In fu crln • de f'07.umlcnto! . . Segullllos 111 metodologfu mendo. nndll :mtes pam resolver problemas con I'Olamiento estático.
1. Dit>u!ur?1 dingranw de fucrLu:; pam la monedu cUllndo Itl lupn dcllibro csttí Il1chnada un ángulo 0, dondc Os 0111i~ (figllra 5.6):
F•
r, , I/I)t
Figura 5.5
Figura 5.6 f\plicnndo I: F v = Itr", n la moneda se obtiene la fuena normal. Entonces se detennina la fucrl.U de rozamiento estático mnximo:
I: F ,.
= 11/(/ , ~ P
n
=O
- "'8 cos 9
por lo lanto F n = m8 ca:; O
fe.mh = I1~ Fo
Aplicando [ F t = Iml Jt a la moneda se obtiene la fueml de roza· micnto. Se sustituye en el fCSultado del paso 2:
por lo tanto
I: FA = I/Ia .. => -fe.trOJ, + mg scn 9mb. = O
por 10 tanto fe.mflA = 11/8 sen 6m.b
mg sen Bmú mg COl' 9"",
Calcular el resultado del paso 3 para 11.,:
f •.mh = l1emg cos 6rnú
y
"'8 sen 6mj\ - 11.lIIg CQS 6mb
=1tg e,~, 1
.je rcicio El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos de un coche y la carreteíol en un día detenninndo es 0,7. ¿Cuál es el ángu lo máximo de inclinación de la carretem para que el coche: puedu estar parado con sus roed:ls bloqueadas y no deslizar hacia abajo? (Respllesta 35°)
El ejemplo 5.2 demuestra que el coeficiente de rozamient o estático está relncionado con el ángulo crítico em.l~ ' para el cual el objeto comienza
/-le - tg 6roi.l
¡j
deslizar. por 1:1 expresión
(5,5) ÁNGU LO CRITICO
donde Ormh = Oc se denomina ángulo c rítico.
EJEMPLO 5.3
I
Tirando de un trineo
Dos niños son urra.,trudos en un trineo sob~ un terreno cubierto de nie\'e. Se lira del trinco con unu cuerda (Iue ronna un ángulo de 40 con la horizontal. como se Indicn en In fi gllrll 5.7. Lu musa conjunta de los dos niños es de 45 kg Yel trineo tiene IInn nUlSll de S k~. Los coctlclcntes de nl1'..lImlento estático y cinético son P t = 0.2 Y P~ = 0.15. Dctc~mlnur la. rue~, dt, roznmiento ejercida por el suelo sobn: el trinco y la aceleracl6n de los nlnos y ellnneo SI In tensión Q
de la cuerda es (a) 100 N Y(b ) 140 N. Planteamiento del problema Dctenllinnr en primer lugnr ~i In fuerl!t de roJ:lmicnto c .. c~IÓlic3 Ocinética. Pura ello calculur la tensión máxima de la cuerda si n que cllrim~o ~e: mueva.
Figura 5.7
I
'13
114
I
Capitulo S Aplicaciones d e ial leyes de Newto n
, (a) 1. Dibujar un diugmnlll de fUCl"/OS pum el trin¡:o (figurn 5J\):
2 . Aplicnr l: F" .. 111(/, nI tri neo )' ~c obtiene 111 fucíln normal. Entonce.<¡ se obticnc 111 fUCl"lll de romlllLcnw c~ t ático nl!\:dmn:
F.
""
r. ,.. ~
r
F, .,. ma, ni trinco y ~c ohtiene In fuer/.o de rozamiento. Entoncell $e ~ u , tilu yc en el re .. ultudo del pliSO 2:
ma, =:::) Fn + T scn 9 - 1118 = O
por 10 tanto F•• mg - T ..en O ,..<
I e.m,h --
·•• que de meJVo
~
EF, = m {/,=> -fe.n!J~+T"",cos
por lo tanto = T
I ......,
mi.
T _. eo~
".'
4. Mediante el re!illlt¡¡do del puso 3 obtener d valor de la tensión má~imll en el Cll50 en que no huya dcslilumicnto:
F
:o"
I ~J"" 3 . Aplicllr
r
e=
cos
e
y
r" ,( IIIS - T ml\
e= o
T ...... co!> O = 11.(m8 - T mh sen
e)
t l.( lII g - T IN, sen 9)
por lo ltInto tJ.mg
- -,.-'~"-:::::-;; 1J ~ sen 8 + cos 8
mb -
_ 0.2(50 kg)(9.8 1 mis') = 110 N
- 0.2 sen 40 0 + cos .\00 La tensión es dc 100 N, que es menor que I ! O N . El trinco no desliza. Para encontrar la fuerza dc rozamiento. se usa la expresión obte nida en el paso 3 parafe:
5.
(/~
=[QJ
1, = T,os
e = ( IOON)cos40'
=176.6 NI
(b) 1. La tensión es de 140 N Y supera. Trnh = 110 N. por lo que el trineo se desliza. L.1 relación entre la fuerza de ro7.t1miento ci nética y la fuen:n nonllal es:
2. En el paso (a) 2 se aplicó 1: F, = IIItI, ul tri nco y se encontró Fn = I1Ig _ T sen e. Usar este resultado j unIO con el paso (b) 1 para obtener la fuerla de rozamiento cinética:
fe = I1c(mg - T sen 8 )
3. Aplicando 1: F t = fil a); al trinco se obtiene la fuel"lU de r07.t1miento. Entonces se sustituye en el resultado del paso 2 pamfc y se obtiene la aceler.tción:
1: F); = m a J:)-f~ +T cos
= 0, 15[(50 kg)(9.8 1 Nlkg) - (1 40 N) sen 4{)' J
= 160, 1 NI
e=
por lo tanto
a• =
f c + Tcos8 m
_ (-60.1 N) +( 140 N)cos4Qo 50 kg
I
= lr~-'.94""3m/s:'1 ,
Observación Hay que resallar dos puntos imponantes en este ejemplo: (1) La fuerza nomtal no e.... igual a In suma del peso de los niños más el trinco. pues la componente venical de la tensión tiende a levantar el trineo del suelo. (2) En el apanudo «(1 ). In ruena de roz¡tmiento e.<¡tJltico es menor que J1cFn'
EJEMPLO S.4
I
El bloque que resbala
¡INTfNTELO USTED MISMO!
La ma a"'2 de la figura 5.9 se ha ajustudo de modo que el bloque de ma.'18 mI eslá en el umbral de des"zamJento. (a ) 51"'1 = 7 kg Y"'2 = 5 ka. ¿cuál es el coeficienle de rozamiento estállco entre el bloque y el soporte? (b) Con un ligero loque,los bloques se mueven con aceleración a. OetennlDar a si ti coeftdentt de rozamiento dnétko entre el bloque y el soporte es JI..: = 0,54. s
Planteamiento del problema Aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los bloque.... leniendo en cuenta que Tliene el mismo valor a lo largo de loda la cuerda. de modo que TI = T2. Y que las aceleracione." liencn igual magnilud. pues la cuerda no se aJarga. de modo que al = a 2 = Q . Para delerrninar el eoeficienle de rozamiemo eSlálico. l4.. requerido en el apanado (a). expresar qu~ la rue.na de ro18miento estálico sobre mt es igual a su valor mAximofmf,. = I4.Fn '1 que la aceleración es Igual a cero.
T
, m,
Figura 5.8 SCln e )
T mJ..(J1. sen 9+ co~ 8) = J1 0 ltl g
T
I
Figura 5.9
I
5.1 Rozamiento
ToJX lo columna de la dt!fecha e ¡fI(fmte f
I
elo verlo
Il1ted mismo
Pasos (a) 1. Dibujur un diagmma de fuer'Lus para
d bl figuro. 5. 10). Se eligen las direCcio" "~~d" I oq~e aislado (véa'iC la • . ...s e OS cjCsx yx'd od que cOincIdan con las direcciono, d' I o ....., e as acelera " Que los bloques se mueven. ,Clones una vez
Re~puesta~
,. ,. •
'm
T
r T
:r
X
Bloque 1 2. Aplicar 1: F . ~ m(l ~ al bloque I y obtener lu ruer...a nonua!. Enlonces se obtlcne la fuer'.m de rozamienlo eSlático:
Figura 5.10
'!. f
111 ,ti
'" I g
- 11
por lo 1;11110 I
3. A~licar L F" =
1110 <
a~ bloque I y obtener la fucrla de roza-
mIento. Entonces se sustituye en el resultado del paso 2:
"'r!!
=>
1
•
'ir,
=
lII,tI,
r
por 11.1 tanlo
J.1 ,. D =:lo
r r.JDil
=
o
por lo I.IIUO
f t.
Aplicar r F.\ = lila" al bloque 2 y obtener la tensión. Entonces se sustituye en el resultado del paso 3:
Ú'
-"
,-
l;;
=
r )
T
= JI
m!):
/1/,11
pllr 10 I¡ml(¡
1
= ",~X •,
5. Se resuelve el resu llado del paso 4 para J.1e \b) 1. Cuando resbala, la fuerza de rozamiento es la cinética. Relacionar la fuerza de rozamiento ci nética/c con la ruerta noma!' La fuerza nonual se ha obtenido del puso 2 del apartado (a). 2. Aplicar r F,x = lila" al bloque 1. Obtener la fucrla de rozamiento usando el resul tado del paso eb) l.
f = P.' por lo tanln
J. = J.1,III;J; n _T'
=
/lIrU,
=:lo
r
/
=
mili
\')(lr lo lanrn
r
Jl,l1I l g
c:
"'1"
3. Aplicar I: FA' = ma.r, al bloque 2: 4 . Sumar las ecuaciones obtenidas en los pasos (b) 2 }' (b) 3 Y obte-
ner a. Compro bar el resultado ejemplo 4. 12 con 8 = O.
"-
1/1
11/ I
Ji.m l
+ 11/
, = I O.Q'Pml~ I
Observar que J.1.,; = O da el resultado de la aceleración deducido en el
Ejercicio ¿Cuál es la tensión de la cuerda cuando Jos bloques eslán deslizando? (Respuesta T = 11I2(g - a) = 44.1 N.)
EJEMPLO 5.5
I
El cochecillo Incontrolado
Un cochecillo de niños Incontrolado se desliza sin roUtrnlenlo por una churea helada hacia un
agujero en el hielo (figura S.tI ). Una persona sobre patines lnlcnlo alcanzar el cochecillo. Cuando lo consigue, esta persona y el cochecillo siguen deslizándose hacia el agujero eon \'elocldad 110- El coeHclente de rozamiento enlre los patines (en la posición de rrenadQ) y el sudo ('1¡ lJ.c. La dbitancla al agujero en el momento de agarrar al cochecillo es D. la rna.-.a de la persona e& m y la del cochecillo M. (a) ¿Cuál es el ...alor mfntmo de D para evitar la caída en el a~ujero? (b) ¿Quf fuerza debe ejercer la persona sobre el cochecillo?
- J.1
m,~
Bloque 2
11 5
116
I
Capftulo 5 Aplicaciones de las leyes de Newton
Planteamiento del problema
Inicialmente la persona y el cochecillo se mueven hacia crl aguhaceF' una jero con velocidad 1'0 en la direccIón .f qut: tomamo:;' como positiva. . Si la persona , _ Fi uerUl sobre F = - 1-1 sobre el cochecillo según In tercera ley de Newton el cochecIllo hará una fuert..a '6 Después de hallar aeela persona. Aplicar la segunda ley de Newton para dctenmnnr Ia aee Ieroel~. ~ . lade D leraci6n. detenninar la distancia D que recorre el cochecillo hasta que se deuene .. EI valor mfntmo es aquél para el cual la velocidad de la persona se hace cero justo al llegar al aguJero. o
•
o
Figura 5.11 (a) 1. Dibujar [os diagramas de fUCI7..a paro la persona y el cochecillo aisladamente:
y
)'
"'n L
r
x
x
F
Mg
mil
2. Aplicar
r F,
= ma, a la persona
y obtener primero
la fllena
nonnal y después la fuer.la de rozamiento:
Figura 5.12
Cochecillo
Persona
'f.F, = lil a,. = Fn - mg
- O
)'
l. = 3. Aplicar I F" = ma" a la persona. Sustituir en el resultado del paso 2:
por lo tanto
le
= Fn - le -
lila",
JJ. F D
'f.F .• = lila",
=
IJr"'g
con lo cual F - JJclllg = lila ..
4. Aplicar I
F~
_ ma l al cochecillo. Sustituir F en el resultado del
paso 3:
'f.F , = Ma .. = - F _ Ma ..
con lo cual
-Ma.. - J1 ~mg 5. Obtener a.f con el resultado del paso 4:
ti ..
lIIa~
= - 1 +Mlm g
(COIllO em de esperar. la acelemci6n es negativa.)
6. Sustituir el resultado del paso 5 en lu ecuación cincm:hicn yobtener O:
por lo tanto
,
"~O
D= -2fl~-
(1+-M)2JI~'"g In
D.m 40
(b) F re..<¡ultn de lu segunda ley de Newton aplicada al cochecillo:
F :: - Ma ,
=F
=
la
Observación
1+ M lm 8
El VlIlor mfnimo de O es propórcional a e inversamente proporcional a Jlc. La figura 5.13 muestra la diMancia de frenado D en función de la velocidad inicial al cundrndo para "alores de Mlm igullles ti 0.1. 0.3 Y 1.0 con 14 = 0.5. Obsérvl!SC que cuando la 11\1153 del cochecillo aumenta. se requiere una Illayor di~tanc i a de frenado para una determinnda "clocidad inicial. E..;:to es análogo a [o que ocurre cuando \e quiere detener un vehíc.u lo q ue :l:JTl'l.strn un remolque cuando ¿"le no tiene frenos propi05. La masa del remolque aumenta la distancia de parada parn unn detcnninada vdocidad.
EJEMPLO 5.6
I
TIrando de una niña en un tobogán
"'f eN"
Una nlila de ma' . Itnl .... en un lobopD de mllSll mI' !l;Uuado sobre un em...nque helado. Ellobopn le mpuJli con UIUI r.n. hOlboiltal F (flgun 5.14). I.os coeftdenles de IOlimlento ! ,·jtko '1 dnltko enlft la nUta J el . . . . . MMI ~ YP-r. mpeethamrm~. (a) Dde.... mI.aret YaIor InÚlmode F p.ra et naalla nlla oo. di IIn iti¡Z!cto .llobcleCn. (b) Dewnnl........ ulll uV..., cIII J .. aIftI¡ m • ......, F es ..ptrior. este YaIor m'dmo.
'oboe'·
JI~ M
30 20 10 M /m::O. 1
o
20
Figura 5.13
¡INTENTHO USTED MISMO!
5. 1 Rozamiento
planteamiento del problema Ln linicu rucrLU que acelera u 1 'ñ , U~' ejerce el !\)bog:1.11 sobn: ella. El '¡p'mudo ( ' ) ' u ni a es 11 fu ern¡ de rOl,amiento . ~ , • a COnsiste en del . 1¡jetl y l11áxunn. Pam hacerlo. aplicar r F eOllHlUr 'cuando esta fuerlll e' CSlá, 10 a n muchacha d . "utr/a de rol.nmicnlo e'ltóticn el> máx in'".... L"ego ap "lcar rF _ y . cspcJur la ncelenlción. cuando la l' llpa!1lldo (b) se procede de fnnuo similar Sin cmb - lil a .11 tobogán y despejar F. En el IIl~leOld6n dcl lobogdn. . argo. en esto pan ... F viene dadn y de~pejal1los In
q
=, "
TO~
la columna d~ la dcrtcho e Intente resolverlo
I
117
•
• Figura 5.14
' us Ied mIsmo
Respuestas
Pasos b" (a) 1. Dibujar un diugr:uuu de fucrl.us pum cada elemento del ttigurn5.15). pro e llll1
)'
" .-•
En ' uel ,. .• ' se mueSlrun dos. altcrnntiv'\s . , P""'• e ""u lbliJO ' cqe caSI) En dlagntmn . • ut lucrlU • .S del tobogán. e ~ h. pr',"en" ' " u, "as dos' ,'uerlUS hucul., :lb:LJo ' una u . se dlbuJ!1II sepnrndus. En lu seg",d n .•< e d'h I UJ1Ln cOlllUlunclóll de In Olm.
m~ R
r-
r~mú
f •."""
m,g
"
,-•
)'
,-
r•'
x
Tobogán
Muchacha
Figura 5.15
En cadn diagramu sc igualan los módulos de las fuenas para cudu par de fueraIS acción-reacción. Se expresa la relación entre las aceleraciones debida u In condición de ausencia de deslizamiento mutuO. Aplicar I: F, = lila , a la niña. Obtener primero la fuerL.a nonual )' después 1u fuerza de rozamiento:
!"
•
•
,
)
- l.,
J"
)
= /1, 'l.¡' " = f'B f~
4. Aplicar I: F J: = lila ~ a la niña y obtener la aceleración.
= ,.
nI,U
~
= m.R ) ...' = II~r.
'l. '" ,
r.
I/I,~
-
porlotl.tnto
O f~
,= p.n! ~
= m,el, ~ fe.mú = 111,0,
)
= m,U,
P~I11.g
5. Aplicar ~ F~ = ma,% al tobogán y. usando las relaciones obtenidas en el paSO 2 para la aceleración y el resultado del pllSO 3. obte-
(;on 10cullI
,
=F-I
'- l ·u
a,
= p.)~
m,a,
ner F:
(b) 1. Igualar las magnitudes de cada par de fuer.las acción-reacción Y expresar el cambio e n la relación entre las acelcrnciones debido a que ahora no se da la restricción de ausencia de deslizamiento
F~ = 1;"
f;
y
=J
penl
mutuo.
2. Obtener la fuena de rozamiento ci nét-ic'l usando el resultado del paso (a) 3 de la fuerla nonnal.
f =Jl.r
pmlolaneo
(-JI,m.~
3. Aplicar I: F~ = /IIa~ a la niña y obtener Sil aceleración. )
JI m
4. Aplicar t F. = lil a i al tobogán. Usando el resultado del apartado (b) 2. obtener SIIllceferaciólI.
'fJ
~
-
"" m,el, ~ f
I
Observación
El rozamiento es una fu erlUentre dos superficies en contucto. 'i no es correcto decir que el r07.amiento siempre se opone ul movimienlO o a In tendencia ni movimicneo. En esee ejemplo d rozamiento no se opone al movimiento de lu niña. sino que lo produce. E.~ correceo decir que el rozamiento siempre se opone ni movimiento. o u In tendencia al movimicnco. de I/lIll SlIpt' rji('Ír respecio de OI ra . Por ejemplo. aunque la chica se mueve hacia delante en rt!lCl('Í(ítl llf lu'e/o. <¡e mueve o tiende a mover.le hacia alros (hacia la izquierda) m re/ación al ro/rogó" . El rozamiento se opone nI movimienlo relativo o a la eendencia al movimiento.
¡j
//l,II,
•
-" e ..
}
OR.
r~.nW.
o
nI,g
F'
•
F;
r x Tobogán
"8
I
Caprtulo S Aplicaciones de las leyes de Newton
I
, J U ~ to 111_ que acUlan sobre un coche en e momento ..,~ La figura 5.16 muCSlNl las ucrl. Tbrudo par la fllen a normal Fn cJcrcldll SObre k.. i reposo El pc!'o del coche es eqUl I rse el mOlor suministra potencia al eje~. par1c de . ' h comience a move . ' 1 ~ neumll' I',COS . Para que el cOC de ¡ren (tratare mos el conceplo de potcnCIH . en e CIlPÍlulo6 '
f
a~
f
. rozamie nto. la!' ruedas Simplemente girnti•. Sin ' '- ... Si el movimiento sob re Ia el' ¡rrelera uese . I carretera ejerce sobre Ios neumálitos u~. r, . '. .SIC rotmmc nto. a d sobre sf mismas. Cuan o ex l. . d I I que proporciona la fu erl3 necesana para BCel., ' . 'd hac lU a e an e It • d fucrlfl de rozmn ienlO Irlgl ti . . I motor es lo suficientemente pequeña para fIh. . . suministrada por e ' ' '1: rur el coche. SI In potcnCIIl . . ' I máticos sobre In carretera no sea grande, Ia.\ tkl\ Figura 5, 16 Fuerz3~ qLt~ llclúlln sobre un coche . 'd r 111 supcrficle dc os neu · . di ' la fuerzn eJcrcl u p? ' d " si n deslizar y la superficie e os neumátICOSet con Ir.lcciÓn deI3mer:\. Las rUCI7J1.S normales F'. no superficies no dcshzu n. La., rue as glrla~ o respecIO a él El rozamiento entrc la carrCltra \ son gcneralmcnle iguales t!IlIIlS medas dd nntcrus y lo está cn reposo re IltI V ' .. I lruseras. cOnlacto con . á' f "'la de rozamiento que los neu máucos PUt,l~ ,( . e sue ;,slállCO I a m xnnn uc", "'lI los neUlllul leos es c . . .. de eJ'creer sobre los neumáticos) es /1 F . l' (y quc [a carretera pue . e "' ejercer sobre 11 carrelera d he 'Iue se des plaza en línea recta con velocidad l' relati\l El cenlro de h s ruedas e un e o c · fi 517 S' "'é ' con velocidad v. como se ve en la 19ura . . I unu rueda íl h eurretern IambJ n se mueve I ' d ' l' , "no des liza . [n'mlla . d supellor " de la rueda' se mueve más rápida que v y él mllIa III Criar de b ' rueda se mueve m ás' Iento que ". S',n embargo ' cada punto del perímetro de ,a nleda , re/milYJ In stantánea a I coeJl e se mueve en UI, c,'rcI,l o con la mi sma velocidad v. Además la velOCIdad . del pumo del neumático que está en contacto con el suel o es cero re/all va al slIelo, (De otro modo, el neum ático patinaría.) " . Si la potencia del mOtor es suficientemente grande. el neumátiCO patinará y las ruedas gua. rán sobre sí mismas. Por lo tanto. la fuerla que acelera el coche es la fuer/.a de rozamiento ciné. tica, que es inferior a la fu er,.~a de rozamiento estática. Si nos e n co nt~os con el ~oche atascado en hielo o nieve. pam poder salir es mejor acelerar con mucha suaVidad. De la misma forma. si Figura 5.17 Cuando una meda gira sin deslizar, tenemos que detener completamemc un coche, la fuerza que ejerce el asfal to sobre las ruedas e:s cada punto de la periferia posee una velocidad de estática o ci nética, dependiendo de la fo nna como frenam os. Si fre namos lan bruscamente qut magnilud \' relati va al centro de la meda. en donde ves la velocidad del centro de la meda al suelo. L.a las ruedas se bloquean. los neumáticos resbalaran sobre el asfalto y la fuerza que parará el coche \'~ I oc idad del punto sobre el neumático en contacto será la fuerza de ro7.amiento cinética. Si, en cambio, no frenamos tan bruscamente y no se procon el suelo es cero respecto al suelo. En esta fi gura duce deslizamiento entre los neumáticos y la carretera, la fuerza que parará el coche será la las líneas de puntos representan velocidades respec. fuerza de rozamiento estática. Los sistemas de frenado antibloqueo (A BS) de los coches utiliZ3!l 10 al centro de In rueda y las líneas continuas represensores para medir la velocidad de la rueda. Si el dispositivo de control detecta que 1:1 rued:! sentan velocidndes respecto al suelo. está próxima a bloquearse. el sistema modu la una seña] que hace que la presión del frenil disminuya, para instanles después restaurar la presión sobre la rueda y así sucesivamcml! mas lj veces por segundo. E.
,.
•
EJEMPLO 5.7
I
El efecto de los frenos antibloqueo
Un coche viaja u 30 mIs por una car retera horizontal. Los coeficicnles de rozamiento entre la carretera y los neumáticos son ~ = 0,5 Y P.e = 0,3. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en d ete. nerse si (a) el coche se rrena con un sistema anlibloqueo, d e modo que las rued as no d eslizan (b) el coche se rrena con dureza sin antibJoqueo. y la~ ruedas se bloquean. y
Plan~eamlento. del ~ro~lema
ruer.~a
La fuerza que deliene un automóvil cuando éste se fren n es In de rozllInJento ejercida por la carrelera sobre los neumáticos (figuru 5 18) Entonces l'
c~ndlo dl~ segu.nda ley ~e Ncwlon se determina la aceleración . Utilizamos la cine~lálicu pam d~;C~l~:
nur n tstunclU reCOrrida antes de parar.
(a) 1, Dibujar un diagrama de fuerl.llS para el cocht (figuro' 19) d I -..
r
I
,.
e '
ons l ~
erur as cuatro rueda~ como si tuvieran un solo pUnto de comacto con el suelo. Suponer también que los rrenos se aplican a las cualro ruedas, Hagamos r = r' + r .
r
Figura 5.18
,
,
F
"'1t
"
Figura 5.19
5.2 MovImIento a Jo largo de una trayectorIa curva
2. Pum relncionnr In dlstnncin nccesnr' . • •
'
la
para purar at con la
dad IOlcml \'0 Ulíamos la ecuaci6n 2 15
. "
I .
ve OCI-
ción es constante. Los coc'" " Suponiendo que la acelera_ . JClcnte:. de rozamien! ( Icmpenllura y dndo que al resbala I . ovar nn con la . . r os neumáticos se cnlicmun IOs CQC filelemes de rozumicmo varian (, b ' é ' . 3m 1 n. Sm emburgo no lcnd remos en cuenta este efecto 1\(luf: 3. Aplicar r F, = mll~ al coche. Primero se obtiene In fUtl"'la normol. después la fUCl"'lU de ro1..urnicmo. .
v~
=
va + 2a.,llx
Cuando
\1
= O,
.'.
Af = - _
2(/,
r.F, :::: ",a~ ~Fn - "'8 _ O.porlotanto Fn = "'8
Y
f UnJa. = JJ. F n, con 10 cual
4. Aplicnr
r
P, -
III(l.
al coche
1 119
f .J'IIÚ. = JJ.fIIK
y se obtiene la ncelcración: y - JJ. fII 8 = ma•. con lo cual
5. Ap~icando : 5105 ~sultados en la ecuación de L\x en el paso 2 se obtiene la dIstanCIa de frenado:
Ax
I'd = va = -2a. 2JJ.8 (30m/s )' - 2(0,5 )(9,81 mls2)
a-' = - P.8
= =~
..) 1. Cuando las medas se bloquean. la fucrLa ejercida por la carretera sobre el coche e.'I el rozamiento cinético. Medianle un razonamiento semejante al del apanado (a), se obtiene para la aceleración;
2. La distancia de frenado es por lo tanto:
'.
=-- =
=§]
Observación . La distancia ~e frenad o es superior en un 50% cuando las ruedas están bloqueadas. Obsérvese también que esta dIstancia es independiente de la masa del coche: la distancia de frenado es igual para un pequeño coche utilitario que para un camión. siempre que los coeficientes de rozamiento sean iguales. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cstático entre la carretera y los neumáticos de un coche con tracción a las cuatro ruedas si el coche se acelera desde el reposo a 25 mis en un tiempo de 8 s? (Respuesra 0.319.) Ejercicio
5.2
Movimiento a lo largo de una trayectoria curva
En el capítulo 3 se estableció q ue si una partícula se mueve con una ve loc idad v a lo largo de una trayectoria curva con un radio de curvatura r, la partfcuh..l tiene unu componcnte dc la acclcmció n ac = v2lr en la dirección centrípeta (hacia el centro de curvatum). y unu componente de la aceleración en la dirección tangencial al = di'ld/. Ademá...., lu fuerl.a neta va en la dirección de la aceleración. La componente de la fucrL.a neta en la dirección centrfpeta se denomina ruerza cenlrípeta. La fuerl.a cenlrÍpcta no es una c lase de fuerl.a dislinla de las que ya hemos estudiado. sino que meramente des igna 11 la componc mc de la fuer,w neta perpendicular a lu dirección del movimiento que puede ejercerse medianle una cadena. un muelle o cualquier Olta fuerza de contacto como la fuerza normal o la fuerl.3 de rozamiento; también puede producir una fucrt..a centrípeta una fuert.a de acción a distancia como la fuerl.3 de gravitac ión, o puede darse como resultado de una combinación de lodas . En cualquier caso, siempre apunta hacia el centro de curvalura de la trayectoria.
EXPLORANDO
uu leyes de Nt!ll'ro"
I IV SOII
1'(1Iidtl.f t!1I los .\·;S/(·,
mas dt! "fe""cia 110 illen:illll!... E.~/,1(}rt' sLftr lilas de refertmciallo i"erciales, fJst'lIdofllt'rJlS. y ciclolles t'lI www.whrrecmnn.comlliplcr.5c
120
I
Caprtulo 5 Aplicaciones de 11'1 5 leyes d e Newton
EJEMPLO 5,8
I
Dando vueltas a un cubo
Se huce ¡,:In lr un cuho de " ¡,tun !!iguicndo OIm
cin.:ullre~llcitl n -rtieul d e rlldio r (fl gura 5.20)b' Si
' I ( ) In fu cr'.lll cJ\'rcidll por el cuho so r l' 111 H lucidud del l'uhu en Sil ¡lurll' lIuls ullll l'.... I·~ . ellleu ur (1 I b () I el U~UII en este punlo: (h) el m lor III rllllll O dc 1', purll que el uguu no se sul¡':1I de c~ o; , ~ ~ fue~u (tjcrcidu lmr el cuho sob re el llgulI eu In purtl' mÁs bujll d el circulo, en donde 111 l e oc dad del cubo es
l 'tI"
Pla nte amie nto del pro bl e m a Apliqucrno~ In scgu ndu ley de Ncwton pur~ cCl~culur 111 rl.le~l.n ejercidn por el cubo sobre el agua. Como d ligua se !llueve ~cgú n unll trayectOria cI rc ular, eXist irá
un:llIcclenlt:ión CClltrípc!tt¡ \~/r hadll el centro del círculo. Fig ura 5.20
(a) 1. Dibujar lo~ dingnuTI!I!' de fUCFI.U pum el ligua e~l lu purte superior .y en I:J. p..'lrte infc=rior dl'l círculo (figura 5.2 1). bn cl~ du caso. elegir como dirección POSitl\'lI del ejc x In dirección h UC1U el centro del clrclllo.
,
F
Figura 5.21
)'
_
2. Aplicar L F,. = ma,. al agua cuando pasa por la purte más alta del círculo 11 velocidad ,,~. Despejur In fuer!.u Fe que hace el cubo sobre el agua:
(b) El cubo puede empujar el agua. pero no puede tirar de ella. L:t fuer¿a mínima que puede ejercer es cero. Haciendo F p = Oy despejando min:
"a.
Ce) Aplicar L Fi = lila,' al agua cuando pasa por la purte más baja del cubo a velocidad lb- Despejar Fe:
(
\a mio
0= /11 " 'r
",•
/11-
)
-g ::)\'•. m
por lo tanto
Fe =
111
("-;+g)
Observació n En los diagramas de fuerl.lls pam el agullno está representada la fucr¿a centrípetll. La fucrl.a ~'cTllrfpcta no es un ti po de fuer/.II ejercida por un agente: es sólo el nombre de la fu erol resullante que debe ¡Ipuntar hacia el centro del círculo para proporcionur la aceleración centrípeta. Cuando el cubo giratorio está en lB parte alta del círculo. tanto la gravedad como la fue r/.II de contacto del cubo contribuyen a la fucrl.a centrípeta que acttía sobre el asurT. Cunndo el agua se mueve a la velocidud mfnimo en lo alto del círculo. su ncelemción es g (aceleración en caídn libre debida 11 la gravednd) y la única fu erl.¡1 que actúa sobre ella en este punto es su peso. mg. En la parte más bajn del círculo. F~ debe ser mayor que el peso mg para sumini:.trar al agua la fuco.3 centrípeta necesaria. •
Compro bar el resultado
Cuando l' = Oen la pill1e más bnju del cfrculo. Fc = /IIg.
Eje rcicio Estimar (a ) la velocidad mínima en la parte ahu del círculo y (b) el períodO máximo de revolución que evita que el líquido se derrame al hacer girar un cubo de ugua en un cfrculo vertical ¡¡ \'Clocidad c(Jnstante. ( Re~/mestas (tI ) Suponiendo
EJEMPLO 5,9
I
Un péndulo
Una bola de mllSB m está suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve con velocidad comtanle v en un círculo horizontal de radio r. La cuerda fonna un 'naulo 8 =rlL. Determinar (a) la dlrecdón de la aceleración, (b ) la tensión de la cuerda y (e) la veIoc&cled de la bola.
¡INTÉNTElO USTEO MISMO!
5,2 Movim iento a lo largo de una trayectoria curva
I
121
Plontenmiento del problema Dos fu....,.... _ , ' '" '...., I1ctul1n sobre 111 bol ' , , la cuerda (véu.!>C In hguru 5,22). La !luma vcctorial de ' 11. su peso. ~a, ~ IlI lcnslón, T. de ... eSl l1~ fUerl.II5 va en la dm."Cclón . de 111 at-elern.
elun.
I
L .. :0 --
Top< In columna de lo derecho
f!
intf!llll' t"elO/--"/ 'd .~ o u, f!
ni /smo
,
Posos
\.
tIl
Il
Re~pU(!5tas
(a) Ll bola se mueve en ~n cfr-culo horizontal dando VUeh:l~ a vclocidnd n..lllnlc. U.I acelerJclón \ '11 en lu dirección ccnt rípeln.
(b 1
, Figura 5.22
1 .1 "n'll'r:lI:wn ,'\ hllO/olllal ~·In.'uhl !,,,r .¡nnde M: IIlIIC\':
r;' __
Dibujar el diagr:lnm de fuellUS pura la .... ¡" g. ' d·lrecel·ó n • ' . •
y dlri~lda dl"lk \" no.ll,1
h;,ál
el ~'l'nt r,1 lid
y
.,
mg
Figura 5.23 Aplicar 1: F y
-
ma v pam la bola y obtener lu tensión T.
! ¡. -
IIIU
=)
T
C\I\
ti mI::-
(J
por lo I¡¡nt\\ T=
Aplicar! F.s. - m a, a la bola. 2. Sustituir mg/eos 8 para T y obtener ....
III~
cu.. H
rF = 1118 Cl'" (}
IIlcJ, ~ r~n
~cn
l'
()
=
,
,
111-
l'
lJ = 11I-=>tg O = r rg
por lo tanto
" = IJr,ll tg
(J
I
Observación Un objeto atado a una cuerda y moviéndose en un círculo horizontal. de modo que la cuerda fonne un ángulo 8 con la vertical. se denomina pélldulo (:ÓII ;(.'O.
Cuando el coche c ircula por una curva de una carrelera horizontal. la fuer/..a. centrípeta se origina por la fuer/..a de roza miento ej ercid~l por la carretera sobre los neumáticos del coche. Si el coche no se des liza radial me nte, e l rozamien to es estático. Si el coche se mucve a velocidad constante, la componente hacia delanle de la fuerl.a de rozamiento se eq uili bra con las fucrJ.aS que se opo nen a l movimiento dcl vehículo, como la fue rl.a de arrastre del aire y la fucrl.a de rozamiento a la rodadura. S i la res istenci a del aire es despreciable, la componente en la di rección de l mov imiento de la fue rl.a de rozam iento es nul a.
EJEMPLO 5.10
I
Una prueba de carretera
Durante un trübüjo de verünn, un equipo de esludillntc.<¡ diseña neumlílicos de Ilutomó\'iles. Se prueba un nuevo prototipo de ncumállcos para ver si su comportamiento cumple las pn'visiones. En una prueba de desliz.ümientn, el modelo llMW 530i fue capaz de recorrer 11 velocidad co nstan~ un circulo de 45,7 m de radio en 15,2 s sin pulinar. (a) ¡,Cuál fu e su veloddad I/? (b ) ¿Cuál fue la aceleración centrípeta? (e) Suponiendn que lit fu erza del aire y el rozamienlo son despreciables, ¿eu" es el valor mfnlmo del coeficlenle de ro7.umlenlo cstt'i . . tico? Planteamiento del problema La ligura 5.24 mueslrnlus fucr'/.us que aCllínn ~ohre el e~hc. Lu fuerza noonal F" equilibra el peso mg. La fuena horizontal es la fuert.a de TOZalllIcnto estállco: que suministra la fuerza cenlrfpc:la. Cuanto má.<; rápido circula el coche. mayor C ~ In ruena ccnlrrpeta ~uerida. La velocidad se delennina a partir de la longitud de la circunferencia y del perfodo T. Estl' velocidad impone un Umite inferior nI valor máximo del coeficicnle de rwamiento e.,<¡tl1lico.
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
,
• J'
r =45..7 m •
Figura 5.24
.
122
I
Capftulo 5 Aplicaciones de las leyes de Newton
,-
(a) 1 . Dibujar un Jillflr:lI1l1l de fuerlllS pum el coche (figuro 5.25). I..n direcciÓn positiva en !tI dirección r ,cñula en la dirección opuesla al centro de curvatura.
F
•
r•.n"' ~} ~ , /II ~
Figura 5.25 2 . Usar "la \'clocidnd es igual a la dis!fLncia dividida por cltiempo" pura determinur lu vdocidud 1':
(b)
2., = 21'(45.7 m) = 1 •90 mi, I '8 = 15.2 s .
l'
T
a, = ~ = ( 18.9 mlsF = 17.8 1 mls 2 1
Utilil.ur l ' par:.! C11]culur la acde.mciÓn :
,
45.7rn
= di' = rQ1
(1
~
dI
1
La lIcdcraeión es 7.81 (e) 1. Aplicar:t F. = /I/{/ , a los movimientos venicul y r:ldial del coche. Escoger como dirección positiva la radial hacia fuera:
.
! F =
/11(1
.
,~ F
mJ¡,'l
en la dirección centrípeta.
- mg = O
por lo lamo Fn
2. Aplicar! F, = mar al coche. Sustituyendo el resUlt:ldo obtenido
.
= mg
y
J•.mh
= Il. m g
!F=m(l~ -f_.L
,
,
c. " ..'
=
en el apan!ldo (e) 1 se oblicne pam Ji.:
( "')
/ti --;:
con lo cual.
• v· _ m-
,
J1 e
=
y
(18.9 mis)' (45.7 m)(9.8l mls2)
=10796 1 ,
Observación Cuando se calculan los valores de las magnitudes con tres cifras significativas, una bucna práctica cs calcular los valores intennedios con cuatrO cifras significmiv:ls. Por ejemplo. si se usan los v:liorcs quc se muestran en el apanado (b), se obt iene (Ir = 7.8 16 m/s 2• Este resultado no debe redondearse a 7,82 mls 2• ya que en el paso 2 dd apartado (a). sustituycndo los valores exactos nos lleva a obtener. con cuatro cirr:ls significativas, v = 18.89 mIs. Calcul1mdo (le usando l ' = 18.89 mis (en ve?, de 18.9 mis) da lle = 7,808 mls 2, quc redondeado lleva a (Ir = 7,81 nvs'l. Guurdar en la Clllculadora los valores intemlcdios y utilizarlos cn cálcu los posteriores faci lita estc proceso. Co mprobar e l resultado Si JI. fuerJ igual u 1. lu fuerl.a hncia de ntro del círculo sería mg )' In aceleración cemrrpeta igunl a g. En el ejemplo J1~ ... 0.8 y a~ - 0.8g.
' Curvas con pendiente (peralte) Si una carretera curvada no es ho rizontal. sino incli nada. la fue rz¡\ normnl de la carrete :en· drá una co mponen te dirigida hac ia el cCllIro del círculo q ue contribuye:\ la fu erla centr 'tao El ángulo de la pendiente (o peralte) puede elegirse de tal modo que. para una dctenTi Jda velocidad. no sea necesario e l rozamien to p UI1t tomar la cu rvlI sin patinar.
Cuundo un coche coge unu curva. la ruerl.a de rol.nmicllIQ ejercida por la cam:tem defomlU los neumát icOl>.
5.2 Movimiento a lo largo de una trayectoria curva
I
123
CentrIfuga gigamcsca Ulilií'..1dn pam invesligación en Swu/ia NmiOlUl/ ulboratori(!,f ( EE. UU.)
E, l ro
PI
, •
•
o
5. 11
I
Una curva con peralte
. a de rud io 30 m tiene un ángulo de peralte O. Determinar el valor de O para el CUIII un It.-' de tomu r la curva a -lO km/ h a un
miento del problema En este caso existen s610 dos fu erlas sobre el coche: la gravedad la normul. Dado que el coche se mueve en un círculo a velocidud constante. la aceleraciÓn dirección centrípela. El vector SUllla de las dos fuerl.as Vil en lu dirección de la aceleración.
_'1
l ' ~40
kmlh
, =40kmlh
(
( (1))
Ca )
Figura 5.26
,.
, . En la figura 5.26
mg
2. Aplicar 1: F J
-
ma , al coche'.
,-..'.,.- =
Figura 5.27 lila ,:=)
F. cos 8 - m}: = O
por lo tanto F = a
3. Aplicar 1:F . = ma~ al coche. Sustituir Fn usando el resultado del puso 2 y se obtiene 6:
mg
cos 8
!F, =
IIIfl. :=)
Fn sen ()
I'~
=
1"
,
111 -
\'~
m8 sen 8 = mcon lo cUlIl () = nrctg00" O r '8 1(40000 m)/(3600 ,,)12 _r:;;;g;l () = arctg (30m)(9.8 1 m/sl) - L.::::..J
124
I
C" I, ílulo 5
Apllcllclone~ de bu Icye~ de Newlon
O bservación El ángulo de IJCr.llte 9depcndc de l' y r , pcm 110 de lit musn 111: Onum.entll eOIl "erecielllc y dislIUIIU)e al UUlllentnr r. Cuundo el ángulo dc penllh.:. In \'elOCidnd y t i ntdlo <;nusr"cen la ecunción tf! O = I~frg. d coche tomu In cun '.. CO II 'iuuvidnd ¡;in tcndenciu u p:uinur hucUI de ntro o hucilt afuenl. Si la \'clncidnd del eudlc es mu)'ar que ...r;:;:tg O. In carreter:\ e~ercerll un~ fuer!.:! de ml.ltllliellCn sl!gún la pcndietlll! hllcill uhajo. & UII fuer/u tiene una componellte honi'.ontul hncl!I el cenlro de In eurv:lIl1r:t ([ue proporciona la flll.:wn cemopctu odicionul ncccs¡¡rill pHnt c.vil:\r (IU~ el ~oche se mucvu lmein fuem (p:ll innr hucill HrTi bu 'iCglin lu pcndieJlte). Si lu \'elocidud del cOC~le c.~ mferlor!l C~UI mngnitlld. In carreh.::m ejen:er:1 llnn fuerllt de rOl.lIIuiento hncio umba :-cgtín 111 pendIente.
••
Solución a lternativa En la resolución del problcnm ~e hn usndo el criterio de escoger co n ~o direcc ión dc un cjl! de coordclladns lu dirección del ,'celor ucc lcrnción. In .dirccc.i6n ~entrrpetn. SII1 embargo. la 'iolución 110 e~ m!l:» dirrd l l>i elegimos como dirección dc un cJe lu d IreCCIón de 111 pendiente. Estu t!S In opci6n (lile hemos lomudo en In solución siguienle.
Figura S.28
l . Dihujur d dingr:1II1:I de fuer'!.ul> para el coche (figura 5.28). Ln direcciÓn del ejl! .\ se toma cil la dirección de lu pe ndiente y el eje y se IOmll en In direcci6n pcqx:ndiculur. 2. Aplkar r F , =
1//(/ ,
! F~ = II/ a. ::) 1/1 8 sen O = m a,
al coche:
3. Dihujar un esqUl~l11;¡ y usnr In trigonometña pum oblener ulla expresión par.t a , en runción de a)' de O(figura 5.29):
a , : a cos O
4. SUl>tituir el resultado del paSO 3 en el resultado del P¡L~O 2. Sustituir 1;1/r por ( 1 y se obtiene 9:
"'8 sen 8 = /l/ a cos O
",
gsen8 = - cos O Ig
Ejercicio ( Respll~s/a
(J
=
1'2 - ::) (J
rg
x 1,2
= arctg-
Figura 5.29
rg
Detenninar la co rn ponenle de la aceleración normal u la superficie de la carretera. 1.60 m/s1)
• 5.3
Fuerzas de arrastre
Cuando un objeto se mueve a través de un fl uido. tal como e l aire o el agua. e l fl uil unu fucrl.u de resistencia o fu er¿a de a rrastre que tiende a reduc ir la velocidad d. Esta fuerza depende de la fonna del objeto. de las propiedades del fl uido y de la \ dcl objcto respecto al flu ido. A diferencia de la fuerza de rozamiento. la fu erza d~ crece con la velocidad de l objeto. Para pequeñas veloc idades es aproximadamenh: cional a la velocidad del objeto: par¿¡ velocidades superiores es casi proporcio nal al l de la velocidad. Consideremos un objeto que cae li bre mente desde el reposo bajo la infl uenl fucr!.!! de la gnw edad, supuesta constantc . Ahora agregamos una fu crl a de arrastre d: lud /) 1'/' , e n donde b y 1/ son constantes. Así tenemos una fU Crl.3 haci a ab,~ o consta", una fucrlll hacia arriba bv" (fi gura 5. 30). S i tomamos positiva 13 di recc ión hncia abajo, resulta según la segunda ley de Nt!
Tt'rce ' 10.
Jad
.' la •
•"m·
I L1,
Y
.n 15.6)
y
b,· l· m,
.,
1
Figura 5. 30 Di:lgmmn de ruer/.IlS de UII objeto (lile cac. libremenlc: en el all'l:. llUc. le ofrece una fu er/ a de res hlencin.
Para f = O, cuando se dejn caer e l o bjeto, la velocidad es nu la, de modo que la fucrlu de arrastre es cero y la acelerac ión es g hacia abaj o. Cuando la velocidad del objeto crece, 13 fuer/.a de lIrrustrc se incrementa y la aceleració n es menor que g. Fi nal mente , la velocidad sr: hace lo sufi cientemente grande pnru que la fu er/.a de arrastre bv" seu iguu l ¡:I la fu er/JI de gnlvednd "'8 , de modo que lu ace leración se hace cero. El obje to co ntinúa entonces moviéndoSt' a la ve locidad constnnte v" lIamnda velocidnd límite o ve loc idad termi nal. Haciendo (1, = O res ul!ll. de In ecuación 5.7
5.3 Fuerzas de arrastre
y por lo tanto, para la velocidad lím ite 1'1
m g ) 11. = (b
(5.7)
Cuanto mayor sea la consUlnte b, menor es la velocidad límite. Los paracaídas se diseñan de modo que b sea grande para que la veloc idad lími te sea pequeña. En cambio. los coches se diseñan de modo que b sea pequeño para reduci r el efecto de la resistencia del viento. Para un paracaid ista de apertura manual (con el paracaídas cerrado), la velocidad límite es aproximadamente 60 mIs"" 200 km/h. Cuando el paracaídas se abre, la fue rla de arrast re es mayor que la fuerza de la gravedad y el paraca idista experimenta una aceleración hacia arriba mie nt:ras cae, es dec ir. su velocidad hacia abajo di sminuye. Entonces la fuerla de arras tre disminuye hasta que se alcanza una nueva velocidad límite, del orden de 20 km/h.
EJEMPLO 5 .12
I
Velocidad límite
Un paracaid ista de masa 64 kg alcan7.S una velocidad límite de 180 kmlh con sus brazos y piernas extendidas. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de arrastre F. sobre el paracaidista? (b) Si la ruerza de arrastre es Igual a bv 2 , ¿cuál es el valor de b ?
(a) 1. Dibujar un diagrama de fucr7..as:
,. F,
m. Figura 5.31
2. Aplicar I.F. = mLJ}. Como el p:uucaidislo se mueve con velocidad constante. la aceleración es cero:
IF r = ltIu ,,=> F.- ms = O
por lo lanlO F, = mg = (64 kg)(9.81 N"g)
=1628 N 1
I
125
126
I
ClIprtulo S Aplicaciones de las leyes de Newton
(b) 1 . Pam determi nar h. mista t:onsidcut que F.
=.
bl,'!: por 10 tunto
b
2. IXtcnninnr la velocidnd en m/~ y dcspu é~ calcular h:
1118
r:. --;
,'o
IOOOm )( 1 h ) l'O kmlh = ISOkm( Ih I km 3600 ..
= 180km( 1 mi, ) = 50 mis 1h
3.6 kmlh
b = (64'8)(9.81 Nlkg) =10.25 1 kg/m l (50 mlS}2
* 5 .4 Integración numérica: el método de Euler Si una pal1ícula se mueve bajo la influencia de una fuert.a COIISUUlIe, su aceleración es constante y para la determinac ión de su velocidad y de su posic ión se usan las rórmulas cincmá. tieas que. en e l caso de acelerac ión constante. se han descrito en el capítu lo 2. ConsideremOs ahora una pal1ícula q ue se mueve en el espacio bajo la acción de una ruena. y por consiguiente. de una aceleración, q ue depende de la posición y de la velocidad de la partícu la. La posición, la velocidad y la aceleración de la partícula e n un instanle de tiempo delCnninan la posición y la velocidad en el siguiente instante q ue, a su vez. delenni na n la ace leración. La posición. la veloc idad y la aceleración real de un objeto cambian conlinuamente con el I'i empo. Se sue le aproximar esta situación med ian te e l método d e Euler que consi'tte en ree mplazar esta variación continua con el tiempo por pequeños inte rvalos de tiempo ó.J de tal fo rma que la aceleración en cada intervalo sea constante. Si el intervaJo de tiem po es ,;ufi. cientemente pequeño, el cambio de la aceleración es pequeño y puede despreciarse. Sean Xo- vo)' (lo la posic ión, la velocidad y la aceleración iniciales de la partícu la en un instante de tiempo lo. Si suponemos que durante 1:11 la aceleración es comaante. la velocidad en el tiem po 11 = lO + tlt viene dada por
Simi larmente, si despreciamos cualquier cambio de la ve loc idad durmlle el imer. . tiempo, la nueva posición viene dada por la ecuación
de
A pal1ir de los va lores de "1 y XI calculamos la nueva aceleración a l usando la !-.c ley de Newtoll y, posteri ormente usa mos XI' Y al para calcular X2 Y \'2'
da
"l.
X2 - X ,+V,1:11
r 8)
11 2 =1I1+(lIÓI
9)
La conexión e ntre la posición y la velocidad ~n e llie mpo
d~. ~ r
X" ... I -
x" + 11"
1:11
In
Y el tie mpo r
_1
=
1 •
+ 61 viene
(5 .10\
y
(5 . 11\
S.4 Intcgró'lclón numéri ca: el m ét odo d e Euler
I
127
lo !;luto. pnru detcrmi llllr In velocidad y la posición en un tiempo 1 dividimos el intervalo poruerll , po 1 - 10 en un de'"pequeños intervulos Al y aplicamos las ecuaciones de d gran imímero ' • O , 5. 11 empezan O en e .lIlslunle 1I1Ielal fij. Esto comporta un gr..tn cant idud de cálculos repeti livos que OlCdlllnle un ordenador son fácilc), de hacer, La t6cnicil de dividir el ,: 1 de tiempo en pequeño), intervalos de tiempo y calcul ar la acelenrci6n. la velocidad }¡nI" tu pO~ ición en cadn intervalo UMlIldo los valores del intervalo anterior Se denomifl¡l integralUméricn. CI 6n I
:c~ ) ~m~~'!lIO
Fuer
zas de resistencia
. l'
Para il ustmr el uso de tu integración numérica. consideremos 1
"
b
'
1
btcnUl de un pilnlCUI( Isln que su ta en carda h re, partiendo del reposo, des( e una
el proc.l clCmlinntlu, de modo que su movimiento depende únicamente de lu fucrl.il de In gra, dc lu fUt!r'l:\ de rc),islencia del aire . que es proporci onal al cuadrndo de la velocidad . \ .1 '" 4 ue calcu lnr la velocidud \' y la distancia recorrida.\' en función dcl tiempo, T~ncntl
~~,~
La que e.t'
:1t:i6n que descri be el movimie nto de un objcto de masa jo In ucción de lu gravedud eS la ecuación 5,6 con 11 = 2
11/
que parte de l reposo y
mg - b l'2 = mtl
dond.. mil'
Il'eCci6n posi ti va es la dirección hacia .. bajo. La aceleración. en estas condic iones.
b , a = 8- - 1/m Con\'l ción 5.
I!.<;,cribir la constante b/ m en fu nción de la velocidad lím ite 'oc obtiene
(5, 12) VI '
Si ti = O en la ccua-
b , o g - -I'r m
b m
Ji.
,,2 I
"
.
( )
CM.
. . de1 al're propordomll n '-. (b) Se con tina resistencia a I I r la posición y la ve 1 OC 'd I 11 d de un p'lnrcaidisul • Figura 5.32 Ca ) Hoja de cálculo que se usa pa~.t ea eu a • rnue~111I lu misma hoja de clikulo Excel. con las 1 6mlU la.~.
128
I
Caprtulo S Aplicaciones de la ~ leyes de Ncwton
Susliluyendo glv; por b/ 1I1 en la ecullción 5. 12, ~e llegil ll
\', mIs 60 • •• • ••••• . _- .. -••• • _. - __ ..
(5.1J) 50
'o JO
,o 10
0 ~0---'5~-C1~0---C15C-~2~0--',s (a) .< m 1000
900 SOO
700 600 500
'"" JOO
200 100 O •
!:-"'-c-_ __ O
5
10
15
~_
10
f.
s
( b)
Figura 5.33 (a ) Gráfico v - t paro un parocaidis· calculado mediante una integmción numérica con t:.J = 0.5 s. La Hnea horizonlal disconlinua muestra la velocidad trmile 1'1 = 60 mis. (b) Gráfico .\' - r si 6.t = 0.5 s. tll,
La acclcmcí6n en el tiempo 111 se calcula usando los valores de X II 'i de 1'11 ' Pum resolver 111 ccunción 5. 13 numéricorne nte. tenemos que usar los valores numéricos de g y de v . Una velocidad límitc razonable es 60 mIs. Si lomamos Xo = O. los valores inicia_ les son .\'0 ~ 0, "o = 0, y llO = g = 9.8 1 mls2 . Para detcrnlinar la velocidad l' y la posici6n x transcurrido un tiempo Al = 20 s. dividi mos el in terva lo de tie mpo O < t < 20 s en muchos intervalos pequeños tll y aplicnrnos las ccunciones 5. 10, 5. 11. y 5.13. Lo hacemos escri · biendo un programu o usando una hoj a de cálculo. como la que se muestra en la fi gura 5.32. EsUl hoja de cálculo considera tlt = 0,5 s y para r = 20 s. obtiene x = 59.89 m y l' = 939.9 mis. La figura 5.33 muestra lu representaci6n gráfi ca de l' respecto a t y de x respecto a 1 pam estos dalaS, ¿Cuál es la preoisi6n de CS IOS cálculos'! Podemos estimarl a volviendo a usar el mismo programa con otro intervalo de tiempo más peq ueño. Si usamos tlt = 0.25 s, la mitad del valor utilizado en el primer cálcul o, cuando t = 20 s obte nemos v = 59,86 mis y .t = 943, I m. La diferencia en la velocidad es de un 0.05 por ciento mientras que la de la posición es un 0,4 por ciento. Estas son pues las estimaciones de la exactitud de los cálcu los iniciales. Si la diferencia entre el valor llm para un intervalo de tie mpo y el valor de II al comienzo del intervalo se hace más pequeña a medida que el intervalo de tiempo disminuye. podría· mos pensar en la convenicnciDde USDr intervalos de tiempo muy pequeños. como por ejem· plo tlt = 0.000000001 s. Hay dos razones que muestran que este proced imiento no conviene. Primera. cuanto más pequeño es el intervalo, mayor es el número de cálculos que hay que realizar, con lo c ual el ti empo que necesita el programa aumenta. Segunda. el ordenador en cada paso del cálculo guarda un número delenninado de dígitos signi fi cativos, por 10 que en cada paso se produce un redondeo. Este es un proceso aditivo. con lo que cuanto" mis cálculos realicemos más significativo será el crror del redondeo. Cuando hemos dismim Ido por primera vez el intervalo de tie mpo. la precisión del resultado mejora porque ,c aproxima a am para ese intervalo. Sin e mbargo, a medida que el imervalo disminu; lO) errores de redondeo crecen y la ex actitud del cálculo disminuye. Una buena regla e 'C tipo de cálculos es no usar más de ler o lOs imervalos para una imcgraci6n numérica
ResulJ.en Las fuenas de rozmniento y de arraSlre S01l fe nómenos complejos que se aproxi man emprric.
medianlc ecuaciones simples. TEMA
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
1. Rozamiento
Dos objetos \!n contllcto ejercen fuenas de roZllmiento entre sr. Estas ruel7.llS son parnlelas :I las ~u('lC! rh de los objetos en los puntos de contucto y su dirección es opuesttl a ItI dirección del deslizamiento o Icnd eia :1 desli7.ar.
R01.amiemo estático
¡ . S JI. F.
en donde R01.amiento ci n~tico
,
F~
(5.2)
es la ruerlB nonnal de contacto y 14 el coefi ciente de roZalmenlOestático.
f.
= JI, F.
(5.3)
en donde ~ es el coefi ciente de ro/.amiento cinétIco. Este coefi cientl! es ligemmrnle menor que el de ro/Ll' miento e.<¡tútico. 2. Movimiento a lo
largo de una curva
Una p:mfcula que se muev\! a lo largo de una CUtV fI arbitmria puede considernT'C. que \,c mlJe'·e en un aJ'C(l ~· Ir· cular durante un pequeño intervalo de tiempo. Su vector :Icelernción ill5lant!1nefl tiene una eomponeme '4 1~/r hacia el cemro de curvatura del an:o y una componenl!: ac'" ,/I-Idt que ~ Inngclll'üd a tn CUI'\'a. Si la P;HtK' ula <.(' mueve por una trayectoria circular de radio r tl velocicL1d constante \. 11, = O) 111 \docidnd. d r:Htin r }. el periodo T están relacionados mediame In ccuución 2rrT I'T E
::::1\
Problemas 1 129 •
J.
0Fuerzns d e arrastre
C~1l!1l10 un objeto se mueve a trl!vé.'1 de un Ouido. expcriment:l una fU C17JI de arrostre que se opone al mo viInlcnto. Esta fucr.m crece ni nurncntnr In velocidad del objcto. Si el cucrpo ~ dejn eacr libremente desdc el reposo. su \'clocidllll crece hnstu que In fU Cl"lll dc arrastre ¡gU:lla 11 In fuerza de gro vedad. de.~pué..~ de lo cual se muc\'C con ulm velocidad conSWnte Ihlm¡l\ia vclocidnd límite. Esta velocidlld IImitc depende de In ronml del cuerpo y del mcdio atnlvi!s del cual c¡rc,
-
4. 'Integ ración numé rica : m é todo de Euler
cstilllllr la posición.\' y In velocidud l' en un instante de tieulpo t . se c\ivide primero / en muchos inter",n· los de. ticllll)O peque.~os .0./. L I acelcmcióu ¡nicinl (lo se ellJeula II panirde lo~ valom..; de In posición inicial .tu y de la velocidnd inicilll¡'I\' I.AI posición x, '1 1:1 velocidad 1'1 en un tiempo .0./ posterior se e.~tirn:ul usando 1n.'1 relaeiollt!.S 1l¡lra
X •• !
=
X.
+ \' •.0./
(5.10)
\'."
=
1'. +(1 • .0.,
(5. 11 )
y
con n = O. ulneelcmción (/~.J se e¡¡leuln usando los vnlores de :CMI '1l'ft~1 y asl sucesivamente. Este proceso continúa hasta que se obtienen la posición y la velocidad paÍ
P robleIJ.Qs
-
•
•• •••
SSM •
I •
I
.1
Concepto si mple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede ex igir síntesis de conceptos. Desafiante, para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Studenr Solll1;01ls Mallual. Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de lareas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son problemas de control, que impulsan a los estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza.
En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en Olros pocos. deben extraerse algl/llos daro.~ a partir de conocimientos generales. juellles e.xternas o estimaciones lógicas.
Problemas conceptuales
afirnlacioncs respecto 3 13 ruena de T01..amiento estático es Ila:cs:mmncnte clt:rta'! (a)/e> mg. (b)!c < IIIg COS 30 <>. (c)!c = mg tOS 30". (1/J!. = mg sen 30". (el Ningunu es ciena.
En el suelo de un cami6n que se mucve a lo largo de una carretera horizoll1al hay vllriOS objetos. Si el cami6n acelera, ¿qué fu co.tl actúa sobre los objetos para que éstos se aceleren?
5 •• En un dra heludo de invierno. el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos de un coche y lu superficie de una enrretem pucde I"l..>ducirsc a 1:\ mitnd de su vlllor en un día seco. Como resuhado. la velocidad máxima a la cual puede !Ornarse un:1 curva de mdio R es (ti) la misma que en un dfa seco. (b) red ucida a un 7 1% de su valor en un dí(\ 5\..'<:0. ( e) reducida al 50% de su vnlor en uu dra seco. (il) reducida al 25% de su \'alor CII un dra SI.·CO. (l') rcducidn a un valor desconocido que dCI>cnde de 1:1 rnas..'l del coche.
1
•
Todo objeto situado sobre el suelo de un cnmión se desliza si la aceleración de éste es gmnde. ¿Qué relaciÓn hay entre la nce1emción critica del cami6n pal"J. que un objeto ligero comience n dcsIi7"lrse y III que corresponde a un objeto mucho más pesudo? 2
•
SSM
Un bloque de Illrui3 m descanSD sobre un plano inclinl!do que forma un ángulo 6 con la horizontal. El coeficiente de ro7..1nliento estático ent re el bloque y el plano es (a) JJ. ~ g. (b) Jl.e = tg 6. (e) JJ. S Ig e. (d) J1." 2: tg 8. 3
•
• SSM Un bloque de ma.-.a m se encuentro en reposo ~re un plano inclinado 30" con la horizontal. como indica la figUíJ 5.34. ¿Cuál de lus siguientes 4
6 •• SSM Mostrar con un dlagnmm de fucn!!s cómo una motoci .. cleta puede recorrer un círculo robre una pured \'cnkal. Consideror JXIrñmct~ razonublcs (coeficien te dc roz¡¡l1Iiento. fudio del círculo. musa Je In mOl()(:It ltUl. ctc.) y e¡¡1culnT la velocidnd mínima ncccsarin. 7 •• Este es un experimento muy intcre.\1Ulle (Iue se puede rc:nlizar en t usa: se coge un bloque de mndem y se ponc en el suelo o sobre ulgunn supe rfi cie plnlll!. Se ata el bloque a un muelle y se ti m de él con u.lllllovilllicnto sua\'c y conslllnte en la dirección horizontal. de modo quc. a panlT de un lIIumento. el bloque cmpic7.t1 ti moverse. pero no de fomm continua. ~i n~ q~U! se mueve. se para, ~ mueve, se pam. cte. Explicl\Tpor qué se da e~tc J11ovnlllento. Verdlldero o fal so: visto desde un ~ i ~ tc m a de referencia inereilll. un objeto no puede moverse en círculo a mcnOS (Iue lIellie '!obn.· él unn fuena
8
Figura 5.34
Problema 4
•
reliultante nela.
110
I
Cllprtulo S ApUClldon eJ de leu le)'!!} de N!!WIOI1
9 •• Una panleulu ..e mUl'n~ t'-II un citl:ulu vcrtiCllI n "elucidad CIIIIStun!!: ... Culil de.' lu, , Iguu:lltc" nl.l)1mludc\ pemuuu:ct'- conlwlilc'! (u) tu It:luci dad l(:'('tonllL (n) L:J :I~..... h:rnd"o. (1"1 Lu Im'r/:I Het:! t,/) hl IlC~O ltlllllenu,:. {,") NlIIlluna de I n~ lU\h: r¡on:~,
I
10 • SSM Col(XIUC un 1)I;'(Iuello 110111 de hIerro ell unn mc'>!! '1 man tenga por endnm , uyo 11 unn dl,I:LI1lllll de 1 cnl un IlI1áu dc Cllc1nn I3l1l1u1.n nQ IIlme luliCu::nhmll:lIlc 11 IIII>U:/II y ,hlll no...:: mU(Hl' Rcpllu el eXllCn1l1ento IlCr() manleniendo t'l'mlJn 'J' lu p.Ctll ~c Jlamdo .. I cm en la nUI1\(1 )' dt!lC h ~ e,\er 11,[ IUelO, Amel de llegar 11.1 ~Udl). el im(\n y lu JlHI!a de h¡em! ..c unen dehuJo u rU{'r/1I lllU!:nélh':;¡ que ejerce d 1I11t1 n ,ubre In piOl1l de hierro, {ti} DibUje Itl\ ding,nun.",<, lk l ucl"la~ que ¡lthln:n lodll IUI fucr/:I' .Iue UCIÚIUl \Obre el mulo y ~ l:t plNU de hteml en C,I\I:I ca~o . lb) Expl ll¡IIC por (] u~ el hnl'i n y In pie/II de hierro ..c Ullen dnnlnle 111 l':u'd!1 ¡Xli' el lIi~, lIIicmm.. que tl l,) '1: unen cU¡lIIdo e..lftll endmll de lu mc,lI. ••• SSM 80rh Kor..ulI'I.,). en su :1r,I/Julo ··Bmhlwl' ler.. ror I'hy~Ü,:" Smdent ..·· (7'1,1' Ph~\lif" ft'tlCht'r..H 55() ( 1995}) plumea una euc\tión (lile .5l1pollC un ltue~"lInte ro lll pt'C [lbéln~ ; Do~ hll'Jquel idétll lco~ M! utan iI una cllcrd.1 ,in 1Il1l:-.l1 que P;1<"j¡ por una polell llll como se m uc.~tr.1 en la Il gum 5.35. 100c1lIImentel:I CIICnl:l e~t:1 colocadn de tlll fonnll que su puntO medio c.\lfi en la polca) adc má~ cI plano no lljen'c roz:nniento. Los dos bloques en reposo ~e eplocan inil'illlmente, tal como mlle~trn la fig uro. con la e uerdlll e n ~
•
,
•••
11
4.
e 5. B
Figura 5.36
Problema 16
Figura 5.37
17 •• Unn piedra )' una pluma están a la m i ~ rn3 :Jhurn sobre el ..uclo y, al unísono. se las deja ener. La piedra llega ames al suelo. A pan ír ~ ~lC hecho se podrl¡¡ concluir que la fuerza de arrnstte aerodinámica que actún ~ la pluma t!S ma),or que la que aClúa sobre la piedro. pero en realidad ~ al fe\oK Explique en detalle por qué la piedra llega antes al suelo_ Suponga que I.l tucm de arrostre viene dada por la expresión FD = ( 112)CAJ'l,2 (en el problem lR(cl hay untl explicación de eslU fórmula).
T
Figura 5.35
D
Problemll 1I
12 • Verdadero o fn lso: La velocidad límite de un objeto que cae depende de su fonnn . • SSM Una parnc¡¡idisllI saha en e¡tldu libre por el nire. Su \lelo13 cidad Ifrnite (a) depende de ~u 111USl!. (h) dcpende de lu orientación de In caídn. (e) depende de In densidud del uire. ((/) lodas las respue.'i.las nnlCriores .\on dertm;.
14 •• Si t-\Iá sentado en el a ~icnto de un coche que circuln a gran velocí· dnd por una eu .....a de un circuito. ~ ic nte unil fut:rl,a {Iue tiende a cchnrlc del asienlO hacia (UCI"lI. ¿Cutil es la dirección real de In fuer/.:! quc nctúa sonre usted y de donde proviene esa fucr/.:!? (Suponga que usted eStá hien nlado al n.~i cnto y que, por lo tanlO, no resbldil por é1.) 15 • ss,", La masa de la Luna e.'i. uprox imadnmenlc el III de In mnl>a de 1., Tieml La fuerlll centrlpclu que m:mliene a la Luna en su 6rbilu alrededor de la TIeml (al cs muy inferior u 1:1 fuerJJl gl"llvitntoriu ejercidn por lulíerra '>Obrc la Luml, (h) depende de la fa~e de In Lunu, (el C\ mucho mnyor que In fuer/A gravilUloria cJt:rddn pc>r In Tierra ~obre la Luna. (ti ) c.~ la misnm que la fuerJJl gnlVilatori n ejen:idn por la Tieml sobre In Luna, ('") no pUl'
Aproximaciones y estimaciones
-
18 • SSM Hay un método mu)' simplt: que se Ulilil.3 habltl ~nle paro determinar 111 ru.<¡istencin nerodinámica de lo~ coches. Cuundo un el hI en unn pi:-III larga y phma. nlcunl.a unn detenninndu I'clocidad (por ejc!! iJt: unos 96 km/h). se pone el cambio en punto mueno ~ se espern que el .;c pllr\l. Se mide el tiempo que tardu el coch~' en di"minuir hl velocidad J, 1.3· los de 8 km/h. ( /1) Huciendo prueba:- con un 1'0 )'0 1" 'fereel de 1020 kg ~ se obsen '(l que pasa de 96 km/h a 88 km/h en 3.92 s. ¿Cuál e~ la fuer! 1.1 (Iue frena ni eoc he~ (b) Si el coelicientc de rozamiento de rodadurn cid t"; 0.02 . .:.eul'il c... In fuerl.:l de rozamiento de rod¡¡dur.1 (Iue ucn\tI r~t, al coche'! Si suponemos que Ins única:- do~ fuerl.us que actúan ~obre el C'K; '11 el roznmiento por rodndum y la re....-b tencia nerodinámica. ¿euál ~ la lu le fC$iMcnci¡¡ aerodhuimieu promedio sobre el vchfculo'! (e) La fucna de r, Rcin liene la fonnn f l) '" (J/2)CAp,,2, donde A es el árell Irnnsvel"iul dd .¡;hc frent e al I'icnlu, p c... la de n ~idad del nirc )' C es una constanle adimcn\llI' Jc orden l. Si el tiren trnnsI'en,a1del coche e~ 1.91 m ~ . delenllinar a pUnir '" 1<.... dato .. di~ponib l e.~. (UL den:-idad del nire cs 1.21 kglm 3: ú:,ese en el dleul. · qac Ii! velocidad del coche C!. 88 km/h.)
e
19 • U~n ndo el :mtilisis dimenional. delt:nninnr lu~ unidadC', y la... dimen:-;-iones dc In con$tmllc b en 1:1 fuerLa de resistencia bvn (ti) ~ i It '" I ) (8) ..¡ 11 = 2. (e) Ncwton mostró que lu rcSililencia del aire de un objcto de tiren CiKU' lar que cae es ( 112)pnr1,': npro...imadmnentc. donde la dcn:,idad del aire e' p" 1,2 kg/m l. Demostmr (Iue eMc re"ult:tdo c.\ consiqcnte con el :málisls dinten~ i onlLl del uparludo (IJ ). (el) Dctenllinnr lu vdocidud Ifmitc dc un p...r:lc;lIIh:-tn 1.1 ... 56 kg en caída libre suponiendo que \ U áre:. tmnsvcrs.'\1 e<, un disco circul:lf Jc OJO In de radio}' que 111 densidad del aire cerca de la ~upcrfi c ic lerrc~lrc: ('~ 1.2 kg/m'. (1') UI dcn ~ idlld de In atmósfera di~lIlinuye con 111 nltum: .¡ R km J(-
Problemas ~llUnt 1:1 {k:n ~ idlld el> de :-610 0 .5 14 kglm '. i,C udl serra In "clocidll p:u1Ica idbtn en cafd:! libre
ti
C'1l1 allum'!
• tllíUlItc l.Iel
A fonunlldnlllcllIe, la fOrllUlci óll tle bc)1:i~ ti . " e gra nizo del tnmai\o dc r lI0ll .....101:1 de ~ol f no e... reClIC nle. aUIl(lue el talllui'lo rncr,r . 1 1 •,1 1 1 10 u l: n ~ Il¡¡rt fcula~ eJe ,_ni!" es mll)'or que e l e liS go tn~ de lIuviu FstiTn'lr 1 gl~. • .~. . U \' ClOC 'I( 1ud Ifmite. de na "1111l de JlU\' l(\}' de unn !>ohl de grmllZO del IIUlUlño "e , ., " u lIIla pe 0 111 ul: golf. '
lO
••
Rozamiento
13 1
e.~tu d iun t e
cnns:ldo y sobrecurgudo intcntll mMlcncr su libro de f{S;CII bajo el bmLO tul como muestra In Iigurll 5.39. El libro pesa 10,,2 kg. el coellciente de rOl mniento e.,ttltico entre el libro y el brazo de l Illuchncho es 0.32 y cl coefi ciente de rozumiento entre el libro y el jersey del estudinnte es 0. 16. (11) ¿Cuál e.<; lu ruel'7.1l hori7.ollt31 míninm que ha de ejercer el bra7.Q del muchucho para que cl librQ no cuiga? (/J ) Si reUli7JI ~6 1 0 una fuer/.ll de 195 N" cuál es 1(1 aceleración del libm mientras se desliza bajo el bruza del e.<;tudillnte? El coefi ciente de rozamiento cinético del bm1.o con el libro es 0,20. mientras que d del je~y con el libro e.~ 0,,09. 30
Un
I
•
21 • SSM U ~ bl ~>quc de IIlUS!I m se dcslil.lI n velucidad constan te h;!l."is ub:lJo por un plano lIIchtlatlo M!gún un ángulo Oeon In horil.otUlIl. Se vcritien que (a) 11. ::: 1/18 sen O. (b) 1/, = tg 9, (1') II~ = 1 - co~ Q. (el) 1lc. ... cos 0 - ~cn O.
• Un b .hx lUC •de 1I11ldcnl se (l1T"J.s lln Illcdinntc "O "~ ' " " d" l ' nHl 1 IOrlZO ~ una ~u perli Cll': honzontnl 11 vclocidnd r.;onSt:l ntc con Ulla fUl!í/.ll de 20 N, EI ~'" 'IlClerne de rozamiento cinétic¡) entre l:ts superficics cs n,3. Ln fucrLa de n'. I~ nto I!~ l!1) i n ~pos i~ l e de dctenn inur ~ i n conocer In mas¡¡ del btO
1<
,
,.
.1
SSM i Un bloque de 20 N dcscnllsa sobre unu .II! horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre la 'ie y el bloque son rc..~pcel i vamcnt e J.4 = 0.8 Y 14 = 0.6. Una cuerda hori, ~ui atada al bloque con una tensión constante T. ¿Cuál es la fuer/Al de ento que actúll sobre el bloque si (a) T = 15 N ó (b) T = 20 N? •
Un bloque de masfl m se arrJstrn a velocidad conStante sobre un u ICII." horizontal mediante una cuerda como se indica en la figura 5.38. La m lud de la fueiUl de T07.amiento es (a) j.4mg. (b) T cos 8. (c) J.4,(T - IIIS). (1[' !l.:f 'ien 8. (e) J.I,;(mg - Tscn 8).
Figura 5.39
Problema 30
•
Figura 5.38
25
•
Un obrero empuja con una fuel7Al horizontfll de 500 N un cajón de lOO kg situado sobre unu alfombra gruesa. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son rcspecti vamente 0,,6 y 0.4 . Determinar la fueí/;! de rozamiento que ejerce la alfombm sobre el cajón.
26
•
I
•
• I Una caja que pesa 600 N es empuj:tda n lo largo de un ~uelo horizonual con velocidad constante mediante una fUCíl.ll de 250 N pamlela al sucio. ¿Cuál es el coefi ciente de rozamiento ci nético entre la caja y el suelo? 27 • i ./ El coefi ciente_de rozamiento estático entre lo:. neumáticos de un coche y la c¡trreterJ es J'~ = 0,,6. Si la fueí/ll res ultante que uctu:a sobre cI coche es 1,1 fu en ta de r07,ltmÍt!nto T!.'i lático ejercida por la carrclcfII , (a ) ¿cuál ~ lu acelerllci6n máxima que puede adquirir el coche cuando se fre na? (h) ¿Cuál es la mínima distanci:t a la que se detcndru el coche si ¡nicitalmente llevaba una yelocidad de 30 mIs'!
31
•
En un dín de nieve y con la temperatura próxima al punlO de congelación el coeficiente de T07.llmiento estático entre los neumáticos y una Cllrrelera con hielo es de 0.08. ¿Cuál es la máxima inclinación que un vehículo con tracciÓn a las cuatro rued:l$ Pllede vencer :l~cendiendo (l velocidad constante? SSM Una cajll de 50 kg debe amstrnr:.c sobre un ~uc lo horizomal. El coefi ciente de rozmnientO estático entre la C ¡~(I y el suelo e~ 0,6. Un método de arrastre sería empujar la elija con una fuerza que romlasc un ángulo 8 hnela abajo con la horizontal. Otro méu)do sería tir:tr de la caja con una fuer/Al que formase un ángulo 6 hacia arriba con la horizontal. (u) Explicar por qué un método es mejor que otro. (b) Calcular la fuerla necesaria p:mt ntov.:r la caja en cada uno de los llIétodo~ si 8 = 30° Y compar:tr la re.~pue~tu con lo~ rcsu!t¡tdos que ~ obtendrí:m si el ángulo fuerJ 8= O°. 32
•
33
•
i
.(
Una caja de 3 kg descunsa sobre una platafonll:t horizontal y está mada :l otnl caja de 2 kg por una cucmu ligera cOntO indica la figura SAO. (a) ¿Cuál c.<; el coeficiente mfnimo de rozamiento est6.tlt-o que per" mile
28 • SSM La fuer/ll que acctcnl un coche a lo largo de una carreIcra horlJ.ontal e'i lu fu er/ll de ro7.1lmiento entre In carretero y lo:> neumático,. fa) Explicar por qué la :tcelcración es mayor cuando In!. roedul> no gir.m. (h) Si un coche ucelera de O a 90 kmnl en 12 ~ con accler.lci6n con"iMte, ¡,cuál c.' el mínimo coeficiente de rOI!Ulliento entre las ruedas y In catretcr:l'! Suponer (lue la mitad del peso del coche lo '>Opon an las roeda ~ tr.tCtOI"J.!.. 29 • Un bloque de 5 kg .!oC mantiene en reposo contro un:l pared vertical mediante uno fueilll hori Lontnl de 100 N. (tI ) ¿Cuál e.<; la fuer/.a de m7·amiento ejercida por la pared ~obre el bloque? ( h) ¿Cuál e~ la fu eiLa hori70ntúl mfnama necesaria paro evitar que el bloque caiga si el coeficiente de roznmlento cntre la pared y el bloque es J.4 = 0.4O?
2m
I Figura 5.40
I>rob l c lllll]~
132
I
ClIpftulo S Aplicaciones de las leyes de Newton
• 34 •• Un blrl(jlle en un pltmo horil.Olllul tiene un:! velocidad iniciul 1', Si ~c mueve en dirccció n hori7.ontul, recorre un:1 dbumcin ti Hlltes de para"c, Dernoslr:tr que el cucficiellle de rol':III11cnlO cinético viene dado por Jll'"
'=
¡,ll2g(I,
Un blOllue de mll~n 1111 '" 250 g se encuent m en re"oso sobre un pluno que fonlln un ángulo () '" 30~ sobre lu honwnt:d (figum 5.41). El codiciente dc ro/amiento cinético cntre el bloquc y el plulIO es 1tc "" 0. 100. Eslc bloque c.~á unido a un "Cgundo blOllue de llIaS:ll1I! = 200 ¡; 'IOC cuelga libremente de un.'1 cuerda tlue pasn por un:! pole:, :.ill rtl/Jl miento y con musa dCl>prcdable. Cu¡mdo el '-Cgundo bloque ha cardo JO cm. su \'doeidad c.~ (tI ) 83 cm/s. (h) -l8 el11k el") 160 cm/s. (ti) 59 c m/~. (e) 72 cm/s. 3S
••
SS M
c.~ltId ill!lI e, /J, nccptn 1:1 upuesto, el primero empujn la vngonelu en la dirección
indienda. BI cocficiellle de rowmiento c.~uilico entre el hloque y la vlIgonela e.\ 0,6, ((l) DClenninllTIUllCe!crneión mfnima pan! (Iue A !;:,ne In :I pue~ta, (b) ¿CuAl c.~ el módulo de ItI fuerQ de rozamicnlO en e.."le caso? (e) ,'>elcnn,mnr In fuer/" de roauniclllu sobre el bloque.o¡i a es dos \'l'CC" lo acelernclón m(lIImu nccc.\ariu paro que el bloquc no caigo. (d) Demo:.lmr que un bl~ue de cU lllquI~r masa no caero ..i In llcclernción es tI ~ glp-.:. siendo ~ el coefiCiente de T07.anuento eslll. lico.
u Figura 5.42
Problcm:l 42
43 •• i Dos bloques alados por un3 euerd3 se deslil'Jln hacia abajo por unu pendiente de. JO" (fi gum 5.43). El bloque inferior üene una m3.,<¡;¡ de 1112::: 0,25 kg Yun coeficiente de rozamienlO cinético J.tc = 0.2. Pam el bloque superior. m , = 0.8 kg. Y Il.: = 0,3. Delennin:lr (a) el módulo y dirección de la acclemción de los bloques y (h) la tensión de la cuerda.
•
)0" \ Figura 5.41
Proble mas 35-37
36 •• Supongamos ahom que en la fi gura 5.4 l. 1/1¡ = 4 kg. El coefi ciente de ro7.lIInicnto csl:!tico entre el bloque y el plano inclinado cs 0.4. (ti) Dclerminnr el intervalo dc va lorc.~ posiblc.s p..'1ra 1112 de modo que el sislema se encucnlre en equilibrio Cl>ultico. (b ) ¿Cu:!1 es la fuena de rozamienlo sobre el bloque de -l kg!i; m i '" I kg1 37 •• Volviendo ¡I la figu ra 5.4 1. supongamos que 1/11 = 4 kg. m 2 = 5 kg Y que el coeficiente de r07.ltIuic nto cinético e nt re el plano indinado y el bloque dI! 4 kg CS 11., = 0.2*. DctenllilHlr la acelemción de las m:LSIIS y la te nsión de la cuerda.
44 •• SSM Al igual q ue en el problema 43. dos bloques de masa m i y 1112 resbalan por el plano inclinado de la figur.!. 5.43. Están unidos por una burro sin masa. La barra se compona igual que una c uerda excepto que la fuer/.a que ejerce puede ser lantO de compresión como de tensión. El coeficiente de rozamien to cinético del bloque I es Pt Y el del bloque 2 ~ }J~. (a) Detennin3r la acelcrnción de los dos bloques. (b) Detenninar la ruet"la que ejerce la barra sobre los dos bloques. DemOSlrar que la fuerla es cero cuando P I "'" ~IZ Y encontmr un argu mento no matemálico sencillo que justifi que porqu~ es cieno.
38 •• SSM i ti El coeficiente de rozamiento estático e nlrc ti suelo de un clIlIlión y UI1 c:uón (Iue reposa sobre él es 0.30. El camión circulu a SO km/h a lo lurgo de una carrcter:t hurizo ntal. ¡,Cu:!1 sero la rnínimn distancia de parada del camión par¡¡ que el cajón no dcslice? Figura 5.43
Una masa de 4,5 kg CO Il una velocidad inicial de [-l mI" comienl'' ¡ I ti ascender por un plano inclinado 37" con In horiwllt:L1. Cuando su despla7..1miento e~ de 8.0 m. su velocidad ascendente ha dis mi nuido 3 5.2 m/~ . Dctenni. rol( (u) el coeficiente de rO/A1 miento cinético entre la musa y el plano, (h) el de~p[¡v.amiento de la m:I511 t!c<,.cle ~u punlO de panida al momento en que nlcanlu momentáneamenle el r~po-.o y (e) [a velocidad del bloque cUlIndo ulcanl'..'1 de nue"o ~u JIO'ición inicín!. 39
••
Un uu tomóvil ll'>Ciendc por una carrcleT:l de pendiente 15° ft unft "elocid:ld de 30 mIs. El coeficiente de rozamiento CIltaljco entre [m neumálicos y la carrelera C!. 0,7. (a) ¿Qué dislancia mlni mn n..'Corrern el coche n nt c.~ de paraTliC'! (h) ¿Qué di ~Ulllcia m'nimn recorren:1 sj d~Cc l1 d¡er.I por 111 mi ~lI1a pendiente'!
40
••
Un coche de tmecl,Sn tm..era SOporlH IIn 4orfo de Sil pew sohro MIS Jos rueda~ de tTUcción y I)()~ee un eocfi cienle de f071l111ie nlO cstáti<:o de 0,7 con ulm carrelenl honl.Onwl. ((1) ¡,Cuál C~ 1:1 ucclemci6n mlÚirna del ve hículo? (11) ¡,Cuál e~ el tte mpo mil .. ~'o rt o pn~lhl e ImTU que e~lc coche alcance IIn:1 vclocidnd de 100 km/h'¡ (Suponer que lu potencin del mOlor c.~ ilimnudn.) 41
Pmble ma 43 y 44
••
42 •• SSM Un c.~lUdiunte, 11 . nfi nllH que él puede colocur UII bloque de 2 ktl ~obn: el hldll CXleTlOr de unQ \ ngO nCla. como ¡ndieu la fi g ura 5.42, y que el hhx¡ue no ellcro ul .. u.clo, comprometiéndose a no utiliznr ningún lipo tic ganchn\. cuerdas. ¡TUpir!', Imanc.\, J)e&-1 mentO\, adhc..~Í\'os. e tc. Cuando otro
45 •• Dos bloques :uados por unn cuerda e.~tán en reposo -.obn: indinado. El bloque in ferior tiene una masa de 1111 = 0,2 kg Y un coer rol'.amienIO c.\tálico 1l" = 0.4. El bloque sUI>CfÍor tie ne UllU masa de 1/1 y 14 "" 0,6. Se va aumentando poco :1 poco. (a ) ¿ I>ara (Iué ángulo 6, c. los bloques :t dc.~l i z:l r? (b ) ¿Cuál es la tensión de la cuenJu jU!;tO am comience el de.~li l.a rni ento?
o
•• Dos b loqu~ conl'Clado,., por unn barro ngida, de mll~L d ble. de.~ l i".u n sobre una .\ouperficie inclimrdu 20". El bloque inrerior 46
lIla...1 mi
= 1.2 kg. Y el bloque superior III~ '" 0.75
kg. (a) Si lo~ cOeli,
>rt.-oa·
<""
,,, ' " d
TO:<:mnicnto cinético son J.tc "" 0,3 par.! el bloqul' inferior '1 JI,. '" 0.2 pa. ttk~ que superior. ¿cuál c.~ In ncelcración de los bloques'! (11) !)ctcnniniU" I ¡UcTla tr.ln ~ milidu por la baml a cadu bloque. Un bloque de mll~a m dc ... cunSII ~ohre um\ \Uf1Crl1c,r I~mi/()ntn l , B1 coefi ciente de rol.rLmiento eStático e ... 0.6. HI hloque c~1I1 \(IIIK" tldo a In fuer/"" f (¡lIe fonnu un áng ulo Ocon la horizontul mt.'tiiuntc ulla cudlla de ma... u dc.~prcc¡able, C0 ll10 ¡ndicn la figum 5.44. El valor l1lín¡m~ de la fUd7.1 nceesnna parn mover el ttlO
47
••
SSM
Problemas
I
133
9 nm'3 mg ::; 400 N. Según e.~le gráfico, ¿cuál c." el á ' , "' '" d' '6 d , , ngu o más eficaz• q" ,..J..o forTlillr la lr1.-CCI n e o Uel""UI para mover el blnn ') ""..... ...,uc.
Figura 5·44
Problema 47
Figura 5.47
Un. bloque de' masu ni está sobre unu su"'·""',o, '. h " , , ... . " ...... onzonla con un _ficicllll! c:stáuco de roí'.J.lm ICnIO con esa su""rficic " w.. ..... ~ I Izar c mismo ,OOio " ~ dd problema 47). Demostrur . . quc • en generul C" ) " '"'cr.la 11111111110 para "m
'lO
••
c",'"
"
Responder :1 Ins mismas cuc.<:lione.<: que plantea el problema 48. r que la fuer/..1 F e.~ tá dirigida hllcia abajo fonnando un ángulo 8 Iltal como indica la fi gura 5.45.
49
pero
ron 1,1
52
Problema 5 1
SS M i ,/ El coeficiente de ro7.3nliCIlIO estático entre , neum.lIl1:o ...e caucho y la superficie de la carrelero ~ 0.85. ¿Cuál es la ••
" un máxima acclerJción de un camión de 1000 kg con tracción en las cuatro ruedas. si 111 carrctern forma un ángulo de 12<> con la horizontol y el camión está (a) subiendo y (/,) descendiendo? '
Un bloque de 2 kg está situado robre otro de 4 kg. que 11 su vez se upoyo sobre mm mesa sin ro:t.amiento (fi gura 5.-18). Los cocficiellles de ro7.3· miento entre los dos bloques son J1c = 0.3 Y J1c = 0.2. (t¡) ¿Cuál e8 la fucrla m:lxima F que puede apllcur.;c al bloque de 4 kg de tal modo que el bloque de 2 kg no deslice'! (b) Si F es la mitad de este valor máximo. detenninar la aceleración de cada bloque y la fuerla de roz.amiento que actúa sobre cada uno de ellos. (e) Si F es el doble de este valor de.tenninado en (a ), colcular lo acelera· ción de cadu bloque. 53
••
,. Figura 5.45
Problema 49 Figura 5.48
50 •• Una m,lsa de 100 kg es empujuda a lo lorgo de una superficie sin rozamiento por mm fU erl!l Jo' de lal modo que su acc!eración c,~ il. '" ó m/s 2 (\'éase figunL 5.<16). Unu nmsn de 20 kg se dcslíz:t por la parle superior de la masa de 100 kg con uno llec leruci6n az = 4 mh~. (Por lo lunlO. ~e desli:to hacia alrás respecto a la maSa de 100 kg.) (ti) ¿Cutí l es la fuerla de rozamieRla cjcrcid:l por In masa de 100 kg sobre la masa de 20 kg? (h) ¿Cuál c.~ 1,1 fuerlll ncUl que aelúa sobre la maSII de 100 kg'! ¿Cuánto vale la fucl7.a r? (eJ Una \'ez que lu mUSa de 20 kg se ho cnído de lu masa de 100 kg. ¡,cuál es 1:\ acelcroción que adq uiere est:. última'! (Suponer que la fuer/.a F no cambiu.)
Figura 5.46
En la figura 5.49 lit mll!>U m 2:::: 10 kg se dC1>Iií'.u sobre una pililo, fonn u ~ in fO/..1iniento. Los coefi ciente!> de ro1,:lIlIicnlO cstálico y emético entre m ) y In mllSlI m I = 5 kg son respeclivamcntellt = 0.6 y JI.. =- 0.4. (tI } "Cuál C ~ la (lcelenlción máxima de mt'! (b) ¿Cuál e!o el valor máximO de ni ) \ 1 m i l>C mueve ooll ll1} ~i ll de.,li/.llmielllo'! (e) Si 1/1 , = 30 kg. detemlinar la 1l(.·d~rne i 6n de cada mn~ y lo Ic n~i 6n de la cuerda. 54
••
Problema 50 Figura 5.49
..
i'JtJhlcma 54
i
Un bl~lue de 60 kg ~ de.'lli /.ll por In ranc !>lIpcnor de otro hloque dc 100 kg con una ncclcmd6n de.3 1I\/)i,~ por In at:eiónde una fuer7.í1 h!>nllJlllal •• de 120 N. como IIldicn la hgurll 5.47. El bloque de 100 4 r,c apoya ~n- una ~upcrfide t\onlontnl ,in ro/..amlelllo. pero hay RIZamiento t nlre ~ do'I bloque.... (11) Oclerminor el eocflóente de ro/~micnto tinéuco etllre 11" blflqut.'I (h) Oc:lenninar 111 Rcelernc'ón del bloque. de \00 kg durante c:I tlCmpo en que el bloque de H) kll m;\llllcnc el contacto.
SI
Problema 53
• MCthnnte un a J11lrflpc-o;(! que cuelga de ulla prole/l '< mtenta \ubll" UII hloque: dt: pied rll 1Il'C00ltCIlo JXIf" una pend Iente. mi COOK'l qlle rc'\peclll l. ""lIpA..k ¡O"¡Jc lnch na<.:lón e10tI~ I.k' "INnlIlrt"ni~.. l"thlnJU 55
I
134
Capítulo S Aplicaciones de hu leyes de Newtan
!>ubc por la rompu'! (b) Trc.\ x:gu!ldos dcspu6. de que el bloque hnyu comenzado :l subir. se rolll pe la cuerda que lo une al contrapeso. ¿Qué disUlncia rt:correrá el bloque de piedm mue.." de parnrsc'! (c) Dt::~nronunudiUlIen lc. t:l bloque de picdr.l rcs balll lmciu ílb:ljO por In pendiente de tu r'JIllpa. ¿Con (11Ié IIceJeroción desciende por In mmpa?
Figura 5.50 •••
O caso /)(IJI/r; por I Y por un golpe, en eu . 1 I bl""uc no se moyerá:.l nlcn
de valores de m p.'\m el cun t
- ..
en cuyo cuso sulJird por la pendiente.
Problema S5
•
Un bloque de 10 kg descansa sobre un soporte dc 5 kg como ~e IIIUC$lrn en la figllr:1 5.51. Los eocfi cicrucs de rozamiento entre el bloque)' el soporte son J4. = 0.40 y J.4 = 0,30. El soporte se apoya sobre unu superficie sin rozamiento. (a) ¿Cuál es In rUCrl.3 máxima F que pUI,."
, "<1' 1', '0 Y cinélico del bloque y del plull() 'iQa · . de roZlumcnlO ...... " d l..os coe fi!tlentes De "nar el intervalo de yalores e m PllI'II ti respectivamente 0.4 y 0.2: (tl~ d1enm<;c movere h menos que <;en pcnu~ d I plnno mcllna o no . . cual el b Ioque e . á " pendicIl1C. (h) Dclcnmnnr el mt crvakl
1
F
Figura 5.53
Problema 58
59 ••• i ./ Un bloque de 0.5 kg de masa descansa sobre la superficie inc1inadu de una cuña de 2 kg como la que se muestra en In figura 5.54. Se ejerce una fuena hori ...ontal F sobre la cuña de modo qu: ésta resbab sobre una superficie sin ro7...,miento. (a) Si el coeficiente de ro7..amlento est6tico entre tu cuila y el bloque es Jle = 0,8 )' el ángulo de la superficie inclinaL1a es 350, detenninar los valores máximo y mínimo de F para los cuales el bloque 00 resbala. (b) Repetir el apartado (a) con Jle = 004.
5 kg
Figura 5.51
n g
Problema 56
En una clase de introducción a In rlsica en el planeta Vuleano. se rc:l1i ....1n diversos experimentos rcJucion:¡dos con el rozamiento. En uno de c:stos experimentos. se mide la acclcr3Ción de un bloque cuando sube o cuando baja por la pendiente de un plano inclinado como el que se mucstm eo la fi ~urn 5.52. Se aootllo en un:¡ libretA los resultados de los experimentos que dan los /'l!Su hado~ s iguicntc.~ (el signo menos indica que la aceleración va hacia abajo del plano inclinado): 57
••
SSM
Aceleración del blO
Figura 5 .54
• En realidad. cl coefi eie.nte. de. rozamiento cinélico entre , fi eies no es independiente de la velocidad relativa de los dos objew 60
tacto. De hecho. tiende fl di~ mintlir li geramente a medid:l que In relntivn aumenta. Por ejemplo. mediante una serie de cx peri me nt o~ ~. el coeliciente de rol.amiento cinético entre dos ~uperfi cic-~ de matk e.'lCribirse como
- 1.73 gla pplpl ip~
- 1.42 glapplpl ipl
No encuenlrol ninguna ronna de convertir la.~ unidades al s i~tcma internacional.
}1,
A partir de c~tos dutos. determinar la aceleración de la gra\'edud en Vulcano en
(glupplpli p2) y el coeficicnll: de rozamiento cinttica entre el bloque y el pl:!no.
T
0,73 glapp
1
Plano Inclinado
Figura 5 .52
Problema 57
55M Un hloque de 100 kg en un plano inclinado 18" está atado 11 otro de nmsa m enn tina cuerda. lal como ..e muestra en la figura 5.S3. 58
••
= 0.1 1/( 1 +2.3x
I O"'I' ~ P
donde l' se midc en mIs. A pnrtirde esta cxpll!.\,ión, calcular cuál es lu 1I ro7..1miento cinélico que actúu !'>obre un bloqu~~ dl' Ill:!dcm de 100 kg ell mueve por una superficie de mudera u (a) 10 mis. (h) 20 mI s. Parece desprenderse de ulgunos cxperimcnto~ que el C(""ll..:ien t~ de rolarniento cint!tico no es independienlc de la fucr¿a normal que actú¡\ ..ohct el objeto. Vaclav Konccn)' ("On the first law of frie tion" Americun J(lllrtlu/ oJ Ph)'.fics, 41 588, ( 1973)) realizó expcrimenlO$ en !lIOt:rlici e.~ de madcm \ lcne d!tdJ por la expresión J, = 0.4 F~~'. donde h es In fuerro de m /mnientCl ) f. e" 11 ruena de nonnal que aClúa sobre c.I ohjeto (nmbas ruer.tu~ <.e C\ pre"-ln (n newton ~). A eaU~1I de CSlu relación. la aceleración de UII bl(X1UC que O¡''-ClenJr por un plnno incHnudo 110 C~ indepcndiclI!c de la I11nsa del hloque. 1.1!>1lnoU COita fómlUln. calcular la ucelcraci6n )' In distancin tila que se detlCIIe (al un !l1.-li¡IIt de 10 kg Y (h) un bloque de 100 kg que re.~b:¡ln por unn .. upcrhclc hon7
- - - - 182glapp - -_ _--1
Problema 59
••
Problemas 62 ••• SSM• OSe empUja por un ~uelo de nm!.,enl con una ji e , " d II r'l!.l 10' . r¡ , unt:tl I!tJn~tunt ... uC 7 N un hloclue lalllbí~n ¡le E"~ aerndel0kud ""II11CIIU: pnr:tdo. SupOl1lendo que el cochci e" .n,.e uc .. ml.. lllntenlO . e " CémaSo'l. Ul1~ Lilll hl \elocidhd ~c¡pín 11. '" 0, 11 /( I + 2,3 )( 10 'I,J)l (lIéuM! I !.:ln lleo liarla ~......tih.1 un progrtulla de huJu t!l' \'till'ulo u~flmlo el II1 ltod e pTOblemn 60). ~rt<'-.cntC g.r:"ificaI1lCnlc In velocidad del bloq",e y 'MI (c~pln;t.umi ,0 e EulertlUe cnlculc ' f )ción Jel tiempo pam t l.'Olllprendido entre O y 10 ~ e en1Q enChllun, 'd .. ompnre cll"t'~ ultlldo el qU<'" hUhlen!. obtenl o pnnl un coeficiente de rtllnl11ieU!o ( .'InélIeo " .IIldcpendu!llIc . , ¡le I"IgU3 a O• . " 63 •• Pum detcnninllr .. , [IC " O de un blcx,,, , . el coclicientc dc mllullic"I o cm oc madero \ohte la :>upcrllcle de uname:;.'l hori/oll[nl ,\'c ,-... el"')en ":1\ m~ tnlCC "lones .. I ~ui.·ntes:" Coger el bloque y cmpujltrlo pnr 111 ~u""'rfie ' 1!\J' eut:lnte ".' ' ,._ le. un reloj, mNir d tiempo ....... que e cu~ln • . p:mlI"$C. (ru) y In' distnnci'a tlue rt.'Corre n nl c.~ de' .... rnr.t' (.lt l. (a 1 ....... mo~ u ar tille n p.1rtlr de e~!II~ medidn .. _ ').u..\ A '/1 ( 1--"_ . J' , 8 61) , 1 51 C'l hlaque n:.~b..11:ld anle ....de parnThC 1.37 m dummc 097 . cnlcuar , . , p" ' s. d ' (1)1, (tull c, ,11 \I;! OCI a lI\1ell1l del bloque'! ~. " ~S M Los dnt~~ s.i guicl1\cS mrre'IXlnden ti la aceleración de un 64 • • .¡Ile haJII por un plnno mcllllutlo cn función dcl ángulo de inclinación 1
¡¡
"lo
1".Id
2. 10·0
2.406-1 2.8883 3,1750
3.4886 3.78 12 4.1 486 "'.3257 "'.7178 5.1056 IUI .Dclno~lrnr.que si se represell!? gráficamente alcos Oen función de tg O se obllenc una lmea recta de pendIente g y de ordennda en el orig.en -~g. 1M t<.ando un programa de una hoja de d lculo, representar gráficamente eqo<- d,lICK y ajustar UIllI línclI recta de modo que ~e pueda delemlinar 11~ y 8· ¿Cuál C~ el porcentaje de error en g si se compara con el valor comtínmentc :JCt"pI4dode9,S I mJs2?
Movimiento a lo largo de una trayectoria curva 65 •• Una piedra de musa lit = 95 g se hace girnr cn un círcu lo hori:r.on, tal en el extremo de unll cuerda de 85 cm de longitud. Elticmpo Ileccs:lrio pura que la piedra dé unn re volución completa es 1.22 s. El ángulo que In cuerda fomm con la horizontal es: (a) 52°. (h) 46°, (",)26°. «(1) 23°, (e) 3°
66 •• Una piedro de 0.20 kg atada a una cuerda de 0.8 m de longitud giro en el plano horizontal. L..1 cucrda formn un ángulo de 20° con la horilOntal . Detenninar la velocidad dc la piedrd.
./ La 1l1lISII 111 1 ¡;e mUé\'t con lIelocidad l' en una tm· . ••. i )"cc t O r1 ~ em:u.lar de r.ltlio , sobre una mas!! horilOnml sin ro1.amienlO (ligura 5:55). bul ~uJCIa a un[l cuerda que pasa ti trové .. de un orificio (sin T07.umienlo) !lltundo cn ¡:] centro de la mesa. Una segunda 1lUJ..\U m ~ cslá sujeta en el OtTO ~ l n! m~ de In cuenlll. Deducir unll expresión pum , en función de "'1 Y lit, Yel lIem]Xl r de UlIlI revolución. 70
"
Figura 5.55
Problema 70
71 ~. SSM Un bloque dc masa 1/11esul sujeto a una cuerda de longi· tud LI fiJu por un extremo. El bloque se mUC\'e en un drculo hoti:tontnl sobre una ~nesa sin ro¿.1mienlo. Un segundo bloquc de masa m~ :.e une al prilllero medlnnte una cuerdll de longitud L,. y se muellc lIImbién en circulo. como ¡ndicn lu figura 5.56. Detenninar la tensión en cndu una de las cucrdns si d período del movimiento es T.
I \
-----------, , -- , , ----\
\
.........
mi
... _
--
-- - ---
Figu ra 5.56
_-
........
--
73
•• Un hombre hace oscilar circulanllcntl! a su hijo como indica lu rotogrnf¡a adjunl:l. Si la masa del niño es de 25 kg, el radio del círculo de 0.75 m
,
69 •• i Un piloto de :",i6n dc lIIaMI 65 kg se hmza h:lcin abajo pum de\cribir un riLO ~iguicndo un urco de circunfcrencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la trnyectoria, donde su velocidad es de 1RO kmfh.
ti
,
Loo,
dUI~ '>C han I(IIl1lldo de J)cnni¡, W. Phihp~, "Selence nnd Advenlllrt·l'lIn Ir'
/'I1( Plwd¡:.f Telll;Ir"" 553 (Ntw. 11)1.)0)
!
72 •• SSM Un:l pnn fcu l:l se mueve sobrc una circunferencia de '¡ cm de mdio. Tard:l S s en dar una lIuclta complela. Dibujur la lnIycctoria de la p¡tr· ¡ku!:1 ti e.~caln e indicar las posiciont!S n intervalos de I s. Dibujar los \ectore~ de desplazamiento corrcspondienlcs a estos intero'alo .. de I s. Esto,) veclOn!S también indican las din.."cciones de los ,'eClores \'docidad media durante los m; smo~ intervalos. Hallur gnUicamcnlc clmódulo de la variación de la \eloci· dnd Illedill 16. vi corre¡:pondiente u dos intervalos de I ~ COflSCCUti\'OS. Comparar 16 \'11 6.1. Illedidll asc' con In :lcelcrnción in~lantánea calculudu a panirde (1:= ¡.llr.
SSM I Un piloto de ma~n 50 kg sale de un ri7..o \'eni· cal r.egún un arco circular tal que su aceleración hacia arriba e." de 8.5,11". (11) ¿Cuál e~ la magnillld de In fuerola ejercida por el asiento del piloto en lu (J.1ne má~ buju del arco'! (b) Si la \'elocidnd del nllión e" de 345 km/h. i,cuál es el rudio del arco circular'!
••
m
Problema 7 1
67 •• Una piedra de 0,75 kg atada a un u cuerda gira en Ull círculo hori~ LOnwJ de 35 cm como en el péndulo cónico del ejemplo 5.9. 1..11 cuerda forma un ángulo de 30° con lu venic¡¡l. (a ) Detcrminnr la lIelocidnd de In piedra. (b) Determinar In tensión de la cuerda.
68
135
(11) ¿clldle... son 111 dirección y el módulo de MI aceleraciÓn? ( b ) ¿Cuál es la fut:nu nem qUé actúa ~bre el piloto en la partc más baja del circulo'! (e l ¡,Cudl es In fuena cjercidu por élll~ien l o ~obre el pilou")'!
Acelemci6n ( m/s~)
1.6909
I
Figura 5 .57
Problema 73
136
I
Capítulo S Aplicaciones de hu leyes de New ton
y d periodo de rc\1)lu('ión de 1.5 s. ¿cuál e.~ el módulo y dirección de In fUe l"lU que debe: ejercer el hombre sobre el nino'! (Suponer en lo~ cálculos que el niño el< unu P¡IrI(culn puntunl.l
L¡I cuen1.1 de un péndulo cÓnico ticne SO cm de longitud y In IIl1bn del cuerpo po:ndular es 0.25 kg. Dc:tcrmin:lr el ángulo que fonllan 1:1cuerda y 111 horizontal cU:lndo In tensi6n de lu cueroll l!.~ seis ve(."C.~ !IIayur que el pcso del Cuerpo pendular. En eStas condicione..\, ¿cuál o!S el perlodo del¡>éndu/o? 74
••
••
76 •• Unu bolu de mnS':1 0.25 kg e~ll'\ sujetn a uno oorm venic:tl por una cueroll de 1,2 m de longitud. Suponer (Iue la euerdu está sujetll 111 centro de In boln. Si In bolo se mue\'c cn cfrcu lo horizolltlll con In cuerdll fonnnndo un ángulo de 20° con la vertical. cn lculllr (a) In tcnsión de In cuerda: eh) 1:1 vcloci· dud de Jn bolll. SSM Un objelo SilUlldo en el (.'C uador tiene una ncelcrución dirigida hncia el centro de la Tierra debidn u la rotllción terfCStre y una ¡¡celcmciÓn dirigidn hacia d Sol debidll IIJ movimiento de lu TicrrJ ell su órbita. Calcu· lar los módulos de ambas acderaciones y cxpresMlos como fraccioncs de 111 acdcración de c¡¡ída libre debida a ]11 gravedad g. 77
78
••
•
(a) Usundo
la informaci6n quc aparece cn c.~ tc libro, cn lculur la
fue rza neta que aclÚO sobre In Tierra y que la mllntie.ne en la órbita. supucstn circular. ¡¡Irededor del Sol. (b) Cnlcular también lu ruerLa que se ejerce sobre In Lunll y que. la mantiene en 6rbilU nlrededor de lB l ierra, suponiendo también. que 6sta es circu lar. Una pequeñ,l cucnta con una mnsu de 100 g se de.~. lizu a lo largo de un olllmbre semicircu lar de mdio 10 cm quc gira IIJrededor de un eje vertical a m7.Ón dc 2 vueltus por segundo. como se indica en la figura 5.58. DclemlinBr los va lores de O pam los cUllres In cuentll pcnnanece eSlacio. naria respecto oJ nlambrc gimlorio. 79
••
80
••• . 1 ""' dd, lIdo y CII"CU • ~obre UII 11 un) . 1 0 cinélieo es J' < :. e l expcn . . . .J oeficiente de rot.amlen .Olt!nlo se rea. IIILcUtI "L). y e e . 1 se muevo! por, el e.~pacio. Detenmnnr 111 "'eIOCi. li1.ll cn un vehículo espuellt (Iue . . ........ I """Ienor. dltd de 111 euemll en cutllqUler lIeml~ I~80• ,) determinar la ace!cmción cerurfpcta de l. 11 81 •• En el prOJemu • (b ) Ibllur 1I! .Iec ' '1 er:uci6n mngencilll de In cuenla. ((') ¿Cuál es el módulo " cuentl!. de lu acelcnlción resultunte'!
ti'
i
Unn 1lI0nedu de 100 g loé eo /oc:! sobre una phun. fomm gir.uoria horizonlal que gira a ratón de una n!\'oluci6n por se!!undo. Lu monedo C:;lá Situadll o 10 cm del eje de rOlación de 1:1 plulUfonnn. ((1 ) ¿Qué fUCl"l:1 de roz:unieruo UCIÚ:t :.ohre In m\1llcd:I? (b) Lit n1oned¡¡ desli1.11 y snle des· pedidn de 1:1 pl:uafonn:t cunndo f;C (.'Olocll u unn di:.Ulnci¡¡ mdi:11M!pcrior 11 16 cm del eje de l"OIociÓn. ¿Cuál ~ el coelieie!Ue de nnmnienlOt!Slnlico? 75
do "" , n m 'Itle puede moverse librellltn'~ '" eOMI·'de~ tr unu ..cucnllL ", de radio r. Se da :l lit cuenta U!1n velOc:ilbd
i
ti'
Concepto de fuerza centrípetll •
Unn persona está sobre un e~ rrusel en un parque de , ' ,- ,a circula ........ lLll1lcelones . ,....., 1 V.lgO!". ...~ r 111 pist:t. u velOCidad. const:lllte. . de "IOdo , ••,,, ~ nOTIIl'lles que ejercen los asientos son siempre hllcla denlto, 1 qucas uc. ,.....". d ' ' 11r hacia el CCnlro del cfrcu lo. En la parte superior e un n7.O ventea , a uel'l¡ ' ' d a ,......... r el a.~i e rtlo es iguul al peso de I¡¡ persona, nonnu 1 cJerel O II/g. ) En la pane inferior del rizo. lo fuerza ejercida por el asiento será: ( a ) ,(h mg, (e) 2mg, (ti) 3111g. Ce) mayor que /IIg. pero no puede ca[cularse el valor exacto con la informnción dada. •
82
SSM
83 • El radio de curvatura del ri1.o vertical de una montaña rusa es de [2.0 m. En lo allo del rizo. la fuer7..1 que el asiento ejerce sobre un pasnjero de mnsu ni es O.4mg. Delenninar la velocidad de la vllgoneta en ese pUrtlo.
84 • Un coche acelera a lo largo de la eun'¡¡ de In vía de salid:!. de una ¡¡ulopista. El radio de la curva es dc 80 m. Un pasajero de 70 kg se sujeUl al reposabr.v.os de 111 puerta del coch~ con un.a fue r7~ de 200 N para no deslil~ en su asiento. (Se supone que la vla de salida no tiene peralte y se desprecta el rozamiento sobre el asiento.) ¿Cuál es la velocidad del coche', (a) 16 mis. (b) 57 mis. (e) 18 mis. (ti) 50 mIs. (e) 28 mis. 8 5 ••• SSM Un cstudiante momado en un bicicleta sobre una superfi_ cie hori7.omal. recorre un círculo de mdio 20 Ill. Ln fuerz.n resultante l'j~rtid:t por la carrctcm sobre la bicielela (fuerza nonnal más fuerza de m 7 liento) forma un ángulo de 15° con la vcnicnl. (a ) ¡,Cuál es la vclocid:l.d I estu. diame? (h) Si la fuerza de ro7. .tllniento es la mitad de su valor m:him. ,1 .11 t'S el coefi cicllle de rozamiento eSlático'?
86
••
Un ¡¡vión yuclu en un cfrculo horizontal con una vel. 480 km/h. Pum seguir csw. trayectori:l indina las alas un ángulo de la ligurn 5.59). Sobre lus a l fl~ se produce una fll cr7.a flscensional qu. el ,Ipamto en el aire. ¿Cuál es el mdio de 111 Imyeetoria del a vión'!
.¡ ,, .'. ,
,, ,
,,, ,,
o
Id de ,éase tiene
'.r .
Figura 5.59
Problemll 86
100 • •
87
Un coche de 750 kg IOIIIQ una cun 'a de nidio 160 nt a 90 km/h. ¿Cuál debe ser el ángulo de penllte de 13 cur"\'lt paro quc la unÍt3 fU cl"ln cntre el pavimento y los nCllmt1ticos eslé cn In dirueción nonn uJ"!
Figura S.58 Problema 79
•
I
88 •• SSM Unn CUrvll dc radio 150 m tiene un pcmlte con un ángulO de 10°. Un coche. de 800 kg tOlUa la eurvn n 85 km/h si n [>minnr, Det~nmnDt (a) la fucr/.a nomllal (lile IIchía sobre lo~ neumáticos cJcrddu por el pavimentu. lb) 111 fuena de ro¡r.3.miemo cjercida por el p
Problemas •• En 011'11 oc:asión el eoche dd nrobk. . 89 • ,. Ola IImenor tomu In e " J.;nllh. J)ttc:rmmnr (elllu fue:"'I.11 oonnal ejercida po " . . urvn !I , , •• l. . . re 1);l\'UlIemo sobre lo IIm~IJ ..""(J~ ) lb) u lerNI e..: rot.a nuemo ejcrcidu ell[re I . . s (1( , e II.IVllncnto y los ncu_ [lÚnCOS-
,
90 •••
SSM . 1 Un ingenIero ele: caminos recibe 111 . " • ....""uI12. Hay que dtsccinr un n sección curvn de _ ' . slgmcnu: ~~. . . e . e.unlere que cUll1plu h.~ " , ' , ;,uiC[llC:~ conchClonc:.: on lucIo sobre In currolera cuundo' " e cae I CII:cnC eSCrel , _ ' , , ,a eIlNCter:I'! •-~ dio nllnllnO de:: cu["\ ulllm de la cUI'\'a y el IIn,ulo de ,",.", "''' e (e ,
91 . . . ' Unu cum:tem l!l.tú l)Cmltnda de rnoc.lo
Fu _
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91
•
dt:
lim
velnoidlld dI! 111 bola tl'unscurridos 10 s de su lanzamiento. ¿Cu~1 es In mcenidumbre del rc.suhado·! Si se deja caer una segunda bolo. e.<¡1a \el. con velocidad inicial tluln. ¿cuánto tiempo re CUC.~tll aJcatl1.nr el 99% de su velocidnd límite? ¿Qué distllncio. recorre durnnte e.~te tiempo? SSM Se hUJ'l.a vertlc:llmcnte hllcia :!rriba una pelotll de béisbol con una velocidud inicial de 150 km/h. Cuando Clle ~u ,'elocidad límite es Ulmbit'n 150 km/h. Use el método de Eulcr pum estimar In ultum de In bola 3,5 s dc.~pué.~ del hIlU,llIuiento. ¿Cuál es In :lllunl máximll que alcan:13? ¿Cutinto larda en yolver al ¡¡uelo? ¿El tiempo que tarcJlI la pelota en subir e<¡ menor. iguRI o muyor del que turda en bajar'!. 99
••
100 . •• Un bloque de 0,110 kg colocado sobre una superficie horizonllll ~in nu.nmlcmo m¡mticnc comprimido 30 cm un muelle de 50 N/m de con:;lante ehlstien,
de arras t re
Una pequeña panícula contamin:lnte cae :1 tierr;¡ :1 través del uire ron una \'elocid:ld límite de 0,3 mm/s. La panícula posee una m:lsa )' la fUt.....lu de arrustre es de la fomln bl'. ¿Cuál es el valor dc b?
• Una pelota de ping-pong posee una mUS:1 de 2.3 g y unn velocidad -J mis. La fuerzo de arrastre es del tipo 1)\:2. ¿Cuál cs el valor de I/!
• SSM Un panlcuidista de 60 kg de masa consigue dc..'iCencler coo \ d ocidad conStante de 90 km/h ajustando su fonno de Cllldíl. «(1) ¿Cuál es t~ \.lulo de l:l fuerza de nrrustre hacia arriba sobre el paracaidista? (h) Si la fuen de arrastre es igual a br~. ¿euál es el valor de b? 94
95 • • Un automóvil de 800 kg desciende por una larga pendiente de 6°. L:t fuerza de urrastre que se opone ni movimiento del eoche tiene 111 fornm ,...,. = 100 N + ( 1.2 N . 51I m2)¡.2. Despreciar el rozamiento de: rodadura. ¿Cuál es la \elocidad Hmile del automóvil al descender por eSta pem.lientc·'
Las panículas pequeila~ c.~féricas cxperimenttm una fuerJ:a de rcsi ~tencia viscosn dada por la ley de Stokcs. F. = 6Jt1]n'. en donde r c.~ el radio de la partícula. \' su velocidad y 11 la viM:osid,ld dinámica del medio nuido donde caen las e.'iferitas. (a) Estimar la ,'clocidad límite de una panícula cOntaminantc esférica de radio 1 0 -~ m y densidad 2000 kglmJ . (b) Suponiendo que t!l aire está en reposo y que 11 = 1.8 X 10- 5 N . slm2, estimar el tiempo que esta pnrtíeula larda en caer por una chi menea de 100 m de Ullllr.t. 96 •••
97 ••• SSM Unll muestra de aire que contiene panfcullls contuminantes del tamaño y densidad especifi cados en el problema 96 se toma en un tubo de ensayo de 8.0 cm de longilud. Este tu bo sc coloca en una ccntrif\l8adom, de modo que cl punto medio del tubo de cnsayo se encuentr1l a 12 cm del ccntr
Método de Eule r
98
137
Pro ble m as gene ra les
en 93
I
••
Desde un globo nerostático se tiro una pelOta de béisbol vcnic:IInlenle hacia abajo con una velocidad inidal de 35 km/h, La pelo!n aJcanln la velocidad Ienninal de 150 km/h. Suponiendo que la rc.'listenc1a del aire es proportionaJlIl cuadrado de la velocidad. use el método de Euler pam estimar la
--------------------• 101 • 1 Un bloque de 4.5 kg desliza huei:l abajo por un p!¡mo inclinado que fonnu un ángulo de 28° con la horizontal. Puniendo del reposo, el bloque se mue\'e una distancia de 2.-1 m en 5.2 segundos. Dctenninar el Coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plllno. ,
102 • 1 Una maqueta de avión de masa 0.4 kg está sujeta a un:! cuerda horizontul y \'Ilelll en un cfrculo horizontal de rJdio 5.7 m. (El pe...o del avión está equilibrndo por la fueí!..., ascensional dd aire sobre las :lla.~ del modelo.) El avión d:1 1.2 revoluciones c¡[da 4 s. (a) Dctcnninar la yc:Jocidad \' del avión. (h) Dctenninar la tensión de la cuerda. 103 •• SSM Una caja de 800 N descansa sobre una superficie plan:t inclinad:, 300 con la horizontnl. Un estudiante de fisiL'a comprueba que par.l evitar que l3 caja deslice: por el pl:lIlo inclinado. ~tu aplicar un:t fuerla de 200 N paralelllll la superficie. (a) ¿Cuál cs el c(J('liciente de: ro7.amiento estático l'ntrc la eaja y la superficie? (b) ¿Cuál c.~ In fuerLtl má;(iJ1la que puede aplical"SC :t la caja. parolelamente al plano inclinado. antCS de que In caja .se dc~licc por el mismo hncia arriba? 104 •• LII poski6n de uno panícula \·ielle dada por el veclor r = - 10 m cos ari + lO m sen arj. en donde (U = 2 s l. (ti) Dclllo~ tror que el nlO\'imiento e.... circular. (b) {,Cuál es el radio del cfrculo'~ (e) ¿La panfe uln:;c llIUC\'e en el <.entido de: 11Is ngujas del reloj o en sentido contrario alrc(kdor del círculo'! (dl ¿Cuál es el módulo de yelocidad de In pllrtíeula? (i:') ¿Cuál es el tiempo im'cn ido en una revolución completa? ,
105 •• I Un elljón de libros ha de .. ubirSe a un camión con lo ayudu de unus planchas inclinadas 30 D • Ln m;I ~:I dcl c¡tión es 100 kg ) el cocfi· eiente de roZ:lI1tientO por dc~liznmiento cntn.' el cajón y I:I.~ planchas cs 0.5. Pnr1l esta opcnlci6n varias personas empujan h(jri:{mltlllll~ltl~ con unn fu erza tOUl1 F. Una "cz que e:1 eajón comien1.n Il 1II0\'trsc. (.qué \ulor debe tQmar F pnra que el cajón siga :.ubio.:nclo con ,'elocidad conStantc? 106 •• Un objcto de muSo'l 5.5 kg se dej:1 deslil.ur de.-.de el reposo hada IIbajo por un ]1luno inclinado. El plano fonlla un ángulo de 30° con la hori1,ontul)' su longitud c... dc 72 11\. El coeficiente de rozamiento l'inético t:ntn: el plnno )' el objeto el¡ 0.35 . Lu velocidad del objeto o.:n el fondo del plano e..~ (ti) 5,3 ml~. (h) 15 mIs. (c) 2" mIs. ((/) 17 mi:.. (t') II mIs. 107 •• SSM Un ladri llo <.e dc~li/a hudu ab.1Jo por una tabla mchnndll un ángulo l\¡ a velocidad conStante. Si el ángulo se IIlcrcmcntn Il 8¡, el bl(\l.lue adquiere unu acclentción .1. BI coeficiente de roznmknto cinétiL'O es el IIIb.IUO en Ilmbo~ caso'l. Dado~ ~ y 81, dClerminllrcl "ulClr de 11.
138
~ 08
I
Capítulo S Apl lcilcion~$ de Ifts leyes de Newton
•• Sobn:
un objeto IIclúnn
II'~, luer/.m ,al
eomo
\C
mut'~lro en lo
hgum .5.60. El objetO (''u! en ~Iuit¡"rio c\lthico,l. (II) Si ¡O' I. F~. )' " , rcprc\c nl nn 10\ IllÓCJuto~ de la~ fUC"lll~ (lile ucutnn!>Obre el obJel(), dCm()\lmr que l' ./M:11 Oz., . FI~ n 9" = FJ~n 01!' (b) Octno\lmr
ulla e~I:IC¡6n co mo In propuesta por O'Ncill que tiene una 10 llg llud de R km y un dhí11lClro de I km. ,\ CIIU~:, de In ro wcic'¡n, alguie n que e.~lé dentro de 10. colo.
nio U:mlr1l -.ensllcí6n dc gnl vcdud por el hLOCho d(' e<;lar en un ,¡,temo de refetendo ucelcrado . (01 l)cmo<-lrnr que In "uce\crneión de In grn\'edad~ expcri llH:nlu igunl () \11 1I{'clcrnción centrfpeta. ( l)isw: t;OIl.Iidt'1T qut! (/IKllitn "t: ud mirando" /(/ rolorua
(1,.ld(> furrtl) eb) Si ~uponelllos que In eSlaclÓn orbital tiene vana., eubierta~ qlle: e~tán ,.itUlUJ!I~:1 ¡Ji ~ t anc i a.~ di¡,¡in ta~
del eje de rotación, mostmr cómo la "acelc_ nlción de In gravedud" <,c hace IllLh débil cuonto más cerca (,C e..1I1 del eje de rOtuci6n, (r) ¿Cutl n Ul~ vueltu'> por minuto deberla dar la eMación de Bab) fon 5 pUrol producir unu uceleraci6n p:m:cída a In de la ~l'iIvedad (9,8 mI~2) en el pnnW más ulejndo del eje del cilindro de la e~ tuci6n?
Figura 5,60
Problema 108
109 •• En un ramlsct de f..-ria. un pasajero se sientu en un companimiento que gim con velocidad const:ulle en un cfrculo \'eniC¡ll de radio,. = 5 m. Lm, cabeUb de lo" PllslIjeros scntndos apuntun siempre hacia el centro del cfrculo, (ti ) Si clo::arru~eI completa un círculo en 2:., deto::nninar la acelenlción del pa~ajero. eh) Dch::nninar lo velocidad mús lenUl de rotación (es decir, el ticml)O mis largo Tm Pllrn comph:laf un círculo) del carrusel pam In cual el cinturón de seguridad del a.<;ienlO no cjerce fuerza alguna sobre el pasajcro en la pane más alla del TCl·orrido.
SSM Una carret illa de juguete se mueve ¡,obrc ruedas sin ro .....¡miento, amlSlnldn por 111111 cuerdn bajo lu (ensión '/: La mns!I de la calTCtilla es 1/1 \. Una carga de masa 11/2 reposa sobre el suelo plano de In carreti lla con un coeficiente de ro7.limiento e$tálÍC'o~. L1 c¡rrrctil!a es amslr.tdu hacia arriba por una rompa que est:'! inclinnda un ángu lo 9 por enci ma de ItI horizontal. UI cuertln está silunda pamldamentc a la rampn. i.Cu¡íl es la m:ixima tensión T que puede aplicnrsc si n que la carga se deslice'! 11 0
••
Un ltinco que pesa 200 N de~cansa sobre un phmo inclinado r 5" }' se mantiene en reposo graó
••
Figura 5 ,61
113 •• Uno niñ¡¡ se des li...a por un tobogán inclinado 30" en un tiempo '1. El coeliciente de rOl.ILII1icnl0 cinético entre enu y ellobogán es ~, Un dja descuhre que si se sienta en un pequeño carro de rueda... ..in 1O".al1liento se desh7.3 cn el ¡¡millO tobogán en un tiempo t l l2 , Detenninur Jlt . L1 posición de una partfcula de masa m = 0.8 kg en fun.
114 •• SSM ción del tiempo e... f
= .rl + )1 = R !;en wt i + R cos wt j
en donde R = 4.0 nl Y al = 2" S-I , (ti ) Demostr
nal ill ~
m !I .1
d
.a
Problema 111 Figura 5.62
• En 1976. Gernrd O'NeiJl propuso la con~trucción de gr.mde.\ c.~la c lo ne.~ espacinks hab¡tabl ~ situ"dns en órh¡Ht "Irededor de In Ticfm y de In LUlln, Dado (Iue pcmmnecer en cO lldicione~ de ingnwide7: tiene efcctos médicos a~ ...eMS. propuso t1ue las estacione.l; tuvieran la fonna de largOfi c i1i ndro~ que 81ro1<¡en nlrcdedor de su cje. de modo que proporcionanm n su~ hnbitunte~ U?8 ~Mac i 6~ de ,grave?ad. Esta idea mell6 entre los e)CriIOtc:. y guioni ..tos de hlSIOOD!o. de cIencIa fi cc;¡ón y. por ejemplo, la :.eoe de TV Bflby/nn 5 contempln
Proble ma 11 6
1,12
1'7 •••
SSM (ti) I)emostrar (Iue UII punto de la 1>upcrfieie de In Tlcrn de Intitud (J (figura 5.6:\) tiene una nce lernción re1:lIivu re:-pecto a un ,bt ~'ma de rcferenciu que no glOI con In Tieml de \lulor 3,37 ros 9 cm/s l . ¡,Cuál c!\ In dil'('('ci6n )' \cOlido de cstn acelcración'! (b) a~ tudi ar In inllucllcia de C~IU tlcelcf'Ilelón \Obre el pc!>O aparente de un objcto próximo n 111 'iupcmclc dc In Tierra (d Lt aceleración de curda libre de un ohjcto n 11I\'d del mllr m..-dida /'f'IJH!I. -ftI .1 fll
p.roblemas
'¡;r!t' dt' f(/ 1it'rrtl tiene el vulor 9,78 mIs' en el ceuuJor )' 9, 8 1 ,nis ' en lIlt,-' ¡ud 0 := -l5°. ¿Cuáles ~o n los \'al
SII/lf" J'
.,
pU llt05 '
Figura 5.63
Problema 117
I
139
118 ••• SSM Un pequeño bloque de 0,0 I kg de maSll e.<;ui en repo!;O en 1:1 ci nlll de un:! esfera ¡¡su (s;n f07.amicnlo) de 0.8 m dI! radio, Se le da un pequeño golpe de modo que cmpie7.a a caer por 111 superficie de la esfern , El bloque pierde el contncto con 1:\ e.~fcru cuando el ángulo entre la \'enical 'J 111 posiciÓn del blQ(luc c.~ 0, t)ctcnninar el valor de este ángulo.
TRABAJO Y ENERGíA
Capítulo
6.1
Trabajo y energía
. , . ClnetlCa
6.2 Producto escalar 6.3 Trabajo y energía en tres dimensiones 6.4 Energía potenci al E
1S,
por una pendiente nevada es un divertimento o mucho trabajo, depende de cómo
r te.
?•
¿Sabía que, de hecho, sobre el esquiador se está realizando trabajo? (Véase el ejemplo 6.12.)
El trabajo y la energía se encuentran entre los conceptos más importantes de la físic,l, así como en nuestra vida diaria. En física, una fu er,m reaJi z
... En este capitulo estudiaremos los conceptos de trabajo, energía cinética y ener· gía potencial. Estos conceptos surgen de las leyes de Ncwlon, por lo lanlo, los ~on ceptos que Introduciremos en este capitulo son una continuación de los IntrodUCidos en los capftulos prev'.
142
I
Capftulo 6 Trabajo y energra
°
eC.StoS nuevos c 11 e e I, tos ,'OS_ proporcionun métodos potentes pnm . reso lver "nn amplia clllse de problemn<:. Muchos de los problcnms del final de este CU IJ1tu l ~ pod~ran resolvcr.\e usando los cOIlCCplOS y los rnélOd os desarrollados en lo), capílulos prevIos. SIIl ém~tl rgo. e~ imponanle que resista la tenlación de hacerlo de es ta forma. Los conceptos y lo:. melados. de este capítulo se continúan desarrollllndo en el capftu lo 7.
6.1
Trabajo y energía cinética
Movimiento en una dimensión con fuerzas constantes El trabajo W realizado por una fuer,l a constante F cuyo puntO de aplicaci ón se Inls lada una di stancia l\.ri. es
--.x
W - F.t dx - Feos 9 .1.x
, '- - - d .d -
(6. 1)
_ _...;' TRABAJO REALlZAOQ POR UNA fUERZA CONST.wn:
Figura 6.1
e
en donde es el ángulo entre las direccio nes de F e i y !:J...r es e l des plazamiento del punto de aplicación de la fuer.la, como se indica en la figura 6.1. El lrabajo es una magnilud esca lar que es positiva si l\.\' y F.t tienen sig nos ¡guaico;. )' negativa si tienen signos opuestos. Las dimensiones del trabajo so n las de una fuerza por una distancia. La unidad de trnbajo y energía del SI es e l julio (J). igual al produclO de un ne\\ton por un melrO; IJ=I N·m
(6. 2)
(En el sis tema habitual utilizado en los Estados Unidos la unidad de tmbajo es el pie-libra: I (¡· Ib = 1,356 J.) Una unidad conveniente de trabaj o y energ ía en físici] atómica )' nuclear e~ el e lectrón voltio (eV):
I eV = 1.6x 10- 19 J
, \1
Los múltiplos comúnmente utili zados son e l keV ( 1000 eV» ' I.!I MeV (1()6 cV ). El tJ. ",) necesario para ex traer un e lectrón de un átomo es del orden de varios eVo mien tra.\ que lo: 1_ bajo necesario para extraer un protón o UI1 neutrón de un núcleo ató mico C~ del ordt'1 Je varios MeY. Eje rcicio Se ejerce una fucrta de 12 N sobre un bloque bajo un ángulo 9 = 20 . indica la figurn 6.1. ¿Qué tmbajo rea liza la fu er.la sobre el b loque. si éste se des pl ;ua j lo largo de la mesa? (RespuesUl 33.8 J.)
I
C uando hay varias fuenas que real izan trabajo. el trabajo lotal se calcula sumando elll bajo realizado por cada una de la.'\ fuerzas:
Unn partfcula es cualquier objeto que se mueve de tal forma que todas sus pUl1 e:. c;o;pc rimcnlan los mismos despla1.amientos durante cualq uier ins tante de tiempo. El-> (k:cir. un objeto puede asimilarse n una partícula ell tant o que todo é l pcrmanelcll complctUlllcnlC I'fgido y ..e mueva sin g irar. Cuando varias fuerllls realizan lrablljo sobre una partícula. los dcsplaJ'lunicnto~ de Ill ' puntos de aplicaci6n de cadn unn dc estas fuerzas son igu¡¡lc~. Sea ilx el dc~p]¡lIamicnto dd punto de aplicación de una de la!o; fuerla":
6.1 TrabaJo '1 energra clnétlcn
I
143
. UIl;1 p.U1ír.:ul:l C"I!1 ub¡ i~:ulu 11 mover,>c cn elcJ', 1 l' 1 r, [\ ucrf.'1 I1CIII q"c e ' • ' le tiene untl COIfl ¡Xlnt:IlIC l . li .. decir F _ /' •• xpcrllllCUlII IInlcnliten . • lleta - ' 1. Por Con .' , " . 1 ' ",Jo ,ohre unl\ pnnlculu puede dCl crmil""'" e lXia t ~ l g IlICl1lc. e lrubaJo 100ul eJe". • ..... IIColltl1lndo p ' • I f
pUé' tIIultipJiClIl1do la
ru er n !
!lljln por el desl'1:lI:unicl1lo.
rIIllcro u lICrf.1I nelll y de!.-
Teo re ma de' trabajo-energía cinética a:1;1~IC unu imponlllllc relución c lIIl'I.: el tmbajo liCiO real' 1 b .., , I )lm () so re III1U pnnfculll y In ve l ' dJd J~ 6w. en 111" 1)()" ICIOne" IIHciu l y fill ul Si ,.. es I f OC,. nl'IlII 11 lIer/ll !leUI tlllc nchiu sobre una P' , licula l~nC IflO:., !\C{!.UIl 1:l M!gunda ley de Nr.:wlun: • ,L l.>
Si 1:1
constante, la acclcI'lIci6n es constante y '1 d ' l ' . . . _ ,.' , . " e esp IIzunllCnto está rcluclonado ~-on In ,cloe ldne! !llIcmt 1I. 'y con In VCklCldlld hnu] L', medi a", c. ' 1', f6 rlllllU 1 V/ = 11I +2fI At" \dliJ.l l'U;Uldo 111 n(.~ d c r:.tc ! 6 11 el' COilSlUnh! (ccuuci6n .,_. 16) . A 1'11 rt 'Ir d e ia expresIón ' ., : ' antenor hll' /7;1 r.!.'
~ IlbUt'llC"
pum (/ \
(, ( =
Su .. '
~ ndo 0, en
F 'lCl U
~ = 11/0 .\ Y multipl icando ambos miembros por Ax se tiene
F
RCI.'
-,.; ,' ;2L\x ; 1" (I'r' - 1'1"")
oc. ". . . -
A , _I.,I., t - ., - /ti 1',- - -'1 1111'''' . ,
-
'mos que el primer miembro es el lrabajo lotal realizado sobre la partícula. Así .,1., W IQtQI = :;1 111\1(-:; I1IL'f
-
-
(6.5)
nitud ~ /T,,¡l recibe el nombre de energía cinética Ec de la panícula:
Ee -
2.' mv-,
(6,6) DEFINLCLÓN - ENERGIA CLNrnCA
El segundo miembro de la ecuación 6.5 representa el cambio de energía cinética experimenlado por la partícula. Asf. El trabajo lotal realizado sobre la partícuJa es igual a la variacióll de energía ci nética de la • misma: (6.7) TEOREMA TRABAJo-ENERCIA C1NtT1CA
Este resultado se conoce con el nombre de teorema tnbajo-encrgía ci nética. Aquí sólo lo hemos deducido para una fuerza neta constante, Sin embargo. como veremos más adelallle. este teorema es válido incluso cuando la fuer/A neta varía y el movimiento no es en línea recta.
Ejercicio Una muchacha de masa 50 kg corre con una velocidad de 3.5 mIs. ¿Cuál es su energía cinél'ica? (Respuesta 306 J.)
EJEMPLO 6,1
I
La grúa que carga
Un camión de masa JOOO kg se carga en un buque mediante una grúa que ejerce
UIUI
fuerza
" ¡tOdente de 31 kN sobre el camión. Esta fuerza, que es suftc:Jentemente grande para vencer la fuerza de la gravedad y empe'ar a levantar el camión. se aplica a lo largo de una distancia de 2 ID. DttermIoar (a) el tnlbajo realizado por la grúa, (b ) el trabajo realizado por la grave...., y Ce) la veIoddad aKendente del caml6n después de haber subido 2 m.
-
144
I
Capítulo 6 Trnbalo y cnergr"
PIan t eamlenlo d e I pro bl ema lhlccr un dlhuJo . . c'!tjucmállc() . del elUIII"n ... en . "' nn<;ici/) nc~ fin nl . .~ I .~ 1'_ I:! inicial. eligiendo como din."Cción pmiti\'u de y lo dil'l."Cci6n del de'iphll!Ullicnlu (fi guro 6.2). U~e el toorema tl"Jbnjo-cncl'};iu cinéticll pam delcnninar la energra cinética final del cnmifln. l.u ... elocldnd linal dd cl1ll1it~n <;e puede obtener Il pmtir de lu energ(u cinética finul. El tnl b:uo loml t.:S la sumu de IOlt l'eltultudll" de (u) '1 ( h). (a) Cnlc:ulur el tr:lhajo renliZ:rdo por 111 fu cila apliclldn:
wOC'
= /0"... I llJ
::z
,
,• ,,
.t
,
F'f'Co!' (J I> tn'
= (3 1 kN)( I)(2 m) =162,O kJ I (b) Cnlculnr el Imb'l.io nmli/. udo IXlr la gnl\'cdud:
W,
= IIIS ) Ay = mI: CO'i 180" Ay = <,(lOO kg)(9,81 Nlkg)(- I )(2 m) _1_58,9 kJ 1
(e) Aplicnr d tcnrelllll Irahnjo-cl1ergfn cinélicn y obtcner I'f
-
o
' /',-.:.~ , /' ,
- .!. /l/ I'(_ ! /l/ v? 2
2
_ v~ +2(WO¡I+W,} , l' , m
- O+
2(62,OOO J - 58,9OOJ) 3000 kg
2.09 m 1/s 2
'r
=1'.45 mI< 1
Observación P',ira el cálr:ulo dcl trabajo reali7.ado hcmos tratado por scpamdo cada uno de las fUC'las. También podríamos obtener el trabajo lotal sumando primero los fuer/As para obtener la fUCr7A neUl. y aplicando después la expresión WlOOI! = F ""U Y 6)'. En cualquier ca!'o. el leorema trabajo-energia cinética sólo c... , rtilido p<1ro el tr..tbajo tOlal. Ejercicio Determinar la velocidad final del camión si la misma fuerLa ascendenlc se aplica dumnte 2 m después de haber alcanzado una velocidlld ascendente de I mis. (Res/me.l·m 1.73 mIs. Obsérvese que la rcs puc.~ la no es 1.4 mis + I mis. ¡,Por qué?)
EJEMPLO 6.2
I
La fuerza sobre un electrón
En un tubo de tele\'isión se acelera un electrón desde el reposo hastn unn energía cilléticlt de 2,5 keV IJ In largo de una distancia de RO cm. (La fuen.... (Iue acelera el eleclrón es una fuer.l1l elédrica debida al campo eléctrico '1ue se genera en el tubo.) Detenninur la fuenn que uctún sobre el elt'Ctrón suponiendo que es constnnte y tiene la dirección del movimientn. Planteamiento del problema la energftl cinética fi nnl.
Como el electrón parte del reposo. el trabajo rcali7.udo es igual a
El trabajo realizado es igual tll cambio de la cncrgfll cinélieu. Dado que se conoce el valor de la energía cinélica inicillJ y final. calcular lu fucr7. a:
= 6Ee
lV"uI
F s 6x - E~,- Ecl
P = /ir:, - Et , •
6.1'
= 2500 eV - O x ~I,,,,6.:¡x-,I",O'~"-,J 0.8 Jll
=15,O x I0 " NI Observación Allrntor la electricidad veremos que el trabajo reuli7..ndo por unidad de curga eléclrica se denomina diferencia dc potencial y se mide en vollio.... As!' I eV es lo energln ndquirido o perdida por una partfcula de carga f! (por ejemplo, un electrón o un procón) cuando su diferencio de potencial varia en I V.
I eV
Figura 6 .2
•
6.1 Traba jo '1 energfa clnétka
EJEMPLO 6 .3
I
Una carrera de trineos
UOln te sus ,'acuclanes d e invierno un proreso r participa en lIna D n/'rfOS en UI1 Iago h eIII.do. Pa ra inicial' la car I car rera de trlncos tlrudos p.' rrerll. t ra de su trln ( !'uer,". de 180 N que forma un Angulo de 200 co I h 1:0 musu total 80 kg) con una Id d" . n 11. orlzontal O ,t I ( tildo \' (b ) In "doc a IInal del trineo dC5pU~ ' d . e crm nur a) e1trabojo reall. . s e un recorrido A.r - S del rtI }' que no eXiste rozamiento. - m, suponiendo 'Iue parte WSO Planteamiento d e l proble ma
Eltrubujo !"Cal" d el ,'¡rece dc:l desplazamiento como direcciÓn poo.,I.ZU dO PO'É profesor es F~ .6.:\". donde elegimos la u ión ,,¡IVa cx steeS la b'6 I . «>bre ti trineo. ya dque las' otras fuerlnS '1118 yF n f' m I xn(n. e trabajO . . n o ¡cncn componcnlcs ro 6')rowl , .. realizado I . finsI del lOnco se etennma aplicando elleoremu tnib' . : al trineo. u .;} . L.l:I ve OCldad aJo-energra em6t1eu
,. ,
5m
f - - - " ri - - - ' ; "1 Figura 6,3
Figura 6.4
~Rcer un esquema del lrineo en su posiciÓn inicial y en su posiciÓn después que se ha movido 5 m. Dibujar el eje x en la direc-
(a
ción del movimiemo (figura 6.4) 2. El trabajo realizado por el profesor sobre el trineo es F" ÁX. (También es el trabajo total realizado en el uineo, ya que las otraS fuerzas que actúan lo hacen en la dirección perpendicular al movimiento):
w=
F".6.x = Feos (Jt:u = ( 180 N)(cos 20°) (5 m)
=18461 1
(b) Aplicar el teorema trabajo-energfa cinética y resolver despejando la velocidad final: = 0+ 2(846 J)
80kg
= 21.1 m2 52
"r
=14.60 mlsl
No es necesario elaborar detalladamente las unidades, Si tenemos una eCUAción escrita correctamente y todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI. el resultado vendrá dado en unidades del SI correctas. Si n embargo, como comprobAción de la ecuación podemos demos2 2 1 trarque I Jlkg = 1 m2/s2. En efecto, I Jlkg = I N·m!kg = 1 (kg·mls ) mlkg = I 01 15 , Ejercicio ¿Cuál será el módulo de la fuerza que deberá ejercer el profesor si el trineo parte con una velocidad de 2 mis y su velocidad final es de 4,5 mis despu6s de recorrer una dislancill de S m1
Observación
(RtSpulSIa
138 N.)
¿Qué ocurre si una persona sostiene un peso en una posición fija? Consume energía. pero. ¿realiza trabajo? De acuerdo con la definición de trabajo. la persona no realiza trabajo sobre tJ peso. porque éste no se mueve (figura 6.5). Sin embargo, sus músculos se contraen Y se continuamente mientras se sostiene el peso. En este proceso. ia energra química mterna del cuerpo de la persona se convierte en energía térmica (figura 6.6).
~Iajan
•
I
145
14ó
I
Capítulo 6 Trltba jo y energla
m
h
/.
I
- '-
- '
Fig ura 6.5 ClI ) El homhre
(IJ)
(a )
pUnlO f~o.
En el músculo activo, las moléculas se comportan como *máquinas· moleculares.
Figura 6.6 Trabajo muscular. Aunqueel hombre que sosliene el peso en In figur:1 6.5 no haga trabajo sobre éSlc. su cuerpo consume energía a nivel molecular. ya que ciertas estructuras del músculo se deslizan entre eUas durJ.nlC la extensión y la contracción muscular.
Millones de estos sucesos, que tienen lugar simultáneamente, se combinan para producir la acción muscular.
Trabajo realizado por una fuerza variable En la fi gura 6.7 se representa una fuer La constante
F.
I
: IV "" I
I
F~
Ax : I
x,
x
Figura 6.7 El tmbajo reulizado por uno fueíi,a conSWnle \'ienc rcprcsclllado gráficamente por el área comprendida bujo lu curva correspondicnlc, F, en función de x.
F~ en
fu nción de 1;.\ posición x. El realizado sobre una pal1ícula cuyo desplazamiento es A.x viene representado por e l árc.... prendida bajo la curva fuer7..a en función de la posición, indicada por el sombread\ figura 6.7. Muchas fuerl3s varían con la distancia. Po r ejemplo. un mue lle ejerce una fu erla pr cional a la dist:lI1cia si se estira o se comprime. La fuerlu gravitatoria q ue la Tierra (; sobre un vehículo espacial varía en razón inversa con e l cuadrado de la d istancia que " los dos cuerpos. Es posible (figura 6.8) aproximl.lr una fuerza variable por una serie de zas constantes. El lrabajo realizado por una fuerza \'ariable será . por lo tnnto: W
= lim L F~ .ó.x¡ = área bajo In c urv¡¡ de A.•,-.O I
F, en fun ción de x
'Jo 'nlo
,Ir· !cc ro .:r-
.~ )
ESle Ifmite es la integral de F);" dx. Así. el trabajo reaHzado por una fuerza v"riable F que actúa sobre una panícul a cuando ésta se desplaza de x, a x",! es
w = f;: F.x dx
- área bajo la curva de F-I en funció n de x
(6.91
TRABNO OE UNA fUERZA VAAlABl(
En cada intervalo de desplnzamienlo !lx/. la fuerla es esencialmcnlc COll"tanlC . Por e~le motivo. el trBbajo reali zado es igual al área del rectángulo de alturu F.% y anchura .ox,. Como se demostró ante riomlc nlc e n la M!cción 6. 1. este trabajo es ig u:11 al' cambio de In c.nl'rg{u c inética e n este inlervlllo de desplulamienlo (si la fu era t es la fu erw nClu), El trubajo tollll c.;
6.1 Trabajo y energlll clnétlClI
F,
,. ",, ,, ,,, ,, ,, .1' 1
<,, ,
,, ,, ,, ,, ,, ,
"
,,
,,,
,, ,
, ,,I
,,,
,,, ,, ,,
,, ,, ,
"-',
",
147
Figura 6.8 Una fuer/,u varinble puede IIproximorse mediante una serie de fucr/.
I,
, lo ,
I
x
la SUlllll de las .áreasI pu D r se ucducc .' I m todos . 10l) intervn los de desp ' h
E I II
P 6, f6
LO 6.4
I
Trabajo realizado sobre una partícula
F~ .
¡:rza F.x varía en funci ón de x como se indica en la figura 6.9. Determinar el trabajo rea· por la fuerza cuando aclúa sobre una partícula que se mueve de x = Oa x = 6 m. eamiento del prob lema El lrabajo es el área bajo una curva. Dado que la curva de la :~ tá ronnada por !ramos reCIOS, la aproximación más directa para el cálculo del área es usar 'JS geomélricas. (Otro forma ahemativa es integrar. como se hace en el ejemplo 6.5.)
• , 5
A,
I
de :r.
área es la suma de las dos áreas indicadas. El área de un tri ángulo <,e calcula multipli cando la base por la mitad de la altura:
8.13
\V - AtOUl ) = " ) +" 2
- (5 N)(4 m) + ;(5 N)(2 m)
- 20 J +5 J =125 J I Ejercicio L.1 fuer/.a indicada es la ún ic:I fuerl a que aClúll sobre una partícula de masa 3 kg. Si la partícula parle del reposo en x = O. ¿a qué velocidad se mueve cuando alean7':1el valor x = 6 m? (Respue.ffll 4.08 mis.)
EJEMPLO 6 .5
I
Trabajo de un muelle realizado sobre un bloque
Un bloque de 4 kg apoyado sobre una mcsu sin rozamiento está sujeto a un muelle horizontal que obedece la ley de Rooke y ejerce una fuerza F = -kx~ en donde x se mide desde In posición de equilibrio del bloque y k = 400 N/m. El muelle está originalmente comprimido con el bloque en la posición XI = - 5 cm (figura 6.10). Calcular (a) el trabnjo realÍ7.ndo por el muelle cuando el bloque se desplaza desde XI = -5 cm hasta su posición de equilibriox:z = OY (h) la velocidad del bloque en la posición Xl = O. Planteam iento del problema Hacer un gráfico de F, en fun ción. de x. El Irab~o rcaliz¡~do sobre el bloque cuando éste se desplu1,u de XI n X'2 = O e:. igulII al tiren b llJo la cu,:,'o de l' ,t en funCIón de X entre estos límites (área sombreada en lo fi guro 6.(1). que puede cnlculnfSC mtegrnndo In fu erza sobre esta dislancill. Eltrubajo realizado es igulll a la variación de energía cinéticll: (Iue coincide con la energfa cinética final. yo. que el valor inicial de esta magnilUd es cero. La velocldud del bloque en el punto x = O puede calcularse a partir de la energía cinética del bloque. I Las unidadC!o de le del SI son N/m. pero sus dimen~ione.<¡ son [M IITJ 2. . 2 Aqur no se lrala de una mediu re.spcclO del tiempO. ~ino de una media I"C$pccto de 111 dllilancla.
,, ,,, , ,, ', A,. ,,, ,
3
2
1. El uabajo se determina calculando al área bajo la curva F.f en fun ción 2.
N
I
,
3
,
,•
Figura 6.9
.\. 111
148
I
CapItulo 6 Trabajo y energfa
F,. N
-40 Xl "' · 5
cm Figu ra 6.11
Figura 6.10
(a) El tffibajo W real izado por el muelle sobre el bloque es la integrul de F.. d:r desde Xl = -5 cm ax,! = O:
W=¡·r1 F dx=
f.,- kxdx=-k f.'xdx=-;'k x·'1",
.r, . . . .,
=
-~k(x1-xD
-
'.
=
•
~(4ooN/m )(0.05 m )2
,
= 10,500J I
(b) Aplicando el teorema trabajo-energía cinética y despejando \'2: ~
2W IOlaI
O 2(0,5OOJ) = + 4k g
I'l=vr+ m
= 0,250 m11s2 \'2
= 10.500 mls l
Observación Además de la fucrLa del muelle. sobre el bloque actúan otras dos fuenas: la fuerza de gra\'cdad mg y la fucrLa nonnal de la mesa Fn' Estas dos fuerzas no realizan trabajo alguno, pues carecen de componente en la dirección del movimiento. Sólo el muelle trabaja sobre el bloque. ya que la fucr¿a que ejerce sí tiene una componenle a lo largo de la distancia ax. Ejercicio Determinar la velocidad del bloque cuando alcanza la distancia X = 3 m si parte de x = O con velocidad V.. = 0.5 mis. (Respuesta 0.4 mis.)
Obsérvese que el ejemplo 6.5 110 puede resolverse detenninando la aceleración y d, Jt!s utilizando las ecuaciones de aceleración constante. La fuerla que el muelle ejerce sot el bloque, FJ = - kx. varía con la posición y por lo tanto, la aceleración también es vanabh: on lo que la condición de aceleración constante no se cumple. F (a)
,
, •
6.2 F,
~
,,
. . F, '
Producto escalar
La componente FJ en la figura 6. 12 está relacionada con el ángulo fP entre F y ds P. , ~ a expresión F~ = F cos q" de tal modo que el trabajo realizado por F en un desplaznmiento as _~
• • • •
(b)
Figura 6.12 (a) Uno panícula!'C despinza a lo largo de una curvo en el espacio. (b) L1 componenle de la fuenu FI.. afecta 11 lo dirección del movimiento. pero no a la velocidad. La componenlC tangenc ial F, cambia e l módulo de lo velocidad. pero no su dirección. F, es igual a In mosa por la nceler.tci6n tangencia l dl'ldt. S610 esta componcnle reali7.n trabajo '1obre la panícula.
w=
I~
ds = F cos fP tls
Este lipo de combinación en tre dos vectores y el coseno del ángulo comprendido entre ambos es muy frecuente en ffsica y recibe el nombre de prod ucto cscu lllr de dos veClore!\. El producto escalar entre dos vectores cualesqu iera A y B se escribe A . B Y~c define como (6.10) DEflNlCtÓN - PRODUCTO ESCALAR
6.2 Product o escalar
I
149
tABLA 6. 1 propledi1des del producto e Still ar
A ' B = o (pue... 9= 90°. cos 90 Q = O) A·B = AB(pues9=O°.cosOo = 1)
son pcrpcn{hculnf'C.!> ;. )' B ~on pllrolclos ;. . n = O
'\ YB
A = O ó B = oó A y B Son perpendiculares A
¡\demás :\ . :\ ::::N
porque A es paralelo a sr mismo regla conmUla!iva de. la multiplicaci6n regla distributiva de In multiplicación
:\ . n = !J · /\ (I\. T
B)'
e =A . e + H . e
donde 9 es el ángulo c~mpr~nd ido entre A y n . (El ángu lo ClIlrc dos vectores se define como d ángulo entre sus dtrecClones cn el espacio.) El producto escalar A . Ji puede considernn.e como el productO de A y In componente de B en la dirección de A (AIB cos ifiD o col11 0 el prodúc.to de n por la componente de A en la dirección de B (BlA cas q>D (ver fi gura 6.12), I I~ propledudes del producto esca lllr se resumen en la tabln 6. 1. El I
!!O
• A
A . 11 = (A,i + A,j +A,k) . (B) + B,i + BJ< ) (al
El pi mine petI> ronlO.
o escalar de un vector unitario por sí mismo, como i . i, es 1, de modo que un lér\J A ~' B~ es igual a AI B.... Por otro lado, como los vectores i, j y k son mutuamente -lares, el produclo escalar de uno cualquiera de los arras, como i . j . es cero. Por lo ¡etoS como A.J . B,j (llamados ténninos cruzados) son igual a cero. El resultado es
Figura 6.13 (a) El producto escalar A . B es el producto de A por la proyección de 8 sobre A o el producto de B sobre la proyección de A sobre B. Es decir. A . B = AB cos 9 ABA BAIl'
=
=
(6. 11 )
La Jmponente de un vector a lo largo de un eje puede escribirse como el producto escalar del vector por el vector unitario sobre dicho eje. Por ejemplo, la componente A.
d(A . Il ) dI
Reordenando los términos se obLiene
por lo tanto -d ( A · B ) = ~ dI dI
. B+A .~ dI
(6. 13)
(bl
e
(h) (A + 8) . = (A + B)cC (la proyección de A + B en la dirección de C por C). Sin embargo. (A + B>C =Ac + Be. por lo que (A + B)· C = (Ac + 8cJC =AcC + BcC = A . C + " C. Es decir. en el producto escalar el producto es dbtribuu\o respecto de la sum;l.
I
150
CapItulo 6 Traba jo y energía
EJEMPLO 6.6
I
Uso d e l producto escalar
Il ollllf el á ngulo rorn uulo IJOr 10!l H!CIOresA = 3 1111 + 2 111.1 Y U = 4 1111 - J IIIJ (f1 ~urll 6. 14). (b ) Cukulllf 111 l'Olllponcnlc de A clI llI d lrccdú n de O. {ti)
Pla n tea m iento d e l problema Dctcnll inar el ángulo 9 u partir de In definición del l>Nxlucto e:>('lII3r. UI componente de t\ l ' U la direcci6n de n \C determina a p:lrtir del productOc\ClIlur de A ¡Xlr el \cctor unimrio IlfB. (a) 1. Escrihlr el producto cl'ClIlardc A y U en funci6 n deA. IJ y cos ~ y dC\ I>ejar CO~
A · JI =
Ifr.
"H cos~
r
A· U
costP = AH 2. Dclerminrlr A . n u pnn ir de
~ u~
componelllc.s:
A · U =A, 8 ,+ ,1 , 8 ,
= (3 rn )(4 m ) + (2 m)(-3 111 ) = 12 rn l _6 m2 =6m 2
3. Los módulos de los \'ccIOrcs se obticnen del producto escular del vector por sí mismo:
A· A = (2mf+(3 m )'2 _ 13m 2 , dcmodoquc A
-
Ji3 m
11
Figura 6,14
y
8 · U _ H'l = 8; + 8 ; - (4 m)2+(-3 mf B = 5m
4. Sustituir t:stos valores en la ecuación obte nida en el paso I para cos 9 y detenninnr ~
A·U 6 m2 tOS 9 = A B - -(.Ji3' 1=3"-m")'-(S'----m) - 0.333
.¡ (b)
La componente de A en la dirección de 8 es el produclo escalar de A por el veCIor unitario UIB:
Comprobar el resultado
=170.6° 1 B
A ·-
B
A·U B
6 m'! Sm
La componente de A en la dirección de IJ esA cos ~=(Ji3 m ) cos 70.6 0 =
1,2 rtl.
+ 4 mj y 8 = 2 mi + 8 mj. (h) Determinar A IJ Y e l ángulo ronnndo e ntre A y 8 para estos vectores. (Re:,plle.ftas (a) 38 JIl2. (h) A = 5 m. B = 8.25 m. Eje rcicio
(tI) Dctcnninnr A ' 8 para A = 3 mi
?= 23°.)
En la notación del produclo csca l'lr. e l trabajo d lV rea lizado por uml roena F sobre tícuJa q ue ex peri menta un despl azamicllIo ds es
d \V = Fcos tfJds - F ·ds
UI
Jf-
{I \
I
DIFERENCIAl DEL TlWo
donde ds = IlIsl (el mód ulo de ds). El trabajo rea lizado sobre In pnrtícula cuando ~e tle~ plaz
(6.15)
DEFINICIÓN GENERAl DEL TFtABA./O
(S i la fu crln se ll1un l¡ene conSlnnle , e ltnlbaj o puede cx prcl'arse como IV = F ' s. donde s c\ d desplazamicnlo nelo,)
6.2 Producto escalar
I
151
Cuando varias fuerl.as F¡ actúnn sobre una partícula c uyo desplazamie nto es e/s. ellrabajo total l!s
- F t · ds+ F 2 · eJ.+ . . . - ( F + F + ... )·ds - ( EF¡) · ds I 2
EJEMPLO 6 .7
I
(6. 16)
Caja que hacemo s subir por una pendiente
,.
Se cmpuja um¡ caja por In pendiente d e un u rumpa con una rucn :1l hurlzontul F de 100 N. Por cada 5 ni que se reco r l"'C, la caja sube 3 In. Culculur el In lhajo reali ...udo po r F cuda 5 In de recorrido de 111 caja por la r ampa (a) culculllndu di rectamente el prod ucto csclllnr a pnrti r de las componentes d e F y d el dl'SphI7.nmicnto s. (b ) mulliplicundo el producto de los módulos de F y ele s po r el coseno del ángulo que fornum sus direcciones, (e) calcula ndo F~ Oa componente de la fu erzu en la d ir ección d el d l!Splnzmniento) y multiplicándola por el mód~lo del d l'Spla..,a. miento. y. (ti) dete rminando In componente del d l!SplazlImienlO en In dirección de la fu ena y multiplicándola por el módulo de In fu crLu.
Plant eamie nto d e l pro ble ma Dibujur un esquema de la caja en su posición inicial y final. Utilizar un sistema de coordenadas con el eje x horizontal. Expresar los vectores fue r/.a 'Y desplazamiento en sus componentes 'Y efectuar el producto escalar. Detenninar la componente de la fucrt..3. en J dirección del despla7..amiento y vice\'ersa. (a) Expresar F y s mediante sus componentes y reali7..3..r el producto escalar:
-
(b) Calcular Fs c:os 1/1. donde 1/1 es el ángulo entre los dos vectores. Igualar esta expresión con el resultado del apartado (a) y determi nar cos (J: al final. calcular e l trabajo:
4m
Fig ura 6. 15
•
lo' = IOON i +Oj
4 mi + 3 mj IV _ F · s = F.t1x+ F}Jly s
- ( IOON )( 4m ) +0(3 m) =1400J [ F ·s=Fscos9 y por lo tanto cos
( IOON)(4m)+0 = os (lOO N)(5m ) .
9=
y W =
F.~cos
ti'
- ( lOO N)(5m )O.R =1400 J[
(e) Determinar FJ y multiplicarlo por .~ :
F,
F cos 1/1 = ( 100 N)Q,8 = 80 N
W _ F ,s
(d ) Multiplicar F 'Y sF' donde. sr es la componente de s en la dirección de F. Primero calcular sF:
= (80 N)(5 m) = [400 J [
Sr = s cos 9 = (5 111 )0.8 = 4 m \V = FSr = ( 100 N)(4 m)
=[-IOOJ I
Observación En este problema es más fácil calcular el trabajo usando el procedimielllo del apartlldo (d). En ()Iros r nsos puede convenir Ulili l.ar cualquiera de los otros proccdimienlo~ cxplicudos en este problema. Conviene fum iliariwrsc con cuul(\uiera de estoS proccdimicnlos para podcr usnr el que más convenga en función del problema que se pretenda resolvcr.
EJEMPLO 6.8
I
Desplazamiento d e una partícula
Una partfcula experimentu un d esplllzlImientn s = 2 mi - 5 mj u lo largo d e \lna línca reclu. Ournntc el desplazamiento. una fu er /Al conshmte F = 3 NI + 4 NJ lIcfúu sohre Jil p .. rt í~ulll. l)elcnnlnar (a) el trabajo reu lizudo po r 1" rUenA' y (h) 111 compollcnH' de lu fu er /JI en In du'cc-
ci6n del desplaZllmlento. Pla nteamie nto de l proble m a El trJbajo \V se dctcnnina calculando W = F . s = p. A\ :- F. ~.\'. Combinándolo con la relación F . s = F,s. pudemos dcterminar In componenle de F en la dIreCCIón del dcsplul.amiento. Hacer un esqucma que muc:;tre F. s y IF,I (fi gura 6. 16).
¡INTENTELO USTED MISMOI
.-
'i', , IFI,
•
!i "
'l nli . 5 n1..l
,
Figura 6. 16
152
I
Capftulo 6 Trabajo y energfl'l
Tope fa columna dt lo dertdlo e fnfenlt' rejolverlo usted mismo
Pasos
Respuestas
(a) Calcular el tnlblLjO realizado IV.
\1
F
, ,
,
(b ) l . Calculur s . s y ulililar el re.!>ullndo pum de terminar la distuncia
Isl.
1·1
~
, -
"'\) 111
'21}
mI
,
ni
I ,.1>0 " I
I
2. Us.1ndo F· s = f'r, culcu lar F,.
, I
Observació n La componente dI! 111 fu er,m en la dirección del desplu1.amienlO es negativn; por Jo tanto, d Ir.lbajo realizudo es negAtivo, Eje rcicio
Determinar el módulo de F y el ángulo
I
EJEMPLO 6.9
~ entre F y As, (Respuesta F = 5 N, 4J =
0
121
.)
Diferenciació n de un producto escalar
Demostrar que d (v 2)/dl = 20 ' v, donde v es el vcctor velocidad de módulo v, y 8 es la aceleración.
Se utili7,a In regla paro diferenciar el producto escnlar, ya que \,2 = v · v.
Plan teamien to del proble ma
Aplicar al producto " . " la regla para diferenciar productos escalares:
E.(,,) =
dt
E. ( v . v) dt dv dv dv = - , v+v · - = 2- · v dI tlt dI
por lo tanto.
~ (V2) = 2a , ,' d, Observació n Este ejemplo atañe únicamente a parámetros ci nemáticos. por lo que la relación resultante es estrictamente cinemática, Asimismo, el resultado es válido siempre, ya que sólo se ha utilizado la definici6n de aceleración y el cálculo de la derivada de un producto.
Potencia L.,1 polencin P sum inistrada por una fuerl 3 es el trabajo por unidad de tiem; dicha fuer!.a. Consideremos una pan ícul a con velocidad instant ánea v. En un i de tiempo tlr, la partícula se des plaz'l lis = " dt. El trabajo realizado por una actúa sobre la panícula duranle este interva lo de tiempo es
IO m f - -
e realin ¡¡Jo cono ro F qut'
dW = F ' ds = F . v tlt
La potencia sumi nistrada por la partícula es
,
.
p = tlW - F · v di
(6.111 DHINICIÓN _PoTtNClA
,
.,
·• .•
·• •' ,
..
.,
•• • ·.
I
•
·.
Fig ura 6. 17
Ln unidad del SI de potencia. juli o por segundo. se denomina vatio (W) :
I
1 W = 1 Jls Obsérvese, In diferencia entre pot'nc·· b . d .-" I " t: 1.1 Y tra Ujo, Dos motores que elevan una ~ 1 t;1"" ~nda carga a Igual chstancHl consumen la misma energía. pero el que 10 Icvullto en mel!i'" ucmpo es más potente Al pagar h ~ . d . , aCllI ra e consulllO de e lectri cidad o ele ga~ n la ,.'Onl¡'lrol
6.2 Producto escalar
la energfa consumida no la PO! ' L l' , ñfll. sumini stradora. pagamos k' l . '. e nclU. a acturn vIene expresada nonnalmente en I ovntlos-hora (kW . h). Un kilovatio-hora de energfa es
I kW , h = ( IOJ W)(3600 s) = 3,6 x I0' W . s = 3.6MJ En el sisle~a ~abitua l de los EEUU. l a.u~idad de energía es el pie- libra y la unidad de poten cia es el pIe-libra por segundo. Un muluplo común de esta unidad es el caballo de vapor (HP):
I hp = 550 ft ' Ibi s = 746 W
EJEMPLO 6.10
I
Potencia de un motor
Un PCCluclio motor mueve un ascensor (Iue eleva una carga de ladrillos de peso 800 N a una alturll dc 10 n1 cn 20 s. ¿Cuál es lo potcnclo mfnima que dcbe suministrar el motor'?
Planteamie nto .del problema Pum determinar la potencia m{nima suponemos quc los ladrillos se elevan a velOCIdad constante. Como In aceleraci6n es cero, el m6dulo de la fuena hucia arriba :ida por el motor es igual al peso de los ladrillos. 800 N. La potcncia transmitida por el motor es IJministrada por F. ootencia "icne dada por F . \' :
:!rvación
P = F · \' = FI' COS 9 = FI' COS O
Esta potencia mrnima resultante de 400 W es algo superior a medio caballo de vapor.
·¡cio (o) Determinar el trabajo total realizado por la fuerza. eh) Calcu lar la polencia diviOel trabajo total por el tiempo total. (Respuestas (a) 8000 J. (b) 400 W.)
E¡t:M PlO 6.11
I
Potencia y energía cinética
Iñmostrar que la potencia transmitida sobre una partícula por la rUcrLa neta que ach'la sobre eUa se iguala con la tasa de cambio de la encrgía cinética de la partícula.
Plantea miento del problema La potencia transmitida por la fuerza neta viene dada por Fncta . v. Demostrar que Fncta . \' = dE/dI, donde El; = ~mv2.
1. Aplicar el resu ltado del ejemplo 6.9 junto con a = Fnetlm y determinar FDC\II • v:
2a · \' = !! (I'~ ) d,
r !IN. , .
-
?
111
F ncll
. ,. = ~ !l. ( 1,2) 2 dI
2. La masa es constante, por lo que se puede introduci r denlrO del argumento de la derivada.
Observación En la sección siguientc se usan los resultados de este ejemplo pura obtener cl teorema trabajo-energía cinética en tres dimensiones.
En el ejemplo 6. 10 se ha calculado la potencia sumini strada a los ladri llos por el extremo , , ' d I Infenor de la cuerda. En este caso la tasa de cambiO e a enefgfo cinética de la. cuerda es tor a la cue rda es la misma pOlcn. . . dcsprecmble. por lo que In pot c nc .ta sumlntstrada por e Imo cia que la cuerda transmite a los lad rillos.
I
1S3
154
I
Capftulo 6 TrabaJo y energía
6.3 TrabaJo y energía en tres dimensiones
• F - dE/dt donde E = ! mv 2. El teorema trabaj(). A partir del ejemplo 6. 11 tenemos rte'1:.· V '. e nio los dos términos de es' encrgfa cinéticu cntres dimcnsioncs pucde cstab lecerse Integra · . . la cCUllción con respecto del tiempo. Esto nos conducc a
r 1F
Jf,
r.
. v dt= MIli
~ dEc
.
tI
di
(6.181
dt
Como ds = v dI, donde ds cs e l desplazlImicnlo durante e l tiempo dI. Y teniendo en cuenta. adcmás, que (dEcldl ylt = dEc' la ecuación 6. 18 puede expresarse
~Fnet3' d s
=
~dEe
en donde la integral de la izquierda es el lrabujo total \Vlolul rcal i ~ado sobre la partícula. (En el Cilpítu lo 7 se prcsenlan las relaciones tmbajo-energía pa~ objetOs. a los que. no se puede considerar como plIrtfeulas.) El primer miembro de la expresión alllenor puede IIllcgrnrse.lo cun lllevlI ¡¡
(6.19) ECUACIÓN TRABAJO - ENERGfA ClN{TICA EN TRB DIMENSIONES
La ecuación 6.19 se obtiene directalllente de la segunda ley de Newlon del movimiento.
EJEMPLO 6.12
I
¡PÓNGALO EN
Trabajo realizado sobre una esq ui adora
Dos esquia doras visitan ulla estación de esquí que tiene dos pistas, una paru principillntcs y olrll paro expertos. Ambas pis tas comienl.un a l fin a l de un tclea rrns lre y acuban al comienzo de esta infraestructura. Sea" la dista ncia \'ertical entre el comienzo y el fin a l de a mbas piSL'1S. Nnturalmentc, la pista pura principiantes es más larga y con pendi cntes m enos pronunciadas «ue la pista para esquiadores expertos. Las dos esquiudorns, una de las cuales es mucho mejor esquiadora que la otra, está n prohllndo unos csquís experimentales que no tienen J"07..umiento. Paro hacer las COSIIS más interesantes, la menos experta IIpuesta con su IImign quc si uml va por la pista para expertos y la otra por la de principiantes. ambas lIegllran a l final común de las dos piSlllS a lu mi¡¡ma velocida d. La experta a cepl1l la apuesta (olvidándose que Sil amiga est.á siguiendo un curso de físico) con la condiei6n de q ue IUnhns comiencen desde el reposo en el mismo punto al final del telearras tre y que bajen toda 111 pistll sin frenar. ¿Quié n gana la apuesta, suponiendo que la resis tencia con el aire es despreciable?
Planteamiento del proble ma Dudo que las dos amigas dcslizan con los c!>(luís. pueden considCI"".arse como dos partículas. Sobre c:ldu una de IlIs esquiadoras :Ictú:m do!> fuerzas, lu gravedad mI-! Y lu fuerla normal Fn. Hncer UJl esquema de la:. fu~rzas que actúun sobre unn cualquiem de lus esquiadoras dibujando los dos veclores e incluyendo los ejes de coordenadas (fi gul'
3. La fuer7.'1mg sobre las esquiadoras es co n ~ t antc- pero lu fuena nonnnl Fo no lo cs. C:llcul:lr primero el tmbajo renliwdo por Fo' Calcu lar el Imbujo IJ\\'n rcnlizndo :,obre una de las esquiadoras por Fn para un dC.!.platamienlo infinilcsimal
,.
(a)
(1))
gfl! cinélica: 2. Panl cada e..~(luiad ora, el tmbajo total es el tmbujo rcali ludo por In fuerla normal más el tmb..jo rcaliludo por la fuenIl gmvilatoria:
su CONTEXTO!
Figura 6. 18 IVIOQI = W n + W.
I
6.4 Energía potencial 4. DClcnninur el á ngulo t;I cmn.: tus direcc i n. " .~ .'. ,. {" " c.~ uC y (" d ll1i~'nlO ds e ~ punalclo ti In pendiente: n.o ' ,
1 SS
dc~p l uzll
, •
5. Calcular el lrabajo reali/..lldo por 10'" durame todo el dcscen~o :
lf\V n
:: p~ co~ 90° d.r ::: O.
Wn "' ¡clW n = 0 6. La fuerza de lu gnavcduu es COflstmue • PO', lo """'" . rea l'IZó\uO .• v e·1 'mb liJO por la gnl\'cdad es \V.. = m~ . S. donde .s e.~ el .• -. 1 . . . • uc~p ¡¡I.amlento nelO
IV. = ",g . S ::: - mg j . (tul + a yj )
desde el mIelO de tu plsln nI /innl (figuro 6. 19):
:::z
7. Las ......·ndie . ntc 1"" lo ' 1"0 u)' • el> nega. csqui¡¡dorn ~ desciende n por 111 "[1'"0. De 1(1 fi gunl 6. 180. vemos. qUt: Ay = - h:
8. Susliluycntlo
~c
tJ.y
obtiene:
- mg ay
,, ,, Al" , ,, ,,
=- h
W, = m g h
9. Aplicar e l h..'Orcmn Ir..tbujo-cncrgrn cinética pum de tcrminnr 1',:
IV n + \V,::: 6E~
10. Lo \'d flCidnd final deJ)l;!ndc sólo de Ir, que es lu mismu pllm los dos de...-
0+111811 = ~11I1'r- O
censos. Amb:IS csquindoms IClldránln mi:mlll velocidad finu1.
Figura 6.19
por lo tan10
v, = J2g h La csquiadorn menos expena hu g¡¡nado la apuesta ya que ambas hnn llegado a la misma \'clocidad.
Observación Ln esquiadora más CXpe n:l invenirá un tiempo menor en llegar ti In Ifnca de llegada. ro la apuesta no era ésta. Lo q ue se ha demoslrndo en este ejercicio es que el tmbajo rcali7.tldo r fuerzn de la gm\'cdad se iguala a I1Ig1l. No depende de la fonn a de la colina ni del camino tOrna:. '~ pcnde
Í1nicullle nte de la diferencia de altura entre el punto de salida y el de llegada.
el ejemplo 6. 12 hemos visto que el trabajo real izado por la fuerza grav itatoria es indepcnnle del camino seguido. Este hecho nos lleva al concepto de energía potencial, concepto que dedicamos la sección que sigue.
6.4
Energía potencial
•
El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variac ión de su energía ci nética. Sin embarfo. frecuentemente nos interesa el trabajo rea lizado por un si:.-u!l1U1 de dos o m:lS partfcu las. En muchos casos el trabajo rea lizado por las fu erlas externas sobre un sistemll no incrementa su energía cinética. sino que se almacena como energía potcnci:l1 . es decir. energía asociada a la configuración del sistema. Consideremos el levantamiento de una barra de pesas de masa 111 a una alt ura 11. El lrabajo que realiz1t la fuerla grav itatoria es - "'gil. L I bnrra empieza y acaba en estudo de reposo. Corno 1:1 energía cinética de la barra no varía. el trabajo total sobre la barra es cero. Esto significa que e l atleta que levanla la barra de pesas ejerce sobrc ella una ('ueila de +lIIgII. Consideremos ahora la barra y el planeta Tierra (pero no el levantador de las PCS¡lS) como un sistema de panícul as. Las fue itas externas que actúan sobre el sistemll 7ierrtlbarra son la atracción gravilmoria que el at lelu ejerce sobre la 7ierra. la fuerl a que su~ pies ejercen sobre la Tierra y la fllcita I1Ig que sus manos ejercen sobre la burra (figura 6.20). (Puede desprec iarse la fu eíla gravit¡noria que el levantndor ejerce sobre lu barra.) Ln barra se mueve. pero el movi mienlo de la Tierra es despreciable. de modo que la única fue ita externa ejercida sobre el sistemn que real iza trabajo es la fu er/.u ejercida por el atlela sobre la barra. El trabajo tOlal rcaliZl.ldo sobre el sistemu Ticrra-barrrt por fueitus extl'1'IU1$ ni sistema es IIIg". Este trabajo se almacena como energfu potencial, la cual está asociada a In con fi guración del sistema Tierra-barra. Ese tipo de energía se Ilalllll energía potenciol gravitlllorill. Un muelle es ouo ejemplo de sistemn que nlmocenn energía medi ante su configuración. Si se estira Ose comprime un muelle, la energía asociada con 111 longitud del muelle se al maI
1.0<; ~istemas de part(culns ~ ¡mlnn "ub nmplim~nll: en el cophuln 8.
•
•
,, •
• •,• , ,
Sistema
\• ...... . •• • •• •
, •• •• ••• ••, ' --
•• ••• •, , •
•• •• •• •• •, , • •• •• • •• ,,
--- ---.- ---- ----------,
Figura 6.20 Sistema formado por unu barro de pc ..ns y In Tierrn. pero 110 el atlttn. Allc\'ant¡¡r la b.'lrrn. el atleta trubaja sobre C5te sistema.
I
156
Caprtulo 6 Trabajo y energra
, "
, F,
- :
'I ..
Figura 6 .21 El muelle e:. comprimido por lus (uen:lls c.xtemas F1Y F2. Las dos fuerlllS re:tli ....an un lI'1lbajo posith'o en el muelle cOlllprimlc!ndolo. por lo que la energía potencial elástica del muelle au-
mema.
cena como encrgfa pOlencial. Consideremos el muelle de la fig uro 6.2 1: si se comprime medianle fuerzas iguales y de semido contrario. F I Y F 2. eSlas fuerzas su~an ,cero y I~ ruerza nCla que se ejerce sobre el muelle sigue siendo cero. por lo q u~ no hay mngun cambiOen la energfu ci nética del muell e. El trabajo que se ejerce sobre el sistema. no se almac~na COl1\o energfu ci nétit:n sino como energfll potencial elástica: la confi gurnclón de est~ SiStema ha cambiado. como queda patente por el eumbi o de In longitud del muelle. E~ traba~~ tOtal reali. zado sobre el muelle es positivo porque las dos fuerl.a5 reali zan un trabl\jo.poSIlIVO. (Eltra. bajo reali zado por F I es posilivo porque I
Fuerzas conservativas Cuando un esquiador asciende mediante un telesqu í a lo alto de una pista de altura h. el tra. bajo reali zado por la máq uina sobre él es mglt y el realizado por la gravedad - m~h. Cuando el esquiador se desliza desde arri ba hasta el puntO más bajo de la pista, el trabajO realizado por la grnvednd es +mgh, independientemente de la forma de la pista (como se ha visto en el ejemplo 6. 12), El trabajo total rea lizado por la gravedad sobre el esqui ador en el viaje de ida y vueha es cero, independien temente de la trayectoria seguida. Se dice que la fuerta de la grnvedad ejercida sobre el esquiador es una ruerza conserva ti va . Una fuena es conservativa si el trabajo total que realiza sobre una partícul a es cero cuando la partícula recorre un trayectoria cerrada y vuelve a su posición inicial. D~INI CIÓN -FUERZA CONSERVATlVA
La figura 6.22 nos muestra que esta defini ción impli ca lo sigui ente: El trabajo reali zado por una fu erza conservativa es independ iente de la trayectoria seguida por la partícula cuando se mueve de un puma a otro. D EfiNICIÓN ALTERNATIVA - FuERZA CONSERv
Consideremos ahora el esquiador y la Tierra como yn sistema de dos f){míclIlas. (El t no forma parte del sistema. ) Cuando el telesquí conduce al e..~ qlli ador a lo alto de la pi liza el trabajo mgh sobre el sistema esquiador-Tierra. Este trabajo es almacenado er de energía potencial del sistema. Cuando el esqui ador desciende por la pista, esta potencial se conviene en energía cinética de movimiento.
y
Trayectoria A
\.juí ~a.
ma lia
Trayectoria .... , B
Funciones de energía potencial
, ~o ' - - - - - - - - - --
---;x
Figura 6.22 Dos trayectori as en el espacio conecton los p u n to~ I y 2. Si el rnlbajo realil.ado por una fUCíl3 conservativa a lo largo de In trayectoria A de I a 2 es W, en el recorrido de vuella n lo largo de la trayectoria B el lmbajo debe ser igual n _ W ya que el trnbnjo reali1..ndo u [o largo de una trayeclOrin cernida que termine en el punto de punidn es IguIII fl cero. Cuando lIe recorre In tr3ycclori n B de 1 n 2, In fuerza es In misma en cada punto, pero el desplnl.nmicnto es 0puCSIO al que va de 2 u l . Por lo lunlo.
ellr:lbajo renfitado [1 lo largo de la Imyecloria 8 de I n 2 e~ tambi~n IV. De aqur se deduce que eltmbajo realizado sobre una pan(cula que se desplata sobre el punto I a 2 es el mismo para todas las tmyeclorias que COnect:ln los dos puntos.
Como el trabajo realizado por un a fuerza conservativa sobre una partículu no depen· la trayectori a, s610 depe nde de los pu ntos ex tremos I y 2. Podemos usar esta propied.. .ra definir la función energía-polen cial U, asociada a una fuerza conservativa. Obsérve ue cuando el esquiador se desliza hncia abujo por la pista, el trabajo rea li zado por la gra 'ld disminuye la energía potencial del sistema. En general , la función energía potencial se ne de tal modo que el trabajo realizado por una fuerza conservativa sea igual a la dismllll ón de la función energía-polenciol :
IV = f;F .ds -
- tJ.U
es decir,
tJ. u =
U ,- U , =
-f; F· ds
(6.20.1
DEfiNICiÓN - FUNCiÓN tNERGiA POTtNOAL
Para un desplazamiento infi nitesimal tenemos d U= - F · ds
6.4 Energ{a potencial
I
157
podemos• calcu lar la [unción energía·potcnciul a~ochdu co" la l·uerzu gruvlllltona . . pr6 xlma · • • • < u la sUperfIc ie de la Tieml llledlUlUc lu ecuación 6.2 1b. Pam la fuenm F = - mgj, re"uhn dU = - F · ds = - (- mgJ ) . (d:c l + ,Jyj + dzk ) = +1118 d )' I!
integrando obtenemos
u = Jmg d)' = mg )' + Uo u
= Uo +mgy
(6.2 1)
ENERGfA POTENCIAL GRAVITATO RIA PRÓXIMA A LA SUPERnCIf. PE LA TIERRA
en donde UQ• la consttl.llIC nrbi t ru~in .de integración, es el valor de lu energfa potencial para y = O. Como s610 defi nllllos la vanaclón de energía potencial. el valor reHI de U no es importante . Somos libres pura dnr u U el va lor cero en cualquier punto de refcrenciu. Por ejemplo, si In energía potencial gr:.lvitntoria de l sistcmu Tierra-esquiador se el ige iguul ¡¡ cero cuando el esquilldor está en el fondo de In pistu. su valor a la altura J¡ sobre este nivel es m¡.:JL Tamhién pode mos elegir In e nergía potencial cero cuando el csquiador está en un punto P a 'lledio cam ino de la pendie nte. en cuyo caso su valor en cualquier otro punto sería mg)', en '1 nde)' es la altura del esquiador respecto al puma P.
ercicio
Una muchacha de 55 kg se encuentra en un balcón a 8 m por encimn del suelo. 'uál es la energfa potencial del sistema muchacha-Tierra si (a ) U se elige cero en el suelo: U se elige cero a 4 m por encima del suelo; y (e) U se elige cero 10 m por enci ma del lo? (Respuestas (a) 4.32 kJ . (b ) 2 , 16 kJ , (e) - 1.08 kJ .)
~IEM PlO
6 .13
I
la botella que cae
,.•
tina botella de O~50 kg de masa cae desde un estante que e!.tá 1,75 m por encima del suelo. Determinar la energfa potencial del sistema Tierra·botella cuando In botella está en el estante y cuando está a punto de chocar con el suelo. Determinar la energía cinética de lu botella justo antes del impacto.
Pla nteamiento del problema Al caer la botella, el trabajo realizado por la Tierra sobre la botelltl iguala con signo contrario el cambio en la energía polencial del sistema botella-Tierra, Si se sabe cuántO vale este trabajo. se puede usar el teorema trabajo-cnergía cinélicu pam determinar ltl energfa cin~ticn. , . Hacer un esquema que muestre la botella en el estante y la botella antes de chocar con el suelo (figur'd 6.23). Suponer que la energía potencial del sistemu botella-Tierra es cero cuando la botellu está en el suelo, y colocar el eje y con su origen en el suelo:
, h
•
• •
..
,• ••
t __. _J
•• •
•
,• ,•1,.
,.
• •
__ •<
~
2. La única fuerro que realiza trabajo sobre la botella mientrns cae es la fuerta de la gravedad, por lo que WCOIaI = W, . Aplicar el teorema tra·
Figura 6.23
bajo-energfa cinética a la botella que cae: 3. La fuel7.a ejercida por la TIerra sobre la botella durante su caída es una fuerLU interna al sistema botella·TIerra. También es una fu erlll con¡:;ervativa, por lo que el trabajo realizado iguala el cambio en la energía pOlencial del sistema: 4. Sustituir el resultado del paso 3 en el resultado del paso 2 y obtener In energ(a cinética final, teniendo en cuenta que In energía cinéticll inicial
es cero.
IV, = - AU = -( Uf - U¡) = -(1118)',-1118)',)
= /II g(,\', - Yr) = /11 8(11 - O) = mgll
IIIgl, = 6Ec
1118" = E~, - Ec, Ee, = Ee, +mgh = 0+ (0.350 kg)(9.81 Nlkg)( 1.75 m)
=16.01 )
I
Observación En este ejemplo, la energía potencial perdida por el sislcmu botella-Ticml ~ c~~ . que en el pliSO I hemos uu1l· Viene totalmente en energía cinét .ica de la bole 11 n que cae. Obsérvese . zado lu derinición 1 J = IN · m.
•
158
I
Cllprtulo 6 Trabajo '1 energ fn
c~:,fi!lnd'Cei6en,edee"i~:~P{;~(';~::I:eP~:~~::/~~aPtp~}
1...11 e nc rgíu potc ncial ..e asociu con IU . I del:lbotc IIn- . IC •••I ,~. "'L!' vcce.~ e n un SISICIllUcomo e . . ) . r 'dud mu c h ll~ vece' no, ref(!' culu (el movimiento de la 1icrra ~ dcsprccUlble). I or ~I mp ICI . • n· []laS a In cllergín pOlcncill1 del !iiO:lellll1 botcll a-TIerra ~i l1lplcmente como In cnergm POI(!ncial
dc lu botcl ln .
•
'.
L.'\ rUcrl.:l npllcndn F. I, muc"e el blodcredm l imndo uelmuelle hnMn .1' 1'
Figura 6.24 que Imdr.
la
tro eJ'cmplo de una fuertll conscrvlltiva es 1" qlle Energía potenc 1a 1 en un mue Ile O . . ·d ) S • mo!. que tirumos de un bloque atado "Un e.jcrce un muelle estl rl!do (o com prmll o . uponga .. , . fi 624) El muelle y lo clcsplfl/,lUllOS dc una po~¡ci6n .r = O (equl hbno) a Ol~a ,(1 .< Igur:" : . muelle rcnlizn un Inlbajo negativo porque ~u fucr/u .'le opone a In ~lreccl~~1 del ~ovl~lelllo. SI ahora dej lllnos el blO(IUC en li bcrwd. el muelle rt:a li/.11 un trabajo po" IIIVO. al .Icelerar el blo··6 n .. '. 1 El Ir· baJ·o IOIllI rea li tado por el muelle. para mover el bloque que h tlc .m su 1>0'olCI IIIICla . . . . . ' .. ·al x y devolverlo luego a.r =• O~ .. cero. Independlenlemente del · ·6 I n Ill1 el. x = I . .. 1lllstll s u poSIC v¡¡lor de XI (siempre que el alarg¡¡rnienlo 110 o:upcre elllln lle de el ~!ollcldad del muelle). La fuerl.lI que ejerce el muelle es. por 10 tanto. una fueíl.a conservat~va. Podemos calcular la función energra pOle ncial usocind:¡ :1 esta fueíl.U 11 partir de la ecuación 6.20b:
-
- F · ds
-
- F. rlx
- - (- kx)dx -
+kx d.x
Por lo lanlO.
V en donde Haciendo
-
Jkxtlx = ~ kx
2
+U O
Uo es In energía potencial para x = O. es deci r. cuando el muelle está sin len!)ar. Uo igual a cero resulta
u-
~ kx 2
(6.22)
•
ENERGfA POTENCIAl DE. UN Ml <'Llf
°
Cuando tiramos del bloque desde x = hasta x = X I ' ejerce mos una fuerta aplicada S(1 1 el muelle. Si el bloque inicia su movimiento en x = O Y lo acaba en x = Xl' en ambos ca~ en reposo. el cambio de su energía cinética es cero. El teorema trabajo-energía implica ql el trabajo total realizado sobre el bloque es cero. es decir Wap + \Vmuelle = 0, O Wap
= - \V m,,~lIe
=
dUllloc1k:
= ~ kxr-O = ~ kx[
Este trabajo se almacena en ronna de energía potenc ial en el sistem:1 muelle-bloque.
EJEMPLO 6.14
I
La energía potencial de un jugador de basquet
Considcrt!mos (,t sistema rormado por un jugador de busquet. el aro de una de lus CeshL<; y lu Tierra. Supongamos que lu energía potencial del sistema es ce ro cUllndo el ju¡:udor no está SIIIlando y el aro está en posición horizontal. Oetenninllr la energía potencial total de este sistema cuando el jugador se cuelgn del aro como se muestra en la ligurll 6.25. Supongamos IlImhién que se puede describir el ju~ador como unu muslI puntual de 110 kg n 0.8 m de ulturn por encima del sucio cuundo estú de pie y JI I ~ m de altura cuando se cuelga dcl aro. Ln constílnte de fucrzlI delllro L'S 7.2 kN/m y la parte frontal dclllro se dcsphlzlI IInll distnncill .~ = 15 cm.
-
-.., -,r ..
1.5 ~m .. 0. 1.5 m
~
Bn el cambio de posici6n del jugfldor. desde el suelo hmila el aro, la variución total de la energía potenci al eonsisle e n ellergfn potcncial grm·iulloria. VI = It/gy, Y energra almacenada por el aro desplazado, cuyo energía polencial !le supone f1ná loga ;¡ In de un muelle: V, = ~ kSl. Elegimos y =O a 0.8 rn del sue lo como punto de referencia de la energía polencial Planteamiento del problema
• • gmvllulOrm.
Figura 6.25
6.4 EnergY potendll
Lu energra polencial 10141 e~ lo suma de lo energía poienciol gmvital . ID energra potencial eh1.~tica del aro (figum 6.26): ona y
u = U.+U••
m8Y+~ ksz
= (110 kg)(9.81 N/kg)(O.5 m) + ~ (7.2 kN/m)(O.IS m)! :: 54OJ+81J = 1621J I
"' "" 6"
',., ----¡~;;;;::=;;::~--:-::
Mil ,~ 0.00
0.05
0. 10
0.1$
0,20
$,
Figura 6 .26 El gráfico muestra lo energía polenciallOlal U, + V, en fun ción de la deformoei6n del aro.
m
Observación En este caso cosi loda lo energía potencial es gravitatoria, ,. cauSfI del origen de energía potencial elegido. Ejercicio Un bloque de 3 kg cuelga verticalmente de un muelle CUYfI constante de fuerJ,a es 600 N/m. (a) ¿Cuál será el alargamiento del muelle cuando el bloque alcance el equil ibrio? (h) ¿Cuánta energía potencial se almacena en el sistema muelle-bloque? (RI!.~/Jlles/Q.~ «(1) 4.9 cm. (h) 0.72 J)
Fuerzas no conservativas No lodas las fuenas son conservativas. Supongamos que se empuja desde un punto A hasla un punto B una caja silUada encima de una mesa y que luego se vuelve de B a A. de forma que la caj a acaba en el mismo sitio de donde ha salido. El rozamiento se opone al movimiento, por lo que la fuerla que se ejcrce al empujar la caja, que siempre va en la dirección del movi miento, real iza un trabajo positivo en los dos tramos del Irayecto. Por lo tanto. el trabajo total q ue ha hecho el empuje no es cero y nos enconlramos ante un ejemplo de fuerza no conservativa para la cual no podemos definir una función energía potencinl. Algunas veces se puede demostrar q ue una fuerza determ inada no es conservativa cnlculanda el trabajo realizado por la fu er.la a lrededor de alguna curva cerrada y mostrando que é!ite no es cero. Consideremos la fuena F = Fo~. donde 4- es un vector unitario dirigido según la tangente a un círculo de radio r. El trabujo realizado por esta fuerza cuando nos movemos alrededor del círculo de radio res +Fo2Trr si lo hacemos en la dirección de la fuerLu (y -Fo2Jrr si lo hacemos en la dirección opuestu a la fuerLll ). Como este trabujo no es cero, conclui mos q ue la fu er.la no es conservativa. Sin embargo, este mélodo pura saber si una fuerla es conservativa o no e!i limitado. ya que si el trabajo rea lizado alrededor de 1/11 camino detenninado no es cero podemos concluir que 1<1 fuerat no es conse rvativa pero. en cambio, para que una fu ena sea conservativa el u abajo debe ser cero en IOdos las trayectorias cerradas posibles. Como hay infi nitas trayectorias cerradas. es imposible calcular el Ira· bajo realizado en cada una. En cursos de física más avanzados se exponen métodos matemáticos más sofisticados para probar el carácter conservativo o no de las fUertlls.
Energía potencial y equilibrio Paro una fuerla conservativa general en una dimensión. F = F,I' i , la ecuación 6.20b es:
dU = - F · ds = - F., dx La fue rlu es. por lo tanlo.ln derivada negativa de In función energra potencial:
dU F =--
,
dx
(6.23)
1 159
160
I
Capftulo 6 Trabajo y energra
. . ' barse para el caso de un sistema bloque~muene dif!!. Esta expres ión general puede compro , d 1 f cI'ón U - 1 1, \.2 con lo que obtenemos rencwn o a un - 2' 1\. •
u u '" tkx~
.
__ dU == F1 dx
F = _ dU _ c _k:c
"'
= - kx
mil
x Figura 6 .27
_!!..(! kX2 ) dx 2
Fundón cncrgfn-polt!ncinl U en fun -
d' U == ! k.r en funci ón del desplazamiento x para Un 1i~ L1 figu r.l 6.27 mueSlfa un g ca e 2 ráfi ment po I . tema bl lIc-muelle. La derivuda de esta función se represe.nta g ca e .r a pendiente oq L f erloU e..<¡ por lo tunto Igual al valor negallvo de la pen de la Iínca tangente n la curva. a u . · . á'" , P _ O 111 fucrloa F = - dU/dx es cero ':1 el bloque est en eqUilibrio dien te de lu curva. ara x - . '.r •
ciÓn del despluzmnicl1lo x pan! un objeto sujeto ¡} un muelle. Un mínimo en una curva de energía polcncinl e.~ un punto de equilibrio C$lnblc, ya qut: [os dcsplnzumicnlos fl ambos Indos de este punlO dan
lugar n una fu erl.n que está dirigidu hacin In posición de equi librio.
u
U Ila
l' l l' br'l o S'I la fuerza neta que actúa sobre ella es nula. part rcu 1:1 esId en eqU . CONDICIÓN DE EQUIIJ8R1O
Cuando x es positi vu (figura 6.27), la pendiente es positiv~ ~ la fuer¿;a Ff es negativa. Cuando.l es negativa, [a pendiente es ncgnti va y In Fuer/..a FJ es posltl~a. En a~bos ~asos: la f~erza titne la dirección que ucelern el bloque hucia los vulores de energm potcnCla~ maS ~aJos. SI el bloqUe se desplaza [igernmente de x = 0, [a fuerl u se dirige hacia atrás, es deC ir, ha.cla x = O. El equili. brio en x = 0, es por lo tanto, un equilibrio estable, ya que ~n despl ~z.amlento ~~U~ño hace que una fuerza restauradora acelere la partícula de nuevo haCia su poSIción de eqUl hbno. En el equilibri o estable un pequeño desplazamiento da lugar a una fuerza restauradora que ace lera la partícu la hacia atrás en busca de su posición de equ ilibrio.
x
Figura 6.28
Una panícula en:c = O para esta cur-
va de energía potencial se encontmrá en equili brio
inestable. ya que los despla7.umientos en una u otra dirección. dan lugar a una fuerza que la aleja de la posición de equilibrio.
u
En la figura 6.28 se llluestrn una curva para la energía potencial con un máx imo para:c = O en lugar de un mínimo. Esta curva podría representar, por ejemplo, la energía potencial de un esquiador en la cumbre de una col ina entre dos valles. En esta curva, cuando x es positi\'ll. la pendiente es negativa, ':1 la fuerza Fx es pos itiva: y cuando x es negativa, la pendiente ~ positiva y la fuerza Fxes negativa. De nuevo la fuerza tiene aquella dirección que acelern la partícula hacia la menor energía potencial, pero en este caso la fuerza se aleja de la po~ici6n de equilibrio. El máxi mo para x = Oen la fig ura 6.28 es un punto de equilibrio inestable. ya que un desplazamiento pequeño da lugar a una fuerza que acelera la partícula alejándola de su posición de equilibri o. En el equilibri o inestable un pequeño desplazamien to da lugar a una fuerza que aeel ·a la partícula alejándola de la posición de equi librio.
Figura 6.29 Equilibrio neu l ro. La fuerza F.. = -tlU/dr es cero pam x = O Y para los pUnlOS próximos. Si unu panícula se despinza en cualquier dirección a pnrtir de x = O. no experimenta ninguna fuerloa y por lo tanto. permanece en equilibrio.
EJEMPLO 6,15
I
La figura 6.29 muestra una curva de energía potencial que es plana en la región pr x = O y, por lo !anto, la partícul a está en equi librio. Si la partícula se desplaza ligero: cualquier dirección la fuerzn seguirá siendo cero. Este es un eje mplo de equilibrio " e'
ima a ¡te en
En el equilibrio neutro un pequeño despl azamiento no da lugar a ninguna fUl modo que la partícula sigue en equ ilibrio.
de
Función energía potencial y fuerzas
Lo rUen.8 de una partícula en la reglón -a < x < a se representa mediante la runclón energía potencial
u = -b[a+x 1 + 1 J a- x donde a y b son constantes positivas. (a) Determinar la tuerza F en la reBlón _ < rb) .p é ' • A' --.. X < a. 4. ara qu valor de x la ruen.a vale cero? (e) En el punto en que la tuerza.!le anula . I i~ IIbrlo es estable o Inestable? ,(oe equ
¡INTENTELO USTED MISMO!
·1.
6.4 Energ'- potlnd.1
I
161
Planteamiento del problema La fuena es la de . . . . gín polcncin l. Bll!
;Vada.
ToJU' lo columno de la derecha
p
e
Inrente re~olverlo usted mIsmo
PasOs Respuest as (a) Calcular f'x = -dUltb:. F • '"
1 • -b ( (X+ II )'
(b) Igunlar Fx, a cero y resolver pum x.
" ,=0 paru l ,l=fl l
(e) Cnk u[lIr (/l UItJ.\.l. Si es positivo en tu posición de equilibrio. U alcanza un mínimo y el equilibrio e... estuble. Si es negativo. entonces U es un má.x imo y el equilibrio I!S incstable.
pam, =
(). I / '
~
.::Y!
'"
1/'
(1 \
Por lo 1.11110. equil ihreo l ine~t¡¡hle
I
'l~ervación
Esta ~unci~n e~erg.ra potencial c,~ la que corresponde a unu partfcula bajo la ¡nfluente IriS ruerl.as gmvl1atonus ejercIdas por do~ musas fija s e idénticas. una cn x = ....tI Yla otra en x = .....1 partícula está en la línea que une las masas y en el punto medio la fuel7..a neta es cero. De otro (J. tendña la dirección de la masa más próxima.
R esulJ.elJ
TEMA
1
Trabajo. encrgra cinética. energía potencial y potencia son magnitudes dinámicas impenantes.
2
El leorernu del trabajo·energla cinética es una relación imponante deducidn de las leyes de Newlon aplicadas a una panícula. (En este comcxto, una panícula es un objeto perfectamente rígido que se mueve sin rotar.)
3
El
p rodU CIO c,'iC
dos vectores es una definición matemática útil en todos los campos de la física.
OBSERVACIONES V ECUACIONES RELEVANTES
1. Trabajo (definición)
(6.15)
Fucrla constante
w=
r ·s
En una dimensión Fuert.a constante Fuel7.<1 variable
F cos 9 t1x
(6. 1)
= área bajo la curva de F, en función de x
(6.9)
IV = F , t.\:r =
IV ....
J"'. F , d.r
2. Energía cinética (definición)
(6.6)
~
3. Teorema del trabajo-energía cinética
•
4. Producto escalar En funci ón de las componcnte...
I/II'r
A·8 =
d
- ( A · O) dr
(6.7)
(6.10)
t\ · 0 =ABcos 9
Componente del vector Derivada
/111'1-{•
A,H , +A ~ B. +A , B,
(6.11)
A · ¡ "" A ,
(6. 12)
(lA
= -
dr
· 8 +A
dB
-dI
(6.13)
162
I
Ca pítulo 6 TrAbaJo y energfa
(/\11 ¡J .. _
,1,
5. Polencla
=
-
,_ ,
(6. 17)
l'
bre una partícula es ccro cunndo la panícula !lit Una foen'¡l es con~cry¡ui\'1 ~i el Imbujo loml que reo I~a . ro . . . ] Ellrabaio realií'.ado por una fuen.a rA.. . '. qu' r 'loma n su J'O" cI6n ¡nlclil . ~ """r mue\'c a ]o ] urgo] [e una Imyccwn.1 e e . 'da por In panícula nI pastlr ~~ta de $C1"\'aliv3 ~obre una punfcula es indtptm' icntc de In Irtlyectonn recom • un
6. Fuerza conservativA
pumo
11
OIro.
1 confi<'urnci6n del mismo. L'I vl' rl ación en la
. d
La cnergill polcndnl de un sistema c~ la cncrg fll aSOCUI n con ti ... . od ] f . • ] ] • '· ...0 del trubaJo reahl.lldo por t liS n.~ uen.ns con. cncrgfa pOltl1ciul de UII s l ~ICllln se dc rlllC por e va o r ncgll I s.:r'llllh'IL' ' Iue aClllan sobre el ~ i st cn1!l .
7. Energía potencial
AV = Ul - U I
Definición
Grovitmorio.
r- f · ds
'" - J I
dU= - F ·ds
(6.20)
v
(6.21)
=
V a .¡. IIIS)'
(6.22)
Ehislku (muelle)
,tU F, = - dx C Ul'\'3
(6.20)
(6.23)
En un mínimo de la curvól de In funci ón encrgfo potencial en funci ón del desplól7..llmiento. la fuerza es CtfO y el sistema se encuerllm en equilibrio estable. En un máx imo. la fuerLtl es cero y el sistema está en equilibrio incstable. Una fuco..:! conscrvati\'a sicmpre tiende a acelerar una panícula hacia una posición de energla potencial más baja.
de energía potendnl
ProblelJJos
• •• •••
SSM •
I
i
.1
Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermed io, puede ex igir síntesis de conceptos . Desafiante, para ¡¡ Iurn nos avanzados. La solución se enc uentra e n e l SlUdel/f So/u/iolls Manua/. Problemas que pueden encontrarse en el servic io ¡SO LVE de tareas para casa. Estos problemas del servic io ';Checkpoi nl" son pro blemas de con tro l. que im pulsan a los estud ian tes a describir cómo se llega a la respucst¿l y a indicar su nivel de confianZtl.
Tomar g
=9,81 Nlkg =9,81 m/s
2
y despreciar el r07.3rni ent o en todos Jos problemas a menos que se indique lo contnlf
Problemas conceptuales 1
•
SSM
Verdndero o falso: (el) Sólo In fuenu resultanle que actúB :.obre un objeto puede re.1I i7..!lf tr.lbajo. (b) Ningún trJb:ljo se: re3li7.a sobre una pllrticula que pcrnlanccc en reposo. (e) Uml fU Cr'ltl que en todo momento es perpendiculur a la \'clocidud de urlll panícula no rellli1.a trabajo IIobre és ta. Unll caj:t pcsndll ha de moverse desde lo nllo de unu meso :110 nllo de otm de iguBI nhum sÍlulIdu en airo lugar de 1:1 hAbitaoión. ¿Cuál es el trabajo mfnimo que hny que hncd! ExpHquc.sc. 2
•
Vctdndero o fn lso: Unll persona en una meda de Ferris ~ mucve en un drculo a vclc)Cidad con~ lnnle. con lo cual no hBy ninguna fuerLll que hoga trnbajo sobre la persona.
3
En algul/os problemas se d(/ ' más datos de los realmell/e necesarios: en otros pocos. d, ex/m erse algllllos da /os (1 p" de cOllocimiell /os genera/es, j llen/es externas o estimac:im, lógicas.
5
.,
-
•
Una p.1nícula se mueve en un cfrculo ti velocidad constant!.' m· camcnle una de las fuerü1S que actúa sobre la panícu la v:¡ en In dirección :n· tripet:l. ¿La rUcrla nctn sobre la panícula. realiza tmb:ljo'! E .~pl i carl o. 6 • In icinlmenlc un objeto posee lo energío cinética Ec' El lIIi\mo objcto lie muc\'c después en direcció n opucSta y a ulla velocidad triple de la inicial. ¿Cuál es .. hom su energfa ciné¡ie:l? (a) Ec. (b) 3 E,. (e) -3 E" (dI 9 E,. (e)
- 9 E,.
t.Qué trubnjo se necesitn p:lra alnrgnr un muellc 2 cm a pnrtir de su posición nntuml en eomparnci6n con el necesario pUfa ¡¡Inrgarlo 1 cm, Inmbién dc,~de :;u posiciÓn naturru? 7
•
8
•
•
4 • SSM ¿En qué fnctor se modifica In cnergfll cinética de un autorn6vil al duplicar su velocidnd?
-
SSM
S upon gamo~ que sobre una panicu ln nctúll unll fuerLtl neta que no
rcnlizn trebajo. ¿Puede moverse la panícula en unu línea recta? 9
•
Ut dimensión de pOlcncin es (CI) I MIILI ~ l n ~. (11) IMIIIWIn.
(t ] IMIILI'II71' . ldl I M"LJ'~71' .
Problemas
10 • I)o~ exploI"Jdore,. S y J. decidc n a.~emL. , H:r a n cumbre de una . , montall:.. S escoge e cununo mas curto por In ,>c.u..! ie. [ ~ b m\1~ !I mptu, m lent fll~ ' . , l e , qUC 1. que pc.~1I o nll~mo que S. ~lgllC un camino n ~_ , • " 1.... argo. de pendlcme ~ 1I:I, e. A egllr:. n cm!:. ronucnzun l. discutir sobre c " d ' d os gnn6 nuls . ' • 11. e os ' ' " encr};IR potcncml. ¿Cuál de las SlgU¡el1\e~ afr mlRcioncs e~ cierta'! . (d I S gnrm má.. cnergín potcncial que J.
(I» S gana menos energía potenci:11 que J. (e) S gana la misma energía potencial que J. «(O Pnrn CQlIlpurnr las c ncrgfu~ debemos conOCer 1" "',,Ira (e " u mOnlañu. (tl Paro , compamr las cnergfas debemos. conocer In lo" ¡;.¡" ud d' c os dos tmyectonas. 11 (al
• Sólo
la.~
Verdadero o falso: fuerlus conSl!rvath'os realizan trarnljo.
lb) Si Ll~ica m e nt c
s:- ejcn'cn fucrllL~ conscrvUlivlls. lu cnergra cinélicu de una
pllnll:ula no vana. f('
El lr.lb3jO renlizado por una fuefUl eonscrvalivll coincide con la disminudón dc la encrg;u pOlencinl asociudu con eSlL fuerl ll. •• SSM L:l fi gufll 6.30 muestrn una funci6 n energía potenciul U locl6n. de x. (a) En cadu pUnto indicado. establecer si lu fuen:! f , es positegaUv:l o cero. (h) ¿En qué punto la fuef7.ll posee el módulo máximo" . nlifie :lr los puntos de equilibrio y CStnb[ecer si el equilibrio es establc~ .,Ie o neUlro.
u
17
•
I
163
S'In COntar el Sol. la~ estrelln:.: más cercanas están 11 anos IU7 de
lu 1'ierrn. (Un ano luz es In t1iSluncia recorrida por 111 luz durn nte un año' 947xlO ts ) . . . , . , m. Aun lI \f, SI qucrerl'\OS envuu- naves espacialcs para in\'csligar la~ estre.llns. 6stu~ hun de tener velocidades que sc.:1II un u fracci6n npreciab[e de ~ .':elocldnd de lu luz. Cal ~uhlI la energfll cin6ticII de una n¡¡ve de 10000 kg que [,IJc a un 10% de la veloeuJuó óe la luz y compararla con la energra consumida d~lnUlte un afio par los Estados Unidos (unos 5 x 1()20 J). NOTA Cuando una \'elocldad se aproxima a la velocidad de la luz la leorfll de la ~IUlividad nos dice que [11 fóm~u[¡¡ de ]¡¡ energfa cinética l ,/H,l no es v(ilidt., aunque. sin embolrgo. In c01TC<.'C16n en este caso cs de UI1 1% de la velocidad real (O. le). 18 . •• SSM Ln masu de [a Innzadcm espacial CS de tLno~ 8 x [o' kg Y e[ pcnodo de su 6rbita c.., de 90 minutos. Calcular (o) la energra cin6tica de la lummdctll cuando cstá en ~rbi t a. (b) e[ cumbio en su energía potencial compa. mndo cUllndo está en 6rbltn (320 km por encimu de [a superficie terre....lre) y cu and~ está en lu superficie de la liem. (e) ¿Por qlL~ el cambio en lo energ(a ~)(1tencm l es mucho menor que el de su energfa ci nética? (ti) . Deberían ~er Iguales? " 19 • . ~, ¡IY que ' "lI11plur de meve . el comino de 15 m que conduce al apurcalluento. ya que durJn te la noche han cardo 25 cm de nieve (figura 6.31 ). E... timur ~lI1into trabtuo hay que rcali7.ur sobre [a nieve pam llevar u cnbo cste IrabaJo. Para ello hucer y justificnr las h ip6te.~ili que convenga (por ejemplo. la anchura del camino).
B F
A
15 D
Figura 6 .30
Problema 12
Figura 6 .31
13 (a)
•
Problema 19
Verdadero o f:llso:
La. fuen.a grnvitatoria no puede realizar IflIbajO ya que actúa a distancia.
(h) El trnbajo es el área b:Uo la curva fueila-tiempo.
14 • Un tmbajo negalivo significa que (o, la encrgfa cinéticll del objeto aumenta, (b) la fUCí/.a aplicada es variable. (e) lu fueí/.a aplicada es perpendicular al desplazamiento. (d) el ángulo entre la fUCT7.ll aplicada)' el dc.spla7.amicnto es muyor de 90". (e) nada. no existe e[ trabajo negativo.
Estimaciones y aproximaciones
Trabajo y energía cinética 20 • SSM Un!1 bala de 15 g posee una velocidad de 1.2 kmls. (ti) ¿Cuál es su energfn cinética en jul ios'! (b) Si la velocidad se reduce u la mitad. ¿cuál sero su cnergía cinélica'! (e) ¿Y si la \'elocidad 1>e duplica'! 21 • Delcnllinar la energía cinética cn julios de {a) una pelotll de béisbol de 0.145 kg que Ib'u una velocidad de 45 mIs y (b) un corredor de 60 kg quc recorre una milla en 9 minutos a un ri tmo conSlnntc. 22 • Un:. masa dc 6 kg en n::poso se eleva a unu :l[lum de 3 m con una rUeila venical de 80·N. Dctenninar (tI) eltrnbajo rcali ...ndo por la fuena. (b) el tmb tuo realizado por lu gr:l\'edud y (e) lu encrgla cinética finul de la 11111&'\.
1S •• SSM Unu arti~ ta de circo de 50 kg cumina por una cuercln !1ojn sostenida por dos sopon c.... que están scp¡lf'Jdos 10 m. La tcnsiÓn en In cuercln es dc 5000 N y la cuerda está a 10 m del suelo. Estimar (,,) cuánto se afloju la cuerda cuando la anista está en el centro. y (11) el cambio en la encrgea potencial gl"J\litatoria de la artista desde antes de caminar cn la cuerda ha.~tll el momento que está en el ccmro de In misma.
23 • Unu fuerza constunte de 80 N actúa sobre una cajo d~ mal>ll5.0 kg (Iue se ~s tá mO\'iendo en In dirección de [n fuerzu uplicudn '-'011 una velocidad de. 20 mis. Tres sesu ndo~ después la caja se muc\'c con una velocidad de b8 mIs. Detcmli nur el tmbajo fCa lizado por esta rUCí/JI.
16 • Calcular (o) el cambio en In energra potencial cuando una persona sube a un ascensor que le lleva desde la plonta baja hasta el lí1li l110 piso del Empire Stnt ~ de Nuevo York (102 pisos), (b) la fue rza media que ejerce el a'iCensor sobre la persona mientras la lJevl'l hn.~ta 10 más alto de l edificio. y (e) In potencia l11t.odia ejercido por el ascensor.
24 •• SSM Un nlum no compite en una carrera l'On su ami8:1.· Al principio limbos tienen In misma e.ncrgfu dnéticu. pero ti u[umno ob,.o,ervn '¡ue su amiga le está venciendo. IncrementtmdO su velocidad en un 2.~ Cl- él corre a la misma veloeidud que elll1. Si la masu del jO\'cn e~ 85 kg. (.cuál es In Illl\...a cll' la muc hac ha?
164
I
Capitulo 6 Trabalo y energfa
Trabajo reallz.ado por una fuerz.a variable 25 •• Una parllcula de 3 kg se desplo7.:.1 con una velocidad de 2 mIs cuando se encuentro en x '" O. ESI!! parl{cula se t"ncucnlnl sometida a una único fuert.a F, que VllriO con In posición del modo indicudo en la figllro 6.32. (a) ¿Cuál e.<; ~ u energfu cinética pum .t::::: O? (b) l,Cuál es el trnbajo realizado por la fucrt.1l cuando la parlícula se desplula desde x '" O 111 a x '" 4 m'l (e) ¿Cuál es la velocidad de 1:1 partfcula cuando se encuentrn en x = 4 m?
29 •• SSM Cerca de la e'J.baño de Margarel hay una torre de agua de 20 III de ultum que atme muchos p:ijaros durante los meM:li de: verano. El año pusado fue IlIn cálido que la torre se secó y Ma~gare t tu.\IO que. ~nsJ)Onar ti agua que ncce.!oitaba. Como se scntfa muy sola sm I ~ ~Jaros V I511anl~. dcc.. dió tmnsportllf algo de aguli a la torre parn que volvH:sen. Su ~ ubo llene una masa de 10 kg Y unn cllpncidad de 30 kg cuando e~ ul .lIeno. Sm embargo. el cubo lenln un ngujero y cuando Margare! sub!n a vclocldlld constante, el agua se demunubn IlImblén con ritmo uniforme. CUflndo ella llegaba ¡¡ lo aho de la tOrTeo sólo quedubn n 10 kg partl. el baño de l o~ p:ijaros. (ti) Escribir lino expre. sión que indique la mu~u del cubo más el agun en función de la ah uro (y) ne. puda. (b) Detemlinur el tnlb:ljo re:llizado por Margaret sobre el cubo.
Fr N
, 6
Trabajo, energía y máquinas sencillas
•
, ]
I
I
,
Figura 6.32
]
4
X. III
Problema 25
•• SSM i ti' Sobre una pi¡rtfcula ac!ún una fuerzu que e.~lá relacionada con la posición de la partfcula por la f6nnula F, ::::: C.rl. en do nde e es una constanle. Dctenninar el trabajo realizado por estLl fuerzu al actuar sobre la partfculn que se despl:lza desde x = 1.5 a x '" 3 m. 26
27
•
I
••
La última invención de Lou destinadu a los propie ta-
rios de perros urbanos es la correa X-R. Está construida con un maleri nl seme· cuando se alargn una j ante al cuuc ho que ej erce una fuerza F.. = -la diSlI:lncia x. siendo constantes k y (l . El anu ncio del invento afimla: "Nunca \"01verás a usar tu vieja correa después de haber tenido la emoción de ulla expe· riencia con la correa X-R. y observurás una nueva mir.tda de respeto en los ojos de IU orgulloso cnchorro". DetenninaT el trabajo realizado por In correa sobrc un perro si la persona permanece estacionaria y el perro tiro de ella. (1largando la correa de x'" Oa x =XI.
a.r
Un objeto de 3 kg se IIIlIe\'e con unll velocidad de 2,40 mIs en la dirección x. Al pasar por el origen actú u sobre es!e objelO U03 única fll eila F, que varfu con x como indica la figuro 6.33. (a) Determi nar el trabajo realizado por la fue rL,;l desde x::::: O hasta x '" 2 m. (b) ¿Cuál e... la energía cinéticll del obje!o en el pUnlOx = 2 m? (el ¿Cuál es la velocidad del objeto en dicho punto? (d ) I)cterminur el tnlbajo realizado sobre el objeto desde x '" O a x : : ;: .:1 111. (t') ¿Cuál es la velocidad del objeto para x = 4 m? 28
ti'
Un bloque de m:l~a 6 kg se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamienlo. El ángulo del plnno inclinado es W. «(1 ) Hacer una rehlción de todns las fucrza... que actúnn sobre el bloque y detcr. minur el tI1Ibajo renlizado por cada fuerza CUllndo el bloque se desliza :.'! m (medidos a lo lurgo del plnno). (b) ¿Cuál es el tI1Ibajo total reali7.ado sobre el bloque? Ce) ¿Cuál es la velocidad del bloque d~pués dc recorrer 1.5 ro si pane del reposo y (d) parte con una velocidad inicial de 2 mIs? 30
••
•
i
31 • Un cuerpo de 2 kg sujeto al extremo de una cuerda se mue\e sobre una superficie horizontal sin rozamiento en un drculo de 3 m de Tlldio. La velocidad del cuerpo es 2,5 mis. (a) Delenninllr la tensión de la cuerda. (b) Hacer una relución de las fuerL.as que actúnn sobre el cuerpo y determinar el trabajo realizado por cada rueita duronte 1 revolución . 32 • SSM Paro reducir la fuerL,;l que hay que suministrar para reali· z:lr determinadas tareas como. por ejemplo. levantar un peso pesado. se utilizan máquinas simples. Estas máqui nas están formada.. por lomillos. sistema... de bloqueo y palanca:., pero la más simple de todas es el plano inclinado En la figuro 6.34 puede verse una caja que hay que subir u un camión por un . ropa. (ti) Definimos In \'I'IIwja mecánica M del plano indinado como la l'U.l de la fuerL.a que habrfa que realizar paro lIeV'J.r la caju al cmnión dircctumenlr e
]
2 Figura 6.34
IV J
2
,
- 1
-2
-3
Figura 6.33
Problema 28
4
.r, m
Problema 32
33 •• Un tomillo. dc algún modo. e:. una e.~pccie de plano índitu.oo. La fi gufll 6.35 mll C~tro el>qllemáticamente un gmo. un d¡~po~ith'o que ~ unh1' pilm levuntar los coc h e~ cunndo hay que cnmbinr un neumático pinchado. lil lomillo del glllOde 111 ligunllicne un paso dc roSCll p y unl! monivclll dt' I1II.liu Ji Cuando la mnnh'e!a du una vuellll completa, el gutl) ha "ubido un pc~ \1 una nhura " . Suponiendo que no hay ro7,amiento. el trabajo R:!alizado durante una vuell.ll de lu manivela e!> el mi<.l1lo que el incremento d!.' la c.O('r~Ja potenCIal dt>l coche que está Icvantando. Demostnlr que la \'entaJa mecálll{'n de ~le dt'if"'l\! (ivo (\éase el problema 3Z, es 2rrRlp.
Problema, I)etemunar cltmbl\jo rcll1luWo por F en elite despll1J.finllento. (b) 111 COlllpoocntc de ... en la dI rección y ~n t ldo del dtsphllamiento.
(a)
I
165
De~rminnr
40 •• ((11 Dctennlmu el "eetor unitario que es paralelo 111 vector A ". A,1 + AJ + A,k. ( b) Dclenninllf 111 componente del veclor A -= 21 _ J _ k en la
dirección dei Vtelor n _ 31+ 4J. SSM ]A - !JI. emonee!! 41
••
¡\
I)II/JO!! do... vc<:tore\ A y h . demo~trtlr que SI lA + 81 1. IJ .
ICII
42 •• I\ )' JI M.III dos vCClorc.<¡ unitario:. en el pllmox)". Fonnlln ángulos 01 y 92 con el eje x posill\'O. res:pccli'lllTllCnlt . (a) Detenninur IIb componentes x t)' de los dos veclores. (b) Con,idtntndo el prodUCto e\Calar de A }' 8 . demos-
Inlr que cm (01 Fig ura 6 .35
l>nJbtemu 33
43
•
La ligurJ. 6.36 muestrtl dos poh.l\Is db puestlls pnm e!ln'ur CQn vcn.u-ga I~dn. Unn cucr(]n rude(1 In gflrgnllln de dos polcns sin rola. In mn.'ill} el peso w cuelga de una de ellns. Unu fuerza de 1116<1ulo F
el e:
""" ""'"
,O«
"b.
¿Si A . IJ -= A C. n '" C? Si la respuesta es negativa. dar un con-
tmejemplo y ~ i c:.." po~ltiva . explicar la mz6n.
Sea A un veelor conStante con <¡u extremo en el origen de coordcnuda'l. Seu r = xi + >1 un vector en el plnno -Q' que .sati ~ ruce la relaciÓn A . r = l . Dcrno$lntr que los puntos (x. )') están alineados. ( b ) Si A = 21 _ 3j . encontrJ.r 111 pendiente y 111 ordenada en el origen de la linea. (el Si ahom A y r '\On vectores en el espacio tridi mensional. demOStrar que la relaci6n A . r = 1 especifica un plllno, 44
34 t1JA 1I mito!
•
Oz> - co~ 01 eOJ; ~ + sen 01 sen ~ .
••
(ti)
45 •• SSM Cunndo una panícula se: mueve en un círculo centrado en el origen)' con \'elocidad constante. los módulos de ~u vector posici6n y de los vectore.~ velocidad son constllntes. (a) Derivar rt:.pecto al tiempo la expresi6n r . r = = eonstnnte para demoSlnlf que , . . r = O por lo tan 10. " .l r. (b) Derivar respecto al tiempo lu ellpresi6n , . . V ::: ~J ::: constante para demoslrar que 11 • v = O y. por lo tanto. a .l \'. ¿Qué muestran los resultados de ( a ) y (h) respecto a In dirección de a? (e) Derivar \. . r "" O respecto al tiempo y demostrar que a ' r + lo! = Oy. por lo tanlo. a, = - ),2lr.
r
y.
Potencia Carga
46
••
La fuerla A realiza un u-abajo de 5 J en 10 s, La fuerza 8 realiza
un trabajo de 3 J en 5 s. ¿Cuál de 1m; dos fuerzas suminislro mayor potencin? 47 • Un cuerpo de 5 kg es elevado por unll fuerza igual al peso del cuerpo. El cuerpo se mueve hacia :uriba con una velocidad conSUl.nte de 2 mis. (a) ¿Cuál es la potencill de la fuera? (b) ¿Cuámo lrobajo realiza la fuena en 4 segundos?
w F
Figura 6.36
Problema 34
Productos escalares
lS
•
SSM
¿Qué ángulo fonnan los vectores A y B si A . B = - AH?
36 • Dos VeclOres A y B poseen módulos de 6 m y fonnnn un ángulo de 60" entre sf. Detenninllr el producto A . 8 . 37 • Dctenninar A , B para los siguientes vectores: (tl) A. = 31- 6j . IJ = - 41+2J. (b) A = 51 + 5j . B = 21 - 4j. (el A. =61 +4j, JI = 41 - 6j. 38 • Dctenninar los ángulos comprendidos entre los veclores A )' 8 definidos en el probiemll 37.
.t
• i Un cuerpo de 2 kg experimenta un desplazamiento &; = 1 m I + 3 m j _ 2 m k u lo largo de una Unen recta. Durante el despla2llInlento actún sobre el cuerpo una fuerzll constante F:: 2 N I - 1 N j + I N k. 39
48 • Un gato hn eaz:ldo un ratón y decide arrastmrle hllSlll la habitaci6n pum que la dueña de la casn pueda Ildmirar su acción eUllndo despiene. Par.l arrastror el rat6n por In alrombm a velocidad constante \' basta aplicar una fuera horizontal constante de 3 N. Si la fuerla del gato le pemlile realizar este trubajo con una potencia de 6 W. (a) ¿cuál es su velocidad ~··t (b) ¿Qué trabajo realiw el gUtOen 4 s?
49 • Unu fuerza simple de 5 N actúll en 111 direed6n .\" sobre un objeto de 8 kg. ( a ) Si el objeto pane del reposo en la posiei6n x = O rn el tiempo 1 -= 0, detenninar la yelocidud \. en función del tiempo l . lb) Escribir una expresi6n para la polencia desllrrolladu por la ruerza en fu nci6n del tiempo. (e) ¿Cuál es In potencia desarrolluda por la ruef7.a en el tiempo I ::: 3 s? 50 • i Dctenninllr In potencia suministrnda por una fucl'7.II F que :letún sobre una panfcula que se muc\'e con unll velocidad v en los casos (o) F -= 4 N 1+ 3 N k. \' =61ms i. (b) F= 6 N 1- 5 Nj. \' =-5 mis l + 4 mls j . (e) F = 3 N l + 6 N j , ,. = 2 mis 1+ 3 mis j .
51 • SSM Un pequeño ascensor de un reslaunmte funcionll mediante unll palell que está conectada u un motor. tul como se muestra en la figura 6.37. El motor sube y baja la caja de 3S kg 11 unll Yclocidud 0,35 mIs sin ueelerarla, excepto un breve lnstllnte de tiempo durante la puestu en marcha del motor. Calculllr la potencia de entradu del mOlar si I
166
1 Capítulo 6 Trabajo y energfa 80 J YcnUu una de los mOSM se ha desplu7.lldo uno di"18ncia de: 6.0 m. Deltnb!. nur los valores de mi Y111:.
Figura 6.37
52
Problema 51
Unu pHntCllidistll ¡lOtes dI! abrir el paf1lcaída~ cae en cafdu libre con uml velocidad consmnlc. su velocidud Hmilc. de 192 km/h. (a ) Si su masa es de 55 kg. calculHr la magnitud de In potencia producida por la fuer/..3 de arrJstre. ( b) Despué:. de la apenura del paracaídas. su velocid:ld disminuye hOSUl 24 km/h. ¿Cutil es ahorll la potencia disipada por la fllcna de uITastre? •• SSM Un eail6n colocado en la cima de un acuntilado de altura 53 H, dispara dil\,'Ctumentc huciu arriba cn el !lire una bala con una vclocidud ini· cinl \'11' La bala sube, vuelve a caer. pasa muy cerca del cañón y cae por el acantilado. Si se desprecia ]¡l resistencia del aire. calcular para cualquier instante de ticmpo la velocidad " (1) de la bala, y demostrar explícilaffiCnle quc la integral de F . ,. durante el tiempo que la bala está en el aire es igual al cambio de la energía cinética de la bala.
54
Figura 6 .38
••
Problema 60
61 •• Una barra rt."CUl de mn.<;a despreciable se monta sobre un ph'Otesin rQ7.llmiento como indica la figura 6.39. La.<; masa... 111 , y 1112 !oC acoplan n la barra a las distancias e, y (2 ' (al Expresar la energía potencial gravitllloria de tu masus en función de1l1ngulo formado por la barra y la horiz.ontal. (h) ¿Pan qué ángulo 9 es mínima la energía potenci:ll? ¿Es compatible el resultado obtt· nido con la expresión "los sistemas tienden hacia el mínimo de energra potencial"? (e) DemosU1lr que si m,l, '= mIlz. la energía potencial es la misma para todos los valores de 9. (Cuando CStO ocurra el sistema se t:quilibr:ini bajo el áng ulo 9. Este resultado se conoce como ley de la palanca de Arquímtdts.l
e
••
Unn partícula de masa 111 se muc\'C dcsde. el tiempo 1=0 partiendo dd reposo b:ljo 1:1 innucnciu de una fucrla constante F. Demostrar que la polencia suministroda por la fuena duro nte un tiempo I es p,= F 2 11m.
Energía potencial 55
•
i
--
ti'
Un hombre de 80 I.:g asciende por una c.sculern de 6 m de altura. ¿Cuál es el incremento de energiu potencial gravitalOria del sistema hombre·Tierra? •
56 • I En las Cutaratus Victoriu. de 128 m de altura. el agua cne con un cnudal medio de lA x 1Q6 kgls. Si lo mitnd de la energlo potencial del agua se eonvi rtiel1l en energ;:' eléctrica, ¿cuánta potencia se producirla en el salto?
Figura 6 .39
•
57 • I Un libro de 2 kg se desliza por un plano inclinado de pcndienle 300 sin nU.llmiento. Parte del repCl§O en el tiempo 1 = O desde lo alto del plano inclinado. a una altoro de 20 m sobre el suelo. (a) ¿Cuál e.~ la encrgla potencia] original del libro relativa al suelo'! (h) A partir de lulo leyes de Newton, detemlinar la dist:lncia recorrida por el libro en el intervalo O< t < 1 Y ~u velocidad pum I = I s. (e) Calculuf la encrgíu potencial. y la energía cinéticll del libro para I '= I s. (ti) Clllcular la energfu cinética y la velocidad dellibm un instante antes de que choque contra el sucio. 58 • Una fuet"Ltl F, = 6 N ~ constante. (a ) Determinar 111 funci6n ener· gla polendl¡1 U(x) aM>Ciadn con esta fuel71l p;¡m una posici6n de referendn urbilrarin .1'0 en In cual U = O. (b) Determinar U(.1') de modo que U,= O para x = 4 m. (e) Dclenninar U de modo que U == 14 J para .r = 6 m. S9 • i ti' Un muelle tiene una con~lante de (uerl.a k = lO' N/m. ¿Cuánto debe alarl!llNe pam que su encrgfa potenci,¡1<;ca (a) 50 J Y(b) 100 J?
60
•
•• ss'"" I Una m.iquinn de Atwood <:enci lla ulih/a dos nUI~'1S. mi Y1/11 (llgura 6.38). 1}~l11iendo del I'CJXlso, la velocidnd de las dos masas e1l4.0 mis al CIIbo de 3,0 ¡¡. En e:.e in$tnnle. la energra cinética del sl~tel1la es de
Problema 6l
, Fuerza, energia potencial y equilibrio 62 • (a) Dctenninar la fuena F, asociudu con la fundón cnergla potencial U = tlr". en donde A es una constante. (b) ¿En qué punto (o punl(l!;) b fuerza es nula? 63 •• Una funci 6n energía potcllciul ,'iene dndR por U = Ch, en ~ cs una constante I>osi tivn. (a) Dctcrmi nllr In fuer.tu F, en fuc)('lón de \. tM ¿Está dirigido esta fuen.a hncia el origen O ~ nleja de él'! lr) I.CrN:C tI decfC\."t In energía potencial cuando.l crece'! (d) Responder a lo., Ilflartl\do~ lb) ~ (,1 p.o.ra el caso en que e e~ una constanle nega\l \·a.
c:
64
••
En la curva de cnrrgru polencial U en fuol'um de \ mili· enda en la figuro 6.40. ]()'o: ~gmentos AIJ) CIJ son !fnea!' recUIS. RC'III\'SC'ntaf la fllel7a F, en función dCI'. SSM
Problemas
u. J
I
167
Problemas generales
8 72
o
2
J
Figura 6.40
5
6
7
8
•
\' • 111
Ilroblcma 64
Lu fucrz:! que actúa sobre un objeto viene dlltlll por F, ::: a¡.,¡l. DctCmlirulr lu energfA pot\!nciAI del objeto en funci6n de .t. 65
••
66 •• Ln encrg[a potencinl de un objeto viene dudn por U(x) '" 3.,¡l- 2r', donde U '>C expre.....1 en julios y .l' en metros. (ti) D..:ternlinar la fuerla que actua sobre c~ te cuerpo. (h) loEn qué posiciones estlt el objeto en equilibrio'! Ce) ¿Culile- de estaS posiciones de equilibrio !)(Jn estables y cuáles inestables'!
8.r- _
1..:1energía potencial de un objeto viene dada por U(x) = X"'. en ~ k U ~ e...:pn:.<;;n en julios y .t· en nietros. (a) Dctenninar 111 fUei/Jl que actua -m c..,te objeto. (h) ¿En qué posiciones el objeto se encuentro en equilibrio? (e) :ltes de estas posiciones de equilibrio son establc.s y cuáles son inestllblc.s?
67
"'. ,
,
", p
••
Ln fUe l'"la que actull sobre un objeto viene dada por la expresi6n '" .r1 - '-l.\'. Local izar las posiciones de equilibrio estable e inestable y ,Irar que en c.~tOS pumas U(x) es respectivamente un máximo o un ••
\O
local.
• • La energía potencial de un objeto de 4 kg viene dada por U = ~ para x S 3 m, y U = O para x ~ 3 m. en donde U se expresa en julios y x .etlOS. (a) ¡,En qué posiciones se encuentro este objeto en equilibrio? (b) l' un gráfico de U en funci 6n de x. (e) Analizar la e.<¡tabilidad del equilibrio los \!filores de x obtenidos en (a). (d) Si la energfa de la panícula es 12 J. I e~ ~u velocidad para x = 2 m?
Una fuerla viene dada por F~ '" At'""l, siendo A = 8 N . mJ • (a) valore~ positivos de x, ¿crece o decrece la energía potencial asociada con e~ta fuc l'"LU al crecer x? (Para responder a esta cuesti6n imagínese lo que le ocurriría a una panículu si se la dejara en reposo en algún punto x y luego se la liberara.) (b) Detenni nar la fun ci6n energfA potencial U asociada con esta fuerza. de modo que U se aproxime a cero cuando .( tiende a infinito. (e) Represe ntar U en fu nción de x. 70 P"í.I
••
Un re loj de masa m. como el que se muestra cn la fi gura 6.41. cuetgll de dos cables ligeros que pusan por dos poleas de las que cuelgan dos contrapesos de masa M . (a) Dctenninar la energía potencial del sistema en fu nción de la diSHlIlcia y. eb) Detenninor el volor de y para el cual la energla potencial del sistema es mínima. (e) Si In energ ra potencial es mrnima. el siSlemll está en equilibrio. Aplic:LT In segu nda ley de Newton al reloj y demostrar que está en equilibrio (lB suma de lus fuerlll S sobre él es cero) para el valor de y obtenido en el apllnndo (b). ¿Es éste un punto de equilibrio estable o inestable? 71 •••
SSM
Figura 6.41
Problemn 7 1
SSM
Hl me~ de febrero lk: 2002. las plantas nuclea~ de los
E.<¡;lados Unidos generuron 60700 millone..<¡; de kW·h. I...a poblnción de 10$ E.~IIl· dos Unidos por IlIs mismllS fec has em de 287 millone... de pcrwna.~. Si un americaoo medio tiene una masa de 60 kg Y si toda la potencia de las cenlrole..<¡ nucleares se inviniero en proporcionar energía para un a.'>CenSOl" gigante, esti· mar la IIllunl h n la que el a.c;ccnSOf podriR levantar a lodll la poblaei6n ¡Imericana. En los cálculos suponer que el 25 por ciento de la energía se utiliza paro le\llntar a \¡IS personas)" que 8 e.<¡; constante pam cualquier h.
e I
•
73 • i ./ Una de las más poderosas grúas del mundo. que funciona en Suiza, es Cllpaz de lCVIIII\lIf len lamente una carga lk: M : 6000 ton a una alturo de h = 12.0 m ( 1 ton = 1000 kg).(a) ¿Cuánto trabajo reali7..'1la grua? ( b) Detcrminnr 111 potencia desllrrollada por la grúa SIIbiendo que tarda 1.00 min en elevar la carga 11 velocidad constante a dicha alturo. •
74 • f En AUSulll existla un telesquf de 5,6 km de longitud. Unn g6ndola tardllba 60 min en recorrer todo el camino hasta el punto más alto. Si existieran 12 góndohls ascendiendo simultáneamente, cuda con una carga de 550 kg, 12 góndolas descendiendo. 'J el ángulo de ascenso fuese dI! 30", estimar la potencia P de la máquinll neces:\ria pnm operar el telesquí. 75 • i .1 Un objeto de 2.4 kg atado a una cuerda horizontal se mueve con ve locidad conStante en un cfrculo de radio R sobre una superficie borizontal sin ro1.amiento. Ln energíll cinética del objeto es de 90 J Y la tensi6n de la cuerda es 360 N. Calcular R.
Un grupo de actores se disponen a filmar una esccna cinematográfica. Según el gui6n. un coche ha de estrellarse contra la pared \'erticlII de una roca a 100 km/h. Sin embargo. llegado el momento. el coche no arranca y no disponen de ningún mecánico. Cuando est.:1n a puntOde rc~nr el estudio y someterse n la iro del productor. el cámar:l tiene una idea. Utili7.acln una grUn para elevar el coche por su panc traSer.! y luego lo dejarán caer. fiI· mando la carda bajo un ángulo tul que el coche apan.."eer.i como si se moviero hori7.ontalmente. ¿A qué altur.! deberá elevarse el coche. de 800 kg, par.! que alcunt'(: la velocidad de 100 km/h en la carda? 76
•
SSM
77 ••• Las cuatro cuerdas de un \'iolín pasan por encima del puente del instrumento tal corno se muestra en la figuro 6.42. El ángulo que las cuerdas fonnan con la nonnal al plano del instrumento es de 7~ en cada lado. La fm:rz.a nonl1al total que presiona el puente en el viaUn es de 103 N Y la longitud de las cuerdas desde el puente a las clavijas a las que están atadas es de 32,6 cm. (a) Dctenninar la tensiÓn de las cuerdas del \'iolfn. suponiendo que es ItI mbma parn todas las cucrdas. (b) Una de las c u erda~ está punteado una distuncin de 4 mlll. C0l11 0 se n11l e~trn en In figuro . Dibujar un diugromn que mucstre I()da.o. In.~ fUCI7.JlS que actuan sobre la cuerda en ese punto. y detenllinliJ" lB fuel'"LlI que tira de la cu.;rdll pam quc rec upere su posición de equilibrio suponiendo que la tellsión de la cuetdn pennancce constante. (e) Detenninar el 1mbajo realizado sobre la cuerda nI puntearla lu distancin indicada. Recordar que la fUCila neta que tiende a "olver a la em:ron a su posici6n de equilibrio de~nde de In posi· ci6n de la misrllu. pero supóngase en este caso que es con ~tante .
Figura 6.42
Problema 77
168
I
CapItulo 6 TrabaJo y cncrgfa
78 •• Ln fucrl.u que uCLlin sobre unu pnnrculn que i>C mueve 11 lo largo del eje x viene duda por f", '" -fU .:! , siendo ti una CQn~tunte. Calculnr In lunción energrn potencinl U sabiendo que U'" O¡»Im .f :: O y n:prcM!nlflr un Snlfico de U en función de r.
F" N
, 1
•
79 •• SSM I Una fuena nctún rohrc un cnrro de m !\S:1 m de Inl mooo que In veloddlld \' del efmo se incrementa con la dlsl/lncin .t ~gli n la c.'
i
- 4
••
1
- 2
,
J
4
x. m
-,
./
Unn fuerlll lo' .. (2 N/ml :u.l ¡ se nplica a ullll lmnfculLl. Delcnninnrcl tr.tbltio rcltlilndo por 111 p.'lnfcu lu cuando se mueve a lo 1I"'go de una distancia total de 5 m (ti) pnrnlcJnmenlc al eje y de..,dc el puntO(2 In , 2 m) h fL~tn el puntO (2 m. 7 m) y (h) en Irnea reclu desde (2 111, 2 m) a (5 m, 6 11\). 80
-3
81 •• Una p:lrtfeu ln dc m a SII m se mueve 11 lo lurgo del eje x . Su posición \'aria con el tiempo segtin lu ecunción .l :: 2P - 41 2, en donde x se mide en mctros y / en segundo:>. Determinar (u) 111 \'eloc idad y acelerución dc la p:In(· cllla en cualquier ins!unte /: Ch) In palencia suminislr.¡da II In partfculn en cualquier instante 1: (e) ¡:l tru blljo relllizado par la fuerza dc 1:: Oa 1 = /1' •
82 •• I Unll panfcu la de 3 kg panc del reposo en .1' = O Y se mue\'c btljo la inO uencia de una soht fuen3 F~ :: 6 + 4:c - 3.tl en donde F. se mide en newlOns y :c en metros. (a) Determinar el trabajo realizado por la fuen;n cuando la p.1n fcu la se desplaza de x = O 3 X :: 3 m. (b) Detenninar la polencia suministroda a la pan fcu la cU3ndo se encuentro en x:: 3 m.
Fi g ura 6.44
86 •• i Una caja de masa M se encuentra en In pane más baja de un phmo inclinlldo §i n ro7..amiento (fi gurn 6.45). La caja está alada a una cuerda que tirn de elltl con una tensi6n constante T. (tI ) Determinar el trabajo realiUldo por la tcnsión T cuando la caja se ha desplazado untl distancia x n lo largo del plano. (h) Detenni nar la velocidad de la caja en función de x y 9. (e) DetenninaJ la potencia desarrolltlda por la tensión en la cuerda en func ión de x y 9.
83 •• SSM i ./ L.1 energía cinétic3 inicial impartida a UM bala de 0.020 kg ~ de 1200 J. Despreciando la resistencia del aire, detenninar el alcance de este proyectil cuando se disparo bajo un ángulo tal que el alcance es igual a la altura máxi mDde la Ir:lyectoria. 84 •• i ./ L1 fi gura 6.43 nos muestra la fue n:a Fs que actúa sobre unu panícul:t en función de x. (el) A panir del gráfi co culcular el trabajo rcali7..ado por la fuerza cuando In pllnfcul a se despinza desde x:: Oa los siguien. te.<¡ valores de x: -4. -3. - 2. - 1, O, 1, 2, 3 y 4 In. (b) Representar In energía potencial U en función de .t pum un intervulo de x que oscila de - 4 m a +4 m suponiendo que V = O plLra x:: O.
FS' N
"'\
4
"',\
•
1
-4
-3 -2 - 1 O - 1
1
,-
x,
3
In
-, FIgura 6,43
Problema 84
Problema 85
Figura 6.45
Problema 86
8 7 ••• Una fuerza en plano .l)' viene dnda por F = ( Fofr }(yl donde Fo es un!! constante y r:: J,r- + y~. (a) DemOSIr3J' que el módl fu erl!! es Fo Y su dirección es perpendicular a r :: xl .p yj . (b) IXI trn bnjo r¡:alizndo por esta fueT'Ul sobre una partícula que se mueve en de ntdio S rn eentntdo en el origen. ¿Es conscrvutiv3 esta fuerl.1I1
SSM Una fuerza en el plano X)' \'iene dlldu por' 1 (xl .p >1), donde b es una constante y r = Jx:.p yl. (a) Dem~ módulo de ItI fuerl.ll \'tlria según el inverso del cuadrado de la dist~ gen, y que su dirección es antiparn.leln (opuesta) al vector r.tdio r le Si b = 3 N·m2, determinar el trnbajo ~ali zado por esta fucT'Ul sob~ eula que M! mueve a lo largo de una línea recta entn:: una posición ini< ." = O m y una posición final.\' :: 5 m. y = O m. (e) Determinar eltr Uldo por esta fuerla sobre una pan fcula que se mueve por un drcui r = 7 m ccntmdo en el origen. (d) Si esta fu erza es la ¡iniea fuer¿ sobre la panfculn, ¿cuál es la velocidad de 111 panícula cuando se m. circulo? Suponer que la masa de la pnrtfcu la es ni :: 2 kg.
muestrtl en la
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"". .1. lb) •
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8 9 ••• Según Richard Feynman, uno de los más. bri llante~ I '\ tId siglo XX ... Si en algún cataclismo se dc.struyern todo el conocimiem clcnú, lico. y sólo pasara unll fmse u la generación siguiente, ¿qué f~ contc-udril más información en menos palabras? Yo creo que es .... que lodo~ lo~ objetOS e.<¡lán fonnndos por álomos: pequeñas panículas ". que se tltmen eDlrr ~ cuando estAn muy cerca. pero que se repelen cuando se las uprieUl unil ronU1l otm.'" Cuando los fCsieo:. y los químicos cOlllemporoneos deM:riben ls fuena entre átomos, model!\li 111 intemcción entre los Momos con el potencial ''b- lZ'', donde !t, fun ción energía potencial entre dos átomos viene dada por la r(l~ funcional
•
"4:
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88 •••
Ve r ) = ;TI 85 •• Repetir el pmblema 84 para In fue n.a F, que fi gura 6.44 .
j), to
1,
;:¡
l Richtml P. Fcynman, Mnllhew L Snnds. )' Robc.n 1) Ldghlon, Th(' F",... ""III u-.. 111,.,.\ on Ph)'lics, Vol. l. p. 1, l. Bm lon: Addison-Wc~ lc) ( 1970 ).
Problemas
re:. la dis\!lfIcin entre los m1c~eos atómicos )' en dOnde: el)' bson conse" d()!llk' dClcnllinan C5pcctrO~ÓpLC¡Ullente. Al no fonllarsc enlaces atómi_ 0 t~leS 11 ," ' ., de los guscs nobles tienen funci ones de energía potcncilll Ilue se . . CIJS. o ndecundlllllenlc con el pOlencla1 6- t 2 )' responden bien 11 las medi¡h\s n)OllCln ,~~ En el CIlSO del argó n. (/ = 1.09 X 10-7 J 'J b = 6 84 x 10" si r se ·rill\l!IlHl '-"", • , "~ ( 10m = 10- 9 m) )' U e n I.!V ( 1 e V = 1,6)( 10- 1~ J) (a) Usnndo ulla Mellllnl , . .' 1_,10 rcprcsentnT In fouc lón cnergía potencml en fuución de s u SCru\ _ • dt(1l~ · , '" \II.IJ,/I dos :l1omOS de argón. con valores de r e nt!\: 0,3 11m y 0.7 11m. ¿ Lu rtd Ófl ruoción e:nc~ín pOll.!ocinL ¿apoya In opinión de Fe)'nmnn? Ex plifQC1UJ b) ' Cu51 es el valor mfnimo de In energía pOlencilll (compamdn con 5to,lf~' ~e ~llin I1IU)' separJdos)? ¿A qué distnnc;u sc dn el mínimo'! ¿,EI mfnimo ","q 1 • ·,lIestflblc'! ( e) A pnrtir dd gráfi co o de lu fórmuln, estimur In fuer'l.u estabC ' . . t es ,'ón enlre dos ála mos de nrgóII SelmnLdos unu dIstanCia de 5 1\ 'J 1:1 1 de 1I r.¡('{d L nut~ión para unu sepunlción de 3,5 Á. Asegurarse de convenir las (utfl:1 e re,. " ~~ /1.1 ~I~ tc llla intcrnm:;onu\.
.:::7/1
UIlI(J3UCS
I
169
90 ••• SSM El potencial de Yukawa U(r) '" _Urf.lúr~-.u. en donde Uo y /l M)1I con~tal1lcs. )' r e.~ la sepaf'Jción entre dos nucleone.~. C-" una fónnuln teórica pam la función energln pole nci ~1 a.wciadn con la fuen.ll lIucle~ entre dos nueleOllcs, (ll) Usando una hojn de dilclllu , como Microsoft Exc~I~t por ejemplo. TCllreSCntnr gráficlllllente U frenle a r. uSlIIldo U{I:: 4 pJ (u n PlcoJoulc, pJ, es 1 x 10-12 1) 'J a = 2,5 fm (IIn femlomet ro, fro, ('$ 1 x 10-1~ m). (b) Delerrl\inar In fucrl.n F( r ) en función de In separación entre dos nudeones, (e) CompnrJr el módulo de la fUel'lU cuundo la <;c pnr.u:ióo es ro: !tr con la que se da CUillldo r: l' , (d) Compamf el módulo de la fuerl.3 para IR separación r = 5a con 111 que se du cUlllldo r = lr.
, •
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-
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CONSERVACION DE LA ENERGíA
Capítulo
7.1 Conservación de la , , . energla mecantca 7.2 Conservación de la , energla 7.3 Masa y energía de la 7.4 Cuantización , energla >nergía se puede transformar de una forma en otra. Esta montaña rusa convierte la energía e .trica comprada a la empresa suministradora en energía potencial gravitatoria de los pasajeros y de la vagoneta. Posteriormen te la energfa potencial se transforma en energía cinética, parte dI' la cual vuelve a convertirse en energía potencial. finalmente, el rozamiento lransforma la energía cinética y la energía potencial en energía térmica. La energía química almacenada en los músculos de los pasajeros se convierte en energía sonora cada vez que alguien grita.
? •
El principio de conservación de la energía mecánica nos permite determina r hasta donde ha de subir un coche para que cuando baje por la pendiente adquiera suficiente velocidad para realizar una vuelta vertical completa (Véase el ejemplo 7.5.)
Unsistema es un conjullIo de partículas. Las fueraIS que las partfcu las que no pencneccn al sistcma ejercen sobre las panículas del sistema son fuer.ms extcmas, mientras que las fucr1..1.'1 que se ejercen mutuamente 1m; partícula... del sistema son fucr/..'lS intcmas. Las form as en que cambia la energía t01al de un sistema se pueden clasificar en dos categorías: t r.lb;~o }' calor. La energía 101;.11 cambia si fucr/.as cxternas realizan trabajo sobre el sistema o bien si a C;,IUsa de la diferencia de tcmpemtura entre el sistema y su enlomo se tmnsfiere energía. (La energía tnmspon;'lda como consecuencia de la difercncin de la tcmpemturn se denorninn calor.) Corno no analiz.1remos los sistemas donde el culor interviene de mancl1I sign ificnt iva ha!)ta el capítulo 18. de momento consideraremos únicamente que los cambios de energ ía de un sistema se deben al tmb¡tia tOlal realil;.ldo sobre él por las fuemls externas. Se define la energía palencial de un sislema como el cmnbio en la energía potencial del si~tc llla que ¡gua· la, con signo opuesto. el tmb:tio total realizado por todali las fuerlas con!'CrvmiV'ds illlema..... Si no hay fuer/"Us externas que realicen Imbajo ~obre el sistcma y si In:. fucr/.fls conscr"l1tivas internas son las únicas fucr/...as intern:Ls que realil.an tr.lbajo. el tr.lbajo que realiznn C~ igual al cambio en la cnergfa cinética dcl ¡)islernn. Además, como In variación de la energía patcncial del sis(Cma coincide con la variación de la energía cinética cambi:ICla de ¡¡igno, la suma de las energía.!> polencial y cinética no puede cambiar. Est;.¡ relación se conoce con el nombre de principio de COIIscrvnci6n de la energía mecánica. E...te pri ncipio M: deduce de Ins leye:> dc Newlon y es una alternativa útil pajJ rc.\Olvcr muchos problemas de 1llt."Cánica.
'72
I
Capítulo 7 Conservación de la energra
La utilidad de la conservución de lo energía mecánica está limitada por la presencia de
fuer.ws no conservnlÍvm¡, corno e l rozmniento. Cuando en un sistema está presente el rozamiento. la energía mecánica del sistema no se conserva. sino que dismi nuye. Como a menudo la energía mecánica no se conserva. la importancia de la conservación de la ener· gía t no se apreció hasta el sig lo XIX. cuando se descubrió que la desuparición de la energía mecánica siempre viene acompañada por la aparición de otro tipo de energía. a menudo energfa ténnico. que se indica por un aumento de la temperatu ra o por un cambio de fase (como la fusión del hielo). Se sabe que esta energía térmica está asociada COn las energías ci nética y potencial a escala microscópica. Existen d istintas formas de energía. como la energía química, la energía sonom. la energía electromagnética y la energía nuclear. Siempre que la energ ía de un sistema cambia, podemos explicar el cambio por la aparición o dc:saparición de energía en algún otro lugar. Esta observación experimental es la ley d e conservación de la energía, una de las más importantes y fu ndamemales leyes de toda c iencia. Aunque la energía se lrJnsforme de una fonna en otra. nunca se crea o se destruye . ... E n este capítulo se sigue con el estudio d e la energía iniciado en el capítulo 6, d escribiendo y aplicando la ley d e conservación de la energía y examinando distintas clases de en ergía , incluida la en ergía térmica, También se analiza la famosa relación d e Einstein entre la masa y la energía, y se d escubre que los cambios de la energía en un sistema no son continuos, sino que se dan a " porciones" d en omina_ das cuantos. Aunque en un sistema mac roscópico la energía cuántica típica es tan pequeña que pasa d esape rcibida, su presencia tiene consecuencias profundas para los sistemas microscópicos como los á tomos y las moléculas.
7. 1 Conservación de la energía mecánica El trabajo total realizado sobre cada partícula de un sislema es igual al cambio de la rgía c inética aEe, de esa part ícul a. por lo que el trabajo tOlal reali7. udo por todas las fueíru \~IOCII es igual al cambio en lu energía cinélicn del sistema llE
'-
Las fu erlas ¡nle mas pucden ser conservativas y no co nservativas. El trabajo tot:11. e de signo. realizado por todas las fu erl.as in ternas conscrvati v3s - \-Ve cs ig ual al camt energía pote ncial de l siste ma dV",,:
- we --
AU "'1
'-'
El trabajo tOlal realizado por lodas las fucrlas es igual n la suma de llrabajo reaJil todas las fucrzru. extcrnas \Vo,l' más e llmbajo real izado por todas las fucrzas interna.... t servulivas \Voc ' más e l trabajo rcnlízado por toda:. las rUcr/"
=
de do nde reordenando 1m té rmi nos queda c io nes 7. 1 Y 7.2: lene mm.
do la
Nlr 10-
\VUI+ \V~+ \V C \Ve:<.1
+ W~ = W'tlIal -
\\fc'
Sus tiluyt:l1do de la... ecua-
(7 ..11 Ellénnino de In derechn puede o:; implitlcar:-.c de modo que
AEe.... + aV'I\1 = L\ ( Ee,. . + U,,<>I .. I P'uedc hahcr OtT'O' fnclOfelo en cl '1~lem. quc lIUn1ol'FlIen 111 cncrgilt mec&mca, f1'tIr cJcmplll ¡,;uanoo un;t t>,¡Irm!\aY fllnClon111' un molor. 1'01' lo I"nlo. la J"f'C' ~ nc ill de l r~"m11lc nIO nn 'l¡:ml1e:\ nCCC~InQU!emt' que 111 rrn'rplJl me..·j · mea
del
'l'ItCOlIl dl~OllnU)a.
7. 1 Conservación de la energía mecánica
Ec Y la e ncrgín 1>OIcncial U I
$i'l
I
173
d ' e un sllIte ma Se denomina
(7.5) DEFINICIÓN - ENERC(.o. MECÁNICA TOTAl.
Combinando la:, ecuaciones 7 A Y 7.5 . )' s ustituyendo en la ecuación 7.3 se obtiene
IV 1\1111 1 -- 6E nI« - IV111,'" {.!I
cncrg{n me dni:1I de un sislc nm se ,conserva (E,,>I."C == constante) si cll rabajo towl reali -
lado por IOda.. la$ 1UCrzi¡S no conservat ivas es cero.
(7.6) CONSERVACIÓN DE lA ENERCfA MECÁNICA
Esta es [,1 "fueJU el Si Eu-
• • • de conservación de la ener gía Illecnmca y es el origen de la ex presión
.llivu",
E, + Vi es la energ ía mecáni ca ini cial de l sistema y E ;lo
.
IIIt'C
r = E + U es la
-a nna!. 1<1 conservac ión de la energía mecánica implica que
ef
f
(7.7) CONSERVACiÓN DE lA ENERCIA. MECÁNICA
Muchos problemas mecánicos pueden resolverse estableciendo que la energía mecánica
final de un sistema es igual a su energía mecánica in ici al.
Aplicaciones Consideremos una esquiadora que parte del reposo en un punto de allum 110 por encima de l pumo más bajo de una col ina nevada que suponemos sin rozamiento. ¿Cuál es la velocidad de la e
Igualando Ema: ( - E mcc
i
11.
Por lo lan lO.
resulla ~m v2 + mgll - mg" o
e~ decir,
•
v = J2g(1I 0 - 1I ) El llIódulo de la velocidad de la esquiadora es el mi smo que habría alcanzado si hubi~se caído en calda ' .lt bre una disll.lncia 110 _ h. Sm , em bargo. duran Ie el descenso por In colma . lItVoda la esqU'iadora recorre una dlslancm . ' mayor que l',1 c'orr~~spondicn te a la caído libre y !arda más en rr.! corrcrl a.
Fotografía de un péndulo con flash múltiple. Cuando lu masa desciende, In energía potencial grtlvitalona se conviene en ~ n\!rgía cinética y la \'elocidlld aumcnta, como indiC:1la distancia cntre las J>O!>icio!les del péndulo, cadu vez mayor. La velocidad di",minuye cuando la Illll:hl alcan7.ll los cX lrcmo~. )' la cncrgra cinéticll elllonccs ¡msa u cncrgra potencial.
174
I
Cnpitulo 7 Co nservació n de 11'1 energía
EJEMPLO 7.1
I
,
Golpeando un bal ó n
)'r()xim u ni bnn:"~ del Icjud o de un edilido d I.' 12 m d e ullufU. UII jove u ¡':UIPl'll con el pie UII ImlólI ('0111111:1 \'dncidnd Inidllll'l = Hí mIs y UII !í ll ~lIl (1 d e tiro de (i0" por clldlllll de 111 h..,rizon1111 ( fi~ur:l 7. 1). OCSIIrt'dllucl u 111 rt's l¡.lenciu clc l lllrc. d clcrlllin ur (tl ) la IIlturn po r CIICIIIIII d l'1 ediliciu qu e IIll·UI1 1.11 d ha lón y (h) Sil w loddlld jus to Ulllc.. de dlUellr contrI! ('1 sllclo.
Planteamien t o del p roblenu1 ('timo 111 gm\'cdud C" In ,inie•• fucrn1lluc rculi/R 100b¡tio .. o~re el fihlClll1I baI6n-Tieml. In ellcrgfn IIIcdl1icn ..e e(1n~erv:t. En In parte II U1. .. nhu de ~u ImyectOrm. el bal6n \(! mue\!.' ltori7(,)¡uahucnlc con \'c!ncidud, I'~",... iguu l a la componente Imr'ilolllal 1'" dc \ \1 \c!ocidmi inicial. mcgil11tl .. \' = () cn el lejado del edilicio. (a) l . La c\ln:-.cr.'aeión de In cncrg,(n lIlecániclI 1'C luuiorul 111 ultum por cndm:l del tcjado l'on In \clocid;ul inidal 1', y lu \'clociducl en el punttllUtb alto de '\11 tl'llyectorin \',,"1)3:
12111
: ~j,,"", -- E t 1·nwc
1 "' \'~1III + m,!O"'rRa = •~ml'! + m8Y,
Figura 7.1
Ir? - I'~"",
2. Despejar /¡cin... :
2g _ v" =
3. Ln velocidad en 1<1 ci mu el> igual a su vc locidlld horizontal inicial:
1'1 COS
O
vr - \'8.m, - 1'1 - ..?cos 28 28
4. Su"tituir el re... uhado del paso 3 en el paso 2 y despejar " ti mol:
-
2
(}
v?(1 - cos 2 8)
28
( 16m/s)2_ ( I - cos 2 60 0 ) 2(9.8 1 mIs'!)
•
(b) 1. Si Vr es ItI velocidad del bal6n justo antes de chocllr contra el su~ l o. donde)' = Yr = - 12 m su energía scr;'\:
Emc:.r 1
2. Establccer que la energfa mecánica final sea igual a la inicial:
:;II/V
3 . Despejando \Ir Y haciendo)' = - 12 m. se dctermina la velocidad fi nal:
\Ir
EJEMPLO 7.2
I
•
~1II 1'¡ + mgYr
I + /l/K)'r
1. + O = :;II/I'r •
Jvf - 2gy _ J I6( m/s)2 _ 2(9.81 O1/s2)(_ 12 m) =122.2 mIs
I
El péndulo
Un péndulo es un dispositi vo en el (IUC tina lellleja dc maSlllll se ¡¡In 11 UIIII cuerdu de longilud L. S i ésta se mue\'e I¡¡teralmcnte de modo (IUC la cuerda formc UII á ngulo f% couln vcrlical }' luego sc deja Cl'lcr desdc cl reposo. ¿cuá l es «(1 ) cJm6dulo dc la ~'e l oc idnd l ' cn la parte inferior de la osdlación y (h) la tensión de In cuerda en CSIl Jlosición'! Ln resis tencia del aire es dcspreciable. Planteamiento del problema El sistema consiste en el pé ndulo. la 'l'ielT:t y los sopones dellllndulo. No hay fueo.as extcnlllS uCluundo sobre el sistema. Las únicas dos fuer/.ns intemru. que actúan sobre la lelllcju (M! des precia la resistcncin del aire) sonia fu con de gr.l\lcdnd I/1g. que es conservativa. y la Icn ~i6n T. Ellnlbajo que. hace T aumenta a razón dc T . \'. Como T es perpendiculnr a \'. snlx!mos que T . v = O. Sólo IIIg rcali7a u-.tb¡tio. con lo que s.1 bl! mo~ que In energía mecánica del !'\btel118 lente.ja1ícrr.t se ,on~ rvll. Par.l Cl1eontr.lr el módulo dc la vc!ocid;td dc In lcntcja. igualamol! las ellcrgía~ mecánico.!) inicinl y fina\. 1...:. tcnsión de la cuerda se obticue u'):tudo la scgulldu ley de 'c\\lton.
,,
L~
Leos
,,
(a) 1. Huccr un csque mll del siste ma en ~U \ configuflIcio ne.\ inicial }' fll\:ll (fi gunJ 7.2). Elegi mos y = O en la posici6n más b:tin de la o!.CilaciÓn e y = /¡ en la po~ i ció ll iniciul:
2. Aplicar el princi pio de conservación de la energía mecánicn. Inicialmentc la Icnteja está en repollO
~
, , ,,
" .. L _ l.cos lb
Figu ra 7.2
Eff»: f = Emco: I
~ IIII" + mgy, = ~1111'f + III gy,
•
•
iml'~JII+O = 0+1118"
7,1 Conscrvadón de 11'1 cnergía mecánica
3. Ln con~ er:ac i 6 n de In energfa mecónic.. rcluciona la \'clocidad con la altura 11: De.~pejar
4.
l'
la velocidad \ '.lMjQ:
I
1"11'~ '" mgll 1',... =
S. Exprcsnr e~ ta \'clocidud en funciÓn del ~ng ulo inicial rclnciomlr ¡, COII~. Véu:-c figuro 7,2:
Bu exige
J2811
L ::: L eos 90 +11
por lo UlIIIO h '" ¿ - Leo... 90 = t(l - eo!>. 80)
6. ReemplHlur 11 por el \'lIlor obtenido pum cxprc. ;¡¡r In velocidlld en la pane
m!\~
baju e n rnnción de
00:
(b) 1. Cuando In lenleja estiÍ en la pane más hajn del círculo. Ino¡ rUeíl,a:que actllnn sobre ella ~onl1l g y T. Apl icar 'i.1:-' = II/l/ ,.:
1' ....;0 :::
J2g L( 1- eos 9o}
T - /1/g =
/l/O
2gL( I - eos 9, ) ::: 28(1 l.
2. En :m po~ició n más bllja. la lenteja tiene una acclerndón centrípeta I'~ /L hachl el CClllro del círculo. dirigida hueia ¡¡rribu: 3, Sustituir este valor de a v en In ecuación obtenidll en el PliSO 1 de (b) para deducir T:
T = mg+nlll , = 1II(8+a , ) - /111M + 2g( 1- cos 80)1
I
= (3 - 2 cos 80 )1118
I
Observaciones 1. La tensión de la cuerdn en Iu p;lne nuís bajn de la oscilación es mayor que el peso de la lenleja, ya que ésta está acelerando haciu arriba. 2. El paso 4 del apanado eb) muestra que pam ~ =O, T =/IIg, el resultado qUe se csperaría para una lcnteja estacioI ¡;olgando de una cuerda. 3. El paso 4 del apartado (a) muestro que el módulo de hl \'elocidad en 1,¡nc: más baja es el mismo que si la lenteja hubiese caído dc~de una altura Ii. Éste también se ,JI!' dcterminar usando directamente las leyes de Newton (ver problema 7.92). pero esta rcsolun es más difícil porque la componcnte de la aceleración tangencial al círculo cambia con la posi. i..)JI . y por 10 tanto con el ticmpo. de mnncra que no se pueden nplicar las fónnulas para aceleración :(On~ta nte,
EJE MPLO 7.3
I
¡JNTENTElO USTED MISMO!
Bloque que comprime un muelle
Se elllpuja un bloque de 2 kg contra un muelle cuya constante de fu erzll es 500 N/m. Después de comprimirlo 20 cm, el muelle se suella y proyecta el bloque primero por unu su perficie horizontal s in rozamiento, y luego por un plano inclinado 45°, tnmbién sin rozamiento. l~omo se indica en la figura 7,3, ¿Qué disttlnciu recorre el bloque a ntes de alcuuzar momentúneamente el reposo'!
k = 500N/m
• 'Ocm .' . :m=2 l g '
....
•
Planteamiento del prob lema Hacer que el sistema incluya el bloque. la Tierra, [a SUI>crficic hori ...ontal. 1" rampa y la pared vertical ¡¡ [a cual está ligado el muelle. [)e.<¡pu é.~ de Iibcl1lr el muelle no hay ruen:::ls externas actuando sobre el sio¡lcma: las úni¡;us rUCl7.!1S que reali7~m tnlbajo ~on la fucíl,u ejercidu por el muelle y In fuerla de la gravedad. Como ambas rucrl,as son con ~crv:ll i v:ls. la energía mecánica lotal del s istema se conserv:!. Dctennin!lr J¡ a partir de la conservación de la energía mec!\nica y después determinar la di s tancia .~ recorridn por el bloque huda arriba sobre el plano incli nado;¡ partir de sen 45° =
"'s.
Tope la columno de la derecha e Intente resolverlo usted mismo
Pasos
Respuestas Figura 7.3
1. Hacer un esquema del siste ma con In configumción inicial y 1[1 confi gu ración fin al (vén~e la fi gura 7.3). 2, ExprcSllr In cncrgía lllecánicll inicial cn fundón de la distanciu de compresión x,
I
,
/ . +/ ' ,+1.
~kr +0+0
3. Ex presllr la energra mcdnicn fi nnl e n función de la altuO! 11.
I
,
1'
r
(I+m~h+ n
4. Aplicar el principio de consclVUción de In cnergía I1lcdnicll )' de'lx:jar ¡,.
111
iI
~"
f
+I ,
~b ¡ ,• ~ III IJ
0 .5 1 111
I
I
175
Ob,ervuclón 1'11 ......Ie pl\lhkllUl lu I'llt'f~¡n IIk'I';. nl\:.1 I.. kml dd ...1..1t'1II:1 e... 111 CIII:l ll'lI putelM.·ml del mudk , I ... tJ cOl'r}! I~ 'oC -':I}(I\ It'rtc pn lllt'l\I en C'llI'líllll 1.: 1I11'11{.1Ydc~~,,6 ell cner¡tfu PUlt'llt'lul !'fI1\ 11.1101'111 Elerclcio dd TIluC'UI'
1'l
EJEMPLO 7.4
I
'oC
..c:p;,lra
Caída de un bloque atado a un mu ell e
, ' n lIIu(,lIt· dI' ('(III ... lauh' dt' fUl'rl.1! Ji cud~1I H'rlil'ulwl'uh', VII hl(UIIIC dc 11Il1\1I /ti M' 11111 111 1''i"lrt'lIIn cll'IlIlIH'tlt' ,~l ll
,
Planteamient o del proble ma ('uomlo el bloque Clle, al principio \u ...e\l)cid:ul crct:c-... \can.!':1 un , .tlo r 11l,"imo) lI~''i ru t! . . dccl'ccc hustn tIlle ~c hace CCl\l lIc.nue.\'o cuondo Ilc.gu al purllO máll baju, ('olll(l ... illu Ul'!u:m fu erm... COIl.M:nOlh, I\, pocJC IllO~ aplkur lu ClIu"crvílci611 dt: la energfa Illcctlnica al lo l... ICl!m ·licmHlluclh:. bloquc,
"
1. II,u,:'t:1ll0S UII dihujo dC'1 siste ma tIlle 11lUC:;11'I! 1m, posiciones inicial y hnal tic! hloque)' t':I muelle (ligum 7.4). I ndu i mo~ un eje y. eligiendo In dirt'l'ción positivu hnciu urriba, Elegi mos ¡ti energfa pOIcncial gmvitnlo ria del bloque igu[I¡ :l cero en su po~ici6n origin:J 1.1' = O, donde el muelle no esta dcformndo. Seu tIla distancia rccorridn por el bloque al
. . . ."" •• -3.
plicumo1> ];1 coo'\Cf\'3ció n de la e nergía mecánica pum relacionar las posicione!> inicial (y = O) Y fina l (v = -il):
3, Cnlculamo1> d. Hay dos ~o lucio n es: una da ti = O Y lu alfa es la solución que buscamos. es decir. la di stancia máxima que recorre el bloque anles dc comCn'l..3r de nuevo el movimicnlo hacia arribll.
l ",-d
Figura 7.4
c:ter. 2.
•
m~O'r+ ~k)'l + ~m"l =
111")'
" .
+ ! k)·l + !mv 2 2
'
2
I
mg {_d) + ~k (_d)1 +0 = 0+0+0
~kd2 -mgd = O (~kd2 - mg)d = O
l?mI
Como ,I ':J:O. ti = - k 8 Observación
La e nergía polcncial gmvi talori(l se conviene en la energía cinética del bloque más la energía potencial del muelle. En su punto más b:tio. cuando el bloque. está mOll1cntáne:lmcntc en reposo. la ganancia de energía potencial elástica dclmue lle e~ igual a lo pérdida dc energía polencial gravitatoria del .~h.lellla .
EJEMPLO 7.5
I
De regreso al futuro
Inmgincmos que hcmos ,'iajado cn el tiempo hns tn finAles del si¡,;lo XIX )' estamos cOlltemplando COITI(J unos ImtellllS ldfJs nucstros, en su vlllje de novios, se mOlllnn en Ia.'i munhullL<¡ rusas Flip Flap de Cune)' Is land, C'/.mlo 11 moverse. Imrtiel1do del reposo. desde IIIl punto situndo el doble de alto ((ue el punto más alto del hucle. I)cslu'cdar cualquier l>4!rdidn dehido j i! m1.umicnto o a In resl(¡· tenci:1 dcllllrc, ¿Col1lplct~lfli la vagOllctll Sil n'Corrido sin cuer'! Planteamiento del problema La vngonctll dcbe lellcr cn el pu nto mó!o nito del buclc ulla \'clo~ cidall l>uficicntc !,:lra mante nerse en lal> "fa!>. Ut¡¡i7ar el pri ncipio de conservaci6n de In e nergfa mecánicn p:lra dClcrmin!'lr In velocidud que llevo la vngoneta justo anlCS de la caída del ¡meo y tamo bién para dctemlinar la vclocidlld que tiene e n el pUnlt) mlb olto del bucle. Usar la ~cg undn ley de Ncwton pan¡ dctenninar 1:1 rUcrl.n nonnal ejcrcidn por el vehfcu lo sobre los miles,
¡PONGALO EN SU CONTEXTO!
7, 1 ConservlKlón de la energra mecánica
I
1. Se dibuja .In. V'.1gonel:\ y el recorrido que debe seguir en la IItracciÓn. I.:on la posIciÓn de la vagoneta en el pUnto de salid:! y en el pumo más ¡¡ho del bucle (figura 7.5):
..'
2. Se apl ica la segunda ley de Newlon pam relacionar In velocidad en el punto más :1110 del bucle con la fue ....w nonnal:
=
3. Usundo la conservación de lo energía lTlecánicn. se dctenninu la velocidad ante.... del impacto. La nlturlI inicial e... 4R. donde R es el radio del bucle.
U I + Et l = UQ + E.o
11/ 11mb.
R
O + ~m l'l = mg4R + O
Figura 7.5
por lo tanto VI
4. El impacto del SIICO de arcn:l produce In reducci6n de la vclocidnd un 25%. 1...:.1 velocidad desputs del imp'lcto e.... :
= JS Rg
\/2 = 0.75\,. = O.75J8Rg
S. USIlIldo la conscrvilci6n de la energfu Int.'dnica. lu "clc)(:idad en el punto más alto del buclc cs:
O + ~",{O.75! SRg) por lo tamo V~b;a
Sustituyendo
\'imlM
en el paso 2 resulta:
= (0,75 2 8-4)Rg = 0.5Rg
Fn+mg = O.5mg F" = - 0.5m8
Fn es el módulo de la fuc ...t.u normal. No puede scr negalivo:
¡Ojo! La vagoneta cae.
bse rvadó n Una pérdida del 25% de la velocidrld supone perder crlsi un 44% de la energía cinéI!\:,). Afonunadamenle hay sistemas de seguridad que evitan que las vagonetas cuigan. por lo que r.ue~ tros anlepasados probablemente habrían sobrevivido. La mayor prcocup:lción entre los usuarios de la atracción em la rotura del cuello. En el bucle, los viajeros estaban sometidos 11 :Iceleraciones del orden de 12g. Aquel bucle del Flip Flap fue el último de los bucles circulares en montañas rusos. Lo~ bucles actuales tienen forma oval. más nitos que anchos.
EJEM PLO
7.6
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Dos bloques e n un a cuerda
Dos bloques se litan a los extremos de una cuerda ligera que pas o por una polca sin rozamiento, de masa dcspreciable. Los dos bloques tienen masas m.)' ml. siendo m1 > m .. y eslán inicinlmcnle en reposo. Octerminllr la velocidlld de CJlda bl()(IUe coundo él mús pcsudo hu caído unn distuncia h.
Planteamiento del problema Considernr que.! el s istema está forllllldo por los dos b l oqu~. la cuerda. la polca. sus soporte... y la lierr.l. No acttían flle...tas externas sobre el sistema. por lo que no hay trablljo realizado por fucr/Áis externas. Además. tampoco huy T07.¡¡miento ci nético. Por lo tanto In energía mecánica del sistema se co n ~erva.
.,
Tape la columna de la derecha e Intente resolverlo usted mismo Pasos
Respuestas
1, Dibujar un e~quem" del s i"tema mostr.mdo I:IntO sus conliguraciones inicial como final (Iiguro 7.6). Sea It la dislt'lnc:ia que cue la Olusn "'l' 2, Inicialmente. la encrgfa cinéüca tolal del :-.istcmll es cero, R'lCribir In enl!rgfa cinétic:l t01a1 E( dd s isteOlIl cuundo los blocIUe." se mueven con velocidlld 1',
3. Suponclllo:i (Iue inicialmente la energía potencial gmvit3toria IOtal del 'iistcma U e:. cero. Escribir la expre.~ión paro U CUllndo mi hu :;lIbido un:! di ~ tllncia /¡ ly ml ha bajado la misma dbtaocia).
~
h
m, Figura 7.6
r •
'm .' , •
I
+ ~'"
I
-
~(ml +m
•
11
t, h
177
178
I
Capftulo 7 Conserv<'ldón de 11'1 energfa
4. SUlllllr U y E~ p:U1l oblt.'ncr In ellefgfu Incc(inictl tOlal E.
+1
I
I
• !(m + 111
5. Aplic:lr la con.:.crvuci6n de In encrgfu IIIcc:íniell.
I
6. [)c¡¡PCj!lf \'.
,
7. Delcmlinar la acdcr:.Lci6n (1 mcdiuntc tll'ldl . Usur el result;,do obtenido
en el PliSO 6 Y aplicar h\ rcg lu de In cadenn pam lu derivada. NOlar que
"-
m )gh
+ (111
JI'
I
¡111m,:..
.J
ch
",
111
+
1111'
~
I
I
/11
lhdll
-tlll ,11
{m :::
-
m il
- l + /11,) Im
"
" = ,lIt/dI. Comprobar el resultado Esle dispositivo. denominado máquina de Alll"Oud. ya hu sido es!Udi:ldo en lo.:. problemas 8·1-90 del capítulo 4. Allf vcmO$ que In aceleración coincide con In obtenida del paso 7 de este ejercicio. Ejercido
¿Cuá l es el mód ulo de la aceleruci6n de cua lquiera de los bloq ues si las masas son
"'1 = 3 kg Y "'1.
=5 kg? (Res¡J/Ieslll
tl
= 0.25 g =2.45 m/s 2.)
Como hemos v i ~ l o. la ley de conservación de la energía puede utilizarse como una aher· nativa a las leyes de Ncwton para resolver cienos problemas de mecánica. Cuando no <..e está intereslldo en la magnitud tiempo 1, la conservac ión de la energía mecánica es fn."(ucmemente mucho más fáci l de usar que la segunda ley de Newton (figura 7.7). Como la ms.ervación de la energía mecánica se deduce de las leyes de Newton. los problemas que ',cden resolverse con aquella propiedad también pueden deducirse directamente de las ." de Newton, aunque frec uentemente sigu iendo un c
7.2
(b)
Figura 7.7 (/' ) L;, delcnllinaci6n de la velocidad de un bloque que dcslil.a por un p]¡mo inclinado de pendiente constante. sin rOl,amicnto, es senci lla. t¡mto si se apl ica 13 ')Cgundn ley de Newton. como si :.e utilit;l¡ el principio de conservación de la cJlerg(a mecánico. Sin embargo. si el plano inclinmlo carece de ro1.:nniento. pero ~ u pendiente no es constnnte, como ocurre cn (1)), el problema PLlede rcso h'erse fácilmente utiHl,ando el principio de con:.crvación de lu encrgía mecánica, mientras que la segunda ley de Ncwton requiere para ~u solución conocer In pendiente en cada uno de los punt(). de la superficie de c!lfda. y el cálcu lo e .. realmente tedioso.
Conservación de la energía
En el mundo macroscópico siempre ex isten, en algún gntdo. fuerlus no conservuri\ . "010 la fuer/.u de rozam iento ci nético. que dismi nuyen la \!\lergfl\ mec;.inica de un sish Sin embargo, toda dismi nuc ión de este li po viene ncompaiiadu del increme nto de en. t¿rmica correspond ien te. (Tenga e n cuenta como se calientan los neumáticos de un c"" Jespués de un largo recorrido.) Otro tipo de fuerza no conservativa es In implic.JJ 111 clefonnuci6n de los objetos. Cuando doblamos arriba y abajo una percha de alambre ,lilamas un tmbajo, pero éste no aparece C0l110 e nergía mecánica. En su lugar, el aJan. re ~ calienta. El trabajo renlizado al deform ar la percha sed isipn en forma de energía ténni.: De iguul modo, cuando Ul\ll bola de mas illa cne al suelo, ésta se cu lienla ¡¡ medida qUt' t.e deforma co rno consecuencia del impacto: In energía ci nét ica disipuda aparece en f~lOna de energía ténnica. Pnm el ~iste ma bola-suelo-licrra la e nergía total es la suma de la etll'rgia lé mlica y In energíu mecánica. U I cncrgíll totll l del sistenul se cOnserva aunque indi\ iJuill· mente no se conserven ni lo e nergía mecánica total ni 1:1 energía térmicn total. Un lercer tipo de fuerMI no conservativ:! está asociado a las reaccione!. qufmica~. CU1Uldo lmt:l1nOS sistellla~ en los cun lcs tienen lugar reacciones químiclls. la !<;uma de la cnt'TgU\ mecánica m:1.s la energfu ténni cll [10 ).e conserva. Por ejemplo. supongamos que una rc"on;\ comienza a cOITCr desde el rcpo~o. Original men te no posee cnergíu ci néticl.I. Al Cllrrer, la energía química interna de sus mlÍscul os se conviene en energ(1I cinétiC:'1del cuerpo ~ :oc pl"P" duce energía térmica. Es posible identifi clIr y medi r la energfu química cunsumida. En e..tl' caso. In sUllla de la energía mecánic¡¡, térmica y quím ica se conservlI. Incluso cuando.sc incl uyen las energías térmica y químicn. IUl'nergíu 10lUl dcl.:-t .. ,cnM no pcnnllnece siempre COnstfln te, La energía de un si:.temll puede c:Hubillr por IIlgunn fi..l!"llm J\' radiación. tal como la!> onda:. sonoms o Itl~ onda:. electI'\ll1lllgnclk:l~. in cmt'l.II):.\1. ,1
7,2 Conservllclón de la energíll
I
179
t' d i.\m;lIIU'iÓ" dt' la (>I/ erg {(l (OIlll de 1111 ~,' .. , /. . . . .. emll ¡me( e nem/),.. , · f ,,'cüln n desopnncujll de ellerg!a ell tl¡"1Í1I mm / E ' ~ exp fC(l r.~e por {/ alHI" • C> ligar. SIC re~ul l 'ldo 'x . ' I • cOIll O le\' de COlIs c n Tucló n dc la CIlCN.íu y . . • e perllllCnta he conoce . .b es unu de la~ leyes más impo ' d I .. "cill. Se:1 E,," In encrgíll ta \:ll de un dClcrminudo E"' l' ' . rtunles e a ele , ro; d, Jada a c ncrg¡'l '¡bso b'd
r
'11 /0
/11111 ,,
S"'I>'" .
1sj~lem:l} E~I.u. la c ncrgl:l cedida por e l mismo. Ln ley de co~;~ervuc"6" de'I" . r ~ n por .\ cnergm esta'blece: #
'
(7.8) LEY DE CONSERVACION DE LA ENERCfA
Ahefoll1i \'alllcnh:.
Ln ent'o't.l IOtu [ del , ~ni"crso es COI.lstan te. La energía puede tnlnsformursc. dc una forma
en 01(.1
..cr IrnnslllItldu de UIlU reglón a otra, pero la energía no puede nunca ser ereuda o
dc~ lru '
ll:V DI: CONSERVACiÓN DI: LA fNERCfA
La ener
ple!al1lt
...... , .. netlca )
,tal E de muchos sislemas fami liares de nueslra vida diaria pueden explicarse comlcdian~c la ~nerg ía n~ecánica. Emcc' la energía térmica. Elirm, Y la energía química. remos lneJu.lr cu alqUIer otra ,foona posible de la energía, CO Ill O son la electromag..:\I!ar. añachremos otro lérnuno. E~, y escribiremos de modo gcneral (7.9)
Teorema t ra bajo-energía
(7 . 10) TWREMA TRABAIO-ENERCI"
en donde W~I es el trabajo reali zado sobre el sistema por fuer.l
I
Los tran,fdllctores son düpositi\'os qlll! IronsfOmUl/Illllafonlla d e ellerg(a en otra. PIUfI\'{'r !tIS características cOII/unes dt!l ordo i memo, de 1111 micrófono. del semido dtl tacto. por ejemplo. \'isite la dirección
W\NW.whfreeman.com/tipler5e.
Una foml a común dc transferir ene rgía (absorbida o cedida) de un sistema es intercambiando trobajo con el exteri or. Si ésta es la ún ica fuente de energía transferida " la ley de conservación de la energía se ex presa así:
EJEMPLO 7.7
EXPLORAN DO
la bola de masilla que cae
Una bola de musilln dc mltsu "' cn reposo a onu ultora 1I sohre el sucio, perrcctuntcntc 1130. St! deja caer librementc. Anlllizll r In nplicución de la ley de conscrv:lci6n de 111 cnergíll (o) 111 slslema rornmdo por 111 holullislndu, y (h ) ni s istema rormndo por 111 Tierra y In holll,
Planteamiento del pro ble ma Dos fucrlas actúan sobre la 00111: In g~:\Ve~lld : la fUe~/.l1 de con11ICIO de:! ~uelo. Como el suelo 110 se mueve. In rUcrlu que ejerce no rellhz:t nmgun tmbuJo. No huy cncrghl qulmica u (llro.. cambio:. energético:. de modo que podemn" prescindir de los lén~iI~(ls dEquím YtiE'>lIU" Si desprednmos la energía :.onora emitidn al chocar la bola conml el ~uelo. la unten energía Irnn:.íeridll ho.cia el ¡¡iSlema o desde él c., el trl.lblljO !'Clllil.llda por la grnvcdad. de modo '1 m: podemos ulili/ar el lcorema u ab:ljo-cncrgía,
180
I
Capílulo 7 Conservación de la energra
\V.. ~I
(a) 1. Escribir el h::orcrna trflbajo·cncrgín: 2. Las dos fUel7..1S cxlcmas ,obm el ~istema ~n la gOl\'edad y la fuer.w cjercida por el sucio, ~te no se mueve y por lo tunto no rea-
lil.u tr.Jbajo. El único Imb.tio hecho sobre la bola es por gmvcdlld: 3. Como la bola aisladu es nucslrO sistcma. su cnergíll mecánica C~ enteramente cinética. In cual es Cero, ItlntO inicialmente corno finalmente. Así. el cambio dc energía mecánica es cero: 4 . Su ~ tilUir /IIg/¡ en \Ve" Y O e n M m« en el
p :ISO
= AE,;" = 6.Em« + AE,~rm
\Ve" = mgh
6.Em« = O
IV c
1:
/l/ gil = 0+ AEIbtn
por lo tanto IAEI4!,m = mgll
(b) 1. No hay fuer!..as externas
I
\Ve~, = O
\Ve>:\
= 6.1:.~i,' = AEmcc + AE,trm =O
O= 6.Emec + A.E'bm 3. La encrgfu mccánicn inicial del sistema bola·Tierra
C~
III energía
potencial gravitatoria inicial y la energía mecúnica final es cero:
Em«i = IIIg"
Emccr = O
4. El cambio de energfa 1Tlt.'C".mica del sistema bola·Tierrn cs. por lo tnnto:
AErr=; = O - mg/¡ = - lIIgh
5. Elleorema trubajo·cnergín nos da el mismo rcsultado encontrado en (a):
6.EIbm =1- AEroo: = mg /¡
I
Obse rvación
En (a) la energía se transfiere a la bola en vinud del trJ.bajo realizado por la grJ.\'edad. E.\ta energía aparece en fann a de encr¡;ía cinética de la bola antes de que choque contra el sucio y como energítt térmica después. La bolll se caticnlll Jigernrnl!ntl! y finlllllll!lltl! In energía se tr:msficre :1 los nlrededores en forma de calor. En (b) la energía potencial inicial del sistema bola-Tierra-suelo se conviene en energía cinética de la bola antes de que choque contl1l el suelo y después en energía ténnica.
En esto centrol de producción ¡Je energía eléctrica de Klln~al> (EE. UU). la .:nergfa químIca ahnuccn.ltla en el c¡uhón fó,il Onontfculo negro 'ltlC aparc::ce en In fotogmffu en lu pan.: inferior derecha ) e.. liberada por comhustl{',n pam producir vapor de :tgulI. e~.c vapor impuhil [:\'0 tUrbtniL' par:t gener:lr electricidad . El elllor no apmvcchlldo ~e di~lpa en tom:\: de refri!1cnlcióTI.
La energía (lotcnt'illl del agua en In parte 'upcrinr de la ~ Call1rot3' &"1 Ni á~ ara ~e IIlilí/.1I pum produdr encrgfIlI.ZIL'Clri~·II.
7.2 Conservacl6n de la energía
I
181
Problemas en los que Interviene el rozamiento cinético Ul.... fuerzas de roz.¡unicn lQ cinético cjerc idns por lI WI supc' fi ' . b . ' 1' . ' . ' . • r leH': so re OIn1, cuando las super. . '< • . tieles de:; Il.an 1:11 COlIllICIo m utuo. dlsllIlIluycn h cnc.rg ' • . • 'I U mcculllca 10la 1 de un SHncma e incrementan la cnergw témuca. Consideremos un bIO
,.
La energíu mednic:1 perdida es la energía cinéticu in icial del bloque
'E
L\ • I1Ie<:
Re m'
= -21 mVf,
(7. 11)
mnemos ahora In pérdid.a de energía mecán ica con la rucrw de rozamiento. Si fe s el de la fu erza de roznnuento. la segunda ley de Ncwton expresa que -/=/I/{/
l\ l
Figura 7.8 Un bloque desliza sobre una mesa rugosa. La fuerl3 de rozamiento reduce la energía mecánica del sistéma bloque-mesa.
Icando los dos miembros de esla ecuación por As se obtiene
- / as =
lila
as = 111(12 1,," _ 2lv~) = _!2 1II 1'~1 I
(7.12)
en 'nde ils es el desplazamiento del bloque y hemos util izado la fórm ula de aceleración con:-tJnte 2a a.. . = (con Vf = O). Comparando las ecuaciones 7.1 l Y 7. l 2 resuha
\'r- "(
(7.1 3)
Obsérvese que la magnitud -/ ÓS /1O es trabajo realizado por rozamiento sobre el bloque deslizanle. puesto que un análisis cuidadoso muestra que el desplazamiento real de la fuerza de rozamiento ci nético no es. en general. igual al desplazamiento del bloque. I Sin embargo, puede demoslrarse que / as es igual al incremento de energía térmica del sistema blO
SU'iti tuycndo este resultado e n el teorema trab¡~o-encrgía (con E"uI," = E<'!._ = O) se obt iene (7.15) TEOREMA TRARAI O·ENERCIA PARA PROBlEMAS CON ROZAMI(NTO
donde tls es la distancia a lo largo de 111 cual una superficie ge dc."liza respeclo n la olra. Si sobre el :;iste ma no se rea liza trabajo ex terno. la energía di:;ipnda por rolamicnto es igual a In disipación de energía mecánica: (7. 16) 1
, , .. 1 d 11 . n \ Sherv.·ood y W. H. Bernard, "Work E.I tnlOOJO rcalmldo por el f01.0mlcnltl cmétlco "C estm IU en CtD e ~n u . I • und Hea! Tmnsfcr in Ihe Pre'iCnce of Sliding Fricl ion" Ammetlll )(mmtll (I{ PhI',¡;es, 52, 100 1 t 1984).
Centnll de encrgra e6lica irlundC!;a en con,trueci6n. El proyecto Arklow Bnnk$ en el Marde ¡rlunda tendrá 100 turbina' y producin1 520 MW de p,ltencin cléctriclI (tre... veces la capncidud de toda:. lu:- "gmnjns" cólicas marina~ juntas que husttl ell11omcnto fun cionan en el mundo).
182
I
Copfloto 7 Conservación d e la en erg ía
EJEMPLO 7.8
I
Un bloque en una mesa 25 N
I 4 k.. Inicialmenl e en UlIa personll empuj a ('1m 111111 fU Cr/.11 horizontnl de 25 N UII b 1O(IUC (e "" . . ",. · · , de rozamiento cme ICO rcfJOso sobre UlIlI mesa horlzontnl, unu distllllcill de 3 m. El eoc f IClen e 1 . . brc el sistema b oq ue(d ) 1 enlrc el blo(IUC y In mcs n es 0,35. DclermllUlr (a ) el IrnbllJo externo so l. ' f'1111Ii del bloque y e IUCSIt, (h ) 111 encrgíll dls lpadn por 1'O...mn ienl o, (e) lu CIICrg¡n e1II..:IICI"I mód ulo de 1:1 velocidnd del bloc.luc.
,
Pla nt e am ie n to d e l problema El blO
(a)
(b) La e nergía disip:lda por rozamiento es! tl.l' (el módulo de la fuerl." nOrlnal es IIIg):
! W." =
fig ura 7.9
W po:IWI1IJOI>rcC!bIo<¡uc:
+ Wln,cdMlwhr<:~l~
+ W JfI,e ..... 1. meooa = F pcnona6..1' + O+ O+O = (25 N}(3 m )
=@TI 'E-,km -...
f
A l' = 1"', " F n 6x = II, mg Ax ....
= (O.35)(4kg)(9.81 Nlkg)(3 m) =141 •21 1
(e) 1. Aplicar el t(.>()rema lrablljo·cncrgía pam determinar la energía
ci nélica /inal:
2. Como no ha)' fuerzas conservutivus internas que hagan trablljo. el cambio en la encrgíu polcncí:11 es cero. El cambio en la cnergía cinélica es igual a la variación de la energía mecánica:
AE'1l« - AU + llEc
3. Su!>t ituir este resul tado en el teorema trabajo-energía:
\V e.:
- O+(E,,- O)
por lo tanto
E~, (d ) El módulo de la velocidad fi nal del bloque está relacionado con su energía cinética. Despejar In velocidad final del blO
- W"M-llErinn - 75.0 J - 41 .2 J
con lo cual
f2E.. I't = ~ -;;;'
EJEMPLO 7.9
I
(33.8 1)
4kg =14.11 mis 1
¡INTENTELO USTED MISMO!
Un trin eo en la nieve
Un trinco se de:sli ...a por lInu s uperficie horizontal cubie rta de nieve con unu velocidlld illidlll de 4 mIs. Si el coefi ciente de ro:r.amiento ent re el mneo y la nieve es 0,14. ¿,q ué distnncia recorrerá hustn alc:tn....a r el reposo'?
Pla ntea mi e nto d e l pro ble ma clleoremn lrahiljo-cnergíu.
Elegimos cl trinco y la nieve como nuestro sislcnlll y :.plicamo!.
,., 1-- - - - ,' , ----1·1
\'f- O
Figura 7.10
Tope lo columllO de lo derecho e in(entr re1olverlo uslro mismo
Pasos
Respuestas
1. Dibujar I!l ..,islemn en MIS configuraciones inicial y Hnal (fi gura 7. 1O). 2. Aplicar el teorema tmbajo-energía.
=~
n , ... \/ _ +
\1
(.\/ +.\1
~~
J
-+ J\\
7.2 Conservación de ta e nergía
3. Dctcnllinurf Ul fUCr/.l.1 nonnnl es igual tll peso.
I = 11.1' ,
4. No hny fucr/,as .cons~nb'ati\'ns. que realicen trabujo y no hay fuerzas ~xlCmns que aClUen so re el sistema. Eli minllr dos ténninos del rc ~ ul I1ldo del p3S0 2 teniendo en cuenta est:\S dos observaciones.
5. Eltpresnr el cambio en lu energf:\ cinéticn en fun ción de la masu y de la velocidad inicilll. y obte ner 6s.
EJ EMPLO 7. 10
I
183
J(//I1t
lO
w".", =
,
~I' e
u'
j,/
U
I
()
+..1 /:
+ 1_\ 1
0+.\10 +/' IIJf.:.l,
,,
j,,' ..
2JI,.I./
I mi
= :S,K:!
Un tobogán
Uml r'" rl e m usa 40 kg se desliza hacia IIbajo por un tobog{m de 8 m de largo inclinado 30°. El • de rozamiento cinético entN! la nifin )' el tobogán es 11-( = 0,35. Si la niña J>llrte del coeli. ,de el punto más alto del tobogá n, a una altura de 4 111 sobre el suelo, ¿qué velocidad " p<> ;.!Af' al suelo'! ticut Pllll1 cilll ni il ~
' ie nto del problema Cuundo la niña se de.~ li za hacia 3bajo, parte de su energía potenIt::rte en cinélica y parte en energía térmica debido al rozamiento. Nuestro sistema es n-Tierm. Aplicamos el teorema trabajo-energía.
m =40kg
i IAhI "' '' m
Figura 7.11
1. Se dibuja un esquema del sistema mostrando sus configurnciones inicial y Hnal (fi gura 7. 11).
2. Se escribe la ecuación de conservación de 111 energía:
11'e" = óEm« + /l.c,Utn
= (/l.U+6E: )+! 3.
t
u\ energía ci nética
\\' .., = O
o
5. El cmnbio de la cncrgra potencial está relacionado con el cambio de altura 6), (que cs negativo). 6. Pur;¡ determinar fe aplicmnos la segu nda ley de Ncwton a la nifin, Pri-
".
~
mero se dibuja el diugrnma de fuerllUi Cfigu rn 7.12): 7,
Dc~pués se aplicll la segundn ley de NewlOn.
La componente nonnnl . ar Fn tenemo",. e n cuenta In~ de la ucelemción es cero. Paro d ctenmn
. . normll I yoI)!enclTl . o~. JC r teniendo en cuentn componentes en lu dIreCCIón <]ueft = t1eFn:
8. l.u relación e ntre 6.s y 6), es trigonométrica: 9. SU~li tl1 yc ndo en el l'CSultudo del paso 2:
,.,
,."
•
i /I/I'(
inicinl es cero. La velocidad al fi nul del (oboglin está relacionada con la energía cinética fi nnl.
4. Sobre el sistcml\ no actúan fuerz:ts externa!>:
/l..r
•
¡>or lo tantO
¡: = I1 <11/8 cos J< = I' ~"
(J
o = /l/S Ah +! /1/\·1+ Jl,.mg COlo 6/l.J =
- m}l Al
sen 6+
111~
Figura 7. 12
F _ 1111:00.,; 6 = O
•
-------•
j 1111"
+ 11.1/1800" 8 u\
\
184
I
ClIprtulo 7 Conservllclón de 111 energr"
1 O. l)e\ pCj untlo pnnl
I',:.e obtiene:
1'1 • 2H l H ( -.ell (J
JI. COI; 8 )
::<
2(9.R I m/ .. 1 )( 8 m)(M=1I '\0"
::<
30.9 m ~/l.l
y t!1I1 0Ilce~ = 15.60 m/s l
V,
Observacl6n
NÓh!\C qut! el I'e..,ultndv c' i ntlcrx:núicllIc oe In mll\n de In ninn.
Ejercicio Pnra el \¡~tc mu T¡crr.I-llLi1:Hooogdn. cnlc:ulnr ((1 ) In energfa IIlcdniclI inicial. (11) la energfu mec:l:nkalinul y (e) In I!ncrgfu dis il)fldn pur roln rnielllO. (Rr .\ /}lU'sUl j ((1 ) 1570 J. (M 61 8 J (el 952 J. \
EJEMPLO 7. 11
I
¡INTENTELO USTED MISMO!
Dos bloques y un muell e
Un bloque dt, 4 kg cuclgll de Ullll cuerda ligc rll (pH! 11 Irll\'és 01.: UIllI pIllen sin rn1.11mieJllo Y sin IllUSll estn eonectllda :1 un bloque d1.: 6 kg que dCSClIlISlI sobre UIIU plutllforma. El coefi ciente dt, ro1.lImlento cinético es J.l~ = 0.2. El bloque de ti kg se eropuJu contra un muelle. El muelle tiene UIIII consta nte de fu erl.lI de 180 Nlm y se comprime 30 cm. Determinar la vcloddad (módulO) de los bloques cuundo el nlUcllc se libern y el bloque de 4 kg cae unll distuncill de -10 cm.
m
Planteamiento del problema La velocidad de los bloques se deduce de su energín cinética final. Consideremos que el sislenl:l está rormudo por lodo lo qUI! se muestra en la figura 7. J 3 m;'1:, la Tierra. Este sistema tiene energía potencial gntvilatorin y elástica. Aplicar cl teorema trabajo-ener!lía. Conociendo la energía ci nética de los bloques se puedl! determinar el módulo de su velocidad.
Figura 7.13 Tape la columna de lo derecha e intente resolverla usted mismo Pasos
Respuestas
1. Plantl!ar la ecuación de la conservación de lu energía del sistema.
IV ., - 0.1::"",- + j,E,trra
(ó-U'I1+AU +/). F ) + l.ls 2. Sobre el sistema 110 hay fuenas externas.
3. Construir una tabla donde se incluyan los términos de la energía meeánicu iniciales. cuando el muelle está comprimido 30 cm; y finales, cuando el bloque se ha movido una dislancia ru = 40 cm yel muelle se h.. ex tendido. Hacer que la energía potencial gruvit
ém
Finlll
O
-m ~ n
Inicial
"-I k
Dili:renciu
!.h ,
'
\,
-
4 . Determinar una expresión para j e que incluya Jlr:.. Sustituya los resultados de los pasos 2 y 3 en el resultado del paso l.
l'r
5. De~ pej ar a panir del paso 4 y, finnlmcnte obtener \'r suslitllyendo Jos valores numéricos:
\.,• -
b ¡ +2111 ~ ~"\' ~11 . 1I/ 1J.: ~ .1 111 , +111 .
por lo talllo 1',
"' I I.CJS
ml!.¡
Observación Esta solución supone que la cueroa pcrnmnece lenSB en lodo momento. Esto ~ern cieno si la ucelernción de 11/ 1 es mcnOr que g. es decir. si lu I'uerlll Ill!t¡¡ .:;obre 1/1 1 es menor que m g = (6 kg)(9.8 1 Nlkg) = 58,9 N. InicialmCllIe. la fuer/.u ejercida por el muelle sohre 111 1 tiene el m~ulo k ll.r l = ( 180 N/m )(O,3 111) = 54.0 N. Y la fUCl"'ll1 de r01.umielllo Je = JI¡:l"I~ = 0.2(58.9 N) = 11.8N. Estas fuena:, se eambiur:'in pum realizar tina fuerzu de 42.2 N dirigidu hacia la derecha, Como In fuerlU del muelle decrece a medid:l que el blO
I
1• .l.\
I
;vn +
-
(l - m .'~ ~ I
I
; (111 ,
+
-
7.2 Conservllcl6n de 111 energfll
I
185
Sistemas con energía química A.Vúc:" In cnc~gfa.qurtllicfl inlern." de IIn si~tel1ltl ,e tntnsfo rmu en e nergfn mecánica y té r. mil'::I. '111 que nlngUl~ agúnlc extenor realice trabajo. Por ejemplo. al undar empuj:tmos con los p.le" el sudo hnc:w atnis y e l suelo IlOSe mpuja hucia dclunte con la rueo.a de rozamiento e~I~([C:l~. E... 1a rUeITlI no\, aceler:l. pero IIU rcali/u trab:lju. El desplllJ:amicnto del punto de (Ipltc:nl.:lón de In fue~¿¡1 c~ cer.o (supo nit.!ndo Cjue los .laputo!. no dc."liJ::m sobrc. e l "uelo) y por lo mnto. no 'c rcahnl Il ll1gUIl trabajo)' ningunu cn~~ rgi¡¡ se tr.IIl:-.lierc de l '> lIclo II nuestro CI~Crpl.l. La e nerg ía ciné tica del c ue rpo pnx'cdú de 111 conversión de e nergía Cjurmicll del 1111:.1110. quc a s u vc.! proccdt.: dt, 10 :-' alimcnto' quc ingcrimm,. Cun!>iderareI1lO!> un cnso análogo en el ejemplo siguiente. a~13
pi:r.u l contiene nproxinUldmnentc 16 MJ de energfo. aproximadnmente In mitad de energío de 1 L (0.26 galones) de gasolina.
EJEMPLO 7. 12
I
Subiendo escaleras
l" n humbre de maSil m sube por unn cscnlcrn haslu unu aUurll h. AnnllZllr ID upllcllc!ón del prindpio dc l'onSC rl'ución (h~ In ellcrgíll lll sis tclllu formado l)(Ir el humhre aislado.
Planteam ie nto d e l problema Dos fuerl.as aClllnn sobre el hombre: la gravedad y la fuerza de l'ontnclO de los pelduño.. sobre SU1> pic:.. Lu fU CrJ.!l d\! gr:\Vcdud realiza un trllbújo negativo sobre el hombre. Pura detenllinar el tr
=t1E;i$1 =t1Emt:J: + t1E.¡trm + ÓEqulm
1. E'tpresur d teorema trabajo-energía:
Wm
2. Hay dos fuerzas externns que aCluan sobre el sistemn. la fuerl.a de la gravedad y la fUerl.3 de los pclduños sobre los pies. La fuerl:l de grave-
W"'1 = -mgh
dad realiza un trabajo negmh'o ya que su dirección es la opue:.la al despln:r..nmiento de la persona que sube por la escalera. La ruerl.!! de los peldaños no hace lrabajo porque el punto de aplicación. IlIS suelas de los 7~lpat os dd hombre. no se mueve mientl1iS se uplica In fuerzll:
3. Como nuestro sislema está fonnado por el hombre aislado. su energía mecánica el> enter:llllente ci nética. In cual es cero. tanto iniciu l como finalmente:
I:J.Ernec. = O
4. Aplicando estos resultados en el teorcm:t trnbajo·energfn:
-mgb
=1t1E,~rm + óEqu fm 1
Observació n Si no se realizaran cambios de energíalérmicn. la energía química del hombre disminuiría en I1Ig/l. Como el rendimiento del cuerpo es relativamente bojo. IDcantidad de energía qufmica convertida en el cuerpo del hombre el> considerablemente muyor que mg/¡. El exceso de energía será posiblemente tr
EJEMPLO 7.13
I
,
Yendo cuesta arriba
Un coche de JOOO kg se mu c ~'e n una \ clocidlld conslanlc de 100 kmlh = 28 mIs por unu pen· dienle hada arriba del 10 % . (Es decir. ID ca rrelerll se elevn l 111 pnr cndll 10 111 dc dlslunciu horlzonlnl,lo (IIIC Cflui vnle 11 un ángulo de inclinución 0, lul que IJo! 8= 0.1 (Hgunl 1. 14)). (a) Si la elicienda es del 15%. ¿cuúl es lulu.'W1 de consumo de energfll químicn del sistelllll cuchc-Tle· rra-utmósrcra ? (La clldencln as la rnlcción de energíll (Iuímlcll cOl1sUlllidll (Iue aparece en rorma de energío mecá nica.) (b) ¿A qué ritmo se pr¡w.JUCl' cncrgíll térmi ca? Planteamiento del problema P:tne de lu enerp,(n increment:l In cncrgíll 1>OIcncial tlel coche cuando ésta: asciende por la cuc~ lil . y otn¡ pane aumenta la energfa térmica. muchfl tic la cual <,e expul'ju por ei tubo de c.,cnpe. Aplicar ellllorellla lrabnjo-encrgfu al siMemn que ronnan el coche, la cucsta. el aire y la Ticrm.
•
1'\
,.,
, h
.•, '
t¡: O :: h/ I
- '<.'11 (J ""
Figura 7. 14
hll
186 1 ( "pUuIO 7
(om~rv"dótl de la energl"
(a) 1. I U !:\...(\ l'on qu ...• ~l' picnic CI1ClltrO qUll1lka. c... dedr, lu pt1!end n ~ t1111uti' !l ~.dl1 por el IlH,l\llr. e\ la di.. mil1u Cll~ U (... i[{no ncgati\'ll) de cnefttlll P'.lf IIll i~lnd ~Il' ' leml)!}:
Tn. . u de eon"U1I11) de energía qu fmiel! =
2. El itwremcllIo de cnel)l.m Il1ccllnil'Ues igulIl ul 1 5 ~ de tu dí"'mtnu, ei611 ~l{' tu c ncrgiu qufmil'a: I AEm«:
3. DctenllLtwr la 1tI ~1I de con:'U1110 de energía (lu f111iclI .
0.15 Al 4. El c()¡;he se mueve a vl'locidlld constal1le. pM lo que til:.'. = O Y L\f.:"II:\' = AV. Rclacionnr d cambio de la energfa meciÍnica con lu variadón de ulwm ¿VI y :.u:.!ltu ir en el resultado del puso 3:
1:1. ElfIt'f: =
111
8 AIt
por lo luntO I/I g flh
0, 151:1.1 111 g
5. COtlvl!rtir tos incrementos en derivadas, es decir, hacer el Iflllite cuando /.\/ tiende u cero:
O, I 5 dt
6. 1..<. tasa de cam bio de" es "yo que está relac ionad:! con el módulo de la velocidad l ' tal como se muestra e n la fi!lum 7. 14:
dh =
7. Como el ángulo 8 es pequeño podemos aprox imar -.en 8 por tg 8:
sen 8 ". tg ()
8. Calcular la tas u de consumo de energía química:
'!.!!.
di
l'
'
= I' sen 8
dEqurm _ mg mg I' sen (J "" O 1, I' tg (J di O, I S . :>
_ (1000 kg¿(~;81 Nlkg\27.8 mls)O.1 =1182 k\V1 (b) 1. Plamear la relación tmbajo-energfa cinética:
2. Conven ir [os incrementos a derivadas y calcular (iE1fuo!tll :
o = (lEn""" + (/ E,ún¡ + d Equfm (Ir por lo tUntO
lit
(JI
(lEn>«: _ d EquIm dI lit
=
-O.85(/~jtm
(JEqu¡m _ tlECj\I!n, s 0. 1 d di 1
- 0.85 ( 182 kW ) =1155 kW I
Observació n Los vchfculos propulsados por motores de gllsolinn suelen tener una efi ciencia del 15%. Alrededor del 85Sl- de la encrgfa <¡uimica se t.... nsforma en energía témliea, la mayor pane de la cual :.ale por el tu bo de escape. TlImbién se produce energfu lénnien (L eausa del roi'nmiento por rodadura y de la re~istencia del nire. El contenido energético de In ga:.olina es de 3 1.8 MJ/L.
7.3
Masa y energía
En 1905. Albert Ei nlltci n publicó!iOU teo ríll ~pcci al de 1,\ relativ idad. que incl uye s u fa mosa ecuuc i6 n (7. 17)
en donde (' = J x IO~ litIs e,.... la \ eloc idad de la hll. en el vado. En cupítulos pos lc rio rcs estudinrtlllof> e~ ln teoría con dctall(!.
De ucucrtlo con In ecuaci6n 7,17, unn punfcu la o ~i <;tcrna de masa 11/ posee In energ ía en "reposo" mc'-. E"MI cncrgín c ... intrín¡,ccn ¡¡ In pan ícula. Considcl'(!mos el positrón, pnn fcula emi tida en un procc ...o nuclctlr IInl1l11do de~ integmci 6n betn. Lo.. positrones y lo~ electrones tienen 1ll:l~1 idéntic.. ,. pero cnrga eléctrica igual y opuesta. Cuando un positrón choca con UII clc!Ctron en la mntc ria ticne lugtlr la aniquilaci6n clcctrón-posilrÓn. 11ls dos pan fculu3 dC3upa,
7.3 Masa y f!nf!rgia
tABLA 7. 1 Energhl~ en repo$O de .tlgund) pnrt
1 , ICU as e cmenlale~ y núc!eo$ ligeros
,
Flec uvn
0.51 10
,.
PII,jlnll1
mllón
0.5 I 10
"
938.280
"
939.573
Deul~nln
d
1875.62R
Trillll
t
2S-08.9-14
Hell.
JI'le
' &08.39
Neulrun
p",
tlfu
3727.409
• .. S
u energía aparece en forma de radiación electromagnética. Si las dos part ículas C$lá' .ahnentc e n reposo. la e nergía de la rnd iación electromagnética es igual a la energía en rr del electrón más la del positrón. t Ica atómica y nuclear las e nergías se expresan nomlalmente e n uni dades de electrón· 10:- (eY) o megaeleclrón-voltios (1 Mc.V = 106 eV). Una unidad conveniente para las ma!hl , las partículas atómicas es eV/c1 o MeVk.2. La tabla 7.1 relaciona las energías en repo' lJ ty por lo lanlO. las masas) de algunas part ícu las elemcllIales y núcleos ligeros. La energía lotal en reposo de un positrón más un electron es 2(0.5 11 MeV). que es la energía radiantt! emitida en el proceso de aniqui lación. La energía en reposo de un sisrema puede consistir en la energía potencial u Olras energías internas del sistema. además de las energías en reposo intrínsecas de las partícu las que lo fo mlan. Si el sistema e n reposo absorbe energía, I::J.E, su energía en reposo crece y su masa se incrementa en rece
t; M
-
(7. ' 8)
Consideremos dos bloques de I kg coneclados por un muelle de conslflnte de fuer/.ll k. Si estiramos el muelle unll distancia .r. la energía potencial del sistema crece en I::J.U = kkx 2 • De acuerdo con la ecuación 7. 18. la masa del sistema se incrementa también en !::J.M = Auic2. Como e es un número extraordinari amente grande. este incremento de masa no puede observarse en sistemas macroscópicos. Por ejemplo. supongamos k = 800 N/m y x = 10 cm = 0. 1 m. UI energía potencial del sistema fonnado por el muelle es, por 10 tanto. ~ kx2 = ~ (800 N/m)(O.1 111)2 = 4 J. • • El incremento de masa del sistema es 4J = 4.44 x 10- 17 kg t;M = e' - c(3°-X-':'O~8~t-n/""s)'"
t;U
El incremento relativo de masa !::J.MIM observado.
t=II
2 x 10
11
es demasiado pequeño pum poder ser
Energía nuclear En las reacciones nucleares. los cambi os energéticos constituyen frecuen te mente una fracción apreciable de la energía e n reposo del sistellul. Consideremos. po~ cjel~lplo. d deuter6n o núcleo del deuterio. que eÍ) un isótopo del hidrógeno. llamado también l11drógcl~o pesado. El dcuteron está fonnudo por un protón y un neutrón ligados conjuntamente. Segun la tabla 7. 1. la musa del protón es 938,28 MeVh.l y In masa del neutrón 939.57 MeV/~. Ln suma de
187
188
I
Capítulo 7 Conservación de la energía
e V".1 Sin embargo. la masa de l dClIter6n es 1875.63 MeV/cl
G
ambus musas es 1877.85 M d . • las 'Iue lo constituyen en 2.22 Me Vlel. Ob!.éne.'ie . . r' 1 nn de las os purucu ..
a las medidas de estas masas Y CasI r e ......., anteriormente para e l siste ma Ill uclle·bl oq ues. " dam (óx ido de deuterio) se producen en el agua previalllCn'A U1S mo léeu Ias de agu" • . I d ' .~ . I cuando neutrones chocan con los nuc eas e hidrógeno (nrn cnfnada de un reaclOr nue caro ' 1'.... · s de agua Cuando un neutrón lento es cl:lpmrado por un prOtÓn 'a Iones) de Ias mo léell l ,l ' .' _ ". , ."" . . r d 02' M eV en forma de radmelón eleCIJOmagnctlca. ASI. la masa deu libera una energ a e -. d n 2 "Y/c menor que la suma de las masas e un átomo de hi.lUlIJ.... . es 221 átomo d e dcuteno . _ "1 l' e
geno y un neu trón aislndos. . Este proceso puede invertirse, rompiendo un deuterón en sus p.art~s consllluyentes, si~ transfieren por lo menos 2,22 MeY de energía al deuleron con r~d mc lón e~ectromagnélicao med iante colisiones con otras partícul as enérgicas. Toda ltl energla transfen da que Sobrepase los 2,22 MeY aparece como energía cinética del prot6n y del neutrón resultantes. La energfa necesaria para romper un núcleo en sus partes constituyentes se denomina energía de enlace del mícleo. El deuterón es un ejemplo de un sistema ligado. Su energ ía en reposo es menor que la energía en reposo de sus partes constituyentes. de tal modo que es necesario añadir energía al sistema para romperlo. Si la energía en reposo de un sistema es su perior a la energía ea reposo de sus parles, se dice que el sistema no está ligado. Un ejemplo es el umnio·236, que se rompe o fisiona en dos núcleos más pequeños.! La su ma de las masas de las panes resul· tantes es inferior a la masa del núcleo original. Así. la masa del sistema decrece y ~ libera • energla. En la fus ión nuclear, dos núcleos muy ligeros. tales como el dClIIcfÓn y el tri IÓn (núclro del isótopo del hidrógeno llamado tritio) se unen (se fusio nan) entre sí. La Illasa en reposo del núcleo resultan te es inferior a la masa de las partes origi nales y se libero energía de nuevo. En una reacción química que produce energía. como por ejemp lo la com bu~n6n del carbón, el decreci miento de la masa es del orden de I eV/2 por átomo. Este valor e .. más de un millón de veces más pcqueiio que las variaciones de masa en las reaccione::" nu -j '¡¡res y no se observa fáci lmente.
EJEMPLO 7.14
I
Energía de enlace
Un átomo de hidrógeno rormado por un protón y un electrón tiene unn energín de en luce de 13,6 eV. ¿En '1ué porcentaje In masa del protón más In del electrón es superior 1I In del átomo de hidrógeno? 1. La diferencia fmccional entre la masa del álomo de hidrógcno y las masas de sus constituyentes es el cociente entre la energfa de enlace E b d ·IVI'd'd I a por r ' y /lit- + m p: 2. Tomar las masas en rcposo del protón y el electrón de la tabla 7.1:
3. Sumar estns masas: 4. L:I lIlasu en ~ poso del
,-'_ Diferencia fmcc ional = "E::Jb,--'c III~
I1Ip
= 938.28 MeV/(..2,
"'p + "'(
~ I o mo
de hidrógeno es inferior n este valor en 13.6 eV/c'l. La diferenci ll porcentual es:
_
13.6 eV/c~
+mp
"'e=O.5 11 MeVh.2
= 938.79 MeVle?
Diferencia fmccionul
13.6 cY/c 2
= <;93"'8".7';;9i'x~1O;;,"",:;'v",C~2 = 1.45 x lO-s = 11.45X 10-'%1
Esla diferenci o de masa es demasiado pequei\n ptlrn ser medido dirccllIlllCIlIC. Sin embargo. las encrgfus de enluce pueden medirse CXllctnmente y en consecuencia. In diferencio de I11l1sa resulln de In expresión Eb = 6mlc2. Observación
7," Cuantlzacl6n de la ener9ia
EJEMPLO 7. 15
I
Fusión nuclear
t:n unu rClIt.'c ián típka de fu.'1JÓn nuclear. un núcleo de trillo J (usio!llln pllra rormar un núcleo de Milo (,IHe) m.l.( H) Y un núcleo de deuterio (lB) "~ lI e + n, Si 1/1 ('nerg (a cinética Inkial de Ia'l partículas - und neutron i ' !leKún la reaccló n 1" + 'H -+ ""'Iu rc:lcción de ruslón'! es esprec ahle. ¿cuAnta energía !le libera
¡INTtNTELO USTED MISMOI
'" ~
Plantea miento del problema Como en este proceso se I'lle
)1111 de la~ p:tt1jcullls iniciales debe ser mayor que el d~ 1: I ~ ,e.nerg " ru, I~ energf~ en re~so "¡~ual 11 19 enel] (n "Iberod'.1, .ts p nnlCU IL<; lIIules. Il~tu dlferencm es
Top~ fo columna d~ la def ecflD e Intent~ f f!J olverlo ust~d mIsmo
PasoS 1. Tomar lo.. valore:, de lus energías en reposo del 2H y lH de 111 Tnblu 7. 1 ) ~umarl u!> pura conocer la energfll en reposo total inicial.
2. H. C'('r lo mismo COII el "He y el 11 pum determinor la cnergru en reposo fin 3, L f-
Obsc la T por f!
rgen libe rada se determinu a partir de Ehbcra;¡b = Eo (inicial)_
11.
Respuenas I~. (j¡u~I;¡I )
= 11'175.628 McV + 2ROK,Q.\.4 .\I1eV = -16H-1,:'i72 McV
1-'fI (f inal)::I '717.-109 MeV + 939.57:\ ~lcV
E.•h:t
4bK4.572 MeV - -1666,982 MeV
=117.59 M,V ó n e <;ta y Otras reacciones de fusión tienen lugar en el Sol. La energfa liberada alcan7.3 ·S la responsublc primordial de la vid;¡ en el planeta, La energrn emitida constantemente acompañada por unu disminución constante de su masa en reposo.
Mee" n a Newtoniana y relatividad Cu:mdo
elocidad de un partícula se aproxima a la de la luz. la segunda ley de Newton
deja de cumplirse y debemos mod iflcar la mecánica ncwlolliana según la teoría einsteniana de la relmividad. El criterio de va lidez de la mecánica newloniana también puede estable-
cerse en runción de la energía de una panícul a. En la mecánica ncwtoniana, la energía cinética de una partícula que se mueve con velocidad ves I
- ;;:
"1 mc ~
•
v-:;2
c'
,
,
v'
- 2 Eo ;;2
en donde Eo= me? es la energía en reposo de la part ícu la. Por lo tanto,
--
e
La mecánica newtoniana es válida si la velocidad de la partícula es mucho menor que la velocidad de la luz o, alternat ivamente, si la energía ci nética de la panícul a es mucho Illenor que su energfa en reposo,
7.4
Cuantlzaclón de la energía
euando un Sistema . que permanece en reposo absor be energ t'u . su en"Tgfa iOlemn aumenta. t;
•
Parece 16gtco 'que . ' can,'d"d el sistema pueda absorber cua lquter I .. arb', 'r"ri't .. • de energía. SIIl embargo, esto no es derlo pam sistemas mi croscópicos como átolll~S o Illol~cul ns, La eller·
gía interna de un sistema microscópico sólo puede aumentar en canudades dlscrews. S·I tenemos dos bloqUe!> conectados a un mue )1 e por su . ,.. e x,'remo<.. y tirumos. de . ellos,' rea· 1', ,,._ Ioques y su ene rg(' potencial crece . SI a . con tinua· ........ 05 trabajo sobre el sislema mueJl c·b , , . alrás y ude )a",e , La e nergía de osclloclón E. ,'ón I'be I ramos los bloques. éstos osc .ilan hacl3
' 7.H"V
1
46(,(,.4112 ~l eV
190
I
Capftulo 7 Conservaclón de la encrgfa
to tic los blOClues. más 111 e nergffl pOlcneial
. .
.' é t'c'l de mO"lOllcn " . ""al. (IUC es In cnergw t:tn l. . l' 1 orgía potencial o riginal. Con el tlcmpo. la enern¡ ,
U
. d ["'lle es ¡gua ,1 a en¡; "ti a~ alargamiento e llH 1,; , " l' . dc " nlortiguaci6n producidos por el rozumiento , ~It , ' ldeloscectoS ' :' Istcma decrece n CIlUS! . '6 d nl,esU1lS medidlls. la ene rgm decrece continuan_,. . . l ' e lo prcelsl n e · '~''lt fCSlS lcncta de :lIrc. on. r' , In energía de osci lnci6n se hace cero. Finalmente. toda In encrgIU se ( ISI'Pé " Y. d '. tómic¡1 tal como e l ox ígeno molecular O 1 s 'lllo r'l una mO cu I,1 la ' 1, L. OIlSle erem~, . '~I d átomos de oxíge no varía casi linealmente con el cambio rucnu de at racCión entr¡; ~s, :~lll1bios) de una rormn muy parcc ida a lo quc OCUlTe en ~ 111 !:ep'¡raci ón (pnm pequcno. . · . ' E és d ". . ' . lé' 1 d', t6m ic'l se hace oscilar con clertn cnerg la '. ta cerCCe COn '" muelle, S. una 1110 Ctl!l 1,1 ' . d d Id ' , ~I . d 1 lécu l!, irradh o inlCfllcc lo nn con los aI re e ore.", pero e eereclmlen'~ liempo cuan o a J1l0 ' ' . 1 . "' . 'IJ . L '.- disminuye en sa ll o~ fim tos y e l esHICo e ncrgl:'tlco más baJO lb 1/0 e\' CO IIIIII/l(), fI cnergl.. • 'b'6 d ' . . cswdo run d amcn ta ino es' cero . .Se dice que la e nergm de VI rael n e una molécu'·.. mfldo . ' nn'·'''''d .... · es decir la moléc ula sólo pucde nbsorbcr o ceder energía "" . 6' (la ~" l t nucn esltl eu, ciertas euntidlldes. 1I'lmadas e I/WIIOS, , , , ' unidos. I)or un muelle o las moléculas dlalómlcas oscil an. el tiempo uI,ntom . . 1 1 bloq llC. trunscu rrido durante UI1I1 oscilac ión se denomi na periodo. T. La IIlvers.a de l penodo es la fre, cuencia ele osci luci6n f = lIT. Como veremos t!n el capftu lo 14. e~ pe~lodo y la rrecucncia de un osci lador no dcpenden de la e nergía de osci lación. Cuando dl s~muye la cn~rgía. la fre, cuencia no se modifica, La fig urn 7. 15 muestra un diagrama de niveles energcticos de IIQ oscilador, Las energías pcmli¡idas están casi ig ualme nte espac iadas y vienen dadas porl
e .
E,
E, el
l .
7 ~ Fig ura 7. 15 un oscilmlor.
Eo
.,
DillgrulllU de nivdc.<; encrgéticos dc
"
,.
•
e
En == (11 + ~)J¡f,
" = O. 1. 2, 3 ... '
17.191
en dondef es la rrecuencia de osci lación y /¡ una constante fundamen ta l de ID naturaleza Ha-
,
mada constante de Planck:-
/¡
= 6.626 x 10-» J . S
(7.201
El número cntero 11 se denomina número cuántico. La energía más baja posible es la enero gía del estado rundamental. Eo == ~ J¡f, Los siste mas microscópi cos frecuentemente ganan O pierden e nergía absorbhmdo O emi, tie ndo rad iación electromagnética. Por el principio de conservación de la energi, ~i E,)' E: son las energías in icial y final del sistCIlHl, la energía emitida o absorbida es
Er:.¡J = Ei - E( Como las energíns E, y Ef de l sistema están c uantizndas. 3 la e nergía irradiada está, El cuanto de la energía de radiac ión se llama fOl6n, L:1 energía de un fotón por
lIbién lo ne d3dJ
E(<)\Ó!I = lif
En ItI tigurol se mUi!Str..l la imugen de rayos X del CU:lsar 3C 273. L1 energía cmitid:1en In banda de 10'\ myós X por este ctlll~ar el' superior en un mil16n de vcces a 1/1 emitida por la Vía L.1clea completa.
(7,111
en clonde f es In rrecucnc ia de la radiuc i6 n e lectrOlllagnéti ca .-l Por lo que sabemos. todos los sistemas ligados presentan cuamizució n de la t' OC En los siste mas ligados macrosc6picos Jos saltos entre niveles e nergéticos son tan ¡xql1'll~ que rcsult¡,¡n ino bservables, Po r ejemplo. las rrecucncias de osc ilación típicas de do::. bl Nue~ "lJbrt un muelle son del orden de I a 10 veces por segundo, Si!= 10 oscilaciones por ..... :úndo. tl espaciado entre los nive les energéticos es lif = (6.626 x 10-34 J ' s) x ( 1O/s) "" 6 x 10- 1. COlJlO In energía de un sistema macroscópico es del o rde n de j ulios. un sa lto c uántico de 10.11 J e;-. Un:1 llIoltculn dinl6rn!cu Imnhlén pU~'de lener ene.!rgrn rolacional. E.~la encJ}!fu, 1:01110 ent de e.!>perw e'-I~ ~ cuanu/ooa. pcltl ll'~ ~1\'ele~ ellergélkOli no e.~ul:n igualmente.! ~paejatlOl> ) la tllcr¡;fa ntá~ naja po!Iible t"- (0:\\1 lit b caprlUlo-- 9} tO c\lUdum:m~ ta tnergfa rotacional. l En t 900 el IT\ico IIltlnltn Mllx Plnnd. imrodujn CSta Clrn~t:lnl<: CQmo un in.~lrumelllt) de clilcut(> Ir;mt C\ pld ~ ¡J~~I1:p;l ocm~ entre 10l. l'C.'uhll¡JOl. c.~pcrimt'nudc\ y le6riro
,
,
HIS1~nclI~nlc. la ~u~nti/:~ci6n de: la mcJiación clectromnp.nélic,¡ propUC.\tll por 1'.1(\\ Ptllnck \'
el pnmcr dC'>CllbnllltCnl('\ de In cnflntll.:Jci6n de tn cnergla.
\111('11 binoJ.tln I\l'
.
Ln rudmción electromngnética incluye 111 IUI, hl~ llIiCfUlIntllllo. In\, IlOOa\ de rutilO \ de Ic1C\'I.,6n 1(,.. r:I\ .... royO'> g,'llIma, Tod.a~ est :l~ ntd¡IIClonc\, dificre n emrc d .... ""0 , , . , ~" recucnclll.
\ \
k"
• 7.4 CuanUzaclón de la energía
I
191
, ~ i!ld Q
pcquc-li o paro ser ob..,crvado. Dicho de Otro mod . l . ¡J"I1I.!· l d d 101' 0, SI U energía de un SISICIIUl es 1 J · lor de 11 ~ de 01' e n e .. y los cambios de un ll O d ' . l . . '. . el \.1 os unl ( lides CUántic as no serán
cf"ubles. b o ~
d' 6 . "'01 una moléculn HU Iluca. la rrecuencia de vibmc ,' 6n Ir . d l 1' • , • . pIca es e orden de 1014
. ,<
'b '
pOr segundo. y una c nerg m (tpl c a es 10 19 J El espaciad l ' VI ra,Ion · . o entre os niveles perm itidos C'i. por lo l/mIO. E" .1 - E" = lif - (6.63 X 10 ·\4 J . 5)( 10 14 s) - 6 x 10 -20 J e, decir los cllmbios en la energía de oscil ació n son del mismo o d i ' •• • r en que ti energlO de la 1110 Ilcul a ~" la cuanllulcl6 n C~ clara men te obser\',¡ble • •
l;...l'
R e s u,,,en 1
U I conSCrvación de la cncrglu mecánica es unll relación importamc dcducidu de la" kye.~ de Newlon pam las fuerzas conscf\"llivns. Es titll para resolver muc hos problemas.
2
~l lcorcnl[l trabajo-cncrglu y la conservación de la energla son leyes fundamentales de la naturaleza que tIenen aplicaciones en todas las áreas de la física.
3
La ecuaci6n de Einstei n Eu = mC2 es una relación fundamental entre la mus:1 y la energfa.
4
La cuanti:wción es un propiedad fundamental de lu energía en sistemas ligados.
TEMA
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
, . 1. Energld mecamca
La suma de las ellergía.~ cinética y potencial de un sistema se denomin3 energí3 mecániC3 to\tll (7.5)
Con'-4.'f'olción de la energía mecánica
Si no hay fucrlas externas que realicen trub:tio sobre un sistema. y todas las fuerzas internas ~ n conservativas. la energía mecánica \olal del sistema pennanece constante (7.6)
E""" = E.... + U.... = conSlant.!!
(7.7)
2. Energía total de un sistema
La energfa de un sistema consiste en energf:1 mecánica. EmeI:' energía témlica. Etmn. energía qufmiC'J.. E.¡nImY otros tipos de energía. Eou",,' tules como rudiaci6n sonora y rndiaeión electromagnética.
(7.9)
E"" = /:,~ + E.em. + E",¡", + E..-
l
Conservación de la e nergía Universo
L.1 energía t01:l1 del universo es constante. Ln energfa puede tr:lllsfommfSC de uml form:l en
QtrJ.
o transmi ~
\iI"SC de una región a OlrJ., pero nunca crearse o destruirse. Si ~ tema
L:I energía de un sistema puede modificarse por trnb9jo n,:ali"llldo sobre el :.istClllll y por lro~s mi.s i ón. de energla en forma de cnlor. (r:...~u! incluye l~ emisiÓn o absor::i?n de rJ.djnci?~~.) El ~um~nt~ o dt~II.II~U~~~l: de In energía del sistema puede expl icarse sIempre I)()r la aplIflCtÓn o dcsapllflclón de IIlgun tipo de cn"rgm en otru
parte. (7.8) (7. 10)
Teorema trebajo-energfn
. , ormado por un p:lr de .~u""rficies dcs l i71lnlc.~. la energía 100al disipada por ro/umil'nto <;obre Pam un sIstema ,'. filel"" ' - , e!,,'gual ni incremento de energlo témlica del sistema y vIene expresada por ambas 1>uper jl1s = 6E1hm (7.14) • \csc Idel'' pl:tzumiento de un:t superficie respecto ala otm. en donde ..... ..
I
192
C"pltulo 7 ComcnllIc!ón de 111 e ne rg(ft
l'I ¡ 11 ' el
5. Resolución de proble mas
6.
Mb SI'I
y energr",
Fncl);.llI de cnltlcc
N .....cncrg{n pUI:<\cn uuli/.ftro.e camo UIUl.h.........'
1m ~. ',< _ - ..... á 0'1 que rcqmérc.n 111 dcICnn¡nDC\UII (kl módulo ....
UX U'c tllll
Lo c(ou ~l:rvtlcit'\n dc 111cncrlJra lile<: n e IlIer l,roh\cn Ul~ mee Ole ' de hl~ Ic)'e~ tJto c',\.WrI p:lm re..... , Ó \'d {)l.'¡dild d~' unll ¡mnf!!ul n en fu nCión de ' u po
Un!! p¡u d culll de: III1\MI m JlO'C-c un J ene"
""
-
{A en rcp
(1 . I ~
l i d dc tu ltll en el vudo. en donde (' . ~ )( 10" mi!> c" In lit OCIt n r re~ Ea 3 Mr . SI un ~ i )r.lcm:t gan:1o pierdt ~ Ull llj~lcllllI de 1Il1l~1I Id PCI!t« I:Imhlén una cncrg ti c~ 6F.1r Inlcnlft t:..E, ,oo:lmuháneumcrl1 t gana o pu:n lc U1a~. Afi' ,. • lu en ..ti:> partc~ c(m sl1lu )'c nl~ \c: denomma c:ner... ..... " n 1 lr'1 deSC()lI1ponet IIn ",.. . ... "1 )' 1,.:\ cm:rgrti I'c(IUCfl dJI l ' I de 101\ nln~s de ~ u o; pane.!i con ~lII u )'cnle~ ~~ enhlel:. r.:~ Ut I:Ilcrgtu c" Ó1\1r. en donde 11M es n r.uma mu¡;u dcl l'b tcmuli gudo. •
7. Mecánica newlo nlann y tcorril dc la rehltivldad
lli Ii la velocidnd de la lul. en el vado. e (cunndo 13 aPtiI Cu¡tmJo h vd ol'idut! de un pUrl ÍI!uln ¡,e aproXlU ' . . d ' .•• , . r nnuI ) In rnecámcli ncwtOntona cJo uc cuml"lil1t ci néticu dI: 1:1 partlcula ~c nprox UTl3 Il su encrg o en ret' ,,~_ '. . l dcbr! rt.'C mplazarsc por In teori:1especial de la rtlati viclnd de Emsteln. •
8. Cuantizadón de la ene rgía
561o Pti ede tener unu • serie discreta de \alow. ~Lbles.lb . .l _ . f 1os va 10-,.. ' "'nc",éticos ..... nmlldos están '\Cpar.tUln por un;¡ (llflCjd~ un shnenm que oliCi ln con frecue ncIa ... t'~ hf en donde h es 111 constante de Planck: .
Ó ·
L:l energfll internu de un sl"tcm:Lnucrase pICO
h = 6.626
X
IO.· J.I J . s
(7.20)
Los sistemas microscópicos con frecuencin intercambian energía con sus alrededores enlititndo \libia, biendo radinción electromagnética. que también C5tá cuanti-md a. El cuanto de la energía I'3thanlt
lo(_
FOlOnes
fOlón: E l".,.
(7.21)
= Jif
en donde f es la frccucnciu de la radiación electromagnética.
Proble"Jos
•
••
•
••• SSM
I
i
,/
Concepto si mple. un solo paso. relativamente fác il. Nivel intermedi o, puede ex igir síntesis de conceptos . Desafiante. para alumnos avan7..ados . la solución se encuentra en el Srudem So/miou.\' M allllo/. Problemas que pueden encon trarse en el sen1jeio ¡SO l VE de tareas pam casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son problemas de control. que impulsan a los eSlUdiantcs a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confb nza.
En algullos problema Jan mds datos de los reulll '1: necesarios: en otros PI ,'. dtbtn extraerse alg /lll os dO/(l pMt" de COlloc:imieTl/os g ttll! (S, f/l e ,,(e~' externas o estll1' ·iOlltS lóg icas.
.
TOmar g = 9,81 N/kg = 9.81 mfs 2 y desprecin r el ro7..nmiento en todos los problemas a menos que se indicllle lo colltrurio.
Problemas conceptuales
Do:; objelos de nmsns de¡;iguules cstrtn concct:ldos pm una cueru:t sin ma:-.:l que pn:-.ll por un polca sin r07.a1llicnlO. Una VI!Z liberados del reposo. ¿cu:tles dI! Ins siguientes afirmaciones son cienns'! fU = energrn potl!ncinl grnvitntorin. E. = l!nergín ci nética del sistema.) (a l AU < O YAE, > O. (b) AV = OY6l!.: > O. (L' ) 6U <: O'" Y6E~ = O. (1/) il.U = O)' ÓE~ = O. (1') AU > O 1
)' llE( <:
•
O.
SSM
2 • Dos piedrus. ¡;c lnmmn con In mi¡;nlll vcloddad inicial ~ C\I el mis.mo inSlame desde el tcjudo de un edifi cio, Unn pietlm !)C l:tnI.lI bajo" ángulo d I! 30° por encimu de la horizontlll; la otro se lanza hori7()nwlmn'Jl'! (Dcspredur la resistencia del aire.) ¿,Cuál de la:. :.iguieme:. nfinn..1l·jOOd () cierta? (a)
L.1:'
piedms chocun comm el suelo al mismo tiempo )' {~n IgUilk, \(~.,.v
de.,o¡.
eb) Lar. piedras chot-nn contrn el suelo al mismo til!mpo ,. l.."(In dlft'I'ffl1f.'!o ,tk'"
cidlldes.
.
Problemas (d Ln' piedrru. chocan L'Qntrn el ~lIelo en tielll....... disti",.' .~ ... . "'.. y con vel ocluades Iguule.~.
I
193
Estimaciones y aproximaciones
IdI [.as p¡edru~ chocan contrn d MIdo en tiempos diMínto~ y con \'clOddude~ difereme.,.
3
• Verdadero o fal so: (tI ) LI energía total de un s i ~tema no puede \'uriur. lb) Cuundo unn personR :mltll en el ¡lire. el !oudo 1mbajn ~ohre ellu incremcrlrando ~ u en.:rg{a potencial. 4 • ,Un ~om~": ~e eneuent,ru .de pie ~obrc patines de nlL"'( las j umo a uml I~m~d rlglda. l. nrtr. IIncrar .elmovtlll,remo se upo)';! y empuja COlllru ll\ pared. Analizar los ..-alllbros encrgéucos que llenen lugur en e~tu ~ itIHll'i6n,
En hl obm "¿I!sul Vd. de bromu. Mr, Feynmull'!'" Richard Feynman describe su enojo por la romla I,:ómo se introduce en un libro de te xto pan! niilo:. el concepto de encrgiu, "Había un libro que cOlllen7.ubu l1ln {'UlIlm folOj! r.lffns: un juguete de cucrdu, un mrlomó\'i1. un niilo mOlltando en biek'lelU y alguna CO$3 más que no recuerdo. Bajo ..'!Ida fotognaffRse lera: i.Qué es lo que lo hace funcionar'! ... y al ginar la página el libro dedu: La rcspues tn . ejemplos. la : Ilel}!ía no ha :mment:tdo ni hu diSminuido sino que, simplemente, ha eambiudo .le una fornm n Olm," Describa cómo cambia la energfll de un:! ronna :'1 otra . uando una niiin sube unll coli nn pedaleando su bicicleta, desciende de lu misma in pedales y, finalmentc, frcnn hastll plU'ar. S
•
SSM
Un cuerpo que cae a través de la at mósfera (la resistenla del aire está presente) Ilumenla su energía cinética en 20 J, L:J cantidad de ¡ergía potencial grtr.vitaloria perdida es (a) 20 J. (b) más de 20 J. (e) menos de ) 1. (ti) imposible de conocer sin saber la mnsa del cuerpo, (e) imposible de ,oocer sin saber lu disl30cill recorrida por el cuerpo. 6
•
SS M
7 •• Supóngase que nI frenar se ejerce unn fuer/.1l de rozumienlOcons,JJ\le sobre las ruedas de un coche. Si eSlO es así, ~e deduce que ( ti ) la dislanci,¡ que el coche recorre ames de pamrse es proporcional a In velocidad que tenía .mIeS de accionar los frenos. (h) la energfa cinéticn del coche disminuye a una tru.3 constante, ( c) la encrgín cinética del coche es inversamenle proporcional al tiempo que ha pasado desde la aplicación de los frenos, (ti) ninguna de las respuestas anteriores es denn,
8 • Un bloque resbala por encima de dos plal3ronnas como las que se muestrun en la figum 7. 16. Uno platafonna tiene la fonnn de un pl:mo inclinado de altura H y longitud L y la otro tiene la fonna de un arco de circunferencia, pero t.1mbién tiene una alt ura fI y una longitud L Se mide el tiempo que el bloque, inicialmente parado. tardu en rcsblllnr por ambas plulufonnas y recorrer la distancia L Se encuentra que (o) el bloque tardlllo mismo independientememc de b plataforma. (b) ni llegar al final del recorrido el bloque tiene la misma \'clocidnd indepcndientemenh! de la pllllafonn!!. (e) ambas respuestas son correctll.~. (ti) ninguna res puc.~ta c.~ correcta.
•• SSM Ln /lisa mt'fabó/ica c\ el ri tmo con que el euerpo U~I e n er~ fu qulmicn parn Su¡;lCl11ur ~ u ~ funciones v il:lle~. Expcrimenlulmenle se ve qUl' lu 1á.,¡1 metnbólicn Inedi:1 e, proporcional 11 1 área tOlal superficial del cuerpo. El área ¡,upcrficial de un var6n de 1.78 m de altura y 80 kg de pes.o e.' de unos 2,0 m ~, rnicntrns
11 • Supo nga que la tasa máxima :'1 la que su cuerpo puede gastar energra es 250 W, Suponiendo que la conversión de energía química en enero gln mecánica tiene una eficiencia máxima dcl 20'l, eSlimar 1I qué velocidnd se puede subir cuatro tramos de escaler.r, cada uno de los cuule:. tiene 3.5 m de altura. ¿Cuánta masa en repoM> se co n ~u lnc en el núclt.-o de una plama nuclear de generuci6n de encrgía eléctrica si se produce. (tI) 1 J de energía u!rmica, (b) suficiente energía eléctrica para mantener una bombilla de 100 \V funcionando durante lO uilos? (Por cadu julio de energín eléctrica producida por el gencrndor. el núcleo del reactor debe producir 3 J de energfa nuclear.)
12
•
13 • SSM U energía
'5
•
Los plllntas de producción de {'nergía hidroeléctrica Irnnsfonnun In cnergíll potenciul gmvitatoria del agua en otras formas rn á ~ út ile~ de {'ner· grao Para ello hacen pasar un fl ujo de agua. corrienlc abaJO, :1 Ira \6 de una turbina que genera energla eléctric!l. Ln {"enlml de l-loo\'er ('n el río Colorado tiene una alturJ de 211 m y genera 4000 millones de kW,h por a,'o t i W h = 3,6 X 10l J), ¡,Con qué c!ludal (en Vs) flu ye el ag ua a tr.l\'é~ de la~ tu rbi n a~ pHr:1 genemr esta potenciu? La densid:ld clel :Igua e, l kgll. Supónga¡.c tlue la trolnsform nción de lHenergíu potenciul del ag ua en encrgfa eléctrica tiene una eficiencin del 20
11
Conservación de la energía mecánica
Figura 7.16
Problema 8
9 •• Una piedrtr. alada al eXlremo de una barra ~ in maSll y rfgidll <;c mueve en unH circunferencia venicnl n velocidad conslante. Ln energfa tOtal del nlovimiemo no c:. COlllolllnte, pero la energía einétícH del /IIovimient() ¡.í lo es. En cambio, la energía poleocial cambio continunmente. ¡,Ejerce la !>arm una fuer/lltungencial sobre la piedrn? I RIchard P. Feynmlln y Rolph Leighton, "" E.std Vd tll! bmmfl. M r. !,h ",mrn ,'''
Alian/,8 Editorial, 2003, MBdrid.
16 • Un bloque de masa", comprime un muelle ha~ta una dbumciu \ y luego se dej:1 en libertad. El muelle proyecta el bloque a lo lnrgo de mm ~upc rfi de hori70ntlll sin roi'mnien to con una velocidnd \" El mi ~ rnn muelle proy ..."tUl un <.egundo hinque de ma,a c(ln una \docidlld 3\'. ¿A qué dbt¡mcül \e l'llnl primió elllltrclle en e.~ t e tíltimo ca<,o'!
"'/ti
17 • Una muc hacha en hicicleta qut' circula por una C3rttlera hon/Pn1111 a 1Om/~ deju de pedule¡¡r cuundo eonlienl a a 'ubir una Cuc.,la IIldinada 3,0 respecto In horizonlul, Ignorando la ~ fllerla~ de ".lI.1InllenlO, ¡,qué tlr'tanl.'ia n.."Com:rn ...ohrc la colma :tllte\ de dctcncl'C'l (al ~ , I m (h ) JO m (e) 1)7 ni (ti ) 10,2 rn (t') 1":1J'C.!illu,.;sln depende de la m U!H.1 de In muchuch:t,
19-4
I
Capítulo 7 ComeI'VlIcl6n de la energfa
l ln lx'nJ ul u tic lungiHld L con unu Icnlejn Je 111n ~u 111 ,e 'f::¡)¡Ir.\ hUúr:\lmúntc hu,tu que lu IcmcJu ~c ell("ucntrn n un!1 dislnncin U4 P(II" ell":1I111l tll' '" pQ,idón de clluillhno, L¡I kmejn ~l' dcjn c nt(lII l'C~ en lil>crwd. Iktl!nnin;¡r In n :lncidaJ de la I\'nll:jll cuundo ~(!bre l)!ISI¡ In ¡xJs!ción dc C
18
•
SS M
•
19 • I Un "'oque de J kg ~e dl!$liiw ¡¡ lo lurg\) de unll ~upcrfi~ de hon10ntal sin ro/a mientOcOn unu velocidad de 7 mI, (ligun\ 7 , 17 ), I~pués dl' rel..'Om!r una disl:mdn dc :! m, cl\I..' uentra una rompa sin rO'l.Ulnicnto inclinudn un ángulo de 40~ con lo hori'l.ontnl (In ttlLl\ ~lll i s i 6 n es ~un"e), ¿Qué dis tun ~'i u rccotn'.rn el bloque en In mllllJ:l ascl!nde nte :Ulle:. de detenerse?
------ ---- t m
J __ _
7 mIs
_____ 0_- _.
Figura 7, 1 7
Problemas 19)' 46
Figura 7,19
•
20
• 1 ./ Un objeto de 3 kg en reposo (fi g ura 7.18) se deja libre a unu altura de 5 m sobre un:\ rampa curva y sin rozamiúnto. Al pie de la rampa hay un muelle cuya constante es k :::: 400 N/m, El objew se desliza por la rompa y choca contl1l el muelle, comprimiéndolo una dis t:l ncia .r nntes dc alcanzar momentáneamente el reposo. (u) Octcrminar x, (b) ¿Qué ocurre con el objeto después dI! alcanzar el reposo?
Problema 24
2S •• Un bloque reposa sobre un pl:lOo inclinado como indica la figu ro 7.20. Por medio de una polca. el bloque está conectado a un muelle del cual ,;c tiro hacia abajo con una fucrza gradualmentc CTCl' iente. El valor de J4 es conocido. Dctenni nnr la energía potencial U del muelle en d momento que el bloque comienza a moverse.
----,,- -
I
,
k =400 N/m
S" ____ f. _ _
,
,
, ,- - o,
•• x •,
Figu ra 7 ,18
Problcmu 20
Figura 7,20
21 • i ./ Se lanl,n una pequeña pelOUI de 15 g Ill!.:dillntc uml pistola de j uguete
Problema 25
•
Un bloque de 2.4 k~ se Inn7.a dc~dc U1m ¡¡hum de 5.0 m sobre un muelle cuya constan te de fucm. es de 3955 N/m (figura 7.2 1). Cuando el bloque alcanza momcnttineamente el repo~o. clll1uellc l>e ha comprimido 25 cm, Dcternunn r In \'elocidad del bloque cuando la compn:,i6n del muelle ~ de: 15 cm.
26
••
I
•
• I Una grúa de un ]>UCno le\anta un cofllencdor de 4OCX1 ~ hUla una altura de- 30 m, lo lIe\u o<.crlnndo wt>re la cubu:rta de un buque de: cnrpu y ,lmllmc:ntc In depo..,itlll"n la hodcgll. que ('\¡;{ 8 m por debajO del nh-tI del ,uelo del puerto. ¿Cuállto tnlooJo hll reah7:uJo la ¡ nla' (Dc:!.pnxillt IlIs pérthd¡l ~ por rol.:llniento.1 22
23
•
i
l ln mu<:h:k:hll de 16 "g \Obrr. un colul11pio de j anl!n
1Ie:\ ¡¡ un n \ doddad d\" ' ,4 mf.. ,"udndo el columpio. de: 6 m de kmgllud,
'>t'
enClKntrn en el punlO mios haJo (le \ U!o o-.cilacirme\. ",Qut ~¡ngulo r(lflfla el columpl~ll-tm 111 \ l"n ico.J CUllndO ti nil\o '" el'lCucntnl. en el punto más e1c\ado1 •• 55M El ~"h: ma que '>< mue,tnt en 1.1 hllum 7.19 est. en ~o,,() .:uundo '>t' cona \11 cuenb m(('rioc- Oc1enmnM la \eklCld;td de lo-. ol'IJCtOlo ~uall\ln e~hln :1 111 1II"11l:l .Ihum, En l. polea 1"-) ha) tQ1.o1mu'_nt0'l W ma:o.a e<; 24
tk,~ iahk
Figura 7,21
Problemas
:6 •\ 9 1
Problemas 27 •• • SSM Una pelma I!n el extremo de una cuclUn ._.• se mu~\'C cn un 1 circulo l'crtlCll con . entre 1.. tensión . . energfa COn$ltlnle E. ¿Qué difcrenci~" .. ... XI:.le en la parte má¡, bllJa del cfn:;ulo y la tensión cn l:l• l>un" 1 nllsmo'! . . .. n" ~ a l 1,1· (I!l Una. much:ldlo de masa 111 lleva tmu ce..~ ,·..' d" ' 'd:1.1' Sil nbul!lll .. coml Paro crol ar un 'nachuelo ata un:1cuerda de longitud R:l• l'el mmll de un árbol y. 1 comienlu a OSCI . ar desde el reposo cn un pUnto que se - .." "'""... ntrJ a una d"1$I:lnCm RI2~ por debajO de In mma. ¡,Cuál es la tensión m(nima d'.. ro, um de 1a cuerdll p:tr:t que ésta no se rompa y la muchacha no caiga en el urroyo? 28
••
,
29 •• I . Ut vagoncta de una mOJlluiln rosu dc masa 1500 kg u mm alturn /-1 de '13 m sobre lu pon ' d 1"~rte - de un puntO slIuado . ~ "cm.'SbaJneun rizo de 15 ro de dIámetro (figuro 7.22). Si el rozamiento es des ,. bl' 1 . ... . d 1 '1 preclU e, ¡¡ fuer/.:l h:lc ~a avllJo e os c:am es sobre lu vagoneta cuundo los viajeros están ClIbcz:l ab.""!.I o en lo allo del nzo c:. (ti) x I OJ N. (b) 3.1 x 10' N. (e) t. 7 x 10' N, (JI 980 N. (~) 1.6 x 1()3 N.
-"6
I
195
altul'll 11 wbre el agua. (ti) {)eu:nninur h. (h) Dctenninar lu velocidad máxima a1cun1.udn por el saltudor. 36 ~. Un péndulo está formndo por IIl1a lemeja de 2 kg :U:lCla a una cuerdn hgera de longitud 3 m. La lentcjll se golpea hori/.onlalmente. de modo que alcanl.n una velocidad horizomal inicial de 4,5 mh. En el pumo en que III c~erda fonnn un ángulo de 30" con 111 vertical (1I) ¿euál es el módulo de In veloCidad de la lenteja? (b) ¿Cud] es Sil energíll potencial? (e) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (d ) ¿Qué ángulo forma la cuerda con la vertical cunndo la lenteja alcanza su máxima altura?
3:
••
Un péndulo CSL'I fonnlldo por Ull 3 cuerda de longitud L y una lcnteJn de ~Ias:t ~" '. J.¿t cuerda se dispone en posición horizontal y se du a la lenteja la veloclda.d IIlIc131 mfnima para que el péndulo de unu vuelta completa en el plano \'ertlcal. (a) ¿Cuál es lu máxima energlu cinética Ee de la lenteja? (b) ¿Cuál es en ese momento la tensión de la cuerda'!
i
ti
Un muchacho de peso 360 N se balancea sobre un:t ch,trca de aguu con una cuerdn atnda a la rama de un árbol en el borde de ]¡I chan:;u. 1":1 mma está a 12 m por encima del nivel del sudo y la superficie del agua de la charca está a 1,8 m por debajo del sucio. El muchacho coge !tI cuerda con lu mano en Ull punto a 10.6 m de 111 ramn y se mueve hucia atrás fw;ta que la cuerda formn con la vertical un ángulo de 23". Entonces se lanza y cuando la cuerda está en posición vertical se suelta de la euerda y cae en la charca. Determinar el módulo de la velocidad del muchacho en el momento de caer en el 'lgUll. 38
••
,
Paseando junto a un estanque. un muchacho ~ncucmra una cuerda atada a la rama de un árbol :1 5.2 m del suelo y decide utih7.arla pam balanccarse sobre el estanque. La cuerda está algo deteriornda. pero soporta su peso. El muchacho estima que la cuerda se romperá si la tensión supem en 80 N su propio peso. que es de unos 650 N. Agarra la cuerda en un punto que está a 4.6 111 de la mma )' se mueve hado atrás para baluncearse sobre el estanque. (a) ¿Cuál es el ángulo inici¡¡1 máx imo elllre la cuerda y I¡¡ \'ertic:al que pemlite a l muchacho balancearse con seguridad sin que SI.': romp.1 lu cuerda? (b) Si el muchacho comien7..1 con este ángulo mix.imo y la superficie del esl3nque está 1.2 III por de bajo del nh'el del suelo. ¿con qué módulo de la velocidad entrará en el ogua si se suelta de la cuerdu cuando ésta pa:.a por In posición vertical? 39
Figura 7,22
Problema 29
Una vagonetll de una montaña rusa desciende 5 m para subir. n ntinuación. hasta un w.IIno del recorrido que estú 9.5 III por encima del punto bajo. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial mínima necesaria paro que la \'ago!h.·ta supere esta altura, suponiendo que en todo el recorrido no hay rozamiento? lb) ¡,Se puede modificar esta velocidad cambiando la posición del puntO más baJO de modo que la vogonela adquiera mayor velocidad al pasar por este punto? JO
•
vagonetaS de In montaña rusa Graviton pasan por un bucle con~ truido con el objetivo dc I¡¡ qUe las personas que vllyan montadas en ell as !.C ~ ientan perfectamente ingrávidas cuando lleguen n la cima del urco. ¿Qué peso §cntimn cuando lleguen al punto más bujo de 1:1 trnycctoria, es decir. cuál es la fuerza normal que los hunde en el fondo de sus asientos al llegar ni fondo del buele? Exprc perfectamente circulllr y que sobre la vagoneta no hay fuerzas de rozamiento. 31
••
L1S
••
SSM
I
40 •• Un péndulo de longimd L tiene unn lelllcjn de mosa 111 at3da a una cuerda ligcl'll y concctndn a un muelle de conStante de fuena k. Con el pt'ndulo en la posición indiendn en la fi gurn 7.23, el muellc se I!neucntrn en 'u pol>ición nmural. Si ahorn ti ra mo~ hueralmente de la lenteja ha~ tn que In cuerda fomle un ángulo W'q¡wlu geon la vcrtical, ¿cuál será la velocidad de la lenteja de.,pué~ de :.oharla cuando pase por la posición de t..'"quilibrio?
,
32 •• SSM I Una piedra ~ hUlI.ll hacia ambtl btljo un ángulo de 53" por encima de In horizonllll. Su altura máxima dumnte 13 trayectoria es de 24 111. i,Cuál fue lu velocidlld inicial de la piedm'! 33 •• i .1 Una pelota de béisbol dI! ma1>3 0.1 7 kg se lon/...1 de..~de el tejado de un t.-dificio situndo a 12 m por <:ndnHI del l>uclo. Su velocidnd iniciol es de 30 mIs y el ángulo de lan;'.llmicnto 40~ ..obre lo hori7,ontal. «(1 ) ¿Cuál e.~ lu nltura máxima aleunzado por 111 pelota? (b) ¿Cuál es el tr".1bajo ren!i7,OOO por la gra\'ednd cuando la pelotn se mue\c desde el tcj:tdo hasta su ahum m:b: imo? k) i,Cwíl c.<, la velocidad de In peloto r.:uando choca contm el (uelo? 34
•• Un péndulo dc 80 cm de longitud con una lenteja de 0,6 kg !te ~uchlt de",!e el reposo cuando rormu un ángulo inicinl ~ con In vcnico!. En la parte nl:h bnju de su 0,ci lao.:i6n, In velocidad de In lenteja c., 2.8 mi!".. «(1 ) (,Cuál era elllngulo 1IIici¡¡J del péndu lo'l (b ) ¿Qué ángulo fomlan! el péndulo con la \cnical cuando la velocidad de In Icntcju!.Ca de 1.4 m/~'1
,¡
•• SSM i El puente Royal Garge \Obre el río Arlon.\ ll\ tiene un!! !!ltum lIPm:umm.la ..le L = 310 ti! Un (altador de lllaMI 60 kg tiene una cuerdu eI:I ~ II Ca de longitud ti ::::: 50 m !Unda :1 \U, píe." Suponer tille la cucrdn o(\ún como un mue lle. de con~tante de fuerlll k. El "Bllndor \e lanlll, apen¡l\ tnel! el ngUíl y dewué~ de numerosa.. "libidos y bajnda( <;e detlcne a UO
no
Figura 7.23
Problemo 40
41 ••• Un péndulo e.<;td ~ u ,pe ndido del tt.ocho y oont.",uldo a un muelle fijo en el c'(trcfl'K'l opuC.\IO JUMO por debajo del \'oportc del péndulo (figura 7.24). La tnO!>S de la lenteJIl e~ m. 1!llon~itud del lléndulo. L lla C'(ln\tante dd muelle, l . La longitud del muelle ~i n defonnnr c~ 1./2 ~ la dl\tlllll.·l!I c nl ~ la pnn~ m.1 .. baja del Illuelle ) (!I tt.ocho e., 1.5 L. L-I péndulo "C Je~ rhlla \¡ttC.l-a\ml!nte ha,ta fomlnr un pcqud\o ángulo 9 con In \crt lcal ) de~ru,;\ "1' deJu l'1l Ilhcnad de'o{le el repo\ o. Obtener un!! cxpre,¡6" IlaTa lo 1'('lncidll,1 de Iu ICIllt'.jA cuando 0 = 0.
,.. I
Capitulo 7 Conservación de la energla 47
•
U n bloque de 2 kg silUndo:l unu uhurn de
:1 rn ~ de~HZIIIlOrIWll
,., ,desde el rc""SO (figur.! 1.25). R~llnln () In 'Oh~ una~ ...... ~ 0''' ed r" w· ' . hori1.Ontal nJgO~1I anles de llegar al reposo. (u ) ¡, u I es la \elOCitlad dtI ,,, , n o inferior de la rompa'.' lb) ¿Cuánta cnergla!;e ha disi"""· bloque en 11 ¡w . ......... ~ . ? (e, ·Cufil es el coeficiente de ro:r..mmenIO entre el hl""ut , e rOO'.anllcnlo . lo' '"'1 .. superficie horil.OlIlUI?
rampa CUr.'1I Y
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•
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m;;2kg
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3m U2
.-.,-Figura 7.25
Figura 7.24
Problema 4 [
Problemu 47
48 •• i Una ni ña de 20 kg se desliza por un tobogán de]'2 !t1 de nhurn. Cuando tllcnllza su parte inferior lleva un a velocidad de IJ mis. (11) t.C uántu cnergfa se ha dis ipado por ro1~m i cnl O? (b) Si ~~ tObogán eSI~ incli. nado 20", ¿cuál es el coefic iente de rozanllcnto e ntre la nma y la superficie lit:
dcsli:r.amicnto?
Conservación de la energía ,
42 • I En una eru pción volcánica se elevó una mOnlaña de ... km J de 1600 kgfm} de densidad hasta una altura media de 500 m. ({/) ¿Cuánta energía en j ulios se liberó en esta erupción? (h) La energía liberada en una bomba tennonuclear se mide en megal0nes de TNT, siendo I megat6n de TNT :: 4,2 X 10 15 J. Expresar la TCSpUt!sta de (a) en megatoncs de TNT. ,
I Un estudiante de fisica de 80 kg sube a un monte de 120 m de ahurn, ( a) ¿Cuál es el incremento de energía potencial gra\'itatoria del estudiante allJegar a la cumbre del monte? (h ) ¿De dónde procede esta energ{n? (e) El organismo del estudiante tiene un rendimiento del 20 por ciento, es decir por cllda 100 j de energfa interna consumida, 20 J se convienen en energín mecánica y 80 j se pierdcn en forma de calor. ¿Cuánta energía química consume el estudillnte durante el 3scenso nI monte? 43
••
49 •• El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de -l kg~· b plataforma de la figura 7.26 es 0.35. (a) Dct~ rm i n~r [a energía diSipada por rozamiento cuando el bloque de 2 kg cae una dlstancl3 J. (h) Ca[cul3t [a Cntr¡ía mecánica total E del sistema después de que el bloque de 2 kg caiga la diSlllncU y, suponiendo que inicialmente E = O. (e) Utili7..:lr el resultado de (bl¡xlrll dett¡. mi nar el módulo de la \'elocidad de cualquiem de los b l oqu ~ des~ qllC" d bloque de 2 kg caiga 2 m.
m,
•
•
Rozamiento cinético ,
• I Un coche de 2000 kg se mueve sobre una carretera 44 hori/.onlal con un" velocidad inicial de 25 mfs. Se detiene a los 60 m por 13 acción de una fuerza de rozamiento constante. (a ) i,Cuám3 energía se disip..1 por ro7.amiento'! (b) ¿Cudl es el coeficiente de rozamiento cinético entre los neumd· ticos y la cnmtera?
,-:: ' Figura 7.26
45 • Un trineo de 8 kg !>C encuentra inicialmente cn reposo sobre una carretero horil.onlnl. El cocficicnle de T07.amiclllo cinético enlre el tri neo y 13 carrelcrn es 0,4. E! lrineo ~e empujo a lo lurgo de una distancia de 3 ro con ulla fucrt.a de 40 N ¡¡ue fonnu un ángulo de 300 hacin arriba con la horizonull. (ti ) Dctenninnr el truhnjo realil.ado por In fUCrl.ll apliead3. (b) I)etcmlinnr lo cnergí:l disip:u.ln por rozamiento. (e) Calculllr In variación de energía cinética expcrimclllada por cltri nco. (ti) Determinar 111 velocidnd del trinco después de n:t:orrer lu dh.Umcl3 de 3 m. 46 • SSM Suponer que la~ ~uperfi cies del problema 19 l)Oscen ru7.lIIl1iento y que el coeliciellle di! tQztlmicnlo cinético entre el bloque y I:I~ Superllcles e5 0.30. Determinar (a) la vc\ocidad del bloque cuandb alGun/Á! In mmpn y (b) In distanelU que alea.nl.ll el objeto en su dc.slil3miento anl(.·~ de que· dar ITI(lll1cntdneomcnte en reposo. (Oc,'iprecinr 13 energía disip:.d3 n lo I:lego de la curvn de tnmslción.)
Problema 49
50 •• SSM Un objeto compacto d,' musa 1ft se rnue\ c en .-in'lIlo horizontal de radio r sobre un3 mesa rugO!>.1, Estd sujeto a IUln ,'uerd tl-'" tn d centro del d rculo. La velocidad del objeto C$ inicialmente \'0' l)e'ipu~ tlt l'OIIl' plt!llIt unu vueltn alredl..-dor del cfrc ulo la " cloddlld t.:' ~ '·u. (a) Del~rnunarla energín di ~ ipada por rozamiento dumnte unu "ucltn eñ fu nción dt' m. 1",) > ' (/» ¡,Cuál el< el coeficiente dc ro7Á!miento cinético'l (e) t,Cuántns \'ut\tn, dan! la pnnícula ant/!,,, de alcnnZllr la posición de repo!,o'! 51 •• i ./ Un bloque de 2,4 k¡: 1)O\ee una \clnt'itbd inl',,1 dr 3.8 mIs dirigida hucin arribn sobre un plllllO indinado 37 0 con In hllrlnm131 El coefi ciente de ro7.amiento cinético entre el bloque y el planv e, CUO.• Qué d.,· tandn !.Obre el plnno incJin3do sube d bloquc'! ",Cuál e..\ el modulo tll" ~u Hhto cidnd CUllndo llego al punto dc partida en el \'¡ajc de rc grc~o C Ut'~ta uN,I'"
Problemas
pi,,"
de mn~n 111 dC.,clln"'¡_\()b~ UII , ' ,"1' d 8 grnd()~ 52 ••• Un bh:x¡ul: ~ 1 ,.. InU o ~ In hori/onl~l l. U hloque c:.ut unido 11 UII muelle de COnSlll1U1! le (fi u~ Lu-' coeficiente, de ru:r.amlcnto C'>' (\IICO, ci nético ",_ 1.'11 ~ " ." e1 bl oquo 'y el "lano M)n JI~ y JI, re.'pt:CI1\'IIIllCIIIC. TInul los del muelle lentumente. hadll arribn .- 1 del pluno ha~(fi que• d bloque cO llliclIlll a 1110"'-' . 1I IV ~.. • o. . ,al Determinar una cxpreión paro d nlu,?nrnLculu ti dd muelle en el tIlorncmo en que. el bit)-. ql~ ~ mUC\C. (b ) [)ctenmnnr e l vnlor dC,R Inl que el bloque \C dClcnga justo cuando c~ muelle se: enc uentro! en su cOIll,h ci6n lIulurnl , ~ dt::d r. ni IIlarglldo. ni ~"OI11pn m ldo. ft
.... "
I
197
en cnerg'a al cubó de un afio" (Suponer UIlU eneleneul del 13 por cientu en una ccntnll nuclear.) (b) En una centrnl ténniea de carbón. cada ¡alogmmo de CRr• b6n libeN! cn hl COmbustión 3 1 MJ de energfR u:nnica. ¡.Cu!ln t o~ kilognuTlf" de curbón se ncce.. itllrán anuahnenle pllra una central de JOOO MW'I (Suponer un;\ efieiencill del 38 por ciento en unu tentmlt ~rmica de carbón.l
Problemas generales 62 •• SSM Un bloque de masa m. inicialmente en re()O\O. se urra~tm con una cuerda hacia :Irriba por un plallo inc1iMdo un ángulo O:.obre la hori. I.ontnl (sin rOlJlmiento). Ln tensi6n en la cuerda es T y la cuerdu c.;, pamle!:1 al p!:mo. Después de recorrer una distilllcia L la velocidad de l bloque I!S \'. El tm· b:tio rehlizlUJo por lu t cn ~ ión T es (a l mgL sen O. (h) mgL toS 0 + ! mI'!. (e) IIIJ:1. 'iC n 0+ 1111,1. (d) IIIgL cos e. (e') TL cos O ~
!
63 •• Un bloque de mlllm 111 se desli:r.a haein abujo con velocid¡Id con~ lunte \' por un plano inclinado un l\ngulo Ocon la horizontnl. Dumnte: el inter. valo de tiempo lJ.1. ¿cuál e ~ la magnilud de la encrgfa disipadu por rozamiento? (a) IIIgI' 61 19 O. (b) IIIg\' lJJ M!n O. (e) ~ 1/11.1 lJJ. (d ) l.:! respue~t :! no pucde dctenninnrse !tin eonoccr el coeficiente dI! ro/.amiento ci nético. ,
Figura 7.27
Problema 52
..
y e nerg121 (a ) Calcular la energía en reposo que hay en 1 g de polvo. (b) Si llera trlmsfonnnr esta energía en fonna eléctrica y vende rl a a 10 céntimos •
e rJ
5 e'
exl
'.3tio-hom, ¿cuánto dinero se obtendrfa? (c) Si con esa energía se eneen,n lámpam de 100 W. ¿durante cuánto tiempo pennanecerfa encendida? • Cuando se detona un kilot6n de TNT se produce una fuer¿a \i\'o de unos 5 x 10 12 J. ¿Cuál es la musa equivalente a la energfa de la ión?
• Un muón tiene una energfa en reposo de 105,7 McV. Calcular su 55 ma.-.a en reposo en ki logramos. SS M Si un agujero negro y una estrella "nonnaP' orbitan uno alrededor del otro. los gases de la estrell a que caen en el agujero negro se calientan millones de grados debido al rozamiento en el disco de acumulaci6n del agujero. Cuando los gases se calientan tanto. empicl.an a radiar IU7. en la tq!i6n espectr'dl de los rayos X. Se cree que Cygnus X-l. la segunda fuente de rayos X más brillante del fimmmento. es uno de estos sistemas binarios. Emite radiación il una potencia estimada de 4 x I Ol l W. Si suponemos que el 1% de ItI lJ1lSa-tnergfa que cae escapa en (orma de royos X. ¿con qué tusa está ganando masa el agujero negro? 56
•
57 • Con referencia a la reacción de fu sión del ejemplo 7.15. calcular el numero de reuceiones por segundo que serían ní..'cesarins para obtener l kW di: potencia.
58 • Use: la tllbla 7.1 pura calcular cuánta energía se necesita para extmer un neutrón de un nudeo de 4¡'le. y que resu lte un núcleo de 3He y un neutrón. 59 • electron:
Un neutrón libre en reposo se desintegra en un protón ml\s un n
~p+
e
Utili7.ar la tabla 7. 1 para calcul ar hl ellcrgfu libcríldn en este proce.~o. 60 •• En unu reacción de fu sión nuclear. dos núclcos de ~ H ,e combinan para producir ~ H c. (a) ¡.Cuánla energía se libcm en estu rencción'! (b) ¿Culimas reacciones de este tipo tienen lugar por segundo pum producir I kW de potencia? 61 •• Una gran central nuclear produce 3000 MW de potcncia por fi sión nuclear. que tmns(onna la ma...a 1/1 en c ner¡;r~l. (ti) ¿CUántll m¡L';a se trunsfonn:1
64 • I UII bloque de 3,5 kg descanStl ~obre una superficie horizontal sin rozamiento en contacto con un muelle de constante 6800 N/m. El muelle está fijo por el OlrO extremo e inicialmente posee su longitud natural. Una fuerz.1 horizontal con ~tante de 70 N aplicada al bloque comprime el mueIlc. Dctemlinnr la longitud comprimid:! del muelle cuando el bloquc el>lá momenuineumenle en reposo. . 6S • SS M I La energía medida por unidad de tiempo y unidad de árca que: llega a la atmósfera superior de la Tierra procedente del Sol. llamada constante solar. es 1.35 kW/m2. Debido a la absorción y rcfie.'tión en la atmósfcm, aproxi madamente I kW/m! alcanza la superticie lerrestre en un dfn despejado. ¿Cuánta energfa capla en 8 h de luz al día un panel solar de I m por 2 m dc superficie sobre un mOlllaje rotatorio que se encuentra 'iiempre en posi· ción perpendicular u los rayos del Sol? 66 •• (a) Calcular la energía total que cada segundo rndia el Sol. usundo el valor de la constante solar que se da I!II el problema 65 y la distancia conocida de la Tierra al Sol. (b) Esta energin In producen rcnccione..~ de fusi611 como la que ~ dCllIlJa en el ejemplo 7. 15. Hay varias reaccionc.~ que tienen lugar en el "ciclo Phcnix del Sol". pero el resultado global es qUI! se fusionnn cuntm núcleos de hidrógeno pam fonnar un núcleo de helio. libernndo 26.7 t-.'lcV de cnergfa. Si suponemos que C$cncilllmente el Sol está ronnado por hidrógeno y que eominuurá "quemándolo" hasta que se haya usado un 10Cl di: todo eqe combustible. use lu masa del Sol ]XItu delenninar aproximadamenh: cuánto tiempo de vida le qucda al Sol.
67 • i v' Durante UIIIl prueba en Bonne\'ilk Snlt I--lal!>. Utah. el piloto del cochc experimenlal Spiril al Amaicll de 1250 kg. propuhado con un reactor. al perdcr el conlrol del vehículo I!mpaó a frenar dejando nmrca~ de frenado en 9.5 km. (a) Si inicialmente el eoche se movla a 708 km/h. ~Ii rnar el coe/iciente de rozamiento cinetico J.lc. (b) ¿Cuál em lu cnergíll cinética E, del coche 60 ~ después que empezara a accionar 1m frenos? •
68 •• I Dctcnninar la potencia necesaria de un motor paro el fu ncionamiento de un telenml5tre que pennit:l subir a 80 e$quiadore.\ por una pistlt de 600 ni. inclinada 15° sobre lu horizontnl. a unn velocidnd de 25 mIs. El coeficienle de rozllmiento cinético es 0.06 y la 1Il1L<;!l media de cnda e!>Quiador 75 kg. 69 •• i Una caja de 2 kg se proycct:llml'in amb:t, L'On \'elocidnd inicinl de J mis. por un pluno inelinndo rugosa ' Iue fonnn un ángulo de 600 c()n lu horizontal. El coefi ciente de rozamicnlO cinético c., O.J. (ti) Relacionar lodus lll ~ fuerzas que netlinn sobre In eaju. (b) ¡,Qué di ~t n n e i u recorre la cllja l' lo lurgo del pluno nntes de que ~ detengu mOlllentáneumente'! (c) l)ctenninar In energfu disipada por rol.amiento cuando la cllj¡¡ de de!oJilJl hnciu IImh;, pror el pIMO. (ti) Dctenninar su \'clocidlld cuando a1c:llll,!l lu po~idón inidnl. , 70 • SSM I Un a.scen~r lit: 1200 kg accionado por un motor eléctrico puede tr.UlSpor11lf con seguridad una ca'1!:t I1Ithlllln de K(XI "s.
198
I
Capítulo 7 Conservación de la energra
i.Qu~ poten<:iu 'lulI¡ni~lrn e l motor cunndo el a\cenSOr u..ch:rnle con la car};!!
máxima 71
ti
un:\ \'e\tlcidlld de 2,3 mi:.'!
••
P:lnl I\,"(judr el cOII'. umo de potcndu de [U) 1I\O\Ore~ dc
i
lo~ !I..~c nM)~. 6 10 .. militan COnlr.lpc'>O~ t'On..:cWoo\ Illcdiuulc un cuble que 11:1S11 por ulla po1cu :.itUlIdll en 1u lxln c ~upcrior del eje del :t~no,()(. Si el a~cn<;(lr del
1 rcPl)~(1c'11 . -=
' . ni} huy ro/llnuenlO. ¡.cuál t:'! el \!lI{lr rnlhllf\O el ."1 '1 I dicar \' en el c'i(lucmíl di e upanado (fI) , {di"'.
h ll1u ..n . n - "". , I , '''''''' , .' I I 'amientO tu mn~1I fin!! ",ellle M: detIene en u... ~ .1 .rectO (e ro.· . .... p!)¡ :lIlonl ': .e, \' Determinur e~ U: punto en el c'i(lucma (r) Determinar ~ dI! equlllbn o . oN'~ ':1 producidu por ro7.nmil!nlo dc'odc el comienzo ... u cinc.! de cnerg1U h.:nll ; . ' -.; \¡¡~ roción hn!.1fI el c<¡uilihno hnnl. ti IClUl
lUro
c-..
problcmn 70 tiene un COnlnlpe.<;o de m:l!\:! 1500 kg. ¿cuál c!> lu fKllencin ~llIlIini~ tr:td.'1 por el motor cuando a<;ciende u plena eurslt :t 11M \e1ocidnd dI.' 2.~ mIs'! ¿Qué potencio ~ulllin¡"tm cllllotor cuando <.'1 a.-.ccn-.or u)oCiendc "AefO 1\ 2,3 mIlo'!
72 •• i ./ Un Juguete de lanzar d:troa:> I)()loec un muelle CU)'lL conSl:lnte de fucr/:! es 5000 N/m. Paro cargar el di ~ pnn\dor. el muellc ..e comprime 3 cm. El dardo de 7 g. di ~par.ldo \ crticuhnelltc Illlcill IIrriba. nlc!IIlIU unn ah um rn:b;i ma tic 2.1 m. Dctenuinuf la ellcrgfa di!.ipntla por el ro/urnicntO del ¡¡ire du r:mtc el a,ccnso del dardo. EMinmr la \'clocidnd del proyectil cunndo n:lOnHI n su punto dc partida.
i
.
./
En url:l Ilnt peión volcánica ~e e;(ptll ~ n verticalmente h:ICiu arribu IIn trttzo de 2 kg dc roe:l volcánica porosa con llnll vclt)· cidnd inicial de .10 m/~. ulc¡m1.¡m(lo una a!tu!';.l de 50 111 unte:; de {Iue comience H ClLcr hnciu In1ieml. (tI) ¡,Cunl es In energfrt cinétic:l inicial dc la roc:l? (11 ) ¡,Cunl es <.'1 incremento de encrgia h:!nnicu debido al m".amienlo del lIire dura nte el ascen..o? (e) Si el increlllento de energiu ténllicu debido al roznlllienlO del ain.: en el descenso es el 70% del (IUC IU\' O lugar en el ascenso. ¿cuál e ~ lu velocidad dc In roen cuando vuelve n su posición inicial? 73
••
SSM
74 •• Un bloque de masa 111 parte del reposo a una altul'll ¡, y se desliza hacia abajo por un pluno inclinado sin rozamiento que fomla un ángulo 8 con la horizontal como indica la figurll 7.28. El bloque choca contro un muelle de constantc de fu erl.a k. Delenninar la compresión del muelle cuando el bloque se detiene momentnneumente.
• •• • ••• •
I> • Fig ura 7.29
78 •• Una pistola lan.t.aSeñales se carga comprimi~ndo el mutlk lIiI distancia (1 Y dispara una bengala de masa /ti dirigida \'~nical mcnte-' arriba. UI bengala tiene una velocidad ~'o cuando abandona el muelle,!" una altura máxima h desde el pUnlO donde abandona el mu~II~. Los cfecQó: res i ~ lencia del aire son importantes, (Expresar las re.<¡puesw en funci(aóc. ¡ '(lo d. /¡ Y g.) (a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el muelle en el pituso*, compresión? (b) ¿Cuál es el valor de la constante dcl muelle. 1'~ (el ¿e. energía mecán ica se transforma en energía térmica a cau tle la fuma arrastre del aire sobre la bengala durante el tiempo que tr:ln .um enIR d,. paro y la llegada a su altura máxima?
79
h
Problema 77
••
,
I
Una vago neta de una montaña de rn.ts.I kI:i (incluidos los pasajeros) 500 kg se dcspl:l7.alibrementc {Xl' pISUl5ÍDImmiento del ,lire indicada en la figur.I 7.30. Los puntos A. E 'i \GIl \c.'Ctm:. rcctll~ horizontales. todas ellas de la misma nltura de 10 t-re el sud:-Il punto C. ( IU C está a una altura de 10 nt sobrc el sucio. pener una pe_ que fonna un :íngulo de 30°. El punto 8 está en lo alto dI' ueslll. tmeIO que el punto D pcnenccc a unu hondonada que está al ni, ~uelo. El Drit de curvotllJ".i de cada uno de CStoS puntos es 20 m. El pun! ,t~ en dc unn cur"'l horizontal con peralte de radio dc eurvatur ~ ala lIS! ahuro de 10 11\ sobre el sud o que los pumo!!. A. E Y G. En :11.> A. la ,a."Odad de In "¡lgoneta es 12 mis. (a) Si In "agoneta es capa} d<. ..r justlltll!*) punto B de la euest:l. ¿cuál es la altura de estc punto sobr< ,uelo?{~lSlt cumplc la condición (a). ¿cuál l!..~ la magnitud de la rUerlll r, :t(n:itb..xr. k vagoncla por In pista en el punto B? (e) ¿Cuál es la ¡u.:eler: I
eI_
Fig ura 7.28
Problema 74
Una 10\3 de 1,5 X l{t kg dllscan¡,¡¡ sobre un3 " igll de acero. En un dí:! muy cálido, la viga !.C ha dilatado }' ha levamudo el bloque 0. 1 cm. (tI) ¿Qué tmbujo renliza la viga IIQbrc 1(1 losa? (11) ¿De dónde viene la t:nergra que Icv:lllIUla 1()!,1I1 0é una explicación microsc6pica sobre qué le ocurre al acero. 75
•
SSM
Un cochll de 1500 kg de ma5(L que <;c de~pl:lla con una vclocídnd de 24 mJ~ <;c cncucntr:t al pie de \lnn colinn de 2,0 km de longitutl y cuyn ultitutl e.'i de 120 m. En lu cima dc la colina lu vclocid:ld del coche c..~ de 10 mIs. Suponiendo llcclcrnción con ~ttl n te. e¡llcular la potcncia media dc..~ llrro_ lIndll por clmOlor del coche, dcspreciando lodn.\ la~ pérdida" intema~ pm 1'\)1.(1 miento.
76
••
i
./
Se sll~ pcndc llllll masa 111 dcltccho mediante. un muelle quc pUL'(le movcr"C \'cn ic:llrnente en la din:cción)' como ~ indie:l en 1:1 figura 7.29. Sabernm que In ellergfn potencial en fUlll.1ión de 111 pcKici(Sn c.~ U::o ~k-,\' : - I/I'tl'. " (a) Reprel!.CIWlt U en función de y uiUlndo uml hoja de "úlculn o unn calcula. donl grálic¡l. ¡,Qu~ v¡llor de y l'OlTC~p(,!IIdc :l In condición 1m tlrfo lllllld(/ del muelle? (11 ) A pan ir de In cxpre~ión de U. dcterminar la (ucrzu net:1 hacill ab!tio que actúa ..ohre 11/ en cunlqmer po"ici6n y. ( e) 1..11 maSo'! o;e deja libre dc<.dc el 77
••
SSM
l' ::o
12 mI.!> •
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Figura 7.30
¡>rohlel1lu 79
Problemas 80 • SSM i . Un ¡¡!<>ec~'I>Qr (masli M = 2000 kg) Sc mUC\C baCi~ 1In.1jo 11 "(1'" 1.5 mk Un sl't~Il1U de ¡renndo evita que la \'cJocidnd de dc ~. ctn!t') ~ inc~ mente . (tl) ¿A qu~ mmo .(en JIs) 'e lrun~form n en el ~ islcmu de irel\3do la enCl'$fn mecámcu en cnergm lém,iell" (b¡ Cuando el ;t~cnsor ~c ....Ie hado. nbajo :1 "n" 1.5 ml~. falla el ¡¡i¡¡temu de frenado v cae librcmcn, •. ro .... ' 15 • 1.1,1 lo largo de unu dislanclU ( = In IIl11e!> de chocar eonlm el tope de un gmn mue. lle de o;eguridtid con 111111 eon~lantc de lucr-w k e 1.5 X 10" Nlm. Dc.<¡pués del .:;hOque .¡obre cllOJ)C dellll ue~le. qucremo\ Mlber la di ~la ncia.6.)' quc -.e compri. rolÓ ~tc an l~ de qUe! lu cnbma d~ 1 a~r..'tn!>or qUt.-de en reposo. EJlpfC.!¡ur :llgc' brm ....:unente el v¡¡lor de j,y t: n fUni:16n de la.s magnituóe!' cOllocida~ M. "00 Ij. k Y d) ",,~tituir los ,'n lore~ d:tdos I).'lrn hallur .6..1'.
I
199
el np!H1udo (b). c~timar lb relación que eX;J;te entre el con~umo de energf!l parn lo~ do~ cuso~ con ~i demd(K.
85 ••• SSM Un péndulo consiste en unll pequeñu Iml 'ill (M ) atada al extremo de unu euerdn de longit ud L. Tal como m\lc~tru In figura 7.32. la 1Il1l~1 ~e colocll en ~ición hori~.onttll y \e "uclta. En el punto más bajo de la o<.cilu· ción. lu cuerdu choca con una clavija delgada S;tU:lUa a unn di'l:lncia R por encimn de dic ho punto. Demostmr que R debe ser menor que 2U5 parn que la ma~a dc'OCritm un cfn:ulo entero alrededor del pUIlIO R.
81
• P:lrn medir I¡¡ fuerlll de rollLl111cnto (nnllfnicnto por rodlldum y iucfl..ll arm:.lre dd !lirc) sobre un ..:ochc en movimiento. un mecúnÍ(,:O np:tgu el nu»or ~ dcja que el \eh(culo ~e dc.slke cue~ t u nb:tio en pendiente.'> co noc¡du~. El mecánico rcgi/>tnl los sísuit!ntc~
Sobre
mili
pendiente de 5.74" In "clocidnd constante dc dcsliZllmiellm es
\ \
1ft mIs.
-r1
••
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,
••
Un bloque de 2 kg se suelta sobre un plano inc1inudo hacia ubajo , .1 distancia de 4 m de un muelle de constnnte k = 100 N/m. El muelle está I¡ J lo largo del plano inclinado. que fOnTIll un ángulo de 30" (figura 7 .3 1). (a) ~. hay rozamiento. hallar la compresi6n múx ima del muelle. admitiendo que care.:c de musa. (h) Si el coeficiente de rozamiento ci nético entrC el bloque y el plano es 0.2, hallnr la compresi6n máximu. (e) En el plano del apanado (b), ~ha\ttl qué puntO subirií el bloque por el plano d~poés de ¡tbandontlr el Illuclh!? ••
••
4111 •
.= IOON/m
Figu ra 7.3 1
,, ,
I
,,
..I!-1l 101al del coche es 1000 kg. (ti) ¿Cuál es [a fuerla de roz:1Il1icnto a .\ O,'~l}'!l 30 mis (F)(J)'! (h) ¿Qué potenciu útil debe suministrar el Illotor .¡ue el CO(.~ he circule sobre una carrctern horizont:ll a lus vclocid:lde.s estn. ,,1.<; de 20 mIs (Pzo) y 30 mis (PX»? (el A todo gas, el motor suministm ¿Cuál c.~ el ángulo máximo de pendiente hncia arriba par:¡ el cuul el puede mantener una velocidad estacionarin de 20 mis'! (d) Suponer que tlr .'ouminislra el mismo trabajo útil total por cada litro de combustible. ·t ~rn que sea su velocidad. A 20 mis sobre unll carretera horizontal. el n:corrc 12.7 km.l!itro. ¿Cuántos kilómetros por litro recorrerá si su veloes 30 mIs'?
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Figura 7.32
86
5
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1
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•
Para determinar la penclr:lbilidad de una balu se di,para un rifl e
conlr.l un bloque de m:ldel"J. cn reposo. La bala pcnetr'.1 una di~tanci:t IJ o:n la lll!lderJ. Otra bala que tiene la misma masa pero que dobla ~u velocidad incide sobro: el mismo bloque. Supong:llnos que la m:lderJ ejeree una fuco.!! media sobre la bala que no depende de 1:1 velocidad. La distancia de penetración de la segunda b:llu es (a) IJ. (h ) 21J. (e) 4D. (ti) imposible de determinar :l panir de la informaci6n disponible.
87 •• En la 1igum 7.33 se llluestrJ una experiencia f$túndar de un curso de ffsk:1 introductorio dcslin!ldi! a c;wmimlf Ii! cQnservAci6n (lo.: 1:1 energfa y hb h.:yes de Newton. Un:¡ pe{lucila "iga de masa M atada ti una cuerda "in nm:-a de cllyo extremo cuclg!l un peso dc n\:L':¡¡ 111 se coloca en un roil de aire. Cuando el aire circul n por el ron. éste c!'enci:llmcnti:! no tiene rozamiento. Se ~uclta cntonl,:e, 111 mas:! ", y se mide lu velocidlld de 1:1 ,,¡gil de~pué~ de que el pc<:o Imyu cnido una dislnnciu t: Ilnm demostr.lr que I n~ leyes de hl fhica \OlIl'OhcrcntC:.'<. detcn"i· nar In velocidnd de 1:1 ,'ig:l de dos fonllflS diferentes: (ti) ml'(!ialllc la eon'-C!l"\'J.óÓn de In energfa mecánica: (b) usando la segunda y la lercera lc}C'l de NewlOn directamente: ~ dr..-cir. haciendo un diagrnm!l dc fuer/!ls p:U':1 Ia.~ do:. mILI.l.I~. enconIr,mdo ~u aceleración y. a p.1nir de eUn. calculando la \'c!ociwld di:! lo ' iga.
Problema 82
SSM Pureec ~c r (Iue al ueelcnlr se con¡,umc mri!'> cnergfu que nI . velocidad constuntc. (ti) Cale u1ur In energfu nCCC1>llna pum que un de 1200 kg !llcance unu vdocidnd de 50 km/h despreciando el roln~icnt o. los ro7lUniento~ (rozamiento por roJudurn y fuer/.ll de arrJ..,tre) del :ure dun a uno fuel"l.:t de (01.:IInicnlO total de 300 N n hl velocidad de 50 km/h. · . de 300 m '' 1 unn se ncce.'iÍlll jll.lrn de\ pJo.ror el coche una dI!'>tnncl:l con¡,tnnte de 50 km/h? (e) Suponiendo que las pénlidn., de encrg(o por fOtllmiento en el :Ip:lnatlo (a) ~n el 75 por ciento de las encontradu/> en
•
I
Problema 85
83 •• i Un tren con unn lIla!!a totn1 de 2 )( I()6 kg sube 707 111 a lo I:lrgo de unll di ~ t:m ci n de 62 km con una "eloci
S4
I
••
Fig ura 7.33
Prohlclllll 87
I
Capftulo 7 Conservación de la energfa
88 •• SSM So! fomlUla un modelo de cnrrem deportiva, !.eSlin el cunl la cncrgftl !oC COIN!!IIC en uI proceso de acelcrnr y dcsacclcl';lr hl ~ picrllu ~. Si 1:1 mu,n de unu pierna cs m y la velocidad de In cnrrcra IlS 1'. In cnergfu IIcccsarin pnm tn'elcr:.r la picrnn dc'>(lc el reposo n l' cs k I/IV! y lu TII i.~ mn cllcrg(u ,e IICCCsilu pnnl dCI><'K'clernr In piernn )mstn el reposo' pum Inicillr lu ~igUlcntc IlUlcnda. A~f. la cnergfa requclidll en cadu I.ancndtl e, Ir",J. SupÓII¡¡a!.e (IUo! lu musa de In pierna de un hombre e,\ 10 kg Y que corre con unu velocidud de J m/lI. ~ii!ndo la dbtaneia entre do~ pi,uda.. COIIl>l"t:ut ivul> de I 111, I'or lo IIIlItO, In energlo quc debe proporcionar u sus piemns eadn M!gundo t~ 3 X mI,.!. Cnh:ulur con e.~te modelo el consumo de cnergfH del homb!'\: lX)r unidlld dc tielllpo, I>uponicndn que ~ u ~ lll\ísc ullJ~ tienen un I'Cndimiento del 25 por ciento. 89 •• Un profe sor de de un hilo muy lino de longitud L forlllando un pé ndulo que se colocu en el e .~tremo de unA me¡'¡l de tul fonnn que b:tc queda a Ulla nlturn fI sobre el suelo en el punto de. altum m(ninUl de su oseilndÓn. 'Iírnr entonces del hilo de fonnn que fonue un ángulo ~ con la vcrticnl. Colocar en el punto mlts bajo dtl péndulo unu cuchilla que cone el hiJo. Cuundo éste se hu eonado. la mnSh se proYt.'Cta horizontalmente)' cae a una distnncill 1) del borde de In mesa. Ln iden es medir f) en funci6n de l\l )' que esto sirva pnm detenninar g. Además de las dificultades experimentales obvia.~. el procedimiento tiene un problema grave: O no depende de 8. Muesu'C que esto e.~ verdAd y que O depende línieamente do Ij¡.
velocidad filml l ' y el miembro de la derech,1 dc<,
Obre el punto m".. "liJO e su n:com o.
' e ter1lCJ !1 3
Un c..tnlndor de 85 kg bujn por In pcndiemc de una lllt'lI 9 r ",' y ',UCdllltO~ll!nido únicllTllenle por In cuerda de '>egu,.;.I.~' ~1I ~UJCC I n u .. UCI ...... , de In cima. 1,.,[1 fortlm de 111 pared puede e..<;quemllll/lll\e tal -..r;¡ !I un pUnlO 00 TU. r... uponga que la cuerd3 .... __ ""-_ ,,, figum 7 34 con H :::: 3 IIIUc..,lm en.. • . • .... -.....'IQ! .. muelle de con!,umle de fuer/JI k :::: 5 N/m y de 6n m de "'-_ ~ com O " • '~'!'lIIt dI' ('u !ruIn, rcpre.«!nte gráhcnmcnle ItI ener, l, "'_ IInu hllJu " do )U ~, , , . desde In cima IIftd',', , do r en función de~. ~ i end o t.~ tu In dIstanCia
••
92 ••• Se empuja hacia un lado la lenteja de un péndulo de longitud L de modo que la cuerda fonne con la vertical un ángulo é\r y luego se suelta. En el ejemplo 7.2 se utilizó el principio de conservución de la energfa p:1m obtener su yelocidnd en la parte inrerior de la troyectoria. En este problema se pide lIegar:11 mi¡'IIlO resultado utili7':lIIdo la scgundaley de Newton. (a) Demostmr que la componente tangencinl de In segunda ley de Newton viene d:ul.1 por (11'idt = - g sc:n 6. donde l ' es el módulo de la velocidad y 6e1 ángu lo que fonna la cuerda con la vertical. (b) Dcmostr.tr que l ' se puede escribir en 111 fonna \' = I~ d61 tll. (e) Utili...ar este reSultado y 1:1 regla de la derivación en cndcnn para obtener dI'
dI' dO
(11, l' dO L
----=-dI dO dI ((/J Combinar los rcsuJlado\ de Cn) y (r) para obtener ~, dI' = - gL sen O dO. (t') IllIegrar el miembro de la izquierdn de esta ecuación desde l ' = O hasta lu
"-
'"
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e~cn ¡¡
-~ Io
/afXo ,le lo (:¡¡n'tI de f(l .Ulfu·rficje de [u roca. U!>C valore. rJe ~ com~ entre 60 01 Y 200 m. (h) Si la caí~1I co~enl.6 cuando e
de la cima y acabó a una d l ~tan c ln sr = 110 m. detcnmnnr CUjnt.a~ ~ disipó por ro.llllniento dc,s.dc el momento que: empe7A I!; ~Iar ) ~ finalmente quedó parado.
60
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••
Un bloque de masa ni se deja caer sobre la parte superior de un muelle vertical cuya conStante de fuer.m es k (Iigura 7.21. problema 26). Si el bloque se sueltn dc..\de untl altur.! " por encimo del muelle. (a) ¿cultl e.'i In energ(a cinéticu máxima del bloque? (b) ¿Cuál es la máximu compresión del muelle? (e) ¿Pa....l qué compresión la energía cinélicu del bloque es la millld de su valor máximo? 91
11
••• '6
Un bloque de 5 kg se muntiene COntrol un muelle. euyu constante de fUerza es 20 N/cm. comprimiéndolo 3 cm. El bloque se libero y el muelle se e.~ ticnde impulsando el bloque u lo largo de una superficie horizontlll. El coeficiente de rozamiento entre la superficie y el bloque es 0.2. Ca) Detenninar el trobajo realizado sobre el bloque por el muelle ni extenderse desde su posición comprimida a ~u posición de equilibrio. (b) Dctenninar la cnergla disipada por (Q,lIlmiento cuando el bloque se despinza los 3 cm hasta la posición de equilibrio del muelle. (e) ¿Cunl es la velocidad del bloque al alcanzar el muelle su posición de t:quilibrio? (d) Si el bloque no estuvier.! sujeto al muelle. ¿qué distancia recorrería sobre la superficie an tc.~ de detenerse? 90
()JI.'" ..... '~
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)' I , I
,. ,, ~ *
Figura 7.34
Problema 93
Un bloque de mader.! de m~ M e,t. muelles sin mas!! tal como se muestra en In figura 7.35. Cad. longitud L )' un;! constanle de fuena k. (a) Si el bloque ')1! de da x. como se muestm en In figura. ¿cuál c... el cambio de I almacenada en los muelles? (b) ¿Cuál es el módulo de la bloque hacia lu posición de equilibrio:' (e) Usando ulla h" calculadorn grnHca. represente grnficumcnle la energía potel de.l' para O S. .~ S 0,2 111. Supóngase k = IN/m. L =0. 1 11\ Y bloque se dc.~plaza una distancia,\' = 0, 1 m y, l>osterionncUlc. su velocidad cuando pasn l)Or In posición de equilibrio? Sup" que está descansando .\Iobre una superficie sin rozamiento. 94
•••
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---L _--- _- ---- ~-' ----------
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Figura 7.35
L--
Proble ma 94
en fimciIiI l.g.ldlSld :!ta. ¿cWl el ~ qUt el blcJ.
ISTEMAS DE , ARTICULAS Y ONSERVACiÓN DEL ~ <" ... O ENTO LIN
Capítulo
8.1 Centro de masas *8.2 Determinació n del centro de masas po r integració n
8.3 Movimiento del centro de masas 8.4 Co nservación del momento lineal 8.5 Energía cinética de un siste ma 8.6 Co li siones *8.7 Sist ema de referencia del centro de masas *8.8 Sistemas de masa variable: la propu lsión de los cohetes masa del palo de golf mul tiplicada por su velocidad es el ímpetu o el momento lineal del r,.:tlo. Cuando el golfista golpea la bola con el palo, parte del momento se transfiere a la bola.
? •
¿Cómo se verá afectada la distancia recorrida por la bola si el deportista usa patos de distinta masa? (Véase el ejemplo 8. 12.)
Enlos cap{tu los 6 y 7 hemos visto queel teorema trabajo-energía cinética para las par-
tículas y para los sistemas de partículas son unas herramicnta~ útiles para unut izar una serie de situaciones y parn resolver una gran cantidad de problemas . Sin embargo. para estudiar el movimiento de objetos materiales reales y para comprender cómo se componan éstos cuando chocan. como por ejemplo la bola y el palo de gol f de la foto. necesitamos añadir dos leoremas adiciona les a nuestro bagaje de herramientas conceptuales. Estos son la segunda ley dc Newton pa ra sistemas de partículus (sección 8.3) y el lcorema del impulso mecánico-increment o del momcnto linea l (sección 8.6). Este último teorema para sistemas introduce el pri ncipio de conscr\lllci 6n del momento lineal. una de lns leyes lI ni ve rs n l e~ de la física. El producto de la masa por la ve loc idad de una partrcula se denomina momento lineal, ímpetu o cnntidnd de movimiento. El momento linea l de un sistema de partículas es el vector ~u ma ele los momentos lineales de las panículas individuales del si:-.tcmn. Si la fuerza ex terna neul que uctún sobre un sistema es cero. el momento lineul elel sistema es con5111l1 te. El momento linea l de un sistema aislado es una magnitud que se conserva. nI igual que III cncrgíll de un sistcmn aislado.
•
•
202
I
CapItulo 8 Sistemas de pl'lrtfeulas y conservación del momento IInel\l
, 1 h mos uso del principio de conservación del momento 11 ......, ... En este caplttl o 8fe . .subatómi-.. "" eulas , 11 " es entre bolas de biliar. coches. part, pura analizar Ias cO SIOO . ' '
•
8.1
Centro de masas •
El movimientó de un objeto o de un sistema de pa~íclllas se puede dcscr~ bi~ en fu ncióndel movi mient o del cen tro de masuS (que pucde . co~s.lderarse com~ el mOv l nll~nto global dtj sistema) más el movimien to de las partfcu hls LndLvlduales en el Sistema relat iVO al CCntro~ masas. Consideremos en primer lugur un sistema simple formad o por dos partfcula~ en UN di mensión. Sean Xl y X1 las coorde nadas de las partículas puntuales de Illtlsa~ "'1 y 1Il 1 Te\. pecto a un origen elegido arbitrariamente. La coordenada Xcm del centro de masas \'iene defi. nida por
,,, ,, ,,, .. x
.,,
,.
Figura 8.1
:,-- - - - <1 - - - -,' ,
111 ~
cm
donde M = "'1 + f1I 2 es la masa lotal del sistema. Para el caso de sólo dos panículou. ti cenlro de masas se encuentic1 sobre un punto de la línea que une las part ículas: si las panictl· las son de igual masa. el cen tro de masas se halla a la mitad de cami no entre la, panku~ (figura 8. 1). Si dos partícu las tienen distintu masa, el centro de masas está más cerca de la p:utículadc: masa mayor (figura 8.2). Si se elige el origen y la dirección del eje x de tal fo rma que la posición de m e.. el ori~ y 1112 está en la dirección positiva del eje x, entonces X I = O Y.\"2 = d. dondl.! d c.. In dist~ entre las partícu las (figum 8.3) y el cenLrO de masas viene dado por en
',
• ,
.......•............ ....Q .... x
,.
x
Figura 8.2
¡S,ll
<1
.-- ----
Ejercicio Uno musa de 4 kg está en el origen y unn masa de 2 k2 está en .\ minar xcm' (Res¡1/IesUI x cm = 2 cm.) ~
cm
------- -- -
-
---
----x
Podemos gcncmli zar de dos purtículas en una dimensión a un sistema de 111 las en tres dimensiones. Para N partículns
Figura 8.3
A1xcm = "' ,x, + 1112'\'1 + "')x} + ... + l1/",x,\' =
L
11/ ,.\';
1:1$
partinr
(i]
¡
en donde M = L 1111 es la masa total del sistema. Igual men te. NIYcm =
L, m ,Y
i
¡
el:
El. ".cctor po~i ci6n I~ partfcul n i cs r( = x,i + .v¡j + z,k . El veclor de posición del ct'lltnl dt l1t.lsas r rm' vlcnc dcflll1do por •
DEFINICIÓN - Cf.NllIO DE MAW O[ UN Slm""A DI.. P.... ro-.~
endondc r ..... =xcm I + •\,cm J'+-"Cm' k
8.1 Centro de
m¡,~as
I
203
el cCnlro de l11asas de un obieto cominuo b " 1 . P,:lrtl' dctenll8inar 5 ' 1 J • as n rcemp a¡;ar el !.u mutono de Itl ecuación . por lIlHl Integra :
Mr , m
= fr dm D EFINICIÓN -
(8 ,6) CENTRO
D~
MASAS DE. UN 0 81ElO COI'ffiNUO
en donde dI/! es un e~emento de mmm local il.ado en la posición r. como se muestra en la fieura 8A. En l:I s~cc I 61~ 8.2 se exponen vurios ejemplos relacionado.'. eOIl lu ecuación 8.6. ~ objeto.'. muy sln~~tnco!> el .centro dI.! nUlsas es el centro geo mét rico . Por cjem plo, el ccn. UU de Illa~as dI.! un cdmdro uniforme se encuentra en su centro geométrico. Considércse los si!!uieolCS ejemplo!'. , Fig ura 8. 4 Elemento de masa dm localizado en r para delerminar el centro de m:lsas por integr:lción.
EJE
' LO 8, 1
I
Centro de masas de la molécula de agua
·I&·ulll de agua está form ada por un átomo de oxígeno l ' dos átomos de hidrógeno. El 1t oxígeno tiene una maslI d e 16 unidades de m asa atómica (u) y coda ñlomo de hid ró· le U IllI masa 1 u. Cada uno de los átomos de hidrógeno e.~ tá n separados una dista ncia lt< 96 pm (96 x 10- 12 m) del átomo de oxígeno y separados entre sí por un ángulo de Determ inur el cent ro de masas de la molécula.
lIIu",lu
1110 = 16 u
amiento d e l pro bl e ma El cálculo se simplifica si elegimos como origen la posición del od geno y el eje x como la bisectriz del ángulo entre [os átomos de hidrógeno (figura 8.5). nto. dada la simclfÍa de la molécula. el centro de masas estará sobre el cje x y la HnClI que tllmO dc ox.ígeno con cada átomo de hidrógeno formará con el eje x un ángulo de 52.20 •
Pld !i!<'I'
une
x
% plll
Figura 8.5
1. L! posición del centro de mas:1S viene dad:1 por sus coordenadas . .lr m e
,
M
)' 'm;
11/111 XIII
2. Si estas ex.presiones se escriben ex.plícitamente obtenemos:
1/1111 111\11 )'111
) '=
3. Hemos elegido como origen In localiz¡lción del oxfgeno. de modo que l a~ dos coordenadas :r e y de éste son cero. Las coordenadas .t de los 0 átomos de hidrógeno se calculan a partir del ángulo de 52.2 que cada álamo de hidrógeno fonn a con el eje x:
+ //I 1Il·\·1I2 + //l a Xo
Xo
+ /11 112 + 1110
+ 111112>' 111 + lII oYo
1/1111
+ 111 11 2 + 1110
= )'0 = O = '\112 = % pm cos 52.2 0 = 59pm
)'111 '" 96 pm sen 52.2° = 76 pm 0 = 96 pm sen 52.2 = - 76 pm Ym
( 1 u) 59pm+ (I u){ 59 pm ) + {I6 u) O
4. SU~litu}endo las coordenadas x y 101. valores de las masas en el paso 2
=
se obtiene xan : • )'m,
lu+lu+16u
= 6,6 pl11 ( 1 u ) 76pl11 + (1 u)(- 76pm ) +{l 6u) O '" O lu +lu + 16u = O
S. El centro de IllIlSa, C!itn cn el eje.r
=
, '\ ( ml
'
+ .\\ ·mJ
= 6.6 pm i +O j =16.6 pm
. l ' trfn de In di¡;¡ribuci6n de mal'oo. I\ ~i· , servadón Se: puede ver que .\'o;m = O a pllrtlr de a slmc • I de ma or masa, como el':! de Illl\mo. el centro de mllSU~ está muy próximo al !ltomo dc odgcno, e y
Ob
,,-,
i
I
IIIH=lu
I
204
Cl'Ipft ulQ 8 Slst em¡u d e pl'lrtfcuhls y conservación del mo mento IInelll
,
El ejemplo S, I wmbién pucde ~ol ver\C dete rm innndo e n. primer lugar el centro lit lI1a!ill~ de In ... do .. I1wmo ... eh; hidróge no lIi"ladtlmcme, Paru un .. t\ tcma de ( re... panícul~. b ecuul'i n 8.5 es
11
,
Lu:. dos prin lero ... I(:rlll; no ... de l ...egundo miembro de l'cnlro de mn:.uIi¡ de 11I's do" primcras pan íClllas r~m :
/PI l +m ~. 211
CMa
ecuación están rc lucionado\ COn el
11
Figura 8.6 El ejemplo S.! puede t.'On~;dcm rsc con I~ d•.h L'ltOllllh de H n.-clUpla/:ldn\ por unu ,ola pnnf. culo de l1 U\~I /l/ 1 + /1/ , = 2 11 '>Obrc deje \ en el CC lIlro de 1111"":' dl' I()~ L'llO rno~ ori~inule~ . El cc ntro dc Ill11MI-" dt' la m(J I &~u lll dc IIguu M.' em;ucl1tra cntoncC-.\ cntre el átull1() de ox ígeno en d origen)' el t.·Clltro de rnaS]L~ dc tos dos átomo.. de hi
barra 1
••
•
•~
CII1 10laI
El cemrQ dl! masaS elel .. is tcmll de
tre ~ pltrt ícu la~
será, pOr 10 mmo,
Así, p{)d e m o~ determinar primero el centro de masas de do¡. de las partícula~. por ejemplo. los átomos de hidrógt:no, y dc¡.pués reemplazarlos por una sola part ícula de musn lotal 111 1 +m, en aq uel centro eJe musas (figura 8.6). . La mi sma técnica nos pcrrllilt: ca lcular los cen lrOS eJe masa eJe sist.emas más complejos. como por ejempl o. eJos barras uni formes (figura 8.7). El cen tro de masas eJe cada barra por separado se c nClIClllra e n el cen tro de la b'lrra. El centro eJe masas del sistema se detcnnina Ir
•• •• • " .', barra 2
Figura 8.7
EJEMPLO 8.2
I
Centro de masas de una lámina de madera
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Determinar el centro de llIasu.~ de In lámina de madera de la liguru 8.8(a).
Planteamiento del problema La lámina puede dividir.;c en dos partes simétricas (fi gum 8.8(b)). El centro de maSal> de cada pllne es su centro geométrico, Seu 111 1 In masa dc la pane 1 y 11/2 la masa de la pane 2. LtI musa total es /vi = 11/] + 11/2' L'ls musas son proporcionulcs ti las áreas.
)'
0.61110.2 E
0,2 111
"f I
0,6 m
1
ci O.R 111 (a)
0.2 111
• E
ci
2
.,
0.8 m (b)
Figura 8.8
Tapt! fa columna de la derecho e Intente resolverlo usted mismo
Pasos
Respuestas
1. Expresar las coordcnadas .\ e)' del CC nl ro de masas en función de 111 ] y "'2'
11 , \I r
•
• ::: 1/1 1" ,
1 +111 ) \' ,,,,--
206
I
Caphulo 8 Sistemas d e partículal y com ervación d el mom ento lineal
Es te resultado puede utili lllr<;c pllnl ]ocu li/úr expcrimcllt almtJnlé e l ce ntro de mllo,a~ de . lo , ,lo,. ob"J e' o,• co n ec Uld o~• por una " lImt li gera c<;(llrán en cquil,"c un o b~·Cl0 . PO f cJcmp (" • '~J{J sobre un pivolc ~ it lludo en el centro de IllIl<"US (fi gunl 8. n. SI, pl\'olamo<, el "'ISlC~1I en clI4I. quicr olro pUIlIO, el .,istCIllIl gi rurá hasla que la energía potencwl pase.. por 1,10 mín,l111o, lo l'Ual tiene lugar CUllndo el c.:entro de ma«a<; se encuentra en e l punlo ma .. baJo posIble direct.. mente debajo del pivote ( fi gura R. I O).
Si suspendemos cuulquicr cuerpo irregu lar de un P~VOII!. es~c cuerpo colgará de n~ q ue su'> ce ntro de umslIs 'te encuentre en un punto de la linea ventcal que pasa por el pivote ~ debaj o de éste. Si nhora :-lIspcndcmos el cuerpo de Otro pu ntO y lra~n m o.., la. Hllea VCrtic~1 que pasa ¡¡ través del rni!.lllo. el ce nt ro de m aMl~ <;e encuen tra en In IIl tcr<;ceC lón de lu!. ~ l ín ~ a$ (fi gura 8. 1 1) .
• 8.2
Determinación del centro de masas por Integración
En esta secc ión se de.terminn el cerll ro de musas por integración (ecuac ión 8.6). Mr cm =
Figura 8 .11 El ('Cntro de nmscus dc un objeto irregular puede dctcrminursc suspendiéndolo de dos puntos distintos.
l'
dm
Para ilustrar la técni ca de c6mo cstublecer la integración trataremos el problema <,impte de determinar el centro de masas de una barra un irorme y delgada. Aunque podcmo, cncomrar la solución a este proble ma por simet ría. en este apartado lo haremos medi ante integración.
Barra uniforme Primero, elegi mos el sistema de coordenadas. Una buena elección cs un shtema dt' ..:oorde. nadas con el eje x ti lo largo de 1" barra. con el origen en un extremo (figura 8.12). En I:l figura se muestra un elemen to de !llasa dm de longitud dx sitU
y
, ••
f
.,
/vl r crn = f r dm = f x i dm
dm :: .l. Ilr
I
(/ Figura 8 ,12
/ x=L
-.'
La masa está di stribuida a lo largo del eje.r dentro del in tervalo O S x S L. El barril!' lo largo de tocla la barra (yen la direcc ión positi va del eje x) se determina mediant tes de la integn:¡l O y L. El cociente dmldx es 13 masa por unidad de long itud A. ['1 dm = Atú : M rl"m = if .\' dm =
r .:m
-
M
•
1
1 ....
x-' L 2 u
-
l . MU 1 -M L 2 -
1;Jn!O
if~ .rJ. d.\'
Si la barra es unirormc. A es constnntc e igual a MIL. El cálcu lo se ac.lb:.t <;u<,tiu " valor de A, obteniéndose el resultado eSI>crndo I
dm n lími·
-
)JII
el
,-, L ''
Aro semicircular El cálcu lo para dct~ rrn i nar el cent ro d~ Il1í1SUS de un aro semicircular es mlÍs f:kil "i c1cgLmll~ el origen sobre la Hnen de simetría del al umbre (e l eje y) en el CeJLl ro de curvatul'a COIllO indi ca In fi gul'll 8.13. Pnm dete rmi nar el ce ntro de rnasm, lIMlmos 1:1 cl'tULrión S.6 (.Mr C!1l = r dm ), donde r =xi + .lti. La distribuci6n de masa se mic ircul or "ugicre In t'O!l\l" IlICnCI:l de u<;ar coordcnudlls polares, para lus cuales x = ,. cas 8 e y = ,. sen 8. Con c~ta~ 'u~· ti luciones tenemos
I
M r ern = I (xi +yj )dm = J rCco!\8 i +o;:en8 j ltlm
8.3 MovImIento del centro de masas 1 201
\h(\ra \ e
C\P~'
,1m
l'U
funl'l\lII de dO PII1I\l'1'Il. el CIL'111CI110 dc
tIlU'U
llm 111.:I1e:
,
lon~Itu(.I
n/f'. '''')1 h) \¡III\\)
n lltmJ!'" Á
d}lv.!,~,
la
1\\(1'"
plll 1I111t!mJ de: longllud . De C\tu lorllla lcncl1l0\
,
J I'(l'I)' O i + 'en () j ) Ár de
¡\ /1' ,'In
•
•
o .\ c\:llun c it~n (k ""1,1 illt~'gI1l1 'uponc que dm rcCOffi¡ la di¡.¡ribuci6n de L1l1l~lL ~cmicircu lar. ,1\) \1g.niticlllIUt' lo .. lllllile.. dl' f:) \on () S os !r. Se integra ¡;Il In dirección de Oerec icnte, por Il) que lo... lílllilc~ van dc O a Ir. Se ohtienc cntonces
r~l1\ El
x=rco~O
~((cOS fJ i + sen (1 j ),t dO M O
=
aro es uniforme,! sabcmo!> quc). = /vI/lC/'. donde lfres
11m '"' A,d\ '" Ar ,18
la longitud de la serni circu nfe rcncm
d a. Sustituyendo). y reordenando térm inos
r ""11 _ r i (cos
Ir
o
(a)
6 d6 + !. j (sen 6 de lf
O
r.
- 1
Jr
••
'=
2r .
sen
.-
)
.
, <;en
8
••
- J Jr
El centro de masas eSlá en el eje y a una distancia de 2r/lCdel origen. NOIemos que está fuera
(b)
Figura 8. 13 Geomelri3 p3rn el cálculo del centro
del objeto.
de masas de un aro semicircu lar por intcgrnción.
8.3
Movimiento del centro de masas
La figura 8. 14 es una fotografía obten ida con deste llos múltiples de un b¡lstón lanzudo al aire. Aunque el movimiento del bastón es complicado. el movi mienlo del centro de masas es simple. Mientras e l bastón está en el aire, el centro de masas sigue una trayectoria parabólica, la misma que segui ría una part ícula pu ntual. DemoSlraremos en general que In ace leración del centro de masas de un sistema de partículas es igual a In fuerltl eX lerna que actúa sobre el sistema. dividida por la masa tOlal del mismo. Para el baSlón lanzado al aire. In aceleración del centro de masas e~ g dirigida hac ia abajo. Para dClerminnr la aceleración del centro de masa!!. calcul aremos primero !ill velocidad. derivando lu ecuación 8.5 respecto al Iiempo: d r cm M dI -
tl r l
- , +111 , (/ -
d r2 -d + ... = I
¿
dr¡ dI
/11 . -
¡
I
L.1 derivada temporal de la posición es la ve locidad y se obtiene Figura 8 .14
M \'~," =
III¡" \ +111 2 " 2+."
=
L. m,",
(8.8)
I
Una llueva diferenciación nos da las nceleracione:.:
Mil .m
,
= "',"
111 1 8 1 +",
=
¿,
111,8 ,
(8.9)
208
I
Capítulo 8 Slstt m:u dt pltrtlcuhu y com ervllc!ón del momento lineal
Sin embargu. dI: m.: uerdu con la ,egundu ley de Ncwlon. m,u, e, igual tI 111 ' UIllAde 11\\ fUtr. Itl\ q ue w:túan ,ohrc 111 part ículll i. por lo que
¿ m/n, -
,
L., F,
c.:n donde el términu de lu derecha e" In , uma de toda .. la<;¡ fuerza... que I1cllían en cada P.lrll. culn de l sistc ruu. A lguna!'> de C!'> ItIS fUcr/ll~ "'01'1 fuc ri'as illtl·n/(/.~ (cjcrcidn~ "obre una panícula lid ~ i !.tcl1la por otra purt(culn del ,j <.l~nlll ) y otra, son fUérZI¡<; ('xtal/a.\' (ejercida!. <¡obre Una pm1 k ula del ... i~h.!nUI por una purt fcula que no está en el .. i!!tem a). A ... f.
,
(8. 10)
,
De acuerdo con In tercera ley de Newlo n. la<, rucr/..us ...c prC!>enlan emparejadas acción. reucci6 n. Así. paru cad a ruerza i ntcnw que actúa "obre una part ícu la exi"lc una fuerla igual 1>(:1'0 opuestu que actúa sobre o lra panfcula. Cuando <,c suman l oda~ la!. fuerza!. internas., cada parej a ,¡cc ió n.. reacció n suma cero. de forma q ue I F ¡.lIu = O. La ecuación 8.10 \e Con.. vierte en
F neUI..e~1 = "~
,
F ¡.cXI -
M a, m
(8.11)
SEGUNDA LEY DE NEWTON PAAA
j"l;
m~
Esta ecuació n nos dice que la masa 10 lal M mu h iplicadu por la aceleración del l 'ntro dr masas a C/ll es igual a la fuen a ex te rna resultante q ue actúa sobre el s i ~tema. A'IÍ, tI 'mos: El ce ntro de masas de un siste ma se m ueve como una pnrtíc ula de masa M = ~ ti da a la in flu enc ia de la fuen::a externa resultante q ue actúa sobre e l :,islema.
Este teore ma es impo rtan le porque nos muestr a cómo describir el l11ov imil!0I0 t1l musas de cua lq uie r sistema de partículas. El centro de masas se comporta c:
EJEMPLO 8.3
I
Un proyectil que ex plo ta
Un proyectil se lunzlI uJ aire d c,otd c el nh'cl d el sucio y ul crrizll n 55 m. E n el pun lo más nll o d e su Iruyeclorin c"plOlll en dos fra gmentos de igual musa. Jus to d ~ pll és de 111 c~ pl osi ó n . UIIO de los rrugmcnlos tiene velocidud cero y elle dircctlllUcnl c ni sucio. ¡,Dónde ene el olro rru¡':lllcn w '! Desp reciür lu reo¡islcnciu del uire. Pla nte amie nto d e l pro ble m a Sen e l proyec til el sh;lcmn. Entonces IlIs fucrlul< de explo~i6n ~on toda!> fuer/us ¡mem a/>. Como la ún1ca fuer/u t!:r:/~mn que neuia <;obre el si .. lcmll es I¡¡ de In gmvedad. el cC nl m de m U!oIl'. que c~lá e n todo momento 11 mitnd de cami no Cl1I ré lo" frag me ntos.. contimiu con .. u lmyccwri n pnmbólica como .. ¡ no hubic rll cxp l o~i6n (fi gunl 8. 15),
m
, iOI , ,
,, ,
',' ,
ero de t!!unl • Il!n lOS •
l \"1(·
mplo. ón o,e
rota-
;.¡
l.
'"
'.'. .... , .
.. , , ,
1,.'111 , ............. _•,..... _ ...
•• •
••
•
• '" iJ . . .... ....... .. ~ ~~l~ .. .
Fig ura 8.15
,, ,, ,.
.
8.3 Movimiento del centro d e masas
.. 1 I == o hl r()~ición inicial dI!! pruyl.'cli1. l...Ih posicionelo l1,t! al c m "¡¡I' C 1 .,.-,.... • I de lo.. fnlfl mc lllo~ c~ ( ¡¡ n re ladonndo<¡ con la po , ,'6 ' 11} : SICI 11 final del l'l!l1 ltO de rll(L,a,> poOr:
z.. F.n d
lI11pll\:to, ' ..m
= R ~ ,', =, O.SR. donde R = 55 m e\ el !lleunee del
pto}CC 1i1.. i no e~pl\)ln. Se oblume cntOIlCC'I pam x 2'
-' 2 = 2 .1".... -.\, = 2 R - O.5 R = 1.5 R " \,5(55 ' m) =
1'2.5 m 1
bservación Si :unho!> frngl1lc llto~ ticnen In 1l1illll1:l co mponente \lCrt jc uI de I11 ve 1OCI'dtI(1 de~pués , 'A" O '_1" ( \ 1 ol' \I\n. ,limbo:; atCIl'II.:trun III nW:IllO tlcmpo. Si J' mao dc..~I, ,,és 11, l'.1cxp , 1OS"6 1 i,J< " ,' , . ", . . ' I n ti cOlllponc!1(e 1,1 ,doclduc! \ ~l1 ic;¡1 , H:ctort ,11 de llllO de' los lragmcnto!:' es menor cl'" 11I del otro, c 1 rragOlcnto ........ Ik'ntc prunero contro. cl sucIo ... ". ~', , \'crtlcnl _,mC lIl,}r chocur:1 ", ' ..."·In 1'101'10 eo, n o 1o 1IUgu. e1 !>uc 1o eJ~ \ tuer/u sobre é ~ ~ In fUeíl.U ~e ta sobre cl sistema dejará de ~c r sólo 111 gr.lvedlld. Desde est~ \Il. nue,Lro nnt'ih)oOl:; no es válido.
n ólindro descansa sobre un papel encima de una mesa (fi gura 8. 17), Cuando se rirade! huciu la derecha. el cili ndro rueda hacia la izquierda en relación al papel. ¿Cómo !,t mue ..:nlro de masas del cilindro en relación a la mesa? (Respuesta Acelera hacia la dm:ch fue la fuera\ externa resuhanle que actúa sobre el cilindro es la de rozamiento bxía 1. 'ha que ejerce el papel. I ntémelo hacer, Aparenlemente, el cil indro acelero hacia la izquier, que le vemos rodar hac ia atrás sobre el papel. Sin embargo. en relación a la mesa. que sin )o i~te lll a de referencia inercial, se mueve hacia la derecha, Si se hace una marca en Ia~ q \cñalc la posición orig inal del cilindro, se observa que el centro de musas se mueve liaría la derecha miellfl'(/s el cililldro siga en C01l1aCIO COII el papel,)
10 - Fragmento 2
«
4
Fragmento 1
.f~m
2
O0l-'lñO-'W;;;-" ;;;O-4"'0 SO 60 Distancia, m
Fig ura 8 .16
Ejercí'
Un caso especial del mov imiento del centro de masas es aquel en que sobre el sistem!\ no a-.:túa ninguna fuerza ex terna neta. Por 10 tanto, l:lcm = O Y el ceOl ro de masas está en reposo o ~ muc\c con velocidad constante. Las fuerzas internas y elmov irn iento pueden ser comple~, pero el
comportamiento del cenlro de masas es sim ple. Además. si la fuer'La externa neta DO es cero. pero si una com ponente de ella en una dirección dada, por ejemplo la dirección x. ('i cero. enlOnces a cm.l' = O Yv cnu permanece constante. Un ejemplo de esto es un proyectil en ausencia de resistenci a del aire, La fuerla ex terna neta sobre el proyecti l es la ruerza gmvitatoria. Esta fuer'La actúa hacil.l abajo, por lo que la com ponente de la fue rza en la dirección horizontal es cero. Se sigue entonces, que la componente hori zontal de In velocidad del centrode ma~s es constante,
I
Ca mbi o de plazas en un bo te
Pete (musa 80 kg) Y I}ave (masa 120 kl!) se encuent ra ll en un botc de remoS (mnsll (lO kg), Dm'c está en el centro dcl bote rema ndo y Pele cn un extremo 11 2 i1I del centro, nave se cunsn dc I"\!m !.'. l " " ' l O "1111 Ilctc . Qué di~lnlldn se hu s r y unlt ve~ que el hote se detlc ne tnt erc:un mi SUS pues .. '~ mo\"ido el hole 111 interCilmbinrsc 11IS dos pc rsonns '! (DCSllrecill r CIIn lc¡uicr fu co,u horiznnt nl
ejercida por elugua.) Planteamiento del pro bl e ma
209
(2 111 ) ,\, .... ~ ... III .\¡+IIIX . •
ervadón La tigunI S. 16r rcpre"cntn In altul1l en función de 1n d'1~ l anCIIL , para lo.. p ro"cct" l e~ , l ' Ob l{l10ll cuundo e pn lller mgntcnto po~cc uno velocidad ho . 1. . ¡ 1 , qlJ(C\ P .' c ' rl l.Onla Igual a la Ilulnd de \¡ velo' 1•. 1 h<,lrilonml imcml. omo original " en el eu'¡1 el. primer ' ' 0' 1 1 en el cjl.:mplo ' lraglllcnto cae verticIIabaJO, e centro (e musa... "'Iguc unll Lro'-'cetoria non" , 1 " ' 1' ' ¡ntnI-Irk.'in ~ • J . pam"u Ica. 'le"lelO Si In Oln~a del' frogllll.llltO que eue directuOlcllIC huch••'lb,
EJEMPLO 8.4
I
Seu..:1 ~isLcmfl Pete. Da"c y el bote. Com() no hay fuer~flÍ> extu: "" d' , b " 1 1 ner,t!! rcsl)Ccto un w,tcnm de en Ircccr6n hori/.onLal. el centro de nlllS:IS no se mueve orr :ron nI · . rcfe " '6 1 bo' ·1centro de rnfl ~ lI~ sr ~e mueve, te. e 1 bo • R ' Itncra Inerciul como el agua. Si n c mbnrgo. en relncl n 11 F""" 1 ' 1 .. ,Ino de rn n~a~ re~pc..:: to n te. e\ e (;t:r , ', ' . E 1" 1 "'1 n I'lIr 1 prrmero el despl n/nmie nto !l.:r:~m que "e mueve .' A • d irecCIón contr:trHl, _~ I e lec.: 10 da 0 11. aSun cl bote.: tiene que moverse In misma d lStanCln ~r~m e n enn ln¡¡ In dbulIlcía que el bote debe moverse.
Papel
Figura 8 .17
70
80
210
I
Caprtulo 8 Sistem as de partículas y conservaci ón d el m omen to lineal
:--___ (/ .. 2 m
d= 2 m ---,~
,
L.,
:
, 120 kg
SO kg
,
,''~Í', 120 kg 1 I.UCIQ
120 kg
(bl
(al Fi gura 8 .18
1. Dibujar un di:lgrama del sistema en sus con fi guraciones inicial y final (figura 8.18). Elegir el origen en la pane trasera del bote (la posición inicial de Pete) y sea d = 2111 de tal forma que x»el!: i =O Yx o~,,, ¡ =d. Sea xboIe In posición del centro de masas del bole. Los remeros simplemente intercambian posiciones.
2. Escribir el producto de la mus:! total Iv! por la posición inicial del centro de ma sa~. Repetir esta operación pam el valor de la posición fi nal del centrO de masas.
3. Detenninnr el despla;r.amiento del centro de masas re lati vo al bote. reslanda el primer resultado del paso 2 del segundo:
IH Xcm i -
III l'1:wXI'et. I + m Om::xl)a,'"
+ I1It':ll.X bo(C'
- 0+ moa\"cd + ltl ho1cxbo(e /.1 x em f
+ 1II 0a \( X o.\"c r + /1/ bQo¡( Xbolc f = III l'1:11: tI + O + lll bo1exboIc
=
1IIPtW Xpct. f
MXcmr- M xcm.
=
( 11I I>ctc- lII o".) d+O
por lo que ( ml't'tc -
lII
o.,,,)d
M
4. Como el centro de masa no se mueve Con respeclO al agua. el bOte debe moverse una distancin igual en I:! dirección opuesta:
_ (III Da,,, - 11If'tt.)d
M
_
( 120 kg-SO kg ) 2 m) 120 kg + 80 kg+60 kg(
=10.308 m 1 Obse rvación La locllliznci6n del centro de masas respecto al bote desap3recc en el pliSO 3. El desplazamiento del bote es independiente de su localización.
EJEM PLO 8 .5
I
Deslizami ento de un bl oqu e
00 cuñn de nUIS¡i",? se cncucnll"n en reposo sohre lInll hnlnn1.u como illd ien In fig uru 8.19.
n bloque ptclu eño de musa "'1sc dcslb.u por el plllno incl inado sin rozlIInicnl o de In cuña. Delermina r ];1 leclura de ItI h ulllllZII mienl rns el hloque se dcslizlI . Pla nte am Ie nto de l p ro ble m a L1 cuña y el bloque co n ~litu ye n nueSlro sh;tellla. Como el bloque ncelera hacia abajo por In cuña , el CCntro de ma ~a, pmee compon e nt ~ de acelcmción Imei:! la derecha y hacin [Ibajo. Ln~ fUCrlll.5 e:
•
•
FI gura 8,19
8.4 Conservación del momento lineal 1. !Jibujnr un diagnuua de fuerzas para e l sislema cuñ u~ bl oque (figuro
8.20):
J
f"
" x
111 11:
Figura 8 .20 2. E.'l:prtsar In co~pol1e nt c vcrtical de la segunda ley de Newlon para el ~1, lcmn y despcJnr Fn:
F n -lII l g- 11I18 = Macm.~ = (111 1 +111 2)
Fn =
3. l l,undo J(lI,."ClUlci6n 8.9. expresar (lem... en funci6n de la acelcmci6n del
bloque lll,.:
1
el ejemplo 4.8 vimos que un bloque quc se desliza hacia abajo por plano incl inado estacionario posee la aceleraci6n 9 scn e. Delemli~ la componente y de eSla ncelernci6n usando trigonometrfa y Ulili-
cm, .... -
"' 1 m I
+ 11/
U
2
acm.)'
=":e,'-+:':":-'z al)
Fn -
(111 1 +111 2 )
g+(III 1 +m2) t1cm.r
(111 1 +1112) g-mlg
scn2
=I Cm¡cos! 9+111 2 )g l Ejercicio ¿Qué valores de Fn se pueden deducir. intuitivamente. si 9 = O o si 9 = 9Cf'? Demostrar que , mI c0s2 9 + "'2)g da eslOs valores esperados. (Respuesta Para 8 =Oesperamos Fn =(1111+ 1112)8: para 9=90", Fn = 11128).
8.4
Determinar la fucl7.a Fx ejercida sobre la cuila por la balanza. (Respuesta
Fx = Il!¡K sen 9
Conservación del momento lineal
El momento lineal , ímpetu o canlidud de movimiento p de una pal1ícul:'1se defi ne como el produclO de su masa por la velocidad: p =mv
(8. 12) DEfiNICIÓN _ M OMENTO LINEAL DE UNA PARTfcu~
E.I momento lineal es una magnit ud vectoria l. Puede considerarse ~omo IlIl a m~dida de la dIficultad de llevar la partJcula hasta e l reposo. Por ejemplo. un ca mión pcsodo tIene ~ayor momento lineal que un automóvil li gero que se mueve con igual velocidad. Es nccesnnn una
fue l7.a mayor para detener e l camión en un tiempo . 1 rmtnm . 1o que. paro detener el au t ollló~ (ele , ~iI en el mismo tiempo (La magnitud IIIV se designa como momelllO fill('ol de una partH;uln "'" d'ISllllguirlo . del ' momento unglllar. que se lrala en e I Cllpl'tulo 10 . el/ondo. no hace farolt a clanl:uCar que el momento se refiere al momento linea. , 1 r.;;-1 od'Je ¡'VD I Ii/leal •se omite y no:. re l e~ rjmn.. . ' 1 usa el vocoblo mOll/c/lro pnrd "'V~ Simplemente al momnl1O, En el resto de este capllu o se . , ~!
.
enmos al momento lineal.)
(J
/111
tiluir 0 cm,y por el valor obten ido cn el paso 2 y calcular F n:
Ejercicio C~ 8.)
m ¡OI,
1,
a l, = - "1 sen 9 = -gsen! por lo tanto
:a pam delerminar acm...":
5
+ 1112 ) 8 + (mI + 111 2 ) a cm.r
Maem.,. = m l "I .~ +lIIlu1 , = ti
4
(m¡
a""",
(J
= f(l- sen l 9)/11 1 +fIl! Jg
I
211
212
I
Capftulo 8 Sistemas de partk ulas y conservacl6n del momento lineal
'y de NcwlOn puede cscribir..e en f unción del momemo de una panítula. • L a segund¡¡ \r.:; . d o \0• e 'cu'le' D1. ,ICrCUCltHl , lón 8 . \'_ .c:c obtiene tl p _ d(mv)
-d,
-
dI
(/v -
fII-
di
-
mil
SUSlilllycndo lIJa por la fuerz... F nelll' resulta
F IICI~ = ~
(S·!ll
di
la fucrt.
ltull O.
P~i~ =
De acuerdo con la ecuación 8.8, cidad del centro de masas:
¿,
"'¡ Vi
=
¿
Pi
i
L 111 1v, es igual ti la masa lotal M multipl icada por hnel!).
_ Mv ,m
P , iM
(S.l 4\ M OMENTO TOTAL Of
-..¡
Slmt.u.
Derivando esta ecuación respecto al tiempo. se obtiene _ M dV cm = Ma dI cm
Dos d iscos se muc\'en en un colchón de aire sobre
una superficie horizontal. (En la fOlografía no se ven los pequeños agujeros por los que sale el aire.) 1..:1 colisión hace cambiar el módulo y la d irección de la velocidad de c
pero de acuerdo con I ~l segunda ley de Newton (ecuación 8, 11 ), Mat'm c..'t igu, extcma nela que actúu sobre el sistema, Por 10 tanto,
centro de masas s igue constante. sin que le afecten las fuer¿a5 internas de la colisión.
,;.1
fuerza
\S.\; \
Cuando la fuena externa resulta nte que aCllía sobre un sistema de pan ku derivado del momento lineal total es lambi én cero, y el momentO lincal lOlal del manece constan te: P~i)\
-
¿
III ¡\ '¡ -
M \ 'cm
= constante
,"cro, 13
:ma pero
( F nela.UI = O)
i
CONSeRVACIÓN DEL ",OMENTO
Este resultado se conoce con el nombre de ley de conse rv~l ción del momento: Si la ruerza ex terna res ultante sobre un sistema es ccro. el momcnto lincal tOlal dcl ,¡(temu permanece constante, ESIlema. pero 110 pueden lllo..hll(Jf la cnl1lidad de mov imiento tola l del :. iSICIllII. Si el momento linc:ll 10101 de un 'l,¡Cma t'" C(lII:..luntc, la vclocidud vectorial del centro de IlUl::.as del ~h.tC IlHl tumbié-n c:.- C(IIl,ltulI'",
1
!!
6.4 Conservación del momento lineal
EJEMPLO 8.6
I
1 213
Mantenimien t o espacia l
lit' hl rcplu'ud6n del I clco;co l'io t!,.
Planteamiento
~el ~r~bl ~~a • La ~'clocidad d~ la astrOIlUut¡L puede dCtCL'LLlinar"e ,. pun ir dc In
ocld:ul del panel . como dirección \ C .Illcdlllntc 1.1 ley de con!>cn'ilClón del mome, n o ,.lile:. 'E' . ~ eglr j»~iti\':ll dclmovimlclUo del panel. ' 1. .\
, la con,cn'lLci6n del Illomento pam delcrminnr In velocidad de nautU. Como el momento inidu l total C.\o cero. cOflti l1uani siendo ,mnte el protc¡:o:
l. , •
Lr la vc l()I.:idad de
,
la ustronauta:
1'.
80kg
I
= - ~ vp = 60 kg (0.3 mis) = -0.4 mis 111 ,
I
ObSE'n Au nque el momento se conserva. la encrgía mec:1nic:I de este sistema se incremen le al realizar un esfuerlO. 1:1 energía química de ltl astronauta se convierte en energía cillt'U
Ejen:i
J)clemlinar la energía cinética fi nal del sistema astronauta-panel. (Respues/a
EJEMPLO 8.7
I
8.4 J.)
El vagó n incontrolado
I.1'n \ugón de rerrocarril incontrolado de masa 14000 kg se desplaza a 4 mIs hacia un camb io di' aguJn.~. \1 pasnr cerc... de un almacén de gra no, 2000 kg de gr:lno caen súbitmllente sobre el nag6n. ¿Cuánto tiempo tardará el vagón en cubri r lu dis ta ncia de 500 m que hay desde el almacén has ta el cambio de agujas'? S uponer que el grullo cae \'ertieahnente y que la desacelc/'IIdon debida al r07,amiento por rodad urn y a la resis tencia del .. ire es despreciabl e.
Planteamiento del probl e ma D ete nniJl a m o~ cl tiempo de recorrido u partir de In distnncia al cambio de Ilgujns y la veloc idad del vag6n. Considcramol. como ~is tcma el vagón y el gmno cafdo en el mj~mo Cfigurn 8.2 1). Como no ncuían fu eras ex ternas horizont:lles sobre el sistema. la eomponeme horil.omal del momcnto linenl del sistema se conservu. La velocidad fi nal del vagón lleno de grano puede detenninarse a panir de su momcnto fi nal. cl cual e.. igual al momento ¡niciul del \'386n. (El grano inicialmente carece de momento lineal horilontal.) Sean m~ y III~ las musas del \agón y del grano respectivamente.
In ,= l'¡ OOO kg
= .¡
m/~
•
1. El tiempo tmnscurrido desde el alm:lcén hasta el cambio de agujas a la dj~luncia d recorrida dividida por la vclocidad "f del vagón de:-opué" de que haya caído el gmno: 2. Aplicar el principio de conservaci6n del momcnto parn relacionar la velocid,Ld fin al." con In velocid:ld inicial 1'1. ¡Cuidado! Sólo se con~rvlll ¡¡ componclUc horizonwl dell1lOlllcnto del sislt:nw:
d
llt - -
Figura 8.21
",
3. De\pejur I'r:
", -
4. Aplicar el valor de
"', = -", -
1'1 del p:l 'lO
I y despejar el tiempo:
/11,1', III ~
d
+
m, (m , +/II, )d
m, l ' ,
_ ( 1400(Hg + 2000 kg)(500m) ( 14000 kgJ( 4 mIs)
=0
214
I
Ca pftulo 8 Sistemas de partk ullls y conservación d el momento Uneal
Observación La energía mccánicu dd ~i~lellln ,"e conviene en eular. SeU Ee la e/lcrgfa cinética dd gnmo ju~to cu:mdo chocu conlm el \'n8611. 1...'1 energfa mecánicu Iniciu( ~ I~, .. + \'~, E~ + ;( 14000 kg)('" Il1/¡¡ J ~ = é <. + 112 kJ . mienlrus que la energfll final e~ t- (m, +• m.). •V1" 1" • • . 1 1 (16000 kg)(3.5 m/s)z :: 9R kJ. L Il cl1crgfll dnétic1t li nnl e ~ Inferior 11 In energfu e111éllCU Imela en 14 kJ .
!""
::
Supongu11lol> que hay un pequeño agujero en el fondo del vug6n. de 111000 .Su/ [43~. El gnmo que e.'c:II)II no imp:u1c mOlllcnlll line:tla[gul1o ul re~ta del siMelllH. Si el suelo c:Lrt.'Ciese de I"(uamientl)' flleru plunll. todo d gruno inici almente en el vug6n llcguría ni cumbio de Bguja:. al Illismo tiempo que e[ vagón .) Elerclclo
EJEMPLO 8.8
I
Los ejercicios de la patinadora
Una patinadorn de -1O kg está cnlrt!lUíndose con dos 1II!Slo1S dc 5 kg sobre IInu tallio de 3 kg. Puro tiendo dcl re poso, lanzn los pesos horizontalmcnte uno tras otro desd e su tabla. Ocspués de su IlInu uniento. lu \'clocidlld de clIda peso es de 7 mIs rulllth'll u la IlUtinudo rll y s u tabln. ¿ Con (Iué velocidad es impulsadn la patinudorn en direcciólI opuesta dtospués de lall1..ar (a) el primer peso'! (b) ¿el segundo peso? Suponer que la t:lbla se mueve sill rozamiento.
Plantea mie nto del problema Ningullrt fuerla ellternrt horizontal actúa sobre el sistemu patina· dora-pesas-labIB. de modo que 1:1 componente horizontal del momento lineal se conserva. Necesilamos dctcrminar In velocidad dc la patinrtdoru después del lanzamienlo de cada peso (figura 8,22).
Tiempo O
5
, 40 kg
Tiempo 1
-------- ,--------,
Jkg
Figura 8.22
(a) 1. Cadu peso liene una masa de 5kg (111) Y la plancha)' la pntinadom tienen una ma~u de 43 kg (M). Eliju la direcci6n del 11lovimienlo de la pntillRdora como la direcci6n positiv!l. Entonces \'''11 = - 7m/s es la velocidad de uno de los pcso~ lun,wdos respecto a la putinadomoSean "poi y \'... 1 las velocidades rcspecth'as de la patinadora y del primer peso Innl.udo relativas 01 suelo. Aplicar la conscrvución del momento de:.pués del lanzamiento del primer peso.
2. 1...1 velocidad del pc..,o lan;t.ndo relativ(l al <;uelo es la velocidad de[ pe\O relativa a In plancha ntál> la velocidad de In plancha relativa al ~uelo:
P'1\11 = l' "vi) (M +111) \'1"1 +m".... 1
= O
(Lo:. subíndices indican el tiempo. El tiempo O corrcslxmde
un ill\wntt anterior al l:mzamiemo del primer peso. el tiempo I COITC\ponue a un In'· tame de tiempo comprendido entre el primcr y el segundo lanlllmiC'111{1. ~ el subíndice 2 indico que la patinudo"l ya hn [anl.ndo l o~ dos pc,o~.1 1' .. ,1 -
I'''PI + VI"'I
ti
8.4 Comervillldón del momento lineal
1·... 1 por el n:suhado de l ,.... n"!'I1l I ... •. ' u,¡ilu\>endo • ..... (IUilcnc:: J• S
\'
I
•
"" .
( M +1II)V pot+ m(v" P1
+ Vpol) "" O
por lo mnto :
_
111
M
= (b) l.
Sr: rt"pLIt' el pa,o I tlcl npanlldo (il) pum di"", .. .a ml.~·nlo del "" undo bloque. SI!:ln \'1'" ~. Y",, ',> IlIs vcloc jchlde\ ... 1 1U • ...·' ..... ••vC "IVUS(1!
JMIIIl.IdlU11 y de l sCl! und ~) 1>C:'O lunl:l(llI rc]¡lt i\'n~ al .~ ud o.
2. Se repite el pa,u 2 del upanudu -.
(11)
Imn¡ el "", ,. Ulll .lCIll O del
3. ~u,lil l1ycndo en \'..... ~ el I'c!'ouhmjn de l pa~o 1 del upanlldu (b) se \*,lll' lle
1'r-2:
p ...a
+ 2",
\l
"1'1
10.66",1,1
= -
S kg
.
43 kg+ IOkg
M V""2+IIZV ..... ,¡ = ( M + m )V",1 \· ... ·. 2
=
MV po.l
1'''' '1'2
+ V",,2
+ m(I·.. . p2 +
V",,2 ) = ( M + 111) V"" "
por lo lamo M +m
=
lancit'l '
Ejerdc b \1: . 7
mI~
...
O,66I1l/S - ¡8~~(-7mJS )
m
\1 ,
M+III .. p2
=11,39 mIs I
.\ qu¿ velocidad se mueve In pminadora si, partiendo del reposo. lanza los dos pesos a modo que desllilé.~ de laTlzados, su velocidad respecto ¡¡ 1:\ patinadora y su tabla es de USItl 1.32 mIs .)
1
Desintegración radiactiva
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
l'n núc!oo de torio 227 en reposo se desintegra en un núcleo de radio 223 (musa 223 u) por emisión de una partícula a (masa 4 u) (figura 8.23). La energía cinética de la partícula a resulta ser de 6,00 ;\leV. ¿Cuál es la energía cinética del núcleo de radio en retroceso?
Tape fa columna de lo derecho e intente resolverJa usted mismo
Pasos
Respuest as
1. Expresar la energía cinética del núcleo de mdio Ee"" en función de su ma\a "'lb y su velocidad vR~'
Eco =
2. Eltprew la energía cinéticlI de la partícula a EC(J en runción de su mar.a 111« Ysu velocidlld I'rr 3. Utili/llr la conservación del momento lineal para relacionar "Ito con Ver
1-.,
I . ~ III R.o\·R.
I • ~ III ,, " ",
=-
4. Despejar las velocidades I'R~ y "a de los pasos I Y 2 Y sust ituir !>us expreo¡iones en el resultado del paso 3.
..
S. De~pejar E .
'
= O,IOS McV
1 . 1 l ' t no se lransronnn en energ{u n En este prcx:e\Q la energíu en rcpo<;o de. nue ca (1,; o . . ' 1 de 1 -. 1 1'1' d IOno es mnyor que n ti de la panículu aIra y del núcleo de radio. UI lIlasa ~c [lI e ca e . \llnlculalllrB m& la del núcleo de radio en tinos 6. 1 MeV/l7. dó
Radio 223
Torio 227
Planteam iento del problema Como el míclco de tono antes de In desintegración está en TqlIhO. \u momento lineal total es cero. Podemos relacionar la velocidad del núcleo de radio con el lit la partícula alfa a partir del pnncipio de conservación del momento lineal.
"'~rva
_
n Este ejemplo iluslra el pri ncipio del cohete; un cohet~ se mueve hncill del:mlc lnnI,htible hucin atms en fomm de gase!> de escape.
EJEMPLO 8.9
""--
,
= P...tI
V",l = (M + m) VP.I - mv w '!l1 = V
Obser
( - 7 mis)
,~' R.o
~
Figura 8 .23
a; __'~.:....,.~
215
216
I
Capitulo 8 Sistemas de partículas y conservación del momento UneDI
8.5 Energía cinética de un sistema Aunquc el momcntO lineal total de un sis tema de part~cu las de~ ser cOnStalll.c l> i la flJtna externa rcsulllllltc sobre el sistema es cero. I ~ energHl. mecáll1ca ~ot~1 del Sistema flUetIt variar. Como vi mos en los ejemplos de la secció n anten o r las fuerus I~tern
La energía cinética de un sistema de partícu las es la suma de las ene rgías cinéticas de las partículas individuales: I
,
- ,
:; m i v ~
¡
¡
- "" . " I.) L 1! m.(v ' , ¡
La \'e locidad de la panícula i puede esc rib irse como la suma de la veloc idad del cenlro de masas Y la velocidad de la panícula relativa al centro de masas u ,:
"cm
18. \11 La energía cinética del sistema es, por lo tanto.
Ee =
¿
~ m ¡( " I ' vi) =
¿
~ 11I ¡( Vcm + U¡)· ( " cm + tI / )
¡
I
- ¿ ~ m ¡ ( l'll1l + 2 "cm ' u ¡ +Il r> I
en dondc en e.1 sumando dc.lmcdio hemos sacado faclor común " an' ya q ue es el l~mopa!1 todas las punlculas. es deCIr. ~e refiere nI sistema y no a una partícula específica j magm!Ud L ~"IU I es el momento li neal del sistc lllu referido al celltlV de mllsas. E... I. magnllud. que es Igual a Mucm es necesariamente cero. (C on respecto al centro de Illa<:a~. la \c\oóJ),i del centro de nm SIl:' ucmes ccro de modo que e l momento Iinenl tQlal Mu c: .. uunt"lu!n (tro ' Por lo tanto. ~"Il1
Ec -
I I
~m¡ I';m +
I I
I
2
1.
.,
2/11 "·/1 · = -2 ¡o1v-cm + E c!01 EN l RGiA C1Nrn CA D( UN Slm MA 01: r.tJIfK\V'S
en donde M c" In Itlasa _ cm . é t1.ClI de las plll1 ícul a:-. rl'l/¡¡j,'t¡ d I (f/l'., . tOlal y Ee,. es I¡¡ energm de masas. Cuando 110 hoy ruer/lls• e'le . . ... mas. e:. conSUlllle y lo e nergía cinéul'a n"¡'"'1.• .lU" con el movim iento ~"loba! ( 1~ M,, 1;11\ 2 ) no \un " a. S.,-,lo !tI energfa cinética rclulhn ru~k' ~..n' • • bmr en un ~ l l¡ t c111 a m:.lndo.
"m1
8.6 Colisiones 1 217
8.6
Colisiones
•
En unU colisión. dos objetos ~e uproxi?lUn uno ¡¡ Olro e imcruccionun fuertemente durante un tiel11po muy CO~O. Durnn~e e l br~ve tIempo de colisión. cualquier rnena externa c!'> mucho /llenor que las luerlllS dc .'ntel1lcc lón ent re los objetos. Por ello. 1m. lÍníens fucrlas importan~
I
IC~ que nctúun sobre el sistema fo n nlldu por los dos objetos son las fucrzlIs de interacción . que son ¡gullle,s y opuestas: ~e modo que el momento li nca1 IOIn1 del sistema pcnnunccc in\':¡rinble . El Itempo de colisIón es normulmente tun pequeño que el desplaznmient o de los obJc!lOS durante el choque puede despreciarse. Antes y después de la colisión. la interacción de l o~ dos objelO s es pequeña comparado COIl la imcral:ción durante el choque. Son ej em plos ti choque de Ins dos bolas de bi llar. e l golpe del bate sobre una pelota de béisbol o un dardo 31 chocar contra el blanco. El movimiento de un cometa alrededor del Sollluedc considc. r.l¡-<;CCOIUO lllUl colisión. incluso teniendo C-Il Cllentu quc los dos astros no SI.' tocun tísiClunc lltC. En cl lnbonltorio de lískn S(-' puede \'1.'1' t::nnbiéu una colisión cntre dos carros qur IIc\:m pllrllchoqucs magnéticos. Jiiin (¡UC se Ilroduzcll contacto rísico entre amhlls. Tu ndo la energín cinéticn total de los dos objetos es la misma después del choque que \! dice que se trata de un choque elástico. Si la energía cinética total no es la misma .. del choque . éste es un ch oque iuehlslico. Un caso extremo es el choque perrect:lnelástico. en e l cual toda la energía cinética relativa al cent ro de masas se convierte ID' o energía interna del sistema y los dos objetos quedan unidos después de la colisión .
"''
In
150 Y fuerza media
En
fIgura 8.24 se muestra la vari ación con el tiempo del módulo de una ruer¿a típica ejercid )r un cuerpo sobre otro durante un choque. Durante el tiempo de colisión , I1t = t r - ti. la fL ·u es grande. El restO del tiempo. la fuerza es despreciablemcnte pequeña. El impulso I de: fuerla es un vector defi nido por
(8. 19)
1 _f'r F dt
J"
DEfiNICIÓN - IMPUlSO
El módu lo del impu lso de la fuerza es el área encerrada bajo su curva F en función de l . La unidad del impulso es N . s. S i FnclD es la fuerza neta que actúa sobre In panícu la. su relación con la variación del momento de esta panícula viene expresada por la segunda ley de NewlOn. FocUl = d p/dt. Por lo tanto. e l impu lso de la fue rza neta es igual a la variación total del momento I1p durante el intervalo de tiempo de la colisión:
Pi ~ dI = Pr- Pi = ó. p I nelo _ PI F nela d, _ JI, dI J"
(8.20)
TEOREMA IMPULSO - MOM Ef'lTO PARA UNA PARTICUIA
Asimismo. el impulso neto debido a fuerzas externas en un sistcmn se iguala
COIl
el cambi o
del momento total del sistema:
(8.2 1)
l ~to.ext
TEOREMA IMPULSO - MOMENTO PARA UN SISHMA
La ruerza media durante el intervalo
Ó.I
= Ir -
F,
t ¡ viene
defi nidn por
(7.22) OfflNICIÓN _ FUERZA MlOlA
.. .. -.
- ----'::---"
,, ,,
' ' '
.,,,
,,.
.'' '
.. I f
I
Figu ra 8 .24 Van:v;ión típica dI.' In fucrl:l de colisión con el tiempo. El área bajo 13 cur.'a F6; en fu nción de 1 es la componente x del impulso. 1,. F..... es la fUC:fla media por inter\':llo de tiempo ar. El área rcclanSular F.... .6.1es In m ¡~ m n que In encerrada bajo In cur.'n de F" en funci ón de l.
216
I
Caprtuto 8 Sistemas de partkuhu '1 conservacl6n del moment o IInen I
rza const'mle que produce el mi~mo impuho que In fucr11l real tn La fucrzu me~1lI e¡.]a fu~ .c . ' l" el rectángulo de hl figura 8.24. La fueral Inedia n.~tI inlerv'¡lo de tiempo 0.1, como lile len 1 . d h E e .... , . d i ' b'o del momento si se conoce e tiempo e e oque. "le ¡¡en-.... ca lcularse a partir e Cllffi I . 1 b' d 1 .'~ . . 1 l' d'stancia recornda por uno de os o ~cto~ urante a coh ~iolu. puede estimarse 11 punir ( e .1 l . < UlI, .
I
EJEMPLO 8.10
Un a co li sión e n la práctica de l kárate
Con un golpe experto de klÍrtllC, un kllrlllccu rompe UII blOlIUC de hormig6n. Su puño tiene una mllSII de 0,70 kg, se IIIUl:VC 11 S,O mIs 111 choclIr contrll el blOlluCy se detiene 11 6 mm del ptl~to de COllhl Cto. (a) ¡ Qué Il11l)11lso ('J('rcc el blo(IIlCsobre el puño del kurulccn'! (h ) ¡,Cuál l!S el tlcmpo de coli:slónllp~x lnllldo y In fU erZlI l11cditl (lue el hloque ejerce sobre el puño'! Planteamiento del problema El impu lso neto es igual a In vuriación del momento Al)· Esta varindÓn puede determinarse n pan ir de la masa y velocidad del puño. El tiempo de col is.ión corre~. pondielllc al apanado (b) puede deducirse de la distunciu dudll Ay = 6 mm y de ll! velocidad medw durante In colisión, que puede estimnl'Se suponiendo una aceleración constante. Elegiremos como posith'll la dirección hacillllrriba (figum 8.25). (a) 1. Expresar que el impul:.o es igual n la variación de la camidad de • movmllento: •
2. El momento inicial es el que posee el puño antes de chocar contra el bloque con velocidad 1'. y el momento lineal final es cero:
PI
=
111 \ '
= ( O,7kg)(- 5.0mls) j
y
= -3.5 kg . mis j Pr = O
3. HI.llar el impulso que ejerce el bloque sobre el puño:
1 = Pr- P, = O-(-3.Skg·mls j )
=13.5N,S j (b) 1. El tiempo de colisión es la distancia recorrida divididu por la velocidad media:
6r
2. Suponiendo que la aceleración es constante esti mamos la veloci. dad media. I'm = ~\" Como hemos elegido la dirección haciu arriba positiva. tanto Ay como vm son mugn iludes negativas. Cal· cu lar 'ó'r:
6r
3 . La fuerla media es el impulso dividido por cltiempo de colisión . Está dirigida hucia arriba. corno era de espcmr: Obse rvación puño.
EJEMPLO 8 .11
I
6y
I
F
- ~r 'm
Fi gura 8.2e
6)'
m 0,0024 s - --1r' - -- 0,006 2,5 mis -
,
2.4 ms
I 3.5N· s j - - = dt
0.0024 s
La fuer/.a media es grande -aproximadamente 2 12 veces el peso del
Ensayo de un accidente
¡INTÉNTElO USTED MISMO!
Un cuche Ctluiplldo con UIl Ilumlquf de 80 kg pura cnSII}'os d e II cci dellt ~<¡ (figuru ~.26), Ch OC8 conlru un muro 11 25 mIs. Estiumr In fuerlll que el cinturón de seguridnd ejerce sohre el ma ni.
quí en el impllcto. Plantea miento de l problema Suponer que el coche y el mnniquf recorren Ilproximudulllente 1 III ul plcgur;e In panc delantero del coche. y que In ncelemción es COn~lanlC duntmc cl choque. Pura determ inar 1:. fuerJ.(l. calcularemos el impulso I y después lo di"idiremo~ por elliempo dc colisión ÁI . Elegir el eje.r positivo en la dirección h:lcia adelante.
Figura 8.26
8.6 Colision es
rop<
2. J.
219
la columno de Ja derecho t Intente resolverlo usted mismo Respuestas
pasos 1.
I
Rt'lm:ionnr la rUcrlu media con e l impulso y. en Consecuencia, con el , C.1rnbio d~ momen o.
.lp ,
por In tumo
F
J)etc nninu r el cambio del mome nto del maniquí. RelaciOllllf el tiempo \:011 el desplazamiento. suponiendo qUé la acele. Tll.l:ión e~ con ~ Ul nll!.
[X:tenninnf la \'elocidud medin ,Y uSlIrl1l conj untumente co n el resul. 4. \¡Ido del p ll:
'"
\ ,~
=
:;( ' ,+ \ ,):::0 12.5 mJ .. i,
6.,
:::o
0,08
I
-
porloutntn
~
"'n, el 25 kN i I
Su~utu ir los resultado:. de los pusos 2 y 4 en el resultado del paso 1 y
5.
~ ,. ,
j"
de rm Lnur la fuerlll.
'.ld6n Blmódulo de In aceleraci6n media es 0 m = cJ,\'/ó.r ;: 3 13 mls2, (1 seu aproximada· Obs. , Tul tlcelerución representa una fucr1.a netu de unas 32 veces el peso del muniqul. suflmeO!
mue
pro\'ocar daños serios. Una bols¡l de aire ("ni! baS") incrementa la distancia de fre nado. :dll a evitar daños. Ln bolsa de aire también permite que la fuena se distribuya en un área yor.
Qbs .>1
'jón En la fig ura 8.27. el gráfi co (a) muestra la fuerza media ejercida sobre el maniquí Je la distancia de fre nado x. Sin cinturon de seguridad o "air bag", el conductor "volaría"
CIen'
"q
...
di""
ft=
¡-:t
parabrisas o sena detenido en una fmcción de un metro por el salpicadero o el volante de El gráfi co (h) muestra la fuerza en función de la velocidad inicial para tres distancius de m. I,5m y I m.
.,
100 000 90 000 80 000
90.00
"'''''' 70000
Ejem plo 11
,
~
•,
50000
-~
z. 60000
•~
z
70000 60000
50000
~
.{()OOO
Distancia de frenado 1m
Ejemplo 11
I
1.5 m
I
40 000
2m
30 000
30000
20000
20000
10 000 10000 O 0.4 0.6 0.8
1
!.2 1.4 1.6 1.8
Oistancia de frenado,
2
ni
5
0
15 20 '25 30 35 40 Velocidad inicial, milo
10
(b)
¡" Figura 8 .27
EJEMPLO 8.12 .
I
Una pelota de golf
Una persona golpea una pelota con un Pillo de golf.
E timar (a) el impu lSO1, (h ) cltiempo de
l ' , p" " tll de golf típitu es
"""'.., 6n l1t y (e) la fuerza mcdlll F m? eonsl' derar qu e lalllasa«(e' de unoS 192 !.S
r= Ar
Ul I
i1I
=2cm H _ 192 m
(Ii¡.:u rn !t28),
.. :: 4S g Ysu radio r = 2 cm, En un recorrido típico, el nJcn ncc es . I/)Cidad de la pclotll cuando loe sepflnl Planteamiento del problema Sea \lo el módulo de In ~'c , ' &tilllarcmo~ In \'cloci· del ",, ¡ • • . d COl O Imea o ~ca . 1111 O' . .....0. Elunpulso e!, igual a 111 vnrulcl6n e ¡,u lTIom ," 6 ' "'¡rdc 111distuneill rccorndu !lid. . . . . , . po deeo lsl nllp.\L . . mlclal \111 a part ir del alcance. ESlllnnrellloll e lIcm I ""Ierución. U~nrctllo:;; d.\ "'__ . I 'cndo constante a . . -ute el choque.6..t y la velocidnd medIa:; "O, SUpoOl . e " Q partir del impu l ~o I Yel . buene colOn c... '" 1 cm, que es el radio de In bola. Lu fucrin medI a se O lltalpo de colisión 61.
-
m = 45g
Figura 8 .28
aguJcro
•
220
I
Capftulo 8 Sistemas de partículas y conservnclón del momento lineal
(a) 1. Igualnr el impubo COI1 la variaci6n del momento de lu bola: 2. La \eloddad inicial cMá rehu;ionuda ('011 el alcance R. dudo por la ecuución 2.23: 3.
COIl~idenlr que
00:::
I = F",ll/
R
::: Óf'
I'd &e n 28
-
-
•
0
Rg [30 y
calcuJur la velocidad ¡nkiul:
\'0 -
sen 290
( 192.o)(9.81111/s') = 65.5 mi!; sen 26°
4. Utilizar c~te valor dc 1'0 pum cu!Culur el módulo del impulso:
111(1',, - 0)::: (0,045 kg)(65.5 mIli )
J ::: óp
= 2,95 kg ' mI!. =12,95 N . s
(b) Culcu lnr el ticrnpo de colisión ru utilizando.\"::: 2 cm y I'm ::: ~(I'( - 1'1):
/),.1 :::
6x
•
=
I
6x
-I
:; 1'0 •
_ I O.021ll = I O.6IOX 10-.1 .. 1 i(65.5 mis)
(e) Mediuntc los v!llores calculados de J y ru detCmlinar el módulo de la fuerza mediu:
Fm
I
-
ói -
2.95N ·s
6.10 X 10.4
¡,
= 14.83kN I .
.
Dc nuc:vo nos encontramos con que las fuerlas ejercidas durante un choque son muy gmndes. Aquí la fu erza ejercida sobre la pelota de golr por el palo es aproximadamente 10000 \'eces el peso de In pelota. a la que impulsa en una breve aceleración de IOOOOg en 0.61 ms. Asimismo. la fuerla de resistencia del aire no se ha tenido en cuema en el análisis. En un liro de golr real la resistencia del aire no es despreciable. Observación
Colisiones en una dimensión (colisiones frontales) Consideremos un cuerpo de masa 111 1 que se mueve con una velocidad inicial segundo cuerpo de masa 1112 que se mueve con una veloc idad inicial ".l¡ si \ '11 < pos chocarán. Sean \ ' If y 1'21 las ve locidades finales de los cuerpo!' después del d ve locidades pueden ser pos iti vas o negativas según los objetos se muevan haciL hacia la izquierda .) El principio de conservación de la cantidad de Illovimient relación e ntre las do!' vclocidades desconocidas. " Ir)' \'u:
•
JCHI
un
, cuertB, tal
re(ha tl da un~
( '.231 Para calcular I' lf)' I'lf cs necesaria una scgundu ecullción. Esta segunda ccunción. desarrol laremos. depe nde del tipo ele col is ión.
En la~ colisi\ n~!- pt'rreciamente ineliÍsti c¡ls. las pa!lículas quedan ullid;l~ después de la coli sión. Por cJ~mplo.la colisión en tre el guan te de un jugador de béisbol y la pelota es perrcclamcnlc IIldastii."l. siempre que el jugador no deje caer CSIU ültim:l. La segunda ecuación entre la" \docidudt', final es es lal que ésta.!. :-on iguales e mre sí e iguales a la velocidad del centro de ma,,\":
Colisión perfectamente ¡nelástlca en una dimensión
Este resultado combinado con la conscrvnc ión del momel110 no!> du Coli~ión
perfectamente inelástic:1entre dos coches.
&.6 Colisiones
EJEMPLO 8.13
I
I
l a caza de un libro de física durante un paseo espacial
Ulln IIstnuumlU dl' nul.<¡U 60 kg da un post.... l'SI)lIcI.IIllmrB rt!purur UIl Süléllle de comulllcnclun~. 1ft, pronto "".'ccsllu ('tms ullar su IIhro de " slca. Un compuñero de l'(IUlpo se lo lun1.n con 111111 \'clodd ud d e " mIs rt!batlva lit \'chfculo cspüdul. Ella se. encucnlril I;!n reposo rt!llIlivo res¡)Cdfl 111 ,'c hícul,o l'Sp llcll1l justu unles de 111l"ülmr cllihro, d e IIUL.'iiI 3.0 kg (fi g UfU 8.29). l>etc rmi. n¡ir tal 1u \'c1OC1dud de la lL'itrOnlluta ju...tu dcspué..o; de utrltpKr clllbro, (b) la cllcrgfll mecánica ¡nieill! ~ fhull del slstcmallhro-aslronHuln y le) el impulso cjl!rcldll pur el libro sobre hl ItslronIllItu.
60 "
Planteami e nto del problema (a) La vclociduJ Ol1ul dcl libro y l:lal\lronUUla es In velocidud del ~'CntrO de 1ll:\S:IS, Panl su cálculo utili1.umo:. In conservación del mOmento IiI1l:al, cxpresuda por la ~'u aci6n 8.2~ , Las energías cinética.' inicial y final \C calculan u purtir de las velocidade ~ inicial y
Figura 8,29
. ,1. ComO ~I ¡¡n,
libro }' la astrouuula :.e mlH!VCn con la mbmu veJocidud finul , la colisión es perfcCUl' l.:nlo! llleJ:hticu, (h) Las energías mccánicm. dcll ihro y In aSlronuula se calculan directamente a par· ~ Ik ~U' lIIu:.ns y \'eJocidudcs, (e) El impu lso ejercido por el libro sobre la astfOfI(lutu es igual al Ihill de momento !inenl de 111 astronauta,
1, Utilitar la conservación del momento lincal para relacionar In velocidad !lnal del sistema, "ero' con Ins velocidades iniciales: IIIIVI + 111. 1'. 11/1 + 111 .
= (3,0 kg )( 4 mi,) +0 = 10. 19m/, 1 6Okg+3kg
(.
La energía mecánica inicial del sistema libro· astronauta es la energía cinética del libro:
2. La energía cinética fina l es la energía cinética del libro y la astro· nuuta moviéndose conjuntamente a vcm : (e) Igualar el impulso ejercido sobre la astronauta con la variación del momento lineal de la misma:
' , E,. = E(, = :;lIIlvr
-
_ §(3.0 kg)(4 mlS)2
=124JI
E~ , = ~( m l + 1I1.)V;m
-
= §(63 kg)(O, 19 mlsF
1 - 6.P. = /11 .6.1'.
_ (60kg)(0.19m1,-0) = IIAkg. m/s=11IAN
Observació n
La mayor parte de la energía cinética inicial de estc proceso
=0 's l
se,pic~e en fonna, de
calor, El impulso ejercido por el libro sobre la astronauta es igual y ~puesto al ejercido por la as ro· nauta sobre el libro, de tal modo que la variación total del momento hneal es cero.
• cm . él·1c·' E e d t;'" una partícula en función de su Con frecuencia es útil expresar la cnergm . momento hncal p, Para una masa m que se mueve con velocidad v, tenemos <-O
,
_ !", v1
(mv) 2
2m
Como ¡J = mI',
p'
(8.25)
2m
.Esta expresión . . r ., lit.! inclástico cuando un objeto está puede aplicarse él un choque per ectamCl . ' 'd . ,. . s e l del objeto lOel ente. Inicialmente en reposo, El momento lineal del slstenUl e,
•
P~i~1 == PII = """11
La energía cinética inicial es
P~~1 2m l
(8.26)
63 kg
22 1
222
I
Ca pítulo 8 Siste mas de partículas y conservación del mo mento lineal s obiclOS se mueven unidos como una sola masa 11/ 1 + 11/2 COn Vel-Después de l eI1O<¡UC . I0 , J . l' I fi . '" se conserva de modo que el momento Inca In al C~ Igual a p dad \ '~m' El momento I1' nc,tl ( • ,
La energía cinética final es. Por lo tanto.
E
P~st
_
el -
{s.!:
2(m¡ + 1112)
Y 8?7 ._ .- . vemos que la energía - cinética hnal es mcnor m. ''''' .., ea mparando Ias ecuac,'o'lc,8'6 inicia l.
EJEMPLO 8.14
I
El péndulo balístico
I
En una prueba pÍlblico de puntcríl1, una personu dis¡mru una bulu sobre UII bloque de modera s uspendido. El bloque. con el proyectil en su seno, osci]¡J COIIIO un péndulo hnciUlIrriba. A partir de la ullurn alcunzudll por es te péndulo. se informll inmediatamente al público de la velocidad de la bul1l. ¿A (Iué \'clocidad iba la bala'!
fo
j I
//JI
Planteamiento del problema La \'clocidad in ic ial de la bala I'Ji está relacionada con la vcloci· dad del sistema bala·bloque. I·f. justo después del choque inel6.stico. por la conservación del momentO lineal. La velocidad 1' ( está re13cionada con la altur.¡ " por la conservación de la energía mecánica (fig ura 8.30). Sen m I In masa de la bala y 1//1 la masa del blanco.
::>.-
m,
-
._
.........
•
..... . ....... ,
'r
Figura 8 .30
1. Uliliz:.lr la conSCJ'\'ación de la energía mecánica despllés del choque para detenninar I'( en función de la altura máx ima 1/: 2. Utili7.nr la conservación del momento lineal d/frall1e el choque p:lra determinar Vii en función de
/l/11 'ti
=
( 1111 +1II ~) I'f
1'(:
3. Despejar \'r de la ecuación del p:lSO 1 y suslÍtuirla en el resultado del paso 2 pnra delem\inar 1"1:
I'r = J 2gh por lo (:\mo
I'n
111 1 + "' ~
11/ 1
+ 111->
= ""':::--" I'r = ""':::-"'" 111 1 11/ I
-1
'1811
Observación Hemos supuesto que el ,iempo de l"olisión es 1:/11 corto que el desplazamiento del bloque durallle el choque es despreciable. Esto quien! decir que el bloque ad perfccHlmentc inel:btica. detcmlinar (a) la \'elocidad de elldn coche des. pul!!) dc la t'oli~ i ón y (h) la rcltlci6n entre la:. energím; cinética!. Hnal c inicial dcl 1>htcma, ( R('S/JIII':rtllf (ti) 14.3 mis. (h) 057 ,)
EJEMPLO 8.15
I
Colisión con una caja va cía
¡INTfNTELO USTED MISMO!
RCI)t!tlr cll'jClllplo 8.14 utilizando UII:1 euja ,,¡¡dn COII\O hllll\('(I, Lit hall! chocll cuntrl! d blllllC(¡ )' lo nlnwic..'Ull'OlIIplctlUnclllc. Un db¡lOSilim IJÍser ind icll (lile In hnln ('1lI(>rJ,:(' ('nn lI!lll \'cloddud l~uHI n In milud lid \'11101' Inicial , Con es tns dutos es JlO~ihlc deducir 111 nlturu IIlclln ....lI(lu I)o r d hhml·o. ¡,Cuánh) \llle CSIII nlturu ? Planteamiento de l problema 1...1 :tl¡ur.l h c<;lá relacionada con la \eloc/l,lad dc In clljn dc~pué!. dd ..:hO\llIc. \'). p')r el prin~'ip/{\ de con-.el'WlciÓII de la enel'gl3 m(>dnicll (hgura R_3 1J. I· ..ttl \c!rocidod pu\."tic do.'! tcnmnal"\e 1Il('(h:1ntc:' d pnndplo dt enn..cnaclón del momento lineal
, , , , ,
Figura 8 .31
8.6
ColI~¡oncs
I
223
Topt lo columna de 'o dertteho e Intfmte resolverlo usted mismo PIISOS
Respue~tM
de la encrg(:I mec:íniclI rel",·· 1. 1~kdiJn le 13 ¡,;ol1\ervndÓII , . ... ,o,I ar Iti ti Itur-.t finll h con lu vclocld,uJ I'! Je Iu eUJ:1dCc;pues dc lal'oli sión,
m'N}, •
2 \leJi.mtc 1;1 cOI1\cn'ul'i~1l del momcruo C,,"prc\ur una ecuneión que rtl;l.:ione 1'1l'\lll lu vdOCldnd po~ t -co l i¡;i 6n I ·~.
m,\'
lm_1
3. 8uuimlr 1'2 y dc:.¡>ejur 11.
El dl(xlut! entre 111 11nlu y la caja es un chOcro no un e lOqUC perfec_ nte: tnthbUlO porquc dc:;pué~ eh:: lu coh~lón los doc; obJctus 110 v.. "" l" "~"~o " I 'd I . ' . ' u u, :;t 11 vc oc. 11( veclO. Io. ..:uand o un nal. l ~ colisiones 111t.l lásuciL'¡ tnmblén (")CUI'n:Il en sistcma:. microer-óp' ..... ,eos. Por cJcmp c]a.if\' ~hlX:!l COnlrll UI~ átomo. ;¡ \'cc~!, é~lc Se excita pnsundo u un estlldo energét ico interno má~ c:Ie\ En conSCCUenl'l!I, tu cnergfll eméllcu total del :lto mo y el clecl rón cs menor dcspués de In rolh
s e lásticas en una dimensión En las colisiones elásticas. las energías dnétt. nicial)' fi nal son iguales. En el mundo macroscópico las colisiones elásti cas son cual la realidad puede aprox imarse. pero nunca pueden llegar a darse. Si una un ¡de :-oobre una superficie de cemento y rebota hasta su altura inicial. la colisión entre la pelOla bola) .emento es elástica. Pero esto no se ha observado nunca. A esca la microscópica las elásticas son más comunes. Por ejemplo. las col isiones entre las moléculas de aire col i~ i 0 . son SI¡; l'l e elásticas. En todas las coli siones elásticas tenemos: COli5.
(8.28)
Esta ecuación. junto con la correspondiente a la conservación del momento lineu l (ecuación 8.23), e.. suficien te para determinar las velocidades finales de los dos objetos. Sin embargo. la naturaleza cuadrática de la ecuación 8.28 complica frecuentemente la solución de un problema de colisión elástic
Olea
(8.29)
De la t'onscrvación del moment o lineal. sabelllos que de modo que (8.30) D" . I\ldlendo ahora la ec uación 8.29 por la 8.30 r~sult:l 1'21+ \'21= 1'1 1+ I'lf
1ft modo que
\'u- \'Ir = -(I'll - I'h)
(8.3 1)
VfLOC.OAOU AHATlVAS EN UNA COUSIÓN ELÁSlICA
Una bala a 850 mis choca ioclá.~t Íl.'amenle con unll maozanll, In cual instantes má.s tarde se desíntegra complClllmente. El tiempo tk exposici6n ~ menor que una millonésima de !.egundo.
224
I
Cltpftulo 8 Sistemas de pnrtícuhu y comervaclón del momento lineal \' 1r
Figura 8 .32 Apro:\inmción y rt:ll'OCew en una coli..i6n dli.. ti{-a..:n unu dimell ~¡ón .
Si los objctO:;' van a chocar. \/2. - \'h debe ser ncgativ~ (figura 8.32) y su velocid:ld de apf'1llies \'21- \'1" (E.\1~' macl'6 n e~ - ( \'11 - Vii ) • Dc'.~ plló'. del chOCluC• la vcloc ldud • d e rct r OCc.'W • ,,~U\ térmi nos indican el mód ul o de la velocidad de un objeto en relaCión al Otro,) La ecllaci6¡
8.3 1 estab lece que En las colisiones clá:aicas. el módu lo de la vclocid'ld de relfOCCSO es igual a la velocidad de
" aprox .lmuclon.
NOnlmlmente la resolución de problemas de choque elástico es más simple utiliWndo la ecuación 8.3 1 CI1 Jugar de la 8.28. No obstante. debemos recordar que la ecuación 8.3 1 ~ de la conservación de la energía y, por lo tunto, sólo puede aplicarse a lac; colisiones elástiC'a.\.,
EJEMPLO 8.16
I
Colisión elástica entre dos bloq ues
Un blO
6 mIs
Plantea miento del problema La conservación del momento (ecuación 8.18) y la conservación de In energía (expresada como una inversión de las velocidades relalivas, ecuución 8.24) ofrecen dos ecuaciones para las dos velocidudes fina les incógnitas. El subíndice I representa el bloque de 4 kg Y ell>ubíndice 2 cl bloque de 2 kg.
Figura 8.33
1. Aplicar la conservación del momento y simplificar hasta encontrar una
ecuación que relacione las dos velocidades finales:
(4 kg)" 1r + (2 kg)vu = (4 kg )( 6 miS) + (2 kg)(3 mI:.)
por lo tanlO 2\'lf +
I'H
2. Lu igualdad de las energías cinéticas inicinl y fi nal proporciona una segunda relación entre las dos velocidades fin ales, Esta igualdad se malerialií'.:l igualando las velocidades de recesión y de. aproximación: 3, Reslar el resullado del paso 2 del resullado del paso 1 y despej ar "Ir:
= 15 mIs
= - (3 m/s-6 mIs) = 3 mis 2\11f + 1'11 = 12 mIs
por lo I:mto 1'.,
4. Sustituir en el resultado dcl paso 2 y despejar
1'2(
=14mIs I
v2r - 4 mIs
= 3 mIs
de donde \/u
Comprobar e l resultado
=17II\/s 1
Como comprobación, calculemos las energfas ci néticlls inicial)' Hnal :
E = ;( 4 kg)(6m/s)'+ j(2 kg)(3 mis)' = 72 J +9 J =8 1 Jo
"
E
"
-
; (4 kg)(4 m/s )' + ; (2 kg )(7 mis)' = 32 J + 49 J = 8 1 J = E,.,
EJEMPLO 8.17
I
Co lisión elástica entre un neutrón y un núcleo
Un ncutrón de Illasa m" y ve locidad V"I chocll elá."lkllmente con un núcleo de ca rbono de mU.'In me en reposo (lilturn 8.34). (a) J.Cuále.<;¡ son las \'cIOt.'idadcs anules de amblL'I IJllrt ícullls? (h) J. Qué rnu:ciónJ de Sil cncrltíll pierde el neutrón'! Planteamiento del proble ma l..fi conscrv:lci6n del momento y co n ~cr... nci 11 de la cllergfn nos pcnnitcn tletemlinl'lr la... velocidades fina l e~. Como It. energía in icial del núcleo de carbono Cl' cero, su energía final e~ igual ti In energía perdidu por el neu tron,
Neutró n
"no
Figura 8.34
8.6 Colisiones
I
22S
1 La ~'í)n ..ervud6n tkl momento nu\ ofrece unu rcluci6n " (a) . \dllCiom.lc!> ¡¡nnle .. : p. ro lit,
l.u i~un l dnd de In.~ elll:rg{u1> ci n él i cu ~ inicial 2" 6
y",11 •.,1 1 proporclllnn
\ 'C . - I' .. r
mO¡;]('ln:
Ver
tl'ld se l1I:1tcnuhl.tl Iguulando )¡I ~ \ c l oc idndc~' de rete SI'6 11 Y IIprox!. • : .
elimillllr 1'('(' despejar esta muyni lud en el p,.. ' .., o 2 y MIS,"llU l r 1Il l • ('¡¡ni en d p:I~O 1: 4.
= -(I'C,-l'ftl):;;I por 10 IILnto
un n segund., .re lncl ' r.' .• ' . . n emrc In.. d o~ \'CIOCidnde.. fin. l C~, L..\t.llguul_
oe,pejnr
II/ nl'",
I'ftl
:;;1
+ I' nl
mO 1'_, '+ mC (l'" , +,l',f ) u
(ObsérVése que ¡'nI C.. negm ivll. El neulrón /11 es del ucho hnc\B ntrn!' por el mkleo de c:lrbo l1o lile. más IIlnsi ... o~) \'nl:
5. su.. timir el resultado de l paso 4 en el res ultado del pnso 3 y dcspe-
ver
¡.Ir \'0 '
1,1colisión (b) 1
C!>
...., llar con los resultados del p'ISO 5 del apartado (a) el cociellle de \e10cidudes y sustituir en el resuhado del paso I del apartado (b),
mc - m :;;1
1'''1 -
m" +
" I'ni lil e
:;;1
'. -E, E
c lástkn. por lo que In cl1crgfu ci nética pe rd ida por
d m:ulron c\ la cncrgfn ci nética fin al dc1núclco de carbón:
•
=
O+I'ni
•
4"'a1ll C
f
( //I R+ mcJl
:rminnndo la pérdida fmecional de energía del neutrón. Qbsc e" la
Una aplicación importante de la transferencia de energía en las colisiones elásticas lerución de los neutrones en un reactor nuclear. En lu fis ión de un núcleo de umnio se emit~ I"(lne.s de aha energía. Para que estos neutrones provoquen la lisión de otro núcleo de ura· nlO. ' "ia debe reducirse. es decir. deben ser frenados o '" modcrndos". Un mecanismo pam reuli!M e ,.ceso es la dispersión elástica de los neutrones con los núcleos en el reactor. La pérdidu flk('l e energía. f = -8Ec.IE~. depende de la relación entre la masa del núcleo modemdor y \.l del Iln. coma se indica en la ligum 8.35. Para el uranio I1IU 235 IIIn Yf = 0.0 17 = 1.7%. Pura el cJ.!'h. '. /l/e - 12 mn y f = 0.28 =28%; pam el deuterio mD'" 2 mn y J ... 0,89 =89%: para el hidrógeno. mH tn n Yf = 1 = 100%. Por ello. para frenar los neutrones. de modo que puedan ser c¡¡ptumdos por los núcleos de uranio, se utilizan en el reactor moderadores de grafito o agua. Ejercicio [)cmosu-ar que en una colisiÓn elástica frontal entre un objeto en movimiento y otro p:trado. ambo!> de la misma masa. la pérdidu fraccional de energía cinética es uno. y que la velocidad fillll del objeto inicialmente estacionario iguala la velocidad iniciul del objeto que. antes del choque. ~ en movimiento. Ejercicio Un bloque de 1 kg que se mueve a 3 mis realiza un choque elástico con otro bloque dt: -1 kg en reposo. (a) ¿Cuál es la energía cinética original? (b) ¿Cuánta energía se tmnsfiere al bloque de 4 kg? (Rerpuesta.f (a) 9 J, eb) 8 J.} on
t:;
I.m; resultados del ejemplo 8. 17 para las veloc idades fi nales de una partícu la inc idente al
cOOcar COn una segunda partícula in icial men te en reposo tienen otras aplicaciones. ~a velocidad fi nal de la partíc ula incidente I' U Y la de la partJcula estacionaria \'!(CSlán relaCIOnadas con la velocidad inicia l de la partícu la incidcnte por (8.32n) y 211/1
I' U
t¡ = _::'::l._\, 1II
II/t+
(8.32b)
2
eIJando un objeto muy masivo (por ejc mplo. la bola de unn balen¡) choca con un o b'~e.to li-.-.ro gro; '" ~
b' . o no <;c afecta esenCialmente poso (por ejemplo una "'''lota de ping-pong). e l o ~eto nUlStV ~ I , ,,. ' ción es l' St. eI ob'~eto "'" e choque. Antc" de la colisión la velocidad relauva de aprox llnn . 11' • ~i\" . . 'd d d pués del choque la velOCIdad o COntinua c,<;encialmente con In mi sl11u vcloc! a VIi es .
LO •o 0.9 .2 u 0.8 u • 0.7 •• 0.0
~
Ejemplo 8.1 7
E' 0.5 o
• ••
DA
0.3 0.2 ••"E 0.1
"•
" ~
00
2
6
S
10
12
\.¡
111 / 1111
Figura 8.35 Pérdida de em:rgfn tbccional en función de la relación de las dos masas. L:t pérdido máxima de energía tiene lugar cuando m, = "';'
226
I
Capítulo 8
Srstcml1~ de partículas y conservación dcllllomento IIncal I)'lnl tille la ve locidad de retroceso igual a la velacid,..¡ .L del objeto pequel o e , - 11 ' . . 32 ' . "" -.: . '6 c'sIe re~ululdo se obricne uunbléll de las ccuaClOne .. 8. a> 8.32b "llcne~
.C
fI I
oe e en
ñ d be
En general. un choque C~ una situaci6n intcnncdia en"
te de restitución
'dad iat¡VII"o ' 'mV .lcnen y eh."..ut 'sI' , eo " 1' el que la. .. velocl es re <;e . '" . • ~ • ' ''''lile Ios caM'~ extremo:. de eh"'lue el
e
\1 m
-
-
l'2f - 1' lf
18.)J,
1'21- V II
DEFINICIÓN -COEF ICIENTE DE ~
En una coli sión c!(LllticH, e = 1; en una colisión perfectal1lcnl c ¡nelástica. e = O.
Colisiones en tres dimensiones Colisiones perfectamente ¡nelásticas en tres dimensiones Para choques e¡¡ tres di mcnsiones, el mome nto inicial lotal se obtienc sumando los vectores momento inicia] de cada objeto implicado en la colisión. Como los objetos se quedan enganchados} el momenlo se conserva. tenemos mi l \' Ii + m21v2i = (m ] + m.yv f· Por eSta relación sabe mosq~ los tres veClores velocidad, y la colisión, están en el mismo plano. También , a partir de la definición de centro de masas sabemos que vr = vcm'
EJEMPLO 8.18
1
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
(olisión entre un coche y un camión
Un coch e pequeño de 1200 kg circula hacia el este cuando choca en una intersección con un cam ión de 3000 kg que circula en dirección norte a 40 km/h, como indica la fi gura 8.36. E l coche y el cnmión se acoplan como un solo cuerpo a consccuencia d el cl!oclue. E l condu ctor del camión esgrime que el conductor del coche es el culpable de la colisión ya que ibn u una \'elocidad superio r a la pe rmitida. El conductor del coche busca evidencias parll d esmontar el argumcnto del camionero. En I)rimer lugar , no hay marcas de frenado , indicando que ninguno de los dos condu ctores se apercibió d e la posihilidad de la colisión y frenó. E n segundo lugar, huy una señal que limita la velocidad a 80 km/h. En tercer lugur el velocímetro d el camión d espués del cho(IUe se atrancó y In agujn marcaba 50 km/h , y en cunrlO lugur, los r estos del choque se d csparrllmaron en la dirección nordeste con un ángulo superior" 59". ¿EsIIIS evidencias, dnn soportc IIll1rgumcnto dc (Iue el conductor del coche no iba 11 mm \'clocidud s uperior a la pero mitida en el mOfllento del choqu e?
•
=
Planteamiento del problema Elcgimos un sistema de coordenadas lal quc inicialmcnte el coche se dcspla.w cn lu dirección +x y el cumión en la dirección +) (figura 8.37). A cominuación expresamos el momento de cada objeto en forma vectorial y aplicamos el principio de conSCI"\'ución del momcnto .
I ".
• E
•
• •
,.,
Figura 8.36
1. Escribir In<; ccuucionc<' dc In conscrvllc i6n del momento en furma vcclorial en fun ción de IlIs masa" y de la" velocidade<;:
..
2. Igualtlr la componente.l' del momento inicial con la componente x dcl
,
momento finul:
1m
3. 19ualllr la componente y del momento inicial con la componente ), del
.,
momento tinnl:
4. Eliminar
dividiendo la ccuución pam 111 componenle y por la ecua· ción pnra 111 componente x obtenidu!> en los pa~o~ ameriore<;: \'¡
11:,
8
-
•
1
por lo tanlO
,., -
111 11',
m ~ tg
8
_ (3000 kg) (50 kmlh)
(1200 kg) Ig59° = 175.1 kmlh l
Figura 8.37
8.6 Colisiones
5. ¡.Se ... u ~ tcntlll1 lo... urgumtll\o~ del conductor dd camión refeTCmC\ :t la ,-c!ocidnd del cochc'!
La \'clocidlld
I
227
dc 75, 1 kmlh es inferior a lo!'. 80 kmlh permitido'!'. por lo
tamo dc ... pué ~ de aplicar argumenlo~ dc
f{~ica "crnos como el conductor
del camión no esgrimfa un argumento correcto.
Observación
En un juicio estos [.rgull1ento\tcndrfa que pre~cnturlo:. un perito judicial cxpcno.
·Collslones elásticas en tres dimensiones Los chO
E~
=
11I ,
"'i = III 1V l f +11I2 VU
.ta ecuación vemos que el vector v2f debe encont rarse en el piona formado por VII y " ,r. ql' parlir de ahora denomi naremos plano x)'. Suponiendo conocida la velocidad inicial " 11 t(' fa quedan cunlI'O incógnitas: las componentes x e)' de cada velocidad fina l: o alternati · \ 'nte. los m6dulos de las dos velocidades fi nales y los dos ángulos de desviación. L1S co ponentes x e)' de la ecuación de conservaci6n de la cantidad de movimiento nos dan dos dt: 'aS relaciones necesarias entre estas inc6gnitas. La conservaci6n de la energía nos da una ter:era relación. Para obtener el valor de las cuatro incógnitas, es necesario una cuarta rela· ción. Esta cuarta relac i6n depende del parámetro de impacto b y del tipo de ruerza de ime· meci6n ejercido por los cuerpos entre sí. En lo práctica, la cuarta relaci6n se obtiene normalmen te midiendo el ángulo de desviación O el ángu lo de retroceso. Esta medida puede proporcionamos in fonnación respecto a la fuerLa de interacción de los cuerpos. Considérese el caso especial e interesante de un choque elástico no rrontal entre dos objelos de igual masa cuando uno de ellos se encuenlro inicialmente en reposo (figura 8.39(1). Si " Ii Y v , r son las velocidades inicial y fin al del objeto I respeclivamente y V2f es In veloc idad final del objeto 2. la conservoci 6n de la cantidad de movi miento nos dice
m,
0 ......;·.:"-·,--.-
Figura 8 .38 Choque no fromal. L1S vclocidades fin nles dependen del parámetro de impacto b y del ti po de fuerza ejercida por un objeto sobre Olro.
Antes de choque
Después de choque
' or
(al
", •
(bl
Figura 8.39 ((1) Choque elá.\lico no fromal entre dos esferas de igual mas.1 euando una de las e¡,feras se encuentra inici.11menlc en reposo. Después del choque, las esreras se muc"en fonnando entre sr un ángulo "-"'etll. eh) Lo~ \'ttlOI'\!..'i \c1ocidad correspondientes .1 CSle choquc fomllln un uiángulo rectángulo.
FOlografias con destellos múlliple!- de un choque c]¡1..... ico no rrontal de do!> boln!< de m n~a,!, igualc'" Lt'l bolll con un pumo incide desde In ilquierdo ~ choca contra la bola con royal- que C\,ti inicitllmenle en repo\o. L..1 ~ \cloc id udc~ li nale' de In:. dlh oola\ ~on perpendiculure .. entre ¡,o í.
228
I
Cnpftulo 8
Slstcmn~ de partfeulas y conservacl6n del momento Unenl o
Los vCela re'" veloc idud fi nal se su man fOnlumdo el tri ángulo que se indica en lo figura 8.J9b. La conservación de la energía correspondie nte a e,.<;te choque es I
~
-2I1n ' -, I -
I
.,
I~
;¡_ tJl\' ir + ;¡ I1I\'~ f ~
o
(8.34)
L¡¡ ecullción 8.34 eS clteorema de Pitágoras para un tri ángu lo rectángulo formado por los vectores v1(. v 2f y V I;' sie ndo V II la hipotenusa del triángul o. Por lo tanto. los vectores veloci. dad fina l son perpe ndi cu lares entre sí, como indica la fi gura 8.39b.
ChO
nRrio en lu cúmam. LlI~ dO!. partículns se mueven fonnundo un :1ngulo recto después del choque. La ligera CUf\':ltun\ de lus tra/,llS se debe a un campo magnético.
* 8. 7
Sistema de referencia del centro de masas •
Sistema de referencia original 11/ [
Of--'~''- -...~
l ' cm
2
•
cm
Sistema de referencia del centro de masas
n,
•
cm
(b¡
Como hemos visto. la velocidad del cen tro de masas permanece invariable cuando la fuerza. resu ltante externa que actúa sobre el sistema es nul a. A veces es conveniente elegir un sÍ}. tema de coordenadas con el origen en el ce ntro de masas. Entonces. con respecto ni !>istenu de coordenadas original. este sistema de coordenadas se mueve con una \'elocidad const3J11t v e,,,. Este sistema recibe el nombre de sislema de r eferencia del ce ntro de m alO:t'i. Si UDl part ícu la tiene la veloc idad v e n el sistema de referencia original. su velocidad :Inti\'il al centro de masas es u = v - "cm' En el sistema del centro de masas. la velocidad d 'I!ntro de masas es cero. Como el momento li nea l total del sistema es igual al producto de n ~ 10lll.I por la velocidad del centro de masas. el momento lineal lotal tambié n es cero ~istern:l de referencia del ce ntro de masa~. Por ello se llama también sistenlil de re 'lcill del momento lineal ce ro. El aná lisis matemático de las co li siones se simplifica e norme me nte cuando :~i deron en el siste ma de referencia del centro de masas . Los momentos li neal es de lo objetos incidentes son iguales y opuCStos . Después de una colis ión perfec tame nte ir iC3. 1(1) objetos permanecen en reposo. Toda la e nergía original se pierde e n forma d cgía 1&' mica. Una colisión perfectamente elástica e n una dimensión invierte la velt'k..' de clIlll objeto. pero no cambia su módulo (este hecho se deduce en el problema 8./0/ Consideremos por eje mpl o. un siste ma simple de dos pan íclI lru; en un sislelll. rderen· cia. en el clIallllla partícula de masa 111 1 se mueve con ulla ve loc idad \' r Y una se. Ja p31IÍ. cu la de masa 1112 se Illueve con una velocidad \'2 ( fig Ur.:1 8.-10). En este sistema .'locidJd del centro de musas es
Fig ura 8.40 (a l Dos partrculas M! mueven en un
_ "'I V I +111 1 \' 2
sistcnl!l de re fercncill general en el cual el centro de mllsa~ tiene ulla velocidnd v,•. (h) Las dos panículas
\ ' CnI
"' 1+ 111 2
del apanado :UlIcrior " ¡' 1m, dc!>dc un ~is tcma de refcrendu para el cual e l centro de nlll ~as está en reposo.
Pan¡ trasformar las \/eloc idadc), de 1m: dos pllrt ícul as a sus vc loc iducles en el ),iSlel1l;¡ de reit'· reneia del centro de musas. bas ta restar " cm ' L¿¡s velocidades de Ins pnrt(cula:-. en el ~i~telll3 centro de rnasns son u 1 Y u 2' cJndns por " ,= \' I - \' CU! y 11., •
=
Y, _ y •
CnI
Como el mOlllcnto linenllora l !!!> cero en el .;.i!)tClll •" del C'en , ro d e m a:-':I:-'. i11), p.:lnt¡;U · 1", . ,,,"'" . momento... Igualco;, y opue<;tos en C.... lc :-.ish:nm.
I
8.7 Sistema de referencia del (entro de masas
EJEMPLO 8,19
I
229
Colisión elástica de dos bloques
t)elcrm1nar las \'elocidades finales de los bloques de la colisión elá'it1ca del ejemplo 8,16 (en dond{' un bloque dc 4 kg que se mueve huela la derecha a 6 mis choca clá.'itlcamenlc con un bloque de 2 kg que se mue\'c tamhlén hacia lu den.'Cha 11 3 mis) trllllsfornlllndo prevlllmente sus \"tlocida.dcs al sistema de referencia del centro de mll.lj9s,
Planteamiento del problema Paro pasar al sistema centro de masas, determinamos en primer • l ' Y lo rcstmnos de cuda velocidad. Resolvemos a cominuución el choque invirtiendo las 1U¡¡UInn " 1 n:locidndes Y trunsfonnan dd o e nuc\'o al Sl' stel1l11 c'lngllla ,
1. Cnlcular la velocidad del centro de musas.
I'('m
-
I'cm (figuro 8,41):
-
f1I l v ll +ml
l'li
Condiciones ¡niciales
1/1 1 + 1112
l'mI
(4 kg)(6 mis) + (2 k8)(3 mis)
= 5 mfs
4 kg+2 kg
- 5 mis
3 mis
6 mIs
Figura 8.41
,dnsfomtar las velocidades iniciales al ,tcma de referencia del centro de masas. ',mndo \'cm de las velocidades iniciales :igura 8,42):
Transformar al sistema del centro de masas restando I'~
- 6 mls- j mIs = I mIs
I'em
- 3 mis - 5 mis = -2 mis
=O
• cm
Figura 8.42
3. Resolver la colisión en el sistema de referencia del centro de masas invirtiendo la velocidad de cada objeto (figura 8.43):
l/ Ir
=
- U ll
= - 1 mis
Resolver la colisión
"". = -11..,·., = + 2 mis
I'cm
=O
• cm
2 mI~
1 ;:,
Figura 8.43
4. Para dctenninar las velocidades linales en
el sistema original. sumar "cln a cada velocidad final (figura 8,44):
I'I(
=
" 1(+ v at1
= - 1 mis + 5 mis " 2(
= lI ~f + " cm = 2 mis + 5 mIs
=14 mis I
Volver al sistema original sumando 1'1;'tI1 I'cm = 5 m I,
=17 mIs I 4 m/s
Figura 8.44
Observación
" Esle resultndo cOincide con e 1o b' teOl'do en el ejemplo 8. 16.
de!.pués del choque el¡ cero en el sistcma de Ejercicio (kmostrar que el momentO lincal {oml tlnle,.:,. ~. . p = (4 kg)(1 mIs) + (lkg)(- 2 m/~) = O: rtrermcia del ttntro de mUSDs, (Re!>pllt!.ft(l Anle.... de la coliSIón. >ut ¡ O ) de!pu& de- la coli ..¡ón: P,I\! r = (4 kg ) x (- 1 mi!',) + ('• kg)(?- mis ) = .
7 mIs
230
I
ClIph ulo 8 Sistemas de pnrtfculas y conservació n del momento IIncal
*s.s 1i ~ II1jl(J /
ó"'>__ ,
1'i~mpo f
+ llM
. + óv
• • •
• • •
Fig ura 8.45 Un objeto de masa M que se mueve :1 velocidad ,' experimenta colisiones perfectamente ineslásticns con las partículas de un chorro Conti nuo que se mueven n velocidad u,
masa variable: la propulsión de los de Sistemas cohetes
, ,nn'e y creat ivo en In resolución de1 problema" _ ....... Un aspecto muy IInpor . _de . fi"it il eon\I\I( En e"W. secCión c-.:p ommo espccl,ficnr udecull d',tillen 'e el "i"lema. . . . \ ItUllelone\ en que el , 1ero nlOS, cambia su ma"''' amcnte. Un de uno de el' 0\ 1\ lema que consle . conllnu ' l ejemplo ' fomludo 1Iv., ~, mas es 11 11 co 1ll! c. El' c' .ste ca"o - se ehge el ~ I "tema como e conjunto . '" 01 ~ ; e'1 COI1l bus,'ble I>or u<;nr. Cuando "I 'I"C •'I ú n e<;u1 mus . . . el com bu~ t l b le \C Ulili la. 1.... ..., ga.\t\ expelen fuera de lu nave y IlI l1lasa del si!o.lcma dlsmlllu.ye. . t Ouo ejemplo de ¡, istcm a~ ~e m¡¡\ u vari~~blc lo const Ituye un a"lerolde que pa.\!t a tra\'é\de los restos de In erupción erlll udos al espacIo por u~ volcá n de la luna de JUPllcr. 10 . E ficumos que cn el tiempo t el !.iSlcmfl sea el asteroldc. má .. los rl.!SlOS acumulados en ~~ los que se IIcumulurán entre el tiempo t y e~ ticmpo r + flr. A medi da que <¡e acumUlan;:: de la erupción en el asteroide, la masa d.el SIstema aumenta. Pa~a rc).,ol v~r problemas de e~ cHnlctcrísti clts aplicllmos el t eore~a. Imp ul so-momcnto dur,lIltc un Inlervalo de liemp¡ pequeño D.l y después lornumOS el lt mllc l!.r ~ O. Consideremos la siguiente deducción de la segunda ley de Ncwton pam objetos ' d e matena " conlmuo que se mllele CU¡, masa vuríu conti nuamente. Supongamos que un OuJo velocidad u choca con un objeto de musa M. que se mueve ~on velocidad v (fitlura 8.~Sl~ masa de las partícul as que chocan con el objeto durante el lIem po l!.r es D.M, y eqas PaItiaJ. las se quedan enganchadas con el objeto aumentando su masa llM en un tiempo &. Duras: este tiempo Lll la velocidad v cambia l!.v. En el liempo r defin imos que el sistema es el obp (incluyendo loda la masa que ha chocado sobre él en tiempos anteriores a 1) má~ lOOa b materia que choca con el objeto durante el tiempo comprendido entre I y 1 +~. AplicanOOd teorema impu lso- momento a este sistema se obtiene,
en donde el primer término (en corchetes) es el momento en el tiempo t término en corchetes es el momento en el riempo l. La reorgan izaci6n de ecuación an teri or conduce a
tcrminos de b
(en donde la. f~e~za externa neta F'netue.>:t incluye la fuerza grav itatori a y un. contacto). DIVidIendo la ecuación 8.36 por fl l se ll ega a
Ss fuerzM!i
F nelnC>(1
y , 1seguo>
~ M ~:f + ~/ (V _ U) +~~ 6 V
y si. se toma el lími te cuando D.I ~ O (que a su vez signi fica lanto llM ~ () l obtIene ti\'
= M di
-
dM dI ( u - v) +O
expresión que si se arreglo queda
F
nelQe.-
+tlM
' jtl _ \' I \' r'el -- /1({ dI
SEGUNDA lEY DE N EWTON EN SISTEMAS DE MAS'< \'~
~ U- Ves lu velocidad de tiA . (dMldr)\'rel' Ja ccuoción 8 37 . 1 relaliva n M . Nóte\e que e~cepto p;\fU C'ltcflll . es precl",amc ntc la segun . d a 1ey de Nc\\ 10 11 ~ I m un \1" [('n),l1O masa ConStante.
en donde
\ 'rel
8,8 Sbtemns de mnsa variable: la propulsión de los cohetes
EJEM PLO 8,20
I
I
23 1
l a cuerda que cae
Cna cuerda unifor me de mH.S..II M 3' de longitud L ' ~uí j us to por end n," de una balanza. Se sut!I•• 'asecuer sUldeta numera inrerior a ,'de é.,<¡ta empie'que su extremo ,,,.. fUCr1,1l (111l~ ejerce la balan7.8 sobre la cuerda cuand o h a ca 'Id u la mitad , :tU cuer, o..n.!ternll nar la deUEsta, Planteamie nto del proble m a Se aplicllla ecu'\c'Ó 837 1 ' balanza. En elln ~e ejercen dos fue nas e;(temll~ " la f',I ,~n d' , a u porcIÓn de cuerda que e~t: ,/.3 e n gru\'edlld j' lu fue " l. en' dIn por In bahmza. Lru; \'e1oddade~ con las que lo d' f 1M' nOrlllll eJc!'C1 ¡¡ dependen de la altul1\ desde donde caen. s 1 erentes pOntos de la cuerda choc:m con lo balnnza " o>
1. Se dibuja un ~i!lgrollla de In curda de In cuerda (véase 111 figunl 8.46) junto con un eje ' , , ,y 'ó de coordcnlldas, ' . Se . incluyen In eonfigunlció • n 1IllCUI ItI configunlCI n un tlcmpo arbllrnno po~terior. 2, S.c expresa In eClHlción 8.37 en sus compon ente~. Sea m In mnsu del \,~tC llln (In pnrte de ItI cuerdAen In balunza). Ln velocidnd del sistema c\ cero. pOr lo que (/1'/(/1 = O: Sea dlll la mnslI .de un pequeño segmento de cuerda de longitud dt que .:te durante el,tlcmpo 1/1 sobre la balanza. L.. cuerdn es uniforme, por lo que ItI relllcI6n entre (/m y dC es: \ fultiplicando ambos términos del paso anterior por de/d, y despej:J.ndo para dm/d/
)'
dm = O F0- 1118+-1', d i ". M - =dC L
(/m
t dm =Md -L d,
-",
= -M -L v rd ' d,
dlll
d(/dr es el módulo dc la velocidad del impacto de un segmento. por lo que I 'KI 1 = - d(/(I,. (VKI,. es negativa ya que se ha elegido la dirección positiva del eje y hacia arriba. y la cuerda está cayendo.) Si se sustituye está relación en el resultado del paso 4 se obtiene: 6, Sustituyendo el resultado del paso 5 en el paso 2 y despejando Fo se
-
Fo
=
IIIg +
JH ,
T "iti J
obtien\!:
7. Hasta que un punto de la cuerda loca la balanza, sc mueve con acelera· ci6n constante g. Usando la ccuación 2.23 con 6.)' = -U2 se obtiene:
= 0+ 2(- 8)(- Ll2 ) = gL
8. Sustituyendo el resul tado del paso anterior en el resuhado del paso 6
con /U = MI2 resulta: Observación Cuando la mitad de la cuerda ha caído sobre In balml1,ll. el peso del sistemu (la cuerda que descansa sobre la balanza) es InMg. que corresponde a un tercio de la fuerzu nonnal. Esto significa que F~\.I e.\') = M g (dirigida hacia arriba). Esta es In fuena requerida pare detener el momento de la cuerdu que cae en ese instante. Ejercici o Determinar la fuerla normul ejercida por In balanza sobre la cuerda (tI) JUStO nntes de que el extremo superior de In cuerda llegue a lo balanza y. (b)justo después de que el extremo superior llegue a la balanza. (Res¡meJta
(o) 3Mg. (b) /1..l g)
La propulsión de cohetes es un ejemplo interesante de \a conservación de la cantid:ld de movimiento. Lu masa del cohete cambia conti nuamente a medida que el motor quema combustible y expele los gases resultantes. Consideremos un cohete que J.C mueve e n línea rectrl con una velocidad \' relativa u In Tierra. tal comO se mueStrtl en la figura SA7. Suponiendo que el combustible se quema 11 rit mo constante, en e l tiempo I la maso del cohete e:.: (8.38) M =Mo- Rt en donde Mocs \tI masa inicinl del cohete. L01> gascs se separan del cohetc a unu "elociclnd ~u relativu al cohcte. y el ritlllO con que el cohete con~ume combustible coincide COI.\ In \elocidad con que dismi nuye su masa M. ElegimoS COIllO si!1.terna el cohete y el combusllble no utilizado. Despreciando In resistencia del aire. \a ün ica fuer!'!1 extcrnll que aChín ~obre el
Figura 8 .46 Una cuerda flexible y unifonnc de longitud L 'f masa M cae a partir del reposo sobre la superficie de una bal:lnza.
232
I
Capítulo 8 Siste mas d e pa rtfculas y conservación d el momento lineal
sistema es 111 ruerl..u de In gravedn d . on F nc UI eXI = N/g Y dM/dl = - R. la ecuación 8)7 • \t conviene en la ecunción del cohete:
e
Mg - R u ~1
- Mt!Y. dI
(8.J9, ECUACIÓN DE UN CDHoI.
La magnilud Rue." es la fuerta ejercida sobre el cohete por el gas que e,.
U ~,
(8 A~,
DEFINICiÓN - EMPUIE Df UN
(OHm:
El cohete se mueve hacia arriba. por lo que se elige esta dirección como la positiva del eje .i, con lo cual la ecuac ión 8.39 se expresa como
- M g + RIl a;1
d \')' - M dI
(8.41,
COMPONENTE VfRTlCAl DE LA E.CUACION DE UN COHm.
Div idi endo por M, arreglando los términos y sustitu yendo la ecuaci6n 8.38 se ohl ne Figura 8.4 7
dI
-
RII~1
M
- g COMPONENTE Vl:RTICAL DE LA ACElERAOOl'ó
OHm
•
La ecuación 8.42 se resuelve integrando a lo~ dos lados del s igno igual con tiempo. Pam un cohete que inicia su movim iento del reposo en t!1 tiempo ( = O
'c:10
dd
,$.431
• COMPONENTE VERTICAL DE lA VELOCIDAD 01
suponiendo que In aceleración de la gravedad es con stante .
EJEMPLO 8.21
I
Despegue
El cohete Sat urno V utilizad" en el p roJ!nllllu IUllar I\polo, lenin 111111 IIlIlS11 inicill l Mu d l' 2.8:' X 6 10 kJ!. 111111 ClIrga úti l d el 27 por cielito, un ritlllO dc cOlllbu... tión R de 1.1.S4 x lO.' k{Vs • .) 111111 fu cr/.tI d e impubió n F~ el e J.¡ x 1011 N. Dcl('rminar (o) In velocldlld d e ex pul'ii6n d e In ... J!lIses. (b) cllÍc.mpo d e l'(lInbus!lón lotnl ' b' (e) !JI IIcelcrl.lcjóll illicilll de dCSllCJ!lIC. (d ) In 11l'clcnaclólI en el liel1ll)() ' h y (e) In ,:clocidad linul dd coh ete. Pla ntea mie nto d e l p ro blema (tll t.1 "elocldad lIe c,pu l\ i6n de 10'. ga'oC~ 'C ohtlene del empuje )' del ntlllo de comhiNlón. (b) P••m determinar el hempo de cumb....,lIÓn total. nece .. ilamQli conocer 111 Illi1MItutal dt:l comtJU"lIhlc quemadu. que e., 1:1 m.l<'a inicil1l mem,., In CIlf}!U líti l. (e) La acclcr,l;Cjón \C determina mediante la ecuu¡;i(\n X42 . {d'l La . . clocid.ld final viene dad;1 por la l'CllllclÓn ~ ..n .
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
.. ()HtTI
8.8 Sistemas de masa variable: la propulsión de los cohetes
ro~ 10 columna d~ lo df,t(ho t inltntr rrsolvrrlo
233
Ujtrd mismo
pasos (11) Calfu/ur "n l n punir del empuje y de lit vc/ocidud de COlllbu~tión.
Respuesta\
!l,.lfll.. nv\!
11.
(b) 1. Culcular In mU 'itl fi nnl M I del cuhe tc.
\1 . • f{).11IM u
2. Utili/ur el rc.... uhlldo anterior pam (,:Uleular el tiempo de combus. tión totul, lb
(e) Cllculnr (b'Jd/ Imm M
I
"
.
•
1/,
Al "
H
-
,i>
11111;111 1mente. __ di lithllalmente. 7ii
=Ato Y pllru M =/11(,
2.IJ
o
(d) C¡¡!l:ular In \'clocidud tinul ll purt;r de In ccuución 8.42. I",J ".
mi,
I
!1J ..1 ml~'
1.751011/:'
Observación LlI ncclt:mción illiciul eS pequcf'ill: sólo 0.2 1 8. Cuundo hu Intnscllrrido el tiempo de combt ~(J¡;tI I\)tlll. In lII.:clcmción del cohete ha crecido ti 3,5 8. Inmediuuunellle después de que se tc:IhI.: Cílmbustible. In tlcclernción t!,.'i - g. Lu velocidad del cohete entonces, despllé..~ de dos mi nuJio de combustión. el; uproxi madumcntc 6300 km/h .
'''' )
La consclVación del momento li ne:11 (o ímpelU) en un sistema aislado es una ley rund amcnltll de la naturnlezll con aplicaciones en todas las áreas de la risica. TIMA
l. Cent Si.~le!ll4
OBSERVACIONES V ECUACIONES RelEVANTES
de masas dI: panículas
(8.5) M \'"" = 1IJ 1 \' I + m ~ \'! + ¡\f u , ..
Objetos cOntinuOl;
=
m ¡ lI ¡ + m ¡ a ~
I\1 r ,... =
Segunda ley de Ncwton pam un sistema dc pan ículas
Jr
...
(8.8 )
+ . ..
(8 .9 )
dm
F-.." = L F~u, = ,\f a...
,
(8 .6) (8 .11 )
2. Momento lineal
p =
Definición para una panícula
11/ \1
(8.12)
•
Energía cinéticú de una panfcula
p .... =
Momento de un sistema de partículas
F
Segunda ley de Newton pam siste mas
Ley de Con~crvaci(jn del momento
E, = 2/1/ J.!:...
(8.25)
L,
(8.14)
/11 , \',
....... " =
= J\I\'"",
d I' ~ dI
(8. 15)
Si la fu er l.ll CXh:nlU ncUl que .l••e , UI' 1 ~obrc un '~ i .qe Jll n es cem. el lTIOJllemo lincaltotnl del sililem:l se con ~cr" :I,
•
3. Energía de un sistema Energía cinética
' . nto de l u ~ p'lrl 'nétic'l I\~OC .Hl d:1 ui 1Il0\'lllUC • iculas de un ~i~te m ll re lmh'o :I l l,'l! ntro de mn....'Is 1...:1 cnc~n!~: 1I ! ~n don('lc U¡ C~ In velooidlld de In partfc u1:1i rclntivn al ccntro de mUlol\\: •
C$
E,... = - l " ·
E,
P.nergra polcnciul gnl\'ilutorin
I f ' . = 2" \'.. + ,""
(8 .18) (8 .7)
I
234
Capftulo 8 Siste mas de partícul as y conservación de I mo me nto lineal
4. Colisio nes
.Int e g'011de In fuer.t.a extendida ni intenulo de liempodo ...... . deline como In --'~. El ill1 pu l.~o de una fm:rlu ~ euol actúa.
Impul!>O
1 ::f,' F dl Teorema impulso-momelllo
(8.1~
I_
:: J,.r" F..... di :: tip
F
_.!-r' F dl=_
1
ru
• - tlJ J,.
FUeí.lU media Co li ~ i one.~ clt'i~ t ic¡¡~
Velocidades rclruivul> de uproximuci6n y retroceso
(8.1l¡
. a de las energía!! cinéticas de los dos objcl~ « la ._.,. rn..~ 1 lás . o cuundo fl sum Se dice que un choCjue e.s .e. uc I 'spués de la colisIón. antcs y t c . I .VIl de alejamiento de los cuerpos del choque es igua¡ I b En un choque elástico In \'clocldud re ull 1 Iloque' . ·ó I l nntes dec . velocidad rchuivn de nproXlmacl
dC!rpué~
\'2(- " 11 ::
(8.31)
- (" lí - VII)
' Ios cuerpos que chocan se acoplan y se mueven con la \~IOCid.IddQ En una colisiólll>crfcc tnrnelllc .me I ~usuca
Colis.iones perfeetnme nte inelt'isticus
centro de masas.
. . . . e mide . • In e Il i,¡cidad de un choque. El coefi ciente de rcstllucl6n S. . '6y se . dcfi nc como el coeticlente entre la \&3cidad rclalivn de retrOCeso y la velocidad relatIva de uproXlmacl n.
· Coeficiente de resti tución
(8.11)
,. Para un choque e!¡¡stICO,
t! --
. l '• para un choque perfectamente .me l'3SllCO, e = O.
·5. Sistemas de masa variable (iM
Segunda ley de Newton
F........ .., +l , r
Ecuaci6n del cohete
"m-
d"
(8.l~
M dI
d" Mg - Ru." = MdI
(8.1~
Empuje
•
• •• ••• SSM
l· •
1
Concepto simple. un solo paso. relativamente fácil. Nive l intennedio. puede exigir sfntesis de conceptos. Desa fi ante. pura alumnos avan7.ados. La solución se encuentra en el Srudem 50/1I1;0 IlS Maullal. Problemas que pueden encontrarse en el servic io iSO l VE de tareas para caSa. Estos problemas del servicio "Check poi nt"" son problemas de control. que impul san a los cM udiuntes a describir CÓmo se lJegn a la respuesta y a indi car su nivel de confi anza.
H' d/ln En algunos probit" t'Tltt más dmos de los n I/ecesarios: en otre>: C05. ¿rJxr ext raerse algllnos el rcls .1 /1Om r de conocimientos g( c'l"a/es. ¡ IIelltes extemas o nrmlllri(lllrJ
/6giClls. 2
• Tomnr g = 9,81 Nlkg = 9.81 mJs y despreci nr el rozumienl o en lodos los problemus U menos que Se indique lo rOlltranD-
Problemll' conceptuales 1 • Dar un (Jcllllllo dt.' un ohJelo tridcmensional que no len~:1 ma~:l en '11 ccnlm de IIUNI\.
2
•
De,dc 10 ¡¡!io de una IQrre se deJn Cllcr uno balo 11 In \lel qu.: OIm baln idéntica ~c dl\ P.1n1 hada am b;l. El centro de mO.~a.!o de In... do\
SSM
balllS. (a) e.~¡¡'i siempre en el mlSIIlO «it io. ( b) inici(llll1,,:ntt.' ,ulx'. dt-J'U"','~ pero CII1P1ela :1 creer ame's de que la baln Inrll.ada nI ai re eIllJllc':l'll ~'J(I". ~ ciuhneme !oube. lIc~pué .. cue. pero cmpieJ.:u :1caer .\ ;mlllt,WI',IRI(n/( ¡¡lit" 1" Inn"reda al ¡lIre ell1plece a cller. (ti) inicirclllll'llte ~UOl!. d,"pUl" ("ft. emplCla !I caer de\pué.. de q ue la bul" IUlll!1dll al nirt' cmpic« ¡I ..:;ltf 3 -
- ~.,
•
Do~.
n1a~IIS
..
dc""on«ttl¡I,~
(h"'Crn; de. 1111 ) I//. \ acen ...~ \I'tt n ronll111Cnto. Se eJcrce unn fuen •• honlolllul ' 1 " llalllt'"nlt
~
Problemas ...' ._, •. -kluIO (k IlIlll'Clenu.·i6n del Ct:nlro de I1\m.·.x,. cuál e' e, ,11\..... .. OS ISCOS'I (11) F'
+ 1fI.). (c) /."1/1II~.l(l) lm l + III!) /."1' "'I"'~ . 1 "'1, (M FI'I''' I • • l..m Jo~ disco~ del problcmll 3 eslán ~bre unn 1'" . 4 ' lesa S11\ rolllnuentu • ..•• , ,Xlf un muelle Sin maSII de COllstame de fue!'/.a k S .• , ~,UUV' _ . e ejerce de nuevo , íuCfl:l horizontal r l so~re m i a lo largo del muelle. alejándola de "1,. Cuál uIIl ..I.'.ulo de la ncc!emct6n del centro de mas.'L~? (ti) F 11/1 (b, F I( • 1. n d OIW 11' 1/111+/11,). Ax)/ml"'" en donde .l' es el (Iumcmo de 101\<' i, .... , " • (d ( Fl + ' lO u e mue e. (d) m,l FI/ l1I lm~, 11111 + . l
If ...
Si do~ pllrlicul~.s tienen la mbmm encrgin cinética, ' eI ¡n&Iulo de ~u momento I!S ncccsanmnentc e..,. igunl'! Ex.plicnrlo y dllr ~In 5
•
I
23S
cionn la fue!'/,8 nect:llillria paro acelerarlo, pero, ¡'Cf> CS('> cieno? ¿De donde \ ¡C~ In fue..-!!! extemn
15 •• Cuando pisamos el pednl del frtno para frenar un coche, una mord¡I1:n pre.~ionll In ruedn de mooo que el rozamiento disminuye MI velocidad dc rotllción, Sin embargo, el rozamiento de la morda/.l1 no puede ser In fuen.ll que detiene el vehfculo porque es ulla fue!'lu interna, )'11 que la ruedn 'J 111 moro:ll.3 son eleméntos que forman el sbUelllll. ¿Cuál es la fuel"l.ll externa que detiene el coche'? Dé unn explicación dellllluda de cómo funciona esta fue!'/.ll .
SSM
cJ~rtWlo,
•
Vertlndero o flllso: 6 l El nh.-lIl1CntO lineal de un cucrpo pcsudo es mayor que el de un objelO ligero 11 1 ue '\t mUC\ e con igunl vdocidad. • lb) El unpetu del s.l::.tcmu puc c consen'urse .Hlnque nQ ),u{'cda lo mismo con la
•
•
Explique por qué In red protcclOra puede sah'ar la ,ida de un !lrtlSlu de circo, 16
•
17 • ¡,C6mo se podrfll estimar el tiempo de colisión de una peloltl de béisbol con un bate? 18
• ¿Por qué un vaso de \'ino puede caer en una alfombra y no romJ}CI'liC 'J. en cumbio, si cae en unu superficie de hormigón ~ rompe'?
entl}llu lIu,'d mcn.
La \("loI:idnd del c,e[~t-:o de musos de un s i ~temo es iguul al momento Iineill tOllI ~I si ~tel1ln dlvuhdo por su mll!>!1 toml.
tr)
7 rtl.:w:i,
.:.Cómo es d 1ll00'imiento de retroceso de un rifle o de un cnñón en n la l'onser"nd6n de la cantidud de movimiento'l Unll muchllcha snlta de un bote ni muelle. ¿Por qué debe Li) energía dc la que necesitaría si saltase la misma distancin de un
8
SSM
WtIU
mucll
SSM Una gran pllrle de la investigaci6n pionern sobrc el de cohetes fue realizada por Robert Goddard, profesor de física en
tPO\ lfl
•
Verdlldero o fnl so:
(ti) En un choque peñectamente inelástico se pierde toda la energín cinética de
lus panículas, (b) En un choque elástico frontal In velocidad relativa de retroceso después del
choque es igual a 111 velocidad relmivn de IIproximaci6n ¡¡ntes del mismo. (e) La energía mecánica se conserva en una colisión elástica.
20 •• SSM ¿En qué condiciones puede perderse too:! la energía cinética inicial en un choque?
1·\
9
,9
:cge de \Vorcester, Massachuscus, Un editorial de Ne1\' }hrk TImes, ~bhc. n 1920. iluslra la opinión publica de su trJ.bajo: "El profesor GocId3rd C'I cátedra en cl Clark College y el apoyo de la Institución Smithsoniana de onoce l:l, mlnci6n entre acci6n y rellcción y la necesidad de tener algo mejor qu el vacío rrente a lo cunl rellcc10nar --es decir. su idea es absurda. ~aturalmtnte parecc desconocer las enseñanzas impartidas dillriaOlente en los muros Ik enseñanza medin",l La creencia de que un cohete necesitaba algún medio sobre el cual empujar, era un concepto erróneo predominante antes de ljIl( lO!. cohetes en el espacio fueran nlgo común. Explicar por qué dicha creenda era errónea, dO,¡,
10 • Dos bolas de una bolera se mueven con igual velocidad, pero un:! de ell3.$ oS( desliza h¡lcia abajo por la pista. mientras la otrJ. está rodando. ¿Cuál de las ~ bolas tiene más encrgfH cinética?
21 •• Considerar una colisión perfectamente inelástica de dos objetos de igual masa. (a) ¿En qué caso es mayor la pérdida de la energía cinética: si los dos objetos tienen velocid:tde~ din.-ctamente OpuC5tas y de igual magnitud \12. o si uno de 10$ objetos se encuentra inicialmellle en reposo ~' el otro tiene una velocidad inicial l"! (b) ¿En qué situación es mayor el porcentaje de pérdida de encrgra ci nética? 22 •• SSM Un niño sc ha construido una arma de j uguete que consiste de dos cañas horizontales huecas por donde se pueden lonzar guiSRllIes (' -éase la figura 8.048). El nino sopla desde la izquierda cuando dos guisantes están en las posiciones de la figum . Si el juguete está en posición horizontal. ¿cuál de los dos guiMlnlcs, el A o el B, saldrá con nUlyor velocidad? ¿Por qué'? Sl/gere,lcia: Ln rrs/mestn tielle qUt \'u con t i leort'ma ¡/l/pl/lso -momrlllO.
11 • Un filósofo dice ·'Todo movimiento c,<¡ imposible. l..lIS fuerzas iÍmlpre :letúnn en pares iguales acción-reacción y, por lo tllntO, se anul:m" Responda a su argumento.
12 • Si dos objetos chocan y uno dc ellos eSt(i inicialmente en reposo. ¿es ]l(Kible que ambos queden quicIOS dc~pués del choque? (Sup6nga$e quc cualquier fucr/.3 externa (Iue actúe sobre el siSlen10 de los do!. objeto~ es muy pequeil3, es decir. despreciable.) ¿Es posible que uno de los dos se quede parado? Explfquelo.
13
Problema 22
•
Desde el punto de vista de las leyes físicas, ¿cuál es el problema con los superhéroes de cómic cunndo vuelan sin mOlores !1 chorro ni nOHldores ~ el aire y chocan, /'epeliéndolos, con enonnes objctos como coches y villa-
"'" 14
•• SSM Si las fue rzas e¡¡temas son las tínicns fue!'/..'\S que hacen que el centro de masas de un siMcma de partícultls ncelere, ¿cómo I)uede IllO..-crse un coche? Uahitualmcnte pensamos que el motor de un coche propor•
I
Fig ura 8.48
'b 6 Er¡ la P'lIina 43 de 111 ediCión del 17 de: julio de 1968 dd Nr'I/I )¡,rk n':'t'f)<: c.~ I Un. "C
~ .Itera 11Ul' "ahom eitd tolnlmenle ~ .._... . , "0 '10 en In ntmó~ferll TI!,. _UIUl"""" que UIl cohete puede funelOllar tanlO en e \'31: () ~ 1 n,....1 pide di~lpas pt)f 5U error",
lit que el hombre pisara In Lunn por primero
l'el.,
23
•• Una panfculo mi que se mue\'C con \'clocidad l' /'enliza un choque
elástico frontlll con una mastt ~tlldonuria 111=. ¿En qué l"Ond iC' i one.~.;crlj m ll~ or In energín imp:lrt ida n /l/2? (al 11/2« /1/1' (b) III~ = 1111' (e') "'1» 1111 ' (d) Ninguna de Ins anteriores.
Sección opcional • De..;crihir UlIII colisión l>crfccIRmcnte Ineh1~ticll c(\n~¡dcrl1da en el ~ istellla de referencia del centro de mnl(/\s. 24
236
I
Cap(tulo 8 Slst em¡u de pa rt(culas y comervaclón del mo me nto lineal
Lu.. boqu i lla~ de 111.\ mungucnl~ de Junlfn habimuhm:nh! llenen la forma que \<:' indicll en la figun¡ 11.49. lIellham.!n en ángu l() rectv. SI ,e ahre In
25
•
\'l'Ih'ulu tic In boquillu }' \ ule el ul!un a prc..i6n, M': nOla que é,1U ejerce ,obre In Ilmllt) una pre"16n hacia 1II'*" lIuh fuene dc lo (Iue IiCrl:1de ~pentr <;; la boqllllln no :lC:lbm1¡ en !lngulo recIO. ;,I'I>( qué"
• .O In de la (mUII. (u) htllllar. C'llIemr......' " enea1 nguu .... un'l, dhUlOcm de "5 de In vugonl."tn. (h) I,Qué ocurre el," Itl" componente, del eqUIpo'!
~
•• SSM Oi~p:lrnndo un rifle hueia un me! n (nn lo 11\1( . ·ón. CuandQ la"'~ I."n~a) \C rettli¡JI un experimento. 'Iue va cOlllnl 1a ,ntu,e, ~ IIIcldc sohre el fruto, nue .. e tic lhe/ \'ece~ el melón :!.e mueve haCia el nllt. ti \Cnudo fllm~s/(! al m~)\' imient o de In bala: fUI déclffilL \'el, .el melón \L~. men!t! explOCII.J ¡.Se violan la~ le)'e<> de lu fi~LC¡¡ pflr lo que ~ refien::: i\ la 1Xlrtkn.. d6n del mOll1ento'! No. porque no e.".IIlIIlO<; tralllndu ~L~plememc etJo Iq col i ~ i6 n de ,lo$ cuerpo~. yu que UltlL f~lCcl~n de In encrgra IIlCLdeme \C invltrteQ producir un chorro de mel6n en la dLrecclón de In bala. E.~It: cholTO puede lenQo un mOlllcnlO ~upcri()r al de 111 balu, por lo
l . El melón es dI:: 2.50 kg. 2. La b:lllL del riflc tiene Unrl maSll de IDA g Ysu velocidad es de 550 mi" 3. El 104 de In energfa de la bala <,e depo~ iUl en forola de energia ciofticadel chorro dc melón que ~a lpic.1 hacin dclante. 4. UI mas:. de melón que forma el chorro e<', O. l 4 kg. 5. Todas las co\i~ione..<; se dan en línea recta. i,CU:!.l :.erá la '·clocidad de mm. ceso del melón'! Compárcla con una velocidad de rctrocc\O Irpica de 11Il0l 0,5 mIs,
Determinaci ó n del ce ntro de m asas Figura 8 .49
Problcmu 25
26 • ¿Por qué Sl! puede prescindir del rozamiento y de la fuera de la gl1l\'cdad en los problemas de colisiones: Explfquelo. 27 • Si una masa de un péndulo osci la, ¿se conserva su momento'! Explíquclo.
28
•• SSM Un vagón de un tren pnsa por debajo de un si lo que deja caer grano a velocidad constante. (a) ¿L..1 conservación del momento conlleva que el vagón del tren disminuY:l su velocidad a medida que le cae grano'! Suponer que no hay rozllmiento en la \'[11 y que el terreno es perfectamen te plllno. (h) Si el vugón frena, esto implica que hay un¡¡ fuco.!!. externa que actúa sobre él de 111000 (IUCdisminuye su velocidad, ¿Dc dónde procede? (e) Pasudo el silo. el grJ.no cae al sucio a velocidad constante por un agujero \'ertical en el sudo del \lag6n. ¿A medida que pierde masa, el \'ag6n se ucelera?
33 • Tres masas puntuales de 2 kg catla Ull:l e)t(in 1000aljl..ada~ wbrttl eje x. en el origen. en x = 0,20 m y en x= 0.50 m. Hallar el centro de m~dd \ islema.
34 • SSM El hacha de piedm de la figuro 8.50. en dtmde «: JtV.IeS. tmn sus dimensione.... está fonnada por una piedra simétrictl de 1I:g ,1U,da.tl extremo de un palo homogéneo de 2,5 kg. ¿A qué distancia . 1lIlngo cid hacha Se encuentro su centro de masas? , ,~,--
29 •• SSM Como evidencia tic (Itle incluso pcrsOI1US muy brillunle.... pueden t:quivocarsc. con ~iderc el problema siguicnte. que fue propuesto a un e.~t udinl1\e de primer curso en el Caltcch (nbreviatum del preMigioso inMitulO ealifominno: Ct/lifomit/ ¡'m;lIftl! o!7'ec!lIItJ{o8Y): V II b(/rr:o (le I'(!la eS/(I/)ll ('11 el (/8'1ll /111 dIo S;II 1";1'11 /0. Pan¡ {mcer que el lx/reo se IIIol"it!nI. 111/ 1II1Irill/:m, errÓl/camel/fe, CQloCQ un "('mi/ador (j {Jupa (11" 1/I(/IICn/ q/lt! fl/lI'i{/!Ja l'iclllo hada /tu"
I'dll$
pam fl/le empujara el fxm:o hacia dt:lofl/('. E.rpfictlr por (/Ilé (,S/O es im/}()sible.
La
idea de quien propuso el problema em que la fuer/.!!. ncta del aire que cmpujuba las \'clus hacia udelante se contnuTCstlLba con la fuer/JI que. ejerda el \'entilador hacia IILrns Ocrcem Ic)' de Newton). Sill embargo uno de los CSUtdilllltes señaló ni proft.'SOr que dt' hecho el barco podía rnO\'eNC h..cia delante. ¡'por qué'!
so ,m
_ _ _ _-:. 18 cm ..:
Fig ura 8 .50
Problema 34
•
35 • I Tres bohl~ A. 8 Y e de masas 3 kg, I kg tMpc:rli\'lImente, están co necl!1da~ por ffiHn1~ de llIa$ll de ~ preeiable. La. ,la., ~ l ocllli7.adn~ en 1:1 fonna indicada en In figuro 8.51. ¿CIl á1c~ son las \;,)(Inlenad;lo. del CCllIro de maSIL):'! y. m
Estimaciones y aproximaciones 30 •• Un coche de 2000 kg que viaja a 90 kmlh choclI eOl1\ nl una pared de homligón que no cede. (u) E.~ limur clticmpo de choque ~upon ; cntlo que el centro del clX!hc recorre In rnitud del camino h a~ tn In pared con desaceleración constlmte. (Uti lilar una longiwd ml.onnble pam el coche.) (b) Esti nmf In fuer-UI ml,.-dia ejercida por la pared ~obrc el cex:hc. 31 •• En uml carrem de vagolletus de trncción mununl subre nlilc,~. unn de é~l:l~ unidadc:!I de ma~ 350 J..g se muc\'e a 32 km/ll con un equipo de cuatro persona!'> {cudn una de clhl~ de 75 1..8', La vllgonctll !,e dirige hnda un rlo, lllmndo ob:.crvnn que el puente por el 'Iue h:1O de pllS.'l.r ~ hu derrumbado. Lus cuntro componente, 'altan ¡,;imultiineulllentc hacia atrás con una velocidad de compo· nente horilOnlUl dc 4 011.. rdntiva a la vagoneta de,pués del ~n lt o. La \·:tgonelll
A
2
1
00
¡¡
e I
Figura 8 .51
2 J>robl c llllL ~ 35. 45
1
Lm
I
237 •
i
, "- ' l " ", " uc untrl" 1~ ... ,Ulhll~n' .... '" 1) " . que tlcnt' un \" ~:rlJ ~-.:' \Ob~ el eJ', ~\t....... Il Ol \ )' llUu-. 1.1<1\ en ." 01 \ (-+1 ' ' ' ' . 1"- , )6
11m 'UIIClnu, 1000'llh/!U el cClllrn .1'" ",.. ", .,
,1\
S$M Dctcrll1!llur el ,,'('litro ,k 1lU1S~' " de U,,".. ,,' e/ll .• , )7 ve 1I111( CIU ...tr,t<:h,I¡>.IJ.t 'Ille lIelle, la fUfllll' 4.k In l1 itur:¡ !L~"_ . Podemo\ ,_" .•.. , "., ..J ' 1"':111r lIUc ti ••
'" 11111;'11 IIIt ) 1'1'"I~ ~L:i lona.uf.. por «I~ 2 Plt'/ U,. un r Ulldmdo de •111111c lal.k.• y t .... lIll rtt'um~u ll\ tic I 111 X !ll co n UII.\ IlUlM\ III ~. COIl\iclcn: que d CJt' dc C()l.InJc-
~,<~1I1 ,uulklo I!Il d \" ~I\:IllU Inf.mtlr il4Un'¡'lIQ 1.1,' 111 ph:llI.
Movimiento del centro de masas de un sistema •
43
• I Ix,.. 11111'1\\ dc: 3 kg elida v, - 2 nl,l\ I +3m/.\ J 'i " , . 4 11\/\ 1 6 mIl, j del ccruro ck 1II1l~1I ., del ' ;\Ic:: rn" .
44
tn:nc n la~ \ clocidadc\ Dclcnmnnr la \elocidud
Ullft
•
•
SSM I Un :,ulo'T\Ó"il de ISOO 19 '>e muc ... e hoK"in tI \le'!c cun UM \'docidud de lO mi ... y un cumlón de 3OOl l.g \C m lleH~ haciBel e~te con ur\fl VclOCldllJ de 16 "",, Dc:u:mlrmlf 111 velocidoo del cemro de mlhlh del ~ hlemn •
1 111
4S • I Unu fucrlll F lO 12 N 1 <;e npllCII ~ In hola de 3 kg de la fll,turn tI.S I del!lroblenlll :l:'i.l,Cu4l e\ la ltCe!el'úClÓTl del cemro de mas.as?
1m
Un bloque de mllMI m e~lli f,UJelO n unn cuerdn y ~lllope ndido denIIn de uuu cuja huecn de rtlu ~n ""l . Ln eaju de-.canlJl !>Obre una balan/.a que mide d pCM del ),It.lcma. fa) Si la cuerdo J.e rompe. ¡,cúJnbillla Icctura de la balan1.a? RllI.onnr la re.'i pue.<.la (b) Suponer que la cuerda \C. rompe y la m3\a '" cae con IIcelernción con ~ tant e g. Determinar la l\celerac:i6n del centro de ma..'\,.1-\. tamo en dirección como en módulo. (c-) UliIi...ando el rc..~hndt.J de (b), cklemlinllr In lectura de hl bllllln/,lI. miertlf1l;!i m \C. encuentra en cafdll hbn:.
46
2 111
-'lit
Jm 1m
Un muelle \crticlll de consume de fucml k está sujeto por 111 pllrtc inferior a un u platufonnll de mllStl 111, y en la parte ~u perior po<>ee unu cápsuln sin ma ~a como indie.. la fi gura 8.54. La plalaform3 reposa sobre unn balanl,lI. Uml bolu de masa m~ !iC deja caer en la cáp
3m Figura 8.52
38 de.
F L1ta e IIlInllfl
Problema 37
• Una latll de musa M 'J altura H tiene fonnn cilfndrica y eslá IIcnu La rna5.3 inicial de agua es M. la misllla de la lala. Se pcrfor'.r un ag u,.,¡ b:L-.c de la Jala por el que se va el agua. (a) Si la ahum del agua en la
••
••
SSM
i.cuál es el centro de nlasas del sistema latu + agua'! (b) ¿Cuál es lu altura del centro de masas mientras se escapa el agua?
' Detb iII lnaclón del centro de masas por Integración 39 •• SSM Demostrar que el centro de masas de un di!;Co semicircula' uniforme de radio R está en un punlo que dista 4RI(3 rc) del centro del cfr
40 ••• Dctenninar el centro de mAsas de una scmic... fcm mnci1./\ homogénea de radio R y masa M .
....
41 •••
Dclcnninar el centro de maslIs de una corte7.ll semiesférica del-
42 ••• Una planchu de metal se COl'Ul con la fonna de la parábola que muestra la figuro 8.53, quc viene dctenninnda por In ecuación )' = a.~. con O s: y S b. Detenninar el centro de masas en funci ón de a y de b. (Huy que calcular primero el ma.)
Figura 8.54
48
••
Problemus 47. 49 Y 136
En la máquina de Atwood de la figura 8.55. la cuero:1 pasa por un cilindro fijo, sin rozamienlo. de maS!! "'~. (CI) Dt:terminnr 1:11lt.'clernción del centro de masa~ del ~i s tc.m a fonnado por los dO'> bloqllcs '1 el cilindro. (IJ) Ulili1.ar la !>cgund:l ley de Nc\\ ton (par:1 si~ t em!l~ ) pana detemlinar la fuer7J1 F ejercida por el sopone. (e) Dclenninnr hl t en~i6n de la cuerda (Iue eonccmlos bloques )' demostrnr que ,.- ::: m,g + 2 T. SSM
--rr-
y
f '
'",
b
\. y
= a.\·2 "
,
/
m, x Figura 8.55
Figura 8.53
Problema 42
G Probleml\ .. 8
238
I
Capftulo 8 SIstemas d e partfculas y conservación d el momento lineal
49 •• j Repetir lo.'> problema.'> 47a y 47b pero ahorn dejando caer In bola sobre la c!lp"uhl clc.'> de Ulm alturn 11 por encima de In mi ~ ma.
Conservación del momento lineal
SSM En una gufa de aire se colocan do.) piez~ oon i~ que se atraen uno a OIro (... ~nse lu figuro 8.58), La ~asa de la pnmetll pieu~ de 0. 10 kg Yla de In segunda de 0.20 .kg (cada una lOc1u~e la.maSll Propiadeb pieza más In del imlln). Se sitúa el ongen en el e~tremo IUlulerdo. el centrodt Itt pieza 1 está en .l' '" 0,1 m y el ccntro de I.a p l ez~ 2 est:'! en x '" 1,60 m. 14 pieza I mide 10 cm y la 2. 20 cm, y nmbll~ plezas tienen el centro de IT\asas cu Sil centro. (a ) Cuando se sueltan las dos plez~s.se mue\'en una nI enCUentro de la Olra y quedan enganchadas. ¿Cuál e.\ la poSICión de los CentTOS de cada pie cuando chocan por primero vez? ( b) ¿Seguirán moviéndose ~pu6 del :
56
•
SO • I Un:t muchuch:1 tle 55 kg dc nmsu snhu hacia ufucrn desde la proa de Ulm cuno:1de 75 kg quc ¡:~Iá inicialmente en reposo. Si la velocidud de lo muchuchn es de 2.5 mIs hacin In derecha. ¿cuál serálu velocidod de la canoa despué~ del sulto? Dos ma ~as de 5 kg Y 10 kg , itundns sobre unu lIIusa sin ro7.amiento esuin conecttldu<¡ por un muelle comprimido. Cuando el muelle se libero. la masa menor posee una velocidad de 8 mIs hucia 111 it.quierdu. ¿Cuál es la vclocidud de la musa lIlayor'! 51
tu,..
55 •• Un pequeño objeto de mM1l1II desliza hncia abajo por un. 11111\a 2m y luego ~e deslizn "Ull\'emente robre ~nn m.e!>n ~in rozamiento. ~ cuñn c ~1I1. iniciuhnentc en reposo sobre la mesn. SI el obJcto está iaicial""" . ' . ..",mt"Cl! reposo a una altura /1 po r encuna de lu mesa, dClernllOar la Vell)Cldad de 1aCUf¡¡ cuando el objeto !.C ~eparll de ésta.
•
••
N
I
52 • SSM La figurJ 8.56 muestro el aspecto de un proyecli l un in.'>lIlnle después de haber estallado en tres fragmen tos. ¿Cuál ero In velocidad del proyectil un instante antes de su explosión: (a) ¡'J . (b) 1·¡3. (e) 1")14, (d) 41'3' (t" ) {I'I + l'! + I'J)/-I
S
Fig ura 8.58
Problema 56
Energía cinética de un sistema de partículas
", 2
Figura 8.56
Problema 52
53 • Una grtlnada de masa m y velocidad l ' exploUl en dos fragmentos idénticos. Si 1" grunada se mo"fa horizontalmente respecto :1 la TIerrn y después de la explosi6n uno de los fmgmen tos se mueve venicalmeme con el módulo de la velocidad 1'. dClcrnlinar la ve locidad v' del Otro frogmenlO. 54 •• SSM Un bloque y una pistola c:lrgBda con unn bala eSllÍn firmemente lijas en los extremos opuestos de una barrn deslizante montada en una gufn de aire sin rolnmiento (¡lgura 8.57). El bloque)' lB pistola estiln ~eparado!> una distancill L. y el si ~ t crnn está inicinlmcntc en reposo. Se disparo la pistola y la bala sale de In boca del :1Ona eon \'elocid:1C1 lb' impacln con el bloque y ~c incnJ'IIn. La masa de In bnlll es /IIb' y la del SiMell1:1 ph loIB-rofl-bl{)(lue. IIIp. ((1 ) ¿Cuál es In vc locidnd de la plalnforma inmedintamcnlc de~ pués de que In b.,la abandone la pistOla? (b) ¿Cm'il c.~ la velocidad de In plfllaforll1a inmOOialu. menle después dc que 111 mil" quede en reposo denlro del bloque? ( e ) ¿Qué distanda ha recorrido el bloque de¡,de su po<¡ici6n inicial ha.\ la que la bala se detiene en el bloque'! •
••• •• •
L
,
•
barra ~. .. _ deslil.ante
Figu ra 8 .57
Problcm:l54
•
57 • SSM I Unbloquc de3kg s.emuc\ ehac¡ala derechIl J 5 mIs y un segundo bloque de 3 kg se mueve hacia la izquien:lu 11 2 m', (a) Hallu la energía cinética total de ambos bloques en este sistema. (b ) HaUiII la \(locidld del centro de masas del sistema fornlado por los dos bloques. (e ) HaI:Jr las \d¡). cidades de los dos bl{)(lueS respc..."'!:to al ccntro de masas. ( d ) Hallar I~ ~3 ciritiea del mo\'imiento respecto al centro de masas. (el DcmostnU' q . ~ delllPartado (a) es mayor que la correspondientc al ap:utado ( d i 11 ClIU!lbj igual a la energfa cin~ti ca del centro de mnsas.
58 • Repetir el problema 57 pura un segundo bloque de recmplazu al dc 3 kg Yque se muevc haciu la derech:I con vd oe!
Skgqut ..le J mis. 11
Impulso y fuerza media 59
•
Un bnlón de rugby de mnsa 0.-13 kg sale del pie d( I una velocidad inid al de 25 mis. (ti) ¿Cutll es e l impulso impru1üJ el chutador: (h) Si el pie del j ugador está en contacto con el N 0.008 s, ¿cuál es In fu ert..;! media ejercida por el pie sobre el b;¡lón Un ladrillo de 0,3 kg se deju caer dcsde una nllufll de s m. (b¡;(s cQntra el sudo y qucdu en reposo. (al ¡,Cuál es el impu lso ejercido .lOI' d welo sobre el ladrillo? (b ) Si de~de quc cl ladrillo loca el suelo haMa que qUl'iln ~JI rcpo.'> o tr.mScum:n 0.00 13 ll, ¿cuál C$ In fu cr.:1I media ejercida por el ~udQ wbct el ladrillo"?
60
•
61 • SSM En el Hn)'den Plnnetllrium de Nue\ a Yorl -.e e \hi~UlI meleorilo de 30,8 Ion (1 IOn = 1000 kgl. Supongamos quc la cncQlia Clnhict del rnet(.'Orito cuando chocó Contro el .'> udo fue de 617 ~IJ . Cklermllllf ~ impulso 1 experimentado por el meteorito en el momCI11O en (Im~ ~u entrl!iJ cinéticn se hnbfu reducido a In millld ( dcspu é.~ de uno!> 0.3 s ). Dctemlln:1l"tanl· bién [a fuerw medin F ejercida sobre el mcteorito durontt' c~tt' intcf\.k1.k tiempo. 62 •• i Al golpear unu pelota de béisbol de 0. 154:, 'u It'Jor.i· dad cambia de +20 mIS il - 20 mI .). (a) ¡,Cuál C.'> elll16du[o deluupulloO ¡ntp'f· lido por el hale fil a peloto'! (b) Si 111 pd{111l c~lil en contacto con d l\ollt" Jura ntt 1.3 m,. ¡.cuál c.~ [u fuen:u nu:diu ejercida flOr el bUle ~ohf'(' 111 ¡X' l otll ~
Proble mas SSM i ti" .Unn pelotn dI: rmntón de 60 g n la. velocidad , nV~ chocn cont r.I In pnn.'d baJo UII dngulo de 40" y rebom ..'" 0 " I11 miSma " ¡It.O ' . \-elOCid:ld) el rn¡ ~mo ángu lo. Sll!~td en COl1lllcto con In pured dumme 2 ms, ¿cudl e; In fuerl4 mctIin ejercIda por In boln sobre la pnn.-d? 63
••
••
6S •• Una pelota de fro ntón de 60 g de musa se lau7.a pc.rpcndicularIUl'nte contra unn [Jllred CQn una velocidlld de I () mIs. Rcbotn con una. velocidad deS mI~· (a) ¿Qué impul.w se hll tnmsrnitido JI In pured? (b) Si el COntucto entre l~ pelolll) la p.1rcd duru O.l:X)3 ~ , ¿qué fuer/.a , mt.-dia se ejerce sobre la pared'! (el La pelota la n.'Coge un Jugador que la deJfl en re poso. En cl procc.~o Sus fJllll'" rclroceden 0.5 m. ¿Cuál ~ el impulso n.'Cibido l>Of el juglldor'¡ (/1) ¿Cuál e;¡ Ij fucr7tl media ejerddfl ~obre I.ll j ugador por 1[1 pelotll? "
I Las gmndes ctl\'emlL~ de piedra Clllil.n se formaron gra_ ~'Í;¡S r«eo constante tk ngua. (ti) ¿Cuál es la fuer/JI media ejercidfl sobre el sudo &c por la., gotas de agua de 0,03 mL que caen desde unu alturll de S ill a rnlÓn IX 1I manuto? (b) Comparar esta fuer.ro con el ~ de unn gota de agua.
66
••
en el sistema de referenciu dc la mesu?
10 mIs
Figura 8 .59
es e n una dimensión
-
67 • SSM Un coche de 2000 kg se mue\'e hacia la derecha a 30 mis en pe, -tCución de un segundo coche de igual masa que se mueve también hacia Il de ha a 10 mis. (a) Si los dos coches chocan y quedan acoplados, ¿cuál es 'o \'c:locidad inmediatamente despué... dc la colisión? (b) ¿Qué fracción de la entWJ. emética iniciul de los coches se pierde dumnte esta colisión? ¿A dónde \~ a p.trar esta energía? 68
•
Un jugador dc rugby de 85 kg que se mueve a la velocidad de 7 mI~ reaI'l3 un choque perfectamente inelástico con un defensa de 105 kg que ~tá inicialmente en reposo, ¿Cuál es la vclocidad de los jugadores inmcdiatamente tJe..pué:. de la colisión?
69 • Un cuerpo de 5 kg con una velocidad de 4,0 mis choca frontalmente con OlTO de 10 kg que se mueve h:lcia él con una velocidad de 3,0 mis. Si el bloque de 10 kg quedHinmóvil después del choque, (el) ¿cuál es la vclocidHd final del cuerpo dc 5 kg? (h) ¿Bs elástico el choque'! 70 • Una bola de masa m se mucve con velocidad v haciu la derecha y choca contra un bale mucho más pesado que se mueve hacia In izquierdu con le10tidad \'. Determinar lu velocidad de la bola después del choque elástico con el bate. "
71 •• SSM I Un protón de masa m realiza un choquc d ástiro frontal con un núcleo dc carbono e...tucionario de mas..1 12m. La velocidad del protÓn es dc 300 mlr., (lA) Determinur la velocidad del ce.ntro de nlflSUS del ~iStema. (b ) Detenrunar la velocidad del protón des pués del choque.
n ••
Un cuerpo de 3 kg que sc /llucve con una velocidad de 4 mIs \'erificlI un choquc elástico contru un cuerpo e,<¡1Ucionario de masa 2 kg, Utilil3ndo clllrincipio de cOI1 ~e rVll ció n de la cantidud de movimicnto, y el hecho de que In velocidad relativa de sepamción es igual u lB veJocidlld relativlI de aproximación. determínur la velocidad dc cada cucrpo despué.'I de la colisión, Comprobar la re~pUc.~ta calculando lus encrg(lIs einéticu$ iniciul y finfl l de eadfl cuerpo. •• i Un bloque de molsa m, = 2 kg se desliza a lo largo de. Una mcr,a ~ in ro.romiento con una velocidad de 10 mi!>. Directamcnte enfrente lit ~te bloque y moviéndo:.e en In misma dirección con una veloeidud de 3 ~s hy Otro bloque dc masll 1112 :::: 5 kg, conectado a un muelle de mus:1 de.~prec , a bit y COIIMan!e de fuer/.a k = 11 20 N/m, como se muestre.:n In fi guru 8.59. fU) Ante.~ de qUe mi choque contra el muel le, ¡,cuál es 111 velocidad del centro de ~, del \ isttma'! (b) Durunte del choque. el muelle ~ comprime h a~1D un valor ,",XIIl1Q Ar. ¿Cuál es el vulor de dx? (e) Lo.. bloque., finalmente !le sepa73
ProblemA 73
"
74 •• SSM I Una bala de masa m se disparo vcrticulmente de!>de abajo sobre unu lámina delgadu de contrachnp.1do de maderu de masa M que está inicialmente en reposo, soponada por una lámina delgada de papel. La bala peñora la lámina, la cuul asciende hasta una altura f/ por encima de su posición inicial antcs de volver a caer. La bala sigue asccnciendo hasta una altura h. «(A) Expresur lu velocidad ascendente de la bala y la lámina inmediata, mente después de que la primera emerjll de la lámina en función de h y H. (h) Utilil.nr el principio de conservación dc:l momento lineal para expresar 111 velocidad de lu balu antes de que IItraviese el bloque de maderu en funci ón de m, 11, M Y JI. (e) Obtentr expresiones para las energías mecánicas del sistema antes y después de la colisión inelástica. (d) Expresar la energfa disipada en lu lámina de madera en función de /11, h, M Y H. Un protón de masa m se mueve con velocidad inicial \'0 hacia una panfcula Ct. de masa 4111 inicialmente en reposo. Como ambas partfc ulus poseen carga eléctrica positiva, se repelen entre sí. Detcrminar la velocidad \1' de la partfcula a (a) cuando la distancill entre las dos partículas es mínima y ( h) cullndo las dos panículas están muy separadas. 75
Ce
239
mn de nuevo. ¿Cuáles son las velocidades finale... de los dos bloques medida'l
i
Se lanza una pelma de 150 g 11 unn ahurtl de 40 m. (11) liulilM un. m lor razonable 1><1ra In dbw.ndn que. recorrerá la pelota de aertl que nllentnlS ,e eneuenlre en la muno de la persona que 111 IUIl"G1I se nl3. ~ d"" "d I puedIl,.:a.lcular la ¡uen:n m~ 1:1 eJcl'Cl. ,~y e ~iempo que 1,11 pelotu pennanece en ( b) (,E., posible despreclUr el pe....o de la rv'IOta I• /llano durnnte ellanzntlllenlo. d • .fllitnlrtl\ ~ ~tn e5 11lOZU n, 64
I
••
76 • Un electrón choca con un átomo de hidrógeno inicialmente. en reposo. Todo el movimiento se da en una linea recta. ¿Qué fracción dc la enero gfa cinética inicial se lfansfiere al átomo? (Considere que la masa del átomo de hidrógeno es 1840 vcces la masa de un electron.)
i
./
Una bala de 16 g se disparo contra la lenteja de un péndulo balístico de masa 1,5 kg, Cuando la lenteja está a su altura máxima, las cuerdas forman CQn la vertical un ángulo de 50". La longitud del péndulo es de 2,3 m. Determinar 111 velocidad de la bala. 77
••
78 •• SSM Demostrar que en una colisión elásticn en una dimensión, si Ifl maS<1 y la velocidad del objclo I son mi Yv ¡¡ Ysi la masa)' la velocidad del objeto 2 son m I Y \'2;' entonces las \'c1ocidudes final es \'tr Y \'lt vienen dadas por \t "
=
\tu
=
79 •• Usar los resultados del problema 78 pum invcstigar las colisiones elásticas cn una dimcnsión en los Hmites siguientes: (a) Cuando las dos tlIasas son iguales, dcmmllmr que las pllrtfculas "canjc:m" velocidades \',/= \'2; Y1'2{= 1'" , (b) Si /7/2» m" demostrar que \',r " - VII + 21'1' Y \'21' '' \'2"
Colisiones perfectamente Inelástlcas y el péndulo balistlco 80 •• Se dispara un proye<:til de mUs.1 1111con unu \'clocid!ld l' sobre. un péndulo bnlfstico, que tiene musa 1112' El péndulo está sujeto a una ,vurilla ~uy ligcru de longitud 1- que puede girar por su otro extremo. El proyectil se dCllen.e en el péndulo. Hallar la velocidad mfnimu l ' para quc el péndulo llegue a descnbir UM cirt:unferencia completa.
81 •• SSM Se disparn un proyectil de mllSll mi con \ elOCidml l ' sobre un péndulo balfstico de mnsa 1112' Hallar la mlÚimu altura h nkan:r..1dll por éste si el proyccti l pasa a truvés del péndulo y 5:lle con \'elocidud l'n, 82 • Si tomamos un bloque. de mlldcl1l como los que se usall habltunlmente en un ~ndu lo baHstico y an t c,~ de dispnrllr sobre él In bnlll lo poncmo, en una mesa plana, ¿qué distancia recorren! ha$tfl paf(lN:" Considerar que la
240
I
Capitulo 8 Sistemas de partículas y conservación del momento lineal •
bala ticne unu II1I1S:1 de 10.5 g. que In mnsa del bhxlue de madero e.~ de 10.5 kg Y que el coeficiente de roz!IIlliento cinético cnlre el bloque. y la me."a es 0.22. Suponer también que In rulla no induce roUlci6n sobre el bloque.
83 •• Una bola de 0"'25 kg de maSIl y 1.3 mIs de \'ell)Cidad rueda por una m~1 hasta que entr.t en unu caja \'lIcfu de 0.327 kg. L'l caja con la bola deocro recorre por lo ml!Sa una distancia de 0.520 111 . ¿Cuál C~ el coeficiente de rol..nmie.l\lo cint!tico de In mesa? l'J.rzán está fre nte u una cstumpidu de elefunle.~ cuando Jane le rescata colgada de una linna. Si In liulla tiene untllongitud de 25 m. Jane ha iniciado su salto cutlndo ésta estnba en po~ie i 6n horizontal, y si la nUl~U de J:l.Ile es de 54 kg Y la de Tarzán de 82 kg. ¡.hasta qué altura por encimu del ~ue lo podrá subir lu pareju?
84
••
SSM
92 •• I Un bloque de 2 kg se I~~e~'e con una \eloc;dad Ile6 y choca fronllllmente con un bloque de 4 kg IlIIcmll1lcntc en re~. n..._~ del choque. el bloque de 2 kg retrocede con velocidad de I mis. (a) Ca'1:u~ velocidad del bloque de 4 kg después d.eI choque. (.h) ~a1cuhtr la e~81a \:¡ dido en el choque. (e) ¿Cutll es el coefieu::nte de resmuclón para este e~'
•• Un bloque de 2 kg que se mueve hacia lo derecha con \elOtid.ld 5 mIs choca con un bloclue de 3 kg que se mueve en la misma dirtttióQ a 2 de como indica In figura 8.60. Después del choque. el bloque de 3 kg se lItüelIit. 4.2 mIs. Dctcmlinnr (a l.la ~clocidlld de~ ~loque de 2 kg después del c~ ' (bl el cocficicme de restitUCIón de I¡¡ (;01lslón. ) 93
Explosiones y desintegraciones radiactivas
Figura 8.60
Problemtl 93
•
85 •• I El isótopo del berilio ~Be es inestable y se desintegra en dos partfculas a( lIlicleos de helio de masa /11 = 6.68 X 10- 21 kg). liberándose una energfll de 1.5 x 10- 14 1. Determinar las velocidndcs de las dos partículos alfa que surgen de la desi ntcgrnción dc un núcleo de ~ Be en reposo. Suponer que toda lo cnerg(u aparece como encrgfu cinética. 86 •• El isótopo ligero del litio sLi es ineslable y se rompe espontnnclImente en un protón (núcleo de hidrógeno) y una panícula alfa (núcleo de helio). En este proce.-.o se libera uno energio total de 3.15 x IO- !! 1. que aparece en fonua de energía cinética de los dos productos de reacción. Detenninar las \'elocidades del protón y de la panículn alfa que surgen de lu desimegración de un núcleo de jlj en reposo. (Nola: Las masas del protón y de la partícula lIlfa son I1Ip = 1.67 x lO-V kg Y 111" = 4 m p = 6.68 x 10- 21 kg.) •
••• I Se lanza un proyectil de 3 kg con un ángulo de 300 sobre lo horizont:1l y con uno velocidad inicial de 12.0 mis. En la purte superior de su trayectoria. explota en dos partes de I y 2 kg de mllS:t. El fragmenlo de 2 kg cae al suelo dircetamenlc debajo del punto de explosión. 3.6 ~gu ndos después de que éstll se ha verificado. «(1) Determinar la velocidad dd fragmento de I kg inmediatamente después de In explos ión. (h) Dclcmlinar la distancia entre el punto del disparo y el punto en el cunl d fragmenlo de I kg choca cotUr:! el sucio. (e) Detcnninnr la encrgín liberada en la explosión. 87
88 •••
El isótopo de boro 98 es inestable y se desintegro en un protón y dos panículas alfa. UI encrgíol lotalliberada en formu de energía cinético de los productos de desilllcgrnción e$ 4.4 x 10- 14 J. En uno de estos procesos. con el núcleo de QB en reposo IIl11es de In dcsintegrnción. lu \'elocid3d del protón medida cxperi mcntulmenle es 6.0 x I!Y' mis. Si hlS dos p:lnfculm. alfa tienen energías iguules. determinar el módulo y dirección de sus velocidades respecto a la del protón. SSM
·Coeflclente de restitución 89 • El coeficiente de re~litllció n del acero sobre ac~ro se mide dcj:lndo cner una boln de e\le muterinl sobre unll plllc3 de acero rfgidamentc ligudll a la l1el'rJ. Si 1:1 bolll se deju caer dc...ue una allurJ de 3 m y rebOla hR ~t ll 2.5 m. ¡,cuál es el coeficiente de reStitución? 90 • SSM De acuerdo con la nonnllS ofi ciales del juego de pelota ¡;on ruqueta. unu p!!lot:l acepwbk pan'! un torneo debe rebotar hasta unn ultunl comprcndid:1 entre 173 y 183 Clll cuando se tlej3 caer libremente desde una allur.l de 254 cm u temp!!rotur:1 ambiente. ¡,Cuál e.; el intervnln aC~lltable de valoTC.S dd ¡;(lCliciente de re.stituci~n paro el sistemn pelotll-suelo'!
·ColIslones en tres dimensiones •
En In sección 8.6 se probó. medionte argumentos geomt. tricos. que cuando una panícula choca elásticamente con otra de igual masa que inicialmente está en reposo. las dos se separan fonnando un ángulo TttlII. En este problema examinamos otra forma de demostr::tr este resultado que ilustra la potenci a de la notación vectorial. (a) Si A = U + C. demoslru qoe t\ ~ = 8~ + C2 + 28 . C. (b) Sea P el momento inicial de la primtrn panicula 1 sean PI y p~ los momentos de las partículas trJ.S la colisión. E~Tibjendo b ecuación para la conservación del momento. realizando el prodocto escalar dt cadlltérmino por él mismo. y comparando con la ecuación paro I Jnsrnaci6tt de la energíll. demostrar que Pt . P2 = O. 94
••
SSM
95 • En un juego de billar. la bola golpead3 por elt800. dad inicial de 5 mIs. reali7,.:] un choque elástico con la bola oc cialmentc en reposo. Despué.<; del choque. la bola ocho!
••
•
Un disco de musa 0.5 \..g \C scmejame que se encucntr:l estllcionario sobre hielo sin rozamú dad inicial del disco móvi l es de 1 mIs. Después del choque. e sale con velocidad \ '1 fom1Undo un ángulo de 30 0 oon la línea l'li, miento: el M:gundo di$CO sale con velocidad \', a 60 0 • "..atrio indica «(1) Calcular \'1 y 1'2' (b) .. Fue elástica la colisi6n? 97
••
SSM
I
\' = 2 mI:.
•
,, ,
,,
,.,
Figura 8.61
le es!! j¡¡¡. 'TlTUIndo UII
dd mOlr .u1 de cadI
\,'00113 111
:1 objeto 8 1c!\pu6 dt \;uiJri;il
,tTll 3 cero
La leJm.
uJIer dl5(t1 .u de I1IOlr ng un S.61
.._- .-_ .......
•
91 . • I Una pelotn rebota h~la d 80 por cIento de su altum ongmal (a) ¡,Qut! fmcción de ~u energfn ml"Cánica ..e pu:rde en cada rebote? {hl l..Cuál e, el coeficiente de re~U1uci6n del <¡Istema peIOla-suelo?
,m:1I eloci·
ProblcI1ln97
-
Problemas 1..11 Ii¡:uru 8.62 mueSlm el rcsuhado de un ello< . ¡ue entre dos obJeto, "llll>ll (d) Calcular In \elocldad l', de lu mll~" n d • .11\.1"1111 . " " lIlyor e~pu6. del ~ ) ti :1ngl11o O!. (11) Dcmostmr que e"to: choque ~ clá~tk'O, .. ,.
••
'"
2/11
2m
Figura 8,62
Problema 98
•
99 •• S5M I Una pelotu ,quc M! dcsplazll Con unn \'e loci~ tbd de JO 11\/\ Ihwll 11 cubo un choque eltlsllco no frontal con Qtm pclolH dc . ~I IU3-"J. iniduhncnte el! reposo. La pclotu incidenlc es de~\'itldu 30° de su ~'i(in lmpinal de movimiento. Calculur lu ve locidad de cnda pelota dcspués dd C'hOqu,
lOO I I l'n;1 panículu tiene inicialmente una velocidad ¡ '(l. Choca contro rartkul:\ d~ igual IIwsa en reposo y loe desvía un ángulo ~. Su lIIIl ~li ¡'lié!> del choque es 1', La segunda pnnfcula rctrocede. de tal fomla Itloo."H,L .d foml!!. un ángulo (J con la dirección inicial de la primero paní¡pt ~ I ,11':11' que cub, (dI tg
f)
=
l'
sen t>
(VO - I' COS
r/J)
lb) [)tn
'lile ~ i la colisión es eláStica, l' = 1'0 cos
Shterr
referencia centro de masas
¡p.
101 I na panícula de momcnto lineal PI en una dimensión verifica un choque el o con una segunda panícula de momento lineal P2" -PI en el sis" ltIlU de rd 'ncia del centro de masas. Después dd choque su momento lineal ~p~ Exprt JI la energía total y la fimll en fun ción de 1111' 1112 YPI Ydemostrar quepí =:1',. Si P;=- PI' la panícu la inviene su sent ido en la colisión y sale lXlII el mi.~mo módu lo de velocidad que tenía inicialmcme. ¿Cuál es el significado di:l sigilO más en la solución? •
I Un bloque de 3 kg se mueve en la dirección ~ati \'a de x 3.5 mIs y un bloque de I kg se mueve en la dirección posiliva a 3oYs. (a) IX:tcnninllr la velocidad ¡'('ni del centro de masas. (b) Restnr I'cm de la Idocidad de cada bloque para detenninllT la velocidad de éstos en el sistema del centro de masas. (e) Después de realizar una colisión elástica. la velocidAd de cnda bloque se inviene en este sistema. Detcnninnr la vch:x:idlld de cndll blo" que li«pufs de una colisión elástica. (tI) Tmn¡:formar de nuevo al sistema origi· lIlI ~umando I'(IJI ~ la velocidad de cada bloquc. (e) COlllprobar el resuhudo dettnniaando IlIs energías c inéticas inicial y final de los bloques en el siSlell\;J 102 . .
SSM
angina!.
103 , . Repetir el problema 102 con un segundo bloque de masa 5 kg que le Illuen: hacia la derecha a 3 mis.
'Slrterna~ de maslll variable: 11II propulsión de los cohetes
•
104 , . i Un cohete quema combustible :1 un ritmo dc 200 kgls ) lo cxpul~ con una velocidad relativa de 6 km/s. Cllkular el empuje del
",,",-
. . Un cohcw liene una mnsn inicial de 30000 kg. de lu cual un 8O'l- c.'i ~ble, Quema combustible a I'ULÓn de 200 kgll> YeJCpulsnlos g(l~ de COI~" ~ con una velocidad relatiw de 1.8 km/s. Dctcnninar «(/) lu fuco'u de empUje ~~. (b) cltiem(X) transcurrido hasta quemar lodo el t--ombustiblc Y (c.-) MI lOS
241
ve.locidad fil\8l, suponiendo quc se muele verticlllnlt;nu:: hncus umb.1 en las pro,;i· ffildmles de lu ",uperflcie de 13 Tierro. donde el campo gntvilnlorio ~ ~ constante. 106
• O~'~'·;"-_··~
I
••
SSM
El ;III//IIls(I f:spec.-fftco del combu~lible de un cohete c;c F,/(RgJ, donde F. es el empuje producido por el combustible.
define como I K '" g el módulo de la ucclemeiÓn de 111 gra\'edad en In superficie de la Tierm y R la t¡I ~U n la que ~e quemo el eombuil"tible T que depende de In" cnractcrí!<:ticalo de !!ste. (ti) Demostrar tille el impulso específi co tiene dimensiones de tiempo. (b) Demostrar (IUe 11. = g/~•. donde 11. es In velocidud de SlIUda de los gases. (el ¿Cuál C-~ impulso espcc(fico (expresndo en segundo~) del combustible us.1do en el cohetc Saturno V del ejemplo 8.21 '1 107 ••• SSM L'I ".Iució" inidal ;¡, de un cohete cs to .. F.!(m08J. donde Fe es el empuje del cohete y "'o es la musa inicial del cohete. junto con el co mbu ~t ibl e, «(1) En un cohete lan;r.lldo desde la superficic terreslre. demostrar que ro '" I + (llr/N), donde ll(¡ es 111 aceleración inici31del cohete, En los vuelos Iripulados ro no puedc.ser mnyor de 4. atendiendo al confon ya la seguridad de los a~lmn:lut:IS. ( Lo~ IIstronuUlas sentirán durantc el ascen!t() del cohete que su peso es igual a ro \'cces su peso normal.) (b) Dc!mostrar que la velocidad finnl del cohete lllnzado desde la superficie de la Tierrn. en función de ~ y de la (véusc el problemll 106) se escribe como
[ ('" 0) - -tIo( 1--"" )]
l'f"glu 1n -
mr
mI)
en donde mr es l;t musa de l cohete (no se inclu>'c el combustible utilizado), (e) Usando una hoja de cálculo o una calculadora gr.ífi ca. repre.c;cntar gráficamente \', en función del cociente de ma.~ "lf1"'r si I~ .. 250 s y ~ .. 2 para \'alores del cociente de musas desde 2 hasta 10. (Nótese que el cociente de masas no puede ser inferior ¡¡ l .) (ti) Pnl"J. colocar un satélile en Órbita se necesiw una velocidad final 1', '" 7 km/s, Calcular el cociente de mas.'lS necesario para un cohete de una unica fase. usando los valores del impulso especifico y del empuje dados en el apartado (h). Por razones de ingeniería. es difícil construir un cohete con un cociente de masa'i mayor de lO. ¿Se puede justificnr por qué se utilizan cohetcs de \'arins fases para poner satélites en órbita alrededor de la Tierra~ 108 •• La altura que puede alcanzar un protOtipo de cohete lanzado desde la líelTIl se estima suponiendo que elliempo durame el cual se quema el combustible es pequeño comparado con el tiempo 10lal de vuelo. por lo que durante hl mayor panc del \'uelo el cohele se mueve en condiciones de caíd:t libre. (Esta estimación en los cálculos del tiempo y del desplazamiento desprecia el tiempo durante el cual se quema combustible.) Para un prototipo de cohete con la " lOO s, //Ir/m, .. 1,2 Y ro = 5 (estOS parámetros se definen en los problcmas 106 )' 107) eSlimar (1I) la altur.l que puede alcanzar el cohete y (b) el tiempo total de vuelo, (e) justificar la suposición segun la cunl el tiempo de \'lIelo es mucho mayor que el tiempo durnlllo! el cual se quema combuslible comparando el tiempo dc vuelo dd apanado (b) con el liempo que tnrda en gas· larse el combustible.
Problemas generales 109 • Un \'ugón de tren de juguete que tiene masa 250 g Y se mueve a razón de 0.50 mIs. se ¡Icopla a otro de masa -'00 g quc está inicialmente en reposo. ¿Cuál es In velocidad dc umbos \'agones después de acoplados? Deter" minnr 111 encrgfa cinética inicial)' fi nu!. 110 • (1I) Clllculur 111 energía cinética tOlal de los dos vagones del problema 109 :mtes de ~u acoplamiento. (11) DctCn11inar IlIs \'eloddndes inicitlles de los dos vagones re~pcc l o ul centro de musns del sistema y utilizar los re~ ulta ' dos obtenidos pam calculnr 111 cncrg{n ei nétic:1 inicial dcl siSlernn respeclo ul centro de ma¡,ns. (e) ])ctenllinur la energfu ci nétic:t del celllnl de IIlllhllS. (ti) Compnmr las ~s pueS llls de los apanados (b) y (e) con l:ls del upanado ((1). 111 • SSM Un JlC.'. de -' kg nada hueln la derecha con una \'elocidsd de 1.5 mIs, cuando ~ Il':\ga un JlCz de 1.2 kg que nnda h:tcUl él a :; n~.!ii, Des.pre. ci:mdo la re~istcnc iu del agull, ¿cuál es la \'elocidud del pe1 grnndc mmedlllta" mente después de c.~ 1I1 engullida?
242
I
Capftulo 8
Sl~temas de partícllla~ y conservllción del m omento lineal
112 • Un bloque de J kg 'e mueve n 6 mIl> hacia la derecha. lIuentra" un bloque de 6 kg ,1: mueve :l 3 mIlo hacia Irl den.'C ha. Detemlinnr (11) In cnergra cinética totnl del , i-"tcma de lo~ dos bloq uc~. (11) la velocidud del centro de mUlta!>. (e) Iu energrn del cenlf'O de mal>a ~ ) (el) In encrg(a cinética relnth'u nI centro de mnsu"
Un cochc dc 1500 kg qUl' "'¡¡Ijn hacitl el norte 11 70 klll/ h chocII cn un cruce con OUt) coche de 2000 kg qu~' ... iujn haciu el oc~ t e .1 5.5 km/h. De sp llé.~ del clmque IImbo ~ eoches permunecen unido~ . (ti) ¡.CuAI es el momento Hnenl lotal del si~ h.: m ll llnte~ del c!l(Xlue'/ (11) Calcular el módulo, dirección y ~en l ido de la "clocidud del conjunto de ehlllarrll de\pués del eho113
•
""C. Una mujer de 60 kg se encueJlll11 de pie en 111 1)lIrte tm,cm de unalmlsn de o m de IQngilud y 120 kg que lIoln en repo!oO en liguas tmnquil:11> )' ~i n rol.llmienlo. La balSl.1 se eneuentm u 0..5 m de un cmbnrcndem fijo. L'OI1l() en la {igum 8.63. la) Lu Tnluercmni nllhuMll lu proa de In bnlslI y se detiene. i.A qué di ~ tllnciu su encuentm ¡¡hom In bubll del embarclldero'l (b) Mientras la mujer camina. lIlunticne unu ...clocidlld constnnlc de 3 mIs rel:ui ...a iI In bnl~a . Determinar 1.'1 energra cinética tOUII del sistCI1lU (mujer nlá~ bal¡,a) y comparar con 13 encrgra cinética en el caso de que lu nlluer cami nara a 3 mis sobre um. balsa ntud¡¡ !II embarcadero. (e) ¿De dÓnde procede esla energía y .'1 dÓnde Vil cuando 1.'1 mujer re deliene en 111 proa de 1.'1 balsa? (d) En ticrra fi nnl'. lo mujer puede lanzar una bola de plomo u 6 m. Situuda en la p3rte trusera de la balsa. npurna hacin delnnte y lunza 1:1 bola de modo que justo cuando sale de su mano. posee la mis.ma velocidad respecto a cll a que cuundo 13 bola fue 1:lllz3da en l i~ mI finnl!. ¿Dónd~ caerá la bola? 114
••
SSM
- -
Dumnte la I Guem. Mundial. una dt la~ 111'''\11\ !ir má..~ tcmible~ cnlll Illio grunde~ cañ()nc~ monmdo-. ~ \ agone<; ile ~ ~ Lu IigurA R.65 muc:<¡lm esle lipa de cuñón. montado de modo que podl~ unll grnnuda bajo un ángulo de 30' . Con el vagón 100ClUlmente en ~ ~IIMn d¡~]li\m ulI proyectil de:oo kg,' 12!¡ rn/fo . (Todoc. I~ val~ Mm rt~ ,r,) Con, idcrcmo~ un ~ I \ telllll rormndo (Xlr un C:llñón. una Kmn..... . , ti 11 • . . , . ..... \ " VII ,6n '1ue ~e mue ... e ~(\b rc una ... Iu <¡In pérdlC h.~ por ffinlmtento . (a ) El ~ 101:1 del ,istel11n, ¡,\cm cl mismo (c:\ decir, " '1 dc~de di~pllrnr lt. gmnada'! explicar In re:.pu c~.l n (11) S.la rnfl!$O de la platafOfrn¡IJIio el c¡.ñÓn eS 5000 kg. ¡,cuál sem la ."elUCldad de retroceso del sisICIn.1 .1 k. bit de la ... r:1 de~pués del di ~ paro? (e) L:I {;rflnadn ~e eleva ha<;.UI una altul1\ ~ de IRO m en su tfayt."Ctoria. En dicho punto In velocidad e... de 80 mi\, COe! inrormaciÓn. calcular 111 energía témlica (calor) producida por el ro/~ del aire :.obre el proyeclil dc:MIe <¡u lanl.almento ha~ ta la ahum rnh ima.
116
••
SSM
)
,
00 Problema I 16
Figura 8 .65
117 •• Una bala de 15 g que viaja a 500 mis choca Contra un bloque de madera de 0.8 kg, cquilibrJ.do sobre el borde de una rne<;a que \oC ~ncuenlnl 0,8 m por encima del suelo (figura 8.66). Si la bala se i ncru~tn tOtalme:metad bloque. determinar 111 distancia D a 111 cual choca el bloqut.' Contra el rudo
;O.5 m : •
120 kg
.500 mis
'-:': : : - - 6m
_ _o
Figura 8.63
nr= 15 g
nr = 0.8 kg
. ..
--- ---
-
• •
Problema 114
1
,• Una bola de acero de I kg Y una cuerda de 2 m de masa despreciable fonnan un péndulo simple que puede oscilar si n rozamiento ulrcdcdor del punto O. como muestra la figura 8.64. Este péndulo se deja libre desde cl reposo en una posición horizontal. y cuando la bolu e.~t:t en su punto más bajo choca cOnlrJ. un bloque de 1 kg (Iue descansa sobre un:1 plutafom¡a. Suponiendo quc el choque e.'i perfectamente elástico y que el coe fi ciente dc roz:.miento entre el bloque y la plntafoml:t es 0.1, delcmlinar (tI) la ...elocidad del bloque j uStO despu6s del impulw, (b) la distancia recorrida por el bloque antes de detenerse. 115
••
m
o
0.8
, ,• ,,•
I
,
• '.
D-
Figura 8 .66
118
m
Problema 117
Dos partfculas de m:tsn 111 )' 4/11 se 1I111\,:...en en
••
rectO como indien 1.. figur.l 8.67. Una rUCOJ I F nctua Wbtl durante un ticmpo T. Como resultado. 111 vclocidnd de lu partk dirección original. Dctcnninar la nUC\':t velocid:ld \.' dt" 1:1 paro,
m
m
4111
4",
4 ,.
• Anles
Figura 8.64
Proble ma 11 5
,.'
Despué.s Figura 8.67
l"'roblelTlll 11 8
-ÍO t'll '"lJ..S
:íngSl
parli1dzI
'11 (S.\\'dI \I
,le f1I.b3 JI!!.
Problemas . . , t.1n c"pc!Ol11cnto populur y un ( lanto pcligrmn eonS1!¡t~ en aguUntnr , " \I)Il d' hél,bOl uno~ poo.!O\ l!cnt metroo¡ por encimu de unu pelo!:¡ de • ti' pi'-61 • q. lIe a , 11 \'e7 w~ l enemo\ apl'oxulludlllllClUé un metro por encima . D ~ pelOlIl~ se ~ucJl:m a In vel y chocan de.\p" el> , que Iti pclola de #'Io. ....'lb!l~ rt JI -c;t¡) ha) 11 rebUllido en d ·'llelo. L..n pelottl de ~i .. bol s'tl , ' e d 'ISp:lnlda Contra ~ "'Ie nlrn.~ que 111 de bu onCC\IO Ilcgu hnstn media ahum (U ,~ '" 'ó " h' . na ve/, el ; ~'-' hk llUl rompl una umpura aClendo esto) ".) S ' do que In ¡)tI pn1 ' upomen "" 0111 de b:tlono.:csto con el ~ u e lo C" chbtic'¡ 0'0"I "~ ti reluclón ' ~ dt ,...... t '- 1 ' • ¡'''
.) 13' \du.:i d.ldc~ de ¡ti!'> dos pclOlus Ju .... \O anl~ de que choquen" (b) Supo."" , " coJi,ión ent!'\: In ... dos pelOlu\ ~ca elástica ti" ,,' TeSU IIn d o d el ....\1 qt l . . ."... ".- I ", " . '11 r..'fln\cn':lCIÓn dd momento y de In encr"fa '" p.... ,,1 d cmO~ lmr que 1s r: di: Ntl¡)nc~~o pc-~a 3 ~:cc:. I\~(b que In de ~isbol. ItI velocid:ld finul ...... lo1l1 ~ 13 r:loIn M boIlo m:e~ l o será cero, {E.clolu que c~ tá urrib:1 i!..'i l' anlé" de la cO" 'ó "'" 'dd " 1, ln, (Ilil ~ el módulO de In velocl 11 IIl1\1edmtamcm..: después del choque'!
I
243
124 • • U..., p.¡neja . -'-'6 . se J ve!lC..'!:,I\ (mu!Ia 80 kg) Y 8 (ma<:8 desconoc1dn) cneuclllrun en un bote de remos (mu.<¡n 60 kg) sobre un lago en calma, A <;c encuelllm en el centro del bote remando y ella (R) e.,I{1 en la popa a 2 m del centro. A ~~tá ean"lldo y deja de remar. Ella <...: ofrece ti sustiluirlt 'i con el bote en -: 1~'iO mlcl'Calllblan su~ posiciom::s. A obscnm quc de,.<;pu6. de eambinr de posiclon. el bote <.e ha movido 20 cm re.'>peclO a un punlo fijo. ¿Culil e.<; la maS:l de B1 U<;
,
125 •• ' Un pcqueno coche de musa 800 kg e.<;tá estacionado ' detrás de un camión ligero de masa 1550 kg sobre un tcrreno hoñlOntal. Los frc11<:- de mnho<; vehfculos eMón libres. de modo que pueden rodar con un 1'01.: 1n ~,ento de!.pl't.'Cinble. Unn mujer de 50 kg !>Cnlada en la pilrte tra.~ro del camión cJerce .una fuer/':l e~nqante con su~ pies sobre el coche. como muestro In figura 8.69: El coche adqulcre In Bcelemción de 1,2 rnlsl. (a ) ¡,Cuál es la aceleración del clumón'! ( h ) ¿Cuál e~ el módulo de la fuer/.ll ejercid.1 sobre el coche?
' 12(1 " .. lul 1:.11 el
prohlcrnu 119, SI' 1\luntenclllOs unu lercera pelola por ;p¡;1 dt I~' otr¡¡~ dos )' (!uercm())o, que la Ix:lotlt de bl1lonce.... to )' 1(1 de béisbol ~~n en m.:dio de 11\ hllbitnci6n donde \'Cnli:-umos el experimento, ¿Cu:\1 ~ ..er el <: lente de mas~ ~n l:-C Itl ~ In de arriba y In bola de béisbol inme~01~ lé~ de In collsl6n! {I~).SI el módulo de la velocidad de la pelota ~,t' iJl \. untes de la cohSl6n, ¿cuál es el módulo de la velocidnd ~t.u, .e~pué~ del choque?
121
(
En el l1t1mado "efecto de honda". la transferencia de ,1i~ i 6n elástica se utilizn pum incrementar la energía de una tal modo que éstu pueda escapar del sistema solar. Todas las n re~peclo a un sistema de rcfcrenci[l inercial en cuyo centro ~ n repo~O, La figum 8.68 muestra una sonda espacial moviénhacia Saturno. el cual se mueve a 9.6 kmls hacia 1[1 sonda. .;Ción gmvitatoria entre Salumo y la sonda. ésta se mueve aire'o y Clicapa en dirección opuesta con velocidad ~'f· (a) Supocolisión es elástica y unidimensional con la masa de Saturno ..¡ue la de la sond:l, determi nar \'f' (b) ¿En qué factor se incre1.1. cinética de la sonda? ¿De dónde procede CSItl energía?
••
m:rgi3 ell
q."Oil ~Jl' ~
dSal P'" .bit a ¡O. I):bido;l :
... do
Cerdo qu.: prho
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!!leI113 la en
,
Problema 125
126 •• Un bloque de 13 kg se encuentra en ~poso wbre un suelo horizontal. Se lanzn sobre él un pegote de barro de 400 g de modo que su trayectoria sea hori7.0ntal. golpee el bloque. y se quede adherido a él. El bloque y el pegote se dcsli7.ao 15 cm por el suelo. Si el cocfi cieme de ro7.11miento es 0.4 . ¿cuál es la velocidad original del pegote? 127 •• SSM Un conductor descuidado choca por detrás eontra un eoche que está parado en una señal de tr:ifico. Justo antes del impaclo, el conductor pisa el freno bloqueando las ruedas. El conductor del coche: golpeado tiene tllmbi6n su pie aprelando con fuera el pedal del freno. bloqueando el si5lemn de frenado. La masa dd coche golpeado es de 900 kg Y la del \'chiculo culpable es de 1200 kg. En la colisión, los parachoques de lo~ dos coches ~e enganchan e1llrc sr. La policía detennina a partir de las mnrcas del dcsliulmiento sobre el suelo que después del choque. los dos \'ehfculo~ $e mo\'ieron juntós 0.76 m. Las pruebas \'Cvelan que el coeficiente de ro7.nmiento dcsliZllnte emI'C los neumáticOS y el pavimento es 0,92. El conduclO! del coche que provoca la colisión afinna que él se movfa a una velocidad inferior ti 15 km/h cuando se aproximaba al cruce. i,Está diciendo la verdlld'? 128 •• Un péndulo está fomlado por una lenlcjll de OA kg atada a una cuerdu de longitud 1,6 m. Un bloque de masa 1/1 descansa wbre una superficie horizontal sin rozamiento (fi gura 8.70), El péndulo se suelta dCMIe el repo.so bajo un ángulo de 530 con ltl vertical y la lenteja choca elásticamente conlrll el bloque. {)cspub; de la colisión, el ángulo máximo del péndulo con la \ crtical ~
kmls
Figura 8,68
Figura 8.69
Problema 121
5,7 30. Dclenninnr la I\1l1sa m.
122 •• SSM Imaginemo~ que una \interna de 1.5 kg HOla en el t\pacio interestelar, lejos de cualquier planeta o estrella. Tienc batcría!> que ffi1n cargadas con una energía total E = 1.5 kJ . Cuando se enciende, pierde tncrgCa en forma de luz y, consecuentemente. pierde una pequeña IlII1!>a l'Cg6n E = 1112). Dado que 111 IIIII.'.a perdidu ~e \llueve a la velocidad de la lUJ;o II limema empieza a retroceder. (a) Si la lint..:rna pierde una energía aE. lrIulI\~ntar por qué la pé rdidu de \IlomenlO de ésta es 1) ::: AElc, (11) Si la lila$.) dé la linterna es de 1.5 kg Y si éstll dit~ conectadll hasta (IUC pierde I~a '>IJ a¡trgfll, ¡,cuál e<, 1[1 velocidud finnl que ndquierc? Supóng¡lse que In hn1tt¡¡11tlcne IIm\ eliciencia del 100% en cOll\'ertir la energía de In pila en enerJÍl radiante '1 que. .Intcmlmeme, , , está en reposO.
123
•
Un bloque llene una mll:.a de I kg. Si convertimos I g de "11 mnsA tu tlle'lf3 de un ha/. tle luz bien colimnd'\ que brille en una ÚIlICB díNccl6n. '>l
Figura 8.70
l'>roble1ll3 128
244
I
Capftulo 8 Sistemas de partfculas y conservación del momento Une!!1
129 •• Iniciulmente. la masa m = 1.0 kg Y la mnSIl M están umbas en reposo sobre un plano índirtado sin rozamiento (fi gura 8.71) Ln musn Al se :Ipoyn cn un muelle de COl\~llllltC I1 ()(X) N/m. L¡I distuncin a lo largo del plano entre m )' M es de .l.0 m. UI masa m se deja libre. choca cldsticamcme con lo masa M y rebota 11 unll distancin de 2.56 m sobre el plllno inclinado. L.1 nUlsn Al $e detiene mOlllcmáncameme [J ~.O cm de su posición inicial. DctCOII;nar la masa M.
132 •• SS M Un neutrón de mus:. m choca elásticamente y fi mente con un núcleo estacionario de masa M . (o) Demostrar que la enel~ núcleo después de In colisión es E~ ..... '" H mM/Cm + ,\'f)!1 E~.. ~iendo ~ igual !I la encrgfa cinética inicial del neutron. (b) DemOStrar que ID fracc~ " energfu perdida por el ncutron en este choque es lit -tJ.E'. E,.
:
4 mM (m+MF
:
~ ( m fM )
( l+m I M )!
133 •• La mnsa de un núclco de carbono es aproximadamente 12 \ ctesla masa de un neutron. (a) Utilizar los resultados del problema 132 para ~ lrar que después dc N choques fronUlles de un neUlfÓn con núcleos de c~ en reposo. la energla del neuuón es. ~proXjmadnm~ nle O. 716N fo. siendo Evla energín originul. Los neutrones emitidos en la fiSIón de un núc:]to de lII'aI!b poseen una energla de unos 2 MeV. Para que uno de estos neutrones origuleb fi sión de otro núcleo de uranio en un reactor. su energra debe reducirse apro , madamcnte a 0.02 eV. (b ) ¿Cuántas colisiones fronUllcs son necesarias ~ reducir la energra de un neutrón de '2 MeV a 0.02 eVo suponiendoqueson~ quC!$ elásticos con núcleos dc carbono e.~tac i onarios? Figura 8.71
Problema 129
Una placa circular de radio r tiene un orificio circular cortado en ella de una radio rl2 (figura 8.72). Hallar el centro de masas de la placa. SllglJl1!lIcia: El orificio puede representarse por dos discos superpuestos: uno de masn 111 y el Otro de masa -111. 130
••
SSM
134 •• Por ténnino medio. un neutrón pierde el 63% de su energía nt!ll choque elástico con un álamo de hidrógeno y un 11 % de su energía en un ~ que idéntico con un átomo de carbono. Estos valores son inferiores a 10$ ~ Z3dos en problemas anteriores. debido a que la mayor pane de los choquc:s lkL son fronta les. C:llcu lar. por ténnino medio, el número de choques Il«t$a;ric para reducir la energía de un neutron de 2 MeV a 0.02 ~'l eV (un resutlldo deseable por razones explicadas en el problema 129) si el neutrón choca ctIL (a) átomos de hidrógeno y (h) átomos de carbono. 135 •• Una cuerda de 10ngilUd L y masa M está arrollada sobre una. ~ Panicndo de / '" O. un eXlrCmo de la cuerda se levanta de la mesa con UM flIml F lal que se mueve con una velocidad conStallle l'. (a) Detenninar la aIlUril del centro de masas de la cuerda en runción del tiempo. (b) Derh ar dos \'tCtSd resullildo de (a) parn calcular la acelcr.lción del centro de ma-;a, (e) S~ niendo que la fueT7.l1 ejercida por lu mesu es igual al ~ de c:: uen13 que reposa en cada installle wbre ella. detenninar la fUeT7..3 F I'J' JI sobrt d extremo de In cuerda. 136 •• Repetir el problema .l7 suponiendo que la cápsulu m. y la bola chocn Contr3 ella inelásticamente.
Figura 8.72
Proble ma 130
131 •• UtiliZllndo l:! sugcrcncin d:lda en el problema 130. hullar el centro de masas de un!! esrcm maci¿¡r de radio r que tiene ulln cavidad esféricn dc radio rl2. como se \·c ellla figura 8.73.
_ UI13
JlW¡
137 •• Dos astrorUlutas eil reposo se encuentron uno frt'! espacio. Uno. COil ma.~ 11/1' cchn una bolu de masa "'b al otro. , Estc recoge la bola y la echa de nue\'o ni primer astronnuta. Si bola con Uila "clocid:ld l' relativa :\ sr mismo. ¿.con qué \'(':1[10. después de que cada uno de ellos ha realizado un lanzamiento 138 •• SSM El cociente entre la masa de In Tierra Luna es M"¡m l '" 81 .3. El radio de 1:1 TIerra es aproxinmdamer In distancia de In Ticrro a In Lunn de 384
"'" .'10 '" ).:m)
altA'" por ~
",1\i."Iema e ma~ dt'
mueve tt h '(nuudt' k... 1-1 du-lk ~l hr4l
139 •• i Un estudiuntc de pie sobre unn ~lIperti,'1e !IC'¡.Ir upullla con una manguero horizolllalmellle. di<;pucsto n lanlar a,gua <,Q/'ft' rI patio de ~u colegio. El agua <;ale de la manguero a 2.4 kW" , \ clociJal dr:' JO"" Si ~u mo~'l es 75 kg, ¿cuál es In nceleroci6n dc R!tl'OCe..;.o 'del e,tudi.:llltt ~ ¡[lrprecior el rozamiento y In 111:1<;1\ de lu lI1!\nguero.) 140 ••• SSM Un chorro de I00 boli tn~ de \ idrio ~le tk UJltU'" r-v¡. l(lnull cada s:gu ndo y chocn COntru un plntillo de una bal:mla ('(lnIO ~ ,e figura 8.74. En ~u mBrcha caen u lo largo de unu di'IIUICIUdr (15 m 1\.L..tI balan/.ll) rebotan haSla In m'S"mn nltura. Cada bolita tiene una ",!l.\.I1 rJt oJ f ¡.Qué \'Alor debe tener In ma<.n m colocflda en el otl\' plntlll(\ de Id ~llIIl"l"" hlKlcrquc IlIugUj" pcmlllne/cn en ccm't
tI!:
Figura 8 .73
Prohlcma 131
Problemas
I
" Figura 8.74
Problemn 140
UnA pesa de gi mnasia ronl1t1dn por dos bolas de masa m coneelu 14\ • • • . . . ul\.3 baJTll dt! longilud L. Y TllOSU de.'\prccHlble se apoya en un suelo sin :::ento ,ontro una pared sin rolamicl~to husta qu~ comienza 11 deslizar por
Figura 8.75
Problema 141
corno nlUt''\lrt1 In figura 8.75. DClcrmlOuf la VCIOCLdud l' de In bola que está
éSll _.
jUnlolU '
I
Wen el momento que se IlUce igual a In velocidad de la mm bola
.
•
245
ROTACiÓN
Capítulo
9.1 Cine mática de la rot ación: velocid ad angular y aceler aci ón angula r 9.2 Ene rg ía ciné tica de .-
rotaCl o n
9.3 Cálculo del mome nto d e in erci a
9.4 La segunda ley de Newton en la rotación
del juego de bolos se mueve en el canal de retomo de [as bolas, rodando sin resbalar. El. ¿Cómo diseñaría un canal de retorno de las bolas para parar la rotación de las bolas? (Véase el ejemplo 9.13.)
E n los capítulos 4 y 5 exploramos las leyes de Ncwlon . En los capítulos 6 y 7 examinamos la conservación de la energía y en el capítulo 8 esludiutllos la conservación deJlllomento li neal. En esos capítu los hemos descubierto herramientas (leyes y teoremas) que son útiles para analizar nuevas silUac iones y resolver problemas nuevos, Ahora utili zaremos CStas herramientas a medida que exploremos el movimiento de rOHlción. El movimiento de rotación está presente en !Odas panes. La Ticm\ gim alrededor de su eje. Las ruedas, los engranajes. las hélices. los motores. el eje de tram.misión de un coche. los discos compactos. los palinndores sobre hielo cunndo realizan sus piruetas. todo gim.
~ En este capítulo consider aremos la rotaci6n IIlrededor de un eje fijo en el espncio como en el caso de unu peonza o un carrusel. o alrededor de un eje que se mue....e paralela mente a sí mismo, como en el caso de un a bolu que r uedn sobre unn superficie. Otros ej emplos m ás gcnernlcs del mo .... imiento de rotación se annliz:l r{¡ n en el capftulo 10.
9.1 Cinemática de la rotación : velocidad angular y aceleración angular Cadn pUnto de un cuerpo que gi m respcctO de UII eje fijo :oc 11llleVC el.\ un círcul.o cuyo ccn~
eslá en el eje dI.! rot:lci6n y cuyo radio c.., la distancia de C$ IC punlo al cJe de.rowclón. Cunl~lIlcr ~nca tra/.ndu u purl ir de c:ole eje que lo lIn!! con cualquier punto en roIUCIÓ~l. b.1l1TC el tm~mo angulo en el mismo tiempo. [magincmo:o un dbco que gira alrededor de un CJe fiJO perpcnchcu-
9.5 Aplicaciones de la segunda ley de Newton a la rotació n 9.6 Obj etos rodan tes
248
I
CDpítulo 9 Rotación
1). Sea r ¡ la distancia desde el ccnr ... ,w 1Uf 1\ su supcrficic y ' luO pasa por SUcentro (figura 9.oo'd 1 .I "\,1"1:1 disco a In pnrt kulu ; (Iigura 9.2), y sea 9¡ el :1.ngulo m loen .c senl lCo co~trario al de la t'C4
\
\ \
c i6n de las agujas del reloj e ntJ'C la Unen mdial qu~ une ~u partlcula con el eje de ,rotación y Una Unen de rererencia fijn en el espacio. Cuando el dISCO gira un ñngulo d6, la panlcula \e Illlleo, un nrco circular de longitud tls,. de IíII manCnl que se cumple t
\ \ \ \
\
lIs¡ = r,
Ida¡
en donde () se mide en md iancs. Las distancias
cL'i¡
19.11 varf~n de una partículll a Otro. perott
de.
llamado dcs plllznmiento angula~. es el nll5.ffiO pora todas las partícuJíl!. ttI disco. Para unu revolución complctn. la longitud del arco tul es 21rr, y el desplazamiento
ángulo \ \
\
ang ular ó.O es
\ \ \
, \
Figura 9.1
ó.f) =
2"" "
= 2n rad - 360 = l rev 0
La variación del ~ngu l o respecto al tiempo es la misma para todas las partículas del diSC() y se denomina velocidad angular wdcl mi smo:
w=
de
19.2)
d,
\
\
D EFLNICLÓN -VUOClO...o ANQ.lI,¡
\
\
:__ dO •
:-
••
donde (j) es la minúscula de la letra griega omega. Para rotaci ones en sentido contrario a I~ agujas del reloj , (J crece y (J) es positiva. Para rotaciones en sentido horario. 6 decrece y (¡)e5 negativa. Las unidades de (j) son los radianes por segundo. (En el capítulo 10 veremos ~ para rOlaciones en general. la veloc idad angu lar es una magnitud veclori al ql e .L punta a kt largo del eje de rotac i6n.) Como el rad ián es una unidad ad imensional. las di me 'Iones dr b velocidad angu lar son las de la inversa del tiempo. ITj- L. Frecuentemente la f\ Ión sedes. cribe med ian te revoluciones por minuto (rev/ min o rpm). Para convertir enl re\'oluciones, radianes y grados, basta recordar que
•
•
• \
l rev = 2:rr rad = 360 0
\
\ \
Ejercicio Un di sco CD-ROM está girando a 3000 revoluciones por mim velocidad angular en rad ianes por segu ndo? (Respuesta 3 1-J radls.)
\ \
\ \
\
, \
La variación de la velocidnd angu lar respecto al tiempo se denomina acelerad
Figura 9.2
d",
a -
dI
-
(9..11 D EFINICiÓN - ACUHlJ.
~ A' 'QJJI.
Las unidndes de la aceleración angu lar son radianes por segundo por scgund" ¡J"Jdls=¡, lJ aceleración angul ar c.<; posit iva si la velocidad angul ar (V crece y negativa si (1) dI ..:rccc. Las tres magni tudes angu lares -desplazamiento angu lar e. velocidad angul.lr (¡) orekración angul ar a- son análogas a las mngnitudes !ine¡!les --despl azam ien to lincal 1'. vd!).1· dad lincn l L' y nceleración linenl {/- que vimos al estudiar cl movimienlo unidimcn ..;ional SI la aceleración angular aes constante . podemos im egrar la ecuación 9.3 pura detcnllI1HIJ'((l (V
=
(Vo
+ CtI
IQ,J1
en donde la c.ollstantc de integración cl\¡ es la velocidad angular inicinl. Estu ~ la ~'I..·uJCK~ análoga rotaCIOnal a v = 1'0 + (11 , Integrando de lluevo. resulta .' <
9 . 1 (1 nematlcll . de la ro tación: velocidad angular y ace lerlldón angular
I
249
Trazas de estrellas en una falOde larga exposición del finnamcnto nOClUmo.
la ecuac ión análog<1 rotac ional de x = Xo + \'01 + ~ ar2, donde B reemplaza a x, ro a v y Ct aa. ,.. igua l modo. e lim inando f de las ecuac iones 9.4· y 9.5 se obtiene
qu~
w2 = wJ +2a( 8 - 8o) que e\ la ecuación análoga rotaciona l de
(9.6)
v2 = va + 2a(x -xo). Las ec uac iones de rOlación con
acelcr-Ici6n canSlan!e tienen la misma ronna que las de aceleración lineal conSl:UUC.
EJEMPLO 9. 1
I
Un reproducto r de CD
Un disco compacto gira 11 partir del reposo u 500 rev/min en 5,5 s. (a ) ¿Cuál es su aceleración angula r, supuesta consta nte? (h) ¿Cuá ntas revoluciones da en 5,5 s ? (e) ¡,Qué distuncia recorre un punlo de 1:\ per ife ria del disco siluodo 11 tí cm del ccntro dura nte los 5,5 s que turd u en alcUIl1.ur lus 500 rcv/min?
Planteam iento d e l proble ma El apartado (a ) es análogo 01 problema lineal de detenninar la 2 acelemción cuando se conoce el tiempo y la vdocid¡¡d finol. Pum expresar a en mdls necesitamos convenir men radls. El apartado (b) cs análoga a la dctcnninación de la distancia recorridn cuando M: conoce el tiempo y 1<1 velocidad fi nal. (a) 1. La accleración :lIIgulllr está relacionada con IlIs velocidAdes angu lures inicial y fi nal:
o
w =w¡¡ +al = O+at
a = fE = 2. Despejar oc (b) 1. El desplaznmie nto angular está re lacionado con el tlcmpo por la ccuoción 9.5:
2. Convertir rndianes e n TCvoluciones: (c) I..:l di~tancia recorrida Al es igual al prod ucto de r por el desplata, mtento angular:
I
500 re\'/min x 2" md x 1 min _ 9.52 nld/ <; ~ 5.5 s l rev 60 s
8 - 80 = IDo' + j at ~ = O+ ~( 9.52 rad/ s 1)(5.5 s) ~ = 1M rnd 144 rnd x tJ. s = r tJ.8
1 rey
_"ro
'1
d =122.9rev
I
= (6 cm)( 144 rnd ) =18.64 m I
250
..
I
Capitulo 9 Rotacl6n
Comprobar el resultado L1 \'elocidnd angular media en revoluciones por minulo e~ 250 rev/min. En 5.5 s, el disco compaclQ gin¡ (250 rev/60 s)(5.5) = 22.9 rev. Observación Un disco compacto es barrido por un láser que comienza en el radio más inlemo. de unos 2.4 cm. y !oc mueve hacia afuem hasta nlc:l1l1.ar el borde a 6.0 CIIl . A medida que el láser se mueve de este modo. In velocidad angular del disco disminuye de 500 rev/min ¡¡ 200 rev/min. con lo cual 1:1 velocidad lineal (lnngencial) del dbco en el punto donde incide el rayo láser permanece conslame. Ejercido (a) Convenir 500 rev/min u radls. (b) Comprobllr el resultado del apartlldo (h) del ejemplo ulili1.ando 111 ex presión a? = (J.tl + 2(:(0 - &,). (Res/mes/{¡ 500 rev/min = 52.4 rodls.)
La velocidad lineal de una partfcula sobre el disco es tangente a la trayectoria circular de la misma y su módulo es ds/dt. A partir de las ecuacio nes 9.1 y 9.2 vcmos que esta "velocidad tangencia\" de lo partfc ula está relacionada con la velocidad angular del disco por
d8 di
r¡
de modo que
19. J De igual modo, la aceleraci6n I3ngencial de una paníc ula so bre el d isco es
a, -
dv,
d",
_ r· -
di
dt
I
de modo que
Cada partícula del di sco tie ne también una uceleración centrípeta que est.i di el interior alo largo de la Hnen radial. y cuyo módulo es
-
¡r.la had3
r ,·
de modo que
19.91 Eje rc icio Un punto de l borde de un d isco com pacto est(l a 6,0 cm del eje dI mnd6n. Detemlinar la velocidad tangencial "" la acelerac ió n tangcnc ialll, y la ace leracián ,~ntripell ac de di cho puntO cuando e l disco g ira a la velocidad angul ar constalllC de 300 fC\imin. (Respuesta \'1 = 188 cm/s. 01 = 0, (le = 5,92 X 10 3 c nv's 2.)
-
9.2
Energía cinética de rotación
.
L.a e~crgía ci né ti ca de un obj c.1O rígido que g ira respecto 11 un eje fijo es la ~lImn de In CTlCr}!13 clllét~ca ~e las partícul as individuales que colectivamente constituyen el obje to. A,i. ln cn('f· gra clnétlcu de 111 parl fculn i. de masa 111,. es -
1
,
. ,, " III . \,-
9.2 Energla cinética de rotación
E D ~
"
.tr del Cangrejo es una de IUl> estrellas de neUlrones que gira más r.'ipido. aunque cOn!inuamenle disminuye su velocidad de rotación. JOlpresión de encenderse (it.qu icrda) y apagarse (dereehll). de 1:1 misma forma u periodo aumenta con lu tusa dc cambio de lO-s s/año. La pérdida de la energía de rOl:lcI6n. que equivale a la poemitida por 100000 soles • .se muestra en forllla de la IUl. emitida por los eleclrQnes acelerados en el campo magnético del pulsar.
oda la energ l;¡ cinética de todas las pan ículas y teniendo en cueO!:1que
Ec =
¡/~miVr) ,
=
~¡, ( lII¡rrw) ,
=
1'(
= r¡wse obtiene
~(¡ m¡r1)w ,
La suma del térm ino de la derecha es el mom ento d e ¡nerda 1 del objeto respecto del eje de •• rolUclon
1
~
(9. 10)
m .r? ¿.. , "
DERNICIÓN - MOMENTO Dt INERCiA
Por lo tanto. la energ ía cinética resu lta ser
(9.11 )
E,. = ~ / w
ENERGIA CINETlCA DE UN OBIETO EN ROTACiÓN
EJEMPLO 9 .2
I
Sistema de partículas en rotaci ó n
Un ohjeto cun~i!ite en cualro Imrtícuhl..ti de mllsa 111 unida.ti medianl e va~iIl~s Iigera.ti sin mllSH IluC romulIl un rectángulo de Indos 2a y 2h, como se \e en In figunI 9.3. El Sistema ¡.:ira III~de dur de un eje sUmido en el plullu de la 1i~lIrll, PIlStmdo pur el centru. (a) Usundo Ins ccuaClOnc.c¡ 9.111 y 9.11 dc1ermlnur lu cncr).\fu cinéllci\ de esle ohjeto. (h) Comprohnr el ';-tiullnd.o CIIJcUhandu la energía cinética de cudn pnrtículu y stlm~ndoln hllShl oblt'/lcr 111 cne~1lI cinética Inlnl.
I
251
252
I
Capftulo 9 Rot ación
Eje de r?tación
Eje d e rotación
'~
• e,
e,
_. 1. --
,,
:-, ,
...-- ,,, --,.,,
2,, - - :
I
,
I
,'
Figura 9,4
Figura 9.3
Pla nteamie nto de l pro blema
Se sabe que el objeto está ronnado por panfc ulas individuales, por pri mero la ecuación 9 .10 pam calcular 1 y. posteriormente. la ecuación 9 . 1 I para el cál-
lo tanto se UStl culo de Eco En la ecuación 9.10. Ti es la distancia rudial entre eje de rotaciÓn y la partícula de masa 111/-
(a) 1. Aplicar la defi nición de mo mento de inercia a las partículas discretas (ecuación 9. 10):
2. Las masas lIIi y las distancias
ri
I =
m i
son conocidas:
L, lII i' } =
/II ~
=
=
m i
111 3
=
T'f + 111 2rl + 11/1 rj + 1II~r1 III~
r l = r2 = r J = r J =
3. Aplicando estos valores se obtiene el momento de inercia:
= '" (l
" " " ' = 4 11/0-' + IIIa+ ma+ lIIa1 = mo-
4. Despej ar la energ ía cinética usando la ecuación 9. 11:
( b) 1. Para determinar la e nergía c inética de la pan ícula i primero tenemos que calcular su ve locidad:
, I
,
E - -m,v-'
"
2 . Las partrculas se mueven en círculos de radio a. Detenninar la velocidad de cada partícu la:
I '¡
3 . Sustituir en el paso I de l apartado (b):
E,,
r ¡w
=
(l0J
4 . elida pnrtícula liene la misma energía c inética. Par:. obtener la energ ía c inét ica total se suman todas las energías:
5. Se compara con e l resullado de l apartado (a):
Los dos cálcu los dan el mismo resu llado
Observa ció n El mome nto de inercia l e... independ iente de la longitud b. pues ésta no está relacionada con la distancia de Ins masas ni eje de rotaci6n.
Ejercicio
Dctenn inar el momento de inercia de este siste ma si la rotación se verifica alrededor de un ej e paralelo al del ej emplo anterior. pero q ue pasa u lnwés de dos de lns pan ículas. como se ind ica e n la fi gura 9.4. (Respuesta 1= 8mn 2.)
9 .3
Cálculo del momento de inercia
El momento de i nercia cs una Illed idn de In resistencia de un objeto a expcrimcnlllr clllllbi{l.'o en su movi mien to de rotación respecto de un cje. Es cl análogo rolacional de la 111:1';\ El momento de i nercin dcpende de la distribución de la masa dentro del objeto re~pe{'to al el de rot ación. Cunnto más lejos está la masa del cje. mtlyor es el momento de incl't"'ia. t\,1.:11 cOn lrario que la 1ll1lSn de un objcto. quc es una propiedad del mb.mo objeto. Sil 1I1oll1cnlofok i nercia depende de la locnlizaeión del eje de rOlnción.
9.3 Cálculo del mo mento de Inercia
I
253
Sldernas de partículas discretas El 1110111:lI10 de
iT1el~ il~ rcs~~(O l~ u~I. ~jc determinad? de ¡tqUi,,:llo~ sistcma~ rvrl1lado~ por par-
r 'uln~ dlst:reta~ puede calcul.lrsc dtll;:ctHmcllI C IIlcchnnte In eCutlció1I 9. 10 .
I ~
Sistemas continuos p,lrJ cllkular el .mo mento de inerciu en si~tcT1la;.. continuos, inlllginclllOs que un objeto conti~tc: en un conllnuo de elemen to.;:. de maSII muy pcquei\os. Así. In sum a fini ta rm ,.1. de la rcuació n9 . I O se transformu en 1:\ IIltcgral
I I
(9.12)
dlmJc r e:. 1<1 distnncillll l eje de rotación del e le mento de masa tlm.
EJ,M PlO 9.3
I
Momento de inercia de una barra uniform e
U !'luinur clmolTlcnto dc inerdu de tina barrn unirorme de longitud L l' nmsu M alrededor de eje perpendicular a la barril que paSIl por uno de sus extremos. Suponer que In burra ti, IIn espesor despreciable.
PI e 1.
!,
1
)' 1 1 <:. 1 :"
,
•
f'amlento del problema Supongamos que la baml está oriemada según el eje .1' con su () I;!II el origen. Pam calcu lar / alrededor del eje y. elegimos un elemento de musa {/III 1\ unu disx del eje (figuru 9.5). Como la masa total M está uniformemente distribuida a lo largo de la ,d L. l:l musa por unidad de longitud (dcnsidud de masa lineul) es;t = MIL. momento de inercia viene dado por la integral:
I = J~
Xl
L- -
1
- .
dm = M,d.l
1 1
l.
L" 1[==:,j')lI- x _ _ d, ~,--x --~ ,
dll/
Figura 9.5 calcular la integral. relacionar primero (JIII con dx. Escribir dm en 2, lunción de la densidad)" y (/.1::
d",
3. Sustituir y realizar la imegración. Se el igen los límites de integración de tal forma que dm recorre la distribución de masa en la dirección erecieme de.t:
1,
JI'd
Al A d." _ - dx 1.
I.Jo x
1
JI.
JI. ,
Al o x- t.r I dm= l) .r2 M dx = T
L
Observación El momento de inereia alrededor del eje: es también j ML2. Yel correspondiente al eje x es cero si suponemos que toda la maslI está sobre el eje x.
Mediante el uso de la ecuación 9.12 se puede calcular' para objetos con tinuos de formas dh'ersas (véase la tabla 9.1 ).
' Anillos respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro C{)nside-
remos un anillo de maS.l M y radio R ( ti gul'll 9.6). El eje de rotació n e~ el eje del ani llo. perpendicu lar al plano del mi smo. Toda la masa se e ncue ntra a una distuncia r = R Y el momento de inercia es I -
Ir
2
dm -
IRl tll/1 = Rl I tllII = M Rl
·015(0 unlfonne respe
----_ ...... -~-
R
Figura 9.6
,
I
254
Capftulo 9 Rotación
TABLA 9.1 Mom entos de Inercia de cuer pos uni formes de formas diversas
Cilindro hueco re.."pcC(O n un diál1lc~ tl'O (fUe paslI I>or su centro
Cil indro hueco de pllred delugada rc.<¡pccto a su eje
Barril dclgnd(t respectO a un eJc perpcndicu1:lr que pasn por su centro
Esfera hueca respeclo al diiÍtnettu (pared delgada)
•
•
"
,
Cilindro s61ido re ~pcc to a su eje
Cilindro s6lido respecto u un di/hnelro que pasa por su centro
Burra dclgudu respecto ti un eje per~ pendicular que pUSII por sou extremo
Esfem sólida re.'1 pecto al d¡ ~Tl\ttro
R ~....
I Cilindro hueco de pared grues:t res~ pecIO a su eje
Paralelepípedo sólida ~ tnng.ubJ' respecto a un eje que p; a portlcm. tro perpendicular ni.. rJ
C il indro hueco de paredes grue.....1.S
respeclo a un diámetro que pasa por su centro
b
R,
,
I : !M(R~+ R~
R,
•
I - 1 M(R: + R2) + ..l.. ,\o1L 2 - "
]
2
O' '
]2
Un di!>Co e~ un cilindtQ cuya longitud L e~ desllI\.'ciable. Poniendo L '" O. IIIS rÓnn uJIl.\ anteriores p!lr:l cilindros :.i.... cn p.1rJ.lm. di.!>Cos.
est aba concentrada en 1' = R. En la figura 9.7 cadn elemelllo de masa es un illlillo de rodio,! espesor dr. El mOllletllo de inerc ia de c uu lqlliera de estos clemelllos de nlll~a e ~ tlm. (¡)(111.: el disco es unirorme. la masa por unidad de tire'l a es constante, a = MIl\. en d(lndc A;:: # e.\ el :írca del di sco. Como el (lrca de cada clcmento es dA = 2 nI' dI'. su masu '\erj:
, •
dlll -
-'-,
a dA
x A ~r
Fi gura 9.7
tenernos,
I -
Jr dm = J~ r!a2nrdr = 2nur l'1dr 2
2nM R4 -
A
-¡-
nM
RJ
= 2lrR 2
=
I 2 MR2
"
9.3 Cálculo del momento de Inercia
' Clllfldro unlf~rme respecto al ele Consideremos que un cilindro está formndo n!l serie de dI scos. cada uno de mu.!iU dm y mOmento d . • . t ~. :;ento dt! inercin del ci lindro completo es. por lo tanto. e lIler<::m i dm R- (hgura 9.8). El
I -= J ~dfl/ R2-= ~ R2
J
dm
, _ ,. , ,,
=
I
25S
R
en donde M es la masa t01a1dd ci lindro.
dm
Teorema de lo. eje. paralelo. o de elO Con fre<.'uencill es posible silllplificnr el cá\cu lo de los. momen tOs de o, nereUI Iversos cuer. "'" t.eorcnm de los ejes pnrnlclos ' que relo,e,oo"o, el momento d e oIner· r·· ulÍlil llndo el llumndo · < , ciarespecto n un eJ~ que pusa pO,r el ce ntro de mnsns de un objeto, con elmomcll1o de inercia re:iPCX'!O a otro eje paralelo ¡¡I¡mmero (fig ura 9,9). Sea 'cmel momento de inercia respecto al eje que p:1~3 ~r el centro ~~ nH~~.¡¡S de un ~bjeto de !llasa lotal /vi. e I el correspondieme a un pamlelo SIIU!ldo 1I In dl slancl.1 h del primero, El teorema de los ejcs p
*
,, ,M ,,
'----,- ----,
Figura 9.8
,C-- h
(90 13) TEOREMA DE LOS EJES PARAlHOS
El ej li =-
a 9.2 Y el ejercicio siguiente ilustran un caso especial de este teorema con" = 0 , 100m = 411/0 2 • Al fina l de esta secc ión se incluye una deducción de este teorema.
- ,,
, ,,o , o , ,o,
""
Un objeto gira alrededor de un eje paralelo a Otro que pasa por el centro de masas y e:\tá a UlIlI distancia h del primero. Figura 9.9
EJEMPLO 9.4
I
Momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas de una barra uniforme
Determinar el momento de inereia de una barra unirorme alrededor del eje)" que ¡>lisa por el Cfnlro de masas (figura 9.10).
¡/NTÉNTELO USTED MiSMO!
,.
Planteamiento del problema Sabemos que I = ~ ML 2 respecto n un cxuemo y deseamos determinar ¡cm' Utilizaremos el teorema de los ejes paralel~s, siendo h = ~ L.
,
Tape lo columna de lo derecha e inlente resolverlo usted mismo
om ,
Pasos
Respuest as
1. Aplicarel leorcma de los ejes paralelos ex.presando' en funci6n de ' cm'
1 = 1. +.\l h'
2. SU5tituir' = j M ¡} y despejar I~m'
I
_ I Mil: =
Observación El momento de inercia es mfnimo cuando un objeto gira alrededor de su centro de masas, como en este ejemplo. Comparar este resultado con el del ejemplo 9.3, donde la burra unifonne gira al rededor de un eje que pasu por uno de sus extremo!>. Ejercicio Usando el teorema de los ejes paralelos. demostrur que cUllndo se camparon IOt< momentos de inercia dc un objeto relipecto dos ejes paralelos, el momento de inercia menor !oc dn respecto del eje de rolaci6n que está más pr6x imo al centro de masas.
' Demostración del teorema de los ejes paralelos Parn probar el teorema de los ejes paralelos empc7..amos considemndo un objeto y ~n eje A,
como se mucstra en la figuro 9. 11. ElegJlllos como origen el centro de masas. con el eje ~ p..'lr:l lelr"a ~ ' respeCtO d e A e Icm es el momento de inercia , l ' eje A. Entonces I es el momel1lo tll' . merclU
Figura 9.10 -- lI~'U L'
256
I
Capitulo 9 Rotación
respecto del eje :. La masa 111 ; c!'tá en el punto de coo~dena~ns (x¡. )'¡. ;:,) y la intersección eje A con el plano .\)' tiene coordenadas XII' YA' Las distancias r¡ y R¡ ~on las di stanciliS del pendic ulares desde m i al eje A y al ej~ .:. r~spccti víl1nente, y " es la distancia pcrpend :' ent re los ejes, Se obtiene que "i es la distancIo d.csde ~r/\, YA' O) hasta (x,. )'¡. O), R¡ es la di~ cia desde (O. 0, O) hasta (x,. y¡, O). Y " es la dlstanc m desde (O, O. O) hnsta (x". Y" 01 ", , En consecuencJa. . " ' '' L 1'1 - (x ¡_ x ,I )2 + (Y¡_YA)2 . Rr, = x ¡ + Yt, y l/-' = XA, + .\',7\,
'cm
= ¿m¡Rr =
¿ "'¡(xl + yf)
e
1- ¿ ml"T=
L, f1l ¡l (.\·¡- XA)2 + ()'¡-YA)2 1
- ¿ 1II¡(x 1 + )'1) - L,11I ¡2x¡x,\ -
L m ¡2Y¡)'A + L. m¡(x~ + Y~ )
FIgura 9.1 1 Sacando el factor común de estas sumas se obtiene
El primer término es Icm' El segundo y el tercer té rminos pu eden simplifiC311.c u5a!Kkl "f.",¡x , = M X CUl y IIII¡),¡ = M Yern . Además. como x cm = Yem = O. tanto el segundo comocl tercer término se nnu lan . El cuartO té rmino vale Mh 2 y resulta
que es el teore ma de los ejes paralelos.
EJEMPLO 9.5
I
¡PÓNGALO EN SU CONTEX
Un coche híbrido
Supongamos que usted conduce un coche híbrido experimental di.<¡eñado para ser utilizado en condiciones de tráfico denso en una ciudad. En un coche convencional cada "ez que se uccionan los frenos para parar. la energía cinética del vehículo se disipa en forma de calor. En un "chículo híbrido, el mecanismo de Creno transforma la energía cinética de traslación del movimiento del \'chículo en energía de rotación de un volante o cilindro inercial muy pesado. Cuando el coche recupera su velocidad de crucero esta energía Se translicre de nuevo a energía cinética de traslación del \'ehículo. De hecho, el cilindro, de 100 kg. es un cilindro hueco que tiene un diámetro inferior RI de 2S cm, un diúmetro exterior R 2 de 40 cm, y una vclocidlld máxima de rotación de 30 000 rev/min. Una noche oscura y desapacible, el coche agota su ¡.:asoIina a 22.5 km de casa con el "olante inercial girando a su velocidad máxima. ¡.Tiene el ,·chí· culo suficiente energía lllmacenlldn pura que usted y su nerviosa ubuelll lleguen a casa'! (Cuando el coche se mueve a la velocidad mínima permitidu en la autopista, 60 km/h, 111 rcsis· tencia dd uire y el rozamiento por rodadura disipan energía a JO kW.)
Planteamiento del problema ' E·c=2l /€lr·
La energía ci nética se calcula directamenle de In expresión
1. La cnergfn cinética de rotación es:
E, = !, / w •
2. Calcular el momento de inercia del cilindro hueco:
I = ~m ( Rr + R!) - 11.1 kg · m 2
3. Convertir Wen rodls:
(() = 30000 rev/min = 3140 rad/$:
4 . Aplicar estos valores para obtener la energía cinética:
Ec = ~ I a)l = 54 .8 MJ
S. LIl cnergfn se disipu 11 IOkW si se circu la a In vclocidud de 60 km/h. Panl determinar la energía di.¡ip:lda durante los 22.5 km . primero lene.
Llx = \' Llt.
por lo talllO.
61 - 1350 s
mos que detcnninar el liempo necesnrio paro el "iaje: 6. L.I e ne rgía se disipa n IOkW dUTallle 1350 s. La energía disipada tOlal
13.5 Mj
e~:
7. ¡, Hay suficiente cnergíu en el cili ndro inercia!'!
54.8 MJ son lIprovcchublcl. y 13.5 MJ se disipun.
Sí. huy más que ~uficiclllc energía almllccll:tdn.
9.3 Cálculo dl!l mo mento de inercia
I
257
Ob servación
En un guión de gasolina (3.8 1) hay 130 MJ de en"'gln S· 1 . fi " . I e mOlor llene una e I ~ ·, nó~ del IOll!. pnr.1 mOVer el vehícu lo sólo se nprovcchan 13 MJ M, 16 d l· P 1 el ' . . . .' . .' ' . /'" gn n e guso IIIU. or o IllIIIO. ti pumr de lo~ dulO~ del cJerclclo anleru.,)r se deduce que WI1 UI1 guión de gnso!inu !:e recorrcn 1~5 ~m .
EJEMPLO 9.6
I
El plvote
llnll barril delglldu y uniforme de longitud L y nUlStI M ph'otll por uno de sus ext re m os. Se colocll en posición horlzontul )' se dcju en libertad (liguru 9. 12). Se supone <¡ue no huy roza ntienlO Cll el ph·ote. Dete rminar (a) In velocid ad ungular de In burro cua ndo ulcanza su posición \crtlenl, y (b) In fucr7.u que ej erce cl pil'ote en ese instunte. (e) ¿Qué \'clocldad angulur íniel:tl se necesita pur u que la h ur r ll. II!cun ce In posició n \'c rUcul ul fin a l d c su Oscil Ación ?
-
_____ ~- - ---:_ :_------~
Dibujar un diagr.una de In barra que muestre sus configuraciones inicial y final (figunl9.12). Colocur un eje de coordenadas vertical de fomlU que la dirección hacia arriba sea positiva y con el origen en el eje de rotación. Aplicar la conservación de la energía mecánica para relacionar las energías mecánicas inicial y fina l.
3.
_ _
_
.
I
/ +
Planteamiento de l pro bl e ma (a) CUlllldo la baml ene. su energfa potencial disminuye y su CII. 1.\ cinética aUlllenHl. Como el pivote no ejerce rozmnielllo, se USII la conservación de la energrll me IIca, La velocidad ungular de la bumL se determina a pnrtir de la energía cinética de rOlación. i! ro detcnninar 1:1 fuerzn sobre el pivote se aplica In segundu ley de Newton al sistema. (c) Al i ~\k! en el apartado (lI).:.C usa la conservación de la energía mecánica. (
- - L - ----1
Figura 9 .12
" "+1 2 cor l ' gy,.", f
_ 2" co,' + Mg)·<,,,,;
-
Despejar c<.r
4. Obtener I a partir de la tabla 9.1 y sustituir en el resultado del paso
m, -
/
3,
+
(b) 1. Dibujar un diagrama de fuerzas en la barra cuando ésta pusa por la posición vertical (véase la figura 9.13). 2. Aplicar la segunda ley de Newton n la barra y al pivote. Cuando la barra está en posición vertical por debajo del pivote, la aceler.!ción del centro de masas va en la dirección centrípeta (pos itiva):
I 2. F OI T = l\1 a cm F p- Mg = MlI nn
3. Relacionar la :lceleración del centro de masas con la velocidad angular usando ( I c = rcJ. SustilUir el resultado del paso 4 del apartado (a) para w y despejar a "m: 4. SustilU ir en el rcsulu\do del apartado 2 del ap:lrtado (b) y calcular
3 _ L ~ = -g 2 2 L
Fp
cinética iniciul : 2. Dibujar un diagrama de la barra que muestre las configuracio.nes inicial y final (figura 9.14). Poner un eje de coorden~~as v:~I~nl con el origen en el eje de rotación y lo dirección posItiva dm gldn hacia arriba . 3. Aplicar la conservación de In em:rgfn mecánica. con E~, = OYUI = O. pam relacionar la energío cinétic:1 inicial con la posición final :
-
Mg+Ma cm -
Figura 9 .13
Mg+ M ~g
=[~Mg I
F p:
(e) 1. La velocidad angular inicial w¡ está relacionada con la energía
con
E,•
,.=
-------'----- ,-
.
E + Uf = Ec + U I
'.
~ lwl+ MR)'",d = ! J(tIf+ Mgy,...
O+Mg~
=
~fwr+O
,m
¡
Fig ura 9 .14
.
258
I
Capítulo 9 Rotación
4 . Despejar la \'elocidad angu lar inicial.
ro, =
J
M
MgL ! ML l
8 , 'L =
,
Obse rvació n No es UIIII coincidencia que las reJ:puestus de los upartudos (a) y (e) senn idéntic8s, L:I disminuci6n de 1:1 energfn pOlcneial en el apurtado (u) es igual al incremento de lu encrgfn potencial en el apanado (c). A sr, el incremento de la energfn ci nética del upilrtudo (a) es igual n la disminuci6n de la energín cinético en el al>nnndo (e),
EJEMPLO 9.7
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
El torno y el cubo
Elllu cubiertn de un pozo hu)' un torno cuyo tumbar tiene de musn 1/1 1 y radio R. Virlunhnenle toda lu masn del tumbar se co nccnlru a una distnnci u R del cje. Alrededor del tambol' se enrolla un cable de musa lile.\' de longitud L. de donde cuelga UII cubo de agua de musa m ... Cua ndo el cubo está a rriba, a usted le resbalan las manos y el cubo ene por el pozo, desenrollando el ca ble. Cuá ndo el cubo ha caído una dis tancia d (d < L ), ¿n qué velocidad se mueve el cuho? Pla ntea miento d e l pro b lema Cuando el cubo con el agua cae, la energía mecánica se conServa. Se supone que la energía potencial inicial e.... cero, Cuando el cubo ha caído una distancia d, el centro de masas del cable ha bajado d/2 y, dado que la panc del cable que cuelga se mueve con velocidnd l' y el cable no se dcfonna, todo el cable debe moverse a \'. DClcnninamos \' :t panir de la conservaci6n de la energía mecánica,
Tope la columna de la derecho e intente resolverlo usted mismo Pasos
Respuestas
1. Dibujar un diagrama del sistema en sus configuracione:; inicial y final. como se muestro en la figura 9. 15. Incluir un eje y con su origen a la misma altura del eje del tomo.
Antes +y i
Después
,y
111,
o
m
o
m.
cm
, -
, m
2, Aplicar el principio de com. ervaci6n de la energf!l mecúnica. Elegir
(.. + F
3.
E~cribir
una expresión parn In energía potencinl lotal cuando el cubo de ngu:\ IlB caído unn di¡¡tancia d. Sen m~ la rnnStl de cable que cuelga,
, + ¡.
l
como origclI de la energía polencial cuando el cubo de agua c.o.u'i a In rn:hima ahum.
o-+-u 1
1 "
E~pre ~a r
la cnergí:l cinética totfil cuando el cubo de agua está cayendo I..'on velocidad \', Todo el cable) 1:1 mru..'\ del tomo \C rnuc\cn con In ll1i~l1l n \elocidud \'.
{
(
• 'm
n
, "'.NI "
1
1m +
4.
Figura 9. 15
•
'"
(/)+111
N( ~ J-+- ti
-
11{ 1/
., .,
+Irt +.",\
,
,/11
,.
• '"
+ tn \
9.4 la segunda ley de Newton en la rotación
S. Susliluir en la ecuación de conservación de la energía (paso 2) y des-
pejar \'.
I ( m·+ l /11 . )gtI +2( m .+ma+llll h ~ 2
I
259
= O
por lo lalllU
,. -
¡{2m. + 111: 19d
- '" m.
+111
+m l
6. SupOntl-r que el cable es unifonne y expresar m~ en función de lile' d, Y ~
7.
Su)üluirel resultado de l paso 6 en el resultado del paso 5.
,. =
Observación ~ Todo . el tomo se mueve a velocidad l'. La enerufll '" cinética se pucde expresar enton"oomo !2 1111.1'''. Sin embargo. Ise puede expresar lambién como!., Jl o} donde I R" R a, . ~ I ~ ~ ~ 1 ' I - mi Y W = \'1, • Con r'" ~u....I¡(uctones E CI = :/ 100- = i IllIR"(v"/ R-) - imlv2, ..
9,4
segunda ley de Newton en la rotación
•
Para h.: ,je una lapa dé vueltas, se la tiene que hacer girar. En la figura 9. 16 se muestra cómo ~t girar un disco mediante la aplicación de dos fuerzas F] y F 2 ejercidas en los ooroesd ~co y en la dirección tangencial. La dirección y sentido de las fuerzas es impor.. ll1Iue, Si 'nismas fuer.l3s se ap lican en la dirección radial (figura 9,17) el di sco no gira, La ti 9. 18 muestra una partícula de masa m atada a un ex tremo de una barra sin masa ) rígidn, ongitud r. Hay un eje perpendicular a la barra y que pasa por su extremo. alrede.. OOr del e la barra puede girar libremente, En consecuencia, la partícula sólo se mueve en UD círculo de radio r. Asimismo, se ap lica sobre la partícula una fuerza F. Si se apli ca la segunda ley de Newton a la partícu la y se tOman componentes en la dirección tangencial se obtiene
Deseamos obtener una ecuac ión que incorpore las magnitudes angulares. Sustilltycndo ra por ~ (ecuación 9.8) y mult iplicando los dos ténninos por r se obtiene
Figura 9.16
__F..:.,+_________ _________ _F;.;'_~
(9. 14)
El prodUCto rF, es el momento rde la fucf7.8. es decir. Figura 9.17
(9. 15) M OMENTO
Dirección tangencial
Sustituyendo en la ecuación 9. 14 se obliene (9.16) l1e un conJ'unto de partículas WJelo rígIdo que gira alrededor de un eJc fiJO cs slmp emc l . . Ildi 'd la lmycctono clrculnr con VI uales. cada una de las cua les está obligndo a moven.e en lit . 1 .d m' .' . , di' 'ón9 16n lnpnn lcunl e 15m,a vc locidnd angular (J) y aceleración CL Aphcan o n ccunCI . l;onJunto lleva a n " l..'
•
. '
T
,~"
=
.
,
"',r,-a
1
Partícula ' ': Eje de rotación
, A
Barra rfgldll sin masa Figura 9.18
,, ,,
,
260
I
CapflUlo 9 Rotación
. el momento dcbido a la fuena nelU ~obrc \tI part ícu la i. Sumllndo donde Trncul C~ . . . '. . 'd" pa" ' 1 l o~ d o~ térnuno!. de las expn.::slOIlI;;.<, all l e n orc~ cOIl ucc a •
en
t od as 1liS pll rt ICU
a~
.'
.
L, Tlnetl = L, 1II ;rr a = ( L,. m¡r1)a = l a En el cupílulo 8 vimos que la fuerza resu ltante q~e act úa sobre un ~istema .de panículas ~ igual a la fuerzn exlemll nela que actúa s~bre el sistema, ya que la~ fuer/as Inte,:,ns (111.\ qllt! se ejercen mUUUlIente las pr~rt rcll la!' dcl Sistema) se anu.lan por p~res. ~I trotamlento de 10$ momentos in tcrno~ que ~e cJercen las partfculas entre SI denl~O de un Slst~ma condUce a UQ resultado semejante. es decir. el momento .resultante que acma sobre un sIstema es igual al momento externo neto que uct úa sobre el SIstema. (Abordaremos este punto más adelante el capítulo 10.) Por lo tunto. podemos escribir la ecuación 9. 17 en la forma en •'n elll.el;¡ -- "~ , ex¡- la
19. 18)
SEGUNDA lEY DE N EWTON PARA LA ROTACIÓN
Esta es la segunda ley de Newton aplicad.¡ a la rotación. análoga a la aplicada al rnO\Timiemo lineal, lF = ma .
Cálculo de momentos
"'-, . ..
'
•
---
, o
Figura 9.19 La fueml F produce un momento F1r respecto del eje q ue pasa por el CCnlro.
La figura 9.19 muestra una fuer.la F que actúa sobre un objeto que e:.tá obligado a girar r~. pecto a un eje fijo A. que no se muestra, y que pasa por O y es perpendicular al papel. la dirección tangencial positiva se muestra en el punto de ap licación de la fuel7.
en donde ~ es el ángu lo entre 1:1 dirección radial y la direcc ión de la rtlerla. expresar el momento como T = F¡r = (F sen 41)1'. La li/lea de acciól/ de una fu\;,
mclOO'
paralela a la fu erza y que pasa por el pun to de apl icac ión de la fu erta. De podemos ver que r sen
ura 9.20
e.
T
Linea de accl6n
Figura 9.20
U I fucr¡,u F produce un momento
Ff. alrcdedor del eenlro.
'ndicular r = Fl.
= F¡r - F sen'" r - Fe ExPRESIONES EQUIVAUNTlS
.; Illlínea
19.191
e
..,[NlO
Momento debido a la gravedad Como ya se ha dicho. se puede considerar que un objelO macroscópico C~ un \. njunto tk part rcul as microscópicas pun tuales y que, sobre cada una de ellas. acaía ulla lue, :1 grJ\it8' toria microscópica. Cnda una de estas ruer.ws ejerce un momento mi croscópi~·t' rt'~pt!I-·tO l un eje determ inado. y el momento gravitat orio nelO sobre el objcto es la suma de ~"to' momentOs microscópicos. El mornento gravitntorio neto se clllculn con!'idcrand(l que el re~ total del objeto (la suma d\: todas la!' ruerals gravitatorias) actlÍa sobre un Úni CO punto: cl centro de grllvcdnd. Consideremos un objcto (figura 9.21) obligado H girar n!\pci:¡O dl' un eje hori zonl~11 A que va en la dirección perpendicular al papel. Elegimos. 1:\1 C('Inll1..c mUt"· Ira en In figu ra 9.2 1. el eje:: del sistcmn de coordenadas de modo que coincidal'on el C.IC¡\.~ elegimos el eje x según la dirección horizontal del papel y el eje y seglin la dirc\.'l' jl1ll ,crtif;U El mOmento de lino partfc ul a de maslI m, debido a In gravedad es ltJ,gl',. donde" c~ d W I\
9.5 Aplicaciones de la segunda ley de Newton a la rotación
alancU de la fueil.a m,g. El momento gravitatorio neto d b' Jt P -IIIOS gravilatorios de las partícula)) que lo forman . d ~ un o ~cto (.~ s la sumu de los n,on1\: . . es eClr. -r = L m !lx S' . f lisOlO valor en todo el obj eto. g puede sacarse como faclor e 8r:l~ r lo " 1 g lene (I , _ (L ) < Olllu n ueru de la suma. lo ~;l:ll nOS lI~va a dTgnI\ -b ' m, x¡ g. La Suma e ntre paréntesis es (véase la ecu'lción 8 1) SuslllUycn o se o tiene ' . J1XC1lI'
,. cm e
''T"'
mlll
Ml ~.T
(9.20) (a ) M OMENTO DE: LA GRAVEDAD
co rno SI" Ir E111100lento debido n un campo grav itatorio uniforme se caleul'l < a ucrZ<1 gra" 'l! a t o~ . l'd econel n.. 'actuara gtobalmcnlc . 'en e l centro de masas ' ya que el C"ll1 ... ro de gr'l. vc d ad comC centro de masas SI el objeto está en un campo gravitatorio uni forme. 'd
M A
9.5 En e e:¡;pr
Aplicaciones de la segunda ley de Newton a la rotación eccióll veremos algunas ap licaciones de la segunda ley de Newlon a la rotac ión, 1 por la ecuación 9. 18.
In clones útiles para la resolución de problemas re onados con la aplicación de la segunda ley de !wton a sistemas en rotación Dibujar el diagrama de fu erlas en la imagen del objeto (no con" 'ltrar la'i fueil as en un solo pun to), Dibujar cada vector fuella a lo largo de la línea de au:¡ón de la fuerza, En el diagrama indicar la dirección positiva de rotación (en el sen ~ ¡ido, en contra de las agujas del reloj). D1a!:30 'a ma de fuerzas
EJEMPLO 9 ,8
I
Una bicicleta estática
tina fo rma práctica de hacer ej ercicio sin despla1.arse del lugar puede conseguirse mediante una bicicleta situada en un sopone, de tal modo que la rueda trasera gira libremente, Al ped a~ lear) la cadena aplica al piñón una fu erza de 18 N a una distancia de r~ = 7 cm del ej e de la rueda. Consideremos lo rueda como un aomo (1 = M R2) de radio R = 3S cm y mnSA 2.4 kg. ¿Cuál es la velocidad a ngula r d e la rueda al cabo de 5 s1 Planteamie nto de l proble ma La velocidad angular puede detcrminane a panir de In acelemción angular, y ésta se deduce a panir de In segunda ley de Newton de la rotación. Como Ins fuer.t.as SOn constuntes. los momentos de las fu erl.us también lo serán y podemos aplicar las ecunciones de In aceleración angular constante. Obsérvcsc que F actún en In din.'Cci6n de la cndenn, y por lo tnnlO, In Une;¡ de fuer/.u es tungente de la rueda: el bml.O de palancn será el mdio rJ del piñón (v~asc figuro 9.22).
1. Ln velocidlld angular está relacionada con In acelernci6n yel liempo:
w = (iJo + al = 0+ cr.r
2. Aplicar la segunda ley de Ncwton al movim ienlo de rotación par:l reln· donar a con el momenlo neto de las fuerzas y el momento de inercia:
t f e\! = l a
1 El un ico momento de fuena que aClún sobre el siSlema es In fucrzn aplicada '" cón el bralo de pal nnc:1r,:
f e. !
= "'r~
M, (b)
Fig ura 9.21
I
26 1
262
I
CapItulo 9 Rolacl6n
r ul
4 . SUstilUir elmoll\elJ(o de In ruer/u I)()r este vulor, y el mumento de iner· ci ll por MI(~: 5. Sustituir ~Il el l'e..,ulmdo dell)aW I y despejar y catculur dlpn~lIdo .. S ,.
EJEMPLO 9.9
I
a· - /
Fr~ ,1
= ( 1 N)(o.07m¡ , 5, = MI( (2,-1 kg)(O.35 m )·
W "" (1.1
Una barra uniforme co n un pivote en un extremo
Unu bllrrll ddgndu y ullirormc cll' longitud 1.. ~'
L
I. >
M plVolll liobrc UII l'xlreUlO. Se coloclI en posición ho rlzolllul y se dejll en IIbcrlud . Se SUIIOII C quc 11 0 huy rozumlclltu CII el plvole. Oetermillllr (11) In ul'cll'I'¡'cióIIIUlgulllr de !tI burrll inlllcdlululllcnte despuéli d e dejllrla en IIhertlld, y (h) 111 rucn,l1 F.\ eJcroldu por l'lph'otc sobre 111 bllrrll cn ese instllnte. IIIIlSlI
Pla nteam ie nto del problema Se determina la aceleración ungular (1 purtir de In lIegunda ley de N~wton pum lu rolución (ccuudón 9, 18). Se determina la fuena FA n purtlr de 111 ~egund n ley de Newton pam sistemas de partículas (ecuación 8.1 0). La aceleración IiLngencial del centro de masas está relacionadn con lu acelemciÓn angular (ecuación 9 .5) y la aceleraciÓn centópeta del centro de mnsas está relacionada con la velocidad angular (ecuación 9.6).
Figura 9. 23
(a) 1. Dibujar el diagrama de fuerzas de la barra (fi gum 9.23).
2 . Escribir la segunda ley de NeMon para la rolación:
I. 1'...e =
la
3. Calcular el momento debido a la gmvedad alrededor del eje dado. La barra es unifonne, por lo que su centro de masas está en su centro. es decir. a una distancia U2 de su eje:
4. Buscar el momento de inerci a respecto al extremo de lu barra en la tabla 9. 1: S. Para calcular a sustituir estos vlIlores en la ecuación del paso 2:
(b) 1. Escribir la segunda ley de Newton para la barra:
a
=
f groov
/
= M g(L/2) ( 1/3) ML'
", -
,,",
u. mr
-
M (l cmy
r cm (02
- ~c02 ,- - O
3. Ahom tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, a, (lnny Y FA' Usar la relaciÓn (le = ra pum obtener una ecuación que relacione QcmyCOn
L 2
-a
a:
4 . Sustituir los resultados del paso 5 apartado (a) y del paso I apurtado (b) en el resultado del paso 3 apartado (b) y despejar F,,:
2L
'LF tUl' = 1\1 (lcm .'
M g- F", =
2. Usur lu relación (lc = red para detenninar 0cm C' Inmedimamente después de soltar lu burra. w = O:
=I~
Mg - F", M
L~
22 L
por lo IUntO F",
=ljM81
Observación InmedialUmtnte después de soltar lu barra. lu aceleraciÓn del centro de mnsus upunl:l vcnlcalmente hueia abajo. Dado que la fu el7.3 externa netu y lu lIcelcmción deben ir en In mismu dirección se sigue que FA' en ese instante , no puede tener una componcllle horizontal. Ejercicio Unu pequeña moneda de masa 111 « M se sitúu en lu purte alta de In barra en su centro. Delenninur la) la (tcelenlción de la moneda y (h) lu rucrl.ll que ejerce sobre la barra j uslUmente después de dejur la barru ell libenud. (Respuestas (a) n = 38/4 hncin nblyo. (b)/= mgI4 haciu ubujo.)
I
9.5 Aplicaciones de In segunda ley de Newton a In rolaclón
~ot.dón
I
sin deslizamiento
u.:hll' .. i tU:lciol\c\ fíl>iCllS en la .. cual e, UItU e,,",rl" s .. 11 " , f{11) I • . e .Lrro n 11 UIl'1 r ed T d 'ón Si !JI cuerda cl>tn tensa y nQ se dcs tiJa " 11 \lel{"" , l' 11' 1 • LL n o CI 111 ro en rot¡~1 . . •. "- (U( l\lca debe ser ', t · 1. 1 . CfendLlI \'\ de 1m. pUnl O~ de la I>crifcriu del cilind r'o' ' Igua ,1 ,1 ve OC I~ ,n n.
.
1
"1 :::
R ro
(9.21 ) C O N DICION PAlIA
v V (/) SIN DESLIZAMIENT O
En un punto dI! t1111L cuerda, la comp(mc~te de la velocidad tangent e a tiLcuerda es su I'elod dad Mllálll v la componen!!! de tu \leloc ldad pcr¡>cndiculllr '1 h di ....ce·' ó , . IJII\· •, . .' , " . ... n fLngente c... su velocl"' I ,nuI\1'er.wl. Por eje mplo. S I un paque te es lZudo dc...dc h 1~"'le ,., de b' . lJoI' ' • V\J\ g. un ,t/'Co por un Sistema "",·,"10 de ulla cuerda. y tilla polea, UlntO el pnquclc como t()(h)s. 10';. I" ,n,oS' de 111 cuerd¡¡ elltre él r' . nn!c ' Lli.men la .IlnSIlIU vcloc ldad tangencint (Iue el bordl! de 1" 1101c'.1 y, ad ellltl' .... , tO<1os 1os ' l' t " • ~lntO!l uc:nen \d ocldad trunsve rs lIl cero. Sm embargo . .si mientras· es iJ' do l · 1 r-. _ ....1 ,sop ¡¡ Vle lllO y e ¡gqUttC: o~l. llu. enlOn~·c.s tllnto él como lo!> punlOs dI! 1<1 cuerda tendrán, además de la velocidad ang(l!C' una velocidad tnmSV(!I'S<11. En los lemas que tratamos a continuación suponemos uc no h.'\) ¡mienlo transversal (a mcnos quc se diga explfcitulllcllIe). La ecuación 9.2 1 ~ . d l' . sirve Iones SIIl es Il.anllento. por lo que su dcrivadu con respecto del tiempo relaciona la ,Jngenciul de la c uerda COII la aceleración angular det borde de ta polea:
(9 .22) C ON DICIÓN PARA
I"di<
relac ley d,
oy
(l SIN DESUZAMIENTO
?n es útiles para la resolución de problemas . d os con la aplicación de la segunda ewt on a sistemas en rotación
Tensló Debido al rozamiento y a la inercia. la tensión en una cuerda enrol1nda alrededor dlo' la rueda de una polea es mayor a un lado de la rueda que en el airo. ya que es ~o que la c uerda ejerza un momento sobre la rueda para quc ésta gire. Conviene. pues. denominar eSlas dos tensiones de forma dislint.l. TI y 72,
EIEMPLO 9. 10
I
a _
Tensión en una cuerda
Stsujela un ohjelo de nmslI m a una cuerda liJ.:crn enrollnda lllrcdcdor de un:! ruedn de polen de momenlo de illercilll y radio R. La rueda puede ~irtlr sin ro1..:unicnlo y la cucrdll no dcsli1,a por ~u horde. H:IlI11r la tens i6n dc la cllcrdu y la aceleración del CllerjlO.
•
Planteamiento del problema
En (,:.SIC sislemll. el objeto desciende con una acclcrlIci6n hada arntio CtIl\lllme (l. micntl"d!,. In nu•.'du gira con aceleraci6n angular eon~lan'c. a (fi gum 9.24). Pum calcul:tr a:.c ~ica la segunda ley de NewlOn pnra l:! rOluei6n :1 lu mcd:1 y p'lm obtener (1 (lplic1I In ~gul1da ley de ~ton al objeto. U~mdo In condición de ausencia de de.o:lil.llmiellto \C relaCionan {/I y a
;;e
1. Dibujar el diagl".lIun de fucrl:llo para 1:1 med1l de 1:1 po lca. reprc'>CnulIIdo cada Vector fuer!.:! con su extremo en el punto de :tplicaci6n de la fuer/.ll. Poner lo.... rmbololo e n toda.!> lalo rucn::\!. dibujudll1> e ¡ndienr 1:1 dirtcción posilivu de lu rotación (figur:I 9.25):
,.,
Figura 9.25
l. la única fuer!.a que l!jcrcc un mome nto ~ohre In Olcdu es In Ic~:.;i~n T. CtI"o "IIIIIJ:O de p:llnnca cs R. Aphcur . J la 1ey de N'cw '0" .',1 movlmumW de rotación. quc rclacinnu T con 11I IIcclcntción angular a:
L re" = la TR = la
Figura 9.24
263
264
I
Capítulo 9 Rot acl6n
3 . OihuJM un d iu!-!mllln de rucflu~ para t:'l obJeto "u"pendido (fi gura 9.:26) y aplicnr tn -.cgunda ley de NcwlOn pam rcluci(mur T con In ucc1t:ntcióII ¡illen l/l, : 4 . TcnclIl\l'o d o~ CCUUChIllC\ p3m lre ... i Ut:ógnilu\ 7: (1 y a. Uno Icn:eru ecuación e .. In condkl611 111l dc .. linlllc (lile rclnciunn 11,)' a:
l."Cuucionc<; que n o~ ]>C l1n i h:n ch,:tcrlllinnr T. (J, '1 a. Pum dc,]>cjur T ..c u ~a el rc"ullUtlo lid paw :! con e l ohjeti vo de ohtc-
5. TCnCIllIl1- ahora
tI\!'
ner un u cxpr\!~ion pum o: ~ lballlo~ e l rcsuhado del pu:.o 3 par:. uhlc ncr unu CXI)!"e"'¡ón pan¡ (1" $u:.lilUir cs tu ~ cxprcsiollc.!> en el rc,ul!lIdo del Ih'l~(I",
,., = ", t / • r\" l ' = /FIn,
III~
lI,
=
+
m.
Ha
mg - T
Figura 9 .26
= R!!!.
m
I
con lo (llIC
.,. -
mg 1 + (mR1/1)
-
)' dc\pcjar '1:
6. Su",ituir este rc¡mltnd() pum'" en d rc:-ultado del pUso 3 y dc:<.pcjar lI,:
r l
11/8 IIIg - 1 + (m /{lll) -
por lo (1 1
lUEllO,
I --'-~/-8 I + ,
=-
mR-
o
Compro b ar el resultad o Veamos un pur de situaciones lfmilcs. Si I = O. el objeto caeríu librem~ntc)' In cuerda estaría fl oja: nuestros resultados dan T= O. (11 = g. ¿Qué ocurre si I ~ oo? Para 1» mR~. nuestras ecuaciones dnn T .. mg y " l ... Q.
EJEMPLO 9.11
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Una polea
Dos bloques están coneclados por una cuerda que pasa por una polca de r adio R y momento de inercia J. El bloque de masa "'1 desli7.3 sobre una superficie horizonlal sin roz¡m lÍento; el bloque de masa "'2 esln suspendido de la cuerda (figura 9.27). Delerminnr la llcclc nlción a de los blQ(lues y las tensiones TI )' T 2, suponiendo que la cuerda no dc.'iliza sohre la polea.
a
•T
Pla ntea mie n to d e l pro bl e ma En este problema. las tensiones T. y T'!, no son iguales, porque ex iste rozamiento entre la cucrda y lu polea. (De otro modo lB polcn no giraría.) Obsérvese que T2 ejerce un momento en sentido horario)' TI un momcmo amihorurio sobre la polca. Utilizar la segunda ley de Ncwton pura cada bloque y lu segunda ley de Ncwton paru la rotación par..! la poleu. y después relucionar a y a por la condición de auscncill de deslizlIm iento.
,
•,
Tope fa columna de fa derecho e intente resolverlo usted mismo
Pasos
Figura 9 ..
Respuestas
1. Dibujur un diagr.mlu de fue r!.:ls pllm cada bloque y pam la polca por scpar..do (figura 9.28). Observar que el centro de masas de la polca no aceler... de modo que el "opone debe ejercer unll fuer!.a sobre el eje 1'... que equi libre la resultante de la fuert.a de la gravedad), IlIs fue ....!.as cjercidll" por la cuerda.
T, m.•
, +
T,• Figura 9.28 2 . Aplicar la !.egunda ley de Ncwton a cada bloque.
3. Aplienr In polca.
~eg undu
/ 1
=
m i l i;
ley de Ncwton I)ara 111 rOlación a 13 rueda de 111
4 . Tenemos tres ccuncioncs con cuatro inC"ógnitns. Para obtener la cunna ecuación. u'S ur la condición de aU\CnciB de dC
ti
-
Hu
"':L:
r. _ 1lI ./l
9.5 Aplicacion es de la
¡\hOf'llIc:nemo( cualro ecuaciones 'Y cuatro inCÓttnilltS l· I "' qUt.-da es álgcbnt. Rcalilar I()'I (>4.'>t)$ TJ«e . ' por IQque todo oq , Sltnos pam obl T •. (Sugl'l't'nrUl ; ftml (It!ler",;ntlr ti, buscar I . ener (1, r,) . I fI.f e.r{Jlt'fl(m~s /1 !Iarti r dt' 1M rr'.\uluulos dt:l,ltlSlI 2 SI ,. ~ , . Ilflm T1.1 , ' I S IIl11rlu.r 1'11 8/ rt! . I 1(1 de//HlJo J hasf(¡ t>IICOlllrrlr WUlI!('UlIci6" l'm,l ' . .SII •
,r.
/11' I I . . liS mroNlllttu ti l ' lfl4lf ,,/ "SII/fm/llt" IltlSO ./ 1)(1,." t'llmuwr a >, Ctllc/lltlr (l, ) -
•
a I
I
11/ 1
+"i. i
jIR'~
'"
/JI
,
m,
lIf ¡ tI
a.
I
I
•
'.'~ -
.'N
~e9unda ley de Newton a la rot'aclón
'
- , 111 IK
+-111 . + /I R-'
a,
( m , + /IN ---
,
-/11 ,1:
111 , " m.+/l H ~
Si J = O, TI = 7i Y lu necl' '6 2 ' c r ue l n es (¡ :: m~"/( ) ntr Si les l11uy grundc, /r'R » (m I + m~ ), scrti T _ O 7'
Co",p
robar el resultado
'1
potencia ndo h'lct.:JllOS girar un objl!to re¡tlizmnos tnlbaj o sobre é l . . l' ,~ " IIlcremcllI,mdo su energía ciné. Con . . idc ro Jll~)S una lICr/.1\ " que nenia sobre un obicto' . , ·'6 e . ~, . 1" ) I l' . ~ en rot.lCI n. uando e l oblclo - un án~u l o ( [J. e punto (e al' Icaclón de lu fuert'l recorre d" ' gU' • b" . • una ISlanCHI ds, = " da, y la
(u,
iut'rt'J re;)! 1'J un 11'3 .1JO.
cl. momento ejercido por In fUCrl >l F-' y P,11 es h' CO"'PO"C I11e Iangencru . Id 1" E .', e ',. 11 h.1Jo re,lhzndo l>ür un momento 1 cuando el objeto gira un ángulo pequeño d6 es dlV
El rilm;)
=
T
dO
(9 .23)
e l momento realiza trabajo es la potencia de ent rada del momento: p = dW = T
di
cf!! dI
, sea. p
Tro
(9.24) POTE NCIA DE ROTACIÓN
w ecuaciones 9.23 Y 9.24 son análogas a las expresiones dW = F, ds y P = Fs "~ delmovi· miellto lint!31.
EJEMPLO 9.12
I
Mom ento ejercido por el motor de un automóvil
°
A3700 rey/mio, el momento mliximo que produce el motor 8,OL V t de un 2002 Dodgc Vipcr es de 675 N·m. Determinar la potencia de salida del motor si opera !t estas condiciones de IIIOInmto máximo.
Planteamiento del problema La potencia es igual al prodUCIO del momcmo por In ve locidad lIlgulllI, datos que nos proporciona el enunciado del problema. Debe expresarse ro en nl(US para OOIetltr la pOIencia en vatios. TO(>t lo cofumno de lo derecho e intente resolverlo usted mismo
p"".
Respuestas
1, F..scribir la pOlencia en fun ción de 1" y w.
P =
2. Convertir las rev/min en racVs.
ú.J
3. Calcular la polencia.
rw
= JR7 mOl..
/' =1:!6~ [\\ I
Observldón Esta potencia de salida equivale aprox imadamente n 350 caballos de vapor,
Eierddo La potencia máxima producida por el motor Viper es de 450 cnball~s de vn~r ~ '200 ' a su polenclu máxIma, ~ rev/min. l,Cuál es el momento clLllndo el motor opera . (Rt.rP~$,a
616 N ·m)
¡INTENTElO USTED MISM O!
I
265
266
I
Cllp rtulo 9 Rotación
TABLA 9.2
AnaloCJ1
De.<;- pIUl.lImlento
,\ ,
Velocidad
l' =-
Acetcrndón nngulnr
l/ro d-O a=- = d, dI'
Acelernción
0 =*_411 JI - ~
fu: ullc i onc ~
w= tt\l+(tJ
Ec:uncione.\ de acelemci6n consumlC
l)espla/llJllicnto ungular
110
Vducidud unguhlf
w=,,,
dc :t<:clerución ungular conMantc
d8
,
60= w,.6t w..= ~ (cq,
+ w)
9= 4,+av+ !w1 (JJl = tq1 + 2a 69 Momclllo de una fueral Momento de inercia Trubujo Encrgfn cinética
r I dW= 1(JO
POlencia Momento nngulart
1' = fW
Segunda ley de Newlon t
é. d,
,.
1' =I'a +a¡ AX=:'I' 6¡
...-- .h' + 1')
.\'=~+I·yI + ;'.t .
lol=I' +1JAt
Fuerza Masa Trabajo Energía cinética
E, = J JaP
F
m tlW=F\ds
E. = I• mio!
L = loo
Potencia Momento lineal
P = F,· l' = mI"
f _ =la= ~;
Segunda tey de NewlOn
F
=ma =2/,
El momento angular se illlroduce en el C3pílUlo 10.
Existen muchos paraJelismos entre el movimiemo lineal en una di rttción y ellTllnr miento rotacional alrededor de un eje fijo. Las similitudes enlre las fónnula!) pueden enCCIItrarse en la tabla 9.2. Las fórmulas so n las mismas, pero los símbolos cambian.
9.6
Objetos rodantes
Rodamiento sin deslizamiento Figura 9.29
•
Cuando un carrete como el de la figura 9.29 rueda sin deslizar por la SUpe!1 la fig ura. sus puntos de contacto con la superficie están inslantáneamentt carrete gira respecto a un eje de rotación que pasa a lrav¿s del pUlltO de t.. puede apreciar en la figura. ya que las zo nas con mov imiento rápido ap mientras que aquellas zonas con movimiento más lento aparecen un poco 1I la fi gura 9.30 se representa cómo ulla rueda de rad io R gira sin deslizarse po plana. El punto P de la rueda, tal como se Illuestra. se mueve con una veillCl
lclinnda& c¡>05o yd
E....¡o!t borruSJ.' '¡¡nidas. En lO.
~upafi~
" = roo CONDICIÓN PARA LA VELOCIDAD SI
Recorrido d el punto de conlaclo
en donde r es la di stnncia perpendicular desde P nI eje de rotación. El CCturo U ma5JSdt ~ rueda se mueve con velocidad
I CONDICIÓN PARA ,'cm SIN
de rolación instantánea
Figura 9.30
OblJlA.~I (¡'ro
Nótese que para un punto en el extremo superior de la rueda. ,. = 2R. dc fOrIna que Col¡(' pun1l\ .!le mueve al doble de velocidad que su centro de masas. Derivando a ambos lados de la ccullción 9.26 se obtiene "
,~
1' ··
lII, n'
CONDICiÓN PARA LA ACELERACIÓN SIN orSI.II'-'\
I
9.6 Objetos rodantes do [a cucrdu u [n que está atado un yo-yo se desenrolla S" d 1" . . . ClllllI .. . ' , .... un .IS mlSITHIS condIcIones ¡I( lIt1sencia de des hznnucnto que ~ n el eJcmplo de la meda. bola de radIo R que ruedu sobre Ull"l sIIIJCr"lc' l ' . Consideremos. una • /, 1 (fi . • 11 le p unu S IIl rozamlento. Cllllndo la b~ la gl r~ d .lI1 gu ,o cp 19ur.l 9.3 1), el pUnto de contacto clllrc la bola y el plano se rnllC\C unU dlsmncm .'1, rclnclolludu CQn cp por In ex presión
s =
R~
(9.28)
CONDICIÓN PARA EL DESPlAZAMtENTO StN DESlIZMilENTO
Figura 9.3 1
el centro de m'lsas de 1a med a siempre ' . 51' 1' rueda está rodando e n una superficie horizontal' qllcdn sobre el punto ~c contac to, por lo qlL~ se ~nllcve también unu distanc io ,\'. En el capítu lo 8 vi mos que la energía ClIléucl.l de un sistemn puede expresarse como la suma de la el~ergía ci nética de tras lación del m~vimiento del centro de masas más la energía cinétk.l rduuvu al cenlro de mllsas. Pam un obj eto que gira, la energía cinéticu relativa vale ! I""ti Entonces, la cncrgíu cinét ica total será 1
(9.29) ENERGrA CINtrcCA DE UN CUERPO RODANTE
EJ E~ " LO
I
Una bola de bolera
¡INTÉNTElO USTED MISMO!
de bolera de radio 11 cm y masa M = 7,2 kg rueda sin desli7..amiento sobre una s uper.¡ ' ontal a 2 mis. Después sube por una pendiente sin deslizamiento hasta una altura Ir
Una
1
Hcit'
antE
9. 13
•
t
r-----
alcunzar momentáneamente el reposo y volver rodando hacia atrás. Determinar h ,
Plan eamiento del problema La energía mecánica se conserva. La energía ci nética inicial. que es la ':nergía cinética de traslación del cenlro de masas, ~ m\~m ' más la energía cinética de rotación ~¡o al centro de masas. ~ IcmoJ. se convierte en energía potencial mgh. Como la esfera ruedu sin desliLamienlo. las velociaades lineal y angu lar están relacionadas por \'em = R{J). Hacer un esqllc:mll que muestre la bola en sus posiciones inicial y fina l (figura 9.32).
lo
-1- - --
Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo
Figura 9.32
Pasos
Respuestas
1. Aplicar la conservación de la energfu mecániclI con V¡ = O Y ECf = O. Escribir la energía cinéticn inicial Ec, en funci ón de la velocidad \'~m Y de la velocidad angular {JJ.
Ut+E, = U, +E, M I!JJ + O = () + ;, 1/1 \'; +:;' 1,n.f¡¡,-'
-
,
2. A partir de w¡ = v¡R e Iem = ~ M Rl, sustilUir we Icm , Y despejar h.
= jlI..Jr
h
Observacl6n
~J\h ,' lo Innto 7 \" '
= 10' =
.'
(),~85
m =
La altura alcnní'..adn es independ iente de In masa y del radio de 1.. bolo.
Ejercicio Detemlinur la energía cinética inicial de la bola. ( Re.rput!Sln 20,2 J.)
EJEMPLO 9.14
I
Jugando a biliar
Ua taco de biliar golpea la hola horizontalmente a una dls lane In x por encima del ccnlro deI la
bola (flaura 9.33). Determinar el valor de x para
el cual la bola de billar rodará sin desl znllI5tnto desde el comienzo. Expresar la respuesta en runclón del radio Ji de la bola.
~8.5 1,: 111
I
267
268
I
CapItulo 9 Ro tació n
Planteamiento del problema L1S Uneas de ucci6n d..: Ins fue rza:. del pe!>o y normal pusun por . .1 • ~. • l . 1 f""-,a de: ro7.urniento e... e: I centro ",e masa!>, por lo que no ejercen momento respecto n c:¡. : te . .... .. .. . ... < ' S'I c,1" 1eo gol l>C1I contnl••Ifl bolu mue I10 mus pc(luei\u que la del golpe del l>alo y pucde desprccmrse. " I centro. é $1:'1 COmen7.lll-"u lnlcmlmcntc . . . . ro "11CI.. " 0 • S', el golpe se "crlllea pOr ' l "'C aI mve a moverse SI/I • debajo del centro. comenzam COII rotuci611 haci3 atms. Panl un cierto valor de,\', la bola posee ~I g iro hucia delunte com.:CtO, usf como la aceleruci6n hacin delante adccuudu pum que ruede. sin deshza.rse desdc el comienzo, c!'! decir. :.c cumple la c.: ondid6n no deslizante, El valor de :( determina In rclac~ón entre el momcnlo y 111 fuerza cjercidos sobre la bola y. por lo tanto. la relaci6n entre su ncc leraclón angular a y la acclemción lincal (l. La ncclcmci6n lineal (l es Flm. indcl>cndicllle de,\'. Pura que In boln ruede sin desliznmicnto desde el principio. determinaremOS a y {/ y dcspués. teniendo en cuenta que {/ = Ro. (condición no dcsli.wnte). c:llcularcmos x.
Figura 9.33
1. Dibujar el diagrama de fuer.t¡ls pum In bola de billar (figu ra 9.34). Se supone que t.ll rozllllliento entre la bola y la meSH es dcsprcciHble. por lo que no se incluye la fu el""l.:I de r07.luniel1l0:
= Fx
2. El mOlllento de la fuer.tu respecto al celllro de In bolu es igual al producto de F por x :
T
3. Aplicar In segunda ley de Ncwton par.¡ sistemlls )' la correspondiente análoga pnra rotación respecto al celllro de In bola:
F
4. La condición no deslizante relaciona (1 y oc
l/ cm
-
",a~m
- I =a.
y
T -
F, = Ra
Figura 9.34
5. Sustitu ir en la relllci6n obtenida en el paso 4 las expresiones de a y 0 em obtenidas en los pasos 2 y 3. 6. Detenninar el momentO de inercia 11 panir de In ¡nbla 9.1 y despejar y calcular x.
F
'" x
- R1Fx,. 1,.
- - //IR
(2I5) //IR 2 mR
=1(215) R 1
Observación Si se golpea en un punto más alto que 2R/S o más bajo que 2RIS. la bola rodará J se deslizará. En el juego de billar a veces se desea que la bola se deslice. El rodamicl1lo con des lizamiento se trata en la siguiente subsecciÓn.
Cuando un objeto rueda por un plano incl inado IUlcia abajo. su cenlro de El análisis de este problemn se si mplifica gracias a un im ponantc tcore tni. centro de masas: Si los momentos de las fuerzas se calculan respecto a un sistema de fI: muevt.l con el centro de masas. la segu nda ley de Newtoll correspondiclllc de rotación también se cumple cuando el centro de masas está ace lerandt1 momentos de las fuerlas :-e calculan en el sistema de referencia ce ntro de m 1nClo.cm
= l ema
.;e acelm.
..'mientt ~
la que -r
\vimiemo \) que]())
Es dt'Cir.
19..101
Esta eClIl.Ición es la misma que la 9. 18 con la sal vedad de que aqu í el momento \ elmo Rleo ((' de inercia sc calculan rc:-pecto de un sistema de referencia que se nmeve! con el centro Ik masas. (Se encontrará la deducción en ww\V.whfreeman.comlt iplcr.) Cuund(l el centrO LX masas aCl!-lera (ca:-o de una bola que desciende por un plano inclinado). el ~i,tellla de I\'ft' rene in centro de masas no es inercial y. por lo tanto, no podemos esperar necesarinrncnttqlt la segunda ley de Nc\Vtoll apli cuda a la rotación se cumpla . Sin embargo. se cumple.
EJEMPLO 9.15
Ace leración de una bola que rueda sin deslizar
Una bola madza unlronne de masa m y rlldlo R rueda sin desllzamienlO por un pluno incli_ nado f/J hada abajo. Delennlnar la aceleraci6n del centro de ma.~ y la ruena de ro7J1mlenlo.
9.6 Obleto~ rodilnte~ te¡tmlento del problema Segun tn segundu le I N plan e!!l igual a In fuertll lle ta divididn por la IIIUsa u/ r( e ewton. lu ucclemdón del cenlro de ..'" 11 fuer/U nOrl1l A, Fn que CCJUI'".bm lu componente . S IU!'I.I" que actúan Son e, peso mg hnci u ~J{I., . normal del lX!so " 1 f
. '"-
1lC1L1i . ' J ~I UCr!.U de fm"amiento r ' 1 h.ldn arrIba sobre el plano lIu.:lin:tdo ((¡gura 9 35) ql',. "(W panl l11llnlCner la cond ición de ausencia de d' ' ,: . <:uando el objeto ncelcra por el plullo llI' In~ . . . ' es 1/unucnto ~u vcloc'd' d " .. I .1 nngu ur llene <¡UC ,..,.. b t.1 aceknlcI6n ungulllf rcqtllcre un 1110me",0 J¡U1l(n ... . . externo Ileto alred 'd d ' ' lro tk masas. Pum dclcnnlllur a se uliliJ¡t la ~"' und , e or e eje que pasu ¡X)f r,U ~'(n . de dc!,'j lllumlCIlIO .. o:> JI ey de Newlon pam I ,'6 . " .'A au,cnCIII rehtciolln a y (/ • u rol,let n. La con-
¡jiOOO.......
en,'
F
1. Mli('af lu \cgundll ley de Newton para IIn sistemn (l lo largo del eje .t:
•
t.F , =
111 (1cm ,
1- - "'"
m".. sen O2. Aph~ C(lll t.
de _
1,1 1>cí!unda ~. . ley de Newtoo paro un movimie",o de rotnel·6 n, r;lIIdO rottlCloncs alredcdor de un eje pnmlelo a' cJ·c "ns, nntillleo '
c'n y que pllSnll por su centro de mas:lS:
l , Re:
Ir (Icm )' a m:lllldo 1:1 condición de ausencia de dcsJiw miento:
4, S<
es ccunciolles con cuatro incógnitus. Despejar en el puso 11. 0 3 a. sustituir el resultado en el resultado dcl paso 2 y des~
y, pe
~
Figura 9.35
~m
LT, = l oma f cR +O+O - l em a
por lo tanto. g scn ¡P (¡cm = I
I +
cm
mR2
s.
Su
.1 resultado del paso 4 cn el resultado del paso I y despejar f~.
f. -
mg
scn¡p - ma cm
m8 sen¡p-
mg scn¡p
1+
I om
= mg sen9
mR2
6. Parn una esrera sóLida. I cm
gsen,t/J = 5 g sen 9
(véase la tabla 9.1 ):
I+ ~
f. -
~7;:::==~
IIl gse n ~
, 7
-
')
~lIl g
Ob~ervació n
Como la bola rueda sin deslizamiento. el rozamiento es estático. Obsérvese que el rtSUltado es independiente del coeficiente de r01.amiento esl/hieo. en t;tnlO sen lo suficientemente gr¡nck para que la bola no deslice.
Los resultados de los pasos 5 y 6 del ejempl o 9.15 se aplican a cualquier objeto que esté rodando sin desli zar con el centro de masas en el cenlfO geomét rico. En eSlos objetos, I~ ::: pmR2, donde para una esre ra
= ~ . o bie n ~ para un cilind ro sólido, o bien I para Ilrlcilindro hueco. etc. Par.! esLOS objetos ¡¿s resultad~s de los pasos 5 y 6 pueden escribirse
f3
""'" Jo Dcm
mg sentP
(9,3' )
, + {J- ' g se n tP = I + {J
(9, 32)
la í1Celerución lineal de cualqu icr objeto que rueda haciu abajo por un plano inclinado es IlIenQr que g Sen (1 debido a la fuerJ".." de roz;mlienlo diri gida en se ntido asccnden t~. Obsér'
I ' ' , b' ' por el mlSIllO plano mcl l, vuUs as esreras sólidas que rucdan SIl1 deslll.arse n .IJRr % tic nen la misma . ' lc una acelemción. Sin embargo. SI.dejamOS en ,'I be rta< I simultánearneu '
sen 41
1+ m R2 I CnI
I
269
1.10
I
(1Il'ltulO 9 Rololdón c,klU, un u lltldw y un IInt llt. d l' ..lIl' In purtC' "upc ritlr lit' un planü IIIchnlldll, 'Iludo, elln\ l'm',IUIl ~ tn d e~ h /a n llel11\l_ In c, ll' la IIC!!.ml l' lI primer lugar u In haw porque p0<,Cc 1" lIlu"'''r
f ig ura 9.36 l hwl,.,tCHI. \111 cihllU/'l,l y un :millo p.1l,en Junllh .tl',JC el rc pO~(l cn la lmnc 1l1~~ nltn dcl Iltm{) 111cl1mll.l<1. Fn primer lugllr lIegn al fondo la c.skrn. ~l'gUldn por el cili ndl\l y de,pué$l'¡ anillo.
,1I.'elCI:lC IIIII , l'lI "l'~Hndlllu!!m llc!!IIOJ cl l'l hmlro '1 el Ullilllo <.t'm el mllllo rfiguf1Il).16). SI un hloquc \e de,!!/:! ' 111 III/ UlIlICIIHlI)lIr t'l l1Ii'1I10 plnno lIIt'hnudo. IIJclllllant el f(ludo ¡lntC' lj1k' lo .. In: .. objeto.. rudllntl·\ . ('UIII(I el 1'OII1I11ICnlll C\ e~ l ml CtJ . nu produce Ir.lhuJo y no huy di<¡ipl1c i6n dc energía lI1e('aIUCiI. POI' lu Innto, puede ulili/a!''-\' el pnndpio dc Ctlll<.,ermclfm de la cnef!?iu mecá mt'< l ¡lara dele nninur 111 \ e lueidud de un objeto rod:lllle Mil dc~ll/a llli c nl o n lo lurgo de un plllllO ¡neh nado en ..entidn de ...cclldenlc. En la parte ' upcrior del planu inclinado. In energía 10[ .. 1 r \ 1<1 cm:rgía pote ndal m.~h . En el f(lndo la cnergfu 101al es e nergía cilléuca_La C(ln-.crvnci(¡1I de Ii! cnergín lTlecáni clI 110... dice que t ,2 ~ /1/1 cm
+ iti CIIIW"' -_
ms,1)
Podel1lo~ ut ilizar lu cOndidón no deslizantc pal1l eliminar l'cm O ú). S u... tituyendo
' ''1)
= {Jm R ' y (V = l'en/R, se obtiene ~ 1II1'; m + ~ fJlII R 2( 1'211,1 R 1.) = mgh. Despejando v¿m' <.,e obtiene
., """
_ 2g"
I+P
Para un cilimlro. con f3 = ~. se obtiene l'mI = J~gh. Obsérvcse que la velocidad e... inder diente de la masa y del nid io del c il indro)' es menor que J '2 g h. vclocidad de un o bjelO desl iZ<.1 sin rozOln ienlo a lo largo de un plano incli nado. L:l ruena de rozamiento fe en un objelo que rueda sin deslizar por un plano inclinad menor o igual a su valor máximo: es decir.k:S; JlcFn' donde Fn = mg eos~. Sustimyendt la ec uación 9.3 1 la expresión para la fuerLa de rozamiento. se tiene
nple
es 'n
o
(En un cili ndro unifornle, ' CI11 = ~ MR z, por lo que f3 = ~ y tg 11 S 3,uc') Si la tnngenle del ángulo dcl plano inclinado es IT1:Iyorquc ( 1 + P-l),uo:. el objeto se des li zará por 1,1 pendiente. Ejercicio Un cilindro nleda hacia abajo pOI' un plallo inclinado (J= 50°. ¡.Cuál es el ,alor mínimo del coefi cie nte de rOl.amienlo c$lát ico para el cual el ci lindro rodará $in des1iJamiento? (Resplll'.wlI 0.40.)
f igura 9 .37 Una bol.. se mueve ~in rotación inicial . La fuefla de rOlamiento re ejercida ¡>or e! sucio rc:ducc 111 velocidad del centro de mns..1S l' e ineremenHl la velocidad angular úJ hasta que ~ a!canl.!1 la condición tlt! rod:ldurn \' _ R(/).
•
flgurn 9.38 Unll boln giro ~llhrc ~í m.,mll acelem h\ ¡"
Ejercicio Determinar (a) la fller7:l. de 1'Ol,.'uniento para un nniJlo que rueda hacia abajo por un plano incli nado y (h) el valor máximo de Ig 8 para el cual el anillo ruedn sin desli/lI" miento. ( R(!SJlIIl'~ffI (tI)f = ~cn 9: (h) Ig 8 5 2 JI~.)
1mg
*Rodamlento con deslizamiento Cuando un objeto 'le dc"li/1I mientras "leda. la condición no deslizall1e \ 'CI11 = RO) deja de cumplil'\c. Supongnll1o:-, que una bola de bolera l>C lanza sin rotación inicial. Cuando 1:] bola se dc."li /.:] a 10 largo de la pi \ UI. I'cm > R(¡). Sin embargo, la fu era] de rol.:Ull iento reduce ,ti velocidad li ncul \ ''''11 (lIgura 9.37) ni mií-1110 tie mpo que :lumcnt:l. S il velocidad ung ul ar w. hll:-.ta que ,c cumple la condición de ausencia de desliz:tlnicnto I'cm = Rú). Entonces la bol3 rueúa ¡¡in des lil.lllnÍt':lIIO. Otro ejemplo de mdnmicnt o con dcs1itnlllicllIQ es el de unu bol:l que gira sobre sr misma. como ocurre CUlIndo eltnco del billnr golpea a la boln en un pu nto qu e está por cncilllll de (2/5) R sobre el cent ro (véa.'oe cjcI11plo 9. 14 ) de modo que I'con < R(o. En c~ le caso, la fuerlu de ro/amiento lIlefCmCllla l' ) reduce (¡) ha.'olll q ue se akanza la condici6n no desliznllle 1'{11l ::: Re¡) (ñgurn 9.38).
9.6 Obje tos ro d a ntes
EIEMPLO 9.16
I
Una bola de bolera que desliza
ln de muSUM. Y nullo R ,se hmUl de ta l modo que cua ndl' t·~ ·· ..." 1SUl' - 1o se mueve hor 1zon· "".. I>O U 1lIII11cnte ('on "elocldud ~II = 5 mIs y In'ltn:t'.u sin rodltr. El cocliciente de rtYl.umiento ci nético I1lft' ln bolll Yel suelo :-' 1'" = 0,08. Dctl' rmlnur (a ) el tiempo durante d cUIII hl bola,se desliza ; (b ) 111 distundll recurrldll desll1.ando. untes de que rm.>dc sin des Ii7.l.tr. 1111
,.
Planteamiento del pr~blem~ Calcu\:ullos I'~ n, Y 00 en función del liempo. 11:1~mos V~'" = Roo y
Ikducimo:> t. L.1S aec1enlclOncs hn~~1 y ungular s~ dctennimm u panir L F = /l/f/ Y T = l a. La dirección del ,nO\ ¡miento se 10 111[1 como poslllvn. Hay desh7.amiemo y ro"..:uniento cinético, por lo (Iue se disipa i.~í3 I11ecán icu . Por lo 1:11110, !lO su puede usar e l principio de conscrvnci6n de lu energ(a mecánica.
r, (a) 1. Dibujar un dingr.ullu de Ins fu er/JlS que actúun sobre la 00111 (liguro 9.39). 2. Lu fu ena ll CIU (¡lIe IIctlln sobre In bolu es In fuerlu de rozamiento ¡;inético./c' que nctú¡¡ en In di rección negutiva del cje'\". Aplicur 1(1 Stlgundu ley de Newlon: La :Icelcr;¡ción va e n la dirección negativa de x y (/",,), !:: O. Deter· minar primero Fn Y d e s ptlésf~:
F
Figura 9.39
r.F~ = M fl~n,
-f~
=
,
M i l e", ..
r.Fj" = Ma ett1 , = 0 -:) F por lo tantO fe=
"
}1c F~
=
Mg
"
}lcM S
Detcnninar la aceleración usando los resultados de los pasos 2 y 3: .
Relacionar la velocidad lineal con la aceleración y con el tiempo utilizando la ecuació n ci nemática:
. Para dctemlinar a. aplicar la segunda ley de Newlon para la rota· ción. Calcular los momentos alrededor de un eje que pase por el centro de masas. Obsérvese que e n el diagrama de fuer.tas el sentido positivo va en In direcció n de las agujas del reloj :
por lo tanto a=
7. Relw:ion:lf 1;\ velocidad angular con la :lceler;¡ci6n angular)' el tiempo usando In ecuación ci nemática:
8. Despejar el licmpo 1 CUllndo se cumple I 't m = Roo:
.25 J/~S -R
00 = (00 + a t - 0+ at 1'",.
!::
-1 • 2 R
~ ' eS t
= R(1)
\'0- }/eS t = ; Jl e8 1
por lo tantO. 2(S mIs)
7( O,OS){ 9.S l lll/s~)
(b)
L1 distanci:1 recorrida en 1.82 s es:
=
1'0
I
( 21'0)~ _ l l l'6
7 Jl,R + ;;(}1"g ) 711~ g ~
.G
(S II\/¡; )~ - 49( 0.08) (9.8 1 " ",,)
Dctcnninnr la velocidad de la bolu de bolefn cuando comiell/JI a ~ur Si!1 (I~sli ll\r. . ,d 1 f -i"l1Ic de rozamientO emético. La (Rt l pm' s/(/ \1 = ,_ l' ), Este result:ldo es IIldepcnulcnle e eoe le e ' . . cm 7 O '" L . • g{a l1l~cá n i cu tolal pcrdldu CS. por \"elocldatl de rod¡¡dura es ~ 1', ya sea Ile grande o pequc1lo. ;1 cncr e 'bl t d, 1 l' d' I 'in dc ....'ndcn sensl elllen e . 7 ' . . lo tanto, IIldepcndientc de Jlc' ($111 emblifgo, el \lempo y ,1 1:' an, ,' \'lIlor de Jl",.) - . l' d é de que comience ¡¡ roollr sin des· Elerclclo Determinar la cnergfu ClIléUClIl<1t!11dI.' In hó ,1 cspu :. lilamiento. (ResfJucsllJ t',; = 1I11~) ' l' 11 'nI ' engra"':lda de fomln (IUU Observaclón En una bue na bolenl, la pista de IlIs calles e>:ta Igcnll e e . l ' . I . d 1111 or control sobre:.11 anl llnttCn o. .. bola l"Csbala unu ciertu di'itancia, proporcionando al Juga Of I Y ,
f.¡
si
•
21'0
Ejercicio
=11.82
- :w ",'
="17"'.8"0-",'1 -
ro
•
I
271
272
I
Capftulo 9 Rotació n
Resu,uen 1 2
I~I dc.splnZl.unicnlo !lngular. In vclocidud IIngultlr y la acelcmdÓn angu lar \011 magnitudes (undalb't!e"J dcfi n ¡du ~ ~n In cinemática dc rotación. 4tl I!Imol1lcnlo dc una fucr"l.lI y elmomenlo de inereia son importante' c~ nceplos dinámicas deri \~ momento es unll medida dc In CIIPIlc1 dnd de una fuer~.lI ~:un ~ue un OhJe~O COmIence o t~nn¡ne de . El El 1110ll1el1l0 dc illcrcin e.~ Ulla mcdidu de In re.'listenclll ,mcrcml d~ un objeto ¡I la<; aceleraelClIle\":'
res. Depende dc In distribuci6n de In m85<1 re.<,pectO ni eje de m lnCIÓn . 3
Ellcoromll dc [Olo eje!> purulcJos. que resulta dc In defi nieiÓ" del momentO de inercia. simplifica r~ temen te el cl1l culo dc / ,
4
TEMA
r
1_'1 segundu ley de NewlOn paru In rotndó n, ' a l :: fa se deduce dc la stgu~d;¡ I: Yde Newton y de ~~ ¡;ione~ de r. I y (L Es u ~¡a reln: ión .i m ~:IIIIC pilm resolver probl e ma.~ que Imphcan la rotnción ck UQ obp. rígido nlrededor de LJII eJe de direcciÓn ti JU.
O BSERVAC ION ES y EC UACIONES REUVANTES
•
1. Velocidad angular y aceleradón angular
•
Aceleración Velocidad angu lar Acelernción angular
d6
lIJ =
(Definición)
d,
dw dl 8 -- -(Ir = -d l ~
a
(Defin ición)
(' .2)
('.11
Velocidad tangencial
1',
= rw
('.~
AcclcrOlción tOll1gencial
a, = ra
('~
I'~
Acclemción centrípeta
2. Ecuaciones de rotación con aceleración angular constante
f.t)
8 = tff
3. Momento de inercia Sistclllu de partfculas
/
SislCma continuo Teorema de los ejes pamlelos
,
= -
(le
=
=
=
rOT
(' .9)
al
('.~
t'.t\ll + j a t !
('~
~+
(Jo +
•
~+2 a ( 8 - 8j) )
,-¿. Ill ,r .; I =
(Definición)
f r: ti",
('~
('.I~
(9.11)
El momento de inercill respecto a un eje situndo u In distnncin "de Otro eje pamlc lo <¡lIe r maSlls es
pllr cl rentnut
(' .UI
1 = 1"", +M " l
en donde IffII e$ el mOl11ento de incrcill respecto 1I1eje que ~ ....1I por el Ccnlro de 1Il1lMIS) .\1 '"" .. n).tS! t(Ulti objeto.
4. Energía Energfn cinélic¡¡ de rotación ¡¡Irededor de un eje fijo
(, .111
Ec = •! I ar •
Energfn cinética de un objeto rocJ:lIl1e
E, = ~M "l", + ~ J,,,, (.[)2
Potencill S. Momento de una fuerza
(,.J!I ~)~
p = COI
-
El momento producido por unn rucr.w C~ igual al producto de la COI11!X)Ilcutc tUllgenriul JI' 13 (11<-11.1 1"" distlLncia rudlal al cje. (9.lq¡ r
= ¡··,r = PI' lIcn ~
= F(
Proble mas .... unda ley de Newton 6. !~(ada a la ro t ació n
r_ .., ::
r
t ,.... = la
I
273
(9 .18)
Si en un sistema de re~ • " . erenC1I\ que lle mueve con el centro de ma.~s se calculan los moment~ de las fuerza~ re5p«to . n un eje 'tue pa.~a po r eI centro de masns. In segundn ley de Newton pam la retuci6n se cumple pam rotaClOne~ nll\.-dedor d' u . · I c n eje que pase por el centro de masa.~. aunque el sistema de referencia no sea iOl:rCtri •
.. condiciones no desliza ntes
l·
Cuando una cuerda arrollad' I• d' . .. • a a un po ea o lSCO no de.(h7.ll. los magnuude.<¡ hneales y angulares están relaciona da:. por
.. ObjetoS roda ntes 8. Rod:ulurn ~ m desli zamiento fRodadum con dcslizamiellw
", :: Hw
(9.2 /)
(/, = Ra
(9.22)
".., = Rw
(9.26)
Cuando un objeto meda y dcs[izu, 1'<'1r1 '" Rw. El rOlllmiento cinético ejerce una fue17..n que liende a modili cllr "cm y un momento que cumbia ro hastn que "cm= Rw y e[ objeto solamente rueda.
"r oble",as
•
•
I
i
" /
Conceplo simple, un solo paso, relaLivamente fácil. Nivel intermedio, puede ex igir síntesis de conceplos. Desafia nte, para alumnos avanzados. la solución se encuentra en el Studem Soluriolls Manua/. Problemas que pueden encontrarse en el servicio iSO l VE de turcas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoi nt" son problemas de con trol , que impul san a los estudi antes a describi r cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confia nza.
En algunos problemas se da" más datos de los realmellfe necesarios; en otros pocos, deben extraerse algu" os datos (1 partir de cOllocimielllos generales, f/lenTes externas estimaciones /6gicas.
°
Tomar g = 9,81 Nlkg = 9,81 mis:! y despreciar el rozamiento en todos los problemas a menos que se indique lo contrario.
Problemas con ceptuales Dos puntos sobre un disco girnn a velocidad angular toosIante: uno de ellos está cn cl borde del disco y el 011'0 a mitad de distancia Clire el borde y el cje. ¿Cuál de los dos puntos recorre una mayor distancia cn .tianpodetenninndo?¿Cuál gim un ángulo mayor? ¿Cuál po~ce muyor \'elociiad? ¿Y lI\3yor velocidad lmgular"! ¿Cuálticnc mayor aceleraci6n tangencial? y mayor aceleraciÓn angu lar'! ¿ Y mayor neclemei6n centrípeta'!. 1
•
SSM
2 • Verdadero o fal so: lit La \'elocidud :mgu[ar y la velocidad li neul lienen las mismas dimensionc.s. lb¡ Todas las partes de unn ruedu giratoriu deben lener 1:1 misma velocidad angular, lel Todas \¡¡s partes de unu ruedu ginuorill deben tener la misma acd eruci6n ilI1gular. ' 1 •• •0.._ ' . ' del reposo, un dISCO reuhl.ll IO .-evo lUC'lOn..•• ~' hastn . .'I[C:111"ulcndo ~ la \t[ocidad angular w. Con acelernci6n angular constante, ¡,cuántas rovolu· ~ adicionnles debe rcalilar partl alcanzar Un:l ve locidad :lI1gular 2 ro? fOl iO n:~, (b) 20 re\'. (e-) 30 rcv. «(1) 40 rcv. (t') 50 rev. 4
•
:J:!'"
SSM L.'Is dimensiones dd momento de una f ucna son Ins mistkl (a) impul:.o (1,) energfl1 (d momento lineal (d ) ninguna de In!>
5
•
El lllomento de inercia de un objeto de lIlasn M (a ) eli unn propIedad intrínscc:l del objeto. (bl Depende de 1:1 clL'Cci6n del eje de rQ(aci6n. (el Es proporcional n Al independientemente de la elección del eje. ( el) Ambos ( b) y (e) son correctos. 6 • SSM ¡,Puede un objeto seguir girando en lIu:-cncill del momento de Ulll1 fuerza"!
7
•
El momento resultnnte aplicado, ¿inercmem:1 sicmprc la velocidad :mgular de un objcto? 8
• Verdndero o fal so: (el ) Si In ve locidad ungulnr de un objeto es cero en nlgul1 momento. el momento resultante que actun sobre el objeto debe !>er cero en ese i1lS1l1l1le. lb) E[ momento de inercin de un objeto depende de In localizuci6n del eje de rowci6n. (e) E[ momento de incrciu de un objeto depende de In velocidruJ nngu[ar del objeto. • Un disco gira [ibremcnte alrc
•
274
I
Capitulo 9 Rotación
pecto 3 un eje paralelo que pas3 por su centro de mllSaS. (a) Siempre menor que. (b) Algunas \'eces menor que. (e) ,\ veces igunl
•
SSM
Verdndero o ralso: Cuando un objeto medn sin dcslizumiento. el rozamiento no renlil.a tmbajo alguno sobre el objeto. 12
•
13
•
¿Por q u~ se po ne el timdor de una puena lo más lejos posible de
las bisagras?
14 • SSM Una mcdn de radio R med" sin deslizulIliento por unn superficie I:.Slacionnrin plnna. La vclocidnd del punto de In pcriferi u (Iue está en cont3clO con lo superficie. relatÍ\'o n 1" superfi cie es (a) igualo Rw en el sentido del movimiento del centro de musas. (b) Igunl a Rw en sentido opuesto al del mO\'imiento del centro de masas. (e) Cero. (d) Igunl a la velocidnd del centro de masas y en el mismo sentido. (l') Igunl u 1" velocidad del centro de musas. pero en sentido opuesto.
15
••
,6
•
Un cilindro sólido unifonne )' unll esfern sólida unifomle tienen mllS!lS iguales. Ambos cuerpos ruedan sin de,~ li z3lniento sobre una superficie horizonm!. Si sus energíll~ cinéticas son iguales. enlonces (a) la velocidad de traslación del cilindro es mayO!' que 1" de la esfera. (b) La velocidad de tmslnción del cilindro es menor que la de la esfem. (e) La.~ velocidadc.~ de lm.~l aciÓn de los dos objetos son iguales. (ti) Los resultados (a). eb) y (e) dependen de los rudios de los objetos. SSM
24 •• ¿Por (Iué CUllndo cae ul !iuelo IInll lostadn siclllp~ lo hace Indo que tiene nlllnteCluilln o memlellldt'l 7 La pregunta puede parecer 1011 ~ t:I hu sido objeto de dc bll1e científico :-.crio. El nndlisis .es dcm:l~ihdo cal11~ ~ pum reproducirlo aquí. pero ~. D. &lge'l Darryl Stemen demostraron qlle~ lostnda n lu cual ~e la empuja SUllvcmente h~~ln el borde de una rntsa. II:Q CUllndo se inclina un ángulo de 30" con In hon /.ontlll (\'~a~ la. figu ra 9 bit liene una velocidad angular de (J) = 0.956 J glf. donde I e.~ la longituddt~j ~ de la tostnda (supuesla de fonnll cUlldmdn). Suponiendo que una ~ empie:r.n a caer con 13 mermelada o la mantequilla hucia "mb;¡. ¿de caerá si ést:l cne desde uml mesa de 0.5 m de ahura? ¿Qué OCune si la tiene I 111 de ohum? Suponer que ItI tostada tiene 0.1 m de lado y qUt l11esa sucio con la lIlermelnda o III mantequilla hacia nbajo si el ángulo que f~ ¡J el sucio está entre ISOO y 27f!'. (Si lo lostada giro un ángulo SUperior {I 360" ~ dremos que reducirlo al intervalo f!' - 360"). Ignórcnse las fucrllls debidas ~ resistencia del aire. Pam el lector interesado en este problema y cn ~ muehos. se recomiendn el magnífico libro de Roben Erlich. Wh)' Toasl /.m.t¡ Jdly-Side dOIl'I/: lel/ {¡/ul lile AH of Plly.fÍes DemOl/strmiOlu l (Par qui I/JI 101. /l/das C(/t'1I por diado (le la mermelada; Zen y el arte de las (Iemo!lrociontsd.! lafísica).
q:;:
Dos tubos de aspecto idéntico dc I m de longitud contic·
nen piezas de plomo dc 10 kg de masa total (mucho mayor que la masa de los IUbos). En el primer tu bo el plomo está concentmdo en el centro. mientras que en el segundo el plomo está dividido en dos milsas iguales colocadas en los dos extremos del tubo. Si tos tubos están cerrados por ambos extremos, ¿cómo puede detenninnrsc cuál es cadu uno de los IUbos?
17
••
Part iendo del reposo al mismo tiempo. una moneda y un anillo ruedan por un plano inclinado sin deslizamiento. ¿Cuál de las siguielllcs afirmaciones es correcta? (a) El anillo llega primero a la base del plano. (b) La moneda llega en primer lugar. (e) El anillo y la moneda llegan simultánea· mente. (ti) El resultado de la carrem depende de sus masas relativas. (t' ) El resultado de III carrcra dependc de sus diámetros relativos.
18 •• Un arco de masa M y radio R rueda sin deslizamiento. ¿Es muyor su energíll ci nética de traslación o su energía cinética de ro tación? (a ) La enero gra cinética de traslación es mayor. (h) La energía cinéticu de ro tación es mayor. (e) Ambas son iguales. ( d) La res puesta de pende dcl mdio. (e) LD res· puesta depende de III m3sa. Un disco de mlL~a M y Nidio R rueda sin desli:r.amicnto. ¿Es I1lllyor su energía cinética de tmSlllción o su energftl ci néticll de mtación? (a) La enero Sfa cinética de troslnción es mayor. (b) La energfa cinéticn de rot ución es mayor. (e) Ambas son iguales. (ti) La respuesta depende del radio. (e) La res· puesta depende de In musa.
19
••
20 •• Una boja rueda sin deslizamiento n lo largo de un pl"no horizontal. Demostrar que la ruer/.a de ro:r.amiento que aetúa sobre In bola debe ser cero. SlIgerellci(l: COl/siderar l/na direcci6n posible pam la accid" d,.lafller.tl
d,. rot,(l miemo y IOj' eftlcto.r q//" esttl futlr'l.o ejucu(o so/m! /tI I'tlltJcidod del t:elllro (le mll.flU y subre la 'I'elocidlllli/f/glllor. Verd!!dcro O falso: Cuando una esfera rueda y se dl!sliz:¡ sobre una superficie rugosa. la energfa mecánicn se disipa. 21
•
21 • Un taco de billar golpen una bola en un punto muy próx-imo a su parte más superior. de modo que comienza a giror sobre sr misma. Mientras desli!.u. la fueml de roz:uniento «(1) increuumtn I'~m' (b) decrece \'~m ' (e) no liene efecto sobre I', m'
Figura 9.40
25
Problema 24
Consideremos el momento de ineh adulto alrededor de un eje q ue pasa verticalmente por el ce CUlLlldo estn pcrsonu estú de pie con sus brozos pegados al CI con sus brazos e:Uendidos tiene momentos de inema di eociente entre ambos momentos de inercia. ••
SSM
,,-
'e~u~
cuandots:t ~tmur d
Velocidad angular y aceleración angular 26 • Un" pankulu se mueve en Ul UI circunfere ncia una \'e1ocidad de módulo constante de 25 mIs. ((1) ¿Cuál c, lar en radianes por segundo alrededor del centro de I \ (b) ¿Culintas rc\'oluciones realiza en 30 s'!
jo 90 mrol ~iJld!llP
.:unfertncil~
27 • i Un3 meda parte del re poso y tiene ¡¡. dDCioo ~ lar constllnte de 2.6 0Id1S2• «(1 ) ¿Cuál es su velocidad angulol d ~rut' de' 6' (b) ¿Qué ángu lo Imbr1i girado'! (e) ¿Cuántns revoludonc~ h.\'onI. relllizado' (ti) ¿Cuál es In velocidad y la acelerodón de un puntO situado 11 0.-' m del e"eok rotación'!
ti
Un locadiscos que gim a 331 rev/mm -.t' Uco,(,'()Il(dl.~ frenll eon ucelemción angular con~tnnte y qued~ pamdo nI l'''ho de zt, \.. Jd (a) Hallar la ncelenlción ungular. (b ) (.Cuól es In velocidud nn~\lIN' nttdll tocndiscos'! (e) ¿Cuálllas revoluciones reulizn lIntes de dClcncr'> c1 28
•
SSM
Aproximaciones y estimaciones
29 • Un disco de 12 cm de nIdio clIlpiela n girar 1I1n.-dctJor de _11 ~ partiendo dcl rero~ con acelcfllci6n angular constante de S m.V,!. Al cak,.t 1:::: 5 s. ¿euál es « 1) III velocidad angular del disco y (h) IB~ IK"C k r1tC1onr" 111' gendal al Y centrípeta a; de un pu nto del borde del di~ro7
23 •• Una bicicleta de ml\Sll 1-1 kg Ilcva ruedas de 1_2 In de diámetro. cada una de musa 3 kg. La masa del eiclistu c:. 38 kS. Eí;timnr la rmcción tic la encrgfll cinética total de Ja bicicleta y el cic1i:-.t!l asociada a la romeiÓn de In.~ nI/X1n.~. •
I Robert Erlich. Wh,' ll >aSI I(I/¡ds Jt-/Iv.; rt/,. f)own ; Pnnct'loo. NJ l'nrtt,-hWl Prc~~
( 1997)
t,;nt'f'f'~
Problemas
• i
Unu nu!du I~crri \ de rndio 12 111 "n , . . IImt \'ue tn Clldu 27 S. "uJII!.~ ~u velucldad :lIlgulur cn 1'lI (hnne ~ por segundo? lb) 'C " • . C I¡lH "',)C" . f. uue~ln _ 'JÚ hneal de un pas.'ljero. (" ¿ u e\ In Ileelcmción eentrf.... ' .• 30
,t1{~·1U
.~
n
u C UII
pl-.¡po .l
Un ciclbm p:lne del reposo. Al cnbu de ti § I n~ ru 'd'Ls , ., , , '6 . C" l il/L vert l· ."Jo ,l lll\· (ti ) ¿Cuál e~ 11 !Ice ?ntCl n :mgu lllr de las nledll~? (/1) ¿Cuál e~ su • .,./ angular al cubo de 8-:.! •
J'
Itkl.'1u.>U
32
•
¿CuL'lI e~ In vdocidlld nngulnr de In Ticrru en mdlll nl girnr :llrede-
.,
. Jt'"tJe'u cJc.
33 • Una rueda gimt;rin d~lIcri~>c 5 rnd en 2:8 .11 .n ll\~·$ de deteneI'SC con ,t.."tI('1Dl:tÓn angulur con(lnl\le. Ln \ elocldad angu Inr IIlI e1al de In meda antc ~ de ilII>'L3r w ¡renndo ero (a) 0.6 ntdl!o. (b) 0,9 ntdls. (e) 1.8 melis. (ti) 3.6 flLells. (t11.J rudl~
l'n:. biciclcm tiene. nJ~do.s de 1.2 In de diámetro. El ciclillln IICCktI Je<,dt el repo~o con ncelernclón conslan ~e ha~t e. alcanzar In vclucidnd de 24 bWb en P.O segundos. ¡.Cuál e¡., In acdemct6n angular de las ruedas?
H
•
35
••
SSM
i
.1
275
39 •• Un péndulo fonnado por unll cucron de longitud 1. y uno lemejll de 11111.'<:1 111 OM:i1a en un p1:mo venlcal. Cuando la cuerda fomm un ángulo 6 con la '·enieal. (a) ¿cuál e<\ la compont:nte tangencial de la acclcrnción de la len. teja'! (b) I,CuL'i1 e~ el momento ejercido respecto ¡ti punto pivote? (e) Demmtrnr que r a la con a,: La da lugur ¡¡ l:t misma acelemción t:mgencinl deducidn en ul apnrtudo (u).
Una barrn uniforme de mnsa M y longitud L pivota sobre un extremo y cuelga como se mue,'i trn en In figum 9.42. dc modo que puede oscilar ~ j n rozamiento alrededor de] pi vote. Unn fuerza horizontal Fo golpea la bllrrn dunulIc un cono tiempo Al a IlIIn d i~ tnn c in x por debajo del pivote, eomo indica la figura. «(/) DemOSlrar que 111 velocidlld del centro de mnsas de la barra inmedimmnente dC ~I)Ués del golpe e¡., 1'0 = 3FI)( 6JI2ML. (b) Detenninar la componente hOl'i7.OIIIul de In fueral suministrada por el pivote y delllostmr que esta componente de la fUeFltl es eero si x = ~ L. (Noltl: el punto :c = ~ L se llama centro de percusión de la bam.) 3 1 40
•••
SSM
•
la cinta de. una "cu.~scue" de vfdeo VHS cs.
nJ longitud L = 246 m; su durnci6n en funcionnmicnto es de 2.0 ho.lll. Al comienzo, ~l carrete que contiene In eintn tiene un mdio
_
ti 11\ tliglJ.
l'O 'tim:ld!Ullemc R = 45 mm. mientms que su rndio imemo es r = 12 uamemc. En cieno puntO de su l\.'Conido. ambos carretes tienen la Id nngulnr. Cnlculnr eslo. velocidad angular en mdiane... por segundo
-,
~ minUlo.
I mdll •
•
FO
Fig ura 9.42
Problema 40
Un disco horizontal uniforme de masa M y 1'<1(.lio R giro alrededor del eje venical que pasa por su centro con una velocidad angular aJo Cuando se sitúa sobre una superficie horizort1nl. cl coeficicnlc de rozamiento cinélico enlrc el disco y la superficie es 11~. (a) Determinar el momento dr ejercido por 1:1 fucrLll de rozamientO sobre un elcmento circular de radio r y anchura dr. (b) Dctennimrr el momento resultante ejercido por el rozamiento sobre el disco. (e) ])etem,innr el tiempo necesario pnra que el disco ~e detenga. 41
• .'
Figura 9.41
Problema 35
Momento de una f uerz.a, m o m ento de Inercia y segunda ley de Newton aplicada a la r otación • 36 • I Una muela de afi lar en fonna de disco tiene una masa de 1.7 kg Yun radio de 8 cm y esla girJndo a 730 rev/min . Cuando se de.~ IICII el motor. una mujer continún l1filnndo su hachn manteniéndQhr contro lu _!a durante 9 s hasllL que é...ta se detiene. (a) Hallar la aceleroción angular de bllltltla de afi lar. (h) ¿Cuál es el momento que ejerce el hacha sobre In muela? ~r COllStante la IIcelernci6n angulof y que no c:tiSlen Otros momentos de llenas de rozamiento.
•••
Cálculo del momento de Inercia • 42 • I Una pelota de tenis po~ee una masa d~ 57 g ) un diámetro dc 7 cm. De t~m,in:lr el momento de inercia allTdedor de su diámetro. Suponer que la peloUl es una esfcm hueca de paredes delgadas. •
I CULLlro parrfcu lns c-~tán en lo~ vérticclI dI! un cUlldrndo unidflS por \'nrillns sin masa. de modo que IIIt m.:: 3 kg YIIIl IIIJ 4 kg. Ln longitud dl!l lado del cundmdo es l. = 2 m (figura 9,43). Hallar el momento de inercia I'C l>pecto al eje ;:. 43
17
I
•
SSM
=
.,.
SSM
~ •• l' . con rozamiento "c ... "/ Unn rul!da montada sobre un cJe . ~LtLLtIll inicialmente en reposo. OUnlntC 20 o; se aplie:t n la ntcJn un momenlO •• .unn , El """,. lO l..' • m. con lo euol In ruedn adqUIere ve oc idnd angulnr dc ::~~/rrlln. Se I'Clirn enlonces el mo mento externo Y la ruedn alcanlll el re· """ 120\ m.. larde. Determinnr (a) el momcnW de .mcrclrl . de Inruedny (b) d ~lO de ro . larlllemo. supue810 constanle.
,,. , m,
Un ci lindro de 2.5 kg Y rndio 11 em. inicia lme nte en ~,~Me gimr nlrededor de su eje. Sobre él. se arrolla una euerda de Il\~ ~able que tim con una fuer/.1I de 17 N. l)etcrtninnr (a) el momento ~Jer~ tWo por IDclIcrdu. (b) In acelenrción angulnr del cili ndro y (1"1 In velocldnd a¡tulzr del cilindro ni cabo de f = 5 s. •
= =
-r
2m 2 rn
-
"'1 _____ _
.
"
,
,.
, , , Figura 9.43
l>roblemns 4 3--1~
27.
I
Capitulo 9 Rolación
44 • Utilizur el [corema de los ejes paralelos y los resullados del pro· blemll 43 parJ holhLr el momento de inercia del sistema de euntro pnnfculas de 11L ligum 9.43 alrededor de UI1 eje perpendicular ni pluno de lu conli gunltlión Y que pasa por el centro de masas. Comprobar el re.<;uhado mediuntc d lculo directo. 45 • Para el sistemn de cuntro par1feulas de In fi gunL9.43, (C/) hallur el momento de inercia 1, a lrcd~dor dd eje .f que pn..'UI por 111) y III~ . (b) Hallar 1, olrededor del ~je y que p3Sll por "" y I1IJ..
46
•
•
I
Utilizar el teorema de los ejes puralclos p.trlL hallnr el momento de inercia de unu esrem mnciza de rna::u M y radio R alrededor de un eje langente a la esfera (ligura 9.44). I
rudio 5 cm. montndns en los extrcrnru. de una varilla uniforme de 30 cm lit " d masa 60 g (figura 9.50). A Y lJ desean calcular el momento ,, __ -gllU y . d" 1 1 ~,~ del bastón modelo respecto a ~ n eje pcrpen l e l! ar a tI varilla que ~ ; ,.. centro. A utiliza In aprox imllClór.\ de que las dos ~s fcras pueden e , como panículas punluulc.~ que d.'stan 20 cm del eje de rotación y qut la dI! la varilla e~ despreciable. 8. Sin embargo. hace los d1culO'l ¡,in aprol.i llIiI¡ ncs. ( a) Compartir los dos resultados" (b).Si ~as esfc:ra.<¡ t~vieran la mi5lnalhitiG. pero fueran hueca .... ¿aumentarfa o d,s~IOUlria la inercia I'O luciOrut/? J~~ In rcspueslll brevemente. No es nece.<¡ano calcular el nuc\'o valor de /. ~ 51 •• UI mol éct~ I !I de mC l:\n~ (C,H,,) tiene cuatro álomos de hi~ localizados en los vértIces de ~n tctmcdro regular. de lado 0.18 nm. CI:rI d 6.101110 de carbono en el cen tro (hgur::J 9.46). Detenlllnar el momento de ~ de esta molécula rc..~ pec t o a un cj~ de rotación que pase a trnv!s del át~ ~ carbono y uno de los tltomos de hidrógeno.
c...:.:>
I 1 I 1
1 I
Figura 9 .. 44
Figura 9 . 46
Pro blema 46
47 •• i ti' Una ruedn de vagón de 1,0 m de diámctro está forflIlLdlL por una llanta delgado de masa 8 kg Y seis mdios. cadlL uno de los cuales tiene una masa de 1.2 kg. Detenninar el momento de inereia de la ruedu respecto a su eje de f"Q¡aci ón. •
48 •• 55M 1 Dos masas puntuales 1/1, y 1112 están separadas por una barra sin musa de longitud L.. (a) Dedueir una expresión pam el momento de inerci(1 de este sistemu respecto a un eje perpendieulnr a In barra que pasa a través de ésta por un punto situndo a 111 distancia XI dc In lIlasa 111 , .. (b) O llcular dlldr: y demostrar que / es mínimo cU3ndo el eje pa8n por el cenlro de masas del sistema. 49 •• Una placa l\.'CtanguJar uniromle tiene uno masa m y sus lados valen {/ y b. (a) Dcmostmr por integrndón
••
55M
IO cm
1 I I I 1 I L ", IJ O cm I
•
m
! 10cIII
-T
I I 1 I
.soo I
Figura 9,45
Prohlema 50
52 •• Un cilindro hueco de masa m tiene un radio exterior Rl y UD ~ illlcrior R l . Demostrar que su 11l0melllO de inercia rt.spt..'Cto J ~u eJ~ de. sim:tlu e¡: I = ~ 1/I ( Ri + Rt) . En la sección 9.3 se cnconlIÓ el morrn=nto de inmi3 p2J un cil iñdro sólido integrando directamente. primero caJcul. lI.I.., el TI"IOIIltIOO it inercia parJ un disco. Este cálculo es el mismo que nquél • p¡:o p.1I1t1 1m de uno de los límites de integración y la expresión paro :a de la '«ri6a lransl'crsnl. 53 ••• Dcmostrar que el momento de incrciu de Uf radio R )' masa 111 cs j mR 2• Esto puede hacerse direcllllll más fácilmente . detcnninando el incremento del mom~1 esrcrn sólidu cU;Uldo cambia su mdio. Parn hacer esto ult mer lugar que el momento de incrcin de una CS rCr.l <.ólioJ ,I TrpRs. Después. calcular la I'ariación (11 del momento S vllriación (IR del melio y tcner en CUCllt:I (lue la maga U. 4TrR l p (IR .
:1c/a esf6ica &
54 ••• SSM 1....1 densidad de In Tierra no e.. um : tancin r al centro de InlierT:.\ en la ronnll p = e ( 1. 22 ro.ldio de In l icrrn y e unu co n ~ tantc. (CI) I)ctenninar total M y el mdio R. (b) Dctcmlinnr el momento de incr prohlem:L5 ~).
\'.ui3 ~'OO lali-o,\(lnd(' R tU!
55 ••• Utililar el cálculo integral pam dctenllinar , de un C0l10 ~Iid o homogéneo circular l\.'Cto de altur.L J1 dcmidad p rc.' ¡>ccto n su eje de silllctriu.
.....utll lk Lotrnl ,1 de la b.1.-t R)
e
imegnri'l L\ merci.t de ce¡ . ItlOSIJ:lf tII ¡nn.. jdld po I=
:n.;a I p.n _ :oC1el.l es.ir =
IÓn de
IIIIIISI
.J jl(m l\"t'.t-:
56 ••• Utili/ar el cálculo IIltcgr.:11 para detemlinnr el !U1lTfk'ntCl Jt ~ de un disco delgado unifonnc de masa M y radio R n.-~pt·CIO ;, un Ji,irJIt!'!' como eje ¡Je rotución, Comprobar In rc.\.p UC-~ t:L en 1u t.lblu 'J. l . Un \ endedor de helndO!< junIo a In cam:tt'f1L uuh/:t ~,\l(lI"~" para .lIamar In atención de los viajero~. Cm.l.1 cono gLr.1 all'C\k'tIoc tk' ~~,!: pendLcular n \ u eje de ..il1letriu que pll~a por el I C:r1 u.:t' U'" IdlllOl/kl'. ¡k' ~ ~n varinbk..\ y el propietario pLen~L si scrin IlItb rcntn"k Cll('r~t'tlCan;:'lrLJMI re' \:ln Q\ '-""Onos más pcqueílos (l uno~ pocO$ muy gnlnde~ . !lLtro ,¡f,tc lI."t<" pue"la debe cnlcuhtr el LllOIllCOIO de il1en'in de Ul1l'\lLlO cln"I1!:1f tt'\'1l1 bllIJlI .. de altum H. mdio de In b.l.'óC R ) dcllSlClud j). ¡.OnU e~ d l"C"'uluP-I·' 57
~oo 1,
Eje de rotación
1
Problema 5 1
•••
Problemas fl'lel'9
-
lil
cinética de rotación 1.Il~ Imnrcul:tS de
la ligum 9.47 '-oC unen ." ,_" , eUl.lllte un't vur' U ~ momentO de illt:rcia puede de~prccinl'M.: . Oinm , ..• • • n .~, uy ",
,0
rBCln W... l.
<
•
'2
'
•• Un dio;c(l uni fonne de ffill.'>ll M )' rudio R puede girnr libremente re.~pc~ to n un eje que pao.:l por ' 11 ee:ntro y e$ pcrpendieulnr al plnno del di'iCO. Se ~U~UI ~nll pt:quc"n PllnCculu dc mn~n In ¡II borde del dj!oCO )' en ' 11 pane ~~pe n or, directamente e:ncinm del eje dc rotucl6n. El :.isternn \C hace girnr inicialmente con sUlIvidnd. (ti) ¡.Cuál e~ I:! velocidad angul:!r del di ~o clmndo In punfc ula se encuelllm en el punto m!ls bajo dc ¡,u tnl)'cctoria'! (1,) En c..~te punto, ¿cufÍI es I;J fuerzu ejercitlll por el di!;Co sobre la llartfeu!:1 p:1I11 que éstu pemmnCZCH cn el disco'! 65 .~ Un anillo dc 1.5 In de di!lm":lro pivoltl sobre un punto de ~u eir. cUllfcrcncm de modo (llU: gira :!Ircdedor de un eje: hori/.onull. Inicialmente la ¡¡neu que p~SlI po~ d sopone )' por el centro del anillo ..:~ horilOntnl (ligur.! 9,49). (ti) SI se dCJ n o~ilur libremcme desde el rcpmo. i,cm'll c..~ su velocidad :mgular máxima? (b) ¡,Qué velocidad nngulnr debe imprimif'M: inicialmente pam que dé justamente unu revolución comple[a (360 QC)'!
" ""'") ro .. 2 rlldl~ Varilla ligera
ng
E¡e
'"
,, ,
,, , , ,,
,, ,
,,
.JO
- 20
- 10
O
Figura 9.47
59 15cm ÓC111lb aDe\-J
I
10
20
30
40
••
.'
•
••
,
, , ,
Problema 58
, SSM I Uno boln sólida de mm;;! 1,4 kg Y diámetro 'dedor de su diámctro a 70 n:v/min, (ti) ¿Cuál es su energfu ciné~umi ni s trnn 2 J de energía a su energía de rotación. ¿cuál será la Wang ulur de la bola'? 'n mOlor desarrolla un par de 400 N· m a 3700 rev/min. Deter.
IIliolr l
lóa suministroda por el motor.
.
,
x,cm
60
"
277
64
•
<11
I
Dos masas puntuales mI Y 1111 están conectadas por una vurilla
'ilUd L. El conjunto gira alrededor de su centro de masas con veloIigem de (LI. Demostrar que la relación entre los energías cinéticas dc lus cidad an~ mllaS es f I E~: = 1111/111[,
62 • • i ti Calcular la cnergf" einéticn de rotación de In "J'ierru aIredeOOr de su eje y compararlo con la energr:! cinética del movimiento del CUlUOde mnsas de la Tieml en su órbita al rededor del Sol. Suponer que la Tic· lites una.esfern homogénea de masa 6,0 x I OU kg cuyo ro.ldio vale 6.4 x I()II m. El radio de la órbila terre,<¡tre es 1,5 x 10 11 m.
Figura 9.49 ,
66 •• I Queremos diseñar un coche que milice la energfa almacenada cn un volame fonnado por un ci lindro de: 100 kg unifomle y de radio R. El \'olallle debe suministrar una media de 2 MJlkm de energía mccjniea. con una velocidud angular máxima de 400 rel·/s. Delerminar el \'alor mínimo de R. tal que el coche pueda recorrer 300 km sin que el \'olante necesite St!r rccargndo. 67 •• Una estalero! ponátil de 8,6 m de longitud)' masn 60 kg se sitúa en posición casi venical contn! la pared de un edificio. Una pct$()nl\ que pretende bajur por la escalera c,.¡t¡\ de pie sobre un peldaño de modo que tieoe su Cenlro de masas a la :!hura de 111 p:lr1e más alta de la esc:tlern. 5u ma~a es de 80 kg. Al inelimu'sc liger.tmcme. lu cscu1cra comienza u giror :lIrcdl.-dor de !>u baM:, alejándose de la pared. ¿Qué es mcnos peli1,!roso para esta persona: saltar rápidamente de 1:1 c..~a lero.l al sucio O agarrarse a hl cst"Ulem y ,.¡almr ju~to un momento ames de que el extremo de In csca1crn choque contra el sucio'!
•
SSM I Un bloque de 2000 kg asciende a una \'elocidalronSl:tnlc de 8 cmls mediantc un cable de acero que p,lsa por una polcn de masa despreciable y se arrolla en el tambor de un tomo impulslldo por un motor ffigum 9.48), e l mdio del tambor es de 30 cm, (o) ¿Qué fuer!,:! ejerce el cabl..:,! (6J¿Qu~ momento ejerce la lensión del cllble sobre el ulmbor'! (e) l,Cuá l es lu l'tlocidad angu lar del tumbor'! (d) ¡,Qué potenciu debe des:!rrollar el mOlOr p:ln! bactrgirnrcl tumbor del torno'! 6]
••
Poleas, yo-yos y obJetos colgantes ,
ti Un bloqull Je .¡ I.g qUIl dc....c:UNI sobre unll I •• SSM plalaronn:1 horizontal ~in rtllamicnto está coneetlldo a otro bloque l'olg:lIt1e dc 2 kg mediante uml cuerda que p:I"l! por una poil:n (figur.1 9.50), 8t:, polca eslá fonlllUlu por un di!;Co unifonue dll r.ldio 8 (;"111 Y Ilnll mm;u. de 0.6 k1,!, (ti) Dct~r minar la velocidad del bloque de 2 kg óespué.~ de h!lller óc...ccndido de~ el reposo una dist:tncin oc 2.5 nl. (b) ¡,Cuál es In \'elocidud angular dc la polea en ese momcnto'! 68
r=30CIII
r
IN8
Figura 9 .48
Problemo 63
Figura 9,50
Problenws 68- 70
278
I
Capftulo 9 Rotación
69 •• En el ~is t cm:l del problcllln 68, determinar In acclcrnci6n ¡inenl de enda broque y I tllcn~ión de la cuerda.
70
••
Annlilur el pwblclllu 68 p:1I'l1 el CU'iO en que el coclicienlc dc roza-
IIUClllO Cnlrc el blOl:IUC de·1 kg Y In plflluforrnn sea 0.25. 71
••
~kd;aolc un \11"10 de cngmnnjc <>e I!.~u! procediendu a levlIlUar un
coche de r200 kg dd mooo
m
Polca
Figura 9.53 Tambor del torno
Prohle ma 73
•
•• I Una máquinll de Atwood tiene do! CUI!I"J)
5.0 m
_"= 50 8 r= J cm
• Figura 9.51
Problema 71
72 •• SSM El sistema de la fi gura 9.52 se dcjll li brc desde el reposo. El cuerpo de 30 kg se encuentro a 2 m de [n plaulfonna. La polca es un disco
uniforme de J(J em de mdio y 5 kg de mmltl. Calcular (ti) la velocidad del cuerpo de 30 kgjul>IO:mte..<; de que llegue ¡¡ toeur la plataforma. (h) la velocidnd ungular de la polca en ese instllnte. (e) [as tensiones de las cuerdas y (ti) el tiempo que inviene el euerpo de 30 kg en alcanzar lu plataforma. Suponer que lu cuerda no dc.~ li 7."1 sobre la polen.
m2g
Figura 9.54
Problema 74
m =5 kg
Ir<'
r=IOC IlI
75
••
SSM Dos objetos cuelgnn de dos cuerda' , capnces de gimr rcslx:cto :1 un mismo eje del modo que ><:
13 fir.n
. u. ....
son RI = 1.2 m y R2 = OA m.(a) Si "'1 =24
· mzpm.qw
kg. calcll lur~l \
Problernll 72
Unn c.sfem unifonnc de ma,:1 M y radio R puede gimr libremente n.!l>peclo n un eje horiwntnl quc p:ll>,'1 por Sil centro. Se enrolla IIml cuerdn alrededor dc la csfera )' ~ unc a un cuerpo de mll AA ", como ~ indica en In I1gurn 9.5.1, ('¡¡!c ular (ti) la IIcclerncicSn del Clle rpo y ( b) la tensión en la c llerda.
73
~
9.55. El illOmenlO de ine rc ia to tal de las dos medas e~ de 41
2m
Figura 9.52
J (\01; ruedl;
••
Figura 9 .55
Proble.nUl 75
Problemas
:u.:de:r:u:ión angular de las rul·thl~ , (b ) Si se "o( , • ... ocan con Suav'd Id ~J stJbK ltl pane supenor de mI' calcular In aceleración a I I, 111.$ '6 , .. la ~ cuerdas ngu ur de las rue:~ ~ 1:1 ¡ensl n " . . 11 pU [~ (
La cuerdo que cn\'III!Jvc el cilindro de la lis"rn 9 56 u •• cstásostc, 'd "¡JIJ() de una pcNona que acclcm hneitl arriha sin que ~.. . I1 o <'« (a" ,' ",_. , "" mucva el centro t-- " .s del clhndro. vctenllinor (CI) lu tensIón de lu cuerdn (b) [ , 6:¡¡\Oi'6 d ' a :lce ler.IClón d In Acdenlcl n e lu nUI11O, ~gu [aro (
16
••
I
279
cuerda pasa por una polea ~i n ro:r.amiemo y de su extremo cuelga un pe-.o de ma.~a M, El pc~o ~ dejn Cller de-.de el reposo y l>e mide el¡iempo que transcurre cuando ca"... unn d'ISllmCHl ' D. E( ~,slema , enlonces se rebobina. el objeto cuyo m~nl!~nto de ¡nerei:l ..c dc ~ea mL'dir se sitúa sobre In plntnfonna y el sistemn ~ deja ,hbrc de nuevo desde el repo~o. El tiempo requerido ahom pam que el peso descle n(Ia (n lmsma , (' ,mCla , D proporciona los datos neeesnriO$ para el cál(181 culo de /, Con ,H = 2,5 kg Y f) :: 1,8 m. eltiernpo e.~ 4.2 ~, (a) Dctenninar el momento de ¡nereio combinudo dc la plnTaforma. el eje, el tambor y la polea. (b) Con. un objeTO situado sobre la pllllafonna. el tiempo es 6,8 s paro D:: 1.8 m. Detennlllllr el momento de incrcia del objeTO respecto el eje de III plllloforma.
Objetos rodantes sin deslizam iento T
79 •• i ./ En 1993. un yo--yo gigante de mnsa 400 kg Y unos 1.5 m de rudlo se dejó caer desde una gnh de 57 In de ahuru, Uno de los extre. mos de 111 cuerda estaba atuda ti la gnía. de manera que el yo-yo se desenrollaba al descender, Suponiendo que el eje de yo-yo tenía un radio de r:: 0.1 m, determinar la velocidad de descenso en el punTO mlis bajo de su recorrido.
Fig ura 9.56
77 to1311l1e
masa ni
romo.... ItIll3 al'
bloque : !iUtma ttItIgía Ibll·~
et1Jt~
Problemas 76 y 80
'n d lindro uniforme de masa 111 " y nidio R giro sobre un eje sin ,c enrolla una cuerda alrededor del mismo conectada a un bloque de Isl está apoyado en un plano inclinado sin rozamiento de ángulo 8, 13 figura 9.57. El sistema se deja en libenad desde el reposo con 1/12 <;Obre la base del plano incli nado. (a) ¿Cuál es la aceleTUción del Culil es la tenSión de la cuerda'? (e) ¿Cuál es la energía total del Mlro--bloque-Tierrn cuando 11/1 está a la alturo h1 (d) ¿Cuál es la ~' unndo"' 2 está en la base del plano inclinado y posee una \'elociCuál es el valor de \.? (j) Analizar las respuestas pam los casos l.k- 8 = O°. 8= 90° Y mI = O.
80 •• Un cilindro uniforme de masa M y rodio R tiene arrollada una cuerda. Esta cuerda está fuenemente sujeta. y el cilindro cae verticalmenTe. tal como se indica en lo ligura 9.56. (o) DemoslnU que In aceleración del cilindro está dirigida hacia abajo)' que:;u módulo es o = 28/3. (h) Calcular la Tensión de la cuerda. 81 •• Un ya-yo de 0.1 \.:g está fonnudo por do~ discos sólidos de radio 10 cm unidos entre sí por una barra sin masa de radio 1 cm y una cuerda amr liada a la barra. Un cxtremo de la cuerda se mantiene fijo y está bajo la tensión constullle T cuando se suelta el yo-yo. Determinar la aceleración del yo-yo), la tensión T,
82
•
Un cilindro sólido homogéneo rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontol. L:l. energía cinética total es E~. L1 energía cinética debida a la rotación ,tlrededor de su centro de m:u.as C~ {a) ~ E.:. (b) ! EC' ~ (e) '7 E". (dI Ningun:l de las anteriores. SSM
,
83
•
•
I
Un cilindro homogéneo de rudio 18 cm y masa 60 kg meda ~in deslizamiento sobre una superficie horizontnl ll. la \elocidlld de 5 mfs. ¿Qué Tr.l.hajo se necesitó parn ponerlo en mO\'íllliento" 84 • Calcular los porcenTaje.... de energfll cinética tOlal a<;()Ciada con la rotación y con la traslación d( un objeto que rueda <¡in de~1illU"iC ~¡ é.qe es, res· pectivamente. (11) una c..fcm uni forme. (b) un cilindro uniforme. le) un nro,
Figura 9. 5 7
Problema 77
78
•• SSM En la figuro 9.58 se muestra un dispositivo paro medir el momento de illereitl de un objeto, Una plaUlfornm circular posee un tambor C1XIc6tlriCO de radio 10 cm alrededor del cuol ~e arrolla una cuerda, Estll I I
Un aro dc 0.40 m de rndio y 0,6 kg rueda sin desli7.u.n.c: con unu \'e!ocidad de 15 mIs hucia un plano indinndo de 30°. ¡,Cuál será In dbtancia ~ubida por el aro en ell'lullo'! (Suponer quc nleda.!oio dc.~1ilUJ'<,e.) 85
•
Unll esfern 11llifomlC ruedu ~¡n deslizar por un plano inclinado, ¿Cuál tiene (Iue :.er el ángulo del plano inchnado pam que la aceleración del C(l1Iro de llIa~as de la csfenr ~3 0.'2 g'?
86
••
SSM
87
••
Repetir el problema 86 paro una csfcr.t hueca.
•• Una pelOt3 rueda ~i n de,liznr por un plano indinado que fomla un ángulo 8 con la hori.>;ontal. Calcuhlr en funci ón del codiciente de rozamTento 88
)4. (a) In acelernci6n de la pelota, (b) In fuel7.ll de !1ll1lmiclllO, )' (e) el mbimo
ángulo de inclinución pllr.t que la pelota puedo rodar ~in dt'~lllan.e . Repetir el problelllll 88 parn un cilindro ~ó tid(l de mmJem.
89
••
90
•• SSM Una c:sfern hueca y otm 'óhdu () unlfonnc} de i¡:lIal~ m ) r:ldiCD H. nll-'dan sin dc.~lizamicnto por un plano indinado dc<;de la
masa.~
mIsma :t1tura 11 (figum 9.!'i'n. Ambas se mue\en hClnzontalmcnTe al \.11ir de 111 rampa. CURndo l(l~ e~feras chocan l'OnTTU e:I ~uelo. el alcance de la e~fcrn huC\:a e.\ J_ Dclemlinar el ¡lleUIICe L' de la c~fem unironu(' ,otrda
Figura 9 .58
Problema 78
280
I
CapItulo 9 Ro tación
Esfera uniforme
••• SSM Un cilindro uniromu: de muSo'! M y T:l(l1O R lit sobre: un blcxluc de masa m, el cual n su \ c/ "C encuenlm en rtlXXo ~ lIlc..sa ho%ntal sin rozamicnlo ~fi.gunl 9.61). Si :'Ipliclln~)<. :11 hloqll~ u:7 lit¡¡ llO%nlal F. éSle acelero y ci cIlindro roecm 1>m
Esfera hueca
,, 1.
, \
, •
m
Fi g ura 9.61 FIgura 9.59
Problemu 90
91 •• Un ci lindro dI! pnredcs dclgndas y olro cilindro s61ido unirc)flnc ruednn hOOZOtllnlmclllc sin desl>lnznmicl1Io. La velocidnd del cilindro hueco c.~ \'. Ambos ci lindros encucn lnUl un plano inclinado por el que lrepan sin deslizar. Si la nllura miixinllt que aJc:lI1zan es In misma, detcm\innr In vclocidud 1-' del cilindro sólido.
Un cilindro hueco. de paredes delgadas. y una esrera sólida pnrten del reposo y ruedan si n desli".amiento por un plllno inclinado de longi tud 3 m. El ci lindro llega a la base del plano 2A s despué.s de 1" csrem. Detemli naf el ángulo que fomm el pruno inclin3do con la hoozontal. 92
Problema 96-98
••
93 ••• Una rueda posee unu dclguda llanta de 3,0 kg Y cuatro rudios. cada uno de masa 1.2 kg. Determinnr la energía cinélica de la rueda ul rodar sobre una superficie horizontal a la velocidad de 6.0 mis.
94 •• i ti' Dos discos uniformes y pesados están conectados por una corta barrJ. El sistema se sitún sobre un plano inclinado de tal modo que los discos cuelgan sobre los lados. C3du disco posee una musa de 20 kg Y un radio de 30 cm y la barra de conexión tiene un rudio de 2 cm y una I11U $U de I kg. El plano está incli nado 300 y la barra rueda sobre el plano sin deslizamiento. (ti) ¿Cuál es l¡] :!celer:lci6n linenl del ~istema que dc..scicndc por el plano'! (b) ¿Cutil es la ut'clemci6n nngular del sistema? (c;) Si el sistema parte del reposo. ¿cuál es In energfll cinética de tmslaci6n cuando ha rodado 2 rn sobre el plano? (ti) ¿Cuál c..~ la energín cinética de rotación al Cilbo de dicho desplazamiento?
95 ••• Una ruedi' de radio R rueda sin deslizamiento con velocidad V. Las coordennda:s del centro de In ruedn son X. y. (a) Demostrar (Iue las coor. denndas .r e )' del puntO P de la figura 9.60 son X + ro col' 8 y R + ro sen O. respectivamente. (b) Demostrar que la velocidad total \. del punto l' tiene por componentes \', = V + (raV sen fJ}IR y 1') = -(roV cos 8)JR. (e) Demostrnr que en el instante en que X = O. \' y r '>on pcrpendiculnfCS entre sí calculnndo su producto esculnr. (d ) Demostrar (Iue l' = rro.. siendo (1) = V /R la velocidnd angu lar de In ruedu. Esto~ resultados demuestran que en el caso de rodar si n de~l izall1iento, el movimiento e
97 ••• (a ) I)cterminnr la ~clemci~~ angular del cilindro en el J'lmbkma%, ¿Es homon o nntihomria la rolUcl6n del CIlindro? (bJ ¿Cuál es la RCek.~ Iinq¡ del cilindro rc.~pccto a la me.;a? Tome lllO'i como sentido pn<,iti\o el misnn indica lu dirt.'cción de F. (e) ¿Cuál es In acelemci6n linenl del cilindro ~ bloque'? 98 ••• Si la fuerza del problema 96 actúa a lo largo de una d i ~IJ~d. detenninar (a) In cnergía c inélica del bloque y (b) 13 encrgfn cinética del CIlindro. (el f)e mostrnr que 13 cnergí3 cinéticn 10lal e~ igual al tmoojo rea]i1ai;J sobre el sistema.
99 •• En la figuro 9.62 se muestra dos grandes engran3~\. c-ada llJlOóe los cU3les puede girar alrededor de un eje que pasa por \\1 centro. Uno tiene: lit radio R, =0.5 m y el otro R 2 = I m. El momento de inerci3 rkl engranaje I ti. JI = I kg·m~ y el del engr.lIlaje 2 es J2 = 16 k.g·m~. Ln palanca tiJ al engl1llllJe 1 tiene una longitud de I m. (a) Si se aplic3 un3 fuena de:! eltrerno~1a p313nca. tal como sc \"e en la figum. ¿cuál será la :K"i!lef'3 nBuJar ~ 1m engranajes I y 2'!. (a) ¿Qué fuerza ha de aplicarse tangeocI ile 31 tUl'tmo del engran3je 2 pum evitar que el engranaje gire? 2N
Fig ura 9.62
Problellln 99
100 •• SSM Una canicn de I CII1 de mdio, inir.:l t en rt¡\. roedn desde 1:1 ci ma dc una esrern gmnde de 80 CII1 de radm. Iot lJWIIJ(IIt fija . «(1 ) Suponiendo q ue 1:1 canica rut'da sin deslizar micntr,l\ ..1 tn COOta.1O con la C1>rera (lo cual e:> poco realista). dctennin:.r el ángu lo de...or la cinu 1Il'IU el punto de In c..~fern donde la cttnica 1>e empieza a !'-eparnr. Ibl ,,I'Q(ljlK' t"o llII poco rcnlista Suponer que In ca!licn ruedn ~ in desli.mr mitntru~ c,IÚ en ron!lL"1\' con In superficie ele In csfera'!
y
•
Rodadura con deslizamiento •
_ j _. 0 • •
o Figura 9.60
Problema 95
101 • En unu bolera se IlInZ:1 una boln de 11111':1M , radio RdI' 111o:....., q!1t en el i n~tnl1le en qlle tcxlllc el suelo ~c t',té 1I10viendo hn~ilontahll,'ntl' l't)(l ~ "clocidud 1'0 si n rodnmielllO. Ln bola dt~~lil¡¡ durante un tiempo 1, a I¡\ lar).'" J; unu distnncin .1", antes de cmpcznr n rodar ~in dc..... li/.amicnlll. (1') S, IJ... ," ~ codkientc ele ro/.amiclllo por dc.o.li7uI1uCI1IQ clltre 1:\ bola ~ el \tlck>.. C'ilh:\I\JI' t, Y In \'d ocidnd finnl \ I ele hl bola. (hJ l)ctcrnu nnr la relnclI.m t'ntre 1" ~'f"PI mecánica final e ink iul de hl bola (C') b 'aluur l"'IIl' m'lgnuudt'\ ¡1;ua \ ~ . y JI.; = 0.06.
Problemas 102 •• SSM Unu bolll de hillllr de mdlo r ¡oC cucucntl~1 inicinlmcllIc eu n:)lI.)';(I...obre UlUlIII~1 de nlllnr horitontnl (figum 9.63). Se 1" golpeu Illl'
una
Je m&dulo 1'0 t1unUllC un licmpo muy CQrto Al. El UU:O g()l~u In boln \!n un punto ~ lIlmdo :l um, di ~"mcil\ " del punto de contacto l'On la me..:!. Ot.·uKNrnr quc In \ docidad ungular (lb e~1¡1 rd:,cion:K1n (."On 111 velodtllld Uneul inidlll dcl ••:entro de mLl"¡l~ \'0 por % . (512)1'001 r)l':'. flll:I'"/.Il
da rL"Corre el cilindro nnles de rodar sin de~ ljUlm iento';' (e) ¿Qu~ frncci6n de ~u energra meeánicn inidal '>C di~ipa en el ro:r.amienIO? 109 •• Considernr unn bola de mdio r y masa 10lal m con una distribución dc InU!>U no unIforme sino radi:llmenle ~imétriCll, de forma que puede lener un momelUO de inercin 1 cllsi urbitrorio. (rI)
Demostrar que ~ I b boln se I:í.nzn desde el .. uelo con unn velocidad inicial l' de forma que primero resbale (c... decir, que , u velocidlld micinl de rolnci6n ~II w = O), su velocidad finul cuundo ruedtl sin re ..b:alnr ~ \ ',
Figura 9.63
Problema 102
••
104 •• Uno pc.'lola l>6lidn homogénea con una mnsa de 20 g y un mdio de " cm descu nsn sobre unu superficie horizontal. En dirt:cción horizontul )' a una .h'toncio de 9 cm sObrt: In superficie se aplica a lo bolo una fucrl.a inSlantánea. L1 ,Jena CrL'i.'C linc:tlmente deMie O hastn un vulor máximo de 40000 N en IO- ~ s y . -spués decrece lincnlmeme a O en 10-1 s. (a) ¿Cuál es lo velocidnd de lo pelota k:~pués dd imp..1cto'! ( h) ¿Cuál es lo \'clocidad IInguluf de lu pelota de.<¡pués del ,npm:to'! (t') ¿Cuál es In velocidad de la peloln cunndo comicnza a rodar sin ,c:s!izamiento'! (d) ¿Dumnte cuánto tiempo la pelota ha deslizado sobre 13 -uperficie'? Supóngase que J.Lc = 0.5. •
10 5 •• I Una bola de billar de 0, 16 kg Y radio 3 cm es golpend¡1 por el tnco mediante un impulso horizontal que pnsa por su centro. La vcloci-
dtld inicial de la bola es de 4 mIs. El coefici ente de rozamiento cinét ico es 0.6. (tI) ¿Durnnte cuántos segundos desliza In bola ames de que comience a rod!lr .. in deslizamiento? (h) ¿Qué distancia recorre desli:r..undo? (e) ¿Cuál es su vclocidod cURndo comienzo a rodar si n desli7..umielllo'! 106 •• Una bola de billar inicialmente cn reposo recibe un golpe instanUneo mediuntc un taco. El impulso es horizonUlI y se aplica a un n distancia 2R13 por debajo de 13 Ifnea centml (figura 9,64). La velocidad inicial de la bola es \'0 y el coeficicnte de rozamiento cinético Ji..:.. (a) ¿Cuál e.~ la velocidad 3ngultlr iniciolli.l,¡? (b) ¿Cuál es la velocidnd de lu bola unu vez que com ienza j\ rodar sin deslizamiento'! (e) ¿Cuál e.<¡ ItI energfn cinética inicinl de lu bola"! (ti) ¿Cuál es el trabajo de roztlmiento realizado cuando desliza por la m.;Sa:
I 1 +lImrl
"
•
E.,
-! -
m I .1 1 2(1+lImr )
(Obsérvese que l/m ,J e.~ independicnle de la masa y del rndio de la bola; depende sólo de lo dislribución de masa dentro de ésta,)
Problemas generales SSM Ln Luna gira sobre sr misma al mismo tiempo que gira alrededor de laTIerrn.. de modo que muestra siempre lo misma cara. Utili7.aT este hecno pum determinar la velocidad angular (en rndfs) de la Luna alrededoc de su eje. (El periodo de revolución de la Luna alrededor de lo Tierrn es 27.3 días.) 11 0
•
111 • Detenninar el momento de inercia de un aro alrededor de un eje perpendicular al plano del aro que pase por un punlO de su borde . 11 2 •• Con objelO de poner en marcha un tiovivo, se enrolla una cueroa lllrcdedor de él y se tira de la mismo. Se ejerce durante 12 s una fuerza de 260 N sobre la eueroa. Durante este tiempo el liovivo. que tiene un radio de 2.2 m, realiza una rotación completa. ( rI ) Hallar lo aceleración :mgulur del tiovivo admitiendo que es constante. (h) ¿Qué momentO ejerce la cuerda so~ el tiovivo: (e) ¿Cuál es el momcnto de inercia del tiovivo?
11 3 • Un bast6n unifonne de 2 m de longitud se apoya sobre el hielo fonnando un ángulo de 30" con la superficie horizontal. El bastón cae desde el reposo. mal11cnicndo en todo momento su extremo inrerior en C'O nlacto con la superficie del hielo. ¿Qué distancia se hu mo\'iOO este extremo del b.:lstón cuando éste h3 caído compleuuncntc sobre la superficie helada'! Supóngase que el hielo no ejerce rozamiento. 11 4 •• i ./ Un disco unifomlc de rudio 0,12 m y masa 5 kg tielle un eje central de modo que puede gir:lr libremente a ~u alrededor. Se cnrolIu unll nlcro:1 alrededor del disco)' se tiru de ella con una fuenll de 20 N (fi gum 9.65). (a) ¿Cuál es cl momento ejercido sobre el dj~'! (b) ¿Cuál e~ la acclernci6n angular dcl mismo? (e) Si el disco parte del reposo, i.cuáJ l."§ ~u \'clocid:ld angular después de .s s"! (tI) ¿Cuál e... su energin cinética dl'S~ de 5 \', (t') Hallar el ángulo total 9 que giro del disco en 5 s. (j) Dem~tmr que d trnbnjo reali/odo por el momento, r 69. e<; igunl a lu encrgil1 einélicu.
---,------
2; t
FIg ura 9 .64
.
independientc del coefi ciente de rm~amienlO ci n~lico con el suelo. (b) Demostrnr que lo energfa cinéticn t01ll1 de la bohl e.~
Uua pelota c¡.ftriea unifclTIue loe pOne cn rot:lción n:.<.pecto a UIl eje nori/.ontnl con UllU vclocidntl allgulnr % y se deju en rcpo.~() sohre el suelo. Si el ~'\X' ficiente dc ro/~'llll i cn to por deslinllniento emn: la pelotn y el Mlcl o cs J.Lc, cal. ,\llar [u \'c1ocidnd del CClltro dl' mllSIl~ dc la pclOIH cuando éMu comicnZll a rodnr ¡.i n (I{'<;Iit.lIll1iento. 103
281
Problemu 106
107 •• Sc lanza por la pistll dc una boleru un:l boln de mdio R con una velocidad inicial 1'0 y una velocidad :lIIgular de ro13ci6n % = 31'r/R hacia nde· IlInle, El cocliciente de m1.lImienlo ci nético C!> Ji..:.. (ti) ¿Cuál cs 111 velocidad de lu bola cuando comienzn a rodar sin de.~ l il.allliento·! (b) ¿Dumnte cuánto liempo 11.1 de.~ lil.ado la bola 31I1C" de (Iue cmpiece n rodar "in desliznmie\llo'! !(') ¡,Qué distancia ha recorrido In boln por In pism antc~ de (Iue comience n rúdnr sin dc.sliz:uniemo'!
108 •• SSM Un cilindro ~ó lido de. ma!ill M de!iCuns¡1 lateralmente :.obre unu supcrlicie horizontal, Un tnco ele. billar lo golpctl violenlamenlc dc modo que In fuerl.lI aplicadll e~ horizontal y p..1l>1l por el centro del cil indro. á"tc mida un movhnielllO de trnslllción con velocidnd inicial 1'0' El coctlcicntc de rn:r-:.micnto de<¡lil.untc entre el cilindro y In ~upcrfick c., 1'.' (ti) ¿Cuál e... la ~elocidad tle Irnsltlci6n del cilindro ni rod:lr ~in de.~ l i1amiellto'? (h) ¿Qué lIb llln-
'"
Figura 9.65
Pmblcmn II-l
282
I
Capitulo 9 Rotación
,
Una baml de 0.25 kg 'J longitud 80 cm est~ suspendida de: un pi\'ote por uno de ~u , eXlremos. Se considero que el pivote no tiene rozamiento. La balTll Si.' IIlIln!ienc hon,.únl111 'J '\e dcju caer. Inrnedintamemc después de ~ u Iibenlción. fa) ¿cuál el> In aeelemciÓn del centro de la bumt'! ( b ) 1. Y la ¡IceteraciÓn inichll de un punto del extremo dé lu bllm\'! (e ) Dctemli nnr In velocidad lineal del centro de mnsa!> de In bnrr.l cunndQ está en posición vcnicul. 11 5
••
)'
.,
Una bolitu de maSo.'1 M y millo R rueda sin deslizmlliento hncill ab.1jo por In pista de la il.quierdn desde 13 alluN! ". C0ll10 indicn In ligura 9.66. Ul bolit:1 sube entonces por la l)i~1:1 ~ill IT1llllllii'lI/C} de In derecha hnstn una nlturJ ":. Detenninar Ir:. 116
••
Figura 9 .67
Problema 122
•
123 •• I Un disco unifonne de rodio R 'j m a~n M ph'Olaal!tde. dor de un eje h0r1zont,,1 que pasn por su borde. parnlet:uneme al eje de simt:1ría, de 1:11 m:mera
Figura 9.66
Problema 11 6
•
I •• SSM Un disco uniforme con una masa de 120 kg Y un mdio de 1.4 In ruedn iniciolmente con una velocidad angulnr de 11 00 rev/min. (a) A una distancia radial de 0.6 m se aplica una fuerza tangenciol. ¿Qué tmbajo debe realizar esta fuena para delener el disco? (h) Si la rueda se detiene en 2.5 mino¿qué momento produce la fuena'! ¿Cuál es el módulo de la fuer/.n ? ( e) 11 7
¿Cuántas revoluciones do la ruedo en estos 2.5 min? •
11 8 •• I Un tiovivo de un parque liene una platafonna circular de 4.00 m de diámetro y unu masa de 240 kg. Cuatro ni ños que corren a su alre-
dedor empujon langenciolmente la plataforma hasta quc el tiovivo. partiendo del reposo. n1canzn una velocidad estacionanu de una revoluci6n complet:L cada 2.8 S. (a ) Si cada niño ejerce una fu en a de 26 N. ¿qué distancia hun recorrido? (h) ¿Cuál es lu velocidnd angular del tiovivo? (e) ¿Cuánto trabajo ha realizado cadll niño'! (ti) ¿Cuál es la energla ci nética dcltiovi\'o? •
11 9 •• I Un aro de masn 1.5 kg Y radio 65 enl tiene UllU cucrdn arrolladu a su circunferencia y está apoyndo en po~ición planll sobre unu mesn horizontal sin roznmiento. Se tira de lu cuerda con unu fuerza de 5 N. (a) ¿Qué distancio recorrerá e l centro del aro en 3 5? (b) ¿Cuál es la velocidad :mgu lar del aro respecto a su centro de musas ¡II cabo de 3 s'! 120 •• Unn rueda venical de molino está constituida por un disco unifonne de musa 60 kg 'J 45 cm de rodio. Posee un manubrio de 65 cm de radio y de masa despreciable. Se une un pc.~o de 25 kg al manubrio cuando éste se encuentro en posición horil.Ontal. D~prcc i ando el roz.amicnto. calcular (a) la nceleroción angulnr inicial dc la rueda 'J (h) la velocidad angular máximn de la • misma. Considérense dos bloques uniformes de madem. idént icos en fonna 'J en compo~ ición. dondc uno es más largo que Olro por un faclor S en todas las dímens ionc.~. (a) ¿Cuál es la relaciÓn entre el área de los dos bloques'! (h) ¿Cuál es In reloeiÓn entre la masa de los bloques? (i) ¿Cuál es In rela· ción cntre los momentos de inercin ulrededor de un eje que p:ISC por eudu bloque. suponiendo que éstos tienen In misma posiciÓn y orientnciÓn rclll1iva? Este c... un ejemplo de It!)'t'.f di' t'$('a/a : cómo varfan con el tumaño el tiren ~ u pcr !iciul. 1:1lIlaSII y el momento de inercia de un objelo. 12 1
••
Fig ura 9.68
124
•• El lecho del comcdor de la residenci:1 de estudL . SI. M ary se nguanta gmcias ti vigas de madera refon adas (ju que se muestra en la figUl11 9.69. Cada viga \'enical tiene una l. 'J una anchul1l de 6 l cm. Cada viga horizonl:l.l tiene Un:1 Ion! Llnn anchum dc también 61 cm. Las vigas \'enieales tienen Ul 'J las \'igas hori7.omales de 175 kg. Cuando se estaban in~t estructurns empelÓ a C:ler antes de que fuera anc\adu (afonuTl bnj:ldorcs consiguieron sujetnrla antes de que cayer.! del todo
1-- - 183 cm - -1 T
,
61 cm
SSM
122 •• Deducir cl llnmudo teorcmn de los ejes perpendiculares pam figu ros planas ejes pcrpcndi· CUI:I TC5> ni plano de Inligum 9.67 eon el momento de incrcin rcSpeCIO11 un Icrcer eje perpendiculnr al plano de lo f¡gum. Considemr el elemento de Illusn 11m de la figuro ~ illmdó en el phmOl'.~'. (11) E:t p~e.~a r el mOlllento de inercia de In figum respecto ni eje;: en fu nción de dm 'J r. (h) Relacionar la distancin r a dm con las d i.~tllnda~ x e)' 'J dClIIl»tl1lr n~( que 1: '" 1, + 1.,. (e) Aplicar este re.~ uh3do a In detenninaci6n del momento de inercio de un disco unironne de radio R re.~ pecto u un diámetro del diS\:o.
Problema 123
365 cm
Fig ura 9.69
ProhlclIlll 1 ~4
Jel rokg¡o 'n 14 flJl'lm de 365 cm 183 rol } dd.5(H! una de ll.<. :le los ttt-
fmpc'.w I
Problemas df~ uml posici6n \·cnicl1l. ¿euá l rue lu ncelentdón " .
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I1I1S
1.8 m
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blV"llontul de e~tn nce cnlCI
11
1
283
I "
.. ngu ar Inlclnl de lu 'IUro'~ Supongl\1I1OS que el pie no resbllló v que In cafd .....J l " • u OCUIIIUen el plunQ ...Jc;l1delinido por us VISUS vcnlCul ':1 h007011l:11 de lu ti,,,,,, lb) e ' 1 f In' .' ' Id C ln vlgll " . ¿ u,. uc ln roción llllcnl I1l1 e1:1 honzolllnl en el ex,d I, mo crecho de lu 1.1 cunndo lu cstnletur.l C1l1 peznbn u cncr? (e) ¿Cuti) f I 11 \1Itf
I
ue
u
0.2 kg
0.2 kg
cornponCl1Ie
m
"t • • Un carretc de mnSII M desclmsn sobru un 1,1" ". ' ' d o n unu I~ . _ .. me l 11m ',tnncil1 f) rnedtdll dl!Sdc el rondo, El CUlTetc tiene un mdio ... R ul_ .. . ' . m"Xlmo ':1 1111 ---'10 nl1l1l1nO, r. ':1 un momento de Il1l'tcm I respecto ' 1 su e: U I flI'J d'" bl _. ''.je. nll urgll J;U(rtLl dr musn I:spre.ctu e se a~I]¡1 lIlultlples \'eces ulrededor del centro '-1 \·:trret~) el otro extremo 1>e ~uJetn n, In pllrte más · '111''1 d"II,I-, o' l'llIno d "" . .... n,1I1C dt moJo que 111 cuerda Siempre SC .\l~:\ I.ll1 ene purnleln ¡II plano como mues tra la íigurn 9.70. ((/). SupOngamos que tll1cmlmeruc In l~ndic1ltc está ro.!cubicrtll de un~ c:lra de hielo. de modo
-
"
-
-
m -
Figura 9.71
Problema 128
Supong:ull0S que en el sistema de.'iCrito en el problema 128. las constumes de los muelles SOIl. para cada uno. k = 60 N/m. El shtema p:lne del reposo y lemamcmc acelera hasta que los mtl5aS loe encuentran a 0.8 m del centro del cilindro. ¿Qué trabajo se ha reulizudo en este proceso'? 129
••
130 •• Una cuerda se a.rrolla alrededor de un cilindro unifornle de radio R ':1 masa M que descunsa sobre una superficie horizomal sin rozamiento. Se lint horizontalmente dc la cuerda desde 1,1 pane superior con una fuel7.a F. (~l) Demostrar que la aceleración angular del cilindro es el doble que In neceS;tna para rodar sin deslizumicmo, de modo que el cilindro desliza hacia atrus contra la mesa. (b) Determinar el módulo y dirección de la fuena de rozamiento emre la masn ':1 el cilindro nccesaria para que el cilindro ruede sin deslizuro ¿Cuál es la aceleración del cilindro en este caso?
Calculemos lu posición y de la carga !ltad!l al extremo del tomo del ejemplo 9.7 en fun ción del tiempo mediante unu integración numérica. Para IIcv>lrlo a cubo, obsérvese que I'(Y) = d.lJdr. o bien 131
,
O.4m
••
SSM
I
.v
1
,=j~ dy' ''" r ó " ° v(y') •• II'(y;) >
Figura 9.70
Problema 125
.. i .1 Unu barra metálica sólidu de 1,5 m de longitud puede girar libremente sin rozamiento ulrededor de un eje horizontal fijo. perpendicular a la barra y que pasa por un elttrcmo. El Olro extremo se mantiene en posici6n horizontal. Una serie de pequeñas monedas de masu m se sitúan sobre la barra:l 25 cm. 50 cm. 76 cm, I m. 1.25 m y 1.50 m desde el sopone. Se deja ahora Caer el extremo libre. calcular la fuer.m inicial ejercidfl sobre cadn moneda por la barra. La masa de las monedas es despreciable en comparaciÓn con la masa de la barra. 126
127 •• SSM Un experimento de clase muy común consiste e_u mame· ner una reglu de un metro de longitud en posición horizontal con el bf¡IZO
donde ó y' es un incremento pequeño. )'; '" i(Ay). e y :0 .<\ = 11 (6.)"). Por consiguicme. se puede calcular I en función de y sumando numéricnmcnte. Representur gr.lficameme y. frente a t entre los valores de Oy 2 s. Suponga M = 10 kg. R = 0.5 m. 1/1 = 5 kg. L = 10m ':1 1110 = 3.5 kg. Use Ay'= 0.\ m. Compul'".lr este resultado con el que se durfu si el cubo con el uguu cayera en carda libre. 132
••
En la figurt¡ 9.72 se mueslra un cil indro mucizo de masu M y mdio
R al l:u1l1se sujew un ci lindro hucco de radio r. Alrededor del cilindro hueco se alTolla una cuerda. El cilindro mncizo descansa sobre untl superficie horizontal. El cocfic¡cme de rozamicmo eSlálico emrc el cilindro y l:l superficie es /le' Si se apliclI una ligera ten ~i6n a lu cuerda en dirección \·enica1. el cilindro rueda hacia 1,1 izquierda: si lu lensión se aplicu con In cuerda c;uendida horizontalmente. el cilindro meda hacia la derecha. Dctcnllinar el ángulo que debe rormar la cuerda con In horizontal pan! que el cilindro I'crmanezc:1 cSlm:ionario al aplicar una pequeñll tensi6n a la cuerda.
extendido con unas monedas rcpanidas unironnelTlente a lo largo de todn su longitud. A medida que paSIl el tiempo. la pcrsonn que sostiene la regla se CAnsa y. poco a poco. ya bajando el bm7..0. Suponiendo que este proceso se haga de fonna regular. se observa que lus monedas que están más allil de una cienlL distancia del eje de rotación caen y las que cslán más cercn no. (tJ) ¿Cuál eS lu uceItración en el extremo de la regln? (b) ¿A qué dístanciu del extremo de In reghl debe estar una moneda pam no cner? 128 •• i La figura 9.7 1 mueSlra un cilindro hueco de longitud 1.& JII . masa 0.8 kg Y radio 0.2 m. El cilindro puede gimr libremente alrededor ~ un eje \'eniclll que pasu por su centro y es perpendicular al eje del cilindro. ntro del cilindro ex.isten dos masas de 0.2 kg clIdll UrllL. conectAdns a sendos ~~elle.s. de COnsttlllle k y longitudes naturalcs 0.4 m. UIS paredes in tcriores del cLhndro carecen de rozamiento. e{/) l)etenninar el valor de In consl:mtl! del muelle sabiendo que las mllsas están loc:llizadas :1 0.8 tll dcl centro del cil indro (uando é.,te gil'"..! a 24 radJs. (b) ¡.Qué trubujo ~ necesario para (lile el sistemn pa~ de (1.1 = Oa QJ:o 24 r3d/s?
Figura 9.72
Problcmn 132
En los problemu' donde inu:f\·ienen polefl~ con momentos de inercin distintos de cero. los m6dulo~ dc las tCnsiones dc lo cuerda 11 nmbos IlIdos de 111 polen no son ¡gUilles. El valor di ~tinto de 1:1 ten· 133
••
SSM
284
I
Capftulo 9 Rotación
sión se debe a In fuerza de rozamienlo l!stático entre la cuerdn y la polca. Sin embargo. la fuer!.a de rozamiento estática no puede ser :ubitrariulIlcnle grande. Si se eonsidern una cuerda sin masa enrollada parcial mente IIlrl!de~ dar de un cili ndro un ángulo 68 (medido en radianes), se puede demo~trar que si la tensión n un lado de la polca es T y al otro lado es r' (r' > 7). el vnlor máximo de T' en relnción 11 T que se puede dllr sin que la cuerdn res~ bale es r;.., = Tel'.,
134 ••• Un cilindro homogéneo pesado tiene una musa /11 y un rad' 1O ve ncelerado por una fuer'Lll T que. se aplicn mediante unu cuerda 1trTo1l R.Sr: lo largo de un tambor ligero de radio r unido al cilindro (figura 9.74). ciente de rozamie.nto estático es suficiente panl que el cilindro n'A"~ . caeS· · ~ sm~h zar. «(1) Hallar 111 rucnu de rozamiento. (b) Hallar la aceleración (.! del centro cilindro. (e) Demostrar que es posible escoger r de modo que (1 sta ma dt:I Tlm. (el) ¿Cuál es el sentido de la fuer'!.3 de rozamiento en las circun~ dcscrilllS en elllpartndo (d?
:a
T
Figura 9.74
Problema 134
135 ••• Una b..1ml unifonne de longitud L y masa ¡H puede girar nlrtt\etb de un eje horizontal que pasól por uno de sus extremos. corno se muestra en la figura 9.75. L:r balTa se deja caer desde el reposo cuando 9 = fA;¡ con 13 \'cnic:¡1. ~ que la fu crzu que ejerce sobre In barra viene d3da por F, = ~ Mg(5 oo:s 8- J COs I\J y F ... = ~ MS sen 8. donde F, es la componente de la fuerza ¡>amlela a la barn ~ F ... es In componente perpendicular. .
M m
Figura 9.73
Problema 133
Figura 9.75
Problema 135
CONSERVACiÓN DEL MO ENTO ANGULAR
Capítulo
10.1 Naturaleza vectorial de la rotación 10.2 Momento de una fuerza y momento
angular 10.3 Conservación del momento angular
*10.4 Cuantización del momento angular U an
o dI momento lineal en dinámica de la rotación es el momento angular.
? Cuando los niños se acercan al centro del tiovivo, éste gana velocidad. ¿Por qué ocurre esto? , (Véase el ejemplo 10.4.)
•
~
En este capítulo extendemos nuestro estudio del movimiento de rotación a situaciones en las que la dirección del eje de giro puede variar. Comenzaremos analizando las propiedades vectoriales de la velocidad angulllr y del momento de una fuer7.3 y después introduciremos el concepto de momento angular, que es el análogo rotacional del momento lineal. Después demostraremos que el momento resultante que actúa sobre un sistema es equivalente a la tusa de cambio de su momento angular, resultado equivalente a la segunda ley de Newlon aplicada al mo,'imiento de rotación. Por lo tanto, el momento angulllr se conserva en los sistemas con momento resultante externo nulo. Lo mismo que lu conservación del momento lineal, el principio de conservación del momento angular es ulla ley fundamental de la naturaleza que se aplica incluso en el dominio atómico, donde r"lIa la mecánica newtoni:ma,
10.1
Naturaleza vectorial de la rotación
En el capítulo 9 señalábmnos el sentido de rotación respecto 11 un eje fijo nsignando signos más o menos para indicar el se ntido de la velocidad ungular. de un modo nn:1 logo ni utiliz.ado para indicar el sentido dc la velocidad en el movi mien to lineal en unn dimensión. Pero Cuando la dirección del eje de rOlución 110 cst:1 fija en el espacio. los s,ignos l~u1s ~ menos no SOn ~uficiellles para describi r el sentido de In velocidad angular, Esw lI1 S,Ufi ClC ll Ctu ,se ~u pcra tratando la ve locidad angular como un vector w dirigido a lo largo del cJe de rotacIón. Con-
Figura 10,1
286
I
CDpítulo 10 ConservDclón del momento angular
• w
Fig ura 10.2 «(¡ ) Cuando lo ~ dedos de In mnno derecha siguen el scmido de la rOlución. el pu lgar exte ndido apunta en In dirección de w . (11) Es!n dirección coincide lambién con el nvullce de un lomillo ordinnrio.
Psen l' • ... .
,
,
'
,.
1.,·
.'
x
Fig ura 10.3
(b )
(ti )
sidereOloll . por ejemplo. el dillCO rotatorio de la figura 10. 1. Oetermi naremos el ftentido de 111 por una convenci6n conocida como la regla d e hl mano d erecha. lo cual se ilustra en la fi gura 10 .2. A s(, si la rotación tiene el sentido que muestra la fi gura 10. I , w tendr.'i el sentid¡f indie¿ldo; si se invierte el sentido de la rOlaci6n. larnbién lo hace el senlido de w . Podemos aplicar considernciones semejantes al momento de una fu erza. La figura 10.3 muestra una fuert.a F que actúa sobre una partícula en cierta posición r relativa al origen O. El momento 'f ejercido por es\
Producto vectorial El momento se expresa matemáticamenle como el prod ucto vectorial de r ] T =
(l.
rx F
(10.11
El prod ucto vectorial de dos vectores A y B se define como un vector e :: módulo es igual al área del paralelogramo fo rmado por los dos vectores (lig.ur direcci6n es perpendicul ar iLl pluno que contiene A y B, con el sent ido dado IX mano derecha cuando A gira ·hacia B recorriendo el ángulo más pequeño q Ul' vectores ( fi gura 10.6). Si t/J es el ángulo entre los dos vectores y n un VCClor u diculur n cada uno de ellos en el selllido de e , el producto vectorial de A y B
x 8 curo j}yCU}"3 ~e21 a •
de la
.Jn ambos 10 perpen-
¡1O.11
A x B = AB sen t/l o DEflNIOÓN -PROl'I
i.CTOG'l
.,
D¡
,\
Figura 10.4
¡J1~'Ci\\nJe A x n " iene dnda por 111 [\'f13 ~ In mano dl".I'l' dm cuando h'" dedos gir:m dc~dt' A h:tI:ia Bs k1 Figura 10 .6
Fi gura 10.5 El prodUClo \'cclorialA x IJ el> un veclor e pcrpendicul:lr lunto n A como u D y de módulo AB sen fiJo que es igunl al !tren del panllclogml11o indicado.
Inr~o
1..1
drl nngulll ~
Si A Y IJ ~!)n pHnllclo.!-. A ~ucc
10.2 Momento angular X
n es cero.
A
que
,•
I
287
punir de I I f .. u (e IIIIcI6n del producto VCctorial "le (10.3)
x
A
1)
=-
1)
xA ( lOA)
que es imponantc el orde D< ~ A contllHIIICI·ón I11cnclollnrcmo · .. algunas de 11.1 p n en . d.que I .M! llluhiplic'lll ' lo!'.. dos vec· nlft.'·\eclOF'CS. . '. rople
I . El producto "cctorial (.' lImple 111 le)' di slribull·va de Ia SUllm : A
x
( 1)
)
+ C) = ( A x 8 ) + (A x e )
j
(10.5 )
¡
2 Si \ v 8 son funci ones de algunll variable t:1I conlo I l· d . I • • • ,1 CI'I VII( 11 de A x U se obtiene mt'dioute la rcglll nÚI'ITInl 1'111"11 las deri vadas de los productos: .
"-CA
di
J.
x 11 ) = ( A X
dt
U)
,
Figura 10.7 ( 10.6)
\ eClOrcs ~lIliturios i. j Y k (figura 10.7). mutuamente perpendiculares, tienen ro. .1So vectOriales dados por P i
x j :: k .
jXk = i.
k
x i =j
( 10.7.) )
ix i :: j Xj= k x k ::O
( 10.7b)
p =m \
10.2 " omento angular LafigunllO.8 mueStra un a partícula de masa m que se mueve con velocidad v en una posi. ción r relativa ni origen O. El momento lineal de las panículas es p = "'Y. El momento angular l de la partículu respecto al origen O se defi ne como el producto vectoria l de r y p: L=rxp D EFINICIÓN -
=r x p = r x mv =
rmv
•••
o l .= rxll
( 10.8) M OMENTO ANGULAR DE UNA PARnCULA
Si r y p se encuenrran en el plano xy, como en la fi gura 10.8. entonces L es pam ld o al eje z rviene dado por L = r x p = 111\11' sen (jJ k. Lo mismo que el momento de uml ruerl.n. el momento angular de define respecto a tul punto del espacio. La figura 10.9 muestra unu partícula de masa ni ligada a un disco circu lar de masa des· prt('iablc que está en el plano xy con su centro en el origen. El disco gira alrededor de su eje con \'elocidad angular lIJ. La velocidHd \1 de la partícu la y el módulo de su veloc idad angular tílvienen relucionados por la expresión v:: r(J). El momento angular de la panícula respeclo i1l'tntro del disco es L
,
• • • •
..,. sen 90° k :: I'lII v k = II II-, IJ.JI\
=
Figura 10.8
.
,
1I/1- W
El vector moment o angular posee la mi sma dirección y sentido que la vel~idad nngu.lar. Como 111,:2 es el mOmCIl{() de inercia de una sola partícula respecto al eje z. res ult ll. L = ml.2 w = /W
resultado no es \'álido pura el momento angular alrededor de UIl PUllto cualqllic~tl del ~ Z. la figura 10. 10 muestra el vector momento angular L' pnra la misma pnrlícula hga~la tu d miS . mo disco, pero rererido a un punto del eje .: que no conlel " de conclccntrodclclr·á OlIo ¡tngulnr w , 111 cual cSt. á lfi ·' En este caso, el momento angu lar no e,., paraje Io a I.1 ve loc·dad I l1da a lo lurgo dcl cje z.
m
o
t\le
Figura 10.9
,
288
I
Capitulo 1O
Con~erviJdón del
momento ang ular
w (
" " "
(
•
,,
,, ,,
,
••
"
"
1:
,
"
L'
,
,
1'
O'
Figura 10.10
- I.í + 1-1
1'
Figura 10,11
En la figura [0. 11 hemos añadido una segu nda partCcula de igual masa que se mueve l' l el mi!>ffio d isco. Los vectores momento angular L; y Li están representados rcspeCIO
punt o O', El momento angular tola r L; + Li del sistema fo rmndo por las dos part(c. lus es de nuevo paralelo a la velocidad angular oo. En este caso, el eje de rotación. el eje . pasa a través del centro de masas del sistema de las dos partículas. y la distribución de Ill f .1 es ~i mé lri ca respeclo a este eje, que se denomina eje d e simetría . Para cualquier sistema :! panículas que g ira alrededor de un eje de simetría. e l momento angular 10lill (que es la SUI a de los momentos angulares de las partículas individuales) es paralelo a la velocidad angu l .[ y viene dudo por mi ~ mo
L = /00
( 10.9
M OMENTO ANGULAR DE UN SlmM A QUE GIRA ALREDEDOR DE UN ElE DE SIMm'"
EJEMPLO
10 ,1
I
Momento angular respecto al origen
Detcrminllr elmomcnlo angulllr rcs pCt!to ul origen en las slguientcs situaciones. (a ) Un coche de maSIl 1200 kg se muevc cn un círculo de 20 m de radio con velocidad d c 15 mIs, El círculo se hlllln cn el plullo xy, ccnlrado en el origen. Mirndo desde un punto situado cn la pllrle positiwI del eje::. el coche se mUCl'e en scntido llntihornrio. (h) El mismo coche se IlIUCl'C con ,"clocidlld l' = -( 15 m/s )i a lo largo de In línen y = Yo = 20 m en el plano xy panllcla al eje .l ". (e) Un disco cn el plnnoxy dc rmlio 20 111 Y IImsn 1200 kg Airll con In ' ·clocidnd nngulnr de 0.75 rndls nln:dedor de su eje. «ue c.'i el ej e. z, Visto d esde un punto situudo en 111 pllrte posilivll del eje:. el d isco sc mucvc en sentido nntihor:lrio.
,.
Plante ami e nto d e l pro blema En l o~ apn n nd¡,:, (a ) y (h ) úsese lu relación L = r x p. En d :!plln ado (e) úsc..c L = /00 . Par.!. delcTminar la dirección de L. representar gráficamente lo:, ' OClore:. p y r y up!icllr la re!:! l:! de la mnno derecho. (a ) r ~ p son pt: rpe lldl c ul are.~ y r X p po\ee la di rección .: 1)I)~ l l i \'H
(fi gura 10.11):
L =
r X
p =
r llll ' SC II9O"
k
= ( 20 111 )( 1200 kg )( 15 m /s) k
=13.6 x 10:'1 kg · 111 2/ ... k I
, "
Figura 10,12
10.2 Momento angular
lb) 1.
El miSlIlo cQ(;hc se mueve en el :.elltidll decrt.-ciclUc de _l :1 11I largo de In Ifnea)' = _\'0 = 20 m. Expre~amo~ r 'j P en f11O. ción de los vlllores unitario..::
2. Olkulnr r x p (ligurJ. 10,13):
r =xl +)'j = x l + )'0.1 p = mv = - ml'l
I
289
y
L = r x p -.\ - ( '1+ Yo.I') x ( - 1II1'i) = - XII/I'( I x i ) -yoml'(j x i )
= 0 - Yol1lv(- k ) =
)'oll/ I' k
= (20m)(1200kg)( 15m/s)k = 13,6 (e)
¡.ar L = lw (ligum 10, 14):
L
-
X
105 kg · m 2/s k
I
••
Figura 10.13
loo = Iwk = ~ IIIR:! ú)k
y
l( 1200 kg)(20 m) 2(0.75 rad/s) k
= 11 .SXI0'kg . m 2/s kl
, x
Figura 10.14 Observación
El momento angular del coche que se mueve en cfrcu lo en (a) coincide con el del
coche que se mue"e en línea recta en (b). En (e). In "elocidad de un punto en el borde del disco es \. = Rw= 120 m)(0,75 radls) = 15 mis. es decir. la misma que posee el coche en los lllmn:ldos (3) y lb). El momento de inercia de un di:«;o de 1200 kg, de radio 20 111. es menor que el de un coche de 1200 kg n 20 m del eje porque gmn pune de la masa del disco está más próxima al eje de mtaci6n.
Hay varios resultados adicionales que se refieren al momento y al momento angular de un sistema de partículas. El primero de ellos es
l' roelO U I
=
( 10. 10)
El momento externo neto que actúa sobre un siste ma es igual a la lusa de cnmbio del
IllOmento angulur del sistema. SEGUNOA LEY DE NEWfON PARA El MOVIMIENTO Ol ROTACIÓN
En la ecuación 10. J O el momento externo neto es el vector suma de los momentos cxlCrnO~ que actúan sobre el si stema. Si se integrnn los dos términos de estn ecunción con respec to del lJempo se obtiene
( 10. 11 )
ECUACIÓN IMPUlSO ANGUlAR - MOMENTO ANGUL.'JI
2901
Capitulo 10 Conservació n del momento angular
, '1 d' 'd'r el momen tO angu lar IOtal de un ~islema alrededor . 1_ A menudo t.:s ut! IVI I uc IJn r.... . ' 1 ' n 'o lw'ulnr orbitlll y el momento angu lar de espín: 1"4 arbllruno O en e mnn1r.;; eL M). I = L ..
-1. • • •
,~",..
Figura 10.15 EllllomCtllO ang ular de In Tiemt respecto al cell1ro del Sol es In sumn dcl momelllo •mgular de espfn y d momentO angul ar orbital.
• To.
F.•
, ,, ,,,
o
r
. .,'" ',", ' r
-,
I
"
= r cm
X
M Vcm
En el capítulo 9 105 momentos no se ca.lcularon respecto de puntos sino rcspeclodee~L.. relación entre el momento respecto a un eje y el momento respecto a un pUnto es dirccta. Si d punto O es el origen y una fuerlO F ejerce un momento l' respecto de O, entonces ellTlOtlkUo correspondiente ejercido res~cto de.l eje: es :~ (la com~nent~ : de 1"). ~r::ltar con las ~ nentes de un producto vectorial req UIere un CUIdado especial. SI T = r x F. entonces
.-
r.
.........
(J0.11,
La Tierra tiene un momento angu lar de espín debido a l mov imiento de rOlución 1I1~ su eje y un momento angu lar de rotación orbital respeclo del CClllro del Sol debido 1t movim iento orbillll alrededor de éste (fi gura 10. 15). El momento angular total de la Ti " relati vo al Sol es el vector suma del mo~e nt o angular de espín y del momento angUlar : . 'al. Le~p¡R e". el momento angul ar de un SIStema alrededor de rsu centro de masas y I·~t<,d momento angu lar de una partícula puntual de masa M loca Izada en el centro de masas objeto y que se mueve a la veloc idad que tendría el centro de maSas. Es decir ~ L órb, t.u
o
+ L~...ln 1"
--- -l
",
.I
.....
I
,.
M OMENTO ~Hl'ECTooo.lll
en donde 1".:, r rnd Y F.,) (véase la fig ura 10. 16) son las componentes de lo F. (La co mponente en una dirección determi nada es la componente ese" por el veclor uni tario en la misma di rección. Por ejemplo, 1'.: = T:k .) rral r dirigida radiallllen te desde el eje z hacia el punto donde está la mm.. !lente de F en el pl ano xy (el plano perpendicu lar al eje d. La relac,; l(~r angul ar re..<¡peclO de un eje y el momemo angular respecto de un punto ( momento angular respecto de un eje es
Figura 10,16
L .• = r rnd
.ctores de i . r.~ :n esa dime... compoaen!tli C~ la cOIlIp> lre el niO!ldl ltlicn direm. fJ
¡JO.li,
X P .I)" M OMENTO ANG
r.
en donde P.n' es la proyección del momento lineal p en el plano .\'y. Ton tes z en ambos térm inos de la ecuución 10. 10 nos da
T
,
_ d L~,sl.l dI
._
l1C OUt..
tlRlt
Si un objeto rígido giru alrededor del eje:. L. iSt : = I .w . donde l. es cl llll'nlento de i~ alrededor del eje z. Sustilllycndo esta re lac ión en la eC~lIac ión 10. 16 dn
1' llClUe XI. :
dL ,/ S I~ 1.1 = -(L w ) = 1. 0: = • dr dt ·
en donde el ~cctor acc lerución llngulllr a se defi ne como ('( = dwldr . (La ccunl'ión IOrl" forma vectorial de In ecuación 9. 18.) En un sislelllll de pan rculas. el momento ungular total respecto dd ('J~ : e~ t~uall Suma de los mOmen tos angul:lres respecto del eje;: de las pnnícula.. indh iduak" -\'.Jfl1I~ el momen.to tOlal respcclo del eJ'e ..- es l'.. Suma de 1os m o m en t o~ rc~pcc t\) di . e eJl" .• ,'1lU(lo <¡obre el sIstema .
10.2 Momento angular
EJEMPLO 10.2
I
I
La máquina de Atwood revisada
dos bloques d" UUL.,.. ml~' ml ("'1 > m 1) cOIu..'i!tndos por unu ~urrd,t dt' UU1SII despn'cluhlc qut· pasa por unu polclI que curtec dI;' rozamiento. Lu polen LOS un di,l"U olllform(' dc mllSU M y nl~lo R. I.u cUl'rdn no dL'SII7.u por 111 ¡}(Ilcu. Aplleur lu ccuución 11.16 ul ,iSIl'mll formado por los d~ bloques. 111 cuerda)' la POIClI lllU'ü delcrmlnur 111 Ilcdcrll. !16t111I1gulllr de ésta. Il.d l~OI1l() la aceleración IInc1I1 de los blo(lucs. 'nl l l1l(uluinll de AI"ood
pt)Sf.'t!
Planteamiento del , problema Con~¡dcrul11o" In polclt y lo!> bloques en el plullo X.I', con el eje z ~ldn r\1~rn de In p:tglllll y plisando por el cenlro de In polca en el Plinto 0, como se mucstrn en la li~Ur.l 10.17. Calcul umos los momcnlm de [ns hlel"'~us. y los IIIO Il1 CIII OS ang~llu~ respecto al eje l y It~lnl\h In ~eg.u ndtl ley lh: eWl o n pnm el m O\' UllIelllO angular (ecut'tclón lú. IO). Como 11/1 C$
arl\.,r que 111:. d di~o girart'i en ~clllido contrario u l(\s nguja!> del reloj, lo que corresponde a un ~n m<'1. W en la dirección:: I>o.,ili\'n hacia fuera de In páginn. Todn~ lus fu er1.ns elilán en el plano X)'. de 11..... .Ir. d"IrIgl'd0\ a 1O 1nrgo d ' ;:. También . la!> velocidades se hull¡m ltKlI .¡ut! ludo!> lo., 1Il 0 1ll e n1 0~ e~ liln el eje ,,!nO O', por lu que todos los "cctorc:o: momento nngulur también ticnen la dirección de z. lu' lllomc nlOS de las fUllr7.m;. \;, velocidad angular y los momentos angularell son todos ellos , dirigido!> a 10 Itlrgo del eje ;:. podemos olvidar su nalurulcZlI veclorial y tnttnr el problelllil fuera unidimcn:o:ionlll. con valor positivo nsignado al movimiento antihor.lrio y negativo al ',ntO horario. L:., aceleración a de los bloques está relacionnda con la acclcmción angular o: ,le.l por la condición no deslizante a = Ro:.
"
Figura 10.17
hu¡ilr un esquemn de las fuerzas que lIctúan sobre el siSlelll1l (fi gura 18). Los cojinetes de III polea son los únicos elementos externos !!~ tún en contacto con el sistema. Las fu eilus externas sobre el sislJ ~n pues. la fuerla normnl de los coji netcs de la polca en la polea iuerta de la grnvcdad sobre los dos bloques y la polca.
1
2.
\pre~r
la componente:: de la segunda ley de Ncwton para la rotación :u;Lc\ón 10.16):
3. i I momento externo lotal respecto del eje z es la sum!! de los momen-
L. "~~l. :
I'~ ejercidos por las fuernls externas. Los brazos de palanca de F t Y de F. cada uno coinciden con R. (Los brazos de palanca de las otras do~
= _
'i n
+
'i p
+
TI
+
'i 2
O+O+lIIlgR - m~gR
iuer,ros son cero.) FI = mlg Y F2 = mzg:
4. El momento angular total respecto del eje:: es igual al momento angular de la polca Lp más el momento angu lar del bloque l. L I' Ydel ~lo que 2. L2• ambos en 1,\ dirección positiva del eje ;:. La polea tl.ene momento angu lar de espín pero no tiene momento. angular orb,,,al~ mientras que cada bloque tiene momento angular orbital pero no ueulo: momento angular de espín. 5. Sustituir estos resultados en la segunda ley de Newton paro la rotución del paso 1.
L.~ = Lp
+ LI + L..z
= IW+/11 I I'R+m 2,'R
Figura 10.18
dL ,
"<'T =dI L.. ~\l ,:
I1ItgR-II/:CR = la+ {m t + III !) Ra 6. Relucionar f con NI y R Y uSllr la cond·'el'6 n de au.sencia de rozamiellto . para relacionar a con 1I y despejar 1I y a:
m¡gR-lIIlg R - ~MR ~ ~ + (m I + 171 : ) Ra por lo lanlO
a = ("' 1-lIIl)g/(~ M + 111 , + II/~). Y
o: == (I / R = == (1/1 1- 1Il!)g/l(~ M + m I + 1/I~)Rl
b' én escribiendo las tcn~ione.~ TI a 1:1 izquierdu Observación l. Esle problema puede rc...olverse tum.1 10 17) s' comO L ,.- = 1I1lJ, en cada blo.. d i l o polca (ccunclón ' . 111 1 , d YT1 a 1a derecha y ullhzun o 'r = a para . n lO 16) eS l1'lá!. fáci l. ya que IIIlU \'ez se ha esque. Sin embargo. el uso del mo mento angular (ecu~cI6 '. ., Como t.,., = r , x m~\'~ (figuro . d 1 d ' ( ,,,,one.." es dlrectu. _. -pqado la acelemci6n. la obtención e as os el d no (fil!.urn 10.6). Además. como . . de L.. !oC obt .lene:lpl'Icando 1ti rel'la de IllmallO crec 10.19). la direcCión 1>' 'é . d o lo--gln de la \llano dercc hn. o • h ' 't3mbl n n partIr l; , ... X.'2 (figuro 10,19). lu din.-ceI6n de " 2 ~e O I,ene
"1-'2
---o
•
Figura 10. 19
291
292
I
Capftulo 10 Cons
·" fucou'- veclOrc\ pOMción y \elocidllde ... ,"n IOt.loo, p • . arale~ • ' lo'- 1ll01llenUlS. vcJoc ldudcs unguhm.:, y momento" 8nnul I un plano. ¡,le muel o que . . r: llrto. ... " d oc vcclOrinlc' dirigidlL' u 10 largo de un eje eh.: rolnclón que penn:tne __ fi to<1os magm u c.~ .. . ,,~ .lOe.. . . 1; ",Ic' c"',)· 1)(){lcmo<" asignar vulores po\ III VO~ y ncgmlv()(, a I:I ~ MI .....: e1 CSpllC IO ..;n. ," "" . . '~_I~ " Y 110. r',r'",,s " re'l>cclivlUllelllc . como h1C11110" en el 10.2 y tmt:tr '1 ~, an ll:1lOmnll\ . ejemplo . . , problc'm', unidi lllen<;ionn l. SIIl embargo. hay otrn~ <" lI u.,clone<;. cClmo el Inm.¡.... <.:01110 un . . 1 ( l ' 1" "'lelllo , 'en clonde lu!. nalllr:llc/ .. a. " veetona cs mu tl( lIuenM(lIlules) del mo de un gtroscopn). . . meDIo, velocidud :mgul llr y momclllO angu lar son nllponuntes, En m U l.: ho~
•
/)
1'1'0bl CIIIIl!'. l'
Movimiento de un giroscopio Un giroscop io (o giróscopo) e¡¡, un ejemplo cOIlllín de n~ovimie.llIo en el c~al el eje de ltlI¡. ción cumhia de dirección. Lu fi gura 10.20 1~1UC~tnl u,n g ~ro "co plO que tomll.sle en Una Illcd,¡ tic biciclcllI libre de girnr ¡llrededor de su eje. I:.ste eje plV~1
Figura 10.20
T
D "
T
"
,
,,'
'\eh)
L -ddI
(o
~'o
di)
junto con las relaciones
'
dL =rtll
-
T
...., - '
,-'
'r ""
dL =
_ ~IO
L
r x Mg
y
--
M, ,-,,"
(a)
• 1.
•
7
•
d i., ,
L (b)
Figura 10.21
en donde I~ y w~ son respectivamente el momento de inercia y la velocid.ld J.ngular de b rueda respecto a su eje de espín. Todo 10 que realmente debemos recordar raro d~1ibird movi miento de un giroscopio es que el cambio en el momento angular dI! la u\.'da debe\tf!. ficarsc en la dirección del momento de la fuer!.a que actúa sobre la rueda. Supongamos que el eje se mantiene horizontalmente y luego se deja n lihc::rtad. Si b rueda está desprov ista de giro. ésta, corno es lógico, caerá girando alrededl ' un eje IK.,,¡. zontal que pasa por O y es perpend icu lar a r. El momento es horizontal. r ndicular ah página y dirigido hac ia de ntro. En este caso el momento angu lar inici al e~ l Je modo qoe el cambio de momento angu lar es igual al propio momento angular el cual I! ~h! eje. también es horizon tal. perpendicular a la página y dirigido haci;, dentro. nbargo. ,ib rueda esta girando sobre sí misma y posee Ull momento angular grande a r go de~ut)t no cae cuando se deja en libenad. Si In rueda Cl\yera como anles. el eje ~Ipll hacia ~bJ.p.\ dando lugar:1 una gran componente del momento angular en esta direccióJ I embargo. 00 ex iste momento en la direcc ión hacia abajo. El momento es horií'onta1. lll! realJ11(lllt ocurre cuando el eje de la ruedu gira en posición hori 7..0nlal )' se deja en lihl: c" que el rJC se desplaza en un plano horizontal en direcc ión hacia denlro del p¡tpcl. La n -.e ntIK1t O: este modo cuando está girando porque así el cambio en el momento nllgu ] u:ne la dirt\'· ción del momento resultante. Este proceso viene ilustmdo en la figura 10. 11. I,.'o n un graa momento angular a lo largo de l eje de la rueda y un cambi o de momento .In 'ulardl.. enb dirección del momento de la fuer!.:! 'r. Este movimiento, sorprendente cu:md,'..c ()b~f\;lí-" primera vez. se llama precesión . La velocidad angul ar de precesión W¡l puede l'akul~ deI modo siguiente. En un peq ueño intervalo de tiempo dI. el cambio cxpcrinu.'llwdo ¡xtd momento llTlgular tiene el módulo dL: dL = r di = M gD dI
en donde ¡'vIgO es el módulo del momento respeclo al pun to donde pi\'olll. St'gull l~ fi~ 10.2Ib. d :'i ngulo dtfJ barrido ¡XlI' el eje I.!n s;u movimiento e:-;
d~ =
r!i= _ MgD di L
L
10.3 Conse rvación d el momento angular l;I
I
293
\c:h:x:id ud ungular dI;.' la prccc"ión e .... por lo tmuo. (t)
l'
Si el
11101ll1!IIto
Mg D = Mg D = t.!J! tI, L
( 10.18)
I , w~
angular rc . . pccto al giro de la nlcda es muy grand'.. . ... la prcceslón ~c rá muy
lt'lItu.
En el umni ~ i ~ precl!dclltc se ') uponc que c1 momcn to .lIlgu:lr ' 1 d e esplll . de lo rued', Cf> Ilde , ()I\lpan.1d o con c 1 momcnto angular orbi tal a 'oc' d ' 1 .' . • , muy gnl _ . . S IU 0.1 mOVlmlcnto de prccesió Si nlt.'dmnlc la mallu ,' 6 scopo ' . '11 de .' 'rlo n,I·b . . I lllpedllno~ la precesión de un glr que glr" , " jaro el mOVlIllLCllto de precesión con . . '.' J.I 1 re é_te ¡nlt.: . _ . '. un mOV lIlllc ntQ de rebo te hacia arriba h'\cia .. . do al eJc . de rotucl6n Y'. , b:l1·tlll:Hllad~) . . nUUlC¡()n. l .Este 1 d mOVlIlllCIlI ' O puede ev itarse . l' roporclOl1an 1"1 :: ¡.il'\l"t.:OplO UI1l\ ve OC ll H angul ar tgual H la asociad·t .. ~ • • c0 11 e 1 movmucllto dc precesión.
l O S Conservación del momento angular •
Sid
m~ l1to
externo resultante que IIctúa ~ob re el sistema es cero , rc suta. i · - O
o..e: L sis, = constante Esta
( 10.19)
I.l(tción es un enunciado del principio de conservación dcl momento a ngula r.
Si el momento ex lerno resuhame que actúa sobre un siste ma es cero. el momento angular tOlal del sistema es constante. CON SERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
Este principio es análogo al de conservación del momento lineH!. Si un sistema está aislndo de sus alrededores de modo que sobre él no actúan fuerzas o momentos externos . se conservan tres magn itudes: ene rgía. momento lineal y momento angu lar. L:\ ley de conservación del momento angular es una ley fundame ntal de la naturaleza. Incl uso a I:t escal a microscópica de la física atómica y nuclem, donde la mecánica newtoni ana no se cumple . el momento angular de un sislema aislado permanece constante en el tie mpo. El resultado experime ntn l de la conservaci6n del momento angul ar en ausencia de un momento resultnnle exte rno implica que la suma de los momentos internos debe ser nula. Este hecho viene sugerido por la tercera ley de Newton. Consideremos lus dos panículas dc la figura 10.22. Sca F t 2 la fuena ejerc ida por la particula 1 sobre la panícula 2, y F2•I , In • • ejercida por la pan ícul a 2 sobre la l. Por la tercera ley de Newton F~.I = - Fl.!· La suma de los momentos ejerc idos por estas fucrlas respecto al origen O es
El Segwayn.t HT. inventado por Dean Kamen. se ha descrito como ··el primer transpone de personas autoequilibrado'·. Cuando la per.Ollll -.c inclin:¡ ¡llichi delante. el movimienlo rotacional del dlspmith'o e:detectado por giróscopos de :;.ilicio que delectan el mo\'imiento rotacional y emiten um\ -.cñul ;¡] .. iSh!ma de control interno. Éste In imcrprelá y :lcli,'u kh malares que dan 1\ las rueda., el impulso adccuado p:l1'3 que el conductor pu~da manh!ller el equilibrio.
,•
El Vector r _ r2 cstá dirigido " lo largo dc la línell que une las dos plln ículns. Si F 2.1 aC1l1¡¡ paml lelameotc a la Hnea (IUC une m 1 y m2. F,_.1 y r 1 _ r~- son paralelos o anti pantlelos Ypor lo ¡:mlo • • •
Si CMo es cieno pura todas la.!. fu ern:; intcrnas. lo!> momcntoS in ternoS se IInulan ~r pa~·e ~. Ex isten múltiples ejemplos de la conservoción del momento ungular en la vldu dmna. ~ fig Ur:.b 10.23 Y 10.24 ilustran la c0I1~crvaci6n del momento angular en un salwdor ncrolico de trJlllpolín y en una palinadoro sobre hielo.
Figura 10.22
, 294
I
Cap rtulo 10 Con servación d el mo m ento ang ular
FI ura 10.23 FOlOgruría Illúltiple de 9 un ¡.;uh:ldor dI! lr:ullpolín . 1.:.1 ccnl ro de mtlSUS del dcporti ~w M: mueve :t 10 largo de Ulla tra yccwria pumbó lica dcspué\ de IIbnndollur In tabla. Ellllolllcnlo :IIl,gl,llur
está !illlnilli"m,do por clmomcnw Ime m! extcnlO ejercido por In fuer/u de la wbln, E~ta fuer/a no pllSII por el centro dI! ma"as dd ~alll1dor si éste <,c inclinu hacia delante al sn ltllr. Si e l ¡¡nhador desell dur un u o múS revoluciones e n el ain:. encogerá sus brn/.os y picnl!l~ pan! disminu ir su momento de incrcin e incrementar, por lo tanto. su
vclocidud :mglllar.
Figura 10.24
Palinadom girando sobre sí
misma. Como el momento ejercido por el hiclo es
pequeño. e l momento angu lar de la patinadora es aproximadamente COnSI;IIl!C. Cuando reduce su
momento de inercia acercando sus brazos. al cuerpo. ~u "clocidad angular aumenta.
EJEMPLO 10.3
I
Un disco girando
Un disco ('on momento de inercia l ¡ l'Stú girando con velocidad angular inicial w¡ alrededor d e su cje de s imelríu sin ro7.nmienlo. Le cae encima otro d isco con momento de inerchl 11 que cstá ini· cialmente en reposo cn el mismo eje (figuro 10.25), Debido al rO"'.mniento superficial. los dos dis· cos finalmente ndquíeren una velocidlld ungular común Wr. Dt:!terminar Wr.'
Planteamiento del problema Detenninnmos la velocidad angu lar final a pan ir dc l momento lIngular fin al. quc cs igual al momento angu lar inicinl. ya quc no c)(istcn fucilas exteriorcs que actúen sobre el sistema. Obsérvel>c que l/O utili¡;aremos la conscJ"\'Dción de la cnergíll mec.ínica. La velocidad :Ingular del dis.co l>upcrior:.e reduce. mielllnls quc la del disco inferior incremcnt:1 por 1:1 fuerl.a de rozamicnto ci nético {llIC ¡lctlía emrc las superficies . Como el ro¡;ml1icllto cinético disipu energía mecánica. es de cspemr (Iue la cnergf:1mcc:lnica total disminuya. 1, L.1 velocidAd angular fi nal e~ l ;'\ relacionada con In inicial por el principio de conservación del momento angular:
Eje sin rozam¡
., -,
,
,
En reposo
Fig ura 10.25
Lr = L, (/ 1+ / 2) (t% = ' I(u,
2. Despejar la velocldud ,IIlgulnr Hnal: Comprobar e l resultado Si /2« JI' la col i ~ i {j n tendría poco cfeclo ~o brc el disco l . De nuc.... tro~ resul l lldo~ se obtiene cfeclivamcntc que (Or ~ {1,\ Si 11 » 11, enloncc .. el disco I Ileg:lria a dCle. IIcr..e sin que el di:.co 2 l.C mo\' icr.1 IIpcml". Por lo tanto, ~ ~ O, como !>C deduce de 1l1lCSlroS rel>u I I Hdo~ .
En el chO
. -
E·, - ~ ,(~ =
-
10.3 Comervadón del momento angular
I
295
l(Uule /(1) e" el moment o angu lar L. La energ ía c inética ti . erl ¡ , nuulnr por CM , pur 10 IIIIIIO, relaCIonada con
ti JlllIIl1CnlO ,1
C'
L' E =_ " 21
( \0,20)
n:m!nlOS este resultudo con In energ ía c inética ueJ tIlOY"
eóón 8,2.5 ), La cncrg13 emétIca lIucia! en el ejemplo 10.3 c<., ¡mI,,·
•
.
.
..
\'
1Il1lCntO lIleal
"
E. - p 2/? m . e-
(CC l .
1.1-
-
E-, • } [:1 energía ci n~lica
final
Las pillea!. rntatori(l\ de la transmisión de un camión verifican choque:. dumnle el embarque (I)Iil!'
== l.,. la relac ió n t! lltre 1m; e nerg ías ci né ticas fin a l e inic ial es
Ec,
-E '.
que r dimel
lor que lllIO. Esta interacc ión de los di scos es análoga a una co li sión inchís\ica uni.tl de dos objetos.
EJ E,
o
10.4
I
Fango en tu ojo
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
Ren., ' ~ Iu dillnte de física en una l'..'icuela de secundaria, durante las horas de rec reo es UIIO de 11' 'hicos más pendencieros de la escuela. y cuatro de sus l'omplIñcros de curso deciden darle m,a escllrmiento uSando la conservación del momento ungular. Su plan consiste en darle un ~u,IQ mediante el tiO\'¡vo que hay en el palio d e la escuela (figura 10.26), y con el que Ben~' se dhit:rte tUlltO. El tiovivo es un disco de 3 m de diámetro que gira y que tiene un momento de inercia de 130 kg·m z. Los cuatro amigos planean subir ul tiovivo todos 11 In vez, junto con ReIlY. situándose en el borde del tiovivo eunndo éste gim u 20 rev/ min. Cuundo UIlO de los cuatro dé una señal, los Cuatro se moverán hacia el centro de modo <¡uc el tiovivo llcclcrc. Ellos es penlll que la Ilcelcr:lci6n eentrípetu despida hacia fuenl a Beny ¡mies de que éste se dé cIICuln, )' (lile el muchacho lcuiga en el fllngo que se ha formado debido a IIIS inlenSlls IIUl'ias recientes. Bcny es fuerle y nípido, por lo que la uceleración necesa ria ha de ser 4¡.: . .:,Funcionad su plan'! (Suponer qUf;! los estudiantes tienen una musa de 60 kg.)
Figura 10.26
Planteamiento del problema Los cuatro CSllldiantcs, al J11o"er.>e had'l el centro del tiovivo. disminuyen el momento de inercia dcl sistemu tiovivo-estudiantes. No acniun ITl Ol1lcnto~ ex t crno~ \Obre el sistema. por lo que el momento angular respecto del eje dt·, rotaci6n es constante. e~ decir. el producto dcl mOlllento de inercia por la velocidad angu lar también es const:lIlte. por lo que la disminución del momento de inercia signifi ca un aumento de la vclocid:ld ungular. Se u ~¡¡ la \'clocidnd angular para determinar la IIc!.!lcmción eentñpctil en el borde.
1. La aceleración cen trípeta depende dc la vehx:idild angulnr
(J)
y del
(1
.... 1 , = ""1
mdio R: 2. El momento angular M: conservu . Si ~e dnn rotadon!.!s fC!o.pee to a un eje lijo. L = Iúl. 3. El momento de inercia del sistcmll es In :;um:L de los momentos de mcrcia de 10\ estudiante... m:'is clmOlllcnto de incrci;l dcltio\·jvo. Cadu eSludiante tiene untl Illn ..a 111 :
4. P.lm ueterminar el mOll1ento de inercill linu1. sUJ) cunlrll c!.tudiante\ "C sitúan a unu distallcin de 30 cm del centro dc rotaci6n:
L( = L I I,(¡J, = 1,(0.
1, _ 5xm Rl +/, - 5(60 I..gH 1.5 m )l + 130 kg 111 -• K05 kg 111:
I f = mRJ +4xmr l + / 1
= (60 kgH 1.5 m )! + 4(60 kg )(0.3 IU) ~ + 130 I..g. = 287 kg m J
5. U\ando la con~rvaci6n del momento 'lI1gulnr de rol:lci6n. \c despeja la \elocidad angular tinal :
(¡JI
/
805 ktl . JI1 ~
T,'"
287 1..8 11\~
= 'c" =
so
20 I"tw/min
= 56.2 rc\l min = 5.8R
rmU~
,
11\-
296
I
Capítulo 10 Conservación del momento nngu l¡lr
6. A punir dc
W¡;C
(dl R = (5.88rudls)l (1.5m) = 51.9 1n/.,2
oht lcne la uccleraci(\n ccntrfl}l,)tn: 1I ~
7. Si \c cxprc .... en fun ci6n de g:
Ell/s~x 9.8 1I 1111' g 1 2 = 5.298 = .519 .
De fill itivamcnte. Beny C.\tnn'i lioEllt!tido 11 una aceleración maYOr . . •< b re e l b:IITO. por lo quc caerá y ~ pn::Clpltum"o
8. i,Acuba Bcny clI}'cndo al bllrrQ?
Observació n Ln \'d ocidlld lineal del tio\.ivo es mayor en d borde (Iue e n el centro, hnciéndc»c cero en el mismo ejc de rotación. En el borde [os e~Hld iuntc.s )oC llIuevcn en un crrculo. A IIlcd~du que se mut!\',,'U hacia el centm ncceclen a /onu ~ ([ue se lIlue\'e n más despacio (Iue ellos, por lo que ejercen unn fl.lcr/.ll \Obre d tiovh'o que tiende a acelera rlo. mientnls quc eltio\'i\'o ejerce sobre ell()f. una fuer/.a que tiende a frenarlos. I...m: fw.:rl.as de roz:unieulo estflticas ejercidas por sus pi!!." ejercen un lllomenlO nelO \Obre el tio\'ivo. increment:mdo SUlllolllento ungulnr respecto el eje de rotación. Iguulmcnte. el tiovivo cjen:c unas fu er/.us de rol.llmiellto est:"\tico de igllul módulo y de signo contrurio sobre lo,> pies de los cstudiulltcs. de modo {lile el momcnto de estas fuer/.iIS disminUYe! su momento angular. Los dos momentos son dI,.' igUlII módulo y de signo COlltmrio. como tumbién lo son los cambiO!. del momento asociados. Así. d momento angulnr del sistema tiovivo-estudiantes pennuncce con<;t:Jnte. El momento de inercifl del sistemll tiovivo-estudiantes disminuye a medida que éstos se dc.\plalnn hacia el centro. 1)01' lo tanto. el mome nto de inercia del sistema dismi nuye. mientras que el momento ungular es constante y. en consccuenciu. a panir de la ecuación 10.20 se ve que la energía cinética del sistem:t tiovivo-estudiantes Ullmenla. En este caso e l aumento de la energía proviene de la e nerg.ía intcm u de los estudiantes.
EJEMPLO 10.5
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Más tiovivos
UII niño de 25 k g de muso eorre por un jurdío COII mlU velocidud de 2,5 mIs de fornm que s u trllyectoria es ttmgCllle ni borde de un Liovivo de 500 kg'm 2 de momento de inercia, (llIe eslú
parado. El niño s
Tape la columna de lo derecho e intente resolyerlo usted mismo Pasos
Respuestas
1. Escrihir una e.-:presión p:\11l el momento angular inicial del niño respecto al centro del tiovivo.
L, = ml-R
2 . Expresar el mome nto angular total del s istema de su velocidad angular finnl CUr.
n¡ño~tiovivo e n
fu nción
3. Igualur lus expresiones de los pasos I y 2 Ydespejar Wy. Ejerci cio
w,-
Calcular las encrg(as cinéticas inici al Y final del sistellln niño-tiovivo.
78.2 J. Bc, = 13.0 J.)
El telescopio e!~pac ial Hubble se apunt a a un blanco determinado regu lando las' elocid:Jdes de giro de dos vo]¡mtes de 45 kg de ejc." dist intos que pueden alean!..ur Ins 3000 rpl1l. l!stns vunaciones de vclocidnd de rotación que gene. ran el mome nto nngular que hncc vimr el telescopio c.'pacill l n nue"as posicione, c~ t..1 n cont ro l adn~ mediante progmmns de ordenador. &ote mecnnismo de puntcrín puede alennl ar Y mante ner un bl:mco en unos 0.005 segundos de arco. lo cuol equivulc n la precisi6n que tendrín un ha7 lumioo,o emitido e n Lo" Angeles que incidicm y:-.e mllntuvic.\c ~h rc una moneda <;itunda e n S1m Frul\(; ¡ ~co .
Lf = (m R=+ I ,)co,
( Re'\1J/tl'Stll
=10.208 md/, 1
... ;;, ;;r ,
Figura 10.2
'lUo',.
10,) Conservacl6n del momento a ngular
Un astronilul
le'>Copio espacial Hubble.
E, ""PLO 10.6
I
Tirando por un agujero
l 'na p3rlícula de musll m se mueve con velocidad 1'0 en ulla ci rcunferencia de radio ro sobre In supt'rficie de una mesa s in r07,umiento, t u partícula está a tad u a una cuerda (Iue pasa a tral'(os de un agujero de la mes a, como indica la fi gurn 10.28, Tirando de la cuerdn I('ntamellle hacia abaju, la pa r tícula se muel'e en una circunfcrenciu de menor r ndio rr. (a) Determ ina r la "eloddlld finnl en fun ción de ro. vo)' rr. (b) Determinnr la tensión de la cuerda cuando la pa r tículn se muel'e en una ci rcunferenciu de rlldio r en fu nción de 111 , r y el momento :lIIgulil r L. (e) CalcuInr el tMlhnjo realizado sobre la partículn por In tellsión T integra nd o T . dC desde rl} a rr. Expresar la respuesta en fun ción de r )' Lo.
-
•
F
Figura 10.28
Planteami e nto del problema [..a velocidad de In partfculu e:.tá relacionada con su momento angular. El momento neto es igual a la t¡ISU de cambio del momento angular. L:\ fuerl;1 netu que actú:l sobre la part(cula es In fue rl a de tellsión T cjercidu por la cuerdn. la cu,tl siempre c~ t á orientada hacia el agujero. Por lo lanto. elmomcnlO respecto al 3gUjCro es cero. A,í, el molllento angular re~pecto a este eje es cOlIsUlntc, (a) La ~'onscrvac i ón dcl molllcnto angular rclnciona la velocidad fi nal con la inicial y lo:. rndios inicial y final :
III\'rr ( = 1II1'41ro
por lo Hlnl O v¡
ffij "
o = -1'0
(a)
(b) 1. Se aplicu la segunda ley de Ne\\'lon pan! rclncionnr 1' con \' y r:
2. A partir de la clefinici 6n del momcnlO angular se obticne una relución entre L. r y 1':
L = rxp 1. = r/ll\' scn 90° = I/n'r
3. Se despeja v del resultado del puso 2 del apanndo (b) y ~ .,u<;lituye c n el pa:;o I del apartado (b) obteniendo \lila l')(prc';Lón pam
T=
,u
Id"
•
-----'
,
T:
(e) 1, Dibujar In partfculll C\lundo :.e mueve cercn cid agujero (Iiguro 10.29). Cuando la part ft.: uln c,'(pcrimenta un de.<;plnL,nmLento dl ,1ou dislancia r rcspecto del eje cambia una CUL1tidud infinite."imul tlr. Como r disminuye. dres negulivn y ....e cumple:
(b)
dr
= -[tlr!
Fig ura 10 ,29
I
297
298
I
Capítulo 10 Comervadon del momen to angular
3. Imcllr..U dl'~dc /'11 hU'1l1 '1 rJc~pll é~ dI' Nu..,tillll f ohtenirJ(1 cn el 1':"0 J dd upurtOl.ln Ih):
r por el n.. ~ ullluJ{1
¡/ II - T 'dl
I II ( l'('~
:vn \lut· j,/ r/ • dfl'tl~ ~ (111' 'I'j,/rl "
I dr
IV
("Tdr
}.,
~r · r
ti
r , cl~.',(¡,.
), ¡'Ir'
!:2c:.¡" ",J" m ·2 , 7--'. _j¿(-,- 1) 2./11 r r ;:;? Idr .. .
Comprobar e l resultado Obsérvese (IUC p,ml timr de la cuerda hacia abajo debe realilllrse un IwllltiO. Como /"1 es menor qUI! ro. el trabajo e:o positivo. F~ te Irabltio se invierte en incrernelllllr la energía emética. La variución de energía cinética pucde calcu larse también directamenle. En efcclO, f e = ¿212/. Haciendo Lo = Lf = Le/ = ",,.2, la vari ación de lu energía cinética es Ee, - E~, = (¿!12",'1) - (L 2/2/11,* = ( ¿212m) (r¡ 2- r¡¡l). que es el mi srno resuhado obtenido por intcgmción. Observación El aUlllelllO de lrubnjo t/W uunbién puede obtenerse expresando el desplazamiento dC como d r. el cambio en el vcctor posición r. El producto escalar T · dr se exprestl en componente,) de fonna que qued¡lf/lV = T . dr =7~dr = -TI/¡; En este deqarrollo 7~ = -Tes la componenle radial de T y tlr es la componellle rndial de tlr. Eje rcicio
¿Pant ] ué radio
I"N
la tensión es N veces la lensión correspondiente al mdio ro? (Res-
pueslO r~ = rolJ./N.)
O T
Figura 10.30
EJEMPLO 10,7
I
Sobre un plano sin rozamiento (figura 10.30) descansa un disco al que se da una velO1 dad in icial \lo. El disco está atado a una cuerda que se enrolla alrededor de un ci lindro \"entcal fijo. Esta situación parece semejante al ejemplo 10.6. pero no es lo mismo. Aquí no huy un agente que realice trabajo sobre el disco, ni ningún mecanis mo que produzca unll d isipación energét ica. Por lo tanto. la energía mecánica debe conservarse. Como Ec = L!/"2/ es conslante e I decrece al disminuir "0' L también debe decrecer. Obsérvese que la te nsión no actúa hacia el centro del cilindro. La tensión produce un momento respecto al centro del cilindro en dirección hac ia abajo. e l cual reduce el momento angular del disco. dirigido hacia arriba.
¡INTÉNTELO USTED MISMO !
Un nuevo péndulo balístico
Una barra delgllda de masu M y longitud d cuelgo de un pimte en su l)arte superior. Una 1I1l1!'8 de arcillu dc musa m .v "cJocidud l' choclI contrn 111 hurru 11 una distancin x del pil ote ~. se lldhierc u In mismu (Ii~ura 10.31). Determinar In ruz6n entrc lo cnergíu ci nética del sistema inmcdiatnmelltt' despuk e illll1cdintlllllcl11 c unt ~ dc la colisión. Pl a nteamiento del problema UI col i ~ión e~ inchhticII. y por lo I3nto no c" de e~ l)Crnr que la energra medniclll>C con"l!r.c. J)uro.lnte el eh()(lue. el pivotc ejerce unn grnn fllCr/.Il sClhl"l' lu hurr.l y por 10 ImIlO, el momento lincnl no ..,e con...ervlI. Sin embargo. no c:'tiMen momento" c:\:lcrno" que actúen en el puntO de pivolamiento ¡,oore el ~i"temn barrn-orcilln y por lo tanto. el mOIllt'nto ¡lngular ~c conser.1 con 1(1 ml1~1l11J y In velocidad l' de lu IlrcilJu.
x
"
r
Tape la columna de lo derecho
I!
Figura 10.31
'mente ft!lolverlo usted m/jlnO
Pasos
1. Ante.., de la cO¡¡',6n. In cnerg(a cinéticlI del tic" dc la mlt...1 dc [U·cilla.
Respuestas ~"tellln
es lu energfa c iné-
I
10.3 Conservación del momento angular
~"pué~ de In co!iliión, In energía ci n~tica es la ene f " _" ' , 2. l.1'h' '" E ' b' , rg a CIII1;llca del SIS'nlll bnrm-aI'C1 n, ~scn Ir ti encrgra cinéliclI despué d, " ' te , S e u cullslón en und6n del momenlo Ilngu ur L..'\l y del momento d ' , , e inercia r del sis"temU OnrTll-llfClllll.
]
Dur.antl! In colisión se conserva el momcmo íl.ngu lur. Escribi r el . numl<:nlO angu lar L..m en función de m. 1'. y.r.
4.
~-.;prcsnr
r en función de m. .r. Al y d,
1-." =
I
t'
-21'•
1- ,,= /111'1
r = II/.\ ~ + ~ M(r
5. Su~lIluir eslas c;(pre~ioncs de ~~I e l' en la ecuación de E~, .
6,
Ir la energ.ín 10lal del sistema después de In colisión por la energfa de la nfCllI:l.
'E"
-
,2(1 111 .t~+ M {/ 2 1
,
=
~ "" '}
-
I
" --;'''"ld"' I + ,"~~
3m .\,2
'bservación Este ejemplo es el análogo rOlacional del péndulo balfslico visto en el mplo 8. 14, En aquel ejemplo, utilizamos la conservación del momcmo lineal para delerIl J r la energra del péndulo después de la colisión.
Ln liglll"d. 10.32 nos mueSlra una eSludiante haciendo una demostración de la conservaciÓD del momento angu lar respecto a un eje. Está sentada sobre una plataforma giratoria que
está dotada de cojineles sin rozamjento, con lo cual la componente verticul del momento ejercido ).obre el sislema plalaforma-estudiante-meda se mantiene igual a cero. En consecuencia, la componente verti cal del momento ungular del sistema también permanece constante, Inicialmente, la plataforma está estacionaria y la meda de bicicleta gira con rapidez alrededor de su eje, que inicialmente es horizonlal. tal como se muestra en la fi gul1I 10.3211, El momento angular inicial del sistema L~isl i coincide con el momento ungular de espín inicial de la rueda Lr.e ¡, que es horizonlal. Esto significa que la componente vertica l de Ls,sl ¡ es cero. Si ahora la estudianle (figura 10.32b) inclina el eje de la meda hacia arriba , el vector momenlOangular de espín de la meda Lr,c se inclina con ella, y el sistema empi eza a girar en la dirección de las agujas del reloj (visto desde arriba) alrededor del eje de la plawfonna. El \'tCtor momento angu lar asociado con esla rotaci6n del sistema a fa vor de las agujas del reloj alrededor del eje de rotación de la plataforma. tiene una componeRle z Lp 1. dirigida hacia abajo. Como la componenle vertical de L~¡~I se mantienc igual a cero, podemos concluir que t,¡ke.s igual y opueslO a Lr.e I.k. , A menos que usted haya visto esta demostración an tes. el giro que expenmentu la plata~ f~a es Sorprendente. EXl1Ininemos porqué se prod uce, Ut cslUdianlc ej~rce ~11 mome~llo b:marriba. sobre la rueda que gira, para incl inar su momento angular hacllI amba. (Dcbldo al producIo vectorial un momenlO hacia arriba necesita fucr/.as horizontales,) La rueda ~e un momento h~cia ab¡~o (Iambién ejerce fuerzas horizontales) de igun l módulo sobre la esludiunle, Es precisamente este momento hacia abajo sobre la ~studi an tc el ~ue produce "", ' . , en el senudo ' di ' d-I , ,1 Slstcma empiece a girar e liS agujas e rclo1iulrededordelcJedelnpla.J '
L",," Lr~,
«(1 )
,I L" k " ..,c
t.,., + ¡" .c r .. O
toIttnna, E~r 1 '
Supongamos que cuando la pasamos u la estu d'·!Unlc, Ia rueda dc biciclcUl. gim'6ya . d" 'd I c'a 'Irriba. ¡En qué dlreccl n l . . ueje vertical y con su veotor momenlO angu lar mg o lO I • 1 " l' ~ or¡ l ' " l ' " h direccl6n lOnzonla . f a platnronna cuando la estudian le incJme el cJe hie la , ' , RtSPUesla Visto desde arriba. en la direcc i6n conlraria n las IIgllJas del reJoJ),
(ClO COI\,·
J
.
(h)
Figura 10.32
299
300
I
Capitulo 10 (omervaclón del mome nto angular
Demostraciones de las ecuaciones 10.10, 10.12, 10.13, 10.14, Y 10.15 Demostración de la ecuación 10.10 A
cOflllnulIclüll dCmo\ lmrcmol, que la ~~g umJ n le y de Ncwtul1 exige que lu dcri vudu elel 1110111(: 1110 ungu lar de ulm partícula ~ca iguul
ul murm'nhJ I\:\U lta nlC que uCllín .. nl)l'C 111 mi¡.;ma S. lenemO., c ierl o 0I11llcrn de fu er/"" IIph cat.l U'.. suh.e una purlículu. el Ill\llllcnln rr.::-;ultullt c rc..,pcc!O ni origen () c\ 111 ,,;uma de 10'-' 1I1lHllc rllu .. dcbidu ... a cadu fllcrJa: 'T UCIO
=
l'
X F .+ r
X
¿, F, =
Ir.•., + ". = r x
rx F
"'"
ScgLín In segu ndll ley de Ncwlon. la fu erza neta o resultante es igual a la derivada respec to al ¡iempo del momento tillen! dpldl. Así,
-
T nclO -
r
x F lICIa - r x
( 10.2 )
Co mparemos ahora esta ex presión con la derivada respecto al tiempo del mo mento angu l1r. L,I definición del momento angular de una part (cu la (ecuación 10.8) es
L = r XI) Podemos calcular dL/dl utilizando la reg la de derivilci6n de un produclo:
d r x p ) = ( -d r x p ) + ( r xd P) -d L = -( dI
dI
dI
dI
El primer término del segundo miembro de esta ecuación es cero, porque p = mv y v = dr dI. de modo que
dr - x P d/
v X !/I V
-
O
Por lo tanto.
dL
-d/ -
dp d/
r X-
Comparnnclo este resultudo con la ecuación 10.2 1 resu lta
dL
T nem
( 10.121
= dI
El momento resultante aplicado a un sistcmll de Pfll1 ículas es la suma de los momentos individual es qUI! actúan sobre el sistemu. Gc neruli1.'lIldo la ecuación 10.22 a un sistema de partículm; resu lta
=¿ I
dL¡
dI
- dI !!. '" L.. L,
-
¡
En esta ecuación. In suma de lo:. momentos puede incl uir momentos imemos y momentos debidos a rucrl.a~ extcmu!':. al si!oolcma. L..'1 SUIllU de los momentos intemos debe ser cero. Por 10 1011110. •
( 10. 101 SEGUNDA LEY OE N I:WTON PARA El M OVl MI[NTO OE ROTACiÓN
"Demostració n de las ecuaciones 10.12 y 10.13 A cOlltimmción dcmO:;(nlf'l:' mo!. 'lile el momento nngular de un sistema de partícul a~ se escri be como la sumu del rnomenlO angu lar orbital más el momento angular de espín.
7
10.;1 Comervad6n del momento "ngular
ligur;¡ 10, " llH1\!"! l¡lllll " 1'-ICIIltI dc pUrlicula .. , 1:'1 rnOI11 ~l1 t o unguhu L, de la pUrl k ul u; l1!"I'It.'C t ~) " un pUl1t~, :trhll l,UII) () ' ll'11C dado !ltlr
I
301
LI
L,
r,
X
m ,' /
,
( 11J.2.l1
----::;.-_ , ..'" "
I m
x
lII i ll ,)
'vllde r,' y u, :.011 ItI po:-; il:ión y 111 velocidad relativa al centro de Illusas de la PlIrtículn i. A .Inir de 1" fi gura . pu ede verse que
o Figura 10.33
L1erivundo con respectO del tiempo en ambos hldo'i se obtiene Vi
=
v l:llI + u ¡
Sustilll)'endo esta relación en la ecuación 10,23, tenemos
Desarrollando los térmi nos de la derecha se llega a
Sumamos ambos lados para todas las partícu las)' extraemos el fac tor común cn las sumas, obteniendo
Dado que r.(III, r ;) y r.(II1 ¡U¡) son ce.ro y que r.m ¡ = M Y r( r / x mili,) = L cm tenemos L"s, = r cm x M Vcm + L~m' o bien, ( 10.12) en donde L cspfn = L cm y L órb"a = v Cm X M v tm
( 10. 13)
t Demostradón de las ecuaciones 10.14 y 10.15 A tomintwc ión, pum obtener las fórm ulas para el rnOIllCIIIO y el momento angular rC,.<¡pecto de un eje fijo, tomamos Ia.<¡ componentes:: de lo!> \lcctores momento y mOlllenlO angular ¡¡Irededor de un punto, El momento angular dc unu partícula respecto del origen es 1. = r x )), por lo quc determinar la componente:: del molllento ungu lar significa determinar la componcllIc :: del producto vcctorial r X p. para lo cual ex prcsarno~ r y 1) C0l110
' ...
,-•
,
, , , ,,
.,
,, ,, ,, ,,
,
en donde r rud' r t ' P,l 'l " Y 1)1 son l as com ponentes de l os vectores r y p ( \éase ID figU11l 10.34). S u ~t i t ll yc nd o r y p se obtiene
L. = r x p = ( r ra.l+ r:) x( Pl\ + P: ) y dcs:llTollundo el térmi no de la dcrecha ~é obtiene
Figura 10.34 La!. com¡Xlnc nI C~ r,.,/, r.:, II", Y P.: de Jos \'e<: IOrc.\ r y p ...e u... un par.! calcular el 1ll0lllento angulur re.\PCCIO el eje:. L~ .
.-
302
I
Capítulo 10 Conservación de l momento angular
El producto vectorial de dos vectores es perpendicular !l ambos. por lo que el prOdUcto r p . es pnm ldo al ej e :. En cndtl uno de los tres productos restante.."> al menos un Vtct:' p;::'llle lo ni eje:. por lo que la componen te z de cada uno de estos productos es cero. Par e: siguicnte. L :: -
f nodX P 1 )"
(10.14) M OMENTO ANGUtAA R[Si'ECTo Al Ell
El momcnto respecto al origen asociado con una fuer¡;a que nctúa sobre la panícula \( dacio por ,. = F (ccunei6n 10. 1). Siguiendo el I~ismo procedimiento Con mom::~ como el que seguimos con el momento angular se obtI ene
rx
el
r mdx F,l'y
(10.1;) M OMENTO RESPKTO DEL Ell
' 10.4
Cuantizadón del momento angular
El momento angular desempeña un papel importante en la descripción de lo!> átomos. mo~. cu las y partículas elementales. Lo mismo que la energía. el momemo angular está cuanU. zado. es dec ir, las variaciones del momento angular pueden tener lugar sóln en cantidades discretas. El momento angu lar de una partícula asociado a su movimiento con!>.1 cl llarnJdo momento angular orbital. El módu lo del momento angular orbi tal de un tfcula ,0;610 puede tener lo.,; valores L -
Je(e+ I)-Ir
C=0. 1.2. ...
(10.241
en donde 11 ("h barrada" ) es la unidad fund amcnhll del momento con la constante de Pland. h: 'fi_ h
2"
an ~1
'locionadJ
(10.251
1.05 X 10-'" J . s
La componente del momento angulnr orbita l :J lo largo de cUillquier Hne:1 J ~pacio está también cuantizada y puede tener sólo los valores ±m1í . c.:n donde m es un nUI '.1 entero 00 negati vo menor o igual que Por ejemplo. si = 2, m puede ser 2, l . ó Q. El cuanto del momento angu lar.1í, es HUl pequeño. que la cuantización dd fllomrnto angular no se uprecin en el mundo macroscópico. Consideremos. por ejemplo. una partícula de masa 1 g = 10-J kg que se mueve en un cfrculo de radio I cm con un pcrilxlo de 1 s. Su momento angu lar orbi tal es
e.
e
(10 -' kg)(IO- ' 111)' 2" = 6.28 x 10' J \ 1,
Si dividimos por 1í resuhn
L 'fi
-
6.28x I0- 7 J ., = 6 X 1O:?7 1.05 x 10- '" J . s
El momen to angu lar de c.'\tc sistema l11ucroscópko contiene 6 X I~l l1nidl\de~ d~ la UlllltaJ rundamental de l momento angular. Aunque pudiéselllo,,> medir L l'on la pn:cl, i6n dl' unl pane en mil millones. nuncu podriumos apreciar la l'unllt iztlción de este mülllcnlO aRgu}$ IlIl1croscópico.
r
10.4 Cuantlza(ión d el momento an gular
. rtllllllu.:ilSn de l momen to angu lllr orbi tal ' 1 . I.:Onl uce
'6 . de rolllci6n, Con~ldercmo!> lIIHl mulécu la ql ' n 1Zl.11;¡ n dc 111 energía ca néu l' O • le glnl <¡Irededor de d " Ortlt:ll tO angu lar L (¡gura 1 .35), Sen I su 1ll0mcm d" . su ce ntro e mn~ns ¡'(111 nI o e IIlcrc m. Su cncrg 'a cinética C~ 1..11 (;1'
-
,
•
•
EI!,
•
.
,
c .~
•
• •
(10.26)
. tál'unn1il
(iJ do lKJ C-'>
30 3
n lu CUI! ( -
:" _ U· 1~ 2/
. -
I
· el
(=-
O I ')
' ,_ ... Por lo tanto. la cncr·
a os por
L'
( i + I )f,' = -2/ = 2/ ~ 1'(( + 1)Eo,
( 10.27a)
Figura 10.35 Modelo de una molécula diatóm1cfl rígida que gira alrededor del eje ~.
( IO.27 b)
0 ..16 nlllesLra un d iagrama de niveles energéticos de una moléculu en rotación con e incrc i,~ constante ~. Ob~érvcse q,uc. al contrario de lo que Ocurre en los ni veles J e un siste ma e n vlbrnc I6n (sección 7.4), los niveles energéticos de rotación no lente espm: iados y el ni ve l más bajo es cero. ia e:>ti\b le contiene sólo tres tipos de partícu lns: electrones, protones y neutrode su mOlllento angular orbilal. cada una de estas partículas posee Iambién un
I;!ular intrínseco llamado su espín. El momento angu lar de espín de una p¡\rtíJ masa y curgu eléctri ca, es una propiedad fundamental de la partícula que no I¡curse. !lo del vector momento angular de espín pura electrones y otros s = ~(~ + 1) 1í Y la componente a lo largo de cualquier línea del espacio - t 1 ~e tt ~ólo dos valores. + :; 11 Y -:; -tí. Por ello, estas panículas se llaman "partículas deespfn ~I medio". Los elcctroñes. protones, neutrones y otras partícul as de espín un med io .tllamall fe rmiones. Otras partículas como los fotones y las partículas a. llamadas bosones. tienen c'pin cero o entero. El espín es una propi edad cuántica que no ti ene nada que ver con el movimiento de la partícula. La imagen de un electrón COIllO una bola que gira sobre sí misma y se mueve en órbita alrededor del núcleo (del mismo modo que la Tierra gira sobre sí mismo y alrededor del Sol) !:S un modelo litil. pero no totalmente exacto. Mientras el momento lIngular de una bola que giro sobre si mi sma puede aumentar o disminuir, el espín de un electrón es unil propiedad fija que no ~c modifica. Además. hoy sabemos que un electrón es uno. partícula pUlltual q ue carece de tamaño.
,
E
4
20EOr
3
12 EOr
2
6EOr
1
2'0<
0------
O
Fig ura 10.36 Diagrnma de niveles energéticos de una molécula en rotación.
ResulJ,en 1
El momcnlO angular es UIIIl magniwd dinámica impon:lnlC dcn\'ada de la fí!,;ien macrolo,(.,"ópiea. En la física microscópicll. el momento angular es una propied¡¡d intríll~ca fundamental. de Ia.~ panfculn~ elcnlcntnlcs.
'IMA
2
La cons.crvnción del mOl11cnto angular es una ley fund:unenta l de lu n!l1ur.lle1.a.
3
1...:1 cuantil:lción delll1Olllcnto angular e.~ unll1e)' fundamental de la n:lIuralcla.
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
.
1. Naturaleza vectorial d e la ro tacl6n
Vtkx-idad angular w
t.toriklilO de fucrltl, T
·ó d'l oJo de rolrtci6n en el e.~pacio no e:-. lljn, los signos más y lIlcno~ son in):uf¡cicllle~ paro
Cuando la dm!Ccl n e e · . de~ribir el ..emido de In dirección de la velOCidad angular. . . I 1 locidnd angular w coincide con el eje de rolnción en el sentidO dndo por la regln de la L:I dln!ccl6n (e a \ e IIlUIlO dcrech:l. ( 10. 1)
I
304
Caprtulo 10 Conservació n del momento angular
AxB=AB se n ~ 1I
2. Producto vectorial
(1 '
'.~
' pc:rpcn d'leu 111 en donde ,1" Cl> el ángulo entre los dos vc(:tore<¡ y n es un 'tIcclQr um' tuno ur JI p llno
A xA=O
l~p i L·dude.<¡
(lGJ)
AxH = - H XA
(10.<) (lO,> k x i=j
j X k = i.
iXJ = k.
(IOJa)
-
3. Momento angu lar Pnra IInll panfcu la Pam un ~ist e mll que giru IIlredcdor de un eje dl~ simetr{a
L = r X I)
(lO!)
L = /w
(lG.~ El momento angular respeclO aun punto cual'luicr.l O es ig.ual al momento angular rc..¡pecto al ~mto lk masas (momento angular de espín) mál> el momento ungular asociado ni movimiento del centro de Ihba!.
Pum cunlquicr sistemrl
nlrededor de O (momento angular orhillll). L = L_
+ L ......
- ( 1', ..
x m/II,)
X
dL
Segunda ley de Newton panl la rotneión
(1O.1~
(10.10)
Si el momento externo e.<¡ nulo. el momento angular del sistema se conserva. (Si la componente' del lnOlit4 neto externo en una dirección d:lda es ,"-'Cro. la componente del momento angular del ~btema en !NI direr.xQ¡ se conserva.)
Conservación del momento angular
(lO.lO)
Encrgíu cinética de un objeto en rotación El módulo del momento angu lar orbital de una particu ln puede tener <.Ólo los valores
Cuantií'..aci6n del momento angular
L = J f(C+1)-h.
(= 0.1.2 ....
en donde
"
tí -= -
Un idud fundmnental del momento angu lar orbital
2.
es la unidad fundull1 cmlll dclmol11cnto angular )'
= 1.05x IO· J.4 J .<¡ "e ~
( 1O.1~
la co nstantc de PIando, .
La componelllC del mOl11enlO ungular orbital n lo largo de cualquier Hne;¡ del c'pacio
· Cunnti:wción de eual(IUier componente del rnornemo angular orbital
7..11dn
E~ pín
y puede tener sólo [os valoreS :l:TIl 11. en donde m es un entero 110 I1cgmi , o mel1¡lr
Los eleclrone~. protones y neutronc., tienen UII momento angu lar intrín$<.'CO IInJll;ltin \'cclor momento ungular de c~ p(n para est:ls panícu las c:-
s=~~d+l)fi •• y la componente u lo lurgo de cualquier línc:1 dd espacio s610 puede tener do ... \ :llore,.
+~1í )'-~1i •
•
•
• •• •••
SSM •
I •
I
Concepto simple. un solo paso. relativamente fác il. Nivel intermedio. puede exigi r sfntesis de conceptos. Dt.:safiantc. p(lra alum nos avanl.ados . Ln so lución ~e encuemra en el SI//dellt Sn/lI1;rJ/lS Malllla/ . Problemas que pueden enCQllImrse en el ~e r\'i c io íSOLVE de l:tren!> pum ca!-,Il. E~tos problemas del st!rvicio "Check poinl" son prohlcmn.... de con trol. que impu lsan a lo:.. e.slUdi:lt1 l e~ a describir cómo se llega a la resp ll c~la y a indicar MI nivel de confiullzu . Tomar g = 9.81 Nfkg = 9,81
m/s1
y despret:iar el ro:t.umicnto cn todos los problemas n
En afgllll{}~ pm/Jlt'''UI,\ .\l' I/clll m6.1' datos tlt' los l"t'o/mfJIU lIecesarios: ('" al m.1 I'(l(cl.l. I/r/lr/t l'.\ l mt'rSt' all:/lI/O.\ dIJIe!,\ II/I(J"'" ,
lit, cr}l/on'm;1'1l1m' gnu·m/n . f'l{'fI1l'~ ,'\tt'1'1l0\ a ('.\tim"áclf!(1 lógicd.\ .
mCllo~ quc ~e
•
indi{!1H' lo conl nu'lOo
Probll!ma~
I
30S
proble mas conce ptuAle s
-,
•
SSM
Vl!rdntlcl'Q o rub.o.
, I ~l~ \t"\.·tul'l!\¡ \0 11 paralelo,. " 11 producto \ C"o ' , 1" •S " I III e\ Ce ro . .lo) CUllnd o un dl\,"o t;1r.1 a lrededo r de ~ II eje de :
ElIlWrlll!"ntu ejercido po r una ruer/llt:' "icm¡Jl\' ,>el" . d' >en Icuhll' 11 It. rU{·ll'u. 2 • Do\, vcctorc :-, A y U IX1\Cen el mismo mód I Rol ,k.IO/:1 \ 11 lII&1ulu má." imo Cll ll lldo A )' IJ ~On ( )11 O. S U producto Vccto' ''' . 11 pamle!(.s (b) i"u I rl ..... rJll'nú lcul urc~. (tI) IlIlt l pilm l c l (l~. (d rumian Clltre ~. ~ . (> a C ~. ,. I un 'lIlgu lo de 450. (1'1
'
14 • Verdadero o rul'iO: Cuando un glr(h.Copio no ¡ inl. la expre~ión 1" .. dL/tlt nu vale. 15
•
•
I
Un o h'~e t o de musn Al glm ' ¡.I rededor de un eje , fiJO . con IlIOIllCnto rlllguh.r t . Su 1110lllento de increiu ulrededor de e~ te eJc c~ J ' Cuál e,
"" cnergrn cinética'! ((j ) IL l I2 . (b) /} r2l. tI') MI} I2 . (tI ) 1I} I2M .
• (,
16 • I!xpl icnr po r (Iué un helicóptero Con un '>010 rolor pri ncip:tl pcK<.."C un segundo rotor 111:b peqlle~o montado en un eje hori/,ontul en la pane Irn.<;én¡ del ap~l'""J.to. como mue.\Ir.! In fi gur.! 10.37. Ot.scnbircl 11100'imiemo resultante de l helicóptero ..¡ e.\ IC rotor lm!>Cro fallase dumnte el vuelo.
• j Cud l l!~ el ángulo qut: formrm el molllCl" O " , . lI1ea p de unu p'• n' • 11 momento ungular L '!
• Un:! particulu dc musa 111 sc I1lU C\'C Co n vd .'d' , 4 OCI . IC . ' u lo Illrgo de p Ul1tO P. ¿Cw11(~.~ el mome , , U/l;1!tr I t]UC p:l SU.a tmvés del )" n o an~ u ur de la pllrpecIO ¡¡ dtcho pu nto I . (ti ) //11'. (b) Cero • (") C·", b' d ' tti.'tll • 1 tu e sIgno cuando 'de ' punto P ·tl al" O/In pasn ti trnvés del pu nto /). (ll) Dc,xmdc d"'" ... .. d,' "" anelll ,,;QOnlenndns. ' tl1~~.
5 Pt,:
""'",
duph
',po. 6
"
...
U,na pan fcu la.de...cribc un:l trn)'ecloria circulllr y cl punto el centro del Circulo. (n) SI su momento lineal" " ¿có 1110 se • "..... du pIca. \u momento. '\IIgular resJX. 'CtO a 1'". (b) Si el .u ..... d·o de' CH • 'C UO , se . I "ero MI \'clocldnd no varta.i.cómo se modille'l , .el.n,oo,' . .o'o ¡' ngu ,ar
·1
SSM
I Un:\ pun ícul ~ re muevc 11 lo Inrgo ele Ulwllnea recta a velocidad consumo vuna con el uempo ¡¡U momcnto angular respecto a cualquier punlo'!
?
I VC rdud ~ro o Falso: Si el momento resultante sobre un sistem,l que gtIU e, .:ero. la velOCidad angular del siste mu no pUL -de modifi t:'arse.
8
I I SSM Si una persona está de pie en tina platafonna
momentos CXlemos sobre el sislema personn - pl:uafonn¡¡. SlIgi'l't'"da,' Miel!' IrIU q/le /lila per.\'O/1fl 110 pl/ede camhiar .l'lI mllsa /ncilmelltt ticm'. ell cambi o. ¡onnas lle cmllbiar Sil fIIO /IJellfo lle i/l er cia.
9 • Si el momento angular de un sistcma es constante. ¿cuál de lu~ ~guientes afinnaci ones es c ierta? (a) Ninglin momento actúa ~obrc ningunn parlt del ~ istema . (b) Un momelllo constante actúa sobre cada una de In:. p¡¡n ~ del sislemu. (e) UII momento resultantc nu lo actú:I ..obre cada pane dcl .,istclllU. !dl Un momento ex temo co nstante actúa !oobre cJ siSlema. ( e) U n momento rtSullUnte cero uctúa sobre el sistcmfl.
,o
, . En el ejemplo 10.4. ¿rcaliz:1 trabaj o la (uena cjercida por el tio· ~ t~
12 •• SSM Un bloque que se de.~lil:1 \Obre una mCSll ... in rolumiento ~ atado a uml cuerda qUé pa~a por un agujero de la mesa. lnici:lhnenlc d blo· que <,e dcsli/a con velocidad 1'0 .sobre II n(l c.irellllfc rencin de radio ro. Uno per· ~ bajo la me~u ti ra lentamentc de la cuerda. ¡,Qué ocurrc cuando el bloclue l Imen c~pira l hacia dentro'! (Rulen.. r con rlTgulllenlO' In re'\pue:.tu corrt."(ta.) !U) SUenerg(u y mo mento angular se C(lI1:-,erV:II1. (b) Su momento :lIlgulnr ~e :~~3 y ~II cncrg(ll c rec\!. (e) Sil mOl1lentu angulnr :.e conM:rV:I y ~\I Iluerg(u !'tee. (ti) Su energra Sé conservlt y su momento ftn gulnr crecc. (e) Su cnerg(n o,e COn'>e:rvn y !>II mOll1cnto anglllnr decrece,
n ••
SSM
¡.H ny alguna rOrl1l11 d c diM illguir un huc"o cocido de uno
llUdo ~il\ romperlo'! Una rornla col1l>iste en colocar el hucvo loObre unn ~upcrrl
: horj~ntal c intcntar darle vuelln~. El huevO t.'(K:ido giran! f:'íci ln~enle. mien· qUe ~ I el huevo cslá cnldo huy que aplie:tr un e.~ fu el7o mayor. SUI embargo, clIIndo ya e~tén rodando. el huevo c nldo ticne un componamicnto pecu liar: ~i r:on un dedo pnmmo!> \U . mcwinuenco y lo soltUIllOS. puede po nlln.t !\ gimr dc 1IUcotú· I!),:plicar In diferencia en el componOl1liCll1O de nmhas cI(I,e~ dt: !Hlt'VO.
Figura 10.37
Problema 16
~7 .~ ..EI vector momento nngulu! de una nledtl que gira alrededor dc su cJe cstá dm{!ldo ti lo largo d!!l eje} apunta hncia el e<¡tc, Paro que este " CClOr apunte al sur es nccesario ejercer una fueo.!1en el extremo este del eje en dirección: ((j ) Hacia arri b:l. (b ) Hacia abajo. (e) ~l aci H el none. ((1) Haci:t el sur. (to) Hacia el este, 18 •• SSM Un hombre que pasea hacia el none. lle\";J una caja que contiene un giroscopio en movimiento de giro. montado.sobre un eje .:tpo)ado en la pane del:mtem )' trnsern de lu caja. La \ elocidad angular del gim..copio apunta al none. El hombre comienz,'i u girnr par.! continuar ~II paseo hada el CStc. En consecuencia. el extremo frontal de la caja ta) 'oC resi~ te al intento de giro y tmtará de pemlanecer llpuntando al none, (blluchar:í L'Onlra el inlento d... giro )' empujad hacia el oe..~ t e. (e) se cJc'urn hacia arriba. (ál ~ hundirá hacia abajo. (e) no cXlx:ri mcmará ningún efecto. 19 •• El momentO angular de In hélice de un pcqueno aeroplano c,>tn dirigido hacia adclam.... Vi¡..ta de;.de dctrá.... In hélice '>lo! mue\ c en scmido hQrario. (a) J\ lieJlII'fI)' el 3crophmo despega. ~u pane ddantt!TU ~ J.:\"anta y tiende a "imr hacia un Indo. ¿11:tcía qué lado)' por qu.5? (h) Si el at~roplano se encuentm "ob ndo hori/ontnlmcntc) de repente gim hacia la derechu. ¿su parte delnntero tiende ti mO\'CI'M.. Imda arrib:1 o h:tcia abajo'! ¿I'ar qué? 20
••
Un automóvil funciona con la encrgin runmeen:ltL., en un \010
"'mi
di:.tin· volanlc de momcntO ungulnr L. Analizar los problcll1 a~ que surgirinn In., l)ric nt ncion~ dc L y di"crsas mn n iobn~ del coche. Por ejemplo. ¿qué Ol'urri, r (t. ~ i L npumu",' \'cnicalmentc hacia :lrrib.'i )' el coche 'u b i e~ por una colin., o de.<;eicndic.se a un valle? ¡.Qué OL-urririn ~ i L u pul11n~ hacin dclunt ... o hacia un lado del cod ll: )' éstc III t ent.tL~ gimr n In i/ quicron o a lu derechu" En t.'3
Unu mujer !oc ~ ¡ e ntn sohrt un I:lburt'le de pttlno en I'('I tndón con 'II~ bm /o~ {'nundo!>. Si ex tiende ~ u ~ bm/o, en eru/ . ' u energía ellle· liell. (ti) Crcl·e. (/)) I.)c..:recc. Ir-) PCr11laneL'C ,i n \'lu·i!I(·ión. 21
••
I
22
••
SSM
En un jucgo de jmt lín. un .. pelotn \C :1In (1 unu cueroa
\ tI -
jet¡¡ a un ¡)(),q e \ cn l(:ul por el otro <.: strerno. Al golpear la pt'lota w n una paktil. In cucrdll "<: lIrrol llllllrcdedor del po~l e )' la bolll M' lIcen.:a c,ldu ' l'2 mb;:t1f"I"tc" ~ i guie ndo unn cUI'\a e .. pimJ. Ocsprcctando In re .. "tcllCin del lIire. , qué ocumo cuando la pelotl! ~{' balnncca alrededor tlcl iX',tc'! ArJ ulllCtlInr dd,ldamc nt .... ,,\~ ufirm acione.\ (I"C cOI1 ~ idere correct ~ entre lu\ \1 ~lII C l1 t C\ ( 11 1 1 a cncrgm 1lK'C3 nicu )' el mOlllento nngulnr de 111 bola ~e ctll1.~Cnnn Ih) l-.l 1ll1lill\:llIQ nnptlar de 111 bnla sc con<,cn'll, ~rll ~ II t:nt'rg{ll rncc:hnC'll l·rt'CC . (d El 111()lIll'nl(lllnilu1ar J.o la bohl ~c eOI1 "C r \" lI. pero \ 11 enc:rgfll l1lc¡'l\l\Icn dl\l1I l11 U\1:. \//\ l .n 1"I1er¡!:l:I nM.'Ci ·
306
I
Capítulo 10 Conservaclón del momento ungular
nie:I dI! la boln se consl!n 'a y su lIIomento nllgulllr crecc, (t-, Lo clwrgfn mecánica de la boln se co n~e rvll y ' u mumento nnglllnr di~minllye. Una barrot unifonul! de mU~¡1 M y longitud L !oc enCUel1tnl ~obre ulla lIle,a hori/ontal \ill Nlllllliento. Una porción de ma,illn de mtlsa m '" MM \e mue\e ¡I lo Inrgo dc unn Ifllea pcllJCndiculur a la buml. choca coutm ésta "ere:1 de ~ u extremo y se ndhierc en el punto de C(lIItiICW. l)cscribircul1 liwtivamente el mO\'imiento ~ub~ ig ui e ll1 e de 111 ham! y la lIIu..,illll . 23
24
••
•
SSM
Verdadero o falso: (a) L'I variación rc."pe":lil al tiempo del n\(llllcnto :mgulur dI! un s i ~tcmu e~ siempre p:tr.tleht nI mOlUcnlo extcnlll re~uhumc. (h ) Si el 111 0 l1lClllO rcsulllmtc sobre un cucq){) c~ nulo. el momento IIngul:lr debe <;er cero.
Estimaciones y aproximaciones
i
.t
Unu pmimldom :.obre hielo COmiellla su pirueta L'Q n los brazo:. extendidos girotndo sobre sf misma a 1.5 mv/s. Estinlilr su velocidad de rotación (en re\'olueioncs por segundo) cuando ella pone SUli br;llOS \'enicalmente ti lo largo de su cuerpo. 25
••
SSM
e
donde e.' uno oonr.lnn te <'i n diml!lll,iolll!.'. M = 5.98 x loU k~ ~ la llU 'Iierru , y R '" 6370 km I!~ el rudio. D<:ll!rminnr~. (/1) Si In di~tribtlción:~ de lu Tierra fuera uniforme. e serlu 215 . A pamr del vtllor de e obtcnidcl apanmln { (l j . ¡.la den~idad de ItI Tierra es nm)'or en el nucloo o en la l'One; el
30 •• SSM ~~ti lllll r la velocidod angulur y ti momemo angul¡¡snltntlt,r de lu fi gunL10.23 (página 292) re:.peCIOde ~u ceTUro tI¡; masa. I lagl~ uproximnciones que eren rn:r.onable.~.
31
•• E...timar la . velocidad ong.u lnr dcl "Ilhador de lli figUra 1013
(páginu 294) si huee un 1II'¡lbu;r,ón
;¡
mediO salto.
•• SSM EstinUlr la velocidad de 'límnthy Got;hcl (figul1l IO,lt al iniuiar el sallo. ~II lIelocid:td dc rolflción y su momento IIngul~r ~i realiza ~ pintcl:! de tal modo que dc-~de quc sal!¡1 hasta que vueh'c a entrar (n con~ con el hielo da cuatro giro!> en el aire. I-Iaga ~ual ~u ier ~1I ~ición que ~ razo nable. siempre
es de 60 kg Y la allurn del "nito e~ de 0.6 m. Obsé f\'l~l>C que la \ clocid:bl 3JIgul.ar ellmbiH dumnte el 5u110. yu que comiena l cl.::jercicio con los bro7o( eXlendicb y progresivamentc los va pegando al cuerpo. Si se: tiene suiiciente cuidado, la rc ~pu es ta puede ser suficientemente precisa. dentro de un factor 2.
"
•• I Los cUS
la superficie de la'lícrra. (El momento de increi:! de una COne7.
•
e
28
•• SSM Uno de los retos de la :J.strofísici! dumnte los nños 1960 fu e explicar los pu l sare~: fuent es lIstronómicas ex tremadamente rcgularell tic pulsos de radio con periodos que lIbarean desde los segundos a los milisegundos. Dumnte aquel tiempo estas fuentes de mdio se conocían con el acrónimo LGM, que corresponde a la denominación inglc ~il " Little Orcen 1'&n" (hombrecillos verdes). que se ndería 11 la idea de que atrella típica, tiene una maS:l de 1.99 x IOJO kg. Y un rJdio de 6.96 X 108 m. Aun Cl.lrellas emi ten haces de onda1> de radio. A cllu,a de lu rápida vclocid:!d IlLIgulnr de 1M estrellas. el h:lz barre la Tierrll n intervalos reg ul nre~ de tielllpo. Purll producir los pulsos de ondas de radio que se observnn. la estrella 1m de girar co n velocidude, del orden de 1 mv/s o I rev/ms. (a) Usando los dlllo~ que huyen cllibro. estime la vclocidud de rotnción que tendrlu el Sol " i colnpsara en una e~ l rc lln de neutrones de 10 km de radie). El Sol no c.\, una esfera un ifoml(~ de gn ~ . por lo que su momcnto de inerciu viene dado por la e:< prc...ión , :: O.059M R ~ . Supóngase que lu c:.trclln de neutrones e, e~ rérica y que tiene unn di:.tribuci6n de lIlasa uniforme. (11) I.La cnergia cinética rotuclOnnl d<:1 Sol ~cr(a mayor o menor despu ~~ del colnrxo'.' ¡,Con qué faelor ellmbitlrfa. y de dónde provendrfu o a dÓnd.: ir(a lu en.:rgfn']
29
Figu ra 10 .38
Problema 32
Natura leza vectorial d e la rotación n el 0\C:~1 Se aplica una fu crl:1 de nu..'idulo F h(lriLOnI:llm en131i~ negativo dc hls .1. ni bordc de un dh eo de rlIdio R. como «c mI 10.39. a~cribi r r y r en función de los vectores unitari o~ 1, j \ ~ dcular ~I momento producido por In fuer!.a rcsl)Ccto III origen ,ilUad,' " ~I «,aIrO ~1 disco.
33
•
F
'"
"
,
R
•• Elm,¡mento dc inerein de la 'líeITlI alrededor de MLeje de rotaci6n
e~ aproximadAmente 8.03 )( IOn kg.fl} z. (a) La licrrn cn" e\ e~ rcrica . por lo tanto puede s upone~ que el momento de merdn 'oC escnhe ,,:011\0 I '" CMR2.
Figura 10 .39
!)¡oohlc-mn :U
,
Problemas
CHlcular el 1ll0menlO respeclO :I[ urigen debido naucr¡;a I f _ . F' lJCu1:l sobn: una panlcula SlIUudlll!1I r :::).; + yj y d ....,¡ "'" d ' emo¡;tmr que ~ Ie , "iodcnI"ndiemc e la coorden:lda )'. rDDIlJtP10
S
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•
•
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1'-
¡b) ,\ .=.4i Y
./
¡.. aliarA x 8 cn cl cuSOdc(a) t\ =41 y lb 61+ 6 IJ .:6i +6k. (c) A =21+3j y 8 =]1+2). 1.
SSM
¿En qué condiciones e:. el módulo de A x B igual a A . n ?
•• Una p.1ní~u.l tI se Ill~ C \'c en u~ drculo celllrada en el origen. L:I ...,II(u[a ~á en la poSICión r )' IIcnc velOCidad angular w. (o) Demoslrar que ,-''''LÍdaJ es l' -= W x r. (h) Demostrar que su aceleración ccmrí..... "'~ u.. = ¡U It....... ,..- la ....., (oI){\ =w x .(w X r). 37
J8
307
•
¡4
¡
I
••
I
,¡
Si A =4i.B, =0.IBI =5y A x Il ::: 12k. dctcrmi _
.. S.
¡9
.,
Si ¡\ -= 3j , A
x 8 = 91 YA ' n = 12, dCH:rminar B
l''>C el cálculo con dctenninnnlCS parn demostrnr que si A = 1I,i +a.J +a .k
n -=
b,i + b. j + b_k
C = c. i + c, j + c:k
'\' · ( B XC)
"..,.,.".
C '(A x B) = B ·( C X A )
D3dos tres \'cctores A, B. Y C quc no están situados en el mismo \lmr que A . ( 8 x C) es el volumen del parnlelepipedo formado por
los tfl~ ,C(1Qrcs.
o Figura 10.41
Problema 46
,
Una moneda de 15 g Y diámetro 1.5 cm gira a \O re\'/~ alrede
••
I
48 •• Dos panfculas de mtlsu 111 1 y m ~ eslán locaIi7.3da:, en las posici<>nes r l Y r~ respcclo al miSlIlo origen O como indica la fisura 10.42. E"tas panículas ejercen fuerz.:¡s iguales y opuCSt:l.s. una ~obrc Olro. Calcular el momento resuhnnle ejercido jX)I' eSlas fUCf/.3S internas aln.-dL-dor del origen O ) delllosIrtlr que e..~ nulo si [as f\lert.as F 1 y F: CSI:'in dirigidas tilo largo de la línea que une ambas panfculas.
42 •• SSM Medianre el uso del producto vectorial. compruebe la 11<)' dt /tU S(IJ()S par:! el triángulo de la figura 10.40: si A. B. Y e son las long i lUde..~ dt cada lado del triángulo, demostrar
H
" Figura 10.40
Problema 42 (1
Figura 10.42
Pn.¡blclll:l 4$
Momento a ng ular 4J • Unn p.1nícula que sc mueve a ,clocidad cOII,tante, llene un llklmt:nLO tlngular llulo respecto:, un determinado punlO. Dc:mo~;¡nlr qUI! ItI par· bcula ha pasado por dicho pUnlo. está en dicho punlO o pa S4lTl~ por él.
• Uno p.1nfculn de masa 2 kg l>C mue\ e Clln velOCidad eon~tallle de tj mI~ deo,cribiendo unu cin;un rercncill de " m d~ rndio, (ti) j,Curil C, ~u me-meOLOangtdar respecto al centro de In circunferencia'! Ih) ¿Cuál e~ 'u l\IomcnlO de Inrn:ia re' ¡>cclo a un eje que p:lsa por el centro de la cireunferenclll YO!~ pcr~icutllr ni pl:!no del movimiento', (el ¿Cuál es 1:\ \'elocidad ang\llnr de la p¡nfcula', ...
45 • i Un cuerpo de 2 kg
Inelue cómo varia en el tiempo ~II ,-elocid.'ld angular rc~peclO a d."ho puntn. 46
. . SSM Unll pan!cu\:\ M: lllue\'C con \e locid:ld oon".1I11e I A lo lrrJ, de una Irnea que e\tlt 1I 1111:1 di
d_
Momento de una fuerza y momento a ngular
i
Un:! p.1nfcula de 1.8 k~ q"' muele en una c1fl:unfcren· cin de radiO 3,4 m. El módulo de 'Il momento :mgular reltll!\CI tll centro del circulo depende drlllC11lpo ,egtÍn In cxpresión L ", (4 N mI /. (u) DClemlinar d módulo del momenlO tIlle actiia St)hrc IUllllnfcula. (/l) 1)clenmllUI' lu \cJocltlllll angulnr de In panícula en función del Uempll.
49
•
50 •• i ti Un cllllltln'" unifonllc dr mll~ 90 kg ) rmilú n,J 111 e'lld dlÓopue~to dc modo que &,ra Mn rOlnmlrnlO ulredcdor de 'u rje '< ~lIIletrin. graci3S a UfUl rorrca de mUl~mj~ .Ón que qllc Ut
"\/a
ro ka
308
I
Caphulo 10 Conservadón del momento a ngula r
tiene un momento do: inercia I y mm nIdio R. (a ) Octo:nninllr el momento re.. ultame que actún sobre el SbtCllIullll" dos nmSfi:., 111 Cl1erdu y 111 polen ) rc.<'I>I..'Cto al centro dI! In polca. (11) Expresar el mOlllento ungular IOwl del sistem:t respecto al cemro de lu polca cunndo lo ~ masa, ~e IIII1C\CII con \'elocidud 1'. (e) Dctcrminllr la aceler:lci6n de l¡¡s masu:. n partir de los rc... ultudo<' de los itpllrtudos (a) y (b) igualundo el momento resultant..: con la dCl'i vud:l rcllpecto ni tiempo del momento angulnr del , i ~ tem n.
plunclO'! (b) En In 1>o..ici6n A. el plnn.'!Hl e..u. u un!! di$lImciu ' 1del Sol y \c moviendo con vclocidlld \', perpendicular a 111 lfllen (Iue vn del Sol ni t\t;t En In po:.ición LJ. c:.ui 11 unn dbtallc~n'l y ~c mucvlt con \'clOC:idad ~'l. de~ perpendiculor a la lindl que vn del Sol ul planela. ¿Cuál (.,<¡ lo relll('ión de ~ • dc. r, y r2'.) ih, en runCI"n .
--- -.... ......... . .... .. _
Fig ura 1 0 .45
•
Figura 10.43
Problema 54
•
55 •• I Un h~mbre e.'>lá de pIe ~obre una plfllaforma sin ron. mienlO(Iue giru co n un:1 yelOCldnd angulnr de l .;) re~/s. Su~ bru-Os (Stán elletdidos y sostiene en euda mano una bola pes.ada. El momento de inerci! dd hombre, los pe<¡os extendidos y la platafonnll e~ 6 kg . m!. Cuandu el ~ impulsa los pesos hncin su cuerpo. el momento de inercia decrece a 1,8 kg '111: (u) ¿Cuál c.<¡ lu velocidad angular resultante de la platnfomla? lb) ¿Cuál es b vari:¡ción de energía ci nética cxperimentttda por el sistema? fe) ¿De dóndr ¡IQcede este incremcnlOde energía?
Problema 51
•• i Lt figura 10.44 muestr..\ la pane trasel'J de un \'ehí· culo espacüll que gira alrededor de su eje IOllgilLldinnl a 6 TCv/min. Los ocup:mtes desean detener eSlu rotaci6n. Para ello disponen de pequeñas tobems monladas umgencial mente a unu disluncia R = 3 m del cje. como se indica en In fi gura. Cada una de e ll:tS InnZ:t un chorro de 10 g/s de gas a una velocidad de 800 mis. ¿ Durante cuánto tiempo deben estar funcion3ndo estas toberas p:1rn detener la rotaci6n? Ln inercia rotacional del vehfculo alrededor de ~u eje (supuesta constante) es de 4000 kg . m 2 .
.1
52
• ' •
56 •• SSM i ./ Una J>d¡Ueñ3 porción de masilla de rn..t.¡, I/J cue desde el Iccho sobre el borde exterior de un tocltdi \Co~ de mdio RI momento de inercia lo. que está girnndo libremente con "'cll1cidlld angular~ alrededor de su eje de simelrill vcn ical fijo . (u ) ¡.Cuál ~ la ... elOCidJd angular del tocadiscos más la m :l.~ il];1 despué.'i del choque'! (bl Dcspué_ de larias 'lidlas. la masill:1 se desprende del borde del locadisco'i haci,l lueTa. ¿Cuj] es b velocidad angular dcl locadiscos después de desprcndel'Sl;: la maMlla ~
Un cilindro macizo de plástico de R = 15 cm ~ ajusta de modo
57
800
mis
••
¡,
6 reY/min
•
•• SSM 58 I Dos diS(;os de mas¡¡ idltl: diferentes ( r y 2 r ) gir.1Il sobre coj inetes , in rozamicnto ,t ungulur %' pero en scntidos opuesto:. (figurn 10.-t6). Lenta!! son impulsados el uno hacia el Otro hast:1 que SUl> wpo.'rti laCIO. fuc o:a de IUl.a m ienlo supe rficial da lugar a que posean la ll1i ~ 1l1 a \'elod dnd ;lIlgulur. ¿Cuál c.<: elm6dulo de e lar fina l?
L.,
800 m/s
•
Figura 1 0.44
Problema 52
53 •• Un proyectil de 1llllsn M ¡,e lUIil.:1 con 1111 ángulo Oy con unu \'elocidad inicinl V. Considemndo el mOtn..:nto y el momento angular re¡,pecto del punto del Innzall1iellto, dem~tr.tr cx plfcitamente que dlAlr = r. Ig.norar lo~ efectos de In rc.. istcnd ll del aire. (Las eCllado ne ~ tlue de.!ic ribcn elmo\'imiento de los proycctiks.se nnnlilnn en el capftulo 3.)
Conservación del momento angular •
54 • SSM I Un plal1CtA ~ mueve en una órbita elrpticil olrededor dd Sol, estando é<;tc en un foco de 111 clip:;c (fi guro 10..15). (n) ¡,Cuál e.~ d OlomenlH producido l)Or la fuerJ¡1 gnt\ ilalorin tle alrncción del Sol wbrc el
,-, I
~1= O. 2-'~~ II .. nle UIIQ',aj-
.Ie rna..:! es:.i lmo b rooCJmmo Cll·
,,¡dad
~
b
~ eI(\.-id3d de
tW 1\l \elo.'!d"j \ dos di ...'O' I\l !k
tran
~
ce»-
¡ ~nte
:unbl! ipcidad an!J-
.
"'
Fig ura 10.46
•
Problema 5S
59 •• i ./ Un bloqm' de l\Iu~a 111 qUl.' dc.. li tól "-(Ihre UI\lIfI"I ¡,in rozamiento c .. III Utlldn 11 IInu cuerda que pll.<.n IXlr un ,tguJl'n1lk la mr..;! 1" ciatment..: el bloque dc¡,lilf\ (,'On \'cI\)Cidad "0 e n un Circulo lk radIO rn ['k~ nnr (u) ellllolllenlOangnl nr del hl ~'
Problemas tn
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Una n1ll"1I puntual de 0 2 1,. .. .
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h'C ~ P .o,!Ode \ ~, la lougltud de In CUlta y h un coch",_",_ ., . 'il ... n .... . .... .. uC"COnOCldo I u bI' lutH~ ti lo Inrt!-t) dc h, Hue.l de pUnto,> tic lu 1¡"lIm Jo.'1 e ., .. ..s.' " ~n . • lO '. UlIlluQ pa ~u .. " nl\' 1. '11 \ dlX.'¡dnd c \ dc: .t mIs 1."11 la thn.-cci6 n (ltlC \1: muo I ' .. •,. ye I t~ , . (1 . C\ r-..¡ . ..... uh. r.....-L.l1''¡'l" de: 0.6 tu) 8P c\ l. m. (11)• .I)C!Cnmll ll r lu "e!oCI·. '11"e u 1n mu,:¡ en ...- w Jl \ e (bl [)c l l!rI!un..r el coe l lelcllte /J. ~", pun ' . tytIllI' ~.
1
J
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0.6 m
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309
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I
• • • • • • • • • • •
16.0 kg
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•
Figura 10.48
ni
Problema 66
•• SSM La fi gura 10.49 muestra una barrn dc[gnda de longitud L y musa M y una PC(luci'lfI cuntidad de ma~il ht de m!ll>a lit . El si~tcmn e" tá apo. 67
yudo '>Obre una superficie horiLon1al ..in roznmiento. La masillu se mueve hacia la derecha con velocidlld 1'. choca cOlUra lu barru u unu dist:mcin ti del cCllIro de la misrnn y se adhiere en el punto dc conUlcto. J)ctcnllinar In!> t:xprc-~iones rJorrcspondientc$ n la velocidnd del centro de masos del sish!ma y a In velocidad ang ul:tr del sistema respecto a su centro de musm;.
11
Figura 10.47
M
Problema 60
(vista superior)
•
ió n del momento angular
'(uan
d
v
111 0 La componentc : del espín de un electron es ~ tí. pero el \~tor espín ~ J O.75 tí. ¿Qué ángulo fonna el vector momento pm del ell.'ctron con el eje 1.1
I L
..
SSM
61 ,Piu lo,)
mgulJr
62 •• Dtmostrnr que la difere ncia energética entre un c-~tado rotacional ~ el ~iguit'nt c estado más elevado es pro porcional a + I (véase ecuación lOBa).
e
63 •• En la mo lécula HBr. In masa del lIuc1eo de bromo es 80 veccs wpeOOr a la masa del nuc lco de hidrógeno (un solo protón); en consccucnciu. ti tsludiar el movimienlO rotucionul de esta molécula, es correcto suponer. con
bottta aproximación. que e l núc leo de Br permanece estllcionario mientras el !Icomo de H (masa. 1.67 x 10~21 kg) gim a MI alrededor. UI separación entre el Urna & H Yel nuelco de Br es 0, 144 nm . Calcular (a ) el momelllo de inercill de la. molécula HBr re.~pcc to al núcleo de Br y ( b) las energías de fOt:lción tUlt:\pondientcs a ( = l . = 2 Y = 3.
e
Figura 10.49 68
••
Problemas 67 y 68
En el problema 67, reemplazar lBbola dc masi lla por una pequcña
esfem durJ. de tnmaño desp,,---ciable que choca elásticamente contn\ In b:uro. Determinor el \'alor de d pam que la esfera quede en reposo después del choque. •
•• I L1 fi gum 10.50 muestra una barro unifonne de longi. tud d y masa M cuelga de un pÍ\'otc en la pane superior. La baml. micialmente en reposo. recibe el choque de una partícula dc mus.' 111 en un punto .t = 0.8d por debajo del ¡¡¡VOlC. Suponer que la masilla se pega a Irl barro. ¿Cuál debe ser el módulo de la \lclocidad l' de la panfcula paro que d ángulo má:\imo cntre 1:1 barra y In \'enical sea de 9O ,! 69
Q
e
•
64 •• I J..¡¡ ~pMlción de equilibrio enlre los núeleo~ de la d :ula de nitroge no es O, 11 11m. La masa de cada núcleo de nilrogeno es 14 u. ea doOOe u = 1.66 x 10 ·n kg. Descamos calcular l:ls energfas de los tres est.ldo~ de b mol6:ula de nitrógeno de menor momento angular. (o) Considerar un ~lode la molécula de nitrógeno fonllndo por uno pesa de gimnasia. rígida. 03Q do!. maw pu n tua l t:~ iguales en ~ u s extremos y calcular el momento de 1lItrci, alrededor de su centro de masas. (b) Determinar los niveles encrgéticos dt rotación mediante In relación E( = C(e + I )1i ~ 121.
,ti
,.
¿Con (Iué velocidnd hll de mO\lerse ~I\a molécu la de nItrógeno para que su ellcrgfn cinéticu de trnsl:tción teng:1el IIl1smo vlllor que In tbtIgia cinélic;¡ de rQuldón del estado cuánticO con I = 17 65
••
SSM
Figura 10.50
Colisiones Una bnrm de 16.0 kg Y 1.4 111 de longitud cstá np()y~dn .....,", .,. . . U' -1 a .....•"~ .3.')- kg de orc lllo ,,() UI: unll cuclul1a por , ti pulllO medIO. 11.1 ·"U \t. .Jlce deWi! el rcpoMl, de una ollunl de 1.2 ni Y produce un choque con la tompk:lumentc inel:!,¡.tÍt!o ti 0.9 m del puntO de wporte (figu~lI 10.48). ;:"lllinar el mumento angular del ~is te l1la h;¡rra m!i¡, arcl1ln. inmedmtamente PI ea de la coli~ión inclá.'iticll.
66
:::a
••
Si paro d sistemB del pmblcmn 69. ti = 1.2 m. M = 0.8 1..{I Y111 · 0.;\ kt,t Y el ángulo máximo enm: lo tmn1l y In vertical es 60 . detcrmin:lr 1:1 \'do· d dud de In pnrtfculll n nt c~ del impacto.
70
•
i
I'roblcmtls 69 y 70
••
Una barro un iforme de mnsu M está en re.po"O iootwe mm me..., ~ m TOZillfllCn10 cuundo. de repente. cerca de uno de 'ti' e" t fl!mo~ C ~ gol¡X!lIdn ••;un un impul!iO K en la dirección horiLontlll perpcnclicuh¡r a 111 ham. InmcOllu;J· nu: ntc dcspué~ del golpe. (tI) ¿cuál es h\ \docldad del centro de mo..a.~ de In
71
••
310
I
Caplrulo 10 Con servadón de l mo mento ang ular
blIrn,'!. ti') ¡.cm11 ~, In velocidud dd exlremo dondc eS golpeudu'!. (e) ¿e nál l!,~ In \'clocidnd dd OUIl e~lrenlO de In bnml? ( d) ¡,huy algún punlo de la btlml que no se mueva'!
72 •• Un proy<..'C til dc musn //Ir ~ IllU~'\'C :1 velooidnd COIll-t:lnlé v(I hncia un dis..:o c:.lUcionario de mll ~:1 M )' r:uli o H. libre de girur ulrededor de un pi llotll quc Im,u por su eje O (figum 10.51). Antes del impactu. cl lln1yC\!1i1.se desplu/'u a lo Inrgo de mm linea situnda :1 In dil'l:Jnci:\ b por debuJo del cje. El proyectil chocn {'olllra d disc() y se ndhicrc :11 1)(111(0 IJ. 'I"rnmr (11 proy<"'C lil como unll IIlUSU pUl1tunl. (a) Anlc' del impact(). ¿cn!!1 es el IIIOlllento íwgulur 101111 L,¡ del pro· )'cclil )' el dhco nlreJedor del eje O'! (a) ",Cuál cs h. velocidud anguhlr lO del ~i:.lenlU di'>t."O)' proyectil josulIlIcme despué¡. dI:! impacm'! (I}) ¿Cuál C~ 111 ener· ¡¡in cinética del ~bt c nm disco y proyectil des pué~ del impacto'! (e) i.Cuánlll ener· gln lIlecánicu se pierde en I!.~tn culi:.iÓn'!
.sión lu bnrr:t loiguc glr:l1ldo y ncahH chllldo IIIUI \ueltu completa. ¿CuAl vclocidud :mgul:lr mínima quc imprime el lllumllo 'iObrt- 1:1 barta?a.:! encrg(a <,c disipa durunlc In ca IIS I6n·' ' 76 ••• Repetir el problemn 74. , uponiendo que III coti~ i6n entre la biq y In p:\rtfculn es eI:htiea, •
77 •• I Unn medll de bicic1elU está montadtt en ~I punto de un eje de 50 cm de lurgo. El neum(ilico y In Han!:1 pe....'1n JO N Y 1.1l'Iedio tiene un radio de 28 cm. LII med:1 \e hllce ginlr 11 12 re\'/~ ) el eje -.e entollces en una po.,ición horilOntnl con uno de ~us extremos Ibcan()bre un pivOIe. (a) ¿Cuál es el momento angular debIdo al giro ~ \i mi'!I\Q dc la meda" (Con~idére<,c que h, ~eda el> un uro.) ( b) ~Cuál C\ la \ e~ nngu lnr de precesiÓn? (d ¡,CuántO tiempo h:l de tranM:umr para que cl e,tt reco. rro 360" alrededor del pi\'ote'! (ti ) ¿Cuál e~ .el mOI~,e I110 ungular aMX:iado C(lQd movimiel11o del centro de mlll>:t$. c..' deCir. debido 11 la prece~ión? ¿En tpIf dirección aClún este momento angular?
c::
o lb
•• 1 • • ,.
B
Figura 10.51
•
Un disco unironnc de :2.5 kg de masa ylidio 6.4 cm se mont:! en el centro de un eje de 10 cm y gira MJhn:. si mi~ l 700 rev/min. El eje se coloca luego en un:! pmiciÓn hori...ontal con un t lll'tllKl dc:.c u n ~ando !.Obre un pi\ote. Al otro extremo '>C le dn una \ e!ocidad horilOlbl inicial de modo que lu precesiÓn es sU:!\'e sin nuwción. (aJ Hallar la \'C~ angular de precesión. (h ) ¿Cuál es la velocid¡¡d del centro de ma~ durallte b precesiÓn'! (e) ¿Cuáles son el módulo y la direcciÓn de la acclernci6n del ct1Ilm de masas? (l/) ¿Cuáles son las componentes lenical )' horiLOllIal de la flXtD ej~rcidlL por el pivot~'! 78
M
••
SSM
I
Problema 72
73 •• SSM Una barra uni forme de longitud LI y masa M = 0.75 kg se sopona con una bisagra en un extremo y puede gir¡¡r libremente en el plano \'enical (figura 10.52). La barro se libera desde el reposo en la posiciÓn indicada. De la biS:lgra pende una panfcula de mas.'1 m = 0.5 kg en el cxtremo dc una cuerda de longitud Lz. Al producirse el comucto, la punícula se :ldhiere:J la barra. ¿Cuál debe ser la rel:Jci6n r"¡t l para que 8mb = 60" des pués de In coli· sión.
Problemas generales 79 • i ,/ Una panícula de masa 3 kg ~ mue ~"OII I(Joci,;b,j \' = 3 mIs i u lo largo de la linea:: = O. )' = 5.3 m. (a) Detennil\.lr IOmtnlO. lar L relativo al origen cuando la panícula cslá en el punto x ,.. _ rn. y '" 5.311 (b) Una rUCrL(I F = -3 N i se aplica a la panículu. Dc!tcnnin:lt I cido por estu ruertu respecto al origen.
""oto"""
•
•
80 • I El veclOr posición de una parucula dado por r = 4i + 3r1j . en donde r se c."presa en mClro") I minar el momento angular y el momento que actúa :>obre l. al origen. •
M •
•• •
O'
• ...;0.-".
Figura 10.52
•• •• ••
Problcnms 73-76
•
74 •• I Una burra uniforme de longitud ti = 1.2 m y de musa M=2.0 kg. está sujela por un extremo ti unu bis:lgru de tal ronnn que puede girar en el plullo IIcnieal (figurll 10.52). La bmT.l. iniciulmcnte en rcpo~o e/l la posición de la figum . ene. Un:! paniculu de musa /1/ cuelga de \lila euerdn dd· gnda de longitud I"}. = 0.8 m de la mismu bisugm. La pan(cula cmmdo choca con la burro se engnncha :1 clln. Dc:spu¿~ de la colisión la harr,¡ sigue ginmdo hu!S1U rormur un áng ulo I:J = Ot~~ = 37". «(1) Culeulnr /11 . (11) ¿Curlntíl encrglu se disipa dura nte la colisiÓn?
7S •• Una bnrrJ unironlle de longitud l., '" 1.2 m y de masu M -= 2.0 kg . está sujew por un extremo !l unu bi ~ugn, de lal rOnlla que puede girnr en el plano vcn icnl (fi gum 10.52). Con un nmnillo :;e golpea lu bum¡ dñndole unn vclocid¡¡d angular iniciul que le hnce iniciar la cald;¡. Una paniculu de m:t.'Ul m está colgadu de una cuerda delgnda de longuud I"}. = 0.8 111 dc In m; ~mn hh.ngrn. LA pnrt(culn cuando choca con la hurro J;C engunch:1 a dla. De.~pué.<; de In coli-
81 •• I Dos p..'llinndores sobre hielo t"Ogidt" en conjunto dando Ulm revolución en 2.5 s. Sus masa~ $On ~' sep¡¡mdos 1.7 111. Dctenninar l ll) el 1ll0 l1lCntO angular dd ' centro de masas y (b) la energía cinétk a t{)(ul tit'l " i~lcma.
kg \'t(U mdo<.. Dettr· ula res~'t}
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lIud Um lt 82 •• SSM Una bola de 2 kg :lIud:l a un¡¡ cuerda ¡j,: 'nil." (6gtn mueve en UllB circun fercn cill horizontal como un pendul nosuvqutd 10.53). WI cuerda rOnlla un ángulo 6= 30" con In \'cnicnl. lul momento angular de la bola respeclo al punto d~ 'Opom' l' tI un3 componeme horizomul dirigidu haciu el ccntro dd círcu lo. usí eQlI1ll U¡..! coll1(lOll(l1lt \'cnieal. y delenninar l-US \'3lores. (b) Dctenninur d módulo dI" ,IJ..;J/ ~ ~~ tr:tr que es igual ni módulo del momento cjcreido por lu gl"JlCiiaJ ro(ltl-lI.' puntO de ,opone.
1.5
tII
'2 kg Fig ura 10.53
,• • ••• •
•
Prohlt:mu 82
Problemas Unll rn:l\n m ~i Hlndu ... ubre IInu ~u l>crficlí: h . • • onwntul ~ m rtl" ,) , ,",et:! II unn cuerdu (Iue ">C am)Ua alrededor d ,~ . ~t" e" e un poste cllfndri ¡t¡IC ., modo que cuando ,e pone en IllU\'ill1iellto sigll' . eo crucsI. ul.' . e unn tnlyeClona en • 1~:lCill tlent!\}, (a) ¿Se Cu, (C' 1 (I velocidad de In m"" 1" ...... 'lfr\J ~ ....,... e", 1'0 cunndo lu ..... . . .1 'e In euertl:l e$ r, ¿cuul sero 'IU \,elocid(ld euundo I 1 . k"tlillUU u _"'') n ollgltud de !tI \~ n(lllrnlllndu sea n,;. .
I
311
dis¡;O:, M: ue:licncn 11 una disl:mcill de 0,6 111 del cJI! centr.LI. ¿Cuál ~rá el1!onee.. la velocidad ungular del ci lindro? ¡,Cuánta energf3 einéticlI "C disipa en el rozaIIIlento c nt~ lo!> di<:cos y 111 pared del cilindro',
R
"e
l,tI m
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• • La figuro IÚ.5-' •mllcstnl , un tubo cilíndrico hueco 1Il1l.';tI ,,' , 1on.• L, ,lomenlO de lIIerclll ML-/ IO, Dentro del cilindro ~e ...•• " t:ucntr-,ln . dos tltw .. , .~~ U" •• " _, ,~a ' m. ..c par:ldo~ una dlSl1I1lC13 1 y atados a un "" '""0 1 • , ¡I~ .. '¡ eentrn por _I~ delDuda. El sl. ~ tenm' puede gIrar ulrcdedor dc un '·, ·c "~ ,,, · c 1 • \Ift2(lltr.... ~ , ~ ~ ... "I a u tr.\\',,"~ "'" CtJando '"v, 1,..'":· e ue'UUS(IU _. Jdcl1u.... ' . t.'I_.SISlemn, gtr.t' con . In"\'elocldad. all"ulur ~ e ;¡anti~r. I\l~ dIMo't».¡oc rompen :' UbIlUI1l~ IU C , Obtener 11\." expreSiones corres__1 ni ..... J la \clocldad nngul:tr finnl )' (1 Ins cnergf:t\ inicial y ¡inlll dcl SI.' S_ I_I~ , . JtO)I. SUI 'n:¡ue 11'1:. parede:. 1IIIenort." del ci lindro carecen de rOl.llmienlO,
S4
m
0,4 m
Figura 10.55
'1
Problema 90
L ---
1_1
Figura 10.54
91 •• Se dispone de un disco pesndo de ml!wl (p:lrecido a una moned:L grande) como se mueslra en laClgura 10.56, de 0,500 I..g de mll"U. de 0, 125 m de radio y de un espesor despreciuble. Se coloca el disco en un3 platufomUI giratoria. que consiste en un cilindro macizo estrecho de 0.735 kg de masa y 0,250 tIl de rndio (Iue gim alrededor de un eje que pasa por ~ u eentro mediante unos cojinetes que no producen rozamiento. Se imprime al disco un movimiento de rotación alrededor de un diámetro del diM:o y en el centro de la platafomla. Al hacerlo, se mantiene 13 plutafomlll J>ujcta, pero inmedi3tamcme se la deja mover de forma independiente, El disco tiene una vc10cidnd angul3r inicial de 30 re\'/min. (lI) Si el disco SI! par:l de tal fonnn que su eje de ~ ime tría coincide con el eje de rotación de: la platafonna, ¿cuál e... la velocidad Ilngul:tr final de la pl3lafonna1 (h) ¿Cuál ser:! la velocidad angular finnl si cuando se par:l el eje del disco cSlá a 0. 10 m del eje de la plataforma?
Problemas 84-88
as ••
Repetir el problema 84 suponiendo ahora que existe rozamicnto (Il(Ct lo<. dl'iCO'i Y las paredes del ci lindro. Sin embargo, el coeficiente de roznIIIItIlIO no e.. ~u ficiente pnra evitar que los discos alcancen los extremos del riltm. ¿Puede determinarse la energía final del sistema sin saber el coefimte de rozamiento cinético?
e
•• i ./ Supongamos que en la fi gura 10.54, = 0,6 m. L = !J) In. M 0.8 kg Ym 0.4 kg, El siSlema gira con la velocidlld angulnr w. de ¡¡J modo que la tensión en la cuerdll es 108 N juSto antes de que se rompa, Dtttlminar las velocidades angulares inicial y finlll, asf como las energfas initi¡] y final del sistema. Suponer que las parede.o¡ interiores del cilindro carecen de rozamiento, 86
=
87
=
•• Detenninar en el problemlL 84 la velocidad radial de cada masa
Figura 10.56
ProblelUtl9 1
JblO illItts de que alcance el extremo del cili ndro.
•• Con los dlLtoS numéricos del problema 86. suponer (llIe el coefi C1tnte de rtl7.amiento entre las masas y las puredcs del cilindro es tul que lal> "'''''s dejan de desli7.atSC 0,2 m ante." de alcanzar los cxtremos del ci lindro. Detmninar hu¡ \elocidades angu lares inicial y finol del sistenlll y la energfa '-!pida por el rozamiento, 88
89 •• SSM La segunda ley de Keplcr establece (¡ILC el radio veelOr tkl Sol a UII plllneta IxJrre áreas iglla/es e/l tiempos iguales, Demostrar (Iue estu le) resulta directarneme del principio de conservaci6n dcl momento angular. ~ en cuenta además. que hl fu erl.3 de atracción gravitatoria entre \In plu· Dftt ) el Sol actúa u lo ¡urgo de la lfnea que une los dos objetos celestes, 9Q •• La figura 10.55 lIlucstra un cilindro hueco de longitud , 1.8 n~, Illl$aO,8 kg Yradio 0,2 m que pucde gimr libremente alrededor de un eje vem-
CII que pasa por su centro y es pcrpendicul:lr al eje del cilindro. l)entro dd ClILGdrq hay do~ discos dclgados de 0,2 kg cndn unOconectados a ,endos muelb de ".....,"~tanle . ". . m• El sistemn alcanlll de fuer/A le y longItudes nntura 1es O' ,'i lila ~e1ocidad de rQtaci6n de g rad/s con los muellL!S bloqueado.'; de ~odO que ~ ¡t¡-d,n alargllISC, Los muelles se dcshloque:an entonces súbLtamcnte. Iltt..cto 11 m/JUniemo que cxperime:lllall en la pared intema del cilindro. lo~
92 •• (a) Suponiendo que In Tierra ('-.\o una esfcrlL homogénea de mdio r y maSll 1/1. demostrnr que d periodo T dc la rolllci6n lert'C.';tl\! alrt:dcdor de \u eje está rclaciormdo con el radio por l' = 11r. en donde b = (."5) nml L y es d momento angul:lr de espín de la Tiert".I debido:l ~u rotaci6n. (bl Suponer que el rndio /" camhin en unu Cllntidnd muy pcque:ñn 6 r debido :L algtln efl.:(;to imemo, como 1:\ dilatación ténnica, Dcmos-trnr que el cambio frnn'Lonal en cl lX!nodo 61' \'iene dado uproximndlltnClllC por 6TH = 2 6r1r. Sugt'frllcil.l: Uti/i:'llr /IIS dijt'rt'Ilcitlles dr )' dT como II/Jroximaf'iollt'j dI' e:;IlI.~ ",(jg "'lrllll'~, (e) ¡.Cuñmos kil6metros tcndrfu que expunsionllrse ItI líerr:l pam que el pcnodo cambml-C 0,25 dfas/año, de lIIodo que lo~ año~ hi ~ i cst oJ, no fucntn nccesurio!oi? 93 •• SSM Lo direcci6n del eje de roltLción de 111 TiCI"'1 no c!ol:t lija en el c~pacio. sino que se mueve cn un círculo dc radio de :2)a con un I~rindo de 26000 allos. producicndo lo que \C conoce con el nombrc de J1rcec~ 1I511 de los I!quinocios. Por csla ralón la eqrcllll polnr !\CtLlal Polar" no:-ero In l· ~tn:11 11 polllr indelinidmnentc, 1...::, Tierro es un ~ i rchcopo gignntc. con un momCn!ll cjcrd do por el Sol y por In Lunn ~obn: cll:! . OIIcI,LllLr un ,n~or nproxullndo 1~;lnI c.~!C momento. sahicndo que el periodo de rotnclón de la r.clT'.I e~ de I d18 ) quc :.\I momento de inercia e~ 8.03 x IOQ kg·m!.
3 12
I
Capítulo 10 Conservación del momento ang ular
94 •••
•
La ligura 10.57 mu t:~ lra un ci lind ro hueco de II1I1"a
I
\/ .. 1. 2 19 Y longllud
t ""
1,6
111
que pu\!dc. ¡ im .. libremente alrcdl..-dor de un eje
vcrtical que p,hn ¡X'I' '<11 cent ro. En '11 intenor huy dns di ~cos. clItlU uno de IIUlMI '" = O," kg. qut.: cSI:'Ín !Iludo, ¡j un \'tI~lUgo l'cr!lr:ll por una c:ucrdu delgada y ¡,cpm,ldo, pt,r ulla di~ln n c¡u 1 '" n,s m. 1..:\ cucrdu loe rompe ~ i 1 1Ilcn~j 6n c!(ccdc 100 N. Panicndo dd rcl>0~{) "c UJlIiClL un momento ni hblcnlll hastu que In cuerda -.c rompe. {So.: .. upone que [o:> d i~co" ~()n punlUlIlc,")' el nidio del ci lindro C~ desprcciuh1c.:.) [)clcrminnr el Il'llb:uo I\!uli mdo hn ~tn ese ¡n ~ lunl c. En c<.e momento dCJu dc UpliC:IJ"',C el 1ll0IllCIII¡)' M: supone que In:. Imn.:dcs del cilindro ClH't."Ccn de 1'0/1I11\icIIIO. Obtener UM cxprc ~ i 6n paro\ In \'clocidud nngu lnr del ~ i ' l cntn en runci6n dc x p:lra ,\ < U2. ",iendo .\ In di ~ t nnciu CIIln.: c:ltln disco y el v{htago cClIlml.
96 ••• RClletir el prt'lblenm 9.\ con el radio del clhndm hllC en ugar de maSlLS PUntUIllh. 111 97 ••• SSM 1":1 Iigu"1 1058 1Il1U!.. tm ull n polea fomlllda ........ ' ,r . ..... U1\~ uniforme , del cUlIl pende una cuerdu ~'lIda, La c lrcunlcrc:ncilllle la ~t\, 1,2 111 )' ~ u mU!\:1 de 2,2 19. 1"':1 c uerda t1cT'I.e 0.8 m de hmguud y ..u R13\a to..! en el inslllntc mostr:ttlo e n ltl fi gum. el !>I~tcmn es t:! en repo \O y la difert1\ci¡\r a hum de lo" do~ extremO'< de ln cucrd~ es 0.6 rn. (a) ¿Cuál c, la angula r de lu polen cuundo In d lferen<:1ll de ah ura entre lo-. e~trcrtlo\ cuerdu c~ de 7.2 m'.' ( b ) Obtener unn expresión pam e l momento angUlar: ~ tc mu e n fune i6n del tie mpo. prc~indiendo del ca'iO en que cualqult(¡ de"" c,o; trclllos de In cucnlu c~tá pul' cncima del centro de In polea. No ha) ~ mie nto e ntre In c uerda y In polen.
\tlo..":
1.6 ni
'" . _.~I'"
..
c= 0.8 m
- .
,
._--
0.6 In
Figura 10.57
Prob le mas
94- 96
95 ••• Delermi nar en e l problema 94 lo velocida d angular dé! s istema jmilamentc antes y des pués (lue los discos puntuales pasen por 10$ extremos del ci li ndro.
Figura 10.58
Pro blema 97
GRAVEDAD
Capítulo
11 .1 Leyes de Kepler 11.2 Ley de la g ravitación de Newton 11.3 Energía pot enci al gravitato ria 11.4 El campo gravitato rio 9 *11 .5 Cálculo de la ecuación correspondiente al campo gravitatorio de una corteza esférica po r int egración Una P r¡cna ve pasar la Estación Espaciallnternadonal (EEI) por encima de su cabeza mientras h~bl¿¡ mn un amigo con su teléfono móvil desde la azotea del edificio de su apartamento en la ciuddd de Nueva York durante una noche serena de otoño.
¿Cómo usamos nuestro conocimiento de la gravedad para determinar cuál será la próxima vez queJa EEI pasará sobre su ciudad? (Véase el ejemplo 11. 3.)
Lafuerza gravitatoria es la más débil de las cuatro fuerlas básicas. Es despreci able en las interacciones de las pan ícul as elementales y, por lo tanto, no desempeña ningú n papel en el estud io de las moléc ul as . átomos y núcleos. La at:rncción gravitatori a entre objetos
de tamaño ordinario. tal como la que ejerce un edi ficio sobre un automóvil es demasiado pequeña para ser observada. Sin embargo. la gravedad es de importancia capitul cuundo consideramos las inleracciont!s entre cuerpos de tamaño astronómico como planetas. sa· léliles y estrellas. La fuer.w gravilaloria que la Tierra ejerce sobre nosotros y los objetos que nos rodean es una parte funda mental de nuestra experiencia. La gravedad es la que nos liga a la Tierra y la que mantiene a los planetas. incl uido el nuestro. den tro del sistema solar. La fuerLa grav ilatori a juega un papel importante en la evolución de lus estrellas y en el comportamiento de las galaxias. A la mayor escala que podemos imag inar. la gra· vedad controla la evolución del uni verso. Durante la época de Newton. muchos creían que en el vasto universo In nalurale1.a segura reglas distimas de las de aquí. sobre la Tierra . La ley de NewlOn de la gmvitación universal y las tres leyes de la dinúmica, moSlmron que la nULUrnlcza sigue las mismns rcgln.. ;; en toda~ panes: esto produjo un efecto profund o sobre la visión actual que se tiene del uni ver,.;o. ... En este capítulo usnrem os Ins h errmnicntns qu e nos prollOrciollll n 111 co nser Vll ció" d el mo mento a n gular, lus leyes de Newlon d el m ovimi ento! Y In ley de Ne~vtoll de la gravitación parn pred eci r el m ovimient o d e los phmet.lls y d e los a t.ros obJctos celestcs, incluidos nquellos obj etos que nosotros hcm os en\'uulO ni CS p IlC IO.
314 1 Capítulo 11 Gravedad
11 . 1 Leyes de Kepler El cielo nocturno. con :-o US miríadas dC ,cslrcll¡L.. y sus planctllfo,
bri l1antc~. ha fil.\Ci nadof
'
prc a la humanidad . Hacia finn lc~ del siglo ~V1, el aSlró.nolno Tycho Bl'ílhc eSludiólO!, ~
mientos de los plane¡as e hi1.O observaCiones cons iderablemente má" exacta\ ~l rea lizadlls previamente. Util izundo lo!t dalO!> de Brahe. Johun~e!. Kcplcr. dc.~ ubrió qUe ~ tnlyectorius reales de los pluncta... nlr~dcd~r del S~l eran el,lpses (f~gum 11.J ). T~ demost ró quc los plunet
Mode lo mecánico del SiSICnl U .~o lar. denominado planetario. de In c(1lccci6n de Instnum:ntos ciCl11ílieos históricos dc 111 Ull ivcrsidud dc HlIrvurd.
Todos los plllnellls se mueve n en órbitas e líptica.... con el Sol situado en un fOco.
ley 1
Una elipse es el lugar geométrico de los pumas cuya suma de distancias a do ... pUntos Itanu. dos focos F es cOllslunte (figura 11.2). L1. fi gura 11.3 muestra una trayectoria clipticade ll planeta con el Sol en un foco. La órbila de la Ti erra es casi circu lar: la diMancia al Sol en d perihelio (punto má!\ próx imo) es de 1.48 x 1011 m, y en el afe lio (pUnlO má.... lejano) d~ I,,\. X IOn m. El semieje mayor. que es la semisuma de estas distancias. vale 1.50 x 1011 mpar¡ la órbita terrestre. La distancia media Tierra-Sol define la unidad astronómica W A):
TABLA 11.1 Radios orbitales medios y perio-
dos orbitales de los planetas Radio orbital medio r (x l0 I om)
Planeta Mercurio
Periodo T (años)
5,79 10,8 15,0 22,8 77.8 143 287 450 590
Venus
TIerra Mane Júpiter Salumo Umno
Neptuno Plutón
0.24 1
I UA = 1,50x 10 11 m = 93,0 x 106 mi
0,6 15 1,00 1,88 11 ,9 29,5 84 165
(1 U,
La UA se uti liza frec uentement e en los problemas relac ionados con el ley 2 La recta que une cualquier planeta con el Sol barre iguales.
248
~ish.: m
á rea~ i ~
La fi gura 1104 ihlslra la segunda ley de Kep ler, o la ley de las jreas Igl> mueve más rápidamen te cu
misma ¡¡ lo largo de toda la órbita. Esta ley de las áreas iguales está relac,,' ¡' conservación del momento angul ar. como veremos en la sección próxiltl
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Marte
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Ln planetl ~ lejos. de !JI tiempo e- b ¡;on la 1e)"¡J
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',Mercurio ' ' " Venus
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00-
o
Plutón
Figura 11 . 1 Órbl lalo de los plallclas alrededor del Sol.
-.
Figura 11 .2 Una cl ip~e es el lugar gcomctlir.:o de II\~ pul1Ul'or-' 1os ella 1es r t + ' 1 = constal1te. 1..:1 distnm;ia ti C~ el ~·I'f/ll(JI· I\''''~ el semieje mel/or. Una dip:.e puede dihujar<:c (:011 LLlID eu<'rd,I lijando cada extremo en un roco y utili¡:llld{lI,1 rolll\l $U13 ~ liip¡;t~ El cfrculo Cli un Cil:'O c~ l>cci :1 1 en el qlll" lo' dll' 1(\1.,\1' coinciden en un mismo pUlltO.
"
11.1 Leyes de Kepler
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Sol
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ur3 11 .3 RI.'Conido !Jlfpt il'o de un plallcta con cl Sol Fi9un 1': 1puma P. ,Ionde el planeta está mós cerca del ~ '" lI.wlJ. perihelio y el pUllto A, donde cstá más lejos. . 1'· 1;1 Ji,tllnd¡¡ O1I..'tIia entre cl planeta y el Sol. que se ~c_~· -'111<111': + r . .n · II " /I';' , es Iguu ;¡ senllCJc mayor titilO( ~ v p •
rt"'!.
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Figura 11.4 Cuundo un phmelu estIÍ próximo al Sol, se mueve más dcprhm (Iut! cmllldo está más lejos. LlIs lÍreas barridus por el radio vector en un intervalo de tiempo determinado son iguales.
I.:uadmdo del periodo de cUlIlqui cr planctll es proporcional al cubo del semi eje órbiut
1..1
que" media c.' Kepler l'
ley de Kepler rehlciona el periodo de un planeta con su distancia media al Sol, al semieje mayor de su órbita elíptica. En ronna algebraica, si r es la distancia un planew y el Sol y l' es el periodo de revolución del planeta, la tercera ley de i,leec que ·,1
(1 1.2)
mdoooc IJ constante e tiene el mi smo valor parJ todos los planetas. Esta ley es una consecuencia ,imple del hecho de que la fuerL.a ejercida por el Sol sobre un planeta varía in"ersa· treflte COfI el cuadrado de la distancia del Sol al planeta. Lo demostrarcmos en la secc ión siguiente para el caso especial de una órbita circul ar.
EJEMPLO 11.1
I
Órbita de Júpiter
La dislllllcia media del Sol a Júpiter es 5,20 UA. ¿Cuál es el periodo de In órhita de Júpiter alrededor del Sol?
Planteamiento del problema Utiliwrcmos la terccm ley de Ke~ler para . relaeioll,ar el
e
periodo de Júpitcr con su radio orbital medio. La constante puede deducIN;e a partlf de In distan· cia Il'\(dia al Sol y el periodo de lu Tieffil. que son conocidos. Pam la TIerra Tr = 1 uña y rr = 1 VA .
Para Júpiter rJ = 5.20 UA y llamemos 7'J a su periodo, 1. Lu tcrcer.¡ ley de Kcpler relaciona el periodo de Júpitcr 7'J con su dis· tancia media al Sol, rJ: 2. Aplicar la teree ....l ley de Kepler a 111 TIerra para dcterminar ción de Tr Y r1:
e en fun Ti -Tf
1 Dividir las dos ecuaciones, eliminnndo C. y despejar TJ:
-
rl -r.f
por lo [Unto
'f'J =
TT(~r
= (1
'ocio de las órbitaS de 1:1 Tierra. Júpiter, ---=rvacl6n En la figul'"'J 11,5 se reprcsentan el pen . ) I ' 0<10 se rellre.~enlll en s..",.,• Uruno y Neptuno en runclón ' d' '. odia al Sol En (n e pen de la Istancl,¡ me. . ,1 'nodo:tl cllndnldo resfunción de la di5tanciu media al Sol mientras que en (h) M! rcprc~nta e se alinenn en unll [fllcn PlQo la !erceta potencia de la dislancia media al Sol , En eMe cnso os pun . .
N...__
.....
t:
ai\O)e,~~~A)JJ2
= !II ,9años !
I
315
I
316
Capítulo 11 Gravedad
25O
Plutón -
".
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200
'-,.
~
•
'::: 150 ~
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o 100
"8 '0
v
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Mercurio Venus Tierra
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10
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20
10.000
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Tierra
Júpiter
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./
15.000
"8 '0
./
'O
jj
:eo
Urano
Marte
O O
25.000
..,••, 20.000
Neptuno
o
'-,.
o ~
/ -;;;-
Neptuno
30.000
"
JO
35
Urano •
Júpiter \ ./ ~ Saturno
'.000
40
10.000
15.000
20.000
25.000
" .000
Radio orbital m edio al cubo, (UA)l
Radio orbital medio, (UA)
(b)
(a)
Figura 11.5 Ejercicio
El periodo de Neptuno es 164,8 años. Calcular su distancia media al Sol. (Resplles1lI:
30.1 UA.)
Ejercicio Si se representa ellogarilmo del periodo de la TiCrT'd, Júpiter, Salumo, Urano y Neptuno en función del logaritmo de la distancia media al SoL todos los pUnlOS se sitúan en una c urva. ¿Cuál es la fomla de esa curva? (Respuesta Una línea recia)
11.2
"
"
o (a)
Ley de la gravitación de Newton
Aunque las leyes de Kepler constituyeron un paso imponame en la com asió" de los movimientos planetari os, en realidad fu eron s imples leyes empíricas obtenic.t, partir de bs observaciones astronómicas de Brahe. Fue Newton quien dio un paso de gi ¡I! al atrip.ur la aceleración de un planeta en su órbita a una fuerl.a ejercida sobre él po Sol. Ne\\11l! demostrÓ que una fuerza que varía en razón inversa al cuadrado de la distar nlTe el Sol )' o adern~ \.! un planeta era la causa de las órbitas elípticas observadas por Kepler. Newl\ ~ erso. ADt~ atrev ida hipótes is de que tal fuerl.a existía entre dos objetos cualesquiera d en la 1iern de Newton ni se aceptaba generalmente que las leyes de la física obser postula qtX' fueran aplicables a los cuerpos celestes. La ley de la gravitación de I\ e producto Ik ex iste una fucrl.a de atracción e ntre cada par de objetos que es proporcioEl :cia que [os las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de la l'i posiciones separa. Sean 11/1 y fl/2 las masas de las partículas puntuales I y 2 (situadas r l Y r2' respectivamente) y sea r u el vector que apunta desde la partículD 1 la partícu13 ~
(figura 11.6a). La fucrl.a F I •2 que la panícula I ejerce sobre la p
(1 ¡,JI
F2; 1
(b)
Figura 11 .6 (a) Partfculas en r l Y[ l ' (b) U¡S partfc ulus ejercen fuenas iguales y opuestas una sobre otra.
LEY DE LA GRAVITACIÓN [){ NO\'!O'
donde 1- 1,2 = r l.2Ir l.'2 es el vector unitario que apunta de I a 2 y G es IUl:onsl:lutrdt' logrt" vitación universal. que vale G = 6,67
X
10- 11 N, m 21kg 2
(II JI
De acuerdO con 1a tercera ley de Newton. la fueral 11'., I ejercida por 2 sobre I e." 1Il 'f\nue~111 T ~ la fuerl.a 11~ 1.2 (figura I I .6b). El módulo de la fuc rt.a g-~"ilatoria ejcrcid:.t por \lOll p:lrm·ul•
masa m i sobre OIr1l partícula de
mnSll "'2 n una
distancia r viene dadn por
11 .2 ley de lagravltadón de Newton
I
317
( 11.5)
ublicó su teoña de la gravitación en 1686 pero hubo que cspe rar un slg " 1o para que • . ' ~a\'endish, como veremos en la slgUlcnte sección, detcnninnsc experimentalmentc con 'Iitud el valor de G. <':l<61valor conOCI"d o de G puede utlTIzarse para calcular la atracción grav itatoria entre dos objetoS ordinarios. 1'1,'.1'1 0n P
'erddo Determinar la fuerza gravi tatoria de atracció n de un jovcn de 65 kg Y El . muchacha de 50 kg separados 0,5 m. Suponer que sus masas son puntuales una 0 7N). " (RlSp/lCJUl 8,67 x I jcrcicio demuestra .que. la fuerla gravitatoria ejercida cntre sí por dos objetos de dinario e.., > eXlnlordmanamente pequcña. Para comparar, un mosquito pesa aproxile 1 x 10- 7 N. El peso de una persona de 50 kg es de 491 N, es decir, 500 millones Jpenor a la fucrLa de atracción calcu lada en el ejercicio. La atracción gravitatoria apreciarse fácilmente cuando al menos uno de los objetos es extraordinariamente .¡tracción gravitutoria entre la muchacha del eJ'emplo y la Tierra es considerable. masiliO Par: llprobar la validez de la ley de la inversa del cuadrado de la distancia correspondiente lUerla gravitatoria, Newton comparó la aceleración de la Luna en su órbita con la ilCt:lcr
( 11.6)
Si ésta es la única fuerza que actúa sobre la partícu la, su aceleración es F
( 11.7)
a - - 111
Para objetos próximos a la superficie de la Tierra, r = RT Y la aceleración de caída libre es g: ( 11.8)
g =
Li dislancia a la Luna es aproximadamen te 60 veces cl radi o de la TIernl (r= 6ORT)· Sustituyendo en la ecuación 11 .7. resulla a = 8/6&, de modo que In acclernción de la Luna es. s~ órbita casi circu lar e.<¡ la acc lenlc ión de caída libre g cerca de la superficie de la TIerra dl\f l,IIIda por 6 u di stancia con~ lda desde el Ctntro de la1ierra, r =3.84 x lOS 111 Ysu periodo. T = 27,3 dlas =2,36 x 1()6 s. 4,,'(3.84 X ID' m) = 2,72 X 10 (2nr/T) 2 _ 4n2r r T' = (2.36 x 10' s)'
3 II1 /S 2
Por lo tanto,
11.. "e
=
~.;92!.8!.!,I-!!n~,Ic-S':-;:;2 = 3607 . 60'
2,72 x 10- 1 m/s
,,~
.. . mant ener la Luna en su órbita con la on diJo: "He comparado la fueral nccesana pam ' b "" fuer. . I r~ sultndo es bastante lleno . Q graVitatoria sohre la superfi cie de la Tterrn y e c.:. ~rcullls punlUules en el La hi.............· ed -. 1 lmtaI"SC como pa.. t'k;q ~I~ de que 18 Tierra y la Luna pu e l entrn lejos de la TiCllil en lo de la fucl7.8 'KJbre la Luna es rJLonable. puCo"> ésta se encu
Visión de In Tierra tomada el 16 de julIo de t%Q desde el l\polo 11 en \ U6rbtlll alrcdool'l de la Luna.
318
I
Capítulo 11 Gravedad
l:Ul npllnlci6n (:on los nldiol' ¡errc... trt: O lunur. pero ~M~I hiPÓ.h.: ... b el' cucslionablc CUa Ilplicn ti In fucrl.l.I cjcn.:ida por la 1icrra ,>obre un ob.lct{) pr6x lmo a \ U ~upcrficie. De\ lid(¡ It un csI'UC!?() con... idcrublc.:, Newtun consigui~ probur que la tucrl.ll ej~rcidn por 1111 ObJ: de simelría esférica ~obn.: UIIII IllHI'U punnllll "'lllIada ~obrc. su ,> upe rliclc o cXlcrionnen¡e ~ mi:-lII11 que tcndríu si loda la 111<1"U del objclo cSlllvicn.I conCentrada en <,u CCntro. La , t\ ~ cx ige el cálculo integrul que NewlolI dc.... arroI16 pa~1 rc\ol~~r eMe proble~a. Pnlc:4 COIll~ .R = 9.81 IllJ~1 se n~idc ~lÍcilmcl1t~ y el md,lo de In Ile:rn cs cO~OC,do, la ccuaciórJ 11-\ puede LIt! hl.llrse par:! dctcrrTllnar el valor del producto CM,. Nc:-vton eSlIllló el valor de Ga ¡ir eh.! unn cstilllUción de la musa dc IJI Tierra. Cuando Cavencl!sh determinó G une», cien ~. ml'Í.¡, tarde: n}idiendo la fllcrl.u ent~~ pcqut!.ñ:l~ ~sf~~I:" ,de 11l~1!)¡¡~ y sep~lr.tci.ó n conOcidas,:': que el obJctlvo de su Ilplln.110 era pcsur 1.1 Tierra . Sabe r d valor de G eompon:1que determi narse la lIlaMI del Sol o la Illa~a de cunlquicr planeta con sus smélites. El mélodo~ calcularla se dc....cribc en la sección 11 04 .
EJEMPLO 11.2
I
Cayendo hacia la Tierra
¡,Cuál es lu IR't'lcmción en coída libre dc un objeto n lu altura de la órhita del IraR,!;bordudor cspachtl . unu.~ ,,*00 km por cncilllu de la supcrlicie terres tre'!
Planteamiento d e l problema 11.6 con l ' = Rr + 400 km.
UI rUeíl.:l de atnlcci6n gravitatoria viene dada por la ecuación
1. La acclel1lción es ( 1 = Flm, en donde F vicn\!. d.lda por la ley de la gm" iluciÓn de N~wto n : 2. La dislancia r ~ tá relacionada con cll1ldio de la TIcrm. R." y la ahum h;
3, La acdcrución es. por lo tanto;
"-
F m
-
r = RT+11 = 6370 km + 400 km = 6770 km
"
GM ,. _ (6.67 X 10- 11 N · m 2/ kg 2)( 5,98 x I02J !..gol ,2
-
(6,77 X 106 mF
=18.70 mis' 1 Observación Ésta t!S también la aceleración de los astronautas del transbordador "en estado de ingl1lvidez" cUlmdo aceleran en MI órbi ta circular.
Equilibrio
,,••
•
Posición de
Fibr
Iequilibrio
•
• POS[CIl'
(o)
2
(b)
Figura 11.7 (a) Dos 1>C([Uellas e."rems, cada un:1 de m;l¡;U 111:. e¡,!:'ln en los c.XIJ'ClIllh d~' un:! \'3ti~ ligcra colgada de una libnl muy delgada. Ml!didus cuidndo!\,l¡S detl!nninan clmQIllCII((l ne«.' csfer.l~ gnmJólll sobre lns pequcñas. 111 fihra ginlun ángulo muy pequeño O a partir dc su po:-ición de equilibrio. ¡b)E! m,islllo ¡~para¡o "¡!>lO de.we a~ib.~. Una vel que el aparato :llc.ulI.n el reposo se ill\'i~rtcn la... pc~~~ de In .. csrern" grande... {como Illchcan IlIs trnea .. de 1r:t:I.OSj, de modo (llIe c::.tén a In Il11Snm dl,lll]\( JI. . posición de equilibrio. pero en ~llad~ opue!>lO. Cuando el apllnL[O vuel\'a nI rclX>l>o. lo fi"ro h;lhní ~~' un ~ n g ulo 20cI1 rcspucslU ¡L la IIlvcf'Su'm dclmOlllcnlo. Conocida tn COllst:llLte de wn,ióll d~' 1 9 fil'f1. , ruer"/,n~ entre In:. nLnSO¡, 1//, y m I pueden dClermillurse a panir de la mcdidu del angulo dl' !(,(~ltlll.:(fII' las lllaM\~ ~ ¡,u¡¡ sepanloionc¡, ¡,cm conocid..,•. Ci puede ca1cular..c. Cuvcndish obtuvo un \ al,lr Or LI '~ ulla ¡m.'Clslón del ordcn del IIJf res peCIO al valor hoy ucepludo y lIue " i('ne dudo por 11\ l,\-U¡¡(uI/1 11.
'1.2 Ley de la gravitac.l6n de Newton
I
319
"COl.",I,ulo rcalilCldo en 2. t' l,o,l" " mt't' . e::.IC ejemplo 1I . . . Sl l l" · . I url'lr (;M 1· a partir de la e~u;lción I I 7 En ' p C.lr<.,c usando In ecuación 11 .8 ~ c:: lIi • '. ese caso 111 aceleraci6n ti tlnl.! di<¡tancia r
"
F " /11
GM" ,2
=
R·l
"-"
(1 1.9)
" ...l¡clo de 111 sUt1Crfi dc l le 1.1 , '1"Icrr,¡ · . 111 aCCICr
~ ak lu 1I11wd del \'ulor qUl! I len!.! en el nivel dcl m 'l< r" . ( Resp"('.If{/ "
2640 km.)
•
,
~edld d e G ilen0 (
11.7. nli ~ C\
dlfícik' ¡\¡! G~
fIlmer.
.,n."
Masa
m.h~h r~l~ el pr¡:ll~~ qll~. e~l 1 79~ y lI salld~ e l UpOrlllo (lue se muestra en la fig ura 1.1const.l1llC ' I por • de . 1,1 .gmvllaclón .. ' ullI vcrsa ' l.G. L'I .' me,I,' ,I'd de G 1In M'd o rcpctl(a mCllwdorcs con eh .versas mejoras y rch naml o",o"" , T~l'o.I .", ' , ,, l.I.~.. me d I'd as d e G son . usa de la cKtraord lllana peq ueñez de la •.\tracción gravilUtoriu , Por ello. el valor ICe hoy sólo con una precisión de I l)¡Irte e n 10000 ' A"" ' I' I e G t'ue una d e 1as
.¡"tunteS físicas universales detcrminadtls. sigue siendo una de las conocida:. con .tud,
vitatoria y masa Inercial
l..l pror
,d de un cuerpo responsable de la fuer/.a gruvilatoria que éste ejerce sobre otro l-uerptl Tl l1x' el nombre de masa g /'(lvirawria, Por otro I.¡do, la propiedad de un cuerpo que mide ~u r
gra\itatoria ejercida por un cuerpo sea proporcional a su masa inercial es una caructerística Gnica que ..610 cumple la fuerJ'..a de gravedad , Una de las consecuencias es que. si se desprecia la re~i\tencia del aire, lodos los objetos próximos a la Tierra caen con la mi sma acelern· ción. &tc hecho ha sorprendido al mundo desde tiempos ya lejanos, La historia ya conocida ~ cómo Galileo demostró este hecho dejando caer objetos desde lata rre inclinnda de Pisa es sólo uno de los ejem plos sobre el interés que esta cuesti ón suscitó en el siglo XVI. Podríamos imagi nar fácilmen te que las masas gravitatoria e inercial de un cuerpo no son Iguales. Supongamos que des ignamos a la masu gravitatoria con el símbolo lila Y la masa mercial con 11/. En este caso la fu er'!.a ejercida por la Tierra sobre un objeto próxi mo a su superficie seria (11.10)
F-
rndondc Mores la masa gravitatoria terrestre. Por lo tanto. la aceleración de ca ída libre de
UIl
cuerpo próximo a la superficie de léI Tierm será (1
=
(t l.ll )
f:.
= ( GAI/ T) til o m R.y. m
Si la gravedad fuera ot ra propiedad di~tinw de la materia. como el color o h! rigidt!l.. ~c~n "'-'hl " d " d l'lle.; como la COTllI>OSI· . ,...",a e pensar que In relución me/m fu ese rUnC!On e Illnglll u ........ .' ' . Oón q r ' r t 0"1'ración de C::lfdu libre sería u nuca del cuerpo o su tcmpcntura, De esta orl1llt a "cc e I diferentt para diferente:. ~bjcto:.. S¡n embargo. el hecho experi,l1Icntal eS :L1C, ( 1, C~'6· .lIma 'c ' " lfl O mantener 1,1 dl$tlllCI 11 para todos los cuerpos. Como esle c!> el caso. no e.. ne cs. , ~ . ~Ire debe olvldnr ..c que r.;\ta c:-; uml toneln/o. Ym y podemos escribir 1110 ::: m. Sin embargo. no ' I ¡ In (llIe' !ic 11 cve ", :J {;.!bo e-1 U~t6n experimental y como t ''¡] , lim itadu por la ex ncl1t uC COI 'rie de cxperlmelltOI, " tlr....! ., . ' 6 que """mento, En la década de I58D-90. Simon StcVl1l rca hz una se .. ~ .Jo turn.........J.._ _ ' ' I~ ' mpliamcn1c. Y-.u,>contr.;mpol ilnco!> k-·.".uuamn esta equivalencia, Galileo (hfundtó esta r.;y.1 ~ . blccida tllllm cun\iderablc:. mejora~ ell la cXllclilUd experimental con que lue C\I!I ' n •
I
p
Bahllll.u gl1lvitmoria de 100.... ión utilillldlll'n Il)!'o laoor:lIorio.. de pr:1cticu . . de a lUllln o~ ¡ml1lln mcdidn de G, Una 1)C(luenll de. . viadón ,mgulnr de la tl.. lunlll origina una grun dc"'\ i;lci6n angulardd hn/ de Iá.-.cr que 'oC rcnej:¡ en el c .. pcjo de In b.1InnJ:1.
320
I
Capítulo 11 Gravedad
Los expcriment~s más precisos lIeva~l~s n cabo para ~o~parnr lu!t masas graVi¡a¡on. inercial fueron reuhzmlos por Newton uulu.ando péndulo!; slmple!
--
,, \
Deducción de las leyes de Kepler "
, \
, , I
,,
--- -- ---- -- --------, -" ,
,
,
Afelio
,,
'.
------ - --- -- -- ---(b)
Figura 11 ,8
Newton demostró que cuando un objeto, como un pl ancm o un comcta. se mueve alrededor un centro. tul como el Sol. por la ac~ión de una fu er¿a que de.pende de 1/,.2, la trayeCtoria! objeto es una sección cóni ca (una elipse, una parábola o una 111~rbo l n ). Las trayectorias J)ar¡. bólica e hipcrbólicll se llplican ¡¡ objetos que pasan una sola vez JuntO al Sol y nunca reg~ Tales órbitas no son cerradas. Las únicas órbitas cerradas en un campo de fuer/llS 1I~ elipses. Así, la primcm ley de Kepler es un::! consecuencia directa de la ley de gmVitaci6¡~ Newton. La segundu ley de Kepler o ley de las áreas iguales. resulta del hecho de ~ b fuerla ejercida por el Sol sobre un planeta está dirigida hacia el SoL Esta es una fuerza t'fI1. tra!. La figuro 11 .80 muestra un pl aneta que se mueve en una órbita elíptica alrededor del &i En el ticmpo dI, el plancta se desplaza una distancia v elt y el rad io vector barre el área ilkicada en la figura . Esta es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r\ f dt , es decir, Ir x v d/l. Por lo tanto. el área dA barrida por el radio vector r en el tiempo~~ dA =
~
Ir x v d tl = ....!...- Ir x mvl dr
2m
o sea,
lL -dA dr 2m
OI.I~ I
en donde L = Ir x mvl es el módulo del momento angul ar del planeta rc ... p barrida en un determinado intervalo de tiempo dt es. por lo tanto, propon angular L. Como la fuerla que aClúa sobre un plantea está dirigida a lo I une el planeta con el Sol. el momento respecto al Sol es nulo. Por lo tant r lar del planeta se conserva, es decir. L es constante y el área barrida el tiempo es la misma para todas las partes de la órbi ta. que es la segund¡ mismo. por el hecho que L es constante se sabe que rv sen 9 t¡unbién lo helio como en el afelio 41= 90" (figura 11.8b). por lo que r a,'u = rpllp' A con tinuación dcmostraremos que la ley de gravitación de NewtOl ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. Considcrc1n(l mueve con velocidad " en una órbita circu lar de radi o r alrededor del Sol. toria de atracción cntre el Sol y el planeta proporciona la aceleración cel1 la segunda ley de Ncwton,
al Sol. El 1m ,11al momelllO le la lInea ~ KJmento ango. 11 Intervalo IX Kcpler. Ag. 110 en el ¡¡en. 1lca la tncm fllanetll qut f( fuerza •lU'll,ltt 'lB ,.lIT. StgliI
F = M pa
GM )M p _
M
r'
P
r
cn donde M~ es In masu del Sol y Mp la del planel<\. Despejando 1,2
(1\.15
,,2
,,2
tenelllo!-
= CMS r ,
Como el plancta recorre In distnncia 2m- en cll iempo T. su vcloc idlld e~tl\ rc[llcilmat!3 (\111" periodo por
"
2 7fr
T
¡11 l'
11 .2 ley de la gravitación de Ncwton
. yendo l' por CSUl expres ió n en la ecuación 1I . 14 se o btIene ' sosutU
4 rr2 r 'l. _
T'
GM~
,
O ~;1·
7'2
41l'2
- CM r
3
( 11. 16)
>
TERCERA LEV OI KEPUR
LB tere 4rr1G! neta. Il
EJE La 1
de I (11$
qut
e
ley de Kepler duda por lu ecuac ió n 11 . 16 equivale a la ecuación 11.2 haciendo = La ecunc ión 11 . 16 se ¡¡plica ta m bién a las órbitas de lo!; smélitcs de c ualquier pla.plnzando In mnS
.o
11 .3
I
La estación espacial orbital
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
dón Espacial Inte rnacIonal se mueve en una órbita prácticamente circular alrededor r r». a 385 km por encima de la superficie de ésta. En un lugar determinado, calcular lempo hay que esperar entre dos avistamientos consecutivos de la estación. (Suponer de despreciarse la resistencia del aire.)
Pian ¡mie nto del problema Para detectar visualmente la eSl!l.ciÓn hace falt a que sea de noche y que il estoción esté por encima del horizonte de nuesno lugar de observación. Por lo tanto. el tiempo mínimo enne dos avistamientos aproximadamente coincide con el periodo orbital. Para detenninar el periodo orbital usamos la tercera ley de Kepler reemplazando Ms de la ecuación 11.16 ])OC la masa de la Tierra MT' El cálculo numérico se simplifica un poco si se usa GMT = Ri g a partir de la ecuación 11.8.
1. Aplicar la tercera ley de Kepler a la estación espacial : 2. A una altura /¡ = 385 km. r = RT + h = 6755 km. Sustituir r = RT + 11 Y despejar el periodo: 2
3. Utili7.nr GMT = Ri- g para expresar T en función de g:
T2 = 4: {RT + llp RTg por lo HUlI O T =
2 tr {RT+h )Yl
RT./i;
;7i2~Jr(,,6~.7!i5~5=,X7.I",O::;·p:mor)"';;,:;;; 2
= (6.37 x 10 6 01 )(9 .81 01 /5
= 5529 s =192.1mi"1 Ejercido l Cuántos grados gira la 1ierru durante el tiempo en qué la estación orbital da una órbita completa? (Respuesta La Tierm gi ra 3& en 24 h = 1440 minoEn 92.1 min In TIerrol gira 23.0".)
Observación La Estación Espadal Internacional se mueve en una órbiln casi circular que está inclinada unos 52" con el plano del ecuador. Si la estación esui di reciamente sobre nuestra cn~1.a en el tiempo t. 92. 1 min más tarde volverá a cslnr sobre una localidad 2 3:0" hae.i:! el ~Ie. : or eJc~pl~; Kansas City está situada 23" ni QCs te de In ciudad de Nueva York. Sl.se ¡¡VISIn In eSla~lón orbital. medianoche en Nueva York. 92. 1 minutos m!is wrde pasará por la vemcal de Kansas Clty.
Ejercicio Detennin'lT el rndio de la órbilll circular de un sl1lélite que describe un!! órbiw .ulredcdor "_ . 6 63 R - 4 22 x 107 m Si este SllIéhtc es tá en uc la Tierra can un periodo de l dfa. ( RI·.\'PII~.fta r =. T • . . TI ' 10 órbita a.lrcdedor del ecuador y se mueve en In misma dirección que In rolncI6n d~ In lerra. TCSdP": ._ él' están "n parc:ldo~ en e.~ l n ~ con lClo.. IUperlicie de In Tierm parece que e.<;lé fijo. Muchos sal ¡leS • . lIeI que se denominan órbilllS gcosfncronas.)
) 112
I
321
322
I
Capfturo 11 Gravedad
Si se sabe cuánto vale G mediante el uso de la ecuación I 1.16. 1.. medida del periOdo r radio orbital medio r de un satéli te que se mueve alrededor de un . i ydt¡ detemlinar su masa. Al eswblecer la ec uaci~ n I 1.16 se s upu s~ qu.e la masa del ¡despreciable con respecto de la masa del objeto central. E.<¡IO slgll1fica que el ohjcto permanecía estacionario mientras que el satélite orbitaba a su alrededor. En reali~ objeto central y el satélite se mueven alrededor de un punto común , su centro dc ma,~ S el masa del satélite no es despreciable. el resultado es lb
r "- --
EXPLORANOO
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4rr2
G(M, + M,l
rJ
(J l.\),
en donde r es la separación entre los centros de ambos. (Para órbitas elípticas más generar las matemáticas son más desafiilnt es pero el result'ado e.'i el mi smo). Si la masa del Slllélile~' es despreciable, como es el caso de la mayor parte de los sistemas bi narios, lo que se del~ mina es 5610 In suma de las m¡iSas. como aparece explícitamente señalado en la ecuaci~ ' ~ . y .. 11. 17. La Luna , al igual que pl anetas como Mercuno venu s, no tienen satélites n nl UTll~ por lo que sus masas no fu eron bien conocidas hasta los años 60, cuando se colocaron satélites artificiales en 6rbilll a su alrededor. Eje rcicio El satélite de Marte Pllobos tiene un periodo de 460 min y un mdio orbita! medio de 9400 km. ¿Cuál es la masa de Marte? (RespuesltJ 6,45 x 1023 kg = O. I08M l r
11.3
Energía potencial gravitatoria
En las proxi midades de la superficie terrestre. la fuerza gravi tatori a ejercid&l por la1imt sobre un objeto es constante, ya que la distancia al centro de la Tierra. r = Rr + h es ~ieHlPle aproximadamente RT para h « RT· La energía potencia l de un objeto pró,i ml' J In ~uper1icit terrestre es mgh = mg(r - RT ). en donde se ha eleg ido U = Oen la superlicic: !¡tliena. r= RT · Si eStamos lejos de la superfi cie de la Tierra, debemos tener en cuenta e 'ho de qur la fu erlil gravitatori a ejercid a por In Tierra no es constante sino que disminu:fl lil distuncU en la forma 1/r2. Ln defini ción general de la energía potencial (ecuación 6 ., dU= - F' ds
en donde F e!( la fue rza que aCHía sobre lIIUI partícul a y ds es el ele!iph17:l111 partfcu la. Pam la fuer.aI gmv itatori a radial F
~ ncrnl
G.U J dV = - F 'ds = - F r_ 'ds = - Fr dr = - ( - GM r T ", ) dr = , 1
!k L1
(lUM
r"
Integrando ambos miembros de eSIn ecuación resulta V = -
UIr)
,:
or-~:----~~~----~, :
Uf RT) + nr_~¡' t/(RT + h)
Rr :, && •
•
,o ,, ,, ,
/
Uf R'r) + mjlh
_._ ...
GM T", r
111.1 01
+ Vo
en donde Vo es una con~tnn te de illlcgrnci6n. Como en la energía potencial ,úh unpUftlJl k" cambios. podcmos darle el va lor cero en cualqu ier posición. La louperlicic lle 1.1 rll'm! t" u~ buena elección pura mucho!- problemas cOli dimlO!-o. pero no siempre. Por cjl'mpltl. ,¡ l"t\(\'>ldcramos In energfa potcncinlllsoci:ldu a un ~j sl cl1ln planetll-Sol. no ha) ningun,l rJ/(in ¡\lIJ elcgir In superfi cie del So l Como orige n. De hecho. ca~i sicmpre es rna!- t'Oll\cnicntr: t'kg n que el origcn cll.! In cnc rg{a po tcncilll gmvi tatoriu dc un si~t crna de Jn' llh.lt:W\ '11.'3 C(fII cunlldo In \eparnción de lo~ objeto'i C~ infini ta. Por ello. la elccc ión Un = (I ,ud r: ~l'r m~\ conveniente. A!oof
,, ,
GMm
Figura 11 .9
"
• - mgRT
Ver) = _ GMIII r
--,,'O
EN(RCI" PQTlNClA.l. CRAVI1 " l OfUA CON U • O" \ll',,~ k"Wo, ....
11.3 €nerg íll potencial gnwlta to rla
1, u:= O ,¡ 1'1:: 00, Lu ngura 11.9 c\ un "...tflco d U(.) f . 1iI efI J¡lllIl . . t. e I en uncI6n de r pum 1 l'il11 dr l' = () t'n , := ('00 p{~m un Objeto dc lIU1sn It/ y la TlclTlI de IIIU'1I M r' Il'llll func ión l ll lIn 1."()llll ' nl l: d \'nlor nc~ullvO U = - CM I ml N, .:: - II/RR, en 111 sur>crficic de la Ticrn! y crece ¡"tl;lrld¡l r .lUlllcnla. upn~:,(II I Utl1duse al vu lUf cero ¡mm r infinIto, I .J I pendie llte de c.'H:¡ curvu co;;
I
323
C~I!I clec~
GM ¡-",IN¡ ::: "'R , dc Illudu que la ecuudó l1 de lu reCia IlIugcllIc. Inl/':lda en alllI . c' f< h) = U( Rd.+ II/gII . en duudc /¡ ::: r R... c .. 111 cli"llIIlci a flor cncirnu dc la super. tid( JI! la Tit!ml. De In flgUrol "!e dc\prclldc que 1':1111 " pcqueñu, U( N ) + mgh _ Ver) . r::: Rr C\
T
Veloddad de escape En /.1 ulrimll' clti cadas In idcn (unl. (('nl .
Jb.¡:
qul.'
p,1r..
,'"
U(r,
(11,: C';Cllpar dd cnlll po gnwi lalorio terrestre ha pu .. udo de la
111 realidlltl. Sondas l!,,"'p~lcitllus hfln ! alcjado¡., del ~ is ·I:n. l,gunas de e~ tas sondas acabarán girando alrl.!dl.!dor del Sol, mien tras que mm!. :;¡r.l n el sbtmuH so lur y :¡e I>crdernn en el espaoio ex terior. En es ta sección veremos .Ie una \'c loc illad in icia l Illíninm lIutIludn vcloddud de escupe que es la necesaria un cuerpo CSCllpc de In Tierm.
fue el cucq)O as,,·iende. In energía cinélicu disminuye y hl energía potenoia l crece, El m' m¡;remcnto de energía polencial. es GM,mIR'r Por lo lanto. este Yalor cs el mi smo quc 1"1< ·~·n.'Cer In energía cinética. Si la encrgíu einétien in icial es mayor que GMrmIR , In T ,ne llnl E serü mayor que cero (1:.1 en la fig um 11, 10) Y el euerpo todnyía tendrá eiena fflM'. '1Ilt!lk a (,,' LUUldo r sea muy gmnde (o incluso c uando r SC,I infini to), Así. el cuerpo escaJX1f'J .1 Ticrm si la energía cinética inicial es mayor que GMrmIRT> Como la energía potenri:l1 la \ uperficie de lu Tierra es - GMTmIRT> la e nergía lotal E ~ Ec + U debe ser mayor o i2UJI !lle cero pnra que el cuerpo escape. L1 velocidad del cuerpo próximo ti la superfic ie ~'fn . correspondienle a una energía to[al cero se denomina velocidad de escape VC' Puede dettr inarse ti partir de
O+ O = -I m ,,2 _ _GMTIJl .,,-'-2
e
RT
de modo que
- J2g RT
( 11.21) VELOC!DAD DE ESCAPE
Tomando los yalores g ~ 9.8 1 mis'! y Rr = 6.37 x I()6 m se obtiene Ve = J2( 9,81 m /5 2)(6.37 x 10 6 m) = 11.2 km/s
Un cuerpo Con esta ve lOCidad . escapara, de la gravedad . TIlerra. . (S'm em.1 . b' rgo . no c....caparú del ~Istema solar, pues hemos dcsprccw " " atori'¡ del Sol y olros planetas:, . . d o Ia at mecl . ·6n gr·,v· véanse problemas 46 y 48,) . . I . o sal . él·Ile respec lO•a las yelocldades La velOC .idad de escupe de un plant:tll ( " ténnlcas de .as moléculas de un gas de termina el li pa de atmósfera que el planeta o s~l e h tl: puede lener. " , energla .emética , .medm , de las molécul . "as de l g,IS, · (';; I1n,2)"" es proporcIOna l a la tempera-, L. vclocíd'ldes rura absolul
Elerclcio
es Determinar la ye locidud de escape en Ja supe rfieie,de - Mercurio J 2GMIR' cuyn =4 .25masa km/s.) ,., == 3.31 X 1Q2J kg Ycuyo rndio es R = 2440 km, (Re,{p"eslfI I c -
,,•• ,
,, , •• •• ,,•
j
~}'t'CllImos un cue'1)() Imciu arriba desde la Tierra Con ciena cnergía cinélic., inícinl. 11
,
- . -- .~. - .•• -- .• • ----. ---. , - - • • ----, El >0
o
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••
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•.
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.'_:_ --=7. • • ---1-:1<0 ,
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UCr) • _ GM ¡m
,
•• •• ,• •
Figura 11. 10 La energía cinética de un cuerpo a 1<1 distancia r del centro de la Tierr.l es E _ Ver). C uando la e nergía lotal es menor que cero (E, en la fi gura), la energía cinética es cero para r = r... y el cuerpo eslá ligado a la T ierra. Cuando la energfa 10lal es mayor que cero (E~ en la figura). el cuerpo puede escapar de la Tierra.
324
I
Capftulo 11 Gravedad
Clasificación energética de las órbitas " II 10 '"C "1ueSlrnn dos vu lorcs posibles de la energía totnl E sobre Un fI..A¡;~ .'~' .. , c,'
E"n Ia 1Igura
plemcnlc que la energía cinética en la superficie de la Tierra ~s menor que +GM"fIt1IR + U nunca es mayor que cero. En general , a partir de esta figura ]lOdo ,~ E I mo
lE!
Cuando E es negativa su valor absolulo s~ denom~na energía de enlace. La energía ~ en lace es, por lo tan 10, la energfa que debe anadlrse al sIstema para que la cnergíalotal~ cero. La energía potencial de un objeto como un planela o cometa de masa m a una distaocia r del Sol es CMslII U( r) = r
(l1.12¡
".
en donde M es la masa del Sol. La energía cinética del cuerpo es ~ 11/\.2. Si la eneroia lWl. , cinética más potencial, es menor que cero. la órbita será un a elipse (o circunferencia),) d objeto estará ligado al Sol, de manera que no podrá escapar de su campo gravitatorio. Ptt
.
Olro lado, si la energía tOlal es positiva. la órbita será una hipérbola, lo que c;ignifica qued objeto se acercará al Sol, lo rodeará y se alejará para no vo lver nunca má.<;. Si laenergíatwl es exactamente cero. la trayectoria será una parábola y el objeto también e .·;¡parn. En T& men , cuando la energía total es cero o positiva, los cuerpos no están lig, 31cnmJXl gml' t¡llorio del Sol y escapan. Curiosamente, no hay medidas de la energía r- 'In comelaoo: un asteroide que, sin lugar él duda. no sean negativas. Por lo tan to. todo.. :rpos obser.1dos de este tipo están ligados al sistema solar.
EJEMPLO 11.4
Altura de un proyectil
Un proyectil se dis para hacia arriba d esde la superficie de la Tierra con una \'elocid ad inicial VI = 8 kmls. Otterminar la altura máximo. que a lcum.8 despreciando In resistencia del a ire.
Planteamiento del problema La alt ura máx ima puede determinarse a partir del principio de conservación de la energía. Tomaremos la superficie de la Tierra co mo pu nto inicia l. con U i = - GMT'nIRT y Ec, = _,1mllr. En su altunI máxima. Ec = O.
,
1. Aplicar la conservación de la energía mecánica:
0 - GM or", =
r,
-- -
2. Mulliplicar la ecuación anterior por - II(GMT III), ulili1.ar GM T = gRt Y
despejar r:
, + -I
l';!
2g R;¡
RT
por lo tan 10
r, = 3, Reemplazar por valores numéricos pam dClemlinar r y" = r - RT:
I/(...!.. _ I'r ) _ R 1( 1 V() RT 2gRi
r, = Rr/( I -
-
T
-
2gRr
(8000m/s) Z ) _ IR 2(9.8 1 m/sZ)(6.37 x 101> 111 ) - 2,0. 1
h = r-R1 = II ,OSRr = 6.69 x 106m I
, 1.3 Energfa potencial gravltatorll'l
¡I¡MPLO 11 ,5
I
Velocidad de un proyectil ¡INTENTELO USTED MISMO!
n pro~'ertll se dbipara hacia arriba desde la sUperficie d U_ 15 km/s, Oetennlnar la velocidad del Proye<:lll • e la Tierra Con una velocidad Inicial
r¡ ciafldO lB n'Sl~l('ncla del aire.
15
cuando eslá muy' ej os de ' H"" erra, desprt-
Planteamiento del problema Muy lejoll de la '[jerro " . "(lf ,1~1C la \'tlocidad de escupe de II km/s. de mod Slg lUflcll r » R-r. Lu velocidad inicial es n1!) " . o que la energIu tOI',1 del p '1 '. . .~",.r.l de Ill lierro con clena energía cin~tica final Med' , ., " royCCl1 ell positiva y ~_. . !ante e pnnclplo de eo '6 d , gi;¡ e" p"il'1lc detenllinnr estU energía y lu velocidad flnll!. nscrvncl n e n tmerTape
.:sj¡ 13 ::.: 12
"IO~l__ ::::::::::~==:;::=::; 5 lO 15 20
calumno d~ la derecha e Intente relolverlo usted mjsmo
paSo'
11/1<,
Respuestas ,Ir 111 conservación de lu energfu IIlCcl\nicll, teniendo en cuento ¡ando rr= oo. Uf = O,
1.
I~. +l ,
Iur
I'r. hal'Ícndo GM,.fRf = g para simplificar.
,;;¡ "H", + O '" , 2 \'( =
lir los ,'alores conocidos de g y RT par¡¡ colcular I'f.
3,
Figura 11.11
1:. , +(1 (1M 1/11
- 1/1 \'
2,
2GM 1
I'!
N,
N,
' =
1']
2k R l
R,
\', = .ffl5 X 10 1 m/q~ - 2(Q.RI m1~1){6, 37 x lO" m) - 10 1 mJ~ =-110 kmi ..
I
ción En ~a figura I 1. 11 se represe.nta la velocidad del proyectil en kilómetros por segundo n de lúRT' siendo h la altum por encIma de la superficie terrestre. Pam valores muy grandes .1 velocidad se aproxima a la líneu horizontal. I'r = 10 ktnJs,
¡IEMPLO 11 ,6
I
Energía total de un satélite
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Demostrar que la energía total de un satélite que describe una órbita circular es igulII a la mitad de su energía potencial.
Planteamiento del problema La energía total de un satélite en órbita es 1.. suma de Sil energía ¡xxencial y de su energía ci nética. E = U + Ec' La segunda ley de Newton nos permite enconl mr la \'elocidad v del slItélite en funci ón de su rad io orbital r, L¡l energfu cinética depende 111 velocidad. por lo que podemos determinar la energra cinéticll en función de r. Suponer que lu masa de la Tierru es mut'ho mayor que la del satélite, Tape la columno de la derecha e Intente resolverlo usted mismo
Res pu est as
Pasos
1. Escribir la energía total como In suma de la energía cinélica más la energía potencial.
L=C+L' ,
l
F
Aplicar la segunda ley de Newton al satélite y despejar el cUl1drado de la velocidad.
=
-
I , (¡,\11 m -1111'·2 ,
lila
GM rlll , =-
,-
\-
,
111-
por In tanto
\.. =
(j¡\f ,
,
3. SUStituir en el resultado del paso 1 y silllplificur.
4. Comparar el resultado del poso 3 eon U del paso l. órbitn ci~u ln,r situndn n 6830 km por encima de su superficie. Hallar (a) la energfa polcnciu l. (I,) In encrgfa CtnéllC~ y {~~ ~a n Filfa ....al del_lite, (Respuestos Obsérvese que r = RT + 11 = 13200 km. (ti) U = - 13, x l , (t)B.-6.80 x 10" J. (e) E = -6,80 x 'O' J,)
EJerddo
I
Un satélite de mUlla 450 kg giro alrededor de la Tierra en
U1111
325
326
I
Caprtulo II Cr¡wcdad
11.4
EJ
campo gravitatorio
9
,
" 1 .·.icrcida por una masa punt ual 11/ 1 ~obre una segund:l maSo, _ . 1_a ruen:n gru VI' lllorl ¡ <"'" . ". ~ ~1I~ la distancia rl .2 viene dada por t
F 1.2 ;
r r.2
en donde r..2 = r l,'¡r l .2 es un veclor un iwrio que apunta de "'1,1 "'2' El campo gravitntOrio ~ un punlo P se dCICnnin!l colocando. una masa puntual de e~s ay o de masa m en P y cilkR.
lundo In rUCI"/.lI gravitatoria F ejercIda ~r el .resto de panlculas. La rUcrla gravitíltOria r div id idu por 111 se denomina campo gravitatorio g en P.
( 11.23) DEFINICiÓN -
CAMpo ('I!AVlTATOIlo
El punto P se denomina punto campo. El campo gravi latorio en un pUnlOdebido a un~ junto de masas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos dcbido~ a las maus individuales en dicho punto.
, Los puntos donde eSlán localizadas estas partículas se denominan pun los fuente. Pnm del.o. minar el campo gr:lVitatorio en un punto debido a un cuerpo continuo. ...!.:. l3lcula e[ Ciln!pJ dg debido a un pequeño elemenlo de vol umen con masa dm y se intcg! ,nbre el cUCtp:I entero (el conj unt o compl eto de puntos).
f dg
g =
(I 1.2Jbl
El campo gr:\vi tatorio de la Ti erra n una distancia r > RT está dirigid\ módu lo g(r ) viene dado por
g( r )
=
F
m
[a lierrn ) q¡
CAMpo,
EJEMPLO 11 .7
I
Campo gravitatorio de dos partículas puntuales
Dos partículus cada una de mll~U Al estún fijas sobre el eje y en y = +0 e y = -o (figunl JI . J2). J)clerminar el campo grl1vitntorio en todos los puntos dcl eje.r en funci ón dc.r.
,. "
partículas de mUSiI M producen un Cllm lX> gr:lvitmorio en el punto P locnlizndo en .d . 1..<. distancia entre P y cualquiern de Ins pnrtfcu[as es r = J x 2 + a 2. El eampo rcsulrante J.: es la !>1I111l\ vectorial de los campo!!. g l y J.:2 dehido n elldn una de J¡t!> lIlusns.
Planteam iento del problema
1. Cnlcu lar eJ
m6dlllodc~ 1
Do!>
o g2:
2. Ln componC11Ie y del campo resullante es cero. UI componente .f es In suma de g .. '1.Il20.: 3. E;(prc~ar eo, 8 en funci6n de .1' y r a partir de la figura:
,
M
" M
'1 P
,
,
"" ,.
CM
8,
-
R.
=XI.+81. = 2X,. = 21:1 ~ (J
"
Figura 11 .12
,
11.4 El campo gravitatorio 9 1 327 4. CIllUt1lnuncltl Irn. dos últimu~ rc"uhado .. se obtiene .. Pam." en funclOn d!."f. <.; ustituir r por (.~ + tI 1): I!" .. presar g ::: _
2GII'I\
J
(xl + (11) V2
Si x < O. g VII 1.'11 lu dip""" " '. ....... 11111 poSlIl VII de f y" >O l ' '~I~' ,, ''K nC";LlíVII, COIllO c m de espcm r. Si .\ .:: O O . , 1A , g V:I en II dlrcc· e, ,' .,u e ~ = ' 1 u~cI ' d b'd on ¡.'uu1e.; y OpUC'i IOS en \,::: O y Ilur Jo """ . unpos e L U~ a ]¡IS lIlusas '" 1 Y tri' ~ ~ ' . o ~e caneellln Pur'l l '_ .' .;mn.l e~ d mismo que si Ullll lll:¡sn 11nicll de "lIlor 2M ' ', . " » n. g • -{2GMI.. )!. El ~ 1'" cMuVlem en el ongen. Compro bar el resultado
EJ EM PLO 11 ,8
I
"'.ul",,, ,
Campo gravitatorio de una barra uniforme
l n' h.lrnl unírorme de masa M y longitud L !'-'slIí l'cntrada en el odIen . , nal "lite 11 lo 1111):0 dl'll'~ex (Hgurll 11.13). ~tcrlUinur el cumpo ~ruvr.nt:"i:Pdo~~:a lo~g~tUfh en IlIs 10.<; puntos del eJe x qUf.' cumplen x > 1.J2, o 11 a ltrrll
- L/2
pi, L' amlento del problema El?gill ws un elemento de II1!lS¡¡ tllII de longitud tlx situado en .tI y ~I ' un punto P ,sobre el eje x en .l' = .\':o de la re"o ',6" .r >U2 , eucIa eIemenlOde musa crea . campo ' UI 1\(1 gm\'ltatono en P que ¡¡pu nta en I¡¡ dirección nC"Ul . CIllOS. caIcu Iar eI cmnpo o iva de ."Ped h :e}!mndo la componelllc x de l CUlllpo producido por e/m desde .r = - U'~ax_+~. - U2
1
,'nninnr la componente x del campo en P producido por el ele-
J,
mn~1 (1m
x '" ,ro
G (1m
.10 dm:
2
M
Figura 11.13
" es proporcional al tamuño del elemento dr:
pre..ar lu distancia r entre dm y t:J punto P en función de x y xo:
4, L ti1i:fllr estos resultados para expresar dg cn función de x:
M
llm = - tlx L
r =
.fo-X
.,
(I " = -
C (1111
G(MIL) dx , = ,(x -.x)2 o
GM [ 1 L xo- x
5. Integrar paro detemlinar la componente x del campo lotal: _
6. Exprcsnr el campo resultante en fonna vectorial:
-
7. .to es un punto arbitrario en la región del eje x si x > U2, por lo que lo podemos reemplazar por x: Comprobar el resultado de ma!kl M. g = -(GMI.\.l)i.
1
g = -
1 )=
GM ( - L xo- Ll2 - xQ+U2
-
-
]Jr. . lJ2
GM xi - (U2) '
CM , ~ ~I .fll - (L/2)·
CM . I '<'- (LI2) '
Pam x» U2. el resultado se aproxima al c:nnpo de una mas¡¡ puntual
Campo gravitatorio 9 de una corteza esférica y de una esfera sólida Una de las moti vaciones que tuvo Newto n para desarro ll ar e l cá lculo difcn.:ncial fue la de poder demostrar que el campo gravitatorio e n un punto ex terior de una esfera maciza es el mismo que se obtendría si toda la masa ele la esfera es tuviese concen trada en su cent ro. Esto lo demostrorcmos en la próxi ma sección. Aq uí s610 nnaliz.tremos los result ados de esta demo~lrac iólI , Cons idere mos prime ro una corteza esférica uni forme de masa M y radio R (figura 11,14). Se mostrará q ue e l cam po gravitatorio creado por la corteza a di~tancia r de ~u centro viene dado por
CM, g = r
,.'
g _
O
para ,. > R
pa r~lr < R
( 1 1.2611)
( 11.26b)
CAMPO C;RAvrrATORIO o[ UN¡\, COflTEZA Uf~RICA
Fig ura 11 .14 M )' nidio 1/..
Cone7n c!\ftriea IInifonllc de masa
11.4 El campo gravItatorIo 9
EJEMPLO 11.9
I
Un planeta vacío
Un 'llancta. cuyo núcleo está vado. consiste •• una cot1eza esté I dr l"Jdio exterior R Y dc radio Intenor RI2. (a) ¿Qué masa r c,a ~ruesa de musa M, ~ Jl? (b) ¿CUlU es el campo gravilatono a una dista cl J hay e.ntre el centro del phtnela y ~ n ü 4R del centro'! Planteamiento del problema l.u musa de la cone 'i!UJ1 31producto de In densidad por el volumen de. la co ;r..~. qU~ l!SUI .más P~ltil~UI al centro que ~ R e..~ inDll!!'O hIIy que delenninnr la den~idnd y el vOlullle'n y ~e7.Il ; .nldIO exlerlor ¡ R Ymdio interior ~ R. rio en r = ~ R dnicnmcnlc se debe :t la mllSu que cslá ;m e..<¡: d~ ~ulcl~lar la masa. El campo gmvil:ito-1 re esta Istancm y el centro del plnnela. masa M ' (In mnsll de la conC/.Jl con mdio el· ,R . (a) 1. l.a , I . • " • lt crno - y mdlo InlemO :; R) es In densldud p por el volumen V ' -1
-
M ' = pV'
.
1..:1 densidad es In musa M divididn por el volulllen V:
Delerminar el volumen V de In conezn Con radio ex temo ~ R r.ldio illll,:010 ~ R: " y Delcrnlinnr la musa M':
(
~'3.mpo gravitatorio en r = ~ R lo produce únicamenle la masa M':
(
CM· g =_ r= 2
r
C-19 M 56
(~R)2
r
38CM = -r
63 Rl
,
Compro bar el resultado Esperamos que en la reglón ~ R < r <~ R haya una fmcción inferior a la mitad de In masa de toda la coneza. En efecto, el resultadO del ejercicio nos indica que la masa M' vale ~ . Observación Obsérve.<¡e que el volu men V del denominador del paso 2 del upartado (a) e.<¡ 7/CRJ /6, lo cual nos indica que corresponde a una fracción superior a medio volumen de la esfera de radio R. Es dt esperar que el volumen de la regi6n ll2 R < r < R sea una fracción superior a la mitad del volu ~ men de una esfera de radio R. También observemos que el volumen V (paso 3 upllrtndo (lI» y la ma'18. M' (puso 4 apanado (a) son la misma fra cción de V y de M. Este resultado em de esperar ya que lo concí'.n es unifonnc.
EJEMPLO 11.1 O
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Densidad que depende del radio
Una esf'Cl"ol sólida de radio R y masa M es esféricamente simétrica, pero no uniforme. L:I dens idad p. definida como su masa por unidad de volumen, es proporcional u la dis hmcin r medida desde el centro para r S R. Es dl'Clr, p = Cr para r S R, donde e es unu cons tunte. (a) Determinar C. (b) Determinar e.. paro r ?; R, (e) Determinar C, para r = R/2.
Planteamiento del problema (a) Podemos delenninar e integrando la densid:ld par.l lodo el volu· men de la esfera e igualando el rcsuJtudo con M . Para un volumen elemelllal. tomur una COrtC7.Il esférica de radio r y espesor dr (figum 11 . 18). Su volumen es 4..u2 dr y su masa (J", = P dV = Cr (4.!rT2 lir). (b) El campo pam r ~ R es el mismo que si la mas:¡ total M estuviem en el centro de In csfcm. (c) El cumpo en r= R!2 es el mismo que si la musa A-r cstuviem en el centro de la e..<¡fem. donde M' es In lI1asu dentro de la esfcTll de mdio RI2. La musa entre r =RI2 Y r =R produce un campo cero en r = RI2. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo
Pasos
Respuestas
(1) 1. Inlegmr dm de r = 0:1 r = R.
\f
2. Dc\pejar e en función de M
y de R.
(
= f,IM
QD
~
Figura 11. 18
Jr IN '" f: Cr(4/f r
,Jr) ::: C1tR~
I
329
330
I
(b)
Capitulo 11 Gravedad
fucribir unu cxprc ... i6n pan¡ el campo en el eXlcrior de la csfcnt en funci ón de la IIlUhll M , de lu diSlanciu del cenlto r y del vector Ulll ~ lario r en la dirección t'n:cicllIe de r.
"
(e) 1. Calcu lar 111 Ulasa Itf que huy en el interior del rad io RI2 ¡n l e~ grundo ti". = P e/V desde r = O hUMa r = RI2 Y usar d vulor de clllcullldo en el ¡Xll>O 2 del lll):1rt:ldo (a)
\/ '
e
2. EM:ribir una c.x prc ~;ÓIl pa m el Ctlmpo en r = RJ2 en funci ón de M y R.
"
(,,'11 r
Ir ." R¡
,
\/ 1/,
( ' H' ' r
,
(; . /
_o ,
o
:s
I!Il ,
·I R
-R, o
Comprobar el resultado En unn I.""fem unifonne. In eeuilci6n 11 .29 no\ dI! el valor 8, = -GMI(2R2) pan! el campo e n r = RI2. que es d doble del resulwdo del apUl1 ndo (e) de l ejemplo . ESle resulIndo cm de c"pcrnr )'11 que una csfcrtl uniforme tiene una f'meción lIluyor de su musa 10HlI en In
rcgi6n O < r < RI2 qllt: una esfera como In del ejercicio.
e
Observación Lulo unidudcs pura son kglm". por lo que In!. unidudes de p l>OJl kg/m1. que corresponden n mlll>a ¡>ur unidnd dc volumen.
*11.5 Cálculo de la ecuación correspondiente al campo gravitatorio de una corteza esférica por integración Obte ndremos la ec uac ió n correspondiente al ca mpo gravitato rio de una corte/a e.. rérica en
dos pasos. Hallaremos primeramente el campo grav itatorio sobre el eje de un ani llo de masa uni forme. A pl icaremos luego e l resultado o btenido a una con eza esférica. qu\ podemosCOQsiderar como un conjunto de an ill os coax iales. dg cos
a
l'
Figura 11 .19 Campo gravit:llorio en un punto P a unu distancia ,\' de un anillo uniforme. El cam po debido al elemcnto dl/l apunla haci:1él. El campo tOlal de bido al anillo está dirigido 11 lo largo de su
En la figura 11. 19 se mucsll1l. un an i 110 de masa total m y rad io (l y un pumo a una dislancia x de su centro. Escogemos un elemento de masa dm sobre el JII
meme pequeilo pam considernrl o como una partícula elemental. L a distancia a P es s y la línea recia que une el elemento con P forma un ángulo a eon d e El campo en P debido al elemento dm está dirigido hacia él y su módulo dg
~bre el eje,
"uficiente· te elemento
,mi 110.
dg = G(dm )
•
:;2
Cje.
'~ ciernen· A part ir de la simc trfn de la fi gura podemos ve r que al Sllill
dg
"
= - dg cos
ex = -
Gdm " "0
cos
a
.'
Se obtiene el cam po tota l sumnndo respec to ~r: .f
= -
f
a lodos los elementos del ¡millo: G cos ex ') dm
s-
Como s ya ti enen el mismo vll lor para md os los punt os del ti nillo. son con::;tllntC~ ~n ruan!11 a la inll.!graci 6n se refiere. A s( pues,
g, = - C en donde
IIJ -
f dllJ e~
., ex
CO$.
s-
f dm = - Cm
In Illnsa tOl al del ani llo.
,\'2
co~ex
11 .5 Cálculo de la ec::uacl. . • on correspondiente al campo gravitatorio de una corteza esferlca por integnK16n
Ahora utilizaremos este res~ltado para calcular e l campo gravitatorio debido a una cor. za esférica de masa M .Y radio R e n un punto situado a una distancia r del centrO de la te 'silla. Consideremos pn meramenle e l caso e n q ue el punto campo P sea exterior a la cor1111 como muestra la fig ura 11 .20. Por simetría. e l campo debe ser radial Elegimos como u:Z3· d'd' d . lernento de masa la ban a m. Ica a. q ue puede considerarse como un anillo de masa dM. El ~anJPO debido a esta banda vIene dado por la ecuación 11.30. en do nde m se reemplaza por
I
331
Rde
dg
.... p
dM: GdM
dg, -
cos a
( 11.3 1)
La ma.t;a dM es proporc ional al área de la banda dA , q ue es igual al producto de la circunfe rencia por su anchura. El área de la banda es R sen e. de modo que la circunferencia es 27tR sen 9. La anchura es R de. Si la masa total de la corteza es M. y A = 41tR2, la masa de la band.! de área dA es dM =
AF
'!A'!.
M dA - "'::""... 2lCR2 sen
4"R-
,.."
e dO
( 11.32)
¡do este resu hado en la ecuación 11 .3 1 se obtiene -
Ar rel
1 = 2M sen
e de
GdM
s
2
cos a= _ CM se~ e de cos a 2s·
( 11.33)
. integrar respecto a la corteza completa. hemos de eliminar dos de las ~ res variables IlIdas enlIe sí: s. 8 y o . Lo más senci llo es escribir todas ellas en fun CIón de s. que csdc s = r - R para 8 = O hasta s = r + R para = 180". Por la ley de los cosenos. len·
e
dren
Difcrtnciando. se tiene +2rR sen 8
2s els
de
o bien S
(Ü
senOdO: r R
Puede obtenerse una expresión pam el co.;;
a aplicando la ley de lo.. co!>Cno\ ni mi,mo ui án-
gulo. Rcsuh a R1 = s2+ r l-2srco\a o~a.
cos
a:
, ' R's·+r-2sr
Aplicando csto~ rc"ult:tdo~ en In ecuaci6n 11 .33 se tiene C M sen 8 dg, : -
2 .\,2
de ,
_ _G IIl cm. a 252
~ G Md S(sl+rl _ R-) 'h 1r2R
=_
=-
(
'J,)s2+ r~- R~ rR :!sr
CM ( r= - Rl) d\ 1 1 + s~ . 4r R
( 1I.J4 )
!Oda la Cf'IrteJa- Lo-. l(mJte~ de Inlcgmci6n p..tru dClcfIlunar el campo en P 'I! IIlICf!ro !;obrc • 1 S P c.,tÁ fuera f \aria I de penden ahom de <;1 el pun to P e,f¡1' rucro o dentro de a concIa.d h'do a la corte/a comdc"<.lc r _ R( O: Q) hasta .l' = r + R (O: 1, cr), por 10 que el campo e I pltto¡ 'iC dclcnnma IIltegnllldú de"-dc , = r - R h;l!'ta ~ = r + R. .
OM 4rl R
f'.' (1+ (r - RHr+ R) ) (If = - C~'R [J f2 4r r
"
R)(r+ R1 '" ] , 11 .f
Figura 11 .20
Coneza esférica uniforme delgada de radio R y masa 100al M. La banda indicada puede considerarse como un anillo de anchura R d8 Y circunferencia 21tR sen 8.
332 1 Capítulo 11 Gravedad
. . los· l r" , ·,,"'~ .;.. .sUI>crior e i nfr.:rior en In exprc... i6n entre corchete... resulla Un "",_ ' <\IVr~ Al sustlllur 4R. Por consiguiente.
8, = -
GM
para
r'
r>R
que es e l mismo rcsultndo de la ec uació n 11 .26a. Si el punto del campo P está cont en ido dentro de 1<\ cartela, el cálculo es idéntica • excepto que s varfa aho rn de R - r a R + r. Asf, Figura 11 .21
EXPLORANDO Llls f U/!r:J1J l/e "lt/rea, ¿ son Iml JlleTIl'S como las/llen.as g rtll'l'wwriCls? Ex'Jlore (1C/'rC(1 d~ estos ClJIICe{J(Qs y /l/I/cho mós tm
que ul sustituir los límites superior e inferior da cero. Por consiguiente. para
r
\NWW.whfreeman .com / tipler5e
que es la ecuación 11 .26b.
Resu... en 1
Las leyes de Kcpler son observaciones emp{r;clls. También se pueden deducir a parur de las le)esdc Ncwton.
2
La ley de la gruvitaci6n de Nr.:wton es una ley fimdllm e"lal de la lisica.
3
La energia potencial gravitatoria de un sistema de dos masas relati va fl U = O il un.
.lCión infi nita
viene dada por U = - GII/ lmi r. Si el sistema está ligado. su energía total es ncgati\ .i. 4
TEMA
El campo gravitfllorio es un concepto fi:" ico j lllulul/lel//o{ que dcscribt! el eswdo im por una distribuci6n de masn.
OBSERVACION ES y ECU AC IONES RELEVANTES
1. l as tres leyes de Kepler l ey 1 Todos los planetas se
llIueven recorriendo 6rbitas elípticas estando :.i tu:ulo
d
uno de SUS
focos.
l ey 2 Toda lfnea (Iue une un pl:lIlela cualquiem con el Sol barre áreas igulllcs un tiempo!
ley 3 El cuadrado del periodo de un planetll cualquiera
c.~
proporcional al cubo de la ,.h
!les. 'ia mediJ del
miSl110 al Sol: T~
=
C,-J
( 1I .~
en donde e tiene el mismo valor pam todos los planeta:.; según la ley de gro\ ilflción de NC\\1M ( vale 4fi!/G(M s + Mp)J. Si Ms» Mp. el>wley I>uedc expresllrsc por 1'1 _ 4 ~ I - GM r
(I1.1 SI
•
LIIS leyes de Kepler pueden obtenerse n punir de la le)' de Newton de 111 gro\cdnd. I..,.ru.lr)e.s pnJlltfl y tercero re<;ullltn dellu.'c ho de (Itle In fuenfl ejcrcidu por el Sol sobre lo'!' pl:metn~ ~ inl'e~ proporcionAl al clwdmdn de la distlll1ciu (¡UCsCI>C r"n 1,\1 momento ungular orbital del planeta. L.u1' I c }'c.~ de Kcl'1~r -son ~ das lnmblén p:l.rn cualqmcr cucrpo que gire en 6rbitll Illrededor de otro y obcde/ca 11 un ~anlJlll pi sea inversuTllcntc proporcionnl 111 cuutlnldo dc 111 di~llIncill. como (X;UITC con lot:!(1 Mlt~hlC que alrededor de un planeta.
2.
ley de gravllac.l6n de Newton
IWUllnllkuln Iluntuul ejerce una lüerfn
nlll\l"'I VII
8tlhre cunl' lukr otra parlfcu ln punlual ' lile c..
ni pmdm:tu tic 111~ musn.. de nltlbn ~ e invcrsfll1Icnlc pfoporciunnl ni cundrlltlo de In ¡f j ~ l nnda '¡lIr I
(11 .3) C\lI1 ~ lm" c
Energía potencial gravUntorla
3.
G :: 6.67 x 10
de gm\it:, ~ Ión ullI\ cl"'nl
11
N · 1IJ1lkg l
(11.4)
La cner'Srn pOlcllcill1 gmvhntorin U de un sistcmn cO I11JlU c...~ I O por una p:lrtfcl llll ele: mu'14 m sÍlundn rUCrtl de un objeto con simclrfu I!Sféricn de rnaSII M n unu d i~ lnn ciu r del centro c..; U( r )
= _ GM III,
,
(11 .20)
Cmllldo r se aprox ima a infinito, CS [¡¡ funci ón energrn potcncinlticndc a cero
4. Energía mecánica
La energía Il1cdnica
E de un sistClIl1I compuesto por un:! panfc ula de musa 11/ situada fuera de un objeto con
¡,imc\ria esféricn de mnsn M a una distancia r del centro es
Velocidad de escape
Pam un valor detenninado de r. se denomina velocidad de escape. v". a la velocidad de la panfculll pam la cual E = O. Es decir, si l' = 1'". E = O.
5.
Clasificación de las órbitas
Si E < O el sistema está ligado y la órbila es una elipse (o un círculo. que es un tipo de elipse). Si E ;;: O. el sistema no está ligado y la órbita es una hipérbola (o una parábola parll E= O).
6.
Ca mpo gravitatorio Defi nición
g
=
F
(11.23)
m
(11 .29)
Campo gmvitatorio terreSlre Campo gravitUlorio creado por una coneza esrérica delgada
Fuera de la coneza. el campo grnvillllorio es igual al que se creana si loda la masa de la corteza eSluviern concentrada en el centro. El campo interior a la corteza es cero. g= - GMT'r
" & =0
parnr> R
(}IlTfl r < R
(1l .26a)
(11 .26b)
Proble".Cls
• •• ••• SSM
•
i i
EfllIlgl/1J(}.f problemas se da" más datos de los realmente necesorios; en o/ros pocos. debe" extmuu algunos datos a partir de co"ocimientos generales.
Concepto simple. un solo puso. relativamcnle fácil. Nivel in termedio. puede exigir srntesis de conccplOs . Dcsafhmte. para alumnos avnnl
fue"tes externas o estimaciones /6g icas.
Tomar g = 9.81 N/kg = 9,81 m/s 2 y despreciar el rozamicnlo en todos los problemas
menos que se indique lo contrario.
8
334
I
CBpftulo 11 Gravedad
Problemas conccptuales 1
movimiento de uno ulrcclcdor del otro n!rcclcdor de \u ccmro de 1il:I!oa\ (E-..IC efecto <;c mide mediante ItI dClc~cl6n del t'f~C'1O J)ar/lller, 4ue!le d~ en el cupfluto 15.) Medianlc OOi>Crvnclone\l::tpenmcnla1e<¡ '>e detent¡¡ ~
tunto el periodo de
~IC
movimiento como In variación de la
\' d~'
Vertlndcro o fulso: (a) La ley de las área:. igullle.. de Keph::r implica (Iue In gr.lvool1d varia en mwn in\'cr<.a con el cuadrado de Iu distancia. (b) El phllleta más l>fÓximo ni Sol tiene. por ténnino medio, el periodo de re\'o· lución más COrto.
en Cllcnlll 1:1 IcOrío de In e.\lruCIUru es telar"
2 • Si la masa de un satélitl! ~e duplica, el radio de ~ u órbita pUl:de penmlllC<.'t!r constante si In velocidad del smélite (a) se increrncntn en un factor de 8. (h) se incrcmenlll en un fuctor de 2, (e) no variu. (ti) !Oc red uce en un fn ctor dc 8, (r) se red uce en un fllctor de 2.
«(j) ¿Cuál es el Innmiio (en UA) d~l semieje mayor de In órhita
SSM El! In ~u perl¡cie de 111 Lun u. la aceleración debida iL su gravedud cs (l. A unu disttll1cin del centro de [a Lunu igual a clllLtm veces su ntdio lu acelcn\ci6n debidn a su gravedad es «(1) 16 (l. (b) (I{4, (e) (¡/3. (d) (1116, k) ningun u de l a~ nnteriores.
dor de lotu Dmcon is, Expresar 1:1 masa en función de la maS;1de Jlipitet. ftdt.
3
•
SSM
••
4
•
5
•
6
••
¡.Por
Si la IIlUSU de un :mté litc se dupliclL. el radio de su órbita puede permam.-cer consl:mte si [n velocidud del satélite ((1) se incrementa en un factor dc 1.4, (h) se incTCmentn en un factor de 2. (o) no \I¡tria, (d) se reduce en un fuco IOr de 1.4. (e) se reduce en un fuctor de 2. Un objeto desc ubicno TCcientcmente, parecido a un cometa, pasll alrededor del Sol. ¿Cómo podemos saber si regresará. aunque seu denlrO de muchos años. o si nunca volverá a pa.~1r?
7 •• Explicar por qué dentro de una esfera de masa unifonnc el campo gra\·itatorio es directamente proporcional ¡¡ ren vez de invcrsamente proporcio· n¡tl a r. SSM Si I:.~ es la energía cinética de Mercurio cn su órbita alrededor del Sol. y U [a energía potencial del sistema Mercurio·Sol. ¿cuál es la 8
•
relación enln: Ec Y U'!
9
••
Se Itcvll a una estudiante cuyo peso en la superficie de la TieTr"¡ es fJ hasta unu altura igual ul doble del radio tcrrc.o¡tre por encima de lu superficie terrestre. Su peso allf es Ca) pl2, (h) 1'14, (e) p13. (d) p19.
10 •• En Ju novcJu "Los primeros hombrcs en lu Lunu" de. H.G. \Vells. el viaje hacia el s.atélite se llevó a cubo de una foonu ligeramente dist inta de cómo viajaban los héroes de Ins novelas de Julio Vcme. El profcsor C:l\'our. héroe. de la novela, inventó un ma[erinl. la cavourila, que protegfu a los objetos de la fUerlJI grnvillltoria. Por lo tun[o, simplemente rodcando un objeto con eavouritu se conseguf:\ que éste quedara indemne a la fuen:¡¡ grnvi[atoria. Los aventureros dd libro de Wells construyeron una nave que c.~lnba recubicn a de cavourit¡¡ por su pan e infcrior, pero no por su parte superior. Entonces coloc:lron la nave de fomla que su IXme superior apuntarn hucia la Luna pam que su fuer/,3. gravitatoria lu tlevarn haeiu el sntélite. Según [n física real, es imposible que exisla la eavourÍl:I. ya
Estimaciones y aproxlmacloncs 11 • Esti mnr la masa de la galnxill si el Sol sigue una órbita respecto del centro de la galuxin con un periodo de 250 mi ll one.~ de años a unn distancia de 30000 año~ luz. Expresar In masll en fu nciÓn de múltiplos de [a mflsa ~o l ur M" ([)e.sprccillr IlIlIIallll (Iue e.~ [ álllás lejos del centro de la galaxia que el Sol )' considemr que In que e.o¡tll 11l :i~ cerca que éste ejerce In misma fucr!.n ¡¡obre el Sol que la (Iue ejercería una partfculu puntual de la misma 111;1.\,11 . ) 12 ••• SSM Uno de lo!> gnlnde.s aVllnee.~ de lu astronomíu de los dlti· mos años e.~ la detecciÓn de plnneta... fuer.!. del sistema solar. Dc.<¡ dd Sol. Lo!. planetlls no se ven directamente, pero los t e l CM;opio~ pueden deU.'C11Ir el pcqueflo movimiento periódico de una e.~t reIlB y un pllmeta en el
c.,tn:lIu. A p:tnir de In o bservación de In luminrn;idn.d de In estrella )' len de , <;c
dclcmllna lu 1T1I11kI de Una ~~'
Dmconi~ es In OCIAVO estrella más bnl1nntc de In cun\ lcloción Draca lit ob~crvacionc.. indicnn (¡lit: :tlredcdor de c~tn estrelln hay un P'~II ) la:! muc,'c con un periodo de 1.5 uño ... l..u musa de lola I)racOlli, ~ 1: le 10111
13 ••• Uno de los p~oblcrua.. sin resolver de la (COrí:1sobre la r0frnaci6. del sistenw solllr es C mantiellC unitb p:r la fuer!.a de la grnvedad. Si el Sol girnrJ. mucho más rápido, la gro\ed3d~1cI drra suficiente fu erJ.:l para m(lIltenerlo tal como lo conocemo~. E!;timarb\e& cidad angular máxima con que podría girar el Sol. u.'>3ndo 1m \abQ conocidos dI! su masa (1.99 x 1oJO kg) Y de su radio (6.96 x lOS km), p3rl~ siguiern siendo tal como lo conocemos actualmentc. ¿Cuál c~ tI ¡x:riodode rotaci6n que corresponde :1 esta velocidad angular? (b) Calcular ellllOi..... angu lar orbital de Júpiter y de Saturno a panir de su rnlba \318 y 95,1 \tt"tSb masa de la Tierra, respectivamente). de su di¡,lílncia mttlj;¡ al Sol mi) 1430 milloncs de km, respectivamente). y del periodo d~ u 6rhito (11.9) 29,5 años. respectivamente). Compararlos con I!l valor!l1< do c.\palmenalmente del momento angular del Sol ( 1.91 x 10"" k g·m11\), (( Si 'iC Irnnlfiritn lodo el 1Il0rlll!nto anguI:u de Júpiter y de S:ltumo al Sol, . '>Cria el nlll:~ pe riodo orbita l del astro? El Sol no es una ~fcm uniform ·.lq1Ol"IoUlo) su mOlllento dI! inercia viene dado por la fónnula 1 = IlfRl. Compo este resultado con el obtenido para la velocidad angul. >tildón m.i.tllDI obtenida en el apanrldo ((1).
Leyes de Kepler 14
•
Se ha dc.q :ubicno el nuc\'o 1,."'1)111 órbita muy elípticll. con un periodo de 127.4 años. Si t,: del cometu al Sol es de 0.1 VA. ¿cuál cs su distancia 111: SSM
\.c~~ ti! SI
lIIento mi\ial
J.,.¡ro'!
15 • El radio de la órbita terrestre c.s 1,..l96 x 2.87 x 10 12 111. ¡.Cuál cs el periodo de Umno'!
16 • i ti El asteroide Hector. dc~ubi rttI n 1907. ~ una órbita casi circular de mdio 5.16 UA :tlrcdoo(\r J¡ Sil\. IXtcrrnlJl$eI periodo de esle asteroide. 17 •• El asteroide ¡caro, de:.cubierto en 1949, se dcnooLino as{]X1lII' su 6rbiln clfpticu. muy I!xcéntrica. le aceTC:! mucho ni SIII en ,11 pt'rih<"h~.~ 1,1 • ' .. ' d d . . . . . r -11(1 .(ltll excentnctuU (" e UIUI elipse \'Iene dehll1du l>or In re 1u<.:nll1 rdonde rp es In distancia nI perihelio)' a el semicje I1myor. fcartllicnc Ufl,1~: tricidud de (UD. Su periodo c.s 1.1 años. (a ) Detenninnr el '-t'llIleJl' IIU)l"t:ct-aÓrbita de íeum, (11) Detenninur la:. distuncitl:. del perihd l\l ~ d\'1 J1di\l ¡I( 11' de fcnm. 18 •• Se lIcvu mucho tiempo diseuticnd(lltl~ di.. tllltru. JlO"lbl[II~.x .. ' unll mis. . '6 n tn. pulada a MIlr1e)' IlIs dilicult:lde.~ que I'nt... -rlarlolItJIl/l I,l' l .. nvlllr nUlItlls acometer un viaje lan lurgo por el c:, p"~' i (l, En e.. te l",lI1k"nlJ !MI.... ' mos el problellHl de UIIU fonnll !'>Cncillll. con.. idcn\ll{lo unll &.' 1.1' 1"'",1
Problemas ~ b:amiudo: Klu t nlll ~fcre ncm orbilul de Iloluw,.. • o . .,( "JO ~ . • ,,11 • .:x:gun C ~t!l p'o, ~ lruturfn dc establccer Llnll órbllu clfpticll lan,eme u 1 • b' d • ~....ta. ...: a vr IIn e la Tic,lo é,tl1 c~té en el punto más cercul10 al Sol (Itle h la ve f ' (11~1IJI\( . 1. tll;ra tungente u IcIlitu de MllrtCcuu ndo el ~hlll('\:1 rQJo ~Ié en el pun tu l11á.~ nlcj:ldo dcl 'I~tro • ' C,'culur el tiempO tolal lllverudQ por los IIMronllutll~ en "h,'," ,," ." Id' ' 1 " .. un pll_ ..... , ... ,hiendo que n ISlancw t c Manc al Sol e.. 1 S' "C 1 , ".'ntU "..... ,. ~ • ces a d'IStunel!l crtdiJ. nema·Sol .
Keplc.r dclermil1nbll di~lu ncill, entre 1m IJlu·, d i ' " ·'. e. , ~ , ... ' partir de l o~ dmo~ (Iue Imbm Obtcrudo lIledillnte ~ us ob. ' refl1lI .¡(l •••• erVuel0nc~. ¡\IrtJ,m " 0 "d
19
••
SSM .
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I
33S
•
23 • I 1_, mllM\ Je Saturno es de 5,69 x 10" kg. fu) C:I1culur el periodo de su Luna M'lIlns. ~ Ab ic ndo que el radiO medio de ~u 6rbtta e, 1,86 x I()'I m. (b) C:dculllr el mdio medio de 1:1 Lun:1 ·!itti n. cuyo periodo e' de 1.38 X 1(1' s . Calcular In musa tcrre..~ trc.1 p¡mir de los "nlore, del periodo de lu Lun(l 'f = 27.3 d, el nidio medio de :.u órbun r. =- 3.84 X I ~)" el valor ya conocido de G. 24
•
i
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2S
•
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Utili"l.ur el periodo de la TIcrr,¡ ( 1 año), el nIdio medio de. su órbit3 ( 1.496 X 10 ' 1 In ), Y el vnlor de G p¡Irn calcular I~ 1lIa...u del Sol.
26 • SSM i ./ Se deja cncr un cuerpo desde unn :lltUI1l de 6.37 x I()t' m por encima de 111 ~ upcrl; ci e teITC.."tre. ¿Cuál es ' u :tcelernci6n ini· ci:tl'!
27 • Suponer que se rcaliza un Aterrizaje en un planeta de Otro ¡,istem:t w lnr quc tiene la misma maSH por unidad de volumen que la Tierra, pero ~ u radio es 10 veces el de luTleml. ¿Cuál scríll sn peso en CM! planeta en comparación con el que tiene en 1:1 Tierra? 28 • Suponer que luTlerra. manteniendo su maSll uema!. fuero compri. mida hnstn 111 mitad de su radio, ¿Cuál sería la ac~lernción de la gra\edad g en la superficie de csle nuevo planeta mt'ls compacto?
• Un planeta se mue,'e alrededor de un sol mash'O con momento 29 ¡mgulnr constante. Cuando el planew pasa por el perihelio po~c unH velocidad de 5 x 1O~ mIs y se encuentra a 1.0 x 1O l~ In del soL El mdio orbital en el afelio :aumenta en 2.2 x 1015 m. ¿Cuál ~ [a velocidad dd plnncw en el afelio?
rierra
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- --- -- - -
-- ~
30 • ¿Cuál es la uccleración de la gr:l\c!d:ld en la l>uperficie de una estrella de neutrones cuya masa es 1,60 veces la masa del Sol y que til!ne un radio de 10,5 km? •• SS M L'l velocidad de un astcroidl! es de 20 kmls en el perihe31 lio y de 14 kmls en el nfelio. Dctenninar 13 relución de las distancia:. al afelio y al perihelio,
32
Figura 11 .22
Prob1cm:t 19
•• Un satélite de masa 300 kg se mue\e cn una órbita circular de 5 X 101 m por encima de la superficie terrestre, ((1) ¿Cuál es la fuerl.3 gr:l,'itatoria sobre el satélite? (b) ¿Cuál es la \'e!ocidad del satélite'! (e) ¿Cuál e~ el periodo dl.'.1 satélite? •
TttmI está D. 406.395 km de distancia, mientraS que cn el perigeo eStá a 357.~3 km. ¡,Cuál es la velocidad de la Luna en el apogeo)' en el perigeo? El periodo orbit.11 de la Luna alrededor de la l'iem\ es 27,3 días.
33 •• SSM I Un medidor superconductor de la gru\ednd puede ml..-dir cambios de est:l magnitud del orden AsI.Il = 10- 11 . (11) Si unn persona está c..~ondida detr.1s de un árbol con un medidor de grJ \'CdruI, ¿a qué di ~ t:1IIcia máxima se podrá acercar su amigo de 80 kg dc m3Stl sin que el dell."Ctor muestre un cambio de 1: debido a su presencia? (b) Una person.1 sube :1 un globo aerocslJltico con un medidor de la grn \'ooad con el obj~li \'o de dclenniMf 1:1 velocidad de uscenso (sUJlU e~Hl l'OnSt3l11e), ¿Cuál es In uhur.! minimn lI'\Cendida que produce un c,lmbio del campo grn\'itntorio terrestre perceptible por el
ley de la gravitaci ó n d e Ne wton
nparato?
21
34 •• Si suponemos que la inu:rncción :Itmctha entre UIlH cstrella de ma),3 M y un plnnetll de mn ~u 111 « M es de la fonna F = KMmJr. ~ie n~ K lu constante gru\·itilloria. ¿cuál sería la relación entre el Nidio de la órbua ctl"l' ulaf del plunetfl y su periodo?
20
•• La Luna. cuando está en el apogeo de su órbita alredt:dor de In
•• SSM Europa es un satélitc quc se mueve en una 6rbita de Júpik'rCOfl ua periodo de 3,55 dfas y a una distancia media de 6,71 x lOS m. A [larlir de estos dUlOs y suponiendo que la 6rbiln es circ ular. cllleular la llIa~/I de /6piler. (b) Otro sltlélilc de h ípiter. ClIllisto. ~c mucvc a una distllncia lI1edm dc 18,8 x 10' m en una 6rbita que tiene un periodo de 16,7 dfas. A partir de estOl> d..Io!. deLCrminar In acelcmci6n de CallistO y de Europa y comprobar <¡lIe ~n ClXtSistcnt~ con una ley de la gr:."illlci6n que eontemple un:. dependencm , proporcionlll a la in\ crsu del cuadrodo de la d'ISta nCI(\. '¡Nota'. En el "l*:lal apanado (b) de CI;!e problelllu NO debe USUTSC el vnlor de G para lIudal, SS M " co¡nun¡nenle que "os ¡ ¡;" ro ",u\a Se Opll111 • ,~ de lu lan?!!dtr¡c~pac¡1l1 están en condicione:> dc ingm\'idel ··p<>rque están más ullá de la lHrJct;ión gnl\'itatoria de la Ticrr:!"·. De hecho, e$trl opinión e.~ COl1lpll!tUlllellte fll,\;¡. (a) ¿Cuál es el módulo de la aceleración de In gra vcdnd paro lo:. n~troll .... de ia lan/lldero e.~ pacia l cuando el 'IIlge11l0 . e ~ paC .t al cslá 11 -100 km por , ~lIna de la superficie. dc In Tieml? (b) A tenor de la rc~pue~ta nI a,ptlrt!ld~ (11)·""," • ondiciones delngra \'lde;,) ..... qué, aparentemente. los as t ron:IIII:l~ est, 11 en c 22
•
3S •• 5SM LII nHlsn de la licrro es 5.97 x IQ!-I kg Y \11 mdio 6:\70 km, El rodiu de la Lum\ es 1738 km. LlI aeelemci6n de la grn \'edlld en ~8 superficie de In Luna e.~ 1.62 m/s l , ¡,Cuál es In rclnci6n entre la densidlld medlll de In Lunn y In de la Tierra?
Medida de G • i I...IS mfL'>:IS de una bal:ml,ll de Clwendish lIi¡¡.ur,¡ 11 11 50n III t = 10 I..g Y In : "" 0.0 10 kg, ~pcct i \'al11entc , CM:mdo sepa~,¡dru. 'u' C'<: ntn~ 6 cm I.,o¡¡ ccnt~ de In:. dos ntfL'ill.~ peqllciln.~ c..,tán M:I),~·O cm ( ti) ...Cuál es la fuer.w de alnlcci6n entre la, csfera~ ¡;nmoo ) IX'(luciln'! ( b) ¡,Que 11101111.'11\\1 36
de tor:>i6n dehc cjcR'cr lu fibr:I I)D,r;¡ equilibmr eqll\ fIlCfl:as'.'
. ~I X \TC 'UI)!PalU 119'l llJ DI \lO:t 0pUI¡ns:u p JUJmI x; nr [) IUS ¡~ ,{ \lJJ:I!J. DI :U1U;) \J!I):)lU U!:'JUlU!I![l n I .( (SlljP ~l'S'9() I ,.1) tuL HO IlI:>UItI LIlll.....uu P '1 'I tu 11""1\1 x (:ST) WJ:l!.l UI ;'jp OJIU:»:l p IlI'll11lllp:>tu , , ,.," ~ I '''a) uun-, III '>1' IUI!qJO OIUo'I,lU!¡\OlU I:lP OPO!J:xi rop J!Ul!d u !lJ.Ia!.1 .. ,..1,1JI~ -_ .J,;u UO;') lOS [;'lpllSUUL U[ 'ap U9ZIlJ 01JIlIII:'l[U;) . . 9S ;tUl rlC OI,VU
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' YJU1Ut:OIC ;lnb tlIu!x¡:m IUllllu n] JU1[ ul'l 'Sf\u,! t :)p IUP!U! peppop " mm uo:> r..u:l!.l. U[ :)p ");)!}J;)dns 111 :>psap cq!.1Ju cpulI olafqo un trlUU[ 'JS I ,
¿1W0u. nI UJIUO:'J JU;)Ql{:) IU PIlP!:'JO[:'I ... ns cJ.I;)s ¡)lIlJ'! ';'IJ!Il I:lP UpU:>IS!~';U U[ 'JS;)!\~ ! x" ()U !S ':)Jl ~-:W'J , -:I¡:::t!p:ldns Il[ :uqos UI ~ \ x t':Jr IlJnl1U mm 11 opnnl!s ol:)fqo un osod;u p uf;¡p:>s /' wss ••
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I!I.lOll!lfAI!.I6 Il!pualOd R!6.1 aU 3
JI :lpUOp ua ' (JI- J.H)/) I J.N
'H ~ od,¡;HI:> p Joo !tptzuu:>[U nw!xyw elnl l\! el :lnb JUJISOW:>(1 'u.u::l!.l U[ :lp
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¿pl:ppor:lt, ns la¡ lKtJ ' ~!.L "C[ "p SOf:l[ ,{nw ;1I~';'l OpUlJO:) ':K!a:>S:l " p U[ :Jp :3[qop PUP!:)()p" 6 1? t [nJJucd Ilun nJJ:I!.1 Il\ :lp :I!:l!}J:>dnl> el :lpl>";}p ezull[;")S . . ti¡¡ tyn:¡?
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Illp.laul .,..Ol.1IA• .I6 Rs:.... p Rp'MRJ ~ II O¡nlJd R)
_______________________________________________
I
9H
Probl~mas
,,,n po gravitat orio •
•
57
•
I
"
•
SSM
Un¡¡ ma~1I de J l.g expcrimentll una fuer/a !;mvilutorill
J,1do pUl' g = 25 X [O dI' '' ~ ('11 c..c punto:
I lo
337
•
dI' - 'o' ¡en cn:rto punto . P. ¡,Cuál e\ el campo gm\'itnlorio en e.~" ..... pun "o, 58
I
El campo gr.lvit:llorio en cieno pUnlO viene Ikg j . ¿Cuál es la fuel7.u gmvil:uorin ,obre unn lIIasn
66 • I Una cone-lU e.~férica tiene un rndio de 2 In Y una tnlh3 de 300 kg: ~u CCOITO está localil..ado en el origen de un ~istem3 de coorOOnadll\ . Qtr;¡ conela e.¡féric:1de mdio I rn )' masa 150 kg está sillmda dClllro de la corteza mnyor con su CCOIro a 0,6 rn <;obre. el eje x. ¿Cuál e.\ In fue,la grll\'Ílutorin de 1I11".lcci6u entro 13S dos conela!>: SSM Do~ e.~fems sólidas SI )' S! tienen radios iguale~ R )' musas igullle:. M . La densidad de la esfera SI es constante, m ien lrn ~ que la den67
•
Una mm;ll puntual m ~~ I t'\ sobre el eje .r cn el punto ;( = L Y o[nl ¡nasa nlu;11 ig~nl e~lt'\ sl~re el eje y en el punlo y = L. (el) Determinar el rampO )!rll\ itatono en el ongen. (11) i.Cuñl e~ elm6<1ulo de: e<'le campo'!
~idlld de [a e,fem S2 depende de 1:1 distancia rndial de acuerdo con la expresión p(r) = Clr. Si la aceleraci6n de 1:, grnvedad en la superficie de SI es8 " ¿cuál es la accJernción de In gmvedad en In superficie de la esfcrn S{!
•• Cinco mus:». igullles M e'tán equidistutl\t.!." ~(Jbrc el arco de una <.tI1l1': U ",fcrcncin de nidio R C0l\10 sc indicn en la li guro 11.23. Se sitúu unn el centro de curvatura del ureo. (ti) Si M es 3 kg, 111 \'ale 2 kg Y R c.~ IJI e~ 111 fn CI-lu :.obre 11/ debidll n lus ci nco masas Id'! (1)) Si 111 M! retim, 10 cm ",lIlIpO grm'itutorio \!n el Centro de cur\'ntum del nreo? ,
68 •• 1)0), esfcms ¡;6lidu!> homogénea.~. SI )' Sl' tienen mll~as igunle!>, l>ero rndio~ distinto!> RI y R2. Si la ucelemci6n de la gm\'cdad en lo superficie de 1:, csfcra SI e~ RI' ¿cuál e.\ la Itcelemción de la grnvcdad en In superficie de In esferu S~"
59
••
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611
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69
•• Oos conezns esféricas concéntrica$ y un iformes poseen mllsas MI )' /lh Ynidios (/ y 2a, como ~e muestra en la ligUr!! ll ,24.¡,Culi[ es el módu lo de la fuer!.a gmvitatoria sobre una lIlasa puntual /Ir localizndl' (a) a una di~tancin 3(/ del centro de las dos eone:r.lls? (b) a una distancia 1,9a del een[ro de las cortezas', (e) a una distanci:! O,911 del centro dc las cortezas?
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Figura 11 .23
Problema 60
61 •• Una masa pUlltunl /1/1 = 2 kg está en el origen y una segunda masa jXlntual IIrl = 4 kg está sobre e l eje .r en el punto x = 6 m. Detem¡inar el campo grll'itatono en (a) .r = 2 nt. (b) x = 12 m. Ce) Determinnr el punto sobre e l eje x, para el cual 8 = O.
•• Demostrar que el máximo valor de plo 11.1 tiene lugar en los puntos ± al..ti. 62
Ig,1 para el campo del ejem-
63 •• Una barrtl no unifomle de loncimd L sc encucntrd aJincudfl sobre ~I eje.t ron un extremo en el origen y el otro en x = L, Su densidad ). (masa por wtidad de longitud) varfa en la fo rma A. = Cx. en donde C ~ una constllnte. [Así. un clemento de la barm tiene unn masn dm = A. ([r.) «(1) ¿Cuál es la mn ...a ~ de la barra? (h) Determinar el campo gr.lvitatorio debido a la b.1rr.t en el IIW1IOXo> L.
64 ••• Una varilJll unifonllc de mUs,1 M y longitud L está siluadu sobre el tjex ton MI centro en el origen. Consideremm un elemell!o di! longitud lb a unn dislancia.t !lel origen tul (lile _! L < .\ < ~ L (a) Dcmostrnr que este elemento l'OOuce un campo gravitmorio e~ un punto-.ro wb~ el eje .r (.I{¡ > ~ L ) d:ldo por
Figura 11 ,24
70 •• La eorte:f.II esférica intemR del problelllll 69 se despla:r.a de modo que su centro está ahom en x = 0.8a. ¿Cuál es el módulo de la fucl'lu gr.l\litatoría sobre UIHl panícula puntual cit· musa m situada sobre el eje x en (a ) .\' = 3 1/. (b) x = 1.9/1, (e) .1' = O,91¡'!
Campo gravitatorio 9 e n e l inte rior de esferas sólidas 71 •• SSM El ¡>C..W de una persona (nlt:dido medianil.' U1\I1 balanln de muelles) vuriu si se mide cn el fondo del polO de una miml profundn con re:,peciO ni peso que ~c mide en la superficie de la lierr.l. Supóng¡l\Cque 1:1Tierra ~ IInn esfcrn homogénen y con~idé.rcse este efL 'Clo con respeclo lo:. upanll d~ (a ) ' (11)
ligo = _
GM
, lb
L ( XD- ,r )-
1&) lategrar e.~tc resultado respeclO 11 texhl In varilltl para hal1nr el cnmf>O. !;m."';taIorio total en el punto .l'u debido 11 lu miSlllll. (c) ¿Cuál es la fueml ejercida \Obre un objeto de maSA m en r '! (ti ) Dcmostmr (Iue para .to '" t clt'ampo eS ~- ' O o f ,\'f SltUlI( ' l a en .1'"l"uxJnllldamcnte igual al cjeroido por unu ma ~n punllla - 0,
..C'mpo gravitatorio 9 prod ucido po r o bj e tos esf e' n.eas 65
•
¡
.
.
Una con el... esfén..:n llene un,1 rod'ode2myUnl\ma!>U I ~lOO·..a. ¿eu41e$ el campo grnvitutorio a la!> !¡¡gU\ente..~ " d'IS tnneh~dclecn[ro de '
A..
"1.'Or1e7.a: fal 0..5 m. (b)
1,9 m. (e) 2}j
m',
Problemlls 69 y 70
[)cmO'otrnr que In fllcml de 1" gruvl!dud ejcn:itla por un planclU perfectamente esférico)' homogénco de dcn~idlld Conqnnte sobre unn 1)Cl'M)na e... proporcional n :-Udisumcia al centro del planeta.
(11) Demostnlr
a l o~ efcctos de In rowci6n a Illcdidn que se aproXl111(t al centro, (Con ~ \dcl'c que lu minll está en el ecuudor). (el ¡,Cu:1I de [o~ do~ Ilfecl o~ c.\ más imponarne en la Tieml', (M =5,98 x 102~ ~g. R _ 6370 ~g, T= 24 h()m~). 72 •• S\lJX)ngllmo~ que In l ícrra fuerlt uml I!sfem dl' IlUl'-U .tnl1fol1lle ) en cllu ..c excnV:lI11 un po1.o de t5!X1O m de profundidnd. Un c~tUdUUlll' qUl' ¡l(''-U 800 N cn In superhcie de [n TIerra dc.sciende en un montncnrgn~ hllMa el fondo de dicho polO, ¡,Cuál seria IIIJ( In pérdidn de p.:..o e\penmCJlluda por el c,tu dlllnle'.'
338
73
I
Capfrulo 11 Gravedad
••
Unn e."fer:t sólidu dc nidio H tíene su centro en el origen de coorde-
nadlls. Po "t."C unu dcnsidud dc nU1!>I1 unifonnc. A:; C\ccpw:mdo el Iu..'c ho de (IUC tie ne un aguje ro esférico de nIdio r '" ~ R cuyo (.:e ntro !OC encuentro en ,( = ~ R.
como se mue..'\lm un In tiguru 11 .25. Cufculnr el campo grn\'itulorio en los punto, del ~je .t ¡Xlm los que se cUIllI,le que Ixl > R. (Sllgl'rtmda: Pu,;."
•• Un chíSlcr (ntci mo) globulnr e~ un cOl1Jumo l.'a~ l ... N&..:r. nli l lone~ de estrell a/> que \oc mnl1uenenJunta\ gmcUl!<> li la fueía de 1 ~ I..o!> IIStró"OIllO~ mitlcn In.. velocidnde .. de Inl> e\trell¡\), del clú~ler a&nl~ . conrl ~ th'u de estudlar .. u comp(hl"CI 6n y ('e tener una .I(,en ....•.,_ la dl\lribución lit e n \ u interior. SI <,e 1o.upo ne que loda~ las c~ l re.lI ll' lle nen npro,¡1t\aW ~ lIli~nlU mll!>u. dcmoslmr que: la velOCIdad medUl de IInn e..lrell;¡ en c ircul:lf a lrededo r del centro del c lú!\"lc r ha dc á umentar linealmente con ~ tu ncia ni centro del ll1i~mo. ~ 80
:;:-c
Problemas generales
.,
• 81 • SSM La distancia media de Plutón nI Detenni nllr el periodo de Plutón. 82
Figura 11 .25
Problemas 73 y 74
J)emOSlntr parn In esfc m con un agujero dcl problema 73 que t:l campo gmvi lulorio dentro del ugujcro es unifonnc. y calcu lar su módulo y dirección. 74
•••
Se mladrn un túnel liso y rt."C1O a través de un planela esférico cuya densidad de musa Po es constante. El túnel pllsa por el centro del planeta y es perpendicular al eje de rotación del mismo. que está fijo en el espacio. El planeta gira COII una velocidild angular ro detenninada. de modo que los objelos dtmlro del túnel no tienen aceleración relativa a éste. Hallar w. 75
•••
•
••• I L'l densidad de una esfera viene dada por p(r) = Clr. La esferJ tiene una mdio de 5 m y una masa de 10 11 kg. (el ) Dcternlinar la constante C. (b) Obtener las expresiones del campo grJvitatorio para (1 ) r> 5 ITI y(2) r <5 m. 76
•
SSM I En la esfcm del problema 76 se 1¡¡J¡¡dra un agujero hacia el centro de la misma a profundidad de 2 m por debajo de la superficie de la esfera. Desde la superficie se deja caer en el agujero una pequeila masa. Determinar In vclocidad de esta masa al chocar contra el fondo del agujero. 77
•••
78 ••• i La superficie sólida de la Tierra tiene un espesor de 40 km y una densidnd de 3{)(X) kglm3 aproxi madamente. Cemrado a 2000 111 por debajo de dicho superfi cie se encuentru un depósito esférico de mctales pesados con una densidnd de 80 kglmJ y un mdio de 1000 111. Encontrar el cociente Ag/g directamente encima de C$te depósito. siendo 68 el :lUlllentO del campo gravitutorio debido al depósito.
ti'
79 ••• SSM Dentro de unn esfera de plomo de radio R se han I:lladrad!? dos huecos e..~ féricos idémicos de radio Rfl. Ambos son tangentes a !tt superficie de In esfem y tocnn su centro como se ve en la fi guro 11 .26. Antes de fOnlm( los huecos la maSll de la esferJ de plomo em M . (o ) Hnllar 111 fUeT1.ll de IIIr.lcción que la esfern de plomo ejerce sobre una panícula pUnlunl de masa m situoda en lo posición que indica In 'igum. (b ) ¿Cuál es la fuerza de tllrncción si m se sitún sobre el eje x en x = R? )'
'" •
Figura 11 .26
Proble mn 79
•
Calculllr la masa de la TIelTa a punir ele los valore.~ de G
'IYR~
83 •• L.. fucrl.a ejercida por la Tierrn sobre una p:lnfculll de ma In distancia r ( r > RTJ del cen tro del pl:lIICtll tiene el módulo m ~ Hit~'1, donde lo: =- GM,IRf. (a ) Culcular cltfllbajo que debe realil.af\e contra~' ~ vedael para desplazar la pan ícula de una di"tanciu r, a Olrn r~. (b) ])e~ que cuundo r l =- RT Y r 2 =- RT + h. el resultado puede escribir;t en la ¡ W =- m g Ri J( I/ RT ) - lI( RT + h )) . (e ) Demostrar que cuando h «~ tmbajo viene dado aproximadamenle por W = mgh. .
84 •• Una csferJ unifonne de 100 ni de radio y den)idad 200} lu. está en el espacio libre lejos de cualquier otro cuerpo de gr:ln nl3S3.lal el campo gravitatorio en el exterior de la esfera en función de r. (b) lhIwd campo gravitulOrio dentro de la esfera en función de r.
Hd.
1m'"
85 •• Jüpiter tiene una masa 320 veces mayor que Illlit.'fr.l ) lIlen 1320 superior al de la Tierra. Un "día" de Júpiter tiene unJ daraciÓllde9. 50 mino Detemlinur la ahura" por encima de Júpiter para que un ~tBilcet órbita de c.'\Ie planeta tenga un periodo igual a 9 h 50 mino 86 •• La densidad media de la Luna es p = 3340 periodo mínimo posible T de un vchículo espacial en Lunu .
Un satélite giro alrededor de la Luna (radl la superficie. con unn velocidad v. Desde In Luna <;e bl arriba un proyectil con la misma vd ocidad inicial ,'. i.Qtt zará? 87
Octermip ei .111'I:I.kdor de 11
11,
••
•• SSM 88 En 1:1 novelu de Julio Vem!! "DI: hulta los astronautas desdt' la Tierra hacia la Luna d~! rada por un cañón gigante. (a) Si considemmo~ que 1,1 alcan7...'lr la Luna es la velocidad de escape de In Tlcr enM n c..¡ de 274.32 III (900 pies). como dice el libro. ¿¡; (Iue lo~ astronautus sobrevivan ni despegue? lb ) Según sienten los efectoS de lB grn"edild terrestre hasta quc 11 fuerlD gl1l\'it:lIoria de la Tierra }' de lB Luna ~on i~u. momento. todos los objetos de la nav!! "cllen" h¡tciu la Lu ser el suelo y vice\·ersa. I.A qué distancia dd centm de la l' punto? (e) ¿Es r.lzonahle e5m descripción de lo que 1c~ !;Xu ¿Les ocurrió. en In rcalidnd. lo mismo II 10:- ll~tronnUUb IIe que visitaron lu Luna'!
"ml. pró\im;11 ;~almtntt !
hI:iI
mitim.ulc..
J 31Ill.wll~.)C
J "b3b~ diI¡t-
Ineces:aN ~ la kmpnai.tl pn-.Nbilll.bldi!
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punto
\ r:uUr & (9: _Jllootl ~J o.tt e!l('llC:llllJel
...,... .. I a..........
J " ,
nU-I{~
J.i'
89 •• En un ~istenm de estrellas hillurins. do~ c\u'tll.l' ,'lbtlJll aJre¡W.-r dc Sil centro común de mIlS.'lS. Si las \!Strcllns tienen Illll "ll' 1/1 1 ) M: ~ ~.,.tan ~ .," (,as por UI\:1 ulStunclB r. dC ntO~lnlr que el periodo de "ltUrll\n t'_1lI reI3(.~II" /' scgún laexpre!.ión Tl = 41r,..' / IG (f11 1 +mJ I.
9~
nllf .•• Dos pankulas de mtl!>ll m I Ym~ :-CpIlmdn\ una dl,tane1a lnn : dejAn IIhremcnte desde el rcp(l~o. Dctenllinar -u, \ clocidadc- \ '1 ~ r~ \~ distancin de scp:lrnción es r. La distancia de M:p
Problemas •• SSM CUlIlro plutu.: lus idéntico~ están di ~" nulosenuncua 'b 'd ......-In 1111como se ll1u c-~tflt en lfi ti IgUIOI 11 .27. Si In 111' d' UI ""',1$1 i! cuda plunct'l es M 1110 del cuadrado es fI, ¿cuál hu de scr In velocidad de I I .' . y t 11 os p unctas SI se mue.IllreOt:dor del celllro del cuudnldo b
Órbita
~
.... -- ~ - ...
,, +, ,
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Vuaton . u de la variHu del eJ', mp Io II .8 y dc una rnn~n puntual "'o que cqá wbrc el cJe .r en -ro. (ti) DemoSlmr que la cnergfa potencial grllvitatoria de un elemeUlO d: In v¡¡rilla (1m (que ~e lIlue$tm en In figura 11 .13) y una pllnícula. puntultl mo sumida sobre el eje x en.tu::!: ~ l. viene dnda por _ dU - -
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Figura 11 ,27
Problema 9 1
Como n~u~st nl 111 fi,?um 11 .28, se perfora un pozo de pequeño diále la superficIe de la li CITa hustu s u centro. Despreciamos la rotación l y la rc.~ i ste nciu del aire y considcrlllnos que la Tierra es una esfera ",b (a) ¿Cuánto tmb¡tio se ~eCc... illlría pum trasladar un objeto pequcno uniü . desde el centro de 1:1 Tlemt a su superficie? (h) Si se dejase caer el la abenur.l del agujero en la superficie terrestre, ¿con que velocidad ... cenlfO? (e) ¿Cuál es la velocidad de escupe de una p3J1.ícula de masa liego; mpn ,;«la desde el ccntro de la Tierra? Expresar las respuestus cn func ión ~ RT•
92
.-
339
~7 ~.. En estc problema se tiene que IIvcriguar In energíu potencial gro-
~ . - -- --- --
"
I
Cili O
dI/!
Xo-·t
=
GM",. L(.lo- x)
dx
en d~nde U = O pllm Xo = oo. (b) lnlegrar el resultado de la parte (a) en todn la longitud de lu vari lla pum hallar In energía potencia.llot.nl dd ~i~temn. EM:ribir el res ultndo. como unu función gencfltl U(x) haciendo que Xa seu igual a un pun t~ genénco.r. (e) Cn lculur la f uerl.a ejercida sobre 1110 en un punto x a punIr de F~ = -(/ Ultlot , y cornp:"'lr el resultado con mo.!:. en donde g C-~ el cUlnpo en .1'0 cn1culudo en el ejemplo 11 .8.
98 •••
SSM Una c.o¡fera unifomle de masa M está cerca de una v:tri lla. delgndu y uniforme de mas!! 1/1 y longitud l.. como se indica en In figura 11 .29. H:lJlar ItI fucr!.u gruvitutoria de atracción ejercida por la c.~fera sobre la vllrillu.
•
"''"" '
"'.
,,
Figura 11 .29
99 ••• Una varilla unifonnc de
Problema 98
m3.-'\U
M
=20 kg Y longilud L =5 111 <¡¡,:
dobla en fomlll de semicircunferencia. ¿Cuál es la fuef1.a gravitatoria ejercidll por In vari lla sobre una musa puntu::l11/1 = 0.1 kg situada en el centro del arco?
Figura 11.28
Problema 92
93 •• Una corteza esféri ca gruesll de mllsa M y densidad uniforme tiene UD radio interior RI yel rndio ex terior es Rz. Hullar el campo gravitatorio g,., en runción de r pura O<: r < oo. Esquematizur un gráfi co de g, en función de r. 94 •• «(1) Dibujur una gráficu que nos dé un campo gfltvitatorio g, en Función de x debido a un anillo uniforme de masa M y de r.tdio R cuyo eje sea dtjex. (b) ¿En qué puntos es máximo el módulo de e,?
95 ••• Determinar el módulo del cllmpo graviulIorio a una distancia r de un hilo infinitamente largo cuya masa por unidad de longitud es Á. 96 ••• Unu cue.~tión imponante referida a l sistemll solar es saber si cada ullOdt los anillos de Saturno es sólido o, por el contrario. está formado por unll Infinidad de pequeños sa t.!:l i te.~ . Podr(u hllcersc una simple observación que re·
'Olvit rn este enigmll : la medida de In velocidlld de la fracción interna y eXh.:mn lit un anillo. Si el ¡millo se muevc más lento fu en¡ que dentro está fonundo por trozos pequeños sólidos. en caso contrario el anillo C-~ sólido. (ti) Suponiendo que la anchura del anillo es r, que In distnncin promedio del anillo al centro de Saturno e~ R y que la velocidad media del anillo es 1', demostrar que si el anillo : sólido \lr~ _ V\kntnl" rd R, donde I'r~.. es 1:1 velocidad en In l.O~a más e~ rnlldel anIllo y v\knt/ll es la velocidud en la zonalllás internu del antllo. (h) SI. tn cambio. el anillo está fo nnlldo por trozos pequeños de m:lIeriu sólida, deITIo<;trar que l'flOna - 1I,l.:rufU" n'IR. (Suponer que r <:<: R.)
-1
100 ••• SSM Las m::lre3S se producen como conSl,.'Cuencia de las fue rzas gnl\'itatorias ejercidas por el Sol y l:l Luna sobre [os océllnos de la Tierru. (a) Demostrar que el cociente entre la fuerl.lI ejerd dll por el Sol y la ejercida por la Luna es M.1.IMI.';' en donde M, y M l son lus maSa!> del Sol y la Luna }' r, y r l son las dist:tneias de la Tierra ul Sol y a la Luna. E\'alu!l.r este cociente. (h) A pesar de que el Sol ejerce un:1 fuerlU mucho mayor sobre el océnno que la ejercida por lu Luna, ésta produce un efecto mucho mayor sobre lu:; murea~ porquc cl hecho imponun!c es la diferencia de fuerLUs entre un lado}' otro de 1:\ Tierru. Diferenciar 13 c~pr~ión F = GII1 ¡II1J r par.! calcular lu variación de F que se produce p:lrll una rc están unidas emre s{ por un cllble de neero de I rn de longitud)' se sueltlln vcniculmcnte, es dt."(.·¡r, una por encima de la mm. «(1) ~p l i cnr por qué pnrece que huy unn fuer/a que separo Ins sond n.~ una de otro (\'éasc el problclIllI 99). (bl ¡, I'l n~ 1a qué di\IlUlcia llegaron de la liuperlk ie de la estrcl1n antes que el c:lhle '>C romPIl'.' Suponer que el cable ~e rompe CUllndo alcanza la tensión de 2.5 000 N Yque cadn una de I:I~ ~ondll~ tienen unn muslI tic I kg.
•
EQUILIBRIO ESTÁTICO V ELASTICIDAD
*Capítulo
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8
la .db de la foto está en equilibrio estático. Sobresale un sexto de su longitud y cuando un ~tIJ(j¡¡mte se coloca con su centro de masas en el extremo de la tabla, esta permanece en ~uilibrio.
¿Cuál es la fracc ión máxima de la masa del estudiante con respecto a la masa de la tabla para que la tabla esté en equilibri o cua ndo el centro de masas del estudiante se coloca en un exttemo de la misma?
Si un objeto (:s tá estac ionario y permanece en ese estado. se dice que se enclIen tra en equilibrio estático. La delerm ¡n[te ión de las f u erl.JS q ue actúan sobre un o bjeto e n equilibrio estático tiene mú 1I ¡pies ap licac iones de i merés. Por ejemplo. las fucrl.a~ ejerc idas por los cables de un puente colga nte deben ser conocidas íl fi n de q ue los c ~ b l e!
Condiciones de equilibrio Centro de gravedad Ejemplos de equilibrio estático Par de fuerzas Equilibrio estático en un sistema acelerado Estabilidad del equilibrio de rotación Problemas indeterminados Tensión y deformación
342
I
Capítulo 12 Eq uilibrio está tico y elasticidad
12.1
Condiciones de equilibrio •
Unn condic ió n n c~cs uri a para que una pnrt ícula e n rc p~so pcnnnnc7.ca en C!\C CSl adoe~ 111 fue r/ a resultante que actúa sobre d.lu sea nul a. Del mismo mod~. el centro de ma~dc cuerpo rígido pcnnnnccc en reposo SI In f uerMI resultánte que nCl un sobre el cuerpo ~ cer Sin embargo. uunque su centro de masas se encucnlrc en reposo. un cuerpo puede gi , pUrtlO. e1cuerpo no es! á en cqm' I'b ' estático. Así"' S, hay rotuciólI lLlredcdor de cualquier 1 no
para que el equilibrio cstál~cO ex ista. el Ello m ento, r~~;ullan~c. que actúa sobre un cuerpo':, ser cero respecto u c/fflllj ll/er pu nlo P. Esta condicIón es lItd frccucmemcnlc cn la sol . de prob lcnms. pues nos permite elegir cuu lquier pun lo conven iente para el cálculo de m O lll c n t o~.
Las dos condiciones necesarias para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio e.c,u. , lIeo son 1. La ruer/..a externa resu1t:mtc que actúa sobre el cuerpo debe ser cero: (111)
2. El momento exlerno resultante respecto a cuolquier punto debe ser cero:
(12,21 CON OIClON~S DE ~IUIO
12.2
Centro de gravedad
La figura 12. 1a muestra un cuerpo rígido en equili brio estáti co que s u pon ~ por muchas partículas pequeñas y un punlo O. El peso de la partícu la ; ~ del cuerpo W = L",¡. Si r ¡ es el vector posición de la partícula i rel: momentO 'T¡ debido a "'¡ respecto del punto O viene dado por la expre .. ¡ momen to gra vitatorio neto respecto de O vale T nc10 = r: ( r ¡ x "'¡). El m' neto respecto de cualquier punto se calc ula como si todo el peso del cuenmulada en un ún ico puma. el centro de grm'cdad (\'éase la figum 12.1 /1
T neto -
(a)
t!~ lá fo~
el peso 10>1 punto O. d :::: rl X \l"r B g.ravitatorio , (0\ iera 3I:U'
( 1231
r Ct; x \ V DEFINICiÓN _ Ctl\F
DE wllEMD
donde f el: es el vector posiCión del centro de gravedad relativo a O. Si el campo gravitrHorio g es unirorme en el cuerpo (como OCllrre habilLlulmcnlc cn ot:'" lOS cuyas di mensiones no alcancen las dimensioncs astronómicas). se es¡.:rihc \\ I :::: //I,g. SI;,f suma en ambos lérminos para todns las pan ícu las se obtiene que W = Alg. donde M = ! '" es la masa del cuerpo. El momento neto es In slI ma de los momentos indi viduales. es ¡k(tf.
w
,
i
Si I!n el térm ino de In derl!cha extracmos g como ractor común (b )
Figura 12.1
'T
..1U= (¿, /JI¡I'¡)x g U
12.3 Ejemplos de equili brio estAtlco
uo,:undo lu dcti nic: ión de CCtllro d
c
l' Il<'to
= M r ~n1 X g -- r cm X A''Ig =
r
cm
X
I1lU~ a !<.
(M r cl11 = Lml r / ). ¡,c
W
( 12.41
12.3)' 12.4 :-on válidn:. pum c ualqu;e r P O ' UntO "IClIlprc q ue r -• • _ ,¡ el ~uerpo cstt1 e n un l:al11 l)O gravitatori o unifo • "' ...n - r C1!' C~ ¡jtt:lr. d ' .1 nuco pUc¡, en é l el cctllro de m'LVIS y e l tle gr:lvcdll COJllel{ en. • • ITO l"tfl . , Si c) t'~ l á !-ilUodo Justo c nCUlln del CClllro de gravedad W . '" .. l - ,.)Or lo tunt o. se cum ,lc l' _ I . rC¡ y ~,IO en la Ilusmu dirección ¡hacliI ;Ü ;1JO) . 1 . 1 tlC!to - rc~ X \\ = O. Por ejemplo. cuando un móvil ,'(lUlO d de la IOI~grilfHl se cuclgll con ~u celll ro de gnlvedad directilmentc por dcb.tio del rcsl) "' lO .,1 1 punto {c 1 suspensión . es pu010 J' ,u~I>en:' lón. el momento .. . ncto . sobre el obicto J . C" ,-ero. I"'- 1,1 q ue est:1 en eqUlltbno e:-uÍl lco, ~
...·U:¡¡:I(IIIC¡¡
.....
12.
Ejemplos de equilibrio estático
•
En I ~ lllJ ~
1""1. Jo r:u~ 0JlU'"
EJ E ~
·do de los ~jc mplos y problcmas (~C este capítulo, todas las fuerLa !<. son perpcndi le ::. En d., cho~ probl~I~HlS lo l1~eJor es ca lcular los momentos respecto a UII eje le ::. La chn:cc lón ?OS¡t.IVU se eltge perpendicular y dirigida h:\cia fuera del pal>C1. :I\ ¡\le a eleg ir In dIrección dI! las agujas del reloj como dirección lIcgativlI y la I direcc ión del movi mien to de las agujas del reloj como dirección positiva.
o
12.1
I
So bre la tabla
Una L< la unirornte d e L = 3 m de longitu d y de M = 35 kg de ntilSa está colocada sobre dos bal::lIw:t situadas a una d istancia d = 0.5 m d e cada uno d e los extremos, tal corno se muestra en la fij!urn 12.2. (a) Calcula r qué lectu nl mostra r á n las bala nzas cuando Mary, de m = 45 kg dr ma..\3, se sitúe en el extremo izquierd o d e la tahla. (h) Sergio se sube cn el otro cxtremo de 1;1 tablo ) almina ha cia Mary. que saltn al s uelo cuando la tabl:) empieza a inclina rse. ¿Cuá l es la
masa de Sergio s i cua ndo llega al extremo izquierdo de la tllbla la bala nza situada a la derecha marca cero? Planteamiento del pro blem a L'llcctura de las balanzas es el módulo de las fucnm, que se ejercen ~ li! t:lbln. Para dClcrminnr el módulo de estas fucr/.as se aplican las dos condiciones dc equilibrio.
Fig ura 12.2
(a) 1. Dibujar el diagmrna dc fucrlas cuando Mar)' está sobre la IlIbla (véase la figura 12.3). Las fucrlas F¡ y F1) son las fuerlas ejercidas por la balanza de la izquierda y de la derecha respectivamente:
2. Se toma la dirección hncia arriba positiva)' se aplica la condición de que la fuer/.a nCla es cero: 3. Calcular el momento neto res¡x.'CIO :11 eje dirigido haciCl fuero del papel ((:onsidemndo que el scntidO contrario ni movimiento de hl~
F,+FI) - Mg - ms =
rT
•
jar PI:
o
Figura 12.3
L - 2d
2
/ _ "Id
0 = F ,)(L - 2d) - Mg ~
por lo IIUlIO
S. Sustituir este rcsuhad() de FI) en 111 cxpr~i6n del pa~(, 2 y de~pe
F
= F p ( L - 2(I) - M S
agujas del reloj es el sentido positivo) en el punto de aplicación de F¡: 4. Imponer que clmorncnto toml c..~ cero y despejar para ¡."[):
,
r.¡;, -- O
"'1
"1 -
('
+ 11I 8 d
+lIIgd
f-d )
= Mg+IIIJ.: - Fn = 1: M + 1_ 2d lll g
1 343
344
I
Capítulo 12 Equflibrlo estático y elasticidad
6. Con d objetivo de. obtener lo~ "¡llore., numé ricos d ~ las rucr¡:a~ sustituir los d¡¡to~ del problcl11u:
=
F l'
(!(3; kg) - 0.5 '"45 kg)( 9.81 22m
Nlkg)
=161.3 NI FI = G(35 kg)+2 5 m 45 kg) <9.81 Nlkg ) 2m =1723.5 NI
(b) Usando el rc~u lt ado del paso 4 del apnnado (a). poner Fu = O Ydespc-
0=
GM - J4~J2dm)g
(h:spcjundo m resulta m
= L - 2d M 2d
= 2m(35 kg) =170kgl 1m
Comprobar el resultado La suma de lus dos fucr¿as del pa.'>Q 6 del upanado (a) debe coincidir con la SUlllli dd f}e-"O de Mur)' más el peso de la tabla. El peso total es (M + m)g = (35 kg + 45 kg)(9.8 1 Nlkg) = 785 N. Ll.l ~ uma de la..<:; fuerl/l.<; F. + FD = 723,5 N + 61.J N = 785 N. Asimismo. FD < F I , como cra de cspcrnr. Observación Cuando el sistcma cstá cquilibrado con 1'0 = 0, Sergio está a 0.5 111 del eje y el centro de maSlL'i de la tabla está a I 11l del cje. Por lo tanto. la muSll de Sergio es e l doble de la lllasa de ]¡. t¡¡blu.
El ejempl o 12. 1 lambién puede resol verse uti li7..ando un ej e que pase a travé'i de lollUi 11/ , pero en este cnso. wmo PI como FI) aparecen en la ec uación de los momentos } el álgclm es un poco más compleja. En general. un problema estático ~e simpli fica calculando lo momentos nlredeclor de un eje sobre la línea de acción de una de las rucrl.a.'i desconocidas como el eje que pasa por el pun to de apl icación de la fuer.la PI en el CDSO de I ejemplo. Para cnlcular los momentos se ob¡iene unn solución de fOnTIa ~e ncill a SI el punto de aplicación de la fuerza de la que se tiene menos informaciól C ONSE/OS PARA LA Rf SO
EJEMPLO 12.2
I
La fuerza sobre el codo
Un peso de 6 kg se sostiene en la mUllO formundo el brazo y el lmtebrllZO un :í ngulo de 90°, como se mueslru en In fignra 12.4. El musculo bíceps ejerce una rucn,¡1 F", eu yo punto d e aplieaci(m dis l1l 3.4 cm del punto pivote 0, en 1u nrlieuluci6n del codo. Trulllr el llnlebruzo y la mm;u como si rucran UlIlI harrll unirorme d e mU.'illll/h = 1 kg (a) ¿Cuá l es el módulo d e F", s i la distancia del peso 01 punto pivote es 30 cm? (h) Detcrminnr la rucr/-u ejerci do sobre 111 nrticulaeUIII del codo por 1.. parte s uperior del brazo.
Planteamiento del problema P-Jm determinar las dos fuer/.m:. aplicar las dos condicione.... que se dcocn ..:umplir pum que haya equilibrio eSl¡itico ('t.F = O Y r r = O) ni al1lcbntzo. ( a) 1. Se dibuja el di;lgr:una de ruer/a, pam el antebnrlO considemndo que é~le e.~ una baml horiLontal (figum 12.5)
o cm ~-30cm
Figura 12.4
Figura 12.5
I
ge el ejeti!
12,3 Ejemplos de equ11lbrio estát ico
2 La fucl"/u de [n c uu[ tCllcmo, meno, in~ '6 " onnucl n cs In cj ' re'd la p:lrle ",ulx:r!or del bml.o t!1l lu unión d _1 'od .~ ' e I a por , '. e C tl I' h (no ~' . bcm . . ~ u módulo III"'U dU'ecclón). Aplicumos tr = O .' (JI' ru eje dirigido hachl fuera cid pnpcl y
F h(Ol - m h S
2 + F",d -
mgL = O
I>or lo 1111110
= (b) \plicamol> 'f.F. - O y rF, = O pura obtener I'h:
L
(!(2 I kg) + 6 kg)(9.8 1 Nlkg) 3.4 30 cm cm
= 1563
NI
Fil.. +0+0+0 = O Y Fto,~+Fm - ( l/I hg - l/Ig) - O
con lo que Fh, ~ = O
Y Fb, ~ = (m+/II h)g - F m
= (7 kg)(9.81 Nlkg ) - 563 N = -494 N Por consiguicnle Fh = 494 N, hacia abajo
ot l
en
ació.n
La . fu erl.n, que .debe ejercer el músculo es 9,6 veces el peso del objeto, Además el musculo tira hacm amba, el brazo superior empuja h.lcia abajo para mnmencr el antebmzo iiñrio. La fuerza ejercida por el brazo superior es 8.4 veces mayor que el peso del objelo.
Ejer_1cio Demostrar que Fb puede delcmlinarse en un solo paso escogiendo como pivote el punto 00n0c el bíceps se une ill antebrazo. (Res/Jlle,fta: Igualando a cero el momento resultrmte, se obtiene FblJA cm) + Fm{O) - (6 kg){9,8 l Nlkg)(30 cm - 3.4 cm) - (1 kg)(9,8 1 Nlkg)( 15 cm - 3.4 cm) = 0, y por lo tanto. Fb = 494 N.) Observación
Este ejemplo y este ejercicio demuestmn que podemos elegir el puntO pivote donde nO!> l'Onvcnga más para s implificar los cálculos .
EJEMPLO 12.3
1
i INTÉNTElO
Colgando un anuncio
USTED MISMO!
La directora de la libreriu del cumpus 1m encarglldo un nuevo r6tulo panl anunciar su cstnblecimiento. El r6tulo tiene una masa de 20 kg Y ha de colocarse colgado de una llllrrn rígida que está sujeta a la pared mediante un cllble (véase lu figurn 12.6). Para suber qu é cable se necesita, la directora pide ayuda a un estudiante de rlSica purn que le calcule la tensión del cablc. También le pide quc calcule 111 ruen.tl que lo burra cjerccró sobre la pared, tu barra tiene una longitud de 2 m y una masa de 4 kg, Y el cable pende de la pured de Ull punto situado 1 m por encimll de la barril, Planteamiento del problema Pum que In buml esté e n equilibrio licnen que cumplirse tres CO Il diciones: r.F~ = O. 'LF y = O Y I>r = O. y tenemo,> tre~ i n cóg nita~: T. y la:. dos cOmponentes F, y F) de la fuert:n cjercidn Por In barm sobre In pared, La fuer/JI ejercida por I:l harrn sobre la pared c.." igual pero opueMn a la fucl"I.a ejercida por la pared ~obre 1ft barrn.
¡\f
l ibrerio universitario
Figura 12.6
Tape lo columna de la derecha e ¡'Uente resolverlo U5 ted mismo Pasos
Respuest as 1
1, Se dibujll el dillgrama de fuc r/Jls de la barra (fi gura 12.7).
2. Se impone la condición Ir = O respeclO del punlO O.
TI.
"'~'n ti
\Id
1. Se u~a la trigonometría pum despejar (}.
8
1 an:1J.l .;
4. Utililundo el resultado del paso 2 . .c dc.... pcja 7:
T
14".1' 1
I
, = (1
II/~-
-
,
-
Figura 12.7
I
345
346
I
Caphulo 12 Equilibrio estático y elasticidad
S. Se impone I¡: , = () Y 'i.F y = O y, IIsundo lo!> v¡¡IMe:; cnlculndol- de T y de 8, se despcj un F, y F,.
6. Se dcspeju la fileno F' ejercido por In buml sobre la pared. La fuer/.!1 ejercida por la baml '>obre Iu pilred y la flierl.u ejercida por In pared sobre In baml son un par de fuerl :l¡, acción - reucciÓn.
EJEMPLO 12.4
I
1 , 1
tl
• 1
\1 ,
,
~'r
Inl,mlll,
1
• ~~2 'i.
10"
F
III~
-
" 19.2 N
1
. , I 4''''''
19.2:'1i j
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
La rueda que sube un escalón
Unu ruedu de masa M y rndio R desctlnSII sobre unu superficie horizontal contrll un e.c;caIÓn d e altura h (1, < R). Ln rucdn tiene que subir el csclllón mediunte 111 fucrLll horizontal F aplicudu all'je d e In rueda como indica 111 ligurn 12.8. Determinar la fuerza mínima Fmln necesaria pllrn elevllr la rueda sobre el CSCIlIÓn.
Planteamiento del proble ma Si el módulo de F es menor que Fmrn , la superficie de debajo de In rueda ejerce tina fuen a nomml dirigida hacia arriba sobre la rueda. Cuando F crece. esta fuerza nonnal disminuye. Aplicar la condición de equilibrio eslátk'o para detenninar el valor de F para el cual la rueda todavfa pennanece en sus sitio pero la fucrl.a normal es cero. Tope fa columna de fa derecha e intente resofverlo usted mismo
Pasos
Figura 12.8
Res pu estas
1. Dibujar el diagrama de fuer.t.as de la nlcda (figura 12.9).
2. Aplicar la condición I'l" = O a la rueda. Se desconoce tanto la dirección como el módulo de F', por lo que conviene calcular los momemos alrededor de un eje quc pase por el punto de aplicación de esta fuer7.a. Obtener expresiones para los brazos de palanca a panir del diagrama de fuerlas y despejar F",in'
"'nu"t /? hJ -,\.1g.r - O por In tantu
3. Usar ellcorcma de Pilágoras par¡¡ expresar x cn función de h y R.
\ - JJ¡("2. R -hl
4. Igualar los módulos de los momentos y despejar F.
/.'"
F ",i"
_ Mgx R -h
=
R
'\! r> ..,¡I,("2. R . /¡J
•
R 1,
Figu ra 1..:
Observació n Aplic:mdo I:-r = O respecto a un eje que pasa I>or el centro de la meda mucstra que F' está dirigida direcl:lmente hacia el cenlro de la meda ya que de Otro modo habríu un momento neto resultante distinlo a cero.
EJEMPLO 12.5
I
La escalera apoyada en la pared
Pared sin rozamlentc
Unu csclllerll uniforme de 5 m pes:1 60 N Y estú npoynda contr¡¡ una pared \'crtlcnl sin roZIImiento (fill:ura 12.10). El pie d e la csculera está 11 3 m d e d istancia de la ))ured. ¿Cuál es el mínimo coeficiente d e rozamiento l'Sh~tico necesurio entre el s uelo y la escllleru para que éstll no d eslice?
Planteamiento del problema Son nece.'\arins tre,'\ condicione:. para que la cscnlem se cncucnlre en equilibrio: LFJ = O. IFv = O Y 1: r = O. Pnm despejar J.4 aplicar cStuS condiciones junto con le S J.4.Fn·
1-
.1111
Figura 12. 10
•
12.4 Par de fuerzas de fU Cf.r.U\ de lu c'cnlcrn t J 1. Dihujnrd diagr:.mlU f U Cl1 lll Q \C muestro' J ¡i"unl t 2. 11 . L,,'> tlernlS qUl' 1U.::lI.inll ~obru 1,. J • en u ~ . I c ~('u era f.on In fu' d la grttvcdud. n . 111 fuer/u F I cjcrcidu por lit p .. 1 • • cr/-u e lste en ulla compOn\!ntc lIonU31 F • . ú· J. L .. Y unn comlX)ncntc eJe ro/llnuclllO es! l I CO~. :I!> tres condiciune, " . puru que havu cCJuili tirio c, tiÍIICL) dcICntUn:Ul FI·fe y Fn' . -
2 El caelicienl!.! de '
rollllllicllIu
.
cstúüco mínimo .. ~,'
fuer/ti de ro/1llllLCI110kY In fuel7':\ nonnn l F '
3. E~l:tbJcccr que
....,
ji
J•• '
re aClonudo Con
,, ,
la
o y
6.
, ,•, ,, ,,
,, ~ft F "
por 10 l'mlO <
4. J">I:spcjar k y F,,: 5
347
F,
".
L F, = O Y L F~ = o:
I
f'" c
F,,-w = O
Y Fn=w=60N
.plicar Ir =, O respecto a un eje dirigido hacia fuern del )11 I Inmdo en el )m! tic lu• esc.;alcm. el pu mo de uJ,lic',c' ,ó" de J¡¡ fuerl.:t Jue .• peJU • • .•11 tenemos menos mlonnnción.
: .. pejnr la fucwI F I :
~ --_._-----'---
FI (4 rn) - w( 1.5 m) = O
-1- 1.5 m
,-
Figura 12.11
F _ 11'( 15 m ) = (60N)(J.5m) = 22.5 N
4m
4m
7
,¡ lilar eSte rcsuhado de FI y fe = FI (paso 4) para calculllr fe:
fe =
F ¡ = 22.5 N
8
¡Illar estos re~ultados de fe y Fo pam obtener el valor mínimo de 11~ p:ISO 2:
l1e.m!o
N 103751 = lF e = 22,5 60N = .
"
Observació n Hay otra forma de ver este problema. En el diagrama de fuer1.3s de la eM:ólJICm qU; muestra la figJUrn [2. J2 . lóls1f líneas de acción del peso w y [a fuert..a Fl ejercida por a p3re se co ",u~ en e punto p. La nea de acción de la fuerl.ól rc.sultame ejercida por el \U f + Fn debe pasar tambIén por ese punto P. pues de otro modo existiría un momento no equilibrolo ¡e'pe<:to a este punto. La tangente de (J' es igual a 4 m/l.5 m =2.67 =In ¡F,. Siempre que un obJ o se enc~ntra en equilibrio estático bajo la influencia de tres fuer.ms no paralelas. las líneas de OC'(I('n de estas fuerl.as deben cortarse en un punto. • ~
F,
12.4
P . _•• _ ,~ _.~ "
..•....• • ,• . ••
Par de fuerzas
Las fuerlas Fn Y w en la figura 12. 11 del ejempl o 12.5 son iguales y opuestas. Este sistema recibe el nombre de par de fue rl.a<: y tiende a producir una rOlución. aunque su fuerza resuJlame es cero. Las fu erlas f~ y F 1 en estas figu ras también constituyen un par. La figura 12.13 mueMra un par fo rmado por las fuer¿as 11 1 y 112, scpamdas por la distancia D. El momento producido por este p
,
.
" • (J
• ••
.:
!._ ......_. ____ ••• __ J
f, ... ¡.5 m .... t.Sm ..
E.~te rcsu lwdo no depende de la e lecc ión del punto O. El módulo de este momen to es
= FD
, -1 m
•• •
( 12.5)
T
.
Fig ura 12.12 ( J2 .6)
.,
en donde F es el módulo de un a de las fuerzas y D es la diswllciu entre sus líneas de acción.
El morncllIo producido por un par de fucrf.us es el mi smo respectO n cuulquier punto del espacio.
Ejercicio Mostrar que el módu lo de l momento ejercido por el p..1r de fucrl.us de la figunl 12.13 vie ne dado por FD. donde D é.'i In diMancin entre las línca~ de acción de Ins dos fuerl.m. y F ~ el módulo de cUlI lquierJ de In.\ do!> fucrI.a~ . (Respllesw El ángulo fJ ent re f E- !f 2 y I' E es % .1 ~.porJo que ITI = !( r, - r,)x F,! = ! r ,- ",! F ,c n(90'- ~) = F!r,- r, cos~=
F••
" T
Fig ura 12.13
"
348
I
Capítulo 12 EquilibrIo
e~t6t1co y elastlcld/lld
12.5
Equilibrio estático en un sistema acelerado
. 1emu nce leMldo cnh.:ndcremos un ~iste ma de referencia que c.'ilá acelerando re~ 1,or SIS .' . . ' pecloa ... sislCmu de rufcrencin inerc ial. SI consideramos un objeto.en reposo en un ... 1<¡Iema de rt~ 111 acclerudo, la fue r/.a re~m llUntc no es ~ero. Pum qu~ el objeto s: encuentre en reposo Ull sislema IIcelcrado debe lener la Illl sma acelerac ión que el sIstema. Las dos condiciO!le\ ~ que un sistema se encuent re en equili brio estático en un sislema de referencia acclcmdo ~~
Te\;::
1.
L Ir = fII~I<'m
-
en donde a
de refere ncia.
es la ace le ración del centro ele masa'>, que es la ace leración del . ~
2. L T(m =O L,l suma de los momentOS respecto ni cent ro de
ma ~as debe
ser cero.
Ln segunda cond ición resulta de la va lide/.. de la segunda ley de Ncwlon pam la ro¡~ L T = I a ¡¡plicnda íI los momentos ¡¡Irededor del cent ro de masas. esté o no esté actlt rad~n~1 c::~ltro' de masas. I .
EJEMPLO 12.6
1
M oviendo una caja
Un cltmión tra nsporta una caja un iform e de masa m, altura " y una sección cuadrada de Indo L (fi gura 12. 14a). ¿Cuál es la máxima aceleraci6n que el cami6n puede tomar sin que \'uelque la Cajll ? Suponer que la caja vuelcu antes de resbalar.
Planteamie nto d el problema La aceleración de In caja es debidll :1 la fuer,.-;a de rozamiento. como indicn la figunI 12. 14b. Esta fuerza ejerce un momento antihomrio respt.-cto al cenlTo de masas de la caja. La otra que ejerce un momento respecto al centro de masas de la cajn es la fuerl.a nonnal. Si la caja no acelcm. la fu er7.a nonnal se distribuye uniformemenlc por la cara inferior de la caja. Si la acele· mci6n e.~ pequeña, esta distribución se desptll7.a y la ruerl.a nonnal efectiva se mueve hacia la izquierda y da lugar a un mOlllenlOde balanceo respecto al cenlfO de masiloS. El máximo momento de balanceo que esta fuerta puedc ejercer tiene lugar cuando p:1SU por el borde de la caja. como se muestra.
"
•
" , , (b)
(a)
,,
. 1-
Fig ura 12. 14
1 . Di bujar el diagrama de fuer-I.US pura la caja (figura 12.15)
2. Aplicar
r.F, =
3. Aplicar
r.F, = /IIacm ~
4 . Aplicar
r.
'l"em
m (j ~m~
a lu cajn y despejar 1:1 fucrlu nomt:ll
I
Fn - lIIg = O
fe =
= O:
f
o F a = IrIg
J¡f!.
.,- . /¡
/IJ (¡- -
•
, , I
I// tI
¡
/o - - F ti = O
,
5. Sustituir ti. fe y FN Y despejar a:
I
I
h
,
L /IIg•
•
O
O
a=ILg l /o
....
•
"
1 tf~
1
Fig ura 12. 1S
Observació n La aceleración 1l1!1ximu es proporciona.l tl U/, . EMll ueelcmci6n máxima es pequeña. pura una caja alta y estrecha. (UI! pequeño) y grande paro una ellja baja y fl nchll rUh gnLll(]e). Por 10 lal1l0, una caja baja y nncha es más cswblc.
I
V~:l<.e \!:l tlntl1i~I" reltloC!ofU\i:1o con la ecullción 9 ..\0.
,
,
12.6 Esta bilidad del equilibrio de rotación
(b)
I
349
(e)
.. . . fig ur . 2. 16 Si un pcquc.ilo movimiento hace que el CCllIro de 'rav'd l ' . . J. como en (b). el equilibrio c,... incslublc. Si un ,_ g. C. U(, ~Ub.l, ~01l10 Ct~ (a): el ct{lLIhbno c!. estable. SI un pequeño movimiento baja el ccmro lit gr. pcqucno mOVimiento l1l sube 111 hUJ:! el cenlro de gr,wcd:ld. como en (e). el equilibrio es indiferente.
12
Estabilidad del equilibrio de rotación
El eq\ , rlo de rOlaci6n de un cuerpo puede clas ificarse según tres categorías: estable. inestable _ ¡dife rente. El equilibrio d e ro ta ción estable tiene lugar cuando los momentos que
surgen .e un pequeño desplazamiento angular del cuerpo obligan a éste a recuperar su posición d( eq uilibrio. El eq uilibrio estab le viene ilustrado en la fi gura 12.16(1, Cuando el cono gira ligeramente al rededor de un ext remo. el momento resultante rcspecto al punto pivotc tiende a restaurar el cono u su posición original. Obsérvese que esta ligera rotación eleva el C(nlrO de gravedad. incrementando la energía pOlencial del cono. El equilibrio d e rotación inestable. ilustrado en la figura 12.16b. tiene lugar cuando los momentos que surgen de un pequeño desplazamiento angular del objeto le obligan a sepa· rnrse de su posición de eq uili brio. Una li gera incli nación del cono ocasiona su caída. porque el momento debido a su peso le aparta de su posición inicial. En este caso la rotación hace descender el centro de gravedad y la energía potencial del cono di sminuye. El cono que descansa sobre la superficie horizon tal de la figu ra 12.16c ilustra el e(luHi · brio de rotación indirerente. Si se hace rodar el cono ligeramente. no ex iste momento ni fuerl.a que le obl igue a recuperar su posición original ni a alejarse de ella. Cuando el cono gira. la altura del centro de gravedad permanece invariable. ele modo que la energía potencial no se modi fica. En resumen. si un sistema se perlurba ligeramen te respeclo a su po:;ici6n de equil ibrio. ~te es estable si el sislema vue lve a su posición original, inc.... tnble si se alcj'l del equilibrio. e indiferente si no hay momentos o fuerz ~ hace girar el "islema hacia su posición de !.!qui librio.
w
(b)
(a )
(e)
Fig ura 12. 17
L..'1 cstllhilidr¡d del equilibrio es relativa. Si se hace girar la barra en «(1 ) ligernmcnlc como indica (" ). vuelve a su posición origi¡¡¡¡[ de equilibrio siempre que la venical que pasa par e l cenlro de gr:l\'edad no sobresalga de la base de suslentáciÓn. (e) Si 1,1rotación es dcma~iado grande. el centro de grnvedad sohrcpa::.a lu base de suStcnHlción y la bum! vuelca.
Centro d e gravedad
n ()
w ((1)
Centro de
gravedad
Mas estabte
lb) Menos estable
Figura 12. 18 Cuando una baml no un ifoml c dc::,cllnsa !>obre MI eXtremo nllb pesado con su centro de gravedad u poca ahumo como e n (oJ. el cquilibrio cs má:- c'\lublc que CUtUldo ... u cC lllru de gm"cdad C!> :tilo. COfllOocurre en (bl.
Punto de giro Centro de
Gravedad w
Fig ura 12.19
350
Capitulo 12 Equilibrio estático y elasticidad
Un ser humuno de pie, o cam inando e reclO. liene d ific.ultnd en mantener ~u cquili% porque e l centro de gmvednd está u~ o y debe mante nerse s iempre S~brc In base de ~ los pies. q ue es relat ivamenle pequena. Es~¡¡ c.. . In razón ~rcl llc lo ... ", ño... tardan :1Proxill\ada· mente un año e n aprender ti andar. Un alllma l que c~m l lla <¡o bre ~us CU3tro pala.\ apre . ¡mdar más rúpidamell l.c porqt.Jc s u b~lse de ... ustent¡.l ~lón e~, may~r y SIL ce ntro de gra\~ está m iÍs baj o. Los gatitos reCié n nacIdos andan cas I mmed latamente.
12.7
Problemas indeterminados •
C uando los c uerpos no son rígidos, si.no de(orm~~le~, es ncc~nria una mayor infonnilri&! para determinar las fu erzas q ue reqlllc re el eq Ulllbn o. ConSideremos un coche en reP\llll sobre UIHl superfic ie horií'. onwl .. En S ~I m ~ l etero hay un cuerpo muy pesado. Queremos ~ cuá l es la fll erl.a de soporte verti cal ejerc ida po r la calzada sobre cada uno de los neumát~ S upongamos q ue la calzada es e l p lano xy. Si e legimos uno de los ~ eum ..itico., como origtn. el momento ejerc ido por todas las fu cr.las respecto a este punto tiene componeme\X t pero no compo nente z, porq ue no hay fller.l:ts horizoma les. Asf obtenemos dos ecuaci~ establ eciendo que el momento neto sea cero, y una tercera ecuación estableciendo que b. fuer.la neta vertical sea nula. Necesit amos o tra ecuació n para determ inar la fuerla ~jertid;¡ por la calzada sobre cada una de las cuatro ruedas. Si eX lraemos aire de uno de lo~ ncumj{j. cos o aumemamos la presión de otro, el coche sig ue en equ ilibrio. pero la fuerla e.ierckU sobre cada ne umático camb ia . Evidememente. las fuerzas sobre los neumát ico:. en este IX\~ b lema no están determinados por la info rmación recibida. Los neumálicos no SOnl'lle~ ríg idos. En cierto modo. todo o bjeto es defon nable.
12.8 L F
F
(a)
F'
Tensión y deformación
S i un o bjeto sól ido está somelido a fue rzas q ue t ie nden a alargarlo. COrt.;I' cizalladura) o comprimirlo, la fo rma del objeto varía. Si e l objctcl recupo. después de suprim ir las fuel-u ls. se dice que el objeto es elás ti co. La m" tie nen un comportamien to e láslico al verse sometidos a la acc ió n de! fu éstas no supere n un c ierto va lo r máxi mo denomi nado l ímite clástic() demasiado grandes. e l obj eto no recu pera s u formH original. sino que teme ntc. La fi gura 12.20 mues tra una barra sólida de longi tud L sometida a un tensora F que aClóa ig ualme ntc haci a la derecha y hac in la izquierda. 1;1 librio . pero las fuerl ils q uc actúa n sobre e ll a lie nden a incrementar \ u \lln relativa de la barra tlUL rec ibe e l nombre de d efo rmaci ón :
te formaciÓll deo form:l originJI 1.'
los cueq.'('l
nn 1111 dt> 'P fuerlll:. \(l It;.\
l
pcnr\.Wll"
ión o ruen:a c\¡á I!n e\j[ll-
La \·;ui:ll."lllI
(/»
De formaci ó n = llL L
Figura 12.20
(a) Barm sólidn somctidu u fuer.!::ls derormadoras F que actúan en sus cxtremos. (h) Pe-
' Iueñu sección de In barra de longitud L. Los eleIIU: ntO'" de la barra n lu it.qu ierdn y a la derechn de C"la sección ejercen fUCr/.ll ~ sobre ella. Si In sección no c.'\ tá mu)' próximo a un extremo de In burr.¡. estas fuc rln... M! di';lri bu)'cn por igual ..obre e l área transversal. La (ucr/a por unidnd de área es lu tensi6n.
., ~ El COCiente enlre In fuerla ,. y el área de la secci ón recta A de la burra \c UilIllU IcnSlOn tracción (o simp lemen te tensión): .
.
F A
Tensl6n = -
La fi g ura 12.2 1 mueMra un a rep rese ntación griíficll de la derornmción 1!11 hnll'l{lO dt ~ te ns ión pam uno barra sólida típica. El gnltico es lincnl h:t:.tn el pu nto A H ll\t;ll.',tl' JIllll" que se COnoce como ellfrnitc linenl. 111 te nsión c:. proporc ional a la dcl\1On:t~I(in EII\',ultiJl' de q ue la defonn ació n cambie lincnllllcllI c COIl la tell!o>ión ~c COIH)CC con el nmntm' ¡k ~ 3 Hookc. El pun tn B dc la fi guro 12..21 t!S e l límite cltbt ico del mat!!';a!. SI ,e alnQ!.1 1;1 ~.. por enci ma de este punto, se dc for1l1u pc rnHlllcn tCI1lCn (e. Si la ti.,'IN rll1 :l JlIljUl' ~l' "IU1" • material es aún mayor. fi nal lllcll\c!
TABLA 12. 1 Modulo dE' Youllg Yy re~htencla d di
e
200
M'ro
70
90
Cob"
11 0
230
190
390 2
p, compresión
'-'"
entr
mód
16
9 90 16
P!¡ll • 1G
23
17
200
-
B ___--~ C
270
370 12
A
tensión y la deformación en la zona lineal del gráfico es una conSI' I d ' d v. . .. n e cnomllla a dC vl oung 1:
¡ensión y = :o:i=3T deformación
-
F/ A IlLl L
( 12.9) D HINICIÓN - M ÓDULO DE YOUNG
límite elástico
Si se somete una barra a la acción de fu erlas que tienden a comprimirla en lugar de alargarla, la tensión recibe el nombre de tensión de compresión. En muchos materiales, el módulo de Young para la tensión de compres ión es el mismo que para la tens ión de tracción si en la ecuación 12.7 se toma el valor de fiL como la dismillución de la longilUd dc 1" barm. Si la tensión de tracción o de compresión es demasiado grande, la barm se rompe. Ln tensión ala que se produce la rotura se denomina resis tencia a la fra cción o. en el caso de compresión. resistencia a la compresión, En la Tabla 12.1 se encuentmn relacionudos tumbién ~'3lorcs aproximados de las resistencias a la tmcción y :l. la compres ión pam di versos materiales. Obsérvese que el módulo de Young de los huesos es muy distin to según se tmte. de deformaciones por tracción o por compresión, al contrario que en otms Illuchas sust.
EQ UQ trabajo de verano paru una compllñfn de ingenler fa , usted reci be el encu'1t0 de compro~- Ia Ile&Urldad de un ascensor en un nuevo ed i. e lo (le oflel nlls. . li'~ 1ascensor puede lIevllr una uv
earaa rrub Jma de 1000 kg (c~nLondo s u propia mn...a).)' cstn sllsPelldld~ld~ unF.'~~~I:~:~~;::
de 3,0 an de dJ' metro y 300 m de longilud cua ndo eslá del lodo de.<;coro JI () , ~ . • d I de. . rse máxlmd J cm Sulr nbujo conslsle en e er...a.. __ DOrmu de seguridad. puede C1illr..a como no Icni~ndo en cUl'nla (lile IlIlIcclertl-
- . . .. eI·~DIOr. tal como se ha dl'iC'llItdo. es seguro o dio ........ del ........ d. 1,5 mIs".
•
fotura
Fig ura 12.21 Tensi6n en fu nci6n de la deformaci6n. Hasta el pumo A la deformaci6n es proporcional a la lensión. El pumo B. Ifm ite elástico. e... el punlO a panir del cual la barra no recuperará su longitud original cuando se suprimu la tensión. En el punto e la barra ~e rompe.
Ejercicio El músculo bíceps del brazo derecho de cierta persona tiene un área máxima de 2 su sección de 12 cm = 1.2 x 10-3 m2• ¿Cuál es la tensión en el músculo si ejerce una fue rl,1 de 300 N? (Respuesta: Tensión = F/A = 2.5 x [OS N/m2• La tensión máxima que puede ejercerse es aprox imadamente la mi sma para todos los m6sculos humanos. Los múscu los con mayor área transversal podrán ejercer fuerlas mayores. )
La segurid ad e n un ascensor
Punto de
Deformación
Las umdades del módul o de Young son newlons por metro cuadrado. En la Tabla 12.1 se relacionan los valores del módu lo de Young para diversos materi ales.
I
151
520
Jiur'C\ ~on rcpresent3ti vo". El vnJor relll pnrn una 1l1lle..~ lra c . . 9 JOl l\'IN = 10 N. ' oncrel.i puede ser diferente .
EJEMPLO 12.7
I
verso$ matcrlalc$'
520
Aluminio !-I¡erro ¡forjado) !-I(\(11 li ll OO !-Iue'O I\~r tmcción
12.8 Tenstón y deform ación
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
352
I
Capítulo 12 Equilibrio estático y e lasticidad
Planteamiento del problema Sea L la longitud sin deformar del cable. F la fuc!?u que nctúa sobre é l y A M I área tntn .. venml. El alargumiento del cuble AL está relacionado con el módulo de Young por la eX I)resión y = (FIA)/(AUL). Según lu Tllbl:. 12. 1 el vu lor numérico de Young dclncero c:. Y=2.0 x JO II N/m2• 1. El alargamiento del cable. 6L se deducc del módulo Young:
2. Poro dClenninar la fueno que actúa sobre el cable se nplica la segundn le)' de Newton a l ascensor. Hu)' dos fuerl.lIs (l ile uctúun sobre el aSce n~ sor. la fucrJ:n F dd cable)' el pc:.o:
FIA Y = 6L1 L
por lo Ulnto Il L =
f!:. Al'
F - mg = ma,
es deci r. F 1M, = m(g + ti". rob) = (1000 kg)(9.8 1 Nlkg + 1.5 Nlkg) = 1, 13x 10 4 N
3 . Sustituir el rcsultlldo del paso 1 y obtener la deforrnuci6n rnáxi rnu del
cable:
!!. L =
FIM~L
AY
_ FrNJ,L - rr r 2 y
( 1.13x lO' N )(300 N) - rr(0,0 15 rn )'l(2,Ox 10 " N/m 2 )
= 2,40 cm 4, lnfom\ur sobre los resuhudos obtenidos al jefe:
Ejercicio
De acuerdo con mis cálculos, el cable se alargarti como mucho 2.-1 cm. sólo un 20% por debajo del límite de 3,0 cm. Sin embargo. en el pie de la tabla 12, I se ind ica que los valores del módulo de Young.::.on \'alms representativos y que los valores reales dependen de cada mUe5t111 en concreto. Mi recomendación. entonces. reconoce la co!wenieocia dt consultar con un ingen iero para obtener unll evaluación pmfe ~ionaJ.
Un alambre de 1.5 m de largo tiene una sección recta de área 2,4 mm'l. Cuelga veltical-
mente y se estiro 0.32 mm cuando se le ata en su extremo inferior un bloque de 10 kg. Hallnr (a) la tensión, (b) la dcfonnaci6n y (e) el módulo de Young p.1!
En la fi g ura 12.22 se aplica lI na fuerza Fe tangencialme nte en la r libro. Es tas fuerlas rec ibe n el no mbre de fu er zas d e ci :w ll ndu ra . El CQCI de c izallad ura Fe Y e l área recibe el no mbre de te ns ió n de ciz.ull adu ra : L
F,
1
(12.101
Te nsión de ci7'< ll1 adura - A
Figura 12,22 La aplicación de la fu erla horizomal F, 111 libro produce una tensión de ci....alladura delinidn como la fuer.m ejercida por unidad de fireu, El cociente M/L = Ig 9 es la deformación de cil.alladura.
TABLA 12.2 Valores aproximados del módulo de clzalladura M, de varios m ateriales
Una tens ió n de c izall adura ti ende a deformar un libro del modo que <;0. indl(·:t 12.22, El cociente M IL recibe el nombre de d eformación d e ciza lhldufa.
M, GN i m l
Acero Aluminio Cobre Hierro
84
I a'Ón
36
Plomo
............
I!II
l:t figlJl1
(12.l 11
Defon11ación de c iza lJadura = I:lX = tg8 L
cn donde (J es e l ángulo de c izal ladurtl i ndicado en la figura. El cociente entre lu tensión ~ la deformación por cizall ndura recibe e l nombre de mód ulo de ciza lludura 1\( :
,
Material
!)Crior de UD lre In fUefl3
tensión de c ilu lladuru deformación de cizal ladum
-
F,l A
(lJ.l!1
30
42 70
5.6
ISO
El módulo de ci¡a~ ludura se conoce también como m ód ulo d e torsión . El hec.ho d~
12,8 Tensión y deformaci6n
I
353
Ca\l!lIdi!'h para la medición de la constante universnl de ht Jn v' ..' , . .• (que cslá relacionüdo Con I~l tensión) . g a u.telón C. el l1lomenlO aphcauo • es proporcIonal :11 ángulo d I 'ó ( . 1 In deformación en el caso de l1ngulos pequeños) En l. bl l' e ors,l n que es Igua
•
.
d ' 1 1 ód 1 d .'. 11' d
apf\H.l Ola os (e m
u o e Clza
,1
a la a _.2 se relaC ionan los valores '
.
Un! para varios material es.
ResulJlen T'"
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
•
1. f
(
•
'ibrio de un cuerpo rígido ¡ciones de equ ilibrio
1. L'I fu crLa externa resultante que actúa sobre el cuerpo debe ser cero:
LF = O
(12. 1)
2. El momento eXlcrno re.~ ullante alrededor de cualquier punto debe ser nulo: L 'l' =
O
(12.2)
Si todas las fuel7.:ls que aClúan sobre un objeto ñgido son perpendiculares a un cje. enlonces la ~ Ullla de los momentos alrededor de CSIC eje es cero, E\ul1ilidad dcll."quilibrio
El equilibrio de un cuerpo pued$ clasificarse como cSlable. inestable o indiferenlc. Un objeto en reposo sobre una superficie estará en equilibrio si la \'cnieal que pa~a por su celllro de gra\'edad cae dentro su ba¡.,c de soponc. La estabilidad puede mejorarse baj:mdo el centro de gra,'edad o incrcmenlando el tamaño de 13 base.
2. Centro de gravedad
1..:1 fuerza de gra,'ed3d ejercida sobre di\'ersas pane.~ de un objeto puede rccmpl:vatSC por unn ,oln fucn.u, d peso total del objeto. \V que acníc cn el cemro de gr:l\'ednd. 'l'_
= L, ( r¡x w,) = r,.. x '"
(12.3)
Cuando la acelemci6n es la misma en 1000S los puntos de un cuerpo. el cctnro de grn\'ooad coincide con el centro de musas.
l
Par de fuerzas
~
fucr.ws iguales y opuestas (:mtiparalcla~) conslitu}cn un p.'1 r. El momemo del par c~ el quier punto del espacio. T _ ( r l- r~ )x F ¡ .
donde D ~ la di¡::tnncin entre
l n~ 1ím.·ll ~ de
de modo que
mi~mo
paro cual-
(12.5, 12.6)
r = P'J)
acción de lu ~ fUerl,I1k
,
4. Sistema de refere ncia acelerado
L:I:' condicione., pant que haY:1equilibrio c;;ldlieo en un sbtema de referencia Ilcelerado Mln
1. r F == mn... donde "cm es Ira ncclernci6n del cenlro de mn~:.. que coincide con la :Icelemción del ~¡\IP:." mn de referencia. 2. E'l'.. - O La ~u ma
Je
lo' momentos ro!.!.pcclO dc:l centro de I1IUJ.,3S dche o;cr cem.
S. Tensión y deformación
r • ;;:¡,~,="::,¡~6:::";c: dcfonnación
Módulo de Young
t.l6dulo de dtalladun
M
=
•
F/A
(12.9)
M .tI.
•
".1 . \ ~vn
•
l· •' " 1):
O
( 12.12)
I
354
Capl'tulo 12 Equilibrio estático y elast icidad •
Proble..,as
• ••
•••
SSM •
I
.1
i
Co ncepto si mple. un so lo puso. rel ativalllen le fác il. Nh'c l intermed io. puede ex igir síntesis de conceptos .
-
-
En algllllOs problell/a,f u dan
más da/os de los retdmeme
Desalinmc. para nlum nos llv
eslUdimlles
ti
describi r cómo se lIegua la respuesta y a indi cl.If !:IU nivel de cOll fian 7..a.
l b m a r g = 9,HI Nlkg = 9.81
m/s 2 )'
•
SSM
.,
nlr
(,l e CO " OC /llllell/o.~
generales • f /lelltes externas o estimaciones lógicas.
~~~----~--- dcs prccinr el rozmnicnt o en tod os los I)ro blc mas a me nos (IUC se indi q ue lo contrario,·
Problemas conceptuales I
IIecesarios; e lJ otros patoJ, debtn extra erse a lgllflOs datos (/ 1M .
R,
Verdadero o fa lso:
L,
1 F = O ~ suficiente para que ex ista d equilibrio estático. (bl 1 F ", Oes necesario para que exista el equilibrio estático. (e) En equilibrio estático, el momento resultante res pecto a cualquier puntOes nulo. (ti) Para que un objeto esté en equilibrio es necesario que sobre él no actúe ninguna fu erza. (a)
2
-
L.
11
•
Verdndero o falso: El centro de gravedad se cncuCIl(r.J. siempre en el centro gcométrico de un cuerpo.
Figura 12.23
Problema 9
¿Es necesario que exista materia en el centro de gravedad de un
10 •• Una person" está sentada en Unrl silla cor intenta levantarse sin inclinarse Imcia delante. no puede h
4 • SSM Si lu aceleración de la gmvedad no es con,<;tante en todu,<; lus partes de un objeto. loes el centro de masas o el centro de gra vedad el que coi ncide con el punto pivote cuando el objeto esta equilibrudo?
11 •• SSM Toc!us las hazuñas de b ingenien la edad l1lediu (los acucductos. las pirámides. las grnndc' algunos ejemplos) tiencn en comün dos c:Lrnctcnstic;,. piedra y (Iue todas ellas son estnlctums que ejcrcen es!ut" dccir. son estntctums que están construidas de modo 1.1 son de compres ión más que de tr:lcción (o que ejcrcen res istencia ti la Inlcción y a la compm.ión de la pi...'{]r.l \ d cm por qué CSto es cierto.
3 • objcto?
5 •• Un método para detenninllr el centro de maslls de una figur.! plan:l irregular consiste en colgarla mediante una cuerda de un ex tremo y. con un lápiz, marcar 111 prolongación de la Hllea de la cuerda cn la fi gura. l)oslCriormente colgar la fi gurn de Otro extremo y dibujor. 01 igual que Il nte.... l:l línea que prolonga la cuerda. U I intcl"!ección de las dos Ifneas da lo posición del centro de masas. Explicar por qué esta mctodología runciona. 6 • SSM ¿E.~ posible subir por unu escalera que esté apoyada en una pared. si e l suelo no ejerce rozamiento y. en cambio. la pared sf1 E.'l:plicarla.
7
•
Un eable de nluminio y un cable de acero. ambos con el mismo diámetro D y longitud L. se unen pnra fo mlllr un cable de longitud 2L, El cuble se cuelgo del techo y del Otro extremo se cuelgn un peso W Despreciando la masa de los cnblc.s. indicar cuál de las siguientcs frases es verd:ldern: (a) El trozo de cable de nluminio se alurgará lo mismo que el trozo de cable de ¡,cero. (1» ) Las tensiones en los dos trozos del cable son iguales. (e) Ll tensión cn el trQzo de cublc de nlumi nio C!, mayor que la tensión cn el trow de cubil! de accro. (d) Ninguna de !lIS nfimlnciones nnteriores es cierta.
wn I¡r(w ilc: llmpresiOO. o los ctfutfll')il A\ffl~1l
¡tll p;LBnfii-
Estimaciones y aproximaciones Un gran cujón que pe!';! 4500 N descama ~lbI ..Itro bJoq~1k 12 em de alturn sobre unu superficie horizomnl (figu m 12.2-* I CJjdtl tK'1Il'! 1I de longitud. 1.2 m de nltur:t)' 1.2 In dc tIIlcho. Una per., la JdJi: leran"' extremo del cajón mediuntc unn !tlrgo b.1rra de u("ero. I!l fukn1 de la bmII rSlJl 10 cm del eXlremo quc sube el cajón. E~timar la longitud de la barn«~ necesaria pum que unn persona puedu le\'antllr el extremo d~'1 cJjón. 12
••
2m
8 • Si el momento rc.~ultnn tc es cero respecto a IIn determi nado punto. ¿sem cero respeclo :1cualquier otro punto? Rnzonnr la respuesta.
9 • SSM La barra hori/ontal de la fi guro 12.23 pemlanecem hori10nml ..¡ (t, ) LL'" I~ Y RI .. Rl' (b ) L L '" L: y MI '" "1 2, (e) RI '" R! Y M I .. M !. (d) L IM •• LzMJ.(e)RJL ¡ '" R!Lz·
nligUetb.J ~ lit rales. pIJ' citI'
Figura 12.24
Problem8 12
•
I,~ nl
Problemas •• SSM Considel'Cmos un modelo :1161111"0 , . '" ¡mm e módulo de ~'n" que L'OIl~I,tt' en lIIucho~ átomos colocodCK en uno d'" ,,'b '. ' b' 1",,, • . • I Ut'1nculcu'j ....... rndos uno dt~t n ncUl ti . Itllugmel1los que cad!! ,átomo"... ~ " eoncctm,o con /lUS ~r-''.Oln(J~ \'o..'C IIIOS por pcq ue~os muelles de con ~t antc elástica' (Lo , \l . ' s lomos no ,3
"
~tÍll cOnl-"CUldo~ entre sr ~r mue lle.. sino por rucrla~ que nenlall de modo (Iue f'l1rJ<(llllodehl~ C?nll) ~I fucnm IIlw llcs.1 (a) Demostrnr qU!! eMe I1lntcrinl. si t,ui ~meudo u tcn.q6n. tlcnc un módulo de '{oung ¡gunl n kilI . (b) A panir dc In ,;thIJ 11. 1,)' supolllcndo que (1 '" I nm. estimnr el valor trpico paro In "constuntc ¡\ellllu~llt' ntónllco" k en un IItcln\.
Coro
-,.
~Sl
",:
,
'OC
355
máximo, el coefi ciente de rozamiento depende del ángulo 8 según la relación Ji. '" t8 (). (b) I!xplicur e6mo .se ¡,plic(l e~t e resultndo fI I(ls fnel"l.as que aetúan sobre el pie cuando no se utili7.lIln muleta. (t' ) ¿Por qué con\'iene dar pasos cortos ni lindar ~obre hielo?
to nes de equilibrio •
Un bnlnncfn de '" m de longitud ¡¡¡VOIU en su centro. Un nil\o de
,icnUl en uno de los c'ttn!mos. ¿D6ndc debe sentarse un segundo nmo p,'lrn eí¡uilibrur el b:¡lunl'in'!
"",5 • i Ik"
I
./
Como indico In figura 12.25. Misnko hace una 'iu cc:-ntro de gmvedad se cncucntnl din.-ctnmcnte sobre el punto P del -unl dbtn 0,9 m de !
F
"
Fi g ura 12.27
Centro de gravedad Centro de gravedad 18
•
•
I
Un automóvil cargo el 58 por ciento de su peso:;obre las
roed:l.'i delanteras. La distancia entre las ruedas delanteras y tra!.Cras es de 2 m. Dctcmlinar el CCnlro dc gravedad del automóvil respecto a las ruedas delante-
"". ¡ --
0.9m
- 0.6 m p
Figura 12.25
Problema 15
19 • SSM Cado uno de los objetos que se muestr.m en 1:\ fi gu ro 12.28 se encuentra suspendido del U:eho mediante unn cucrd:l llUldu al punto marcado con una x en In figura. Describir mediante un diagmma 13 orientaci6n de cadn uno de los objetos suspendidos.
, 16 • SSM i ./ Mi!rnko desea medir 1:1 fuer/.u de sus bfceps ejerciendo unn fuerza sobre la correa 'j el dinamómetro de la ligura 12.26. La correa dista. 28 em del punto de giro del codo. y el bíceps está unido
en un punto situndo a 5 cm del centro de giro. Si lo esenia del di namómetro marca 18 N cuando ella ejerce su máximn fuer...a, ¿qué fuer"/.a ejerce el bfceps?
•
•
,.-
Correa
l.
, I
.l()cm
¡IOcm , - ¡ ~ ~
18N ·10 cm
•
I
:: _ _ .1_ ;
__ ., 5cm Figura 12.28
Figura 12.26
IZlJlrueru normal F DemoItrar
ProblCllIn 19
Problema 16
17 , conlra In acem con una ,",mI f' a.. lo lnr!.!o • Una muleta presiona ..... mda ~IU ptIopia "'_ u '''_ cotnO .Ind'lea ' a fig" -. ..~ ' "' .. 27 Esta fuena está,cqUlhb uueu.'UlI. . PI' ..... (a)
•
Y una fuerza de rozamiento r~ como se !Odien en la q:.c cuando la fuerza de rozamiento a1canza su valor
Una placa cundrttdn se con~tnlyc !>oldnndo ,'U3tl\) p l ncu~ cutldrnda~ más peq uei\tl ~, cadu UIllI de Inoo 11, como indica In figura 12.29. La plllCn 1 pesn 40 N; In plnca 2, 60 N: In pllK'll J, 30 N: y la plncn 4, 50 N, Detcmlinnr el centro de gmved nd (tol ' )'<,1 . 20
••
i
./
356
I
Capftulo 12 Equilibrio estático y e lasticidad (2i1.2ft )
2
3
60N
prull y popa IXlr ca "l e~ dclnuxll) mdíclldo. La te n ~lón del c¡¡hle de gido a proa) es 1000 N. l)cténl11l1Ur In ICII!
30N
,,,
1
,
40N
SON
4,88 rn ,, (2a, O)
(0, O)
Figura 12.29
4.88m - -
Problema 20
•
21 •• I Una plunl rectnngular unifomlc tiene un hueco circular de rndio R como muestnl la fi guTlI 12.30. [)eterminllr el centro de gro vedad del sb.tema. Sl/gcr'l'lIda : No illlt'grur. Uti/i:(Jr la slIperposición (le /l//(/ plactl recftlllg lllar menos WUI placa circula r.
Figura 12.32
Problema 23
•
24 •• I Una vigo de 10 m y masa 300 kg ~'extiende sobre l1li re pisa horizontal como indicn In figura 12.33. L..'l viga no e,ú sujeta, noo qlc: si mplemente descansa sobre la superficie. Un estudiante de 60 kg ha rokx:aO;¡ la viga de lal modo que puede andar sobre ella h~la el extremo. ¿Out dislari! máxima x es admisible entre el borde de la rtlpisa y el cxtrelJK)dc 13 \'Iga?
()
Problema 2 1
Figura 12.30
Figura 12.33
Problema 33
Ejemplos de equilibrio estático
25 22 • La ¡iguru 12.31 muestra una palanca a la qut! se aplicu una fuerza f pan¡ levantur Ull
••
SSM
Un.. tabla horizontal destinada
gravedad está :,poyada sobre un fulcro en un extremo otro. Un estudinnte }':rcc horilOlllalrnenh! sobre In tnhhl fulcro, como indica la figuro 12.3 .... La balanZll t'st:'i a Ik cstudiante ticnc Ullil masa de 70 kg Y cuando e:.tJ _,(>1, Illarea 250 N. i,Dóndc está locnlizado el centro de gro, ~d
¡.------ 2111 Figura 12.3 4
x
,
X
---- --- --- ~ - - -----
-
.
F
Figura 12.31
t
Problema 22
23 • La liguen 12.32 muestra un bnlandm de 1.'i pies. El rrlÚlil ClI un palo umfonnc de 120 kg loOpOnndo ~n: In cubrcna ) nmarmdo 11
11
ol,¡l'
centroS Ik'
h:dwJ. tIl d ill'ilJ Sllbn' d
tkl fulcro B ,111. In baLw.J
_tudmnlt l
Problcnm 2S
"""
26 •• t "/ Un tablero de 3 111 de longllud ) .5 kg ur RI.l , 1 suc 111 por uno dc sUS CXlrCIllO!. con una bJlóUgru . SI,· sUJcto:t e np ~'3 un~ futfJo1~ \'enicill lo' por el otro extremo co n el fin dc Icvunwr un:' (';lJu ur 60 ~.I]UI' 11 ti encuentra en reposo '\Obre el Inblcro a 80 cm de bNlgl'll, rUinO sr lnJ"., . pJt fi gura 12.35. «(l) Cnlculur el módulo de la rUCI'1.;l lo' qm' e~ nt>t'c'lIIin nrll'"~ .. m:Ullener el ulblero c:.lucionario y forllland o un ángultl 8 '" .lO' 1/1) esl..; 11 fuer/.u ejerddu por In bisngm cuando tJ = 30' , ll') Clllcul:LT la l ¡k'l t.l : rucr/.n ejercidn por la bi~ngnl si 8 = 30" Y la fuer /A F ....' t'J<"I"l"C pt~f(\I mente ultublero.
Problemas
I
357
umhlr hílstu el (lIto extremo si (ti) 111 m :l,
30 •• Uno puenu unifonnc de 18 kg. 2.0 m de alto y 0.8 m de ancho cuelga de dos bb.agms situndas una 11 20 cm de la páne superior y otra n 20 cm de In pane inferior. Si cada bisagra sopona la mitlld del peso de lo puena. deter. minar el sentido y el módulo de las componentes horil.ontab, de las fuer7,lls ejercidas por las dos bi!mgr'.lS sobre la puena. SOt'nJ
3m
•
31 •• Detennintlr la fuerza ejercida por el borde del e..'iCalón sobre 111 "!eda del ejcmplo 12.4. justo cU:lndo 111 TUt:tla deja de llpoynn;e sobre In superfi. CIC del sucio. •
El trampolín de pisciml que se muestra en la figura 12.38 tiene UM m:IS:1 de 30 kg. Detemlinar la fuer7,[1 que IICIÚll sobre los SOP()rtc.~ cuando el !!ialtndor de 70 kg se encuentra de pie en el extremo de la InDln. Dar el sentido de e:ldn fuerla sobre los sopones como tensión O compresión . 32
Figura 12.35
Problema 26
••
SSM
I
•
Un cilindro de I)(!SO IV loe apoyu en un sistema o fonmHJo IXlr un pi uno inclinado 30 Q Con la hori1.ont¡¡! 11 lu Q lro inclinado 60 a In derechn. como muestra In figura 12.36. l fUer7.íl ejercidn por eada pl:mo sobre el ci lindro. SSM
I
1- - 1.2m
"'
Figura 12.38
Figura 12.36
Problema 27
Problema 32
33 •• Calcular]¡¡ fuerL.:l ejercida por la aniculación A sobre el puntal que se muc.~t ra en la figura 12.39 si se supone Ca) que la barro no tiene peso y (h) que el pc.~o de la barro es de 20 N.
•
28 •• I Un peso de 80 N está soportado mediante un cable lIIIido a una barro que puede girar alrededor de un punto A (fi gura 12.37). 1..1 torra está sujellJ mediante a iro cable con una tensión T 2• según se ve en In figura. La masa de la barru eS despreciable. (a) ¿Cuáles son las tres fucrlas que lI:tÚan sobre la barra? eb) Demostrar que la componcnle veníca l de la tcnsión T.. debe ser igunl a 80 N. (e) Hallar la fue ral ejercida sobre la barro por la ani·
ruJación.
roN
Figura 12.39 34
Figura 12.37
Pmblcma 28
l . Una tabla horilontnl de 8 O m de longitud c.~ utili/.!ld:l JXlr los ~irn. III . , h" U 111 de PIra CUli¡ar a ,u~ yfctima,.. en el llamado "pllseo de la pIune ll . n pIro - : k¡ de mua ~ sÍlúa de pie en el extremo de la Ulbla en ~n cubienll del PIra evitar que le levante. OtrenninlJr la máxima d.iSlanclu que la : : PIede ....' " lir del COSTado del buque para que una vfcuma de 63 kg P
l!I
••
Problema 33
Han contmmoo a Julic para ayudar en los tmb.1jos de pintura de
unm ¡Idomos de un edificio. Por:, ello Sol! ha de utilizar un ap:.unlo cuy:l ~¡;uri · dad Julie pone en duda. Se suspende horizontalmente una labln de 5.0 rn desde lo alto del cdi fi cio mediante do!> cuerda... aladas u sus cltln.'rnos. Julie :.abe. por su experiencia previa. que J¡1!!i cuerda.s que están usando "oC rompen cutmoo In tensión supero I kN. Su capmaz dc 80 kg intenta di"ipnr 1:1 prl.'OCupm:i6n de lit muchaclm y cmpic/.!1 l' pint:lr culocnndOloC 11 I m del extremo de la tablu. SI 111 masa de Julie c.' de 60 kg Y lu dc la t!lbla es de 20 kg. ¿qué posiciones ]ltlt:dc ()Cupar Jlllic pam que c.'tando !tObrc la tabla junio a su jefe. 1 1I~ cuerull' no ~e romlln n'!
35 •• Un cil indro de musa M y radio R nledu contra un C!oCll lón tlt· "Itunt " como indica In figura 12.40. CUllndo una fuel'/.a F q: aplica:1 In panl' alta dd cilindro. é.~ tc permanece en f'cposo. (a) ¿Cuñl es lu fucr7J1 nonnall'jcrcida por el ~uclo M)brc el cilindro'! (11) l,Cuñl c~ In fuef'lu hori7oUlul {'jercid:l lxlr el borde del cO;Clllón <¡obre el cilindro? (e' ¿Cuál ~ lu componctUe \cnic1l1 tit· In ful'I'Y.Il ejercida por el borde dcl e.¡calÓn lJ.obrc el dlindm','
358
I
Capftulo 12 Equilibrio est ático y elasticidad
coeticíente d ~ rollllnieUIO esui lico ,entre el tronco y la \ uperficie hori, O"6 E'1 tronco c ~ ut ti puntO de dc~ h zar hllclrI In derecha. [)el'", I n~b"" . en el ulambre de -:oporlc y el :1.ngu lo que el alumbre forma con la ~
- ,"'"'
40 ••• Un bloque rectangu lar grnndc y uniforme ~e sh6a sobre incl inudo como indictl la fig um 12.44. Una cuerda \ ujcla la fXlnt U~~ blo<¡ue para eVllur que caiga por el plnno. i,Cuál e!> el ángulo mb.¡ s~4:I cunl el blO
Figura 12.40
Problernn 35 )' 36
36
•• Detcnninar In fucrzu horizontal mrnima f del ci lindro del problerna 35 pam que subu el escalón sin dcslizur sobre el borde. 37
••
SSM
La figuro 12.41 mueSlrn una mUllo sosteniendo un fl o-
rete. una annu usada en el depone dc In c...grinm. El centro de musa$ del fl orete que se iudicn en In fi gum 12.4 1. está a 2 1 cm del extremo de la empuñadura. El fl orete tiene 0.700 kg de musa y 11 0 cm de longitud. (a) Aplicur una de las condiciones p:lr.l la existencia de equilibrio est/ltico pilro determinar la ruena (IOUlI) cjcrc idn por la mano sobre cl fl orete. (b) Aplicar la a ira condición de cquilibrio estático para dClemtinnr el momento ejercido por la mano sobre e l l1orete. (e) Modelar las rueilas cjercidns por 1:1 mano como dos rucn:as di rectamente opucstas cuyas líneas de acción están sepuendas por In anchura de la mano del luchador (... 10 cm). ¿Cuáles son los módulos y las direcciones de estílS dos rueillls?
;:z;¡-;;;;:::;t- - - - lIOcm'- - - - -- - --
¡
.-:'
, de masas Figura 12.41
Problema 37
Fig ura 12.44
Problema 40
41 •• SSM Tal como se muestm en la figura J2AS. una oort'HII . río caudaloso está amarr.¡da ¡II extremo de un muelle mediante una C~lLlde5. de longitud. Paí.l dOlar a la cadena de una cier1a flexibi hdad frente a 12S"\"n. ciones del régimen de fl ujo del río, se ata un peso de ](X) l\ del ccntrodc ll misma. (a ) Si In rUCiL.a de resistencia sobre el bote e~ de SO ~. ¿cuál es 11 asión de la cadena? (b) ¿Cuánto se aflojará la cadena. '1 ,idera qllCéstI. pcsn? (e) ¿A qué distancia del muelle estará lB barca'. (1 1.. ten~i6n rN,w que sopona la cudenn es de 500 N. ¿cuál es el valor ma de la fuern.sp!d río puede ejercer sobre la barca?
38 •• Unn compuena que pesa 200 N está soportada por bisagr.lS en la parte superior e inferior y además está sujeta por un cable. como muestra la fi gura 12.42. (a) ¿Cuál debe ser la tensión en el clIblc par.!. que la fuco.a sobre la bi$!lgra superior no tenga. componente horizont:ll? (b) ¿Cuál es In fuei....a horizontal sobre la bisagra inferior? (e) ¡,Cuáles son las fuei13s verticales sobre las bisagras'!
J
Figura 12.45
I .50 m
I
0.25
!~f-
-
ProblemJ
•
-,-, 1.00 , m -
Figura 12.42 Problema 38
42 •• I Una barra dclgadn de longitud sitú:l en un pltlllo inclinado 30°. Un SOI){)r1c está a :! extremo inferior de la barra. El rozamiento impide qü~ los sopones. Dctemli nar la fu cna (módulo y diret.-cion) por cada soporte.
mlSl2{H,~
I utro a 6 !JI «1 lT3 tksIlrt" Id:!
wbIt IJ tcIJ
43 • Dos fucíL.IlS de 80 N se ¡¡plican en \"ér1i~ Ojlll",I~ de un:t pIP reclnngu lar. como indicn Iti fig uro 12.46. Dclenlli nur el n¡¡lIllClllO prod~l¡j:¡ f'T este par.
39 ••• SSM Un tronco unifonne de maSIl 100 kg. longitud .. In Y i.!dio 12 cm se mantiene en posición inclinudu como indica la fi gura 12.43. El T
F :::I 80 N
F .. SON
• ,
Figura 12.43
Problema 39
~
Figura 12.46
J>ro hl c lll a ~·U)'¡ 5
Proble mas Un cubo uuifonnc de lauu (/ l' "~'O , 11 " . " ..'ill j uc.'oCani>:\ Mlbre · ..... ~ I(' hun/ol1lul. lhm lucrlll .. M! aplletl en lflllal'!" ;. .' I !lI)Ot ~UI""" "'1 • " • upcrlllr de cubo " t:'Ilr.\ !tI hgunl I ~A7 . blu fucrt:l no ~'\ ~ulieientl.! I ,..no ... . "" lIIo\'er o C\':III _ , I " .~, 111 ) t>Cm<,..tr::lr que la lucr/ll de rozamiento c"IA,,',.. "" ' .• I'f t ( 111"' , " " .. o ";Jerclun por la ." , lu fuer!.1I aphClldu COlh lltUyen un llar y detnm" ,,· '1 \llpdf'~ . . . " .Ir e IIlUlill,:IIl0 _t... ... )f ~\!C l>llr. (b) Otro 1).'Ir. clln~tltuuJo por In fllerQ t~t .... , ,.. ' . ., . " eJcrclulL por · '· .. • ~ d Ife\O dd cubo. C(lulhbrtm cl pIar IInteno, U,· , I".. la )llfC,1' ...... .• . · ...r c\te Ilec I10 .!ttcrnUlUlr el puntll cr...CtL\O de Ilphc:lclÓn de la fuer.m normal cuando F = ,('u;ll c\ el \1dor má..\ intu lle lo' (... IlIllÓllulo). para el cualnu se lev¡U\tll
44
.,
I
359
SSM
p.,_
"." ,,"1' '. '
En ingenicrjn civil. In Ií"ea de emIJUj~ !>C detenninu clilculand() In posición del punto de empuje p¡¡nl elmltluier tlhura dcntro de unu pnreJ de cstmcturu ~ illlilnr. Deumninllr In línea de empuje paro la p.1rcd del problem!! 46 y reprc\Clllnrla gráficumente rncdilllltl! una hojll de clkulu (¡ mediante uml clIlcu]¡ulom gr:lliclI. (En rculidnd. la linea de. empuje e.~ una curva m:h que urna reclu.) 47
••
r::.ll I d .:ulxl
Problemas de escaleras
"
r, Figura 12.47
.5 oiIr:.ml
Problema 44
Ik",l.:omponcr cnrul una de In fuer/,as del problema 43 en sus COIllfllonlnl y \'enical. produciendo dos pares. La sum" algebraicn de los ,'mponcntcs ~ iguul al par resultantc. Ulili,Alr este !"e$uhado para ,..1 db.umciu perpendicular entre las líneus de acci6n de las dos rucl7.as.
46 •• SSM En una S{.'(:ci6n de una pared de ulla catooml como la que .c 1Illk''-lnI en la ñgurtl 12,48, cl arco que e.'; tá jUnio a la pared de 30000 kg de raasa ejt.a: una fuer/Al de 2 x lOS N en un pUnlO situado 10m por encima del «Iátieo entre la ¡Xlrcd y el l'uelo es J1~ = 0,8 Y la base de la pared tr:oo UII ~pesor de 1.25 m. «(1) CuJcular la fuerL
48 •• SSM i .1 Romeo tom., unn csca[(;ro uniforme de 10 m de longitud y lu upoya contrtlla pared pulid:l de la residencia de los Cnpuleto. La I1ln"':1 de 1:1 escóllent es de 22.0 kg Y su parle inferior -.e apoya en el suelo u 2,8 111 dc.ltl pured. CLHmdo Romeo, euya ¡na....aes de 70 kg, alcnnza el 90% de su elimino hwulI el final. lu e5caleru comienZ,lI n dc."li'Alr. (.Cuál e.~ el cocficiente de ml.1Unicnto estt1tico entre el sucio y 111 escalel1l'!
49 •• SSM Unn escalera de m"su desprt.'Ciable y longitud l. se. npoya contru urm pared pulida fOfm:mdo un ángulo Ocon el suelo horizontal. El coeficiente de rozamiento entre la cscnlera y el suelo es 11•• Un hombre de 1IlllSR M sube por In csc:t lcra. ¿Qué nlturn" put.'de ascender "lltes de que In escalera deslice', 50 •• Unu cscalera unifonne de longitud L y masn m se apoya eontra ulla pared vertical si n ro7Almienta y su extremo inferior sobre el suelo. Forma un ángulo de 60" con el sucio horizontal. El coeficiente de ro/.amiento e.<¡tftlico entre 1:, ~lllcm y el suelo es 0.45. Una persona, cuya masa ~ cuatro vcces mól)'or que la de la escalera. sube por ésta. ¿A qué ahura llegad antes de que comience a de.~Ji7.ar? 51 •• Unn escalera de masa 1/1 y longitud l. se npoya contra una pared venical y sin rozamiento fonnando un ángulo Ocon lu horizontal. El centro de mus<'Is se eneuentm a UIl:I ahuru h del suelo. Una fuena F tira horilOntalmemc de la escalem hacin fuera en su punto medio. Dt!temlinarcl coefi ciente mínimo de TOwmiento esHitico ¡J. pnra el cual. el extremo superior de 1:1 cscnlern '>C ~epararn dc In p:lrcd. mientras el extremo inferior no desliz.1. 52 •• i .1 Un hombre que pcs:1900 N cl>lá !>Cntudo en la parte superior de ulla e~calcm dI! peso desprcciuble que deM,': mSlI i;Obrc un suelo sin rozltIuiento (fi gura 12.49). Hay un trtl \'csaño n mitnd de altura de lu efoCalcm. El ~ngulo que forma In escalertl en lu pane superior es 0 = 30°. (ti) ¡,Cuál e~ la fucila ejercida por el suelo sobre c:ldu p:lIa de I:i esclllem'! (h) Hallnr la tensión del tmvesailo. (c;) Si cltntvesailo se- mo\'icse hacia la ¡XlrlC inferior dc la e~a Icra (m:llltcniendo ésta al mismo ~ngulo 8). ¿seña su tCII!>i6nllla) Or O menor'!
2m 0=30"
2
LlI
¡
Figura 12.4 9
Problcm:t 52
•• SSM Unn e~caleru unifomlc ~ npO)'ll l'Ontm lu pared H·rtieal ~i n rolluniento. El coeficiente de rozamiento c~lúllCO entre la e ~eilknl ~ ~I ~\lc lo •c' O' .. l,' Cuál e.~ el menor ángu lo p:tnt el t uul la e-"c:tlcru l~rll\'Ull'f,.,\, l"tuclona 53
Flgura12.48 Proh lenUl~46y47
n' .,.
360
I
Capitulo 12 Equilibrio estático y
ela~tlcldad
Tensl6n y deformacion 54 • SSM Se cudg.1 !JIU! boln de 5U ~g dI! un ahul1bn: dc IICeRl de 'i 111 de longilluJ y :::! mm de radio. ¿Cunnto loe alllrgnrá clllh,.llh~ ? 55 • i ,/ LII tcnsi6n a la rol urn de un alumhre de cubre es npro:.:imadumentc de) >< 11>- N/IIl ~. ( fI ) i,CUltI e' In curgll m6:.:ill)lI que puedc colgnr:C nlurgam"
i
Un nhunhrc de "cero dc diámetro 0.6 mm y longitud de 1.2 m ..opon:. tina mn:.l\ de" kg. ¿Cuál ~er.i el nlurgnmienlO del ahunbre huju e~U\ carga"! 56
•
•
57 • SSM I MienlN\ ~ to!> pil!" d e un corredor tocan el l'iuclo. unu fUl.:r/u do ci/.:llIadum uCllín ~obrt.' In ~ u cla de su /.lI pllto dI! fe mm de
c.sl)Csor scg\ín SI! indieu I!n In fi gura 1:::!.50. Si ht fUI!rz¡1 de 25 N ,c distri buye il lo largo de un área de 15 c m~ . calculllrcl ángulo Ode cizulllldu r:I ~ abien do que el módulo de dzalludura de lu suulu es de 1.9 x lOs N/ml .
Figura 12.51
63 •• i Do, musa.!> Al 1 Y Al,! .c<;tán \ujctB<; a '>endo\ cii, que tienen igual longilUd cuando no soport.'ln mnguna carga. El alanbr. soporta u MI e..<; de aluminio de 0.7 mm de diámetro) el que \Opot1na AJ,t1'1i: acero de 0.5 II1Ill de diámetro. ¿Cuál es la rc lación M l/M~ ~i lO<, dos C3bb!e alarglln por igual?
.1
Una pelota de 0,5 kg se ~ uje t a a un alambro: de .duminio dediísr. tro 1.6 mm y longitud sin defo rmar 0.7 m. El otro extremo del al3mbrtt!liÍJ a un pos te. La pelota gira alrededor del poste en un phmn hori1.CMnal ('(11 • velocidad de rotación tal que el ángulo qut! fommn el alambre} la boril.OlDltl 5.0°. Determinar la tensión del alambre y " U longitud . 64
25N
.• ~ •
.. 6
25 N
••
•• •
•
58
••
••
65 •• SSM Hay que construir un cnble de lIl, nuevo material compuesto desarrollado por los Lalxlra r.ltorio. una muestra del cable de ., m de longitud y do. sal se rompe cUlmdo se la sometc a una len ~i6n ascensor tendrá una longitud de 20 m y un área tmn" t' aguantar una C:lrga de 20000 N. i.Aguamará?
•
Figura 12.50
Problema 62 y 86
Problema 57
'n\Of a partiH!ea \eme,
End~
de aru Il!!t
•
I
Un nlnrnbre de acero de longitud 1.5 m y diámetro I mm:.e suelda n un alambre de aluminio de dimensiones idénticas para ronnar un nlambre de 3.0 11l. ¿Cuál es la longitud del alambre compuesto cuando soporta una masa de 5 kg?
59 •• Se apllcn una fuerza F a un alambre largo de longitud L y sección tmllsver.;uJ A. DCl1lostnlr que si el alambre se cOlIsider;¡ como un muelle. lu conSllIntc de fuer/.a k viene dada por k = AY/L Y la energía almacenadn en el alambre es U = ~ F!:JL. en donde Y C$ el módulo de Voung y i!J.L el incremento de longitud delnlambre. •
60 •• I La cuerda E de acero de un \'iolfn está bajo una lensión de 53 N. El diámcLro de la cuerdu es 0.20 mm y su longitud Lensndn es 35.0 C1I1. Determi nar (,,) la longilud sin Len:mr de e..~ la cuerda y (b ) el Lnlbajo ncc~urio paro tensar la cuerda. Una c inta de caucho de :>ccción 3 mm x 1.5 m1l1 se dis· 61 •• SSM pOne venícal1l1eOlc y varias musas se cuelgan de e lla. Un estudiante obtiellu los siguientcs dato~ de la longitud de 13 cinta en fun ción de lu cnrga: C:lrg¡l. kg Longitud. cm
o
0.1
0.2
0.3
OA
0.5
5.0
5.6
6.2
6.9
7.8
10.0
(ti ) Dctenninnr el módu lo de Young de In cintn de caucho pnm cargu!> pequenus.
66 ••• SSM Cuando se cstira un material!!n ' dad se mUlllicne conSllIllle, el material se contrae en nes tnlllsversulcs. Sea un bloque J\..octangular de lonp' que se cstim de modo que se alarga hasta :tI' = x +.1\ demoslrar q ue i!J.yly = i!J.x/x.
. ciOO. 'iÍ 5tU!e& l:b dos di¡¡",cJ 'hura \') l!tta: t , J.-Jo¡ « ..\.::. . .
67 •• Si sc tiene un alambre de IoCcción circu! demOSlntr (Iue i!J.rlr = - ~ M./L suponiendo que ól <.
lio f) kon~:JiL -
-3 -
la l/"lll'\'i6a di' Ji 68 ••• SSM Según la Tabla 12 . 1. la re~j 'tc .Ie m:tgninxl ~ mayor pane de los mat e ria l~ resulta ser dos o tre!> or • po< ,¡onrI>' rior al módulo de Young. En consecuenci ll. eStO.' 111. alumi nio. se rompcnín ilnte:, de que la deronnaci6n , ' un ICf. Enut l~ . ueor ma)«tcrnatennlc.., hl!cho), por el hombre. elnuilon es uno de l\ PtftI~ bi1idud (puede ~oponar ddonn1lciolles de hastu 0,2 :ml<. • ronlpt'rstl a tela de ami\:! ),upcr::\ a cuulquiera de 6105. Cierta.., IQf "puetk o ~¡j:It ddormacionc., de hllstll 10 antes de rompeI'SC. (a) Si un hi1\l romot;lrlkC!' una ),ccción Irans"l!r.ml circulur de mdio ro y una longitud ,in e~I1~~ .r minar el radio r cuando se alarga husta L = 10L.l' (bl Si el móc.luJo tk ,foItIiIt ' l d arana e~ ).' calcular la temnón . que SI! rc:(I U1e~ . t1 hlkltl h loe par.! t111ll....... ,_. ción dI! }' Y I"(l.
-
Problemas generales
(h) I)eternllnll.r la energía ahnaccnadu en la cinta CUlIndn ln cnrga e'i de 0.15 kg.
(VéaM!. problcmu 59.) 62
••
Un gl"'.tn e~pejo cuelga de un clavo. como ~ muestm .' 11 la fi gurá
12.5 1. El alambre de acero que lo <'opona tiene un diámetro de 0.2 111111 Y una longilud sin deformar de 1.7 111. l.;\ distanc\:! entre los pumos de 'iOpone !Jn In parte ~uperi(lf del mlltCo del c..peJQ e<; 1.5 m. La nm'>8 ticl e..'ipejo e.-, 2,4 kg.
.: .,,11"
U n tu bl I!rtI de 9Q N (Iue til!nc UIllL long\llIu .• de l'- 11\ 1.',\<1"1 . ~ :I!n dos 'Oportes. cadn unO de lo~ cunlc~ distu I 111 dd C\trc/flll dtl ,~ 69
•
m'lnll, .'
~o 1~)Ca un " I ~ u e de 360 N íoobrc ('] tnhlcro u .~ m de un l'~ lI1( ..~.
en la figuro 12.52. Hallur 111 fUl!l'ln eJcrcidn por ,.lda . lflI. tahlero. IIldlC!l
Problemas 1m
I ()
Il\
70
•
lel
~
1m
n· .. 300 N
Figura 12.52
I
\•
Problema 69
Lu nhurll del cenlro de grnvcdad de un hombre erecto se deter-
mina pc~á ndo le sobre una tabln de peso dcsprl:cinble soportada por dos b:\lnn. zus, como indica la ligunt 12.53. Si la nl!um del hombre es de 188 cm y la bal:mzn de la izquicrdn m ure!\ 445 N Y In de In dercchn 400 N, ¿dónde está loca. ¡izndo el cenlro de gnwcdnd respecto a sus pies?
Figura 12.55
Centro de gravedad
Problema 72
73 •• Una placa que tiene la foml:! de un lriángulo equilátero de masa M se suspende de un vértice. Otra masa 111 se suspende de Otro vértice deltrián. gulo. ¡.Cuál debe ser la relación 1/I/M par.! que la base del triángulo fonne un ángulo de 6.0 0 con la horizomal? Figura 12,53
Problema 70
74 •• Un lápiz de st:'cción exagonal se silúa sobre un bloc de nOlas (tigurJ 12.56). Detenninur el coeficiente mínimo de roz.1miemo esttltico J4 par.! que el lápiz medc hacia abajo sin deslizarse cuando el papel sc inclina.
• SSM i .1 La figu ra 12.54 muestra un móvil fonlludo por cuatro pesos que cuelgan de tres bmTas de milsn despreciable. Delcmlinar el valor de cadu uno de los pesos desconocidos cuando el móvil está en equilibrio. Sugerencia : fI(llItII" el peso (It~ PI' 71
o . cm
2cm
Figura 12.56
'cm
'cm
"", cm
=
75 •• SSM Una caja uni forme de S I..g de lllaSlI )' dos veces más nlta que (lncha. dc..~ansa !>Ob rt: el ~uclo de un camión. ¡.Cuál es el mM llIlo oo..-l¡. Clcntc de fOzanllenlO estático entre la caja)' el !>uelo paro que 111 t'njn deslice hucio. atrás en lugar de volcar cuando el camión acclcl'"J en unll rumIen¡ hori. zontal ?
Una balanla tlene bra70..~ d~iguales. Un bloque tic 1.5 kg situado en el phuillo izqUIerdo parocc tener la misma masa qu~ otro de 1,9.5 I..g en el Jlllllillo derec:ho (figuro 12..57). ¿eu!!l seria la masa :1p.'1rcnu: del primero si se colocanl en el platillo derecho? 76
"2 N
Figura 12.54
Problema 74
••
Problema 7 1 L,
72 • Unn pole:! '1 un pol;pn~l o ~e utllilM parn <:QportUr un cuerpo de masa m I.:tl1111) indiCA h. tillurn 12 .~~ HI cuerpo ~ube a ... dl"ICid;¡d constante.. Cuando un tmlo de cuerda de longitud t P-')H'I p
T
Figura 12.57
Problema 76
362
I
Capítulo 12 Equlfibrio estático y elasticidad
Un cubo de masa M se apoya contr:l. una pared sin rozamiento fonnando un ángulo 6 con d suelo como indica la fi gur:l 12.58. Determinar el coefici ente mfnimo de rozamiento estático J4 entre el cubo y el suelo que pennite que el cubo pennane7.ca en reposo. 77
••
SSM
zomal también sin ro7.amiento. Para evitar que. In escalera .lUQ;ltt.b •• , . inferior de la escalera se ata a la pared con un alambre delgado; 13 ~ alambre es de 29.4 N. El alam~rc se romperá ~i la tensión supera ~4Q (a) Si una persona de 80 kg ascIende hasta la ¡mIad de la escalera.,. 2lll \ I!jercerá ésta sobre la pared? (b) ¡, Hru.ta qué ahum puede ascender~: f~ de 80 kg con esta esculera? ~ Un cubo unifonne puede moverse 3 lo IIlrgtl de horizontal bien empujándolo. de modo que deslice. o bien h(lCiél\d()~ ~ ¿Cuál es el coeficiente de rtlznmiento estático entre el cubo y el SUelo . ~ bajo necesario para el desplaz,amielllo es el mismo en ambcK casos':' SI d tn. 80
••
SSM
81 •• Un bloque allo. unifomlc y rectangular descan'WI sobre 110 incli nado del modo indicado en la fig uro 12.6 1. Si /1~ = OA. ¿el bloque dtdr~ o volcará al incrementar lentameme el5ngulo e? "Q
Figura 12.58
Proble ma 77
• 3.
78 •• La figura 12.59 muestra un:!. regl:!. unida mediame una bisagra a una pared vel1ical y soportada medi:!.nte un alambre delgado. El alambre y la regla fonnan ángulos de 4 So con la v~rtical. La masa de la regla e.<; 5.0 kg. Cuando una masa /\11 = 10.0 kg se <;uspende del punto medio de la regla. la lensión T del alambre -.opone es de 52 N. Si el alambre se rompe cuando la tensión excede los 15 N. ¿cuál es la máxima distanci:!. a lo largo de la regla que pennile !luspendcr la masa de 10.0 kg .!oin que se rompa el alambre?
Figura 12.61
•
Problem.l
~I
82 •• na ma ....' de 360 kg pende d~ un cahle .,u de 15 m de longitud que pÍ\'otu en OIm pam.l \(~n¡ c:t1"
cahle 1..'01110 tndicn lu fi guro 12,62. Ln I11n~ de la lxtIT cabk .!ouJCto a In bnrr.... :l 5.0 m del c\ln=.mo mfelwr. el la Icn!.lon del cable y In (ucml cJcn:ldn por 1;1 I'ate', {b} Rcpcw· el cálcu lo (on UII cable ulgo m.h Iaq,!o ~u un punto 11 5.0 m de MI e\"trtmO...upcrior. mlllll('nienJ,·
"""" ... ="._. "~j1. (QJ(lIIr.
""" .....
Jo;... ~
".,. de a..'m(l ,np¡¡"mlltil
barra ) In pared.
Figura 12.59
Problema 78
• 79 yadJ
•• \.."Onlm
i
.t
un" p;¡m1
La ligura 12.&) mut."It,n, una t"IUkl'l: de
"1m
rQldmK':ntO)
:o t.., 1m-
~an.~ndo ~ UM ~rohe~
,.Q
10 m
hofl ·
¡
•
lU k.,
,..
Figura 12.62
83
••
1tq>C11I
ti
pt{lt-l~ma
~I un. pend.cntt que fClfm.
•• "'. FIgura tI.O PI' t 1st
t
19
7...
1'n~hlc/1'\il k~
p.ull
rI
~II""
C1\ I.lIJ1:
toI CIlJt!'1II""tIlI'
un "'rul" de. u 11 C'Il 111 h '"~
Problemas culnr e~tn cifru panl J¿ :::: I lit Y N:::: 5. 10. y 100. (d) ¿Se aproximu c\la ¡¡Igún Ifmile. cuando N -¡. oo'! ¿Cuánto vale este Ifmite'?
60 cm
'lOcO!
-
40 cm
-
_
m
_
L _
_
I
363
~unlll
a
•
(a)
m
Dislancia que puede sobresalir:::: U2 Figura 12.64
(b) Figura 12.63
Problc mu 84 90
85
-r_. omo· "" d.
",,1M .. do
SSM
Problellln 89
Si se so~ ti e ne en t!quilibrio un bnst6n de I m dt! longiwd
I.;l~, uno de coda mono. y poco a poco se
juntando las mnnos, los 'contfllrnn en el Ct!lllro del bust6n. indepcndientememe de donde -..:ndm inicialmente. (a) Explicar por qué ocurre esto. (b) Al mover rimero se muc\'e uno y después se mueve el otro; no se mueven los I el,. E-:plicnr cunmillllivamentc por qué ha de procederse de esta ncr que el coeficiente de rozamiento estático entre el bast6n y los y el coeficiente de rozamiento cinético es 11.:. V(l
•••
Unu es ft!m unifunne de r.ldio R y mas.'l M se mantiene en reposo
sobre un plnno inclinado de ángulo (J mediante una cuerdn horizonlill. como lIIuestm la figura 12.65. Sea R:::: 20cm. M = 3 kg Y (J= 30°. (a) De¡emlinrtr IH tensi6n en la cuerdo . (b) ¿Cuál es la fuen,a nonnal ejercida sobre la t:sfern por el plnno inclinado'! (e) ¿Cuál es la fucl7.a de roz..1mienlo que actúa sobre la esfera?
86
Cuando se cuelga un cuadro en una pared vertical rugosa mtdÍJn4; un alambre y un clavo (de la misma manera que el espejo de la figura ¡l.5I \. 1~ poute superior del marco se inclina Iigemmente hacia adelante; es decir. el plnno del cuadro fonna un pequeño ángulo con la vertical. (a) Explicar pCI qué Icr. cuooros colgados de esta manem no quedan planos contra la pared. lb) Un cuadro enmarcado de 1.5 111 de ancho y 1.2 m de alto, cuya masa c.<¡ 8.0 kg. 5t cuelga romo en la figura 12.5 1 utilizando un alambre de 1.7 m de longitud. los extremos del alambre están unido~ JI los I¡¡dos dcl marco por la parte posterior y a una distancia de 0,4 111 del borde superior. Cuando el cuadro e:,tá colgado. b planos del cuadro y de la pared fonnan un ángulo de 5.00 • Dclenninar la fuera que la pared ejerce sobre la parte inferior del marco. 87 •• SSM Si un tren viaja a dctenll inada velocidad en una curva. D vagones de mercancía puedcn volcar. Suponer que la carga que transporta 100 pamlelipfpedos de densidad unifonnc y 1.5 x 10" kg de masa. 10m de longitud. 3.0 m de altura y 2.20 m de ancho y (Iue su base se encuentra a 0.65 rn por encima de las vías. Los ejes están separados una distancia de 7.6 m y cad:l lIDOestá a 1.2 m de lolo extremos del furg6n. La scpar.lción entre los carriles es de Ij5 m. Detenninar la máxima velocidad de seguridad del tren si el radio de CW\'atum de la curva es (a) 150 m. (b) 240 m. Despréciese la masa del vag6n »do.
Figura 12.65
Problema 90
9 1 ••• Las patas de un trfpode fomllln ángulos i gU:ll e~ de 90° entre ~r en el vértice. dondt! sc unen. Un hloque de lOO kg cuelga del vértice. ¿Cu ále~ son ];'l S fueí/..II.~
de compresiÓn en las tres patns'!
92 •• La fi gura 12.66 mUCSlra unu viga unifomlc de 20 cm de longitud descansando sobre un cilindro de 4 cm de radio. La masa de la vig!! es de 5.0 kg Y la dd cilindro de 8.0 kg. El coeliciente de ro7.amicnto estí'i tieo entre la l iga } cl ci lindro es cero. mienlms que los cocfi cicntl:'s de roLllmiento c,qático entre el cilindro y el sucIo y cnlre la vig;1 yel suelo son mayores que eero. ¿Jia) algún valor panl estos coefici cntes dc rozamiento c.~t:\lico para 10ll cuale:. el ~ist c nla c.<¡lé en equilibrio estático? En caso afimmtivo. ¿cuánto valen'! En caSO ncga· th·o. mzonllr In reSI)uest:t.
88 •• Pnrn caminur <>obre la cuerda noja. un equilibrista utiliZo'! una barra delgada de 8 m de longitud y curvada en fonna de arco circular. En cndn (l~mo de
la barr.l h;¡y una masa de plomo de 8 kg. El equilibrista. cuya masa esde 58 kg Y cuyo centro de gmvedad está a 0.90 m por encima de la cuc~a. SlJjetB fucncmcnle In barra por su centro que se encuentr.l a 0.65 In por enClIIlll de la cuerda. ¿Cuál debe ser el nidio de cllvatum del arco de In barra para que el equilibrista se encuentre en equilibrio cstnble mientras nvan/..1. por la cuerdn? Despreciar la masn de la burra.
4 cm
•
89 ••• SSM Se ticne un gmn m~mero de ladrillos unifonJ1e.~ e idénlito5, cfldu uno de longitud L. Si lu~ apilumos uno encima de Qlro n.10 hlrgo ..tAl tomosc mueSlni en la figura 12.64. hllongitud máximn que eI]!Idnllo .~uI7nor JlUede suhre.~a lir sohre el ( III C hny debajo es U2. (tI) Dcmostmr qut: SI ea oca-
lllOI este conjunto dc dos ladrillos: de formu que sobresalgan encima ~c un ter· cer 1.:Wrlllo, la máxima longitud quc puede $Obrcsolir el segundo ladnllo sob~ d!en;elll c.~ U3. (h) Demostrar que. en gencrnl. si tcnemos una piln de N ladrl· I~ Itdi\I4nCia máxima que puede ~obrcstllir cllndril10 (ti - I l. (contado dc.'ide .wnt.., lObfe el ladrillo n es Un donde ti S N. (el Escnblr un prognuua -, ... . r odo.'> ... los ---...-e una hoja de cálculo que calcule cuántO pueden wbreS.'l I~ I _ ladnllos na \Urna de cuámo lICIhreqle cada uno) si !ie aplllU\ N ladnllo~. YC:1\
15 em
Figura 12.66
Problcllln 92
Dos es fem.~ sólidas plll ida~ (~in TOlIlIniento) de rndlo r ~c ., hllan dentro de un Cilindro de rudio R Ci'lmo ¡ndien lBfigura 12.67. La mB~ de- cadn e.<,;fcrII es 111 . Dclcnninar In fuerla cjcwid:t por el fondo dl!l dlllldru ....lhl't" la e\fem mferior. In fucrLll ejercida pnr In pared del Cilindro ~obrt' cuda una lk 1,,\ esfem~ y la fuena ejcrcid:\ poc unll ~felU '>ohre In Otn. 93
•••
364
I
CapItulo 12 Equilibrio estático y e lasticidad
SSM Un cubo s6.li.do. d~ ariSta (J L~ui l ibrntlo sobre Un . de diámetro d se encucnlrd en cqUlhbno mestable M d « tl y en . ~ ilrio , ble si d» (j (fi gunI 12.68). Detcnninar el valor mfnimo de (lJa se encuentre en equ ilibrio estable. ~tlfWt 94
•••
pa;:'t
Figura 12.68
R
Figura 12.67
Problema 93
Problema 94
FLUIDOS
Capítulo
13.1 Densidad 13.2 Presión en un fluido 13.3 Flotación y principio
,
de Arquímedes 13.4 Fluidos en movimiento de la pre!w1 de Hoover tiene un e5pe~or de 200 m etros; sin embargo, su parle el 14 metros.
mas
Las presas se diseñan con un espesor mayor en el fondo que en su parte superior. ¿Por qué? (Véase el ejem plo 13.2.)
Losnuidos incl uyen los líquidos y los gases. Los líquidos flu yen bajo la g ra vedad h¡ISI¡t ocupar la'i zonas más bajas posibles del recipiente que los contiene. Los gases se exp a n ~ sionan hasta lle nar su recipiente . Los fl uidos fanuan pan e del ambiente al ig ual que de nuestro cuerpo. Entendiendo e l comportamiCll1O de un flu ido. mejoramos el conocimiento sobre nosotros mismos y nuestras interacc iones con e l mundo que nos rodea, .. Empezamos l..'Ste capítulo estudiando los fluidos en reposo. Se sigue. con el estudio del flujo estacionario, con especial atenci6n al Hujo laminar.
En un gas, la distancia media Cnlrc dos moléculaS es grande comparada CO Il cl lamaño de una molécula. Las moléculas in teraccionan poco enlrc sí excepto duran te sus breves colisiones. En un líquido o sólido, las moléculas están muy un idas y ejercen fllenms entre sí que son comparab les a las fuerLas que ullen los átomos para fonnar moléculas. La!molécula" de un ifquido fomlan transitoriamente enlaces de cono ulcunce que se rompen cominuamcnle debido a la energía cinética interna de lus moléculas y después vuel ven n formarse. Estos enlaces mantienen unido el líquido; si no existieran, d líqu ido se vaporilaría inmediatamente y las moléculas escaparían en forma de vapor. LI! fucr'.m de lo!enlaces en un líquido depende dcllipo de molécllln . Por ejemplo, l o~ enlace.... entre átomosdc helio son muy débiles y poresl¿1 rozón, el helio no se licua a lu presión atmosféri clI a menOs que la temperalum sea 4,2 K o inferior.
366
I
Capftulo 13 Fluidos
13.1
Densidad
~~~----------------, Una propiedad importanle de una suswncia es el cocicllIc e ntre su masa y S"U volumcll.\ mada dcnsidnd :
·d d =
J)c nsl a
NDrlll ulmc nte ulilizarcEllos
11.1
masa J vo umen
lelra griegu p (rho) para des ignar la densidad : m
p - V Of.flNIC!ÓN -D~
TABLA 13.-1 Den sidad es d e sust an cias 5e l ec~
d o nadas
0ImlO,22,S ,. 10' 0'0,19,3)( l O' Me.cuno, 13,6 x lO' PIomo, I I,3x I 0' Cobre, 8,93 x l O' Hierro, 7,96)( l O' rrena (valo, medio), S,S2)( 10' Cemento, 2,7-3,0 1< l O' Aluminio, 2,70 1< 10' Vid rio (~orri~nt~), 2,.4-2,8 x 10' Hul!$O, 1,7·2,Ox lO' Lldrilio, 1,4-2,2)( 10' AgLJ.l de mar, 1,025 lo< 101 , ' - AgUII .I.00 1< 101 Hielo, 0,92 lo< 10 1 Alcohol (~tanol), 0,806 )( 10' Ca-oli"". 0,(8 )( 1O' Madera (roble). 0.«),0. 9)( lO'
,,.
\ 0:
"
, o. ,
j--__ Alre,
'---
===
1,29 3
Helio, 0,1 786
Hid.~. 0,08994 • $Ó/ido •
EIEMPLO 13.1
I
hquldo •
9~'
Puesto que ori ginalmente el gramo se delln i6 C0l110 la maSa de I cm3 de agua. la densidnd~ agua en las unidades del siste ma cgs es igual a I g/cm3• Convi rtiendo estas unidades en, : unidades del SI de kilogrcllllOS por me tro cúbico, obte nemos para la densidad del agua = J g X kg X ( J00 cm)' = JO' kglm' p" cm3 10 3 g !TI
Las medidas precisas de la densidad de be n te ner e n c ue nta la temperatura, ya que las ~ dades de la mayor parte de los materiales _incl uso la del agua, varían con la temperatura.\.¡ ec uación 13.2 da el valor máximo de la de nsidad del agua, que se ¡-iene a 40 C. La tabla Il! relaciona las densid ades de algunos materiales típi cos. Una unidJd de vo lume n muy util izada es el litro (L): 1 L = 103 cm3 = 10- 3 mJ
En función de esta un idad. la densidad del agua es 1,00 kg/L Cuando la den<;idad de un objel cs mayor que la del agua, se hunde en ella; cuando su densidad es menor. flota. El cocicri entre la densid
Cálculo d e la de nsidad
Un rrasco de 200 mL está lleno de agua 11 4 oC. Cmmdo el frll.'ico se calieuta 11 80 oC, se derra man 6 g de agua. ¿Cuál es la dell.'iidad del agua 11 80 ftC? (Suponer (Iue lit dilntllción del frnsco es despreciahle.)
Planteamie nto del proble ma Ltl densidad del agua n 80 "C c.~ p' = m 'I \~ en donde V = 200 mi = 200 cmJ es el volumen del rr.c.co y "" es la mus¡¡ que queda en el fmsco dc!>pués de dert1lllll1l1ic los 6 g de agua. Hallaremo.'i m' delenninando l!n primer lugar In !Ilusa dc ngua que hltbí'l originalmente cn el
ñuco.
(J):
13.2 Presión en un fluido
I Cnh.:ulnr lo maita original de agua en el fra.","o a 4 ......
.
1.00 g/cm J:
.....
I
367
'1'
utl 17.ando p =
2. Calcular la malm de agua remnnenle. m' de'p« . é,. de derrnmar 6 g:
m' = 11I -6g=200g_ 6 g= 194 9
3. LIlilí/N este valor de nr' par.¡ detenninar la densidad del agua u 80 "C:
,
p =
m'
1949
V = 200 cm] =10.97 g/cm) 1
Ejercicio Un cu~ mn~ilo de metal de g CI11 de aristu tiene unn masa de 4 08 k (ll) ' Cuál es l' Ot'Il\ idad del cubo? eb) SI t!1cubo está hecho de uno solo de lo ' '1 ' . . g. ¿ . ,1 ') • S cemento!> reluclonudos en In figum 13.1 . ¡,de qué el elementu se Inua . (Rt'spl/t!sttJs (ti) 7.97 kg/L. (h) hierro.) Ejercicio (Rf\PUi'.fta
13 2
Un lingote de oro 19•3 kg. )
tiene las dimensiones de 5 cm x 10 .
e
"0 cm x - cm. ¿ u(il
.
es su masa'!
Presión en un fluido
•
Cu.
dl'l jre;
o se sumerge ~n cuerpo en un
Ouido como el agua. el fluido ejerce una fucrt.:
p=
F A
( 13.3) DEFINICIÓN - PRESiÓN
La unidad de presión en el SI es el newton por metro cuadrado (N/m 2) , que recibe el nombre de pascal (Pa): 1 Pa = 1 N/m' ( 13.4) En el sislema técni co ing lés, In presión normalmente se ex presa en li bras por pulgada cuadrada (lb/pulg2). Otra unidad común es la atmós fera (atm). que es aproximadamente la presión del aire n nivel del mar. Actualmente la atmósfera se define como 101 ,325 kilopascales. que es aproximadamente igual a 14.70 Ib/pul g2 :
1 mm
= 101 ,325 kPa = 14.70 Ib/pul g'
TABLA 13.2 Valores aproximados del mó· dula de compresibilidad 8 de varios materiales
( 13.5) 650
Posteriormente veremos otras unidades de presión de uso común. L..1 presión debida a un Huido que presiona contra IIn cuerpo ti ende a comprimirlo. El cociente entre el cambio de presión y la disminución rclati v<1al volumen (- 6 VI\I) se deno· mina módulo de comprcsibilidud B: t; p B =- t;V/V
1-- -600
( 13.6) DEfINICIÓN -
M ÓOUlO DE COMPRESIBIliDAD
(El signo menos en la ecuación 13.6 se inlroduce p:m.l que B sea posit ¡YO, ya que todos los materiales cuando están somelidos lL un aumento de la presión I.!x temu disminuyen de volumen.) Cuanto más difícil de comprimir es un sólido. menor c,.. su cnmbio.~I:ltivo - L\ \l/V pnnl.lII.m determinada presión l:lP y. por lo tanlO, mnyor c,-; l'U módulo ~Ie compreslbl hclll~l . Ln compr~slbl' lidad es la inversa del módulo de compresibilidnd. LiqUIdo!.. ga~c5 y SÓhd?s. IOdos t~ ene n un módulo de com prcsibi ¡idad. Los líquidos Y los sólidos sl: l1.~Ial iv'll1le.ntc Incomprcslblc~: es decir, poseen va lores grundcs det módulo de compresibilIdad /J. sl.e ndo cst~)S va lores Ttlativamente indcpcndicnlcs de la tempcrntum y la presión. Por el conlrano. I~s gu:;e... se puc· den comprimir fácilmente y los valores de B dependen fucl1cmenle de In p,rc.'-Ión y la Ic~npc. lllura.la tabla 13.2 indica' los valores del módulo de comprcsibilidud pam diverso.. IlltLtenalc,¡,.
Diamante, 620
GN /nl ~
20o
Tungsteno. 200
15 01
Acero, 160 Cobre. 140
10o 5o
O
1
Hierro, 100 Aluminio, 70 latón, 61 Mercurio, 27 Plomo, 7,7 Agua, 2,0
368
I
Capftulo 13 Fluido)
I
Como cUlllquier pmcticontc de "ubmarini ~J11o !'abc: la pre ... i6n .en un lago u la presión de la '1I ",kt' lf!, UlIl1lcnla cuan,10<-""".,," .1h, Im.1fulldidlld. De forma semcJlulIe. . ' 1,'1V'>Itrt "O de un Hqmdo como el agua. cuya .uc' n~1~ ,'o. IllI-n u yc a I IIUI"cn'", 1-, • -,llilUd • . En el C(L ' . aumenta ltnea uprox-una,1an le," • • o"s",nIC en lodo "su vol ume n, la presI6n . . . lmcnte Con Ia.~.• fun didnd. Podemos ver que esto es asf consldcmnll~ la c~lumn
"
A lndielldu en la fi gurll 13.3. La presión en lu pan e mfe rlo r de la columnu debe ~cr mayor~ la ejerc ida en su pane superior puesto que debe sopon ar el peso de 1.1columna de alIUra Alt~ peso de csw columna dI.: Ifquido es U'
•
= mg = (pV)g = pA Ó}¡g
Sí Po es la presión en 111 pun e superior y P la prc..<¡ ión en la inferior, la fu erl.é1 neta hacia .. ejercida I>or esta diferencj¡~ de presiones es PA - P(/\ . Igualando C.'~ {¡l fu er/.a nela hacia : al peso de la columna. se ll ene /'11 - p,¡, = pAt;,/¡S o bien
p = Po + pgl'J.h Colulllna de agua de :Iltura 611 y área de su sección ructa A. Lll presión P en el fondo debe ser mayor (Iue In presión Po eJl su parte superior pura equilibrar el peso del agua.
(p con stante)
IIlJI
Figura 13.1
EJEMPLO 13,2
I
Ejercicio ¿A qué profundidad ¡XlI' debajo de la superficie de un lago [a presión es de 2 íiIIIt' (L..'1 presión en la superficie es de I atm.)(Respuesla Con Po = I atm = 101 lePa. P::: 2 atm. p: 1000 kglmJ • y g =9.81 N/kg. resulta i:lh =ó Pl pg = 10.3 m. La presión a una profundilbiik 10.3 m es el doble que en la superfi cie.)
Fuerza sobre una presa
Una presa rectangular de 30 m de anchurd soporta una maslI de agua que alcanza una altura de 25 m. Determinur la fucr/..a horizontal sobre la prcsll.
•
Planteamie nto del proble ma Como la presión \'< Irín con la profundidad, no podemos simplemelllC multiplicar la presión por el área de la presa par.! detenninar la fuert.tl ejercida por el agua. En lugar de esto. debemos col1.'iidcmr la fucl"".a ejercida sobre una capa de agua de anchura L = 30 m. altul"'.1 dI, y área dA. = L dh a una profundidud 11 (figura 13.2) e integrar desde " = O a " = H ::: 25 111. La presión del agua a la profundidad" es P~lm + pgh. La presión atmosférica puede omitirse ya que se ejerce a am bos lados de la pared. l.
E ~ pre...ar
la fu el"'l.a dF sobre el elemento de longitud tll! en función de la presión neta /18" :
11
• Figura 13.
d F = P dA = pg" L tll!
, ," ::: pgL '2'1o" ::: 2 pgLfI
2. lntcgrur desde h = Oa/¡ = H :
.u , fU "- = fh ~ . o dI' = o pg hL dI!
3. SustilUir los yulores dudos puro determinllT el resultndo numérico:
F ::: ~ pgU/ 2 _ ~ ( 10 3 kg/mJ )(9.8 1 Nlkg)(30 mH25
I
11'
=19.20 x 10' NI Observació n La~ pre."'IS hubitualmcnlc son más gruesns en el fondo que en la superlid c. yu que la presión sobre la prcs,1;1umentn con la profundidud del agua . Dado {Jue la prc:o;ión sobre ¡ti p~1 es flmpon:;ol/a/ íI la profundidlld del agua. la pre:o;i6n media es Pa1m + p¡:fJ/l (lu presi6n u In altura" = Hn).
UI presión de tocios los líqu idos
13.2 Presión en un fl uido
•
(a)
(/¡)
I
369
(r)
Figura 13.3
l3e.
nnn (Aóh es el vo lumen de la colunum). Es decir. Py\
An
~
-= P IA + pAaJ¡g. Dividiendo por F, Émbo[o Al
COi áre
ner.' fue'
pequeño
Émbolo Al
grande
-remos ahan! las fu erzas q ue aclúan sobre el ci lind ro hori zontal de agua , también de 1\versal A. que conecta los puntos 2 y 3 (figura 13.3c). Hay dos fuerz.as con campo. .¡ue van en la direcc ión del eje del ci lindro, Py \ y p?/1. El hecho de que estas dos ..e compensen una a ai ra sig nifica que P3 = P2. Se sigue entonces que
Así pues. si aumentamos Po presionando por ejemplo sobre ta superficie superior con un émbolo. el aumento de pres ión es e l mismo e n lodo el seno de l líquido, lo cual se conoce
como principio de Pascal, e n honor de Blaise Pascal ( 1623- 1662): Un cambio de presión aplicado a un líquido encerrado dentro de un recipiente se milc por igual a todos los puntos del fluido y a las propi as paredes de l recipiente.
l ntll $-
PRINCIPIO DE PASCAL
Una aplicación común del principio de Pascal lo constituye el clcvndor hidráuli co indicado en la fi gura 13.4.
EJEMPLO 13.3
I
Figura 13.4 Prensa o elevador hidráulico. Una fuer/.a pequeña F] ejercida sobre el émbolo o pislón • pequeño produce una variación de presi6n FIIA I que se Ir.msmile por e[ lfquido hast!! el émbolo gr.mdc. Como las presione~ en los pistones gmndc y pequeño ~on iguales. las rucr/.a~ correspondiente... cumplen la relnci6n F¡ A l = FilA ], Comod árell del pist6n grande es mucho m:\yor quc el de[ pi:.tón pe
El e levado r hid ráulico
El émbolo grande de un elevador hidrúulico tiene un radio de 20 cm. ¡,Qué fuerl.ll debe IIpli. carse a1 émbolo pequeño de radio 2 cm pura elevar un coche de m asa 1500 k¡;,! Planteamie nto d e l pro ble m a UI presión P multiplicada por e[ área ~2 del pi!llÓn gm.nde dC~ ser igual al peso "'8 del coche. Ln fue rln
= PI\ I
1. La fuena F I e... la presión P multiplicada por el área A. :
FI
2. La preSión multiplicudn por el área A'l debe ser igual al peso del coche:
I)A 1
3. Utilizar eSle resultndo de P paro culculur F I :
= /II g, dClllodoquc
370
I
C.pftulo 13 Fluidos
3 5 . ucslru ligua en un recipiente formndo por secC¡onc.~ de d'f¡ En 111 fi guro. I , se lll ' 'lci6n podría parccer que la prc.liión en lo M!Cci6n 3 ~.'I mas En unu prunem obse rv" , . ut' I'tci . por lo tanto seña. la mayor y que e I aglIn. ' se vena rOrl.ado a subir a uno mayor al, Ura en ~PIot, . ñ del recipiente. El hecho de que CSIO no ocum¡ (Lo;¡f se ConOce Ict. clones m!L1i peque liS . d d . . COn ~I La presión sólo . epen e de 'ó la profunchdlld die llgu¡,"' brc de In parll d OJ•ll h'drostática 1 , de la fornm del recipiente. A la misma IJrofundldad ~lI prcsl n es la misma en ~ ., Aunque el agu¡¡ ~' partes deI rcclplel • como puede demostrarse experimentalmente. . ? ' secc ión 4 del contenedor pesa máli que la de In seccIón - , In propor~16n de agua de la . ~ , sobre 1•'1zona nbierta está que no esl.1 • . .soportada por . las paredes .hOrizontales del con,~4 _' ''-
"
Figura 13.5 Parndoja hidrosullicn. El nivel del agua es cllllismo en 1000S los reci p ie n l ~ con independencia de su (orl1lll. LlI porción ~ombread a de l agua es soportllda por las p¡¡redes hUernles del recipienlo.
"e
llJl
En la figura 13.7 se Illuestra un barómetro de me rcurio utilizado para medir la praQ atmosférica. La pan e superior del lu bo esta cerrada y se le ha hecho el vado de forma ~b presión en su interior es igual a cero. El otro ex tremo se encuentra abIerto y a la ~ atmosférica Pal' La presión PM es pgll, donde p es la densidad del mercurio. Ejercicio A OoC, la densidad del mercurio es de 13.595 X 10 3 kglm ' la columna en un barómetro de mercurio si la presión es I all (Respues/{l h Pl pg 0,760 m 760 mm, )
I¡ál es la nltUl1 Il 10 1.115 tl\'
En la práctica, la presión se mide frecuememente en mil ímetros de 11 mada comú nmente lorr en honor del físico ital iano Torricelli) O en ¡ (escri!o como pulgHg) . Estas unidades de pres ión se relacionan entre SI
Ino (unidad !IJ.
=
=
I alm
=
I.IS
de lnemtril
1000 sigui~
= 760 nunHg = 760 torr =29 .9 pulgHg = 101.325 kPa = 14,71b/pII Ig '
Med idor dc la presión para neumálicos. El pistón presiona la varilla hllcin In derecha hasta que In fucrl..1. del muelle más la fuerza de 1:1 presión atmosférica sc equ ilibro con la fuerl n ejercida por la presión de l aire del interior de l neumático.
/'
"•
"
-
n
, --
.J h
J
"
Figura 13.6 Manómetro de IlIbo :Ibieno para med ir una presión dc....conocidn P. La d irerencia p - p~ es igual apgh.
,
,
Figura 13.7
13.3 Flotación y principio de Arqufmedes
I
371
()I:r:I~ unidude~ uti lillldll.' comúnmente cil io'
",
¡Jdillldo~
s mapns metCQrulógicos. .SOn el bur ye 1mi'I'h I ur.
por
1 bar = 10\ milibares = 100 kPu " ' ' (13. 10) Un:llln!~ 16n de 1 a UlI es uPro;w1I
EJEMPLO 13.4
I
Presión de la sangre en el Interior de la aorta
1 1, pn.-slón numomélrlcü rnt.'dlda en la lIort. hum IInu es «(' 100 Inmtlg QProxlnUldum~nte. COIl\t·rtir la presión sanguínea media en pll.'iculcs. f
11IanlOS los faclore_" de cOil\'crsión de la ecunción 13.9:
P = IOOrnmHg IO I,325kPn =113.3kpa J 700 mmHg
[ , ",icio
Converti r unu presión de 45 kP:t e n () '1 II Iln fmetros de mercurio y (b) ulmÓsfera". l¡t·SItl~ (ti) :nSIllIll Hg. (b) 0.444 ulm.)
~ Iación .entre la presión ~ la a lturu (o profundidad) es más complicad
un df
desde la superfi cie de la Tierra. como sucede con la presión de unu columna de llgi rero a direrencia de este caso. la disminución de presión con la altura no es lineal con I:l u aneia. En lugar de ello. la presión del aire disminuye en una rrncción constante para un ine '¡c nto lijo dado de altura. como se ve en la figu ra 13.8. A una altitud de 5.5 km aproximad,¡rnellte, la pres ión de l aire es la mitad del valor que tendría en la superficie del mar. Si a,q:cndemos otros 5,5 km hasta una alt itud de 11 km (a ltura típica de vuelo de un avión comercial). la presión se ha vuelto a reducir a la mitad, de modo que equi vale a la cual1a pane de la que se tiene al ni vel del mar. y así sucesivamente. Este ejemplo de decrecimiell10 eX{lOnf!llcitl¡ se denomina "ley almosférica". Por ello, los aviones comerciales que vuelan a grandes alturas llevan sus cabi nas presurizadas, Como la densidad del aire es proporcional a la presión. esta densidad también dismi nuye con la altura. Así, por ejemplo, se dispone de menos oxígeno en una montaña que a elevaciones normales, lo que hace más diffcilla reali7.ación de ejercicios físicos en las montañas Rocosas, y ascender el Himalaya es peligroso. 0.11
l'mda
13.3
, I
, I
I
I
I
I
OL---~--~'~~~ 5.5
11
h, km
Figura 13.8 Variación de t9 presión con la ahum por enci ma de J9 superficie terrestre. Por cada 5,5 km de incremento de alluf'J. la presión se reduce a 111 mitad.
Flotación y principio de Arquímedes
Si pesamos un objeto pesado sumergido en agua suspendiéndolo de un dinamómetro (figura l3.9a), el peso aparente del objeto (la lectura del dinamómetro) es inrerior al peso del objeto. Esto es así porque el agua ejerce una ruerla hacia ¡¡rriba q ue equilibra .parcia lmente la fuerza de la gravedad. Esta fuerzu es aún más evidente cuand.o smnergnnos un trozo de corcho. Cuando el corcho está co mpletamente sumergido, experimen ta una ruer!.:l hacia arri ba ejercida por la presión del [Igua. que es mayor que la ruer,:" de la gravedad .. de manera que el corcho m:c lera hac ia la superficie. en donde flota parcialmente ~ulllerg ¡do. La ruer!.íI ejercida por un fluido sobre un cuerpo sumergido en él se del.lOlllma fu erza asccnsional (o de fl otación o empuje). I Es igu,,1 en módulo al peso del flllldo despluí'..ado por el cuerpo. "'...... 1 .
'd '
luuQcut.:rpo parctal o tOlahncntc sUlllcrgl o en un
nUI' do
experimenta
1I1l11
fuerlll asccn-
sionuJ igual al peso del fluido desplazado. PRINCIPIO D( ARQUIMEDES
.....ne re!'tuhado se conoce con el nombre de prmCllJlo d'e Arcluímcdcs ' C.
P. :11m I
'
.'
(b)
,., '" 11
(c)
8 = 1',: -
f¡
(a) Figura 13.9 (ti) FOl'lulI dc pesar un objeto sumergido en un fluid o. (/J) Dillgr:1Il11l de fu erNls l.'1l el que puede \,cr<;c cllx:.o¡O, \\', lu fucrzu ejcl\'ida por el muelle F¡\ Y las fucr7.l!s ..~ I Y Fl cjerddru. por el flu ido que lo rodea. (c) LI fuerlfi nsccn~ional Q de
flomci6n 8 = P2 - p ¡ c.~ 1:1 fuer/ a I1l"'U cJcl\'idu por el fluido sobre el
()I~cto .
•
. d d' ~m~c;..'ción ... drflnk'i6n de fut'rla asccnSlomll ~ rcllmlni m,,~ II e Il1UC en e , .
J . .
,
372
I
Capítulo 13 Fluid os
Podelllos dedud r t!1 principio de Arquímedes a punir de IIIS leye.. de Newton _ , sobre mm porcl'6 n.de un n1II'do y o b... erva ' n~ o que. cuando ""', ..,_ randa la,'" fu t!rns que uctllan en equilibrio estático, In fuer/.ll l1etn sobre In l~lIsma debe ser nu l,~ . 1..1.l fig ura 13.9b nt t\t¡ las fu crl.ll" verticale" que lI~tÚUI1 !'obre un obJt!to que se pesa nllt.:nt ras cMá sume ," abaJo. " In f uer/ a de i dmamómetro ' '!l"P •• decir. la fuer/.a de In gravedad w (1" Ifl g'lCIa hIICIoI ¡¡cllía hacia arribn: unH fucrlll FI' que actúa hoc::ia ilbiljO. d,cbida .u la ~re"ión del nUido::' la ~ u pcrl i c i e superior del objeto y una fu er.la 11:2' que aelua hllCUI am ba debida a la ' del fl uido "obre la superficie inferior del objeto. Como la IcclU ra de l dinamómetro ind~:~ fucrl.ll infe rior a su peso. la fuena Fl debe ~er I.nayor en ~6dulo que FI' La d ifcrencia ~ módu lo de estus dos fu erzlls es la fu e.rzlI ascens.'onal 8 = /, ~ - F I (figura 13.9c). La f~ usccnsionnl ticne lugar porque la presión del fl Uido en el fondo del cuerpo e.. mayor que ~ ItI pune superior. En la fi gura 13. IO.se pl'escin~e do.1 di.na m6metr~ y el objeto sumergido se ha reempla. /.¡tdo por un vo lumen Igual de flUI do (lI1dlcado ~r li neas de. puntos). La fu erza asccnsiOl\al /J = F2 - F I que actúa sobre este volumen de flUI do es la nllsma que actuuba sobre nues! objeto originnl, ya qu e el flui do que lo rodea es el mis mo. Como este volumen de nUido~ en equilibrio. la fuena resu ltan te que actúa sobre él debe ser cero. La fuel7.3 ascensional es igual al peso del fl uido en este volu mcn:
'd"""
,
8 =wr Figu ra 13. 10 L'l nu ::.rna situación que se daba ~n
la fi guro 13.9. pero ahortl el objeto ha sido sustituido por un volumen igual del nu ido. L'lS ruert.ns F I Y F2 debidas a la presión del fl uido son las mismas que las ruertas correspondientcs ejercidas sobrecl objeto en la fi gura 13.9. La fu crl :l ascensional o de empuje es igual al peso del fl ui do despla7.ndo. wf.
(1 3.111
Obsérvese que este resultado no depende de la fonna del objeto sumergido. i cons ide ~ una porción cualqu iera de fo rma irregular dcl Huido. sobre ell a deberá actuar una fuena ascensional debidH al fluid o que la rodea y que resulta ser igual al peso de dich:1 porción. Ptt lo tanto. hemos deducido el principi o de Arqu ímedes. El rey Hierón 11 le había encomendado a Arquímedes (28 7-212 a.c.) In I.:.lrea de detenni. nar si tina corona fa bricada para él estaba hecha toda ella de oro o si. por el \:' 'ntrario. come. nía algún metal más barato como la plata. El problema consistía en detcrTI la densidad de un objeto de forma irregul ar, como la corona, sin destruirlo. Segun lo historia. Arquímedes encontró la soluci ón mientras se bañaba e inmediatamemt" correr des· nudo por las ca lles de Siracusa gritando ;'¡ Eureka!" ("¡ Lo encontré! "). E~ '110 de comprensión precedi ó n las leyes de Newtoll , a part-ir de las cuales puede de ~ I principio de Arqu ímedes. en 1900 años aprox imadamente. Arquímedes encontró
c;-_,..,.=
Densidad espccffic ¿l - ".,,,,.,--.,.,..,--~_.,-_1P~"'~'o,,----,-___ fuerza ascensional cuando es tá sUlllcrgido en agua ( 1 .1,I~1
El peso ílparente
Y la fuer/a Globos de Ulf'C caliente elevándose en el cielo noclunlO !>Obre AlbuqUl'rtjuc durante un fc.~ li vlll de gJohch:.
1\ '"
de un objeto sumerg ido en UIl flu ido es la diferencia cntf('
"U
1)(...0
11
a~ccns i o n al B.
Il'ap
-
11' -
8
( pl .1}
13.3 Flo tación y principio de Arqulmedes
(11)
..
{II11..1 "roml y In pepita de oro ticnen el mi smo peso. (b) La corona desphlzu 1mb agun que la pepita de
I
¿Es oro?
EJ
'LO 13.5
en rnt\
,Itgil está preocupada por un ¡millo de oro que compró en IIn viaje reciente. El anillo era
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
nuestra amiga quiere snber si realmente es de oro o si es de olro material. Decidimos lI} U! fin usando nuestros conocimientos de física. Pesamos el anillo y encontramos que pesa O.I ~ ~ . Usundo una cuerda lo colgumos de una balanza. lo sumergimos en agua y entonces ptSo.L ,.150 N. ¿Es de oro el anillo?
Planteam iento del problema Si el anillo es de oro puro. su densidad específica (su densidad rel:lIi\'3 al agua) será de 19.3 (véase la tabla 13.1 ). Usando la ecuótción 13. 12 como referencia. deter· minar la densidad específica del an illo.
1. La t:cuación 13. 12 relllciona In densidud espccífic:I del anillo con el cociente entre su peso IV y la fuer.m de empuje 8 cuando está SUlll e r· gido en agua:
densidad especftica -
2. Cuando el cuerpo está sumergido. 8 se iguala con el peso menos el peso aparente "'ap:
8 _
3. Se combinan los pasos 1 y2 Yse despeju la densidad específica:
-
/J
II ' - IV""
u· 8
densidad cspccftica
u·
- :::-":::11'"" \1' -
O. 158N = 19.3 - O. 158N - O.150N 4, Se compam la densidad espccíficn del nnillo con la dcnsidad cspcdticn del oro. que' es 19.3:
19.3 - 19.3 El anillo es de oro puro
aparenle de'fi1.89 N Un bloque de un material descom>C1·do pesa 3 N y (I e I le un peso '. . 1.1 . 1 UI denSIdad especl IC.I (e CUando se sumerge en agua.. De qué nllllenn se 1m1a./ ( R"IIIWSItl . ' . . m:lterial es 2,70. que es la den~dlld específica del nluminio, por [o 1:11110 el bloque es de IIlumllllo.)
Eje rclclo
' aire 'Cuál es el peso real del Ejerclclo Un bloque de aluminio pcsn 3 N cuando eSliIA. roe: IendI o (c. ' (, . _. _ bl _ V, ,= p Vg . De In IIIbla 13. 1 se obllcne Pllfl'oquei (RespuesU/ lV. p = W - B. donde 1) - Paj~ S y 1\ ,.tu,,, N 61 0 048% mnyor que 1.293 kglm J y Palum = 2.70 X 103 kg/m l. Por lo "anto. \1' ~ 3.00 1.~ !l~~::~n: ~.. o~re ¡¡quidos o .~6Iidos cl peso en aire. Evidentemente. la fuerJ.1\ asccllcIOna1 debIdo 111 al . P'W'delüuolmentc ignorar.;e, ...... _.. ffi 11.3> N",n 80 N en airo. (,Cuánto pesa ..,..Iugo Un pedazo de plolllo (densidad C'ipe.: ca = .. IDmeia,ido en agua? (Rt!Spllt!.flll 72.9 N,)
•
I
373
374
I Capítulo 13 Fluidos Supongamos que la densidad del bloque que se muestra en la figura 13.11 es mayor la densidad del Huido del enton¡o, y que tanto el bloque como el plato de la balanza completamente sumergidos en él. La fuerza gravitatoria que actúa sobre el bloque vale .. peso. y la balanza está ajustada, de modo que marca cero cuando el plato no aguanta el que, como se muestra en la figura 13. llb. Si se coloca el bloque en el plato de la bal' (figura 13.lla), la lectura de la escala es el peso aparente w. p del bloque. Cuando el bl está sobre la balanza, éste está en contacto directo con el Huido, excepto en aquellos pu de la base donde se apoya en el plato de la balanza. Si suponemos que éste no es comp mente plano, sino que tiene rugosidades, el bloque se apoya únicamente en las regiones
altas del plato. (En las más bajas, el fondo del bloque está en contacto con el Huido.) A cemos ahora esta situación para saber si la lectura de la escala de la balanza depende o n
área de contacto de las superficies del bloque y del plato de la balanza. Mientras el bloque descansa sobre el plato de la balanza. la fuerza neta ejercida pr Huido sobre el bloque Ff resulta de una combinación de la fuerza hacia abajo ejercida "'" Huido en la superficie más alta del bloque y de la fuerza hacia arriba ejercida por el Huid< aquellas regiones de la superficie inferior del bloque con las que está en contacto. (H representado Ff hacia abajo. Sin embargo, si el fluido estuviera en contacto con una
w
(a )
porción de la superficie inferior del bloque, esta fuerza podría ir dirigida hacia arriba). otras dos fuerzas venicales que actúan sobre el bloque son la fuerza gravitatori a w fuerza hacia arriba F p ejercida por el plato en las regiones de contacto directo. En la fi
13. llb se representa el bloque fuera de la balanza, y en su lugar, la cantidad equivaleD Huido, de forma y tamaño idénticos (representado por la línea discontinua). Las mi> F'r
regiones que estaban en contacto con el bloque ahora lo están con la muestra de fluido
consecuencia, las fuerzas que actúan son la fuerza ejercida por el resto del Huido, F fuerza hacia arriba ejercida por el plato. Fp, Y la fuerza gravitatoria
(h) Figura 13.11
Wf.
Las fuerzas Fr
son iguales, ya que en cada punto de contacto entre el Huido y la muestra de fluido las zas son exactamente las mismas que entre el Huido y el bloque. Cuando el bloque está sobre el plato de la balanza. está en equilibrio, y por lo tanto. Ff+ w, o bien
y cuando el bloque se saca del plato de la balanza, la muestra de fluido que lo reemplaz;. en equilibrio, y por lo tanto
Si se restan las dos ecuaciones anteriores, teniendo en cuenta que Fr.y = Ff.~~ Y se reag
los términos, nos queda
en donde F p - F p corresponde al cambio de la lectura cuando se saca el bloque del pi' la balanza. Por lo tanto, F p - F p es el módulo del peso aparente del bloque sumergido. consecuencia
Normalmente se denomina a IV - wapfuef7.a ascensional B. con lo cual resulta
Esta expresión para la fuerla ascensional coincide con la de la ecuación 13. 13 , q estableció cuando el Huido estaba en contacto directo con toda la superficie del 01sumergido.
, 3.3 Flotación y principio de Arquímedes
EJEMPLO 13.6
I
¿Cómo se puede medir la grasa corporal?
El porcentaje de grasa corporal de una persona puede estimarse midiendo la densidad de su cuerpo, teniendo en cuenta que la grasa es menos densa Que los músculos y los huesos. La denidad de la grasa es = 0,9 X 10' kg/m' y la densidad del tejido magro (todo el resto excepto la grasa) = I, t X 1()l kglm J • La medida de la densidad del cuerpo consiste en determinar el peso a parente cuando una persona está sumergida en agua, habiendo exhalado completamente el aire de sus pulmones. (En la práctica, se estima el aire que queda en los pulmones y se corrige su efecto). Supongamos que el peso aparente de una persona cua ndo está sumergida en agua es el 5 % de su peso. ¿Qué porcentaje del cuerpo de la persona es grasa ? Planteamiento del problema En una persona el volumen lOtal es la suma del vol umen de grasa más el vo lumen de tejido magro. y la masa total es la suma de la masa de grasa más la masa de tejido magro. El volumen y la densidad están relacionados con la masa mediante la relación m = pv. La fracción de grasa se calcu la dividiendo la masa de grasa entre la masa total e. igualmente, la fracción de tejido magro se calcula dividiendo la masa de tejido magro entre la masa total. Naturalmente. la fracción de masa más la fracción de tejido magro deben sumar l . w
1. Detenninar la razón de la densidad del cuerpo de la persona y la densi-
w-
dad del agua usando las ecuaciones 13.2 y 13.3:
w ap
La determi nación del porcentaje de grasa del cuerpo de este hombre se realiza pesándolo cuando está su mergido bajo el agua, es decir. midiendo su densidad.
:-""","'=,- = 1.05
11'-0,0511'
2. El volumen corporal lOw es igual a la suma del volumen de grasa más el volumen de tejido magro:
3. Como la densidad es igual a la masa dividida por el volumen, el volumen es la masa dividida por la densidad. Se sustituye esta relación en el paso anterior:
4. La razón m¡ mtr:x es la fracción de masa y "'nlmcO( es la fracc ión de tejido magro. Se sustituye mg y mm en los resu ltados del paso 3:
5 . La suma de la fracción de grasa más la fracción de tejido magro es
"'tot P
= ~+ mJO p. Pm
P
f"m ,ot f mm 10t =--+ - Pi Pm
1.+/m
= 1
uno:
6. Se dividen los dos ténninos del resu1lado del paso 4 por n/1et y se sustilUye 1-1. por/m: 1- (Pm/P)
7. Se despeja en e l resultado del paso 6./¡:
f. = 1 -
8. Se utiliza el resullado del paso l para sustituir la P del resultado del paso 7 y se despeja de nuevo Jg :
f, =
9. Se expresa la fracción de grasa como un porcentaje:
100% x l . =12 1% 1
( Pm/P,)
1 - (Pmll,05p.,u) = 1 -( 1, 1/1 .05) 1-( 1, 1/09) 1 - (Pm/P,)
0.21
Ejercicio Si e l peso aparente de Ed cuando se sumerge en agua es cero. ¿cuánto vale su porcentaje corporal de grasa? (Respuesta 45%)
EJEMPLO 13.7
Sobre una plataforma
Una platafomm Dotante de área A. espesor" y masa M = 600 kg flota en agua tranquila con una inmersión de 7 cm. Cuando una persona sube a la platarorma, la inmersión es de 8,4 cm (figura 13. 12). ¿Cuál es la masa m de esla persona? Planteamiento del problema Sea A el área de la platafonna. El peso del Ouido desplazado por la platafomla sola es p.,4d]g y el desplazado cuando sube la persona, p¡/\d28, en donde Pa es la densidad del agua. d] = 7 cm y d2 = 8.4 cm. Igua lando el peso del Huido desplazado con el peso de los objetos Dolames en cada uno de los casos, podemos eliminar A Y Pa y deducir la masa n/. 1 . Igualar la fuerza ascensional cuando la inmersión es d] = 7 cm. con el peso de la plataforma. y cuando la inmersión es d 2 = 8,4 cm, con el peso de la plataforma más el de la persona:
P.Ad,g =Mg p,Ad.,g = (M + lII)g
7.0cnC=tC'....
8.4 - ": _ ..J'U.
Figura 13.12
375
376
I
Cnpftulo 13 Fluidos
2. Dividir eMU.~ do!> l..'Cuacionl!~ pam di millllr la.s
incógllillli. A y Pn: d, m = (~
3. De"''lCJar 1//:
EJEMPLO 13.8
I
I)M= (~:~~: - I )c600kg l =1'20kgl
El balanceo de un corcho
Un ':orcho ptlSt.'C unu densidad l' = 200 kglm l • Determinar qué frucd6n del volulllen del corcho se sunu'.~c cuundo el corchu lIotll en 1I~1I11.
Planteamiento del problema SeH V el volumen del corcho y V. u", el volumen <¡ulIlcrgido cUllndo nOIa en aguu . El peso del corcho es PeVg Y lu fu crl.i1 asccnsiollul dcbidll al ugun P. V.umg. 1. COIIIO el corchu e:slrt en eq uilibrio. In fuena ascensiOtml sen\ igunl 111
11'
= fJ
peso: 2. Despejar V",n/V:
PcVg = P.V\UmK
V~m V
Observación
l
_ Pe _ 200kglm P. 1000 kglm J
=15'1
Como hemos vislo. sólo una quinla pane del corcho esl:'! sumergido. Esle
resultado es indepe ndiente de la forma del corcho.
,
Reemplazando en el cá lcul o anteri or P3 por Pr. la densidad del flui dll pe demos delef'lrl. nar la fracción sumergida de un objeto flotante en cua lquier fl uido. En cmplo amero hemos visto que la fracción de un obje to flotante sumergido es igual al l nle de la dar¡¡. dad del objelo y la densidad del Huido. Vsum
_
-
P
Como la densidad del hiel o es 920 kglm 3 y la densidad del agua del n fracción de un iceberg sumergido en el océano es V su m
Humo que sale de un cigarrillo encendido. Al comienzo. el humo asciende medianil! un fl ujo regular. el fluj o lam inar. pero rápidamenle este movimicnlO se hace lurbulenlO. de 1111 forma que el humo form:t remolinos irregulares.
(111' I02Hglm',b
p- 920 kglm' - 0,898 1025 kglm'
- --
El gran pe ligro que representan los icebcrgs para los barcos está relacionado con el ht'dluÓ: que s610 ell O por ciento aproxilll:ldamente de un iceberg es visible por endma del :lg\ll.1.J
porción visible del iceberg ofrece poca información sobre la posición de la porción \U!D!f' gida del mismo.
13.4
Fluidos en movimiento
•
El comportamiento de un Huido en movimient o puede ser en general rnu) c()ll1pliru~- C~ sidcremos. por ejemp lo el humo que asciende de un cignrrillo encendido. t\1 rnnu!-*. humo se elevll con una forllla regu lar. pero pronto aparecen lurbulcncia¡. ) el hunKl rl~~ a on~e~r de forlllll irrcgul a~. ~I fl ujo turbulento es muy dificil de e..<"lUdinr. uunqu~n~ CUahll'll lV8mell lc. Por conslglllcnle, sólo consideraremos el fluj o 110 IUrhuknw. ~ 'ft' eSlacionario de un flu ido ·'idelll". no viscoso: es decir, uno que Ihl) I! ,in dl<"lp:It'ltlll Ji \ gía mccánicu. SupondrclllO!> lambién que el flu ido e... incol11prc¡.iblc. lo cual t" unA ~
13.4 Fluidos en movlmlenlo
•",,. ..nl'(hm1ci6n pum In IIlnyor pane de 10\ Irq,11"dO~. E"11 .. .
c(lC1~lIlnle en lodo el n~ldo.
Un
I
377
fl 'd . . tu o Incolllpre\.blt. la densidad es
, Pu l.-clc verse en la hgunl 13. 13 un nu,',l"" q tiC clfI;ula po bo !e\(\.'Cc, El fluid o flu ye de iJ.quicnJa a dcrec hn 1 . r un tu cuya sL"Cción lnmsVersll1 i ltlnle n del Jfquido que Huye hacia el intcrio~ d"':1 pa~~ sombreada de In izquierda ¡lidien el \(1 • l '1 e tu U\) en el pUnto 1 " , , npo ÓI. $1 hl ve oc ie ad del fluido en c"le 1'" I l l O c.o; ,-",aleAI.e l volulllt.:n qucenlr:lenclluboc l '
en Cierto Intervalo de
y el :'irea de I '6 • Il<;CCCI n Imnsvcrsat del n e Ilempo Ól es
¡}tI
[lluv '
11.
Figura 13.13
Ó.V:A 1v ¡ At
Como
c... WIll OS admitiendo que el fluid o 0 .~ ", ncompres!'h le
1 . 1 ~ cUJ.lquier punto del tubo en el mis mo intervu lo el : • • n vo urncn ¡gua debe pasar cubo en 1,)1 punto 2 se indica Con la lOna !\ombrcllda a ,e ~cm~. 6.t., El VO lllml!l~ que sale. del c ¡kI1 Ruido en c.o;te pUlllO es 1'1 y el área corresl>ondic 1" IC'"I' :\ ~h~ In fi gura. S, la vc loc,dud n e {e
ti
l magnitud Av::.l! denomina CllUd.ll/ ..... Lüs dime" s",o"cs' d e I v son 1ns (e 1 vo 1umen dIVI ' ". '" did" r [lempo. En el flUJO 1 d 1 l ' 'd CSluclonano de un fluid o incompreo'll .~ I ) e, e cau a es e mI smo 1 11 t1I o: en [O. 1os puntos (e
1,. = Al' = constante
( 13,16)
ECUACIÓN OE CONTINUIDAD PARA UN FLUIDO INCOMPRENSIBLE
l3 e
,,; ión 13.16 se denomina ecuación de continuidad.
E;en 10 La sangre circula por una arteria aorta de 1,0 cm de radio a 30 cm/s. ¿Cuál es el caudJ (Respuesta Iv = Al' = 9,42 x IO-s m)/s.) Es costumbre dar la velocidad del bombeo del cClnlzón en litros por minut o. Utili zando l m3 = 1000 L Y I min = 60 s. se tiene Iv = 5.65 Umin. Ejercid o La sangre circula desde una porción de arteria gmcsa de 0,3 cm de radio. en donde su velocidad es 10 cm/s, a otra región en donde el radio se ha reducido a 0,2 cm, debido a un engrosam iento de las paredes (arteriosclerosis). ¿Cuál es la velocidad de la sangre en la lona más estrecha? (Respuesta Si las velocidades inicial y la final son VI y 1/2 Y las áreas correspondientes son A1 YA2 , la ecuación 13, 16 da \l 2
A, A,
=-v 1 =
1r(0 3cm)' ) ' 2( IO cmls) = 22,5 cm/s. ,,(0,2 cm)
•
Ecuación de Bernoulll Cuando una pequeñn mueslra de fluido flu ye por un tubo y entra en tina zona más estrccha. gana velocidad porque la presión que lo empuja de detrás hac ia delante c,.o; mayor que la presión que desde el frente se opone al movimiento, La ecuación de Bermoull i relaci onn la pre~ión, elevación y velocidad de un flui do üu.:nmpresible en flujo estaciollario. Rc!'ull a de las leyes de Newloll y se deduce fác ilmellt c aplicando el [coremn trabajo-energín a unn ]>oreión del fluido. Considcremos un fluid o que circula por unil tubería cuya 1l11U111 y,secci6n ,fan varinl1(~o CQmosc indica en la figura 13.14. Apliquemos clteorema tmbujo-cncrg m lila TllUC.<¡t ra de ~uJo ~ue está contcnida inicialmente entre los puntos I y 2 de In fi gura 13. 140. Al cabo de ~H1 Clcl10 tIempo ru. esta mueStra de fluid o se habrá movido a lo largo dclll1bo y esturo contelllda CII In región comprendida entre los punlos l' y 2' de la fi gura 13. 14b. Sea (¡ln~bién i:Jm = p,tJ'v l¡¡ masa de muestra de flu ido. El efecto netO producido sobre cl fluid o en elllllcrvalo de '.Iempo c.\(consL<¡te en que la muestnl 1:Jm de fluido se ele":! desde la altura 11 1 ti In nllUr:1 112• mlentrn), que su velocidad varfa de VI ¡I "2' Ll.l variación de In energía potencial de la muest ra es
,
-" 1,,, ,
"
(a)
".. .
<-
,I
_., "
~
I, I "
, I, (b) Figura 13.14
I
.W
.
<
~
I
"
h,
378
I
Caprtulo 13 Fluidos
""6n de .SI' cnergía cinética vale y Ia v¡¡nacl
El Hu ido que marcha detrás de la muestra 6m ~c ~uidO en ellubo (a su izqUitrda eo~ unll "fuerl.u sobre ella de va lor FI - P ,A 1• en donde PI es la I'\fto<'ón l·IgUnl l',l, 15) ,"¡crcc ...~ ' . 1'"..,11 atcl punto l . E.
Figura 13.15 Fluido que se mueve denlrode \lila I\1bcrfll de altura y sección tnll1sven;1I1 variable. El Imonjo tOlal que rculizan 1m: fu erzas PI = PIA I Y P2 = PY \ 2 tiene el efeCIO de elevar In porción sombreada de fluido desde una allum 11 1 a 112 y dI! cllmbillr su velocidad de "1 n "l'
Al mismo tic;mpo. el Auido que ~rcc~de a la masa en cuestión (<1 su ~crecha) cjc~ !IrQ fucr'La F2 = P.y\ 2 di ri gidu ha:ia ,la Izq UIerda de la figura, Esta fucrl.íI realiza IIn trabajo fItt.¡. tivo porque se opone al mOV lInl cnto:
Ellrabajo total real izado por estaS fuer/.as es
El teorema trabajo-energía di ce que
de modo que
Si di vidimos ambos lados por Ó. V, se obtiene
si reunimos lodas las magnitudes que tien en subíndice I cn un lado de J¡ las que tienen subíndice 2 en el 011'0. eS1<1 ecuación se conviene en p ¡ + p g h ¡ + ~pv r
-
Idad ydej_
= P2 + p gh z + ~pl'~
-
ESle rcsultado puede finalm ente escribirse como
P + pgy + ~ pl,2
-
= constallle
(i). IJbI
lo que 1iignifi cll que esta combinación de magnitudes calc ul ada en un pun to de[cm¡inndO~ In tu berín ticllc el mi smo valor que en cualquier otro punto, Las ecullcionc~ 1.1,17n)' 1J. ~¡)., se conocen como ccunci6n de Hernoulli para el Alijo conslHnl e y no "i .,~,o"o dt' UR 00 incompresible,
Una aplicación c''ipccinl de la ecuación de Bernoulli e!-o la que se tit'ne ¡,;unndo el Ou c.'Hfi en rcpo!oo, Enlonce.." v r = 1'2 = O Y se obt icne
Este rcsuhado es el mismo que el de la ccuación 13.7,
JIk 1
13.4 fluidos en movimiento
E/EMPLO 13.9
I
I
379
Un depósito agulereado
Un depóSUO grande de agua. abierto por arrlha U r dC,'bajo de 1M superficie del IIKWI. IIlIlIar lu. vel'oc~nc un, OrindO, pequeño u unu dl'lhmcia 6h po ud dd aRua cUllndo l'SCllpU por el orificio. Planteamiento del problema AplitlllCIllOS In ecu' ," , _,..... 13. 16, Como el diwnctro del orilicio e' , h .¡Clu n de Bcrnu ullr:t los puntos ti y b dc In ,I~u".. ., I lu e t ) IlLCn (lr que I d'á d . "'IJI\.'Cinr In velOCidad delll~uo en su parte MII>crior ( e 1. metro el depósito, podemos
.
•
".
l
punto a).
1. Scgdn lo ~U:lci ó l1 de Bernoulli , con 1'" = O:
2. LI presiÓn1 e' n
lo~
hlerlOS a au-e:
puntos (/ y bes lu misma .
P
1 1'
yn
que am
ho
Figura 13.16 ~
estnll
1'"=O,)l
Y p b -- O pI
Q
P.,+ pgh,,+O ::::: P~ +pghb+ ~pvl
3. lespejnr la vclocidnd
1'1> del
•
agua que nuyc por el orifi cio: y por lo tanto I'b
=1../286.1/
I
Elt Id o Si el :¡guu que nuye por el orificio cstu viern dirigida venicnlll1cnlC hado arriba ' (1'" " '(ReS,JlII!sfa E II ah ¡ 1caozana . agua a canzarfa una nltuI"',J Ilh, es decir. el mismo nivel que '·l. el ugua Uf n el dcp6:;ilo.)
F d ejemplo 13.9 el agua sale del orificio con una velocidad igual a la que tendría si L-:l)'r . n caída libre una distancia h. Este resultado se conoce como ley de Torricclli. t J figura 13. 17 se mUCSlrd agua que está circu lando por una tubeña horizontal que tiene una re,!:lón de menor dhímelro. Como ambas panes del tubo tienen la misma allum, h¡ = 112 en la ecuación 13. 17a. Enlonces la ecuación de Bemoull i se reduce a p + ~pv2 = conSlanle
( 13. 18)
Cuando el fluido se inlroduce en el estrechamiento, al ser menor el área A. la velocidad v deberá. en consecuenc ia, scr mayor, para que se mantenga constante el prOducto Al'. Pero. si la \'elocidad aumenta. la presión debe disminuir. puesto que P + ~p)l2 debe permanecer constante. Por consiguiente. se reduce la presión e n la parle eSlrecha~
Figura 13. 17 Estrechamiento en unll tuberia por la que circula un fluido. La presión es menor en la sección más cstrech:\ de la tubería. en donde el
nuido se mueve más rápidameme.
Cuando aumenta la velocidad de un flu ido, desciende la presión. H{CTO VENlURl
Este resultado sue le conoccrse como efeclo Vcnturi. La ecunción 13. 18 es un impOl1:1nlC resultado que se aplica en muchus situaciones donde pueden ignomrse los cumbios de altur:L En la fi gura 13. 18 se representan las líneas de corriente del fl ujo de un fl uido. La dirección de las líneas denota la dirección del flujo y el es paci ado ent re ell as representa su veloc idad. Cuamo menor es el espacio e ntre líneas, moyor es In velocidad. En el fl ujo hori1.~nt:l1. cuando la vcloc idud aume nta, la presión dis minuye. por lo que cuando las ](neas de cOITIente se juntan la presión disminuye.
EIEMPLO 13.10
I
El venturímetro
Figura 13.18
¡INTENTELO USTED MISMO!
Va "ftIIlutm~tro es un aparato para medir lu velocidnd de un fluido. Un fllIid~ de denSidl:d Pt.' PIlla lravá de una tuberfa de 4Lt'ClI lran.~versal A I que posee un l'Slre<:hanllento de á~¡1 A! UIaItta 13.19). Las dos partes de la conducción a;:lán conectlldlL~ por un mllnÓ~It~lro. un ~lIbo de U parcialmente lleno de un U'luido de densidad /'L .' Cumo In "elUCidad de fI~() : m~ el' I 16 .•- ""~ci6n eco menor que en hl¡>urH' más (lile ¡¡ e
.. ron...
ca ea
estftduunltnto, a pres n en es... .... . d Ilr Id ~Id I dIferencia t:Jr de los ""'cles c. qll o afa. .... dlrernda de presi6n viene me jl por a , cdldu t:J¡ y IIIS mugnillldes ... bIbo .. U. Expn ser la veloddad VI en función de la altura 01 ......
........,...,...'r.A"A~
Figura 13.19
V('utu rfmelm.
380
I
Cap'tulo 13 Fluidos
Planteamiento del problema Lm. presiones 1'1 y 1'''1. en III~ regiones nllt-: ancha y .má~ c~t~C.ha de la wbcría esl.in relacionadas con las velucidades 1', y \'2 por In ccullción dc BenlOulh: La dlfcrc~ t ia de presión ~.\Iá relacionada con In uhum/lh por 1'. _ p~ = (J¡lJ Ilh. Mcdiunlc lu ccullcl6n de conllnuidud puede cxpresurse \'2 en funci 6n de 1'1 y la.. {ircllS A I YA l' •
Tape la columna de: la de:recha e Intente resolverlo usted mbmo
Respuestas
Pasos 1. Expresar la ecuación de Bemoulli en unu conducción hori.wnwl pam las regionCb mds lmcha y mlls eSlrecha de la tubcrí:l.
\"
2 . Expresar la ecuación de conl inuidad pam las dos regionc..' y despejur \'2 en fun ción de \'. y 1111' IÍrcllS A 1 YAl.
l'
dI: modo que
.
1',
3.
S u ~ t iwi r
el \'alor de ción paro p. - 1'''1.'
4. Escribir PI -
1'2
.\
en In ecuación del p.uso I y ob.ener unu ecua-
=
, o
-1'.
"
p
Po
=
= ~PI(n
p~
en fun ci6n de In diferencia de ¡¡Itum /lb del agua en las mmas delwbo cn U. Esta diferencin de presión es igual a In caída de 111 presión cn una columna del líquido de altum /lb y a la de una calumn .. de nu ido de In misma ahumo
5 . Igualar la,<:; dos expresiones de P l
-
P2 Y despejar
1' ,
~Pr(r~-Ill'f = {PI-p,)¡.:tJ.h
en fun ción de llh.
-
de donde
,\, J-'1
f2
~,.)g~}¡
~- Pr Cr-- I )
Ejercicio Dclenninar 1'1 si llh = 3 cm, r = 4, el fluido es aire (PF = 1,29 kglm 3) y el líquido dellUbo en U del venturímetro es agua (p" = 103 kg/m J ) . ( Resplle.wa 1'1 = 5.52 mIs.) Observación Este cálculo no es lall exaclo como el del ejemplo 13.9 porque el aire no es un fluido incompresible. Eslriclamellle h..blando, la ecuación de Bemoulli y la ecuación de continuidad s610 se cumplen para fluidos incompresibles.
El nujo de aire por encimu y por debajo del ¡¡Ierón del bólido de fómllll¡¡ I/ld)' de In. fi gullI, cren Un:1presión muyor en lu pane superior del aleron. aumentando el pew del coche, lo cu.. 1pennite un mejor control del
El efeclo Venturi permi te explicar cualitalivamente talllO la SUSlenlm:. las alas de "" los a\'ionesqo aviones como las trayectorias curvas de lelota estacionaria epcn misma) con el aire moviéndose respecto a ella). El movimienlO del aire orif lo por cl llllZ' leve porell!dJ tre de la bola en movimielllo giratorio, se suma a la velocidad del aire que.\C izqui erdo de 1<1 pelola (parte superior e n la fi gura). y se rcS1I.1 de ell a por el lado ·"",ho (u P""
mismo cuundo M! mueve a velocidudcs a\tas. Las alas de avión se di.scñan de Inl modo que la presi6n del aire debajo del ala sea m:lyor
Figura 13.20 (a) Vi:,(¡1 superior de una pelma lon1.ada con un cfCCIO (velocidml angular lo) que la hnce girar:;obre sf mismo en <;enlido cnmmrio.tI de las agujas del reloj. (b) En el siSlcnm de referencia de In pelotu. éstll se encuentm csllIcionaria (pero girando) y el ¡¡ire circula con gran velocidad al P¡LW junto 11 ella. Debido II su cubicrtn rugo.\II, la pclUlll, al gimr, :tnllMt:\ el aire de su nln.'dcdor, h:lciendo que In velocidad del aire sea mayor en su p
I
I
o'
o'
'"
Alta
Baja l ', baja P
(ti )
l '.
alla l'
I
I
13.4 Fluidos en mov lmlenlO
381
. ,',Mor eJl lu ¡iguro). Asf puc.... tu vclocidud dcl uirc e..., mayo.- e" el 1 d ' . rd 1 1 1 ,n d 1 1 n o U.qULl! o (e 11 pe ota qLK'
en cllado cree 10 y. por O lanto. In presión en citado ,' . )'
.
. 'rd
7.Q Ul C
. o es menor que l u CXI:\lcnle
~n ell~du dCn.-C;lO. I o,r co.n),~gu l~ntC' . .~n traYl."Ct~ri~ se Curva haciu la izquicn:lu. El pulvcri'l,.udor
de JI!. jjgura 13._1 fUl~l:101M "unblt~n ~cgún el pn nclpio del efecto VCll\uri. de Bcmou .. d ' . cualitatI ' .vamente muchas AUI l 'lue In ecuación • . . lll rc:.ult,¡• m"y ti"'11 p.tra escnblr dt' Ia.~ CllrocICm,.II~Il~ ,de un Omdo en movimiclllo, normuhllcntc rcsu ll u inndccuudu cuando _" llp'lm cunnlltatlvumelllC con. • los resultado' c· I~ ,,' nl c'I,.lc · l' 10. 1os gases (tuno d :ure 110 ~o." H\co mprcSlblcs. y los liquido!. como el agua poseen viscosiducl: lo que UldhJu la S~poS1C1611 hcchn d~ que :.~ COlIscrvn la ellcrgfn mcc:'l.nica . AdemlÍs, nonnalmcnte ¡e:;ullil dil1c ll mumencr el flUJO estacIOnario sin quc se produzca tu rbu lcncia. y este ren6~ (IlCn o inHuye: gr.mdemcllIe en los rc!iulwdo ....
'flujo viscoso De nt, roo con In eClIIKión de Bernoulli. !ii un fluido fl uye estacionaria mente por lLnu tllbe~ ría~) Ion!!!! estrecha y de sección trunsvcrStll cllnstmue, la presión será constante 1I lo largo de la I~rfa. En la práctica se observa unll clIÍdn de presión segú n nos desplazarnos en la direc ~ del fluj o. Considerando este fenómeno de otro modo, podemos ver que se requiere una 1,;. enc ia de presión para empujar y conseguir la circulación de un fluido ti través de un tubo 110ntnl. E.~ necesaria est,\ diferencia de presión a causa de la fu erl.a de resistencia o de fr lo que ejerce el tubo sobre la capa de fluido que está en contacto con él y de la fuer arrastre que ejerce eadu capa de flu ido sobre la adyacente que se está moviendo .tla velocidad . Es tas fuenas de arrastre O de resistenc ia se denominan fu cI".las vis~ con .)mo resultado de su presencia, la velocidad del fluido tampoco es constante a lo 1J!g{' diámetro de lu tubería siendo mayor cerca de su centro y menor cerca de sus bo r~ dt's, ~ Jonde el fluido entra e n contacto con las paredes de la misma (figura 13.22). Sea P I la prt nn en el punto I y P2 la presión en el punto 2 a la distancia L (siguiendo la dirección de la. -rientc) del anterior. La eaída de presión !1P = PI - p ! es proporcional al caudal:
Fig ura 13.21 Pul verizador. I\ prelando el bulbo de la il.quierdll se obligll nI aire 11 atmvcs ur lu pune estrecha del tubo 10 que hace que la pre."ión se redU7-CU respecto a la presión atmosféric:l. Debido:t la diferencia de presione.~ que resulta de ello. el Ifquido contenido en el vaso ~ ve forlado a introducirse en la corriente de ¡¡ire a través del tubo vertical y emerge por la boquilla, Un efecto análogo tiene lugar en el carburador de un motor de gawlina.
""'"
( 13.19)
en donde Iv = vA es el cuuda l y la constante de proporcionalidad R es la resistencia al flujo, que depende de la longitud L del tubo, de su radio r y de la viscosidad del flujo.
EJEMPLO 13.11
I
, r
,• L
, ,,
,, P, ,, ,
,, ,
•
•
,,•
• ,, •
"
, , •, •, P, , ,, • ,,, • , •, • • ,, , , ,,
,
-
CUlI.ndo la sangre fluye procedente de In norta u tru\'és de las arterias princi pul~S, IIt'i ilr~erio !ti, los capilares y las venas, hasta la aurícula derecha, la presi6n (l11a nOmé~ rlcA). desclemle desde 100 torr aproximadamente a cero. Si el caudlll es de 0.8 Us, hallar In reslstenelU lulal del
.sistema cin:ulatorio. P1anteamlento del proble ma La re.sistencin está relacionada c~n la caída ,de ,presión y el caudal por la ecuación 13,19. Utili,.aremos la ecuación 13.9 para conven ir los torren kPa.
Expresar la resistencia en función de la c,lfda de presión y el caudal y expresar lodos los I~ml i n os en u ni dad~ del SI:
~ f,
100 torr
= 0.8 Us
1L x 1 cm) x 760 torr x 10) cmJ 10-6 cmJ 101 kPI!
=1 16.6 kPn · :.1m 1 1
Observación Recordundo que 1 Pa = 1,66 kN · 'Ilm5•
I N/m2 podríamos exprcsar el resultado en In form o
. . osid'ld de un fl uido. En la figunI 13.23 A continuación de fi niremos el coefi Ciente de vtse. ' d d '1 111~ de ~rea A y sep" aralelas ca u unn ec · , 1 se muestra un fluido confinado entrc dos p nca~ e tira de la placn supe~- . d l l aca tn fcflor en rcpo~o. ~ '~ por una distancia z. Mantcmcn o n p, F e, 'esar',o eiercer c.... tu fucrl.ll puru "~ ."" COn velocidad co n ~ta nt c \' med'mnte una. fuc-z " "·t ' . r.;...... nec,
P: . ' . .
•
•
Figu ra' 3,22 Cuando un flu ido " i sco~o nuyc por una tubería. su velocidad es mayor en el centro de la misma. Pr6:timo:\ las paredes de la tubería d fluido tiende il permanecer l!n repo!>o.
Resistencia al flujo sanguíneo
R=
,
382
I
Cllpítulo 13 Fluidos tirar de la plaen sUI>criur porqu~ c.1 fluid o pr6xin~o a In plncn ejerce una rUcr/ll "i~Oo.a rcsi ~h.:m: iu que ~e opone 111 rnovl~lIellto. La vdocldad. del l1uldo. cm rc 111_ \ pluca!! C\ pr.lql(~ IIlClllc igual a l' e n un Iugur próx llIlo ¡¡ lo pl aca ~upc n or y próXlIllO u Céro Cerca de 1.. inrerior. y vuría lineultuente con la di stanciu entre ~as plllcas. 1..::\ rUC~7.¡¡ F rc\ ultú \(!rdl:~ mente proporcional a \' y A e i nve~o mcn,l e. proporcl~nal a. la I¡cpamClón ;: entre la\ Placa~ constante de prol>orcion alidad e\ el cOChCH~n ( e de \'Iscostdad 1]: -Lt
Figura 13.23 Fluido \'i~';[hO entrc do~ plm':lI~ igutll c~ dc área A. Cuando \C IIltlCVC la plnca superior re!\I)I.."Clo ti In plllt'a infcfi0r. cada ClIpU dc fiu ido ejerce unn fuel7!! de IlmlSlrc sohre h¡ .. capa:. Ild )'ltCC IlI C.S. Lit fu crn\ ncccsnria para dcsplmmr lu plllc:! Mlperior c.~ proporcional a la \'clocidad l' y al área A e irl\'Crs:UIlCIlIC pmpon:ionnl a la scpnrnción eutre las pru cll.~ ::.
F=
( IJ.~
La unidad de viscosidad en el S I es el N . s/m2 = Pa . \. Una unidad antigua del sislerna { pero dé uso cOIlHí n, es la. dinalcm2• ll amada poise en honor del rí<; ico fruncé~ POi~Ui~ Estas uni dades está n relaCionadas por I Pa ·s= IOpoise
En la tabl a 13.3 se mues tran Jos coeficien tes de viscosidad para vario~ fluidos a diferentt¡ temperaturas. Generalmente la viscos idad de un líquido aumen ta eu¡¡ndo disminuye la ltIJI. penHuni. Así pues, en cJi nuts fríos. el acei te a utilizar para lubricar los 1ll0l0relo de ~ automóv il es debe tener un grado de viscosidad más bajo en invierno que en verano.
Ley de Poiseuille Se puede demostrar que la res istenciD R a la circulación de un fluij¡ de la ecuación 13.19 para un fluj o eSlacionario en un tu bo circular de radio r es
R _ 8qL (IJ.~ ,
u' Las ecuaciones 13. 19 y 13.22 se pueden combi nar para obtener la caída longitud L de un tubo circul ar de radio r:
resión !!n lIIl3
6P
(13.131
La ecuación 13.23 se conoce con el nombre de ley de PoiscuiIJe. Obscl clt!pcndeociJ con la inversa de,A de la caída de pres ión. Si se d ivide por la miwd el ro tubo.la caiJJ. de pres ión para un fluj o de vo lumen y viscos idad dndos se aumenla en 'Ior de 16: (1 bien se neces it¿¡ lInH presión 16 veces mayor pam impulsar el fluid o a Ir. Iubocoo d mi smo fluj o de volumen. Por ello, s i por alguna razón se reduce d diúmelrod 10.10 \3.SO'\~ gu íneos an erias, o bien el flujo de volumen de la sangre di sminuye grcmdt:mentt!, o blt'D b presión sanguínea debe subir p¡¡m mantener el mismo fl ujo de volulllen. Par:t el agU3 qtt flu ye por una manguera Inrga del jardín, la caída de pres ión es la que cxj~h.' dc~de 13 fut'nte de agua hasta el ex tremo abien o de la munguem a pres ión almos rérica. Ol'lmi_"mo modo,d
°
TABLA 13.3 Coeficientes de viscosidad de varios fluidos
Fluido Agun
Snngre
Aceite para mo torc~ (SAl! IOW) Glicerina
t, oC
r.6
O 20 60
1.00 0.65
37
'.0
30 O 2O
Aire
'1, mPa.s
00
10
•'00
IO IXXl 1" HI SI t1,(11 l'
\3.4 Fluidos en movimiento
I
383
. proporcional ti In cUllrta potencia de l mdiu S' 1 d' .. dUJO .!;' . 'nunf:\clOrtlc 16. ' , l e ra 10 o;e dIvide por la rnitud,el nujo
Ji,¡llI flU ) ~ \:
k\ dl: Pn¡\cui llc ...c upli cu ,,610 ni flujo h lllin'¡r ( b 1 , d ' ' . no IUf ti Cili O) dc un fluido de viscosi" .1 :t)n~ ':lO l t: que ~ ... 111 epcndlCntc de In vclocid:td dd n 'd l . . • • • "" ' ' l ' UI O. .....1 "uogre es un nUldo com- fn{l1lndo por panleu H." ..,óhdas de diferentes ~ . pk,l ' . . ' 1' ~' . . ()rlllas 'iuspendidlls en un líquido. Los j!¡d:!lllo'i roJos dc In ~.tngrc. I~r ejemplo. son corpusculos en formll de disco que están ofi en• _, 1 tl/tIf :l \c!OI.:ld,¡dc..-'' bUJu'! ¡>cro (11It! n vcloc 'd' d i ' , ~,;u . '. • I .1 es a Iíl ... l u~ n dc lI a Onc ntllrsc pum rllej. hlJrd Ilujo. A~I pues. 111 \f l ~C~'ild:ld dc lu sangre db. lllinuyc cuando aUlllenta la ve locidad dc dUj'",. lk formo que . no. es c ~tn c t llmcntc .v(tl ida lu ley de Poi •~c llil1'e. S'111 e rn bargo. d'le1111 1cy C!l unJ 1x1l:!».1 ~proXl m~c I6n que: C~ muy úti l cuando !:oc. quiere obtener una cOlllprell~ión cua li ta~ U\:l lid IluJo s:mgm lleo . En ~'upitulo.25 :-c e~tudi:lr(i el flujo de corricllIe eléctrica I por un hilo de metal. Una de lt~ rel IHnes b:l:-Icas de nqud clIprtulo es la ley de Ohm. L\ V = IR. donde L\ \1 es lu diferencia tIe fK'lI '1U I Y R c:- la resistencia eléctrica del hi lo. Como vercmos, la ley de Ohm I.!S un{¡ lagn al Jk \ · Pobcui llcL\P = /"R. 1 .,
~
Turb
" cla: número de Reynolds Cuando la velocidad de flujo dI.! un fluido
~1I11
licicll1eOll! lUc gmnde. se rOIllI>C el tl ujo laminar y se establece la turbul enci a. La ,dor I crít ica por encima de In cual el flujo que fluye a través de un tubo resulta tu rbu ~ knlJ ~ Jldc de la dCllsidlld y de la \'iscosiclad del fl uido y del radio dellubo. El fluj o de un Huid, .ede caracterizarse mediante un número adi mensional denominado Número de Re' ll 1" NR• que se deflne así: ( 13,24)
en donde l' es la velocidad media del fluid o. Los experimentos han demostrado que el flujo será lammar si el número de Reynolds es inferior a 2000 aproxi madamenle y será llIrbulenlo ~ wbrepasa los 3000. Entre estos valores el fluj o es inestable y puede vari ar de un li po de Rujo 11 otro.
EJEMPLO 13,12
I
Foto en falso color de la turbulencia de la snngre que entra y sale del cor.v.ón según se muestr3 en una imagen obtenida por resonancia magnética (IRM). Se ve en rojo en chorro de sangre sistólico <¡ue. procedente del "enmeulo il.quierdo. entro en In aorta: es de color azul la snngre que en el proceso diastólico procede a llenar los venlrÍculos.
Flujo sanguíneo en la aorta
Calcular el número de Reynolds purlllu sUlIgrc que circulllll 30 {'m Is por ulm aorhl de 1,0 cm de 3 radio. Suponer que la sangre tiene unu viscosid;¡d de 4 mPa . S Y111111 densidnd de 1060 kg/m •
Planteamiento del problema COIllO el número de Reynolds. NR• es "dimensional. podemos uúlil.aI cualquier sistema de unidades con tal de que sea coherente. 2 (O,O lm )( 106Okg/m 3 )(O,3m1s )
f.lpresar la ecuación 13.24 del número de Reynolds con todas las magnitnde~ expresadas en unidades del SI:
Observació n lento.
4 x lO~l Pn ·s
=115901
Como el número de Reynolds es inferior a 2000. este fluj o ~crá laminar y no IUrbu-
ResulJ.elJ don'·· ,dlld c~lx:e(fiell 1 La dcn ~ 'l (1nt,I 1¡j,, ~ . dinámica de fluid o~ .
,
h •
presión son lIlagnitudes defin idas irnlXlrtanlcs cn 1:1 c.,u\1icn y
" lplO ' " h.' Pn...c'11 pnnc • , de l\rCJu (lllcd e.~ l>C deducen de In~ Icyc.'i de Newlon. '6 I " ",o'llli .!l.C deduce de l principio de conservación de In encrgfl\ mecámca. 3 La ceUIICI n (e c.
2
Lo~
-4 El efecto V.::uturi es un caso e.'i pec1nl de 111 ectlRción de Bcmoulli.
,
'11 dll cuenln de In cnrdll de la presión :\ cnuSll de la ViloOO~i dnd : (" numero de Re) ml'd~ . , l1uJo es Inn"nnr o turbulento.
·5 Ln ley de POIscm e _ p... se U\I' 1l' il l pn... ...decir )i un
384 1 Caphulo 13 Fluidos TEMA
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
1. Densidad
La dcusidnd de un:1su:.\lIncin es el cociente entre su TIIasa y ~ u volumen: p
m
~
V
(1].11
L:ts densidude:. de hl nmyorín de los sólido, y !f
2. Densidad específica
Ln densidud e:.pc::dfica de una 5~lstnnci:t es. e l núme~ que re~u lta ~e di vi_~ir su den~idad por la del agu¡ ~ objetO se hunde O fl ota en un HUIdo detcrmlll(ldo segun que su denSIdad sea mayor o menor que la del n •
3. Presión Unidndcs
-
f" p =-
(1J~
A
l Pu = I N/ml
( 1J.~
1 aun = 760 mmHg = 760 IOrr = 29.9 pulg Hg = 10 1,325 kPa = 14.7 IbJpulg1 I 1>.1r = IOl mil ibares= IOO kPa Presi6n manometrica
En un Ifquido
En un gas
(1J.~ ( 1l. 1~
La presi6n ll1anométricil es In diferencia entre la presión absoluta y la presión :nmo<;(áica: p= p~ +p""
(IlIJ
p = Po+ PS/¡ (p constanlc)
(1J~
En un gas como el aire, la presión disminuye exponencialmente con la altitud. M'
B = - ,:;;~ .1.VI V
Módulo de compresibilidad
(1l~
~
4. Principio de Pascal
Los cambios de presión aplicados 11 un flu ido encermdo en un recipiente todos los pu ntos del fl uido )' a las paredes del recipiente.
S. Principio de Arquímedes
Un cuerpo sumergido total o parcialmente en un fl uido ~e ve ¡o,omctidO:l unu flll:rlll.1 dcl fluido des plazado.
ltull
-6. Flujo de fluid os Caudal Ecu:tción de continuidad
Ecmlción de Uemoulli Efecto Venturi
Iv
=Al' =constante
/' + PS>" + ~ pl:t. = constante
-
ll.Pl = I vR
Coeficiente de viscosidad
I'A F . ry -:-
Flujo lamin:lr, flUJO tumulento y mimen> de Rcynolds (OpciOIllII )
( 1 l. 1~'
L'l presión disminuye cunndo aumCnlUla ,'cJocidad del fl uido.
Resistencin al flujo de fluidos
Le)' de Poiscuille parn el flujo viscoso
(1116'1
-
eU.!9\ (1l.2<'
(I).V 81/L 6 1' = 1 " r' " Jr!II'" , El flujo e.~ lantinnr si el númCrt) dc Rcynoleb NI( c!o meuor que :WOO (apro"tlllililitmelllt'l ' turN mayor que 3000, en donde NI( viene dudo po r
N
.'
2rlW '1~
Problemas
I
38S
P"oblell'os
-
• •• ••• ,
SSM
I
i
es tudiantes n describir c6 n
11115
Prot
. 11
En algunos problemas se dan
polnl SOn problemus de control. que impu lsan a los l ose ega a la respuesLa y a indicar su nivel de confianza.
-
conceptuales
•
Si la presión manOTlléll;Cn se duplica. la presión absoluta (ti) se J mitnd, (b) se duplicn. (e) no se modifica. (d) se eleva al cuadrJ.do lfonnación para determinar el efecto. •
1
"""
{tllh
¿Se cumple el principio de Arquimedes en un satélile rededor de la Tierra en una órbita circular'? Razonar la respuesta.
2 3
Concepto si mple. un solo paso . relu,',vamente
SSM
"
Una piedra de masa M y que tiene una densidad del triple de la del &gUJ :uelga de una cuerda. Con una mano sujctamos un extremo de la roerda la introducimos en un depósito lleno de agua hasta el borde. el cual ~arKa sobre una balanUl. Cuando In piedra está exactamente por encima del fondo del depósilO se rompe la cuerdo, Desde el momento cn que 1:1 cuerda se rompe hasta que la piedra descansa en el fondo del depósito. la lectura de la b.1lanza aumenta (a) 2M8. (b) M g, (e) 213Mg, (d) 113Mg, (e) cero.
4 •• Una roca se lanza a una piscina llena de agua a temperatura uniforme. ¿Cuál de lus siguientes afirmaci ones es cierta? (a) La fuer.lU ascensional sobre la roca es nula cuando ésta se hunde.
lb) La fuena ascensional sobre la roca crecc cuando ésta se hunde. (e) La fuer.la ascensional sobre la roca disminuye cuando ést:t se hunde. (d) La fuerUl ascensional sobre la roca es constante cuando ésta se hunde. (t) La fuena ascensional sobre In roca cuando éSIll se hunde es distinta de cero nI principio, pero se unula cunndo se alcanza la velocidad Irmile.
más datos de los realmellle "ecesarios; en Otros pocos, debe" extraerse algunos da tos a partir de cOllocimie1l1os gellerales. fuemes exlernas o estimaciones lógicas.
8 •• Un bloque de 20 cm) de plomo '1 aIro de 20 cm J de cobre están cubierto!\ de ligua, suspendidos de un hilo justo por encima del fondo de un acuario lleno de agull. ¿Cuál de IIIS siguientes afirmaciones es cierta? (a) (h) (e) (rI)
Ln fuer¿a ascensional es mayor en el plomo que en el aire. La fuerza ascensional es mayor en el cobre que en plomo. La fuerza ascensional es la misma en ¡¡mbos bloques. Se necesit¡¡ más información para decidir entre las ¡¡meriores.
9 • En unos ¡¡lm3Cenes se exhibe una pelota de pl¡¡ya que se sostiene en el aire de una comente que procede de un tubo conectado al escape de un ¡¡spirndor doméstico. ¿Cómo debe soplar el aire sobre la pelota: por encima o por debajo de ésta? Razonar la respuesta. Una tuberia horizontal se estrecha en una condlJl."Ción p3S3ndo de un diámetro de 10 cm a otro de 5 cm. Para un fl uido no viscoso que circula sin turbulencias por su imerior desde el diámetro mayor al menor: (a) La "elocidad y la presión se incrementan. (b) La ,'elocidad crece y la presión disminuye. (e) Ln velocidad disminuye y la presión crece. (d) Lu \'elocidad )' la presión decrecen. (.!) La velocidad o la presión cambian. pero no ambas a In vez. 10
•
Verdadero o falso: La fuerza ascensional sobre un objeto sumergido depende de In fonml del mismo. 11
•
SSM
'2 • La fi gura 13.25 muestra un dispositivo que consiste en unn botella de plástico flexib le, cerrada y parcialmente llena de (lgU!! en cuyo interior ha)' un tubo de ensayo colocado boca debajo de modo que en su punto más alto tiene una burbuja de aire. Normalmente el tubo Ilota. pero cuando se aprieta con fuer¿a la bmelln, ellubo se hunde. fuplicar los motivos.
•• Una pecera descansa sobre una balanza. Súbilamente el pez nnda hacia arriba para lomar alimento. ¿Qué ocurre con lo lectura de la balanza'? 5
Dos objelos están cquilibrndos como indica lo figura 1124, Los objetos tienen volúmenes idéntlcos. pero masas dislintlls. ¿Se perlUrbar.S el equilibrio si el sistema está completamente sumergido en ngua'? Razonar la respuesta, 6
••
SSM
..
Aire
Tubo - de ensayo
Agu.
Agua
Fig ura 13.24 7
Proble ma 6
••
Un bloque de 200 g de plomo y otro de 200 g de cobre están tubien os de aguG. suspendidos de un hilo j usto por encima del fondo de un lI:Uario lleno de 08uu. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
lo) la ruen.a ascensional es mayor en el plomo que en el cobre. fbl La fuena ascensional es mayor en el cobre que en el plomo. fr) t.. fueru. ascensional es l. mi'lmn en ambos bloques. Id) Se' t . cJita mú información poro decidir enlrC las anteriores.
Fig ura 13.25
Problema 12
'3
• Sobre el agua de un vaso flo tan unos cubitos de hielo. l.Qut! Ol'u!Te con el nivel del agUAal fu ndir5e el hielo? 14
•
¿Por qué es más fácil flotar en ngull SIllada que en ligua dulcc~
386
I
Cap(tulo 13 Flu idos
15 •• Un objeto tiene Ul\tl dell~idfid lige.ramente inferior u In del agIJa. de 111000 que flota ca,,¡ totnlmeme sumergido. Sin embnrgo. c:l ohjeto el- más compre<¡ible que el ngulI. ¿Qué Ql.:UITC .. ¡ ~e du ni ubjeto un ligero impulso pum ... umergirlo IOlnlmclUe'!
oe
80 "C
16 •• En el ejemplo 13. 10. el flui do acelero )' ndC[uierc unfi mayor vulocidad cuttndo p
Figura 13.28
Problema 24
Presión
Lns lccturas barométri~Qs en los paíse.\ de ~
25 • i . ingles.1 .. uclen vemr d Qda~ en pulgadns de mercuno (pulgHg). Hallar en PUlgJ{ la presión de [O [ kPa. 1 26 • Ln presión sobre [a superficie de un lago e." la presión 3tltlD5f~ Pal = 10 1 kPa . ( a) ¿A qué profun didad la presi6n es el doble de [a atmosrbica' eh) Si In presión en la superfi cie de un redpieme profundo que COntiene lIltrrIrio es 1'11' ¿a qué profundidad la presión es igual a 2P.? • 27 • SSM I Se utilil.a un elevador hidr.1ulico para te\lttl un automóvil de 1500 kg de masa. El radio del eje del elevador ~ 8 cm 1d ~ pistón es de I cm. ¿Cuáma fuena debe aplicarse nI pistón para levantllr el _
móvil ? 28 •• Cuando una mujer con tacones altos da un p;1W. momenJOO. mente descarga todo su peso sobre cItaron de uno de ~us zapatos. quelient t: área de I cm2. Si su masa es de 56 kg. ¿cuál es la pre5ión que su tocón ~ sobre el suelo?
Figura 13.26
Problema 19
SSM Tal como se muestra en la figura 13.27, tres recipientes de formas diferentes se llenan con agua hasta el mismo ni vel. El área del fondo de [os recipientes es In misma y la prcsi6n hidrostática del ligua en los fondos también. pero la fuert.a total es distinta. ya que cada botella tiene una cantidad de Ifquido distinta en su interior. Explicar esta paradoja aparente. 20
•
Figu ra 13.27
29 • SSM ¿Qué presión se necesita para reducir \'olumende I b de :lgua desde 1,00 L a 0.99 L? • 30 • I Un coche de 1500 kg e:;¡á apo ¡bre CUJIro ruedas. que se encuentran infladas n una presión mnnom t' 200 kPa. ~~ es el área de contacto de cada rueda con el ~uel o. "P lo que IIIS CtIl!r.I ruedas soponan el peso por igual?
-
En el sie.lo XVII . Blaise Pascal reali76 la figura [3.29. Se llenó con agua un barril de l ino un tubo largo y se fu e añadiendo agua por el tubo (a) Si el radio de la tapa del barril er.l de 20 cm ) 1 era dc 12 Ttl , calcular [a fuerzn ejercida <¡obre la t",-; radio interior de 3 mm. ¿qué masa de agua del tub! re\'cntó el barril? 31
••
Problema 20
mto indicUo5 le conectó lutpl '"tl-entó el bd. U¿''U4 en tI ni.\> el tubo tellia . 1 la presióa q;r
11
Densidad
Hallar ~u
Un cilindro de cobre tiene una longitud de 6 cm y un rndio de 2 cm. masa.
22
•
21
•
Hallar la masa de un:l esfera dc plomo de 2 cm de rndio. •
• I 4mx5mx4rlt.
23
I'lallar la filMa del aire contenido en una Iwbitnción de
24 •• SSM Se Henu un recipiente de 60 mi con mercurio a O "C (tiguru 13.28). Cunndo r.e eleva ~ u ternperatunt 80 oC, '\C ~lI l en 1,47 g de mercurio del recipiente. Suponiendo que el \'olumen del recipienTe pcrmnnece oon~ tllnte. calculur la dcn ~ idad del mercuno ti 80 "C ,¡ ~ u densidad a O"C' c,\ de 13.645 kg/rn '.
Figura 13.29
Problema 31
• d na 1lO1~ • \If' 32 •• I Se lince nuir phl¡,ma ~angu rntlO de\ Cu óII$ vés de un tubo hasta la vena de un paciente en un puntOen QUe:' II ~'-l \1 . n -, rsangre e.~ de 12 mm l-lg. La de n ~¡dad e.~ pe('ftka del rl8~ma • l..ml tll.Cuál e~ In altura m{l1imR a In que deheni e~tar In b<11~a paro que el r ~ en In vena?
Prob~mas •• Muchn gente cree que.si se hflce flotar la n "M -, • . '6 .... e superIOr de un tubo ~-lel" (tubo de rc¡'PlruCI n) fueru delngun tfigum 13 30) ~" rl . .• • d " .' . '1"'" nn respirar ...... tllllic:ntf"ns est n pasenn o UW el pech?"PlIl'll poder resplrJ.f ¡HIn. SI se SUpone que la superficie del pecho ¡J
es ¡J¡.' 0.09 ni' •
I
387
i
Cuando se nla una pit:
•
i
39 • Un bloque de un material desconocido pesn 5 N en aire y 4.55 N eunndo se sumerge en agull. (o) ¿Culil es la densidnd del mnterinl? (b) ¿De qué mmerial está hecho el bloque?
Un trozo de me!!ll pesa 90 N en aire y 56.6 N cuando se sumerge en aguu. DeTerminar la densidad de este metal. 40
•
i
./
Un objeto flota c:n el ugua con el SO'k de su volumen por debajo de In superficie. El mismo objeto situado en otro Uquido flota con c:1 72% de Su volumen por debajo de In superficie. Detenninar la densidad del objeto y la densidad especfliea dellfquido. 41
••
Se allI un bloque de 5 kg de hierro a un dinamómetro y se sumerge en un flu ido de densidad deseonocid:l. El índice del dinamómetro marcll 6. t6 N . ¿Cuál es la densidad del Huido? 42
••
SSM
43 •• Un trozo de corcho pesa 0.285 N en aire. Cuando se le mantiene sumergido bajo el agan mediante un dinnmómetro. como se "e en la fi gura 13.32. se lee en In ese"la del mismo 0.855 N. Hallar la densidad del corcho.
Figura 13.30
Problema 33
• • En el ejemplo 13.3. una fuena de 147 N se tlplica a un pequeño pislÓll paro. Je\'1lJltat un coche que pesa 14700 N. Demostrar que este hecho no viola ]¡ ley de- conservación de la energía mecánica observando que cuando el coche se ele\"'3 una distancia h. el Imbuja realizado por la fuerza que actúa sobre el pistón ~ es igual al trabajo realizado por el pistón grande sobre el coche . 34
•
I Un cubo hueco de arista a está medio lleno de tlgua de den~idad p. Detenninar la fuerza ejercida por el agua sobre una cara del cubo. (tos bordes del cubo son tanto horizontales como verticales.) 35
•
36 ••• SSM El volumen de un eono de altura h y rudio de la base r es V = ~ 1t rh. Se llena con agua un recipiente cónico de 25 cm de ahum que se apoya sobre su base de radio 15 cm. (a) Hallar el volumen y el peso del agua
coolenJda en el recipiente. eh) Hallar la fuel"la ejercidll por elllgun sobre la base dd recipiente. Explicar cómo puede ser mayor esta fuerza que el peso del agua.
, ,
Flotación
Figura 13.32 Problema 43 44 •• En condiciones eSTándnr. In densidlld del aire es de 1.29 k.gIm·~ y la det helio es de 0,178 kgfm}. Un globo lleno de helio levnnta una barquilla con Cllrga de peso 10131 2000 N. (,Cuál deberti ser el volumen mfnimo del globo? Un objeto posee unn fuerza ascensional neUlI'll cuando su densidad iguala a la dcllfquido en donde se cncucntl"J. sumergido. de fonna que ni flota ni se hunde. ¿Qué masa de plomo deberla añadirse a un nadador dI! 85 kg Y de ócnsidHtl media 0 .96 kw'L que bucea en agua dulce para que su fuerl¡) nscensional fuese neutra? 45
Figura 13.31
Problema 37
SSM
Un vaso de predpitado~ de musa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre una balanl..8. Un bloque de 2 kg de aluminio (densi46
37 • ss'"' i Una pieza de cobre (densidad específica 9.0) de 500 g se su merge en agua y se suspende de un dinamómelro (figuro 13.3 1,. ¿Qut fuerlll indicará el {ndice del dinamómctro?
••
••
i
.1
Figura 13.33
Problcmtl46
388
I
Capítulo 13 Fluidos
dad 2,70 x 101 kglm J ) suspendido de un dinamómelro se sumerge en agua (Iiguro 13,33). Iklenninnr las lecturas de ambas balanzus.
47 ••• Un barco que IIl1vcga por agua de mur (densidud espedfica 1,025) se encuentro de repente nuvegando por agua dulce. donde lógicumente se bunde le\'cmente. CUllndo en un puerto descarga 600 000 kg. vuelve a su posición ori· ginal. Suponiendo que los laleru l e ~ del barco son vcrticnles en In Ifllen de fl om· ción. clIlcular la masa del burco antes de la dl!Scarga. 48 ••• SSM El hidrómetro que se mucstru en 111 figuro 13,34 es un dis· positivo pana medir 111 densidad especfficlI de los 1fquidos. El depósito contiene perdigones de plomo, y lu densidad del Hquido se puede leer direcuunente a partir del nivel del Hquido en la escala calibrada. El volumen del depósito es de 20 mi. la longitud del vástago de In escala de 15 cm. su diámetro de 5.00 mm y la masa de vidrio de 6.0 g. (a) ¿Qué masa de perdigones de plomo debe añadirse paro que el Ifquido de menor densidad espccflica que pueda medirse sea de 0,9 L., (b) ¿Cuál e... la máximn densidad I!Specffi ca de un lfquido que puede medirse?
• i ./ Está fl uyendo agun a J mis por una '"bo bajo una presión de 200 kPn. Lu tuberia se e
•
1'10 \1SCaso
54 • I La presión en una secci6n de 2 cm de diáme tuberfa horizontal es de 142 kPa. El agua fluye ti lravés de In tubt ~de ll¡ caudal de 2,80 U so {.Cuál deberá ser el diámetro de una sección rnásna COQ'lI de la tuberia para que la presión se reduzca 3 10 1 kPa. SUp6ng' " ..... . . ~q~d ... es lammar y no VISCOSO. 55 •• SSM Por una aorta de 9 mm de radio fl uye sangre a 30 «(1) Calcular el caudal en litros por minuto. (b) Aunque el área de la t'Irrs. recta de un capilar es mucho menor que la de la aona. existen muchos ~ de forma que el área lotal de sus secciones recIas es mucho mayor. Si tQ,i¡ sangre procedente de In norta plisa a los capilares en donde la velocidad de k es de 1.0 nllnls. calcular dicha área total. e
56 •• i ./ Un depósito grande de agua tiene. a una pro/i dad" respecto a la superficie libre del agua. un orificio prolongado UDIi. pequeño tubo. como puede verse en la fig ura 13.35. Hallar la distnncia 7,ada por el flujo de agua que sale por el tubo. Supóngase que el Hujo es IMIliar y no viscoso.
l::
J
H
I
Figura 13.34 Problemas 48 y 98 • Cuando en In base de unn presa se fOnTIan grietas. el agua que se 49 introduce en las grietas ejerce una fuerza ascensional que tiende a levantar la presa. Este efecto puede causar el derribo de la misma. Estimar la fuerza aseensionnl ejercida por el agua que se introduce por algunas grietas de la base sobre una presa de 2 m de espesor y 5 m de longÍlud. El ni vel del agua está a 5 m por encima de las grietas. 50 •• Un globo sonda meteorológico lleno de helio tiene una mas!! de 15 kg (globo más helio más instrumentos) y uno fornm esférica con un radio de 2,5 m. (a) Cuando se suelta el globo desde el nivel del mar. ¿cuál es lu acelera. ción inicial a la quecstá sometido? (b) Si la fuerla de resistencia sobre el globo viene dada por Fo = Il2mlp¡:l, donde r es el radio del globo. p es la densidad del aire. y v es la velocidud a la que sube el globo. calcular 111 \'elocidod limite ascendente. (e) Calcular aproximadamente cul'lnto tiempo in vertirá el globo en llegar ha.... lIl 10 km de oltura.
Principio de continuidad y ecuación de Bernoulll •• SSM De un grifo circular sale ngutl con un caudal de 10.5 cm)/s. (a) Si el diámelro de la salidn del grifo e.~ de 1.2 cm. ¿cuál es la velocidad del aguu? (b) Cuundo el tlgulI sale del grifo. el flujo de agua se estrechn. Dclcrnli. nar el nuevo diárnelro en un punto situlldo 7.5 cm por debajo de la snlida del grifo. Suponer que el flujo tiene una seceión circular y despreciur cualquier fuert.a de resistenci3 que actúe sobre el agua. (e) Si los flujos turbulentos se cUrtlcteri7.an por tener números de Reynolds I'Iproximadfimente por enci ma de 2300, ¿qué disloncia tiene que caer el agua ame... de que su flujo sen turbulCnlO'! ¿E.~tá de acuerdo este resultado con la t'xperienciu diarin? 51
52 • i ./ A Il';I.v6; de unu manguero de 3 cm de diámetro fluye agua a una velocidad de 0.65 mis. El diámetro de la boquillll es de 0.30 cm. (a) ¿A qué velocidad pasa el agua 11 trové.~ dc 13 boquilla? (b) Si la bombn. 'lhuada en un extremo de lo manguera. y la boquilla. en el otro extremo. tienen la misma altura y ~i la presión en la boquilla es la presión atmosférica. ¿cuál e~ la presión en la bomba?
Fig ura 13.35
Problema~
56
•
57 •• I El gran oleoducto de AI:bL 8000 millones S de inversión) tiene una capacidad do. dra. Su radio externo es de 60 cm en lo mllyor pune de presión P' en un punto donde la tuberia tiene un radio presión entre el valor P = 180 k.Pn y para la densidtld ~ 58 •• SSM A través dI! un \'cntunmetro C'\ flu ye agua a lo largo de una tuberia de diámetro 9.5 cm se reduce a 5.6 cm. El manómelro en U está parciahnc. Deternlinar la velocidad de nujo del ngua en la tuberia ck diferencia entre los niveles de mercurio del tubo en U e~ dr
, de:- lon2itlll \ • •
,1' ~ cnÓ11-'" , OeI~rJlIlIL\f b ;11. lbrnlrClD!
Xl Jq¡Im'.
1ejemplo UIC :)\) de
lI'!d on1
IJc Juirnml.\l ~
Icm.
59 •• Un bombero sujeta una manguer.l con un ro oltXl qo lndica Cl ItI figura 13.36. De la manguera sale el agua en un chorro de: 15 "m tk' radK' ~ eon una \'elocidod de 30 mIs. (a ) ¿Qué musa de agua stlle Jo: la m3nll~ eII 1" cl (b) ¿Cuál e... el momento hori7.0ntal de este agua'! (e) Ante" de Ik$:!.rlll coh agua tiene un momcnto hacia arriba, mientras que despué~ C"" hnfilOllI:tl. DII''' jllr un diagrllrna vectorilll de los vectores momento lineallfllcial Y~1l3l y tuJlt la \'ariación dd momento lineal del agua cn el codo en I " .\ partir dr t« valor. hallar la fuerza ejercido sobre el agua por lo manguera.
Fig ura 13.36
Prob1ellln
jQ
Pro blemas
60
•• i
61 ••• En la figuro 13.35. H es la profundidnd dellfqu\10 I l ' , d ba' d I ~ . I Y I adlslnncUl Je b ap:nurtl por e JO e 11 superfi cIe. (a) Hul1ar lo dislancia ,. ti I I d.d; IrtCide sobre el suelo en función de" y H. (b) De,no " ""~ . .a que e ~. . s ... ... que eXISlen do~ ~ •._~.Ie h que son cqUldlslantes del pUntO h • ! H d"n I ' d' \~. . ! " a nnsma ISlan.1 Id I)¡:mostl'llr que x es nu\"uma cunndo " ::z ! H l l i de CI • " .. . 2 · t .. Cu'"esevRor _'o di..,¡nncHI mn;umu .t? Sup6ngnsc que el fl UJOes lumin""," nu • VISCOSO. '
q",
......
••
SSM
189
.t
Una fu ente dlscll.ndll J)
62
I
La ' fig um . 13.37 llIueslrn un tubo de llito, ... ,' ,', d' , ...., .. I O. ISposl -
~ U$.'l ,""lf U cklemunllr In vd QCldud de un " oas . El
'"bo ,'.... ,-en, ....... r - .. enfren. e..~l"
Huido cuya \'e]ocidt\d S(! quiere detenninar. mientms que el cilindro lo. l."Oocctl1do ton el otro extremo del IUbo. es J)
6S • Hullut el diámetro de un IUbo que dnrfa un fl ujo de ngun doble del indicado en el problema 64 si la diferencia de presiones hu de '\C:r lu mi!>mll. La sBngre lurda uproximadumenle 1.0 s en flu ir por un capl ll1r del ~ i ~l elT\a circulatorio humllno de I mm de longilUd. Si el diámetro del capilar es de 7,um y la carda de presión de 2.60 kPa. calcular la vi!>Co~idad de In sallgre. Supóngase que el flujo es laminar. 66
•
SSM
67 • SSM Cuundo SCIl.JcanZB un número de Reyno ld~ de 3 x IW M: produce una trnnr;ición de fonna que In fuerza de resisteocia sobre una esfern disminuye bruscumente. Estimar la velocidrui n la que se produce e~ tll tmnsición en una pelotu de Wisbol y comentar si este renómeno puede o no jugar un papel en In ffsicu del juego.
68 ••• La ley de Sto\.;cs establece que lu fuer!.;! de resisleneill sobre unu esfern de nidio (¡ cuando el número de Reynolds e.~ muy bajo viene dada por FI) '" 61t1JtH'. donde '1 es la \'iscosidad del fl uido por el que se mueve la esfera. U~ a ndo CSIlI expresión. determi llBr la velocidad Ifmite de nscenso en gllseo~u de unn bu rbujn esférica de dióxido de carbono de l mm de diámeIra (densidud 1. 1 )( 10 1 kglrn J ). ¡.Cuánto tiempo invenin1la burbuja en nscendcr has!n 111 superficie en un vaso Ifpi co de gaseosa? ¿Es coherente con In experiencia hubituul?
Problemas generales
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69 •• SS M De fonn a muy aproximada. se puede decir que lu masa de una persona aumenta según el cubo de su ahurn. es decir. M :: Cphl, donde M es la masa, h es la ahumo p es la densidad del cuerpo y C es un "coeficiente de csfericid.1d" que depende de cada persona. Estimar C para un hombre y unu mujer aduhos. usando valores úpicos para la alrum y el peso. Suponer P = 1000 kg,fm l . 70 • Usando la aproximación de que el peso es proporcional a la ahurn elevada a la tercera pOlcncia (problema 69). ¿cuál será la di ferencin en el peso de dos hombres. uno de 1.75 m de altura y otro de I.S3 m?
Figura 13.37 63
Problema 62
•• Un sifón es un dispositivo usado para transfcrir líquido de un reci-
pieate a otro. tlll como se muestro en la figura 13.38. Para empezllr a funcionar. fl tubo debe llenarse con líquido. pero una vez lleno. ellfquido fl uirá hasta que lassuperficics del fluido de ambos recipientes eSlén al mismo nivel. (a) Usundo la ecuación de Bemouill i. demostrar que la velocidad del agua en cl tubo es \' = ./fid. (b) ¿Cuál es la presión en el punto más alto dellubo? Supóngase que el fl ujo es luminar y no viscoso.
71 • El tablero de una mesita de juego mide SO cm por SO cm. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre su parte superior por la allnósfern~ ¿Por qué no se rompe la mesll?
i
./
Una pclola de ping. pong está sujetu mediantc una cuerdu al fo ndo de unu vasija. Cuando la vasijn se llena con agua. de modo que la pelota está completamenlc sumergida. la tensión de la cuerda e~ 2.S )( 10 lN. Dctem¡jnur el diámetro de In pelota. 72
73
•
•
,
I
El agun de mar tiene un módulo de compresibilidad de 2.3)( 109 N/m Z• Hullar la densidad del aguu de mar a una profundidnd en donde la presión vaJc 800 aun si 13 densidad en la superficie es 1025 kglm '. 74 • Un bloque sólido cúbico de :uiStn 0.6 m está suspendido de una b¡llanza de muelle. Si cJ bloque se sumerge en agua. la balanza marca unn lecturn que es el 80% de la correspondiente al bloque en el aire Dctemlinar la de n~idad del bloquc. 75 • SSM Cuando se sumerge en agua. un bloque de cobre tiene un peso aparenle de 56 N. ¿Qué fracción del bloque de cobre <;e sumergirá al flOlar sobre el mercurio de una cubeln'! 76 • i Un bloque de 4.5 \.;g de cieno tIlnterial nOta ¡,obre Clanol con el 10% de su volumen por encima de la superficie del liquido. ¿Qué fmeción de este bloque se sumergirá si fl ota robre aguu'!
Figura 13.38 Problema 63
"FIeaio w'llcoso
,
64
•
i
Por un IUbo hori7.onlal con un diámetro interior de 1.2 1DJn y una lon¡ilud de 25 cm circula 3gua con un fluj o de O.~O m~s. H~lIar lldifatücil de ptesiones que ~ nece..¡ita paro impul~ el agua SI ~u vISCOSidad - . 1.00 mPa.•. SUpónl"C que el Hujo rs laminar.
77 • ¿CUl'i1 Cl> 111 fuer/.a ascensional que ac uí" sobre el cucr¡>o dc. una personu cuando nota (a) en un lago de agua dulce (densidad C.'Ix:cfficlI = 1.00) Y (b) en el océuno (densidad cspedfica = 1.03)? 78 • Cuando una pcn;ona flota en agu!! dulce. el 96'* de ~u cuerpo ~tá SUlIIergido. ¿Cuál es el volumen de agua despla7..tldo por ('~ t:, persona cuando eSltl toUllmcntc sumergida? 79 •• Un bloque de nUtdem de musa 1.5 kg fl oto sobre el n}!ua con d 681J. de su volumen sumergido. Un bloque de plomo sc slt,la ,obre 111. mode/1l ) ésla se sumerge completamente. l)e¡enninllf In 1IIll.'\lI del bloque de 1'11,)\110 .
390
I
Capftulo 13 Fluidos
80 •• SSM i ti' Un cubo de mZllerial plzhlico espumoso, de 25 cm de aristn, se ~ mcdinnle unn balonza de brozos iguales. La balanu l está equilibrndtl cuundo una Illasa de latón de 20 g se silllo en el platillo opuestO de ItI balnn....a. Detcnllinar ItI masn real del cubo de plástico. •
81 •• I Una CQrtezu esférica decobrc con un diámetro exterior de 12 cm fl ota sobre agun con la mitad de su "olumen por encima de In supcrfi. cie del agua. Detcnninnr el diámetro interior de lu corteza. 82 •• Un ,'aso de aguo está equilibmdo en el platillo izquierdo de una bulanz.tl. Un cubo de arista de 4 cm se: :ltu a una cuerda y SI: sumerge en este \' USO de agua totalmente. El cubo no toca el fondo del va~o. Se anade un peso 111 al platillo derecho p:lrn rt,'-cupcrar el equilibrio. ¿Cuánto vale /II?
El petr6lt.'O crudo tiene una viscosidad aproximada de 0,8 Pa·s 8 la h~ mpernturn 1I0 nna l. Un oleoducto de 50 km h:l de co n st ruir~e desde un yacimiento de petróleo ¡\:15tH la tenninal de buqul:s petrolcro~. BI oleoducto ha de distribuir petróleo n la terminal n rnzón de 500 Us y el flujo debe ser Iruninllr pam minimizar lu presión necesaria para impulsar el fluido a trnvés de la tubería. Suponiendo que la densidad del crudo c.'\ de 700 kglm J , estimar el diámelro que 1:1 oleoducto debe tener. 83
84
••
••
SSM
•
I
ga lllo~ que el diámetro en A e.~ 2,0 cm. y el diámetro en C. donde el vierte !I In atm6srern, eS de 1.0 cm. SI el cRudal e~ de OS IJ ..... . ' ~ y la
mtlnométrioa en A es de 0,187 atm, ~q \Zé diámetro del estrecha - ~ . .• d O tnzenlo t& 11h ti nt.'Ce.~nrio pam consegUIr una prcSI n e . 1 alm en el recinto? Su el flujo es Iwninar. Jl6nZ~ ~ 87 •• Una boya cilfndrica a la entrnda de un puerto tiene un _ 0,9 m y una altura de 2,6 m. La masn de la boya e~ 600 kg. EMá 5tJ~
~
•• I Dos vasos comun ica~te~ contienen un Irquido de Sldad Po (figura 13.4 1). Las áreas de las secclOne..~ rectas de las "asi'ss ~ 3A. Determinar el cambio de altura del nivel del líquido si un Objeto1de \OrlA ! y densidad p' = 0,81'0 se introduce en unn de las vasijas. 1l'llIl ~
3A
A trm'és del tubo de la figurn 13.39 fluye agua que sale
u la atnlÓsrern por C. El diámetro del tubo es 2,0 cm en A. 1.0 cm en B y 0.8 cm en C. La presión munomélrica del tubo en A es 1,22 atm y el caudal, 0.8 Uso
Los tubos ' "erticules están abiertos al aire. Determinar el nivel de las interfases líquido--aire en los dos tubos verticales. Supóngase que el Aujo es laminar.
Fig ura 13.41
T
Si un manómetro lleno de aceite (Po = 900 kg1m!) puede ~ con lo precisión de ±O.05 mm. ¿cuál es el cambio de pre ón más pequeM ~ puede detectarse? 89
T
• 1
.-,'.JI., ______I ____
~
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B
A
Problemas 84 y 85
85 •• Repetir el problema 84 con el coudal reducido a 0.6 Us )' el tamaño de la abenuro en e reducido de modo que la presión delmbo en t\ permanezca invariable.
86
•
•• SSM I La fi guro 13.40 es un esquema de un aspimdor, un aparllto simple que puede uti lilJlrse parn conseguir un vado parcial en un reci nto conectado allubo vertical en B. Un aspirador conectado al extremo de una mangueru de riego puede utilizarse pan! dosifi car un fertili7.11nte. SuponA
\
o
e /,..-.;;.-
••
•
I
ti
que el nilt! &d de las mnus &: ." que el nil'd&d fo ndo del wOO :n Ia ran\1 rlíG&:
Un tubo en U contiene un líquido de dcr cida. En una de las ramas del tubo se vierte aceite (k que la columna de aceite alcan7..a 12 cm de altura_ encuentrn entonces a 5.0 cm por encima del n¡"l'l del tubo en U. Determinar la densidad específi ca dcl lfquir
-«ffiC3 dc::scoJI) WO ksJm\bN
91
Figura 13.39
••
Un tubo en U se llena de a lfquido estú a 28 cm por encima del fondo del tubo. E tubo se vierte ahora un aceite de densidad específica O ligua e n In otra rama se cncuentm a 34 cm por en Determinar el nivel de las interfases aceite-aire 'j acei se hizo el venido del acei te.
90
1 1
Problema 88
••
92 •• Un bloque de plomo se suspende de 13 e de mudcf3 de 0,5 kg de densidad específica 0.7. Cuandduce en un recipiente con agua. la superficie superi, mismo nivel que el líquido. ¿Cuál es la masa del bloque
..c act'ÍtN llt sr
la 0tt111:lIl.xi 'ior dt un ttq¡r -..isten13 se u¡,,'"t' la ll\lIIkn. ~ ¡ lmo'.'
Un globo de helio puede levantar ju,' mentt U!lo1 ~~J« 750 N. La capa externa del globo liene uno mnsade 1,5 k~ I ¡)~Cuál es d\~ Illcn del globo? (b) Si el volumen del globo fuese el dobicdcl cakuI3do tll ''¡' ¿cuál seria la aceleración inicial del globo al lrnnsportM una carga de 9OO ~' 93
••
SSM
94 •• Una esfcm hueca de rudio interior R y radio e~terior 2R $1 ~ madu de un muterial de densidad Po}' flota en un Hquido tic tI~nsidad 1(:1.tnterlOr . sé Hcnll ahora de material de densidad p' de talmooo que la~ ~ ~ juslUmcnte totalmente sumergida. Detenninar p'.
Como rnencionábmllos nltmUU' la /tf\'lllnl(lS!irtCr-l. b ¡Wt IUlci6n relativa de la presión atmosréricll c_~ proporcionnl >ll cambtO Lk'_~ En ténninos nlillc.mliticos lenemos (lJ>IP = - Cldlt. en donde e ¡'lo una (a ) Dc:mostmr que " (h) = Po ca. es una <;Qluc:i6n ~ lo C.'\."'\UlCK'(I dIf~ l~ DeI110SIrnr que M /::J,« 110- en donde ' <1 = l/e entone'e" I''(h + ~I" ~h. d~ (c) Sahiendo que la presi6n n In nllum Iz = 5.5 km e~ 14 mitad qLK' ti N' mur. determinnr la eonSlante C. 95
••
SSM
ct";
Figura 13.40
Problema 86
Problemas
•• Un submarino tiene una masa total de 2.4 x I()
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CUllndo el hidrómetro del problema ~8 (figuro 13.34) se sitúa en cuyn densidad específica es mayor que cieno valor mínimo. el ins,10UI con una parte del tubo de vidrio por encima del nivel dellfquido.
•
98 ti,
-
UD
• • Una tripulación de sah'amemos marinos levanta del fondo del mar que mide lA 10 X 0.75 m x 0.5 m. La densidad medill del cajón vacfo .. la dclngun del mar. 1.025 x IOl kglm 1, y su masa cuando esta vueCo El cnjón contiene lingotes de oro que llenan el 36% de su volumen; el restnnte esta lleno de agua de mur. (a) ¿Cuál es la tensión del cable el caj6n con los lingotes mientras CS\(i por debajo de la superficie del Cuál es In tensión del cable mientrns el cajón se eleva n In cubiertn • ,¡ (1) el cajón no pierde agua en el ascenso, y (2) si el cajón se eleva tente que pierde toda el agull que contenía en su interior.
I
391
Consideremos un hidrómetro que tiene un bulbo esférico de 2,4 cm de diámetro, El tubo de vidrio unido al bulbo tiene 20 cm de longilUd y un diámelrO de 1,5 mm. La masa del hidrómetro antes de que se introduzcan en su intcrior bolitas de plomo y se suelde el vástago es de 7.28 g, ( a) ¿Qué mnsn de plomo debe imroducirse en el bulbo para que el hidrómetro justamente Aote en un Ifq uido de densidud e.~pecrncn 0.78? (b) Si el hidrómetro se introduce nhom en ngun, ¿qué longitud del vástago :lparece por encima de 1:1 superficie del agua? (e) El hidrómetro se introduce en un Hquido de densidad desconocida 'j In longitud del tubo por encimn de In ~ upe rfic ¡e es de 12.2 cm. Determinar la densidad específica de este líquido, Un barri l grande de cerveza de altura H y área Irnns\'ersal A l se Ilcna con cerveza. L1 pane superior está abierta a la presión atmosférica . En 111. pane inferior existe una espita nbiena de área A2. mucho menor que t\ l' «(j) DemOSlrj que In velocidad de In cerveza que sale por la espita es aproximadamente 2gh cuando la altura de la cerveza es h, (b) Demostrar que en la aproximaci6n según lu cual A!« A. 1• la variación de nltura /1 por unidad de tiempo de In cerveza viene duda por 99
•••
(e) Calcular h en funciÓn del tiempo si J¡ = H para I = O. (ti) Hallnr el liempo 10lal necesario para vaciar el barril si H = 2 m. Al = 0.8 m2. y Al = ( Io-') Al' Supóngnsc que el nujo es laminnr y no viscoso.
OSCILACIONES
Capítulo
14.1
Movimiento armónico simple 14.2 Energía del •
•
mOVimiento
armónico simple 14.3 Algunos sistemas oscilantes 14.4 Oscilaciones amortiguadas 14.5 Oscilaciones forzadas y resonancia botes de,la fo~ografía s~ m_~even c.on el oleaje del mar, ofreciéndonos un ejemplo de mo, liento oscilatOriO. l a osct laClon vertical máxima de la posición del bote se mide fácilmente l
al :lual que el tiempo que invierte el bote en completar
un ciclo.
'
¿Cómo puede expresarse la posición vertica l del bote en función del tiempo? (Véase el ejemplo 14.1.)
C uando se perturba un sislema y éste pierde su posiCión de equilibrio estab le. se producen oscilaciones. Hay muchos ejemplos famili ares: los barcos se ba lancean arriba y abajo. los péndulos de reloj oscilan a un lado y otro, y las cuerdas y IcngUetas de los inslrumenlOS musicales vibran al producir Jos sonidos. Otros ejemplos menos fami liares son las oscilaciones de las molécu las de aire en las ondas sonoras y las oscilnciollcs de las corrientes eléctricas en los aparatos de radio y lelev isión . ... En este capítulo nos ocupamos del movimiento armónico simple, la forma más básica de movimiento oscilatorio. Mediante el uso de la cincmática y de In dinámica del movimiento armónico se puede analizar unu amplia variedad de sistcmas de interés. En algunas situaciones, las fucr/'.3S disipativas amortiguan el movimiento oscilatorio, mientras que en otras, la acción de fllen.as impulsoras compensa el amortiguamiento.
I
396
Caprtulo 14 Oscilaciones
14.1
Un ti po corrie nte y muy impon anlC de movi mi cnto osc il atorio c.!. el movimienlo simple. C0l110 el de un cuerpo unido a un muelle. C0l110 puede VCr<3e en la figura 14.1 equilibrio. el muelle n O ejerce ningullu fuerla ~obre el cuerpo. Cuando é\te ~ . En en lInH c:uu idad x de su ~sic ión de equ ilibri o. el muelle ejerce una fuerla -k,x. que ' dudu por In ley de Hookc:
Equilibrio ,,, ,,,4 ,
\
-
Movimiento armónico simple
0;
Figura 14.1 Cuerpo unido n un muelle que de~c:m sa :.obrc unn me~1I :.i l1 l\Jl.lllllicntu. Sé mide el de... plnzmniento ,\' de ...de In pó~ i ci6 1l de etluilibriu. El dcs phlllllllicnto e ... positi vo 'ti el muelle.;e cSlim y ncglll i\'o :oi el muelle sc comprime.
"
,
'
•
II,,\¡
-. a.
en donde k c:-. la constuntc del muell e. característica de su ri gidez. El signo meo...... ,'nd" <;e tnllu de una Fuena restlluradom: es deCI r. se opone al sentIdo del dc!.plnzamicnto al puntO de equilibrio. Co mbinando la ecuación 14. 1 con la s.egunda ley de Newton (F _
,-
- kx = tII a.1
es dec ir
(o "'",d'x"'2 = - ;;;k).\'
k
-- X III
La aceleración es proporcional al despl a7.a miemo y tiene sentido contrario. Esta es la cam.:. terística que define el mov imiento armónico simple y puede ut il izarse para identificarsiSlf. - que presentan esta clase de mov im iento: mas
-
Siempre que la aceleración de un objeto sea proporcional a su despla7.amiento pero cm sentido opuesto. el obj eto se moverá con movimiento armónico si mple. CONDICIONES Del MOVIMIENTO AAMÓNICO SIMPLE EN FUNCION DE LA ~
Como la aceleración es proporcional a la fuerza neta. siempre que la fuerza nela sobre lID objeto sea proporcional a su despl azamiento y con sentido opuesto. el objeto c;e mO\erncoo mov im iento armónico si mple. El tiempo que emplea el objeto despl azado para realizar una oscilad, r mplet3 alJtdto· dar de su posición de equilibrio se denomina periodo T. El recíproco e... rt'* uenciaf.qtt es el número de oscil ac iones por segundo:
•
•
,
f x
•••
,
1
(I·U l
= T
La un idad de frec uencia es el ciclo por seg un do (ciclo/s). que recibe ~I .nmbrc de hertz (Hz). Por ejemp lo. si el tie mpo necesario para una oscilación completa C' .. "!I, la frec1J(ncia es 4 Hz. La fi gura 14.2 muestra cómo se puede obtener experimemalmellte.\' en t"um:i6n de I para unu masa sobre un muelle. La ecuación correspondiente a esta curva es I x=Acos(<
(14.41
POSICIÓN EN UN M OVIMIENTO AII MONICO sNtl
Figura 14.2 Unu plu milla está sujeta ;} la masa de un muelle y el papel se mucve hacia la il.(l uicrda. Cuando el papel se mueve con velocid:ld constante. la plumilla va dibujando el desplazamiento x en runci6n del tiempo /. (En esle caso hemos considerado x como positi vo cunndo el muelle se comprime.)
en donde A. ro y 8 son constantes. El desplazamiento máx imo X m:1:t respecto ala posición.« equil ¡brio !le denomina amplitud A. El argumento de In función coseno. tU + (jo -.c dl.'nollll Oll fase de movi miento y la constante 8 se denomina constante de ftlse. Esta constnlllCC()ltt)· pende a la Fase cuando (= O. (Obsérvese que COS(CLX + Ó) = scn(cLX + Ó + !d'2). porlo !lln!~ exprc.<;;!lr la ecuación como una función coseno o seno depende !limplemente de la fru.e.de . oscilac ión en el momento que elij amos como f = O.) Si tenemos sólo un ~istcnl11 ()$cllan,r ' . os cilun1 t:'!'-'i lemprc pod emos e1" eg lr (= O de modo que v1:" = O. SI tenemos dos Sistemas iguul amplitud y rrecuencia. pero dile rente fase. podemos elegi r ó = O pnra uno de ellos. L~ ecuaciones de los dos sistemas son entonces
l'"
XI
= A cos (ca)
I Ln I~y de Hooke ~e hu IllIroducido en el CuprluJo 4, ~ci6n 4.
14.1 Movimiento armónico simple
I
397
El balanceo debido a la :!cción de viento\ fuerte... en el ed ificio Citicorp de Nucvu York ,e reducc medhmlt! el UlIlortiguador de la fotografía. in),wlaóo en uno de 10\ pisos más alto!>. El nmortiguudor cOllsisle en un bloque de 400 londudus <¡ue está IIcoplado al edificio mediante un muelle cuy:\ constante 'e digc de forma que la frccuencill natuml del sistema muelle-bloque sea la mi sma que la frecuencia natuml de balanct.'O del edificio. Si el viento hace oscilar el edilicio. el oscilador y el edificio oscilan con una diferencill de fa!.C de 180". con lo cual se reduce la o:.cilación.
) X'2
Si
= A cos (wr +0)
diferencia de f~e 8 es O 6 un número entero de veces 2rr. entonces X 2 = Xl Y se dice que
lo) ..... tcmas están en fase. Si la diferencia de fase 8 es Jr o un mímero entero impar de veces Ti. enlOnces Xz = - XI Y se dice que los sistemas están fucm de Fase en 1800, Podemos demostrar que la ecuac ión 14.4 es una solución de la ecuación 14.2 derivando x
dos veces respecto al tiempo. La primera derivada de x es In veloc idad \': v -
~ =
- Aco sen (WI+O)
dI
( 14.5)
VElOCIDAD EN El MOVI MIENTO ARMÓNICO SIMPlE
Derivando la veloc idad respecto alliempo se obtiene la aceleración:
a
dv dI
l' ,
(. -, = dl 2
-wAcos (lOr + ó)
( 14.6)
Sustituyendo x por A cos( ltX+O)(véasc la ecuación 14.4) se obtiene
a=-
( 14.7)
lffX
ACELERACIÓN EN El MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPlE
Comparando (1 = - afx con a = -(klm) x (ecuación [4.2). ~cmos que r,=A cos (~+.8) es una solución de 1:1 ecuación 14.2 (que puede escribirse de la ¡orilla (Pxldt~ = -(klm ) .~) S I (1 ~ .8)
La amplitud A y la constante de fase 8 puede n dctCnllinnrse a partir de In posi~ión inicinl ·\oY la ve lOC ·ldad '" IIlICIUl
Vo
. Hacn:n · do I-Oe n ." -,\.cO'(lIJl+~<;eo b llc n e del SIstema. . UJ ( 14.9)
xo= A co:, ó •
398
I
Capftulo 1" Oscilacion es
Dc igual modo. hllcicndo I = O en l' = ILt/dl = -A (¡)~e ll ( úX + O) rcsulta 1'0
= - A (¡) scn Ó
E:;ta:- ecuaci ones pueden rcsolvcrst.: para A y ocn función dexoY \'nEl periodo T c!<> el tiempo mínimo P ¡lnl el que se cumple la relación x(t) = x(t + T)
puru cualquier l . Teni endo en cucnt a e¡.¡tll relación y la ccuHci6n 14.4
5C
llega a
A cos ( wt + O) - A cos I w(t+ T) + 81
= A
COS
(w/+5+roT)
Las funciones coscno (y seno) repitcn su valor cuando la fase se incrementa en 211", de I\lró¡
,
que
roT = 2 ft
(o
W
=~)
La constantc w se denomina frecuencia angular. La unidad es el radián por segundo l l
Trabajando en esta relación se ve que cadl1 vez que I aumenta en T. la fas(' crece 2lCr. ¡xrh tan to, esto indi ca que se ha completado un ciclo completo del movimiento La frecuencia es la recíproca del periodo:
.r
w -T -2" I
(14.1 11
D EFINICIÓN -FRECUENCIA, PERlOf'(
Como ro = J klm. la frec uencia y el periodo de un objeto ligl1do a un nados con la constan te de fucrl.
.r
El aSlro nauta Alun L. Bc:m mid iendo la l1Iasa de su cuerpo durante el segundo viaje del Skylab. Lo hace ~c nt (¡ n dose en un a.sie nlo ¡¡lado a un muelle y oscil:mdo adelullle y :u rns. La m:lsa lotH I del
astronauta más la del aparato está relacionada con su frc c:ucnciu de vibración por la c¡;uación 14. 12.
EJEMPLO 14.1
I
I I {k T = 1 ][ ~;;; FRECUENCIA y PERIODO Of UN 061t O
mas:l.
Un botc se hulunc,,'CII urrihu y IIhllJO...J dcspl1l1.mnlcnto vcrticnl del bOICy "iene dado JlOr
( l.2m )COS(~/+~)
(a) Detenninar la amplilud, frecuencia un~ulllr, com.tanle de fase. frecuencia y periodo del mo~lmlento. (h) ¡,Dónde se encuentro el bote cuando I = I s'! (e) Oelcrmlnur 111 veloddlld y la aceleración en cualquier tiempo " (d) Calcular los Ylllnn.,oc; Inlcial~ de 111 I)(~iclón. lu "clocldud
,lallCdenld6ndelboto.
r)() A UN
u.fUI
L a frecuencia crecc cuando aumcnta k (rig idez del Illllellt') y dismi nu) c cuando uum~nUl\.l
Movimiento de un bote sobre las olas
y =
(lWI
14. 1 Movimiento armónico simple
Planteamiento del problema la r.:U:lciólI dd movimiento
Par.! detcnllinar lu:. magnitudcs" SOhcllnduS . . en (a )
)' = ( 1,2 m)cos(..!.., + 2,\"
I
co mparamo~
!!)6
el'U In c,.~ ullción est:indnr ' sllllple . . 'del movimiento arn Ió1IIeo le' . 'ó 14.4). LH velocidad y la acd cnu;it'in ,e dcterl1n l1:ln dcnvllndo Y(I).
Compar.\r la ecuación
CII.ICI n
cOITC~ I,,,,,d ',,,, ,, e n1 d ~p h17..a1l ·
(" 1. del boll! con In CC UllC', Ó" 14 4 .. ~
\
•\'= 1
CO ... (WI+~ V J.
.
llcmo "cnll.:al pum di..'<.Iudr i\ w
) ti;
•
2. L:.l frecuencia y el periodo se deducen de (Q:
1
j ll~'er 1 =
..1
)' = (1.2 m ) cos
(..!+ !E) 2, 6
" =11,2'".1
w
f
= 2': =10.0796 Hz. 1
y = ( 1.2 m) cos
I S pllnl dc tcnninl\r In posici6n del bote:
n:locidad y 1.1' ace!entción se obtienen deri,,""d .. .. " o unn y dos veces
la posICIón respeclO al tiempo:
.
=lll2 n'dI,.1
¡;
=lrr/6mdl
7
= =112.6,1
T
[is ( 1 S )+~=p.624m l
tlv (/ vy = --"- = - IA cos( w/ + .lO\ ¡ . (It tlt VI = - tiJA sen(w/ + ó)
_~( 1.2 m) sen (....!....
=
2s
2s·
= - (0.6 mh¡) sen
t/l-y
tl J
1+
Jr) 6
(....!.... I +~) 2, 6
(l
= ti; = tI¡I-WA scn(wl + 8)1 = -ah\
=
COS (WI
+ Ó)
-{.J-)\ _ s 1.2 m) cos .(....!... :2 s r + 6Jt) Jt)
= -(0.3 mJs2) cos (....!.... 1+ 2s 6 Yo = ( 1.2 llI ) cos \\ 0
g=11.041111
= - (0 .6 mI s) sen
tI ,o = - (0.3 m/sl)
~ =1- 0.300 mh.. 1
co~ ~ =1- 0.260 m/s J 1
Eje rcicio Un objeto de 0.8 kg estú sujctO a un muelle de constante de ruer/.u k = -100 N/m. I)elCrminar la frecuencia y el periodo del movimiento .del objclO cuando se dcsplaza del C(luilibrio.
(Respucsttl
f = 3.56 Hí'.. T = 0.281
s.)
La figura 14.3 muestra dos masas id~nlicas sujetas
mue lles igu:\ lcs que dcscansulI sobrc una superfic ie sin rozamiento. Un muelle se est iO! 10 cm y el otro 5 cm. Si se dcjnn c.n I!bcrlad al mismo tiempo. ¿cuál de lo~ dos cuerpoS alcanl.lI primero la posición de equi :t
IIbno?
Segu n lu ecuac ió n 14. 12. el periodo depende só lo de k 'i 1/1. pero no de In amplilUd . Como k 'i m son los m ismos pu ra ambo:. SiSh!t1HI:'. los pcri odo~ son iguales. Por lo ltIlU O.
los objeto!. alcanlu l1 1<1 posic ión de eq uilibrio 31 mi~l11o tie mpo. El ~egllndo objeto tiene q~e recorrer un a d istancia dob le :t In del primero pan! alean/al" cl equil ibrio. pero 1(1111 bt~n pollee una ve locid ad med ia dob le. L.\ figura 14.4 rn lle:; tra un c:-.qucmn de la~ ru nciones de po"ición de los d os objeto .. . E~to ilustra una propiednd general importantc del
movimiento armó nico s imple:
Equilibrio
-
Fig ura 14.3
idéntk os.
• k
10 ( 111
Oo~ ~ 1~I C I11US rna'!>n-mudlr
399
400
r.
I
Capitulo 14 Oscilacion es
En el. movimiento armónico simple. la frecuencia y el periodo son independientes de:
~m
10
_II~
Objeto 2
,
Objeto'
, , ,
,- , ,
>1.
-5
, ,
,
--
-'
,
'"
- 1()
Fig ura 13.4 Po~ i ciÓ n .\' en fum' i6n de t para los ~is lcmfl s de la ligur:! 14.3. Ambos :l1canzan [a posició n de eq uiti brio al mismo tiempo.
EJEMPLO 14.2
I
~
El hecho de q ue la frecue ncia del movi miento armónico simple sea ¡ndepend· . •. lenle dt amplit ud tiene i mportantes consecuencias en muchos campos. En mUSlc a, por c' Q . ) l
Un objeto que oscila
Un objeto osci lu con rrecuc nci:l 11llgulnr w = 8,0 r ad/s. En t = 0, el o bjeto se e ncuentra en x = 4 cm CO II una "elocidad inicial v = - 25 cm/s. (a) Dctc rminllr )a amplitud y la consta nte de rase para este movimiento. (b) Escribir x en rundón del tiempo.
Pla ntea miento de l prob le ma La posición y velocidad iniciales nos proporcionan dos ecuaciones a partir de las cuales se determinan la amplitud A y la constante de fase O. (a) 1. La posición inicial y la velocidad están relacionadas con la amplitud y con la constante de rase. La posición viene dada por la ecuación 1-'04 y la velocidad se calcula derivando con respecto del tiempo: 2. Cuando I = O. la po!.ición y la velocidad valen:
x = A cos(wI+O) y
\' = r.J.!. = - aJA sen( lOI + O) dI
.\"[1
= A cos O
y
= -lOA sen O
Vo
sen Ii O Acos O = -lOtg
1·0 _ - wn ,."
3. Dividir est:ls ecuadones para eliminar A:
Ig Ii =
4. Reemplazando por los valores numéricos se obtiene O:
"o
_ce"(UXO
por lo l aOlO •
O = arctg(-
1'0 ) (()Xo
1
- 25 cmls =~....:(,., 8.0 ",dI,)( 4 cm) = 0.663 r.¡d - urctg [-
I
5. La ampli tud puede determinarse utilizando la ecuación pum .1'0 o \'0' Aqur ut iJi/amolo In dc .1'0: (b) Compnnmdo con In ecuación 1-'.4 resulla .r.
A
I
= .ro = cos O
-' cm cos 0.663
=IS.OScml .
.
x = 1<5.08 cm) cosl (8.0 S- I) I + 0.6631
I
C uando la conStante de rase es 8 = O. las ecuaciones 14.4. 14.5 Y 14.6 ~c ~'(lIl\' icr1cn ~n x =A
tOS
(l 4 .1~'
WI
l'
= - w4 sen {(J(
(1
= - ldA cos
y WI
E..<¡las runci oncs viene n repre!.cnlndu$i e n In fi gura 14 .5 .
•
( 14 I.~
14.' Movimiento arm ónico simple
-J1 -1,- -JTJ ,,,
,•
,
• • •
•
,,,
l'
,,
,
,,, ,, ,
,
•
•
"
, ,, ,, ,,
,,, ,, ,,
,,, ,,
,, ,, ,
,
,, ,,
1PLO
14.3
I
Figura 14.5 Grfificos de l. l' Y(¡en (unción del tiempo / paro ~ = O, En / = O. el dc\pluliuniclUo e¡" Illlhi mo. In \clncidnd e, cero y lu aceleración e, nC!lmiwl e igual u -a;A. Lu vdocidud 'c ¡mce ncgati va cuando el ot'ljeto ,e mue"e hacia IItr.h t'lu!\cundo ~ u po~ i dón de equilibrio. Despu6. de un cUllrto de l>cricxlo (t ".. 714), el objeto est~ en equ i Iíbrío, x = (l. (1 = OYIn "elocidad alcanll\ .. u \'lIlor rná.... imQ w'\. En t = Tf2. el desplazamiento C!> - A. la vclocidud es dI! nucvo ccro y la acd cración + tolA. En t = 3714,.\' = O, (/ = O Y l' = +W!\.
Objeto ligado a un muelle
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
bjelO de 1 kg se sujela a un muelle como indica la figura 14.1. La constante d e fuerza del lIe es k = 196 N/m. El objeto se mantiene a una distancia de 5 cm de la posición d e equili\ se deja en libertad en el tiempo t = O. (a) Determinar la freeuencia angular w, la frL'euen) el periodo T, (b ) Expresar x en función del tiempo.
lo columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Respuestas
>sos (a) 1. Calcularwulilizando
(0=
J klm.
2. Utilizar este res ullado para detenninar iy T.
3. Determinar ¡\ y
~a
partir de las condiciones iniciales.
(b) Expresar x(t ) ulilizando los rcsult:ldos de A. W y ~.
EJEM PLO
14.4
I
tn =19.90 roid/.., J =11.58
I r =10.6.'5, 1
/" .1
d=O
A = 5cm,
.\ = eS CIl11 o.:m 19.90, ·1 tI
Velocidad y ace leración de un objeto en un muelle
Considerar un objeto ligado a u n muelle c uya posición viene duda por la ecuaci6n .r = (S cm) ros (9,90 s-, 1), (a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto'! (b) ;,EJI qué instulltl' se alcanza por vez primera esta velocidad máximu? (e) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto? (d) ¿En qué Instante se alcan:t.D por vez primera esta aceleroción máxima"
Planteamiento del p roblema Como el objeto se deja libre desde el reposo, ~ = O Y la velocidad y la aceleración vienen duda.. por las ecuaciones 14.13a. b y c . (a) 1, La posición se obliene de la ecuación 14. 133, con ~ = O. 1...3 velocidad se o btiene derivando con respecto del tiempo:
:r: = A COS
por lo tanto l'
2. La velocidad máxima tiene lugar COlindo lsen ar1 = 1:
(b)
1. Ellsen CJXI = I por ve/. primero \C da cuando ax = td2: 2. Despejar, cuando (IX = 1fI2:
lI)l
= ,Ix _ =
,1,
b1 e
- Wf\
(tiA I~c n
loen WI
(vtl
y entonces Id"". = (tIA = (9,90rnc1l:.)(5cml =149,5cm/:. 1
Isen rutl =
"
, = - = 2.,
J~(Vt
-
31!" 51!" -2' ?' " '" Ir
--
I
401
402
I
Capitulo 14 Oscilaciones
(/\1
(e) 1. Detenninar la aceleración derivando lu velocidad. obtenida en el
{l
=- =dr
paso I del apartado (a):
_
COl' Wt
= oPA = (9.90 rudlS)2(5 cm)
2. La aceleración mlhimu corresponde a cmi úJI = - 1:
(d) La aceleración máxima tiene lugar cunndo leos (tri = l. lo que ocurre
cuando úJI = O. Ir.
__ .1
w-A
W/
=
Jr
Y de~pejnndo t
2Jr• •.• :
r-".n =IO.3Ih l" -(.1.1-9.90, "1 . L:J \1cloddad m:t'
Observación
El máximo del módulo de la acclernción !o.C da cuando ClX = O. 'T. ' T.•••• :::¡.:::¡ •
1C,
21C. ••• que corresponde :1 / = O. ~ T.
•
..
/
I
, ...
... 1' _
w= "IA
wr :...- 1=0
O
,,
la)
,,
, /
/x
, ,
/
--
"
,,
8=0)/+0
en donde 8 es el desplazamiento angular en el in stante I =OY ro =v/A e~ de la partícula, La componente x de la posición de la particula viene dad
---
y
x = A cos 8
(14.14
ehx:idad angu!:u
=. A COS (líJ/ + ó)
l' = WA.
que coincide con la ecuación 14.4 del movimienlo armónico simple..
/
,
O
x=A cos O
\ \
eh)
Ex iste una relación en tre el movimiento armónico simple y el movimiento circular COn \'tk\. cidad constante. Consideremos una partícula que se mueve CO Il una velocidad cuyo módulo \' es constante sobre una circunferenc ia de radio A corno se indica en la figura 14.60. El de\. plazamiento angular de la panícula respecto al eje x viene dado por
I
,,
I
'"
;>'\ 8
, \
Movimiento armónico simple y movimiento circular
.'\ ..r',
/
\
... . . , 'v"
,,
"
,
--
, , ,
/
Figura 14.6 Unu panfc ula se mueve en unu tmycctoriu circulllr con velocidad conStante. (a) La componente.\'OO la posición describe un mo"imlenlo annónico .. imple. y (b) la componelllex de la
La proyección sobre un diámetro de una partícula que se mueve con uniforme es un movimicnlO armónico si mple (figura 14.6).
oto circular
Ln velocidad de una panícula que se mueve sobre una circunferencia donde res e! radio. En el caso de la partícula de la figura 14.6b. ,. = A. por Jo que su \'d('\lldad es Aad.J proyección del vec!or velocidad sobre el eje x da v,l" = - 1' sen 8. Sustituyenl...! [0$ \'llloresdt r y de 8 se ob! iene la ecuación
vclocidild describe la vclocidnu de un movimielllo annónieo simple
.,
l'
=
- W;\
sen 8 = - coA sen ((J)I + S)
que coincide con 111 ecuación 14.5 del movimiento armónico simple.
14.2
Energía del movimiento armónico simple
· OSC ·il a co n mOVll111C1HO . . • ~ cmeucn) .' . MCC""·~ euanc1o un o b~elO armóníco simplc. lns t.!nergHl t'-
Las burbuja!! de la c..'puma {lile genero una hélice en movimienlu por el al!ull producen un patron
sinusoidal.
del sislt.!ma varían con el tiempo. Su suma. In energía tOlol E = E~ + U. c<" con'l¡llllt' C~1lt' d~remos un objeto a una dislancia ,\' del eq uil ibrio. sobre el que actlÍo unn fU t: rlIl de re' clón - h. La energía potencial del sistema C$
,•lk ., 2
,
• 14.2 Energía del movimiento armónico simple
I
403
r.'I:! eS la ecuación 6.21. Para un mov,'m'lento armón' e . yendO c:n la ecuación 3nlerior 1 o simple. x = A cos (Ctl' + 8) y sustilu-
1;.;>.
\
u
= ~kA 2 CO~ 2
(rol
+ O)
(14,15)
ENERCL\ POTENCIAL DEL M OVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1.;.1 energía c inélica del sistema es
,
E. - ',-m\' ~,
-
en donde m es la masa del o bjeto y \' su velocidad E _Aw sClI (aK + 8). Sustituyendo resulta . n el
'. mOVlIllIc nto
.
.
armómco simple. ",( =
Ec = ~ II/A2w2 sen:! (IDt + o) Te
x
1-.0- __-,--,-,-,-_ ",..," I 1
I I 1 I __ + __ -4 _ _ --1 __
I
-ndo en cuenta que h;! = k/m resulla
--j..--
,
-
I
1
L-', ,-f
,, ,, , ,
( 14. 16)
I II
--1-- -10
, ' (a)l ,, ,~, ,,, ' ,,, , , ! ,.-<'i -.l...-i-I
,
•
, '-A ,, 1
,,
,,E...-i _ _ L _... ,
ENERCfA CINmCA DEl MOVI M IENTO ARMÓNICO SIMPLE
~
,, " ,,'
La nergía mecánica total es la suma de las energías potenc ial y c inética:
i
E'~I = U + Ec = ~kA'~ cos 2 (ro! + O) + ~ kA 2 sen:!: ({Ol + 8) <
, I
, , I
I
I
1
I
I
I
I
1
I
1
I
L-l-:"j.'
,,
, ,
I
I
-- - - r -- --;--
Como sen 2 (ax + 8) + cos 2 (ax + Ó) = I
(14 . 17)
Figura 14.7
, ,, ,, , ,,
I I
""' 1
~kA 2 leos:!: ( WI + 8) + sen :! ( COt + 8) I
; fh)i
I
A-M ,'E,.", ,I > I ---1-_~...
,
--~--
,
,
"
I
4l'.!
Gráficos de .r. U y Ec en función de t.
EN ERGfA TOT.4J. DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPlE
E.<.la ecuación nos enseña una importante propied¡ld general del movimiento ann6nico simple:
u
la energía total del movimiento anl1ónico simple es proporcional al clIadmdo de la umplilUd.
Pam un objl!lO en su dcsplaznmienlo
la energía tO!:i1 e:- toda cnergía polcllciul. Cuando el objeto se mueve hacia su po~ici6n de equilibrio. In I.! llergía cinéti ca del sistemu crece y lu energía potencial disminuye. Cuando atravicsal:! posición de equilibrio. la veloc idad del objeto e~ máx ima. In energía potencial del siMemo ~ cero y In energía total e-s igual a la energ fa cinética. Cuando el objeto $obrepasn el punto de equilibrio. !.u cnl' rgia cinétic!I comien7.a a decre· cer y la energfa potencial del sistema crl!ce hnsllt que el objeto di.! nuevo.!tc detienc rnolllcmá· neamente en su dC.!tplul.amicnto máximo (ahora en el sentido opuc:-.to). En todo mOll1ento. la suma de Ill.'\ energfu.!t potencial y ci nética e:- con:.tllnte. La fi g uro 1·1.7 muestro 10:- gnHicm de U y E~ en función dél tiempo. Amba:. curvil~ tienen la miMnJl ronn:l. C'I\ccpto que cuando unn es cero. la olm pa~a por un m áx imo . Su,," valores medios en linO o 11l:i::. ciclos son igulIles y como U + E~ = E. c"IO~ ... alorc~ mcdio.. "ie nen dado .. por máxi m o.
(1 4. 181
En la figura 14.8 se ha represenUtdo la energía polencial U en func ió~l de r. La cnc~in l otal ...... CODItante y e.lllh1 representada por una Unea hon/ onlal. E..,u, linea corta ti la cuna de
,
•• •• •
• ,•
•• •
-A Figura 14.8
•
E..
• • ,• ,• • • •
A
,
Función UI! 1:. cncrgia JX',cncial
U = : I.x l en el CU~ de un objeto dc 1IlU."U m unido a un muelle Ul' l"U~1l cl c~ pl'cci nb l e de ('on~Ull1 l e 4:. La Unc!! hori/,onlru rcpn= ~c nl a la cllC'rpn mt.."Cilnica
-
10Ut! L:."~I pam unu Ilmplltud A . L¡¡ cncrg '3 ..:IIlCIJ¡;'1I. F., c ..lá rer relOCnUldo por 1.1 d¡'I,.lI1cia \ cOIeal LI.. = 1;;,,0lil' l/. Como l-. ,.!UI ~ l ', C'l lIIt.,iullcnhl c'lá re \lri n,!!ido " - A S \ S +.\
lO.
I
Cepltulo 14 Osdledones
In (.·ucrrfn 1)(llcncHlI en I 111 \ )' \ - A , h ... IU, ...on lo... puntu... en que 1(1\ fl h,C'to\, en \U I • "I ' ''"c"I" cle 111. \cltl(:,dud) \uch clI hut;ulla t'K l\'l' lnn \Ic equll,b.IIU. l'.roldo "'Ii> ": 10 11 , caln ,,!tu c .... , . U S t llll..J, el nlm '1lIlcntu I!' ..III rc'lllng Ido 11 1\ S \ S +,\ ~
EJEMPLO 14,5
I
Velocidad y energía de un objeto que oscila
Un objelO dr .\ ka ligado u un mut'Ut' u!ocilu con Ollil IIl11plltud dl' .a ,'111 3 UII Ilt:rlooo (~t.' 2 'i , I~I) ¿C"'I ~ l. t'nt'tJtiu lular! l b ) ¿Cuál t' .. l'I móduJullllÍxhnu dc 111 H' h~d dl1d dclubjclu ! fe) ¡, En • 1mn ", qu# ptl!olclón .1' \ t'lnuNlull) tll' ,l'IiK'ltlud ."" IJtulIl1I 111 mlllld tll' .. o 'u 1ur IIII1X
Planteamiento del proble ma ( Il) l...tl cn t:~UllCIllJl I)uedc dCICI'IlUlmJ'\C n p: It"U1 dc lu mnphtlld del 1110\ iIllU':llIt)) dc In Ctlll "lutllc de Iucl/a del muelle, ' ltlC pt1cdl..' en lculm-..c IIICdlll lll\' 11111111"11 del tlhJcto y el pcn()(h (b) 1.11 \Cltll'ldm.llllll.\llIllIlIl'ne lugur cunndu la l!Ilcl gin l'ÍllélICUe\ Igual iI lu cnelgf:\ WIlII. (el ~k·i,.h.II1I~ t'1 pr1lK'lplll de cOII\Cr\l\f.:iÓn de !tI clwrgftl l)()(!CI1lU\ rclnciullllr la l)(t~ icJón con clmódulu In \ c1ucid.td. (a) 1, I!\pl"c).ur la en('rgílllowl ,.. en función y la umpltlUd A:
lk
la
\,:o/1 \llI l\lc
de !'lICN.tl ~
2 . La cutl~t:tllle d~ fU(.·rIIl ~ C relaciona con el periodo y la mn~a :
k = I//W' -
/ti
T )' (2R
3. Su"ltIuir ill\ \alol'C). proporcionado!\. para dcterminur /:. :
,
(b) Pam determinar \'mJ.~' igualar la energía ci nética con la energía IOlal '1 de.spejar \':
-" 111\' ... -
'
e =.;
Con lo cual " "",
=
r
111-
2(2.37 X 10- 2 J) 3kg
=IO,1 26m1' 1
(e) 1. La conser\'uci6n de la energía relaciona la posición x con la velocidad 1':
2, Sustituir l' = ~ I',nj\. Y despejar XI. Es conveniente dClenninar x en funcidn de E y a p:mir de E = ~ kA l ded ucir una expresión de.\" e n función de A:
-
r. -- '2I /11 ( ~' " m4~ )' + ;;:' k xr '
t:.
m"
-- !J ( !2' "',' ) + !k ~ X 'I _
JE+ ~kxr
por lo lantO ~' k'
Xr' = E _l, E
,~ E
y
XI
= =
Ejercicio Calcular {¡J parn este ejemplo y determinar (Respuesta w= 3, 14 rndlf>. I 'm~~ = 0,126 mIs.)
I·mb
11
J*
=
:!f(4cm ) -
3.46 cm
purtir de In expresión I'má~ = cu-\.
Ejercicio Un objeto de maSIl 2 kg cstá sujeto n un IllLlclle de constnnle de r UCrIIl 40 N/m. El objeto o,e mueve a 25 cm/!o cuundo pusa por In posición de equilibrio, (a) ¡,Cuál ~ In cnergfn IOtal del objeto'! (b) ¿Cuál C!\ 1:1 ¡¡mplitud del movi miento'! ( R".fIJt/e~ra (a) E [o l!ll !ml' UÚ, ~ = 0"'»5 J, ~ ,V\l _ . fh) A = j 2EIlJUIlk = 5,59 CIll.) •
,=
'Movlmlento general próximo al equilibrio En gene"-Il se da mov imie nto armónico si mpl e c ua ndo una pnrt ícula M' de~plU/!lligc~ 1 cqu 'lI'b , " d e su pOS1"CI6 n (e I n' o estátICO, La figura 14,9 cs un gní fi co dI! In cnerg , pOll'm,,,11~I
~unción de x paro una fuer/.a que tiene una posición
de
m equ ilibrio c!owblc y otr:\ de cqulh
mestable, Como :0.0 v io en el (.'apílulo 6, el m áxi m o CI1 \;- de la figunt 14.Q ("(lfI\'''f''¡¡tJt
;¡,
14.3 t'llllhh\l~\ 11l~\ta h k. nll~l\ l nl \
que d tHlll tl1UI en 1t ~ll f rc .. pundc ul..:q ulli bl'iu c\llIb lc ('\1111q\llCt C Ul~;' n1nIUlUI\ 'IUI' pt\.'\t' l1lt' un HumillO COl1 h) t'l lk la h!!ura 1.. J .q puede UprOK1tIlUr'l' \,.'('1\: ;1 dd IlIl tl1ll1\1 pUl' u nu pm illl\.lla. I .a l ' Ur\ H lle l ru/\l~ de 111 h!turu e\ 11 1111 pl1 fúlx11:t que \tprm,lI1lUd:IIlWtllt' ( \III"' ''llil1\d (' U la l'Ut\ ,1 Jc l·IINg (a. 1l\ltc lIl' iull·Cn.:11 de l pU IIIO tll' cqui hhrm e"t;¡hk 1 ;\ t'C lm~ I \11I ge nl'11\1 de 11Ila plLl111x 1hL q ue IlelL e un m í l1l lllO ell el punl o \ 1 puede t" P rc ,,;¡I'C "'1\ ti 101111(1
ti = A + 11(.\
,
\ 1)~
( 14. 19)
en dondl' \ ) IJ "011 con"I:U\(('''. La CUElMantc A c<; el \alnr de U ell In !>o"iciólI dc equil ibriu \ = \ \, I .a fu er/ ll e"t:1 rcllIeiolllldu con la curva de la r.!llcrgía potcnr.:ill l por F~ = - dUId.\'. Por lu t:lnlD,
F, =
!I V
,'
Al9uno~
Pambola qur se aproKlma t1 U c@rt. del punto de e
•• •
, •
•• •• •
,••
•
,,
h
Figura 14.9 Grárico de U cn función de .1' pnr.l una f ucrlÍl que ticne unu po~ic i ón de equilibrio efolllhle (XI) Y otro dc éClu ilihrio inestuhlc (.f2)'
- -2 8 (x -x l )
dx
Si hUCClllol' 28 = k. esta t:cuación sc reduce a l' ,
!IV
dx
- k{x -x l )
Funci6n encrgla potencial real
U(.fJ
( 14.20)
Dc acuerdo con la ecuación 14.20, la fuert.;¡ es proporcional al desplazamiento y está di ri ~ gida en sent ido opuesto. de modo que el movimiento es al'mónico simple. En la figu ra 14.9 se representa la fun ción energía potencial del sistema U(x ). que tiene una I>osición de equil i· brio estableen x = XI' 1...<1 fig ura 14. 10 muestra. en cambio. una función energía potencia l que t iene una posición de equ il ibrio estable en x = O. El siste ma que responde a ulla función como la que se representa en esta figu ra es una pan ícula pequeña de masa 111 que osc ila en el fo ndo de un cuenco con fo rma esférica.
-
14.3
sblemlls
Parabólica ajustada
-~~-, Figura 14.10 Dibujo de U respecto a X paro unu panícula pequeña que osdla en cl fondo de un cuenco con fonna e,<;férica.
Algunos sistemas oscilantes
Objeto colgado de un muelle vertical Cuando un objeto cuelga de un muclle venical. además de la fuer/..
E!;ta ecuación puede ¡.implificarsc defi niendo una nucva variable / = y - YI" donde)"o = m~Lflk e:. la longitud que "e al arga el muelle cuando el objeto C.!oI:'Í en equilibrio. Su"tiluyendo y = y' + Yn nofo lleva a
I F, = - I.·<"/+\'o)+mg Pero kYH = mg. por lo que
¿F, = - I.:.\"' La "cgunda lr.!y de NewlOn (1: 1-'1 = lIIiI,) no" llc\:l a ·h'
"0' •••••• J •••••••••
r, Posición de equitibrio con el muelle sin masa
'"' k
.
,.
.0
.\'0
....... '------- -f-- >----, m , "
I
m~
Posici6n de equilibrio con la masa m. El muelle se se estira \0"" mK't El objeto oscila alrededor d e la po~ici6n de equilibrio con un dC$plllzamiento r' .. I '"o
(1 ~ .22)
Figura 14.11 El Plllolcmu de unll m íl~a colgílda dc un muelle \crtieíll ~e ~ lmp l i fi cll \ 1el de"phllamicnlO (y') ,e mide d(' ~dl' la p()~je i6n de equilibrio del muelle concclado a
I fl IllU~U .
406
I
CapItulo ,.-.
O~dl;u;lon6 Síu c mhl\l ~o. \
~
r' ... \'u. lIomle
\ '1]
= //I N/ Á c~ C lln ~ lml l (' .
r\~r.
, = (l'. \'' /el/' 1 ' . por IO lanl/l /' (*\'/tlr
k.." I t)
:-;\:U
k , = - - l' In
q Ul: t.::1i
In (!cu¡lc iún 14.2 con y' I'cCl'I1pl ui'llIl
ti
x. L lI so]ución
de esta cc uución II ()~ C" fam t
liar: y' - AcOS( WI+Ó)
= J klm. Así pues, el e recto de la fucrl a gravit¡uorill lllg consi:-ae meramente en desplazar In posición de equ ilibrio desde y = Ohnst!l l = O. Cuando el objeto se pasa de su pos ición de cquilibrio una t:antidnd l . la fu erln ncta es - ky'. El objeto oscila respecto a la posici ,1O de equ ilibrio con un a frecue ncia an gular (¡) = J klm. la mi sma frecuencia con la que se movería un objeto atado a un muelle horízontal. Si una fucrla reali za un trabajo que es independ iente del cam ino se dice que la fU t:rt.a C!. conservati va. La fuerza de la gravedad y la fuerza ejercida por un muelle son conscl'\ üfiv
úJ
u
=
- f - ky'
"- + Uo -I k')' rly' = 2 '
e n donde la constante de integración Uo es el valor de U en la posición de equilibrio l\' = O). Por lo lantO,
U _ - kV'2 + U 2'
EJEMPLO 14.6
I
Muelles de papel
o
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
ConrccdomulIus Ild ornos paru unu fi esta con muelles de papel. Construimos un muelle de pll!>el del cu'11 cuelga una hoja d e papel de color que lo nlarJta 8 cm. ¿Cuó ntlls hojas d e pllpel de color hay (Iue colgur del mu elle para 'Iue oscile con In rrecucnciu de I ddo/s" Planteamiento del problema La fl\.'Cuencia depende del cociente cnu'C la QOIl.stantc dcl muellc y la musa que cuelga de él (ecund 6n 14.12), y no snbc mo~ ni una co!otl ni mra. Sin embargo. JI punir de In info rmaci6n dil>poni blc ~c obticnc el valor de este cociente u:,;lndo 1:1 ley de Hooke (t:cu¡¡ci6n 14.1).
rr = 2ñ = 2ñ- ~M
f
2. Cuando)o.C cuelga unu hoja de ¡mpcl dc mn ~u
~ -"o
111 t.'I l1\ucllc --e alarga una
di,lancia )'0 =- 8 cm: 3. La masa de N h oj:¡~ de p:lpcl ,e c:llI; uhl rnuhiplicnndo po.."If ¡V la m .1MI de unH hujn lll:
I
ti)
1. E:tcribir la frecuencia e n fu nci6n de la CQ rI!'ilanle k ) de In ma5.'l M (ecuaci6n 14. 11), donde M ~ la mn~a de N hojas dc papel. Tcnc11lO' (IU C dctcnninnr N:
M -
¡
- 111,1( ¡Vm ¡
-M -Nm -
Y enloncc:.
,
14.3 Algunos sis temas oscilantes
5. Sl' \11\tllu\( el 1~1(1
rt' \Uhlllil~
tlel P(\\O ,t ('11 el
rt~ ultud\l
del pa\(I ! )
~c dc ~
I 21t
f
,\
J;Iki •
por lo 1111110 N .
g
(2 Jrf V~'(1
l'hlYque colgM t rt! ~ hojas de pope! de color Observación Ob..,ér\,c,c que cn C\tc ejemplo no hellw\ INldo el vulor de m o de k, ya que In frccucnt:iu depende del cocieme k/m (¡ue rc\Ullll st!r g/yO" Lus unidade). también :;alell bien, yu (¡UC I H)', = 1 ciclo/:>, y un dclo c\ uml unidad sin dimensiunes. Ejercicio ¡,Cuánto se alurgn el muelle de p¡¡pel cuando un udorno hecho con tres hojus de papel ..:olg:mdo está en equilihrio? (ReslJll esta 24 cm)
EJEMPLO 14.7
I
Una bolita de aba lori o sobre un bloque
Un bloque descansa sobre un muelle y oscila verticalmente con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 7 cm. Unn bolita de ubalorio se sitúa sobre el bloque oscilante justo cuando éste Illcanl.ll su punto más bajo. Suponiendo q ue la masa de la bolita es tlln pequeña
o
Planteamiento del problema Las fuerLas que actúan sobre la bola son su peso mg hacia abajo y la fuerLH normal ejercida por e l bloque hacia arribu. El módulo de esta fuerla normal cambia con las variaciones de la aceleración. A medida quc el bloque se mueve hacia arriba. por encima (le la posició" de eqllÍlibrio, su aceleración y la dc la bolita van Iwcia abajo y aumentan en módulo. Cuando la aceleración alCan7.3 el valor g, la fucrt,a normal es cero. Si la aceleración hacia abajo a la que está sometido el bloque supera hacia abajo este valor. la bolita pierde contacto con el bloque. Figura 14.12
1. Dibujar un esquema del sistema (figura 14. 12). Incluir el eje de coordenadas y con el origen situ¡¡do en la posición de equilibrio y eon la dirección positiva dirigida haci3 abajo: = - a?y
2. Buscar el valor de )' para el cual la aceleración es 8 dirigida hacia abajo. Usar la ecuación 14.7;
a)
3. Sustitu ir 2rifpor ro y de.<¡pejar y:
g = - (2 ./)'y
g = - roly por lo t¡¡nto
9.81 m/s~ 8 (2 . /)' - - [211(4 H.)J' = - 0.0155 m =1- 1.55 cm
y = _
I
()
Comprobar e l resultado L..'1 bolu !oe separa del bloque cunndo)' es negativa. lo cual se produce cuando la bolita eSlá por encima de la posición de equilibrio. como cra de espernr.
EJEMPLO 14.8
I
Energía potencial del sistema Tierra-muelle
Un objcto de 3 kg alnrga en 16 cm la longihul de \In muelle cUllndo cuelga d(' él \cr1iclIlmentc y esta en {'(Iuilibrlo. El muelle ~e CSlirn 5 cm mlÍS dcs de su posición de eosIci6n de equilibrio es lIláxllllll (o ) si U = O en lit posición de cflullibrln y (hlll"l U = O CUlllulo el muelle t'-~tá sin dt'formnr. . Planteamiento del pro blema (o) Con U = O en la po"ición de equilibrio, la energfa potencial 10lal U c:. II2.1:y'2. donde v' e:. el de..,plttlnmietllo de 13 posición de equilibrio. (h) Si U = O cuando el muelle e).ul sin deCormnr, la enell/.{u p(1lencinltotal C'~ la energiu polencial del muelle m;h In energfa potencial gru\ Ilatoriu _
I
4fI1
408
I
(a)
Caprlulo 14 Osdl.. done)
1.
Dihular tR'~ C~\IUC IllI1" del ~L~ t \!tI1:t, U1l0 con el muelle " 111 deformar, Iltnl con el muelle dcfonlludo 16 cm y un lt'n:cro l'IJIl clmucHe alurgud\\ 21 cm (fi~um 14.11).
2. Si lu dLI'C\,'Clón pO~;II':1 de y' C~ la dlrecci6n hnciu IIhajo y si y' '" O en hL !Xlliidón de equilibrio, In energrn IXltenciul lotal vu1c (ccuudón ''' .231
----
POlici6n del muelle sin deformar
Yo
3. Paro dctcnninnr U primero hay que subcr cuánto vale In cOnStlllllC del muelle J... CUllndo huy equilibrio 111 fuer!.a bacíll urribu del muelle iguula la fuerza hacia abujo de la gnLvedad. Ut ilizando este hecho, calcu lar el valor de k:
,-,
y' =A:::5cm
por lo tanto 1118
Yo
= 16 cm
l 1
kyo ::: 1118
k =
,-
(3 kg)(9,SI mis') - IS4 N/ m 0,16 m
".
Posición de equilibrio con la masa m colgando. El muelle se estira El objeto se libera a 5 cm por debajo >"0 = mglk de su posición de equilibrio
4 . Sustituyendo k en el resultado del PliSO I Y (lespejando U se obtiene:
U = 1ky'2 = 1(184N/m)(0,05m)1
=lo,23t)J 1
(b) 1 , La energía potencial total viene dadn por la ecuación 14.23: 2. Cuando y' = y' ~f = - 16 cm, la energfa potencial vale cero, es decir. U = O. Sustituir y despejar Uo:
Figura 14.13
U = 2!kr'~ + U, -
0= !h'2+U, 2 -
por lo tanto ,, " Uo=-;·y,;¡ •
~( 184 N/m)(-O,16 m)!
= - 2,35 J 3, Sustituyendo Uo en el resultado del paso I del apanado b se obtiene:
U = ~ky'~+ Uo = 5(184 N/m)(O,05 m)2-2,35 J = 1-2, 12J
I
Comprobar el resultado La energía potencial calculada cn el apanado (b) debe coincidir con In suma de In energín pott!ncial del muelle Umen y = 2 1 cm más la energía potencial gravi tatoria Uf(. en J = 21 cm, y:1 que cada 11M de estas energfas potenciales es cero en y = O. donde el muelle está sin deformar. y In dirección positiva de y e.~tá dirigida hacia abajo. U. = j k>2 = $(184 N/m)(O,21 m)2 = 4.06 J Y U R = 1118(- )') = (3 kg)(9.8 1 Nlkg)(-O,2 1 m) = - 6.1S J. Efcctivumente, la sumn de estos dos témtin~ da: 4.06 J - 6.18 J = - 2, 12 J, que coincide con el resultado obtenido en c1l1partndo (b) del ejcrcicio.
El péndulo simple •
Un péndul o simple consl3 de un a cuerda de longitud L y unu lenteja de musa m. Cuando In lenteja se deja en libertad desde un ángu lo inicial (ÍlIJ con la vertico l, oscila a un lado)' a otTO con un periodo T. Ejercido de aná li sis dime n sional Parece lógico suponer que el periodo de un péndulo si mple depende de la masa m de. In lenteja, la long itud L del péndulo, lu aceleruci6n dcbidu a la ,gru...cdad. g. y el ángulo inicial 90- Dctemlinar una combinación Si')Ple de estas magnitudes que ofrezca las dimcTl "ioncs correctas del periodo. ( Re:;pllt'sllI LIg.)
La:-. unidades de longiwd. masa y g son m. kg y mIs!, respectivamente. Si dividimos I~r g los melros se cancelan y pcrl110necen segundo.!. al cuudrndo, lo que sugiere lo fornm '/Ug. Si la fórmula del periodo contu viera In musa, Irl unidud kg debería caflcrlar~ por alguna Olrn magnitud, Sin embargo. ninguna combinación de L y 8 puede cancclM Observación
14.3 AIguno5
unidadc", de ma ...u. A ... r ,lUC~. el pcrtlxlo no puede depender de 111 m a~ 1I de In lenteja. C(II11U el ;\ngulo 4\1 e ... adil1ll'n ~io n¡¡l . II Cl podclllo¡, ... uber por an~li si¡, di rn c n ~ i onnl ¡,i c¡, o no un Cactor del pcri(xlo. t"'hh, udehllllc "c.n.! I11O~ que para vu l\Jrc<.: pcqueños de «AJ' cIIJl.:ri (){lo vienc c.llpre~udü por T = ~;r JLI.f!. ) la~
5b temlt~ osdllmte5
I
409
•
L:\:. fU CI'Nl), que IIcubn :.ubrc la lenleja son su peso IIJ J,: y 111 tcn¡,ión T de 111 euerdu (figura 14. 14). Cuu ndo 1:\ cuerda forma un 6ngulo tP con la verticaL el peso tiene IlIs cC) rn ponen l c~ mg co:. 9 a lo largo dc In cuerda y /l/K ~I! n ~ IlIngencilll ni an.:o ci rcular e n el ~ nl ido de q, dccredcntc. Para la componente tangencial, la segunda ley de Newto n (EFI = lIJa l ) nos da
- mg ),cn
( 14.24)
~
en donde la longitud del arco s eslá relacionada con el ángulo q, mediante s = Ltp. Derivando dos \!eces con respeclo del tiempo ambos lados de la expres ión s = LAp se obliene
Sustiluyendo en la ecuación 14.24 L {¡2f/J1drl por d 2s!dr2 se obtiene - _8 sen ~ L
(14.25)
Figura 14.14 Fucrlas sobre la lenteja de un péndulo.
Obsérvese que la masa m no aparece en la ecuac ión 14.25. es decir, el l1lovimielllO de un péndulo no depende de su masa. Para ,'alores pequeños de q" sen t/J "" 1J y
•
(14.26)
La ecuac ión 14.26 es de la misma Conna que la ecuación 14.2 para un objeto ligado a un muelle. El movimiento de un pénd ulo es, por lo tanto. aprox imadamenlc armónico si mple para pcqueños desplazamientos angu lares. La ecuac ión 14.26 también puede escribirse en la Corma
en donde
-w
_ 2"
,
, g «r=-
y (J) es In Crecucncia angul ar - no la velocidad ungu larconsecuenci a, el periodo del péndulo cs
T _
•
L
dcl mov im iento del péndulo. En
If: ~g
(14.28) PUllOOO O( UN PlNOUlO SIMl'll
Lu ::.oluci6n de lo ccuoción 14.27 es
en donde 4ln es el clc... plazumienlo angular mlb:.iIllQ. De acuerdo con la ecuación cuanto mayor ~ la longllud del péndulo. mayor e." el periodo. lo cual c~1I1 de acuerdo con lo ohscnado cxpernnenlalmente. Ob)oén'~e también que In Crccucncitl y el periodo son independiente.... de la amplitud de In oscilación (pltr.1 lIInplilUdc.;: pequeña.;). lo cual ce; una caractcn ..,ica gcncrnl dd mO\ imiento nOllónico
l)etenllinnr el periodo de un péndulo "¡mplc de I m de 10ngil\KI. ( R t'''IJIIl'.l IO
2.01 s.)
Todo\
lo~ reloJe~
mecánico" muntienen la hom c~¡¡Cla porque el J'lCriodo del e1c rneJ1lO o~cilunw del mccui\í~1II0 pcnnuncce con~tllllle. 1:.1 jX'riooo dl' cualqUlcr péndu lo cambia con la<;. \'tlJ'iac:ione.. de la umplllud. pero el mecaniSIlIO que mlll'\ e un reloj de péndulu II\tmtienc In umplitud u un vulor con~tU/lIc.
~10
I
Capitulo
I~
O!dll'ldones
In gw"cdlld puede Illcdif'.c flicilmc nlc ullhwndo un péndulo .. illlpJc . lIlllI.:IIIIlCllIC C\ llCl'c~a nu IIH!lhr lu 1() t1 ~!ltlld ~ Y el penado 1; Mcdi lllllC la ccu ..lt¡(Ín 1 ,1 ,2 ~ \1.' l"alcula}l . (PUnl dctcnninm '1: hobitunlmen tc IIlcdimo!i cluempo nccesnnb pan11/ tlwt lm:iIllIC\ y dí"idi llltl\ por 11, lo cua l Illlnilllll:l el error de la medida.) la :u.'dCntc:i(111 debida
ti
El péndulo en un sistema de referencia acelerado
"1
LlI figura 14. 15{j lIluc,tru un péndu lo .. implc !>uspcndhlu del techo de un furgón de ferrocnrril que se mueve C(ln dcele · rudÓIIIIUI'dutiva al suelo hueiu In dercchu, y n c!> In acelcrad6n de lulenteja relativa al , uclo. Apli cando la segumlu ley de NcwlOn u IlI lcntcjn se obtiene
¿ F = T + mg = m ;'
(1 ~ .l9)
Si la lenteja permanece en reposo con respeclo del fu rgón , 1) = Ola Y se cumple
(a)
¿ F~. = T sen e = ¿ F I' = Teas (J - mg
1I/l10
-
O
en donde 90 es el ángulo de equilibrio, que según esto viene dado por tg 80 = (lig. Si la lenteja se mueve con respecto al furgón. entonces a' = a - an. donde a' es l¡a ¡aceleración Jc la lenteja re lativa al furgón. Sustituyendo (1 en la ecuación 14.29 se obtiene (b)
Figura 14.15
(a) Péndulo simple en equilibrio
aparente en un furg6n con movimiento acelcr:ldo. UIS fuerzas que se muestran corresponden a un sistema esttl.cionnrio exterior. (b) Fuerzas que actúan sobre la lenteja observadas en el sistema acelerado. Sumar la pseudofuerza es equivalente a reemplazar g por g'.
-mao
¿F = T +mg = m(a'+a o)
Restando mao en los dos términos de la expresión anterior se llega a 'l' +mg , = ma ,
en donde g' = g - 110' Reemp lazando g por g' y a por a' en la ecuación 14.29 se obtiene el movimiento de la Icnteja rel ativa al furgón. En la figura 14.15b se muestran los veclOn.:S T y mg'. Si la cuerda se rompe y, por lo tanto, T = O, la ecuación anterior nos conduce a 1) ' = g', lo cual significa que g' es la aceleración de cllída libre en el sistema de referencia del furgón. Si se desplaza ligeramcnte la lenteja de su posición de equi librio. osci lará con un periodo T dado por In ecuación 14.28, dondeg ha sido reemplazada por g'.
,
Ejercicio Un péndulo simple de longit ud I m se encuentra en un fu rgón que se IllUC\'e horizontalmcnte con una aceleración no = 3 m/s~. Determinar g' y el periodo r (RespllesttI g'= 10.26 m/s1 , 1"= 1.96 s.) 1.06 1.05
>!' ¡:
Oscilaciones de gran amplitud
Cuando In tlI11pti tud de un ¡x:ndu lo se hace grande. su movimiento cont imia siendo periódico pero deja de ser annónico simple. Para detcnnin:lf el periodo debe tenerse en cuenta una ligeru dcpendeneia con la amplitud. Para una ~1I11plitud ungular cuulqui era 4'u, se demuestra que el periodo viene dado por In expresión
1,04
1.03
1.02
1.01 I
O
0.2
0.'1
O.,
0,8
( 14.30)
Amplitud 9G- rad Figura 14.16 Obsérvese que los vnlore.s de las ordcnndas \atl de I n 1.06. En un rango de ~ entre O y 0,8 rad (46 d periodo cnmbill en 5fl. apl'QKi Ilmdnmcntc. Q
)
PERIODO PARA OSCILACIONES DE GRAN AMPUTUD
en da ndI! 1"0 = 2" J Ug e.... el periodo corrc:.pondiellle a amplilUdcs muy pcqucnus. La figuro 14. 16 mueMrfi TITo en función de In ampli tud l/Jo.
14.3 Algunos sistemas
EJEMPLO 14.9
I
Un relol de pendulo
o$cllante~
¡INTfNTilO UsrID MIIMOI
t n ",1(Jj de péndulo ,Impl.. !o(' callhru pnru IUIH'\'llIIr dr mod(1 (''-lIcio wn un" omplltud nll$lulnr dI" rbo " 10", Cuando la anlplltud ha dl'l;mhmhlo hll ..11I wr mu) pt'tlllctla, l.cl rt!loJ IoC IIdchmluriÍ o o,(' atra.'tRni? ¿('u' nto w adC'lanlnrá 11 ~ lIlrru.uni l'lI UII dfu ~i 1IIIImlJlltud sl"u\' ..Ielldo muy pequel1a? Ta/~
la {ofe/mno df fa ,It'ff'cho t lort'nt#' fesu/l'trlo I15 ted miJmo
Pasos
Respuestas
1. Re'puntkr a In prim~1'll CucSIICln d(!lCrnuntuulo si d periodo HU lllcnW o
r d i ~ l1IJ1l\1 yt' l"IulluJn ~ d"mllluyl' ,!t- 111"11,, qUl'
~C'
ti rrluj
adl'lant,I
d i,nlitlu)c.
2. Utilil.ur la ccunt'ión 14.30 para determ inar 111 varÍilción rcluti vil en por~'c nlaj c, I \ T - 7i,)/7'o 1X 100%. pam 4'= 10". U!iliZar sólo el primcrtér-
O, I 9C)11,
mino de corrección. 3. I)clemlin:tr clllúmero de minutos de un dil!.
Ilit} 1440 milluh), en un rJia.
4. Combinar las pasos 2 y 3 para (klerlll inur la variación del ruímcro de minutos en un dra según el reloj del ejemplo.
Se produce UII udeltlntl) de 2.73 minu to.. por di,1
-:-=....,.....-~
Par..¡ eviulr que el reloj se :tdelanle, los mccanismos los rcloje.!; de péndulo se diseñan de modo que manlengan la amplitud apreciablcmemc constante.
Observación
' El péndulo físico
/
/
Un cuerpo rígido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su centro de masas osc il ará cuando se desplace de su posición de equi libri o. Este sistema recibe el nombre de péndulo físico. Cons ideremos una fi gura plana con un eje de rotación situado a una distancia O del centro de masas y desplazada de su pos ición de equi libri o un ángulo lP (fi gura 14. 17). Elmolllenlo respecto al eje tiene como módu lo MgD sen 4J y tiende a disminu ir [4'1. La segunda ley de Newton aplicada a la rotación es T = l a·
/
Eje / / /
/
/
en donde a es la aceleración angular e 1 el momentO de inercia respecto al eje. Sustituye ndo el momento neto T por - MgD sen lfJ y d 2q,td? por a tenemos - M gD sen rp= I
o
••
,,"
Mg
d' ~
,
(/1-
o sea,
d' ~ = _ MgD sen ~ d t2
( 14.3 1)
I
Fig ura 14.17
Péndulo ffsico.
Igua[ que en e l péndu lo simp le, el movimiento es aproxi madumente armóni co simple si los
desplazamientos angu lares son peque ños. de manera que la aproximac ión sen 4J - 4J sea válida. En este caso tenemos
d2 ~ _ _ M gD ~ = _ "~ ,, d I'
l
'
(14 3?)
~ y
. -
e n donde ClI = J Mg Dl 1 es la frecuencia ungular - 110 In \elocidnd angul armiento. En consec uencia. !:l periodo vale
del movi-
•
( (03) PlRIOOO DE UN PtNOUlO n~o
Pum gr:.lllde~ 1I1llpliludes, el periodo viene dado por la ecuación 14.30 con roexpresado por la l.'Cuaci n 14.33. Ptl.I':.l Un péndu lo 1-illlple de lonS!!,ud L. el mOlllcntode inercin c.., I = MU y D = L. La ecuuci6n 14.33 nos da T = 2Jl' J M t 1IM.!JL = 1Jr J U g, igmll que en In ecuación 14.28.
I
411
412
I
Cap'lulo 14 Oscll"dones
EJEMPLO
14.10
I
La barra o)cilanl'
l !lit h.. rrll unlrtlr11t~ de 11111.... \1 .' IOIl~ltud /, l)11Ct!c ~h" II' IIh~llI('nle 1I1n.'dcdur dc un ejc !lurl1,0n\lll IX'1l)cndlculllr 11 lil bltrnl) quc ')Il!tlllwr UlIII dI.' \ 11 <1 c ~In.'III(1'" (ti ) 1)elcrm lllKr cllH!rlodll de ()~dhldlíll pltrll ~'tltl('fhlS dcsp lKzllmll' lIhlS IIII~u l ll~S, {bl UclermlrUlr c11)Crlodll dI,' o~c llll (' h~n \1 ('1 cj,' di' n..\tKclón COi l a 1I mm dl~lill1dll.l' (1,'1 cent ro de TUUSII
Ele
T = 2 1t
I = !3 MU'•
3. Aplicar los valores de I y D para determinar T:
T
2. Sustituir estos valores para detenninar T:
, Ele
,
' 11\
.
/'
,• •
112
,
/JZ
, L." (h)
(a)
Figura 14.18
JM~f)
2. El vnlor de 1 respecto al extremo se encuentra en la tabla 9.1 y D ~ la mitad de In longitud de In barra:
(b) 1. Alrededor del punto P. D=.\' Y el momento de inercia viene dado por el teorema de los ejes pnralelos. El momento de inercia respecto de un eje paralelo que pasa por el centro {le masas se cnCUCnlra en la tabla 9. 1:
,,1
In
Planteamiento del problema trll FI penuJn viene dudo por lu eCtllll:i6n 14.:n. El centro de nl.l,,¡'" \l' .... ncucnlr.l en el CCnll\l Jc In b:mll, de modo qlle la di¡,tnncln del celllro dc rnfl'iU!> ni eje clt.! rotu ":.\"\0 C~ la n1lt.ld de In lon~ilud de 111 barra (ligur;¡ 14. IHa). El rnomcnlO ele ¡nerda dc una bUlTa uni· 10'1111(,' puede cnl'Ontnt\C en 111 tabla 9. 1. (bl Pam rouu; i onc~ ulrededor de un eje que pasn por un pumo P t ilgum 14.1Rh) el momento de incrdu:oe deduce 11 pan ir dcltcortlllll de lo~ eje\ paralelos I = I~m + MV~ (I."Cu:tCliln 9.44) en donde 1"'11 puede e ncontrarse en la wblu 9. 1.
(a) 1. El periodo \'iene dado po r la ecuación 14.33:
,
l2L
- 2 1t ~38
D=x 1= Icrn +MD! - t~ ML2 +Mx2
T _ 21t
~
(..!..MU+MX 2) _ 21t
12
Mg:c
(~L~+x~) - 2 1t
J
gx
Comprobar e l resultado Cuando:c -+ O. T -+ 00 como em de esperar. (Si el eje de rotación de la barra pasa por su centro de masas la gravedad no ejerce un momento rest:lUr..tdor.) Cuando x = U2. <;e obtiene e l mismo resultado de (a), y cuando x » L la ex.presión del periodo se acerca a T = 2 1tJ,t l g. la cual corresponde nI periodo de un péndulo simple de longitud x (ecuación 14.28).
Z
Ejercicio ¿Cuál es el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos angulares de una regla de metro alrededor de un eje que pasa por un extremo? (Respllesta T = 1,64 s. Obsérvese q ue este periodo es menor que e l de un péndulo simple de longitud L = I m. El periodo del péndulo si mple es mayor porque el cociente entre su momentO de inercin y el momento re:.t:lumdor es mayor.) Ejercido
Demostrar que cuando .t = U6 . el periodo es el mismo que cuando x = U2 .
Figura 14.19 Representació n gnifica del periodo en función de la dislancia ni centro de masas. Si x > 0.5 m el pivote está fuent del extremo de la bltlnl..
Observación En la figura 14.19 se lIluc.:ma el periodo T e n fun ciÓn de la distanc ia x del centro de masas para uno barra de longitud l m.
EJEMPLO 14.11
I
Revisión del ejercicio de la barra que osci la
I I NTENTELO USTED MISMO!
I>etemlinur el "ulor d ex en el t'jc.mplo 1.a. 10 pnm
Planteamiento del problema
En el valor de .l' para el cual T e~ un mfnimo. dTldx = O.
Tape la columna di! lo duecha ~ Intente ft!Solllcrlo
uited mismo
Pasos
Respuestas
1 . El periodo viene dndo por el resulrndo del apanndo lb) del ejercicio 14. 10 en el cual T = '1tr JZlg, donde Z = ( L~ + xZY.t. [)etenmnnr el periodo cuando \" lIe acercn a cero)" a infinito.
(uaIlJ,·
A
.. n .
/ /
,
,
,
I
•
r .. ...
14.4 Oscilaciones
2.
H prnlkkl lIenlk n mhOlhl l'llimdt) \ ~l' acerca a ccm y II inhll110 I,' TI ,,18-\\" Jllmhl dd mtenoh, n < \ .... "" el pelillO" l'~ un IIIrnhno Par.¡ rkll'nmnar el "unIRl\!. 'oC Impone d f"lcú ()) 'l' ,1t:~pcJu l .
", " d/ .1,
14.4
111
1
n 11"'/" I 1111
"
f
1
,.1(111
mI"
1
1
"
I
11•.)(111
J I'
Oscilaciones amortiguadas
¡un mudlc Oun péndulo oscilan libremente, siempre acaban parándose porque.: las ruerl.us de rolUmiento di sipllll su energía mecánica. Un movimiento con estas características se denomina movimiento amo rtigua do. Si e l amorl iguamienlo es muy grande. como por ejem-
plo en el caso de un péndulo que oscila en melaza, el osci lador ni tan solo ejecuta una oscilación completa. sino que se mueve hac ia la po~ ició n de eq uilibri o con una ve locidad que se liproxima a cero c uando e l o bjeto se acerca a dicha posición de equi librio. Este tipo de movi miento se denomi na sobrcamortiguado. Si. en cambio. el amortiguamiento del movimiento es débil , de modo que la amplitud decrece len tamente con el tiempo, como le ocurre a un nilio que se divierte en un columpio de un parq ue cuando su madre deja de empujarle, el movim iemo resultante se denomina s uba mortiguado. Cuando se tiene el amortiguamiento mínimo para que se produzca un movimiento no oscilatorio se dice que el sistema está a mortiguado críti camente. (Cualquier amortiguamiento inferior produce un mOVIm Iento subamortiguado.) w
La fu erl a de~mo rtiguami ento ejercida por un osc ilador como el que se muestra e n la figura 14.200 puede representarse mediante la expresión e mpírica I Fd = - by
Movimiento subamortiguado
-
m
en donde b es una constante. Un sistema que cumple la ecuaci ón alllerior se dice que está amortiguado linealmente. El análisis s iguiellle corresponde a este tipo de movimiento. La fuerla de amortiguamicllIo se opone a la dirección del movimiento, por lo tanto. rcaliza un trabajo negativo y hace que la energía mecánica del sistema disminuya. Esta energía es proporciona l al cuadrado de la amplitud (ecuación 14.17) y el cuadrado de la ampli tud di sminuye exponencialmente a medida que aumenta el tiempo. Por lo tanto. ( 14.34)
DUINICI6N-
-
-
/.. /. e/x I\-t - ti -
( 14.35)
dI
,
"o . .
-- ---
--- -- - ----
,
(b) ECUACIÓN DlWllNCIAl DE
1
(a)
UNOSCllAD04t AMORTIGUADO
solución exacta de ~tn ecu3ción puede determinarse Ul ililtHldo los métodos conocidu.!> de ecuacioncs diferenciales. La solución para el ca~o \ ubamonigundo es (14.36)
Fig ura 14.20 (a) O..ciltldor tllllonigundo. El . movimiento'>C arnonigun por el émbolo sumergido en el líquido. ( h ) Curo n de oscilación nmortiguada.
4"4
CapItulo 14 OJdladont'!)
eH UUHdc Al, l· ... 111 i.Hl1plit ud nuix uno r ,H frecl1t'ndu uf viene dnela por
cn d{mdc ct\¡c ... 111 rrccucllcill cuamJo 110 huy mnorl iguulllicn lO (lq, =
.f[¡;"
w
pum Untl m.a....'
¡igudu ;1 un muel le). Pura un :tInon igul.I lIlicllto déb il . /)/2 m(~I « I y c'- aprOXi/llfldamcnte iguIIl a l41' L a/{ t' lI l'vn~ de lra /o~ de la figllru 14.20 corresponden a x = A y.r = ·A, cn don
Elevando al t:uadrado los dos térm inos de csta ecuación y comparundo cl rcsuhado con la ecuación 14 .34 podemos iden tificar
r= Para amortigunr la oscilación de eSI3 camioneta se utilj¡mn los amortiguadores (ci lindros nmarillos) que absorven los choques.
m b
(1439)
Si la constante dc amortiguamiento b crece gmdualmcnte. la rrecuencia angular (jj dj\mi· !luye hasta hacerse igual a cero en el valor crÍlico 11 4.40)
-
Amortiguado críticamente Sobreamortiguado
',1, ,
",
Si b es igual o mayor que be> el sistema no osci la. Cuando b es mayor que be el s i ~tcm a es sobrcamortigulldo. Cuanto menor sea b, más rápidamente volverá el objeto al equilibrio. Cuando b = be' se dice que el siste ma e..c;tá a mortigua do críticamente. y vue lve a !
"
'-
,
Representación gráfica del despla7.amiento en fu nción del tiempo en el caso de un oscilador amortiguado críticamente y otro sobreamortiguado. Fig ura 14 .2 1
--
( 14.41)
, = m b
(14.421
Un osci lador oll1oniguado se describe nonnulmcnle por su fllctor Q (o fac tor de calidlld).
Q _ "'o '
( 14.431 DmNlC1ÓN - FACTOR Q
En la~ Ila ntn~ de In~ mcdllY> de los coches se colocan pesos panl c(\uilibrnrlu:.. El objctlvo de equilibror las medlh e.~ c\·itar las vibrnciones que producirfllll ¡ns oscilllci()lle~ de la direcciÓn del \'chfculo.
El ructor Q es :ldimcns ionnl. (Corno IlIs dimensiones de Ú\) son las rccCprocas de l ticmpo· !l.\¡ r no tienc diemcn~ i o nes.) Podemos relacionar Q con 1:1 pérd ida rellltivu de energía pVI' ciclo. Diferenciando la ecullc ión 14.4 l. se obtiene dE
14.4
O~dlndones IImortlr¡ul'das
I
415
SI 13 am\)\1lp Utl~l(ln c~ \Ulil' i ~' nh.. !I1f.."nll' lId'll paru llU~ la pénhdn tic l'l1l'l'gfl1 pur cido \f.."U pt-'\ludhl, pod"'II\(\\ I1_'t.'1\IplMm di 1)1,11 \/ , dI pm el periuuo r PIll' 1\1 lanto k\l.:;I/H e11 un t;:tdt\ (un 1"-'l1lxl\" \ Il'llé J,IJ\l IlI.1r
( ~) I miro (\ 'Ie,l.
r- =
2Jr
-Q
,
«
Q-
(14.45)
1
I N1~RPRHACt6N FfslCA oe
Q
PARA UN AMOR"rlCUAMIENTO LEVE
Así pues. Q es inve rsamente proporcional a 1:1 pérdida re lativa de energía por cic lo.
EJEM PLO 14.12
I
Co mponie ndo música •
CUUlulo se pulslI 1:1 Ilota do-ccnlrul en el piuno (frecuencia 262 Hz). la mitad dc su encr¡.:ía se pierde en -1 segundos. (n) i,ClIfi l es el tiempo de cxlinción 7"! (b) ¡,Cuál es el fa cto r Q de esta cuerdl1 de piano? (e) ¿Cuá l es la pér dida de energía rclat i\'u por ciclo? Pla ntea m ien to del p roble m a «(1) Utilizamos E = Eoc- " r haciendo E = ~EQ ' (b) El valor Q puede dClcrminarsc cntonces a partir del tiempo de extinción y de In frecuenc ia. -
E = Eoc- ,1r de modo que
-21
e -lol r
1
2 . De:;,pcjar el tiempo tomando 10gari1Tllos neperianos de la expresión anterior:
-
4
s
In - = - -
2
T
despejando r se obtiene 4s T =
(b) Calcular Q ;1 partir de r y ~
Q -
-,
~
"-
=15.77' 1
roor =
2rrfr
211(262 HZ)(5,77 s) ~ 9.50 x 10 1 1
=!:e =1. = ('"El) E codo f e (262
(e) La pérdida de energía relativa en un periodo viene dada por In I!CUUción 14.44 y la frecuencia pc>rf = liT:
Comprobar el result a do El ructor Q Inmbién puede cnlcularse ¡¡ panir de Q = 21d(tJ.I¡;¡l:.)~tdto = 2JÚ(6.61 x 10.1) = 9,50 X l(}l. Ob!!ér"csc que 1:1 pén.!idu de cnergfa rclntiva dc:.pués de 4 ~ no coincidc con el producto del mímcro de ciclos (4 x 2(2) ¡)Or la pérdida dc ene~f:1 relativa por ciclo, ya que el decrecimiento de encrgra relati"ll no c~ eon~tante . sino exponcncinl. Obse rvación La figura 14.22 mUCstnl la amplilild rclmiva ¡\f;\o y la cncrgfa relaliva [::JFro en fun ción del ticmpn de la O'lcilnción de una cuen.!a de piano dc"pué.\ de puh:lr la nol:l do<\'ntrnl. Al caro de lo, 4~, lit tunplilUd hu disminuido a IIl1ns 0,7 "cce ~ Sil vular inicial y la cncrgía, propon:il'llnl al cuadrado de la IImplitud. c\ aproxim:ldarnenle la miHld de MI valor inicial . Ob-.érvc\C 'luto: Q Cl> O;¡~taIl1C grande . E... lt1cI I c.,tim:lr e y Q de dl\C.Nl'- 'I~tellln~ (l~(" i lnn l c., . Dé..e un pc.(lueilQ goll>": !I un va}.o de L'rio;lul y oo,ér\'c'>C el tlcm¡Xl que Irlrdu el ,onido cn e'(tin~ u in.e, Un licmpo IImyor 'upone un mayor \lIlor de e)' Q y mCIll)r lllllOni!l.ulIlIliento, I ,O~ va:.o" de vidrio del labm,Itorio ~udell t.:ner un Q elcv;ldo. Probilr con una In!:\ de pM .. tico. ¡.Cómo c!> el amoniguumicllIo ctllTlparadll con el \ u,o del luoorUTorio','
En función de Q, In frecuen c ia e xac ta de un o o.,cilador 'Iubllnlo niguado
(J)'
= «\\
I -
r
( 2mbW.l
=
(i
tic)
1_
1 -IQ 1
c... ( 14.46)
1
H z) ( 5,77~ )
=16.6I x IO' 1
1.0
u.,
Amplitud
O.CI
u.'
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-
0.2
"
O
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..,
,
Figura 14.22 Rcprc.<.t!ntuci6n dctVAo} de E//-::0 pam unn CUC.rdll de piano pu l...11<111 .
<416
I
CapItulo 14
O~d'"done5 Cmlll' " c" prqm:flu 1 I 12). \l'1I111~ {IUC
~(J
e ... t;rHmh..·) puru UII
nI C\ cu,¡
p ... l·lIlIdnr
déhllnwnlC 1I11l0011S!uudn (c¡cmplf
¡~LLIIIIl (,-\ ,.
Mediulllc l·tl' .... 'l1CI1Il'itmc ... l' " c ' ~l' ti cn " !llldellll1.. entender l'l!.\lllativu/llcnll· el cflml"l(lrl, nlll·ltll! dc 1111 u..dludllr IIIIIOT"lf!Wudo. 1.11 pnlCflt" iI d'''lImt!a por lu fuer¡¡, nmorll!!uudllnt e... l~u.11
=
h \' \' =
En Ult o ..ci lndor ligeramente lIlI1urliguuclll. la cnergía I1lcdniclltol:,1 di"nunuyc poco .. Jl(x'u
cOn clticlIlpo. La cncrg ra cinética mcdia e .. igunl a la mitad de la energ flltowl
o
E ( " ' ) In = ni
Si sustiwimos (v2)",::: E/m por \,2 en la ecuación 14.47. resulta
dE - = - bv , "" -b(v '~ ) = - -b E. dI m m Reordenando la ccuación 14.48 nos queda dE _ --dI b
E
ni
ecuación que integrada tiene la solución
que es la ecuación 14.41 .
14.5 Dándose impull;o en el columpio. la personn de In fotograf(a 'lra n ~ficrc parte de su energfa inlerna la cnergfa mecánica del oscilador.
Para mantener en marcha un sistema amol1iguado debemos ir suministrnndo energill al ~is· .tcma. Cuando se lleva :\ cabo esto. se dice que el oscilador es I'or.wdo. Por ejell1plo. al sentarse en un columpio y hacerlo osci lar. el suministro de energía se realiza moviendo el cuerpo) las piernas hacia delante y hacia mn'ls. dc forma que se conviel1e en un olici lador I'ornldo. Si ~ introducc energía en el sislCma a un ritmo mayor del que se disipa. la energía aumcllIa !..'On el tiempo. to eua! se ,!pree ia Q.Or un aumento de la :unplillld del movimiento. Si la energía SI! ~mroducc al mismo ri tmo que se disipa. la amplitud pennanecc con:::.tante con el tiempo. En este caso:::.e dice que el oscilador est,í en estado cstacionario. Una mallera de suministmr energía a un ~is t em a formado por un objeto que cuelga de un muellc vcrtical es mover cl pUnlO ele sopol1C hacia arriba y hacia ab:tio. con un movimiento nrmónico !> imple ele frecuenc ia li)(figura 14.23). Al principio el movimiento es complicado. pero finalment e alcanJ::l un c.~tado e!>tacionano en el que el sistema oscila con la mi... m!l fre· cuencio de la fuer!:\ extema impul:;.om y con amplitud CQIISlUnte y. por lo t:UlIO. con encrgíu constante. En el c.. tado e~ ta cionario. la energía introducida en el s i~ tellla por I:L fuer/u imputo ~om du rallle un ciclo c!) igual a la di ... ipada en el ciclo dehido al amortiguamien to. Lu amplitud y. por lo tanto. la cncrgfn de un ~ i l'tcmn en estado estt\cionario. no ...610 depe nde de 1ft lLmplitud del ~i ... tcmu impu lsor sino también de su freqll!ncia. Se dcfine lu frecucndll Ilaturnl de un o~cilfldN. (t\l como In que tr.:ndría ~i no estuvie:;.en p["c¡..e nte~ ni el al1lol1ig.uamicnto ni el ... i.. tellla impul~or. (Por I!jemplo. In frecuencia allgulnr ntlluml de un muelle es OJ¡¡ = Jk/m.) Si In frecucncia impulsorH c..<., aprax imadumetUc igual 11 111 frccllcm:iu natuml del s i ~ tema. éste o¡..cilará con una amplitud rcllllivamcnlc gn.lIldc. Por ejemplo...¡ el "opol1e de In figura 14.23 o:-ci la con la frecuencia nmural del . . iSlcma nmsu-muellc. la fllU~~ oscilam cun una omplitud mucho mayor que .. i el soporle o:-cila con frecuencia:- fIllly()n..·~ 1I menore .... a"te fenómeno ¡..e denomino resOllunciu. Cuando la rrecucncin de la fUérJ:a il1lpul· ~om c!> igual a la frcl'ucncin natura l del o:<.cilaelor. lu enel-gía ab!>orbida por é ... tc en cada cido c!> m:b.illla. Por el lo 1.l rrccllcllcia nnlllml del !>i:;'lcmn <;c denomina rrcl'ucncin de re50lUlnda
-
Figura 14.23 Se puede cJcl\:cr unlL fuer/u c.~ l ernn ~(lhrc un ohJelo ~uJclO a un muelle de~pJ¡ll.ando d puntOdel ,opl"lne h;tcia arrilla y hadu :lhajll.
Oscilaciones forzadas y resonancia
14.5 Osdlndol1eJ forzadns y reJOl1nncla lklllll"Ill(\. ( M
1:1 h}1.\l1':1 1,L~.4 "e 11\ue'tn.! un d i a~m n m lIc In putcm.: ia 11ledia tl1lllslIlIt idO11 un ll~ci ludnr cn rUI!I.':i(¡n d..: 1.. fl\.'\! uen..:la de 111 IU CI', a im pulMII1\ Imm dus \'a lole.. diferellte .. del aIll0l1 Igu lI J11 ic ll to. ¡;,tll' 1.':111'\'",'1 rcd l~ l l cl IR1mhl'c de l'un'ns de I'('SIIII IHWi u . C'uu ndo el Ulllorligllurniclllo e.. pc..'t¡Ueñl\ (cl ,¡llnr de Q c' alto). In anchura del pito de! la curva de n!!¡OnanCill C!-o corre!'opond ientemenl..: cMI\.."t:lm y !'oC dice que In resonancia es uguda. Cuundo el amort igua miento es gnll1de. la cuna de 1~.M)mIl H.: i a e~ UIll'h.1. La anehunl tV de cuda curva de n:!-oonnncin, ind icudu cn lu ligllm, e~ \a nnchur;¡ a \n milad de 111 alwnt mlÍxima. Pum un amortiguamiento reluti vumcnlC pequeñu. se dellluestr:\ que el cociente ent n! la anchura de rc.~OJ1aJ1ciu y la t'rcclIcnda dc resonam:ia es igual ni valor inverso del facto r Q (viSa"e! problema 126):
I
I'n....
Amorhguttmlcnto pl-'qucno, O grande
i, l'....., I'n ...
Amortiguamiento grande, O pequeña
1--
'1'..... 1 ro
Fig ura 14.24
ReM)nllncia
en un OM!i lador. La
anchunl ll(1) del pico de re.«
!:J. (1)
%
-
I
( 14.49)
Q
oscilador (lile tiene una Q grnnde es pcqucñl.l comparada con la frecuencia nntunll 11.\1'
ANCHURA DE RESO 'lANC1A PARA UN AMORTIGUAMIENTO PEQUEÑO
Por lo tanto. el fac tor Q es una medida directa de la agudeza de la resonancia. Puede hacerse un experimento si mple que demuestre la resonanci a. Se sostiene una regla por un extremo con dos dedos. de modo que actúe como un péndu lo. (S i no se dispone de una regla, se puede usar cualquier otro objeto con"eniente, como un palo de gol f. ) Se suelta el otro extremo desde una cierta distancia angular y se observa la frec uencia nat ural del movimiento. Después se mueve la mano adelante y atrás horizontalmente para darle impu lso con la rrecucnc ia natural de la regla. Aunque la amplitud del movimiento de la mano sea pequeña. la regla osc ilará con una amplitud considerable. Si la mano se mueve adelame y atrás a una frecuencia el doble o triple de la frec uencia natu ral, se observará una dismin ución de la ampl itud de la reg la oscilante. Ex isten muchos ejemplos famil iares de resonanc ia. Cuando nos sentamos en un columpio aprendemos intui tivamente a mover el cuerpo con la misma frec uencia que la natural del columpio. Muchas máqui nas vi bran porque tienen piez.'ls en rotación que no están perfectamente equi li bradas. (Observar. por ejemplo, una máquina de lavar en el periodo de centrifugado.) Si se sujeta una de estas m:'íquinas a una estructura que pueda vibrar, dicha estructura se conviene en un sistema osc il atorio for.tado que puede iniciar su mov imiento por la acción de la máquina. Los técn icos han hecho grandes csruerLOs para equ ilibrar las panes giratorias de estas máquinas u otras semejantes. amort iguando sus vibrac iones y aislándolas de los edific ios que las soportan. Puede romperse un vaso con bajo amortiguamiento mediante una ondu sonora intensa con una frecuenci a igualo muy próxima a la frecuencia nalUra l de vibración del mismo. Este erecto se emplea a menudo en demostrac iones de ríSic:l lIlili/.undo un oscilador de aud io y un amplificador adecuado.
26811l. (Q = 52)
55'3 IIL (Q '" 66)
*Tratamiento matemático de la resonancia Vumos ¡¡ estudiar mnlemáticamcnte el oscilador forlado suponiendo que. además de estar ¡;omctido a una fuer.tu rc.sláurador.J y a una ruer/a de amoniguamicnlo. est:í sujeto a una rucrl.a externa (rucrt.n impul~om) que varra armónicamente con elt icmpo:
( 14.50) en donde Fo Y Wl>on el m6du lo y la rrecuencia angu lar de la hlerl.lI i m pul ~om. Gencm lmcnle e<:la frecuencia no está relacionada con la fn."'Cuencia angulnr natu ral del sistema % . I....a segundu ley de Newlon apliclldu :1 UII objeto de m!l:-'lI 111 mado:l un muelle de conswllIe de fuerza k y sujeto a una rut!r!.:\ tlll1ortigundom - /)1" y a ullll fuer!.:! cxtenw ':O cos ox, nos da
¿ F, =mll, - h - 11\', + Fo cos
(t)f
IOlIIlIl (O .. 80)
tienen más de unu frt."Cuencia de R:.Súnuncia. Cuando $e pubu unu cuerdu de guilarrn. \C Irnnsrnite la energía al cuerpo tlel mstnunenlO. Las O$Cilnciones del cuerpo tic la guitUml, acopladas ti la.. Q<;cilaciones de la masa del aire que encierra, producen IO!1 diugr.unt" de re~onlincifl que se. indicnn en estas figuralo. Lru. objelO~ c~lcnsos
0418
I
Capitulo 104 Osdtadones
cn dUlldc ..~ hu USlldll que (1, = el' ve'';'. '\ll\lllllyc ndo "'(~r por A(ecuución 14.8) Y orden.lIldo lu'l térllllll(l ~ \C obticne
I d.\
tJ 2 ¡
m _ , '¡') _
dI
dI
!
+o"'Wj\ C
/.'U CO\WI LCUACIÓN OlllHlNCl.o.L Dl UN O!.CU.AOOfl
( 14\ 11
f ORlA()<,
A hordarclllos la solución general dt. In ecuuc1ón 14.5 1 cUlllilali YiunCnle. La solución de In cctlución consla de dus purtc..... , 111 solución In msltorill y 111 solución cs l:tcionnrill l.",
purte Intnsiloriu de la sol ución e... iúénticu a la de un oscilador arnortiguado no foo .ado dada en In ecuación 14.36. Lus conSlantes ele esla solución depe nden de las condiciones in icj ¡tle~ . Transcurrido cieno tiempo, csta pone de la solución se hace despreciable porque la amphlUd disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución eSla\:lC 'nu· ria. q ue puede escribirse en la rorrna x = A cos ( WI - O) POSICIÓN DE UN OSCllAOOR fORlADO
en donde la frecue ncia angul ar w es la misma que la de la fuen:1 impu lsora. La amp]¡tud A viene dada por
(I453)
AMPUTUD DE UN OSCIIAOOII fOAZAOO
y la constante de fase
oviene dada. por Ig8 =
bw
(1454)
m(w6 - (02) CONSTANTE DE FASE DE UN OSCILADOR fOflZADO
Comparando las ecuaciones 14.50 y 14.52. podemos ver que el desplazamiento del sistema y la foer¿..1 impulsora osci lan con la misma frecuencia pero difieren en fase en 6. Cuando la frecuencia impulsora wes mucho menor que la frecu encia nalllral Ú\). O" O. como puede verse a punir de la ecuación 14.54. En la resonancia. 0= !d2. Cuondo wes mucho mayor que (41. O" IC. Al comienzo de este capilUlo hemos visto que el desplazamiclllo de una partículn que experi mcn\ll un movimiento armónico simple viene dudo por x = A cos Cax + 6) (ecunción 14.4). Esta ecuación es idéntica a la ecuación 14.52 excepto en el signo que precede a la constaOle O. L.1 fase de un oscilador for¡. udo siempre va relrnsuda con respecto a la fase de la fuerLa impulsom. El signo negati vo de la (,.'C uación 14.52 asegura que 6 siempre es I)ositivo. En el experimento simple de lu regla impulsuda por el movimiento de la muna adelante Y atrás. obsérvese que. en In reson(tIlcia. la oscilación de la mano no eSl:i en fase ni en desfusr de 180" con la osci lación de lo regla. Si se mueve lu mano adelll/lle y atr{1S con una frecuen· cia varias veces la Frecuencia nlltuml de la regla. el movi mienlOen el estado estacionario dt éSlu se hubrá desfasado respecto ti la mano casi IS()<'. La velocidad del objeto en estado eSlac ionurio se obt iene derivando x respecto a 1:
"
lJX
di
= - Aw sen ( WI - O)
14.5 05c1laclones
•. = Aw 'le n ((I)(
EXPLORANDO
" ) = +AW (: (1" WI 2
i '(lent'1I loll/f/on 1/I1mérictl IlH
1'('1/(/(' Im/c!
fffll a/(),,. (ncifru/(.rt'f (/II/l1rtillll(/(lo~ ,vjfl'1.(I(IOt 1
A \í pUC',CII la rc~ul1t1 l\da, el nbjclo <;ic mprc ~c c"I:1l11ovicndo en el ~e ll l i do en que uelón la fllcrm lIupul 'om, COIIIU l'ra dl' c'llCnu' pnfll tille se CO II~ ¡ gui e<;c el nu\xilllo uporl Cde energín, 1 ~ amplitud dc \'dodllnd ru'\ es Illlb:inm pura (¡J = I'.I.\¡,
EJEMPLO 14.13
I
flll't!willllr /!lfO ,\' fl/llc floll/fÍf
1'1/
www.whrreernon.cOIil/lipler5e
¡INTENTno USTED MISMOI
Un objeto en un muell e
Un Objl't,Ode 1111L'iil 1,5 kg 1iittmdo sohrc un muelle de eOIl1ilnnlc de fu erzn 600 N/m pierde el 3 %
de su cnc.rgín en l'nda ciclo, El slst emll viene impulsndo por unu fu erza sil1\1soidul con 1111 "ul or máximtl de FI)= 0,5 N, (a) ¿Cuúl es el vnlor de Q pllfU cste sislenm? (h) ¡,Cuál es 111 frccucnclu (ungular) de rtsonnnciu'! (e) S i In frecucncin illllm lsorll vndn, ¿cuá l es In IIl1churu Aw de la resonnnciu'! (d ) ¡,Cm\! es In umplitud en la resonuucia'! (e) ¡,Cuál es 111 umplilud de 111 frecuend I! impulsorll si fJJ = 19 rlld/s'! Pla nte amie nto d e l pro ble ma La pérdida de energía por ciclo es del 3%, por lo que la amoniguación es débil. El factor Q puede detemlinarsc mediante la expresión Q = 2nJ(t::..E/E)eil:lo (ecuación 14.45) y después utilizar este resultado y t::..ar% = I/Q ¡ecuación 14.49) para detemlinar In anchura de la re.
Pa sos
Res puestas
(a) El amoniguamiento es dé bil. Relacionar Q con la pérdida de energía usando la ecuaci6n 14,45 y despejar Q.
Q
(b) Relacionar la frecuencia de resonancia con la frecuencia natuml del sistema. (e) Relacionar la anchura de la resonanci:l t::..wco n Q, (d) 1. Escribir una expresión para la 1I1llplitud A válida para cualquier
frccuenciu impulsorJ ro.
9?091 -
2JT _ 2JT ([óEl/E),....... - 0.03
(k
ll.\l =
ó(¡)
=
4;;; ~
= 10.0957 r'JUls
I
F
\( ro)
=
r'f.==¡==" =¡=""''''; Jm~( w,) - tul)~ -+ ¡'~«i
2. Aplicar w= % para el cálculo de ;\ en la resonancia. 3, Utilizar la ecuación 14.43 paro relacionar la constante de itmoniguamiento b con Q. 4 . Uti¡il:tr lo!> resultados de los dos pasos previos paro c31cu lar la
amplitud en In resonando. (e) C:llculllr In amplitud para W :s 19 radls. (Podemos omilir las unidndes para ~i mpllficar In ecuación, Como lodas las magnitudes ~ e.xpn:.¡.:tn en unidades del S I. A se expresa en metros).
II,~
.J1.:'í~í:!Ol
In.K:'í-ll"1II
I 0.18
Obse rvació n Paro unn ~eparneió n de I red/s del vnlor ro de In rcsonnncin, 1:. nmplitud di\rninuye en un fllctor 20. I!."w no es sorprendentc. yo que In anchuru de la t'C\ontmcin e.~ \610 de 0.0957 ",dls, Ob~érvc."e tlue fuc", de la rC$onancia, el término ¡,2(q. e~ de~prcci3ble comparndo con el otro térnuno del dr:nominador de In exprc.sión de A. Cuundo (¡) - % e\ ~ upcrior en "lirias veces lu nm:huru t.\w u mitnd de ahum, como en este ejemplo, podemos tle"preciar el término ¡,~cJ y calcular A M:¡;ún In exprc<;i6n A .. Ftllm(~- oY-)l . La figurn 14.25 mue.slra 1:1 fun plitud en función de 1\1 frecuencia impul~ora ro. Obsé.rvC!i
E 0,12 •
-< 0.06 0 18
IS.S
19
19.5
20 20,S lIJ. rodls
Figura 14.25
21 21.5
420 1 Cl!lpftulo 14 O¡clll!lclone.s
R esullren ·1
BlI1IU\'imiellto url1I('mlcu lilmple tiene lugur l'u,mdo 111 fucr/u re~tuurlldtlm C~ prop(Jrcionlllol dc~rlnlll ItIICntl' conwdo úc~dc el c(llIlIihl'io. Tienc nllm cl"O~U~ lIp l icuchme~ en el estudio dc In!> osciluéiolle'i. OI1lJ II ~. e irC u ¡ lo~ cléetrico~ y de In dinállllclIlIIo1ccul ur,
2
Lit reStlllllUciu CS Ull lcnómcllo importante en lIuiltiplco: (¡rea..o: de la l)\i(:lI, Ticne lugur cUllndo la frccoen· dll de In ltler/.;. impulson. c~ ,imitnr a la frt:cucnclII nlllural dcl $iSlél1ll1 oKilullIC.
TEMA
OBSERV AC IONES y EC UAC IONES RELEVANTES
l . Movimiento armónico si mple
En el movimiento armónico simple. la fll<:ílU neta y la aceleración 'ion proporcionales al de'ipla/JlmJenco. pero licnen semido contrario a éste.
VdocidMI Act!lemción
l' (I x
= - roA sen (rol+Ó) = -w2A cos =
tJ.
Frecuencia angular
(J)=
(1 4 1)
«(1){ + ó)
(1 4.6)
,
H .7)
- CtI"':r
2 .11" ?1_ .11" - -
(1 • . 11 )
,
( 4. 17)
T
E<+ U = ! ktP
Energía total Energía cinética y potencial medias
(14.4)
x=Acos(WI+ó)
Función de~phvami<:nlO
-
E~
= V .. =
(14. 18)
Movimiento circular
Cuando una panícula se mueve sobre una circunferencia con velocidAd constante. la proyección de 1. posi. ción de la partfcula sobre un diámctro de esa circunferencia se muevc con movimiento :l.mlÓnico simpll:.
Movimiento gencíJl próximo al equilibrio
Si un objeto experimenta un pequeño desplazamiento a partir de cualquier posición de equilibrio e-table. oscila alrededor de esta posición con movimiento arnlónico simple.
2. Frecuencias angulares para diversos sIstemas
{k
Masa ligadll a un muelle
(1 4.8)
ro= ~;;;
I>éndulo simple
(14.27)
"' Péndulo rfsico
(ti
=-
JMED I
(14.32)
en donde D es In di!'lancin del centro de IllJl!'aS JlI eje de rotnción <: I es el momento de inercia rt:'I>tCto 3 dicho cje.
3. Oscilaciones amortiguadas
Frecuencj¡¡ Amplitud
F.llla¡¡ osc¡laclOne.~ de Jo.. s i~tcnU1s reale.o:, el movimiento está amortiguado debido 11 fuerzns di¡,ip.1ti\'llS. Si ti nmonigu:umento c.~ mayor que dcno \'alor critico. el ~istcmn no oscila sino que regn:...<:a simplemclltc n su JlO"i· dón dI.'. equilibrio si ha sido perturblldo. El movimientO de un sblcmn ligenuncnlc amonigu:¡do es muy <;tfl\C" janl!! nI mQvimiento armónico si mple pero tiene una amplitud que disminuye c,tponcncinlmcnte f.."ún c1 lkmpo (ti'
~ ~~ ' - 4Ql
=
( 14.46)
nI...
=
A
(14.38)
Allt' ,..,........
Energía
( 14.41)
, - -mh
1íempo de eXIlrn::ión o COMUUI1C Je tiempo I'actor Q (defilllc¡ón)
Q =2.
(14.42)
( 14.43)
~r
«
I
( 14.4l)
Prohlema.
.. , O.\dla<:lones tortada5
421
( 'ullmJu uu \ "teIlHI ll¡¡enllm:nlc umlllu¡j:uullo (1, < " •. 1 "C ve for-Iad(l a (>'iClhu PI>r In ueción de unn fue r/;. C ~ l \'rnn lIUl' \Hr rll ~ H1 \1 "l)i dulmc nl c n !ll I'I 'icIIII)(I, F ..., _ " " co~ úJl , el "'\ '1'1110 (~d l ,( clln un,. ' renlendo f'I ijolunl n lu tlul ~ ¡ H l l' mll ImlJUhm y con UlUl nrn plilutl A que depc nde de C\[II fle\'u(' ncin,
-. -
1.\ /JJ
I
w,
Q
.\ ... A CQS ( /JJI - Amlllilull
'Cl)n ~t ante
I
ti
15)
(14 .52)
= Ig Ó '"
dc fase
\ .4.49)
( 14.53)
bw ,
( 14.54)
", ( lt\i - W'")
Pro b lelJ I as
• •• ••• •
SSM
I
i
.1
Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede ex igir síntesis de conceptos, Desafiante, para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Swde1lt Solmiol/s Mallilal. Problemas que pueden enconlrarse en el servicio iSOLVE de tarcas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son problemas de control, que impu lsan ti los estudiantes a describi r cómo se llega a la respuesta y a indicar su ni vel de confianz¡l.
En alg l/flm· p roblemas se dall más daros de los rcalmem e necesarios; ell otros pocos. deben eXlraerse algullos daros a partir de cOllocimiell /(),~ generales, JI/ em es e.l:1emllS o estimaciones lógicas.
Problemas conceptuales
7 • Ve rd:ldero o f:llso: El mo\'imiento de un péndulo simple es annónico s.imple p:lra cualquie r despl al'~1m ien to angular inicial.
• ¿Cuál es el módulo dc In aceleración de un oscilador de amplitud A y frecuenciaJcuando el módulo de su velocidad es máximo? ¿Y cuúndo es máximo su desplul'.amienlO'!
8 • Verti:lde ro o fnl!io: El movimiento de un péndulo simple es periódico pum cualquier desplaza miento angul:lr in¡ci:lJ.
1
¿Pueden tener el mismo sentido el desplnl'.amielllo y la acelem· ción de un oscilador ann6nico simple? ¿Y el dcs pluamienlo y la velocidad? ¿Y la aceleración y la velocidad? Raz.onar las respucstas. 2
•
3
•
Verdlldcro o fal so:
(a) En el movimiento unnónico simple. el periodo e.~ proporcional al cuudrado
de In nmplitud. (b) En el movimiento amlónico simple. la freclle ncin 110 depende de la IImplitud. (e) Si In aceler.tci6n de ulla pan(eula que se mueve en unu dimensi6n es proporcional al dC$pl al'~1 m iento pero de sentido opue.~to, el movimiento es IIrmónico simple. 4 • SSM Si Iu íuuplitud dc un oscilndor llmlónico simple plica. ¿en qu6 fac tor se modilicll lo energfn?
se
tri-
5 •• Un objeto ~uJetO a un muelle tiene un mov.miel1lo amlÓnico ~ impie de :ullplilud 4,0 cm. Cuando el objeto se eneuc:.nt m n 2,0 cm de 1:1 posición de equilibrio, ¿qut fracción de ~u encrgfa total c§ cnergía potenclol? (11) Un CUlln o, (11) Un tercio. (e) La mi tad. (ti) ~ tercirn.. (,.) Trc.~ euartrn.. 6
•
Verdndero o fa bo: (ti ) El periodo de un obj eto que (bCiln 50bre un detcnninado muelle c' cl m i ~mo i ndepc.nd;e nt e~n t c de que el mud le <;ca Io'crlli;al u honl0lllaJ. lb) El módulo nW;;1II0 de la lo'elOCldad de un \)/).tt to que oscila con :lmphtud A sobre un dctcml mado muelle ~ el ml)lIlO Indept' ndlcntc ~n l e de que d muelle -e:1 \ eni<'::l1ti hon/onull.
Dos carros idénticos estún uni do~ por un muelle lon Un9. \'1:' de "ire sin rozamie nto. De repe nte uno de eltos recibe un golpe (jllC lo separa del otro. El movimiento ~u llante de los ealTO~ es muy irregular: pri. mero se mue\'e uno. que sc ».11"3 cuando el OlfO inicia clmo\'imkmo, el cual a su vez se p.1ra de modo que el primer ealTO se ponc cn movlllliento de nue\'() y asf succsivnmenle. Explicar e.~t e mo\'imiento de fonlla (· unli!:!ti"". 9
••
SSM
•• SSM Cuando sube In tc mpc ru tur.! la cuerdo de un péndulo si mple se :¡Iarga como con¡,ecuencin de la di l:uución. i.C6mo aft.'cmria esto al 10
funcionumienlOde un reloj que fu nciQtlara con un péndulo :.implc"! 11 • Ve rdadero o fa[..o : La encrgfu mecánica de un Of>Cilador no fOf¡.ado, amonigundo, decrece exponenciolmente ('(Jn el liclllpo. 12
•
Verdadero o f¡¡ I"O:
«(1) Lu rc."Onnncju tÍt!nc lugur cuulldo la flttuencio impubora \!lo igual a In freo
cllene;!! na!llm!. lb) Si el \:llor de Q C5uItO. la l'CSOnuoci¡¡ es agudn.
13 l'1lf"l>e
•
Dar !lIGunos ejempl~ de
\iste mll~ (·onlUne.~
que pU/..-"dcn (.'(Jn~i dl'·
como oscil:idores fOl""ll'OOS.
14 • Unn copu de cri:.tol que esmll:l por la ¡¡cción de un ~o n i do ;nlcn,o e.~ un ejemplo de ( ti ) rc..\Qouncia, (b) amoniguulIlicnto critico. (e) decrecimiento exponc()Clal de la cncrg(n., (d) sobrenlllortiguurnicnto. El ereclo de In mao;a de un muelle -.obf-c el rnovimi~nto de: un obJCto alado a t i ~uele dt'..(pn:ciar,,;e. ~ribir cunlilllt;vruncnte ~ u efecto cuando líC IIcne en C:uc:nt!l. 15
•
SSM
422 16
I
CapRulo , . Osdh..:lon~
••
l 'nl\ l¡\tnpmn
~uc .;ud~l\
ud 1.;'\;lllIlk un \I\[I.(ln ..:Iuh de un lI'en
\"",-lla l'I\n fll.'nlkltl ' n o.: 11:1nd.l clll\'l1 c~ul en J't'1)lNI 111\ ct.lumnd\ ,Jcl\."\.:hl1 e 11'1U1{'1' hl) \
I~I
IICI10011
~cl.i
(Ctnpuf'Cjllr
d lron 'e muc\ c hNIf\HlIlI lmenlt' eon VclOCI
dnd ..:on' IIIJIIt". B el u'en \C 1T1Ue\',' POI IInrl curv:1de t1l1lio R con
\Chlo.:ldlltl r. e el II\' n Ik'l.'icmJc ¡Xlr UI1I1 ..:olinu de IIIchnudóu Oa \ cliX.'ldlld constun tc. D. el lrtn P¡I\U por unu colina de ntdlu de curvn· IUro N con \'clocidud CCJl\~tunte. Illil\oll-mucllj: oscihm con rrecuencilks fA y fll ' Si fA = 'if R Y I:I~ con!<>lilnl c.~ de lo~ dos 111uc lle~ !<>on igullles, lus llIa~as de ¡unbos sigle· m¡\~ cumplen lu f'C lnci \~ 11 (11) M ", = 4Mu. (b) M ", :::: M B /j2. (e) MA = M u/2. (ll) MA '" MIIM. 17
••
Do.\
' 1 ,lclIIll~
18 •• Dos Si¡¡,enHIJ. nlllsa-muelle A y B oscilun de modo que sus cncrgfns son igulIles. Si /11", '" 2MI!. ¿eutll de IlIs s i gui e ll1c.~ fórmu las relaciona las :lInplitudl.":; de oseilución? (a) A A:: A 11/4. (b) A <\ :: ti p/ ./2 . (e) A ... :::: An. (ti) No hay suficiente infOn11Ución para delcrminar la relaci6n de las am plitudes. 19 •• Dos sistemas musu-muelle A y B oscilan de modo que sus energías son iguales. Si k}. = 2k ll . ¿cutll de las siguienlc.o¡ fómlUlas relueiona lus ampliludc.o¡ de 0);Cilaci6n? (ll) AA =;\11/4. (h) A", :::: AB /./2. (c)A" =AI.I' (d) No hay suficicnle infonnación para delemlinar la relación de las amplitudes. 20 •• El péndulo A tiene una lenteja de masa AtA y longilud L",; el péndulo B liene una lenteja de masa Mil y longilud La. Si el periodo de A es doble al de B. será (a) L}.:::: 2LB y M }. = 2Mu. (h) LA = 4l.¡¡ Y MA= M I!' (e) LA :::: 4LfI cualquiera que sea la relaci6n MA/MB. (ti) LA = ./2 LB cualquiera que sea la relación M}./MIl •
Aproximaciones y estimaciones 21 •• Un ni ño se está columpiando en un columpio. Si no se le suministtU energra mecánica. J¡, nmplitud tic su osci lación disminuye un faetor l/e cada ocho periodos. Estimar el raclor Q para este sistema. 22 •• SSM (u ) Estimar el periodo nlllural de osci l¡¡ci6n del batir de brazos de una persona eunndo camina. sllponiendo que no lleva ningún peso. (b) Estimar el periodo natural de oscilaci6n si la persona mueve un¡¡ c¡¡rtcra muy pcsndn. Obsérvese eómo caminll In genle y estfmese si eslOS dos cálclIlos se ajustun 11 lo que se percibe en el mundo real.
•• El per ludo de unu partícul u ~ iJ¡mte r., fI \ Y ~u ampliwd 12 1 m Fn el tkllllHI 1_ 1) lIC cnCUCl1Iro en lu JXl"'Itlón de C
n/ _ 1 ~y{tlI
/ D l -'tal _ 2~ .
El pcntxlo dc unn ptlr11culli l~ilunlt: e~ K ~ En 1 _ O. la paniculll c~ttl ell repo~u ell f _ A _ lO CIII. ((1) tl ncet un gráfico dc t' en funCIÓn de I (11) 1! lllIf¡r 111 di~u,"ellt rccorridu en el prune t, \Cguod(,. tercer y euano <.e¡cundo tlc ... pué\ de I _ O 29
••
•
30 •• SSM I En la\ e ~pc:cificnci(lnc\ IIl1liturcr; c' rrecllt'nle (Iue txij un que 10\ dhpo~itivo.~ ell:c tmnicO!l ~an eapaee!! de re~i~lI r acelcrlM;l(). IICS de 10..: = 98.1 m/s l. Pum aseg urarse de que sus productO'i cumplen con e,la c¡;pcci fi clIción. l o~ fnhricanl e.~ los M)llIclCn ti cnsayos en untllllcsn vlbrtlnll' que puedc hucer vibmr un C(luipo a di vcrsns frecuencias y amplitudes e.~poc:ifi cilc)a~. Si un delerminudo dispositivo se somete ¡I unu vibroci6n de 15 em de tlmplllUd, ¿cuál debcrn ser su frecuencia pam que cumpla con ]¡I c.~pccificnción milit.1; de los 108? 31 •• i ./ L¡¡ posición de unn parlícu lu viene dada por r = 2.5 cos m. en donde x se exprcsll en metros y 1 en segundos. ((1) Detenniuar la vclocidud máxima y la aceleración máxima de la panfcula. (h) Delennll r la velocidad y la aceleración de la panfc ula cuando x = I.S m. •• SSM (a) Dcmoslrar que Aocos (ca + 8) puc
32
Movimiento armónico simple y movimiento drcular
-
• 33 • I Una panícula se mueve sobre una circunferen ../ de nidio 40 em eon una \'elocidad constanle de 80 cmls. Hallar «(1) la frecut'1 ,'la)" (h) el periodo del movimiento. (e) Escribir una ecuación para la compClIl"nte x de lu posición de la panícula en funci ón delliempo l. suponiendo que la !)3ru· cul u cslá sobre el eje.\' en el instante / = o. 34 • SSM Una panícula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 Clll. dundo I re\'0Iuci6n cada 3 s. (a) ¿Cuál es ell116dulo de In vrloci· dud de lu partrellla? (h) ¿Cuál es su velocidad angular úf! (e) Escribir una ecua· ción para la componente x de la posición de la miSIII¡¡ en función de r. suponiendo que eSltI sobre el eje x positivo en el instante I = O.
La energía en el movimiento armónico simple Movimiento armónico simple •
23 • I La posición de un¡¡ partícula viene d¡¡da por :1' = (7 cm) co<; 6ft'. en dandI; / viene dado en segundos. Dclenniruar «(1) la fl'i..'cuen. cia. (b ) el periodo y (el la nm plilUd delmo\'imiemo de la panfculu. (ll) ¡, mil ~ el primer inSlante despu~ de / :::: O en que la partieula eslá en su posición de equilibrio'l ¿En qn6 sentido se e~ttl moviendo en ese instante? • ¡.Cuát e\ In conSl:mle de fllse 8de la ecuación 14,4 si la posición 24 de la panícul:, o~ il ante en ellll ~tante r . O es «(1 ) O, eb) -t\ . (c).r\. (d)An '! 2S • S5M Una panícula de mao;u m empie1..!1 estnndo en reposo en x'" +25 cm y osciln ulrcdedor de Sil prn.ición de equilibrio en ..t' :c O con un periodo de 1.5 S. E•.'icribir In~ ccuacione<¡ p'lm (a) la ",",iclón x en func ión del tiempo /, (/J) In vclocidmll' en funci6n de t)' (d In a
3S • Un objeto de 2,4 kg está sujelo 11 un muelle horizontal de conS' tante de fUCila k = 4.5 kNfm. El muelle se e.stirn 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Dclem,inar <¡u energía 10lal. 36 • Dctenninar la energfa totul de un objeto de 3 kg que oscila ~ un muelle horizontal con una nmplilud de 10 cm y unu frecuencia de 2A I·II~ 37 • Un objelO de 1,5 kg oscila con movimienlO umlónico simpk unido a un muelle de con ~tnnte de fueila k", 500 N/m. Su velocidad mtlximn ~ 10 em/s, (a) ¿Cuál es la energfa lotal? (h) ¿Cuál eS la amplllud de la oscilaci6n? 38 • Un objelo de 3 kg (¡ue oseil:¡ unido ¡I un lI1uelle de constllnte 2 kNlm llene una energía 10lal de 0.9 J. (ti) ¡.Cuál es la all1plitud del 1I10Vi1l1lCI1IO' (h) ¡,Cuál c.~ NIJ velocidnd máxim¡¡? 39 • Un ohjelo oscill\ unido a un muellc con uml amplitud de. 4,5 cm Su energfu totul C!o lA J. ¿Cuál es lu constunte de fuer/..!I del muelle'! 40 •• SSM i .1 Un objeto de 3 kg o~cilu sobre un rnud k' con unu am plilud de 8 cm. Su ¡¡celcraci6n máxima es 3.50 m/s 2• Dclenninur 1.1 energfn 100Ul.
Problemas
I
423
maleta C'~ tjl en cqul llbtlll. SI '-C' e~ITt11 In malchl un poc,:o hllcin nlMIU y toe \UehH. 1.1Iu'il ~t'm In In..'(lIelltla de lu u'-Cl lnu\J1I ¡ • I ' n "hJ""o de 2 .... "llc~11I ' UJChl 11 un muelle IhulI\,nlul de I.:lln~ ,k-!lIC1/'11.. . J."' Io.Nlm 1'1 muelle 'l' c~ llrll IU cm dc'de ,,\ ((luIllhno y ~e tk tn hht'ltlld 1~l clIUlnnr lal 11\ h\'-'ucnciu del ltl\l\ Imi",IlIU. (/1) t·l lll.·rtIlOI1, ,,' ,lmphtud. (tI'! 1:1 \Ch-:ld:ltl 1Il1l\illln ) ¡"l In ulclcnlrión IIl1b.Jml1. r.J) ,~ ·Jcl Ilk;¡n';1 el oI:lJl·t\ll)l,ll \l'/ primcflL \ ll po~idnn d......lluillbrill·! ¡,{'uál c.\ -u km.:u\n (Ill',e m'IIIUlC" 41
<4
~
Re~I)I,HKicl
CUC\llllnC\ lid pl~lh l e nm 41 par:¡ un ohjeto de '[JCIO ¡L un muelle de C(lII,tantc de lucr/u 1.. = 700 N/m. teniendo en euentu muclle C1>t:1 imciullllt:ntc \Cpllnldo II cm de 111 p() ~ic ión de e(luilibriu. •
l
qt <4
a
'a~
Un ohjeto de 3 kg MIJeto a un mUelle horizontal oscilH con unn [ud ,1 = 10 cm)' una frecuenciuf - 2.4 11/. (ll) ¿Cuál es la conSlmue de J dd muelle', (h) ¿Cudl es d periodo del movimiento'! (e) ¿Cuál es lu ,dad mb.inlll del objeto'! (ti) ¡,Cuál c.... ln uceleración máximu del objeto? •
an f~ \ l:
•
I • SSM Una persona de 85 kg ~ubc a un coche dc nli. :!.tOO kg. con lo cual su, ballestas descienden 2.35 cm. :-'uponiendo que [lO 11.)" amoniguumiento. ¿con qué rrccuenci:¡ \'ibrará el cocho: y el pnsajero
,¡
h\~ ba llesta~'?
45 • Un objeto de 4.5 kg oscila sobre un muelle horii'ontal con IInll amplitud de 3.8 cm. Su aceleración máximu es de 26 m/s1 . Dctcmlinar (a) la con,tante de fuenu k. (b) la frecuencia y (e) el periodo del movimiento. 46 • Un objeto oscila con una amplitud de 5,8 cm sobre un Illuelle horúontal de conStante de fuerza 1.8 kN/m. Su velocidad máxima es 2.20 mis. Determinar (a) la masu del objeto. (b) la frecuencia del movimiento y (e) el periodo del movimiento.
47 •• i ,¡ Un bloque de 0.4 kg que está sujeto a un muelle de constante de fuena 12 N/m osci la eon una amplitud de 8 cm. Determinar (a) la \"tlocidad máxima del bloque. (h) 111 velocidad y acelemción del bloque cuundo seencuentm a x = 4 cm de la posición de equilibrio)' (e) elliempo que tarda el bloque en desplazarse oc x '" Oa x = 4 cm. 48 •• SSM Un objeto de masa fI1 estú colgudo de un muelle venical de t"Onstante 1800 N/m. Cuando se estim de él hacia abajo separándole 2.5 cm del equilibrio y se le deja en libennd desde el reposo. el objeto oscila con una frecuencia de 5.5 Hz. (a) Hallar 11/. (b) Hallar cuánto se estira el muelle :1 partir de su longitud nlltuml cuando el objeto está en e
Un muelle de co n~tlln1e k = 250 N/m ~c cuelga de un w pone rigido y se une a Su cxtremo inferior un objelo de I kg de masa, que se deja en hhertad pllrtiendo del repo.so cUllndo el muelle e:;llf \in deforlllllr. (tI ) ¿A qué dl\tO.ncia por debajo del puntQ de partida está 13 p
so
••
«,t()')
lJ
••
•
I
El Arco de Sto Luis tiene unu ¡¡lIum de 192 m. Suponde 60 kg l>lllw de la parte má, Illtll del Meo con una b.tnda (1 ~u~ pie.., y ::IIcan1:U JII'IOel ~uclo CQn velocid;ld ceRI. Dctenninar cinética 1:., (\ l o~ 2.00 \cgundo\ del ,"lto. (Suponer que la band.1 elá ~ la ley de Ilooke y dc\preci:lr '11 longltut.lmuural.) •
52
••
SSM
Unn maleta de 20 kg de ma~ cuelgn de do~ eUCNób tnl In ligum 14 .211 Cndll cuerda \C nlarga 5 cm cunndo In
Figu ra 14,26
Problema 52
Un bloque de 0.12 kg c..~tá ~ u ~penoido de un muelle. Cuando unu pequeña pil,.'tlra de mtlSU30 g se sitúa sobre el bloque, el muelle se alarga 5 cm más. Con la piedra sobre el bloque. el muelle oscila con unn amplitud de 12 cm. (a) ¿Cuál e.~ hl frecuenciu del movimiento? (h) ¡,Cuánto tiempo tardará el blo .. que en recorrer lu distuncia entre el punto más bajo y el puntO más nito" (e) ¿Cuál es 1¡1 fueílll neta sobre la piedrJ cuando se encuentra en un punto de máximo desplazamiento hucia arriba?
53
••
54 •• Dclcnllinar en el problema 53 la máxima amplitud de oscilllción con la condición de (Iue la piedra pennanezea sobre el bloque,
55 •• Un objeto de masa 2.0 kg e.~tá sujeto en la pane superior de un muelle ven ica l que está anclado en el suelo. La longitud natuml del muelle es de 8.0 cm y la longitud del muelle cuando el objeto c:.tá en equilibrio es de 5.0 cm. Cuando el objeto está cn reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un manillo. de tal manera que In velocidad inicial es de 0.3 mIs. (ti) ¿A que máxima alturn, respecto al nivel del sucio. se elevará el objeto? (h) ¿Cuánto tiempo tardar.'Í el objeto en aJcan7.ar 111 máximll altura la primcru vez? (e) ¿ Volverá el muelle a estllr sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga comprc."ión en un instante dado? SSM En un torno. un bloque de 950 kg de masa cuelga dc! extremo de un cable de 150 GN/m1 dI¡ módulo de Young. 1.5 cm 2 de área transvefSlIl y 2.5 m de longitud. (a) ¿Cuánto se alargará el cable'? (b) Suponiendo que el cable se comporta como un muclle si mple. ¿cuál es la fn."CUencia de oscilución del bloque en el extremo del cable? 56
••
Energía de un objeto sobre un muelle vertical 57
•• Un cuerpo de 2.5 kg cuelgo de un muelle vertical de l,."'Q nSlante 600 N/m, Oscilo con una amplitud de 3 cm. Cuando el cuerpo posee "U máximo de~ JlIIli'um iento hacia ablljo. ('llC\lntmr (ti) la cnergra total del sistema. (h) la cnergfo p()Iencial grn\·itllloria.) (e) la energfn potencial del muelle. (tI) {.Cuál es In energru cinética mlixim:1 del cuerpo? (Escoger U = O cuando el cuerpo está en equilibrio.)
58
••
•
I
Un cuerpo de 1.5 kg. que alargu un muelle en 2.8 cm re~peCIO H su longitud nfl turnl cuando cuelga de él en repo$O. oscih.l con una amplitud de 2,2 cm. ¡'Iallar (ti) la energía 100ul del ~is temu. (b) lu energfa polenelul gnlVitatontt' en elmñxlmo de.'phu.nmiento hlK'iu ab¡~o. (e) In energfa poten.. cilll del muelle en su máximo desplazamielllo hncia ¡¡b.'\jo y (d) ¿Cuál es la encrgrll cinética nlluimll del cucrpo?
59 •• SSM Un objeto de U . kg que euelgu de un muelle de coosI8me de fuen.8 300 N/m o"-'lla con una velocidad máxima de 30 cm/s. (a) ¿Cuál es \u dc~plni'.umiento nubirno'! Cuando el objeto C5ui en su desplu:l.il • mlenlO mliximCl. hall:lr (h) la energ(u total del ..iMema. (el la energfa pol(ncial ~1'11\ 1111 lonu, y (ti) In cncrg fn potencinl del mue 1le.
I
O~cl l adone ...
npítulo 14
111\1111.'1111, dc 111(>(10 t/uc pUtll Cnmhlnf 1,'1 periodo del ptlndulo "a~ ' o ol\adir Il qUI
Péndulos simples
un!! l'uNO de In l'UJR " phrnr pclf qué C"t' mttnóo funcIona. <;¡ In~. ¡',el pcnudu del f'énduln Ilumenlll (1 (h ~mi "uyc'l
'1.111111 la II'lI~lIUJ de un l""l1du l.\ ,111Iplc ..¡ d pcru.u\J dclllémhl10 (', ... , en un ¡lIlm" ('11 {h.nlk lo: {I.K I mI,' 60
61 d"I1 ..k
•
.,Cu,il
•
d Il<:nlld(llkl pcn\lulo tlc1 ll1\.hlemu (jO en la 1 ulm. en
\(tlll
1;1 ;1~'tler"':1\ln
dI.'
lu ~m\c\Imt
l"
un ~\~XI\I dI' la \·\It're~ l)\ u 1(h (' nl l·
ti
lu ' 111'-
mI'
i
.(
SI el pem.... tl) lk un Ix'ntlull) de 70 cm de longitud e, I.M" "l·IHII ... , el \.tlo(clc ,1( ...n \'1 '111t) donde <"u\ ,üuudtl el pél1dul n'! 62
•
71
••
1.11 figmu 1~ . 2H 1J1\It'~tr!l unu
<;c
l'Iñad("n
pe'" con do\ mt1~A~ IgUIl1c~ ({('n~1
n lo\¡ e ... tre mo~ de unn haml muy IkkJ! I lI1u ~u dc ~p r ee Ulhk ) de IvnWtud /.. (al IJcmO~lrnr (lile el l>cncxlo ele (',tt' pé duhl c\ un mfnimo Cllllndo e1lnn,IO de pi vnuuniento P '1' encuentre 'OOtYrc u dI' lu\ rn ¡l~¡¡I¡ . lb) DClenninnr el periodlJ de e~le ~ndulll tr~ic(l " la dl \ t..all<:l ,udu' iCtltl1l1 11\11"1'
ptlntuulc~) suj('lu~
enl re l' y In mfl!>1I supcnor C-~ U4 ,
o
63
•
SS M
Un péndulo co l ~[ldo en el hueco de una c>;ca-
I
k'1,1 de un l.'\htkltl de 10 PI'O' \C \·.lI11 POI1(' de 111m ma:.u grnnde I>uspcndidn de un ulmlllll'e do: 3.J,0 111 JI' longItud. ¿Cuál e:. su I>criodo de osci hlción si 8 = 9.81
<
p
m" ~ ·'
2,0 rn
64 •• Delllo,lrllr quo: lu o:ncrgfu IOlal dll un péndu lo simple que se mue'( COn o:.ciltl ciQ nc~ de pcq llcilll
65 •• Un péndulo si llll)le de longitud L e.~lá sujeto a un n lrro (Itle dc.~ lila "in l"O"l.mn1cnto hncia abajo por un pluno inelinndo que foml,1 un ángulo 6 con la hori"l.Ontal. como muestra In figura 14.27. Detemlinar el periodo de oseiInci6n del péndulo que csu'l ~o bre el carro deslizante.
Fig ura 14.28
Problema 71
72 •• SupongllTIlos que In barTa del problemu 7 ! tie ne una m,¡ (figuro 14.29). Detenninar la dil>lancia entre la masa superior y el pivol:uniento P. de lal modo que el periodo dc este péndulo n~il , . Immmo.
de 2m Ito de .ca un
L
Fig ura 14.27
Problema 65
Figura 14.29 66 •• Un péndulo simple de longitud L se libero paniendo del reposo desde un ángulo 4\). (ti) Suponiendo ' Iue el péndulo re3li1.1I un movimiento lIonónico simple, delcnninar su \lelocidad cuando pas.:1 por lu posición ~ = O. (b) Considerando 1:1 conservación de la energín. detcnninar CKaCI:lmentc esta ...c1ocidnd. (r) DcmostrJr ' IUC los rcsultados de (a) y (b) coinciden cUllndo ~ es pe
· Péndulos físicos
i
67
./
• Un di¡,co ddgado de 5 kg de mnsu)' con un rudio de 20 cm ~c sU.' I>cnde Illcdinntc un eje hori7.0ntal perpcndiculnr :,1 (¡¡ ~co) que pas:t por ~u OOrde. El di:.co o;e Je\pl:tl.'1 ligcrnmcntc del equil1brio }' se liue1tn. Itallor el periodo del mo virll1~'ntO nnllónico ~illlpte que ~e produce. Un uro circulnr de 50 cm de rndio -.c
de unn \'Arilla horilonlUl delgndn. pcrm rl iéndo,e qne o~cilc en el plano del nro, ¿CUlíl e' el periodo de ,ti o!oCllllcióll, suponienoo que 1:. amplitud e~ pequeño'! 68
•
CUd gA
69 • Se ~u~pc lldC" unn figum phllm de 3 ~g dc un punto ~i l uoclo:, 10 ClIl de \11 l'entt'O de mo~n~. Cunndo e'tá O\Cilnndo enn omplllud pequcñll. el periudo de (I~dloci.ín C\ 2,6 ~ . Ilallar el momCnlO I.k inercio , r~pe..:to a un eje pcl"JX'-n~liculnr 111 plano de la hgum quc p:1~a por el puntCl Jc o..cilación. 70 •• El péndulu de un C'l1(lrme reloj de un ayuntnmicn.o t,en ... UIlA longitud de ;.l 111 (11) CCHNdcrnn,lo que '11 funclon!lIll1CnlO puede flsimilaN< ni de un péndulo ,¡mple que re:lh lll pequei\:ls o:.cil:w::ior"ICS. cnlcular ~u periodo de lIo;.c.lneión. (h) Para Tl'~ular 'u ]ltriooo <;c tuJ l"'OlOClldo unn t:lJa en la mitad di:': la harr.1 del péndullll.'On UI10\ CUllOt:!:. píel:!' do:' tam:lño)" pc-.o parecido al de una
Problema 72
Tenemos una regla y se I10S pide que taladrcnlO' un agujero de tal modo que cuando pivotemos In regla sobre él. el periodo del pcnduJo Sea un míni mo. ¡,D6nde t
••
SSM
o
74 •• I 1...1 figura 14.30 muestm un disco uniforme dc radio R "" 0.1:1 m y mllSU 6 kg con un pequeño agujero a la distancia ti del centTO del di ~o 'luC puede servir de puntO de pivote. (a) ¡,Cuál debe ser la diSlUncia dpru1! (¡ue el periodo de C$te péndulo flsico:)Cn 2,5 s'! ( b) ¡,Cuál debe ser In d¡~tancia ti parn Que c.~le péndulo fíSICO tensa el periodO menor posible? ¡,Cuál I'~ c~t~ periodo?
d
"-=,-0 0,8 m
... Fig ura 14.30
Problcmu
7~
75 ••• Un oh)CIO plnno llene: un momento de inercia I rc~pec to!l 'u (;ellll\l de mn-.ns. Cunndo '>C hace ¡,l.rnr el objeto alrededor del punto P" {.'O,oo ~c int]¡(a cn la figura 1.J.3 1. OitClla nln:dedor del pi\'olc con un periodo 7: E'I;i\t<, ven' pumo Pl en el lado opue-MO del Centro de UlII.~II... respec to al cllat el objeto ()scil~ con el mi(1TlO penodo T. DcrnostruJ" QlIC h l +"1 E 8P./(4~J.
Pro blem as
.. t/ 1
78 •• S!lM 1I11 fI' ltlJ cll' péndulo pIerde 48 \ pm dru t UlIncll' Irl umpll tud tlcl l'lCudu ll' e\ KA" (.('u61 dcbcrfu -.cr la "lIIphtud del pénduln panl qUC' ti
I I
i +cm
I h. 1 . I •
4 25
d n y en Ilul' \Cl1 l tdt , titile dc.. pluJ:fllW el (h "'I' pllnl ao;eguflI r q lle tI re/nI marlll/e CPlIN,'ULlIH.' Ulc e l IU.'IHIX' "
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Il· I\IJ 79
IIlfl1 "l ~l'l' l ll l' I11I)('
••
i
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C'; lIcto',' Un lelC1J de pc ndu lu que (!'\Ci ln con un;t Hmphtud
11111)' pequenn ~e ndclllll13 5 II1l11 l·lIdn dfn ¡ Qué " ,"plitlld flllRuhlr lichera tener col péndulo r llnl IIIl1nlener e lt i c lll l ~ correctd '
~ 1)~ I •
Oscilaciones amortiguadas Figura 14.31
7
l:.n:lblclllll 75
• •• Se constru)'e un péndulo ffsico a panir de un!! lctlleju e¡,férica de r ) I1ln~lIl11
cOIg:tdn dc una cuerda (fi guTll 1-1.32). Ln db t:mcia desde el l~ n de In c~ fc ro ul punto de suspen.. ión es L Cu:lttdo r es mucho menor que L te [l
rP W
T = Tu ~ I +
en donde T~ = 211' JLl8 es el periodo del péndulo simple de longitud L. (11) Demnstrar c¡ue cuando r es mucho menor que L, el periodo \ ¡¡le aproximadamente T", To( I + ,.1/51..2). (c) Si 1.. = 1 rn y r = 2 cm, h:tllar el error cuu ndo se miliJ.lI la aprox imación T = To p:tra este péndulo. ¿Qué tamaño deberá tener el rudio de la lenteja pura que el error scu del I por ciento?
Figura 14.32
Problemu 76
n •••
La fig ura 14.33 muestm el péndulo de un reloj. L'I barra uni fonne de longitud L = 2,0 m tiene unu masa", = 0.8 kg. SujclO a la barra hay un disco de mU~1l M = 1.2 kg )' radio 0. 15 111. El reloj se hit constOlido de mcxlo que mar· qut un tiempo perfccto si el periodo del péndulo es eXllctfilTlentc 3.50 s. «(1) ¿Cuál debe St'r lu distunciu d pura c¡ue el periodo del pé ndulo sen 2.5 s'! ( /1 ) Supongamos que el reloj de péndu lo !Il ms.'1~ n 5.0 min por dfll. ¿A qué di~tun ·
I ,1
I
m
•
0.15 m
L>cmostro r c¡ue tu cOn/mmte de amortigmlm ienlo, h, tiene uni(I:lde~
81 • Un oscilador' tiene un ructor Q igual disminuye su energía du rtmte un periodo?
1I
200. ¿En qué porcentnje
•
82
• I Un objeto de 2 kg ligado :1 un muelle de con<¡lanle k = 400 N/m o~ ilu con una :unplilUd inicial de 3 cm. Hallttr (a) el periodo y (h) la energla inicial lolal. (e) Si la energía disminuye en un I por ciento por periodo. hallar la constalllc dc amon igullmienlO h y el ractor Q.
83
••
que el cociellle de lus am plitudes de dos oscilacione.!i sucesivllS en un oscilador rorzndo es constnnte. Dcm OSlrllT
84 •• Un oscilador tiene un periodo de 3 s. Su amplilUd disminuye en un 5 por ciento duran te cada dclo. (a) ¿En cuánto d i ~m i nuye su energía durJntc cada ciclo? (h) ¿Cuál es la eonSlante de tiempo 11 (e) ¿Cuál es el fac tor Q? 85 •• Un osci lador posee un raetor Q igual a 20. (a) ¿En qué (mcción disminuye In energía en cada ciclo? (h) Utilizar la ecuación 1-1 .37 par..! detemJinur [a direrencia en porcemnjc enlrc (f/ y Ú\). (Sllge~lIci(/: Utili::,ar In aproximaci6n ( 1 + X)I t: .. I + ix pam mlare.f pequcl¡QS de .r.) • 86 •• I Un sistemu mas,a-muellc amortiguado o~il¡j con ulla (recuenei:t de 200 Hz. La constante de tiempo del sistema C.!i 2.0 s. En el tiempo , = O. la amplitud de osci lación es 6.0 cm y la energí¡¡ del sistema osci lnnte es 60 J. (a ) ¿Cuáles. son las u mpl i tudc.~ de osci lación pam 1= 2.0 s)' I = 4.0 s'! (h) ¿Cuánt:1energía se disipa en el pri mer intervalo de 2:, y en el segundo intervalo de '2 s? • 87 •• SS M I Se hu e~ t3 bl ccido que cuu ndo la Ticrnl \'ibra liene un periodo de reson:tnci3 de 5-1 min )' un (¡tctor Q de aproxi madnmenle :.\00. y que después de un gran teITCmOto. la Tierra ··tiembla" (¡;~' prod uce ulla vibrución continua) durante dos mo.:!>CS. (a) Dctenninar el porcentaje de energía dc vibración perdida debido a [us fuerJ:..lls de alllortiguamicllw en eadu cielo. (b) Demostmr que despu6 de 11 periodos. In energía es 1:.... :: (O.9S-W Eo. ~ i clldo Eu 1:1 energía inicial. (e) Si 1" energfu inicinl de vibración de un teITCmOto es I~. ¡.cu ál l!..~ la energía ni cubo dl' :2 día~?
88
••
Un péndulo compacto que se USlI cn un cxperimemo dl' física IJene una masn de 15 g )' una longitud de 75 cm. Pant quc el péndu lo comience a o.'>Cilnr un e~t udí:l1l t e de I'l\.ica instalu un \'cntilador. que prod uce 1111 fl ujo h 0 11zontal dc aire de \ elocidud 7 mi:. hndn la lenteja. Con el \'cmilador en rnllrchn. 13 1cntcj u e.~ l ri en equilibro cunndo el péndulo está inclinudo 5" respecto la dirección vert ical. Cuundo 'iC pum el \cnti lndor, o;e deju que el pénd ulo o-.ci lc'. {a) Si ~ u pon e rnOS que la fuernl dc resblcnci:t:1causa del aire v¡enc dad:t por hl'. ¡.cuál e\ lu con.;tanle de tiempo o ticlIIJXI de e .~ t i nciÓ II r de 13~ mcilnciollo del péndulo:' lb) ¿Cuünlo tiempo p..'1l.arJ hnsla
Oscilaciones forz.adas y resonancia
, Figura 14 .33
80 • de k gl~.
Proble.ma 17
89 • DclenllJlll\r lu frec uencia de. rc"OlIancin de Cllda $I"emtls in
UIIO
de los 1ft:."
-426
I
Capftulo 1" Oscilaciones
I'lIrtt cada tIpo de c() l i~j6n. e<:enhlr unu e~pn:..~16n plu'lIla poMcIÓn .t rn fllTl CIÓll delllc111pO I puro el objclO l1111do hl muelle, ~upomendo que el dlll(111C prudm:e en el jn~lII11U: / - {J
(f')
•• •• • O ••
-
Ir.. HOO N/m
.1. • 401) N/m
:1. _2, 111
••• •• •
S~~.!I
•• • • • •
111 ,.. 4 kg
tal
(e)
(b) Figura 14.34
Problema 89
Problemas generales 96 • UIUl p:tnfculn I)OS(.'(: un dc~plll/nmlcnto dado por x . 0,4 CU\ (JI w4), en donde x viene en metros y t en M:gundO\, (ti) l1ullur Ifl fre<:ucflCl1t' y tI periodo T del movimiento, (b) ¿En donde c.~ 1I1111 partrel1ln en t · O'! (e) i.Y tn
I '" 0.5 s1 97 • (a) Hallar una expresi6n para Iu velocldnd de lit panícula cuya posición viene dadu en el problemll 96. (b) ¿Cuál es lu vclocidad en el iI ' lante f '" O? (e) ¿Cuál es In velocidad máxima? (d ) ¿En qué momento de..~pué<. 1= 0 se dn C.~13 velocidad máxima por primera vez?
90 • Un oscilador mllortigul1do pierde el 2 por cienlO de Sil energr1l en cada ciclo. (a) ¡.Cuál es su factor Q? (b) Si su frecuencia de resonancia es 300 H7.. ¿¡;uál es III anch ura de In curV:l de resonancia L\¡¡¡ cuando el o~cil ¡¡ dor est:! forla do.·'
• Un cuerpo unido a un muelle hori1.on tal oscila con un ren,oJo de 45 s. Si el cuerpo se suspende veniculmente del muelle. ¿en cuánto se al fga ti muelle respecto 11 Sil longilUd nalUral cuando el cuerpo está en equilibrif.
91 •• Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de con ~lante de fuerl1l k = 400 N/m. La COnSI(lntc de mnoniguamiento es b = 2.00 kgls. Está fOr7. ado por UllU fuef¿a sinusoidal de valor máximo 10 N Y frecuencia angular (J) = 10 mdls. (a ) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? (IJ ) Si se varía la frecuencia de la fue r/A' impulsora. ¿a qué frecuencia se producirá la resonanciu'! (e ) HuIJar lu amplitud de las vibruciones en la resonancia. (tI) ¿Cuál es la anchura L\(J) de lu curva de resonancia?
99 •• SSM Una panfcula pequeña de masa m se desli1.a ~lf rol.a· miento en un cuenco esférico de radio r. (a) Demostrar que el movimiclHn de I.a masa es el mismo que si estuviese sujeta a un muelle de longi tud r. (bl ,e desplaza una panícula de masa /11 1una pequeña distancia SI de [a pane inlt ·". tkl cuenco (figura 14.36). siendo SI mucho menor que r. Otra segunda ma In! ~ desplaza en sentido opuesto a una distancia S2 ", 3s 1 (s! es también .1udlO menor
98
92 •• Un osci lador llmoniguado pierde el 3.5 por ciento de su energía dunlnte cada ciclo. (a) ¿Cuámos ciclos han de transcurrir antes de que se disipe 111 mitad de su energía? (b) ¿Cuál es el factor Q? (c) Si la frecuencia natu rnl es 100 Hz, ¿cuál es la anchl1rn de la curva de resonancia cuando el oscilador se ve forzado exteriormente?
Colisiones 93 ••• La figuro 14.35 mueslrn un sistema vibrante masa-muelle colocado en una superfi cie sin ro1.amie1l1o y una segundll masa iguul que se mueve h:lcin In masa vibrame con velocidad l'. El movimiento de 1:1 masa \'ibrnnle viene dado por x (t ) = (0. 1 m) cos (40 S- 1t ) , en donde.t es el desplflz:mlielllo de la mfl!ill desde su posición de equilibrio. L, s dos m!lsas chocan elásticamente JUSto cuando la masa vibrante pusa por ~u posición de equilibrio y se mueve hacia la derecha. (ti ) ¡,Cutll debe ser la velocidad l ' de la segunda masa paro que el sistema masa-muelle
Figura 14.35
"
Problemu 93
94 ••• Ocspu é..~ de Iu coli:;ión el/htien del problenm 93. In energrn ciné· !ten de In masa cn relroce'>Q C~ 8,0 J. D<:lemlinnr el valor de la~ llll\!ill'" ni Y lo constnnte del mudh:. k . 95 ••• Un objeto de 2 kp: de m~a apoyado sobre una superficie horizontal !>.in rolamiento o;c uoc a un m~lk de con...tnnte 600 N/m. Otro objeto de I kg de mll ~1l . . «(1) Bnllar lo amplitud dc o,cilnc;ón ~i el ,egundo Objeto choca de rorma pcrfecUlmente melásllcn quwando unido mmbién :11 muelle ...Cuál c.\ el penado de o:;<:illI' l';ón? (b) Hallar la :unphtud y ('1 penodo de oscilación 51 d choque Cl> ellis'¡oo.
Figura 14.36
Problemas 99. lOO
100 •• Supong¡¡mos ahor:t que una pequeña bol:l de maSll 111 y rlldioR ruedll sin deslizar por el fondo del cuenco de la figuro 1·06. (a) Escribir UJU cxpresión p.1ra 1:1encrgía tot:ll de la bola en función de su velocidad y de la di,· laneia (s upuesta pequcnn) ul centro del cuenco. (b) Comp:lnmdo es\(! explmiÓl! con lu de la energíulotal de unu bola dc m ll~U 111 que rosbnla sin rozufllie11lop
Problemas ~ l'-Ift
;\lndn [\1 C\lreIllO del hill! de In tmlnllf.n Si el perlt)du de ,~Il~ • .:sudl es In ..:\ltN:uue de t\II.... OI1 dI.' h. b;llntl/a 1
\)~ci1uIJIl'n e~
5 cm
Figura 14.37
- - - -+-. Problemn 103
• '
Un cubo de rnadern de unsta (1 y maSa 1/1 nOla en a~ua con UlIlI de sus curas paraleln a In superfi cie del agua. La densidad del J • .1 es p. l)etenninnr el periodo de oscilación en In dirección vertical cuando ..e 'nlpuju el cubo ligeramente hnciu ubnjo. 10-.
••
SSM
427
109 •• l..u ncc1emd6n dehidn ti In (tnlvedud 11 varflll'on In situución geográfieu debidu!! la rn11lc:i6n de 111 -l1erm y a que lu Tierrn no e<. exaclllmenle e"férictl. E-~Ic hcchu fue de<;cubicrto JX)r primem vel durmue el ~i g lo XVH, cuando ~ uh'-Crvó que un reluj de péndulo cuidndo<.f1nlCnlc IIju ~tado pilro man:ar ellicmpo correcto en Purr.., -.c Ulrn~nbl1 nlrededor de fK) ~d (1I eerca del ecuador. (a) Dem()<;tmr quu unu peqncfln vurlud6n en In ncelemci6n de In gnlvedtld .1.f produce un pcclueño cHmbiu Ar en el periodo de un péndu lo dudo por ATlT 2 AHlx· CUlili/ ur el cálculo difercnelul pum npmximur tus vu lorc... de 6T y AH.) (h) ¡,Qué vuri nd 6n de g se necesltu pnrll justificlIr un cumbio de periodo de 90 "'dl,(1 La figurn 14.:\1) muestr:1 do.~ mU ~I"¡ igunles de 0.6 kg un idus con pegamento entre s( y coneetndas u un muelle de con ~ tu nt e k ::: 240 N/m. Las mus..:--, (Iue dcscnnsun sobre ulla superficie horilOntal sin m7~1mient o, se desplnzlln 0,6 m de su posición de equ ilibrio y se dejan en liblmud. Antes de libemrsc se depositml unas gOtas de disoh'ente sobre el pegnlllcmo que las une. (a) Delerminar lu freeuencin de " ibrnci6n y 111 energfll tOlul del sistemn vi brnme antes de que el pegllmento se haya disuelto. (b) Dclennimlr la frec uencia de vibración, amplitud y energíu del siSlenm vibrante si el pegamento se disuelve (1) en la compresión máxirnu y (2) en la extensión máximn.
110
••1-- - -
I
••
k::: 240 N/m
105 •• Un reloj de péndulo funciona correctamente en la superficie de lu Tierra. ¿En qué situación el error será Illuyor: si el reloj se baja a una minu de Jlrorundidud /¡ o si se elevu a una altura h? Suponer que"« Rr•
•• I La figura 14.38 mueslra un péndulo de longitud L con una lenteja de masa M . La lenteja está unida u un muelle de constante k como 'le indica. Cuando la lenteja está direcllLmente por debajo del soporte del pén. dula. el muelle tiene su longitud natural de equilibrio. (a) Deducir una expre,itln para el periodo de este sislema oscilante para vibraciones de pequeña amplitud. (b) Suponer que M ::: 1 kg Y L es tal que en ausencia del muelle el periodo es 2,0 s. ¿Cuál es la constante del muelle k si el periodo del sistema ()<,Cjlamc es 1,0 51 106
Posición de equilibrio
0,6 m
Figura 14_39
Problema 110
111 •• DemOSlrar que en los dos casos de la fi gura I4AOa Y b, el objeto oscila con una frecuencia f ::: [1 /(2 1t)! J k.rI m, en donde ker \liene dudo por (a) kn = k l + k 2 Y (b) l /kn = l/k] + l/k2. (lmJicociól]: Hallar lafller..a ne/a F soh" el objeto pam /lI1 peq/leiio dcsplatllllliemo .1' )' escribir F::: -krl .\'. Ob.tlrv(!se qlll.' el ] (b) los IIlIIe/fes se dcjonll(t1l cn camidode.f ¡Jifcremes cuya SlIma e.l· x. )
L
(al M
Figura 14.38
Pro ble mu 106 (b)
107 •• Una musa mI que ....: de.o;: lilll <;obre unn o;: uperficie horilOntal sin IO/.l.micmo e,.. tá ~uJ ettl n un muelle de con<.tanlC de fuef7J1 k y (N:i1n con amplitud A. CUllndo elmuelte c~ t á con ~ II mayor deformllci6n y In ma$a e~lá instuntÁ~anlc nl e en rcpoM), .se coloca en la p.1rte ~upc rior de mi otra masa ml' (11) ~Cujl e\ el menor \lalor del cocheientc dc ro/Jlmlento e~lltlico J1.o que pcnnite q11e:' 111: nn de~l¡cc !;Obre mi 'l (b) E'l.ptiear e~mo
108
•• Unn ":IU(I de 100 kg de m:l ~a euelg .. del teo.:ho de unll hablll,dón ¡ttu a un muclk de con_tallte SOO N/m. El muelle tiene una lonjlllUd natural !ir 0,5 111 (u) l)ctcnlllnur III po~ici6n de eqUIlibriO de In caja. (b) Un muelle ~nti\:o "-! cuelga dclledw y de lu nll~mll clIJa. Al lAdo dd anlerinr J)clenm n:ar UI! I'~ul' ncia tendrán la ~ IhCilacioncs cuando 'iC ht",.c In C:ll:1.. ((') ¡,Cuál <;enli llueva po~ic i6 n de e~l ulhhn o de la clIja, Cllllndn ne¡l~ l).l1"ándo,e'l
Figura 14.40
Problema 1I I
112 •• SSM Un bloque pequeño de mnsu 11/ 1 de~cansn sobre IIn pi ~ t 6n que c~ t á vibrando "ertienlll1emc con movimiento ann6nico :.imple dudo por .\'::: A sen /'IJ'. fll) Dentmtrtlr que el bloque se <;eparnrd del pist6n si arA> g. (b) Si !tiA. 3g Y A .. 15 cm, ¡,en q ué inSlllnte el bloque:.e ~p:l mrd del pi:'16n?
i
El é-Inbolo de una máquina de lanzamiento de bolus tiene una musa m~ y esui conectado a UII muelle de COnstuntc de fueila k (figuro 14,4 l l. El muel le $oC comprime unu distancill lOa partir de ~u posición de equi. librio, .l = O. y '-C deJt en libertad. Una bola de mu .....' m~ e!lld junto!ll émbolo. «(1) ¿En qué punto 111 hola se sepnl'll del émbolo? (b) ¿Cuál es lu \'eloddud l'" de lu 113
••
bola cuando t.!ila 'C! separal (e) ¿A qué di<;; tanciull el émbolo <;e detiene momenu1neameme'J (Sup\'lneT que la l'uperlicie es horizorual y Sil) rtl/Jlllliento de modo que 111 bola 'iC deslila ..in rodar.)
"28
I
C"prtulo 1"
OlCnadolle~ 120 • • •
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1' . . .
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Figura 14.41
O
1',, - "u
Un h lllqllC d e II HI\!l 111
<¡1 !lIlIdo ~f1l>rt IlIIII m~'18 hOTl/lm!!,1
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ul1ldo IIUI1 IHuL'll e de CU II~ ! 'mI C "CIUIIO \C mllC~lnt en la h1!ullI 1·14 \ H ~"lI:'h clc m e lll.' m/JllIllellm tl n 11('0 eIJlrt d hll)(IIIC y la ",,,~a C'" JI Se e,¡i'1l d IIII~ lI e UllfI lc 'ugll udA y IIIC}th se le IIcJn libre, (uI Aplicar 1/\ ~1!unda ley de l'irwt(l!) 1111110(111(' Imm ohlener unn f:(: lIt1('i(¡1I p.ull \U lIcelemci(m fPVflt' duralllc 1.'1 ro IIJCI rnedlo l'IClo, 11111,11111' el cunl el bloque ~l' (:~\li mO\'lendo hucia IAI/q me/da DCIII(IQrur que 111 ccullcif/U re.,u lt/ulle puede c<.<:ri bir<,.t como dl f'Id,.' (,/,' en do nde (IJ • ./klm y " • \ lO "(111 In - I1.'"/(I/( - JI,X1t¡j! (bl Rtpt!ll r el IIPMIlIdo (al pm'u el \ClI undo \CnutÍclu. CIIRlldo cl blOCriblr el mr)Vimiento. M lo hRy. dt pua del quinto ¡;emiciclo.
O I)roblcmll 113
114 •• Una platarorma ni\'elada vibra horizonl111meJlle enn movi micnlO annónico ~ imple con un reriodo de 0,8 s, ( u ) Unn c¡lja sobrt' la platafonnu COmieJll.<1 a deslizat cU:lIIdo la amplitud de vi bración 1Ilcanl.1l lo .. 40 cm; ¿cutíl es el coeficiente de ro7Juniemo estático e nt re la cnja y ItI plutuforma? (b) Si el cociicieJlte de rozamie Jlto estático entre la cllja y la plutufoml¡' fu era 0040, ¿cuál seria la amplitud máximu de vibración antes de que la cajtl dt!slizase?
115 ••• La energía potencial de unn masa 111 en función de la posición viene exprc.~nda por U(x) = UO
Fig u ra 14.43
Problema 120
La figuru 14,44 mUCSlru un semicilindro de nmsa M y mlll{' R quc dC.'>CILIlSII sobre una s uperficie horizontal. Si un lado del semicilindro ~ ,Ipuja ligeramente y luego se libcrn. el objeto Q.<;cilan'i alrededor de su po K '11 dr equi librio, Detenninar el periodo de esta osci lacióJI, 121 • • •
(d) Aproximar el término Ilx utili7..ando el desurrollo binómico
(1
)" _ I I/(n - I ) ! I/(II- I)(II - 2) r ) + +r +lIr+ (2)(1) r.f (3)(2)(1) .. ,
con r = fi.to« I y desprcciur los términos de potencia superior a r. (e ) Comparar el resultado obtenido con el pou.:ocinl de un oscilador anTlÓJlico simple. Demostrar que la masu expcrilllentan'i UJI movi miento annónico simple pam pequeños desplal.amiento~ del equilibrio y detenninar hl frecuencia de este movimiento. UJI tambor drrndrico sólido de m¡l.<;(I 6.0 kg Y diámetro 0.06 m rueda sin desli7.<1mienlO sobre UJIU superficie horizontal (fi gum 14.-12). El eje del tambor c.~tá atado a un muel le de cOMtallle k = -1000 N/m como i>C indici!o(a) Determinur lu rf'C(;Ue neill de osci lación de c.~tc sislcma paN! pequeños desplazamientos del equili brio. (b) ¡,Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento c.~t át ico p..'1ra que el 1Hmbor no dc.~ l ice eUlludo la energra de vibrncióJl es de 5.0 J? 116 •••
Figu ra 14.44
Proble mu 12 1
Se perfora un túnel Ix.'queño a trJvé~ de la TieITtl ~'omo se indien en la fi gurn 14 .-1 5. Suponer que lUlo paredes carecen de rouuni cnlCl. lal L¡¡ fuerl.U grnvit¡¡toriu ejercidu por 111 Tierrn sobre una punfcula dI;: ma...:! In a unu distaJlciu rdel CCJltro de la misma cuando'" < Rr es F,= - lGmMrlR,k. en donde MT y RT son la mnsa y el l1ldio de In Tierra rcspcctÍ\ amcnte. Dc1TlQ'.tllll' que l¡¡ rueT2<'1 ncta sobre UJl1l ¡>anitullI de mIlS¡! m situadA a una dil>t1lncia Hltl centro del túnel vie ne dRdR por F, :: - (GII/MTIR?I,t. y que el mo\'imiclllo de 13 parl fcula es. por consiguiente. :I{mónico. lb) Dcmostmr que el periodo del movi mienlo viene dado por T = 2n J R,lg )' hllllnr l>U \ :llor en minutO" (Resulla l>Cr el mismo periodo que el de un satélite quc orbite la licrTII (.'(:n:a tk su superficie y e..~ independien te de la longitud dcltúneJ.) '22 •••
SSM
Figura 14.42 Problema 116 117 • • •
SSM
Si :11111110\ do~ cucrpoo de rna~~ 1111 y III~ a los dos eXlre-
mOl; de UII muel!.: de con .. tal1le " y los hucemos oscilRr. dema...lmr que la frecuencia de o')Cilación e~ (¡) - (Hp) lI'l. donde JI" m,mi(m,+m:) Cl> 111 mll~¡1 ri.:du..:id:l dcl S1\tCiIlll.
' 18 •• Uno de l o~ modos vlbrneiolla l c.~ de la moléculn de Ilel tiene unn frtl'C uenci:. de 11.969 x 10 11 s l. Usando lu relación deducida en d problema 117. tkteOllin:¡f la .:;on~lante J: de 111 n1OI6.."\Ihl de HCI.
1 19 •• En el problem.a I II!. si '>C recrnpl1l1J1 el :ltomo de hidrógeno dt 111 molk ula de Hel por un átomo de deuterio. ¿cuál <;cm I~ nuc\.! frecuct1('ill de vibrnción de la rno hk u1:, 'J n~1 átomo de deuterio está fonn l\dQ por un protÓn )' un neutrón.)
Figura 14.45
Problcmu 122
' 23 ••• Un ()<;C!h.dor amoniguaclo licue un:! frecuencia rJ que e~ un 10 por ciC'nto menor que su frecuencia s.in alllOrtigunmicnm, (11) ¡,En qué rll~U" d l~minuyc ~u amplitud en Cndn osciltwi6n'l (b) ¿ En qué rúCtor 'c rt.'
Problemas
12" • ••
rk'nK"lrnr m...-Jllunc MI"IIIUU\\" .... wl\l\.'t"n lk! 111 t.'\:tI,lnÜn 14 ~ 1
dll ~11I
4Ul' 111 l.'t:IHldÓtl 1,1 :'jO!
t=~
12S • •• :SSM 1:11 c,t.: pn.lbkmll hll\ (lile oblener lu \'-: pI",,,,,i,, Ct'l1c.~ ",••,,..IIrtIIC a lit J'I'\Cndll 111('(h:1 C\.' \hJ,t 1"''' 111111 fu el":! , ml'ul ~um n lIU mdlmJn, h'lfl ,,,kl ¡ hlJ.llhl 1,I..l4), ((11 ()cIllO,I .." que 1:1
Plllcnda It"tnnulncn cCllhhl por 111 fUO:í/u hilpuIMlI''' C\,
I
429
126 ••• En C~\l' plOl>le ll1i1 dcl:Je de utih/1l1"':iC el te\u hfKk. del pn.hlcma 12:'i pum di.'t.I UCII la l'cuocitin 14 tlue ~ l uC I('l nn 111 '''Ichum de lit curva de reo,('" nnnciu CPII el \'nlO1 de (j c\Umdo In te\( lUIUK.:18 e.. ugudu 1 n lit ~<.{'nllfK'"11t el uCl1oll1inudur de In hacción elllre c('rchctc" de lo ecuoc,(in 14:'i:'i e~ 1~((fJ y " ", tio:ne 1111 vulm m!hlllll1 ( t u tx:tUldon l 'I.~5!oC ennmUlITII en el prublcnlll 125,) En el ('1"'\1 de unu ,e\,nnlmdu ugudu. In vnrwclon de (Q del nUl11erndor de 111 ccuuclt\n 14,55 puede del¡lJI'cdul1iC. ~l11llnCC$i lo pwcnclll cedidll ..em In mitad de ,"u vlllor 1I111x;1I10 en l (l~ \'" Iofc<: dc (/) jlHm !tl\ cuolc\' tI denominador f¡('¡1
"'J.
2"l(~. I
1.. "II/.\( 1,1 Itknl lll:ld tnl!on{)n ~tn l~" o,c11 (Ot O!) • \,(,'11 O, el)!; 01 .;lf'B demlNtur que ~,t:l ,Utll1m e "l:jll'é\,lón puede ('\'l'rib;ro;e
cus 0, ¡,en 01
«(1) Delllo...u1u e l1l(H1 Ce~ que ro ... n li~r¡¡ce m !( (Q (!.Iv) '( (/) (IA;,) " fduJ . (h) Uli li/3ndo In upmxilnnción w+ l~)'" 2C1"" dClllo~trnr que ro f,-\, ±hf2m . (c) Exprcsur /J en runciÓn de Q. (d)
..... n\O~U'1'tr que el \'lII(lr medio del scglHldo térmi no elel resultado del upar..lo lb) C:tkulndll en uno o má~ periodos es cero y quc, por lo tanto. p . = ~AwFusen I~
8
.\ p:mir de la ccuaci6n 14.54 pura tg 8. construir un triángulll rectángu lo en 14Ul' el CUleto OpucSl o al ángulo 6 seu bro y el adynccntc ~en 11I«(~ - atI) ) ulÍli/. ur este triángulo paro demostrar que
sen lj
•
::;
Ir l Utilil..nr este resultado de (d) para eliminar nledill cedida pueda escribirse
Combmur los re~ultlldOl. de (h) y (e) parn demost",r que exiMen dos valore\ de W pam Jo~ que In potencill cedida es In mit:ld de In corre\t)(lndienle en 1I1 resomlllcill y quc vienen dndo~ por
(U'\
de forma que 1,\ potencia
Por consiguiente.
WI= (ÚU+~
(u ,
= (t.1u - -'"
~
- wl = 6(1.1 = ClJ,/Q, quc cs equi v:tlente ;)
2Q
y
ecuaciÓn 14,49,
u..., parn representar las fucn. atÓmicos, (a) Usando una hoja de cálculo o una ealcullldora gráfica, representar gmficalllente el potencial de Morse usando 1) = 5 eV, {J = 0,2 nrn- I y ro = 0.75 nm, (b) Dctenninar a panir del potencial de Morse la separación de equilibrio y la con1>tante k para pequeños despla7":lmiclllOs del equil ibrio. (e) Delerminar un:! fórmul:! para la frecucnci:l de osci laciÓn de una molécula diatómica hornol1uclellr (e:. decir, con los dos átomos iguales) si los átomos tienen una lllaSII 111, 127 •••
El potcncilll de Morsc. que frecucntemente
1:1
'iC
(14.55)
•
I
OVI lENTO NDULATORIO
Capítulo
15.1 15.2 15.3 15.4 • 15.5 Este radar de la polida lanza ondas electromagnéticas, que se mueven a la velocidad de la luz" y que se reflejan en un coche en movimiento.
?
¿Cómo m ide el policía la velocidad d el vehículo? (Véase el ejemplo 15. 12.)
•
L as ondas transportan energía y momento lineal a través del espacio sin tra nsportar maleria. Cuando una onda se mueve por la s uperficie del agua de un e~lIa nqu e. las mo léculas de agua oscil an hucia arriba y hacia abajo pero no cruzan el estanque con la onda. La onda transporta energía y momento pero, en cambio, no transporta masa. Un bote de re mos también se mueve haciu arriba y hacia abajo impulsado por las ondas u o las. pero tampoco
cnu;urá el estanque impulsado por ellas. Las ondas de agua. las ondas generadas cunndo pulsamos una cuerda de guil nrra y las ondas sonoras. lodas ellas COlll porlun una oscilación. .. En cste capítulo seguimos unalizando el movimicnlo oscilntorio que comen7,Umos en él cnpílulo 14, estudillndo IlIs ondas I}criódicus, en cspccinllas ondas nrmónicns. Veremos que IlIs olldllS meca nicus se generan cuando hay una perturbación en un medio, como cluirc o el agulI. micntrlls que las ondas elcctromngnélicl.Is pueden existir sin que neeesarillmcntc hnyn un medio material por el euol lo ondll se propague.
Movimiento ondulatorio simple Ondas periódicas Ondas en tres dimensiones Ondas y barreras Efecto Doppler
"32
I
Ctlp,tulo 15 M13vlmlel1to ul1duh,torlo
-
O
,
Figura 15 . 1 (al Pul,\! de una \lIldn tm n ~\'cr; 1I 1 en un muclk La 1)c 11urb:IC;t~ n ~" perpendicular a la threcd\\n del lIlil\ itm ento de la o!1dll. Cb) Trc!> d¡bujo~ , ut'c,h O~ de uml (mdll lnl11~ \'crs al que \'¡lIju hada la derechn ,ubre un muellc. U n elemento de 1:1 ('uerda Ml mueve hucio "rriba y ubajo.
, (b)
(a)
1 S .l Movimiento ondulatorio simple Ondas transversales y longitudinales
Figura 15.2 Pulso de una onda longitudi n:11en un muelle. La penurbación se desplaza en la dirección de movimiento de la onda.
Las ondas mecánicas se orig inan medianle una perturbación de un med io. Cuando se r 'lisa una cuerda tensa, la pertu rbación provocada se propaga a lo largo de la misma en forn de un pul so ondul atori o. La perturbación en este caso consiste en la variación de la fonna le la cuerda a partir de su estado de equilibrio. Su propagación surge de la interacción de j da segmento de cuerda con los segmentos adyacentes. Los segmentos de la cuerda (el med i. ) se mueven en dirección perpendicular a la cuerda y por lo tanto perpendiculares a la direc 'ión del movimiento del pulso. Una onda como esta en la que la per1urbación es perpendicular a la direcc ión de propagación se denominn onda transversal (fi gura 15. 1). Una onda en III que l a~ perturbación es paralela a lo dirección de propagación se denomina onda longitudinal (figu ra 15.2). Las ondas sonoras son ejemplos de ondas longitudinales. Las molécu las de un gas, líquido o sólido a través del cual viaj a e l sonido. oscilan según la línea de propagación (moviéndose adelante y alms). comprimiendo y enrareciendo alternativamente el medio.
-
Pulsos de onda En la fig ura 15.30 se mueslra un pulso en una cuerda en el instante 1 = Q. UI forma de la cuerda en este instant\! puede representarse po r una runción )' = flx). Un cierto tiempo después (fi gura 13.3b). el pulso se ha desplazado por la cuerda. de modo que en un nuevo .. islema de coordenadas con ori gen O' que se mueve con la velocidnd del pu lso, éste es estacionari o. La cuerda se describe en este lluevo sistema por fix') en todo instante. Las coordenadas de los dos sistemu... de re rercnciu están relacionadas por
)'
,. •
1 ;; ,. a
O
Jl.t)
O
.0
Ca) O'
.t ".t - I'/
O'
..1.
,.
o
,.,
,'- fil')
.
O (h)
Figura 15 .3
1'1
y por lo tan lO flx') = jl,x - 1'1). Asf pues. el dc:.pl AllImi elllo de la cuerda en el sisternn ori ginal O puede escribirse
•
"
,,0
= x' +
.\' =
f(x - 1'1).
onda mov iéndose en e l sentido pos itivo de x
( 15. 1)
Esta mi.. nlll línea de rnzonumiento aplicada al caso de un pulso que se mueve hacia la il.quicn:la conduce a y = f(..I. + 1'1),
onda moviéndose en el sentido negativo de x
(15.21
En cada una de c..,ta" e.x prcsi(lne~. l' es el módulo de la \ clocidml de propagllción de 111 ondn, La función .1' =f(x - \'1):.e denomina runción de ondll . En cl caso de ondas en 111111
151 MovimIento ondulatorio simple ~n~nla.
la f UIICl\l l1 de onda I"\:pn.· ..cnla el de<;plu/ allue nttl Il1l11 wL' I'ul de In cuerdu. Para lu.. 1~!ld;l' ,Ollom, en el im-e, 1:\ hlllCIlm dl' Hmla pm:lk "l',. el dc-.:plnllUllll'nto lon g1\mllnul de la<; ;ll\~I~cllla, g¡I'I.'\l,a\ o la 1]I'(.', ioll lkl :I1n: , ¡:' IllS IUIIl' jolle..: de olldu "nn ~ o lu ciu llc ' de unu , uacil' n dll cn!ncialllalllada l"\' \lil\,.' ió n de ondu , que puede dcclm:ir<;e de la..: leyc .. de NCWIOII ,
' Ioddad de las ondas I\tl
propiedad gCllcml lit la ~ olldllS C~ que su ve llld dud dcpelldc de 1,\,\ propi edades del
-dio ) que e, indepe ndien t(' del mHv imll!nto de la fuen te dc 11" ondus. Por ejemplo, lu lnd Jtld del Mmido de la boc·inu de un eoche depende sólo de lus propiedadcb del tli!"c y no , 111O\'illliento d~ 1 eochr.!. En el ca:.o de los pulso!) de onda en UIl II cuerda. es fáci l demoslrar que cuarllO mayor es In "ión, 11u1$ mpid1ll11l::ntc St' propagan las ondus. Además, las ondas se propagan más r{i pida ~ ntc en una cuerda ligera que e n una cuerda pesadu bajo la misma te nsión. Veremos poste ~ m1i.~ IlI C que si FT (usamos ¡::r para des ignar la tensi6n porque reservamos T para el iodo) es la tensión y l' 11\ densidad de masa lineal (masa por unidad de longitud), la ve l o~ 'Jd de la onda es
( 15.3) VElOCIDAD DE lAS ONDAS EN UNA CUERDA
EJEMPLO 15.1
1
El gusano que corre para sa lva r la vida
¡PÓNGALD EN
Un gusano cstá a 2,5 cm del extremo d e la cuerda de un tended ero cUllndo la chica que está tendiendo su traje de baño en el otro extremo de la cuerda lo ve. La chica da un golpe a la cuerda de modo que por éstu se propaga un pulso de 3 cm de altura que se dirige hacia el anjmal. Si el gusano se mueve a 2,54 cm/s, ¿llegará a l extremo de la cuerda antes que le alcance el mo\'imiento generado po r la chica? Lu cuerd:t tiene 25 m de longitud y una musa de 0,25 kg Yse mantiene tensn gracias a un pe.'iO de 10 kg que cuelga de ella, l:li como se muestr a en la figu r a 15.4. La ch icu está tendiendo su truje d e baño u una distancia d e 5 ni del extremo d e la cu erda opu es to a la posición del gusano, I--~'------- "
•
m
2.5 cm
-5m --~ ~
Figura 15.4
Plantea miento dej PrOble ma mo~
lu rónnulu
l'
=
Hay que snhcr a qu¿ velocidad se mueve la ondn. Pam ello usn-
F7111 .
1. L., velocidad está relacionada con lo tensión FT y In den<:idnd de musa lincal¡l : 2. Calcular la densidud de masa hneal y la tensión n pamr de la tnrormnci6n reCibida:
l' _
-
11
~
2" JI
m, L
=-
~
F.,.
= mg
su CONTEXTO!
I
4Ji
043<4
I
Capftulo 15 Movimiento o ndulatorio
3, Aph c ar C\ to s
\'alorc~
:t 111 c'q>l'Csi6n de l' pUnll' u1cuhlr 111 volncidud:
\1
=
JIj J.1
1 J"'8 :::> "" =
= 99,0 mI .. = ~
4, L1Mr C'illl velocidad panl dctcnni nur cltiell1pü que larda en recorrer los 20 111
61
5 , I)ctcnninnr el tiempo que invicnc el gUStillOcnll1Qvcf"$e los 2,5 cm que le separan dcll':memo de In cucrdu y. IXlr lo tatllo, de la salvaci6n,
M ::: -
l'
20 111 = 0,202 s 99,0 mIs
ÓX'
::: 0,984 s
,,' -
El gustlno no se escapu del pulso
Ele rclclo Si se sustituye la masa de 10 kg por otra de 20 kg, ¿cuál será In velocidad de la:. ondllS en 1:1 cuerda'! (RI!SpUe,Wll 54,2 mIs.) Ejercido
Demostrar que las unidndcs de
JFT' J1
son mIs cuando F se expresa en Ncwtons y J1 en kglm.
En e l caso de las ondas sonoras en un fluido como el aire O el agua, la velocidad v viene expresada por
(1 ' 4) en d,.9nde p es la densidad del medio Jen equi librio) y B el módulo de compresibiliddCI l (ecuación 13,6). Comparando las ecuaciones 15.3 y 15.4 puede verse que, en general. la velocidad de las ondas depende de una propiedad elástica del medio (la tensión en el caSll de las ondas de las cuerdas y el módulo de compresibi lidad de las o ndas sonoras) y de una propiedad inercial del mismo (la densidad de masa lineal o la densidad de masa volúmica). Para las ondas sonoras en un gas, tal como el aire, el módu lo de cornpresibi lidad 2 es proporcional a la presión. la cual a su vez es proporcional a la densidad p y a la tcmperaturJ absoluta T del gas, La relación Blp es por lo tanlO, independiente de la densidad y si mplemente proporcional a In temperatura absol uta T. En e l capítulo 17 demostraremos que en este caso, la ecuación 15.4 es equivalente a
,> -
JY~T
( 1.\ .;) VeLOCIDAD DeL SONIDO EN UN GAS
En esta ecuación T es la tempcratuOl absoluta medida cn kelvins ( K) que está relacionadn COn la temperatura Celsius.lc l>or
T = Ic +273
(15.6)
Ln conMnntc ydcpcnclc de l li po de gus. Ptlrn moléculns diat6micns como e l O 2 '1 N 2 • y tiene el valor 1.4. '1 como el 0 : '1 N~ constituyen el 98% de la atmósfera, éste es el valor que cOITC.\pondc también al uire. (Para molécula:. l1lonoal ó mica~ como cl He. r posc~ el valor 1.67.) La constante R e,\ la cOIl .. lanlc universa l de tos gascs.
R = 8.314 J/(mol · K)
( 15.7)
I I:J módulo de romp~ltlilidFKi C$ el cociCllIe. con ~,gou neg.1li\1:I. elllTe el cambio en la presi6n y el c~pon' diente cambu) del volumen por umdlld de \-oIumen (caprlUlo 13):
n.
ór ' t.V' V
1 I!I módu lo dI! com llmibilifhld Isotermo. que de..
15. 1 Movimiento o ndulatorio simple
M
JEMPlO 15.2
I
IZ
29
I
435
x \O \ kg/mul
¡IN1ENTELO USTED MISMO!
Velocidad del sonido en el alr.
('nkulllr l. H"loddad del M)nldo en el aire (a) 11 O "e
y lb) 11 20 oc,
.Jpr la columna dt lo derecho t ¡"tente resolverlo usted mIsmo Respuestas
\lasos
,.
,a) 1. Escribir la
I NI " •r ~ Al
\'~ =I:n l mI... 1
dudo(Asegumrse de que la temperatura se conviene a kelvins.) (b) 1. Utilizar el hecho de
JT
ves proporcional a (ecuación 15.5) pam relaciollar lus velocidades a 293 K Y 273 K. (IUC
2, Calcular \1 a 293 K.
'h
=1343mi, 1
Observación En este ejemplo vemos que la velocidad del sonido en el aire es aproximadamente 340 mis a temperaturas ordinarias. Ejercicio Para el helio. M = 4 x 10-3 kglmol y y= 1,67. ¿Cuál es la velocidad de las ondas sonoras en helio a 20 OC? (Respuesta 1,0 I kmIs.)
Deducción de v para ondas en una cuerda La ecuación 15.3 puede deducirse a panir de las leyes de Newton. Consideremos un pulso que se propaga :\10 largo de una cuerda con velocidad v hacia la derecha (figura 15.50). Si la amplitud del pul so es pequeña comparada con la longitud de la cuerda, la tensión FT es aproximadamente constante a lo largo de la cuerda. En un sistema de referencia que se mueve con velocidad" hacia la derecha, el pulso es estacionario y la cuerda se mueve con velocidad v hacia la izquierda. En la fi gura 15.5b se mueStra un pequeño segmento de cuerda de longi tud D.s que se encuentra en el pico de un pulso. El segmento forma parte de un arco circular de radio R. Instantáneamenl'e el segmento se mueve con velocidad ven una lrayectoria circ ular, de modo que posee una aceler.lción centrfpeta V1/R. Las fuerloas que actúan sobre el segmento son las te nsiones FT en ambos ex tremos. Las componentes horizontales de estas fuerloas son igua les y opuestas y, por lo tanto. se cancelan . Si consideramos /js lo suficientemente pequeño. las componen tes vert ica les de estas fuerloas apuntan radial mente hacia el cen tro del arco circular. Estas fuerzas radiales proporcionan la aceleración centrípeta. Sen 8el ángulo subtendido por la cuerda. Lu componente cenlrfpela de In fu erl.u nela que actúa sobre el segmento es
L
Fe = 2FT sen ~ O - 2 FT( ~ 9) = FTO
en donde hemos utilizado la aproximación sen ~ 8 - ~ O para valores pequeños de 8. Si Ji e,'ii la masa por unidad dc longitud de In cuerda. la masa de un seg men to ele longitud .1.s es In = J14s. El ángulo Oviene relacionado con s por 8 = ~ R Ul mllsa del elemento es, por lo tanto. ni
= p tl s - pRO
,. •
--_/'-~--
(a)
8= R
.n·~ k) '" 2FT scn
t /'1
(h)
Figura 15.5 (a ) Pulso de onda moviéndose con velocidad l' n lo largo de uml cuellla. (b) En un sistema de referencia en el que el pubo de onda de (a) cst:1 en reposo. la cuerdo se eSlá moviendo COII \'clocidad v naci:1 1:, izquierdll. Un segmcmo pequeño de la cuerda de longitud A.~ se /llueve sobre un arco ci rculnr de radio R. Lu aceleraci6n centrípeta del segmento la originun los componemcs rndioles de la [ensi6n .
.06
Caprtulo 15 Movimiento ondulatorio
1.11 '! q!ullda ley de Newlon (1:,,\ =
//I u \")
nw, llevo a
IIRO
v' 7i
De"pc)lIndo 1', llbtcm: mo'! l' = Ji,'~I / JI . En el !>i:. lcl1In de referencia o!'ig in ul.lu cuerda é.~ t {j t1ju y el pll l,-o '\e mueve con vcloc id¡tú l ' = J ¡:T/11. que c'! la ccuución 15.3. Como \1 es independiente de R y (J, elote resul lndo c... vá lido pura el pico ti!.! cua lquier pul ~o . A continullción de nlCl~ lrarc lll Os que este resultado no ¡.;610 c~ ciertu para el pico. sino también pura el rc'> to de IlIs parte .. del pulso.
*La ecuación de onda Pode mos aplica!' las leyes de Newton a un segmenlo de cuerda para deducir una cCUltción diferencial Ilamndn ecuación de onda que relaciona las derivadas espaciales de la fu nción y(x, 1) con sus derivadas temporales. La fi gura 15.6 muestra un segmento de una cuerda, Consideraremos sólo ángu los pequeños 81 y 8,.. En este caso, la longitud del segmento , aproximadamente ó'x y su masa m = J1 ó,x, en donde f1 es la masa de lu cuerda por unidad . longitud, Primero demostraremos que. para desplazamientos verticales pequeños. la fuer/a resultante horizontal sobre un segmento es cero y que la tensión es uniforme y constante. decir.
Figura 15.6 Segmento de una cuerda tensa utilizado para la deducción de la ecuación de onda. La fuerza vertical ncta sobre el segmento es Fu sen 9:z - F TI sen 8 1, siendo FT la tensión en la cuerda. Se obtiene la ecuación de onda aplicando la scgundll ley de Ncwton al segmento.
en donde ~y 8! son los ángulos indicados y FT es la tensión en la cuerda. Como se sup< :e que los ángulos son pequeños, podemos aproximar cos 8 por 1, Por lo tanto, la fuerla n a horizontal que actúa sobre el segmento de cuerda puede expresarse en la form a
Con lo cual,
El segmento de cuerda se mueve venicalmente y la Fuerza neta en esta dirección es
Se supone que los , ángulos son pequeños. por lo tanto se puede aprox imar sen () por tg f:) para car!a uno de ellos. En estas condiciones la fuer.la venicaJ neta sobre el segmento de cuerda se escribe como
La tangente del ángu lo formado por la cuerda con la horizonta l es la pend iente de la curva formada por la cuerda. La pendiente S es la primera derivada de y{x. J) respecto a x paro 1 constante. Una derivada de una fu nción de dos variables respecto a una de ellas. manteniendo conslítnte la otra. se denomina una derivada pnrcin l. La derivada parcial de y res· pecto a I se escribe ay/ax, Asf tenemos S =
ay tg9 =a:;
Por lo tanto,
en donde SI y S2son Ins pendientes de ambos eX lrcmos de l segmento de cuerda y óS la variución de la pendiente. Haciendo que esta fucn.t neta sea igual a In masa ti ó,x multipl icada por lu ncelcración ()2yliJt~. se tiene
15. 1 Movimiento o ndula to rio slmpll!
,.. , Al ~ Fn l'Ilímit\! Al'
O. tent:IllO!>
~ =
lim
~\\, n .6.x
"
(IS.R)
as
as
PU¡::-'. la \!cundón 15,8 se reduce a
\ ( 15.90)
I cClltlci6n 15.9<1 es la ecuación de onda para una cuerda tensa. .l
Ahora demostraremos que la ec uación de onda es sa tisfecha por cualquier función de IIr. Hagamos a = x - IIr y consideremos cualquier función de onda y = y( x - VI) = y ( a )
1 derivada de y respeclo a a la denominaremos y'. Entonces, por la regla de deri vación en cddena. tenemos
a" aa -::... - = ,aa ax da dX .' ax ~
l'
-
y
ay - ay ~_ ,aa a, aa a, . a, )'-
Dado que
aa: as ~c
a(x - VI)
a.,
-
1
aa: a,
y
a(x - VI)
a,
-
-v
obtiene
i!l:=/
ay _ al
y
ax
-\l\"
Tomando segundas derivadas, tenernos
a'y' " -y i) ,\,2 y
=
av' da
- 1' -'- -
da
a,
=
t\~{ pues,
( 15.91»
El lll i"llIo rc\ullmlo ...e obtlcne pan! cunlqUlcr función de l' + H . Comparando lru. e uacionc\ 15.9a y 15.% \e IllO~ 4UC In "clncldad de propagacIón de la onda es \' = !PTFp. que es 1:\ ecuaci6n 15.3.
I
437
438
I
Capítulo 1S Movimiento ondulatorio
EJEMPLO 15.3
I
Función de onda armónica
Fn ,,1 apar1ado ~11lUit.nl{' ~ deftn{'n las ondas Ilm,ó nlcllS medlanl" l. rundón d" ondlL'$ y(x, 1) "" A w n\l,X' _ «Jf ). en donde l' _ wlk . I..)tm....lmr. l:lIkuhandu C\,I,lídIHmenlr las derl\'lldlL'l. que 111 "andón )'(.\,.1) _ A St'n (ob' - wI) SKll"rRI."t' la C'C uaclón IS.Yb.
iJ
()y
1 . Ca\cuhlr In 11II111(,fl.I )'
~ cgunda
..... iJ~
clcrivudu du y respecto 11\':
", IA scn(k.I - wl)l - ¡\ cos (kx - lúl) ox
= kA
a'f.:il'
COl> ( h
iJ iJ,
() (kI - (VI)
iJ
~
- (VI)
iJ
= 5X~ = ¡rkACOS(kr - lúI)
= - kA scn(kx -
()(k.I - WI) i)
lúI)
.1
= _k1 Asen(h - WI)
ay a,
2, De iguulmodo. las dos derivada:. parciales respeCtOal liempo, t. son:
=
ala lA
sen (kx - W/ ) ] = Acos (h - rot )
ae/u()t- COI )
= - wAcos (kx - WI ) i)2\. ~
3. Sustitu)'endo estos resultados en la ecuación 15.9b se obliene:
= wA
sen
(kx - rur )
_k 2A sen (kX - últ ) -
f.l(kr - ún ) ' at
~
,
= - a¡2A
sen (kX - últ)
f- úPA sen (h - rur)J
o bien A sen (kx- rol ) =
w!lk 2 ,
yl"
4. Sustituyendo k utilizando k = aYl' se obliene:
A sen (h - rot ) = -A
A
sen (kx -
sen (h- úH )
l"
últ)
=IA
50"
(h - col )
I
Observación Hemos demostrado que la función y = A sen (kx - ((1') es una solución a la ecuación de onda si v = oik. Ejercido
Demostrar que cualquier funci ón y(x + 1'1) satisface la ecuación 15.9b.
Utilizando las leyes de Newton puede de'ducirse también una ecuación de onda para las ondas sonoras. En una dimensión esta ecuación es
-donde s es el desplazamie nto del medio en 13 dirección x y v. es In velocidad del sonido.
15.2
Ondas periódicas
Si el extremo de una cucrdn tensu se mueve de ronno periódica hucia arriba y haci n abajo. se genera una ondn periódica. Si unn onda pe riódica se mueve a lo largo de una cuerdn tensa o en cualquier otro medio. cada punto delmcdio oscila con el mi smo periodo.
Ondas armónicas Las ondas armónicas constituyen la clase más básic;¡ de las ondas periódicas. Todas las onda.'), tanto si .':>on periódicas como si no lo 1'011 . pueden descri birse como la suma de ondas umlónicn:.. Por lo lanto, el conocimiento de l movimiento de las ondas armónica!, es fundamental p.'un poder generalizar y obtener la descripción de cuulquier clase de movimiento ondulatorio. i una onda a rmónica se mueve por un medio. cada punto del medio oscila .':> iguiendo un movimiento nnnónico simple.
I
15.2 Ondas peri6dkas ~I
1111 ~\lrcl1l'\ d~ una ~lIcrda "c ~1l 1 ":1II 11 un lhup .. "on quc C\¡tu \ibl'lInllo co n lllflVlIlllcn lu m'\IlICt) "llIlplc, "e p"'lh ce un In.'TI lIc ,'lIda" "11Il1"\lIdalc" llllC ..c propaga ti lo 1.lrg.u de In ~'1 l c('{l;l E"ll' tn.:n d" ,'nd"" e ... una ondll [\llItlllm'a Ln tlll'11l:1 de lu euelllu l'''' In dc tlUU IUIH..' lllll ~ll'\ lI"lli dal. ":Olll'\ IllU~ .. tr;t la lilJ.llloI ¡S .7. I a di .. ulIll'in I1I fll llll U l'CcWTIdll en el e"pncio h '\<.;1II ~Ht" 1,1 lun..:idn d~ ondll "c rqull' (la dbwnl.'t:1 ~lI t rc cn.: .. ta'i, jlllr ,-,jeJ1lIJlu) :-e lJanm IlIn~itlld dt' 1I1ldu J., Cu.mdo 1:1 (Inlla ~c pmpag:1 1)01' In I!ucrda, I.'ndn IJUllto de la mi~l1\a :-c lI1ueve hac in lUiibn \ h;ll.'i:l ah¡lj" (pcrpt:lldh:u larn\l.:n lc 11 la dir'ccc ión de propagación) rcul i/ando un lIl()vimiento :1\ÓI\I":O ... implc ":U)U frecu cnc in fl'~ la del diapll:-ón. Durante 1111 periodo T = I//, In onda se IIUCH' una di slllncia dc una longitud de onda, de modo que la \'e loddud viene ¡J¡¡dll por
I A " =-=!A T l
(15,10)
relación surge de la~ dcli niciones de longitud de onda y frecuencia. es vál ida paru 'f.!¡¡S las ondas armónicas. La runción sinusoidal que describe los desphll.amiemos en la figura 15.7 es ,'1110 Q.ta
y (x) =
Asen (2 n~ + 8)
en donde A es la nmplitud . Á la longitud de onda y 8 una constante de fa se que depende de la elección del ori gen x = Q. Esta ecuación se cxpreS¡1de rorma mús sencilla como y (x ) = A sen ( kx + o)
(15.1 1)
en donde k, el número de ondn, viene dado por
k = 2rr A
( 15.12) •
Obsérvese que las dimensiones de k son m- l. (Como el ángulo debe expresarse en radianes, a veces se escriben las unid:.ldes de k en la rorma rad/m.) Cuando se trata con una única onda annónica se suele elegir el origen de modo que 8 = O. Para describir una onda que se mueve en el semido crec iente de x con veloc idad \/, sustituyamos x en la ecuación 15. 11 por x - vr (como hi cimos con los "pulsos de onda" de la sección 15. 1). Eligiendo ó igual H cero se obliene y(x. r) = A sen k(x - VI) - A sen (kx - kv/)
o (15,13)
.v(x, r) - A sen (kx- wl)
FUNCIÓN DE ONDA ARMÓNICA
en donde
w=
( 15,14)
kv
es la frecuenci a angular y el argumento de la runción seno. (le.\' - la). se denomina fase. Lu frecuencia ungu lar está rclacionadu con la frccucnciafy el periodo Tmed iante ro = 2rrf
SUlllituycndo
(1) =
=
0" =r
2¡ifcn la ecuación 15. 14 y utilil'''
o l ' = jA. que es la ccullción 15. 10.
/..\1
2" = T"
, •
,
,' • Figura 15.7 Ondo arm(jnll;u en un cierlo In ~l .. nlc de w:lllpp. A C-~ In :lInplilud y A C\ la l(logllud d(' onda . 1; 11 el Cl1"O elu (1r1dOli en una cuerda puede obtcncNC CMa figuro lomando IInn fOlogmffa inlltal1ll1nca de In
,
( 15,15)
439
nll ~ mll .
I
~~
C"pítulo 1S Movlm1ento ondulatorio S1 uno p lId" lUlll\1l1ica ql1l:
<;C
11111C\'C IM.1r 11111.1 cucrd u C<;IÚ dc l,(:nla lX' r ,(r. 1) ,. A <;e n(Á.t
lIX J.
el1 UI1 pll l110 riju \ 111 vc lt lCidl1t1 vient' dudl1 r
,.,
.
iJ
(JIO
-'- ,. ::1, [A (JI v
WI) 1 JI< wA
M" 11 (k\
co"r 4\
wl)
( 15. 161
VltOCIDo\O TRANSVUIW
, La aCc.llcrac iÓn en eMe punto viclle dudn por U}yIU¡2.
EJEMPLO 15.4 1
Una onda armónica e n una cuerda
¡'undón tic onda de 111111 ol1du urmónil'1I (Iue sc mucl'C cn unu cuerda CS)'(x,l) = (0,03 m) )( S<'II 1(2.2 m- I ~r - U,S . 1)1]. (a ) ¡.En (Iué scntid o se propaga estu onda y c u á l l!.~ su vclocidud" (ti) I)etcrminur 111 longitud de ondll. I:a frecuencia y el per iodo de c.slll ondn. (e) ¡,Cuál e.~ el desplu· zllIn icnto máximo de cualquier segmento de cuerda? (d) ¿Cuál es la vclocidud máxima de cual · quier segmento de cuerdu'! 1.11
Planteamiento del problema (a) P:m.l. determinar el sentido de la onda. expresar y(.\'.I) como unu función de (x - 1'1) o como unu función (x + Vi) Y utilizar las ecuaciones 15.1 y 15.2. Para deler~ minar la vdocidud utilizar ro = kv (ecuación 15. 14). (h) La longitud de onda. frecuencia y periodo pueden determinarse a punir del número de onda k y la frecuencia angular w. (e) El desplllzamiento máximo dc un segmento dc cuerda es la ¡amplitud A . (tI) La vd ocidad de cuulquier segmento cono de cuerda es aylal. (a) 1. La función de onda es de la forma y(;c. 1) = A scn(kx - ca). Te niendo en cuenta que w = kv (ecuación 15. 14). escribir la fun ~ ció" de onda en función de x - VI. Usar las ecuaciones 15.1 y 15.2 para determinar el sentido del movimiento:
2. Como la forma de la función de onda es y(x. 1) = ¡\ sen(kx - ta) sabemos cuánto vlIle A, ro y k. USlIrlOS para calcular la velocidad:
(b) La longitud de onda ). está relacionada con el número de onda k; y la frecuencia y el periodo están relacionados con úJ.
y( x.l ) = A sen (k.r - Wf) c.<¡
y ro = h
decir,
y(x.1)
= A sen (k.r-wl) = A sen [k(x - I'I)]
la onda viaja en el l sentido +x l'
w
A
= - = 2;r T T
k
I
3.5 S- I 2.2 m- I
•,
= 21l" = 2;r k 2.2 m- l
T
= 21l" 21l" =. l ' 80 S 1 ro = 3.5s-1
=1'.59 mI' l
=1'_. 86 m 1 . .
, J=
- = T
mI
(e) El desph1Zumienlo máximo del segmento de cuerda es la amplitud A:
A =10.03
(d) 1. Calcular av/a, para detemainar lu velocidad de un pUIllO de In
, y -~- (OO,
cuerda:
I
-
al
-
•.
)d l M:n(2.2m l x -3.5s- I/) 1 m ¡ir
= (0.03 m)( -3.5
,) cos (2.2 m- Ix - 3.5 S- I, ) '" -(0. 105 mIs) cns (2.2 m- l x - J.5 S· I I )
2. La velocidad trnnsvcrSlI1 máxima llene lugur euundo la fU!lCión coseno ticlle el valor de ± 1:
Observación Hcmm incluido las unidudes para dcsllle¡lr cómo ciudimo-. dc ellas por simplioidad.
!oC
\',. "'" =10.1 05 mIs
~
I
ulil illln. Con frecuencia prc... ~
Transferencia de energia a una cuerda mediante ondas Cons idcremos unu cuerda s ujclll 11 un dinp:¡són. CUll ndo és te vibra, transfiere c ne rgía al segmento de cuerda unido a él. Po r ejc mplo. c uando el diapasón se desplaza de su posición de equ ilibrio. estira el segmento aume nl;lI1do su e nergín polcneial y tran sfi ere una vcJocidml transversal ni st:g~ mentn. incrementando su e nergía ciné ticu. Cuando una onda se mueve a lo largo de In cuerda. la energía ~ transmite por ésta a los rc.~ tantes scgme ntos.
15.2 Ondas periódklu
441
,.
1..1 pOlcncm c" \<1 la'1I uC Imn,ll'I~T1 t: iu J l' e ncrgía . In putl'lIcin 'c cull:u lu JClcrtmnundo la 1~I,a con que 1'C,lli l a lrabaJ\l In fU\..'r/ :I (jUl' \111 ' l'g.UlCllhl dc l'ucrdn l'jCI'tC 'I obrc un ~C!! T'l\'nhl \c,.'C II1U. L.\ li gur:¡ 15 S IIlUC"lra una 11IIUtL urrm)nic:, rnuviélluu\c IUlel !! lu dcrccha a 1: 1\'6 dc un ' <'!?TllCnl0 dc l'lIcnla. La Icn , iun 1', que nClóa , obre el c\II't: lllo i/qu ic rdo del . . ·I1\e nlo,: ... 1 ;I1l ~CI\I C ti la cucrda. 1';1m cakulnr la putcnl'iu trull:.fcrit.lu por C'i\ll fu er/o U"1I 1111 1' h\ fl) 1111u\n P ~ F I ' ' 1 (cc uación 6. 1(1), dOlldt: 1'1 c' la ICII., iólT y " 1' la vc llll'i dnd ¡mn/,>\ l"'UI. es la vcloci dad tlcl e XII'C IIIO dd "cgmcnt u. Pura ohh.: nC'r 1I1111 ex prc\ ión pUl'll 1.. 1 [cnd a primcro CXlll'C!\ 3 1m1S lo, vectores en fu nción dc !\U, CO l1l p() lI c n te~ , c\ decir, "''1' = i + J.'T\j ) \ '1 = ,,,j , con lo (:uul P = F,\ 1\. A parlir de la ecu nción 15. 16 oblcl1cmo¡. 11) y U ,tir dt.:: In l1g.um 'cilla:'> quc P I\. = FT sen () - F r tg9. en dOnde se ha usudo la a pl'llx imfl~ In ~eg~í n la l:ual. pal1l :'I ngulns pcquclio¡. senO - Ig/l Como Ig () e)¡ 111 pelldi enlc de In 'run. tenC Ill(»)¡ tg O = ay/iJ.\'. y por lo tanto J> = FT). \'l--FTtg8 1',.' = - f
I
, Figura 15.6
• (Jy(Jy - T (JX(J I
= - FTl kA cos(kx - lvt ) J[ - A lO cos(kx - lOt )J ,ando las ecuaciones 15.3 y 15. 14, sustilUi mos FT y k, obteniendo
,
, .'0
P = j ll'ar A2 cas2 (kx-wt )
(15. 17)
donde l' es la velocidad de In onda. La potenci a media es l' m
(15.18)
ya que el valor medio de cos2(1u - ca), si se calcula el promedio sobre un periodo enlero del movimiento manteniendo x constante, es ~ . La energía recorre la cuerda a la velocidad de la onda v. por lo que la energía media (llE)m que flu ye por un punto P I du rante el tiempo Ilr (fi guras [S. 9a y IS.9b) es
,,
/
, \../
x
\./ (a)
E... ta energía se distribuye a lo largo de una distancia óx = vllt , de modo que la energía med ia en Ilx es -
-
X
( 15. 19) l ' dI
, ~(\
-UO'~'tI
Obsérvese que lanto la pOlcncia media como In energía med ia transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda.
EJEMPLO 15.5
I
Ene rgía tota l media de una onda en una cuerda
Una onda armónica de longllud de ondll 25 cm y omplilud 1.2 cm se nnU,' \'e a lo largo de 11 11 lieamenlo de 15 m de una cuerda de 60 m de longilud y 320 g de mlL'WI que está sometidllo una tensl6 n de 12 N. (n) Determinar la \eloddud ) la frecuc.nclM anguhlr de 1Monda. (h ) ¿Cuá l ('S 111 energílltotal media de la onda?
Planteamiento del problema La velocidad de IIIS ondn.~ C.\o l' = .) F TIJI . en donde FT e" conoddll y J.l :::: mIL Dctc nl1inHmo~ W 11 p" nlr oc tU = 21f1: e n donde! _ Io/..t La cn<'rgfll l>C ('lbllcnc dc la ecuación 15. 19. (a) 1. La velocidud está relal..'iolll\da I.:on la len,ión y IJ dcn~ldad de masa lineal :
(b)
Figura 15.9
442
Capftulo 15 MO'I'Imlento ondul.torio
'"
p = I
"• l , LIIn.'cu<.nt'Ul llllgulllr ~c l.ietcfminll 11 pan irde hl frucuclIl';U y ~~t ll \k la Idncidlld y lu hlllgltud dc onda: (b) LA clK'rgfu 101111 n~t.l ia de Ill~ ondu, en la cuerdu viene duda I>(lr In t'i,'IHlCll1n 15,19 con JI 6..\ :1:1 6m = HO g
{¡J '"'
(,
,
~-¡¡
P·,I
• 4'
ni
2trJ '"'
/( 12 N)((,() m ) •
{'
(0,32 ~g)
"'147,4 mIs 1
.. 2fr 47.4 mI, · EI 90md/~ 1 0.25 m 1m (Ir --.lA"' ... 1"
- -
2 /~
= !O,32kg(1190 ~ 1)1(O,OI2m)1( 15m) 2 60m
=I K.19J I
Ejercicio Calculur la cnergCn [otal media tmn~mi t ida por unidlld de tiempo a lo largo de la cuerda. ( RI '.\lml'~ Ja
25.9 W)
Ondas sonoras armónicas Las ondas sonoras armónicas pueden generarse medimlte un diapasón o un altavoz que vii" re con movimiento armón ico simple. La rl1ente vibrante hace que las moléculas de ai re pro 1mas osc ilen con mov imiento armónico simple alrededor de sus posiciones de equilib. _11. Est¡t~ moléculas chocan con otras molécu las próximas haciéndolas oscilar y, por lo tan ,}, propagan la ondn sonora. Lll ecuación 15. 13 describe una onda sonora :lrmónica si [a fl ,nción de onda y(x.t) se reemplaza por s(x,tJ, el desplazamiento de las moléculas respecto a ,11 posición de equi li brio. ( 15.10) s(.\"", t) = So sen (kx - (¡)[) Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la di rección del movim iento de la ond,¡ y dan lugar a variaciones de densidad y presión del aire. La figura 15.10 muestra el de..<;pl:uamienlO de las moléculas de aire y los cambios de densidad originados por una onda sonora en un momento determin ado. Como la presión del gas es proporcional a su densidad, el cam, bio de presión es máx imo cuando la variación de densidad es máxima. Los gráficos de la fi gura nos muestran que la onda de pres ión (o de densidad) está desfasada 90" respecto al
., ••
Figura 15,10 (a) Dcsplalamiento respeCIO al equilibrio de las moléculas de aire en una onda SOllora HrmóniCIl en función de la posición en un cieno instante. Los pun!m Y '\"3 son puntos de desplallltlliellto nulo. (h) Algunas molécula:. representntivas igulllmente e¡,puciadns en sus 1>O.\oicione:. de equilibrio 1/4 de ciclo ante... 1...'1:. nechas indican el sentido de !'ous \'e1ocidn~ en ese momemo. (e) M o lécul3~ pr6ximu~ a l o~ pUntos x" .l'lY ,\¡ dc.'ipués de ltlllegada de la onda. Justo a la izquierda de " 1' el dcsptuz.1Illicnto es ncglLti\'o. indicando que las ll1016cul a~ del gas !'oC dcsplal'llll hoci" In izquierdu. u[cjilndose del punto XI en c.-.te momento. Justo u ln dert'Cha de XI' el ~pla/.n lll ie n to e~ positivo, indicando que las moléculas se dC~[l ln¡¡U\ hacin lu dCI\."Cha, o <;<::1 , de nuevo ulejándosc del punto 11' A!of. en el pUllloxl la dcnsidnd c.~ un mínimo, ya que IlIs moléculas de ga~ en :mloos ludo.o: ¡,e dcsphwm ¡¡Icjilndo~e de dicho [lUIIIO. En el punto \"1' lu den~ idnd e~ un m:himo porllue IIIS moléculns a ambos I¡¡do~ de e!,lc punto S~ desplulan hacia .1'3' En cl punto 12 1a dcn~idnd no !oC modilica. pues las moléculas a (llI1bo$ lados de cste punto tienen desplnlamiemoo Iguales en In mi.!omu di rección. (ti) Den ~idud del aire en ese momelllo. La densidad es m:ix inm en.l'l y mfninm en fl' pUIIIOS nmbo!> en l o~ que el d,.:spla7.amiento es nulo. fu cero en el punlo X2' que e:- un máximo en el desplulnmicnto. (I!) Cnrnhio de presión, que es proporcional al cambio de dc:n .. idnd, en fundón ,le la posición. Lo.. cambios de prc:;ión y de.!oplu7JlmicIlto (cambios de posit'i6n) c.~ldn dc.,flbado:. en 90"
x,
id) l'
(,)
15.2 OndlU perlódkas
dt'plalJIlIlCnHI de la \lIIda (FII lo ... mgulIl\:'nhl'" ¡k la ... IUII\: IOIIC'" "'1.'11\) \1 l'lI... t'I1U "'Icrnprl' ,,\ ¡lfC,J,l1J(l' 111, án~\lI{} ... dl'Il\\l' l'JII,ldtlllll" SU\ I'lllhmgu, en In' de",clIlll'üJllc", \'crhHIc~ t kd ~ nlt\ ... n\ll1nalmcntc que ..1..1,\ . .. oml:l' ~,t;¡11 \k ... la ... llllll'" l){)' .... ell IU11m de '·do... (1IIdu' e .. uln dC"!'Il, ,l;\'. 1d2 ¡adí:U1C ..... ,) C'uulldo c.>Ilk"'plu/lIl1licl1 tO 1'''' \:crtl. lo"'cumhto ... dI.' pn.... ioll y densidad 'i"fl l11;hitll\l'\ o IlHIlI1110 .... t\ltIndu el dc . . plu/UlIlll'l1lll \: ... n11l\i1 1l0 IIlII fllIlIl O, In ... ca thhio¡, de rlH "'Ión ) dCII'ldOld '011 nu lo ... . Uml ondn de dl' ... plaltlllllCl1tll duda por la cl:uacióu 15.20 111 'Ihca lIun IIndll de Im!,¡(\n dada por 1' = IJ(l scu ( ~,\
(j)/
,~ "- )
( 15.2 1)
d, ldc T' reprc ...cnl:l el ('tl1lr/};(1 de presión rcspecto ¡¡ In prcsión de equi librio y {Jb es el valor n \ i01o de este cambi o. Se puede demostrar que la rmíx i Iml alllp l¡tud dc presi6n Po está rclu\' l:ldu con la nub:ima amplilUd dc desplazamiento so l>Of Po =
pWI'.I'n
( 15.22)
donde \' es la velocidad de propngución y p In dcnsidad de equi librio del gas. Así. cunndo Ul j onda sonora se propaga con el tiempo, el d~~ s plaza mi e n to de las moléculas del aire, In pi '"i6n y la densidad vnrían todas ellas sinusoidahnente con la frecuencia de la fuente
f
\ l~r.m te.
El hombre puede percibir sonidos de frecuencias comprend idas entre 20 Hz y 20000 Hz (aunque mucha gente tiene limitada la aud ición por encima de 15000 Hz). Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 mis, ¿cmíles son [as longitudes de onda que corresponden a estas frecuencias extremas? (Respuesta A = 17 m a 20 Hz, 1,7 cm a 20000 Hz.)
Ejercicio
Energ ía de las ondas sonoras La energín media de una onda sonora armónica en un elemento de volumen 11 V viene dado por la ecuación 15. l 9, cn donde A se reemp laza por '~o Y el elemento de masa 11m = J1 I1x se sustituye por p 11V, siendo p la dens idad media del medio en que se propaga el sonido. ( 15.23)
La energía por unidad de volumen es la densidad de energía med ia '1",: 1
- 2 p ars6
(15.24)
Ondas electromagnéticas L'ls ondas clectromagnéticas incluyen la luz, ondas de radio. l1Iyos X. rayos gamma. microondas, etc. Los diversos lipos de ondas electromagnéticas difi eren sólo en su longitud de onda y frecuencia. A diferencin de la ~ ondas mecánicas. las ondas electromagnéticas no requieren un medio para su propagación. Viajan n través del \'udo con 1:\ ve locidad e que es ulla constanle universa l, e .. 3 x I~ mis. La función de onda de tu ~ onda¡, electromagnéti cas es un campo eléctrico asociado con lu onda. E(xJ). (Los campo' eléclrico.\. se Imlan cn el capitul(1 2 l . Se deducirá unn ecuación ,le onda. similar 11 In de Ins ondns en una cuerda o las ondus sonorus. a punir de IÚl; leyes de la electricidad y el magnetismo en el cupiwlo 30.) El campo eléctrico es pcrpendicutnr 11 la dirección de propagución. de modo que IUl- onda!! clcc· trol1l:lgnét1cus son onda!! Ir:ul ... vcrsalc<,. Ul.\. ondtL" c:lcl:tromagnéticas se producen cuando la!' Cllrga~ cléclrica¡" libres aceleran o Cuando lo ... clcc t rone~ ligado ... ti los :'l tomos y moléculas rca li l.tln tnlll,icionc:. a estados energéticos infcriorc...... Lu:. ol1d!l~ de radio. con frcctlenci tb de aproximadamente I MH, pan! AM y 100 MHl. lmr.l FM.::,c producen por corriente::, cl&IOC:I' ma cro~có pica..s que oscittln en :1ntelltls de radio. Ln frecuencia de la, onda:o, emitida, es igual a 111 frecuencia ele o!\ci la· ción de lu.\. c :trgn~. La.\. onda... luminol'a.\.. con frccuenci:L" del orden de 10'· H,. M! producen gencmhllcnte por lr'•.IOl'icionc.... de c1ecl¡'(lIlC'" ligado!.. El es¡x.'Ctm de ondas declrorn:lgnl oi.m... !le trilla en el capítu lo 3 1.
I
443
4-44
I
Capitulo 15 Movimiento ondulatotio
1 5.3
Ondas en tres dimensiones
Fu In tigum 15.11 ~c WII undu ... ciH:ulllfe~ blthmcn<; iouulc.., "obre lit I;upcrfic ie dclll,gua de una t: ubctu lIl' ondul! . E:-¡tu}; olldu"! sc generan mediante UllIl fuente puntual 'lile I;e rnUC'Ie huda Ul'n bu y IIncia nh¡tio CO II UI1 lUovimiel1l l1 unllónic(l ~ impl e . En c~te ca~{J, la longuud Jt: ('Il1du c~ In di""U1U.; iu ent re crc'iU\" dc Ill1dao; 'iul'c"ivn". que <¡on circunferencia" cuncéntnl.'J\ dcnominudus rrentes dc olldll . En el cao:o de un f(~o (J fu ente pWllulI1 de "on ido. la,l. (}n dll ~ se Cl1l itclI en trt!s dimensiones. Se tllUeVe n alcjiÍndotlc del foco en IOdll" di reccione" y ICK rrl! nt c~ clt! pudll SOn ahora l'>u pcrficic .. esféricas co n cé nlri c¡¡~ . El movimiento dc un conj uuto cuulqu icra de rrentes de onda puede indica .....c mediante rayo)., 'lIle :.on línea<; d iri gidu!) perpendicularmcntc a l o~ rrentes de o nda (figura 1.5. 12). J>llm o ndn~ circulares o esfl!ricfls. l o~ rayos son Irneas radiales. En un medio homogéneo, como el ai re a densidad constante, una onda se mueve en linea recta en In di rección de los rayos. como si se tralara de un haz de partículas. A una d i~l;mcill grande de un foco puntual, una parte pequeña di!! frente de onda puede sustituirse apro ... imndanll'nle por un plano, y los rayos son aproximadamente líneas paralelas : este tipo de Inda se ll ama onda planu (figura 15.13). El análogo bidimensional de unll onda plana e una onda lineal, que puede considerarse como una pequeña parte de un frcn le de ondas cire! 'dr ti una gran di stancia de su foco. Estas ondas pueden producirse también en una cubt' !1 de ondas med iante una fuente li neal, como la indicada en la figura 15. 14.
Intensidad de una onda Si un foco puntual em ite ondas uniformemente en todas direcciones , la energía a una d, tanda , del mismo estará distribu ida uni formemente sobre una corteza esférica de radl r y superficie 4m.2. Si la potencia em itida por el foco es P. la potencia por unidad de área .t unn distanci a,. del foco será P/(4m:.2). La potencia media por unidad de área que está incidi ndo perpendicu larmente a la dirección de propagación de denomina intensidad: 1 _
Pm
(1 5 ;)
A
DEANlctóN DE tNTEN$lDAf)
Las unidades de la intensidad son vatios por metro cuadrado. A una distancia r de un foco puntual. In intensidad vnle Figura 15.11
Frentes de onda circulares que divergen 11 partir de un foco puntual en una cubcw
de ondlls.
1
l' m
(15.26)
411',2
tNTI.N$IDAD O~BIDA A UN FOCO PUNTlJAl.
Fuente
L.•. ~===--::: ----.. .- T -"~
Frentes
de onda
--
~-
--- -- " 1" ---
: : - - \l "
Rayos
Figura 15.12 El movimiento de los fre ntes de ondu puede rcpresentar.>emcdiante TllyOS que '>C dibujun pcrpcndiculan::. a l o~ frentes de onda. En el 1.':1:.0 de UlIII ruente puntual , lo~ rayo~ 0;00 rectll~ mdialcs
Figura 1S. 13 Ondras p[nnas. A di:,.l:tncius gmndes de un fOl."O puntual, [o~ frcn\e~ de onda
<;Qn IIpro~ i madame nl e plano,
parnlel~)
In"
aproximadumcnlc rectas pamlelas pcrpend i clll are~ :1 [os frentes de onda.
TTI)'O!i:'OO
Figura 15. 14 Anulog!1I bidimensional de UJIlI ondll plana que puede gencrnn.e en unu cubeta de ondas mediamc un [ist6n plano que oscila !lrriba )' nb:tio dentro del agua pllTll producir frentes de onda que son HnclIs recIas.
15,] Ond nJ e n Ires dlmensloneJ
I
1.\ tnlCIl\ldJJ de UI1;1 tmdu IlIdllllCII\ lt1lwl \i\rHI 11I\1,'f \ UlI1\: l1tC. ('\111 cl \'lIl1 UrmJv de la (J¡ <;tw H.:ia ,11 foco PUI1 IU,II , 1' \I \ !l' tilla ~hwlOn \ cll( l lIa ('III I'\: 1:1 IIl1 c l1" iJud I.k' unn Ilmla y lu c n c l ~ (1I pUl unidnd de t,hnllc n del tllCJ IIl pnr el 11m: \c Pn.1pal,!;I la u ndn ( \ lIl\ ldcl'C III(1\ 111 ollllu t:~ l é ri cll que m:ahtl ,k 'lk" l11 l;\r l'I rad lH 1'1 dI..' In ll gurn I ~, 15. HI \~l l lItllC I1 lIIt cri\J1' al nidio 1', contknc clIcrgíu kbid~l ól qUt' la .. p.lIllcul a\ e n l" I
a re/n on t, ,,t ~' li o r I1 rt n(l t'OI111t' I\C l'lI¡,: r}!. \lI pllrq uc 11,\ IUldal> todav fn 110 hnn IIklll l/ ado dichu .:t!lón, Dl" pué' de un inten alo <:llrlu de ticl1 lpo ,\/, la onda. en \ tI nluvi¡nic nto, ~oh rc pa!\n 1', 'n una dl'I:lIlCHI I.!\\rt,I ..l1' = l' j t, 1.11 cl1c rgín IOta l cn cl l11cdi o . . c Ve incrementada cn la c n er~ i.l cOlH c tlldu en la \,:orte/ll c:-.f~ri r.: u de !'. upcrl k ie A, c!'.pcsur l ' f )' volumen .1. V = A ó r = Av \1 La t' ncl'g i:l medi" dt.: 111 cOrl enl c!'. f~ t'ku l:S
Volumen de 111 corteza DI.\V A tv A,· tu Figura 15. 15
I incremcllIo de energía por unidad de ti empo es la pOle ncia que entra e n la cortezn . Así 'ucs. la potencia medi a incidcllIc c.c>
(nE) " 61
\ la intensidad de la onda es I -
-A
( 15.27)
Por lo tanto, la intensidad es igual al produclo de la veloc idad de la onda \1 por la densidad de energía medi a '1m' Sustituyendo 11m = ~ p r02.\'fi de la ecuación 15.24 (densidad de e nergía media de una onda sonora) t!n la expresión anterior resulta
,
I
- ! ~ 2
pv
( 15.28)
en donde se ha tenido en c uent a que '\'0 = pr!(PQJv) seg ún la ecuación 15. 22, Este resultado --que la intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de la amplitud- es una propi edad general de las ondas armónicas. El oído humano puede acomodarse a un largo in tervalo de intensidad de ondas sonoras. desde 10- 12 W / m 2 aprox imadamente (q ue normalmente se lOma como el um bral de audición) hasta I W /m 2 aproxi madamente (que. produce una sensación dolorosa en la mayoría de las personus), Las variaciones de presión que corresponden a estas intensidades extremas varían aprox imadamente desde 3 x 10 5 Pa para el umbral de audición hasta 30 Pa para el umbral de dolor. (Recuérdese que el pascal es un newton por metro cuuclrado.) '":Stas pequeñas va ri[l~ dones de presión se superponen (su mando o restando) ¡¡ la presión atmosférica nonual cuyo valor es aproximadamen te 101 kPa.
EJEMPLO 15.6
I
Un altavo z
~l
dlufragnm d e un 1I1t¡I\QZ d e 30 cm de d ilÍmctro vi bru con UlIII fn'('ucnd ll de I kH%) uml amplitud de O.02() mili. Supunicndl) (lile In.. lIIolénl llls de aire pródmllS 111 dlafr¡IRmO ticncn c....ta ml.,nm amplitud de vlbraci6n. detcnninllr (a) 111 a mplitud de la presió n Jus to ('lIfrcnll' cid dillfrngma. (b ) 111 inl(,lI ~ idlld '1 01l0rll ,'11 e.'1 hllKJSición ~ (r) 111 IH)!cndll ¡u'úl>1 it'n irrndindli, (di S i el wnldo st Irrlldla unlfoml" mcntc t'1l la 'oCm le.-.fena ilntcrior, determinar la inl e n~ldad Ii 5 m del aI1ll\07. Planteamie nto del pro ble m a (dI y lb) 1.11 .unplilud de Id pre~lón -.e ~,lkul;l d¡rectamcllle de 1'0= pM'.lu (ectl:l¡,:ión 15,:!2) Y ]¡llIllell~id,ld '(llIom dt: I =- ~ /)lo"_f~l' (ecuación 15.28). (l') L., polen· da IriJ.diadu e~ igU:ll ni producto Je \:1 i ntc: n~ ld ;IJ l'KIr el ,¡reJ del din(r.. ~mo (tI¡ El tireOl de una \c.lmc,fern de rndio re,:!nr Po.,Jemtl' utih/.l1' la et:llación 15,:26 hacll'ndn .-\ =- :2;r,J_
Ondas sonor.ls procedentes de un receptor telefónico propagándose en el uire, Lw. ondas ,e han hecho visibles barriendo el e$paeio dehmle del receptor con uml l:'impanl que tiene un brillo cOnl rolndo mediante un micrófono.
446
I
Capítulo 15 Movimiento ondulatorio
(.) La «:ult\,'I\~n 10Ii .22 ~1.donR la ilmphlUd dc In prc'lll~n elln In umplilUd del dt\ph"amlenlu. In frecuendn. In vdnddl,d \I~ In unda )' In 111.'11":1 dad del aut:o (b ) La Ittun..:u'n I ~2H I't"ladonn ln inlc¡¡:.adlld con ~·s t ll~ mi ~ mll ~ mugnilu tlt'$ ..:onrlci(hl~;
... ( 1,29 k!!/m ')2IT( JO ' II I)(1.I0Il1 /\)(2 x 10 ' 111 )
. 1 ~~i.I N/m 'l / •
~
f)W 2,fBI'
,., ~( 1.29kg/ m I Jl21T(10 1 11 /)J !(2 x 10
1
m j lC\.tOm/\J
,.,13,46 \V / m 2 1 (e) La potendll es el producto de lu intensidad por el área del dinCrngmn;
(d) Calcular In intensidad :¡ In distancia r = .5 m suponiendo unu rndiación uniforme en la semie!>fem anterior:
f~ = lA ~ (3A6 W/ m 1 ) IT(0.15 m)1 =l o.245W I
/ = 2P11"rm2 = 2IT(5 0.245 W =11..56 x 10 m )2 .
\ \\I/m 21 .
Observación La hipótes is de radiación uniforme en la semiesfera anterior no es muy buena porque la longilu
*Nivel de intensidad y sensación sonora
Nuestra percepción de la sonoridad iO es proporcional a la intensidad sino que varía logarítmicamente. Usaremos. por lo lantO, urla escala logarítmica para describir el nivel d e intensidad de una onda sonora {J. el cual ...e mide en decibelios (dB) y se define por
{J
10 log
i
( 15.291
lo D~fINICION -
N IVEL DE INnNSIDAO EN oB
en donde I es la inte ns idad ffs ica del sonido e lo es un ni vel de referencia. que tomuremos como umbrul de audición: l O = 10- 12 W/ m 2
( 15.10)
En esta escala. e l umbral de audición es {J = 10 log (Ir/Jo) = OdB Y el umbral de l dolor (1 = I W/m 2)es{J= 1010g( I/ 10 ·ll )= 10log 10 12 = 120 d B. As( pucs. el intcrvlI lode intensicladcs rfsicas de 10 12 W / 1I1 2 a I W/m1 cOITClIponden u un illlcl""I'u lo de ni velcs de sensación 501101":\ de O dB u 120 dB . La labIa 15. 1 relacionu los nivcle.... dc intensidad de ¡I¡gunos sonidos comunes.
EJEMPLO 15.7
I
Prue bas d e so nid o
Un materilll llOOOl'bcntc del sonido atenúll e.l nivel de sonoridad en JO dll. ¡,En quf fael(Jr disminuye la Intensldlld'! En la labIa 15.1 ",'elTh)~ que por cada 10 dB de di"minuelón del nI\el de S(' n ~ac i 6n ~onor.t. la in ' cn ~ i dad ffsica dh.minu)'e en un faclor de 10. A,r. si la ~onoridnd dbrnllluye en 30 dB . [11 intcní-idnd rí~ica
di~minuye en un factor 10' ",, ~.
15.3 Ondas en tres dimensiones
I
447
TABLA 1S. I Inlt'll\ld;)d 'nit ., y 111\1('1 de Itllcmldud ,onor.' de algunos sonidos (omune\ (~ 10 11 W 111') FU(~ nt ~
Rc",p lr;lc i ~n
normal
Rumor Jc hop'
'o
da
D{'~crlptlón
lO"
o
I (J '
10 20 30 40 50
Umhrul de audición E...clIstlmcute lIudlhle
1,'
H)f
CO!l\c,",;ll' ión cn \tI/' mu) h:IJll 1:1 5 111) Biblmtt'C:I Olicina tr;tlltlui la COI1\'er,;:lción normnl (a I ml Tráfico dcn,o
10' 10' 10' 10' 10' Ofi cinu midos:! I;on lIl~quinus: f!'l.bri ca de tipo medio 10' CIlmi6n pcsud(l (:1 15 m); C u t unun~ del Ni:ígara 10' Tren de metro muiguo
Ruido de constnlcción (a 3 m ) Concieno de rock con amplificadores (:12 m); despegue de un reactor (a 60 m) Remachador.! neumática: amctr'dlladora Des pegue de un ren clOr (cercano) Motor de cohete grande (cercano)
•
Apena:. midoso Poco ruidoso
60
70 80 90
La expos ición CQnstnnte duña al ofdo
lO'U 100 I 0 '1 110 Umbr.!1 de dolor 1O' ~
~
120
~
-cilOO • 80 ~
'-.
I 'O
•
.......
-
......
60
r
'" " o
./
o
10 " 10"
10"
•o .. •
130 150 180
~ -Y":'
~
20
"
Z
20
100
1000
10m,
Frecuencia, Hz
En realidad, la sonoridad depende de la rrecuencia así como del nive l de intensidad en decibelios. La fi gura 15. 16 es un gráfico de este nivel de intensidad en dS en runción de la rrecuenc ia para sonidos de ig ual sonoridad en el oído humano. (En esta figu m, la frecuencia se representa en escala logarítmica para abarcar e l amplio interva lo de frecuencias de 20 Hz a 10 kHz.) Obsérvese en esta fi gura que el oído es más sensible a - 4 kHz para todos los ni veles de intensidad sonora en dB.
EJEMPLO 15.8
I
Figura 15.16 Nivel de intensidad en runcj¡~n de la rrecuencia para sonidos de igual !'ensación sonora. La cun'a inferior está por deb.:!.jo dclumhrnl de audición del 99 por ciento aproltimad:uncnte de la población. La segunda cun 'a in{erinr constituye aproximadamente el umbral de audIción para un cincuenta por ciento de la población,
lad ridos de perros
El ladrido de un perru supone alrededor de 1 mW de pot encin. (a) Si e:stll potencia se distribuye uniformemente cn todns direcciones, ¿cuá l es el nÍl'el de intensidad sonora n una distancia de 5 lit '! (b) ¿Cuá l serfa el nivd de intensidud de dos perros ludnmdo a lll1iSIllO tiempo si cada uno de ellos dCS¡lrrOUa unu putcllciu de I mW? Planteamiento del problema El ni"eI de intensidad sonora se deduce de la intensidad ffsica y ésm de la cxpre.,ión 1 = " /(4Jr?). Pnra do~ perros, 1:1$ intensidnde.., f(,iC3S <;c suman. (a) 1, El nivel de inten\idud
,0nOI1l
est:í reltlcionlldo con la inten<¡itJ:ld
P=lOlog
ffi.icn:
•
2. CII1culllr lu inlcn"dlld a r = 5 m:
3. lItih/ur el rc,\ultmJ(, anterior p:.lm detcnlll11ar el ni\cl de inten., i dad SCl llllr,t a 5 11\:
/JI
T, 10 l W =3,IS)(10-fl W/ m' 4n'(5m)l
I = 10108-; = 101 og .l,1810x 1110
fo
"
1'1 l. {lJ = 10 log ~ = 10 log ~n' = 10 log 2 + 10 108 ~
= 10 log 2 +13, '" Observación dod
VClll\/' en c,tc e]emplo
~onor.t \C III c rcmCl1\,1 en
.' dU
qll~' ~iempTC'
que l.' 1I11cn<;idad
II ~KD <;e
duphcn. In IIltcn,i-
~.Ol + 65,0
=168,o d13 1
I
448
Capitulo 15 Movimiento ondulatorio --
Figura 15. 17 la) Un I'ul"o de muja 'e pmpntla
.
•
una ..:ucnlalil;l.cna uni
•
•
•
•
mayor In \ elucidad, En ,Ne ca,!) el pulso rullcjlldQ no ,e 11\\ icrtc.
(b)
({/ )
15.4
Onda. y barrera.
Reflexión y refracción Cuando una onda incide sobre una su perficie lími te o de separació n de dos regiones en las que la veloddad de la onda es diferente. parte de la o nda se refleja y p¡¡rte se transmite. La fi gllrJ 15. 17a Illuestra un pulso sobre una cuerda ligera unida n una c ue rda mjs pesada. En este Cél"O. el pulso refl ejado e n la superfic ie límite se invie rte. Si la segunda cuerda es más ligera qUe la prime ra (figunl 15. 17b). el pulso refl ej ado no se invierte. En c ualquie r de estos dos casos. el pu lso transmitido no se invie rte. Si la cuerda está mada a un punto fijo. el pulso se refl eja )' ,e invierte. Si está atada a una c uerda de masa despreciable. el pulso se refleja. pero no se invierte.
EJEMPLO 15.9
I
Dos cables soldados
Dos cables de dcnsidades de masa (jnenl distintas se sueldan uno a continuaci6n del otro )' después se estiran bajo una tensión FT (la tensión es la mismu en los dos alambres). La ,·e1ucidad de una onda en el primer alambre es doble que en el segundo. Cuando ulla onda armónica q ue se transmite por el primer a lambre llega a 1;\ unión de los a\¡lmbrcs, la onda rcncjada tiene la mitad de amplitud que la onda transmitida. (a) Si In amplitud de la onda incidente esA In' ¡.cuáles son las mnpliludcs de IlIs ondas reflejada y Irllnsmitidll? (b) ¿Qué fra cción de la potencia incidente se refl eja cn la unión y (11Ié fra cci6n se tnmsmilc? _ _o
Plante amiento d e l proble ma Por el principio de conservación de la energía. la potencia incidente en la unión es igunl a In potencia refl ejadll más la potencia transmitida. Cada ILIllt de 1:t5 potcncias se expresan en la ecuación 15. 18 corno una función de la densidad 11. amplitud 1\. frec uencia ro y velocidad de la onda ,. (figura 15. 18). Lm. frecuenc ias angulares de todas las onda:;. son iguales. Como las ondas reflejad!! e incidente estlln en el lllismo medio. ambas po~ecn la misma \'clocidnd "L. Subemos (Iue la ve locidad en el ~egundo alambre el> '·2 =
", " '" \'1
",
"-::-:ce1', = I' L
1"'.
(a) 1. Por conservaci6n de la encrgfu. lu potencia incidente es igual a In potencia tru~ 1l1 i lid
/'
•
.
, W"' I , ¡¡,' " L -;jlL
4. U~¡I/ldo la relución ,.• J F¡II I (t.."uaci6n 153). 'u,utll1r Jlt } JI! por su vnl()f y ,implihcólr "'T ":' ti mi,mO:l cadn Indo dl' lB unión
/. r
entre 1(1, elLole';
5. SUl'o UIUlr la, relnc1IlIlC'I
de':
Figura 15.18
•
3. Su\tituir en el resultudo del p:ISO I y ~ i mplilicar: La frecucndu angular es lu misma para las I ~, ondBs.
•
' + ~, J.l 1 (¡)"' A¡' "I = •~, JI ~ or' l, '-'·1 •
_ A l", ,.( ,
-,, t\ j"
\'2
= ~ "1 YA, a ~ ~
\ 1'
de'peJllr ht, amplttu-
A-
-,.,• =
,p
,
'
(~A.r ....!.+ •
~"t
•
'.,
)'
-
l'I""·~=t'·L
9",1
-<1 "1 A,
=1~A~I
ISA Ondas y barrt>rlls
(b) 1. fn
JI\.'( pa"l'~ I .. drl llf't'rtlldt1 tl1) 'l' 1111 ul'lTlu..ltndu que lo pulen
CUI c\ pnlfMm:illnlllu .\ !II F ,ptt\1lI ~':ld(l unu dI.' In" Irc~ ¡ltltenl'i 11'. u..ando h \'(lm u 1.:1\11,101111.' llc pmpun:lonuhuu\1 2. l '''ánd,l el re .. ull¡¡do lid pa\ll ~ del n[l.'lrtllu(I (:t), chminul " ~. Al Y ."'. de 111'- f'\pre'lllne" de J'.)' Pe:
1,,,, •
=
l' , •
p, •
Observa ció n
l'
,
l' , =
I
I¡'~ ,. ,
~bAf" .~
9
1' 1
~
,. ,
La tllldul\:flcjnda t~lii hl\'crtida rcspeclO lila onda incidente. de 1I10d o que está dC5-
l.l'.llhl I Ser:' f(-.. pccIO:1 clll1. Micnlms que cl dc"plnllllllicn!() dcllrol.O de ulambre jUl>to JI la iLquicrdu de la unión por C'au~fI de la ondll incidcllIc es .\'1_ por causa de la ondu reflejada c<, -()',/3). E~ l os dc.sphl/anlicll!()~ se ~ u mlln (de uc ucrdo con el prin~'ipio de superposici6n que se eSludiurá en el siguiente
igual ;t I dcspla/.umicnto que tiene lugar n la derecha de la uniÓn por cu u~a d~ la onda trnnsmitida. Pucde d":llloqrarsc qu~. conocida la relación entrc las \'clocirJnde... dI! la onda. las IIlllplitude... de las ondas tr.!smitida y reflejada pucden dctenninursc tcniendo en cuenta que el de.'ipl:U'.umientQ y la pendiente del alumbre deben ser continuos en la unión.
cilpfIUI() con un ro:.ultado 2\,,/3 qu~ es
En tres dimensiones. una frontera entre dos regiones de diferente velocidad de onda es una superficie. La fig ura 15.19 muestra un rayo incidente sobre una de estas superficics límites. Este ejemplo podría ser una onda sonora en el aire que choca sobre una superficie sólida o líquida. El rayo reflejado forma un ángu lo con la normal a la superfi cie igual al que forma el rayo incidente. El rayo transmitido se desv ía acercándose o alejándose de la normal: lo cual depende de ~i la velocidad de la onda en el segundo medio es menor o mayor que la que posee en el medio inicial. Esta desviac ión del rayo transmitido se denomina rerracción. Cuando la velocidad de la onda en el segundo medio es mayor que en el medio incidcnte (como ocurre cuando una onda luminosa que se propaga en vidrio O agua se refracta en el aire). el rayo que describe la dirección de propagación se desvía alejándose de la normal. corno indica la ftgura 15.20. Al incrementarse el ángu lo de incidencia. crece lambién el ángulo de refracción. hasta que se alcan1,a un ángu lo crítico de incidencia. para el cual el ángulo de refracción es de 900. Para ángulos de incidencia superiores al valor crít ico, desaparece el rayo refractado, fenómen o que se llama reflex ión interna total. La cantidad de energía reflejada por una superficie depende de la clase de superficie. Las paredes, suelos y techos planos son buenos reflectores de las ondas sOlloras: rnientrns que otros materiales porosos y mCIlOS rígidos. como la ropa de los paños y tapi zados abSOrben gran cantidad de la energía incidente. La refl exión de las ondas sonoros juega un pape l importante en el proyecto de una sala de conferencias. de ulla biblioteca o un auditorio de músicll. En una sa la de conrerenci as con muchas superficies pI tinas reflec tora~ es difíci l de entender lo que se dice debido a la multitud de ecos que llegan en in s tant ~ diferentes a los oídos del oyente. Parn reducir estas reflex iones es corrielltt.! co locar sobre las purcdes y el lecho materiales absorbentes. En una sala de conciertos. se (¡¡túa unil placa rcnectorn detrás de la orques1ft y 1I11nbién se cuelgan paneles renectore<; del techo para renejar y dirigir el ~o nido hacia los oyentes.
Rayo
refractad
Rayo reflejado
••
Rayo incidente
Figura 15.19 Onda incidiendo sobre una superficie límite emre dos medios en los cUll1e~ la velocidad de onda difiere. Pane de la onda se reflc:ja y pane se u-.msm1te. Se denomina refrucción al cambio de dirección del myo transmitido.
Difracción Cuando una onda encuCTllra un obstllculo tiende a rodearlo. E.<;te compol1amicnto del frente de ondu se denomina dirr:lcciÓn. Cas i todn lu dirracción de ulla onda se produce en aquella parte del frente de onda que e<;t:1. a una di <;lancia de pocas longitudes de onda de 10<; límites del obstáculo. En aque llus lonas de la onda que están más alejadas, el efecto del obstáculo, es decir In difmcciÓn. es imperceptible y la onda se propaga en línea recIa en In dirección de los rayos inciden tes. Cuando una ond:1 \e encuentro con una barrera con una pequeño nbertum (un agujero) de lIna ~ poe:!" longitudc!. de ondn de diórnctro 1:'1 parte de la onda que la
Figura 15.20 La luzproccdcntede ulla fuenlcen el ligua se refrncta alejándose de la nomllll cuando entra en elllire. Para ángulos de inddencin por encima de un valor critico. no hay royo tran~lIlitido. condici6n conocida COfllO reflexiÓn intemu tOUt!.
4 O
I
Capitulo 15 Movlnlhm lo ondulat orio
Fig ura 15 .21
Onda~
plan:l' t'n una cuheln de \)ndn~ que ,c cncuenlr:m COIl una bnrrcra quc po:;ce unn pt'(!ueilll ahcnunl de unn~ pocas longitude:, de
ond:t de andlO.
Mil); ¡¡I!tí dI! In barrern
sun
[n~
ondus
concéntrica:, re~pec l o nlu nbenura, como ¡d huh;c,c un foco punHllt1 en In misma . circlllare~
•
(a)
(b)
Fig ura 15. 22 Compumci6n entre las tmnsmisiones que sufren en unn abertura estrecha situad:\ en una barrera (a) un hlll. de panfculas y (b) una onda. En (ti) las panículas trnnsmitidas se encuentran conlln:ldas en un ángulo estrecho. En (11) Ii! tlbenura actúa C0l110 un foco pUnlual de ondas que '>C propagan en un ángulo mucho más amplio que él correspondiente a las partfcu las en {(l).
Onda,> plllna~ en una cubeta de ondas que "oC encucmmn con una bartTm que rx)\C(: IIml abenurJ mucho ma}()r que .t. La ond;1 continúa pmpa[uindo"oC hacia ;¡delanle: ,(jlo !\C oh..erh¡ una pcqucllrl des\ irlción en la... regionc....1 amNh lado' dc la abertunt, Figura
15 .23
atrav iesa pasa toda ella a una dista ncia de pocas longitudes de onda de los bordes. A,¡ los fn:n tcs de onda planos se curva n y se propagan adoptando 1<\ forma circular o es! u:a (figllnt 15.2 1). En contraste. si un haz de partícu las incide sobre un obstáculo con una 'atura. las f}ar/íclIllIs que lo atraviesan no cambian su dirección (figura 15.22) Lil difra,' :6n es una de las características fu ndamen tales que disti ngue las ondas de las part í\.. ,as. Demostraremos cómo surge la difracc ión al estud iar l:l interferencia y difracción de l. luz en el capít ulo 35. Aunque l:ls ondasJlue encuelllran un obstáculo o abertum_sic mpre se curvan, o difm 'an. la magn i!lld de § te fenómeno depende de la relación ue existe en~ su longitud dI! onc.ln y ~I tamaiio dd obstáculo o abertura. Si l:!JQngitud de onda es grande gQ relación con la aner!lira, como e n la figura 15.21, lo~efectos de difTacción sOlLgmndes Y las ondas se dispersan al utn\Vesnr la abert ura CO Ill O si procediesen de una fuente puntual localgada en la m i~ lIla ilbertura. En camb io, ~j la longitud de onda es peg ueii_a~ relación con la abc rtura~ , el efecto de di fracción es peq ueño como indi ca In fig ura 15.23. Cerca de los borde¡., de la abcrt urn los frentes de onda se dislOrsionan y las ondas se curvan ligeramente. Sin crn bar~. los frentes <5 onda:; no se ven afectados en su mayor pane y la sondas se propagan en lfneas reclIlS. como si se tratara de un haz de panículas. É-<;t:l aerox imación de propagación de las ondas en líneas rectas en hl dirección de los rayos y sin difracción se conoce con el nombre de a proxi· mu ci6n de rnyos. Los frentes de onda se distorsionan cerca (entendemos por cerca. una c.li~tancia de pocas longi lUdes de onda del borde del obstáculo) de los bordes del obstáculo qU!! bloquea parle del fre nte de onda. Como las longitudes de onda del sonido aud ible están dentro de un margen que va dc¡.,de alg uno!' centímetros hasta ,'arios metro), y son con frecue ncia grandes en comparac ión con la:; abcnura:. o l0" obstáculos (llUena, O ventanas. por ejemplo). la di fracción de lus oncla... sonor:.b resu lta ,!;er un fenó meno cOlmln. Por Olra purte. las longillldcs de onda de la lUI vi ... ihle e:.l:ín demfO del inh!f\'ulo de 4 x 10 7 a 7 x 10- 7 m aproximadamellte. Como c!>tnS ondu, \on pequeñas en compamción con el tamaño de los objetos y aberlU r.ts ordinario.!>, la difracción de In hit no e" observable f:íc ihnemc. de fo rma que In lu7. parece viajar en línea recH!. Sin embargo. la difr::¡cción de la IU7 es un fe nómeno import ante que eS!IIdiaremos COIl detalle en el capítulo 35. Lo!' efecto:. de la difmccidn im ponen UllIl limi tación:t In capac idad par;¡ ~ itu ar o localitur objeto ... pequeño!. o p:\m identi ficar qlfo, detalles nuís fi nos med iantl.! la reflex ión de o n cla~ sobre ello... No ..e produce ni ngu na re fl t!:
-
15.5 Efeclo Dop pler
1,1'" {\nda......omll .\'" dl' ¡n.'l:\lcm·\ll'" r\L(l ~llr~ .... \ 2U (lOO 11 1 \C IIwnan ond ll" ull rll..:(mic.'u..: l1d'Hln ,,\ ... " ... Illng ll l1d ~' . . (Ic i1n<.lll rn l1~ corl.l'" pl1t:Ul'1l \.·lIlIlr l'l.· y ll·tl cJnr . . c en IlhJl·h,... pcclucihh l ( ... IIlU I\.· i ~I:l~~I'" cmllcn \ dctCCIUIl 1¡\'·l:\ll·m.: ill'" de hn>;1lI 120 1)(}( ) 11 /. cI) rrc"' p¡l n dicntc~ 11 una t(\n~i l lld .l ..: \""Inda de 1.~ mm . que Ul i l ll, lIl para lU!:lI lillll pcqtlcrh\\ prc\II.\ COnlO rnaripo....h nuC IUnH¡ .... t o ... \r ... lt'IlI ..... de ]¡l\.·¡¡ lI /l1ción por c\.·o. Ilnmuelo ... \onlll '" (l ni ciuli!\ dc "\ourrd nól\ 1¡;:\IHII1 l/ lid l~ iI1 !!irl~"; C U ~\l ... ignilk ad() C". nuvegar.::ión y l ocu li ~Hd6 n por' el "ou ido), '>c uu t./an paro dCII..'C tar· llCrh\c"'l.k objclo:- :.unlt'rgidll" cou olldll\ ~(l n o ra!.. Ln ... Irecucncim. ulih/¡lda ... por I~) ... ; en el mercado c~ t nn en un rungo de 25 u 200 "'H/. La:. 1II!U'opa:. h"l'c n d msquidn:. de locali7acióII de eS I ~ mismo rnngu dc rreeucm:ia<:. '\c hneen paiour uhm:.onido:. a lravé:- del cuc.rpo humano y In infonlmeión solm.: In rrccucnci a e 1IIlcn"idad de I ¡¡~ onda:. I11l11smitidus y rc.llcj udas se procesa para conslrui r una irnngcn Irilimcn ... ionall lmnndo sonograma O ecografín.
1 S.S
Efecto Doppler
'uando un foco productor de ondas y un receptor se están moviendo uno respecto al otro, In t"recucncia emi tida por el receptor no es la misma que la emi tida por el foco. Cuando se están lcercnndo entre sr, la frecue ncia observada es mayor que la del foco. mient ras que resulta menor si se están alejando. Esto se denomina efecto Doppler. Un ejemp lo rllm ilinr es el .:ambio de tono de la bocina de un coche cuando éste se acerca o se aleja de nosotros . En el análisis que sigue. Iodos los movimi entos se consideran relativos al medio. Consideremos que el foco se mueve .fonJ!..na velocidad urJal como se muestra en las figuras 15 .24a y b. y un receptor estacionario. El foco tiene una frec uenciaJ( (y un periodo T, = Ilfrl. La 1 el nlÍmero de ondas que pasan por el receptor por unidad de lie mpo.~
Ir
l'
= A
(receplor estacionario)
( 15.31 )
en donde l' es la ve locidad de la onda y ;. su longi tud de onda (la distancia cnlre dos crestas sucesivas). Para conocerfr haY...9.ue determi nar. en pri mer lugar.A. Tal como se mueSlrn en la figura 15.24c. el roco. situado en el pu nto 5. em ite una onda y en un instante Tr inmediatamente posterior em ite una segunda onda. Mientras la primera onda recorre una distancia ¡'7( el roco se mueve desde el punto 5 al punto 6 una distancia 11, Tf . Por lo tanto. en el momento en que se emite In segunda onda. la 10ngilUd de a ncla Ac.... la dislancia enlre el roca)' el rrente de onda. es deci r. Á = Aucl~\ = (1' + IIf)Tf por detrás de la Iuenlc X-A = ~lclaute. = (v - II()TtPOr
--
,
I
2
Fucnle en -
3
Fuente en m ovimrento
4
mOVImiento
..... ---
- --
•".
----~//
lal
(b)
lel
-
Figura 1 5 .24 (al OOOn$ en UIl[l c ubell¡ de olld:l\ pT\l(lucidIL\ por un loc'Ó punrual que ~ muc"c hnciu lu derecha. l..o.\ frenlc~ de ondu se cucucntr.m má~ pról¡imo~ dduntc del fOC\») m¡h M!p.lrndn<; dClnh ck el lb) I'remc" de onda ~UC'e!.lH"I.. emitido-; por un f(K:O puntunl ' IIIC ~ mucve hncillla dcrcchul.xJO 'c[ucid:¡d l/!. Cadtluno de los frentc .. nlll1\cr::td\l<; fue emilldo l1.lan;.!o el foco e,1.lha en 111 posici{m :¡In que com:~poodc c:lllli~lIlo mhncro. (rJ Dur.:mll! el
tiempo T, In fuente \c mue\e UIl:l di\lancia UtT,) et 5" fTt'nte ~ muc\c una \h\tancia I·T,. IXluntc de la fUCI11 c In longimd de ond:1 es Au.1anI.' = (1·- u,ITf l dClrás de é~lll. 4u,.. = ji· + IIf)1i.
I
15.5 ElCc.to Doppler
EJEMPLO 15. 10
I
Tocando la b oci no
'11 fl'\"" ul'ndll de la 1}0\'lllll lIl' UII l'odll' Imnldn l" "IN) Tl l . Dclt'rllllllnr (ti) IlIlun~ltud d,- onUu del \onidu,• th) 11. f'n."'UI.' l1dll O IN~ I·\IICIII .,ll'Il·ud\l' ""IIlIIIJ \ !,! 1.'UII UIIII \'cluddlld IIr '"' 34 111/,.. (lIpl1lxi-
Ill:ulamcntl.' 122 km/h l u InlH~ lid Illre "1\ n ' IHl!!lI 11IIl'i1l UII rcl'CIJlllr ~,ladUllllrlu. '1'0111111' COIIIO H~IIk'hhld Ih'l \unldl) 1'11 ('Inin' d \ ulur .\40 m/~ , Id I)cll' rl1llllllr In fn.>t' Ul'm:ln UbSCM'udu s i él cuche , ... l¡\ pl¡nldl), 1111 n't~cJltllr ,,, mUI'H' ,'nI) \'c!vl'idlld 11 r = .14 1111s hudu dl'ochc. Pla nteamiento del pro blema (u) I ¡¡, Cll1dus dc ddnntc de In Itlente ~c comprimen y por lo .mlll."'c UIIII/.I d ~ , ~ nll nl,'no, 1'11 la o.lcundón 15.32. (b) Se cu1culu In frccucndn ti purlir fu ccuuci6n :'U5:1 le') P.LI':l un rccclltM lIl
(a) Usnndo In e('lUlt'ión 15, ;'1, ~alculnr In longitud de ondu delante del cochl'. Dc!nnte Jel foc;o. In longitud de onda es Imí-. pequeña. por lo tUIllO degimo, el signo en ('o n ~onu ncill :
A=
v - /Ir _
f,
=
(b) Usando la ecuación l:'U5a. despqjar la frecuencia red bid:l:
f,
(c) 1. Usnndo la ecuución 15.32. calcular la 10ngilUd de onda en lu
l. _
¡' ± II, ="f, ¡'±/Ir
t
l'
Observación
La frecuenciafr [¡\Illbién puede obtenerse a punir de
Jil
1,+0
= I' - /lff,
Uf
¡,
proximidlld del receptor: 2. L'l frecue ncia recibida viene dllda por lu ecuaci(ln 15.35a. El foco se aproxima:tI receptor. por lo tanto la frecuencia es mayor. Elegir el signo en concordancia con este hecho:
=10.765 nl 1
=
fr =
1/+//,
fr = l' tO
(l + U ,)\. - Ir
ecuación 15.34.
Ejercicio Cuando un tren que se mueve a 90 krnlh se aproxim;¡ a un observador estacionario. hace sonar <;u bocina con una frecuencia de 630 Hz. No hay viento. (a) ¿Cuál es I;¡ longitud de ondn del sonido dclunle del tren? (b) ¿Cuál es la frecuencia percibida por el observador? (Usar 3~O mIs pam 1:1 velocidud del sonido.) (Resplles/lIs (a) A = 05 m. (b)fr = 680 Hz.)
EJEMPLO 15.11
I
¡INTENTELO USTED MISMO!
Otra bocina de coche
La relación entre IH rrecuencia de una nol'a y la rrecuencia del semitono por e ncimu de ella en la csculn dialónica c..'i aproximadullle nte 15: 16. ¡.Qué velocidad tie ne un coche s i su bocina disminuye e n un scmitono 111 pus nl' rre ntc a un obsen'ado r purado'! No hu)' \'iclllo. (USUl' 340 mIs pilnlln velocidnd del s onido.)
Planteamiento del problema Sea /Ir In velocidad del coche y fr In frecuellciu origi nal. 1iI frecuencia percibida/, cuando el coche ~ acei'C::I al obsc["\'Bdor e~ mayor quefry la frecuencia ob~cr vadn cuando el coche ~ nlejn./,' es menor que k Considerando qucf,'IJf = 15116 dc~pej ¡¡r Ii. Tal,e la columna de la derecho e intente r€lo/verlo usted mismo
Pasos 1. E:(prc~,lI r 1::1 frecucncin
Respuestas ObSCIV11da
cuundo el coche:.e tlproxima en run-
(¡ión de Ji.
2. Ex pre~ar 1:1 frccucncin ooscrvlld!1cuando el coche 'c aleja en fu nción dcJ¡. 3. Estahleccr que el cociclitcj,'IJi es igual a 15/ 16. 4.
D(" ~ pej nr 1/1 '
I
. ", I , - , • l'
':t 11
.. ,
I
"J
"
l' • ' 1 u I
,
U.II
,
u,
o
,
, I " ,,
,.
\I
Observacl6n La h\llgllUd de linda dd ..omdo tXlr.l<; del coche e\ nHI)Or que la longuud de ondll del:lllte ud coche. Asim¡~IIi\) Im/, = 1.6 km/h.
I
45)
4S-4
I
Capítulo 15 Movimiento ondulatorio
011'0 cjcmplu flU uiliur de erecto Dopplcr C'< cl radar u"udo por In polidn paru medir la \'CIOI,.' idlld dc un vch(cu lo. Lu" onda" t'leclrmnagnélkIL" emi\ ldal, por Cllntn"mi<;or del melar c h l~ an cun el vchfculo e n movi ll1 ienlo. CUllndo lu.. o ndu<; se ret1cjun e n e l coche. é.-..lc actúa a 111 VCI CIIIIlO receptor y COl1l0 foco emisor en lI1ovirl1lcnlo. Como J¡r ~ ondas clcclrom:rgllélie u'- \c ttlueve n a 111 velucidad de lulu/ . \' :::::1 :\ x 1011 011... In condid6n 1/ « l' ~ cumple y pam t:a!cular el dcsp1:r¡;U111 icI110 I)opplcr se usu la ccunci6n 15.36.
EJEMPLO ' 5. '2
¡ INTtNTELO USTW MISMO!
El radar de la policía
Lu uuidllll d e r'udttr tll' 1111 codll' ¡Iolictu eslllclunllrlo cmitc ondns elcctrolllugllétlcus de fre-
eucnl'iufr flue \c propllglln \1 hl \'cJoddad de IlIlu1.. c. I. IIS ondus se reflejlln ell un coche que se ltltw\ e I1 In \ cloddnd 11 IIlej l~ndose del coche policíu. Dcterlllinur It en fundón de!r y 4f, donde ~ es la di fere.ndn de fl'\)cucncius elltreIr y 1/, In frecuencin recibidll ell el coche de policía. Pla nteamiento del problema Lit onda del rudar choca contra el coche con Crecuenciafr. Esta fn.'C ucnci:t e!<, menor quefr porque el coche sc mueve ,llejándose del foco. El desplazamiento de 111 frecuencia viene dado IXlf la ecuación 15.36. El eoche ;\c011\ entonces como tln foco móvil que emitc ondas de frecuencia!,. El coche pol ida detecta ondas de frccuenciu!,'
Pasos
Respuestas
1. La unidad de rndar ha de determinar la velocidad Iln ieilmenle a panir de lo que emite y de lo que recibe.
La unidad de r.tdar debe detenni n;tr 11 en funeiun de ft ~
fr'
T,tll'llmll e e~crita la ecuación 15.36. dc~pejumos 11 en fUl1ciándc JI y dc ,l( = 1,' J
2. El desplazamiento de la frecuencia 4f es igual a la suma del desplazamiento de la frecuencia cuando la onda VII hadll el vehfculo 4f1 = fr - Ir y el desplazamiento de la frecuencia cuando la onda vuelve 4f2 = 1, - fr.
3. Usando la ecuación 15.36, sustituir la diferencia de frec uencias del plLSO
~r
" f I+J' . ._( " ,
=
2.
4. De nuevo utilizando 15.36, despejar 1, en función de Ir.
, ,lJ -
JI
U
por IQ tanto
('
.1, =
(
"Je .'
1 - J
5. Sustituir el1\!sultado del paso 4 en el del paso 3 y simplificar:
6. lile es despreciable frente a 2. Simplificar el re.... ultado del paso 5 utili· 'l;ando e.,te hecho y despe.jur 11. obteniendo unn expresión en función de /(y de6f
,.
M - -"J./t l!.
por lo tamo
u =
j(. - ~
'1' - '1 . !'
Observació n La diferencin de frecuencins entre las dos ondas de frecuencia t:tn parecida es fácil de medir porque IIts dos Ol1dns interfi eren produciendO OIrtt onda cuya amplitud osciln con la freeuc:ncia la}1. que se dcnomiml frecuencia de pulsación . La imerfercncin y la pulsnción ¡,c annlizan en el cilpflul0 16. Eje rcicio
Cnlculnrlifsifr= 1.5 x IQ9H1~C=3x lo'l mIs y IPz:íO m/s. {R(,splle.fUl lif=500 lk )
El desplazamiento Doppler y la relatividad
En e l ejemplo 15. 10 (yen las eeuuciones 15.33, 15.34 Y 15.35) hemos visto que la magn itud del desplazamiellto Doppler de In frec ue ncin depende de si es la fuente o e l receptor lo que se mueve respecto nI medio. En el cnso del sonido. csta.~ s ituaciones son fís icume ntc diferentes. Por ejemplo. si una persona se mueve res peCtO al aire e n reposo. pnrece notar que e l aire se despinza en sent ido contr.trio. En su propio :.istel1Ul de referencia c.'(iStc un viento. En e l caso de las o ndas sonor.ts en el aire. podernos dec ir que In fuenle o e l receptor se mueven especi fi cando si existe UI1 vienlO e n el sistema de rcfe rcnc iu de uno o del otro. S in e mbargo. In luz y otras Ondas electromagné ticas se propagan a lra\és del espacio vacío. en el c unl no huy medio a lgu no. Es decir. 110 ex¡"'te "un vienlo" que no:. diga !>i es la fuente o el receptor el que se mueve. De acuerdo ('on
15 ,5 EI('clo Dopplt'r
I
4S.s
¡e)
(a)
w) Ondn:, de choque producidtls por un avión :,upcrsónico, l b) Ondas de proa producidas I>or un bote. (el Ondas de choque producidas por un:! bala que .dr..avic,>
un globo de helio.
la teoría de In relatividad de Ei nstein. el movimientu llbsoltllo no puede detectarse y todos los observadores miden la misma velocidad e para la luz independiente mente de su mov i· miento respecto al foco. Así. la ecuación 15.35 no es válida para el de.o;plazamiento Doppler aplicado iI la luz. Al calcular el efe cto Doppler relati vista debemos introducir dos modifica· dones. En pri mer lugar. la velocidad de las ondas que se cruzan con un receptor es siempre c. independientemente del estado de movimiento del receptor. En segundo lugar. el intervalo de tiempo entre la emisión de dos ondas sucesivas, quc es Tr = lljf en el siste ma de referencia de la fuente. es distinto en e l sistema de referencia del receptor cuando éstos se encuent ran en movimiento relativo debido ti la dilatución relat ivista del tiempo y la contracc ión relati vista de la longitud (ecuaciones R.9 y R.3). (En el capílUlo 39 abordaremos el efeclO Doppler rdativista). El resultado es que la frecuencia percibida depende sólo de la velocidad rela¡jva de aproximnción o alejamiento 11 y está relncionada COI1 la fre cuencia e mit ida por
Ir =
c±u C=F I¡!r
•
r,
( 15.37)
Los signos se eligen de modo que dan un desplazamiento hncia una frecuencia mnyor cuando el foco y el receptor se aproximan y vicever.;a. (Los signos superiores se usan en el caso de que el foco y el receptor se aproximen. y los signos inferiores se usan si se alejan.) Análogmnentc. cuando II «(".flJo - I ± IIlc . tal como se da en la ecuación 15.36.
(a)
Ondas de choque En nuestra deducción de las expre:. iones pura el dcspl:1/!un icllw Doppler. he mos ~ upu cS t o que 111 velocidad 1I del foco o del receptor el¡ menor que In veloc idad de In ondn \'. Si un foco se mueYe I;on Ulla velocidad muyor que la veloc idad de propagoci('in de la oncln. frent e ni foco no habrá onda!>. En realidud. la" ondus ...e conccntr.1Il detrás dd foco y forman 10 que ,>c denQmi na una onda de choque. En el caso de l ll~ ondas ,>Ofl oras. por ejemplo. cumulo In onda de choquc lIegu al receptor ...e perci be como un c!otumpido. L.!! fi gura 15.26 rntlc..;tm un foco <;itundo originnhnentc en el punto P" que se IllU C\·C hacia la derecha eOIl velocidad //. Dc...p u ~ de un tie llll)O t , la oncln cmilidn dc.'>cle el PUniD P I habrá recorrido una distuncia 1'1. El foco 1m brli recorrido n su vel una di$tanciu /11 y cslnrn en el puntO P2' L'I recta tangl!nlC dc....dc e ...w nueva po!'lción de l f oco al frente dc onda emitido cuando es taba en P I forma un ángulo (J con el tmyeclO del foco. dudo por l' t \' . . cn tJ=---
ut
/j
( 15.JR)
¡h)
Figura 15.26 (n) Fuente que con una velocidud '1 (Iue e<, mayor que tu \'clocidud dc onda ,". L;L tn\'olvcnte de l o~ rn.:nle~ de ondn fam la un conO ron el foc(I":Il"u \énice. (h) Ondu.. en una l'uhcw cxpcrimen tnl producidu!> por un rocu que <,c mucve con unll \ docidad u > ".
456
I
Capítulo 1S Movimiento ondulatorio
Al'L lll UUdll de choque eslú confirltldu ell un cono que 1;e cst rechn cUllndo I1 crecc. El cociente entre la "c lcK;idad del foco /1 y In vcloci dud de lu onda l' <,e denominu mímcro de Mach:
"v
(15.39)
Nlí lllcro de Much = -
La ccuución 15.38 se ap liell Inrnbi én tl In radiación electromagnética Illrl110da radi ación Ccrcnkov. emitida cuando UnfI partículu cargada se mueve en un medio con unn velocidad 11 que es mayor que la velocidnd \1 de la luz en dicho medio. (De acuerdo con 111 teorla e<,pcd al de 111 relmividad es imposible que una pa rt rcu la se muevu con mayor rapi de.l que c. la veloci dad de la luz en el vuefo. Sin emblu go. en un med io como el vidrio. los electrones y O!f'c1 <, partículas pueden moverse con una velocidad mayor que la de la luz en dicho medio.) El re "~ pl:1I1dor azu l que rodea lo!> elementos combustibles ut ilizados en los reactores nuclcllres e:-o
un ejempl o de radiación Cere nkov.
EJEMPLO 15.13
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
El estampido sónico
Un !wi6n supersónico se encuentra sobre un punto P volaudo huda cl este a un u alturu d e 15 km. El estllmpido sónico se oye en el punto P cua ndo el avión estú a 22 km a l este de dicho punto. ¿Cuá l es la "elocidad del avión supersó nico?
Planteamiento del problema
La velocidad del avión está relacionada con e l seno del áng ulo de M3Ch (ecuación 15.38). Dibujar un esquema que ayudc:I dctenninar el seno del ángu lo de Mach. 15 km
Tope fa columna de lo derecho e intente resolverlo usted mismo
Respuestas
Pasos 1. Hacer un esquema de la posición del avión (figum 15.27) tanto en la posición donde se generó el sonido como en la posición que ocupa cuando el eSlampido se oye en el puma P. Señalar. en el esquema, la disulncia que se despl37-'1 la onda sonora v6./ y In distancia que se mueve el avión lIilJ.
2. A parti r del esquema anterior y de 111 ecuación 15.38. calcu lur 11 .
Figura 15.27
tg
n
u
= 15 km es decir. 22 km
'-en ()
"AI l' = = II~t
y
11
() = 34.3 '
des~jundo 11.
Resu..,en 1
En el movimiento ondulatorio. In energfu y el momento lineal se rr:msponan de \111 p\llllO H otro del eSI);!' cio sin tmnsponar mAteria.
2
Lu relaciÓn \' '" P. es ,'Iidl!
p:!.1'II
todas las o ndas annÓntcas.
TEMA
O BURVACIONU y ECUAC IONU RELEVANTES
1. Ondas transversales y longitudinales
En I n~ ondas Inmsvel'Mlcs. CQmo has ondllS en una cuerdu. In pcnurb.'1 dón es pCl'JlClIdiculur u la dirección dc proragaci6n. En las o ndas longirudinnlcs. como Ins so norn~ . In pcnurh:aci6n tiene In dirección de la pruplga· ción
2. Velocidad de las o ndas
1.11 velocidad de una ondn l' depende de la dcnd dad y de llls prupiedudcs ehl!.ticns del medio. Es indcpt'n· dkntc del m(H ¡miento de 111 fuenre de I~ ondM.
Onda~ ~obfe
(15.3)
una eUI!Na
Ondas ...onorn~
l'
= J Blp
(15.4)
15.5 Efecto Doppl@r
I
457
\. • .[YRi"IM
(15.5 )
I~
(15.6)
donde 1 t\ lo tt mpcmlurtl H h~(J l u IH.
'1' • H. c\ la l'onslnn tc unl"cr.sn l dc lu:;
+ 27.l
/j;1I~C¡'.
R '" 8.3 14 1Imol · K
(15.7)
Al c~ 1:\ rnIL~U molar dd gllS.
electronUlgnél icn ~
el vIIClfo
c~
una constarl1e universal.
(; = 3x lO t m/s
Ecuación de onda s
-1
(15.9b)
Ondas armónicas Función de ondn
y (x, l) = A sen (kx± CIlI)
(15.13)
en donde A es la amplitud. k el nú mero de onda y CIllu frecuencia angular. Se usa el signo - cuando la onda se muevc en la dirección pos itiva de x. y cl signo + cuando la onda se mueve en la dirección negativa de x. Número de onda
(15.12)
2,
Frecuencill angular
ro = 2Jtf = -
(15.15)
ro ¡'=fJ.=-
( 15.10, 15.14)
T
Velocidad
K
Energía
La energía de una onda annónicn es proporcional al cuadrado de la amplitud.
(15.18)
Potencia de las ondas sobre una cuerda
5. Ondas armónicas sonoras
Amplitudes
ondns sonoras pueden considemrse. o bien ondas de desplazamienlO. o bien ondas de presión. En una ondn sonora annónica. la amplitud de presión y el despla7.Hmiento están desfasados 90". El oído humano es sensible a ondas sonoros de frecuencia comprendidas en el intervalo de 20 Hz a 20 kH7. apro:l:imadamc:nte. L1S
La amplilUd de presión está relllcionada con la amplitud de desplazamiento por
(15. 22) en donde p es la densidad del medio.
'l.
Densidad de encrgfll
6. Intensidad
(6E).
(15.24)
o"
Ln inlensidad de unn onda e.~ la po1enC1:1 media por unidad de área f =
p. A
-
(15.25) 1
Densidad de energía m...-
i P; Los
nivdc..~
de
inhlll~idlld
en donde In - 10
Il
W/rn ~
(15.28)
de los sonidos se miden en unn escala logmilmiCtl.
fJ =
7. Reflexión y refracción
•
Pd
f
10 Jog -
(15.29)
f.
es uproll.imndnmcll1e elumbml de audición.
CUllndo una ondn incide M>bre una superficie lími1e (Iue sepnm dos regioncs de diferente vclocidad de onda.
unn p:lrte de In ondn '
.. ~ I
Caplhflo 15 Movlmho:nto ondulalorio
SI UII trente dc tlndn ~ "C W plUdalmcnte l>b~ trUl do pur un (Jh~tAcult ,. en la rcgti'in po<; rerior del oO<;l:icul(> l. Ilarle tu I otl~ lnll\l b de l fre nte <.e 1I1filie!!! t 'e cur'"il l.
8. Oltri'lcc!ón
SI unl n.' ntl' dI' u mln ~loe ve pmcl ll lrnell1C o h~ lru ltl() IX" un <'bMáculo, CUSl lodu In dlffflCción w do t n flq uell .. l\Jlm dellt cnle dc {1 t1du~ IlUI: ¡IIISU 11 unu d l~ lUt1c i ll dc 1)oc11 ~ longltude, de ondi¡ dvl borde, I!n n'lue ll a~ l.nna, olll !re nte noul,C prOpag.fI en Hneil.~ recltl, en In dirc ...-ci(Sn dc 10\ my{l~ incl
9. Efecto Doppler
C'uumlo un focl> y un r"'-ccl'l\}(' del ronioo cMán en m(lYimienlo rclati \ ll, la frecuc ncin reciblda j. e\ mayor que 111 frecut' nci¡¡ del rocofr ,¡ ~\I ~cpnr;¡ci6n dh mill uyc y menor si su ~pa mc j ón nUlIlenl/l ,
¡,t u, ¡,
), =
¡, Foco ylo n!CClltOf mó\'¡¡
¡ , --
¡' t ll,¡ l'
± Uf
=
,
o
l'
t
(1S,32) t
/1 ,
(15.34)1
A
¡, I' t l/,
¡,
= l'
± Uf
(15.35)'
Eh.:gir los signo.<; que conducen 11 un
Desplazamiento Doppler rc!ativista
!J.J .. +11
(11 « 1' )
Jr -" J. = Elegir los sig no.~ que conducen a un aumenlQ del l\."Ccptor, y vit"t:ve rs.n.
JC ±UJf
('>
{15.36 l 1
( 15.3 ')
C ~II
dc.~p l a7.a m ie nlo
de la frecuencia si se aproximll el foco o . t
----------------------------------------------------10. Onda s de choque
Cuando la velocidad del foco es mayor que lu "elocidad de la onda. lllS ondus de detrás del foco cst:in conn· nadas cn un cono de ángulo 8 dado por
,
Angula de Mach
sen 8
1
Número de Mllch
=
"
"
Número dc Mnc h =
I la5 « uaeiOlll'.' <;OIl\p~IId;dru; enr~ la 15.32 y la I.L 16 sólo <00 " " ilh
(1 5.38)
",.
(15.39)
la "erncilbd de I'f'OPlI,IlDción de l. onda " ticne que nxmpla = por
Proble",as
• ••
•••
SSM
,
I
i
Co ncepto :-imp le . un !->o lo poso, rclUlivll nlCntc fácil. Nivc l il11en ncd io. puede exigir s rntesis de conceptos. De,afiantc, pum a lumnos :WllnZlldos. LI.I so luc ión ~c encucnlr!l l!n el Srlldl'nf Sol/tliol/s M fl/llwl . Problemas que pucdl!ll e ll C Olll nU~e e n el servicio ¡SOl VE de l area~ pum e:ISI.I. Estos problemas del serviciQ " Checkpoi m" son problemas de cont rol, que impulsan (1 l os c "lU di un ! c~ :I dc>;crihir cómo se llega (1 l a rc.c;puesta y a indicnr \ u ni vel de con fi an7a.
En algunos problema:; se dlln mlis dOlOS de los realmente nec(',fo rios; e/l Olros pocos. d eben extrae rse o/gilit o,\' (/ato.l' ( 1 partir lle cOllocimienros generales,
¡/tem es exterllllS o estimaciones MgiclIS.
A menos (IUC se indique lo contrario, el "ulor de 111 vclocidad del sonido en el aire es 340 mIs.
Prublemas
Proble m as con ceptual es I • SSM lIna cueroll cuelS:1 \e nj \'(lhllellte del h...'eh\•. ('ullndo lu~ \)n,ltI' ,\' mU<' \"1I de a\>:\)ll h¡¡,cm tHTi)¡:\ 111.11 1:\ cucru n, ¡,1u hncen m:b nlpillll mem\'. m:h Icnt:lment\' (l l, ln 1I11,mn ,dl)\,ldud {lile In... ¡'l1thl\ (IUI' ,1' 111111'\1'11 de ilmh;l hn\',n nb:llo') R:vnnnf 111 rc, PUC'\Il, 2 • Un tren de 01lll:h utni\'icslI un punto dI' nlhcrv:lt'ión En eSte pun to, e1liel1lll\) cntf\' crc,tn, \ u\'\',i":I, c~ 0.2 \ . i.Cu!l1 de la::- ~ i guie Ul u'\ II lir~ milClOnc\ C'i \crdadera'l (ti) L., longitud de onU:l ~'~.5 111. (/1) Ln rrccuclII:iu C\ ~ 11 / . (1') La \ d odd,ld de propngnd6n c.~ 5 m/~ . (tI) Lu longitud de onuu C'i 0,2 m.lf') No huy ~u lkie nt c infonmlción parn j uslHicar l a~ nfi rnmci o nc ~ un tc• fl ore'. 3 • Verdlldero () ralso: Lu cnergí., de utHl onda es proporcionul nI cuudmdo de 1:1 amplitud de la ondn. 4 • Unu cllero u cuelgll venicnlmellte. Se sac ude el extre mo libre de ¡umo: hacia adelan te. gencr.lndo un tre n de o nd !l~ sinusoidale_. LI longitud dc onda en la parle :->upcrior. ¿es igual. menor o mayor (IIICen el c'(tremo infe rior? • SSM El chasquido dcllátigo lo produce la velocidrtd de la puntn 5 que rompe In barrera del sonido. Explicar cómo l:'t romla dcllátigo hace posible que la puma del mismo se mueva mucho más n'ipido (Iue la mano que lo mueve. 6 • Verdadero o ralso: Un sonido de 60 dB tiene una intensidud doble a la de un sonido de 30 dB. • Si la fue nte y el rece ptor está n en reposo relrt ti vo uno respectO al 7 otro pero el medio donde se propag" III onda se mueve respeclo a limbos. i,c:l:is. lirá desplaz.,miento Dopp!er en la frecue ncin?
8
I
45Q
ment('.. tic In cuenla 'I~ t'~¡¡tll mo.. jenun hlKll1 ,'mili! ' 1,( ·u.lk . '-C e<.lan 11!¡j\jcmll1 Im\'m nl'lulll ,' ,.I·:O: l\ IC ulplÍn ~C~melU(1 dt' 1:1 ~' uertlJ tille e IJ ('n el puhu tlue esl¡: 1tl~IU n hUle¡mlt' l1I c en n'['I'\ {J" Rt" fX,ndcl i1 r~t,t ... clK',lione~ hucicndo un e'lIUClIln dd pu l.. n en un ,"'IIIIIU.' li j1t'f;IIIWl11t' I1mlcnor y l i~!l'm . menle untcrlt'r pnm vel ~' (lm (l ~ 1l1\w\"cn In~ "l'jm1ent(1\ de 111 ruerdll.
)
/ .....- 1' .. 2 emA 2
J
4
,
Fig ura 15.28
6
7
ProbJcmll ~
lfI
l.
cm
14 y J5
15 •• Huecr un esquemu de In \'elocidad de C:ld!l wgmento de cuero¡¡ en funci6n de In posici6n en el c a ~o del pulso indicado en lu IlgUfll 1~.:::!S. '6 •• En un experimento clásico de fisica. ~e coloca una campuna en un recinto sellado y se 1:. hace sonar micntras que. poco., poco. \C \'11 extrayendo el aire. Pasado un tiempo. la campana es inaudihle. Se suele interpret:lr el expe· ri mento como la prueba de que I a.~ ondas sonoras no pueden pmp.agill"'il! en el vacío. pero de hecho. el sonido es inaudible mucho ante~ de que el recinto ,o;: quede sin aire. ¿Puede argu mentar porqué no puede oíF"""'C el <,(>nido de la campnna? 17 •• SSM Un helic6ptero que vuela tul COlIIl) ..... muc'trJ .:n la figum 15.29 registra la c:l:plosi6n de una carga de profundidad h¡~~l la ~upcrticil' del 3gua. ¡,Cuál de los tres caminos A. B. oC sen'i el camino po.,r el cual el sonido l1egaru en m c no~ tiempo'!
•
L., frecuencia de la bocina de un coche csjo' ¿Qué rrecue ncia sc obsc...... n si tan tO el coche como el observador está n en reposo. pero un vicnto sopla hacia el observador? (a)fo. (h) Mayor que jOo (e) Menor que jOo (tI) Puede ser mayor o mel10r queJOo (e) Puede serlo o mayor quejo según los valores rel:'t· tivos de la velocidad del vienlO y la \'clocidad del sonido.
Helicóptero
: ' ;"
9 •• SSM Fn.."'{;uellterncnte Ins estrellas W obscrvnn en pares que gimn alrededor dc su centro de masas común. Si una de las estrellas es un agujero negro, e.~ invisible. E:'Iplicar c6mo la existencia de este ug ujero ncgro puede deducirse de la luz observada de la Olrtl estrella "isible. 1O • Cuando ~ pulsa una euerda de guilnml. ¿es la longilud de ond., de la ond., que se produce en el aire 1.. misma que la que se produce en la cucrda?
11
• Verdadero o ralso: (a) Las pulsos de. Onda de una cuerd., son ondas trn nsversnlcs. (bJ 1..a.'I ondus <¡(moras en el ai re 'iOn ondus Iru n ~vero;a le.'I dc c()ll1p~ión y nl1;licaciÓn. (c') l,.¡I velocidud del :.unido n 20" e e..~ doble que ti ~o e 12 • El sonido !oC propaga a 34() lilA en el aire y a 1500 1\I/~ en el llIlUII , UII ~oni do dc freeuencin 256 1-11 ~e produce ba.Jo c1l1gua. En el aire 111 rl'l.'t:llcncia -.cm ( a ) la misma. pero la longItud de lmdn -.ero md.s ,,:onn. ( b ) mi,.. elevutla. pero In longitud de ondu <,ero In mi ~ mn . (e) m!l .. haJu. pero Iu longItud de ondu \ertlm!ls larga. (d ) más baju. y la longitud de 000., ~e m má~
Figura 15.29
l>roblcmn 17
Estimaciones y aproximaciones 18 •• La \llllOl"1dtd lk una con\'Cr>.1Ci6n nunlMI entre f'lt'NlIl:l.' a l m de lh, t.'UlCiAC\ de (l..'i dO. 1:..<.JlIllar la ptllL'nCia C(lf) 1lI qoc h.'lh11UJlO'o, k;><. <.c.~\ humano...
13 • SSM DUl"lllltc uml p,ltrul"'- el llC'Clru/.adO Rf/lI¡:t'T liult/,I/ choca con un u mmll. cmp,c/u u llroer y IlCilhll e ~ plo,nndo. El milrinero Abc-I ~a l' n ,d ¡lgIIU pur In buRln y com lelllll II nildllr rntcntundo c~CIlp;lr del hiIT\:o mienlla\ que cl lIIllri nen) OnJ..er con,iguc ¡,ubir a um, hal":l <",I\a\ ldll ~, C'utllldOlJa ....'do el e ll¡ ~(){1i{). Ahd } IlnJ..er eQmpamll ~ u ~ e\po!nCllCIU'. A~I dwc '·Yo nadllba IlilJtI el agu:i y of ulln grtl11 cxplo<;i6n pnx.edenlc del n,l\ fo_ Cuando -.al{ u la \upcrlicie or Ullil \c¡¡unda e\pl o~i6n . , Qué crec.~ que' pudo ~crl" O.ü,er ~,pondc... , o C"-"I) que fue tu 1II11l~imlci 6 n . y,l que )0 or ilnh:umcnte unJ Cl;rJ¡'\r.'In~ li);phear por qué UaJ..l'f O)Ó ~Io una e,:~p lmión mlenu,,, qut' . \ hel oyó dtYi
19 •• Un:j pc.'l'OntI deja clICr una piedra dc'llc un puente d~\;tdo >{\)e c:unndo chocn c.h rcctumenlc debajO de él cxnc:l:lmelllc 4 \ d~'\rué<- (111 b umllf la diM.,rn:in ni ngun 'Ull('llllo!mlo que c1ticmpcl que cmp1e.1el \nnillu en nlclLIv..o.r la 1X!l'
14 •• El PU1~1 de nnoJn en la Cu<:ro,l. par.l un tiempo t ... {l. uKhcaoo en lil Ilgurn 1'1 .28 'oC mlle\e ha.:m 1:1 tlcrcch;\, 1".11 e,te ,",t;lOte JliIntcular. , qUoé '-C1I>
20 •• SSM h umar la \cloo.·idad de la botlu ~'uantl(l ",,<,ji por l'l ¡r:lc..bo ti<' Iw:ho de la " ¡ ura I 'i "\!l 11 partir Jcl olJIgu lo Jcl c.'Of1O tic la \11\00 de dllllJoc.
I
Capítulo 15 Movim ien to o ndula torio
29 •• S!>M 1(1/ CnlculUf In '.Jcll vndlt dc In vclclCldad de tina (.oda rn un!! cuclJ:r CU Il fI:~pecl(l n lu rcn~ 16n dl'Id/, 'f dl'mo~lmr (lile hl~ diferr nónle lb y ji,. um'dcccl1 ¡¡ lo r" llIC\IÓn ti,,/¡, .. ~ tiNr (h) l/nn ontln <;e mueve con UIM vclocldnd dc 1lltlmA en un Illam l:lI'C~ que c\lI\ ~(l lllelido n u n ~ te n ~lón de ~ , '. Utilil.ilu¡!o (/l' rmm I1 pr(I~lIunr In \'llrindÓn de len"lón. hnllur 1::11 que:! ('III1II<1,ld tlehe v¡r rinr~c In len~ i ('l n plml :IUlIlenlUr 111 vdocidad n 112 11l/~ 30 •• (11) C'ulculnr In dcri vudn dc In velocidnd del 'oOnldo re~Ix..'C lO a la tempe rmura abwlutn y demostrn r (I\IC lu~ dirercnciulc\ (/1, y tif o bcdecell ,1 la expre~ i 6n (11,11, = j /rn7: (h ) UlIllI.lIr eslU exprc\ión pm, I cillcul nr I¡I variacIón porcenlual de In velocidad del M) nid(1 cuando In tempcnllunl \t mo(hhca de fl 27° C. (e) Si 111 velocidnd del sOnido es 33 1 111/~ n O" e, ¿Cutí! e~ (ilproXltllnd,I· mente) ¡¡ 27° C'l ¿Cómo es el resultado obt~nido mediante e\la Ilprmti milción compancdo coo el que se ob¡ieoc mediante un eálculo exoclo?
3 1 ••• En este problema ~e ha de oblen~r una fórmula prnclica pill detenninur la velocidad del sonido en el aire a una tempen"urn I en grado.. !lius. Se e mpieza escribiendo la temperalurn como T = To + 6T. en donde '1;. 273 K corresponde a los O" C y tJ.T = l, a 11I te mperalura Cclsius. La \"elocicLJ , del sonido es una fun ción de T. Con una aproximación de primer onk
e.·
Figura 15.30
Problema 20
21 •• Los edificios de una residencia de estudian tes eslall distribuidos en forma semicircular. Pura calcular la \'clocidad del sonido un avezado estudiante dc fís ica se sitúa e n el centro del semicfrculo, a 30 pasos dobles dc los edificios y lIplaude rítmicamenle de modo que la frecuencill. dc 2,5 aplausos por segundo. es mi que el eco dc un aplauso llega a la vez que el eqtudiante produce el s iguiente. Suponiendo que la dismncia de un paso dobk es la mis ma que su altura ( 180 cm). estimnr la velocidad del sonido en el aire. ¿Cuánto difiere del valor hubitual?
Velocidad de ondas
i
'"
(a) El módulo de compresibilidad del agua es 2,0 x 10 9 N/ml. Uti1i1.nr este valor para Imll:11' In velocidad de! sonido en el agulI. (b) La velocidad del sonido en me rcurio es 1410 mIs. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio (p :::: 13.6 x 10l kg/m l ),!
22
•
SSM i ./ Calcular la velocidad de IIISondas sonoras en el gas hidrógeno a T = ]00 K. (Tonmr Id = 2 g/mol y y:::: 1.4. ) 23
•
24 • Un hilo de acero de 7 m de hlrgo ¡¡ene una m¡¡sa dc 100 g. Si está sometido a una tensión de 900 N. ¿cuál es 111 velocidad de un pulso de ondll transversal en este hilo?
25 • Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo unu tensión de 5050 N viajan ondas lrnnversales a 150 mIs. ¡.Cuál es la masa del Illambre? SSM Un pulso de ondu <,c propaga a lo lurgo de un alambre en el sentido positivo del eje de las x a 20 mIs. ¿Cuál ser:! la velocidad de pulso (a) si duplicamos In longitud del 1l1nmbrc pero nmntenemo~ con~ Ul1l1e la tClUión 'i la nlll5!L por unidnd de longitud'!, (b) si duplicamos IR tcn~i6 n micntros se l11unlie nen conSlances la longitud y la mllsa por unidad de lonKitud? (d si duplicamos In masn poi" u"ltlnd de longitud m lcnlrn.~ se mantienen constante.~ las demás variuble.~? 26
•
•
27 . , Una cuerda de piano de m.'Cro liene 0,1 m de longitud y unu mUS:I de S g. Se tensa mcdi3nte unu fucrta de 0500 N. ((1) ¡,Cuál e.~ 111 \elocidad de ta~ ondas trnn~\"e~te~ en la cuerdR" lb) Pan. r«lucir la \elQCitlnd de la ondu en un faclOr 2 s in modificar In te nsi6n, ¿qu~ rTl:lS3 dI:: alambre de robre habni que enrollar alrededor dd hilo de acero1
28
•• Una regla pn'icI1e¡t común pura clI1cular la dl'wncla a 111 que eae
un r.lyo es empcl.ar a c()ntnr el tiempo cuand u !>< oh,erv-a el rchimpago) detener d cronómetro eUiludo \C oye d cslllmpl(jo del lJUelk). El número de M:guntb)S COl11ados '\C divide emollCt',\ poi" 1 parJ obtener la dl~lllI'K:la en kilómetro ... (n) i.CU,n es la \'elocidnd del \MIdo en ld6mC"tros pcJf ~gundo1 (h) ¡.CuJnta exllClItud tlelle b le pnlCetbmlento" (e) ¿TIC-nC ¡m¡xlftaocl.l 1_ CCiI¡eeeión que UC'1l(! en cuC'ntn el IIempil empleado ptK la IUI en llegar a rml;()lf"(V;~ (La \elocI' dud de In IU1 es apl"OltI11ludamente 3 x IO~ mf~ I
¡,n,
podemos escribir 1'("1') . v( T o) + (dvldT h . tJ.T, donde (d¡'ldTlr e" derivada calculada para T = T(}o Calcular <:.sla derivada y demosu"lIr que su rc, !!
tado lleva a l' = (33 ¡ m/S)( ¡
+
f-) = (331 + 0.606/ ) mIs _T,
32 •• Varias historias sobre fe nómenos psiqufcos se pueden explir considerando fen ómenos ITsicos. Por ejemplo, se cuenta la hi:;toria de un hOl bre que se despenó sin motivo aparente de un .')oueño profundo. s:lIió de In cal' y se acerc6 a la ve ntana justo a tiempo para escuchar el sonido de una explo.')o i, 1 de una planta de mu niciones al otro lado de la ciudad. La historia se ci!¡\ men udo para dar crcdibilidnd a la idea de e1ari videncia, pero;,c puede explir considerando que el hombre se despen6 con el temblor de la onda sonorn ql se propagó a trnvés de la Tierra y luego anduvo hllsta la ve ntana con el tiem f" suficiente par:! oir la onda sonorn que se propagó a través del aire. Si tard6 J e n desplazarse dc [a camll a 111 Ve nt3n3 y la velocidad medin del sonido atrn\ , de hl roca sólida es de 3000 mis, ¿a qué distancia estaba su casa de la plantiJ L municiones? 33 ••• Una estudiante cstá en su habiwción estudiLlndo fisicll y. a 1:1 ve / . escuchando por rndio la rc trllnsmisión de un pllnido dc béisbol que Se cdebl,1 en un estadio situado ¡I 1.6 km de di.')otll1ldn. Por la radio In estudi:l1lte o)e .. 1 chasquido producido por el pulso electrom,1g nético de un rayo y dos '\Cgund~"K más wrde o)e, por 13 radio también, d trueno, que ha sido registrndo por un micrófono del campo. Cuau"O segundos después de haber ordo el pulso clt.'CtfO. mllgllético por III I'IIdio. los cristllle!<. de ~ u habituci6n I'i bran por d Cft'C IO del lrueno. ¿A qué distancia del cstadio de béisbol se ha producido el rayo'! 34 ••• SSM La estación meteoroló!!ica Beta está a 1.2 km de 111 e~ta ei6n meteorol6giea Alf3. Los ('ibscr".adof"C.!, de las do:. ~taeiones ven un rJ) O que ~e produce hacia el Ilone. Lo~ ob&Cl'vadores de In e\WciÓll Alfu oyen el tnlerlU 3,4 s después del rayo, micntnl' que los dl' In estación Beta lo oycn 2,5 s de~pu és.
Cu\culnr
tll~
l'oonlcuadll!; del rnyo relativas a la c:.\:tcióll Alfa.
3S ••• Un muelle en espiral dell1JlO Slinl) se defonna ala'Eándosc hasta una 10nKllud L Tiene una l'On~tante de fUer7'oll k )' una mm_a m. (n) Demo~trar que 111 \elocidad de ILb ondar. de compresión l ongit utlinnlc~ n lo 1¡lrgo del mucIle viene dad~ por \.• rJklm . (h) Demow!Ir que ~[(: vnlor c.s lulllbiéu el tle lit \clocidlld de In~ ondll~ Irnns wrsal,,~ u lo largo del muelle ~i la longitud natuf1I,l dell1ludle e~ mucho menor que L
La ecuacl6n d e onda 36 • Dcm (Iltisfacen la «:lIación de: ondn (111 \"ft.t) = (x+I'I) ': lb) V( I", 1) = "t.',J! , .n. en donde" )'.1: son con~lante\ e i = P ; (el .\~ . I·, tl '" In k( ., + vlJ . • SSM ecuación de onda.
37
Problema5
la í/qmcrda tr < O) IfIddc una anda ~lIIu\("dll l de tal lorlll"\ tlue parte dc la 01ldll <,(' ~neJn y p¡U1e \C 1Jun.~nlllc. SI I < O. el dc\pla/ll' mirlll(l de Iu unllu c;e destdhé medíuntlll{l', J) ..A 'lCn{*¡1 úll" 11 ~n(k, r '" cul. y ..1 \ )o 0.\ (l. t) .. e 1;(:11(*1"' wt), eu donde w'k, • \', YroIk .... 1'2' {tI) SI \upoI ..
38 • lhl\l de 1\\, c\U'r.mt'~ tlt' IInll t'ucrdJl dI' () m de Imgll \1' nlU('\C haem aml\a ~ nhilJn (tln un mo\ mllentO lInllt1nf¡:1l 'Implc dI! trcl'ul!nclll C'JO l b I~, ,lm.!lI' Uk1l111M! el otn) c\tremu de In \lucron en tl,5 ¡; lI ull¡Lr lu 1,,1\· ~lIud .Ie (lIlÓ.llle- 111' OliÓ!\..' en la (Ul' rda
i
39 • L\ f..'<.:lmoón 1'1. 11 c.\pre\:I I!I dc' phllilmicnto de una om.l:larmó· me.' CUIHO unll funl'lon ,!l- , )1 1 Y dI! lo, pmihlletro~ dc onda k ) w. Escribir e:\I)I1:\lOI\\:', t'\luh'uklll\!.' que en lugar de A y (l) IContcnglln los siguie nt c~ ¡¡ltres de! p:mimctro.,: (d)J. y 1: (IJ) A)' j. (1') Ay 1: «(/) A y I')' (t')fy 1'. • SSM L:I t:cullcit~n 15.10 I>C aplico :1 todos lo.~ tipos de ondus 40 periódica" mc1uidlh la~ clcctromngnéticas. como la IUI y IlIs microondas, que lienen 1II1l1 \'elocidud de 3 x lOS mIs en el yudo. «(j) El intcrvulo de longitudc..~ de ondl\ de la IlIt paro las que el ojo c." St!n~ i b le IIbuI'Ca desde 4 x 10- 7 U 7 X 10,,7 1\1
upm:\imadamcntc. ¿Cuáles son las frecuencias que corresponden a estas longi. tude., de onu:'!? (b ) Hallar In frecuencia de una microond n
41 • i Una onda ann6niCII en unJ cuerda con unll musa de 0,05 kglm y una ten ~i6n de 80 N tiene unu amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda se mueve con movimiento anll6nico simple a unll frecuencia de 10 Hz. Hnl1ar la potenciApropAgAdu A10 largo de la cuerdll.
42
•
i
./
Unll cuerda de 2 m de largo tiene unll masa de 0, 1 kg. La tensión es 60 N. Una fuenle de potencia en uno de sus extremos envía una onda ann6nica con una amplitud de 1 cm por la cuerda. La onda se extrae por el otro extremo sin ninguna rcnex:i6 n, ¿Cuál es la freeuencin de la fuente de potencia si la potenein tr:msmitida es 100 W? 43 •• La función de onda para una onda nrmónica en una cucrda-es y(x, 1) = (0.001 m) sen (62,8 m- I.l' + 3 14 S- I t), (a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad? (h) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la misma. (e) ¿Cuál es la velocidad máxima de un segmentO cual· quiera de la cuerda?
44 •• Una onda amlónica con una frecuencia de 8p Hz y una amplitud de 0.025 111 se propaga haciu la derecha a lo largo de Ulla cuerd ll con una velocidad de 12 mis. (a) Escribir una expresión que sea adecuada para la fu nei6n de onda de la misma. (b) Determinar la velocidad máxima de un punto de la cuerda. (el Determinar lu accler'Jción máxima de un punlO de la cuerda. 45
••
•
I
masa de 0.06 kg Y una tensi6n de 50 N se mueven ondas de frecue ncia 200 Hl Y amplitud 1.2 cm. ( a ) ¿Cuál es 111 encrgfll tOlal medill de lns ondas en 111 cuerda? (h) Hallar la potencia transmitida que pasa por un puntO delermi nado de la cuerdll.
46 •• SS M En una cuerda real. una onda pierde cierta I!nerg{a cuando se propaga a lo largo de ésta. Tal siluaci6n puede describirse por una fun · ci6n de onda cuya amplilud A(x) depende de x; y = 11(.1') sen ( b - a)/ ) :: (Aor IU ) sen (b - Ctlt ) (ll) ¿Cuál es la potencia original trunsponndn por In ondll en el origen'? (b) ¿Cutll es la pOlencia !ransponadn por la onda en el puma .l'. dondex)o O'!
(J. In \'cludtlad ~~ 1'1- IJto~le
ncmu~
qUI! t1l1l1011l función de omlfl y I!OIllO su primertl derivadu c'pllciJtI ,1I'¡')x hUn de ser COl1li n llJl ~ ell \ .. O, dcmO\lrar que e/A . 2/( I + \' vl·) I. y que fil A .. (1 1'¡I'I'l,11( I + 1',1\'1)' (IJ) Pmbllr que /J2 + ( I'V1'lJct .. Al.
Ondas sono ras ILrmó nicas 49
•
SSM
Unu onda ronor:! en aire produce una variación de pre-
sión dada por ,,(.t. 1)
= 0.75 cos~(x -340t)
-
en donde p se expresa en pascales • .t en metros y 1 en !iCgundos,¿Cuál ~~ (olla amplitud dI! la presi6n, (h) la longitud de ondll, (e) 111 frecuencia y (d) 111 velocidad de la ondu sonora?
50
•
•
(a) La nota Do ccmral de la escala lIlu s iealtj~ne unu
I
frt!c uencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el Jlrt'? (b) La frecuencia de la nota Do unn octava por encimn del Do eenmll es d doble que la de este último, ¿Cuál es la longitud de onda de ~ta nota tn el aire'.'
51
•
(a) ¿Cuál
es lu amplitud del desplazamiento
corre.~pond¡enlc
a una onda sonora de frecucnciu 100 Hz y amplitud de presión IO.:.c 111m? lb) La amplitud del desplnzamielllo correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz es 10- 7 m. ¿Cuál es la amplitud de presi6n de esta ondo? 52 • i ./ (o) HlIllnr lu amplitud de despltl1l1rrUcnto COITC~· pondienle a una onda sonora de frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de pre' sión corresponde al umbral de dolor de 29 Pa. (h) Hallar la amplitud de desplazamiento pura una onda sonora con la misma amplitud de presi6n pero con una frecuenciu de 1 kHz,
53 • Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia Oc I kHz tiene una amplitud de presi6n de 10-1 alm aproxi madamente. (a) Cuando 1 = 0,111 presi6n es máxima en un cicrto punto .tI' ¿Cuál es el desplazamicnto ~n dicho punto en I = O? (h) ¿Cuál es el valor máximo del desplllZllmienloen un instante y posición cualquiera? (Considerar que la densidad del aire es 1.29 kglm J . ) Una oc¡¡¡va represema un cambio en 111 frecuencia en un factor dos. ¿Cuán tas octavas puede oír unn personA normal? 54
A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo. unn
I
•
SSM
Ondas en tres 55
dlmens~nes:
Intensidad
•
Un pisI6n situado en un eXlremo de un tubo largo lleno de nire u la temperalura ambiente y a la presi6n normal. oscila con ulla frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 0.1 mm, El área del pist6n e..; 100 cm!. (a) ¿Cuál es la nmplilUd de la pre..~¡ón de las ondas !>OnOl1lS gl!ncrndas en el tubo? (b) ¿Cuál es la inlensi· dad de las ondns? (e) ¿Qué poh:ncin mtdia se necesita p.1m mantener O!icilando el pist6n (despreciando el 1'01.amierUo)?
47 •• Se hu transmitido una dcterminawl pot~ncil\!1 lo largo de un alambre tcnso mcdiante ondas nnn6nicn ~ transvcr!o.lles. l..tI velocidad de 111 onda es de lO mis y In densidad de mnSA lineal del :!lumbre es 0.01 kgim. l..tI fuenle de potencia oscila con una nmphtud de 0,50 lIllll. (a) ¿Qué potencia media se Imnsmite Alo largo del ulambre si 1:1 frecuencia c.' de ,lOO Uz', (b) LII potencin mlll~miliWI put.-de aumel1lal"\e aUlllentnndo li;} ten"i6n cn el alambre, la frccuen · cia de In fuente o la amplitud de las ondIL~. SI ~I o.se varfa una dc estllS mngnitudc..~. ¿t'6mo Imorfa de modllic:lI'lie cada una de e llu.~ con objeto de prodllClr un aumento de potcncia en un factor de lOO? ( e) ¡,Cuál de la~ \nriacione~ indica· dll~ ~e Ixxlrln renli/.nr proo:lblcmeme oon muyor facilidad '?
57 • SSM J Un olla\·o2. de on concierto de rucio. genera lO 1 W/m: 11 20 111 n una frecuencia de I kUz. Suponiendo que el nlr:l\'O¿ exliende su energía unlfonnemenle en tres dimensiones.. (ll) ¿cuál es [a potencia tOla] acústica emitida por el nlravol.? (h) ¿A qué distw¡cill la illlen\idnd del w nido ~ encomrur.i en el umbral del dolor de 1 W/m2? (e) ¿Cuál es la intensidad a 30 m',
48 ••• SSM Dos C\lcrda.~ 1~ o.tán U",llgndón de la OOdll ~ 1'), mientrus que en la regiÓCL
C'unndoselan1JlunalfilerdeO,1 gdemasadClideunnuhurudc 1 m, el O,O!'! por cierllO de su ~nerg{a se conviene en un pulso soooro de duración 0,1 s.
Un foco esférico rndia el sonido uniformemente en lodas direcciones, A unn disttmein de lO m. el nivel de inlensidlld del sonido es de 10-1 W/m2. (a) ¿I\ qué dismncia del foco el nivel de intcnsidlld es de 10 6 \V/m:'! eh) ¿Qué pmencill <:!itá radiando dicho foco? 56
•
•
58
••
462
I
Capítulo 15 MlIvhnlel1lo ondulatorio
la) b limur el 1IIICIHII\Il' n el \lue PUl·"l'IIIr -.c 111 u lk!:t dcl nllilet ~ 1 1 1I 111 1 t.' II~i uuJ mmlma que p.I\.'~tc 11l-p..1I u 1111' ''' e' \k 11) 11 W/", ', (/I ! 1 ti In Imktkll. el r C~lI h lldtl oht\'IIIOOCII Idl c~ m\l~'h(l mll)\lt ul'hillll lll mi\111 de hmOn. 0;;1e ll lu~ uJ UC lu \111'(1 " cl\\n rmtetl \lr 'e ,,"ll ~ llJ.cnl IIUI' pmu 1I 1'~ 1U u \.il'c 1.'1 ..uldo el UI \ 'd t.Ic inten, ltllKI .ktl\.' \\'r de nI melll\\ HI · \\1tn ~, e'tI111111 \'1 mtct\nln en cl 'IIIC I)l)cdc lIeJ.\1U n 011....... 1:1c¡llou del altilct, tSUlll111CI en 111111'1\.1'< Cll\O\ tllk' In mlen ~ ¡dnd l" I'/.I m-'. )
72
•••
SSM
('(mndo un vio!im\"" mUt'vt: fUI 1lft'O wnhre Un.! ttlt"TtL.l.
t-I
'uer/ n l¡1X' t IC" :C ~ ¡M:t¡lICfuI. !Jel ....tkn dI! O/, N SUJll>1lc.,,", ... Ifll~ ~I Mt O lIiI!' IIIUC\'C 11 tntvfllCI quc el ",,,,nido <.e Inm h ll Un! r(>rll Itlllentc ton 1(1(]"" Ia~ dt ree. {1()9'Ie\.1
73 ••• El nivel de nlldo en U,I Iw lil vuda donde ~ n fl reélhllll' IIn elt.lnW'n e~ de 10 dll ( 'unndn J (lO altll llm ~ \(' CIK.uCnlIlln eq, rl b,cndll ~u t::ltlunc n. k ... 'Mm).
· Nlvel d e Inte nsld"d (o sonoridad) el ni\d de intl!ll\Idml en lkcibclio~ cOITC~ pondie lUc a unll (Inun SOIlOr.! de inll!llsidnd (11 ) 10 111W/m! y (11 ) lO ! W /11I1?
S9
¿Cu rt ll!~
•
• i Ilnllur la i11lcnsidad ele unll onda sonor.! si (u ) {J = 10 dB Y (b) fJ = 3 dB. Ce) Hallal' las lIllIplhudcs de In prc..~ i ón cOlTCspond i e n lc.~ H ondlls M)nl)r.t~ I!n el nirc ell l'Qlujieiones nonl1ld c ~ paro cada una de estllS intenSidades, 60
SSM El nivel actístico oel ladrido de un perro es 50 dl3. L.'1 i nhm~i dad de un concierto de roc k c.~ 10 000 veces superior a la del lad rido dc un perro. ¿CutÍl es el nivel aeú ~t ico del concierto de rock? 61
•
•
62 • I Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido mi , fuerte es Ir )' la del ",:is débil lo. El valor dI;! la relación /¡:I/o es ({/) 1000. ( b) 30. (e) 9. (eO lOO, (e) 300.
63 • Dcllloslr.tr (Iue si se duplica la intensidad. el nivel de intensidad aumenta en 3,0 dB, 64 • SSM ¿Qué fracción de la poteocia acústica de un ruido deberá eliminarse par:1disminuir su nivel de intensidad sonOr:l de 90 a 70 dB'!
6S
••
•
I
Una fue nte esférica irrndia sonido uniformemenle en todas las dircccionc:..<;. A unu d i~t anci:, dc 10 m el ni vel acústico es de 80 dB. (a) i.A qué distaocia de la fuente el nivel aCÚstico c..~ de 60 dB? (b) ¿Cuál es la potencia im ldj¡,d:. por la fuente'!
66 •• Un;¡ fuentc c.o¡férien de imensidnd fu irrudia sonido unifonnemente t u toollS l:ts di reccioneS. Su nivel ac ú~ ti co es {J. :l una dista ncia f¡ y ~ a un u disIltneia r~. Dctenninar fJi{J¡.
67 •• i ./ Un altavoz genero en un concieno de rock 10 l \V/m2 :1 20 m a unll frecuencia dc I kHI.. Suponiendo
••
Un artkull\ d re conlnmmaclón acuSlicn sci\aln que el lII\cI de '"t c n~¡d:td \Onn"a en g.rn~ ciucL'Kle hu. estado numenlmido en 1 dB nmutlmente. (ti) ¡,A (Iué aumento porct:ntuu.1 de intenSidad cOfTC.~pondc ~t o7 iP:uu,:e nvon.ahle estc incremento'! lb) ¿Aprolumad:J11lente t n CUMtO"l llños 'oC duplicar:'i 1.. 1Il1
dO,\ tle JII!I rC~ l'lmci!lnc\ Yde I n~ pl\llT1i_ ~ c."CrlhlCndo ~ *,re el pllpc¡ dt\'tln d nl~lIl de nJido n 60 dlJ . (No lencr t::JI cuenca los cafTll ~pe<~ 1 JCa.~ I(m, _ les I SIJpíIflW('ICI!. ' lile ItI crmcribución de ead!! :_lull1oo a In potcnCIII de nlld" c~ 111 10'\11\(1. cak:lIl", el nivel de nlido cumulo 'iÓlu quooun 50 IIlumnos en clnuhl,
Efecto Doppler En los problellllls 74 a 79 1a ruente emite un sonido dé 200 111. 'lile ~ lIlu C\' t por el aire en reposo con tina vclocid/ld de 340 mIs 74 • U l fue nte se mueve con una velocidad de 80 mi!. re.... pectO al ain: en reposo hucia un observador estacionario. (el) Hallar la longitud de o nda del sonido en la zona entre la fue nte y el observador. (b) ¡"aliar 1:. frecuencia orda JX eSle ultimo. 75 • Con~ idcrar el C'dSO del problema 74 a partir del sistcm,'1 de refcrelll. en que la fucnte está en reposo. En este sistema el observador se mueve hacia fuente con una velocidad de 80 mis y ex.iste un viento de velocidad 80 mis qt sopla del obscrv:.dor hacia la fuente. (a ) ¿Cuál es la \'elocidlld del <;
76 • U\ fuente se mueve con una velocidad de 80 mIs ¡¡lejándosc d, I obscrvudor estacionario, (a l Halhlr la longitud de ondll de Ins ondllS sonoros en 7.Onn entre la fuente y el observador. (b) Hallar la frecuencill olda por cste últim· 77 • i El observador se mueve con \'clocidad de BO mIs re pecto :11 ¡¡ire en reposo hnci:1 la fu ente esulcionarin. (a) ¿Cuál es la longilUd dt' onda del sonido entre la fuente y el observador'! (b) ¿Cuál Cl> la frccuenein oítla por el obscrv¡ldor',
.1
78 • Consideremos en caso del probll!llIH 77 en el ",i,tema de rcfere nci.r en el que el observndor está en I\:poso. (a ) ¿Cuál c.~ la velocidad del \'i":l1Io en este sist":lI1u'! ( b) ¿Cuál es In velocidad dd sonido de la fuente al ohscrvndor I!n e~l c sistellm, c.<¡ d(:cir. relativa a este último? (e) Bulhtr lu longitud de onda del MJnid<1 en In I.onn cntre In fuente )' el observador en este SiMCIlIU, ( tf) ¡'Iallar la frec uencill oeda por el ob\C:f\'ndor. El obsen ndor se mUC\'e L'OIl un:) \'clocidml de 80 mIs I't!.\PCc:to al ni n: cn l'e1X"<) nlej:tlwjo),C de In fue nte c~tac ionruia . Hallnr la frt.'{'ucncia oida por dIcho oh\C:rvndor
79
•
80
69 •• Tres fuent e' I,(lrtOr,IS pruduccn unO\ n,\'clo. úe inten!iltL1d de 70, 7,' Y 80 JI) CUJltdo tlCtÚJ n \Ct):lt,ttla~nte, Cuando octuan Junhl!> h~ mtcn'ld:lt:lc' de lo! rucntc~ 'oC \UI1J,1I1, 1111 Hrlilnr el nl\d de IIItcII'ldud MlIlOr.l en doclbcho\ cUllnu\\ 111\ lre.~ rUCnh~' IIlIÚIIll ~HllultllncanlCntc . (hJ b lud,:lr la uh hdnd de cllmi· t!;l r I,I~ lk>~ r\H:ntc~ n\l.'.IIl'N m tc n 'a.~ con ohJt'JO de rnI"'-lr el IIn el rJe mtcns,d.l\1Jcl
!'ludo _
70
••
SSM ... , \C lklbla 1;1 d, \tnoci" ('ntR' un foco)' un rc.:t pmr, 1,1 mt e n ~ l l.hllt en el ttttptor dt\lmnu) l', fipl'lJ~ ¡ m;ld,lIllen tt' , ((/)1 d O, ("1 .\ dll , tej 6 dlJ . (dl ll lXlnlr dc IUllItflm\3.: IOIl 'IIIC W tlel\(' 110 '< puede ,l:¡r\ln;¡ clfn!. 7 1 ••• i TotI,t.. 1:1_\ rc~>n:t\ q\Jl! han 1k.¡1d.u..., iI un ",)I.;l..tall \C: C",ocntrotn h..lhl'UJd.l tl/ ual Ik ruuNl1'knlC "1 ~h) ~U \~ hahlando:. una pet. '111\;1 . d m\d dI' ~In ".lo l '>en" dl' 71 dn {';I'-.;ul"r I!I mw-I (le "<'Iudu "'\I,lI'Id.) la\UI ¡leN 'na.'
I\;¡I1l,an a la \ el
• Un renclor 'oC mueve JI un Mach de 2.5 n tulll ultitud de ."iOOO m, (o) ¿Cu;11c.\ el ángulo q ue lo onda de choque fonna Ct)tl la trnyec torb dd reacto(! (Suponer que la \elflClClnd del <;('I nido 11 e,tu nlturn sigue !>iendQ 340 mIs.) (/,) En dómk \C encont rnm el reactor cuando unA 1 l'C~nn en el ~uc1 () oign lu onda de ¡;hoque1
81 • Una pcNlIIlI corre A todA vehx'idud hncin un foco M)lm,,1 de f,,'· <:UCIICIII IOno 11 / . EMtmar l:t frecuencia del ..o1\ldo que percibe C~III pcrsonu. Suponer IltlC c\ta pt:l'Ollfl C\ t.'1 IP.17 de rt.'Connccr un camhio en lu frcellcnci:! del V1 ¡.Puede UlllillU'o(' e~ta "alornd6n dc lu Irccucncia p.'1r:t e~ tll n ur Mt PHllli:t \clucld!ld') • 82 .. I Un di ~po<;i th o de nld,lr l'ntitc IlIJc ro(1ndll~ con unu rreCIIeI":HI de 2.00 GIl/. CUAndo la!> ondm, <,é rdleJlin cn Ul\ ,,'()CI,,-o
P,obftomas
83 •• SSM DI.' l\'nl1;1 nlluulJhl '\' uHU/a el etl'\:tlllJuPl'lcI pLUlI mcdll 1_ \"tltll.:iJntl Jd \lcnto en Ulhl lllllllcnlll. l lnu e~Uldt'!I Iltch"t:IIl.llIgka .. utHi/n IIn rllht ik {\2~ Mili ,h! l~uencHt 1.11~ t'n¡Ju~ I'n,Judt.lll~ 1'111 el lIl! trllJnelllo ~ 1\"11. Jan en IIIS i.WIn~ de IIIlVIIl dI.' unu lt'IIlICIUII ~ hllndn ti 'O km de 111 c~tlld{ill '1 " nJ{l IIc¡l!l1l ,le nm,' \n 11 In e\IIII.'I,ln meh..'f''',I''Wicll ~u frcuK'udll e ' LO¡ II I mal (ll' SUI)UOIentl\l que el ,!entll':"u! tln'l!Clrullenhl et1,'l1Iudu hacia In 11I11CIUIlkl OJJar ' que el in~tJlJmcnl\l ünklllncn'~' !!\!llc el L'llllllx,mellle mdial de 111 "eh'l: ! d¡.I, \. 1\ qué ,e101.:ul:\I.1 ~lln el \'ICnIO'!
i
84 •• Un (\c'lnICI\lr (Iue loC encuentra en I"CI'0"U c\lá L'ttuipndo \'.... ~ un 'I)lUlr que crwln puls(,S S(lll(l!\K de 1l de ~O III~ '1 IJnll fl\.'\:uendu de 39,958 MIl .. , Si In velocidnd del " Jo en el ligua dd mm e~ de 1,54 kmJ~, cnlcular (ti) In proful1didnd del ¡,Ubllllln ,. Ib) :.\I vdocidlld verticnl. •• Una unidad de mdllr de In policfu trnnslllile microo n da~ de frccuen)( 10 111 ..11.. Lu velocidnd de CStllS ondM en el aire es 3,0 )( l()IIm/s, Supóng, ' quc un coche se IIlejll de estll unidfld dc mdllr a una velocidad de 1
8
"
• 80 nl {'t'
•• Supóngase que el coche 1>oIida del problemn 85 se mueve en la ma dirección que el otro vehículo a la Yelocidad de 60 km/h. ¿Cuál es entonla diferencia de frecuencin enlI'C las señales emitida y renejada? o
87 •• I En el tiempo' = O, un avión supersó nico cstá dil\."<:tamente sobre un punlO P yolando hncia el oeste a unn alt ura de 12 km y a una \'elocidad Mach 1.6. ¿Dónde cstll el avión cuando se escuc ha el estumpido r.6nieo? 88 •• Un pequeño apamtO de rndio de masa 0,10 kg está unido a una pi5ta de aire por un extremo mediante un muelle . La radio emite un sonido de 800 Hz. Un observador en el otro extremo de la pista de aire escucha un sonido cuya frec uencia varfa entre 797 y 803 Hz. (a) Dclenninar la energía del sistema ...ibrante masa-muelle. (b) Si la constnnte del muelle es de 200 Nfm. ¿cuál es la amplitud de vibración de la masa y culll es el periodo del sistema oscilante? 89 •• Un foco sonoro de freeuenei:c lo se mueve con yelocidad Uf rc.~· pecto al aire en reposo hacia un receptor que se mueve con velocidad //, res· peeto al aire en reposo alejándose del foco . (ti) Escribir una expresión para In frecuencia recibidll f. (b) Utilizar lu expresión nproximada (1 - xt 1 - 1 + x para demostrtlr que si tanto /Ir como '1, son pequeñas en comparación con 1', In frecuencia recibidn es aproximadamente
10_(I+lIr- /l')1o =(1+ 11"'1)1o \1
I
94 •• í .1 lo CII('~ fOttpt0'(,ma 11 unll r~f('(1 rrO.'t:I"nI I n t ,ho,ct'Vmli" U1llK'''I 1 ~I lOad" del! ~ del Cfl\.:1~ t'I( 111. hl'l un 'Iu,k., k f !'«"lenCr , 1d'\ /1 1 l" lXcdcnll' de la 1)("-11111 tlt'ltor.:he y un c;(mltk, ,1<- fre(tI('fK'''I Xf,l Jl I 1'" >ledcI1tt' de 111 JlllIcd I ti) (.e unl etll.i,ml (. 11,C"wO t,_ 111 frct:ucnua C'-.c.:IKh.td.• IX>!' ti C'C,,,,h.~for «1 el'l. hc, jlf\lt.t'!dClIlt tk IlI lefl ('J!I/ln dt'll,(lmdn elll" p/'lftd' 9S •• l ." I;ondm.:le'", de un t.:oc ht, (11It: villJI! a Ifl() klll/h h/lr til un .k .• ". Indu vCI1lcul Imee ~mor ¡'rcvrlllenle la. !loe"UI 1 '(iltttlmtnlC un ~1l1ll>ikl dr1pué., elhl c~uehn (,1 reo y ()~rvu (loe \ " freflJ('OClI1 ,,\ de 840 111 ¡ ti. quI diNtuncill deluCllullllltlo 'iC e!lWrt lmiJiJ el coche tuandt) lit concllK.ltlf. h,lt) In bocinn y t urll e.\ In frecuencln del JOflIdo emllldo? 96 •• Uml PC!'S(JllII en un vuelo Irlm'lnl tí nt,co VIUliI haLla t'I t~IC a 800 km/h. Un Concorde que vIJelu con velocldud M l~ h 1,6 !le emucnltíl 11 1 km ul norte del primer avión y !\U rumbo c.. l:cmbién e~le · oe\le J,('wil c\ la dl-.t.fn da entre los dos Hyiones cunndr) de..\de el vuelo Imn~lIl~nIlCo ~ tlye el e~t."n pido sónico producido por el Concorde? 97 •• SSM Se 1m USado el telescopio e.<¡paciul I/uoble pflnt delenm nUf In eX;Slcncin de phme\as de estrellas l ej:r nll ~, Cuando un plnnetn e\11I en órbita alrededor de unll c.~lrclla, ésta experimenta un movimiento clln ti mi~ma periodo de la órbilll que el plonela. Por esta eaUS:l, la lu1. procedente de la e\ttc11:1 presenta un desplawmiento Doppler lambién periódiCO, R~l imlJ r la longnud de Onda mllximn y mfnima que tiene la luz de 500 nm de fl\."Cuencia nomlllal emitida por el Sol como consecuencia del despl:culmienlo Doppler prodUCido por el movimiento del Sol debido a Júpiter. 98 ••• i ti' Un esludiante de ffsica deja caer por el hueco del ascenso r de un rnscaeielos un diapasón que estlÍ vibmndo a 440 II z. Cuando el estudialUe oye una frt.-cuenc in de 400 Hz. ¿qué longitud ha recorrido en \ti caída el diupasón? 99 •• El detector de neutrinos japonés Superkamioknnde e.'i un Hinque de agua dellamaño de un cdificio de 14 pisos . Se detecta un ncutnno, la "p.'mí.. cula fantnsma" de la ffsiea, mediante la onda de choque producidn cu:mdo un neulrino chocn con un electron y éste se mueve por el tanque prácticalllente:l In vdoc idlld de la luz, Si el ángulo máximo del cono de la onda de choque de Cercnkov es de 48,75°, ¿cuánto vale la velocid:ld dc la luz en el agua'!
Problemas generales 100 • En el instante, = O, la fonna de un pulso de ond!! en una cuerda viene dadn por la función
\1
0, 12 In ~ y(x, O) = (2,00 m)2 +
en donde //",1 :::> " , - u, e!l la velocidnd relativll entre la fuellle y el receptor. 90 •• Do$ alumnos con dillpallOne.~ vibrnntes de 440 H.... pasean alej/lndo!.e uno del otro con la mi ~ ma velocidud. ¿Con qué mpidez deberán nndar para. que cada uno de ellos escuche unn frecuencia de 438 Hz. del otro dillpa-
.",
\,1
cn donde.l está en lIletros. (a) Dibujar )~X, O) en función de \" Expre\llr la fu nción de ondn .\1'.l', 1) en un instante I eualquiem ... i (b ) el pulso se e"l/I mo\'ielldo en el sentido positivo de las x con una wlocidnd de 10 m/~ y (r) , i se e,t:i moviendo en el sentido negativo de las x con una \doddnd del mismo valor, o
91
•• Un lllurnnu de rr.ica anda :1 lo largo de un \'e:;tibulo gnll\dc por· lindo un dillpasón que Vlbm n 512 111_ El extremo del \'e!ltOxrlo CSI/l cerrndo, de forma que el ltOnldo:le reneJ" en t i. El e,tudr:cnte oye un sonido de!í 16 1,1, procedente de la pllrcd ¿Con qué mpidel cstrlllndllndo?
101 • I Unu ond:1de frccuencill 1200 HI ~c pmpag:!:1 lo lurll(l de un :¡Iumbre que e.~t/i b:ljo una tensión de 800 N, La longitud de ondu de la ondn es de 24 cm, ¿Cu/ll !>Cr.'\ In longitud de ondn si In tcnsión decrece n 600 N Y la frecucnc in :;c mantic:ne conStante?
92 •• SSM Un pcquci\o altn ... ol. que emite un 'l
i ti En clnsc, una demOSITllci6n t1l1l1 un de pul"lI~ de 102 • ondn eOn ~i~ 'e en nt¡¡r un t\l b!) dI! gomll por uno de su~ extremo, u un I)(}stl' t1jl" pa~¡~ rlo por una IXllca y eolgnr un pC.~() I>or su otro e,'
93 •• Un M,loho nrrn~lmtlo por un \ lenlO de .16 kmlh emite un ~onldo de 800 II /t.:llltndo ~ .llm)~lI1lol a un gnlll edificio. (11 ) \.CuAI e~ la frccuencilt del \Onldo perclblllo f't.'lr un (Ñ'-.c ..... AI.k>r a\l;unadll en una \o;mlana de: este cJlfieio'l lh) "Culll C) la r~uenela del ~o;Jn¡dtl rdlcJlldo que escucha un YiaJcro dd Ik'lbo·.!
103 • Un bote quc 1t' un Inl(o tranqull \) formn mm onda de proa con un Ángulo de 2
464
I
Cap(t ulo 15 Muvlmlen to ondulatorio
• Si UIlIt longitud Ilc ondo t!~ much., moyor '-lIlC el dhil1lculI dt! un altll\l\l, é'tt! ,n:h.hn t!n t\)JJI ~ dil'e\."\: iluu.~~ l'
105 • Un silhlllu tic 5{X) 111 (\{! rrt..'Cuencia ~c mue\e en un" circunfercn e\3 .Ie 1 m de !'tItlio 11 3 n.'~/,. i.Cm1les ,on la, frecuencia, 11\:!.ximll y mfnilllll oí,ln~ por un Oh'C'I"\'fldllr c~trtcionn ri u ~i 1Uadu en el plllno del crrcultl y .5 m lllcjlldo de MI celllN" • I..n!' oh¡" del lIlar ~e mueven hada la playa con 111m vclocidlld de 8.9 mIo: y con un:1 :-cparoción entre CrcstllS de 15.0 m. Nos encontrarnos en un PC(IUcñO oot\! andlldojuttlo lila COSta. «(1) ¿Cuál es In frec lIencin dc las olns del Illur? (b) Se leva el ancla y nos 1110\'e1110S hncia el lIIar con una vclocidud de 15 mIs. ¿Qué freeu encill de olns ~e obscrvarfi entonccs'! 106
10 7 •• Un alambre dc 12,0 m y mu ~a 85 g se estira b¡Uo unu tensión de 180 N. En el extremo izquierdo del ahunbre se genera un pu lso y 25 milisegundos más tarde se genera un !'cgundo pulso en el extremo derecho del alambre. ¿Dónde se enCOlltron"ln los dos pulsos? 108 •• SSM i ./ Dctenninllr la velocidad de un coche cuya bocina, al plIsar aliado de un receptor parado, disminuye la frecuenci a un 10 por ciento . 109 •• Un altavoz con un diafrogma de 20 cm de diámetro vibra con una frec uencia de 800 Hz y una amplitud de 0.025 mm . Suponiendo que las moléculas de aire de las proximidadcs poseen la misma am plitud de vibmción, calcu lar (ti) In amplitud de la presión JUSto enfrente del diafragm3 del alta voz. (b) la intensidlld del sonido y (e) la potencia acústica que se cstá radiando. •
110 •• I Una onda acústica. plana y annónica que oscila en el aire con una amplitud de I tJm tiene una intensidad de 10 m\V/m 1. ¿Cuál es la frecuencia de la onda? 11 1 •• Por un tubo de !'lidio 5 cm fluye agua a la velocidad de 7 mIs. Una placa de área iguul u la sección transversal del tubo se insert3 súbitamente en éste pU!'ll detener el flujo. Dcterminur la fuerL.a ejercida sobre la plIlCI!. Tomar el valor de 1A km/s para la veloc idad del sonido en el agua. (Sugenmcitl: Cumulo se inserta la plucu. ww OIU/{l de pre.fiólI se IJropagll (¡ través del agua (j /(1 ¡relocir/tu/ (le/ sOl1 itlo. ¡',. lA ml/sa ti,· l/guo dete/lirla ell el tiempo ill es la colltc/li(/a ell ullalal/xil/u/ del tubo igual (/ I', ill.) 11 2 •• En In t¡guro 15.3 1 se representa el esquema de lu realización de una rotogmffa de nlta vclocidnd que medinn te un flash y unn máquina captum la
Irrm}tclI de uun IlUlo rompIendo UlI;I hurhujll de JIINIII La nodu tic ttKxl tr~· f'I'"(Iductdu JlI'r lu hutll 'OC detIXtu 1Ilt.-diunte \In IIJ1(:rofolJ(l. ,·(.Iotado en un;t ¡trí. pal1llelll u la 111I)"'(.'lfIrin dc 111 hala rt IIIIU()rC.m. di'pam ti fla,h y 1,1 n11lllul1ta_ .,1 In hulu 'le muevc u 1.2..'i II(:(C" In ",etocrdud del ~o ",d() y 111 dt~titfK:ra "'etlt 3/ ent,1' tu ~ urll y lu 1)IIIft C~ de {/.l ~ 111, ¡.h ljué dl~UIllCW pflr drmh de: la f'I:)mpa lit julx'ln hny (Itle COIOC flr el micr(llono p,lfór {jire IK:C I(lll(' el d, .. p:ttildor de l. m&¡ull1u.'f {Sup6 ngll r;c (Iue el "ush y la ntlk¡UIllU 'le tk:CIOnall mmedwt,lIllt'flll dcs]lu é~ de (Iue el micr(.fono dClccle In 00011 de ehotlUe¡ 113 •• Una troPll bIen entfCmldu I1Il1l1t.ene el pu"o c-'II.:uc.:h.lIld" la h;lIld~ de rm151cú {Iue e~ lli ¡¡ituada ti IJI ctlbcl.u de In columna. 1...1 mU \ lca \C 1It''oa:l 1m ri tmo que eorrc.~p0I1t1 e:1 100 pusos por minulo Unn (¡¡hnn m de Iclevl<;I(1O mUtO tm {lue !>Ólo lu Iropu que c..qá en ItI cabe/';l de 111 colum"a '1 lu (lile c\ló 'n 'o parte posterior lleva realmente el paso. Los ¡;oldfld()<; dc In \ccei6n Int emlCdr~ se encuentrul1 mlelantando el pie i/.qu ierdo cuundo I/)~ ljllC eomponen 10'.11\"" dos glllpoS meneionudos c ~tá n adclant.lOdo el pie derecho. Ln tropil e t.. 11m bien entrenad!! que, ti pe...... r de e~to. ~t á n seguroS de que IIcvnn el ¡XI"') de acuerdo con la nuhica. Explicar el origen del prob1cnlll '1 calcular In Ic>n!liwd de In eolummr. 11 4 •• Un murciélugo (Iue vuela hacia un obStáculo n 12 mIs emilt pul'oO'l sonoros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de '«J 11/_ ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los pulsos dc ceo ofdos por el murciél o? 11 5 •• SSM De forma rutinaria se ell\'(an rayos de luL. Ilber h Lunu pam detem.inur la distancia Tierm- Luno. Si n embargo. p3m delem distancia con la máxima exactitud, debe tenerse en cuellla que In 'lelO!la luz en la almósfet3 terrestre es el 99.997 por cielllo de 13 velocidad I en el \'llcio . Suponiendo que la atmósfera de 13 TIerra tiene un espesor tJ. esti mar qué cambio en la distancia supone la corrección.
!lIla .Ir la :d de ~ luz km...
116 •• Un diapasón unido a un alambre tenso genera ondas Ir.m v. JJcs . L:t vibración del diapasón es perpendicular al al3ll1bre. Su frecuenc ia c\ 400 Hz y su amplitud de oscilución es de 0.50 mm . El alambre tielte una tk tdad de masn lineal de 0,01 kglm y está sometido a una tensión de 1 kN. Se ¡l(lne (Iue no huy ondas renejadus. (a) Hullar el periodo y frecuenc ia de ItI:- OJ \ en el alambre. (h) ¿Cuál cs la velocid:ul de las ondas" (e) ¿Cuál c..~ Ifll on~ ,d de onda y el número de ondas'! (d) Escribir una función de onda ¡¡decundn p. .ra las ondus sobre el alumbre. (e) C llcular b \'elocidacl y acelcración máxima k un punto del nlambre. (j) ¿A qué potencia tllcdiu debe suministrarse energtJl ~I dia, pasón pnra mantenerlo oscilando con ampl itud conSlUnte? 117 • •• Si uml c:Jdena cerrodu sc hace gimr sobre Sil eje a velociw,d ~1t9. rodnn'l eOnlO un ~ro sin cnersc. Con s iderelllo~ unu cadena de tle nsidnd tlt' m3Sll linenl JI que está rodllndo sin deslizar con Ult:! vc locidud elevada ¡'(lo (11) I)cm05' tmr (Iue ha tensión en la cadcnn c..~ F = ,L/vA. (b) Si la cl¡del1a ruedu ~obte Ull3 pequeña protubcmnciu. se gcnerará en ella un pubo de onda tr:tns\'e/"o;al. I.A qué \·elocidnd ~ mo\'ertl u lo largo de la cadena? (e) i.l·h¡,tH dóndc ~ mO\l'r.I una ondulmnwers.nl a lo largo del lIro (en grados) en el tiempo en llue 1:1rueda gire una f'C\lolución complct9'! 1 18 ••• Una cuerda larga con unu ma~ por uuid:ld de longuud t..Ie 0,1 kgJm e~ t á haJo una lenslón con.~tánte oc 10 . Un motor en el punto,\'". O impon.:. e~le c,"tremo de In CUCrd.1 un mm imrcnto armónico a S o~c i lacione~ ¡Xli" ~l'gundo )' Ut1U amplitud de -' cm. ( ll) ¡.Cuál e\ IJI \'elocillad de Iu onda'! (bl ¿Cuál C, lA longitud dr (Inda'? (e) ¿Clllíl e~ el momcnto lineal Imnsllcf';.al máximo de un 'Cgmcnto de 1 mm dl" In cuerda'l {cl) ¡.Cuál e\ la fUel"/:1 mhima nel/! ejercidR "Obre un ~g mento de I 111111 de la cuerda',
,
, , ,
,, ,, · 0.35 m
Micrófono
Figura 1 S.3 1
Proh\em;i 11 2
Unn cuerda pe-.adn de J m de largo euelg:1 del tL'Chel 119 ••• SSM Iibremefl1c_ (ti) ])cll1\l~trar que la \ckrcidnd de I n~ ondllS U1l11wcro.nlc.' en lu I:\u:!rda e~ IIltlepelldren te de ~u m¡l ~lI y hlilgi tud. pero que de pende de ha drstan· cia 1 dc<.lIT al punto ,"f('rior de In eutrdn7 1 20 ••• En C'\te problema hay que dedUCir Ullll eXl'fC\iun p.aru ha eocIBI. pofenCllI1 de un '-Cg mcnlo de unn cucn.l:. por el que '-C propaga un tren dt onda .. (I¡guna 1'1.12) La eoergía potl'ncial de un <.egmcnlo C~ i¡;u:.l allraN/C'
Problemas
realizado por la lensión al eslirar la cuerda, de valor l:J.U = F(l:J.C - l:J.x), en Dlde F es la lensión, l:J.t la longitud del segmento estirado e l:J.x su longitud cwiginal. En la figura puede verse que
y} Utilizar el desarrollo del binomio para demostrar que l:J.t - tu '" ! (l:J.y/tuf l:J.x , por lo lanlO, l:J.U '" ~ F (l:J.y/tu'l tu. (b) Calcular dyldx a rartir de la fu nción de .da expresada por la ecuación 15.13 y demostrar que l:J.U "" 2 Fkl 005 2 (b" - ar) at.
Figura
15.32 Problema 120
I
~
,
SUPERPOSICION y ONDAS ESTACIONARIAS
Capítulo
16.1 Superposición de ondas 16.2 Ondas estacionarias 16.3 Superposición de ondas estacionarias 16.4 Análisis y síntesis •
•
armonlcos
16.5 Paquetes de onda y dispersión El pianista toca las teclas y acciona los martillos que golpean las cuerdas de este magnífico pia-
no de cola. las cuerdas más largas vibran a frecuencias más bajas que las más cortas. ¿Qué otros faclores influyen en la afinación de un piano? (Véase el ejemplo 16.6. )
C uando dos o más ondas se e ncuentran en el espacio. sus perturbacio nes indi viduales (representadas matcm (ltiCall1Cn le por SlIS funciones de onda) se superponen y se suman algcbraicamen te creando una nueva onda. Este principio se llama principio de su perpo-
sición. En c iertas circunstancias la superposición de ondas armónica$ de la misma frecuencia produce p¡lIroncs en el espac io. Este fenó meno se llama interferencia. La interferencia y la difracción es lo quc d is tingue e l movimien to ondulatorio delmov imienlo de panículas. El descubri miento de la interferencia de la luz por Thamus Young en 180 I llevó a los cicnt fficos al convencimien to de que la luz se propagaba con un movimiento ondulatorio y no en forma de corplÍsculos. como habia propuesto Newlon. En 1927 la observación de fe nómenos de interferencia en ondas electronicl'l:-. por pane de C. J. Dav isson y L. 1-1. Gcrmcr ayudó n entender la natum lc/..a ondulatoria de: l o~ eleclrones y olros objctos Tllatt!ria le:s. Estas ideas "'011 esenciales parJ entender la r¡-.ica cuántic::l. que presentaremos en cl Cílpfl ll lo 34 . .. En este Cllpílulo COOlcn1..urcmos por estudiar la superpos ición de pulsos de olldu cn ulla cuerdll y después consideraremos la superpos ición c interfcrencla de ondas armónicas. Examinarcmos el fenómcno de las pulsaciones. que resullan de la Interferencia de dns ondas de frecuenl'Íns lI~eranltmle disllnla.~ y L'Sludiarcmus las ondas CSlucionarllls, que resullan cuando las onda., armónicus L'Slán connnad·lt~ en el espacio. También consideraremos el análisis de lonos musicales complejos cn función dc sus ondas nrmónicas componen les. a.~i como el prohlema in\er.,o de la sínlcsis de ondys armónicus para producir lonos complejos. "~inalizaremos con una ctcposlrlón cuulilallva de lo extensión del análisis ilrmónlco a ondáS no periódica", lales como los pulsos de ondil.
468
I
Caprlulo 16
I
.J
Supel'po~lclón y onda) e)tadonarhu
-
-
-
I
I
-f2\
I
16.1
fi\
\
fi\
La figura 16.1(1 mucstr¡l pcqucOos pulsos de onda que se mueven en direccione", OpUCSIU.'t en una cucrdu. Lfl rUl'IIlII resultan te del encuentro de eSIO!l pulsos puede dClcrmi nar'ic sumando
los desplal.lIl11iclltos pl'oduc idos por cllda pu lso scparadamentc. El printlllio de superpMidón es una propiedad dcl movimi cnl o ond ulatori o que expresa lo sigu ienlC :
\
I
f'
Superposición de ondas
•
\
I
Cuando dos o más ondas ondas ind iv i d ll a l e~.
~e
combinan , la onda resultan te es In suma algebraica de la...
PRINCIPIO OE SUPERPOSICiÓN
Cal
.J \ I -
\
" --
-
I
-
\
-
r
r'
-
*La superposición y la ecuación de onda \
Cb)
Figura 16.1
Matemáticamente, cuando tenemos dos pulsos sobre la cuerda, la funci6n de onda total Cfo¡ la suma algebraica de las fun ciones de onda de las ondas indi viduales. En el caso especial de dos pul sos que son idénticos, excepto que uno está invertido respecto al Olro, como en la figura 16. 1b, hay un instante en que los pul sos se solapan exactamente y su suma es igual a cero. En este momen to la cuerda está hori zonta l, pero no en reposo. Justo a la derecha de la reg ión de solapamiento. la cuerda está moviéndose hacia arriba, miemras que a la izquierda se mueve hacia abajo. En un instante posterior, los pulsos emergen, conLin uando cada uno en su dirección origi nal. La superposición es una propiedad característica y única del movimiento onduJatori< No existe una situación análoga en el mov imiento newtoniano de partícu las; es dec ir. dos 1I1ículas nunca se solapan o se suman de este modo.
Pulsos de onda que se mueven en
El principi o de superposición resulta de la lineal idad de la ecuación de onda (ecuación 15.9) para pequeños desplazami entos transversales. Es decir, la funci 6n y(x, 1) y sus derivad 'i se presentan sólo en primera potencia. La propiedad que define las ecuaciones lineales es 't le si YI e Y2 son dos soluciones de la ecuación de onda, la combinación lineal
direcciones opuestas sobre una cuerda. La rorma de 1,1 cuerda cUlIndo se e ncuentran Jos pulsos se
,6.,)
obtiene sumando los desplazamientos de cada pulso por separado. (a) Superposición de pulsos con desplazamientos en el mismo sentido. (b) Superposición de pulsos con desplazamientos
iguales pero con signos opuestos. En este caso la suma algebraica de los desplazamie ntos equ ivale a
en donde el y C2 son constantes cualesqui era. es también una solución. EsIO se demucslJ'll fáci lmente sustit uyendo di rectamen te Y3 en la ecuación de onda . El resu ltado es la exprc!\lón matemática del princi pio de superposición. Si dos ondas cualesquiera salisfaccn la ecuación de onda. su suma también satisface la misma ecuaci6n d e onda.
la sustmcción de las magnitudes.
EJEMPLO 16.1
I
La superposición y la ecuación de onda
Demostrar que si las runclonesYI e)'2 salisra« n la ecuación de onda (ecuaclónIS.9b)
IH runción YJ de la l'Cuaclón 16.1 también la satlsract!. Planteamiento del problema Se. sustituye )'; en la ecuaci6n de onda. teniendo en cuenta que )'/ e .\'} también son luncione~ de onda, t'~ decir. que satisfacen la ecuaci6n de onda. Finalmeme.-.e demuestra que In combinllción lineal e ,.\', + C2,.\·l e.t; una función de onda.
1. SUl>lihlir ItI. expresión de ."1 de la ecuaciÓn 16.1 en el miembro de la izquierda de 13 ccuüción de onda y "Cpantr lO!> t~rminos en función de )'1 e \'2: 2. E:.cribir la ecuación de onda para\', ~\.';! :
)
iP.h J aZY2 axl - ~ ih!
16. 1 Supe rposldón de ondas
1 - (( 1,1
... Intn'll.htul 1:1' \.'-'lI\lílntc'
dt,'III!l1 U ~ lu' dl' I1 \ lll h IS} ~ 'pl'c 'm
In '1 1111111 de
d 1\.
r) ~y '
I
'
dI '
I
469
,¡ : ,. ) dI'
+ ( ". -
,
11\' \kn \,hl;l\ \:\\111\\ In I.!l' ll\ tld ¡1lk In sumu
•
iF)'1
"p
I te rferencla de ondas armónicas t resul lndo de la superposición de onclas armóni cas de la misma frec ue ncia depende de la II fe renci:l de fase Sentre las ondas. Sen YI (X, t ) la función de onda de Ulla onda armónica que .. propaga hucin 111 derecha con amplitud A, frecuencia angular w y mímcro de onda k: )' 1
= A sen (kx - mt )
(1 6,2)
y'CE A seokt
Para CStrl fun ción de onda, hemos escogido cuando la fase sea cero. t Si tenemos también ~ n movimiento lIlla segunda onda armónica hacia la derecha con la mi sma ampli tud. frecuencia y número de ondas, la ecuación general para eSla función de onda puede escri birse
Y2 = A sen (h - (or + o)
( 16,3)
en donde S es la constante de fase. Las dos ondas descritas por las ecuaciones 16.2 y 16.3
difieren en fase en o. La fi gura 16.2 muestra una representación de las dos func iones de onda para un tiempo fij o en fun ción de la posición. La onda resuhante es la suma
Y, + Y2 ;;: A sen (kx - wt) + A sen (kx - mt + S )
y
f6,
"v "
,' ,, ' "
"
" " , ' ", '
y 82 = kx -
()X
( 16.4)
,
+ 8. de modo que
y
Asf, la ecuac ión 16.4 loma la form a
Y I+ Y2 -1 2Yo cos~ ól sen (kx - (ot+ ! 0)
( 16.6)
.tv.rl.1J<) SUPERPOSICiÓN DE
om
ONDAS DE IGUAL AMPLITUD Y f RECUENCIA
en donde he mos utilizado cos (- ~ 8) = COl' ~ 8. Vemo'!' que el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de igual frccue nciu y número de ondas es otro onda nrmónicu que tiene la misma frecuencia y el mis mo número de onda. La onda rcsull ante tie ne una amp litud igual a 2A cos ~ ó y una fase igual a la mitad de la diFcre nciu e ntre las fases de las ondas originales. La superposición de dos O más ondas de Ffl."'C ucncia igual o muy parecida que da
, Esl3 selección
e~
<.'()n,enieme. pero no c.~ ohhgmori • . Si, por ep:m plo. e<.COgemos mb;imo en 1' .. O. deberianlOS ~ri bLr" • A C()!; (kr M)" sen (k.l - ~ - »'2).
I '"
O cuando el despluamienlo sea
~"
' '-'.'r-~~'-!--:~
,
O
h
Fig ura 16.2 Desplazamiento en fUIlí t de la posición para dos ondas armónicru. que li¡;ntn la misma amplitud. Frecuencia y longitud de onda pero que difieren en fase en ó.
(16.5) ()X
..... ....
I
, ,.. '"., . ....., '
"--
La ecuación 16.4 puede simpl ifi carse ut iIizando la identidad tri gonomé trica
En este caso 8 1 = kx -
, "
,...... . , ,
+ 51
)'2 e A sen (b
•
•
470
I
Cap~l\llo
16
5upe(po~l
Onda 2.
Ond.l 1
Figura 16,3 Interferencia l'(II\,lnlClivn. Cunndo dlh onda, est. n en r",c. la nlllplilud dc In onda I\':.U ¡tanle c' la suma dc In, :l1l1plitude, de 111:. ondlls indh ¡Junle:..
Do), ondu'i con la mi !>uw rrccucnci a, longi tud dc onda y Ulnplltud ~ c\lán moviendo en !tt miMua direcciÓn. ({/) Si di fi cren en fase en n/2 y cada una de e l h~ tienc una amplitud de 4.0 cm. ¿cuál es la nmplitud de la onda res ult,lntc'! (b) ¿Para qué diferencia de fase 8 1a amplitud resultante serfa igual ti 4 e m? (Respuestas (a) 5.66 c m, (1) 12()Oo 240r..)
Ejercicio
Pulsaciones (o batidos) Onda 2
/
L
La interrerencia de dos ondas SOnoras de rreeuencia .. ligera-
mente dis tintas produce e l in teresan te renómeno de las pulsaciones o balidos. Considere· mas dos ondas sonoras con frecuencias angulares wl Y ~ que poseen la mis ma amplit ud de la presió n Po. ¿Qué es lo que oímos? En un punt o fijo. la dependencia espllci al de la onda contribuye simple mente cn la constan tc de fa se, de modo que podemos des prcciarla. I..,a presión en el oído debida a una de las ondas, será una funció n armónica simple de la rOflna
Onda resultante
/
",-'" , , ,,--' " ' "1' , " ,.-, , , ' ~,,---.,.':.....!..._':..':....-,,' ,- -'," , .. _....'" ,, " _.. . " ' -- , \Onda l
Figura 16.4 Interferencia destnletiva. Cuando dos ondas lienen una direrencia de fllse de n. la amplilUd de la onda resultante es la diferencia de las ampliludes de las ondas individuales. Si las ondas originllles tienen amplil1lde.'I iguales. se anulan eomplelamcnte.
o bien
en donde hemos escog ido fu nciones seno por conveniencia y hemos supuesto que 1. dos ondas están en fase en el instante, = D. Usando la siguiente identidad trigonométrica r a la suma de dos funcion es seno,
se obtie nen la onda resultante
Si ponemos wm = ~ (w l +~) q ue es la rrecue nc ia angular medi'l y 8W = w¡ - lO.! que corresponde a la difcrencin de las frecuencias. angulares, la fu nció n de onda resultante tom3 la ro mla
(o)
", (16.7) (b)
,
en donde 6f = Il
La figura 16.5 muc... tm lInu representación grá fi ca de la vuriación de presión en runción Figura 16.5 Batidos o pubaci one~. (n) Dos ondas de frceue ncius diferentes pero próximlL'I (¡ue están en fase en lo= Oestán dcsfn:.adn:. en l RO° un cieno instnnte dc:.pués 1,. En otro insl:mle uún más Illrde I j . vuelven a eSlnr en ruse. (b) Rcsultullle de la:. ondas indicudus en (a). Ln frceuencill de In onda resultante es cusi lu mbma tIlle In de llls dos ondm: originnlcs. pero In amplitud secnClIcntrn modulada eomo indica lu curvn :llrat.O~. L.-l amplitud es m:bimaen los ¡nSluntes I~ y I ~ Ynula en los inSlanl!!.., 1,
y 1,.
dcltiempo. 1..",.\ ondas ~t á n in ic ialmcnte en rase y se suman conslruclivamente en el instante r = O. Como s us frecucnc ias no son iguales. las o ndas van desfas:'indose grudual men te y en el inslantc'l ya tienen un dcsf:L'ie de 1800 e interficren dC))lnlctiv:uncllle l . Al cabo de un inler· valo de tiempo iguul (ticmpo'2 cn In figura ), las dos ondas estarán de nuevo en rase e interferirán con),tnlcli vllmen tc. C uanto mayor sea la diferenc ia entre las rrecucncias de all1ba~ ondas. más pronto quedarán dC!lrnsadas y volvcrán a ponerse en rase de nuevo. El tono que percibe el ordo tiene la rrecuencia media f m = ~(ft + J 2) con una amplitud de 2/10 cos (2n ~ Af 1). ("¡In1 alguno), "lIlores de f la amplitud es negaliva, Como - cO'!' 9 = COlO (O + n), un cambio de signo de la IImpli tud equivale a un cambi o de fase de 18(1'.) L3 amplitud oscila con frecuencia ~Af. Pueslo que la intensidad es proporcionul al cuadrado de • • la amplitud. el sonido será fuen e siempre que la amplitud sea máx ima o mínima. Por COIl-~I-
16. 1 Superposición de Quchls gln~ n lc .
la fn.'Cu~ n~ 1i\ de ~"la \ ¡u·itl ~ i \l l l al doble dc } ~r
I
47 1
u\.' Int\.' Il 'ilo a d . IlnnmJ u rl'ccll cnd u de IJU Udo e" iguul ( 16.H)
\/
FAlCUl NC.IA O( IIATIOQ
1 .\ freeuc.:ncin de halido e~ Igual a la difere ncia de las frec uc ncia ... indi vklualt.:s de las d o~ \ ula~ . Po r ej emplo. si g()lpca mu~ S i m ll l( ,~ n carn e n tu dos diapllsoncs qw.! tienen rrccucncil.l;' , 2·tl 111 )' 243 1"1/. se oirá UIl tono pu lsantc con la frc cm:ncia media de 242 Hz qllc tendr6 1:1 intcnsitlnd mó;d mu dos veces por sl!gundo: es decir, lu fre cuenci a dc batido será 2 Hz. El \ Jo pur.:de delectar hasta 15 ó 20 batidos por segundo. Por enci ma ele cst
EJEMPLO 16. 2
I
Afinando una guitarra
Cuando se golpea un dia pasón de 440 Hz (nola La) al mis mo tiempo que se pu lsa la cuerda Iigeramcnte d esafin a da d e una guitarra que debe dar la nota La se escucha n 3 p ulsaciones por segundo. Después que la cucrda d e la guiulrra se tensa un poco más para aumeutar su frecuencia, las p ulsaciones aumenta n ¡¡ 6 po r segundo. ¿Cuá l era la frecuencia d e la cuerda de guita· rra antes d e tens..'lr la cuerda'!
Planteamiento del probl e ma Inicialmente se oyen 3 pulsaciones por segundo, por lo tanto la frec uencia original de la cuerda de la guitarra es o bien 443 Hz o bien 437 Hz. Supongamos que la frec uencia inicial sea 437 Hz. Aumentando lentamente la tensión de la cuerdll y. por lo tanto. la frecuencia. se disminuye la frecuencia de pulsación. La frecuencin de 1:\ pulsuci6n mllnentn si aumenta la tensión de la cuerda de 3 a 6 pulsaciones por segundo, lo cuul indiclI que la frecuencia es 443 Hz.
J
=
J I..
+ J1>&1100
-
440 Hz + 3Hz =1443 lit.
I
Diferencia de fase debida a la diferencia de trayectos
Una causa corrie nte que origina una diferencia de fase e ntre dos ondas es la di fere ncia de longitudes de los tra· yectos que deben recorrer las ondas desde su ruente o foco hasta el punlo donde se produce la interfercncia. Supóngase que tenemos dos focos que están emitiendo ondas armónica!'> de la misma frecuenci a y longi lUd de onda y que están oscilando en fase; es decir. cuando sale de un roca una cresta positiva. sale también al mismo tiempo una crc!:> la posit ivu de l otro foco. Si la dife rencia entre los trayectos hasta un pUllto determinado es una longitud de onda, como es el caso de la fig ura 16.60, o es un número c ntero de longitudes de onda, In interferencia es conslnlctiva. Si la diferencia de tmyectos es una semi longitud dc onda o un mímero impar de semi longitudes de onda, como en In figum 16.6b, el máxi mo de una onda coinci di rá con cl mrnimo de la Olra y la in tcrferenci:1es dC.l>tructivlI.
s,
"l'
/ / / (a) $:
Figura 16.6 !-'ll, ondas en fa~ prt ~..."e dcnli.!' de do~ rOC(l~ SI y S ... que c~lá n en fa:;c ,c encucntrnn en un punto (a) Cuando In diferenciu de tr:tyCClu~ c' de una longltud de onda ..t. l¡l~ {lndu ~ e~ tfi n en fu~c en PI e intemercn comtructivamentc. (11) Cuando la difl'rc nci:l de tray!""f..." t(l~ e .. \ ..t l u ~ pndú!'. en P- cM{¡n desfn-.ada:.. 180 y por lo "mnto inlem crcn dC~l ru c l i ~ \'a me nte . Si lu~ ondús <;on de 1:1 mi ~ mn umphlud en
(b)
JI,. amba \ c;c anularán totalme nte e n c ~le pumo.
472
I
Cal)llulo 16 Superpolklón y o ndlU e$ladOllll rhu LII~ funcione" de onllu puru las olldul, de dolo fucll te\, que OI,C ll11n ell fll\;c pucde n c<,cri·
blr.c en 111 lonuu PI
=
Po <'cn(ktl
Wf)
y
Lu diferencia de
fu~c
parn CSIlIS dos fll llCiollc¡,; de ondlL e<,
ó = (kx,- w, ) -( kx, - wi)= k(x,-x,)=kIJ.x Utilizando k = 2m).. se tiene
8= k
/J.x
(16.91
2n-
ó'x =
.t
DIFERENCIA DE FASE DEBIDA A LA DIFERENCIA DE TRAYECTOS
EJEMPLO 16.3
I
Una onda sonora resultante
Dos focos sonoros oscilan en fase. En un punto a 5,00 m de un foco y a 5,17 m del otro, la amplitud del sonido procedente de cada foco por separado es Po' Aallar la amplitud de 11) onda resultante si la frecuencia de las ondas sonoras es (a) 1000 Hz, (h) 2000 Hz y (e) 500 Hz. (Utili7..a r 340 mIs como velocidad del sonido.) Planteamiento del problema La amplilud de la onda resullame debida a la superposición de dos ondas cuya diferencia de fase es ó viene dada por A = 2po cos 18 (ecuación J 6.6), en donde Po es la amplitud de una cualquiera de las ondas y 8 = 21r I:J.xlÁ es la diferencia de fase . Como ya conocemos la diferencia de trayectos 8.r = 5. 17 m - 5 m = 0. 17 m. sólo necesiUlmos determinar la longitud de onda A. (a) 1. Ln longitud de onda es igual a la velocidad di vidida por la frecuencia. Calcu lar Apara /= 1000 H7.:
2. Para A = 0,34 In la di ferencia de trnyectos (1:J.x = 0, 17 m) es ~..t, de modo que se producirá interferencia deslructiv¡¡. Usar este valor de ). para calcu lar la difercncia de fuse 8 y ul¡HZ:lr Ó para delerminnr la amplitud t\ :
(b) 1. Calcular Áp.1ra /= 2000 Hz.: 2 . Par¡¡ ..t = 0. 17 111, la di ferencia de trayectos es igual:1 ..t y la inte.rfere nci a es con ~ lTUcti va. Calculnr la diferenci a de fa:.c y la .unplitud:
l' mIs = 034 A = - = 340 . m J 1000Hz
8 = 2Ji
6x
T
17 m = = 2lr °. 0.34 m
por lo tanlO
A = 2pocos ~ o = 2Pn co::,
..t = .: = 340 mIs = 01 7 /
o' __ '")
~Tr
2000 1-11.
2. Calcular la diferenCia de fm,e) amplitud:
.
i =@] m
I:J..\ __.,_ Tr 0, 17 111 __ ')_ Ji -
).
0. 17 111 Y <;ub~ t ¡ tuy encl o en la cxpre::.ión de In nmplillld A = 2pu ca!>
(e) 1. Calculnr..t para/= 500 lit:
Ir
1
r.
=
\'
7=
18= 2 po co~
Ir
= 1- 2Pu
I
340 mI!>
500 '.IJ = O.M m
'") d.\ _ ., 0.1 7 m Ir 0 -- -Ir ;: - _ Ir 0,68 111 "" 2. La amplitud fC...uha
A = 'l Pn CO'.
~ i5 =
21'0 co!> : =
IJiPQ !
16. ' Superposición de ondas
EJEMPLO 16.4
I
Intensidad so nora de
do~
I
473
altavoces
Dos ulln'tx'C~ Cllfl"\' ulIll.l OS ('1111"\' ~f 11 tlllta dhhmcÍtI de 180 CUl cs l á l1 lU'd()lIIlC llI ~ ¡wr 1111 osl.'ihulor CQlIlIí n (l e nudill a ()HO 117.. I I)calilllr los IHmlos ent re los IIlIn\'o('cs nlo IlIr¡.:v ch' In !rnen <¡lIe los on('. pllru IOl! cUIII('/<¡ 1lIllllclI:.ldlul dcl /louido es (o ) nuiximll y (b ) mfllhtUl, (I)csllreclllr In \' IIr1I1 ~ cidn dl~ lntcnsldlld dI' curlu 111111\'01. ron In distllucia y u<;nr .'40 mis pnrn In \'c locldlld del
,
sonido.)
I-3lcgi mos corno Origllll el punto medio cllIre los ullavoccs (figura
Plante ami e nto del proble m a
16.7). C0l110 este punto equidista dc lo~ altuvoccs será un punto de imcn<¡idnc! máximu. Si nos mave1110:. uml di:.lnncin \' hnciu ¡mI} de lo::. II ltavoccs 111 di ferencin de trajeCIOS es 2x. La intensidlld sero
máxima cuando 2..\' = 0, A. 2)" 3)"
...
- 90 cm
Figura 16.7
y mínimo cuando 2x = ~A, 2Á, ~Á, ...
(a) 1. La intensidad scro máx ima cuando 2\' sea igual n un nlÍmero entero de longitudes de onda: 2. Calcu lar la longi tud de onda:
2\'=±A. ±2)., ±3)..,
,
A.
3. Despejar x utilizando la longitud de onda calcu lada
+1J(}cm
)1 340m/s 05 O = f = 680 Hz = . m = 5 cm
;( =
±~..t,±J.,±~J., .. .
=1°, ± 25 cm, ± 50 cm , ± 75 cml (b) 1. La inlensidad será mínima cuando 2\' sea igual a un número impar
2x = ± ~;.. ± ~A. ± ~..t....
de semilongitudes de onda: 2 . Despejar x utilizando la longitud de onda calculada:
x = ± ~;.. ± ~;.. ± ~A, ...
=1± 12,5 cm. ± 37.5 cm. ± 62,5 cm, 87.5 cm 1 Observaciones Los máximos y mínimos serán máxi mos y míni mos relmivos. ya que la ampli tud del altavoz más próximo será ligeramente mayor que la correspondiente al al tavoz más alejado. Solo se han utilizado siete valores de x para la intensidad máxima y ocho valores para la intensidnd mínima ya que valores adicionales estarán fue ra del alcance de un altavoz. I
La figura 16.80 muestra el conjunto de las ondas producidas por dos focos punt uales en una cubeta experi mental que están oscil¡lIldo en fase, prod uciendo cada uno de ellos ondas circulares. Los fre ntes de onda que se observan tienen todos la mi sma fase y están separados por una longitud de onda. Podemos construir un esquema semejante con un compás dibujando arcos circulares que representen las crestas de las ondas de cada foco en un instan te de tiempo determinado (figura 16.8b). En los puntos en donde se cortan o solapan las crestas procedentes de cada foco. las ondas imerfieren conslructivamente. En estos pu ntos, los trayectos correspond ientes a las ondas procedentes de ambos focos son iguales o difieren en un nú mero enlero de longitudes de onda. Las líneas de trazos indican los puntos que son eq uidistantes de los foc os o cuyas dife rencias de trayectos son una, dos o tres longitudes de onda. En cada punto de cualquiera de esm Ifnens la interferencia es constructiva, de modo que éMUS ::.on líneas de interferencia máx ima. Entre las líneas de interferencia máxima hay líneas de in terferencia míni ma. En una Unea de interferencia mrnimu, la longit ud desde cua lquier punto que esté en ell a hasta cada uno de los dos focos difiere en un mimero impar de ~e mi lo ll gjt udes de onda. En la región dondc lns dos ondas se superponen, la ampl itud de la onda rc .. ultante viene dada por A = 2pocos ó. siendo Po lu amplitud de cada onda por sepnrntlo y estnnclo Ó relacionada con In di ferencia de trnyectol. Ar mediante 0= 2Jl' Ar/yCccuaci6n 16.9). La figura 16.9 muestra lo iutensidud de In onda resultante u partir de dos focos. en función de la diferencia de trayectos A.t. En lo~ plintos en que lo interferenciu es conMnlctiva, lo intensidad es 4 / 0 , en donde /0 es In intensidad debida a una cualquiem de la¡¡ fucn te.... , )'11 que la amplitud de lo resultante e..~ cl doble de la amplitud de una de 11Is ondn!> cualcM1uiem. En l o~ puntos de interferenci u deslnlctiva. la int c n ~idnd es cero. L.1 imcn",idad media. indicada por la línea de tntl.OS de In fi gum, es el doble de la IIltensidad corre<;pondiente a la de un \Ola foco. resultado ex igido por In con ~crva c i ól1 de lo energra. Podemo.. \cr que, como con(,CCuencia de la interfe.rencia de l a~ ondtl!, procedente.., de do~ focos. la energín <.,c redl<;uibuye en el espacio. Puede moslmrsc In interferencia entre d o~ onda:, \Qnom., alimemando do.. altft\'oce.s ~p.'lrados
(al
i
(bl
, '"
Figura 16.8 (a) Ondas de agulI pmdudda::. por dos focos pu nt uale~ que o:-d lun en ffl~C en unu cubelll de onda... (b) Comtrucción gt!Om~trica del palrón de imerfen:ncia de (a). Llts Unen¡, de trnL~ indIcan los puntos pnrn lo~ cuaJe!> la!> long:itudc\ de
los trayectos difieren en un numero entero de ICl:Ilglludes de onda.
I
474
CapItulo 16
upl'rpo"lclóll y ond ¡u t'.stadona rl¡n
con el
mi ~ lll o
ulllpl illcadur (de modo que cstén '.'¡cmprc en rase) que rec ibe una 'ieñal de audio, rrc~~ uc n ci u . Muv i ~ mlusc por In habitación es posible dClcclUr IJ('r el urdo la).: roslcionc!; de ¡nterrcn.:ncia eunstnu;tiva y destruet¡VII. I Esto cxpcrienda ha de reHli/ Hf'iC en cámara'l in'lonori laduo,¡. donde se minimi7an I!l'.. reflex ioncs (los eco,,) de 1m. parcdc\¡ del rcci nlU.
1 .. 1,\
Cohe rencia
No es necesario que limo focos estén en fu \e pUI'n que prodtll;c
o Fig ura 16.9 Intensidad en función de In difcrenein de 1r:t)'ccl OS pura dos fucnlcs que cst:ln en fase. IQ c.~ la imcm;idad de cadu fuentc individualmcnte.
que estún 011 fase pm:dcn convcl1i rse en dos focos des fasados en 180°. interca mbia ndo simplelllCElte Il\s conex iones de uno de los altavoces.) El Plllr6n ele in tensidades es el mi"mo que el de la figu rn 16.9 excepto que los máxi mos y mfni mos están inh:rcambiados. En los puntos en que la diferencia de trayectos es un número impar de semi longitlldes de onda, las ondru. están ahora en 1~1se porque la diferenciu de fase de 180° se ve contrarrestada por la diferencia de fase de 180° origi nada por la dife rencia entre los trayectos. Se producirán patrones de interferencia semejan tes, mediante dos focos cuya diferencia de fase sea constante a lo largo del tiempo. Dos focos que están en fase o tienen una diferencia de fase conSlélnte se dice que son focos o fu entes coherentes. Es fáci l consegui r fuen te.~ cohcrentes de ondas en el agua de una cubeta ele ondas si se accionan ambas fu entes con el mi ':imo motor. Se obt ienen focos sonoros coherentes accionando dos altavoces con la misma fuente de señal y el mismo ampli ficador. Las fuentes de ondas cuya di ferencia de fase no es constante a lo largo del tiempo, sino que varía aleatoriamente. se denominan fu entes incoherentes. Existen muchos ejemplos de fuentes incoherentes, como dos altavoces alimentados por ampl ificadores diferentes o dos violi nes ln.:ados por dos violinistas diferentes. En el caso de fuentes incoherentes. la interferencia en un plinto concreto vmía rápidamente pasando de constmctiva a destructiva, y viceversa, y no se obs.: rva ningún patrón de interferencia. La intensidad resultalUe de las ondas originadas por dos O 'á.. fuentes incoherentes es simplemente la su ma de las intensidades debidas a las fuentes aislad'
16.2 Ondas estacionarias
-----------------,
A
N i',
u.
(O)1p' Primer armoolcQ. fundamenlal
(b)f (e)
N
,
N
A
A
A
J, I
U.
, 22~ " -11'
SUllun~IIICO , • N
A
N
,\
3
T~r IIfmÓn¡CO
A
(a)
N
A
A
U
•
• '"
, n• • • U
Cu:uto aTnM\n((O)
11
(e)
,.
5 , ~u
~, ________o__'"_'O__~_"_;_"_________1' 1
Figura 16.1O O nda~ c~ tnci()n:, rin, en unn cucrdn fija por ambos t1( l re m(l~ I....r. pu nto, man:ado, con nntinodol>)' l u~ ~il n l(ld(l
i\ ~n \ le nt re, o
antil\{>do,.
Cuando las ondas están con fi nadas en el espacio. como las ondas de una cuerda de pian¡ . las ondas sonoras ele un tubo de órgano O las ondas luminosas de un láser se producen ren¡;'t!: iones en ambos ex tremos. y. por consiguiente. existen ondas que se mueven en los dos ~t: ntidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposición. Pam una cuerda o !li bo determin ados, ex isten ciertas frecuencias para las cua le... la superposición da un patrón de vibración estacionario denomi nado onda estaciona r ia. Este tipo de ondas tiene aplicllcionel! imponantes en instrumentos musicales y en tcorra cuántica.
Ondas estacionarlas en cuerdas Si lij umos los dOl> ex tI'C mos de una cuerda y movemos unn panc de la mbmo hacia arriba y hucia .¡bajo con un movimiento armónico si mple de pequeñu mnplitlld . resulta que n cicrtas frec uenci as se obtienen unos patron c~ de ondu!\ cstnc ionarias se mejantcs n los indicudus en la fi gura 16. 10. LlIl> frecuencias que producen cSto~ pmfonc!<. ~e denomi nan frc cucndas de resonancia del s istema de h¡ c u ~ rda. Cado una dc e...tas freclJ cn c i a~ y In función de onda que In acompaña se lI oma modo de vibrnci6n. l..n frecllcnci :l de rcson:lIlcili más baja se dcnom ina frecuencill rU ndUUlclltal¡; y produce el pmrón de o n da ~ estacionarias indieodo en la fi gurn 16. 10(/ que reci be el nombre de mod o fund amenlal de vihración o primer armónico. La segunda rreeucncia más baja}; produce el pat rón indicado en In li gum 16. IOb. &ole modo de vibrnción tiene una frecuencia que e, el doble de la frecuencia fundam ental y ..e denomina segundo armónico. La tcrCt:í.I frcc llcndn l11l'b baj a j, ~ tre, vecc~ la fu nd3lncIlloI ) produce l!1 patrón del tercer anllónko indicado en la li gura 16.1Oc. El conjunto de todas las frccuencia.1l resonantes de la clIerdu ~ dcnmninn c... pectro de frecu encias de rcsnnandll.
Cuerda fija por ambos extremos
-
I En c;,la Ikn1{)O.tl1Ktún, la mu::n'I.I.iIJ "(100I1I no ~ hl(a lmell!c nuh. en 1(\<0 puntO< de mlt" l'fc:rt'1lC11I (k'''ruc lI \ u de t", f'I¡d¡t.. 'IOOOrJ' ¡¡\le proceden J lln"1amc::nlc de \u. al ul\(lC('1ó. cJet>l~ a la~ rtfle\loot:\ del <.\mido en 111.' rJC'l!!" rn::~rlle!l en 1.1 h.ohillkti"trl
16.2 Ondas e.slnc!onarlas
No tud a.' lu., ft'\~u{,lH,-i ij ~ Ut' .'C~ol1U1,,: lu .·l'dhe" In dCIIOlIJinachí ll dc IIrIll 6n!ctl<.; ~ illo lÍ n icH IU Cl1t c :t (fig ura 16.1 1) y, como revela la fi gura 16. 10. L e..o; igual a dos medias lo n ~ tud es de onda para.~ 1 seg.lIItdo_auuónico, tres medias longj tude..c; de onda para el tercer arm6nico, etc. En eneral, si ~ es la longitud de onda del armónico 11 se cumple
A,
L=II -
"=1,2, 3....
2
( 16. 10)
C ONDIOÓN DE ONDA ESTACIONARIA CON AMBOS EXTREMOS FilOS
Este resultado se conoce com o condición de onda estacionaria. Podemos hallar la frecuen. cía del enésimo .mnónico a partir del hecho de que l~l velocidad de la onda v es igua l a la frec u e n c i ~, multiplicada I?or la longitud de onda. Así
-
I
In
v = -
A"
11
2L111
= 1,2, 3... .
o bien
1,. =
"n.' - "!,,
11 -
1,2.3 ....
( 16. 11 )
FRECUENCIAS OE RESONANCIA, AMBOS O\ TREMOS FIlOS
en donde!L = vl2 L es la frecuencia fundament.al. Un modo scncil lo de recordar la ~ J'rccuencills de rc.~ ona n citL dud:L' por la ecuaci6n 16. 11 es hacer el esqucma de 111 figura 16. 10 pnra recomanlir llll O nll:.tllO la condición de onda estacionariu Á" = 21./" Y luego utili ¿ur 1= L', !).". SUGlRtNCI .... PA.AA LA RLSOLUCIÓN OE PROBLEMAS
Podcmo!o. entender la producción de ondao; e<;tacionnria:. en función de In re:.onanciA. Consideremos una clIcrdll dc longillld L que está c;ujcla por un extI'Cmo a un dmpa-.(¡n en
vibración (figura 16. 12), mientm~ que liene fijo el otm e'Xtremo. 1_1 primera onda producidn por el dillplls6n vibnuuc recorre In clIe Na ha . . ta uc a una di ... tancia I <.e encmmlra con el extremo fijo. en donde 'c refleja e imienc. Emonecs regresa hacia el dinpa,ón . ) <.,e rcflcjn de nuevo cn éste. El tiempo IOlal paro recorrer la diquncia 2L e ... lUL'. Si CSIC w:mpo c, Igual al periodo del di.lpa~6n \ ibnulIc . la ondJ reflejada do . . \'ccc", "'C ...olnp.-¡ c~atl.lmcntc n In
..... --_
....
"
I
475
,
.
•
Figura 16.11
476
I
Ci\Jlftulo 16 Superposición y ond ¡u
ell(lclon"rlB~ BurTII de soporle /
Alumbre o cuerda
~~~~ __ _ DhpoSillvQ lundo nl
Pole.)
mec<1 nlco
Abrazadera
Ondas en una cuerda o alambre
Fig ura 16. 12
Masa
segunda onda producida por el diapasón y las dos ondas interferirán constructivameme, lo que significa que se sumarán para producir una onda que tendrá una amplitud doble que la de una de ellas. La onda combinada recorrerá la cuerda hasta e l extremo fijo y retomará añadiéndose a la tercera onda producida por el diapasón y así sucesivamente. Así, el diapasón entra en resonancia con la cuerda. La longitud de onda es igu al a 2L y la frecuenc ia es 1'/(2L). La resonancia lambién se da en otras frecuencias. El diapasón entra e n resonancia con la cuerda si el tiempo que le cuesta a la primera o nda moverse una di stancia 2L es igual al producto nTIJ e n donde 11 es un número entero y T" es el periodo del diapasón. Es decir. si 2Uv = IlTw donde 2Uv es el tiempo de ida y vuelta de una onda. Así.
v
1
j" Fig ura 16. 13 Ondas en una cuerda producidas por un di spositivo mecánico cuya fre cuencia no está en resonancia con las frecuencias natu rales de la cuerda. La onda que abandona el diapasón por primera vez (línea de trazos roja) no está en fase con las ondas que se han renejado dos o más veces (líneas grises). y éstas no eSlán en fase elllre ell as. por lo que no ex iste crecimiento de lImplitud . La onda resultante (lfnea negra) tiene aproximadamente la misma amplitud que las ondas indi viduales. que coinciden aproximadamente con In amplitud del dispositi vo.
T, -
11
fi'
11
_
1, 2, 3 ....
es la condición de resonancia. Este resultado es el mismo que encontramos aj ustando un número entero de semi longitudes de onda en la distancia L. Di versos efectos amorti guad ore ~ tales como la pérdida de energía durante la reflexión y la fl exibilidad imperfecta de la cuerda limitan la amplitud máxima que puede alcanzarse. Las Frecuencias de resonancia dadas por la ecuación 16. 11 se denominan también frecuencias na turales de la cuerda. Cuando In frecuencia del diapasón no coincide con ninguna de las frecuencias naturales de la cuerda vibrante. no se producen ondas estacionarias. Después de que la primera onda ha recorrido la distancia 2/.. y se ha reflejado en e l diapasón. su fase t;"':; diferente de la que posee la onda que en ese momento está generando el d iapasón (fi gura 16. 13). Cunndo esta onda resultante ha recorrido la distancia 2L y se refleja de nuevo en el di a-
El viento turbulento prodUjO ondal> estacionllnas en el puente cOlgtlnle de Tacomlt Narro",s. produciendo ~u derrumbamiento el 7 de noviembre de 1940. ~lo t'UUlro melieS d espu é~ de haber sido abieno «1 tráfico.
•
16.2 Ondas estllclonarlas
pm;ón. tendrá una raM! que ~rn en gcneral ditcrclllc de la que po~ce In siguicnte onda gencruda en el dinpasón . En :llgUllQS c allOS, la nucva amIa rcsultuute tendrá unn umplitud mayor que la primera. mientm .. que cn Oll'OS ca¡,.os In IlUC\'lI nmplltud IICI'á menor. En promed io, sin e mbllrgo. la amplitud no aUlIlcntart'i sino que pcrmu11(:ccn'i en el orden de magnitud de In amplitud de la primera onda generada, que es la mnplilUd del dinpasón y es muy pequeña en comparación con ItlS :1I11plitudc¡,. que ¡oe obtiene n a las frecue ncias de resonullciu. La re,<;onnnciu de Ins ondas cstuciolltu;¡l.. es IInáloga u la resonancia de un oscilador armónico \ implc. con una fueol\ impulsora nnn6nicu. Si n embargo. un oscilndor posee s610 una frecuencia natural. mientras que una cuerda vibrante posee una secuencia de frecuencias nutumles que son múltiplos enteros de In frecuenci a fundamental. Esta secuencia se de nomina serie a rmónica.
EJEMPLO 16.5
I
Toca un la
Unu cuerda se. estira entre dos SOI)Ortes fijos distantes 0,70 m entre sí y se ajusta la tensión has ta que 111 rrecuencia rundamental de la cuerda es la Ilota LII de 440 Hz. ¿Cuál es la velocidad de IlIs ondas trans\'crsales en la cuerda? Plan teamie nto d e l pro blema La velocidad de la onda es igual al producto de la frec uencia por la longitud de onda. Si la cuerda está fija en los dos extremos. en el modo rlmdamental hay un único antinodo en el centro de la cuerda, Así la longitud de la cuerda coincide con la mitad de la longitud de onda, ,. La velocidad de la onda está relacionada con la rrecuencia y la longitud de onda:
2. La longitud de onda del modo fundamental es el doble de la longitud de la cuerdu:
3. Utilizar esta longitud de onda y la frecuencia conocida para determinar
l'
=11}.,1
L = .1. 1/2 \1
la velocidad:
= 11.1.1 = 112L
(440 Hz) x 2(0.7 m)
= 1616m1s l
Ejercicio La velocidad de las ondas transversales en una cuerda tensa es de 200 mis, Si lu cuerda ,iene 5 m de largo. hallar las frecuencias del armónico fu ndamental y del segundo y tercer armónicos, (Respllcsra 11 = 20 Hz..h = 40 Hz.f3 = 60 Hz.)
EJEMPLO 16.6
I
Pro band o cu e rda s de piano
Durante el \'crnno un estudlantc encuent ro un tm bnjo en unu tiendll de música, donde colabora en la construcción de ill.,« rulllcntos muslenles. Uno de los tNlbnJos que tien(" encomendado es probnr In idoneidud del uso de cucrdus de un nuc\'o nmlerlAI en pitlnos. Una cu("rda tiene unn longitud de tres metros y una densldnd de mnsa Uncnl de 0.0025 kg/m ) se le hnn medido dos f~ cucneln.. rcsonuntcs cOnSl.'Culh'us 11 252 Hz y JI 336 lb.. Hlay que delerlllil1ur hl rrecucncin funda IIlcnlnl de In cuerda y comprobnr si uon cuerda de esle I1UC' ;O IIllllcrlul es ndecundíl, teniendo en cucnlU1luc si hatellslón de hl mlsnlll SObrel>fl..'il1 los 700 N tUi)' pro blellllls de seguridad. Plantea mie nto d el pro ble ma L'l len"IÓn FT '>C cnlcul.l a parlil" de In e'(pre\iÓn \' .. J FTIII. en d(lnde In \cloc idud l ' \C calcula a partir de \' • p. u"mdo cualqUier amWIl1CO. La longitud de onda de In ondn tunJ umental e\ el doble de la [pngltud de la cuerda. p..trn calcular la ft"lX"tlcncia fundamental \ ul>ongalll(l\ que el annónico n l.'Om .. ponde 11 unlt frecuencia de 2.52 li t, lmoncc'f" '" nil )' 1..1. (11 + l Vi. cn donde J...I = 366 11, De e~tn~ do .. ecu:lciO!leS <,e dC' IX'J8 1" l . LlI tcn~ l ó n c,,"á rt'lucion.ld¡\ con In \ ChlCldnd de propag;¡clón de la ondll" 2. Pam (lbtl!lICr In \ cllJCldad u~r lA f~ uen..:UI lundamental11' l'Ol1 Al •
2L
o
\' = JI).I = [,('2L)
3. Par.! untencr IlI le n ~ l on comhin.lr 1(.\ dO!> re,uItIlJ¡t<. antcrmre~
FT "" J1\'z = J1ffl'1L}J
4. Lo\ 1IrntÓOlCoo. Clln">CC\ltl\o.. .t: ~ J~.I e..,:in re:la..: ionado... 0.:011 la r~uc n ·
nI I
da fu ndJmo.' nlnl "
{n
.,
15'1
+ 1)1
lO:
H7 _l~6
H7
I
4n
I
478
Capítulo 16 Supe rposlc:lón y ondas eJlaclonarlns
11 11+1
::1
252 11 / = () n 3~6 11 / . ,
411 = 311" 3.
6.
J
.1 ,, _ 1
luego
por lo wntu JI =
1)i!~ pC lnr It:
7. Se lI,a d resultado dd
pll~O
&. = .6 11
= 252 H/, = ~4 111 3 J
FT = Illf(2 LF = (0.0025 kglm)(84 H /)2(6 m)2 = 635 N
3 pan! calcu lar f'"
•
L..1. tensión es infl!rior 11700 N. con lo cual parece que [11 cuerda e<; \egunL
siempre y cuando lu tensión no aumente de forma significativa .
Cuerda fija por un extremo y libre por el otro
Figura 16.14 Se pueden reproducir las condiciones en que una cuerdu está fija por un extremo y libre por el otro mando un anillo que se mueve con toda libertad por una varilla vertical al extremo libre de la cuerdu. El Otro extremo se ma a un dispositivo mecánico que oscila con una amplitud muy pequena. con lo cual puede suponerse que el extremo está fijo.
La figura 16. 14 muestra una cuerda que tiene un ex tremo fijo y el otro atado a un anillo sin masa que puede mover!'iC con toda libertad hacia arriba y hacia abajo por una varilla vertical. El movimie nto vertical del extremo atado al ani llo no tiene ninguna restricción. por lo que podemos decir que es un extremo libre. El anillo no tiene masa, es decir, si la cuerda le ejerce una fuerLa vertical fin ita éste responderá con una aceleración infinita. La aceleración será finita sólo si la pend iente de la cuerda en su extrerno libre es horizontal , lo c ual significa que es un antinodo. En el modo fundam en tal de vibración de una c uerda sujeta únicamente por un extremo hay un nodo 'n un exLremo y un antinodo en el otro, por lo tanto L=..l1/4 (figura 16. 15). (L1 distancia de m nodo al siguiente antinodo es AJ4.) En cada modo de vibración mostrado en la figura 16.16 hay un ,iúmero impar de c uartllS de longituo de onda en toda la cuerda, es decir, L = IIAJ4. en donde 1/ = 1.3.5 ... . La con",ción de onda estac ionaria se escribe como
\ L _
----
L-
------ J
con lo c ual A" = 4UII . En estas condiciones. las frecuenci as de resonancia vienen dadas JXlr
Figura 16. 15
J" = A" -
Primer armónico, fundamental
4L -
: J 1
Tercer armónico A
A
N
•
•
Quinto armónico A
N
N
A
N
FRLCUENCIAS DE RESONANCIA, UN EXTREMO UBRE
,
4/
.1
J.';'
.
•'•
A • • 1 A./ 7~ • •
•
Séptimo arrnónico A
A
A
( 16. 11)
en donde l'
A • S 4/
N
11-1 ,3. 5....
l/JI'
f.
•
N
A
.,
11
A
A
••
N
A~
• •• 1 1 t 41. •
IN
N
V
l'
An
( 16.1 '
" - 1. 3. 5 . ...
CONDICIÓN OE ONDA ESTACIONARIA. UN EXTREMO UBR!
- - - - ,¡
r
A" 4.
Il-
JI = 4L
( 16. 14)
es la frccucnciu fundalllcnt¡ll. L,1:; frccuenci[l~ nnturale:. dc c:-.tc sistema :;c presentan en r¡l¿Orle:; 1:3:5:7: . ... lo que significa que se han perdido los arm6nicos pares,
la_~
La ecuación 16. 13 .se csquemalila en la figuro! 16.16 para recordamo!. de un modo sencillo la!
, . ·• , "
A
• 9
SucERENCIA PAAA LA RESOLUCIÓN DE PROBlEMAS
~I
•
~
Noveno i¡rmónlco L
,I
Figura 16.16 Onda:. e:.tacionurirl1> en una cUl!rdn lIja ,610 por un extremo. El extremo lihre es un \';entre o antUlodo.
funciones de onda para ondas estacionarias Cuando unu cuerda vibr¡¡ en modo ti. cada puntO de la cuerdn!.c mueve con movimiento armónico micnto )',,(x. t) "iene dado por
y,,(.' . t)
=A~(x)
cos (ca.,r + 0,,)
~implc.
~u
Su dcsplazllo
16.2 Ondas estllclonnria!i
en dondc (o" es la fn.'clIcnda angl1 lar. o,. lu ('on ~ t ¡U1I C de rn ~é . que dc polldc eh: Ius CUl1d iCIOIlC). in i d ulc ~. y A..(.I) 1.''' la ¡UlIpl itllll. 4UC dcpcmlc de In locali llu.: i6n del seg lllento. La fu nción \ ~(.\ l ~ la rumia tic 1;l l'ul'l\la l'll:l llllú cO'.«(O"/ " O,,) '" I (el in<;tante en que la vibrud 611ti ene 'u IImplimtl l11á,
= A ~ sen k ".1
( 1(>.1 5)
1.' 11 donde k.. = 2m).,. t:~ el rnílllcro de ondas. Por lo tanlo. In funci ón de o nda pura una onda e, wdonan:\ CI1 el armónico 11 puede escribirse en la forma ( 16. 16) I~"
\h i1rt.-corc.lar las dO$ condiciones necesarias pam que se den ondas estacionaria$. a suber,
1 . C¡l
EJEMPLO 16.7
1 Ondas estacionarias
¡INTÉNTElO USTED MISMO!
(ll ) Las funcion es de onda para dos ondas de igual aml)litud, frecuencia y longitud de onda, pero que se pro pa~an en sentidos opuestos, " ienen dadas por ) ' 1 = Yo sen (kx - wt) e)'2 = )'0 sen (h + wt), Demostrar (Iue la suma de estas dos ondas es una onda estacionaria. (b ) Una onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos \'iene dada por y (x , 1) = (0,024 m) sen (52,3 m- I x) cos (480 S- I 1). Determinur la vclocid:ld de las ondas sobre la cuerda y la dis-
lancia entre los nodos panl las ondas estacionarias. Planteamie nto d e l pro ble ma ParJ. demostrar que la superposición de dos ondas es una onda estacionaria hay que demostrar que la suma algebraica de )"1 e )'2 puede esc ribirse de una fonna semejante a la ecuación 16.1 6. Paro detenninar la velocidad de propagnción de la onda y la longitud de onda se compara la función de onda dnda (;on la ccutlción 16.16 y se idcmifican el nlÍmero de onda y la fre cuencia angular, y a parti r de éslOs se calcula la longitud de onda y la \'clocidud de propagación.
Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo
•
Pasos
Respues tas
(a) 1 . E..~ rib i r la ecuación 16. 16. Si 111 suma de.\' 1 c _\'2 puede c.scribi n.e de e.<;1a forma. la superposición de ]11:; dos ondas c., una onda ~ t ¡l cionaria.
\'(.t.1)
2. Sumar la~ dos ru n c io ne~ de ondu y IN l r la ident idad trigonomé· triCl! se n 01 + sen OJ = 2 'en ~ (8 1 + ~ }co¡. COI 02)'
i
\
::::1
\
=.,
'~'n
'cn"; I
:: 1\·, ,en
A.
J. \
l'O~ MI
wt) -+ \ ,'<111 A. \ + wt) t
n ... fm
Nmn: Esta exprc<;ión coincide con In forma dnda por In ecuneión 16.16 C(III ti = 2.\·()o por lo lanto. la ~ u J'ICrpos it~ión e... unll onda c,md onaria.
-1:,>:.1 m I
(b) 1. Id.:nliricnr el número de nnd,) y lu lrccucncia ilngulllr, 2. C¡¡ lculur la velocidlld n p"nir de ,. ...
((lA..
3 . Dclcnninar 1:1 longll ud de onda ..i. ~ J.td!. , ) u,;¡r ",In Inng nillld panl l'alcu];lr la d i'\I\n~l a enlre nl,.l()O'o
~
.. 1 '1 , 11\ mi ..
1
_ ¡h.Ullm
I
(lJ
Ondas sonoras estacionarias Un tubo de órgano c, un ejemplo f,unil iar del empico de onda:; e<.,lacionari a.... en c(llumn;\' de aire, En e¡.;tos tubos dI! ti fll) Icngilclol ' 1.' diriglo! un chorm Jc !llre cont ra el horde :llllmlo de unn abe rt um (punto ti en la ligufl.\ 16.17). El movimie nto turt-.ulc llto compilcndo del aire cercn de dicho bOrtk I.'rea \ ibrudonc<" en In columna de aire. L.l\ frcc ll e nci n~ de fC'<'I nallÓ J dd \Uro dependen el!.' ' u longitud y de que ' ti c"li: trcrno c, té ;Jhicno o e do.
=. "14"x",,_"1
I
480
I
Capítulo 16 Superposición y onda.s e~ laclonarhu
Fi gura 16. 17 Tubo de órgnno dc IcngUcta. Sc sopln una comellle de nire conlm el borde originando un mo\'imiento turbu lento del aire cerca de A que excita ondas estacionnrins en el tubo. Existe un nodo de presión cerca del punto A. que estt1 nbieno a la mmósfera.
EJEMPLO 16.8
I
1311 lI ll tubo de órgu llo Ilbicrlo, In presión 011 limbos extremos es igual a la pre$i6n almosrériclI y 110 vnrfa. Por lo tunlO. cxi:.ac un nodo de presión en los dos ex tremos del tubo. (ble fel'lultudo estú bl.lsmlo en 111 hip6les is ele quc 111 ondu 50nom en el tubo es una oncla ullidimcnsionll l. lo cual es UproXi l1llldlllllClltC cieno si el diámctro del tu bo cs mucho menor que la Ion· gitud de ondu. En In práctica. los nodos de presión es tán ligcrlHllente más allá de lo~ extremos dcl lubo. La lon gi tud efectivo del tll bo es Ler = 1.. + IlL, cn donde dI.. es la correc· ción ele los extremos. unu distuncio que es ul go menor que el diámetro del tubo.) La condi· ción de onda eSlm.: ionaria pura este sistema es la misma que para una éuerdn fija por umhos extremos. Una vez que se reemplaza L por Lef (la longitud erectiva del tubo), pueden aplicarse las mi smas ecuaciones de la cuerda. En un tubo de órgano cerrado (abierto por un ex tremo y cerrado por el aIro) hay un nodo de presión próx imo a la abertura (pu nto A de la fi guru 16. 17) y un an tinodo de presión en el extremo cerrado. La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que la de una cuerda con un ex tremo fijo y el otro li bre. La longi tud efectiva del tubo debe ser igual a un número impar de veces ).14. Es decir. la longi tud de onda del modo ru ndamental es 4 veces la longitud erecti va del tubo y s610 están presentes los armónicos impares. Como vimos en el capítu lo 15, una onda sonora puede considerarse como una onda de pres ión o como una onda de desp lazamiento. Las variaciones de presión y desplazamiento en una onda sonora están desfasadas 90°. Así, en una onda sonora estacionaria, los nodos de pres ión son anti nodos de desplazamiento y viceversa. Cerca del extremo abierto de un tubo de órgano hay un nodo de presión y un antinodo de desplazamien to. mientras que el extn 'TIO cerrado es un antinodo de presión y un nodo de desplazamiento.
Ondas sonoras estacionarias e n una colu mna de aire I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Si In velocidad del sonido es 340 mis, ¿cuáles son las frecuencias y las longitudes de onda permitidas en el caso de las ondas estacionarias de un tubo abierto por los dos lados cuya longitud efectiva es I m? Planteamiento del problema En cada extremo hay un antinodo pam el desplazamiento (y un nodo para la presión). Por consiguiente. la longi tud eFectiva del tu bo es un número entero de semilongitudes de onda.
Tape la columna de la derecha t intente resolverlo usted mismo Pasos
Respuestas
1. Calcular In longitud de ondu fundamcntlll ll partir de A, = 24,.
"',-, - '-,,1
2. Ulilizar el valor de Á, paro calcu lar la Frecuencia fundamcmalJI'
f,•
3. Escribir e.x pres j one~ paro las frecuencia!./" y longitudes de onda los res ta nte!. urm6nicos ell funci6n de n.
EJEMPLO 16.9
I
~
de
-l.," •
II
= 111
11.•
~
'. '"
170 HI ni 17Il Jl tl.
."
2l
2m n
Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire 11
Cuando encima dcllubo parcialmenle lleno de a¡l:ua de la fljlUrR 16.18 ~ manUene un diapasón de 500 Hz de rrecuencla, aparecen resonancias cuando el nh'el del ajlUa estJi a dlstanda.'i L = 16,0,50.5,85.0 Y 119.5 cm de la parte supertor del tubo. (o ) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? (b ) ¡.A qué distancia del extremo del tubo at4 el antlnodo de drq,ra7amienlo? Planteamiento del problema Ajustando el n¡\-el del agua. en la columna de aire: de long.ilud ajustnble l.. '\e producen onda:. M)nO!b ck 500 111 La columna de wre: estti ceii adu por un extremo y abiena por el otro. Así clI/Uldo hay re.-.onnncia. en ellubo hay un número impar de cuartO\ de longllude<; de onda (v61se la fi gura 16.19). Hay un nodo de dc~lat.anu en1o en la ~upc:rficie del agua Yun anlinodo de de!,. pl8lamiemo un p:x.'O por encima del ~rremo ahter10 del tubo. Ya que la fitenenCia eWi determinada por el dinpns60 tambibl lo e!;tA la longilud de onda. La velocidad de propapción "oC calcula en10nces a panir de l ' = fl.. donde/e, .500 HI
"
1.
"
.
1. :!. '.
~.
l
I
I
16,2 Ondas estacionarIas
-Ic::: • I
l
FIgura 16, 18
Figu ra 16, 19
(a) 1 . UI velocidad del sonido en el aire está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda:
v = p.
2, LtL longitud de onda es el doble de la distancia entre dos niveles sucesivos del agua en tos que se da resonancia:
3. LtL distancia entre dos niveles sucesivos de agua se determina a partir de los datos del problema:
L~'tl-Ln
=
L4-~
= 119,5cm-85cm - 34,Scm
sustituyendo arriba se obtiene
J.. = 2(34,5 cm) = 69 cm = 0.69 m 4, Para calcular v se sustituyen los valores dcfy de Á:
, =
(b) Hay un antinodo IJ4 por encima del nodo situado en la superficie del agua. Asf. la distancia desde el nivel del agua más alto que da lugar a resonancia y el antinodo situado por encima del tubo es ),/4, es decir jJ. = LI + t::.L:
523 Hz
6263 Hz
6571 Hz
1569 Hz
2532 Hz
JI.
= (500 Hz)(O,69 m) = 1345
mlsl
t::.L = j..t-LI = ~(69.0 cm) -( 16.0 cm )
28 19 Hz
=11.25 cml
3104 Hz
8639 Hz 8002 Hz 6892 Hz 7962 Hz 1merferogramu, hologrúficQl, que mue'itrnn las ondas. c ..tacionarus de una campamlla, Los "oJ~ de buey" c('trre\pondc.n a I ~ IXhiciol1t::. de lo:. vientre), o anlinodo:..
I
481
I
482
Caplluto 16 SUI)l~rposldon Y ondal Clladorl0rlal 1
•
l u Illllyudll de lu~ in¡.:trutllc nlos lII u o,¡icu l c~ <¡( )JJ mucho má.c¡ cmnphcadol, que un I,lmple tuho ti lfmlrictl. El tuho cÜnico. que C'i In bno,¡e del oboe. el rllgo!. el como in~Ié..~ ye l "Hxofón tn': Il\}1I UIlU!' SC I'jeS url1l6nicul- c.:ornplellls con su longitud dc olldll fUll dumenlul igua l al doble uc In lo ngi lUd del COIlU. Los in'ltrull1c nto¡.: de vlc nt o !'iUII combinaciones de cono.. y cilind rCls El amili/dl' de e;;tos instru mentos es cx trClTludul1lcntc cOll1plejo. El hecho de que te ngan sel'ies casi urmÓnicu¡.: I.l $ un tri ul1fo del II lé todu de lu nteo illlclig,ell te más que 111 cOlHlccuc ncia
I
I
I
I
de cálculo). IrllllCllláticos.
I,
[
Figura 16.20 Cueroa pubnda IXlr cl centro. Cumulo ... e dej ll lihre. s u " ibrnción es una t.'011lhmaci{~1I linl!lIl de ol1da ~ cstncionul"ias.
<=
-
•"
re-
I I I I
Como hemos visto existen una serie de frecuen ci as de resonancia natura les que producen ondas estacionarias sonoras en columnas de aire o cuerdas vibrantes que están sujetas por uno o ambos extremos. Por ejemplo, para una cuerda fija en ambos ex tremos. la frec uencia del modo fundamen tal de vibración es!r = v12L, en donde L es la longitud de la cuerda y \' la veloci dad de la onda. La función de onda correspondiente es la ecuación J 6. J 6:
L 1
"i
Simétrico respecto a
i
Antislmétrico
O'
"
respecto a1 Simétric o
M
"
respecto a
En general, un sistema vibrante no vibra con un modo armón ico ais lado. En su lugar. <'1 movimiento se compone de una mezcla de los armónicos permi tidos. La fun ción de onda s una combinación lineal de funciones de onda armónicas:
i y( x, 1)
11
I
A" sen k"x cos ( W"f + 8,,)
( 16,1 )
"
Anlisimétrico
~
respecto a;
Figura 16.21 Los cuatro primeros annónicos correspondientes a una cuerda fija por ambos extremos. Los armónicos impares son simétricos respeclo al centro de la cucrdu. cosa que no ocurre con los annónicas pares. Cutmdo una cuerda se pulsa por el centro. vibr.. linicamente con los
armónicos impares.
,
" 1+3+5
T 1
*16.3 Super posición de ondas estacio narias
en donde k" = 2!ÚJ...". W" = 2¡if" YA Y 8" son constantes. Las constantes A" y 8" dependen d{' 1 posición y veloc idad in iciales de la cuerda. Si, por ejemplo. una cuerda de arpa se pul sa en I centro y se dej a en libertad como muestra la fi gura 16.20. la Forma inicial de la cuerda j simétrica alrededor del punto x = ~ L Y la velocidad in icial es cero en toda In longitud de J cuerda. El movi miento ele la cuerda permanecerá siendo simétrico alrededor de dicho pumo una vez sueltn . Sólo se exci tarán los armónicos impares. que son también simétricos re . . • pectO al pu nlo cenlral y no se excitarán los pares. que son antisimétricos respecto a x = ~1. Es dec ir, In constante A" es cero para todo valor par de 11. En la fig ura 16.2 1 se indican-la" forma5: de los cualro pri meros armónicos. La mayor pal1e de la energ.ía de l:1 cuerda pulsada está asociada con el urmónico fundam ental. pero ex isten también pequeñns cantidades de energía asociadas con los modos armónicos tercero. quinto e impares superiores. Lu figurn 16.22 muestra una aprox imación de la fo rma inicial de la cuerda uti li/undo las superpm:.iciones únicamente de los tres primeros armónicos impares.
I
b
Figura 16.22 ronn:! uproxi maJn de la cuc.n1a pu l ~ adu por el centro. dc In ronnll indicada en la tigunl 16.20. utili llUldo rrrm('mi cu~. I..<, Hnen ruja e, la aproximaciÓn a t.. forma original dc In cucnln ba~ndu en los tre.-. primerus (.rmónico<, imp.1rc~. L1 mayor parte: de la cnergra esta ¡¡~nciada con el fundmncntal. pero t()~ armónico., h: rcC.ffI. quimo y l!cmú:. irnpmc,... po'>CCn 1 :" lIhu~n cierta c.ncrgín.
* 16.4
Análisis y síntesis armónicos
Cuando un oboe y un clnrinete IOcan la 111 i:;l11a nOtll. por ejemplo In notll u.r. suenan de forma muy diferente. Am bas not!!." ti enen el mismo lono, que es uml sensación fisiológica de la ultura de la nota que es tá fuCl1eme nle correlacionada con !.u frecuencia. Sin embargo, la,<, not'l.)<, di fi eren en lo que se denomina cualidad dellono o limbre. Ltl razón principal pum la diferencia del li mbre es que. aunque tunto el clurincte como el oboe están produciendo lJi bracionc.." con In misma frcc uenda fundamental. cada uno de ellos eSlá también produciendo armónico:. cuyas intensidades re lllti \':lC¡ dependen del instrumento y de la forma en que se tlxlue. Si cada instrument o produjese sólo [o frecuc ncia funduml.l ntaJ. el SOnido sería el mismo pam los dos. En la figuro 16.23 se mue. . tron alguno . . gráfico!. de las v¡¡ ri ae i on c~ de prc:. i6n en función de tiempo paro un diapll~ó n . un clarinete y un oboe. que locan todo'!' In mi sma nota. a<;tru.
16.4 Análisis y srntesh IIrmóni
I
183
CI.uulI.'tr
Oboe
Figura 16 .23 PorllLlIs de a ndil de (ti ) un dinpasón, (b) un clurinctc y (e ) un oboe, todo.. con una frecuencia fundulIlenlal de 44() II 1 Y la mismo intensidad apmximuda.
(,')
100
100
100
~
•• , •c.
-
.!•
.!• • -¡¡
~
~
• ,
,-
• -
-¡¡ ~
-
C.
~
E <
~
E <
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicos
(u)
Oboe
Clarinete
Diap;!s6n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicos
(b)
2 3 4 5 6 1 8 9 JO Armónicos
(e)
curvas reciben el nombre de rormas de onda . La forma de onda correspondiente a un diapasón es prácticamente una onda sinusoidal pura. lo cual ev ide ntemente no ocurre en el caso del clari nete y el oboe. Las formas de onda pueden analil.urse descomponiéndolas en los armón icos que la consti tuyen. Dicho análisis recibe el nombre de análisis armónico. (El anál isis armónico también se llama a veces análisis de Fourier, ya que fue este cient ífi co fmn cés quien desarrolló el método matemático paru analizar fun ciones periódicas.) L..1 figu ra 16.24 rmlcstra una represe ntación de las intensidades rcl ntivus de los annónicos de las fo rmas dc onda de la fig ura 16.23. La forma de a ndo del diapasón contiene sólo la frecue ncia f undal1\enta L L...1 dcl clarinete contiene el armónico fundamental. grandes cantidades del tercero. quinto y séptimo annónicos y cantidades menores del segu ndo. cuano y sex to amlónicos. En el ClISO del oboe el segundo y cuano armónicos tienen lll lÍS energía que el fundamcntaL La inversa del análisis armónico es In síntesis armónicll. que es 1:1 construcción de un a onda periódica a purtir de sus componentes armónicos. Ul ligura 16.25a muestra los tres primeros armónicos impares util izados para sintetizar una onda cuadrada y la 16.251) mucstt'd la onda cuodmda que resu lta de la suma de los tres am16nicos. Cuantos más annónicos se empleen en una síntes is. más se aproxima el rcsult:.tdo obtenido 11 la fo nno de onda real (Iu línca gris oscura de 111 fi guru). Las amplitudes relativas de los armónicos nccesarios pam sintetizar la onda cuadradn se indican en la fi gura 16.26.
Figura 16.24 Intensidades relati\'lls de 101. annónicos de las (Orlnus de onda indicadas en la l'i gura 16.23 para (a) el diapasón. (h) el cl:¡ rinc t~ y (e)
el oboe.
(a) l'
Onda cuadrada
t+3+ !i
, (h)
Figura
cuadradll) los Irc~ primero!. annónicos impare... (ondu!< sinu<,oidulcs simplc\) ulili/.lIdo~ pam , imetizurlu. (h) UI (nnna aproximada dc una onda cundrada '-C obticne ~ unmndo los trcs prilllcro~ ;lrInóniCIlS impares. 16.25
(a ) Onda
4&4
I
Capftulo 16 Superpmiclón y ond ill estaclona r'hu
* 16.5 Paquetes de onda y dispersión Las ronHIl~ dc omln eSlmUudas 0 11 111 '1eccióu antcrior 5011 peri6dicas en el tiempo. Lo!> pul· !>o~. que no son periódicos. pueden rc p rcse n t ar~c Illccli:UlIC un gnlpo de fun cione .. de ondu urmónicus de disti tt tus ft'Ocuencius. Si n embargo. puru sinlcti zur un pu lso rcsultn necesario conl:ll' con ulla distribución conlinun de frecuencias en lugar de un conju nto di <;erelo como en la fig ul'll 16.26. Dicho grupo de ondlls se denom ina paq uete de ondítS. La propiedad
2 4 6
8 [O 12 14 16 [8 20
11
Figura 16.26 Amplitucles rclntivas A. de 10$ diez primeros nmlónicos necesarios par,¡ sintetizar una ondll cUlldrnda. Cuantos más annónicos se uti licen, más nos aproximaremos a la onda cuadrada.
cMuctcrrstica de un pubo de onda que lo diMi ngue de una onda periód ica de una wla fre · cuencia, es que el pu lso tiene un principio y un fina l, mi entras que una onda arm6nica ~ repite unll y mm vez. Si la du ración del pulso /)./ es muy corta, el interva lo de frecuencia ... /).00 que se necesita para describir el pu lso es muy grande. La relación general ex iMente entre /)./ y /).áJ es 11 ro
/).t -
I
(16.181
donde el símbolo - significa "del orden de". El va lor exacto de este producto depende de cómo se defi nen las magni tudes /).(j) y 8/. En todas las defin iciones razonables I1ro es del orden de 1/8r. Un pu lso de onda producidO por una fue nte de corta du ración /).r. como un golpe de bate sobre una pelota, liene una anchura corta en el espac io I1x = v tlt, siendo v la velocidad de la onda. Toda onda armónica de frecuencia ootiene un número de onda k = tXil'. Un intervalo de frecuencias 800 implica un intervalo de numeros de onda M = /).cdv. Sustituyendo 800 por v I:lk en la ecuación 16.1 8 se tit no v flk 8{ - I o bien (1 6."9)
Si un paquete de ondas ha de mantener su forma cuando se desplaza, todas las on 'as armónjcas que componen el paquete deben moverse a la misma velocidad. Sucede así la velocidad de las ondas armónicas en un medio dado no depende de la longitud de onda ni le la frecuencia. Un med io de eslas características se denomi na medio no dis persivo. El e, en excelente aproximación, es un medio no dispersivo para las ondas sonoras, pero los h. :idos y los só lidos generalmente no lo son. (Probablemente el ejemplo más fami liar de la , persión es el arco iris, el cual surge porque la velocidad de la luz en el agua depc:,de ligeramente de su frecuencia y longitud de onda. de modo que los diferentes colores ca", spondientes a las distintas longitudes de onda poseen ángulos de refracción ligeramente ... ~ timos.) Cuando la velocidad de la onda en un medio dispersivo depende sólo ligeramente de la frecuencia y de la longitud de onda, un paquete de ondas cambia muy len tamente de forllla en su propagación y recorre una di stancia considerable como una entidad reconoc ible. Si n embargo, In velocidad de este paquete, lIamnda velocidad de grupo. no es la mislllu que la velocidad (media) de las ondas armónicas componentes individuales. llamada velocidad de fase. (La velocidad de una onda armónica ind ividual es la velocidad de sus fre ntes de onda. Por lo tanto. se denomi na veloc idad de fase de la onda a lit velocidad de los frentes de onda. ya que éstos son las líneas o superficies de fase conSIante.) L
Resu",en 1
El principio de Mrperposici6n. válido panllodas l a~ ondas cloclI'Omagnéticas en el \·acro. par.! IlIs onda~ en una cuerda nexrblc tensa en 18 IIproxirnaciÓll dc ángulos pequeños y paro las onda~ sonorn~ de pequeña nmpluud. rcsullll de In Ilnealidud de lA!> correspondientes ecundoncs de o n da~.
2
in¡crferencra e~ un renómeno ondulatorio rmportante que se aplica a toda ... la... onda!. que ~ ~u perpo nen coherentemente. Rcsuha del prinCipro de str pe~ic i 6n. La dirracción )' 13 rlllcrfercnciu distinguen el movimicnlo ondulatorio del movimiento de partículas.
3
Las condkiooe..~ de
La
onda e1>lscionaria pueden recordar..e esquematizando unn cuerda o un
nodos en un extremo fijo o cerrado y an tinodos en un extremo libre o obicrto.
tu bo con
16.5 Paquetes de onda y dispersIón
I
485
TEMA
081UVACIONU V ECUACIONES RUtVANTU
1. Superposición e interferencia
LIl N UI)(l IPQ~ici(! 11 UI: dos ondus IUmól1iCUII de iguul IInrplitud, número de ondll y frecuencia. pero fase {h,¡inta peciOIt C'udn UIIU de I II~ olldllS.
o.
)' •
)'1 +
Y: = Yo scn(kx
WI) + )'0
scn(kx
(01 +
6)
'" 12yocos ~ o]sen (kx - WI+l ó)
(16.6)
Inlcrferendu CQ n ~ t11.lC l ivn
Si lus l1ndus cstlln en fase o difieren sus fuses en un múlt iplo entero de 21r. las IImplirudes de lus ()ndll~ ~ suman y In interferencia es con ~ tnlc ti va.
Inle.rli!n,:ncia d~ truc ti vlI
Si Ins ondas difi eren en fase cn destruCtiva.
Pulsnciones (o blllidos)
Las pulsllcioncs res ultan de la imeñerencia de dos ondas de frecuencias ligeramente distintas.
Ir O
cn un múltiplo impar de!C, las amplitudes se restan y la imcñercncia e.~
La frecuencia
de batido es igual ti la diferencia entre las frecuencias de las dos ondas:
Diferencia de fase li de bida 11 la diferencia de trayectos I:J.x
2. Ondas est acionarias
(16.9)
Cuando las ondas están confinadas en el espacio, las ondas estacionarias se producen a cienns frecueneilUi y longitudes de onda. S610 se dan ondas estacionarias cuando cada punto del sistema oscila en un movimiento annónico simple y dos puntos en movi miento cualesquiera oscilan en fase o con un desfase de [80"
es un cuarto de longitud de onda.
Longitud de onda
La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente
Cuerda fija por ambos extremos
En una cuerda fija por sus dos extremos se fonna un nodo en cada uno de ellos. El resultado e~ qUI' debe
ajustarse un número entero de semilongitudes de onda en la longilUd completa de la cuerda. En e.~te Cb.iO.!
L;:II~·. Onda estacionaria en una cuerda fija por los dos extremos
11 =1.2,3, ...
(16.10)
Las ondas pcnnitidas fonnan una serie annónica. en quc las frecuencias vienen dadas por f~ ::::
r.. = "IT = IIf l' l'
\1
11 ;: 1.2.3, ...
en dondef. = 1'12L es la frecuencia más bajo. llamada fundamental. Tubo de órgano abieno por ambos exlrcmos
Las ondas sonoros estacionarias en el aire de un tubo abierto por ambos extremos dan lugar a un nodo de presión (y un antinodo de despl:u.nrniento) cerca de cada extremo. La condici6n de onda estacionaria e.~ la misma (Iue la de una cuerda fija por los dos extremos.
Cuerda fija por un extremo y libre por el otro
Si una cuerdu ¡iene un extremo fij o y el otro libre, existe un nodo en el primero y un vientre en el segundo, dc modo que el númcro de cunrtos de longitudes de onda dl'l)C ajustnrse en In longitud de la l'UCrdU. LtI condi ción de onda estacionaria en este cusa es L ·
Solnmente están presentes los nnn6nicos
ti w:
impare.~. Su~ frecuen c i ll..~
,.
,
f. ::::
Tubo de órgano abierto por un eXlremo y cerrodo por el airo
1,3.5, ._.
r. =
ti
4L = II flO
ti
(16. 12)
vienen dadll~ por
= 1.3.5, ..
dondeJi o: rMI... La\ ondn!o. <.Onoras b tacionanas en un tubo abierto por un extremo y ccrrndo por el Otro. tienen un antmodo de clcsp]¡uamrento en el edR"mO abierto 'i un nodo dc de ~phl:r.amiento en el cerrudo. La condrclón de ondll estacionaria e,\ hl mi ~ m a que la de unA cuerda tiJIl por un e\lrcmo.
(16. 16)
Funcione!; de ond:t e~tadon:In:1 en donde k_=: lIri,(,,) ro,. ~ 2Jr.f.·
Las condICione, nccoana, pana que haya onda~ esuacionanas en una cue:rda §()n 1
Cada punto de ItI cuenta o bIen pennllncce en repo'iO o t)1l~n OSCIla con JIlO\lmlento am16niro \imple rLu~ punt o~ en reposo son lo~ nodos.)
2
El lllO\ IJIlICllIO de dos punto<. cua~ u.era de: la cuerda que no sean nodos \8 en fase Ocon un dcsfll.<.C: de 180".
I
Capítulo 16 Superpo51dón y
on(l,,~ ~tíU: lonan"l
-3. Superpollclón dc ondn l ell;! IOllurl;u
Pn }lclU:rul. un .. j"h.'I1W vihnuuc 1'\' \lihm t'n un ,oh1 mudo mrlll'l1k". ~mtl 'iC¡.!Lin unn ~upt' Ifi'I" ici6n de." UrT~ OICI)' l\Ctm'l;d\l~
Llh \\\md,I' dc dil en!n.c cunhdml de ¡mm cuntlcncn dircrcnle<; p.ut k ulm en lu ucl'\u de
~u
CIJIlh,:U;(]O Ut'l1ll1U;CU
\I.!
m(" ll" l n~
de nnn(ílllc\,,,, !jI nnAh .. ¡\ de un lono
IIrl1l111 Im(\1i,,¡, nrrnrl11lC'O l a lI{nIC\rS urm6nicII
e~
In C{ITl'
IIU\:ci,ln de un Im1\llX'!r \ 1111111 de IHlIIÓUIt' \l\ .
·S. Paquetes de onda)
~6 .
Un pul ..o de um.ln puede n.:prc,cnIM¡.,c pur IIna distrihuciÓn l'onl inuu de n nda ~ nnn6mC3!. IIllll1ndu PU(luctc dc omlns. El inlervlIlo de frecuene;u!> t.\(jJ cs\(\ rclucionndo con 11, anchum del tiempo 61 y e l intervalo de mimc ro~ d.:: ondn L v.. ct)n 111 anchura del c~ p!lcio ñ.\'.
Disper$16n
6(110( - 1
( 16.18)
l:J.k .6x - I
(16.19)
En un medio no dispcrsi vo. la velocidad de fase no depende de la frecuencia y el pu lso (paquete de onda:,;) ¡,e
propHga sin cambio de formll. En un medio dispcrsivo. la velocidad de fase sí depende de In frecuencia y el pulso cambia de forma durante su movimiento. El pu lso se mueve con una ve locidad denominada velocid::u.l de grupo del paquete.
Problell.as
• •• •••
, I
i
SSM
./
Concepto simple. un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio. puede ex igir síntes is de conceplos. Desafiante . para alumnos avanzados . La soluci6n se encuentra en el Sflldem Sólwiolls Malllllll. Problemas que pueden encontrarse en el serv icio ¡SOlVE de tareas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son problemas de control. que impu lsan a los
estudiamcs
ti
desc ribir cómo sc llega a la respucsra y a indi cnr su nivel de confianza.
Problemas conceptuales
4
1 •• SSM Dos pulsos de onda rcctangu lures se mue\'en en scntidos opuo:stos II lo [argo de UII:I cuerdu. En f = O los dos pulsos se cncucntr.ln tal y como indielt la fi gum 16.27. Dibujur Ins runciones de Onda para r= 1,2 Y 3.r.
10 cml~
1-
15 ~'III
10 c m'~
-
" Figura 16.27
2
JO cm
-¡, -1 5elll
Problema!> I y 2
••
Repetir el prublc nm I P,Ir:1 el ca<,() en que el puho de la den!cha de In riguro 16.27 eMé lI1\'crlldo. 3 • Ln~ pu"¡¡eione~ ~ producen por lo ~lIpel'flOSl..:.ión de dos onda.\ nnnt'ln1c,IS ~ólo ~ i (n\ s u ~ illllplitudes y trecucllain¡, ~on IBlHtlC~. (b) sus nmpllludes son Iguale,. pero sus Ir~cueneia!> diliernn ligeramente. (e) \ us frttucocia<, ,jittcren hgcr:unente. lI1c1u!>O ,i ¡,u ~ amphludc\ no \On Iguales. (,i) su' frecucn eia~ ,on Iguul\~, pcm ¡,us amplitudes dilicren ligerJ.menh!.
•
V~rdndero
EII algullos problemas se dan más datos de los realmellle necesa rios: en OfroS pocos, debe/o eXfmerse algunos datos a partir de conocimielllos generales, ¡"ellfes {'.rlemas o estimaciones Ióg icllJ.
o fabo:
(a) UI frccuenci:1 deJlerccr armó nico e~ tres veces [n del primer amlónico, (h) La frec uencia del quinto am16nieo c.'t cinco veces la del fundame ntal.
(el En un tubo abierto por un extre mo }' cerT;ldo por el otro no se excitan [os armónico¡, pares. 5 •• Las ondas cstacionarias "C producen por la sU[lC'rposiei6n de do~ ondus de (1'1) JI! misma nmplitud, frecul'nó :1 y semido de propagación, (b ) la mbrnB Blnplitud 'i fn:cuencia ) "Clltidos opuesto.~ de propagación. (e) In misma umph tud. fn.'cucnclll ligcrnmente dbtinrn y el mismo :.cnlido de propngnción. (d) la 11115nlU am plitud. fn!cucncia Iigcrnmcntc distintn y sentidos opuestos de pmp¡lgaci6n.
6
Lu:. fra::uencia~ de resunancia de una eu;:rdll de un violfn son l1uihipJos enteros de In fn!cue nciu fundamcnllIl. mientrns que IlIs rrecucn c iu~ de rcsommei:1 de un IlImbor circulur tienen unu diQtribución espadal irregular. A purtir de "<;le hecho c~p licnr In difcrerK'iu entre el sonido de un \'ioJfn ) de un Imnbor, •
SSM
7 • Un tubo de 6rglmo abierto por ambos extremos tiene una frt..'Cucn· CiB fundamental de ..\00 ~11 . SI nhum se cierrn un extremo de e..~tc tubo, la fre· eucnciu fundumt'ntill ¡,err1 (o) 200 l·tI, (b) 400 Hl, (c) 546 1'17. td) 8ClO 11 /. 8 . . lIna cuerda tiju por IIm~ c~trcrnos ~ue na con UIUl fll.'(·uellcia fundmnenl31 de 180 lit. ¿Cu ~ 1 de 111..\ f1Ccionc.~ siguicntCl> reducirá la rn:\:ueneia fundamental a 90 Hl? (o) Duplicar la tcn ~ t6n} duplicar la longitud. (h) RedUCIr 11
Problemi'l5 11 tu.tad lit ICn' .....11 }' nlílllh."k!r Ilju In hmtl"uJ Id (1.11\11Icnc. Iljn 111 len'l.IVII y duplica. la h~"i\luJ ¡di Mrmlcnl.'r lija 1:1 tl.'l1"lr\1\) n.'\Iucir In Illngllud u la m1tnJ .
I
48'
c~crtJ1l.'r
pan' CtlJlIIU' h,llI~ dc un lioro o de un penll(lit:ll. (.('uól e<¡ 111 cau'a Ile Ii! upudclón dl' In lIt/um de nllllre y en 4ué -.c- pMece: u una IIlterferentln I
9 •• ,:.Ctiml\ '" Il1Ixhlkl\n In' 1n...'C Ul.'ncj¡l ~ de Ic'ummCÜl de un tuho dI.' t'q¡ltnl\ cuandu Aumcllta lu IC1I111('nll\lm lId 11m.'"
10 • SSM ('ullndt) dt)., QluJas 'l' ll1uc\'cn en dil'l..'CC'io ne~ (Jpue~lll' ,e 'ullefTXmcn COIllO en la '1t/1I111 ItI.1 ¿ Impide cada llllll de cl ll" d progre~O de 1:\ ntt':t'l
11 • uando'oC pub:. In cut'nlll de unAgllitarm.l,Ir.longitud de ondfl de 1:\ ond.1 que ,c p"Klllce en el ajre es la mi¡¡mn
• Cuando do~ Ond!L~ interfi eren constructiva o destntctivamente. 12 e.hay algunn ganuneia o pérdida de energía'! Rnzonur lu rcspucstu. 13 • Un instrumento musicul e.<;til formudo por un conjunto de vasos pllrcinlmente lleno:> de ngua que son golpeados con un pequeño mazo. Explicar cómo funciona . 14 •• DunulIe un recitul de órgano. el compresor de aire que alimenlU los tubos se avería súbitumente. Un estudiHnte de ITsica emprendedor. que fonna pane del público, aconseja conectar un tan
Estimaciones y aproximaciones 19 •• ¿Hu'la cuando puede ali nal">C el ~pnl'lo de unu cuerd¡¡ de pianc, con el dc UII di ll pn~6n" 20 • SSM Lo~ 'ubos más COrlO~ utilbwdol- en lO!. órguOIh llenen aprox imndnmente 7.5 cm de largo. (a) ¿Cuál es In freeuenc i:, fund;J/JlCll1ul de un tubo con eslU longitud que está abieno por ambos extI'Cmos'! (b) ¡,('lItll e\ el annónico mtls alto parn un tubo de este tipo que e..~t:l dentro del mter\'uJo lIudi · bJc" (El interva lo de audición normal está entre 20 y 20 000 Ib .l
21
•• En un dfu de mucho viento resuena a vece.<¡ un !libo de desagih:. E.~ li mnr la rrecueneia de resonancia de este tuoo en una ca.<¡¡¡ tic un solo piso. ESlimur el cumbio de CSla frecuencia del invierno al verano en una región [COI· pladn.
Superposición e Interferencia
15 •• SSM Cuando aumenta la tensión de una cuerda de piano, ¿cuál de los siguicntc." hechos tiene lugar? «(1 ) Su longitud de onda decrece. (b) Su longitud de ondn pennanece la misma. pero su frecuencia crece. (e) Su longitud de onda y su frecuencia crecen. (d) Ninguno de los antenores.
22 • Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frec uencia de 100Hz. una longitud de ond.., dc :! cm y una amplitud de 0,02 m. Detenninar la amplitud de la onda rcsull.lnll:·, I 00\ ondas di fi eren en fase «(1) en nJ6 y (b) en nJ3.
16 •• Las instrucciones para conectar correctameme los altavoces estéreo a un amplific;,dor de modo
23 • Dos ondas que tienen la misma frecuencia. longilud de omil amplitud. se están moviendo en la misma direcci6n y scnlido. Si lhfic:reh en fase en nJ2 y cada una de ellas tiene una amplitud de 0.05 m. hallnT la 1 lpJitud de la onda resu ltante.
17 •• La constante ydel helio (como la de todos los gases monoal6micos) es 1.67. Si un hombre inhalu helio y después comienzn a hablar. sus son idos son más agudos, ¿Por qué?
18 •• SSM La figunl 16.28 corresponde a una fotografía de dos lelus de seda. muy fi nas. colocadas una encima de otra. En los puntOS donde las telas se superponen se pueden ver unu serie de Ifneas oscuros y claras que corresponden a una figuro de moiré, ligura que aparec~ también cuando Se ut ili:r..a un
•
• SSM 24 I Dos fuentes sonoms oscilan en fa,.: con la misma amplitud A. ESlán separadas en el espucio por una diManda
26 • SSM Con un compás dibujar an:os de ciI"Cunfcrencia que representen c!'e.stas de ondus p.'U':I dos fuentes puntunle~ di,tant.:!> entre ~i d =61'n1 Y pllm A. "" 1 cm. Conectnr las inlersccciones que oom:,o;ponclen a 10'0 pun lo~ de diferencin¡¡ de cnmino<> constantes y marcar diehn diferencia (~ n cadl¡lfot'l\. (\ er figum 16.8) Do~
altavoces l>epamdos por una ciertl1 di,tnnci:, emiten '>(\ruuO'o de una mismll frec uencia. En un puntO detenninado P In intcm:idnd det}l(ln J cada alla\,('17 !lCpamdll1TlCnte e..\ lo- La dislanc10 dc.~de P a \JI10 de lo, nlt:I\Ol'e\ 1''' mayor que la de l' ni Olro. Dclcnninnr la intensidad de P ..i l o~ :¡hu\(lCt" (11) ioOlI coherente, y e.qán en fll~: lb) son inC()hcrent.:s.: )' Id ~(H1 t·ohcrtlltc'. pero tienen una diferencia de fa-.c de Jt nld. 27
•
p.
28 • Responder JI Ins cue...tiones del problcnm 27 p
Figura 16.28
Problema 18
29 • DcK a h llvoce~ ~ pnmdos cierta dlstnneiu cmJlcn Ol\dtl~ ,onum~ d.: In ml\ ma frecucocln. pero e:s.tán de~ fa<;[ldCls en 90~. Sell r, In diM:mclU de un punto cleternunado 011ho\ 07 I y r~ In que dl~tD d cllm~lno putltoltl :,llInol 1. Hltl1nr e:1 menor valor de r~ rl para e:1 cuol el "(111100 en ese rU I1l ~1 '
488
I
C.. p,t ulo 16
Superpo~ldon y a ndo)
e.sl ndonttrhu
30 •• SSM [k1l1\"tnlr que .i In ''''p!luld¡'n t'ntll!' dll\; fuente'! dr "om,lo ~~ IlT8dian .:\,nercntemente en hl\l' e~ intcllllr 11 medio longitud ¡Je \\00., Tt\\ 'i' \' ''\cr\~ punto.' ' .. puntdo, entre l'f S cm c,tdn uc,fu,ndos en ttló. (a) bCuril c' la lon}/.Itud dI' IInJI.I de !tI \J,u.lu'l (h ) l,Cuál c\ In difel'cncin de fa~e elllre do, d""1,131.IIll¡CIllO!'- en un punto determinado pnru IIlstnnte\ ~eparndos 5 IO~ emrc ,r.' te) ¡,Cuál e, In \'elocidud de In ondll"! 32 •• Se 'UpollC" que d cerebru detenninn In dirección de unu fuente de :;onido pol"qUf!' e$ 1.:1\1':17 de apreciar In diferencin de fuse cmrc Ins ond n~ sonoru ~ que chocnn "\l11Ira los (linpunos l\udhivo~. Unn fu ente sonom di~l:lnte emile un sonido de frecuencia 680 Hl.. Si nuestro rostro está fronlnlmentc dirigido hacin la fuente sonoro, no t1predurcmos difercncitl de fase. Estimar la diferencia de ftl~(' entre los l>onidos recibidos por cadn oído si ahor.! giramos 90° respecto o In posición frontal. •
•• I ti' Uno fu ente sonom A está locol i7..nda en .\" = 0,)' = Oy 33 otra 8 en x = O. y = 2.<1 ITI. Las dos fue ntes emiten coherentemente en fase. Una observador.! en .\" = <10 m. y = Oobserva que cuando camina en dirección y positiva o negmiva alejándose de y = O. la intensidad del sonido disminuye. ¿Cuál es lo frecuencia más baja y más alta de las fuentes que puede explicar dicha observoción? 34 •• Suponer que la observadora del problema 33 localiza un punto de intensidad mfnima en x = 40 m. y = O. ¿Cuál es entonces la frecuenci a más nlta y más baja congruente con esta observoción? •• SSM Se superponen dos ondas anllónicas en agua que tienen 35 igual amplitud pero distinta frecuencia. número de onda y velocidad. L.1 penurbnción total se escribe mediante la e<:uación y(x, t) = A [cos(k,x - (J)¡ t ) + cos(k2-t - w;¡;t)J. donde Wtk, = VI (la velocidad de la primera onda) y ~k2 = 1'2 (la velocid3d de la segunda onda). (a) Demostmr que y(x, t) puede escribirse de 13 fomla y(x,l) = 2A cos{(Ók/2)x - (6(1)"2)t l cos(km.l' - Wm' ) donde wm = ((1) , + ~)12, km = (k, + k2)/2, 6(1) = W¡ - Cr>.! y ók = k, -~ . El fnctor 2A cos[(6kI2~t - (óaY2)tl es lo que se denomina la ponadora de la onda. (h) Usando una hoja de C1Ílculo o una calculadora gráfi ca. representar y(x,t) si A = l. w¡ = I melis, k. = l m- l. CQ.! = 0,9 raells y ~ = 0.8 m- I cuando I = O S. t = 0.5 s Y I = I s Y si además x está entre O y 50 m. (e) ¿Cuál es la velocidad a la que se mueve la portadora? 36 •• Dos focos puntuales que están en fase se encucntron separados una distancia d. Se deteeta un patrón de interferencia a lo largo de una recta p3rnlela a la que une los focos y situada a una distancio gnmde D. como ~e indicn en la IigUfil 16.29. (a) Demostrar que la diferencia de trnyectos desde los dos focos al mismo punto de la Hnea situado a un ángulo 9 viene dudu aproximadamente por l:lS = (1 sen 9 (Sugerencia: Suponer (fue las Iflll!as I'roce(JI!/lfe.f de lusfuellles a P son l/proximal/amente paralelas.) (b) Demostrar que la distancia Y... desde el punto correspondiente al máxi mo central hasta el máx imo dc interferenoia 1/1 viene dada aprox imndumente por Ym = m (D )Jd).
=' .-jI P s,
o D
Se ncclOnun en rn~ do" 1I1tIlV{)Cet¡ mcdiante un Il mplif cnt!Uf de ¡tudinrrccucncia dc 6UO 11 , Am\'lo\ c~ l ~ n ~obre ~l ~I~ v, uno en ,. ,, 1,00 111 Yel (llro cn l' . - 1,(Xl m. Un oh~c rvndorcFllp u:o, ti ¡¡ndúr dc~d{' y. 11 10 hugo de unn Hllell purnlclu ul eje v pero n unu dit¡tllntlu /) muy grllndc el 6 1c. (Ver Plohlcmn )e,.) (a) ¡,Pum '1Uf ángul{) Oe<;cuchnrá por primcm \lel u mín uno de intensidud ...onom? (h) l'pum (Iué ángulo c~uc nnrá el prn lTI d,~i mo (de~ pué~ de O. O)'f (e) ¿C'uánto, lI1áxlmo~ podrd r-SCllchur po!>lole llIente lIi ~e Illllntiene Ilndllmftl en la mismo dirección? 38
•••
SS M
39 ••• i Do~ rocos ~onoros. flccionndos en ra\C por el mi\11\( umplHiclldor. están sobre el eje y sepurndos tl nu di"ulllcin de 2 m. En un pum situado a uno distuncia muy grande del eje}' se oye la primcrfl interfercncl constructiva ti un ángulo 01 = O, f40 nld respecto al eJe .1" y el ~ i g\l i ente se e<,eu ehu a ~ = 0,283 md. (Ver fi gura 16.29.) (a) ¿Cuál es lo longitud de ando de I ondas sonoros procedentes de los focos? (h) ¿Cuál es la frecuencia de I focos? (e) ¿A qué otros ángulos se escuchará interferencia constructiva? (d ¿Cudl es el ángulo menor para el cual se cancelarán completomente las ondn.\ sonoras? 40 ••• Los dos focos sonoros del problema 39 fu ncionan ahora con un desfase de 90". pero con la misma frecuencia del problema alllerior. ¿A qué ángulos se oyen las interferencias constructi va y destructiva'? 41 ••• Un radiotelescopio se compone de dos antenos ~e paradas una dis· tanci a de 200 m. Cada antena se simoni7.a a uno frecuencia panicular, como 20 MHz. Las señales procedentes de cada antena pasan a un amplificador "Omún. pero una de las señales pasa primero por un ajuslador de fase. que relr: .;a In fase en una cantidad prevista de modo que el telescopio pueda "mirar·' en ¡ferentes direcciones. Con un retraSO de fase cero. las ondas de radio planas le inciden venicalmente se suman constructivamcntc en el amplificador. ¿Cuál ' berá ser el retraso de fase para que las señales que vienen fonnando un áng o de 9 = 100 con la venical (en el plano fonnado por la venical y la línea que ne Ins antenas) se sumen constructivamente en el amplificador?
Pulsaciones
------------------------- -42 • i Se golpeon simultáneameme dos dinpasones y se oyen cuatro batidos por segundo. La frecuencia de uno de lo:; dillpasone<: es 500 Hi. (a) ¿Cuáles son los ,'alores posibles de la frecuencia del otrO diapasón'! (b ) Se coloca un trocito de cera en el diapasón de 500 Hz pllm disminu ir ligeramente su frecuencill. Explicar cómo puede utilizarse la medida de In nueva frec uenda de batido para detenninar cuál de las repuestas al apanado (a) es In frecuencia correcta del segundo diapllsón. 43 •• SSM ~ ambulnncins se mue"cn ti 80 km/h por una calle recta unu en sentido contrario u lo Otm. La sirena de cada
- - - ----1'-1 Ondas estacionarias
I Figura 16,29
Problemas 36-40
37 •• i " Dos focos <;onoros '1ue emiten en fase con una fre cucnciu de 480 H l. interfieren de tal modo que 105 máxllllos o;e oyen bajo ' ngu. los de 0 0 y 23° medidos 11 panir de una Iínca perpendicular a In que une 10$ dos focos. Detcmlinar In separación entre ambo!. foco<>. asf como cualqUIer OIro ángulo bajo el cunl se percibe una 111lensidad máxllnn, (Uuh,.ar los rc..~u It8dos de1l)roblema 36.)
.t
44 • SSM i Una cuerda fija por ambos e;!ttI'Cmos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo annónico a una frecucnd8 de 60 H/ . ¿Cudl es la vclocidud de la:; ondas Imn ~ veN1 les en ella'! 4S • Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos C~l!I vibrando en ~ u tercer armónico. El de ~p l azami ento máx imo de 105 puntos de la cuerda c.'I 4 mm. La "elocidad de la~ ond8~ trnnwer;.ales en ella es 50 11I/~. (a) ¡.Cuáles ,on la longitud de onda y 18 frecuencia de c<;ta onda? (h ) Escribir 111 función de onda co, ,c <¡pondiente a e\te c3l.().
Probll'!mas
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('oILuI3] l o IrttUt'l1l1l1 l\mdam~l1!o l
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47
•
\\lt'ntal . (e) ¡1¡IHu! 48 el OIro
Ia.~
Irccuencias del "Cgunllu y tercer Ufl11ÓmeO\.
• Un,\ ..:uerdn lIe ,1m dt~ I(Ulp.ilu¡] 1>1' lijn IX)I" un C:l:lrcnlll y!>C IIgu por ti ulln cuerda ligera de modo que pucdl,l mOVcrM.\ libremente en dicho
e't\TIIlO_Lu vdocidt¡d de In" ('IndU1\ en la cuerda es 20 m/II. HIII[¡1f la frccuenciu \tI ) dd ann6nu,:0 flludumcntal, lb) del:;egundo unn6 nico y (e) dcllcrcer ann6IIK"O.
49 • Una cuenlu de p¡nllo sin arrollamientos tiene un¡\ frecucnciu funJamenlnl de 200 Hz. CUHmlo se le urrolla un hilo, su dcnsidlld de m¡L~lIlinea l se duplicu. ¿Cuál es lu nuevn frecucnc111 funchunenwl. I>uponiendo que no se vllrla la tensión'! 50 • SSM El intervnlo nonn¡¡l de audición human:! cstá comprendido emre 20 y 20000 lit.. ¿Cuál es la mnyor longitud de un tubo de órgano cuy!! nota fundamental se encuentre dentro de este intervalo si (a) e.~tá cClT.ldo por un clltrcmo)' (b) e..<;tá abieno por los dos extremos? 51 •• i .; La función de onda y(x, 1) correspondicntc Huna ondll cst:lcionaria en una cuenln fija por ambos elltremos vienc dada por y(.r, t) = 4,2 sen 0.20x cos 3()(k con.v y x en centímetros y 1 en segundos. (a) ¿Cuáles son la longitud de onda y 111 frecuencia de esta onda? (b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas U":I.nsversalcs en esta cuerda'! (e) Si la cuerda está vibr.tndo en su cuano armónico. ¿cuál es su longitud? 52 •• La funci ón de onda y(x. t ) para una onda estacionaria sobre una cuerda que está fijll por ambos extremos es y(x. 1) :::: (0,05 m) sen 2,5 m ~ lx cos 500 s 11. (a) Hallar I¡¡ vclocidlld y la amplitud dI' I:\s dos ondas móviles c¡ue originan esta onda cstacionllria. (b) ¿Cuál es In distancia entre nodos sucesivos de la cuerda? (e) ¿Cuál es la longitud más cona posible de la cuerda? 53 •• Una cuerda dc 2.5 1 m dc largo tiene la función de onda dada en el problema 52. (a) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes 1:::: 0. 1'" T14. t:: 772, y 1= 3T/4. en donde T :::: lifes el periodo de la vibración. (a) Hallnr Tcn segundos. (b) En un instnnte I en el que In cuerdn e.<;tá horizontal. es decir. y(x) = O pUflI lodo valor de x, ¿cuál resulta ser In energla de In onda? •
•• S5 M I 54 En una cuerdu ell isten Ins tres fn.."Cue ncias de reSQnnnciu <;ucesivas de 75. 125 y 175 H7~ (a) Hfll1ar los cocientes entre cada par dc frecuencias sucesivas de resonancia. (1/) ¿Cómo podría s,1bcn:e si e.~ta~ ft"\."'Cucncills corresponden a uml cllerdn fijll por un elltrcmo y no a un:¡ cuerdu Iiju por los dos extremos'! «(.:) ¿Cuál es In fT\.'Cuencül fundamcn tfll1 (ti) ¿Qué armónicos son esl.ls frecucndlls de resonancin', (t') Si 1:1 velocidad dc 1:110 ondu ~ tffi/1<;vermles: en esta cuerda es 400 mis.. hallar la longitud de 111 mi ~m !l .
55 •• El espacio que hay encima dd ¡¡gua en un tubo semeJunte al del ejemplo 16.9 tiene unnlongitud de 120 cm, Cerca del c~tre l1lo abierto e~ iMe un alt:lvol uccionudo por un Il~nador dc:: 1Iudio cuyo frccuenciu puede varinr<;e de 10 :1 5000 Hz. (a) ¿Cu~1 es In frecuenci:, m~\ h1UII del o...ci1ndur que rt:l>onnr:l dentro del tubo'! (b) ¿Cuál es In frecuencia m¡lyor con la quc rc-"onur:l'! (e) Cutlntus frecucncia ~ diferentes dd o\.Cil:ldor producir:ln rt'$Onanem I (I)e~pre ci1\r IfI cOfTC(."(: ión dd e'trcmo.) 56 •• Un diapasón dc 460 1·1, produce rc~mlllcta en el IUbo del eJcmplo 16.9 cuundQ lu pane ~upcnor del tubo e<;lá a 1fU cm ) ¡¡ 55.8 cm por enClmn de lu superficie del agun {fI) II¡¡lInr lu \c!oclIl¡¡d dd \Onido en cl1\rn:. (h) ¡.Cuál C~ In cOl1"ceción dcl c .~tn.:tII(lI).1nl ¡¡Justar el hecho de clue el \iemre o :munodo no \e prc..'ence cxnct:lmcnte en el e~tremo del tubo ahumo"! 57 •• S5M i ./ 1\ 16 e lu frecuencia fundamental de uo tubll de Ór¡;ano es 4040.0 117_ i.CuJI 'er:lla frecuenCia fundamental dellubo '1 111 temperatura uumenta u 32 C1 ¿Seri:l prcfenble cOIl'tnllr el tube> 1'("111 un malenal 4ue 'oC di lmarn ~u~t¡tneLalmel1le cuando aU\11Cnte la tempcr:lIunt o \:011 un lI\!LIerial que l1lantu\ lera ~u Illngitud 11 lo..llIS In .. lemperntutru. nommJe\ )
I
489
58 • • I JI corrt<:ci(in M pam un tuho cm'ular 1:"\ flpTO'(imlldulI1enle 1\1 0, l lt'hlJ, cn donde {) c~ el tll~l11ctro del tubo (vé¡¡~ c.1 eJcmplo 16 \)) r>ctcmll nnr In IOllgitml de 1111 tuho uh¡l'nll l)(1r nml)!,)\, e~tTl'tIl0~ 'Iue prvclUll'lI un tl(, (2~6
11/)
C\H m~
nrrnónico fuudluncntnJ
~I
o.
I CII1, 10 cm y 30 1:111
•
59 •• I Unll cucrdn de vioHn de 41) cm de longitud y 1.2 B di I1m' u tiene mm fn_ 'CuCl1cin de .'iOO 1I1 cuando e~u! vibrando en ~ u modo fun
60 •• l.-ll cucnlu Sol dc un violfn tiene lO cm de longitud. Cuundo \C loca ~i n pulsur. vibra con un!! frecuencia dc 196 lit.. La<; noUlS pfÓlI lmu<; .mh altall en la c..~al n son: La (220 I·"~). Si (247 HI.), Do (262 /-170) y Re (294 UI). ¡,A qué dislIlncifl del extremo de 1:1 cuerda debe colocarse un dedo para generar estfls notas? 61 •• Una cuerda con una densidud de m:lsa" x 10- 3 kglm está /iOmetidn a una tensión dc 360 N Y e.~t á tija en ambos elltremos. Una de SU¡; fn.:cuen cias de resonancia es 375 Hz. La frecuencia de resonundu más alta siguiente es 450 Hz. (a) ¿Cuál el> la frecuen cia de resonunci;1 fu ndamental'! (b) ¿Qué firmónicos son los que se dan'! (e) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? 62 •• i .; Una cuerda sujeta por :lmbos e"l;lremos tiene n!-.onandas sucesivas con longitudes de onda de 0,54 m pum el anllónicQ " y de 0,48 m para el am16nico (11 + 1). (a) ¿Qué armónicos son? (b) ¿Cuál c..~ Ifllong!tud de la cuerda? 63 •• Las cuerdas de un violín est<'in afinadas con Jos lonos Sol. Re. La y Mi. que c..<;ttin separados entre sf por un quinto. Es decir,j(Re):::: 1.5j{Sol! j(UI)::: 1.5 ARe) :::: 440 Hz y J(Mi):::: 1,5 ALa). La distancia entre los doo pun tos fijos de las cuerdus es de 30 cm. La Icnsi6n de la cuerda Mi es 90 N. /J) ¿Cuál es 101 masa por melro de longitud de dicha cuerda? (b) Paro e\'it:tr di~t or siones del instrumcnto con el tiempo, es imponante que la tensión en toda.~ 1,Is cuerdas sea la misma. Determinar las masa..~ por metro de longitud de lu, f(", tnntes cuerdas. 64 •• Una mnbulanci:l se mueve a 80 kmlh hacia unn pared de Indrillo de un hospit:ll que reOeja el sonido de la sirena. Cuando la ambuluncia ót.a parndu. la sirenOl emite u 500 Hz. (a) ¿Cuál es el la longitud de ondn de In OIHhl estacionaria causuda por I¡¡ siren:l y su reOexi6n'! (b) Un médico que e~tlÍ parado entre la ambulanciu y In plIred oye que el sonido de la ... irena "umenta } disminuye altemativamcnt(: a medida que la umbulancia l>C aeere¡¡ a ~u po~l ciÓn. ¿Por qué'! 65 •• Pum afinar un v¡oHn. el violi ni ~tn primero nOna la cuerdn La con el tono correcto de 440 HI Y de~pué¡, toca sill1uJtane:lI11entc c..'on el UlX:O dos cuc rdu~ contigua~ y c~euclm la, IJUIMcionc.~ producidns. Cuando toca C\ln el arco hl.~ cuerdos La y Mi detecta UI1:1 frecuellcin de batido de 3 1-11. Y \lb~ernl que e\tn fn..'Cucncia crece cuando lu ten~ión de la cuerdu ~Ii aumenta (la cuerda :"'Ii -,c afina a 660 I-Iz). (a) ¡, Por qué Í>C produce el h:ltido cuando C~ItI~ ..: ucrda~ "C locan s]mululneamente1 (h ¡ ¡,Cuál ~ In ffC(.·uencin de la cuerda Mi en ,iomción ~1 la r,,:c ucncia dc b.1lidn e, de 3 H,') fr') Si la h~n~iól\ de la cu.:rda :"11 e~ 80.0 N CUllndo la frccllcncitl de batido es J I·k i,q u~ len,ión L'Orrc\IXlll1Jc al tono pcrfctlto de dicha cuerdu" 66 •• Una eMudiullte lIevn con!>igo un pequet'lo osdl!ldor y alltl\\)I cuando pa'.ea mu) Icntllmcnle por una larga \fila. EllIl1a\'lll emite un ,¡In ido lIe frecuenCIa 680 ~It qu ... ..e rdkja en las pan:dc\ dI' I()\ eXlrcrTlO'- de lu '>lila. L.1 e,u!dian.e obq:rva que cuando pll~ea :\ lo largo de la ~u l u. lu inten~idad del <.()I11tJO qUl' ella pcrc.ibe, pll~U por una .scne dc m/il¡im o~ ) mínllllO'> \1 ..:e'ivO-'i. (Q u~ dc,luncin debe n=correr para que el >,()I11(I() pa'\\: de un máAi!U{1 al ~I gUlente? 67 •• UM DemoMrar que In función de onda C.~tll("lOllílfla Ir ,,:n lr eo>,(llX + 81 puede e-.cnbu"\C como la ~urna de do~ fUnCI(lIw:.~ de onrnl :lnllúnien\. 1:1 de una onda que '-'Cl mue'·... en la dlrCC\:l()n pe"ntido contrario. Cada un.1 de- Ia.\ onlla1\ llene el ml~nl() ntJ~ro de ond ..))' trecurllCla ungula! que lJ \luchI c\'udonanlt
"90
I
Cilprtulo 16 Superpo$ldón y onda$ e~ta(IOn8rhu
cllel\la d\! l In POI un e\trelllo y ~ hl I IlI~e vi brur cn .u I~ MI"''''I\.'\) INn una JmpllluJ óc \ 1.:111 Y lUIR ne\:ucnLlo dc v ll 'l'tI~i¡ll1 de 100 lb Id} lS\:nbir la lun.. ttln!k llltdll \.'\lIrt~I'(,,,d i e "te o 1l.~ 11I viblUdóII ~b) I '~nhll \ml e \IlfC.'l l~II 1);11'11 la t'nergm cnléu\.'t\ de IIn ~cgmt'nICl ¡k In cucrd u de! Illntlltud ,h 1'11 1.'1 JluntO l \ 1.'11 deltu IIc lI1l"11 ( Fn q ll~ 1I1\ lnllll: e~ 11111\1 11111 C.~tll ene"t:. c l l1cu~ a .I,.('\Id l e..: hl.l llnlll\ lie IlIl'uclún ton dicho momcnto" (r ) flu ltnr la e!t~ 11l ein.:ttc
68
••
'
f\J1I 111111
69 •• SSM Fn 11I11t(urn 16.30 ~e mue~ tmll\ d i ~posici6n de un eX I)!!' nmentl\ de ll,il'l\ muy hnhitunl que ~¡ I"\e pum e~ tll d iur la~ o"da~ tnmsyel'Su les en um! cucmo. Se eud)\lI un peso dd e;(t!'emo de unll cucrdu que plisa por IIIIH polea,;) en el otro extremu un oscllndor mecánico mueve 111 cuerdn hneiu Ilrribn ) h1ldn nonjo con unn frecuc ncinf Lu longitutll. entre el oscilndor y In polca lIe mantiene conStflllte y In$ ondns que se producen en lo cucrdn resucnnn pura determinados valores dd peso. Si L ::: 1 111./ = 80 Hz, Y 1ft masa por unidad de longitud tic 111 cuerdn es }I ::: 0,75 g/m, ¿qué pesos hllbrá que colgar del extremo dc In cUCirdal).'1I11que se produzcnnlos tres primeros modos resollnlltes?
Pro blem bs g e n e ra le.\ 72 • 1..11!IiJ!n ])0 de la c.<.C1I11I toien tcmpemdn uuhmda por loo. C(m'tmuure .. de lII~tnll nt' ul (\
73 • i ~I cllnnl uuu,livo, que IIcne una longllllel pr(¡xlma a kl\ 2,5 cm, tidemr cornO un tu bo ecrnldo por un cxtremo y nOlcno Jl(lr el otro, (a) I,Curtlc ~:.o1l lBS frecucllcia~ de rco,onancul del nll"lIlo? (b¡ De\Cnblr los po~iblt:.'i efcetos de los lIIodo$ de re.~onunC l fl del eunul uudlll vO \<*"c '1 umbrlll dCi audici6n. • Unll cuerda de 160 g de musn y 4 m de lúrgo estd flja por un 74 ex tremo y ligadn u uno cucrda ligem]}Or el Otro, Su tensión t.'i 400 N, ((/) ¡,fuálcs son los longitudes de ondn del armónico fundol1lenl1l1 y los dos s jgll jcll1 e~'! (b) ¿Cuáles son ¡us frecuencias de estus ondllS estacionaril\!>? 75 •• Dos ondus procede nte.~ de dos fuentes co h crentc.~ poM!C11 lA mismu longitud de ondll ..t. frecuencia w y amplitud A. ¡,Cuál es la diferencia de trayectos si In onda resultante en "Igún punto tiene fu amplitud A?
L
•
76 •• I Una cuerda de 35 m tiene lino densidad de ma~a lineal de 0,0085 kg/m y sopon:l una tensi6n de 18 N. Determinar las frecuenci. de los cuotro primeros annónicos si (a) el muelle está lijo por ambos extrel1li y (b) lo cuerda está lija por un extremo y atada a un hilo largo y delgado, de ,.;a despreciable en el otro extremo. 77 •• i ./ Una persona encuentra un pozo de una mina _ ,ndonadu y desea medi r su profu ndidad. Uti li7.ando un oscilador de audio de rtcuencia variable, observa que se prod ucen en el pozo resonancias ! > ucesi a frecuencias de 63,58 y 89.25 Hz. ¿Cuál es la profundidad del pozo?
Peso Figura 16.30
Problema 69
· Paquetes de ondas 70 • Ut informllci6n que utilizan los ordenadores se transmite por cable en forma de pulsos eléctricos conos a raz6n de 107 pulsos por segundo. (ll) ¿Cuál es lu duraci6n máximn de cada pulso para que dos pulsos no se solapen? (h) ¿Cuál es el imervalo dc frecuencins : r. las cuales debe responder el equipo receptor? 71 • SSM Un diapasón de frecuenciafo empieza a vibrar en el in~ tante / = O Y se detiene después de un intervalo de tiempo tu . La forma de la ond::r. sonora un cieno tiempo después se muestra como una fu oción de x. Sea N el número (uproximado) de ciclos de esta forma de onda. (a) ¿C6mo están relacionados entre sf N.1o y t.J? (b) Si .ó.r es la longitud en el espacio de este paquete de ondas, ¿cuál es la longitud de onda en función de tlx y N? (e) ¿Cuál es el número de ondas k en función de N y .ó.f1 (d) Elnúmcro de ciclos N posee una incertidumbre de ~ 1 ciclo :lproximlldumeme. Explicar por qué, usando lu ligurJ IÓ.3 1, (e) Demostrar que la incenidumbre del número dc onda debido a la incertidumbre en N cs 2rrJ/J..\',
)'
- - -Ax----1 Figura 16 .3 1
Problema 7 1
78 •• Una cuerda de 5 m de largo que está fija sólo por un extremr ,tá vibrando en su quinto armónico con unli frecuencia de 400 Hz, El de~r .:lmiento máximo de cualquier segmento de la cuerda es 3 cm, (ll) ¿Cuál ~ 1, ,ngitud de onda del mismo? (b) ¿Cuál es el número de onda k? (e) ¿Cuál la frecuencia angular? (d) Escribir la funci6n de onda correspondiente a esta 1100 esltleionaria. 79 •• Una onda estacionaria en un:l cuerdn est:'! rcpre~ell1 ad:l por lB siguicnte fun ción de onda: y(x, 1) = 0,02 sen 4Jr.f cos 601tI. en dondef e y se cx preSan en metros y 1 en segundos. Determinar el desplazamiento mlhimo y 111 velocidad máxima de un punlO de lo cuerda situado en (ti) x:: 0,10 nl. (h) x = 0,25 m, (e) x::: 0.30 m y (d)x = 0,50 m, 80 •• Un al:lmbre de longitud 2.5 m y masa 0.10 kg CSIl'i fijo por ambo:. extremos bajo una tensión de 30 N. Al excitor e[ annónico " se fonna un nodo a 0,5 m de un extremo. (a) ¿Cuánto \'a[e II? (b) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres modos pennilidos de vibración? •• SSM 81 En un método antiguo para determinar la velocid3d del sonido en gases, se colocaba horizomalmcnte un tubo de vidrio ci lfndrico y se c.~parda en el fondo del tubo una determinada camidlld de un polvo muy tino, Un extremo se cermba con un pi ~tón que oscilaba con una frecuencia conocida f El Otro extremo se cerraba por un pistón cuya posición podía modificarse ha~ta conseguir la re.-.onancia. Cuando esto ocuma, el polvo ~e recogfa en II1ontoncitos igualmente ~epanldos a lo largo del fond o del tubo. (1I ) Explicar por qué ~ recogío el polvo de c.~ta munera. ( b) Deducir una f6nnula que 11 0 ... dé la \'elocidnd del sonido en el gas en función de f y de In distanciu entre los monlonchos de polvo, (l') Dar valores adecuados de la,frecucllciofY de lAdistando tntre los montoncilOS de poIyo. Id) Dar valores ndee uado~ de In frecuencia l ) de In longitud t dellubo COII los cuales podra medirse In velocidlld del sonido utilizando ni re o helio. 82 •• En una demostración en unu clase de ondas estue ionurin~, r;e sujeta una cuerda a un diapasón que vibra a 60 Hz que origina la fonnación de ondas tmn svers.a lc.~ de c.~ta frec uencia en la cuerda. El otro extremo de la cuerda pasa por una polea. variándose la tensión con pesos en este extremo. La cuerda tiene nodos aproximadamente en el diapasón y en la polea. (u) SI la cuerda tiene unu densidad de masa lineal de 8 g/m y liene una longitud de 2.5 m
Problema11
491
ha..\tIlIR l'I\lkal. ¡,cual ,Jdle 'CI la lel1~ ¡ól1 patol (IUl' lu l'ueruu \ i~ cn 'u 1\Iudo lundm1\Cnlnl'¡ ti,) Ilullnr 11\' lCIl'I(It1C" 11~'I:\!.."U!IIl' pam In ,\lCni~ de hll1lHl que \ illl't' en \U" tU IHllnl C'\J~ \ Ctlundll, tCI'Cl.'nl y l'unrto,
/icn)' dC~l'f¡b¡t l'I e(lmpOlHumenltl dc IImh.:l ~ ulnull1cntllr elticm¡"lO. Ih) "allár lnlunthí n tic 1IIUJIl rc~ ulUtnlC ¡¡tI/U t "Ea O. (n lIullllr 111 funci6n de onda ~\UIHlIIlI.· 1'"1111 _ I 'l. (d) Dihujur 111 f\1I1l'i 6n dc ~'J1(hllc~ultnnte en C\le ¡¡l1imu cu~o_
1n.'\:Ul'l1dll~ de rc\\JIIllnd:1 ~Ul'e~i\'u' de un tuho
91 •• SI pum: ~ u ordo y \ 11 numl) ceren de un c~tr('rn(l de un U1ho uhlerlo y hoce un chll~quido con lo~ dedm. oirá un ,omdo parecldo ni que t;C da cuando \e IlUnlCII unn cucnl:! de guitarm, (1.0' meJóre~ tubo\ \on 10' que Iu.~nen I In de longit ud nl1rox imllclnmcme.) ffl) Explicar cuál I!..\ 111 CII\I\l1 de e\le
~ Je,d<'
el
t1IRpa~ón
83
••
i
ti'
I)'I!\
¡,E,tl\ el tullo cerrudO por UIIl'Xlrcl1l0 e\lt\'I1IO'" (b) "Cuál CO; 111 II'l.'Cuencin fUlldamentul'! (el
\, \'irJ!,.\1l\\ '011 1\10, IIP,I \ ~Vi8 11 /, (d)
.lhten¡) en .1m~ CUlII c' In IOl\}lltud deltuho.l'~
i
ti'
y I/Iltl longitud de SO cm ' tCINII.'On unn l'uel7:1 du440 N, BMn coloclldu proJliirnll nI extremo ubie n o del IhI¡ del ejemplo 16,<) y \e hncc , onur con un arco de \'iolfn de modo que oscile 'n su fl\.'Cuencin fundumemnl. B1 ni\'cl de agun del tubo se hace bujnr hustll le <¡e obtiene por primero vel' In resonancia a 18 cm por debajo de 1:1 parte perior del IUbo, Utilizar esto~ dlllOS p.'\ro determinnr la velocidad del sonido . el aire, ¿Por qué no e.o¡ muy eX3CtO e.~te método?
;w
••
lhm cuerda du I g de
11111\/1
•• Una onda estacionarin sobre unll euerda viene dc.~cri t a por 1:1 ~u¡ente funció n de onda: .1'(.\", t) = 0,02 sen ~ ICX eos 40 1Ct, en do nde .t e y _tán ell metros y I en segundolo, (a) Escribir funciones de onda p:lm dos trunes ,,: ondas que al superponcrse produzcan un patron de ondas eSlacionarias. (b) . 'uál es 111 disulIlcia entre los nodos de In onda estacionaria? (e) ¿Cuál es la docidlld de un segmento dc cucrda en x = 1 m? (tI) ¿Cuál es la acelenlción del mismo segmento de cuerda? ,5
,
86 •• I Dos altavoces idénticos emiten uniformemente en todas dirccciones ondas sonoras de 680 Hz de frecuenc ia con una potencia de ..alida total de audio de I mW cada uno de ellos. UII punto ¡> está a una distan· ci3 de 2,00 m de un altavoz y a 3,00 m de otro. (ti) H311ar las intensidades 1I e l. de c3da al ta voz en el punto ¡> separadamente. (b) Si los altavoces se alimentan coherenlemente y en fase, ¡,euál será la intensidad en el punto P? (e) Si se alimeman coherentemenle pero desfasados en 180°, ¿cuál será la intensid~d en el puntO P'! (d) Si los altnvoces ~o n incoherentes, ¿euál será la intcnsidnd en el punto P'!
87
•• Tres ondas con la misma frecuencia. longitud de onda y amplilud,
se mueven en la misma dirección y sentido. Las tres ondas vienen dadas por 0.05 sen
(kx -
)"1( .1",
r)
)"l (X,
I) :: 0,05 sen (h - mt)
)" )(x. 1)
0,05 sen
(kx -
(1)1-
mI +
j) j)
Hallar la onda resultante.
••
6E~
••
89 •• SSM l.u velocidad del sonido es proporcional 11 In mIl. clladradu de ]¡I lempcrnlum nbsolutn T (ecuación 15.5). (ti) Dcmololmr que s;i la tempcnllura vnna en unll pc
0.02 y v: (.1.1 )
-;-;-.::0""0";',,,,
:C;¡:
1+ ( 1+21) :
ea U{) nue \" e:;lá en meu,)~ y I en ~gun do~ . (l¡) Dihl.IJar por ~parauo cada ('Inda en rUllción de ,I p:iro ID t) utilil.nnda unn hoju di' flikuln ('1 un:I \;akul ndt\rn gol-
:::1
(,l.'J' "';: J1 (iiIJ' a, I1x
21 6111 ~
1
en donde J1 = I1m/6.x. (a ) H¡lllnr In energfa cinética tO tal del modo enésimo de vibrnción de una cuerda de longitud L fija por ambos extremos. rh) Dctcnninar la cnergla ci nética máxima de la cuerda. (e) ¿Cuál es la función de onda cuando la energla cinéticllliene su máximo valor? (d) Demostrar que la energía cinética máximll del modo enésimo es proporcional a
"ll\:.
93 •• (a) Demostmr que si la tensión de una cuerda fija por ambos extremos vana en una pequeña can tidad dF. la frecuencia del annónico funda~ mental varfa aproximadamente en tlf, siendo df I f = ~'I FI F. ¿.Se aplica este resultado a todos los annónicos? (h) Utilizar este resultado para hallllr la variación porcentual de la tensión que se necesita paro aumentar la frecuencia del armónico fundamental de una cuerda de piano de 260 a 262 Hz. Dos fuentes de ondas armónicas situadas en el eje x tie nen una difercncia de fase ~ que es proporciona! al tiempo, ~ = el, siendo e una constllllle. L:l amplitud de la onda procedente de cada fueme en un punto ¡> del eje .t es 110- (a) Escri bir Ins funciones de onda de cada una de Ins ondas en el punto ¡> admilicndo que esle pumo está 11 unu distancia XI de una fuente)' a XI +.6x de la otra. (h) Hallar la función de onda resultante)' demostmr que su amplimd c,> 2Ao cm r~(O + 50) ), siendo O la diferencia de fase en P debida a la difcrencia de trayectos. (e) Hacer un gráfico de la intensidnd en el puntO ¡> en fun ción del liempo para una diferencia cero de IraycclOs uti!i7,Ondo unll hoja dl' ruleulo o una calculadora gráfien. (Sea lo la intensidad dcbida a cadn onda scpar:ld:lmente.) ¡,Cuál es el promedio temporal de lB inlensidad? (tf) Hacer el mismo gráfico para la intensidad en IIn pumQ cuya diferencio. de lra)"t.'CtOS sen nH.ldia longitud de onda, 94
••
SSM
9S •• • Las funciones de dos onda.~ estllcionnria:. en una cucrda de longitud ¿ son ." 1(:1',1) A1cos m¡1 sen k ¡x e y: (x.1) A: cos m!fscn A. ¡x, en donde k~ '" "rrlL Y ro" = "!l}¡ . 1..<1 función de la onda resultante se expreslI como y,(x, l) = YI(X, 1) + y¡(x, 1) . «(1 ) Bullar la n:!ocidnd de un segmemo lL\ de In euerdn. (b) HuJlar la energía cinélica de este ~gmento. l e) Por intcgroC'i6n, hallar la energía cinética tOlal de la on
=
Una onda phmll tiene la fonnn j{x. y. 1) '" ti cos(k..x + ko¡)' - ra). Demoslrar que la dirección en que se mueve 111 ondll forma un I\lIgulo 8 '" arctg(ky7cJ) con la . del eje X y que lo ... clocidud de propagllción de la onda es v '"
88
1...:1 energlu cinética de un segmento de longitud tu y ma~n 6111 de utW euerdn vibronte viene dada por
92
=
96 ••• Un nhunbre de 2 m fijo por IImbo~ extremos Clotá \'ibrnndo en \11 1ll0dCl fundnmentnJ. La ten~i6n e" 40 N Y In ma~u del alumbre e, 0. 1 kg. El punto medIO del alllmbre tiene unn nmplilud de 1: CIll, ((J) Hallar la encr¡;(a cinética mtb.ima delalnmbre. (h) En el in~tante en que el de~plnl.amic lllo tnll1~ver ,al viene dado por (O,02 m) "en I rn:I21. i.cuál es 13 cnC'rg(1l cinética del alambre? (e) j'.En qué po~ icl6n del alumbre licne \u mayor \alor t~ encrgíu cinética por umdnd de longitud del alambre? (d) ¡,En dónde tiene \11 má:
97 ••• 1:n pn nclpio una ondo de romla Ilrbllro l'la puede cxpresa~e como In ~umn tic ondas :lrm6niclI~ dc d¡rerentc~ frccuenl'in~ , Itll CQn~¡ dere umt funcIón delll1ldn por
fh)=
492
I
Capflulo 16 Superpo5idón y ondas estacionarias
E..'iI."'nbir un programa en IIml hnJtt lIl' \'uh-uhl que ctlkule C!llu serie u!iliznndo un número nnlto de l én1\mo~ )' IIncer tres l'Cprcscntudouc.s grdlicas de 111 fun ción en clmtcnnlo de I cumprc_nditlo enlrC O y COII el primer término de ,,, ~ umn En ht ~cJ!.ulldn )' tCI\.'tI'l\ reprc:-,cll!lIci6n gmli clI. usar ~6 1o los cinco y los .1ie1 pnmeNlo ténninos rc~pc~u\'umcn!c . &!n funci6n '«! suele denominar In omlcl nl,ldro./a (Ofil1l(';clll 9). (b) ¡,Cuál e$ In relnci6n entre cstn funci6 n y lu ...eric de I.l'i bmt: ¡:NlnI lf. 4
1
I
I
muc~trn
en In ligura I().J2, rccclrrcn Irnycctorios di~tinttl5 por el tuoo. H J"f'mtr eC{l re.sultll de UlW uuico reflexión en el fondo del tubo. Inicntra ~ (Iue el 'lCltufldn tUlublén se reflcjll en el centro de Ins pnrede ~ del tubo. unn ve/. ni ir y otl'll 111 vol. ver. el tercer eco se renejo d~ veces en puntOS situadrnl Adi ~ullleia~ 1/4 y V4. cte. mtont) uel ~on ¡dtl (Iue llega al ofuo c.~ conJ;ccucncin de la frecuencia a l. que estos soniUOll rcnejndos lIeg:m ni ofdo. (ti) l)emIXtmr
.
- ... 1-lf J +-5 --7 + ... I
98 ••• E..~crihir IIn progrnl11n en unn hoja de cálculo
4 ( . If
¡(xl "" - sell .\ - sen9 3.1' + sen 5x - ... ) 4
=
Ifl:
25
( - I)~scn(21/+1).I'
en donde v es fu vclocidud del sonido. L In longitud del tubo y r \11 raUl(). (h) Usando unu hnja dl~ cálculo o una cnlcullldom gráficlI. representar gnUicamenee I:J.ln frente a rl si L = 90 In. r = I In. (E.~tas son la~ dimensiones de un tubo del Erp/Qrulorilllll de San Francisco.) Represente como mfnimo hastn 11 = 100. (e) A partir del gmfico. explique por qué la frecucncin disminuye con el tiempo. ¿Cuáles son IIIS frecue ncias máximll y mfnima que se oimn?
(2/1 + 1)2
"
¿Qué c1nsc de ondn es ésta? 99 ••• Si se dan 1h1hnadtls en el extremo dc un tubo cilíndrico largo. el eco no suena igual que las palmndus si no
Palmadas
-.... ... ... ........ _------------·E ....... ---------
.... .... ~ ~-
...
1
-
--
----=
Fig u ra 16.32
'"
~~
....
--
- --
3 ---~ Problema 99
- -
....
,
TEMPERATU V , , TEORIA CINETICA DE LOS GASES
,
17.1 Equilibrio térmico y temperatura 17.2 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit 17.3 Termómetros de gas y escala de temperaturas absolutas 17.4 Ley de los gases ideales 17.5 La teoría cinética de los gases Estos globos de helio se muestran bien inflados en un caluroso día de verano. ,
?
¿Qué les sucederá si los ponemos en el interior de una habitación con aire acondicionado?
•
(Véase el ejemplo 17.6.)
,
Capítulo
Sucle decirse que la temperatura es una medida del grado de ca lor o rrío de los cuerpos. ... E n este capítulo veremos que puede definirse una esca la lógicn d e tCI11I)Craluras en runción de las propiedades de los gases a bajas d ensidades y que la 1Cml)Cfl.ltUfll es una medida de la cncrgíll cinética molecular de un cuerpo.
1 7.1 Equilibrio térmico y temperatura Normalmente nuestro sel\l ido del lUCIO puede dc(;in1o~ si un objcto cMi'i caliente o rr(o.
Desde la infancia se uprende que paro conseguir que un objeto rrfo se calienle. basta con ponerlo en con tacto con un cuerpo caliente. Y pam enrriar un cue'l>O caliente lo hemos de poner en cOlllaetO con un objeto frfo . Cuando un cuerpo se calienlu o "e enrría. c¡unbian alguna:- de MIS propiedadc ... rí~icn.\o. Por ejemplo. lu mayor purte de lolt sólidos) de los líquidos se dilman al calell1an.e. Un gil". s.i su
-496
I
CapItulo
17 Tcmpcrutura y tcorí;¡ cl lléUCíl de tOl gllses
(bl
Figura 17.1
Principio cero de 111 termodinámica. (a) Los sistemas A y B c~ lá n en contacto térmico con el sistcma C. pero no CllIre sí. Cuando A y B csl !in cada liriO en equilibrio lérmi co con C. est!in mutuamente en equilibrio. eOlllo puede c()mproban;c colodndolos cn contacto entre sí como se muestra en (b).
prc"!iÜll ¡X'llllllIlCCC COII"!tullte. t.lI 11hién <.,c cx pund irlí cuu11do "c caliente. (1 hien . \ t "-ti VOlLullCn ~c 1111111ticllC l'on'itUlllc. IIUI11 CIlIW'U ~ u pl el,ión. Si \,c cahcnlll un conductor eléctrico, variuní \U I\:~ i s tc nd u cléctl kll. C01110 'oC estud iará tll el cupítulu 25. Unu propicdud fí\'ica que varia con la tClllpc rnHlra ...e lICIIOlllill:1 Jl I1IJlicd ud tcnllOlllétricu . UIl crHllbio en IInu prvpicducltennomé trica imJicll quc ~ hn produc ido unu vuriuci6 n dc la tcmpentt llnt del objeto. S u pó ngll~e que col ocamos UIlU burro ca 1iente de cobre cn conlucto est recho COI1 unft haml frfll de híCITO. Ln barra de cobre se. cont rae ligcfullle lltc. índic¡lIldo que ,o:e é\,tú enfriando. mientras qUl! 111 harril dt; hierro )le di laln 1igerarncllte. 10 que i ndka quc se cMá clll cntundo. Se dice que Ulnblls b u rra ~ están en cont acto térmico. Finalmente este proce~o termina: e~ decir ninguna de 1m; dos barrus vmía poste riormentc de longitud . CUllnclo OCurre esto se dice que la.!. dO)l bamts están cn cCllIilíb ri o té rmico entre sr. Su pongamos ahora que introducimos la blllTa de cobre c¡¡lientc c n una corriente de ugua fría. La balTa se enfría. cont rayéndose hasta alcanzar el equi librio térmico con e l aguu. A continuación introducimos la barra de hierro fríll en lu corriente, lejos de la baml de cobre. La barra de hierro se calentará hasta alcanzar e l equ ilibrio térmico con el agua. Si ahora sacamos las barras y las colocamos en contacto unu con otra, observaremos que sus longi tudes no cambi an. A mbas están en equi librio térmico enlre sí. Aunque este hecho es de sentido común, no existe ningú n proced imiento lógico para su deducción . Constituye el pri ncipio cero de la termodin ámica (figu ra 17. 1): Si dos objetos están en equilibrio térmico con un tercero, e ntoncl!S están en equilibrio r• mico elllre SI.• PRINCIPIO CERO OE LA TERMOOINÁMl
:1.
Se dice que dos objetos tienen la misma lemperafllrtl c uando están en equilibrio térmico elllre sí. Como vcremos, el princ ipio cero nos permite defin ir una escala de temperatura.
17.2
Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit
Pan¡ establecer una escala de te mperatura se puede uti lizar cualquier propiedad tcnnomt!triea. Un termómetro común de mercurio estj compuesto por un bulbo y un tu bo de vidrio que contienen una cantidad fija de mercuri o. Cuando se calienta el mercurio al colocar cl tcrrnómetro en contacto con un cuerpo más ca liente. el mercurio se diltlla más que e l vidrio y aumel1la la longit ud de la columna de mercurio. I Podemos crear una escala de tempcrtltul":! a 10 largo del tubo de vidrio del modo siguicntc . Primero se coloca ellcmlómetro en una mezcla de hielo y ngua en equilibriO:! :t una presión de 131m. Cuando el termómetro est:i en equilibrio con el hiel o y el ag ua. se marca la posición de 1:1 columna de mercurio sobre el tubo de vidrio. Esta es la (Cmpcrllturll del Imnto del hi elo (también denominud¡¡ punto de congelación normal del ngun). A continuación !>le colOCl\ e l tcrm6melro en agua hirviendo a una presión de 1 31m y. cuando eltcnn6metro queda en equilibrio térmico con el agu:l hirvie ndo. o:e marca la nueva posición de la col uml1l1 de mercurio. Esta es la temperatura dl'l pu nt.o del vupor (también ll amad n punt o dc ebull ición normul dcluguu). L'\ cscnln de Icmperatu ra Cc ls ius define la te mperat ura del punto del hielo como eero gmdos Celsius (O OC) Y In tempcnltunt de l punto del vapor corno 100 °C. El es(X\cio de la columna entre I:\!:> marca,), 0° y 100° se divide en 100 intervalos iguu les (grado:,,). Lus Imtrca<. de 10), grnd o~ se ex tienden por debaj o y por cnci nw de estos I>unt o~ . Si t. , e~ la longitud dc 111 culumn:l de mercurio. In Icmperatura clsiu),. fe. viene ciada por
'e -
1 - Lo ~I
L lIIO -
Lo
X
100°
117. 11
I C.mKt el me/cuno e.. muy It'iJtICl.I. to~ l emlÓJT1elrn.~ ,,k men;:uno ylll no ,< vcoden en 1(110; b¡ado~ Unidus. HQ}
l'f'dtnan., ~ U"lln ,
t(><: !eml6mctnh
«
de alcohol
FJ a¡;tu.a ) .. 1 hielo en tqu¡hhtl\) e
o:ahenUl h¡:
Jr hleln. pero la Itmi'<'nllUnlllO • .m.. en 13111<) ('\i~11I algo de hkl(1.
17.2 Escnlas de temperatura Ceblus y Fahrenhelt
en donde /11t.!\ la lonllllud de 10 colull um Ul' 1II1.! 1'C UriU cuando el Icn llÓIllCl1'O C~ lIí dcntro del l\¡ll'O J~ hil- lo. j 1. 1n11!\ ... U hlllgi lud cuumlo cl lcl1nómclfO c$! t1 cn el buño de vapor. La ICl1lpcm IlIr:\ n011lUl l dd l'lh!IlXl hummlu mcdido CII la C~L'lI la CeI&ius c~ de 37 (lC aproxinmdulJlculc. En In escala de tCl1Ipcrlllul'1l 1!'nlll"Cllhcit (usurla cOlml nnlcnt c ell los pnfse.... de hoblu mg lc:m) ~t.! defi ne como 32 " jo' la tc mpCralUl11del puntll del hielo y como 2 12 UF la del pu nto de c.' bulliddll dd agua. 1 Obsér\'c.,\c tlllC ClIlrc la tcml~raHm.1 del puntu del hielo y la del punto del vapor huy 100 grados ch:ius y 180 grados Fuhrcnhcil. Un cambio dc tempcntlura de un grndo ('c¡...ills e:. por lo lanto igual a un cambio de 1.8 = 915 grados Fahrenhcil. Para convert ir una IC lIl p COUU rl.l dada en una c$l.:lIlu u la otrn debemos tener tambi6n en cuenta que las tcmperatUnL'i cero de alllbas no son iguales. La relaci6n general entre una tcmperatura Fahrcnhcit y una tempCl1ItUrtl Celsius te CS
I
49/
,
'ji
( 17.2) CONVEJI.SIÓN FAHRENHEIT-CEL5IUS
EJEMPLO 17. 1
I
Figura 17.2 Cinta bimctólica. Cuando secaliCnta o se enfría, los dos mClales se dilntan o contracn en c u anlra~ diferentes, haciendo que 111 cinta se curve.
Conversión de tempe rat u ras Fahrenheit y Celsius
(a) Hallar la tcmpcrulura Cilla esenia Celsius eCluivnlcnte 1141 0 1'. (b ) Hallar 111 temperatura en la escala "~ahnmh e it equivalente a 37 oC.
~ (9 °) = 15°
(a) Aplicar la ecuación 17.2 con ljl = 41 °F: (b ) 1. Despejar
el
'ji de la eculIción 17.2 en función de le:
2. Reemplazar le = 37 oc: Eje rcicio (a ) Detemlinar la temperatura Celsius equivalente a 68 °E (h) Determinar la temperatUr
Pueden uti lizarse Olras propiedades termométricas para eonstnl ir termómetros y establecer escalas de tempcratura. La figura 17.2 muestra un.1cinta o tira bimetálica compuesta por dos metales diferentes unidos entre sí. Cuando la ci nta se calienta o se enfría. se curva para
Interruptor de mercurio
ArroUamiento de cinta bimetálica
Plllal1ca de corredera (1I )
(hl
1 ('u.llldo 1'1 ji_l eo IIknMn Damel ¡'llhn!nhcu ltkó ~u e'<:~d.1k 1,·mfll!!nllul11. 411"'0.'1 que 1t>lW ta~ cl'mrc-nuuras Tllc.'n,urnt>le~ lue~n JlO-IU\jb OriJm:d mc'nu>. e"'f'\l.IÓ O F pi\nl 1.1 lem¡'ld ifi ...'Ó ~u ,,"'::119 h¡:cranlCn numcl'll\ entc.'rtr.. !:...w JIO comí! l'e,ullaiJo que IlIlemflc.'rllUra dd cucrpo hun~no "'111\ II!~ t.'umr«ndl
Figura 17. 3 (a } Tcm16melro que UIiJi/,.::I una ci ma bimeuilicn t:n rOnTln tlo nrrollnmiemo en espiml. CLu aguja roja está unidll a uno de los CX l remQlo de la ci nln.) Cuando el arrollamiento se calienta. hl :Igujn gim en I.Cntidll hOl1lrio porque el mClal externo o:e dilnln 1I11b (Iue el intemo. (b) Tenllostmo casero. CUllncJo In hnbllUción sccalienta en exCC$O, 1ft elipiml !.C i:xpansiolln)' el tuha montado J,Obre elln 'iC ind inn. dc modo que cllllercurio que contiene se ~l i l.3)' cierm un imerrupwr eléctrico poniendo en mnrchu IIn aeondieiOlllldor de lIirc. E.n la pnnc dcn::dUl puede \'er..c una palnnca de com::clcrn montadu <:obre In e~ pl rJ1 para tljuMnr la temperatum dc:,clIdu. El ci rcuito ~ abre cunndo el aire nub Cric, contrae ~ ufi e iell tc lIle nl e lu c' pirnl.
tlcOIumlnn;c
ti
tu difere ncia de
IlJ~
(hlut!ll:ionc ..
térrnicn~
de Ino;
rnclalc .... La figura 17.1
do~
rHUl"U':! lIn 1I1'101111l11il'II1O billlc t(¡ lko con una aguja q ue indicn In Icrnpcrfllurn c;obrc una
c:-;clI la :tdcl:lIlldu. Cuando.'>c cali ent u cl tcrr116mct ro. la c .. piru l \c curvII m6 .. y la aguJ,1 <;c dec;· plala hm:i n In dCl'cchu. Se caJibru el termómetro de In rnisnw fo rma que un termómetro de nn.:rc urio , es decir. determ inando el pu nto del hielo y el de ehullición dclaguu y dividiendo el interva lo cutre ellos CII 100 grado... Cch-ius (o ISO grudo.. Fuhrcnhcit,).
u
Mercurlo
e"
Figura 17.4 TenllÓmetro de gas 11 volumen eonsUlIlte. Se Jllantiene constante el volumen subiendo o bajando c1tubo 13) de ntodo que se mantenga en la marca cero el mercurio que contiene el tubo B2. Se escoge que la temperatura sea proporcional a la presión del gas contenido en el tubo BI' Esta presión lu indica la altura" de la columna de mercurio en el tubo B3'
•
17.3
Termómetros de gas y escala de temperaturas absolutas
Todos los te rmómelrOS calibrados med ianle agua con hielo y vapor dc agua concuerdan (por definición) a O oC y 100 °C. pero ofrecen lecturas ligeramente distintas en los punlos intermedios . Las discrepancias pueden ser muy grandes por encima dcl punto del vapor y por debajo del punto del hielo. Sin embargo, ex iste un grupo de termómetros en el que las {cm· peraturas medidas concuerdan muy bie n incluso lejos de los puntos de calibración: se trata de los termómetros de gas. En una de sus versiones, el termómetro de gas a volumen COns· hmle, se mantie ne constante el volumen del gas y su presión se utiliza como propiedad ·r· mométrica para medi r temperaturas (figura 17.4). L'l presión Po del punto del hielo la presión P too del punto del vapor de agua se determinan situando el termómetro en bano!> agua·hielo y agua·vapor. y el intervalo entre ellos se div ide en 100 grados iguales (~ la Cel sius). Si la presión es P, en el baño cuya temperatura desea determinarse. dicha temp .1· tura en grados Celsius se defi ne por
( 1 1)
/. "C
0,
446.0 445.5 445.0
Aire
444.5 444.0
N, Hz 1'100' aun
Figura 17.5 Temperatura del punto de ebullición del azufre medida con termómetros de gus a volumen constante rellenos con gases diferentes. Se modifica la p~ión en el punlo de ebullición del agua 1' 11'1:1 variando la cantidad de gas en los termómetros. Cuando se reduce la cllnlidnd de gas. las temperaturas medidns por todos los term6metros se apro~ im a el valor 444 .60 oC.
p
-273.t~
,
'C
,
Figura 17.6 Gr:ífico que muc~trn la prc~ i6n en funci 6n de la temperatura \cgl\n la mIde un tcnnómetf(l de ga, a \ulumcn c(}n~tantl!. Cuando 11!! cxlrnpola a presit'in nula. In gnUlc:I cona al eje de tC1llpCrllturn~ en el \'alordc - n3.15 oc.
Supongamos que medimos una temperatura concreta. por ejemplo el punto de ebullk m del azufre a 1 atm de presión , utili zando para ello cuatro termómetros de gas a volunl1!1I constante que contienen cada uno de ellos uno de los cuatro gases siguientes: aire, hitógcno. nitrógeno y oxígeno. Los termómetros han sido cali brados y se han determinado pura cada uno de ellos los valores de PillO y Po. A continuación Se! sumergen en azufre hirviendo. y cuando están en equ ilibrio térmico con el azu fre. se mide la presión en cada uno de lo), ter· mórnclros. Luego se calcula la te mperatura haciendo uso de la ecuación 17.3. ¿ Dará e~lc procc,.<;o el mi smo resultndo en cadn uno de los termómetros? Quil.ás de manera sorprendente. la respuesta es sí. Los cuatro termómetros miden la mi sma te mperatura siempre que la dcnsidad del glls en cada uno de cllos sea suficientemente baja. Una medida de la densidnd del gns en el lcnnómetro e:. !-u presión en el punlO del vapor. P 1OO ' Si se varía la cantidad de gas en un termómetro a volumen conStante. ya sea añu· dicndo o quitando gas. cambin tanto PICIO como Po. Por lo tanto. cadn vcz que Se! varía la cantidad de gas. el tcrmómctro debe se r calibrado de nuevo. La figum 17.5 mucstra los re5u ltudos de las medida ... del puntO de ebullición de l azurre uti lil.ando termómetros de gll~ a volumen con¡.,Ulll1e Ilellos COIl diverso~ gase!'. En ClIla fig urll se representa In temperawnI medida en runeión de In prcfo:ió n de l punto del vapor del aguo. P too. que se varra moditi· cllndo la cantidad de gas contenido en el te rmómetro. Cuando se reduce dicha cantidad, la den:'ldad del gao:¡ di<;minuye. y lo mi~mo le ocurre a la presión del punto del vupor del agua. A panir de e!-lll figura <;e comprueba que el lIellerdo entre los termómetro!' es muy grande cuando la~ dell .. idndc!'> de los gases ~on bajas (P lOO baja ). En el límite cuundo la densidad del gafo: tiende a cero. todos 10<; ternlómetros de gu:. dan exactamente el mismo valor pam la tcmpcrmura de ebulli ción del azurre. con independencia de las propiedades del gas uti1i ¡ade). Por 'oupuC!>to. la tempcr:lturn de ebullición del alufre no tiene nudll de espccial. Lo~ termómetros de ga1! a volume n co n~ lante }' a den<.. idades baj¡L<; concuerdun pUr'd cualquier lempcrntura. Por e.~ l e moti\JO. los t cml6 lll etro~ de glls a baja!' dcnsidadel1 pueden utiliza",e paro definir la tl!mperntllm . Con),idcrcmo\ a continulIción una serie de Illedidll<; de tempcmtum con un termómetro dt" ga~ n volumen constante que contiene una cantidEld de ga.s muy pequeña pero fija. De acuerdo
17.3
rerlT1ome tro~
d e g iU y escale d e temperaturas absolutas
I
499
'J
(:011 1" (."Cunciótl 17.3. 111 pI'Csi('ill r e n el IC1"11I1:'um.:ll\l vltr'fa linealmcnle con lu le nllX"rul uru medid:l La ligur;¡ 17.() IIlUI.!"lr:I unu gliílka de lu presión en fu nción de la tcmpcl1n ura mcdida en un ICI'Il1 ÓlllCll\) de ~U~ a \o(lhtn u,m Ctlll ~1U lll c , Cuamlu CXll'upt1lul1Io¡, estu lím:n I'l.!ctu ha ... \:I prc ... i(m Ct'l'). la ICI1lIlC.'rlIt ura l icnde u 273. 1 ~ a volu men constante:
'e
T _ 273, 16 Kp l' 3
( 17.4)
EsCALA DE TEMPERATURA DEL GAS IDEAL
en donde P es la presión del gas e n el termómetro cuando éste se halla en equilibrio ténnico con el sistema cuya temperatura se está midiendo y PJ es la presión del gas en el termómetro cuando se encuentra inmerso en un baño de agua-vapor-hielo en su punto triple. El valor de P3 depende de la cantidad de gas con tenido en el temlómetro. La escala de tempermura del gas ideal. defi nida mediante la ecuación 17,4, tiene la venutia de que la tempermura medida de un estado cualquiera es la mi sma con independencia del tipo de gas uti li zado. Sólo depende de las propiedades generales de los gases. La temperDlura más baja que puede medirse con un termómetro de gases es aproximadamCllIe I K Y ello exige que el gas sea helio, Por debajo de esla temperatura el helio licúa: todos los demás gases lic úan a temperaturas más al tas (véase la tabla 17.1). En el capítulo 19 veremos que puede util izarse el segundo pri ncipio de la termodinám ica para defin ir la escala d e tcmperutura absoluta con independenc ia de las propiedades de cualqu ier sustlHlcia y sin limitaciones en el margen de temperaturas que pueden medirse, Ha sido posible medir telll ~ pcraluras tan bajas como una mi llonésima de kelvi n. La escala absolu la así definida es idé n ~ tica a la que se defi nió mediante la ecuación 17.4 en el inte rvalo de temperaturas t;:n que puede utili'l.arse el termómetro de gas. Cuando nos referimos a la temperat ura absoluta se utiliza el símbolo T. Como el gmdo Celsi us y el kelvin tienen el mismo tamaño. las diferencias de temperaluras son las mismas tanto en la escala Celsius como en la escala de temperatura absoluta (Iambién llamada escala Kclvin). E.o¡ decir. una \'ariaci611 de temperatum de I K es idéntica a una \·ariació" de te mpcmtUf'd ele 1 c o. 1 L'l ún icn diferencia entre 1(1.0; dos escalas radicn en In elección de la tcmpemtura cero. Pam converti r de grados Celsi u!! a kc lvins, bü!-ta con ~umar 273. 15: 2
Figura 17.7 H:P en su punlo triple. Contiene agua. hielo y vapor de agua. Iodo en equilibrio.
TABLA 17.1 Las temperatura .. de diversos lugi'tres y fenómenos Temperalura (K)
10 111
~-
10" 1()8
- - Bomba de hidrógeno : --Interior del Sol - - Corona solar
107
10" 105 10'
Supemova
____
~-
Superficie del Sol .......... Funde el cobre 102 - - - - ;}. Se hiela el agua 10' , , i "'\\.. Nitrógeno líquido lOO Hidrógeno líqUido 10 ' Helio liquido
10'
'---,-1
10-1
.,. =
'e + 273, 15
(17 .5) C()NV(R$ION CELSIUS·KlL\IIN
El He1 ~e hace
10 ' 10 -'
superfluldo
IO :'i 10· 10 7
Aunque la!! escaln!! Cel .. iu'i y F:¡hren hci t <;on lI ti l c~ en "u empleo cotidiano. la c ...cala ab ...oluta es mucho m(b conveniente pam fi nt.! :; l' i enl(fico~. en pnrte porque mucha... fónu lI ln ......c cxpre~ san de forllln Illlb ... illlple .. i ..c lItiliJ'!I la c!lcnla ab ... oluta. ) e n parte porque puede dar-.e una interpretación m:h fu ndamenta l de 1:\ tt.!mpcrut urtl atholuta.
I b....:nhnThh I Il.IfIl mdlclr IIn ,.",.,N,I d,. Ifmptruruno .t'¡Ultl.. 2'3 l·
10 • 10 Q
Condensado de •
Bose-Ehl~ l ein
-
Temperatura má1 bdllt alcanlada
500
I
Capítulo 17 Tempera tura y leuda dnéUcil de los
EJEMPLO 17.2
I
glue~
Trandormaclon de gra dos Fahrenhell en kelvlns
;,C u" l ~ la Il.'ml~n'lUru K,'h'ln ClIrl'\'Sl)ondlentl.'
Planle aml ento d e l proble ma
:1
70 " F'!
Convertir primero a gmdll'> ('el\iu., y luego
¡¡
le
!..elvill\,
= ij(70° 32°):2 21,1 "C
I
=-:71
T = t(.. + 273 = 21.1 + 273 =1294 K
2. Paríl hallar la h.!1ll I)l.~r:lturn Kch'¡ n ¡¡ u maI1l0~ 273:
Eje rcicio El superconductor de. "nltu tcmpemturn" Y Ba2Cu)0 7 ndquierc la propiedad de superconducción ClllUldo '>u tempcmturn Se blUa :t 92 K. Ixtcrminur esta tcmpcr1l turn en grudos Fah r~mhcit . ( Rc.\fwt!sw
- 294 oC.)
17.4
Ley de los gases ideales
Las propiedades de los gases a bajas densidades peml iten definir la escala de tempcrutur.l'\ del gas ideal. Si comprim imos este gas manten iendo su temperatura constante. la presión LTece. Del mismo modo, si el gas se ex pansiona a temperatura constante. su presión decrece. Con una buena aproximación, el producto de la presión por el volumen de un gas de baja dCl1sid..d el> constanle a temper.r.tur.r. conslallle. Esle resul tado r1le descubierto experimenlalmentt' por Robert Soyle (1627- 169 1) y se conoce como ley de Boyle: P\I = constante
(a temperatura constante)
Existe una ley más general que reproduce la ley de S oyle como un caso especi,tl De acuerdo con la ecuación 17.4. la temperatUl11 absolu ta de un gas de baja densidad es pn - or· cional a su presión a volumen constante. Además -un resu ltado descubierto e.xpcrimt; ,:1.1. mente por Jucques Charles (1746-1823) Y Gay-Lussac ( 1778-1850)- 1<1 tcmper"rura absolu ta de un gas de baja densidad es proporcional a su volumen a presión constante. r -lOS dos resul tados pueden combinarse mcd imll e la expresión
PV=CT
La 1llmÓl>fera de Venus está compuesta casi por completo por CO2. Sin embargo, las medicione.<¡ rcal il.adas por el Pioncer Venus Orbiter demuestr:11l que hay unu nube de hidr6geno atómico rodeundo Venus, 1...1 imagen en rorma de medin luna muestra la presencia de oxígeno ut6mico y las bílmls mueslmn el hidrógeno (lile se extiende mucho Im\s allá de lu :ttIll6~fern. Como la velocidad de escape de Venus es de 10.3 bilIs. ligcr:l.rnenle menor (Iue la de la Tierm. y In lemper!llum de su IIIm6sfcra es cO II ~ide r:lbl c ment e m!'i'\ elevada. debería haber c.~c¡¡ pudo 10<10 el hidrógeno que pudiera haber existido en lu att1ló~fern de Vcn\1' en In época de Sil
formación.
( 17.6)
cn donde e es una constrlluc de proporcionalidad, que como vcremos 11 cominuación I!.' proporcional a la cantidad de gas. En efecto. consideremos dos recipien tes idénticos que contie· nen cada uno la misma ca ntidad de cierto tipo de gas a la mi sma tempenllUl1t y prcsión, Si ponemos en comunicación 'IInbos rec ipienles. combinándol os. nos CnCOnll1lremo:- al !innl con unu cantidad y un volumen doble de gas a la miSm¡l pre:..ión y Icmpcrnlum. Ilcrno'> duplicado la magnitud PV/T duplicando la camidad de gas. Por lo l;.m IO. podemos e:..crihir como lInu co n ~lUnte k I1\i.lltip licadu por el número N de moléculas del gas:
e
C=kN Por lo lanto. la ecuaciÓn 17,6:-oc cOtwierte en P\,=NkT
(17.7)
Ln constnnte k ~e dcnomi nu conslnntc d e BoIC:zmann . Experimentalmcnte se dellluestrll que tiene cl mi!. mo valor pnnl cualquier tipo de gas:
¡
= 1.38 1 x 10 "
J/ K
=8.617 x 10 ' eV/K
(IH)
Una n llllidad detcrminud::l de gaii !-'lIc le cxpf"C'iarsc en moles. Un 11\01 de cualquier ~lI:..tan' cia es In ca nt idad de la mil>mu que cOllliene clnúrnero de Avogadro NA de átolllo\ o molt'· cula:;. deilnido corno el mimern de átomos de carbono que hay en 12 gra mos de 12C:
( 17.91 NUMERO [).[ AVO(.¡I.()IW
17,4 Ley de
1'1' . JI nKlI K ,,1
( 17.10)
I
lo~ g¡nei Ideales
¡U J.I JI 111(11 K
/(
!t.hO
((
.,
K,4!)
p\l = /IN ,kT = l/ U'"
1l.20
(17. 11 )
'.00
en donde R= N,J. :,c denomi na constant e lI11ivc r slI l d e los gllscs. Su valor. qut! es el mismo pnm lodos lo~ gusc!'>. C~
R = N,,1.. = 8.3 14 J/( l11ol . K) = 0.08206 <11m· LI( mol· K)
I
7JIIl
vario!' gases. Pan¡ todos los gases. PV/(I1T) es casi co nsumte en un in terva lo de presiones ba!ilante gr:.mdc. Incluso el oxígeno. que presenta la mayor vnriac ió n en esta rcprescl,ltaci6n, varía sólo alrededor del I por c iento entre O y 5 mm. Se defi ne un gas ¡d en l como aq uel para el que PV/( lIT) es constante a todas las pres io nes. En este caso. la presió n. e l vo lumen y la temperatu ra están relacionados por P V = nRT
()
5
(17.12)
La IIgum 17.8 muestra una representación de PV/(n '!) en f unción de In presión P para
('O
10 15 20 2.5 30 P,aun
3;'1 40
Fig ura 17.8 Grnfico de f)V/nTcn runción de In presión par.! gal'CS rctl l e~. En estos gráficos. lu presión varia modificandu la ctlmidud de gus, Cuando sc reduce la dcnl'idad del ga~. y por lo tunto la presión. la relación PVlnT se aproximu al mi<;mo valor: R.314 J/mol . K parn lodos los ga!>cs. Este \'alor el' la const:lnte universal de lol' gases R.
(17. 13) LEy DE lOS GASES IDEALES
I
La ecuación 17.13. que relaciona las variab les P. V Y T, se conoce como ley de los gases ideales. y es un ejemplo de una ecua ció n d e estado. A bajas de densidades (y por consiguiente. n bajas presiones) describe las propiedades de los gases reales. A densidades más elevadas se han de hacer correcciones a esta ecuación. En el capítulo 20 se tratará otra ecuaci6n de estado. la ecuación de van der Waa ls. que incluye dic has correcciones. Para todo gas a cualquier densidad existe una ec u:lci6n de estado que relaciona P. \1 Y T para una cantidad duda de gas. Así, el estado de una cant idad dada de gas queda determinado por dos cua lesquiera de las tres vHrhl blcs de estado P. V Y T
EJEMPLO 17.3
1
Volum en d e un g as ideal
¿Qué volumen ocupa I mol dc gus 11 una Icmpcrlllurn de O ~ C y unu presión de I 111m'!
Podemos hallar el volumen mcdianle 11I ley dc los gascs idellle ... con T = 273 K:
O bservaciones
b¡cribl~nd o
v_
/lRT = ( 1 mol HO.O!)21 :lIm Lll mol · KIl(:!73 K) =1~2.4 L P
I ;11111
.
1 .
R cn 111m · l/mol . podemm co:prc..ar P en UUII) " . obtiene \' en Ihn>,>.
Eje rcicio Il allar (ti) el número de molc\ 11 y Ch) el mimcro de nmlécula\ N
Lu tempcnll ur..¡ dr.! O 'e (273 K) Y fa presi6n de I lltm \uc len dcnomi nan.e condicinn c~ cshíndar, En el ejem plo 17.3 h e ll1 o~ vi ' 10 q ue en condicione.. ~ I ánd a r. I mol de un gn, ideal ocu pa un volumen de 22.4 1.
La fi gum 17.9 nllll!~ l m 10\ gr.'ífico\ dI! P en fu nd(jn de 1' .1' aria!» tempcrnwrJ' !,!(,)II' ttllltc' T. Estns curva, ~c Ilmnun isolcrmll,S. 1....., i.,otcrl1la., de un gas. ¡dcal ,on hi pé rhola~. PLlffi una !'!antidad determinada de ~!!l\. \C I110' en la L'Cuación 17. 1~ que la nmg nllUd pvrrC., con<;, tull1c. Uli Ii/anda d \ ubínclkc I pam lo~ \ ulorc\ init:i alc.,) :! para lo!! ,nlore., ImoJc\. lcncl1lo<;,
-
.. I/RT
l'
117. 14)
1....' lcn"..... de un g.h en un diagrama P\ P:n .lur! ~a ... idc'll c"I:1\ tUr \d" -.<1Il hipcrbvl¡t\ dcfin .dK' J"(lr P\ ' = nH 1.
Figura 17.9
LEY Di lOS fo\$(S lor/MS P.\AA UN.\ CANnoo\O filA
Q{
c..o.s
502
I
Capftulo 17 Temperatura y teoría clnéllC/J de 105 gases
EJEMPLO 17.4
I
Calentami ento y compres ió n de un gas
t ln )1;11' II\'IU' 1111 HlIIIIII\'1I el\' 2 1, 111111 h 'lIIpcrnhll'lI dc JO 0l' Y 111111 IH't!siólI de I 111111 , Se cllllcnlu 11 60 y M' eOIllI. rinu· a UII l OIUIlU'1l de 1,5 1. 111111 111' ~ II IUlel ll Jlresión.
e
Pl anteami ento d el problema ('01110 In camidnd de ga~ es Hja. lu presión pueJe JClerminurl«: mediante hl L'Cuación 17.1 4. Sean 1 y 1108 suhíndices cOITC<;pondielltcs ¡I los estados inicial y fi n!l l, re~pecl i \ :l1I1C11lC, 1. E.."prcsnr In pre"¡ón " 2 en fundón de PI Y los volumencs y tempcr
2. Calculor Ins tc mpcr:.llums absol utas iniciul y fi nal:
P I VI _ Pt V2
TI
1'2 '
273+30- 303 K
TI
333 K
1'2 - 273+60 3 . Recmpl:vnr por los valores numéricos de l resultado del puso 1 para
determinar P2:
Eje rci cio 11
P2 _
(333 K)(2 1) ( 1 atm) =11.47 alln l
(303 K )( 1.5 1)
.
.
¿Cuántos moles de gas ex isten en el sistema descrito en este ejemplo? (Respuesta
= 0.0804 moL)
La masa de I mol de una sustancia se denomina masa molar. M. (A lgunas veces se utili 7..un 'os términos peso molecular y masa molecular,) La masa molar dcll:!C es, por definición, 12 g/ 101
o 12 x 10- 3 kg/mol. Las masas molares de los elemenlOS se dan en la labIa periódic11 lel apéndice C. La masa molm' de una molécula como el CO2• por ejemplo, e.~ la suma de las m ,as molares de los elementos que la componen. Como la masa molar del oxígeno es 16 g/mol (r JI· mente 15.999 g/mol). la masa molar del O2 es 32 g/mol y la del COl es 12 + 32 = -14 g/mlo)1 La masa de 11 moles de gas viene dada por /11
= 11M
La densidad p de un gas ideal es
/1-' -V -1/V 111
p
Utilizando /l1V = PIRT de la ecuación 17,13. podernos escribi r
p-!:!...p RT A una lernpcrmu nI dada, la densidad de un gas ideal el' proporciona l a la presión.
EJEMPLO 17.5
I
la masa de un átomo de hidróg eno
LIlIllHSIl molur del hidróp;('no C\ 1.008 ¡:/mol. ¡,Cuál es la masa de un 'lomo de hldróxeno?
Planteamiento del proble ma Sea m la rn31>o1 de un .¡tomo de hidrógeno. Como en un mol e ~j~ ten NII t'l tollm'o, In ma ~ lUolar \'H!nC daúll por M "IN11' Ulililarcmll'" !:...ta exprt!>i6n para deducir m, .El
Ln rna'll de un !llum!) de hldrógenn número de 1\\'08n
C\
la nul....1 molllr dilidida por el
m = ~ N...
o::
1.008 glmol 6,022 X
IO~l
átomos/mol
.11.67x 10" "'Alomo 1
Observación El núnlem de A, ogadm e<. apm:o;unadarnente el m.:lpi oc() de la masa del Momo de hidrógeno medido en gnll1)()<"
(17.15)
17.5 l,. teor¡,. cinética de los
EIEMPLO 17.6
I
¡INTlNTlLO USIlD MISMOI
Expansión d e un gas a temperatura constante
{ ' len ¡lnmm.;¡ de { 'll¡ OCUplut un \olul11l'u Ik ~~ I Llll nllIH'\'~lón de lulm. (ti) 1IIIIIar 1.. I~mpt' rll '
111m . (h l SI M~ aum('nlü l'l loltlmen " MO I ) .... numlicnl' l'C IR"tnnlc la nU(,\M p",,-i6n?
lern~rllluMl.
;.('uál
~
Planteamiento del problema All1ha\ CIlI.' ~ ll(ln c), pueden I'c~tl l\'c n.c Utll1 l.lIl1dll lu ley de 1/.1;\'1:" KIc.IIc~ {C\' ml cl~)1l 17.1.\)"¡ delcllni nmno\ el ruílll l.:fO Ul' mole .. , 11 . Tclpf1/U columna di ' lo (/t'rl,'(/10
(J
intente /'ero/verJo
la ló~
usted mismo Resp uestas
Pasos (a) 1. FI nú mero dc mole'!' 11 se cnlculu iI partir de la mnsu m de la muestr.l ) la masa mol"f tri del CG::. A partir de la inronn ución del opéndice C ...e obticne M = 44 g!nl()1.
2. Dc!Crminar In h.:mpcrnfUm T Ol purtir de la ley de los gases idclIlcs.
( b ) Uti lizar PV = constante para determinar la nueva pres ión cuando
m 1/
" -
2.27 nml
r - -I'V "R
I' l = 10,688 :ltm l
V=80 L.
Ejercicio
Si la tempcm!ura decrece a presión constante. ¿qué le sucede al volumen? (Respuesta
Decrece)
1 7 . S La teoría cinética de 105 g ases La descripción del compol1 ami ento de un gas en fun ción de la ~ variabl es P, Vy T puede relacionarse con los valores medios de magnitudes microscópicas. tales como la masa y veloci dad de las moléculas del gas. La teoría correspondiente se denomina teoría ci nética d e los
gases . Desde e l punto de vista de la teoría c inética, un gas está constitu ido por un gran número de moléculas que realizan col isiones elásti cas cntre sí y con las paredes del recipiente . En ausencia de fuerLas ex ternas (las mo léculas se mueven con tanta rapidez que podemos despreciar la acción de la gravedad), no existe ninguna posición pre Ferida para una molécula en el interior del recipiente! y los vectores velocidad tampoco poseen ninguna dirección preFerida . Las moléculas están separadas, en promedio, por distancias que son grandes en comparación con su d iámetro y no ejercen ningu na fucr.w entre sí. excepto d urante el choque mutuo. (Esta últ ima hipólcsis es equivalente a suponer una densidad gaseosa muy baja. lo cunl signi fica, como vimos en la última sección, que el gas es ideal. Como en las co lisiones o choques se conserva la cantidad de mov imiento, los choques q ue las moléculas rea lizan entre sf no influyen sobre la cantidad de mov imiento total en ninguna dirección. de modo que podemos despreciarlos.)
Cálculo de la presión ejercida por un gas La pres ión que un gas ejerce sobre el recipiente que lo conti ene !oc debe ti las co li ~ i on cs entre las moléculas de gas y las pnrcdes de l recipi ente. La pre¡.;ión es una fue ría po r unidad de área y. seglí n la segunda ley de NewtOIl. esta fuel7u es la derivndu rcspeclo ni tlcmpo dc la Gantidad de movimiento de las molécula:. que chocan contr.a la pared . Supongamos que !enemos un recipie nlc rectangular de volumen V que contiene N mo léculas ele masa /11 y con vdocidad P. Dcseamo:. calcul ar la fucrnt ejercida por eM;t:. moléculas sobre la pared de la derecha que es perpendicul ar al eje x y tiene el tirca A. El mí mero de moléculas que cltocun contrtl esta pared en el intervalo tJ.r es In totalidnd de In.. que se están moviendo hacia la derecha y están ti una d i'itanci a igual o inferior a \ '% t11. E.,tc mímero c~ I Dcl>ido a la gra\c:d'\d. la den siWlK!nte de tatnlIfJo normn l es desprccinhlc
ga~~s
I
50j
50<4
I
Capitulo 17 Temperatura y lcorla eln Uta de. lo)
,
...
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I~ ullf
afllulIlcru (!l- liIo l eculu~ que hay por 1II1Illnd ele vuhllllcn NIV 1I111h .phendo p'''r el volu· lIIell 1\ L\' A Y luc~o pur ~ puntlle. Cl! pl'(llI1c<.lIo, la mitad de lal, moléeulo!> "C c"lmán 1\Im k'ndo Imda In dercdm y la olm mi llld hnciU 1:1 it(luicrdu . 1'(lr lo lunlO. e l mimC'ro de IlIo lécu ln .. que choca enrllru la pnred en clti clIlpn /!., el,
"
M(,l éculas qué chnculI COII II'[I In pnrcd
,
IN
2 ti
=
)1,
/!.I A
La eOI1l IXlllentc.\' de la canlidud de movimiento de una molécul a fintes de chocar con tra la Figura 17. 10 I\l ol¿c ul l.~gn,eo~(l!>c nun recipiente rectangular. t:n un imcrvnln de tiempo L\ t. Ill~ lllol&: ul n~ ,ituadmi:l um'I.H ~ mndn \',6/ de h. pared derec ha chocarán cont)"'.! c~ ta pUl'cd si se
pared es +11111, y d c~pué.." de que tenga lugur un chcxlue elás tico con el la \Cm - ml'.., El valor de la variaci ón de la cant idud de movi miento durante el ch()(IUe de una molécufll comra la pared cs. pues. 211111,. El módulo de la variación total de la cantidad de movimiento de toda .. la~ moléculas durante un cierto intervalo de tie mpo ó/ es 2m v~ multiplicado po r cl nLÍmero de molécula¡; que chocan contra la pilrcd cn dicho intervalo:
llIUl' \'Ctl hndn In tkrcchll.
( 17. 16)
El módulo de la fuerLa ejerc ida por la pared sobre las moléculas y por éstas sobre la pared es Id v!/ól, y la presión es esta fuer¿a dividida por el área A: p
F A
-
1 Llp
-A !:!Al
_
N V
,
/11 11-
x
o también
PV = Nmv;
(1 7. 7)
Para tener en cuenta el hecho de que no todas las moléculas dentro del recipiente lienel la mi sma velocidad, basta sustituir v~.. por el valor medio ( v••~) 111 . Entonces. si escribimos la cc ación 17.17 en función de la energía cinética ~m,, ~ asociada con el movimiento a lo largo del . ejex. se tiene
-
PV
( 17.18)
Interpretación molecular de la temperatura Comparando 1<1 ecuación 17.18 con la 17. 17. que se obtuvo experimentalmente pura todo ga~ a densidades muy bajas, podemos ver que
PV = NkT - 2N(~11I1'}) _ m
o bien
(17. 19) ENERcIA MEDIA ASOCIADA AL MOVIMIENTO EN LA DIRECCiÓN X
Así pues. la energía c inética media asociadll con el mov imiento a lo largo del eje x es Pero la di rección x no tiene ningli n privileg io especial. En promed io
ikT.
( 17.20) y
S06
I
aptlulo 11 1 cmperaturil y lcorfa d néllCi1 de. los gases
\\n,(Ú1) · :la
(b ) l lt¡hl,U
" ,"ti!:':
11JM l).Inll'¡¡ku lur
,'~",(I 1 1) " CMI
del hidróge no:
LlcMI{Oz)
¡
3(1U I limol K)(300K ) 3RT /'ti . } 12 X 1(} Ikglmol
48:\ mIs
JM o. = 32 g/mol 2 g/mol (483 mIs)
=11930 mis 1 Obse rvaciones Lll velocidad cm de las moléculllS de oxígeno es 483 mis. unas 1,4 veces In velocidad
El t eore ma de equipartició n Hemos visto q ue la energía cinética media asociada con el mov imien to de lraslac ió n en clla quier direcc ión es ~kT por molécula (ecuación 17.21) (lo que es equivalente a ~ RT P( mol), en donde k es la constante de Boltzmann. Si la e nergía de una molécula asociada el su movi miento e n una dirección se incrementa momentáneamente, por ejemplo, a causa (J una col isión e ntre la molécu la y un pistón móv il durante una compresión. los choques em, esa molécul a y otras molécul as rápidamente redistribui n'ín la energía adicional. Cuando gas se encuen tre de nuevo en equi li brio, la energía estará repartida por igual entre l. energías ci néticas de traslac ión, asociadas co n el mov imiento en las direcc io nes x, y. z. Es modo de compartir la energía por igual entre los tres térm inos de la energía c inética de tra lac ión es un caso especial del teorema de equipartición , q ue se obtiene de In mecáni\ estadística c lásica. Cada componente de la posic ió n y cantidad de movim iento (1a posici\ I angular y el momento angul ar incl uidos) q ue aparece como lIn térmi no cuadrático en la expresión de la energía del sistema se denomi na grado de libertad . Los grados típicos de li bertad eSlfi n asociados a In energía cinéti ca de traslación. rotación y vibración y a la energ ía potencial de vibració n. El teoremll de eq ui partición establece q ue Cuando una sustancia está en equilibrio. existe una energ ía media de ~k T por molécula O ~ R T por mol asociada con cada grado de li bertad. •
TEOREMA OE EQUIPARTlCIÓN
En e l capíllllo 18 util izare mos ellcorcma de equi pnrtic ió n para estudiar la relación entre la~ capucidades ca loríficas medidas de los gases y su estructura molecular.
Recorrido libre medio La veloci dad mediu de luí. molécula.s de un gas a presiones nonnales es de varios centenares de metros por segundo. Sin e mbargo. si al guien en el ex tremo de una habitac ión abre un frasco de perfume. el aroma no llega al otro extremo hasta transcurridos varios minutos. En rea lidad. si no fu ero por las corrientes de aire de la habitación (convección), el olor de l perfume lardaría semanas en percibirs.e. Ello es debido a que las moléculas del perfume. aunque individualmente son muy rápidas. viajan según una trayectori a en Lig1.ug debido a los choque, que experimentan con las moléculas de l aire. La distancia media recorrida por una molécula entre coli siones. Á. se denomina recorrido libre medio.
17,5 la teorll'l cinét ica de los 9u~e~
E11\',,(,()l11 lh, lihrc IIW{hO J e lllla lI1{llécll la c\u\ 1I: lndolllldo cun su IUIHlliio, cl lUll H1iio de la ... molécula" dI,.' gu, que k lo\1call }' In lk n:-> idad lid Sil'. C'llll "idercll1\1!\ UllU lIlolécul u dc radiu 1'1 quc 'c llme\ C con \ d uc idad \' :1 t ra"é~ c11' ulla l'CgilÍll de l1lo1 écu l!1\ cSlnciolluriU\ (ligul';l 17. 11 ), I.u 1l1\1I c..: ula ChUClll1l COIl ot ra 1l1\II¡;culu de ruel io I'~ :-. i los CC I111'Ü. . dc Ins do . . lllolét.:l,ln, l1blan e nt !\.' ,r la d i"tam..'iu d = 1'1 + 1'2' (S i l oel ll~ 111:-' Oio lécula:-> rueran dcl m is1llo tipo, el \e n :\ el d i;"uctro llIo lcculllr). Cutll1do la lIl 11 I ~C lllil "" C dc:-.placc, chocllní COIl cua lq uier OIm llhllécu ln cuyu cc nl ro 1-1,.' ~ n t: lI c lll rc CI1 un cín.:ul o de radio d ( fi gura 17. 12). En un tiem po la molécula recorre la dbl:l nd a l It y c hoca con todas las Illolécu lu!! co ntenidas en e l volu ~ 1llt:1l c ih ndrico m{l w . El número de mo léclilllS co nte nido en este vo lumcn cs II I,Trd 2V(, e n J úmk: " \ = NI\' es el míme ro de molécu las por un idad de vo lume n. (Despué.<; de cada choq ue, la di rccc i6 n de la veloc idad cambia de modo q ue la trayec toria es en t igzag.) La l o n g i ~ IlId IOtH l recorrida di vidida por c l1llí mc ro de co lis io lll!s es el recorrido libre med io:
Este cá lcu lo de l recorrido li bre medio supo ne que todas las mo lécu las dc l gas excepto una so n estncionarias . Cuando se tie ne en cuenta e l movim iento de todas las moléculas, la exp re~ ¡¡ ió n correcta de l recorrido libre medio vie ne dada por
A-
1
•
• •
• •
•
( 17.26)
I
Modclo de una moléc ula le..fer.t ccmral ) que.'>c mueve en un gm•. Lu molécula de radio r l choc:lrá con cualquier OIra lTlolécula de rndio r..• si sus cenlros se cncuentran a una dislanó,¡ ti = r l + r 2' es decir, con cualquier molécula cuyo centro SI! encuemm en un drculo de radio ti = f l + f2 ' centr.:ldo al rededor de la molécula. Fi g ura 1 7 ,11
Diámetro d
Recorrido libre medio de una molécula d e CO en el aire
, ..... ,,"1'.......--. •
2 . Ut¡Ji t:ar In eeund6n ,' \ . = NkTpnrn calcular 1/ 1
'"
Modelo de una mol ul '11 !;C mueve con velocidad \' en un gn.. de m 11: ,I!, semejantes. Se mucstm el mo\imicnw ,luran e intervalo de tiempo t. La m oll.~la de diametro ,i chocará con cualquier Ol r.:t moli..'tuJa ~'mtJanle CU~'ll cemro se encuentre en un ci lindro de \lIlu~n IrJ ' En esta imagen, se supone que lodOl, lu, chnque~ . Iln eláslicos y que tod
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
el di ámetro
Nf\ '
-IT
101 ,:\ )( 10 1 PI!
~1~.3~8,-'X"""O"·':;·'''J/''K''I'"(3"OO""'K"1
=(
3. Aplicar e$le valor dl' 1/, y el \!l10r detennin"do de e/ paro calcu lnr k
.~----~~I ~--~~ l 2 .'/2: (1,45 1< 1O"'m )rr(.\ 75 )( JO
=16.53x 10 ' ", 1
O
Fi g ura 17.12
Planteam iento del problema (a) Como 'e no~ pruporcionn el valor de ti, podc m o~ hullar ). n pan ir de ). = 1I( .{ifl l,ICtJ Z) hnck ndo uso de In ley de lu, g a ~" idC:lle ... panl OblCnf!r 11\ = NI \~ (1;) PodCIllO:-> hncer uno c,¡imnci6n del lic rnpo de co li ~ió n uliJi l:lnclo \ '(111 como velocidad Ill('din.
p
•
O
eo
11 1 )
•
•
E l centro IOCll! d e COntrol d e s ustancias 16xicus dc.'ielllener más inrorlllflción sohre el nwn6xido de curbe nn y snber como se difund e por unn hllbitllciÓn. Se pide (a ) cn!cular el recorrido libre medio de ulla molécula de monóxido d e cu rbono y (b) hacer una estimación dcltielllJlo medio entre colisiones. Lu nmSll mo lar del mo nóxido d e cnrbono es 28 Wmol. Se supone (lile IIIUI molécula de CO se despla.za en Itire 11 300 K Y I atm,) que IlIs diá met ros de In moléeula d e y de Ins moléculus de aire son de aproximadamente 3.75 x W- H1 m.
(a) 1, ElIi.prc,ar A en hmcl6n de 1:1 dCII,:> idnd numérica Illolecular d:
o
.0
Área '" rrd~
El lie mpo medio e ntre co li sio nes se deno mina tiempo de co lisió n. T. El valo r recíproco del tie mpo de col is ión, I t-r, es aproxi madamente igual al mí mero med io de chO
EJEMPLO 17.8
'.
o
( 17.25)
j2" v7UJ2
S07
••
t,
1'/
I
11 m ),
S08
I
CapItulo 17 Templ!ratura y leon n d né Uc8 d e 1m gases
(b ) 1.
r,pn.'~ur
r\'rI lund,ln dcll\.'CI11IÍdo 111m.' I1I\!uiu A;
-'"
r. A \'
\\ m
3 . UliIi/:lr \'m
I'~m
! N I ' • •
{;\OU 1J/l lTlol . KIJI -"(Xl K)
~-
M
28 x I ()
• 5 17111/.. T = 2:. = 6.53 x 10 8 In
pam dar "lllor dc r:
k~rn()1
= 11.26 x 10
517 m/~
\'m
I
111
S
I
Observación Nótc,c que :;c ha c.~prcsado la presión at mÓ!>kricn en pascal" pnra obtencr In" unidallc:> adecuada!' pnm A. El rCl'orrido li bn: medio es igual IIproximmllllllentc a 200 vece:; el dilímctro de 111 tIlolécul:,. y In frecuencia de colis ión es uproximudalllClltc igu"l a 1/1' ''' 8 X 109 coli,ionc... por l'cgundo.
*Distribución de velocidades moleculares No es lógico que todas las moléculas de un gas posean la misma velocidad. El cálc ulo de la presión de un gas nos perm ite calcular el valor medio del cuadrado de la velocidad y. por 10 1anto. la energía media de llls moléculas de un gas. pero ello no nos da ningún detalle I"l:' ~. pecto a la disll'ibllción de las velocidades moleculares. Antes de considerar este problema. anali zaremos el concepto general de fun ciones de distribución con algunos ejemplos eh.;· men tales extraídos de la ex periencia ord inaria.
Funciones de distribución
Supongamos que un profesor propone un examen de 5 cuestiones a un gnm número N de estudiantes. Para describir los resultados obtenidos. ·1 profesor podría utilizar la pu ntuación media, pero esta descripción no sería completol. )1 todos los estudiantes obtienen una pu ntuación de 12.5. por ejemplo. esto sería comple • mente distinto al caso en que la mitad de los al umnos obtuviesen una puntuación de 25 pu 1· tos y la otra mitad cero puntos. a pesar de que en ambos ejemplos la puntuación medin se la la misma. Una distribución completa de los resulllldos sería la espec ificac ión del número I de estudiantes que recibieron la pu ntuación s, extendida a todas Ins puntuaciones recibid.ls. De otro 1110do, podríamos especi fi car la fracció n); = /l / N de los estudiantes que recibieron la puntuación SI' Tanto II ¡ como Ji. que son funciones de [a variable s. se denominan funciom.'S de distribución. La distribución fraccio naria suele ser la mio; conveniente. L.1 probabilidad de que uno de los N estudi antes selecc ionado ni azn.r haya recibido l¡j puntuación :"¡ es igual ¡JI número lotal de alumnos que recibieron dicha pUlHuación 11, div idido por N. es decir. 1:1 probabilidad es igual afr. Obsérvese que
1 "1 - -N 2: 11 ; 'I,fi 2: N I I
I
Y como ~II . = N
2: J, 1
" f
" lO
0. 10
La ccundó" 17.27 ..,e dellominu condición de normalizal'ión de 11.I~ distribuci onc:i fracc io• nana .... Para dctcmlinor In puntuuci6n media. bOSla sumllr l oda~ las pUll1uaciones y divid ir por N, Como cada punlUución s, fu e obtenido por " 1 = NI. c~ 1U din ntc!). esto e .. equivale nte 11
"" "" ",• "'" (l llll
0.(1.1
•-, "'"
' •• l';: I
l~
.\m 9
Distribución de c:lhficacionc .. ~ n un examen de 25 c u cs l i() nc~ ¡¡ 200 C:.ludian!es. II¡ c,\, el numero de c~ tud i:mh!., qUe recibieron In c ulifi c:.cil~ n" . 'i J. = tllN e .. In fraC\,:;ón tk c\wdimllc,; que I\.-ciblcrt\!lla clIlilicación :',.
Figura 17.13
( 17.27)
1
=
~ L ",.'1, I
=
L s,f,
( 17.28)
•
De igual m
-
-
- --17.5 la leona cinética de 10\ gases
I ·\:1,
I
(17 ..10l
i
I .1 r•.Ii/l'lWU¡:¡da dc ( . . ~)m ~e dCllUlllilH1 puut lUH: i6ul'uudn'i licH mcuiu o pUlltunci~)n (;IlL En la figura 17. 1.\ ,,-' nlUl',lra lUla pn,iblt' fUlll']6n de di~11 ihtu:ión. En dll!. la puntuación rn{l'i pl'\\hahlc (1:1 ohlL'nida pur d ma)'llr número d!.! c ... turJiantt.!") es 16. 1<1 puntuacióll mcdia e, 14.2) 1::1 puntuación cm e .. 14.9.
EJEMPLO 17.9
I
Prueba
de nivel
Quin« estudinnles rcnlil.lHl un ClI.amcn de puntundón máxima 25. Las cnlificaciollcs rueron 15. 11. 12, 20, 20. 20, 18. ItI, lit 18, 18, 15. 15, 15 Y 10. Determinar In cnlificaci6n mcdia y 1:1 cn li(i cnción CIII.
Planteamiento del problema La runción de dislribución de c.,<;te problema es 1125 = 1, l/u =2. lI ;!U = 3. 1I1¡¡ = 5, 1I 1~ = 3 Y1/10 = l. Pum detenninar la puntuaci6n media, mili/JUlIOS la ecuación 17.28. Paro calcular la putlluutión cuadrática media uS.amos lu ccuaci6n 17.30 Y lucgo extracmru. la miz cuudroda. 1. Por
definición. sm es:
s m-- 1~11(25)+2(22)+3(20)+5(1R)+3(15)+ 1(l(})1 -
2. Para calcular S COI detenninamos primero el valor medio de s2:
1 15(274)
1 '" ( s 2) In -_ -¿".
=~ ,
/I j S,
N,
- /sl l (25)2+2(22)J+3{20F+5(Uq~ +3(15 )'
f
1
- 15(5188) = 3-16 3. Extr.ternos la raíl. cuadradu de (.\.2)¡n:
s
J(.\. 2)m
= 118.6 mi!'
I
Consideremos ahora cl C
mos IlIs a[tums en illter\'Hlo~ bJl (por ejemp lo, ~" podrín ... er I CIll () 0.5 cm) y úctcrminnrcmo... [11 Crncción de persona... dellotal cuym, altura, r.: ... ¡:ín c\)mpl'cndid¡l.., en un determinado inter. ajo. "',mi valores muy grande.., lIc N. eMe mímero es pruporcion:ll '1llamniio del inlcl"\alu ... iemprc que r.:l illlérvalo sea "ul'icicrUCIlICl1Ie pcqudlo. Dcfinircmo.. C.. liI rum:i<ín de di,tribudón.f{h) t'omo la Cracción del mírnero de pCn.OI1lI!o. con ¡¡hum., cOlllprendida, en el intcl"\nlo ClHrc J¡ ) h + ,j.},. Así. para N peN)Iln'i. /llft.M ól¡ e<, clmil1lcrn de é .. l<1s cu)'a .lllura e"l¡i comprendida entre /¡ )' " + fill, L1 figum 17.14 mUC"ir;¡ tina di <,lritluci
(17 ..11)
"m = Jhj(hltlh
( 17.:QI
Ig(IIlI nl =
I
g(II)/(II) tI/¡
117.331
Di:-tribuci(\n pihihlc de ¡lllul'l.l\. I il IraceilÍn úel nomem de ahunh l"tllupn.-nJiJa' 1.'lIm.' h) "+.1h c!' iguill al j,rca ,ornhI't'Jdajlh) ~I H 11I .. [ogmllla pUé.!e .lrru~imilr.l'l1Icdian l c un.' t"un.l ~'onlmtlu dellllodn que -.,c illdil·¡t. Figura 1 7. 14
S10 1 Capflulo 17 T~mp~ralura y lCOtfíl clné llca de lo~ gíl~e5
ell dUlldc .If(h) es un .. rlllll.: i\111 urbltmrill de h. A"f,
Honl0 ' u~ l\te de> moléculas
Dt!tC'Clor
(17.34) L:l probabilidud de que tlllll persona seleccionada al a.l,Ur tenga unllulturll comprendida entre /¡ y J¡ + el" csJ(h) d/¡. Unn mugnitud ú¡i l que cllraclcrÍí'::l unn distribución C~ In dcsviaci 6n
cstúndur (J defi nida ]>or Figura 17 .15 E.~ tIU C IllU del (lP:Lr;ttu pum la ,k tenninndón de In di ~ trib\lci ó lI de velocidades de la:. m u lél'lll n~ de \111 ga ~. Unu :.usland n se vUpOri/U en Ull homo)' la" m o léclllu~ de "'Ipor escap!!n n Ir.n és
(1 7.35,,) Desarrollando el cuadrado del segundo miembro, se obli lme
es dccir
( 17.35b) La desviación estándar mide la dispers ión de los valores respecto al valor medio. En la mayor parte de las distribuciones existen pocos valores que difieran de xm en una cantidad superior a unos pocos mú lt iplos de a. En la conocida distri bución en forma dc campana (tI distribución normal) aproximadamente el 68% de los valores suele localizt.. rse dentro de.: intervalo X m + a En el ejemplo 17.7 vimos que el valor cm era mayor que el valor medio. &ta es un caractcrística genera l (a menos que todos los valores sean idénticos. en cuyo caso x cm = xm' Pode mos ver esto a parti r de la ecuación 17.35b observando que x'?m = (.r2)m' Ent once' a 2 = ( .\"2 )," _ .\"~I = x'?m - X~I' Como a 2 y xcm son siempre posit ivas, x("ffi debe ser siempr mayor que Ixm l. Para la conocida distribución en fo rma de campana (llamada distribución normal) el 68' de los valores caen dentro del intervalo X m ± a, el 95 % caen dentro del intervalo X m ± 2a. y t 99.7% cacn delHro del interva lo x ln + 3a. Esto se conoce como la regla 68. 95. 99.7 .
Distribución de Maxwell-Boltzmann La distribución de las veloc idades molccu lares de un gas puede medirse directamente medi ante el aparato que se Illuestrn en la figUT . 17. 15. En la fi gura 17.16 se representan estas velocidades para dos temperaturas distintas. La magnitud j{v) de la figura 17. 16 se denomi na función de distribución de velocidades de Maxwell-Boltzllll.lnn. Si el número total de moléculas es N, el número dN de las que ticnen velocidade.. comprendidas en el interva lo entre v y v + dv. viene dado por
I I I I
dN = Nflv ) ti"
I I
I ",I '1 I I
í •1 I
I I
I
I I I
I
( 17.36\
La fracció n tlNIN = Av) tlv en un intervülo concreto tllI corresponde a la z.ona rnyada dt! la fig ura. L,I fu nción dt! distribución de Maxwell-Bolwnann pu~de obtenerse ut il itando la mccánica estadística. El resultado es
I
II I
I I
I
_
):v2 2 . ,",.:no 2k T \' ('
4 ( '"
- """:tc
( )7. 37)
I I
FUNCIÓN DE DISTlU8UClÓN DE VELOCIDADES DE MAxWEll-BOI.TZMANN
ll,'
I'n.o.
¡'un Im
Figura 17.16
Di<;tribución de \c: locitlade, molccularc~ dc: un ga .. :t do" t empcrnlLlrn~. T. y 'J i > 1',. El área sombrcadlljh') fil' es igual a la fmeción tlel número de lIloléculus
1'._
L.... ve locidad ll1¡h probable c." aquella velocidad q ue corresponde al máximo de Jt I·). Se deja como problema dc.moMror que
. _pkTm -_pR T M
\ m,t,-
( 17.38)
Comparando In ecuación 17.38 con la 17.23, se ve que la velocidad más probable ee, ligeromente menor quc la ,"clocidad c m.
17,5 LB l eor(B clnéUcn de los
EJEMPLO 17. 10
I
Uso de la di stribución de
Ma xwe ll ~ Bollzrnann
UIIII'I.:II' In II1l1d6n de cl b ldhu cU'11 de l\'lu x\\dl-Uult/lllnUII IIIII'U mkullll' t'l \'111111' medio de \,2 d", ln<: molécuht, tic 1111 )!It.'l.
PlAnteamiento del problemn El vnl()l' mcdlo de \.2 \l' delUl'lni na n pun ir de In CCllllci(~ n 17.34 reemplll/anúo 1, por t'. La hml'it~n {l,1') \'icnc dad!! por I:¡ (:cuación 17.37. (1, 2)m
2. Uli1i/ar la ecuación 17.37 pal'llfi l'):
(
I'~) m
ro = f" =
O
=
3. La integral del paso 2 put.-de encontrarse en las labias de integrales:
4. Utilizar el resuhado alllenor para el cálculo de (1,2)m:
Observaciones
EsIC resuhlldo está de acuerdo con
"mI -
\,21(\') tll'
1'2
.i.. ( m )tn I'~e ",">IIH" tll' .[ir 2kT
~ ( m )"'f" re ",,"(¡'U TJ tll' .[ir 2kT o
..f \,4e~''''':fl2ATI dI' = ~J'¡"l 2kT )"'_ 4 ( m)3/2 3 r: (2k T )5/2 -1 3kT I ( 11, ) n, Jic 2kT Q
-.¡1C 8
J3 kTlm de la ecuación 17.23.
En el ejemplo 17.6 h:tllamos que la veloc idad cm de las moléculas de hidrógeno es aproximadamente 1,93 kmls, va lor que es un sex to de la ve loc idad de escape en la s uperficie de la Tierra, q ue resultaba ser 11,2 km/s como vimos en la sección 11,3. ¿ Por qué no hay, pues. hidrógeno li bre e n la atmós fera terrestre? Como puede verse en la figura 17.16. Ulla fracción considerable de las moléculas de un gas en equi librio a una c ierta temperatura tiene velocidades mayores que la velocidad cm . C uando In velocidad cm de las moléculas de un gas concreto es solamente del orden de l 15 al 20% de la velocidad de escape correspondiente a un determinado planeta, hay un número bastan te elevado de mo léculas q ue tienen veloci dades mayores que la velocidad c m, de modo que el gas no puede permanecer en la atmÓsfera de dicho planeta durante mucho tiempo. Por consiguiente, en la práctica no hay hidrógeno en la atmósfera terrestre. Por otra parte, la veloc idad c m de las moléclI lns de ox íge no es del orden de un cuarto de la corres pondiente al hidrógeno, es decir, aprox imadamente el 4% de la velocidad de escape e n la superficie de la Tierra. Por lo tanto. muy pocas molécu las de ox fgeno tienen velocidades mayores que la de escape y por eso se encucnlra este gas en nuestra atmósfera.
Distribución energética La distribución de vc l oc id
dE = "1\' di' y
NJ... ·)
Podcmos escribir
ti,· = NF(E) dE
8
111
111
_
11/
512
I
"PllUlo 17 TempeliHura y leona Chl l!t l.;;il d e los gu.se.s
(.ti J.rrllml( 2k l') 1In "C¡!.1I1l In c-cuucion 17.:'1 A... r pUC'i, 1:1 fU lluón " (I~ l dt' JI<;l dhuc1lSU tll' lu {' Ilcrgru vienc dadu p\lr l'n dUlldc ('
¡;(h')
=
..i. ( 111, .)",(.?)112 I E lf.'(' /ir
2k l
m
f.f{A/I
111
Simplificando \e obtiene In fund 6n de d istrihu ci 6n de la
c n efJ~ íll
d e MSlxwell -HollzlIl a nlt :
( ID'!)
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA ENERCIA DE MAXWEll-80lTlMANN •
En el lenguaje de la mecánica estadística, la dist ribuc ió n de e nergía se considera como d producto de dos fac tores: li no, lla mado d é ns id ~l d d e estad os, es proporcional n EIfl: el otOl, e - E /(I;T), es la probabilidad de que un estado sea ocupado, y recibe el nombre de fa ctor de Boll zmann .
ResuII.en TEMA
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELACIONADAS
1. Esca la Celsius y Fahrenhe it
En 13 escala Cdsius, el punto dd hido es O"C y el punto del vapor de agua. 100 oC. En la csc;lla Fahrent 1(, el puma de hielo es igual a 32 CF miemrn!< que el pumo de ebullición es 212 °F. Las Icmpcr:uuras de la!. e 1las Cclsius y Fahrcnhcit están relacionad3s por
,
(17.2)
------------------------------------------------------2. Termómetros d e gas
Los Icnn6melros de gas tienen la propit!dad de que todos ellos eoncul!rdan entre sr en la mediciÓn de! (; • 1quier lemperntur:l con t:11 de que la densidad del gas cmple:'ldo en e!lcnnómeuu '>Ca muy baja. Se deli"c la lemperatura Tdel gas ideal mediante la expresiÓn 7'=
( 17.4)
cn donde P es la presión del gas en el tcml metro cuando é~ le '>C encuentra t!n equilibnu témlico con el ~1" temu cu)'u tcmpcmtura <.c e.,¡(¡ midiendo. y p) ~ la prc.. ión que '-C llene cuando cl lCnllÓIl1Clru t!sl:! iml~l"o() en un b:lño de itgu:l-hielo-\Ilpof en 'u pontO triple.
3. Escala d e t empe ra t ura Kelvln
1~11empcrnlurn ah~olut:t ('1
Ct!biu~
tcm per:lturn en I..ch 111" e,1It 1'CllIcionudu con IH tell1pcrnlUm
por
( 17.5)
T=fr:+:!13,15K
4 . Gas Id eal
Ecuución dl" I!.'>Hulo R "" 1...\ , • Con~ tamc
de Boll/mann
K.11~
J/(lIIol . K¡ "" O,OS:!06 "1m · L/{ mol · Kl
(17.12)
k= 1.J81x 10 ·' J/ K =S.M7x 10 'eV/K
(17.8)
N~=6,():!:!X I ~'
(17.9)
Nlim!.'.ro de ¡\ \ogadm I!cIHICil1n Imm unA canudud Ilji\ de l=lh
(17.13)
PV ClIIRT
l1na c\pre:<;tón de la le) de lo.. ga-.e" una Ctllllldad lija de: gu, e,
h.kale~
que eS útil parn la Te\Oluci('in de PI". • •
r,
•
prob kmu~
en 10\ que IIIlel"\'cngJ
(17.14)
Problemas
I
5 13
S. Teorfa ciné tica de gMes l..u tClllpcruturn uhSíllutn Tes unu lIledidu de In enllrgfu cinéticu mediu de tn", .. lllci(¡n de Ift~ molécul:l!i_
Cuundo un '1 istemu esuí en equilibrio. huy unu cncrgfn medin de ikT por 1110léculu O ~ R'" por mol u~lCillda ti clldn grado de libcn:td. En el caso de un gns ideal , In cnergra cinéticu dll lr:lsluci6n rm:di:t de lus lIIoléculas es
Ent'rgí:l cmélicu I11cdin
(17.2 1)
L , ..:ncrgía ci nética de tl1lslllci6n total de It 1110lcs de gas que contiencn N moléculas viene duda por
Energfa cinélicll101al
E< ::::
N{~I/I\'¡) ::: .~Nk T ::: ~"RT • JI •
(17.22)
La velocidad":lII de una molécu la de un gas está relacionada con la temperntunt absoluta por
Vclocidlld cm de las llIoléculns
r <111 =
J(,.')
..
=
pRT
p kT "" 111
(17.23)
M
en donde 111 es la masa de la molécu la y M. la masa molar, Recorrido libre medio
El reconido libre medio de una molécuhl está rchlcionado con su diámelrO d ':1 el número de unidad de volumen Ir" mediantc la expresión
A_
·6. Funciones d e distribución de Maxwell-Boltzmann
4
I JiIlI ICl/~
111
J( 1 ) '=- ( .!ir 2kT
F(E)
Funci6n dc distribución de energía
_
mo lécula~
)
\'e
(-,-)W.!ir kT ~ 2
(17.25)
, n : _·lIu
~
por
E IIl - CIIln
e
(17.37)
(17.39)
ProbleIJ'os
• •• •••
SS M •
I •
I
Concepto simple, un solo paso, rc[alivtl lllc ntc fácil . Nivel intermedio. puede ex igir síntesi3 de conccpt03. Desa finnt e. pal'lllllumnos uvunzndos. La solución .;;c encuenlra en el SllllJell1 SO/IIrion... Mallllal. Problemas que pueden encontrurse en el servicio ¡SOLVE de Inrea3 pam ca,',n, Estos problema" del servic io "Chcckpoinf' "on problemas de control. que Illlpul sun a los estudiante.,,, a descri bir cómo se llega ti la re'>pucsla y a indicar MI ni vel de conliaruu ,
Problemas conceptua les
2
•
En IIlg /Uws pmblemllJ .)t' dan más dal(J.) di' los rt'almt'nle nN·t',\'or;lH; e/l otros pocos, dt'ben e.xlmerst' alguIJos datos a partir dI! ('onocimienws gt·nt'rolt' \'. fuelltes t' tli'rnas (1 e.ftimacimtt!s Ió~ ;cas.
4.C
mK'O entrt' d. " rc~ulta ImposIble f'Onerl~ lIluluamcnte en ~'(mlaC'lO?
1
•
SSM
ohJClos ('n eqlllhbno Icml1":O cntn! ~r de!>.!n c~tllr en eqlllhbno lt.rmKO t'ün un tereer objeto. lb) 1.:1' c.'>Cala!o Fahn-:nheu }" ('e!~m~ dlt1en-:n o,ókl en In e!C('C!Ón lk l. tcmpcnl1U1~1 cem. Ir) El \.eJvm tiene c1lluM\\O tamaoo que C'I grndo CChIU' (al
Do~
Id ) Todo~ 1010 lennómelrm dan tI
un :>1'1C'11Ul p:ltl1cular
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n-:,ull.l
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Idén\lca ~ contienen ~11'iC' Idc"lIll-~ dl~l ¡ntO
4
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(dI ntnp-un. tk Ia..\ anmlauont'o anln1(JR"
514
I
Capitulo 17 fel11pera tu ra y leor(a eln lIca d e IOl
9 a Je~
t,l ,i~\lnl 11 .17 I1\U......111I un ¡lfálku del \'011l11lcn t' n l und 6n ¡JI' lu tcmpcralUrn 1)
5
••
(11) Lu prc~ i ou CJl'ld dll IXII In .. dI" !l n..c, "'lbre 1ft). Pilredc .. de la
VIl",d te; 1;
ml ~ m i l
f/) Lu veltlchhld mcdin de un l'1 'OI11U dI' hell(\ c
(¡lit'
la de un áwmo
de nrglÍn. k) El mímcro de iitomo\ de heho y de nl\lm(K de argón en 11. ..a"'11l \{In ¡gua \
le"', (dI Nl ngulln de In!. ufinnncionC
18
2
"•
dn~
19 • Dos guses d i fere n t e.~ eMán 1\ igunl tempenlturn. ¿Qué pndemo-. decir respecto a las veloc i d :l{l c~ cm de las moléculas rc~pect jvfL~? ¿Qué podernos decir respecto 11 las cnergfns ci n ét jc a ~ mcdi lL~ de hl~ molécula" rc~ pt.">(;li vfh1
I' rob]enm 5
La fi gunl 17.1 8 muestra un grMico de In presión en fu nción de 11ItemperalUra par.\ un procc.so seguido por un gal> ideal desde el punto A al pumo B. ¿Qué ocurre con el volumen del gas? 6
••
SS M
B
p
Problcma 6
Verdadero o fa lso: La temperatura absoluta de un gas es una medida de la energfa cinética media de traslación de las moléculas del gas. 7
•
8 • ¿Por qué fac tor debe incrementarse la tempemtura absoluta de un gas p¡¡ra duplicar la velocidad cm de sus mol& ulas'! 9 • ¿Cómo varia la energía cinética media de traslación de una molécula de un gas si se duplica la presión mientras pcmmnece constante el volumen? ¿Y si se duplica el volumen pennant.'ciendo constante la presión? 10
••
Uml vusija contiene el mismo mímero dc moles de helio y
me tano. Cl·I ~. La relación (Iue existe entre las velocidades cm de los átomos de helio y las moléculas dc CH.,I!.... (a ) 1, (b) 2. (e) 4, (ti) 16 Venladero o de be aumentar, 11
•
ra l ~o:
Si 13 presión de un gas aumenta. la tCtnl>cntlUr..l
12 • ¿Por que lu esclll¡¡ absolut:l panl objcti vos ordi nnrios, no cientfficos'!
cOlwen i c.n t c.~
13 • SSM La tcmpcrnmr'J intemll del Sol ll..~ uproximadnmente de 101 grudos. ¿ E~ t C»o grudos '<011 Cclsiu!. o Kehins o realmente no imp()na uml csculn u otra'! 14 • i .1 Si la tempenttum dc un ga~ ideal ,c duplica manteniendo con~ t un t e la prc~ i 6n . la velocldnd medu\ de 13" molécu l:l~ (a ) perll\anC'C:c co n ~ t:lllI e . (/1) crt.'Cc en un factor 4. (e) crece en un fuctOr 2. (ti ) crece en un fllctor
Ji.
1S • i .1 Si III lemperutur.1 ) el volumen de un ga~ ideal se reducen umoos II lu mit3d. la prc.~lón l O) dismmu)'c en un fuctor 2. lh) pcm13neee consUmte. (eJ crc¡:e ~n un hlclor 2, (J) ~'~c en un factor Jj. 16 • Lu cnel'gm cinctica de Im~ l tldón mcdio de I tl ~ m\llécu la ~ de un glh idenl de pe nde «(1) del mimcro de molc\ del ga~ )' <; 11 tempemtum. ( h) de III presión del gm. y ~ u tempcratunl. le) SÓI(l de la prc.,inn del gas. ( J) .,f,lo de la lempcratum del gas. 17 • Si 1Ir13 \ a, ija ¡:nnucne l'ilntldades IgUlllc, en i,¡:uále, de IIb Mgulcme, ¡llimladone.,..nn \crdadera.\ '?:
20 •• E"'plicar en fu nción del movimiento molecular por qué la presión sobre las paredes de un recinto crece cuando un gu.<, se ca lienta a volumen con\tanteo 21 •• SSM Expresar en fu nción del movimiento molecular por qué la presión sobre 1:IS pa rcd e~ de un recinto crece cuando el volu men de un ga.\ 'te reduce u temperatura constante.
22 •• El oxígeno tiene una masa molar de 32 glmol y el nitrógeno de 28 g/mol. Las moléculas de oxígeno y nitrógeno en una habitación tienen (o) iguales cncrglas ci néticas medias. pero las rnol&ulas de oxígeno !>.on rruis rápidas. (b) iguales energías cinét icas, pero las moléculas de oxígeno son m:1s lenta' (e) iguales energías cinéticas y velocidades: (el) iguales velocidades medias, pero las molécu las de oxigeno tienen nt; or energía cinética media: (e) iguales velocidades medias. pero las mo lée ul u~ de odgeno tienen una e: :rgra cinética inferior: (j) Ninguna de las afinnaciones anteriores es verdadero.
T
Figu ra 17. 18
1)(1'" hnbilacione.... A y B, tienen volúmcnc<; ¡gunle.. )' c... tán COr'Ie(:laINf mm puarlu ubicrtll. LlI hnhllnción A, que " ene luro IIcondicionndn. c,¡ú
5 oC má... fríH que ItI hnl)iUtción B. ¿Cuál de la... do... lwhiludonc\ ¡iene lIlá~ l¡irc'.'
T
Figura 1 7.1 7
••
pe..\O
de ht::lio } argón.
23 •• Como sabe cualquier !isico de b:ljn¡, temper..uur-.ls. el nitro '10 líquido es relmivumemc barato, mientms que el helio líquido es muy Clll\' fa motivo c.~ que micmras el nitrógeno es la componente más abundante la allnósfera, el helio sólo se encuentra encerrado en clwidades de rocas subte ánClIS. Utilizar idens de este capítu lo para e:»plicar por qué e.!>IO es asf.
Estimaciones y aproximaciones 24 •• SSM Un tubo de ensayo sd ludo de 10 1111de volumcn l·onticne I mi de agua, estti a una tcmpcrnturu de 100 UC e inicinlmente a unu pre\ión de 1 alm (1,01 x l O~ N/m2 ), Hucer unu estimación de la pre\i n en el interiur del tubo de ensayo cuando el agua está hin'iendo ..in p.'lrar. 25
•••
En el l'apítu lo 11 dlllllostr.llllos que la vclocidud de C $cnl>C cn In
superficie de un plunela de rudio R y occ.1eraci6n de la gnm:dad 8 \ iene dada por 1', = J 2g R. Si la \clocidad cm de un ga.. e~ muyor que entre el 15 y el 20 por cienlo de 13 \"t'locjelttd de C¡,callC de unu planeta, prnctic:lIllcnte t(l(.lns 18~ moléculas de ll..'-C ga" e~ap:l rán de In ntmÓ$fer:\ del planeta. (d ) ¿A qué tempcrnturu el valor de l·"" pnra el O~ 'er:l igual al 15 por Clcnto de lu ve.lod dnd de c"Cupe de la Til'm\"! lh) l. A q ué EcmpcnulIra el valor '·c.,., I)nnl el H ~ Igual al 15 por ciento de lo vdociclad de e'-CBpe de la lierm'! {e ) I..JI!. t c.mpcralUra~ en la ¡lita atmólofenl ulcanlan los 1000 K, ¿Puede I.'. '> tu explicar In e '-C;I ~a p~encill de ludr(igeno en In nun6sfern telTCstl'l:.".' (J) Cnlculnr la!>. eOlTC' \'3 I o~ de 1',,.. par
• I
38 • El sodio runde 11 371 K i,('III1I1:\ el puntadc sodio en ln~ c~c llll1S de IUll1pcrulllm Cel ~ iu .. y Pnhrcnhcrl'!
39
•
I~ I punto de
ebu ll ición del o:dgcno a 1 film C\ 90.2 K. I,('ulll c:\ el
punto de ebul lición del oxfgcuo en lus c..\CflIA ~ CCI ~ lU ~ y Fuhrcnhcit?
40 •• En la escala de ternpcr.t lunl¡' RéaulIlur, el pUnltl de fu ~ i6n del hielo es O "R Yel punto de ebull ición del ugun 80 "R. Deducir cxprc\ ioJlC.\ pam convertir las tcmpcmlurns de In escnlo RéllUmur en ttmpcmturw. C'ch in ~ o Fahrcnhcil.
41 ••• SS M Un [crmistor es un dispositivo en c..~lndo MSlido cuyu resistencin vnrfll considcroblcmcruc con In tempcrnturn. I!SIa dependcncill frente a la temperaturn viene dadaaproximadnmcnte por R '" R~, en donde R se expresa en ohmios (n ), Ten kelvins y Ro Y [J son constantes que pueden determinarse midiendo R para puntoS de cnlibmción conocidos, como el punto de congelación del hielo y el punto de ebullición del agua. (a ) Si R '" 7360 n en el punto de congelación y 153 n en el punto de ebullición, calcular Ro 'i B. lb) ¿Cuál es la resistencia del termistor a 98.6 OFf (e) ¿Cuál e.<¡ la variación de la resistencia con la tempernturn (dRIdT) en el punto de congelación y en el punto de ebullición? (d) ¿Para cuál de estas tempernlUra es este tenni:;tor má ~ ~ n,"¡ ble?
Júpiter visto desde una distancia de casi vei nte millones de kilómetros. Como In velocidad de escape en In superficie de Júpiter es de 600 km/s aproximadamente, Júpiter retiene fácilmente hidrógeno en su atmósfera.
27 •• SSM Repetir el problema 26 para Júpiter cuya velocidad de escape es 60 kmls y cuya temperatura es típicamente _ 150 oc.
42 • i .,/ Un gas se mantiene ti presión con~tJ.l!lc. Si 'u iI,"m· peratura varfa desde 50 a 100 oC. ¿en qué facto.- varía su volurm-n
Escala de temperatura 28 • Se aplica un tipo de cera en los esquíes p.1m que resistan mejor las tcmpernturas comprendidas entre - 12 y - 7 oc. ¿Cuál es este intervalo de temperaturas en la escala Fahrenheit? • • I El punto de fusión del oro (Au) es 1945.4 0F. Expresar 29 esta tempcraturns en la escala Celsius. •
30 • SSM I ¿Cuál es lB temperatura Celsius diente a la temperatura normal del cuerpo hUm¡lOO dc 98.6 OFf
Ley de los gases Ideales
corre.~ pon-
31 • i .,/ Lll longitud de una columna de mercu rio de un termómetro es de 4.0 cm cuando el tennómetro se sumerge en agua con hielo y 24,0 cm cuando el tennómetro se coloca en agua hirviendo. (a) ¿Cuál será su longitud en una habitación a 22,0 OC? ( b) La columna de mercurio mide 25,4 cm cuando el tennómetro se introduce en una solución qufmica. ¿Cuál es la temperutura de In solución? 32 • La temperatura en el interior del Sol es de unos 10' K. ¿Cuál es esta tempcrntum ( a) en la escala de Cclsius? eb) ¿ Y en In escala de Fahrenheit1 33 • El punto de ebullición del nitrógeno, NI' es 77.35 K. Exprc.<;ar estu temperatura en grados Fahrenheit.
43 • i .,/ Una vasija de 10 L contiene ga..~ a O ~C sión de4 atm. ¿Cuántos moles de gas hay en la vasija? ¿CuÁnta'
•
35 • SSM I Un termómetro de ga!> :1 volumen con\tante ¡ndicn unlL presión de 50 tOIT en el puntO Inple del a8ua ( n) ¡,Cud1 sem In pre~ión CURndo el tcnnómeu'O mida una tem]lcrntllrn de _ lOO K1 (b) l Qu~ temperatum de gas ideal corresponde 11 una pre~i6n de 678 tOlT' • Un tennómetro de gas a volumen con~tnnte 5C encuentro a una p~ión de 30 lorr cuando ~e aplica u una tempcmtura de 373 K (a) ¿.Cmil e.~ ~u p~ión P. en el pumo triple? (b) "Qut temperatura c(II1'eSponJc • una pre~IOO de O, 175 torr', 36
37 • ¿A qué tempcrntura 1M e.o;;cala.( rahrenhell )- Cd$1U5 mi.lomn lectura'!
of~
la
'">.:UI1<;"
.,/
Una presión baja de I x l 0 .8 torr puede cun.<;t!'uin.... mediante una bomba de difusión de aceite. ¿Cuántas mo lécul a.~ ha~ en I <:m l de' un gas a esta presión si la tempernturn es de 300 K?
44
••
45 •• SSM De un libro de texto de fisiea murcÍlu1("I ~'opIJ mo~ el siguiente párrafo"l slIIor/de un gas ideal ocupa un volumen di; 1,'5 :nJ.:.s ,\ una tempcraturn de 22 glips. el gas tiene una pre:;ión de 12.5 klUtfs. A tempe"ltura de - lO glips. el mismo gas tiene ahom una presión de 8,7 Htld~," Detenni nar la temperatura del cero ab:ooluto en glips. •
Un conduelor hinchnlos neumáticos de ~u coche:l una •• I presión de 180 kPa un dfa en que la temperaturn umou:ntC' e' dI." --S,O (' Cuando Jlegu a su destino. la presión de le)!; neumáticos ha crecido a 245 kPa ¿Cuál es 1(1 tcmpemturn de los neum!lticos si suponcmo, que (11) los ncumati..:tt'< no :;edilatan o (h) que los neull1á t ico~ se diln1nn un 7~?
46
47 •• Una hahitación tiene 6 m x S m x 3 m. (o ) Si la prt'I,i6n del alre ... n ella es I atm y su lel1lpernturn e.~ 300 K. hullar el numero de 1I101e~ de aire t'n 1<1 habitación, (b) SI la tempernlura 5ube en S K Y la p~l ón p(nllun.....-e con\tante. ¿cuántos moles de aire salen de la habitaCIón'!
•
34 • I !.JI presión de un tem\ómctro de gas ¡¡ volumen constante es de 0,400 atm en el punto de hielo y de 0.546 111m en el punto de " apar (u) Cunndo la presión e.~ de 0,1 00 lItm. l.eu41 es la temperolum') (b) ¿Cuál e' la ]lfl!$ión en el punto de ehullición del ¡l/U (re (444.6 e)',
i
a una JI
•
48 •• SSM f El punto de ehullición del hdio a I atm e~ 4,2 K ¿Cuál es el "oJumen ocupado por el glL~ heho al e\"l\p(1I'I11"oC 108 dt: hch~l Ifquldo n la pre.~i6n de I atm y In lemperalUrn de(u) 4.2 K) (b) 29.1 1{ '1 49 •• Un mciplCmtc con \olumen de 6,0 L contiene I(} g de helio liquido Cuando el¡ttipiente '>C calienta n In tempernturn amolcnle. ¡.cu,!1 C'~ la presión ejercida par el gll~ sobre sus paredes? 50
•
•• SSM I Un IIC'umdtico de un lIutonlÓ,iI e\tlÍ 11 una p.-c~1611 manométrica (que e~ 111 dlft':rcncm entre: la pre~16n re;11 y la allllco~h'!ru:¡11 de 200 kPa cuando se encut':T1tnt R la tempernturu de :W oc. Se comlu..:c el coche • aJt. ve1oc!l.lad)' la temperatum del neumático aumenta h,l~ta SO C (a) Supomendo que el "olumen del neumático no ,¡¡rla, calculltr la pre~i6n m¡U\l'lIIéln<:~ dc:llllte en el ml~mo (~upoOlemJo que el alte ~ compona CQlml l!!a\ Idcall, rbl Calcular la pre.~tón maOOl1~trica ~i el ncum.iuco <.,(' dilata de fcornla que 'u \vlu men aumenta en un 10 por ciento.
.516 51
I
Capítulo 17 Temperalura y leoría clm:!Uca de
••
IQ~ gases
1 1¡1I.'1~l\lll.l 11\\1 ¡le tu Ic~ de 1\', ~,I""\ l¡[en lc ~. l'nk llhu lu uell~ lllud de
m.t....' dd nt~ " una 1\.'fIl¡'l:nllUllI de !.J "(. ) IItl.' prt'''loll di! I ntm (1 ,1 ) I x l f)~ Nlrll 'J. l:l l'ure c' IIrl\'\lI n "d¡lm~n t l' 14', N . \ .!c,'l- (l!. Un ~Ubmnt llll 'la ".I(I 111 por dehaJel tic lu ~u pellklc ..te un Ingo, I.'n donck In .... mll'l!r.mu ;I C\!'i ('. ' !lelln mm hmhuln de u,,~ co" '\Ihll!h.·n dc I.~ cm 1 1.:\ hUI b\lj n , uhe II lu \ Ulx'rfleie, en dwuJe lu tcmpcru umr c\ 25 ('. ¡,Cuál c\ el \olurllcn de 1:1hur'hu j¡, iu'lO mllc, de rompcr l' n la Iwpc rl h:¡e'! ~'II,~"lYllnll : Rrt"(mlllr qur ((lIIr/¡ibr \'/111(/ 111I""{' \1//11.
52
••
i
.1
Un globo Ikno de aire culicmc tlene un volumcn de 1.5 m I y c\tá nblcllo por 11I Illllle inferior. Si d ai re ..Id imeriOe" del globo cstl'l u lIWllClllperaturll tic 7:'1 "C. mil:'ntra\ que In telllJlcra tura del ¡nre del exterior del globo estl'l a 2.1 "C, s unn pre*ión de :l.11\.'f.Iedor de l IItm, ¿cuál ~ la fueil.u neta ..ohre el gloho y el contenido·! (De~ prcci ar d 1x;.~O dcl glclllO.) 53
Teoría ci nética de los gases 55 • SSM «(1) C¡¡lcular la v. m de un átomo dc argón si un mol de este gas se eneuentra en un recipiente de I La 10 :1I1ll. (Para el ¡¡rgón M = .lOx lO·) kglmol). eh) Co mpá rc.~c este resultudo con I:J I'
i
•
./
I
58
• SSM En un modelo de un sólido. se supone que el mOleríal c..~tl'l constituido por U1111 red regular de áto lllo~, en la cu:11 cada álomo ~e encuentra en un:1 posición de equilibrio fij a y cOIll..'ctm.lo con sus álomos vcei· nos pnr medio de m ue lte.~. Cada átomo pucdc vi brnr en las dirccc ion c..~ x, J, ;:. UI energfa tOl1l1 dc un átomo en e~te modelo e~
.-. " '.
¿Cuál es lu energrn media de un :ltomo del ~ lido cunudo ~ u tempemtunl c..' 1'.) ¿Cudl c.~ In cncrgíll \(>lal de un mol de eSle ¡,ólido'?
•
I)clIIoqmr que el rccom d\) IIhre medio de urm mol&-ula en IIn g:!
ideal a la teml)Cr.,tUr:1 T y
pre~ ión
l' \ iene dodll¡>(lr
60 •• i .1 Ltna ~anl.lrn contIene hcho Il la tcmperlllura ambieme (300 K) ) u una preMon mu) h.1JlI p ,. 7 x 10 11 Pu . EMnmlr c:l1\'COrrido libre medi\) A. y cltiempo medio de coh~[(\n rp:l.r.1 el helIO en e'l:l. clIrnara . ('\lINder.tr que el tliwnctru de una m
••
Ikm\l~ tral' qut' la
rnthl rno cunnd(1 l' -
.tú. 1/111
••
fUIL ci6n ({ I"J dudu I'm In CUIII(lón 17.17 c:\ un Sllllf' / r m fa: IIf11 ('rtl{Id,·.,
(J \"
d~ fl,rJl" 1'.
ClIIIIO J(I') ,/1, dn lu fracció n de mnlt:culM qut' llenen \'e l ocidmj c.~ en el rnlcrvulo dI', II11ntc8rlll dcJt ¡,) dI' e ~te ndidn u totlU\ 10\ rn ter \"alo, p()~ib l c, de vdocidnde.. dehc M:r i811n111 l . /)¡¡dllln II1tcltrnl 63
••
SSM
J"~ I'/t'~' demmtr:l.r que 17.37.
64
••
JI'
f( I') tI\' '" 1,
r.!)!
dI' =
h
,
(1
~
donde j(l') v¡em: dudll por la ecuncifm
D:l.dn In inlcltral
calcular la velocidad media 1'.. de la, molécul:l.s de un g a~ Ul ili/Jlndo la función de distribución de vclocidadc..'i de Max well·BoIWllunn. Experimentos rcc i ent~ de atrnpamicnto y cnrri amienhl de átomos puede n producir gases de bajn densidad de rubidio y otros l'I tom, con tempera tums en la esealu del nanokcl vin ( 10. 9 K). Estru, átomos se 31rn¡y.m y enfrfun utilizundo campos magnéticos y I l'I~c re.~ en cámarns de mu y al!!.! vacío. Un método que se usa P;liol lllcdir la tempenlt ura de un gas atmp:!do en"siste en soltar lu tra mpa (apagar el láser y desconectar el campo magnético y medir el tielllpo que emplean las moléculas del g:l.S en caer una distancia dulia. Consideremos un g:l.S de átomos de rubidio a una temperalum de 120 nK ( 1cular cLHmto tarda rfa un átomo que se desph17Jl a la velocidad cm del ga' .·n caer una distancia de 10 cm si (a) iniciahnentc e.~tuviese moviéndose h ia abajo y (h) iniciahnente estu viese moviéndose Imcia arriba. S ll póngn~e que el átomo no colisiona con ningún otro áto mo a lo largo de su tnl) eetoria.
65
••
SSM
Problemas generales
-
•
Hallnr la velucidad cm y la energía cinética media de un l'Itomo de hidrógeno:l. Ullll tempcr.lIuru de 10 7 K . (A c.~tlI tempemtur1l, (Iue es del orde n de IlIs yue \!XiS1Cn en el interior de la~ eSlrellas. el hidrógeno está ioni· 7.:ldo y está con~ l i tuido por un simple protón.)
59
62
••
54 ••• Un globo dc helio se II1ili7u pam elevar unu Cllrg¡1 dc 110 N. El pe...o de la cubi,,:rta del globo e~ 50 N Y MI \'oluTlIcn cUflndo está tOlalmellle hin· chmln e~ de 32 111 1• La tempcrmllrll del aire c.~ O(lC y la pre ~ i 6 n almosféricn es dc 1 mili. El globo se inn a con el gm, helio suficicnte. p;¡ra
57
*Dlstrlbud6n de velocidades moleculares
SSM
En una ,·asIJIl .:lIh¡l'a de l!'i
1,;11\
de ludo tenclllO~ o,rgcno
n In lI.·llIpcralUn\ de .100 K Comparar In energra cinéllca medin de una 1ll111&:ulu del ga~ con la \;tn:l.'::l(lfl que.' e\I"lCnnll'nlan;\ \u energia ¡xltcndal ,j e:l.)Cru dc..,Je la l"Iolne ~upenor nI ron
66 • i,f\ qué tempcr:l.tufl.\ será In velocidad cm de una igunl :l. 33 1 mIs'!
mol écu l ~l
dc Ih
«(1) Si un mol de gas ocupa un '·olumen dc 10 L a lo rre~io n de 1 mm, ¡.euúl es la tempcm!Ur1I del gn~ en I.elvins'! (b) El reci pience. ¡¡ fin dl' que
67
••
el \'olll!l1cn pueda \':l.riaf),C, lleva acoplado un piq6n. El gas se .::aliema a presión con~t¡lntc y ,c cx pa~ i ona h:l.sta un \'o luml~n de 20 L. ¿Cuál es lu leIllIJl.'ra!Um del gasen I..eh·i ns'? (el El \'olumen se fija :l.horn!l 20 L Yel gas se calienl:! a volumen e011 ~tallle ha$lu que ~ u lcmper:llUnl utcllll7t1los 350 K. ¿Cuúl c., In pre· ~ió n
del
ga~'!
i
~
Un:l. caja cuhicn IIlctálku de 20 cm de ludo. cootienc ar re !I h' prc.\Il'i n de I ¡11m y 11 300 K de lempcralUr1l. Se cierra hennélica· me nte. dc fomm C clllient:l. hU~ln 400 K. Ilull:\I" 111 fuer/n netu que IIctuu '>Obre cada pared de la caja, 68
••
•• SSM El agua (t120 ) puede eOll\crtin.e por elcctróli~h en ga~ II ~) g:l.\ 01' ¿Cu dn t (\~ mole\ de c~tos gu.<.es rc.\U!tllll tll.'lu clc{" lróli si~ de 2 L de :'1gua·' 69
70 •• Un CIlindro de mll~fI dt!.~prcciablc de 40 cm de longitud d':!'ol'IH1$lI "Obre lino n"IC<,.a horlll~ntlll ~ rn l"úl.amiento. El ("ilindro ~t' di\ rdc en do~ \ceeioIle, iguale
71 . . Un cilindro t'onticnc unu IllC/clu de gas nUl"Ógeno IN! I ~ 8.1..' htdrógeno ( U ~ ). A unn Icmpernturu TI ' el nitrógeno l'qa cumplcltunente dio.oelUdo. pem el hrdl"\lscno no M: disocia en uh<;.()lutc>. y 13 pre\i6n e~ PI. Sr In [("111· pernlUr,¡ ,c duplica 1\ '11" 2T1. lu prc,¡ón 'oC triphca debido a la cornp!clll dl'>OCianón dd hldm¡;o!no. Si In masa del hidrógeno C~ 111", ¡,cu.ilr..'" 1u mll<.;l dd /llIro"eno, m~ · '
Problem¡t!; 72 •• SSM Trc' \1l~lift\ lli"I'hl.\\ lj(> \olulllcnc~ 1)l.lItlk!t. l. ~\. l'\IIHXIItn mC"\.h¡}nt~ tul",'\ ,jcl{l.\(l~., \lUI.' 1'lIl'\lcn IUlIl'Icm ~n~, pe"\ mI l'ilhl! Imcill.lmente ,()J:I~ Itt~ \Jb',;I~ ,e Uf'Ilt\l1l'\lI\ el m'''n1\1 "11\1 de j!.1I~ 1\ unn IC11lpemlLIIU '/ u ) pre~lól1 1'" tl\l<1I1I:e_ la h~l11llClII1Lllll \Ic In pnmcnl \"lI~IJII 'c dupllc,,)' 111 le mP'!n\IUHl de 1" 'I!~un\l;1 \ a\I/:\ 'c 1IIl'hlC3. l \1 'cml,,'mllll il de In lel lCel1l V3M/II IICI m:m,-'-'\' IlI\annbk. l)clennmar In pl\'~lón 11' del .. [\tl.'I1IU el1 lUl1ddn de In
lClI1llCntlllnL dd "ibllldill! dcl ll1\1I111
1.1"(, 111
ga~
pcrlll¡IIICH! W"'ll1ntf', dctcrmimlr la
I
S17
frtHk'tKHt \lf'
1)I\,\1Ún I1tI\'Ítll/\,.
7j • • tln h!l1I1ÓII1t:lm de )1.,1, :¡ \OIIlI1lI.'n 1C011\tunh: cun mm presión del 11"1110 tnple 1'\ .. :'iOO t(lrr,)oC mlli/u p uhl)l1I lOO IOrr. CtuIlU.lO sc coloca otra \' CI ~n ronll1{'\(l térmico con 1:1 Mlstuncitl cn ebullici6n. su presión cs de 293.4 !n1T. De nIIC' ° part(' dd gas se deja snlir dc1tcrmórnctro de fonnll (Iue In prc· ,ión del punto triple :llclIIlI.lI el vulor de. 1no torro Su prc...ión cuul1do se cncuen1r..1 en conlaetO Cllll la ~uSI!\n ci a en ebullición C~ de 146.65 lorr. Calculur In tempernl¡lrn de gas idclIl¡>:1r.1 In smmmcia en ebu llición.
1,4 kg
Figur a 1 7. 19
77 •••
SSM
Problema 76
La tnbla inferior da vlIlores de
74 •• SS M El 1'I..'t'Qrrido libre. medio de [ns moléculns de 02 a mm tempcr:llurn de 300 K YUlm presión de I atm (1.0 Ixl OS Pa) e,-: ,1. = 7.1 X lü-ll l1l. Utiliznr eSle dato parn hacer unn estimación dcltamaño de ulla molécula de 0 1' 75 •• Un globo cxperimcntal contiene g:IS hidrógeno ( 1-1 2) a una lemper:lIura de 300 K Y uml presión de I alm (1,01 x I~ Nl( 2). (a) Cnlcular el recorrido libre medio de una 11101&:UI:I de hidrógeno, suponiendo que una molécula H! es esférica y posee un diámelm medio de 1.6 x 10-10 m. (h) Calcular el volu~ nten disponible por molécula (VlN). y hallar la distancia media entre cada molécula y su vecina más próxima (aproximadamente In raiz cúbica del \'olu· men disponible). ¿Cuál es mayor. el recorrido libre medio o In dist¡lIlcia media entre moléculas vecina próximas? 76 ••• Un ci lindro de 204 m de altura se llena con 0.1 moles de un g;¡S ¡de;¡l a ternpcraturJ. y presión nonnales (figura 17. 19). El ci lindro se cierra entonces con un pislón de maSI1 lA kg que se deja caer hasta alcanzar el equi l i~ brio. (o) Determinar l;¡ altur.l del pistón suponiendo que la temperatura del g;¡S no varía en la compresión. (b) Suponer que el pistón se empuja hacia abajo ligeramente más allá de la posición de e(lui librio Y luego se libera. Suponiendo
para diferentes valores dc x. Utilizar la tabla pUr:1 dar rcspuesln a las sig.uiente~ preguntas: (a) Pam el gas 0 2 n 273 K, ¿qué fr.lcción de molécu las liellf'n velocidlldes menores que 400 mIs? (h) Para el mismo gas, ¿qué porcentaje de molé· culas tienen "clocidades comprendidas entre 190 mis y 565 mis?
0.1 0.2 0,3 0.4 0,5 0.6
7,48 x ¡(JI 5,58 x 10-3
0.0 19 0.044 0.08 1 0.132
0,7 0.8 0,9 1.0 1.5 2.0
0.1<>4 O.:!bb 0.345
00438 n.788 0.954
CALOR V PRI ER PRINCIPIO DE LA , TER ODINAMICA
la limonada caliente de esta jarra se enfría
a~adiendo
hielo. El calor pasa de la limonada al hielo debido a una diferencia de temperatura entre ambos.
? •
¿Cuánto hielo debería añadirse a una copa de limonada para reducir su temperatura desde 20 oC a O OC? (Véase el ejemplo 18.4.)
El calor es la energía que se transfi ere de un objeto a otro debido a una diferencia de temperaturas. En el sig lo XVII, Galileo, Ncwlon y otros cienlífi cos apoyaban la leorCa de
los atomistas griegos, los cuales consideraban el calor como una manifestación del movimiento molecular. En la siguiente centuria se descubrieron métodos para realizar medidas
cuantitativao; de la cantidad de calor que entra o sale de un cuerpo y se enconlrÓ que. cuan· do dos cuerpos se hallan en contaCIO térmico. la cantidad de calor que sale de un cuerpo es igual a la cantidad de calor que entra en el OIro. Este descubrimiento condujo al dcsa· rralla de una teoría en la que !te consideraba el calor como una sustancia material nuida. invisible y sin peso que se conservabll: esta sustancia. que se llamó "calórico", no podía ser creada ni destruida, pero sr trnm.ferida de un cuerpo a otro. La leoría del calórico reinó hasta el siglo XIX, cuando se observó que el rOl.llmienlo entre los cuerpos podfa generar una cantidad ilimitada de calor, en contra de la idea del calórico como sustancia pre~ente en una cantidad lija, Ln teoría modema del calor no surgió hosta el decen io 1840·50, cuundo James Joule (1818·1889) demostró que la ganancia o pérdida de una cantidad delenninada de calor venía acompañada de la desaparición o aparición de una cantidad equivalente de energía mccániclI. La energía lénnica. por lo tanto, no se conserva por sr 'iola, El calar e!<. una (anna de energía inlema y es In energía la magnitud que se conserva.
Capítulo
• • 18.1 Capacidad calorífica y ca lor específico 18.2 Cambio de fase y ca lor latente 18.3 El experimento de Joule y el primer principio de la termodinámica 18.4 La energía interna de un gas ideal • 18.5 Trabajo y diag rama PV para un gas 18.6 Capacidades caloríficas de los gases 18.7 Capacidades caloríficas de los sólidos 18.8 Fallos del teorema de . .. , equrpartlClon 18.9 Compresión adiabática cuasi estática de un gas
520
I
Cdpltulo 18 Calor 'Y primer Whldplo de la lermodlnámkll
... 1';11 ~ .. ( ~ l'upílulo se (Mine lu l"lllmd dud ,·ulorín cH y se c~ tudiH que el cu lt ntamicnt u dc UII s i ~ t e lllll puedc ell ll~lIr UII C¡llIIhilJ ('n 'iU tCOIpcnllurll " un camhln de lil.'le. ¡\ l'unlilllluci6n se esludla In reh.. d6n (Iue existe entre lu conducción del calor, el t ruhl\in J' 11:1 CIH!I'gfu int crlla de un s ISICIIlU, y SI.' rClr mulll. conl(J prime r princi piu d l' la 1l' I' \U()dilll~ llI k~l . In ley de l:olI'\el'\'uci61l dc In c.ne rgíll parn sistemas térmlcO\, I'Ol, tí ltimo, YCI'CIllt)S tllll' In cllpucidud cnlorínca de un sistemll l.!.stlt rclaclomtda con su c s tl' lIl' tUI'U mo lecul a r',
18.1
Capacidad calorífica y calor específico
La temperatura de un cucrpo genera lmente aumenta cuando se le transfi ere energía mediante calentamie nto.] La canl idad de ca lor Q necesaria para elevar la temperat ura de un sistema es proporcional a la vari nción de temperatu ra y a la masa de la sustanc ia: Q =
e tl T
= me tl T
(IX.I)
en donde e es la ca paci da d calor ífica de la sustancia, que se define como la cantidad de energía transferida por ca lentamiento necesaria para aumentar un grado la temperatura el la sustancia . El c~t1 o r específico e es la capacidad calorífica por unidad de masa:
e Lingotes de acero dentro de un horno en forma de túnel de dos tubos gemclo~. Los tres lingotes de acero al cnrbono de 53 cm de diámetro (¡ue se ven aquí. se han estado calelll:lndo durJnte 7 horas, :lproximadamente. hasta alcanzar los 1340 oC. Cad;1 lingote de 3200 kg está situado sobre un carrito que lo va transportando a lo largo del horno de 81 m de largo. dividido en doce zonas de calentamiemo separadas de forma que se haga aurnenlar gradulllmcmc la temperatura del lingote para prevcnir la rormaci6n de grietas. Los lingoles, (Iue brillan con un color blanco umarillcnto, , alen del horno en condiciones de scr laminados y tran s rormado~ en tubos grandes y de paredes gnlesas.
e
( I 2)
NI
La unidad histórica de la cnergía calorífic'l, la caloría , se definió originalmente como la cl.lnlidad de calor necesario para elevar la temperatura de un gramo de agua en un grado ( el· sius. 2 Como ahora sabemos que el calor es simplemen te un modo de transferir energítl. na necesitamos ninguna un idad especial para su medida. 1....1 caloría se define ahOrd en fundón de la unidad del SI de la energía, el j ulio: (IH.31
leal = 4.184 J
La unidad de uso ordi nario del sistema técnico inglés es la Blu (" Brit ish lhermal un it", uni· dad bri tánica de calor). que se defi nió antiguamente como la cantidad de calor necesaria pam e levar In temperatura de una libra de agua en un grddo Fahrenheil. Esta unidad se relaciona con la cil loría y el julio mediante las exprc:. ioncs I Btu = 252 cnl = 1.054 kJ
(18.-1)
Segú n la de fin ición original de la culoría, el calor específico del agua es J Cap
= 1 ca l/(g ' COl = I kcull(kg · CO) = I
kca l /( ~ g ·
K ) = 4 .184kJ /( kg· K)
(l8.5a)
Anll logu lllcllIC. a part ir de la defi nici6n de la S ttl , el calor específi co del agua en las unidades del :-.i"tcmn técnico ing l é~ es (l 8.5b) I \ 'na tWl'pcrJn III'~ lug,lf dun11lC 1M. camt>",\ tic fa-.c:. flOI" C:jemplo. CUDIw.!" el agua
"<: cnn¡::tla o evuporu. Lo~ <.alllt>u'li
tic 111"<: 'ol' Inmm en 1;1-.«"<:IUI1 tQ.2. , U llloc.1.lorI. "", p"" In 19n10. la CJl11nllKl de calor ~n. pal1l elc:\,1lt In lempcnllUI1I di:- ] 1.g de lIgl.lll ~n UII graJo ("tI,m, La K...uon_~ uUh,o!dl.' ti marl,'\'l1 ~ ICmpcralUr.l~ de O. IfIO"{' Nllnnalmentc ~pnx·larclllO!o e'lu pN¡lIcftll. \un!K"OO.
•
18. 1 Capad dlld calorífica y calor e.ipecíflco
·\ guo
4.1 g
I\knlltll culieo \ humnlO BI:'I1lUttl
2,4 0. 123
('obre
0.386
Hielo (- 10 QC)
2,05 0.140 0.126
1,00 0.5/:( 0.2 15
O,I)()O
Mercurio Oro Plata Plomo 1\lIlgsl cno
Vidrio Zinc
36.9
0.49 0.033 0.0301 0.0558 0.0305 0.0321
0.128 0.134 0.840 0.387
52 1
75.2 111 24.3 25.7 24,5
0.0294 0.0923
0.233
I
28,3 25.6 24 ,9
26.4 24.8
0.20 25.2
0,0925
La capacidad calorífica por mo l se de nom ina calo r específico molar, e',
e
e'
" en do nde " es e l nú mero de moles . Como e = lile, el c alor espec ífi co m o lar e' específi co e están re lacio nados de la fo rma sig uie nte
e' _
f
me
ti
ti
Me
y e l calor
( 18.6)
e n do nde M = mI" es la masa molar. La tabla 18 . 1 indica los ca lores e specífi cos y los ca lores molares de alg unos sólid os y líquidos. O bsérvese q ue los ca lo re s mo lares de lodos los metales son ap roximada me nte ig ua les. El s ig nifi cado d e este hecho será ana lizado en la secc ió n
18.7.
EJEMPLO 18.1
I
Elevación de la temperatura
¿Qué cantidad de \:8 10r se necesil.ü pllm elevllr la lempc.rnlura de 3 k~ de cobre en 20 (;<'?
Planteamiento del problema La cUnlidud de calor neCCSflrlU 1><1111 elevar la Icmpcnllurn de la sUSlnncill (cobre) es proporcional a la variación de tempcr:ltum (20 OC) Ya la ma.o;¡¡ (3 kg) di.: la suslancia.
Q = me AT = (3 kg)(0.386 kJJkg · K)(20 K )
El calor ne<.--esario 'ie obtiene a partir de la ecuación 18. 1 con e = 0.386 kJlkg . K lomado de la tahla 18. 1:
=123·2kJ1
Observaciones Aquf USlIlllOS /j,T = 20 C'" = 20 K. AlIemnuvamcnte. podrilUnos expresar el calor c:\pccffir,:o COIllO 0.386 kJlkg . Y e<;crihir In \lllrlucióo de temperalura como 20 Ejercicio Un bloque de aluminio de 2 kg CM' imclalmente It 10 "('. Si energra culorfhca. ¿cuál es ~ u Icmpcralura final ? (Hf!.fp~s'a 30 oC.)
!oC
ir lransficren 36 kJ de
Pode mos ver e n la tab!:1 18. 1 ( jUC el culor específico del agua c.' cons iderable mente mayor que e l de In:; dcmás sU,>tanc ias. Debido ti ~ Ia capacidad té nnica lan gmnde. elugua es un mnlc riul excelente pUr:.l almace nar ene rg ía lém\ica. como ocurre en un ... ¡"tema de energía solar. 'j tambié n es un c;(celc ntc re rnger-.tnlc. como sucede en un mOfor de auto móvil.
•
522
I
CapItulo 18
alor y primer prln Iplo de In term od inámica
Calorimetría FI cilio!' e~pcd ' ko de un cllerpu puede medir"c convc n1cntemente calenHínclolo primero ti I/nn c:icrltlICmJlCmt ura, por eje mplo, el punID de ebu llici6n dcl agua, <; I\uóndolo 11 conll nua ción en un baño de ngtlu, de l11 a~n y IClllpcrmu rn conocidos. y midiendo. por 1Í ll lmo. la tem pcralura linul de equil ibrio entre el cuerpo y el hUllo, Si el " i ~tema en "'u towlidnd eMá ¡:¡i~ l udo lérmielllllcnLC de Sil entorno ( lI i ~ hll1 d o. por ejemplo, el reci pi ente). el ca lur que sale del cucrpo tienc que ser igual al cu lor que en1m en el água y en el recipienlc. ESIc. procedimiento se denomina cnlor imetría y el reci piente nislado que conticnc el agua. C1Ilor fmClro, Sea 111 la musa del cuerpo u objeto. (" su calor específi co y 710 su lempcraluHl inicial. Si Tr es la temperat ura finu l del cuerpo dent ro de su baño de agua, el calor que sale del cuerpo vale de ugua, como un lago o un océano, liende a tlltxh!rar las \'m;adotles de leml)CrtllUra dd ain: de su . . cercanías pof(lue puede Ilbsorber o de..~pre nd er ~rnnde..<; canlidadcs de energíu lérrnicll cxperilllllmando sólo cumbios de lempcr:uura pequeños, Una gran ma~ll
Análogamente. si 7i. es la temperatura inic ial del agua y SlI recipiente, y Tr su temperatura fina l (la temperalura fina l del cuerpo y del aguu será la misma, puesto que fin almente alcanzarán el equi libri o). el calor absorbido por el agua y el rec ipiente es
en donde 111, y C. = 4. 18 kJlkg· K son la masa y el calor específico del agua y file Y c~ son la masa y el calor específico del reci pi ente. (Obsérvese que en estas ecuaciones hemos escogido las diferencias de temperaturas de forma que tanto el calor cedido como el recibid) sean cantidades positivas). Igua lando estas cantidades de calor. puede obtenerse el caJi específico e del objeto: Q snle = Qcnt rn
(18. )
Como en la ecuaci6n 18,7 s610 aparecen di ferencias de temperaturas y como los grados Ct sius y los Kelvin tienen el mismo tamaño. pueden medi rse todns las temperaturas bien en .1 escala Celsi us o en la Kelvin si n que se vea afectado el rcsullndo.
EJEMPLO 18.2
I
Medida del calor específico
Pa nl ll1cdir el calor espccífico del plomo se clIlienta n 600 g de perdigoncs de este metal a 100 oC y se colOClln en IIn ca lorímetro de a luminio de 200 g de masa que cOllliene 500 g de agua inicialmente a 17_1 oC. Si la temperalunl final d el sis tema es 20.0 oC. ¿cmil es el calor CSp4.'Cífico d el plomo? 1El calor es pecífic() del a luminio del ca lorfmetro es 0,900 kJlkg ' Kl.
Planteami e nto d e l pro ble ma 19ual:tlnos el c3 10r Cl!dido por el plomo con el calor nbsorbido por el HgU3 y el rl!c ipil!nlC y despej31llos el cnlor e..~ pecífico del plomo CI'b" 1.
Exprc~3r
el calor cedido por el plolllo en funci6n de
MI
calor espt!cí-
fico:
2. Delcnllinur el calor absorbido por el ugun: 3. DClcrminar el c:llor absorbido por el cnlorfmclro
4. Igulllur el calor cedido l)("Ir el plomo con el calor ub»orbido por el a,!!ua y el calorfm etro:
QA:> = Q.+Qt "r""ló T 1'tI1 - mar. Jo TI. + m
I1I I
Ó
T<
donde ilT, = óT. = 2.7 K YldT¡J - 80 K
s.
l)c'pcJnr r l"':
(m.l" a + "'<~< )AT.
"'rt>ldTI~! = [(O.5 l g H4. IR kJ/ Kg K ) + ( 0.2 Kg )(0.9 kJlkg , K ) J(2.7 K ) 10.6 kg }(80 K ) =10.121< U /k,
Observación
El calor e'lX!cifi co dd plomo es eon~ideral"llemt:ntc ~nor que el del agua _
K
I
18.2 Cambio de fase y calor lalente
18.2
I
523
Cambio de fase y calor latente
Cuando se \Ul11illi\ll:1 cnlor al hido u O "C. la I Cllrpcr'¡UuI'U del hielo no se lllod1f1ctL. En '> U ¡ugur. el hh:lq "C fu nde. 12.\11: e'l un ejemplo de ctllubiu de rll~c . Ln .. r()nlla~ m:h. currien tes de ~:ullhio:-
de Iil::.c incluyen la l>olidilicación (Hq uido (\ ::.ólido), la fusió n (sól ido 11 HquictuJ, la \¡lpOril:ll:ión Uíquido a vapor o gu),), 111 condensadón (gas () vapor a líquido) y la "ubJi nlll·
ción (::.ólido directamente a gas, como ocurre con el dió"ido de carbono sólido O hielo seco). E:\islcn OII'llS lipo~ lit: cu mbios de fase. como el cambio que experimenta UII sól ido de una fonu:! cris talina :l OIm distinta. Asf. el carbono ti grandes presiones se conviene en diamante. El ht.!cho de que la Icmpemtura pcr111illlCI.Ca constante durante un cumbio de tilse puede
entenderse en funci6n de la teorín molecular. Las molécu las de un líquido están muy próximas un;IS de otms y ejercen fut!rzas utmctivas entre sí, mientras que las moléculas de un gas están muy separadas. Converti r una sustancia de líquido a vapor requiere la encrgía necesaria pam vencer In atracción intennolccular del líquido. Consideremos una olla de agua colocada sobre la llama de un hornillo. Al principio. a medida que el agua se calienta, el movim iento de sus moléculas aumenta y la Icmperatum sube. Cuando la temperarura alcanza el punto de ebu ll i~ ci6n, las moléculas no pueden ya aumerl\ar su energía ci nética y permanecen en el líquido. Cuando el agua líquida se vaporií'.ll, el calor añadido se emplea en vencer las fueraiS atnlclivas entre las molécu las, que se separan cada vez más en la fase g'lseosa. La energía suministrada al líquido para vaporizarlo incrementa de este modo la energía potenc ial de las molécu las, pero no su energía cinética. Como la temperatura es una medida de la energía cinética media de traslación de las moléculas, la temperatura permanece constante durante el cambio de fase. En una sustancia pura, un cambio de fase a una presión dada tiene lugar sólo a una temperatura determin ada. Por ejemplo, el agua pura a una presión de 1 mm pasa de sólido a líquido a O oC (el punto de fusió n normal del agua) y de líquido a gas a 100 oC (el punlo de ebull ición normal del agua). El calor necesario para fundi r una sustancia de masa 1/1 sin cambiar su temperatura es proporcional a la masa de la sustancia: ( 18.8) en donde 4 se denomina calor Intente de fusión de la sustancia. A una presión de 1 aUll. el calor lalente de fusión del agua es 333.5 kJlkg = 79 kcallkg. Cuando el cambio de fase corresponde al paso de líquido a gas, el calor requerido es Q~,
( 18.9)
= mLv
en donde Lv es el calor Intente de ,'aporización. En el caso del agua a un a presión de I alm. el calor latente de vapori7.ación es 2.26 MJlkg = 540 kcallkg. En la tabla 18.2 se indican los puntos normales de fus ión y ebullición, y los ca lores latentes de fu sión y de vaporización ti I atm para diversas sustancias. TABLA 18.2 Punto de fusión normal ( PF), calor latente de fu siÓn L" punto d e cbulllcion normal (PE), y calor la lente de vaporizadon L." para varias 5ustanciJ~ a 1 a lm Sustancia
PF. K
L,. kJ / kg
PE. K
Aguu
273,15
lJ3.5
Alcohol etílico
159
109 38.5
373,15 _'51 717.75 .\32 2R,lQ
Alufre Bromo
Cobre Diflxido de carbono Helio Mercurio Nitrógeno
Oro Qdgeno Plala Plomo Zinc
388 266 1356
67,~
205
L.., kJ / kg 2257 ~7.
2$7
JM 472f'¡
57V
194.6" 4,2
214
I I ..l
(,)
25.7 62,R
1336 ~A
12."\..$
692 """
n.~
105 24.7 102
21 2%
630
1.",
77 ._l5
1701 :!1J _. "'''l
3OI!1 \JlU 2. Bb 202..1 11>...
• h h'l
h~IId.J.
_.
K5R 1768 1 410\
Aunque la fusión indiClI que el hielo ha experimenlado un cambio de fase, la Icmp.::r'llUr,¡ del hielo no varía.
52-4
I
Capítulo 18 Calor y primer pr'lndplo de 1" lt'nllodlnámlca
EJEMPLO 18.3 ;,('II' nlO ('alor ,apor'!
I
¡INUN1HO USTED MISMO!
Transformación de hielo en vapor
C\ n~'t':SIIrl()
.. urnlnl. Crur pllra In lll .. rurmar 1.5 kit dt' hielo y - 20 "C y I tllm ('11
Planteamlenlo del problema 111 calor nece'l:rrill cotlslH de cuntm pUl'tc .. : Qt. culor nccc\urio pm,1 ck\:lr !tI tCI11¡x:rnlUm del hielo de 20 n {) "C': Q3' cnlO!' l1QCC."Urio pam rUl1(hr el hiclo: Q3' C¡,!ilr tleCCMlr;lI para elevar In tcmjlCmluru del agu:! dc O a 100
TOJH Jo columna d~ lo
d~",ho ~ ;nl~ntl!
rtsolvtrlo usll!d mismo
Pasos
Respuestas
1 . Uli lilnr QI = me: .6.Tpam hal lar el calor necesario pam elevar Ill lempc-
Q! = 6 1.5 Id - O.fJ6 ¡:i MJ
mtum dd hielo a O oc. 2. Usar 4 de la tabla 18.2 pam h:lllar el calor Q2 necesario para fu ndir e l hielo.
Q - son Id = U50u ~1J
3. Dclcmlinar el calor QJ necesario pnra elevar la temperatura del agua de 0° a 100 oC.
Q = 627 U = 0.6"17
~U
4 . Usar Lv de la tubla 18.2 pam hullar el calor Q4 necesario para vaporiwr el agua.
5. Sumar lodos c.<¡tos result'ldos para obtener el calor 10lal Q.
Q
liquido y vapor Observaciones La mayor parte del calor suminislrndo se ha invertido en vaporizar el agua y la cantidad necesaria pam fundir e l hielo fue casi tanla como la nccesari:l para elevar la tempemtum del agua 100 <;O. En la figura 18.1 puede verse el gráfi co de la tempcmtura en función dcllicmpo en el caso de que el calor sc adicione a un ritmo constante de 1 kJ/s. Obsérvese que se tardn mucho más en vaporiwr el agua que en fund ir el nielo o en elevar la tempcralum del ngua. Cuando toda el agua se ha vapori7..ado. la lemperatura aumentará de nuevo confonne se vaya adicionando calor. Ejercicio Un trozo de plomo de 830 g se calientu hasta su punto de fus ión de 600 K. ¿Cuántn encr4 gía calorífica adicional ddx~ añadirse par.r. fundir el plomo? (Respue.ffll 20,5 Id .)
l.
ce 100
liquido
¡
Vapor
\
80 61)
40
20
o - 20
12
20 28 36 +1 52 Hielo yagua TIempo, m , Hielo Figura 18.1
EJEMPLO 18.4
I
Una bebida fres ca
Unu jllrra de IImonadu de 2 lil ros hu pcmumeddo lodo el dút sobre una mesa de picnic a 33 "C. En un VIl~O de corcho blllnco l'Clutmos 0.24 kg de IImonadu y dos cubllos de hielo (cada uno de 0,025 kJt la O OC). (a) S uponiendo que no ha}' pérdidas de calor a Invés de las paredes del ,·aso. ¿cuál será la lemperlllura Onal de la limnRltdn ? (h) ¡.Cuál sería la le mperalun nnal !ti yi\a4 dimos 6 cuhilos d e hielu·! Planteamie nto d e l problema 11..t:lbleceIllOS {Iue el calor perdido por la limonada es igual al calor ganado por lO!> cubo~ de hielo. Llamcnlo, Tf a In temperuluru final de la limonada y el agua. Se \ uponc que la limonado tiene In IIlNlla cnpacidad culorifien que el ngua, (a) 1. Expre..ar el calor perdido por la limonada en función de la lemp!:mtunl final, ri: 2, Expre...ar el calor ganado por !tl\ cuoo.. de hielo y d agua rc<.ul. tanle en (unción de Illlempcraluru final
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
16.3 1I cll perllllCl1lU de lo ule y el primer principio de Illlermodlnamlu
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525
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+ mluo:~, )("
=IIJ.6' cl IIl L l' T Ll -
(b) 1. En el ca:.o dc l o~ ó cubo" de hielo. 1II",elu = 0.15 kg. Dctenninur la tl::mpe rnwl'll. finnl t'omo I::n el pa¡,o 3 del llPlln udo (a).
mlutk,L,
(mt. + 1II".. ~,)c = (0.24 kg)(4.18 kJ/(kg · C' ))(JJ ' C) (0.1; kg)(UJ5 kJlkg ) (0.J9 kg)(4.18 kJ/(kg . e'
»)
2. ¡Elote rc~u1tado no puede ser correcto! Sabemos que si anad imos hielo a O"C a In limonada II 33 "C. la temperatura final de In mezcla no pucde scr - 1O"c. ¿Dónde está cl error'! El calor cedido por la limonuda cuando se enfría de :n a O "C no es suficicnle pura fundir tooo el hielo. en contra de nucstm hipótesis de que IOdo el hielo se funde. utilizadn en el puso 2 del apartado (u). La temper.tIUrn fina l es, pues.
T,
=10'el
Com probar e l resu ltado Comprobemos cuánto hielo se ha fundido en el apanado (b). Para que la limonada se enfríe de 33 a O "C debe ceder el calor Qcedjllo = (0.24 kg) (4.18 kJ/kg·C O ) (33 oC) = 33. 1 kJ. La masa de hielo que esta Cantidnd de calor fundirá es I1Ihielo = QttdiW4 = 33.1 kJ1(333.5 kJlkg) = 0.10 kg. Esla masa corresponde. aproximadnmcme, a la de cuatro cubos de hielo. La adición de más de cuatro cubos de hiclo no disminuirá la temperatura por debajo de O "C. sino que simplementc aumentará la cantidnd de hielo en In mezcla hielo-limonada. En problemas como este. primero debemos hallar cuánto hielo debe fund irse par:.\ reducir la lemperatura del líquido 11 O oc. Si esta cnnlidad cs menor quc la anadida, e nlOnccs procederemos como en el apart:tdo (:1). Si se ha añadido más hielo. la temperatura final será O oc.
18.3
El experimento de Joule y el primer principio de la termodinámica
V
La Icmperatura de un sistema puede clevarse dándole ca lor. pcro también puede consegu irse
rea li zando l"fabajo sobre él. La figura 18.2 es un diagrama dcl apnrato utilizado por Joule en '1U famoso experimenlo pam determinar el trabajo necesari o pnra elevar la tcmperatura de I g de :¡gua en I En este caso el sistema cOI1l>iste e n un recipiente ai!> lado térmicamente que cont iene I g de ugua. El aparato de Jou le cotwicrlc la energía potencial de la\ p C'I U.!. que caen en trabajo reali/..ndo sobre el aguu por mcdio de ltIHIÍ' paletlls ndos:ldu\. como se FllllCMnI cn la figura. Joule e nconlró que la temperatura de su muc'ilm de aguo se clc\'aba en I P' (:lIando In m{jquinH funcionaba COIl la caída de 772 libnu. de pt!SO dc~de In altura dc un pie. En unidndc .. Ilux lcrna!; esto equ ivn le n decir que es n ccc~a ri o ell mbajo ele i..l g4 J (utlldud de t:nergia adoptadu por la comunidad c ientí/lca en 1948) pam clc\ur la tempemtum ele I g de. agun cn 1 c. E... te resultado seglí n el c ual 4.184 J de energfa IIlccánicll e\ c(lu i\"alc nte a 1 cn l de e.nerg íutérmica se conoce con el nombre de cqui \'u lcntc medi nil'o del clllur. Existen otras forma~ de realí/ar tmbajo "obre e\tc \ i :-. t el1\~l. Por ejemplo. Ixxlrínmos simplemente dejar caer el recipiente de ttgua ah.Judo dc~c cierla ahura h. de forma que '>C prodUZCll un choque inclástico contnl el s uelo. o hien podríamo¡, aprovcchar el trnhnjo Illectinico para gencrar electricidlld y utili1nr luego la clcclriddad pnm calentar el ;Igua (figuro 18.3). En todo!'> esto!"> ex pc rimcnto:-. se nccc:-.it:lla mhllla cnn tidad de tl1lbaj\..) pum producir UIl determi nudo cambio de. tcmperlllllnl en un "i:-.te m¡l dado. Según la con"cr"aciún Je la energía. el trablljo rcali/ado debe comeni~c e n un incremento de la energia intcma J el "j,(cma.
oc.
Figur a 18 .2 Dlugrnmu c~q U {:r11filIC("f dl'l upnnl10 utili/.odo por Joul\!. El ;1gun '\t! encuc:nlra ron IIn rednto con paredc~ nisJutl1e~ pum c\"itur tu lrammi~ i ón de cll lor. Cuando 111\ pc~a, c¡lcn u \'clocidad con¡,lo1ntc. hat'cn ginu Ulla ruL-da de p.lle!:l!>. que produce lrabajo ,ohre et ugua. Si el nl/.ll/U ¡cnto c\ dc'prccialllc. C<.,I(' tr.¡bajo c.. igu"l iI la
pérd ldn de cllcrgfll m.:t·anin) de lu.. JX'"al>. e\ deCIr. ¡I In pérditln de .. u cncrgía l)I)lenólll.
526
I
Capitulo 18 Clllor y prImer principio de la lcrrn udlnñll1 lca
Fig ura 18.3 Otro método para realizar trab¡tio sobre un recipiente con agua térmicnmente aislado. El generador. que está Ilccionado por un peso que ClLe, real iza trabnjo eléctrico sobre el sistema.
EJEM PLO 18.5
I
Calentar agua dejándola caer
Se deja CHe r desde tina a ltura It sobre el suelo un recipiente térmicamente aisla do y lleno de agua. Si el choque es perfecta mente inelástico y toda la energía mecánica perdid a en la caída se convierte en energía interna del agua, ¿cuál debe ser J¡ pa r a que la tempera tu ra del agua a umente en 1 C"?
Planteamiento d e l prob le m a La energra cinética del agua JUStO ames de que choque contra el suelo es igual a su energía potencial original mgh. Durante el choque, esta energía se convierte en calor Q y éste ocasiona una elevación de temperaturtt dada por Q = lile 6.T 1. Igualar la energía potencial con el calor:
2. Despejar la altura h:
III gh =
h =
3. SustilUirc=4. IS kJlkg· K ytJ.T= IC" = I K:
me tJ. T
e t>T
g
11 - (4.18 kJ /kg· K)( 1 K) = 0.426 km =1426m l 9,8 1 N/kg . .
Observaciones La altura JI es independiente de la mnsa del agua. Obsérvese también que hl altura es bastante grande. lo cual ilustro. una de las dificultades del experimento de Joule. Es necesaria una gran cantidad de trabajo para producir un cambio mensurable en la temperatura del agua.
, Calor cedido
Trabajo realizado sobre el sistema
al sistema Q positivo
\\ positivo óU.Q+W
Figura 18.4 COIl\enio de sig.no~ parolns mngn i t udc~
que intervienen en el primer principio de la termodinámica.
Supongamos. a continuación. que real izarnos el experi mento de Joule pero sustituyendo las paredes aislantes del recipiente por paredes conductoras. En este caso se encuenlra que el trobajo necesario para producir una variación dada de la tcmpermum del sistema depende de la cantidad de calor que se añade o se quita del sistelllH por COnducción a través de las paredes. Sin embargo. si se suma el trnbajo realizado sobre el sistema y el calor neto suministrndo al mismo. el l'CSu lwdo es sicmpre el mismo parn una vnriación dada dc la temperatuTél. Es decir. la suma del calor atilldido nI sistema más el trabajo re~11i7..ado sobre él es igual a la variación de la energía in tema del sistema. E... te es el primer princi pio de Ji¡ termodiná mica. que es simplemente un enunciado de la con-.crvaeión de In energía. Es co~ ltJ m bre escribir \V para el trabajo realizado sobre el sistemH por el medio que le rodea y - \V paro des ignar el trabajo realizado por el sistema sobre el med io. Por ejemplo, ~ lI po n gOln o~ que el ~i¡,te m a es un gas encerrado en un cilindro por medio de un émbolo. Si el émbolo comprime el gallo el medio reu li/
( 18. 10\
18.3 U
1,1 \¡lr1ilCIt\n de l' n~ l ~f¡1 ltl h.' rtJ,l dI! UI!
d 11,lhal{'
rcá h '¡ld tl
"1... ll'I11 U l· ...
1 ~!l1U1
all'alnt
exp~dmenlo de Jo ule y el prime r principio d e lo lermodll1Amlc" 1
InH I... l!.' r·jdI J 111 "'1... lt,' 1TI1I I Jli1 ~
"'0('11..' d ' I' h.:ma PIIIMLII PIIINCWIO r¡[ I~ H IIMOOINAA.1I( A
I
EJEMPLO 18.6
I
Ag itac ión del agua
Un ~ ¡"'t(' m u Ctll1s is tc en 3 k~ tll' agua. Sobre él se rcaliZII un Inlhnjo de 2S kJ a~ i(¡í ndoló ellll una rlll'1ln dI' pllll'las. Oun ml e c
Planteamiento del problema ExprcJ.arcmos mer principio dt" la termodinámica. 1. t!.U se deduce
lodu~ lUÍ>
energffls cn julios y aplicare mo~ el pri·
del primer principio de la Icrmodinámka:
l:J.U=Q+\V
8k') = -62.7 kJ = - 15 kcal = -(15 kcal) (4.1 1 kcal
2. El clIlor .I-e extrae del sistema. luego cl calor mjar/ido es negativo:
Q
3. El trablljo realiZ:ldo .fobre el sistema cs positivo:
1\1 = 25 kJ
4. Suslituir estas magnitudes y despejar t!.U:
l:J.U = Q + \V = (-62.7 kJ ) + (25 kJ )
=1-37.7kJ
I
Observación La energía inlerna dismi nuye porque el ¡,istem¡1 1m perdido una energía en forma de calor superior a la que ha ganado en forma de trabajo realizado sobre él.
Es importante comprendcr que la energía inlcrna U es una fun ció n del est:ldo del sistcma.
O
de la mi sma forma que lo son P. V Y T. Considcremos un gas en cieno estado inicial (P" V¡). La temperatura T; está determinada por la ecu:lci6n de estado. Por ejemplo, si el gas es ideal. T-, = Pi V¡lI/R. La energía inlerna V¡ larnbi én depende solamente del estado del gas, el cual está detenllinado por dos cualesquiera de las variables de e"wdo, por ejemplo, P y v, p y T. o V y 7: Si comprimimos el gas o le dejamos expandir, !-.i le nñudimos o le extraemos calor. O si reali~rll11 0S lrabajo sobre é l o es el gas el que rcaliza eltralxtio. el gus se irá enconlrando en una secucncia de estados: esto cs. irá teniendo valores direrentes de las funcionc.~ de estado P. V. T Y U. Si luego !\c hace volver al gas H :.LI estado inicial (P,. VJ la tcmpcrulura T y In energ fa interna V deben ser iguates a ., u~ valores originales. Por otra parte, el calor nelO Q que entra cn cl gas y el trab¡¡jo W reali.wdo por el mismo. no son runciones de e!'itndo del sistema, No hay fl1n ciones Q o W u.,ociadu., con un cstado pm1icular dd gas. Podemo..\ hacer que el gas pa.'\C por una secuencia dc c~tad(l<, comclli'..:mdo y Icnnimmdo en el estado (P" V, ) Y durante c."C proceso l!.' posible que el ga" realice un trubajo pm,ilivo y absorba una canlidud igual de calor, O podcmos comeguir a tfUvés de unu secuencia diferente de co.tadoo. qUe "Obre el ga" 'oC re¡llice un tfUbajO y al mio.lllo liempo el giL" dc~pTCnda calor. Po r lo tanto, es l:orreclo decir '1I1 C UI1 SiSI,CIll II tiene UlUi grll n ca nlidud de energía inte rna pero no es «("'reeto afirmar que un sis te m a lie ne ulla g ran cnl11idud de cnlor o de Int hajo. El Ciliar no e~ algo contenido I!n Ull ,i ..tema. /o,1Á ... bien e .. Ulla medida de 1:1 energia que flu ye de un ,istellla 11 otro a cau.,a de una difcTCnl'ia d<.' It'mpcrlllum. Ellrub;uo e~ una medida de la encrgía que flu ye de un ... i~[cll1:t a Olro porque el punto de contacw de una fucr/.l\ ejercida por un .s i ~h:nm "obre el otro ..,uf!\! un dc<"pltli'amiento que no e, perpend icular .1 In fuCJ'lU. En el c n~o en que ta" ~ alHid¡¡cl co. de cfl lor nnfldidil." cllrllbajo realil;ldo)' 1[1<., variaciones de energia interna ...can mu) peq ueña". c... Ctl\lumbrc e,cnhi r la r.:cUllción 18.10 en la fomla dll = dQ+dW
IIX.II)
En e ..Ul ccuaci6n, dU e, 1:, dtrt'TCnci al de la función encf!!ía ¡utema. Si n embargo. ni dQ ni llW \UII difefCnciale, de ninguna función. ~implcml'nlc. repreo.e nlan pequeña, c:lIllidndel'! de calor adicionado al ,islcma, (1 de lrabajo rcalinldo "obre ¿l.
I
.,27
528
I
CapItulo 18 Calor y primer prhlcl fJlo de la lerll10dln miel'
\,i 18.4
l a energia Interna de un gas Ideal
L.. c:ncrgra dnéticn de trns lación I!~ de In ... moléculu'" de un ga ... ideal csuí relacionndu con In tClllpcratlll'lI absoluta T por la ecuación I 7.22 del cupftulo 17:
E(¡ = ~ "R1' es el número de mole:. del gmi y R, la constan te universul de. los gases. SI !o.e considul"iI que estn energín de trl1s lación consti tuye toda la energra interna del gns, enton· ces U = 1::" y en donde
/1
U = ~ /lR1'
Vado
Figura 18.5
Eltpansión libre de un gas. Al abrir la llave, e l gas ~e expansiona rápidamente en la cámara de vacío. Como no se re'llil.a trabajo y todo el :;tstcma está térmicamemc uislado, las energías internas inicial y fina l del g,¡S son iguales .
•
,"
(18.12)
En este cuso la energía interna dependerá sólo de la temperatura y no de su volumen o de su presión. Si las molécul as. además de la energía cinética de tras lación. tienen otros t'ipo~ de energía tales como la energ ía de rotación, la energía interna será mayor que la expresada por la ecuación 18. 12. Sin embargo. de ncuerdo con el teoremn de cqui partición (capítulo 17. sección 5). la energía media asociada con cualquier grado de libertad será ~ kT por molécula o ~ RT por mol, de modo que de nuevo. la energía interna dependerá sólo de [a temperatura y no· del volumen ni la presión. Podemos imag inar que la energía interna de un gas real incluye otras formas de la en~r gía que dependan de la presión y volumen del gas. Supóngase, por ejemplo, que entre 1.iS moléculas del gas que se encucmran próx imas se ejercen fuert..as atractivas. Entoncc.... se req uiere lrabajo para aumen tar la separac ión entre las Illolécu lns. Así pues. si se incrementa la di stancia media emre las mo lécu las. también se verá incrementada la energía poten! ial asoc iada con la atracción molecu lar. Por lo tanto. In energra iutema del gas deeenderá Mura d~ 1 vo1.u men del gas además de depender de la temperatura. Jou le, utilizando u n aparato semejante al que se muestra en la fig ura 18.5. realiz6un II1teresante experimento para determ inar si la energía interna de un gas depende de su volun ·n. Inicialmellte el compartimiento de la izquierda de la figura 18.5 contiene un gas. mientras y ut! se ha hecho el vacío en el compartimiento de la derecha. Ambos están conectados por una llave de paso inicialmente cerrada. El sistema completo está térmicall1emc aislado delmeJio usando paredes rígidas que no perm iten el intercambio de color ni la TColi:wción de ningtin trabajo entre el sistema y el ex terior. Cuando se abre la llave. el "as se expaosiQfla bru\Camente en su tendencia a ocu ar la..cáInara vacía. Este proceso se denomi na&SIb'lnsi6n libre) Finalment e. d..gas.alcama cl.equil i-brio ténnico cons.igo m i~mo. Puesto que no se ha reali/ado ningún trabajo sobre el gas ni se le ha transferido ningún ca lor, la energía intema final del gas d_ebe ser igual 11 su energía intenw inicial. Si las mol~culns de l gas ejerCen I'uerlí¡s atractivas entre sí. lo cnergíu potencial a!'ociada con estas fuenas aumentará al aumentar el volumen. Pero, corno la energía se conserva. la energía cinéticll de traslaci6n deberá disminuir. dundo como resultado un descenso de la temperatur..I del gas. Cuando Joule realizó este ex perimento. se encon tró con que la tcmpenuu rJ fi nal cm igual a lu in icia l. Otro.. experi mentos confirmaron e~t c rc:.ult ado pam gase:; a densidudes bajas. Esto impl ica que en el ca¡.o de un ga5 a buja dcnsidlld (c~ decir. para un ga:; idea l) la t.:mpenllllTa depende únicamcnte de III energía interna o, como es l1l,ís corriente deci r. la energía ¡memo depende únicamentc de la temperatur.l. Sin embargo. cuando ... e realiza el c.xperimento con uno gmn cUlltidad de gas inicia lmcme en el compart imi ent o de la i/ Cju ierda de modo que lu dcn ... idad \Ca alta. lu tempcrnlU r.I dCl,pué<; de In cx plln"ión e" ligemmcllIe menor (IUC un tc~ de la expunsión. E<.,IO indica que exi ... tc una pcquci\o atntcción e ntre las m olécu las dI! un gus I"Cn l.
18.5
TrabaJo y diagrama PV para un gas
Fn much
16.5 Traba jO y dIag rama PV para un glU
I
S29
dI! I,la"'ohna ) IIIrc. originando ..\1 ~" l'l ol> i JI1 Las dc\t,dm, pII,:'¡onc... )' IcmpcralLll'l.l'- fChul lan IC_'l hacen que el ~FI:- 'l' c\p,m'¡\lTlt' r:1pidn11lcnt~ l' lllpuJaml,) n un p¡"'l~í n y locl1 li/Undo uuh¡Uo. I~n el\tn ~L'Cc;{ín. \crcl1\\\), Cl~ 11l 0 ~c puC'dc dc!>cl'ibir Illuh':l11nlk:nncnlc él tmb¡vo p.:ali'ludo por un tllI" ql1l.: tot' expande.
Procesos cuasi estáticos '-1 En la ligura 18.6 se VI! un gas ideal cnccITudo ~n lIll recipiente provisto tic un pistó n que nj ui'm mil) bien y que sU IX)I\drc mos carece de rozcunictllos. Cumulo e l pistón se mueve. el \'olu ll1!!1l del gas "arfa, La Icmpcrtllura o la presión. o ambas a 1<, vel., clelxlrán variar ulITlbién puesto qtll.! e.... I:\S tr¿os v¡¡fiables cstnn rclucionudas mediante la ecuación de cSl(ldo P\I = IlRT Si empujamos rápidfllllen te haci a dentro el pistón pnru comprimir el gas. inicia lrnclUc la pro· sión cerca ele l pistón será mayor que en un lugar más alejado. Finalmente, el gas se estabili· 7arn en una nueva presión y temperatura. No podemos dctcnlli nar variables macroscópicas. tilles como 7: P o U para el sistema gaseoso completo hasta que el equi librio se restaure en el
I
I
gas. Sin embargo. si movemos le ntamente el pistón en pequeños desplazamicllIos y permiti· mas que se reestablezCil el equ ilibrio después de cada desplazamiento, podemos comprimir y dilatar el gas de forma que se aleje poco de su estado ele equil ibrio. En este tipo de proceso, denominado proceso cmlsiestlí tico. el gas pasa por Ul1él serie de estados de eq uilibrio. En la práct.ica. es posible aproximarse bastante bien a los procesos cuasiestáticos. Comencemos con un gas a prcsión alta y dejémos le expansionar cuasi estáticamente. El módulo de la fuer!.a ejercida por el gas sobre el pistón es PA, donde A es el área del pistón y P es la presión del gas. Si el pistón se desplaza una distllncia dx. el trabajo realizado flor el .¡' gas sobre el pistón vale
Gas
Gas confinado en un cilindro térmicamente aislado dotado de pistón móvil. Cuando el pistón se desplaza uno distancia llx. el volumen del gas varía en (IV = ¡\ (l"c. El trabajo realizado por el gas es PA (Lx = " dV, siendo P la Fig u ra 18.6
presión. •
(18. 13)
dW pord gus = F dx = PA dx = P d\l
donde dV = A lb: es el incremento de vol umen del gas. Durante la expansión el pistón ejerce sobre el gas una fuer/JI de módu lo PA pero en sentido opucsto a la fucr!.a del gas sobre el pistón. Así. el trabajo realizado por el pistón sobre el gas es exactamente el reali1'
Obsérvese que en una expansión. dV es positivo y el gas reali za trabajo sobre el pistón. de modo que d\VSQIm: el galO es negativo. y para una com presión, e/Ves negativo y se realiza tra· bajo sobre el gas. siendo d\VMlbre et ga~ positivo. El trabajo efectllildo sobre e l g¡IS durante una expansión o comprcsión desde un volumen V; haslit un vo lumen \lf es
_-f1', P tlV I
(18 . 15)
r
P (l'1l'
TRABA/O RE.ALlZADO SOBR! UN CAS
I I I I I I I I
calculllr estC lr.tb:rjo se m..'ccsita saber cómo varí:1 la presión du rnnte In expansi6n o corn· presión. Lns distilll as posi bi lidlldc ~ pueden ilu<.,trar-.c fácilmcnlc lItilí /ando un diagJllll1u P\ : Para
Diagramas
I I
"\1
\V
-= - f"I P dV
= - p f" 1 tlV
-=
P :!. Y
que es Ig.ua l al :'Ú1::a '\)Illbre:lda baJO la hnca recta de la IIgUnt. En gl·ncrnl. pam una compre· .. ión el trahajo rcali/lldo por el gm. es Igual al área bajo la colTt<;pond ientc cun:t de P en tun-
I I I I
, , , ,
pvl
Los cslUdos de un gas pueden reprcscntar<.e cn un diugr:lIlla de P ~~n función de \~ Como cspccilicando ambo... P y V c ... pcc ilk¡¡ mu~ el c ... tado del giL"'. cada punt~1 <:obre el diag.mma indica un estado panicular dcl gas. Ln ligum l S.7 muc'lr.:t un diagl1lma PV con unn línea hori/onwl que represen la untl serie de c ..t:tdOl< cn que !odo, ticnc.n el mi<;mo \lIlorde P. E...,ta rccUl repre· scn!:! unu {·ompn'.\irJl/ tI presión COI1 ... lalllc. procc....o que I't!cihc el nomnre de ('nmp rcsión iS:Óbam. Pam unn variación de \oltlmen ...\ \~ (U. V e.. ncgall\'O en una comprc.... ión). tenCI1l(l\
vol
I •.H' 1
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I I
I I
1.
l'
Fig u ra 18.7 ('ada pUlltode un diagr.tnm PV. como el I 1'(10 Vil)' rcprc.scntlt un C~lltdo pmt icu !:Ir del gal
5 O
I
CapItulo 18 Calor y prlmel principio de lit termodinámica
(Pum una cxp[lIl!>ión cl lruhllju rellli ¡;auu !>ohrc el gu!- c~ igual 1\1 úrea b¡Un 1,1curvll de P en funci6n de V, cmnhiada de signo.) Corno 111'" prc ... ion!.:<; I,uc lcn dllP.,c en atmó<; fcrn<, y lo.. volúmcne>; se dan u vccc~ en li tro .... es conveniente tener un fuctor de convcI"\i6n entre IItl1lósfcrn ... ~ li t ro)' jul ios:
ci6n de
\~
J
aun· L = ( 10 ·\ mJ )( I0 1.3x
I{))
N/m 2 ) = 101 .3 J
( IR. 16l
Si 5 L de un gus ideal a uní! presión de 2 mm se enfría de fama que se COntrae ha<,ta que su volumen es 3 L. ¿cuál es el trabujo realizado sobre el gus? (ResplleslO _ ~5.2 J.)p Ejercicio
/' Camino A
(Pr. V,)
~ , _i::.:':":':"':" I
¡ I
I
I
I
I
((1)
(Pi·Yi )
\'
p
Camino B (p¡.V¡ )
(b) \'
,.
En la figu rn 18.8 se ven Ires posibles cam inos O procesos sobre un diagrama PV para un gas que inicial mente está en el estndo (Pi, VI) Y al fi nal se encuentro en el e~ tado (PI' VI). Suponemos que el gas es idea l y hemos escogido los eSlados inicial y fin al de modo que len· gan la misma temperat ura, de forma que PIVi = PrVr = nRT Como la energía interna depende sólo de la temperatura, las energías internas inicial y final también son iguales. En la figura 18.8a. el gas se ca lienta a volumen constante ha.<;ta que su presión es Pr Y luego se enfría a presión constante hasta que su vol umen es Vf • El trabajo realizado sobre el gas a lo largo del camino A es PllVr - Vil = - Pr (Vf- Vi) para la pane horizolllal del mismo y es nulo en el trayecto a volumen constante. En la fig ura 18.gb, primero se enfría el gas a presión conStante hasta que su volumen l!~ Vf y después se calien ta a vol umen constante hasta que su presión vale Pr. Ellrabajo real i· zado a lo largo del camino B es Pil Vr - \!jI = - PI ( Vr - \!j), que es mucho menor que el oh,,·· nido a lo largo del camino A , como puede verse comparando las reg iones sombreadus en las figuras 18.8(1 y b. En la figura IS .8e. la trayectoria e representa una compresión isoterma. es decir m proceso a temperatura constante. (Malllener constante la temperatura durante In cO lllpre~l· n exige que se extraiga calor del gas a lo largo de ese proceso). El trabajo realizado a lo l ar~o de e puede calcularse teniendo en cuenla que P = II R TI \~ De aquí que el trabajo rea1i /~ d.o sobre el gas cuando se comprime isotérmicamente desde V, hasta V¡ sea IV¡§OIcnno
I
= -
f\' ( nRT , P tlV = -
V,
f
(/\1
V
v,
1¡
t
I I I I
(c:)
Como en un proceso isotenno T es conSlante. podemos exlmcrla de la integraL Entonces se tÍl'T\e
I
I
(P,. V, ) \'
v Tres cllln inos sobre un diagramll /'V pam concclar un c1>uldo inicilll (p¡'v;) y UIl cstado tinlll (PI. \'¡-). El ¡rabujo rculizado ti lo I:Lrgo de c3dn Inlycclo está indicado por la:. IOllas sombrc:Ldas.
- - nRTf ' v,
Figura 18. 8
dV
-V
- 1/ RT In
~ V;
= /I RT In
~
( l ~.
Vr
TRABA,[O R&\LlZADO SOBRE UN GAS eN UNA COMPRf.SLÓN L50TtR¡"IA
Como hemos visto. eltmbajo realizado sobre el ga... es di~ l in l o en cada procc"o ilu1>tnlllll. Como VI = VI en estos estados. r.!1 calor ncto añadido :11 si¡,tcma debe ser diferCnh! en cadu lino de l o~ proce ...o:.. Esh! ,1Il:U i¡;, ill ilu.\I ra el hecho de que 1:"11110 el trabajo rcali¡;ado como el calor añadido dCp!.:nden del tipo de proce ~o que reali¡¡l el si¡..temll al pasar de un estndu ILI otro. pero lu variación de la energía illIcma no dcpendc de el lo.
I EJEMPLO 18.7
I
n
Trabajo realizado sobre un gas Ideal
Un gllS ideal t;'xpt'r imr nta un proceso riclk o A·U·e · 0 · .\. romo indica la Hllura IR.9. El Ra..~ Inl. dalnwntc tiene un \ olblncn de 1 L ) una p~lón de 2 alm y!l:t upanslona a pltilón ooD5la nlr has18 qm' 'iU \olum!:'n e
P. aun .1
,\
I
"
B
,, , I
,,, ,
-
Figura 18.9
3
18 .6
1. ne t\ 11 n cl pmcc"\o C,., unu cxpall,,¡ón i\ób:lm (la ¡>1'C.:'IÓIl C~ co n ~ llInlc) dc 11101.1\1 4uc el tr.¡h:lJo rcali /ado \obre el gu, es ncg:ltivo. El trllblljo rc:lli lado '-obre cllla ~ C~ igU[11 nI área \olllbreada bajo lu rcClU AB de lu figurII I S. I(kl cnmbinda de ¡,igllo:
2. Convenir la, unidadt.!.lt ajulios:
P¡), \' ..
\V AU ·
P(Vu - V,,)
·ÁIU:.A
,, , D . ,, A
1
.\atlll
L
Akl'A .. ... - , (1.5 L)fZ alm)
, •,C ,,
1
, 111m 1
1
\.1.
Vd
= - P(V D -
1'. alm
= - ( 1 aJm)( 1 L -2.5 L) = 1,5atm . L = jI 52 J I
5. Como de vueltu a su estlldo origi nal A el gas se calienta a volumen constante (fi gunI 18.9), no se realiza trabajo en este proceso:
\V D" = O
6. El trabajo lotal realizado por el gas es la suma de los trabajos realizados en cada uno de los pasos:
1V'0Ill1 = IV M1 + lV ac + IV co + \V D"
2 W = - AREA '" 1.5111m L
'.- 'S: •
1
= (- 304 J) + 0+152J+0 =1-152J I
o
7 . Como el gas vuelve a su estado inicial. el cambio total de energía interna es cero:
6U =
8. El calor añndido se deduce del primer principio:
I::.U = Q+ IV
=§I]
D
(b)
e
,, ,
::};-; t\Rf.A '" __ I (1.5 L)( 1 alm )
1
1
, ::: 1.5
,
¡¡tm
L
I'L
Figura 18 .10 (a) EIII".! J~ realizado sobre el!!, f ur1ntel:1 expansión de A a n e área bajo la recta cambi3J<. lp1Cl;'1 Eltrnbajo reali7ado r ~.t.'l duranle la compresil' aD ig.ual al área bajo J.
Observacio nes El trabajo realizado por el gas es igual al realizado sobre el gas cambiado de signo. de modo que el trabajo total realizado por el gas durante el ciclo es + 152 J. A lo largo del ciclo el gas ex trae 152 J en forma de calor del medio y suminisrra a éste 152 J en forma de trabajo. Este proceso deja al gas en su estado inicial. El trabajo total realizado por el gas viene representado por el área encerrada por el ciclo en la fi gura 18.9. Estos procesos cícl icos ticnen imponantes aplicaciones en las máquinas térmicas. como veremos en el capítulo 20.
18.6
Capacidades caloríficas de los gases
V
L
tancias que se dilatan al calentarse. la capacidad calorífi ca a pre~ i ón constante CS' es mayor que la capacidad calorífica n volumen conSlante C,. Si se suministm calor a pre.~i ón COlh lante. la sustancia se cJt pande y efectúa trabajo positivo sobre el medio (figura 18. 11 l. Por lo InnlO. M! necesita más calor paro obtcner un cambio de temperatura dodo a presión constante que para obtener el mis mo ctullbio de tcmpertllur.I calelllnndo a volumen co n ~tant c. Ltl expan¡,ión es norm nhncnte despreciable en el ca<.:o de los só lido~ y los líq ll ido~ . de modo que pam ello, Cp - C,. Sin emb:lrgo. cuundo un gu:- ~ calienta a pre." ión constante. se dilntn r:kilmentc y rea· Ii;tu un Imbujo imponan lc. de modo que ep - C, no e.,... dcspreciuble. Cuando se uilude calor ¡¡ un gas :¡ volumen conSlante. éSle no rc:¡[ ila trabajo (tlgum I M.12). de modo que el ca lor uiiadido C~ igual al incremento de cllcrgin inTerna de l g:h. Ll amando Q, ul C:llor .;um inistmdo a \ohUllcn conSTante. ~c tie ne
Conductor
Q, = C, uT Como \V = O. tcncl1lo" ,cglín el primer pnncipio de ItI Icnnodmámica ..\ U = Q, + \V = Q,
Por lo tanto.
,,¡ =
e,
;, T
53 1
Il
,
1
Q = 6U - IV = 0-(-152J)
,
-
+
de donde
•
w.
,
101.3 J = -3 at/n . L x -f::-=:!.7 latm · L = -304 J
3. De B fL e (tigura 18.9) el gas se enfría a volumen constante y ellrnbajo es cero:
I
p. aun
= ·(2 tl1rn )(2.5 L - I L) "= 3 aun ' L W MI
4. Como el gas eXI>crimcnta unu compresión isóbara de e a D. eltmbajo reulizndo sobre él es positivo y viene dndo por el área rayada bajo la lfnell CD, moslrada en In fig ura lS.IOb:
Capllcldade~ (i1lorffl ca5 d e 10' g/u es
Figura 18.11
EI I..':I!tlr ,C' ~um,"i~tra 11 r~'I(l1l
constAnte. El ga~ <,c exp:\llde y r<'alila Iml>..)O ~ III \"O "obre: C'I r l,l ón.
532
I
Capitulo 18
alor y pl'ill\er pr1nd "io d e la lermodlná mlca
nHIIUndo ct límite euunuo 'r l icmlt: H ce ro. Ohtc ncHlo!-
Perno
y
dU dT
-
( 18. 18h)
Asf pUl!s. In capacidad calorífica a volu men conSt
Calcu laremos ahon¡ la diferencia Cp - Cv para un gas idea l. Si designamos con Qp al calor añadido a presión constante. te ndremos a partir de la definición de C p
Según el primer pri ncipio de la termodi námica Figura 18.12 El calor se suministra a volumen constante. de modo que no se rellliz.a U':.bajo y todo el calor se convierte en energía interna del gas. El pist6n se mantiene en su posici6n mediante unos pernos.
AU = Q+ IV p . sobrt' _Q, _ pAI' Ll.
<.Jo
Por consiguie nte,
= Cp 6 T -
6U
P 6V
o
Cp 6 T
= 6U +P6V
En el caso de cambios infinite simales, esta expresión se reduce a
Utilizando la ecuación 18. 18a para dU, se obt iene Cp d1' = C\. d1' + P dV
( 18. 19)
La presión, el vo lumen y la te mperatura de un gas ideal están relacionados por PV = nRT
Di fe renciando ambos miem bros de la ley de los gases ideales. se tiene P dV + V tlp = P dV = I/R tlT
Para un proceso a presión consta nte tlP = O. de donde
P dV = n R dT Susti tuyendo esta exprc!>i6n e n la ecuación 18.19 se obliene p
d1' = C, d1'+n l( d1' = ( C~ +nR )dT
Por lo lanto
( 18.20l
En el caso de un ga ... ide.a l. lu capncidlld calorífica Ille n COnSlalllc e n una camidad l/R.
11
presión Constante es mayor que
ti
volu-
En la I., bla 18.3 'le proporcionan Ins capaci dades molajes IIlcdidll'" c ~ y c'. para vurio~ go,,1!..\. Se observa ell 1:1 mi~ma que In predi cción par.. el gas ideal de que c~ _ e', = R <'l.' cumple bas tante bien para lodos los gibe .... Obsérvese también que c~· es uproxi madulllCl1lC I.5R para lodos 10\ gíl \C1, monoatómico..... 2.5R para todo" los diat6micos y Illt.lyor que 2.5R par.! los ga ...es cuya:. moléculas "'on Illá., complejas. Podemos comprender e ... tos rCl,ultndo ...
18 ,6
G.1\
' " "L' l .
".
(Il
'.
{',
r.
•
., .Lr~ r,
Cflpa(ldade~ caloríficas de los 9
I IN
\tI'''' 10.11, jnlll1)
1"
;Hl, N
12.'2
\ r \r Kr
10,7')
12.6M
~ n ,N
12.4 S 12,4S' 12.52
:20,79 'lo,JI)
\,
U I 1.52 1.50 1.50 1.5 1
R.27 K. I 1
O.Ql)
IUtI
0.9" 1.00
K,J4
I,UO
8.27
0,99
8,32
1.00 1.01 1.01 1.00
8.45 8,5 1
I ItUlCI/II/C'(I
20,80 20,44
CO
29, 12 28.82 29,37 29,{)4
20.98 20,74
2.50 2.46 2,52 2.49
1\Jlimó",ico CO!
36,62
28. 17 28.39 27,36
3.39 3,4 1 3.29
1
11 ••
0,
36.90 36. 12
N,O 1-I 2S
K,38
8.39 8.30
8.76
1.02 1,02 1,05
considerando el modelo molecular de un gas estudiado en e l capítulo 17. En ella vimos que la energía c inética de traslació n total de 11 moles de un gas es Ec = ~ nRT (ec uac ió n 17.22). Así pues. si la energía intern a de un gas está consti tu ida únicamente por energ ía cinética de traslac ión, se ti ene
u=
~II R T
(18.2 1)
Las capaci dades caloríficas son entonces
-liU liT
3 2
( 18.22)
- -/IR
Cv PARA UN GAS IDEAL M ONOAT6 M LCO y
_ 5 -IIR
2
Podemos ver que los resultados experi mentales de la tabla 18.3 concuerdan bien con estas predicciones en el caso de los gases tllonoatórnicos. pero para los demús gases. las capac idades calorífi cas son mayore.o; que las p rcdi c ha~ por las ecuaciones 18.22 y 18.23. La energía interna ele un gas compuesto por moléc ula.o; diatómi cas o aún más complicadas es evidcntemente mayor quc ~ IIRT. La razón está en que estas moléculas pueden hmer otros lipo!' de energíu. corno la d e rotación o vibración, además de la energía cinéticlL de tras laci 6n.
EJEMPLO 18.8
I
Calentamiento, enfriamiento y compresión de un gas ideal
iRT
Un !!l'ilemu ronn"do por 0.32 moles de un ga.'i ideal monoatómloo con e', = ocupa un \olumen de 2,2 l . " una pt"e!iión de 2.4 alm (puniD A de 1" "Aura 18.IJ). El sistema describe un ciclo ronnado por tres procesos: l . El aa.~ M! ("ullenla " pre.'i16n cOIl.'ilanle ha<¡;la que su \!llumen es 4,4 I~ en el puniD R. 2. El Ra'i.se enf'ria a volumen constante ha..... que l. presión dlsmlnu)'l' a 1.2.1m (puDIO CI. 3. El Kas experimenta una complUlón isoterma, vuelve .1 punto A. Id) ¡Cuál es la temperatura en los puntos A, R Y C? lb) Dttermlnar W. Q)' dU para cada p~ ceso y para el rielo oompleto.
¡INTÉNTELO USTED MISMO! f>. 11m
2.-1
A
1
", -" "
Figura 18.13
B
,
('
4.4
V. L
I
5])
S34
I
Capitulo 18 Calor y prlmcr principio de In
tenllodhl~lI1lca
Planteamiento del problema .\ pnrttr de: In le) de: 1m: ttIlM!' idenl c~ ~e: pueden \lctCr1111I1Ur I n~ tC111\)('mllll',l' de 1(11.10' In, pllnh' ~ A. Jj YC. Pltl1lh:li ~l cl,rrc.¡pondlcl1tc " cudu prm:c,v puede delt:nni· n.ll'e :\ ¡l,'ltlr dclllretl bUJll la ~ ur\n I\:prc'Clltttl ,va. I ~ I calor lntcrc¡nnhint!o en c:adu proceso ~c obtiene de hl cup:lcldall c:llol l!ka dadn y de hh tcmpcnlturn, mldal y !innl c(lrre ~ lx> mli l' ntl! ~. En el pn.lCC\O j. r c., l'lm,t,lI1tt' . dc motln que L\ U . O Y el calor llh, ,\rhidn más cltnlbnjo rclIl;1udll sobre el ga, es ;~u¡¡1 ;1 Ce l\ ),
Tape la co/tlR",a
at' la dt'fecha e ¡ntante relo/verlo 1I.$lecJ mismo Respuestas
Pasos
(a) Dctcnllinar 1n$ tcmpcr:lturas de los puntos A. B YC a partir de In Icy de lo). g,I:,C). idc¡\lcs. (b) 1. En el froceso I utiliz:¡r \VI = -P " ñ V pan! calcular el trabajo y el' = :; IIR para calcu lar el calor Q I' Después usar \VI y QI par.! culcul:tr ñU 1•
r,
JI. =1802J I 1 5.~5
11 1 = 5.2R 1I0n I ..\l.',
= 01+\\
2 . En el proceso 2 usar C" = ~ nR y Tc - To a partir del paso (a) para determinnr Q2. Después, como \V2 = 0, AV = Q2'
Q,=1 802JI·
3. Calcular \V3 a partir de W = - IIRT In (VA/Ve) en la compresión iso-
Q. =1-371 JI ·
AV.
=@]
lenna. Entonces. como ñ U) = 0, QJ = - IV) . 4. Determinar el trabajo lotal ~v. el calor total Q y la variaci6n total de energía interna ñU sumando las magnitudes deducidas en los paSos 1,2 Y3.
W¡.ul
= IV,+U'
+W = (-535J)+0+37IJ
=1 IMJI
Q"'lIIl = QI+Q,+Ql = 1337J+(-802J)+(··37IJI = I IMJ I ..\U hllll
= ñU,+
2
+!:J.U 1 = B02 J +(-802J)+O
=@]
Observaciones La variación 10lal de energía interna es cero por tratarse de un proceso cíclico. El trabajo total realizado sobre el gas más el calor total absorbido por el gas es igual a cero. Este trabajo es igual al área bajo la curva CA menos el área bajo la recIa AB , es decir. el área encerrada por las tres lfneas de la figura 18.13 cambiada de signo.
Capacidades caloríficas y teorema de equipartición
.<•
Centro
de masas
Figura 18.14 Modelo "pesa de gimnasia" rfgida de unn molécula diat6mica.
De acuerdo con elteoremn de equipartic ión establecido en la sección 5 del capítulo 17, J energía imerna de 11 moles de un gas debeña ser igual a ~ nRT por cada grado de libertad de la molécula del gas. La capacidad calorífica a volumen constante de un gas sería ~ nR multi· plicado por el número de grados de libertad de la molécula. De acuerdo con la tabla 18. 2. el nitrógeno, el oxígeno. el hidróge no y el mon6xido de carbono tienen todos cupncidadcs caloríficas molares a volume n constante de ~ R aproximadamente. Por lo lanto, las moléculas de cada lI llO de estos gases lienen cinco· grJdos de libertad. Por el año 1880, Clausius espcculabn que estos gases debían c.<;lar fornlad os de moléculas diat6micas que pueden rotar olrededor de dos ejes. lo que les da dos grados de libertad adicionales (figura 18. 14). Se sabe ahora que los dos grados de libertad que se añaden a los tres de tras lación, están asociados CO II su rotación alrededor de los dos ejes .~ e y' perpendiculares a la línea que une los dos ~tom os . Por consiguien te. In energía cinética de una molécula diat6micD es ~ = l2", v:!~. + 2! ",.,l," + !2"" ,2~ +!¡ " .,2, +!¡ .,.'. E~¡; 2 .' I.V l 2" ,\'
La energía intcmn total de " moles de estos gases es, por lo tant o.
u= y la cnpncidad c:lIorífica
:t
5 x ~ flRT = ~ "RT
( 18.24)
volume n constante es
e" -' - 2" R
( 18.25)
Aparente mente. los ga!'>cs dim ómico~ no rotan alrededor de la línea que une los dos á(olTlo~. Si lo hicieran, tendrian "ci~ grados de libertad y e, seña ~ IIR = 31/R. en contra de los resullados experimentales. Por otra pane. los gases monoatómicos carecen de movimientos de rotación. En la sección 18.8 vcremos c6mo estos hechos enigmáticos pueden explicar!>C' fácilmente cuando se tiene en cuenta la cuantización de la energía.
18 .7 Capacld ad es clIloñfl cas de los sólJdOl
EJEMPLO 18.9
I
Ca lentamie nto de un gas Idea l diatómico
no..: IIl1jlc!l. dI.' glls Ildp.... no se l'lllil'nl:ln clc"dc 111111 h!ll1lll'rIlIIlI'1I tic 20 nC )' IIlIn I1I'llS1(1II de I n1m IIlInll IClllllcrnlm'u tll' IIHl "C. SUlloner qlle el uxígclIlI es 1111 Ans Idt!nl. (a ) ¿CulÍ lltn rn lor dehe slIminlslru rsc si el \()llIlUen se mllntiene constante durunt c el I'lIlcntumlcnlo'! (b ) ¿ C UÓIIIO cu lor dcbt' SUl1Iinislnlrsc si IlIjlrl's ión pt'rnlllllCCé l'o n.slllutc'! ¡,CUIÍIIIO tra bajo rcalizn el gm¡ en d :l11:lrlnclo (h )'!
Planteamiento del problema El ca lor necesario pllra el cnlcntnrnicnto a volumen constunte es Q, = e, ~ T. en donde r, = ~ /I R. yu q\le el oxrgcno es un gas dimómico. Pilm el clllcnlumicnto a presión conSUlntc, QI' = CIl aT. en donde Cp = e, + l/R. Finalmente. e1 tffibajo n:lIliZlldo por el gos es igual (COIll bi:ldo de signo) al rcal;/.ndo sobre el gas, el cual puede obtenerse u partir de t::.U = Q + W~. Asimismo. W~ = P t::. V. (a) 1. Expresar e l calor necesario para el proceso a volumen const,mte en función de Cv y .ó. 7'.
2. Calcular el calor para .ó.T = 80 ca= 80 K:
Q, =
e, I!.T
Q,. = Cv .ó.T = ~II R6.T
~(2 -
mOI)(8.314
: ) (80 K) mo . K
=13.33 Id 1 (b) 1. Expresar el calor necesario para el proceso a presión constante en función de Cp y !J.T:
Qp - Cp .ó. T
2. Calcular la capacidad calorífica a presión constante: 3. Calcular el calor suministrado a presión conslante para 6.T = 80 K:
Q p = C p 6.T =
~(2mOI)(8.3 14mo: . K)<80K)
=14.66 Idl (e) , . El r.rabajo IVrealizado sobre el gas puede determinarse a partir del primer principio de la tcnnadinám ica:
2. La variación de energía interna es igual al calor suministrado a volumen constanlC en (a):
.ó. U = Q +W .de modoque lV =6.U- Q 6. U - Q,. - C, 6.T - ~nR.ó.T •
y
Qp =
e,. 6.T = ~n Rt::.T
por lo tanto IV
= 6.U - Qp = ~nR6.T -~n R6.T = - II Rt::.T = -(2 mOI)( s.3l 4
3. El trabajo reali/ado a presión conslUntc es, por lo taTUO:
W",,, = - W >(>/tt
= 11.33 Id
Observacio nes L'l variación de encrgfu interna es In misma independientemente del procc:;o. Sólo depende de los estados inicinl y fin u!. Ejercicio Dcterminnr los vollí melles inicial y fina l de e~ t e gas a pan;r de la ley de los ga~e., Ideales y utilil.llrloS para calcular el tn.bajo reali/ntlo por el gu .. a panu de IVpcw = P 6. V cuando el calor se añade n presión con<¡tnnte. l Rt'$III/('.fWl' \~ "" 48.0 1. V, .. 61.1 L. \V "" 13. 1 Mm ' L = I.:n kJ.)
18.7
Capacidades caloríficas de los sólidos
En la sección 18. 1 se i\;lláball1 o~ que lodo~ 10'1 met:ll~ que aparecen en la labIa 1 , 1 tienen uproxi mndamcnlc iguales sus calores molol'l!..... EXJX!rimemalmcntc ~ cnctlcntm clue In moyoría de los sólidos tienen cllp..1cidadc.... calorílica.':> molares aproxi madamente igtlll les ti 3R;
e' = 3 R = 24.9 Jlmal K
J ) <80 K) = - 1.33 Id mol , K
(18.26)
I
536
I
Capitulo 18 Calor y prlmt!r pl'indplo de la lermodlnamh::n F'llc "~ " lIhadll .,e 1.: 01l0l.:C cOl\lu ley de Dulollg-Pclil. Puede I.:Dlnprendcr...e c"la ley "¡!trli C'\!llU'l el leOI"Cll1:1 de equipm lldón ni modelo ..e ndllo de <;óHdo IIIdicudo en la fi gura 1ft 15. De m:ucrdo C\l1I estc modelo. un ~6 I id(l cO I1 ~b I C en unu ordcnación regular de álomo~. clldll uno de In~ cuales Ik ne una posición lija de equil ibrio y c\lá CCJI1cctudo mediunte muelles il S ll~ veci nos. Tndo.; los ál01l10:' pueden vibrar en la .. direecione .. .t. y Y Z. lAr encrgln ¡ohtl de un álomo en un sólidQ cs. pu c~,
en donde kd es la constante de fll crl.a cfectivét de los hipot6ticos muelles. Cad't átomo llene llsf :mis grados de libertad. El teuremu de equiparlición establece que una sustancia en equilibrio tiene una energía media por mol de ~ RT por cadu grado de li bertad. Asf. la e nergía interna de I 11101 de un sólido es Figura 18.15 Modelo de un sólido en el quc los 1IIOmos están concclrldos cntre sí Illcdiame muelles. La energía ¡mema del s6lido se compone de las energ{n:; de "ibnlci6n cinéticn y potenciul.
EJEMPLO 18.10
u = 6 xj RT
= 3 RT
( 18.27)
10 cual signi fi ca que la capacidad calorífica molar e' es 3R.
Uso de la ley de Dulong-Petit I
La mosa molar del cobre es 63,S g/mol. Utilizar la ley de DuJong-Petit para calcular el calor espedfico del cobre. Planteamiento del problema Ut ley de Dulong-Petit nos pennile dctenninar el calor molar de un sólido. e'. El calor específico es e = e'IM (ecuación IS.6). en donde M es la masa molar. 1 . La ley de Dutong-Pelit nos da e';
e' = 3R
2. Como M = 63.5 g/mol para el cobre, el calor específico es:
e =
3(8.3 14J/mol · K} M = M = 63.5 g/ mol = 0.392 l/( g· K) =10,392 kl /kg · KI e'
3R
Observaciones Esta solución difiere del valor medido experimentalmenh.:. 0.386 kJlkg . K, dado en la labia 18.1. en menos del 2%. Ejercicio El calor especifico de cierto melal. medido experimentalmente, rcsult;t ser 1,02 kJlkg . K. (al Calcular la mnsa molar dc este melnl. suponiendo que cumple la ley de Dulong-Petit. (11) ¿De qué metal se trata? (Res¡J/IesulS (a) M = 24.4 g/mo!. (11) El melal debe ser magnesio. cuya Illasa molar es 24,31 g/mo!.) ,
1/8.8 e; ,
4 ;
I
3
'
I
Vibrar:i6n
- ~ ---I
sn
2
312 I
o
20
SO
lOO 200
SOO H1(1O 2000
~OOO
lO 000 T. K
FIgura 18.16 Dcl>t!ndcnda con 1:'llcmpemlur.1 del calor molar del Hl' (l,.¡1 cuna c~ eualitat¡\,u en los lugares donde varial.
e:
Fallos del teorema de equiparticlón
I
Si bien el teorema de cqu ipnrtición alcan l. éxitos espectaculares en la imcrpretnción de los calores molares de gases y sólidos, tu vO igualmente fallos espectacu lares. Por ejemplo. si una molécula de 1111 gas diatómico como la de 11.1 figum 18.14 gim alrededor de la línea que une los fi tomO!l. deberá haber un grado de libertad adicional. Análogamente. si una mol6cula cliatómiClI no es rígida, lo~ dos átomos deberán vibrar a 10 largo de la línea que los une. Entonces deberíamos tener dos grados de libertad más, correspond ientes a las energías cim~· lien y potencial de vibmción. Oc acuerdo con los vulores l1ledido~ de lus capacidades calorífi ca:- llIolnrc.r.. de la tabla 18.3 , los gnsc.s diulómicos, sin cmbm'go, aparentemente ni giran alrededor de In línea que une los átomos, ni vibrttn. El teorema de equip1ll1ición no da ninguna cx pl icncióll para c<;10. ni pura el hecho de que l a~ molécu las monout6micas aparente· mente 110 giren alrededor de ningu no de 101> lre!. ejes po:.ibles de rotación mutuamente pcrpcndicularc..... Además, el teorema de equipartici6n predice valores cunstantes pura las capacidades cnloríficas de los ga!tCs. pero cuando se huce n medidas cuidadosas se ve que estas magnitlld e~ dependen ligcnullente de la temperalura, lo c ual es. con trario ti la... prcdiccionc... del tcorema de equipanición. El caso más espectacular de la dependencia de la Cltpacidnd cnloríñca con la tcmpemtura es el del H2 • que se muestra en la figura 18.16. A
18.8 Flt1105 del tcoremll de equlparticlón
I
u.
l~m l'l\.' la t u ra\ 1I1I\.-nOI'-'\ ,170 ..... 1.'1 \,,1\)[ tll' 1< para d 11. c~ : ('1 mi !o. luu que el COHc"I')(11l dll: nt(';\ 1ll()ll'I.'ul u\ de ~HI \ (I UL' lLencn m~I\lI1liel1 t \l dI: lran\ lac\(!H. pero nu tic roUlCIUlI () vlbra-
1': : ;.
clon. \ 1 ~l1IpCl;.\IUra\ cHt rl' 250 " ) 700 K. ~ R. que con'Cs pondc a llIul eculllo.¡ l:Oll I\\()\ 11ll1l.' n1 0 d ~ ml;\I.:H1II . pero no {k \"ihrllciün. y a iCl1Iperutura\ muyorcs quc 700 K, la.\ m ol~c llla \ de 11 , ~ II\P[ C/:\l1 u \ ihl":\[ . Sin cllllmrgo. la.. molccula .. \c di \oc iun an t e~ de quc ('~ alcance el \alor , R. Por ultil1lo. el tC\lrCI1W de cquipartici ón lk' Iu I.!nergfu pn;di l.!c un vrtlor CIln \ t:mtl' de J Hilanl la capacidad culorilica de los \6 I1dos. Este resultado C1> válido para la I1lll) oría lk Il)\ \ólidn:- 1\ alta .. tcmpcralurn... au nque no para todos. y dt!jn dc scr vnl ido a lempemturn.. muy hnj n... EIll'orema dt: cquipartición I'allll porque lu energra está cuuntizadn . Una mol6cula puede len!;,r \610 cienos valore.. de encrgín internn, como ilustra esquemáticamcnte el diagrama dc niveles de energía de la fi gura 18.17. La molécula puede gUllur o perckr energía s610 si la ganancia o pérdida le CQndllCe fl Otro ni vel permitido. Por ejemplo, en un gas la energía que puede transferi rse por choques moleculares es del orden de kT. la energía térmica típica de una molécula . La validel delleorcma de equiparlición depende del tamaño relativo de kT y del espaciado de los nive les de energía perm itidos.
I
I I
.,
Figura 18.17 Diagrama de ni vcb de. cncrgra Un sistema sólo puede tener cicnU'. energíu, discreta!>.
Si el espaciado de los niveles de energía permi tidos es grande comparado con kT, la energía no puede lnmsferirsc por choques y el teorema de equipanición clásico no es válido. Si el espaciado de los niveles es mucho menor que kT. la cuantización de la energía no se observa y el teorema de cqu ipartici ón se cu mplirá. C ONOICIONES PARA LA VALI DEZ DEL PRINCIPIO DE EQUIPARTIClÓN
Consideremos In rotación de una molécula. La energfa de rotación es
E = ! / w2 = (I W)2 = L2 2 21 21
( 18.28)
en donde I es el momento de inercia de lo molécula, lO su velocidad angular y L = ¡lO su momento angular. En la sección 10.4 vimos que el momento angul ar está cuantizado y su valor reslringido a L =
Je(e + 1)1i ,
(18.29)
f = 0, 1. 2, ...
en donde ff = h/(2 n) y " es la constante de Planck. La energía de una molécula en rOlación eSlá, por lo lanto. cuantizada según los valores
E = U _ C( C+I)1>' _ 2/
( 18.30)
2/
en donde (18.31 )
es una call1cteríSlica del e.. padado de energíu entre los niveles. Si C\la energía c... mucho menor que k'/: la t'ísic¡1 clásica y el teorelllH de equipal1ición deberán cumplin.e. Definimos una temperalura críticn, T( mcd iunte In ex.presión
'r E1,2¡',' = -0' = 21
( 18.321
Si T c.\ mucho mayor que eMa tempcmlura críticn. 10.1" \em mucho mayor que el e!.paciado de los niveles de energía. el cual c!. lid orden de k7:. y <,e cu mplinín la n<.,icn dú ... ka y el leorema de cquipal1ición. Pum valore\ de T inferiorc\ 11 del orden de I..T no M!n'i Illucho mayor que el c!.pnciado de lo... ni\lclc~ de cnergúl )" 111 (fc;ic:1 chhicII y el teorema dc CqUlpllfll ción dejan de ¡.,er vt'il idos. Il llgamo~ lino c.\t irnad6n de I~ pura alguno .. cn\o~ de inlcré:<..
,..
7:.
1. R()Itlción del ¡.¡•, tllrt'dedor dt' 111/ ejt' prrpt'ndlr:lllar ti la lit/eu l/lit' ,,1/(" 10,\ lÍ/amo.\ di' 1/ Y pasa ' }(Ir S il t't'nfm di' masll.\ (figllm 18./8): El momento de inercia del H ~ alrede-
dor del eje es
,
111 -
2M,,(}f = ~ Mll r!
w, •
Cenlro de m,u,u
Model o"~ de gimn
Figura 18.18
538
I
Capitulo 16 (lIlar' y primer prlnclplu de la termodinámica
en dllndc Mil el- 111 l11usa de un fllor nn de 11. y r. c<; In di.;;tancia de .;;epurn<':ión de In,
61\1I11U\. Pam cl hidr6gc lltl. MJI = 1.67 x 10 H kg. Y r,· 8 x lO I U 1'11 C:l'Ílicn es. pOl' lu Wrllu .
d ll ~
.,. _ e -
If'l.
2k f 1t
11
m. La tcmpcra-
=
( I,OS x IO " J ·s)' = (1.38x 77"""__",,o,,;-;-;;';-7.~~-';;'::';;77:'77;;-:-C;-;;-;II""C:;2 - 75 K IO · J/ K)( 1.67 x I O· kg)(8x l O m)
Como puede verse en la figuru 18. 16, ésta es aproxirnndmllcntc In ternper
, 2(M H)(")' 1" 2000 '2 = 2000
f 1ie = 2mer· ""
La temperatura crÍlica del He será, por lo tanto. 2000 veces la del H2• o sea. del ord n de 150000 K. Este valor es muy supcri or al de la temperatura de disociación (In ten peratura a la cual los electrones se separan de sus núcleos) del helio. Así, el esp<¡ci. (l entre los ni veles energéticos permitidos es siempre mayor que kT y las moléculas .¡! He no pueden ser inducidas a girar por colisiones ocurridas en el gas. Otros ga..-.::s monoatómicos poseen momentos de inercia ligeramente mayores por su mll)t1r número de electrones, pero sus te mperaturas críticas son todavía del orden de de(.'.:· nas de mi les de kelvins y por lo tanto sus moléculas tampoco pueden adquirir movi· mientos de rotación por colisiones en el gas. 4 . Rotación de 1111 gas diatómico alrededor del eje que /lile SItS tílOmos: De acuerdo con Tlues· tra exposición sobre gases monoatómicos, el momento de incrcia para el gas diatómico será también debido principalmente a los electrones y. por lo UlntO. del mismo orden de nmgni· tud que el de un gas monomómico. De nuevo. la temperatum crítica Te: calculada paro ded· dir si esta rotación ocurre por causa de las colisiones entre moléculas del gas. excede la lempemtum de disociación del g'L'i. haciendo illllXlSible la rotación en esas circunstancias. Es interesante señalar que 10$ éxi los del teorema de equipanición al explicar las capncida· des caloríficas expctimcntales de los sólidos y de los ga~ condujeron. por primera vez. a entender realmente la estructura molecular en el siglo diecinueve, mientras que su ~ rallos juga· ron un papel impor1antc en el desarrollo de la mcc.'i.nica cuántica en el siglo vei nle.
EJEMPLO 18.11
I
Energía de rotación del átomo de hidrógeno
(a) E,<¡tJmar la energía de rotación
m6s baja (d istinta de cero) del Atomo de hklrógt'no y compa-
rarla con JeT a la temperalUnl amblenle. T ... 300 K. eh) Calcular la lt mperatura critica TC'"
Planteamiento del problema Según la ecuación 18.30. la energra de rotación mác;. baja corre.... ponde a e= l. Ha~'emos uso de esa ecuación para detenninar la energfa en función del momento de inen'ia. Como el momemo de inercia del núcleo puede de1.preciat"iC (puc 5U radio es 100000 veces menor que d radio deol átomo). el momenlo de inercia deol Alomo es esenciaJmeme el momento deo inercia del elecltÓn alrededor del micleo. Por lo tanlo. / '" ~. en donde r _ 5 X 10-11 m es la dislaD· cia deol m1cleo al dectrón.
16.9 Compre~16n adlllbaticrt (ulld(!~tlltlcrt de un gas
(a)
1.
1 ;1
~'lIt'I}!UI nUj, [l.qt! '''pC, 1'" a I.:l'tO l'iltl'C"P¡,IH,k
ti
I
1:
((/+IHI '
I ,
~
~I
I
( .n, I ,2 .. ,
,
de Ull ll( qUi.'
h'
1( 1+1)' 11 ' .
2/11 r
I~ 1
~
J
II/ .r~
t
2. LIl\ \;lltII'\.·~ nUT1\cli~os ~un:
11
=.
/II~
1.05 x 10 11 J ...
= 9.1 1 x 10
r=5X IO
3. Rcc mpht/ur por 10:-' \'!llorc~ numeri¡;os:
El =
-n~
11
kg
tl
lll
_
(1.05 x 10 \4 J ,~ ) ~ (9.1 1 X IO -~I kg)(5 X 10- 11 m)!
111(1'1
=14.8"10
"J I
4. El valor de kTparn T= 300 K es:
kT = (1.38 x 10 .2..1 lIK)(300 K) = 4.1 x
5. Comparar I!'I con kT:
El =4.8xIO ,tllJ ... 1 ,\ kT 4.[ x 10-21 J O
¡(pt
J
El es aproximadamente (res 6rdenes de magnitud mayor que n: (b) Hacer k7~ = El Y despejar Te:
kTc = El T = ~ _ 4.8 X IO -I~ J , k 1.38 X 10 2J l /K
La temperatura crítica de un álamo de hidrógeno es ¡an elevada que el átomo se ionil..ana antes de alcanzar el valor cntico.
Observaciones
~
18.9
Compresión adiabática cuasiestática de un gas ,--------------------------------~--Todo proceso en el que no existe flujo de calor ni entrante ni sa liente del sistema se denomina proceso adiabático. Un proceso de este tipo puede darse cuando el sistema está muy bien aislado, o cuando el proceso ocurre muy ráp idamente. En esta secc ión consideraremm. la expansión adiabálica cuas iestática de un gas, duran te In cual el gas. con tenido en un recipiente térmicamente ai slado. se comprime lentamente mediante un pistón. el cual rcali7..1.lrnbajo sobre el gas. Como ni entra ni .sale calor del gas, el lrab¡tjo rea li/ado sobre el mic;mo c\ igual a su aumenlO de energía interna, y la tcmpernt ura del gllS aUl1lcntu. En la figura 18. 19 se indica la curva que represcntu este proceso en un dingmma P\~ Podemos hallar la ecunci6n correspondiente n la curva :ldinbáticn de un gllS idi;!¡\1 ulilí/ando In ecuación de estado (pV = I/RJ) Y el primcr principio de In tennodimímica (dU = dQ + dW), Seliene Cv dT = O+ (-P dV) (18,.1.1)
p
,, ,, , ,
l
l'
). trJ.S rCClrdcnnr.
Si 'ie integra.
~e
~c cxpre~¡¡
llega a In T
+ "R -In \ = con .. h\ntc
e,
'\
:
\
'
I
"
Proceso adiabJtico "
' ',Isoterma "
, I
Isolerm;~,,, ,, ·r
"
,I I
,,I I
e
en donde s.e ha hecho U\O de dU= dI (ecuución I R.18a). dQ = o (e l procc"o es adiabático) y dW = - 1' dV (ecuación 18,15 pum cllrah¡¡jo realitrldo "obre el gas). Por lo tant(l . .. i .. e ~l"' tituye P = IIRTI\~ se obtiene d I' C, elT = flR'! -
(l'f'\ r J
\
Figura 18.19 c un~lc~t,'lt~'a
lu"
I~OIcnn:l'
~
"'" ~
"
....
-,
'
"
,
",
' f/'l ' \ I I
,
I
I
,
\'
('(lIllpre~1t111 ,IlJiahátinl
de un gil" ideal.
I..JI~ line.l'
corro"IXlIldlt"IIl(,;J [¡"
,1 tm/l" "011 temperatura..
inióul) final. La cun'" que C(lIIf..'Clil 11" C:,I,ldll' iniciul y fmal de 111 ~'('Impn:"1iln .Idiulxuica tn:m' UIlU pendieTlte ma) or que [\I~ ¡..¡l[erma" Jcbidu ;¡ que lu Ic:mpcruturu ,llImcn!;,t dumntc la cOlllpre,ió n
540
I
Capttulo 18 Color y primer lulnd"io de la letlllodlnámlt:a
/IN
InTV"R/C, ,. con"U\llIc
111 I .. -- hl V ('
,
\1 h i~1\
cOI\ -.: lanlC
(18.14)
1.: 11 donde la.. I.:OII .. tIlIllCS ele 11.1-': dm. cc uacionc~ precc dc lllC~ no ..on la .. mi sma!;>. L:I ccua':lUfl 18.34 pucde c ~c ri bir~c de lluevo recordandu que C p C~ = l/U (ecuación 18.20): l/U
-e
( 18.15)
1
•
en donde res la razón de IlIs capacidades caloríficas:
r Se ronnan nubes c uando al clcvarscel ni re húmedo se en fría debido a la expansión adiab:ílica del aire. E! e nfri:.u nienlo provoca vapor de agua que se conde nsa en gOlitas líquidas.
=
e
::r
(1836)
e,
Por lo tanto, .¡ . V r~ I = conSlanle
(18..171
Si se elimina T de la ecuación 18.37 por medio de PV = /lRT. se tiene P\I \l r - I - constante
"R
osea pv r = constante
(18 PROCESO
)
AO\A8Ánco CUASJESTÁTlCO
Lu ecuación 18.38 relaciona las vnriablcs P y V pam expansiones y compresiones tldiabátk:L~. Eje rcicio
Demoslrnr que pam un proceso ad iabático cuasicstático T rI p r- I = conSlnnle.
El trabujo realizado sobre el gas en una compresión udiabálica cuasiestática puede I.:alcularsc a partir del primer principio de la tcnnodinám1ca: dU=dQ+dlV COIllO
dU =
obiclI
dIV_dU _ dQ
e,.dT y dQ = O. resul(¡¡
Por lo lanlD.
W."huNh~'O
-
JdIV - JC,dT = C,D. T
( 18.39)
TRABAJO ADIABÁTICO REAUZADO SOBRE UN GAS
en donde hemos "U puC... IO quc C, es eonf;.tmlle. I Ob~ér"ese que ellmbajo realizado sobre d gu:-; depende únicnmcllIC de la variación de 1<1 tCfllpcraluflI absoluta delmislllo. En unu compresión udinbátil'a cuusicslálica. ~ rcaliJ.lI lrabujo sobre el gas y lanto su energía intema como su h:mpcr.llum aU lllenlan. En una (~r/mnsj()" adiabática cuasiesu'ílica. eltmbajo es rcali7aóo por el ga ... y disminuyen su Icmpermura y su energía inlernu. I
En d
C:L;oJ de UIl
~a~ Ideal. V c:~ Ilf'IlJJOicK>naJ
D la ltll1pc:ramm ab..oluta 'j,
por lo 11'11110. C', .. dU/J1'1::" U!Ull'OIl.utl1IC.
PI~.k'Ill(" lll¡h¡,1I lu k~ dI.' 11'\ ~'l\I..'\ llicall.'\ p a m ~\n ,1 1II In I..'C UUl lOlI I X..l(J l'n IUIll'iúlI d e h,\ ,all\~\ \IIICh11 ~ hn,,! tk la (111.'\11111)
7;, h'Il('llhl\ pJt,l l'IlI ahal!l rCillJlóldt.\
'1 I 1) -
P \ ' P \' 1\ II(h~h.'lInl == e\ ( 11 R - 1/ R
) hac iendo u,o dc In cl:uación 18.J5 pum simpli fi cllr (;sln (;x prcsi6n, se ti ene _ Pf Vr - p ¡V¡
( [ 8.40)
r- [
T RABAIO AD IABÁTICO REALIZADO SOBRE UN GAS
EJEMPLO 18.12
I
Compresión adiabática cuasiestática del aire
Una cantidad d e aire se comprime adiabá tica y cuasiestáticamente d esde una presión inicial de 1 atm y "ulumen de 4 L a la temperatura de 20 oC hasta la mitad de su volumen original. (a ) ¿CuáJ es la presión final ? (h) i,Cmí l es lo temperatura fin a l? (e) ¿C uál es el tnlbajo realizado sobre e l gas'!
Planteamiento del proble ma Como el proceso es cuasiestático y adiabático. sabemos que P\IY = constamc y TV 1- I = constante. Estas relaciones pennite n detenninar la presi6n final y la tcmpera~ tura fin al respec tivamcme. Hnll ílr y utilizando las ecuaciones 18.36, 18.20 Y 18.25. Eltrabnjo reali ~ zado se deduce de lVadlilb.:ltJ~O = CyÓ.T (ecuaci6n 18.39). Para un gas diatómico e,. = ~ /I R. El subfndiee 1 se refi ere a los valores iniciales y el 2 a los valores fi nales. Tenemos P I = 1 atm, { /I =4 L. VZ =2 L YT I = 20 oC = 293 K.
(a) 1. Exprc1iar p yr = constante en funci ón de los valores inicinles y fi nales;
2. HaJ1nr rparn un gn~ diatómico 18.20 y 18.25,
11
partir de las ecuaciones IB.36,
PI
Vr = e
e, +nR
e,
e,
y =.=! -
nR 1 +- = I +
-
e,
;¡R
,- n R
3. J)c1ipcjar Pz: (b) 1. Ex prc ~llr TV 1 fi nale .. :
' =con, tanlC en funci6n de lo.. valOre" ini c i¡¡ l e.~ y
2 . Dc~ pcjar 'l~;
T I \,rI , -_ T 1 \,rl ,
TJ
-
T, ~ \ '~ lr.
(
,
(4Ll"'
- (::!9J K ) 2 L
•
= .1R7 K =1' [4 el (e) 1. L:¡ ecuación I8.39 n o~ du c!tnrhnjo rcll lilnclo:
~ t/ R.ó. T
•
2. UliJí llU\do la ley de l o~ ga.¡c\ idl.!alc, p'un la!> condkimll'<; i ni cill ~ le" t!xp re~ lIr /IR en fullt:inn de P I' " 1) TI:
5 sp " "'...r,.~I" •• = ~ /lR.ó.T = ~ ;. I ( T~- Tr)
.
- ,
.... ~( lalm )( "'L )PB7 K _ 293 K ) 2 2QJ K .
=
:u n
atm L =1324 J
Observaciones El lruhajo puede c... lcular-...e tambien mediante la tóón 18.40, pew e, preferi ~ ble ulllilar " .J¡¡bM,\,•• :::o: e, .1T pon:¡uc c'lá nulo. di ~larnente rtlaclonada ~'on el pnrner prinCipiO de la lennndinámica. y e, má... fácil de ~"nrdar.
I
= lA
-18.9 Compresl6n adiabática cuasiestátlca de un gas
2. Capacidad calorífica
LIt cnp¡lcldad cal uríhen grullo.
(:~
la cIlIIlidnll de eulor
nt!('''' ~Hnn
Il
\U ~ I,U1ci¡1
e = JIIlT j\
\olulllcn
A pre:.ión
"'OIl~tall l e
con ~tu ntc
C.
Q. = óT
C,
g. = OT
Color l!Spedlico (capacillud calorme:1 por unidad de masa)
t:
= -e
Capacidad calorífica relacionada con 13 energía interna
e•
m
(18.6)
" = l/U (IT
(18.18a) (18.20)
Cp = C. +IIR
Gns ideul
en un
(18.2)
e' = -
cnlorifica pór mol)
543
(18. 1)
e
etllor e"pccilico molar (eapacidtld
I
. ,
Gas ideal monO:lIómico
C = ~ II R
(18.22)
Gas idenl diatómico
c.
,~ n R
(18.25)
3, Fusión y vaporización Calor latentc de fus ión
Durantc la fu sión y la vaporización, 13 tcmpcr:lIura no ~e moclifi eu. El calor nccesario parll fundir una susl:lneia sólida es el producto de la
ma~a
de la
~ ustllncia
por el calor
latente de fusiÓn 1...,:
Q( = mL r L,dcl agua
Cnlor latemc de vaporií'..nci6n
(18.8)
L¡ = 333.5 kJ / kg
El clllor necesario par¡¡ vuporií'':lr un liquido c..<¡ el producto de :.U Illlbtl por su calor I:'llcnte de \ apori7..1ción
L.' (18.9)
Q. "" mi..
L., del agua 4. Primer principio de la te rmo dinámica
L, "" 2257 kJ/ kg
Ln variación de In energía intt::ntn de un l.ndo sobre e llllismo:
~í'leml\ C1>
igual al calor ~ Uln i m!>lmdo ni :.i~h!mll
Gu~
ideal
1..1 cnerg fo IIl1cma de un <;í~temll e'
unn Ilrtlplcdad de cMlIdo del ~i'l el1la, igual que lo ¡,.on 1:1 jlTC!,ión. el \olumen y la h:mperntum. pero no OCUITC lo nu o,mo ~'(ln c llmnllJo ni Cll11 el calor, La cnet}!ill ullcma de un
BlI~
Ideal depende unlcamc!nlC ck la IClllpcmlum
U"~• IIHT
Gu .. ide:11 monoatónm:o Encrgfu 1n1Crna) CIII),.1C(d.ld t:-alnrtllCII
6. Proceso cuasiestático
el traba,¡ o rcali-
(18. 10)
to U_ Q+W
5, Ene rg ía interna, U
ma.~
dU· Un proce...;> c ua'¡C'"'ililtleo c\ aquél
,IT
:Ib~o luln
7:
(18.12) (18.18b)
que OCUITC Icntliluenlc. de forma que el ,¡qema recorre Un.,1 -.ene de c:>tn-
(lo<. de t"qUlhhrio
h ub.írico
p . C(1nstantc
hotCnllO
.¡ .
= Q_O
r' ·' • '" con ...anlc
(18.37)
(18.38)
I
544
C"I)ftul o 18 Calor y primer principio de la termodinámica
en uunue
(19.35)
(18.10, 18. 15y 18.18)
7. Trabajo realizado sobre un gas en un proceso cuaslestñtk o \V
A \'olumen conMulIlc
=
-fv,PdV
"
=O
IV = - f "' PdV = _ 1' )r"dV "'" - P6V V, 1',
bobárico
dV
W'I
Isotermo Adiubático
\'
l'
1',
1',
W ..:I iltwico -
8. Teore ma de eq uipartición Fallo del teorema de equipanición
V, V,
= nRT In -
(18.17) (18.39)
C"t::.T
Elleorema de equipanición establece que cuando un sis tema está en equilibrio. existe una energía media de kT por molécula o de ~ RT por mol asociada a cada grado de libenad.
i
El teo rema de equipnrtición no se cumple cuando la energía ténnica (- k7) que puede transferirse en las colisiones es menor que el espaciado energético /lE entre los ni veles de energ(a cuanti7.ados. Por ejemplo, los gases monoatómicos no posecn movimicnto de rotación porque el primer nivel de energía pennitido no nulo es mucho mayor que kT.
---------------------------------------------9. l ey de Du long-Petit
El calor molar de la mayor pane de los sólidos es 3R. Esto se deduce del teorema de equip:utición, Si.: oniendo que un álamo de sólido posee seis grados de libenad.
Problen.us
•
• •• ••• ss ..
I
i
.1
Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede ex igir síntesis de conceptos . Desafiante, para alu mnos avanzados . La sol ución se encuenlra en el Srude,,' 5011l/iolls MlIIIIlOI. Problemas que pueden enco ntrarse en el servicio iSOLVE de tareas para caso. Estos problemas del servi cio "Checkpoint" son problemas de cont rol. que impulsan a los estudiantes a descri bi r cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza.
-
En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros ,JOCOS, deb~n exTraerse algunos datos a partir de conocimientos genemle.f, fuentes externllS o estimaciolles lógicas,
Utiliza r v = 340 mIs para In velocidad del sonid o en el aire n menos Que se indique lo contrario.
Problemas conceptullles
encrgrll que el coblT. (!') el alumi nio ha absorbido más energftl que el cobre. (d) amba ~ tlfinllaciolle~ (o) y (eJ son COrl'CCtas.
1 • Un cuerpo A posee unb maSll doble que la de otro cuerpo B '1 ~o clLlor e:'I>cc(flco es tll1nhién el doble. Si a ambos se Ic.~ sumlfll!>tnl In nmma cnntidad de calor. ¿qué relación eXiste entre los camb10S cxpcnmcntad05 por ~u ~ rcspcCU\ as tcmpemturas'!
4 • El a:pe.nmento de Joule. que establece el equÍ\'alentc mecámco del calor. lInplica In colI\'et5ión de ener¡;ín mecánica en energía imerna. IJar a l su no~ ejem pl~ de la C'on\'er<:ión de energla interna de un siSlemtl en energla medniéa.
2
•
5SM
Ln \;.riaClón de temperuturr. de dos bloque~ de masa~ Mio
Y Mo es la misma cuando absorben iguales canlldade~ de calor. L" relaCión entre su~ c:ll orc~ c$pecffkos sem (a ) C'" '" ( M \ I M.)c •. (b) c ~ '" ( Mil/ M ,,)!',. (d CA '" e,. (el) mngllnl\ de la, an teriores. 3 • El calor cspedfico del aluminiO es rná~ del doble q~ et del C'Obre. En un calorímetro que t'ontiene agulI a 40 "C ..e mtroducen mlbl idénticas de l.."Obre y alumimo. amba... 1 20 -C. Cuando ~ akanla lOl equlhbno t ~mllC'O I al el aluminiO e,tá:l. rnA)or temperatura que lOl cotht. lb) lOt alurnlntü ha absc'4'btdct
lIIeno~
5
•
SoSM
¿Puede un sistema absorber calor sin modificar su efl(f-
gra mterna? 6 • En la ecuación IlU z Q + W (enu nciado romlal del primer pnneipio de la termodmÚmcl), las magnJlude\ Q y W lC!pi'tSCntan (u ) el calor sunu· nl~trado al Sl~t cma y el trabajo reahtado por el ~i"tema: (b) el caIof sum¡m ~Iro¡(]O al ~islema y el trabajo realizado..oore el sistema: (e) el calor liberado pClr el sistema y el trabajO realiudo por el sistema: (d) el calor hb:rtldo por el ~I qema )" et trabajO reaJl1.ado \Obre el si~tema
Problema,
I
7 • l'n I!"\ re:11 '-I! .:nl rfll en unlt C\IlRI1~IOn Ilbl~. micl1lrn\ {lile un .Iln ~ hlcalllO \aria '11 lt:ml'ClIltu ra Dar unu l:\pllclldón
8 • l ln T"CC lpll'mc ni~lIhlQ e~l:\ di\'hhdo ... " du~ l'artC\ i 8 unlc~ por un 1Ahi'luC Jc1p:rulfl. En unl! Je ln~ mhntlc\ ~c hace d \'udu y en In 111111 Ml c nclclfll un I!JI!lo ideal 1\ una ¡lUll<'l\lcm lIe I'rclilÓn ) )C)() K. Se tluilU el 11lbitlUc y ..e c~ tn hI~ d cq m lihlio CIl todo ('1 rcciph.'r1h!. Fu el cquillbrio. i,cuál de 111~ ~i1l.uicllle~ atlnn:tcionc\ I!.' l"Om.-cIiI'l (a) Ln pre~ i Ón e.~ rucdin :Ulm~ .. fcnl y In ICl11pemlurn 150 K , lh) Ulllresión c~ unll /Umós fcm y 111 Icmpcnllurn 150 K . (f') l..ll presión C\ media RlInÓsfcl11. y 1:1 IcmpcltUunl JOO K . (ti) Ningunn dc In ~ ¡mlcl'lorc, . Un gllS e~lá formado por iones que ~e repelen entre sr. El ga~ e~peri ment l\ unll e.\:p.'l.nsi6n libre sin intercambio de elllor ni tmblljo rl!alizado. i.C611\() camh¡n 1:1 tcmper:lIurn del gas'! ¿Por qué? 9
•
10 •• SS M Do~ g lobos de gOtll:\ lIellos de gas tienen iniciuhnente el lIlismo volUllll!n en el fondo de un frío lago. La superficie del lago I!St:'i m:'is caliente que el fondo. Un globo nscicndc r:'ipid:ll11enlC y se expllnde de manerll lldiabáticn :1 medid:l que sutx:, El otro globo asciendl! más lentamente y su expansión es iSOIi!nnicn. ¿Cuál de los globos es mayor al llegar a 1:1 superficie dcllago?
Un gas cambia re\'cr.¡iblerm::nte su estado de A a C (ligUr:! ! 8.20). El trabajo realizado por el gas es (u) máximo en la trayectoriíl A -. B -. c: (b) mínimo en la trayectoria A -. C: (e) máximo en la trayectoria A -. D -. C: (d) el mismo en las tres truyectorias. 11
•
p A
D
I
B
•
e v
Figura 18.20
Problem a II
Cuando un gas ideal se somete a un proce.-.o udiabático. ( a) el sistema no realiza trabajo: (h) no SI! suministra calor al sistema: Ce) la cncrgíll interna permanece constante: (ti) el calor suministmdo ni sis!Cma es igual al tmbajo realizado por el sistema.
12
•
13
•
Verdadero o fa lso:
«(1) La ca pac idad calorífica de un cuerpo es la camidad de c:llor que puede alnmccnnr a una temperatura detenninad:l. (b) Cuando un sistema evoluciona del estado 1 :11 ~ tado 2, el C'ollor suministrado al si!'>lcmll es el mismo pare todo~ los proceso!> posibles, (el Cuando IIn ~i~t ema evolucionu del eMado I :11u..'mdo 2, ellnlba.Jo tCll limdo sobre el sbtcma es el rni ~mo parn todos los procesos posibles. (tI) Cuando un siSlemll I!yol uciona del Cl>lado 1 al ~llld() 2, lo variaci6n de energfo interna de l ~ i stclI\ll es lomi ~m n p..'UlI todo~ los procc.."ÜS pol>iblcs, (e) L.1 energra interno de unu dl!tcnninadn cnntidlld de gas ide:tl delx:nde ,óló dc ~\I tcmper.ll unL ab\o luta, (j) Un proc~ cUIl$ie.. tát¡"'O es un pr<)(.."cso I!II el eu nl e l "~tenm nunca <;(.' encuentr:i Il'jos del eqUllihrio. (JI) Para IOdn .. u ~t ancia LluC 'iC e~p!\n~ionl\ a l ealenlan.c, C~ e~ mo)or que C..
Si el \'Olu11Ien de un "Lstenm pcrm..tnl'Ce n\I\~IJmc micnt ra.~ expcn menta or.tn:ICIQnes de tcm[l
•
SSM
~i,tcllta
no varra; (h) el ~\~I en\l\ no reallfa trolMJo: le) el Sl~lema no ah;,omc eulur: ltt) l:l variación de erlt'rgía intcnm de l ~ r .. tcrna C\ igunl al calrlr oMrbldo por e l ~LqC n lLl, 15 • CUAndo un gas \([(0,,1 o,,(' ¡,(In'\ele Il un p!"(U\O i\Otermt\, Idl mn¡¡un tmbuJO e~ reuh/1l.d o por el ..... tema (h) no "" ~Llm ln r~ "'11 calor al ~r .. lt'mll Id el c:¡]or ' ulll ulI .. trndo ul :.hrema e~ Igu,11 a la \:lnacion de ellt'rgfu rmcma. \11) el culur .. umim ~ l rndo a[ ~ ¡"t c nHl e~ Lguulallmbajo reali/udo por ~\IC
16
••
I
545
111 J('Il'(\~ilO Je ct,rtlhu'llhlc d(' UUI! t\1IC.:lnll tic 1M' tn:ll'" un vnlUIJ~n
de 1 Ly cuntlene {p()(1.1l de prop.lIlo f( l H ~I .' UIII. p,e'lon dl' , \-IPu 111(1\ dcdr r('~Il\!ctO 111 c.. wdo ¡,('!Iidll, IrllUldn jI 1111\1 (11:1 pTl1r.tnn~
,Ouc,wllk'
llu gn~ I(lcal c.\IX'rHlICntn un IHOCe\(\ uUJlLntc el wnl f' JV e, cun\IUll tc y el \'olurllell del gHS decrece, ¡,Qué ocurn: con In 1C:InJlcnuur¡(' 17
••
1B
••
i,Cuál cree qUr tielle unu IIld)'or cap."'IlI!!d (1I1onltCil {'1m w,;¡J1II1 ti,. lIIt/.la, el plomo o el cnnre'! ¡,Pur f¡lIé? (Nn bU'-
Cu1culllr In cap¡,cidnd cal(lrlfl cu dc un 1¡IIUldo e~ muy diHcll. debido U Ins fuertc\ intcraccione~ in tcnnoll.'Cul:lre .. y a la\ JlO,icione .. nlc,!loriu\ de lu~ 1I101&:U1:15 en e l H(IUido, Sin ernnllrgo. bíl"lindo.\(' '>C una capueid¡,d calorífi ca muyor o menor que la dc la fase ¡;ólidn de la que prul'Cde .. JXlr fu~i6n? Sup6nga~e (tUC la tempemtura de fusión e!o lo b.1 .. lantc elc\ud:i como pam no estar obligadM u hmer en cucnUllos efectm. euánlicO'i en el cál, culo de la capacidad ealorífie:l del \6Iido. 19
••
Estimaciones y aproximaciones 20
••
21
••
22
•
Un sencillo ex.perimento para deITlOStmr que el calor ~ UIHI fonna de encrgfa consiste en coger ulla bol ~a de perdigone\ y deJarl¡1 eat:r repetidamente desde una pequeña altura sobre una superficie muy rígida. La tcmpcrmur:1 de la bolsa aumentará, y ello pemlitc hacer unu estimación de la capacidad calorífica del plomo. (a) Hacer un cálculo aproximado del uumento de tempemtura de un:l bolsa llena con 1 kg dI! perdigones a la que SI! deja C;ter 50 \leces desde una ahura de 1 111. (h) En principio. la \'ariación de lempcnuura es independientc de In maSlI del perdig6n: en lu práctica. es mejor emp1eur una masa mayor que una m.is pequeña, i,A qué puede dcben,c e~to'! SSM
Un horno "típico" de microondn~ con~umc una potencia de uno<; 1200 W. Hacer una C1>limación tic lo que t:lrdaría en her. ir una lanl de llf:U:1 en el microondns ~uponicndo que cl 50% de la pOlcncia consumida ~c emplell en calentar el agua. ¿Concuerda Cl>ln e~linmción con la ex.periencia colidian .. } Una prueh.1 del ca1elllamknto que cXpcrirTl<'IIl:1 un ga~ t:l\ un;! eompre~i 6n adiahátíca comporta colocar un01> t roci to~ dc rapel en un ~nm tuoo de I!rlM!yO que se cil!rra ell1oncc~ con un pi~tón. Si c[ pi .. tón com prime el ain: atropado muy rápidmneme, el papel llrdero. Suponiendo que el punto tic ignici6n dd p..1pel c.:; 451 "F, h:lccr un a eMimnci6n de l factor en qné ~ hu de !\:tludr el vol umen del aire OIrnpudo pur el pi~tón parn que funcione e\w pntelm.
23 • • Hay un JlC
24
••
SS M
\ rbm\' u\n cun un l'~pilCiadn con'lame lIc O.I."i e V I)ell'rrni rmr h, tl'!I1po:nllum I.'ntlc¡t T" 1,11 iJue para 1'»/: '-C' eurnphna el It'(\re11l~ de Cl.lurpamcr(lI1) paro r« J; 1..11;1 ría ('\1(.' leorema.
Capacidad calorfflca; calor específico; calor latente 25
•
SSM
26
•
I
Un \alÓn lIdulto "'iprco" l'(111~UruC ,lhmenh,h ~'('n un \ alur C1lCrgcUCt' dc :2.~{X1 J..ca[ J'KlI" din. 1(/1 DClcrrnilUir ~u \.'qil i\'ulen¡;iu en Jul Uh en) Si lu CIlC'rgio COIt\urnid.L '>C Ili~l l)¡i en fonn.llk calO!" II latgo de 24 h. (,nr.il 1', la pmellC1J metilO dl'lpac.la en \JI1~ '! •
""Jl'CCr 11(;\"\" 1.00 de L'i J.!O ("1
l nu Ull~
ca~:¡ -.ol;.¡r l.'OlIuenl.' 11)' J..¡l dI' nl,nm!;!," (¡· .. h'r
K l.••('uanl1' t ,¡Inr ceder" el homllgólI ('uando
'-C
cntr tI.'
546
I
27 h1C~ III !I
Cap(tuto 18
alar y p rim er pdn d pl d e lB t etl110dlnóm lu
.
e Cu¡\nhl\. ,.-n lnu ¡" ,h.. heu 'UI1l IlIl~t 'n 1",e u ti!) ji ¡le
10
e p¡11i1 lund n h¡) de\.u lu l ~tl ll"" l¡¡tu l ., ,lcl ll¡!UlI
j¡
<10 ( ' /
28 •• I , Qtll! clIIlIlclnJ d I' \'11111\ ~I,' dn l"1! m.lc r u¡¡mlu 10II g de ' ''1..... Jc .~U.1., I ~I ' ( . .... I,'nlt\.\ n \ ":l1n¡¡c hm p!\'l.lude ndll 1(1) ~ dl' hlelu u 11 ( ",
Il\Hlllll l'o'U lld l.'nlorl,·'lx"dll..:n lkl \"1"'111" \ultll 2,11 1 Id/L.g ... I
i
29 •• I ln lruN
30 •• t Si \C ,'ienell 5!)() ¡,t de pl\lluo fundido H 127 "(' dtl ntro !.k unal':l,iJad de un gr.m hlOllue de hielo a t) (C'. ¿cuiÍ nto hitllo \e funde'! •
31 •• S5M l Una bnln de plomo de 30 g inicialmente a 211 {' ' c di<\(l3r.l conlnl el blOl.IIII.! de un pé ndultj balfstieo y allf se detiene. Suponer que ItI mit.1 total de acero conh.:nida en los tumbores de freno para que MI tempcnuura no se eleve m á~ dc 120 OC?
Calorimetría •
33 • I Un ped:l7.o de plomo de 200 g se calienta n 90 oC y se ",'"eha en 500 g de agua inicialmente 11 20 oc. Dcspreci nndo la cllp.1Cidad calorí· fica del recinto. detenninar lu tempcr:tlUrIl fi nal del plomo y del agua.
\ 1111 .. 2,U kJl\ll KJ. lb) Se nnlUJe un o,ep:undo ttoll1 de hll."kl de 2fX) jI/\ 20 ( },Cu jlntn lur l111lucdll en l,1 "~ h' Hln, unA vel (Inl' ~r 1m nlcOn/¡ltlo el t'
42 •• I PaOl detcrnl1nal el cnlt.r c' pedhcn de IIn t'oIO(11k' dl· Ion IJ dc IIIl\lcriul -.c mtn,yul'c eu un cal()l"(mclllI dc Cflhrc de 2.' j que contlCI\(" bO j!. de IIg Ul!. El M~ t c nUl ..c cncutntr,¡ inicinlll1cntc 11 20 e A C(mtIOU;IC; lfln uMden 12() mL de IIguu u 80 (' al VII ~(l calOl'imétrtco. CUllndo \C IlICan/1ll tJ etluilihr10 térmico, In tCIllI)Cr¡uu ru del ngull es ~ 4 l , IJclenm nor el clllor t~pe d fi cII dtll hloque. Un trozo de cohre de 100 " se calicnto en un horno a una tc:mpcr.. · tuOl t. Sc introducc luego el cohreen un cnlorfllletro de cobre de 150 g que con· tiene 200 g de aguo. Lu temper¡¡t urJ inicial delagull y el cnlorímetro e\ 16 e y In temperlltu nl fi nal despué\ de que se e.\ttlblezCII el C' lui librio e.~ 38 ~('. ('UllnJn se ~n n el calorímctro y su contenido f;C encuent ra (l\Ie f;C hn n evaporndo 1,2 11 de agua. ¿Cuál em In teml)Crll1 unt I'? 43
••
Un calorrmetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de aguJ ,1 20 cc, Se calientan a 100 oC virutas de al uminio de 300 g de mas.1 y luego '< introducen en el calorímetro. (l!) Utilizando el valor de] calor específico del aluminio dado en la tabla 18. 1. hallar la tcmperaturn final del si"tema sulxmiencltl ' luCno se pierde clllor hacia el mOOio exterior. ( b) El error debido a In trnnsfcren cia de calor hacia o desde el medio puede reducirse al mínimo ~ i sc escoge la temperntum inicial del agua y del calorímetro de fonml que esté 11 ~ Ilt. fl'JI" deb:tio de la lcmper"t unl mnbiente, en donde Ilt. es la variación de temperaw ra del calorímetro y del agua dura nte el proceso. Entonc~ la temperatura fi n:J.! cstar:'l a ~ Ilta por encima de la temperatura ambiente, ¿Cuál deberá ser la tcmf" 'r,lIura inicial del agua y del recipiente si la temperatura ambiente es 20 cC? 44
••
•
• 55M I El calor específi co de cierto met:,1 se deter· 34 mintl midiendo la vnriación de tempemtura que tiene lug:lf cua ndo un trozo del me!:ll se calienta y luego se sitúa en un recinto aislado construido del mismo mnterial y que contiene agua. El trozo de metal posee una mas:l de 100 g Y ulla temperatura inicial de 100 °C. El recipiente posce una mas.1 de 200 g Y contiene 500 g de agua :l unll tcmperatura inicial de 20.0 oC, La temperatura fina l es 21.4 oc. ¿Cuál es el calor específico del metal" 35 •• En el Tour de Francia de 2002, el c:ull peón cicJistu ulllce Armstmng consumió una potencia media de 400 W. durante 5 hOfns diarias n lo lnrgo de 20 dfus, ¿Qué cantidlld de agua. inicialmente a 24 oC. podría llevarse hastu su punto de ebull ición si se aprovechase complclamcnll! toda esa energía? 36 •• Un V¡ISO de vidrio de 25 g eontiene 200 mL de agml R 24 oC. Si echamo!> en el vaso dos cubo!> de hielo de 15 g cada uno a 1.. tcmpaalUrfl de - 3 oC, ¡,cuál es la tempcrmura limll de lu llleZclll? lkslm:ciar 1:1conducción tér· mica entre el vaso y el medio exterior. 37 •• Un tro/.o de hielo de 200 g a OoC se introd uce en 500 g de ngua a 20 oC. El "istema se encuentr.l en un recinto de capncidad calorffi etl de ~preci n ble y aislado del exterior. (ll ) ¿Cuál es la temperatura fi nal de t.'Quilihrio del .'l istem:l? (h) ¿Qué cantidad de hielo se funde" 38 •• i ti' En un va-.o que t;;onticne un u metcln de hielo yagua Con IIfHl mHSU total de 1,2 kg ¡,e deja cuer un blO(llle dc cobre de 3,5 kg :1 UlH' tempcrntu rtl de 80 oC. Cuundo se: a1c:tnl.u el e(luilibrio, la U:l1Ipc.I"lIIUm del :Iglm es 8 cC, ¡.Cuánto hielo exi~ t ra cn el Agua n lll e~ de que el bloque de cobre "'! ~ ilU ara en él? (Dc:.precinr la cap.1Cidad cllloríl1cu del v:t~o. ) 39 •• i '" Una vll!>ija bien ai,lad:1 conllene 150 g de hielo a O oC, (tI ) Si ~e introducen en ~ u interior 20 ¡pIe \ tlpor u 100 C. ¿cm'!l C~ In 1<':111pcrntura li,ml de e(Iu ilibrio del !>istemn? ( h) (,Queda nlgo d..: lucio" 40 •• i ti' Un calorímetro Je 111:1\11 tlcsprccillbl..: contiene 1 kg de :tgun a 303 K Y 50 & d..: hielo a 273 K. l)ctennllmr la temperatura fi nal. r. R I!.'ol ~e r elmiMllO prohlema paro unu lIlolsa de hielo de 500 g. 41 •• SS'"' UII . : nlorímClro de alumiT1ltl de 200 g conúene 50() g de U1lua a 20 "C. Denlro del recipiente '>C inlroduce un trozo de hielo de 100 g cnfriau(lll - 20 "C. (11) J)c.terminar la temperatura "nal del ~i ~temll \uponiendo (IUe no ha y pérdidas culoríticll' (1X",l el ~'a lor c,\pt."('iticfJ del hielo ttlmc\(: el
Primer principio de la termodinámica
------------------------------ •
45 • I Un gas diatómico realiza 300 J de tmb:ljo y abwrtc 600 cal de calor. ¿Cuál es In variación de energfa interna experimellladn por d ga,~'!
•
SSM I Si se adicionAn 400 kcal n un gas ' Iue -.e expansiona y reali ...a 800 kJ de tm b:¡jo. ¿cuál es lu vari ación de 1:1 enerí!ia interna del gas?
46
•
•
47 . , Una bala de plomo con una "elocidlld de 200 m/~ '>C detiene en un bloque de madera. Suponiendo que toon la energía 'OC imien..: en cnlentar lu bala. detenninar la temperatura finn l de é., tu si In tempern tu ra inicial es dc 20 oc. 48 • (o) En las e:llnrmas dd Ni ~gnrJ, el :lgun cue desde IInl! nltum dc 50 m, Si tod:1 la "nriación de energía potencinl Se ill\'iene en energra interna del agua. ¡.cuál ~erá el incre mento de IcmpernlUl11? (h) Repetir el cálc ulo parn lns cutnratas de Yosemite en donde el ag ua cae dc.~d
50 •• I Una hala de plomo iniciulffil:nle a 30 ce se funde :,1 golpr ur 1111 !lllmco. Suponiendo quc toda la energra cinélica inicial Ins mll no~ '>e ..:jercen una fuerLlt nonnlll de 35 N entre clla,. ¿Con qué ritmo \C gcn":rJ clllor'? (h ) Suponer ademd..\ que la masa de cadn muno e.~ uproximadamente de 350 g, que el calor especifico dc la' mhmn,~ es del orden de 4 kJlkg . K Y que lodo el ealflr generudo se utiliza pllJ"".1 elel'ar la lemperaturú de- la~ mano\. i,Dul"llnte cuán to tiempo hnbrá que frOlarsr: la\ ml!nos par.! con<.eguir un incn::mento ele temperutura de .5 oC''
Prohlf'mil~
'If'
,d.
1)1 Au ""toNo"'l , t 1 ~ \ ('/ I'u",/"/11I<'1..1 lit J "11>1 ,Ir ~!I\ tI/ f' l' I 1 ¡¡"II. 1_\1 l, !\tll,I\I'f\rlliA:,'iIl"¡,,¡I' ',11111. \ .1 1 \'1' "12 1
1 1in\ ~ ,1.-1,' \'\l'al"l'''1;1I Q I'"'q,,n l'IlfltIlIlU,')m'IU un 1,\lum,'n ,t.. 1 I 1 nh'.""!> ....' ,'nI "., ,1 H,huncII «lll't.1nt,' h,l, tu ¡IUt' '11 ph' , ..'In ,"'1.; ~ ,.tm 1,,1 R":¡'lt'\t'111,U \,,1\' plL "":~"{\ e n un úlalHillllil 1'\ ') Ikl\1 ll11l11M ¡'Iu;,!'>;"., I,,:dll,lIh'I'<'l d Il'¡' ,/>1lkl\'OIlIl1,U t'1 ,'al,., alNlrh¡úu dur;u¡le e\le: 52
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SSM 1-1 ga' \<." e \p,lIl ~ i(llHl i\ulcnnic:llIlc nte hUMa lJu t! \ U I'llluIIlen <.", tlt' ,' 1 ) \11 lln,' \i
••
55 •• El g¡¡~ \C c~pan ~itllm y \c añade l'alur de t:ll ronml que el gn~ sigue una linea rcCllt en el diagromu PV dc ~de el t!:.ludo inicial al estado final. «(1 ) In, d icar e~le proceso en un diagmma PI' l calcu lar el trnbajo realizado por e l g¡¡\, lb) Dctenninar el c:llor :lbsOrbidn en este proceso, 56 .. : ti Un mol de !pt, ideal ~ encucntm inicialmentc eo el e\tado 1'11 =- I mm, \'0 = 25 L. Cuando el g:t~ w c;¡] ienta lenwmemc, su e.~lado evoluciona de modo qu<.' en uo diagrn m:l /'1' ~ iguc unu línea recIa hasta el e"lado fi oal l' = 3 alln, l' =- 75 L. Determ inar el trobaj o realil.ado por el gas en e'll! proce-.o,
I
Ij",
Il.Il" "'II II /, l1(1" ' ''' f'lt'h'rlJlln,tl t..\t; , Im~mr 11 ' IIIUI p,t/.ll' l U1-~" eu 'IIU 1"1 1' '' ' ' ' ' l:1I11t"l1Ia d..: 1(1) a 1,(111\ JI rrntcm ton t,ur' ¡ '11r 1M 1'1 plum.. , I'lm, 1"'" ,It' bllt'l fTMII,huanlln l yel r." uh <'l tl" " h" nllJ 1 ,,1 par ' mln 1411 I' M,tl'ld'lllm rl Irah" ln 1";ll u,ld" , lo') ('.11, uL O! ehlt II1 wnll' ') 'r.,,., IJU 1"IIIt/,ldn " " d ,I!" ,n.ul.. 1/., j' ra rfn IIr 1/1\ _ 1' d \
64
..
ti
¡:UllJ"dlllt úlJlltol m, "II,,,I,lr HI t' e,l ,.nllll,II,II:I1 ' UIl Il'\: '11II'U I" renmh, IIc ~"l urnr ll \ ' a u"'l l'rc~I "" I',r ,,C)II<'C""1Id.;t! de I cJf {¿ dd'" 11¡1I\'!n n \t' 111 ~¡¡' 1';lI U 'III\: ' u IlIe\iún se I" pliq'" " 1 ' I'rc,:s;1l 1, fl} I' to. ,'11 I UIl'U >ll de 1',,)' \ I
65 •• t In mili dt' ,111\' j J' ~ H(2) l',lu enn'rr,tU" ,1 la prt'. tllll ..1J1lI {o1M.lI e n UI\ c ilillUfI' ml'd t¡ulIl' II n pi\lill\ a la ll'mpcr.l1ufiI dI'" ( - ¡:¡ .....hullen lUle l ti ' K~lJ p!ldll po r elI[U\ c, \' I:kk'rminar el I'olumell Ú\., 1,1
,m
67 •• SSM El dió >:ido de carbono ¡CO:) a I ,11m ]e pl't,"",i,'n Y 11:1, le mpc ratura de 78.5 "C ~u b lima d ireclUlllt!'nte dt:..de UI1 csbúI.l ,¡úhdll a UI ¡p "'!oso. sin pl\¡,ur po r una fu~ Ifquida, ¡.Cuál e, <.'l cllmhiol\ue 'íC rndu...,: " ID cup.1ddad calorifica la pre~ión con ~tante) por mol de ('0, 11 ~ 1 ti ~e ..1 ta , ublimución'.' SUlxmer que las molécula, dd ga\ PUCd<.'II!'tI::J ~11 00 ¿ Es po~ ilÍvo o n<."ga ti\'o el cambio en lit t::tpacidad o:all'nlit:a l;,¡~, 111 ;0 ~ La lIIol&:ul u de CO:. aparece representada en la ngum IK21
57 •• Un mol de ga.~ ide:d ,e caliellla de modo que T = Ape, en uonde ti e~ ulla con ~lantC , La tcmpcr,nu ra "ambio de 1(1 a 4T(t< Determinar el trabajo rcalir.3do por el gas, 58 • SSM Una exp:m, ión i,W}bllrim es una que se lleva :t cuoo ti presión COllsla nte. Dibujur varias isobara), de un gas ideal en un diagralllu que muestre el volumen eomo Ulla fun ción de la temperalura,
Figura 18,21
Prublema 67
59 •• i ti Un go~ idelll in iciulme ntc (1 20 oC y 200 kP:l po~ce un volumen de 4 L Ex pcrimenl:l una c xpml,ión i ~01crm ll cua.s i C~ttil i cll haSla que ~ u prcJo, ión <;c reduce a ICJO ~Pn , C:lk ulnr (ti ) el 1mbajo reali/¡,do por el gas y (h) el calor \ umiui¡,lmdo al g:¡ ~ d ura n le 111 expansión,
68 •• Un lIlol de un g:! ~ ideal mnno,:lIó mico \t Il nCllelllll ¡ni, ':lIl11t'uh ~ 273 K Y I atm, (11) (,C u,il C~ ,11 encrgíJ interna iniciaJ'.' 1/') l >t-L'nlllll ~u nefgr:l interna flnal )' el trabajo re:lIi/,¡l{lo por el gn.' cuand¡l \e IImi ni ,Ir,m
Capacidades caloríficas d e gase s y teorema de equlpartlción
69 •• I laeo!r un.1 li'la d~ todo'" In, grndl)\ d<.' hhcrt;ul pt'" ¡hle~ !k un: /I10 1t'<:ulu de agu:J ) hacc r una (! \.im¡¡ción de IJ L'ap.,t"iJ,IJ ~'al"nllrJ. Jet a~ \I.t IIlU) lJ(w enUII\,! LIt' ~u pUI11() de ehulhcion, ¡1.!!Ilomr l'l he.:!,,, Ot' 'lile la tH\llé.,·ul'l pudio! r.I ,h,tlci¡lI'C ,1 altn, Il' mpc r:ttuna.,.) Relle\loll¡¡r dt' tellld;l!II..:ntl' ,,>hn' 1,,,,ln<., k.~ dl ~l inh)-, mntl,h dc qu<." di\!1t' u(' una mnl ~~'Ul a dt' !t~a;1 [';.11,1 " hr,tr,
60 • Ut cap.1ciuml c:llor{ficiI" volu men con,tante dc cit' río gn, mOno.ltlÍmico e ~ 49,H J/ K, (ul Ilctennin,lr el numero de mole' de gll~. (bl ¡.Cuál e, 1;\ cne~fa lII\I.'mu de este ~a~ ,l T =- -'(JO K'_' Ij') ... Cual C\ 1'1 cJp:1cldnd enl4lri hc,l ,1 pre~ i On con, umle '! 61 • 1...1 le) de [)u lont: Petit \C tui 1i/!l mit:,nót lmente par;! Jctenl\in,.1r la mu'ill m\)lcc ulltr de una \U\ l!lnl'l;1 ,t p.\rtlr lit' ",u, e¡¡p.lc id,lde ~ ealurilica\ medi d a~ , Sahicndo quc e l calor e'I)!,.'.'itictl de un " ilid¡) dud(l e, oc 0,.147 UIl~K, lu} C'llcul nr "U Illl"a tnlllcculur. (It 1i,De qué' de mento \C Inua ','
62
Expandón adiabática cuaslestátlca de un gas 70 •• I 'n IIJol de un gil.' ido!ally = 1'1' e\ll;IIl""n,!,tJtlIMll,',UnClllt' ~ l.' un'le,I,tllC.tnll"nlt' tlc"lt' una I'rr,u'u de ltI ¡,tnl ~ leltlprlilturn lk () (' a UI1 e,Wd,' tin.tl dr rl\',i\~n 2 ,11m, Ilt-I<.'munar 1fT) In, lohlllll"Ul'" illll'lal y tinal. ( b) In Il·II\ pt.' r;tIUnt hn;ll) 1<'1 rll;,lhaJu U:;lli/;td{) p"r el t:"\
•• SSM del ¡¡ire It \ olurnen CIHl\la llle > H I'r..:,illn ,'O!1'lallll' .... upnner un.l lentpcr,\luru de 300 K Y unu Ilrt.',io l1 Jl' If)~ N/m' ,\dlllllt r a~iml\mtll/Ul'l'l ¡¡ire <.,t: ~"fl1JlllllC ¡j~ un 7~ 'f de ll1 ulécuhl\ de N ~ IJIC"ll1l1llú'ular 211 ~'Ill"ll ~ de un 2fl' ¡. dc mnlé · culu' de O! (pl' \O Il mke ulur _\2 )II1ll,11J, ~ quc illlll'K l' <.: OIl1''II'l1ellle, 'fin ~u'e\ iue!tle~_ lb ) ('nmpar :lr c l rt.', ul1 mlll I'tlll '" \ ulor dt' 1,\1'2 J/t: " m,:nlpdu etl d H(lndl>"o/.; (/1 Cllf'tJJH/I'\' <1m/ /'''n/n p,U;1 1.1 t:.lp
• i 111>\ fll\l1c~ dt }:,I~ netHl Ifllt'"dlllentc u ~o (' _\ Uun:1 pl~,i/in tlt' 1 ,tlm ...... i,:nmpnmen "dlll hátlcanJ<:llIe ha"" 11.1 dr 'u v¡,lunten 1111 Lt¡tl lk lcrmumr lu ICllIperalllm \ pn! \rón Jc'ru<~ lk lu ú ,mprr'lúll
63 •• 1 ' !l IIMl l tic Utl lI,h 1l.k~l di;¡1I1'1II~-n '" ,';II"' IIIa ;t \tllU tl lt'tI l'<'u\l.mlt' t\e,,\e ," 'lO K" btM) K' \,,) l)rtcnllln,1! el llIt: rt: tnt'nhl J t' cncT)!ia mlema. el tra·
73 •• SSM \kd u' mol d~' t111l!1I.' 1J.:a1 nlllll<~lt¡\ltll~II ,1una J"'f\'~1'1fI tk .ulll l.ll;t ~ un,t lI:m]'l'f,¡(um de: .'IOIJ K ...... e>:"alhl'>I\.l h'l'>.(u l\tr 1,1f"t"1\1I\ ha l.h"lU'
71 • 1'11 1M' llJe:¡1 :1 ht tempelatura Bmhl t' ntc de ~Il (' ,t' e"lIll'nnw ;lIlmh"ut:¡t> LUIl'tC'I;tlll'JllWnW h;I'I,1111 nlllad dc \U \i'l ulllcn nn!!u",!. l';tkular 'u t,'mpcr,l1um Im"l" 1111 (' : /IR ~ (b) e = ~ I/ R , 72
ti
•
548
I
Cap.lulo 18 Clllor'l p rime r I)rhll:lplo d e la lc rmodlnom k a
Ilu"j", a 100 '" 'R. 1"'1....11111111\1 111 1\'11\1"-'1 ,IIUIU ~ \Illumcn hnalc~, d 11\11>:1)11 reahmdn \ d 1.:")(",, nt-.... "11.~'" ,"!In \'Illu" '1 1;1c\ pall"l\l1\ \" (u) 1 " Jh.~n\U1 I (11) mlinbitlkn
74
••
Repc!U d 1'"11'l..:m.. 1.\ IMm un ¡¡:u' ¡lInltlmiCtl.
75
••
1-.1l',1I\. mol ~I..: IIdlll \C C \ll;In ~ i\'nil mllllháuen)' cuu ~ I..: .. I ~ I kl1 men l e
~k .....k: un,I 11\'C'11l1\ im~'HlIlIc :"i {11m ~ UllIt lelllllCl":ltul":I dl' SOl,) K ha'U! uu n 1",,~16n 111MI I.I<, I ,11m Cul<.;ul,\r\¡I) ht Il' l1l!lcmtu n t tin u!' (b) el Vlllu111(' n finul, le) el lnLhnju ......;¡h/;ldü ¡"",Ir t'l gIl' ) \.1) 1" \ ;lnm'¡tl n de euel'gfn II1lemn del mi ~l1Iu.
Il¡ml Inllnr un neurm11ico de bieLUleln ~c emplea unn ' .....'mh.! Ile "mml, ,iend,) In Ilre~ i tÍ n nmnométrka tlnal de 482 kPIl. ¿Cuánto Inl' h;ll~' ¡Jd'l:l.í rc:lh/.11"<é ,i \\I
•••
SS M
la! d l'i,lor "n"dido '1 cllmhoJo rellli/odo ¡x.r el ~I!~ d ur.mle cadll (,.) I lnllm l u ~ lelllpc11IllIm.. ' l' 1: '17 1.
rllf1t'
(1('1<:ido
8 1 ••• FI) el punUI 1) de la figuro 18 , 2~ la flrc ~ ; 6n y Illle mpetft!Ur3 tk "2 l11 ol e ~ de un I:tu ~ hlcul 111 0 1101116 11111:0 ~o n 2 non y ;\6() K , El volumen del ~U~ en el punl u H del di ngr:unn f'V c.~ tre" vece .. mAyor que en el pUnlO IJ y \ \1 pre ' ión e~ doble (Iue In del punlC! C. I .u ~ Irnyeel f)ri:. ~ AA y e l) repll"~n l ll n PfOCC' ~ OS iSllle r\11()S. UI gus renli1./I un ciclo complelO u lo Inrgo del ciclo DA BCD, Dch:rminar el lr:lbajo 10lnl rcali / tldo por el gll~ Y el c" lur s u m i ni ~ tr:ldo al gll~ 11 lo lurgo de eudn poreión del ciclo. •
l'
77 •••
Un gas ¡de:.1 con un volumen inicial VI y un n presión 1)1 se expan,¡onu [ltliaMtka y cl1 11~i e ,t:hi{'ll men tc IHl ~!a un volume n V: Y una presión f>z· Calcular el trnhaj o rcalillnlo por el gas integrando direct¡¡ mente f> l/V Y comprobar que cl l\!~ ultado e~ d mismo que el dndo l)Qr In eeu:lción 18.39.
Procesos cíclicos
v 78 •• Un mol de gas N2 (Cy = ~ I/ R) se malllicne a la temper:ltur;1 lImbicnte (20 OC ) Y a una presión de 5 alm . Se dej a expansionar lIdiabáticH y c unsic...~tát ¡ca me nt~ h3sta que ~u presión iguala a In ambiente de I alm. Entonc~ ~e calienta :l presión constante hasl3 que su temperatu m es de nuevo de 20 oc. Durame c~te calentamie nto el gas se expansiona. Una veZ que ha alca nzado la lempcratura ambiente. se cnlienla a volumen con~tu n te husta que su presión es de 5 aun. Se comprime entonces a presión constante hasta voh'er a su eSlado original. (a) Construir un diagr:tl1la PV de prcci$ión suficienle mosmmdo cada elap:1 del ciclo. (h) A partir de este grálieo determi nar el tntbajo real izado por el galo en todo el ciclo. (d ¿Cuán to calor fue absorbido o cedido por el gas en el ciclo completo'! (11) Comprobar el cálculo gráfico dcl apanado (h) dete nni~ nando cl lr.l bajo realizado por el gas e n e:ldl1 una de las etu p:ls del ciclo.
79 •• SS M Un mol de \In gas ideal di¡,tómico se dej:1 expandir a lo lurgo de la recia que Vll de I ;12 e n el diagrama J>V de la figura 18.22. A continuación ~ comprimc isoténnicamente desde 2 has[¡¡ l. Calcular el trabajo 10lal realizado sobre el gas dUr.l nte c::.~te ciclo. 2.2
1
2,0
Figura 18.23
82 •••
SSM
Problemas 8 1 y82
Repetir el prob lem3 8 1 con un gas dlatómico.
83 •••
Un gas ideal de 11 moles se encuemr..l inicialmente a la presión PI volumen VI y temperatura 7i,. Experimenta una expansión iSOlénnica has ta qu su presión y volumen son 1'1 y V ~ . Luego se expansiona adiabáticamente ha.. que la lemperatura es Te Y la presión y el \'ol\1men son 1'3 y V3. A continuaci! se comprime isolérmicamente hasla alellnZilr la presión p~ y el volumen V~. cual está relacionado con el \'olumen inicial VI por T
1.8
Problemas generales El volumen ocupado por lre.~ mole!> de un gas mono;lIómioo ...c 1rK:rcmenla de 50:1200 L a presión constante. La tempcratur:t inicittl del gll~ es de 300 K, ¿Cu!\nto calor M: ha s umini~ tmdo 111 ga:,!
1.2 1.0
2
0,8 10
"
l·'
lb
Volumen (Iilro)
Figura 18.22
"
Prnhlc mn 79
84
•
85
•
86
•
i
./
En el proce.'>O de comrre~ión de 1/ mo lc~ de un glllo ideal dintómicCl haq!l un {luinlO de ~ u volulllen iniÓILI se realizll un trubajo d ~ 180 kJ sobre el gIL' Si el.to -.c rcah7u isoténnicame nle a la temperatura ambiente (293 K ), j', cuánt:ts cnlClrfns se e~traen del gas? SSM
¿Cuál c, el número de moles
1/
del gas l'OnsiderJdo en el
problema 857 80 •• I)¡), mol..:, de un gu, idenl mOnW1I\nl1co Ilencn una pre,i6n inicial ' )1 = 2::IIm ) un Illlumen u11cinl \'1",,:2 L. Se ohlll.l,11I1 g.l' n rcalil.!\r cua<;;Ic,'Iálieamellle el ~¡P.IU C l1h.· pl"Ol.""e~o de h.:o: Se C 'p.1fl ~ICln tl l'>Otl! ml1canwnte hastn 'lile liene un vnlunlen de V! _ 4 L Lue¡¡:o '-C e;lltellltl n \ ol\lmen co n~tante ha~ t¡¡ 4ue \11 rre~i6n \ ale " 1e :2 atlll. Finalme1llC' \C enfn u a JlfC.. ioo l·on.. t.mte ha,t;, que \uche ,I .. Uc,I:IIIo mld al. {(¡l DlbllJ:\r l.... te .:ido en un Jiugrama f'\ (1)) Culcu·
87 • El diagrama ¡I V de la figura 18.24 rcprc ~enta proc~ rt'ali 1.ado~ JK1r ;\ mole .. de un ga, Ideal l1IonoatÓmico. El ga!> c." I6 inicialmente en el punto A. La~ u"a) cctoria .. AD y Be reprcMlntao procesos i ~oténnico~ . Si el ,istem8 evoluciona hll$la el punto C a lo largo de la trayectoria AEC. delenninar (u ) IIL' Icmpc.I1UUra\ inicial y fi1131 . (bJ el trabajo rcali7.ado por el 8B~ y ((,) el caJur ah~orhldo por el gn!>.
Problemas
p,
I
Se l>urlllnl ~trn cnlbr nI sí ~tcmu [1 dlllHl COmlnnlc medinnte un calentador de 100 W Dibujnr un gráfico
I\\m
4.0
- c.,
1.0 - -- - - -
4.0 1
Figura 18.24
102 •• SSM Dos moles de un gllS idenl dilllómico se ex pan~ionon [ldiab:ltieamel1le. La temperaturtl inicial del ga!> es 300 K.. El trabajo realizado por el glls dUI'lInte In explmsión cs 3.5 kJ . ~C ulil es hl temperatura final del ga~'1
D
20 ,0
103 •• Un mol de gas monoatómico, inicialmente (1 In temperotura T. experimenta un proceso en el cual ~ u temperatunl se cuadri plica '1 w volumen se rcduce a In mitad. Detenninar el calor Q mms-rerido :11 gas. Sabemos que en c..<¡te proce...o la presión nunca fue menor que la presión inicial '1 que el trabajo rc31izado sobre el g3s fue el mfnimo posible.
V.I
Problemas 87- 90
88 •• Repetir el problema 87 en el caso de que el gas recorra la trayec· IOria ABC. •• SSM 89 trnyectoria ADC.
Repetir el problema 87 en el caso de que el gas recorra la
90 •• Suponer que las troyectorias AD y BC representan procesos adia· báticos. ¿Cuáles son entonces el trobajo realizado por el gas '1 el calor absor· bido al seguir In trayectoria ABC? 91 •• A temperaturas muy bajas el calor específico de un metal viene dado por la expresi6n c = aT + b'l'3 . Parn el cobre, a = Om08 Jlkg . K2 Y b = 7,62 x 10-1 Jlkg . K~. (a) ¿Cuál es el calor específico del cobre a 4 K? (b) ¿Qué calor es necesario suministrar para calentar el cobre desde I a 3 K? 92 •• Dos moles de un gas ideal diat6mico se comprimen isotérmicamente de 18 a 8 L. En el proceso, 170 calonas escapan del sistema. Detenninar el trabajo realizado por el gas, la variación de energía interna '1 las temperaturas inicial '1 final del gas. 93 •• Suponer que los dos moles del gas ideal diatómico del problema 92 se comprimen de 18 a 8 L adiabáticamentc. El trabajo realizado por el gas es 820 J. Determinar la temperatura inicial '1 las presiones inicial '1 fi nal. 94 •• Dctenninar el vabajo que hay que realizar a In temperaturo y pre· sión estándares para comprimir 30 g de CO a un qu into de su volumen iniclnl si el proceso es ( a) isotenno '1 (b) adiabálico.
95
••
Repetir el problema 94 con gas CO2•
96
••
Repetir el problema 94 con gas argón. •
97 •• I Un sistema t ~nn icamente aishuJo está rorm;ldo por l mol de un gns ideal diatómico a 100 K '1 2 moles de un sólido 11 200 K separados por una p(lted aislllnte rígida. Detenninar la tempcrntura de equ ilibrio del sistemu al retiro r la p(lred aislllnte suponiendo que el w lido cumple la ley de Dulong·Pctit.
98 •• SSM Cuando un gas ide31 sufre unll varillción de temperatura 11 volumen constante. su energra cambi ll en tJ. U = Cw tJ.T. (a) Explicur porqué el res ultado tJ.U:r C. tJ.T es válido en el ca$<> de un gas ideal para cualqUier varin· ción de temperntufll con independencia del proceso. (b) Dcmo<,trar CJtplfcitamente que este l'C$ultado es válido paro la e_l:pansión de un gas ideal a pres ión constante calculnndo prirnernmente el trabajo ruJiado '1 dc.mo~trando que puede escribirse como IV = - nR t.\T. '1 luego utlhznndo tJ. U _ Q + \v. Siendo Q _Cp tJ.T,
99 • • Un mol de un gas monoatómico ldenl ~ calienta ti volumen oon..• tante de 100 o 600 K. (al Hallar el calor suminmrndo. el t",oojo reahlltdo por el gas y lo varind6n de MI energfll intemn eh) lIal1nr e$t/l,~ ml.smns magnitude<; si e1gas se calienta de JOO B 600 K a pre.~ I 6n ronstnntc. S$M Se ~umll,, \ tra calor por ... alor de SOO J a 2 mo~ de un ga.~ Ideal dUlt6mlco. (a ) Hallar la \ ariaclón de: la tempenuura SI se m.1ntlene la presi6n CQnSlllntc. (b ) Hallar el trabajo reahzOOo por el gas. Id Hallar el coc::ie:nte entl'l' el \'olumen final) el m1cu!ol del gas ~III temperatura ,"!ela] e~ 20 C 100
••
Un l:ilmdro :mlado en el que <;e encuentra un pl~ton móVil para mantener la presión constante. contiene Inicialmente 100 g de hielo a 10 101
••
e
104 •• Si en un líquido se disuelve una pequeñ3 cantid3d de una .,ustan· cia, la presión del lfquido aumcnUlrli ligertllnente. Para una disolución dilufda. la variación de pre.~ión se obtiene de la ley de los gases ideales, PV = NkT. en donde N es el número de moléculas de soluto d i~ueltas en el líquido. Ve<.. el volumen del Ifquido y P e.~ el aumento de la presión en el líquido. Calcular el aumentO en la presión cuando 20 g de sal de mc..~a (NaCJ) se disuelven en I L. de agua a una temperatura de 24 OC. 105 •• Un cilindro vertical adiabáticamente aislado está dividido en do!> partes por medio de un pistón movible de masa /fI . Inicialmente, el pi st6n 'ie mantiene en reposo, La parte superior se \'aefa y la parte inferior se Henil con un mol de gas ideal dilltómico a la temperatura de 300 K. Cuando se-libcra el pi tón y el gas alcanza el equi librio. el volumen ocupado por éste se ha reducido a la mitad. Determinar la temperatura fi nal del gas. 106 •• De acuerdo con el modelo de Einstein de un sólido cristalino, energía interna por mol viene dada por
1
en donde TE es una temperntura carncterística denomin3da temperatura de Ei". tei n y Tes la temperntura del sólido en kelvins. Evaluar In energía interna mol;l$ del diumantc ( TE = 1060 K) a 300 y 600 K Y con ello el incremento dc e~1 magnitud ni calenlUr el diamante de 300:) 600 K.
107 ••• $SM En una c\: pansión i~ot enlln. un gas: ideal Il una ptCM ón inicial Po se expansiona hast3 duplicar su volumen ¡nld n!' (u ) Hullnr ~u pre~ió n despu6s de la expansión. (b) Luego el gns se comprime ndlabátlca)' cua.~Lestnl1 cnmete hasta ~ u volumen original. en cuyo momenlo su presión VAle 1,32 PII, El gas, ¿es monoatómico, dintómico o polintómico'? (1") ¿Cómo varía en estos prc;t. cesos In energlu cmétlca dc tra¡¡lación del gas? Nota: Allnqll~ los probll'mas / OS· I 09 u rf'jil!ll'n a Jlroc~j OS 110 C/f{lslt~sl(I II COj. /tu fi mcionl!s di' i'smdo lit! los productos ¡ ;'wlf'.J ¡1IIt!rli'II mlcularsf' .f IIl/'OlIIt!nilo q lll' los ~ust!s son idl'oll!s .\ apliC'a M o 1'1 primt!r priflC'iJlú' dI! 1(lIf'ml(Ot:hml mica, Paro T :> 2(}()() K, lo I'ibrnció" dI' IO.i tftU/fIM rx:mrrihult! 01 \'(/Ior dt! e,. (/el \ lid 1{l O. d,. modo q lll! 1'1 d e I'.U O.f gaU J ('s 7.5 R a lemflf!rolllrru dl'lYlllaj SllpOllt!r qlll' los ga rl!s /la SI! di~Q(wn.
e,.
eo.
108 ••• La eombu ~u ón del benceno e~lLt rcprescntada por 111 reacción qul. nllca 2(Cfil,.,) + IS
Ilón de do<: mole., de benceno e~ 15 l 6 kcal . Un 11101 de benceno y 7..5 molc' de od gcno a 300 K c~tán enctrrndoo; en un recintO al ~ lado a la presión de I atm ( 11 ) Detenninllr la tempcralUro y el " olumen de~pué~ de la combustión qt lo preSiÓn se mantiene 11 I alm (b ) Si de.<.pué~ de la combustl6n se elimma ellll\Ia· miento ténmro alrededor del recintO y el ~ i , temo se cnrríl:l o 100 K. ¿cuál e~ la pre~i6n !lnal" El mollÓl:ido tic: carbono '1 el odgeno ~ combinan roro mando COl oon un desprendimiento de 280 kJ /mol de ( :0 ~gún la reacción 2(CO) + O~ _ 2(CO l ) . Do\ moles tic: CO) l mol dl' 0 1 a .100 K 1.'\IAn dl'ntrO de un I'CClplente d~ 80 l . la reattión de rombu"IÓn q: Imcill CQn una chl\pa (al ieu'l es la jlre!.u\n dd recinto ante' de la reacci6n'l (M SI la reaccIón tW!1'lt' lUgM Idlabiucamentc. ¿cIIIUes \On la temperatura y prt'.,\Ión tlnale' " ro SI el @b CO; re~ultante lOe tnrria. o e, ¿cuál e~ entonce. la pm..lón del Jl'('UlIO') 109 •••
SSM
550
I
Capftulo 18 Calor y primer principio de la termodln' mlCII
110 ••• Ulih1.ru' 111 ,,: \pl'l!,u~n dn,ln en ti pl'lJblclIlu 106 pUI1I In cll..:rHfo IIlII.'nlR lIIohu de UII ~lid.., do.! :lcu":I\ lo ron d modelo tic Binlolcin pnnl delllos-
U'l\r ,,!lIé el ,,'alor mulnr a \'ohnncn "'Qn ~ tllm e viene dlldu por
111 ••• (/1) Ullli,ar los l'C~ u hlldos dcl probh:: mu 110 punl dc m u~ lrn r ( ¡li t) 1I1 ley de Du!ong- Pe¡it. . 38., !"'(Iuivulc ni modelo de Eill.~ ldn cuundll1' > 7i•. (b) En el CIISO ,Id dium¡¡me, TI! es III)roJti mlldumelUe 1060 K . IlIIcgrnr num6ricamc ntc 111 IlXIlI'Csi6n JU = 1/1' pum dClcmlinllr el incremento de cllcrgfn
f<
t<
¡"temu de I /1101de tlinmltlllc al calentarlo de 300 a fIO() K. COIlIr ZM el tndo eQn d obtenido en el problema 106. 11 2 ••• Si !oC pi n..:hn un nc\unlillco, el aire del imerior ~ i r'e~p1I l){leo ti (.lOCO, SUIKJ1Ier qué el área del orificio ~ A , que el volumen del neu liu(1 es V. y que r. el li (~ mpo (I"C Illrdll cn ~ulí r del neumálico ca!ii lodo el a, puede expresArse en función de III rli16n MV. IlI lcmpcrnlurn T. In é(m~IHll tc BUJtll111llltl Ji y In mUSII 1/1 de la.. rtIolécullls dcl 8n~ que llena el neumtll¡ (ti ) Oc IIcuerdo con es l n ~ hip6 I e.~i s, u1iJl1N el unáli.qis dime nsional para ha..: unll cstimación de r. (b) Hacer u.~o del rcsulllldo obtcnido en (ti) paro caleul de manera nproJt irnndll el liempo que lurdarrll en dcsinflllne un neumático • automÓvil que 11:1 sufrido un pinchazo cllusndo por un c!ovo,
• •
•
•
•
SEGUNDO PRINCIPIO DE , LA TERMODINA ICA
Capítulo
19.1 Máquinas térmicas y el segundo principio de la termodinámica 19.2 Refrigeradores y segundo principio de la termodinámica 19.3 Equivalencia entre los enunciados de la . . maqUIna termlCa y del refrigerador 19.4 La máquina de Carnot * 19.5 Bombas de calo r 19.6 Irreversibilidad y desorden 19.7 Entropía 19.8 Entropía y energía utilizable 19.9 Entropía y probabilidad ~
f· •
I
I .\
La máquina de este viejo tren produce vapor, el cual hace un trabajo sobre un pistón que obliga a las ruedas del tren a desplazarse. El rendimiento de la máquina de vapor está limitado por el ~egundo principio de la termodinamica .
?•
¿Cuál es el rendim iento máximo posible de esta m áquina? (Véase ejemplo 19 .4 .)
~
e
onlinuarncnlc se nos pide que conscrvclllo¡., la energía. Pero dc acuerdo con el primer principio Jc la Icrmodinfirnica, 1,1 energía :;e cU II~crva siempre. Emonce... ¡,qut5 ... ign ific'l "conservar" la cncrgfa. !-i la can tidad 10lal de encrgín del Uni\cr..o no cambia con indcpenclenci:l de lo que hagamos'! En t.:stc C:lpílUlo vcrcmn'i que el pri mer prindpiu de lu IcrmcxlinámicH no no!- lo explica lodo. La energía ~c COIl\éIVII ,,¡cmpl'\!. pero algull:J'" formll ... de 1.. mi"llIa "011 m:Í!¡ lÍliles que otms. L:l po.. ibil klud n impo~ihilid.IJ dc cOIw.:guir cm:rgía que esté cn condicione.. de "er //fili:;:tufa, e'l el punto ccnlnd del !.c~ uncl o print'i[)io de lil tc rmodinftmica , Pur t.!jt.!lIIplll, c'" f~kill:Oll\ertir l'omplelarnCIlIC el tr.lhajo mccánico en calor (ener~(:l ténnica), pem t!~ impo... ible :Ib,orbcr culor dc un .. i'llem!l y Clm\ cltirlo l'OIllplelamclltc en trabajo mecánico \in ningún mm t:ullhio adicional. h,tc hecho c\pcrimcntul es UIlO de lo... enunciadu... dd ,cgundo principi\l de la lermudimílllic;I,
ti
p.... imIXl,ible que un 'l'tcllla pueda C\lmcr cTll:rgf!l en forlllil tk l,;L!nr de una \{llu fu ente ¡árnica y cUI1\cl1il'la completamente en ¡r,lhaJo '111 '1\1(,' , ," prodlllcan cam-
hin ... neto ... cn cl ,hlcllla n en c1nlt'din qu!'" k mt!e.1 SlGUNDO PRINCIPIO IJt- lA 1(R"'OOINAM~A: E.NUNClADO Ol KElVlN
-- I\lás adelante en este capítulo. \ tn"mtAotra,
La cneQll.\ ,(llar ,c diriEc d il\."CtaJllcnle hlll:j¡. el hllmll ,\\Inr ~illlado l'n el centro dc e~la ¡J i'lrihul,.'ión ci 1'(,;\1 lar dc rct1t·clon.·... l'n Baf"otlm, C;¡hrllnllll ¡bUldn, l 'n id()~I ,
SS2
I
Capítulo 19 Segund IJrlnd "lo de Il'Ilerrnodlnfimlc.n
Un ejelllplo ClI1T1Cl¡(C de In cOH vc.r~ i 6 1l de 11llcrghl mecánica en clllor C~ el movimiento con
Por ejemplo. supo ng U1110~ que crnplcamo .. dolt milllllOf> en cmpuj:lr un bloque en cunlquicl' dirccd 61l !'>obrc la ~ uperfici c de una Illc. ici6n iniciul. Supongamos tmnbién que el ~ i ,, ' cma bloque· mc'." c.~ lá inicialmente en equilibrio térrnico COn el t.:1l10I'llQ. Eltrubujo que rculizumos sobre el "¡Mema "e con· vierte en energía intema del sistt.:mn, y esto da corno resultado que el si<,tcma bl
Es imposible un proceso cuyo único refO ultado sea transferir energía en forma de calor de un objeto a otro más caliente. \
SEGUNDO PfllNClPIQ Dí LA TERMOOINÁMICA: ENUNCIADO Df. CLAU51US
En este capítulo demostraremos que los enunciados de Kelvin y de Clausius de l segu ndo principio son equivalentes.
/ 19.1
Máquinas térmicas y el segundo principio de la termodinámica
El estudio del rendimiento de hl!) máquinas térmicas dio origen tl los primcro~ enu nciapositivo cíclico cuyo propósi to ~ con"crtir In mfiximn cantidad po!) ible de calor en trabajo. Todas ella!) contienen unu sustancio de Irl1hlljo (agull en lo m:'iquin:¡ de vapor. aire y vapor de gru.olina en lo.'> motores de combustión interno) que absorbe una cnntidad de calor QI!' realila el Inlbajo W y ccde el calor Qc cuando vuelve a !'>u ~tado inicial. t.:n donde Qh' \V YQc rep~cntn n cnn tidadc'. po!'>itivm.
Lu!) primcnl~ ml1quinas térm icas fueron máquinn!> de vapor. inventada!'> en el siglo XVIII pam bombear el agua de las minas de carbón. Hoy !:l." mtíqllina ~ de vapor sc utilil:m para gencmr electricidad. En una máquina de vupor típica se calienta agua II una prc!)ión muy cleVllda (nor· mOllmentc hn."ta \'ario-. cientos de :nmósferas) hasta que !'e \'aporilil dundo "llpor de ugull u tcmpcr.lIurn alln (del orden de 500 OC) (figura 19. 1). El vapor <;e cxpansionn contnl un pistón (o I(b palal¡ de una turbina) realizando u-abajo. escapa dc.spués a una tcmperutura mucho menor)' -.c enfría aún mIl-; en el condensador. donde se le e:
19. 1 Máquln ¡u
térllllcll~ y el segundo l)rjntlplo de 1"
lermodlnÁmlc"
I
55]
• ,
Calor
-.
• CondcnSddo r
- .
Fig ura 19. 1 ES(luemn dcu namlíquinn¡Jt:vnpor. 81 \'(¡por a alta pr~s i ón prOCedenh! de la caldera rc:tl il.lIlmbajo conlrn el p i ~ 1 6 n .
Válvula de
~b',~
~ezda d,'~,.,._;, -;::;~tUbO 1 escape
Válvula de escape
admisión
El pIstón se mueve de nuevo hacia arriba para expulsar los gases de la combustión.
~
Una mezcla de de gasoli na y aire entra en la camára de combustión cua ndo el émbolo se mueve hacia abajo.
o Fase de expulsión (5)
Ambas válvulas
Fase de admisión (o carrera) (1 )
_
Cil il'ldro~_
Pistó.,,-_ Biela
los gases, al exdesplalan el pistón hacia abajo. Es la fase de potencia.
El pistón se mueve después hacia arriba
Ambas válvulas cerradas
pansiona~,
\
--...J
compri miendo la mezcla para su ignición.
t
Amblls válvu la~
cerradas
•
Cigüeña l
Fa!ie de compresión
(2)
Fase de polencia .. (4)
•Cuando la
p g ~~ina
cxp lOIIl, los g ases r~ltant('S $e
Ignición
exp.l n~a n _
(3) Figura 19. 2 M :'\quinn de CQmhll<'lión imcnlU. bn algunm mot(lrc ~ de inyc":":I(Ín. el curbur:mtc 'I! inyt..'t:ta dil\.'Ctamcnlc en el ci lindro en lu ~ nr dI;" h¡¡cerln en In t:OrriclII': dI! .U!\! . \
Ln figllnl 19.2 e ... un d¡n~mma e'
dl' 0110 que
~c m u..:'l nt en 1:1
tlgura 19.3.
,
l'o
l'
Figura 19.3 Cido de Ono cOITC'I>ondicnh:.1 una nuiquinll de (;O!l1bu~\lón iulcma. UI macla dc lllre· ~n~oIHl>I entro en (/ ~ <.e comprime ¡¡dIJb;:i!i,';:mlelJ[c h¡,~Ul h. EntoJlCt'" ,.: c;tliclIIH {al qm'uUlf'<;c dehid{l J Ilt c hi~l);l (IIIC .. ulla en In bUJful:t \olumcn ,'on'\aIlIC h1tS1:! (". lil ru-.e dI! potencia c'l.i reprcl,cntad:t por la c\p:m'I('n adinb;¡IH:¡1 dc~Je f a 11. 1:1 cnfrimmcllln a volumen ('{ln~l nn1c dc~dc ti a (I!\!prc~clt{J 1:1 t''l:puhlOn de 10\ ga-.e" qucll1udo,) la aJulI'wiI d... IlnJ IlUt'\¡l rnt'/cla de uin:·1!,.,ohnn
ss ..
I
"p'I\llo 19 Segundo ptint lp lu d e la te rmod in Ámica
Ln li gunl 19.4 mIo.: IIl Ul· ... lrn (le fO llllUC<.llllernlÍtlcll lllIlI mtiqulllu o molOr lé n nico. El t:ulor que cI1Im (11, ¡)I'Ol:cdl: dC! Ufl foco culiunle u lempcratu rII Ji.: el l'u lor que"'c c"<:a pa Q <;c tedc 1I un I\l¡;n ICrmico tl lIllIltl'lI1pcr:tturu infe rior UII fO l:o I:ulic nle el rrío ei> un <, .... temu idea l! ¡lUjO qtlC liene UIlIl t apm:idad calor(lk lllUll gl'ande que puede nh!'urher o eedcr eulor <; 111 ulm \'lLI'i adt~ 1\ aprec iub lc de o.: u tcmpCl'Ulura , En la prntlk a. un c(Jlllbu"itihlc r6!-i l que <,e e rlllUl11. L.a lIp lh.:aci6n del primer princi pio de 11I Iermodiná miell (tlU = Q + IV) dn
Fa,o en ••ntl ......l'ItUfIl ll
1:.
.h
~
......... ~11.
=!!> -
( 19 . 11
en donde W es el trabajo rcalizado por la máquina en un ciclo completo. Qb - Q~ c..<;¡ la ener· gía totlll e n fonnn de calor lransfe rida 11 la m(Íquina dumnte un ciclo y 6.U es I¡t variación de la energía interna de la máquina (incluyendo la sustanci a de trabajo) tam bién du rante un ciclo. Como los estados in icial y fin al de la máquina en un ciclo complelo coinciden. la" energras internas in icial y fi nal son iguales. Por lo tanto. tlU = O. Se defin e el rendimiento e corno el coc iente elll re el trabajo realiz'ldo y el calor ab~or· bido del foco caliente:
Foto MIl. tIrnCllAtUta TfI Figura 19.4 Rl!pl'esemución esq uemátic:l de un:! máquina ténnica. L l lllfiquinn extrae calor Qh de un foco caliente n tempcrmunI Th• real iza trabajo 11'. y eliminu l'alor Qc a un foco frío a temperatura '1~.
IV
Q,
-
l -~
Q,
( 19.2 1
DEFINICIÓN - RENDIMIENTO DE UNA MÁQU1NA TtRMICA
Como normalmente el calor Qh se obl'Ícne quemando carbón. derivados del pclTÓleo o algun otro tipo de combustible que eucsta dinero, las máquinas ténnicas han de proyeclarse pam tener el mayor rend imiento pos ible. Los rendimientos de las máqui nm¡ ténnicéL" tienen valOR'" típicos del orden del 40 por ciento. mientras que los motores de combustión interna PW!l.k.l alcanzar valores próx imos al 50 por ciento. Con un rendi miento del 100% (e = 1). todo el cal\,r absorbido del foco caliente se convertiría en lrab,yo y el foco frío no recibiría ninguna cantidaJ de calor. Sin emburgo, es imposible COlIstmir /lila máquilla lén llica COII 1m ntlldimielltn dll 100%. Estc resultado experi mental es cl enunciado de lu máquina térmicH del segundll principio de la termodinámica, el cual es equivalente al enu nciado que se atribuye a Kch-in :
Con cllin de extraer calor del motor y reducir su temperatura. el "dragster" de 13 fi gura dispone de un sistema de escape múltiple.
Es imposible que una máquina térmica fu ncione cícl icamente si n producir " infoi" mm efecto CJ ue ext raer calor de un so lo foco reali zando una cantidad de tmbajo CX!lct;llll¡;nlc equivale nte. SECUNDO PRINCIPIO Di.
9
LA TEAAiOOINÁlI.11CA:
ENUNCLADO DE LA MÁQUINA T~RMlCA
La pulahrn cíclicamel/te en este enunciado es imporla nte. plles en un proceso no cícliro sí (Iue es )}osiblc co nvcrtir el cnlor 10lnlmCIllc en tl'ubujo. A ~ í OCUlTe. por ejemplo. CU3n(\t) un gas ideal eX I>cri rnenta un procc~o ele c xpll n ~i ó n i~o t ertlla. Sin cmbargo. dc ~ pu és de 1:1 ex pansión. el gas no se cncuentnt en ~u estado original. Pam que el gas vuelva a su c~t:ld o origillll1. deoc real i/..ar:.e ,obre él un tr.lhajo y tina parte de t.:alor se pierde. Esenci almente. el :.egundo principio n o~ dice que !'i querernos extmcr energ ía de un foco térmico pam rcalj¡~a r tr.Jhajo. te nC T1l O~ que di:,poner de un foco más frío en t.:I que puedu di · minan,c pilrte de la energía . Si esto no fucse cit:no. podría proyectar,c UIlU máq uinu térrnit.:a pum su e mpleo en un barco qUl" funci onaria cxt ruyendo calor del océ
19 . 1 Mi'iqulnB$ tér m!c¿15 y el segundo pri ncipio d ... la ' " m ,x
EJEMPLO 19.1
I
Rendimiento de una máquina térmi ca
Fn l'¡ldlj \'ido una lI1 :hluinn tt'! rlll k:J a!J'iI)l'hl' 2no J dI.' Clllcl!' d I- UII roto Cll lh'utc. rt=1I11'1.lI lrubltju ~ ,""\.>de 160 J n un fO('Il I'.'(o, :,('11" 1 c<: "11 r'\' IHlhnÍ\'nto'!
Plnntemnlen t o del problem a mica (ccu:h.:itin ll.l. :!), 1.
l~ 1
rundi m;cllIo es el bido:
~ncien tl.!
I h¡ h J[IIU I1lIl~ la ddinición del rendi miento dc un!! rn ~q uinu tér-
entre el IrlLhnjo rcal il.ndo y el elllor absor-
1:'
=
IV
Qh
2. El culor :lh~nrb¡do se cnnon::
Qh = 2QO J
3. El tmbajo rcalil.ado se deduce del primer principio:
\V = Q,, - Qc = 200J - I601 = 40J
4. RcclIlphl7ando Qh y W pOr sus valore:; en la expresión de el rendim iento:
e, se deduce
r-lñiii:"l = Qh = 200 J = 0,20 = ~ 40 J
IV
E
Una máquinll térmica posee un rendimiento del 35%. (a) ¿Cuánto trabajo reali7.a por ciclo si absorbe 150 J de calor del foco caliente por ciclo? (b) ¿Cuánto calor no se aprovecha en cada ciclo? (R,'sIJ/l e.~fl¡.\· (a) 52.5 J. (11) 97.5 J.) Eje rcicio
EJEMPLO 19.2
I
Rendimiento de un motor ideal de combustión interna. El Ciclo de a tto
¡INTÉNTElO USTED MISMO! .
(o) Determinar el rcndjmielllo del ciclo de QUa indicado en la figura 19.3. (h) Expresar la res·
puesta en función del cociente de volúmenes r =VJV"
=V¡Ve'
Pla nte amie nto d e l pro ble ma (a) Para determinar e dcbcmos conocer previamente Q" y Qe' La transferen ci'l de calor tiene lugar solamcnte durante los dos procesos a volumen constante. b - e y (J - a. Conocidos Qh y Qc se puede detcnninar e en fu nc ión de las temperaturas T., Tb• Te Y Td. (h) Las temperatums se relacionan con los volúmenes mediante [;1 expresión n rr - [ = constante para proce· sos adiabálico.',.
Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos
Respuestas
(al 1. Escribir el rendimiento en función de Qh y Qt '
l'
2. El calor que M: cede tiellc Jugar :t volumen constllntc de ti a Expresar a , en función de e..y las tcmpcnllums T4 y Tdo
3. El calor (lue se ab~n .. bc tiene lugur (1 volumen con~ t rlnt e de b Exprc ..ar ab en flllll.: iólI de Cv y Ill\ h.! lIlpemlu r(l~ T, y f ¡,.
(1
(J .
(t
1;.
l'
=1
r,
(1
-
Q,
• , ,1 r
4 . Sustituir e:-¡to, va l orc~ de Qc } a h pan! dctemli nnr el rendimiento en runción de lll ~ tempcmtums 7~, T¡,. f , Y T,¡.
(bl 1. Rclncinllllr 7~ con 7;1 meditllllc ViV, = r.
I n~
- I -¡J. Q"
<..JI! Q.
= I
ccuflcit)nes 71'7 I = con ~13ntc y
...
1
1 I
•
1
I
1
r
1
r
T
(
I
I /. 1 I
I
T
I
2. Rcludonur T,.) T,. como en el
pa~
r
(lnlcrior.
3. Medinnh.' C'il:c. rcl;\cillne, chminolr T, } T¡, de que f 't(.' Cl(p~ tOn fu nción de r.
f
en
(a). de
modo
7 ,
r
1
Observación
La m/ón r f\olu~n Il.II1C~ dto la ~"(lmpn:"lónl"ll u men de... put!-~ de la oompre..iónl
licnmni nn m:,)"
,Ir f"Omprr.f ;on
-
,
I
"
/ I
S56 1 Capftulo 19 Segundo prln Iplo de l11 lcrltlodlnólll!ca
LIquido a baJIl presl6n
Válvulll de
líquido a "Ita pre~16n
Sensor Serpcntfn del condensador (exterior al refrigerador)
Foco callente. temperatura T..
Q, (hacia el exterior)
Q, - - (desde el interior del refrigerador al serpentin)
-
Vapor de alta presión Trabajo Motor del compresor
Serpentín de enfriamiento (interior del refrigerador)
Vapor de baja presión
(a)
Toma de corriente
(b)
Figura 19.5 (a) Representación esquemática de un refrigerador. El refrigerador extrae energía térmica Qc de un foco frío y ceo calor Qh a un foco caliente. utilizando para e llo un trabajo W. (b) Un refrigerador real.
.¡ 19.2 Refrigeradores
y segundo principio de la
termodinámica La figu ra 19.5a es un a representación esquemática de un refrigerador, el cual es esencial · men te una máquina térmica que fu nciona en sentido inverso. El refrigerador extrae calor de su interior (foco frfo) y lo cede a l med io (foco calien te). La experiencia demuestra que en esta lrans ferencia siempre debe consumirse cierta cantidad de trabajo. Este resultado constituye el enunciado del refrigerador del segundo principio de la termodinámica, que es alta manera de expresar el enunciado de Clausi us:
, Es imposible que un refrigerador fun cione cíclicame nte sin producir lIi1lgún otro efecto que la lTansfcre ncia de calor de un objeto fria a otro caliente. SEGUNDO PRINCIPIO OE lA TERMQOLNÁMICA: ENUNClAOO DEL REFRlCERAOOR
Si esta afinnución no fu ese cierta . !'crla en pri ncipio posible enfriar nuestros domicilios en verano con un refrigerador que bombease el calor hacia el ex terior sin ut ili zar electricidad o algún otro tipo de energfa. Una medida de la efi ciencia de un refrigerador es la razón QjW del calor cx lTafdo de l foco de baja temperatura y el trabajo real izado sobre el re fri gerador. (Este trabajo es igual a la energía eléctrica que procede de la loma de corri en te de la pared.) La razón Qj W rec ibe el nombre de coeficiente de eficiencia
~
Q,
-W
( 19.3)
DEfLNICIÓN -COOICIINT[ ()[ EfICIENCIA (REfRIGERAOOR)
19J ElJulvnlcnclo I!n tre ICH cnunclodol de lo máquina térm1ca y del rt'frlgNltdor
Cllilnh\ ll1a~\1I
c:\ d t'\~hnl'lIlt' lit' l..'Iil'lt>nl'iu. I11I:JOI C'" d rdll!!L'lador I ,m. n..' fn gcnuJllrc\ (\n.lllliUh" 11l'l1ClIl'(ll'Iil'u'11IC:' t!l'1 nnkn de ~ Ó h. 1'11 IUIll'iün tic ct,¡ln IlIl(lII, d cnulll'iuuo lid relrigcrild,ll dd \C811tl1Jn pnllcipillufllma 'I UC d I.'oclicicn tc dl' clidclU,.'w de un rt:frigcmdor n(l puede
'l'l
mhnil\l.
EIEMPLO 19.3
I
Fabricación de cubitos de hielo
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
Unu hOfn 11Il1l', dc ((ue l'llI)Jicl'CI\ n IIcJ{ur los invitadu), 1I1)~ dnmos cucnlu d c que helllos ol\'idlldo {'olllprnr c ublt n~ de hielo pum Ins bebidas. Rápidamente ponemos un lit ro de IIgUII n 10 ~l' ,'n In hUlldcju de los cubitos ~' In colocamos en el cOlIgcllldor. ¿Tendremos 11 tiempo el hielo Imrll Iw. im ¡Inclus" I':n In ctiqucln de. especificaciones del rerrigerudor constll (Iue el uplImio liene un cocflcicnte de eficicncill de 5.5 y UfUI potencia de 550 W. Se estimA «ue sólo el 10 % d e In potcncill St~ cmplcu pura rubricar los cubitos.
Planteamiento del problema
El tmbajo es igual a ]¡t potenciu nlultiplicada por e l tiempo. Como se no~ eJa la potencia, hemos de hallar e l trabajo pam determinar el tiempo. El trabajo está relacionndo con Qc por la ecuación 19.3. Para obto:::ner el valor de Q~ hemos de calcuhlr cuánto calor se ha de extmer del agua.
l. El tiempo está relncionado con la potencia disponible y el trabajo requerido:
p = W/, I
2. El trabajo está relacionado con el coeficiente de eficiencia y el calor extraído:
= \VIP
w_
3. El calor Qc extraído del interior del refrigerador es igual al calor QI extraído del agua para enfriarla más el calor Q;! que se ha de extraer del agu:l para congelnrla: 4. El calor Ql ncccsnrio para enfriar 1 L de agua (masa I kg) en 10 (ó.T= 10 K) es:
5. El ca lor Q2
nece..~ario
c
O
Q l = me llT - (1 kg)(4.18 kJ/(kg · K)XlO K) Q~
para congelar el agua en cubitos de hielo es:
= mL,
= (1
kg)(333.5 kJlkg)
= 333.5 II
6. La suma de estoS calores nos da Qc:
Qe = 41.8 kJ + 333.5 kJ = 375.3 kJ ,., 375 kJ
7. Sustituyendo Q~ en el pnso 2
IV
~e
detennina el trabajo \V:
8. El tiempo I se obtiene utilizando potcnci
Observación
e~le
valor del trabajo \V )' el de la
Ilu)' liempo , uficienle para fabricar cubItos de hielo. Si
=
Q,
-'1 -
375 kJ 5.5
II , - -11'P = 68.2 55 J/~
hubié,cmo~
culo anle~ dc poner el agua en el refrigcmdor podríamo\ inclu:.o haber C;I'\ agua a conge lar.
hecho el cáltriplicaJ¡¡ In cunt¡dnd de
Ejercicio Un refrigerador tiene un coeficiente de e licicncia igual ¡t 4,0. ¿('ulinlo calor hay que ceder al foco cu lientc si ~c c..;trucn 200 kJ del foco frfo'! IRnpllelfa 2:'iO kJ .)
19.3
EquIvalencia entre los enunciados de la máquina térmIca y del refrigerador
Aunque l o~ enul1ciudos dc In m¡iquina ténllic!l y del rcfrigc.mdor (O I.'lluncilldt'" d~ Keh tn )Claus iu:. rc.\ llCCli\amenlc) dd ,cgundn principio eJe la Icnmxhn:imic¡1 IMrCCcn muy diferente:.. \on en rCllhdad eqlli\a1c ntcs. PUl'eJe dCllloslr-.).r-.e c~ t;l l'qUt\~lle nc¡;¡ com proh.uHlo qul.' .. ¡ se supone f;tl~u uno cu.¡lquicr.l de ello ... el Olf('l dch!! ~e r 1.1Il1b1Cn f;¡J~o. Ulilil
rcfrigemdor rc~ull;.l;l 'u
\('1
f;lhtl .
- 68.:! kJ 1
1 min
I._·n~ x 60 s
-
20.7 min
I
SS7
558
I
Capítulo 19 Segundo prlnclplo de la
lerlHodh'~'111cll
50 J
Figura 19.6 Demostración de la equivalencia de los enunciados de 1,1 máquina térmica y del rdrigcrador del segundo principio de la
(a )
(b)
Refrigerador ordinario que extrae 100 J d e un loco lño y cede 150 J a un foco caliente, requiriendo el consumo de 50 J de traba jo.
Máquina térmica perfecta que viola el enunciado de la máquina térmica d el segundo principio extrayendo 50 J del foco caliente y com/irtiéndolos completamente en trabajo.
termodinámica .
(u)
El refrigerador ordinario de ((1 ) y la m áquina térmica perfecta de (b) trabajando juntos constituyen un refrigerador perfecto que viola el enunciado del refrigerador del segundo principio transfiriend o 100 J de energía del foco frro al foco caliente sin produclr ningún otro efecto.
En la figura 19.6(1 puede verse un refrigerador ordinario que uliliza 50 J de trabnjo par: ex traer 100 J de energía en form a de calor de un foco frío. cediendo 150 J a un foco calienh:. Si no fu ese cieno el enunciado de la máquina térmica del segundo princi pio de la te rmodin¡Í mica. podríamos dis poner de una máquina perfecta que extr..tjese energía del foco calienh: convirtiéndola completurnentc en trabajo con un rendimiento de l lOO por cie lllo. EstJ I11líquina podría utilizarse para extraer 50 J de energía del foco ca liente y obtener en canse· cuencia 50 J de trabajo (figura 19.6b). Entonces, si empleamos esta máquina témlica perfccta en unión con el refrigerador ordinario. se podría conslrUir un refrigerador perfecto que transfiriese 100 J de e nergía en fomla de calor del foco frío al foco culiente sin requerir el conSUIllO de trabajo. como se ilustra en la figura 19.6c. A:-.í se violaría el enuncindo del rcfri gerador del segundo principio de la termodinámica. Por consiguiente. si el e nunciado de la máquina térmica es falso. el de l refrigerado r debe ser as i1ll i~lllo fal so. Aná logamente. pucdl' demostrarse que si existiese un refri gerador perfecto. podría milizarse. ju nto con una máquina térmi ca ordinaria, pura const ruir una máquina térmica perfecta. A.;: f pues. si es f:llso e l enunciado de l refri gerador. también lo es el de la n ll.~quinu térmica. Se deduce entonces que si uno cualquiera de los enunciados es verdadero. el Otro debe :-¡er igualmente cierto. Por consiguie nte. ambos son equivalentes.
19.4
La máquina de Carnot
visto (¡uc. dc acuerdo con e l :-.cgundo principio de la termodinámica. es impo!oible que una m:'iqui na térmica que funcion a entre dos focos térmicos tenga un rendimiento del 100 por ciento. Entonce". ¡.cuál es el rendimiento nuh.. imo po:-¡ible pafl:l esta máquina? Esta cuestión fue l:ontc... wd:l por unjo\'cn ingeniero frun cés en ¡82.. . Sud i Carnal. antes de que ~e hubieran C!.tablccido e l primer principio O el ~cg u ndo principio de la termodinámica. Carnot dedujo que una fllfíqllil/(I rCI'ersible c!'> la máquina rntb eficiente que puede operor entre dos focos térmicos determinados. Este fC!'ultado se conoce como el tcorcm:t de Carna l: H e m o~
•
Ninguna máquina ténnica que funcione entre do~ focos térmicos dados puede lener un rendimiento mayor que una máquinu re\"cro;ible que opere entre es.to\ dos foco!'.. HORíMA O(.
CARNor
19.4 la m/lqulna
I(lJ
(a)
Figura 19.7
-I'i J
(111
=
(ti)
(e)
IA'm~lstr:H:ióll cld teOf"Cma de Carno!. (a) Ullllll1nquina térmica reve r~ible COIL un
40% eXl111C 100 J de un foco caliente, rea liz
Una máqui na térmica reversib le que Funciona cíclicamente entre dos focos térm icos se denomina máquina de Carnot y su ciclo es el ciclo de Carnol. La fig ura 19.7 ilustra el teorema de Carnot con un ejemplo numérico. Si no hay ningu na máquina que pueda tener un rendimiento mayor que la máquina de CarnOl. se deduce que todas las máquinas reversibles que funcionen ent re los dos mismos focos deben tener el mismo rend imiento. Este rendimiento, que se denomina rendimiento de Carnotodebe ser independiente de las sustancias de trabajo (es decir, ele los sistemas que efectlían el ciclo) que emplet:n las máquinas y depende únicamente de la temperatura de los focos. Examinemos lo que hace que un proceso sea reversib le o irreversible, De acuerdo con el segundo principio. el calor fl uye desde objetos calientes hasta objetos frfos y nu nca en sentido inverso. Po lo tanto, la conducción de ca lor de un objeto ca liente a lino frío 1/0 es reversib le, Del mismo modo, el rozamiento puede transformar tmbajo en calor. pero nunca calor en trabajo. La convers ión de trab:uo en calor por medio de l rozamiento l/O es reversible. El rozamiento y el resto de fucr/a¡:¡ disipat ivas transforman energía mec¡1nicu en energfa ténnica de manera irreversible. Se presentC encuentre ",cmpre en un cstlldo dc equilihriu (el intinilcsimahnentc l'cn::a tic un c.. ladn tic equihhrio,) COI\j()ICION[~
Df
R[VtR~18IUOAD
Todo pmce ... n qut.! \ iole alpuna tic l;l<., conJic i(\lle... ¡lnh.'non:: ... t.!<., Irrc' t.!p.lblt.!. l ..¡ mayoria tic lo... pruccsus naturale.. ...on IrTC\cr<.ihlc... Para ":(ln'>C~ lIi r un pmc:c..o n!\t'f'lh le. dchc tenerse gnln cuidad(l en cli nllnar el nl/anllcnltl ) olr.¡o, !ucr/..1<., dNP;¡II\ U... ~ eo hUl'er que el procesu 'le:, cua ... ¡estálico. C\l1l10 c'IIO no puede con'-CgUlf'(' ount',l por I.:omplclu. un pmce<., o
S60
I
Callilulo 19 Segundo pthH;lplo de In ll.!!llIod ln ámlco
Exparn16n I\olermlc:n
loto t~ l ll1 lco
, r,
I
Aislante
Expllmi6n adiabática
Co mpre~16n
¡¡diabática
p
I
Expansi6n isoterma
') / Compresión
4
-~
1
Expansión adiabática
adiabática
Foco - ' térmico
/ Compresión
a T, 3
isoterma aTo
Compresión isotérmica
v (a)
(b)
Figura 19.8
(a) Ciclo de Carnot para un gas ideal: Ewpa I Se absorbe calor de un foco caliente a temperalUra Th du rante la expansión iSOIerma desde el estado I al estado 2. Era/)Q 2 El gas se expansiona adiabálicametlte desde el estado 2 al 3 hasta que su temperatura se reduce a Te' Erapa 3 El gas cede calor al foco frío cuando se comprime iSOlénnicamente a Te del estado 3 al estado 4. Erapa 4 El gas se comprime adiabáticametlte hasta que su temperatura es de nuevo Th. (b) Duran te cada elapa se realiza trabajo sobre el gas o es realizndo por éste. El trabaj o res ultante du rante el ciclo se representa por el área sombread... Todos los procesos son reve rsibles. Todas las etapas son cUlIsiestáticas.
reversible es una ideal ización parecida a la del movi mienlo sin rozamiento de los problemas de mecánica. Sin embargo. podemos hacer en la práctica que un proceso se aprox ime mucho a la reversibilidad. Ahora eSlamos en condicio nes de comprender las características de un ciclo de Camol. que es un ciclo reversible entre dos focos solamente. Como toda transferencia de calor debe realizarse isotérmicamente para que el proceso sea reversible. la absorción de calor del foco caliente debe realizarse de forma isoterma . La siguiente elapa debe ser una expans ión adi abática cuasiestática hasta la temperatura más baja del foco frío. A continuación se cede calor isolérmicamcnte al foco frío. Fi nalmente se produce una compresión adiabática cuas ie..<;táticu hasta alcanzar In temperat ura más alta del foco caliente. El c iclo de Cam ol consla, pues. de las cUHlro etapas reversibles siguientes: 1. 2. 3. 4.
Unn absorción isoterma y cuasie:'lálica de calor de un foco caliente. Una ex pansión adiabática y cuasiestática hasta una lemperatura más baj a. Una cesión isoterma y cuasiestática de calor a un foco frio . Una compresión adiabática y cuasie!.lática hasta el estado original. ETAPAS DE UN CICLO DE CARNor
Para calcular e l rendimiento de una máq uina de Carnot. elegimos como suslancia de tra· bajo un material de propiedades conocidas - un gas iclcnl- y calculamos explíc itamente el trabajo reali/.ado sobre elJa a lo largo de un ciclo de Camol (fi gura 19.8). Como todo$ los ciclos de Carnot poseen el mismo rendimiento. independientemente de la sustancia de tm· bajo. nue.'\tro resultado será válido de modo gener.d .
19.4 la m6flu ln a de ( /Hnot
I
S61
•
Cenlral eléctrica alimentada por QIthó~ el F.lur Comers. Nuevo México (E$tad~ Vnill
El rendimiento de este ciclo (ecuación 19.2) es
e=
1 _ Qe
Qh
El calor Qh se absorbe durante la expansión isotenna del estado I al estado 2. El primer principi o de la termodinámica establece que flU = Q + W. Para una ex pansión isoterma de un gas ideal, flU = O. Aplicando el primer principio a la ex pansión isoterma desde el estado 1 al estado 2 se obtiene que Qh es igual al trabajo realizado por el gas en esa etapa:
Análogamen te, el calor cedido al roca frío es igual al (rabajo reali zado sobre el gas durante la compresión isoterma a temperatura Te desde el estado 3 al 4. Este trabajo tiene el mismo valor absoluto que el realizado por el gas si se ex pande del estado 4 al 3. El calor cedido vale, por lo tanto Qc
= W por el gas Central eléctrica en \Vaira kci (NuevlI Zelnnda). que transforma In energía gcolém lica en electricidad.
El cociente entre estas cantidades de calor es
v,
Q,
-
Qh
Teln y
-
,
V, Thln V,
( 19 .4 )
Podemos relacionar las ruzone..., V¡ V1 y Vl /V" utiliLando la ccunción 18.37 cOITCspond iente a una ex pansión adiabt'itica cuasief>l :1.ticu. Aplicando esta ecuución ti lo cxpun>.i6n del estado 2 al 3, se obtiene T h Vr_ - I = T e V 1r I An álogamente. en el casO de la compresión adiabática del estado 4 al 1. tenemos
S62
I
Ci'l¡>itulo 19
~ gundo ptlnd"lo de la lennodhuil11kll
Las barras de cOIlIrol se están insertando en este renclOr nuclear en Tihange (Bélgica).
La energíu sol ar se concentr.l y recoge individualmeme para producir eh!ctricidad mediante estos heliostatos que se están probando en el Sandía National Luboratory (Esludos Unidos).
Div idie ndo ambas ecuaci ones, resulta
11,)'1 (Ir
v, -
1
Así se tiene
v,
Q,
-Qh -
Tc ln\l~
Ir, Thln~
-
T, -T h
(19.5 )
El rendimie nto de CamO[ Ec es. pues
T
1- ....!
Th
Generador eléctrico experimental aecionudo por el vicnto en el Sandia Nat i¡)nal Labormory (&"Iado:, Unidos). El tipo de hélice propulsorn está proyectado panl una transferencia ópt ima de la energía del vienlO a encrgra mecánicu.
EJEMPLO 19.4
( 19.6)
RENDtMllNTO DE CARNOT
La ecuación 19.6 dcmueMra que e l rendimiento de Canlol es independiente dI! la .,ustancia de tmb:ljo de la mi'iqui na que f.iC considere: :.610 depe nde de IlIs tell1pe mlUra,'i de l o~ dos roco~.
Rendimiento d e una máquina de vapor
e
Unll nuí quln u de , upo r funciolUt ent ", un foco ténnko a 100 = 373 K } un foco frio Il O"C = 273 K. (a) ¡.C uá l es el nuhlmu rendimiento posible de 1$( 1l máquina? (b ) SI la má quina runcionll en sentido ,", uso como un refri gerad or. ¡.ru" es su máximo C'Ot'H<"iente de eficiencia? Pla nte amie nto d e l pro ble ma El rc ndinlll!rll n l11á:-: ll11\l c()rre.<.Jlo ndc al ciclo de Cnm /JI dndo por lu ecuncilSn 19.6. Paro dt,:lernun¡lr el n\¡o.imo coelicicnte de endenda. ~ uhli/3 la dclinición de rendimil!nln tt'= IV/Qh)' la ddinición dr r¡ ( " = Q/ " 1 y In ecuación 19.5.
19.4 III máqulnll de Carnol
(al 1 1lII,l\illhl n:-ndlllllt'l1hl':" el ut:lndtl Ul' l'nl1l11!
(b) 1. ¡;"ulhir 1,1 t'\;I'I\' ... ón p.II ,. '1 '1 111 uu1(!uina hlllel\um ell \enml\! HI\CI'" "'11 un (.'1\'10: 2 , F .. \'nhir la C\ ll!t''<¡l m p:1I'l1 /' >;1 hl lII¡¡q uinn funciona lm :.cmido Uil'l'\,'!\1 en un dL'lo, «'om¡) purn lu Illl,¡:dllla dicicncia pn~ lb l e lu m:i\lUina ~~ ,,'\cr-.ihle, I()~ valore .. de (!h' Q( y \V ~() n lo:. m i!olUo~ ..'uulq ulcnl (l\le ..en el ,cn!idn dI.! fundo llllll1iclllO): 3, A partir del pn~o 2, dClopcjU!' \V y sustituir el l'Csllltudo en la expresi6n del 1);\:,0 1:
4, Emplellndo la ecuación 19.5 y el rClolil¡¡¡do dc (a) obtener el vulor
de
'r
1'",., '1 •
f
'1
=
1
f,
I I •
O,2MI
I26,!(I ~ I
Q,
-
IV
-Qh IV
Q,
Q, eQ.
=-IV
T,
Q, =8Q.
=-fT. = '1 =12.73 1 q
171 !1. 1 H1K
273 K 0.268(373 K )
Aunque el rendimiento de la máquina parece muy bajo, es el máximo posible pam toda máq uina q U¡; opere entre estas temperaturas. Las máquinas reales liene alÍn menores rendimientos debido al rozamiento, la conducci6n térmica y olros procesos irreversibles. De igual modo, los refrigeradores reales tienen un menor cocficiellle de eficiencia. Puede observarse que el coe fi ciente de eficiencia de un refrigerador de Camal es TJ tJ.T Ob servacion es
El rendimie nto de Carnot establece un lími te superior de posibles rend im ientos y. por lo tan to. es úti l conocerlo. Por ejemplo, hemos calcu lado en el ejemplo 19.4 que el rendi mie nto de Carnot es 26,8%. Esto quiere decir que por mucho que se redu zca el rozam iento y otras pérdidas irreversibles, el mejor rendim iento obte nido e ntre focos térmicos a 373 K Y 273 K es del 26,8 por ciento. Por lo tanto, se ha de reconocer que una máquina que fun ciona entre esas temperaturas con un rendim iento del 25 por ciento es una máquina muy buena.
EJEMPLO 19. 5
I
Trabajo pe rdid o por un máq uina
Una má{IUina co nsume 200 J de un roco ca liente 11 373 K, renli7.fl 48 .1 de I.r abaj o y cede 152 J 11 un roco rrío n 273 K , ¡,Cuánt o trabujo se " pierde" por dclo dehido a la irrt:\'crsibi lidlld de la má quina?
Pl antea mien to d el p roble ma UI difere ncill entre el trabajo máx imo que puede rcnlizarse (ciclo de Camol) y 48 J ser:! cllrahajo perdido. 1. El trahajo perdido ..:s la crmlidad máx im:l de trahajo que puede realil.ar<.c uli1i7,nndo una mÚ(luiM de CamOl menm el trabajo realmelllc obtenido:
IV rrnl!do - 1V"w, - W
2. L.'l cantidad m{i;
T,
,<- 1- -
T.
w.. ' 1_t.. = ( I - ~)Q. - ", T h
=§TI Obse rvaciones 1.010 5,6 J eJe energiu de 111 re:o¡pucstll fi nal no se han ''perdido- en el untvcr..o. ya qut.' la energf3 IUlal M: con'oC(\8. Sin cmhargo, la máquina reaJ 1..'Cde 5.6 J de e:ncrp:ía al foco frio que podrflUl habc.r.c comertido en trabajo útil "'1 la mÁlIuina hubiera !iido ideal. C'i decir. R'ver5ihle.
(
1 _ 273 K) <200 1) · 48 J 373 K
I
563
S64
I
Cal>llulo 19 Segundo principio de In letT1lodlnol!11lcn
EJCMPLO 19.6 i'l1 ~,'
Perdida d e trabaJo entre foco!» térm k o$
11111' ,-,,,,,\lm'l'!";11 .!tMI ,1 di' l'uhl,· tic 1111 ftll'\lIt~ l'IlIkll 1I J 7J K 11 lit ,'11 11 27.1 K ~In m ~ lll1 l n n t ~ rl1l kl' "nI''\' h ... f'M."I" .', 'IU ~ l'ullnd tl m t eh' 1" 'lIIlud l· ¡I'IIhnJ" ..e "1)ll'I'd ~ " ~ " e<¡te prO'I' 1111'I1Iit{'1I
'''''11' \ tnllh en d ~ll' llIpltl ,II1ICllllr 'IUl' lUlO nulql1l1111 ,k CUr1 WI ILIIKlommdc' entre c .."'.. dn~ hlol:u" IloIlJna re,lhl.tf :¡\.o J de II. lb 'q ll " c \ u.\ ~ e~l' lOO J del hl('o 017.\ K ) ecdle~c el 1i~" l tllIl IOI;\! dc 17.1 k .\ .. \ ¡lILl",,, 'l' C¡l1lduo.:I'n l OO J Il it~c I U ll ll!lIl ... \,Ic!I (K'1) eal k nlC al fOce) frío ~ t11 rcnlil!ir Jlin· llli n Im ll.lJll. ' e " pt'I\ lcnl1l" "3,h J de c~ 1U l'nergfll en el M.:nli(Iv de que podríul1 hllbeN' cO\l vC l1illo en 1 1~lb:l,O Hit \.
Un!lllluquina de Camolllp.: ra entre focos, t¡!nnic{Jlo u SOO K y 300 K. (ti ) ¿Cuál C, su ren~hmie lllo·.' (/1 ) Si cmplc;! 200 kJ de calM del foco calic n\c, ¡.cuánto tmbiljo rcalilll'! ( Rl'·\ f}//l'SlfI ((1 ) ...0'1-. (/1) 80 kJ .) Eje rcicio Un!! mrtquinn rclll trub:Ua entre rocu~ térmicos ¡j 500 K Y 300 K. Emplea 500 k.l de calor dd foco caliente y reali l u 150 kJ de lrabajo dUl1l1ltc. enda ciclo. ¿Cuál es Sil re ndimicnto? Ejercicio
( Rt'.vfJllt'SUl
30% .)
La escala t ermodinámica o absoluta de temperaturas En el capílulo 17 definim os la escala de temperaLuras del gas ideal en función de las propir dades dc los gases a bajas densidades. Como el rendimiento de CafllO( depende sólo dc I temperat uras dc los dos focos térmicos, puede utilizarse para defi nir la rel ación de las temp. ralU ras de los focos. independictltemcmc de las propiedades de cualq uier sustancia. Definir. mas la relación de las te mperalU ras nbsolulas de los focos caliente y frío en la fo rma
T,
T,.
Q,
-Qh
( 19.7 D EFINICIÓN DE TEMPERATURA TERMOOlNÁMICA
en donde Qhes la energía extraída del foco caliente )' Qc la energía cedido al foco frío por Ull.I máqu ina de Carnol que flmcione e11lre los dos focos. Así pues, para determinar la rclnción tk tcmperuturns de los dos foc os, di sponemos una máquina reversi ble que func ione erllre e1lt" ) med imos el calor absorbido y cedido por cada uno de los focos durante un ciclo. La t CI1I I)Crt\tura termodinámi ca está completamente determinada por la ecuación 19.7 J la elccción de un punto fijo. Si el pUnlO fijo se define igual a 273.16 K para el punto tri ple del agua. la escala termodi m1micn de temperaturas coincide con la escala de tempemturas del gas ideal en el intervalo de ¡cmpcrmunls en el cual puede utilizarse un termómetro de gasc:.. Una te mperatu ra que marque cero en cl cero absoluto pe rtenece a ll ll U {',\"('(I (a abso/u((l de fCmper(l/Urt.fs.
• 19.5
Bombas de calor
Unn homhn de ca lor es un refrigerador con un ohjclivo difr..\renle. Lo característico de un refrige rador e::; enfriar un cl1er¡x) o si:.tcllla de interés. Sin embargo, el objeti vo de una bombll de cnlor es calentarlos. Por ejemplo, si uti Iizamos una bomba de calor para calent:lr una eo:.a, lo que e<;tamos, haciendo es ex traer calor del aire frío del exterior de la casa para cederlo al aire más <::'i lido del interior. El objetivo es calent ar el interior de la cnsll. Si se efeclúu un lfabajo \V loobrc una bomb;l de calor para extraer un calor Qc del foco frío y ceder un culor Qb :11 foco cnl icnt e, c.I cocficiell1 e de diciencia de la bomba de calor ~ c defin e de la formu
Qh
/10('
=W
(19.8)
DLFI N\CIÓN-C OEFlClfNlI OE tFlCILNClA (BOMBA DE CAlOR)
19.6 Irreversibilidad y desorden ~te Lwl1clcntc
de clkicllL'm cs dl'lt111lu dclllcll nido paOl e l refrigerador, el ~ uaJ C~ QJW (CCllU ~ t'iün 19.J). l ltili/tlndo la n.: hll.:iOIl \1 QII Q~. ItI c-.;pre,.. ¡ón (19.8) puede e... .cribir.;.c como
1
'lu(' =
( 19.9)
1
Se obtiene c l m:t"imo coe fi c ie nte de e lic:Il'ia uti lizando una bomba de calor de c.lmol. En ~te caso Q,. y 011 c~tá.1\ relacionados por la ecuación 19.5. Sustituyendo la fracció n Q/Qh por T.!TII e n la ecuación 19.9. se obtie ne pam e l coefi cie ntc de e fi c ic nci a máxi mo
'1 Be máx
1 -
-",,"
T,
-
( 19.10)
1- -
T"
en donde 81' es la diferenc ia de te mperaturas entre los focos ca lie nte y frío. Las bombas de calor y los refrigeradores reales tiene n unos coefici e ntes de efi cacia me nores que l1fk mh debido a los rozamientos. la conducció n del calor y otros procesos irreversibles. Los coeficientes de e fi c ie ncia del re fri gerador y de la bomba de ca lor está n relacionados, como puede verse utilizando Qh = Qc + W y las ecuac iones 19.3 y 19.8:
rJBe -
EJEMPLO 19.7
I
Q, IV
-
(19.1 1)
¡INTENTELO USTED MISMO!
Una bomba de calor id eal
Una bom ba de calor ideal se utiliza para bom bea r elllo r d esd e el aire exte rior a -5 oC hasta el suministro d e aire caliente pa ra el sistem a de caleraeci6n de unu casa. que está a 40 oC. ¿Cuá nto trabajo se necesita para bombear 1 kJ de calor dentro d e la casa? Plantea m iento del proble m a Utilizar la ecuación 19.11 con el coeficiente de eficiencia '/UC fD;Ú. calculado mediante la ecuación 19.10 pnrn Te = -5 oC = 268 K Y l1T = 45 K.
Tape la columna de la derecha e Intente resolverlo usted mismo Pasos
Respuestas
1. Calcular el Intbajo a pani r de la ecuación 19.8:
\\
2. Calcu lar 3.
Oc.~pejar
1]1\('
a partir de la ecuación 19. 10:
el trabajo:
(1
'1 ",
q" \\
q, (1
'1m 11
_.
I \T
<.!
I"·I~" l¡
\T T
I
Obse rva ciones El coeficiente I!." "RI ' 1111~ = Ttl6T '" 6.96. h.-. da:tr. la (,IICigia tran,..(rrida denuo de la ca¡¡u en fonna de calor Q 6.96 ... et.-e... mayor que el tr.lhaju reali,.ooo. (Sólo ~ De\.~¡r;itan 0.144 U de tmb:uo pum bombear I kJ de calor al
19.6
Irreversibilidad y desorden
Existen muchos proceso ~ iITC\cr-ibles que no pueden de-.cribiNe por los enunciados de In máquina té nnicj o del rcfrigemdor dc.:l ~gundo pnneipio: por eje mplo. un \·a..~o de cristal que cae a l !'> ue\o y se rompe o un globo que \C pIOcha. Sin embargo. todo.!. l0" proce .. o~ irre~ \'cnoible .. tienen algo cn común : el .. isternu m:h el mCl..ho que lo rodc~ tiende hacia u n c"mdo meno.. ordenado.
l' ,
(1i..J1~lt""
I
566
I
Capitulo 19 Segundo prIncIpIo de la lellllodin(unk ..
('OI1 .. idl' IOCllllJS 1I11 l1 caja que ctllll1enc 1111 gu ... d!: ma ~ 1I M 11 unu IClIlpcrnlUru I quc ..e c... tiÍ In~ lvit;t1du ... obre UI1It II1C\1I Silll'O/ Ullli t' l1to con vcloti dlld l'fm (figuru 19.Qu), La energía lIné ticu !tItal del gil'" IIcl\e do... COJ11 p~)l1 elllc"'. La pdlllcl'u c<, la cne rgía ci néticlI u<;ociac!" con d movi mientu lIcl ce nlro de lI1u~n .. del gu<;, iMI'lru ' E~la cnergín es unu cllcrgfn mcc¡initu onlellnda que puede cOllvcrti .. \e cOlllplctlllnCl1tc en tmhujo. ( Por ejemplo, <;1 eon una cuerda se sujeta:.e un pesó" ItI caju ll16v il por l11euio dc UIIH pole!!. C.. I/I energía pod l'Íu Ulili/ar<,e punl IlJvtlntw' el peso.) La otra cOl1lponente de la energía cinéticu del gm. c.<; la energí¡¡ dcllllovimiellto de sus molécullls respecto al centro de Illa .. u~. Se trata dc la energía térmicu internO! del gil!', que estlÍ relacionada con su tempcrmuru, T, y es una cnergía alcaloria. no ordenada. que no puede convertirse total mente cn tmbajo, Supongamos ahora que la cajn choca contra un a pared fija y se detiene (figura 19.9h). EstH colisi6n incláslica es clarnmcnte un proceso irreversi ble. La energía mecánica ordenada del gas se convierte en energía intern a aleatoria y la tempcralu ra del ga~ se incremcn ta. Éste ICndrá la misma energía total. pero ahora toda ella estará asoci ada al movimien to aleatorio de sus moléculas re!'pecto al centro de masas del sistema, que en esta situaci6n se encuentra en reposo, Así pues, el gas ha resu ltado menos ordenado (o más desordenado) y ha perdido algo de su capacidad para realizar trabajo.
,
''1.
(b)
Figura 19.9
1/ 19.7
Entropía
Existe una fun ción termod inámica denominada entropía S que es una medida del desorú~ n del sistema. Como la presión P, el volumen \~ la temperatura T y la energía interna U. la entropía S es una fu nción de estado del sistema. Lo mismo que ocu rre oon la energía interna, lo import ante son las variaciones de la entropía. La variaci6n de cntropía dS de un si:;tema cuando pasa de un estado a otro se define por la expresi6n:
( 19. 1
dS -
DEFINICIÓN-CAMslO DE ENTROPI donde el numerador dQreves la energía en forma de calor que debe transferirse ni sistt!ma en un proceso rewm;ible pan! llevarlo del estado inicial al estado final. Si se ex trae calor del ,1',tema, dQ"""es negativo y también lo es la variación de entropía del mismo. El término dQ""" no sign ifica que deba tener lugar una transferencia de calor re\'cr:.it'llc para que cambie la entropía de un sistema. Realmente existen muchos casos en los que varill la entropía de un sistema aun cuando no ex ista ninguna tran:-.ferencia de culor, por ejemplo, la del g'l$ que colisiona contra In pared en la fi gura 19,9. La ecuación 19,12 no ... da ~ ill1 ple men te un método para calclIlar la diferencia de ent ropía en tre dos estados de un siMcma, Como la entropía es una fun ci6n de estado, la varillci6n ele cntropía de un sistema cuando pasa de UII estado a otro depende tínicamente de lo!<. cslados inicin l y final del mi smo y no del proceso segú n el cual se produce el cambio,
J Entropía de un gas Ideal Ilustraremos ahora que dQ«:jT c:-. realmente la di fcrenc ial de una runción de estado (mlllquc dQrev no lo ~ea ), Consideremos un procc::.o cuasic ..aático rcvcNible arbit rario en el que un gas ideal nbsorbe unn cantidlld de calor dQtf;\- Oc acuerdo con el primer principio. dQfC\ <;t: encuen tra relacionudo con la variad6n de energía interna (JU del ¡;1I~ y con el lrabajo realilado ~obre el gm. ldW = - p ti\!) medi nnlc dU = dQrc, + dW = dQ ", - Pd\l
En el ca....o de un ga .. idea l. podemos cscribir dU en ru nci6n de 111 capacidad cnlorífica. de = C, ór. y reemplal.ar, a partir de 13 ecuación de eqndo. P por nRTIV. Entonces dV C, dT = dQ rt"_ - I/RT\1
( 19.1.'1
19.7 Enlroplll
I
I
567
r
1'j. 1, no puede inlcJ:l.I'lU'\C a Illcn u:; que "1CpU11I0'l c61110 depende de V. lf.!<>to C!
e'.!.!. r
=
I
dQ,~\
T
(IV II U-V
( 19. 14)
Como e, JI:!I>l!mk :;úlü de 7: el Iwilllcr miembro puede illt cg rar~c y el segu ndo término del ,\cgundo miembro I:llubién. t Por consiguicntl!, dQre.)T es la diferencial de una función, la fun~ ciá n entropía S.
(.15 =
rlQ~, T
=
(e\"X "2) R
( 19.15)
Pum mayor senci llez, supondremos que Cv es constante. Integrando la ccuación 19.15 resulta
DS=
f
dQrt'" T, V., T =Cv lnT~ +IIR ln V~
( 19. 16)
La ecuación 19.16 nos da la variación de entropía dc un gas ideal quc ex perimenta una expansión reversible dcsde un estado inicial de volumen VI y temperatul"d T I a un estado final de volu men V2 y temperatura T2.
Cambios de entropía en diversos procesos
~uando un gas ideal experimenta
.ó.S en la expansión isoterma de un gas Ideal una expansión isoterma. T2 = T I Y su variación de entropía es 8S =
f
dQ V, - = /IR In T V,
-=
( 19.17)
La variación de entropía del gas es positiva porque V1 es mayor que \'1' En este proceso, una cantidad de energía Q se transfiere en forma de calor desde el foco térm ico al gas. Esta can~ tidad de calor es igual al lrabajo real izado por e l gas:
Q= W =
V, fVI
P dV
fV ' dV = "RT VI
V
\1,
- /lRT In -
V,
(19. 18)
La variación de ent ropía del gas es + QIT. Como la cantidad de calor que abandona el foco a la tcmperatura T es la misma, la variación de en tropín de l foco es - Q/T. La "ariaci6n neta de entropía del gas más el foco es cero. Designaremos como "universo" al sistema que se estudia más el medio que le rodea. Este ejempl o ilustro un resu ltado general : En un proceso reversible, la variación de entropf:. del univcrso e.~ nulu.
S en la expansión libre de un gas Ideal En la ~xpn n s i ón libre de un ga~ ideal expuesta en la sección 18.4. un gas CM:'! inicialmente confinado en un compartim ientO de un reci nlO, el cual ~:;tá coneclado por una vl\lvul:l con ot ro compan imiemo dondc se ha hecho el vacío. Todo el sistema licnc parcdes rigidn~ y ~l á térmicamente aislado del medio, de modo que el cn lor no puede entrar ni !mo. Como no se reali.t a ninglí n trabajo y no !)C transfi ere calor. la energía interna final del ga~ debe ~cr igual a su energía interna inicial. Si el gas es ideal. la tempcrmurn filml T e.. igual a In inicial. 1 M:uem;iIl~"nmCIIIC !ut>hmd.). ti faclor 1" '-C' (k-lXImIlU. I ~I()I" 1n1~ll1Inte de la rctla
GIs
FIgura 19.10
Vado
EXPiln¡.ión libre de un gas. Cuando la válvula ~e ubre el ga.~ ~c expunde rápidumemc hucia la cánmnl evacuada. Ct1mo no se rcali/a tmb¡ljo sobre el ga~ y I!J :.iSlcma en su conJunlo I!~lá lém¡icamenle aisludo. Jn.s energ fa~ inlemas inicial)finuJ del gu.\ son iguales.
S68
I
apllulo 19 Segundo prlnclpto de la termodlnnmlca
A l1r1nu:11I vistu p(){lrfull1o" peno,;nr que no huy clUnbio ue clll roptu del gas. ya que no hay lrun¡.fcrcncill de I.:ulor, 8!I sis-
J
telll(l {)(1m ('/jolquia ¡Jl'Orest) dl'pellde ¡ínicameme de los estados inicial)' jinal del sistenw. /a l'or;a('ÍÓII dt, el/Impía ('1/ la exptlllsi6/1 libre e,f la mislllo qlle en ell'tISO de la eX¡Jtmsi6n
Si V I es el vol ulllen iniciHI del gas Y V1 es su volumen final. la variación de entropfu experi mentada por el gas viene dudlL por 1:. ecullción 19. 17: i.mll'l'lII{/ .
8S8a~ - /IR
V,
In -
VI
En este caso. no hay cambio de entropía en el med io y por lo tanto la variación de entropía del gas es también la variación de en tropía del universo:
"R In
V, VI
( 19.19)
Obsérvese que como V2 es mayor que V I< la variación de en lfopía del uni verso para este pro· ceso ineversible es positiva; es decir, la entropía del un iverso aumenta. Esto resulta ser tam· bién una propiedad general: En un proceso ineversible, la etUropía del universo aumenta. Si el vol umen fina l en la expansión libre fuese menor que el inicial, la entropía del universo dismi nuiría, pero esto no ocurre. Un gas no se conlrae libremente por sí mismo hasta ocupar un volumen menor. Esto nos l1eva a otro enunciado del segundo principio de la termodinám ica: En cualquier proceso, la entropía del universo nunca disminuye.
EJEMPLO 19.8
I
Expansión libre de un gas ideal
Determinar la variación de entropra que tiene lugar en la expansión libre de 0.75 moles de un gas ideal de VI = 1,5 L II Vz = 3 L.
Planteamiento del problema En la expansión libre de un gas ideal las Icmper.lluros inicial y fi nal son las mismas. Por lo t3ntO. 13 variación de entropía ¡'jS en este proceso irreversible es cquivalclllc a In que liene lugar cn UII proce¡¡o isoh::mlO de VI n Vz en forma reversible. Paro el proceso isotcrmo IlU = O. luego Q = Wpor Por lo tanto. primero calculamos Q y después establecemos que ¡'jS = QIT.
-º
1. La variación de entropíB es In misma que tiene IlIgar en un proccso i..otermo de VI a Vz: 2. El calor Q que absorbería el gas en la expanlli6n i50lerma a la tempera· turol T es igual al trabajo realizado por el gas duranle la expansión: 3. SU51ituir este vulor de Q para calcular 65:
T
Q
¡'jS
Wr<><
e
=
n !{
T
nRT In
= nR In
V.
~
V,
V, V
= (0.75 mol)(8.3 1 J/ mol · K) In 2
OS =14.32 JIKI
.1S p.r. procesos. presl6n constante Cuando una sustancia se calienta desde la temperamm TI a la lempcnuura 1'2 1) pre.
19.7 lnltopti'
PnJl'I1l('" "l'n'\ un¡lrI1o" " In \"'(lUUlU.:\:I('1IJ del calnr 11.'\'cr .. ,hle "1 dl\¡I ){!/1l' lIll1<¡ ue Ull ~ 1 ¡J11 millll'n1 d~ hx'(\.. 1~1 11l11.:\" 1..'1\11 tC'l11lx'l ilIUI'U!- 1.'(IIllPI\~l1l hdu .. ul.'lItro del nm' l vulo dc ' 1 jJ I ~ Y \,'(111 \;,lon:"IIlu\ 1'1') \111\ 0" ~nt l1.'''1 hllt' rl\:c~ hu)' quC' ~o l m:HL IItH"tl, 1 'lUlltuUCIlI, l'UyU tClI1pCr¡Hura mll'lil1 e .. 1""l'l1 ct)nlac\lll.:tlll l'l pn 1\1I.'" fOl'o. u 1l' 1I1pcnnUnt ligcl'tllHcntc l11uyor que TI' \ lil'lar que la "ll .. l;.\llC l;1 IIh"\lrhu 111111 1'Il'40C 1111 c:ul11dud de calur. ('milO 111 transfcl'l.'llciu de \:alO1 1.''' upn"l l1 \aUUlllc llte ¡"'"h." IIHI, el pn M.:(''''o .. cni apl'O:'
rlS =
Imcgmndo de TI
ti.
~ = T
eP~ T
T2, obtenemos la variac ión total de entropía de la sustanc ia AS =
Tl
dT
epf -./. T,
=
eP
T2 In -T I
( 19.20)
Este re.o;;ulwdo nos da la variación de cmropía de una sustancia que se calieOla de TI a T2 por med io de cualqu ier proceso, reversible o irreversible. siempre que la pres ión fi nal sea igual a la inicial. También nos da el cambio de entropía de una sustancia que se enfría. En este caso Tl es meno l' que TI y In (TJ T,) es negativo, dando lugar él una vari ación de entropía negativa. Ejercicio Detenninar la variación de entropía de [ kg de agua que se calienta de OoC a 100 oc. (Respuesta /!.S = 1,31 kJ/K .)
EJEMPLO 19.9
I
Cambios de entropía durante una transferencia de calor
Se mezcla I kg de agua a la temperatura TI = 30 oC con 2 kg de agua a T2 = 90 oC en un calorímetro de capacidad calorífica despreciable a una presión constante de 1 atm. (a) Determinar In variación de entropía del sistema. (h) Hallar la variación de entropía del universo. Planteamiento del problema Cuando se mezclan las dos cantidades de agua. se alcanza una temperatura fi nal de equil ibrio Tr, que puede dClenninarse igualando el calor perdido por una de Itls panes con el calor ganudo por la Otra. Para calcu lar la variación de entropía experimentada por cada una de las cantidades de ligua, consideraremos un calentamiento isobárico reversibk de la mas..1. de 1 kg de agua de 30 oC a Tf y un enfriamiento isobárico de la masa de 2 kg de 90 IlC a Tf utili7.8.ndo la ecuación 19.18. El cambio de entropía del !.istema es la suma de las variaciones de entropía de ambas cantidades. La variación de enlropía del universo es la suma dc las variaciones de entropía del sistema y de su medio, Paro hallar la variación de entrop!u del medio, se supone que no escapa calor del calorímetro clurutllc el tie mpo que tarda el agua e n alCIll17Ur su IcmperalunI fin al.
Tope la columna de la derecho e intente resolverlo usted mismo Respuestas
Pasos
(a) 1, Calcular Tr eSlublecicndo que el calor perdido ganado:
2. Utililar el resultado de 1'r y ilS 1 y AS1:
lo~
C~
igual al calor
dulOS del e nuncindo pam calcular
3. Sumar 65 1 y AS'~ para hallar la varillción total de cnlrupia oel .. ¡...
I
70
1.¡' K
051\1 U'K
\\J
.\.\
e
•
U,P1 ;.J/f\
\., ~
tema:
(b) 1. Suponiendo que no hay ~rdida\ de calor en el calorímetro, hallar el cambio de entropía del medio:
\1
o
2. Sumar AS'..~ y a.5.....oo para obtener la \'an:Kión de enlropía del • umverso: •
Observaciones Hernm tenido que convertir lar. lempc:rafUrti a la e-.cala amoluta para
~: calcular los cambios de enlropla, la ,..nación de enlmpCa del univef!.O e .. era de esperar.
~Iti\a
como
¡INTENTELO USTED MISMCf
I
>69
570
I
Capítulu 19 Segundo prindpi de lu termodInámica
r ó'S en una colisión Inelástlca COlIJOla ent rg(n mccánica \C Irnnsf(.JrInl.l en energía té mica en utm col i¡;ión in cl á~ l ic ll . 1:11procc\o e\ clanUIlCl1tc irreversible. UI cnlrop(1I dclunl\ er ' uebe. l.>ur lo III111t). crecer. 1II0do de ejem plu. con.. iderelllos un bloque de rnl'l~'l m que Cét (h.:sdc UUI! al tllm /¡ y l'ufrc un chtXIUC incllÍstit:o contra el ~ udo. Supongamor. que el bloque. e \ lIclo y In ut mósfcnl cl'l tilll tlxlos :t In tcmpcrnlUrtt ',: que 110 vado de formn .. igni ticativu dllmntc e procc.'tu. Si co nsj d e rarno~ el blOtluc. el suelo y la ulm6sfem como nuC,.<;tro .\iMCIl1i1 "i .. ludo. nad de cultlr Cnlru o sale del sistema. Su c!ilado hu cambiado porque su energía interna M! ha iocre ¡"enlodo en una c mll idud IIIXh. I:i.stu vnri uoión es In l11i .. I11U que si aí\adié...ernos calor Q = mxh al ~ i s lCtll n de tCnlperatura constunte T. Pam cillcular la vliriaci6n de enlropfu del sbtema. conr. idc rCI111)S as( un proceso reversible en el que se aoadn calor Q~ = mgh a temperatura T con<;tante. De acuerdo con In ecuación 19.12 la variación de eJltrop(¡¡ es entonces l!.S = Qre\' = mgh
T
T
Este valor posi ti vo es también la variac ión de entropía del universo.
VdSen la conducción del calor de un fo co a otro
La conducción del cal or es también un proceso irreversi ble y, por lo mnto. la entropía del universo debe crecer. Conside· remos el caso simple en que se transporta un ca lor Q por conducc ión desde un foco caliente ;:¡ la temperatura Th a un foco frío ¡\ la temperatura Te' El estado de un foco térmico viene determinado sólo por su temperat ura y su energía interna. La variación de entropía de un foco térmico deb ida a un intercambio de calor es la misma, sea éste reversible o no. Si se añade calor Q en un foco a temperatura T. la entropía del foco au menta en Q/'!: Si se el imina el ca lor. su entropía disminuye en -Q/T. En el caso de la conducc ión del calor. el foco caliente pi erde calor. de manera que su variación de entropía es
El foco fr ío absorbe calor. de modo que su cambio de entropía vale
óS, =
La variaci6n neta de e ntropía del universo es óS = óS +óS h = + Q - Q 11
T,
e
Th
( 19.21 )
Obsérvese que como el calor siempre fluy e de un Foco cal iente a un foco fria. la variación de entropía del universo es posit iva.
Va.s en u n ciclo de Carnot
Como un ciclo de Camol es, por de linición. reversible, la \'ariación de entropía del universo de:.pués de un !; ieJo debe ser nula. Este hecho puede dc m o~tn¡ rse considerando que el cambio de enl ropfu lota l de los focos es cero. (Como una Illi'iqui na de CanlOt funcio na a lo largo de un cieJo, la vllri:lci6n de cntropi'l de la propi:t máqui na es cero, de modo que la vuriación de entropía del universo es justamente 1:1:'lIllla de 1111' \'ariadone~ de ent ropía de lo:. (ocas.) El cumbio de ent ropía del fnco caliente es AS h = - Qhl T h' en donde Qh es el calor que é:.te cede. El cambio de entropía del foco frío e:. ASo: = + QJ T C' donde Q~ es el calor que éste absorbe. Estas cantidades de calor vienen rclacionadm. por la delinici6n de lempcr:lluro termodinámica (ecuación 19.7)
El cambio de enlropia del uniVCI"'it1
c~.
por lo tanto.
La \ariación de enlropía del uni\-"el1'o es cero. como ero de e~perar.
19,7 Entropía Oll\\! n \!\c que hcmo'l I~l\l)rado clLalqukr cambiu dl' Cllll'Op(n ,,\ociauo n In CIINg(U lranlí-
fen...!;, en fonna dl' II11hajo Jc<;dc Itl m:iqllillu de ('UI'I\\)I n l'U medio. Si c~te lrubujo NC crnplcn en elcHu' UIl IJC\O, II realil:lr alg11n otro pn1lo!c\o OrdCIIII(IIJ. ~ ll l unccs no huy ..:tl llIbju uc en tro1m\. Sin Clllblll'g\l. :-i c'\lc InLbajo:,oc IIli lll11 paru clll pujl1l' un bloquc de un Indo u (¡Iro de In ~l\pcrlk;c de una mesa cn la qulo! huy rO/u1I1ierllu, cr1l0nccs cx iste un ilurucrll O udicionu[ de emropw asociado 11 e'iIC trabajo,
EJEMPLO 19.10
I
Cambios de entropía en un ciclo de Carnot
OurflnlC cada ciclo. unu mnquillll de e urnot ext r ae 100.1 de ellergfn de un foeo:t 400 K. realiza 1111 tnlb¡\io y elimillu culor en otro foen u 300 K. Culeulur la \'urillción dc entropín dc cudll foco en cndn cklo y demostra r clue la vuriación de entropía del uni verso es cero en el C1L<;O de eslc l)MlCesO reversible. Planteamiento del problema Como In mriquinu lrabaja según ciclos, su variaciÓn de entropía es ceTO. Por lo lanlO calcularemos ItI variación de entropía de cada foco)' las sumaremos para obtener Id cambio de cntropía del univcrso. 1. El cambio de entropía del universo es igual a la suma de los cambios de entropía de los focos: 2 . C.\lcular el cambio de eruropía del foco caliente:
3. El cambio de entropía del foco frío es Qc dividido por Te' donde Qc =
65."
= - ~: = - ;~ ~ =1-0.250 J/K 1 Q
Q,,- W
T~
T~
AS'.IOO = ....! -
Qb - IV:
4. Utilizaremos 111 = ecQh (ecuación 19.2) para relacionar W con Qh' El rendimicnlo es el de CarnOI (ecuación 19.6):
-
T, T.
1- -
de modo que
5, Calcular el cambio de enlropía del foco frío:
111 =
(I-;:)Q"
~'.IOO
Q .",'_~I_V = T,
Qh-Qh( I - ~) T~
= ~~ ~ =10.250 l / K 1 6. Apl icar eSlos rc\ultados en el paso I para delenninnr el c:.mbio de cntropfn del universo:
AS'" = .lS400 + 6S.l(IJ óS" =- - 0,250 J/ K + 0.250 J/ K
Observacione s Supcmgnmos UIlIlIl1l1(!uinu ordinariu. no I\:xer.ible. que absorbe! 100 J por ciclo del foco cnlientc, Como Sil rendimiento dche '>Cr menor que el dl' IIn;) má'luillll de eamot. rcali/arfll mcnos If1Ibajo )' cedería má!
EJEMPLO 19.11
I
El diagrama
sr
Como la enlroplK es una función de esllldo, I&.; pnKtSOS lermodlmimlcos pued~n rtpit$rnlal"S(' en diagrama.. STo SV 1) SP. en IUjl:llr de I~ diagramas P\ ' que hemos uUlIzado hasla ahora, Hacer un I$t(uema del deJo d~ Comol en un dlajl:rama STo
Planteamiento del problema El cldo de C!tmut ¡,;on..ulllc Un3l.'xpanslcln T\'\cr.ible i~~nn;. , UlIlI c-..: p.:m, ión :llhabJlk:1 l"C\ crslhlc, 11M COnlp~ .. ión l"C\ef\,hlc i\Olem a ) IIn" ¡';tlnll"rc<,.6n adiabá· tica l"C\ cn.iblc DurJ.llle lo.. ptoCe!t()<, . ~01erT11("'. el calor 't(! "tt..orbc: \l ..:ede J. lempcrJ.lurn con...lanlt', de modo que S 3umento" dl.. m mll~e 3 T COII\lanlt' Durante I~~ pnll.~ ItdUtbau.."l . 13lemperarura cnmbia, ¡>en.1 L'Om~1 J.Q"" e O. S e\ l'On,lanle
=@]
I
.sn
572
I
CapItulo 19 Segulldo prlndplo de In lerrllodh" mica
l . Durlln!1.' ItI C\I",n,,\'" "l\h."rmu ( 1·1, 1.'.11 In "tlur:, 1(1.1 la). el clllnr!(1! "l",lm.,. re\ 1.'''' hkmclltl.', JI! 11101.\11 (jUl' S CI'\!l'C IJ 1 COII ~ !nnt c:
1_
2
,
I
2 . nu. ,'nll.' 1.1C"!'.1I1" ü tt u¡lh,hllHI.:¡I' l'\Cr,ihJc (2·3 cil la fi ~u rll 19. J I/}), In 11.'1I11)1."31ul a di 'nll 1111}é, micntfll' (llIC S l':, l'o ,, ~tn 1111:';.
_____ 1
____ f
eh,
((1 )
3.
_
In l'(\lIlpre~l() n isOICrll1n (3-4 en 111 fi gurn 19. 1le). el calor t'c cede I"C\ I'r,it' tCllIellle y S duerecc a T c() n ~ t n lll e : nm,lIIh.!
s
s 1 4 _ __
4. Durnnte In compre:.iÓn Illliubfitica revcrt'iblc (4. 1 en la fi gura 19.1 Id), la h.: mpernlura erect!, mk nt r;¡s quc S t!s constnnte:
_
T
' - - _ __
T
(e)
Figura 19.11 Observaciones
El ciclo de Camot es un rectángulo cuando sc rcprescllIa en un diagrama Sr.
(
~
v~
Entropía y energía utilizable
~ J
Cuando tiene lugar un proceso irreversible. la energía se conserva, pero parte de la energfa M "desperdicia", en el sentido de que no es útil para realizar trabajo. Consideremos un bloqut de masa m que cae al suelo. Como se ha visto en la sección 19.7. la variac ión de entropía de universo originada por este proceso es mghlT. Cuando el bloque estaba a una altura ".
EJEMPLO 19.12
I
= T
La caja deslizante reexaminada
Suponglllllos que la cltia estudiada en IlIs fi~lIrllS 19.90 y b llene una masa de 2,4 kg Y 5(' d esliza con unn ,rcloddud l ' = 3 mIs anles de chocar cunlra la pared fija y detenerse, La temperatura T del bloque. mesa) IIlredcdores es 293 K Y no {'ambla apreciablemente cuando el bloque se detiene. Ot>'crmlnur la "arladón de entropia del unhel'SO.
Planteamiento del problema 1..:1 cncrgi3 mecánica inicial del bloque. ~ M\" . '>C conviene en cnergia intenta del "¡slema caja-pared-mediQ ex terior. El camhio de entmp(a equivalente a 10 que ocumrfa ,j el calor Q =- ~ .\hl '-C ce,liero l'e\ef\lhlemente al "!lttma . •
es
La \'ariac i6n d~ cmropfll del UIlI\Cf'$O e~ QI7':.
Observación La energía ~al¡l:lJ" lrabajo.
consc.rva. pero la energía T AS. = ! M,·2 deja de ser ulilizable para 2
AS u
(e 9.22 )
19.9 Entropla y probabilidad
En la e~¡>an .. ¡6n libre cSludillda
anteriorme n tel:u1\bi~n ':IC
perdió lu clIpucidml de rculial!
Imb¡lJo. En c!Slc ca\() In variación dc elllropfa del universo <:ru /IR In (V2/V 1). de modo que el In.hajo pclxlido enl "N.,. In ~V¡VI) ' Este vlllor es lu I.: untidnd de Il'Ubajo que sc podrfa haber rea li zado ~i el glls se lH1bicsc cXlmnsiolludo cuusicslrtlicn e iS(l\énniCUlIIenlc desde VI huSla V1. scgl1n indien la ccuuci6n 19. 17. Cuando el color plisa por conducción de un foco cnlien!e ti un foco frfo. la variación de cntrupfu del uni"erso viene dada por lu ecuueión 19.21 y el trabojo perdido cs
Podemos ver que este Irab¡~o es precisomentc el que podría haberse realizado mediante una máquinn de Carnot que operase entre dos rocas, absorbiendo calor Q del roca frío y realizando un trabajo \V = ECQ. en donde fe = 1- T/T h.
,
\>
19.9 Entropía y probabilidad ."'---------------------------------------------------------------------La entropía, que es una medida del desorden de un sistema. está relacionada con la probabilidad. Esencialmente un estado de orden elevado tiene una probabilidad pequeña, mientras que un estado de orden bajo, tiene una probabilidad alta. Así pues, en un proceso irreversible. el un iverso se desplaza de un estodo de baja probabi lidad a otro de probabilidad elevada. Consideremos tina expansión libre en la que un gas se expansiona desde un volumen inicial VI a un volumen final V2 = 2 VI ' La variación de entropía del un iverso para este proceso viene dada por la ecuación 19. 19:
V, - nR In ~ V,
nR In 2
¿Por qué es irreversi ble este proceso? ¿Por qué no puede compri mirse el gas por sí mismo volviendo a su volumen original? Como en ello no imervendría ningún cambio de energía, una compresión no violaría el primer principio de la termodinámica. La razón consiste si mplememe en que dicha compresión resulta extremadameme improbable. Para comprobar esto, empecemos suponiendo que el gas está compuesto solamente por 10 moléculas y que. inicialmente, estas molécul as ocupan el volumen total del recipiente. La probabi lidad de que tina de ellas se encuentre en la mitad izqu ierda del recinto en un momento determinado es~. L..'l probabilidad de que dos moléculas concretas estén amhal' a la vez en la milad izquierda es ~ x ~ = ~. (Se trata de la misma probabilidad de que una moneda. lallzadu al aire. salga caro dos veces sucesivas.) La probabilidad de que tres molécu las particulares se hallen en la mi lad izquierda es ~ x! x ~ = (lY = l. La probabilidad de que In totalidad de las 10 moléculas se encuentren a la izquierda es el)lO = 1;24' El' decir. existe uno posibi lidad frente n 1024 de que laS moléculns se encuentren todas el los en 111 mi tad izquierda del recipientc en un momento dodo. Aunque esta prob:lbilidad es muy pequci\a. no serfa demasiado <:orprc ndente ver que e~to ocurriera alguna Vei.. Por ejemplo. si examinamos el ga ... una vez por segundo. se podón esperar que se viese est~ si tuación una vel. ctlda 1024 segundos. apro.\:i madnmentc una Vel coda 17 mi nutos. Si empezásemos el experi mento con las 10 molécul¡¡s di~ t ribuida.s al ai.ar y luego nos las encont ri.<:cmos todas en la mitad izquierda del vol umen original. la enlmpfa del un iverso habríu di sminuido en nR In 2. Sin embargo. c<;¡n disminuc ión es cx traordinarinmen te pequeñ:l, puesto que el número de maleo¡ correspondiente a 10 moléculas e$ ún icamente del orden de 10 2..1. Aún así. violaría el enunciado ele la entrop!:. del segundo principio de la tennocl in:bllicu. que ufinn~ que la entropía del ul1lver\Q nunca dhminuye en cualquier proceso que se realice. Por lo lanto... i deseamo:. aplicar el segundo principio a sistemaf> microscópicos, lutc.\ como un pequei\o número de moléculas. debemos con!>iderarle má,<: bien como un postulado de probabilidad.
I
573
574
I
( al>ílulo 19 Segundo Ilrlnclplo de h. lerl1lodlnámlcn
PodCI\IU" rclllciunnr la probnbilidlld de que un gus "'e comprimu u ~r mismo e"ponttineamcnlC hm:iu UIl volulUen tlld ~ pequci1u l'on In vul'illción de!iu entrop(u . Si el volumen original e, prubabilidud p de Imlhu' N molécullls en un volumen menor V2 e<.;
",.In
V,),v 1'= (V¡ TOIll¡lIldo logaritmos nuturulc¡; de ambo!i miembros de esta ecuuc i6n. se tiene In p = N In en donde
11
(~)
= l/N A In
(~)
(19.23)
es el número de moles y N", el número Avogadro. La variac ión de entropfa del
gas es I1S = I/R In
V ,) V¡ (
( 19.24)
Comparando las ecuaciones 19.23 y 19.24 vemos que R i1S = In p = k In p N"
( 19.25)
siendo k la constante de Boltzmann. Puede resullar preocupante descubrir que los procesos irreversibles, como la compresión espontánea de un gas o la conducción espontánea de calor de un cuerpo frío a otro caliente. son únicamente improbables y no imposibles, puesto que. como acabamos de ver. si considerarnos un sistema formado por un número muy pequeño de moléculas. ex iste una probabilidad razo-. nable de que se produzca un proceso de este tipo. Sin embargo. la propia fenIlOdillál1~c(/ es Illlicamellte aplicable a siSfcmas macroscópicos. es decir, a sistemas con un número de moléculas grande. Consideremos, por ejemplo. lo que ocurri ría si intentásemos medir la presión daun gas fonnado sólo por 10 moléculas. La presión variarla caprichosamente dependiendo de que cero, una, dos. o más moléculas estuviesen chocando contra la pared del rec ipiente en el instante de efectuar la medida. Las variables macroscópicas de presión y tempemtura no son aplicables a un sistema microscópico de sólo 10 moléculas. Según se vaya incrementando el número de moléculas del sistema. la probabilidad de que se produzca un proceso irreversible disminuye rapidfsimamente. Por ejemplo. si tenemos 50 moléculas en un recipiente. la probabi lidad de que todas ellas se concentren en la mitad izquierda del mismo es (~)5O .., 10- ]5 . Es deci r. si examinásemos el gllS un a vez por segundo. podríamos esperar ver las 50 moléculas en dicha mitad alrededor de una vez cada 10 1'segundos. o sea. ¡una vez cada 36 millones de años! En el caso de 1 mo l = 6 x 1023 moléculas. la probabilidad de que todas ellas se encuentren en la mi tad itquierda del volumen es ex tremadamente pequeña. tan pequeña que es esencial mente nula. Asf pues. en el caso de sistema.e¡ macroscópicos, la probabilidad de quc el resultado de un proceso se:] una di sminución de la entropía del un iverso. es tan ex tremadamente pequeña. que la di fere ncia entre improbable e imp()~ib l e qucdfl lotalmcntc di fuminnda ,
ResuII,en El '('gundo pnncipio de In !cmlodinámicR C~ unlllcy rundamentnl de 1:1 naturaJela. TIMA
OBSUVACIONU ., (CUACtoNIS ItIUVANTtS
1. RendImiento de una máquina térmica
Si una máq uma l~nniC4 cxtme calor Qh de un foco ca h ent~ . ~aliza un trabajo W y cede cator Q< a un foco frio el rendi mIento e, f:=
~ = Q,- O, = I - Q, Q. Q. Q.
(19.2)
I
19.9 Entropía y probabllkl~
l.
Q
oel! lente de elldencln d e un refrig erador
'1 •
iv
3. CO(l1l lente de enclencln de
uno bombo de calor
57.5
( 19.3)
-Q.IV
'11/( •
4 . Enunclndos equlvnlent es del segundo principio d e lu terll10dlnámlca
Enundodu de Keh'in
Ningl1n sistcmu puede exlmer cncrgfn en forma de cillor de un solo foco y convenirla completmnenLe en tmbujo sin que se produlelln cllmbios en el sistema (1 en el medio.
Enunciado dc la máq uina ténnica
E~ impo~ ib l e (IU C
una mliquin" térmicll que trnbaja cfclicomenLe cxulIiga calor de un foco y lo trnMfonne completamente en trabnjo sin que se produzcHIJil/g ÚfI O/ro efecto.
Enunciodo de Clausius
Es imposible un proceso cuyo único resultado fi nal se;l tr.m~ fcri r energfa en fonna de color de un objeto frio a otro má!> cal iente.
EnuncLodo del refrigerador
Es irtlpo~ ib l c pura un rcfrigemdor. que opera cíclicamente. producir s6/o el efecto de extraer calor de un cuerpo frio y dc.\'olver la misma contidad de calor a Olro caliente.
Enunciado de la entropfa
Ltl entropía del universo (sislema más medio) nunca puede decrecer.
5. Condicione s de un proce so reversible
l. La energía mecánica no se Ir.msfonna en calor por rozamiento. fuer/.llS \'iscosas u otras fuer/A'lS disipati"
6. Máquina de Carnot
Un,J máq uina de Carna l es una máquina rc\'crsiblc que opero entre dos focos. siguiendo un cielo fonnado por
Cielo de Camot
l. 2. 3. 4.
Una exp..1nsión isoterma cuasiestáLica que absorbe calor a la tcmpcrtllUrtl Tb • Una expansión adinb.1tica cuos i e.~t(í t i ca . Una compresión isotcmlll cuasicst:.'\ tica que cede clllor :1 la temperoturn T~. Una compresi6n adiabática cunsicstlitica que lIevll el s i ~te ma al eSLodo original.
1- 2. Q.
Rendimiento dc Carnal
7. Tempe ratura termodinámica
=
I
- !! T.
(19.6)
El cociente entre las lemperatUnll> Lermodinámicas de dos focos viene dcfi nido por el cociente <.' ntrc los calores cedido y absorbido por una máquina de Camot entre dichol> focos:
Q,
(19.7)
=-
8. Entropía
1...1 entropra e, un:! medida del desorden de un si:.tCJIUI. l.iJ diferencia de. entropra entre dos e.<¡tado~ próximos \ iel\(.' dada por liS = lIQ ,..
T
(19. 12)
CJI donde dQ,.,. c, el calor ccC"r IXh Hl \'t1 O negutivu . Entropfa y pérdida dI.' 1:ICllp:lcidnd dc realll.:lr tm b.1j(l Dura nte un prnce.;o ifTC\·en.ible. la entmp(n del unh'eNQ S. aumenta y una cicna cantidad de encrg(¡J IV,"' 't
re, ulta Entropla y rrobahilidad
JnU[I!J / 3hlc
:::
T toS ,
( 19.22)
pant I"l.'ali..o:ur tra bajo.
1...1 entropía e.~ta rd oclonada con la proh.'ltJllldad. Un M, tCffill altamente ordenado tiene baja probabilidad ) baja entrop(a. Un M,ICllla ai~ lado c\ oluclOna hacia un ( , lado de aha probabilidad. ocden baJo y ele\ada entropía
I
576
Capítulo 19 Segundo principio de lA termodinámica
Problell.as
• ••
••• ~SM
•
I
i
,/
Com:cph) .!o ímplc. un ~(llo pu.!>tJ. rc lnli"1II11cntc fá cil. Nivel inlcrnledi~). puede c;.; igil' síntes is ,h.: conceptos. l)csn!i iulIl'. pm:l :1IUlll 110S uvull/adus, La solución se encucntl1l en el SIIIt/i' lII SOlll/iolls l\I1lll/lUl/, ProblenU1!> que puede n encont rarse en el servicio iSOLVE de tllrclIS para caSlI, Estos problcmas del servicio "Checkpoi nt " son prob lemlls de conlrol. que impu lsan 1I los estudiantcs ¡¡ de.<;cri bir cómo se llega a la respuesta y .1indicar su ni vel de confiunza.
Problemas conceptuales
9
••
HII a/XII/lo.f pmlJlemas sr dal/ ml'ÍS riMos e/t' los n'(dfl/I'" re 1/{'('('.\'OI'ÜM: N I o/ros pocos, de/u'" {·xrraer.\·(' lI/SI/1IOS d(llos a por/ir de cO//Oci",ielllo,f geflem/¡!,\ ,
flli'l/tes extertltls o estimacione/J lógicas,
La fi gurn 19.1 3 mueSlra un ciclo h!nnodinámico en 1m diagrnm:l
Sv. Identificar el tipo de máquina re presenwdo por este diagrama. 1 • máquina?
¿Cómo akcta a su rendimiento el roZamiento cinético en una
s
_ -., B
Explicar por qué con sólo abrir el refrigemdor no podemos refrescar nuestm cocina en un dia Cllluroso. ¿Por qué se refresca una Imbitación cUllndo ponemos en marcha el acondicionador de aire y no cuundo abrimos la puerta del refrigerador'! 2
•
SSM
o
_ ~ c
3 • ¿Por qué las centrnles de potencia se diseñan de modo que la te mperntu m del vapor de agua utilizado sea la máx ima posible'!
v
4 •• En un día húmedo. el vapor de agua se condensa sobre una superficie fria. Durante la condensación. la entropía del agua (a) crece, (b) permanece constante. ( e) disminuye. (d) puede di ~mi nu i r o pennanecer invariable.
5 • SSM En un proeeso adiablillcO reversible (a) la energía interna del sistema pcnnancce constante; (h) el sistema no realiza trnbajo: (e) [a entTOpía del sistema pennancce constante: (d) la temperaturn del sistema pcnnanece constante. 6
••
Verdadero o falso:
(a ) Eltrn bajo no puede convenir.>e totnlrnente en calor.
(b) El calor no puede convertirse totalmente en trnbajo. (e) Todas las máquinas térmicas tienen el mismo rendimiento. (ti) Es imposible Irnnsferir una detcmlinada cantidad de calor de un foco frío a un foco caliente.
Figura 19.13 Problema 9 10
••
Reprc.'\entar un diagrJllla sr del ciclo de Otto.
11
••
Representar un diagrama SV del ciclo de Camal.
12
••
Representar un diagramn SI' del ciclo de 0110.
13
•• La figura 19.14 muestra un ciclo tennodinámico un diagmmn SP
Reprcsentnr el cido en un diagrama PV
s _~ B
(~)
El coefi ciente de eficiencia de un refrigerador no puede ser mnyor que l. (j) Todas las máquinas de Camot son reversibles. (g) Ln entropía de un sistema nunca Jluede decrecer. (h) La entropín del universo nunca puede decrecer. Un gas ideal efecula un proceso TC\'ersible desde un estado inicial. P" V,. T, a un estado finnl PI. V,. T,. Dos trn yeetorills posibles son (A) unll expansiÓn isoterma, !tCguida de unn compresión adiabática y (8 ) una compre7
D
- ..... c
••
sión adiabática. seguida de unu expansión isolém,ica. Paro cstns dos tr:lyf..'Ctorias. (a) tJ.U... > tJ.U". (b) 6.5... > t.\S1I' (c- ) ilS" < ilSlI • (d) ni nguna de las nnleriores es una reSlwcst:1 (;om::ctn. 8 •• SSM La ligurn t9. 12 muestra un ciclo tenl1odinámico en un diagrnma sr. Identificar este cido y n:pre.o:cnlnrlo en un diagrama P V
s
p
Figura 19.14 Problema
13
14 • SSM i.Qué e.... lo que produce un mayor aumento en el re ndimientO de unll máquina de Camot, un incremento de 5 K en Iu lempcmtum dd foco caliente o una di~minución de 5 K en In tempcntlura dd roco fño?
Estimaciones y aproximaciones A
o
_ -., B e T
Figura 19.12 Problemas S y 68
15 •• Hacer una estinlllción del rendimiento de un mOtor de automÓvi l con una rn76n de compresión de 8: l. Supon!.'r que el malar efectúa un ddo dt 0110) que y= l A. 16 •• SSM {(II Dar un valor del coeficiente de eficicnciu lllá~ allo posible dC" un típit:o ~rrigertldor doméstICO. (b ) Si el ~rrigerador necesiUl para w funcionamiC"nlo unu pOlencia el&:triea dC" 600 W, evaluar la t&4 a la que
Problcma.s
I
577
i
17 •• la tcml'("tutum lid S.ll e~ ..le UIIll\ "i4tMJ ..... 111 lel111'cl111 U1u IIIcdi" tk la l 1tm1 Jc 1!.1'I\l.\.U\1:h.l.11l11·lltt: ,"~n .... :r In cilll'lUlIIe ,\(llur (la mlCII \lund de IU1 ",1M "lUC 1I\'~n 11 11\ l\l hltl\ h" ltt\ t,,~) c\ de Ilhl.',!L'tI\lr de 1. _\ " w1m J. (o) ('ni ...:\11:11 1.11'II.>h!tk.:tn t\llnl d ...• Ill lul ~\l llll ' Iue lIe¡l.u 11 111 Ilcrrn, (/I) ('rtlculur 111 1lI\1' I\('\~ ,kl nume nto Jt' elll1\lpHt Illn' C\llCn1l1Cllln IIUC\tl\l pll1m:ln IlI)f cI nlijo ind d{'nlc dt' 11'111111('II'n ...llltr, (1') (,¡¡kl1lm 111 In\11 ncUt lIc U ¡~ lIn,," d(j n dl' lu cnl rupln ,leI Sill \!c blllól lll UUJlll'lIlk nlll ue c l1 c t'~fu -,\11111' que }{fl1flf'U 111 fir¡ r(j .
Unn !IIóllllllllUllue Ulrh lll 1 11l(,1dt un I! lt\ Ideul I(lluld l·l .ll l Y 1 If)I) K rUIIClllna e n un o do ' I"t: Clln ~I~ le cn4 t lapa_ I I I C'l IlHII 'l(1!l !~ot t" I IIlI C" 1\ r 4(1n K Iw\ ta dt,~ veü'~ \ U vttlumen. (2) cnrn lt nUCI1II' o vl,lumcn CI! I1 ~t lliUC hostu r ... .'lOó K. P I t:oll1prc\iÓn t<'(JltnlllcfI hJ.\lu liU \·ohl111cn llrí Minul. y (4 J t:ft lcnturlllcnIO " volulIle n CVI1 \tunt r hnMl1 ~u lempt· mlUNl (,riglllnl de <100 K. S IJ IJÓlI g[l~e IIIIC e,. 21 J/ K. Dll'luJnr el eido en un dlngrnntll I'V y cul uulm' ~ u rendi miento.
Had cndo US\l de 111 ", lurtllll
28 •• SSM Un 11101 de un ~o.~ nlcfl l monnatÓlntc() con un volume n inkinl VI '" 25 L ~ i BUC cl ciclo indiclldo en lu liguf1l 19 I ~. Tock" 10\ proce\(1\ MIli euus h:J.uílicos, Ilullnr ((1 ) In lempcr:tlurn dc eadn r~ Uldo del ciclo, (h¡ el nujo de eulor de ead:1 pane del ciclo y (el ~u rendi miento.
18
••
(1/)
\.'OnociJ :t ItI ;,Ii..lan\!i:l tic In Tieml ni Sul ( 1,.5 x 10'1 In), cnlc ul tlr Iu pOlenl'Í:I lotlll que l'l Sol lmldm :11 e'!1ó\t'io. (hl F\ INlen u nu ~ 10'1 c\trellns eomo el Sol cn In Vln Lktc;¡, que C" nU('l'tl'\\ gttluxiu, y 10 11 g:lInx i:t~ en el Ullivl! n.o. Ulilizu r e~U, in(('\nlllld(l\1 1);1111 hacer un n c\'11Iu!lciÓn ue la laS:l dc ¡ncremcn\() de lu clltf()pfu dd lmi\'cNO. I'UIX'l1l1entlo (Iue su tcm p·eralu nl11lcdiu es de 2.73 K.
27 •• !!lente 11 \ I
1~
19 •• Un cucrpo hum uno Ifpico produce ulrededor de 100 W de culor. EVlllunr cl lIumento de enlropfa del un iverso pmducido por 1111 solo cueflX'l hUlIllIllll e n el U1111SCUrsO de un dril de pri mll\'ern con tempcrmur:ls de 70 qF dl1rt1 l11e el dra )' 55 "F dl1rt1l11e In noche.
20 •••
¿Cuánto habrf:UllOs de espcr:\r. por térnlino medio. l\(lsla (Iue todas las moléculas de aire de un:, hubitación se prccipilaran sobrc una de sus dos m i tndc.~? (Como decía un amigo mio, "no contenga la respil'".lCión..... ) Supóngase
kPa
200
2
Isote rma
100
SSM
1 4 -" ' :
v, Figura 19.15
J
2V t
V. L
Problema 28
•• Un gus ideal ( y = 1.4) sigue el ciclo indic.1do en lu fi gura 19.16. La tempcrnlUnl del estado I es 200 K. Hallar (a) las tempcrnlUras de los I1 tro.~ tres estados del ciclo y (b ) su rendimiento. 29
p. alm
Máquinas térmicas y refrigeradores 3.0 21 • i ./ Una máquina con cl 20 por ciento de rendimiento realiza un trabajo de 100 J en c:III:I ciclo. (lI) ¿Cuá nto calor :lbsorbe cn cada ciclo'! (b) ¿Cuánto calor devuelve en eadu ciclo?
1.0
25 •• Una máqui na tielle un:I o¡ ustnneia de lrabajo formnda por I 11101 de un gns idenl de C. = ~ R Y e, '" i R. mciclo cmpicl-11 11 1>1:: I Htlll Y VI:: 24,6 L. El gus se c:dicnlll ll vol umen co n ~l a lll e h:lstn /'l" 2 :lIm. Luc¡;:o ~ expmldc a prc.~ión conSlU nte hU ~ l tI VJ '" 41).2 L Dumnte ~ ta~ do~ elllptls absorbe elllor. ElI10nccs el gas ~e enfrfu a volumen conq anle hash'l que ~1I pre· sión vuelve :t ser de I :1\111. Luego se comprillle u pre\ión con\ tllnte Im~ t u que alCllll1:1 (le: nucvo su cstudo origin:d. DUl'".1I1te Ia.\ do:. lih ima~ Cf:lP;l\ .-.e cede ClIlor. T{)da~ IlIs el ;l pa.~ son rc\ en. lh lc~ )' cun~ ie~ t áli<::K ((1 ) DibllJar un dl tl¡;m11lA PV del ciclo. Calcultlr el tml'lljo reah/(ldo, el t:ulor :l"~ d ido y In vflrulc i~n tle cnagl:1 inleflllt para ..:tlda elapa del clclo. (b) Calcular el rendimienlo del ciclo. 26 •• Unn máqu1I1u 11111' ulm /~1 I mol de un gu, Ide:ll di nl6nuco, ercet,1:t un ciclo que consta dc lre~ cl:lpas: ( 1) unn ex pan,ión :tdi:¡bálicu dC\I;le unu presi6n iniciul dc 2,64 allll y Ull volumcn de 10 L h ll~la unf! pre.~i ón fi nal de 1 111m ) un \'olullIcn de 20 L, (2) unu ~'om pt't:s-i61l a rrc,w\n COIlSI:I.ilIC ha .. ta ~II \olu· men original de 10 L. Y (3) un c;]lc n trlllli ~'nto :t \ olumcn con ~tan t c ha\w su 11["('... IÓn original lIe 2.64 allll. Cakulur d ren¡JUlllento del ciclo.
I
,
100
23 • i ./ Una má
3
2.0
22 • i ./ Una máquinll Hbsorbc 400 J de calor y realizlI un trn bajo de 120 J cn cada ciclo. (a) ¿Cuál es el rendi miento'! (b) ¡,Cuá nto calor se cedc en Cllda ciclo?
24 • SSM ' Un rcfri gerador absorbe 5 kJ de encrgfa de un foco rrro y cede 8 kJ a un foco caliente. ((1 ) ¿Cuál e.~ cl coeficienle de eficieneil1 del refri gerador'! (b ) El refrigerador e ~ reYcNi blc y funciona cumo uml m~q u i n n ténnicn entre l o.~ mismos dos fotos. ¡.Cuál es el rcnd irnic!1\O?
2
Figura 19. 16
300 v. L
200
Problema 29
30 ••• El ddo (Ii<'Jd indicado cn la ligurn I Q. 17 Cío unn apro . . inmción al componam1c nto de un motor diese!' El proce.<:o (lb e... una eompfC!;ión adiaM· ,1ca. el proceso Ix' es un n e."l:plmsión 11 presión t:omt:1nte. el proceso 1'1/ es unll c.1( pH n~ i ('i n :1diuMl1cU y el proceso dl1 es un cnfri nmicnlo:, \'olUlllcn con)wntc. Hullur el re ndimie nto de e ~l e ck lo en función de los \'ol,l mencs V•• \'h' Ve Y \'~.
p
Ex pansi6n a b_ _..:p~,~.:., S¡Ó~ conn-anle
•
Expansión adiabálica
el
Compresi6n adiabática Figura 19. 17
Enfriamie nto a volumen con$tanle
"
Cit:!o diese l eOffi:l'pondicnlc al proble nUl JO .
S78
I
Caprtulo 19 Segundo principio de la termodinámica
SSM " ll ll~t:1 dunde ukun/u l1uc ~ tn) Cl1lmdmicl1tQ, lu Nuturu le7::\ no ha d~\Umll1ad\l nun ..." un!! 1I\l\\¡UlIIlL ¡ ~ l1l1k¡¡" 't(Hen VOl;d. Uf,. s J)n·I""!~. P'fIllL'\'lon 11111\O:.... II } I lr\!~~ ¡1\)8M), (a) Clllcul tlrel re ndimiento dc lUlIl máqum:1 lénn;";,l 4u~' opcm CI1lI\' In tc mpcr.ltum corpórnl (Q8.6 "1') Y una tel1lpcr.llurn :11 IIn'C librc tlplc:1 (70 ~ F ).) compnrllr el rc~ultmlo \'on el rendimiento 31
••
del cucrp" humallQ 1),1ra Cllll\c.rtir cncI'!!-l:l qulmlcll en Imbujn (upftlxi mruJ:Imente el 20'{ 1, ¡,Sllpl.lIle Cllll IIIllI C\Hllmdicci(¡n del ~eSllnd o prind pill Ile III termoduu\mka? (bl A 1}l\11ir del rc~ulttulo (k (11) )' un conoci miento gl,ll1cml de lu~ Cll1l{hci\lne~ 'luC han lit durse I:ml'll que eXÍI>lan 1l1l;111111es de loungre caliente, e"¡lliear p..,r ' Iué e ~lO~ ani1Uutc~ 11(1 hun tlesílrrollodo lIl:l.q uin ll~ térmicas pum ~l1l1\iOl~lrnr .. u encrgiu mtcma.
Lo l,.'(uad Ón de ('-Slado de Chtusius es p(V - bll) = nRT, ~ i e ndo " una con~t :lIlte . l)cmostr;lr que el rendimiento de IIn ciclo de CarnOI es el mismo p:lT:1un gu~ que obede7cu !!SIn ecuución que parn Ul10 que otx:dc7.ea la c<:uoción de c...\tado de los gases itleuks, PV = nRT.
32
l\mciOIlIl entle los du~ 1I1i ~ IIIU~ It)cfl~ tumhlén eedc 140 J al foco Irlo. Demué~ 1J'C>.e que 'Ii 111 ,e~un df1111 t1qull1n tlcne un rendll1l1Cnto nlByor del JO por CIento. III ~ do" lHiÍquinn~ fUllclo1U1I1UIJ )1I111n\ v1()lurln n el enunciuuo de lo má(llIInlt Ifr micu del !oCgunuu prl ncipill de lu tct'lrn.x1il1t1l11it:il
•• Una mAquina reversihle opern entre dtl" focO'> a tC lllpcrH1Ura~ 1.,. y 7~ , }' tiene UlI rendimiento del 20 por cie nto. ('unndo funcional'omo míÍ(l"ina tél1Jliea realilu 100 J de trabajo en cadu ciclo, Una \egundu má1luinu que fun ciona entre 11,11> dos mi smos focos rcu1i~¡¡ Illmbién un trl1bl1jo de II'KJ J en cadu ciclo. Demuéstrese
•••
Segundo principio de la termodinámica
39 •• SSM Un:l máquina de Cnrnot fun ciona entre d~ focos té.rmicos como refrigcrador. Realiza 50 J de tT:1bajo lomundo 100 J del foco frlo)' cediendo ISO J al foco calienle duranle cOlda ciclo. El coeficiente de eficiencia es r¡ '" Q/\V = (100 J)/(50 1) = 2. (a) ¿Cuál es el rendimiento de unll má
33 •• Un cieno refrigemdor extme 500 J de calor de un foco frlo y elimina 800 J en un foco caliente. Suponer que el enunciado dc la máquinu térmica del ~egundo principio de la temuxlinámicn es fa lso y demostrar cómo puede viol:lrsc el enunciado del refrigerador de cste principio si se combina una máquina pcrfecll1 que trabaje con este refrigerador.
Si dos CUf\'3S 3diab:!t1c3S se eonasen en un diagrmmt pv. se podría complelar un ciclo mediante un proceso isotenno entre a.mbas curvas :ldiabática~. como se ve en lo figuT:1 19. 18. Demostrar que cste ciclo \'iolarl3 el segundo principio dI! la termodinámica.
34
••
SSM
p
,,
40 •• I Unll máquina de Camot opcl11 entre dos focos ténni co~ u temperaluras Tb = 300 K Y Te = 77 K. (a) ¿Cuál C~ su rendi miento? (h) Si absorbe 100 J del foco C:llicnte dUl11nte cadll ciclo, ¿cuánto ¡r;¡bajo renliza'! (e) ¿Cu:l.l11o calor cede durante cada ciclo? (ti) ¿Cuál es el coeficiente de efi eieneio de la máquina cuando funciona CQmo refrigerador entre eSlOS dos focos? En el ciclo que se muestra en la figura 19.19, I mol de un ga ideal (y= 1.4) se encuentra inicialmente a I :um y O oC . El gas se calienhl. a volumen constante hosta T2 = 150 oC y luego se exponsiona adiabática mente h;¡St3 que su presión vuelve a ser de I atlll. Luego se comprime :l presión con ~· tante h:lsta su !!Stado original. Calcular (a) la tempcralUn\ T) de.~\lés de w c~p;¡nsión adinbnticn, (h) el calor ubsorbido o cedido por el sistcm!l dUn\nlc cada proceso. (e) el rendi miento de este cielo y (ti) el re ndimiento de un ciclo de Cam01 que opere entre las tcmpeT:1tuT:1S eXlremas del ciclo. 41
••
I~
,,
mm
Adiabática
/',
,, ,
Isoterma
' J,
• I
Adiabática
1° ,
v Figura 19 . 18
Figura 19.1 9
Proble ma 34
Problcmu 41
•
M'qulnlls de Cllrnot • i .! Un:1 m:k¡Utnll de Cllmot funCIOna entre 00... fC)co~ t ~ rmieos a tcmpcmturll'; Th :::ll ~ OO K y T~ .. 200 K ((ll "Cuál e~ ~u fCndmnelllo'! (b) Si en cadu ciclo 3h'
Un mCltor ... ~trac 250 J tic' un f('lC(t :\ ]00 K ) ehmina 200 J en Olro foco 11 200 K. (tJ) ¿Cuál C~ su rend mllenlo7 (h) ¡,Qut cantidad tic ¡rab:1jo l>Odria h:lI>enoe ootcnido ~ i el mQtor hub1C:<.e ~ido re\enolble? 36
•
i
. . l hm mlk¡lIlIIa re\e~l bk que lunci\'na entre ~ focO\ a lem~ !Un'" 1~ ~ '/~ ueoe un rcoolllllemo dd JO por ciento, Cu.ndo ope:(l romo una máqullla ténllil'a . . cde 140 J de cal(\r al fOl.'o frío Una >;cgllnda máquina que 37
42 •• I Unll mi'iquinn de \'lIpor IOIllIl \'apor \obrecll1cntndo a 270 oC '1 de'-Cllrga de '11 cili ndro vapor cnnden"lldo :l 50 C. Su rendimiento C~ del JO por ciento. (a) Compáre'-C e~tc" rendlllllcnto con el mejor rendimiento poSible l)llrn t" t3~ tempcrnl1ml~ (h ) Si la polencia de ~a l i da tlti l dcl motor e.\ de 200 kW. ¡,cu:'iIllO calor cede hl m!l
-Bombas de calor " Una bomba de culor "umini~trn :m ~w p3ra calentar una ea~a. 1.-.1 t('lllpcrutura c.'uerior e~ de - loe y la ¡OIenor de 13 rU<':nle de ai~ eallenlC' p:\I'a el \enlilador de calefacción e't ..O C (a I ¿Cuál e~ el coefie¡eOle de ehclencia de una l'omba de calor de C"WT1Q1 que runClona cntre r ..t&li !C'mpc:lalun&\'l eh) ¿CuAl detIt' ser la po¡:encia míl1lma \Jel mocar que se necer;:¡ta J'IIIR hacer" funcionar la hornha? (e) Si el nomhmiC'nlO de la bomba de cakM" o. del 60 por dcnlo, ,.euAl deberá §C'r la mlnima potencia del motor? 43
•
S5M
i
Problemas 44
•
i
./
l !n rcftlllcllld\>r
¡:OIl~Ullle
110 W. (11) ¡,CuM
~-"
In
nl¡hml:l CAnthlnd de ":1I1,lr 'luC pUl"(l~ chnunur en I mm si lo tellll'cnu um interior del mhmQ c~ O (') climinn ..:ulor hndn unn hubltnción n 20 "Cr (b) SI el .x.efi':lcnt.' de c hctl,'llcl tt lid re friQcl'lIdl)r c~ el 70 IXlr dCnlo del corrc~l'ond le n lc a una 1'I(ll1\h:1&.- cllluT idcil1. ¿cmlnw ¡:1I1(1I "udro eliminnt en un 1Il1n\llO'!
45
•
Repelird pmhlcmll ,J,I ¡¡:1m una tcm pcnltur:1 ambiente de 3:'1 ~ C,
Cambios de entropl. ¿Cuál c~ 1:1 vMinci6n de cntropra cxperimcnI¡¡d¡¡ por I mol de agua a O "C cuando se (,:o ngel.I" 46
•
47 •• Estudiar IH congelación de 50 g de ag nll colooados cn el congelndor de un refrigerndor. Suponer que lus paredes del congelador se man tienen tI - IO"'C. El ngulI, inici:llmellle lfquida a OOC, se congeln en hielo y se e nfrfu hn$w - 10 OC. Delllostrar que ¡tUn c uando la e ru ropíu del hielo disminuye, la e ntrop(a neta del universo ¡mll1enl:l.
i
Dos moles de un gas ideal a T = 400 K se expnnsion¡¡n cuasicstática e isoténnicnnleme desde un volumen inicial de 40 L husla un volumen final de 80 L. (a) ¿Cuál es In variación de entropía de l gas? (b) ¿Cuál es la va ri::ación de entropra de l universo pum eSle proceso? 48
•
58 lrolO
••
I
579
ClIlcultu lu vurit.ci6n dr Cn!rtlll(1l del uni vcNO ~ I \C dCJ'. cllcr un
de 2 kg de plomo JI 100
e en un togo 11 10 e
59 •• i Un coche dt' 1:'100 kS que .'le cncucntr;1 v¡IIJundo a 100 km/h choco c"nlm uml Ilnred de cemento, Cnlculur In vnrruci6n de Cllltopl'a delun h'el'l-U ~lln tcmpcmlUru de l aire e~ dc 20 e
60 •• SSM UI1U cnja ~ divide en do~ mitodc~ idé n l icu~ por medio de un lubiq uc impenncoble. En un ludo hay I mol de ga\ ideal A y en el Ofro. I rno l de gus idenl B (que es diferenle del A). (a) Calculur lu vutiaci6n de entro. pín cunndo el [ubique ~e eJirnin:1 y los dos gar,e¡, se mCl.cltm. (b) SI rcpelilT\O!o el proceso con el mismo tipo de ga.~ en cada ludo. ¿cambian:1 la enlrop(1l c\lllndo ~e e limina el t:lbique? Our una explicación. (Mcdittlr cuidados::amenle eqa pre. gunla).
Entropía y trabajo perdido 61 •• SSM i Si Setransponan 500 J desde un foco 11400 K hus ta mtO a 300 K. (a) ¿cuál es la variación de entropfll del universo" y (b) ¿qué cantidad de calor de estOS 500 1 se hu biemn convenido en trabajo mediante una máquimt ténnica que operara entre ambos focos?
62
••
49
Un mol de un gas ideal sufre en primer lugur unu expansi6n libre desde VI :: 12.3 L Y TI = 300 K a Vl '" 24.6 L Y T! = 300 K. Luego se comprime iSOlénnica y cuasieslálicamente. voh'iendo a su estado original. (a) ¿Cuál e-. la variación de cnlmpía del unh'erso en el ciclo completo? (h) ¿Cuánto trabajo \e desperdicia en este ciclo? (e) Oemostrnr que este u'abajo perdido es T 65•.
• Calcular la variación de entropía de 1.0 kg de agua a 100 oC cuando se trnnsforma en vapor a 100 oC y a la presión de 1 atm.
Problemas generales
• El gus de l problemn 48 pasa del mismo estado inicial (T = 400 K. \11 ", 40 L) al mismo estado final (T= 400 K, v! = 80 L) por un proceso no-cuusie.slático. (ll) ¿Cuál es la variación de entropía del gas? lb) ¿Qué se puede decir de la variació n de entropfn del universo? 50
51 • i ./ Calcular la variación de entropía de 1.0 kg de hielo cuundo se transfonna en agua a O oC y a una presión de I alm. 52 •• Un sislema absorbe 200 1 de calor reversiblemcn1e de un foco a 300 K Yccde 100 J reversiblemente a un foco a 200 K al dcspkll.am de l e.~wd o JI al n. Durante esle proceso el sistema reali za un tl1\bajo de 50 J. (a) ¿Cuál es la vMiaci6n de energra interna del sistema? (h) ¿Cuál es la variación de enl ropía de l sislemu? (l:) ¡,Cuál es lu variación de entropía del universo? (d) Si el sistema cvolucionaru del estado JI ni 13 según un proceso no reversible. ¿cuál serta lu res puesta a las preguntns (a), CM y (e)?
i •• SSM 53 Un siSlema absorbe 300 J de un foco a 300 K y 200 J de un foco a 400 K. Vuelve a su estado origimd rea1izlIndo un trubajo de 100 J y cediendo 400 J n un foco a la temperatura T. (a) ¿Cuál es In \'arineión de entropfa del sistemn parn el cielo cornplclO? (b) Si el cielo ¿cuánto vale la lempemlur:1 T'!
e.~
rexcrsiblc.
54 •• i Dos mole.\. de un gas ¡ión libre ha~UI dos \'ecc.~ ~u \'olumen iniciltl. ¡,Cuál es ((lj In vanación de: tmropCo del gas y (h) la V'.u1ación de entmp(a del unhcrso? ss •• Un bloque de 2(J0 kg de hielo JI O e ~ IlllroduC<' en un lago. La Iclltpernturn dcl lilgo <$ algo mayor de tl e) el hieh. ~ funde. (a) ¡.CuAI e\ la 'IlIrincióu de cntropCn del hielo'/ (hl.'.Cu!i1 e~ 111 \ anadón de enlrapfa dcllago~ (1') ¿Cuál es la \ nriación de enlrop(n del uni""_Nl (I;lgo mi., hielo)':'
56 •• Un ITOIO de 1(10 ¡I. dc blelo 11 O e ~ hu eolocado en un ret'lplell1c ablndo junto con 1(10 g dc a¡l.\m n IOOC_ (a I Cuando.;e ha llegado ul cqulllbnl1 térmico. ¡.cuál c.~ la tClllpcnUllfIl finnl dd agua'! No lene r en cue:nta la eap.1ddnd clIl()ritka del redpicnte. Ih) Cnlcular la Inriu('.lón de cn(mlli:. del un hel'O pum e~le proce,,), 57 •• SSM Se mlrodul-c un bkxlue de 1 kg de col'>re a lOO C en el IIIlerinr dc \In cal(Jrlmctf{) de cnpacldad calorllica de<ópRClable que: conl lene'" L de ligua 11 (1 C Calcular la \llriJ¡:.ón r.k enlmpla rrJ) del bloque lIe cobre. lh) de l :rt!ua. ) {ólkl um\eNl _
i
./
Una máquina con una producci6n de 200 W ticnt' un rendimiento del 30 por ciento. Trabaja a 10 ciclos/s. (a) ¿Cuánlo trnhaJo ~ realiza!!11 cada ciclo? (b) ¿Cuánto calor se absorbe y cuánlO se elimina en cada ciclo'! 63
•
64 • i ./ En cad:! ciclo. una máquina absorb!! 150 J de un foco a lOO oC y cede 125 1 a un foco a 20 oc. (tI) ¿Cuál es!!l rendimicnto de (:$ 1(1 máquina? (b) ¿Qué re lnci6n existe !!ntrc este rendimknto) el de untl máquina de Camot que fu ncionar.l enlre los m i ~mo~ focos? (E.!;le coc1cnte se denomina T'f'mlimien/O df'/ st'gumlo prillci"io.) 65 • En cada ciclo. una nláq uina lIbsorbc 200 kJ de culor de un f~)C\! caliente 11500 K Y e limina cnlnren un foco frio a 200 K. Su rcndimi!!nto!!, el 85% del de unll máquina de CtlmOI. queopern entre lo~ rniMno~ 10.:0:.. (u) ¡,CuJI es el re ndimiento de eSIn máquina? (b) ¡.Cuánto tr:thajo renliza en cadn l'ido'! (e) ¿Cuánto calor ~e elimina en cada Ciclo? 66 •• Ln central nuck-'nr de Cah·in OiIT.... ~i lUndu en Hobbc~ Rin'r. prodlla l GW de polencla. En esta ccutml circula sodio líquido entI'C el mklco dd rextor ) un 100Cf'C:lmbiador de c:llol' locali l'~ ('n el \ apuf whrccakru:ldo que Impul'\8 la lurbma. El calor ~ C'ede ti! wdio líquido del núcllx' y 'l.' extme del -.exlio IklUloo fpMI ~rlo 111 \llpcor .sobrt-calentudo) en el intCJ'C'.unbiador de calor. La temperatura del \l.por $ObrecalentBdO ef, de 500 K. El calor de W:,r.ecoo <,(' \ ¡"!'le cn el no que P.1.'>l1 por allC 11 una tempcr.¡tura de 2.~ "C (ti ) ¡.Cuál C.\; el I11A~¡mo remhmU!ntll que puede alc:mmr e5ta ccnu-.¡11 (bl i.Cuó¡nto calor de de",,· CM "" I lenl.' cnd:1 ~gundo en 1.'1 no? (c) ¿Cuánl u calor debl' pl'oduciN: p:I'" ~umml~trar I O\V de potencial (t/) Suponer que para pre.
67 • i Para I1Ulf\leflf'r la lemperatura de 20 C denlto lit' una C4'>11. el COII~UnlO de polencill de lO!< culentadores el&:tricm e~ de .!.tllo. W pot dí. cuando IlIlempernluta eJr.terior es de _7 e ¡.Cuál e\ la lanadón de enuupta por umdac.l de IIrmpo e~prnmenlllda por el uml-c~. mnuvadu por r'-le prui."OO de calrfacc l<'m)
S60
I
CapItulo 19 Segundo princIpio d e ht termodinÁmico
hlll tlum 1I),I l lplOhklllll ti) C{lll'e~ · iX'ndc 11 1 mol ,Je un tl0 \ ¡de,,1 11IOII\)lI1\\11111.."Q . LII~ IC11I¡X'OIturns de 10\ "UIll O~ A y 11 ,on .lOO ) 1 ~O K, l't 'lle<:th ul11CI1IC. i,('u~1 c ~ el rendimlcll!o tcnnodlndmlco del proct\(I dc!I\....1 t\ HClJA ,}
68
•• é l \htcml!.
Tell l'C.\ CnlnJ o en
l'
"
(f1 ) "Qué pnx.~,Q c..\ lI1eno" ,¡til ' ( 1) \111 blOtluc que se mueve L'Qn ~ J de cuel\lfa cinélH:1I y \ e deticne IlOr I\lIuruienlO cunndo la tcmpenttura al11hl\rén ca e.~ dc ,j(K1 K 1) ( 2) I I>.J de cnlor tra\mitido Ix>r condm:d Ón desde un (0\..'0 :\ 400 K hn~la otro n .lOO K'! SI¡8~n."dfl : ¿QII I ¡wl'te df! ¡ kJ de calor f'Oíl rldn n»lw'rtl nr" r"1I Imbtljo (1" ,.,,(/ si//wdr111 it/lWI? (IJ) Cnlculnr In vuriución 69
••
tk cnU'OI' Ul ¡te! univef:\o en cudll
Una máquina térmica que realiza tmbajo para hinchar 1m globo a una presión de 1 IItm eXlrae ~ kJ de un foco caliente a 120 oC. El volumen del globo aumenta en 4 L. Yel calor es cedido :1 un foco frfo a la temperatum Te' Si el rendimiento de la máquina ténnica es del 50 por ciento del correspondiente a un ciclo de Camot que funcionase entre los mismos focos, calcular la tempemtunl Te' ••
SSM
72 •• Demostmr que el coeficiente de eficiencia de un refrigerador de Camot que trabaje entre dos focos a temperaturas Th y Te está relacionado con el rendimiento de una máquina de Camot mediante r¡ = T/(CcTh ). 73 •• i ti' Un congelador tiene unn tem peratura Te = -23 oc. El uire de la cocina tiene una temperatura Th = + 27 oc. Como el aislamiento ténnico no es perfccto. ciena cantidad de calor fluye al congelador, equivalente a una potencia de 50 W. Detenninar la potencin del motor necesaria para nllLOtener la temperatura del congelador. 74 •• Dos moles de un gas diatómico descri ben el ciclo ABCA que se muestra en el diagrama PV de la figum 19.20. En A la presión es de 5 atm y la temperatura 600 K. El volumen en B es doble que en A. El segmento Be es una ex.pansión adiabiltica y el segmento CA una compresión ¡sotennn. (a) i,Cuál es el volumen del gas en A? (b) ¿Cuáles son el volumen y la temperatum del gas en B? (c) ¿Cuál es la temperatura del gas en C! (ti) ¿Cuál es el volumen del gas en C! (e) ¿Cuánto tmbajo realiza el gas en cada una de las tres elapas del ciclo? (j) ¿Cuánto calor absorbe el gas en cada elllp:l del ciclo? (g) ¿Cuál es el rendimiento tennodinlimico de este ciclo?
e v
Figura 19.21
ct\.~o .
70 •• Se dispone de gus helio ( y= 1.67) n un u presión inicial de 16 mm. un \'olumcn de 1 L Y una tempcmtum de 600 K. Se expnnsionn isotémlicunlellle hasta que. $U volumen es de 4 L Y luego se eomprimc a presión constante haSla que su volumen y tempemtunI son tales que una compresión adiabútic~1 devuelve el gas n su estado original. (a) Dibujar el cielo I!n un dillgrama pv. (b) CnJeulnr el "olumen y la temperatum después de la compresión isobárica. (e) Calcular el traoojo realizado durante cada cielo. (d) Detenninar el re ndimiento del cielo. 71
D
Problemas 75 y 77
76
••
Repetir el problemA 74 pata un gas monolltÓmico.
77
••
Repetir el problemn 75 pum un gus monoalómico.
78 •• Compnrur el rendimiento de una máquina de Ono con el de una máquina de CumOI que opem entre las mismas tempemtums máxima y mfnima. 79 ••• SSM Utilizando ltl ecuación correspondiente a In variación de entropfa de un gas ideal cuando cambian el volumen y la tempemtura. y TVf- ¡ = constante, demostrar explfcitamente que la variación de entropfa es nula para una expansión adiabática y cuasiestálica desde el estado ( VI> T¡) al ( V~, T2).
80 •••
(a) Demostrar que si no fuese cieno el enunciado del refrigemdor
del segundo principio de la termodinámica, la entropra del universo podría disminuir. (b) Demostrar que si no fuese cieno el enunciado de la máquina térmica. también podrfa disminuir la entropfn del universo. (e) Un enunciado altemativo del segundo principio es que la entropía del universo no puede disminuir. Demostrar que este enunciado es cquivnlente a los dos enunciados mencionados anterionnente.
81 ••• Supongamos que se conectan en "serie" dos máquinas ténnicas de formn que el calor eliminado por la primera se utiliz.1 como alimentación de la segunda. como se indica en la figura 19.22. Los rendimientos de las milquinns son E¡ y €:!. respectivamente. Demostrar que el rendimiento neto de la combinación viene dado por
IV,
p
A _
e v Figura 19.20
Problcl11us 74 y 76
w, •• J)os moles de un ga~ diatómico describen e! cielo ABCDA que se 75 :muestm en el dingrnma PVdeln tigurn 19.21. el segmento AS repn:sc.nta una expansión isoténnica. el segmento Be una e:i6n adiabátiCII En A la pre'ión e.~ de 5 aun y In tempcmlUrn de 600 K. El volumen en B es doble que en ,\ . La presión en J) es de 1 atm. (a) ¿Cuál cs la presión en R'! (b) ¡,Cuál e~ la temperntum en C'! le) Dctemlinar el trabllJo realizado por el gas en un cIclo)' d ~ndimiemo termodinámico de C!ite ciclo.
r, Figura 19.22
Problema... 81)' 82
ProblemlS
SSM :-iuP\llll.!lIll1n' que ~'adh U1I11 (k 111, máquillll' de 111 IIgum 1~.12 C" Ulll\ mAquilla \~nmcn ldenl rrvcl ...¡¡'lc I ,;lmaquina I hmclonn (:'IIlre lh~ ll'mrcralmll.,l~ ~ \11 ' Clll l~ t", \ 'l('mln f h ... , ..... > 7,. DeIll\l~lntr
82 •••
r.. ,
r,.
1
I,
r.
C'I.\ ,ismlkll que do, m"quinn~ lérlllh::" I'Cversible.. cn "-.cnc" ,o11 cCluivnlcnt e~ a una -.oln 1I1:I(jlllnll TC\'cl"'iibh: qllc fun cione I!ntI'C el foco nllh calicnte yel 111:1:. fnn_
••• BCttrnnd Ru s~c ll dijo UIIIl VCI que si !l un millón de mono~ le!> huhle,o;cn dado un millón de md(luinllli de escri bir sobre lus que teclear nI azur dumntC' un millón de uños, esos ~ im ¡os hllboun escrito todos las obros de S hllkc~pc:\r"C. Limitémonos al ~¡g uicntc frugmento de este autor (Jlllio César 83
HUi)
I
581
¡A //IiXIII m//l(l//(IJ, ('{'//l/mI ri(lWf, ¡1ft' f/cJ(lm r (/II',wlón ,1 i \'CIII((I (1 /lIhll/llar (/ bfll: mi a CI! flll,tlrf,..' ¡W //111/1/'11' Jrtn'l'I! 1m Iwml"c.\ pl'rd/lm ,lOhrt' IU mt'mflfltj l i " rrnlt'IIII'//Il'fIIl' 1'1 birf/ tlllt!d(l Jc¡mltod" ron UI$ hut'.TOJ "
e
¡St'(/ w,I nm Cb(lrt lI"blt' nrll/(J Q.\ 1m dicho que Clfllr na amhi('/ow. SI/ofill'. na la m ,l'a /Uwflllra g'{/I'l', )' grtl\'t!rIl!'II/,. lel ha pilgado.,
m
i Incluso eSlc pequeño fragmento necc!>itarfa mucho má!> de un millón tk añO<. pan! ~ r eM:riIO! En témlinos aproximadm detenninar en qué fnctor k equl' vocó Russel1. Hncer las suposiciones n!l.onables que uno dej;Ce. (Se puede incluso imponer 'Iue los monos son inrnor1alc...),
PROPIEDADES V '" PROCESOS TERMICOS
*Capítulo
20.1 Dilatación té rmica 20.2 Ecuación de van der W aals e isotermas
líquido-va por 20.3 Diagramas de fa se 2004 Transferencia de
- -
. energla termlca
las juntas de dilatación como la que se muestra son elementos esenciales de los puentes de acero al permitir la dilatación y contracción del puente por los cambios de temperatura sin que aparezcan tensiones en la estructura de acero.
? •
¿Qué le podría ocurrir a este puente si no tuviese juntas de dilatación? (Véase el ejemplo 20.1 .)
C uando un cuerpo absorbe energía térmica (calor) pueden ocurrir diversos cambios en sus propiedades físicas. Por ejemplo. ~ 1I temperatura puede aumentar. almislllo tiempo que se exp:msiona o se contme, o bien, el cuerpo se puede licuar o vapon1.ar. y durante
ese proceso su lempcrnlum pcmmnece constante . .. En este capítulo analizaremos algunas de las propiedades térmicas de la matcria y algunos procesos importantes que implican la energía térmica .
20.1
Dilatación térmica
Cuando aUll1enla 1:1 tcmperatura de un cuerpo. normalmente éste se dilata. (Téngase en cuent a que cn unu carretera de hormigón. las jUllta,> de dilatación aparecen cada lOó 15 m. lo que facilita que la cmfCtera se dilnte sin derormarse.) Considerc mos un a vnriJI n larga de longitud L Jlulln tempe ratura T. Cu:mdo la temperatura varía en 6.T. el cambio de longitud AL c), proporcional a dT y n la longitud inicial L:
AL
-
L
= aóT
(20. 1)
S84
I
Capitulo 20 Propledade~ y prOl:;e}OJ térm icos
en donde a..:c dcno l1li nll cocflc iente d c dllulud6n lill ell l y C~ iguul al c(')Cic ntc enlrc 111 varia ~ d6n rclutivu de long itud y lu vllrlucit5n de IC l1Ipct'UlUra:
u=
6UL /!.T
(20 .2)
Sus uniduck s son e l rcdproco del g rado Celsius ( 11 0) o el recfproco del kclvin ( l/ K). El coeficiente de di luwción lineal de los só lidos o de los Ifqui clos norma lme nte no vnrfa upenas call lu presión, ¡>efO puede variar signifi cativamente co n la temperatu ra. La ecuación 20.2 da e l va lor med io de a 0 11 todo el intervalo de temperaturas 67: Se halla el coeficie nte de dil:tta ~ c ió n lineal a una tempernt ura determi nada T to mando el lími te cuando 6T tiende a ccro:
TABLA 20 ,1 Valores aproximados de los coeficientes de dilatación térmica para varias sustancias
1(f"1
1-::= Al:elOna
1=
Alcohol
3,67 x \O ..J l .5x 1O ~1 l,l x 10 -3
1"
Mercurio
F--
Hlelo Alu minio Latón ' Cobre
f3 -
11"
-
Invar
.
l1m
/!. V/V
AT~O
/j. T
-
I dV
V dT
(20.4)
Del mi smo modo q ue a, el coefi c iente fJ no varía ordinariamente con la pres ió n si se trata de sólidos o líq uidos, pero puede variar con la temperatura. En la tabla 20.1 se dan los valores medios de a y {3 para diversas sustanc ias. Para un material determinado {3 = 3a. En efecto, consideremos una caja de d imensiones L], Lz. y~ . Su volume n a una tempe ratura Tes
1 0. 18x 10 - 1 51 X 10-6 24 x 10 -6 19x1O -6
17x 10-6 Acero !1 x 10-6 ........ Vidrio (ordinario) 9x 10-6 ......... Gralito 7,9x 10 -6 ; ' - - Vidrio(Pyrex) 3.2x 10 -6 _ Diam an te
I1T
(20.3)
En la mayoría de los casos se consigue una exactitud sufi ciente mi lizando el valor medio en
{J, K - ]
",== Ag ua (20 "q 0,207 x 10 1O~
AT~O
-L dT
un intervalo amplio de temperatura. Análogamente , se de fin e e l coefici ente d e dila tación d e volumen {J como el coc iente entre la variación relati va de volumen y la vari ación de te mperatura (a presión constante):
10~
E---,Aire
u=
I dL
/!.LlL . l 1m
La variación del volumen respecto a la te mperatu ra es
1.2 x JO-f> I x IO ..()
dV dT
Dividiendo cada mie mbro de la ecuació n por el volumen. se tiene
f3 -
I dI-,
I dV
V dT - L;
I dI..,
dT + L; dT +
I dL 1
~ -O d "' T
Como cada térm ino del segundo miembro es ig ual a ex. te ndremos
f3
•
= 3a
(20.5)
De igual modo, el coefi c iente de di latación superfi ci al es igual al dobl e de l coefi ciente linen!. El incre mento de tamaño de cualq uier pan e de un cuerpo pam un cambio determinado de la te mperatura es proporcional al tnmnno ori ginal de dicha pane. Asf. si aume ntamos la t e m ~ per.ltura de una reg la de acero, por ej emplo. e l efecto será semej nnte al de un aumento rot o~ gráfi co (muy pequeño). Las I(ncas que estaban previamente distantes por igua l seguirá.n estando igualmente espaciadas, pero los espacios serán ligeramente mayores. Si la regla li~nc en ('lIa un orificio de I cm de dilÍmetro, pongamos entre las líneas cor~-pondien les a J cm ) '" cm. el orificio se hará mayor, precisamenle tOOlO se ha hecho la distancu. entre las líneas de 3 )o '" cm . Aunque la mayor parte de los materiales se dilatan cuando se calientan, e l comportam iento del agua a las tcmperatul1\.:) comprendidas entre O y 4 oC es una excepción impon ante. En la figura 20. 1 se muestra el volumen ocupado por 1 g de agua en func ión de la tempemtura. El
20. 1 Olfiltlldón ttrmlc...
I
585
\ , .-.n'
1.0\
Figura 20.1 Volumen de un gmmn de agua a h.
l,Ul
prc"ión at nltJ~réricfl en función de la tempcr;¡tuf'8 El volumen mínimo se ellcuentra u 4 r y cllrTcsponde a la mrixrmíl dcn\idud. A ¡empent¡ur;l~ por debajo de OoC, 1:\ curvu repreM:lltada es la del agua M>breenfriada. (Agul! wbrecnlri¡¡da c\ el a!!uiI que se enfría por dcbiljo dcl punto dc eongdudón norulal sin que solidifique.)
l.O¡
,o
volumen es mínimo. y por lo lanto la densidad es máxima, a 4 (le. Por lo tanto, cuando se calienla agua que está por debajo de los 4 oc. se contrae en lugar de dilatarse y viceversa. Esta propiedad tiene importantes consecuencias ecológicas en los lagos. A temperaturas superiores a los 4 oC, cuando se produce un enfriamiento de las nguas del lago, el agua fría es más densa y se hunde hacia el fondo del lago; pero para temperaturas in feriores a 4 oC el agua fría es menos densa y asciende a la superficie. Como consecuencia de ello el hielo se fo rma primero en la superficie del lago y, como el hielo es menos denso que el agua, permanece en la superficie, actuando como un aislante térmico para el agua que se encuentra por debajo. Si el agua helada redujera su volumen cuando se congela, como lo hacen la mayoría de las sustancias, el hielo se hundiría hacia el fondo, dando lugar a que nuevas corrientes de agua pudiesen helarse en la superficie. De esta manera los lagos quedarían helados por completo. desde el fondo hasta la superficie. los peces morirían y, en general, la vida acuática sería imposible en estas condiciones.
EJEMPLO 20.1
I
Dilatación de un puente
Un puente de acero tiene 1000 m de longitud. ¿Qué longitud se dilatará cuando la temperatura aumente de Oa 30 OC? Planteamiento del problema Utilizando el valor ct= ll X 10. 6 K- 1 de la tabla 20. 1. se calcula lIL a partir de la ecuación 20. 1.
El cambio de longitud para una variación de 30 C' = 30 K de I~m peral urn es el producto de a. L y liT:
lIL = a L liT = ( 1Ix I O" K 1)( IOOOm)(30 Kl
=10.33 rn = 33 cm
La... Juntas de dilalnción que se incluyen en lo~ puente.. tienen por objeto evitar la~ c n omle~ l e n ~ i on e ~ que <;e protlul'irfu n sin ellas. Ten¡,icmc., exce~ i vn~ originada.~ por aum e nt o~ de lemperulurn pueden ocasionar defo rmacio ne~ en el puente.
Observación
Pod~mos
calcular las tens Iones quc se producirían en un puente de acero . .. in JlIntas de dilolación. u¡i lilando el módulo de You ng (ecuadón 12. 1):
''' A
-...;,:::cn =::.,,,ió,,n;.,-, _ 1 = -;deformación ó l ./l. Por lo t:lI1 to. f" AL -= l - = l a ..\r
\
l.
Para il. f = 30 K. j.Jjl. = 0,.1) mi Iono m.l'omn \l mo, c n el cJf' mpl o 10.1. L!lili¡.ando ) 2 X 10 11 N/m ~ (1'lbl'l 12, 1). rc\ulla
o.."n m = 6.6 X 10 1
1000 m
N/ m ~
I
I
S86
Ci'lI}ltulo lO I'ropledi'lde) y proC\!~o) térmkos 1~ 'It;.t
Icn.;, i6n c" uprox¡nmdu lIlclll c igual n UIl tercio de lu tcn<, ,(m de rOlU ru del acero c,omcllc!o u c01l1 prC'liúl1 . UIUI tCI1<¡ ión de c<,tc orden curvltrfu el puente y quednrfu permanentemente
dCror111 udo,
EJEMPLO 20.2 l n
I
Un vaso co mpletamente ll eno
dc ,¡dril! de 1 1, Sl' lIt'ml h lL~ 11I d hurd(' l'tlllllgUIl 11 10 "C. Sllu IcmpCrIIlurulllulIcnln .~o <'e, ¿(IU ~ cnlltldlld dl'n¡.(IUl SI' derruumrá dd frusco'!
f'rlbCO
hll~11I
Plant eamiento del problema El fnll>cO de \'idrio y el aguu '>C dihuull ambos cuando se calicntnn, pero In dilmndón dcl llgUII es superior ¡¡ lu del fmsco y por lo tanto sr:: dCn1ul1u ciertu camidnd. I:..<;UI CIIIIlidad IlUt:t!C dClt::rminnrsc calculando I[lb \'urincioncs de volumen pum 6.'" = 20 K, uti IiZllndo 6. Va = /3~ V ti T con /3J = 0.207 X 10. 3 K I 1''''';1 clllgun
1. El volumen de agua dcrramadn, .6Vd es la difcrt::llcia entre los cambios de volumen del agun y del vidrio:
fJ. V AT
2. Oclenninar el incremento de volumen del agua:
.6V. =
3. Determinar el incremento de volumen del frusco de vidrio:
.6V ~ = p,.V /1T - 3 a..V /11'
4. Por diferencia se oblicne la cllntidad de agua derramada:
.6\1d = .6V,- A\I,. = PaV .6T - /3, V .6 T
- (P.- P. )V o.T = (p,-3a,) V o.T
_ lO,207 x 1O-3K- 1-3(9 X 10-6 K- I)]( I 1)(20 K )
- 3.6
EJEMPLO 20.3
I
x10-:; 1 =13.6 mll
Rotura del cobre
Se calientn uml burra de cobrea 300 oC y se la sujeta fu ertemente entre dos puntos fijos de forma que no pueda conlraerse ni dilatarse. Si In tensión de rotura límite del cobre l'S de 230 MN/m2, ¡,cuál sentla tempe ratura a la que se romperá In barra si se somete a 1111 enfrillmiento? Planteamiento del probl e ma Cuando la barrn se enfria. la variación de longitud 6L quc tendrfn lug:Lr si pudiem contr.Icrsc es compensada por un alargnmielllo igual producido por Illtensión de tntcción de la barnl. Esta tensión FIA está relacionada con cllllargamiclllo AL por medio de Y = (FIAY(.ó.U1..). en donde el módulo de Young del cobre es lt = 110 GN/m 2 (tllblll 12.1 ). El máximo al:lrgamicnlo permisiblr:: liene lugar cuando FIA vale 230 MN/m2. Asf determinamos d cambio de temperJturn que ploduciría esta cOlllracci6n máxima.
1. Calcular la variación de longi tud .61.. 1 que se producirfa si In barr:l. no estuviera empolr:ld:L y se enfriaru .6T:
aL /1T
2. Una tensi6n de lt:lcción FIA nlnrg;1In barra en .6~. en donde: 3. Sustituir los re<'ulludos de lo ... 0.10
p.'lSOS
1 y 2 en llL.
+ J..,. = OY despejar
de modo que
FlA L 1
.6t l + .61..1 = O
nA aL l!.T+t l '
- O
de donde
=-
F/A
al
101> N/m 2 = -( 17x lO-Io K 1)( llO x \ O'lNJm~) 230
X
= - 123 K = - 123 CO 4 . Sumar e... tc re~ultado a la lemperaturn original para delennmar la temperatura final a la cual -.e rompe la barra:
TI == TI +/1T = 300 °C _ 12J oC
=1\77 oel
20.2 [cunclón de Wtn der Waal, e Isoterma, hquldo-vapor
20.2
Ecuación de van der Waals e Isotermas líquido-vapor
A~lIlquc
la lIwylll·t'a de lu:. ga.¡c' :'c cOl1lportllU como UII gas ideal ti In., presiones ordinariu.... "lI -:Onlpol1l1llli~l1h):.e dc:.\ fa ud ideal !I prc,ionc" ~ 1I¡¡dcnIC lll el1te altas o ICmpcflIt untS sul1· dCI11Clllcnh: baju\. c¡.. dc~.'ir. cuundo In dcn:.i<.lud del gu, C~ clcvudn y luo¡ moléculas. por t~r· llIillll mcdlo. 110 csttín Illuy lIh.ljallns. Existe una ecuación de estado dcnOl11inudu ecullc ión de van del' \Vmlls llue dc,.;l'l'ibc el cOlllpon;ltuicllto de muchos gll:;cs reales en un amplio margen de presiones C\)11 m¡'is c:..uctitud que la ecuación de eSl
(20.6) ECUACiÓN DE ESTADO DE VAN DER WAAU
En esta ecuación aparece la constante b porque las moléculas del gas no son partfculas pu ntuales sino que tienen tamaño fin ito; por consiguien te. se reduce el volumen libre disponible pam que se muevan las Illoléculas. El valor de b es e l volumen de un mol de moléculas de l gas. El ténn ino lI1/1/1/2 se debe a la atracción que las moléculas del gas ejercen entre sí. Cuando una molécula se acerca a la pared del recipiente, se ve frenada por la atracción de las moléculas que la rodean con una fuerla que es proporcional a su densidad "Iv' Como el número de moléculas que chocan COlllra la pared en un tiempo determinado es también proporcional a la densidad de las molécu las. la disminución de la presión debida a la atracci6n de las molécu las es proporcional al cuadrado de In densidad y, por lo tanto, a ,,2/1/2. La constante (1 depende del ti po de ga.. y es pequeña en el caso de los gases inertes que poseen una pequeña interacción qufmica. Los términos b" y (m 2/\P- son ambos despreciables cuando el volumen Ves grande, es decir. a densidades bajas. Así pues, en estos casos, la ecuación de van der Waals ticnde a lu ley de los gases ideales. mientras que a densidades ullas proporciona una descripción mucho mcjor del comportamiento de los gases reales. En la figura 20.2 se muestran las cu rvus isotermas en un gráfico de P en fun ci6n de V paw una sustancia real a varias temperaturas. Fuera de la región en que coexisten líquido y vapor. esl'US curvas se describen muy bien por la ecuación de van der Waals y pueden ulili· zarse para determinar las constantes a y b. Por ejemplo. los valores de estas constantes que dan el mejor ajuste u las curvas experimentales pam el nitrógeno son (1 = 0, 14 Pll . m6/moJ2 y b = 39. 1 mUmol. Este vol umen de 39.1 mL por 11101 es aproximadamente el 0,2 por ciento dcl vol umen de 22,4 L que OCUpil l mol de nitrógeno en condiciones estándar. Como la masa molar dclnilrógeno es 28 g/mol. si I mol de 11l0léculns de nitrógeno estu viese empaquetado en un volumcn de 39. 1 mL, su densidad serfa M 28 g p - - = - 0.72 glm L = 0.72 kglL V 39. 1 I1lL
valor comparable a 1.. dcnsidad dd nitrógcno líquido. que es 0.80 kg/I... El valor de la constante b puede utili/ur..e par.! hacer una e::.timaei6n del I3maño de lu mol6cula. Como el volumcn dc I mol (N" moléculn!» de nitrógeno es 39.1 c m'. el volumcn dc una sol3 molécu la C.'o V =
39. 1 Cm '/mol _b = ;-,:;;-:,'7;;;'''''"-77''':-7-''' - 6.50 x 10 NA 6.02 x 102.1 mol6culovmol
Si MlllOIWIllO' quc cudo lIlolécul:, OCupa un cubo de nri.,t3 d.
'OC
2.'
cm 1 / molécula
tiene
el' = 6.50 x 10 2.1 cm' o bien ti = 4.0 x 10
11
cm
que e.. un \'a lorc..<;lÍl1lado razonable para el "dlántc=tro"
p
Punto critico G"
o~==~~~
LíqwI !L , 1 , " d '.\ c I UqUl o y , Gd~ .\'
! vapor coexisten\
l'
en un (klgmma 1'1' correspondientes a una :.ustnncin real. l~n el C'J$O d<;: temperaturas por encima de In tC Ulrt'ratura crit icn T~ 1:1 sustancia permanece gru.eosa a toda~ la:. presiones. Fuem de la región donde h4Uid{) y \ !lp!.'r coex isten. estas cur"as quedan bien úe~..'ril;l:. olt.'dinnte la ecuación de VDn der W;I,¡h. l,¡¡ pre,ión correspondiente ¡j lus panel> hori/onlllle,., d~ la~ curvus en lu región sombrc;ldu es lo pre... i6o de ,,¡,por. que es aquellu en que el \-apor ~ el liquido e,<;tán en equilibrio. A In i/quierd.. ¡Jt' la región sombrcnda y pura Icmpenllura, PQr (kblljo de lu crítica. la !'ustonci¡¡ es un liquido y c:-. ":ilsi Figura 20.2
i~n'p~ible.
I sotenlln~
S88
I
Ca~tulo.lO Pro"icdade~ y pNKe~Ol lérmlcm A Il'IIlIlCI1I!UI'a', IXII' debajo d(' r,. In ('l:ulldóll de vun der Waah. dc<;cn bc aquella" pprclo 11e" dc la" i\{IICnUU" que M ili Clt t l'ri~) rc't 11 111 r'Cg ión \ombrca(,)a de In hgurII 20.2. pero 11(1
Ii,,,
ptlfl'hJIIC\ rlHailln:\
/. oc 130 ] 20
100
80 60
40
20
o
100
, 300
200
P. kP:¡
• o
1 mm
2 atm
I~
3 aun
aun
(10 1 kPn ) (202 kPa ) (303 kPIl)
Figu ra 20.3
Presión de vapor de l agua en función de la temperatura.
la 111¡ '¡ llll1. SUPOI1!:tIlIllOl; que IClIcrnm, un ga<¡ n una temperatura inrenor :1 J ~ {l lIC in ici alulell!e Liene unir pre"¡ün blljll y un volu l11en gmndc. Munl cnie ndo la lempcra ~ turu (.! on"tnIlW (isolermn A en In ti gura) empezarnos 11 cO l1lpri rnir el gw;. A l principio In presioll va cl'c¡;ic ndo. pero ellulldo u l clUlI.al1lo~ el pU1l1U 13 sobre la línea 11 trillO... la prc~i6 n deJlI de numell! ar y el gus Cl1lpiC/a ¡¡ cOlldell san.e ti presión C0111;11I11te. A 10 lurgo de 111 Hnen horiI.OlllU l BO dc 111 figunl. el gn~ y cll rquido estiÍlI ell eq uili brio. Si continuarnos com primiendo el gas. cada ve!. se condensa nui.¡ gas husta que M! alc:u11..<1el punto 1) sobre la línea a lra/OS. en donde tenemos s610 Hquido. Luego. si in tentamos comprimir Mín mlÍs la f, ustnncia, la presión aUlllúntll rápidamente, porque un líquido es casi incompresi ble Consideremos ahora que introducimos un líquido, por ejempl o agua, en un reci nto donde previamcnte se ha heoho el vacío y luego se cierra. Cuando parte del agwl se evapora, las moléculas de vnpor de agua llenan el espacio vacío del rec into. Algunas dc estas moléculas chocan contra la superficie del líq uido y de nuevo toman la fo rma líq uida en un proceso lI amudo condensación. Inicialmente la velocidud de evaporación es muyor que la de condensación, pero finalmente se alcanza un equi librio. La presión a la que un líquido se encuentra en equilibrio con su propio vapor a una determin ada temperatura, se denomina presión de ,'upor. Cuando existe este equil ibri o y se calienta ligeramente el rec ipien te. el líquido hierve, se evapora una pane mayor de éste y se acaba reswbleciendo de nuevo el eClu ilibrio, esta vez a una pres ión de vapor más aha. Podemos ver en la fi gura 20.2 que la presión de vapor de un gas depende de su temperatura. Si hubiésemos empezado a comprimir el gas a una te mpem~ tura inrerior, como la correspondiente a la isotenna A' de la misma figura. la presión de vapor lambién hubiese sido menor y corresponderia a la línea horizontal de presión constante que indica A'. 1....1 temperatura de una sustancia cuya presión de vapor es igual a 1 atm, es el punto de ebullición normal de dicha sustancia. Por ejemplo, la presión de vapor del agua e.<¡ I aun a 1;:\ temperatura de 373 K = 100 °C, de modo que esta temperatura es el punto de ebullición normal del agua. En altitudes elevadas, como en la cima de una montaña, la presión es inferior a I alm y entonces el agua hierve a una temperatura Illcnor que 373 K. La fi gura 20.3 mueSlra las presiones de vapor del agua a varias temperaturas. A temperaturas por encima de la temperatura crítica T~ . los gases no condensan . sea cualqu iera 1;:\ presión a que se encuentren sometidos. La temperatura crít ica para el vapor de agua es 647 K = 374 oc. El punto en el que la isoterma critica cona la curva a trazos en la fi gura 20.2 (punto C) se denomina el punto crítico.
20.3 /' , alm
B
2]8
-
---
- ---- P t Liquido I ~~ o Punto I cnllco
Sólido
1.0 U.OOO6
triple
1-
~
•
,"
.,
e
Gas
,, I
Gas
I
Vapor
,
":\
27:\. 15 \ J7J 273. 16
674 T• K
Figura 20.4 Dingnunn de fa~~ c"m:~rondi cntc al [\81111. Las escalas de presión y de IcmpcrUlurn no son lineales sino (IUC 'iC han reducido parn mostnlr lodos los pumos inlcrelill n".'~. 1...1 curva OC e., la C UI'VlI de presi6n de \ upor en fun ción de la Icmpcralurn. La curvn 0 8 e.<;; In de
la de t> ublimlld6n.
fu ~ió n
y [n OA.
ti
Diagramas de fase
En la fi gura 20.4 se representa la presión en fu nción de la tcmpernnr ra a volumen constante en el caso del agua. Dicha representación se denomi na un diagnuulJ de rases. La parte del diagranw comprendida entre los pu ntos O y C muestra la presión del vapor en runción de la temperatum. A l continuar clllenUlndo el rec ipiente. disminuye la densidad del lfquido y aumenta la del vapor. En el punto e del dingr.mm ambas de nsidades son iguales. El punto e es el punto crílico. En eSle punto y por encima de él no existe distinción entre el líqu ido y el ga.\. En la labio 20.2 se dan las tempcr.lt uras crítica.\ de di"er.m", sustancias. A tempcraturJS llU1YOrcS que la crítica, un gas no :-oc licú.. por mucho que sc aumente la presi6n. Si ahora enrriarnos nuestro recipienlc. pane. del vapor condensa en líq uido recorriendo en serHido inverso la curva OC haMa que la sustancia alcanDl e l pu nto O de la figura 20.4. En e~ t c punto el líquido empiCltl a solidific:lr. El pu nlO O es el punlo Iriple en el que pueden coc.xi<;tir e n equil ibrio las rases sólida, líquida y de vapor de una sustancia. Cada sustancia tiene un pu nt o triple tí nieo. con un a temperatura y prc",ión espccíficus. La temperatura elel punto triple del agua es 273. 16 K = 0.01 oC y la pre... i6n del pumo triple vale 4.58 mlllHg. El Hquiclo no puede exi<;tir :r tcmpcr.lturas y prcsionc.<; por deblljo del punto lriple. 1...;.1 curV:l 01\ del diagrama de ras~ de 1.1 figura 20.4 es el lugar geométrico de las presiones y temperaturas en donde cocxi!>ten en equi librio el sólido y el vapor. El paso directo de sólido a vapor se denomina sublimación. Se puede obscrvar este renómeno si se colocan cubos de hielo en el congelador de una nevera (especialmellte si es del tipo que elimina auwmática-
20.4 TlimS'Nt'ncJa rle t'nNg'a term/u
owntc 1,\ C"\,ln'ha qu\' ~~ h\III1;\\ I {\\ \'uh\ ,~ dl' hll' ll1 d~'~ap;Ul'l'~'11 ll11uhm'lJtl' dl'l1ldt, 11 1<1 "\1"11111;\\,\,111 ~\\IIl\II;\ PI C"l,lll ,\\1I\\1,1~'ll l'U l'~I ;lll\l1, Pi!! ,'l1l'llIW 1!l' la pa, ... i oll lid jllll1l1, l1lpll' dd :l!!"i1, IlUlll,\ "'l' \' .. t'lbkn' d l"lull1l1l1ll l' \III"\,' d ludo \' d V¡lpor lk aJ;1Ii1 I a !elllll1.'1;11U1i1 '! I\I'é"I\'1n lid plln\(\ ," pll' ,Id di' \\ldo lk ,',1111111111 (('0 .,) "")11 ~ ICl ,~ .C; 1\ ~. ,l KKO 1l111111!!, In t't1U1 .. 1~ll1lh:;1 ljll\' 1'1 ('(), Ilqlli ,hl ""11111'11L'dl' l'\i"" '1 ,1 pll' .. Ultll· ... pOI C l1 l' 11111l 1k' .~HK() 1I1rnll!! "", I ,11m 1\\1 lu 1;\11\11, ,1 la ... pl ~~lI ltll' ''' nlllirllll lil .... l'l dlt}\ldu ,iL' embullo líquidll 110 PUCdl' c\ l... tir u nin~unil It'IIlIX'raI!U;\ CUllndud dw\ idn dt' l:arlwl\u ... ól llln "fu mI<.'". "l' .. uhlima dircClllll1l' nte .\ eo: ~1I"1'1\"'\I"l1l p;¡"',lr plH la I""'l' liquida: dI!' aqUl d nlllilbre de "hiclo 'l'cn", t ¡lI.'Ut\¡J cm l' lllu fi~U1'.I 2.n·1 e . . II1I.'III'\'1I dl' rU ... il)11 qlll: :.epul'H Ja fu ...e ...(¡Iida y IfllUldu . bn d (,';\"OliL' un,\ 'lhl.LIll'i;\ 1,:0I11U t,,'l "t!u:\ CUY'1tempcraturu de lü,i611 di~1Ui n uye al aumentar la P~"I('lI1, IlIl'una (>11 ,,,' diri g~ hnl'i a !tI i/ll Ulcrda a parlir dd punto tnple, comu M! \'e en e<,1a ligura, Flll';IM ( , u' lanei:¡.. lu tcmperatura de fll :-.i6n uurnCll1a l:uando crcce" la pre"ióll. I:ll l'slO, caso:.. la lilll':! OH se curvn hucia lél derecha d c~d e l!1punLO triplc. P:lra que una mn!t,kula (',cupe de la ~ upcr1i cic de un líquido, es docir. se evapore, se !Ieee· ... ila clll'rgia pan! romper lo" e nl n1.:c~ molcc ulart: ~ de la !o>upcrticic del líquido. Por lo tanto, la \ apoli/:lcion e:; un proce:'io en el que se enfría el líquido Cjue queda ntnis, Si se hace hcrvi r agua de lu I'onnn usual. calentándola. d erecto de enfriamiento mantiene constantc la te mperatura dd líquido en su punto de ebu llición. Esta es la razón por la que puede uti li l.af'\C el punto de ebullición de una sustancia para calibmr termómetros. Sin embargo. tambi én puede hacerse hervir el agua, sin añ¡¡dirle calor, extrayendo el ain! que hay encima. haciendo descender así la presión aplicada, La energía neccsaria para la vaporización se extrJC. entonces. del propio líquido que queda dClm.C;. Como resultado, el líquido se irá enfriando. incluso hasta el punto en que llegará a fomlarse hielo cn la parte superior del agua hin'iendo.
20.4 Transferencia de energía térmica Existen tres formas diferentes de transmisi6n de la energía térmica de un lugar a O(ro: con~ ducción, convección y radiación. En la conducción. la energía se transmite en rOmHI de ca lor como consecuenci a de las interacc iones e ntre átomos o moléculas. aunque no ex ista un transporte de los propio); átomos o moléculas. Por ejemplo. ~i se calienta uno de los extremos de una barra sóli da. los (¡to· mos de la red cri stalino del exlremo calentado vibran con mayor energí.¡ que los del ex tremo rrío y, debido a la interacc ión de estos álomos con sus átomos vec inos. esto energía sc tnms· porta a lo largo de la barra. I En la convección. el caJ or se transfiere mcdiante un transportc dircclO de mll:;¡J. Por ejemplo, el aire cali ente próximo al slIelo se expan!>iona, "Udensidad di sminuye, y la fuer!:) ascen:,; ional que act úa sobrc él debida al medio que Jo rodea hact.! que suba. Por lo tanto. la energía térmica del aire caliente se tram.porta hacia arriba j unto con la masa de aire caliente , En la radiación. In cnergía tt!r1l1ica sc trnll~port[l a través del e:.pndo en fomla tle onda:>. electromagnéticas que se llIucv ~ n ti 111 velocidad de la IU/. La mdiación ténni1.:a. la.'" ondus lumino-53,... , l a~ ondas de radio. la ... onda ... ele tele\' i,il~ n y los m)'o... X son toda:. ella..... forma . . de mdiación etectromugnélica y difieren emrc ... í tínk:Ullclltc por ~U'i Inngi tude... de onda o frccuencias. En todo~ los mecuni"mos de 11111l"luj¡,ión de 1.:alor. la velocidad de enfriamiento de un cuerpo 1:..' aproximadamcntc proporcional a la difercnciu de tCIllpt:mltJr.1 que e . . i<.te cntI'l! el t:uerpo ) el medio que Ic rodea, EMe hccho 'e conoce t:on el nombre dc ley del enfriamiento de Né\\lon En muchas ,ituat:1one ... reale,. los tre ... mecllni~mll.~ ele Imn ... fcl\'nciu dcl1.:al{)r ...e rn.'~cnHln simultáneaillcntc. aunque alguno de ello, puede ...el' IT}:¡" dominante que In .. Ulf{\,. Por cJcmplo. las estura... ordinaria.. tnlll, hen:n e,¡lur por mdlll1.:iÚn y por 1'00\ctcilln. Si el elemento calefllctor e ... cuarl.O, el prineip¡¡1 mecani ... nlll de tl':m,fcn..'ncia lkl \..'alor c' la mdi¡lciml, Si l·1 elemento calt:ractor e~ un Illc\UI (que no irmdia ti.lJl ~'lil'''l1nl'nte 1.:UIllO el cuuf/n). el principal meca,ü ... mo de tr.l.I1,fercnl'ia del calor e, lu l'¡)ll\l'cciún ) el .L1n.' l'alenlado ..e eh:\-;! pan! ,cr rcemplanldo por aire ruó . . frin. Con fn.~u e n c ia . e..IO, calcntaclnrc, induyell un \entil;¡dor pan.! m.:clernr el pmcc..... n de Clll1\ ccci6n. 1 1),
el .....lid.. ~,!lR m~I.lt. .. 1troln,pvnc.k ClICfJIU 1&!fTfI". '" 1'110.:,111,1.1., I'<-.r l.... """:trunos hl>r<,~ 'l~";: nll... \cn .,,, t.rS"
Jclrm'1l\1l
I
,SRq
I\lA 10.2 Ternpl'ratur., ( ti< ,r p r di Yrrsa, \;.I'-I.n( ,}\
K
I
IIJ(J
~OCl
DIÓXIdo dI' Muir! ,On,l' Cloro,·'I·',I:
JOO
200
Dióxido dp (arb )n J.
Óxino rutnco. Oxig' no, I ~. Argón- 1SI.'
100
{)
Neón .w, Hidrógeno, ~ Helio, :'. ,
)'
~I ,
590
I
Caprtuto 20
Prop¡edl\de~ y proceso3
térmicos
Conducción En In liguru 20.5(/ ¡.:~ 1lI11c:
baj:1. la e nergía t6rlllica se (;\1ndm.:\! de forma cO lll in ua fI lo largo de In barra desde el ex tre mo culicnlc al ex tremo más fr(u. En el csludo estacionario. In tem peratura vnrfu linea lme nte desde el extremo calicllle al ext remo frfo. Lu ¡ast! de variuc ión de la Icmpcralurn b.TtAx a 10 largo dc la barra recibe el nombre de g radi ente d e temper a tura . Sea b.T la diferencia de tcmpcrntura entre los extremos de un pequeño Ilcgmcnlo de long itud Ax ( fi gura 20.5b). Si llamamos Q a la can tidad de ca lor que se tran"imite por conducción H lo lurgo de di cha porción en UIl ciert o intervalo de tiempo Al. la tas,a de conducción ele cata r Q/l:11 se denomina co r riente térmica l. Experimentalmente se encuentra que la corriente térmica es proporcional al gradiente de IcmperalUfl] y al área de la sección recta A:
A
.-
t:.T
kA -
t:.x
(b)
D EFINICIÓN- CORRIENTE TffiMICA
Figura 20.5
(a) Barra conductora ai ~ lilda con sus extremos a dos temperaturas diferentes. (b) Segmento de la barra de longitud llx. L:l tasa a la
que se conduce la e nergfa térmica a lo largo de esta porción es proporcional al área de su sección recta ya la diferencia de temperaturas. y es in vcrsameJlle proporcional al espesor del segmento.
(20.7)
La constante de proporcionalidad k, llamada coejiciellle de conductividad lérmica O s im ple~ mente cOllductividad térmica. depende de la composición de la barra. [ En unidades del SI. la corriente ténnica se expresa en vatios Guli os por segundo) y la conducti vidad térmica tiene unidades de W/(m· K ) .2 En los EE.UU. la corriente térmica se ex presa usualmenle en Btl! por hora. el área en pies cuadrados. la long.itud (o el espesor) en pulgadas y la lemperatur.l en gm~ dos Fah renheit. La conductividad térmica se ex presa entonces en Bru·pulg/(h·pie ·P). La tab la 20.3 da las conductividades térmicas de diversos materiales. De la ecuación 20.7 resu lta para la diferencia de tem peraturas t:.T - I
~
kA
(20.8)
es decir.
bT = IR
(20.9)
CAMBIO DE TEMPERATURA EN fUNCION DE LA CORRlHfl[ T{RMICA
en donde tulkA c<; la rcsisl.cncin térmica R:
t:.r R =kA
(20. 10) DUINICION-RESrSTENCtA TtRMICA
Ctllcular la rc..,bte ncia térmica de una chapa de aluminio de áreil 15 CIll 2 y Cl'pe<;or 2 CIll . (Rl'spllt'wa 0.0563 K/W = 56.3 mK/ \V.)
Ejercicio
Elercicio ¿Qué c.'pcsor de plata \C 1lI.."'tt..,itmia p"ml que su re...,islencia ténniC<.l fuem equivalente o la de un t$p!.\Or de I cm de aire de igual St."'CCi6n recta? (RespllesllI 8 ." = (1 cmX429) /(0.026) = 16500 cm = 165 Ill.)
I !'loo coafundu l. oon..tunl\"IC1Id Ic!nnto C"OO I~ cC,,",lanlt de: Bohvnann. que Ilmbt':!n 'oC delllgna evnla Iclfll ~ 1 En .lgUl1l' IlIhlas. 11 C'Ilt'r¡lu rt-rnll<"a)C t~prr"'WI. en C'ak!ril,\ (\ kilocalorflb) el t'JlC''-OT del conducror en cenlÍmetnl:'<.
20.4 Transff':rf':nd a df': enf': rgla
¡ n tU IlUll1lth
I'll '
1
,
I
591
k, W/(n, 1\ 1
Iil t
111
t~rmlu
111 '
1
~NSC\)
!lluld
H11))
\.mm!
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H() I)
r ! t 'iU)
Plom(,)
fl'il)
12:'1X)
0 '0
¡ li S)
( IM <11
12m
(~~ K )
AlumInIo ,"Iierro
(:'\ IQ )
Acero
101
(I~O.4)
(4b )
](J I
1O '
:::¡--
=.
lO '
__ (6- 9)
Ho rm igón
(0.19- 1,3)
Vidri o
(0.7-ú.9)
(4.22)
Ag ua a 27 oC
(0.609)
-(·un
Hielo
(0.592)
- (l ,02)
Roble
(0,1 5)
- (0.78)
Pino blanco
(0. 11 )
Aire a 27 oC
(0.026)
.(5- 6)
1----- (0, 18)
,,~
10- 1
---e 10-'
En muchos problemas pnícticos interesa el fl ujo de calor que se propaga u través de dos o más cond uctores (o ai slantes) colocados en serie. Por ejemplo. supongamos que queremos conocer el e fecto que se produce si se introduce un material ais lallle de un cierto es pesor y conductividud térmica en el espacio comprendido entre dos paneles de yeso. En la figura 20.6 se muestran dos planchas de igual áren transversal pero de diFerente material y diferente espesor, Llamamos TI a la temperatura en el lado caliente, T2 a la temperamra de la interfaz entre las planchus, y T) la temperatura en cl lado Frío. En condiciones de fluj o de calor estacionario, la corriente ténnica T que atraviese cada plancha debe ser la mis ma. Esto es una consecuencia del pri ncip io de conservaci ón de la energía; para un flujo estacionario. el rit mo eon e l que lo energía entra en una región debe ser igual al ritlllo de salida. Si llamamos Rl y R2 a las resistencias ténn icas de las dos plonehas. según la ecuación 20.9 para cada plancha se cumple 1'1- T 2
-
IR ,
•
Figura 20.6 1)os láminas lénnicllS conducloJ"J.li de materiales difcrentes puestas en serie. La rc.:.i¡;tenci:l lénllicu equi\'alcnte dc las láminns cn serie es la sumí! de sus rc.~ i s t en c ills ténn iclls individullles. UI comente lénnicll es la misma a lJ"Jvés de ambas láminas.
y T2- T 3
-
•
IR,
Sumando ambas expresiones
o sea I -
6T
R"
(20. 1( ) •
592
I
apftulo 20 Propledadc.\ y PtQCC3m lé rl1llto5
1.: 11 donde NI'\I
c.' lu
rcs lBtclldl.l C(llIh'lIltntc. Ac¡(, purn lus rcc; il'[e nc:ius térmicu!; en c;eri c. la
re"i:'lcm:; u cqui valclI[c C" la c;u.ml dc 11, ..
n;<, j¡.;ll: nciuq individuu lc!ii:
(20. 12) RUISTlNClAS ¡tRMICAS EN SfRIl
Est!! t!!nnogfa1lla de una casa muestra
Este rcsull ado puede :'p licnrsc n c ualquier número de resha cnc:ins e n serie. Rn el c1Ip(tulo 25 cncont r'drelllOS esta mis ma f6rmula aplicada :t resisle ncias eléctrica!; en seric. Pum ca lcular la CUllt idad de cal or que sItie de una IlIlb it aci6 n por conducción en un ti empo dClenninado, es nccesario saber cuá nto calor s.tlc por 1::Lo; paredes, las ventanas, e l s ue lo y e l lecho. En este lipa de pro blema. en el que hay varios caminos pam e l n ujo de ca lor, se d ice que las resistenci as están en parale lo. La di ferencia de temperaturas es la mis ma para cada camino, pcro la corrien te térmica es d ife rente. La corriente térmica lota l es la s uma de las corrientes térm icas a través de cada uno de los caminos e n paralelo. que son de hecho independi entes: óT
óT
- - + - + ... = RJ Rz
' ,otlIJ
AT(J.... R +J....+. R .. )
W
,
2
osea ' [OlnJ -
óT
(20. 13)
R..
en donde la resistenci a equiva lente viene dada por
(20.14) RESISTENCIAS TÍRMICAS EN PARALELO
Encontraremos csta ecuación de nuevo en el capítu lo 25 cuando eSlUd iemos la conducción e léctrica a tl".dvés de resistencias en parale lo . O bsérvese q ue tanto para resistenc ias en serie (ecuación 20 . 1 1) como para resistenci as en paralelo (ecuación 20. 13) ' es proporcional a f1T. en concordancia con la ley del e nfriamiento de Newton.
EJEMPLO 20.4
I
¡INTÉNTElO USTED MISMO!
Corriente térmica entre dos barras metálicas
Dos barrus metálicas aisladas, cada una de longitud 5 cm)' sección trans\'ersal rectanguhlr de ludos 2 cm y 3 cm. están cncu.jadas cnlrc dos pnrWcs, una ma ntcniduu 100 coC)' ha otra a O (lC (figura 20.7). Lus burras son de plomo y plat.ll. Detcmlinar (a ) lu corriente térmka total a tra· \'és de las barras y (b) 1.IIIcmperaturo en la Inlcñoz. Pl anteamie nto del problema Lus b;:lmiS ,on resi"ll!ncins lén niC'dS en seril!. (a) Hallar la corrienle témlica 10lal ¡¡ partir de, = Rt:t/óT. en donde la resistencia c<[uivnlenlc R~ c... la suma de las l'C...istencias individuales. Utili/.ando In (,.'C uución 20.10 y las conduclividades ténniclllo dada... en la tnbla 20.3. se pUl!dcn dClcnninar la... rc..istcncias individuale.-.. (11) Dctenninar la tempcr:llum de In intc rfll1 aplicando óT= IR I a la primera bamt solamente y deduciendo ó T en runción del vnl(lr de I oblenido en (a).
Figura 20.7 Dos bloques conductores de
Tope lo columna dt la
d~rttha
t
¡nttnt~
reso/wrlo UJtM mismo
Pasos
Respuestas
(a) 1 . Exprc~ar la re... i,tencia equivalente lénnlca en fu nción de la .. rec;is· tt::nc1a$ témliclls dl! la..... do!; barra...
R
2. Utili7.ando la t::cuación 20.10. cxpresar cada re ..i ~l enc ia en función de las conductividade... lérmic~ individuale .. y 10\ panlmetrus
R,
geométricos:
3. Usar la ecuación 20.13 para hallar la (,."OTncnle tbmica.
,.
'.
calor de materialc.c; direrentes dispuestos en paralelo.
R \
,.
.
\.
20.4 Tranderend<1 de encrgfll térmica
(b) 1. ('¡lkulm la (h k~l1d n do !emperu!Ur1r cnt r.... tI)" t!;(U'Cl1Iü
2. l lllht:u el ~'U I H\dl) del 1111 ,1 en 111
3.
pUM\
\f
unll'r i(1I pum delenmnuf ht !empe r.t
Corllprobollr tu re"JlU\!'1a d.... lennimmdo la lura a tr:wés dc In ham¡ de phltíl.
EJEMPLO 20.5
I
1041
"
iut\!rful
d¡rcrcuc1n de le mpcm-
'""
I H",
1'10
\f ~,
(
\ / 1'10
'R.
.J~.I
I
591
51.'l{
I I ~. I I (
('
Otra disposición de las barras metálicas
Las bnrras metálicas del ejemplo 20.4 se disponen ahorn como mucstrn la figura 20.8, Determinar (a) In corriente lérmicu en cuda hnrru, (b) lu corrienle lérmiculolnl y (e) la resistencia térmicn e«ul\'nlcnte del sistellla formndo por las dos bur ras.
.oc
Planteamien to del proble ma La corriente en cada barra se determina uti lizando I = tJ.TlR. en donde R es In resistencin ténnicil de la barrn deducida en el ejemplo 20.4. La corriente total es la suma de las corrientes. U.l resistencia equiva lente puede detcrnlinarse a partir de la eClmci6n 20.14 o a partir de ¡IQlal = tJ.TIRtq. (a) Calcu[ar la encrgfa ténnica de cada barrJ.:
'" '..
Fig ura 20.8
I
6T 100 K = = =1424 W 0.236 KAV Ro. tJ.T [00 K - HA. = 0.194K/W =15 15 W I
(b) Sumar e..<¡tos resultados para deducir la corriente total :
IMUJ = J1'b +/ A! = 424W+515W =1939W I
(e) 1. Utiliz¡¡r la ecuación 20. 14 para cíllcular [a re..~istencia equivalentc de las dos barrJ.S en paralelo:
....!.... = R~
R~
..L +J... Rt'b
=
R A!
= 10.107 K/W
I
0.236 W
+
[ 0.19.J
w'
de este modo
I
OT
2. Comprobar el resultado. utilizando 'IQlaI = 671RI:<1:
10011
R'
=
~
'
tJ.1' [00 K IkJUI = 938 w = 0, 107 K/W
Observació n L.'\ resistencia equiv¡¡lclllc es menor quc cual(IUiera de lal' Este es el caso de las rcsistcncins en p:tmlelo.
~islcncias
individulIlel'.
En la industria relaciorwda con In conl'trucción. la resiste ncia lénllicn por pie c uadrado de sección trunsversal de un material recibe el nombre de fll ctor R. al que dcsignnrcmo:-. por R(. Conside relllo:-, una lámina el!; 32 piel de mme rial ais lame de espesor A\ y factor Rr = 7.2. E.~
dt!Cir. cadu pie cuudtado (figura 20.9) prc!>Cnla una rc.. . if,tencia témlica de 7.2 P'/(Blu/h). Lo~ 32 pies c uadrado:. esl:'i n en paralelo, de modo que lu t\!:.iM cncin nela Rroera !oe calcu lu lI l i Ih~:lIld o
lo (:cuación 20. 14 para dar
- :n R'
de J oncle
r
HIUlal
-!!! 32
A"r. la re.... i:-.tcncia térmica 10lal R exprcsllda en P"/( Blu!hl c' igual nll:'1clor R di"idido por el :Irea A dada en pic., C U Ud r..ld o~. E.<¡ln c ...
R,
= A
Figura 20.9 P¡lmun c.~pc.wrde I pulgudadcl·,tc nUllerial, R,= 7.2.
59.04
I
Capftulo 20
Prupleditd!!~ y proc:!!)os
térm ico)
lA8LA la 1 f.ntor·~ R .h k par" d Ue-rt'nte' mdletl.,lf"s d(" ( otHl ruUjnn Matt!rlltll
bpt'sor. pulg .
R" h ·pifO'. f IBlu
Yc,o o plnnchuJ<; de yc~()
1).17:'i
O,.i2
CI 1I111 1lChupm h ) ( I)VU ~ JII ~)
05
0,62
O.7'i
0,91
LO
1,06
1.0
2,{)8 0.5
0.75
0,68 2.8
( '~m~lrtlc~'i{i1\
. con p l ul1c h a~
('ol1lnu.:hup¡¡dn \) p¡¡ndc~ de muden. CongJoll1cn.du, dcnsi¡Jlld medin MU!I.'riule:. de ucabudo de ¡,uelo Alf() mbrn y nl:llerill b ele fihrn A7ulejo Mudera (noble) AislamientO dd tcjado Tejado A~fn lto cn rollos pamterra7..as Tcj:ls planlls de asfa lto
1.0
0,15 0.44
VC lltllnaS
Punel simple Panel doble
..
,
0.9 1.8 ,
Como la resistencia total R10lil1eSlá relncionada con la conductividad por medio de RrtCCl = tlx/(kA) (ecuación 20.10). se puede expresar el factor R med ian te M
-k
(20. 15) DEFINleróN-FAcrOR R
donde ó'x es el espesor expresado en pulgadas y k es la conductividad en Btu·pulg/(h·pie 2.P'). La tabla 20.4 recoge fa ctores R para distintos materiales. En fu nción del factor R. la ecuación 20.9 para la corriente térmica es I - - Rr A
(20.16)
Para planchas de material aislante de igual área en serie. Rr se reemplaza por el faclor R equivalente, Rr..nt
Si las planchas están situadas en pamlelo, se calcula la corrien te térm ica a IfllVés de cada plancha y se suman para obtener [a corrienle 10lal.
EJEMPLO 20.6
I
Pérdida de ca lor a través de un tejado
F_'illlmos ayudundo a la familia de un amigo a pone r nuevos módulos de a..rallo en ellejado de su l"abaña de Invlemo. El tejado, de 60 pie x 20 pie. esté hecho de lahlems de pino cubiertos con leja, plana"i de a...falto. Hay slllo para 2 pulgadas de al';)amlento y la familia SC' está preguntando qué diferencia habria en la rllctura de energfa si IIL..talaran el al'ilamiento de dos pul~adas. Sabiendo que estamos es1udlando f'isica n
Planteamiento del problema Paru \ alorar la :.iluaciÓn. hcmll'i de! cnlculnr el foctor R de cada copa del tejado. Como lus capas c,tán en 'iUlC. el factor R cqul\'alcme es preci-.arncnlc la .,urna de dos faClores R individuale... El objetivo c.<¡ calculor el factor R equivalente de llcJudo con y ~ m ai\lnmicnto. Lo.~ factores R de la, teja... de a,ralto y del a¡ .. lamiento dellCjado se pueden cm.:ontrnr en la tabla 20.4. El factor R dcltablón de pino '>C calcula a partir de r.u conductividad lérmu:a. que aparece cn la tabhl 20.~ . Nótc..e que la,.. h::ja.., se colocan ••o lapadas" de modo que en d tejado hay dar. capas de a..'I.fallo .
¡PONGALO EN SU CONTEXTO!
20 04 Trnm ferenclll de energía lérm kll
2. ¡.J tador N de 111 dublc capu de
h.*I ~ C~
e l duble del factor U de unu
Hh
•1 ..
('rlp.1:
2(0,44 h · piel POlBl u )
= OJlli h · pie ' F"lBlu
3. H fil('tM R pam el de I Jlulgnda:
:li~ l nmiento
dd tedIo de 2
pul guda~ C~
d doble dd
R,.." :: 2(2.K h . piel. FOlB tu)
= 5,6 h · pie 2 . FOIBIlL
= 6xkpp -_
4. El fuctur R I),tnl 111 mndera de pi no de I pu lguda de e!\pesor se obtiene a p..1rtir dc la condul'¡¡vidad:
~-:~I~plT.,I~g~~",,,,
ñ;. .
0,78 Btu . pu lg/{h . piel. PO)
_ 1.28 h . piel . FOIBIlI
S. El factor R equivalente sin aislamiento es:
+ Rf~of _ 1.28 h . pie2 . FO/BIU + 0.88 h . piel. PIBIU
Rr.ttj -
R f.plno
2. 16 h· pie 2 . p OlBlu
Rr.oq =
6. El faclor R cquivalentc con aislamiento es:
Rf.pno
+ Rr~r + Rf.-i. = Rr.u¡ + Rf
#),
= 2.16 h· pie 2 • pO/Blu +5.6 h · pie2 . p OlBlu = 7.76 h . pie 2 . FOlBtu
7. Una compal1lción de los dos factores R equivalentes es su cocieme:
8. Al añadir el aislamiento. 1" laSII de pérdidn de calor se reduce en un 78%. ¿Es el 78% de una pérdida de calor gr.lnde o pequeño? Utilizando In ecuación 20.16 calculamos la corriente lérmic:. I ti lravés de todo eltcjado:
Rr."'I
R,..,
2,16 = 0"">8 7.76 ,-
I 6T - I R..... = - Rf A
r-
A 6T =
Rr.cq
(60 pie)(20 pie)
6.T
2.16 h . pic 2 • P '!Btu
_ [556( Btu/h )/F O ]6 T 9 . Para complet:tr el cálculo suponemos que la tempcr.ltura dentro de la cabaña se mantiene a 70 °F Y
r = l556( BIu/h )/FO]6.T = [556( BIu/h)/FO](40 ° F) = 22200 Blu/h y
I = 0.281' = 0.28(22200 Blu/h ) = 6200 Btu/h de maner.1 que In reducción debida al aislamiento es I - l' = 22200 Btulh - 6200 Btulh = 16000 BlIIlh 10. Hacer una estimación dc lo que se ahorraría si se colocasen las 2 pulg:ldas de aislamiento:
Pnm unn evuluación del cosle vcr las continuación.
Observaciones
La inSlalneión de 2 pu l gada~ de nislumienlo reduce las pérdidalo de culor (1 tr.wés dellcjado en 22200 Blu/h. La cabañil :>c cal il!.ntll cnn propano y el contenido energético del propano e~ de 92000 Btu/gal. Aislando el tejado el consumo loe reduce cn aproximndlllllelllc 6 gnlonc¡; dc prop:mo en cada 24 horos de uso. COIllO el pmpnno cuestn uno). 1•.jOS/ga!. el ahorro por dlll ~e eleva a 8AOS. o ~ca 2525 por mes. La familia de nue~t"' amigo e~lá implt~ i onatla por el uhorro potencial (y por la utilidud tic nuc~lros conocimientos de ffs icll) y e~tá decidida a instnlar I a..~ 2 pulgadas de (Ii~ !:1f11iento. i.Cuámo nhorro ndidonul podm oblcneN niiudicndo O1á~ ni"lamientn ni tcjado? {Ré.~puestll El máximo ahorro :ldicionnl e.'\ de 6200 Btulh. In (lile com:... punde a 68$ por me~ .)
Ejercido
Observaciones
r~ta
vnloruciÓn de
lu~ Cfulc..... !lO
inchl)':: el
jm.'C IO
de compmr e in~tulnr el a i ~ lunlc .
I..JI conductividad térmica del aire e.. mu) pequeña en comparnc ión con l a~ de lo.. mnll!ri:lles :-ólido ... de modo que el aire c!:< un ai~ l nntc muy bueno. Sin emnllrgo. cuando c" i.sle un CSlllIcio con aire relal;' .UllClIIC gmndc -como ,>ueedc. por ejemplo. entre lo~ do~ criMal ~ de una doble ventana . .,i no c:.ltí bien pro)'ect:lc.l.1 el rcndllmento 3I~l u ntc delRirc !oC \C muy rcllucido debido :1 In convección. Siempre que exi!:
observae ion~
que '-C dan a
I
595
S96
I
Capftulo 20 Proplednde~ y prot:esos lcrmlt:os d¡r~n:rllc ..
purtes de un c.'.¡pocio Ilerw ele aire. la~ corrie nte!' dc convección nctúlHl níp¡da ~ 111CIllc pura igul1hl1' Irl!' tcnrpCl'all1 fl1!'. de 111odo que la cunduutivrdud cfecllva c;c V(' muy aUlllculU(tll . En el CU'lU d!.! vcn lanu!<> (te doble punel. el c~pílciudo 6ptimo debe tener de I H 2 ~ 1lI . E!'i pndurJos 1:011 ulre de mayor IImplitud reducen un la pn'iclica la rc.... l"'cncia térmica de una vcntunu dc doble pmlcl debido 1\ la convecci6n, Lus pl'opicdudcs aisllllllC$ del aire se pueden ap licar con éx ito si se logra atrapar al (rire en pt::qtu.:ños paquetes de aire separudos cutre !l f de forma que la convección no pueda tcner lugur. E!'iUr es la 1':11611 de las excclentc.<; propiedude3 ais lantes del plum6n de ganc;o y del Styrofomll. Si se IOcn la pat1e interior de In superfi cie del cri stal de unll ventana cuando hllcc frío en el ex terior. se obscrva q ue la superficie se encuentra considerablemente mós fría que el interior de la habitación. La resistencia térmica de una ventana se debe principalmente él la existenc ia de fin as capas de aire aislame, que se adh ieren a ambos lados de la superficie del cristal. El espesor del cri stal no influye prácticamente en e l valor de la resistencia ténnica tOlal. Una típica película de aire contribuye con un factor R de aproximadamente 0,45 por cada superficie; por lo IHnto, e l fac lor R de una ventana de N hojas es aproximadamellle igual a 0,9 N. Cuando la velocidad del viento es grande, la capa de aire exterior d is minuye co n si ~ derablcmente, por lo que e l faclor R para la vemana se hace más pequeño.
Convección La convección es el IranSpOt1e de energ ía térmica que se verifica simultáneamen te con el transpot1e del propio med io. Es el responsable de las grandes corrientes oceán icas, así como de la circulación global de la at m6sfera, En el caso más simple. la convecci6n surge cuando un fl ui do (gas o líquido) se calientn por debajo. El fluido al calentarse se expansiona y se eleva, mientras que el flu ido más frío se hunde. La descripción matemática de la convección es muy compleja. ya que el flujo depende' de la diferenc ia de temperatura en las disti ntas partes del flui do y esta diferencia de temperatura viene afectada por el propio flujo. Aproximadamente, el calor transmitido por convección desde un cuerpo a sus alrededores es proporcional al área del cuerpo y a la diferencia de tem pe ratura entre el cuerpo y el fl uido en el que se encuentre inmerso. Es posible escribir una ecuación para la energía térmica translx mada por convección y defin ir un coefi ciente de convección. pero el análisis de los problemas concretos reales es muy d ifícil y no es objeto de este libro.
Radiación Todos los cuerpos emi ten y absorben radiación e lcl:lromagnética. C uando un cuerpo está en equilibrio térmico con su medio, em ite y absorbe cnergía al mis mo ritmo. Ll energía térmica irradiada por un cuerpo por unidad de tiempo es proporcion:ll al área del cuerpo y a la t'uat1l1 potcncia de su temperatura absoluta. Estc resultado. obtenido empíricamente por Joscf St\!fa n en 1879 y deducido teóricamente por Ludwig Bolti' man n unos cinco años después, se denomina ley de Stcran-Uoltzmann y se cxprcsn en la fonna: (20.17) lEY IX $rUAN·BOLTZMANN
en donde P, es la potencio rad iada en vatios. A e l área. e es la Ilumada emlo¡ividad del cuerpo y (J' UIl U constante uniH':r.al quc rec ibe el nombre de constante de Stefan-B()!lI nmnn. cuyo v:llor c<.,
a = 5.6703 x 10
8 W/1ll 1 .
K"
(20. 18)
La em i... i\'idad l' ~ una fracci6n que varía de O n I y que depende de la composici6n de la ~u pcrhcic del objeto. Cuando la radiación incide .-.ohrc un objcto opaco. parte de la ntdiaci6n <;c refleja y pm1e se ah'ú1'be, Los ohjetos de colores claros refl ejan la mayor parte de la radiación visible.
20.4 Transferencia de energut téfm lca
I
miCnllllS \IUC I\ l ~ objeto" \J~CUl\I ... Ilb ...o rben o;u 111:1yor parle. FI rll mo eOI1 que ¡Ih ~orhc nldiu· ('il'lIl
un
CII CIl)(l \ ICIII:
dado
IX)I
(20. 19)
cn dOllde 1;) el' In ll' mper:UllrH de. la fu e nte. de rudi adón, Si UII cuerpo cmitl.! m:1s radi aci6n que la que ubi>orbc. se enfría, mientras que el medio que k rodea ~e calielll n al absorber In radiaci6n procedente del mismo. Si d cuerpo nbl'orbc lll :1s I.!Ilt.:rgía qut.: la que emi tt.:, el cuerpo se calienlu, rn ient l'lls que el medi o se c.nfrfa, Podemos expresar la pOIt.:ncia neta radi ada por un cuell)O a la te mperat ura T si w:ldo en un medio de temperatura 'ro como P nclll = ea A(T 4 - T8)
(20.20)
Cuando un cuerpo está en equ ilibri o con su medio, T = To Y emite y absorbe radiación al mismo ritmo. Un cuerpo que absorbe loda la radi ación que incide sobre él posee una emisiv idad igual a 1 y recibe el nombre de cuerpo negro. Un cuerpo negro tamb ién es un radi ador ideal. El conceplO de cuerpo negro ideal es importante. puesto que las características de la radi ación emit ida por ta l cuerpo pueden calcularse teóricamente. Un material como el ter· ciopelo negro posee unas propiedades próxi mas a las del cuerpo negro ideal, pero la mejor forma práctica de oblener un cuerpo negro ideal es practicar un pequeño ori fi cio que con· duzca a una cav idad (figura 20. 10). por ejemplo, el orifi cio de una cerradura de una puerta cerrada. La mdiac ión que incide sobre el orifi cio posee uno pequeña probabilidad de ser reflejada de nuevo al ex terior antes de ser absorbida por las paredes de la cavidad. De esta manera. la radiación emitida a través del ori fi cio es característica de la temperatura de las paredes de la cav idad . La mayor parte de la radiación e mit ida por un cuerpo a tempemturas por debajo de unos 600 oC está conce ntrada en longitudes de onda mucho más largas que las de la luz visible. 1 A medida que aumenta la temperatura del cuerpo. crece la cantidad de energía que e mi te y se ex tiende a frec uenc ias cada vez mayores (y longitudes de onda cada vez más cortas). Aproximadamente entre 600 y 700 oC ex iste sufi ciente energía en el espect ro visible para que un cuerpo brille con un color rojo oscuro: a temperaturas más elevadas el cuerpo adquiere una tonalidad roja bril lante o incluso un color "blanco". En la fi gura 20. 1I se muestra la potencia radiada por un cuerpo negro en función de la longitud de onda para diferentes temperat uras. La longitud de onda para la cual la potencia es un máx imo varía inversamente con la temperatura. Este resu ltado se conoce con el nombre de ley de l desplazamiento de Wien:
)..,rulx -
2,898 mm · K T
/
, ,,, '
,,
... .',./ ' .... ,
••
Figura 20.10 Un pequeño orificio en una cavidad constituye lu mejor aproximaci6n a un cuerpo negro ideal. La mdiución que entro en la misma tiene unu probabilidad muy pequeña de salir de la cavidad ames de ser absorbida por completo. LII radiación emitida a través del orificio (no mostrada en la figura) es. por 10 I3nto. caracterfslicn de la temperatura de las paredes de lo cavidod.
P,
1450 K
t200 K
tooo K 1
/" 2
3
4
-,
A.. 11m
Figura 20.1 1 POIcncill mdiada en función de la longitud de onda correspondieme a la rndiación emilidn por uo cuerpo negro. La longitud de tlOdu de la palencia m:'i:I:i mn varin inven;nmellle con In ternperatur..l o b~o lut o del cuerpo negro.
(20.2 1)
UY OEL otSPW.AMIr.NTO DE W IEN
ley se util iza pam determinar las t e mpc m tura~ de la<; e.<.trcll as a parti r de lo!. :mtilil'is de su rudiación. Puede ut ili ¡;:lrst.: tlllllbi én para rcprc"'cl1 tnr las variaciones de tcmperatura en di ferentes reg i o n e~ de la superficie de un objeto. 10 que COn'ililUyc una temlogrnfia. L..'l.S termogrnfías pueden empicarse para detcclar el ctínccr porque l o~ Icjidm. cancero...os (Ienen una lempcrawnll igcfll mcntc ~ upc n or a lo:. tcjido~ sunos de ... u alrededor. Las curva¡, dc dislribución c:.pccu-al del cuerpo negro indicad:l'i en la ¡¡gura 20.1 1 dCM!mpciiaron un papel importante en la hi' lOri:1dc la fí<;ica. L.'1<; di'\Crcpaneias c"islcnlcs entre l o~ c;llculos leóricos de estas curvu:. experimclltlllc!oi ut ili /ltndo la lermoo inámica c l :1~ic a y las medidas cxperi ment ale, de la:. mi 'imá:.. fu cron la... quc condujeron a Mllx Planck n de..arro· llar las pri mcm¡, idea:. acerca de la cuanli/ación dc la encrgla en 1897. ES I3
I ('UJn.Jo t\lu,hcmo~ la lU/. ~cn:lI~ que t~ tUI ~,",Ilte c_ T"ldloci(ln c)(o...·Vllrmgl"ltlllCi con lonlUIIIOe\ lk- oncb ~ompn'n"h4l, enlre 400 )' 700 nO'.
TcmlOgrllfTa ut ilinld u pum det/.."Clnr un tumor
canCCrthO.
598
I
Caprtulo 20 PropiedadeJ y proceso~
EJEMPLO 20.7
I
h~rl11icOl
Radiaci ón procedente del so l
fll dludón ClI1 ilidu IHlr Iu MII)erlll'lc del Sol pl~~ e lll ll S il mÁximu 1)(Ileudu JI ulJn IOIlJ.til ud de o n dn de IIII OS 500 11111 . Suponiendo
I.J\
(a)
Podenl(l~
l,;:llculur A,nJ' utili/anuo In ley del desplllí'lllllicnto de \Vicn:
A.
_ 2,898 mm . K
..... -
T
de donde T = 2,898 mm . K = 2.898 mm . K
Am,-
500 mil
= "' IS8"'00"'K-';1 2.898 mm . K 300 K
(b) Aplicar la ley del desplauUlliento de Wien para T= 300 K:
9,66 X 10-6 rn
=19,66 pon 1 Observaciones
La longilUd de onda del pico del espectro solar cae dentro del espectro visible. El espectro radiante de l cuerpo negro describe muy bien la radiación solar: de hecho. el Sol es un buen ejemplo de cuerpo negro.
Para T = 300 K. el espectro del cuerpo negro tiene el pico en el infrarrojo, a longitudes de onda muy superiores a las que son visibles P¡¡Tll el ojo humano. Hay superficies que no son negras a nuestros ojos y que pueden aCIUllr como cuerpos negros para la radiación y absorción del infrarrojo. Asf, se ha detcnninado experimentalmente que la piel de los seres hum¡¡nos de todas las nlZ3S es negTll para la radiación infrarroja: por lo ta nlO, la emisividad de 111 piel es 1,00 para su propio proceso de radiación.
EJEMPLO 20 .8
I
Radiació n procedente del cuerpo humano
¡/NTÉNTELO USTED MISMO!
Calcular In pérdida nela de energía rndillntc de unn personn desnuda en una Imbibición 11 20 oC su poniendo q ue In personn se comporta como un cuerpo negro, con una superficie de árcn igual a 1,4 m2 y temperatura sUJ)'!rficinJ de 33 oC = 306 K. (La lemperalura superficial del cuervo huma no es Jigeramcnle inrerior que su tcmpcrnlura inlenm, 37 oC, debido a la rt.'Sistcnciu térmicu de la J)icl.) Tape fa columna de la derecho e intente resolverlo usted mismo
Pasos
Respuesta
Ulilizar Pneto = ea¡\(T4 - T3) con e = 1, T= 306 K y 'ro = 293 K.
r
lo
III\\"
Esta gran pérdida de energfa ~ aproxi madamente igunl ni rilmo membólico ba~1 de 120 W. El hombre se protege de esta grun pé rdidu de energíu medlanle el uso de ropas. que. debido a su baja conductividud ténllica, poseen una tcmpcrntuTll exterior mucho más baja que lá pid, Y por lo tanto la:. pérdida... térmicas por rJdinción son mucho menoTCS.
Observaciones
C uando In tcmpemtum T de un cuerpo no difiere dellla:.iado de la de s u medio, Ter el cuerpo rad imue obedece lo ley del e nfri om ie nlo de Ncwlon. E...to puede dedu<:in.e escribie ndo la ecuación 20.20 e n 1:1 forma
P ncq
-
(,CTA(T' - T~)
=
(' OA(Tl
=
t"a'A(T2+Ta lCrl_ T~)
+ T{¡}(T + 1'o)(T - '1'0)
C uando In difercnciu T - To c<; pt"qllcña. puede recmpln/llrse To por T en luf.: <';1I n1(J,\ con un cUlllhio pequeño en t.!I I'Csull:tdo. A .. ¡ resulln
20.4 Tnmsfere ncla de energía térmka
I
599
La pOlcl1\.:i .. IlCW irnldittda c' tlllT'-lxl111udal1lcnlu Pl'l.lP01'C IllIla l a In dil'orclII.:iHde lC ll,pcrulllrtl, dc (I-.:ucnlo ctln la ley dd l' nfrilunk'nll) dú Ncw lul1 . 1~~ 1 1.' rusultmlo I lLl11bj~tl puede ohlener..!! \ltilinllld\lla npro.\illltlci6n di r":I'Cth.:inl ,
aP , cndond..: P r = t! aA(T"
dP ,IT'
(1' - 7',,) 1
lo
1'3) , Para una pequeña dircrcncia de lCmpCrtllll raS T- 7osc tiene
Resu",e" OBSERVACIONES y ECUAC IONES RELEVANTES
TEMA
1. Dila tación tÉ!rmica
a
CocficicnlCde dilmación lineal fJ.
CocficicrUc de dilatación elÍbiel¡
IlLlL
(20.2)
.r
= IlVIV _ 3a tJ.T-
P
2. Ecuación de estado d e van der Waals
=
(20.4), (20.5)
La ecuación de c.~tado dc van der \Vauls describe el eomponamiento de los gases reales en un amplio intervalo de tempcrolllflls y presiones. teniendo en cucn!tl el espacio ocupndo por las propiAs moléculas del gus y
In ¡¡¡mcción in¡CmlOleeular:
(p+ a,') (V - bn) = nRT
(20.6)
V~
3. Presión de vapor
La presión de VApor es In pre..'~ión a la cunllns Cases Hquidn y gascosn de 111m $uslanci:l están en equilibrio n una tempcratum duda. Ellfquido hierve n esa tcmperntum pam la CUl¡] la presión externn es igual n la presión de vapor.
4. Punto triple
El punto triple define In ¡1nic¡llempcr:llum y prc.~ión n In cuullas fn$C.S ga~. líquido)' sólido de mm slIstnnci:¡ pueden coex istir en equilibrio. A tempernlurns y presione., por debajo del punto ¡ripl\!. In CU'ie líquida de una sus\(Ulcin no puede existir.
5. Tran sfe rencia d e calo r
l.o~ l re.~ mecani~n1O~
de tmn,ferencia de lu energía ,énniea <.Qn conducción. convoccion y rndinci6n.
En IOdos los mC:C¡Uli~rno~ de tmn ~ ferc.nc¡a de cal(lr. ,i III difcrencia de u.':lllpernIUnl entre el cucrpo)' el rm:diu es pequei!R. la velocidad de enCriamiento del cuerpo es aprol(imadnmente proporcional a la diferencia de lempern¡ur:b.
Ley del cnfrinmicnlo de Newl0n
6. Conducci6 n térm ica Corriente témliea
I..u t:l':I de tmn_pone de calor por conducci6n viene duda por " OT I",X=kA.1t 1.\.\
(20.7)
en dondc I es la ~lmc nl e ténnicl!, 4 el coeficien te de cllnduc\h'iumltém¡iclI y tJ.Tf!J..\ elgrudicntc de lempcr'J\Um
61' = IR
R ,
.-
A.'
AA
(20.9)
(20. 10)
600
I
CapRulo 20 Propledndes y procesos térmicos
(20.12)
Serie I
P:mllclo
(20.14)
R«¡ =
El factor R c.~ In resistencia térmica cxprcsuda en pulg . pie2 . "F/(Fhulh) de un pie clladrndo de un bl()(IUe de mlllcrial
-
6.<
-k
(20.15)
7. Radiación térm ica
(20. 17)
Potencia mdiantc
en donde (1 = 5,6703 x IO-S W/m 2 . K~ es la constante de Stefan-Bollzmann y e la emisividad, un número enlrC O y 1 que depende de la composición de la superfi cie del cuerpo. Los materiales que son buenos Ilbsorbentes también son buenos radiadores de calor. Potencia radiante neta de un cuerpo a tcmpemlum T hacia su medio a tcmpcmtura To
Po&.:: eO"A (T'-n)
(20.20)
Cuerpo negro
Un cuerpo negro posee una emisividad igual 11 l. Es un radiador perfecto y absorbe toda la radiación que incide sobre él.
Ley de Wien
El espectro de potencia de energía clectromagnéticn irradiada por un cuerpo negro tiene un máximo a una longitud de onda. A..w., que varia inversamente con la tempemlUra absolula del cuerpo:
A."..
= 2,898 mm . K T
(20.21)
Proble",as
• ••
•
••• SSM
I
i
,(
Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil . Nivel intcnncdio. puede ex igir ~ín t csis de conceptos, Desa fi anle, para :ll umnos avanzados. L..1 soluciÓn se encuentra en el S111llcn1 Sol"r;oll$ Mallllal. Problelllus que pueden cllconlmrsc en el serv icio iSOLVE de tareas para casa. Esto~ problclTllIl) del ~crv i c i o "Chec kpoint" son prohlemas de control. que impulsan a lo~ estudiantes a dc.<;cribir cómo se llega a la rcspues!:t y 11 indicnr su ni"el de con fian /. a.
Proble mas conceptuales 1 • ss'"' . . Por qut el 11I\et del mcn:uno CfHTHCnl1 ~lCndo ligcrallu: l1Ic cUll nuo un tcrmt'Smetro ~ IIltroduce en agulI caliente')
2 • Onn Idmina gnmde de Illemluenc un onficlO ro.."Ot"IOOO en ~u ('entro. Al calentar la Idmina. ti árr:a del onhelO (o) no cambUl, (h) !>Icmpre CflX'C. (rl ~ I cmpn: dISmIllU)e. (tI) crece;o
En 01811110,\' problemas se dan más datos de los realmellte n f'cesarios; ell otros pocos. de/um c.r1roer,~e algllnos datos a partir de conocimienlOS generalf's, fflentes externas o estimaciones I6gicas.
hervir el AgUII. (M la prc.... IC~n del aire ~ demnsiado baja par.! que "-C encienda el hornillo. (e) el IIgUII hirviendo no lI enc In ~u lic lcnte h!mpcrulUru para que -.c c ndurt/CII el hllC\'O. (ti) el coll1cnido de oxfgeno del aire C~ de masiado mIJo. (t'l lO$ huc\'()I.l siempre se r(lI11pcn en !>us cnvnsc.~ , 4 • ¡,Quf. 811SCS de la tabla :W.2 no pueden lil'UIINC Incrementando hl J1f'c!>i<'>n a 20 ~C'1
s
••
El diagrama tk fa.!i.C\ de 111 figura 20.12 puede -.er uldllado pana otHt'ner Información sobrt cómo ..""amblan lO!> punlo<> de ebulh"ión y de fusión del agua con la allllud (a) explicar cómo puede obtC'nel'oC e<>llI mfor· maclÓn ~h) l.Cómo puede mflulr C'oUl m(onnlldón en 10<': pnx:edllment(>\ (..'ull nanos ~n 1M InOfItatlas':l SSM
Problemas 11
/'
,,, ,
O
,
F
, ,
1)
A.
, --,...------ 'T e o
,•
,
J
•
- - ------- .... 11
•
J
T
Figura 20.12
6
601
Estlmadones y ap,.oxlmaclones
,,
~
I
Si la temperatura absoluta de un cuerpo!\i:: triplica, la energra térmica que se irradia por unidad de tiempo «(1 ) se triplica, (b) se incrementa en un factor 9, (e) se incrementa en un factor 27, (d) se incrementa en un factor 81. (e) depende de que la temper:ltura ubsoluta esté por enci ma o por debajo de cero. En una habit:lción fna. un metal o una repisa de mámlOl parecen mucho más fríos al tacto que una superficie de madera. a pesar de que se encuentran a igual te mperatura. ¿Por qué? •
SSM
8
•
Verdadero o fa lso:
17 •• Haccr una estimación de la cooouctividud térmica de 111 piel ~i el cucrpo dc un hombre Ildulto tiene unos 1.8 m~ de lIrea y genero alrededur de 130 W de calor en reposo. Ulili1,i\f una temperatUnI inlcma de 37 "C Y una tcmpemturn cxterna de la piel de 33 "C. Suponer que la piel tiene un c.~pesor medio de 1 mili.
Problema 5
•
7
16 ••• El helio Ifquido se almaCenn en reciJllc n te,~ o
«(1) Durante un cambio de fase la tempcmtura de una susta ncia pcnnanece constante.
I-¡llcer una cvnlllllción de la emisividad ereetivu de In 1'i~ rra a partir de la siguiente infonnación: la constante solar (la inlenliidad de radinción incidente sobre la Tierra procedente del Sol) es 1370 W/m 2• el 70% de esta luz cs absorbida por la Tierra y la lemperalurn media de nue.<;I", planeta es 288 K. (Suponer que el área efectiva que c... tá absorbiendo la IU7 c... 1CR1, donde R es el radio de la TIerra, mientras que el área de emisión del cuerpo negro es 4nR 2). 18
••
19
••
SSM
Los agujeros negros en órbitn alrededor de una eSlrell.J e.-.tándar ">C detectan desde la Tierra debido al calentamiento por rozamiento del @:a:> que ~ precipita dentro del agujero negro. el cua l puedc alcanZ<1.r lempemlum!\ por encima de 106 K. Suponiendo que ese gas puede asimilarse a -un cuc-rpo negro, hacer una estimació n de A..w: para utilizarla en la detección oI.Stronómic3 de un agujero negro. (ObservaciÓn: Esta longitud de onda corresponde a la region de los rayos X del espectro elt..'Ctromagnético.)
(b) L..1. conducción de energía ténnica por unidud de tiempo es proporcional al
gradiente de temperatura.
Dilatación térm ica
(e) 1...:1 energía radiante emitida por un cuerpo por unidad de tiem po es propor-
cional al cuadr.Jdo de su temperatura absoluta. (d) Todos los materiales se dilatan por la acción del calor.
•
-"-
20 • I Una regla de acero tiene una longitud de 30 cm 8 20 C. ¿Cuál es su longitud n 100 OC?
(e) l.a presión de vapor de un ¡¡quido depende de la tempcrntu ra.
9
•
l.a Tierra pierde calor por ((1 ) conducción, (b) convección, (c) ra-
diación, (ti) ninguno de los mecanismos ameriores.
10
•
¿Cuáles son los mecllllisrnos de tnlllsrnisión dcl calor más imporIJmtcs en el efecto de calefacción del fuego en una chimenea'!
21 • • (a) Definir un coeficicnte de dillllación superficial. Ih) Calcularlo para un cII:ldrado y par.! un círeulo y dcmoStrar que es igual :1 00\ ,-cee\ el coeficiente de dilatación lineal.
22 •• i 1....1. densidad del alu minio es 2,70 x l(}l kglm 1 a O -('. ¿Cuál c.~ la densidad del aluminio 11 200 OC? •
11 • ¿Qué mecanismo de tmnsmisión del calor c... mlis importante en la transmisión de energía del Sol II [11 TIerm', 12 •• Explicar por qué bajando la tempcrntum de unu C~I por In noche durallle el invierno se puede ahorrar en los costes de calefacción. ¿Por qué el coste del combustible consumido para volver a calentar la eaSfl por la mañana no igunlu al ahorro obtenido al enfriar!u'!
Dos ciliodros de matcrinles distintos A y B tienen iguales longitu. des: sus diámetros se eneuelllr:m en la relllcióu (/" -= 2dll , Cuundo se mantiene la misma diferencia de tempcratur.l cntre los extremos de los cilindros, ambo.~ conducen el mismo calor por unidlld de tiempo. Sus oonduclividade.~ ténniclts se encuentran en In relación: (a) k~ :c k R/4. (b) k~ = kftl2. (l') kA • k ft , 13
••
«(1) k" = 2 k ft , (~) kA
= 4k R•
14 • La hu. infrarroja se la conocc a veces como "ondas té rmica.~". Explicnr por qué Clila IU7. recibe c.<;le nombre y por qué e... te nombre. e~ ioro-l1\."t:to, 1S • SSM En la nomenclaturn anístiea se pre.~nta a menudo el u1ul t.."Q nlQ un color ·'frio", mu:ntras que del roJO se dice "cihdo". Sin embargo. en ffska el rojo !>e considc-ra que es un color md:~ " fria" ue el aLul. E'tplicar por 'lut!_
23 •• I Una abrazadcra de cobre debe aju:.tnr fuertemente alrededor de un eje de acero cuyo diámetro es 6.0000 cm a 20 oc. El diámetro interior de la nbrnl,adcrn de cobre a CSlI telllper:lIUnl es de 5,9800 cm. l,A que!tcmpenllurn debe calcnultSC la !Ibral.adern pura que ajuste peñt..'Ctalllente sobre el ejc de acero. suponiendo que éste pemml1cce a 20 OC? •
•• SSM Repetir el problema 23 pam el caso en que la I tClllperatura de limbos, el eje de acero }' la abrnladem de "."obn'. se elevan s1l1lultáneamente.
24
25 . . Un recipiente...e IIcna h.1.sta el borde con 1,4 L de m~rcurio 11 20 OC. Cunndo In te mperatura del rt..'Cipicnte y del mercurio se cleva a 60 C. ~ derramlln 7.5 mL de mercurio por el borde del recipicnte. Dctemlinar el L-oeficiente de dilalaeión lincal del recipiente.
26 •• i ,¡ En uno lámi na de aluminio se mladru un orificio con unn brocn de taladro cuyo diámelrU a 20 OC ~ 6,245 cm. Durante la pcñora· ción. 111 tempcralura de la broca y de la lámina de aluminio ~ eleYo a 168 'C ¿Cuál es el diámetro del orificio en la placa de aluminio cuanoo o;e c-nrrill a la temperatura amblenle? 27 . . SSM Se c-ncarga a un equipo nuevo de trabajadore.~ la colocación de I km de canil en una vfa rmea. Al finali7ar la wea. la k'mperatwa e5 de 20 OC y regtes:an a la ciudad a tomar un refresc.'O. Al cabo de una hora '-' do6.
I
600
Capflulo 20 Propiedades y proce~os térmicos
Rc~¡qendn ~Iu¡\'alcntc :
(20.12)
Serie
I
Pamldo
lJ
" 001
I
I
(20.14)
= 'U+¡¡+ '" f\
I
1
El faCtor N es la rcsislencin térmica exprcsntlu en pulg • pie! . °F/(Btu/h) dc un pie clwdrndo de un bloque de material
-
-k
Ax
(20.15)
7. Radiación térmica P, =
Potencia r:ldiantc
eaAT~
(20.17)
en donde a = 5,6703 x IO-S W/m 2 • K~ es la constant!! de $tefan- BoIt7.mann y e la emisividnd. un número entre O y I que depende de la composición de la superficie del cuerpo. Los mruerialcs que son buenos nbsorbentcs también son buenos radiadore.~ de calor. POlencia radiante nela de un CU!!rpo a temperatura T hacia su medio a temperatura To
P"... =
(20.20)
eO'A(P - T~)
Cuerpo negro
Un cuerpo negro posee una cmisividad igual a l . Es un mdiador perfccto y absorbe toda la radiación qUI! incide sobre él.
Ley de Wien
El espectro de potencio de energía electromagnética irradiada por un euerpo negro tiene un máximo a una longitud de ond:!, ~. que varfa inversamente con I:! temperatura absoluta del cuerpo:
.t..u
= 2.898 mm . K
(20.21 )
T
ProbleIJ'DS
•
• I
i
•• ••• ss ... ,¡
Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio. puede exigir síntes is de conceplos. Desafiante. para alumnos avanl.¡ldos. La solución se encucntru en el Srlldellt Solllljofls Malllla/. Problemas que pueden encontrarse en el servicio iSOLVE de tarea." puru casa . Estos problemns del ~e rvic¡o "Checkpoint" son problemas de control. que impuban a los est udiantes ti dc_"cribir Cómo M! IIcga n In rc.."PUCSIII y a indicar su nivel de cOnfianl.ll.
Problem as conceptuales 1 • S5M ¿ Por qué el ",\eI del men:uno COImenlU dc:crecICndO ligeramente euu ndo un Icnllómetro o.e mtroduce en agua cahentc'!
• ~ IIpmht4ll dIcen que no pueden cocC'r un hl.k!V(I duro en lo .1110 dtl \Iollle R:unier. EMo e
Mgjeas.
hcr.ir d agun. (b) In p.-c!>i(m dc:1 aire es demasiado baju pura qut" ~ encienda el hornIllo. (e) el ngua hIrViendo no llene lu s uficiente tenlpcrnturu paru que se endu~lca el huevo. (di el contenido de oxillcno del aire c.~ demasiado b.'\io. ¡t'l los hu(!\'OS siempre <>c rompen en 'liS cn\'u!>C!.. •
2 • Unll hhlllnu grande de mellll tiene un onllcio r~.:()rlado (!n ~\I centro. Al c... !cntar la lámma. el ma tJe.1 onticlO (.1 ) no camhla. (bl qemprc crecc. Ce) ~I ... mpre di~mlllu)e. (ti) cret'C ~I el onficlO 11() está en el centro CUC'lO dt' la lámi na. (~) dcclt~c ~Io SI el t)riIlCIO e..qá en el ..:entro uacto de 'a lámma
En algunos problemas se dan mds dalOs de los realmente nt!Cl'sarios: en OIm.{ pocos, deben extraerse algunos datos a partir di' conocimientos genua/es. fuentt'.r eXlerntU u eSI;madones
•
¡,Qué
ga.~
de la tubla 20.2 no puc:dcn liculIN: inl'felllcntando la
presión a 20 e("?
s
..
SSM El dlagnuna de fa~ de la figura 20_ I2 puede- \ti' ulllil.ado pan!. ohIenc:r mfOll1lllCloo ~re cómo cambilln lO!> punto!< de ebuJlil"OO ) de fu~ del agua con la alhtud (a) Exphcar cómo puede obI:enerse C'ta mlormKioo. (b) {,Cómo puede mHulr esta información en los proccdunienux l'UJi~en W. momaftai.1
Problema\
601
Estlmadone.J y a p rox imaciones
ti
p
I
,,, , ,
, Ij
O
,
l'
..O ---ro-- ·_·- ., c
,
o
, ,, ,
- - - - - ---- -ell
-•
•
'/'
Figura 20.12
En una habitación fría, un metal o una repisa de mármol parecen mucho más fríos al tacto
SS M
8
•
Verdadero o fal so:
17 •• Hacer un:t ('..~timnci 6n de In conduclividlld lérnlica de la piel ~i el eucrpo de un hombre !ldulto tiene unos 1.8 m2 de área y genero nlrcdedor de 130 W de culor en reposo. Utilizar una tempermum intem3 de 37 "C y una IcmperaturJ extenm de la piel de 33 OC. Suponer que In piclliene un espesor medio de I mm.
Problema 5
6 • Si la temperatura absoluta de un cuerpo se triplica, la energía térmicll que se irradia por unidad de tiempo «1) se triplica, (h) se incrementa en un factor 9. (e) se incI'Cmenta cn un factor 27. (d) se incrementa en un factor 8 1, (e) depende de que la temperatura nbsolUla esté por cncima o por debajo de cero. 7
••• BI hc!lo Ifq uido ,'>C nhnnccnn t'n I'CC lpI C l1tC~ dowdn.. de un "!>upcrui~ IlIIllicnto" de 7 cm (k. cSpc!>(¡r rtmnndu por un gnm mímcro de cap:!'- que C(1n~ I!I tel1 en I ~ min tl~ 1Iluy clelgudn¡¡ de m\'I(Ir uluminil.mlo. I.JI vclocidnd de cvftponIC16n dcllfquido en un n:cipicllle de 200 L es nproximudllrnenlc de 0,7 L por dln_Suponer que el recipiente c.~ ('..~férico y lu tCnlpCl'lllUnl oxtemn de 20 ' c. El pC'IQ c~pe emcll del helio Ifquido e!> 0.125 y su calor 1;llenlc de vapnn/.ación, 2 1 k'Jlkg. Hucel' unu cStinmción de la conductividad 16rmicn del "¡¡upcnlislamienw". 16
(1) Dumnte un cambio de fase la temperatura de un3 sustancia permanece
•• SSM 18 Hacer una evnlu3ción de la emisivid3d erectivn de In Tierm H pHnir de la siguientc inforrnución: 13 constante solar (la intensidad de radiación incidente sobre In Tierm procedcnle del Sol) es 1370 W/m 2, el 70% de esta luz es absorbidu por la Tierrn y la tempcrntura media de nueslro pl3neuI es 288 K. (Suponer que el área efectiva que cstá absorbiendo 13 luz es ¡rR2, donde R es el radio de la Tierra, mientras que el áre.1. de emisión del cuerpo negro es 4lCR2).
19 •• Lo!> Hgujeros negros en órbita alrededor de una estrella estándar se. detectan desde la Tierra debido al calentamienlo por rozamiento del gas que se precipita dentro del agujero negro. el cual puede alcan7..nr tempcrnlur:lS por encima de 106 K. Suponiendo que ese gas puede asimilarse a un cuerpo negro. hacer una estimación de -\.w: par..! utiliZ.1.rla en lu detección aSlronómiea de un 3gujero negro. (Observación: Esta longitud de onda corresponde a la región de los myos X del espectro electromagnético.)
constante, (h) La conducción de energía térm ica por unidnd de tiempo es proporcional al
gradiente de temperatura.
Dilatación térmica
(e) La energía radiante emitida por un cuerpo por unidad de tiempo es propor-
cional al cuadmdo de su temperatura absoluta. (d) Todos los materiales se dilatan por In acción del calor.
•
20 • I Una regla de aL"CfO tiene una longitud de 30 cm n 20 "c. ¿Cuál es su longitud a 100 0C'!
(e) La presión de vapor de un líquido depende de la temperatura.
21
9 • L1 Tierm pierde calor por (a) conducción, (h) convección, (e) radiación. (d) ninguno de los mec.1.nismos anteriores.
••
(a) Definir un coeficiente dc dilatación superficial . (b) Calcularlo
para un cuadrado y pam un cfrculo y demostrar que coefi ciente de dilatnciÓn lineal.
es igulI!
:1
dos
veces el
•
10 • ¿Cuáles son los mecanismos de transmisión del calor más importantes en el erecto de ealeracción del fuego en una chimenea?
22
••
I La densidnd del .1.luminio es 2.70 x 10) kgfm3 n O oc. ¿Cuál es la densidad del aluminio a 200 oC''
11 • ¿Qué mecanismo de tmnsmisión del c.1.lor es más importnnte en la transmisión de energ¡a del Sol 310 Tierm?
23
••
Explicar por qué bajando la tcmpcmtuTll de unn ensa por la noche durante el invierno se puede ahorrar en los costc,<¡ de calefacción. ¿Por qué el coste del combustible consumido pam volver n c31cnt3r In cn,<¡a por la I1lnñul1a no iguala al ahorro obtenido al enfrinrla ? 12
••
Dos cilindros de IIlnteriales d i ~ t intos A y B tienen igullles longilUde.,,: sus diámetros se encuentran en la relncióu dA = 211 11 , Cunndo se mantiene In mismn diferenci:1 de tempcrnturn entre los extremos de los cilindros. umbos conducen el mismo caJor por unid3d de tiempo. Sus eonduCtividlldes térmicns se cncuent1"Jn cn 1:1 rclnción: (a) k/\ = k"/4. (b) k/\ = k"l2. (e) k/\ = k~, (d) 1.:/\ = 2k ll • (4) 1.:/\ := 4k R · 13
••
La 111"'. inrnln'Oj3 se la conoce a vecc.~ COJllO "ondas ténllica~". Explicar por qué e.~t:1 luf. recibe e.~te nOmbre y por qué e.~tc nombre e.~ incorrecto. 14
•
15 • SSM En la nomenclatura aníslica se prc.~nta n menudo el azu l eomo un color "rrío". mientras que del rojo se dice "cáhdo" Sin embargo. en fls icu el rojo se considera que e.~ un color má.~ "frio" que el 9J.ul Explicar por qué.
•
I
Un3 abrm'A1dem de cobre debe :ljustar ruertcmente alrededor de un eje de ocero cuyo diámelro c." 6.0000 em a 20 "c. El diámetro interior de la abraz.1dera de cobre u esa tcmpcrnlllr:1 es de 5.9800 cm. ¿A qué temperntur:l debe calentarse 1:1 abra7.adera pllrJ que njuste pcrkctarne/Uc sohre el eje de 3cero, suponiendo que ¿"le pcnnanecc 3 20 "C'1
24
•
I
Repetir el problcnm 23 para el caso en {Iue 1:1 tcmpcrnlurn de nmbo¡¡. el eje de aL"Cro y 1:1 abrtl7.l.ldern de cobre. se elevan 1"; muhúnennlcntc, ••
SSM
Un ft,'Cipientc se llena ha,<:t.1 el borde con 1,4 L de mercurio a 20 oc. Cunndo la telTIpeOltura del recipiente y del mercurio se elcva:160 oC. se derru1113n 7,5 mL de mercurio por el borde del recipicnle, Dctcnninar el coctJeientc de di lat3ción linenl del rccipiente. 25
••
26 •• i ./ En una hlmina dcnlul11inio se taladrn un orificio con una broca de taladro euyo diámetro a 20 oC es 6.245 cm. Durunte lu perfon,ciÓn. In tempernturn de la broca y de la lámina de aluminio se eleva a 168 oc. ¿Cuál e.<¡ el diámelro del orificio en la placa de aluminio cuando se enfría ¡¡ la temperalurn ambiente? 27 •• SSM Se encarga a un equipo nuevo de trabajadol'C1> la L'(llcx~a ción de I km de carri l en una vfa fém:a. Al finalizar la tarea. la lempc:raluJB ~s de 20 oC y regresan a la ciudad a tomar un refresco. Al cabo de una hora o do&.
602
I
C.,pítulo 20
Propiedade~ y proce~os témllcos
uno o.k kl' openuim mñ.~ allli ~,\lt\~ nh\Cf\'IIIjUC In t':'II1I)CI1UtH1t hu ~ ubi¡jo u 25 oC 'J -e: "Supongo que hahn!i~ \\cJa¡j1) ft lgu llo~ hUe..'tl~ en In V[II pilO. lX!nnitir ID d,I:I\:II; i(.n:' 1'01' In ('x prcs l\~ n tic M I ~ lJ:tru~ comp re nde quc no hlln hechu c~tu prt\l'lÓn ) I'f.'src~IUl r:'ipidftl1l1,'n tc IIl lull:lt' del tmhllj(l, 1 n \' rtl ~c ha I'nndeHdu en
o...
fl)ft11~
de tntlnllulo iMhcclc~ , ¡,Qué uhur-.lllcnc el triángulu'!
28 •• i Un cochc ticne tUI del>Ól>ito de gUl>olinll d~' acero y 60 L Oc capik'itlnd Ik no hl\'.ta MI t<'ltal1tlad ,,:u:lI1do In tcm pcrlllum vllte 10 oC, El cod idcnle de dtlat:lción dc volumcn de la gu,oli na el> fJ . 0.900 x 10 ) K l. 1\:nicndo en CUCIlIII la diluwci6n del licero, (,C Ultlllu gllsolina ¡;e derramará si se np.·U'ca el l.:oche ni :.01 )' ~u tel1ll)Cmtum:.c eleva hnsta 25 0C'!
39
•
i
./
Unu láminll
"t~hmIC de 20)(
10 pre'! po<,tt un fOClflf
R ¡gu,,1 ¡¡ 11 . ¿,Qué cunl1dud de cII1¡.r (en Btu fll.lr hOrtl) ~ c()ll{I ~ a lravé ... tld uislnllte si 111 tClUllIlrnlm'u en un irtdo e~ de 68 up y en el olro de 10 1"/
40
••
i
./
Do!> cubos metálicos de ari<.,lu!> J cm. tinO de cf'bre (Cu) y otro de "lllnlillio (A l), loe di ~ roll cn como ~c Illuestm en la figum 20. 1J. Determinar (a) In rcsi~ t C l1 till térmica de end¡1 euno, (b ) In re~ i s t cntín ténnicn del si~te m ¡. de los do~ cubos, (e ) In corriente ténnica J y (d) In tempcrlHum en hl interra/. de h,s dos cubos.
29 •• Un tcrm6metro tiene un depósito de vidrio ordi rwrio y un tu bo delgado de vidrio lleno con I rnL de mercurio. Urm variución de tempcratum de I C O cambin el nivel dd mcrcurio en el tubo delgado en 3,0 mm. Dctenni nar el diámetro interior dellUbo de vidrio dt.:lgado. Al
30 •• i ./ Un tcnnómctro de mercurio está formndo por un tubo capilar de 0,4 mm de diámetro conectado a un depósito de vidrio. El nivel del mcrcurio se eleva 7.s cm cuando In tempcralllm del termómetro se eleva de 35 a 43 DC. Detenni nar el volumen del depósito del termómetro. ••• Un reloj de péndulo está calibrado a una tempcr:llura de 20 oC, ((l) En un día caluroso, cuando In temperaturu es 30 oC, ¿el reloj adelan ta o re tr.:tsa? (h) ¿En euánto se adelanta o retrasa en un periodo de 24 horas? Suponer que el péndulo es una varilla delgada de Imón con una masa grande unida a su extremo. • 32 ••• I ./ Un EUbo de acero tiene un diámetro exterior de 3.000 cm a la lempcraturll nmbiente (20 oC). y un tuoo de Intón n la misma temperatura tiene un diámetro interior de 2,997 cm. ¿A qué temperatura deberán calentarse los extremos de ambos tubos si elmbo de acero debe insen arsc dentro del tubo de Intón?
20 OC
31
Fig ura 20.13
Problema 40
41 •• Los cubos del problema 40 se disponen 3hora en paralelo, como indica la figura 20. 14. Oetermin3r (a ) la corrieme.: ténnica que circula por cadl.l cubo de un extremo al otro, (b) In corriente lérmicll tOlal y (e) la resistencia Mrmica equivalente del sistema de los dos cubos.
¿Cuál es la tensión de tr-.Icción de la abra ....adera de cobre del problema 23 cuando su temper.lEUfU vuelve 3 20 OC? 33
•••
SSM
Al
Ecuadón de van der Waals, Isotermas líquido-vapor y diagramas de fase 34 • i ./ (a) Calcular el volumen de l mol de vapor a 100 oC y I atm de l)fCSión suponiendo que se compon.a corno un gas ideal. (h) Calcular la temperaturn a la que el vapor ocupará el vol umcn obtenido en (a) si el vapor abedeee In eeuución de van dcr Wllals, sicndo a = 0.55 Pa · 1116/mo12 y 1, '" 30 cm'/mol.
35 •• De la figura 20.3, delenninar (a) In tcmpcrnt ura a la cual hierve el ligua en lo alto de un monte ~i la presión llImosf¡;ri ca es de 70 kPa, (b) In 1emperuturn a lu que hervirá el ag u:1 cn un rt.ocipiente donde la presión se h3 reducido a 0,5 IItm y (e) 13 prcsi6n a la cual hervirá el agUAa 115 DC. 36 •• SSM Las constAntes de vn n der W:1nls 1:llInt el helio son a = 0,034 12 L l . a t mJmo l ~ y b e 0.0237 Umol. Utili/ar elotOS dat{)§ pam hallar el volumen en cent fmetro~ cúbicos ocupado por un álomo de hclio y hacer un:. cstirn nción del rlidio del átomo, 37 ••• «(1) En el caso de: un gas de van dcr Wanls dellX"btrnr que.: la Icmpern" EUm critiell es &1f27Rh y In presión criüe,;u es (1127';, (b) I-: "l:pre....,ar la CI.."tulCiÓn de \'lll1 der Wnuls en funci6n de I ¡l~ variables n•.'ducidll~ V, = \'IV.. 1', s: PIP" y T, '" 7'1T,..
Conducción t é rmica •
38 • I Una baml de cobre de.: '2 m ue longitud pí'
Fig ura 20, 14
42
••
SSM
Problc.m1l4l
El coste dcl aire ncondicionado de un!! CU!oll es Prol".1"
cional a la t!\sa:1 la que fluyc el cnlor de la ca~n e inversamente proporcional al coefi ciente de efic iencia del acondIcionador, Designamos por 6T la diferencia de tempcr.:ttunl ent re la casa y el Im.:d io exterior. Suponiendo que !tI tllS-'1 a In que.: flu ye el calor de la casa es pruporcionul a IlT y que clucondiciormdor de aire fu nciona como unu máquina rdeal. de moslrnr que el cOSle del ¡¡ire ucondicionado es proporcionul n (6 n 2, 43 . . . Una cortent Cl>férica di! conduc1i\'idad témliea k tiene un rudio inlerior,. y un radio eX1erior r2 (figura 20,15). Ln parte interior de la eortc/.tr elemcutos debe ¡.er la rm<.. ma'l eh) Exprc.'>ltf la corrrente témm:a J a lru\'és de este elemento de eortcla cn funcrón dd Árca A ." 4m-!, el esperor d, y la diferencia dc tempcnllura d1 Cnll'C el extenor y el mterior al rm .... no. (C") 1)c<¡peJUl" dT en funci6n de dR e mtegrar de r'" '1 a r <= 1), (dI 0t-0"I0Stnlr que cuando ' 1 )' r~ wn mocho mayore§o que r~ '1 ' la ecuación 20.22 ~ Con\'lene en la 20.7,
Problemas
r,
Figura 20, 15
44
••
SSM
Problc mu 43
Dc~de un gCllcmdor de vu por debe tmllsmi-
i
lin.c elllor al aguu hirviendo
"
un ri UllO de 3 G\V. El agua hirviendu circula a tnwés de t u bcrfa~ de cobre de pan:des de 4.0 mm de espesor)' de tiren superfi dol igunl n 0. 12 m ~ por metro de longitud de tu berfa. Calculur lu lougitud total de In mbcria (realmente se disponen mueha.,,, t u bcrí¡L~ en paralelo) que debe atro\'csar el ha mo si la temper:\lufa del vupor es de 225 oC )' In tempemtura en el exterior de In lubcrfn es de 600 oc. 11
I
603
53 •• i Ln eon~l1Lntc \Oln r c~ lu J'Otencin pm unidAd de \upcrfi ele lltle ~ rccibe tlc ~dc el Sol en la Tierrn ~ubre UI1I1 ' upcrhcie pcrpcnd twla r a los rtt)'m ~olll res u In dililltncin mediu Sol Ticml Su '1HIN tu e l Hmttc \upcrior de In ull11(h rcrn I cne~ tte e\ upm:o:imudomenlc de 1,J:í kW/ m ·l CAlcu lar In tem pcnttum efecti va de lu ~ upcrf1 cle del Sol ~j é.. te Irrndin comll .. i '>C t nl ta~ dt un cucqXJ negro, ( El rudio del Sol C-~ 6,96 )( 10 m1. • •• I 54 ./ Pam dClcrminnr el vAlor 1< de un mllll:ria l lIi~lanlC que viene en láminas de 0,5 pulg. de espc-.ot. con ~ tru 1tnos con él nna caja cúbica de 12 pulg. de Indo )' ~ it U!tm (K un termómetro), un clllentador de I{)(l W en su interior, Unu VeL nlCllnzudo el e(luilibrio. llltempemlu fll interior de In cllja es de 90 DC cuando la lI:mperfllum exterior es de 20 oc. Determinar el vlllor H. de este mntcrinl. Unn lámina de cobre de 2 cm de eSI-.cllor se presiona contra una láminu de aluminio. ¿Cuál debcrf3 ser el espe:.or de la láminn de aluminio pam que la temperatura de la intcrfnz cobre-aluminio rUCl>C (TI + T2)/2. !>iendn TI y T~ las lemperatums de las interfaces cobre-aire y aluminio--aire rc.~pect i \'amel\le? 55
••
•• A una temperatura de 20 DC, una barra de acero de 2.2 cm de rndio y 60 cm de longitud eslá encajada harizont31 )' perpendicularmente 3 dos 56
Una mhcría de vapor de long.itud L se. afsla con una capa de material de conducti vidad ténnic¡\ k. Hallar la tasa de lra nsferencia de calor si la tempe ratura en el exterior del ai ~;lmni e n1O es TI ' la del interior es 71.. el rad io exterior del aislamiento es r l Y el rndio interior c.~ r~ .
45 •••
Radiación
i
./
Calcular A..w par3 un cuerpo hUlllnno que emila calor rndian te como un cuerpo negro. suponiendo que la superficie de la piel esnt a 13 tcmperntura de 33 oc. 46
•
SSM
•
./ Los cablc.~ de calefacción de ulm estufa eléctricn de 1 kW se encuen1f'.m al rojo vivo a una temperatura de 9(X) DC. Suponiendo que el 100% del calor emitido es debido ti la rndiación), {Iue los cables actúan como rndiadores ideales (cuerpo negro). ¿cuál es el tl rea efecllva de la superficie radiuntc? (Suponer que la tempemtum am biente es de 20 oC. )
47
•
I
paredes venic31es de hormigón. Con un soplete se eleva la temperaturu de la rnismu ¡¡ 60 oC. Hntl nr la fU ef'La ejcrcidll por la barra sobre cadn pared. 57 •• (a) A partir de la defi nición de {J. coeficiente de dil3tación de \'olumcn (u presión conSlnnte). demostrar que {J::: Iff en el caso de un gas ideal. (h) El valor de tenn inado experimentalmente pum fJ dd gas N ~ es OJJ03673 K-I a O oc. Comparar este valor con elte6rico {J :: lIT. suponiendo que el N! es un gas ideal.
Unu fonlla de conslruir un di spositivo con dos puntOs cuya separación permanezca invarinble a pesar de lus vari nciones de temperatura e~ IllOrn¡\lnr j untos un extremo dc dos barras con diCereU!c.~ coefi cientes de dilatación linenl. como se indica en la ligur;\ 20. 16. (a) DemoSlmr que lu distu ncia L no cambia eon la temperatura si las longitudes L" )' LB se eligen de modo que L"IIJU :: aJa". (b) Si el material B es acero )' el material ,", es latón. y L,,::: 250 cm n O oC. ¿cuál es el \'alor de L'!
58
••
•
48 •• i ./ Se CUclgll uml c.~fera de cobre ennegrecido de 4.0 cm de di:ímelro dentro ue un recipio.:nle ~ol11et i do ul vndo cn donde la tc mpemturn de las paredes es de 20 oc. S i la esCera se encue ntm inicialmente a la temperatura de O oC. c¡llcltlar la variación de tempcf'.Jtur:l con el tiempo si se supone que el único proceso de transmisión del calo r que liene lugar es el de mdinción. 49 •• L'I te mper:lturn ~upcrficilll del filnmento de una h'impura incandescente es de 1300 DC. ¡,Cuál sem su tcmper:ltur:l si se dupliea la potencia eléclricll suministrudn'! SI/ge rencia: O/'l/lOs/m r '1/11' Imedr dt',fprl'cill ru {Clll'lII11l! rtllUrtl del m{'(Jr'o all!rior.
T- L -~
Material B
.- - - Lo - - - -01 Figura 20. 16
Problema 58
i
Se d i~ponc dc helio liquido Illmacenado n ~ u tClllper:\lur:l de ebullición (4.2 K) cn un recipienlc t!;.fé rico: Cq C recipiente e\tá 'icpnr:tdo de nna e¡lp¡1 nislnllte que ~c mllllticnc n In tempernmm del nitr6ge no líquido (77 Kl medianle un C!>pilciO <;Ot1Ielioo nI vado. Si el diámctm del recipiente e<; de 30 cm y !'C encucntr:l ennegrecido por su p¡IMe CXletlor dc munenl \IUC ...e 1,."i)lIIponn COIII O un euerpo negro. ¡.cu:1nto helio .. e cvapor:lm I)()r ho m"
50
••
Problemas generales
Por lémli no medio. 1:1 tcmpcr:ltum de la ca rtela terres tre ~e 111(: "-"menta 1.0 copor cud:t ]0 111 de proflllldid lld. La OOnducti viund lérmica lIlo.:di:t de 1:1conel:! terrc.'lre es O,7-l J/m . ~ . K. ¿Cuál C~ la pérdida de calor que expc~ rimema la Tierra cllda segundo debida u la conducción de~de ~1I núelco'! Comparar c<,tU pérdida de culor con lA potcnd:t media reclbidu del Sol. (tu con,lnn te rolar C-' aproxillludnment(" I.J5 1. \V/m!).
59
••
•
60 •• I Una olla cuyo fondo e~ de cobre )' quc eonticne 0.8 L de ng lm hirviendo ' e ~Ct:'ll en 10 minuto!>. Suponicndo que lodo el Clllor , e tnU1 ~1I11te a tl":\\ é\ del fondo plano de cob\'(' dc 15 cm de diámetro y J ,O mm de c~ ]X' <,Ot, calcu lar In temperatu ra en la p.1 ne c ~teriur del fonoo de cobre cuando looll\ia qUt.'da algo de agllll en 111 olla,
Se c(ll(x:a unn 4.: tnt n de: acero alrededor del • SSM I 51 eeundor tctrelitre cuundQ \11 lc:mpcrntur:1 mc\hn C" t) C . •.Cual <;ero la hlllguTa entre la cil11a ) el ,uclo h uponiéndol \) IInijomle) ~1 la IC'mpernlura ~ C'1c\ a a JO . C"! (Dcsprccmr 111 dilul3Clón ICrtC'Irc:.)
61 •• SSM Un trll1(IUC de ngllu caliente de Connu cdfndrieu tiene un di:illlelro interior de 0.5;'\ m y 11M I1hurn inlerior de 1,2 111. El tanque e..l:i rodeado ¡KIr Ilnll cap.1 aislnn te de 5 cm de e.~pc,()f de luna de viuno cuya conduclI\ldnd lémliclI 1.'\ 0.035 W/m · K Las paredc' lIlelálic;¡~ ¡merior y extcriur del tanque tlenen l.'('Inducti\ Idade'> t é rmi ca~ muy ~upenore, a 111 de la 1.&11.11 de \ idrio. 4.Qué poI'C'ncia dehc: <'umini\tl1lJ"C' altanq uC' pum man tener la lC'mpcra111m del agua a 75 (' cuando ID I~mperaturu externa C" de I C ,!
52 •• l)c.mo,tmr quC' In \ Rnll":lon de: lku\1.tad e\penmenl
62 . . . El dulmclm de' una barra 'llene dado por ¡J". dt:í I + tUl. ~n dl,lndt ú eo. UfUI eoo\tlnlC') l' la diWlllCia a un C1ttrc:mo. SI la l.'ODducttvldIId ~nmca dd ffi.llc:n al ('.. L ¡,cuál C') la rc:<,t
•
6O~
I
Capítulo 20 Propledade~ y ptQceso~ térmlco~
Un JI ~'O' 111.10 de ",dm r) mu~n NI C!>ut llinmuu t u un C ~l )11!Jio ~m Nlal1llento L'UI\ .. doci.hlll Ul'llulllT tUI " In tcmllCl'lItul'll TI' Lu tClI1peratum 63
•••
del di ........ ) camblil c.l1t(ln.."e~ 1I r~ , Exprt:\lIr In \ clud dat:,l unlluhll ( • In C l\C I'~ rn cHlélll,:a ..le romdül1 El ) cllmml{'lIIU IlI1)!lllllr I~l en función tic ~ u~ V Il I l)rc~ r1!.'i' ¡X"( llm~ a 11\ Icmp..~_rn t Ul1' f , y el coclkic nte dc dl1mnción linel,1 a del diNCO, 64 ••• 111i1in mdo l o~ I'I!"UltUc.\os del pl'oblellln 11'1. \lScribir un prognu"n de hoj:1 de cl,ll-ulu l)IIm ImCt'r mm gráfica dc la lempermuru dul" Ticrm en fUII' ":I ,~n de In cmbl\'idad. i.('u¡{nto 1m de vlld:,r 111 c mi ~ i\'ldl,d pam que 1:1 lempern· 111m lIIedla se ele\'e 1 K'! 1!:I;lO M! IKldñ u cOllsic.\emr como un m(ldelo dcl efecto dcll1l11ncnto de (.'O nte n t mcionc.~ de gll$es comu el metano y el CO 2 en In f1tmÓs· fen! tcrrC$tre tcflx:m ill\'enllldcro). 6S ••• Un pt..-queño e~ l n nque tiene un u enpll de hielo de I cm de c.~pesor flotando ~re él. ( a) Si In h!l11pernlUrn delllirccs - 1OoC. hullar la velocidad en ccntfmclros por hom con que aumenta el espesor del hielo por su pane inferior. 1...'\ densidad del hielo es 0.917 g1em.l. (b) ¿Cuánto tiempo tardará en fonnurse unll Clip:! de hielo de 20 cm de cspc..wr'l 66 ••• SSM Dos recipientes de cobre de 200 g de masa. que contie· nen cudll uno de ellos 0.7 L de agu:l, se cont'Ctun entre sf mediante unu barra de cohre de 10 cm de largo y una sección recta de 1.5 em 2 de área. Inicialmente el primer reci piente está a To = 60 oc. El segundo estú l1el)() de una me7.cla de hielo y agua. de fomm que su tempera tura se mantiene a O oC. (Suponer (Iue la capacidad calorífica de la baTT'J. es despreciable.) (l l ) Demostrar que la temperatura T del primer rt.'Cipienle v:lría con el tiempo t de acuerdo con
en donde T e lo tem[)Cnll ura en grodm: Cc h i u~ . R 1:.\ la re.~ l s tcnc i A lérmica de lA bmTII y es In captlcidod culorlflcn 10101 del reci piente m á.~ el agua. (h) Calcular N. y In "eu n ~ ltIntc de Ilempo" HC (l") Demo~ tr¡¡ r que la cUlUldnd tot!!1 de !,lulur Q CI)IIlhlcidu ul c!!bo de un liompo t C ~
e
e
«(i) Utili /JlIlOO unu hujP lit' \'ulculu repre\Cnlar grálic:unente 1'(1) y Q(O: ft pan rr de In groficll. hallar el tiempo que taro u en reducirse lu temperatura del primer reci piente a 30 oc.
67 ••• Un CUIXl dc cobre ennegrecido uc I cm de arista se culicntu fI unH lempcrmurn de 300 "C YII cOntinullción se coloctl en una cúmam de v llcro c uyA ~ pareues están a unu tempeT'oItura de O oC. En lu eámura de vado el cubo se enfrln emitiendo mdiaciÓn. (a) Demostrar que In tempcrnlura nbsoluta del cubo obedece la ecuación diferenci¡ll:
en 1:1que e c.<¡ la caplld dad caloñficn del cubo. A es el área de su superficie. e 111 emisividad y To la temperalura de la cámara de vaclo, (b) U,ili7.ando el ml!:tooo de Euler. resolver numéricamente la ecuación diferenc ial para obtener n,) y re prese ntarla gráfi camente. Suponer e = 1. (El método de EuJer se tr:ltn en la sección 4 del capítulo 5). {,Cuánto tardaría el cubo en enfriarse hllsta una temperat ura de 15 OC?
RELATIVIDAD ESPECI
Capítulo
R.l
R.2 R.3 R.4 R.S R.6 R.7 STS 109-335-020 (1-12 DE MARZO DE 2002}--EI astronauta Seott D. Altman, comandante
de la misión STS 109, duerme en la cabina de vuelo del transbordador espacial Columbia. La velocidad orbital del transbordador es de unos 7,7 km/s, lo que representa una pequeña fracción de la velocidad de la luz, e = 3 lOs km/s.
? •
Si un astronauta en una nave espacial que viaja a una velocidad de 0,6c respecto a la Tierra duerme una siesta de una hora, ¿dura también una hora dicha siesta para un observador terrestre? (Véase el ejemplo R.l.)
Lateoría de la relatividad consta de dos teorías bien diferencindas: la de la relatividad especial y la de la relativ idad genero\. La leorla especial. desarrollada por Einstein y otros autores en 1905. se ocupa de la comparación de medid'L'l hechas desde distilllos sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidades con<;tantes los unos respecto a los otros. Sus consecuenci as, que pueden deducirl>e con un mínimo de matemáticas. son aplicables u una gran variedad de situaciones que se dan tanto en (f"ica como en ingeniería. Por otro lado, la teorra general. desarro lladu también por Einstein y OIros hacia 19 16. se ocupn de sistemas de referencia acel erndo~ y de In grav it ación. Uml comprensión COIllpleta de In tcorra geneml requ iere mutemáticas compl icados y sus apl icaciones apnrecen sobre todo dentro del área de la gra\'itación . ... En este cüpít ulo nos centrumos en la teoría especinl de la relatividad (llamada también relarividad especial o reslringida). A principios del siglo X-'X. la teoría cspccilll de la rclath'idad fue IIco~idll por algunos con entusiasmo. pero para otros muchos erll aceptada a rcgañadlenlcl' o rcchal1tda por alocnda. Actualmente. no sólo es amplíshnamente lIccptada. sino que se la considera como nnn \ entana que nos per· mlte vcr el funcionllmiento de la naluraleza. Veremos cómo dicha teolia desaffa nucslrll experiencia cotidiana IIcerca del tiempo y las distancias cuando describamos la rnlentizacl6n de los relojes en movimiento. el acortamiento de las barras móviles. la relatividad de la simultaneidad de sueesos alejados) la relatividad del momento ~. la energía.
El principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz Barras en movimiento Relojes en movimiento Más sobre barras en movimiento Relojes lejanos y simultaneidad Aplicación de las reglas Momento, masa y energía relativistas
R-2
I
CapItulo R Relatividad
~pec.lal
R.l
El principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz
El prilll•.:ipl{1 de rc llltividad puedc cnuncluro;c n
E!- illlpo!-iblc dbcñar un ex pcrill1 ~ nlo quu e~ tubl c / c a ~i unu \c hul la en repo,;o O en movi· 111[enlo uniforme. POSTUlADO 1, El PRINCIPIO DE
RE~TMDAD
Movimielllo uniforme es e l que se renl iza a velocidad constante respecto él un siste ma de referencia inercial. Por ej emplo, supongamos q ue estamos sentados en un avión que viaja a velocidad uni fo rme y muy elevada respecto a la superfi cie terrestre. S i soltamos un tenedor, éste caerá hacia el suelo del avión de manera ex actamente ig ual a como lo haría si el avión se encontrara aparcado en la pista. Cuando el avión está vo lando, podemos considerar que nosotros mismos y e l avión eSlUmos conj untamente en reposo y que es la superficie de la Tierra que tenemos debaj o la q ue se mueve. No hay nada que penn ita d iscernir si somos nosotros y e l av ió n los que nos movemos y la superficie terrestre está en reposo, o viceversa. Todo sistema de referencia en el que una partícula sobre la que no actúa fue rla alguna se mueve con velocidad constante es, por de fi nición. un sistema de referencia inercial. t La superfic ie de la Tierra es un sistema de referencia inercial en buena aproximación. El avión también lo es, siempre y cuando viaj e a velocidad constante respecto a la superficie terrestre. Mientras pennanezcamos sentados (o quietos y en pie) en el avión, tam o podemos considerar que somos nosotros mismos y el avión los que estamos en reposo y la superficie terrestre se mueve. como que nos movemos nosotros y el avión y que la superficie terrestre está en reposo. Durante el siglo XIX se aceptaba ampl iamen le que existía un sistema de referencia privilegiado que podía considerarse en reposo. Se pensaba que este sistema de referencia era el del éter, el medio que rellenaba todo e l espacio y a través del cual se suponía que se propagaba la luz. (Se creía entonces que la ondus lum inosas neces itaban de un med io a través del cual propagarse, tal y como hoy creemos que pasa con el sonido. que requiere del aire o de otro med io material para su propagación.) El éter se consideraba e l sistema de referencia privilegiado. "en reposo". En 1887 Albert Michelson y Ed ward Morley realizaron una serie de med idas cuidadosamente diseliadas para determinar la velocidad orbital de la Tierra respecto al éter. Se consideraba que estas medidas eran muy difíciles dado que la velocidad orbital de la Tierra es inferior a una diezmilési ma parte de la velocidad de la luz en el vacío. Con gran sorpresa para la inmensa mayoría, las medidas sie mpre indicaban que la velocidad relativa entre Tierra y éter era nu la. A lbert Einstein aportó entonces una teoría consistenle con estas med idas. Se explicaban admi tiendo que la luz ero capaz de propagarse en el espacio vacío y que el éter era un conceplo innecesario y que no ex istía . Además, Einstein postu ló: La velocidad de la luz es independiente de la velocidad del foco que la emite. POSTUIAOO 11
Por velocidad de /a /IIZ enlendcmos la ve locidad con la q ue la luz se propaga a través del • espacIO vac •lo. Una consecuencia del Postll lado 11 y del pri nc ipio de relatividad es que lodos los observadorc:t incrciales miden e l mismo val or para la velocidad de la luz. (Un observador inercial es aquél que permanece en reposo en un sistema de referenc ia inerc iaL) Para co mprobar que todo:t los observadores inerciales detenllin nn el mismo valor de la velocidad de la luz. consideremos los obse rvadores inerci ales A y B, que se mueven uno con relación al otIO. El pri ncipio de re latividad nll mHI que es imposib le diseñar un experimento pard establecer si un observador inercial está en reposo o moviéndose unifo mlc mente. Si los observadore ~ A y B midieran valot"C5 d istilllos para la velocidad de la luz, dichos observadores A y B no podrían entonces co nsiderarse ambo!: ell reposo - una concl usión que co ntradice claramente el princilEnto!> capflUlo<; l ) 4 ..e ~mplfa el e~ludlO de ' I.sl emo~ de re ferencia.
R.2 Barras en movimiento IR.]
pio dc relnt!\ ¡dudo Asf pucs, ulla COll!lcclIcnd a l:onjutlttt del principiu de rclutl vidud y del Po~tulado 11 {qtt~ lu \elociJad dt.: In hu t.:s indt.:pe ndiclIlc dL' lu veloddlld del foco) es In co nshtncln dc la , docidud de hl luz: La \clocidnd Je la
lUl ( '
e ... 1:1
mi:'IllH ~II
clIulquier ¡¡ i:.tema de rcrercm:ia incrcial. CONSTANCIA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ
Adcmás. cunlquie r móvil (y no s610 la luz) q ue viaje a velocidnd (.' respecto a un sistema de referenci a inel'Cinl. viaja también 11 la mismn velocidad (.' r~specto él cualqui er OLI'O sistema de refere nc iu inerc ial . S upongamos que eSlllmos cn e l paüo de nueSlra caSIl y que Luis viaja en una nave espacial que se aleja de nosotros a la mitad de la velocidad de la luz (O,5e). Enfocamos una lámpara. que e mite flashes de luz, cn la dirección de Luis y la encendemos. La luz sale de la lámp!U1\. viajando a velocidad e (relativa a la lámpara), y pasa cerca de Alicia, que se e nc uentra e n la azotea de la casa de aliado. A lic ia mide la velocidad de estos Hashes de luz y determi na e l valo r C. Al cabo de linos minutos la luz alcanza a Luis y su nave. Al igual que Alicia. Luis mide también la velocidad de los flashes de luz y determina el mismo valor c. Esto le sorprende, porque Luis esperaba que la luz que viajaba tras é l lo hacía, no a velocidad e, sino más bi en a O,5c (después de todo, Lu is se mueve a velocidad 0,5c respecto al foco luminoso, la lámpara de flashes que tenemos en e l patio). Al igual que muchos. Luis considera anti intuitiva esta constancia de la velocidad de la luz. Esto le crea un dilema. ¿Ha de confiar e n sus aparatos de medida o ha de confiar en su intu ición ? Resulta que es la inluic ió n de Lui s, y no sus instrumentos, lo q ue habrá que reaju star. Luis debe cambiar tanto sus conceptos de espacio como de tiempo. Supongamos que e n lugar de apuntar con un haz de luz lo hacemos en la misma dirección con un emisor de partículas que viajan, unas tras Olras, a altísima velocidad, entendiendo como tal una velocidad muy cercana a la de la luz e. (Una partícula como un electrón o un protón no puede viajar a la velocidad de la luz, pero puede hacerlo a velocidades extremadameOle cercanas a ésta.) Si Alicia mide que las partículas que pasan por su lado viajan a la velocidad de O,9999c (relativa a ella), ¿qué ve locidad med irá Lui s para las partíc ulas que pasan j unto a él? La intuición de Lu is le dice que, dado que él se aleja del foco emisor de partículas, éstas pasarán por su lado más lentamente, a una velocidad de 0,499ge. Pero no es así. Cuando Luis mide la velocidad de las partículas encuentra un valor muy cercano a 0.999ge. (De hecho, encuentra 0.9997e.) 1 Solemos pensar que las distancias entre ciudades son invariables. Pero esto tampoco es así. Según cierto mapa de carreteras, entre 8altimore y Phi ladelph ia hay 160 km. Sin embargo, si viajáramos de Baltimore a Ph iladelphia a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, la distancia entre estas dos ciudades sería más corta de lo que es si viajamos a 100 km/h. Para quien co nduzca a 100 km/h, la distancia entre Bal limore y Philade lphia es muy cercana a 160 km. Pero para alguien que viajara a una veloc idad de O.866c (relaliva a la superficie terrestre), la distancia sería de sólo 80 km. y para qui en viajara a O,9999c. la di slancill sería solamente de 2,2 km. La máxima velocid¡¡d respectO a la Tierra que ha alcanzado jamás un ser humano (se alcanzó durante la misión Apollo a la Luna) es sol amente de unos 10 km/s = 3.3 x lO-s t.'. Frente a la velocidad de la lul.. esta velociclnd es tan pequcño que pura nlguien que viaje a esa velocidad de Bnll imore a Philndclphia. la distancia entre estas ciudades ~c Ilcol1arfa en menos del diámet ro de un cabello humnllo. En las tres seccio ne~ :;iguientes se exponen los rdJonnmienta s q ue nos llevan a estas conclusiones.
R.2 Barras en movimiento Vamos a comprobnr que si una barra 'ie mueve en Itl d irección perpendicular a su propia longitud. esta longitud no cambia. Lo hoccmo!- l1lolitrando que cualquier aumento o di~ min u c i6 n de la lo ngitud contrad ice el prinCipio de relati\'iund . Puede parecer intra!.Cendentc
R...04
I
Caprlulo R Relatividad
e~pecial
RotulAdor
••
Rotulador
Figura R.l
Si la regla en movimiento sellcortara,
los rotuladores fijados a la regla A trazarían señales como éslas sobre la regla B al pasar junto a ella.
Rotulador
comprobar que un:l burru no cU lllbill su longi tud . Lo huccmos, ~1Il Clllhilrgo. porque un!! dc las con.. cc u e n cin~ inl1'1ccl im u:. de ello se rá qnc lo . . rclojc<; en !1l(lVimil!nlo rulenlinln ... u mard1ll y utmstUl rCl-pecto 11 un rdoj illlllóvil. Supongamos quc disponelllos de dos reg las idént iclls de un melro. regla A y reg la B. Comprobamos qU!! Ins reglas fion idénticas colocándolus una juniO 11 otra en un " i ~te nm de referencia en qU!! IIl1lbns estén en reposo y las cXlllninamos visualmente. Dumos despué.s la regla B a Berta que se la lleva en su llave espacial. Durnnte el viaje. Berta se asegum de mantener su reg la B formando un t'í ngulo recto con la velocidad que tiene la nave respecto a In Tieml. ¿E!; In reg la B más corta quc la A que se hu qucdado ntrás, en la Ti errn, juntO a nosotros? Para responder a estn pregunta vamos a realizar mentalmente un experimento. Fijamos dos rotuladores a la reglo A, uno en la marca de los 20 cm y el otro en la de los 80 cm. Entonces, Bert a ejecuta una pasada rasante con su nave manteniendo su regla B asomada a una ventanilla y formando un ángulo recto con la velocidad de la nave. Durmuc esta pasnda. sostenemos nuestra regla A manteniéndola paralela a la regla B. Cuando las dos reglas se cruzan quedan trazadas dos señales en la regla B (fi gura R. I ). Berta aterriza con su regla B, las dos reglas se vuelven a colocar una al lado de la otra (figura R.2) y se compara la distanci a entre las dos señales de la regla B con la di stancia entre los dos rOlUladores fijados a la reg la A. Supongamos que una regla que se mueve perpendicularmente a su dirección fuera más corta que una reg la idéntica en reposo. En este caso. la distancia entre rotuladores sería inferior a la distancia entre señales (figura R.2) - una ev idencia clara de que durante el vuelo la regla móvil (reg la B) era más corea que la regla en reposo. Sin embargo. de acuerdo con el principio de relat ividad. es igualmente válido pensar que era la regla B la que estaba en reposo y la regla A la que se movía. Desde este punto de vista. la anterior comparación (figura R. 2) demostraría que la reg la en movi miento (ahora, la regla A) era más larga que la que quedó en reposo. Por lo tanto, nuestra supos ición de que una regla que se mueve perpendicularmente a su longitud es más corta que OIJa regla idémica en reposo. lleva a una contradicción y debe ser rechazada. La suposición de que una regla que se mueve perpendiculamlente a su longi tud es más larga que elra reg la idéntica en reposo lleva también a contradicción, como veríamos usando un razonamiento análogo, Concluimos. por lo tanto, que: Una regla que se mueve con velocidad perpendicu lar a la propia regla tiene la misma longitud que otra regla idéntica en reposo.
Esta conclusión se ha alcanzado sin hacer referencin alguna ni materinl con el que se construyó la regla. La conclusión, por lo tanto. no reflej a una propiedad de las reg las. Refleja. en cambio, una propiedad del espacio. El sistema de referencia en el que la regla está en reposo se llama sistema propio o sistema en reposo y la longitud de [a regla en su sistema propio se denomina longitud propia o longitud en rel}OSO. Rotulador
R.3 Relojes en movimiento Figura R.2 Si la diSlrlllcill el1lre señales ruer,¡ mayor que la distancia entre rotu lndores. eslC demostrona que, cuando se hicieron las señales, In regla B ero más cOrla que 1" regla A.
Los re laje:. sirven pum medir tiempo... En este apartado vamos a demostrar que los relojes en movimiento se lllmsan. de manera que si una nave espnciulmuy rápida pasa frente n n05011'OS. observaremos que todos los reloje:. de la n:l\e avan7an más lentamente que nueStros propio~ reloje~. Sin embargo, la gente de In nave puede cOIll-iderar libremcllIc que son ellos quienes ~tán en reposo y nosotro~ quicJ1e~ no~ movemos, y observarían que son nue~tros relojes los que avanzan m:b lentamente que los suyos. Examinemos cómo eSIaS dos observaciones son consistentes con la constancia de In ,clocidad de la IlIt y el principio de relulividad. Conslruimos un reloj. lIamémosle reloj df' 111:'. usando una barra de longilUd propia Lo y dos e"pejos (hgura RJ). Los dos espejo!' c.. tán frente a frente y un Hash de lu? va )' viene reHejándose en ellos. Cadn 'el que el Hash se reHeja en un espejo. digamos el superior. consideramos que el reloj hace "!Ic", y al regresar y reHejarse en el inferior hace ''1.8(''' , completando aM un ·'lctac··. Entre dos tac y tac suce..ivos el Ha..h de IU7 viaja una di stancia 211,) en
R.3 RelofeJ
el 'li\tcllla de re feren cia ..:ionado con Lo por
p ltl p i()
lid 1\'.loJ .
P l)l' !tI
en movimiento
I
RS
huHO. el tiel11po entre tue y ttlc 'l¡¡ C~ t~ relu· bpejo
(R.11
e l" O
r entre
tuC y lile del l11i ') 1110 reloj de IU7, pero e<,tu \c1 10 ol',enl\lllo!l desde un ~ i "t e1ll u dc re fcrencia en el que c1 rcloj se mueve con velocidad " pell:x:nd icu lar l\ la harm (ligur;, RA) . En c :; t ~ sistellla de rc fercncio . Cllt l"l': tue y tac el reloj f'"C(!OITC una di ~ land:l l ' r y el t1 ash de lul. lo hace una distuncia ." ¡dn que recorrc el flash de lul nI ,,¡:unr desde el espejo inferior al superior es L3+ (~ vT ) 2 , Y es Utmbién In mismn distancia que rccorre desde el espejo superior al inferior. Por lo tUIlI O,
Consldcl1l11\o", a l'lllllinuw..'ioll el l icmpo
(R.2)
(Obsérvese que hemos lIsado el mismo símbolo e para la velocidad de la luz en las ecuaciones R. l y R.2.) Despejondo 4J en la ecuación R. l y sustituyendo el resultado en la ecuación R.2 obl'cnemos Espejo
,l e T Despejando T nos da
Figura R.3 El reloj de luz complcta un ¡jctac cada vez que el fl ash se refleja cn el espejo inferior.
T =
TO
(R.3)
JI - ( l"le')
D ILATAOÓN DEL TIEMPO
De acuerdo con esta ecuación R.3, el tiempo entre tac y tac en el sistema de referencia en el cual el reloj se mueve con velocidad ves mayor que el tiempo entre tac y lac en el sistema de referencia propio del reloj. Esto nos lleva a la siguiente pregunta: ¿Alras·an también otros relojes al moverse con velocidad v de acuerdo con la ecuación R.3 o es esta ecuación válida sólo para relojes de luz? Para responder esta pregunta fij amos un reloj convencional (con un mecanismo convencional de relojería) al espejo inferior del reloj de luz (fi gura R.S). El reloj convencional carece de manec illa horaria y de minutero. En lugar de la maneci ll a que señala los segundos, el segu ndero, tiene un disco opaco con una estrecha rendija a lo largo de un radio que va girando y marca así el paso de l tiempo. La esfera de l reloj dispone de 60 señales (llamémos·
,, ,, ,, ,, ,
,.
,,, ,,, ,,,
,
,
I -Ir
figura R.4
R.6
I
Capítulo R Relatividad esp ecial
Regla
Rel oj co nven cion al
Figura R.S
Señal don de se co mpl eta un ticta c Líneas i m p resionad as
Reloj conv en cional
Fig ura R.6
Vista la teral
Vista front al
las señales de mc) di stribuidas uniformemente a 10 largo de su perímetro, una para cada segundo. El reloj hace tae cada vez que la rendija pasa por encima de una señal de tac oAjustamos la longitud 4J de la barra del reloj de luz de tal manera que el intervalo de tiempo entre lac y laC de ambos relojes sea el mismo en el sistema de referencia propio de los relojes. A continuación , sincronizamos los relojes de modo que cada tac del reloj de luz se produzca simultáneamente con el tac del reloj convencional. Finalmente, nos preguntamos: "Si el tae de un reloj y el del otro OCurren simultáneamente en el sistema de referencia propio de los relojes, ¿ocurrirán simultáneamente también en un sistema de referencia en el que lo;:, relojes se muevan a velocidad 1/7" La respuesta es afirmati va. Para comprender el porqué. consideremos el experimeOlo siguiente. En el sistema de referencia de los relojes. hagamos que el intervalo entre lac y tac de ambos relojes sea de un segundo. Coloquemos una película sensible a la luz en la esfera del reloj convencional, detrás del disco opaco gi ratorio, Cada vez que el flash de luz sea reflej ado por el espejo inferior. queda impresionada la estrecha fra nja de la película fo tosensible que se encuemra justo debajo de la rendija. Esms franjas impresionadas apuntarán radial mente a cada una de las señales de tac, como muestra la fi gura R.6. y todos los observadores deberán estar de acuerdo con 10 que así queda pennanentemente registrndo. En el sistema de referenci a A, en el que am bos relojes se mueven, el flash de luz impresiona la película fo tosensible que hay detrás de la rendij a cada vez que dicho flash es re fte~ jado por el espejo inferior. Puesto que el reloj de luz eSlá en movi miento. el intervalo de ti empo entre reflex iones es superior a I s, de acuerdo con la ecuación R.3. Cuando una observadora del sistema de referencia A vea que las franjas impresionadas en la películ a quedan al ineadlls con las señales de taco quedará convencida de que en su sistema de re fere n ~ cia los relojes convencionales atrasan ex actamente de la misma manera en que atrasa el reloj de luz. es decir. de acuerdo con la ecuación R.3. Por lo tanto. llegamos a la conclusión de que todos los relojes avanzan más despncio. exacttllnente de la misma ¡minera en que lo hace un reloj de luz. Por este motillo. concl ui mos que es cl tiempo en sí el que pasa más lentamente, un fenómeno que conocemos como dilatación temporal. A algo que ocurre en un insta.nte espedfico de tiempo )' en un lugur específico del espacio lo llamamos suceso espacio-Icmporal o. simplemcnte, SUCi!SQ. a lela reflexión del flash de luz en el espejo inferior cs. pues. UII suceso espacio-tcmpom l. Si a una de C!itas reflex iones la llamamos suceso I y a lBo;; iguiente ;:,uceso 2. al tiempo transcunido cntre los sucesos I y 2 en un sistema de referencia en el que los dos ~ ueesos ocumlll en el mismo pUllto del espacio se le lIaman'i ¡oler\'alo de tiempo Prol)io Toentre los dos succsoS. Scn T el inte.rvalo de tiempo entre los dos suCésos en un sistema dc referencia en el que se prodU/..crut en puntoS distintos. La ecuación R.3 relaciona clllcmpo T entre esto.. succ.-,os con el tiempo propio entre los mismos sucesos, Cada \"cz que un flash de hll se refleja en el espejO inferior. In rendija del reloj convencional (el segundero) pasa directamcnte por encima de una señal de tne. En el sistema propio de Jos dos relaje!>. estos dos ' llcc.ws (la llegada del flash de lU7 y el paso de la rendija por encima de In :.ci\al) ocurren a.l mismo tiempo y en el mismo punto. Dos sucesos cualesquiera. que ocurren 31 mismo tiempo J en el mismo pu nto en un sistema de referencia. ocunirán también al mi ..mo liempo .\' en el mismo punto en todo:. los sistema de referencia. Esto se debe a que estO!; "uce-
R.l Relojes en movimiento
SO!! pueden tcn~1 {.·on~t..,\;lIenda~ dlll aocm."'. COIIIO IlIlprc"ionar fn:mju .. cn pclfculu!' fot(l"cll
Podemo~
visualizar mcjor c~t e principio considerando dos automóv il es pasando por un entec ni mismo tiempo. Los dos sucesos son: (1) el automóvil A pasa por el cruce y (2) el automóv il B pmm por el Cntcc. Si estos dos sucesos ocurren simultáncamentc en un sistema de referencia, deben también hncerlo si multáneamente en cualquier otro sistema de referent·ia. O queda abollado un parachoques, O no 10 queda. Es deci r, si los automóviles chocan, es indisclItible que se encontraban en el clUce al mismo tiempo. Las evidenci as que quedan indican que los observadores de cualquier sistema de rel'e renci a deben estar de acuerdo en este hec ho. Llamamos coincidencia es pacio-telllporal a todo par de sucesos que ocurran en el mi smo instante y en el mi smo punto del espacio.
EJEMPLO R.1
I
La siesta de los astronautas
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO !
Los astrona utas de una na ve espacial que viaja fl v = 0,6<: respecto a la Tierra cortan la comunicación con el centro de control espacial diciéndoles que va n a dor mir una siesta de j h Y vol"eráll 11 lla mar después. ¿Cuá nto durará esta siesta para los obser vadores de la Tierra? Plantea miento d e l problema El reloj S de la nave marca l O cuando empieza la sieSla (una coincidencia espacio-temporal) y marca lO + I h cuando termina (otra coincidencia espacio-temporal). Los observadores que están en la nave están de acuerdo en que la siesta ha durado I h. ya que el reloj S está en reposo y no atrasa. En el sistema de re rerencia de la nave los dos sucesos (el inicio y el fi nal de la siesta) tienen lugar en el mismo punto y. por ello. el intervalo de tiempo entre los sucesos es lambién su intervalo de tiempo propio. Los observadores terrestres están de acuerdo en que el reloj S de la nave marca '0 cuando empieza la siesta y marca lO+ I h cuando tenninu. Sin embargo. también están de acuerdo en que la siesta ha durado más de I h. porque este reloj S se mueve ti velocidad l ' y. por lo lanto. atrasa. En el siSlema de rererencia de la Tierra la nave se mueve y por ello la siesta empieza y ¡enruna en puntos dislÍntos del espucio. Por lo tanto, en el sistema de rererencia de la Tierra. el intervalo de tiempo entre los sucesos no es su imervalo de tiempo propio.
1. El suceso I es el inicio de la siesta y el suceso 2 su lin. El reloj S de la nave indica que ha pasado I h entre eStos dos sucesos. Detcnninar el intervalo de tiempo propio roentre eslOS sucesos:
ro =
2. Encontrar el intervalo tempora l T entre los sucesos I y 2 para los observadores terrestres:
T=
1h
r, ./ 1- 0.36
= lhl
=
= ~ ./0.64 0.8
Obse rvació n Puede pre:;cindirsc del reloj S, ya que los propios mammmlas pueden M:n'ir tAmbién C0l110 relojes. Hlly que dnrsc cucntn de que el tiempo propio (11lC p:tsa cmre el inicio y el fi n de lBsieslB es 1 h Yque. por lo lanto. el tiempo T (Itle pa... u elllre los mil>n1os suce~(K en un ¡,iSlema de referencia en el que el reloj (los astronautAS) se mueven con velocidad I viene dado por la ecuación RJ . Ejercicio Los piones] en reposo tienen un3 vidl! media de 26 os (1 o~ = 1 x I ~ s). ¿Cuál \erfB la vida media si sc midiera la de piones que viajan BO.995c·' (Rt'rput'.'illl 260 n....) Ejercicio Un hAl de piooes. cuyo periodo de ~elllidesintegrnción el) de 18 n§ (\éllse el ejercicio anterior y el caprtulo 40. donde se defi~n los conceptos de vitla media y periodo de scmidcsintcgración) ¡>aSa por un punlo l' a una \clocidad de 0.995('. i.t\ qué di,tanela más ullt! de P con!\igue llegar dicho haz o.nte~ de que ~6 10 la mitad de lo~ pionc\ ... igan en él'! ( Respllt'jta 54 m.)
I
Un pión (ubrevilllur-.l lle nle~611 pi) es un;ll"U1icula ~ub:1I 0 rllLca
1h
=rT.25hl
=
I
R7
R-8
I
Cep.lulo R RelaUvldad eipedal
R.4
Más sobre barras en movimiento
En 11II'ccci6n 1~ .2 se compnrnbu la longitud de una bnrrn en reposo con In de otra barra ¡déntien que sc mov{n pcrpclld icul nrmcllt c ti s( m i~ lll ll . El rco;,lLltudo era que ti mbas l ongltude~ debfun se,' ¡guules. Pero el procedi miento u ~u do puro rculilur dichu compurueión sólo funciolla si lu vcloc.:iducl de lu burru es perpenclieu ]¡tr 11 su propia longi tud . Ap licuremos ahOnt un procedimiento distinto pura cOlllpllrur In longitud de una burra en reposo con la que tiene al 1ll00'erse con unu veloc idad pnml ela n su propill longi tud. LII fig uru R.7 mueStra un reloj de luz en su sistema de referencia propio. Este reloj completu un tictac cadn vez que el flash de luz se refleja en el espejo de la izquierda. En su sistelllu de refc rencin propio, la longilUd del reloj es Lo y el intervalo entre un tae y el siguieOle es To= 2 4jc (ecuación R. I). Para determinar la longitud del reloj en un sistema de referencia en el que se mueve hacia la derecha con velocidad 11, consideramos esta secuencia de tres sucesos: Suceso O El fl ash de luz se refleja en el espejo de la izq uierda, !aC. Suceso I El flash de luz se refleja en el espejo de la derecha, tic. Suceso 2 El flash de luz se refleja en el espejo de la izquierda, taco En la fi gura R.? se muestran las posiciones del reloj en los tres instantes de tiempo correspondientes a los tres sucesos y en el sistema de referencia en el que el reloj se mueve con velocidad v hacia la derecha. (para poder visual izarlo si n solapamiento, el re loj se ha dibujado más abajo para los instantes posteriores.) En este sistema de referencia, los sucesos O, I Y2 ocurren en los instantes 1'0' t' I Yr' 2, respectivamente. Entre los sucesos Oy 1. el reloj se mueve una distancia -10) y el flash de luz una di stancia c( r; -10)' Por lo tanto.
ver;
c(,; - 'o)
= L + 11(1; -10)
(R.4)
Figura Rol
EnlIe los sucesos O y 2, el reloj se mueve una distancia tancia e (lí - ,;). Por lo tanto,
V(1
2-
1;) yel fl ash de luz una dis-
(R.S)
Despejando ,; en la ecuación R.4, sustituyendo este resulmdo en la ecuación R.5 y despejando l:Í - I Óse obtiene
2L1c
(R.6)
El intervalo temporal '2- I Ó está relacionado con el intervalo temporal sucesos l y 2 (ecuación R.3) por
12 - fO
entre los (R. 7)
f - - - - - - C { l j - I ó) - - - - - -
>---- 1.- --+1-,· ...,-,,)----1
,.o /i -
------
Figura R.S La figura muestra, en tres ¡nSlnmes
sucesivos. un reloj de luz que se mue\'e hacia la derecha con velocidad \'.
--------,
_.- _.
_.
-- ----
R.S
I~
•
R~IOI~) le janos y simultaneidad
I
R9
(lI.K)
'"
lsutllalldo lo, tél millo>: dl'! n d~rcdHl dc In .. Cl:uadnnc .. R.6 y R.8 YdC'ipcjaudo L, oblcncmo.l> I = I
".[i
(R.9) CONTRACCiÓN DE lONGITUDES
Se ha llegado a este resultudo sin hacer referencia alguna ti las propiedades de la barra, Así pues. la ecuación R.9 relleja la nuturaleza del espacio y del tiempo, y no la naturaleza de las bamlS.
R.5 Relojes lejanos y simultaneidad Hemos establecido !reS nonnas de utilidad: (1) que la longitud de una barra que se mueve perpendiculm1l1Cme a sí misma coincide con su longitud en reposo; (2) que el tiempo T entre tae y tae de un reloj en movimiento es mayor que el tiempo ro entre tae tae del mismo reloj visto por un observador que se mueve con él. ¡¡ saber. T = T o/ I - ()l2/c 2); y (3) que la longitud L de una barra que se mueve aralelamente a sí misma es menor que su longitud en reposo 4" a saber, L = Lo 1 - (¡,2/e 2). Pero para poder analizar los sucesos desde la perspectiva de observadores en sistemas de referencia que se mueven a diferentes velocidades, necesitamos una relación más. la que se refiere a lo que marcan relojes ubicados en disti ntos pUnlOS del espacio. Los relojes A y B (fi gura R.9a) se hallan ambos en reposo en un sistema de referencia. En este sistema de referencia. la distancia entre relojes es Lo. Para sincronizar estos relojes disponemos de una lámpara de ftashes en el reloj A y una pelícu la fotosensible en el B. Programamos el reloj A para que emita un Oash cuando su segundero pase por el cero. Igual que en el caso del reloj convencional de la sección R.3, el segundero del reloj B es una rendija estrecha y radial practicada en un disco opaco y giratorio. Detrás del mismo hay la película fotosensible. Al llegar el flash al reloj B. se impresiona la estrecha área de la película que está detrás de la rendija. Queda asf registrado de manera duradera lo que marca el reloj B cuando le. llega el nash. Llamemos ' I a este instante de tiempo. En el sistema en reposo de am bos relojes. la luz tarda un tiempo Ltlc en propagarse desde el reloj A al B. por 10 lanlO. cuando la luz llega al reloj S, el reloj A marca 4jc y el reloj B marca t i' Para sincronizar los dos relojes, atrasamos el reloj A en 111 = ti - 4jc.
(a)
,.
,.
1-
··•,Í\,,• ,· , .,,-:./
"
1----
Figura R.9 (a) Sincroni/oci6n de do!> reloJc!. en cl !>i!;lcma de referenci a en que se hallan cn ~poso.
(pI
Ih) ¿EsWllos relojes tumbién sincroni! wlos en un $i~ma de referencia en el que K' mueven con v~ locidad \. paralela a la línea que 105 une',
R-10
I
Capitulo R Re lativtdad esp ecial
que tenelllOS los I'elllj e.. <,: inc rt1ll inldo"i en .. u .. ¡"tCI11U en rcpo,o (r, it,tc nm 1). VtllllO<': a averi gua! .. i lHlnhién c:-.l:'i n SlIlcroni / udo ... en un ... ¡"tema de referenc ia (\I",emU 2) en el que IU¡" ldojc¡"!le IlllleVCII COI! vc loddud \' pllrul ~ 1 1I iI 111 líncn que tes une. como <;c mue"" ra en la figurn (R.9h). Rcprugnunurtlu¡.. el reloj A pura que c mitn un tla"h almorcnr cero. Estos du¡.. ¡.. ucc.."os (el reloj A I1lnrea cero y se di <,:paru el 111I'ih) s()n coi ncidcncia .. c..... pacio-tcmporulc .. y ~ ubc rn o:-.. ¡me:... que ocurren simultáncmlle ntc t.:n c ualquie r ¡..isteFllll de rc rere nciu. También SOIl co incidencias c!",paciowtt.:mpurnlc:.. la lleguda de la hl! al reloj B y que este reloj marque I..J<:. con lo t']ue estos sucesos serán simu ltáneos en c ualqu ie r sistcmu de rc rel'cnciél. En el sistema 2, la di stancia L entre los relojes viene dmla por Unu
VCI
y el reloj B se diri ge hac ia el nash. En este sistema, la luz que va del reloj A al B recorre una distancia L - vI , en donde I es el tie mpo que tarda en recorrerla. El tiempo 1, la di stancia L y
la velocidad
\1
están relacionados por el
= L - vI
Despejando el tiempo, se obtiene 1 = L/( e + v) . Los relojes móviles van más despacio, por lo tanto, el tie mpo que éstos indican que ha pasado no es L/( e + v) sino
L J I _ (v'le')
e+v
Lo (e + I')(e - v)
c +V
c2
-
--
Así pues. cuando la luz llega al reloj B. éste marca 4!e y el reloj A marca 4Jc lo tanlO. en el sistema 2 el reloj B va adelantado respecto al reloj A e n 1'4/(.:":
v4/2.
Por
Si dos relojes se han sincronizado en su sistema en reposo. en un sistema en el que se mueven con velocidad \1 paralela a la Hnea que los une. el reloj trasero va adel antado en un tiempo v4Jc2 respecto al reloj que va por detante. RELATIVIDAD DE LA SIMULTANEIDAD
En este caso. 1-fJ es la distancia entre relojes en su sistemo en reposo. También es verdad que si dos relojes se han si ncronizado en su sistema en reposo. están igualmente sincroni/.ados en cualqui er !>istcma t']tte se mueva con velocidad v perpendicul ar a la línea que los une. (POI' la simple razón de que no puede establecerse un criterio para decidir qué reloj va por delante.)
R.6 Aplicación de las reglas
EIEMPlO R.2
I
Un tren en un túnel
Un lren ullrarrápldo eslá al punlo de entrar en un t¡jncl que atraviesa un monle. La 10nlfUud propia dcll¡jnel es de 1,2 km. La IOflJ!:lIud deliren en el sblema de rererenda del monle es también de 1,2 km pero su 10n~llud propia e$ de 2,0 km. F.I reloj A esl' ftJo rn l. boca de entrada del l¡jnel y el reloj B lo en la boca de salida. En el 'il,aema de ref'erenda del monle ambos relojes marcan las cero hora'i cuando la parte drlanlera deliren enlra en el túnel. (a ) ¡': n el8l'iw lema de rererencla del monle. ¿a qué velocldad rlaja el tren, qué marcan kJs relojes en ellostanle en el que la pIIrte delantera deliren sale drl túnel (figura K.IOa)? (b) En eI ....rma de rerenncla del tren. ¿cu4I es la Ionaltud del túnel. qué marcan 105 dos ftloJes en el" 'ante ea el que la parte delantera del trtn entn m el túnel (ftpn K.IOb)' q_ marcan los dos relojes en ell....anlf' en el que 111 parte del'nlera del "en ah' delllial? (e ) Para UD pi 'J: LO del bm. ¿cuAnto tarda la parte del.nten del tren en ¡«Vi LN el túnel?
es"
R.6
Apli(~cl6n de las re91~j
,a)
.'
,
(b )
"
.'
Figura R.10
Planteamiento del problema La velocidad y la longitud del tren cstán relacionadas por la fórmula de la contracción de las longitudes. Algunas de las lecturas de Jos relojes desde ambos sistema de referencia pueden igualarse, yn que son pares de sucesos que fonnan coincidencias espacio-temporales. Las otras lecturas pueden relacionarse a través de la relatividad de la simultaneidad. (a) l . Usando la fórmula de la contracción de las longitudes. despejemos la velocidad del tren:
L = L,JI - (.,'Ie') 1.2 km = 2.0 kmJr.I-:(~"'"'IC" ," ")
por lo tanto l'
2. La longitud del túnel es Sil longitud propiu y los relojcs. inmóviles. no lllrasan. Ambos relojes marcan el tieml>O I que tardn la parte delantera del tren en recorrer ellúnel :
= O.Se = 0.8( 3,00 x 108 mIs)
L!urd. o
=
\' 1
por lo lanlO t
=
¿t6acIO
. =
l'
3. Los dos relojes eSlán sincronizndo!>. usf pue..¡. cuando In pune delalllera deliren sale del túnel ambos lll11rcun 5 J.Ib:
3. Los dos reloj~. ton el reloj B por detrás. 'oC: mueven hacia el tren. por lo que el reloj B irá adelantado en \'41~ f'C!>))CCto al reloj A. Al entrar el tren en el túnel. el relOj A man:a cer() y el reloj B
marca \'L,le2:
1.2 x IO' "-... = 5 X I D-f> S = 5Jll> 2.-1-x 10 mIs ~=",
LcClUrtI del reloj A
= Lecturu del reloj B =15J.lS I
= L,urtel.oJ l _ (¡.l,.2)
(b) 1. En este sistema de rdcrcncia. el IOOIIIC se mueve a 0.8•. Usando la fórmuln de la conlTUcción de 111 ~ longilUdcs. dc!>pcjalllos la longitud del túnel: 2. La cntr:ldn de la pane delanlera del tren en el túnel y que: el reloj A marque cero !oon coincidencias espacio-tcmporale .. :
=12,4 x lOS mis I
=:
1.2km J I -0.8 1
IEIreloj A marca cero I C'•
=
O.8 ('L....... o
c'
=
=:
1.2 km 1-
=lo.72 .. m O.8L....1.0
,. 0.8(1.2 x 10' m) 3.0 x 10· mis l.caura del reloj B z13.2PS
" = 32 • ,."
I
(O 8r)l
~.2
- 120 ml
I
R 11
R·12
I
apít ulo R Relatividad e'pedal
4, Ul \ahJll del nlncl de ltl 1'a!1C ddlHltCl1I dclln'n y qlle el rdllJ I:J
LcetUl11tlcl rcl(ll
Ij
marque ~J1s !illn \:lllllddem.:ia .. c'paclo·u:m¡'M.\nltc, _ l _cetl1ru del rcltlj B
,""1 lo que ~,I re loj A 1I1I1(\.'U1I1 ulIli\.'IlII"" mt~rillr ell \ '4/t-~ al
S. Fl 1\'II1J B \;11'11.'1
Jctrtl~ .
(c.) P,lnl un oh!>cl'\'ador en el si¡.h.' IIl:l de rcfcrend u dd tren. el 1lI01llt' dC!lpl:ua 11 0,8e ~ In IQIl1!.lIud dd Hlnd e~ de 720 m:
:t2 JI'
\' 1-I~""I. fI
e'
.,,12.6 JI" 1
~c
por I
=
lo Hu1l0 L"i DCI
"
L,,¡I\tL
0.8.
=
720 m 2.4 x 10' mIs
Observaciones En el ¡;istenm de referencia del mOnte. lus longitudes del tren y del tl1nct ~on nmb:Ls de 1.2 km. En el siSh!mll de referencin del tren, la longitud del tren es de 2.0 km y la longitud del nínel de 720 m. En el sistema de referencia del monte, cuando ambos relojes mnrcun 5 Jis e1u\!n se hnl1ll por completo dentro del tl1nel. En el sistema de referencia de l tren, el tren es más largo que el túnel y, por lo 1111110, en ningún instante el tren está por eomplcto dentro del túnel. Ejercicio El suceso 1 es lB enlmda de In cabecera deliren en el túnel y el suceso 2 es lBsalida de la cabeecm del tren del túnel. (a) ¿En qué sistema de referencia estos dos sucesos ocurren en el mismo sitio? (b) ¿Cuál es el inlervalo de tiempo propio entre los sucesos 1 y 2? (Respuestas (a) En el sis· temn de referencia delIren. ya que ambos sucesos ocurren en su parte delantera. (b) 3 Jis.)
EXPLORANDO Se enco/Uraráll archivos PDF de (los ejemplos prácticos acerca de la paradoja (le los gemelos ell
www.whfreeman.comJtipler5e.
A menudo conviene ex presar las medidas de grandes distancias en años-l uz. siendo un año-luz la distancia recorrida por un móvil al viajar durante un año a la velocidad de la luz, Esto es,
laño-luz = 1 e . año en donde l e· año = e ( 1 año). Esta notación es part icu lannente útil cuando las distancias deban dividirse por velocidades, Por ejemplo, el tiempo T que una particula que viaja a v = O, le tarda en recorrer una distancia de L = 25 años-luz es
T = L - _ 25e· año - 250 años v 0. 1e pudiéndose eliminar e. Ejercicio En el sistema de referencia de la Tierra, la luz necesita 8 minutos para llegar desde el Sol a la Tierra, por lo que la distancia entre Tierra y Sol es de 8 mi n-luz, ¿Cuántos minutos tardará una partícula que viaja a v = 0.1 e en ir desde el Sol a la Tierra? (Respuesta (8e · min)/(O. Ie) = (0,8 min)/O.I = 80 min .)
R.7 Momento, masa y energía relativistas Momento y masa Al igual que en rísica clásica. el momelllo y la energía también se conservan en relatividad especial. Sin embargo. hay diferencias que cabe tener en cuenta. El momento de una partícula que se mueve a velocid .. d l ' viene d..do por
p =
JI- (,,'/e')
(R.IO)
MOMENTO RElATMSTA
en donde m e.\ la masa de I veces. la ecuación R.IO se escribe p = mrv; se llama masa relativi sta n "'r = En el sistema de referencia donde la partícula está en reposo. \' = O y la masa relativista es igual a",. (Esta masa m es llamada a veces mOlOa en reposo para distinguirla de la masa relativista.) Masa y momentO relativista.. se estudiarán más ampliamente en el capftulo 37.
R.7 Momento, mas. y energlll rel. ttvtsta,
I
R 1J
Energra ncto l l lll' m.'ttiu \o brt' tl nu dc I.'Hmbi n dcll1\\lIllt'1110 dl' In purt rc ultl con clucmpo. ('oncrctu
tn lllC\:,\mt:a I'('I:ltl \ ¡,t¡I, al is,ua l lJuc CII lllt'dl1\t.'U d l\
panh:uhl e, , ~uul al
rttlll\\
IIlt' I\ It') 1'31'01 111\)\ i I1\I C l\h\ ~ Ullld l ll1 t' rt ~ i llI1UIc~, tCIICJllO\
(R. I I)
QUCI'\!IlI()'" hallar unll c:-.prt' ... iOIl pum la cnergfu ci nética. Pnm ello, multipl icare mo!o; nmbos nUembl'l.IS dI..' la Cl' U!u.:it~n R, I I por el tlcsplnzan li enlo d,l', Nos da ;' . _ dp I nel Q d~ - - / d s
(R. 12)
"
en donde ide ntificamos el primer miembro C0 l110 el trabajo y el segundo como el cambio en In energía cinética dEc' Sustitu yendo ds por ¡I dI en el segundo miembro. llegamos a
ti" -v dI = v dp dI
Integrando ambos miembros, obtenemos Ec =
J dp
(R. 13)
\1
Esta integral se calcu la en el capítulo 37. Su resultado es 2 me 2 Ec = - me J I - (,,'le')
(R.1 4)
,
Defini endo la energía relativista total E mediante 7c=,~";e';7",, se llega a J I - (,,' le') (R. 15)
en donde me?, llamada energía en reposo Eo, es la energía que la partícula posee cuando eslá en reposo, Mull iplicando ambos miembros de la ecuación R. IO por e y dividiendo después la ecuación resultante por la ecuac ión R. 15, obtenemos v _ pe
-e - -E
(R. 16)
que puede ser útil al imentar despejar la velocidad 1' , El imin ando \' entre las ecuaciones R. IO Y R.16 Y despejando E2 (véase el problema R.4I) resulta (R. 17)
Esla relación entre masa 111 y energía E se estudiará en la sección 3 del cupílulo 7.
Resu'Jlen OBSERVACIONES y f.CUACIONU ItElEVANTlS
TEMA
1. Postulados de la relatividad especial Postulado 1: Principio dI! relatividad
lmpo"lhlc di\Cnar un cxperlmcnlO que c~lab lczca si uno está en re poso o moviéndose uniformemente, entendiendo que mn\ el'\C: uDlfonmmente <;. lgDltica movef'iC a velocidad con ~tanle respecto a un ~hlema de rdert'nda iDffCial
Po...tulado 11
Lo \ eloc\(jad de La lul. e.. mdependiente de la ..cloddad de ..u foco emi\Or.
Constancia de la \C:loddad M la
IUl
E.~
Como conKlo,;uencJa, la \eloculad de la luz 6 l. mwna respecto a cualquier silleml. de rer~ncia ~i&l.
I
R- l",
Capftulo R Relatividad
~!pedat
2. Barras en nlovllllitlnlo
L¡I hmgiwd dI! unu hurru que , e IIIlICVC ¡lCrllcnJ it:ul nn nt l1le u ~ f mi ~ rnll es igulIl 11 <;u longitud propia Lu I\Hlgilod t de unfl barrn que se mueve Imro lchuntnlc 11 ,,( nll ~mll C(lU velocidlld l' es má<; corta (loe su longlIUd pl'OlJio / 11 de nCllerdo con 111 t:~ UHd 6 n
"' Ji ("'le'' )
I • I
(R.9)
3. Relojes en movimiento DiIHI:ldón 1o•.' IlIIXH"lll
El tiellll>O Tque lardn en complelar unlictac un reloj <¡uc se mueve 11 vclocidnd propio To que tnrd¡¡ en COIl1I)lctllrlo el mislllo reloj de acuerdo con
l'
es más largo que el tiempo
T,
T = Rclat¡"i(l:Id de 1:1simuluUlcidad
~Jr"~('~'IT',T,,)
(R.3)
Si sincronizamos dos relojes en su sistema en reposo. en un sistem¡1 en el que se mueven con velocidad l' p3rlllcla:l la Hnea que une ambos relojc.<;, el reloj de atrás VlI adelantado en I'LtIil respecto al reloj dd nntcro, siendo 4l lu diSlilflcia entre relojes en su sistema en reposo. Si dos relojes está n sincroni1.lldos en su sistema en reposo, lo están t3 mbién en Olro sistc nm en cl que se mueven a velocidad l' pcr¡lCndicu!ar 11 la Ifnea que une los relojes.
4. Coincidencias espacio· temporales
Si dos sucesos ocurren en el mismo instllnte y en el mismo sitio en un sistema de referencia. también ocurren los dos en el mismo instante y en el mismo sitio en cunlquier siste ma de referencia.
5. Momento, ma sa y energía Momento
El momentO de una partícula viene dado por ( R. 10)
M3S3 y energía
La energía relativista lotal de una pan ícula es igual a su energí3 en reposo más su energfl1 cinética.
E=
E< +m c~
(R.15)
donde mil es la energín en reposo E& Momento y energra
m
-,
(R.16, R. l 7)
y
ProblellJos
• •• •••
• I
i
SS M
./
Concepto simple. un solo paso. relati vamente ráci l. Ni vel intermedio. puede exig ir síntesis de conceplos. Desn fiante. para alu mnos avan7.aclos. La solución se encuentra cn el S/udellf Solll1i(J/I.f Matlllal, Problcmas que pueden encontmrsc en e l servicio iSOLVE de tarcas para cm.a. Estos. problemas del servicio "Checkpoint" son problcmns de control. que impulsan a los estud iantes. fl descri bir cómo se llega a In respue:-.la y ¡¡ indicar su nivel de confiatll.u.
----
En algunos problemas se (/011 más dalos de Jos realmente necesarios; en otros pocos. debe" l'Xlr(lerse a/gllllos dmos (1 partir de conocimientos gellerales, f!lentes exlema.' · o eslimac:hmes I6gicas.
Problemas conceptuales
2 • SSM S. el suC(:~ A oculTe ante» que el :-.uceso B en un S l ~' tellla de n: fe rt:ncin. ¿es po~ ihle que e¡¡;istll un ~iMe lllll de refere ncia en el que el SUCCl.O n ocurrn antcs que el A ?
Se cn&ucntm Ud. parndo en una e..quinn frenle 11 la cual pa~ un nmigo en automóvil. Tanto Ud, COrnQ ~u :mugo llevan n:IOjb de pul..era. Lm dos anOlan en qué in!o.tllnl~ el aUlomo\ il p3."lI por dos crure.~ di~l1nlO
3 • \Jo!. wcesos son simultáneos en un s i ~tellla en el que además (j(,'W1'Cn en el mi.<;nlo punto del C$fXlCio. ¿Son ~lmululnoo6. en CI.llUqwer ~i.<.tcma de n:fermcla?
1
•
.. •• Do~ ob~n' adore., Inercial e.~ se hallan en movimicnlO rclllli\"O. ¡,hn que clrcunstanda, podrán estar de a~:ucrdo 'iObre la ~ Imuhanetdad de di... q~ dl~tlntos ?
I il '"nl,1 nlt'fha ¡k' un hM lit.- r.Ul1rul,t. In\ll'H~1I1I jo!hUl WhM;lllud 1" (k 7,,0; . 10- ~ Su "'lIla n~h;l\ I 1 \' I If'~' l', 01'1,11 - lO . <, j 1\ que "l'h" ,,¡ad ,.' IImcwn 10'11 riot"lC"!ltk" 1'\;1/ ' 16
•
•
\\M
l .. l l':ml qU!l dlh ~u<.:e'(I' puedun 'l'r UIlU cl)tneldencia CSlwl'icHellll)orul, dehen I"'-'m'rir en el mi,tll\) ~ iti l). 'uce'll~ nn ")11 ,i1l1llIlünco, en un ~ i ,cclL1:L de refercnciu, no pUl'dcn
,,'r ,imult"neo.\ en ninglin olro , i,temu de rc rcrenciu,
Aproximaciones y estimaciones 7 •• Los :;'1hjliH!~ usmlo~ en el Sbtcma de PO!>icionamcnto Global (GPSl IIc\nn a bordo relojes cxtrcnM!amcnle preciros. De ll(.'cho, el ~islcmu de posicionamiento ~ tan preciso que hay que tener en cuentu la dilatación tempornl relativista de c~t~ relojes respecto a los de 10.~ observadores terrestres, Dar una eslimaci6n del factor de dillllaci6n temporal de los relojes de los !;¡Jlélifes respecto a los terrestres si se toma 26000 km como radio medio de las 6rbitas de los salélite es GPS,
8
te. n I ,¡j ('(1111111.1 , de O,K. I'lIntll'lu U In ptnPll1 rt'!f IU (11) SI rnuk "d MI lon~ltud. ,(III~ hullmü'/l/l) I'.('U,IIIIO IIt'lIIf'1ulUrdu In TI'ylnen r.l~ilr tn'nI~' a (Jd-' 17
111\ I a \\'h":h.lu~llk 1.1 hll 1." In IlII,mlll'n h>J\" II'~ '1'.¡emll' de n'Icn.·nl'úl t") H 111'1111'1.1 )1t\>l'll' \" ('1 tntn\ ulll dl' IL L'1t1 pll 111,1" n \ltll L'nt n.' di!~ ' U~'I.''-O, Id PI'\(km,\~ ,!t't"f1l11IUU un 1110\ tmil'Uh ) IIh,,)lul\l ¡lO! IIwdl\l oc let e(lII!fan:llin ~II,' lf\ntlltudL''' (./1 El .11\1\· htl 1" unn unidad de dl,1(Itl~'in
Vl SI do,
•
•• Suele alin11llrse que hacer ejercicio montando en bicicleta alargará
nuestra<; vidas, Desde el punto de vista de In relatividad. esto es ciertamen!l.! verd:ld, Dar una estimaci6n del factor en que se nos nlargará In vida]Xlr dilatuci6n relativiSHl del tiempo si montar en bici c.~ pm'te rcgullU' de nueslros ejercicios. Hacer las suposicionc..~ razonables que sea necesario, especilicándolas, obviamente, en la respuesta.
•
I h1ll1Cj.!lu tll' 110 II1Ctftl W muc'l/e h'''Il\'1
• BIIlt'II(ldt1 <11' ~CI1J1{Ir\lII t('!!nld(1JI de url¡l~ p•• nit'u)a, \uhrmdc,te" t:urPllda .. 1I :lInud ll~ piotlc~ en \U .. 1<.Il'III
el ,¡,temu en n.!IK1~U dc 10\ ritme,. \. h,IY N "i!llle"'1 I - (J, quedaran t¡(,latTll'nlc NI2 ¡)¡(llle":1 1,-- I,S)( 10 ~ \', Un ncclemutlr produce pinrll'lI (Iue sakn,¡ IIn;.
vcloddud dc O,991k. ¡,A qué dtstlmci •• dcl m:clcrudor IIc!:l;tr<Ín e~til~ parltlul;l~ anles de CllIC .'e hllylm de\inlcgr.,do lit mitltd de eH!!','
19 •• f Su IlInigo. que ticne la mi~ma lxlnd qu.: l :1.1" "IiIJ;' hacil'l la estrellu Alfa Centauri, C! encuentra a 4 años-IU/, y n.:gre..a inlllC'{hatótmenle, Le dice {llle "'u viaje ha dunldo 6 año~,I,A qué \'elcx:idad h;1 viajado',' 20 •• SSM Dm naves c~paciale~ ~e cnu.un en direcdonc .. oflues;.u. Unu pll~:IjCru de la orIVe A. que S,1be que su nave mide 100 m de largo. Ilhsc ...... a que Iu llave B ~e mueve a una velocidad de 0,2(' rcl(lli\'a a t\ y que la lon¡¡.itul.l cf¡, B es de 36 111. ¿Cuáles son las longitudes de ];1\ dos nuve" medida- por h pu:;a. jeros de la nave 8 1 21 •• 1..01, rcaelOre.... upers6nicol, Ukan/lln \ieloc¡d.1dc.~ mhjma~ ce,,,!" nas a 3 x 10-6('. (a) ¿En qué porcentaje se contrae la longitud ~ un ~actor se mueve a esta velocidad', (b) Si para Ud, (en tierro) p.t,a laño 3,15:.< ¿cuánto se habrá atrasado el reloj del piloto re,.pecto al ~uyo1 (ll!n, .'-.c:" ~' " ci6n de la Tierro,)
Relatividad de la simultaneidad
.1
9 •• SSM j En 1975, un avión que llevaba un reloj atómico a bordo voló du ran te 15 h en un truyecto de ida y \'uelta a 140 mIs corno parte de un experimento de di latación temporal. El tiempo de este rcloj se comparó con el de otro reloj at6mico que hahf:l pcnnanccido en tierra. ¡,Qué retmso acumul6 el reloj volador respecto al reloj que qued6 en tierra'! (lgn6rc.~c la rotnci6n diurna de 111 Tierra,)
Contracción de longitudes y dilatación de tiempos 10 • i .1 La vidll media propia de una, panícula ~uhnuclearcs llamada., pione.~ es de 2,6 x 10-11 s, Un ha/. de piones va :l vclocid:u l 0.85.: respecto a un laboratorio, (11) ¿Cuál scria lu vida media que mcdiríamos desde el Illoorntorio? (b) ¡,A qué dis tancia llegarán. en promedio, nntc.... de (Jc.,inlcgr:lf".C'! k) ¿Cuál seria la respue~l!I al apanado (/1) si ignori'immos 1:1 di latación tcmpoml?
l.o,~ prohfe/l/a.~ qm> ,'mi del
22 a/ 26 u
lu siguil"ru.·riwu..1"": . ,
,,,,,,,d,)
t/t'jil/ilL'l'fIlllt'l1Ie, EII'lI1i.wr dI' j lushl'J ,\1' dÜ{lur(1 jUflll "{¡/(llar ,,//tu!.. dl'i "'/"1 C. (/IU'.It' /1011(' inflll'dillU/fIU'f/1(, 1'1/ I/Iarc:ha di/unir dI' CI'I1'>,
,
\' "" {I,Óf'
11 • I (tll En el ~istetl1 u de refercncin del pión del pml;llelllu lO, ¡,qué di, tuneia rel"Orre d lubomtorio durante un:'ltipieiL vid:'! media de 2,6 x 10 ~ s'! (h) ¡,('uánto v:Lle e.qa di\IUncin cn d ~i~ temlt dellnborntorio?
,
"
•
•
• SSM 12 .1 LI \'1<1n mccJill propta de una 1),1n iculn \ uh· nucleur IlBmJdu muón es de 211" l.o~ mUllne~ de un hM '1' mueven ¡I \lnn \eln· eidnd de O,91)')¡- rc~pech';1 llll lallVfntorio, (ti) i.l'ut¡1 ,eflil In \'itla mcdla que me.didnmo, dc ~dt! el Inhoratorill" (b) j." qué di'lut1ciH IIq!ilran, en pn,medlO, :lIItc' de dc\1rltcgrn/'\C'I
I
'
M
,
Maricl
•
t.n el 'l~feLll:t de rclcrcnda tlcl rnu(ln del pnlhkm:1 12, ¡,
(1
In/hoja é'II ulla gran platafimllo espacia!. Sitúa d rdllj A m d plinto A reloj I! ('/1 el Jml110 I!, que (Ji.I'W 100 minllto.r·/u:; d.. A rfi.1?IIT'tJ R.l I 1, 'Iitmb" sillÍa 11/1 (,/l/isor de jfmhe.f el! ~/ pum" meclio nitre A \"8. Jama/. qut' In/haja rr; o/ro plawfon1la, ('.wf junw a/ reloj C. Coda mIO elt- 1"\1"\ rr/ll}l ~ I",f/a I/um:mu/o cero. pero se !lo/ll/ni inml'diaftlnwlltl" en IIIllrdw al I/r-garlr- 1'/ J/II.\/I. UI p/awfonlw e/(' Mad(1 JI' //L/u'l'e CO/1 1'1'/(1(';el(/d 0.6.. r,'s/~d,J a 111 .Ir J.urwL Con rl P(l.f() de 1tll'ItIltlfonllU de .\furía, ~I r('/tI) B, lu('.J?o ('1 I'/rlúor
•
13
r~jit!rfll
I
(a)
l' "'
il
14 • l/u ~Ido Ud, dc,tin;ldu a rci:u[;trd cr.dÍL"1.l en UIIlI remo!;1 región del e'padu, I!n..:t;t el hrull de un;1 jom;¡d;t tr.lIlqmhL p;t...t un.t na ve' c"JliKtal ~ nudc 1:d, \U Inngi1Uu nk.:t/inntc un ap:ir.ltll li.....r qul.' le iO(h(·,1 Il.'\ m .\!lre r.tptd.llncnlc ~u eauUogo e idcuU!IClll;1 navo! como una ("('CN\ -2.:!, que' IICOl' una lon}!lUkl pn1l11¡1 de HlO m, 1.·. 11 'o" P¡IfIC tl'ktünl<:o, ; qué \ elo..' K1dd dct-cr.i ;tlrihuir;¡ C"ot;t nave'
lS • SSM l 1na na\t:' c,pa.cllll \ lill11 de ....tr la Tlcrra ha..:m una c"I~lht que ('~I:i;1 tJS ,U'lo--·hll 11 la \cl\k:ldad de 2,.:! )( II~' nv, (,('Uilnlt'la/\14 rn o1kan· l;trllll<') ,i 11) medinl\\~ Ile-..dc 1;1 rl('rrJ ~ Inl '1 «ll1\tJc un p.lo,.ll('m tic /d n3\'C,'.'
Figura R.11 22
•
~ún Jamal. (ti) (.lJUt:' di'tarK'ia ha) enll\' el etnlMlI' de'
SSM
ft~ ~ el ~\oJ A". \1"1 ('.que dl'>lllOC1.11
th' ;.que! dl\l,81ll."I. rn:t.~ el n....ta h.....l.ll a1cant.ard reluj A·' ) le el ~IoJ A mtrnlnl\ el 114.\h 'iC.' dtn~ hacIa tbchu reloj"
10;,.
R. 16
I
Capítulo R Relatividad elPeclal
•• Scg\ln Jnmul. ,:.... utlnto tiempo tanln el n n~ h cn Ilc¡.1nr hn~1U el reloj A. ) qué marca el relol e cIIRru.lo el tlnsh llega ull'CloJ A? 23
Compruébc~~
4uc C\Hllhj" el fl ash ulcmwr ni reloj U. el cuul lI1Cjll del reloj e" 0.6c de \'do.:idlltl, e~ t c reloj e nUII'Cn 100 mln , 24
••
~c
2S •• Seglin Jnnllll, ellll\" 1;\ lIegndn dellht$h ni reloj A y 111 Ilcgndll ni reloj U de 10$ prohlemtl~ 23 > 2.(, el reloj e pn~l\ de mlU'CHI' 25 min 11 murenr 100 mino Siemllre ~c~l1n JlIl11nl. ¿.:.m'lnto t[Cml)\) lUlbrrt p:lsltdo en el re loj A uurmllc este ¡ntef\'ldo de 75 min? 26 •• SSM El ticlIIl)O que ha pasado en el reloj A det problema 25 indien 1:\ distancia 11 hl que el reloj 13 VII por delante del reloj A seg,in Jumu!. Comp..'\mr este resultado con l'4fCl. donde \':; O,OC,
s rn clrréticn. SUgCrHll0S {Iue lu cncrgfu 'le e~prc~ en MeV y la velocuJad en la f"rUl U ndh llel1~;(l!U\ 1 \'/c. Ded ucir lu ecuucl6n /:." = fl lct + m '('1 (C<:tHlci(m R.17, eliminando l ' de l u~ ecuncioncs R. IOY R.16. 37
••
38 •• Usar el de.\urmllo dcl binomio y lu ecuaci6n R.17 para m~trar (Iue CUH11llo pe « m e?, In energfll tOUII viene dudn uproltlmadumente por é '" /l/ el + p l /(2m) , 39 •• (a) Mostmr li m y ener· gfu IOlal E es
~ =
e
[1_(flle'Fj'" E'
27 •• En el sistema de referencia inen;:ial S, el suceso B OCUrTe 2 JIS después y n 1,5 km de distancia dd suceso A. ¿A qué vclocidud, pamlela a tu Ifnea que une ambos sucesos, debe moverse un observador para que dichos sucesos ocurran simultáneamente'? Pllm un observador suficiente mente veloz, ¿podrítl el suceso B ocurrir untes
y que, cuando la energía es mucho mayor que m¿Z, es válida la aproximaci6n
28 •• A lo largo de UM gran platnfonnn plana se ha trazado un eje OX. Un petardo explotu en el punto:el = 480 m de dicho eje y un segundo petardo eltplota S p.s más tnrde en el punto .t2 = 1200 m del mismo cje. En el sistema de referencia de un tren que viaja a 10 largo del eje QX con una velocidad l' relativa a la platafonna. estas dos eltplosiones ocurren en el mismo punto del espacio. ¿Qué intervalo de tiempo scpl.lraoo. dichas explosiones en el sistema de referencia del tren? • 29 • I Gianni y Bcalrilt son dos hermanos gemelos que forman un dúo de jau tocando el trombón y el saxofón. A sus 30 años. Beatrilt recibe una propuesta irresistible para ir a tocar a una eslrellu a 15 años·luz de distancia. Para celebrarlo, compra un nuevo vehfculo pam este viaje. un coupé e.~pac ial delu:u que puede ir a O.99ge. Cada gemelo se compromete a seguir ensayando diligentemente para poder seguir tocando juntos al volver. Sin embargo, Beatrix tiene tunto éxito en su gira que In prolonga hasta un total de 10 años untes de iniciar su regreso alIado de Gianni. Una vez se han reunido, (a) ¿cuántos años ha ensayado Beatrix?: (b) ¿cuántos años ha ensayado Gianni'?
40 •• SSM La energfa en reposo de un protón es de unos 938 MeV. Si su energía es también de 938 MeV, determinar (a) su momento y (h) su veloeidud.
30 •• SSM Al y Ben son hermanos gemelos. El primero viaja a 0.6c hasta Al fa Centauri (que está a 4 años·lu7. de la Tierra, medidos desde el sistema de referencia de la lierra) y regresa inmediatamente. Cuda gemelo envía ni otro una señal de luz cada 0.01 años, medidos en el propio sistema de referenciu. (a) ¿Con qué frecuencia recibe Ser! las señales de Al mientras éste se aleja? (b) ¿Cuánta.~ seriales recibe Ben eon esta frecuencia? (e) ¿Cuántas seña· les recibe Ben en total antCS del regreso de Al'? (e/) ¿Con qué frecuencia recibe Al ias señales de Ben mientrus se están distnnciando? (e) ¿C u ánt a.~ señales eon csta frecuencia recibe Al? fj) ¿Cuántas señales recibe Al en IOtal? (g) ¿Qué gemelo es más joven al fina l del viaje y cuál es entonces su diferenc ia en edlld?
Energla y momento relativistas •
l'
(mc~)l
~",l- 2El'
Hallar la velocidad de un electron de energía cinética (b) 0,5 1 MeVy (e) 10 MeY.
41 •• ¿Qué error porcentual se comete al usar ~ /11\,2 como energía cinética de una partfcula si su velocidad es (a) 0.1 e y (h) 07ge?
Problemas generales 42 • Una nave espacial sale de la lierTa hacia Alfa Centauri, que dista 4 años-luz en el sistema de referenciu de la lierrn. La na\'e \'iaja a 0,75e. ¿Cuánto tarda en llegar ahí según (a) un observador de la lierra y (h) un pasa· jero de la nave? 43 • La energfa total de una pnrtkula es tres veces mayor que su energía en reposo. (a) Hallar l'le de dicha panículn. (h) Mostr..tr que su momento viene dado por p = ./Sme. •
44 •• 1 Una partícula subnuclear llamada muón tiene una vida medill de '2 Jis en su sistema de referencia en reposo. Si se mide que la vida media de unos muones que snlen de un reactor nuclear es de .(6 l'S, ¿a qué \'elocidad viajan? 4S •• SSM La ma.'>!I en reposo del ncutrino (una partkula "fantasma" de In fisica) se SIlbe que es muy pt:queri n pero no ~ ha medido todn\'fu. En la I!ltplosión de unn estrella supernoYll, se producen a 111 \'CZ luz. y neutrinos ultrnencrgélicos, Con ello, es posible medir la masa del ncutrino a trnvé$ de la diferencio entre los tiempos de llegada de la IU7 )' de los neu u; no~ a l:tliemt. Si la explosión se prod uee a 100000 años·lu7 de la lierrn y lu energfa de los neuu;nos es de 100 ~·l eV. calcular la masa en reposo de dichos ncutrinos pum que su lIe!luda a la lierm se produ7.cn más tnnie que la de la lu7 en (a) I min, (h) I s Y(c) O.OI :..
31 • I Dctemlinar lu rul.6n entre In cnergfa total y lu energfa en reposo de una partrculu de masa en reposo m que se mue\-'e con velocidad (a) O, le, (h) 0,51.'. (e) O.8e 'i (e/) 0.991.',
46 • i ,¡ ¿A qué ve locidad parulelu n su longitud y rclutiva a Ud. debe pnsur una regla de IIn metro para que al medir Ud, su longilUd encuentre 50 cm'!.
32 • i ,¡ Un protón (cnergfa en reposo. 938 MeV) tiene 1400 MeV de cnergfa lotal. (a) ¿Cuál e~ ~u velociclnd'l (b) ¿Cuál es ~u momelllO?
47 ••• SSM Rafael y Ja yier intentan colocar unn e.<>cnler.¡ de 15 pies de longitud cn un cobcrtil.o con Sl.'ndru. puCnolO en s u~ extremos a 10 pie~ de di5tancia, Recordando ~u~ clases de fi~ i e a . Rufad propone abrir In puena delantera y que Ja\ jer. cargado con In escalera. corra hacill la puena a gran velocidll.d para que la longl\ud de la eM:nlcra se contraiga hasta Cllber dentro del cobertilO, En el 1I1\tal1le en que la pune poslerior de la escalera cruce la puertll.. Rafoo:! la cerran'i mmedratamcl1lc. la) i.A qué \elocidad mfmma debe eorrer Ja\ Icr con la e~ alcra para que é<:ta quepa por completo en el cOOcniLO? E:o;pre..-.arla como unu fracci6n de la \elocidad de la luz. (b ) Al correr hacia el cobenii:o a 0,866c. Ja\'iC'r 'C da cuc.nta de que, en su propio ¡,istema de referencia. es el cobeni/o y no la e~alera el que <;e ha acortado. ¡,Cuál es la longilud del cobeni/o en e\te ~ i~lema de referencia ~ (e) En el S ¡~l emD de rererenciu de lu e)t'alera, ¿e'(Í!>le algún IMtante en que kx ell;tremos dt- IIa e5Calera es~n simullAneamcnte dentro dc:1 cobenizo? A\'aiguarlo deo,óc el punlo de \ I5ta de la ¡¡,¡multaneidad relativl5t.1.
33 • SSM ¿CuánuI cO!::rgfn \C requerirfn pan¡ aeelerar una panfculll de maSHen reposo m ha ~ta (t/ ) 0.51.', (h) O,Q(' Y(cl 0.99c'! Expresar las ft'-!>pUestus en m t1 1tiplo~ de la encrgfn en !"eJX»O. 34 • Si la energfa cintlictl de una pDnlcula es igual a su energfll en reposo, ¿que! erTQr ~ camele al usar p := mI' como momento? 35
•
¿Cuál ~ la energía total de un protón cuyo momento e~ :lnrc"
36 •• SSM Ufollndo una hllJfI dI' calculn o una calculadora de gráfi· cos, representar gráfi camente la energfa cinética de una panfcula de ma~ m '" 100 MeV/r2 p3ra \'elocidaJe, vdc ODL Re~ntar también ~ '"\~ Ycomparar las do$ curvas. Usando ~ inflas, dar una esumacl6n de li \eJoci/.Yd I par. tlr de II cual la segunda e.'Cpre1oIÓD ya no e.
Acción. fueila de. 1).1 Acción a di ~ tan cia. el problema de la. 87 Ac..:!ernciÓn ejemplOli y dcmOl>traciones de. 26-27.268·270. 318·3 19. 40 l ·402 en el movimiemo amlónico simple. ]96. 397 en función del tiempo. 27 integración y. 35·39 movimiento con aceleración constame. 27·]5 Aceleración angul ur. 248 Acelentción cemrípcta. 68 Aceleración constante movimiento problemas con dos objetos. 3]·35 problemas con un objeto. 28·]2 velocidad en fu nción del tie mpo. 27 visión general. 27·28 Acc1entción de un cohete. componente verticnl. 232 Acelcración instantánea. 25 \·cctor. 57 Acelcración media. 25·26. 60-66 vector. 57 Acelemción tangencial. 68 Acelerador lineal de lu Universidad de Stanford. 32 Ad iltb~t ico. proceso. 539 Afinado de una &uitM....l. 471 Agua dilatación del. 584·585 fabricnción de cubitos de hielo, 557 punto de congelaciÓn. 496 pUllto de congelación normal del. 496 punto de ebullición normal del• .¡96, 523, 588 punto triple del. 49tJ Aire. com prc.~i6n adiabática cUllsie.,tática del. 54 1 Altuvoz, .$.45 intensidud ~o n oru de drn; alla~ oces . 473 ¡nten ~id:1l1 sonol1l de un I1lInvo(, 445...;.lÓ Amperio (A). " Amplitud. '¡J9 dC$Cripción.396 frecuencia independIente de 111. -'00 ll'iC"iluci6n :1I110nlj!:ullda. 41 3. 415 O'iCilación llc un ~ndulo. 410 ,)~ci l ~tciól1 fomuJa . <118 ¡\n!\lhh urmónko.
•
Aristóteles, 2 Aro semicircular, determinación del centro de mUSIli>. 206-207 Arquímedes. principio de. 371·372 Ascensor en movimicllto. ejemplos, 34--35 Átomos (I'éase lambién Átomos de hidr6geno) energíu de rotación del átomo de hidr6geno. 538 masa de, 502·50] Átomos de hidrógeno (I'éase también Átomos) energía de rotación de. 538 masa de. 502·503 At wood. m:1qui na de. 178 Avogadro. número de. 500 Bar. 371 Barra unifonnc. detenninaciÓn dcl centro de masas. 206 Barra.~ de control en un reactor nuclear, 562 Barros en movimiento, y relatividad especial. R, 3-4. R.8·9 Barrems para las ondas difracción. 449-45 I dos cables soldados. 448 reflexión ¡ntem:, tOlnl. 449 reflexión y refracciÓn, 448....w9 Bntidos. 470-471 Beequerel. Amoine, 2 Bemoulli, l..'Cu:Lci6n de, 377·378 Boltzmann con~lnnle de. 500 faClorde.5 12 Bombas de calor. 564·565 ideal,565 B(N)nC).303 Horle, Roben . 500 ley dc. 500 Stu (Briti~h Ihennlll unit). 520 Cnoallo de vapor. [5 ] Calor homba~ de. 56J·5M cAlentamlcnto de un gas ulcal dll1tÓmlco. 535 calentll.nucnto. enrrianl1ento y compro,ión de un. 5:n camhll.) de ('ntmpíll en In ronducci6n de ('!lno parn elc\!lr la lempC'r.. tura. 521 ~nhdll. Il'1iwt\ de un tejado. 5/}4· 5115 Calor c"p«fhco. 521)...52 1 mahlla del. 522 C .tlor e .. pec.:(f1C() ITlQIllr, 521 Calor latcnlc. 523 ) caml'llo de f8~C'. 51J·5lS Calor latC'llIC' de f\l~i~n. 52.1 Calor lalcnLe de \""'J'KlfLl.ación • .'i:!J
Calma. 52<1
1-2 I fndlce "lfabéUco Cllk\n..'O. te\>IÍ~ del. 519 Cllk,,"n~trfa. 'i:.!2 Cllh.wfmclro. ~22 Cam~'ll de la'e • .'12.\ C'~n\p.ln ¡ lht,. ol."lu, c,tAdt}n:l;li l\~, 481-482 ('nml)!.l gmv ¡tut ~,rllJ. 84 dc,cri pdl~n . 326 c~m jllo,)' demOMmc lon~ tic. 326-332 Cnnddn {Cd).·1 Cantidnll de Iltlwimil'lUo ( 1"":",I'f" Momento line;II). 20 1 ('~paddad \'tI.lorifica de ¡;:tt>es. 53 1-535 de sólidos. 535-536 descri pción. 520·521 y t l.'Ol't! l1l~ de L't juipltnid ón. 534, 536-539 Ca\»K'id:Ldes cnlorfficLL'i molafCS de gases. 533 Camot. Sadi. 2 dclo de (n ' (lSt w mbién Ciclo de Camol), 559 mdquimt de ( L'él/si' /(/mbiéll Mtlquina de Carnot), 558-564 ~nd i miento de, 559, 562-564 Caudal. 377 Caverulish. Hcnry. 3 19 Ce l ~ius . escala de temperntum. 4%-497 Centrul eléctrica alimentada por carbón (Nue\lO México). 561 Cent rotl eléctricl\ en Waimkei (Nueva Zelanda), 56 1 Centro de masas de un aro semicircular. 206-207 de una barra unifornle, 206 desuipción.202-203 deternlihación por intcgración. 206-207 ejemplos de, 203-205 energía potencial gravitatoria tic un sistenm y, 205-206 sistema de referencia dcl. 228-229 Cerenkov. radiaciÓn. 456 Charles. Jacqucs. 500 • Choq ue elástico. 2 17 Choq ue inelástico. 1 17 cam bio de entropflLen un. 570 Choque peñ ectamente inelástico. 217 Choques ( "bm~ también Colisiones) cambio de ent ropía en una colisión inelás tica. 570 ejemplos y demostrnciones de. 2 18-220 impulso y fucrLa media. 2 17 Choques el:isticos en tres dimensiones, 226·227 Choques en tres dime nsiones. 226-227 Choques en una dimensión, 217, 220-226 Choques from:lIes. 220-226 Choques protÓn-protón. 228 Ciclo de CtlmOl cumbio de entropfa dura nte el. 570-571 descripción. 559. 560-562 Ciclo de Ouo. 553. 555 Ciencra definición de. 1 di visión en cum¡».; .;,eparndus. 1·2 mc!todo cient[fico, 1 Ciencia de 1:. ITsica. 2 eirrJS significlLl ivllS. 9- 10 Cinemática. 19 Cinemliticu de la rotnción IIcclemciÓn ¡mgular. 24X det>cripc:ión, 247-248 reproductor de CD. 2~ 9 · 250 Ci1ulladum dcfonnACiÓn tk, 352 fuula de. J!l2 módulo de. 352 ten ~ión tk. 352 C lllu ~iu!o. enunciado *1 ~undo princtpeo de I1 lamodn"'nic&. 552 Coeficiente de Conducll\'tdId térmICI. 590 Codlciemc de dilataCión de volumen. 5804 C'oellcumle de dilallCtón liocal. 583-584
Cncfi cicntc de eflcieud a (refrigerador). 556 Cucfl clente dI: ['('~thu c j6n . 226 t'tl()fici cnte tic ro/llt nicnt u. vll l ore~. II I Coeficiente de rQllLrnlelltu cinético. 110 t'ocllciente de rol lLnlicnto c'trtlk u. 110 Coeficiente de rozlIlIl lento por rudnduru. 110 Coeficiente de vio,co\idlltl . 11'2 Cohert:ncil1. 474 fuentes (l u he re n te~ e Incoheren tes. 474 Cohete ILceleradÓn. 232 dCl>pcgue. 232-233 ecuaciÓn del. 232 empuje (fuerlIL de impulsiÓn), 232 propulsión de, 230 Coincitlenci:t espacio-temporul. R.7 Coincidencias. principio de invariancia de, R.7 Colisión ineJásticil. cumbio de cntropfa en una, 570 Colisiones (vé/lse w mbién Choques) cambio de entropra en una colisiÓn inelástica. 570 descri pción. 2 17 en el juego tic! golf. 2 19-220 en una dimensión. 21 7 Colisiones en kárate. 2 18 Colisiones frontales en una di mensión. 223-224 velocidud de aproximación/velocidad de retroceso. 224 elásticas coeficiente de restitución y.226 de neutrones y núcleos. 124-225 ejercicios sobre. 225-226 Colisiones peñectamente indáslicas descri pción. 2 17 en treS dimensiones, 226-227 en una dimensión, 220 Combustión interna. motores de. 553·554 Cometas desplm,: amiento y velocidad de. 20 movimiento de colisión de. 21 7 Compre.~ibj l idad. 367 módulo de. 367-368 Compresión adiab:\tica cuasi estática de un gas. 539·54 1 Condición de nonnnl i1.aciÓn. 508 Condición de ondu estncionuriu. 475 Condici one.~ estándar, 366. 501 Condiciones iniciales. 36 Condued6n. de energfn Ic!rnlicll. 589-590 Conducción del calor. cumbio deemropíu en la L'Onducción de calor de un fotoa 000, 570 Cond uclh'idad térnlica. coeficiente de. 590 Congelación. punto de, 4% Conserv:Lción de la energía ( ¡'hue IIImbil n Primer principio de la tenllooinámicn) ejemplos y demostrneiones de. 179- 11W, 182- 184 ley de la. 172. I7S- 179 prob l e nH'~ en lo, que interviene el rolamiento cinético, 18 J-J82 teore ma trabajo-energía. 179 Con...el'VM:i6n de In energiu TllecJlniC'J llpl ieuciQnc.~ de la. 173-178 ley de. 171· 173. 2 12 Con'\efVDción del mome nto angular ( ¡'flm' t.lmbUn Momento u.ngular) eJcmpl o~ Ydemostraciones de. 294-299 , mo\ imlenlOde un giroscopio y. 292·293 naturale/.a \ cetolial de la ttlIud6n y, 2H5-287 ~ndul o baU\IÍCO). 298 pnnc:ipio tk. 293-294 Con~*"t6n del momento lineal. 21 2-2 15 Cong ante de Bolumano. ~ Cangante de fa!iC pan onda" annóruca. 396 para O'ICilllCtOiu for-/ad" , 418 ConAanCe de Dcmpo. 41 3 • Con 4 tNe ¡ravitalona univcnal (G). 3f9 medida. 319
C.m(tame unÍ\cl'Rl de 1()~ gll~c, ( H) . 5tH Con tllcto ,éml1c(l, 4%
Comillul,k..\' ccIIl\d6n J\!, J11
COn\<''CCI,jn.589 de ClteTgflllérmíca. 596 Coniente. I ~nllicn . 590 Cualidad dei ta no. 482 ('mmli znclól1 de In Clll"rgrn. 189- 191. 537 del momento ungu lar. 302-30.\ CUI'-~ar. 190 Cuerda fij¡l por un extremo y libre por el Olro, 478 Cuerdl\ que eRe (SiMCnlll de mllS!! vnriable), 231 Cuerdas, fucrZ¡IS de CO lll llctO. 8\J Cuerpo humano. rndiación procedente de l. 598
Cuerpo negro. 597 Curie. Mane. 2 . P'Icrre,_, eune, Curvas con pendiente (pemlte), 122
CurvllS de reSOllllllc ill. 4 17 Dllvi%on, C. J., 467 Decibelios (dB ), 446 Deformació n. 350
Deformación de cizalladurn. 352 Densidad cálculo de l:l. 366
como densidad especifica. 366 descripción. 366 principio de Arqufmedes y medid¡¡ de la, 31 1·372 Densidad de cs13dos, 512 Densidad espccfficlI. 366 Derivada cálculo de la velocidad a panir de una acclemción dada. 35-36 nO(ación usual para la. 23 Derivada parcial, 436 Dcsorden e irreversibilidad, 565-566 Desplazamiento defi nición de, 19-20 ejemplos y demostraciones de. 2().24 y producto escalar, 148·153 y velocidlHJ como integrales, 36-39 DeuterÓn. 187-188 Diagrnnw de fUel"las. rotllci6n. 26 1 Diagrama de fuerla5 de sistema... aislados descripción, 89 ejemplos y demostraciones de. 90·94. 126 resolución de problemas. 89-94 Dingrnmn de niveles cnergflieos de uo oscilador. 190 Diagramas de fasc. 588-589 Diagrnmas del movimiento. 59. 67 DIDpa.o;ón. 480, 483 Difnlccióo, 449-45 ] Dl]¡i1acióo de volumen. coelicicme de, 584 Dilatación lineal, coeficiente de. 583-5g.¡ Dilatllción lempor.ll. R.6 Dilatnción térmicn. 583-586 roefiC IC llle..~ pnl'll alguo:l" ~ U SlallCla~, 584 dillltaci6 n de un pucmt. 585 Dimensione .. de la~ 11l agni t udc.~ ffSll'I". fi-7 DirecciÓn ccntrfpc ta, b7 Dbpcr.;i6n. )' paqlJete.\ de onda. 4M D1SlIlncia de [renndo. 29-30. 11H- 119 Distribución. funclollC'i Ik, 508 I)¡ ~tribudón de Mu.:t \\ Il11-Boll / mann, 510 Distribución de \'clocidlldcs. funciÓn de dl~tribucloo de Ma.:" '''tl1· SoIwnann. 5 10 Oimibudón de la ent:rgíll
función i.k Muwe:II·801l1mann. ~ 12 ttoria cuK!lIca de los ~), ~ 11 Dupplu ( loItU .. Efecto DcJppkrl, O Dulong. Petil. ley de. !5J() P.,bul!ición, punln de. 496. SlJ .......-uactón de Semoulh. 371-37S
EeunclÓIl de cominuiUlld. 'J77 &uaelÓn de eMmlo, 50 I de Vn n (Ier Wnnb. 587 Ecuación de onda dc..~c ri pciÓn. 436-437 superposición de onda~ y, 468·469 EculIci6n de Vnn dcr WlIKls, 587·5811 e i$olCrmns 1fqu ido vapor, 587~588 EcunciÓn del cohete. 232 componente venical, 232 Erecto Doppler descripci6n, 451-452 ejemplos y demostrllciones de, 451-455 esltll11pido s6nico. 456 frecuencin y, 451455 ondas de choque y, 455-456 Y relatividad, 454 Efecto Vemuri, 379-381 Einstein, Albert ecuación de la teorla especial de la relativid:ld, [86 postulados sobre 1:1 velocidad y [:lIU7;. R.2·3 teorfa de la relatividad especial propucst:l por. 2-3, R.I Ejes p:lrnlelos. teorema de los. 255 Electrones energ{u cinética de los. 144 esp{n de, 303 fuerzas sobre los, 144 Elevador hidráulico, 369 Elipse, 3 14 Emisividad, 596 Empuje de un cohete. 232 Energ{a (1·1<1.~. 154- 155 Energfa eméuca (IYa,uo !amblén Energia: POIencia) anles ) despuk de la coll ~l(m de do!. Ot.}C'IQ!ó, 217 dt- mol&:ula, en un I.~ Idleal, 528 de RJl8CIÓfI. 250-252. 298·299 de un cllerpo rodanle. 267 de un ) I\lema. 216 t',remr'os) dalM1lK'K1n(3 de. 144- 1-46. J2J tri el nKMmacrMO • •061111100 wnple.
aabiJn y. 142- 1_0
•
I·~
I
fndtce 1I1f1l~tico
I!n«i!fa de enl~..:c, Il¡~ EIlI-'fl!.ill del ~\lld(l fumial1lcntlll, 190 Enc'if~ nl\.'dm .. a .tl!' t~ . 11\ -t 7J convl!l\lún de enefl~fa qufmktl on, 1g~
omsena('h~n
tncrgfa ¡lotcndulgrtl\'iul1udll), J25 nlO\ imlCnlO :lmu~nK'(l simple )' t nc¡,g(a mecánica totul , 1102-403 En«i!f:t nlCl.:¡(nkll 100n\. 17J. 402-4tU Ene!);f!!. nuo.:kar de tnlnce. 188 Entrgfn potenainl del sislelllll1ierm-llIudle tn oscil nd6n, 407-408 dcsc-ripción, 155-156 tjcmplo~ )' demO~lrac ion es de. 157- 159 en un muelle. 158 fuer1.ns conscfvlltiv:IS y. 156 fuerlM no conservmivns. 159 funciones de cnergín poh:ncilll. 156- 157 gnIYitaloria, 322-325 movimiento amlónico simple y.402·403 Y equilibrio. 159-161 y fuerza de un muelle. 155- 156 Energía potencial gravitatoria descripción. 322-325 ejemplos y demostraciones de. 324-325 "elocidad de escape. 323 Energía térmica conversión de energfa química en. 185·186 enlre barrns me tálicas. 592-593 pérdida a través de un tejado. 594·595 l"Ildiación, 596-599 trnnsferencia de. 589·593 transporte por convección. 596 Enfriamie nto. ley de Newlon de l. 589, 599 Entropía cambios durante el ciclo de CamOI. 570-572 cambios durante una trnnsferencia de calor. 569 cambios en la conducción del calor de un foco a otro. 570 de un gas ideal. 566-567 descripción, 566·567 energía utili1Jl.ble y. 572·573 expansión isOterma de un gas ideal. 567 expansión li bre de un gas idea l. 567-568 para colisiones illel:1sticas. 570 para procesos a presión constante. 568-569 probabilidad y. 573-574 Equ ili brio (I'tuse Equilibrio estático) Equilibrio de ro tación, 349-350 Eq uilibrio de rotación estable. 349-350 Equilibrio de rotación indiferente. 349 Eq uilibrio de rotació rl i ne.~t abl e. 349 &Iuili brio estubh:. 160 Eq uili brio esl:1lico centro de grJ\'edlld y, 342-343. 349 condiciones para el. 342 ejempl o~ y demostruciones de. 342-353 en un sistcmll occlerndo. 348-349 eslubilidlld del equili brio de ro!ución. 349-350 ruen:as sobre el codo. 34-4·345 módulo tic Young. 351 movimiento gcnernl pm:d mo :11. 404-0105 par de fuer/as, 347 problemas Indeterm inad()\. 350 y Icnsión/defunn:lClón. 350-352 Equmbrio ine~tablc . 160 Equilibrio neutro. 160 equilibrio térmico. -195-496 F..quip..-tic¡Óf1 ( I'iasr Teorema de equlp.,,,e ióo) EquivalCDcla mue los enulI('iad~ de 11 nYqulDlllánuca y del rdJ1¡
H~c u l tl
de ICI11Il'Cfllturn Fnhtenheit. ¡lVb-497 !'\CUltl Kcl vin de lt'lIlperatUI1I. 49'J Il!IcIII)C IIllihillle. ~;~Ient a de. 554 Elol)l..'Ctro de freeuenchl5 de rewnllncm. 474 l,iepln. I11lJlllenlU Im" u[ur y. 290, 303 I!.~ tnlllll¡do SÓnico. 456 Estrellas, tr¡VA' de e.\trellaJ, en un!! fOlo de lurgll expo<;ieión. 249 EuJer. método de integración nu mériea, 126-126 Expnn~ión libre. 526 Exponentes, 7 Factor de Bo ll/nlan n. 512 Fuctor de calidml, o~c il ación amortiguada y. 414-4 15 Factor de eonversión. 5 Factor Q oscil¡,ciones mnoniguadas y. 414-415 osci l ac ione.~ forladas y. 41 7 Factor R, 593-594 Fahrcnheit. escala de rempemtura. 496-497 Fa~e
cambio de. 523 constante de. 3% descripción. 439 difere ncia entre dos ondas. 472 ruentes coherentes e incoherentes. 474 velocidad de. 484 Fase de movimiento. 396 Fenni. problema de. 10·11 Femliones. 303 Flsica ciencia de la, 2 clhica y modemn, 2-3 Ffs ica clásicu comparada con la ffsica moderna. 3 origenes y desarrollo de la. 2-3 Flsica moderna. 3 Floración blLlancco de un corcho. 376 descripción. 371 plalaromm fl otante y. 375-376 y medida de la grasa COrpollll. 375 y medida de l cOlllenido en oro. 373 y principio de Arquímedes, 371-372 R uidos cocficiente.~ de \·iscosidad. 382 densidad de, 366·367 dc.\Cri pción. 365 flotación y principio de Arqufmedes. 371-376 presión en los. 367·37 1 '"luidos en movimie nto. 376-383 desc ripción. 376-377 '"lujo de flu ido~ clluda l. 377 depósito agUJereado. 379 ('Cuación de Bernoulli y, 377-)78 cculll'ión de conlinuidad para un flU Ido incompreSi ble, 377 efeclo Ventun ). 379-381 fluJO vi!>COSO. 38 1-383 ley de Pose ullle. 382-383 mlmero de Reyn old~. 363 RUJO \ ISCO'óO, 381 ·383 Foco Cl.1 ~ntt'. 554 R\C(J frio, S54 FocQS térmicos. SS4 p6rdida de ln~ cnue. S64 Formas de onda.. 483 Ñ:Jt(III, 190 Fom;er. anilisili de, .al Fltw:'u!ocia. 396 efeao OC:lf1Oler y. 451-455 II'dLi "oc: Lh.... de la amplinKI en el movimiemo a...4",00 ....."10. a • 1m U · ·ige·ai" y rt . -I""';S. 474-47$
fndke aHab6tko o.-..:ill\l!l6n nn"lrtlgunu.t. 411-11.5 OSo::II&ciOlI(,( forlllda' \' 1't~I)Tl~ndR, 41 6 .... 17 Freo..~ncuI an~\llar, l~ucn,'t"
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de 1)t1ls;ldl>l\C~ \l bati\I~,~, 411 F~"'I.k!ndtl de n:!'onnncht ~¡l<..,·Iru. 414 (ln,IM e~tnd\lnarin~ y. 414 \).~il3Ci\)ne, !(lo:lIIM y, 416-41 7 Frecuencul fundamental, 474 I-recuen':ln nmu ral. 416. 476 FR'lHlllIl. dislltncla de. 29· J() I''reno, amibloqul:(J. 118· 119 F,,·nt... de undn. 444 Fuentes ,..oheremes. 474 Fuenl~ in.:oherelllC$. 474 F\lerza :Isccnsional. 37 1 Puerta ccmríl>Ctll. 119 Fucrllt COllstllllte. trnbajo renlizndo. 142 Fucrza de ncci6n, 94 Fucrm de ciznll:ldurn. 352 Fuer!.:! de reacción. 94 Fuel7.3 dc resistencia, 127 Fuer!.a dc ro7.:uniemo. 87 Fuerla electromagnética. 86 Fuer/..1 grnvit:ltorin. 86 Fuem\ nonnaL 87 FuerlU nuclear débil. 86 Fuerza nuclear fuene. 86 Fuer/.ll tensora. 350 FuerJ.IIs ( I'/(JS~ ((¡//Ibib. Fuerll1 de un muelle; Potencia) debida a la gravedad (peso), 83·85 definición de la segunda ley del movimiento de NewtOfl, SO. 81 ejemplos y demostraciones de. 82·83 en la nmul'llleza. 85·89 ley de Hooke. 87-88 movimiento en un dime nsión y fuer/.ll constante. 142-143 par de fuer/.lls. 347 problema de la acción a distnncia. 87 sobre el codo. 344-345 sobre los electrones. 144 tercero ley de Newton. 94-98 tntbajo realizndo por una fuerl ll variable. 146- 147 unidades de, 84 Fuerzas de arrastre, 124- 126 Fuer/.llS conservativas. 156 Fuer1.lls de cOntacto, 87·89 Fuer/.lls de rC5i.~te n cia. 127 Fuer1.lls de ln nmur.dezn, 8!5-89 fuerJ,a.~ de COnlllCtO. 87-89 fuenas fundamentale.~, 86 problema de 111 acción 11 distancill, 87 Fuer/.as fundamentllles, 86 Fuef'l.a~ no conservnli\'áS, 159 Fuer/.lls viscosas. 381 Función Oc distribución de energía de Mn,l:well· Bollzmann. 5 12 Función de distribución de velocidades de Mn,l:wdl- Bolt1.mann. 5 10 Fundón de onda nnnÓnicll. <138 dw:ripciÓn. :.1 32-433 Funciones de distribución. 508·5 12 FUllcione.~ dl' energru potench\I, I~(,- I ~7 Fusión, ~23 calor Imente de. 523 punto de. 523 Fusión nucleur. 188. 189 Galileo Gulild. 2 GlI~ ideal (I"'"sr tambn!'n Gase.~l calentamielllo de un gis ideal diatómico. 5J~ Calelllanlienlo )' comprc'lón de un. 502 calentamienlo. enfriumcnlo) eomproión de un. 533 !.:ido de CarnQ( pIlf'I un. 559. 560-S62 enOi,fa inlerna de 1lIl• .528
cnlll'l)rtl de un. 566·567 cwnlu de lel11l'erlltut11 tlel. 1199 e,l: I)Iln~l ól1l~otr rml1 de un. 567 e~Jllln~i6n libre de tll1, ~67-568 ley de, Soo.S03 tnlblljo realiwoo sobre U I1, 530·531 \'olu men de tll1, SO l Gascs (I·¡tW:'lll1l1bi61 dfls ideal) cdlculo de III pre.\ión ejercida por. 503-50<1 culentamiento y compresión de. 502 capacidades calorffictls de los. 531-535 cOll1pre.~ ión adiubática cuasiesláticn de. 539-54 I constlln te universnl de los. 501 distribuc ión de. 508. 510-5 12 e,l: pansión 11 temperatura eonStanle. 503 ley de los gases ideales. 500-503 proceso adiabático eunsiestlitico. 540 tcorra ci n6tica de los gn~es (I'/ase Teorrn cinética de los ga.'IC5). 503·5 12 trubajo y diagroma PI' para. 528-53 1 Glly-Lussuc. Joseph. 500 Gcrmer. L. 1-1.. 467 Giroscopio, 292-293 Gradiente de tempcraturo. 590 Grodo de libertad. 506 Gravednd centro de masas y energra grn\'iHlloria de un sistema. 205-206 como fuerza. conservativa, 156 descripción, 3 13 ejemplos y demostnlcioncs de, 321-322 equilibrio y centro de gra\'edad. 342-343. 349 ruer18 debida a la, 83-85 ley de Newton de la gro\'edad. 316-322 leyes de Kepler y. 3 14-316, 320-321 momentOS debidos a la, 260-261 problema de la acción a distancia. 87 Grupo. \'elocidnd de. 484 GuitarrJ. afinndo de una, 471 Hertl. (H1.). 3% Hielo fabricación de cubitos de, 557 punto de, 496 tfnnsfoml3ción en vnpor, 524 Hooke. ley de. 87-88. 396 fmpclU (I'lase Momento lineal). 201 Inercia ley de la. 80-81 momentO de. 251 primera ley de Ne\>, ton sobre la. 79 rotllCión)' momemo de. 2.'12-259 sistemas de referencia inerciales. 80-S I I ngrnv ide7~ g.¡ Inlegración cálculo del campo gT1l\'itatorio de una corteza esférica, 330 definición de. 37 decemunaclón del centro de ma...as por. 206-207 e.:uociones uuhl,adas en cálculo. 35-39 Integnación nunltnca cálculo de la !X)l,ición y \'elocidad de un paracaidista. 127-128 Ilu~tmcl6n de fuerl.as de l'e!'i~ teO("ia, 127 método de Euler. 126-127 Inlcgrales • definición cJe. 36 dcsplll/llmiento y velocidad como. 36·39 Intensidad. definición, 444 Inten,idad de una onda. 444 debida a un fOl.'O puntual. .,.,••",." eJC'mplOli de. 446-44 7 pnK'bu de sonido. 4016 IntCllL'kiatI de onda aI~e. 44S
tuVe) !le ID'CI'"MI.... Y te ;¡yjo)n,.,.,...... 0446447
Inlerl'eceoKia cu:.......ti\IL 470
I
1·5
1-6
fndlce alfabético
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..1(: \)nJa~ a mtÓllicll~, 469
In{m...~l1..:nl "e.~lructl\", ·no Intenalo ..le 1I1.'11I1'K) 1""11'0. R.fi l",llnal~IB
de ..... lmd d.:IlI.:UIS. Pl'hll:lpio ,le, R 7 1m.'\ •.'f'.hr1iJ:l11. 5M-j6f> ) ¡\c"M'tlCII. 5t1S-5M h l.l' .... I1\UI~. 50 1 ISulernm, líquidu-\apol . y ...~ul\dÓn de Vun del" Wunl.~. 587· 5H8 Jouk. Jnmc,. 2. 51 9, 528 cJeperlm.:nlo ~ohn: In c kvlldón de In. 525-526 Julio, unidnd de Imb.ljo y ClICrgFIl. 142 JdlJller. órtlill1 .Ie. J 15 Kd\'tn (K). 4
Kelvin enuncindo del segundo principio de 111 tenlHxlin~ micll . 551 e1'<:8In. 499 temper:llura. 49'1 Kcpler. leyes de. 3 14-3 16. 320-32 1 Kilogramo (kg) como unidad de fuerza y masa. 84 definición de unidud de. 4_82 Kilo\'3tio-hor:l. 153 Ley de Bo)'le. 500 Ley de Dulong-Pctit. 536 Le)' de Hooke. 87-88. 396 Ley de la inercia. 80-81 Ley de los gases ideales_ 5()()..503 Ley de NewlOn de la gravedad. 3 16-]22 Le)' de Newton del enfriamiento. 589. 599 Ley de Poiseu ille. 382-383 Ley de Sleflln-Boltzmann. 596 Ley de Torricelli. 379 Ley del desplazamiento de Wien. 597 Ley del enfriamiento de Newton. 589. 599 Leyes de conservaci6n de la energ(¡I. 172. 178-179 de lo encrgra mecánicaI 7 1- 173. 2 12 Leyes de Kepler. 3 14-316 descripciÓn. 31 4-316 y gravedad. 320-32 1 Libra. 85 Ligad uru.~. fUeil.¡1S de cOntucto, 89 Límite eltis tieo. 350 Uneas de corriente. 379 Litro. 366 Longitud de onda. 439 Maeh ángulo de. 455 número de. 456 M a¡;nitude~ ffsicas, dimensiones de las. 6-7 M ~qui lla de Atwood. 178. 291 -292 M ~qllinn de Cnrnot ciclo de lu. 559. 560-562. 57()..572 condiciones de rcversibilidud. 559-560 descripción. 558-559 rendi miento de la, 559. 562-564 M:1quina dc vapor. 553 rendimiento de una. 562·563 Mtlquinn tümica (I·!tl$e' fIImbiln MOIOR's) ciclo de Ono. 553. 555 deSCripción. 5~2 Ctlut\ alencla entre lo:. enunciados (}c la nlliq\,¡na t61lllo.:.a )' del refngc:nldot". 557.558 historia y dcsarrollo de- lo. 552·S5..s rendimiento de nnn. 5:'14-555 rem.lillliento de un mutúr ideal de eOlUbu~u6n interno. :'IS5 ~eguad\l prinCipio de la tem\odill~mi ea y. SS"' 'u'tunda de trabajo. 552 trlIbajo perdido por. 563·564
M", \"t'nlro de. 202·203 COD~tanlC ¡ra.\lIatQria unJYeDaI (G))' mua U1dual.ll9-120 de 4t0ln0l0 de hidrógeno. 502·503
deliniti6n dc lo ~e&lIndu le) del rooVlmiClIl(l dc Newton. SO. 81 cje ll1pr(l~ y UcmlJ~ tntC I I.l11e~ sobre 111. 1<2-113 enl:rgfn y. IIi6-ItI9. R 13 ~islema intelTI"clclflal de un idnde~ pnrn In. 4 ~ is tcm:t ~ ck IIU1SU vurloble. 230-213 tcrceru ley de Ncwton y f\ler'/.lI ~ entre !)bjetos. 949& ll11idodc ~ de. 84 y rucr.ms dI.' contllcto. 87·119 M n~11 .!Inlvi!UlOrin. 3 19-320 Masa inerclul. 3 19·320 MnslI 1ll01nT. 502 Muteriales. resistencia de, 35 1 Mnxwell.lames Clerk, "2 Maxwell-Boltzma nn distribuciÓn de, 510 funci6n de distribución de energfu de. 5 12 funci6n de distribución de velocidades de. 5 10 Mecánica cuántica. 3 Mecánica newlonianll defin ici6n de las tres leyes de lu. 79-80 integrnci6n nu mé ric¡, mediante el método de Euler. 126-12& ley de la gravedad. 316-322 movimiento a lo largo de una trayectoria curva, 119- 124 rozamiento y, 109-1 19 segunda ley de la. SO. 8 1·94 segunda ley de Newton en la rotación. 259-266 para el momento angular. 300-302 para el movimiemo de rotaci6n. 289 para sistcm3s. 20 l. 21 2 •• teoría de la rellltividud y, 189 teTCern ley. 94-98 y fuenas de arrastre. 124- 126 Medida de la grnsa corporal . 375 Medio no dispersivo. 484 Método de Euler, 126- 128 Método del pamlelogramo. 50 Metro (m). 3 Michelson. A. A .. R.2 Milibar. 371 Milisegundo (ms). 4 Modo de vibraciÓn. 474 Módulo de ci·lallndura. 352 Módulo de compresibilidad, 367·368 adiab:!tico. 434 isotenno. 434 Módulo de la \'Clocidad ( l 'liISl' Velocidad) Módulo de torsión. 352 Módulo de Young. 350-351 y equilibrio C!>tátiC(l. 35 1 )' tensiÓnfdcJonnoción. 350·35 1 Mol (mol). 4. 500 MoléculllS centro de mu~a, de. 203·2().l distribución de n~locidudes de. 508 distribución de \'eloc,dlldes de. 510-512 cncrgra cinétiCll en un glb ideal. 528 energrll CUllnti/-Bda de. :'137 Mol6:ula..-. de ~n...'tOO. 9 Momento con~r\'II(:i6n del 1l1(\IDCmO angular. 292·)0 1 de una pan{eula. R. I:! c:xprcsadCJ malc:mállClunente como producto \'CI.:torial. 286-287 rna~. energfa y momento rtlalJ\fi sla ~. R. 12·13 Momento angular (1-ffl.Il' wmhiln Cono;ervaci6n dtJ momento angular). 300-303 coo!oCl"VaClón del. 285 euantll-BC16n del. )02-)03 de un "$lema que gUlI alrededor de un eje de SimecrfL 288-289 máquina de AlworxI y. 291 ·292 de plilfc.. I.... 281-288 se¡unda ky de: Ne-1On palI el. 300-302 ,mM' d fuDdlUnl:I'''1 del. 302
Indke affabLlko ~1\'ment"
de. 61 -66.108·209
l"nelllll! Jlotencilll gfllvltalortR y altura dd, 124 velocldud de un proyeclll. 12.~ MUvllUlento de un ~nté1i t e, 68 MU\'lfl1iento del cent ro de u¡n ~II ~ de~t.:tipt.:16t1. 207-2()tI ejemplos y de n1fJstmciOI1"~ de, 208·209 Movimiento en dos y tres dlme n ~ ione.~ muvlmiento circular. 67·(1.) posición. velocidad. IIceleruciÓn y. 54-60 "rop¡edmle~ genern l c.~ de lus vectores en el. 5 1-54 proyec til, 60·66 vcctor despla1,umicnto y. 49·50 Movimiento en In explosión de un proyectil. 208·209 Movimiento en una dimensión (¡'I/J.u también Mecánica newloniunaJ aceleración. 25·27 desplnzamiemo. \'elocidad y módulo de la velocidad del. 19-25 estudio del. 19 ruer/.1lS constantes y, 142·1 43 integrnción y, 35-39 Movimiento lineal. analogías con elmovimicnto rotadomil. 266 Movimiento ondulalorio simple, 432-438 Movimiento subamortiguado. 41 3 Muelle energfa potencial de un, ] 55-156, 158 fuenas de contacto, 87 movimiento armónico simple de un, 401 y ley de Hooke. 87-88 National InSlitute or Standards and Technology (NIST), 4 Neutrones colisiones frontales elásticas de núcleos y. 224-225 espfn de. 303 NewlOn. Sir Isaac. 2. 320 ley del enfriamiento de. 589. 599 primera ley del movimiento. 79 segunda ley del movi miento. 80 tercera ley del movimiento. 80 Newton (N) como unid3d de fuer.w. 85 definición de. 4. 82 Nodos. 475 Nonnnli7.ación. condieión de, 508 NOlUci6n científica. 7·9 Núcleo~. colisiones rrontat~ elásticas de neUlnmes y. 224-225 Núcleos ligeros energlns en reposo. 187 rusión nuclear y. 188 Número cul'intico, 190 N1Ímero de A\'Ogadro, 500 Número de Mach. 456 N¡lmero de ondn, 439 Nllmem de R eynold.~. 3R3 Objelo ell'istico, 350 Objeto~ mdantes. 266-271 energla cinc!lica de, 267 O~I'\'3l orio MlJCdonald. 6 O.... fren te de. 444 función de. 432-433 m'ill1ero de. 439 pul\(}) de. 432 Onda pillOa. 444 0nJas (¡-ID.ft' /(Uflb,br Enerllfa) 4Il11Ónrca$. ·n8 descnperÓll. 431 efecto Doppler y. 45 1-455 encuenlro 4.'01\ barrefll~. 448-449 forma\ de, 4&3 100\ Imlento por. 4.'2··n8 p.,m~ de. 484 PII" IIO)I!ci6n de. 41)8-474 il iifbYe!'Jab YionaJrudtDaJa " .12 YdoadMI de. 413--1136
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1-8
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Onda) am"'nkas \1(''-.'1\pclo'\o.4.18-419 C!JC!m!1I\l~) ..km\l~lrn\!I\)I\C:'
de. 44().4.¡l
1\¡n":1(\n de!. 4.18 ¡n!cI1en:m":H\ ":1l1l\lnlC!lYU. 470 lmel1e!rcnda de. 46~-'7 .¡ m.erferencI:t di!l>lruc.h:1. 470 Ondru. de choque. 45S....5b Onda~ de ~onid(1 .:~kul\) de In vdocidrul d('. 434-435 dife!renda de ra~e e!Uro, '¡72473 efec,o l:hJppler y. 45 1-455 energf3 de. 44.1 ~'adonarias. 479·48 1 fm:uencia
lIturnemo line¡II de. 20 1. 2 112 12. R. ll movimicnto linn(inlco ~ i mple y muvimienlO circular de. 402 IlOslclón en funcl6n del tiem po, 23 sis'emu r n rOlUclÓ n, 2~ 1 -2~1 trnbujo renli7ndo !lUbre. 147 I'uscol (Pa), 367 I'a\cnl. principio de, 369 I'énd ll lo~
umplitud de OSCIlación de. 410 eon~crvaeión de la energfa, 174-175 en (111 sistema de refere ncia acelerado. 4 10 mOl'lmiento drcuhlr de. 67 slstenm oscilante de p4!mlulo simple. 408-4 11 Péndulos baJfslicos. 222. 298 Péndulos en oscilación. movimiento circular de. 67 I>éndulos ITsicos. 4 11 periodo de. 4 I I Pemlt..:. 122- 124 Periodo. 68. 396 de péndulos físicos. 4 11 Peso en un ascensor. 93-94 fuena debida a la gr3.\·edad. 83·85 principio de Arquímedes y. 371-312 Peso aparente, 84 e ingravidez. 84 Planck. Max. 597 Planetario (modelo del sistcma solar). 3 14 Planetas Órbillls alrededor del Sol. 314 trayectorias elíplicas alrededor del Sol. 314 Poise, 382 Poiscuille. ley de, 382-383 Polea. rowción de una. 264·265 Posición descripción. 54-55 ejemplos de cálculo. 55·57. 127· 128 en el mo\'imiento annónico simple. 39&-397 oscilación f01'7.ada. 41 8 Po,encia ( l'last' IGlllbién Energía: Energía cinética: Fuenas) de un motor, 153. 265 descripción. 152- 153 encrgfn cinélica y. 153- 15-1 roladón y. 265-266 Precesión, 292-293 Presión cálculo de la presión ejercid:l por on ga~. 503-504 de In sangre en In aona, 37 J desc ripción. 367·368 ele\'odor hidr.'l ulico. 369 foena en una presa. 368 Presión de vapor. ~88 Pn'$ión mano~trica. 370 Primer anllÓnico. 474 Primer pri ncipiOde In lennodi nlinllca. 52&-527 l'rinclpio cero de la tennodinlimlca. 496 Pri ncipio de Arqurmroes. :n 1-372 PnnclplO de in\ariaocia de coincidencillS. R.1 Pnnciplo de Pascal. 369 Pnnclpio de n:laU\'idad. R.2·3 PrincipIOde SlIpCIpO\ici6n de ondas. 468 Probabilidad, Y entropía. 573-,574 Problema de Fenn,. 10-11 Problema de \11101' inidal. 36 Proceso adlabittco. ,539 ProceMJ adiabilico cuuiemtico, S40 P, .....C¡.(1l C\Iaf.1eSt.MtCOS. ~28 PludUC1O ", al. dd ...... I ..9
d ' lipc:i6n. 148-149 di~I'2
fjUrpJos y d i:mt:lKlow de, 1!5l-)'3
Indk._ J)r\"l{)iMad.., del. 148-149 unhumlo COI1lI)UnCIllel\ \ eclt\fullc~. 141}· ¡!I2 p"K1u..'IQ \'eCtorinl. 2g()· .!!!7 1)¡\lll le..llld U~nl\\.l IlH~' l'il.'n, 4 \}(1
PropicdoJc,> té rmkR~. SSJ·!lW 1>roI)u l~i6n de ,.:Ohc le.~ l'OIIIO un M,tem¡t..te musn \,¡¡nuble. 230 ool~glle. 2.\2-23.1 c.;:uad6n del C(lhele, 232 empuje (fuenll de irnpu ls.i6n). 233 l>n\lone~.
c$¡)fn de. JOJ 1~It~b¡I S de sonido. 446 Puente l'Olgnnte Tliconm NllrrowS. .176
PulsacioneS. ·HO··17 1 llulsa r del Cangrejo. rOl:lción. 25 1 Pulsos de ondn, 432 PUIIIO campo. 326
Pumo critico. 588 Plinto de congelación del ngun. 496 Punto de ebullición. 496. 523, 588 Punto de fusión. 523 P'Unto de hielo. temperatura de. 496 I'u nlo de vapor. tempera tura de. 496 ¡>Unto fuente. 326 PuntO triple. 588 del agua, 499 Puntuación cu'H.lrátic¡Lmedi a. 509
Radiación. 589 descri pción. 596 desplaza mien!O de Wien. 597 ley de Stefan-Boltzman n para la. 596 procedeme del cuerpo humano. 598 procedeme del Sol. 598 Radiación Cercnkov. 456 Radiación té mlica. 596-599 Rayos, 444 aproximación de, 450 Reacción. fuerla de. 94 Reactor nuclear, barras de comrol. 562 Recorrido libre medio. 506-507 Refl exión, 448-449 Refl exión imerna total. 449 Refracción. 449 Refrigerador coelicieme de eliciencia. 556 enunciado del segundo principio de la te nnodinámica, 556-557 equi valencia entre los enu nciados de la máquina t ~ nnica y del refrigerndor, 557-
55'
rc pre~entne ión
esquemática. 556 Regla de la mnno derecha, 286 derec ha. producto ... ec!Orial. 286-287 Relatividad (I·ilue Relatividad especial) Rclath'idnd de la simultaneidad. R.9- 10 Relatividad cspc<:inl. R. I- I(j nplicación de las re¡¡11IS de la, R. 10- 12 ecunción de la musa y la energCa. 186 efecto Dopplcr y. 4,S.1 ejemplos y demo~ t nLcion e,<¡ de. R.4-7 medmc:1newlonirtllll y. IS9 principIOde relath idad y constancia de la \clocidad de la I U/ . R.:!·) propuesta por Einstein. 2-3. R. I relojes lejanos. simuhaneldad y. R.9- 10 Reloj de agun .... Reloj de fuente de ce¡;io. 4 Reloj de IU/ . R.S Reloj de ~nd u lo, 411 Re loj~
rclati"idad espedal y mo\'.mlCflto de, R.4-7 relath ¡tbd espedll. \.multaneidád ) re~ 1CJ8~. R.9- IO ..incromlación de, R.q-IO RendimIento. de una m4quirullt~nmea. 554-5~5 Rendim.ento dt Camoc, 559. 562-564
.
I .,
l(e<¡lStendn a In cOlllprr .ión. ~.5 1 Reslstencin a la tmcdón, :1.5 1 Reslstcncla d ~ lI1 utcrin l e~, 35 1 l1 Sep:undo principio de la termodinám ica (,'¡au wmhlifl TermodIll6rnica) bomb&dc calot) . S64-S65 enlropía y. 566-S74 enunciado de Oau, lUS, 552 enunciado de Kc] vi n. SS ] en unciado dC' 1, m4qu ina ténnica, 5.s4 enu nciado tic] refri¡endor. 556-557 equ .~-aknc:ia entre los enu nciados de la mM¡Ulrull U:lIluca y del refri¡ulldur• .sS7·
55'
IlTt'VCm bll.dId) "'IOlJlden. 56,.0;. 56(, IÚqUlruII CallJ(lt y, 5~8-S65
*' "'*fuInas IbmlCu y, 552-556
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1· 10
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fndl ce alfabéUco
&gl\ay Ul'ftn"IX't1C dI! \ltf',(JIlI\' 1lU1~'«lU\H\)nhJl!l, Senes ftMn,~m~A.'. 411 SlnlUlttulCldad, rt.htll\ldlld d" 16. R,9- IO Sml.'fOniZlk:II'Hl \le rclllJ"\' R.9-1O SJn'~I ~ 3nnÓfm~a, 482...18..1 S l~tl':ma qt\.
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S
SI~tCIl1I1
\k" rc'l'renCIil, 14 ,2!1 Jl':\ Cl'nlro de IIUNI', 12g· 22Q dd IIIQ111cnttl hnctll cero. 22ii Shtema Intcrn.lt:ivIHII de ullidmlCl> lon~itu,1. 3-1
mru.:l,4 tiempo, 4 SblC~nm SIllar gr-Hic,.,,¡ tle In d i ~t alicill media al Sol, 316 órbita de Júpiter. JI S órbit:IS dt': los planellls Illrcdl.>dor del Sol. 3 14 trtlycclorirls elípticas de los plllnetus en el, 3 14 SistcIIUlS aislados, diugrmnns de fuerllls, 89 Sistenms de pllrtfculos (I'¿ase tmllbMII Purlfculus) centro dc mllSllS y, 202-203 colisiones cn. 2 11·228 conservación del momento lincal. 211·215 de masa I'lIri:tble. 230·233 delemlinación del centro dc masas. 206·201 energía cin~tica de los. 216 energía potencial grnvilulOria y. 205-206 momemo de inercia y. 253 momento lineal de. 201 movimiemo dcl cemro de masas. 207-21 1 sistema de referencia del eenlro de maSlls, 228-229 teorema par la energía cinética de un, 216 Sistemas de referencia inerciales. 80-8 1 Sistemas oscilantes ejemplos y dcmostrociones de, 405-401. 408-413 energía potencial del sistema Tierra·muelle. 407-408 Sobreamortiguado.413 Sol. radiación procedente del. 598 Sólidos capacidad calorffiea de. 535·536 fuerws de contacto. 87 Solución estaeionari". 4 J 8 Solución traasitoria. 418 Sonido (véase 'tullbitlr Ondas de sonido). 433·434 prueba de. 446 Stefan·Bolt7.mann. ley de. 596. Sublimación, 588 Suceso. R.6 Suceso espacio-temponl1. R.6 Superposición de ondas ecuación de ond:¡ y.468-469 interferencia y, 469·474 principio de superposición. 468 Superposición de ond:\S esulClOnarius. 482 SustuIlCia de tmbajo (Máquinas témlicas), 552 'PJcoma Narrow$. puente colgante. 476 Telescopio e.~pacIl111'¡ubbl e. 291 Temperatu m calor necesario p.1m elevnr la. 521 Celsius y f'ahrcnhell. 496-491 coeficiente de dilatación de I'olumen y cambio~ de, 584 1.'OCliciente de dil8lacl6n lineal y cambios de, 583·584 escala de tempcl'1lltura IIb\olutll. 49Ik'¡OO. 564 expansión de un gil' a temperotum constante. 503 expenmento de Joule sotm- la ele\'1ICi6n de la. !l25·526 !~iente de, 590 intcrPletacióa molecular de la. 504·505 Kelvin.499 ley de to. ¡aSC'a Ideales y, SOO-SOJ '1 equilibrio t6nn.ic0. 495-496 Taqp!raUIra absoluta, !I :ala de. 499 1bDpenlun del punto de hielo. 496
•
Terllll'CI'II1UMI de l pUlll0 de Yapor. 4Y(. '1'e1 11 1H':flllUI1l1Crnrodi nánlicll.56-l ·lenslólI. 89 l'ensión de clll\lhldurn. 352 'rcn~16n de compresiÓn. J.51 Te n ~i6n de tmceión. J.50 'I'e nsIón/de fOflll IIC 16n de cot1l lm~.ión, J.5 I e<1,,¡¡¡brio y. 350·35 1 lIIódulo de Vnung y, 350·35 I seguridad en lo~ ascensores y. 351-352 lcorenm de e1luipartición. 506 fll llo~ del. 536-.539 teorra cinéticn de los gases y. 506 Y caplleid¡¡des ealorrtieus. 534 Teorema de los ejes paralelns. 255 Teorcmll del impulso mccánico-incremento del momento lineo l, 201 TeoreJOlI del tmbajo·cnergro cinética. 143 Teorema tmbajo,energra. 179 Teoría ciuélicu de los gllse$, 503-512 cálculo de lu presión ejercidl' por un gas, 503 descripción. 503-504 distribllcióu de Max lIo'e ll· Boltzmann. 510 distribución de velocidades moleculares, 508 distribución de lo energra. 511 runciones de distribución, 508 inlerpretación molecular de la tempemtura, 504-505 interpretación molecular de la temperaturn. 504·505 recorrido li bre medio, 506 y teorema de equipanición. 506 Tercera ley del mOl'imieoto defi niciÓn, 80 ejemplos y demostraciones de. 95·98 Tennodinámiea (,·tasl! tambié" Segundo principio de la termodinámica) cambio de fase y calor latente, 523-525 capacidad calorífica de SÓlidos. 535-536 capocidad calorífica y calor espccffico, 520-522 eapaeidade.~ calorffieas de los gnses. 531-535 compresión ndia\)jtiea cuasiestáfica de un gas, 539-54 1 energrn interna de un gas ideo!. 528 equili brio térmico y tempernturn. 495-4% escala de tempernlUra. 498·500. 564 escalas de lemperatu rn Celsius y Farhenheit. 496-497 experimento de Joule y primer principio de la. 525·527 fallos del tl.'Oremn de equipanición. 536-539 ley de los gases ideales. 500-503 primer principio de la. 526-527 principio cero de la. 496 teorín cino!ticll de los gases. 503-512 trabajo y diagrama PV paro un gas. 528·531 Termómetros de gos. 498·500 11 \'Ol u~n eon~la nte, .$98-499 Tiempo de extinción. 413 Tiempo. Sistema inlemacion:ll de unidades pllra el, .$ Tierra energra cinéllca de un cuerpo aleJ3do de la. 323 ley de Nev."on de la gmvedad y eafda lib~ hacIa lit, 3 18-3 19 momento angular de e~pfn. 290 Timbre,482 Tono. 482 cualidad del. 482
lorr, :no Thrriccllr. ley de. 379 TO("\,jón, módulo de. 352 TrablJo • de un muelle wKx-e un bloque. 147 dia¡¡aili.ll PV JWII un I*J. y, S28-53\ cm 2 ¡IUid.ka y. 142·148 p6rdlda entre focos ., mioos. S64 ;! dldo por un motor. S63-564 r.lu. por fuerzas VlriablF?, 146-147
rndlce alfabético reahlAdo sobrt un illl~ IJeal. ,'UU U I rdtt.!IÓIl enln'! enct'J!fa), 141 )' enetl!fa t'n 1I'1:~ dinlCn~l\lnt'~. 15'1- 1:'15 ~ l>OtenclCl, 152- 153 fub,) \.'t\tlh..'O. 4S 1-482 UmJ:tJ de Il1Iua ulllfh'lIda. &.~ Unld.1o.1fund:tnlCnl:ll del mlllllCnlO !lUgulnr. 302 Up¡Jndc~.te Illngltud. J Unid:tdes de I1l6.hJn Btu. 520
Vll\'-'t)fe~ de~pll. ,am tcn l o,
c:alorln, 520 cifm~ silllliricllti"M y orden de nmgAitud de 1M. 9- 10 C't}n\~r..¡Ón
de. 5-6 dimc n S¡l)ne~ de Ifls m"gnitude.~ rrsieus, 6-7 fuen:a y masa. 85 nocnción cientfjjen de las. 7-9 sblcma cgs de. 5 sistema il\lemnciollnJ dc. 3 .. 4 \fnlores utilizudos. 3 vatio (W). 152 Unidades SI de fllena y potenchl, 4 r['('{;\lentemcllle utilizadas. " múltiplos y submúltiplos de lus, 4 Unh'erso \'is to por órdenes de magAitud. 11 Valor ¡nici;I!, problema de. 36 Van det Waals, ecuación de estado de. 587-588 Vapor mdquina de. 553 presión de. 588 punto de. 4% rendimiento de una máquina de V'oIpor. 562-563 VaporildlCión. calor latente de. 523 Varinble.~ de estado P. Vy T. 501 Vatio (W). 4), 152 Vector aceleración. 57-60 Vector aceleración instantánea, 57 Vector acelernción media. 57 Vec tor velocidnd inStllnulncfl. 55 Vector velocidlld media. 54-56 Vectores componentes de los. 5 1-52 ejemplos y dcmostrucioncs de. 57 .. 60 negativo dc un. 50, 54 posici6n y velocidad. 54-56 producto por un escalar, 5 1. 54 propiedades de los. 54 res ta de. 5 1, 54 rOlación y. 285-287 5UIII:. de, 50. 54 velocidad relmivn. 56-57
•
I
1-1 1
52
delilllci6uue,49 Nu mu de, SO VeCl urt.~ unlludO!;, 53 VecIOIl'~ velocidad. 55.56 Vc:lociducl cálculo del movimienlo de un parnca¡di~la. 127-128 de d¡ ~tri bt. ciÓn de molécullls. 508 de In vehx::idod de upro;l:imación en IlIs eolhionc..~ fronlales ellf~lIcl$, 224. 226 de lo velocidud tic re troceso en las colisiones frOnlales elásli elL~. 224 tic lus ondllS de sonido. 4:)4-435. 542 de ondas. 434-436 de un avión supersónico. 456 ejemplos y demostraciones de. 20. 23-24, 38 en el movimiento armónico simple. 397 en funciÓA del tiempo. 27 energrn pQtencial gnwiulIoria y proyec tj) e.~, ]25 1l1OvimiCJlIO umló nico s imple y movimiento circular. 402 y ncelemción de UA objcto ligado a un muclle, 40 1-402 y despla1A1r11icnlo como integrales, ]5-39 y encrgra de un objeto que oscilu. 404Velocitlud cUlld~tjca media. 505 Velocidad de escupe. ]23 módulo. 32] Velocidad de rase. paquetes de onda. 484 Velocidad de grupo. paqueles de onda. 484 Velocidad de la luz postulados de EinSlein sobre la. R.2-3 principio de relatividad y conslancia de la. R.2-J Velocidad de onda de oAdas en una cuerda. 4]]-4]6 onda.~ de sonido. 434-435 \'elocidad del sonido CA un gas. 434 Velocidlld inSUtntánca. 22-23. 55 módulo de la. 23 vecto r. 55 Velocidad Ifmi te. 124· 125 Velocidad media, 21-22. 54 interpretación geomélrica de la. 22 módulo de In. 21-22 Vector, 54 Velocidlld relativa. 24-25. 56 en dos y trc.~ dirnensione..~. 56-57 en una dimensión. 24.25 Vent uri. erecto. 379-381 VenlUnmetro.379·380 Viaje ¡¡ 1r'I'\\'6 del tiempo. 176-177 Viemre.475 Viscosidlld. coeficiente de, .182 Wicn, ley del dcspl bf~mieJllo. 597
,
•
m~
•
I u .. I .()(;J() .~Jij7~(I ;\) ( 10 27 kg
I I~ m ("l')
N,
6,022 14 1 99(471)( I (ll1 partlcu lavmo l
Con'I"nl": de BolIfln:\lIn
k = RIN,.,
I .JIHl650.\(24) }( 10 :l.l l / K
Ml\gllct6n de Btlhr
IIIU •
ConNt"n'e dI! Coulomb
k. 1I(41lG¡)
8.987 .55 1 788 ... x 109 N . ml¡C1
LongItud dI.! onda C(\1l1JlIOn
~::: I,!( mec)
2,426 3 10215( 18)x IOl2 m
Nlhllern de t\ \ 1~~lldru
f' 111(2
9.274 OOH 99(37) x 10
", ~)
5.7H8 38 I 759(43) x 10
1.602 1764 62(63) x 10
Cmga fundll1nental Conslnnte de los ga1;CS
R
Co n ~ t :\IItc
G
111SIl
MaSIl
de In gruvitación
del electrón
2A
Jn'
' evrr
1'1
,
,
e
8,3 14472( 15) J/(mol ' K) 1.9872065(36) cnV( mo l . K) 8.205746( 15)>< l o-2 8tm · U (mol · K) 6.673( I O) x 10- 11 N . m21kg2
,
9,109 38 1 88 (72) x lO~ll kg 0,5 10998902(21) M.VIc' 1.672 62 J 58(1"3) x 10-:21 kg
,
del protón
,
938,27 1 998(38) M.VIc' 1,674927 16( 13)x JO- 21 kg
Masa del neutr6n
939,565330(38) M. VIc' Pemlitividad del espacio libre
8,854 187 817 ... X 10- 12 el/(N . m2)
Permeabilidad del espacio libre
411'X 10- 7 N/A 2
6,626068 76(52) x 10-34 J . ~ 4,135667 27(16) x 10- 15 cV· s 1.054 57 1 596(82) x 10-34 J . s
h
Constante de Planck
6.582 J 18 89(26) x 10- 16 eV . s
,
Velocidad de la luz
,.
2,997 924 58 x 108 mis
5,670400(40) x I O~ W/(m2 . K4)
Const
-~~~------~~--~~~--~~~~~~~~------~---"Los valores de estas y otras constalllcs pueden obtenerse de la direcciÓn de Internet hllp:llphysics.nist.go\'lcuu/ConSlanls/index.html. Los mlmeros entre parénu:sis represelllalll05 clTores en las dos últimas cifras. (Por ejemplo. 2.044 43( 13) significa 2.0+4 43 :t O.0CI013.) Los v¡dores sin números entre p:l!tlllesis son exactos incluyendo aquellos con pulllOS suspensh'os (<"01110 el valor de 1CqUC es exaCtamcnlC 3,1 41 5 ... ) ,
,
Derivadas e integrales definidas d
-, ~en a.r = aeos ax
í c ....A d;r: ::
Jo
'-'
En las seis integrales. a es unn constunte posi tiva.
!a
d dAcos ax = -asen ax
•
r
}It _t e ....•
o
' tlx
:::
= a
?
,
Productos
-A · B '"
vectorldl~..
AB cos 9
A XB
,
AB sen
>= 7
en
(n obtenido mediante la regla de la mano derecha)
7
, ,
,
G fHll e tl'd 1 ~ Iq u nolJlt>\na
e
1:
mi ,. 2m-
definición de 1(,
A . ,..,
área de un cfrculo
v e J~ .rrr'
volumen de una esfcrif
A
,
=dVltlr =4nr
área de la superficie esférica
V = Aba.'iCL = rrilL
volumen Ce un cilindro
A = tlVltlr = 21trL
área de la superficie cilfndrica
o= hsen8 a = hcos8
h
o 8 o
sen! 8+ cos! 8= 1 scn(A ± B ) = sen A cos B ± cos A sen B cos(A ± B) =cosA cos B + senA sen B sen A ± sen B = 2sen[~ (A ± B)] cos[~ (A +" B)) y
•
Si 18 « 1, entonces cos 8 - 1 Ytg 8 - sen 8 - 8
(8en radianes)
la ecuación de segundo grado
-
b± J b!- 4ac SI, a?- + bx + e = O. entonces x = -=::'-':.~? ='-::..:= . 0
Denrrollo del binomio 2 n(n - l )( n -2) j Si lx1 < 1, entonces (1 + x)" = I +IIX+ n(n2'- I ) x+ 3 x+ .. , . . I
Si /xl « 1, enlonces (1 + xl" .. I + nx Si 1dx1 e.~ pequeno. entonces dF ..
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la Ffsica pa..;a la Ciencia y la Tecnología de Paul por su
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