Ciencia y Tecnología para la PazDescripción completa
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hola
Descripción: fisica tipler mosca vol 1 para ingenieria
fisica tipler mosca vol 1 para ingenieriaFull description
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Explicación acerca de la influencia que a tenido la ciencia y la tecnología en la ingeniería, tomando en cuenta a la sociedad y los impactos que que esta a tenido
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Física para la ciencia y la tecnología. 6ª edición. Apéndices y respuestas Apéndice A. UNIDADES SI Y FACTORES DE CONVERSIÓN / AP. 1 Apéndice B. DATOS NUMÉRICOS / AP.3 Apéndice C. TABLA …Descripción completa
Física para la ciencia y la tecnología. 6ª edición. Apéndices y respuestas Apéndice A. UNIDADES SI Y FACTORES DE CONVERSIÓN / AP. 1 Apéndice B. DATOS NUMÉRICOS / AP.3 Apéndice C. TABLA …Descripción completa
Descripción: aqui les dejo el ensayo de los mexmen
Historia de la ciencia y tecnologia en iberoamerica y el mundo antiguoDescripción completa
Descripción: ciencia y tecnología
Descripción: descripción del contenido de ciencia tecnología y sociedad
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Acclcmci6n de la gravedad en la superficie
es distinto a
es aprox. igual a es del orden de
es proporcional a g
9,8 1 m/s'Z = 32,2 pies/s:!
de la Tierru
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es mayor que
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es mayor o igual que
Radio de la TIerra
RT
6370 km = 3960 mi
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es mucho mayor que
Masa de la TIerra
MT
5,98 x 1()2A kg
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es menor que e.~
MB1hI del Sol
1.99 x l()lO kg
Ma!>a do;: la Luna
7.36x lOUkg
Vclocidnd de escape en la superficie de la Ticrra
11.2 kmfs = 6.95 mi/s
incremento de x varinci6n diferencial en,t
Tempt:nuuTU y presión en co nd icionc..~ normult:, (eN )
O°C = 273.15 K
valor absoluto de,r
I ntm = 10 1.3 kPa Di"(tuncia 'tierrn· Lunll tt Di~tnnc iu
Tierra·Sol (mC'lia)"
3.84 x lOS m " 2.39 x lOS mi 1.50 x 10 11 m =9.30x 10' mi
VelOCidad del sonido en ulre \CeO (en eN)
33 1 mI~
Den ~ itlild
1.291..g/m l
del aire
Dc:n,idad del agua
1000 kg/m'\
Culor tle fU~16n del nguu Culur de vllpori7uci6n del aguu
I en1 = 4.184 J =4, 129)( 10- 1 alm' L I alm' L= 10 1.3J=24.22cal
= 1,602)( ID 111 J I Blu = 778 pie ' lb = 252 cal = 1054 J 1 cI'lbllll0 de vapor = 550 pie' lb/$. = 746 W
1 eV
Com!lIcl iI'I,/(u!ttfrnlil'tl
0
I W / m . K :::: 6.938 SIU . pulg/h ' piel. °F
I revlmin = 0.1047 rudls Ctllllpo rtltl811/1/jf'n
11' = 104 0 Vi.feos/dad IPa 's", IOpoí~
unllu;::II.1n
•
/'/tuln dI' Id ohm Img/" "I· Ph\'sl~ for Sclentl~l~ IInd En Klnt'<'l"rI. Flnh I(dlllo ll . • 1!/ /iC'/(m ori.~ iIUlI ('ti II '''~I/(I /II~ /t'.\tl /}// hlil'lUl(/ ptlr' W. H. F REEMAN AN O COI\WANY, Nc" Yor k ttnd " l" ht ~~ l ukc 41 M:I(¡¡,nnAvcnuc. Nc\\ Yo r~ (NY) USA
C opyright 10 2003 hy W. 11. Fn..'1!nutn lIud Compult)' Al! Ritthl,
~ c-.erl1:d
Vcrsidn c~'1xllll) I(I ¡mr
Dr. Albert Bramón 1'lünllS Catednh ico de Ffsic:I Tl!óriclt Dr. José C"sus·Vázquez Catedrático de Ffsicn de la MUICri ll CondenslIdll Dr. J osep Enrie Lle bol Ra bnglillti Catedrático de Física de la Mmcrin Condcnslldn Dr. Fernando Lópt·z Aguilnr Catedrntico de Física Aplicnda
Dcpanamento de Física de la Universid ad A utónoma de Barcelona Coorditrada por
Dr. José Casas - Váz(IUeZ
Propiedad de: EDITO RI AL REVERTÉ, S. A. Loreto. 13- 15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA
Reservados todos los derechos. La lepuxlucción tot~ o ~ ial de est.a obra. por t'l.lalquicr medio o procedimiento, comprendidos la reprogmffa y el tratamiento inronnático. queda riguroslUncnle prohibida. salvo cxt'Cpción previstH en la ley. Asimisn'C queda prohibida la distribución de ejemplares mcdimllc alquiler o prestamo públicos. la comunicación públicn y la tr.ms(onml(:ión de cualquier parte de esta publiC
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l'f{xI/1ol:
C> EDITORI AL REVE RTÉ, S. A., 2005 Impre.<;o en
E.~p:lñ:L
- Printcd in Sp;,in
ISDN: H4·2t) 1-44 11..()
Volumen 1
ISBN: 114·29144 10-2
Obra oomplcla
Dcpó5110 Legnl: B-3Q2l5·20Q.1
Imprc-w por 1'(, , ~ O\sinu
ViÜlllomilIIS8-t60 f1ROI 5 Ban:clooll
-
Estamos muy sUl isfechos de poder presentllr la quinlll cdid6n de Física p(lra /0 ciellda y /(1
tecnología, En cllranscu rso de esta revisión hemos ido COIl'itfuycndo sobre 10l> pun tol> fuertes de la cuanu edición. pUn! que la llueva versión s..::u un i nst nllTlCnto de aprendizaje alÍn rnál> preci~o.
almclivo y l11otivlldor de los cursos de int roduccióu a lo físic¡¡ bm:udos en e l cálculo in fi nitesimal. Con la ayudu de aquell as personas que la h¡¡bf¡.III rev isado y muchos usuarios de la cuarta edició n hemos examinado y pul ido c;rda aspeclO del libro con la intención de mejorar la comprensión del estud iante y S ll S resultados. Nuestros objetivos incluían ayudar • a l est ud iante u aumentar s u capacidad de resoluc ió n de problemas, haciendo e l texto más asequible y agradable de leer, y conservándolo nexible P¡¡r;.¡ el profesor.
Ejemplos Uno de los modos más importantes de lograr nuestros objetivos consistió en añadir alguna nueva característica a los ejemplos res ueltos en faonato a dos columnas, ya introducidos en la cuana edición. Estos ejemplos yuxtaponen los pasos de la resolución del problema con 1:'ls ecuaciones necesarias. de modo que es más Fácil para e l estudiante ver la re.,solución del problema.
El formato a dos columnas utilizado en los ejemplos resueltos procede de las sugerencias de los estudiantes; nosotros sólo hemos añadido unos cuantos detalles finales :
• Después de elida enunciudo los estudiantes pasan al l ' /olll/!omietflo del problema. Aquí el problerml se analiza tanto desde una perspectiva conceptual como visual. y con frecuencia :,e pide al e,<:; tudiame que dibuje un diagr.uua de fuer/us. ClIda pliSO de In :.oluci6n se presenta con UII U nota c.~c ri t :l en la columna de la i/.quierda y 111.s ecuaciones matcmáticm. correspondientes en la columna de la derecha. • La.. Observacion ~s al fi nal del ejemplo sei\ulan la importancia o pertinencia de l ejemplo, o sugieren un modo diferente de abordarlo. • Lo.. nuevos Comprobar t4 resullad" rccuerolln a lo~ t~ tud illllles (lile han de verificar su.. res ul!ado~ tanto cn lo q uc concu:mc a la prcci.. i6n mluemáticn como B lo f8l.Ono.ble de .. u.. res pue'tms.
• A tm:nudo un Ejerr::iciu ~iguc a la solución del ejemplo. lo (Ille penniic al cSludilll1te cOlllprobar ~u cOl11pren~¡ón mediQllIc In resolución de un probkma pnl\!cido sin :1)'ud3. Las rc~pu~tuS estún induidnío en el Ejcn:ido paro a... ¡ dar informllción inmcdilll:t y :.oluc1onc, IIh enllllh'3 ~.
• L O!lllUeVOío Ejcrciciu~ intcrttct i \'o\
M w'/f'r Ihf' Ctm rl!pt aparecen nlmenu:. 111111 \el en cUllu capftulo y conMilu)cn
unu llyudu para tk'lamlllllr \[\ hnhihdnd del c\ludiantc en In rc"olución de pl'\" blerna-.. ,
I
Prefacio Cadu ejemplo IliI si(jo cx mni nndo y ~e hun ílñudido lluevo!> p U.\(ls. llueva.., obscrvllcionc.. 'i ejercicios complementarios y haSIiI d iugruma¡. de fllena donde .\c hn con.\idcrado oponuno. Las respuestas aparecen IIhoru rccundrnda:. pllrll que resulte m:í:. fác il cncuntrnrla:.. Elllre 111\ nuevas car trabaj an d prob le ma con ayudll I.!II cada paso e información inmediata . Esta edición incl uye también dos tipos dI.! ejemplos e~pcc iali zados que proporcionan a los estudiantes ocasiones únicas de resolver problcmlls. Lo~ ejemplos /" tél/te/o us ted mismo inc illln al estudiante a desempe ñar un papel acti vo cn I¡} resoluc ión de l prob lema, y los ejem. plos PÓlIgalo en .\"11 COllte.xto les aprox iman a los cscenarios de la vida reul con los que pudieran enCOntrarse como cientílicos.
Ejemplos " Inténtelo usted mismo" Al igual que los problemas resueltos ordinarios. éstos utilizan e l formato de doble columnl!. pero aquí se omite la secc ión correspondiente al planteamiento del problema y las descrip. c iones de la columna de la izquierda son más concisas . Estos ej emplos llevan a lo:; estudianles a que sigan la solución paso a paso sin tener que hacer los cálculos ellos mi .. mo!".. El estudiante encuentra útil cubrir la colum na de la derecha y tratar de hacer los cálculos por ,í mi smos antes de mi rar las ecuaciones. De este modo, los eSlUdiantes pueden estudiar dt'lalIadameme los pasos a medida que van completando las respuestas.
Nuevos ejemplos " Póngalo en su contexto" Cada capítulo contiene ahora al menos un ejemplo resuelto que puede identificarse Cl' "contexto amplio". Estos ejemplos pueden incluir información que no es necesari resolver e l problema, o pedir al eSlUdiante que encuentre información ¡¡dicional en m! que obtenga de su experiencia o de otra inrormación previa. Los ejemplos de " COl'
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Problemas de final de capítulo Se ha prestado atcnc ión a In mejónt de la clllidad y la claridud de le». proble ma!> propueMos al final de cada capílUlo. Alrededor del veinte por ciento de los 4500 proble mas ~on nuevo!:> y hun sido redactados por Charlc." Adlcr del SI. Mury's Col1cgc de Maryland. Los problemas concel). tuales se ha agrupado 111comicnl.o del conjunto de problemas de euda capítulo. y se ha añadido una nueva cUlcgorfa de problcmus de E.'ilimnoiÓn y Aproxi mnr.:iÓn pum unimar a los estudi antes
a pensar como cicllIíficos o ingenieros. Las respuestas n los problemas irnparc..'i aparecen reeogida'i en el volumen A,J" nd¡ce,l' y Rl'.\'/Jll esU/s. Soluciones n np roximadulllcnlc el veinte por cicnlO de los problemas se recogen en el SlUdcnt 5011llion Manual. nuevamente reviso.do. Esta
nueva versión ha sido c.'\Crila por David MilIs del Colkgc. or Ihe Rcdwoods para dar soluciones detallndas y rcnc.jnr el popular rormato a doble columnll de [os ejemplos dcllibro. Unos 11 00 de los problemas propue,... tOs en el li bro eSlán incluidos e n el nuevo servicio • I . A estos problemas se puede acceder n lravé.c; de www.whrrccmnn .com/tipler5e. Alrededor de un tercio de los problemas iSO LVE 5011 Checkpoin t ProblCIllS (Problemas de Control) que piden a los estudiantes que observen los principios y ecuaciones que están uti lizando y que indique n su ni vel de con fi a nza.
Cada problema está marcado con: • un conj unto de uno. dos o tres círculos, que identifican su nivel de
si 111 respuesta está en el Student Solution Manual • • un icono I si el problema es eane del servicio isolve y un icono I .1 si el problema es un problema Checkpoint SSM
Esta nueva edición de FIsica para 1(1 ciencia y la recllologíalicllc una serie de carncleríslicas que hacen del libro un valioso instrumenlo pam la enseñuni'Al . At;pc~IO S clave de la últ.imn edición se han revisado y se han inlroducido nuevos msgos. característicoS para hllcer el hbro mú ab ..tivo y actualilado.
..
Nuava pedagogia en la Introducción de cada capitulo • ....N. cpdp capítulo comienza con una fOlogratTa y una pregunla cuya respue."la
da en Anllo del capítulo. Esto introduce a los esludianle.c¡ en el lema que se va ........ , ... üiUII .. pu_ la molución de los problemas. dlulalde 1M ncciorm principales da una idea general de lo que se va a COftIIihl)'e una apecie de guía del capítulo.
."'odo Mejoras en el contenido El Cupflulo R . un " mini" 1:1Ip(11I1o opciunal dd Volumen 1, 10 , uhcicnlCJnellle brc\c PMiI \q dC
ceplo~ h:l .. kos de la COlIll"llI.:ció n de lollg lludc\. dihllaCló n dclllC~lPO y \ lIllUllílllcldad. IIllh· /llI1do experi mento... mCllln lc\ con regla!. y re loje ... de hl/ . Tnmbrén -.c c\liIhlccc 1" re lación
Cnlrc 11I0 l11CIII 0 y c llcrgín rc IUlivif,l:t:.,
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Tl'uríll cuánl ¡en: lo" Cuprtulo\ 17, ;' Ouolidnd o nda-part ícula, y. Ff.. ,cn C~llÍntlcn . y 27. "Teorfu lll icl'osc6pil;il de In conducción eléctri ca" dc la cuana edIc ió n IUlIl " Ido dc..\pllli'odo\ ,1\ U locllli.lUción más Irlldicional del Volumen 2 de la quinta ed icióII como Cupfluloc, 37 y 38. 1..0-, profcsorcl> que ucseuscn incl ui r cst o~ (;apílUl{I~ ante", en ' u cur,o di ..,ponen de e,tc material
en la "'eh WW\\'. whfrccnulII .com/ tiplcr5c. ClIlIlbios de CllrO(IUC : A lo largo del libro se han hecho docenas de pequeños pero <;ig.nifica_ li vos cambios. Por ejem plo:
En la Sección 3.3 se introducen los diagramas del movi miento y ..e utilizan para hacer ulla estimación de la dirección del veclor ace leración 11 partir de la definición de t1¡,:clcrn_ ción. En la Sección 4.4 ahora se introducen cualitati vamente fuenas de ro7A1miemo paiJ que los diagramas de fu erLU puedan inclu ir cs tc. lipo de fu er.ws. En la Secci ón 5. 1 ..e hace un tratam iento cU:ln titlltivo de las fuerLas de ro7...'lmiento. La Sección 4.7 introd uce problemas con dos o más objetos. Ec,coger un ¡,iMcma de cje\ de coordenadas distinto para cada objeto conslituyc un modo exce lente de ejcn:it. '>C en la resolución de prob lemas cuando se utili zan las leyes de Newton en c,istema.\ frnnad()l, por dos o más objetos. El valor de este modo de proceder se d e mu e~ t ra en el mplo donde Sleve baja deslizándose por el glaciar mientras Paul está ya cayendo por t' lrde. En la Sección 8.8. "Sistemas de masa variable". la ecuación básica del mo\' imic, .le un objeto cuyft masa varía de manera conti nua (la ccuación del cohete) se dc~arrt' milizando un objeto que va adquiriendo masa -como un furgón descubierto bajo I .~ Ja",do más que lino que está perdiendo masa -como es el caso de un cohete que va novigases de escape. Este cll fO
Más aplicaciones técnicas y biológicas Las nucvas aplicac iones que se añaden subl1lyan la importiUlcia de la fís ica en lo qUI! respecta a la experiencia del estudiante. la pcrspecl ivu de lluevas estudios y de futuras carreros.
Atención a los escollos comunes Los IClllnl> que frecuentemente originan confusión se identificnn con un nuevo icono ' ;Il1í donde la dificultad surge. Por ejemplo. en la Secc ión 3-4 el icono se usa pum identilh;;lr la di scusión que sdlaln que los movimientos hori Lontal y vertica l son independientes en cllun¡"Imiento de proycctiles.
Nuevo diseño e ilustraciones mejoradas ApéndlceJ y respuestas
El libro presenta un m.pec to mtb cálido y lleno de colN. Cada una ele lo ... iIUMrnci(ln\!~ ha ~ido cuidndo~nmente exam inndm. y Illuchas se hUII revisado para gunar en cJ:u'idaJ. Se han añad~do nproximaclmnente 245 lIUCV:t.s figuras. que incluyen lluevo" diagnll1l:11> de fucrlll~ en
los cJemplol> !'CMICho.s. NUCVll:- fotogrnrfus notó¡ nccrcnn .. Ins mucha!- IIpliC'IlCiOlICI> que t'n d mundo real tiene la ff$.icu.
Prefacio
I
Secciones opcionales Ellibm ~e propOl~e faci litar 11 los profesores e l pod er se r t\ex iblc~ di licñundo pura e llo algunas secc iones o.J>ClOnales. Es ta~ ~ccc i onc:. uparecen marcada.. con UIIII!'Ilerisco •. y lo!> profe~~re!; que escoJ¡Ul saltarse csa secc ió n puedcn hacerlo sabiendo que su!> cSlUdiunte ... no se plc rden un malcri a! que lII!cc:.iturán en capítu los postcri (l rc~.
Resumen l os resúme ne:. de fi nal de cap ítulo se estructuran de tn l manera que los t e m a~ impo rt:uuc:, se colocan n la izquie rda y las observllc io nes pcrt inentC!'I y IlIs ecuac iones corres po n di c nt c~ ;¡ la derecha. Para fucilitar su consulta. las ecuaciones aparecen con e l mislllo número que tiene n en el capítulo.
Ensayos de exploración
Versión en seis volúmenes
l os estudi antes están invitados a eSlUdi ar las interesantes ampl iacio nes de los conceptos del capítul o que se recogen en I:¡S secciones de ex ploració n, que ahora se puedcn encontrar en la web. Estos escritos con os re lacionan los conceptos de l capítu lo con lemas que van desde el tie mpo meteorológ ico hasta los transductores.
Apéndices y respuestas En la versión españo la de esta sa edición de Ffs ica para la Cienc ia yla Tecnología. los Apéndices y las Respuestas a los prob le mas impares de fin al de capít ulo se recogen en un volumen independ iente que sirve como co mplemento de cualq uiera de las dos versiones d isponi bles (en dos y se is volúmenes).
Medios de difusión y suplementos impresos
Volumen lA:
M écanica
Volumen 1B:
Oscilaóones y ondas
Vo lumen l e: Term odInámica
El paquete dc suple mentos ha sido actualizado y mej orado en respuest a a las sugerencias de los q ue revisaro n O utilizaron la cuart a edic ión.
Para el estudiante: Student Solutions Manual : Vol. / 0-7167-8333-9: \10/. 2. 0-7 167·8334-7. El nuevo mllnunl preparado por Dav id Milis de l Co ll ege o f the Redwoods y Charles Adler del SI. Mary's Co llcgc o f Mary lund proporciona las so luc iones de aprox imadamente e l veinti ci nco por c ie nto de los proble mas del libro, uli lil.ando el mismo fo rmuto a dos columnas y el mismo nivel de detalle que los eje mplos resuellos del libro. Study Guide: Vol. /. 0-7 /67-8332-0; Vol. 2. 0-7/67-833 1-2. Preparada IXlr Gene Mo:-ca de la Unitcd Stutcs Nav:11 Academy y Todd Ruskell de In Colo rado Sc hool o f Mines, In SlUdy G uide describe las ¡dea~ c lave y los potenc ia les cscol lo~ de cada Cilpítulo. y también incluye preguntas vcrdadero-falso ~obrc d e fi ni c ¡ o n e~ y relaciones. cuestiones y rc.<,¡ puestss que requiere n un mzonamiento cualitativo. m,f como probl c l11n~ y ~o lll cio n c'!'. Student Web Sltc: Robin Jord:m de la I-l oridn A tlantic Un ivcrs ity ha creado un sit io en la wcb con e l prop6:-. ito de hacer más f!'l cíl el estudio y la comprobnció n a cstudilm tc'!' y proresores. Este .. ilio incluye:
•
•
Volumen 2A: Electricidad y magnetismo Volumen 28:
luz
Volumen 2e:
Física modern.,
+
On-lIne qulzzlng: Cuc~t ionarios de e lecc ió n mt'í ltiplc de cadn capít ulo e,...tán d isponibles en eSle sitio. Los estudi anlc:o. reciben rcspuc.'il:l inmcdi utll y lo!> re:. ultndos de In pnlebu se recogen pam el pro fe sor en un libro de n Ol a~. Lt;OLVE homework servlce: 0-7/6 7-5802-1. Al rededor de un cuun o de lo ... problemas de fin de cupítulo dcllihro. en conj unto I 100. esuin dispon ible.>. e n línea en e l ¡SOlVE homewo rk serv ice de W. H. Frceman. E.'ite servicio o frece a cadn estudhmte ulla vcr~ión di"linla de cada proble ma parecida a CA PA y WebA":..ign. Lo;, proble mas iSOLVE IIparecen man:ados con un ICOIIO e n el libro. 1.0'1 rellultado .. de e<,¡lc lrahajo pcn.onn l c,( pueden recoser en un libro de nOla:,.
Apéndices y respuest as
XI
XII
I
Prefacio
•
•
iSOI.VE Cheekl,oint llroblems: Un tcn;io de nuc<.¡tm<, cuc<.¡,ione, ISOLVE ..un prohlcrn!l1> de COlllrol. que impulsan JI l o~ csludimlle .. ti describir c6mo se llega n la re<'puc'iln 'j a indicar su nivel de conliarllu, Todas 111:' re,;pucsta¡, de lo .. cstudillnte... 'le reunirún e incluirán en el infol'l11e rJeI libro de notas del profe<,or. Rolf Enger. de In U.S. Alr Force Acadelll'j. fue el lInimador del dCli:lrrollo de los problernu!o de control para uyudnr 11 lu!'. profesores en su t¡¡ren de calibl11r el grado de comprensión de 10<' c'itudiantes. Muster Ih e Conc:cpl Excrdscs: Para cud¡t C:tpítulo. uno o rná<, ejercicios del libro e'itnn disponibles en Irlle!1 pum que lo:. c!'.tudiullIes puedan pr
Homcwork Sc r viccs : Además de la red ¡SOLVE hay otros lre... servicios de trabajo en Ca\3 (deberes) que son com patibles con eSte libro. Lo~ problemas de fi n ele copítulo e~ tán disponi· bIes en WcbAssign y en CA PA (Computer·Assisleel Personal ized Approach ). Una lista de todos los problemas cle la quinta edición incluidos en WebAssign y CAPA est::i puesta en la secci6n de l profesor del s it io de la Web de Physin. Nuestro texto es también compatible con el Un iversity ofTexas Intcractivc Homework Service.
Para el profesor: lnstructor 's Resource CD·ROM: 0-7167-9839-5. Este recurso faci lita a los profesore!<. l a~ herra mientas para elaborar sus propias páginas Web y prcsentacione!). El CD contiene liu.<;trac iones del libro e n fonnuto .jpg, Powerpoint LeClUre Slides de cada capítulo dellihn .!b Demonstralion Videos y Applied Physics Videos en formato Quick1ime ~ Pre~\,;. 1I Manager Pro v.2.0, además de IOdas las soluc iones de los problema... de fi n d\: .p" k formato Microsoft Word. Instructor's Rcsource Ma nual: El manual act ual i¿,ldo contiene CI'lSsroom DeO! para cada capítulo. una guí:\ de pelíc ulas y vreleos con ~ uge re n cias para cad~ caru • ces a sitios Web de cal idad y ¡l fue ntes gratuitas de physlets (p hysics applel\'), anur: ) otras he rramie ntas para la enseliallza. Este manual está di sponible en www ..... hfn: tiple r5e. Instruc(or 's Solution MlInulIl: Vol. 1, 0·7/67·9640·6: Vol. 2. 0· 7 / ó 7-96J9.~ l,' 1~ t1 ia contiene sol uciones detallndas de todos los problemas del libro. mili tando el f~\nnato ti ¡Jo~ col umnus sie mpre que ha sido posible. Está disponible e n fonmllo imprc.'\o y lambiell ~c incluye en fo rmula Word en ellnsrruclOr's C D·ROM. Test Bank: En formato impreso. O·7167·9652-X: cn eO-ROM . 0-7 /67-9653-8. Preparudo por Mark Rilc)', Florida State University y David Milis. College of the Redwoods. este COIljun to de más de 4 000 preguntas de elección múltiple se puede obtener tanto en fornlil impresa como en C D·ROM para usuarios de Wi ndows y Macintosh. La vef\ión CD·ROM del Test Bank hace más fácil añadir. editar y reordenar preguntas pam adaptarse a sus Ilccesi· dades. Trnnspnrcncics: 0·7I67-9664-J. Con los tipos aumen tados pum su proyección, este material está fonnado por unas 150 transparencias a tocio color ele figums )' tablas clellibro.
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Agradecimientos Queremos ex presar nuestro agradecimienlo ti los profesores. estudiantes. colcgu.s y amigmo que han contribuido a esta edición y a las precedentes. C harles Ad lcr. del St. Mary's Collcge or Maryland. es autor de excclunte!> problema... nuevo.... David Milis. del Collcgcof the Redwoods. ha 1(uvado a (;ubo unu mnplia rc\'hoión del mUllllal de so lucionc!'. Robin Jordan. de la Plorida AtlanlÍc Uni"crsity, hu ideado lo~ inno\'3' dores cjcrcicios MaSlcr thc Concept y los problcmlls iSOLVE Checkpoint. Luuru Mc('ullough. de ItI Uni vcrsity or Wbconsin cn Stou t. y Thomuo; Foster. de In Southem lllintllS Univcnoil Y e n Edwardsville, paniendo de su experiencia en gnl po" dc ill\·e~ti8a(.·ión en la cn ..cllnll l.lI de In rí'iicll (Phy:-.ics & Iucation RCSCllrch), conlri bu)'cron nuuerial menl~ a pi~
Prefacio
d o.nar ~jemplu!'o de cOllt exln amplio I!I1 cuda clIpft ulo Il~( CO IllO ti lo!'o IlU I!VU" problelllas de cSll.llll\clón y. "prox I'~ n l u compro ' b'.lel ,'6n precisa ' del textu y lo!> problcllluo¡ hOlm)\ . . iurll.:ió,¡ " rcc lbldo ulln Ulcslllnable ayuda de l o~ profc..\ori!:': Kununj(.'Ct Ary". San Juse Slale Uni versity Michllcl Cri"eJlo. San Diego Mesa Colll!ge David Fllust, MI. Hood COl1l munity Collegt!
J eromc Lidni. Lchi gh Uni "crs ity Dan Lu eus, Univers ilY 01' Wiscollsin
Marinn Pcters. Appalm:hi an Slatc Univt!r\ il)' Puul Quinn. KUlJ' IO\V1I Un i"l!r!li lY Michllcl C. Strllus.'i. U n ivcr~i l y uf Okluhoma Ccorgc Zobcr, Yough Senior High School P:Hricia Zobcr, Ringgold Hi gh Sehoo l
,IcllImclt c Myers, Clemson Universit y Muchos profesores y estudiantes nos han facili tado ampl ias y úti les revisiones de lIllO o varios enpítu los. Cuda uno de ellos ha hecho una importante contribución ti lu calidad de c... .w revisión y merecen nuestra grulil ud. Nos gust'lña dar las graci as <1 :
Ed wa rd AdeJson, Thc Ohio State Unive rsity
To01 Furta k, Colorado School of Mines
Todd A"erctt,
The College ofWil liam and Mary
Pa trick C. G ibbons, Washington Universi ly
Yildirim M. A ktas, Univcrsity of North Carol ina al Charl otte
J ohn B. G ruber, San Jose Slalc Univcrsi lY
Kara mj eet Ar ya, San Jose State Univcrsi ty
Christo phcr Gould, University of Southcrn C.. liforniu
Alison nas ki, Virgi nia Commonwea lth UnivcrsilY Ga r}' Stephc n B1anpi cd , University of Soulh Carolina
Phuoc Ha, Creighton Universit )' T hcrcsn Peggy Hartscll, Clark Collcgc
Ro nuld UroW", Cal ifo m ia Polylcchnic Stale Universit y
James W. .J ohnson, Tallahassee Comlllunit y Collcgc
Robert Conklcy, Univcrsity of Southcm M;line
Thomas O. Kra use, Towson UnivcrsilY
Robc rt C OIC01I10 , Emory Univcrsit y
Donald C. La rson, Drcxel Univen;ity
Andrc w Cornelius, UnivcrsilY of Nevada al Las Vegas
Pa ul L. Lec, California State Univcrsity. Northridgc
I'eler P. Crooker, University of Hawa ii
Pctc r M. Le,,}'. New York Univcrsi ty
N. Juhn Di Nardo, Drcxel Uni versity
.l crome Licini, Lchigh Univcrsit y
Willinm Ellis, Universil Y ofTcc hnology· Sydnt!y
Edwurd M tClim ent, University 01' IOWfl
John W. li'urley. Univcr!
Robert R. Mll.rchini . The U ni vcr~ it y of Memph b
Ouvid Flu0101cr,
Pete E.c. M1lrkowitz, ¡"loridll lntcmationfll Univcn.ity
Colorndo Sehaol of Minc!
I
XIII
XIV
I
Prefacio
Fernando McdilUl. Florida At lanl ic Universi ly Luuru McC ullough,
Universit)'
t)f Wisr.:nnsi n
al SIOUI
Michuel 1)1Ib1>on. Uni ver,il)' of Colorado ni Bouldcr Oa\'id Fnus t. Moul11 Hood Communil)' Collcge
Stcphcn Wcppncr, Eckerd Collcgc SU7.u nne E. Willis, Northcm IIlinois UnivcrsilY Ron Zammil.
Ca lifornia PolylCchni c Statc Uni versi lY A los que revisaron pmblcmus/solucioncs tuy Nmn C hango
Virg ini a Pol ytechnic Imaitulc Mnrk W. CofTey, Colorado School 01' Mine:.
SIOUI
a"al Academ)
Univcrsity of Kansao,¡
Bruce A. Schumm, Uni ven.i ty al' Cal ifornia. SmHa Cnll D~H1
SI)'cr, Oberli n College JcfTrc)' Sund
Case Weslcrn Rc.'erve Uni vcn.ily Fulin Zuo. Univcrsity 01" Miami
Brent A. Cnrbin.
A los tille revisaron In Sludy Guidl'
UCLA
Anlhon~'
Alan Cre.'is\\ cll,
C.. lifornia Polytechllic Stalc Uni \'cr.-iIY
Ship¡>cosburg Univcrs it y Ricardo S. (.>ceca. IndituHl Uni licro,¡ ity- Purdue Uni vcr,i lY
Mirclu S. Felea. Uni \'cr'iity nI' Richmond
J. HufTa.
P..tKIo
JIII1H'S Cu nu~ r.
UnivCNil Y nI" Nonh Florida
Peter K<.:. Mllrkowllz. Florida Inlcn! IHiollul Univcr.. ily
Tima HlIrrlott .
Dcun ZolluUln.
MOlllI1 Sn inl
V in ~e n l.
Cllnadn
K :\Il ~n~
Slalc Uni"crsity
ROAcr King. Cil)' Collegc of San Francisco
A los I,urlicipulll c...
John A. McClcllllnd. Univcn.ilY 01' Richmond
Ed wi n R . .lunes, Unive ..... il )' o r Sou lh Carolinu
C hun I'-'u S u.
Wlllilllll C. Kerr,
CII
el mcdlu
rUCUl'o
gruup
Wakc Forcsl Uni "crsi ty 1'lIhn Mzou¡,thi • Missisr.:ippi State U n i"e r~ ¡l y
Mississi ppi Slnlc Uni \'crsil)' .101m A. Under wood . AUSlin Communily Collcgc
C hurles Nied crl'itcr.
;\ los que rC\'isll roll los medios de difusilÍn Ouslavus Adolphu s Co llcgc Mick Arnclt.
-
Kirk wood COlllmunily Co llcl!e Coloncl Rolf E ll gcr.
C imly Sc hwllr1.~ Vassur Collcgc
U.S. Air Force Acudcmy
Dave Smith, University or the Virgin Islands
.101m W. Fl'Irlc)', Thc Univcrsity of Nevada at La:- Vegas
0 ..1. Wagncr, Grove Cit)' Collcge
David In grum . Ohio Universit)'
George Walson, Universil)' of Delaware
Shawn .Jack.'ion. The Univer:-it)' of T ulsa
Frank Wolrs~ Univcrsity
Dan M'lclsllac.
NOr1hern Arizona Uni versil)'
También seguimos e n deuda con los que rev isaron las anteriores edicioncs. Por esta ralón nos gustaría agradeccr ¡¡ los que nos dieron s u incalculable apoyo en la preparación de la cuarta edición:
Michacl Arn elt.
P~1U1
lowa Stale Univcrsity
Universi ty 01' lIlinois
W illiam Bassichis,
TexasA&M
Robert W. Detenbeck. University of Vermon!
Joel C. Bcrlinghieri , The Ciwdcl
Uruce DOllk, Arizona St:ltc Uni vcrsit)'
Fr¡mk Hlatt, Michigan SI,ttc Uni versity
J ohn Elliolt,
.1 01m E. Uyrn c,
Jam es Garla nd ,
Dcbevec,
Un iversi lY 01' M a n che~ t e r. England
Gon1.aga Uni vers ity
RClired
Wu)'ne C llrr,
Slevens Institute o fl't!chno logy
lan Glltland , Oeorgia Institutc of Tcchnology
Gcor gc Cassid y.
Ron Gautrcn u.
Uoi ve rsil )' 01' Ulllh I. V. C hivclS. Trinity Collcgc. Universil )' 01' Dublin
Han)' T. e hu, Uni vcrsil Y 01' Akron
.IcfT C ulbcrt. London.Omado
New Jcr:-.ey Insliw lc orTcchnology I)avid Guvcndu. Uni versit)' 01' Tcxa!- all\us!in Newton G rccnbcrg, SUN Y Bingh:ulllOn Huidong G uo,
Columbia Univcr.. ilY
I
xv
XVI
I
Pre fDdo
GCOJ1;C w. f'urk cr. North Curolinu Stnli! Uni vel'\lly
RiclUlrd Hnrllcz. Dn.:xcl Univcrs;IY Miclult::1 Harris. Un ;vcrs;ty 01' Washington RUlldy Harri.s, Un;vcrsity oC Cnliforniu ni
P:dwurd Pollack, Uni vcI'\i ly 01' Ccmneclicul Dnvi ~
.Ioho M. Prallc. CJuyton College and
SUIIC
UllIve.... ily
Brooke Pridmorc, Claylotl SUII CCollege
Oictcr Hnrtmal1l1. Clclllson Uni vcrsit y Un; vcn:ity 01' Pcnllsy lvania
Duvid Ruberts. Brundeis Uni vcrsi lY
MudYII Juli!.
Lylc D. Roc lofs.
Uni vcrsilY01' Millay ..
Haverford College
MOllwhcn Jeng,
Univcrsily of California - Santa Barbara
Larry Rowlln, Uni versity of North Carolina al ChaJX!1HiII
I10n .Joscph ,
Lewis H. Ryd cr,
Columbia Univcrs ity
Universi lY 01' Kcnl , Cantcrbury
Dn\'id Knplan. Uni versity of Ca lifornia -
Bernd Sehuttlcr, Uni versity of Georgia
Rohcrt
~1()lIcheck.
Sanl
.Johll Kidder,
C indy SchwllrJ'.,
Dartmouth Col legc Boris Korsunsky, Nort hficld MI. Hermon School
Vassar Col lege Murray Scu rcm:.tn.
Andrcw Lang (graduatc studcnt), Uni versity 01' Missouri
ScoU Sinawi , Columbi a Uni vcrsity
Onvid Langc,
Wesley H. 5milh, University or Wisconsi n
Uni vcrsity of California - Sanla Barbara
Amdahl Corporation
Isam.: Lcichtcr, Jcrus¡ilern Collcge ofTechnology
Kcvork Spartali an.
WilIimn Lichten.
Yale Universi ly
Kaarc Stcgavik. Universil y or Trondhcim. NONa)
Robert Licbcrnmn.
J1.Y D. Strieb,
Corncll Uni versilY
Vi llanova Un ivcrsi ty
fred LiI)SchuHz,
Martin Ti erstcn.
Uni versit y of ConncelieUl
Cily Collcgc of New York
G rneme Lukc. Colu mbia Univcrsity
Osenr Vilchcs, Univers ilYof Wash ington
Hownrd McAllist cr, Univcrsity of Hawai i
Frcd Walts, Collegc orCharleslon
M. Howard Miles, Washi nglon SIIIIO Uni vcrsilY
.Iohn Wcinstcin , Uni vcrs il)' or Mi ssissippi
MaUllew MocHer.
DlIvid Gordon. \Vilson. MIT
Un ivcrs ity of Pugel Sound EIIgenc Mosen,
Un;lcd Slalcs Naval Acadcmy Ail cclI O ' Donll~IHlc,
University of Vcnnonl
Duvid Wint.er. Columbia Uni vcrsily
SI. Lawrcncc Uni vcrsilY
Frank L.H . "'olfe, Un ivcrsity of Rochestcr
.rack Ord , Univcrs it y 01' Wulcrloo
Roy C. Wood , Ncw Mexico Slatc Univcrs il Y
Richard Packllrd. Univcrs ilYof alif()rnia
"uri)' ZhestkO\'. Columbia Uni \'crsily
.....d.
Clnro que nucSl ro l rabnju nunen ¡.c ;tI.:: aba y I.!spcnulIQ.\ cUllI inUlIf rccibicndu comentario.. '1 sugcI"Cndfl!\ de nuestros lectores pum IIsf poder mejumr e lleXln y cOITcgir cunlquicr error, Si IIslcd cree que ha encont mdo UII emIr o desea hacer cOlllcnlllr;o.¡, <;ugcrcncills O fOl'lnu]arno\ pregu nlas clw(cnos una 110111 :\ nsktiplcr(d)whfrcc mnn.coll1 . IncorpofllfCIllO. . la .. corrc('cio/lc\ en el tex to en poslcriorc.... reimpresiones.
lIuestros amigu), de W. H. FrCeman su uyuda y IIliclll0. SuslIn Orcnnllll . Kulhlt!cll CivctlOl . GC
:1
Com:lskcy. Dena Bet7.. Rcbc¡,;cu Pcarcc. Brion Donm:lltul , JClIuifcr Van Hove. Patricia Murx y Mark Smllce fueron muy generoso:. con su creatividad y su cs f ucrl.Q en cada una de lalo
fases del proceso. También estamos agnldecidos por las cOllt rihucinncs de C;llh y Tow!ll)cd 'j Dense Kadlubowski de l>reMcdiaONE 'j de nuestros colegas I..arry Tankcrsly, John Hencl. Stcvc Montgol1lcry y Don Treac'j. Pou l Tiplcr Alamcdll, California
Genc Mosca An nllpolis, Maryland
•
I
XVI'
PAUL TlPLER Pan! Tiplcr Illlció en la pcqucñn ciudad agrícola de Antigo. Wisconsin, en 1933. Rcalil.ó SUli estudio), medios en Oshkosh. Wisconsin. de donde su padre era supcrimcndente de las Escuelas Públicas. Recibió el t(lulo de Bache lor of Seiencc en la Universidad de Purdue en 1955 y el cmpeñó un papel impo rtante en el desarrollo de los planes de estudio. Duranlc los síguicntCli 20 años. explicó casi todas las di sc iplina ~ de física y escribió la primera y segunda edicione\ de '\us ampliamente difundidos textos Físico Moderna ( 1969. 1978) Y Física ( 1976. 19821. En 1982 se desplazó a Berkeley, California. donde ahom reside y donde escribió Calleg!' Phnics ( 1987). Adenuis de la física, sus aficiones incluyen la música. excu~ion ismo y camping. E\ un excelente pi anista de j azz y un buen jugador de póker.
GENE MOSCA •
Gcnc MOSCll rlilc ió en la ciudad de Nueva York y se crió en Sheltcr Island. en el [.,ltJo de Nueva York . Hi zo sus estudios universitarios en la Universidad de Villanova. micnlr.l\ que sus eslUdio de postgrado l o~ realizó en la Universi dad de Michigan y en la Uni\'c ..... iJad de Yerman!. dondt! obtuvo su Ph.D. en 1974. Fue profesor en la Southumpton High SdlOOI. en la Univt!rsidad de Dakola del Sur y en la Univer.-idad Estatal de Emporia. DeMle 1986 impartió clases en la U.S. Naval Academy. donde coordinó t!1 c urso principal de fí, ica durante 16 ¡;emeSlrcs. Allí fu e e l ini ciador de varias innovaciont!s on la enseñan/a, tmllo en los laboratorios como en las uulus. Proclam ado por Paul Tiplcr como "el mejor crítico que he tenido", MOl<>cn fue el tlu ta r de In popular Study Guide de la tcreen! y cuarta t!dicione.... del libro.
El mov imien to en una dimensión Movimiento en dos y tres dimensiones Leyes de Ncwton Aplicaciones de las leyes de Newton Tmbajo y energía Conservación de la energfa Sistemas de pnrtículu.s y conscrva¡;ión dclmOlllcnto lineal Rowción Conservación dcllllolllcnlo angular Grnvcd:IIJ Equilibrio c.\¡lÍtico y clU!.licidad Fluidos
Vo lum en 18
PARTE 11
OSCILACIONES Y ONOAS
Capítulo 14 Capítulo 15
Oscihu.!inllc."
Capítulo 16
Volumen
Movimiento ondu huorio Supcrpo,ición y onda .. c..... t:ldonnria!\
le
PARTE 111
TERMODINÁMICA
Capitulo 17
Tcmpcnuur:.l } Icorra cinética de lo<;. g:t~" Calor) primer pnndpio de la Icrnlo
Capitulo 18 Capítulo 19
Capitulo 20 Capítu lo R
Sct/.ulltlo principIO tIc la Icrmoolll;im lt.-a Propiedade, y procc:.;o," lém,ico:.
C:l mpu eléc trico 1: Distribuciones di scretas de. cnrgn Campo eléctri co 11 : Distribuciones continuos de carga I)OIcm:ial eléctrico Encrgra electrostáti ca y capuc idad Corriente eléct rica y circu it os de corrien te continua El campo magnético Fuentes del cam po magnético Inducc ión magnética Ci rcuitos de corriente alterna Ecuaciones de Maxwcll y ondas electromagnéticas
Volumen 2B
PARTE V
LUZ
Capítu lo 31 Capítulo 32 Capítulo 33
Propiedades de la luz Imágenes ópticas Interferencia y difracció n
Volumen
2e •
FISICA MODERNA: MECANICA CUANTICA, RELATlVIIJAD y ESTRUCTURA DE LA MATERIA
Dual idad onda-panícu la y física cuúnücil Aplicaciones de la ecuac ión de SchrOdinger • Atomos Molécul as Sól idos Rcla¡i vidnd Ffsica nuclear Las partículas elementales y el origen del uni verso
,
APENDICES y RESPUESTAS Apé nd ice A: Apéndice C: Apéndice o :
Unidudcs S I Y fac tores de conversión Dat os númcricos Tabla pcriódicll de los elcl1lcnlos Revi sión de mutemdticns
Respuestas:
Rc.... puesl:ls a los problc mas de numcmció n impar
Apéndice B:
VOLUMEN'
Velocidad rcl:lliva 56 VcclOr ucclcraci6n 57 )
PARTE I
MÉCANICA
Capitulo 1
Sistemas de medida 3
Física clásica y moderna 1.1
4
Conversión de unidades
1.3
Dimensiones de las magni tudes físicas
lA
Notación cicmífi ca
9
19
El movimiento en una dimensión
Desplazurni cmo, velocidad y módulo de la velocidad Velocidad instantánea 22 Velocidad relati va
27
Capítulo 4 4.1
3. 1 3.2
35
4 .2 4.3
Primer¡¡ ley de Ncwlon: ley de la inercia
Movim iemo en dos y tres di mensiones
El vector dc..<¡pla1.amiento 49 Su ma de vectores desplut,nmicmo 50 Propiedudc!I generales de los vectores 5 J Producto de un vector por un csc:llllr 5 J Resta de vectores 5 J Componentes de los veclore~ 51
53
Posición. vcloc idud y aceleraci6n 54 Vectores posici ón y velocidad 54
49
4.4
80
80
81 Ln fuco.:a debida n In gl1lVcdad: el peso 83 Fucrla. mu:-¡a y segu ndu ley de Newl011 Unidades de fUl!r/..ll y masa
Vectore .. unitarios
3.3
Leyes de Ncwlon 79
Sistemas de referencia inerciales
Resumen 39 Problemas 40 Cap ítul o 3
19
24
Aceleración 25 Movimiento con aceleración constante Problemas con un objeto 28 Problemas con dos objetos 33 IllIegrnción
68
8
Capítulo 2
2.4
61
7
11
2.3
Segundo caso pan icular: movimiento circular
5
1.5 Ci fms signifi caiivas y órdenes de magnitud Resumen 13 Problemas 14
2.2
3.5
60
7
1.2
2.1
Primer caso panic ular: movimiento de proycclile..
Unidades 5 El sistema in ternac ional de unid:¡des
Otros sistemas de unidades
3.4
84
Llls fucrt,:\S en la nmul'l.llc/.ll 85 Las fuenas fu ndumcntnlcs 86 A cción a distancia 87 FuemlS de cont acto 87
Resolución de problemas: diugrnmus dc fllenas de sistcmru. aislados 89 La tercero ley de Ncwlon 94 4.6 Problcllllll. con dos O más objetos 95 4.7 Resumen 98 Problemns 99 4.5
,
•
•
VOLUMEN 1
PARTE 1
MÉCANICA
Capítulo 1
S istemas de medida 3
1.2 1.3 lA
Físi ca clásica y moderna 4 Unidades 5 El sistema internacional de unidades 5 Otros sistemas de unidudes 7 Conversión de unidades 7 Dimensiones de [
1.5
Cifras significati vas y órdenes de magnilUd
1.1
Resumen
--
;J
1I
13
Problemas
14
Capítulo 2
El mov imiento en una dimensión
19
2. 1
Desplazamiento. ve locidad y módulo de In velocidad Velocidad insllllllánca 22 Ve locidad relati va 24 2.2 Aceleración 25 2.3 Movimiento con acclcf1lción constante 27 Pro blemas (;0 11 un objeto 28 Proble mas con J os objeto:. 33 2 .4 Integración 35 R c ~ ulllcn 39 Problemas 40 Movimiento en dos y ¡re,; dimensiones -t9 Capitulo 3 3. 1 El vector dc\pl:lI:lIniclllo 49
Suma de vcctore.\ dcspbllamiellto
3.2
3.3
Velocidad relativa 56 Vector aceleración 57 3.4 Primer caso panicu lar: movimiento de proyecti les 60 3.5 Segundo caso particular: movimiento circular 67 Movimiento circular uniforme 68 Resumen 69 Probl emas 70
50 Propiedad\!\ generalc" dc lo!> vCClore., 5 1 Producto de un vector por un c.scnlar 5 1 Resla de vcctorc.\ 5 1 Compollcntc\ dI! los \leclOrc'!' 5 I VCCIOn!\ lIn iwrim;: 53 Poo¡icióll . velocidad y acelcr.lci6n 54 VeClOfC\ po'iid6n y veloc idad 54
19
Capítulo 4
Leye.!. de Ncwton 79
PrimeO! ley de Ncwton: ley de la inerci;¡ 80 Sistemas de referenciu inerciules 80 Fucrzu. maS3 y segunda ley de Newton 81 4.2 .L) La fueíLIl debida a la gmvcdnd: el pe¡.:o 83 Unidades de fucrl:1 y m a~u 84 4.4 Lus fUeíI.H.' en la nllturnlclll 85 La!. fucrUls fundamentule!! 86 Acción a distancia 87 Fucí/:as de coruncto 87 Resolución de problemas: di:lgnunus de fuernl" de $ i s tcma~ nisludol; 89 4.6 ullcrccm ley dc Ncwlon 94 4.7 Problernus con do!' o rná!. objcto\ Q5 Rc<"umen 98 Problcmll~ 99 4. 1
XXII
I
fndlce analiUco
Capitulo 5 Aplicaciones de ¡liS leyes de Newton 5. 1 Rozamiento 109 Rozamiento estático 109 Rozamiento cinél'ico 110 El rozllln iento por rodndurn 110 ¿Cuál es la caU~ll del r07..am iento? II I 5.2 Movim ielllo por una curva I 19 · Curvas con pendiente (pcrullc) 122 5.3 "'Fucrlus de arrastre 124 "'La integración numéricu: el método de Euler Resn rtlen 128 Problemas 129
5.4
109
7.3
Mmw y energía
186 Energía nuclear 187 Mecánica NewlOni:tno. y re1ativ idod
7.4 Cuan tización de la cnergín Resumen 191 ProblemaS 192 Capítu lo 8 126
8. 1
189
189
Sistemas de panículas y conservación del momento lineal 20 1
8.2
Centro de masas 202 Energía pOlencial grav ilUloria de un ~iMe ma 205 "' Determinación del centrO de masas por integración 206
8.3
BalTa uniforme 206 Aro semicircul ar 206 Mov imiento del celllro de ma.<;as
8.4
Conservación del momento lineal
8.5
Energía ci nética de un sistema
8.6
Colisiones 217 Impulso y fuerza med ia 217 Colisiones en un a dimensión (colisiones fromales) Colisiones en tres dimensiones 226
8.7
207 211
216
*Sistema de referencia del centro de masas
220
228
8.8
*Sistemas de masa variable: la propulsión de los cohetes 230 Resumen 233 Problemas 234
Capítulo 6 6. l
6.2
6.3
Trabajo y energía
Capítulo 9
14 l
Trabajo y energía cinética 142 , Movi miento en una dimensión con fuerl:ls constantes 142 T eorema del trabajo-energfa cinética 143 Trabajo realizado por una fuerla variable 146 Produclo escalar 148 Potencia 152
6.4
Energía potencial 155 Fuerlas co n ~erva li v ..s 156 Funciones de energfo potencial 156 Fuerlas no conservutivas 159 Energí.. polencial y equili brio 159 Resumen 16 1 Proble mas 162
Capítulo 7
Conservación de la cnergíll
Cinemática de la rotación: velocidad angul ar y acelcrdch,n angular 247
9.2
Energía cinética de rotación
9.3
Cálcul o del momento de inercia 252 Sistemas de partícula!. di scretas 253 Sistemas con tinuos 253 Teorema de los ejes paralelos 255 "'Demostración del teorema de los ejes paralelos
Conservación de la energía mecán ica Apl icaciones 173
7.2
Conservnd6n de la cncrgfn 178 Teorema trnbajo-energ(n 179 I>roblemas en 10\ que interviene e l rolamicnto cinético I SI Sistema .. cún encrgfa quími ca 185
250
255
9.4
La segund:1 ley de Newton en la rotació n Cálculo de momentos 260 Momento debido u la gravedad 260
9.5
Aplicaciones de la segunda ley de Newlon a la rotación 261 Indicacionc:. út iles para 1:1 resolución de problemas rc lucionados con la aplicación de ItI seg undu le)' de Newlon u sistemas en rotación 26 1 Rotac ión sin dcsl izmnic llIo 263 Indicaciones: úliles pura In resolución de problemas relacionudo!. con la npli cllción de la segunda ley de Ncwton ¡I siste mas en rotación 263 Pote ncia 265
17 1
7.1
247
9.1
154
Trabajo y energía en tres dimensiones
ROlaci6n
172
Objetos rodantcs 266 Rodamiento ~ in des lizamiell to 266 "' Rodamiento con dC.!. li z..'u nicnIO 270 ~ c."lI m e n 272 Problema." 273
9.6
259
rndlce .nalltko
Capitulo 10
onservación delmomcnto nngular
285
10. 1
Nntumlc7..1 vectorial de la rotación 285 Producto vectoria l 286 10.2 Momento angular 287 Mo vi miento de un giroscopio 292 10.3 Conservación del momcnto ungular 293 Demostracioncs dc las ecuaciones 10. 10. 10.12. 10.13. 10. 14.y 10.15 300 10.4 Cuantización del momento angular 302 Resumen 303 Problemas 304
Capítulo 11
Gravedad
I
12.8 Tcnsión y deformación 350 Resu mcn 353 Problcl1ms 354 Capítul o 13 Fluido!-o 365 13. 1 I)cnsidud 366 13.2 Presión en un nuido 367 13.3 Flotación y principio de Arquímcdes 13.4 Fluidos en movimiento 376 Ecuación de Bernou1li 377 · Flujo viscoso 38 1 Resumen 383 Problemus 385
37 1
3 13
11.1 11.2
Leyes de Kepler 3 14 Ley de la gravilación de Newton 31 6 Medida de G 3 19 Masa gravi tatoria y masa inercial 3 19 Deducción de las leyes de Kcplcr 320 11.3 Energía potenc ial gravitatoria 322 Velocidad de escupe 323 Clas ificación energética de las órbitns 324 1104 El campo gravitatori o g 326 Campo gravitatorio g de una coneza esférica y de un a esfera sólida 327 Campo g e n el interior dc una esfera sólida 328 11 .5 Cálculo de la ecuución correspondi ente al cam po gravitatorio de una corteza es férica por integración 330 Resumcn 332 Problemas 333 Capít ulo 12
Equilibrio cstático y elasticidlld
12. 1 Condiciones de equilibrio 12.2 Cen tro de gruvedad 342
12.3
342
OSCILACIONES Y ONDAS
Capítulo 14
Oscilaciones
12.5
Mov imiento armónico simple 396 Movimiento armónico simple y movimiento circular 402 14.2 Energfa del movimiento armónico simple 402 . Movimiento generdl próx.imo al equilibrio 14.3 Algunos sistemas oscilantes 405 Objeto colgado de un muelle vertical 405 El péndulo simple 408 . EI péndulo físico 411 14.4 Osc ilncioncs amortiguada!> 41 3 14.5 Oscilacione..<; fOrL.odas y resonancia 416 . Trauunien to matemático de la resonllncia 417 Resumen 420 ProblellUl!-o 421
12.6
Estabi lidild del equilibri o de rotllción
12.7
Prohlemu<.; indeterminado'
350
349
15. 1 348
395
14 .1
Capítulo 1 5
Ejemplos dc equi librio estático 343 Parde fuerw 'i 347 Equ ¡Iibrio estál ico en un :-; istcmu acelerado
12,4
341
PARTE 11
Movimiento ondubuorio
431
Movimic nto ondulntorio sill1plt'= 432 Ondas Ir.IIl:-;versales y longiludinllle!> PUISOf; de onda 432 Velocidad de 10<'; ondn\ 4~3 - La l!cuuci6n de onclu 436
432
XXIII
XX tV
15.2
15.3 15.4
I
rndlce analftlco
J O'
Ondus periódicac; 438 Ond:ls armónicas 438 Ondas sonor.ts amlónicas 442 Ondas electroll1ngnéticas 443 Ondas en tres dimensiones 444 InICnsidad de unn ondn '144 Ondus y barreras 448 Reflex i6n y refnlcci6n 448 Difracción
Capit ulo 18 18. 1
Capucidad caJor(fica y ca lor c!oopccífico
Calori melría
449
Efecto Doppler 451 Ondas de choque 455 Resumen 456 Problemas 458 Superposición y ondas estacionarias
522
Cambio de fllsc y calor latente 523 El experimento de Joule y el primer principio de la termodinámica 525
18,4
La energía inlernu de un gu!> ideal
18.5
Trabajo y diagrama PV para un gas
Procesos cuasiestálicos Diagramas PV
18.6
cquipartición
Superposición de ondas 468 *La superposición y la ecuación de onda 468 Interferencia de ondas armónicas 469 16.2 Ondas estac ionaria'i 474 Ondas estacionari as en cuerdas 474 Ondas sonoras estacionarias 479 16.3 *Superposición de ondas estacionarias 4 82 16.4 *Análi sis y síntesis annónicos 482 16.5 *Paquetcs de onda y dispersión 484 Resumen 484 Problemas 486
PARTE 111
TERMODINÁMICA
Capítulo 17
Temperutura y teoría cinétic
17.1 Equilibrio térmico y temperatura 495 17.2 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit 496 17.3 Termómetros de gas y esca la de temperaturas absolut as 498 17.4 Ley de los gases ideales 500 17.5 La teoría cinética de los gases 503 Cálculo de la presión ejercida por un golS 503 Interpretación molecular de lo temperatura 504 El tcorcm o¡ de equ iparti ción 506 Recorrido libre medio 506 *Distribución de velocidades moleculares 508 Resumen 512 Problemas 5 J 3
,L
i'\
529
529
534
Capacidades calorílicas de los sólidos
18.8
Fallos delleorema de equjpartici6n
18.9
Compres ión adiabática cuasiesláli ca de un ga~ Velocidad de las onclas sonoras 542
Problemas
495
528
18.7
Resumen
lf
528
Capacidades cal orífica~ de los gases 53 1 Capacidades ca l orífica~ y elleorema de
467
16.1
520
18.2 18.3
15.5
Capítulo 16
Calor y primer principio de la tcnnodin{un ica 5 19
535
536 539
542 544
Capítu lo 19
Segundo principio de la tennod inámic;
551
19. 1
Máquinas térmicas y el segundo principio de la termodinámica 552
19.2
Refri geradores y segundo principio de la termod inámica 556
19.3
Equiva lencia entre los enunci"ldos de la máquina termica y del refrigerador 557
19.4
La máquina de Camol 558 La esca la termodinámica o absoluta de temperaturas 564-
19.5
*Bombas de calor
19.6
Irreversib ilidad y desorden
19.7
Ent ropía 566 Entropíll de un gas ideal 566 Cambios de cllIropía en diversos proceso!' Enlropín y energ ía utilizab le 572
19.8
564
19.9 Entropra y probnbilidl.ld Resumen 574 Problemas 576
Capítulo 20
565
567
573
Propie(h.¡de.. y procesos térm icos
583
20. 1
Dilalación térmica
20.2
Ecuación de vun der \Vaal::; e iSotcnllas Iíq uiclo.vupor 587 Diagramas dc fnsc 588
20. 3
583
Transferenciu de energía térmicn C(l nducción 590 Convección 596 Radi ución 596 RCJ'j umcn 599 Problc l1H1 ~ 600
20.4
589
(
lo B ¡'fIn'nrk\ ~ n-l.lll\ Idokl '\ 1.1 ~t\tl,I"",I,.',",..k' l., \ 'k,,- "I.kl tI\'
Derechos y reconocimientos de las ilustraciones Capitulo 1
Capitulo 11
Apertura p. I Jeff Di".¡nc/H >G!Gcuy: p . .. (a) The Grnngcr Coll ection: (h) O 1999 Geotrrey Wheeler: p. 6" (a) M cDooII.ld Qbsel"\'arory: (b) Brucc Cokmlln: p. 6 Eunkc H:uTi slPhoto RC$CUI'(:hers, Im::.; 1" 10 (lI} IBM AhlUulen Re,re.\slL.ellnun Nlhwn: (e) Kcm aud Otmniill Danncl1ll'hoto Researchen; (d ) N/\SA: (1") Srllilhsonhtn Instiuuio n.
Apertura p. J IJ Srotkrrek/Corb¡~: p. 314 Colleclioo of tllwltical Scicntific IMlrumc:nb. li lU"oard Univcf!lily: p. 317 NASA, p . .l 18 NASA, p. J I9 Cor\e\fll de Cenln'll C;Ctcnt,hc
Capítulo 2 Apc-Munl p. 19 CorbislSlOck MlIn:t:r: p. 24 No\'llStocl:JOerllbin~ky PIlOlo Associu le,\; p. 25 !;su!e (lf Harold E. Edb't!nonlPalm Press 11lC.: 1'. 1,6 Guncer Zie'ilcrn'c!cr Amold IIIC.: p. 28 () Syd ney Hnnis: 1'. 28 FlguMl 2-9 Jun~ SugllrllJl lIck Stnr: 1" 31 O I9',H Gcuem! MOCOr1l COOpori1llOlt. A II rights re.sc:n'Cd G}, I Mcdill ,\ reh¡'-es: p. 32 (i,.quicrdo) S mnfl)l'd Unenr Acc.:lrnnor. U.S. Dep.1rtmen! ofEne'l;Y: (derecha) Stun ford U ocar Acrd er:uor Cel1tL'f. U.5. Depanmcnt of 1!lIcrgy: p.3tI Coocsfn de Gene Moseu: 1" 43 Cone.du de Chuel: ¡\dlcr.
Capítulo 3 AperhJI'loI p. 49 Kevin Millc:rlGe ny.
Capítulo 4 Apertul'll p. 79 Joho Neubauern~eny: p. 80 Jose Dupoml E... plorcrlPhoto ReM:an;hcrs: p. 82 NA5NSeicnec Soun;c/PhOlo Rcscarc hel1o : p. 86 (u) Colton Coul5(lnf Woodfin Camp 900 Assoc: eb) Gary Latid: (e) Los Alamos N91ional Lnb: (d ) Seicncc: Photo Llbmry/Pholo Rc:sc:an.:hers; p. 9 J (b) Fundalllental l>tlolographs: Jo"Igurn 4-7 Da ... id J. Ph illiplAI' \Vide Wo rld.
COUlpan)': ". 325 NASA,
Capítulo 12 AJH'MunI p. J4 L Con csla tlcl DePllrtment o( l>tly~ics. I'urdue Univt:r.ity: p. J.U O 2002 H~l ale u f Alexnnder ClllderIAnisl,~ R ¡ghL~ Society (ARS). New York : 1" ~SO Pholo(¡¡ ~k .
Capítulo 13 AllCrtuMI 1'. J6S
Audy I'emicklllurcllu of Rec!anlllli on; p. 370 Vune.\~3 Vid:lPhot" Rcse:lIl:hcrs, IlIc.; p. 372 Chuek O'RearfWoodlil1 C.mp aoo MWC.: p. 375 Da ... id Bumenl Woodfin Cump Dnd Aswc.: p. 376 (nlTiba) Esta/e of liarnld E. Edgcnon. (abajo) Thkel.ki T,,~;uhnm/Photn Relw:archcr;<í. lne.: p. 377 1', MonalPllOlo Re,<;eóln.:hcrs. lne.; p. 380 Mi chael DunnflllC S\1JoC1: M nrket: p. JK.1l'icl:cr Intemationul.
Capítulo 14 A IIC r1uro p. 395 Barry SIDVCnNi~U3\s Unlimlted: p. 3?7 Cltironl:: JI. 398 NASA , p. 402 Insti!ul e for Marine Dynamic!;: p.409 Richurd Mc:ngalFundalllental PhoIogrophc:r.: p. 414 lru'rib.1) Mo nroc Amo r:.quipment: (ab:aJO) David WrobtllVisu.11~ Unlimilcd; p. 416 E~ WirclGetty: 1'. 41 7 Roynl Swed ish AelKltmy of Mu~ic.
Capítulo 15
Apertul'll p. 109 Cones!a de BMW: 1'. 111 ( izq uierda) 1'.1'. Bowde n and D. TilOOr, Frictio" und LubriCUliOlI of !k>/i/u, Oxford Unh'elSily Pre.~s. 1000: (dc:~ha) Uzi LaodrnDll and David W. Lfildlkc/Georgia Insti lu!e ofTc.!hnology: p. 113 Nkole Villamom: p. 11 3 F lg ul'tl 5.7 Jcan·Clnude LclcllnclStlJoCk. Busto n; p. 122 Concsfa de BMW: 1" 123 Sandia Nalional Laborolory: p. 124 NASA: p. 125 (i1.quierda) Joe :'kBridclSlonc: (de~ha) S tuart WillialllSllkmbinsky Photo Assocbu:s: p. 13S Figunl 5-57 David de ~yfTñe lmage Bank.
"perturo p. 431 Jo hn Cc:lrin~11CC1: SixlPicllITC ~t: p. 432 FiRUnl 15- 1 Richanl MengalFund.1lnetltal PhoIogrophs: Jo"Igura 15-l Richard Mc:ngafFund:llnc:ntal Phocograph~ 1'. 444 (arrib.1.) Da\'id Sack.VThe l mage Bank/Geny: (l1b.1jo) Maynard and Boo!:herNiSUJ.I~ Unlimitoo: p. 445 From Winsto n E.. Coct .1Astr.saml l1o/ogn'phy, ~'cr Publicmiom. N
Capítulo 6
Capítulo 16
Ape rtura p. 141 Geny: p. 146 Co nesÍll de Dr. R'lge r C ralg: 1'. 156 BiU BacJ mmlWholo Rescarchcrs: p. ) 58 Fi):ur,¡6-25 Da ... id J. PhilliplAP Wide \Vorld.
Apertura p. 467 Da,'id YOSIIS lci nwlly & Sons: 11. .17 1 Ruhllcrhtll ProdUClit'lIl$: p. 473 ,a) Bcn;nke ¡\bbotl (SJ 1318)/1'11010 Rc....c;tn;hcr.\: p. J 76 fi/.quierdJ ) Un)\'Cl)ity ot WlIShinloltou: (centro) Unl\'e r;ity of W&hingloo: (dcrech3)Unh'Crsily of \ V\Wlmglon: p. 481 Profe-.'>OI' ThomM D. R~.. ing. NOl1hem lIlinois Unh'CfSi ly. DcKalb: 1" 4S7 Cortc\Ca de Otuel: Adkr.
Capítulo 5
Capítulo 7 Apt:rturol p. 171 M mk E. GibsonlDcmbinsky Piloto Associates: p. 173 Loren \Vinters/ Visuals Unlilllilc:d: l' ISO (izquierda) Vi~u31 Ilo ntons/FPG Intemntioo31: (dc~ha) New York SIDIC COOlIlw:ttc: Departme ut: 1" 1M1 Cortc.~rll de lJIylh Off~horc Wind Limitcd: p. 183 The Photo Works/J>hoto R~hcrs. IIIC,: 1'. UI5 Stnn Shollk/FPG ImemHliOllal: p. 190 Lciccster Univer..i tyl Sdcnc:e Ilhoto I..IbrllrynlOOto Rc."Carc:hcl$: p. 199 Co n eo;ia de PASCO.
Capítulo 17 AfX!r1unt p. 495 l'loh)' Ftnnll'hoIODi sklGeu)': 1'. 497 fa) Con~a de l'oI~ Ior 1'reci,.iull PTOducl~: (b) Conc.~fn de I-Iooeywe ll, 1I1C.: JI. 49'} Rich:uu M cngaIFund:UI~nm! f'hoIogr,¡ph\. p. SOO NASA : p. 5 15 Jel 1'ropulsiooIA,borutorylNASA
Capítulo 8
Capítulo 18
" pu turll 1'. 2f)l Jcny Wach!crll'hOl O Rc.~arc~rs. [nc.: ¡l. 1,07 .·I~unl 8-1 4 E.~tnle of HlItl)ld E. Bdgc:non/J'nhn I'n;\\ IIIC.: 1,. 2 12 Coru:s{a de O;K:dulon Corpornuon: p. 213 N ASA: JI. 2ltl (.rriba) Robe/l R . Edwnnlsln O O-E PholOgmphy: F i¡.:n rJ K· 26 Romil ly l..ock)crfIllC ItnlIBe IJ lln~: p. 120 Conc:.la de Mercc:de.';· lJcn/. of N. r\. Monhllle. NJ: p. 223 E(t:llc of JoIlIt\lld E. Edget1(lnll':llm I're.\~ Inc.; p. 226 (amb:!) Joe SU'Unk/Visuab Unlimitcd: (abojo) .\11. i'lan!II'Vundy \ tmIIIlPlloto Rc:-.carchcr
,\ pcrt um 1'. 5 19 Donna l)ayiJ'hc:>toOisk/Gcu y: p. 510 Phocm'l: l'ipe & Tut>dlana Bc:rko\'ich: p. 512 From Frnnl.: I'rc~\ 1Int! Raymond Sie\cn. Un&numJ"w Eurth. ln1 cd. W,ll , FreenH!II und Co .. 200 1: p. 5'13 De 11Imuló \Vink. Shuron G¡~I!1M.KI } Shclla McNicholllS. 711,. /'mellU "f W.II . F~lnan :md Co .. 2002: JI. 540 \Viii and
Natlonal l.aborntory; JI. 232 n~u.,.II047 NAS" I S upc .... tock.
l'und:lIIlCntnJ I'hotogrnph.... lne.: p. 265 l'und;UllCnlal J>ho(ogmphi. lne.: p. UiIt Lurcn Wln~rVVi\(lal.~ Unlllmtcd. p. 270 Seo!! GoltI~mlthlStoncJ(icu)' ; p. 1,n FIRul'tI 9041 0Trec
Capítulo 20
Capítulo 10
'\llfr1urn p. 5KJ mnl;: 5itc:malllStotl.. BO§ICKI. I IlCJPlCtun.oQuc~t . 11. 591, AUre.J "1l.~tI'lnl l'hoIn RC:<.CIIIl:hc~. lne .; p. 593 Cont':.rll de Eu gc lle M tI\CII. 1'. 591 S\;I~occ l'hull1 Llbrar)'1
A~ rtu nl
¡\ perlUI'\l p. 285 O Mlchael Newn1an/PhnloF..dit , p. 2'X1 D!c~ l.un alSclcncc SoorcclPh<>lo 1U:!Ie;¡n;he~. II. 293 Con~(a de Sc:g\\-lIy; p. 2901 ~lt1u l'lol 10.23 C l 'ht. lIlImld E. b1gcnOll 1(1)2 Tru ~1. .-I¡.!UMI IO.u MI~c i't'II>clllOcny: 11. 1,\15 Did: l.un"/FI'CI Inlrnl.1Iilll\3l: p . 2~ NAS¡V\lCItIdunl SJlIICe H ltll Cemer. 1" J(t5 CItn~ Son::no;onffhc: S«Ie!. M IU'~c:t; p. J06 lñn ' 1'mw\IInlDl rO~IOC"rbl'. p. J 11 Fhtllrn 10·56 CmC1r. de Thnp:ent Ttl} Co.
l'MIo R~~hef'\.lne .
Relatividad A I)f:rtll rll l'. R ·I C'one.do de NASA
SISTEMAS DE MEDIDA
Capítulo
1.1 Unidades 1.2 Conversión de unidades 1.3 Dimensiones de las magnitudes físicas 1.4 Notación científica 1.5 Cifras significativas y órdenes de mag nitu d En una playa hay demasiados granos de arena para con tarlos uno por uno, pero se puede ob· tener el número aproximado por medio de hipótesis razonables y cálculos sencillos.
?
¿Cuántos granos de arena hay en su playa favorita? (Véase el ejemplo 1.6.)
•
Elhombre siem pre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Como demues-
•
lran los pri meros documentos gráfi cos. e l hombre siempre ha buscado el modo de imponer orden en la enmarañada di versidad de los sucesos observados. La ciencia es un método de búsqueda de los principios fundamenta les y universale.'i que gobiernan las enusas y [os e fectos en el universo. El método científico consiste e n constru ir. probar y relacionar modelos con e l obj etivo de descri bir, explicar y predeci r la rea lidad. Esta mctodología comporta estableccr hipótcsis, rcalii"..ar experi mentos que se puedan repetir y observar y formular nucvas hipótcs is. El critcrio esenci al que determina el valor de un mode lo cient ífico es s u simpl icidad y su uti lidad para elaborar pred icc i onc~ o pam explicar observacio nes referidas a un amplio espectro de fen6me nos. Generalmente consideramos In cicncia corno divid ida en d iversos campos separ¡¡dos. aunq ue esta división s610 IU VO lugar a partir del siglo XIX. Ll separación de sistemus compl ejos en clUegorías más simpl es q ue pucden cstudiarse más fácilmente. constituye uno de los mayores éx itos de la cienc ia. U l bio logíu. por ejemplo. estudia los organismos vivos. La q urmica trata de las ill1cracciones de lo!' elementos y compuestos. Lu geología es e l estudio de la Ticrrn. Lil nSlro no mín estudio. el sistema solar, las estre1I a.~ y las galaxias. y el universo en SU conjunto. La física es la ciencia que trata de la materia y de la energía. del es pacio y del tiempo. Incl uye los princ ipios que gobiernan el movi miento de las pan ícul as y las ondas, las inte racc ione.... de 1m, pll rt íc lll a~ y las propiedades de las moléculas, los ála mos y los núcleos ató micos, así como los sislemas de muyor escalu, como los gases. Jos Ifquidos y los sólidos. Algunos consideran que In fí.,ica es In mtis fundamental de las ciencias porque sus pri nci pios son In bnse de l o~ otro!' campos cie/llflicos .
4
I
Cllplluto t Shtl!!mtll dI!! medid"
La fr/'oica e .. la ciencia de lo exóticu y la clencin de lit vida cOlldlllnll En el extremo de lo exótico. los IIg ujcro~ negros ponen rCIQ!I a tUlRlUgl\\ución. En la vidu diaria. inge· lI icro'l, Illlhico!a. arq uileclo!», quím iCO", olólol!-u\j,. médico ... CIC., cOlUrolun lemu\ tnle .. COIIIO trunsmisión del clIlor, nujo de fl uidos. ondas ,>onora.. , rnd iuetividad y fuerta .. de lensión el1 edilic ic)s o en huesu,,; pura realizllr su trabajO diario. Innumemblt "i cue ..tlOne .. respecto u nuestro mundo puede n rc'ipondeJ"i.C con un conoci mienlo b:bico de la (¡<.. ico.. ¿Por qué un hel icóptcro tiene do~ rotore.;? ¡Yor qué 10\ astronauta.\ notan en el C\Pucio? ¡, Por qué tos re tojes que se mueven van má., IClltu<;'! ¡,Por qué el 'iOnido o,e propaga alrededor de las co¡quinas. micnl ms la lul. <;c propaga en Hnea recia'! ¿Por qué un oboe '1 ue· nn distinto de una nnuta'? ¿Cómo funcionan 1m lcelore.. de di.!>C~ compacto'l (CD)1 ¿Por qué no hay hidrógeno en la atmó¡;fem'l ¿Por qué los objcto!. metálicos parecen má!. frlo~ que los objetos de madera a igual tempemt ura? ¿Por qué el cobre e\ un conductor eléctnco micntms que la madera es un aislante? ¡,Por qué elliuo, con !oIu~ lre~ elecU"One't. ee, enormemente reactivo, l11ientJIIs que el helio, con doo¡ cleclrone.s, es quím icamente inerte? ~
En es te capítulo empC1"..uremos a prepararnos para contestar a algunas de e:.\tas preguntas cxamina ndo las unidad es y sus dimensiones. Cada vez que se reali1".8 una medida, debe saberse con qué precisión se ha hecho. Si un Indicador del contenido de combustible de un depósito indica que hay 100 litros, ello no significa que haya exactamente 100 litros. Por lo tanto, ¿qué significa en realidad este da lo, y cómo tenemos que expresarlo?
Física clásica y moderna
e'
Los primeros esfuerzos registrados por el ser humano para reunir sistemáticamente a. cimiento sobre el movim iento de los cuerpos proceden de la antigua Grecia. En la fiL Id natural establecida por Aristóteles (384-322 a.C.) las explicaciones de los fen ómenos 's se deducían de hipótesis sobre el mundo y no de la experimentación. Por ejemplo, una h ... tesis fundamental afi rmaba que toda sustancia tenía un "lugar natural" en el un i\ erle estableció que el mov imi ento era el resultado del intento de una sustancia de alean! ,u lugar natural. El acuerdo entre las deducciones de la física ari stotélica y los moúmie r )5 observados en el universo físico. y la falta de una tradición experimental que derrocc la física antigua, hizo que el punto de vista de los griegos fuera aceptado dur3l1le ca<;j d< lit años. Fue el científico ita liano Galileo Galilei (1564-1642), quien con sus brillantes ex.pc:ri· mentas sobre el mov imiento estableció para siempre la absoluta necesidad de la ex pe ~· , ·ntación en la física e inició la desintegración de la física de Aristóteles. Unos cien años después, Isaac Newt on general izó los resultados ex perimentales de Galileo en sus tre\; le) es fundamentales del movim iento, y el reino de la fi losofín natural de Aristóteles se extinguió, Du rante los sigu ientes doscientos años la experimentac ión aportó innumerables descubrimientos que inspiraron el deslUTollo de las teoríns físicns para su explicación. A finales del siglo XIX , las leyes de Newtoll referentes a los movimientos de los sistemas mecánicos se asociaron a las igualmeme impresionantes leyes de James Maxwel1. James Joule, Sudi Carnot y otros para describi r el electro magnetismo y In termodinámica. Los temas que ocuparon a los físicos durante la úhima pnrte del sig lo XIX - mecánica, luz. calor, sonido. electricidad y magneti smo- constituyen lo que se dcnominn jisic(l clásica. Como lo que neces itamos para comprender el lIlundo macroscópico donde vivimos es la física clásica, ésta domina en las partes I a V de este tex to. El notable éxi to nlcnnzo:1.do por la físicn clásica llevó ti muchos científicos al convenci· miento de que la de..scri]>ci6n del universo físico se hubíu completudo. Si n emburgo, el descubrim iento de los rayos X rcal izndo por Wi lhelm Roentgen en 1895 y el de la rJd iactividnd por Antaine Bccqucrcl y Marie y PieITe Curie los años siguientes parecían estar fuem del marco de la [(sica clásica. La tcoría de In relatividad especial propucsUl por Albert Ei nSh.: in en 1905 con· tmdecfa las ideas de espac io y licmpo de Gal ileo y Ncwlon. En el mi silla UI' O, Einstein sugirió que la cnergía luminosa cstaba cuantilada; es decir, que la luz se propaga en paqucl e~ di ~rehl' y no en fonllll ondu latorin y contin uu como suponía la ffsicil clásiclI . LlI gcncnl lililci6n de e..m idea [l la cuanti zación de todos los ti pos de cllcrgfn e.s un concepto fu ndamcntal de 111 tm."C.\nica cul\nticn. con sorprendentes e imponalltes consecuencias. Ln aplicación de In relatividad c..pe-
1.t Unklade)
I
s
cial y. paniculnrmentc. la teorín CU!hllicu 1\ sistellla!! microsc6picos tales como títQIIIO!->. lIIoléculns y núcleos. ha conducido n unn comprensión detallmlu de sólido!->. líquidos y gilSC'¡ y constituye lo que generalmente se denomina jisica ItIQll em(/ . A ésta se dcdicn la pane V I de este texto. Comenznrr.:lllos nuestro estud io de lu rrsicn con los temns clásico:.. Sin cmburgo. de vez en cuando elevaremos nuestm mirndll pura nnuli1.ar la relución entre la rfsic" clásica y la físicu moderna . Así. por ejemplo. en el capítulo 2 dedicllremos un espacio a las velocidades próximas a la de la luz. alrnvesnndo brevemente el universo rclmivist:l imagi nado primeramente por Ei nstcin . Iguu lmeme. dr.:spués de :lbordur lu consr.:rvaci6n de la energfu cn el capítulo 7. tratnrcmo:.. de la cuunrización de la cnr.:rg fll y de la rumosa relación de Einstein entre la masa y hl energía, E = mt..l. Unos capítulos más adelame. en d capítulo R. cstudiurcmos la nnturnlcl!1del espacio y del tiempo tnl como los reveló Einstein en 1903.
1 .1
Unidades
Sabemos bien que no todas las cosas pueden medirse, por ejem plo, la belleza de una nor o de unu fu ga de Bach. Cualquiera que seu el conoci miento que tengamos de estas cosas, com· prendemos ráci lmente que este conoci miento no pertenece al campo de la ciencia. La capacidad no sólo de defin ir, si no también de medir, es un requisito de la ciencia, y en física. más que en cualq uier otro campo del conocimiento, la defi nición precisa de los términos y la med ida exac(u de las magnitudes ha conducido a grandes descubri mientos. Comenzaremos nuestro estudio de lu rfsica estableciendo unas pocas defi niciones bás icas, introduciendo las un idades y mostrando cómo estas unidades se tratan en las ecuaciones. La "diversión" vendrá más adelante. La medida de toda magnitud ffsica ex ige compararla con cierto val or unitario de la misma. Así. para medir la distanc ia entre dos puntos, la comparamos con una unidad estándar de distancia tal como el metro. 1....1 afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro; es decir, una regla métTica patrón se ajusta 25 veces en dicha distancia. Es importante añadir la un idad metros junto con el número 25 al expresar una distancia debido a que ex isten otras unidades de longitud de uso común. Decir que una distancia es 25 carece de significado. Toda magni tud física debe expresarse con un a cirra y una unidad . Polo Norte
El sistema internacional de unidades Todas las magnitudes rfs icas pueden ex presarse en fu nción de un pequeño número de unidndes fun damentales. Muchas de las magnitudes que se estudi arán, tales como velocidad. fu crla. ímpet u o momento lineal. trabajo. energía y potenci ,l, pueden ex presarse en ru nción de tres unidades fundamentales: long it ud. tiempo y musa. La selección de las unidades patrón o cst:indar para estas magnitudes rundamen tales determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en In comunidad cient ífica es el Si.flema III1(!rlllIciollol (S I). En el SI la unidad pmrón de long itud es el metro. la unidad patrón del tiempo es el segu ndo y la unidud patrón de 101 musa es el ki logramo. Las defi niciones completas de las unidades del SI se dan en el Apéndice B.
longitud
La unidud patrón de longitud. el metro (sfmbol o m). estaba definido originulmente por la distancio comprendido entre dos royas grabadlls sobre uno barfl'l clr.: una ale,lción de platino e iridio que se guarda en In Ofici na Internacional de Pesas y Medidas . en Sevres, Francin. Se escog ió e.<¡1lI longi tud de modo que In distancin entre el Ecuodor y el Polo Norte u lo largo del mcridiano que pasl! por Paris fu e...e igunl iI diei'. millones de mr.:tros (fi gura 1. 1). El metro patrón se de fin e hoy como la di stancio rccorridll por la hu. en el vado durante un tiempo de ln99792 458 'iCgundo... (E.<¡to <¡u pone que la velocidad de la luz e.<; exactamente 299 792 458 mh..) Ejercido
I,Cud l eOi la circunferencia de la tierra en mctms'! ( Resplle.\ t(l
1 Uno... " x 10 m.)
Figura 1.1 BI I)utrón dc longitud. el IIIClm, ~c e ~ CQgi6 origi nalmente de modo que la distand o d~'1 Ecuador ul Polo Nonc n lo Inrgo del IlIcndiaut) que pa.~3 por Parí:. fue\!! 101 ni.
I
6
Capítulo 1 Sbtcmns de m edida
Tiempo La unidnd de liempo. el se¡.:undo (,J. '-C defi nió origi nalmente en fu nción de la rolllción de la 'lie rra , de modo (jU lo! corrc'Ipondía a ( 1/60)( 1/(lO)( 1/24) del díll <,olllr IIlcdiCl. Ac!U u] tllcnte se de fin e Io! II fu ndón de una frccucncill carúctcrf1itico a"oc iada con el ntOmó de cc:- io. Todos 101' átol11os, despu6s de ll h ...orbcr energía, cmi ten IUI con ]nngilUdc .. de onda y frc cucm:ius c.mtc t cr{sticll~ de l clcme nto cOtlsiderudo. Exi sle una frecuencia y una longitud de Olida panicul aref, a~oci adas a cada tran¡.,ici6n energética dentro del :homo de un elemcnlO y t odu~ las experiencias nmn ifieslull que e¡.,lU .. Ilmgnitudc.!> ..on constllnle$. El '-Cgundo loe defin e de modo quc lu frec ucnciu de In hl1. e miti da en una dcterminada tran .. ici6n del cc<¡io l:S de 9 19263 I 770 ciclos por scgumlo. Con e~ I ¡¡ S dcfi nicioncf" Iu.... unidacJe~ flln dal1lc ntale ~ de longi tud y ele tie mpo son lIcccsiblcs a cuulquicr lllboratorio del mundo.
Masa
(!I)
La unid¡¡d de ma:.a. el kilogrumo (kg), ¡gu fundarnentules más, la un idad de temperatura. el kelvin ( K) (inicia lmcnte llamado grado kelvin); la uni dad de cHnti dad de suswncill , el mol (mol); y la unidad de corrienle eléctrica. el amperiQ (A). Exi ste o tra unidad fu nda mel1lal , la candela (ed), unidad de intensidad luminosa. que no tendremos ocas i6n de uti lizar e n este libro. Estas s iete unidades fundamentlllc~. el mclrO (m). el segundo (s), el kilogramo (kg). el kelv in ( K ). el amperio (A). el mol (mal )} la candela (cd), constituyen el sistcma intemac ional de unidades (S I). Lu un idnd de cual qu ie r magnitud física puede expresarse en funci ón de e~ tas uOlJad~ del S I fundame ntales. Algunas combinac iones imponantes reciben nombres especiJ\e Por ejempl o, la unidad S I de fuerl.a. kg . m/5 2, se denomina newlon (N). Análogamente. I unidad del SI de pOlencia, kg . m2/s3 = N . mIs se denomina vati o (W). Cuando una Unid. tt nmo el newlon o el vatio corresponde al nombre dc una persona. se escribe en nunú,l,(t En cambi o. las ¡lbrcv iaturas de estas unidades se escriben en mayúsculas. ¡tes En la tabla 1.1 se relacionan los prefijos de los múlt'ipl o~ y s u bmúhiplo~ ma:. el de las unidades del SI. EslOs mú hiplos SOI1 todos potencias de 10 y un sislema a.<,i .,'nomina siste ma decimal : el siste ma decimal basado en el metro se ll ama sistcma Illétj Los preHjos pueden ¡lpl icarsc u c ualquie r unidad del SI: por ejemplo. 0.001 segundo~ c, JI' milisegundo (ms): 1000000 vatios es un megav¡ltio (MW).
(b)
«(1 ) Reloj de agua utili1.ado en el siglo XIJI pam medi r intervalos dc tie.:mpo. (b) Los diseñ¡¡dol'Cs Jeftcrts & Meekhor de un reloj de Ulla fuente.: de cesio jUnio al
protOlipo.
TABLA 1.1
Prefijos de las potencias de 101
Múltiplo
Prefijo
Abreviatura
10UI
cxa peta lera • g.lga Illcgn
E
IOI S 10 12
10' 10'
InI
102
kilo
10' 10 ' 10]
hecto decll deci ceOl1
\O -, 1() h
mi Ji micro
10 '
n
\O 12 10 IS
pi CO
fc mlo
1O 111
CIliO
'"
P T
G M k h da d e no
l'
"
" f
" Lu.. rn::fiJo~ hc<:lo eh). dec:1 edil)}' deci (d) nQ "011 mtih ipl{l~ dc 10' lÍ 10 '} .'>C ulil; /n" oJllll I>(X' !I tn.'CUl·OClll El
olro IlrefiJo (lile noc .. Iluilliplode 10 1 Ó 10 I C~ ccnll (e). I... l~ prd¡JIl~ {IUl' ~l' u .. ;tn (:o n nuh rn.'I.' ucnnu \'11 eq(' hhnl 'C c\Crlhen en IlIJO. N6t ... ~c que loda ~ t ll~ :llm,:v l¡¡IUI1I~ tlt' Jll'cliJ()\ Imlllipln¡, dr IO"} supcm'fl" .. ~ " ....'11N'n t'n ma· } u~ulf1 ...: ,odll~ lo .. Olto'> \C :1¡'revlIIlI (On IlIll1li'-C uIM .
1,2 ConverUón eS. unIdAcIft
Otros sistemas de unidades Otro ~is tcmn decimal c¡m; aún se utiliza. pero que l'$t('i .. icndo rccmpla/lldo grudualmcnlc por el sistc:nlll del S I. es..::1sistema cg~. basado cn..::1 {'I.mtíl11ctro. cl grumo y el scgundo. El cent!. metro se define ahon. como 0.01 m y el gnuno CO Ill U 0,001 kg . Originalmcnte el g.ramo '>C definió como la masn de l cm \ de agua a 4 "C. ($cglin C"II\ defin ición un kilogramo e., 111 mtl¡.,a úe 1000 ccnt ímetros Clíbico .. o ulllitro de ligua .) Existen otm~ ¡.,istcmas de unidndcs como el sistema U.kni<;u inglé¡., utilíllldo en l o~ EE.UU . y mro:- pníse¡., de hoblu inglesa, en el que ~e toma lu li brn CUI110 unidud fundmllClllul dI! fucr'¿a. L..'l libru se defin e en funci 6n de la atracciÓn gnwiwtoria de la 'Iíerru ell UII lugar determ inado sobre un cuerpo pntr6n. La IInidad de masa se define tm tonces en función de la libm. La unidad fundl"uuellUlI de 10ngilUd ell eMe sistelllll e¡., el pie (ftl y In unidnd de tiempo es el segundo con la Tlli ~ l1ln definición que la unidad del SI. El pie se dcl ine cumo un tercio de una yarda (yd). y ést:\ se defi ne :Ihora en fu nción del metro como: I yd = 0.9144 m
( 1.1 )
I pie = ~ yd = 0.3048 m
( 1.2)
Esto hacc que la pulgadu sea exactamcnte 2,54 cm . Este sistema no e.;; decimal y es menos con· ven iente que el SI o cuulquier otro sistema decimal. pues los múltiplos comunes de sus unida~ des no son pOlcncias de 10. Por ejemplo I yarda = 3 pies y I pie = 12 pulgadas. En el capítulo 4 veremos que la musa es una elección mejor que la fucr/:a como unidad fundamental , por [ra· tarse de una propiedad intrínseca de un objeto que es independiente de su localiz.'lci6n. En el Apéndice A se dan las relaciones entre el sistema técnico inglés y el SI.
1.2
Conversión de unidades
Todas las magnitudes físicas contie nen un número y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica. la unidad puede trataf'$C como cualquier otra magnitud algebmicH. Por ejempl o. su póngase que descamas hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se muevc con una vcloc idad constante de 80 kilómetros por hora (km/h). La distancia x es precisamente In velocidad \' multiplicada por el tiempo t:
x
80 km )1
x_3 Ji _ 240 km
Eliminamos la unidad de tiempo. la hora. igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener];l diSl:lIlcia en la unidad de longi tud correspondicnte, el kil6mctro. Este método permite fácilmente pasar de una un idad de dist:mciu a a Ira. Supóngnsc quc quisiéramos convenir nueslra respuesta de 240 km en millas (m i). Teniendo en cuent a quc I mi = 1.61 km . si di vidimo¡., los dos micmbros de csta igurllclad por 1.61 k m se obtiene I mi - 1 1,61 km
Corno toda magnitud puede multiplicarse por I sin modificar M I valor. podemos cambi ar 240 km en millas tnult ipl icllndo por el factor ( 1 mi )/( 1.61 km ): I mi 240km = 240knf x 1.61Jff1Í - 149 mi
El factor ( I mi)/( I ,61 km) se denomina ractor de conversión . Todos los f:¡ ctorcs de conVcr· sión ticnen el vuJor de I y se ulilLmn para p¡\sur una mag nitud expresada en lIn ll unidud de medida a <;u equi vale ntc en otra unidad de med ida. Escribiendo explíci tamente IlIs ullidnde:., no e.. nece<;ario pensar si hay que multipli car o dividir por \ .6 1 para pasar de kilómclms a milla..¡ . ya que Inl; unidades indican "i hemos e~cog id (l cl faclOr corrcclO o el incorrecto.
1
8
I
Caprtulo I Slstema.\ de medid"
((1) !-l uces de I ~ se r emitido:. de~de el Ob~e r"utori o Macdonald paro!
medir la di~Ulneja hasta lu Luna. EM centfmetros midiendo cltiempo trnn'>Cumdo en el \'iaje de Ida)' vuelta del rayo lrl...er a la Luna de ~ p ués de renejar'ic en un espejo (h ) alH empl[11.ado por 1 ~ a.~trOnaUlil, del I\polo 14.
EJEMPLO , .,
I
Uso de los factores de conversión
Un empleado d e una empresa con sede en Estados Unidos hu d e viajar, por em.l lrgo d e su empresa. a un puís donde las señaJes d e tráfico muestran la d ist.'lIlcia en kilómetros y los \'elocímetros de Jos coches están ".'aJibrddos en kilómetros por hora. Si con su \'ehíeulo viaja 11 90 km por hora. ¿a cuúnto l'Quh'uJe su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora?
Planteamie nto d e l problema Util izare mos el hecho de que 1000 m = l km. 60 s = I min y 60 min = I h pura convertir los kil6mc.tros por hom en me tro.~ por segundo. Se multiplica lu magnitud 90 km/h por unl! serie de fllctores de con"enlión de valor I de modo que el valor de la vclocidad no varía. ¡:>¡trd convenir la velocidad en mil1l1S por hom. se utili7;l el factor de convenlión (1 mi)/( 1.61 km) = l .
1. Mu ltiplicar 90 km/h por Ulla serie de fac tores de conversión que Irunsfomllln los kilómctros en metros y 1:IS ho"'s e n segundos:
)f
1000 m
1 m1ti x Ij:.m x 6O p»n X 60s
9~1 x 1 .~lr~
2 . Multiplicar 90 kmlh por 1 mi/l.6 1 km:
Ejercicio
90Jari
¡,Cuál es el c<¡ui"l!lellle de 65 milh en metros por segundo? (Respll/!sTa
1 .3
1)(
=155.9 mi/h
I
29,1 mis.)
Dimensiones de las magnitudes físicas
El ¡i.rca de una fi g ura plana se e nc ue lllra mulli p lic and o una lo ng illld por o tm. Por eje mplo. el área de un rectángul o de l ad o~ 2 m y 3 ru es A = (2 m)(3 ru) = 6 m1, La unidad de e.!.lu ¡lrea es el melro cuadrado. Puesto que el áre.\ es e l produclo de dos longit udes. se dice que tiene dimensione:. de longit ud por longitud. o longit ud al cuadrado. que suele escri birse U. La idea de dimensiones se ampUa fáci lme nte a otras magnitudes no geométricas. Por eje mplo. la velocidad ti ene dimensiones ele longiwd dividida po r tie m po o Uf: LIIs dimcnsiones de otms magnitudes. Inl es co rno fuen a o energía, se escri ben en función de Ins rnagni tudell fun~ dnmell tnlcs longitud. tiempo y masa. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene senlidn .. ¡ amblls ti enen la.!. mi smas dimensiones. Por ejemplo. no pod e mo~ sumar un :'irca ~ unu \tt) IQI..' j· dold Y obte ner una sUllla q ue signi fique nlgo. Si tenemos una ecuación corno A = B+ C
1.4 Notación clentfflca
las rnagniwdes A. 8 Y e deben tener la:; tres IIIS mi smas dimcnsiones. La SUIllU de B y e ex ige que la!'. dos magn itudes ~ t é n además ex presada!. en lu!- mi!;Il1I1S uniduclen. Por ejemplo. si B es un tiren de 500 cm! y e es " 111 2• debemos cOllvertir IJ en rn::!: o e en cm2 para hullur la suma de las dos t¡rens. A veces pueden dctcctnrse crrore.... en un c:Uculo comprobando las di mensiones y unida. des de las magnitudes que imervícnen en él. Supónguse. por ejemplo. que estamos utili zando erróneamente In f6 mmla A = 2m' pum el área de un círculo. Veremos illmedilltamcllle que esto no puede ser correcto. yn que 2m', tione di mensiones de longitud. l1l icntnls que el árca tiene dimc nsiones de longitud al cundmdo. Ln cohere ncia dimensional es una condición necesaria. pero no suficiente para que unn ecuación seu correcta . Unu ecuación puede tener las dimensiones correctas en cada término. pero no describir unn situación física. Lu tabla 1.2 relacionn los dimensiones de al gunas magnitudes corrientes en ffsica.
I
Milgnitud
Símbolo
Dimcmlon
Á,""
A
Volumen Velocidad AceleraciÓn
L'
V
I}
"
UT
PU Cr7.3
Presión (FIA I Densidnd (M/V) Energfa P01encin (EfF¡
las dimensiones físicas de la presión
La presión de 1111 Huido en movimiento depende de su densldlld p y su velocidad v. Determinur una combinación sencilla de densidad y \'clocidad que nos dé las dimensiones correctus de la presión.
Planteamiento del problema En la tabla 1.2 se observa que tanto la presión como la densidad tienen unidades de masa en el numerador. mientras que la velocidod no contiene la dimensión M . Dividamos las unidades de presión por las de densidad e inspeccionemos el resullado. 1. Se dividen las unidades de presión por las de densidad:
2. El resullado tiene di mensiones de V!. Las dimensiones de la presión son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado:
!..el _ M I LT2 [pi
MIL'
-
, M(L)' =~ rKl
[pi = [Pl! v-I = L' T
Observación Cuando estudiemos los fluidos en el Ci¡pítulo 13. veremos que según la It!y de Bernoui lli aplicada a un Huido que se mueve a una ahura constante, p + ~ P v2 es constante, en donde p es lu presión del flu ido. Esto también se conoce como el efecto VenlUi'i.
1.4
Notación científica
El manejo de números muy grandes o muy pequeños se si mplifica uti lizando la notación cient ífica. En eslU notación. el mímcro se escribe comO el producto de un número comprendido entre I y 10 Y un a potenc ia de 10. por ejemplo ID! (= 100) Ó 10l (= 1000). etc. Por ejemplo. el nú mero 12000000 se escribe 1.2 x 101 : la distancia entre la 'n crra y el Sol. 150000 ()()() 000 m aproxi madamcnte. Se escri be 1.5 x 10 11 m. El número I I en 10 11 se llama exponente , Cuando los números son menores que I el expone nte es neg¡¡¡ivo. Por ejemplo. 0. 1 = I
10 ' = 100 = .!.. = 10' · 3 = 10. 1 lO ' 1000 10 En la notación científica, 1(/1 se deli no como l . En efecto. dividumos por ejemplo 1000 por s( mi'l mo. Resulta
1000 10' = -1 = 103 J = lO" _ I 10. 1000
9
TABLA 1.2 DimensIones de It" mngnitude, Ilslccn
a F
(172
p
MIl.l'
p
MI L' ML1,y'! ML2,p
MIJTl
E P "
EJEMPLO 1.2
I
10
I
Cap rtulo 1 Sistem as de medida
EJEMPLO 1.3
I
Recuento de átomos
Ion
En 12 g de Cllroono c..ds lcn N.\ = 6.02 x filol1lOS de esUl s ustancia (número de AvO$tDdro). SI l'(mlá ramos un IÍlomo por St.1tllndo, ¡,!.-'UIÍnlo I.iclllpo lan1urútm~ en contur ION átomos de I ~ de Ctl roono? Ex¡>rcsur el 1"CSIIII1IIlo cn uñoso
Planteamiento del problema Neces i tnf1lo~ deterrni nur el mímcro tutul de IÍtOITlOS, N. que hemos de contar y tener en euent:! que el mlmcro cuntudl) es igunl n la t n~n de recuento R multipl icada por el tiempo l . 1. El tiempo es igual nlmímcr() total de álamos N dividido por lu tusa de recuento R = 1 álOmols: 2. Dctcnninur el número de
il tomo~
de carbono en I g:
3. Calcu lar el I\ümcm de segundos necesarios pnm contar los átomos por segundo:
N
!I
I
N
I -
I
-
R
átomos 22 - 6.02 x 10lJ 12g x l g = 5.02 x 10 :'i tomO!l
-
"-
4. Calcular el mímero de segundos que contiene un año: 5 . Utilizar el factor de conversión 3, l 5 x 107 sin (una m
I
365 d
x 2~dh x3~S
I "
S
- 3. 15 xI07 s/a
- 5,02 X 1022 s x 3.15 ~ ~07 s/a -
Observació n
5,02 x 1022 á tomo~ - = 5,02 x 1022 R 1 álomo/s N
;.~; x •
10 2: - 7 a =11.59 x IO'S a
I
El tiempo requerido es aprox imadamente 100000 veces In ednd del universo.
Ejercicio Si dh'idiéramos esta tarea de modo que cada persona contase álomos di ferenles. ¿cuántOS años tardaría un equipo fonnado por 5000 millones (5 x 109) de personas pnra conlllr los átomos que contiene l g de carbono? (Respllesra 3.19 x lOS años.) •
EJEMPLO 1.4
I
¿Cuánta agua?
Un lilro (1.) es el ~'o lumell de un cubo de 10 cm x 10 cm x 10 cm. Si una persona bebe l L de agua, ¿(Iué volumen en ccntímetros cúbicos y en metros cúbicos ocupnrá este líquido en su est6mago'! Planteamiento del problema El volumen de un cubo de lado e es V = [3. El vol umen en cm3 se determina directamenlc a panir de e= 10 cm. Para detenninar el volumen en 111 3• hay que convertir cm3 en mJ utilizando el factor de conversión l cm = 10- 2 111. 1. Calcular el volumen en cmJ:
v = e3 = (lOcm)J
2 . Convertir a m):
10)cm J
= 103 cmJ
m)·' _
1 10= 103 cm]x ( I cm
m') =11O"'m' l
103 cmJ x ( 10"0 \ I cm '
Obse rvaci ón El factOr de cOlwcrsi6n (igual a l) puede elevarse a 1:. tercera polenciu sin modificar su m lor. permitiéndonos cancclar las unidades implicadas.
L.1 suma o resta de dos números escritos en notac ió n c ien lffica cuando los exponente!. no coinciden es ligera mente más del icada. Con~ide rcmos. por ejemplo.
( 1.200 x IO') +(8x 10- 1) = 120.0+0.8 = 120.8 Para calcu lar esta sumo sin ex presar ambos números es su farol a decimal ordinaria. I:ln~tll con volver o escribirlos de rormo q ue la potencio de 10 sea In misma en ambos. En este l'¡¡~O se puede calcu lar In sum:1 c."cri biendo. por ejemplo. 1,200 x 10 2 = 1200 X 10- 1 Y luego sumando:
( 1200x lO ')+(8 x lO ,) = 1208x lO 1 = 120.8
\ .5
Cifrll~ Jlgnlflcallvln y 6rdenes de m.gnllud
I
11
Si lu!. u:->pom.'lItu, -"1)1\ muy di rcrc llt t!~. UIlO de lo... mínll'ro, e...¡ mucho nlunor qlll.: ul (Jtro y rreCllUlltCnll'lltu pucdl! dc,.'> prcciur\c un lu, opcrm: iol1c" dc ' UIIlII o reS I II. Por cJemplo. (2x IOIl)+( 9 x 10
1
)
= 2000000 + 0.009 - 2 000000.009
2 x IOb
en donde el ,ímbolo - .. ignilka "lI]lOl;otcnci:I. lo, cxponente:. . .;c IlIultiplk:m. Por ejemplo.
1 .5
Cifras significativas y órdenes de magnitud
Mucho:. de 1m ntímero... (lue se manejan en la cienci¡ll)On d resultado de un a medida y por 10 tu nl O sólo se conocen CO Il ciertll incertidumbre experimcnta!. La nl1lgnitud de eSIil incertidumbre depende de la hnbilidad del experimentador y del aparato uti lizado. y rrecuentemente s6lo puede estimarse. Se suele dar una indicación aprox imada de 1:1 incertidumbre de una medida med iante el número de díg itos que :-le utilizan. Por ejemplo. si decimos que la longitud de una mesa es 2.50 m, queremos indicar que probablemente su longitud se cncuentra emre 2.-J95 m y 2.505 m: es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproxi mada de ±0.OO5 m = ±0.5 cm de la longitud establecida. Si utilizamos un metro en el que se puede apreciar el milímetro y medimos esta misma longitud de la mesa cu idadosamentc, podemos estimar que hemos medido la longitud con una precisión de ±0,5 mm. en lugar de ±0,5 cm. Indicamos esta preci¡; ión utili zando cuatro dfgi tos. como por ejemplo. 2.503 m. para expresar la longitud. Recibe el nombre dc cifra significl.ttivlI todo dígito (exceptuando el ccro cuando se utiliza para situar el punto dec imal ) cuyo valor se conoce con seguridad. El número 2.50 tiene tres cirras significativas: 2,503 tiene cuat ro. El número 0.00 103 tiene tres ci rras significmivas. (Los tres primeros ceros no son ci frds signi ficati vas ya que simplemente si túan la coma dcdmal.) En notación científica, este número se escribiría como 1.03 x 10- 3• Un crror muy común en los estudiantes. panicu lannentc desde que se ha gencralizado el uso de ca lculadoras de bolsillo. es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se requieren . Supongamos. por ejem plo. que medi mos el área de un campo de juego circular mid iendo el radio en pasos y utilizando la fórmula de l área A = rtr. Si estimamos que la longi tud del radio es 8 m y utilizamos una. calculador:! de 10 dígitos pura detenninar el valor del área. obtenemos n(8 m)2 = 20 1.06 19298 m2• Los dígito!) silUcclo a la ex actitud con la que conocemos el áre¡l. Si se ha calculado el radio medi ante pasos. la exactitud de la medida será tan sólo de 0.5 m. Es decir. la longitud del radi o tendrá como nllhimo un \palor de 8.5 m y como mín imo un va lor ele 7.5 m. Si la longitud elel radio es 8.5 111, el volor del área es Jr(8.5 m)2 = 226.9800692 01 2• mientms que si es 7.5 rn. el áre¡¡ \pale n(7.5 m)2 = 176.714587 m2. Una regla general vá lida cuando se mlll1cjan diferentes números en una operación de multipl icación o di\pisión es:
Moléculas de benceno del orden de lO-lO m de diá· mctro. \'ista<; medianle un micro-.copio electrónico
de barrido.
El número de ci fru:. sign ifica ti vas del resultado de una multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de ci rnl:' ... ign ificll ti\pa:. de cualesquiera de los roctores. En el ejemplo anterior sólo ~e conoce una cifra signi ficativa del radio: por lo IIlnto, sólo se 2 conoce una cirra significativa del área . Ésta se debe cxprc...ar como 2 x 102 m . lo que implica que el área eM:1 comprendidn entre 150 m1 y 250 m2 . La precisión de la suma o re!>ta de dos medidas depende de la precisi6n menor de estas m edidn~ . Una reg la general e.<;:
CroJllOsolllUS del ordell de 10· b 111 \'istm nu.-dinme UI1 m icro~cop i o cleetron il."O eJe mundo.
El resu ltado de. lu SlIlllU o festa de dos números carece de cirras ltign ilh:nti\plls más allá de In ¡¡llImn cirra decimal en que mnbo:. mimero-" originolc.<; tienen ci fras significllIivas.
12
I
Caprtulo 1 Sistemas de medldll
EJEMPLO 1.5
I
Cifras significativas
Delennlnllr la suma 1.0.10 + 0.21342. Planteamiento del problema El primer número, 1,040, tiene sólo tres cirras :;ignificnth'llí. de~ pu~s de In comn decimal, mientras <¡uc d ~cg un do. 0.2 1342. tiene cincO. Dc acuerdo con In regln nnterior, In suma sÓlo puede tener t re~ dfms significmivas de s pu é~ de lu coma decinltll.
Su mar los números manteniendo sólo 3 drgitos más allá de In comll decimal:
J .040
+ 0.2 1342 ".11 .253 1
Ejercicio Aplicar In reglu apropiada pum dClcnninnr el mlmero de ci fm$ significativas en Ins ~ i gu ie n les opcmciones: (a) 1,58 x 0.03: (h) lA + 2,53: y (e) 2.34 x leY + 4,93. (R¡·.\pm'sws (a) 0,05, (h) ),9: (e) 2.39 x lO!.)
Distancias fami liares en nuestro mundo cotidiano. La altura de la muchacha es del orden de I(jJ m y la de la montaña de 1(yI m.
Los dalos de la muyor parte de los ejemplos y ejercicios de este tex to se dan con tre." (y en nlgunas ocasiones cuatro) ci fras significlltivns, pero en ciertos caso .. éstas no se han especifi cudo y se dice. por ejemplo, que las di mensiones del tablero de una mesa son de I y 3 m en lugar de ex presar las longi tude..o¡ como 1.00 m y 3,00 m. A no ser que se indique lo COnlrario, puede suponerse que cualquier dato que se util ice en un problema o ejercicio se conoce con tres cifrus significativas. Esta misma suposici6n vale para los datos de los problemas de fina l de capÍlu lo. Cuando se realizan cálcu los aproximados o comparaciones se suele redondear un número hasta la potencia de 10 más próxima . Tal número recibe el nombre de orden de magnitud. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos un hormiga. puede ~e r 8 x 10-01 m ~ 10- 3 m. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga 's de 10-3 m. De igual modo. como la altura de la mayona de las personas se encuentra próxima a 2 m, podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altur-J ma persona es de I (ji m. Esto no quiere dec ir que la altura típica de una persona sea re.. nle de I m, sino que está más próxima a I m que a 10m 6 10- 1 = 0.1 m. Podemos decir '" na persona típica es tres órdenes de magni tud más alta que una hormiga típica, querien\ .. , Ir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente igual a I ()3 (relación 1, ¡. Un orden de magni tud no proporciona cifras que se conozcan con precisión. Debe ~ que no ti ene cirras signi ficativas. La tabla 1.3 especi fi ca los valores de los órdenes dI ¡IÍtud de algunas longitudes, masas y tiempos relacionados con la física. En muchos casos el orden de magnitud de una camidad puede estimarse medi anl IXItesis razonnbles y cálculos simples. El físico Enrico Femli em un maestro en el cáil d de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecían a primera visla imposibl de resolver por la limitada infomlac i6n disponible, El siguiente es un ejemplo de problema de Fcrmi.
EXPLORANDO ¿ Cu6mús afilladores de piallo hay el/ ChieClgo? Al'erigile esto. J más, el! www.whfreeman.com/[j pler5e.
La T ierra. con un diámetro del orden de 101 m. vista desde el espncio.
El diámetro de la glllnxiu Andrómeda e~ dd orden de 1011 m.
I
Resumen
13
TABLA 1.3 El universo por ó rdenes de magnitud Tamaño o dlst.)ncla
(m)
Masa
(kg)
Intervalo de tiempo
(\)
Protón Átomo Virus Ameba gigante Nuez Ser humano Montaña más alta Tierra Sol DiSlnncitl lierrn-Sol Sistema solar Distancia de In estrella más ccrcanu GnlllltÍu V{3 Láctell Universo vhlible
IO~ " JO- lII JO- 7 10-'
Electrón Protón Aminoácido Hemoglobina Virus de la gripe Ameba gigante GOla de lluvia Honniga Ser humano Cohete espacial Saturno 5 Pirámide liCITa Sol Galaxin Vfll Láctcu Universo
IO~ )O
Tiempo imenido por la luz en atr.m~sar un núcleo Periodo de la mdiación de luz visible Periodo de las microondas Periodo de semidesintegración de un muón Periodo del sonido audible más alto Periodo de las pulsaciones del corazón humano Periodo de semidesintegración de un neUlron libre Periodo de rotación terrestre Perioc.lo de revolución terrestre Vidu media de un ser humano Periodo de semidcsintegmci6n del plutonio 239 Vida media de una cordillera Ednd de In TIerra Edad del universo
¿Qué espesor de la banda de caucho de un neumático de a utomóvil se ha desgastado en un nido de 1 km?
r1.'CO-
Pla n teamie nto d e l p ro b le ma Supongrunos que el espesor de la banda de un neumático lluevo es de I cm. Quizás varíe en un factor de 2. pero desde luego no es I mm. ni tampoco 10 cm. Como los neumáticos deben n.--emplaz.nrse Cllda 60000 km, podemos admitir que la banda está gastada completamente después de recorrer esta distancia. es decir. que su espesor disminuye a razón de I cm cada 60000 km. Utilizar la estimación de desgaste de I cm por cada 60 000 km de recorrido para calcular la disminución de espesor en 1 km:
_ Dcsgastede 1.7x IO-S cm 1 km recorrido -
I . . 0.2 ,Ull1 de desg~le por km ret'orrido I
Eje rcido ¿Cuántos granos de arena huyen un tramo de playa de 0,50 km de largo por 100 m de ancho? SI/gerellcia: sl/pólIgase que ha)' arello lUIS/a ulla profuntlidml (le 3 m. El (Iilfmem) de 1111 14 grano de a reJw es del orde" de 1.00 mm. (ReJput'sla .2 x 10 .)
ResulIJell Las unidadc~ fu ndamelllales del SI son el metro (111). el segundo (5). el kilogr.uno (k&). el kel\'in (K). el amperio (A ): el mol (mol) y In candela (cd). La unidud (o las unidudes) de cuulquicr magnitud fisica siempre
pucdc(n) cxprt!Sllrsc en fun ción de estas unidadee; fu ndamentales.
TEMA
1.
U n i d ade~
Unidndes fu ndurncntllles
Las u nidllde.~ en lus t.i :uaciones Conversión
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTtS
L'l magnitud de una cantidud fisicn (por ejemplo. longitud. tiempo. fucrl.ll 'i encrgra) \c ex pre~a mediante un
nlímcro y una unidnd , Lns unidade.<; fundlllllentules del Si Ht'II!(, /IIII'f1/aclOlrtl/ (S I) son el (m). el ~cgumlo (:-.1. el kilo¡:nullo (i..g): el kcl\'in (K). el amperio (A). el mol (mol) 'i In Cfl ndclll (ed). La unidnd (o l:¡s unidudesl dI! toon mngl1ltud fi~lca pucdc(n) eJ;pre5al"'i e en funci6n de e.<¡tuS unidades fu nda mc ntlll~.
L:t.~ unidades en la~ ecuaciones !oC tn\lnn de igual modo que cualquier otro magnnud nlBehnucu. l..os foetores de com·ersiÓn. clue son ~iempre Igual a l. proporeirlOlln un métodO !.:Ofwcn\cntc pnrfl un tipo de unidad en otra.
!"' (' II\
cnlr
I
14
Capitulo 1 Slstema$ de medida
2. Dime n siones
Lo~ d¡) ~
miembro!> de un u "~ II !lc i6n deben lener l u~
m i~ m n ~ d i men ~ i(1nc..\.
3. Notació n clen tffi ca
I"or convcnicnci:I. lO1\" mímcrm. mu)' gr:mdc\ y mlly pe(l ue ñ o~ se cwrihcn por medio de un factor qu~ mul¡j. plicn ti una polcnciu de 10.
4. Expone n te s Multipl icución
Al multiplicar dos n6m ~rO\.
lo~
Di"il'i6n
Al dividir dos n u m cro ~ . lo!>
POIencia
Cuumlo un número que contiene un exponente!'ic CIC VI, a Olro exponente. los exponentes se multiplican.
exponente<.
~ pone ntt,:..\
~ ~ umlln .
se reSIHIl .
5. Cifra s sign ificativa s l\lultiplil'ución y Adición y
di \'i~i6 n
El número de cifrn~ signifi cutivfll. en el n,:sullado de una multiplicación o división nunca menor m111lero de c i fm ~ significlltivas de cualc¡uier.l de lo ... fhelores,
~n\ mnyor que el
El rc suhndo de lü suma O resln de dos núnH:ro, no liene c irrn~ significtltivus más allá de In ultima cirra decj. rIIal cn que :Imbol> mirne ros originules lienen cifrns significtlt iva....
~ u SIr.K·ció n
Un número redondeado ¡¡ la potencia más próxi ma dc 10 se denomina orden de magnitud. El orden de nmg. nitud puede estimarse medi nnte hipótesis ra/.onabl~ y cálculos :-.i mple(.
6. Orde n de magnitud
Proble,,,as
--------------------------------------------------En algunos probleJ1lC1s se • Concepto simple, un solo pl'ISO. relati vamente flíc il. •• •••
Nivel intermedio. puede exigir s íntes is de conceptos . Desafia nte. pam alumnos avanzados. l a solución se encuentra en el SlIIdelll So/u/iolls M atlual. Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tareas para Casll. Estos problemas del servicio "Chec kpoint"' son problenlils de control, que impulsan u Jos estudiantes a desc ribir có mo se llega a la respuesta y a indicar su ni vel de confianza.
SS M •
I
i
./
1 • SSM I e,Cu:!1 de lus ¡.iguicntcs magnitudes físicns 1/0 es una de las fund amcntnlc.s del S i ~ tcTll a h\lemacional'! ( a ) Mns..'l. ( b ) Longitud. (e) Fuer!.;!. (d¡ Tiempo. (1') Tod a~ ellas son magnitudes fís icas fund:lmentalcs. • 2 • I Al hacer un cálculo. el re.,... ullado fi nal tiene las
4 (d)
5
(n 6
•
I
El prcfijogigu ... iglllficD. (,,) l O' . (b) 1<1. (el lO"'.
•
I
El prefijo mega
~ignilic a (11) 1 0~. (h )
(d ) 101!.
10 '. (d) !tI'. te )
• (¡¡) una, O,)
I
I rc~,
lógicas.
-
• i.Cu:\ l~ "
9
•
(ti) Ptlro
Verolldero o fa lso:
( Ulml.r
dos lI1 a~ni tlldes e\ condid ón nccesnriu que tengan In~ mi"'nllL'
di mc nsione~.
(b) l'nro! multiplicar dolo magnitude'i es condición nece
mus djmc n ~ i one~ . (e) Todo~ los fuctOM de eOIl\'ersión tienen el \'ttlor l.
Cálculo y aproxlmodones
SSM •
° estimaóof'
lO-t>. (e) 10 \
10". (e) I ()'I
.
¡uell fes ex/en/as
•
•
•
más daros de Ins relllmem, necesarios: el/ otros fJ(Jco ~, ex/merse alglll/os datos ti!''"' de conocimientos gelleralt
El mímero 23.()().l0 tiene __ • I 7 (lI) dos. lb) tres, (e) cuatro. (ti ) cinco. (t') seis.
Problemas conceptuales
•
d, '
•
I
El jlrclijo pico ,!;ignifica (a ) 10 12, (b ) 10-" ,
10 •• SSM El :lnFulo (uhlc.ndido IXlr el dllimetro oc la L.ona en un punto de In TIerra c.., :tpro "(illludnmentc O.5 ~4 (ligum 1.:2). ('(In e'te &t(\ ~ subiendo que In Luml dista 3M" ~ 1 1Il de lu Tiemt, hllllllf MI dt.lnlC'tf\' {l..:! iln~okl
Problemas ,ubtcndloo pur lu Luna e..o¡ IIpro;.;im:uJnmeml· iguul u 1)1". donde IllCtl'l,) de 1:. Lunn y rl es In dbtulicill u In mbma,) (J
.. -.
." •• ••
..
f)
e<¡ el diá-
_. .... .
03:'1 \ ' "
"
15
Unidades
18 • lliprt'5ur 111.. \ $.guieme..~ rlUIgnltlldl'-', u ~ando los prefijo, que <:e no¡. tlln cn la t!lblu l. I )' las nbrevilllurns de In pj¡linn SP· l. por ejemplo. 10000 melros:: 10 km. (a) I 000000 VIIlios. (b) 0.002 grnmos. (e) 3 x IO~ metros. (d)
JO 000 ~¡;undos. Escribir euda una de las !liguicnte~ magnitudes sin u\IIr prefijo!;: (ti) 40 JlW. (11) 4 n ~. (l') 3 MW. (ti) 2.,"\ km. 19
•
20 • SSM Escribir lu~ ~i S\li en l e, Ilutgnitudes (que no ~ expre\an en unidn,le.... del SI) ~in IIS1U" ubrc\'laturns. Por ejemplo. 10) metros.:: 1 kil6mc. tro: (u) 10- 12 ubucllCO<.. (h ) 109 mugidos, (e) I ~ teléfonos. (ti ) 10- 111 chjcc"l'" (e) Id"' teléfonos. (j) 10 9 eabfl4'. (g) 10 11 lOroS. •
Figura 1.2
Problc mll 10
21 •• I En las ccu llcione~ ~ i guie!Ucs. la di ~tan eia .f está en metros. el tiempo I en segundos y la velocidad \' en metros por segundo. ¿Clláles slon las unidades del SI de las constlln t~ e l y e/! (u ) .r:: e l + e l l. ( b) .r = 1 t l 2 . (e) \.2 =2C•.f. «(1) x = C I cos Cll . ( ...) VI = 2e\ - ( C¡x )' .
e
•
11 •• S$M i ./ El Sol post.'C UIlII rn:l~\ de 1,99 x IQJO kl!. Funda.rncntalmenlc el Sol e~lá ':ompue~to de hidrógeno. con 5610 una pequeil~. cantidad de r::Iemenlos más pesu.dm.. El dlOmo de hidrógeno tiene una mUSll de 1.67 x 10-21 kg. Estim:lr el mímcro de dtomos de hidrógeno del Sol.
22 •• I Si en el problema 21 'iC expresa .f en pies. I en segundos y l' en pies por segundos. ¿eultles son IlIs dimensiones de las constantes CI y Cl ?
12 •• Muchns bebidas refrescll ntc..~ se venden utilizlllldo como cnvnse lalns de aluminio. Una lata contiene apro;.;imndamente unos 0.018 kg de aluminio. (a ) E.~timar eunntn.~ 1:1Ias se consumen dumnte un ailo en los Estados Unidm. de Noneamérica. (h) Calcular la nmsu tOUtl de tlluminio atribuible al consumo de latns de bebidas refrescantes. (c) Si por cada kilogr.lmo de alumi · nio. en un centro de reciclaje se obtiene I S. ¿cu/ll es el valor económico del aluminio ncumulado durante ul1año de lns kttas usadus?
Conversión de unidades
Richard Feynman en su ensayo " Hay mucho sitio librc en todas partes" propuso escribir In Enciclopeditl Britállictl completa en la eabeza de un alfi ler. (a) E.~limar el tnmaño que deberían tener las letntS si suponemos. al igual que Richard Feynman. que el diámetro de la cabeza del alfiler mide 1,5875 mm. (h ) Si en un mdal el csp::leio entre átomos es de 0,5 nm (5 x 100tQm). ¿cuántos /ltomos abarca el grosor de cada letra? 13
••
14 •• SSM (a) Estimar cuántos litros de gasolina usan los automóviles eada día en los Estados Unidos de Norteamérica y el coste asociado. (b) Si de un barril de crudo se obtienen 73.45 L de gasolina. enlcular cunntos barriles de petróleo deben imponarse en un uña en los Estados Unidos de Noneamériea paro fnbricar la gasolina nece.'Wia pam la !lutomoción. ¿Cuántos barri les por dín supone eSta eifm? 15 •• Se h:l debatido públicamente con frec uencia cuáles son lus consecuencias ambientales de usn r pañales desechables o pañale.~ reutilizables dc tela. (ti) Supóngase que un bebé. desde
23 • A partir de la definición original de metro en función de la diSUln· cia del Ecuador al Polo None hallar en metros (tI) la circunferencia de la Tierra. (b) el radio de la TIerra. (e) Convertir lag respue~ms dada~ en la) y (b) de metros a millas.
24
•
•
I
La velocidad del sonido en el aire es 340 mIs.. ¿Cuál es. la velocid::ld dc un a\'i6n supersónico que se mueve con un:. velocidad doble a la del sonido? Dar la respuC&1:I en kil6metros por hora y milla, por horn. •
25 • SSM I Un jugooor de baloncesto liene una II.lturn de 6 pies y 10.5 pulgudas. ¿Cuál es su altura ~n c entímetros~
26 • Compleltlr las siguientes igualdades: (a ) 100 km/h = __ milh (b) 60em= _ _ in.(c) IOOyd= m. 27 • La mayor separación entre dos soportc.o¡ del puente es de 4200 pies. Expresar esta distancia en km.
GQItI~n
GCltt"
28 • SSM Hallar el factor de eOIl\'ersión pam convenir millas. por hora en kilómetros por hom. 29 • Complemr las siguientes c :(pre.~iones: (tI) 1.296 x IIY kmlh: = _ _ kmlh · S. (h) 1.296 x 10' k\l1/h ~ = mIs:. (c) 60 milh ::: pies/s. (di 60 milh = mis. 30 • En un litro huy 1.057 eunnos )' 4 cuartos en un gal6n. (a) ¿Cuán· tos litros huyen un gal6n? (b) Un barril equi vule a 42 galones. ¿Cuántos lnt! troS cúbicos ha y en un barri l'? •
Unn milla clladrndatiene 640 acres. ¿Cuántos • I 31 cuadrndos tiene un acre?
Ine~
32 •• i Un cilindro circular rec to tiene un diámetro de 6.8 pul. gadas y una altura de 2 pies. ¿Cuál es el \'olulI1en del cilindro en (a) pief, cúbicos. (b) metros cubicos, (l') lilIO~? 33 •• $SM En las siguientes upresionc..~. x estn en metros. I en segundos. \' en metros por segundo)' la acelemci6n 1I en metros por segundo cuadrado. Dctcrminur las unidades del SI de cada eombinllci6n: (ul \'~/x (h)
J x/a (e) ~
(11' .
16
I
CapItulo 1 Sistemas de medida
Dimensiones de laJ magnitudes fislcas ¿Cudl!!S SQn las di mcnsitmc\ de IlIs c•.'on)lhnte<¡ que aparecen en cada uno de: I()~ ¡1¡>aMndos del prohlemn 21" 34
•
35 •• Ln ley de desintegraci6n mdinctivu e~ NO ) ;; Not'~ AI, en donde NfJ e~ el m\mero de m1cleos r:ldiucti ...o~ en el instunlc I '" O; N(f) es el m\mero (Iue penllancee si n dc~i ntcgrur en el tiempo I y Á e~ 111 IllImudll constunte de desinte. gruci6n, ¡,Qué dimen.~ i on es tiene Á? Ln unidnd del SI de ruen.u. el kilogromo-metro por ~gundo cundrado (kg' m/s 2 ). se denominll newton (N). ~Iull llr lus dimen ~ione..\ y las unidades dd SI de 111 conl>twlle G en h. ley de NcwlOn de In gr'.1vitaci6n 1: = 36
••
SSM
Gmrm¡r. 37 •• Un objeto situlUlo en el extre mo de unn cuerd:1se IlIUC"C segtin un dn:u lo . La ruerza ejen:ida por 111 cuerdu tiene unidades de MU1 ~ y depe nde de lA musa del objeto. de su vclocidlld y del rudio (h.:1 drculo. ¿Qué combinnci6n dc cstns varin b1c~ ofrece las dim('nsioncs correctas de lu fu crl.u'!
ti'
38 •• i Dernostror (IUC el productO de la mn.\>:1 por In ncelcraci6n y In \'elocidnd tiene Ins di rncnsiones dc unn potencia.
39 •• El momento lineal o rrnpem de un objcto es el producto de su mllSll y velocidnd. Demoslrnr que estu magnitud tiene ¡liS di mensiones de una rUel7.B multiplicada por c1tiempo. ¿.Qué combinaci6n de la fuerza y otro magnitud ffsicn tiene las dimensiones de In polencia? 40
••
i
ti
Cuando un objeto cae ti tmvés del aire. se produce una fucr7..a de arrnstre que de pende del producto del área superficial del objeto y el cuadmdo de su \·elocidad. c.~ decir. F""", = CA,.:!. en donde Ce..~ una constante . Detenninllc las di mensiones de C. 41
••
SSM
42 •• La tcrcer.!. ley de Kepler relaciona el periodo de un planela con su radio r. In conSlanle G de la ley de gravitación de Newton ( F = Gmlm¡r) y la mao;u del Sol. Ms. ¿Qué combinaci6n de estos fac tores ofrece has dimcnsiones correctas para el periodo de un planeta'!
Notación científica y cifras slgnlflcatlvas 43 • SSM Expresar los siguientes números como números decimales sin utiliznr la notación de potencias de diez: (a) 3 x ¡ (ti. (b) 6 . 2 x 10·). (c) 4 X JO... 6. (d)2.1 7x lO' . Escribir en notaci6n cienllfica los siguientc...'i v,llores: (a) 3. 1 GW = __ W. (b) 10 pm = m. (e) 2.3 fs = s. (d ) 4 JlS = s. 44
•
•
45 • I Real izar IlIs siguientes operaciones. redondeando hosta el número correcto dc cifras signific:uivas. y ex pcc...~ar el resultado en notaci6n cicntffica: (a) (1.1 4)(9.99 x 1(4). (h) (2.78 x lO· ·) - (5.3 1 x ID·'). (c) 12111(4.56 x 10-3). (d) 27.6 + (5.99 x 1()2).
46
•
Calcular las siguientes operaciones redondenndo al número correcto de cifras significativas y expresando el resultado en notación cientffica: (a) (200.9)(569.3). (b) (0.0000005 13) (62.3 x ID' ). (e) 28.401 + (5,78 x 10"'). (ti) 63.251r 4. 17 x 10-- 3). •
Una membronn celulnr posee un espesor de 7 mm . i,Cuántns membranas de este espesor deberlan upilaTSe pnm conseguir unllllllum de 1 pulgada? 47
•
48
•
SSM
I
Calcular la" siguientes operaciones redondcando al m\mero correcto de eifras significlltivas y exprc....¡mdo el resultndo en flOtaci6n cienlffi ca: ( a) (2.00 x 10")(6. 10 x 10--1). (b) (3 . 14 l 592}(4.00 x 10'). (e) (2.32 x I()lY( 1. 16 x lOS). (d) (5, 14 x 10 1) + (2.78 x l()l). (t') (1.99)( l()lj + (9.99 x 100000s).
49 • ss,,", Reali/.nr lO!> sigulcmc" cák:ulO'> y redondellT lo!. tnuh. do, COn el mime:ro COrrec:IO de cifras signifi c:nlvas: «(1) 3.1415926S4 x (lJ.:.'!tI. (b ) :.'! x 3.1 41 592654 )( 0.76. (e) 4/3/1" x (1.1 )'. (d ) (2,O>,n.141 592654.
Problemas generales
50
•
vehículos 11
Muchas de las carreteras de C1madá limilon In velocidad de lOi 100 km/h.I,Cu61e.~ In velocidad Ifmile en mi/h'!
Contando dólares o razón de 1$ por anos necesitarlamos pllrn Contár 1000 millones de dÓlllres? 51
•
SSM
~gundo.
¿cuám(K
52 • A vc.:ce..~ puede obtenc:n;t: un ractor de convc:rsi6n a paMir del conocimiento de nO(l constante en do~ s i ~ternas diferente... ( a) La velocidad de lu luz en el v:Iclo es 186000 mils = 3 x 10' mis. Utilizar e~te hecho paro hallar el número de kilómetros que tiene una mili .... lb) El peso de un pie) de agua « 62.4 libras. UtilÍ1.ur este duto y el hecho de que 1 cm l de agua tiene unn masa de I g par-.t hnlhlr el peso en libros dc I kg de ma~a . •
•• I 53 Ln musa de un álomo de uranio es 4.0 x lO-lo kg.. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 8 g de urnnio puro?
i
ti'
Durnnte una tonnenLn cae un total de 1,4 pulgadas de lluvia . ¿Cuánta agua ha cardo sobre un :tcre de tierra? (1 mi %= 640 acre.¡ 54
••
55 •• Un núclco de hierro tiene un radio de 5,4 x 10. 15 m y una mas:n de 9.3 x 10... 26 kg. (a) ¿Cuál es su masa por unidad de volumen en kilogralTlO!> por metro cúbico? (b) Si la TIcmltuviern la mismll masa por unidad de '·olumen. ¿cuál sería su radio? (La masn de la Tierra es 5.98 x I()%' kg . ) 56 •• Calcular las siguientes expresiones. (a) (5.6 x 10-)(O.()(}()O'175 .11 (2..4 x 10... 12). (b) ( 14 . 2)(6.4 x 107)(8.2 x 1
57 •• SSM La unidad astronómica (UA) se define como la f1. media de la TIerra al Sol. a saber. 1.496 x 10. 1 m. El parsec es la longitu. desde la cual una UA de longitud de arco subtiende un ángulo de I set: año luz es 111 distancia que la luz recorre en un año. (tI) ¿Cuántos par; contenidos en una unidad astronómica? (b) ¿Cu6ntos metros tiene u¡ (e) ¿Cuántos metros existen en un año luz? (ti) ¿Cuántas unidades astn: existen en un año luz? (e) ¿CUánIOS años luz contiene un par\eC?
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, •
...
58 •• Para que el universo deje algún día de expansionarse)' COI: contraerse. su densidad media debe ser al menos de 6 x 10--2"7 kgfm'. (o, (umlOS d ectro nes por metro Clíbico deberían existir en el universo para a..:anlllt esta densidad crítica? (b) ¿CuánloS protones por mctro cúbico produdnJn lA de nsidad critica? (me= 9. 11 x 10--11 kg: 11/,,= 1.67 x 10- 21 kg.) El dctector japonés de neulnnos Super·KamiokanJt est6 formado por un largo cilindro trnnsparente de 39.3 In de diámetro y 4104 1\1 de alto. relleno de agua extrcmndamente pura. Calcular 111 musa de agua que hay en el interior del cilindro. ¿Se corresponde la cifra obtenida con el d:J.to que coosta en el sitio ofi cial del Super-K. según el cual el detector contient:. 50. 000 tooeladls de agua? Densidad del agua: 1000 kglm.3. 59
••
SSM
60 ••• La tabln adjunta da los resu ltados expen mentllles correspondi(!nt c...~ a una medidu del periodo del mo\'imiento T de un objeto de masa m ~us pendido de un muelle en funciÓn de la 1T\nsu del objeto. Estos dulOS eSldn de ncuerdo con una ecunci6n sencilla que expresa T ell fun ci6n de m de la forma T = Cm". en donde C y ti son constantes y ti no es nccesarillmente un entero. (ti) Hnllar ti y C. (Para ello existen varios procedimientos . Uno de ello<; consiste en suponer un valor de ti y comprobarlo representando T en funciÓn Ik mil en papel milimelrndo . Si la suposiciÓn es con ecta. In representación M'I"Í una recta. Otro consiste en re presentar log T en funciÓn de log m. Ln pc.nÚleatt
Problemas
obtenidu en este papel es 11.) (b) ¿Qué datos se dcsv(uII más de la representución en ¡(nell !"Cetll de Ten función de III~ '! Musa m . kg
0. 10
0.20
0.40
0.50
0,75
1.00
1.50
Periodo T. s
0.56
0.83
1.05
1,28
1.55
1.75
2,22
61 ••• La tabla adjunta dll el periodo T y el mdio r de lBórbita correspondientes 1I los movimientos de eUlIIro S.'11élites qUe giran alrededor de un asteroide pe.~udo y denl>O. (a) Estos dutos se relacionan mediBnte In fómmlu T = C,". Hal lar e y 11. (b) Se descubre un quinto satélite que ticne un periodo (1\: 6.20 años. Delenninar la órbitn de este smélile que ~e ajuste a 111 misma fóm1Uln. Periodo T. años
0.44
I ,61
3.88
7,89
Rudio r, GOl
0.088
0,208
0,374
0.600
I
17
••• SSM El periodo T dI! un péndulo simple depende de In longitud L del ~ndulo y lB ucelerución R de lu grnvedad (dimensiones l/f'l). (o) Hallar unn combinación sencilla de l. y g que tenga las dimensiones de tiempo. (h) Comprobar la dependenein cxistente entre el periodO T Y la longitud L midiendo el periodo (tiempo paro! unn ida y vlleltn oomple\Jl) de un péndulo para dos vnlores diferenle.~ de L (e) En III fórmula correcttl que relnciona T eon L y g interviene una constunte que es un múltiplo de Tr Y que no puede ootenen;e mcdiallle el análisis dimensionnl de III parte (a). Puede hall¡me experimental62
mente como en lB pane (b) si se conoce 8. U,iliz:mdo el valor g = 9,8 1 mfsl y lO!! resultados experimentales de la pane (b), hallnr la fórmula que relncionll T eon L yg.
63 ••• i .1 La atmósfera de la Tierrn ejerce una presión sobre la superficie terre..~lre de valor 14 .7 libras por pulgada cundrndu de sUJlI!rficie. ¿Cuál es el peso en libras de la Btmósfera tcrre.
EL MOVIMIENTO EN UNA DI ENSIÓN
Capítulo
2.1
Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad 2.2 Aceleración 2.3 Movimiento con aceleración constante 2.4 Integración El movimiento en una dirección se asemeja al movimiento a lo largo de una linea recta, como el de un coche en una carretera recta. La conductora se encuentra con semáforos y distintos limites de velocidad en su camino por la carretera hacia la escuela.
? •
¿Cómo puede estimar el tiempo que tardará en llegar? (Véase el ejemplo 2.2.)
C o menzare mos e l estudio del uni verso físico examinando los objetos en movi miento. El eSlUdio del movi miento, cuyo anál isis experimental comenzó huce más de 400 uñoso dando lugar <1 1 nacimie nlo de la física , se denomin n cinemática. , Partiremos del caso más simple, el movimiento de una partícula lllo largo de una línea recta, como el d e un coche que se mueve a lo la rgo de una cnrrctera horizontal} recta)' t'Strecha. Una partícula es un objeto cuya posición puede d escribirse por un solo punto. Cualquie r cosa pued e considerarse como una partícula -una molécula, una personn o una galnxia- siempre que podamos ignorar razonnblement e su cs· tructuru interna.
2.1
Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad'
La fi g ura 2. 1 muestra un coche que eSlá en la posición x, en e l inslante t, y en In posici ón x, en un instante posterior f f' La variación de la posición del coche Xt - Xi_ l'e denomina d es pht ~ zamic nto. Es costumbre utili zar la letra griega d (delta mayl1scula) para ind icur la vnriación O incremento de una magnit ud . Asf pues. la variaci ón de x se cscrilx: Ax:
l . t:n inglk \.C 1I!k1n 10" u!:rrnín(K IY'lodl)" )' .rpud p.im denominnr la w:loculllll vec torial y In vdocidad c:.."Cubr o mótlul" de In '·elucidod. AIlntlllC..c h:111 hec ho i n lenlO~ ¡ll'ro dcnomin:lf celeridad ni módulo de In ' clodú.1l1. "" sude nombnar 10) dM
concelllo:. romo 'clocidlld
•
20
o
I
Capftulo 2 El movimiento en una dimensión
-.-- -
- - Oc,
(2.1) DmNlCIÓN -DESPlAlAMlOOO
,- .
-',
Fi g ura 2. 1 Un uUlom6vil M.~ mueve en Ifnea recia en un sistema dc coordenadllS formado por una Ifnca en la que ~e escoge un punto O como origen. A cada punto de la Ifnea se IIsignu un número .\'. cuyo valor e.... proporcional a la distanciulI O. Lo... puntos u In derecha de O son positivo... y a la izquierda. negativos. Cuando el coche se des plaza desde el punto .\'¡ al punto .ti' su desplazamiento e.... 6.x = x, - .x,.
Lu notación dx (léase "delta de x") corresponde a una sola magnitud . el incremento de x (no al produclo de A por x. como IlLmpoco cos es el produclo del cos por 8). Por convenio. la vnriación experimentada por una magnitud es siempre su va lor final menos su valor inicial. Se define ItI vclocidlld m cdill de la partfcuia V m• como el cociente entre el desplazamiento Ax y el intervalo de ticmpo ÓI = lf - 1, :
e
Vm -
t.x
-/J.I
(2.2)
DEFINICiÓN -VElOCIDAD MEDIA
El desplazam iento y la velocidad mcdia pueden ser positivas o negmivas. Un vaJor positivo ind ica el movimiento en la dirección x positiva. La unidad del SI de veloc idad es el mis.
EJEMPLO 2 .1
I
Desplazamiento y velocidad de un cometa
Un cometa que ,,¡aja directamente hacia el Sol es d etectado por primera vez en XI = 3,0 X 10 12 m respecto ni Sol (figura 2.2). E xacta mente un año después se en cuentra en X r = 2,1 x 10 12 m . Dete rmina r su des pla7.amiento y velocidad m ed ia.
X;
Pla nteamie nto del pro ble ma Los cometas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol. Aquí se considera la distancia desde el Sol como si el camela se moviese en una dimensión. Conocemos x¡ y:er. Si elegimos t ¡ = O será.re= I uña = 3. 16 x la' s. La velocidad media es Ad61. 1. El desplazamiento se obtiene de su definici6n: 2 . La velocidad media es el desplaumliento dividido por el intervalo de
liempo:
ÓX
= xr-xi = (2. l x IOI2 m)-(3.0xIO I2 m) - -9x10 I ÓX
"
m
Figura 2.2
-al -
-9xlO ll m 3, 16 x 10's
_ - 2,85 x 10' mis
_rl_"'2~ 8"' .5~Iu-n1 ~s'l
Observació n Ambas magnitudes, desplazamiento y velocidad media. son negativos. pues el cometa se mueve hacia los valores más pequeños de.\'. Obsérvese que las unidades. m para 6.x y mIs o kmls paro! l/m' son partes esenciales de las respuestas. Carece de significado decir que "el desplalümiento es -9 x 10 11" o "la velocidad media de UM partrcula es -28.5". Eje rcicio Un avión de rcncción sale de Delroil ;¡ las 2: 15 p.m. y llega u Chicugo. tl 483 km de distancia. completando el viaje con una velocidad media de 500 km/h. I,A qué hora llega a Chicago? (Respuesta 3: 13 p.m., hora de Detroil . que es en realidad 2: 13 p.m. hom de Chicago.)
EJEMPLO 2 .2
I
Camino d e la escuela
Habitualmente turdamos 10 minutl)S en Ir de CIlSU II hl c....cuclu situndu JI 5 km de dislltllcia, yendo por una calle r eCia. Si un dla, SlIlimos de c.asa 15 min a ntes del comienzo dc la clase, pero no.'i encontramos con un semáfo ro c..'i tropclldo que hace que 111 velocidad durante los 2 primeros kilómetros sea de 20 kntlh, ¿Ih.'garemos a tiempo? Plante amiento del proble m a A fin de resolver el problema hoy que encontmr el liumIX) lotal que necesitumos panl llegar n la escuela. Pum ello. huy que c:delllnr el tiemlXl 11'2 lon dumnte el euol vumos n 20 kmlh Yel tiempo 61] tm del res lO del tmyecto. dumnte el cual lu velocidad c,'I la hnbituoJ.
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
2.1 Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad
I
21
1. El tiempo 10lnl coincide con el tiempo invertido en los dos primeros kilómetros más el tiempo uti1i7.lIdo paro recom:r los tres reSlantes: 2. Usando.6..l' =
delenninllr el tiempo que nos cuesla recorrer los dos primeroll ki lómetros !I 20 kmlh: l ·m l1l.
3. Usundo Ax = l'mAt. cnlcular el tiempo (¡ue IlIrdnmos en recom!r los lres kilómetros restantes: 4 . USílndo Al'
= v",AI. despejar v",I1lIl' In velocidad que nos permite reco--
At nm = tu
-,' m
01 ) l m
6.
Des~j ar el tiempo
- 6min
3 km -
.
"
\ ·" .....1
5km 10 min
km - 0.5 3kmlmin
=
61~
= 0. 1 h
t.x
- 6 /""", -
I'~ ....I
O t ) m,
lotal:
20 kmlh
Ax 101
rrcr 5 km en IOmin :
S. Despejar el tiempo t) lm:
2km
8 t H",
- 0.5 km/ min
= 6 mili
+ At Hm
- 12 min
7. El desplazumiento cuestn 12 mi nulOS comparado con los 10 minUIOll habituales. Sin embargo. habíamos salido de Ca.<¡1I con 15 minutos de antelación. por lo tanto no llagamos U/rrle a la esclwla.
El módulo de la ,'elocidad media de una partícula es el cociente de la distancia 10lal recorrida y e lliempo total desde el principio al final : Módulo de la velocidad media = dislancin total _ s tiempo total I
(2.3)
La distancia total y e l tiempo 10lal son siempre positi vos, por lo tanto el módulo de la ve locidad media también es siempre positivo.
EJEMPLO 2.3
I
Mód ulo de la velocidad media en una carrera
Un corredor recorre 100m en 12 Si luego da la vuella y recorre 50 m más despacio en 30 s y en direeción al punto desde el que inició su mOvimiento. ¿ Cmil es el valor del módulo de la velocidad media y el de la velocidad media para toda su trayectoria?
o
50
_...... _---_ ... _---_._. _. __ ..
..-._-. __
12 s
Planteamiento del problema Uti lizaremos las definiciones de módulo de la velocidad media y velocidad media. recordando que el módulo de !tI L'elocidad media es la dis((lllcia lotal dividida por 111. mientras que la velocidad media es el desplaZllllliento nejo dividido por ó.J. (a) 1. El módulo de la velocidad media es igual a la distancia lotol dividida por el tiempo total:
2. Calcular la distancia 10lal recorrida y el tiempo lotal:
Módulo de la velocidad media s -
(b) 1. La velocidad media es el cociente del desplazamienlo neto Ar y el intervalo de tiempo Al: 2. El desplllzamiento neto es
inicial y
x{ -
.fr. en donde .f¡ = O es la posición
x, = 50 m es la posición final :
3. Utiliznr .6..x y ot parJ hallur lu velocidlld medin:
•
Xf
Figura 2.3
6, 6/
= loo m+ 50 m - 150 m
Módulo de la velocidad media _ l'
_
• 6.f
I'm
_
6/
=
=
Xt -XI
8 1
= 50m -0 = 50 m
50 m = 42 s
, =1,'9""' 1
Comprobar el resu ltado La marea mundial de una CIlITeríl de 100 m está algo por debnjo de los 10 s. es decir. 10 mis es aprolti madamcnte la velocidad m:b.: ima que puede obtenerse. El resultado de 3.57 mis para el módulo de In velocidad media en (a) es razonable. ~a que ~I co,:cdor fu e mucho má.'I lenlamente duranle un Icrcio de su recorrido. Si el resultado oblemdo hubIera SIdo 35.7 mis Icndrfamos flL l.Ón para pensar que nlgo hnbra fallado en el cálculo.
l;~ ~n
=13.57 mis
I
_-.
._ .. __ .
lOs
= 12 s+30 s =42s
r
3. Utilizar s y 1 pnra hallar el módulo de la velocidad media:
.f l +S::!.
100
x. m
,
I
22
Caprtuto 2 El movimiento en una dimensión
Observación El módulo de 111 vdocidfld media es muyor que In velocidad mediu porque 111 distandu IOtal rccorridu es mayor que el desplazumienlo total. Nó¡t:se tumbién que el desplazamiento ncto es la s UlIla de los desplazamientos individuales, E-~ decir /:1...:= 6x 1 + Ax2 = (100 111) + (- 50 m). que es el resu lludo del paso 2 de In parte (b).
EJEMPLO 2.4
I
La aventura del pájaro viajero
Dos trenes separados 75 km se uproxlnum uno ni olro por "ills paralelas, moviéndose cada uno de ellos ti 15 k m/h. Un pájllro " Uelll de un tren 111 otro en el espacio {Iue los separ a, hasta que se cruzan. ¿Cuál LOS la distnncht lolnl I'Cl"orridll por el pájaro si éste vuel1l8 20 km/h'! Este problcmu paI'Cce diffcil ti primera vista, pero rcnlmcntc es muy simple si se enfoca adecuudamente. Para ello escrib i remo~ en primer lugar una ecuaoión para 13 magnitud ti detemlinar. t:S decir. la distancia IOtalll.~· recorrida por el pájaro. Pla n teamiento de l p roblema
1. L.., distanci:l totul es igual al módulo de la vclocidud media llluhipliclldo por el tiempo:
.r = ( módu lo de la velocidad
2. El tiempo que el pájaro está en el aire es igual al liempo que los trenes turdan en encontrorse. La suma de las distancias recorridas por los dos trenes es O = 75 km. Determinar el tiempo que tardan los dos trenes en recorrer una distancia total O:
S I + S2
3. La distancia total recorrida por el pájaro es, por lo tanto:
S
- (velocidad) mr'jaro X
media )~ x
/
/
= (velocidad )mlx /+ (velocidad) m2x / - O
por lo taOlo D r = ( velocidad)m 1 + ( velocidad)m 2 = (velocidad) m!"jlRl x
_ (velocidad) = 20 km/h
I
pi' . D . m J'''' (veIOCldad )m 1 + (veIOCldad)m2
75 km_ =150 km 15 km/h + 1,:> kmIh
I
Observación Algunos tratan de resolver este problema determinando y sumando las distancias recorridas por el pájaro cada vez que se mueve de un tren aJ otro. Este sistema es muy complejo. Es imponante dcsarrolilu un enfoque meditado y sistemático para resolver los problemas. Es útil comenzar por escribir una ecuación que relacione la magnitud desconocida en fu nción de otras magnitudes. Después se procede a detennimlr los valores de cada una de las restantes magnitudes de la ecuación.
, .
(x, . I~) .
xz --- ---- ----------- --
La figura 2.4 representa gráficamente la velocidad media. Una línea recia une l o~ puntos P I Y P2 Y forma la hipotenusa del triángulo de catetos Al' y tll. El cociente ó.xlÓ! e~ lo pendiente de la línea y nos ofrece una interpretación geométrica de la velocidad media: La velocidad media es l
En general , la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. Por ejemplo. si en la fi gura 2.4 tomamos un intervalo menor de tiempo. escogiendo un instante I~ más
,
,, ,
",
/lJ .. ¡.¡ - 11
,,
,, ¡;¡_ "" pend'lente
.. \'",
"
,
Figura 2.4 Gráficode .r c n fun ción de I par,¡ un3 partfcula que se mueve en unn dimensión. Cada punto de la curva reprcsenla la posición x en un tiempo determinado t . Se ha dibujado 111m línea TC(!tn entre 1:15 posiciones PI y 1'2' El dt:s pht1.amielllo 6x = X2 - X I y el intervalo de tiempo 61 = 12 - ti se indican en la fi gura. L.t1fneu recta entre ¡JI y 1'2 es la hipotenusa del triangulo de Il}dos 6.x y ill Y 111 relación IlxJil/ es su pcndicntt:. En términos geométri cos. la pendiente es unn medidn de la inclinación de la recta_
próximo a t i ' la ve locidad media será mayor, según indica la mayor inclinación de lo línea que une los pun tos PI y Pío
Velocidad instantánea A pri me ra "i stn puede parecer im posible defi nir la ve locidad de la p8l1'ículu en un solo ins-
tante, es decir. en un tiempo es pecífico. En un instante determinado la Pilrtículn está en un solo punto. S i e."tá en un solo punto, ¿cómo puede estar moviéndose? Por otra parte. si no se es tá mov iendo. ¿cómo puede tener ve locidad'! Esto constituye unu untigua pumdojo que puede resolverse cUilndo nos damos cuent'a que para obscrvnr el movimiento)' así definirlo. debemos observar la posición del objeto en más de un instante. EnlOnccs re..~ulw posible definir In velocidad en un instant e mediante un proceso de. paso a l lfmite. Veamos ahon! la figura 2.5. CUllndo consideramoS sucesivamente intervalos de tiempo más corto~ a partir Jl.' 11, l:l velocidad med ia para cada intervalo se aproxin1l\ nuh a lu pe ndiente de la tnngellte en 'l ' l..'1 pendiente de e.t;ta tangente se define como la velocidad ¡nstnnlánea en 11' Esta tan ·
I
2.1 Delplazamlento. velocidad y módulo de la velocidad
23
ge nte c:. el límite de l a rclm:ión /l.r/Ar cuando ó,r y. por lo tnllto. Ax 1'e IIproximilll n cero. A ¡.,f podrcmo:-. dec ir, La vdocidud instantlÍnen e::- c llfmi te de la re lación t1.r/!:J./ cuando At 1'C ~lprox i nHl al vulor ce ro.
"(1) -
· ~, l un - - pendiente de la línca tungerue <1 111 curva x fu nción de
~\I
10 1..\ 1
• •• --l ._ . . ..... ~ •• _
ti
(2.4)
,, DEfINICIÓN - VELOCIDAD tN51ANTÁNf.A
E.\l C
límite se denomina dcrivadu de x respecto .
~I
JI /.
!:J.x
\' = lun -
loÓt
=
La notl.lci6n us uu l pam lu derivada el> dxltlt:
do\"
-ti,
I
(2.5)
Posición de una pa rtícu la en funci ó n del tiempo
¡INTÉNTELO USTED MISMO! .r. In g 7
Planteamie nto d e l pro blema En la fi gum 2.6 hemos dibujlldo In línea de tangente a la curva en el in:otamc 1 = 2 S. 1..:1 pendiellte de la línea langeme es la velocidad instantáncn de la partícula en el tiempo dado. Puede utilizarscesllI fi gura para medir 1:1 pendiente de la línea tangente.
5 4 3
Pasos
Respuestas
1. Determinar los valores XI y.t2 sobre la línen t
.,
"
.,
6
-~~I~;O~~'--'2--~3'--4,--,'--Z6--'7--0,71.,
2
Tope la columno de lo derecha e intente resolverlo usted mismo
.1 m.
Figura 2.6 1' ,
8.5 m
11=21>y/~=5s.
2. Calcular la pendicnlc de la línea tangente a purtir de estos valores. Est:l pendiemc es igual ;¡ la velocidad inst:lm:'i nell en I = 2 s.
l'
. S,5m - .t m = pen d¡cmc '"
-
.5 ........
=
3. Según la rlgum. la pcndicmc (y por lo 1.11110. la vcloc idad instantánea) es mayor en aproximudulIlclllC1 = 4 s. La pcndicmc y la velocidad son cero p'lm 1 = O Y1 = 6 s y son negativas anles dc O y después dc 6 s. Eje rcido
¿Cuál e~ la velocidad mcdia de csta ¡Xlnfcultl entre I = 2 s y 1 = 5 5? (Respue.\·w
1. 17 mIs.)
.lo
EJEMPLO 2.6
I
Caída de una pi edra d esde un acantilado
Lu Iwsiciií n de unll piedra que u purtir del reposo se dcjn Cller dc..;¡de un IIcnnl illlllo viene dllcln por x = SIl, cn donde x se midc CII lIletros y had ll abajo desde In l)IIsiclón inidul cunndo t = O, Y t se cxpresu en segund us. Hallar la vclocidlld en un instllnte ( cuahluicru . (Sc 1I111i1e lu ¡lIdieu· d 6n l!xplícita de In unidades para slmplilic,ur la nO!:ldón. ) Plante amie nto del proble m a Pode rno~ ca lcular 111 velocidad de UII in ~ llInt..: delem'¡nado 1 cul· culando la derivad:1(L'fIiJ¡ dircctumenle :¡ partir de M I definición en la ccuución 2.4. En In ligur:! 2.7 1>C I1lU e.~Lr.1 la curva corres pondientc que no:; dn .l' en función d..: t. L:h IfIlC;¡ ~ IlIngell!e¡, esuln dibujodal> en lo¡, ticmpos ' 1./2 y IJ. Las ¡>cndicntc.\ de e$llb lfnea"langenle.!o crl,."Ccn unironnemcnte. indieando que la ve lucidad ins t ll m ~ n c:1 crece un iformemente con el tiempo. l. La pc:mhcnlc Uc la línea. umg~nt e :\ la cu/'\ a , uele IImll.1l'oC lIe un moJo m.1, ~ unpk " pemhcllle de 111 CUr'l a".
,, ,,
Fig ura 2.5 GrMico de l' en función de t. Obllér· vese la ~ecue ncia de illlerva l o~ de tiempo ~ u ces i va· mente mrh pcqueño~ ÓJ t. ÓJ 2...\1, . .... L:l velocidad media de cada ime ....-nlo e~ la pendiente de la línea rce"l pan\ dicho IIllervulo. A medid:! que 10l> intervalos ~c hacen m:b t>equeño~. e'la" pendicnte~ :oC apmltiman a la pendiente de lu t:mgcnle.1 I:i curva cn el punlo 11' La pendiente de e"ta línea ,e define como 1:\ velocidad in!it¡mtánen en d tiemPQ t i'
LII posición de una partícula viene dcscritn por la funci 6n indicada en In figu ra 2.6. Hnllar la ,·c.locidlld instllntá nclI en cl instante t = 2 s. ¿Cuándo es 1l111)'or 111 "clocidlld? ¿Cuándo es nulll? ¿Es negath'lI alguna vez',
,
•• .¡ - .•••
I,
E:.. lll pc n d i ~ nt c p u ~(k ser positi vlI. negati va o nula; pur consig ui ente. en un movirni elll o unidi mcnsio llul la velocidad inSUlll1ánca puede ser pos itiva (x crcdel1 tc) o negativa (x dccrcciclI1c) o nula (no hay El1 ov i m i ~ n t o). Su módulo lo dcnominamos m 6dulo de la veloci dad ins tuntiÍ ncll .
EJEMPLO 2.5
, , ,
m
400 350 300
"
250
'00 150
100
'0 I 2 _, "
;'i
Fig ura 2.7
(i
1 S r. ,
24
I
Capitulo 2 El movimien to en una
dlmen~16n
1 , P\1r deliruci6n lu \ t)locidad ilNantáncu e .. :
· ÓX XCI + Al) , = l 1111 1 un lit) M 00 Al .\•• u Al
2. J>odemo~ cnlculur el despJn/nmicllw ÓX u purtir de lu fu nción po~id6 n
x(t) = 5t 2
xcn
\'(1):
3. En un ticmpo po!.lcrior / + 1lJ. lu po"ici6nl"(l + 1lJ) viene duda por:
,
4. El
r(t+At) = 5(1+.6.1)2 = 51/~+21.6.t+(At}21
= 51 l + 10/ .6.1 + 5{AI)1
dc~p l n7.(uniento p:lrwc~tc
inlcrvulo de tiempo ..crá:
+ .61) "x = 15t:+ 101.6./+5(61)11-5t x(t)
(1
= = 10t 6/ + 5(61)2
5. Dividir i.l\' por 6.t pum detcnninar In velcx:idud medin en este intervalo
de tiempo: 6. A medidn que conl'illcr:.ullos il1lcrvlllo.o; de tiempo euda vez más cortos. dt se uproximu a cero y el scgundo lermi ntl. 51lJ. tiende ¡¡ cero: en cambio. el primer ténnino. 101. pcml¡UlL'Cc invnriablc:
10/ Al + 5(.6./}1
.6.x ". di =
=
.
.6." .
1'(1) _ 11 m -
M - oOÓI
'"
2
- 101+56.1
= lim ( 101 + 5ó/) =r¡o¡l .... ' .... 0
L..:.::J
Obse rvació n Si hubiémmos hL'Choill = Oen los p..sos 4 y 5. el despluzllmiel110 hubiera sido.6.x = O. en cuyo caso la relación 6..\'/AI quedaría indefinida. En su lugar. hemos dejado.6.t como una variable hasta el paso final. cuando d lfmitc Al ~ O está bien definido. •
•
Para determinar las derivadas rápidamellle se utilizan reglas basadas en cst(l\ límite (véase Apéndice Tabla 0.4). Una regla particularmente úti l es Si x = Ct U ,
• ,
Do
, al
2.6)
entonces
e n donde C y 1/ son constantes. Uti lizando esta reg la en el ejemplo 2.6 resulla x = :> dx/d/ = 10/. de acuerdo con los resullados anteriores.
l'
=
•
Velocidad relativa Si usted está se ntado en un av ión que se mueve a 800 kmlh hacia el este. su velocidaJ también es de 800 km/h hacia el este. Si n embargo. 800 km/h hacia el este podría ser su \elocidad relati va a la superficie de la Tierra o su velocidad relativ
Un siste ma de referencia es un objeto material cuyas panes están en reposo entre sí. DEFINtCIÓN-SISTEMA DE RfFERENCtA Para medir la posición de un objeto se usan ejes de coordenndas fijos a sistemas de referencia. La posición de un viajero, si éste está sentado en su asiento. 0.':; constante. en re lurión a un sistelllll de coordenndas horizontal fijo respecto del avión. Sin embargo. parn un sistcmn de coordenadas horizontal fijo respecto de la superficie de la Tierra o para un sistema de coorde nnda:;, horizonwl fij o respecto de un globo que flolu en el llirc exterior al á\'ión. In posición de l viajero cambia continuamente. Si tiene problemas pam imaginarse un si:.lcnll1 de coordenadas fijo en el aire ex teri or. illlngfnese un s istema de coordcnndas ligado n un globo que notn en el aire. El aire y el globo están en reposo mutuo. por lo cual forma n un _'I l'lemn de rcfcrencin único.
2.2 Aceleración
1 2S
Si ulla partícula se mueve con velocidad "pA en relución al sistema de coordcnlldas A y éste a su vez se mueve con velocidad l 'A8 cn re lación a Olro sistema de coordenndas B. In "c loc idnd de In panícula relativa ¡1 Bes IlpU
=
I'pA
+
(2.7,)
l'A 13
Por ejemplo. si unn persona nada en un río pawlclnmente
la direcció n de la corri ente. su velocidad relativa a la ori lla. vpo' es iguul a la velocidad veclOrial relativa al agua, 1'"". más la velocidad de l agua relm iva a la orilla, ""'l: ti
1' po =\1+1' pa DO
Si la persona nadn n 2 mIs contra la corriente y la velocidad vectorial del agua relativa a la o rilla es de 1.2 mIs. su veloc idad respeclO a la orilla será I'pO = -2 mIs + 1.2 mis = - 0.8 mis. en donde hemos escogido la dirección de la corriente como sentido positivo. Una gran sorpresa para los científicos de nuestro siglo fue el descubrimiento de que la ecuación 2.7a es sólo una aprox imación . Un estudio de la teoría de la relntividad nos muestra que la expresión exacta pAra las velocidades relativns es
IIp13
=
I'pA +I'AB
l + "pA 11 ABh·2
(2.7b)
en donde e = 3 x lOS mis es la velocidad de la luz en el vacío. En todos los casos cotidianos con objetos macroscópicos. lipA y VAS son veloc idades mucho menores que e, con lo cual las ecuaciones 2.7a y 2.7b coinciden. pero si se trata de velocidades muy elevadas. tales como la velocidad de un electrón o la velocidad de las galaxias di stames que se alejan de la Tierra, la diferencia entre estas dos ecuaciones puede ser importante. La ecuación 2.7b tiene la imeresante propiedad de que si "pA = e, entonces Vpll también es igual a e, lo cual es un postulado de la relatividad , a saber. la veloc idad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante relativa entre sí.
Ejercicio Use la ecuación 2.7b sustituyendo e por I'pA y resue lva para " pS ' Observe entonces que la ecuación 2.7b está de acuerdo con e l resultado que dice " In velocidad de la luz es la misma en lodos los sisremas de referencia".
2.2
Aceleración
La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad instantánea. Cuando, por ejemplo. un conductor aprieta e l pedal del acelerador de su coche. espera cambiar su velocidad. La aceleración media en un intervalo particular de tiempo 6J = t2 - t .. se defi ne como el cociente Avltlr. en donde tl" = " 2 - VI:
óv = 61
(2.8) DEFINICiÓN -ACELEAACIÓN MEDIA
La ace leración tiene las d imensiones de una longitud d ividida por el tiempo al cuadrado. La unidad en el S I es m/s 2. (En la ecuación 2.8. si el numerador está en mis y el denomi nador en s. las unidades de tll'l6J son (m/s)/s. Multiplicando el numerador y el denominador por 1 s. encontramos que las unidades de Al'ltlr so n m/s 2.) Podemos escribir lAecuación 2.8 como A" = (lrntlr. Por ejcmplo. si dcci mos que una partícula tiene una aceleración de 5. 1 n1ls 2• e llo qu iere decir que. si parte del reposo. después de 1 s se moverá con una velocidad de 5. l mIs: después de 2 s. lo hará con una velocidad de 10 .2 mis y as! sucesivamente. La aceleración Ins tantá nclI es el lfmi te del coc ie nte AII/Ar cuando tlt tiende a cero. Si representamos la
FOlogrnffll eSlroboscópica de In caída de una manzanil 11 60 destellos por segundo. U. aceleración de la manzana viene indicada por el mayor espaciado que se obser.'a en las imágenes inferiores.
26
I
-
Capftulo 2 El movimien to e n una dlmellllón
ve loc idad en fun ción tlclt iempo, la acelCnlción inMan ttinca en el tiempo t <;e defin e Como la pendiente de la Hllea tangente a la curvll en c..e tiempo:
ti
-
-
. Al' lun L'ot ..... () A/ p ~J1d¡ C llI C
(2.9)
de la línea tangente 11 la curva de \' en fu nción de I OlHNlClÓN - ACELERACIÓN INSTANTÁNu.
La ace leración cs. por lo tanto. la deri vada de la veloc idad vectori al respecto llltiempo dl'ldl. 'omo la vclocidad c\ también la derivada de la po~ i c i ón X re.<;pectQ a t. la ¡¡cclcración c\la segunda deri vadu de x rc.<;¡pecto a t , ((2),'/(/t 2 • Pod c m o~ ver el origen de esta no(¡¡ción escribi ~ ndo lu aceleración como d l'/d/ y sustituyendo v por dx/dt: _ ,_ Iv _ d(dxldt ) a dI dI
(2.101
Si la aceleración es cero, no hay cambio de velocidad con el tiempo. es decir. la velocidad es constante. En este caso. la curva de x en fun ción de / e.<¡ una línea recta. Si la :Iccleración no es nula. pero es constantc, la velocidad varí¡l linealmente con el tiempo y la curva de en fu nción de 1 es cuadrática con el tiempo.
EJEMPLO 2.7
I
Un felino rápido
Un gucpardo puede acelerar de O a 96 km/h en 2 s, mientras (IUC una moto rtquicrc 4,5 s. Calcular las aceleraciones medias del guepardo y de la molo y compararlas con la aceleración de caída lih re debida a la gravedad, g = 9,81 m/s2_
1. Determinar la aceleración media a punir de 10<; dmos suministrados:
.1 l= ' 96 kmlh - O =48 , In/(II Gucpardo a = Moto
2 . Conv..:n ir a m1s1 sabiendo que I h = 3600 s = 3.6 k~:
(l
m
2S
= ~ = 96 km/h - O = 2 1.3 km/Ch .~) tJ.t -t.5 ~
Gucpardo 48 km x h · ~
M OlO
3. Comp:lmr los rc!.ultado!> COn In :lI;:eler:lción de In gravedad. multipl icando por el factor de conversión Ig/(9.8 t m/sl );
Al
m
'S
.2-', ' ",1Il - '.",3.; h · ,<¡
X
I h = 1.. 33_ 111ls·'
3.6b
1h _ _ 59" _'"l . _ IILf 3.6 k..
Gucpardo 1::\.3 m/s 1 x 9.8 II gn¡Js-, Moto 5.92
m/s~
1 x 9.81 ~lIs2
=/1.36,1:' I
=/0.608 1
)
2.3 Movimiento con aceleración constante Observación
mente.
Al e.x prc.l>ar el Ilempo en ~ilo'>Cgundo,. lo~ prclijo!'. kilo
(l.. ) ...e
I
27
caneellln mUlua-
Ejercicio Un ..:oche se mueve a 45 km/h en el tiempo t = O. El coche ncelcrll de forma eon~t¡¡nle a nilón de la klll/(h · <;). (a ) ¡,Cuá l C~ MI vclocidnd cuundo (::: 2 ~'l (IJ) ¡,En qué momento el coche ~e IIlUC\' C :I 70 km/h'! (Nr.lplll',Itl/S
(ti) 6) km/h,
(h) 2,5 .... )
Ejercicio d e análi sis dimensio nal Si un eQl.:hc parte del repo&o dt.~dc ,. = O con ace1cmeión c~n~t:Ul~c IJ, ~ u \~Iocid ¡~d \' depende de 1I y de la disumcia recorridu f. ¿Cuál de la,.;. s i gu i ent~ ecuac~on e., tiene 1."<; dUllcnslOnes COm!c tu ~ y por lo tunto. corresponde a unu ecuación posible que reluclonu x, a y "! (Ol \. = 2m:
le)
"=
2 11,\'.)
Sólo (ti) posee la!> mismus dimensiones a ambo, Indos de III ecuación. Aunque el ani'ilisis dimcnsiollllJ no no::. penn ite obtener In ecuación C!.xaClil, con frecuencia es lítil pan! obtener la dependencia fundo nnl.) (Rt'JpUI'S((l
I
EJEMPLO 2. 8
l a velocidad y la aceleración en funci ó n del tiempo
e
1...'1 posición de una partícula viene dlldll por x = Cf'" siendo unll cons ta nte cuyas unidades SOIlIll/s-' . Ha llllr la \'elocida d y Ilcc\ernción en funci ón del tiempo.
" 2. La derivada de la velocidnd res pecto al tiempo nos da la ncelcradón:
a
- CI' - ~ =13Ct!1
- d,' - =16CI I dI
Compro bar e l resultado Podemos comprobar las unidades de nuestras respucSlas. P-,¡m la velocidad [\,] = (CJ[r] = (m/s 3 )(s2) = mis. Para la lIcclemción [a] = ICll t] = (01/5'\)(5) = mlil.
2.3 Movimiento con aceleración constante El movi mien to de una partícu la que tiene aceleración constante es corriente en la naturaleza. Por ejemplo, cerca de la superficic de la Tierra todos los objetos caen verticalmente con aceleración de la gravedad constante (si puede despreciarse la resistencia del aire). Si una partí~ cula tiene una aceleración constante tl, su ¡lcelcración mcdia en cualquier intervalo de tiempo es t.unbién ll. Es decir, _
6" -
_
II
(2, 11)
61
Si la ve locidad es pondiente es
1'0
"
en el tiempo f = O Y l' al cabo de cierto tiempo
f,
la uceleración corres\'0
a __ 61
-
v - 110
1- 0
-
1 1
Reajustando esta cx.pres ió n se obtiene \' en fu nción de , .
l'
Figura 2.8 Gráfico de la velocidad en función del liempo con aceleración con ~lante. (2, 12)
= \lo + ( 1(
ACElERA9óN CONSTANTE, v EN fUNCiÓN DE t
en fu nc ión de t (figura 2.8), La pendiente de In línea es la ace lemción a y su intersecc ión con el eje vcn ical es la \ eloc idad ini· cial VI). Esta e:. la ecuac ión de una !fnca recia en un gráfico de
\1
28
I
Capítulo 2 El movImiento en una dImensión
El despl aza miento llx = x - .ro en el intervalo de tiempo Ó t = t - O es 12.13)
Para una aceleración constante, la velocidad varía li nealmente con el tiempo y la velocidad media es el valor medio de las velocidades inicial y fi nal. (Esta relación es válida s610 si la llceleración es constante .) Si Vo es la vel oc idad inicial y v la veloc idad final, la velocidad media es
\
\
\ ..
"m
(2. 14)
.
ACELERACIÓN CONSTANTE v,
~;:
~' , 4{~
. .. . i:::!-.. ' ,
, '.
, ,
.
El desplazamiento es, por lo tanto. 12.15)
.'
Podemos el imi nar v sustituyendo v = vo + af de la ecuación 2.12:
El término VOl representa el desplazamiento que tendría lugar si a fuera cero y el te ~ar2 es el desplazamiento adicional debido a la aceleración constante. Eliminando 1 entre las ecuaciones 2.12 y 2. 14 se obtiene una expresión entre lit. a. I De la ecuación 2. 12, t = (11- vo)/a y sustituyendo en la ecuación 2.14 se obtiene 1
I
V- va
-
-
a
ó x = "m1 = , (vO+v )t = , (vo +v)
,
,
=
1
\' ~ - vo
20
es decir
\/6 +2a tu
12. 171 ACELERACIÓN CONSTANU
La ecuación 2, 17 es útil. por ejemplo, si se trata de determinar la velocidad de una pelota que se ha dejado caer desde cierta altura x cuando no nos interesa conocer el tiempo de caída.
Problemas con un objeto Muchos problemas prácticos se refieren a objetos en cafda libre. es decir, objetos que caen bajo la única influencia de la gravedad. Todos los objetos en carda libre que parten de In misma velocidad inicial se mueven de forma idéntica. Como se ve en la figura 2.9, se suehnn desde el reposo. si multáneamente. una pluma y una man zana en un a cámaro de vacío, de modo que caen con el mismo movim iento. Ambos objetos tienen la misma aceleración. El módulo de la aceleración causada por la gravedad se designa por g. cuyo valor apro\i mado e.!. g _ 9.8 1 mls 2
Figura 2 ,9
Como g es el módulo de una aceleración, siempre es positi va. Si la dirección hacia abajo ~ considera positiva, la ace leración debida a la grnvedad es a = 8: si "c considera po.!.ltl\'3 hacia arriba, entonces a = - 8 .
Un estudinnte de fTsicn cont ento ¡xJf su gruduación Innza su b ir ~tc hllciullrrlbn (un unll velocidlld inicial de 14,7 mIs. Cons ldenllldo que s u ucelc.rución es 9,8 1 m/j,.l huchaII bllJO (desprt.'Cillm os 111 re:;lste ncill del nire), (a) ¡,cuá nto tie mpo lUrdllrli el birrete en UIcUll ro T Sil punto mI\¡; IIJeO? (b) ¿Cuá l ~ In nltuTu m áxi nm IIlcuIlZUdl¡"! (e) S uponie ndo que el birrete se rtcogc 11 111 miSllIlIlllturu de la que hu salido, ¿cuá nto tiempo ~rnmllece en cl lllre'! Planteamiento del problema
t \'
CUllndo el bim:tl! alcanza su puntO más nito, su velocitlnd instanlt\.-
n.
nen es cero. A~í COlI\crtilll ll:> 111 c~pn.'Si~íll " ¡)UIIIO II I1...... u ltu .. a la l'llIIdid(J11 Il1Ulc llllític:1 \' e
)'
(a) 1. Dibujnr el birrete en su posici6n ¡nkiul y en el punto más alto de
su trayectoria. Incluir un eje de coordenadas y scñalnr el origen y lus dos posiciones del birrete. 2. El tiempo se relacionn con In velocidad y la aceleraciÓn:
3. Calcular el tiempo que tarda el birrete en alcanzar su altura máxima. Para ello hacer v = OY despejar t: ( b)
Octerminur la diSlUncin recorrida a partir del tiempo t y la velocidad media:
(e) l . Para calcular el tiempo tOlal hacemos 60)' = Oen la ecuaciÓn 2.16 y
despejamos 1:
Il)'· .\' Yo
- --~
t -
Ay
\'0= 14.7 mis
Yo
v = vo +al
t = 0 - Vo = - 14,7 mIs = ~ (1 - 9.81 mls 2 ~ tly _ \lml
l1y
=
VOl
o
y
"¡-o
Figura 2.10
=i(vo + V) I =~(14,7 mis + 0)( 1.50 s ) =~ + iot2
O = (vo +~al)1
2 . Hay dos soluciones para t cuando tly = O. La primera corresponde
al tiempo en que se lanza el birrete y la segunda corresponde al tiempo en que se recoge:
(primera solución)
1=0 I _
_ 21'0
a
=_2(14,7 mis) =rJ7"l -9 •80
mls 2
(segunda solución)
l:...::.J
Altura
y(t), m
Observación La solución f = 3 s también resulta de la simetría del sistema. El tiempo que tarda el birrete en caer desde la altura máxima es el mismo que transcurre hasta alcanzar dicha altura (figura 2. 11). En realidad, el birrete no está sometido a una aceleración constante debido a que la resistencia del aire sobre un objeto ligero como es el birrete ejerce un efecto significativo. Si la resistencia del aire no es despreciable, el tiempo de carda es mayor que el de subida. Eje rcicio Calcular Ymb - Yo utilizando (a) la ecuación 2.15 y (h) la ecuación 2. 16. (e) Detenninar la velocidad del birrete cuando vuelve a su punto de partida. (Respuestas (a) y (h) Ymb - )'0 = 11 ,0 m, (e) -14,7 mis; obsérvese que la velocidad final es la misma que la velocidad inicial.) Ejercicio ¿Cuál es la velocidad del birrete (a) 0,1 s antes de que alcance su punto más alto y (h) O, 1 s después de alcanzar su punto más alto? (e ) Calcular 60vlllr para este intervalo de tiempo de 0,2 s. (Respu~sfas (a) +0,981 mis, (b) -0.981 mis. (e) {(-0,981 mis - (+0,981 mls)Y(0.2 s) = - 9,81 mlSl.) Ejercicio Un coche acelera desde el reposo a 8 rnls2 • (a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 10 s1 (h) ¿Qu.! distancia ha recorrido después de 10 s1 (e) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo r =Oa I = 10 s1 ( R~spu~stas (a) 80 mis, (h) 400 m, (e) 40 mis.)
El ejempl o siguiente se refie re a la distancia de frenado de un coche. es decir. al espacio que recorre desde que comienza a fre nar hasta que se detiene.
EJEMPLO 2,10
29
I
Dlstancla de frenado de un vehículo
Una persona que conduce un vehfculo de noche por una autopista ve de pronlo a cierta distancia un coche parado y frena hasta detenene con una aceleracl6n de 5 rt1Is'- (una acelerad6n que reduce la velocidad suele lIamane desaceleracl6n). ¿Cu41 es la distancia de frenado del vehfculo si su velocidad Inicial es (a) 15 mis o (b) 30 mis?
15 10
5 O
•• • • •
O
I
•• ••
15
-10 - 15
3~s
Velocidad
••
10
-5
2
• • •
\' (l). mis
5 O
•
(al •
• • •
• I
('l Figura 2.11
2
,,,
I
30
Capítulo 2 El movlmlenlo en una dimensión
Planteam iento de l prob lema Si elegimos In dirccci6n dd lIlov irnicruo como po<;ilivn, In dis!Unda de frclmdo y la \docidnd inicial son po<;iti\'!l" pero la uce!enlción e~ negaliva. A <: f, la velocidad midal el' \'0 = 15 mI:" 111 \'d ncidad final es \' = O y In m:elemd6n e:. ti = -5 m/s 2. Qucremo<; dctenninar In di~t:Ul c ia recol'rida. d\, COIIIO no necesitamos conOCer cllicmpo (IIJC tardll el coche en detenerse. ut¡Iil..unos 111 l,.'CUíll'iÓn 2. 17 COIIIO la 1m\>< cOll\'cnielllc. (a) Hal'cmos \' = O cn la ccuación 2.17:
Dc~pejmllos
\" =
ilr:
I'd + 2a 6..\
por lo lanlo
0 2 - I'~ 20
"
8.l' =
( b ) A punir del apanado !lllll~rior vcmos que si \' = O. Al = -l'd/(2a). Así. A\' ~s proporcionul al cuadmdo dc la velocidad inidal. Haciendo uso de esw ()b~crvaci6n y del rcsu h'ldo del apanado (a). encontrar la dis·
landa de fn.:nnd o pum unu \'elocidlld inici al el doble de la del apur· tndo anterior. Observación La I'l·:.puestll (b) también puedc obtener~e sustituyendo directamente la velocidad inicial de 30 mIs en la cxpresi6n de d\' dcducida en e l apanado (a), Noventa metro!> el> una distancia co nsiderable. aproximadamente In longitud de un cumpo de fútbol. El incremento de \'0 en un fllctor 2 modifka In diSlUncia de fre nado en un factor 2 2 = 4 (ver fi gura 2, 12). La consecucncia práctica de loNa depcndencin cuadrática es que incluso incrementos modestos e n [a velocidad originlln aumentos importantes en In distancia de frenado.
•
90
8O 70 60
- 50
fl
- 'O
= -5m/s1
•
30
20 10
0
0
10
5
15
20
30
\'0' mIs
EJEMPLO 2. 11
I
Figura 2.12 Distancia de frenado en fun ci6n de la velocidad inicial. La curva muestra el caso del ejemplo 2,10. en que la lIcelemci6n es a = -5.0 mis:?; los puntos que se mucstnlll en la c urva son las !>oluciones de los apanados (a) y (b).
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
Distancia de frenado
En el ejemplo 2. 10, (a) ¿euá nto tiempo larda el coche en d etenerse si su velocida d inidal es 30 mis? Ch) ¿Qué d ista ncia reco rre el coch e durante el último segundo ?
Pla ntea mie nto d e l pro ble m a (a) Excepto en los valores. este ejemplo coincide con el npanudo (a) del cjemplo 2.9. Utili7.lIr el mismo procedimicnlo que se hu mostmdo en el ejemplo 2. 10, (1) Como la velocidad disminuye en 5 mIs cada segundo. la velocidad que tendrá el coche 1 s anle<; de detenerse debe 'iCr de 5 mI", Determinar la velocidad medin durante el úl timo segundo y con ella calcular la diSl:mcin recorrida. Tope la columno de la derecho e Intente resolverlo usted mismo
Pasos ( a)
Respuestas Determinar elliempo total de rrenado,
(b) 1. Calcular la vclocidlld media durante e l último segundo. 2. Ca.lculur la distancia recorrida a panir de dx = ,.rnAt.
I
=
Ó ..
I -1:2,5m l
\'", a I2.5m/.. .\.t l
:= 1 ....11
•
, 2.3 Movimiento con I'lccleracl6 n comll'ln te
Observación Si el np:mudu (b) huh,era preguntado por In \cloddnd medlu durante lo-. lllt¡Il1()~ I:J '>t!gund\l\ (e n H'/ tlt: uumme d tl luU\o 'c!!ulldol. se hublcm podidu dl:lCrnlll1nr la ve klCidud ini· cml \', dunullt: I:'[C' mu,'r"u!!) lllMI1 U' l k lu C(: u IIl'ió n 2.11 6.\' = (' Ó./ . A \ cee.. 11th POdC1UU', ~'(Jrlllnr un;1 lIutlgen \':llio\;\ ,obre cl1U{l\'imlcntu dc un objeto .. upmucndo ~uc podcmo... apltenr !tI' tormulu:. pan, la a..:ch:r:.ll· l(~m Cll lI ' I IUlh.' nU!ltluc é,."IU. en rt;:uliduu, no lo .-..ca. Este es el ClIst) dd cJclllpl(l",gtlll~ntC .
EJEMPLO 2.12
I
El choque de prueba
Un co(:he (lile \'11 a 100 km/ h dHll'lI l' unl ,':, UIIIIIlIlrt'tI dl' hurTlliJlú n ríJlidn. ¡,Cuál el. s u IIcclun-
l'iún? Plan tea m iento d e l probl e ma En c>;\c l'jClllplo 110 ~.. correcto co n ~ idcntr el cnche COI1\O uni. pal1kuln. ~n que la~ di>;li nta .. pm'l c~ de l mi,mo ~ufrirúnlLcelel11donc~ di~ tin tu !> al urmgur:-e ..obre lu pared. t\ dcm:b. c~tn~ acclcNlc io n ~~ no ~OJl eonstant\!s. Si n emburgo {)Odl'II/(J,I" obtener unu rc ~ pu e'l lL upn¡\inmdn ~ up{lllicndo <¡U\! una p¡lrtkulu pU11luallocnlizlIdu cn el CcJ1lro del cQUhc pos\!e uuu acckml'ión con~I:l11le . I'ura I'\!~o l \'cr c~ t~ problc1ll11 n\!ccsitamo~ ml~s información: la dist:1I1cin dc detención \) el tiempo de detención del coche. Podemos c..,¡imar la distanciu de detención utllil:lnuo el ..emido cOlluin. [)e~pu é, del impacto. el eentro del coche ~e dcsplnlllru hucia ndclamc algo meno!>
l . U"llndo \.: -
\'ti + ::!lI!l.t.
obl\!ner la acelcr.\ción: por lo !flOto
,
,
=
(l
2. Convertir la velocidad exprc.<¡ada en kmlh en mis. En una hom hay 601 s = 3.6 k,,:
3. Completar el cálculo d\! la acclcración:
\.- - I'/) _ 0 2 _ (100 kmlh )2
2Ax
(100 km/h) x
"
2 (0.75 m)
(3.~ ~,)
0 2- ( IOO km/h )2 2(0.75 m)
- 27.8 mi, (27,8 mls)1 1.5 s
-51-\
mI~ " ..1-500 m/s l l
Observaci ó n Nótese que el módulo de esta aceleración c.<; superior a 50S " Esta c~ l i maci ó n de la accleración se basa en Itls suposic iones de que el dcsplazamiento del centro del coche \!s de 0,75 m y que lu aceleración es constante.
EJEMPLO 2.13
¡ INTÉNTELO USTED MISMO!
1 El movimiento de un electrón
Un electrón en un tuho de rayos catódicos acelera desde el reposo con unu acelernción de 5.33 x 10 1l 1ll/sl durante 0,15 IJS (1 #J.S = 10-' s). Después, el clectron se nllle'"c con "clocidud 13 cons tante durante IJ.2 1J.'i, Fi nulmente IIlcnn7. U el reposo con una aceleración de - 2,67 x 10 mtsl. ¿Qué dis tanciu totlll recorre cl electron?
•
Planteamiento del problema Las ecuaciones de aceleración constante no se pueden aplicar directamente a c"tc problema. ya que ItI acclcrn..:ión del eleCtrón \'ariu con el tiempo. Dividir el movi miento del electrón en tres intervalos. cada uno con una :lcclernción const:mte distinta y utilizar la po-.ición y vclocidud fi nnlcs de cada intervalo cellllO condiciones inicinles I)arn el inleTVlll0 ~iguiente. TOlllnr como origen la 1)O~ición de partid:l del electr6n y asignllr la dirccci6n p(hiti\'a 11 In dirección dd movimiento. Tape lo columna de lo derecho e Intente resolverlo usted
•
m ;1n10
Pasos
Respuestas tl.I MI ¡;m:
,. Determílmr el clesplaliuni\!nto y In vd ocidud fi nal en el primer inter· \'alo de 0. 15 ¡JS. 2. Ulili/ur esl:1 velocidad finul como \clocid3d con ~llIllIe para determinar el dc~p l a/ nllli e nlo m icnt r,,~ ~c mueve unifonnementC.
\.
111 ~111
\
'" S,1I0 x 10 1l1/~
1 31
32
I
C"pflulo 2 El movimie nto en una dimensión
3. Utilizar esta mislIlu velocidud como valor inicial y In ecuación 2.17 con v = O pum detenninar el despluznmielllo del tercer intervulo. en el cuul el electrón tennilln en reposo.
.\\,
4. Sumar los dcsplnzlllnientos obtenido!> en los pasos lo 2 Y 3 pan! culcular el reconido 101111.
_h
1,20CIII
=
\t ,
+ ,\ \
+.'l.,
h.lX¡ cm + 16 cm + 1.20 cm 4 ::!3.2l.·m
I
Observación En un up.mllO de myos X los electrones son acelerados desde un alambre caliente hacia un blanco mellnico. Al chocar CO nlTC éSle, se par.1Il bruscamente. Como consecuencia. el blanco emite myo!> X cumclcrlsticos dclmetul.
,
(Izquierda) Acelerador lineal de unos
tres kilómetros de longitud de la Universidad de Stanford (EE.UU,). Se utili7.3 para acelerar electrones y positrones en línea recta a velocidades próximas a las de la luz. (Du~ chal Sección transversal del ha7. electrones del acelerador. tal como se observa en un monitor de video,
EJEMPLO 2. 14
l anzamie nto de prismáti cos
¡ INTÉNTfW USTED MISMO !
Juan trtpa a un úrbol pa ra presenciar mejor al conferenciante de una ceremonia de graduación que se celebra al aire libre. Desgraciadamente ha olvidado sus prismáticos abajo. María lanza los prismáticos hacia Juan pero su fue• .18 es mayor que su pn.-eisión. Los prismáticos pasan 11 la alturll de 111 mllno extendida de Juan 0,69 s después del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo punto 1,68 s más tarde. ¿A qué altura se encuentra Juan? Pla n team iento del p ro bl e m a En este problema hay dos incógnitas: In altura /¡ de Juan y la velocidad inicial de los prismáticos. \'0' Sabemos que)' JI pum ' 1 0.69 S e y JI pam'2 0.69 s + 1.68 s = 2.37 s. Expresnndo h en fun ción delliempo I tendremos dos ecuaciones a partir de las cuales se pueden determinar las dos incógnitas.
=
=
=
=
Tape la columno de la derecha e intente resolverlo usted mismo Respuestas
Pasos 1. Utilii'..1ndo 8)' =
"o' + ~• a t2 .
igualar )' para los tiempos t I y tl leniendo en cuenta que)' = h Y a = - 8 en cada caso.
¡'"I
I :¡
J: '
,
•
2. Eliminar Vo de estas dos ecuaciones y de... pejar " en función de los tiempos 1I y ' '2' Es to puede hacerse despejando \'0 e n la primen. ccuación y sustituyendo el resultndo en la segundn ecuación.
por In tanto
h
X.O:!
11\
O bservación Te n e lll OS dOlo incógnitas h y \'0. pero disponemos de dos tiempos. lo cual nos permite escribir dos ccunciollc'I y re:mlver las dos incógnitas. DclemlÍnar la velocidad inicial de los prismáticos y la \'elocidad que. llevan cuando paSO" a la altum de Juan en su trdyccloria descendente. tRespUUl11 \'0 = 15.0 mis Y \'2 = - 8.24 mis.) Ejercicio
" =\,,1, !, ., , '
2.3 Movimiento con aceleración constante
I
33
Problemas con dos objetos A contin.lI:lci6n e~ponemos algunos problemas que incluyen dos objetos que se muevcn con acclcr.lcl6n constnlUe.
•
, EJEMPLO 2.15
I
A la caza de un coche con exceso de velocidad
x,
Un coche Uc\'a unu "elocldad de 2S mIs (_ 90 km/h) en una zUlla e.'icolar. Un coche de pollcfa que estÁ paru~o. arranca cuando el Inrraclor le adelant1t y acelera con una velocidad cons!finte de S mIs·. (a) ¿Cuánto tiempo tardn el coche de pollda en alcanUlr al "ehfculo Inrractor? (b ) ¿Qué \'elocidad lIe\'a el coche de pollda cuando le ulcanza'!
\'. 1
,la,
tI
,
Figura 2.13 Las dos curvas muestran la posición del coche infractor y del coche de policía. Tienen la misma posición en el instante inicial. 1 = 0, y dc nuevo cuando t = ,~. 1
•
xJI = l Uir
(a) 1. Funciones de posición del infractor y del coche polida: te
CI
X, :::
Planteamiento del problema Pum detenninar CUlIndo los dos coches se cncuelllrnn en la misma posición, c."'presamos las posiciones Xv del vehfcuJo infractor y xJI del coche de policfu en fun · ción del tiempo y despejamos 1 1)801 Xv = x P'
2. Hacer X v = x p y resolver para el tiempo t~, para
Vehfculo infractor • Vehículo de pollera
v,t e =
> O:
~apt; ~ v. = ~ap'o
-
-
, = 2v y = 2(25 mis) = r¡Q";l e a 5m1S2 ~
•
(b) 1. La velocidad del coche de policía viene en donde Vo = O:
e~presada
por \' =
VA
+ aro
Observación La velocidad fina l del coche de policía en (b) es exactamente el doble que la del coche infractor. Como los dos coches cubren la misma distancia en igual tiempo. ambos hicieron el recorrido con igual velocidad media. La velocidad media del infractor es, natura1menle de 25 mis. Como el policía parte del reposo y su velocidad media es de 25 mis. debe alcanzar una velocidad final de 50 mis. Ejercicio
¿Qué distancia han recorrido los coches cuando el policía alcanza al infraclOr'? (Respuesta 250 m.)
EJEMPLO 2.16
I
¡INTÉNTELO USTED MISMO!
El coche de policía
¿Qué "elocidad lleva el coche de pollda del ejemplo 2.15 cuando se encuentra a 2S ro por detrás del "ehiculo infractor? Planteamiento del problema La velocidad viene expresada por \'JI = tiempo en el cual D = Xv - xp = 25 m.
a11'
en donde
tL
es el
x
Vehículo infractor • Vehículo de polkfa
Top e fa columna de lo derecha e Intente resolverlo usted mismo
Pasos 1. Dibujar una curva x·t que muestre las posiciones de los dos coches en el tiempo tt (figura 2.14). 2. Utilizar las ecuaciones para xp y Xv del ejemplo 2.15 y despejar ti cuando x~ _ x p :Z: 25 m. Hay dos soluciones, una que corresponde a pocos instan· tes después del inicio del movimienlo y otra que corresponde a poco antes de que el vehículo con exce.w de velocidad sea alcanzado.
Respu estas ,, t
=15,%J I51 ..
3. Utilizar \'p = IIp' para calcular In velocidad del coche de policía cuando I
= ' L'
Observación En la figura 2. 14 se observa que la distancia entre los dos coches al principio es cero, crece hasta un valor máximo y luego disminuye. La separación en cualquier momento es D = X v _ x = \'~( _ ~ap,l . Cuando la separación es máxima, dDldl = 0.10 cua1 QCUI'Te en el instante p , = 5 s. Para intervalos de tiempo iguale.~ antes y después de: t .. 5 s. las vperacioncs son Iu miJrDU,
F~ura
" 2,14
,
, ) '1
I
c;,p rtulo 2 El mo vimiento en UI\:1 dlmemlón
EJEMPLO 2.17
I
•
Un ascen sor en movi mi en t o
,I
1111 pe rsu tlu l'tI UII IISt'('II'lIr l e IIn 11lrn iUu tlue CIIl' del h·chu. Lu ultul'Il dcl n'iccnSor c.o¡ de 3 111 . ¿Cm\uto Iiclll po lnrdll el lurn illu t' lI dU..H.~lI r cont ru el sudo si cl lls{'cn"or IIsd cnd c con UIllI Ill'CIc rll C¡(1II l'tllls l mll C II ~ = -1.0 nús l '!
1/ . _
/' , • -1:
/
" -:-1-
Plantea mient o del p ro blema EAp rc~!l r 11I~ po~id ('U1 t', dcl t~lrnillo .", y del .. uclo \ . en función dd licmp(l, C u¡¡ndo d IOrnilln du )Cu COlHnt el suclu, "1= 1'., TOlllar curno qrigen la 1)()~ici 6n inicinl del suelo y dc..i~nnr COIIIO di rección po~ lti\'a 11\ dirección hnciuurriba,
1
.",
",
1. Dibujur d a wc n ~or y ellornillu CUI1\O"C rl\U C~ 11'lt en la figur
E,.,criblr la, fun ciones de In ptl,lción deluscen¡,or y dcllOrni llo:
y, - Yo, y, -
3. CUllndo r = ' 1' el tornillo llega ul
~ue l o.
En
~c
Y /JI
=
1'0,1 + VOl '
instante la, posiciones
+
S.
Usar ItI información obten ida pura simplifi car:
!tI ,t
= 1'01 por lo tamo I'o~
a, =
= O,
Jo,
= 11 = 3 m.
4.0 mfs2 al
=- g
por lo tUl1to 1 0 1 0 ¡1- 5g t¡ - 0 + in,ti
o
~(g + " s )/r
h
6. Despejar el tiempo:
I1
=
211
-
2(3 m ) 9.8 1 mls 2 + 4.0 mIs:!
=10.659, 1 Observación El liempo de cuída depende de In aceleración del ascensor, pero no de la velocidud. En el sistema de refcrenci:1del ascensor hay una "gravcdad decli"a" g' = g + a,. En el tusa (supuestumente hipotético) en que el ascen!>or eSlU vicnl en cuida libre, es decir (I~ = - g'. el tiempo de curda sena infin ito y el torn illo parecerfa. "i ngrávido" .
Cuundo un buen jugador de béisbol corre entre bases va a unu velocidad de 9.5 mIs. L:I dislancia elll rc las buses C!> de 26 In Yel lllnzador está u unos 18,5 m de la hase, Si un jugador está u UIIOS 2 m de la primera base y comien7..a u correr hacia la segunda base en el mismo instante en que el lan7.ador lanzu lu bolu, ¿cuál es la probubilidad de que el jugador llegue ¡¡ la ~cgu nd a ba~e antes que In bola?
EJEMPLO 2.18
I
I
1,.·
Figura 2.1S El eje dc coorden(lda~ cl>Iá fijo al edificio.
1
y, = y,
Yo~
h", 1 m
~(I, 1 2
~o n :
4, Cuando f = O. el suelo del a!>ccn~or y cllOrnillo tienen la misma velocidad, U~ur este hecho para simpli ficar el resultado del paso 3:
4 111/,1
Un ascensor en movimiento
¡INTtNTELO USTED MISMOI
Considerar el ascen.wr y el lomillo del ej emplo 2.17, Suponer que la velocldad de subid. del Ilscensor es de 16 mis cuando cllomillo se desprende dellecbo y empieza a caer. (a ) ¿~ dJs.. tanda recorre el ascensor mlenlrao; el tomillo cae? ¿Qué dlstanda ftCOITe d tomillo? (b)¿O·f l c... la velocidad del lomlllu y del 8,o;censor en el momento del impacto de aqu4!1 en el suelo? (e) ¿CuAl es la \'eb.i dad relativa del lomillo con respecto almelo del p.........,sor? •
2.4 •
p.'anleamle nlo d el p,? blema EltiellllXJ dc vuelu del ltlmillo ~e hu Obtenido en la soludón del eJcmplo 2. 17. U~lIre ..te lu.:l1Il)(I PUl1Il'csul"cr lo~ apmtudn, (ti ) y (b). Por lo llUC \C rclicn: ni apartado Ce), lu vdundnd del Illnullu 1~~ lx'Clu dcl cdifidn c<¡ igual a lu SUIlIll de la velocidad del tumillo con rc.'lx:cto (11n'\(.·c n~or !\lIt.. In ... clocidud dcla"CClhur re<¡peclo ni ediliciu. •
Tope la columna de la deret:;11O e ''''ente relolvrrlo usted m lllllO
Pasos
Respues tas
(a) 1. U~n' In ccunr.:iÓn 1.1 6 pam cnlculur lu di~t :mciu que ..e mueve el suelo del a~cen ..or d\lrante el liempo 11 '
2. El tornillo :-c llc<¡prumlc airo... 1110001ro:- del sucio. ( b ) Usar In e;':l1n;,:i6111.12 panl CII CtJl\l rlL\' In "clllch.lnd del i ll1])1IclO del tor-
lIillo con el .. m:IQ del
t' '" t'CI
a:-ccn ~or,
1', • \'
(e)
U~.'Ir
In ecuación 2.7:1 1)<101 detcnnillllr lu velocidad relativa del tomillo rc~pt.'CIO del aSccnsor.
)'
'"
"
+ (1/. pur In 1:1111(1
i 9 ..'il nlf.. 1 L'.o+rl, 11 9 IK,6m/~ 1 1"
'" l'
foIll
,+
l'
IX" lo lunto 1',
=
1'.. - l'
= 9.5311\/\
=19.10,,", 1 Observación El lOmillo imp:\ct:\ con e l suelo del ascensor 8.4 m por enci mu de su posición inidal. Con respecto al edificio. en el momento del contacto, el lomillo todavía está subiendo. Nótese que en el momento del impacto la velocidad del tomillo relati va al edificio es positiva.
2 .4
Integración
Para delenn inar la veloc idad a partir de una determinada aceleración. observemos que la ve locidad es la fun ción v(r) cuya derivada es la aceleración a(t):
dll(r) = (f(l) di Si la ace leración es constante. la veloc idad es aque lla fu nción del tiempo que cuando se deriva es igual a esta constante. Por ejemplo l'
=
a = constante
al .
Dc un modo m{¡s gencraL podemos añ~l dir a la func ión ar cualqu ier constante sin que se modi flque la derivad:. respecto al tie mpo. Llamando e a esta nueva constante, resulta
v = ar + e C u.mdo 1 = 0, l' = c. Así pues, (' es la velocidad inicial 1'0' Análog:lI11cnle. la funció n posición x{l) es aquella función cuya derivada es la velocidad:
d..: - = di
\1
=
1'0
+al
Cada uno dc estos términos puede. tratarse separadamente. La fun ció n cuya derivada es una constante \'0 es 1'01 m{¡s cualquier constante. La función cuya derivada es al es ~(l12 más cualqui er constantc. Ll amando Xn a la suma combinada de todas estas constantes arbitrarias resu lta
x = .to + "01 + k (l! 2 •
Cuando r = O. .t = ru. Así pues, .l'o es la posició n inicial.
IK,tl mi"
Int~rad6n
I
35
36
I
, C.,prt ulo 2 El m o.... lm len t o en unll dimensión
\'1/)
\'H } :: \'0 '" COIISIIIIllC
I
"0
,.
,, • Aren sombrend:l
,
•
.. \'0
6,/ '"
At
6.x =
Figura 2.16 El desplnzamiento 6.1' durante el in· tervalo de tiempo t!J es igual al área bajo la curva de v en fu nción de t. Pam l,t) =1'0 =constante. el desplazamiento es igual al áreAdel reclángulo somo breudo.
\'(1)
VI
Siempre que se obtiene una función a pani r de su derivllda . debe anndirse una constante llrbitmri .. en la función general. Como para obtener x(t) a panir de la aceleración debemos inlegrar dos veces. aparecen dos CQnSlllnles. Normalmente estas constantes se determinan a panir de la velocidad y la pos ición iniciales en un instante dctcrmimtdo. Generalmente se elige el inslante en que r = O. Es por esto que estas constantes reciben el nombre de condicio. nes illicilllcs. Un problema comú n llamado problema del valor inicial toma la forma: ··dudo a(r) y los valores iniciales de x y de v dctcnn inar x(t)" . Este problema es particular_ mente importante en física porque la lIcelcraci6n de una partícul a está determinada por las fuerLus que actúan sobre ella. Así pues, si conocemos las fuerzas que actúan sobre una panículu y su posición y velocidad en un instante determinado, podemos hallar unívocamente su posición en cualquier otro instante. Una funci ón F(l) cuya derivada (respecto a t) es igual a la funciónft) se denomina anUo derivada de j{t). El problema de la antiderivada está relacionado con el de la obtención del área bujo una curva. Consideremos el caso del movim iento con velocidad constante \'0. El cambio de posición lU du rante un intervulo 6.t es Vo
6.t
Ésta es e l área baj o la curva de v en función de t (figura 2. 16). Si Vo es negativa. tanto el des. plazamiento como el área bajo la curva son negativos. Normalmente pensamos en el área como una magnitud que no puede ser negativa, pero en este contexto no es así. En este caso el " área bajo la curva" (el área entre la curva y el eje temporal) es una magnitud negativa . La interpretac ión geométrica del desplazamiento como el área bajo la curva de v en IUI\ció n de ( es válida no s6lo para la velocidad constante, sino también en general. como ~ ilustra en la fig ura 2. 17. En este caso , el área bajo la curva puede aproxi marse divi diendl intervalo de tiempo en cierto número de pequeños intervalos 6.t " tJ.r 2• etc .. y trazando serie de áreas rectangulares. El área del rectángulo correspondiente a] intervalo de tiempo es V;6.I" el cual es aproximadamente igua] a] desplazamiento 6.x¡ durante el intervalo 6.1, suma de las áreas de los rectángulos es. por lo tanto, la s uma de los desplazamientos rea: dos durante los intervalos de tiempo correspondientes y es aproximadamente igual al de zamiento total desde el instante t, al (2' Matemáticamente, escribiremos esto en la forro.
.......... .... ... .
en donde la letra L (sigma mayúscul a) representa una ··suma". Podemos hacer la aproxH"' ción tan exacta como queramos escogiendo sufi cientes rectángulos bajo la curva, cada ur de los cuales corresponde a un valor pequeño de tJ.r. En el límite correspondiente a interval, de tiempo cada vez más pequeños, esta suma es igual al área comprendida bajo la curva. qut' equivale. por 10 tanto, al des plazamiento. Este límite se denomina integral y se escribe del modo siguiente .
",
,,
"
Figura 2.17 Gráfico de una curva general de \.(t) en fu nción de r. El desplazamiento lotal desde " hllSla ': es el área bajo la curva en este intervalo. que puede oblenerse aproximadnmeme sumando las áreas de los rectángulos.
.1.x = x(t.,)-x(t -
l)=
lim (~ V¡ AI~ O ~ ¡
Mi) = (1 : \' elr
(2, 18)
J II
Es útil imaginar que el signo integral 1es una S alargada que indica una suma. Los límites 11 y t2 indican los valores inicial y final de la variable t. El desplazamiento es, por 10 tanlO. el área bajo la curva de \' en fu nción de t. La figura 2. 18 demuestra que la velocidad media tiene unu interpretación geométrica simple en función del área bajo la curva. Para ilustrar que el desplazamiento iguala el área bajo una curva v-l. consideremos lo que ocurre cuando se lanz..1 una pelota de golf directamente hacia arribu. La pelota sube aproximadamente un metro, invien e s u sentido de movimiento, y cae de nuevo acelerando hasta que la volvemos a coger con la mano. Si se supone que la resistencia del aire es despreciable. la velocidad de la pelota viene dada por l ' = Vo + al (ecuación 2. I 2), donde la dirección hacia arriba se considera positiva y a = -g. La fi gura 2. 19 representa esta velocidad durante el tie mpo de vuelo de la pelota. Inicialmente la velocidad de la pelota es positiva. a medio camino vale cero, y justo antes de cogerla vale -1'0- Durante !lou ascenso, el área bajo la cUf'\'1 es positiva, mientras que durante el descenso es negativa. AsC. el área 10la! bajo la cun"
2.4 Integración
durante el vuclo es cero. Dndo que la pelota se lan7.:1 desde el mismo sit io donde fi nalmente es rccogid:l. el cambio de posición es cero. Por consiguiente. el desplazamiellto y el área bajo la curva 1'-' son iguales porque ambos son cero. El proceso de calcular unu integral se ¡huna integración. En la ecuación 2. 18. l ' es la derivada de x y x es lu :uuiderivada de 1'. Este es un ejemplo deltcoremn fu ndamental de cálculo. cuya fon nulnci6n durante el sig lo XVII .. celero el desarrollo matemático de la física:
,.
x=Il'dt La operación de determinar x a part ir de la derivada v (es decir, determinar la antiderivada) \lo (una constante) entonces, se ll ama también intcgración. Por ejemplo. si
,
, ,
,
,, ,,
,, ,, ,, ,,
,,
T EOREMA fUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
escribe sin lími tes sobre el signo integral:
,
,,
37
,,
-----.,,----- ---------.,, -------
(2, \9)
La antiderivnda de una fu nción se denomina también integral indefin ida de la func ión y se
,, ,, ,
I
"
\.m
,
Figura 2.18 El desplazamiento ~:c durante el intervalo de tiempo llJ = I! - 11 es iguol al área de la región sombreado. Segun la definición de velocidad medio 6.r = \p.. tu. I1sta es justamente el área del rectángulo de a1tUrtll'. y base 1lJ. Asf pues. el área rectangular 1'. tu Y el área bajo la curva \' en funci ón de I deben ser iguales.
,,=
,\' =
J\lo dI
= 1'01+XO
donde Xo es la constante arbitraria de integración. A partir de la ecuac ión 2 .6 que expresa la regla general para la derivada de una potencia, podemos determinar una regla general para la integración de una potencia de (. El resullado es
f
(n
+1
1" dI = '-----;-\ + e,
n+
n:;t-l
(2.20)
" Área positiva O -'---------'''''--"'''Áre~.---,7,
e
en do nde es una constante arbilraria. Puede comprobarse fác ilmente derivando el segundo miembro mediante la regla de la ecuac ión 2.6. (para el caso especial n = - l. JI - L dI = In t + e, en donde In t es el logaritmo nalural de /. ) El cambio de velocidad durante cierto intervalo de tiempo puede interpretarse análogamente como e l área bajo la curva a en función de I en dicho intervalo. Así se escribe ó. 1'
(~ Áf --t o L... ,
= li m
(/ ,
ilf¡) = J'I a dI r 'l
(2.2\)
Así pueden deduc irse las ecuaciones de la acelerac ión constante calculando las integrales indefinidas de la aceleración y la velocidad. Si a es constante, tenemos
v =
J
(l
J
dI = n df = Vo + al
(2.22)
en donde hemos escrilo en pri mer lugar la constante de integrac ión 110' Integrando de nuevo y llamando Xo a la constante de in tegración resulla (2.23) Es instructivo ded ucir las ecuaciones 2.22 y 2.23 usando integrales definidas en vez de integrales indefinidas. Si la aceleración es constante. la ecuación 2.2 1. con ( t = 0, nos da
donde el tiempo
(2
es arbitrario. Como es arbitrario. se puede poner 12 = I Y se obtiene \1
= \'o+a l
-\'0
Figura 2.19 Curva \' en función de I pal"'" una pe10m de golf que se lanza directamente hacia arriba. El área bajo lo cUI'\'a es positiva en la pane que corresponde al ascenso. y negati\!a en la del descenso. El área bajo la cUI'\'a correspondiente a lodo el vuelo
es cero.
I
38
Capítulo 2 El movimien to en una dimensió n
d? nde v = \/(1) Y1'0 = I~O). Pam obtener la ecuación 2.23. se sustituye \ '0 + m por " en la ecua. cl6n 2. 18 con 1 I = O. Esto nos Ilevu a
+ (j{
l ' '" \ 'tl
Esta integra l e:- igual al área bajo la curva viendo pura x nos da
V_I
(figu ra 2.20) . Evaluando la inlcgm l y rc....ol.
•
Are:,
°0, - - - - - --""--,, Figura 2 .20
El área bajo 1/1 c urva 11-/ es e! dcspla· ltl1lliC IllO l~X = x(12) - x (O).
donde
-
1..
es arbitntrio. Pon iendo 1., = 1 obtenemos
-
'
donde x = X(I) Y Xo = x(O ). Una vez deducidas las ecuaciones cinemáticlls de aceleración constante sin ninguna referencia a la velocidad media, podemos demostrar que para el caso especial de aceleración constante, la velocidad media es el valor med io entre las velocidades inicial)' final (ecuación 2. 14). Sea Vo la velocidad in icial en 1 = OY v la velocidad fin al en el tiempo l. De neuerdocon la defi nición de velocidad media, el despla7.amiento es
", m
12
Igualmente, de la ecuación 2.23 resulta
,
+!
Ot 2
Podemos el iminar la aceleración según la ecuación 2. 12 uti lizando o = (1' - I'O)/t. Es decir
¡' = \·o+lIr ...........
l'
l',
1'", l' l l ',
A,
7"
Comparando este resultudo conllx =
(ecuación 2.24) resulta
--<
.,
\'2
I'm
l',
'J,o
I'n/
,l
"
,
Figura 2.21
EJEMPLO 2.19
I
que coincide con la ecuación 2.14. Puede visualizarse la velocidad media mediante el uso de In curva 1'- 1 (figura 2.21). El desplazamiento llx corresponde al área bajo la c urva. Sin embargo, la velocidad medi:1 e!> d arca bajo la c urva \1 = I'm por el mismo intervalo de liempo. Así. la altura de la cur\'a l' = I'¡n es tal que las áreas bajo las dos curvas coinciden. Esto implica que las área!> de los dos triángulos gri!>es se1l/1 iguales y que 1'11\ = ~ (VI + I·~).
Un transbordador
Un t rans bordador lleva una velocldud constante "o = 8 mis duranle 60 So A continuación para sus motores y se !Icercll ü la costa. Su velocidad es entonces una (unción del tiempo dada por la c~ p rcs i ó n l' = I'tlfll !, siendo " = fiO s. ¿eu' l es d despluamlenlo dellransbordador en el lolervllloO < I plulllmicmo dumntc el intervalo ' l < I < oo.
2.4 Inlegraclón
\',
I
39
rn/~
, 6
"
2
"O
,, , , A•• ,, ,,, ,, ,, ,,: áx1 60
120
180
1, LII velocidlld del tnlllsbordador t!.~ COlIst:lllte dura nte los primeros 60 segundos: asf. el dcsplal.llmicllto es simplemcnte el producto de In \'elocidlld por d tiempo trllllscurrido:
2, El desplnzamiento restante viene dndo por la integral de la veloeid3d de~de t ='1 hasta 1 = 00, Utilizmnos la ecuación 2. 18 para calcular la intcgnll :
3. El desplll:t.amiento total es 13 suma de los dos desplazamientos anleno-re!>:
Óx =
A.\'I
+Axz = 480m+480m =1960m l
Observación El área bajo la curva de ven fu nción del tiempo es fin ita. Así, aunque el transbordador nunca deja de moverse. viuja sólo una distancia fi nita. Una representación mejor de la velocidad de un buque que bordea la costa con los motores (XlrJdos seria una función exponencialmente decreciente \' = \'oC'- b(I - 111, donde b es una constante positiva. En este C:L~O el buque se acercaría a la costa también una distancia tiniu. en el intervalo 60 s:$ t:$ 00,
ResulJJen El desplazumiento. la velocidad y lu acelc.raciÓn son magnitude.<¡ cinemáticas tll'finidas TEM A
OBSERVACIONES y ECUACIONES RELEVANTES
1, Desp lazamie nto
Interpretación gráfi ca
imponantC'~.
c..\'
(2.1)
=X:-.\'I
El desplrlZ:lmiento es el áren bujo la cur... u \' en función de /,
2. Velocid ad
.
",
.
c.x
c.,r \' =-
Velocidad mcdi:1 Velocidad in~tant:lnca
1'(1)
(2.2) dx
, = ,1,~!I 1m -Al = d,
(2.5)
Illtcrprewción gr:1.lic
l..fi \'elocido.d instuntánca loe reprc$cnlu gnftic81llC'ntC por la ]X'ndicnlc de la curva _1' en función de "
Velocidud relativa
Si un n panfculu se muc\e con velocidad \'"" re!ipet:IO a un sistema de ~nadl\ A, el cual a,su ~l se mue\"e con vclocidad \'1.11 respecto ¡¡ Otro s ¡~t e ma de coordenada.~ B, la veloculad de la partkula relallva a B es
(2.7)
3, M ódulo de la velocidad
Módulu de la ve locidlld media
M 6d uJo de I1
'd . d
ve IOCI.......
medo
.1 -
distancia Iotal • tiempo ""11
I
;
(I.J)
I
40
Cnprtulo 2 El movimiento en una dimensión
4. Aceleración ACl!lcrnción med ia
a", =
O.'
(2.8)
O,
Aceleración instantánea
(2.10)
Interprcttlción grMica
La acelcrnción inStantánea se re presenta gnUicllmente por la pendiente de la curva
Acelernción debida n 111 grn\'cdad
La aceler.lciÓn de un objeto próximo a la superficie de la Tierra en carda libre bajo la inn uenciu de la 8ra\'e. dad está dirigida hncia abujo y su módulo es H = 9,8 1 mlsl
5. El desplazamiento y la velocidad como integrales
=:
l'
en fu nción del tiempo /.
32,2 pies/sI
El desplazumienlO se representa gn'ificarnente por el área bajo la curva l ' en fun ción del tiempo. Esta área es In integrnl de l ' extendidu ul tiempo, desde cieno Yalor inicial lt a cieno valor final '1 y se expre.~a del modo siguiente: LU
=:
lim 4< ... 0
L1 VI A l,
=
f,'"
l'
dI
(2.18)
Igualmente. el cumbio de velocidnd du ra nte cieno tiempo se represenUl gn'ificamente por el área bajo la curva t i en función de f : Al' = lim
.11_0
Velocidad
l'
Desplazamiento en función de
a¡ AI¡ = 1"
J"
t.I dI
= l'o+t.Il
Ax = X - Xo =
1'",
1'.. '
(2.21)
(2.12)
= ~(I'O +I')1
6x = X - Xo = vo l+ ~ al l
Desplazamiento en función de t.I l'
L,
(2. " (2 (2
en fu nci6n de a y ó,:c
Problen.as
• •• ••• •
SSM
I
i
./
Concepto simple. un solo paso, relativamente fáci l. Nivel intermedio. puede exigir síntesis de conceptos . Desafiante . para alumnos avanzados . La solución se encuentra en e l Student SOllltiolls Manual . Problemas que pueden encontrarse en el servicio iSQLVE de tareas para casa. Estos problemas del servicio "Checkpoint" son proble mas de control. que impulsan a los estudiaOles a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza.
En algunos problemas se dan más dOlOS de los realmente necesarios: en olros pocos. deben exlraerse algunos dOlOS a partir de conocimientos generales. fuentes externas o estimociones lógicas.
Usar en todos Jos problemas g = 9,81 mlsl para la aceleración de la gravedad y despreciar, a menos que se indique lo contrario, el rozamiento y la resistencia del aire.
Problemas conceptuales 1 • ¡,Cuál es la velocidad mcdlfl del recorrido de "ida y vuella" de un objeto que se lan7,u venicahnente hncia arriba y que vuelve 11 caer en el mismo sitio desde donde hu sido lanzado?
11Inzado ven icalmcnte hacia arriba vuel ve al alwm mlÚima es H metrOS y su altura en el momento de ~ltarlo e.'1 despreciable. Su velocidad media durante e.~05 T ~Iu~ e.'1 (a ) "'11". (b) O. (l") u n To(ti) 2Hff.
2 • SSM Un objeto ~uelo T ..egundos mil, tarde. Su
•
3 • I Para evitar una cafda demasiado rápida durante el aterrizaje. un avión debe mBntener unu mínima velocidad relativu de vuelo (\'(:10cidad del Bvi6n respecto al aire). Sin embargo, cuanto menor sea la yelocidad , con respecto del suelo durante el aterrizaje. más se8ura es la manioln. ¿QUI! opción es más segura para un avión. aterrizar a favor del vienlo o con el viet\1O en cOnlra'!
4
•
~ un ejemplo de un movimiento en
un. dimensión donde (al 11
\-elocidad sea positiva y l. acelenlci6n sea nol.uVl y. (b, donde la \'CIot.:H'd sea nt8ativa y la aceler-ciÓD sea posiúva.
Problemas 1 41 5 • SS~ . Póng~se en el centro d~ uno habitación espacioso. Consi~ere . que el mOY.lIl1lento hacllI su derecha es positivo y el movimiento hacia su I7.qul~nla, ~egll tl vo .. Muévase por la habitación en Hnen recta de modo que su
(b¡
velOCidad sen negativa pero su aceleroción sea positiva. (a ) . Su desplazamiento inicial .e.~ positivo o negativo'! Explfquelo. (b) Describa cóm~ vllffa su velocidlld a medida que se mueve. (e) Confeccione un esquema del movimiento en un gnlfico \'·1.
("
(e)
(e'
Verolldero O fal so: explfquelo: el desplllUlmiento siempl't! es igual 111 prodUCIO de In ."elocidad me
•
7
• Verdudero o falso: expHquelo: (a) paro que In velocidad sea constante. la IlcelerociÓn debe Jercero. (b) paro que el módulo de la yelocidlld sea conSlO.nte. la acelerociÓn l/ehe ser cero.
8
~!lM
••
Dibuje cuidndosomente los gráfi cos que representan la posiciÓn. la vclocidlld y In uccleroci6n en un periodo de tiempo O ::; I ::; 25 para un IlUIOIIIÓ\'il que (a) dur.¡nte los primeros 5 s se aleja de.'Ipacio y regulannelllc (a velocidad
(h) (e) (d)
(e)
TIempo. 5
constante) del origen: se aleja n mayor velocidlld y regularmente (a velocidad constante) durante los 5 s siguientes: se queda quieto durante los 5 s que siguen: se mueve de nuevo hacia el origen. despacio y regulannenle (a velocidad constante). durante los 5 s siguientes; se queda quieto durante los últimos 5 s.
9 • Verdadero o falso: explfquelo: la velocidad media siempre se cal· cula como la semisuma de las velocidades final e inicial.
Figura 2.24
14 • ¿TIene sentido la siguiente afinnaciÓn? "La velocidnd medin del coche a las 9 de la mai'iann fue 60 kmlh". ¿Es posible que la velocidad media de un objeto sea cero durante algún intervalo aunque su velocidad media en la primera milad del intervalo no sea cero? Razonar la respuesta. 15
•
SSM
16 • El diagrama de la figura 2.25 representa la trayectoria de un objeto que se mueve en línea recta a 10 largo del eje x. Suponiendo que el objeto se encuentra en el origen (x" = O) en t" = 0, ¿qué punto de la figura representa el instante de tiempo en que el objeto está más lejos de su puntOde panida? (a) A (b) B (e)
e (d) o (e) E
° •
Dos hennanos gemelos idénticos lanzan simultáneamente dos 1 piedras al agua desde un puente horizontal. Una piedra llega al agua antes que la Otra. ¿Puede darse t.'lta situación? 11 •• SSM El Dr. Josiah S. Carberry está en 10 alto de la torre Sears en Chicago. Con el objetivo de emular a Galileo e ignorando la seguridad de los peatones que se mueven en la zona cercana a la base del edificio, suelta una bola desde lo más alto del edificio. Un segundo más tarde suelta una segunda bola. Mientras los bolas están en el aire. su separación (a) ¿aumenta con el tiempo, (b) disminuye, o (e) se mantiene constame? Ignórense los efectos de la resistencia del aire. 12 •• ¿Cuál de las curvas posiciólHiempo de la figura 2.23 describe mejor el movimiento de un objeto sometido a una aceleración constante y posiliva?
B
+ A Posición
E
J,2::~c
'-
Figura 2.25
•
TIempo
o
Problema 16
• 17 • I Si la velocidad instantánea no se modifica, ¿variarán las velocidades medias en diferentes intel"\'alos?
18 • Si v.. = O para cierto intel"\'alo de tiempo 61. ¿debe ser cero In velocidad inSluntánea en algún punto de este inten'alo'! Razonar la rel>puesta mediante un esquema que presente una cun'a de .l en función de t con un tlf CE O en algún inlel"\'alo 61. 19 •• Un objeto se mueve a 10 largo del eje x como indica la figura 2.26. ¿En qut punto o puntos el módulo de la q:locidad pasa por un m(nimo? (a) A y E. (b) B. O Y E. (e) Sólo C. (d) Sólo E. (l') Ninguna de esltlS ~puestas es correcta.
(b)
(,¡
Problema 13
(e)
E
B
(e)
E
(d)
Posición
Tiempo
Figura 2 .26 TIempo. s Figura 2. 2 3
Problema 12
13 • SSM . Cuál de las curvAS wJlocidod·,itmpo de la figura 2.24 dC!lCribe mejor el mov~mienlo de un objeto sometido a una aceleración constante y positiva?
o Problema 19
En cada uno de los cuatro grifiro!oo ck ( en I 20 •• SSM funciÓn de' de la figura 2.27 indicar (o) si la velocidad en el in§cante 'l es mayor. menor o Igual q\te la "clocldad en el in,tante ti y (h) si el módulo de la velocidad en elliempo r~ es mayor, menor o Igual que en el tiempo 'l '
42
I
Capfl ul02 Ellllovhnlenlo en una dimensión
,
,
,,
,
"
•
"
,,
,
•
Si un objclo .'OC muc\c con acelernci6n conMBnte
,
"
•
SSM
32 •• En un grMico el eje verticnl represenla In po,ición y el eje hori/Onlal. el tiempo, En e~ te gráfico unft línea I\."CI:I de pendiente negativa repre. senla (a ) una accleroci6n con<;tan te po~ iti va: eh) una aeelernci6n constante negati va; (e) una velocidad nula: (d) una vclocidad coru;tante f/O'ii tiva: {tI una vclocidud constante negativa. •• En un grnfi co. el eje vertical representa la po~ic i6n y el eje hori. zontal. el tiempo. En este gráfi co una parábola que se abre hacia arriba repK. 33
(d)
Fig ura 2.27
•
Si 1:1 \'elocitlad én un Inslante deh!nninndo c" cero. In ncelcmci6n en dicho inlolunte l:unbién dche 'iCr cero. (e) U! eClHlei6n al' '' l'.. Ó l es v:11id¡I paro todo movimiento en una dimen~i6n. 31
A-
,,
(e)
21
,.
,
, •
Verdadero o rnbo:
<,))
(IJ)
(ti)
••
•
(11) Lit ecuación 6 ,1' .. 1'01 + ~fl/J e' válidu pnro lodo movimiento de panfeu. l a~ en unH tlil11en"iÓn. •
•• •• •
"
30
locnla (a) una aceleroci6n positiva: (h) una aceleración negativa: (e) que no Iu~' aceleraci6n: (d) unn nccleroci6n JX">iliva seguida de olra negntivn: (t') una ~. leroci6n negativa scguidn de otro positi va.
Problcmu 20
Vcrdndcro o fa lso:
(a ) Si 1:1 acdcroei6n cs cero, la p:mícula no puede estar moviéndose.
(b) Si la acelemeión es cero, la curVlI.I' en funci ón dI! I es una Hnea recta.
22 • ¿Es l>aSible que un objeto tenga simultáneamente aceler.lción no nula y "e1ocidad cero?
34 •• En un gráfico. el eje vertical reprc.'>Cnl1lla velocidad y el eje horil.ontal. el tiempo. Una acelernción constante nula se repre.\t'nt U por (al una lfnea reCia de pendiente posi ti\'a: (b) uno línea recta de pendiente negati\¡¡: (e) una Hnea recta de pendiente cero: (d) cunlquiero de las (tI ). lb) o (e): Ir guno de las anteriores.
•
23 • I Se lan7.3 una pelota hacia arriba venicahncnte. ¿Cuál es su \'c!ocidlld en el punto más alto de .~u movimiento? ¿Cuál es 1,1 ucc!eraeión en ese puntO'! 24 • Calcular el módulo de la velocidud media en funci6n de In velocidad inicial Vo del movimiento de ida y vuelta de un objeto que. desde el suelo. se lanZó' hacia arri!>.1. alcanza una altum H y cae en el mismo sitio de donde había salido T segundos más tarde.
25 • Una pclot:l.~e lanza hacia amb... Mientras está en el aire. su acelemción es (a) decreciente. (b) constante. (e) cero. «(1) creciente.
35 •• En un gráfico. el eje vertical representa la \'eIOCidad y el ejt 7.onl:l1. el tiempo. U! aceleraci6n constante viene representtld:\ por {ti} un rcctrt de pendiente posi ti va: (b) una Unea recta de pendiente negntiHl: It Unea I'C{;ta de pendiente cero: (á) cualquiero de las (a ). (b) O (e); (t") ningll IIIS anteriores. 36 •• De los grálicos l ' en función de / representados cn la ligur ¿cuál describe mejor cl movimiento de una prtnícula con velocidad poaceleración negAlivn"
,.
,.
+r--- + + , F==,
26 • En el instante r = O. un objeto A se deja caer desde el tejado de una casa. En el mismo instante. Otro objeto B se deja caer desde una ventano a 10m por deb¡¡jo del tejado. Durnnte su descenso al suelo la distancia entre los dos objetos (ti) es proporcional ¡¡ 1, (b) es proporcional a F, (e) decrece. (ti) pcmmneee igual a 10 m constantemente. 27 •• SSM Un au tomóvil Porschc acc1ero unironncmente de 80.5 km/h en el instante / = O hast u 113 kmlb en 1= 9 s. ¿Qué gráfico de la figuro 2.28 repfCSC nta mejor el movimiento del coche?
,.
,.
(a)
Figura 2.28
(h)
,.
,.
+
+
r---=,
, (b)
(a)
,.
, (e)
,.
-
, (d)
, (c)
, -
(e) (d) Figura 2.29 Problema 36 (r)
Problema 27
28 •• SSM Un objeto cne. partiendo del reposo. y recorre una dis· tancin D en un tiempo detenninado. Si el tiempo de lBcaída se dobla, la di~tan cia recorrida "Cm: fu) 4D. (/) 20. (e) D. (tI) Dn. (r ) 014, 29 •• Una pl!lOIa se lallí'a hacia arriba con una vc:1oc idnd inic ial "/J' A medio caminó del punto má¡¡ allO de su recorrido In velocidad el> (el ) 0.25\'0(l1) 0.5\'00 (e) 0,70 71'0' (tI) \'0' (to) a I)anir de la inronnnción disponible no se pUede determinar.
.t
37 •• i De lo~ gráfi cos l' en runciÓn de I representados en la fig unl 2.29. ¿cuál de.<:eribe mejor el mO\'imiento de una partícula C'(lfl \ elocidad negat i\'u y acelernción negativa?
. . Un gráfico del movimiento de un objeco ~ re~ntl con la \ e~ d dad l>Obre el eje ven kal y el tiempo sobre el eje horizontal, El ¡r6fico e!t ODA Ifnca rt('la. ¿Cuál de e<;Ia.~ magnitudes punlr dclermiRlllS(' a partir de tieo'! (CI) El
este'"
quicr intervaln de tiempo representado. (,)
lbd.·
las anteriores.
Problemas L:I 11gum 2.30 I'l!pre~entu 11I I)()~ición de un coche o:n función do.:lticmpo. ¿En eu:tl do.: los tiempos o.:ntTe 1(1 y 11 la velocidad o:~ (fI) neg:Iti\'n. (b) positivlI, (1') cero ¿En cuál de los ticmpos la lIcderución o:s ((/) uegmiv
••
55 M
tro:I In wlocidnd de 60 km/h'! (b) ¿Si comlón cn el Cllr'>Q de todl! ~u vida?
,, ,, ,, ,, ,, ,,
,, ,,
,,
'. " "
"
Figura 2.30
"
" " "
,
Problema 39
40 •• Rcpresentur las curvas \' en función de t para cada una de la ... .:.iguicntes condicion~: (a) La aceleroción es cero)' con... tanll:, pero lu velocidaJ no es nula. (h) La aco:leruci6n es conStante. pero no cero. (e) La \'elocldad y la aceleración son ambas pos it iva~. (d) La velocidad y la acelemción son ambas negativas. (e) La \'Clocid¡\d es positiva)' la aceleraci6n n~gati~'a. (j) La velocidad es ncgaliva y la acdo:ración positiva. (g) La vclo(:idad es momentáneamente nula. pero la acclerJción no lo o.: s. 41 •• En la figum 2.31 se represenlan nuevc gráficos de posición. vclocidad y aceleración pUt'..l objetos en mo\'imiento lineal. Indicar los gráficos que cumpkn las siguientes condiciones: (a) L1 velocidad es constante. (h) La velocidnd invierte su dirección. Ce) La aceleración es constilnte. (d) Lil acdcmción no es conSlllnte. (t') ¡,Qué gráficos de posición. velocid:ld y acelerución son mutllumenlC cohercnl es~ x
x
,
,
, (el
(1»
(a)
"
,
"
, eh)
(,1,')
Figura 2 .31
cuántos.
••
SSM
"
IBtido~
reali/.unl
~u
i
44 •• Cuando se re~ucl\'en problema.~ relacionados con la carda libre en la mm6~fera de In Tierra. es importante !\.'(;ordar que siempre se da In rer.iMcnciu del aire. Por lo tanto, r.i para simplificar. supon..:mo!> que los objeto~ cuen con acclemción constante, podemos obtener resultados erróneos en varios órdenl!S de magnitud. (,Qué criterio podemos aplicar pam suponer que un objeto c:le con acdcrueión (prácticamente) constante? Cunndo un cuerpo cae. partiendo del reposo. a tt'..lvés dd aire. a medida que ... u velocidad aumenta. su acderncióo disminuye. La velocidad se aproxima. aunque nunca la ulcanza. a la \'(~focidall termil/alo \·..focida(/ Ilmilf!, quo: depende de la m:l ... a y del área tmns\'eml del objeto. A la \'clocidad terminal. la fuena de lB gravedad y la fuerlu ejercida por la n:s i~tencia del aire se igu:!lan. I':lrd un p¡lracaidista. una estimación razonable de la velocidad tcnnin¡11 es de unos 50 mIs. Si c:I pardcaidist3 lle\llla mitad de esta velocidad. su aceleración es ~ g. (a) Tomemos la miUld de la velocidad límite como un limite superior por encima del cunl no podelllO':> US:lf las fónnulas de la acelemci6n constante par.t calcular la velocidad y c:I dl!~plaza miento. ¿Cuanto debe caer el paracaidi~ta pam que podamos utilizar la uproxinmci6n de acelerlu;ión con~tnnte? (a) Repita el análisis para un rotÓn. que tiene Ulll1 \'elocidad tenninlll de 1 mIs. •• El 16 de junio de 1999 M3urice G~ne dI! los Estados Unidos e"ta45 bleció un nuevo récord del mundo en Jo:,. lOO m li:.os con una rnan:a de 9.79 ' Supongamo!' qu~ acelero desdc el reposo a aceleroción co¡u,tante 1/ y que alcanló su velocidad máxima 0:1\ 3.00 s, la cu!!1 mantu\'o hasl:l. llegar a la mel:l.. ¿Cuál fue .. \) :Icc1eraci6n en la prueba del récord?
,
,
,
:U'¡0'0,
46 •• SSM La figuru 2.32 mue~tm In foto¡;rafía lomada con IU:lllpO~ de :lpertUro corto~ ( 1/30--) de un malabarisl:l. con do~ pelol:l~ de teni~ en d aire. La pelota de tenis que eqá :1 m:J.yor altur.! C!;tá meno:. borro~ que la Olro " Por qué? ¿Puede cstimar.<.e In \'docidad de estR ¡¡l1im3 pdota'!
"
"
"
95
43
Ocasionulmerue tcnemo~ noticia de personas clllada por la via norte del Eigcr (montaña de lo~ Alpes ,ui7.0'». una lij:lción dd montañero Carlos. Ragone cedi6 y preclpiló al esculudor II una cafda de 150 In ,obre 1:1 nlc\e. SorprcndentcmcllIe sufrió !inicamcrue u na.~ poca.~ magulludut'..ls )' un tirón en el hombro. ( a ) ¿Qué velocidad finnlt cnia m11es del choque con lu nieve'? (De~pl"ée iar la rcsistencill delllirc). (b) Suponiendo
.1'(1)
,,
\ 1\ 0:
I
, (i)
Prohlcl1l!l 41
Estimaciones y aproximaciones •• , . 1••• del conuón nnr minutol. • Mld:I <1.U propiO pulo;() (nllrneru t", ;111....,.. I·~· 42 . , 60 "O baciolle.<1, ........ 111l11l1to, ltl) é.Cu
Figura 2,32
Pn,blt'm4 olft
44
I
Caprtulo 2 El movimiento en una d imensión
47 •• Il usq ue en In vclocidud li la que un impulso nervioso recorre nuestro cuerpo. E5Iill Hl r el tie mpo tr: mscurri do desde q ue el pie tro pic'lu co n unu picdm y la sensación de do lor q ue Se prod uce.
x. m 6
"."--_._ ...
4
.- ......
Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad
,, , ••• ••••• • L • ,,
2 48
•
(a) VII electron de un milo de televisión IUOm: los 16 c m de dis-
ta ncia de la rejilla a la pantalla con un u \'clocídad media de 4 x
107
mis, ¿Qué
•
.....
_
-.
SSM
Un ntlclll corre 2.5 km en !fnca recIa en 9 mili y luego tarda 30 min en \'oh'cr :mdando al punlO de panida. (a) ¿Cuál es la velocidad media dumnte 10$ primeros 9 mi nUlOS'! (h ) ¿Cuál es In velocidlld media durunle ct tiempo que camina'! (e) ¿Cuál es In velocidlld media u lo ¡urgo de todo el recorrido'! (ti) ¿Cuál es el valor del módulo de In vclocidud mediu para todo el
tiempo tra nscurre en ese trayec to'] (b) Un electl'Ón en un cond uctor por el q ue c irc ula \l nn corrie nte se mueve con unu velocidud mcdiu dI! 4 X IO· j mIs. ¿Qué
49
,, , • •, , ,,•
I
,
,, ,, ,, ,,• ,
b
,• , ,
Figura 2.33
,
, d_
•
Problema 57
recorrido'! •
50 • I Un coche viaja en Ifnea recta con velocidnd media de 80 kmlh dumnle 2.5 h Y luego con velocidad media de 40 km/h durante 1.5 h. (a ) ¿Cuál es el desplazamiemo totlll en el viaje de 4 h? (h ) ¿Cuál es In velocidud media del viaje completo'!
51 • Una ruta aérea muy concurrida a través del Océano Atlántico tiene una longitud aproximada de 5500 km. (a) ¿Cuánto tiempo tarda un reactor supersónico quc vuela al doble de la velocidad del sonido en recorrer esta ruta'! Utilizar el valor 340 mis como velocidad del sonido. (h) ¿Cuánto tardarfa un avión subsónico en realizar el mismo viaje volando a 0,9 veces la velocidad del sonido? (e) Suponiendo que se utilizan 2 h al final del viaje para el transportc por tierra, controles y manipulación del equipaje ¿Cuál es la velocidad media "puerta a puerta" cuando se viaja en elllvión supersónico'! (ti) ¿Cuál es la \'clocidad media en el avión subsónico? • SSM La luz se propaga con una velocidad de e = 3 x lOS mis. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en ir del Sol a la lierra al recorrer una distancia de 1.5 x 10 11 m? (h) ¿Cuánto tiem¡x> tarda la luz en recorrer la distancia LunaTierra que es de 3,84 x lOS m? (e) Un año luz es una unidad de distancia que equivale al camino recorrido ¡x>r la luz en I año. Determinar la distancia equivalente a l año luz en kilómetros y en millas. 52
S3
•
La estrella Proxima Centauri es una enana roja muy poco luminosa próxima a las estrellas Alfa Centauri y situada a 4,1 x 1Ol l km de distan-
cio. Desde la proximidad de esta estrella, Gregor manda una orden a la empresa Tony's Pizza de Hoboken, New Jersey. para lo cual utiliza una señal de comunicación luminosa. La nave más rápida de Tony viaja a la velocidad de Io-"c (v«!ase problema 52). (a ) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la orden a la empresa'! (b) ¿Cuánto tiempo tcndrá que esperar Gregor entre que envfa la señal y recibe la piz7..1l'? Si las nonnas de distribución de Tony dicen que la I3rdanza máxima en servir la piz7..1l es de 1000 años y que si sobrepasa este plazo, el servicio será gratuito. ¿tendrá Gregor que pagar la pizza? Un coche que ha de recorrer 100 km cubre los primeros 50 km a 40 km/h. ¿A qu«! velocidad debe recorrer los segundos 50 km para que la velocidud media en todo el trayecto sea de 50 km/h? 54
•
55 •• SSM Un arquero lan7..1l una flecha que produce un ruido sordo al impactar en el bluneo. Si el arquero oye el ruido del impacto exactamente 1 s después del disparo y la velocidad media. de la flecha es de 40 mis, ¿qu«! distancia separa el arquero del blanco'! Use para lo velocidad del sonido el valor de 340 mIs.
John puede comr a 6 mis. Man::ia puede correr un 15% más que JOOn. (a ) En una carrera de 100 m, ¿qu«!. ventaja en metros sacará Marcia sobre John1 (b) ¿Yen segundos'? 56
••
•
57 • I La ligura 2.33 muestra la posición de una panfcula en función de l tiempo. Determinar la velocidad media en los inlervalo.
58 • • Se sabe que las galaxias se alejan de la Tierra a una velocidad ~ porcionlll ll su distancia de nuestro planeta: ley de Hubble. La velocidad de una galllxia u la distancia r es v = Hr. siendo H In constante de Hubble. de valor 1,58 x IQ-Ik 5. 1. Detennine la velocidad de una galaxia (a) que dista 5 x Ion In de la lierra y (h) otra que disla 2 x 102' m de laliena. (e) Si cada una de esta galaxias viaja con velocidad constante. ¿cuánto tiem¡x> ha transcurrido de:< que ambas estuvieron en el mismo lugar que la lierra'? •
59 •• SSM I Un leopardo puede correr a VI = 113 km/h. halcón puede volar a V2 = 161 km/h Y un atún puede nadar a v ) = 105 kmJh nos imaginamos que los ues animales forman un equipo y corren una cande relevos, cada uno recorriendo una distancia L a su velocidad máxima. ¿ sería la velocidad media del equipo'! Comparar el resultado obtenido cor media de las tres velocidades . Dos coches circulan a 10 largo de una carretera recta. El coct mantiene una velocidad constante de 80 km/h; el coche B mantiene una ve dad constante de I JO km/h. En t = O, el coche B está a 45 km detrás del COC' A. ¿A qué distancia medida desde el punto en que 1= Oel coche B adelantan! coche A'!
60
••
•• SSM Un coche que marcha con una velocidad constante lit 20 mis pasa ¡x>r un cruce en el instante I = O Y 5 segundos después pasa por el mismo cruce un segundo coche que viaja en el mismo sentido pero a 30 mis. (a) Hacer un gráfico de las funciones de posición '(1 (1) y Xl(l ) de ambos coches. (b) Hallar cuándo el segundo coche adelanta al primero. (e) ¿Cuánto han m orrido ambos coches desde el cruce al ocurrir eladelanlamiento'? (ti) ¿Dónde se encuentm el primer coche cuando el segundo pasa el cruce'! 61
62 • Joe y Sal1y siempre discuten cuando viajan. Un dfa al llegar a la plataformll móvil delneropueno apuestan sobre quien llegará antes al final de la plataformll. Aunque saltnn robre la plataforma al mismo tiempo, Joe decide estar de pie y dejarse llevar. mientras Sally opta ¡x>r seguir andando. Sall)' 111 final llega en 1 mino mientras Joe tarda 2 mino Si Sally hubiem andado con velocidlld doble, ¿en cuámo tiempo hubiera hecho el recorrido'?
63 •• Margaret tiene el combustible justo pnnt llegar con su lancha al pueno deportivo en un viaje de 4,0 h en contra de la corriente, Al llegar. resulta que el puerto está cerrado y pasa las siguientes 8,0 h flotando a favor de la roniente hasta llegar a su tienda de campafta. El viaje completo es pues de: 12,0 h ¿Cuánto tiempo hubiera invertido si hubiese enoonlr8do combustible en el pueno'?
Aceleración 64 • i Un coche deponlvo BMW M3 acelerll con l. Ie:lCerII marcha de 48,3 kmlh 8 80.S kmlh en 3,7 s, (a) ¿Cuil es su acelenclÓD medi• • mls 2? (h) Si el cocbe continl1l 00II esta .:e1enlci6n otro sopndo. ¡,cúllIri su velocidad?
Problemas En el insuUlte I '" S S. un objeto en .f _ 3 ni se mueve a +S mIs. Para I = ti, s. se en<:uentra en ;r = 9 m y su velocidad es _ 1 m/'i. Determinar la lIee!cración media para este intervalo. 65
•
Unn panfcul:! se !llueve con velocidad l' '" (8 mls2J 1 _ 7 mis. en donde l ' se expreslL en metro!> por segundo y , en segundos. «(/ ) Dctenninllr ItI uceleración media :\ intervalos de un segundo comcnzundo en 1:: 3 s y , '" 4 s. (b) Representar l ' en función de l . i,Cutll es In ucelernción instunttlnea en cunlquier momento'! 66
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i
./
La posición de una purtfculu depende del liempo según lu ecuaciÓn .~( I ) = ,1 - SI + l. donde;r se expresu en metros y I en segundos. (a) Determinur el despluzu miento y la velocldnd mediu durante .el interv:llo 3 s S I S 4s. (b) Encontrar la fÓrmu lu genernl pura el desplazamiento durante el intervalo entre, )' t + Al. (e) Detemtinur lu velocldnd inslllntánea para nmlquicr tiem po I hnciendo el límite cuundo Al tiende n cero. 67
••
•
68 •• SSM I La posición de un objeto está relacionada con el tiempo por la expresión .\' '" Al~ - BI + C. en donde A = 8 mls ~ . B = 6 mis y e = 4 m. Dctemlinnr In "elocidad inslIlntáneu y la IIceleración como funciontls de l tiempo.
69 •• El movimiento unidimensional de unn panícula \'iene representudo en la figura 2.34. (ti) ¿Cuál es la aceleración en los intervalos AB. Be y CE? (b) ¿A qué distnncia de su punto de partida se encuentra la panícula al cabo de 10 s'! (e) Representar el desplaznmiento de la panícula en funciÓn del tiempo: indicar en ella los instan tes A, B. C. D y E. (d) ¿En qu~ instante la partfcula ~e mueve más lcntamente?
pelota? (e) ¿Cuándo miento?
4S
la pelota a 15 m por encima del puntO de lanZll-
•
••
76
e.~tá
I
I
./ En el corrimiento de tierras de Blackha..... k. en Callfomia. unu masa de rocas y barro cayó 460 m al desprenderse de una montai'ln y luego recorrió 8 km a trav~s de unn llanura sobre una capa de vapor de agua. Suponiendo que esta masa cayÓ con la aceleración de la gravedad y después se des1i7,Ó horizontalmente con desaceleración eonstante, (ll ) ¿cuánto tiempo tardó en caer los .160 m? ( b) ¿Cuál ero su velocidad al llegar ;\1 fondo? (e) ¿Cuánto tie mpo tardó en desli7.1lrse horizontalmente a lo largo de los 8 km? Una gru¡¡ levanta una cllrga de ladrillos a la velocidad constante de S mis, cuando a 6 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. (C/) Describir el movimiento del ladrillo desprendido haciendo un esquema de .l(l ). (b ) ¿Cutll es 111 altura máxima re.~pcctO al suelo que alcanza el ladrillo? (e) ¿Cuánto tiempo Ulrda en lIegllr al suelo'! (d) ¿Cuál es su velocidad en el momento de chocar contra el suelo'! 77
••
SS M
Un tomillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hllcia arriba a la velocidad de 6 mis. El tomillo alcan7.1l el fondo del hueco del ascensor en 3 s. (ll) ¿A qu~ altura e..'itaba el ascensor cuando se desprendió el tomillo'! (b) i.Qué \'elocidad tiene el tomillo al chocar contra el fondo del hueco del ascensor'! 78
••
Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la distancia que recorre durante su úl timo segundo en el aire. 79
••
SSM
80 •• Un objeto cae de una altura h. Durante el segundo fi nal de su carda recorre 38 m. ¿Cuánto vale h? Una piedra cae venicalmente desde un acantilado de 200 m de altura. Durante el último medio segundo de su caída la piedro recorre una distancia de 45 m. Detenninar la velocidad inicial de la piedra. 81
•
SSM
Un objeto en cafda libre desde una altura h recorre 0.4 h durante el primer segundo de su descenso. Determinar la velocidad media del objeto durante su cafda. 82
••
83 •• Un autobús acelera a 1.5 mls1 desde el reposo durante 12 s. A continuación se mueve a velocidad constante durante 25 s. des put.~ de los cuales disminuye su velocidad con una aceleración de - 1.5 mls1. (a) ¿Qu~ distancia total recorrió el autobús? (b) ¿Cuál fue su velocidad media'!
84
Figura 2.34
Problema 69
Acele ració n constante y caída libre 70 • SSM Un objeto lanzado hacia arriba con velocidad inicial Vo alcanza una altura h. Otro objeto lan7,ado en las mismas condicione.<; con velocidad iniciaI 2~'O alcanznrá una altura de (a) 411. (b) 311. (a ) 2h. d)h.
71 • Un coche parado cn la posiciÓn ;r = SO m acelera con aceleración constante de 8 mls2. (a) ¿Transcurridos 10 s. cuál es su velocidad'? (b ) ¿Qué distnncia ha recorrido? (e) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo O S I S lOs? Un objeto con una velocidad inicial de 5 mis posee una ac~lcra ción constante de 2 mls~. Cuando su velocidad es de 15 mls.l.qu~ espacIo ha
72
•
recorrido?
73
• SSM Un objeto con aceler:lción constante posee una velocid3d de 10 mIs cU:lndo se encuentra en.f '" 6 m y de I S mis cuando se encuentra en X" 10 m. i.Cuál el> su aceleración? La velocidad de un objeto aumenta a una UlS.II constnnte de 4 mis cad3 segundo. Su velocidad es I mis cuando t = O. en cuyo instante está en m. ¿Con qué velocidad se mueve cuando está en .x = 8 m? ¡,Cuándo suceded esto. 74
•
x".;
75 •• i ti Se lanza una pelota hacia arriba con una vel~idad I . ., (Despm:lar la mieial de 20 mi!>. (a) ¿Cuán to tiempo eSÚl la pelota en e alfe I a """ allura alcaDlId pot a allUrol del punto de lanzamiento.) (b) ¿eu01 es Ia ma.l_'
••
Para resolver cienns clases de problemas de ffsica es relativamente fácil usar un programa como el Microsoft Excel. con una bnj u de 1.'1Í1t:ul u. Por ejemplo. prob3blemenle ha resuelto el problema 75 usando álgebra; aquf resolveremos aquel problema de Un3 forma ~i fere.nte usando ~na hoja dc cálculo. Aunque éste no es el caso. hay muchas ~IIUaClones en fiStca donde se ha de recurrir como única altemati v3 a la soluciÓn de un problema mediante métodos n um~ricos, (a) Usando una hoja de cálculo. generar un gmlko a/tura- tiempo pam la pelota del ejercicio 75 (lan7.ado hacia arriba con uno velocidad vertical inicial de 20 mis). DeterminlU' la altura máxima alc3JllUda. e~ tiempo que ha estado en el aire. y el tiempo durante el cU311a bola está en d litre por encima de los 15 m de altura (con la ayuda de la gráfica). (11) Imponga que 13 velocidad inicial sea lOmis y encuentre la allura máxima que alcan7.1l la bola y el tiempo que ésta está en el aire. • • 85 •• ss'"' I Al Y Sen han sal ido a correr por un camlllo que discurre por el interior de un bosque. Mantienen una velocidad de 0.15 mis. Al ve que el final del camino y del bosque se encuentra a unos 3S m y ~lef1l con un3 aceleración constante de 0.5 mis!. dejando atrás a Ben. que contlll.ua! velocidad eonstante. (a) ¡.Cuánto le cuesta a Al llegar al final del camino . (a) Cuando alcanza la mela. inmediatamente ~ da la vuelta y deshace el camino a la velocidad constante de 0.85 mis. ¿CuAnto tiemJX? transcurre hasta que se cruza con Ben? (e) ¿A qué distanCia del final del camll'lo se encuentran SSM
cuando se cruzan?
86
••
Re..'iUelva las preguntas (b) Y(e) del problema 8S u.gndo una hujll
dl' n ih:ulu.
•• Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una ~I~ de 20 mls1• Al cabo de 25 5 el eombulbble se qtU y el cohele coaUAÚI como Unl partfeuLa libre: huta que alcanza el mem. c.ku..... (41 el punto .,. abo 87
46
(np rt ulo 2 El movimIent o en una dImensIón
ti ('t lrl!. (d lu
de\de .... 1 re p()~ y (Iue el tejado de lit fábri en e~tñ n 1~O m poi encult,1 del '~1\l ¡,qu!! Ilcelentción uniforme le hilo fu lta para nlennl.ltr :Itluclla \CltlCtdud'l .
Unu macet¡1 clle desde 111m repislI do.: un o.:dllicio de 3 1)crior de lu vcntnna e~tr\ la repisa de la ~'ua l cuyó la maceta'!
elUléridOli (in;.ccto~ cole6ptcroQ pUl!dén pmyectnl'< 'n. tleal mente por ~f mi,mos con una acelernción de uno~ 400g (un ("Irden de T!\;lg. nitud ~ upcri or del (Iue un <,cr humun\) puede re~ I ~ IIr). 1-0'> ellll!!ridO<. \/litan "dc~doh l u ndo" MI' pata~. que tienen unll longilud uJlroximuda de 1I = 0.6 CIl) ¡,A tlllar'! ¡,Cuámo tiempo pcmllllll_'Cen en el aiR:O) (Suponer lu ltcelerueión eo n ~tUl1le micl1tral> e.~tá en eontfietO con el 'iuc!o y tJc~rr«:iar b re~ i , t e ncia del aire.)
:lIeal17adn por el cohete. (/1) el tll:l1Ipo totnl que el cohete está \'elocidud del cohete jU\to ante, de Ch OC llf contra el ~udo,
I!Il
•
88
••
I
89
••
SSM
En una c),perienei:t de cátedOl un cuerpo se de~ li 1.a a lo
largo de lUIR pist:1 de aire inclinada ,in rolallliento con una ncd entción eon'tallle a. Se le impulsa desde el origen de 111 pi ~ t a (x "" O) con una velocidad ini· ciall·u. En el i n~t!lnt e l :; S ~ ~e encueJltrtl e n .~ = 100 cm y se mucve a lo largo de la pista con ,'elocid:ld \' '" - 15 cm/s. Dctenuinnr la velocidlld inicial 1'0 y lu acelernción (/. 90
••
Unu piedra
~\I
distancia 10lnl al acnntilodo?
~udo
en c1lthimo ¡.:egulldo de ~ u curda. ¿Qué !lItU rtl tiene el
91 •• Un nutolUlh ,i] ticlle IInu dcsacelernción máxinm de linos 7 m/s2; el tiempo de fencción tfpico I)an! aplicar los frenos es de 0.50 s. Un cartel ind ien que lu ,·clocidad IImilc en una !onu e!-eolnr debe cumplir 1:1 condición de (Iue todos los c,:oches puedun delenerse en UIlU distancio de fren ndo de '¡ 111. (a) ¿Qué \'e1ocidud máxi ma puede alcanznr en esu zona un autom6viltípico'! (b) ¿Qué fmeción de los'¡ m COITCslX)IIde al tiempo de reacción?
92 •• Dos trenc.~ se acercan uno ni Otro sobre \'íll.~ adyacentes. Inicial· mente están en reposo con una separación de -lOm. El tren de la izquierda ace· lera hacia la derecha a lA mlsl . El tren de la derecha ncelera hacia la izquierda a 2.2 mis'. ¿Qué distancia recorre cl tren de la izquierda antes de que se pro-. dUle;! el cruce de ambos'!
•• Dos piedras se dejan caer desde el borde de un acantilado de 60 m. La segunda piedrn se deja e¡Ier 1.6 s después de la primem. ¿Qué distancia ha recorrido la segunda piedra cuando la separación entre ambas es de 36 m? 93
94 •• SSM Un policía motorista escondido en un cruce de calles obser.'a que un coche no respeta la señal de parada. cruza In intersecciÓn y continúa a velocidad constante. El policía emprende su persecución 2,0 s después que el coche sobrepasa la seilnl. acelera a 6.2 mls 2 y alcanza una velocidad de 110 kmlh: continúa con estu vd ocidad hastu que alcanza al coche infmc tof. En esc inSlante, el coche se encuentra n lA km del cruce. ¿Qué velocidad llevaba elcochc'! •
I
En el instnnte I = O se deja caer una piedra desde un acanti l"do sobre un Ingo; 1.6 s más turde. Otra piedra se lanza hacia abajo desde el mismo punto con una velocidad inicial de 32 mIs. Ambas piedras chocan con el agua al mismo tiempo. Determinar la altura del acantilado. 95
••
•
96 ••• I Un tren de pn!>ajeros circula a 29 mis cuando el conductor ,'c delante de él un tren de carga a 360 m de distancia por la misma vra en la misma dirección. El tren de carga IIcva una velocidad de 6 mis. (e/) Si el tiempo de reacción del conductor es de OA s, ¿cuál debe ser la dc.~1ce lcració n del tren de pasajeros par.t evitnr la colisión? (b) Si su res puesta e~ la desaceleroci6n máxima que puede re¡¡liLnr el tR:n de pasajeros. pero el tiempo de reacción del conductor e~ de 0.8 s, ¿cuál será entom;es I¡¡ velocidad relativa de Io.~ dos treo nes en el inl,tante de la colisión y qué distuncia habrá recorrido el tren de pasajeros desde que el conductor divisó el tren de cargfl husto que. se produjo el choque? 97 • Pnra intent¡¡r cstudi:lr los cfectos de la gnl\'edad un estudinnte lan/.a un PCar el tejado'.' Desprccinr la re.,istencia del aire. aunque en c.\te cn.~ tenga poco ~cn titlo ignorarlll. (b) Supóngase que lo vclocidud del .ascenw r después de rompcr el tejado y atr.t\'e\arlo eOl la mitad de la que tenra an t e.~ de chocar con eltccho. Suponiendo que inieió ~ u movi miento
99
••
Alguno~
100 • i ./ Una prueba de un prototipo de un nuevo automth ll mueMra que lu distancia mínimu pnra una pnradn comroladllR 98 ~mIh e\ lit ~O m. Determinllr lu lIeelcraci6n (,upuesta con ~ tantc) y cxprc'lur la rc.\pue<;ta con¡(J una fr:lcdón de In aceleración de la gm,'cdnd. ¡,Cuánto tiempo t:lrda en pumr,e'! 101 •• SSM Consideremos el movi miento de unu partlculn que expe_ rimenUl un 1Il0vimiCnlo de caldn libre con aeelentción constantc. Antes de di,poner de los modernos sistemul. de adq ui ~ ición de dmOll mfonnati7.1ldoo,. el experi mcnto de e:lldu libre de un objeto. como por ejemplo. un di ~(l de hocl.ey, se rculi7.llba usando una ci nta teñida colocado verticalmente junto a In t ru~Ctto riu de c¡Ilda del di sco conductor. Con el w.o de un generudor de aho \Oltd.IC '>C hncfll sulwr una ehispu. a intervalo!> regulares de tiempo, entre do~ cOOll u~IOI"e\ pUrlIlelos en el punto dOnde se encontmba el di¡,co grociru. ¡¡ -,> us pmplectru)Q eonductoros. De este modo en la cinta quedaba rcgistmda la posición dd ,r . ,,:!) a intervalos de tiempo sucesivos. MOSU"3r que la posición del disco sc1 II.l la Regl(l d(' Ce//ilca de los lIIímcros extraños .6)'21 = 3.6Yur .6Y12 = 5.6.\ 10. .6YIO es el cambio en)' durante el primer intervalo de tiempo.61. ó.Y2I e, el bio en .\' dumnte el segundo intervalo dc duración.61, etc.
lÚe
102 •• Una partrcula se mueve con acelemción constante de 3 mi, instante t = 4 s. está en x = 100 m; en t = 6 s posee una \elocidnd l' e I Determi nur su posición en t = 6 s. 103 •• SSM i ./ Un avión que aterri/.Il en una peqUCI tropienl dispom:: de una pista de 70 m pam parar. Si su velocidad inictai 60 mis, (al ¿cuál será la acelemción del avión dur.lIIle el aterrizaje. ~ur constante'? (b) ¿Cuánto tiempo tardará en detenl!I'SC con esta acelerJdÓn·.'
104 •• i ./ Un automóvil acelera desde el reposo a :! n durante 20 s. La velocidad se mantiene cntonces eon!>tante dumntc 20 ,. pués de los cuules experi menta una lIcderación de -3 It1/s~ hasta quc ,e detú: ¿Cuál es la distanciu total recorrida?
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1
~.
•
105 •• SSM I Si fuera posible di!>Cllar una nave e~pacial 'Iue pudicm mantener unu acelcmci6n constante de fonna indefi nida. los villle J los pl:metlls del Sistema Solar serian cuestión de dfas o semanal>. y loto \ iaJt~ J cstrellns próxi mas sc podrfan llevar a cabo en pocos año~. (a) Dcmo-¡trat que;:. el m6du lo de la accleraci6n de caída libre e n I¡¡ Tierra. es aproxi madumente I c·¡Iño/añ0 2 Ce es la velocidad de Ill lu/. en el V¡IefO. Véase en el problema 5:! la definición de año luz.) (b) Usando los datos que uparecen en las labias allinal del libro, determinar el tiempo que se invertiria p;tra ir de.sdc la l ierra a ~·1artl.' (Marte es el planeta más cercano a la Tierra) suponiendo que una na\'e parte del reposo, sigue una trnyt.'Ctoria recta. acclera durante medill trayectorin a .~, <,e da la vuelta y el restOdel viaje desacelero u g.
106 • i ./ La Stmtospherc Tower de La!- Vegus e~ un edificiQ de 293.35 tn de altum. Un ascensor rápido invierte I minuto y 20 segundo" en subir desde tu planta baja hasta el último piso del edificio. Suponiendo que d a~ccn~or mnntiene lIlIlI acelcmción constante. encontmr su vltlor expre.-.úndoI3 en funciÓn de In tJcelcmción dc 111 gr.J"ednd.
•• i ./ Un tren <;;lle de una e.\wciÓn con unu acekrdción de 0,4 m/s l . Unu pasajem llega corriendo al andén 6,0 ~ dc<,pué, de que d tren haya inicilldo la marcha. ¿Cuál es la velocidud r.:onMnnte mlnllna con qu(' Jebe correr la paSlljeru para poder alcanzar al tren? Confe«lone un esquema de I~ c urva ~ del movimiento del tren y de la pa'-8Jel1l en función del ticmJX1. 107
Una bola A ~ suelta desde lo lIli!. &110 de un edilicIO en ti ml~ in~tantc en que otm bola 8 \C ¡anl.a ~~¡CIIIme.ntt hacia amba ~. c.( _b Cuando la!- bol~ ~ encucnb1ln. arntt.u $e mueven en !o('IIudo contranO y la 108 •••
Problemits \docitllld dc la bola ,\ c' do, \'CCC,\ lu \'c!ucit1:!d de In Dula 11. ¡,l1n qué fmcc ión dc In uhuru del etlilicitJ ocurrc d CI1CUenlro't 109 ••• ReslIt:h'a el pJ'tJblclIl:1 101{ ~i In coli ~¡ón I'ICllrre cuundo 111\ dos hohh ~c mueven en el mhll1u \cntitlo y In velocidad de A c,\ 4 vccc.~ lu \'ehx:idad ti c H.
~ullln
de
I n~ velocid¡lde~
1',
, 7
", 5
3 2
11 1 •• I Un coche de polidil pretende alcanzar ti un coche oIicfa c.~ de 190 krnlll. ) tlmlllC:1 desdc el rclX>'O con uedemci6n con~luntc de ti km/h . S. huSIU que su \'c!oódad alcanza los 190 km/h y luego prosigue con vcltl(;idnd eonSlanle. (ti ) ¿Cutlndo alCan7.llrá al 01ro cochc si w pone en mnreha al pasar éste j unto a él ~ ( b) i,Qué cSp;lcit) hnbrán l\."'Corrido e n toncc,~ ambos coches? ( e) Uucer un grático de .r(l) p..lrtl cada coche.
114 •• i ,¡ Una pro fesora de físicn prueba ~u pamcafd/lS nntigrdvedad sallando con velocidad inicial cero desdc un helicóptero simado ti 575 m de altura. Dur.lIlte 8 s In profesora se mueve en caíd" libre; inmediawmente d c,~ pués abre e l pnracnfdas de modo que fre na con una acc1cruei6n de 15 mls2 hasta que su velocidad de cufda se sitúa en 5 mis, que c.~ cuando ajusta los controles de modo llue .'oe muntenga estu velocidad hasta llegar al sucio. (tI ) En uml úniCII fi gura. dibuje la IIccleración y lu velocidad dc In profc.'>Otn en función del tiempo, (Considerar positivo el sentido hacia arriba.) (b) ¡.Cuál es ~ u \'clocidnd tronscumdos los primeros 8 s del );I11Io? (e) ¿Dul"Once cuánto tiempo c.<;lá fremmdo'! (ti) ¡,Qué dislanciu recorre mielllrns su velocidud disminuye'! (e) ¿Cuál es el tiempo invertido en todo el :.a1to~ (f) ¡,Cuál t!.~ la velocidnd mediu dur:mte el );11110 cornplelO?
inicinl y finul '!
mJ.\
•
1 13 •• Nccc.<;itundo urgentemente el premio en metálico. Lou se npunta a una compc[ición de autornÓvilc.\ en la cual el coche del concursante comienza y termina la prueba parodo, n:corrieodo una distancia L en el tiempo más cono posible, Hay que dcmostr:lr dCSlre7.a mccánicil y ser buen conductor, asf como consumir la mayor cantidad de combustibles f6silc.... en el mcnor ticmpo posi. blc. La CarTero c."tá diseñada de modo que las velocidades máximas dc los ¡wtomó\lj les no se aJc:mznn nunca. (a) Si el coche de Lou posee una acelefl'ción máxima (1 y una dcsacclefllción máxima 2(1, ¿en qué fracción de 1.. debe Lou mover su pie desde el pedal del ncclemdor al¡x.-dul del freno? (1)) ¿Qué fracción de tiempo ulili7.l1do en ellmyccto IOtal ha tronscurrido hasta este momento~
I
I
2
Fig ura 2.35
3
1. 5
Problema 116
11 7 •• SSM La velocidad de un pan icula en metrOS por segundo viene dndu por l' = (7 m/sJ )r2 - 5 mis. donde I se expresa en segundos y l' cn metros por segundo. Si la partículu sale del origen. Xo = O cuando 'o::: 0, hullar la función posici6n gcncml X(l). 11 8 •• Considcre el gráfi co dc la figuro 2.36. Suponiendo que x = O cuando I '" O, escriba las expresiones algebraicas correctas pánt xCI). "(1) yaV). con tos valores apropiados de todas las conSlantCS,
L' ...
mIs
50
Figura 2.36
Problemn 118
11 9 ••• I..;t figum 2.37 muestro In 3('clef'Jción dc una partículn en fu nción delliempo. (a) ¡.Cuál es el vulor del área del reclángulo señalado'! (b) L'l partícuhl ¡lUrte del reposo a I :::z O. U:llIar la velocidad en los liempos I = 1. 2 Y3 s contando los cuadrJdo~ bajo la curva. (e) Hacer un gráfico 11t) a partir de 1m, resultudos de In parte (b) y hnllnr un valor e.~lillmdo de In distancin rt.'co rridn por la partfculn en el inlen'alo de t = O a I = 3 s.
u. m/s2
Integración y ecuaciones de movimiento
3
11 5 • SSM Lu velocidad dc una pnrlfcula viene dadn por \'(1) = (6m/s 2)/ + (3 mIs). (ti ) I-Iuccr un gráfico dc \' en función de t y hnllur el tiren lunitlldll por la curva en cl intervulo dc , = O s U1'" 5 s. (b) Hullar In funci 6n de posición .\'lt). Ulili:t..arln pm'li cnlcular el dcsplu7.umicnto durante el interVlllo de
2 I
I = Oa l _511.
11 6 • Lit liguril 2.35 mucstro la velocidnd de unu partícula cn función dcllicm¡)(). (a l ¡,Cu:'il c.<;. el vnlor en metros dd tlrea del l\.'Clángulo !>Cñalado"! (b) 11:lllnr d rt.:corrido de 1:1 1l:lrtículu pan. los intervalos de 1 " (Iue clllpiezon a partir
47
Oc I ZI I ,y I "" 2 s. (e) I.Cuál ~ In velocidad metÍiu parll el ullcrvnlo I " S I :S; 3 , '! (d) t..u ecu!tción de In curvlI c, l ' "" (0.5 m / ., 3 )1 2, Ik tcmlinnr el dc"pla¡¡mllcnto de In IJ/lrticldu en el illlcrvnlo h S I S 3l'i por inlegrnción y cOlllllnmr lu re,. l)ue~1lI con In del npurt¡ldo (/l). En c,~t e Clll>O. ¡.In velocidnd medill e.~ Igual n In
1 10 •• SSM Un mctro p.'lrtc de UI1:1e~lación y m:e lem dc.'odc el n.:po\o c,)Il 11M al"Clc.mción de 1.0 m/"l h:I"I11 1:, mitad de In di~lUnda que le ,epum de lu Mguientc e:¡tnción: dc.'pu6. de,ueclcm con el m i~ m t) ri tlllO du mnle lu !oegunda milnd dd tm)'ccto. Lu disttlllci:llOtul entre c.\tnciunes es de 900 111 . (a) Repre. "enlnr gr:Hiculllcllle la \'elocidud l' en fun ci6n del [iempo a lo larSo de tndo el recorridu. (111 Reprc-,enlnr ~n\ l icbm elllc la upropiltdm ¡L 10 lurgo dc ambos cjc~.
1 12 •• Cuando el eoche de policía dd proble ma 111 (marchnndo a 190 km/h) eSlá" 100 melms detrás del otro coche (quc marc ha u 125 km/h) ¿, te ob~cf'lu que le siguen y lIcciona los frenos blocluelmdo las ruedas. (ti) Supo. niendo (Iue coda coche pueda frenar con una aceleración negativa de 6 mIs! y que el cond uctor del coche de policfa frena tan pronlo como ve encenderse las luces de freno del coche qUl: persigue. e... decir, si n tiempo muerto de reacción. dcmo~tror que los coches chocan. (b) ¿En qué momento chocan contando a ])
I
I
Figura 2,37
2
3
,
Problema 119
,. ,
48
I
Cap rtulo 2 El m ovimiento en una dimensió n
120 •• L:l figura 2.38 UlUl!Str:1 un gráfico l ' en función de I puro un u punlcula que se mucve sobre un:\ f\!cm. La po~ ición de 111 misllla en el instullle lO'" O es xo:: 5 111 . (a ) Hallar .\' paro vurios tiempos I contando cmldrados y di bujar x en función de t. (b) Hacer un dibujo nproxinmdo de la aceleración ti en fun ción de t. v. m/s 8
, 6
o ' - - - --
La posición de un cuerpo que oscila sobre un muel ~ viene dada por x :: A sen ca. en donde A y lO son constantes de valores A = 5 cm y liJ = 0. 175 S- l. (a) Representar xen función de 'paraOS IS 36 s. (b) Medir ll pendiente del gráfico en 1 = O para determinar la velocidad en ese instante. (e) Calcular la \lelocidad media para una serie de intervalos que comienzan en 1'" O Y temlinan en 1=6, 3. 2. l. 0.5 Y 0.25 s. (ti) Calcular dxIdl y determinar la \'elocidad en el instante t = O. Comparar los resultados con los apanados (e) y (d).
-' r - --
-2 -1
-6 L--,----;;--,--;-;-;---;; :2 3 4 5 6 7 8 9 10/. s Fig ura 2 .38 ••
Problemll 120
L:l fi gura 2.39 muestra un gráfi co de x en funci ón de /
SSM
la:
126 •••
2
121
desde el borde de la me.c;.a de modo que. cuando pasa por la primera c\!lul pone en marcha el reloj y. cuando pas.1 por la segunda. lo pam. El valor de lernciÓn de colda libre g se determina mediante la ex pre.~ i6n ga = ( 1 m).l~ donde ÓI es el tiempo medido por el cronómetro. Un estudinnte ~o cui~ coloca la primero c\!lula 0.5 cm por debajo la mesa. (Suponga que la segunda célula está bien colocada.) ¿Qué valor de g~r Obtendrá'? ¿Qué porcentaje dt diferencia hubrá entre el '1 alor obtenido y el valor comlln de esta magnitud al ni'lel del mllr?
paro un cuerpo que se mueve en Hnea recta. Dibujar gráfi cos aproximados de en func ión de t y a en fu nción de t para este movi miemo.
l'
x
Ij
/'\
'\
, \
Figura 2 .39
/ Problema 121
122 •• La aceleración de un cohete viene dada por a = bl. donde b es una constnnte positi\la. (a) Determinar la posición en función del tiempo x(t). (b) Calcular la posición y la vclocidad cuando I = 5 s si x = O y \' = Ocuando ( = O. y si b = 3m1sJ . •
123 •• I La acclerac ión de una pan fcula que se mueve cn una dimensión dumnte el intervalo de tiempo comprendido entre 0.0 y 10.0 s viene dada por a = (0.20 mls3 )t. Si la panfcula inicia su movimiento desde el rc poso y en el origen. (a) cakular primero su I'd ocidad i,utamónC(l en cualquier instante de tiempo comprendido dentro del intervalo indicado. (h) Calcular su I'e/ocidad II I(! ( /ia durante el intervalo de tiempo entre 2.0 s y 7.0 s. 124 • Considere el mO\limiento de una panícula que está sometida a una aceleración no constante II dada por (/ = (lo + bl. donde ao y b son constantes. «(1 ) Calcular la velocidnd instanttlnen en fundón del tiempo. (b) DetemlÍnIlr la posición en fundón delliempo. (e) Calcular la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo. entre un tiempo inicial O y un tiempo fi nal arbitrario t.
Problemas generales •
12S ••• I En una clasc de ciencias. con el objetivo de determinar la aceleración de caida libre de los c u~rpos. se monta el siguiente d i~po)iit i"o ex.perimental: se colocan dos cl!lulas fotoeléctricas. una en el borde de una mella de 1.0 In de altum y Otro 0.5 m exactamente debajo. Se suelta una canica
SSM
• 127 ••• I Considere un objeto cuyo motor le da una velocidad descrita por la ecuación v = I·mb. sin(ta). donde ro se expresa en radianes/s. (a) ¿Cuál es la aceleración del objeto'? ¿Es constante? (b) Cuando , =0. la PlXición es .1'0 ' ¿Cuál es la posición en función del tiempo'?
128 ••• Suponga que la aceleración de una panícula es una función de x. donde a(x) = (2s-- 2) x . (a) Si la velocidad cuando x = 1 m es cero. ¿cuál C! velocidad de la panfcula en x = 3 m? (b) ¿CuántO tiempo in\liene la panín en moverse desde.f = I m hasta x = 3 m?
la
129 ••• Suponga que una partícula se mueve en una Hnea recta de que. en cada instante de tiempo. su posición y su velocidad tienen el valor numérico expresado en unidades del SI. ( a) Exprese la posición ción del tiempo. (b) Demuestre que en cada instame de tiempo la a..::e,c. tiene el mismo \lalor numérico que la posición y la velocidad.
130 ••• Una piedra se hunde en el agua con una aceleración que exponencialmente con e! tiempo según a (t) = g~'¡". donde b es una ce positiva que depende de la fonna y del l:lmaño de la piedra y de las prof ffsicas del agua. Basándose en este resultado. deduzca una expresión posición de la piedra en funciÓn del tiempo. suponitmdo que su velociJ.; cial es cero.
1:1
'}() l'
n
t t 'Ji
J
131 ••• SSM En el problema 130 una piedra cae en el agua con 11 aceleración que viene dada por a(t) = ge.-bt. donde b es una constante ¡X1Ml ' L En ffsica. habitualmente. se suele conocer la aceleración en función de la POSI' ción o de la velocidad. pero no se suele tener informnción sobre la BCC I~racwn en función del tiempo. Supongamos que la función que nos da la acelernci60 en función de la I·t locidlld es a = g - bl' donde 8 es el módulo de la acelernción dela gravedad y l' es la velocidad de la piedra. Demuestre que. si la picdl'3 parte del reposo. la runción que da la aceleroción en funci ón del liempo es la que se da al comienzo de! problema. 132 ••• La aceleración de una paracaidista que se laUl a al \'ado desde un a\'ión viene dada. antes de abrir el paracaídas. por la fórm ula a = g - (,1':. dotKk e es una constante que depende del área lrafls\'ersa1 de la saltadora y de la den· sidad de la atmósfera que la rodea. (a) Si su velocidad inicial ~ el momento del sallo es O. demostrar que su velocidad en función del liem~gguc la fórmula V(I) = 1'/ UUlh (tIT). donde \', es la velocidad lfmite ( 1', = J g/c) y T = 1'18 es la eseala que detennina cuánto liempo le cuesta alcanzar la \'elocidad telillj· naL (b ) Use un programa de una hoja de:' cakukl pan lepreSCllW 1'(1) ea fun· ción del tiempo. usando una velocidad tenninal de 36 mfs (use ~ \·aJOf pc1L calcular c: y ¿Tiene !.Cntido la curva re5u Uante1
n.
MOVI lENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Capítulo
3.1
El vector desplazamiento 3.2 Propiedades generales de los vectores 3.3 Posición, velocidad y aceleración
3.4 Primer caso particular: movimiento de
proyectiles 3.5 Segundo caso particular: movimiento circular los barcos a vela no navegan en línea reCla hacia su destino sino que siguen una trayectoria en lig-zag contra el viento. El barco de fa foto que se dirige hacia un puerto situado hacia el sudeste navega primero hacia el este, después hacia el sur para acabar torciendo finalmente hacia el este.
? •
¿Cómo podemos calcular el desplazamiento y la velocidad medias? (Véase el ejemplo 3.3.)
Eneste capítulo extenderemos tas ideas del capítulo amenor a dos y tres dimensiones. Para llevar a cabo esta extensión, introduciremos los vectores y mostraremos cómo se usan para analizar y describir el movimiento . .. El objetivo principal de este capítulo es desarrollar el concepto del vector aceleración, un concepto fundamental para el desarrollo de las leyes de Newton en los capftuJos 4 y 5.
3.1
El vector desplazamiento
Cuando hay movimiento. el desplazamiento de una panfcul a tiene una dirección en el espacio y un módulo. La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea recia comprendida enlre dos puntos del espac io es un segmenlo lineal llamado vector desplazamiento. Se representa gráficamente por una flechil cuya di rección eS la misma que la del vector desplazamiento y cuya longitud es proporcional al módulo del vector des plazamiento. Designaremos los vectores con lelras negritas, como en A. (Cuando se escribe rwmmo. un vector se ind ica mediante una flecha sobre el sfmbolo considerado. por ejemplo. A .) El módulo de A se escri be IAI o simplemente A y. por ejemplo, el módulo del vector desplllzamiento tiene dimensiones de longitud. El módulo de un vector no puede ser negativo.
so
I
Cn pítulo 3 Movi miento e n dos y tre)
dlmenslone~
Suma de vectores desplazamiento
,-
p,•
Lll ligura 3. 1 tlIut.!stra llllrayel:toria de unu pnrl k ula qUt! ~c mueve desde el punto PI híl~ta lIn segundo punto P2y luego ti un lercer punto p ). El desplannnicnto de PI a P2 viene represen. tado por el vector A y el dcsplnl.amiento de 1'2 ti 1'3 por B. Obsérvese que el vcctor desplaJ.a. mien to depende s610 de los puntos extremos y no de la trayectoria rcal ele In partkula. El desp lazHlIliento reslIllllllfe de PI u p ). llumado C. es In suma de los dos d e s plllzami ent~ s u r.::csivo~ A y B:
"
I
-
e
• Figura 3.1
= A+B
(3.1)
Dos veClores desplazamiento se suman gráfi camente situando el origen de uno en el extremo elel airo (fi guT<\ 3.2). El vector resultante se eX lienelc dc"de el origen del primer vec. tor al extremo finn l elel segundo. Obsérvese que e no es igual a A + B ¡¡ menos que A y B estén en la mi smu direcc ión, Es decir e A + B no implica que. e A + B. Unu rorrml equi val enle de sumar veclores es el llamado método del paralelogramo, que consiste en desplazar B hasta que coincida su origen con el de A. La diagonal de l paralelo. gramo rormado por A y B es igual a C. Como puede verse en la fi gura 3.3. no ex iste diferen. cia en el orden en que sumemos los vectores; es decir A + B = B + A .
=
e
=
B
A
A
Figura 3.2 Método para la suma de vec· tores que consiste en situar los dos vectores uno a continuación del otro.
I
.• •
B
EJEMPLO 3.1
A ........... . ...• e • •"
Figura 3.3 Método del parnlelogron la suma de veclOres.
Desplazamiento N
Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
Planteamiento del problema Los dos desplazamientos componentes y el desplazamiento resultante se muestran en la figu ra 3.4. Como A y B forman un ángulo recto enne sf y e = A + B es la hipotenusa del correspondiente triángu lo rectángu lo. el módulo e puede hallarse mediante el teorema de Pitúgoras. La dirección de e se obtiene por trigonometría. 1. El módulo del desplazamiento resultante está relacionado con los
= (3 km )2 + (4 km)2 = 25 km 1 Y de aquí
e 2. Sea 8 el ángulo que forma el eje de dirección este con el despl81amiento C. Según sea la figura podemo~ determinar tg 6 y basta utilizar
una calculadora con funciones trigonométricas para obtener (J.
= J'"2S"k=m'" = S km
tg 9
::o:
B
A
y de aquí
8 = arctg
B A =
Um
A
"m Figura 3.4
el = A'l +Bl
módulos de los dos desplazamientos por el teorema de Pitágoras:
B
4km o arctg 3 km • 53.1
O~servacl6n Un vector viene descrito por su módulo y dirección, En e!ote ejemplo el desplazamlemo resullanle es un vector de longitud S km en una dirección 53.1 0 al none del este.
E
3.2
3.2
Propledade~ generales de los vecto res
I
51
Propiedades generales de los vectores
En m;ico c~is l t! n rnu c ha~ magnitudes que poseen módulo y direcc ión, y se sumlln como los dc:.plaz;;Ulll~ntos. Son ejemp los la veloc idad, lu aceleración, el momento linenl y la fuer"n . Estas n~ag llltlldcs s,e lIan~an "ccto res . Las Ilwgniludcs que carecen de dirección asociadu - por ejemplo, la
Los vcclores son magnitudes con módulo. dirección y sentido que se suman como los dc\plazamien los.
,. DEfINlCIÓN - VEcrORB
Un vcctor se representa gráfi camente por una fl echa cuya di rección es tu mis ma que la del vcclor y cuya longitud es proporciona l al módulo del vector. Cuando se expresa e l módulo
de un veClor, debe venir acompañado de sus unidades. Así. el módulo del vector velocidad-"e ,,:I¡pre ~ a en metros por segundo. Dos vectores son iguales cuando tienen el mi smo módulo y la mi!o.ma dirección. Gráficamente esto sign ifica que tienen la misma longi tud y son paralelos :1 uno al otro. Una consecuencia de esta defi nición es que si un vector se mueve mantenién· e ,c paralelo a sí mismo. no se modifica. Así todos los vectores de la figur'd 3.5 son iguales. rrnsladantos o giramos el sistema de coordenadas, todos los vectores de la figura 3.5 per~ necen iguales. Un vector no depende del sistema de coordenadas util izado para su repre· entllción (excepto los vectores de posici ón, que introduciremos en la sección 3.3).
Figura 3. 5 Los \'CClOres son iguales si sus módulos y direcciones son los mismos. Todos los vcelores de es!::! figura son iguales.
Producto de un vector por un escalar Un veClor A multiplicado por un escalar . . es el vector B = . . A . que tiene módulo Isl A yes paralelo a A si s es positivo. y antiparalelo a A si . . e.o; negat ivo. Así. el vector - A tiene el mismo módulo que A. pero apunta e n dirección opuesta. de modo que A + (- A) = O. Las dimensiones de sA son las de . . multiplicadas por las de A.
D. ,
.~
•
C=A - B
C=A - B
Resta de vectores
A
(b)
(a)
Para reSlar el vector B del vector A basta sumarle - B. El resu ltado es e = A + (- 8) = A - B (figu ra 3.(1). Otro método equivalente de restar B de A es uni r sus orígenes y lr'dZar el vector e de B a A . Es dec ir, e es el vector que debe sumarse a B para obtener el vector resultante A (figu ra 3.6b). Las reglas de sumar restar dos vectores cualesquiera. tales como dos veclores velocidad o dos vectores aceleración. son las mismas que las uti lizadas para los desplazamientos.
Figura 3.6
°
Componentes de los vectores La componente de un vector a lo largo de una Hnea en el e!'>pacio es la longitud de la proyec~ ción del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazando una lín~a perpendicular desde el extremo o fl echa de un vector a la línea. como indica In figur.l3.7. El signo de la componente es positi vo si la proyección de la pu nta del vector se encuent ra en la dirección positiva con relución a su origen. Las componentes de un veclor a lo largo de las direcciones x, y y :. ilustnldas en la fi gura 3.8 par.! un vector en el plano x)'. $e denominnn componente!'> rectangulares. Obsérvese que las componentes de un "cctor dependen de l sistema de coorde nadas ut ilizado para su representación.lIunquc el misma vectOr no dependa de ello. Las componentes rectan gulares son útil es para la :mT1ln o re!'> ta de vcctores. Si (} es el (Ulgulo comprendido entre A y el eje .l'. re!-ult n A.\=;\ COS (}
(3.2) COMPONlN'I[ X DE. UN VEOOR
f
• 8,
../
8
A
s,
B
/
<)
.....•
•
H~ .. H {"0'0 8~ .
BCO'-B
lIJ) Figura 3.7 Delinici(Ín de la romptlnentc de un veclor. La componente del veclor A en la dirección poltill\a de S Clt A,. y A, e'- po\llml. La l"Oll1ponenle
e... ncgali\a.
52
I
Caprtul o 3 Movimiento en dos '1 tre) dimensione!
y
:L............. .. I
1\ , . ,\
A,= A sen8
A
A,
sen O
(3.3)
,••
COMPONlNTE y DE UN vtClOP;
••
A, - - -., A, = A CQ\O
Figura 3 .8 Compone ntes rt.'Cln ngulures de un n~c lor. A. = ¡\ cos 8. A,. = A sen O.
en donde A es el m6dulo de A . Si conocemos Ax YAl'• • podemos obtener el ángu lo 8a partir de A
tg (} = :..:.r,
A,
B=
(3.4)
y e l módul o A a partir deltcorcma de Pitágoras : 8., H,. U
(3.5,)
En tres dimensiones.
e
A
e, O.5b)
e,
Las componentes pueden ser positivas O negativas. Por ejemplo. si A apunta en la dirección negativa de x, Axcs negativa. Consideremos dos vectores A y B en el plano xy. Las componentes rectangulares dt: ada vector y las de la su ma e = A + B se muestran en la figura 3.9. Como puede verse, la ef 100 vecwrial e = A + B es equivalente a las dos ecuaciones de las componentes:
Figura 3.9 N
y
w
E
b)
Ejercicio Un coche recorre 20 km en dirección 30° al norte del oeste. Se supone qu x apunta al este y el eje y al norte, como en la figura 3.10. Determinar las componen'. del vector desplazam iento del coche. (Respuesta A., = -17,3 km, Ay = + I Okm.)
S
Figura 3.10
EJEMPLO 3.2
I
El mapa del tesoro
¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO!
Suponga que usted tru.baja como animador en un centro turístico en una Lsla tropical. Dispone de un mapa que le indica las direcciones a seguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted no desea malgastar el tiempo dando yueltas por la isla, porque quiere acabar pronto para Ir a la playa y hacer surflng. Las In.o¡trucciones son Ir 3 km hacia el oeste y luego 4 km en la dirección de 60" al nordeste. ¿En qué dirección debe moverse y cué.nlo tendrá que caminar para cumplir su objetivo con la máxima rapidez? Encuentre la respuesta (a) gráficamente y (b) usando componentes yectoriales
Planteami ento del problema Hay que enconlrar la resuhanle del desplazamiento, que es e en la ~gura 3.11. El triángulo fonnado por los tres vectores no es rectangular, de modo que no podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Podemos obtener gráficamente la resultante dibujando a escala cada uno de los desplazamientos y midiendo el desplazamiento resultante. (a) Si dibujamos el primer vector despla7.llmiento A de 3 cm de largo y el segundo 8 de 4 cm de largo. enCOnlraremos que el vector resultante e es de unos 3,5 cm de longitud. Asf, el módulo del de.o¡plazamienlo resultante es de 3.5 km. El ángulo 8 fonnado por el desplazamiento resultante y la dirección oeste puede medirse con un transportador angular. Por lo tanto. debe andar 3.5 km a 750.
e, e
N
e, -E
w~
A 3cm
Figuro 3,11
s
•
Je v
3.2 Propiedades generales de los vectores 1 53
(b) 1. I'am I'esol\'~r d problema utilil:tndo las componcllIes \'ec toriale~. sea A ~I prull~'r dC'iI,>ln/umicIlIO y elegimos el eje .\ positi\'o en In direcciÓn e~It.! ) el eJe ), poloitivo en 111 dirección norte, Calcu l amo~ A, y A, de ln ~ ecundone" 3.2 y 3.3: 2. De igual modo calculcmos 1m; componente¡; del scgundo dcsplnl umiento 11:
cOllllxmcntc:;. del de~p l al.t1111 i ento resultanlc Obtienen por sUllla:
3. Las
e=A
+
B, = (4 km) cos 60° :: 2 km
n se
4, El teorema de Pitágoru~ no~ pennitc obten!.!r!tl IIlngnitud dc C:
Bv = (4 km) sen 60° = 3,46 km
C. = A. + B, = - 3 km + 2 km: - I km
e l :
q+c; ""
(- 1 km)2+(2J3km)' = 13.0km 1
e = Jíj km =13.61 km 1 5. El cociente elllre Cy
y e, es igual H la tungente del ángulo 9 entre
e y In dirección negativa de x:
t
g
e 9=lc:1
por lo tUIlIO. 2Jj km
9: arctg I km
Jj = arctg (2 3)
=Iw 1 Observaciones Como d dl'.Splazamiento es una magnitud vectorial, la respuesta debe incluir el módulo y la direcci6n o ambas componentes. En (b) podríamos haber concluido el cálculo en el paso 3. yA que las componentes x e )' definen completamente el vector despla7.nmienlo. Se han convenido en el módulo y la direcci6n pam comparar el resultado con la respuesta a la parte (a). Obsérvese que en el paso 5 de (b) se obtiene un ángulo de 74 o. Este resultado está de acuerdo con el de (a) dentro de la exactitud de nuestm medida.
Vectores unitarios Un vector unitario es un vector sin dim ensiones de módulo unidad. El vector A- l A es un ejemplo de vector unitario que apunta en la dirección de A . (A veces, para ev itar confusiones. los vectores unitarios se escriben en negritas con un pequeño ángu lo en su parte supe• rior: por ejemplo, A = A- l A .) Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x, y y z son convenientes para expresar los vectores en función de su~ componentes rectangulares. Usualmente se escriben i. j Y k, respectivamente. Así, el vector A..,i tiene módulo A ~ y apunta en la dirección x positiva si As es positiva (o la dirección x negaliva si A.. es negativo), Un vector A en general puede escribirse C0l110 suma de tres veclores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 3. 12):
)'
J
;
.,
(a)
(3.7)
La suma de dos vectores A y B puede escribirse en función de veclore!> unitarios en la fanna A + B - (A ,ri + A\j + A;k ) + (B ri + B)j + B:k )
t----•
(3.8)
- ( A .l +B ... )i+ ( A .v + B ).)j +(A : +B:) k
Las propiedade..., gencru les de los veClores se resumen en la tabla 3. 1. Ejercicio
y
8= (2 m)I -(3 01 »).
determinar(u) A, (b) IJ. (e) A + 8 . Y (d) A - 8 . ( Re.f/}//eSUlS A +8
=(6 m)l . (d) A - 8 =(2 m)1+ (6 O1)j .)
•• •• •• ••
AJ
-------A
•
• ••
•
• • • • • •
• • " , ~-------------_. -
A_k
-
(b) Figura 3.12 (a) Vectores unitarios I,j 't k en un
Dados dos vectores A =(4m )I +(3m)j
••
••
1--------------_-' .
• ••
(CI)A = 5 m, ( h) B = 3.61 m. (e)
sistema de coordenadas rectangulares. (b) Veclor A escrito en funci6n de los \·cctore~ unitarios: A . A.•I +,4,J +A,k.
I
54
---------- --,Capitulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
TABLA 3. 1 Propiedades de los
vecto re~
A ,= B.f A. = IJ.
A = U si IA I = In l y sus direcciones y sentidos son ¡gunle!'>
IgUll ldnd
A.• = 8 •.
e, =A... + 8..
Adición
eJ =A},+ B.,
C=A + U
Ncgnti\'o de un vcctor
· -
A.. =-8", Ay = - B), A.• =-8.•
A = - 8 si IIlI = IAI y su sentido es opueSto
e=A-
Sustracción
-
C. =A.+B.
• • • •
U
;
C... =A A- B,t C,=A. - B.,
- . .
C.=A.- B.
e
B.. = sA,l
r.,·lultiplicnción por un escalar
n = sA tiene el módulo IBI = siAl y lo. misma direec ión (loe A si es s positivo o - A si s es negativo
3.3
11
,¿
B, = sA\. D.• = sAo •
''/
Posición, velocidad y aceleración
Vectores posición y velocidad y
El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen de un siste. I de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para una partícula en e l punto (x. y) su \.:ctor posición r es
P1 CI1l 1
" .,
r= .d + yj
( 9) DefINICIÓN - VECTOR POSICIÓN
o
.,
Figura 3.13 El vector desplazamiento ó r es la diferencia de los veclores de posición 6 r = r2 - r l' Oe igunl modo n r es el vector que sunmdo a r l nos dAel lluevo vcctor posición r2'
La fi gura 3. 13 representa la trayectoria o camino real seguido por la partícula. (No confundir In trayectoria con los gráfi cos x en función de r del capítulo anterior.) En el instnnt\! ' l' la partícul .. se encuentra en PI' y S U vector posic ión es r l : en el instante 12 la partícu lo :se ha movido 1I P2 Yel veClor posición es r 2' El cambio de posic ión de la partícula es el vector des' plazamiento ~ r :
(3.10) DEfiNICIÓN -VECTOR DESPI.AZAMIENT"O
El coc iente entre e l veclor dcsplazumiento y el imervalo de tiempo Al
velocidad media .
Vm -
-dI
dr
='2- '1 es el \-edOI'
(3.11)
DEFINICIÓN - VECTOR VUOCIOAO N(ry.t.
Este VeClor apumn en la dirección del desphuamiemo.
3,3 Posición, velocidad y lJceleraclón El módulo del vector de'plauullienlo e~ inferior a la distancia recorrida a lo largo de In c urVll :1 m~no~ que In parlfcula se mueva en Irnen rectn. Sin embargo. si consideramos ¡llIcr. ":IIOS d~ tiempo ca~t\ vez más pequeños (figuru 3, 14), el desplaztlmicnto se uproximu n In dISt?IlCI3. real rec0';1dll por In parlículu a lo largo de la c urva, y la dirección llr se aprox ima a la c!trccc¡ón de In hnea tangente a la c urva ell el comi enl.O del intervalo. [)efinimos el vcclor \'clocid:H1 ins llI nt:1ncu cama el límite del vCctor velocidad media cuando Al tiende a cero:
)'
La tangente a la curva en
\' -
<.\1-0
"1
por definición IlJ dIrección deven/'¡
"
.,.
(3, 12)
dI
Al
55
e$
-
, or d .' 1un -= -
I
LIo r '
ár
DE~INICJÓN - VECTOR VElOCIDAD INSTANTÁNEA
El veclor velocidad in stantánea es In derivada del vectOr posición respecto al tiempo. Su módulo es In velocidad esclllur y apunta en 111 direcc ión del movimiento de la p:lrlículn a lo largo de la línea tangente n lu cllr\'a.
Figura 3. 14 Al considerar intervalos de tiernI'Q cada ve1- más pequeñol>, la dirección del dc..<¡pl!v.a. micnlOM: aprol{i mn a la tangenle a 111 curva.
Pam calcular la derivada en la ccullción 3.12 el{presarnos el vector pos ición en runeión de sus componentes.
Por lo tanto . v
, ór 11111 -= l ·un ó,xi + ó'yj = l.\t ...
o ó'r
Ar--O
llr
1,1m (0-'), - 1 + l'1m (6") ó'r
<.\1-+0
l.\t-+O
Ó,l
es decir.
d.t.
dy .
\' - - I + - J - v i + v J' dI dr x )'
EJEMPLO 3.3
I
(3 ,13)
la velocidad de un velero
=
=
Un barco de vela liene las coordenadas (x\tY ¡) (110 m, 218 m ) en el instante ti 60 s. Dos minutos mós tarde, en el insta nte 12• sus coo rdenadas son (xI'YI) = (130 m. 205 m), (a) Deter· minar la velocid ad m ed ia en este intervalo de dos minutos, Expresar l'm en función de sus componentes rectangulares. (b) Determinar el módulo y la dirección de esta velocidad media. (e) Para t '2: 20 s, la posición d el barto en funci6n del tiempo es x(t) = b l + b~ e y(t ) = C I + C'¡I. donde b ¡ = 100 m , b l = ~ mis, cl = 200 Ye2 = 1080 m ' s. Calcular la ,'eloddad instantánea en el liempo gcn,érico I ;a: 20 s.
y. m
Planteamiento del probl ema Se conocen las posiciones inicial y fina l del barco de veln. (a) El veclOr velocidad media apunta de la posición inicial a la finaL (h) Las componentes de la velocidad in ~ lalllánea se calculan a parti r de la ecunción 3. l 3: ti.• =rlx/t/r y I'y =lly/llt.
210
\' ... /ti
1' .. '"
23" 22<)
(110,218)
,
120
110
Figura 3.15
donde l'
.,.
\'
".
=
"-' - = ót
130m -11 0m = O, 167m/s 120 s
-2 1S m"" -O,I OS mi" = ~- 205 m120 .. Al
por lo tunlO ' . +O,167m1,j 1-(O,I08m1,j j Pil ñgorn~:
,,
200
(a) 1. Dibuje un sistema de coordenadas (figura. 3.15) que mu~lrC el desplazamiento dcl vclero. La dirección dd vector \'clocidud media y del veclor desplazamienlo coincide.
3. El módu lo de YmSC deduce del teorema de
•
\'.. =
J( I·..... l l
+ (\".... )2
,,, ,
• • ---.---- ---- --- •t130.205) 100
2. Las componentes x e y de In veloddlld media \' mse calcu lan direclamente a parlir de sus defi niciones:
o ._--'.-_._- --
I
~O,I99m1s. 1
130 .(, m
56 1 C3prlulo J MovI mien to
tl ll
dos y tres dimensiones
2. El cocientl' enlre I'~.m Y ¡',.m expresn e:1 \'alor de lu tangente del ángulo Oentre \ 'm Yel eje x:
tg O '"'
-
1'. ,nI
\ ' I.m
luego
,,,,,g\\.m _ urctg - O.1 08 mis ",-", 0, 167 mis (e) L'l velocidnd instun ttlnc!l v sc obticne calculundo dxldt y dy!tlt.
,
.
=1 33001 '
~ I +~J dI
dI
mmódulo de v ~e obtiene de \'
= JI' ~ + I'~ Y su dlrecci6n de tg (J = I ' II 'A' Ejercicio Detcrminnr lus componentes x e y y el módulo y dirección de lu velocidlld instontánen del barcl) de vel:! en el instnme ti = 60 ~ (Re,tpll/!sU/~' v .:::! <¿ m/s) l - (0.30 m/.. )j , Observació n
\'1 .: :! 0.34 mIs , (JI .: :! _60.9°,)
Velocidad relativa
(n)
Las velocidades relati vas en dos y tres dimensiones pueden combinarse del mi smo modo que lo hacen en unu dimensión, excepto en el hecho de que los vectores velocidad no coinciden necesariamente u lo largo de la misma línea. Si una panícula se mueve con velocidad , , relaliva a un sislema de coordenadas A, y éste a su vez se mueve con veloc idad vAB relati\a a a iro sislema B, la velocidad de la partícula respecto a B es
(1
YpB= Vp.A" V AB
VELOCIDAD IUlAT
(b)
(e)
Por ejemplo. si Ud. se encuentra en una vagoneta que se mueve respecto al suelo con vel ¡. dad v'"$ (figura 3, 160) Y camina con una velocidad relativa a la vagoneta de vp' (figura 3.1 l. su velocidad relativa respecto al suelo será la suma de estas dos velocidades: Y IX = y... i (figura 3.16c). La velocidad del objeto A relmi va al objcto B es igual en módulo y opuesla en dirccc.:i n a la velocidad del objeto B respecto al objeto A. Por ejemplo, Y p' .:::! - v "p' en donde Y' p e~ Id velocidad de la vagancia respecto a la persona. La adición de velocidades relalivas se reall1 j del mismo modo que la suma de desplazamientos: gráficamente. situando los vectores velocidad el origen de uno en el extremo del otro o bien . analíticamente a panir de las componemes vecloriales.
Figura 3.16
EJEMPLO 3.4
1 Movimiento de un avión
Un avión debe l'olar hada el norte. La velocidad del avión respecto al aire es 200 kmlh Y el "icnto sopla de oeste a este a 90 km/h. (a ) ¿Culil debe ser el rumbo del avión? (b) ¿Qué "ciad. dad debe llevar el a"lón respecto al suelo'! Planteamiento del problema Como el viento sopla hacia el e.<¡te. un avión con rumbo hacia el norte derivará hadu el este, P:J.m compensar el \'icnto de trav6s. el avión debe dirigirse hacia el noreste. La velocidad del avión respecto nI suelo VA. será In suma de la velocidud del Ilvión respecto al aire \ '''1 más lu velocidnd del aire respeclO al suelo " :OS' (a) 1. u¡ velocidad d~1 :lvi6n respecto al liuelo viene dada por In ecuoción 3, 14: 2. Dibuje un diagrnma que muestre la suma de los vectores dt!! pn!iO l. Ponga los ejes de referencia como los que se muc,\lmn en la figura 3. 17.
v.... = v". + v".
N
'. 0---=:":
s Figura 3.17
• 3.3 Posición, velocldad y acele radón
3 . El' seno del áng ulo (J rannado por la velocidad del '.<. d U'L'<:Clu n norte es igual al cociente entre v
v,. .
&< J
.•
nVlull
y Iu
<." n 9 __ "~o
.....
.... .
\'. .
por lo tanto (J
(b ) Como 1'. ) y " M son perpendic ulares podemos uliliz.ar el tcorcmll de Pilágoras para de tenninar el módulo de v",:
= arcsen
v:. : : v
90 kmlh ~ Mesen 200 km!h = ~
con 10 cual
= .f(200kmlh)'-(90 kmlh )' =1 179 kmlh
Vector aceleración Se define el " celor aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instantánea .6.\ ' y el intervalo de tiempo tk
óv
(3. 15)
Ót
DHINICIÓN - VfCTOR AC ELERACIÓN MEDIA
El vector aceleración instantánea es el límite de esta relación cuando el intervalo de liempo se aproxima a cero; es decir, el vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad res peCIO al tiempo:
a
= lim 6. v= d v "'/ -+ o
6.1
(3. 16)
dI D Ef iNICIÓN -
VECTOR ACELERACIÓ N IN STANTÁNEA
Para calcular la aceleración instantánea expresaremos v en función de sus coordenadas rectangulares:
d.t. dy. dZ = -I+-J +- k dI dI dt Por lo tanto.
a =
dVJ: dI i
dv y • dV' k d 2x . d 2y . d 2Z k + d I J + dt' = dI 1+ dI J + dI
(3. 17)
= a) + a}j +a:k
EJEMPLO 3.5
I
El movimiento de una pelota de béisbol
La poslcl6n de una pelota de bBsbolaolpeadl por el baleldor viene d·d. por la esp. d6n r. 1,5 m I + ( l2 mis I + 16 mlsJ)t-4,9 mlr J Determinar su velodded y ~
r.
Planteamiento del problema Dado que r =..rl + yJ. lenemos que x = I.S m + (12 mis)' y que y = (16 mls)t _ (4.9 mis'!.)? Podemos calcular las componenlcsx e y de la velocidad ydc la acelera ción derivando x e y respeclOa r.
I
I
57
58
I
Cnprtulo 3 Movimiento en d os y tres dlmelUiones
1. Laío co m ponc l1le ~ re y dc lo
~'cl()cidad ~e
obticnen derivundo .\ e y.
v,
¡',
=
t!!.:= tlt
- t!1. ll! =
E-[J.5 m +{ 12m/ío) tl= 12 mis
(J/
= !!..[ ( IÓm/!.) t _(4.9m1¡,2) t 2 1 lit
1 6rnls - (9.8m/~2)t
di' •
2. Derivondo de nuevo ,e obtienen las componente!> de la aceleración:
o
(J.
= tlt
0,
= ---o! :::: - 9.8 mls 2
d,' dI
v _ ( 12 m/s) i + [ 16 mI!. + (9.8 mls2) tlj
3. U¡ililanc!o h! notación \cctorial. 111 vclcx:idad y la aceleración son:
11 - (- 9.8 m/s2) j
Observaclón ~ecc i 6 n 3.4.
Este es un ejemplo del movimiento de proyectiles. tcmu que
es tudiaremo~
en In
Para que un vcctor sea constante. lanto su módulo como su dirección deben pemllllll'cer constantes. Si cualquiera de ellas cambia, el veelor se modifica. Por lo tanto. si un l t 'he loma una curva en la cilrretcra con el módulo de la veloc idad constallle. experimem ma acelernci6n. ya que el vector velocidad se modifica debido al cambio de dirección.
EJEMPLO 3.6
I
Doblando u n a esq uina N
Un coche se muC\'e hacia el este a 60 km/h. Toma una cu rVa}' 5 s mús la r de viaja hacia el norte :160 km/h. Delermina r l:lllceleración media del coche.
Planteamiento del problema Los vcclOres inicial y fina l se. indican en la figura 3. 18. Elegi mos el vector unitario i hacia el este y el vector j hacia el none y calculamos In ncelernción media a partir de su definición. n = ñ v/ñr. Obsérvese que Ll v es el vector que sumado ti VI nos dll v r .
2. El cambio de velocidad viene relacionado con las velocidades inicial y final:
,.,
VI - V I
3. Exprese Ins velocidades inicial y final como veclOres:
Observación
o
6v 6/
1. La Ilcclcración mcdin es el cociente entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo:
4. S U ~ lilU yu lo, resul!ado) unteriores para delerminar la aceleración rncdiQ:
,
V¡
= (60 kmIh)i
Vt
= (60 kmlh)j
nm -
Vf - ' "
ñt
(60kmJh)i -(60 kmlh )j 5s
_
=1-[( 12 kmlh )/s JI + [ ( 12 kmIh) /s lj I
v,
El coche acelera. aunque el módu lo de la velocidad no cambia.
Ejercicio Determinar el módulo y la dirección del veclor Ilccleraci6n media. ( 17.0 kmlh)1~. a 45" hacia el oe~ te del none.)
'1
(Re.f/Jl/t>Jtfl
(1m
=
(b) Figura 3.18
~l t~O\l¡ l1lieIllO de un objelo alrededor de una circunferenciu es un ejemplo corriente de mOVU1l1ClllO en el cuul In velocidad de un objeto cambia. aunque su módulo permanezca constanle. La dirección .d el ve.cto~ aceleración En los ejemplos ~iguientes quercnu,l!l mo!otral' c~mo ~e deIC~m1ha la dl,,:ccl6n del Vcelor acclernci6n ti partir de una descripcn~n del mo\1 mtento. Por cJcmplo. anllltcolllo~ e l mO"imiclllo de uno gimno~11l ..aliando en una plataforma 0
3.3 Posición, velocldltd y accler!ldón
'u· • 'I ~
'0 •
•o •
'> •
• ' 11
'2 ·
• 'l O
"
• I~
o',
.. ".
•
-o',•
" "
ti·
o',
(ti)
o',
t
6\0
•
'"
(/))
Fig ura 3. 19 (ti) Diagrarnu del movimicllIo del trenndo de uno snlt.. dorn cuundo llega al suelo. Los pUnlOS se hun dibujmlo o in:-tnntes de tiempo consc:utivos. (b) Dibujamos [os \'eclores v~ y \ ',1 en el mhmo puntO y dctcnninnrnos 6 \' como el vector que une el extremo de \'2 con el punlO que alcanza \ '4 Je modo que \ '2 + 6 \ ' = " J' La ace[ernción (13 vu en la mbma dirección y sentido que 6v.
• "
Figura 3.20 Los puntOS (lue representan el ascenso de In saltadora se dibujun a la derechll de aquellos que representan su descenso con el objetivo de que no se superpongan . Sin embargo, el mo\'imiento de la saltador:!. está dirigido en la misma dirección aunque con sentido contrario.
elástica cuando alcanza el punto más bajo de un salto y frena y. posterionnente, cambi a el ~e ntido de su veloc idad iniciando un nuevo salto. Para determinar la dirección de la aceleración cuando está frenando. en la figura 3.19a dibujamos una serie de puntos que muestran su posición en sucesivos instan tes de tiempo. Cuanto más rápido se mueve, mayor es la distancia que recorre en in stantes de tiempo suces ivos y, por lo tanto. mayor es la distancia entre los correspondientes pumos de la figura. Numeramos los pu ntos correlati vamcnlc, empezando con el cero. En el instante lO la saltadora está en el pun to O. en el instante It en el punto I y as í sucesivamente. Para dete rminar la dirección de la aceleración en el instante dibujamos los vectores que represe ntnn la velocidad de la saltadora en los instantes 12 y 14' La aceleración media en el intervalo entre 12 y 14 es /:::'v//:::'[ donde 6 v = v4 - v2 Y 6 r = [4 - 12' Usamos estas ex presiones para estimar la aceleración de la sa ltadora en el instante de tiempo ' 3' es decir. a3 "" 6 v/61. Como a3 Y 6 v van e n la misma di rección. determinando la dirección de 6 \' e ncon tramos también la dirección de 33' La di rección de 6v se obtiene usando la relación " 2 + 6" = VJ Y dibujando el correspondiente diagrama de suma de vectores (fi gura 3. 19b). Como la saltadora se mueve más rápido en el instante t2 que en el instante tJ (los puntos están más separados). la longitud de \'2 es superior a la de v4' A partir de la figura obtenemos la dirección de /:::'v y. por lo tanto. la dirección de a3'
'3
Eje rci ci o La figura 3.20 es el diagrama del movimiento de la saltadora ames. duranle y después del instante de tiempo t6' cuando se halla momentánemanete en reposo en el punto más bajo de su descenso. En el trozo mostrado de su ascenso la velocidad de la saltadora aumenla. Utilice este diagramn para determi nar la dirección de la aceleración de In salladora (a) en el instante ' 6 y (b) en el instante 19' (RespueSla (a) hacia arriba. (b) hacia arriba)
EJEMPLO 3.7
I
Un birrete volador
Un estudiante de "sita el dfa de su graduación lanza su birrete al aire con un IÚIplo Inlclal de 60" por encima de ID horizontal. Determinar la dirección de la aceleración del blrrele durante su movimiento ascendenle usando un diagrama del movimiento. Planteamiento del problema A medida que el birrete sube. pierde velocidad y varia ~u posición. Dibujaremos el diagrama del movimiento y para determinar la dirección de Av. es decir. la de lu IlccleraciÓn. haremos un e~q uema de la relación "1+ 6" = " r'
I
59
60
I
Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
1. El diagrama de la figura 3.21a muesU"ll el movimiento ascendente del birrete. Como a medida que asciende se frena, el espacio entre los puno tos disminuye.
2. En un punto de la figura se dibuju el vector velocidad en un instnnte de tiempo inmediatamente unterior y posterior al elegido. Nótese que los vectores se dibujan tangentes n In trayectoria del birrete.
3. La representación gráfi ca de la relación
Vi +
a v = v( se obtiene dibuj ando los dos vectores velocidad en un mismo punto. Estos vectores tienen el mismo módulo y dirección que los vectores dibujados en el paso 2. El \'cctor ÓV se obtiene uniendo sus extremos.
(a)
(b)
.,
4. El vector aceleración tiene la misma dirección que el vector av, pero no necesariamente la misma longitud, ya que a = Óv /61.
(d)
(e)
Figura 3.21 Observación El método de determinar la di rección de la aceleración mediante el d iagrama del movimiento no es preciso. Por consiguiente, el resu ltado solamente es una estimación de la aceleración. no un cálculo exacto. Eje rcicio Usar el diagrama del movimiento para determinar la dirección de la aceleración del birrete del ejemplo 3.7 durante su caída. (Re.rpl/esla directamente hllcia abajo)
3.4
Primer caso particular: movimiento de proyectiles
-
La figurn 3.22 muestra el lanzamiento de una partícula con velocidad inicial Vo y form. ~ o un ángu lo 80 con el eje horizontal. Sea (xo. )'0) el punto de lanzamiento; )' es positiva t- la arriba y x positiva hacia la derecha. Las componentes de la velocidnd inicial son
y
(3 .lS') (xl). Yo) \ '010
x
= Vo sen l%
(3. 18b)
En ausencia de la resistencia del aire, la aceleración es la de la gravedad. dirigida verticalmente hacia abajo:
Figura 3.22
,- O
(3.)9,)
1I -
y
(3. 19b) Como .Ia aceleración es COnstante, podemos utilizar las ecuaciones c inemáticas discutidas en el c.apttulo 2. La componente x de lu velocidnd es conStante, ya que no existe aceleración honzontal :
.
v, = 1',
La componente )' varfa con el tiempo según la ecuación 2.11. con
'\= \'u-.- X'
a = _g: (3.2Obl
3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles
G Obs~n.c...¡c que 1'\
I
61
de.peIHIl' d~ 1', )' ViCl','crsll.l...as CfJlll{J(JII/.! lItWi ¡'ori '!.lJlI/(l1 y ¡'crtic al (Id ,,/Olljltll/HIfO ~/p pro)'I'c llfe.\· .HUI lIu(l!IJtJtuliemes . BSlo puede dernostrurse dejllndo caer unn bol:1 dcSd~ c len.a ahum y proyectando horizonttllmelllc desde la misllIll altura unu segunda ~Ia ni mis mo ~ Ielllpo. Ambas bolas chocan contra e l sucio símuhánemnente. Los despinza. mlCntos x e)' \llene n d ndo~ por ( v én~e ecuació n 2. 16.) Ilf)
(3.2Ia) .l'(¡ )
(3.2 1b) ECUACIONES DEL
MOVIMIENTO DE UN PROYECTlL
La notación x( t ) e y{ t ) destaca simplemente que x e)' son funciones delticmpo. Si se conoce lo componente y de la vel ocidad inicial, lu ecuación 3.2 1b nos perm ite determ inar e l instante r en que In part íc ula se CIlCu cntru u 111 ahu m y. Ln posición horizontal en ese mismo tiempo puede colcularse a punir de In ecuación 3.2 Ia . Ln db:aunc ia total horizontal recorrida por un proyectil es su alcalice. (Las formlls vectoriales de las ecuuc ioncs 3.19 a 3.2 1 se dan en las páginas 63 )' 64 .)
EJEMPLO 3.8
I
Otro birrete en el aire
Un estudiante de risita lanz.a un birrete al aire con una velocidad inicial de 24,S mis, formando un á ngulo de 36,9° con la horizontal. Posteriormente, otro estudiante lo coge. Determinar (a) el tiempo total que el birrete está en el aire y (h ) la distancia lotaJ horizontal recorrida.
Plantea miento del problema Elegimos la posición inicial del birrete como origen, de modo que Xo = )'0 = Q. Suponemos que el otrO estudiante lo coge a la misma altura. El tiempo total que el birrete está en el aire se dctcnnina haciendo y = Oen la ecuación 3.2 Ib. Este resultado puede utilizarse en la ecuación 3.21 a para detenninar la distancia total recorrida. (a) 1. Hacemos y = Oen la ecuación 3.2 1b y despejamos r: 2. Existen dos soluciones para r:
, t
o =
(condiciones iniciales)
21'01
g 3. Calcular la componente vertical del vector velocidad inicial: 4. Sustituir este resultado en vil)< del paso 2 para detenninar el tiempo total 1:
(b) Utilizar este valor del tiempo para calcular la distancia total horizontal recorrida:
g
g
_ 2(24,5m1s)sen36.9° =13.00s l 9.81 mis! x = vo~t _ (1'0 cos 80)1 = (24.5 mis) cos 36.9°(3.00 s) =158.8
mi
y. m
Observación El tiempo que el birrete está en el aire es el mismo que obtuvimos en el ejemplo 2.9. en donde el birrete fue lanzado verticalmente hacia arriba con l 'O = 14.7 mIs. La figura 3.23 mueStra la altura y en función de t para el birrete. Esta curva es idéntica a la rep.resentada e.n la figur:a 2. 11 (ejemplo 2.9) porque ambos birretes están sometidos a la misma aceleroclón y velOCidad venlca l. La figura 3.23 puede re interpretarse como un gráfi co de y en función de x si .su escala de tiempo se conviene en una escala de longitud. Para ello basta multiplicar los valore.~ delllcmpo por 19.6 mis. ya que el birrele se desplaza horizontalmente a (24.5 mis) cos 36,9" = 19.6 mis. La. curva y en fun · ción de x es una parábola. . . La figura 3.24 muestra una serie de gráficos de la.,> distancias veni~ales en fun~I~~ de I~ d~stan. cias horizontales paro proyectiles de velocidad inicial 24.5 mis y vanos ángulos IniCiales dlsllnt~. Los ángulos representados son 45°. que es el de alcance máximo. y pares de ángulos que difieren e
10
. - ..
, I I 19.6
,
39.2
Flgur. 3.23
~8.8
.l.
m
I
62
(3pítu lo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones
mbmo mimcro de gr.\dos por cncima y por debujo de 45°. Obsérvcse quc estos pare~ de ál~gulo tienen el mismo u1com.:e. Lu CUI'V:l :I/ ul tiene un ángulo iniciul de 36.90 (0.64 md), como en e.<;le ejemplo.
lom
]O
25 0 = 53.1 0 _ _ _ 0 = 45°
,O 15
O'" 36.90
10 5
° 0C--7'0~-~'~0--]o~-~40~-~5~0~-60~-~70~~x~.,~n Figura 3. 24
La ecuación gcneral para la trayectoria y(x) puede obtenerse a partir de las ecuaciones 3.21 eliminando la variable t enlre ambas. Escogiendo .\'o = Yo = O se obtiene t = xlvo.:de la ecuación 3.2 Ia. Sustituyendo estc resu ltado en la ecuación 3.21 b se obtiene
Teniendo en cuenta los valores de las componentes de las velocidades, resulta R Alcance P Punto de impacto
(3.
--.. : .;
v = \'ox i
)
TAAYKTORIA Ol UN PROVEe!
, D,
o
\'(}.r
i
R-
_ _ __
x
Figura 3.25 Trayectoria de un proyectil. en donde se indican lo!> vectores velocidud.
para la trayectoria de un proyecti l. Esta ecuación es de la forma y = ax + br. que es la el ,Jción de una parábola que pasa por el origen. La fig ura 3.25 mueSlrU la trayectoria de un proyecti l con el vector veloc idad y sus componentes indicadas e n diversos pu ntos. bota trayectoria se refiere a un proyectil que choca con el suelo en P. La distancia horizontal entre el pu nlo de lanzamiento y el de impaclo es el alcance R. En el caso especial en que las elevaciones inicial )' fi nal sean iguales, puede deducirse una fórmula general para hallar el alcance de un proyectil en función de su velocidad inicial y el ángulo de proyección. Como en los ejemplos anteriores, el alcance se obtiene multiplicando la componente x de la velocidad por el tiempo total que el proyectil está en el aire. El tiempo tolal de vuelo T se obtiene haciendo)' = O en la ecuac ión 3.2Ib:
Dividiendo por T ~e obtiene
Por lo tanto, el tiempo de vue lo del proyecLi I es
T = yel alcance:
2 \'0 - sen 80 g
3.4 Primer ( aso partlculnr: movimiento de proyectlles 1 63
ESUl expresión puede simplificnrsc l·., ,',gu .' e.l. e' ', de n.·d < . . ul ilizando • I !lel tn' gonolll¡;;lflcU:
sen 2B = 2 sen (J cos
Por cOIl!>iguicIlIC.
f)
va R =-scn 2 fJ g
(3.23 )
o
AlCANn DE UN PROVECTlL PARA tLEVAClONES INICIAL y nNAllGUAUS
Ejercicio Uliliznr la ecuación 3.22 de la trHycclori a para deduci r la ec uación 3.2 3. (Respuesw I lacer y(x) = O '1 despejar x.)
Trayectoria de ~ngulo de liro 01 5-
,'._--.,'3seria U3yecl orlG de 45· la de Iláximo
Ln ecuución 3 .2 3 es úti l pam dell:mn inar el alcance de proyectiles con elevaciones in icial
~
'1 final iguales. Es import ante dcsulcar que es ta ecuac ión muestra cómo el alcance depende de 8. Como d valor máx imo de sen 2 (} es 1. cuando 2 (J = 9 0 °, o sea. 8 = 4 5° . el alcance del proycclil es máx imo cuando (} = 4 5 ° . En muchas aplicaciones prácticas las cotas de al!ura
inicial y fi nal pueden no ser igua les y son importalllcs otras consideraciones. Por ejempl o. en el lanzlI miento de peso. In bola termina su recorrido cuando choca contra el suelo, pero ha sido proyectada desde una ahura inicial de unos 2 m sobre el suelo. Esto hace que el alcance sea máx imo para un ángulo algo inferior a 4 5° . como se ind ica en la figura 3 .26. Los estudios realizados de los mejores lanzadores de peso muestran que el alcance máx imo tiene lugar para un :1ngul o ini cial de unos 4 2 ° .
EJEMPLO 3.9
I
La caída de un paquete de aprovisionamiento
SI las cOln Inicial y /lnal fueran \gUilles,
-' .:::.r....... TrayKtona parabólka mb aplanada
Cota inicial
•
COla final
Figura 3. 26 Si un proyectil loca el suelo en una COIIl inferior a la de proyección, el alcance máximo se alcanza bajo un !ingulo de tiro algo menor de 45 Q •
y. m
Un helicóptero deja caer un paquete con suministros a las víctimas d e una inundaciÓn que se hallan en una balsa . C uando el paquete se lanza, el h elicópte ro se encuentra a 100 m por encimo de In halsa, volando a 25 mis y formando un ángulo d e 36,9° sobre la horizontal. (a) ¿Durante cuá nto tiempo estará el paquete en el aire? (b) ¿Dónde caerá el paquete? (e) SI el helic6ptero vuela a velocidad constante. ¿cuál será su posición en el instante en que el paquete llega al su elo'!
o
• x, m
Planteamiento del problema
La distancia horizontal recorrida por el paquete viene dada por la ecuación 3.2 10. en donde I es el tiempo que el paquete se encuentra en el aire. El valor de 1 puede determi narse a partir de la ecuación 3.21 b. Escoger el origen directamente por debajo del helicóp!ero cuando el paquete se lanza. La velocidad inici .. ] del paquete es la velocidad inicial del helicóptero. (a) 1. L.1 trayectoria del paquete dumnte el tiempo que CStú en el aire se
muestra en la figu ra 3.27. 2. Para determi nar el !iempo que cl paque!e est!i en el aire e.<¡cribi· mos y(t).
3. Hacit:ndo Yo = O. podemos aplicar 111 f6rmula para la resolución de la ecuación de segundo grado pllra t:
y(t) = Yo + 1'0,.1 -
o
FIgura 3.27
o = ~g r2 -
I'o.r + y( r)
despejando r
r= 4. Calculamos t cuando y(t) = - 100 m. Para ello se calcula \ '0. y dado que el paquete se suelta cuando r = O, el tiempo que transcurre hasta el impacto no puede ser negativo. Por lo tanto:
~8 r2
\'0.
\'0.
± Jr ,,¡',-_""'2"' , .::;,~c/); , 8
= Vo sen 6 0 = (25 mis) sen 36.9" = IS mis
y sustituyendo 1
IS mld J (lS mi.), - 2(9,81 mI.')(- IOO m ) = 9.81 mls1
hay dos soluciones , . - 3,24 5 o 1=6.305
/./6.30 ,1
64
I
Cl'Ipftulo 3 Movimiento en dos y tres dime nsiones
(b) Cuando el puquete choca con el agua. se ha mayido una distancia horizontal.r. donde.r es la velocidad horizontal por el tiempo de caída del paquete. Primero calculamos la velocidad horizontal; (e) Las coordenodos de la posición del helicóptero en el momento del impacto del paquete con el agua son:
Vo cos 90
\'01 ::::
::::
(25 mis) cos 36.9" = 20 mJs
por lo tanto
vfl~'::: (20 mls)( 6.30 s) =~
.\' :::
.rh
::
"o.. t = (20 mls)(6,30 s) =1126 m 1
)'h
=
)'hO
+ l/hO' = 0+ ( 15 mls)(6,30 s) =194,5 mi
El helicóptero está 194.5 m directamente por encima del paquete.
Observación El tiempo posit ivo es el npropiado. ya que corresponde a un tiempo posterior al lan· zamiento del paquete (el cuul tiene lugar pura t = O). La solución negntiva del tiempo corresponde 01 instante en que el paquete se encontrnrfa a)' :::: O si su movimiento hubiera comenzado con anteriori· dad. como indicn la figura 3.28. Obsérvese que el helicóptero se encuentra por encimo del paquete cuando éste choca contra el agua (yen cualquier momento anterior). La figura 3.29 muestro un grá· fico de)' en función de .r para unu serie de paquetes lanzados con diYersos ángulos iniciales y con una velocidad inicial de 25 mIs. La curva de ángulo inicial 36.9° es la de este ejemplo. Obsérvese que el má:
90 ::: 70 80 .,53.1