119
2.3 Teorema de Pitágoras
Si los vectores a y b son ortogonales.
A. Concepto. Es un segmento orientado, sirve para representar a las magnitudes vectoriales. Como por ejemplo: Fuerza, velocidad, aceleración, aceleración, etc.
R 2
Todo vector posee fundamentalmente las siguientes partes.
a2
b2
α
+Y Módulo o
2.4 Ley de Cosenos
Línea de
Si los vectores a y b forman ángulo agudo u obtuso.
•
-X
θ
α
α
Dirección del vector A, respecto a
⟹
“+X”.
+X Punto de 2
2
2
R =a + b + 2abcosα
aplicación
-Y
La dirección de un vector se mide en sentido antihorario a partir de la referencia referencia escogida hasta el vector. vector.
2.5 Descomposición Descomposic ión Rectangular . Se utiliza por lo general para calcular la resultante de más de dos vectores ubicados en un plano o en el espacio. Si…
A un vector se nota por letras del alfabeto español sea mayúscula o minúscula.
+Y
A Se lee vector A. Al módulo o valor del vector A se simboliza así:
Dado los vectores
α
θ
-X
+X
A = | A |
+Y
B. Operaciones con vectores se descompone descompone
1º Para determinar el Vector Resultante ( R ).
Los vectores se ubican uno a continuación de otro vector sin variar su módulo y dirección
El vector resultante, es aquel vector que “cierra” o une el
θ
Para conocer la Dirección () de la resultante resultante se utiliza la fórmula:
punto inicial del primer vector con el punto final del último vector. (así se forma un polígono). Si los vectores dados forman un polígono cerrado entonces el Vector Resultante es nulo. Polígono abierto
α
Polígono cerrado
C. Vector Unitario ( u ), Es aquel vector de módulo la unidad. Este vector sirve para indicar la dirección de otro vector. ˆ
En el plano o espacio a los componentes de un vector cualesquiera cualesquie ra en términos de u , se representa utilizando las ˆ
i , j , k .
2° Para determinar el módulo del Vector Resultante (R ). Casos:
letras
2.1 Resultante Máxima. Sucede cuando los vectores son coliniales y con l a misma dirección.
En eje X; le corresponde i . En eje Y: le corresponde j .
R Máx
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
En eje Z: le corresponde k
0 a b
ˆ
+Y
Así:
2.2 Resultante Mínima. Sucede cuando los vectores son coliniales y con la dirección opuesta. opuesta.
Rmín
A (i ; j )
180 a b
ˆ
ˆ
-X
+X
A i j
ˆ
ˆ
-Y
120
Para determinar el vector unitario se utiliza la siguiente ecuación
3.
Si G es el baricentro del triángulo PQR y M es punto
medio de PR. Expresar el vector x en función de los
u
ˆ
vectores A y B
A A
Q
D. Noción de un vector en el espacio. Un vector ubicado en el espacio, tiene tres componentes rectangulares. Ejes X, Y Z. Para determinar la resultante de varios vectores ubicados en el espacio se procede de varias maneras, siendo uno de ellos y el más práctico por ejemplo, el método de Descomposición rectangular.
G
Si se tiene al vector A ubicado en el espacio XYZ
R
P
Z
M
Y
a)
A B
A B
6
b)
3
2 A B
c)
3
X
para representar en función fu nción de sus componentes, se puede proceder así:
d)
3 A B
A B
e)
2
6
Z
z
4.
La resultante de dos vectores de módulo constante, varía al hacer girar uno de ellos. El mínimo módulo de la resultante es 2u y el máximo 14u. Determinar el módulo de la resultante, cuando los vectores forman un ángulo recto a) 10u b) 15u c) 8u d)6 e) 20u
5.
En el sistema mostrado. Halle el módulo del vector suma o resultante
Y x
X
y
A = A x + A y + A z A = ( A x; A y; A z
En términos de vector unitario:
a) 4 3
A = A xi + A y j j + A zk El módulo de A se conoce utilizando utilizando Teorema de Pitágoras
c) 6 3 d) 7 e) 8
6.
1.
1u
c)
2A 3A 4A
d) e)
u
B
105º 15º
D
1u
a) 1 u
E 7.
Determinar el vector resultante del sistema de vectores mostrados en la figura. (En función del vector A ). a) 5 A A
168º
C
A
b)
72º
Se muestran tres vectores coplanares y concurrentes. Determine el módulo del vector resultante:
Halle la resultante en el siguiente sistema mostrado: a) 2E b) E c) – E E d) 0 e) 3E
2.
B=5
b) 5 3
A2
A=5
c)
3
u
d)
5
u
e) 5u
Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados: a) 10u 25u
b) 5u c) 15u d) 20 u e) 25u
121
b) 2 u
2u
143° 127°
10u
13. Dado el conjunto de vectores, determine su módulo y su 8.
dirección.
Determine el módulo de la suma de los vectores mostrados.
y 4
10
9.
80
a) b) c)
32 50 48
d)
16
2
e)
20
2
100u
60º 37º
47°
27° 10
8
92
6
Determine el módulo de la resultante en el sistema de vectores mostrados: a) 2u b) 2
a) 4; 30º d) 2; 60º
u
2
b) 4; 60º e) e ) 2 3 ; 60º
c) 2
3
;30
14. Determine el módulo de los vectores mostrados en la
figura. (MN = NP)
c) 4 u d)
x
M
4 2
u
N
e) 8u 37º
4m
10. Encuentre el vector resultante en el siguiente sistema.
a) 3 d) 6
a) 4i j
P
b) 4 e) 10
c) 5
ˆ
15. En la figura, el vector x en función de A y B , es:
b) 2i 2 j
ˆ
c) 4i
( A 2 B )
B)
A B 2
1
4i 4 j
ˆ
(
ˆ
)
3
C)
( 3 A2 B )
D)
( A5 B )
E)
( 3 A 52 B )
11. Hallar la resultante del sistema de vectores ubicadas en
2
e) 4i 2 j
A)
d)
el paralelepípedo mostrados Z
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 3
Cuando un móvil se mueve sobre una línea recta o curvilínea. 4
1. Algunos conceptos:
Y
2
curva a lo largo del cual cual el Trayectoria. Es la línea recta o curva móvil se mueve.
X
a) 4 j 3k ˆ
ˆ
b)
4 j 3k
Recorrido (e). Viene a ser la medida de la trayectoria. Puede ser recta o curvo.
c) 3 j
ˆ
ˆ
ˆ
d)
e) 2i
3k ˆ
ˆ
Desplazamiento ( X ).
Es un vector que orienta entre dos puntos del movimiento del móvil. Es aquel vector que une el punto de inicio del movimiento del móvil con el punto final.
3k ˆ
12. La magnitud de la resultante de los vectores mostrados
en el cubo de la figura, es: z A) 3 L
Distancia (x). Es el valor valor o módulo del desplazamiento. desplazamiento. Es Es
recto.
B) 2 2 L
D) 3 2 L
2. Velocidad. Es una magnitud vectorial. Indica el desplazamiento del móvil utilizando un determinado tiempo (t)
y
C) 2 3 L
L L x
V
L
E) 3 3 L
122
x t
La unidad unidad según el SI es el m/s. También existen otras unidades como son cm/s, km/h, km/s, etc
Es aquél movimiento que tiene un móvil en una trayectoria recta donde su velocidad y su rapidez es variada.
3. Rapidez. Es una magnitud escalar. La rapidez es el valor o módulo de la velocidad. Las unidades unidades son las mismas que de la velocidad.
1. Características del MRU 1º
La mayor rapidez conocida hasta hoy es de la Luz que en el vacío es aproximadamente a 300 000 km/s = 3.108 m/s.
Cuando la velocidad varía. Puede aumentar o disminuir en forma progresiva su velocidad.
2º Cuando posee aceleración o aceleración media constante 3º La distancia es directamente proporcional al tiempo al cuadrado utilizado.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (MRU)
4º Cuando el móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.
Es Movimiento Rectilíneo Uniforme, cuando un móvil se desplaza a lo largo de una una trayectoria recta con una velocidad y rapidez constante.
2. Aceleración Aceleraci ón o Aceleración Aceleració n media (a) . Es una magnitud vectorial. Viene a ser el aumento o disminución de la velocidad velocida d en forma progresiva en una unidad de tiempo.
Algunas de las características del movimiento rectilíneo uniforme
Escalarmente:
a
v f v i t
El móvil se mueve con una velocidad constante en 1º. valor y dirección. La unidad de la aceleración según el SI viene a ser m/s2, también tiene otras unidades como km/h 2, cm/s2, etc.
La aceleración no existe en todo caso se considera 2º. nulo.
3º. El iguales.
Las fórmulas más usadas en el MRUV vienen a ser:
móvil recorre distancias iguales en tiempos
La velocidad es directamente proporcional a la 4º. distancia recorrida. O sea si el móvil tiene mayor rapidez, rapidez, recorrerá distancia. distancia.
1)
a
V f V i
2)
X
(V f V i )t 2
t
mayor
3) vf = vi ± a t
4) x = vit ± ½ a t2
5) vf2 = vi2 ± 2ax
6) xn = vi ± ½ a (2n-1)
4. Velocidad Media (Vm). Es una magnitud vectorial. La velocidad media de un móvil viene a ser la relación del desplazamiento resultante ( x ) del móvil y el tiempo total empleado. Su fórmula está dada por:
En las fórmulas utilizarás signo negativo, si la rapidez del móvil desacelera o disminuye y signo positivo si el móvil acelera o aumenta su rapidez.
V m =
X t
5. Tiempo de encuentro (te). Se refiere a aquél tiempo, cuando dos móviles al estar separados cierta distancia utilizan en encontrarse o emplean en cruzarse. (Sus movimientos tienen direcciones opuestas) x v
es la separación separación entre los móviles rapideces de los móviles
t e
Todo cuerpo con movimiento vertical sobre la Tierra lo hace con un movimiento variado por tanto tiene una aceleración,
x va
llamado “aceleración de la gravedad gravedad “g” cuyo valor no es
vb
constante
1. Características Característ icas básicas de la caída libre de los cuerpos
6. Tiempo de alcance alcance (ta).- Se refiere a aquel tiempo, cuando dos móviles al estar separados cierta distancia se mueven en la misma dirección.
Para alturas consideradas pequeñas, el valor de la gravedad se considera constante, por esa razón si un cuerpo tiene un movimiento vertical, cumple que:
donde va > vb necesariamente.
x es la separación entre los móviles v rapideces de los móviles
t e
x va
1º En la cúspide de su trayectoria, la velocidad instantánea es igual a nulo.
vb
2°. El tiempo que demora en ascender es el mismo al tiempo que demora en descender. cuando sube y baja es la misma, 3° La rapidez del móvil cuando para un mismo nivel.
123
4° El movimiento del cuerpo mientras sube pertenece al Movimiento Rectilíneo uniformemente uniformemente Desacelerado. Desacelerado.
la parábola es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado y si es cóncava hacia hacia abajo el movimiento es desacelerado.
5° El movimiento del cuerpo mientras baja pertenece al Movimiento Rectilíneo uniformemente acelerado.
Movimiento rectilíneo uniformemente retardado o desacelerado.
6° Cuando un cuerpo se suelta o se deja caer; entonces su vi = 0.
x(m)
7° En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa y peso.
B
50
Se dice vacío, cuando cuando se desprecia o no existe partículas o moléculas en el aire que ofrecen resistencia al cuerpo durante su movimiento.
•
t(s)
A
8° Se considera que cuerpos del mismo volumen inclusive en aire caen iguales porque reciben la misma resistencia por parte del aire.
10
Ejemplo, según la gráfica el móvil desacelera los últimos 10s y durante ese lapso de tiempo recorre 50 m
3. Gráfica aceleración - tiempo
2. Fórmulas Como de lo estudiado hasta el momento se nota que la caída libre pertenece al MRUV, entonces las fórmulas son las mismas de este tipo de movimiento. Sólo se hacen los
Como la aceleración es constante en MRUV, entonces se considera que la gráfica a - t, es una línea horizontal.
cambios de “x” por “h” y “a” por “g” Así: Así:
1) vf = vi ± g t
2
a(m/s )
2) vf2 = vi2 ± 2gh
3) h = vit ± ½ g t2
+a
4) hn = vi ± ½ g (2n-1)
a=0
v f v i t 2
t(s)
-a
5) h
1. Halle la velocidad media y la rapidez media (en m/s) en la figura mostrada.
1. Gráfica velocidad – tiempo tiempo La gráfica v - t, se caracteriza por estar representado por una línea recta paralelo al eje tiempo tiempo para MRU y una línea oblicuo para MRUV. MRUV.
1.1 Para determinar la distancia recorrida por el móvil, se halla calculando el ÁREA bajo la gráfica. 1.2 Para determinar la aceleración del móvil se halla calculando la TANGENTE del triángulo formado. v (m/s)
A=x
x (m)
E) -4i y 4
3.
Dos autos disponen de MRU, con velocidades opuestas de magnitudes 8 m/s y 6 m/s, Si para un cierto instante estos están separados en 500 m, ¿en cuánto tiempo más estarán separados en 200 m por segunda vez? a) 30 s b) 50 s c) 40 s d) 60 s e) 100 s
4.
Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿Qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?
La gráfica x-t, se caracteriza por estar representado por una línea recta oblicuo. Para determinar la rapidez del móvil, se halla calculando la TANGENTE del triángulo formado.
D) -4i y -4
C) 2i y 2
Un motociclista se mueve a 15 m/s y después de 2 s logra pasar completamente a un camión que se mueve en el mismo sentido a 10 m/s. ¿Cuál es la longitud del camión? a) 5m b) 30m c) 20m d) 10m e) 50m
t(s)
2. Gráfica distancia – tiempo tiempo en MRU.
B) 4i y 4
2.
área α
A) 2i y 4
v = tg α α
Pare
t(s)
Mur 20
2.1. Gráfica distancia – tiempo en MRUV a) 2 cm/s
La gráfica x - t, llamado también gráfica posición - tiempo tiempo se caracteriza, por estar representado por una parábola. Si
12
b) 3 cm/s
50
c) 4 cm/s
