Fisica Moderna y Aplicaciones Clementi L a

FISÍCA MODERNA Y APLICACIONES

Universidad Tecnológica Nacional – República Argentina Rector: Ing. Héctor C. Brotto Vicerrector: Ing. Carlos E. Fantini

edUTecNe – Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional Coordinador General: Ing. Ulises J. P. Cejas Director de Ediciones: Ing. Eduardo Cosso Coordinador del Comité Editorial: Ing. Juan Carlos Barberis Área Comercialización: Ing. Héctor H. Dabbadie Areas Pre-prensa y Producción: Tec. Bernardo H. Banega, Ing. Carlos Busqued

Prohibida la reproducción total o parcial de este material sin el permiso expreso de edUTecNe

FISÍCA MODERNA Y APLICACIONES

Luis Alberto Clementi

edUTecNe Buenos Aires, 2012

Física Moderna y Aplicaciones Luis Alberto Clementi

Diseño de tapa: Carlos Busqued Diseño interior: Bernardo H. Banega

Impreso en Argentina – Printed in Argentina ISBN XXX-XXX-XXXXX-X-X Queda hecho el depósito que marca la ley 11.723 © edUTecNe, 2012 Sarmiento 440, Piso 6 (C 1041AAJ) Buenos Aires, República Argentina

A mi esposa Victoria, y a mis padres Alicia y Luis

CONTENIDO PREFACIO CAPÍTULO 1.

INTRODUCCIÓN A LA FISÍCA CUÁNTICA

CAPÍTULO 2.

NÚCLEO ATÓMICO Y DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

CAPÍTULO 3.

INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA

CAPÍTULO 4.

APLICACIONES DE LA FISÍCA NUCLEAR

APÉNDICE A.

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CORRIMIENTO DE COMPTON

APÉNDICE B.

LINEAMIENTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN COORDENADAS ESFÉRICAS

ÍNDICE BIBLIOGRAFÍA

PREFACIO En este libro se presentan y describen algunas de las principales temáticas incluidas en el campo de la física moderna. Se encuentra dedicado a estudiantes de ingeniería con conocimientos previos de cinematica, electricidad y magnetismo. El objetivo principal de esta obra es el de servir de guía de estudios en el abordaje de las temáticas incluidas en los cursos de física moderna de carreras de ingeniería. En el Capítulo 1 se cubren algunos conceptos de la física cuántica y la física atómica. Se presentan en primer lugar los principales fenómenos físicos que derivaron en la teoría cuántica. Se analiza en particular el fenómeno de emisión de radiación por un cuerpo negro y algunas de las diferentes teorías propuestas para intentar explicarlo. Se describen los experimentos en gases enrarecidos, los que permitieron caracterizar al electrón y a partir de los cuales se determinó la cuantización de la carga eléctrica. Posteriormente, se presentan el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton, fenómenos cuyas teorías derivaron en los conceptos de cuantización de la luz. Finalmente, se describe el fenómeno de emisión de espectro discreto en gases y los modelos atómicos propuestos para intentar explicarlos en forma teórica. Se culmina el capítulo con un ejemplo de aplicación práctica: el láser. El contenido del Capítulo 2 se enmarca en el campo de la física nuclear. En la primera mitad del capítulo se aborda en detalle al núcleo atómico. Se describen las fuerzas nucleares, la energía de amarre por nucleón y se brindan las directivas principales para determinar la estabilidad de los núcleos atómicos. Adicionalmente, se describen brevemente algunos modelos nucleares propuestos para explicar en forma teórica las energías de amarre nuclear. Posteriormente, se presentan los diversos mecanismos de decaimiento de los núcleos inestables: decaimientos alfa, beta, gamma, captura electrónica, transición isomérica y conversión interna. La segunda mitad del capítulo se dedica a la descripción de las leyes matemáticas que rigen el decaimiento o la desintegración de los núcleos radioactivos. Se presenta también una aplicación práctica de gran interés: el fechado por Carbono-14. En la primera mitad del Capítulo 3 se describen en detalle los mecanismos de interacción de los diferentes tipos de radiaciones ionizantes con la materia. Se analiza principalmente el alcance o penetración en el medio de los diferentes tipos de radiaciones (alfa, beta, gamma y neutrones). Se definen también, los coeficientes de atenuación para partículas beta y fotones gamma o X, y la sección eficaz que caracteriza a la interacción de los neutrones con la materia. En la segunda mitad del capítulo se aborda la metrología de las radiaciones. Se describen los detectores de radiación gaseosos, semiconductores y centelladores. Finalmente, se estudia en detalle la espectrometría de radiación gamma mediante detector de centelleo. El Capítulo 4 cubre enteramente algunas de las diversas aplicaciones de la física nuclear. En particular se aborda en detalle la generación nucleoeléctrica de energía, principalmente a partir de la fisión controlada del Uranio. Se describen los diferentes elementos constitutivos de una central nuclear y se analizan las configuraciones de los principales tipos de reactores nucleares. Además, se presenta una descripción breve de las diversas plantas

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nucleares para generación nucleoeléctrica de la República Argentina. Posteriormente se presentan algunas de las aplicaciones de la física nuclear en el campo de la medicina. Se describen los principios físicos de funcionamiento de los equipos de radiografía, tomografía computada, tomografía por emisión de positrones y por emisión de fotón único. Finalmente, se presentan los fundamentos físicos de la resonancia magnética nuclear y se describe el mecanismo de generación de imágenes en los equipos resonadores magnéticos. Finalmente, el apéndice A presenta el desarrollo matemático completo a partir del cual se obtiene la ecuación de corrimiento de Compton y el apéndice B describe los lineamientos generales para la resolución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas aplicada a átomos de un solo electrón. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a los revisores de este libro, la Mgter. Maria Virginia Walz, el Dr. Jorge Ruben Vega, el Sr. Ruben Ignacio Plotnic y el Sr. Julian Aldecoba, quienes desinteresadamente invirtieron su tiempo en la lectura de esta obra y compartieron sus comentarios, críticas y sugerencias. Además, deseo agradecer al Prof. Rafael Pérez del Viso, cuyos escritos fueron de gran ayuda para el desarrollo de algunos de los parrafos de este libro.

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA 1.1. INTRODUCCIÓN En el siglo XIX la gran mayoría de la comunidad científica pensaba que las leyes físicas que gobernaban los principales fenómenos de interés ya estaban completamente desarrolladas. Por ejemplo, las leyes de movimiento y de gravitación de Newton, la teoría de Maxwell de unificación de la electricidad y el magnetismo, las leyes termodinámicas, los conocimientos de óptica y de cinética, eran suficientes en ese entonces para explicar la mayoría de los fenómenos físicos de interés. Sin embargo, hacia finales del siglo XIX y principios del XX, una gran variedad de nuevos fenómenos físicos fueron observados durante la realización de experimentos, los cuales no pudieron explicarse a partir de conceptos newtonianos, maxwellianos o de la epoca. Es así que fueron apareciendo nuevas significaciones y conceptos, los cuales inspiraron nuevas teorías principalmente en los campos de la física atómica y nuclear. En particular, en 1900, Max Planck en un intento por explicar el fenómeno de la radiación térmica de un cuerpo negro establece una de las ideas básicas que llevaron al desarrollo de la teoría cuántica. Los posteriores aportes de Einstein, Compton, Bohr, Schrödinger, y otros, jugaron un papel crucial en el desarrollo de la teoría cuántica y de los modelos atómicos. En este Capítulo, se presentan y describen algunos de los principales fenómenos físicos que derivaron en el desarrollo de la teoría cuántica y los modelos atómicos. En primer lugar se analizan los fenómenos de radiación térmica de un cuerpo negro, la conducción en gases enrarecidos, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Posteriormente, se estudia el fenómeno de emisión en gases y los correspondientes modelos atómicos propuestos para explicar este fenomeno. Finalmente, se cierra el Capítulo con una aplicación práctica: el láser. 1.2. RADIACIÓN TÉRMICA Es bien conocido el fenómeno por el cual todos los cuerpos a temperaturas por encima del cero absoluto (T = 0 [K] = -273.15 [ºC]) emiten radiación electromagnética. Las características de dicha radiación se encuentran en íntima relación con la temperatura del cuerpo, y las propiedades y características de su superficie. Si la temperatura del cuerpo es lo suficientemente alta éste se vuelve incandescente, es decir, la radiación emitida se produce principalmente en el espectro visible (longitud de onda, λ , comprendida entre 400 [nm] y 700 [nm]) como el conocido caso del filamento incandescente de Tungsteno en un foco encendido. A temperaturas bajas, los cuerpos continúan irradiando pero a una potencia menor y en longitudes de onda pertenecientes al espectro infrarrojo ( λ > 700 [nm]) y por lo tanto, dicha radiación no es detectada por el ojo humano.

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FÍSICA MODERNA Y APLICACIONES

La potencia irradiada por un objeto y su composición espectral (rango de longitudes de onda emitidas) dependerá principalmente de las propiedades y el estado de la superficie del objeto, y fundamentalmente de la temperatura del mismo. El estudio del proceso de emisión térmica de un objeto puede ser muy complicado, debido a que a la energía térmica emitida se suma la radiación emitida por los objetos circundantes y la reflejada por el objeto en estudio. Por esta razón, para simplificar el estudio de las leyes de radiación térmica, puede considerarse un cuerpo ideal, el cual absorbe toda la radiación incidente sin reflejar nada. Este cuerpo ideal se denomina cuerpo negro por el aspecto negro opaco que presenta al ser iluminado con luz visible. De esta manera, al considerar la radiación que sale desde la superficie de un cuerpo negro no existe el problema de distinguir entre la radiación emitida o reflejada. Una buena aproximación a un cuerpo negro puede obtenerse en forma práctica cubriendo la superficie de un objeto con negro de humo (carbón pulverizado). Alternativamente, otra manera de realizar en forma práctica un cuerpo negro es mediante el llamado radiador de cavidad. La Figura 1.1 muestra un esquema de un radiador de cavidad, el cual consta de una cavidad emplazada en el interior de un bloque de cualquier material que se mantiene a temperatura uniforme T. Un orificio o ventana de pequeño tamaño comparada con las dimensiones de la cavidad permite intercambiar energía con el exterior en la forma de ondas electromagnéticas. Toda la radiación electromagnética proveniente desde el exterior que ingrese a la cavidad a través del orificio sufrirá múltiples reflexiones dentro de la cavidad hasta ser totalmente absorbida, dado que la probabilidad que la radiación incidente pueda retornar al exterior resulta extremadamente baja debido al pequeño tamaño del orificio. El orificio se comporta entonces como un absorbente ideal y a su vez, como un emisor perfecto, pues mirando la cavidad desde afuera, el orificio se verá como un punto brillante. Bajo las condiciones detalladas anteriormente, la radiación emitida desde el interior de la cavidad a través del orificio tendrá la potencia y la composición espectral del cuerpo negro ideal. Por lo tanto el orifico se comportara como un cuerpo negro independientemente de la forma de la cavidad.

Figura 1.1: radiador de cavidad Para estudiar el fenómeno de radiación térmica, deben definirse algunas de las magnitudes utilizadas en la descripción de este fenómeno. A tal fin, se define la radiancia espectral, R ( λ ) , de la superficie de un objeto a la energía

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emitida por unidad de tiempo y de área en todo el semiespacio delante del plano emisor y por unidad de ancho espectral. De esta forma, la potencia, P, emitida por unidad de área dentro del intervalo de longitudes de onda comprendido entre λ0 y λ 0 + dλ viene dada por: P = R ( λ 0 ) dλ

(1.1)

Las unidades de la radiancia espectral, en el sistema internacional, son [J / s m2 m] = [W / m3]. La radiancia espectral de un cuerpo (y por lo tanto la potencia irradiada por éste) depende directamente de la composición del cuerpo, de λ y de T. Por otro lado, para un cuerpo negro o un radiador de cavidad la radiancia espectral es solo función de λ y T. Para diferenciar ambos casos se designará a partir de ahora a la radiancia como R λ y a la radiancia del cuerpo negro como R λ ,T . Existe una relación de importancia entre R λ y R λ ,T , la cual se deriva de consideraciones netamente termodinámicas. Para determinar tal relación considérese el esquema de la Figura 1.2. Se observa un cuerpo negro (A) y un cuerpo no-negro (B) situados en el vacío, en el interior de una cavidad de paredes perfectamente reflectoras para las ondas electromagnéticas. Ambos cuerpos se encuentran a la misma temperatura T (mayor al cero absoluto) sin contacto entre ellos. Bajo esta ultima hipótesis, el interior de la cavidad se halla atravesado continuamente, en todas direcciones, por las radiaciones electromagnéticas de origen puramente térmico producidas por los cuerpos A y B. Debido a que ambos cuerpos se hallan a la misma temperatura, la cavidad se encuentra en equilibrio termodinámico y debe cumplirse que: a) La densidad de energía electromagnética (energía electromagnética por unidad de volumen) en el espacio atravesado por las ondas es la misma en todos los puntos dentro de la cavidad. b) La composición espectral de la radiación electromagnética es la misma en todos los puntos dentro de la cavidad. c) El campo de radiación es isotrópico, es decir, la intensidad de las ondas para cada frecuencia es la misma en cualquier dirección. Teniendo en cuenta a), b), y c), si se considera una superficie de prueba hipotética, de área ds, ubicada en cualquier lugar dentro de la cavidad, la energía que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo en un sentido debe ser igual a la energía que atraviesa la superficie en el sentido contrario. Más aun, si se mueve la superficie a otro punto de la cavidad, la energía que atraviesa la superficie será la misma. Si la superficie de prueba se ubica sobre la superficie del cuerpo no-negro B la energía total por unidad de ancho espectral y por unidad de tiempo, ET,B, que atraviesa la superficie en el sentido saliente del cuerpo B será igual a: E T,B = ds R λ + E r

(1.2a)

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donde E r es la energía reflejada por el cuerpo B. Si se repite el análisis ubicando la superficie de prueba sobre la superficie del cuerpo negro A, se obtiene: E T,A = ds R λ ,T + E r = ds R λ ,T

(1.2b)

donde se ha considerado E r = 0 para el cuerpo negro debido a que la energía reflejada es nula para el mismo. Comparando las Ecs. (1.2a) y (1.2b), y considerando que E T,A = E T,B debido al equilibrio termodinámico, se concluye que: R λ ,T > R λ

(1.2c)

Es decir, independientemente de su forma o composición, el cuerpo no-negro emite menos energía por unidad de tiempo y por unidad de área que un cuerpo negro a la misma temperatura. En conclusión, de todos los cuerpos con igual temperatura, el cuerpo negro es el que irradia con mayor potencia.

Figura 1.2: cuerpo negro y no-negro en una cavidad de paredes perfectamente reflectoras

Se define la emisividad espectral, e λ , como: eλ =

Rλ R λ ,T

≤1

(1.3)

Es sencillo ver que para un objeto cualquiera, e λ también resulta dependiente de la composición del cuerpo, de λ y de T; y e λ = 1 para el cuerpo negro o la cavidad radiante. Integrando la radiancia espectral sobre la totalidad del espectro, es decir, desde λ = 0 hasta λ = ∞ , se obtiene la radiancia integral R o simplemente radiancia. ∞

R = ∫ R λ dλ 0

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(1.4)


R representa la potencia total emitida por unidad de área por un objeto a la temperatura T, y tiene unidades de [W /m2]. Para el cuerpo negro o la cavidad radiante, la radiancia integral RT sólo es función de la temperatura T. A partir de la Ec. (1.3) puede definirse la emisividad integral, e , o simplemente emisividad, mediante: ∞

e=

R RT

=

∫0 R λ dλ ∞

∫0

≤1

(1.5)

R λ ,T dλ

A partir de la Ec. (1.5) es sencillo razonar que la radiancia integral del cuerpo negro resulta mayor que la radiancia de cualquier otro cuerpo. Lummer y Pringsheim, en 1899, fueron los primeros en realizar mediciones de la radiancia espectral del cuerpo negro. Sus mediciones se presentan cualitativamente en la Figura 1.3 para diferentes temperaturas y en unidades arbitrarias. Puede verse fácilmente que a medida que la temperatura aumenta, la potencia emitida (área bajo la curva RT equivalente a la radiancia integral) también aumenta. Además, a mayor temperatura el pico de la radiancia espectral se mueve a longitudes de onda menores. Este hecho explica por qué los cuerpos a mayor temperatura emiten principalmente en la zona del espectro visible, mientras que a menores temperaturas la radiación se encuentra en el infrarrojo.

Figura 1.3: radiancia espectral de cuerpo negro

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1.2.1. Ley de Stefan-Boltzmann

Años antes que Lummer y Pringsheim realizaran sus mediciones, Josef Stefan, en 1879, obtuvo una expresión empírica para la radiancia integral, dada por: R = σ eT 4

(1.6a)

donde e es la emisividad y σ es una constante conocida como la constante de Stefan-Boltzmann cuyo valor es σ = 5.670×10-8 [W / m2 K4]. La Ec. (1.6a) puede reescribirse para el cuerpo negro, recordando que e = 1, como sigue: RT = σ T 4

(1.6b)

Pocos años después del establecimiento de las Ecs. (1.6a) y (1.6b), Ludwid Boltzmann demostró mediante razonamientos termodinámicos que RT debía ser proporcional a T4 y por ello la ley se conoce como ley de StefanBoltzmann. 1.2.2. Ley de Wien

Al igual que Boltzmann, mediante consideraciones termodinámicas, en 1893 Wien demostró que la radiancia espectral del cuerpo negro, R λ ,T , debía ser de la forma: R λ ,T =

f (λT )

(1.7)

λ5

donde f ( λ T ) es una función del producto λ T . La ley de Wien para la radiancia espectral del cuerpo negro estaba de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann para la radiancia integral del cuerpo negro. Para ver esto, se integra la Ec. (1.7) sobre todo el espectro (desde λ = 0 hasta ∞ ): ∞

∞

0

0

R T = ∫ R λ ,T dλ = ∫

f (λT ) λ5

dλ

(1.8)

Teniendo en cuenta que para T = cte se tiene d ( λ T ) = T dλ , puede reescribirse la Ec. (1.8) mediante: RT = ∫

∞

0

Notando que

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∞

f (λT ) 1

⎛ T ⎜⎜ λ ⎝ T

5

⎞ T ⎟⎟ ⎠

∫0 f ( λ T ) /( λ T )

5

∞

f (λT )

0

( λ T )5

d(λT ) =T 4 ∫

d(λT )

(1.9)

d ( λ T ) = cte , resulta la ley de Stefan-Boltzmann.


Adicionalmente, la ley de Wien logró explicar un hecho conocido experimentalmente, el cual puede observarse en la Figura 1.3, a saber: al aumentar la temperatura del cuerpo el pico de emisión se corre a longitudes de onda mas bajas. Para obtener el valor de λ donde la emisión es máxima, λ m , a una temperatura T dada, se procede aplicando cálculo diferencial. La longitud de onda correpondiente al máximo de la radiancia R λ ,T se obtiene derivando la Ec. (1.7) e igualando a cero. Es decir: dR λ ,T dλ

=

d [ f ( λ T ) /( λ T ) 5 ] dλ

=

1 T 4 λ5

f ′( λ T ) − 5 f ( λ T )

1 T 5 λ6

(1.10)

Si se multiplica por T5 y por λ6 , se reemplaza por λ m , y se iguala a cero (condición de máximo), se obtiene: λ m T f ′( λ m T ) − 5 f ( λ m T ) = 0

(1.11)

La Ec. (1.11) es una ecuación para la variable ( λm T ) , cuya solución es: λ m T = b = cte

(1.12)

donde b tiene el valor 2.898×10-3 [m K]. La ecuación (1.12) explica por qué al aumentar la temperatura de un objeto, el máximo de la radiancia se “corre” hacia longitudes de onda mas cortas (ver Figura 1.3). Se conoce normalmente a esta como la ley de corrimiento de Wien. Finalmente, fue el mismo Wien quien propuso en 1896 una expresión para f ( λ T ) , la cual concordaba bastante bien con los resultados experimentales en la región del espectro correspondientes a longitudes de onda cortas. Sin embargo, su ecuación presentaba serios desacuerdos a longitudes de onda largas. La expresión propuesta por Wien viene dada por: f ( λ T ) = c1

c − 2 e λT

(1.13a)

donde c1 y c2 son constantes, y por lo tanto: R λ ,T =

c1 λ5

c − 2 e λT

(1.13b)

1.2.3. Ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe del ultravioleta

A finales del siglo XIX y principio del XX, cualquier intento por explicar la radiación térmica emitida por un cuerpo negro debía poder describir la forma de las curvas observadas experimentalmente por Lummer y Pringsheim (Figura 1.3), y debía ser consistente con las ideas plasmadas en las leyes de StefanBoltzmann y la ley de corrimiento de Wien.

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En el año 1900, Lord Rayleigh y Sir James Jeans, en un intento por explicar el fenómeno de radiación térmica en un cuerpo negro consideraron una cavidad radiante cúbica como la esquematizada en la Figura 1.4, de paredes metálicas conductoras y a temperatura uniforme. Dentro de la cavidad se emiten ondas electromagnéticas en todas las direcciones debido a la radiación térmica emitida por las paredes de la cavidad. Sin embargo, solo las ondas o modos estacionarios, es decir aquellas ondas que exhiban nodos sobre las paredes de la cavidad, perduraran en el tiempo.

Figura 1.4: cavidad radiante y modos estacionarios

Bajo estas hipótesis, Rayleigh y Jeans obtuvieron una expresión para el número de modos estacionarios dentro de la cavidad comprendidos en el intervalo [ λ , λ + dλ ], N ( λ ) . La expresión obtenida por Rayleigh y Jeans viene dada por: N ( λ) =

8π V dλ λ4

(1.14)

donde V es el volumen de la cavidad. Dividiendo la Ec. (1.14) por el volumen de la cavidad y por dλ , y multiplicando por la energía promedio, ε , de los osciladores en las paredes de la misma, se obtiene una expresión para la densidad espectral de energía μ λ ,T dentro de la cavidad, es decir:

μ λ ,T =

8π λ4

ε

(1.15)

Considerando que la densidad espectral de energía se relaciona con la radiancia espectral mediante R λ ,T = ( c / 4 ) μ λ ,T , siendo c la velocidad de la luz

en el vacío, Rayleigh y Jeans llegaron finalmente a una expresión para la radiancia espectral del cuerpo negro:

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2π c

R λ ,T =

λ4

ε

(1.16)

Según la mecánica probabilística clásica los osciladores armónicos en las paredes de la cavidad emiten continuamente radiación electromagnética con una energía promedio dada por ε = k B T , siendo kB la constante de Boltzmann (1.380×10-23 [J / K]). Por lo tanto, la expresión final obtenida por Rayleigh y Jeans resultó de la forma: R λ ,T =

2π c λ4

k BT

(1.17)

La ecuación (1.17) concuerda con la forma predicha por Wien, es decir: R λ ,T =

2π c λ4

k BT =

2π c k B λ5

λT =

f ( λT ) λ5

(1.18)

La expresión (1.17) concuerda también con los datos experimentales a largas longitudes de onda, pero desafortunadamente no presenta ningún máximo, y la radiancia integral del cuerpo negro obtenida a partir de la Ec. (1.17) tiende a infinito, es decir: RT = ∫

∞

0

2π c λ4

k BT d λ → ∞

(1.19)

Figura 1.5: radiancia espectral de cuerpo negro. Datos experimentales vs. ley de Rayleigh-Jeans para T=1,646 [K]

La Ec. (1.19) se encuentra en total desacuerdo con los datos experimentales (Figura 1.3). Este fracaso de la física clásica en explicar el fenómeno de radiación de cuerpo negro se conoció como “la catástrofe del ultravioleta”. La

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Figura 1.5 muestra una comparación entre datos experimentales y las predicciones obtenidas mediante la ley de Rayleigh-Jeans [Ec. (1.17)] a una temperatura dada. Puede verse que a longitudes de onda largas, ambas curvas tienden a coincidir. 1.2.4. Ley de Planck. Cuantización de la energía

La discrepancia entre los datos experimentales y las predicciones teóricas (ya sea a altas longitudes de onda en la ley de Wien o a bajas en la ley de Rayleigh-Jeans) fue resuelta en 1901, cuando Max Planck presentó su teoría cuántica, la cual predecía exitosamente la radiancia espectral para el cuerpo negro. Sin embargo, la teoría desarrollada por Planck se basaba en dos postulados en abierta oposición con la física clásica, los cuales son: -

Un oscilador armónico no puede tener cualquier energía, sino solamente valores múltiplos de una cantidad ε 0 . Un oscilador no gana o pierde energía en forma continua, sino bruscamente en saltos de amplitud ε 0 .

A partir de estos postulados, puede obtenerse una expresión para la energía de los osciladores en función de la cantidad ε 0 , de la forma: ε = n ε0

(1.20)

donde n es un número entero. Bajo estas hipótesis, el análisis de Planck diferirá del propuesto por Rayleigh-Jeans en la energía promedio de los osciladores, ε . Mientras que el cálculo de la física clásica estipula ε = k B T , a partir del nuevo planteo de Planck se obtiene: ε0

ε=

(1.21)

ε0

e

k BT

−1

Si se utiliza ahora la nueva expresión para la energía promedio ε [Ec. (1.21)] y se la reemplaza en la Ec. (1.16), se obtiene: R λ ,T =

ε0

2π c

(1.22)

ε0

λ4 e

k BT

−1

Adicionalmente, para compatibilizar sus resultados con la ley de Wien [Ec. (1.7)], Planck debió introducir un último postulado: ε0 = h ν = h

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c λ

(1.23)


donde ν es la frecuencia de la radiación electromagnetica y h es una constante universal conocida como constante de Planck, cuyo valor es: h = 6.6256×10-34 [J seg.]. Notese que se ha utilizado la relación ν = c / λ en la Ec. (1.23). Por lo tanto, la ley de Planck para la radiancia espectral de cuerpo negro finalmente queda como: R λ ,T =

2π h c 2

1

(1.24)

hc

λ5

e

kB λ T

−1

La Ec. (1.24) puede reescribirse como:

R λ ,T =

c1 λ5

1 (1.25)

c2

e

λT

−1

con c1= 3.7405×10-16 [W m2] ; y c2= 1.4388×10-2 [m K]. Nótese la semejanza entre la expresión obtenida por Planck [Ec. (1.25)] y la correspondiente a la ley de Wien [Ec. (1.13)]. Se muestra en la Figura 1.6 la comparación entre datos experimentales y las predicciones obtenidas mediante la ecuación de Planck [Ec. (1.25)] para una temperatura dada, observándose gran concordancia en todo el rango de longitudes de onda considerado.

Figura 1.6: radiancia espectral de cuerpo negro. Datos experimentales vs. ley de Planck para T=1,646 [K]

Analizando en detalle la expresión obtenida por Planck, puede verse que para valores pequeños del producto λ T (longitudes de onda cortas), el valor de la exponencial en la Ec. (1.24) resulta muy superior a la unidad, por lo que esta última puede despreciarse, es decir, e c 2 / λ T − 1 ≈ e c 2 / λ T , resultando la expresión correspondiente a la ley de Wien [Ec. (1.13b)]. Por otro lado, para

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altos valores del producto λ T (longitudes de onda largas), el valor de la exponencial es pequeño y puede aproximarse aceptablemente por los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor, es decir, e c 2 / λ T ≈ 1 + c 2 / λ T . Se obtiene así la expresión correspondiente a la ley de Rayleigh-Jeans [Ec. (1.17)]. El nuevo enfoque propuesto por Planck, que logró predecir satisfactoriamente los datos experimentales de la radiancia espectral del cuerpo negro sobre la base del postulado de cuantización de la energía de los osciladores dio lugar al nacimiento de la física cuántica. 1.3. RAYOS CATÓDICOS

La conducción de electricidad a través de gases enrarecidos (gases sometidos a baja presión) también fue un fenómeno ampliamente estudiado en la segunda mitad del siglo XIX. Los estudios realizados sobre este tipo de fenómenos dieron lugar a descubrimientos notables en el campo de la física, como por ejemplo, el descubrimiento del electrón por parte de Thomson. En la Figura 1.7 se muestra un esquema típico de un clásico tubo de rayos catódicos utilizado comúnmente para el estudio del fenómeno de conducción en gases.

Figura 1.7: tubo de rayos catódicos

En el tubo de rayos catódicos de la Figura 1.7, una alta tensión aplicada entre el ánodo (positivo) y el cátodo (negativo) produce la circulación de una corriente eléctrica a través del tubo lleno de algún gas enrarecido. Esta corriente eléctrica produce un extraño patrón de capas luminosas y obscuras en el gas (no es intención de este texto explicar este fenómeno). Si la presión del gas dentro del tubo se disminuye a un valor muy bajo (cercano a 0.01 [mmHg]), el brillo del gas desaparece (debido a que la cantidad de gas en el tubo resulta extremadamente baja). Sin embargo, el amperímetro continúa indicando la existencia de una corriente eléctrica. Adicionalmente, otra indicación de que algo continúa sucediendo en el interior del tubo es la existencia de un punto luminoso (S) sobre la superficie interior del tubo en el extremo opuesto al cátodo. El tamaño y la posición del punto S sobre el extremo del tubo se ven influenciados por el tamaño y la localización de los orificios en los diafragmas D y D’, sugiriendo que el punto luminoso S es

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ocasionado por partículas provenientes del cátodo viajando en línea recta a través del tubo. Adicionalmente, la posición del punto S se ve influenciada también por la presencia de campos eléctricos o campos magnéticos cercanos al tubo, indicando que las partículas emitidas desde el cátodo están eléctricamente cargadas. El movimiento del punto S en presencia de campos magnéticos o eléctricos sugiere que los rayos están constituidos por partículas de carga negativa y se los denominó como rayos catódicos (por el simple hecho de ser emitidos por el cátodo). Actualmente, es de conocimiento que tales rayos catódicos son emitidos por el cátodo como resultado del bombardeo de éste por los átomos de gas dentro del tubo y están constituidos por electrones. 1.3.1. Relación carga / masa para el electrón

En 1897, Thomson, con el fin de caracterizar los rayos catódicos, realizó mediciones precisas de la relación carga / masa (q / m) de las partículas en los rayos catódicos. La Figura 1.8 muestra un esquema del dispositivo utilizado por Thomson.

Figura 1.8: tubo de rayos utilizado por Thomson para medir q/m

En el esquema de la Figura 1.8, las partículas de carga negativa q y masa m son emitidas en el cátodo, pasan por el ánodo, el cual actúa como el primer diafragma (D), y por el segundo diafragma (D’). Ambos diafragmas limitan a las partículas a un haz puntual. Luego, las partículas atraviesan la zona entre dos placas metálicas paralelas de longitud l y separación d. Finalmente, inciden sobre la superficie final del tubo produciendo un punto de luz (S1). Si se aplica un voltaje V sobre las placas paralelas, las partículas experimentaran una fuerza F de amplitud: F=

qV d

(1.26)

Esta fuerza actúa en la dirección perpendicular a la velocidad ve de las partículas y producirá una aceleración en dirección perpendicular a las placas, la cual puede obtenerse aplicando la segunda ley de Newton:

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⎛ q ⎞⎛ V a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ m ⎠⎝ d

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.27)

Esta aceleración actúa durante el tiempo t que la partícula se encuentre atravesando las placas paralelas de longitud l. Este tiempo puede calcularse mediante un simple análisis cinemático: t=

l ve

(1.28)

donde ve es la velocidad de las partículas. Inmediatamente luego de emerger de la zona de las placas, las partículas exhibiran una deflexión δ como consecuencia de la fuerza F aplicada [Ec. (1.26)]. Dicha deflexión puede calcularse mediante: 1 1 ⎛ q ⎞⎛ V ⎞⎛ l δ = a t 2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ 2 2 ⎝ m ⎠⎝ d ⎠⎝ v e

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(1.29a)

Si la deflexión de las partículas es pequeña, el valor δ se verá amplificado sobre el final del tubo en una magnitud 2 L / l, donde L es la distancia desde el centro de las placas a la zona de impacto. Por lo tanto, la distancia entre los puntos S1 y S2 ( S 1S 2 ) vendrá dada por: ⎛ L ⎞⎛ q ⎞⎛ V ⎞⎛ l S1S2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎝ l ⎠⎝ m ⎠⎝ d ⎠⎝ v e

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(1.29b)

Finalmente, el valor q / m puede ser despejado de la Ec. (1.29b), obteniéndose: q ⎛ l ⎞⎛ d ⎞⎛ v ⎞ = S1S2 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ e ⎟ m ⎝ L ⎠⎝ V ⎠⎝ l ⎠

2

(1.30)

En la Ec. (1.30), todavía resta conocer la velocidad ve de las partículas. Para obtenerla, Thomson añadió al dispositivo de la Figura 1.8 un campo magnético con dirección perpendicular al campo eléctrico aplicado y al eje mayor del tubo de rayos. Con esta orientación de los campos eléctrico y magnético, las fuerzas electrostática y magnética ejercida sobre las partículas serán opuestas; de hecho, para cierto valor (H) del campo magnético, ambas fuerzas pueden cancelarse (lo cual puede evidenciarse observando una deflexión nula del haz). Esta situación de equilibrio puede escribirse como:

qV = H q ve d

24

(1.31)


El miembro izquierdo en la Ec. (1.31) corresponde a la fuerza eléctrica y el miembro derecho a la fuerza magnética. Despejando puede obtenerse una expresión para la velocidad ve, mediante:

ve =

V Hd

(1.32)

Utilizando las Ecs. (1.30) y (1.32) Thomson pudo obtener un valor cercano al actualmente aceptado: q / m = 1.76×10-8 [coulombs / gramos]. El valor obtenido por Thomson para la relación q / m resultó mas de mil veces mayor al obtenido en esa época para átomos ionizados. Este último valor podía ser calculado mediante mediciones en experimentos de electrólisis de soluciones conteniendo átomos ionizados; a tal fin, se opera una celda electrolítica por un periodo de tiempo y se mide la carga total depositada por los átomos, así como también la masa total de los átomos depositada. Posteriormente, una simple cuenta permite obtener la relación carga / masa. El mayor valor q / m para un ión había sido obtenido para el átomo ionizado de Hidrógeno. Pero, el valor obtenido por Thomson para los rayos catódicos excedía en 1,836 veces el correspondiente al ión de Hidrógeno. Por lo tanto, a partir de las mediciones de Thomson se concluía que la carga de las partículas en los rayos catódicos era mucho mayor a la carga de un átomo de Hidrógeno ionizado o que la masa de las mismas debía ser mucho menor a la del ión Hidrógeno. En experimentos posteriores realizados por Millikan y Fletcher se determinaría que la segunda opción era la correcta. Además, Thomson determinó que la relación q / m resultaba independiente del gas utilizado y del metal del cátodo. Por otro lado, determinó también que las partículas cargadas emitidas resultaban iguales a las emitidas a consecuencia del efecto fotoeléctrico (descrito en la sección siguiente) descubierto por Hertz años antes. Estos resultados llevaron a Thomson a concluir que estas partículas cargadas (hoy conocidas como electrones) debían ser partes constitutiva de toda la materia. En 1906 Millikan y Fletcher realizaron una serie de experimentos y determinaron la cuantización de la carga, es decir, que todas las partículas cargadas exhiben una magnitud de carga eléctrica que resulta un múltiplo entero de cierta unidad de carga básica. A partir de sus mediciones Millikan y Fletcher estimaron el valor de esta magnitud de carga eléctrica básica como: e = 1.59×10-19 [coulombios] (muy cercano al 1.602×10-19 aceptado actualmente como la carga del electrón). Se asumió además, que esta unidad básica de carga correspondía también a la carga eléctrica de las partículas en los rayos catódicos. Posteriormente, utilizando la relación q / m obtenida por Thomson, se logró calcular la masa de las mismas en un valor cercano al actualmente aceptado de me = 9.11×10-28 [gramos]. Como consecuencia de los experimentos de Millikan y Fletcher, nuevamente surgió el concepto de cuantización planteada por Planck años antes para los osciladores en una cavidad radiante, pero en este caso aplicado a la carga eléctrica.

25


1.3.2. Efecto fotoeléctrico

En el año 1887, Hertz descubrió un fenómeno producido durante la conducción en gases enrarecidos que tardaría muchos años en ser explicado. El dispositivo empleado por Hertz para llevar a cabo sus experimentos se muestra en la Figura 1.9 y consiste básicamente en un tubo de rayos catódicos.

Figura 1.9: tubo de rayos utilizado por Hertz

El dispositivo de Hertz consta de una ampolla de vidrio en la que se genera vacío. Dos electrodos metálicos se encuentran en su interior; el cátodo (denominado comúnmente fotocátodo) constituido por un metal altamente pulido y el ánodo en forma de plato perforado. Ambos electrodos se mantienen a una diferencia de potencial de unos cuantos volts (con el ánodo positivo respecto del cátodo). Cuando luz ultravioleta pasa a través del ánodo perforado e incide sobre la superficie pulida del fotocátodo, una corriente eléctrica comienza a observarse a través del tubo, la cual se evidencia en el amperímetro. A este efecto se le conoce como efecto fotoeléctrico. El efecto persiste aun en condiciones de alto vacío, lo cual implica que la corriente no puede ser debida a iones de átomos gaseosos. Lenard, en 1900, comprobó que la corriente eléctrica se debía a las mismas partículas constitutivas de los rayos catódicos (electrones), al obtener para ellas el mismo valor q / m medido por Thomson. Los experimentos realizados por Lenard sirvieron para aclarar la identidad de las partículas emitidas, pero demostraron algunas propiedades del fenómeno fotoeléctrico que no pudieron ser explicadas mediante la física clásica. En la Figura 1.10 se observan algunas de las mediciones obtenidas por Lenard. De estas mediciones pueden concluirse algunas propiedades importantes del fenómeno fotoeléctrico: i) a valores suficientemente altos de V, todos los electrones emitidos desde el fotocátodo llegan al ánodo (evidenciado por la saturación de la corriente I); ii) aun a voltajes V negativos existen electrones que llegan al ánodo (a pesar de la fuerza de repulsión que experimentan), con lo cual algunos electrones son emitidos del fotocátodo con energía cinética suficiente para vencer esta repulsión; y iii) independientemente de la intensidad de luz, por debajo de cierto valor negativo de V, la corriente cesa, indicando que la energía cinética máxima de los electrones emitidos por el fotocátodo es Emax = e Vmax.

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Figura 1.10: corriente I en el tubo en función de la tensión aplicada, V, entre ánodo y fotocátodo, para dos intensidades de luz incidente

Las mediciones de Lenard contradecían las predicciones obtenidas mediante la física clásica, las cuales se basaban en el modelo ondulatorio de la luz. Se comentan a continuación las predicciones clásicas comparándolas con las observaciones experimentales:

Dependencia de la energía cinética del fotoelectrón en relación a la intensidad de luz: según la teoría clásica los electrones deben absorber energía continuamente de las ondas electromagnéticas. Así, a medida que la intensidad de la luz incidente aumenta, la energía máxima de los electrones debería aumentar dado que la tasa de transferencia de energía resulta mayor. Sin embargo, las mediciones experimentales contradicen este hecho. La energía máxima de los fotoelectrones es independiente de la intensidad de la luz incidente. Esto es fácilmente observable en la Figura 1.10 dado que las curvas correspondientes a intensidades de luz diferentes se cortan en el mismo valor negativo de voltaje aplicado. Intervalo entre la incidencia de la luz y la emisión de fotoelectrones: según la teoría clásica, debido a que los electrones ganan energía en forma continua, a bajas intensidades de luz incidente es necesario un cierto intervalo de tiempo entre la aplicación de luz y el momento en que los electrones son emitidos del fotocátodo. Sin embargo, experimentalmente se observa que independientemente de la intensidad de la luz los electrones son emitidos casi instantáneamente (10-9 [seg.]). Dependencia de la emisión de electrones con la frecuencia de la luz: según la teoría clásica los electrones deben ser emitidos por el fotocátodo a cualquier valor de frecuencia de la luz incidente, siempre y cuando la intensidad de luz sea suficientemente alta. Sin embargo, los experimentos demuestran que por debajo de cierto valor de frecuencia, denominada frecuencia de corte, no existe emisión de electrones. Además, esta frecuencia de corte resulta dependiente del material del fotocátodo. Dependencia de la energía máxima de los fotoelectrones con la frecuencia de la luz: la teoría clásica no da relación alguna entre la frecuencia de la luz incidente y la energía máxima de los fotoelectrones. Sin embargo, los experimentos muestran que a medida que la frecuencia de la luz incidente aumenta, la energía máxima de los fotoelectrones aumenta también. En efecto, al aumentar la frecuencia de la luz incidente, 27


la tensión negativa necesaria para frenar los fotoelectrones debe ser mayor. No fue hasta 1905 que el científico alemán Albert Einstein aportó una explicación exitosa del fenómeno fotoeléctrico. En su teoría, Einstein amplió los conceptos de Planck de cuantización de la energía a las ondas electromagnéticas. Años antes, Planck había propuesto su concepto de cuantización de la energía de los osciladores, y en la emisión y absorción de energía radiante, pero siempre manteniendo el concepto clásico de la radiación electromagnética como una onda distribuida en el espacio. Einstein extendió el concepto cuántico postulando que la energía de las ondas electromagnéticas se encuentra en la forma de paquetes concentrados o cuantos de luz, los cuales se conocen en la actualidad como fotones. La energía asociada a cada fotón esta dada por:

E =hν

(1.33)

donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación electromagnética. En el modelo de Einstein del efecto fotoeléctrico, un fotón de luz incidente transfiere toda su energía (h ν) a un único electrón en el fotocátodo. Entonces, la absorción de la energía no es un proceso continuo como lo describe la física clásica, sino un proceso en el cual la energía es entregada a los electrones en paquetes discretos. Aquellos electrones liberados, y que no transfieren ninguna porción de su energía a los átomos del fotocátodo mediante “choques”, poseerán una energía cinética máxima dada por:

E max = h ν − φ

(1.34)

donde φ se denomina función de trabajo del material del fotocátodo y representa la energía mínima con la cual el electrón se encuentra unido al metal. Algunos otros electrones interactúan con el material del fotocátodo luego de ser arrancados, perdiendo energía, y por lo tanto exhibirán energías cinéticas menores a Emax. Con el nuevo planteo de Einstein es posible explicar los fenómenos experimentales observados por Lenard (Figura 1.10).

Dependencia de la energía cinética del fotoelectrón en relación a la intensidad de luz: la energía cinética máxima resulta independiente de la intensidad de luz (la cual es proporcional a la cantidad de fotones en el haz de luz incidente). Para un material dado del fotocátodo la energía máxima de los fotoelectrones dependerá solo de la frecuencia y de la función de trabajo del material como puede verse en la Ec. (1.34). Si se duplica la intensidad de luz se duplica la cantidad de fotones en el haz de luz incidente lo cual producirá un incremento en la cantidad de fotoelectrones arrancados y por lo tanto un aumento en la corriente medida (ver Figura 1.10).

28


Intervalo entre la incidencia de la luz y la emisión de fotoelectrones: la emisión instantánea de fotoelectrones es consistente con el nuevo modelo fotónico de la luz. Debido a que un solo fotón interactúa con un electrón en el fotocátodo, en el instante que los primeros fotones arriben al cátodo se producirá la emisión de electrones, siempre y cuando su frecuencia sea lo suficientemente alta. Dependencia de la emisión de electrones con la frecuencia de la luz: a partir de la Ec. (1.34) puede verse que existirá una frecuencia a la cual no existirá arranque de electrones del fotocátodo (frecuencia de corte). Si la frecuencia de los fotones es tal que su energía no supera la función de trabajo del material, entonces, sin importar la intensidad de luz, no habrá emisión de fotoelectrones. Este valor de frecuencia resulta función solo del material del fotocátodo y vendrá dado por: ν =

φ h

(1.35)

Dependencia de la energía máxima de los fotoelectrones con la frecuencia de la luz: fácilmente puede verse de la Ec. (1.34) que la energía máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia de la luz incidente. Según la teoría propuesta por Einstein, la energía cinética máxima de los fotoelectrones debe ser una función lineal de la frecuencia de la luz incidente, tal como lo indica la Ec. (1.34). Esta predicción fue experimentalmente demostrada por Millikan en 1916, quien midió Emax para numerosas frecuencias de radiación incidente, comprendidas en el rango de 6 [seg.-1] hasta 12×14 [seg.-1]. La Figura 1.11 presenta algunas mediciones similares a las obtenidas por Millikan y a partir de las cuales puede observarse la dependencia lineal entre Emax y la frecuencia ν de la luz incidente, en dos materiales diferentes del fotocátodo.

Figura 1.11: dependencia lineal entre la energía máxima de los fotoelectrones, Emax, y la frecuencia de la radiación, ν, para dos materiales de fotocátodo

29


Se muestran en la figura que a partir de mediciones utilizando diferentes materiales del fotocátodo se obtienen rectas paralelas. De acuerdo con la Ec. (1.34), la pendiente de dichas rectas debe ser igual a la constante de Planck h. A partir de sus mediciones, Millikan calculó la constante de Planck con un error menor al 0.5%. Este resultado obtenido no solo sirvió para validar el desarrollo propuesto por Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, sino también para reforzar el concepto de cuantización propuesto por Planck años antes. 1.3.3. Efecto Compton

Para el año 1919, Einstein había llegado a la conclusión de que un fotón de energía E = h ν posee un momento de valor: p=

E c

=

hν c

=

h λ

(1.36)

En 1923 Arthur Holly Compton desarrolló extensamente la idea del momento del fotón. Antes de 1922 se había acumulado evidencia de que la teoría ondulatoria clásica no podía explicar el fenómeno de dispersión de los rayos X producido en láminas metálicas. Compton descubrió que cuando un haz de rayos X de longitud de onda bien definida λ0 es dispersado a un ángulo θ por una lámina metálica, la radiación dispersada posee componentes de longitud de onda λ1 > λ 0 . Posteriormente, se denominó a este fenómeno efecto Compton. El estudio de este efecto brindó evidencia extremadamente convincente de la existencia de los cuantos (fotones) electromagnéticos propuestos por Einstein años antes.

Figura 1.12: diagrama esquemático del dispositivo utilizado por Compton

30


Figura 1.13: intensidad de rayos X dispersados en función de la longitud de onda

Compton, utilizando radiación X incidente de longitud de onda λ0 = 0.708×10-8 [cm], observó que la longitud de onda de la radiación dispersada λ1 resultaba dependiente del ángulo de dispersión θ , y no del material de la lámina irradiada. Se muestra en la Figura 1.12 un esquema del dispositivo empleado por Compton para llevar a cabo sus mediciones y en la Figura 1.13 un conjunto de mediciones obtenidas. Para explicar las mediciones observadas Compton consideró a los fotones como partículas, las cuales poseen energía E = h ν = h c / λ y momento p = h ν / c = h / λ , y analizó la interacción entre los fotones incidentes y los electrones del material blanco como una colisión elástica entre dos partículas. Para comprender el desarrollo propuesto, considérese el esquema de la Figura 1.14, el cual representa un choque elástico fotón-electrón.

Figura 1.14: colisión elástica entre un fotón y un electrón libre

La cantidad de movimiento asociada al electrón en movimiento (posterior al choque) con velocidad ve esta dada por:

31


me

pe = m v e =

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

ve

2

(1.37)

donde se utiliza la masa relativista, m, para el electrón debido a que las velocidades implicadas pueden resultar cercanas a la velocidad de la luz. Para este mismo electrón la energía cinética viene dada por: me

E e = m c 2 − me c 2 =

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

c 2 − me c 2

(1.38)

Aplicando ahora la ley de conservación de la energía al choque fotónelectrón, se obtiene:

hc hc = + λ0 λ1

me ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

c 2 − me c 2

(1.39)

Alternativamente, aplicando la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección paralela y perpendicular respecto a la dirección de la velocidad del fotón incidente, se obtiene: h h = cos(θ ) + λ0 λ1

0=

h sin(θ ) − λ1

me ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

me ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

v e cos(φ )

v e sin(φ )

(1.40)

(1.41)

Eliminando las variables ν e y φ de las Ec. (1.39), (1.40), y (1.41) se llega luego de algunos cálculos algebraicos (los cuales se detallan en el Apéndice A) a la expresión obtenida por Compton, la cual predice correctamente las mediciones experimentales observadas:

λ1 − λ 0 =

h me c

[1 − cos (θ )]

(1.42)

donde la constante h / m e c = 0.0243 × 10 −10 [ m ] se denomina longitud de onda Compton. La Ec. (1.42) es comúnmente conocida como la ecuación de

32


corrimiento de Compton y permite predecir el corrimiento observado en la longitud de onda de la radiación dispersada por un blanco a un ángulo θ respecto de la longitud de onda incidente. La ecuación de Compton puede utilizarse también para explicar la presencia a todos los ángulos de medición del pico no desplazado de longitud de onda λ 0 (ver Figura 1.13). Este pico se debe a la interacción o choque de los fotones incidentes con electrones fuertemente ligados a los átomos del material blanco. Considérese por ejemplo el caso particular de un blanco de grafito, compuesto básicamente por átomos de Carbono. La interacción entre un fotón y un electrón fuertemente ligado puede tratarse como si en efecto el choque del fotón se produjera contra un átomo de Carbono, cuya masa es aproximadamente 23,000 veces la masa del electrón. Reemplazando el valor me en la Ec. (1.42) por el valor correspondiente para el átomo de Carbono (aproximadamente 23,000me) se obtendrá λ1 − λ 0 ≈ 0 y por lo tanto λ 0 ≅ λ1 . El éxito en la explicación teórica del efecto Compton brindó evidencia adicional a la proporcionada por el efecto fotoeléctrico, de la existencia de la cuantización de la radiación electromagnética. 1.4. MODELOS ATÓMICOS 1.4.1. Espectros atómicos de los gases

Cuando se estudió la radiación térmica, se vio que todos los objetos emiten radiación electromagnetica caracterizada por una distribución continua de longitudes de onda. En contraste con este espectro continuo se encuentra el espectro de líneas discreto observado cuando un gas a baja presión se somete a descarga eléctrica. Esta descarga se produce cuando el gas se somete a una diferencia de potencial mayor que su resistencia dieléctrica produciéndose descargas eléctricas a través del gas. En la Figura 1.15 se observa un esquema simplificado de un dispositivo dedicado al estudio de los espectros de emisión de gases.

Figura 1.15: esquema de un dispositivo de medición de espectros de emisión en gases

La fuente de emisión proviene de una descarga eléctrica la cual pasa a través de un gas monoatómico. Debido a colisiones con electrones o entre los mismos átomos del gas, algunos de estos átomos son puestos en estados excitados. Estos átomos, al volver a su estado de energía fundamental, emiten

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radiación electromagnética. La radiación emitida desde el gas es colimada en un diafragma, dispersada por un prisma (o una red de difracción), y separada en su espectro constitutivo. Finalmente, la radiación incide sobre una placa fotográfica revelando un patrón de líneas sobre una escala graduada. La Figura 1.16 muestra la porción visible del espectro atómico para el gas monoatómico de Hidrógeno.

Figura 1.16: espectro de emisión visible para el átomo de Hidrógeno

La gran regularidad del espectro atómico del Hidrógeno motivó a numerosos científicos a buscar una fórmula empírica para representar las longitudes de onda las líneas espectrales. En 1885, Johan Balmer obtuvo una expresión que reprodujo con éxito las primeras nueve líneas espectrales (las cuales eran las únicas conocidas en ese momento). La ecuación de Balmer tiene la siguiente forma: ⎛ n2 ⎞ ⎟ ; n = 3, 4, 5, … λ ( Å ) = 3,646 ⎜⎜ 2 ⎟ − 4 n ⎝ ⎠

(1.43)

Para n = 3 se obtiene la línea H α , n = 4 produce la línea H β , etc. Se le dio el nombre de serie de Balmer a este conjunto de líneas espectrales. Este descubrimiento motivó a otros investigadores a encontrar expresiones similares para las líneas observadas en otras porciones del espectro o en espectros de otros elementos. Gran parte de este trabajo de investigación fue llevado a cabo por Rydberg, quien determinó que trabajar con el número de onda k = 1/ λ resultaba más conveniente para caracterizar las líneas que la misma longitud de onda λ . En términos de esta cantidad, la Ec. (1.43) se reescribe como: 1 1 ⎞ ⎛ 1 = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ ; n = 3, 4, ….. λ n ⎠ ⎝2

(1.44)

donde RH es conocida como la constante de Rydberg para el Hidrógeno y su valor es 1.096776×107 [m-1]. Una expresión más general permite obtener las líneas espectrales del Hidrógeno y de algunos otros elementos, como por ejemplo los metales alcalinos (correspondientes a la primera columna de la tabla periódica). Esta expresión resulta muy similar a la Ec. (1.44) y viene dada por:

34


⎛ 1 1 = R ⎜⎜ − 2 λ n2 ⎝m

1

⎞ ⎟⎟ ; m > n enteros ⎠

(1.45)

donde R es conocida como la constante de Rydberg y posee un valor particular para cada elemento. Para el Hidrógeno, la Ec. (1.45) puede utilizarse para obtener las líneas espectrales utilizando R = RH = 1.096776×107 [m-1] y m = 1 para las líneas del espectro ultravioleta (UV), m = 2 para las líneas del espectro UV cercano y visible, y m = 3, 4 y 5 para las líneas del espectro infrarrojo. Algunas de las ecuaciones para las líneas espectrales del Hidrógeno quedan expresadas como se indica a continuación: UV:

UV cercano y visible:

Infrarrojo:

1

⎛ 1 1 = R H ⎜⎜ − λ ⎝ 12 n 2

⎞ ⎟⎟ ; n = 2, 3, 4, … ⎠

1

⎛ 1 1 = R H ⎜⎜ − λ ⎝ 22 n 2

⎞ ⎟⎟ ; n = 3, 4, 5, … ⎠

⎛ 1 1 = R H ⎜⎜ − λ ⎝ 32 n2

⎞ ⎟⎟ ; n = 4, 5, 6, … ⎠

1

1.4.2. Modelo atómico de Thomson

En la época de Newton el átomo estaba modelado como una diminuta esfera, indivisible. Este simple modelo proporcionó una buena base para el desarrollo de algunas teorías, como la teoría cinética de los gases. Sin embargo, cuando los experimentos revelaron la naturaleza eléctrica de los gases, fue necesario desarrollar modelos más complejos que permitieran explicar tales fenómenos. Para finales del siglo XIX, se conocían ciertos aspectos del átomo en relación a su estructura: i) la relación carga / masa para algunos átomos ionizados, incluido el átomo de Hidrógeno, se había podido medir mediante electrólisis; ii) Thomson había descubierto el electrón, en 1897, mediante experiencias en gases enrarecidos y había determinado la relación carga / masa para el electrón resultando cerca de 1,800 veces mayor a la del átomo de Hidrógeno; iii) Millikan y Fletcher habían podido determinar la carga eléctrica y la masa del electrón; iv) Barkla y colaboradores, mediante dispersión de rayos X obtuvieron una estimación para el número Z de electrones en un átomo, como Z = A / 2, donde A es el peso atómico en escala química del átomo en cuestión; v) la neutralidad eléctrica de los átomos era también un hecho conocido en esa época; y vi) para finales del siglo XIX las dimensiones aproximadas del átomo eran conocidas, resultando del orden del Å. Todas estas consideraciones llevaban a una pregunta: ¿De qué forma se distribuyen las cargas positivas y negativas en un átomo? Thomson propuso uno de los primeros modelos de la composición del átomo, tomando en consideración los hechos detallados en el párrafo anterior. El modelo atómico de Thomson consideraba una masa de carga eléctrica positiva distribuida en todo el volumen asignado al átomo, con electrones (de carga eléctrica negativa) incrustados. Debido a la repulsión electrostática, los

35


electrones se encontraban uniformemente distribuidos en la masa de carga positiva. Se conoció a este modelo como el modelo del “budín con pasas”. Se presenta un esquema del modelo de Thomson en la Figura 1.17.

Figura 1.17: modelo de Thomson para el átomo

En su modelo, los electrones se encontraban ligados al átomo por fuerzas de atracción electrostática y la ionización del átomo se produciría por arranque de electrones, quedando un ión positivo. Desafortunadamente, a pesar de los intentos de Thomson, este modelo no pudo explicar los espectros de emisión observados experimentalmente. 1.4.3. Modelo atómico de Rutherford

A comienzos del siglo XX, Rutherford había logrado establecer la naturaleza de las radiaciones emitidas por sales de Radio y sus derivados. Así, había demostrado que las partículas emitidas, denominadas partículas alfa, poseen una relación carga / masa igual a la mitad de la del protón (ión de Hidrógeno) y posteriormente las identificó como átomos de Helio ionizado. En el año 1911, Ernest Rutherford, junto a sus estudiantes Hans Geiger y Ernest Mardsden, realizó una serie de experimentos que demostraron que el modelo de Thomson resultaba incorrecto, y que en realidad el átomo era un sistema prácticamente vacío. El experimento se encuentra esquematizado en la Figura 1.18.

Figura 1.18: experimento de Rutherford

En su experimento Rutherford bombardeó, con haces de partículas alfa, láminas delgadas de diferentes elementos y observó mediante cristales de Zinc

36


(los cuales producen un centello luminoso al ser impactado por una partícula alfa de alta energía) las dispersiones producidas por la interacción entre el material de la lámina y las partículas alfa. Los resultados obtenidos mostraron que, debido a lo extremadamente delgado de la lámina irradiada, la mayoría de las partículas alfa atravesaban la lámina sufriendo muy pequeños cambios en su velocidad y dispersiones a ángulos muy pequeños. Sin embargo algunas pocas partículas se desviaban a ángulos enormes, inclusive a 180º. Utilizando las leyes de la mecánica clásica y la ley de Coulomb, se pueden predecir las trayectorias de las partículas alfa, siempre y cuando la distribución de cargas en los átomos de la lámina sea conocida. De esta forma, para la distribución de cargas propuesta por Thomson en su modelo atómico, es posible calcular los resultados esperados del experimento. Luego de sus experiencias, Rutherford observó con asombro que el modelo de Thomson no podía explicar las enormes dispersiones observadas en las partículas alfa. En un intento por explicar sus observaciones, Rutherford propuso un nuevo modelo atómico. Este nuevo modelo supuso a toda la carga positiva del átomo (y por lo tanto a la mayoría de su masa) concentrada en un volumen muy pequeño en comparación al volumen total del átomo, volumen al cual denominó núcleo atómico. Todos los electrones se encuentran distribuidos por fuera del núcleo, y para explicar porque los electrones no son atraídos por su carga positiva los supuso en órbitas alrededor del mismo. Se conoció a este modelo como el modelo planetario del átomo por su similitud con el sistema solar. Si bien el modelo de Rutherford constituyó un gran avance, existían dos dificultades básicas: i) no pudo explicar los espectros de emisión discretos observados experimentalmente; y ii) debido a que en este nuevo modelo el electrón se encuentra sujeto a aceleración centrípeta, según la física clásica (leyes de electromagnetismo de Maxwell), el átomo debía emitir radiación electromagnética continuamente con frecuencia ν igual a la frecuencia de revolución del electrón. Según este hecho, cuando el electrón irradia, se emite energía del átomo, el electrón pierde energía y el radio de la órbita disminuye gradualmente aumentando su frecuencia de revolución. Esto provocaría un aumento constante de la frecuencia de la radiación emitida y el colapso final del átomo cuando electrón se precipitase sobre el núcleo. 1.4.4. Modelo atómico de Bohr para átomos con un electrón

Los inconvenientes sin resolver del modelo atómico de Rutherford dejaban el escenario preparado para que Niels Bohr propusiera en 1913 un nuevo modelo atómico aplicable al átomo de Hidrógeno y luego generalizado a átomos de un electrón (es decir, al átomo de H, el ión de He, etc.). En su modelo, Bohr combinaba las ideas cuánticas de Planck, el concepto del fotón de Einstein, y la idea del núcleo atómico de Rutherford. Las ideas básicas del modelo propuesto por Bohr para el átomo de Hidrógeno son: - El electrón se mueve en órbitas circulares alrededor del núcleo bajo la influencia de la fuerza electrostática de atracción entre la carga positiva del núcleo y la negativa del electrón.

37


- Solo ciertas órbitas del electrón son estables. Cuando el electrón se encuentra en alguna de estas órbitas, a las que Bohr denominó estados estacionarios, no emite radiación electromagnética. En consecuencia, la energía total del átomo permanece constante y puede utilizarse la mecánica clásica para describir el movimiento del electrón. Nótese que este postulado se encuentra en clara oposición con la física clásica, pues supone que una carga eléctrica acelerada no emite radiación electromagnética. - La radiación electromagnética es emitida por el átomo solo cuando el electrón hace una transición de un estado estacionario de mayor energía hacia uno de menor energía. Esta transición no puede tratarse de manera clásica. Bohr postuló que como consecuencia de la transición, se emite un fotón cuya frecuencia ν se relaciona con el cambio de energía involucrado en la transición: Ei − Ef = h ν

(1.46)

donde Ei y Ef son la energía del estado inicial y final del átomo; y Ei > Ef. Adicionalmente, Bohr postuló que la energía de un fotón incidente puede ser absorbida por el átomo produciendo una transición de un estado de baja energía a uno de mayor energía. Esto solo puede suceder si la energía del fotón incidente iguala a la diferencia de energía entre los estados estacionarios involucrados en la transición. - Por ultimo, Bohr postuló las órbitas permitidas son aquellas para las cuales la magnitud de la cantidad de movimiento angular órbital del electrón en relación con el núcleo se encuentra cuantizada y es igual a un múltiplo entero de h = h / 2π : L = me v e r = n h ; n = 1, 2, …

(1.47)

donde L es la magnitud de la cantidad de movimiento angular del electrón, m e es su masa, ve su velocidad y r es el radio de la órbita. En realidad, ésta condición de cuantización del momento angular no es un postulado, sino que se determinó a partir del principio de correspondencia (también atribuido a Bohr), según el cual al considerar órbitas muy grandes las predicciones clásicas y las cuánticas deben coincidir. Bajo esta hipótesis, se llega a demostrar que las órbitas permitidas son aquellas que cumplen la Ec. (1.47). Se considera a continuación el análisis de un átomo con un núcleo de carga atómica q = Z e y masa M, y un solo electrón de carga –e y masa m e . Ejemplos particulares de este caso son el átomo neutro de Hidrógeno donde Z = 1, el Helio simplemente ionizado donde Z = 2, y el Litio doblemente ionizado donde Z = 3. Según el postulado de Bohr, el electrón rota en órbitas circulares alrededor del núcleo. Se supone como primera aproximación que el electrón posee una masa despreciable en comparación con el núcleo atómico

38


(M >> me) con lo que puede considerarse que el núcleo permanece fijo. Aplicando la segunda ley de Newton, considerando la fuerza electrostática de atracción entre el electrón y el núcleo, se tiene: F=

v e2 1 Z e2 = m = me a e r 4πε 0 r 2

(1.48)

donde ε 0 es la permitividad del vacío (8.8542×10-12 [C2 / N m2]). El miembro izquierdo de la Ec. (1.48) corresponde a la fuerza coulombiana y el miembro derecho al producto de la masa del electrón y la aceleración centrípeta. De la Ec. (1.48) puede obtenerse una expresión para la velocidad con la que el electrón órbita alrededor del núcleo, la cual resulta: Z e2 4π ε 0 me r

ve =

(1.49)

La energía cinética correspondiente puede calcularse a partir de la Ec. (1.49), mediante la ecuación de energía cinética clásica: K=

1 Z e2 me v e2 = 2 8π ε 0 r

(1.50)

Por otro lado, la energía potencial electrostática responde a: U=−

1

Z e2

4π ε 0

r

(1.51)

Por lo tanto la energía total del átomo será: E = K +U =

Z e2

8π ε 0 r

−

Z e2

4π ε 0 r

=−

Z e2

8π ε 0 r

(1.52)

Obsérvese que la energía total es negativa, lo cual indica que se debe aportar energía al átomo para remover o arrancar un electrón. Para obtener una expresión para el radio r al cual orbita el electrón se utiliza la condición de cuantización del momento angular [Ec. (1.47)]. Combinando las Ecs. (1.47) y (1.49) puede razonarse que: v e2 =

n2 h2 2

me r 2

=

Z e2 ; n = 1, 2, … 4π ε 0 me r

(1.53)

De donde puede despejarse una expresión para r recordando que h = h / 2π :

39


r =

ε0 h2 π me Z e

n 2 ; n = 1, 2, …

2

(1.54)

A partir de la Ec. (1.54), considerando Z = 1 y n = 1 se obtiene el llamado radio de Bohr, correspondiente a la primer órbita del átomo de Hidrógeno, cuyo valor es r0 = 0.53 [Å], lo cual concuerda aceptablemente con las estimaciones del tamaño del átomo. Reemplazando la Ec. (1.54) en la Ec. (1.52) se obtiene una expresión para la energía total del átomo: E=−

me Z 2 e 4

1

8 ε 02 h 2

n2

; n = 1, 2, …

(1.55)

Si se reemplazan los valores de las constantes y se considera al átomo de Hidrógeno (Z = 1) se llega a la expresión: E=−

13.6 n2

[ eV ] ; n = 1, 2, …

(1.56)

De la Ec. (1.56) se obtiene E1 = -13.6 [eV] para el primer nivel de energía, correspondiente a la órbita mas pequeña en el átomo de Hidrógeno; E2 = -3.4 [eV] para el segundo nivel; E3 = -1.51 [eV] para el tercero; etc. Estos valores corresponden a la cantidad de energía que se necesita aportar al átomo de Hidrógeno para ionizarlo, según el estado energético en el que se encuentre. Cuando n tiende a infinito la Ec. (1.56) predice que la energía tiende a cero, lo cual se corresponde con órbitas tan grandes que se puede considerar al electrón como desligado del átomo. Utilizando la Ec. (1.55) puede obtenerse la energía del fotón emitido cuando el átomo de Hidrógeno realiza una transición desde un nivel con energía En al otro nivel con energía Em: E=

me e 4 ⎛ 1 1 ⎜⎜ − 8 ε 02 h 2 ⎝ m 2 n 2

⎞ e2 ⎟⎟ = ⎠ 8 π ε 0 r0

⎛ 1 1 ⎜⎜ − ⎝ m2 n2

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.57)

Este valor de energía para el fotón emitido puede escribirse en términos del número de onda k = 1/ λ sabiendo que E = h ν : 1 λ

=

⎛ 1 1 ⎜⎜ − 8 π ε 0 h c r0 ⎝ m 2 n 2 e2

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.58)

Un hecho notable es que la Ec. (1.58), obtenida mediante consideraciones puramente teóricas, resulta idéntica a las expresiones empiricas de Balmer y Rydberg para predecir los espectros de emisión del Hidrógeno. De hecho, la Ec. (1.58) permite calcular en forma teórica la constante de Rydberg para el Hidrógeno, mediante:

40


RH =

e2

8 π ε 0 h c r0

= 1.0973732 × 10 7 [ m −1 ]

(1.59)

La Ec. (1.58) permite interpretar la serie de Balmer como producida por aquellas transiciones del átomo de Hidrógeno que culminan en el nivel correspondiente a m = 2. Cuando Bohr presentó su teoría, también se conocía la serie correspondiente a transiciones que culminan en el nivel m = 3 (serie de Paschen, en honor a su descubridor). Además, la teoría predijo con éxito otras líneas espectrales del átomo de Hidrógeno que luego fueron halladas. Así, en 1916 Lyman halló las líneas correspondientes a transiciones a m = 1; en 1922 Brackett descubrió la serie de líneas correspondientes a transiciones que terminan en el nivel m = 4; y en 1923 Pfund halló las líneas que terminan en m = 5. La Figura 1.19 representa un esquema de alguna de las transiciones del átomo de Hidrógeno junto a sus series correspondientes.

Figura 1.19: diagrama de los niveles de energía para el átomo de Hidrógeno

Influencia del movimiento del núcleo

Las expresiones obtenidas en el apartado anterior se hicieron bajo la suposición de que la masa del núcleo (M) es mucho mayor a la masa del electrón ( m e ), es decir, suponiendo al núcleo permaneciendo fijo. Sin embargo, para el átomo de Hidrógeno M es sólo 1,836 veces mayor a m e , y por lo tanto la hipótesis de un núcleo fijo se encuentra algo alejada de la realidad. Tanto el núcleo como el electrón describen órbitas alrededor del centro de masa. Un estudio detallado permite obtener una expresión más exacta para la energía en los niveles estacionarios de un átomo con un solo electrón, como: E=−

me Z 2 e 4 m ⎛ 8 ε 02 h 2 ⎜⎜ 1 + e M ⎝

1 ⎞ n2 ⎟⎟ ⎠

(1.60)

41


Esta nueva expresión sirvió para explicar las diferencias en las líneas espectrales de los isótopos de algunos elementos; por ejemplo en las líneas espectrales del Deuterio, el cual es un isótopo del Hidrógeno con una masa en su núcleo que duplica a la del núcleo de Hidrógeno. Si bien la teoría de Bohr resultó exitosa en cuanto a que coincidía con algunos resultados experimentales en átomos con un solo electrón, también sufría de algunas inconsistencias. El primer indicio se presentó cuando se utilizaron técnicas espectroscópicas complejas para analizar las líneas espectrales del Hidrógeno, descubriendose que en su mayoria estaban constituidas por grupos de líneas muy cercanas entre si. Otra inconsistencia surgió al observarse que muchas de las líneas en el espectro se desdoblaban en numerosas líneas al someter a los átomos a campos magnéticos poderosos. El modelo de Bohr no logro explicar estos fenómenos. 1.4.5. Modelo cuántico del átomo

En su modelo atómico, Bohr consideró al electrón como una partícula en órbita alrededor del núcleo en niveles de energía cuantizados no radiantes, a los que llamo estados estacionarios. Este modelo llevo a un análisis que combinaba conceptos de física clásica y física cuántica. Además, permitió explicar con éxito ciertas observaciones experimentales, pero no fue capaz de explicar otros fenómenos observados experimentalmente, como por ejemplo, el desdoblamiento de líneas espectrales en átomos sujetos a campos magnéticos fuertes. Estas dificultades se eliminan cuando se utiliza un modelo puramente cuántico que incluya la resolución de la ecuación de Schrödinger para la función de onda. Este nuevo planteo, el cual se engloba en la rama de la física denominada mecánica cuántica, no considera al electrón moviéndose en órbitas perfectamente definidas (como plantea Bohr), sino más bien plantea el movimiento del electrón en una región difusa alrededor del núcleo denominada nube electrónica. A continuación, se describen en más detalle los principales conceptos del modelo atómico propuesto por la mecánica cuántica. La función de onda

Según la mecánica cuántica, con cada partícula se encuentra asociada una función de onda, Ψ ( x, y , z, t ) . La interpretación de la función de onda es tal que la probabilidad por unidad de volumen de hallar a la partícula en una región del espacio es proporcional al cuadrado de su función de onda. Más precisamente, siendo la función de onda una función de variable compleja se cumple que dicha probabilidad, denotada por P, se obtiene mediante: P=

∫ Ψ ( x , y , z, t )

R

2

dR

(1.61)

donde R es la región del espacio cuya probabilidad de encontrar a la partícula en su interior es P. Para cualquier sistema en que la energía potencial sea independiente del tiempo y dependa solo de la posición de las partículas dentro del sistema, la

42


función de onda será también independiente del tiempo, es decir, Ψ = Ψ ( x, y ,z ) . En el año 1926, Erwin Schrödinger propuso una ecuación de onda la cual describe la manera en que la función de onda varía en el espacio. Al analizar el comportamiento de un sistema cuántico (como por ejemplo el átomo) es necesario determinar la solución de esta ecuación y aplicarle las condiciones de contorno apropiadas. Así, la solución proporciona las funciones de onda para las partículas en el sistema (como por ejemplo, los electrones) y los niveles de energía permitidos. La ecuación de Schrödinger en coordenadas cartesianas, aplicada a una partícula de masa m que interactúa con su entorno por medio de una función de energía potencial U ( x , y , z ) , es: −

h 2 ⎛⎜ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + + ∂y 2 ∂z 2 2 m ⎜⎝ ∂x 2

⎞ ⎟ +U Ψ = E Ψ ⎟ ⎠

(1.62a)

donde E es la energía total del sistema. En el estudio del átomo de Hidrógeno, la función energía potencial es solo una función del radio r dada por: U (r ) = −

1 e2 4 π ε0 r

(1.62b)

Debido a la simetría esférica del problema, es conveniente tratar con la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas. Se muestra una representación del sistema de coordenadas esféricas en la Figura 1.20.

Figura 1.20: sistema de coordenadas esféricas

La transformación de coordenadas necesaria es extremadamente compleja y escapa al interés de este texto. Se presenta directamente la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en coordenadas esféricas:

43


−

h 2 ⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎜⎜ r ⎢ 2 m ⎢⎣ r 2 ∂r ⎝ ∂r

⎞ 1 1 ∂ 2Ψ ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ⎤ ⎟⎟ + ⎜⎜ senθ ⎟⎟ ⎥ + + ∂θ ⎠ ⎥⎦ ⎠ r 2 sen 2 θ ∂φ 2 r 2 senθ ∂θ ⎝ +U Ψ = E Ψ

(1.63)

La resolución de la ecuación de Schrödinger no será llevada a cabo debido a su complejidad, aunque se brindan los lineamientos generales de su resolución en el Apéndice B. En cambio se procederá a explicar las soluciones ya conocidas. Así, la solución a la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas resulta separable en variables y por lo tanto la función de onda Ψ = Ψ ( r , θ , φ ) puede representarse mediante la forma: Ψ ( r ,θ ,φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ )

(1.64)

donde R, Θ y Φ son funciones de una sola variable, r, θ y φ , respectivamente. Reemplazando la Ec. (1.64) en la ecuación (1.63) se obtienen tres ecuaciones diferenciales para las funciones R, Θ y Φ . Resolviendo estas tres ecuaciones diferenciales y aplicando las condiciones de contorno adecuadas, se obtienen las soluciones para las funciones R, Θ y Φ . Estas soluciones se encuentran caracterizadas por tres números cuánticos n, l, y ml, diferentes para cada estado energético del átomo. Interpretación de los números cuánticos

Como se comentó anteriormente, a diferencia del modelo de Bohr, la mecánica cuántica no considera al electrón moviéndose en órbitas definidas. En cambio, lo considera moviéndose en una zona difusa del espacio, denominada comúnmente nube electrónica. La forma y distribución de la nube electrónica se encuentra determinada enteramente por la función de onda Ψ ( r , θ , φ ) y por lo tanto por los números cuánticos (n, l, y ml). Sólo a manera de ejemplo, se muestran en la Figura 1.21 dos configuraciones particulares de la nube electrónica obtenidas a partir de diferentes combinaciones de (n, l y ml).

Figura 1.21: distribuciones de la nube electrónica para diferentes configuraciones de los números cuánticos (n, l y ml)

44


Número cuántico principal (n)

Se encuentra asociado con la ecuación radial R ( r ) . Esta ecuación lleva a funciones radiales que permiten calcular la probabilidad de encontrar el electrón a una cierta distancia radial del núcleo. A partir de la ecuación radial, las energías de los estados permitidos en el átomo de Hidrógeno pueden ser obtenidas en función del número cuántico principal n: e2 1 13.6 En = − [eV ] = − 2 [eV ] ; n = 1, 2, 3, … 2 8 π ε 0 r0 n n

(1.65)

Nótese que los estados energéticos permitidos obtenidos a partir de la mecánica cuántica coinciden con los estados obtenidos por el modelo de Bohr [ver Ecs. (1.55) y (1.56)]. Número cuántico órbital (l)

De acuerdo con la mecánica cuántica un átomo cuyo número cuántico principal es n no puede tomar cualquier valor de magnitud de momento angular, sino solamente cantidades discretas determinadas por el número cuántico órbital l, según: L = l (l + 1) h ; l = 0, 1, 2, …, n - 1

(1.66)

Nótese que l solo puede tomar valores enteros desde 0 hasta n – 1. Dados estos valores permitidos de l, puede verse que L = 0 (correspondiente a l = 0) es un valor factible de momento angular órbital. Este estado puede interpretarse como un movimiento con simetría esférica del electrón pero sin un eje de rotación fundamental, sino mas bien con un movimiento caótico alrededor del núcleo atómico. Número cuántico magnético órbital (ml)

La cantidad de movimiento angular (cuantizada en magnitud por el número cuántico órbital l) es una cantidad vectorial. Dado que el electrón es una carga en movimiento alrededor del núcleo genera un momento magnetico, el cual se denota como μ . Para entender el rol que juega el número cuántico ml debe recordarse que ciertas líneas espectrales de algunos elementos se desdoblan en varias líneas al someter a los átomos a campos magnéticos. Ahora, supóngase que se somete a los átomos a un campo magnético externo. Según la mecánica cuántica, existirán direcciones permitidas para el vector de momento magnético, μ , con respecto a la dirección del campo magnético aplicado, B. Se denota a la dirección del campo B como z. Dado que el vector de momento magnético y el de momento angular se relacionan mediante μ = ( e / 2 m e ) L , puede razonarse que las direcciones del vector de momento angular se encuentran también cuantizadas. El número cuántico magnético órbital determina la cuantización de la proyección del vector de momento magnético L sobre la dirección z, que denotamos Lz y responde a:

45


L z = m l h ; ml = -l, …, 0, 1, 2, …, l

(1.67)

En la Figura 1.22 se esquematiza el vector de momento angular para el caso l = 2. Se observa que, la proyección en la dirección z (dirección del campo magnético aplicado) del vector L toma valores cuantizados por el número cuántico m l .

Figura 1.22: esquema del vector de momento angular, L, para l = 2

El desdoblamiento de las líneas espectrales en presencia de campos magnéticos puede explicarse a partir del modelo atómico obtenido según la mecánica cuántica. Al colocar el átomo en un campo magnético de amplitud B y dirección z, la energía total del átomo aumenta. El aumento de energía corresponde a la energía adicional derivada de la interacción del campo magnético B y el momento magnético μ , la cual viene dada por: E ml = μ ⋅ B =

e

2 me

L ⋅B =

e

2 me

ml h B

(1.68)

Por lo tanto, la energía total del átomo en presencia de un campo magnético esta dada por la suma de la Ec. (1.65) y la Ec. (1.68).

E n ,m l = −

e2

1

8 π ε 0 r0 n 2

+

e 2m

ml h B

(1.69)

Entonces, en presencia de un campo magnético, para un mismo estado energético base determinado por n se tendrán en realidad 2 l + 1 estados energéticos diferentes, lo que dará lugar a 2 l + 1 líneas espectrales. Reglas de selección para transiciones entre estados La mecánica cuántica también especifica la forma en que las transiciones entre estados energéticos diferentes tienen lugar. Aunque no se darán mayores detalles, se dirá que no todas las transiciones entre estados energéticos están permitidas. Solo aquellas transiciones que cumplan las condiciones Δl = ± 1 y Δml = 0 , ± 1 son posibles. 46


Número cuántico de espin Los tres números cuánticos que se analizaron hasta ahora surgen directamente de la solución de la ecuación de Schrödinger aplicada al átomo. Sin embargo, experimentos subsecuentes demostraron que estos tres números no son suficientes para caracterizar el estado energético total de un átomo. Entre 1921 y 1924, Stern y Gerlach, realizaron una serie de experimentos con la finalidad de comprobar la cuantización espacial (cuantización del momento magnético, ml). Sus resultados presentaron ciertas diferencias cuantitativas respecto de los resultados teóricos esperados. En sus experimentos, un haz de átomos de Plata dirigidos a través de un campo magnético no uniforme se dividía en dos componentes discretas. Se muestra en la Figura 1.23 un esquema del dispositivo utilizado por Stern y Gerlach.

Figura 1.23: dispositivo utilizado por Stern y Gerlach

El haz de átomos neutros de Plata es generado evaporando Plata en un horno. El haz es colimado en el diafragma y enviado a través del campo magnético no uniforme para impactar finalmente en una placa fotográfica. Debido a que los átomos son neutros, la única fuerza actuando sobre ellos es la debida a la interacción entre el momento magnético μ y el campo magnético aplicado. El haz dentro del campo magnético no uniforme experimenta una fuerza debido a la interacción del momento magnético μ y el campo aplicado, cuya magnitud depende de la orientación de μ . En consecuencia, el haz debía desdoblarse en una cantidad igual al número de orientaciones posibles del momento magnético, al atravesar la región de campo magnético. Según la mecánica cuántica, el número de líneas que debían visualizarse sobre la placa fotográfica correspondería a la cantidad (2 l + 1), la cual coincide con el número de cuantizaciones del momento magnético μ . Dado que l es un entero, el valor (2 l + 1) siempre es impar. Sin embargo, Stern y Gerlach observaron un número par de líneas. Además, cualquiera sea el valor de l, el caso ml = 0 debería estar siempre presente. A partir de esto, era de esperarse una línea sobre la placa fotográfica correspondiente a átomos que no sufrieran deflexión. Sin embargo, esto no se observó en el experimento. Los experimentos fueron repetidos por Phipps y Taylor en el año 1927 pero con átomos de Hidrógeno. Los resultados fueron nuevamente coincidentes con los de Stern y Gerlach.

47


Para intentar explicar estas observaciones Goudsmit y Uhlenbeck propusieron que el electrón posee una cantidad de movimiento angular propio, un espin intrínseco, además de su momento angular órbital. En otras palabras, el electrón en un estado energético dado por el número cuántico n contiene tanto una contribución órbital L como una contribución de espin S. De las experiencias y consideraciones teóricas, se concluyó que el momento magnético de espin puede tomar dos valores para la dirección z (correspondiente a la dirección del campo magnético aplicado): 1 Sz = ± h 2

(1.70)

Esto da lugar al cuarto número cuántico denominado número cuántico de espin, ms, que puede tomar los valores ms = ± 1/2. Notación espectroscópica y principio de exclusión Por razones históricas, se dice que todos los estados que poseen el mismo número cuántico principal forman una capa. Las capas se identifican con las letras K, L, M, …., que designan los estados para los cuales n = 1, 2, 3, … De igual manera, se dice que todos los estados que poseen los mismos valores de n y l forman una subcapa. Las letras s, p, d, f, g, h, … se utilizan para designar las subcapas para las cuales l = 0, 1, 2, 3, 4, … Por ejemplo el estado 3p corresponde a n = 3 y l = 1, y el 2s corresponde a n = 2 y l = 0. La especificación de los valores n y l para un electrón atómico se denomina configuración electronica. La configuración electrónica de los electrones en un átomo se caracteriza a partir del llamado principio de exclusión propuesto por Wolfgang Pauli y de la regla de Hund propuesta por Friedrich Hund. El principio de exclusión postula que: no puede haber dos electrones en el mismo estado cuántico; por lo tanto, dos electrones del mismo átomo no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (n, l, ml, ms). Por otro lado, la regla de Hund establece la forma en que los electrones se distribuyen alrededor del átomo. A partir de esta regla puede considerarse la estructura electrónica de los átomos como una sucesión de niveles energéticos. Los electrones se ubican en la capa de menor energía. A medida que las capas inferiores se llenan, los electrones ocupan las capas subsiguientes. Cuando una capa se llena, el siguiente electrón se coloca en la subcapa de menor energía desocupada. 1.5. RADIACIÓN LÁSER 1.5.1. Emisión espontánea y estimulada

Se ha estudiado en las secciones precedentes que un electrón en cierto estado energético absorbe y emite radiación electromagnética solo dentro de las frecuencias que corresponden a la diferencia de energía entre los estados permitidos. Para ver esto con más detalle, considérese un átomo con los niveles de energía permitidos E1 y E2, con E1 < E2. En condiciones normales la mayoría de los átomos en un material se encuentran en el estado base (E1). Cuando incide radiación sobre el átomo, solo aquellos fotones cuya energía 48


( h ν ) sea exactamente igual a la diferencia de energía entre los dos niveles del átomo podrán ser absorbidos por el mismo. Este proceso es conocido como absorción estimulada y se representa esquemáticamente en la Figura 1.24. Nótese que, las líneas horizontales representan estados energéticos.

Figura 1.24: absorción estimulada de un fotón y excitación del átomo

Una vez que el átomo se encuentra en estado excitado (E2), queda inestable y puede realizar una transición a un estado mas estable de menor energía emitiendo un fotón en el proceso, tal y como se esquematiza en la Figura 1.25. Este proceso es conocido como emisión espontánea, ya que se produce de forma espontánea sin requerir de una estimulación externa que produzca dicha transición.

Figura 1.25: emisión espontánea de un fotón y desexcitación del átomo

Alternativamente a la emisión espontánea, también puede darse el fenómeno de emisión estimulada. Para entender este proceso de desexcitación, considérese la Figura 1.26. En este esquema se observa un átomo inicialmente en estado excitado. Imagínese que durante el intervalo de tiempo en el que el átomo se encuentra en este estado un fotón de energía h ν = ΔE = E 2 − E 1 incide sobre el átomo. Pueden darse dos situaciones posibles: i) si la energía del fotón incidente es suficiente puede arrancar el electrón, ionizando el átomo; o ii) la interacción entre el fotón y el átomo provoca que este último vuelva al estado base, emitiendo en el proceso un nuevo fotón de energía h ν = ΔE = E 2 − E 1 . En este ultimo proceso, el fotón incidente no es absorbido; por lo tanto luego de la emisión estimulada, existirán dos fotones, el emitido a raíz de la desexcitación y el incidente, ambos de igual 49


energía. La particularidad del proceso de emisión estimulada, radica en que ambos fotones (el incidente y el emitido) no solo poseen igual energía ( ΔE = E 2 − E 1 ), sino que además ambos fotones viajan en fase, en la misma dirección y se encuentran idénticamente polarizados.

Figura 1.26: emisión estimulada y desexcitación del átomo 1.5.2. Equilibrio térmico e inversión de población

La distribución de estados energéticos en un sistema compuesto por un conjunto de átomos en ausencia de una fuente de energía externa se encuentra gobernada enteramente por la temperatura del sistema de acuerdo a la distribución de Boltzmann. Según Boltzmann, en un sistema atómico, el número N1 de átomos en el estado energético E1 se relaciona con el número N2 de átomos en estados E2, según: N1 N2

−

=e

( E 1 −E 2 ) kB T

(1.71)

donde kB es la constante de Boltzmann. La distribución de Boltzmann [Ec. (1.71)] predice que a una temperatura dada, el número de átomos en un estado energético decae exponencialmente con el valor de energía del estado. Un sistema que cumple la ecuación de Boltzmann se denomina sistema en equilibrio térmico. En un sistema de este tipo, el número de átomos en estados energéticos base es siempre mayor al número de átomos en estados excitados. Considérese ahora, la situación en donde se inyecta energía a un sistema en equilibrio térmico para causar un exceso de átomos en estados excitados. Esta situación donde el número de átomos en estados excitados excede el número de átomos en estados base se denomina condición de inversión de población. Normalmente, para lograr la condición de inversión de población, el estado excitado debe ser un estado metaestable, es decir, debe poseer un tiempo de vida mucho mayor al tiempo de un estado excitado de vida corta (aproximadamente 10-8 [seg.]) de modo de permitir cierta acumulación de átomos en estados excitados. El proceso de aporte de energía para lograr la inversión de población se denomina bombeo. Existen numerosas formas de bombeo, por ejemplo eléctrico, óptico, térmico, químico, etc., en función de la forma de aportar energía al sistema atómico.

50


1.5.3. Láser

La luz láser [por sus siglas en inglés: Light Amplification by Stimulated Emissión of Radiation (amplificación de luz por emisión estimulada de radiación)] posee ciertas características especiales que la hacen útil para diversas aplicaciones. Estas características son: - Coherencia: los ondas individuales de luz en un láser conservan una relación de fase fija entre si, con lo cual no existe interferencia destructiva entre las distintas ondas electromagnéticas. - Monocromaticidad: tiene un rango muy limitado de longitudes de onda. - Pequeño ángulo de divergencia: aun a grandes distancias, el haz láser se dispersa muy poco. - Polarización. El proceso por el cual se genera la luz láser subyace en el mecanismo de emisión estimulada. Supóngase que un átomo se encuentra en un estado excitado E2 (como se esquematiza en la Figura 1.26) y que sobre el incide un fotón de energía h ν = ΔE = E 2 − E 1 . Como se describió en las secciones anteriores, el fotón incidente puede estimular al átomo para que vuelva al estado base, emitiendo un fotón de igual energía, fase, dirección y polarización que el fotón incidente. El fotón incidente no es absorbido, por lo que al terminar la emisión estimulada se tienen dos fotones. A su vez, estos fotones pueden estimular a otros átomos a emitir, produciendo un proceso en cadena que genere una amplificación en el número de fotones de igual longitud de onda, fase, frecuencia y polarización. Se muestra un esquema basico de producción de luz láser en la Figura 1.27.

Figura 1.27: amplificación de luz por emisión estimulada de radiación (Láser)

Básicamente, un láser consta de un tubo o una cavidad dentro de la cual se sitúan los átomos constituyentes del medio activo. Para estudiar las condiciones en las que se lleva a cabo el fenómeno de amplificación de fotones, deben definirse las siguientes cantidades:

51


r abs = B12 N 1 ρ

(1.72a)

r em = B 21 N 2 ρ

(1.72b)

r esp = A 21 N 2

(1.72c)

donde rabs [fotones / seg.] es la tasa de absorción estimulada de fotones; rem [fotones / seg.] es la tasa de emisión estimulada; resp [fotones / seg.] es la tasa de emisión espontánea; B12 y B21 son las constantes de proporcionalidad para la absorción y emisión estimulada respectivamente; N1 y N2 son el número de átomos en estado base y en el estado excitado; ρ es el número de fotones dentro de la cavidad con energía h ν = ΔE = E 2 − E 1 ; y A21 es la constante de proporcionalidad para la emisión espontánea. Normalmente, se cumple B12 = B21 = B, es decir, los fenómenos de absorción y emisión estimulada son equiprobables. El fenómeno de amplificación de fotones ocurre si se cumplen las siguientes dos condiciones: r em r abs r em r esp

=

=

B N2 ρ B N1 ρ B N2 ρ A 21 N 2

=

=

N2 N1 Bρ A 21

>1

(1.73a)

>1

(1.73b)

La Ec. (1.73a) resulta una condición necesaria que se logra a partir de la condición de inversión de población. La restricción en la Ec. (1.73b) se relaciona con el tiempo de vida del estado excitado. Para estados metaestables la relación B / A21 aumenta respecto a estados de vida corta. Adicionalmente, para lograr grandes valores de la relación rem / resp se utilizan espejos de modo de hacer pasar numerosas veces el flujo de fotones por dentro de la cavidad, generando grandes valores de ρ. Debe cumplirse una condición adicional de sintonización con el objetivo de generar ondas estacionarias dentro de la cavidad con nodos en los extremos de la misma. Se evita así la interferencia destructiva de las ondas que viajan longitudinalmente dentro de la cavidad. Esto se logra mediante la restricción:

L=α

λ 2

(1.74)

donde λ es la longitud de onda del láser y α es un número entero. La descripción anterior permite razonar el modo de operación de un láser. En primera instancia, se logra la condición de inversión de población mediante el bombeo producido por una fuente de energía externa. Las primeras emisiones espontáneas en los átomos del medio activo generan fotones, los

52


que producen la emisión estimulada en otros átomos excitados. Los fotones que se mueven en la dirección longitudinal se encuentran sintonizados con la cavidad por lo que se reflejan sucesivamente en los espejos de los extremos, generando cada vez mayor cantidad de emisión estimulada. Por el contrario, los fotones que se mueven en direcciones diferentes a la longitudinal, se extinguen con el tiempo. En conclusión, se genera amplificación de fotones solo en la dirección longitudinal de la cavidad. Si bien parte de los fotones pueden ser absorbidos por los átomos en el estado energético base, la relación rem / rabs resulta mayor a la unidad por lo que existe siempre una mayor cantidad de fotones que se generan por emisión estimulada respecto de los que se absorben. De igual forma, y debido a que la relación rem / resp es mayor a la unidad, existe también una mayor cantidad de fotones que se generan por emisión estimulada respecto de los generados mediante la emisión espontánea. Por lo tanto, el efecto neto es el de amplificación de los fotones de igual dirección, energía, polarización y fase. Finalmente, el espejo de reflexión parcial permite la transmisión de cierta cantidad de fotones hacia el exterior de la cavidad, los cuales constituyen el haz láser propiamentedicho. 1.5.4. Láser gaseoso de Helio-Neón

El láser de He-Ne consiste básicamente de un tubo de vidrio dentro del cual se sitúa una mezcla de Helio y Neón a baja presión (aproximadamente 0.001 [atm.]). El bombeo se realiza mediante un sistema de descarga eléctrica. Se aplica una diferencia de potencial de alrededor de 1,500 [V] al tubo generando una descarga eléctrica al sobrepasarse la resistencia dieléctrica del gas. La descarga eléctrica excita los átomos de Helio y de Neón a diferentes estados excitados.

Figura 1.28: transiciones energéticas involucradas en la amplificación de fotones en el láser de He-Ne

Algunos átomos de Helio excitados (aquellos con energía especifica de 20.61 [eV], configuración 2s) no pueden volver al estado base emitiendo un fotón, debido simplemente a que tal transición no cumple la regla de selección (Δl = ± 1). Por lo tanto, estos átomos solo pueden volver al estado base colisionando con los átomos de Neón y transfiriendo su energía a estos últimos. Este proceso excita los átomos de Neón hacia un nivel de energía superior (el

53


objetivo es excitar los electrones en el estado 2p y alcanzar el nivel 5s del Neón de energía 20.66 [eV]). Se muestra en la Figura 1.28 un esquema de los niveles energéticos involucrados. Se observa en la figura que el efecto de amplificación se logra con la emisión estimulada desde el nivel 5s hasta el nivel 3p (transición permitida, Δl = 1). La energía del fotón emitido es ΔE = (20.66 – 18.69) [eV] = 3.1562×10-19 [J] y su longitud de onda λ = 632.8 [nm].

54


CAPÍTULO 2 NÚCLEO ATÓMICO Y DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA 2.1. INTRODUCCIÓN

En el año 1896, el físico francés Henri Becquerel descubrió accidentalmente que ciertos compuestos de Uranio son capaces de emitir radiaciones de un tipo desconocido hasta ese momento. Este descubrimiento impulsó a muchos otros científicos a intentar explicar este fenómeno y a estudiar las características de tal radicación. Entre los aportes mas significativos se destacan los trabajos realizados por Pierre y Marie Curie, quienes determinaron que las radiaciones emitidas por los elementos radioactivos no resultan una consecuencia de una reacción química, sino que es una propiedad propia del átomo en cuestión. En 1911, Rutherford y sus colaboradores Marsden y Geiger, realizaron experimentos que demostraron que la radiación emitida por las sustancias radiactivas corresponde básicamente a tres tipos: rayos alfa, beta y gamma; los cuales se clasificaron en función de la naturaleza de su carga eléctrica, y de su capacidad de penetrar la materia y de ionizar aire. Experimentos posteriores demostraron que los rayos alfa están constituidos por átomos de Helio doblemente ionizados (núcleos de Helio), los rayos beta por electrones, y los rayos gamma por fotones de alta energía. El mismo Rutherford realizó los experimentos de dispersión de partículas alfa detallados en el Capítulo 1. Estos experimentos pusieron de manifiesto que la mayor parte de la masa de un átomo se encuentra concentrada en una pequeña porción, a la cual denominó núcleo atómico. En este Capítulo se estudia la estructura nuclear y el fenómeno de desintegración radiactiva. En primer lugar se describe el núcleo atómico y se definen las principales variables utilizadas para caracterizarlo, como por ejemplo, el número atómico y el número de masa. Se presentan y describen las fuerzas nucleares responsables de mantener unidas a las partículas subatómicas constituyentes del núcleo. Se define también el concepto de decremento de masa y se estudian los criterios de estabilidad de los núcleos atómicos. Finalmente, se presentan los distintos tipos de decaimiento radiactivo que pueden sufrir los núcleos inestables, y se describen las distintas leyes utilizadas para caracterizarlos. 2.2. EL NÚCLEO ATÓMICO

El comportamiento químico de los diversos elementos esta condicionado enteramente por el número de electrones que tienen los átomos y el modo en que tales electrones se encuentran distribuidos en los diferentes niveles energéticos (lo cual se estudio en el Capítulo 1). Los fenómenos estudiados por la física clásica, física atómica, física cuántica, la química, y la fisicoquímica, tienen lugar generalmente en el espacio que rodea al núcleo, ocupado por la nube electrónica, y se refieren al comportamiento y propiedades de los átomos, derivados de los electrones órbitales y su distribución.

55


Por el contrario, los fenómenos que interesan a la física nuclear tienen lugar en el núcleo atómico o se originan en el. Como se describió en el Capítulo 1, el núcleo es la parte central del átomo y es donde se encuentra concentrada casi toda su masa. Su carga eléctrica es positiva y múltiplo entero de la unidad de carga fundamental, 1e = 1.6021×10-19 [c]. El radio del núcleo atómico varia desde el orden de 10-15 [m] para el Hidrógeno, hasta 10-14 [m] para los átomos mas pesados. Empíricamente, el radio nuclear puede obtenerse aproximadamente mediante la expresión: R n = 1.5 A 1 / 3 × 10 −15 [ m ]

(2.1)

donde A es el llamado número de masa del elemento en cuestión (el cual se describe en los párrafos sucesivos). Dado que el volumen del núcleo es proporcional a R n3 , es decir a A, y que la masa del núcleo resulta también proporcional a A, puede razonarse fácilmente que la densidad del núcleo es aproximadamente constante para todos los elementos. Todos los núcleos atómicos se encuentran constituidos por protones y neutrones, excepto el núcleo del Hidrógeno, que esta constituido solo por un protón (no posee neutrones). La masa de un protón es de 1.6724×10-27 [Kg], la cual resulta 1,836 veces la masa del electrón. Su carga eléctrica es positiva e igual en magnitud a la carga del electrón. Los protones responden por el total de la carga positiva del núcleo atómico. Los neutrones por su parte son partículas nucleares eléctricamente neutras y poseen una masa de 1.6747×10-27 [Kg]. El núcleo atómico se describe mediante el número de protones y neutrones que posee, utilizando las cantidades siguientes:

A Z

i)

Número atómico, Z: igual al número de protones en el núcleo (conocido también como el número de carga).

ii)

Numero de neutrones, N.

iii)

Numero de masa, A: igual al numero de nucleones (neutrones mas protones, Z + N) en el núcleo.

Al representar un núcleo atómico, resulta conveniente utilizar el símbolo X para indicar cuantos neutrones y protones tiene, siendo X el símbolo

56 químico del elemento en cuestión. Por ejemplo, el 26 Fe tiene un número de masa de 56 y un numero atómico de 26, por lo tanto posee 26 protones y 30 neutrones. En general puede omitirse el subíndice Z ya que siempre puede determinarse a partir del símbolo químico del elemento. Entonces, para el 56 56 Fe y frecuentemente se lo identifica como 26 Fe suele utilizarse la notación “Hierro-56”.

56


2.2.1. Generalidades

Nomenclatura y terminología Al igual que en cualquier otro campo de la ciencia, la física nuclear utiliza una serie de términos y símbolos, necesarios para definir en forma clara algunos entes de participación muy frecuente en los fenómenos nucleares. En el apartado anterior ya se presentaron los números Z y N, los cuales representan respectivamente el número de protones y de neutrones del núcleo. De igual forma se definió al número de masa A, como el número total de nucleones en el núcleo. Adicionalmente, se define el llamado número isotópico (frecuentemente conocido como exceso de neutrones) a la cantidad obtenida mediante (N – Z) = (A – 2 Z). Una especie atómica definida por su número de masa (A), su carga nuclear (Z) y el estado energético de su núcleo, se denomina Nucleido. En el apartado anterior pudo verse que anotando el símbolo químico de un elemento se determina su número atómico (Z). Por ejemplo, al anotar C (Carbono), que ocupa el 6º lugar en la tabla periódica, se define a cualquiera de los nucleidos naturales o artificiales que contengan 6 protones en su núcleo. Todos ellos tienen las mismas propiedades químicas debido a que estas están determinadas básicamente por el número y la distribución de electrones en el átomo. Se distingue entre los distintos nucleidos agregando el símbolo indicador del número de neutrones del núcleo. De este modo, anotamos el número de masa como superíndice a la izquierda del símbolo químico. Siguiendo con el ejemplo del Carbono, los nucleidos de 6 protones serán: 10C, 11 C, 12C, 13C, 14C, y 15C. Por ultimo, para distinguir entre átomos que difieren solo en el estado energético del núcleo, se suele agregar a continuación del número de masa la letra m. Si los estados de excitación para el elemento en cuestión son dos, se distinguen según m1 y m2. Por ejemplo, para el Cobalto de número de masa A = 60, pueden existir dos variantes: 60mCo y 60Co. Aquellos nucleidos capaces de emitir radiaciones originadas en su núcleo, ya sean corpusculares o electromagnéticas, se denominan nucleidos inestables, radioactivos o radionucleidos. Se conocen en la actualidad 1,500 nucleidos diferentes, de los cuales 265 son formas estables de los elementos naturales; los restantes son inestables y emiten radiaciones hasta decaer en nucleidos estables. De los nucleidos inestables, alrededor de 65 se encuentran presente en la naturaleza y constituyen principalmente los elementos mas pesados. Un ejemplo muy popular es el Uranio-235, 235U. Dos nucleidos pueden tener la misma carga nuclear (igual número de protones) pero poseer diferente número de neutrones y por lo tanto distinto número de masa; a estos nucleidos se los denomina isótopos del elemento en cuestión. Por ejemplo, 10C, 11C, 12C, 13C, 14C, y 15C, son isótopos de Carbono. Debido a que los isótopos de un elemento poseen la misma cantidad de protones (y por lo tanto poseen igual número de electrones) responden a un mismo comportamiento químico, y de allí el nombre que se les da; isótopos, que significa igual lugar (en la tabla periódica). De forma similar, se denominan isómeros, a los nucleidos que poseen igual número de masa y número atómico; y solo se diferencian por su estado energético. Un ejemplo ya visto es el de los isómeros del Cobalto-60: 60Co y 60m Co.

57


Composición isotópica de los elementos Existen elementos que en estado natural se encuentran constituidos por un solo isótopo, como es el caso del Al (aluminio), el Co (cobalto), y el P (fósforo). Sin embargo, la mayoría de los elementos se componen de varios isótopos. Se denomina abundancia al porcentaje en número con el que un isótopo determinado interviene en el elemento en cuestión en la naturaleza. Salvo algunas excepciones, la abundancia relativa de los isótopos que constituyen un elemento es la misma independientemente de su origen. Por ejemplo, en la naturaleza, el Hierro (Fe) posee cuatro isótopos estables mezclados en la siguiente proporción: 5.82% 54Fe; 91.66% 56Fe; 2.19% 57Fe; y 0.33% 58Fe. Es decir que, de cada 10,000 átomos de Hierro existentes en la naturaleza, 582 son de 54Fe; 9,166 son de 56Fe; 219 de 57Fe; y 33 son de 58Fe. La composición isotópica del Oxígeno resulta de gran importancia ya que se utiliza para establecer relaciones entre diferentes escalas de peso atómico. Para el Oxígeno, se tienen las siguientes proporciones para sus isótopos: 99.759% 16O; 0.037% 17O; y 0.204% 18O. La abundancia relativa de los isótopos de un elemento puede variarse en cierta medida. Por ejemplo, para algunos elementos, se ha logrado separar un isótopo casi totalmente. Aumentar la proporción de un isótopo determinado se denomina comúnmente como enriquecimiento. Esta separación o enriquecimiento se logra mediante el aprovechamiento de las ínfimas diferencias en el comportamiento físico o fisicoquímico de los distintos isótopos derivado de la diferencia de masa de sus núcleos. Algunos métodos de separación utilizados son: deflexión electromagnética (similar al principio utilizado en los espectrómetros de masa), centrifugación, difusión gaseosa, difusión térmica, destilación, electrólisis, e intercambio iónico. La diferencia en las propiedades físicas o fisicoquímicas de dos isótopos puede caracterizarse mediante la diferencia entre las relaciones carga / masa de los diferentes isótopos. Por ejemplo, la diferencia entre la relación carga / masa para el Hidrógeno (carga / masa = 1) y su isótopo Deuterio (carga / masa = 0.5) resulta de 0.5. Por otro lado, dicha diferencia calculada para el Uranio-235 (carga / masa = 92 / 235) y el Uranio-238 (carga / masa = 92 / 238) resulta en 0.005. De aquí que aumentar la abundancia del Uranio-235 resulte muy dificultoso, debido a que las diferencias en las propiedades físicas de sus isótopos resultan realmente muy pequeñas. Peso y masa atómica La masa de un átomo resulta una cantidad extremadamente pequeña, en comparación con las unidades utilizadas usualmente, y por lo tanto deben definirse unidades alternativas que resulten adecuadas para caracterizarla. Con tal fin, se define a la antigua unidad de masa atómica (o simplemente [uma]) como la 1 / 16 parte de la masa de un átomo de Oxígeno-16. Esta magnitud es utilizada para establecer la denominada escala de pesos atómicos físico o la llamada masa atómica precisa. Sin embargo, actualmente se utiliza la escala de pesos atómicos moderna, la cual considera como unidad de masa atómica (o simplemente [u])

58


a la 1 / 12 parte de la masa del isótopo de Carbono-12. Por lo tanto a este nucleido en la nueva escala física se le asigna el peso atómico 12. La tabla periódica presenta la denominada masa atómica química, obtenida a partir de la escala moderna de pesos en escala física, teniendo en cuenta la abundancia relativa de cada isótopo. Por ejemplo, para el Oxígeno se tienen las siguientes abundancias y masas en escala física moderna: 99.759% 16O de masa 15.994915 [u] 00.037% 17O de masa 16.999132 [u] 00.204% 18O de masa 17.999160 [u] Por lo tanto la masa atómica química para el Oxígeno será: 0.99759 15.994915 [ u ] + 0.00037 16.999132 [ u ] + + 0.00204 17.99916 [ u ] = 15.9994 [ u ]

(2.2)

Un método directo y preciso para determinar las masas atómicas de un elemento es mediante la espectrometría de masa. En esta técnica se genera vapor del elemento a analizar (mediante un arco voltaico producido mediante alto voltaje) y se lo introduce en una región de campo eléctrico. Los iones en el gas, de carga q (positiva) y masa m, son acelerados por el campo eléctrico. Si los iones atraviesan una diferencia de potencial ΔV , habrán adquirido una energía cinética dada por: E = ΔV q =

1 m v i2 2

(2.3)

donde vi es la velocidad del ión. A partir de la Ec. (2.3) se obtiene la velocidad final del ión mediante: vi =

2 ΔV q m

(2.4)

Si el mismo ión se introduce con esa velocidad a una región de campo magnético homogéneo de magnitud B y dirección perpendicular a su velocidad, éste experimentará una fuerza en la dirección perpendicular tanto a su velocidad como a la dirección del campo magnético aplicado (la dirección de la fuerza viene dada por la conocida regla de la mano derecha). Puede verse en la Figura 2.1 un esquema del proceso de interacción ión campo magnético, donde las cruces indican que el campo magnético se encuentra aplicado en la dirección perpendicular a la hoja y en sentido entrante a la misma.

59


Figura 2.1: esquema de interacción ión-campo magnético en una espectrografía de masa

Como consecuencia de la fuerza ejercida por el campo magnético, el ión experimentara una trayectoria circular de radio R bajo la acción de una aceleración centrípeta, la cual responde a la segunda ley de Newton:

F =ma=m

v i2 = q B v i2 R

(2.5)

Despejando el radio y teniendo en cuenta la Ec. (2.4), se obtiene:

R=

m 2 m vi = qB qB

2 ΔV q 1 = m B

2 ΔV q/m

(2.6)

Finalmente, de la Ec. (2.6) se despeja la relación q / m, obteniéndose:

q/m =

2 ΔV

R2 B2

(2.7)

Los iones acelerados se detectan al impactar sobre una placa fotográfica, de donde se obtiene su deflexión. Mediante un análisis sencillo se calcula el radio y a partir de la Ec. (2.7) se obtiene q / m. Conociendo la carga q pueden obtenerse las masas atómicas de los distintos isótopos del elemento analizado. 2.2.2. Fuerzas nucleares

Como se comentó en los apartados anteriores, el núcleo se encuentra básicamente compuesto de protones y neutrones, los cuales pueden considerarse como estados de una misma especie, el nucleón. El núcleo se considera una colección de protones y neutrones empacados muy apretadamente. En vista de que las cargas de un mismo signo (los protones) en proximidad sufren enormes fuerzas de repulsión de tipo coulombiana, resulta sorprendente que el núcleo permanezca “unido”. Esto ocurre debido a la existencia de otro tipo de fuerza, la fuerza de atracción nuclear. La fuerza nuclear (también conocida como fuerza del campo mesónico) es una fuerza atractiva que exhibe una alta magnitud cuando se ejerce entre nucleones a corta distancia. De esta forma, si bien los protones se encuentran sometidos a la repulsión coulombiana, también se encuentran atraídos por acción de la fuerza nuclear. La fuerza nuclear resulta independiente de la carga, es decir

60


que las fuerzas nucleares asociadas a la interacción protón-protón, protónneutrón y neutrón- neutrón resultan iguales e independientes de las fuerzas repulsivas de tipo coulombianas. En la Figura 2.2 se muestra la energía potencial de interacción, U, entre nucleones en unidades arbitrarias y en función de la distancia de separación entre los nucleones. La Figura 2.2a) muestra las interacciones neutrón-protón y neutrón-neutrón, mientras que la Figura 2.2b) presenta la interacción protónprotón.

Figura 2.2: energía potencial de interacción en función de la distancia de separación en un sistema neutrón-protón o neutrón-neutrón) (a) y protón-protón (b)

El pequeñísimo rango de acción de las fuerzas nucleares puede observarse en la Figura 2.2a), donde se evidencia que la energía potencial de interacción toma valor cero por encima de unos pocos fm. Además, si la separación cae por debajo de un valor cercano a los 0.5 [fm] se observa una fuerte componente de repulsión. En el caso de la interacción protón-protón el análisis resulta distinto ya que a la interacción debido a las fuerzas nucleares se suma la interacción por repulsión coulombiana. De la Figura 2.2b) se observa que a grandes distancias de separación, el efecto neto es de repulsión, como concecuencia a la interacción coulombiana. Por otro lado, si la separación es en exceso pequeña el resultado neto también es de repulsión. Solo a distancias comprendidas entre aproximadamente 0.5 y 3 [fm] el efecto neto resulta de atracción. Adicionalmente, al balance de fuerzas en el núcleo debe sumarse la fuerza atractiva de tipo gravitacional entre nucleones, pero esta resulta de muy bajo valor debido a las pequeñísimas masas implicadas y por lo tanto puede despreciarse. Solo para tener una idea, para una distancia de separación entre protones de aproximadamente 2 [fm], la energía de repulsión coulombiana resulta de 0.72 [MeV], la energía de atracción nuclear resulta de -8 [MeV], mientras que la energía de atracción gravitacional es de aproximadamente -5.8×10-37 [MeV] (despreciable en comparación con las otras dos fuerzas). 2.2.3. Decremento de masa y energía de amarre nuclear

Para cualquier elemento se demuestra que la masa total del núcleo atómico es inferior a la suma de las masas de los nucleones que lo componen. Por lo tanto existe un decremento en la masa del sistema atómico al pasar de los

61


nucleones constitutivos al núcleo atómico. Sabiendo esto y considerando por un momento la equivalencia entre masa y energía descrita por la famosa ecuación obtenida por Albert Einstein:

E =m c2

(2.8)

puede razonarse entonces que la energía total del conjunto de nucleones unidos (formando el núcleo atómico) es inferior a la energía combinada de los nucleones disgregados debido simplemente a que posee menor masa. Este cambio o déficit de energía puede ser calculado utilizando la Ec. (2.8). A esta diferencia de energía se la conoce como energía de amarre o de ligadura del núcleo, Eb, y representa la cantidad de energía que se debe aportar al núcleo para separarlo en sus nucleones constitutivos. Realizando un sencillo balance de masa y considerando la equivalencia entre masa y energía expresada en la Ec. (2.8) puede obtenerse el valor de la energía de amarre nuclear, mediante:

E b = ( Z m p + N m n + Z m e - M A ) 931, 494 MeV / u

(2.9)

donde mp es la masa del protón; mn es la masa del neutrón; me es la masa del electrón; MA es la masa atómica del núcleo; y 931,494 [MeV] es la energía [obtenida mediante la Ec. (2.8)] asociada a una unidad de masa atómica [u].

Figura 2.3: energía de amarre por nucleón, E b / A

62


En la Figura 2.3 puede verse una gráfica de la energía de amarre nuclear por nucleón, E b / A , en función del número de masa A para núcleos con A < 238. Es importante notar que aunque aquí se considere a la energía de amarre E b como un valor positivo en realidad se trata de una cantidad negativa, ya que es necesario entregar energía al núcleo para disgregarlo en sus nucleones constitutivos. Se observa en la Figura 2.3 que la energía de amarre por nucleón posee 56 un máximo cercano a A = 56, correspondiente al 26 Fe . A partir del analisis de la figura se concluye que aquellos núcleos con números de masa mucho mayores o mucho menores a A = 56 no están unidos con tanta fuerza respecto de aquellos en la cercanías de A = 56. Esta gráfica permite explicar la liberación de energía que se produce durante los procesos de fusión (unión) y / o fisión (disgregación) nuclear. Si dos núcleos livianos se fusionan para dar un núcleo más pesado se producirá una liberación de energía debido a la diferencia entre las energías de amarre por nucleón del producto de fusión (más pesado) respecto de los núcleos livianos. De igual modo, durante la fisión de un núcleo pesado se producirán dos fragmentos mas livianos y una liberación de energía debido a la diferencia entre las energías de amarre por nucleón para los productos de fisión respecto del elemento pesado. La cantidad E b / A se utiliza frecuentemente como un indicativo de la estabilidad nuclear. De la Figura 2.3, para A > 50 la energía de amarre por nucleón posee una variación muy pequeña (para un incremento en A de casi 200, E b / A varia aproximadamente en 1 [MeV]). En esta zona se dice que las fuerzas nucleares se encuentran saturadas. Esto se justifica considerando que las fuerzas nucleares actúan a pequeñas distancias, y por lo tanto cada nucleón puede formar uniones atractivas solo con un número limitado de otros nucleones. De esta forma, el aumento en el número de nucleones no producirá un aumento considerable en la energía de amarre por nucleón. Aquellos nucleidos con números de masa apreciablemente mayor que A = 238 exhiben energías de amarre por nucleón menores a la exhibida por el núcleo de Helio (7.07 [MeV / nucleón]). Estos núcleos son energéticamente inestables y tienden a emitir partículas alfa (núcleos de He) aumentando así su energía de amarre por nucleón y estabilizándose. 2.2.4. Modelos nucleares

Se han propuestos diferentes modelos del núcleo atómico, los cuales se han utilizado para comprender y explicar los fenómenos observados experimentalmente y los mecanismos responsables de las energías de amarre. El modelo de la gota de líquido proporciona una buena concordancia con las energías de amarre observadas experimentalmente, sin embargo no puede explicar ciertas observaciones respecto de otros aspectos del núcleo. Un modelo más complejo basado en la mecánica cuántica, el modelo de capas, fue capaz de explicar las principales características del núcleo atómico.

63


Modelo de la gota de líquido Este modelo, atribuido a Bohr, propone tratar a los nucleones como moléculas en una gota de líquido incompresible y de densidad elevada (1014 [g / cm3]). Así, los nucleones interactúan con fuerza entre sí, sufriendo frecuentes colisiones conforme “zigzaguean” de un lugar a otro dentro del núcleo. Este movimiento de zigzagueo es similar al movimiento de agitación térmica de las moléculas en una gota de líquido. Este modelo estipula la existencia de cinco efectos principales, los cuales determinan la energía de amarre del núcleo.

El efecto de volumen: de la Figura 2.3 puede verse que para A > 50, la energía de amarre por nucleón es aproximadamente constante. Esto indica que la fuerza nuclear de un nucleón dado se debe únicamente a unos cuantos vecinos cercanos y no a todos los nucleones presentes en el núcleo. Entonces, en promedio, la energía de amarre asociada con la fuerza nuclear para cada nucleón es la misma en todos los núcleos: la asociada a la interacción con unos cuantos vecinos. Esto puede traducirse como si la energía de amarre total del núcleo resultara proporcional a A y, por lo tanto, al volumen nuclear. Según estas consideraciones, la contribución del efecto del volumen sobre la energía de amarre viene dada por la expresión: E = C1 A

(2.10)

donde C1 es una constante ajustable que puede obtenerse a partir del ajuste de las predicciones del modelo a los datos experimentales.

El efecto superficie: dado que los nucleones de la superficie del núcleo poseen menor cantidad de vecinos que los del interior, los nucleones superficiales reducen la energía de amarre en una magnitud proporcional a su número. El número de nucleones superficiales resulta proporcional al área de superficie del núcleo, que considerado esférico, viene dada por S = 4 π r 2 . Dado que r 2 ∝ A 2 / 3 [ver Ec. (2.1)] se obtiene la contribución del efecto de superficie como: E = −C 2 A 2 / 3

(2.11)

donde C2 es una segunda constante ajustable y el signo negativo indica que este efecto tiene una contribución negativa sobre la energía de amarre. El efecto de repulsión de Coulomb: cada protón repele a los otros protones en el núcleo y en concecuencia reduce la energía de amarre total del núcleo. La energía potencial correspondiente a cualquier par de protones en interacción es igual a k e e 2 / r siendo k e = 1 / (4 π ε 0 ) la constante de Coulomb. La energía potencial eléctrica total es equivalente al trabajo requerido para ensamblar Z protones, inicialmente separados por una distancia infinita, en una esfera de volumen V, igual al volumen

64


nuclear. Esta energía es proporcional al número de pares de protones Z ( Z - 1) / 2 y es inversamente proporcional al radio nuclear. Por lo tanto, la reducción en la energía de amarre como consecuencia del efecto de repulsión de Coulomb vendrá dado por: Z ( Z - 1)

E = −C 3

A 1/ 3

(2.12)

donde C3 es una constante ajustable. El efecto de simetría: otro efecto que reduce la energía de amarre esta relacionado con la simetría del núcleo en función de los valores N y Z. Para pequeños valores de A, los núcleos estables tienen tendencia a poseer N ≈ Z . Cualquier asimetría de importancia entre N y Z para núcleos ligeros reduce notablemente la energía de amarre. Para A más grandes, el valor de N para núcleos estables es naturalmente mayor que Z. Este efecto puede ser traducido en términos de la energía de amarre mediante: E = −C 4

(N - Z ) 2 A

(2.13)

Para A pequeño, cualquier asimetría entre N y Z hace que el segundo término en la Ec. (2.13) sea relativamente grande y reduzca fuertemente la energía de amarre. Para valores grandes de A, se necesitan asimetrías mayores para lograr reducciones apreciables de la energía de amarre. El efecto de apareamiento: finalmente, se tiene en cuenta que las configuraciones mas estables se obtienen para N y Z pares. Puede demostrarse que el efecto de apareamiento de protones y neutrones puede representarse por un quinto término de la forma: E = C5

1

A2

(2.14)

donde C5 cumple con: Z N A par par par C5>0 impar par impar 0 par impar impar 0 impar impar par C5<0

Sumando las contribuciones de los cinco efectos se llega a la expresión para la energía de amarre nuclear:

65


E b = C1 A - C 2 A

2/3

-C3

Z ( Z - 1) A 1/ 3

-C4

(N - Z ) 2 A

+C5

1 A2

(2.15)

Esta ecuación se denomina comúnmente como la fórmula semiempirica para la energía de amarre. Ajustando los datos experimentales de la Figura (2.3) se obtienen las constantes Ci (i = 1, …, 5). Se han propuesto diferentes métodos para determinar las constantes en la Ec. (2.15). Se detalla a continuación un conjunto particular de parámetros: C1 = 15.835 [MeV]; C2 = 18.33 [MeV]; C3 = 0.714 [MeV]; C4 = 23.2 [MeV]; y C5 = 11.2 [MeV]. A modo de ejemplo, 56 Fe (A = 56, Z = 26 y N = 30). Para este nucleido la energía considérese el 26 de amarre por nucleón obtenida experimentalmente es de aproximadamente 8.8 [MeV]. El valor calculado a partir de la Ec. (2.15) es de 8.76 [MeV], el cual resulta una muy buena aproximación. Repitiendo para el 125 B cuya energía de amarre por nucleón es de aproximadamente 6.63 [MeV], se obtiene mediante la Ec. (2.15) el valor 6.66 [MeV]. Modelo de capas

El modelo de la gota de líquido describe aceptablemente el comportamiento general de las energías de amarre nuclear. Sin embargo, al estudiar las energías de amarre con mayor detalle se encuentran ciertas características que no pueden ser explicadas por el modelo de la gota de líquido. Por ejemplo: •

La Figura 2.4 muestra la diferencia entre la energía de amarre por nucleón obtenida mediante la Ec. (2.15) y la obtenida experimentalmente, en función del número de neutrones N. Se observa en la figura la existencia de picos de gran estabilidad a valores de N = 28, 50, 82, 126. Extendiendo la gráfica a valores menores de N, se observarían estos picos a valores N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Se conocen a estos valores de N como números mágicos.

Figura 2.4: diferencia entre la energía de amarre por nucleón medida y calculada según la Ec. (2.15)

66


•

Estudios de alta precisión de los radios nucleares muestran diferencias con la expresión simple de la Ec. (2.1).

•

Algunas otras propiedades de los núcleos atómicos muestran ciertas anomalías en aquellas configuraciones correspondientes a los números mágicos.

El modelo de capas logro explicar estas observaciones. En este modelo se supone que cada nucleón se mueve en una capa, similar a la capa atómica para el electrón descrita en el modelo atómico de la mecánica cuántica. Los nucleones existen solo en estados de energía cuantizados, existiendo pocas colisiones entre ellos. Los estados cuantizados se obtienen mediante la resolución de la ecuación de Schrödinger. A partir de este modelo, los niveles energéticos del núcleo se caracterizan por un juego de números cuánticos y la forma en que estos niveles energéticos son completados por los nucleones responde al principio de exclusión de Pauli, de la misma forma que los niveles electrónicos en el modelo atómico de la mecánica cuántica. Este modelo permite justificar cualitativamente la razón por la cual los núcleos estables en los nucleidos de bajo A exhiben igual cantidad de neutrones y de protones. Para ello, debe saberse que los neutrones y protones, al igual que los electrones, exhiben un momento angular intrínseco, el cual puede interpretarse como producido por la rotación de los nucleones sobre su propio eje. Se caracteriza a este momento angular intrínseco mediante un número cuántico de espin cuyo valor puede ser ± 1/2. A partir de esto y considerando el principio de exclusión puede razonarse que cada estado órbital dentro del núcleo solo puede contener dos neutrones o dos protones de espines opuestos. Cuando se tiene un estado completo, con dos protones o dos neutrones, el agregado de un protón o neutrón adicional resulta en un aumento de la energía del núcleo debido a que este nuevo nucleón debe ocupar el estado energético contiguo superior. Por ejemplo, si se compara al 12 12 5 B con el 6 C puede razonarse que el séptimo neutrón en el Boro debe ocupar un estado energético superior, ya que los estados inferiores fueron completados por los 6 neutrones restantes. En consecuencia, el 125 B exhibe mayor energía que el

12 6C

y por lo tanto resulta mas inestable.

2.2.5. Carta de nucleidos y estabilidad nuclear

Frecuentemente se representa en una sola figura los valores de las principales propiedades de los nucleidos, ordenándolos según su número atómico Z y su número de masa A o el número de neutrones N. La representación más frecuente se lleva a cabo en un sistema de coordenadas N vs. Z; es decir, número de neutrones en el eje de abscisas y número de protones en el eje de ordenadas, representándose a cada nucleido en una posición mediante una casilla o recuadro. En cada recuadro se indican brevemente las propiedades más relevantes de los nucleidos (por ej., abundancia, periodo de semidesintegración, energía de las radiaciones emitidas, etc.), señalándose en

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colores los tipos de desintegración que presentan. Se conoce a esta figura como la Carta de Nucleidos. En la carta de nucleidos con coordenadas N vs. Z, todos los isótopos de un elemento (nucleidos con igual Z) quedan posicionados en una fila horizontal. Para los nucleidos que se encuentran al comienzo de la tabla periódica, los núcleos estables son aquellos que poseen igual o similar número de protones que de neutrones (4He, 12C, 14N, 16O, 20Ne, 24Mg, 28Si) y por lo tanto poseen una relación N / Z próxima a la unidad. Estos nucleidos se encuentran cercanos a la línea posicionada a los 45º en la carta de nucleidos. Por encima del Ca (Z = 20, N = 20) no existe ningún núcleo estable que posea igual número de neutrones que de protones, y esto se explica considerando que si Z aumenta, las fuerzas repulsivas coulombianas aumentan mas rápidamente que las fuerzas atractivas nucleares. En esta situación, el número de neutrones debe aumentar en relación al número de protones con la finalidad de aumentar la distancia promedio entre los protones dentro del núcleo, reduciendo la fuerza de repulsión coulombiana según la ley inversa del cuadrado de la distancia. Por esta razón, la zona donde se encuentran los núcleos estables en la carta de nucleidos se encuentra cercana a la bisectriz Z = N para los núcleos livianos y se va alejando gradualmente para los núcleos pesados (dado que N > Z en núcleos pesados estables). Según la descripción anterior la relación N / Z puede utilizarse para determinar la estabilidad de un núcleo, pues en general hay solo un pequeño rango de valores para N / Z sobre los cuales pueden existir nucleidos estables. Por ejemplo, el Estaño posee Z = 50 (número mágico), y tiene isótopos estables desde A = 112 a A = 124. El valor de la relación N / Z para este caso tiene un rango desde 1.24 a 1.48. Si la relación N / Z es pequeña, es decir, si el núcleo es pobre en neutrones, resulta inestable y tenderá en este caso a disminuir Z y aumentar N. Esto se lleva a cabo ya sea mediante conversión de un protón en un neutrón con emisión de un positrón (partícula similar a un electrón pero de carga positiva), o mediante captura de un electrón órbital y la posterior conversión de un protón en un neutrón. Si un núcleo posee una relación N / Z elevada, es decir, es rico en neutrones, también será inestable y decaerá para llevar dicha relación a un valor cercano a la zona de estabilidad. Deberá por lo tanto disminuir N y aumentar Z, pudiendo realizarse esta acción mediante la conversión de un neutrón a un protón dentro del núcleo y emitiendo un electrón. En las secciones subsiguientes se darán mayores detalles sobre los procesos de emisión o captación de electrones y positrones por parte del núcleo. La estabilidad diagonal, indicada en la mayoría de las cartas de nucleidos, es una línea que une los núcleos más estables. A causa de que muchos elementos poseen varios isótopos estables, la posición de la línea a menudo resulta un compromiso, pero sin duda resulta una guía muy útil encontrándose a ambos lados de ella los nucleidos inestables. Razonando lo mencionado en los párrafos anteriores, la línea de estabilidad diagonal se ubica cercana a la bisectriz (N / Z = 1) para los elementos livianos y en la zona correspondiente a N / Z > 1 para los núcleos mas pesados. En la Figura 2.5 se presenta un esquema de una carta de nucleidos restringida a los valores de Z y N comprendidos entre [1 - 11] y [1 - 9],

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respectivamente. No es intención de este texto describir en detalle todas las reacciones de desintegración indicadas en la carta de nucleidos. En su lugar se indicaran solo aquellas reacciones de desintegración que serán abordadas en las secciones subsiguientes. La carta de nucleidos representa en recuadros negros los nucleidos estables, en azul los nucleidos emisores de partículas β − (electrones), en rojo los emisores β + (positrones) y los que experimentan captura electrónica (proceso representado por el símbolo ε ). Aunque no se incluyen en la Figura 2.5, en las porciones correspondientes a mayores N y Z, se representan en amarillo los emisores de partículas α , en verde los que sufren fisión espontánea, y en naranja los emisores de protones.

Figura 2.5: carta de nucleidos para Z y N comprendidos entre [1 - 11] y [1 - 9], respectivamente

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Para los nucleidos estables (recuadros negros) se indica en la porción superior del recuadro el símbolo del elemento junto con su número de nucleones (A). Inmediatamente por debajo se indica su abundancia isotópica en el elemento natural. En la porción inferior se indica la sección eficaz para los neutrones térmicos. Este último parámetro y la definición de neutrones térmicos serán abordados en Capítulos posteriores al estudiar las interacciones de los neutrones con la materia y las reacciones de fisión nuclear. Para los nucleidos emisores β − (recuadros azules) y β + (recuadros rojos) se indica en la porción superior del recuadro el símbolo del elemento junto con su número de nucleones. Inmediatamente por debajo se indica el periodo de semidesintegración del nucleido (el cual se describe en secciones posteriores). En la porción inferior se detalla la energía (en MeV) de las partículas β- o β+ emitidas, y cuando corresponde, se indica también la energía de los fotones γ emitidos (en KeV). Los recuadros en blanco principalmente especifican los elementos tal cual se detallan en la tabla periódica. Se indica en la porción superior el símbolo del elemento y el peso atómico en la porción inmediata inferior. En la parte inferior del recuadro se detalla la sección eficaz para los neutrones térmicos. Los recuadros donde no se indica el periodo de semidesintegración representan nucleidos inestables emisores de nucleones (por ejemplo, recuadros blancos donde se indica el nucleón emitido en la parte inferior) o nucleidos con propiedades de desintegración desconocidas. 2.3. DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

En el año 1896, Henri Becquerel descubrió por accidente que los cristales de sulfato de Potasio de uranilo emitían una radiación invisible que podía velar una placa fotográfica, aun cuando ésta se encontraba protegida de la luz. Luego de una serie de experimentos, determinó que esta radiación emitida se trataba de una radiación desconocida hasta el momento, que no requería de estimulación externa y que se trataba de una radiación tan ionizante que podía velar placas fotográficas protegidas e ionizar gases. Posteriormente Pierre y Marie Curie descubrieron otros elementos capaces de emitir este tipo de radiaciones. Llamaron a estos elementos Polonio y Radio, y al proceso de emisión de esta radiación se le dio el nombre de radioactividad. Posteriormente, Rutherford determinó que en los elementos y sustancias radioactivas se presentan básicamente tres tipos de emisiones: i) rayos alfa ( α ), consituidos por núcleos de He totalmente ionizado; ii) rayos beta ( β ), en el cual las partículas emitidas son electrones o positrones; y iii) rayos gamma ( γ ), consituidos por fotones de alta energía. Cabe aclarar que un positrón es una partícula similar al electrón en casi todos los aspectos, excepto que el positrón posee una carga eléctrica positiva de igual magnitud a la carga negativa del electrón. Se designará, cuando sea necesario, al electrón emitido por núcleos inestables como β − y al positrón como β + . Mediante el dispositivo esquematizado en la Figura 2.6 resulta sencillo distinguir los tres tipos de radiación descritos en el párrafo anterior. Con la disposición esquematizada (es decir, con un campo magnético en dirección entrante) se observa que la radiación se dividirá en tres: la componente de

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radiación gamma no sufrirá desvío al atravesar el campo magnético, ya que se trata de radiación fotónica sin carga eléctrica asociada; la componente de radiación alfa será desviada hacia arriba debido a su carga positiva (según la regla de la mano derecha); y por último la radiación beta será desviada hacia abajo si se trata emisión de electrones y hacia arriba si se trata de emisión de positrones. Cabe aclarar que la deflexión de las partículas alfa será mucho menor que la deflexión sufrida por las partículas beta, ya que la masa de las partículas alfa resulta muy superior. Para comprender más en detalle esta última observación, considérese la Ec. (2.6). El radio de la trayectoria circular experimentada por partículas cargadas dentro de un campo magnético es proporcional a la masa m y a la velocidad vi de la partícula. Para una partícula beta, la masa m resulta aproximadamente 8,000 veces mas pequeña que la de una partícula alfa. En consecuencia, el radio de la trayectoria para las partículas beta resulta menor que el correspondiente a las partículas alfa, lo cual deriva en mayores desviaciones sobre la placa fotográfica del dispositivo esquematizado en la Figura 2.6. Adicionalmente, cabe aclarar que aunque la mayor velocidad normalmente exhibida por las partículas beta tiende a aumentar el radio de la trayectoria respecto de las alfa [ver Ec. (2.6)], la misma resulta proporcional a la raíz cuadrada de la energía de la partícula. Por lo tanto, si las partículas alfa y beta exhiben energías similares, la mayor velocidad de estas últimas no es suficiente para compensar el efecto de su pequeña masa.

Figura 2.6: dispositivo para caracterizar los diferentes tipos de radiación 2.3.1. Esquemas de desintegración

Es conveniente representar los mecanismos de desintegración mediante gráficos sencillos que indiquen los elementos radiactivos involucrados, las partículas emitidas, las energías de los estados inicial y final, las variaciones de los números atómico y de masa, y las sustancias o elementos obtenidos luego de la desintegración. Esta clase de gráfico se denomina esquema de desintegración. A manera de ejemplo, la Figura 2.7 muestra un esquema de desintegración correspondiente al isótopo 64 Cu . En un esquema de desintegración como el de la Figura 2.7 el símbolo del nucleido madre se posiciona sobre un segmento de recta, indicándose entre paréntesis el periodo de semidesintegración (el significado del periodo de

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semidesintegración se detallará en secciones posteriores). Las desintegraciones o transiciones se indican mediante flechas dirigidas hacia otros segmentos de rectaque representan diferentes niveles energéticos. Cuando, como consecuencia de la desintegración, el número Z aumenta (emisión β − ) la flecha se inclina hacia la derecha; mientras que si el número Z disminuye (emisión alfa, emisión β + , captura electrónica C.E., etc.) la flecha se inclina hacia la izquierda; y por último, cuando Z no varía (emisión γ ) la flecha será vertical. Si el nucleido presenta más de un tipo de desintegración, se indica junto a las flechas el porcentaje correspondiente al tipo de desintegración. También se indica junto a cada flecha el tipo de desintegración ( α , β+, β-, etc.). Sobre los segmentos de recta de los estados resultantes de una desintegración, también se indica el símbolo del nucleido con su periodo de desintegración. Cuando los estados de energía son muy efímeros (tiempos de vida menor a 10-8 [seg.]) puede no indicarse la denominación ya que se considera un estado excitado del estado base o fundamental. Cuando varios núcleos del esquema poseen los mismos números Z y A, es decir, cuando hay estados excitados, se suele indicar con un valor al costado del segmento la energía correspondiente en MeV medida con respecto al estado fundamental (es decir, se asigna energía 0 [MeV] al estado fundamental). Por último, el esquema puede ir acompañado de los valores de energía liberada durante las distintas desintegraciones.

Figura 2.7: esquema de desintegración del Cobre-64 2.3.2. Desintegración alfa

Durante el decaimiento alfa, el núcleo pierde dos protones y dos neutrones (núcleo de He). En concecuencia, el nucleido resultante tendrá números atómicos (Z) y de masa (A) disminuidos en 2 y 4 unidades respectivamente. Designando a X como el símbolo del nucleido madre y como Y el del nucleido hijo, la desintegración puede esquematizarse mediante: A Z

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X→

4 2 He

+

A-4 Z - 2Y

+ Qα


Obviamente, las sumas de los subíndices y supraíndices en ambos miembros muestran un balance correcto. La emisión alfa es causada principalmente por repulsión coulombiana entre los protones del núcleo. Se manifiesta principalmente en núcleos pesados dado que la energía de repulsión coulombiana crece proporcionalmente al cuadrado de Z [ver Ec. (2.12)], mientras que la energía potencial de unión debido a fuerzas nucleares crece proporcional a A [ver Ec. (2.10)]. El hecho de que la repulsión coulombiana produzca la emisión de núcleos de 4He (partículas alfa) y no de otra agrupación de nucleones (como ser 5He o 6 Li) se debe básicamente a la enorme estabilidad de las partículas alfa respecto del resto de los núcleos livianos, y por lo tanto su emisión produce una gran liberación de energía y la estabilización del núcleo madre. Esto puede verse claramente en la Figura 2.3, donde se observa una energía de amarre por nucleón de 7.07 MeV para el núcleo de He, muy por encima de las energías de amarre observadas para los núcleos de similar Z y A. La energía liberada durante un decaimiento alfa, Q α , se manifiesta principalmente como energía cinética de la partícula alfa emitida, aunque una muy pequeña fracción de energía se manifiesta también como energía cinética de retroceso del núcleo hijo. Llamando p α y pY a la cantidad de movimiento de la partícula alfa y del núcleo hijo, respectivamente, y E α y E Y a sus energías cinéticas correspondientes, puede razonarse que: pα = mα v α ; E α =

pY = mY v Y ; E Y =

1 2 1 2

m α v α2

(2.16a)

mY v Y2

(2.16b)

donde m α y mY son las masas de la partícula alfa y el núcleo hijo respectivamente, y v α y v Y son sus respectivas velocidades. La ley de conservación de la cantidad de movimiento exige que: p α = m α v α = m Y v Y = pY

(2.17)

de donde: vY =

mα mY

vα

(2.18)

Además se tiene que: Qα =

1 2

m α v α2 +

1 2

mY v Y2

(2.19a)

Utilizando la Ec. (2.18) y reemplazándola en la (2.19a) se llega a:

73


Qα =

1 2

m α v α2

2

⎛ m α ⎞⎟ + mY ⎜ v α = ⎜ ⎟ 2 m Y ⎠ ⎝ 1

=

1 2

m α v α2

⎛ ⎜ 1+ m α ⎜ mY ⎝

⎞ ⎟=E α ⎟ ⎠

⎛ ⎜ 1+ m α ⎜ mY ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.19b)

En la Ec. (19b), debido a que m α es aproximadamente 4 [u] y mY es mayor a 200 [u] (ya que la emisión alfa se da principalmente en núcleos pesados), el factor ( 1+ m α / mY ) será de aproximadamente 1.02 (tomando como ejemplo un núcleo de 200 [u]); es decir que la energía cinética de la partícula alfa es menor que la energía total liberada en aproximadamente 2%. Ese 2% de energía es precisamente la energía cinética de retroceso del núcleo hijo. Una de las características principales del proceso de emisión alfa radica en el espectro discreto de las energías de las partículas alfa emitidas. Es decir, las partículas alfa emitidas por un nucleido dado, poseen energías discretas. En otras palabras, en una masa conteniendo por ejemplo átomos de 238U, se observa que todas las partículas alfa emitidas exhiben la misma energía. A manera de ejemplo, en la Figura 2.8 se observa el proceso de emisión alfa del Uranio-238.

Figura 2.8: esquema de desintegración del Uranio-238

Del esquema de desintegración puede verse que el 77% de los átomos de Uranio-238 decaen emitiendo partículas alfa de energía E α = 4.19 [MeV], pues Q α = 4.27 MeV [ver Ec. (2.19b)]. El restante 23% decae emitiendo partículas de energía E α = (4.19 - 0.048) [MeV] = 4.072 [MeV], quedando por momentos un núcleo hijo en estado excitado hasta que éste decae al estado fundamental emitiendo un fotón de radiación gamma de energía 0.048 [MeV]. 2.3.3. Desintegración beta

Algunos núcleos radiactivos emiten espontáneamente electrones y positrones. Entre los radionucleidos naturales sólo se ha observado la emisión de

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electrones, aunque se ha observado la emisión de positrones en algunos radionucleidos producidos artificialmente. Los electrones y positrones no se encuentran en el núcleo, sino que son creados en su interior en el instante en que son emitidos, mediante alguno de los dos procesos esquematizados a continuación: n → p + β−

;

p → n + β+

Análisis teóricos de conservación de la energía y cantidad de movimiento concluyen que al esquema anterior debe agregársele la emisión de una partícula denominada antineutrino o neutrino según se trate de la emisión de un electrón o un positrón, respectivamente. Durante un decaimiento beta, el número de nucleones no se modifica. Sin embargo el número de protones y neutrones varía en una unidad. En el caso de emisión β − el número Z aumenta en una unidad, según el proceso nuclear esquematizado arriba; mientras que en la emisión β + el número Z disminuye en una unidad. En forma más detallada, ambos tipos de emisión beta pueden describirse mediante: −

A Z

β X ⎯⎯ ⎯→ β − +

A Z

β X ⎯⎯ → β+ +

+

Y + ν + Qβ

A Z +1

Y + ν + Qβ +

A Z −1

Simultáneamente con la emisión de la partícula β − se emite otra partícula denominada antineutrino (simbolizada por ν ). En el caso de la emisión de partículas β+ se emite un neutrino ( ν ). Tanto el neutrino como el antineutrino poseen masas despreciables y no poseen carga eléctrica, sin embargo se llevan parte de la energía liberada durante el proceso de emisión beta en la forma de energía cinética. En el caso particular de la emisión de positrones, la partícula β + pierde su energía mediante interacciones con los átomos del entorno, produciéndose su desaceleración. En el momento en que el positrón detiene su marcha, interactúa con algún electrón del medio y se produce el fenómeno de aniquilación positrón - electrón. Durante esta aniquilación, se produce una conversión de las masas del positrón y el electrón a energía, en la forma de fotones gamma. Ambas partículas desaparecen, y se emiten dos fotones de energía 0.511 [MeV], en la misma dirección pero en sentido opuesto. Se muestra en la Figura 2.9 un esquema representativo de la emisión de una partícula β + y su posterior aniquilación.

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Figura 2.9: esquema de emisión de un positrón y posterior aniquilación con un electrón del medio

La emisión β − se presenta en nucleidos con una relación N / Z elevada. Durante la emisión de electrones, la relación N / Z disminuye, y el nucleido se acerca a un estado de mayor estabilidad (estado donde N ≈ Z). Por el contrario, en nucleidos con relación N / Z baja la emisión será de partículas β + de modo de aumentar la relación N / Z y acercarse a la zona de estabilidad. La Figura 2.10 muestra dos esquemas de desintegración correspondiente al decaimiento β − del Carbono-14 y β + del Sodio-22. El Carbono-14 es emisor de partículas β − decayendo al isótopo Nitrógeno-14 (estable). El número Z aumenta en una unidad, por lo que el diagrama se inclina hacia la derecha. El Sodio-22 emite partículas β + decayendo al isótopo Neón-22 (estable), aunque en un porcentaje muy bajo también decae mediante captura electrónica (C.E., se detalla en la sección siguiente). Z disminuye por lo que el diagrama se inclina hacia la izquierda. Puede verse que la gran mayoría de los átomos de Sodio decaen a un estado excitado del Neón-22, pasando en un periodo muy corto al estado base mediante emisión de un fotón gamma de 1.276 [MeV].

Figura 2.10: esquema de desintegración beta del Carbono-14 y del Sodio-22

Debido a que la masa de las partículas emitidas (electrón y antineutrino, o positrón y neutrino) son extremadamente pequeñas, la energía de retroceso del

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núcleo hijo es despreciable, por lo que casi la totalidad de la energía de la emisión beta se observará como energía cinética de las partículas emitidas. A diferencia de la emisión alfa, las energías de las partículas beta emitidas no poseen valores discretos, sino que se distribuyen en forma continua desde cero hasta un valor Emax característico de cada nucleido. Considérese una masa conteniendo numerosos emisores de partículas beta. Denotando como dNβ al número de partículas β emitidas con energías entre E y E+dE, puede observarse la distribución de energías en un gráfico que represente dNβ / dE en función de E. La Figura 2.11 muestra un diagrama cualitativo de esta distribución.

Figura 2.11: espectro energético continuo de partículas beta

El aspecto de la curva es aproximadamente el mismo para todos los emisores beta, habiendo pequeñas diferencias según se trate de emisión β − o β + . El hecho que el espectro de las partículas beta sea continuo, es decir, que las energías de los electrones emitidos no sean iguales aunque los núcleos emisores y núcleos hijos sean análogos, se encuentra en aparente contradicción con la ley de conservación de la energía. Fue por esta razón que Pauli, en 1927, postuló la existencia de otra partícula emitida durante el decaimiento beta, la cual se lleva parte de la energía emitida. Llamó a esta partícula neutrino en el caso de emisión β + y antineutrino en el caso de

emisión β − . La energía total liberada durante un proceso de decaimiento beta es discreta y esta dada por Emax. Esta energía se distribuye entre la partícula beta y el antineutrino (o el neutrino) de modo que sus espectros se encuentran relacionados. Debido a que los neutrinos y antineutrinos poseen masa muy pequeña y no poseen carga eléctrica, casi no interactúan con la materia, de modo que la energía transportada por ellos escapa al sistema observado, siendo en consecuencia extremadamente dificultosa su medición. Cuando el nucleido presenta más de un modo de desintegración, como el caso del Sodio-22 de la Figura 2.10, cada grupo de partículas beta de cada modo de desintegración tendrá asociado un espectro continuo de energías con un valor de Emax diferente.

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2.3.4. Captura electrónica

Durante un proceso de C.E. el núcleo captura un electrón de las capas órbitales mas internas de su sistema atómico. También suele denominarse a este proceso como captura K, aunque no siempre se captura un electrón de esta capa electrónica (pueden captarse también electrones de la capa L). El electrón capturado neutraliza la carga positiva de un protón, convirtiéndolo en un neutrón. Por lo tanto, el número de masa A no varía, mientras que el número Z disminuye en una unidad de forma análoga al caso del decaimiento β + . En forma más detallada, el proceso de decaimiento por captura electrónica puede representarse mediante: A Z

X + e − ⎯⎯⎯→ C .E .

A Y Z −1

+ ν + Q C.E .

Durante el proceso también se genera y emite un neutrino. Adicionalmente, debido a que queda un lugar vacante en la capa K (o en la capa L), un electrón de las capas superiores puede ocupar el lugar vacante mediante emisión de un fotón de radiación X característico (el término característico se debe a que la energía del fotón emitido resulta una característica del nucleido en cuestión). La energía total QC.E. es llevada casi en su totalidad por el neutrino emitido, siendo el resto correspondiente a la energía de retroceso del núcleo hijo y a la del fotón X emitido. En los casos en que el núcleo hijo resultante se encuentra en estado excitado, puede acompañar a la captura electrónica la emisión de un fotón gamma, como medio para desexcitar el núcleo hijo. La energía del fotón gamma también se computa en la energía total QC.E.. El espectro energético de los neutrinos emitidos durante la C.E. resulta monoenergético, al igual que el de las partículas alfa en un decaimiento alfa. Se muestra en la Figura 2.12 el esquema de desintegración por captura electrónica para el Arsénico-73. Se observa en el diagrama que como consecuencia de la captura electrónica se obtiene un isómero del Germanio-73, el cual mediante emisión de dos fotones gamma (de 0.054 y 0.013 [MeV]) decae al estado fundamental. Para el Arsénico-73, se obtiene emisión no solo del fotón X producido por la transición del electrón órbital luego de la captura, sino también de dos fotones gamma emitidos durante la desexcitación del núcleo de Germanio-73 excitado. Estos tres fotones pueden utilizarse como medio para evidenciar del proceso de captura electrónica, en el caso que quisiera detectarse o cuantificarse el fenómeno. Por el contrario, el Hierro-55 decae por captura electrónica a Manganeso-55 pero mediante la simple emisión del fotón X (es decir, no se obtienen estados excitados del núcleo hijo Manganeso). En este caso, la única evidencia del proceso de C.E. es el fotón X.

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Figura 2.12: desintegración por captura electrónica del Arsénico-73

El proceso de captura electrónica conduce al mismo resultado que la emisión β + y suelen presentarse simultáneamente en forma competitiva (véase por ejemplo el esquema de desintegración del Sodio-22 de la Figura 2.10). Desde el punto de vista energético, para que la captura electrónica sea equivalente a la emisión β + debe considerarse que al final del proceso de emisión beta el positrón emitido se desintegra, aniquilándose con un electrón y emitiendo dos fotones de 0.511 [MeV]. En la captura electrónica este proceso se lleva a cabo en el interior del núcleo. Por esta razón, cuando la emisión β + y la captura electrónica se presentan simultáneamente debe tenerse en cuenta que la energía QC.E. liberada excede a la energía Emax en el valor 1.022 [MeV]. Para no generar confusiones, se indicará siempre en los esquemas de desintegración donde coexistan los decaimientos β + o C.E. el valor QC.E. (como en el esquema de la Figura 2.10). Debe recordarse que en el caso de decaimiento β + y por C.E. simultaneo QC.E. resulta la suma de 1.022 [MeV], la energía Emax de la emisión β + , y las energías gamma de desexcitación de los núcleos hijos. Una conclusión que puede extraerse es que cuando QC.E. < 1.022 [MeV] no puede haber simultáneamente emisión β + . El ejemplo particular del Sodio-22 en la Figura 2.10 permite aclarar aun más estas cuestiones. En este esquema se presentan dos tipos de decaimiento, uno al estado base del 22Ne (constituido por el 0.06 % del total de los decaimientos) y otro a un estado excitado (el 99.94%). En la fracción del 0.06%, se presentan en forma competitiva los dos procesos: 11% de las desintegraciones por captura electrónica y 89% por emisión β + . La energía total liberada es QC.E. = 2.84 [MeV], de modo que las partículas β + mas energéticas (aquellas emitidas por el 89% del 0.06% de los núcleos) tendrán un Emax = (2.84 - 1.022) [MeV] = 1.82 [MeV]. Por otro lado, las partículas β + menos energéticas (emitidas por el 99.94% de los núcleos) tendrán un Emax = (2.84 - 1.022 - 1.276) [MeV] = 0.53 [MeV]. Una consideración adicional respecto a la captura electrónica. Se ha mencionado que luego del proceso de captura electrónica, se produce un

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acomodamiento de los electrones órbitales emitiéndose un fotón X. A veces sin embargo, no se emite ningún fotón X. En cambio, el equivalente en energía es transferido a un electrón órbital, el cual sale expulsado con un espectro monoenergético. Se denomina a estos electrones monoenergéticos como electrones Auger. 2.3.5. Emisión gamma

Ya se ha comentado en las secciones anteriores que las desintegraciones por emisión alfa, beta, y C.E., frecuentemente dan lugar a núcleos en estados excitados. La forma en que estos núcleos inestables alcanzan el estado fundamental (más estable) es emitiendo fotones gamma, con una o varias energías características. Los fotones gamma emitidos presentan pues un espectro discreto. La constante de Planck permite obtener la relación entre la energía del fotón gamma y la frecuencia de vibración o también con su longitud de onda: E γ = h ν = h c / λ . Los fotones γ pueden tener energías similares a los fotones X emitidos como consecuencia de transiciones de electrones órbitales. La diferencia de designaciones no se debe a su naturaleza o características de la radiación sino a su origen. Mientras que los rayos o fotones γ se originan en el núcleo atómico, los fotones X lo hacen en las capas electrónicas órbitales. La Figura 2.13 muestra el esquema de desintegración del Cobalto-60.

Figura 2.13: esquema de desintegración del Cobalto-60

Como puede observarse en la figura, el Cobalto-60 decae mediante emisión β − a Níquel-60. Casi inmediatamente después de la emisión de las partículas beta de Emax = 0.31 [MeV] se produce la emisión de dos fotones γ en cascada, de energías 1.17 [MeV] y 1.33 [MeV]. La energía total emitida resulta 2.81 [MeV]. Algunas pocas partículas β − (aproximadamente el 0.01%) se emiten con Emax = 2.81 [MeV]. 2.3.6. Transición isomérica

Como ya se comentó en secciones anteriores, se denomina isómeros a aquellos nucleidos que poseen iguales números Z y A, diferenciándose solo por

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su estado energético. Por lo general, el isómero de mayor energía decae al estado fundamental emitiendo uno o varios fotones gamma de energías características. Cuando el periodo de emisión gamma (tiempo de vida del isómero inestable) es muy corto (< 10-8 [seg.]), el fenómeno se considera como un proceso de desexcitación. Cuando el periodo es mayor a 10-8 [seg.] se denomina a la transición del estado excitado al fundamental como transición isomérica y ambos nucleidos, el metaestable y el fundamental, son designados como par isomérico. Dado que en este tipo de proceso, el tiempo de vida en el que el isómero metaestable se encuentra excitado es apreciable, puede darse la competencia entre el proceso de transición isomérica y otros procesos de decaimiento, como por ejemplo el decaimiento beta. En la Figura 2.14 se muestra el esquema de desintegración del Antimonio-124. En dicha representación se observa que el Antimonio posee tres isómeros inestables, de los cuales dos corresponden a estados excitados.

Figura 2.14: esquema de desintegración del Antimonio-124 2.3.7. Conversión interna

Los núcleos excitados pueden emitir fotones gamma para alcanzar el estado fundamental. Sin embargo, a veces la desexcitación se logra entregando la energía a un electrón órbital, generalmente de la capa K (pero también de las capas L o M). A este proceso se lo denomina conversión interna y los electrones expulsados suelen denominarse electrones de conversión. El proceso de conversión interna no es un proceso fotoeléctrico, es decir, el electrón expulsado no interactúa con un fotón. La expulsión del electrón de conversión se produce como resultado de la interacción directa entre el electrón y el campo nuclear, sin que medie radiación alguna. Los procesos de emisión gamma y conversión interna, son competitivos existiendo cierta probabilidad de ocurrencia para cada uno. La probabilidad total de desexcitación, PT, resulta la suma de la probabilidad de emisión gamma, Pγ , y de la probabilidad de conversión interna, PC.I.. PT = Pγ + PC.I.

(2.20)

81


Se denominan coeficientes de conversión interna, α , a los coeficientes obtenidos mediante: αK =

PC.I.,K Pγ

; αL =

PC.I.,L Pγ

; L

(2.21)

donde PC.I.,K es la probabilidad de conversión interna con la capa K, PC.I.,L con la capa L, y así sucesivamente. El coeficiente de conversión total se obtiene mediante la siguiente suma: α = αK + αL + αM + L

(2.22)

Considérese como ejemplo el caso del Cesio-137 cuyo esquema de desintegración se presenta en la Figura 2.15.

Figura 2.15: esquema de desintegración del Cesio-137

El Cesio-137 decae a Bario-137 mediante emisión beta. El Bario-137 posee dos isómeros. La desexcitación del isómero excitado se produce principalmente mediante emisión de un fotón gamma de energía 0.662 [MeV]. Pero, adicionalmente también se produce desexcitación mediante conversión interna con las capas K, L, M, y N, según los siguientes coeficientes de conversión: α = 0.14; α K = 0.114; α L = 0.021; y α M+ N = 0.005. Posteriormente al proceso de conversión interna, se produce la emisión de fotones X como consecuencia del reordenamiento de los restantes electrones órbitales. Los electrones de conversión no llevan toda la energía de desexcitación del núcleo, debido a que debe emplearse una cierta cantidad de energía para remover el electrón del átomo. Llamando Elig a la energía de ligadura del electrón con el átomo, la energía total del electrón de conversión, Ee, será: E e = E γ − E lig

(2.23)

En aquellos casos donde la energía del estado excitado no es suficiente para desligar al electrón en la capa K (es decir, E γ < E lig ), la conversión interna suele darse con electrones de las capas más externas con energías de ligadura

82


menores. Por ejemplo, la transición isomérica del Iridio-192m al Iridio-192 implica energías de 0.058 [MeV]. Tal energía es insuficiente para arrancar un electrón de la capa K; entonces la conversión interna se da con los electrones de la capa L. 2.4. LEYES DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA 2.4.1. Constantes de desintegración

La velocidad de desintegración o rapidez con que se produce el decaimiento de los núcleos inestables varía enormemente según el nucleido en cuestión. Independientemente del tipo de decaimiento nuclear el proceso de desintegración no puede acelerarse ni retardarse por ningún procedimiento químico o físico conocido. El decaimiento radiactivo es de naturaleza probabilística. En el caso de muestras de tamaño macroscópico (es decir, muestras que involucran gran cantidad de núcleos) es posible obtener expresiones analíticas para describir el número de núcleos que experimentan decaimiento en función del tiempo. Sin embargo, para muestras de tamaño microscópico (pocos núcleos) tales expresiones pueden no funcionar satisfactoriamente. Para grandes cantidades de núcleos radioactivos, la rapidez a la cual ocurre un proceso particular de decaimiento en una muestra es proporcional al número de núcleos presentes (es decir, el número de núcleos que todavía no han sufrido decaimiento). Llamando N(t) al número de núcleos radioactivos sin decaer presentes en la muestra al tiempo t, la tasa de cambio de N(t) vendrá dada por: dN ( t ) dt

= − λ N (t )

(2.24)

donde λ [1/seg.] es conocida como la constante de decaimiento y puede interpretarse como la probabilidad de decaimiento de un núcleo en la unidad de tiempo. El signo negativo en la Ec. (2.24) se debe a que N(t) disminuye con el transcurso del tiempo (es decir, para un dt positivo se observan dN negativos). La Ec. (2.24) puede reescribirse separando variables, como: dN N

= − λ dt

(2.25)

Integrando ambos miembros en la Ec. (2.25), se obtiene: ln N = − λ t + K

(2.26)

donde K es una constante de integración que puede obtenerse conociendo las condiciones iniciales de la población de núcleos. Despejando N(t) de la Ec. (2.26) se llega a la expresión: N ( t ) = e − λ t +K = e − λ t e K = C e − λ t

(2.27)

83


donde C = e K es una constante, la cual puede determinarse mediante las condiciones iniciales. Para ello, suponiendo que al tiempo t = 0 existen N0 núcleos sin decaer, se obtiene finalmente: N (t ) = N0 e − λ t

(2.28)

La Ec. (2.28) muestra que la cantidad de núcleos inestables sin decaer disminuye exponencialmente con el tiempo t. En la Figura 2.16 se representa cualitativamente el número de núcleos en función del tiempo, en escala lineal y en escala semilogarítmica para el eje de ordenadas. Al ser la Ec. (2.25) una expresión puramente exponencial, se obtiene una recta cuando se representa a N(t) en escala semilogarítmica.

Figura 2.16: ley de decaimiento exponencial para núcleos radioactivos. a) escala lineal; b) escala semilogarítmica

Un parámetro de suma importancia y frecuentemente utilizado para caracterizar el decaimiento nuclear es el periodo de semidesintegración, T1/2, definido como el tiempo en el cual decaen la mitad de los núcleos presentes en la muestra. Utilizando la Ec. (2.28) puede obtenerse una expresión para T1/2, como sigue: 1/ 2 N 0 = N 0 e − λ T1/ 2

(2.29a)

de donde se obtiene: T 1/ 2 =

ln 2 λ

=

0.693 λ

(2.29b)

Se observa que T1/2 sólo depende de la constante de decaimiento λ y resulta independiente del número inicial de núcleos, N0. Transcurrido un tiempo igual a T1/2 permanecerán en la muestra ½ N0 núcleos sin decaer; luego de 2 T1/2 quedarán ¼ N0 núcleos; etc. De la Ec. (2.28) y de la Figura 2.15 puede verse que debería transcurrir un tiempo infinito para que decayera la totalidad de los

84


núcleos radioactivos; es decir, sin importar el tiempo transcurrido, la cantidad de núcleos radioactivos será diferente de cero. Otro parámetro de importancia y frecuentemente utilizado es la vida media τ , la cual resulta el tiempo de vida promedio de los nucleidos que se desintegran. τ puede obtenerse mediante: ∞

∞

∞

∫ t dN = ∫t =0 λ N t dt = ∫t =0 e τ = t =0 ∞

∫t =0 dN

∞

∫t =0 λ N dt

∞

−λ t

∫t =0 e

−λ t

t dt dt

=

1 λ

(2.30)

donde se ha utilizado la relación dN = λ N dt de la Ec. (2.25). Normalmente, interesa la radiación emitida por los núcleos y no el número de núcleos sin decaer presentes en una muestra. Por esta razón suele considerarse la velocidad de desintegración, también llamada actividad A(t), al número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo. Se obtiene mediante: A( t ) = −

dN ( t ) dt

= λ N 0 e − λ t = A0 e − λ t

(2.31)

donde se ha definido la actividad inicial (a t = 0) como A 0 = λ N 0 . La actividad A puede medirse en desintegraciones por segundo (dps) o por minuto (dpm), pero generalmente la actividad medida en estas unidades resulta en valores extremadamente grandes. Por esta razón se han definido unidades alternativas: el Curie (Ci) es la unidad de actividad mas antigua, la cual resulta como: 1 Ci = 3.7×1010 [des./seg.]. Alternativamente, la unidad SI para la actividad es el Becquerel (Bq) dado por: 1 [Bq] = 1 [des./seg]. Por lo tanto 1 [Ci] = 3.7×1010 [Bq]. Debido a que el Ci es una unidad relativamente grande, se utiliza con frecuencia el miliCurie (mCi) o el microCurie (μCi). Fechado por Carbono-14

Una aplicación muy conocida de la Ec. (2.31) se utiliza para establecer la antigüedad de muestras orgánicas. Para entender esta aplicación, debe saberse que los rayos cósmicos generan reacciones nucleares en la parte superior de la atmósfera produciendo continuamente el isótopo 14C. El 14C decae radiactivamente a 14N emitiendo partículas β − , con un período de semidesintegración de aproximadamente 5,730 años. La relación entre 14C y 12C en las moléculas de Dióxido de Carbono en nuestra atmósfera tiene un valor constante dado por: 14C / 12C=1.3×10-12. Los átomos de Carbono presentes en los tejidos de cualquier organismo viviente tienen esta misma relación ya que intercambian Dióxido de Carbono continuamente con el ambiente. Sin embargo, al morir, el organismo deja de absorber 14C de la atmósfera y por lo tanto, la relación 14C / 12C comienza a disminuir conforme el 14C decae. Por esto, es posible conocer la antigüedad de un material al medir la actividad del 14C restante en la muestra analizada.

85


A manera de ejemplo, considérese que un pedazo de 50 [g] de carbón mineral es encontrado entre las cenizas de una fogata en un templo antiguo. Se mide la actividad de la muestra y se obtiene A = 500 [des. / min.]. Con esta información, la pregunta que surge es: ¿Cuánto tiempo hace que esta muerto el árbol del que provino el carbón? Para responder este interrogante, puede utilizarse la Ec. (2.31). Conociendo la actividad inicial (al momento de la muerte del arbol) y actual de la muestra, puede despejarse el tiempo que ha trascurrido. Para llevar a cabo nuestro fechado por 14C, primero se debe calcular la constante de decaimiento del 14C. Dado que el periodo de semidesintegración es de 5,730 [años], puede obtenerse la constante de decaimiento a partir de la Ec. (2.29b), mediante: λ=

0.693 = 3.83 × 10 -12 [1 / seg.] 7 5,730 [años] 3.16 × 10 [seg. / año]

Posteriormente, debe obtenerse el número de núcleos de 14C inicialmente presentes en la muestra, N0. Para ello se procede en primer lugar a calcular el número de núcleos de 12C, N C 12 , en 50 [g] de Carbono, mediante: N C 12 =

6.023 × 10 23 [ núcleos / mol ] 12 [ g / mol ]

50 [ g ] = 2.50 × 10 24 [ núcleos ]

Además, se sabe que antes de su muerte, el árbol poseía una relación 14C / 12C de 1.3×10-12 (como todos los organismos vivientes). De aquí, se obtiene el número inicial de núcleos de 14C en 50 [g] de carbón (N0), mediante: N 0 = 1.3 × 10 −12 2.50 × 10 24 [ núcleos ] = 3.26 × 10 12

Por lo tanto, la actividad inicial de la muestra puede obtenerse de la Ec. (2.31) reemplazando t = 0, lo cual da: A0 = λ N 0 = 12.49 [des. / seg. ] = 749 [ des. / min .]

Finalmente, despejando de la Ec. (2.31) el tiempo, se obtiene: 1 ⎡ A t = − ln ⎢ λ ⎢⎣ A 0

⎤ ⎥ ⎥⎦

Reemplazando los valores de λ , de A0, y de A, se obtiene t = 1.05×1011 [seg.]=3.353×103 [años]. Es decir, el árbol murió hace 3,353 años. 2.4.2. Velocidad de conteo

Como se verá en el Capítulo 3, algunos detectores de radiación realizan el conteo en forma individual, de la radiación emitida. La cantidad medida se

86


denomina actividad medida o actividad aparente, I, y tiene unidades de [cuentas / tiempo]. Este valor medido resulta proporcional a la velocidad de desintegración real de la muestra A(t), denominándose eficiencia ε a la constante de proporcionalidad dada por: ε=

I (t )

(2.32)

A( t )

La eficiencia ε es básicamente la fracción de radiaciones emitidas por la muestra que efectivamente se miden en el detector. Lógicamente, ε dependerá de las características del detector, del tipo de radiación emitida, de la fuente emisora, y de la geometría del conjunto fuente-detector-medio. Puesto que la actividad aparente resulta proporcional a la actividad real de la fuente emisora, se cumple que: I ( t ) = I 0 e − λ t = ε A0 e − λ t = ε λ N 0 e − λ t

(2.33)

La Ec. (2.33) permite resolver dos de los problemas mas frecuentes: i) calcular la actividad (absoluta o aparente) de una fuente emisora en cualquier instante t, conociendo la actividad en el tiempo inicial t0 y el periodo o la constante de desintegración; y ii) calcular la actividad inicial conociendo la actividad al tiempo t (como por ejemplo, en el procedimiento de fechado por Carbono-14 detallado en la sección anterior). Por supuesto, para llevar a cabo la resolución de alguno de estos dos problemas, la eficiencia ε del detector debe ser conocida. 2.4.3. Mezcla de actividades simples

Cuando se tiene un solo nucleido en la muestra en estudio, la medida de la actividad aparente I en varios instantes de tiempo sucesivos permite determinar el tiempo de vida media del nucleido en cuestión. En efecto, representando ln (I) en función del tiempo se obtiene una gráfica lineal como la indicada en la Figura 2.17a). Considerando que ln (I) decrece en una cantidad ln (2) transcurrido el tiempo de semidesintegración T1/2, se puede obtener en forma gráfica el valor de T1/2. El problema se complica si en la muestra a analizar se tiene una mezcla de dos nucleidos diferentes [Figura 2.17b)]. Suponiendo que los tiempos de semidesintegración para cada nucleido, T1/2,1 y T1/2,2, presentan cierta diferencia apreciable, la grafica semilogarítmica ya no será una recta. Para esta situación se cumple que la actividad aparente vendrá dada por: I ( t ) = I 0 ,1 e − λ1 t + I 0 , 2 e − λ2

t

= ε 1 A 0 ,1 e − λ1 t + ε 2 A 0 , 2 e − λ2

t

(2.34)

donde λ1 y λ 2 son las constantes de decaimiento correspondientes a cada nucleido; A0,1 y A0,2 son las actividades de ambos nucleidos al tiempo t = 0; y las eficiencias ε 1 y ε 2 resultan distintas en el caso que se trate de radiaciones de diferentes naturaleza o energía.

87


Figura 2.17: determinación grafica del T1/2 para muestras con: a) un solo nucleido; y b) una mezcla de dos nucleidos

Para el caso particular en que los tiempos de semidesintegración de ambos nucleidos difieran apreciablemente, por ejemplo T1/2,1 << T1/2,2, transcurrido un tiempo considerable, la actividad del núcleo correspondiente a T1/2,2 exhibirá una magnitud mucho mayor a la del núcleo con T1/2,1. Bajo esta hipótesis, transcurrido un tiempo elevado, la gráfica de ln (I) vs. t se aproximará a la recta correspondiente a la actividad del segundo nucleido, de donde puede obtenerse una estimación para T1/2,2 repitiendo el análisis gráfico de la Figura 2.17a). Posteriormente, extrapolando al origen la última parte recta (correspondiente al nucleido 2) puede obtenerse por simple diferencia las actividades para ambos nucleidos. Se muestra en la Figura 2.17b) un análisis gráfico del tipo expuesto. 2.4.4. Desintegración ramificada

Cuando un nucleido presenta dos o más posibilidades de desintegración, pueden admitirse diferentes constantes de decaimiento λ . Designando con los subíndices 1, 2, 3, etc. a las magnitudes referentes a los distintos procesos de decaimiento, los cuales se presentan en porcentajes p1, p2, p3, etc. para cada uno, entonces pueden definirse las constantes λ i , mediante: ⎛ dN λ1 = − ⎜⎜ ⎝ dt ⎛ dN λ 2 = − ⎜⎜ ⎝ dt

⎞ 1 ⎟⎟ ⎠1 N

(2.35a)

⎞ 1 ⎟⎟ , etc ⎠2 N

(2.35b)

La velocidad con que disminuye el número de núcleos sin decaer en la muestra debido a todos los procesos, viene dada por: ⎛ dN = ⎜⎜ dt ⎝ dt

dN

88

⎞ ⎛ dN ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ 1 ⎝ dt

⎞ ⎟⎟ + L = − λ1 N − λ 2 N − L ⎠2

(2.35c)


de donde: dN dt

= − N ( λ1 + λ 2 + L ) = − N λ

(2.35d)

Por lo cual: N = N0 e − λ t

(2.36)

donde λ = λ1 + λ 2 + L . Los porcentajes pi para cada tipo particular de decaimiento están dados por:

pi =

⎛ dN ⎜⎜ ⎝ dt

⎞ ⎟⎟ ⎠i

⎛ dN ⎜⎜ ⎝ dt

⎞ ⎟⎟ ⎠

100 =

λi λ

100

(2.37)

donde debe cumplirse por supuesto que p 1 + p 2 + L = 100% . Vale aclarar que la actividad aparente obtenida con un detector de radiación de cualquier naturaleza responde a la forma: I = (ε 1 λ1 + ε 2 λ 2 + L ) N 0 e − λ t

(2.38)

donde ε 1 , ε 2 , … son las eficiencias de detección para cada tipo particular de radiación. 2.4.5. Desintegración en cadena

Considérese un caso muy frecuente en numerosos nucleidos inestables en que el nucleido resultante de una desintegración es a su vez radioactivo y por lo tanto sufre una nueva desintegración. En forma esquemática: T

T

1/ 2,1 1/ 2,2 Nucleido madre ⎯⎯ ⎯→ Nucleido hijo ⎯⎯ ⎯→ Nucleido estable

Según el esquema, los nucleidos madre e hijo decaen con tiempos de semidesintegración T1/2,1 y T1/2,2, respectivamente. La variación en el número de átomos de la especie madre, N1, puede obtenerse simplemente mediante: dN 1 dt

= − λ1 N 1

(2.39)

Por otro lado, la variación en el número de átomos de la especie hija se debe al aporte positivo de la madre y a su propio decaimiento:

89


dN 2 dt

=

dN 1

− λ 2 N 2 = λ1 N 1 − λ 2 N 2

dt

(2.40)

Por ultimo, la variación en el número de átomos de la especie estable, N3, se debe a la acumulación por decaimiento de la especie hija: dN 3 dt

= λ2 N 2

(2.41)

Las Ecs. (2.39) a (2.41) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales donde intervienen las funciones N1(t), N2(t), y N3(t). Resolviendo el sistema, considerando condiciones iniciales nulas para las poblaciones N2 y N3, se obtiene: N 1 ( t ) = N 0 ,1 e − λ1 t N 2 (t ) =

N 3 (t ) =

λ2 λ 2 − λ1

λ1 λ 2 − λ1

(2.42a)

[

N 0 ,1 e − λ1 t − e − λ 2

[

]

N 0 ,1 1 − e − λ1 t −

λ1 λ 2 − λ1

t

] [

N 0 ,1 1 − e − λ 2

(2.42b)

t

]

(2.42c)

Lógicamente, si se suman las poblaciones N1, N2 y N3, a cualquier instante de tiempo se obtiene N0,1, pues el número total de núcleos no se modifica. Además, puede verse claramente de la Ec. (2.42c) que para t → ∞ , N3 toma el valor N0,1, es decir, todos los núcleos de la especie madre han decaído en la especie estable. El fenómeno de decaimiento en cadena presenta algunos aspectos particulares que valen la pena ser estudiados en más detalle. Equilibrio transitorio

El equilibrio transitorio se da en poblaciones donde el periodo de semidesintegración de la especie madre es mayor que el de la hija, es decir, se da en decaimientos en cadena donde T1/2,1 > T1/2,2, y por lo tanto λ1 < λ 2 . Utilizando las Ecs. (2.42a) y (2.42b) puede obtenerse una expresión para N2 / N1, como sigue: N2 N1

=

λ1 λ 2 − λ1

[1− e (

− λ 2 − λ1 ) t

]

(2.43a)

Luego de transcurrido un tiempo suficientemente grande, considerando que λ 2 − λ1 > 0 , el término exponencial resulta despreciable en comparación con la unidad, de modo que la Ec. (2.43a) se reduce a:

90


N2 N1

= t →∞

λ1

(2.43b)

λ 2 − λ1

Es decir, la relación entre el número de núcleos de la especie madre y de la especie hija permanece constante. Se presenta en la Figura 2.18 un gráfico cualitativo de las poblaciones N1(t), N2(t), y N3(t), considerando las poblaciones iniciales nulas para las especies N2 y N3. Nótese que para t grandes las poblaciones N1 y N2 siguen líneas rectas de igual pendiente en escala semilogarítmica, indicando una relación N2 / N1 constante.

Figura 2.18: poblaciones de los nucleidos madre, hija, y estable durante el decaimiento en cadena con equilibrio transitorio

Usualmente lo que se mide experimentalmente son las actividades, las cuales resultan proporcionales a los núcleos presentes. Pueden reemplazarse las actividades de la especie madre e hija, A1 y A2, respectivamente, dadas por: A1 = λ1 N 1 ;

A2 = λ2 N 2

(2.44)

en la Ec. (2.43b) obteniendo finalmente: A2 A1

= t →∞

N2

λ2

N1

λ1

t →∞

=

λ1

λ2

λ 2 − λ1 λ1

=

λ2 λ 2 − λ1

(2.45)

A partir de la Ec. (2.45) puede verse que para tiempos suficientemente grandes, la relación de actividades entre las especies madre e hija resultan constantes, es decir, ambas especies se desintegran con la misma constante de decaimiento. Equilibrio secular

Un caso particular del equilibrio transitorio lo constituye el equilibrio secular. Esta condición se produce cuando el tiempo de vida media de la especie madre

91


es muy grande, de modo que el número de núcleos de esta especie prácticamente no cambia con el correr del tiempo. En tal situación, la constante de decaimiento para la especie madre cumple con λ1 ≈ 0 y por lo tanto, de la Ec. (2.42) se obtiene: N 1 ( t ) = N 0 ,1 N 2 (t ) =

λ1 λ 2 − λ1

(2.46a)

[

N 0 ,1 1 − e − λ 2

t

]

(2.46b)

Una gráfica cualitativa del número de núcleos para las especies madre e hija se observa en la Figura 2.19.

Figura 2.19: esquema de poblaciones y actividad de las especies madre e hija bajo equilibrio secular

De las Ecs. (2.46a) y (2.46b), se obtiene: N2 N1

=

λ1 λ 2 − λ1

[1− e

− λ2 t

]

(2.47a)

Transcurrido un tiempo suficientemente grande, la exponencial resulta despreciable respecto de la unidad, con lo cual la Ec. (2.47a) puede reescribirse como: N2 N1

= t →∞

λ1 λ 2 − λ1

(2.47b)

Considerando A1 = λ1 N 1 y A 2 = λ 2 N 2 , se reescribe la Ec. (2.47) en términos de las actividades A1 y A2, como:

92


A2 A1

= t →∞

λ2 λ 2 − λ1

≈

λ2 λ2

=1

(2.48)

donde se ha despreciado la constante de desintegración de la especie madre, λ1, ya que resulta despreciable en comparación con la constante de la especie hija. A partir de la Ec. (2.48) puede concluirse que al cabo de un tiempo considerable, las actividades de la especie madre e hija se igualan. El equilibrio secular tiene lugar siempre que una sustancia radiactiva se genera con velocidad constante, como sucede con la especie hija en el ejemplo descrito en los parrafos precedentes. Esto se da normalmente en especies que provienen de un antepasado con un periodo de semidesintegración muy grande, como el caso analizado anteriormente. Sin embargo, el equilibrio secular se da también en los aceleradores de partículas o reactores nucleares funcionando para producción de radioisótopos. En estos casos, la especie hija crece con velocidad constante, pero el efecto del decaimiento de dicha especie crece conforme aumenta el número de núcleos, llegándose con el tiempo a un equilibrio en que el número de núcleos hijos generados iguala al número que se desintegran. Se muestra este caso en la Figura 2.20 a partir de la cual se puede concluir que una vez alcanzado el equilibrio secular, no tiene sentido continuar operando el reactor ya que la producción de la especie hija no continuará aumentando. En el momento que el reactor cesa su funcionamiento, la especie hija decaerá en función de su constante característica.

Figura 2.20: equilibrio secular por bombardeo en acelerador de partículas o en reactor nuclear

Por supuesto que el caso analizado en esta sección, en el que se presenta una desintegración en cadena donde la especie hija también decae, no es el caso más complejo. En la naturaleza existen reacciones en cadena en el que el tercer nucleido también se desintegra, a su vez en otro también radioactivo, formándose una cadena de desintegraciones como la esquematizada mediante: T

T

T

T

1/ 2,1 1/ 2,2 1/ 2,3 1/ 2, 4 X 1 ⎯⎯ ⎯→ X 2 ⎯⎯ ⎯→ X 3 ⎯⎯ ⎯→ X 4 ⎯⎯ ⎯→ L

93


Para este caso mas complejo, puede demostrarse que si el periodo de la especie madre, T1/ 2 ,1 , resulta mucho mayor al de las especies descendientes, se llega a un equilibrio secular en donde las actividades de todas las especies se igualan. Es decir, transcurrido un tiempo suficientemente grande, se tiene: A1 = A 2 = A 3 = A 4 = L Caso en que no existe equilibrio

Considérese finalmente el caso en que la especie hija decae con un periodo mayor que el de la especie madre. Cuando esto sucede, el equilibrio no se alcanza en ningún momento. Si en el tiempo inicial, hay solo átomos de la especie madre, la actividad de la hija crecerá rápidamente hasta alcanzar un máximo y luego de un tiempo bastante mayor que el periodo de la madre, decae bajo su propia constante de decaimiento. Esto se deduce de la Ec. (2.42b). Luego de un tiempo t >> T1/2,1, se cumple: N 2 (t ) =

λ1 λ 2 − λ1

[

N 0 ,1 e − λ1 t − e − λ 2

t

]=

λ1 λ1 − λ 2

N 0 ,1 e − λ 2

t

(2.49)

donde se ha despreciado la exponencial e − λ1 t debido a que e − λ 2 t >> e − λ1 t . Para este caso, las actividades se comportan como se muestra en la Figura 2.21.

Figura 2.21: actividad para el caso en que no existe equilibrio

2.5. SERIES RADIOACTIVAS

Un razonamiento lógico que podría surgir a estas alturas es el siguiente. Considérese por ejemplo el isótopo radioactivo, 228Ra, el cual experimenta decaimiento por emisión de partículas β − con un periodo de semidesintegración de 5.75 años. Considerando la edad del planeta Tierra, aproximadamente 5×109 años, un cálculo sencillo indicaría que el 226Ra debería estar extinto en nuestros días. La razón por la cual esto no ha sucedido puede explicarse mediante la existencia de las denominadas series radioactivas.

94


En la naturaleza, existen tres series radioactivas. Cada una de estas series comienza con un isótopo inestable, de mayor periodo de semidesintegración que sus descendientes. Estas series naturales comienzan con los isótopos 238U (serie del Uranio), 235U (serie del Actinio) y 232Th (serie del Torio), finalizando en los isótopos estables 206Pb, 207Pb y 208Pb, respectivamente. Adicionalmente, existe la denominada serie artificial del Neptunio la cual comienza con el isótopo artificial 237Np y culmina en el isótopo estable 209Bi. En la Tabla 2.1 se muestran los isótopos involucrados en la serie del Torio, el tipo de desintegración que sufre cada isótopo, sus periodos de semidesintegración y los productos de cada proceso de desintegración. Nótese que la desintegración del 212Bi da lugar a una bifurcación en la serie, debido a que se producen dos nucleidos inestables, 212Po y 208Ti. Ambas bifurcaciones convergen finalmente al isótopo estable 208Pb. Tabla 2.1: serie radioactiva del Torio (los periodos de semidesintegración se indican en a: años; h: horas; d: dias; m: minutos; y s: segundos)

Tipo de desintegración

Periodo de semidesintegración

232

Th

α

1.405×1010 a

228

228

Ra

β-

5.75 a

228

228

β-

6.13 h

228

228

Th

α

1.913 a

224

224

Ra

α

3.66 d

220

220

α

55.6 s

216

216

α

0.15 s

212

212

β-

10.64 h

212

Nucleido

Ac

Rn Po Pb

212

Bi

212

Po

208

Ti

208

Pb (estable)

β- (64.06 %) α (35.94 %)

Producto de desintegración Ra Ac Th

Ra Rn Po Pb Bi

212

60.55 m

Po

208

Ti

α

0.3 μs

208

β-

3.053 m

208

-

-

Pb Pb

-

95


En respuesta al interrogante planteado al comienzo de esta sección, puede verse que existe una generación continua de 226Ra a partir de la desintegración del 232Th. Por lo tanto, aunque el tiempo de semidesintegración del 226Ra es relativamente pequeño (5.75 años), existe todavía en forma natural ya que se produce a partir de un antecesor (232Th) de vida media muy grande. Por ultimo, cabe mencionar que existen numerosos nucleidos inestables, los cuales no forman parte de ninguna de las series radioactivas mencionadas. Un ejemplo es el 14C.

96


CAPÍTULO 3 INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA 3.1. INTRODUCCIÓN

Los mecanismos según los cuales la radiación emitida por los núcleos inestables interactúa con la materia y la cantidad de energía que dichas radiaciones depositan en el medio dependen enteramente del tipo de radiación. Mientras las partículas cargadas, es decir, los rayos alfa y beta, interactúan principalmente mediante interacción coulombiana con los electrones y los núcleos del material, los fotones interactúan, entre otros mecanismos, mediante algunos de los fenómenos descritos en el Capítulo 1, es decir, efecto fotoeléctrico y efecto Compton. Los principales mecanismos de transferencia de energía entre las radiaciones y la materia son la ionización y la excitación de átomos y moléculas, lo cual se traduce principalmente en un aumento de la temperatura del material irradiado. Adicionalmente, el efecto de ionización en si mismo puede resultar de gran importancia, sobre todo en el caso de tejidos biológicos donde puede producir daño celular importante como consecuencia de la ruptura de moléculas como proteínas y cadenas de ADN. La metrología y dosimetría de las radiaciones resulta entonces de suma importancia para poder cuantificar la cantidad de energía depositada y la magnitud de la ionización producida en el material irradiado. En la primera mitad de este Capítulo se presentan los mecanismos por los cuales las radiaciones interactúan con la materia. Se analiza principalmente la penetración de los diferentes tipos de radiaciones en la materia. En la segunda mitad del Capítulo se aborda la metrología de las radiaciones ionizantes. Se describen los principales tipos de dispositivos utilizados para detectar y cuantificar las radiaciones, como por ejemplo, los detectores gaseosos en sus diferentes variantes (cámara de ionización, contador proporcional y contador Geiger), los semiconductores y los centelladores. 3.2. MECANISMOS DE INTERACCIÓN DE LAS RADIACIONES

Las radiaciones emitidas durante los procesos de decaimiento radiactivo de los núcleos inestables (partículas alfa, partículas beta y fotones gamma), así como también aquellas producidas durante ciertas reacciones nucleares, como por ejemplo la fisión nuclear (de la cual se producen neutrones y productos de fisión), pueden clasificarse según la forma en que interactúan con la materia. Se esquematiza esta clasificación en la Figura 3.1. Se observa en la figura que las radiaciones ionizantes se clasifican básicamente en tres grandes categorías: i) partículas cargadas, ii) radiación fotónica y iii) neutrones. Mientras que las partículas cargadas interactúan con la materia a través del campo electrostático producido por el núcleo atómico o los electrones órbitales, los fotones y neutrones no exhiben carga y por lo tanto no interactúan según los mismos mecanismos. En el caso de los fotones, ya se estudió en el Capítulo 1 el modo en el que interactúan con los electrones del material mediante el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Adicionalmente,

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los fotones pueden depositar su energía en la materia mediante el mecanismo de creación de pares que se discutirá en las secciones posteriores. Finalmente, debido a su pequeño tamaño y a que no poseen carga, los neutrones pueden acercarse a los núcleos de los átomos del material, a distancias donde se producen interacciones debido a las fuerzas nucleares. Se detallará a continuación el modo en que los diferentes tipos de radiaciones interactúan con la materia.

Figura 3.1:.clasificación de la radiación según su interacción con la materia 3.2.1. Interacción de partículas alfa

La gran masa de las partículas alfa les permite atravesar la materia sin sufrir desviaciones apreciables. En la gran mayoría de los casos, las partículas alfa sufren numerosas “colisiones” con los electrones del material hasta detenerse totalmente. Durante estas colisiones, si la energía transferida al electrón es suficiente para vencer la energía de unión con el núcleo, el electrón es liberado del átomo, produciéndose la ionización de este último. El término “colisión” resulta un poco desafortunado para utilizarlo aquí, ya que en realidad la interacción entre la partícula alfa y los electrones del material es de tipo electrostática y no de contacto mecánico. Por ejemplo, una partícula alfa cargada positivamente, acercándose lo suficiente a un átomo, ejercerá una fuerza electrostática sobre los electrones órbitales del átomo de la forma esquematizada en la Figura 3.2a). Durante un encuentro cercano, la fuerza de repulsión electrostática puede ser lo suficientemente elevada como para arrancar el electrón del átomo y producir ionización. La energía perdida por la partícula alfa durante la interacción se reparte en la utilizada para arrancar al electrón del núcleo (energía de amarre electrón-núcleo) y la utilizada para impartir energía cinética al electrón. A su vez, el electrón emitido, si posee energía suficiente, puede producir nuevas ionizaciones hasta detener su movimiento.

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Figura 3.2:.esquema de interacción entre las partículas alfa y los átomos del material. a) interacción con un electrón órbital; b) interacción con un núcleo

Un acercamiento menor entre la partícula alfa y el átomo, puede producir la excitación de un electrón órbital en vez de su arranque, generando un átomo en estado excitado. La energía perdida por la partícula alfa y transferida al átomo se disipa finalmente como vibración molecular o como emisión de radiación de baja energía (infrarroja, ultravioleta, etc) durante la desexcitación del átomo. Por último, la partícula alfa puede penetrar la nube electrónica e interactuar en forma directa con el núcleo atómico como se esquematiza en la Figura 3.2b). Si la partícula alfa tiene suficiente energía, esto puede derivar en una reacción nuclear del tipo de la utilizada para la producción de radionucleidos. Sin embargo, la situación más probable se produce cuando el campo electrostático del núcleo atómico produce la deflexión de la partícula alfa, con la consecuente pérdida de energía. La energía perdida por la partícula alfa es emitida como radiación electromagnética denominada comúnmente Bremsstrahlung (o radiación de frenado). La energía media que pierde una partícula alfa por cada par de iones (par positivo y negativo) producido, es bastante mayor que la energía de ionización de los átomos del medio. Esto resulta razonable, ya que la energía de la partícula alfa se disipa no solo formando pares de iones, sino también excitando átomos y como radiación de frenado. Para partículas alfa en aire, la energía media perdida por par de iones formado se encuentra cercana a 35.5 [eV / par de iones]. Se denomina ionización específica al número de pares de iones producidos por unidad de recorrido. Para una partícula alfa, la ionización específica resulta muy alta y aumenta a medida que su velocidad disminuye, debido a que la probabilidad de interacción con los átomos del medio aumenta a bajas velocidades. En consecuencia, durante los instantes finales de su recorrido se produce un aumento considerablemente de la ionización específica. Se denomina rango a la distancia recorrida por una partícula α . La Figura 3.3 presenta la ionización específica vs. el rango residual (distancia hasta el fin del rango) en aire a 15 [ºC] y a 760 [mmHg]. Se observa claramente como la ionización específica aumenta notablemente antes de la detención de

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la partícula α . Se denomina a este aumento marcado en la ionización específica como pico de ionización de Bragg.

Figura 3.3:.ionización específica vs. distancia recorrida por una partícula α en aire a 15 [ºC] y 760 [mmHg]

Se define a la transferencia (o pérdida) lineal de energía (Linear Energy Transfer: LET) como la cantidad de energía depositada en el medio por unidad de penetración de la partícula alfa. Matemáticamente se designa a la LET como: LET =

dE dx

(3.1)

donde E es la energía de la partícula. La LET se expresa en unidades de keV / μm. Para las partículas α la LET resulta muy elevada, lo cual deriva en la producción de una alta cantidad de ionización en una longitud de penetración muy corta. Por este motivo, las partículas alfa detienen su recorrido en distancias muy cortas, por ejemplo algunos centímetros en aire o algunos micrones en sólidos.

Figura 3.4: experimento con partículas alfa

Considérese el esquema que se muestra en la Figura 3.4. En el, puede observarse una fuente emisora de partículas α , un diafragma, y un detector. Si se grafica el número de partículas detectadas en función de la distancia entre la

100


fuente y el detector, la curva obtenida se vería como la que se presenta en la Figura 3.5.

Figura 3.5: número relativo de partículas detectadas vs. distancia al detector

A partir de la Figura 3.5, puede definirse el alcance medio R de las partículas α como la distancia d a la cual el número de partículas detectadas decae al 50%. Es sencillo razonar que el alcance en cualquier medio será función de la energía de las partículas. La Figura 3.6 presenta la curva de alcance medio R en [cm], en aire a 15 [ºC] y 760 [mmHg], en función de la energía de las partículas α .

Figura 3.6: alcance medio de partículas α en aire en función de su energía

Una expresión aproximada para el alcance medio de las partículas alfa en aire en el rango de energías comprendido entre [4 - 8] MeV es: R ≈ 0.325 E 3 / 2

(3.2)

donde E se expresa en MeV. Comparando el alcance medio de partículas alfa de diferentes energías, en medios de diferente densidad y distinto número de masa, se encontró experimentalmente la siguiente relación:

101


Rδ A

≈ cte

(3.3)

donde R es el alcance medio en el material cuya densidad y número de masa están dados por δ y A, respectivamente. Por lo tanto, a partir de a Ec. (3.3) puede obtenerse, para dos medios diferentes: R2 R1

≈

δ1

A2

δ2

A1

(3.4)

Para el aire suele utilizarse A = 14.6, el cual se obtiene ponderando los números de masa del N y el O según sus concentraciones relativas. A partir de la Ec. (3.4) puede estimarse el alcance medio de las partículas alfa en cualquier material a partir de su alcance medio en aire. 3.2.2. Interacción de partículas beta

Los procesos mediante los cuales las partículas β interactúan con el medio son los mismos que los evidenciados para electrones monoenergéticos acelerados por campos eléctricos (como los rayos catódicos), o de los electrones que se producen en la desintegración por conversión interna, o los electrones Auger que se emiten en competencia con los rayos X característicos, o de los electrones arrancados por los fotones γ o X (como se verá mas adelante). Es decir, desde el punto de vista de la interacción con la materia, los electrones (o positrones) emitidos desde el núcleo (partículas β ) se comportan como electrones ordinarios. Las partículas β , se diferencian de las α , principalmente en que poseen una masa marcadamente menor, y por lo tanto atraviesan la materia en trayectorias tortuosas como consecuencia de las múltiples interacciones sufridas con los átomos del material. Es decir, debido a su pequeña masa, las partículas β sufren numerosos desvíos como consecuencia de las “colisiones” sufridas contra los electrones órbitales y los núcleos del medio. Al igual que las partículas α , las β pierden energía con el medio básicamente mediante los procesos de: i) ionización (arranque de electrones órbitales), ii) excitación de electrones órbitales, y iii) emisión de radiación de frenado. Adicionalmente, en el caso particular de los positrones, el fenómeno de aniquilación descrito en el Capítulo 2 (ver Figura 2.9) resulta un mecanismo adicional a partir del cual se deposita energía en el material. Debido a que las partículas β cambian numerosas veces de dirección, el proceso de emisión de radiación de frenado cobra gran importancia. Recuérdese que, según la teoría electromagnética clásica, toda carga eléctrica que sufre aceleración (como en el frenado o en un cambio de dirección) emite radiación electromagnética. Para una partícula β de energía E (en MeV), moviéndose en un medio de número atómico Z, el porcentaje de energía perdida debido a la producción de radiación de frenado puede aproximarse aceptablemente mediante:

102


% de radiación de frenado ≈

EZ 100 3,000

(3.5a)

A partir de la Ec. (3.5a) puede razonarse que a medida que la energía de las partículas β o el número atómico del material irradiado aumenta, la pérdida de energía debido a producción de radiación de frenado aumenta. Esta es una de las razones por las cuales los radioisótopos emisores de radiación β , por ejemplo, los utilizados en medicina en estudios de tomografía por emisión de positrones, deben ser almacenados en contenedores de bajo Z, como por ejemplo plásticos, más que en contenedores de plomo o de materiales de alto Z. Se evita así la producción de radiación X de frenado que resulta muy penetrante. Si el material irradiado resulta una mezcla de elementos, el número Z a utilizar en la Ec. (3.5a) puede aproximarse mediante: Z ef = ∑ f i Z i2 / ∑ f i Z i i

i

(3.5b)

donde f1, f2, …. son las fracciones en peso de los elementos de número atómico Z1, Z2, … constituyentes del material irradiado. El proceso de absorción o atenuación de partículas β en los materiales suele estudiarse interponiendo láminas de absorbente, de espesores crecientes, entre una fuente de emisión y un detector, de forma similar al esquema de la Figura 3.4 utilizado para estudiar el alcance de las partículas α . Si se representa el número de partículas detectadas por unidad de tiempo en función del espesor de absorbente se obtiene una curva como la esquematizada en la Figura 3.7.

Figura 3.7: actividad detectada vs. espesor de absorbente, para partículas β (escala semilogarítmica)

Nótese que se ha representado en la figura el número de partículas detectadas relativas al número de partículas detectadas sin absorbente interpuesto. Se observa que incluso con pequeños espesores de absorbente se remueven algunos electrones del haz incidente mediante los mecanismos de interacción detallados anteriormente. En la primera porción de la curva de la Figura 3.7 la disminución en el número de partículas detectadas sigue una forma casi

103


exponencial (por eso la gráfica resulta en una línea casi recta en el gráfico semilogarítmico). Se observa también, que para espesores mayores de absorbente la curva se aproxima gradualmente a una “cola” plana (denominada comúnmente Background) o a un valor constante. Esta “cola” no se debe a la detección de partículas β , sino mas bien a la detección de fotones de alta energía producidos como radiación de frenado (generado por interacción de las partículas β ), o fotones X característicos emitidos por los átomos del material absorbente al desexcitarse. El denominado alcance o rango extrapolado de las partículas β , Re, se determina por extrapolación de la porción aproximadamente exponencial, hasta cortar la línea de “Background”, como se esquematiza en la Figura 3.7. El valor de Re obtenido para un haz de partículas β monoenergéticas de energía E coincide con el obtenido para un haz de partículas polienergéticas con energía máxima dada por E. Sin embargo, las curvas de atenuación para ambos casos resultan algo diferentes. Una característica particular de Re radica en que resulta inversamente proporcional a la densidad δ del absorbente. Si se multiplica Re [cm] por la densidad del material absorbente δ [g / cm3] se obtiene el rango extrapolado en unidades de masa superficial, es decir, Re [g / cm2]. Se ha encontrado que los rangos extrapolados expresados en unidades de masa superficial obtenidos para diferentes materiales de absorbente resultan prácticamente iguales. Esta particularidad puede utilizarse para calcular el valor de Re en cualquier absorbente en función de la densidad del material y del correspondiente valor en un material de referencia. A partir de la Figura 3.7 puede derivarse una ecuación que caracterice la atenuación de las partículas beta en función del espesor de absorbente. Para la porción aproximadamente exponencial de la curva puede expresarse la actividad medida como: I = I0 e

− μβ x

(3.6)

donde I es la actividad medida interponiendo un absorbente de espesor x, I0 es la actividad sin absorbente, y μ β es el coeficiente de atenuación lineal del material absorbente. El subíndice en μ β se ha utilizado para diferenciarlo del coeficiente de atenuación para fotones que se presentará en secciones posteriores. Frecuentemente, los espesores de absorbente se expresan también en unidades de masa superficial, es decir: d [ g / cm 2 ] = x [ cm ] δ [ g / cm 3 ]

(3.7)

donde δ es la densidad del absorbente. Utilizando esta nueva nomenclatura, puede reescribirse la Ec. (3.6) como:

I = I0

104

δ − μβ x e δ

= I0 e

−

μβ δ

δ x

= I0 e

− μ β ,m d

(3.8)


donde μ β ,m = μ β / δ [ cm 2 / g ] es el coeficiente de atenuación másico. Calculando el espesor de absorbente que reduce a la mitad la actividad medida, se obtiene el espesor de semiabsorción o hemiespesor x1/2. Considerando las Ecs. (3.6) y (3.8), y teniendo en cuenta que para x = x1/2 (o d1/2) se tiene I = I0 / 2, puede obtenerse: x 1/ 2 =

ln 2 μβ

;

d 1/ 2 =

ln 2 μ β ,m

(3.9)

Se han encontrado fórmulas empíricas para el coeficiente de atenuación en función de la energía máxima del espectro de las partículas β . Por ejemplo: μ β, m = 22 / E 1.33 ; para 0.5 < E < 6 [MeV]

(3.10) μ β, m = 17 / E

1.14

; para 0.1 < E < 4 [MeV]

donde μ β ,m debe expresarse en [cm2/g] y E en [MeV]. 3.2.3. Interacción de fotones de alta energía

Independientemente del proceso por el cual son emitidos, los fotones de alta energía interactúan de igual manera con la materia. Principalmente, los mecanismos de interacción fotón-materia se basan en tres efectos: 1- Efecto fotoeléctrico: el cual predomina a bajas energías. 2- Efecto Compton: predomina a energías medias. 3- Creación de pares: predomina a altas energías. Efecto fotoeléctrico

Como se describió en detalle en el Capítulo 1, el efecto fotoeléctrico es una interacción entre el fotón incidente y un electrón órbital de un átomo del material. El electrón es arrancado con una energía cinética Ecin dada por: E cin = E f − E e

(3.11)

donde Ef es la energía del fotón incidente y Ee es la energía de amarre (o energía de enlace electrón-núcleo). Parte de la energía del fotón incidente es también impartida como energía cinética de retroceso del átomo, pero ésta fracción de energía resulta despreciable. La vacante producida por el electrón emitido es prontamente cubierta por electrones en las capas superiores, produciendo la emisión de uno o mas fotones X característicos.

105


En el caso de fotones de baja energía y absorbentes de alto Z, la energía Ef no alcanza para arrancar electrones de las capas internas (K o L), y por lo tanto la interacción se produce sólo con los electrones de las capas superiores. Nótese que, debido a la emisión del fotoelectrón, se ha producido un par de cargas: la carga negativa del electrón secundario y la positiva del átomo donde queda una vacancia electrónica. La radiación secundaria generada (fotón X y electrones emitidos) puede a su vez desencadenar posteriormente nuevos procesos de ionización. El electrón emitido actúa como radiación secundaria pudiendo desencadenar los procesos de ionización, excitación, radiación de frenado, etc., que se describieron en la sección anterior. Efecto Compton

El efecto Compton se abordó también en detalle durante el Capítulo 1. Puede interpretarse como un choque elástico entre un fotón y un electrón libre o un electrón de las capas superiores, débilmente ligado, cuya energía de enlace resulta despreciable respecto a la energía del fotón. Durante el choque, el fotón es desviado un ángulo θ, perdiendo energía, la cual es transferida al electrón eyectado. Debido a que el fotón pierde energía, su longitud de onda posterior al choque resulta mayor a la longitud de onda previa al choque. La longitud de onda del fotón incidente y el dispersado se relacionan mediante la ecuación de corrimiento de Compton: λ1 − λ 0 =

h m0 c

[1 − cos (θ )]

(3.12)

donde λ 0 y λ1 son las long. de onda del fotón incidente y dispersado, y la constante h / m 0 c = 0.0243 × 10 −10 [ m ] se denomina longitud de onda Compton. Considerando que la energía de los fotones incidente y dispersado vienen dadas respectivamente por: E 0 = h c / λ0 y E1 = h c / λ1 , puede obtenerse fácilmente una expresión que relacione E0 y E1, la cual resulta: E0

E1 =

1+

E0 m0 c

2

[1 − cos (θ )]

(3.13)

donde m0 c2=0.511 [MeV] es el equivalente energético de la masa del electrón en reposo. Utilizando la Ec. (3.13) se obtiene una expresión para la pérdida de energía experimentada por el fotón incidente: E0

ΔE = E 0 − E 1 = 1+

y la fracción de energía perdida será:

106

m0 c 2 E 0 [1 − cos( θ )]

(3.14a)


ΔE E0

1

=

1+

m0 c 2

(3.14b)

E 0 [1 − cos( θ )]

Claramente puede verse de la Ec. (3.14b) que a medida que E0 aumenta la fracción de energía perdida también aumenta. En una interacción Compton, la radiación primaria (fotón incidente) no desaparece, sino que pierde energía y es desviado de su dirección original. El electrón Compton arrancado actúa como radiación secundaria pudiendo desencadenar los procesos de ionización, excitación, radiación de frenado, etc., que se describieron anteriormente. Producción de pares

Durante el proceso de producción o creación de pares, el fotón entra en interacción con el campo coulombiano de un núcleo atómico cercano. Como consecuencia de tal interacción, el fotón desaparece, apareciendo en su lugar un par electrón-positrón. El proceso se esquematiza en la Figura 3.8, donde se muestran el fotón incidente, el núcleo con el cual interactúa y el par electrónpositrón generado. La energía del fotón incidente se pierde según el siguiente detalle: i) 1.022 [MeV] son requeridos para generar el par electrón-positrón cuyo equivalente energético a la masa en reposo es de 0.511 [MeV] cada uno, y ii) la energía excedente sobre la requerida para generar el par electrónpositrón es impartida como energía cinética al electrón y al positrón generados. Ambas partículas son expulsadas con energías muy similares; aunque en realidad el positrón posee una pequeña fracción mayor de energía cinética debido a la repulsión coulombiana ejercida por el núcleo cercano.

Figura 3.8: esquema del proceso de producción de pares

El electrón y el positrón constituyen la radiación secundaria y pueden desencadenar los procesos antes descritos (ionización, excitación, radiación de frenado, etc.). Además, al detenerse luego de sufrir “colisiones” con los átomos

107


del medio, el positrón rápidamente encuentra un electrón propio del material produciendose la aniquilación de pares (descrita en el Capítulo 2). Durante la aniquilación, el par electrón-positrón desaparece apareciendo en su lugar un par de fotones de energía 0.511 [MeV] cada uno, emitidos en direcciones opuestas entre sí. Este proceso también genera radiación secundaria en forma de fotones de energía 0.511 [MeV]. En la Figura 3.8 también se esquematiza el proceso de aniquilación. 3.2.4. Atenuación de fotones de alta energía

Considere el esquema de la Figura 3.9. Este tipo de dispositivos se utiliza frecuentemente para estudiar la penetración y atenuación de rayos gamma y rayos X. Si se miden, mediante un detector, los fotones que permanecen en el haz emitido, luego de atravesar una placa de absorbente de espesor x, puede estudiarse el fenómeno de absorción, es decir la atenuación del haz de fotones.

Figura 3.9: esquema del dispositivo utilizado para estudiar la atenuación de fotones de alta energía

Nótese que el dispositivo de la Figura 3.9 posee dos diafragmas, generalmente de Plomo, los cuales evitan que cualquier fotón generado en el absorbente por efecto Compton alcance el detector. Adicionalmente, se interpone una placa de Aluminio de un espesor adecuado, para absorber aquellas partículas β emitidas desde la fuente, o electrones secundarios generados en el absorbente. Debido al bajo número atómico del Aluminio y al pequeño espesor de la placa, el haz de fotones exhibe una atenuación despreciable en esta placa. Se designa como Φ al flujo de fotones que llega al detector (expresado en fotones / seg. cm2) y llamando I a la señal registrada en el detector (pulsos / min. o cuentas / min), es evidente que las magnitudes Φ e I resultaran proporcionales [como puede razonarse a partir de la Ec. (2.32) del Capítulo 2]. Al incrementarse en dx el espesor x de la placa absorbente, el flujo que llega al detector varía en dΦ . La variación relativa resulta proporcional al espesor diferencial dx, es decir: dI I

108

=

dΦ Φ

= − μ f dx

(3.15)


El signo negativo en la Ec. (3.15) se debe a que un incremento en dx producirá una disminución del flujo ( dΦ < 0). La constante de proporcionalidad μ f se denomina coeficiente de atenuación lineal e que indica la fracción de fotones absorbidos (eliminados del haz) por unidad de recorrido del haz dentro del absorbente. Es decir: μf =

dΦ 1 Φ dx

(3.16)

μ f depende de las características físicas del medio absorbente (básicamente la densidad y número atómico) y de la energía de los fotones, y suele medirse en cm-1. El subíndice en μ f se utiliza para diferenciar este coeficiente de atenuación del correspondiente a la atenuación de partículas beta presentado anteriormente. Considerando un haz de fotones monoenergéticos, μ f tiene un valor constante en todo el espesor de absorbente pues los fotones que llegan a cada “lámina” de espesor dx son los que permanecen en la dirección original del haz, y dado que no han interaccionado con el material aun mantienen su energía. Por lo tanto, para un haz en estas condiciones se cumple:

dI I

= − μ f dx

(3.17)

Integrando y aplicando las condiciones iniciales se obtiene: I = I 0 e − μf

x

(3.18)

donde I 0 es la velocidad de conteo obtenida en el detector (actividad aparente) sin interponer ningún absorbente. La representación gráfica de la Ec. (3.18) se observa en la Figura 3.10, en escalas lineal [Figura 3.10a)] y semilogarítmica [Figura 3.10b)]. El espesor de semiabsorción x1/2 representa el espesor de absorbente necesario para eliminar del haz original a la mitad de los fotones. Puede obtenerse en forma gráfica como se indica en la Figura 3.10a), o mediante la Ec. (3.18) sabiendo que para x = x1/2 se cumple que I = I0 / 2, a partir de lo cual se obtiene: x 1/ 2 =

ln 2 μf

(3.19)

109


Figura 3.10: actividad aparente I vs. espesor x del absorbente. a) escala lineal; b) escala semilogarítmica

En la atenuación de fotones, no existe un espesor de absorbente que detenga la totalidad de los mismos, lo cual se interpreta fácilmente de la Ec. (3.18). Por lo tanto, el concepto de alcance o rango carece de sentido en este caso. Por lo tanto, se define el alcance medio R , el cual puede interpretarse como el alcance promedio de los fotones en el haz, como: ∞

∞

∫ x dI = ∫x =0 μ f R = x =0 ∞

∫x =0 dI

I x dx

∞

∫x =0 μ f

I dx

∞

∫ e = x =0 ∞

−μf x

∫x =0 e

−μ f x

x dx dx

=

1 μf

(3.20)

Nótese la similitud matemática entre la Ec. (3.20) y la correspondiente a la vida media de un radionucleido [Ec. (2.30) del Capítulo 2]. Coeficientes de atenuación

Ya se mencionó anteriormente que los espesores de absorbente x suelen expresarse en unidades de masa superficial, d [g / cm2]. A partir de la Ec. (3.7), puede reescribirse la Ec. (3.18) de la forma: I = I0

δ − μf x e δ

= I0e

− μ f ,m d

(3.21)

donde μ f ,m = μ f / δ es el coeficiente de atenuación másico (equivalente al presentado en el caso de atenuación de partículas β ). El espesor de semiabsorción puede ser reescrito en unidades de masa superficial, quedando: d 1/ 2 =

110

ln 2 μ f ,m

= δ x 1/ 2

(3.22)


Considerando los tres procesos por los que interactúan los fotones con la materia (ef. fotoeléctrico; ef. Compton; y creación de pares), el coeficiente de atenuación μ f , puede desdoblarse mediante: μf = τ + σ + κ

(3.23)

donde τ es el coeficiente de atenuación debido al ef. fotoeléctrico; σ es el coeficiente de atenuación debido al ef. Compton; y κ es el coeficiente de atenuación debido a la creación de pares. Estos tres coeficientes de atenuación varían con el número atómico del absorbente y principalmente con la energía de los fotones. La Figura 3.11 presenta los coeficientes de atenuación lineales τ , σ , y κ , en agua, en función de la energía de los fotones incidentes. Se muestra también la curva correspondiente al coeficiente de atenuación lineal total μ f .

Figura 3.11: coeficientes de atenuación lineal τ , σ , κ y μ f , en agua vs. energía de los fotones incidentes

Puede verse en la figura que los diferentes mecanismos de interacción resultan predominantes en función de la energía de los fotones. Así, el efecto fotoeléctrico resulta preponderante a energías por debajo de aproximadamente 0.05 [MeV] (dado que para este rango de energías τ es mayor que σ y κ ); la interacción por efecto Compton resulta mayor a energías comprendidas entre 0.05 [MeV] y 12 [MeV], y la creación de pares es el principal mecanismo de interacción por encima de los 12 o 13 [MeV]. 111


En la Figura 3.12 se presentan en forma cualitativa los coeficientes de atenuación másicos, τ m , σ m , κ m y μ f ,m , en plomo, en función de la energía de los fotones incidentes. Nótese los saltos abruptos del coeficiente τ m (correspondiente al ef. fotoeléctrico) alrededor de los 0.02 y 0.09 [MeV]. La discontinuidad observada alrededor de los 0.09 [MeV] se produce debido a que cuando los fotones incidentes exhiben energías por debajo de 0.09 [MeV], no poseen suficiente energía para arrancar electrones de la capa K, produciendo una disminución abrupta en el coeficiente de atenuación. De igual forma, las discontinuidades observadas a menores energías se deben a la energía insuficiente de los fotones para arrancar los electrones de las capas L, M, etc. Puede razonarse también a partir de la Figura 3.12, que en plomo, para energías por debajo de 0.6 [MeV], el efecto fotoeléctrico es el mecanismo de interacción más probable. Para energías comprendidas entre aproximadamente 0.6 [MeV] y 4.7 [MeV], la interacción predominante es el ef. Compton. Finalmente, para energías por encima de 4.7 [MeV], el efecto más probable es el de creación de pares.

Figura 3.12: coeficientes de atenuación másico τ m , σ m , κ m y μ f ,m , en plomo

vs. energía de los fotones incidentes 3.2.5. Interacción de neutrones

El comportamiento de los neutrones al atravesar un medio material es muy diferente del comportamiento que se ha descrito para los fotones o las partículas cargadas (alfa o beta). Los neutrones en estado libre no son partículas estables y decaen con un periodo de semidesintegración de 10.6 [min.] mediante la reacción: n → p + + e − + ν + 0.8 [ MeV ]

112


Esta reacción de desintegración de los neutrones puede observarse en la carta de nucleidos presentada en la Figura 2.5 del Capítulo 2. Una vida media del orden de los minutos es un tiempo extremadamente largo para una partícula subatómica. En la mayoría de los casos, antes de que el neutrón se desintegre se producirá alguna interacción con el medio que terminará con la existencia del neutrón libre como tal. Debido a que el neutrón no posee carga eléctrica, no se produce interacción electrostática con los electrones y núcleos del medio. Pero, cuando se produce un acercamiento entre el neutrón y un núcleo del medio, entran en juego las fuerzas nucleares, muy fuertes y de corto alcance, las mismas que mantienen a los nucleones unidos. Los tres fenómenos por los cuales un neutrón pierde energía en un medio absorbente son: 1- Dispersión elástica. 2- Dispersión inelástica. 3- Reacción nuclear. La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los fenómenos antes enumerados depende de la naturaleza de los núcleos del absorbente y de la energía cinética del neutrón en cuestión. Teniendo en cuenta su energía, suelen clasificarse a los neutrones en diversas categorías: •

Neutrones térmicos: E < 0.05 [eV]

•

Neutrones epitérmicos: 0.05 eV < E < 10 [eV]

•

Neutrones intermedios: 10 eV < E < 100 [KeV]

•

Neutrones rápidos: E > 100 [KeV]

Los neutrones térmicos son aquellos que se encuentran en equilibrio térmico con el medio. Estrictamente, la energía promedio de un neutrón térmico se obtiene a partir de la termodinámica estadística clásica mediante: E =

3 2

kB T

(3.24)

donde kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura (en Kelvin). Por ejemplo, para una temperatura de 20 [ºC], se tiene: E = 0.025 [eV]. Cuando la energía cinética de los neutrones posee valores por debajo de 0.025 [eV], suele llamárselos neutrones fríos. La dispersión elástica de un neutrón en un núcleo se interpreta como un choque elástico de una partícula de masa m (el neutrón) y energía inicial E contra un blanco de masa M (el núcleo) que puede ser considerado inicialmente en reposo. La fracción de energía perdida por el neutrón, ΔE / E , depende de la relación m / M y del ángulo de dispersión, θ , del neutrón. Como

113


puede demostrarse mediante un análisis de conservación de energía y cantidad de movimiento, la mayor pérdida de energía por parte del neutrón se producirá cuando θ = 180º, en cuyo caso se tiene:

ΔE E

4 =

m M

⎛ m⎞ ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ M⎠ ⎝

2

(3.25)

De la Ec. (3.25) se deriva que si se desea disminuir la energía de los neutrones para aumentar la probabilidad de alguna reacción nuclear (como sucede en los reactores de fisión de Uranio-235) deben elegirse medios con núcleos livianos y que tengan muy pocas probabilidades de absorción de neutrones. Algunos núcleos con estas características son: 1H, 2H, 4He, 9Be, 12C, y 16O. Al proceso de disminuir la energía de los neutrones, convirtiéndolos a neutrones térmicos, se lo denomina “moderación de neutrones”. La dispersión inelástica de neutrones es un fenómeno similar a la dispersión elástica, excepto por el hecho que una parte de la energía cinética del neutrón es transferida al núcleo como energía de excitación. El núcleo excitado podrá reemitir esta energía en forma de radiación gamma.

Figura 3.13: flujo Φ de neutrones incidiendo sobre una placa de absorbente de área A y espesor dx

Cada tipo de interacción entre un neutrón y un núcleo (disp. elástica, disp. inelástica, o reacción nuclear) posee una cierta probabilidad de ocurrencia. La eficacia de cada proceso de interacción se mide mediante la llamada sección eficaz microscópica, σ , que puede interpretarse como la sección (o área) transversal que ofrece cada núcleo al flujo de neutrones. Aquellos neutrones que inciden sobre dicha área interaccionan con el núcleo, mientras que los neutrones que no inciden dentro de esta área no interaccionan. La sección

114


eficaz usualmente se mide en unidades de barns: 1 [barn] = 10-24 [cm2]. Debe quedar claro que la sección eficaz no guarda relación directa con la sección transversal real atribuida al núcleo, sino que puede ser mucho mayor o mucho menor, dependiendo del absorbente en cuestión. Considérese un haz colimado de neutrones monoenergéticos que incide sobre una placa de absorbente de área A y espesor dx, como se esquematiza en la Figura 3.13. La placa posee n núcleos por unidad de volumen, cada uno de los cuales reacciona mediante una sección eficaz microscópica σ . A partir del esquema de la Figura 3.13 puede razonarse que el volumen V de la placa está dado por: V = A dx

(3.26a)

Y por lo tanto, el número de núcleos, Np, existente en la placa será de: N p = n A dx

(3.26b)

Además, si cada núcleo interacciona según una sección eficaz σ , entonces, la sección eficaz ofrecida por la placa, σ p , será de: σ p = σ n A dx

(3.26c)

A partir de la Ec. (2.26c), la probabilidad P de que un neutrón interaccione con la placa vendrá dada por el cociente entre la sección eficaz ofrecida por la placa y el área total de la misma. Es decir: P=

σ n A dx A

= σ n dx

(3.26d)

Llamando Φ al flujo de neutrones [neutrones / seg. cm2] se cumple que si P es la probabilidad de interacción de los neutrones en la placa, entonces: dΦ = −Φ P = −Φ σ n dx

(3.27)

donde el signo negativo indica que el flujo Φ disminuye con el aumento del espesor dx. Separando variables en la Ec. (3.27) y considerando condiciones iniciales adecuadas, puede obtenerse: Φ = Φ0 e −σ n x

(3.28)

donde Φ 0 es el flujo de neutrones incidentes para x = 0 y Φ es el flujo de neutrones a la profundidad x. El número total de neutrones incidentes N0 sobre la placa en la unidad de tiempo viene dada por: N 0 = Φ0 A

(3.29)

115


Por lo tanto, el número de interacciones ocurridas en la placa para una profundidad x puede calcularse mediante: R = N 0 − N = A ( Φ 0 − Φ ) = A Φ 0 (1 − e − σ n x )

(3.30)

Frecuentemente, se designa al producto ( σ n ) como la sección eficaz macroscópica, la cual resulta la suma de las secciones eficaces de todos los núcleos en la unidad de volumen. La sección eficaz varía en función del material absorbente y también con la energía de los neutrones. Se muestra en la Figura 3.14 la sección eficaz para el Boro natural, el cual, como se verá en el Capítulo 4, se utiliza frecuentemente para la fabricación de barras de control en reactores de fisión nuclear debido a que posee gran sección eficaz para los neutrones térmicos.

Figura 3.14: sección eficaz microscópica para neutrones en Boro en función de su energía

Todo el análisis anterior se llevó a cabo considerando que el haz de neutrones posee una distribución monoenergética, es decir, todos los neutrones en el haz exhiben la misma energía. Cuando el haz de neutrones no es monoenergético, es preciso conocer la composición espectral de neutrones para poder determinar la atenuación sufrida por el haz en un espesor de absorbente. Aunque el análisis resulta similar al caso monoenergético, debe discriminarse la energía de los neutrones debido a que el flujo de neutrones es función de la energía así como también de lo es la sección eficaz del absorbente. Considérese un haz de neutrones, con un flujo por unidad de intervalo de energía dE dado por Φ (E ) . Los neutrones en el haz exhiben energías que van desde E0 hasta Emax. El flujo de neutrones comprendido en el intervalo infinitesimal de energías, dE, viene dado por:

116


dΦ = Φ ( E ) dE

(3.31)

El flujo total de neutrones puede calcularse mediante: ΦT =

E max

∫E = 0

Φ ( E ) dE

(3.32)

Considerando que la composición espectral de neutrones en el haz en ausencia de absorbente es Φ 0 ( E ) , la Ec. (3.28) puede utilizarse para determinar la composición espectral del haz, Φ (E ) , luego de atravesar un absorbente de espesor x, mediante: Φ(E ) = Φ0 (E ) e −σ ( E ) n x

(3.33)

donde σ (E ) es la sección eficaz del absorbente en función de la energía de los neutrones. Por lo tanto, la distribución espectral del número de neutrones en el haz luego de atravesar una placa de absorbente de área A y espesor x, puede calcularse como: N (E ) = A Φ(E ) = A N 0 (E ) e −σ ( E ) n x

(3.34)

En consecuencia, el número de neutrones de energía E que interaccionan con la placa para una profundidad x, puede calcularse mediante: N 0 ( E ) − N ( E ) = A [Φ 0 ( E ) − Φ ( E )] = A Φ 0 ( E )[1 − e − σ ( E ) n x ]

(3.35)

Y finalmente, el número total de neutrones, NT, que interaccionan con la placa de espesor x y área A, puede calcularse mediante: R = N0 − N =

E max

∫E = 0

A Φ 0 ( E )[1 − e − σ ( E ) n x ] dE

(3.36)

3.3. METROLOGÍA DE LAS RADIACIONES

En la seccion 1.2 se analizaron los diferentes modos de transferencia de energía cuando la radiacion ionizante interactua con la materia. Esta transferencia de energía tiene fundamentalmente dos efectos: la ionización y la excitación. La ionización se produce cuando la energía transferida por la radiación es suficiente para arrancar electrones de los átomos o moléculas, produciendo entonces un par de cargas (es decir, un átomo o molécula cargado positivamente y un electrón cargado negativamente). La excitación ocurre cuando la energía depositada por la radiación no alcanza para vencer la energía de amarre de los electrones, pero resulta suficiente para perturbar a los electrones órbitales y llevar átomos a un estado excitado. Estos dos procesos (ionización y excitación) pueden ser utilizados para aplicaciones de detección de radiación. Durante esta sección se abordarán tres

117


clases de detectores, los cuales utilizan los mecanismos de ionización o excitación para detectar las radiaciones ionizantes: i) los detectores de ionización gaseosa, ii) los detectores de centelleo, y iii) los detectores semiconductores. 3.3.1. Detectores gaseosos

En la Figura 3.15 se describe la arquitectura de un detector de radiación de tipo gaseoso. En este, un volumen de gas se sitúa entre dos electrodos sometidos a una diferencia de potencial V0 [volts]. El electrodo negativo (el cátodo) esta constituido por una carcasa cilíndrica y conductora, mientras que el electrodo positivo (el ánodo) esta constituido por un alambre conductor concéntrico respecto del cátodo. Bajo condiciones normales, el gas dentro del cilindro resulta un aislante, y por lo tanto no existe corriente eléctrica circulando entre el ánodo y el cátodo (siempre y cuando la tensión aplicada V0 no supere la tensión de ruptura del gas).

Figura 3.15: esquema representativo de un detector de radiación gaseoso

Cuando la radiación ionizante interactue con el gas contenido entre ambos electrodos se producirá (entre otros fenómenos) ionización, con la consecuente generación de pares de cargas negativas y positivas. Las cargas negativas producidas por la ionización serán atraídas hacia el ánodo mientras que las positivas viajarán hacia el cátodo, produciéndose momentáneamente una circulación de corriente que producirá una caída de potencial V, fácilmente detectable sobre la resistencia R. A partir del esquema de la Figura 3.15 puede razonarse que cuando no existe circulación de corriente por la resistencia R el punto “p1” se encuentra al mismo potencial que la fuente de tensión V0 y el punto “p2” se encuentra a un potencial nulo debido al efecto del capacitor C. Al producirse la ionización del gas en el tubo se produce una circulación de corriente por la resistencia R detectándose una disminución del potencial en los puntos “p1” y “p2”. Por lo tanto, el pulso de tensión V producido durante un evento de detección resulta de magnitud negativa. Durante la detección de un fotón, una partícula alfa o una partícula beta, las cargas generadas durante la interacción con el gas se ven sujetos a la acción del campo eléctrico dentro del detector. Este campo eléctrico actúa acelerando las cargas. Si la energía adquirida por las mismas durante su trayecto es suficiente, se generan dentro del detector ionizaciones secundarias debido al choque de las cargas eléctricas aceleradas contra los átomos del gas. Este efecto produce un aumento en el número de cargas dentro del

118


detector, amplificando la corriente sobre la resistencia R y aumentando en consecuencia la respuesta del detector. Considérese por un momento la Figura 3.16, la cual representa el número de cargas recolectadas por el ánodo, q, en función del voltaje aplicado V0. En la curva se distinguen básicamente seis secciones, con características y comportamiento físico diferentes por parte del detector. Es decir, los detectores de radiación gaseosos responderán en forma diferente a la radiación incidente en función de la zona en la que se encuentre polarizado mediante la tensión V0. Se detallan una por una cada sección.

Figura 3.16: cargas colectadas (q) en función de la tensión aplicada al detector gaseoso (V0)

Zona de recombinación (I) Cuando el voltaje aplicado al detector es pequeño, la velocidad con que se desplazan las cargas hacia los electrodos resulta muy baja. En tal situación, algunas cargas tendrán probabilidad alta de recombinarse con cargas del signo opuesto durante el trayecto dentro del detector. En consecuencia, el número de cargas colectadas q será menor al número inicialmente generado por la radiación ionizante incidente, q0. Definiendo el factor de multiplicación como la relación m = q / q0, puede concluirse que en la zona de recombinación se cumple m < 1. Si el voltaje aplicado aumenta, las cargas incrementan su velocidad y la probabilidad de recombinación disminuye. El punto donde m alcanza la unidad marca el fin de la zona de recombinación y el comienzo de la zona de la cámara de ionización. Zona de la cámara de ionización (II) Cuando el voltaje aplicado es tal que m = q / q0 = 1 el detector se encuentra en una situación donde las cargas generadas inicialmente por la radiación incidente tienen suficiente energía (y por lo tanto suficiente velocidad) como para evitar recombinarse con cargas del signo opuesto. Sin embargo, dicha

119


energía no es lo suficientemente elevada como para producir nuevas cargas por colisión con átomos del gas. Por lo tanto, la carga colectada por los electrodos del detector será igual a la inicialmente generada por la radiación ionizante (m = 1). La característica importante de esta zona radica en que la respuesta del detector (pulso de amplitud negativa V en la resistencia R de la Figura 3.16) resulta proporcional a la energía depositada en el gas por la radiación ionizante, y por lo tanto, proporcional a la energía de la radiación. Esta característica tiene gran importancia ya que permite la utilización de los detectores gaseosos polarizados en la zona de cámara de ionización para su utilización en dosimetría y espectrometría. Zona del contador proporcional (III) En la cámara de ionización el voltaje aplicado es suficiente para colectar aquellas cargas generadas directamente por acción de la radiación ionizante. Si se aumenta aun más el voltaje aplicado al detector puede recolectarse una carga q mayor que la carga inicial q0, es decir, en esta zona se tiene m > 1. Este efecto de amplificación resulta particularmente notable si se utiliza en el detector algún gas que libere fácilmente electrones al interactuar con la radiación. Debido a su baja masa, los electrones son fuertemente acelerados hacia el ánodo central entre colisión y colisión con los átomos del gas produciendo más ionización, en un proceso que resulta acumulativo. El fenómeno de amplificación se realiza principalmente en la zona próxima al ánodo central, debido a que en esta zona el campo eléctrico resulta de mayor amplitud como concecuencia del pequeño diámetro del ánodo. El factor de multiplicación puede alcanzar valores muy grandes, pero mientras no se supere un valor del orden de m = 102 se logra una amplificación constante. Es decir, todos los eventos de detección son amplificados en la misma proporción, independientemente de la carga inicial q0 generada. La zona del contador proporcional, al igual que la de la cámara de ionización, posee la ventaja de suministrar pulsos de amplitud proporcional a la energía de la radiación incidente. De allí, que los detectores polarizados en la zona del contador proporcional puedan ser utilizados en aplicaciones de dosimetría y espectrometría. Zona de proporcionalidad limitada (IV) Si se aumenta aun mas el voltaje aplicado se llega a una situación donde el factor de multiplicación m puede alcanzar valores tan altos como 106, generando pulsos de salida de mayor amplitud. Debido a que los pulsos generados poseen una amplitud elevada la electrónica asociada a este tipo de detectores se simplifica en gran medida ya que no se precisan amplificadores de grandes prestaciones. Sin embargo, como concecuencia de la nube de cargas de gran tamaño dentro del detector se produce una deformación de las líneas de campo eléctrico y el factor de multiplicación deja de ser constante. Es decir que los pulsos obtenidos no resultan proporcionales a la energía de la radiación incidente.

120


Zona del contador Geiger-Müller (V) A mayores tensiones aplicadas se alcanza una zona donde la amplificación es tan alta como 108 a 1010, generándose una descarga generalizada que se extiende a lo largo de una amplia porción del detector. Se denomina a esta descarga generalizada como proceso de avalancha. Aun un solo par de cargas generadas inicialmente por la radiación ionizante puede iniciar la descarga completa del detector. La carga colectada resulta independiente de la carga inicial q0. En consecuencia, este tipo de detectores responde con una amplitud constante independientemente del tipo y la energía de la radiación incidente. De hecho, las amplitudes de los pulsos de salida resultan constantes independientemente de la magnitud de la carga inicialmente generada q0. Debido a la gran amplitud de los pulsos de salida (del orden de los volts), la electrónica asociada a este tipo de detectores resulta muy sencilla, prescindiéndose de la utilización de amplificadores. Adicionalmente, a diferencia de las cámaras de ionización y los detectores proporcionales, los requerimientos de estabilidad de la fuente de alta tensión para los detectores polarizados en la zona de contador Geiger-Müller resultan mucho menores. Zona de descarga continua (VI) La región del Geiger-Müller esta limitada a altos voltajes aplicados por la producción de descargas múltiples o porque se presenta descarga continua en el detector. Esto se debe, por ejemplo, a los fotones ultravioletas producidos por desexcitación de los átomos del gas. Estos fotones pueden arrancar electrones del cátodo y producir una nueva avalancha luego de extinguida la primera. De esta forma, el proceso de descarga puede continuar indefinidamente. Nótese que en la Figura 3.16 las curvas para la radicación α , β y γ resultan topograficamente similares pero de amplitudes diferentes. Esto se debe a que, mientras las partículas α depositan toda su energía dentro del detector debido a su baja penetración, las partículas β y los fotones γ (o X) sólo depositan una fracción de su energía, debido a su mayor penetración y alcance. De esta forma la carga inicial q0 de las partículas α suele ser mayor. Sin embargo, nótese que por encima de la zona V, la carga colectada resulta única independientemente del tipo de radiación incidente. 3.3.2. Detectores Geiger-Müller

Cada detector Geiger-Müller tiene asociado un rango de voltaje para su funcionamiento adecuado, el cual es reportado normalmente por el fabricante, pero que también puede determinarse fácilmente de forma experimental. Para ello, debe trazarse una curva de la actividad medida por el detector en función de la tensión aplicada al mismo, para una fuente de radiación constante y espacialmente fija. La curva obtenida toma la forma presentada cualitativamente en la Figura 3.17. Se observan en la Figura 3.17 algunas características particulares de la curva de trabajo de un contador Geiger-Müller. La tensión de umbral, Vu, constituye la tensión mínima a aplicar al detector para que se detecte algún

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conteo. Normalmente, este valor de umbral no depende del detector, sino de la electrónica asociada al mismo. Generalmente, los detectores Geiger-Müller permiten al operador fijar el valor de umbral de modo de contabilizar sólo aquellos pulsos con amplitudes sustanciales, evitando así perturbaciones debidas a ruidos de característica eléctrica. Se denomina comúnmente a esta tensión de umbral como nivel de discriminación. A medida que la tensión aplicada excede el umbral, la actividad detectada aumenta rápidamente, hasta la tensión Ve, denominada tensión de entrada. Ve marca la entrada a una zona donde se observa que el aumento de la tensión aplicada resulta en un aumento mínimo de la actividad medida. Se ha alcanzado una zona denominada planicie o “plateau” donde se detectan prácticamente todos los pulsos producidos en el detector. El final del plateau se evidencia por un aumento marcado del conteo al aumentar la tensión aplicada como consecuencia de descargas múltiples o de un proceso de descarga continua.

Figura 3.17: actividad medida por un detector Geiger-Müller en función de la tensión aplicada, para una fuente de radiación constante y fija

Normalmente, la recta del plateau presenta una ligera pendiente positiva, la cual se calcula generalmente como: p=

ΔI / I m ΔV

=

( I s − I e ) /( I e + I s ) / 2 Vs − Ve

(3.37)

donde Im es la actividad medida a la mitad del plateau. Frecuentemente se expresa la pendiente del plateau como el incremento porcentual de I para un aumento de 100 Volts, es decir: p [%] =

122

ΔI / I m ΔV

⋅ 100 ⋅ 100

(3.38)


Frecuentemente, la tensión de trabajo, Vt, para el detector trabajando como contador Geiger-Müller, se escoge dentro de la zona del plateau, aproximadamente a la mitad si la extensión del plateau es baja (< 200 Volts), o mas cercana a la tensión de entrada Ve si la extensión del plateau es alta (> 200 Volts), siendo un buen criterio fijarla a 100 voltios de la tensión de entrada. Un plateau largo implica que es poco probable que las variaciones de la tensión en el detector y las inestabilidades del equipo lleven al detector fuera del plateau. Además, una pendiente baja en la zona del plateau evita que las variaciones de la tensión de trabajo (debido a inestabilidades de la fuente de tensión) repercutan considerablemente en el conteo del detector. Tiempo de resolución en los detectores Geiger-Müller Durante el proceso de avalancha, la nube de cargas negativas es rápidamente colectada por el ánodo debido al pequeño tamaño de dichas cargas. Por el contrario, las cargas positivas, de mayor tamaño, se mueven hacia el cátodo a velocidades mucho menores y son colectadas mas lentamente que las negativas. La presencia de la nube de carga positiva cercana del cátodo reduce la magnitud del campo eléctrico efectivo dentro del detector por debajo del nivel necesario para que se efectúe la multiplicación de cargas en el gas, culminando el proceso de avalancha. Obviamente, hasta que las cargas positivas no sean colectadas completamente, el detector se encontrará imposibilitado de responder en forma plena ante la llegada de nuevas radiaciones. La Figura 3.18 presenta un esquema del pulso de voltaje de salida en un detector Geiger-Müller. Al producirse un evento de detección, se produce un pulso de tensión negativo en la resistencia R (Figura 3.15) que tendrá la forma aproximada que se presenta en la Figura 3.18, similar a la curva de tensión de carga de un capacitor.

Figura 3.18: pulso de tensión de salida en un detector Geiger-Müller

123


La baja movilidad de las cargas positivas determina un cierto tiempo en que el proceso de avalancha no puede llevarse a cabo nuevamente. A este tiempo se lo denomina tiempo muerto, Tm. Durante el transcurso del tiempo muerto, la nube de cargas positivas cercanas al cátodo a disminuido el campo eléctrico efectivo dentro del detector por debajo del necesario para que se lleve a cabo el fenómeno de multiplicación de cargas, por lo que si se produce durante este periodo un evento de ionización dentro del tubo, este no será amplificado y por lo tanto no será detectado. Transcurrido el tiempo Tm, y aunque no se han colectado todas las cargas positivas, el campo eléctrico dentro del detector es suficiente para producir cierta amplificación de los procesos de ionización. Sin embargo, debido a que la nube electrónica positiva no ha sido totalmente colectada por el cátodo, la amplificación resulta menor y la amplitud del pulso de salida se verá disminuida. El tiempo necesario para que la amplitud del pulso de salida supere el nivel de umbral del detector y sea contabilizado se denomina tiempo de resolución τ . Nótese que cualquier evento de ionización que se produzca previo al periodo τ tendrá una amplitud menor que el nivel de discriminación del detector y no será contabilizado. Finalmente, de la gráfica puede definirse el tiempo de parálisis, Tp, como el tiempo necesario para que el detector vuelva a su estado inicial. Transcurrido un tiempo Tp todas las cargas positivas y negativas han sido colectadas por el cátodo y el ánodo. En consecuencia, cualquier nuevo evento de ionización producido en el detector desencadenará un proceso de avalancha de máxima amplitud. Gas Quenching en los detectores Geiger-Müller Una vez finalizado el proceso de avalancha, se produce un inconveniente de gran importancia. La nube electrónica de carga positiva se mueve a baja velocidad en dirección al cátodo. Cuando esta nube se encuentra a distancias muy cortas del cátodo, algunos electrones del mismo son arrancados como una forma de neutralizar la carga positiva de la nube de cargas. Algunos de estos electrones se ubican en órbitas correspondientes a energías elevadas en los iones positivos y al decaer a órbitas de menor energía emiten fotones con energías correspondientes al espectro ultravioleta. Estos fotones pueden producir liberación de más electrones en el cátodo y el desarrollo de una nueva avalancha. Por lo tanto, si no se evita este efecto, una simple ionización inicial puede llevar al detector a producir una serie de pulsos de descarga o una descarga continua. Este problema se soluciona introduciendo en el detector un gas denominado gas Quenching. El gas Quenching tiene básicamente tres objetivos. Primero, tiende a ceder electrones fácilmente. Cuando la nube positiva se forma, las moléculas del gas Quenching neutralizan los iones positivos cediendo electrones. En concecuenacia, la nube positiva es reemplazada en gran medida por moléculas de gas Quenching ionizadas. Segundo, cuando las moléculas ionizadas del gas Quenching son neutralizadas por electrones (emitidos por el cátodo) en órbitas de alta energía, tienden a perder energía mediante disociación en fragmentos moleculares en vez de emitir radiación ultravioleta. Tercero, las moléculas del gas Quenching son

124


fuertes absorbedores de radiación ultravioleta. Por lo tanto, los pocos fotones ultravioleta que se emiten durante la neutralización de los iones positivos del gas en el detector serán rápidamente absorbidos antes de desencadenar un nuevo proceso de avalancha. Los Quenching frecuentemente utilizados incluyen los gases de vapores orgánicos pesados (por ejemplo, alcohol) y los gases halógenos (por ejemplo, Cl2). Los vapores orgánicos resultan Quenching mas efectivos que los gases halógenos, pero desafortunadamente los fragmentos moleculares de este tipo de gases no se recombinan una vez disociados. Por esta razón los detectores basados en este tipo de gases poseen una vida útil limitada, típicamente 1010 cuentas. Por el contrario, los Quenching halógenos pueden recombinarse posterior a su disociación, y por lo tanto, los detectores Geiger basados en este tipo de gases poseen en principio una vida útil indefinida. 3.3.3. Detectores centelladores

Ya se explicó al comienzo de este Capítulo que la radiación ionizante interacciona principalmente de dos maneras con la materia, mediante ionización y excitación de los átomos y moléculas del medio. Cuando los átomos o moléculas del medio, en estado excitado, vuelven a su estado base o estado fundamental, se produce una liberación de energía. La mayor parte de esta energía liberada se disipa, por ejemplo, en la forma de energía térmica (mediante vibración de las moléculas del medio). Sin embargo, en algunos materiales una porción de esta energía es liberada en la forma de radiación visible. Este tipo de materiales es conocido como centelladores, y los detectores basados en este tipo particular de materiales se denominan detectores centelladores. Los centelladores más frecuentemente utilizados se engloban dentro de una de las dos categorías siguientes: i) materiales inorgánicos en la forma de cristales sólidos; y ii) sustancias orgánicas disueltas en soluciones líquidas. El mecanismo de centelleo para estos dos tipos de materiales es diferente, y será comentado para cada uno por separado en secciones subsiguientes. Una característica común a todos los centelladores es que la intensidad de luz producida luego de la interacción con un fotón γ o X, o una partícula α o β , es proporcional a la energía depositada por la radiación en el centellador. Por lo tanto, los detectores basados en materiales centelladores tienen la particularidad de permitir discriminar en energías y en consecuencia pueden utilizarse en aplicaciones de espectrometría o dosimetría. La intensidad de luz obtenida a partir de la interacción simple resulta muy pequeña. Por ejemplo, la interacción de un fotón de 0.511 [MeV] producirá la emisión de algunos cientos (o unos pocos miles) de fotones visibles. La amplificación de las señales lumínicas de baja magnitud se lleva a cabo mediante detectores electrónicos ultrasensibles denominados comúnmente tubos fotomultiplicadores. Tubo fotomultiplicador Un tubo fotomultiplicador es un dispositivo electrónico capaz de producir un pulso de corriente eléctrica de gran magnitud cuando es estimulado por una señal lumínica de muy baja amplitud, como por ejemplo la señal de luz

125


producida por la interacción de la radiación en un detector centellador. El funcionamiento básico de un tubo fotomultiplicador se describe en la Figura 3.19. La ventana de entrada del tubo se encuentra recubierta por un material fotoemisivo, el cual emite fácilmente electrones al interactuar con fotones visibles. Un ejemplo de material fotoemisivo es el Cesio-Antimonio (CsSb). La superficie fotoemisiva actúa como fotocátodo y los electrones emitidos se denominan fotoelectrones. La eficiencia para la conversión de fotones a fotoelectrones, frecuentemente denominada eficiencia cuántica, ronda aproximadamente de 1 a 3 fotoelectrones por cada 10 fotones visibles incidentes. Por supuesto que la eficiencia cuántica dependerá de la energía de los fotones visibles y del material fotoemisivo del fotocátodo. A corta distancia del fotocátodo se encuentra una placa metálica denominada dinodo, la cual es mantenida a un potencial positivo (típicamente de 200 a 400 [V]) relativo al fotocátodo y en concecuencia, actúa atrayendo fuertemente a los fotoelectrones emitidos desde este. El dinodo se encuentra también cubierto por un material con características de emisión de electrones, tal como el CsSb del fotocátodo. Un electrón de alta velocidad que impacte sobre el dinodo producirá el arranque de varios electrones secundarios. El factor de multiplicación (es decir, el número de electrones arrancados por un fotoelectrón incidente) dependerá de la energía del fotoelectrón, que resulta directamente de la diferencia de potencial aplicada entre el fotocátodo y el dinodo. Los electrones secundarios emitidos desde el primer dinodo serán acelerados en dirección de un segundo dinodo mantenido entre 50 a 150 [V] respecto del primero. Bajo este esquema, el proceso de multiplicación de electrones se repite de dinodo en dinodo. En general un tubo fotomultiplicador posee alrededor de 9 a 12 dinodos. El factor de multiplicación para cada uno ronda de 3 a 6, por lo que el factor de multiplicación total del tubo fotomultiplicador resulta muy elevado, por ejemplo, alrededor de 610 para un tubo de 10 dinodos con un factor de multiplicación por dinodo de 6. Por lo tanto, a la salida del tubo fotomultiplicador se obtiene un pulso de corriente relativamente alto, aun cuando la señal lumínica inicial sea extremadamente pequeña.

Figura 3.19: esquema de un tubo fotomultiplicador

126


Nótese que el pulso de corriente a la salida del tubo (o el pulso de tensión en la resistencia R de la Figura 3.19) resulta proporcional a la cantidad de fotoelectrones emitidos por el fotocátodo, y por lo tanto, resulta también proporcional a la energía depositada por los fotones visibles incidentes. Los tubos fotomultiplicadores precisan de una alta tensión de alimentación. Por ejemplo, considere un tubo de 10 dinodos con una tensión de 300 [V] sobre el primer dinodo, y de 100 [V] sobre los restantes 9 dinodos. Para este esquema de tubo se necesita una fuente de alta tensión de 1,300 [V]. Además, los requerimientos de estabilidad de esta fuente son muy altos. Una variación de 1% en la tensión de la fuente de alta tensión puede desencadenar variaciones en la corriente de salida de aproximadamente 10%. Centelladores inorgánicos Los centelladores inorgánicos son materiales cristalinos que centellean debido a su estructura cristalina. Los átomos individuales de este tipo de materiales no producen centelleo. Algunos materiales cristalinos son centelladores en estado puro. Por ejemplo, el Yoduro de Sodio (NaI) es centellador a temperaturas extremadamente bajas (alrededor de -200 [ºC]). El mecanismo por el cual se produce la emisión de radiación en un centellador cristalino sólido inorgánico se encuentra relacionado a su estructura de bandas. En un gas los átomos se encuentran lo suficientemente distanciados como para suponer que no existe interacción entre los diferentes átomos. Bajo esta hipótesis, el análisis de los niveles de energía resulta como el que se ha abordado durante el Capítulo 1, observándose los niveles energéticos relacionados con los distintos órbitales electrónicos, los cuales se caracterizan mediante los números cuánticos. Sin embargo, en un cristal sólido, los átomos se encuentran a distancias muy cercanas, por lo que no pueden analizarse los niveles energéticos de los átomos individuales, sino que debe analizarse el cristal en su conjunto. En los materiales cristalinos utilizados como centelladores, se distinguen las llamadas bandas, las cuales se representan cualitativamente en la Figura 3.20 para un cristal puro [Figura 3.20a)] y para un cristal con impurezas [Figura 3.20b)]. Para el cristal en estado puro se distinguen en el esquema básicamente tres bandas: i) la banda de valencia, la cual representa a aquellos electrones fuertemente ligados al núcleo y que por lo tanto no poseen libertad para moverse a través del cristal; ii) la banda de conducción, constituida por electrones débilmente ligados al núcleo, y por lo tanto con relativa libertad para migrar a través del cristal; y iii) la banda prohibida, la cual representa aquellos estados energéticos prohibidos para los electrones en el cristal, similar a los estados energéticos prohibidos en un electrón órbitando alrededor del núcleo. La radiación incidente sobre el cristal excita algunos átomos llevando electrones desde estados energéticos en la banda de valencia hasta la banda de conducción. Al desexcitarse estos átomos, es decir, al retornar los electrones a la banda de valencia, se emiten fotones con energías iguales a la diferencia de energía entre las bandas de conducción y valencia. En la mayoria de los cristales dichas bandas exhiben diferencias energéticas muy grandes y por lo tanto los fotones emitidos no resultan visibles. Por ejemplo, en el caso particular del cristal de Yoduro de Sodio (NaI) se obtienen fotones X. Si se disminuye la temperatura (por ejemplo a -196 [ºC] para el NaI) el salto de energía disminuye considerablemente y los

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fotones emitidos corresponderán al espectro visible. En la Figura 3.20a) se observa un esquema de las bandas de conducción en un cristal puro.

Figura 3.20: estructura de bandas en un cristal sólido a temperatura ambiente. a) cristal puro, b) cristal con impurezas

Sin embargo, la mayoría de los cristales centelladores son los denominados cristales activados por impurezas. En estos últimos, el agregado de pequeñas cantidades de impurezas (átomos de otro elemento) a la red cristalina tiene por objetivo introducir niveles energéticos permitidos dentro de la banda prohibida del cristal [Figura 3.20b)]. De esta forma, las transiciones desde la banda de conducción a la banda de valencia se realizan a través de estos niveles intermedios. Como consecuencia, durante la desexcitación de los átomos del cristal y a temperatura ambiente se emiten fotones correspondientes al espectro visible. Algunos de los centelladores activados por impurezas mas utilizados para la detección de radiación son el Yoduro de Sodio con Talio como impureza [NaI(Tl)] y el Yoduro de Cesio con Talio [CsI(Tl)]. Los cristales de NaI(Tl) poseen grandes ventajas para la detección de radiación de tipo X o γ . Por ejemplo: i)

Poseen una densidad bastante elevada y están compuestos por elementos de elevado número atómico (Z = 53 para el Yodo) lo cual vuelve al NaI(Tl) un excelente absorbedor de radiación penetrante como los fotones X o γ .

ii)

Es un centellador relativamente eficiente, siendo capaz de producir un fotón visible por cada 30 [eV] de radiación absorbida.

iii)

Resultan transparentes a la propia radiación emitida durante el centelleo (radiación visible), evitando la absorción de la radiación visible aun en cristales de tamaño elevado.

iv)

Pueden obtenerse a bajo costo cristales de tamaño considerable.

v)

Para fotones γ o X de baja energía (< 250 [KeV]) el mecanismo preponderante de interacción de la radiación con el cristal es el efecto fotoeléctrico. Por lo tanto, no es necesario un gran volúmen de

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cristal, debido básicamente a que los fotones (X o γ ) depositan toda su energía en una simple interacción. No obstante, los cristales de NaI(Tl) también poseen algunas desventajas: i)

Resultan muy frágiles, produciéndose fácilmente fracturas debido a esfuerzos mecánicos o térmicos. Si bien la fractura del cristal no determina el fin de su vida útil, produce zonas de opacidad dentro del cristal, que reduce la cantidad de luz visible que finalmente alcanza el fotocátodo del tubo fotomultiplicador.

ii)

El NaI(Tl) es altamente higroscópico. Si se somete a estos cristales a un ambiente húmedo se produce una decoloración del cristal, lo que se traduce en una menor transmisión de los fotones visibles al fotocátodo del tubo fotomultiplicador.

iii)

Para fotones γ o X de alta energía (> 250 [KeV]) el mecanismo preponderante de interacción de la radiación con el cristal es el efecto Compton. Por lo tanto se precisa un cristal de gran volúmen para aumentar la eficiencia de detección.

La Figura 3.21 muestra un típico arreglo de un cristal de NaI(Tl) con un tubo fotomultiplicador. El cristal, de geometría cilíndrica, se encuentra sellado en una cápsula de Aluminio, en cuyo extremo interno se encuentra una ventana transparente de vidrio o plástico en comunicación con el fotocátodo del tubo fotomultiplicador. La cápsula contenedora del cristal debe estar sellada herméticamente para evitar el ingreso de humedad del medio ambiente. Este último es un requisito fundamental, ya que como se explicó anteriormente, los cristales de NaI(Tl) son fuertemente higroscópicos por lo que tienden a absorber agua. Las paredes internas laterales y anterior de la cápsula son recubiertas por un material fuertemente reflector para evitar el escape de los fotones visibles generados en el cristal. El espesor de Aluminio en la cara anterior de la cápsula del cristal debe ser suficientemente pequeño si se desean detectar fotones de muy baja energía o partículas beta.

Figura 3.21: detector centellador. Acople de un cristal de NaI(Tl) con un tubo fotomultiplicador

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Centelladores orgánicos Contrariamente a los centelladores inorgánicos, el proceso de centelleo en los centelladores orgánicos se debe a una propiedad molecular. El mecanismo de centelleo se debe básicamente a la excitación (mediante la absorción de un fotón X o γ , o por interacción con una partícula α o β ) y posterior desexcitación, en la cual se emite un fotón visible. Los centelladores orgánicos pueden encontrarse en estado sólido, líquido, o gaseoso. Por ejemplo, algunos plásticos poseen propiedades de centelleo. Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones utilizan centelladores orgánicos en estado líquido. En esta clase de sistemas, el centellador es disuelto en un material solvente, situado en un recipiente plástico o de vidrio y la muestra radioactiva a estudiar es añadida a la mezcla. El recipiente conteniendo el solvente, el centellador, y la muestra radioactiva es luego situado entre un par de tubos fotomultiplicadores para detectar los eventos de centelleo. Un esquema de este tipo de aplicación se detalla en la Figura 3.22.

Figura 3.22: disposición de muestra y detectores para la detección de centelleos en un centellador orgánico líquido

Debido a que en esta clase de centelladores la muestra radioactiva se encuentra en íntima relación con el centellador, se suele utilizar para medición de radiación de baja penetración, por ejemplo radiación de tipo corpuscular ( α o β ), o fotones de muy baja energía. Sin embargo, como desventaja, los centelladores líquidos poseen una baja eficiencia de detección de radiación de alta energía debido a que están compuestos por elementos de bajo Z. Además, generalmente, los centelladores líquidos poseen una intensidad de luz de centelleo muy baja [menor a un tercio de la obtenida con NaI(Tl)]. Estos factores limitan notablemente su aplicación como detectores de propósitos generales. 3.3.4. Detectores semiconductores

Este tipo de detectores resultan en esencia dispositivos de estado sólido y su funcionamiento puede interpretarse de forma similar al funcionamiento de los detectores gaseosos tipo cámara de ionización. Sin embargo, debido a que los materiales sólidos utilizados en los detectores semiconductores son de 2,000 a 5,000 veces mas densos que los gases, esta clase de detectores poseen una

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eficiencia mucho mayor para la detección de radiación penetrante en comparación con los detectores gaseosos. En condiciones normales, los detectores semiconductores resultan pobres conductores de la electricidad. Sin embargo, en presencia de radiación ionizante, al producirse un evento de ionización en el material del detector, la carga eléctrica producida (constituida por los electrones y los huecos) es colectada por un voltaje aplicado, de igual forma que en los detectores gaseosos. Este mecanismo no puede ser aplicado utilizando materiales conductores como detectores, por ejemplo materiales metálicos, debido a que la corriente eléctrica producida resulta elevada aun en ausencia de radiación ionizante y por lo tanto la corriente generada por la radiación resulta completamente enmascarada por la corriente de conducción. Los aislantes, como el vidrio, tampoco se utilizan para propósitos de detección, debido a que resultan no conductores aun en presencia de radiación. Por lo tanto, sólo los materiales semiconductores pueden utilizarse para detección de radiación como detectores de estado sólido. Los materiales semiconductores mas utilizados en aplicaciones de detección son el Silicio (Si) y el Germanio (Ge). En este tipo de materiales se producen alrededor de un par de iones por cada 3 a 5 [eV] de radiación absorbida. Recuérdese que para los gases se produce un par de iones a partir de aproximadamente 34 [eV] absorbidos. Por lo tanto, los semiconductores no solo resultan detectores más eficientes, sino que también producen señales eléctricas cerca de 10 veces mayores que en los detectores gaseosos. La señal eléctrica es suficientemente grande como para contar eventos de radiación individuales y la amplitud de salida del detector resulta proporcional a la energía depositada en el semiconductor. Las ventajas de los detectores semiconductores quedan opacadas por ciertas desventajas que han limitado su aplicación en algunos campos, como por ejemplo el de la medicina. En primer lugar, tanto el Si como el Ge conducen una cierta corriente (aun en ausencia de radiación) debido a inducciones térmicas. Esta corriente genera un ruido de fondo en la señal eléctrica que interfiere con las señales eléctricas provenientes de eventos de detección de radiación. Es por esta razón, que en la mayoría de las aplicaciones, los detectores semiconductores deben operarse a temperaturas muy por debajo de la temperatura ambiente. Esta restricción aumenta la complejidad de los detectores debido a que deben incluirse en los mismos los sistemas de refrigeración. En segundo lugar, aun en los cristales mas puros de Si y Ge existen impurezas. Las impurezas distorsionan el arreglo regular de átomos en los cristales de Ge o Si. Estas distorsiones “actúan” como trampas electrónicas capturando los electrones generados en los procesos de ionización. Este mecanismo de distorsión resulta en una disminución substancial de la corriente eléctrica generada por los detectores. Para contrarrestar el efecto de las impurezas, se agregan al cristal átomos compensadores, los cuales no son mas que átomos susceptibles de donar electrones. En detectores de Si y Ge, el Litio (Li) es el elemento compensador utilizado frecuentemente. Desafortunadamente, la fabricación de cristales Ge(Li) y Si(Li) es costosa y demanda mucho tiempo.

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Un problema adicional se produce debido a que el Li tiende a condensar a temperatura ambiente dentro del cristal semiconductor, especialmente en los cristales Ge(Li). Por ejemplo, los cristales de Ge(Li) pueden arruinarse con exposiciones de tan solo una hora a temperatura ambiente. Los detectores de Si(Li) pueden tolerar almacenaje a temperatura ambiente, pero su óptimo funcionamiento se obtiene si se almacenan a bajas temperaturas. Por lo tanto, estos detectores no sólo deben utilizarse a temperaturas muy por debajo de la temperatura ambiente, sino que deben almacenarse también a bajas temperaturas.

Figura 3.23: esquema representativo de un detector semiconductor acoplado a su sistema de refrigeración

Generalmente, se utiliza Nitrógeno líquido (-196 [ºC]) para refrigerar los detectores semiconductores. La Figura 3.23 presenta un esquema del arreglo de un detector semiconductor acoplado con un sistema de enfriamiento por Nitrógeno líquido. 3.4. ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA

La determinación del espectro energético de una fuente de radiación es lo que frecuentemente se conoce como espectrometría. En esta sección se caracterizará en detalle el espectro de energías que se obtiene al medir un emisor gamma mediante un cristal de centelleo acoplado a un tubo fotomultiplicador, acople comúnmente denominado sonda de centelleo. La Figura 3.24 presenta en forma esquemática los pulsos de tensión negativos de salida de la sonda de centelleo en respuesta a la interacción del cristal con numerosos fotones gamma de diferentes energías. Debido a que la amplitud de la salida de la sonda resulta proporcional a la energía de la radiación incidente, las diferencias en altura en los pulsos de tensión indican que la radiación gamma que interactúa con el cristal es polienergética. Sin

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embargo, este hecho no necesariamente implica, como se verá a continuación, que la fuente emita radiación gamma polienergética. Observese que si los pulsos no superan el nivel de discriminación o umbral no son contabilizados. Para determinar la curva espectral del emisor gamma deben contarse los pulsos de salida, I, con amplitudes comprendidas en un intervalo de tensión [V, V + ΔV ], obteniéndose la curva espectral I (V ) . Siendo la tensión de los pulsos proporcional a la energía depositada en el cristal por los fotones, la curva obtenida resulta proporcional a la curva espectral I (E ) . Para determinar la relación entre la amplitud de tensión de los pulsos y la energía de los fotones incidentes debe realizarse una calibración de la sonda mediante algún emisor de radiación gamma de energía perfectamente conocida.

Figura 3.24: pulsos de tensión negativos de salida en una sonda de centelleo

Para determinar la curva espectral I (E ) o equivalentemente la curva I (V ) puede trabajarse de diversas formas en función de las características de la sonda de centelleo. Se detallan a continuación algunos casos típicos. Con discriminador variable En este modo de trabajo se escoge un valor inicial muy bajo de la tensión Vd de discriminación. Bajo esta condición, todos los pulsos de salida son contabilizados debido a que todos superan el valor de discriminación independientemente de su altura. Si se aumenta gradualmente la tensión del discriminador cada vez menos pulsos superan este valor y el conteo disminuye gradualmente. Finalmente, cuando el nivel de discriminación es muy alto, ningún pulso supera su valor y el conteo cae a cero. La curva I (V d ) obtenida no es mas que la curva integral de I (V ) , es decir: ∞

I (V d ) = ∫ I (V ) dV Vd

(3.39)

Por lo tanto, la curva espectral I (V ) [y por lo tanto I (E ) ] puede obtenerse directamente diferenciando la curva I (V d ) medida.

133


Con espectrómetro monocanal En este modo de trabajo se utilizan dos discriminadores a valores muy próximos V1 y V2. El equipo electrónico cuenta sólo los pulsos que superan el primer discriminador y no alcanzan el segundo. Es decir, sólo se produce el conteo de los pulsos cuya altura se encuentra comprendida en la ventana, o canal, igual al intervalo [V1 , V 2 ] . La curva espectral I (V ) se obtiene realizando numerosas mediciones manteniendo constante el ancho de la ventana ΔV = V 2 − V1 . Se comienza con un valor pequeño de V1 el cual se aumenta gradualmente hasta el final de la escala. Finalmente, se obtiene la curva espectral, I (V ) , que indica la frecuencia de los pulsos en función de la altura de los mismos. Con espectrómetro multicanal En los equipos más modernos se cuenta con múltiples canales capaces de discriminar y contabilizar simultáneamente pulsos de diferentes amplitudes. Con este tipo de equipos se obtiene la curva espectral en una simple medición. 3.4.1. Curva espectral de un emisor gamma monoenergético

La curva espectral teórica de un emisor de radiación gamma monoenergético se vería como la esquematizada en la Figura 3.25a). El espectro esta compuesto básicamente por un pico bien definido correspondiente a los fotones gamma que depositan toda su energía en el cristal produciendo un pico de tensión de salida de máxima amplitud cuyo valor se corresponde con la energía Ef de dichos fotones. Se observa también un espectro continuo constituido por energías comprendidas entre 0 y Ec. Este espectro continuo se debe a aquellos fotones gamma que interactúan mediante efecto Compton con el cristal y cuyo fotón dispersado logra escapar del mismo. La energía depositada por el fotón (y por lo tanto la amplitud del pulso de tensión de salida) debido a la interacción Compton dependerá del ángulo de dispersión. A partir de la Ec. (3.13) puede razonarse que la energía que se deposita en el cristal como consecuencia de la interacción esta dada por: Ef

Ef − E'= Ef − 1+

Ef m0 c

[1 − cos (θ )] 2

Ef

= 1+

m0 c 2

E f [1 − cos (θ )]

(3.40)

donde E ' es la energía del fotón dispersado. Puede verse a partir de la Ec. (3.40) que la energía depositada en el cristal (y por lo tanto la altura del pulso de salida) varia entre cero (para θ = 0 º ) y Ec (para θ = 180 º ), donde Ec se obtiene a partir de la Ec. (3.40), es decir:

134


Ef

Ec = 1+

m0 c 2

(3.41)

2E f

Se denomina comúnmente a la energía Ec como borde Compton. Factores de naturaleza estadística determinan que la curva experimental que se observa en el espectro de un emisor monoenergético resulte como la de la Figura 3.25b) en lugar de la 3.25a). Observese que el pico producido por los fotones gamma que depositan toda su energía en el cristal se encuentra ensanchado y presenta una distribución aproximadamente Gaussiana de media Ef. Adicionalmente, el borde Compton no resulta bien definido. Generalmente se estima la energía en el borde Compton Ec como el punto de inflexión de la porción descendiente de la curva. Para comprender el ensanchamiento que sufre el espectro real, debe considerarse, por ejemplo, que dos fotones gamma de idéntica energía no siempre producen igual cantidad de fotones visibles al interactuar con el cristal centellador. Además, dos fotones visibles de igual energía no siempre producen igual cantidad de fotoelectrones en el fotocátodo del tubo multiplicador. En forma similar, los electrones en el tubo fotomultiplicador no necesariamente arrancan igual cantidad de electrones en los diferentes dinodos. En conclusión, la amplitud del pulso de salida en la sonda de centelleo puede variar significativamente para dos fotones gamma de idéntica energía.

Figura 3.25: curva espectral de un emisor gamma monoenergético. a) curva teórica, b) curva experimental

Adicionalmente al fotopico y al borde Compton, se observan algunos picos adicionales en el espectro, como por ejemplo, el pico de retrodispersión y el correspondiente a rayos X. Se detallarán a continuación todos los “accidentes” de la curva espectral y las causas por las cuales se producen.

135


Fotopico Se debe a aquellos fotones gamma que depositan toda su energía en el cristal centellador, produciendo en consecuencia un pulso de salida de máxima amplitud y de magnitud proporcional a la energía del fotón. La probabilidad de interacción total entre un fotón y el cristal aumenta a medida que el cristal se incrementa en tamaño o para energías bajas de los fotones (lo cual se traduce en un mayor coeficiente de absorción en el cristal). El fotopico es consecuencia principalmente de la interacción por efecto fotoeléctrico (de allí la denominación de fotopico) del fotón con el cristal. Sin embargo, también se debe a aquellos fotones que interactúan por otros mecanismos (por ejemplo, Compton o creación de pares) pero que finalmente depositan toda la energía en el cristal. Por ejemplo, en el caso de una interacción Compton, el electrón y el fotón dispersados interactúan posteriormente con el cristal depositando toda su energía en éste. Pico de retrodispersión Considérese aquellos fotones gamma emitidos desde la fuente radioactiva en dirección opuesta a la del cristal de centelleo. Estos fotones pueden retornar al cristal luego de interactuar por efecto Compton en algún objeto del medio, exhibiendo un ángulo de dispersión de θ = 180 º o cercano a este. La energía del fotón retrodispersado desde el objeto externo vendrá dada por la Ec. (3.13), es decir: Ef

Er = 1+

Ef m0 c

[1 − cos (θ )] 2

= 1+

Ef 2E f

(3.42)

m0 c 2

Si el fotón retrodispersado deposita toda su energía en el cristal produce el pico de retrodispersión que se observa en la Figura 2.35b). Aun en el caso que no se produzca retrodispersión por interacción Compton con objetos externos, suele observarse un pequeño pico de retrodispersión en el espectro. Este pequeño pico se debe a los rayos gamma que atraviesan el cristal de centelleo sin interaccionar y producen efecto Compton con retrodispersión en los elementos de la sonda de centelleo, principalmente en la ventana transparente que hay entre el cristal de centelleo y el tubo fotomultiplicador. La relación entre la energía del pico de retrodispersión, la del borde Compton y la del fotopico, es la siguiente: Er + Ec = Ef

(3.43)

Esto puede demostrarse fácilmente sumando las Ecs. (3.41) y (3.42). Pico de rayos X Se describió en el Capítulo 2 que aquellas fuentes que exhiben decaimiento por captura electrónica o conversión interna pueden emitir rayos X como

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consecuencia del reacomodamiento de electrones en las capas electrónicas. Esta emisión de rayos X puede detectarse en el espectro como un pico bien definido a bajas energías. Generalmente, estos picos aparecen muy pronunciados debido a que por su baja energía estos fotones son fácilmente absorbidos en el cristal de centelleo. A manera de ejemplo, el Ba-137m (descendiente del Cs-137 por emisión beta) emite radiación gamma de energía 0.662 [MeV]. Este proceso de emisión gamma se encuentra en competencia con la conversión interna con la capa K. Al emitirse el electrón y posteriormente llenarse la vacante en la capa K se emite un fotón X de 0.032 [MeV]. En consecuencia, el espectro del Ba-137 presentará un fotopico en 0.662 [MeV] y un pico de rayos X en 0.032 [MeV]. Pico de aniquilación Suele observarse en los emisores β + . Cada positrón emitido, luego de perder energía dentro de la misma fuente, en el material de encapsulado, o en los soportes de la misma, se aniquila con un electrón y produce dos fotones de 0.511 [MeV] en direcciones opuestas (radiación de aniquilamiento). Si uno de los dos fotones se dirige hacia el cristal, puede ser absorbido por el mismo, produciendo un pico correspondiente a 0.511 [MeV] (pico de aniquilación). Pico de escape simple y doble Cuando los fotones gamma exhiben grandes energías (Ef > 1.022 [MeV]) se produce el fenómeno de creación de pares como consecuencia de la interacción de los fotones con el campo coulombiano de los núcleos de los átomos del cristal. En este fenómeno se producirá un par electrón-positrón a partir del fotón incidente. La energía cinética impartida al par electrón-positrón se disipa en el cristal mediante sucesivas interacciones. Al detenerse, el positrón se aniquila con un electrón del cristal emitiéndose dos fotones de energías 0.511 [MeV] cada uno. Si ambos fotones son absorbidos por el cristal el total de energía depositada será de Ef y la amplitud de salida se corresponde con el fotopico. Sin embargo si uno de los fotones escapa del cristal la energía depositada en el mismo será Ef – 0.511 [MeV]. Se produce entonces un pico a este valor de energía, denominado pico de escape simple. Si en lugar de uno, escapan ambos fotones, se producirá un pico correspondiente a energías de Ef – 1.022 [MeV], denominado pico de escape doble. Pico de coincidencia Puede suceder que dos fotones gamma interactúen simultáneamente con el cristal. En tal situación la respuesta de la sonda será proporcional a la suma de las energías de ambos fotones. Este fenómeno se da con frecuencia en emisores de radiación polienergética. Por ejemplo, como se vio en el Capítulo 2, el Co-60 emite radiación gamma con energías de 1.17 y 1.33 [MeV]. Como consecuencia del fenómeno de coincidencia se observa en el espectro del Co-60 un pico correspondiente a energías de (1.17 + 1.33) [MeV] = 2.50 [MeV]. 137


3.4.2. Curva espectral de un emisor gamma polienergético

El análisis de la curva espectral de un emisor gamma monoenergético puede generalizarse al caso de emisores polienergéticos. A manera de ejemplo, se describe brevemente a continuación la curva espectral para el Co-60. El Co-60 presenta dos fotopicos correspondientes a las energías de los fotones gamma emitidos, 1.17 y 1.33 [MeV]. Se presentan dos bordes Compton a energías cercanas a 0.96 y 1.11 [MeV] [ver Ec. (3.41)]. Los picos de retrodispersión aparecen solapados debido a que sus energías resultan muy cercanas, 0.20 y 0.21 [MeV] aproximadamente [ver Ec. (3.42)]. Debido a que los fotones poseen energías mayores a 1.022 [MeV] se producen los picos de escape simple y doble. Para los fotones de 1.17 [MeV] ambos picos se corresponden con energías de aproximadamente 0.66 y 0.15 [MeV], respectivamente. Para los fotones de 1.33 [MeV] estos picos se sitúan aproximadamente a 0.82 y 0.30 [MeV], respectivamente. Adicionalmente pueden observarse los picos de aniquilación y de coincidencia. 3.4.3. Resolución en espectrometría

Se ha considerado en esta sección la espectrometría realizada sólo a partir de detectores de tipo cristal centellador. Sin embargo, una curva espectral puede llevarse a cabo mediante cualquier detector cuya magnitud de respuesta resulte proporcional a la energía depositada por la radiación. Así, podría plantearse en principio la espectrometría mediante contadores proporcionales o detectores semiconductores. Quizás el caso de mayor interés sea el de los detectores semiconductores, debido a que exhiben una muy buena resolución. Una medida de resolución frecuentemente utilizada es el denominado ancho a la mitad del máximo (FWHM, por sus siglas en inglés, Full Width at Half Maximum), el cual se calcula como: FWHM (%) = 100

ΔE Ef

(3.44)

donde ΔE es el ancho del fotopico a una altura igual a la mitad de su amplitud máxima. Para entender la implicancia de la resolución en los detectores de radiación, considérese por ejemplo una fuente emisora de fotones gamma de dos energías diferentes, E1 y E2, muy cercanas entre sí. Según lo que se describió en las secciones anteriores puede razonarse que la utilización de un detector centellador posee una desventaja sustancial para el estudio de este caso debido al gran ensanchamiento que se produce en el espectro. Por lo tanto, difícilmente puedan diferenciarse fotopicos que se encuentren muy cercanos (es decir, fotopicos asociados a energías muy cercanas). En otras palabras, los detectores centelladores carecen de buena resolución. Por el contrario, los detectores semiconductores poseen resoluciones marcadamente superiores a los centelladores. Esta mejor resolución se debe principalmente a que los detectores semiconductores exhiben mayor eficiencia

138


en la detección de los fotones gamma. En un detector semiconductor Si(Li) o Ge(Li) se genera una carga eléctrica (electrón) por cada 3 [eV] de radiación gamma absorbida. Por el contrario, en los detectores centelladores de NaI(Tl) se generan cerca de 10 fotones visibles por cada 1 [keV] de energía absorbida. La gran capacidad de generación de carga eléctrica por unidad de energía absorbida contribuye a una menor variación estadística de la amplitud de los pulsos de salida del detector y por lo tanto resulta en una mejor resolución. A manera de ejemplo, para una fuente de Cesio-137 (emisor de fotones gamma de 0.662 [MeV]) se obtienen resoluciones cercanas al 13% con detectores centelladores de NaI(Tl). Por el contrario, para la misma fuente emisora puede obtenerse una resolución tan pequeña como 0.5 % con un detector de Ge(Li). En el caso particular de la espectrometría mediante contadores proporcionales, debe notarse que los mismos exhiben una mejora sustancial de la resolución respecto de los centelladores (pero menor que los semiconductores). Sin embargo, este tipo de detectores posee como gran desventaja su baja eficiencia de detección de fotones gamma.

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CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA FÍSICA NUCLEAR 4.1. INTRODUCCIÓN

Los fenómenos estudiados por la física nuclear pueden utilizarse en diversas aplicaciones. Por ejemplo, las radiaciones ionizantes y el decaimiento de núcleos radioactivos poseen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos, por ejemplo, en la conservación de alimentos, el control de plagas, la generación de energía eléctrica, el tratamiento y diagnóstico de enfermedades, entre otras. En el caso particular de las radiaciones fotónicas ( γ y X), quizás su aplicación mas popularmente conocida sea su utilización para el diagnóstico y tratamiento de enfermedades (por ejemplo, radiografía y tomografía). La gran capacidad de penetración de este tipo de radiaciones puede utilizarse para “explorar” las estructuras internas del cuerpo humano y detectar anomalías, como por ejemplo, la existencia de tumores en órganos internos o fracturas en huesos. Pero, las aplicaciones de este tipo de radiaciones no se limitan al caso del diagnóstico en medicina, sino que también puede utilizarse para detectar fracturas en materiales o para el control de espesores de piezas en lineas de producción. Otra aplicación muy conocida de la física nuclear es la generación de energía eléctrica a partir de la fisión del Uranio. En este caso, la energía liberada durante la fisión de los núcleos de Uranio se utiliza para generar vapor, para su posterior utilización en los generadores eléctricos. En este Capítulo se presentan numerosas aplicaciones de las radiaciones ionizantes, los decaimientos radioactivos y las propiedades del núcleo atómico. Sin embargo, se dará mayor detalle a dos de las aplicaciones que el autor considera más importantes en función del perfil del libro: las aplicaciones en medicina y en la generación nucleoeléctrica de energía. Adicionalmente, se describirá una aplicación ampliamente utilizada en medicina que utiliza el espin exhibido por el núcleo atomico, la resonancia magnética nuclear. 4.2. APLICACIONES DE LAS RADIACIONES IONIZANTES 4.2.1. Conservación de alimentos

Las radiaciones ionizantes pueden utilizarse para aumentar el “tiempo de vida” de algunos alimentos. En general, las aplicaciones particulares de las radiaciones a la conservación de alimentos dependen de la dosis de radiación utilizada y se clasifican segun: -

140

Dosis bajas: demora los procesos de maduración de las frutas y los vegetales. Se utiliza también para eliminar y controlar algunos insectos y parásitos presentes en los alimentos.

APLICACIONES DE LA FÍSICA NUCLEAR

-

Dosis intermedia: reduce la cantidad de microorganismos patógenos y organismos descomponedores de los alimentos. Se utiliza para extender el “tiempo de vida” de algunos alimentos.

-

Dosis alta: Se utiliza para esterilizar todo tipo de carnes. Se combina generalmente la radiación con cierto grado de calentamiento para desactivar enzimas y para desinfectar ingredientes, como por ejemplo, las especias.

A manera de ejemplo puede comentarse el tratamiento de papas y cebollas con pequeñas dosis de radiación γ (generalmente de una fuente de 60 Co) cuyo objetivo es el de inhibir el crecimiento de protuberancias y raíces. Por otro lado, la irradiación de granos, como el trigo o el arroz, con radiación γ permite eliminar insectos de los mismos. 4.2.2. Control de plagas

Ciertas especies de plagas, como por ejemplo algunas clases de moscas, tienen la particularidad de procrearse solo una vez durante su ciclo de vida. El control de este tipo de plagas puede llevarse a cabo mediante el denominado método de la “suelta de machos estériles”. En este método se crían en laboratorio enormes cantidades de machos de la especie a controlar. Utilizando dosis suficientemente altas de radiación puede lograrse la esterilización de la población del laboratorio. Posterior a la esterilización, se liberan los machos al ambiente, donde el apareamiento con las hembras resulta improductivo. De esta forma, se logra reducir significativamente el número de procreaciones de la especie. Si el procedimiento se repite numerosas veces, puede llegar a eliminarse por completo la plaga de una región determinada. Esta técnica se ha aplicado con éxito para combatir cierto tipo de larvas que infectan las heridas de los animales de corral y el ganado. También, se utiliza esta técnica para combatir a la mosca del mediterráneo y a la polilla de la manzana. 4.2.3. Aplicaciones industriales

La gran penetración de la radiación gamma o X puede utilizarse para detectar imperfecciones internas en piezas metálicas. La utilización de fuentes de radiación γ , a diferencia de la de rayos X, posee la ventaja de ser portátiles y no requerir de fuentes de alimentación eléctricas. Entre las aplicaciones a nivel industrial puede comentarse la utilización de radiación γ para monitorear el espesor de piezas en una línea de producción. Para ello, se sitúa la fuente de radiación por encima de las piezas y se monitorea la radiación que atraviesa las mismas con un detector situado por debajo. De esta forma cualquier anomalía en el espesor de la pieza es evidenciada por un aumento o disminución en el conteo del detector. Una aplicación específica de la radiación es la utilización en el estudio de lubricación y desgaste, por ejemplo, de los pistones y cilindros en motores. Para ello, suelen construirse piezas con un contenido aumentado del isótopo 59 Fe, emisor de radiación β − y γ . Al producirse desgaste, pequeñas partículas

141


metalicas se depositan en el lubricante, las cuales pueden monitorearse mediante la medición de la actividad de la radiación. 4.2.4. Investigación en biología, arqueología y paleontología

En relación a la arqueología y a la paleontología, en el Capítulo 2 se presentó un ejemplo de la forma en que el decaimiento del 14C puede utilizarse para determinar la antigüedad de ciertas muestras biológicas. Mediante este método se ha logrado determinar correctamente la edad de muestras de hasta 50,000 años. Por otro lado, en aplicaciones biológicas, se han utilizado isótopos radioactivos para investigar la velocidad de absorción de alimentos en plantas y la forma en que se distribuyen los mismos. Por ejemplo, en 1948, se utilizó Dióxido de Carbono marcado con 14C, para estudiar el mecanismo de la fotosíntesis en las plantas. También, la utilización de radioisótopos permite estudiar los ciclos vitales de migración y los hábitos alimenticios de insectos y peces. 4.3. GENERACIÓN NUCLEOELÉCTRICA

Ya se comentó durante el desarrollo del Capítulo 2, que para cualquier elemento se demuestra que la masa total del núcleo atómico es inferior a la suma de las masas de los nucleones que lo componen y que por lo tanto existe un decremento en la masa del sistema atómico al pasar de los nucleones constitutivos al núcleo atómico. Si se considera la equivalencia masa-energía expresada por: E = m c2

(4.1)

puede entonces razonarse que se pierde energía al pasar de los nucleones constitutivos a los núcleos atómicos. Más aun, el valor de dicha energía liberada puede calcularse mediante: E b = (Z m p + N mn + Z me − M A ) 931,494 [MeV / u]

(4.2)

donde mp es la masa del protón; mn es la masa del neutrón; me es la masa del electrón; MA es la masa atómica; y 931,494 [MeV] es la energía [obtenida mediante la Ec. (4.1)] asociada a una unidad de masa atómica u. A la energía E b se la denomina energía de amarre debido a que es la energía liberada al “formarse” el núcleo atómico y por lo tanto resulta igual a la energía que debería aportarse para separar un núcleo en sus nucleones constitutivos. Ya que E b es energía que debe aportarse al núcleo para disgregarlo, por convención se considera una cantidad negativa, es decir, debería ser E b < 0. Si se calcula para cada elemento la cantidad E b y se la divide por la cantidad de nucleones en el núcleo (A) se obtiene la llamada energía de amarre por nucleón. En el Capítulo 2 se graficó el valor de la energía de amarre por nucleón (Figura 2.3) como una cantidad positiva. Sin embargo, para

142


facilitar la comprensión del fenómeno de fisión nuclear resulta más conveniente graficar la cantidad E b / A según la convención, es decir, como una cantidad negativa. Puede verse en Figura 4.1 que la energía de amarre por nucleón posee un mínimo en alrededor de A = 56, correspondiente al 56 Fe . Aquellos núcleos con números de masa mayores o menores a A = 56 poseen sus nucleones unidos con fuerzas menores a las evidenciadas en el 56 Fe . Además, los elementos con números de masa elevados muestran una variación muy leve de la energía de amarre por nucleón para grandes variaciones del número A, debido básicamente a que las fuerzas nucleares se encuentran saturadas en esta zona, como se explicó en detalle en el Capítulo 2. A partir de la Figura 4.1 pueden razonarse dos hechos: i) si un núcleo pesado, por ejemplo el 235U, se divide o fisiona en dos núcleos mas livianos se produce una liberación de energía, debido a que los fragmentos de fisión (mas livianos) exhiben una energía de amarre por nucleón de menor magnitud (más negativa). En forma similar, si dos núcleos livianos, por ejemplo dos núcleos de Deuterio (2H), se unen o fusionan se libera energía debido a la disminución de la energía de amarre por nucleón. En las secciones siguientes se brindarán mayores detalles de estas ideas.

Figura 4.1: energía de amarre por nucleón vs. el número de masa

143


4.3.1. Fisión nuclear

El término fisión posee un significado conocido para la mayoría de los estudiantes de ingeniería. Sin embargo es útil repasar su definición y reescribirla en términos de la nomenclatura utilizada a lo largo de los Capítulos precedentes. Entonces, se entiende por fisión nuclear a la reacción nuclear por la cual un núcleo pesado se divide para dar lugar a dos o más núcleos más livianos y a algunos subproductos, como por ejemplo neutrones, partículas alfa, fotones, etc. Para facilitar el estudio de la fisión nuclear, se considera el caso particular de la fisión del Uranio-235 (235U), la cual se esquematiza mediante la siguiente expresión: 1 0 n

+

235 92 U

→

236 * 92 U

→ X +Y + m

1 0n

(4.3)

donde m es un número entero. La reacción de fisión descrita en la Ec. (4.3) comienza cuando el 235U captura un neutrón térmico, formándose un núcleo inestable de Uranio-236 (236U). El 236U inestable es susceptible de cambiar a una configuración más estable dividiéndose en dos núcleos mas livianos y emitiendo algunos neutrones en el proceso. De la Figura 4.1, se observa que la energía de amarre por nucleón Eb / A para el sistema disgregado resulta menor que la correspondiente al 236U, indicando que se libera energía durante la reacción de fisión. Esta energía se evidencia como energía cinética de los productos de la fisión y frecuentemente también como radiación γ de desexcitación de los núcleos generados. Un cálculo rápido permite estimar la energía liberada durante la reacción de fisión de un solo núcleo de 235U, como la descrita por la Ec. (4.3). Con ayuda de la Figura 4.1 puede verse que para los núcleos pesados (A ≈ 240) resulta Eb / A ≈ -7.2 [MeV], mientras que para núcleos de masa intermedia (como los fragmentos de fisión X e Y) se tiene Eb / A ≈ -8.2 [MeV]. Por lo tanto, la diferencia en la energía de amarre por nucleón resulta en Eb / A = 8.2 [MeV] – 7.2 [MeV]= 1 [MeV]. Pero, si se considera que existen 235 nucleones por cada núcleo de Uranio-235, la energía liberada será de Q = 235 [MeV]. Esta cantidad de energía equivale a cerca de siete millones de veces la energía desprendida durante la combustión de una molécula de trinitrotolueno (TNT). Adicionalmente, si se considera que durante las reacciones de fisión controlada en los reactores nucleares se fisionan millones de núcleos por segundo puede imaginarse la enorme cantidad de energía liberada. Para tener una idea concreta de lo que significan 235 [MeV] por cada núcleo de 235U fisionado, considere dos plantas generadoras de energía eléctrica de 1,000 [MW], una basada en fisión de 235U y otra de combustión de carbón. Si se considera la eficiencia térmica y demás factores, la planta de carbón precisa aproximadamente 10,000 toneladas de combustible al día para generar 1,000 [MW]. Por el contrario, el Uranio consumido por la planta de fisión resulta en aproximadamente 20 toneladas al año. Esta gran diferencia en la cantidad de combustible tiene un impacto directo en el funcionamiento de las plantas generadoras de energía eléctrica. Por ejemplo, la planta de carbón

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precisa de una logística monumental para la realimentación diaria de combustible. De igual forma, un gran porcentaje del combustible se transforma en cenizas, las cuales deben ser removidas periódicamente, transportadas y almacenadas. Además, debe considerarse el impacto ambiental derivado de la emisión de gases de efecto invernadero a la atmósfera. Por el contrario, los reactores de fisión no requieren de un arribo continuo de combustible, sino que una vez puesto el reactor en funcionamiento, un bajo porcentaje de las barras combustibles son reemplazadas en periodos de 12 a 24 meses. Adicionalmente, el porcentaje de desecho resulta muy bajo. Si se utilizan procedimientos de recuperación del Uranio no fisionado de las barras de combustible utilizadas (las cuales se describen en secciones posteriores) el total de desechos resulta en aproximadamente 10 toneladas anuales. Como desventaja debe comentarse que los desechos obtenidos en los reactores nucleares resultan radioactivos, con lo cual las plantas de generación nucleoeléctrica deben contar con los medios necesarios para almacenar dichos desechos. Materiales fisibles y fértiles Durante la discusión de las reacciones nucleares de fisión, debe diferenciarse entre dos tipos diferentes de materiales, los fisibles y los fértiles. Se denomina material fisible a aquel elemento que sufrirá fisión (o tendrá alta probabilidad de sufrir fisión) al ser bombardeado con neutrones de cualquier energía. Ejemplo de material fisible es por supuesto el Uranio-235. Por otro lado, un material fértil es aquel que captura neutrones y decae radiactivamente a un material fisible. Por ejemplo, el Uranio-238 es un material fértil, ya que, al ser irradiado por neutrones térmicos decae en Plutonio-239 el cual resulta un material fisible. Cabe aclarar que los elementos fértiles pueden sufrir fisión pero generalmente lo hacen al ser bombardeados por neutrones muy energéticos, generalmente en el rango de los MeV. Claramente, tanto los materiales fisibles como los fértiles derivan en una reacción de fisión al ser bombardeados por neutrones (los materiales fértiles lo hacen luego de transmutar a otro elemento). El Uranio-235 es el único material fisible presente en la naturaleza. Constituye solo el 0.7% del total del Uranio natural. Excepto por la existencia de pequeñas porciones de otros isótopos, el Uranio-238 constituye el 99.3% del total de Uranio natural existente. Al ser un material fértil, el 238U decae en Plutonio-239 (239Pu) según la siguiente reacción: 1 0 n

+

238 92 U

→

239 92 U

β

⎯⎯→

239 93 Np

β

⎯⎯→

239 94 Pu

(4.4)

El 239Pu posee una gran probabilidad de fisionarse si captura un neutrón y por lo tanto es un material fisible. Sin embargo, existe cierta probabilidad de que al captar un neutrón, el 239Pu se convierta en 240Pu, el cual es un material fértil. Si el 240Pu capta un neutrón decaerá en el material fisible 241Pu. Multiplicación de neutrones De la Ec. (4.3) puede verse que de una reacción de fisión del 235U son emitidos, adicionalmente a los fragmentos de fisión X e Y, algunos neutrones de alta energía (del orden de los MeV). No todas las reacciones de fisión del 235U

145


producen los mismos productos de fisión ni la misma cantidad de neutrones. La Figura 4.2 muestra la distribución de probabilidades para los productos de fisión del 235U.

Figura 4.2: distribución de probabilidad para los productos de fisión del 235U

A modo de ejemplo, se muestran a continuación dos reacciones de fisión para el 235U: 1 0 n

+

235 92 U

→

141 56 Ba

+

92 36 Kr

+3

1 0n

1 0 n

+

235 92 U

→

140 54 Xe

+

94 38 Sr

+2

1 0n

Si se considera una muestra macroscópica que involucre una gran cantidad de núcleos de 235U, el número promedio de neutrones emitidos durante las numerosas fisiones de los núcleos de 235U es de 2.5 neutrones por cada reacción de fisión. Por lo tanto, estos neutrones pueden desencadenar nuevos procesos de fisión produciendo una reacción en cadena. Para cuantificar este proceso de amplificación, se define el factor de multiplicación k como la relación entre el número de neutrones emitidos en una generación y el número de neutrones emitidos en la generación anterior. Para facilitar la

146


comprensión del factor de multiplicación k, considérese que en algún instante de tiempo arbitrario t = 0 son emitidos n0 neutrones productos de fisión del 235U. Se denomina a esta última la generación cero, la cual contiene n0 neutrones. Estos n0 neutrones de la generación cero producirán nuevos eventos de fisión, los cuales a su vez resultarán en nuevos neutrones emitidos. A estos nuevos neutrones emitidos se los denomina primera generación, la cual contiene n1 neutrones. El análisis detallado, puede continuarse para las generaciones 2, 3, …, etc. De la definición del factor k, puede verse que n 1 = k n 0 ; n 2 = k n 1 = k 2 n 0 ; y así continuando con la generación 3, 4, etc. Por lo tanto, la población de neutrones se incrementara, decrementará, o permanecerá constante en función del factor de multiplicación k. Para k > 1 se dice que el sistema es supercrítico; para k = 1 el sistema es crítico; y para k < 1 se dice que el sistema es subcrítico. La Figura 4.3 presenta la evolución en el número de neutrones para los sistemas subcrítico, crítico, y supercrítico.

Figura 5.3: evolución del número de neutrones durante una reacción de fisión para un sistema subcrítico (k<1), crítico (k=1) y supercrítico (k>1)

Masa crítica No cualquier cantidad o volumen de Uranio puede derivar en una reacción crítica o supercrítica. Si se iniciase una reacción de fisión en un trozo de 235U puro de gran tamaño, las reacciones de fisión crecerían rápidamente generando una reacción en cadena de tipo supercrítica. Sin embargo, si la reacción se iniciase en un trozo muy pequeño de 235U la misma se extinguiría rápidamente. Esto se debe a que la relación área / volumen de la masa de Uranio aumenta a medida que los volúmenes son cada vez mas pequeños. Por lo tanto, para volúmenes muy pequeños existe un gran área (en comparación con el volumen) por donde los neutrones emitidos pueden escapar antes de producir una nueva reacción de fisión. A la mínima masa necesaria para generar una reacción en cadena autosostenida se la denomina masa crítica. Si la masa de Uranio es menor a la masa crítica, se dice que es una masa subcrítica.

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4.3.2. Reactores de fisión nuclear

Un reactor de fisión es una instalación capaz de iniciar, mantener y controlar las reacciones de fisión en cadena, con los medios adecuados para extraer el calor generado. Para ayudar a nuestra comprensión sobre estas instalaciones, es necesario analizar algunas características particulares de la reacción de fisión controlada del 235U, antes de presentar el esquema de un reactor nuclear de fisión. Primero, como se muestra en la Ec. (4.3), la etapa inicial de la reacción de fisión de un núcleo de 235U consiste en la captura de un neutrón térmico. Como se vio en el Capítulo 3, un neutrón térmico es aquel que se encuentra en equilibrio térmico con el medio. Para el caso de interés, basta decir que los neutrones térmicos son aquellos con energías E < 0.05 [eV]. A esta baja energía, se tiene: i) alta probabilidad de que el neutrón sea captado por el 235U (material fisible); y ii) baja probabilidad de que el neutrón sea captado por el 238 U (material fértil) mucho mas abundante. Segundo, esta claro que, dado que en promedio se emiten 2.5 neutrones por cada reacción de fisión del 235U, deben proveerse los medios necesarios para evitar que el sistema resulte supercrítico (k > 1) y por lo tanto inestable. Es decir, deben brindarse los medios necesarios para captar algunos de los neutrones emitidos durante la fisión del 235U. Si el factor k resulta mayor a uno se producirá una reacción en cadena realimentada positivamente que tendería a ser incontrolable ya que con el avance del tiempo más y más núcleos de 235U fisionan produciendo cada vez más neutrones. Este es el tipo de mecanismo por el cual se produce la enorme liberación de energía en una bomba atómica, pero no es un comportamiento adecuado para un reactor de fisión. Tercero, los neutrones emitidos en cada reacción de fisión poseen energías muy altas, del orden de los MeV. En consecuencia, estos neutrones deben moderarse (disminuir su energía) con el objetivo de “convertirlos” en neutrones térmicos. Cuarto y último, debe considerarse que la energía liberada en cada evento de fisión se imparte como energía cinetica a los productos de fisión, los cuales depositan dicha energía en el reactor generando calor. Este calor debe ser extraído del reactor para evitar un sobrecalentamiento del mismo. Con todo lo señalado en los párrafos anteriores pueden ahora enumerarse los componentes de un reactor de fisión nuclear. Básicamente, un reactor se encuentra compuesto por: El combustible nuclear: es el material fisible y se encuentra dentro de las barras combustibles, cada una de las cuales puede alcanzar hasta algunos metros de longitud. Las mismas poseen una forma cilíndrica y están compuestas generalmente por un soporte mecánico, como por ejemplo Zirconio, dentro del cual se ubican pellets de Óxidos o Carbonatos de Uranio. El Uranio en las barras combustible esta compuesto básicamente por una gran cantidad de Uranio-238 y una pequeña fracción de Uranio-235. La abundancia de cada fracción depende principalmente de si el reactor funciona con Uranio enriquecido o con Uranio natural. Para facilitar la inserción y extracción de las barras combustibles en el reactor se configuran formando arreglos, comúnmente

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denominados elementos combustibles, los cuales pueden tener asociados decenas de barras combustibles cada uno. El moderador: es el encargado de disminuir la velocidad de los neutrones rápidos emitidos durante los procesos de fisión, llevándolos a neutrones lentos o térmicos, mediante colisiones con las moléculas del moderador. El objetivo principal de la moderación de los neutrones es la de aumentar la probabilidad de captación por parte del 235U y disminuir la captación de los neutrones por los núcleos de 238U. Las dos principales características que debe cumplir un buen moderador son: i) poseer un elevado poder de frenado de los neutrones rápidos; y ii) exhibir una baja avidez para la absorción de neutrones térmicos. Solo para mencionar un ejemplo, el agua ligera (H2O) posee un gran poder de frenado de los neutrones rápidos, pero desafortunadamente también posee una gran avidez para la absorción de neutrones térmicos. Por esta razón, generalmente en los reactores moderados por agua ligera se utiliza Uranio enriquecido como combustible nuclear, para asegurar que una buena cantidad de núcleos de 235U capten neutrones térmicos y fisionen. El refrigerante: es el encargado de extraer el calor generado en las barras combustibles como consecuencia de las reacciones de fisión. Generalmente suele utilizarse como refrigerante el mismo material moderador (agua liviana o agua pesada). Sin embargo, también se utilizan refrigerantes alternativos al agua, por ejemplo, los reactores moderados por grafito pueden refrigerarse con CO2 o Na. Los elementos de control: son elementos con gran avidez por los neutrones. En general se utilizan en forma de barras que se introducen y extraen fácilmente del reactor, actuando como absorbentes de neutrones. Se las conoce generalmente como barras de control. Permiten controlar en todo momento la población de neutrones, y por tanto, la potencia del reactor, haciendo que el funcionamiento del mismo sea levemente supercrítico durante la puesta en marcha del reactor, crítico durante su funcionamiento estacionario y subcrítico durante las paradas. Normalmente se utiliza el Cadmio o el Boro debido a su gran sección eficaz para la absorción de neutrones térmicos. Nótese en la Figura 2.5 del Capítulo 2 que la sección eficaz para el Boro indicada en la carta de nucleidos es de 759, muy por encima del resto de los elementos indicados en la carta. Otros: el correcto desempeño de un reactor nuclear requiere de componentes adicionales a los detallados en los puntos anteriores. Por ejemplo, la vasija del reactor que contiene a todos los componentes del núcleo; el sistema de enfriamiento del moderador; los blindajes para proteger de la radiación ionizante a todo el personal de la planta; los sistemas de medición y control encargados de controlar la temperatura, presión y demás variables de importancia dentro del núcleo; etc.

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Se presentarán a continuación diferentes tipos de reactores de fisión nuclear, indicándose los principales componentes de los mismos. Posteriormente se brindará una descripción resumida de los reactores nucleares utilizados en la República Argentina para generación nucleoeléctrica. Reactores de agua ligera En los reactores de agua ligera (LWR, por sus siglas en ingles: Light Water Reactor) se utiliza agua ligera (H2O) como moderador y refrigerante, y Uranio ligeramente enriquecido con valores de entre 2% y 4% para el 235U como combustible. Los LWR más comúnmente utilizados son los reactores de agua ligera a presión (PWR, por sus siglas Pressurized Water Reactor) o de agua ligera en ebullición (BWR, por sus siglas Boiling Water Reactor). Las Figuras 4.4 y 4.5 presentan esquemas de los reactores PWR y BWR, respectivamente. El agua ligera posee un muy buen poder de frenado de los neutrones rápidos, sin embargo tiene también gran avidez para absorber neutrones térmicos. Si bien el agua actúa frenando efectivamente los neutrones rápidos, absorbe a la mayoría de los mismos. Por esta razón, en los reactores de agua ligera se utiliza una relación baja entre el volumen de moderador y el volumen de combustible, relación que se encuentra en aproximadamente 2:1. Es decir que por cada dos unidades volumétricas de moderador se utiliza una de combustible. Adicionalmente, debido a esta gran avidez del agua ligera por los neutrones térmicos, el combustible utilizado debe estar levemente enriquecido para poder lograr un funcionamiento crítico (k = 1). La baja relación moderador / combustible, sumado al hecho que el mismo moderador se utiliza como refrigerante, determina que los reactores de agua ligera posean volúmenes muy pequeños en comparación con, por ejemplo, los reactores de agua pesada. En los reactores PWR, se somete al reactor a una presión elevada para evitar que se produzca la ebullición y evaporación del moderador / refrigerante (agua) a las altas temperaturas a las que se encuentra el reactor durante su régimen de funcionamiento, que resultan cercanas a los 360 [ºC]. El agua dentro del reactor es recirculada hacia los intercambiadores de calor, los cuales se utilizan para generar vapor en un circuito secundario. Es el vapor en este circuito secundario el encargado de imponer el torque necesario para hacer girar las turbinas de los generadores. En los reactores BWR la temperatura es también del orden de los 360 [ºC], pero la presión en el reactor es marcadamente menor que en los PWR. Esto permite que el moderador / refrigerante entre en ebullición y se evapore. Este vapor es el que se utiliza para enviar a las turbinas. En este tipo de reactores se elimina la necesidad de utilizar generadores de vapor, ya que el mismo se genera directamente dentro de la vasija del reactor. Los reactores moderados por agua ligera generalmente funcionan en ciclos en modo “batch”. En este modo de operación se apaga el reactor en periodos regulares que van desde 1 a 2 años y se reemplaza del 20 al 30 % de las barras combustibles por barras nuevas. Las barras de control se utilizan para un doble propósito. En primer lugar, al insertarlas completamente dentro del reactor tienen la función de interrumpir la reacción de fisión en cadena, durante las paradas del reactor. En segundo lugar, se utilizan para compensar

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el agotamiento del combustible nuclear en las barras de combustible durante el funcionamiento del reactor. Se observa en las Figuras 4.4 y 4.5 que las barras de control se insertan por encima en los reactores PWR y por debajo en los BWR.

Figura 4.4: reactores de agua ligera a presión

Figura 4.5: reactores de agua ligera en ebullición

Reactores de agua pesada Como su nombre lo indica, este tipo de reactores utiliza agua pesada (D2O) como moderador y refrigerante. El agua pesada a diferencia de el agua ligera esta constituida por dos atómos de Deuterio (isótopo del Hidrógeno cuyo núcleo esta formado por un protón y un neutrón) y uno de Oxígeno. Si bien el agua pesada posee una capacidad de frenado de los neutrones rápidos algo menor que el agua ligera, no posee una gran avidez por la absorción de neutrones térmicos y por lo tanto resulta un moderador eficiente. Como consecuencia del menor poder de frenado del agua pesada, este tipo de

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reactores suelen utilizar relaciones de volumen moderador / volumen de combustible mayores a los reactores de agua ligera. Adicionalmente, se logran reacciones de fisión críticas con Uranio natural como combustible. Los reactores de agua pesada presurizados del tipo CANDU (por sus siglas, Canadian Deuterium Uranium) son los reactores moderados a agua pesada más utilizados. Se presenta en la Figura 4.6 un esquema simplificado de un reactor CANDU.

Figura 4.6: esquema de un reactor de agua pesada tipo CANDU

Básicamente, el reactor consta de un tanque cilíndrico, la calandria, lleno de agua pesada actuando como moderador. La calandria es atravesada por una serie de tubos, denominados tubos de presión, dentro de los cuales se sitúan los elementos combustibles. Dentro de estos tubos, circula el refrigerante encargado de transferir el calor generado en los elementos combustibles al generador de vapor. El agua dentro de los tubos es mantenida a una presión alta, impidiendo la ebullición de la misma. La calandria esta térmicamente aislada de los tubos, de modo que la misma se encuentra a presión atmosférica y temperatura casi ambiental. Se observa en la Figura 4.6 las barras de control, las cuales se insertan transversalmente dentro de la calandria en el volumen ocupado por el moderador. Este tipo de reactor tiene una particularidad importante desde el punto de vista funcional ya que su diseño permite que se retiren y recarguen los elementos combustibles durante el funcionamiento del reactor, sin la necesidad de interrumpir la reacción en cadena. Reactores moderados a grafito El grafito posee una capacidad de frenado de neutrones rápidos menor que la correspondiente al agua pesada o ligera. Sin embargo, también posee una menor avidez por los neutrones térmicos. En consecuencia, resulta un moderador de “calidad” intermedia entre el agua pesada y el agua ligera. Debido a esta baja capacidad para frenar los neutrones rápidos, en este tipo de

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reactores se utilizan grandes relaciones de volumen de moderador respecto del volumen de combustible. Los primeros diseños utilizaban Uranio natural como combustible, grafito como moderador y Dióxido de Carbono como refrigerante. Debido a las limitaciones del grafito como moderador, este tipo de reactores resulta de menor potencia respecto de los moderados por agua pesada. Diseños posteriores utilizaron Uranio enriquecido y Helio como refrigerante, permitiendo operar a mayores temperaturas. Un tipo particular de reactor moderado por grafito y refrigerado por agua ligera es el RBMK (por sus siglas, Reactor Bolshoy Moshchnosti Kanalniy), construido por la Unión Soviética. Utiliza como combustible Uranio levemente enriquecido. Aunque su principal función era la de producir Plutonio para armamento también se lo utilizaba simultáneamente para la generación de energía eléctrica como subproducto.

Figura 4.7: esquema simplificado de un reactor RBMK

Se muestra en la Figura 4.7 un esquema simplificado de un RBMK. Se observa que en este tipo de reactores se utilizan tubos de presión, similares a los del reactor CANDU, pero en una disposición vertical. Dentro de estos tubos los elementos combustibles calientan el agua refrigerante la cual entra en ebullición. El vapor generado se envía a las turbinas para accionar los generadores. Reactores rápidos En los reactores rápidos no se requiere de moderador dado que la reacción de fisión se sostiene a partir de neutrones rápidos. Como se explicó anteriormente, la sección eficaz para la absorción de neutrones del 235U resulta fuertemente

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disminuida cuando los neutrones exhiben altas energías, es decir, la avidez del 235 U por los neutrones disminuye notablemente cuando los neutrones tienen energías elevadas. Por esta razón, los reactores rápidos utilizan normalmente como combustible Uranio enriquecido para poder lograr una reacción de fisión autosostenida. La refrigeración del núcleo no puede llevarse a cabo con agua, debido a que actúa como moderador de neutrones. Se utilizan en consecuencia refrigerantes metálicos líquidos, como por ejemplo, Sodio líquido. Una clase particular de reactores son los reactores reproductores rápidos, los cuales utilizan Uranio natural para su funcionamiento. Están diseñados para producir mayor cantidad de material fisible del que se consume. En este tipo de reactores gran parte de los neutrones rápidos emitidos durante la fisión de los núcleos son captados por los materiales fértiles, por ejemplo, 238U o 232Th, los cuales decaen en materiales fisibles como el 239Pu y el 233U, respectivamente. De esta forma, la reacción de fisión autosostenida se produce no sólo en los núcleos de 235U sino también a partir del Uranio-238, el cual no se utiliza normalmente en los reactores descritos en las secciones anteriores. Los reactores rápidos poseen algunas ventajas importantes respecto de los reactores presentados anteriormente. En primer lugar, optimizan el combustible nuclear, debido a que la fisión no se basa sólo en el 235U sino también en otros elementos fértiles como el 238U. En segundo lugar, se disminuye la radioactividad del desecho nuclear, debido a que se convierte el Plutonio y otros metales pesados de larga vida media, en productos de fisión de vida media corta cuya radiactividad se atenúa mas rápidamente. 4.3.3. Centrales nucleares

El funcionamiento general de una central nuclear se esquematiza en la Figura 4.8. El esquema simplificado considera, a modo de ejemplo, una central correspondiente a un reactor de agua ligera a presión. Se observan en el esquema las tres partes constitutivas básicas de la central nuclear: i) El circuito primario; ii) El circuito secundario; y iii) El circuito de refrigeración. Se describen brevemente a continuación los tres circuitos. Circuito primario El circuito primario se encuentra contenido dentro del edificio del reactor y está formado básicamente por la vasija del reactor que contiene el núcleo del reactor (material combustible), el elevador de presión, y las bombas principales de circulación. El agua que circula por su interior toma el calor producido en el reactor por la fisión nuclear y lo transporta hasta el generador que produce el vapor que se utilizará para girar los alabes de las turbinas en el circuito secundario. Finalmente, el fluido del circuito primario retorna a la vasija del reactor tras ser impulsado por las bombas principales. Nótese que, el elevador de presión mantiene el agua a alta presión evitando que la misma entre en ebullición y se gasifique. Circuito secundario Es el circuito encargado de generar efectivamente la energía eléctrica. En el circuito secundario, el vapor producido en los generadores de vapor (o en el reactor en el caso de los BWR) se conduce al condensador, pasando a través

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de la turbina que transforma la energía térmica (calor) en energía mecánica. La rotación de los alabes de la turbina produce la energía eléctrica en los generadores. El vapor de agua que sale de la turbina pasa a estado líquido en el condensador (refrigerado mediante el circuito de refrigeración), retornando mediante la acción de las bombas de condensado al generador de vapor para reiniciar el ciclo. Circuito de refrigeración En este circuito, mediante un gran caudal de agua (aproximadamente 50,000 [kg / s]), se realiza la refrigeración del condensador del circuito secundario. Este sistema consta de algunas torres de enfriamiento, un canal de alimentación de agua, y las correspondientes bombas de impulsión para la refrigeración del condensador y elevación del agua a las torres de enfriamiento. Las torres de enfriamiento, características de algunas plantas nucleares, tienen como objetivo enfriar el agua del circuito luego de que ésta se calentara en el condensador. El caudal de agua que pudiera evaporarse en las torres es restituido a partir de la toma de agua de un río o lago próximo.

Figura 4.8: esquema simplificado de una central nuclear con reactor de agua ligera a presión

Si el caudal de agua del río resulta considerablemente mayor al caudal del circuito de refrigeración, puede prescindirse de la torre de enfriamiento. En tal caso, el agua del circuito de refrigeración no se recircula, sino que se desecha directamente al río. Debido a que el caudal del circuito es pequeño respecto al del río, no se producirá un aumento sustancial de la temperatura del río y por lo tanto no resulta en un impacto ambiental negativo. Es pertinente comentar que el esquema correspondiente a una central nuclear con reactor de agua en ebullición es muy similar, excepto que los circuitos primario y secundario están implementados en un mismo circuito.

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4.3.4. Generación nucleoeléctrica en la República Argentina

Actualmente la República Argentina cuenta con dos centrales nucleares en funcionamiento, ATUCHA I y EMBALSE. Una tercera central nuclear se encuentra en su etapa final de construcción, ATUCHA II. Adicionalmente, se esta llevando a cabo la implementación del proyecto para la construcción del reactor CAREM (por sus siglas, Central Argentina de Elementos Modulares), un reactor nuclear de diseño enteramente Argentino. Se comentarán a continuación las principales características de las centrales nucleares Argentinas y del reactor CAREM. Centrales ATUCHA I y II Ambas centrales, ATUCHA I y II, utilizan un reactor de agua pesada a presión desarrollado por Siemens, similar al reactor de agua ligera esquematizado en la Figura 4.4. Se utiliza agua pesada como moderador y refrigerante. En consecuencia, como combustible se utiliza Uranio natural o ligeramente enriquecido a un porcentaje de aproximadamente 0.85 % de 235U. Los reactores en ATUCHA I y II cuentan con cerca de 250 y 450 elementos combustibles, respectivamente, constituidos por 37 barras combustibles cada uno. Ambos reactores funcionan a presiones cercanas a los 120 [bar] y temperaturas cercanas a los 310 [ºC]. No se observan en estas dos centrales las características torres de refrigeración debido a que surten sus circuitos de refrigeración a partir del gran caudal del Río Paraná y en consecuencia no se requiere recirculación del agua utilizada. La potencia térmica y eléctrica de la central ATUCHA I es de 1,179 [MW] y 357 [MW], respectivamente. Para la central ATUCHA II, estas potencias son de 2,175 [MW] y 692 [MW]. Nótese que la potencia de ATUCHA II resulta casi el doble de la correspondiente a ATUCHA I. Central EMBALSE Esta central posee un reactor tipo CANDU (Figura 4.6) moderado y refrigerado por agua pesada y con Uranio natural como combustible. Este reactor consta con cerca de 380 tubos de presión dentro de los cuales se ubican 12 elementos combustibles. El funcionamiento del reactor se realiza a cerca de 110 [bar] y 290 [ºC]. Su potencia térmica y eléctrica es de 2,109 [MW] y 648 [MW], respectivamente. Surte su circuito de refrigeración del embalse del Río Tercero. Adicionalmente a la generación nucleoeléctrica, la central de Embalse produce el isótopo radioactivo 60Co de aplicación en medicina, abasteciendo al mercado local y también mundial mediante exportación de este producto. Proyecto CAREM El reactor CAREM fue diseñado enteramente en la República Argentina. Según su diseño y concepción puede utilizarse para abastecer zonas alejadas de los grandes centros urbanos o polos industriales con alto consumo eléctrico. En principio, generará una potencia eléctrica aproximada de 25 [MW], suficiente para abastecer una población de aproximadamente 100,000 habitantes.

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El diseño del reactor CAREM se basa principalmente en dos aspectos fundamentales: i) la implementación de sistemas pasivos, es decir, que para su accionamiento dependen de las leyes de la física, como la gravedad, y no de un accionamiento activo que requieren alimentación eléctrica y mantenimiento; y ii) la integración de todo el circuito primario, parte del circuito secundario, los generadores de vapor y los mecanismos de control, en un solo recipiente de presión.

Figura 4.9: esquema simplificado de un reactor CAREM

Se muestra en la Figura 4.9 un esquema simplificado de un reactor CAREM. A grandes rasgos, el reactor esta compuesto por el recipiente de presión de gran tamaño (11 metros de altura, 3.4 metros de diámetro y espesores de pared de entre 13 y 20 [cm] en sus distintas secciones) el cual contiene agua ligera como refrigerante y moderador. Dentro del recipiente se encuentra el núcleo del reactor constituido básicamente por 61 elementos combustibles, cada uno de los cuales contiene decenas de barras combustibles de Uranio levemente enriquecido (entre el 1.8% a 3.1% de 235U). Se encuentran también dentro del recipiente de presión, la chimenea y los generadores de vapor, entre otros componentes. El funcionamiento del reactor es realmente novedoso. El calor generado en el núcleo calienta el agua en las porciones inferiores del recipiente. La misma asciende por la chimenea hasta la parte superior debido a la diferencia de temperatura entre las porciones inferior y superior del recipiente. Se genera

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así circulación por un proceso de convección natural en la que el agua calentada en el núcleo asciende por la chimenea para posteriormente descender por las paredes del recipiente dejando parte del calor en los generadores de vapor, enfriándose y retornando al núcleo donde se calentará nuevamente. Según el funcionamiento descrito, no se requiere en el reactor CAREM las bombas de circulación y las cañerías necesarias para implementar el circuito primario de los reactores convencionales, por ejemplo, en los BWR o los PWR (Figuras 4.4 y 4.5). Para evitar la ebullición, el agua dentro del reactor se mantiene a una presión elevada. 4.4. RADIACIONES IONIZANTES EN MEDICINA

Además de la utilización de las radiaciones ionizantes en la generación núcleoeléctrica, su uso en medicina se encuentra ampliamente divulgado en aplicaciones de tratamiento y diagnóstico de numerosas enfermedades. La utilización de radiación ionizante en medicina abarca un amplio rango de equipos, que van desde los populares equipos de rayos X para mamografía, odontología y radiografía, hasta los complejos tomógrafos. En esta sección se intentará brindar un panorama general de las aplicaciones de las radiaciones ionizantes en el campo de la medicina, describiendo brevemente los equipos mas frecuentemente utilizados. 4.4.1. Tubo de rayos X

Los equipos de diagnóstico basados en radiación ionizante mas utilizados en la actualidad son aquellos que utilizan la radiación X, por ejemplo, mamógrafos, equipos de radiografía, tomógrafos, angiógrafos, etc. Estos equipos poseen una característica en común: precisan para funcionar de la generación de radiación X a partir de una fuente de alimentación externa. Para ello, cuentan con un dispositivo de generación de radiación X denominado comúnmente tubo de rayos X, el cual constituye el elemento central en esta clase de equipos. En la Figura 4.10 se muestra un esquema simplificado de un tubo de rayos X. El mismo consiste básicamente de una ampolla de vidrio dentro de la cual se produce alto vacío (del orden de 10-4 [atm.]) y en cuyo interior se encuentran dos electrodos: i) el cátodo (negativo) en el cual se emplazan uno o más filamentos (normalmente de Tungsteno); y ii) el ánodo, constituido por un disco tipo cono truncado que en la mayoría de los casos posee la capacidad de girar. Ánodo y cátodo se mantienen a una diferencia de potencial que generalmente puede variarse desde unas pocas decenas hasta varios cientos de kilovolts según la aplicación particular. Cuando una corriente eléctrica circula por alguno de los filamentos del cátodo, en respuesta a una tensión V aplicada, se genera una nube de electrones en las proximidades del filamento. Estos electrones son fuertemente acelerados en dirección al ánodo por la gran diferencia de potencial existente entre ánodo y cátodo. La cantidad de electrones emitidos por el filamento dependerá de la temperatura del mismo y puede ser regulada mediante la tensión V aplicada al circuito del cátodo que determina la corriente eléctrica que circula por el filamento.

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En el ánodo se deposita una zona o “pista” (región de producción de rayos X) de un material especialmente escogido (por ejemplo Tungsteno en aplicaciones de tomografía y radiografía, o Molibdeno en mamografía) que actúa como blanco de impacto de los electrones emitidos y acelerados desde el filamento del cátodo. Como se detalló en el Capítulo 3, la fuerte desaceleración de los electrones en el blanco de Tungsteno o Molibdeno es acompañada por la emisión de radiación de frenado constituida principalmente por radiación X.

Figura 4.10: esquema simplificado de un tubo de rayos X

Aunque no se muestra en la Figura 4.10, el tubo de rayos se sumerge en aceite dentro de la denominada calota. Dicho aceite es utilizado para disipar el calor generado por el tubo. La calota se encuentra plomada por su superficie interna excepto en una pequeña porción que se deja libre para permitir escapar a los rayos X. De esta forma, los mismos pueden ser direccionados hacia el objetivo evitando la irradiación en todas direcciones y focalizando el haz. Si bien todos los electrones emitidos por el filamento son acelerados dentro del tubo con la misma energía (la cual dependerá enteramente del potencial de alta tensión aplicado), no todos interactúan de igual forma con el material blanco del ánodo. En forma general, para la totalidad de electrones, puede considerarse que en promedio el 99% de la energía de los mismos es transformada en calor en el ánodo. Por esta razón, el ánodo se diseña con capacidad giratoria para que el haz de electrones no impacte siempre en la

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misma región del ánodo, sobrecalentandola. El 1% restante de la energía se emite en forma de radiación X. El espectro de energía de los fotones X emitidos varía según el material blanco. Ya sea Tungsteno o Molibdeno el espectro es continuo y de energía máxima aproximadamente igual a la energía cinética de los electrones (correspondiente al potencial de alta tensión aplicado). El mínimo de energía del espectro de emisión esta determinado casi enteramente por el espesor de la ampolla de vidrio por donde escapan los fotones X, debido a que la mayoría de los fotones de baja energía serán atenuados por esta ventana de vidrio. En la Figura 4.11 se presentan en forma cualitativa las curvas espectrales de intensidad de rayos X para diferentes valores de alta tensión aplicada, en un tubo con blanco de Tungsteno.

Figura 4.11: intensidad de los rayos X producidos en un blanco de Tungsteno, para diferentes valores de alta tensión aplicada

Nótese que para altos voltajes aplicados (> 60 [KV]), se superpone al espectro continuo un espectro discreto constituido por picos en longitudes de onda cercanas a los 0.19 y 0.21 [Å] (correspondientes a fotones X con energías cercanas a 65 y 60 [KeV], respectivamente). Estos picos se deben a electrones que durante su frenado en el ánodo arrancan los electrones orbitales de la capa n = 1 de los átomos del Tungsteno, la cual se completa subsiguientemente con electrones de las capas superiores con la consecuente emisión de radiación X. En el espectro de la Figura 4.11, las transiciones desde n = 3 a n = 1 producen el pico cercano a 0.19 [Å], mientras que la transiciones n = 2 a n = 1 son las que producen el pico discreto cercano a 0.21 [Å]. Si el voltaje aplicado es bajo, los electrones acelerados no tendrán la suficiente energía para arrancar los electrones de la capa n = 1 y no se observarán estos picos discretos en el espectro de energías, como sucede en la curva correspondiente a los 60 [KV]. Los picos discretos dependen totalmente del material blanco en el ánodo. Por ejemplo, los blancos de Molibdeno poseen picos discretos en longitudes de ondas comprendidas entre aproximadamente 0.6 [Å] y 0.8 [Å] (correspondientes a fotones X con energías cercanas a 20 y 15 [KeV], respectivamente).

160


4.4.2. Equipos de diagnóstico basados en rayos X

La radiacion X generada en el tubo de rayos de un equipo de diagnóstico es direccionada hacia el paciente, detectándose aquellos fotones que atraviesan al mismo (fotones transmitidos) mediante algún detector. En la Figura 4.12 se representa esquemáticamente un haz de rayos X monoenergético viajando a través de espesores de tejidos biológicos de diferentes características; en particular, tejidos de distintos coeficientes de atenuación μ.

Figura 4.12: atenuación de rayos X

El principio fundamental para la aplicación de los rayos X en medicina se basa en las características de la atenuación que sufren los fotones X en los tejidos. Se muestra en la Figura 4.12 como la intensidad de los rayos X transmitidos depende del espesor de tejido (x) y de la/s característica/s del/los tejido/s. A medida que el espesor de tejido y/o el coeficiente de atenuación del mismo aumentan los fotones X sufrirán mayores atenuaciones. Para un haz de fotones X monoenergético viajando a través de diferentes espesores de tejidos, la intensidad transmitida I puede expresarse mediante: I = I 0 e − μ1 x1 e − μ 2 x 2 Le − μ n x n

(4.5a)

donde I 0 es la intensidad de fotones X incidente; μ 1 , μ 2 ,.. y μ n son los coeficientes de atenuación de los distintos tejidos que el haz X atraviesa; y x 1 , x 2 , … y x 3 son sus espesores. La Ec. (4.5a) puede reescribirse como una ecuación lineal, mediante: ln ( I 0 / I ) = μ 1 x 1 + μ 2 x 2 + L + μ n x n

(4.5b)

En el cuerpo humano, el coeficiente de atenuación se encuentra determinado prácticamente por la densidad de los tejidos. A mayor densidad mayor el poder de atenuación del tejido. En consecuencia, el coeficiente de atenuación del tejido óseo compacto resulta marcadamente mayor que el de los tejidos blandos (piel, grasa, etc.) y por lo tanto el haz de fotones que atraviesa el tejido óseo emerge con menor intensidad que los haces que viajan a través de los tejidos blandos. Este es el principio explotado en la radiografía

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convencional, el cual permite obtener imágenes de las estructuras óseas internas simplemente detectando la atenuación que han sufrido los fotones al atravesar las estructuras del cuerpo humano. Independientemente del equipo de rayos X considerado (equipos de radiografía, mamógrafos, tomógrafos, etc) todos poseen un esquema constitutivo similar al que se detalla en la Figura 4.13.

Figura 4.13: esquema de un equipo de diagnóstico basado en rayos X

El colimador o grilla esta constituido básicamente por canales paralelos en una matriz absorbente de Plomo y se utiliza para evitar que la radiación secundaria (por ejemplo, la radiación producida por desexcitación de los átomos del tejido) alcance el detector. La radiación secundaria es emitida en todas direcciones y tiende a degradar la imagen obtenida, es decir, disminuye el contraste de la misma. Puede interpretarse que desde el punto de vista de su funcionamiento, la diferencia primordial entre los diferentes equipos basados en radiación X radica en la etapa de detección y en el posterior tratamiento de los datos obtenidos por el detector. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que los distintos equipos poseen grandes diferencias desde el punto de vista de su arquitectura. Se presenta a continuación una breve descripción del mecanismo por el cual se obtienen imágenes en los dos principales equipos de diagnóstico basados en rayos X, el equipo de radiografía y el tomógrafo computado. Obtención de imágenes en radiografía y mamografía En radiografía y mamografía convencional la detección de los fotones transmitidos, y por lo tanto la obtención de la imagen, se realiza a partir de una placa sensible a la radiación, denominada comúnmente placa radiográfica. La misma esta compuesta por los estratos que se detallan en la Figura 4.14.

Figura 4.14: representación esquemática de una placa radiográfica

162


El soporte mecánico es una placa generalmente de poliéster, rígida y transparente. Por ambas caras de este soporte se encuentra depositado el estrado sensible, constituido básicamente por cristales de Bromuro de Plata en un gel de soporte. Finalmente, se sitúa una capa protectora a ambos lados de la placa radiográfica. Al interactuar con un fotón X el Bromuro de Plata se oxida perdiendo un electrón mediante efecto fotoeléctrico o Compton, depositándose plata en el gel de soporte. La cantidad de Plata depositada resulta proporcional a la cantidad de radiación incidente y en consecuencia queda una “imagen latente” impregnada en la placa que describe la magnitud de radiación que incide en cada punto de la misma. Esta Plata depositada no resulta visible a simple vista debido a que se encuentra en una pequeña cantidad. Para obtener una imagen visible, se debe revelar la placa. El revelado consiste básicamente en: i) la amplificación de la cantidad de Plata depositada, para permitir su visualización; y ii) la disolución del Bromuro de Plata que no interaccionó con la radiación. La placa radiográfica no solo es sensible a los fotones X sino también a la radiación visible. Por lo tanto, las placas deben encontrarse protegidas de la acción de la luz. Para ello, durante la realización de un estudio radiográfico se coloca a las mismas en un chasis de Aluminio. El mismo exhibe una muy baja atenuación de los rayos X. Además, el proceso de revelado debe llevarse a cabo en un cuarto oscuro para evitar el velado de la placa. La radiación X es muy penetrante por lo que la cantidad de fotones que efectivamente interactúa con la placa radiográfica resulta relativamente pequeña. Con el propósito de amplificar la respuesta de la placa, suelen incluirse dentro del chasis las llamadas placas intensificadoras. Las mismas están compuestas por una hoja de cartón resistente recubierta por un material centellador. Cuando los fotones X interactúan con el material centellador de la placa intensificadora se emiten fotones visibles los cuales interactúan con la placa radiográfica aumentando la cantidad de Plata que se deposita en esta e incrementando la respuesta de la misma. Aunque la gran mayoría de los equipos de radiografía o mamografía aun utilizan placas radiográficas, en los equipos modernos se ha prescindido de las mismas y en su lugar se utilizan arreglos bidimensionales de detectores de estado sólido. En este tipo de equipos la imagen puede obtenerse en forma digital. Equipos de tomografía Un equipo de tomografía, conocido más comúnmente como tomógrafo axial computado (TAC), es un dispositivo muy complejo diseñado para obtener imágenes del interior del cuerpo humano, utilizando radiación X, mediante la realización de cortes transversales al eje longitudinal del mismo. En los TAC existen básicamente 4 técnicas diferentes de adquisición y procesamiento de datos las cuales guardan relación directa con la generación tecnológica a la cual pertenecen. En consecuencia, se clasifican frecuentemente a los TAC como equipos de generación 1 a 4. Los equipos de generación 3 son los más utilizados y por lo tanto se presenta a continuación los principios básicos de su funcionamiento. La Figura 4.15 presenta un esquema simplificado de un TAC de 3º generación. Se utiliza un haz de rayos X divergente, comprendiendo un ángulo

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de entre 25º a 35º, que abarca la totalidad del área de exploración. Un arreglo de entre 300 a 500 detectores cuantifica la magnitud de los fotones transmitidos luego de atravesar al paciente. Los detectores están constituidos por un acople entre un cristal centellador y un fotodiodo. Al interactuar un fotón X con el cristal centellador se emiten fotones visibles, los cuales son transformados en señales eléctricas por el fotodiodo. Tanto el arreglo de detectores como el tubo de rayos X tienen la posibilidad de rotar 360º durante la realización de un estudio, como se esquematiza en la Figura 4.15.

Figura 4.15: esquema simplificado de un TAC para dos posiciones diferentes del tubo de rayos X y el arreglo de detectores

Según el esquema de la Figura 4.15, por cada ángulo al cual se posicione el tubo de rayos X y los detectores, se realizan entre 300 a 500 mediciones de atenuación (una por cada detector). Es decir que, si se utiliza un arreglo de 300 detectores y se mide a 180 diferentes ángulos se obtiene un total de 54,000 mediciones de atenuación. Cada corte (es decir cada plano transversal del cuerpo humano) se representa como un arreglo cuadrado de celdas (como en el caso de la Figura 4.12), por ejemplo, un arreglo de 100 × 100 de 10,000 celdas. Cada celda se caracteriza por el valor de densidad (o equivalentemente de coeficiente de atenuación) del tejido contenido en la misma. Para cada una de las 54,000 mediciones puede plantearse la Ec. (4.5b) donde los coeficientes de atenuación μ resultan las incógnitas. De esta manera se tiene un total de 54,000 ecuaciones (una por cada medición) con 10,000 incógnitas (el coeficiente μ de cada celda). La resolución de este sistema de ecuaciones permite determinar el coeficiente de atenuación de cada celda (y por lo tanto su densidad), a partir de los cuales se

164


obtiene una gráfica que describe la distribución de densidades del corte transversal. Si el procedimiento se realiza para numerosos cortes pueden obtenerse imágenes tridimensionales de las estructuras internas del cuerpo humano. 4.4.3. Tomografía por emisión de positrones (PET)

Este equipo basa su funcionamiento en el mecanismo de aniquilación de pares que se produce en los materiales, el cual fue presentado y detallado en el Capítulo 3. Considere un emisor de radiación β + , rodeado de tejido biológico. Los positrones emitidos serán rápidamente detenidos mediante interacción con el medio y sufrirán aniquilación con algunos electrones del tejido circundante. Cuando un positrón sufre aniquilación con un electrón se produce la emisión de un par de fotones de 511 [KeV] de energía en direcciones de 180º uno respecto del otro. Usualmente, el proceso de aniquilación se produce a distancias de una décima a unos pocos milímetros del lugar donde se emite el positrón. La detección del par de fotones de aniquilación en detectores en posiciones opuestas y en una ventana de tiempo pequeña, permite determinar el volumen en donde el positrón fue emitido. Para entender esto considérese el esquema presentado en la Figura 4.16.

Figura 4.16: esquema de un equipo de diagnóstico por imágenes PET

Se observan en la Figura 4.16 dos eventos de aniquilación, “a” y “b”. En estos eventos, ambos fotones son detectados, lo cual permite determinar (mediante un procesamiento relativamente simple) las rectas “A” y “B” a lo largo de las cuales los procesos de aniquilación tuvieron lugar. De esta forma, detectando un número considerable de eventos, puede reconstruirse una imagen planar, en la cual se muestra la distribución espacial de los eventos de aniquilación. Realizando imágenes para diferentes ángulos de los detectores, es decir, rotando los detectores, y procesando cada una de las imágenes obtenidas a los diferentes ángulos, puede realizarse una reconstrucción tridimensional de la distribución espacial de los eventos de aniquilación. Debido a que sólo interesa detectar fotones de aniquilación, ambos detectores deben ser capaces de discriminar la energía de los fotones y considerar solo aquellos de energía igual a 511 [KeV]. Además, se supone que

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aquellos fotones detectados en una ventana de tiempo suficientemente corta (de entre 1 a 2 [nSeg.]) son considerados como fotones de un mismo evento de aniquilación y se utilizan para reconstruir la imagen final, mientras que los que arriban con mayores tiempos de retardo son descartados debido a que se supone que no provienen de un mismo evento de aniquilación. La Figura 4.17 presenta un esquema en el cual los eventos de aniquilación no son correctamente detectados y que tienden a degradar la imagen obtenida. Se observa que en el evento “a” uno de los fotones interactúa con el tejido y no logra alcanzar el detector. Por otro lado, uno de los fotones del evento “b” no alcanza el detector debido a que diverge hacia otra dirección. No obstante, en ambos eventos se detecta uno de los fotones. Si ambos fotones son detectados en una ventana de tiempo grande, serán descartados. Sin embargo, si los fotones se detectan en una ventana temporal pequeña, serán considerados como fotones de un mismo evento de aniquilación y se determinará a la recta “C” (errónea) como la recta donde el evento tuvo lugar.

Figura 4.17: detección errónea en PET

Algunas aplicaciones de la Tomografía por emisión de positrones La tomografía PET permite realizar estudios complejos con radionucleidos emisores de radiación β + , como por ejemplo el Fluor-18, Oxígeno-15, Iodo124, Carbono-11, etc. La gran ventaja de PET radica en que algunos de estos radionucleidos tienden a acumularse en órganos específicos. Por ejemplo, el Iodo-124 se acumula selectivamente en la glándula tiroides. Así, inyectando al paciente con una solución rica en Iodo-124 pueden obtenerse por PET imágenes tridimensionales de la glándula tiroides determinando la distribución espacial del Iodo-124. De forma similar, si se le inyecta al paciente glucosa marcada con Carbono-11, pueden determinarse puntos de alto metabolismo (por ejemplo tumores) donde la glucosa tiende a aumentar su concentración. 4.4.4. Tomografía por emisión de fotón único (SPECT)

Este tipo de equipos utiliza un principio de funcionamiento similar al de PET. Sin embargo, en SPECT se utilizan isótopos emisores de fotones gamma y las imagenes se obtienen detectando dicha radiación. Debido a que no se deben detectar fotones en forma simultánea (algo que si es necesario en PET) los tomógrafos SPECT solo precisan de un detector, el cual posee la capacidad de

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rotar en torno al paciente para obtener imágenes a diferentes ángulos. El detector también debe ser capaz de discriminar en energías, de modo de detectar solo los fotones emitidos por la fuente de radiación gamma y no la radiación secundaria producida en el paciente o en las paredes de la habitación. La Figura 4.18 presenta en forma simplificada el principio de funcionamiento de un SPECT.

Figura 4.18: esquema del principio de funcionamiento de un equipo de diagnóstico por imágenes SPECT

Al igual que en PET, en SPECT se inyecta al paciente con soluciones conteniendo radioisótopos y se obtienen imágenes planares mediante la detección de la radiación emitida desde el paciente. Antepuesto al detector se situa un colimador compuesto básicamente por canales paralelos situados en una matriz de Plomo cuya función es la de atenuar toda la radiación que alcanza el detector de forma no perpendicular. De esta forma, la imagen se forma solo por aquellos fotones con dirección perpendicular al detector. La reconstrucción tridimensional se lleva a cabo mediante la medición a múltiples ángulos y una posterior etapa de procesamiento de las imágenes planares. 4.4.5. Detectores en PET y SPECT

En PET y SPECT se detecta radiación constituida por fotones con energías caracteristicas. Por lo tanto, debe contarse con detectores de alta eficiencia de detección de fotones y capaces de discriminar en energías, como son los detectores centelladores sólidos. El detector ampliamente utilizado en aplicaciones PET y SPECT es el cristal de NaI(Tl) acoplado con un arreglo de fotomultiplicadores, como se ilustra en la Figura 4.19.

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Figura 4.19: vista frontal (a) y lateral (b) de un arreglo de detectores en PET y SPECT

Cuando se detecta un fotón gamma se produce el centelleo del cristal y la emisión de fotones visibles que serán detectados y amplificados por los tubos fotomultiplicadores. Dichos fotones visibles se propagan isotrópicamente en todas direcciones a través del cristal y por lo tanto son detectados por más de un tubo fotomultiplicador. Sin embargo, debido a que se cumple para estos fotones la ley inversa del cuadrado de la distancia, las amplitudes de la señal de salida para los diferentes fotomultiplicadores serán en efecto diferentes.

Figura 4.20: determinación de la posición del evento de detección

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Las diferencias en las intensidades de salida de cada fotomultiplicador pueden utilizarse para determinar en forma precisa la ubicación del punto de detección del fotón sobre el cristal. Para ilustrar este punto, considere la Figura 4.20 que esquematiza el proceso de detección considerando sólo dos fotomultiplicadores. A partir de las magnitudes especificadas en la Figura 4.20 pueden obtenerse las coordenadas d1 y d2 mediante: d1 =

d2 =

(s2 d ) ( s1 + s 2 )

(s1 d ) (s1 + s 2 )

(4.6a)

(4.6b)

La generalización de la Figura 4.20 y las Ecs. (4.6a) y (4.6b) al caso de mayor cantidad de tubos fotomultiplicadores resulta directa y se deja como ejercicio para el estudiante. 4.5. RESONADOR MAGNÉTICO NUCLEAR 4.5.1. Momento magnético nuclear

Para comprender los principios básicos en que basa su funcionamiento un resonador magnético nuclear (RMN) es conveniente repasar brevemente algunos de los conceptos desarrollados durante el Capítulo 2. Según se describió en el desarrollo del modelo nuclear de capas, los nucleones en el núcleo atómico se encuentran en constante movimiento. En particular, los neutrones y protones, al igual que los electrones, exhiben un espin, el cual puede interpretarse como un giro sobre su propio eje. Cada nucleón puede exhibir un espin de ± 1/2 correspondientes a dos orientaciones diferentes de la rotación, de manera similar a como se describió para los electrones. Según esto, en núcleos con un número par de nucleones (A par) el momento angular neto del núcleo resulta cero debido a que existirá igual cantidad de nucleones girando con un valor de espin 1/2 que con espin -1/2. Por el contrario, si el número de nucleones es impar (A impar) el núcleo exhibirá un momento angular neto diferente de cero. Debido a que los protones en el núcleo poseen masa y carga positiva, el movimiento de espin se traduce en un momento magnético, cuya dirección coincide con la dirección del momento angular (recordar que los momentos magnético y angular son magnitudes vectoriales). Adicionalmente, el neutrón también exhibe un momento magnético intrínseco. Este hecho sugiere que, aunque eléctricamente neutro, el neutrón exhibe una distribución interna de cargas. Según lo detallado, el momento magnético intrínseco de los nucleones se traduce en un momento magnético neto del núcleo, el cual resultará diferente de cero si: - El número de protones es impar y el de neutrones es par o nulo (por ejemplo, 1H, 15N, 19F, 23Na y 31P).

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- El número de protones es par y el de neutrones impar (por ejemplo, 13C) La relación entre el momento angular y el momento magnético se denomina comúnmente factor giromagnético y resulta una magnitud característica de cada tipo de núcleo. El 1H tiene la particularidad de encontrarse en grandes concentraciones en el tejido biológico. Por esta razón, de aquí en adelante se centrará el análisis en el 1H. De acuerdo a la descripción de los párrafos precedentes, el único protón en el 1H presenta un momento magnético. En consecuencia, a los efectos prácticos, puede considerarse al núcleo de 1H como un pequeño imán orientado en la dirección del vector de momento magnético, como se esquematiza en la Figura 4.21.

Figura 4.21: esquema de un protón y un imán equivalente 4.5.2. Interacción Hidrógeno - campo magnético

Los núcleos de 1H en el tejido biológico se encuentran orientados en direcciones aleatorias, de modo que el campo magnético neto resulta nulo ya que los momentos magnéticos de los numerosos átomos de 1H se cancelan. Sin embargo, al situar el tejido en un campo magnético B0, el 1H exhibirá un movimiento de precesión (es decir, un movimiento de rotación que describe un cono), según dos direcciones posibles, denominadas paralela y antiparalela con respecto al campo magnético aplicado. Se esquematiza este fenómeno en la Figura 4.22. La frecuencia de precesión del vector de momento magnético alrededor de la dirección del campo magnético externo, viene dada por la ecuación de Larmor: ω=

γ B0 2π

(4.7)

donde ω [Hz] es la denominada frecuencia de Larmor, B0 [T] es la magnitud del campo magnético externo y γ = 2.675×108 [rad /s T] es el factor giromagnético para el protón.

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Figura 4.22: dirección paralela y antiparalela de un protón en precesión en presencia de un campo magnético

En un tejido biológico sometido a un campo magnético, existe un desbalance entre el número de núcleos de 1H en posición paralela y antiparalela. Debido a que la posición paralela exhibe una menor energía de interacción entre el campo magnético y el momento magnético del núcleo, existe un exceso de núcleos de 1H en la posición paralela. Este desbalance responde a la distribución de Boltzmann, según la cual: NA =e NP

-

γ B0 h 2π kB T

(4.8)

donde h es la constante de Planck; kB es la constante de Boltzmann; T es la temperatura; y N A y N P son el número de núcleos en precesión en dirección antiparalela y paralela, respectivamente. Típicamente, a temperatura ambiente y con un campo magnético aplicado de magnitud B0 = 1.5 [T], se tendrá un exceso de aproximadamente 10 1H precesionando en posición paralela por cada millón de núcleos de Hidrógeno. Como concecuencia de este pequeño desbalance, existirá en el tejido un campo magnético neto resultante del alineamiento de los momentos magnéticos de los núcleos de 1H. Se denomina M0 a este campo magnético resultante o magnetización neta. Debido a que los momentos magnéticos μ de los átomos de Hidrógeno no realizan su precesión en fase, las componentes perpendiculares al campo B0 se cancelan, resultando una magnetización neta nula en esta dirección. En consecuencia la magnetización neta resulta de la misma dirección y sentido que el campo magnético B0. En la Figura 4.23 se representa esquemáticamente una población de núcleos de 1H en precesión alrededor de la dirección del campo magnético aplicado. Se indican en la figura los núcleos en posición paralela (P) y antiparalela (A), y el vector de campo magnético resultante M0.

171


Figura 4.23: esquema de magnetización del tejido biológico 4.5.3. Resonancia nuclear

Considérese un campo electromagnético de radiofrecuencia, B1, aplicado perpendicularmente al campo magnético B0. Si la frecuencia de los fotones de radiofrecuencia es distinta de la frecuencia de precesión de Larmor ω ningún fenómeno particular se observa. Sin embargo, cuando existe resonancia, es decir, cuando los fotones de radiofrecuencia exhiben la frecuencia de Larmor, la interacción entre los núcleos de 1H con las ondas de radiofrecuencia produce que los movimientos de precesión de los núcleos se realicen en fase. Como consecuencia, el vector de magnetización neta, también comenzará a realizar una precesión a la frecuencia de Larmor (debido a que las componentes perpendiculares ya no se cancelan, por estar en fase) [Figura 4.24a)]. Si el pulso de radiofrecuencia continúa en el tiempo, algunos de los núcleos en dirección paralela absorberán energía y realizarán una transición hacia la dirección antiparalela. Esta transición se produce porque algunos fotones de radiofrecuencia interactúan con los núcleos de 1H y son absorbidos. En consecuencia, se produce una transición del 1H de la dirección paralela de menor energía a la antiparalela de mayor energía. Esto se evidencia macroscopicamente por una inclinación del vector de magnetización neta hacia el plano transversal como consecuencia de la disminución de la magnitud del mismo en la dirección paralela al campo B0 [Figura 4.24b)]. Si la intensidad de radiofrecuencia es suficiente se alcanza un equilibrio donde el número de núcleos en precesión en posición paralela iguala a los de dirección antiparalela. Bajo tal condición el vector de magnetización neta realiza el movimiento de precesión sobre el plano transversal [Figura 4.24c)] debido a que la componente paralela se cancela. Se denomina pulso de 90º al pulso de radiofrecuencia capaz de rotar el vector de magnetización neta M0 en un ángulo de 90º. En forma similar, se denomina pulso de 180º al pulso capaz de rotar a M0 un ángulo de 180º (es decir, una inversión total).

172


Figura 4.24: precesión del vector de magnetización neta M0 mediante un pulso de 90º

Al cesar el campo de radiofrecuencia B1, algunos de los núcleos en posición antiparalela (de mayor energía) se desexcitan mediante interacción con el medio (generando calor) o emitiendo un fotón de frecuencia igual a la frecuencia de Larmor y realizando una transición a la dirección paralela de menor energía. En consecuencia, el vector de magnetización neta M0 retorna a la posición de equilibrio (alineado con el campo aplicado B0). Se conoce a este proceso por el cual M0 retorna a su posición de equilibrio como proceso de relajación. 4.5.4. Tiempos de relajación T1 y T2

El proceso de relajación del vector de magnetización neta M0 tiene asociada dos componentes diferentes: i) la relajación longitudinal que se relaciona con la rapidez con que los momentos magnéticos de los núcleos de 1H retornan a su situación de equilibrio; y ii) la relajación transversal, relacionada con la pérdida de coherencia de fase, según la cual al cesar el campo de radiofrecuencia los momentos magnéticos de los núcleos de 1H pierden su movimiento en fase. Considérense una bobina receptora (o antena) orientada en forma perpendicular al campo aplicado B0, como se muestra en la Figura 4.25, y la aplicación de un pulso de 90º de radiofrecuencia. Inmediatamente después de suprimido el pulso, el vector M0 se encuentra en precesión sobre el plano transversal [Figura 4.24c)]. Debido a que el vector de magnetización neta se encuentra describiendo un movimiento de precesión, se inducirá en la bobina receptora una corriente eléctrica alterna de frecuencia igual a la frecuencia de precesión del vector M0, es decir, de frecuencia igual a la frecuencia de Larmor ω. Con el vector M0 en precesión sobre el plano transversal, la corriente inducida en la bobina receptora resulta máxima. A medida que se produce la relajación del vector M0 [como se esquematiza en la Figura 4.25a)] la corriente en la bobina describirá la curva de la Figura 4.25b). Se denomina frecuentemente a esta señal como decaimiento de inducción libre (FID, por sus siglas en inglés: Free Induction Decay).

173


Figura 4.25: relajación del vector de magnetización M0 posterior a un pulso de radiofrecuencia de 90º

Idealmente, es decir, si no se consideran inhomogeneidades de los campos magnéticos o interacciones entre los núcleos de 1H, la relajación transversal podría caracterizarse por la envolvente de la FID. Esta envolvente puede describirse matemáticamente mediante: −

M xy = M 0 e

t

(4.8)

T2

donde M xy es la componente transversal de la magnetización neta y T2 se denomina tiempo de relajación espin-espin y representa el tiempo necesario para que la magnitud de la magnetización en la dirección transversal disminuya en un 63.2 %. En situaciones reales donde los campos magnéticos presentan pequeñas inhomogeneidades o donde existen interacciones entre los núcleos de 1H, el tiempo de relajación T 2* obtenido mediante la curva envolvente de la señal FID resulta mucho mayor al verdadero T 2 . En tal situación, suelen utilizarse metodologías más complejas que involucran la aplicación de trenes de pulsos de radiofrecuencia para determinar T 2 a partir de las señales FID obtenidas. Por otro lado, la relajación longitudinal responde a la siguiente ecuación: t ⎛ − ⎜ M z = M 0 ⎜ 1 − e T1 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(4.9)

Donde T1 es la constante de relajación espin-red y representa el tiempo necesario para que la magnetización longitudinal se recupere en un 63.2 % luego de suprimido el pulso de radiofrecuencia. La determinación de la constante de tiempo T1 no resulta directa, sino que se obtiene a partir de métodos complejos que involucran la aplicación de trenes de pulsos de 180º y 90º y la determinación de las señales FID correspondientes. En medicina, la importancia de las constantes de tiempo de relajación T1 y T2 radica en que cada tipo de tejido biológico exhibe diferentes valores de estas constantes de tiempo. La determinación de los mismos permite generar imágenes de tejidos internos del cuerpo humano. El proceso de relajación del vector de magnetización puede interpretarse como una consecuencia del intercambio de energía entre los núcleos de 1H y el

174


medio, mediante movimientos de vibración molecular. Este intercambio de energía esta cuantizado y solo puede realizarse en saltos discretos. Aquellas estructuras moleculares con frecuencia de vibración naturales cercanas a las frecuencias de Larmor resultan más eficientes para ceder energía al medio y así desexcitarse. Por ejemplo, la molécula de agua es relativamente pequeña y por lo tanto exhibe una frecuencia natural elevada, mucho mayor a las frecuencias de Larmor. En consecuencia el intercambio de energía no resulta eficaz en los núcleos de Hidrógeno de las moléculas de agua y por lo tanto el agua exhibe una constante de tiempo T1 elevada. Contrariamente, el tejido graso rico en moléculas de ácidos grasos de gran tamaño exhibe un tiempo de relajación T1 pequeño, debido a que la frecuencia natural de estas moléculas resulta pequeña, más cercanas a la frecuencia de Larmor. 4.5.5. Equipo de resonancia magnética

En el área médica, el objetivo de un equipo de resonancia nuclear es el de obtener imágenes correspondientes a cortes transversales del cuerpo humano. Para ello, básicamente se deben medir los tiempos de relajación T1 (imagen T1) o T2 (imagen T2) de los tejidos incluidos dentro de una rodaja o corte de espesor pequeño. Considérese el esquema de la Figura 4.26. Se observa un paciente ubicado dentro de un campo magnético B0 homogéneo de magnitud, por ejemplo, B0 = 1.4565 [T], en la dirección z. Según la ecuación de Larmor [Ec. (4.7)], todos los núcleos de 1H dentro del campo homogéneo realizarán movimientos de precesión a 62 [MHz] y por lo tanto la resonancia nuclear puede alcanzarse mediante un campo de radiofrecuencia B1 en la dirección x de frecuencia 62 [MHz].

Figura 4.26: resonancia nuclear en un paciente dentro de un campo magnético uniforme

Considérese una situación algo más compleja, en la cual la magnitud del campo aplicado en la dirección z esta dada por: B 0 = 1.4565 [T ] + 0.0235 [T / m ] z [ m ]

(4.10)

Es decir, se considera un campo magnético no-homogéneo en la dirección z. Bajo esta hipótesis, las frecuencias de precesión de los núcleos de 1H serán de 62 [MHz] para z = 0 y se incrementarán en 1 [MHz] por cada metro de incremento en la dirección de z. Si el campo de radiofrecuencia B1 exhibe frecuencias de 62.5 [MHz] ± 0.001 [MHz], solo se excitarán (es decir, exhibirán resonancia magnética) aquellos núcleos de 1H ubicados en la rodaja comprendida entre z = 0.500 [m] y z = 0.501 [m], es decir una rodaja de 1 [mm]

175


de espesor, por lo que la señal de relajacion FID medida en la bobina receptora solamente corresponderá a los núcleos comprendidos en dicha rodaja. A partir del razonamiento anterior, es posible ahora entender la manera en que un equipo de RMN obtiene las imágenes. El paciente es ubicado dentro de un campo magnético no-homogéneo (exhibe no-homogeneidad en las tres direcciones, x, y, z) de modo que las frecuencias de Larmor son función de las coordenadas x, y, z, resultando diferentes en todo el volumen del paciente. La bobina emisora de radiofrecuencia (campo B1) puede estimular una porción determinada de tejido seleccionando la frecuencia y el ancho de banda de las ondas de radiofrecuencia. Así, se emiten los pulsos a una frecuencia determinada y con una ancho de banda preciso, se mide la señal de FID para esas frecuencias, se calculan las constantes de tiempos de relajación T1 y T2, y finalmente se codifican los valores de T1 y T2 en una escala de grises y se grafica el punto correspondiente a la coordenada x, y, z asociada a la frecuencia de estimulación utilizada. Si se realiza este procedimiento para diferentes frecuencias de pulso de estimulación, puede “barrerse” todo el volumen correspondiente a la zona de interés a estudiar y obtenerse una imagen tridimensional. Para llevar a cabo su función, un equipo de RMN posee básicamente un conjunto de cinco bobinas, las cuales se detallan brevemente a continuación.

Figura 4.27: bobina principal en un resonador magnético nuclear

Bobina principal: crea el campo magnético homogéneo B0. Su arquitectura depende principalmente del tipo de RMN. En los equipos más frecuentes esta constituida por una gran bobina superconductora refrigerada, dentro de la cual se sitúa al paciente. Se esquematiza esta bobina en la Figura 4.27. Bobinas de gradiente: constituidas por tres juegos de bobinas, se encargan de imponer gradientes en las direcciones x, y, z, de modo de introducir una no-homogeneidad en el campo principal B0. La Figura 4.28 presenta en forma esquemática la bobinas de gradiente en las direcciones y [Figura 4.28a)] y z [Figura 4.28b)]. El gradiente en la dirección x se obtiene con una bobina equivalente a la correspondiente a la Figura 4.28a) pero orientada en forma perpendicular a esta última. Bobina transmisora y receptora: se utiliza para emitir los pulsos de radiofrecuencia (campo B1) así como también para detectar las señales 176


FID finalizada la estimulación. Esta bobina tiene la posibilidad de emitir en un rango preciso de frecuencias, de modo de permitir la selección del volumen a estimular. En un RMN pueden obtenerse básicamente dos imágenes, basadas en T1 o en T2. La utilización de una u otra imagen depende principalmente de la aplicación en particular o de la estructura interna a visualizar. Por último y para finalizar, cabe aclarar que en la realidad, el modo en que un resonador magnético obtiene imágenes resulta mucho mas complejo a como se describió en los párrafos anteriores. Es decir, si se “barriera” el volumen del paciente mediante la variación de la frecuencia de estimulación (como se describió en los párrafos anteriores), la obtención de la imagen llevaría mucho tiempo. Por esta razón, la antena emite en un amplio rango de frecuencias estimulando un volumen extenso del paciente. Tras la estimulación, la señal FID obtenida por la antena receptora resulta la superposición de señales FID correspondientes a todas las frecuencias de Larmor estimuladas. A partir de un análisis frecuencial, por ejemplo mediante transformada de Fourier, pueden discriminarse las señales a las distintas frecuencias y procesarlas por separado.

Figura 4.28: orientación de las bobinas de gradiente en dirección y (a) y z (b)

177


APÉNDICE A Obtención de la Ecuación de corrimiento Compton

Considérese el esquema de la Figura 1.14. A partir de la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento se obtuvieron en el Capítulo 1 las ecuaciones que se detallan a continuación: hc hc = + λ0 λ1

me ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

me

h h = cos(θ ) + λ0 λ1

0=

2

c 2 − me c 2

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

v e cos(φ )

2

me

h sin(θ ) − λ1

(A1)

(A2)

v e sin(φ )

2

(A3)

Para eliminar la variable φ de las Ecs. (A2) y (A3) se reescriben dichas ecuaciones como: me

h h − cos(θ ) = λ0 λ1

h sin(θ ) = λ1

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠ me

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

2

v e cos(φ )

(A4)

v e sin(φ )

(A5)

Elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, se llega a: 2

⎡ h ⎤ ⎡h ⎤ h ⎢ − cos (θ )⎥ + ⎢ sin (θ )⎥ ⎢⎣ λ 0 λ1 ⎥⎦ ⎢⎣ λ1 ⎥⎦

2

= 2

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ me me =⎢ v e cos(φ )⎥ + ⎢ v e sin(φ )⎥ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ ve ⎞ ⎛ ve ⎞ ⎥ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

178

2

(A6)

APENDICE A

Operando puede reescribirse la Ec. (A6) como: h2 λ20

−2

h2 λ 0 λ1

cos (θ ) +

h2 λ12

[cos (θ )

2

+ sin (θ )

2

]=

=

me2 v e2 ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

[cos(φ )

2

2

+ sin(φ )

2

]

(A7)

Y finalmente, notando que cos (θ ) + sin (θ ) = 1 y cos(φ ) + sin(φ ) = 1 , se llega a: 2

2

2

2

me2 v e2 h2 h2 h2 cos(θ ) + 2 = −2 2 λ0 λ1 λ20 λ1 ⎛ ve ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠

(A8)

Nótese que ahora se tienen dos ecuaciones, Ecs. (A1) y (A8), de donde debe eliminarse la variable v e . Para ello se procede a reescribir la Ec. (A1) como: me

h h − + me c = λ0 λ1

⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

c

(A9)

Elevando la Ec. (A9) al cuadrado se obtiene: ⎡h h + me ⎢ − ⎣ λ0 λ1

2

⎤ c⎥ = ⎦

me2 c 2 ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

(A10)

Desarrollando el miembro izquierdo se llega a: h me c h me c h2 h2 h2 2 2 + 2 + me c − 2 +2 −2 = 2 λ0 λ1 λ0 λ1 λ0 λ1

me2 c 2 ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

2

(A11)

Restando la Ec. (A8) de la (A11) y operando algebraicamente, se llega a:

179


⎛ 1 h2 h2 1⎞ me2 c 2 + 2 h me c ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 +2 cos(θ ) = λ λ λ λ λ λ 0 1 0 1 0 1 ⎝ ⎠ me2 c 2 me2 v 2 − = 2 2 ⎛ ve ⎞ ⎛ ve ⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠

⎛ 1 1⎞ h2 [1 − cos(θ )] = me2 c 2 + 2h me c ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 λ0 λ1 ⎝ λ0 λ1 ⎠

⎛ 1 1⎞ h2 [1 − cos(θ )] = 2 h me c ⎜⎜ − ⎟⎟ − 2 λ0 λ1 ⎝ λ0 λ1 ⎠

me2 ⎛v ⎞ 1− ⎜ e ⎟ ⎝ c ⎠

me2 c 2

2

⎡ ⎛ ve ⎢1 − ⎜ ⎛ ve ⎞ ⎣ ⎝ c 1− ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ 2

(c 2 − v e2 )

⎞⎤ ⎟⎥ − me2 c 2 ⎠⎦

⎛ 1 h2 1⎞ [1 − cos(θ )] = 0 − ⎟⎟ − 2 2 h me c ⎜⎜ λ0 λ1 ⎝ λ0 λ1 ⎠

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

Dividiendo por 2h 2 y operando se obtiene: me c ⎛ 1 1⎞ 1 ⎜⎜ [1 − cos(θ )] = 0 − ⎟⎟ − h ⎝ λ0 λ1 ⎠ λ0 λ1

(A16)

me c ⎛ λ1 − λ0 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = [1 − cos(θ )] h ⎝ λ0 λ1 ⎠ λ0 λ1

(A17)

Finalmente se obtiene la ecuación de corrimiento de Compton: λ1 − λ0 =

180

h [1 − cos(θ )] me c

(A18)

APENDICE B

APÉNDICE B Lineamientos para la resolución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas

Considérese la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y en coordenadas esféricas [Ec. (1.63)] para una partícula de masa m y energía E sometida a un potencial U: −

h 2 ⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎜⎜ r ⎢ 2 m ⎢⎣ r 2 ∂r ⎝ ∂r

⎞ 1 1 ∂ 2Ψ ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ + ⎜⎜ senθ ⎟⎟ + + ∂θ ⎠ ⎥⎦ ⎠ r 2 sen 2 θ ∂φ 2 r 2 senθ ∂θ ⎝ +U Ψ = E Ψ

(B1)

La Ecuación (B1) puede utilizarse para describir un sistema atómico. Al igual que en el análisis del modelo atómico de Bohr, en particular se abordará en este apéndice el análisis de átomos de un solo electrón (por ejemplo, H, He+, Li++). Considérese un electrón de carga negativa e moviéndose alrededor de un núcleo atómico de carga positiva Z e. La energía potencial coulombiana del sistema atómico puede expresarse como: U (r ) = −

1

Z e2

4 π ε0

r

(B2)

Para el caso particular de una función potencial dependiente sólo de la coordenada radial, las soluciones de la Ec. (B1) pueden expresarse como: Ψ ( r ,θ ,φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) = R Θ Φ

(B3)

Si se reemplaza la Ec. (B3) en la (B1) y se divide ambos miembros por − R Θ Φ h 2 / 2 m , se obtiene: 1 1 d ⎛ 2 dR ⎞ d 2Φ d ⎛ dΘ ⎞ ⎟⎟ + ⎟⎟ + ⎜⎜ senθ ⎜⎜ r + r 2 R dr ⎝ dr ⎠ r 2 sen 2 θ Φ dφ 2 r 2 senθ Θ dθ ⎝ dθ ⎠ 2m + [ E − U ( r )] = 0 h2 1

(B4)

Nótese que se han reemplazado los símbolos de derivada parcial, ∂( ) / ∂( ) , por los de derivada total, d ( ) / d ( ) , debido a que R, Θ y Φ son funciones de una sola variable. Multiplicando la Ec. (B4) por r 2 sen 2 θ y despejando, se obtiene:

181


1 d 2Φ Φ dφ 2

=−

sen 2 θ d ⎛ 2 dR ⎞ senθ d ⎛ dΘ ⎞ ⎟⎟ − ⎟⎟ − ⎜⎜ senθ ⎜⎜ r R dr ⎝ dr ⎠ Θ dθ ⎝ dθ ⎠ 2m 2 − r sen 2 θ [ E − U ( r )] 2 h

(B5)

En la Ec. (B5), puede observarse que el miembro izquierdo es una función sólo de la variable φ , mientras que el miembro derecho es función de r y θ . Esto último solo puede ser posible si ambos miembros en la Ec. (B5) son constantes. En otras palabras, la única forma para que dos funciones de variables distintas sean iguales, es que ambas sean igual a la misma constante. Es decir: 1 d 2Φ Φ dφ

2

= − m l2

(B6a)

sen 2 θ d ⎛ 2 dR ⎞ senθ d ⎛ dΘ ⎞ 2 m 2 ⎟⎟ − ⎟⎟ − ⎜⎜ senθ ⎜⎜ r r sen 2 θ [ E − U ( r )] = − 2 R dr ⎝ dr ⎠ Θ dθ ⎝ dθ ⎠ h

(B6b)

= − m l2 donde se ha escogido la constante − m l2 . Dividiendo la Ec. (B6b) por sen 2 θ y despejando, se llega a: m l2 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 2 m 2 1 d ⎛ dΘ ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ senθ ⎜⎜ r − r [ E − U ( r )] = 2 2 R dr ⎝ dr ⎠ h sen θ senθ Θ dθ ⎝ dθ ⎠

(B7)

Nuevamente, mientras el miembro izquierdo es una función sólo de r el miembro derecho depende sólo de θ . En consecuencia, ambos miembros deben ser iguales a una constante. Para simplificar el análisis posterior, se igualan ambos miembros a una constante de la forma l ( l + 1) , de donde se obtiene: 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 2 m 2 ⎜⎜ r ⎟⎟ + r [ E − U ( r )] = l ( l + 1) R dr ⎝ dr ⎠ h 2

m l2 sen 2 θ

−

d ⎛ dΘ ⎞ ⎟⎟ = l ( l + 1) ⎜⎜ senθ senθ Θ dθ ⎝ dθ ⎠ 1

(B8a)

(B8b)

A partir del análisis detallado, se han obtenido tres ecuaciones diferenciales ordinarias, Ecs. (B6a), (B8a) y (B8b). Se esbozarán a continuación las soluciones de estas ecuaciones diferenciales.

182

APENDICE B

Ecuación para Φ (φ ) La Ecuación (B6a) puede reescribirse como: d 2Φ dφ 2

= − m l2 Φ

(B10)

Las soluciones a la Ec. (B10) resultan de la forma: Φ ( φ ) = e i m l φ = cos( m l φ ) + i sen ( m l φ )

(B11)

Nótese que el ángulo φ resulta igual al ángulo φ + 2π , por lo tanto, la función Φ (φ ) debe cumplir la siguiente condición: Φ ( φ ) = e i m l φ = e i m l ( φ +2 π ) = Φ ( φ + 2π )

(B12)

Esta última igualdad sólo es posible para m l = 0, ± 1, ± 2, L . Se denotan a las soluciones Φ (φ ) como Φ m l (φ ) para indicar su dependencia con m l . Ecuación para Θ (θ ) Realizando el cambio de variables, ξ = cos θ , la Ec. (B8b) puede reescribirse como: m l2 dΘ ( ξ ) ⎞⎟ ⎛⎜ d ⎛⎜ + l ( l + 1) − (1 − ξ 2 ) dξ ⎜⎝ dξ ⎟⎠ ⎜⎝ 1− ξ 2

⎞ ⎟Θ ( ξ ) = 0 ⎟ ⎠

(B13)

No se abordará la resolución de la Ec. (B13) debido a su complejidad. Las soluciones de la Ec. (B13) exhiben la forma dada por: Θ l ,m l ( ξ ) = (1 − ξ 2 )

ml / 2

F (ξ )

(B14)

donde F (ξ ) es un polinomio y donde l puede tomar cualquier valor entero dado por: l = m l ; m l + 1; m l + 2; L . Ecuación para R (r ) Realizando el cambio de variables, ρ = 2 β r , la Ec. (B8a) puede reescribirse como: 1 d ⎛⎜ 2 dR ( ρ ) ⎞⎟ ⎛⎜ 1 l ( l + 1) γ ⎞⎟ ρ R( ρ) = 0 + − − + ρ 2 dρ ⎜⎝ dρ ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ρ2 ρ ⎟⎠

(B15)

183


donde β = −2 m E / h 2 y λ = m Z e 2 / h 2 β . Las soluciones de la Ec. (B15) tienen la forma: R n ,l ( ρ ) = e − ρ / 2 ρ l G n ( ρ )

(B16)

donde G n ( ρ ) es un polinomio dependiente del número n, el cual puede tomar cualquier valor dado por: n = l + 1; l + 2; L . De acuerdo con las Ecs. (B11), B(14) y (B16), las soluciones a la ecuación de Schrödinger para átomos de un solo electrón, tendrán la forma dada por: Ψn ,l ,m l ( r , θ , φ ) = R n ,l ( r ) Θ l ,m l ( θ ) Φ m l ( φ )

(B17)

donde los números n, l y ml, deben cumplir:

n = l + 1; l + 2; L l = ml ;

m l + 1;

m l + 2; L

(B18a)

m l = 0, ± 1, ± 2, L

Estas últimas condiciones para n, l y ml, pueden reescribirse en una forma mas adecuada:

n = 1, 2, 3, L l = 0, 1, 2, L, n − 1 − l , − l + 1, − l + 2, L, 0, 1, L, l

184

(B18b)

ÍNDICE

ÍNDICE PREFACIO…………………………………………………………………………..

9

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA CUÁNTICA…………………… 11 1.1. INTRODUCCIÓN……………………………………………………….. 11 1.2. RADIACIÓN TÉRMICA………………………………………………… 11 1.2.1. Ley de Stefan-Boltzmann……………………………………... 16 1.2.2. Ley de Wien…………………………………………………….. 16 1.2.3. Ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe del ultravioleta……... 17 1.2.4. Ley de Planck. Cuantización de la energía………………….. 20 1.3. RAYOS CATÓDICOS…………………………………………………… 22 1.3.1. Relación carga / masa para el electrón……………………….. 23 1.3.2. Efecto fotoeléctrico……………………………………………… 26 1.3.3. Efecto Compton…………………………………………………. 30 1.4. MODELOS ATÓMICOS………………………………………………… 33 1.4.1. Espectros atómicos de los gases……………………………... 33 1.4.2. Modelo atómico de Thomson………………………………….. 35 1.4.3. Modelo atómico de Rutherford………………………………… 36 1.4.4. Modelo atómico de Bohr para átomos con un electrón……… 37 1.4.5. Modelo cuántico del átomo……………………………………. 42 1.5. RADIACIÓN LÁSER……………………………………………………. 48 1.5.1. Emisión espontánea y estimulada……………………………. 48 1.5.2. Equilibrio térmico e inversión de población………………….. 50 1.5.3. Láser……………………………………………………………... 51 1.5.4. Láser gaseoso de Helio-Neón………………………………… 53

CAPÍTULO 2: NÚCLEO ATÓMICO Y DESINTEGRACION RADIOACTIVA… 55 2.1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 55 2.2. EL NÚCLEO ATÓMICO…………………………………………………. 55 2.2.1. Generalidades…………………………………………………… 57 2.2.2. Fuerzas nucleares………………………………………………. 60 2.2.3. Decremento de masa y energía de amarre nuclear………… 61 2.2.4. Modelos nucleares……………………………………………… 63 2.2.5. Carta de nucleidos y estabilidad nuclear……………………... 67

185


2.3. DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA………………………………….. 70 2.3.1. Esquemas de desintegración………………………………….. 71 2.3.2. Desintegración alfa……………………………………………… 72 2.3.3. Desintegración beta…………………………………………….. 74 2.3.4. Captura electrónica……………………………………………... 78 2.3.5. Emisión gamma…………………………………………………. 80 2.3.6. Transición isomérica……………………………………………. 80 2.3.7. Conversión interna……………………………………………… 81 2.4. LEYES DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA……………………. 83 2.4.1. Constantes de desintegración………………………………… 83 2.4.2. Velocidad de conteo……………………………………………. 86 2.4.3. Mezcla de actividades simples………………………………… 87 2.4.4. Desintegración ramificada……………………………………… 88 2.4.5. Desintegración en cadena……………………………………… 89 2.5. SERIES RADIOACTIVAS………………………………………………. 94

CAPÍTULO 3: INTERACCIÓN LA RADIACIÓN CON LA MATERIA………….. 97 3.1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 97 3.2. MECANISMOS DE INTERACCIÓN DE LAS RADIACIONES……… 97 3.2.1. Interacción de partículas alfa………………………………….. 98 3.2.2. Interacción de partículas beta………………………………... 102 3.2.3. Interacción de fotones de alta energía……………………… 105 3.2.4. Atenuación de fotones de alta energía……………………… 108 3.2.5. Interacción de neutrones……………………………………… 112 3.3. METROLOGÍA DE LAS RADIACIONES…………………………….. 117 3.3.1. Detectores gaseosos………………………………………….. 118 3.3.2. Detectores Geiger-Müller……………………………………… 121 3.3.3. Detectores centelladores……………………………………… 125 3.3.4. Detectores semiconductores………………………………….. 130 3.4. ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA…………………….. 132 3.4.1. Curva espectral de un emisor gamma monoenergético…… 134 3.4.2. Curva espectral de un emisor gamma polienergético……… 138 3.4.3. Resolución en espectrometría…………………………………138

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ÍNDICE

CAPÍTULO 4: APLICACIONES DE LA FÍSICA NUCLEAR………………….. 140 4.1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………. 140 4.2. APLICACIONES DE LAS RADIACIONES IONIZANTES…………. 140 4.2.1. Conservación de alimentos…………………………………... 140 4.2.2. Control de plagas……………………………………………… 141 4.2.3. Aplicaciones industriales……………………………………… 141 4.2.4. Investigación en biología, arqueología y paleontología…… 142 4.3. GENERACIÓN NUCLEOELÉCTRICA………………………………. 142 4.3.1. Fisión nuclear………………………………………………….. 144 4.3.2. Reactores de fisión nuclear…………………………………... 148 4.3.3. Centrales nucleares…………………………………………… 154 4.3.4. Generación nucleoeléctrica en la República Argentina…… 156 4.4. RADIACIONES IONIZANTES EN MEDICINA……………………… 158 4.4.1. Tubo de rayos X……………………………………………….. 158 4.4.2. Equipos de diagnóstico basados en rayos X……………….. 161 4.4.3. Tomografía por emisión de positrones (PET)………………. 165 4.4.4. Tomografía por emisión de fotón único (SPECT)………….. 166 4.4.5. Detectores en PET y SPECT………………………………… 167 4.5. RESONADOR MAGNETICO NUCLEAR……………………………. 169 4.5.1. Momento magnético nuclear…………………………………. 169 4.5.2. Interacción Hidrógeno – campo magnético…………………. 170 4.5.3. Resonancia nuclear…………………………………………… 172 4.5.4. Tiempos de relajación T1 y T2………………………………… 173 4.5.5. Equipo de resonancia magnética……………………………. 175

APÉNDICE A……………………………………………………………………….. 178 APÉNDICE B……………………………………………………………………….. 181 ÍNDICE............................................................................................................. 185 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………..188

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BIBLIOGRAFÍA LIBROS -

Cherry, S.R., Sorenson, J.A., Phelps, M.E., Physics in Nuclear Medicine, Saunders, 2003.

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Csele, M., Fundamentals of Light Sources and Lasers, John Wiley and Sons, 2004.

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Eisberg, R.M., Fundamentals of Modern Physics, John Wiley and Sons, 1961.

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Kuperman, V., Magnetic Resonante Imaging. Physical Principles and Applications, Academic Press, 2000.

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Lewis, E.E., Fundamentals of Nuclear Reactor Physics, Academic Press, 2008.

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Saha, G.B., Physics and Radiobiology of Nuclear Medicine, Springer, 2006.

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Sears, F.W., Zemansky, M.W., Young, H.D., Freedman, R.A., Física Universitaria, Volumen 2, Adison Wesley, 2005.

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Serway, R.A., Jewett, J.W., Física para Ciencias e Ingenierías, Thomson, 2005.

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Wernick, M.N., Aarsvold J.N., Emission Tomography: The Fundamentals of PET and SPECT, Academic Press, 2004.

PUBLICACIONES EN REVISTAS INDEXADAS -

Ishida Fukami, M.V., Santecchia, A., CAREM Project: Innovatove Small PWR, Progress in Nuclear Energy, 34, pp. 265 – 270, 2000.

SITIOS WEB -

www.cnea.gov.ar (Sitio de la comisión nacional de energia atómica)

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www.na-sa.com.ar (Sitio de nucleoeléctrica argentina S.A.)

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Fisica Moderna y Aplicaciones Clementi L a

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