CAPÍTULO III: VECTORES
3.1.
Magnitudes escalares y vectoriales Si un objeto se mueve siguiendo una línea recta, su movimiento está descrito por la distancia que recorre o por la velocidad con que lo hace, e indicando si lo hace de derecha a izquierda o de izquierda a derecha desde un punto de referencia, el origen. Estas magnitudes que tienen módulo y dirección como la velocidad, la aceleración, el momento y la fuerza se denominan vectores. vectores. Aquellas magnitudes que no tienen dirección asociada, como la masa, el tiempo, el volumen, la temperatura, la energía, etc., se denominan escalares. escalares.
3.2.
Representación de un vector Gráficamente representamos un vector usando una flecha. La longitud de la flecha dibujada a escala, indica el módulo de la magnitud vectorial, la cabeza de la flecha indica el sentido de la magnitud vectorial
3.3.
Designación de un vector Un vector se designa por lo general por una letra en negrita y sobre ella
⃗ ⃗
una flecha, así: .
El módulo de un vector se designa así: Ejemplo: Ejemplo: Vector
39
⃗
o o simplemente A .
Módulo:
|⃗|=
20 m/s
Orientación: 30º
3.4.
Suma y sustracción de vectores 3.4.1. Vectores colineales o paralelos Dos o más vectores son colineales o paralelos si tienen la misa dirección. La suma de los vectores se denomina suma, el vector suma, o la resultante de los dos vectores. En este caso la suma es la suma algebraica de los módulos de cada vector.
⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ = + ⃗ ⃗ ⃗
3.4.2. Vectores coplanares Dado los vectores
Para realizar la suma gráficamente, se sitúa el origen de uno en el extremo del otro. La resultante se extiende desde el origen del 40
primer vector al extremo del segundo vector, tal como se aprecia en la figura.
3.4.3. Método del paralelogramo Consiste en desplazar uno de los vectores hasta que coincidan los orígenes de ambos vectores. La diagonal del paralelogramo formado por ambos vectores es la resultante.
3.4.4. Ley de cosenos Para el cálculo de la magnitud de la suma de dos vectores se utiliza la ley de cosenos, así:
= + + 2 ∅
Φ : ángulo que forman los vectores
⃗
La suma de más de dos vectores se halla sumando primero dos de ellos, luego se suma el resultado con el tercero y así sucesivamente.
41
⃗
En la figura es la resultante de los vectores
,⃗,
.
Si los vectores forman un polígono cerrado, la suma de dichos vectores es 0.
3.4.5. Sustracción de vectores La sustracción de vectores, se obtiene sumando el primer vector con el negativo del segundo vector, así:
Ejemplos: 1) Una persona se mueve 4 km hacia el este, luego 3 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplazamiento resultante? Solución:
⃗ ⃗
Sea el vector este y
que representa el desplazamiento hacia el
el vector que representa el desplazamiento hacia el
norte, luego el desplazamiento resultante será el vector
⃗
:
El vector resultante tiene por módulo 5 km y su orientación está
representado por el ángulo α = 37º al noreste. 2) El vector suma de los vectores colocado en el hexágono regular
es: 42
Solución: De la figura, la resultante de los vectores consecutivos
⃗, ⃗,,⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = + + + + + = + =2
es igual al vector , entonces:
3.5.
Producto de un vector por un escalar
Un vector multiplicado por un escalar r es el vector
módulo r A y es paralelo al vector .
3.6.
⃗ =
, que tiene
Componentes de un vector La suma y diferencia de vectores se lleva a cabo expresando los vectores en función de sus componentes. La componente de un vector a lo largo de una línea es la proyección del vector sobre dicha línea, esta proyección se determina, trazando una línea perpendicular a la línea desde el extremo de la flecha del vector.
43
En la figura, la componente del vector magnitud se determina por:
=
sobre la línea x es
⃗
cuya
Componentes rectangulares o cartesianas Las componentes rectangulares de un vector, son las que tienen las direcciones de los ejes x, y, z del sistema de coordenadas cartesiano.
Vectores en dos dimensiones
Sea el vector
⃗
, tal como se muestra en la figura. Sus componentes
rectangulares en los ejes X e Y son:
⃗⃗ = ⃗⃗ =
Si se conocen las componentes, se puede obtener el ángulo que forma el vector con el eje x.
= =
Ejemplo: Un buscador de tesoro recibe las instrucciones de ir 3 km en dirección nordeste 60º y después moverse 4 km en dirección noroeste con un 44
ángulo de 40º respecto del oeste. ¿En qué dirección deberá moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo, recorriendo la mínima distancia?
Solución: El dibujo muestra los vectores desplazamiento de 3 y 4 km, así como la resultante de ambos vectores.
⃗ ⃗
y
40º
θ
⃗
60º x
Las componentes del vector
⃗
son:
Ax = A Cos 60º = 3 x ½ = 1,5 km Ay = A Sen 60º = 3 x 0,86 = 2,6 km Las componentes del vector
son:
Bx = B Cos 140º = 4 x – 0,766 = - 3,06 km By = B Sen 140º = 4 x 0,64 = 2,57 km
= ⃗+ ⃗ de
, las componentes de se obtienen sumando las componentes
Cx = Ax + Bx = 1,5 + (-3,06) = - 1,56 km Cy = Ay + By = 2,6 + 2,57 = 5,17 km
= + = 1,56 + 5,17 =5,4
La magnitud de se obtiene por el teorema de Pitágoras.
45
La orientación del vector C está dada por el ángulo θ y se puede obtener por:
= = −,, =3,31 = 73,2º
El vector C está en el II Cuadrante, por lo que θ = 180 – 73,2 = 106,8º También la orientación del vector C se puede indicar como 73,2º hacia el noroeste.
Vectores tridimensionales
⃗
z
⃗ x
⃗
⃗
y
Las componentes del vector en los ejes x, y, z son:
⃗⃗ = ⃗⃗ ∝ = ⃗ = ⃗ 3.7.
Vectores unitarios Un vector unitario es un vector adimensional que tiene por módulo a la unidad.
46
̂ ̂= || , ̂||=1
Para obtener un vector unitario en la dirección de un vector , se divide dicho vector entre la magnitud del mismo, así:
Los vectores unitarios en las direcciones x, y, z son:
,⃗, ⃗
.
Representación de un vector en función de los vectores unitarios
, , ⃗ ⃗ = + + ⃗ .
Un vector se puede representar en función de dichos vectores como:
3.8.
Problemas resueltos 1. Dos fuerzas de igual modulo y que forman un ángulo de 60° entre sí,
tiene una resultante de 40√3N. Calcule el módulo de dichas fuerzas. Solución: Sea A la magnitud de cada vector. Por la ley de cosenos:
= + +2.. 40√ 3 = 2 + 2 60 40√ 3 = 2 + =√ 3 ⃗ A = 40 N
2. Según la figura, halle
, si A=8 y B=6.
47
Solución: Como ambos vectores forman ángulo de 90º, tenemos:
⃗= + = 8 + 6 ⃗=10
3. La resultante de los 4 vectores mostrados tiene un módulo de:
Solución: Los vectores de 9u y 8u tienen como resultante 1u en la dirección de 9u. Los vectores de 5u y 4u tienen como resultante 1u en la dirección de 5u. Entonces la resultante de los dos vectores de 1 u es:
= 1 + 1 +11 120 = 1 + 1 +11 120 = 2 1/2= √ 3/2
4. Hallar el valor de la resultante de los vectores mostrados en la figura (en cm.) hexágono regular de radio de 20 cm.
Solución: 48
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗⃗ +⃗ ⃗ + ⃗⃗ + ⃗⃗ ⃗ = + + =3+ +2 20=120 =3
⃗⃗
El vector
con el vector
tienen como resultante al vector
El vector
con el vector
tienen como resultante al vector
Luego la resultante será:
La magnitud será:
5. Un trineo está en reposo y tres amigos tiran de él sin conseguir moverlo. Paul tira en dirección nordeste con una fuerza de 50 lb. Johnny tira con una fuerza de 65 lb con un ángulo de 35º en dirección sudoeste y Connie tira del trineo con una fuerza que queremos determinar. a) Expresar la fuerza ejercida tanto por Paul como por Johnny en función de los vectores unitarios. b) Determinar la fuerza que realiza Connie primero expresándola en función de los vectores unitarios y después en forma de módulo y dirección (ángulo). Solución:
=5045+5045 =35,35+35,35 =65356535 =37,2853,24 + + =0 35, 35+35,3537,2853,24+ =0 =1,93+17, 89 = 1,93 17,+717,9 79 =18 = 1,93 =83,88º √ 10 √ 2
a) Fuerza de Paul:
Fuerza de Johnny:
b) Como el trineo no se mueve, la suma de las tres fuerzas es cero, por lo que:
6. El módulo del vector resultante de dos vectores es
unidades.
calcular el ángulo que forman entre sí, siendo los módulos de los mismos 2 y
unidades respectivamente.
Solución:
Por la ley de cosenos: 49
= √ 1 0= 2 + √ 2 +22√ 2. 10= 6+4√ 2. = √ 22 → =45º
7. En la figura se muestran tres vectores de velocidad y cuyos módulos son: A = 5 m/s, B = 10 m/s, C = 15 m/s. Obtenga la resultante de los vectores, A, B , C y determine el módulo y la dirección de la resultante.
Solución:
⃗ =5 =1060+1060=5+8,66 ⃗ =1530+1530=12,99+7,5 =3+16,16 = 3 + 16,16,1166 =16,44 / = 3 =79,76º 8. Si la resultante de los vectores mostrados es un vector vertical, hallar el módulo de C .
50
Solución: Sean:
⃗ = 4√ 3 60+4√ 3 60= 6+2√ 3 = 25 3725 37= 1520 = 615+=0 →=21
Como la resultante es un vector vertical, entonces la resultante horizontal es 0:
9. Hallar el módulo de la resultante de los vectores graficados.
Solución: La resultante de los vectores es:
⃗⃗ = 12+1610371037 = 6 +8 = 6 + 8 =10 10. Hallar la resultante de los vectores en el siguiente sistema: A = 6, B = 9 y C = 12. A
74º 75
53
C
B
51
Solución:
=6 74 +6 74 ⃗ = 1,65 +5,77 ⃗ =9 75 9 75 = 2,33 8,69 =12 53 12 53 = 9,58 7,22 ⃗ = ⃗ + ⃗ + =5,6 10,14 Luego, la resultante será:
11. Hallar la resultante de los vectores en el siguiente sistema: A = 8, B = 9 y C = 10. B
A
45 37 C
Solución:
⃗ =8 ⃗ =9 45 +9 45 = 6,364 +6,364 =10 37 10 37 = 6 8 ⃗⃗ = + ⃗ + =4,364 1,636 Luego, la resultante será:
12. Determine la suma de los vectores representados en la figura:
52
z 10m
B
12m
y
C 6m
A
x Solución:
= 60 + 12⃗ 0 + 010⃗ ⃗ =6+1210 ⃗ =06 +120⃗ +010⃗ = 6 +12 10 ⃗ = 60 + 012 + 00 =612 ⃗⃗ = + ⃗ + ⃗ =6 +12 20 Luego, la resultante será:
13. Dado los vectores:
A 3i
ˆ
B 2i
ˆ
2 j
ˆ
4 j
ˆ
5k ˆ
k ˆ
Determine: a) El producto escalar. b) El producto vectorial. c) El ángulo que forman los vectores. Solución:
53
a)
∙ ⃗ =(3+2+5⃗)∙2+4 ⃗ ∙ ⃗ = 3 ⃗ ⃗ = 32 24 15 32 24= 2+1012⃗ 4⃗ 203 ⃗ ⃗ =22+716⃗ ∙ = ∙ = 3 + 2 + 5 =6,16 = 2 + 4 + 1 =4,58
b)
c)
-3
3.9.
= 6,16 x 4,58 CosӨ CosӨ = - 0,106
Ө = 96,08
Problemas propuestos 1. Se suman dos vectores de 7 y 5,5 unidades de longitud. El resultado es un vector de 10 unidades. a) Mostrar gráficamente al menos una forma mediante la cual puede llevarse a cabo la suma. b) Use el diagrama anterior para determinar el ángulo entre los dos vectores originales. 2. Determinar las componentes x e y de los tres vectores siguientes del plano xy. a) Un vector desplazamiento de 10 m que forma un ángulo de 30º en la dirección de las agujas del reloj con la dirección positiva del eje y. b) Un vector velocidad de 25 m/s que forma un ángulo de 40º contrario a las agujas del reloj con la dirección – x. c) Un vector fuerza de 40 lb que forma un ángulo de 120º en la dirección contraria a las agujas de un reloj con la dirección – y. 3. Una persona camina 100 m siguiendo una línea recta sobre el plano horizontal. Si la persona se mueve 50 m hacia el este, ¿cuáles son los movimientos posibles de la persona hacia el norte o hacia el sur? ¿Cuáles son los ángulos posibles con respecto de la dirección este que el camino recorrido por la persona puede haber alcanzado? 4. Calcule el módulo de la resultante (en N) de dos fuerza de 4N y 8N respectivamente y que forma un ángulo de 60°.
54
5. Determine el coseno del ángulo que forman dos vectores de igual magnitud, si su resultante vale la mitad de ellos. 6. Calcule el modulo del vector resultante.
7. Los módulos de los vectores y son 4u y 3u respectivamente. Calcule el máximo valor de la operación |2
+ 3 |.
8. Se muestra un rectángulo ABCD, el módulo de la resultante de sumar los vectores
+
+
+
es: (en cm)
9. Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo o magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios.
10. Dados los vectores siguientes: y
=5,4 9,1
=3,4 +4,7 ⃗ ⃗ = 7,7 +3,2 ⃗ +2 3 +4 ⃗ =0 ;
. a) Determinar el vector
vectores unitarios de modo que
,
en función de los . b) Expresar
la respuesta del apartado anterior en función del módulo y del ángulo con respecto a la dirección positiva del eje x. 11. Dados los vectores siguientes:
de 25 lb de módulo y que forma un
ángulo de 30º en el sentido de las agujas del reloj con la dirección positiva del eje x, y
⃗
de 42 lb de módulo y que forma un ángulo de
50º en el sentido de las agujas del reloj con la dirección positiva del eje y, a) construir un esquema y estimar visualmente el módulo y el ángulo del vector
de forma que
2 + ⃗
sea un vector de 35 lb
de módulo orientado según la dirección positiva del eje x. b) Repetir 55
el cálculo del apartado a) usando el método de las componentes y comparar el resultado con el estimado a partir del apartado a). 12. La posición de un avión que vuela a 5 km de altura, la situamos a 1,5 km norte y 2,5 km este. a) ¿Qué distancia hay desde el punto de observación hasta el avión? b) ¿Con qué ángulo (respecto del norte en el plano horizontal) lo vemos? c) Expresar el vector posición del avión desde nuestra situación en función de los vectores unitarios, si
⃗
se orienta hacia el este, hacia el norte y verticalmente hacia el
cenit. d) ¿Con qué ángulo de elevación (por encima del plano horizontal de nuestra posición) vemos el avión? 13. Dos vectores cuyas magnitudes son 6 unidades y 9 unidades forman un ángulo de a) 45 y b) 60º. Hallar la resultante en cada caso. 14. La resultante de dos vectores es
2 7 +2√ 3
unidades. Calcular el
ángulo que forman entre sí, siendo sus módulos igual a: y 5 unidades respectivamente.
√ 3
unidades
15. El módulo de la resultante máxima entre dos vectores es 8 unidades y la resultante mínima es igual a 2 unidades. Calcular la resultante cuando forman 53º. 16. En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobre una partícula. Obtener: (a) las componentes x, y de la fuerza neta sobre la partícula, (b) la magnitud y (c) la dirección de la fuerza resultante.
56
17. ¿Cuál es el valor de la resultante de dos vectores cuando forman 60º, si su resultante máxima y mínima son 8 y 2 unidades respectivamente? 18. Un barco recorre 100 mi en dirección norte el primer día de un viaje; 60 mi al noreste el segundo día; y 120 mi rumbo este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante mediante el método del polígono. 19. Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar el módulo de la resultante de los vectores que se muestran.
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