Física General

F´ısic ıs ica a Gene Ge nera rall

Ignacio Igna cio Mart´ın ın Bragado Brag ado [email protected] 2 de febrero de 2004

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(C) Ignacio Ignac io Mart´ın ın Bragado. Bragad o. [email protected] imartin @ele.uva.es

´ Indice general 1. Distribu Distribuci´ ci´ on de este documento on

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2. Introduc Introducci´ ci´ on on

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2.1. Signos Signos emplea empleados dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Esque Esquema ma

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4. Introduc Introducci´ ci´ on on al c´ alculo alculo vectorial

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4.1. Magnitudes Magnitudes escalare escalaress y vectoriales vectoriales . . . 4.1.1. 4.1.1. Represen Representaci´ taci´ on on matem´ atica atica . . . 4.2. Operaciones Operaciones vector vectoriales iales unarias unarias . . . . . 4.2.1. 4.2.1. Operaciones Operaciones unaria unariass diferenci diferenciales ales 4.3. Operaciones Operaciones vectoria vectoriales les binarias binarias . . . . . 4.3.1. 4.3.1. Equivalenc Equivalencia ia . . . . . . . . . . . 4.3.2. 4.3 .2. Suma Suma y resta resta . . . . . . . . . . . 4.3.3. 4.3.3. Producto Producto escalar escalar . . . . . . . . . 4.3.4. 4.3.4. Producto Producto vectoria vectoriall . . . . . . . . 4.3.5. 4.3 .5. Product Productoo mixt mixtoo . . . . . . . . . .

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5. Cinem Cinem´ atica a ´tica

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5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . Velocidad elocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aceleraci´ Aceleraci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . Componentes intr´ intr´ınsecas de la aceleración on Clasificaci Clasificaci´ on ón de movimientos . . . . . . . Composici´ Composici´ on on de movimientos . . . . . . . 5.6.1. 5.6.1. Translaci´ ranslaci´ on on pura . . . . . . . . . . 5.6.2. 5.6 .2. Rotaci Rotaci´ on oń pura . . . . . . . . . . . 5.7. Resoluci´ Resoluci´ on on de problemas . . . . . . . . . . 5.7.1. 5.7 .1. Tiro Tiro parab´ parab´ olico olico . . . . . . . . . . . 5.7.2. Componentes Compo nentes intr´ intr´ınsecas . . . . . . 5.7. 5.7.3. 3. C´ alculo alculo de trayectorias . . . . . . .

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6. Din´ Din´ amica amica

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6.1. Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.. Leyes 6.2 Leyes de Newt Newton on . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. 6.2 .1. Ley de de la iner inercia cia . . . . . . . . . . . . 6.2.2. 6.2.2. Segunda Segunda ley ley de Newton Newton . . . . . . . . 6.2.3. 6.2.3. Tercera ercera ley ley de Newton Newton . . . . . . . . . 6.3. Fuerzas uerzas especiales especiales que aparecen en problemas problemas 6.3.1. 6.3 .1. Normal Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. 6.3.2. Rozamien Rozamiento to . . . . . . . . . . . . . . . 3

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ÍNDICE GENERAL

6.4. El moment momento o lineal lineal . . . . . . . . . . . . 6.4.1. 6.4.1. Conserv Conservaci´ aci´ on on del momento lineal 6.5. Conserv Conservaci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa . . . . . . . . 6.6.. Resolu 6.6 Resoluci´ ci´ on on de problemas . . . . . . . . . 6.6.1. 6.6.1. Planos Planos inclinados inclinados . . . . . . . . . 6.6.2. 6.6 .2. Curv Curvas . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3. Casos l´ l´ımite . . . . . . . . . . . .

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7. Consideraciones Consideraci ones energ´ eticas eticas

7.1. Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . 7.2.. Trabajo 7.2 rabajo . . . . . . . . . . . 7.2.1. 7.2.1. Trabajo conserv conservativ ativoo 7.3. Potencia Potencia . . . . . . . . . . . 7.4. Energ Ener g´ıa . . . . . . . . . . . 7.5. Conceptos Conceptos previos previos . . . . . 7.5.1. 7.5 .1. Energ Ener g´ıa cinética eti ca . . 7.5.2. 7.5 .2. Poten Potencia ciall . . . . . . 7.6. Conserv Conservaci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa . 7.6.1. 7.6.1. Rozamien Rozamiento to . . . . . 7.7.. Impuls 7.7 Impulsoo . . . . . . . . . . . 7.8. Gradient Gradientee . . . . . . . . . .

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8. Din´ Din´ amica amica de un sistema de part´ part´ ıculas

8.1. Conceptos Conceptos y definiciones definiciones primaria primariass . . 8.2.. Centro 8.2 Centro de de masas masas . . . . . . . . . . . . 8.2.1. 8.2.1. Teorema eorema de Pappus Pappus . . . . . . 8.3. 8.3. Din´ Din´ amica del centro de masas . . . . . amica 8.3.1. 8.3.1. Velocidad elocidad . . . . . . . . . . . . 8.3.2. 8.3.2. Aceleraci´ Aceleraci´ on on . . . . . . . . . . . 8.3.3. 8.3.3. Mome Momento nto lineal lineal . . . . . . . . . 8.3.4. Energ´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . 8.4. Aplicacion Aplicaciones es . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. 8.4.1. Sistema Sistema de referenci referencia a del centro centro 8.4.2. 8.4.2. Problemas Problemas de dos dos cuerpos cuerpos . . . 8.4.3. 8.4 .3. Colisi Colisione oness . . . . . . . . . . . .

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9. Din´ Din´ amica amica de la rotaci´ on on

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9.1. Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. 9.1.1. 1. S´ olido oli do r´ıgido ıgi do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Analog´ıas ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Momento Momento de una fuerza fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Momento Momento angula angularr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Momento Momento de inercia inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. 9.4.1. Teorema eorema de Steiner Steiner o de los ejes paralel paralelos os . . . . . . . . . . . 9.4.2. 9.4.2. Teorema eorema de las figuras planas planas o de los ejes perpendiculare perpendiculares. s. . 9.4.3. 9.4 .3. Relaci Relaci´ón on del momento de inercia respecto a un punto con los tres ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.. Ecuaci 9.5 Ecuaci´ón on de la dinámica amica de rotación on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. 9.5.1. Conserv Conservaci´ aci´ on del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . on 9.6. Energ´ıa ıa de rotación on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Algunos problemas t´ıpicos ıpicos de rotación on . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1. 9.7.1. Cuerpos Cuerpos rodantes rodantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.2. 9.7 .2. Polea Poleass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. 9.7.3. 3. Est´ Est´ atica atica y equilibrio equilibrioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

32 32 33 33 33 35 36

53 53 53 53 54 55 55 56 56 56 57 57 57 58 58 58


ÍNDICE GENERAL

9.7. 9.7.4. 4. 9.7. 9.7.5. 5. 9.7.6. 9.7.6. 9.7.7. 9.7.7.

C´ alculo alculo de la aceleración on angular de un cuerpo . C´ alculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . alculo Variaci´ ariaci´ on de la forma del cuerpo que gira . . . . on Conserv Conservaci´ aci´ on on de la energ´ energ´ıa para cuerpos rodantes

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10.Conceptos generales de campos

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10.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Definición on . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Formalismo matemático atico . . . . . . . 10.4. Flujo de un campo vectorial . . . . . 10.5. Gradiente de un campo . . . . . . . 10.6. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . 10.7. Circulación on . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Representación on gráfica afica de los campos 10.8.1. 10.8.1. Campo escalar . . . . . . . . 10.8.2. Campo vectorial . . . . . . .

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11.Gravitaci´ on y campo gravitatorio on

61 61 61 62 62 62 63 63 63 64 65

11.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ley de la gravitación on universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3. Principio de superposición on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2. Entidad matem´ atica atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Energ Ener g´ıa potencial pote ncial gravitatoria gravitator ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Problemas concretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1. Cálculo alculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2. Cálculo alculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo continuo 11.5.3. Problemas de satélites elites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.5. Medida de la gravedad en la superficie de un planeta . . . . . 11.5.6. Cálculo alculo de la atracción on gravitatoria de algunos sólidos olidos simples 12.Campo 12.Cam po y potencial potenci al el´ ectrico ectrico

65 65 65 66 66 66 66 67 67 69 69 69 69 69 70 70 73

12.1. Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Principio de superposición on . . . . . . . . . . . . . 12.3.. Campo 12.3 Camp o eléctrico ect rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.. Potencia 12.5 Pote nciall y energ ener g´ıa eléctrica ectr ica . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1. Algunos casos particulares de potencial el´ ectrico ectrico 12.6. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1. Asociación on de condensadores . . . . . . . . . . .

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13.Movimiento arm´ onico onico simple

13.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . 13.2. Dinámica amica del sistema . . . . . . . . 13.2.1. Ecuación on del movimiento . 13.2.2. Periodicidad de la ecuación on 13.2.3. Velocidad . . . . . . . . . . 13.2.4. Aceleración on . . . . . . . . .

59 59 59 60

73 73 73 73 74 74 75 75 75 77

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ÍNDICE GENERAL

13.3. 13. 3. Energ´ En erg´ıa ıa . . . . . . . . . 13 13.3. .3.1. 1. Energ´ Ene rg´ıa ıa cin´ cin ética et ica 13.3.2. Energ´ıa ıa potencial poten cial 13.3.3. 13. 3.3. Energ Ener g´ıa mecánica anica 13.4. El péndulo endulo simple . . . .

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14.Ondas

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14.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . 14.2. Ecuación on general de una onda . . . . . . . . . 14.3. Ecuación on de una onda armónica onica . . . . . . . . 14.3.1. Periodo y frecuencia . . . . . . . . . . 14.3.2. Longitud de onda y n´ umero umero de ondas 14.4. Consideraciones Consider aciones energéticas eticas de las la s ondas ond as . . . 14.4.1 14. 4.1.. Energ´ En erg´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.3. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . .

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15.Fen´ omenos ondulatorios omenos

83 83 84 84 85 85 87 87 88 88 89

15.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Interferencia entre ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1. Ondas coherentes: Interferencias constructivas y destructivas 15.3.2. Ondas estacionarias: Propagación on en direccione direccioness opuestas opuestas . . 15.4. Otras propiedades de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1. Difracción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2. Polarización on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.3. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Reflexión on y refracción on de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1. Reflexión on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2. Refracción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.3. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.Electromagnetismo

89 89 89 90 93 95 95 95 96 96 96 97 99 101

16.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 16.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 16.2.1. Fuerza sobre una corriente eléctrica ectrica . . . . . . . . . . . . . . 102 16.3. Campo magn´ etico etico debido a una carga en movimiento . . . . . . . . . 102 16.3.1. Campo magnético etico producido produ cido por una corriente eléctrica ectrica . . . 1 0 3 16.4.. Ley de Ampère 16.4 ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 16.5. Resolución on de problemas problema s t´ıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 16.5.1. Part´ Part´ıcula sometida sometid a a un campo c ampo magnético etico constante y uniforme un iforme 104 16.5.2. Fuerza Fuerza magn´ etica etica experimentada por un conductor recto y perp perpen endi dicu cula larr al al cam campo po ma magn gn´étic e ticoo . . . . . . . . . . . . . . . 10 1044 16.5.3. Campo magn´ etico etico creado por un conductor recto e infinito . 104 104 16.5.4. Campo producido por una espira en su eje . . . . . . . . . . . 105 16.5.5. Campo magn´ etico etico en el interior de un solenoide infinito . . . 1 0 6 16.5.6. Fuerzas entre corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . 107 17.Inducci´ on on electrom elec tromagn´ agn´ etica etic a

17.1. Introducción on . . . . . . 17.2. Ley de Faraday-Henry 17.2.1. Ley de Lenz . . 17.3. Fuerza Fuerza electromotriz . 6

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109

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109 109 11 0 11 0


ÍNDICE GENERAL

17.4. Autoinducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1. Inducción on mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. 17. 5. Energ´ Ene rg´ıa ıa ma magn´ gnética et ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6. Problemas y aplicaciones de inducción on electrom elec tromagn´ agnética eti ca 17.6.1. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.3. Autoinducción on de un solenoide . . . . . . . . . .

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11 0 11 1 111 112 112 11 3 114

18.La naturaleza de la luz. Dualidad onda corp´ usculo de la materia 115 usculo

18.1. Introducción on hist´ orica orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. El efecto fotoel´ foto eléctrico ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1. Descripción on del problema . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2. Solución on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Naturaleza ondulatoria de la materia . . . . . . . . . . . . 18.6. Resumen: Dualidad onda-corpúsculo usculo de la luz y la materia

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19.F 19. Fundamentos undam entos de F´ısica ısi ca Nucle N uclear ar

1 15 116 1 17 117 118 11 9 11 9 120 123

19.1. Introducción on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2. El n´ ucleo ucleo atómico omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2. 19. 2.2. Caracte Cara cterr´ısticas ıst icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1. Radiactividad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.2. Radiactividad β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.3. Radiactividad γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4. Caracter´ısticas ıstica s de los procesos proces os radiactivos ra diactivos . . . . . . . . . . . . . 19.4.1. Cin´ etica etica de las reacciones nucleares: Ley de desintegración on 19.4.2. Las series radiactivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5. Reacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1. Fisión on nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.2. Fusión on nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . .

A. Esquemas y formulario

123 12 3 123 1 24 124 12 5 12 5 12 5 126 126 126 128 128 1 29 131

A.1. Cálculo alculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . A.2. Cinem´ Cinemática atica . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. A.2.1. Mov Movimien imiento to circular . . . . . . . . A.3. Dinámica amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Translaci´ on on . . . . . . . . . . . . . A.3.2. A.3.2. Rotaci´ Rotaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . A.4. Trabajo raba jo y Energ´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . A.5. Movimiento Movimiento arm´ onico onico simple . . . . . . . A.6. Campo y potencial el´ ectrico ectrico y gravitatorio A.7. Circuitos de corriente corriente continua . . . . . . A.8. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . .

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13 1 131 132 132 132 13 2 133 133 134 135 135

B. Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el rozamiento con el aire 137

B.1. B.2. B.3. B.4.

Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . Planteami Planteamiento ento de la ley de Newton . . . Interpretación on de la ecuación on de Newton Conclusi´ Conclusi´ on on . . . . . . . . . . . . . . . .

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137 1 37 137 138 7

ÍNDICE GENERAL

C. Tablas y f´ ormulas ormulas utiles u ´ tiles

C.1. C.2. C.2. C.3. C.3. C.4.

139

Introducci´ Introducci´ on on . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo alculo complejo . . . . . . . . . . . C´ alculo alculo vectorial . . . . . . . . . . . Funciones elementales elementales . . . . . . . . C.4.1. C.4 .1. Trigonom´ Trigono métricas etr icas . . . . . . . C.4.2. Logar´ Logar´ıtmicas y exponenciales C.5. Derivaci´ Derivación on . . . . . . . . . . . . . . . C.5.1. C.5.1. Propiedade Propiedadess generales generales . . . . C.5.2. C.5.2. Tabla de derivadas derivadas . . . . . . C.6. Integraci Integraci´ón on . . . . . . . . . . . . . . C.6.1. C.6.1. Definici´ Definici´ on on y propiedades . . . C.6.2. C.6.2. Tabla de integrales integrales . . . . . .

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139 1 39 1 39 139 139 140 14 0 1 40 1 40 140 140 1 41

D. Agradecimientos Agradecimientos

143

Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa

144

8


´ Indice de figuras 4.1. 4.1. El ángulo angulo entre dos vectores y sus proyecciones. . . . . . . . . . . . .

21

5.1.. Relaci 5.1 Relaci´ón on vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor verá la piedra que cae como rcp = rc r p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

6.1. 6.2. 6.2. 6.3. 6.4.

. . . .

33 34 36 37

7.1. ¿A qué velocidad llegará al final?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

9.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

11.1. Campo g generado por una varilla delgada. . . . . . . . . . . . . . .

70

12.1. Asociación on de condensadores en serie y en paralelo. . . . . . . . . . .

75

13.1. Descomposición on de las fuerzas en un p´ endulo. endulo. . . . . . . . . . . . . .

81

14.1. Periodo de una onda armónica. onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Longitud de onda de una onda arm´ onica. onica. . . . . . . . . . . . . . . .

86 87

15.1. Esquema de un fenómeno omeno de interferencias. . . . . . . . . . 15.2. Representación on de una interferencia (casi) constructiva. . . 15.3. Representación on de una interferencia destructiva. . . . . . . . 15.4. Experiencia de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Reflexión on de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6. Explicación on seg´ un el principio de Huygens de la reflexión. un on. . 15.7. Refracción on de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8. Explicación on seg´ un el principio de Huygens de la refracción. un on.

90 91 92 93 97 97 98 98

−

Descomposici Descomposici´ón on de las fuerzas en un plano inclinado. . ¿Cu´ ¿Cu´ al al será la aceleración on de este sistema? . . . . . . . Distintas Distintas situaciones situaciones ante ante una curva. curva. . . . . . . . . . . ¿Desde qué altura podr´ po drá una masa realizar un bucle?.

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16.1. Geometr´ıa ıa para p ara calcular ca lcular el campo ca mpo magnético etico en el eje de d e una un a espira. esp ira. 105 16.2. Trayectoria para un solenoide infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 17.1. Circui Circuito to con una resistencia resistencia y una autoinducc autoinducci´ ión. on. . . . . . . . . . . . 111 17.2. Corriente alterna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 17.3. Esquema simplificado de un transformador. . . . . . . . . . . . . . . 114 18.1. Dibujo de un “cuerpo negro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.2. Distribución on espectral de la radiaci´ on emitida por un cuerpo negro a on distintas temper peratur turas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.3. Dispositivo simplificado para la medición on del efecto fotoel´ foto eléctrico. ectrico. . . 118 9

ÍNDICE DE FIGURAS

19.1. Serie radiactiva del uranio.

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

(C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]

Cap´ıtulo 1

Distribuci´ on on de este documento Este libro ha sido escrito ´ıntegramente ıntegramente por Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado y todo su material es original, incluyendo los gráficos aficos que contiene, excepto los iconos de ampliaci´ on, recuerda, nota, problema y resolución on, on que han sido tomados del proyecto GNOME (distribuido con licencia GPL) y modificados. Ha sido compuesto utilizando LATEXsobre un ordenador AMD K6 utilizando un sistema operativo GNU/Linux. Se permite la reproducción on de los contenidos de este libro siempre y cuando quede absolutament absolutamentee expl´ expl´ıcita la procedencia procedencia de este documento y su autor y se conserve esta leyenda. No se permite la modificación o n de ning´ un u n t´ opico de este libro. Si desea realiopico zar alguna corrección o n h´ agalo agalo poni´ p oni´ endose endose en contacto con el autor en la dirección on [email protected] La dirección on web original de este material es: http://www.ele.uva.es/ ~imartin/libro/index.html

11

´ DE ESTE DOCUMENTO CAPÍTULO 1. DISTRIBUCI DISTRIBUCION

12


Cap´ıtulo 2

Introducci´ on on Este esquema pretende ser una pequeña na gu´ gu´ıa para resolver los problemas de f´ısica evitando evitan do las l as confusiones confusi ones m´ as as usuales. No obstante no existe un sistema que resuelva los problemas de f´ısica , sino que, cada uno, presenta una faceta que hemos de descubrir haciendo uso de nuestra razón. Este esquema no pretende ser un chuletario de los distintos tipos de problemas y como solucionarlos, sino sólo olo una iniciación on básica asica en el “arte de resolver” problemas de f´ısic ıs ica. a. El planteamiento de las ecuaciones que intervienen en los procesos f´ısicos ısicos es, a nivel general, algo complicado, puesto que son muchos los fenómenos omenos que pueden presentarse. En esta gu´ gu´ıa iremos desgajando los distintos procesos que pueden darse y las ecuaciones involucradas. La creación on de este esquema ha sido un proceso complicado. Inicialmente constituyó unos breves apuntes que se impart´ impart´ıan para un curso del (extinto o en v´ıas de extinción) on) COU, pero se fueron a˜ nadiendo cosas y mezclando parte de los connadiendo tenidos básicos asicos de dicho curso con algunas consideraciones de ´ındole más práctica actica fruto de la experiencia en el aula. Actualmente el nivel de este libro hace que pueda ser utilizado para la asignatura de F´ısica de 1o de las carreras de ciencias. Para 2 o de Bachillerato quizás as su nivel exceda un poco en algunos temas y no contenga otros. En cualquier caso la concepción on final de este libro es como “Curso de f´ısica ısica general” y no como un libro de texto de ning´ un un curso espec´ espec´ıfico de Facultad ni Instituto.

2.1. 2.1.

Sign Signos os empl emplea eado doss

Cuando aparezca algún un comentario de interés, es, si bien no sea imp ortante para el desarrollo del tema, se tratará de esta manera. 

desarrollo que excedan excedan un poco los objetivos objetivos de este libro, ◦ Las partes del desarrollo pero no por ello dejen de ser interesantes o importantes aparecerán de esta manera.

 Aquellos párrafos arrafos que sean muy importantes o que sea conveniente recordar, recordar, ya que pueden constituir algún un dato esencial o un resumen de todo lo dicho se indicarán an de esta forma.

enunci ciad adoo de algu alguno noss prob proble lema mass que que sean sean post poster erio iorm rmen ente te rereP El enun

sueltos.

13

Nota

Ampliaci´ on on

Recuerda

Prob Proble lema ma

´ CAPÍTULO 2. INTRODUCC INTRODUCCIION

on del problema con los cálculos alculos y explicaciones pertiR La resolución

nentes.

14


Resoluci´ on on

Cap´ıtulo 3

Esquema Para plantear un problema de f´ısica se pueden seguir los siguientes pasos: Hacer un dibujo explicativo. Esto supone haber le´ le´ıdo antes bien el enunciado

comprendiendo comprend iendo exactamente exactam ente qué datos dat os se s e ofrecen ofr ecen y qué resultados res ultados se piden. pi den. a aquel que nos facilite Elegir un sistema de coordenadas adecuado, que ser´ la posterior resolución on del problema. Hay que ser coherente con el sistema de coordenadas que se elija, refiriendo posteriormente a él el todas to das las cantidades con sus correspondientes signos. La elecci´ elecci´ on de un sistema de coordenadas no siempre es única, on unica, pero en cualquier caso hay que hacer una que otorgue sencillez al problema, por coincidir, generalmente, con algún un punto particular que pueda dar posteriormente más as simplicidad al planteamiento o a los cálculos. alculos. Comprobar las fuerzas que intervienen en el problema. Suelen ser siempre

menos de las que parecen. Sobre todo no hay que olvidar la fuerza de gravedad, de rozamiento, posibles tensiones, fuerzas elásticas asticas1 as´ as´ı como sus reacciones. reaccione s. Considerar las proyecciones sobre los ejes. Una vez comprobadas las fuerzas que intervienen en el problema habrá que proyectarlas sobre los ejes del sis-

tema de coordenadas coordenadas,, para poder as´ as´ı darlas darlas un tratamien tratamiento to vectoria vectorial. l. Esta proyección on es más as sencilla de lo que suele parecer. Basta recordar las relaciones sin α y cos α. Pueden ser ecuaciones ecuaciones dinámicas amicas del Plantear las ecuaciones para cada eje. Pueden



tipo F = ma o cinem´ aticas. Hay que ser conscientes de que la “única aticas. unica fórmuormu la” que se suele emplear es F = m a, pero que, como ésta esta es una ecuación on vectorial, se descompone en tantas ecuaciones como dimensiones tenga el movimiento, o lo que es lo mismo, en tantas proyecciones como ejes tenga nuestro sistema de coordenadas elegido.



Como en pasos anteriores ya hemos considerado las fuerzas que intervienen y sus proyecciones este paso no debe ser sino un recuento cuidadoso de las fuerza fuerzass que aparec aparecen en en un determ determina inado do eje o direcc direcci´ ión on lig´ andolas andolas con la ecuaci´ on on correspondiente. Este paso es estudiado más as ampliamente amp liamente en los cap´ cap´ıtulos siguientes. siguientes . Relacionar las ecuaciones planteadas con los datos que tenemos y los que que-

remos saber. Es decir, encontrar el sistema matemático atico que nos logrará encontrar la solución. on. 1

Cuando hay muelles.

15

CAPÍTULO 3. ESQUEMA ESQUEMA

´ es un mero ejercicio Resolver los sistemas matem´ aticos involucrados. Este aticos matem´ atico en el cual buscaremos la solución al problema. atico Interpretar la soluci´ on. on. La interpretaci´ on on de la solución on consiste en mostrarse andose si estos son coherentes con cr´ıtic ıt icos os hacia los resultados logrados, planteándose

la intuici´ on, on, con lo que esperábamos abamos que saliera, si responden bien al criterio de signos y sistema de coordenadas elegido, si tienen un orden de magnitud 2 apropiado y están an en las unidades oportunas, as´ı como todo lo que nos parezca oportuno oportuno indagar indagar en nuestra nuestra propia soluci´ solución. on. En caso de que el resultado “parezca correcto” lo cual, lamentablemente, no quiere decir que lo sea, podremos dar por concluido el problema. En caso contrario es conveniente volver a repasar todo el ejercicio, o la parte de la cual nos mostremos insegura, para ver si detectamos alguna inconsistencia.

2

16

Es decir, si no son demasiado grandes o pequeños. nos. (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]

Cap´ıtulo 4

Introducci´ on al c´ alculo vectorial 4.1.

Magnit Magnitude udess escal escalare aress y vect vectori oriale aless

Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único unico n´ umero. Por ejemplo, el peso o la altura de umero. una persona es una magnitud escalar. Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar “algo más as que un sólo olo n´ umero”. Por ejemplo, para saber la velocidad umero”. del viento además as de su intensidad, es decir, tantos kilómetros ometros por hora, se requiere conocer su dirección on y sentido, sentido, y as´ as´ı saber si viene del norte hacia el sur, etc. . . Este tipo de magnitudes se denominan vectores.

4.1.1. 4.1.1.

Repres Represen entac taci´ i´ on on mate matem´ m´ atic at ica a

Matem´ aticamente un escalar se representa con un único aticamente unico n´ umero umero1 y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa. As´ı un vecto vec torr v se representa como ˆ v = (v ( vx , vy , vz ) = vxˆı + vy ˆ + vz k, siendo vx , vy y vz las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los ejes x,y y z. A su vez ˆı, ˆ y kˆ son los vectores vectores unitarios unitarios en las direcciones direcciones de los ejes x,y y z respectivamente.

4.2.

Operacio Operaciones nes vectori ectoriale aless u unar narias ias

Se llama m´ odulo odulo de un vector a lo que éste este “mide”. Se calcula como

|v| = v =



vx2 + vy2 + vz2 .

(4.1)

Proyección on de un vector sobre un eje es “la sombra” de dicho vector sobre el eje si la “luz que proyec proyecta ta dicha dicha sombra” sombra” cayera cayera justo perpendicular perpendicularmen mente. te. As´ As´ı las proyecciones de un vector v sobre los ejes x,y y z serán an vx , vy y vz respectivamente. 1

Que normalmente pertenece al cuerpo de los n´ umeros umeros reales

17

´ AL CALCULO ´ CAPÍTULO 4. INTRODUCC INTRODUCCIION VECTORIAL

El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.

−v = (−v , −v , −v ). x

y

z

Vector nulo es aquel vector cuyo módulo odulo es cero. Este vector es especial, pues carece de dirección on y sentido.  0 = (0, (0, 0, 0). 0). Vector unitario de otro dado v es aqu´ aq u´ el el que, qu e, teniendo te niendo la misma mi sma direcci´ di rección on y sentido que el que se da, presenta un módulo odulo igual a 1, se representa como ˆv. As´ı v . v

vˆ =

4.2.1.

||

Operaciones Operaciones unarias unarias diferenci diferenciales ales

Para derivar un vector v respecto a un parámetro ametro t se deriva componente a componente. d d d d v = ( vx , vy , vz ). dt dt dt dt Para integrar un vector v respecto a un parámetro ametro t se integra componente a componente.

    v dt = (

4.3. 4.3.

vx dt,

vy dt,

vz dt) dt).

Operacio Operaciones nes vectori ectoriale aless b bina inaria riass

Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las m´ as as conocidas son:

4.3.1. 4.3.1.

Equiv Equivale alenci ncia a

Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir a =  b

4.3. 4.3.2. 2.

⇒a

x

= bx , ay = by , az = bz .

Suma Suma y rest resta a

La suma de varios vectores también en se denomina resultante de dichos vectores.  Para sumar un vector a a otro b se suma componente a componente, es decir a +  b = (ax + bx , ay + by , az + bz ). Para restar un vector a de otro  b se suma el inverso del vector  b, es decir: a

−  b = (a − b , a − b , a − b ). x

x

y

y

z

z

La resta de dos vectores iguales son es el vector cero. a 18

− a =  0. (C) Ignacio Ignac io Mart´ın ın Bragado. Bragad o. [email protected] imartin @ele.uva.es


4.3.3 4.3.3..

Produ Product cto o esca escala lar r

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica su nombre. Para multiplicar as´ as´ı escalarmente un vector a por otro  b se opera b cos(θ a  b = a  cos(θ ).

·

(4.2)

| || |

Siendo θ el ángulo angulo que forman los vectores a y  b entre ellos. El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar tambi´ tamb ién en sabiendo sabi endo que a  b = ax bx + ay by + az bz . (4.3)

·

Observando las relaciones que marcan ( 4.2) 4.2) y (4.3) 4.3) y teniendo presenta además as la relación on del módulo odulo de un vector expuesta en (4.1) ( 4.1) se pueden deducir las siguientes propiedades del producto escalar: Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo. Es nulo si los dos vectores son perpendiculares. Para proyectar un vector a sobre un eje marcado por un vector  b basta con realizar la operación on a  b proy b (a) = .  b

·

||

Dados dos vectores se puede calcular el ángulo angulo que forma entre ellos usando la relación on a  b ax bx + ay by + az bz cos(θ cos(θ) = = . a  b a2x + a2y + a2z b2x + b2y + b2z

· | || |

4.3.4. 4.3.4.





Produc Producto to vecto vectoria riall

Introducci´ on on

El producto producto vectoria vectorial, l, represen representado tado como a siguientes propiedades:

×  b o bien como a ∧  b, tiene las

 ∧ ⊥  ∧ ⊥

Es perpendicular tanto a a como a  b. Es decir, a  b

a y a  b

 b.

Su m´ odulo odulo es ab sin α, siendo α el ángulo angulo que forman entre ellos. Tambi´ en, en, a  b = ab sin α.

 ∧ 

Su sentido está dado por la regla del sacacorchos, entendiendo que hay que “mover el sacacorchos” desde el primer vector al segundo. C´ alculo alculo de las componentes de a

∧  b

Demostraremos en 4.3.4, quiz´ as no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio as mucho en simplicidad, como se puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que si a = axˆı + ay ˆ + az kˆ y  b = bxˆı + by ˆ + bz kˆ, entonces: a  b=

∧

 

ˆı ax bx

ˆ ay by

kˆ az bz

 

= (ay bz (az bx (ax by

− a b )ˆı+ + − a b )ˆ + − a b )kˆ


z y

(4.4)

x z

y x

19


Expresi´ on on anal´ anal´ıtica del producto vectorial

Ampliaci´ on on

◦

b = c henos exigido que tanto a⊥c como que  b⊥c. Es decir Tomando a ∧  ax cx + ay cy + az cz bx cx + by cy + bz cz

= =

0 . 0

(4.5)

Adem´ as as parece lógico ogico suponer que este nuevo vector vector deberá ser “independiente” del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual vamos a tomar b se encuentre contenido en uno en el que el vector a coincida con el eje y y el  el plano xy, formando entre ellos un ángulo angulo θ . Despejando cx en una de las ecuaciones (4.5) ( 4.5) tenemos que cx =

−ay cy − az cz

(4.6)

ax

y, sustituyendo en la otra se consigue que cy =

−bz cz ax

+ bx ay cy + bx az cz by ax

.

(4.7)

Operando Operando un poco en la expresi´ on on (4.7 ( 4.7)) de tal forma que podamos expresar cz en funci´ on on de cy tendremos que cz =

cy (by ax − bx ay ) bx az − bz ax

(4.8)

y ahora no queda más as que ver el significado de esta expresión para lograr el resultado final. De las relaciones (4.5 ( 4.5)) tenemos que c debe ser perpendicular tanto a a b y, por tanto, en el caso concreto que hemos elegido, c debe estar como a  ˆ . Ahora bien, precisamente por esta misma razón en el eje z , es decir, c = λk on cy = 0 y, seg´ un un la relación on (4.8) 4.8) cz deber´ıa ser también en cero, cosa que no tiene sentido. Una posible solución on ser´ıa hacer ha cer ver que la l a relaci´ re lación on no es válida alida porque estamo estamoss dividie dividiendo ndo por cero, cero, y, ya que cy tambi´ en en es cero, igualar ambos térmi er mino nos. s. As´ı tend te ndr´ r´ıamo ıa moss cy = bx az − bz ax y podr po dr´ ´ıamos simplificar simpli ficar cy con el denominador2 . Una U na vez extra extr a´ıdo cy se tendr´ te ndr´ıa tambi´ ta mbién que cz = by ax − bx ay , y sólo olo quedar´ıa ıa hallar halla r cx usando nuevamente las ecuaciones ( 4.5). 4.5). Queda Qu edar´ r´ıa, ıa , no en s´ı demostrado, demostrado, p ero si razonado, razonado, el por qu´ e de expresar expresar el producto vectorial de la manera reseñada nada en (4.4 ( 4.4). ).

C´ alculo alculo de ´ areas con el producto vectorial areas

Antes de nada: ¿cómo omo es posible p osible qu´ q ué el producto pro ducto vectorial, vecto rial, que qu e da como resultado res ultado un vector, sea reutilizable para calcular un área?. Responder a esta pregunta es sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el módulo del producto vectorial, que será un escalar. Sabemos ya que a  b = ab sin φ donde φ representa el ángulo angulo formado por ambos vectores. Esto puede verse en la figura 4.1. 4.1. También en nos damos cuenta que b sin φ puede interpretarse como la “altura” del triángulo angulo formado por a,  b y la  uni´ on de sus dos extremos. Con lo que resulta que a b resulta ser la base a por on la altura b sin φ, y por tanto a  b = Atria 2

| ∧ |

| ∧|

| ∧|

donde Atria es el área area del triángulo angulo anteriormente dicho. 2 0 0

Teniendo presente que esta simplificación on est´ a muy tomada por los pelos... ya que se trata de

.

20



b

b sin φ

φ

a

b cos φ

Figura 4.1: El ángulo angulo entre dos vectores y sus proyecciones.

4.3.5 4.3.5..

Produ Product cto o mixt mixto o

A veces se define el producto mixto entre tres vectores a,  b y c como a ( b c).

(4.9)

· ∧

Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular tambi´ en en como el determinante de la matriz 3 3 que se forma con las componentes de los vectores, es decir

∗

 

ax bx cx

ay by cy

az bz cz

 

= ax bx cx + cx ay bz + az bx cy

−a b c −a b c −a b c . z y x

y x z

x z y

Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelep´ lep´ıpedo formado con las aristas de los vectores a,  b y c, ya que si manejamos un poco (4.9 (4.9)) tenemos que: a ( b c)

· ∧

= b c cos φ = a  = abc sin ψ cos φ.

|∧|

donde bc sin ψ no es sino el área area de la base del paralelogramo (ver sección on 4.3.4) 4.3.4) y paralelep´ıpedo. El área de la base por la altura a cos φ resulta ser la altura de dicho paralelep´ nos da el volumen de este tipo de cuerpos geom´ etricos. etricos. Ampliaci´ on on

Ser´ıa un buen ejercicio ejercici o para el lector intentar i ntentar demostrar m´ as as rigurosarigurosa◦ Ser´ mente estas ultimas u ´ ltimas afirmaciones


21


22


Cap´ıtulo 5

Cinem´ atica 5.1. 5.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

Cinem´ atica atica es la parte de la f´ısica que estudia estudia el mov movimien imiento to de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo originan es lo que se conoce como dinámica. Las magnitudes magnitudes que define la cinem´ cinematica a´tica son principalmente tres, la posición, on, la velocidad y la aceleración. on. ovil en un cierto instante de tiempo t. Posici´ on on es el lugar en que se encuentra el móvil Suele representarse con el vector de posición on r. Dada la dependencia de este vector con el tiempo, es decir, si nos dan r(t), tenemos toda la información on necesaria para los cálculos alculos cinemáticos. aticos. on on de la posición on con el tiempo. Nos indica si el móvil ovil se Velocidad es la variaci´ mueve, es decir, si var´ var´ıa su s u posici´ p osición on a medida que var´ var´ıa el tiempo. tiemp o. La velocidad velocida d en f´ısica ısica se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad. anto anto var´ var´ıa la velocidad al ir pasando el tiempo. t iempo. El concepto Aceleraci´ on on indica cu´ de aceleración on no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervención de un criterio de signos puede hacer que interpretemos erróneamente cuándo ando un cuerpo se acelera (a (a > 0) o cu´ ando ando se “decelera” (a ( a < 0). Por ejemplo, cuando cuando lanzamos lanzamos una piedra piedra al aire y ésta esta cae es fácil acil ver que, según un sube la piedra, su aceleración on es negativa, pero no es tan sencillo constatar que cuando cae su aceleraci´ on sigue siendo negativa porque realmente su velocidad está disminuyendo, disminuyendo, ya que hemos de considerar también en el signo de esta velocidad.

5.2. 5.2.

Veloc elocid idad ad

Se define velocidad media como v m =

∆r ∆t

tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen. No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud util, útil, hay que destacar que en su cálculo alculo se deja mucha información on sin precisar. precisar . As´ı, ı, aunque au nque sepamos s epamos que la velocidad media de un móvil ovil desde un instante 1 a otro 2 ha sido “tantos” metros por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento al principio y rápid a pidoo al final o si. si. . . por eso se defin definee una una ma magn gnitu itud d que que expr expres esee 23

´ CAPÍTULO ITULO 5. CINEM CINEMATICA

la velocidad instantánea, anea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeños nos que pueda decirse exactamente a qu´ e velocidad se desplazaba el móvil ovil en cada instante. Es fácil acil darse cuenta de que esta definición on se logra tomando como velocidad instantánea: anea: ∆r v = l´ım ım ∆t→0 ∆t y por tanto, coincide con la definición on de derivada derivada respecto al tiempo. t iempo. As´ As´ı pues se define finalmente d v = r. r. dt De esta definición on se obtienen algunas consecuencias: La dirección on de v va a ser siempre tangente a la trayectoria. El módulo odulo de v puede calcularse, además as de operando sobre el vector v, sabiendo biendo que d v = s(t) dt

||

siendo s(t) la distancia que el móvil ovil ha recorrido sobre la trayectoria 1 .

5.3. 5.3.

Acel Aceler erac aci´ i´ on on

Aceleraci´ on on es la variación on de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede definir una aceleración on media entre dos instantes, inicial y final, como vf tf

am =

− v −t

i

i

y, de manera análoga aloga a la velocidad, puede definirse una aceleración on instant´ anea anea llevando llevando estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener as´ as´ı que la aceleración on instant´ anea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo anea a =

5.4.

d v (t). dt

Componentes Componentes intr´ intr´ınsecas ınsecas de la aceleraci´ aceleraci´ on on

Tomando el vector velocidad como un módulo odulo por un vector unitarios, es decir, como v = v vˆ

||

y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas derivadas (ap´ ( ap´ endiendice C), d d a = ( v )ˆ v + v vˆ . dt dt

||

||

      tangencial

normal

De estas dos componentes la primera se denomina aceleración on tangencial porque, como se desprende desprende de su propia definici´ on, on, su dirección on es la del vector unitario ˆv y es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleración on normal. 1

Intuitivamente, para un autom´ ovil ovil r ser´ ser´ıan las coordenadas del coche vistas desde un sistema de referenci referencia a elegido, elegido, y s(t) ser´ ser´ıa la distancia distancia recorrida recorrida por el autom´ automovil o´vil que va marcan marcando do el cuentakilómetros. ometros.

24



De la aceleración on tangencial diremos que su módulo odulo es

|a | = dtd |v| t

(5.1)

y su dirección on vˆ =

v . v

||

Esta at se encarga de “medir” la variación on de la velocidad sin importarle su dirección on ni sentido, sino solo su módulo, odulo, es decir, su “intensidad”. En cuanto a la aceleración on normal, se puede demostrar que su módulo odulo es v|2 | |a | = R , n

(5.2)

siendo R el radio de curvatura de la trayectoria, y que su dirección es siempre perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la “curva”.

5.5. 5.5.

Clas Clasifi ifica caci ci´ ´ on on de movimientos

Los movimientos se pueden clasificar según un las componentes intr´ intr´ınsecas de su aceleraci´ on. on. 1. at = 0 a )

an = 0. Movimiento Movim iento rectil´ıneo ıneo a velocidad velo cidad constante.

b)

an = cte. cte. Movimiento circular uniforme.

c)

an = cte. cte. Movimiento circular acelerado.



2. an = 0 a )

at = 0. Movimiento Movim iento rectil´ r ectil´ıneo ıneo a velocidad velo cidad constante. constante .

b)

at = cte. cte. Movimiento Movim iento rectil´ıneo ıneo uniformemente uniforme mente acelerado. a celerado.

c)

at = cte. cte. Movimiento rectil´ıneo ıneo acelerado. acelerado .



3. an = 0 y at = 0. Movimiento curvil´ıneo. ıneo.



5.6. 5.6.



Compo Composi sici ci´ on o ń de movimientos

Los problemas de composición on de movimientos tienen la dificultad de saber restanto determinar determinar siempre siempre las magnipecto a que sistema estamos resolviendo y por tanto tudes respecto al sistema apropiado, bien el especificado por el problema, bien uno elegido adecuadamente. Es común un en este tipo de problemas la presencia de más as de un m´ ovil y hay que ser muy cuidadoso para identificar correctamente que móviles ovil se mueven y respecto respe cto a qué. e.

5.6.1. 5.6.1.

Transla ranslaci´ ci´ on on pura

Sus relaciones, que pueden deducirse fácilmente acilmente de la suma vectorial y posterior derivación on respecto al tiempo, son: r = r + r0 v = v + v0 a = a + a0 F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

(5.3)

25


Piedra que cae. r cp

Coche que avanza

rp rc

Figura 5.1: Relación on vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor verá la piedra que cae como rcp = rc r p .

−

En donde intervienen el sistema “quieto” y el que se “mueve”, que es el “primado”. mado”. Las magnitudes magnitudes con el sub´ sub´ındice 0 son las relativ relativas as entre entre los sistemas sistemas de referencia. Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente: 1. Plant Plantear ear un sistema sistema fijo, respecto respecto al cual conocemos conocemos,, al menos, menos, cómo o mo es el movimiento de uno de los otros sistemas. 2. Dibuja Dibujarr entonce entoncess el vector vector de posici´ posici´ on que buscamos (generalmente el de un on sistema respecto al otro). 3. Relacionar estos vectores entre entre s´ s´ı como sumas unos de los otros. Se ha dibujado esto en la figura 5.1. Una vez que conocemos el vector de posición se puede extraer el resto de informaci´ on derivando o realizando la operación on on matem´ atica atica necesaria.

5.6. 5.6.2. 2.

Rota Rotaci ci´ on o ń pura

En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad angular constante ω , pero manteniendo el origen en común. un. La f´ ormula interesante es la que relaciona sus velocidades ormula v = v  +  ω

× r

(5.4)

que presenta una dificultad un poco mayor de deducción, on, y por eso no se expresa aqu´ı. Las magnitudes que aparecen en esta fórmula ormula son v , que es la velocidad que el m´ ovil presenta respeto al sistema “fijo”. v  , la velocidad del móvil ovil ovil vista desde el sistema que rota, y ω que es la velocidad angular con la cual el sistema móvil ovil rota respecto al “fijo”, aunque siempre manteniendo en común un su origen de coordenadas. Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando con él el a una cierta cierta velocidad velocidad angular angular ω , que observara a un mosquito avanzar por el disco con una velocidad v  , vista desde el punto de vista de la mosca, que est´ a rotando, en este caso: v Ser´ Ser´ıa la velocidad velocidad del mosquito mosquito vista desde el eje del tocadiscos, tocadiscos, pero p ero el observador fijo, es decir, sin girar. v  es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve al mosquito desplazarse por el disco. 26



ω es la velocidad angular del disco. on del mosquito, en el sistema fijo. r es el vector de posición

5.7. 5.7. 5.7.1 5.7.1..

Reso Resolu luci ci´ on ´ on de problemas Tiro Tiro para parab´ b´ olico olico

Se denomina tiro parabólico, olico, en general, a aquellos movimientos que suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra. Para este tipo de móviles oviles el movimiento se descompone en sus componentes 2 x e y . El movimiento en x no sufre aceleración, on, y por tanto sus ecuaciones serán an Eje x



x vx

= =

x0 + v0x t v0x

(5.5)

pero en cambio en el eje y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante 3 y por tanto sus ecuaciones serán an Eje y



y vy

= y0 + v0y t 12 gt 2 . = v0y gt

− −

(5.6)

Algunas preguntas t´ıpicas del tiro parab´ olico son calcular el alcance y altura olico m´ axima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura máxima se axima. alcanzar´ a cuando vy = 0. De esta condición on se extrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima axima y sustituyendo en la ecuación on de las y se obtiene la altura máxima. axima. El alcance máximo aximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el m´ ovil ovil volverá estar al nivel del suelo y por tanto y = 0, sustituyendo se obtiene t y, sustituyendo sust ituyendo éste este en las x el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de manera similar. Nota

an las coordenadas donde el móvil se encuentra en el instante an  x0 e y0 ser´ t = 0, inicio del movimiento, y vx0 y vy0 la velocidad con la que se mueve en ese instante. Si nos han indicado que el móvil se mov´ mov´ıa con una velocidad v formando un ´ angulo angulo α con la horizontal se puede ver muy fácilmente acilmente que, entonces, vx0 = v cos α y vy0 = v sin α. A su vez el significado de las variables x e y es el siguiente: éstas estas nos x y indican a que distancia horizontal ( ) y altura ( ) se encuentra el móvil ovil en cada instante de tiempo t, considerando que estamos tomando como origen para

medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemos tomando todos los demás as datos.

Ampliaci´ on on

ıa ıa hacer un estudio más as complejo incluyendo el rozamiento del ◦ Se podr´ aire. Para esto habrá que modificar las ecuaciones x e y a las nuevas ecuaciones deducidas deduci das en el apéndice endice B.

5.7.2.

Componentes intr´ intr´ınsecas

ovil cuyo vector de posición es P Sea un móvil r = (7 ( 7 − 3t)ˆ ı + (5t (5t − 5t2 )ˆ  + 8kˆ (m).

Problema

Calcular su velocidad, aceleración on y componentes compo nentes intr´ intr´ınsecas de ésta, esta, as´ as´ı como el radio de la trayectoria trayectoria para t = 0,5s. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

27


R Derivo para encontrar v y a. Una primera vez d m v = r = −3ˆı + (5 − 10 10tt)ˆ  dt s

Resolución on

y una segunda vez

d m v = 10ˆ  2 . dt s Ahora calculo el módulo odulo de la velocidad: a =

|v| =

−

 −  −  − √ − 10 10tt)2 =

9 + (5

100tt + 100t 100 100t2

34

m s

que, derivado respecto al tiempo nos dará el módulo odulo de at .

|a | = dtd t

100t 50 100t m 34 100 100tt + 100t 100t2 s2

100tt + 100t 100 100t2 =

34

−

y multiplicando por el unitario de v, que es

(5 − 10 10tt)ˆ  √−343ˆı−+100 100tt + 100t 100t2

vˆ = nos da el vector at at =

100t 50 100t ( 3ˆ ı + (5 34 100 100tt + 100t 100t2

−

−

−

m 10tt)ˆ ) ). 2 − 10 s

Por ultimo u ´ ltimo podemos calcular an como a at . Haciendo las oportunas sustituciones tendremos que para t = 0,5s, v = 3ˆ ım , a = 10ˆ  sm2 , s at =  0 sm2 con lo cual an = 3ˆ  sm2 y de esta forma, podremos despejar el radio de la trayectoria, que será

−

−

−

R=

5.7.3. Problema

−

v2 = 3m. an

C´ alculo alculo de trayectorias trayectorias on de un móvil ovil P Dado el vector de posición r = 15 15ttˆı + (200 − 5t2 )ˆ ,

calcule la ecuación on de su trayectoria. Resoluci´ on on

Este tipo de problemas se resuelve en general despejando t en una de las ecuaciones de x o de y y sustituyendo en la otra, encontrando as´ı x en función on de y o al rev´ es. es. En este caso tenemos que x x = 15 15tt t= 15

R

⇒

y sustituye sustituyendo ndo en y = 200 tendremos y = 200

−5

− 5t2

 ⇒ x 15

2

y = 200

− 451 x2.

2

Vectores ˆı y ˆ. Aproximaci´ on on v´ alida siempre que el tiro discurra en la superficie terrestre o “apreciablemente” alida en la superficie terrestre. 3

28


Cap´ıtulo 6

Din´ amica 6.1. 6.1.


As´ı como la cinem´ cin emática atica se encarga de la descripción on del movimiento de los cuerpos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a éstos, estos, la dinámica amica estudia precisamente por qué se mueven ales son las causas muev en los cuerpos, es decir, cuáles que crean la variación on de su estado de movimiento.

6.2. 6.2.

Ley Leyes de Newt Newton on

6.2. 6.2.1. 1.

Ley Ley de de la iner inerci cia a

La ley de la inercia se podr´ıa ıa enunciar como  Todo odo cuer cuerpo po perm perman anec ecee en su esta estado do actu actual al de mo movi vimi mien ento to con con velocidad velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre él el act´ ue ue una fuerza externa neta o no equilibrada.

Recu Recuer erda da

donde la fuerza neta de la que hablamos antes ser´ ser´ıa la suma vectorial de todas las fuerzas fuerzas que puedan actuar actuar separadame separadamente nte sobre el cuerpo. ´ Esta es la razón on por la cual es tan peligroso para los astronautas en el espacio separarse de la nave sin un cordón o n que los una a ella, ya que si chocan chocan con algo algo y salen salen impulsa impulsados dos,, como como no act´ ua ninguna fuerza sobre ua ellos, seguir´ seguir´ an an desplaz´ desplaz´ andose andose uniformemen uniformemente te y separ´ separándose andose de la nave nave sin posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequeño no impulsor).

Nota



6.2.2 6.2.2..

Segu Segund nda a ley ley de Newt Newton on

Esta ley es la más as importante en cuanto nos permite establecer una relación on numérica erica entre entr e las magnitud m agnitudes es “fuerza” “fue rza” y “aceleraci´ “aceleraci ón”. on”. Se podr´ p odr´ıa ıa enunciar e nunciar como  La aceleración o n que que toma toma un cuer cuerpo po es prop propor orci cion onal al a la fuer fuerza za neta neta externa que se le aplica.

Recu Recuer erda da

La constante de proporcionalidad prop orcionalidad es la masa del cuerpo, con lo que numéricamente ericamente esta expresión on se denota como  = ma F (6.1) o, en componentes F i = mai , i = 1, 2, 3 29

(6.2)

´ CAPÍTULO ITULO 6. 6. DINAMICA

 representa la resultante de todas las fuerzas externas al cuerpo, es decir, donde F  = F  j , j = 1,... la suma de dichas fuerzas. F  , m y a de una forma un´ Esta expresión on nos relaciona F , F un´ıvoca. Básicamente asicamente nos dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho cuerpo se acelere en la misma dirección on y sentido que la suma de las fuerzas que le son aplicadas y con una intensidad o módulo odulo que será la misma que la resultante de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.



Nota

As´ As´ı pues un cuerpo experimenta una aceleraci´ aceler ación on mientras est´ a siendo sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo adquirir quiri r´ıa un movimiento movimie nto rectil recti l´ıneo uniforme unifor me o se quedar´ıa ıa quieto, quieto , según un el caso. 

6.2.3. 6.2.3.

Tercera ercera ley de Newton Newton

La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: éstas estas siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como Recuerda

 Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercerá sobre A una fuerza igual en módulo odulo y dirección, on, pero de sentido contrario. Gracias a esta ley 1 se pueden entender fenómenos omenos como que, para saltar hacia arriba ¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra tambi´ en en ejerce esta misma fuerza con nosotros, pero p ero con sentido contrario (es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparación con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve mueve apreciablemente. As´ı tambi´ en en si empujamos una superficie puntiaguda con mucha fuerza, podemos clavárnosla, arnosla, porque porqu e dicha di cha superficie sup erficie también en estar´ a empujando nuestro dedo con la misma fuerza que nosotros a ella, y como la superficie de la aguja es much´ much´ısimo menor la presión on que esta hace sobre nuestro dedo es muy grande.

Nota

Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario ¿no deber´ deber´ıan anularse anularse las fuerzas fuerzas y nada se podr´ podr´ıa mover?. mover?. No, porque las fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes . As´ As´ı en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos. 

6.3. 6.3. 6.3. 6.3.1. 1.

Fuerzas uerzas especi especiale aless que apar aparece ecen n en probl problema emass Norm Normal al

Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo que se le sit´ ua ua encima. encima. Si no existiera existiera esta fuerza fuerza el cuerpo se “hundir “hundir´´ıa” en la ´ superficie. Esta es, por tanto, la fuerza de reacción que, obediente al tercer principio de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima, hace sobre ella. Esta fuerza es siempre normal a la superficie, sup erficie, es decir, perpendicular perp endicular a ésta. Para calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que tomemos, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma en que sea necesario. Problema

Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10 kg si el cuerpo está en reposo.

P

1

30

Tambi´ También en llamada ley de acci´ on on y reacci´ on on (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


R Si el cuerpo está en reposo significa que su aceleración total es

Resolución on

nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que 0 = N P

−

donde hemos supuesto que la mesa está perfectamen perfectamente te horizont horizontal al y por tanto la normal tendrá sólo olo una componente en el eje y. As´ As´ı tendrem ten dremos os que N = P y por tanto en este caso N = mg. mg. El cálculo alculo de la normal en un caso donde haya un cuerpo deslizándose por una rampa puede encontrarse en la sección on 6.6.

6.3.2. 6.3.2.

Rozami Rozamien ento to

Entre dos superficies

El rozamiento entre superficies se expresa como F r = µN, siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede “demostrar” porque se trata de un resultado emp´ emp´ırico, es decir, fruto de la experimentaci´ on. on. El coeficiente de rozamiento µ es adimensional y expresa as´ as´ı la relación on entre la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la superficie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa de este empuje. Puede haber dos tipos de coeficiente de rozamiento. Un µ est´ atico, atico, que se aplica cuando el cuerpo está quieto qu ieto y que as´ as´ı, utilizad u tilizadoo en F r = µN nos va a ofrecer la fuerza máxima axima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un cuerpo que está quieto, y un µ dinámico amico que, aplicado en la fórmula ormula de rozamiento, nos dice la fuerza que el rozamiento está realizando contra un movimiento. 4 kg está desl desliz izan ando do por por una una supe superfi rfici ciee lisa lisa con con coefi coefi-P Un cuerpo de 4kg

Prob Proble lema ma

on de Newton al eje y del movimiento obteneR Aplicando la ecuación

Resolución on

ciente de rozamiento (dinámico) amico) µ = 0,25. Si sobre este cuerpo no actúan uan m´ as as fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qué aceleraci´ on on se mueve el cuerpo?. mos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto, N P = may .

−

Como ay = 0 (un cuerpo sobre una superficie no va “botando” sobre ella, su altura, medida sobre la superficie, es siempre 0.) tendremos que N = mg. mg. Aplicando ahora F x = max tenemos que la unica u ´ nica fuerza en el eje x es la de rozamiento, y por tanto F x =

−F = −µN = ma ⇒ a r

x

x

=

−µg

de donde ax = 2,45 sm2 . El signo ‘-’ se debe a que, como estamos suponiendo impl´ impl´ıcitamente que el cuerpo avanza avanza hacia el signo positivo de las x, el rozamiento se opondrá al avance y tendrá, a, por tanto, signo negativo.

−


31


Con un fluido ◦

Rozamiento con un fluido 2 se expresa con  r = F

v −K

o bien F r = −Kv 2

u otras potencias de v . Una aplicaci´ aplicaci´ on algo compleja sobre la forma de utilizar on utilizar esta fuerza de rozamiento puede verse en el apéndice endice B. No es sencillo demostrar por qu´ e esta contribuci´ on nos aporta el rozamiento contra un fluido y, on en algunos casos, es por medio de la experimentación como se encuentra una f´ ormula ormu la emp´ırica ıri ca más as precisa.

Tensi´ on on

En problemas que intervienen cuerdas o poleas tensión es la fuerza que liga unos cuerpos y otros a trav´ es es de la cuerda. La tensión on en cada extremo de una misma cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensión on supera un cierto valor cr´ıtico ıti co la cuerda cuer da se romper romp er´´ıa.

6.4. 6.4.

El mo mome men nto line lineal al

 = ma puede ser utilizada La ley de Newton, expresada como F utiliz ada también en para demostrar otras relaciones interesantes, siempre que se manipule adecuadamente. Por ejemplo, si definimos una cantidad p  a la que llamaremos cantidad de movimiento, podemos decir que una fuerza es la encargada de variar la cantidad de movimiento sobre un cuerpo. De esta forma definamos p tal que  = d p. F  dt La pregunta será ahora ahora ¿tendr´ ¿tendrá p  alguna expresión on conocida?. Supongamos que un cuerpo con masa constante va a cierta velocidad v . Una fuerza fuer za sobre so bre él el debe de ber´ rá producirle una aceleración on y, por tanto variar su velocidad y su momento lineal. As´ı pues velocidad y momento lineal deben de ir relacionados de alguna forma. Efectivad mente tomando p  = m v nos damos cuenta de que dt m v cuando m es constate es d  . m dt v = m a = F Por tanto hemos descubierto una nueva magnitud p que nos será de gran utilidad para desarrollos sucesivos. Nota

Una forma intuitiva de comprender el momento lineal es como una forma de medir la dificultad dificultad de llevar llevar una part´ part´ıcula hasta el reposo. As´ı es claro que, cuanto más as masivo sea un cuerpo y más velocidad tenga, tanto más as nos costar´ a “parar” el movimiento de dicho cuerpo. 

6.4.1. 6.4.1.

Conser Conserv vaci´ acion o ń del momento lineal

Cuando la resultante de las fuerzas externas sobre un sistema es nula, ¿qué sucede con p?. p ?. Como la fuerza es la derivada del momento lineal respecto al tiempo, obtenemos que, cuando la fuerza total es cero, esta cantidad que se deriva debe ser  =  constante y, por tanto, si F 0 esto supone p = cte. cte. Hemos obtenido obteni do as´ as´ı que esta magnitud tan interesante, interesante, el momento lineal, se conserva, es decir, no var´ var´ıa, cuando no aparecen fuerzas externas sobre un objeto. Por tanto podemos decir que p i = p  f . 2

32

Aire, agua, aceite... (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]

Ampliaci´ on on


x

N y

mg cos α

α

mg

mg sen α

α

Figura 6.1: Descomposición on de las fuerzas en un plano inclinado. La importancia de esta igualdad se podrá ver mejor cuando hablemos de los sistemas de part´ part´ıculas, concretamente en la sección on 8.3.3. 8.3.3.

6.5. 6.5.

Cons Conser erv vaci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa

Cuando en un problema intervienen sobre el sistema únicamente unicamente fuerzas con3 servativas se pude aplicar el teorema de conservación on de la energ´ energ´ıa. Esto supone que E i = E f f , siendo E i y E f energ´ıas potenciales más as la energ ener g´ıa cinética etic a en los f las sumas de las energ´ 4 momentos i y f . La explicación on de esta igualdad tan interesan interesante te no se expresa expresa aqu´ aqu´ı porque se verá m´ as as concretamente concret amente en el cap´ cap´ıtulo 7.4. 7.4.

6.6. 6.6. 6.6.1. 6.6.1.

Reso Resolu luci ci´ on ´ on de problemas Planos Planos inclin inclinado adoss

Es com´ un en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos un habr´ a que tener en cuenta que, as´ı como la gravedad gravedad siempre se presenta vertical, la normal será perpendicular al plano inclinado, por lo que ningún un sistema de coordenadas ortogonal tendrá exactamente comprendidas las fuerzas en acción on en sus ejes. Esta peque˜ na dificultad se soslaya de una manera simple, se proyectan las fuerzas na sobre los ejes que estemos utilizando. Una buena elección on suele ser tomar el eje y en la normal al plano inclinado, y el eje x acorde con su superficie de deslizamiento. De esta forma la normal estará totalmente comprendida en el eje y , y sólo olo habr´ a que considerar las proyecciones de g usuales; g cos α para la normal y g sin α la componente de la gravedad que hace desplazarse el veh´ veh´ıculo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se puede ver en la figura 6.1. 6.1.

P Un cuerpo desliza por una rampa inclinada 30 3 4

o

y con un coefi oeficiente

Problema

B´ asicamente, siempre que no hay rozamiento. asicamente, Llamado Lla madoss as a s´ı p or i nicial nicial y f inal. inal.


33


µ2

µ1

m1

m

α

2

β

Figura 6.2: ¿Cuál al será la aceleración on de este sistema? de rozamien rozamiento to µ = 0,2. Calcular la aceleración on con la que desciende suponiendo que g = 9,8 sm2 . Resoluci´ on on

afico representado en la R Tomemos para enfocar este problema el gráfico

figura 6.1. 6.1. Habremos de aplicar la ecuación on de Newton  = ma F

para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales que el eje x presente la misma inclinación on que la rampa. De esta forma planteando la ecuación on primero para el eje y : F y = may y como las fuerzas en el eje y son la normal (componente positiva) y la proyección on sobre este eje y del peso (componente negativa) tendremos que N mg cos cos 30 = ma.

−

Ahora hay que darse cuenta que, en el eje y el cuerpo no se acelera porque, como en ningún un momento se despega de la superficie, siempre su y = y, por tanto, ay = 0. As´ As´ı que tenemos que N mg cos cos 30 = 0 N = mg cos 30. Para el eje x tenemos dos fuerzas, la proyección on sobre nuestro eje x del peso y la fuerza de rozamiento. As´ As´ı pues

−

F x = max

⇒

⇒ mg sin30 − µN = ma

x

y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax , que es la aceleraci´ on on del sistema. ax = g sin sin 30

m cos 30 ≈ 3,2 2 . − µg cos s

Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo an´ alisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensión alisis on que ejercen las cuerdas y dándose andose cuenta de que ax será la misma para todos los cuerpos, puesto que si se encuentran unidos por cuerdas su movimiento será solidario. Problema

on del sistema dibujado en la figura 6.2. P Encontrar la aceleración 34



R Tomemos primero el cuerpo 1 y analicemos las fuerzas que apare-

cen sobre él. el. Podemos, aprovechando aprovechando el análisis alisis del problema anterior, darnos cuenta de que un estudio de las fuerzas perpendiculares a la superficie va a darnos sólo olo como resultado que N 1 = m1 g cos α. As´ı que qu e las fuerzas horizontales serán, an, tomando como sentido positivo hacia la derecha:

Resoluci´ on on

1. La tens tensi´ i´ on, on, positiva. 2. La compo compone nen nte x del peso, de valor 3. El roza rozamie mient nto, o, que que ser´ ser´ a

−m1g sin α.

−µ1N 1 = −µ1m1g cos α.

Para el cuerpo 2 se tendrán an las fuerzas:

1. Tensi ensi´ón, on, negativa para este cuerpo. 2. Compo Compone nent ntee x del peso: m2 g sin β . 3. Rozami Rozamien ento, to,

−T

−µ2N 2 = −µ2m2g cos β .

Queda ahora plantear el sistema de ecuaciones que resolverá este problema. Antes hay que darse cuenta que la componente x de la aceleración on debe ser la misma para ambos cuerpos, ya que van solidarios gracias a la cuerda. Llamaremos a esta componente de la aceleración on simplemente a. T m1 g sin α µ1 m1 g cos α = m1 a . T + m2 g sin β µ2 m2 g cos β = m2 a

−

−



− −

Resolviendo este sistema (por ejemplo sumando las ecuaciones miembro a miembro) se obtiene fácilmente acilmente que a=

6.6.2 6.6.2..

m2 sin β

− µ2m2 cos β − m1 sin α − µ1m1 cos α g. m1 + m2

Curv Curvas as

Cuando aparecen problemas de estabilidad en las curvas pueden ser de los tipos explicados a continuación on y cuya representación on se ha pretendido en la figura 6.3. Curvas sin peraltar

En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la componente normal que servirá para tomar la curva. curva. Siempre que tengamos que ésta esta es mayor que la aceleración on normal el automóvil ovil será capaz de tomar la curva, es decir, el caso l´ımite se alcanza cuando F r = man = m

v2 R

. Curvas peraltadas sin rozamiento

En estos casos se toma la proyección on de la normal sobre la horizontal como causante de la fuerza centr´ centr´ıpeta. Este caso se puede ver en la figura 6.3b 6.3b y se tiene, simplemente, que: 2 m vR v2 tan α = = . mg Rg F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

35


a) c) Fn

N

b)

FI - 1313 - J

Fr

α

mg

mg mg

Ángulo máximo

Figura 6.3: Distintas situaciones ante una curva. Curvas peraltadas con rozamiento

Este es un caso bastante más as complejo de analizar. Podr´ıa ıa ser un buen ejercicio para el lector intentar demostrar que, en este caso, la velocidad l´ımite para tomar la curva siendo g la aceleración on de la gravedad, µ el coeficiente de rozamiento, α el angulo ángulo de inclinación on de la curva y R el radio de la misma, es v=



Rg

µ + tan α . 1 µ tan α

−

Vuelcos

En otras situaciones se pide que analicemos si vuelca o no un automóvil. Se considera que vuelca cuando la fuerza sobre el centro de masas supera el ángulo que forma el centro centro de masas con alguno alguno de los extremos extremos donde se apoya apoya el veh´ veh´ıculo. ıculo. Un dibujo puede verse en la figura 6.3. (Este apartado necesita actualización). on).

6.6.3.

Casos l´ımite

Es com´ un la existencia de problemas en los que se nos pregunta por un caso un l´ımite, relacionado con cuando un m´ ovil ovil se saldrá de un determinado recorrido, o podrá dar una vuelta completa en un bucle, o similar. En estos casos hay que tener en cuenta, simplemente, que un cuerpo permanecerá adherido a una superficie mientras exista una cierta reacción on de la superficie al cuerpo, es decir, mientras la normal no sea nula. Cuando la normal es nula estamos ante el caso l´ımite. ımite. Tambi´ en en es muy conveniente conveniente recordar que, en la mayo mayorr´ıa de estos casos, los cuerpos cuerpos siguen siguen una trayec trayectoria toria circular. circular. Pues bien, habr´ a que recordar que este recorrido circular sólo olo es posible si existe una aceleración centr´ centr´ıpeta ıpet a del m´ odulo odulo adecuado a la velocidad y radio de la trayectoria, (ver ( 5.1) 5.1) y (5.2)) 5.2)) con lo que habr´ a que realizar la descomposición on oportuna op ortuna de fuerzas para ver qué parte es la que suministra esta componente y, cuando las fuerzas exteriores no sean capaces de suministrar esta aceleración on normal, nos hallaremos con el caso l´ımite ımite y el cuerpo se saldr sal dr´´ıa de d e su trayectoria circular o, en definitiva, definit iva, dejar´ıa ıa de d e hacerla. hace rla. Problema

Calcular Calcular la altura m´ m´ınima desde la que hay que dejar caer un objeto para que logre dar la vuelta a un bucle entero, como el dibujado en la figura 6.4. 6.4. Se desprecian todos los rozamientos que pudiere haber.

P

36



A

B

h

R

Figura 6.4: ¿Desde qu´ e altura podrá una masa realizar un bucle?. Resoluci´ on on

Analizando las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo cuando éste este se encuentre en el punto B de la trayectoria, tenemos que, tomando comoo sentid com sentidoo positiv positivoo hacia hacia arriba arriba,, el peso ser´ será mg, mg, la normal en este caso es hacia abajo porque la fuerza que realiza la superficie sobre el cuerpo es siempre evitando que este “atraviese” la superficie, y en este caso “atravesar” la superficie supondr´ supondr´ıa empujarla en exceso hacia arriba, con lo cual, tomando N como el módulo odulo de la normal, la normal será N . N . Por ultimo u ´ ltimo el efecto de estas dos fuerzas será producir una aceleraci´ on pero, como en este caso el objeto está rotando, no será una on aceleraci´ on on cualquiera sino una aceleraci´ aceleraci´ on puramen puramente te normal normal y, por tanto, de módulo odulo v2 a= R y sentido sentido tambi´ tambi´ en en hacia abajo (hacia el centro centro de la curva). curva). De esta manera tendremos que el análisis alisis de fuerzas en la parte más as alta del bucle (punto B ) es v2 mg N = m . R ¿Qué signifi si gnifica ca esta fórmula?. ormula?. Lo que significa es que son el peso y la normal, los que “empujan” al cuerpo hacia abajo obligándole a girar y realizar una trayectoria circular. Ahora bien, si “mentalmente” vamos disminuyendo v en la fórmula, ormula, nos damos cuenta de que el término ermino de la aceleraci aceleraci´ón on normal normal va siendo siendo más as peque˜ n o, y por tanto la fuerza no, centr´ cen tr´ıpet ıp etaa tambi´ ta mbién. en. ¿Cómo omo se logra esto?. Como el peso es constante sólo olo se puede lograr disminuyendo la fuerza que ejerce la normal. Cuando la fuerza fuerza centr centr´´ıpeta sea igual que el peso del cuerpo cuerpo tendremos tendremos que en este instante la normal es cero. ¿Y si es menor la fuerza centr´ centr´ıpeta que el p eso?. Entonces deber´ deber´ıamos tener una normal positiva, es decir, que “empujara” hacia arriba. Pero esto es imposible, porque claramente se ve que las superficies sup erficies no “absorb “a bsorben” en” los cuerp os, que es lo que supond su pondrr´ıa que v2 la normal tuviera signo contrario. Por lo tanto si m R < mg el cuerpo no puede rotar correctamente correcta mente y caer´ caer´ıa saliéndose endose del bucle. Intuitivamente sucede sucede que, como la fuerza fuerza centr centr´´ıpeta no necesita necesita tanto tanto peso, “sobra “sobra componente vertical” y, por tanto, el cuerpo cae. As´ As´ı pues pu es deducimos de ducimos que la l a velocidad velo cidad l´ımite con la l a que qu e debe deb e llegar ll egar el v2 cuerpo arriba es tal que m R = mg v = gR. gR .

R

−

−

− −

−

⇒

√


37


Por ultimo, u ´ ltimo, para relacionar esta velocidad con la altura utilizamos el teorema de conservación on de la energ´ıa, ıa, ya que no hay rozamientos. rozamientos . As´ As´ı E cA + E pA E cB + E pB

= =

0 + mgh 1 mv2 + 2mgR 2mgR 2

⇒

y con un simple cálculo alculo se obtiene que h=

1 mgh = m 2

  gR

2

+ 2mgR 2mgR

5 R. 2

Aunque entender intuitivamente de donde sale este 12 R m´ as a s de lo que parece que se necesita para llegar al punto más as alto del bucle no es sencillo, si puede intentarse pensando que, al llegar a la parte más alta del bucle se requiere un m´ınimo de energ´ energ´ıa cin´ etica etica para seguir desplazándose andose hacia la derecha, pero la suficiente para que el cuerpo siga girando. Este m´ınimo lo proporciona esa altura extra.

38


Cap´ıtulo 7

Cons Consid ider erac acio ione ness ener energ´ g´ etic eticas as 7.1. 7.1.


Los conceptos concepto s de d e traba t rabajo jo y energ en erg´´ıa son de gran importancia impo rtancia en f´ısica, y tambi´ t ambién en son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea f´ısica, por lo que habrá que tratar la intuición on con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que intervienen el trabajo y la energ´ energ´ıa.

7.2. 7.2.

Trabaj rabajo o

Se define trabajo como W =

 ·

 dr. F

(7.1)

La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un N m. Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que  r = F r cos α, W = F

(7.2)

·

en donde α es el ángulo angulo que existe entre la l´ınea de aplicaci´ on o n de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo. Se tiene as´ as´ı que una fuerza fuerza aplica aplicada da perp perpendi endicular cularment mente e a un despladesplazamiento no produce trabajo . Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. ¿Cómo omo se puede entender esto intuitiv intuitivamen amente?. te?. Realmente Realmente uno asocia la palabra palabra trabajo con “cansancio” “cansancio” y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa deber´ deber´ıa producir trabajo f´ısico, porque cansa. Para entender esta situación on podemos pensar que realmente no es necesario sujetar personalmente personalmente la bolsa a cierta distancia distancia del suelo, puesto que esta misma acción on puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el trabajo aut´ entico entico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas que se oponen a él, el, como p odr´ odr´ıa ser en este caso el rozamiento r ozamiento del soporte con el suelo. 

Nota

a nto es el trab trabajo ajo que que prod produc ucee la norm normal al sobr sobree un cuer cuerpo po que que P ¿Cuánto

Prob Proble lema ma

Ninguno, o, porque porque la fuerza fuerza normal normal siempre es R Ningun

Resoluci´ on on

realiza un desplazamiento sobre una superficie cualesquiera?

perpendicular perpendicular al

desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo (producido por la normal) será nulo. 39

´ CAPÍTULO 7. CONSIDERA CONSIDERACIONE CIONES S ENERGETICAS

Ahora bien. ¿Cómo omo podemos definir el trabajo si la fuerza es variable, o si la trayectoria es curva?. En ese caso suponemos válida alida la definición on de trabajo para una trayectoria muy pequeña na (infinitésima) esima) y sumamos (integramos) ( integramos) a todos los “pequeños nos trozos de trayectoria”. Es decir: 2  dr W 2 W 1 = F (7.3)



−

Problema

1

·

no arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira P Un niño

de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un ángulo angulo con el suelo de 30o . ¿Cuál al es el trabajo producido? Resoluci´ on on

ormula (7.2 (7.2)) tenemos simplemente que: R Utilizando la fórmula W = 80 · 100cos 30 = 6928 6928,,20 20J J

Recuerda

 Las definiciones de trabajo son: W =



F dr

 r = F r cos α W = F

·

7.2.1.

Trabajo conserv conservativ ativo o

Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino sólo de los puntos inicial y final, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la acción on de una fuerza conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será el mismo independientemente del itinerario itinerario del cuerpo. cuerpo. Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede definir una magnitud denominada denomina da energ en erg´´ıa potencial p otencial (ver 7.5.2). 7.5.2). Ejemplos de fuerzas conservativas son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional f ( f (r) = f ( f (r)ˆ r). Recuerda

 Trabajo raba jo conservativo es aquél el que sólo olo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria.

7.3. 7.3.

Poten otenci cia a

La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir dW dt donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como P =

W , t y si la fuerza es constante se puede decir que P =

 v. P = F v.

·

(7.4)

(7.5)

(7.6)

La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. (W (W ). ). 40



Recuerda

 Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.  La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presi´ on que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia on que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la f´ ormula ormula (7.6 (7.6)) la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la velocidad velocidad es constante constante.. ¿Qu´ e podemos explicar explicar con esto?. Supongamos Supongamos que un autom´ ovil ovil est´ a ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente del peso que “tira “tir a de él el hacia atrás”. as”. El conductor se ve obligado a ir en una marcha corta, lo cual significa que la relación entre la fuerza y la velocidad va a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, únicamente unicamente para vencer los rozamientos. Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia verá como, efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.

Nota

Calc Calcul ulaa la pote potenc ncia ia que que debe debe tene tenerr una una bom bomba de ag agua ua para para asascender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros.

Prob Proble lema ma

P

Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua. Usando la fórmula ormula para fuerzas constantes y notando que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de módulo odulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que,

R

Resoluci´ on on

W = F d = 1000 9,8 10cos0 = 9, 9,8 104 J.

· ·

·

Aplicando ahora la ecuación on de la potencia (7.5 ( 7.5)) tendremos que P =

7.4.

9,8 104 = 1,6 103 W. 60

·

·

Energ´ Energ´ıa

Se considera tácitamente acitamente la energ´ıa ıa como la capacidad para hacer un traba jo, o bien el trabajo “acumulado” por un cuerpo. El concepto concepto de energ´ energ´ıa es uno de los más as fruct´ fruct´ıferos de toda la f´ısica, pero tambi´ en en es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos definir unos conceptos previos.

7.5. 7.5. 7.5.1. 7.5 .1.

Conc Concep epto toss prev previo ioss Energ Ener g´ıa cin´ etica eti ca

Energ´ Energ´ıa cinética etica es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velocidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo t ipo de energ´ energ´ıa, pero p ero no tenemos más as que pensar que efectivamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformación, on, o del tipo que sea) y por p or tanto, debe deb e de tener una energ´ energ´ıa. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

41


Se puede demostrar la existencia de la energ´ energ´ıa cin´ etica etica de varias formas. Una manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se está aplicando una fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton F = ma, ma, tendremos un cuerpo sometido a una aceleración constante y, usando las ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que será ma∆ ma∆x con la velocidad. Otra forma es calcular el trabajo que desarrolla un cuerpo sometido a una cierta fuerza paralela (para simplificar el cálculo) alculo) del tipo que sea. Utilizando (7.3 ( 7.3)) tenemos que

     − 2

W =

2

F dx =

1

madx

1

2

= =

2 dv dx m dx = m dv dt dt 1 1 2 1 1 mv dv = mv22 mv12 . 2 2 1

Con lo cual se s e puede pued e ver que q ue el trabajo traba jo “se “s e acumula” acumul a” en forma de energ ene rg´´ıa cin´ ci nética etica cuya fórmula ormula es 1 E c = mv2 (7.7) 2 Recuerda

 Energ´ Energ´ıa cinética etica es la energ´ energ´ıa que tiene un cuerpo por desplazarse desplazar se con cierta velocidad y su valor es 1 E c = mv 2 . 2

Nota



En algunos alguno s libros de f´ısica se denomina denomi na a la energ´ıa ıa cinética etica como T .

Es más as correcto expresarlo como W 2

− W 1 = 12 mv22 − 12 mv12,

(7.8)

éste est e es e s el e l llama l lamado do teorema de las fuerzas vivas. Para resolver un problema utilizando este teorema habrá que elegir unos instantes 1 y 2 y, calculando el trabajo traba jo y la energ´ energ´ıa en cada uno de estos instantes, el teorema nos permitirá relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, además, as, intentar que el máximo aximo n´ umero de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el cálculo. umero alculo. Problema

100 N a un cuerpo de 2kg 2kg que P Se aplica una fuerza horizontal de 100N

está inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se mover´ moverá al cabo de 20 metros?. Resoluci´ on on

7.8) a este problema R Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas ( 7.8) y tendremos que W = E − E f c

i c

siendo i y f los instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que, en este caso, E ci es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo será, a, como la fuerza es paralela al desplazamiento, W = F d = 100 20 = 2000J 2000 J . Tendremos entonces que

·

2000J 2000 J = 42

1 mv2 2



y por tanto v=

7.5.2 7.5.2..

 2

2000J 2000J m = 44, 44 ,72 . 2kg s

Poten otenci cial al

La energ´ energ´ıa potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. conservativas. Se define la energ´ıa ıa potencial p otencial en un punto de tal forma que se cumpla W AB AB = E p (A)

− E (B)

(7.9)

p

. Igualmente, unificando las definiciones (7.3 ( 7.3)) y (7.9) 7.9) se puede decir que W =

 ·

 d F s=

−∆E

(7.10)

p

es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminución de la energ´ energ´ıa potencial, donde hemos llamado ∆E ∆ E p = E p2 E p1 . Es muy importante darse cuenta de la aparición on del signo en la fórmula ormula (7.10 ( 7.10), ), consecuencia de la definición on (7.9) 7.9) anterior anterior.. Dicho Dicho signo aparece aparece tambi´ tambi´ en en en las ecuaciones (7.11 (7.11), ), (7.12 7.12), ), (7.13), 7.13), y (7.14 7.14). ).

−

−

Nota

on on para la energ´ıa ıa p otencial es, en vez de llamarla llamarl a E p , deno Otra notaci´ minarla U . Intuitivamente la energ´ energ´ıa potencial p otencial es la que tiene un cuerpo por el mero  Intuitivamente hecho de ocupar una determinada posición on en el espacio. As´ As´ı por ejemplo, veremos m´ as adelante, concretamente en 7.5.2, as 7.5.2, que un cuerpo que se encuentre a una cierta altura h sobre la superficie terrestre presenta, sólo olo por este hecho, hecho, una energ´ energ´ıa potencial. Podemos entender esto dándonos andonos cuenta de que, efectivamente, un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energ´ energ´ıa, puesto que puede caer al suelo y, por tanto, tanto, desarrollar desarrollar un trabajo durante dur ante su ca´ıda. ıda .

Nota

Gravitatoria en la superficie terrestre

Aplicando la definición on de potencial indicada en (7.10 ( 7.10)) tendremos que

 −

y

E p =

0

m( g )ds = mgy

−

(7.11)

Se tiene que E p = mgy siendo y la altura sobre el suelo o el nivel 0. En la integral aparece (-g) ya que el sentido de la fuerza de la gravedad es contrario al sentido en que se toman las alturas.  La energ en erg´´ıa potencia p otenciall cuando cuan do el valor de g se puede tomar constan tante

Recuerda

es E p = mgh. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

43


Gravitatoria general

Como se puede ver más as ampliamente en (11.1 ( 11.1)) todos los cuerpos se atraen entre s´ı con una fuerza fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitaci´ gravitación on universal, es decir, que el módulo odulo de la fuerza de atracción on es F =

−G Mr2m ,

en donde el signo “ ” nos informa de que el sentido siempre es de atracción. As´ As´ı pues pu es para pa ra calcular cal cular la energ en erg´´ıa potencia p otenciall que un cuerpo cu erpo de masa ma sa m tiene por estar a una distancia r de otro de masa M no habrá m´ as as que calcular

−

E p = Recuerda

 −

F dr =

 − −

Mm G 2 dr = r

GM m −GMm

 −

1 dr = r2

−G Mrm .

(7.12)

 Energ´ Energ´ıa potencial gravitatoria (en el caso general) es E p =

Nota

−G Mrm .

Tanto en esta fórmula ormula como en la fórmula ormula (7.14 (7.14)) un análisis alisis del significado estas expresiones y, más as concretamente, de la presencia de una r en el denominador, nos indica que, para estas dos fórmulas, ormulas , el origen orige n de las energ´ e nerg´ıas ıas se toma en el infinito, es decir, que la energ´ energ´ıa potencial potencial de un planeta (por ejemplo) es nula, cuando este planeta está totalmente aislado, es decir, infinitamente tamente alejado, alejado, del otro. 

El´ El ´ ast as tica

 = Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan F (tomando una unica u ńica dimensión) on) E p = Recuerda

 −

F dx =

 − −

−kr se tiene que,

1 kxdx = K x2 2

(7.13)

 La energ´ energ´ıa potencial p otencial de un sistema que obedece ob edece a la ley de Hooke es E p =

1 Kx 2 . 2

Elec El ectr tros ost´ t´ atic at ica a

Dadas dos part´ıculas ıculas con cargas q y Q, se comenta en el apartado 12.1 como el m´ odulo de la fuerza de atracción odulo on entre ambas cargas es Qq F = K 2 , r siendo r la distancia que existe entre ambas cargas. De esta forma se puede extraer f´ acilmente acilmente que la energ´ıa ıa potencia p otenciall electrost´ elec trostática atica será E p = Recuerda

 −

F dr =

 −

Qq K 2 dr = KQq r

 −

dr Qq = K r2 r

(7.14)

 Energ´ıa ıa potencial pote ncial entre dos part´ıculas ıculas cargadas es Qq E p = K . r 44



7.6. 7.6.

Cons Conser erv vaci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa

Cuando en un sistema sólo olo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que se cumple el siguiente teorema de conservación de la energ ener g´ıa E p (A) + E c (A) = E p (B ) + E c (B )

(7.15)

Siendo A y B dos momentos cualesquiera en la evolución on de la part´ıcula, ıcul a, y E p (A) y E p (B ) la suma de todas las energ´ energ´ıas potenciales que tenga el cuerpo en los puntos A y B. Este teorema es muy útil util para la resolución on de ciertos aspectos de los problemas, sobre todo los relacionados con la obtención on de la velocidad en determinados instantes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en superficie, particularizando (7.15 (7.15)) tenemos 1 1 mv12 + mgy 1 = mv22 + mgy2 2 2 de donde podremos despejar fácilmente acilmente la velocidad en uno y otro instante según un los datos que conozcamos.  El teorema de conservación o n de la ener energg´ıa dice dice que que la ener energg´ıa tota totall en todos to dos los instantes es la misma, siendo la energ´ energ´ıa total la suma de las energ´ en erg´ıas ıa s cin´ cin ética et icass más as las potenc p otenciales iales..

Recu Recuer erda da

cuerpo po desl desliz izaa sin sin roza rozami mien ento to por por una una pist pistaa de hiel hielo. o. Si part partee P Un cuer

Prob Proble lema ma

Llamemos A al inst instan ante te inic inicia ial, l, en que que encu ncuentr entraa par parado ado y a 7 metros, y B al segundo instante, cuando viaja a una velocidad v y se encuentra a tan sólo olo 1 metro. Tendremos entonces que

Reso Resolluci´ uci´ on on

del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. ¿A qu´ e velocidad estar´ a cuando se encuentre tan sólo olo a 1 metro sobre el suelo?

R

E pA + E cA = E pB + E cB en donde E pA = mg7, mg7, E pB = mg1, mg1, como parte del reposo E cA = 12 mv 2 = 0 porque vA = 0 y denominando vB a la velocidad cuando pasa por el 2 . Tendremos entonces que punto B tendremos que E cB = 12 mvB 1 2 mg7 mg7 = mg1 mg1 + mvB 2

7.6.1. 7.6.1.

⇒v=



2g (7

m 10,,84 . − 1) ≈ 10 s

Rozami Rozamien ento to

En el caso de que exista rozamiento u otras p´ erdidas erdidas de energ´ energ´ıa no conservaconservativas podremos a´ un un seguir usando (7.15 ( 7.15)) siempre que tengamos la precaución o n de introducir esta energ´ energ´ıa perdida p erdida por p or rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo si tenemos tenemos un problema problema en el cual aparece la energ´ energ´ıa potencial potencial en la superficie superficie terrestre mgh y también en una fuerza de rozamiento r ozamiento podr po dr´´ıamos plantear la ecuación on de conservación on de la energ´ energ´ıa entre los instantes 1 y 2 como 1 1 mv12 + mgy 1 = mv22 + mgy2 + E ∗ , 2 2 donde se ha representado por E ∗ la energ ener g´ıa que qu e se ha h a perdido p erdido entre dichos di chos instantes. inst antes. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

45


A

m v=0

µ h

g

α

v=? B

Figura 7.1: ¿A qu´ q u´ e velocidad velo cidad llegará al final?.  Cuando Cuando aparez aparezcan can trabajos trabajos procede procedente ntess de fuerza fuerzass no conser conserv vativ ativas los puedes poner como E cA + E pA = E cB + E pB + E ∗

(7.16)

Donde E ∗ es el trabajo no conservativo. A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que W = F d cos α y que α = 180o porque el rozamiento siempre se opone al desplazamiento. De esta es ta forma se tendr t endr´´ıa que q ue W = µNgs pero, como el término ermino E ∗ se sit´ ua ua en el miembro derecho de la ecuación on (7.16 7.16)) con valor positivo, simplemente

−

E ∗ = µNs, donde N es la normal y s es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir, la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento. Problema

P Dejamos caer desde el reposo un cuerpo de masa m por una rampa

de α grados de inclinación on desde una altura h (ver figura 7.1). 7.1). Si la rampa ofrece un coeficiente de rozamiento µ. ¿A qué velocidad velocida d llegará al suelo? Resoluci´ on on

on de conservación on de la energ´ıa ıa expresada expresad a R Planteemos la ecuación

en (7.16 7.16)) y analicemos el valor de cada t´ ermino. ermino. Antes llamaremos A al instante en el cual el cuerpo se encuentra a cierta altura h y B cuando el cuerpo está ya al nivel del suelo con una velocidad v. As´ı tendrem ten dremos os que E pA

= mgh

E pB

= mg0 mg0 = 0 1 2 = m0 = 0 2 1 = mv2 2 = µNs µN s

E cA E cB E ∗

Donde queda por precisar que s es el espacio total recorrido por el cuerpo mientras bajaba por la rampa. Teniendo en cuenta que el espacio s es 46


Recuer Recuerda da


la hipotenusa de un triángulo angulo rectángulo angulo donde un ángulo angulo mide α y su h lado opuesto mide h, se tiene que s = sin α . Respecto a la normal N , N , como se ha visto ya en 6.6, 6.6, su valor será N = mg cos α por lo que el valor de E ∗ en función on de parámetros ametros conocidos será h E ∗ = µmg cos α sin α . Por fin utilizando (7.16 ( 7.16)) tenemos que mgh =

1 h mv2 + µmg cos α 2 sin α

y despejando despejando v se obtiene la solución, on, que es, v=



2gh (1

− µ tan α−1). Ampliaci´ on on

Como consecuencia del problema anterior ¿Para qu´ e relación on entre µ y α el cuerpo cuerp o no podr´ıa ıa ba jar por la rampa?. ◦

7.7. 7.7.

Impul mpulso so

El impulso surge de integrar la fuerza respecto al tiempo.  = I



 Fdt.

(7.17)

O lo que es lo mismo, ∆ p  = p 2

7.8. 7.8.

− p 1 = I 2 − I 1 =



 Fdt.

Grad Gradie ien nte Ampliaci´ on on

ıa ıa ◦ Sabiendo que podemos expresar un incremento infinitesimal de energ´ potencial potencial como  · d d E p = E p ( r + d r) − E p ( r) = −F r=

−(F x dx +

F y dy + F z dz )

y que la regla de derivación on de la cadena para varias dimensiones nos dice que dE p =

∂E p ∂E p ∂E p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

tenemos entonces una interesante relación on1 que nos dice que F x F y F z

= = =

∂E p

− ∂x ∂E p − ∂y ∂E p − ∂z

 

.

A ra´ ra´ız de esto se puede definir matem´ m atemáticamente aticamente el gradiente de un escalar  = ∂ ˆı + ∂ ˆ+ como nabla por dicho escalar. Por nabla se define al “vector 2 ”  ∂x ∂y ∂f ∂ ˆ k. La notaci´ on on ∂x supone derivar la función on f respecto a la variable x y ∂z considerar el resto de variables, ( y , z , etc.) como si fueran constantes. 1

Mucho m´ as as explotada en libros de f´ısica m´ as as avanzados Pues realmente es un operador, ya que act´ ua como una derivaci´ ua on sobre los escalares o vectores on a los que se le aplica. 2


47


Con esto podemos definir el vector fuerza como  = F

 E p −

(7.18)

Las propiedades matemáticas aticas del gradiente son muy interesantes, aunque exceden ampliamente el nivel de este libro.

48


Cap´ıtulo 8

Din´ amica amica de un sistema sistema de part´ıculas 8.1.

Concep Conceptos tos y defin definici icione oness prim primari arias as

Sistema de part´ıculas ıculas es un conjunto de part´ıculas ıculas 1 cuyas propiedades globales queremos estudiar. Fuerza exterior ext erior de un sistema de part´ıculas ıculas es e s aquella que viene de fuera del d el sistema. Fuerza interior es e s la proveniente de d e las interacciones intera cciones entre e ntre las propias pro pias part´ıculas ıculas ext int   del sistema. Se pueden denotar como F y F .

8.2. 8.2.

Cen Centro tro de masa masass

El centro de masas para un sistema de part´ part´ıculas discreto es rcm

m1r1 + m2r2 + ... = = m1 + m2 + ...



N ri i=1 mi . N m i i=1

(8.1)

Cuando se tenga un sistema continuo el centro de masas vendrá definido como rcm =

  

r dm dm

o, expresándolo andolo mejor en función on de la densidad del sistema rcm =

ρ dm mT

siendo mT la masa total del cuerpo continuo.

8.2.1. 8.2.1.

Teorema eorema de Pappu Pappuss

Este Este teorem teorema a resulta resulta muy util u ´ til para calcular calcular el cen centro tro de masas masas de algunas algunas figuras. El mecanismo mecanismo de funcionamien funcionamiento to es como sigue: tomando un área area cualquiera cerrada en un plano y generando un sólido rot´ andola andola en el espacio de manera tal que cada punto siempre se mueva perpendicular al plano del área, area, tendremos como resultado que el sólido olido as´ as´ı generado genera do tendrá un volumen igual que el área area de esta sección on empleada por la distancia que se ha desplazado el centro de masas. ◦

1

Supuestas puntuales.

49

Ampliaci´ on on

´ CAPÍTULO ITULO 8. 8. DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

8.3. 8.3. 8.3.1. 1.

Dinamica a ´mica del centro de masas Veloci elocida dad d

Hallar la magnitud vcm es simplemente derivar la ecuación on (8.1), 8.1), con lo cual se llega a vcm o, tambi´ tamb ién en se tiene tie ne

N

 

1 = mT

p i

i=1

N

mT rcm =

p i .

(8.2)

i=1

8.3. 8.3.2. 2.


Derivando dos veces

 ext = mtacm . F

(8.3)

 i = miai Para llegar a este resultado ha hecho falta darse cuenta de que cada F N ext int int  i = F  + F  donde F  =  ij , siendo estas F  ij se puede descomponer en F ij i i i j =i F ij todas las fuerzas de interacción on entre las part´ıculas ıculas o, más as concretamente, la fuerza que una part´ıcula ıcu la j ejerce sobre la i. Posteriormente cuando se suman todas estas N N  fuerzas en la fórmula ormula general se tiene que el sumatorio ij se anula ya i j =i F ij  ij  ji que, por el principio de acción on y reacción, on, F F ij = ji .

−

8.3.3. 8.3.3.

 

Momen Momento to lineal lineal

Se define el momento momento lineal lineal de un sistema sistema de part´ part´ıculas ıculas como la suma de los momentos de cada una de las part´ıculas ıculas que integran el sistema. Quiere decir esto que el momento lineal de un sistema será N



p 

p i .

i=1

Atendiendo a la fórmula ormula (8.2 (8.2)) podemos ver claramente que p = mtvcm . A su vez, vez, si la fuerza fuerza exterior exterior ejercida ejercida sobre el sistema sistema de part´ part´ıculas ıculas es nula, nula, haciendo uso de (8.3 ( 8.3)) se ve fácilmente acilmente que p  permanece constante, de donde podemos enunciar la conservación on del momento lineal total del sistema:  ext = 0 F

Recuerda

⇒ p = cte.

 Si la fuerza neta externa que actúa ua sobre un sistema es nula, el momento lineal de éste este se conserva.

8.3.4.

Energ´ Energ´ıa

Generalizando el teorema de las fuerzas vivas a todo t odo un sistema de part´ part´ıculas se puede demostrar que W tA→B = E c (B ) E c (A)

−

50


´ CAPÍTULO ITULO 8. DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS



donde E c = N c,i . Cuando todas las fuerzas, tanto las internas como las exteri=1 E c,i nas, que aparecen en acción on en el sistema son conservativas podemos enunciar un teorema general de conservación on de la energ´ energ´ıa, que dirá E T T = E c + E p = cte. Ahora bien, como ya hemos definido una E c total nos quedará ver cómo omo definir la magnitud E p . Intuitivamente se puede ver que deberá ser una suma de todas las energ´ energ´ıas potenciales puestas en juego en el sistema, es decir, un t´ ermino ermino donde se considere conside re la energ´ıa ıa potencial p otencial que pueda pu eda tener te ner cada cad a part´ıcula ıcula por la aplicaci´ ap licación de la fuerza externa, y otro donde se sumen todos los pares de interacción entre part´ıculas ıcul as del propio p ropio sistema, sistema , que también en contribuir´ contri buirá. a. Estas ideas se traducen en N

E p =

 i=1

ext E p,i

1 + 2

N

n



int E p,ij .

i=1 j =i



Ener En erg g´ ıa mec´ me c´ anica anica interna

Relacionando Relaciona ndo la energ´ıa ıa cinética etica de un sistema de part´ıculas ıculas en un sistema de referencia inercial usual con la que tiene en el sistema de referencia centro de masas se llega a la ecuación on 1 2 E c = E c + mt vcm 2 donde vemos que, además as de la energ´ıa ıa cinética etica que tiene el sistema consider´ consider ándole andole como un unico u ńico cuerpo situado en su centro de masas, aparece otra energ´ energ´ıa, que se relaciona con cómo omo se mueven mueven esas part´ıculas ıculas respecto resp ecto al centro de masas. Nota



Posteriormente veremos que esa E c se puede expresar mucho más as f´ acilacilmente cuando tenemos un sistema de masas continuo que esta rotando 

 Cuando tanto las fuerzas externas como las internas que actúan uan sobre un sistema de part´ part´ıculas son conservativas, conservativas, la energ´ energ´ıa total del sistema permanece constante.

8.4. 8.4. 8.4.1. 8.4.1.

Recuerda

Apli Aplica caci cion ones es Sistem Sistema a de referen referencia cia del del centro centro de masas masas

Consiste en situar el sistema de coordenadas justo con el origen en el centro de masas. Tiene como ventaja que, si la resultante de todas las fuerzas exteriores  ext =  es nula, es decir si F 0, entonces en este nuevo sistema el centro de masas permanece constante e igual a 0 (ya que está situado en el origen de coordenadas) y además, as, se trata de un sistema inercial. Para pasar de un sistema a otro basta usar las ecuaciones ( 5.3) 5.3) en este caso particular y tendremos ri vi

= ri = vi

− r − v

cm cm

habiendo primado en este caso las coordenadas que se ver´ ver´ıan desde el sistema centro de masas. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

51

´ CAPÍTULO ITULO 8. 8. DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

8.4.2. 8.4.2.

Proble Problema mass de de dos dos cuerpos cuerpos

Cuando Cuando tenemos tenemos un proble problema ma de dos cuerpos podemos separar separar este este problema en dos situaciones diferenciadas. Por ejemplo, si queremos ver que sucede con el sistema Tierra-Sol, p odr´ odr´ıamos plantearnos usar la ecuación ( 8.3) 8.3) para tener una idea global de cómo omo se está moviendo el sistema. No obstante esta ecuación on no nos da la información on concreta de cómo omo una part´ part´ıcula, o un planeta, se mueve respecto al otro, sino sólo como se desplaza su centro de masas. Es muy útil suponer que las fuerzas exteriores sobre el sistema sean nulas, es decir, que tengamos un sistema de dos cuerpos aislados, y ver que sucede. En ese caso acm =  0 y, por tanto, tanto, el c.d.m. se desplazar´ desplazará con movimiento rectil´ıneo ıneo y uniforme (o se estará quieto). Pero ¿qu´ e sucede con las part´ part´ıculas que componen nuestro sistema?. Cuando Cuando las fuerzas fuerzas externas son nulas se puede demostrar demostrar tras un poco de algebra ´ algebra que  12 F a12 12 = µ ◦

donde µ = mm11+mm22 y a12 es la aceleración on del cuerpo 2 vista desde el 1. Esta igualdad nos permitir´ıa ıa establecer como es el movimiento de los cuerpos como si de un único unico cuerpo de masa µ se tratase.

8.4. 8.4.3. 3.

Coli Colisi sion ones es

Cuando tenemos un sistema s istema de part par t´ıculas en el cual sus part p art´´ıculas componentes compo nentes chocan chocan entre entre s´ı, en ausencia ausencia de fuerzas fuerzas externas, externas, hemos de tener en cuenta cuenta que esto supone una conservación on de la masa, evidentemente, más as una conservación on del momento lineal, como ya se ha escrito en 8.3.3. 8.3.3. Por tanto tomando el sistema en un instante inicial y otro f inal f inal tendremos



mii i i pi

i

= =



mf i f i pi

i

En general, para simplificar los problemas, el número umero de part´ part´ıculas en los instantes i y f suele ser 1 o 2. Conservaci´ on on de la energ ener g´ıa

En las colisiones, en cambio, no se tiene por qué conservar conservar la energ´ energ´ıa. Aquellas i f en las que si que se tiene que E c = E c se denominan el´ el ´ asti as tica cass. Para medir el grado de elasticidad de una colisión, on, y tambi´ tambi´ en en para aportar un dato extra en el caso en el cual la conservación on del momento (y de la masa) no nos aporta información on ´ suficiente, se recurre al concepto de coeficiente de restitución. on. Este se define en el caso unidimensional como v1f v2f K = (8.4) v2i v2i

− −−

y cuyo valor var´ var´ıa entre 1 para un choque elástico astico y 0 para otro perfectamente inel´ astico. astico. Ampliaci´ on on

on on de que K = 1 para un choque choque elástico astico no es complicada, ◦ La demostraci´ aunque hay que hacer un poco de álgebra. Pasa simplemente por plantear, para un choque de dos cuerpos donde no hay variación en la masa, las ecuaciones de conservaci´ on del momento lineal y, por ser elástico, on asti co, tambi´ tamb ién en las de la energ´ ene rg´ıa ıa cinética. eti ca. Ser´ Ser an ań dos ecuaciones con dos incógnitas. ognitas. Se despeja y sustituye y, al resolver resolver la ecuaci´ ecuacion o ń de segundo grado que se obtiene, sale una relación de v1f f y v2 de la cual ya, introduciendo sus valores en ( 8.4) 8.4) se obtiene el resultado deseado. deseado . Ser´ıa ıa muy util u ´ til que el lector comprobara esto personalmente a modo de ejercicio pr´ actico. actico.

52


Ampliaci´ on on

Cap´ıtulo 9

Din´ Din´ amica amica de la rotaci rotaci´ ´ on on 9.1. 9.1. 9.1. .1.1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on Solid o ´l ido o r´ıgid ıg ido o

Para simplificar mucho la explicación on de la rotaci´ on on en los cuerpos se toma siempre un modelo de cómo omo son estos cuerpos que se denomina s´ olido ol ido r´ ıgid ıg ido o. Este modelo consiste en considerar que los cuerpos, los sólidos olidos tomados, son absolutamente indeformables, deforma bles, son r´ıgidos. Matemáticamente aticamente se puede expresar de una manera más as rigurosa riguros a diciendo dici endo que q ue la distancia distanc ia entre sus part pa rt´´ıculas no cambia. cambi a. Dada Dad a una part´ıcuıcula j y otra i del sistema que consideremos siempre se tendrá que ri rj = K siendo K una constante cualesquiera. Para un cuerpo de este tipo, por tanto, conociendo dónde está en un momento determinado determi nado una part´ p art´ıcula ıcula y el angulo ángulo θ de rotación on del cuerpo respecto a la posición on original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.

| − |

9.1.2. 9.1.2 .

Analog´ Analog´ıas

El estudio de la dinámica amica de la rotación on se puede hacer sencillo teniendo presentes las siguientes analog´ıas ıas entre la dinámica amica normal y ésta. esta. traslación x v a m p  F F = ma F = dp dt p = mv W = F d E c = 12 mv 2

9.2. 9.2.

Rotacion ón θ ω α I = i mi ri2  = r p L  = r F  M M = I α M = dL dt L = Iω W = M θ E c = 12 I ω 2



∧ ∧

Mome Momen nto de una una fuer fuerza za

Cuando un cuerpo sufre una aceleración on es porque tiene una causa que lo provoca. Newton descubrió que es la fuerza la causa de que esto suceda. ¿Cuál a l es la causa de una rotación?. on?. Es el momento de una fuerza. Una deducción f´ acil, acil, clara y divertida se puede encontrar en [1] [ 1].. De momento aqu´ aqu´ı se expondrá su definición on y 53

´ ´ CAPÍTULO ITULO 9. 9. DINAMICA DE LA ROTACION

 = r F  tomando M será igual a rF sin α siendo α el ángulo propiedades. Como M angulo  formado entre el vector r y F . F . Por tanto la componente perpendicular al vector posición on es la que interviene realmente en la rotación.

∧

Recuerda

 La componente de la fuerza perpendicular al vector posición es la que realmente interviene en la rotación. on.

9.3. 9.3.

Mome Momen nto angu angula lar r

En dinámica amica de traslación on la variación on del momento lineal p respecto al tiempo es denominada fuerza. Parece lógico ogico suponer que debiera existir alguna magnitud an´ aloga aloga en dinámica amica de rotaci´ rotaci´ on on tal que su deriv derivada ada tempora temporall nos proporc proporcion ionee    tambi ta mbi´én en la causa , es decir, el momento de las fuerzas M . M . Como M = r F probemos  dL  a tomar M = dt siendo  = r p L  (9.1)

∧

∧

y ver que sucede al ser derivado. Es sencillo llegar a la conclusión de que, efectivamente, esta magnitud es la análoga aloga del momento lineal p en cuanto que al ser  derivada se obtiene M . Ampliaci´ on on

◦ Derivar esta magnitud no es complicado, razonando que un producto vectorial no es sino un producto combinado de las componentes de un vector no parece descabellado admitir que

 

As´ı tenemo ten emoss que

d d a a ∧  b = dt dt

b + a ∧ ∧ 

d b dt

d d r  ) = (r ∧ p dt dt

 +  r∧ ∧ p

d p dt

p  . Tenemos v y que d en donde es sencillo darse cuenta de que p = m = F dt v = 0 por se el producto vectorial entonces entonces un primer sumando que será v ∧ m de dos vectores paralelos, y un segundo sumando que es, efectivamente, igual  . a M

También en se puede pue de expresa exp resarr L en función on del momento de inercia I como L = I ω. Ampliaci´ on on

olido r´ıgido y ◦ La igualdad L = Iω se puede conseguir tomando un s´ calculando cuanto será su momento angular. Para una determinada part´ part´ıcula tendremos tendremos que Li = mi ri vi . De aqu´ı sólo olo resulta interesante conocer cuanto ser´ a la proyección on de este valor sobre el eje z que vamos a tomar en este caso como el eje de rotaci´ rotacion. ´ on. Esta proyección on se logra multiplicando L i por el sin θi , siendo θi el angulo ´ angulo formado por ri con el eje de giro. gir o. As A s´ı tenemos que Lz =

    Lzi =

i

mi ri vi sin θi =

i



mi Ri2 ω

i

siendo Ri la distancia de la part´ part´ıcula i al eje. Todo esto se puede expresar ahora f´ acilmente acilmente como Lz = ω

2

mi Ri = Iw

i

mi Ri2 . Existen algunos ejes en un cuerpo, genepuesto que se define I = i ralmente ralmente ejes de simetr´ simetr´ıa, tales que si el cuerpo rota alrededor alrededor de estos ejes, el momento angular total es paralelo al eje de rotación, y por tanto para ellos Lz = L. En estos casos se puede escribir que  = I L ω.

54



 no tiene El momento angular total como vector L ti ene p or qué estar en la direcci´ on on del eje de rotación on si este eje no coincide con alguno de simetr´ıa ıa del cuerpo.

Nota



9.4. 9.4.

Mome Momen nto de iner inerci cia a

Se ha visto ya en apartados anteriores la importancia relativa del momento de inercia I como el análogo alogo de la masa para las rotaciones.  El momento de inercia es el análogo alogo de la masa para una rotación.

Recuerda

Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como I =



mi ri2

i

donde ri representa la distancia dist ancia de d e la part par t´ıcula al a l eje de rotación. on. Pero normalmente se tiene cuerpos reales, formados por tal cantidad de átomos, de peque˜ nas na s part´ p art´ıcul ıc ulas as que se les supone continuos. Para ellos la fórmula ormula de cálculo alculo del momento de inercia es I =

  r2 dm =

r2 ρdV.

No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesa interesante nte conocer que 1. La simetr´ simetr´ıa del cuerpo permite a veces veces realizar realizar sólo olo parte del cálculo. alculo. 2. Como Como el momen momento to de inerci inercia a es aditiv aditivoo1 el cálculo alculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia inercia de sus partes. partes. Tambi´ ambi´ en en si tenemos tenemos un cuerpo cuerpo formado formado por uno más as sencillo al que “le falta un cacho” podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le falta. 3. Muchas Muchas veces veces dado el moment momento o de inercia de un cuerpo cuerpo respecto respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usando el teorema de Steiner o el de las figuras planas.

9.4.1. 9.4.1.

Teorema eorema de de Steine Steiner r o de los ejes ejes parale paralelos los

El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia de un eje que pase por el centro centro de masas de un cuerpo cuerpo con el momento momento de inercia inercia que tendr´ tendr´ıa el mismo cuerpo tomando cualquier otro eje paralelo al primero. Esta relación es 2 I = I cm cm + md

donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje paralelo al original, I cm cm es el momento de inercia del eje que pasa por el centro de masas, m es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre estos ejes paralelos.  El teor teorem emaa de Stei Steine nerr rela relaci cion onaa el mo mome men nto de iner inerci ciaa resp respec ecto to a un eje que pase por el centro de masas de un sólido con cualquier otro eje paralel para leloo a él. el. 1

Recu Recuer erda da

Ya que proviene de una suma o integraci´ on, que son operadores lineales. on,


55


9.4. 9.4.2. 2.

Teore eorema ma de las las figur figuras as plana planass o de los ejes perpen perpendi di-culares.

El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que est´ en en contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si. Es decir, dado el dibujo de la figura 9.1 tendremos que I z = I y + I x . Esy te teorema nos sirve, por ejemplo, para calcular fácilmente acilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que pasa por el centro del anillo, como toda la masa está situada a la misma distanx cia tenemos tenemos que su mom momen ento to de inerinercia será de mR2 (es trivial, como dicen los matem´ aticos). aticos). Además as como el anillo tiene mucha simetr´ simetr´ıa el momento de inercia de un eje que esté contenido en el plano del anillo será igual al de otro Figura 9.1: Dibujo de una figura plana. eje tambi´ en en contenido en el plano pero perpendicular al eje anterior, ya que el anillo “se ve igual”. Si llamamos a este otro momento I p poniendo p de plano, tendremos que mR2 = I p + I p I p = 12 mR2 .

z

⇒

Recuerda

 El teorema de los ejes perpendiculares sólo olo se aplica a las figuras planas y permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura.

9.4. 9.4.3. 3.

Rela Relaci ci´ o on ń del momento de inercia respecto a un punto con los tres ejes

Si llamamos al momento de inercia de un cuerpo respecto a un punto, y no un eje, I 0 tendremos que 2I 0 = I x + I y + I z . Como demostración on basta darse cuenta que el momento I 0 será



(x2 + y 2 + z 2 ) dm

frente a los momentos

9.5. 9.5.

I x I y I z

= = =

  

(y 2 + z 2 ) dm (x2 + z 2 ) dm (x2 + y 2 ) dm

 

.

Ecuac uaci´ on on de la din´ amica amica de rotaci´ on on

Sabemos ya que dL = M y que cuando la rotación on es alrededor de un eje de dt 2 sime si metr´ tr´ıa L = I ω. Introduciendo esta L en la fórmula ormula anterior tenemos sencillamente que M = I α (9.2) donde α es la derivada de ω respecto al tiempo, es decir, será la aceleración on angular. 2

56

Lo cual ser´ a cierto en los problemas que puedan surgir a este nivel. (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


De esta manera la ecuación on (9.2) 9.2) nos proporciona una relación on entre los momentos aplicados a un cuerpo y la aceleración on angular que logra alcanzar ese cuerpo. En muchos casos, como se puede ver en 9.7.1 y 9.7.2 se puede establecer una relación on entre α y a.

9.5.1. 9.5.1.

Conser Conserv vaci´ acion o ń del momento angular

A partir de la fórmula ormula (9.2 (9.2)) y, de manera análoga aloga a como lo planteamos con la din´ amica amica de traslación, on, se puede establecer que cuando no actúa ua ning´ un un momento externo sobre un sistema de part´ part´ıculas o un cuerpo r´ıgido, su momento angular se mantiene constante, constante , teni´ te niéndose endose entonces que Li = Lf . ´ Esta es una igualdad muy útil util para resolver situaciones en las que el cuerpo var´ var´ıa su forma, y por tanto su momento de inercia I , pero sin que existan momentos externos. Una explicación on m´ as detallada se encuentra en 9.7.6. as  Cuando no act´ uan u an mo mome ment ntos os exte extern rnos os sobr sobree un sist sistem emaa de part part´´ıculas su momento momento angular angular L permanece constante.

9.6.

Recu Recuer erda da

Energ´ Energ´ıa de rotaci´ on on

Al igual que un cuerpo con una cierta velocidad v presen pre senta ta una energ´ ene rg´ıa ıa cin´ ci nética eti ca 1 2 igual a 2 mv , los cuerpos que rotan tienen una energ´ energ´ıa asociada asociada a esta rotaci´ rotación on que, por analog´ıa, ıa, resulta ser 1 E c = I ω2 . 2



1 mi vi2 y, como vi = ri ω Tambi´ en en se puede razonar tomando E c = i 2 tendremos E = i 12 mi ri2 ω 2 que, extrayendo factor com´ un un resultar´ a ser

◦



E c =

1 2

  mi ri2

i

ω2 =

Ampliaci´ on on

1 2 Iω . 2

Cuando, además, as, el cuerpo está girando con respecto a un eje que pase por su centro de masas la energ´ energ´ıa cin´ etica etica total es igual a la de traslación on del centro de masas m´ as as la de rotación, on, es decir E c =

1 1 2 2 mvcm + I cm cm ω 2 2

siendo m la masa total del cuerpo y vcm e I cm cm la velocidad del centro de masas y el momento de inercia del cuerpo cuando rota por un eje que pase por el centro de masas, respectivamente.

9.7.

Algunos Algunos problemas problemas t´ t´ıpicos ıpicos de rotaci´ rotaci´ on on

Se detallan detallan a continu continuaci´ aci´ on algunas situaciones fácilmente on acilmente resolubles resolubles y caraccaracter´ ter´ısticas en las cuales se aplican las fórmulas ormulas anteriores de dinámica amica de rotación. on. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

57


9.7.1. 9.7.1.

Cuerpos Cuerpos rodant rodantes es

Cuando un cuerpo rueda sin deslizarse se establece una ligadura, hablando en lenguaje lengua je f´ısico, entre el ángulo angulo que rota el cuerpo y la distancia que avanza. Para un cuerpo redondo, que es el caso común, un, s = Rθ, Rθ, siendo R el radio de la figura. Esto es muy lógico ogico porque si el camino que va recorriendo el móvil fuera mayor que la longitud de cuerpo que toca el suelo necesariamente necesariamente deber´ıa ıa haber hab er algún un tipo de deslizamiento. Teniendo esta igualdad es muy fácil acil establecer que vcm acm

9.7. 9.7.2. 2.

= Rω = Rα



.

Polea oleass

En problemas problemas en los que aparezcan aparezcan poleas p oleas,, como éstas estas giran alrededor alrededor de su centro de masas y su momento de inercia será el de un c´ırculo (o un cilindro, si es tridimensi tridimensional), onal), tendremos tendremos ya toda la situaci´ situaci´ on on conocida. 1. El momen momento to de las fuerz fuerzas as ser´ ser´ a simplemente el producto de la fuerza, o la tensión on de la cuerda, por el radio de la polea al que se aplica. 2. El momento momento de inercia de un c´ c´ırculo ırculo es

1 M R2 . 2

3. Tendremos as´ as´ı que, si la cuerda pasa por la parte exterior de la polea, como es habitual (hay que tener más as cuidado si la polea tiene más as gargantas o éstas estas no están an sobre la superficie externa del disco) para cada tensión on T aplicada 1 2 en la polea T R = 2 M R α. 4. Como la cuerda cuerda gira sin deslizar deslizar existe la condici´ condici´ on on a = Rα que se aplica a la ecuaci´ on on anterior.

9.7.3.

Est´ atica atica y equilibrios equilibrios

En aquellos problemas en los cuales, no existiendo movimiento de ningún un tipo, se nos pida calcular la geometr´ geometr´ıa de alguna estructura o bien las fuerzas de acción o de reacción on que hay que tener para mantener la estructura en equilibrio basta con aplicar dos fórmulas. ormulas. 1. Al no haber movimien movimiento to del centro centro de masas tendrem tendremos os que la resultant resultantee de todas las fuerzas deberá ser nula. nula . As´ı



 = 0. F

Esta ecuación on se descompondrá en tantas como dimensiones tenga el problema. 2. Cuan Cuando do hay hay una situa situaci ci´ on oń estática atica o un equilibrio el cuerpo tampoco gira respecto respecto a ning´ un un punto. Por ello podremo p odremoss aplicar aplica r también en que los l os momentos momento s resultantes deben ser nulos  = 0. M



Con estas ecuaciones aplicadas con cierta intuición on a algunos puntos concretos del sistema se pueden resolver este tipo de problemas. 58



9.7.4.

C´ alculo alculo de la aceleraci´ aceleraci´ on angular de un cuerpo on

Para ello hay que aplicar la ecuación on general de la dinámica amica de rotación. on. 1. Se consigue consigue el momento momento de inerci inercia a de la figura respecto respecto al eje en en que se produce produce la rotaci´ rotaci´ on. on. 2. Se calcula calculan n los moment momentos os de fuerza fuerzass tomando tomando com como o punto uno del eje de rotaci´ on. Si el problema es bidimensional este eje será perpendicular on. perpendicular al plano, generalmente, y podremos reducir el momento de fuerzas tridimensional a su  con r. m´ odulo, odulo, es decir M = F c sin θ, siendo θ el ángulo angulo que forman F 3. Se relacio relacionan nan estas estas magnitud magnitudes es con la acelera aceleraci´ ción on angular α mediante I α.

9.7.5.



M =

C´ alculo alculo de moment momentos os de inercia inercia

Para la resolución on de los problemas de cálculo alculo de momentos de inercia es habitual el planteamiento según un algunos algunos distintos distintos tipos. 1. Si no conocemos conocemos el momento momento de la figura figura en absoluto absoluto respect respectoo a ning´ ning´ un un otro eje, y ésta esta no está compuesta de otras figuras tendremos que aplicar I = 2 m R R2 dm = R2 ρdV para uno i i para un cuerpo discreto o bien I = i continuo.

 



2. Si la figura es plana plana y conocem conocemos os los dos moment momentos os de inercia inercia del plano, plano, y nos piden el del eje perpendicular a la figura se intenta usar el Teorema de las figuras planas. (Ver 9.4.2). 9.4.2). 3. Si conocemos conocemos el momento momento de inercia inercia respecto respecto a un eje que pasa por el centro centro de masas y nos piden hallar el de otro eje paralelo a este usaremos el Teorema de Steiner. (Ver 9.4.1). 9.4.1). 4. Si nuest nuestra ra figura figura est´ está compuesta por otras figuras de las cuales conocemos su I , o bien parece una figura sencilla a la que se ha extra´ extra´ıdo alguna otra figura simple, usando la linealidad del momento de inercia podremos poner nuestro momento incógnita ognita como sumas o restas de otros momentos más as sencillos, teniendo siempre cuidado de que todos to dos los momentos estén en referidos al mismo eje de rotación. on.

9.7.6 9.7.6..

Varia ariaci ci´ o on ń de la forma del cuerpo que gira

En aquellos aquellos problemas en los cuales var var´ıe la forma de un cuerpo pero no existan momentos externos es muy útil util la aplicación on del principio de conservación on del momento angular. Tomando un instante i y otro f inicial y final tendremos que Li = Lf y, por tanto I i ωi = I f f ωf , relación on de la que conocidos tres datos podremos extraer el cuarto. Nota

Esta es la razón on por la que las patinadoras sobre hielo, cuando encogen los brazos, van angularmente más as deprisa. Al disminuir su I resulta que ω debe aumentar aumentar para mantener mantener constante constante el momento momento angular. angular. 


59


9.7.7. 9.7.7.

Conser Conserv vaci´ acion o ń de la energ´ energ´ıa para cuerpos rodantes

Si tenemos un caso de un cuerpo simétrico etrico que rueda respecto a un eje que pasa por su centro de masas y todas las fuerzas externas son conservativas, podremos aplicar el teorema de conservación on de la energ´ energ´ıa y tendremos que E = E c, c,1 + E p,1 = E c, c,2 + E p,2 . En este caso además as

1 1 2 mvcm + I ω2 . 2 2 Adem´ as, si el cuerpo rueda sin deslizar se podrá relacionar v y ω mediante v = Rω. as, Rω . E c =

60


Cap´ıtulo 10

Conceptos generales de campos 10.1. 10.1.

Intr Introduc oducci ci´ ´ on on

En bastantes bast antes campos cam pos de la f´ısica se trata tra ta el concepto de campo, cam po, introduci´ introd uciéndole endole de forma más as o menos intuitiva y formulandolo formuland olo despu´ de spués es rápidame api damente nte para p ara despu´ desp ués es realizar con él el algunos cálculos. alculos. De todas formas parece más as conveniente analizar ahora algunos conceptos de manera un poco más as rigurosa para poder luego entender mejor la visión on que sobre la f´ısica aportan ap ortan los campos.

10.2 10 .2..

Defin Definic ici´ i´ on on

Se denomina campo a todo objeto matemático atico que esté definido defi nido para cualquier cualquie r punto punto del espacio. espacio. En f´ısica una magnitud magnitud es un campo cuando est´ a definida en todo el espacio. Si esta magnitud es un número, umero, un escalar, tendremos un campo escalar, si es en cambio un vector, será un campo vectorial. Por ejemplo, en un d´ıa ıa con mucho viento, la temperatura que haga en cualquier parte de una ciudad será un campo escalar. As´ As´ı podemos decir que en el punto punto “tal” existen tantos grados de temperatura y en el “cual” otros ciertos grados de temperatura. Dado cualquier punto de la ciudad diciendo que temperatura hace tendremos un campo escalar (de temperaturas). Si para esta misma ciudad tomamos la intensida intensidad d y direcci´ direcci´ on del viento como un vector tendremos un campo vectorial. on Análogamente alogamente podremos decir: En este punto el vector de la velocidad del viento es tanto, pero en este otro punto es cuanto. Tendremos definida una cierta magnitud vectorial en todos los puntos del espacio.

10.3. 10.3.

Forma ormali lism smo o mate matem´ m´ atico atico

Para describir matemáticamente aticamente un campo bastará con indicar cuánto anto vale la magnitud que nos interese en todos los puntos del espacio indicada por una cierta función. on. Para un campo escalar tendremos que M = f ( f (x,y,z) x,y,z) o quizás as tambi´ ta mbién en del de l tiempo t. Por ejemplo, si queremos definir el campo escalar distancias al origen de a s´ı hemos h emos cumplido cumplid o la definición on coordenadas tendremos que M = x2 + y2 + z 2 y as de campo escalar. Dado un punto del espacio tenemos bien escrita una magnitud para ese punto. En el punto (1, (1, 1, 1) la magnitud, en este caso, es 3. Un campo vectorial se define de manera análoga, aloga, pero teniendo en cuenta que  = deberemos aportar las tres componentes del vector. Podemos denotarlo como M



√

61

CAPÍTULO 10. CONCEPTOS CONCEPTOS GENERALES GENERALES DE CAMPOS CAMPOS

 (x,y,z) f ( f x,y,z) o también en como M x M y M z

= f 1 (x,y,z) x,y,z) = f 2 (x,y,z) x,y,z) = f 3 (x,y,z) x,y,z)

 

.

Un ejemplo (que representa una fuerza cualesquiera) de campo camp o vectorial ser´ ser´ıa ˆ  (x,y,z) M ( M x,y,z) = x2ˆı + y 2 ˆ + xy k.

10.4 10 .4..

Fluj Flujo o de un cam campo po vec vecto tori rial al

Se define el flujo de un campo vectorial como la cantidad de campo que atraviesa cierta área. area. Como esta definición on hablada es un poco pobre, matemáticamente aticamente si  tenemos tenemos un campo vectorial vectorial M que atrav atravies iesaa una peque˜ peque˜ na na región on dS tomamos como dφ = M dS . Ahora bien, no es lo mismo que la superficie que atraviese sea perpendicular perpendicular al campo, en cuyo cuyo caso entrar´ entrar´ıa “de lleno” lleno” a que dicha dicha superficie superficie est´ esté situada situada de forma paralela, paralela, pues en este ultimo u ´ ltimo caso no atravesar atravesar´´ıa nada de  que sea perpendicular a la pequeña campo. Por esto se define un vector dS na area a´rea   considerada considera da y tener as´ as´ı que dφ = M dS . Con esto logramos l ogramos que aparezca ap arezca el e l término ermino cos θ en la definición on de flujo y poder po der as´ı considerar consi derar la proyección on correcta de campo que atraviesa la superficie. Para lograr tener el flujo total no hay más as que integrar:

·

φM =



 S.  M

·

S

10.5 10 .5.. Ampliaci´ on on

Grad Gradie ien nte de un cam campo po

Dada una fuerza conservativa ya hemos visto anteriormente como se pod´ıa ıa extraer de un potencial, lo cual reportaba la ventaja de que una fuerza conservativa no es sino un campo vectorial, y por tanto tendrá tres dimensiones, frente a un potencial, que puede ser considerado un campo escalar y por tanto presenta sólo olo una dimensión. on. La operaci´ on on por la cual lográbamos abamos esto la llamamos gradiente, y ten´ ten´ıa = −  V . mos que F As´ As´ı pues la operaci´ oper ación on gradiente es una forma de, a partir de un campo escalar, lograr otro vectorial y, como hemos visto en el párrafo anterior, este campo nuevo será un campo de fuerzas si el otro era un potencial. ◦

10.6 10 .6..

Ley de Gau Gauss

Si tomamos una fuerza central que decrezca con el cuadrado de la distancia,  = C r2 donde C es una constante cualquiera, y calculamos su es decir, del tipo F r flujo a través es de una superficie super ficie esférica erica centrada también en respecto respe cto al origen, como la fuerza, de radio R tendremos que



φ=

  ·

r  C 2 dS r S

y aqu´ı considerando que para este caso la fuerza siempre corta perpendicularmente a nuestra esfera, y la distancia a ella siempre es R tendremos, extrayendo las constantes y realizando el producto escalar C φ= 2 R 62



dS

S



que, simplemente, dará φ =

C 4πR 2 R2

y, por tanto φ = 4πC.

Esta ley encontrada para un caso muy particular, se puede demostrar no obstante, que sirve también en tomando un campo gravitatorio o electrost´ atico cualquiera y una superficie cerrada cualquiera . Por tanto, cualquiera que sea la superficie que tomemos φ = 4πKq, (10.1) donde q es la carga encerrada por la superficie, para el caso electrostático, atico, o bien φ=

−4πGm,

(10.2)

siendo ahora m la masa total que encierra la superficie. Este resultado, en cuya demostración on general no vamos a entrar, resulta muy importante y util, u ´ til, ya que es práctico actico para resolver bastantes problemas, y se conoce con el nombre nombre de Ley de Gauss para para el cam campo po electros electrost´ tático atico o gravitatorio, en honor de su descubridor.

10.7 10 .7..

Circ Circul ulac aci´ i´ on on

 a lo largo de un recoSe define la circulación on de un campo vectorial M rrido l como la integral a lo largo l argo de la l´ınea de la componente del camp o que es paralela parale la a dicha d icha l´ınea. Esta definición on se puede expresar matemáticamente aticamente como

Ampliaci´ on on

◦



 ·  M l.

L

Como podemos observar esta nueva magnitud, la circulación. o n. no es más as que la definición on matem´ atica atica de una magnitud magnitud f´ısica que ya conocemos: conocemos: el trabajo.

10.8. 10.8.

Repr Repres esen enta taci ci´ ´ on on gr´ afica afica de los campos camp os

10.8 10 .8.1. .1.

Campo Campo esca escala lar r

Representar un campo escalar se puede realizar por medio de sus superficies decir, uniendo uniendo con una l´ınea todos los puntos que presente presente el mismo de nivel , es decir, potencial, y observando estos dibujos tendremos una idea de cómo omo se comporta comporta este campo. Un ejemplo podr´ıan ıan ser las l´ıneas ıneas de nivel de un mapa geográfico. afi co. En él el se indican cuanto vale en cada punto la altura. Basta echar una ojeada a un mapa geográfico afico para, observando dónde onde se acumulan más as l´ıneas de nivel saber sab er que en esos puntos la pendiente será mayor. Ampliaci´ on on

Adem´ as, en este ejemplo, el campo escalar de las alturas coincide (salvo as, una constante) con el campo escalar potencial gravitatorio. De esta manera un punto donde hay muchas l´ l´ıneas de nivel supone un punto donde hay mucha variaci´ on on de energ´ıa ıa potenci p otencial. al. La L a variaci´ variaci ón on la proporciona la derivada del escalar, en este caso el gradiente. Si esta derivada es alta el gradiente será considerable. Pero el gradiente de un potencial con signo menos es la fuerza que se siente en ese punto. ¿Cómo omo entender esto desde nuestro mapa geográfico?, afico?, es sencillo, all´ all´ı donde las curvas de nivel ni vel están muy juntas el terreno es muy empinado, tiene mucha pendiente, y la fuerza que se ejerce sobre nosotros en esos puntos será muy pronunciada (hacia arriba o hacia abajo) porque el gradiente gradiente lo es. O escrito de otra forma ¿qui´ ¿quién en no ha sentido sentido la dificultad dificultad de ◦


63


subir o bajar por un terreno muy escarpado?. Esta dificultad que nos proporcionan las fuerzas gravitatorias se puede ya ver gracias a la representación de un mapa con l´ıneas de nivel.

10.8.2 10.8.2..

Campo Campo vecto vectoria riall

Aunque representar un campo vectorial no es sencillo una manera de hacerlo es mediante el concepto de las l´ıneas ıneas de fuerza fuer za , que son l´ıneas tangentes en todo punto a la dirección on del campo. Si el campo fuera uno de velocidade velocidadess estas l´ l´ıneas coincidir coincidi r´ıan con c on las trayectorias de las part´ıculas ıculas sometidas sometid as a dicho campo. cam po. Algunas 1 propiedades propieda des de estas es tas l´ıneas ıneas es que no pueden p ueden cortarse co rtarse pues, pue s, si as´ı fuer f uera, a, tend te ndrr´ıamos ıa mos que en ese punto habr´ habr´ıa dos valores alores para el mismo campo. Para Para lograr lograr que estas l´ıneas nos hablen del módulo odulo del campo (es decir, de su intensidad) se dibujan de tal manera que la densidad de l´ıneas sea proporcional a dicho módulo. odulo. Cuando un campo es conservativo, a los puntos donde las l´ıneas convergen, se junta juntan, n, se denomina denominan n sumide sumideros ros,, y a aquell aquellos os de donde surgen surgen o nacen nacen fuent fuentes. es. As´ As´ı cualquier cualquier planeta es un “sumidero” “sumidero” de campo gravitato gravitatorio, rio, y un prot´ on on ser´ se r´ıa ıa una “fuente” de campo electrostático. atico.

1

64

M´ as as que en puntos puntos singulares, singulares, sitios sitios donde la fuerza es infinito. . . (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]

Cap´ıtulo 11

Gravitaci´ on on y campo gravitatorio 11.1. 11.1.


 = ma es muy util La ley de Newton F u ´ til para indagar cómo omo se mueve un cuerpo sometido a una cierta fuerza, pero no obstante hay algunas situaciones en las cuales hay que indagar cual es la fuerza a la que se ve sometido un cuerpo determinado. Entre estas fuerzas las más as conocidas son la gravitatoria y la electrostática, atica, de aspecto aspec to muy similar s imilar pero or´ or´ıgenes distintos d istintos.. No obstante estas fuerzas aparecen gracias a una extraña na “acción on a distancia”. Para evitar este concepto se introduce el concepto de campo, como una “deformaci´ on” on” que sufre el espacio 1 que posibilita esta acción on a distancia distanc ia entre e ntre unas u nas part´ıculas ıculas y otras.

11.2 11 .2..

Ley Ley de de la gra gravita vitaci ci´ ´ on on universal

11.2.1. 11.2.1.

Enunc Enunciad iado o

Esta ley, descubierta por Newton, afirma que dos masas cualesquiera experimentan una atracción on entre ellas en la l´ınea que une sus cuerpos y que dicha atracción on es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir  = G M m r F (11.1) r2

−

En esta ley si tomamos r =

||





x2 + y 2 podemos po demos decir también en que

F x F y

= =

GM m −GMm GM m −GMm

x r3 y r3



Donde M es la masa de un cuerpo, m la del otro, r el m´ odulo odulo de la distancia 1 que hay entre ellos, que podemos expresar como r = x2 + y 2 + z 2 2 y G es la constante de gravitación on universal cuyo valor experimental es aproximadamente



G = 6, 6 ,672 10−11 m3 kg −1 s−2 .

·

1

O el espacio-tiempo.

65



´ Y CAMPO GRAVITATORIO CAPÍTULO 11. GRAVIT GRAVITACI ACION

11.2. 11 .2.2. 2.

Las Las ley leyes de Kep Keple ler r

Estas Esta s leyes de ´ındole ınd ole emp´ırica ıri ca son 1. Los plan planeta etass descr describen iben órbitas orbitas el´ el´ıpticas y planas alrededor de su sol, donde éste ultimo u ´ ltimo ocupa el foco de la elipse. 2. El vecto vectorr de de posic posici´ i´ on con respecto al sol de un planeta cualquiera barre áreas on iguales iguales en tiempos iguales. iguales. 3. Los planetas planetas que giran giran alrededo alrededorr de una misma misma estrella estrella cumplen cumplen que T 2 siendo T su periodo y R la distancia a la estrella.

11.2.3 11.2.3..

∝ R3 ,

Princ Principi ipio o de de superpos superposici ici´ on o ń

La ley descubierta por Newton se aplica al hallar la fuerza de atracción entre dos unicos u ´ nicos cuerpos puntuales. Por eso es lógico ogico preguntarse que sucederá cuando tenemos tres o más as cuerpos cuerp os que se atraen gravitatoriamente gravitatoriamente entre s´ s´ı. Para ello se ha descubierto el principio de superposición. on. Este principio indica simplemente que, a la hora de calcular cual será la fuerza que siente si ente una part´ıcula ıcula por otro conjunto de part par t´ıculas, basta sumar vectorialmente vectorialm ente las fuerzas. Esta propiedad, pese a que estamos acostumbrados a ella, no deja de ser sorprendente. De alguna forma la perturbación on que se crea en el espacio y que logra que los cuerpos se atraigan, es independiente de si ya existe otra perturbación creada por el mismo cuerpo, y simplemente se suman sus resultados respectivos para formar el total. Ampliaci´ on on

ısica en muchos campos se suele ◦ Esta propiedad general que presenta la f´ llamar llama r lineali l inealidad. dad. Tambi´ en en a veces se habla ha bla de f´ısica ısica lineal, linea l, óptica optica lineal, etc... indicando aquellos ámbitos ambitos en los que es válido alido afirmar que la perturbación on total es simplemente la suma de las perturbaciones parciales.

Recuerda

 Para un conjunto de part´ part´ıculas la fuerza gravitatoria que experiexp erimenta una part´ part´ıcula es, simplemente, la suma de los vectores de cada una de las fuerzas involucradas.

11.3 11 .3..

Campo Campo gra gravita vitato tori rio o

11.3. 11 .3.1. 1.

Conc Concep epto to

Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol “tira” de él, el, a través es de los millones millone s de kilómetros ometros de espacio es pacio vac´ vac´ıo e inerte, usando para ello un concepto denominado “acción on a distancia”, es decir, esta misteriosa capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que “haya nada en medio”. No obstante otra forma más as f´ısica ısica de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol crea alg´ un un tipo de perturbación, on, crea una entidad que hace que, cuando un planeta se sit´ ua ua en el mismo mi smo espacio, e spacio, éste este se sienta si enta atra at ra´´ıdo. A esta est a perturba p erturbaci´ ción on es a la que denomina campo. Ampliaci´ on on

¿Pero por qu´ e afirmar que es más as f´ısico suponer la existencia de este ◦ ¿Pero campo?. Para ello valgámonos amonos de un ejemplo sencillo. Si en un estanque en el cual hay bastantes olas porque un niño no se está ba˜ nando enfrente, nosotros nando dejamos dejamos caer un corcho corcho de una b otella observaremos observaremos que ´ este este oscila. La interpretaci´ on on de “acción on a distancia” postular p ostular´ ´ıa que es el niño no el que, de una forma quiz´ as “misteriosa” ha logrado hacer oscilar el corcho. La interpretación as de campo sostiene que el niño no crea una perturbación on en el medio, en este caso

66



el agua, que se transmite transmite y llega hasta el corcho, corcho, haci´ haciéndole endole oscilar. oscilar. Incluso Incluso podr´ıamos ıamos ver que, como las ondas son esf´ ericas ericas y se van haciendo cada vez m´ as as grandes, si su energ´ energ´ıa permanece p ermanece constante, como ha de repartirse entre la longitud de la onda total, que es 2 πr , su efecto decrecer´ a con el inverso de la distanc d istancia. ia. Podr´ıamos ıamos postular postu lar as´ as´ı la ley de acci´ a cción on a distancia del niño no sobre los corchos de botella como “todo niño no en un estanque genera una fuerza oscilatoria sobre los corchos de los alrededores que depende directamente de la fuerza del ni˜ no e inversamente de la distancia a dicho niño”, pero no obstante no es mucho más as natural pensar que el niño no se limita a realizar una perturbaci´ on que afecta tarde o temprano al corcho. Estas dos formas de ver el mismo fenómeno, no obstante, obstante, dejan claras dos diferencias extraordinariamente importantes: 1.

En la “acc “acci´ i´ on a distancia” no parece haber ningún on un inconveniente para que dicha acción on se ejerza instantáneamente, aneamente, pero en cambio cuando usamos el concepto de campo parece lógico que la perturbación on se propague y tarde, por consiguiente, cierto tiempo en alcanzar su objetivo. Vemos pues que existe as´ as´ı una forma mucho mucho más as tangible de ver si el Sol genera un campo o una acción a distancia. La respuesta es un campo, aunque tendr´ıamos ıamos que irnos hasta la mec´ m ecánica anica relativista, que escapa de los objetivos de este libro, para comentar que, efectivamente, la gravedad “tarda” en llegar desde el Sol hasta nuestro planeta cierto tiempo. Concretamente, si logr´ asemos quitar repentinamente el Sol de asemos nuestro nuestro Universo Universo la Tierra no se enterar enterar´ ´ıa de su ausencia ausencia gravitatori gravitatoria a hasta pasado un cierto tiempo. tiemp o. ¿A qu´ e velocidad se propaga esta alteraci´ on on gravitatoria? gravitatoria? A la velocidad de la luz c, como casi todo en mecánica anica relativista.

2.

La presenc presencia ia de un campo implica implica de alguna alguna forma la existen existencia cia de un “medio” que propague la perturbación. on. Este medio ser´ ser´ıa el agua, en el ejemplo did´ actico actic o expuesto expuest o anteriormente, anterio rmente, y el vac´ vac´ıo en nuestro nuest ro caso conco ncreto de la gravedad (y el electromagnetismo). el ectromagnetismo). Por tanto el “vac´ “vac´ıo” no est´ a tan vac´ vac´ıo como parece, sino que debe presentar presentar una cierta estructura que permita transmitir estas alteraciones. A esta estructura Albert Einstein, Einstein, Minkows Minkowsky ky y otros la denominaron denominaron espacio-tiempo. espacio-tiempo.

11.3.2. 11.3.2.

Entid Entidad ad matem matem´ atica a ´tica

Partiendo de la ecuación on (11.1 11.1)) de Newton para la gravitación on podemos ver que, si consideramos un cuerpo aislado, podemos suponer que este ejerce un campo igual a la fuerza que experimentar´ experimentar´ıa una part´ part´ıcula de masa m dividido, precisamente, por esta masa m. As´ As´ı tenemos tenemos que el campo gravitato gravitatorio, rio, que llamaremos llamaremos g es, simplemente  f g = . m  El campo gravitatorio g que que exis existe te en cual cualqu quie ierr siti sitioo del del espa espaci cioo es igual a la fuerza neta que experimentar´ experimentar´ıa una part´ part´ıcula de masa m en dicho punto dividida por esa misma masa.

Recu Recuer erda da

De esta manera, de forma general, tendremos que el campo g que genera una part par t´ıcula ıcul a de masa m será Gm g = r. r. r2

−

11.4.



Energ´ Energ´ıa potencial gravitatoria gravitatoria

Resulta muy interesante interesante hacer un estudio sobre la energ´ıa ıa potencial p otencial que puede tener un cuerpo por el hecho de estar sumergido en un campo gravitatorio. SabeF´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

67


mos ya que los campos gravitatorios producidos por una part´ıcula ıcula puntual, serán an centrales y que toda fuerza central es conservativa y, por tanto, tendrá una un a energ´ ene rg´ıa ıa potencial. potencial. Ahora bien, saber cuál al será ésta esta puede ser o no sencillo. Veremos en este caso cuál al es dicha energ en erg´´ıa potencia p otenciall gravitatoria. gravit atoria. La energ´ energ´ıa potencial es fácilmente acilmente obtenible obtenible a trav´ trav´ es es del trabajo que supone desplazar una part´ part´ıcula o cuerpo desde una posición on hasta otra. Esto es as´ as´ı porque esta magnitud nos expresa una cierta energ´ energ´ıa “especial”, ya que la tiene el cuerpo por ocupar una posición, on, y la energ´ıa ıa está ´ıntimamente relacionada con el trabajo. As´ As´ı podemos po demos plantear cuál al será dicho trabajo como



B

W AB AB =

 (r) d F ( F l.

·

A

Como dicho trabajo resulta venir de una fuerza conservativa central emplearemos la misma t´ ecnica ecnica que se usaba para ver que las fuerzas centrales eran conservativas: conservativas: separamos mentalmente la trayectoria en órbitas orbitas perpendiculares a la fuerza, en las cuales el trabajo será cero, y otras paralelas a dicha fuerza. En las fuerzas centrales las órbitas orbitas perpendiculares p erpendiculares en todo punto a la fuerza resultan ser c´ırculos conc´ con céntric ent ricos. os. As´ı pues pu es sólo olo va a intervenir el trabajo realizado por alejar o acercar un cuerpo del origen, y la ecuación anterior pasará a ser



rB

W AB AB =

F ( F (r)dr,

rA

en donde sólo olo intervienen los módulos. odulos. Basta ahora recordar que F = obtener que rB GMm GM m 1 1 W AB = dr = GMm GM m . AB 2 r rB rA rA



 −

Como W AB AB = E p (r A)

GMm r2

para

− E (r ) tenemos por fin que: p

B

E pgrav (r) = Nota

−



−

GM m . − GMm r

(11.2)



68

1.

Intentando Intentando interpretar interpretar el resulta resultado do (11.2) 11.2) tenemos tene mos que qu e para par a que la energ´ en erg´ıa ıa potencial gravitatoria de un cuerpo sea cero éste este debe encontrarse ¡en el infinito!. ¿C´ omo se entiende esto?. Como el alcance de la fuerza graviomo tatoria es infinito el hecho de que un cuerpo deje de sentirla supone que ´ es, en principio el significado dicho cuerpo está infinitamente alejado. Ese de esta elecci´ on on de origen de energ´ energ´ıa potencial.

2.

Otro dato significativo significativo es el hecho de que dicha energ´ energ´ıa sea negativa negativa.. Hasta ahora todas las energ´ıas ıas nos hab´ hab´ıan salido positivas. posi tivas. ¿Qué puede significar que una energ´ıa ıa sea negativa?. Para ello vamos a pensar p ensar en lo que supone tener un cuerpo con energ´ıa ıa cero. Teóric or icam ament entee éste est e ser´ s er´ıa ıa un cuerpo incapaz de producir trabajo alguno. No es dif´ dif´ıcil asociar asoci ar este cuerpo con uno situado en el vac´ vac´ıo más as absoluto, aislado y quieto en nuestro nuestro sistema de referencia. Como no tiene velocidad ni hay perturbación alguna su energ´ energ´ıa deber´ deber´ıa ser cero. Pensemos ahora en que hay que hacer para que qu e un cuerpo cu erpo parado en las cercan´ıas ıas de otro llegue a tener tene r energ ener g´ıa cero. Para ello deber´ deber´ıamos aislarle del otro, y para hacerlo le alejamos alejamos hasta el ∞. Ahora bien, como el otro cuerpo le atrae hemos de aportar energ´ıa ıa para alejarl ale jarle e hasta dejarle aislado. Ahora bien, si para que este cuerpo tenga una energ´ energ´ıa nula hemos de darle darl e nosotros energ´ ene rg´ıa, ıa, signific sign ifica a que, de alguna forma, este cuerpo “debe energ´ıa”, ıa”, pues hemos de dársela arsela nosotros para que su energ´ energ´ıa total sea cero. Precisamente como “debe” energ´ıa ıa tenemos tenemo s que su E p es menor que cero. (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


11.5. 11.5.

Prob Proble lema mass conc concre reto toss

11.5.1.

C´ alculo alculo de la fuerza gravitat gravitatoria oria ejercida ejercida por un sistema tem a de part par t´ıcula ıcu lass

Recordando el principio de superposición on enunciado en 11.2.3, 11.2.3, para calcular la fuerza que sobre s obre una part p art´´ıcula de masa ma sa m y radio r ejerce un sistema de i part´ pa rt´ıcul ıc ulas as con masas mi , i = 1,...,N 1 ,...,N y radios ri basta “sumar” todos los campos producidos, producidos, esto es N N Gmmi   F = F i = (r ri ) 2 (  r  r ) i i=1 i=1

 −

11.5.2.

−

−

C´ alculo alculo de la fuerza gravitatoria gravitatoria ejercida ejercida por un cuerpo continuo

Si debemos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo continuo deberemos, aplicando el principio enunciado en 11.2.3, “sumar” todas las contribuciones. Para una suma continua hemos de recurrir al cálculo alculo integrar y lograr log rar as a s´ı conseguir con seguir  = F

 −

Gm

(r0

2

− r)

−

(r0

r)dm.

Después es como com o se hace usualmente u sualmente se reemplaza reem plaza dm por ρ(r)dV y se integra. Nota

on, que en el caso general puede resultar complicada, queda on,  Esta integraci´ muy simplificada en problemas que presenten simetr´ıa ıa eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas.

11.5.3.

Problemas de sat´ sat´ elites elites

Para resolver problemas de sat´ elites elites generalmente basta con lograr relacionar su velocidad con la altura a la que órbita. orbita. Para ello se supone que describen una órbita orbita circular circular a velocidad velocidad angular angular constante constante y que, por tanto, tanto, debe existir existir una fuerza fuerza que proporcione la aceleración on normal necesaria. Esta fuerza es la gravitatoria. Sabiendo entonces que v2 GMm GM m m = R R2 y relacionando v con otras magnitudes como v = Rω y ω = 2T π suele bastar para sacar estos problemas.

11.5.4. 11.5.4.

Velocida elocidad d de escape escape

Se llama velocidad de escape a aquella que hay que dar a un cuerpo para que logre desligarse de la atracción on gravitatoria a la que se encuentra sometido. Como desligar a un cuerpo de la atracción on gravitatoria supone en cierta medida aislarlo del cuerpo que lo atrae, necesitaremos que la energ´ energ´ıa que tenga dicho cuerpo, sea, por lo menos, nula. En caso contrario tendrá una cierta energ´ıa ıa potencial p otencial negativa, que q ue supondrá que a´ un un se encuentra ligado con el sistema que le atrae. As´ As´ı pues tomando que la energ´ energ´ıa total, suma de cin´ etica etica y potencial debe ser cero, tendremos que 1 mv 2 2

GM m =0 − GMm r

y de aqu´ aqu´ı se puede extraer dicha dicha conclusi´ conclusi´ on. Se ha aplicado la ecuación on. on ( 11.2 11.2). ). Es notable que la resolución on de este problema supone el claro entendimiento de la sección on 11.4. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

69


D

dm

x

L Figura 11.1: Campo g generado por una varilla delgada.

11.5.5 11.5.5..

Medid Medida a de la grav gravedad edad en la superfici superficie e de un planeta planeta

El valor de g en la superficie de un planeta será sencillamente el valor que el campo g tiene en dicho punto y, por tanto g =

GM R2

donde M es la masa del planeta y R el radio que dicho planeta tiene.

11.5.6.

C´ alculo alculo de la atracci´ atracci´ on gravitatoria de algunos s´ on olidos olidos simples

Para Para algunos algunos sólidos olidos simples simples o que presenten presenten simetr simetr´ıa se puede calcular calcular con relativa sencillez la atracción on gravitatoria que ejercen, o su campo g. Generalmente bastar´ a integrar en unos casos y aplicar astutamente el teorema de Gauss en otros. Varilla delgada horizontal

Para lograr calcular cual puede ser el campo que se ejerce a una distancia D de una varilla delgada, como la de la figura 11.1 tomemos un punto cualquiera a una distancia x. La peque˜ na na masa dm generar´ a un campo d g que será d g=

ˆı. ı. −G dm x2

En estos casos siempre se toma t oma la varilla homog´ enea, enea, de donde dm = λdx, λdx, aunque si no lo fuera tendr´ıamos ıamos que dm = λ(x)dx y se integra entre los extremos que hay masa, es decir, x variando entre D y D + L. As´ı tenemos tene mos que

 

L+D

g =

d g=

D

donde hemos sustituido λ =

−

λ GM G 2 dxˆ dxˆı = x L



1 D

−



1 ˆı L+D

M . L

Plano infinito

Si tenemos un plano infinito y queremos hallar el campo en cualquier punto tendremos que, necesariamente, en dicho punto el campo tiene que ser perpendicular al plano. Esto es as´ as´ı porque al ser el plano infinito en cualquier cualquier zona que estemos estamos “en el medio del plano”, es decir, hay la misma cantidad de masa en todas las direcciones. Podemos usar el teorema de Gauss para resolver este problema. Tomando como superficie un cilindro perpendicular al plano y de tal manera que la mitad este a un lado y la otra mitad al otro tendremos que el flujo total que atraviesa será φ = 4πGM donde M = σS siendo σ la densidad superficial y S el área area que encierra el cilindro, que será la misma que la de su tapa. EL flujo se puede calcular fácilmente. acilmente. Será solamente el de las tapas, pues los bordes resultan

−

70



paralelos al campo que, como hemos dicho antes, es perpendicular. En las tapas, por simetr´ simetr´ıa, el campo será el mismo a lo largo de toda la tapa, y como además as será perpendicular a ella tendremos que el flujo total resulta ser φ = 2Sg donde el 2 es debido a que tiene dos tapas, y Sg es sencillamente el campo por la superficie que, en este caso particular y sencillo, nos dará el flujo. Relacionando ahora con la ecuación on de Gauss anteriormente escrita tenemos que 4πGσS = 2Sg y de esta manera deducimos que g = 2πGσ que, de forma un tanto sorprendente, no depende de la distancia a la que estemos del plano.

−

−

−

−

Nota

 Como ejercicio puede ser interesante plantearse el campo gravitatorio que generar genera r´ıa un hilo hi lo recto r ecto homogéneo eneo infinitamente infini tamente largo.

Campo gravitatorio de un objeto obj eto esf´ erico erico homog´ eneo eneo 2

Si tenemos un objeto esf´ erico erico homog´ eneo eneo podemos decir, por simetr´ simetr´ıa, que el campo que genere será central. Entonces tomaremos como superficie de Gauss una esfera más as grande que el objeto, conc´ entrica entrica con él el y cuyo radio, tomando como origen el centro del objeto, sea r. Dado que el campo de la esfera esfera es central central éste este cortará perpendicularmente a la superficie de Gauss en todo punto, de donde el flujo ser´ a sencillamente φ = g4πr 2 pues g es el módulo odulo del campo, a´ un un no sabemos 2 cuanto, y 4πr 4πr la superficie total de la esfera que usamos como superficie de Gauss. Igualando este resultado con (10.2 ( 10.2)) tendremos que

−

gπ r2 = −4πGm −4gπr y, por tanto, el resultado es que la esfera actúa ua como si toda su masa estuviera concentrada en su centro, pues Gm g= 2 . r

2

Al menos a capas.


71


72


Cap´ıtulo 12

Campo Camp o y potencial otencial el´ ectrico ectrico 12.1 12 .1..

Prel Prelim imin inar ar

Las leyes de este tema y las formas de resolución de problemas son muy similares en forma y contenidos a las del tema anterior. Por esta razón on se verán an un poco más as escuetamente sus leyes. De todas to das formas hay que tener en cuenta que esta analog´ analog´ıa se produce entre dos magnitudes tan diferentes como la atracción on gravitatoria y la eléctrica, ectrica, cuya diferencia diferen cia en órdenes ordenes de magnitud es del orden de 10 2 0.

12.2 12 .2..

Ley Ley de Coul Coulom omb b

Dos cargas eléctricas ectricas puntuales se atraen (o repelen) entre s´ı con una fuerza dada por  = 1 qQ rˆ F (12.1) 4π 0 r2 Q y q son los valores de las cargas involucradas, que deberán llevar su corres1 pondiente signo, 0 se denomina permitividad del vac´ vac´ıo. A veces al valor 4π se le 0 9 2 2 denota con la letra K y su valor aproximado es de 9, 9 ,00 10 N m /C .

·

12.2.1. 12.2.1.

Princi Principio pio de superpos superposici ici´ on o ń

La fuerza que ejercen un sistema de cargas sobre otra es igual a la suma (vectorial) de las fuerzas de cada una de las cargas del sistema sobre la otra. Quiere decir esto que dado un sistema de cargas puntuales de posiciones ri y cargas qi , la fuerza que ejercen sobre otra carga q situada situada en r será N

 = F

 i=1

12.3.

1 qi q ri 4π0 ri r 2

 | − | −

r.

Campo el´ ectrico ectrico

Es la fuerza por unidad de carga que experimentará una carga en cierta posición on del espacio. Obedece a la fórmula ormula   = F . E q Debido también en al principio principi o de superposic super posici´ ión, on, la expresión on del d el camp ca mpoo eléctrico ectr ico en en una posición on r del espacio creado por un sistema de N cargas de valor qi , i = 1, . . . N 73

´ CAPÍTULO 12. 12. CAMPO Y POTENC POTENCIAL IAL ELECTRICO

y posición on ri será N

 

 = E

i=1

1 qi ri 4π0 ri r 2

  | − | −

| − | − r.

En el caso de tener un sistema continuo esta fórmula anterior quedará transformada en 1 ρ(r  )   = E r rdV. r r 2 V 4π 0  Recuerda

 La fuerza fuer za y el campo eléctrico ectrico son magnitude ma gnitudess vectoriales que cumplen el principio principio de superposici´ superposici´ on. on. Por tanto se podrán an sumar como vectores.

12.4 12 .4..

Ley de Gau Gauss

Recordando que el flujo es la cantidad de campo vectorial que pasa por unidad  el flujo será de superficie, tendremos que, para el campo eléctrico ectrico E φE =

 ·

 dS.  E

S

Siguiendo un razonamiento similar al que se puede realizar para el caso gravitatorio, la ley de Gauss nos dice que φE = 4πK Q = Nota

Q . 0

En este caso, como las cargas pueden ser tanto positivas como negativas, puede resultar que, pese a que existan cargas en el interior de la superficie su carga neta sea nula (se anulen unas con otras) y el flujo sea cero. 

La ley de Gauss resulta muy útil util para la resolución on de problemas problema s con c on simetr´ıa ıa plana, plan a, cil´ındrica ınd rica o esférica. eric a.

12.5. 12. 5.

Potencial Potenc ial y energ ene rg´ ´ıa el´ ectrica ectr ica

Potencial es la circulación on del de l campo cam po eléctrico ectrico entre dos d os puntos pu ntos A y B , es decir



B

V ( V (rA )

V (r − V (

B) =

 (r) d E l.

A

·

(12.2)

 = qE  tendreSi en esta fórmula ormula multiplicamos ambos miembros por q, como F mos que el traba jo el´ ectrico ectrico realizado para desplazar una carga q desde una posición on A hasta otra B será simplemente W A→B = q(V ( V (A) V ( V (B )). An´ alogamente alogamente la energ´ıa ıa eléctrica, ectrica, es decir, la energ´ıa ıa potencial poten cial eléctrica ectrica que tendr´ a una carga por encontra encontrarse rse inmersa inmersa en un campo el´ ectrico, ectrico, será tal que W A→B = E p (rA ) E p (rB ) = q (V ( V (A) V ( V (B )). Esto supone que

−

−

−

E pe (r) = qV ( qV (r). Recuerda

 Tanto anto la energ energ´ıa como el potencial potencial y el trabajo son magnitudes magnitudes an a n como un n´ umero umero normal (con sus escalares y por tanto se expresar´ correspondientes unidades, eso s´ı). Además, as, en virtud del principio de superposición on el potencial eléctrico ectrico de un conjunto de part´ part´ıculas es la suma del creado por cada uno de ellas. Como el potencial es escalar ser´ a tan f´ acil como sumar sus magnitudes. acil 74


´ CAPÍTULO 12. 12. CAMPO Y POTENC POTENCIAL IAL ELECTRICO +

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

V1

V2

+

-

+

-

V

Figura 12.1: Asociación on de condensadores en serie y en paralelo.

12.5.1.

Algunos casos particulares de potencial el´ el´ ectrico ectrico

Carga puntual

 para una carga puntual, que es Usando la ecuación on (12.2 12.2)) con el valor de E  = 1 q2 rˆ e integrando, se llega fácilmente E acilmente a la conclusión on de que 4π 0 r V ( V (r) =

1 q . 4π0 r

Campo Camp o el´ ectrico ectr ico constante const ante

Un sencillo uso de (12.2 ( 12.2)) nos lleva directamente a la expresión on V ( V (x) =

−Ex,

 es constante, y as´ donde suponemos que el campo E as´ı el potencial depende de una cierta cantidad unidimensional x. Un buen ejemplo ser´ ser´ıa el campo creado por un plano cargado infinito. En este caso x ser´ ser´ıa la distancia distanc ia al plano.

12.6. 12.6.

Cond Conden ensa sado dore ress

Un condensador es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica. ectrica. Básicamente están an formados por dos conductores situados uno frente al otro, lo más cerca posible, posible, dejando dejando entre entre medias medias de ellos un aislante aislante que puede ser el “vac “vac´´ıo” o un diel´ di eléctric ect rico. o. Existe una relación on de proporción on entre el potencial creado entre los dos “polos” de un condensador y la carga almacenada. Matemáticamente aticamente se puede expresar de una manera simple como Q = CV ,

·

donde C es la constante de proporcionalidad, denominada capacidad . La unidad de la capacidad es el faradio. Nota

 Un faradio es una unidad muy grande. (Al estilo del culombio). Por ello lo com´ un un es encontrarse encontrarse con microfaradios microfaradios,, nanofaradio nanofaradioss o picofaradios picofaradios..

12.6 12 .6.1. .1.

Asoci Asociac aci´ i´ on de condensadores on

Serie

En dos condensadores situados en serie, como en el primer gráfico de la figura 12.1 la diferencia de potencial total que cae entre el primero y el segundo será la F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

75

´ CAPÍTULO 12. 12. CAMPO Y POTENC POTENCIAL IAL ELECTRICO

suma de las diferencias parciales de cada condensador, es decir, ∆ V T T = ∆V 1 + ∆V 2 . No obstante, al encontrarse unidos en serie la carga de ambos deberá ser igual igual 1 , y adem´ as as será la carga total almacenada por la asociación. on. As´ As´ı tenemos que Q1 = Q2 = QT y podemos poner ∆V t = ∆V 1 + ∆V ∆V 2 =

Q Q + C 1 C 2

y de aqu´ aqu´ı se deduce fácilmente acilmente que la capacidad efectiva de la asociación on es 1 1 1 = + . C C 1 C 2 Paralelo

Si situamos dos condensadores asociándolos andolos en paralelo, como se puede ver en el segundo dibujo de la figura 12.1, tendremos que la diferencia de potencial entre ambos deberá ser igual, y además as será la diferencia de potencial total. Esto es as´ as´ı porque p orque tenemos unidos los dos “polos” de los condensadores por un conductor, y por tanto la ca´ıda ıda de potencial entre los “polos” opuestos tiene que ser la misma. A su vez, como cada condensador almacenará una carga distinta, tendremos que para la asociación on total QT = Q1 + Q2 = C 1 ∆V + C 2 ∆V = (C ( C 1 + C 2 )∆V. )∆V. Se ve pues, de manera sencilla, que la capacidad efectiva o equivalente de dos condensadores asociados en paralelo obedece a la ley C = C 1 + C 2 .

1

76

Pues si no se pro ducir´ ducir´ıa un desplazamiento desplazamiento de cargas. (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]

Cap´ıtulo 13

Movimiento arm´ onico onico simple 13.1. 13.1.


Hay muchas situacion si tuaciones es en f´ısica en las cuales la fuerza fu erza que qu e siente una part p art´´ıcula en cierto sistema es proporcional a un desplazamiento respecto cierto punto “de equilibrio”. Es decir, existen sistemas para los cuales es válida alida la ley de Hooke F =

−kx

(13.1)

o al menos, lo es manteniendo el móvil ovil entre ciertos l´ımites. Estos sistemas se dice de ellos que describen un movimiento armónico onico simple. La intención on de este apartado es estudiar este tipo de movimientos, dada su importancia importancia y su sencillez sencillez.. estudio que se haga en este cap´ cap´ıtulo se tratará el problema  En todo el estudio de manera unidimensional. demostrar que la gran mayor´ mayor´ıa de los sistemas que tiene un ◦ Se puede demostrar punto de equilibrio estable admiten un tratamiento armónico onico para peque˜ nas nas oscilaciones en torno a dicho punto. Esto se puede ver desarrollando en serie de Taylor alrededor del punto y dándose andose cuenta de que como la primera derivada ser´ a nula el primer t´ ermino ermino que aparecer´ a ser´ a, a, precisamente, el t´ ermino ermino de un potencial armónico: onico: k2 x2 .

13.2.

Din´ amica amica del sistema

13.2 13 .2.1. .1.

Ecua Ecuaci ci´ on o ń del movimiento

Si aplicamos la ley de Newton, F = ma junto con la ley de Hooke, obtendremos que ma = Kx ma + Kx = 0.

−

⇒

Esta sencilla ecuación on es, no obstante, algo más as complicada de resolver que otras anteriores, puesto que las magnitudes involucradas, a y x dependen La una de la dx otra, concretamente como a = dt 2 dx K + x=0 dt2 m que constituye una ecuación on diferencial, ya que involucra derivadas de funciones con la propias funciones. Resolver esta ecuación on está bastante m´ as as allá del ámbito ambito de este curso, pero a´ un un as´ı es fácil acil darse cuenta de que las funciones sin y cos van a tener 77

Nota

Ampliaci´ on on

´ CAPÍTULO 13. 13. MOVIMIENT MOVIMIENTO O ARMONICO SIMPLE

algo que ver, dado que son las únicas unicas que al ser derivadas dos veces y sumadas consigo mismas dan nulo. Manipulando algunos coeficientes en estas funciones y operando operando se encuentr encuentraa la soluci´ solución on m´ as general a este movimiento, que es as x = A sin(ωt sin(ωt + φ)

(13.2)

y que por tanto constituye la ecuación on de movimiento de un sistema que cumpla la ley de Hooke, o bien de un movimiento armónico onico simple. Significado de la ecuaci´ on on

En esta ecuación on A es la amplitud máxima axima que puede recorrer el móvil, ovil, ω es la frecuencia angular de la oscilación, on, es decir, el número umero de “radianes” que da en un segundo. Como parece que la palabra radián an no tiene sentido para un muelle, por ejemplo, quizás as sea preferible pensar en la frecuencia del movimiento f = 2ωπ es decir, el número umero de oscilaciones completas que da en un segundo, o bien tomar 2π T = ω el periodo de la oscilación, on, que será el tiempo que tarda nuestro sistema en dar una oscilación on completa. Por ultimo u ´lt imo ¿qué será φ?. Notemos que, si tomamos t = 0 tendremos que en el instante 0, el cuerpo que realiza un movimiento estaba en la posición x = sin(φ sin(φ), por lo que φ, parámetro ametro al que se conoce con el nombre de fase, nos indica cuando empieza el movimiento.

13.2.2 13.2.2..

Periodi Periodicid cidad ad de de la ecuac ecuaci´ i´ on on

Fij´ andose andose en la ecuación on (13.2 13.2)) se puede observar que, la existencia de una funci´ on seno para describir este movimiento, nos va a llevar irremediablemente hacia on un movimiento de tipo periódico. odico. Efectivamente, si tuvi´ tuv iéramos eramos un resorte resor te perfecto, pe rfecto, este estar´ estar´ıa oscilando “eternamente” describiendo el mismo movimiento movimiento en cada oscilaci´ on. on. Para adivinar cada cuanto se repite el movimiento bastará igualar el argumento del seno a 2π 2π, pues como se sabe sin(2π sin(2π + φ) = sin(φ sin(φ). De esta manera tendremos que el movimiento se repetirá, a, esto es, hará un periodo, cuando ωt = 2π , lo cual supone que el periodo T será, a, como ya hab h ab´´ıamos dicho, T = 2ωπ . Es también en frecuente fre cuente describir d escribir el movimiento movim iento arm´ ar mónico onico simple como la analog´ıa ıa de una proyecci´ proyecci´ on on sobre el eje OY o bien OX de un movimiento circular de velocidad angular constante ω .

13.2.3 13.2.3..

Velocida elocidad d

Para hallar la velocidad que un móvil ovil sometido a una fuerza armónica onica presenta en un instante t basta derivar su ecuación on del de l movimiento. movimi ento. As´ı tendremos ten dremos que, como dx v = dt v = Aω cos(ωt cos(ωt + φ), relaci´ on que nos ofrece la velocidad de un movimiento armónico on onico para cualquier instante. Es también en común un relacionar la velocidad con la posición, on, cosa sencilla 2 notando que cos = 1 sin y que, por tanto

 −

Aω cos(ωt cos(ωt + φ) = Aω

 − 1

sin2 (ωt + φ)

de donde, donde, introducie introduciendo ndo la amplitud amplitud A en la ra´ız ız cuadrada cuad rada v=ω 78

 − A2

A2 sin2 (ωt + φ) (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


y ahora, echando un vistazo a la relación on (13.2 13.2)) se ve que v=ω

 − A2

x2 ,

siendo esta la relación on entre v y x buscada.

13.2 13 .2.4. .4.


La aceleración on a la que se encuentra sometido un móvil ovil que describe un movidx miento armónico onico simple se puede obtener teniendo presente (13.2 ( 13.2)) y que a = dt 2. Por tanto a = Aω2 sin(ωt sin(ωt + φ).

−

Si queremos obtener una relación on de la aceleración on con respecto a la posición on del m´ ovil podemos recurrir a observar la similitud entre la ecuación ovil on anterior y la que describe la ecuación on de movimiento de un m.a.s., o bien utilizando las leyes de Newton y Hooke poner que F = ma =

13.3.

Energ´ Energ´ıa

13.3.1 13. 3.1..

Energ´ ıa ıa cin´ etica etic a

x. −K x ⇒ a = − K m

Partiendo de la relación on de la energ ener g´ıa cinética eti ca de un móvil, ovil, y de la ecuación on de velocidad del m.a.s. se tiene que E c =

1 K cos K cos2 (ωt + φ), 2

o, relacionándolo andolo con la posición on E c =

13.3.2.

1 K (A2 2

− x2).

Energ´ Energ´ıa potencial

¿Es conservativo el movimiento armónico onico simple? ¿Podemos definir un potencial para él?. el?. La respuest r espuestaa es s´ı, por p or tratarse t ratarse de una fuerza central 1 . En este caso ¿cuál al será el potencial?. Para hallarlo recordamos que



B

W A→B = E p (A)

− E (B) = p

F dx,

A

y que, por tanto, tendremos que

 − B

E p (A)

− E (B) = p

Kxdx =

A

−

1 K x2 2



B

= A

− 12 KB 2 + 12 KA 2,

siendo ahora ya muy sencillo identificar la energ´ energ´ıa potencial p otencial en una posici´ p osición on x como E p (x) =

1 Kx 2 . 2

1

Aunque estemos haciendo un estudio unidimensional, no por ello dejamos de tener una fuerza central. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

79


13.3.3 13. 3.3..

Energ Ener g´ıa mec´ anica anic a

Para obtener la energ´ energ´ıa mecánica anica o total puesta en juego en un movimiento arm´ onico onico simple s imple sumaremos sumaremo s las energ´ıas ıas potencial p otencial y cinética etica respecto respec to a la posici´ p osición. As´ As´ı tendrem ten dremos os que 1 E T K (A2 T = 2

− x2) + 12 Kx 2 = 12 A2.

Nota

onico simple se ve, de una forma que casi roza onico  En el movimiento arm´ en lo magist magistral, ral, lo que la conser conserv vaci´ ación on de la energ´ energ´ıa supone en f´ısica. En este caso toda la energ´ energ´ıa está dada por la fórmula ormula 12 A2 , que es la energ´ energ´ıa potencial potencial m´ axima axima que alcanz alcanza a el muelle muelle por separa separarle rle una distancia distancia A de su posici´ on on de equilibrio. Más as tarde, cuando empieza el movimiento, éste este va adquiriendo energ´ energ´ıa cin´ etica, etica, siempre a costa de su energ´ energ´ıa potencial, y por tanto acerc´ andose andose a la posición on de equilibrio. Cuando el móvil ovil se encuentra en la posici´ on on de equilibrio su energ´ energ´ıa p otencial es nula, pero el cuerp o conserva una cantidad de energ´ energ´ıa cin´ etica etica que se irá ahora utilizando en comprimir otra vez el muelle hasta su amplitud máxima, y que contribuir´ a, a, por tanto, a incrementar nuevamente nuevamente la energ´ energ´ıa potencial. p otencial. En cualquier caso la suma de ambas nos dará la energ´ıa ıa máxima axima puesta en juego, que se conserva.

Ampliaci´ on on

En un muelle real la conservación on de la energ´ energ´ıa no se cumple, cumple, ya que siempre existen p´ erdidas erdidas por rozamiento. Estas p´ erdidas erdidas dan lugar a lo que se denomina un movimiento armónico onico simple amortiguado, ya que la amplitud va disminuyendo poco a poco, informándonos andonos a su vez de la cantidad de energ´ energ´ıa que se está perdiendo. perdiendo. Una forma de solucionar este fenómeno omeno es e s aportando apor tando algo a lgo de energ´ e nerg´ıa ıa extra ext ra al m´ ovil, para contrarrestar la que pierde por rozamiento. Esto puede dar lugar ovil, a resonancias y otros fenómenos omenos f´ısicos muy interesante i nteresantes. s. ◦

13.4.

El p´ p´ endulo endulo simple

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El p´ endulo endulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación on periódica. odica. Para estudiar esta oscilación on es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1. Vemos pues que, considerando únicamente unicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner ml

d2 α + mg sin(α sin(α) = 0 dt2

(13.3)

donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de Newton. Esto se puede ver considerando que el arco es lα y, como l es la longitud del hilo y es constante 2 , 2  = m la aceleraci´ aceleraci´ on on será l ddtα F a, en este caso la 2 . Por otra parte, aplicando fuerza es sólo olo la de la gravedad, mg que se descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión, on, m´ as otra, que es la que hace que exista movimiento en as la trayectoria marcada por el arco. Esta ecuación on diferencial no es nada fácil acil de resolver 3 y por ello recurrimos a la aproximación on siguiente: suponiendo que el ángulo angulo que desplazamos es pequeño, no,



2 3

80

Se considera un hilo inextensible. Realmente no tiene solución on anal´ ana l´ıtica. ıtic a. (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


Tensión Tensión (T)

l

α

mg sen α

α -T mg

Figura 13.1: Descomposición on de las fuerzas en un péndulo. endulo. tomamos que sin(α sin(α)

tene mos que  α y as´ı tenemos d2 α g + α=0 dt2 l

(13.4)

que a veces tambi´ en en se expresa como α ¨ + gl α = 0. Esta ecuación on es absolutamente análoga aloga a la de un movimiento armónico onico simple, y por tanto su solución on tambi´ ta mbién en ser´ se rá (13.2 13.2)) teniendo, unicamente, u ´ nicamente, la precaución on de sustituir el valor de ω antiguo por el que tiene ahora para un p´ endulo endulo ω=



g . l

A partir de aqu´ı se pueden extraer todas las demás as relaciones relacion es para un péndulo endulo simple, simple, el periodo, frecuencia, frecuencia, etc.


81


82


Cap´ıtulo 14

Ondas 14.1. 14.1.


Existen en la naturaleza muchos fenómenos omenos de los cuales se dice “tienen naturaleza ondulatoria” ondulat oria” pero ¿qué es exactamente exactame nte una onda? ¿Qué propiedades prop iedades tienen? ¿C´ omo se puede formalizar una expresión omo on matem´ atica atica de un fenómeno omeno ondulatorio?. Estas y otras cuestiones son el tema ob jeto de este cap´ıtulo. ıtulo. No obstante, antes de entrar de lleno en lo que es una onda y su formalismo, vamos a definir onda como:  Una onda es una perturbación o n f´ısic ısicaa que que tran transm smit itee ener energg´ıa y mo mo-mento lineal, pero que no transmite materia.

Recu Recuer erda da

En las ondas materiales las part´ıculas ıculas concretas que componen el material no se propagan, sino que se limitan a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. No obstante cuando una onda se transmite por dicho material se produce una sincronizaci´ on on de oscilaciones entre las distintas part´ part´ıculas componentes comp onentes del medio que posibilita la propagación on de un momento lineal y una energ´ energ´ıa. aticamente todas las ondas deben satisfacer la ecuación de ondas, aticamente ◦ Matem´ que es ∂ 2 f (x, t) 1 ∂ 2 f (x, t) , = 2 2 2 ∂x

v

∂t

siendo v la velocidad de propagación on de la onda en el medio. Se podr´ıa ıa demostrar (aunque no es trivial) que algunas velocidades de propagación de ondas son v =



T T ρl

para una onda que viaja por una cuerda de densidad lineal ρl y

tensi´ on on T as´ı como co mo v =



E1 ρ

para una onda sonora que circula por un medio

cuyo m´ odulo odulo de Young sea E y densidad sea ρ.

14.1 14 .1.1. .1.

Tipos Tipos de onda ondass

Podemos establecer criterios de clasificación on de las ondas. Algunos ser´ ser´ıan: Seg´ un el medio por el que se propaguen. un

• Ondas que requieren medio material para propagarse. Ejemplo, el sonido. • Ondas que no requieren un medio material. Ejemplo, la luz. Seg´ un un el n´ umero de dimensiones que involucran. umero 1

Se trata, por tanto, de una ecuación on para hallar la velocidad del sonido en un medio.

83

Ampliaci´ on on

CAPÍTULO ITULO 14. ONDAS ONDAS

on del movimiento en una cuer• Unidimensionales. Ejemplo, la propagación da.

• Bidimensionales. Ejemplo, olas en la superficie de un l´ıquido. • Tridimensionales. Ejemplo, el sonido normal. Seg´ un un la relación on entre la vibración on y la dirección on de propagación. on.

• Transversales. Son aquellas ondas en las cuales la oscilación es perpendicular a la dirección on de propagación on de la onda. Por ejemplo en una cuerda normal y tensa la onda se propaga de izquierda a derecha (en cierto caso particular) pero, en cambio, la oscilación de un punto concreto de la cuerda se produce de arriba a abajo, es decir, perpendicularmente a la propagación. on.

on es paralela a la oscilación. on. • Longitudinales. En este tipo la propagación

Como ejemplo, si apretamos un muelle las espiras oscilan de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, paralelas en cualquier caso a la dirección de propagación. on.

14.2 14 .2..

Ecua Ecuaci ci´ ´ on general de una onda on

Supongamos que, en una cuerda tensa, creamos una forma f en determinado instante y después es observamos obse rvamos como se s e propaga propag a a una un a velocidad veloci dad v . Esto supone que la deformación on que antes hab´ıa ıa parat = 0 en x = 0 deberá desplazarse de tal forma que, siendo coherente con su velocidad, se encuentre en x = vt en un tiempo t. Esto se puede lograr considerando la función on de onda

− 

f ( f (x, t) = f t

x v

(14.1)

que nos ofrece una ecuación on de onda que se desplaza de izquierda a derecha. Si quisiéramos eramos obtener una onda desplazándose andose de derecha a izquierda bastar´ bastar´ıa sustituir el signo por uno positivo y tener

 

f ( f (x, t) = f t +

14.3 14 .3..

x . v

Ecua Ecuaci ci´ ´ on de una onda arm´ on onica onica

La ecuación on considerada en (14.1 ( 14.1), ), si bien es correcta, no obstante es de una generalidad tan amplia que su estudio no es sencillo y no aportar´ aportar´ıa tampoco tamp oco datos muy significativos. Es por eso conveniente particularizar al caso de ondas armónicas, tomando la función on f ( f (t) como f ( f (t) = A sin(ωt sin(ωt)) tendremos que

  − 

ψ (x, t) = A sin ω t

x v

.

Esta ecuación on presenta una doble periodicidad temporal y espacial que será muy util u ´ til estudiar. No obstante antes de hacer un estudio más as formal es conveniente plantearse intuitivamente qué está sucediendo en esta onda. Como la función on sin(x sin(x) es una función on periódica odica que contiene infinitos “bucles” significa que, si dejamos el tiempo fijo y nos vamos desplazando por el eje OX desde cierto punto, tarde o temprano encontraremos otro punto desde el cual “se ve la misma forma de la onda”. La distancia entre estos dos puntos se llama longitud de onda λ y por “ver la misma forma de la onda” nos referimos a observar ondas en la misma fase, es decir, si en el primer punto vemos el seno en un máximo, aximo, por ejemplo, buscaremos en el 84


CAPÍTULO ITULO 14. 14. ONDAS ONDAS

segundo punto otra vez el seno en un máximo, aximo, o si en el primer punto está el seno en un cero, pero subiendo, buscaremos el segundo punto en la misma situación: un cero cero subiend subiendo. o. . . Otra periodicidad que encontramos se nota al tomar la distancia fija e ir variando el tiempo. Dado un cierto instante t0 veremos que en un punto fijo x0 va variando la posición on hasta que, al cabo de un tiempo t0 + T x0 se encuentra igual que en t0 . A esta cantidad T se la denomina periodo. Nota

as se pregunte el lector que utilidad puede tener tomar una función as  Quiz´ tan particular como la función on sin(x) para hacer nuestro desarrollo de las ondas. Esta elección on por una razón: on: Matem´ aticamente el teorema de Fourier aticamente demuestra que toda función on f (x) puede ponerse como una suma de funciones sin(x) y cos(x) y siempre es más as sencillo operar con estas funciones que con la funci´ on on general general f (x).

14.3.1. 14.3.1.

Period Periodo o y frecue frecuenc ncia ia

Calculemos Calculemo s expl´ıcitamente ıcitamente cuanto es T . T . Tenemos una onda particularizada en un tiempo t0 y una posición on x0 , nos dará un desplazamiento en el eje y concreto que será x0 y(t0 ,x0 ) (x0 , t0 ) = A sin ω t0 . v Al cabo de un cierto tiempo T , T , cuando el cronómetro ometro marque t0 + T debemos tener la misma situación, on, es decir, y(t0 +T,x 0 ) = y(t0 ,x0 ) , por tanto

  −    −    − 

A sin ω t0

x0 v

= A sin ω t0 + T

x0 v

.

Esta situación on se produce para las funciones seno y coseno cuando su argumento aumenta en una cantidad 2π 2π, con lo cual tenemos que:

− 

ω t0



x0 + 2π 2π = ω t0 + T v

− xv0



y de esta expresión on es sencillo deducir la siguiente, e interesante relación on T =

2π ω

. Por tanto el periodo está relacionado con la frecuencia angular ω mediante esta relación, on, que es la misma que para un movimiento armónico simple. Análogamente alogamente podemos definir la frecuenci frecuenciaa f o ν como el inverso del periodo, es decir ν =

1 ω = . T 2π

En la figura 14.1 se ha representado lo que supone el transcurrir del tiempo para una onda armónica onica y como ésta esta se repite al cabo de un tiempo tiemp o T . T .

14.3 14 .3.2. .2.

Long Lo ngit itud ud de onda onda y n´ umero umero de ondas

Procedamos de manera similar al apartado 14.3.1 pero fijando ahora el tiempo y dejando que la coordenada x var´ıe ıe desd de sdee x0 hasta x0 + λ. Tendremos entonces que x0 x0 + λ ω t0 + 2π 2 π = ω t0 v v

− 

y esto supondrá la relación: on:

− 

ωλ = 2π 2π v


85


o p m e i t

t=0

. " e t i p e r " e s a d n o a l T o d o i r e p n u n E

t=T

Figura 14.1: Periodo de una onda armónica.

86


CAPÍTULO ITULO 14. 14. ONDAS ONDAS

λ

) x ( n o i c a g n o l E

0

A

λ tiempo(t)

Figura 14.2: Longitud de onda de una onda armónica. onica. que cuando se pone en función on de T adquiere el singular aspecto de v=

λ , T

es decir, la velocidad de propagación on es el espacio que recorre la propagación en un cierto tiempo dividido por ese tiempo. Tomando el tiempo como un periodo obtenemos que la longitud que recorre es λ y el tiempo que tarda es T . T . Se suele definir también en número umero de ondas como k=

2π . λ

Poniendo as´ as´ı la función on de onda armónica onica en función o n de ω y k queda la sencilla expresi´ on. on. ψ (x, t) = y(x, t) = A sin(ωt sin(ωt

kx). − kx)

En la figura 14.2 se puede ver de manera gráfica afica lo que representa la magnitud λ.

14.4.

Considerac Consideraciones iones energ´ energ´ eticas eticas de las ondas

14.4.1. 14.4. 1.

Energ´ Energ´ıa

Para llegar a la expresión on de la energ´ıa ıa que propaga una onda vamos a tomar como caso particular el de una onda propagándose andose por una cuerda tensa. En este caso la energ´ıa ıa total involucrada por cada part´ıcula ıcula i es la que q ue corresponder´ corresp onder´ıa ıa a un un movimiento armónico onico simple, que puesto en función on de la masa y de ω será E i =

1 mi A2 ω2 2

siendo mi la masa ma sa correspo co rrespondiente ndiente a la part´ıcula ıcula i. La energ´ıa ıa total será la suma a toda la cuerda de las energ´ıas ıas de cada part´ıcula ıcula i. Hay que tener en cuenta que la F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

87


amplitud A y la velocidad angular ω van a ser constantes en toda la cuerda, y por tanto 1 1 E = E i = mi A2 ω 2 = A2 ω 2 mi . 2 2 i i i

 



La suma a la Masa de cada part´ıcula ıcula será la masa total de la cuerda, que podemos poner en función on de su densidad lineal como mtotal = ρl l. Con esto nos queda que E =

14.4. 14 .4.2. 2.

1 2 2 A ω ρl l. 2

(14.2)

Poten otenci cia a

¿Cu´ al al será la potencial transmitida?. Para ello basta tener presente que P = Et y, dividiendo dividie ndo as´ as´ı la expresión on (14.2) por t y considerando que la longitud recorrida en la cuerda por unidad de tiempo va a coincidir con la velocidad de propagación, tendremos que 1 P = A2 ω 2 ρl v (14.3) 2

14.4.3 14.4.3..

Inten Intensid sidad ad

Se define la magnitud intensidad de una onda como la potencia por unidad de áarea rea que atraviesa una superficie. Para el caso de una onda plana la intensidad es igual a 1 I = A2 ω2 ρv. 2

88


Cap´ıtulo 15

Fen´ omenos ondulatorios omenos 15.1. 15.1.


Los procesos en los cuales intervienen ondas dan lugar a una serie de fenómenos especiales, dada la naturaleza particular de las ondas, que son de interesante estudio, y que explican muchas de las asombrosas propiedades que tiene tanto la luz como el sonido. En el caso de la luz podemos po demos explicar en qu´ e consisten los fenómenos omenos de reflexión on y refracción on y qué leyes gobiernan estos fenómenos. omen os. También en habr´ hab rá que dedicar un apartado al fenómeno omeno f´ısico ısico que se produce pro duce cuando se superponen sup erponen dos o m´ as ondas: la interferencia, y por último, as ultimo, tratar algunos temas someramente para un conocimiento cualitativo por parte del lector, como son los temas sobre la difracción y la polarización on de las ondas.

15.2. 15.2.

Prin Princi cipi pio o de Huyg Huygen enss

El principio de Huygens es una herramienta útil util y bastante sencilla para entender muchos de los extraños nos procesos que suceden relacionados con las ondas. Si bien no es estrictamente correcto y además as se acepta sin una demostración on rigurosa, sirve para explicar satisfactoriamente algunos fenómenos omenos ondulatorios como la interferencia, reflexión on (figura 15.6 15.6)) o refracción on (figura 15.8 15.8). ). B´ asicamente este principio explica cómo asicamente omo tiene lugar la propagación on de una onda: cuando cada uno de los puntos de un medio material es alcanzado por una onda, este punto se vuelve a comportar como un foco emisor de ondas, creando una serie de ondas secundarias. El resultado global de todos estos puntos emitiendo ondas a la vez será la de un nuevo frente de ondas similar al anterior, con lo que la onda se irá propagando sucesivamente.

15.3. 15.3.

Inter Interfer ferenc encia ia entre entre ondas ondas

¿Qu´ ¿Qu é sucede suc eder´ rá cuando dos ondas se cruzan?. Esta es la pregunta que queremos explicar en este apartado. Para resolverla hemos de volver a recurrir a nuestro “conocido” el principio de superposición, on, es decir, que podemos considerar el resultado final como una mera suma de los efectos causados por la primera onda más la segunda. Recordemos que este principio parece ser una propiedad de la naturaleza, ya que el efecto de aplicar dos ondas consecutivas consecutivas sobre un mismo medio no tendr´ tendr´ıa por que dar como resultado la simple suma de ambas ondas.  Al propagarse dos o más as ondas por un medio la perturbación to89

Recuerda

´ CAPÍTULO ITULO 15. 15. FENOMENOS ONDULATORIOS

d1

d2

d -d 2

1

Figura 15.1: Esquema de un fenómeno omeno de interferencias. tal resultante es, simplemente, la suma de las perturbaciones de ambas ondas. Vamos a utilizar el principio de superposición on para estudiar algunos casos sencillos de interferencia entre ondas.

15.3.1. 15.3.1.

Ondas Ondas coheren coherentes: tes: Interfe Interferenc rencias ias construc constructiv tivas as y destructivas

Supongamos que tenemos dos ondas tales que su longitud de onda, frecuencia y amplitud son iguales, y que sus fases o bien son iguales, o bien presenta una cierta discrepancia que permanece constante. Son precisamente este tipo de ondas las que reciben el nombre de ondas coherentes. Matemáticamente aticamente llamemos ψ a una onda y φ a la otra y supongamos que queremos calcular el efecto que hacen sobre un cierto punto. Ahora bien, los puntos de aplicación on del foco de dichas ondas no tienen por que coincidir, por lo que las distancias a dicho punto serán distintas, y las llamaremos d1 y d2 . Tomaremos su frecuencia como ω y su longitud de onda λ aunque, aunque, no obstante, obstante, vamos a realizar realizar el tratamient tratamientoo matem´ atico atico expresando las ondas en función on del n´ umero umero de ondas k para simplificar un poco la notación. on. As´ As´ı pues tendremos que una onda será ψ = A sin(ωt sin(ωt

− kd1)

φ = A sin(ωt sin(ωt

− kd2).

y la otra La onda resultante será la suma de ambas, es decir Ψ = ψ + φ.

(15.1)

Hagamos ahora un poco de álgebra, algebra, la expresión on (15.1 15.1)) una vez sustituida se transforma en Ψ = A sin(ωt sin(ωt kd1 ) + A sin(ωt sin(ωt kd2 )

−

90

−


´ CAPÍTULO ITULO 15. 15. FENOMENOS ONDULATORIOS 2 sin(x) sin(x+.1) sin(x)+sin(x+.1)

1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -10

-5

0

5

10

Figura 15.2: Representación on de una interferencia (casi) constructiva. que al extraer factor común un a la amplitud da como resultado Ψ = A(sin(ωt (sin(ωt

sin(ωt − kd 2 )). )). − kd1) + sin(ωt

Apliquemos Aplique mos ahora la igualdad igual dad trigonom´ tri gonométrica etrica siguiente si guiente sin(A sin(A) + sin(B sin(B ) = 2 sin sin

  −   −  A+B 2

cos

A

B

2

(15.2)

a nuestra expresión on de Ψ y el resultado final será que



Ψ = 2A 2 A sin ωt

− k d1 +2 d2

cos

kd2

kd1

2

.

(15.3)

Interpretar este resultado es sencillo, pero no por ello poco sorprendente. Si d2 hacemos la sustitución on d = d1 + tendremos que la onda resultante es una onda 2 que parece provenir de una distancia d, que es la semisuma de las distancias a ambos focos, pero cuya cuya amplitud amplitud no es constante constante,, sino que depende del t´ ermino ermino kd1 2A cos kd2 − y que por tanto va a variar seg´ u un n el punto del plano y las relaciones 2 entre las distancias a los focos, como se representa en la figura 15.1 15.1..

 

Interferencia Interferencia constructiva constructiva

 

kd1 Concretamente Concretamente esta amplitud ser´ a máxima axima en los lugares en los cuales cos kd2 − = 2 kd2 −kd1 1 y m´ınima para aquello sitios donde cos = 0. Analizando esto un poco 2 m´ as profundamente tendremos que aquellos puntos que verifiquen as

 

kd2

− kd1 = nπ 2

tendrán an una amplitud m´ axima. En ellos se producirá lo que se denomina interferenaxima. cia constructiva, ya que en dichos puntos las ondas se “funden” constructivamente dando lugar a una amplitud que es la suma de ambas amplitudes. Un ejemplo se ve representado en la figura 15.2, donde la interferencia no es puramente constructiva, porque si no se ver´ ver´ıa unicamente u ´ nicamente el dibujo de una onda, pero p ero s´ı existe un desfase tan peque˜ no no como para ver qué significa este tipo t ipo de interferencia. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

91

´ CAPÍTULO ITULO 15. 15. FENOMENOS ONDULATORIOS 1 sin(x) sin(x+3.14) sin(x)+sin(x+3.14)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10

-5

0

5

10

Figura 15.3: Representación on de una interferencia destructiva. Interferencia Interferencia destructiva destructiva

A su vez, en los sitios donde este coseno modulador sea nulo, que serán aquellos para los cuales se cumpla kd2

π − kd1 = (2 ( 2n + 1) 2

2

tendremos que la amplitud será siempre cero, independientemente del tiempo que pase, ya que qu e al ser cero uno de los dos términos erminos de la ecuaci´ ec uación on (15.3 ( 15.3)) el resultado total será nulo y no dependerá del tiempo. Entonces a estos puntos que nunca presentan amplitud se les denomina nodos y a las l´ıneas ıneas que los unen se las denomina l´ıneas ıneas nodales. Un ejemplo de interferencia destructiva está representado en la figura 15.3. N´ otese otese que el resultado de la suma de las ondas es una l´ l´ınea plana, una onda de amplitud nula. Recuerda

 Interferencia constructiva supone amplitud máxima, axima, destructiva implica amplitud nula.

Nota

Se puede intentar entender estos resultados utilizando un poco de intuici´ on on f´ısica. Una interferencia constructiva se producirá cuando la diferencia diferencia de fase sea de nπ pero dicha diferencia está marcada m arcada por el término ermin o 

kd 2 − kd1

2 que, puesto en función on de λ resulta ser π

  d2 λ

−

d1 λ

.

Igualando esta diferencia de fase a nπ tendremos que d2 − d1 = nλ

lo cual constituye una fórmula ormula mucho mas inteligible que las anteriores. Resulta que para puntos separados una longitud entera de longitudes de onda la

92



d1

y

α a

α

d2

d2 - d 1 D

Figura 15.4: Experiencia de Young. interferencia es constructiva. Un cálculo alculo similar para interferencia destructiva nos llevar´ lle var´ıa ıa a que q ue 1 d2 − d1 = n + λ. 2 ¿Qu´ e significa significa esto?. Pues sencillamen sencillamente te que si la distancia distancia entre entre los puntos puntos es un número umero entero de longitudes de onda, como ambas ondas parten con la misma fase de sus focos respectivos, cuando llegan se encuentran una frente a la otra variadas en lo que han logrado recorrer de más as o de menos en esta diferencia de distancias. Si esta diferencia es de un número entero de lambdas ambas ondas se encuentran exactamente igual, porque la función seno es peri´ odica y se repita cuando ha avanzado espacialmente esta magnitud λ. En odica cambio si ha avanzado cierto número umero de lambdas más as la mitad de una λ resulta que las ondas se encuentran en contra-fase, o bien que una es justo la opuesta de la otra 1 y por tanto ambas se anulan simultáneamente.

 

Experiencia de Young

Ampliaci´ on on

Consiste esta experiencia en hacer iluminar dos rendijas muy pequeñas nas y separadas una distancia a, también en peque˜ pequ eña, n a, con un foco de luz. A una distancia d medida medida desde desde la mitad mitad de las rendijas rendijas,, y que debe ser much mucho o mayor que a, se puede observar que existirá un máximo, aximo, una interferencia constructiva, si ay = nλ, ◦

d y siendo la distancia vertical medida desde el centro de la pantalla de obser-

vaci´ on, como se ha representado en la figura 15.4. on, Ser´ Ser´ıa un ejercicio interesante para el lector intentar demostrar esto partiendo de la relación on para un máximo aximo d2 − d1 = nλ y la figura 15.4.

15.3.2. 15.3.2.

Ondas Ondas estacio estacionar narias ias:: Propag Propagaci aci´ on o ń en dire direcc ccio ione ness opuestas

Vamos ahora a proponer una forma un poco diferente de “interferencia”. Tomemos como ejemplo una cuerda y fij´ emosla emosla por uno de sus extremos. (En un gancho de una pared, por ejemplo). Si propagamos ahora una onda por la cuerda esta tarde 1

Ya que sin(α + π ) = − sin(α).


93


o temprano llegará a la pared y rebotará en ella. Tendremos entonces una interferencia que se producirá en la cuerda, debida a dos ondas iguales, con la excepción on de que se propagan en sentido contrario. Se va a adelantar ya que este tipo de situación se denomina ondas estacionarias. Matem´ aticamente lo que tenemos es que una onda presenta la forma aticamente φ = A sin(ωt sin(ωt

kx) − kx)

y la otra, por propagarse en sentido contrario, será ψ=

sin(ωt + kx) kx) −A sin(ωt

, donde el signo negativo es debido a que al “rebotar” tambi´ en en se produce un cambio de fase de π radianes, siendo la resultante la suma de ambas, por tanto Φ = φ + ψ = A sin(ωt sin(ωt

kx) − A sin(ωt sin(ωt + kx) kx). − kx)

Para ver que significa esta expresión on se va a volver a utilizar la relación on ( 15.2 15.2)) de la suma de dos funciones seno, nos dará Φ = 2A cos(ωt cos(ωt)) sin( sin(kx kx)).

(15.4)

¿Qué signifi sig nifica ca (15.4 15.4)?. )?. Tenemos que destacar algunos puntos: No se trata de una onda propiamente dicha, pues no aparece un t´ ermino ermino que contenga una dependencia espacial y temporal, sino que estas dependencias aparecen separadas. La energ´ energ´ıa no se puede propagar por la cuerda. Esto es debido a que aquellos puntos para los cuales sin(kx sin(kx)) = 0 van a estar siempre quietos, ya que no presenta ninguna otra dependencia. Evidentemente Evidentemente la energ´ energ´ıa no podrá rebasar estos puntos para propagarse al otro lado. Por tanto esta construcción on no es una onda normal, no es una onda “viajera”; precisamente por esto se la denomina onda estacionaria. Un punto cualquiera de la cuerda se limitará a moverse de forma armónica onica en el tiemp t iempo, o, debido de bido al término ermino cos(ωt cos( ωt)) con una amplitud 2A 2A sin(kx sin(kx). ). A los puntos que cumplen sin(kx sin( kx)) = 0 y que por tanto, van a estar siempre quietos, se les denomina nodos. En nuestro caso tendremos nodos en las posiciones en las cuales kx = nπ. nπ. Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos

Este es un caso interesante y con ciertas aplicaciones prácticas. acticas. Como ejemplo, en cualquier instrumento de cuerda tendremos una disposición de este tipo. Vamos a hacer un análisis alisis semi-cuantitativo de este fenómeno. omeno. Si en este caso la cuerda debe estar sujeta por ambos extremos significa que dichos extremos no van a poder moverse. Deberán an ser por tanto nodos. Esto nos lleva a afirmar que sin(k sin(k0) = 0 y sin(kL sin(kL)) = 0 donde se ha supuesto, como resulta lógico, ogico, que la cuerda empieza en x = 0 y acaba en x = L. La primera condición on es trivial y es siempre cierta, pero la segunda nos ofrece que kL = nπ expresi´ on on que hay que interpretar. Es ésta esta una relaci´ on on entre el n´ umero umero de ondas k y la longitud de la cuerda L. Ahora bien, puesto que la longitud L de la cuerda es algo que podemos variar a nuestro antojo lo que tenemos realmente es que el 94



número umero de ondas no puede ser uno cualquiera, sino que debe cumplir que k = nπ , L 2 es decir ser discreto y con unos valores concretos . Poniendo estos valores en función on de λ tenemos que L λ=2 , n y como c omo también en existe e xiste una relación on entre λ y T y T = ν −1 podemos por fin expresar la frecuencia de la vibración on como ν = n

v 2L

donde v es la velocidad de propagación on de la onda (si se propagara). Este resultado s´ı que es extraordinariamente interesante, p orque nos dice que la frecuencia de la onda va a estar delimitada por el valor de su longitud L. A´ un un as´ı para p ara una longit lon gitud ud L tendremos una serie de frecuencias diferentes según un el valor de n que tomemos, que se denominan armónicos. onicos. Esta es la razón on fundamental de la existencia de los instrumentos de cuerda, como por ejemplo una guitarra. Como la frecuencia de la oscilación on se propaga por el aire y se escucha como sonido, tendremos que podemos variar la nota bien cambiando la longitud de la cuerda L, por ejemplo, poniendo el dedo sobre un traste y acortando esta longitud en cierta cantidad determinada, o bien variando la velocidad de propagación de la onda en la cuerda, que depend´ d epend´ıa ıa de la tensi´ t ensión on y la densidad: es decir, bien afinando la guitarra, es decir, aumentando y disminuyendo la tensión on de la cuerda, o bien variando la densidad de la cuerda poniendo una primera en vez de una segunda, o una tercera, etc...

15.4. 15.4.

Otra Otrass prop propie ieda dade dess de las las ond ondas as

15.4 15 .4.1. .1.

Difr Difrac acci ci´ on o ń

La difracción on es un fenómeno omeno caracter´ caracter´ıstico de las magnitudes ondulatorias, caracterizado por la propagación on “anómala” omala” de dicha magnitud en las cercan´ cercan´ıas de un obst´ aculo o una abertura comparable, en tama˜ aculo no, a su longitud de onda. no, En un lenguaje más as intuitivo: la difracción on supone una contradicción on a nuestra idea preconcebida preconcebida de que la luz se propaga propaga en l´ınea recta, observ´ observándose andose en las cercan´ cercan´ıas de esquinas de obstáculos, aculos, o en los bordes de la sombra de la luz tras atravesar una rendija estrecha, que dicha luz parece “torcer la esquina” o desviarse de su trayectoria recta. La difracción on es el resultado de una compleja serie de interferencias de las magnitudes ondulatorias consigo mismas. Si en la luz no se observa aparentemente este fenómeno, omeno, razón on por la cual surge nuestra idea preconcebida de la “propagación en l´ınea recta de la luz”, es debido a que, como ya se ha dicho dicho antes, este fen´ omeno omeno aparece sólo olo cuando el tama˜ no de los objetos o rendijas es comparable al de la no longitud de onda de la propagación. on. Como en el caso de la luz visible esta longitud es diminuta. en nuestra experiencia macroscópica opica y cotidiana de la existencia, no tenemos tenemos conscienc consciencia ia de estos fenómenos. omenos.

15.4.2. 15.4.2.

Polar Polariza izaci´ ci´ on on

En una onda transversal el movimiento de las part´ıculas ıculas que componen el medio (o de los campos que oscilan, como en el caso de la luz), debe ser perpendicular a la dirección on de propagación, on, Ahora bien, como la dirección on de propagación on es una recta en el espacio tridimensional, la perpendicular a esta recta supondrá un plano 2

En lengua le ngua je de f´ısica moderna moder na se podr pod r´ıa decir d ecir que k est´ a cuantizado.


95


en el cual el medio puede desplazarse. Imaginemos que una onda se propaga en el eje z . Esto supone que la oscilación on deberá producirse ortogonal a dicho eje, es decir, estar contenida en el plano xy. xy . Pero no se nos dice si estando contenido en dicho plano puede oscilar en sentido norte-sur, o este-oeste, o suroeste -nordeste, etc. Esta libertad de elección on que queda de la dirección on de vibración on componente de la onda se puede caracterizar en una propiedad que se denomina polarización. Polarización on de una onda será por tanto la dirección on concreta que toma dicha onda en la vibración on de sus part´ıculas ıculas componentes. compo nentes. La luz normal, por ejemplo, no está polarizada. Esto significa que var´ var´ıa aleatoriamente su dirección on de vibración on en el plano perpendicular a la propagación. Cuando esta variación on no se produce, o bien se conoce con exactitud, se dice que la onda está polarizada, y además as se puede definir su tipo de polarización. on. Decir por último ultimo que existen dispositivos capaces de polarizar la luz, tales como los polarizadores o polaroides.

15.4.3 15.4.3..

Otras Otras propie propiedad dades es

Existen otras propiedades interesantes de los fenómenos omenos ondulatorios en general y la luz en particular, que quiero reseñar nar aqu´ aqu´ı, as´ as´ı como una serie de fenómenos omenos que son fáciles aciles de explicar con las nociones que se recogen en párrafos arrafos anteriores y posteriores de este cap´ cap´ıtulo. Por ejemplo la dispersión on de la luz, responsable de que el cielo sea azul y las puestas de sol rojizas ro jizas,, responsable responsable tambi´ también en de la salida salida del arco iris cuando cuando el sol logra iluminar iluminar el mundo mundo en un d´ıa lluvioso. lluvioso. La reflexi´ reflexi´ on on y refracci´ on de la luz, que trataremos posteriormente, y causa de que podamos vernos on en un espejo, de los espejismos y de que las cucharillas se “tuerzan” cuando las metemos en agua, causa tambi´ en en de los halos que el sol y la luna ofrecen a veces. As´ı pues pu es fen´ fen ómenos omenos como estos, o como el atractivo colorido que el aceite ofrece sobre sobre un charc charco, o, por qu´ qué no vemos vemos bien debajo debajo del agua agua si abrimo abrimoss los ojos al l´ıquido elemento, o incluso por qu´ e los peces son plateados por p or su panza, pueden explicarse utilizando algunos principios básicos asicos de interferencia de la luz en capas delgadas, delgadas , ´ındice de refracci´ refrac ción on del agua frente al del cristalino e incluso reflexión total e ideas evolutivas evolutivas darwinistas. Queda a juicio del lector estimar si la f´ısica ofrece s´ olo algunas explicaciones parciales e inútiles olo utiles o si bien es capaz de formar parte junto con la l a poes´ p oes´ıa, ıa, la religi´ re ligi´ on on y la m´ıstica ıstica de las doctrinas do ctrinas que son capaces de crear una visión on global de la belleza de nuestro Universo, e incluso llegar a suplantarlas alg´ un un d´ıa. . .

15.5 15 .5..

Refle Reflexi xi´ on ´ on y refracci´ on o n de la luz

Los fen´ omenos omenos de reflexión on y refracción on se producen en general cuando un movimiento ondulatorio se encuentra en sus propagación on con una superficie que separa dos medios distintos. La parte de la onda que logra atravesar dicha superficie y pasar al otro lado frecuentemente cambia de dirección, on, conociéndose endose este fenómeno omeno como refracci´ on. on. Tambi´ También en sucede que parte de la onda (o toda) rebota con la superficie, sup erficie, denomin´ andose andose reflexión on a este fenómeno. omeno.

15.5. 15 .5.1. 1.

Refle Reflexi xi´ on o ń

La ley de la reflexión on se enuncia afirmando que, cuando un rayo de luz, o bien la dirección on de propagación on de un frente de ondas, se encuentra con una superficie, la onda reflejada lo hará con un ángulo angulo igual que el de la onda incidente, medido desde la perpendicular a la superficie donde se refleja la onda. 96



θr

θi

Figura 15.5: Reflexión on de una onda.

Ondas secundarias segun el principio de Huygens.

Figura 15.6: Explicación on seg´ un el principio de Huygens de la reflexión. un on. Tomando las magnitudes de la figura 15.5 esto se expresa simplemente como θi = θr .

15.5 15 .5.2. .2.

Refr Refrac acci ci´ on o ń

La ley de refracción on nos ofrece el ángulo angulo que adopta la propagación on de la onda en el segundo segundo medio, medio, medido medido tambi´ tambi´ en en respecto respecto a la vertical vertical a la superficie, superficie, como se indica en la figura 15.7. Adem´ as los rayos de incidencia, reflexión as on y refracción on se encuentran siempre en el mismo plano. La ley que relaciona el ángulo de incidencia con el de refracción on se conoce conoce como ley ley de Snell, Snell, que es n1 sin θ1 = n2 sin θ2 , donde n1 y n2 son dos constantes relacionadas con las caracter´ısticas ısticas de cada medio y que se denominan denominan ´ındice ındice de refracci´ refracci´ on. on. Este ´ındice de refracci´ on o n de un medio resulta ser c n= , v en donde v es la velocidad de la luz en dicho medio. Se deduce por tanto que para luz en el vac´ıo ıo cuya velocidad velo cidad es c se tendrá que n = 1. Reflexi´ on on total

La ley de Snell es válida alida para pasar de un medio a otro cualquiera. Cuando tenemos que pasar de un medio 1 a otro 2 tal que n1 < n2 tendremos que sin θ2 = n1 sin θ1 y como nn12 < 1 no habrá ning´ un tipo de problema. Ahora bien, cuando un n2 n1 tengamos que n1 > n2 entonces n2 > 1 y al tomar sin θ2 = nn12 sin θ1 existirá un F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

97


θ

1

θ

2

Figura 15.7: Refracción on de una onda.

Ondas secundarias segun el principio de Huygens. Medio 1. Velocidad v 1

Medio 2. Velocidad v 2

Figura 15.8: Explicación on seg´ un el principio de Huygens de la refracción. un on.

98



angulo ángulo θl = arc cos cos nn21 tal que sin θ2 = 1. 1 . ¿Qué pasar´ pas ará para angulos ańgulos θ1 > θl ?. Pues suceder´ a que para estos sin θ2 > 1 y por tanto, nuestro problema no tendr´ a soluci´ on real . El significad si gnificadoo f´ısico ısico de este es te fen´ f enómeno omeno nos dice lo siguiente: en estos casos existe una angul áng uloo l´ımit ım itee θl a partir del cual es imposible que se produzca el fenómeno de refracción on y por tanto toda la luz que incida sobre esa superficie será reflejada. Por esta razón on a este fenómeno omeno se le conoce como reflexión on total. Un ejemplo práctico actico se puede observar cuando se bucea: a partir de cierto ángulo angulo de inclinación on en el cual miremos a la superficie del agua, veremos esta como un espejo, pero no podremos ver absolutamente nada de lo que hay por encima del agua.

15.5.3. 15.5.3.

Princi Principio pio de Fermat ermat Ampliaci´ on on

omenos omenos de reflexión on y ◦ Una forma muy elegante de entender estos fen´ refracci´ on, on, y que aún un sigue siendo válida, alida, es hacer uso del principio de Fermat. Dicho principio dice que la luz, para ir desde un punto A hasta otro B elige siempre un camino tal que el tiempo en recorrerle sea el m´ınimo ınimo (o, a veces el m´ aximo). Es de notar que la ley afirma que es el tiempo el que es m´ınimo, no aximo). el espacio que recorre. De esta forma en un mismo medi o la luz viaja en l´ınea ınea recta, p orque como la velocidad es constante entonces el tiempo m´ınimo lo logra con una distancia m´ınima, y ya se conoce cono ce que la recta es el camino más corto entre dos puntos. En cuanto a la reflexión, on, resulta que si tenemos que ir de un punto A a B otro pero “tocando un espejo” por el camino, camino, la forma más as r´ apida apida en la cual lo haremos será logrando que el ángulo angulo de incidencia incidencia sea igual al de refracci´ refracci´ on. on. Por ultimo u ´ ltimo para la refracci´ on: si debemos ir de un punto A en un medio on: donde uno se desplaza muy rápidamente apidamente (por ejemplo) a otro punto B situado en un medio distinto y donde la velocidad de desplazamiento resulta muy lenta, nos resultará m´ as favorable, para llegar antes, recorrer algo más as as de espacio donde la velocidad es más as r´ apida apida para poder as´ as´ı “ata jar” algo de espacio en el medio donde esta velocidad es lenta y recorrer all´ı menos. Como ejemplo basta pensar que a veces para ir de un sitio a otro preferimos tomar una autopista, aunque demos un ligero rodeo, que una carretera de tierra y piedras que vaya recta, sin poner en duda que aunque en la autopista recorremos más camino vamos vamos a llegar antes. Una explicaci´ on on clara y amena de las leyes de refracci´ on on y reflexi´ on on gracias al principio de Fermat puede ser consultada por el lector en el [1] cap´ ca p´ıtul ıt ulo o 26. 2 6.

F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imart /www.ele. uva.es/˜imartin/libr in/libro/index o/index.html .html

99


100


Cap´ıtulo 16

Electromagnetismo 16.1. 16.1.


Si bien algunos efectos magn´ eticos eticos han sido conocidos cono cidos desde la antig¨ uedad, uedad, como por ejemplo el poder de atracción on que sobre el hierro ejerce la magnetita, no fue sino hasta el siglo XIX cuando la relación on entre la electricidad y el magnetismo quedó patente, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo. Con el advenimiento posterior de las ecuaciones de Maxwell, relación de ecuaciones en las que quedan expresadas todas las leyes del electromagnetismo, quedó cerrado el estudio clásico asico de este campo. Tan importantes y logradas fueron estas ecuaciones que Albert Einstein, eligiendo entre la veracidad de las ecuaciones de Maxwell o la Mecánica anica Newtoniana, que no son compatibles entre si, logró desbancar la l a teor t eor´´ıa Newtonian N ewtoniana a imponi im poniendo endo la llamada l lamada Teor´ eor´ıa de la Relativid Re latividad. ad. En este nivel veremos algunas de las relaciones más patentes entre la electricidad y el magnetismo, as´ as´ı como las fuerzas a las que la aparición on de campos magnéticos eticos da lugar.

16.2. 16.2.

Fuerz uerza a de de Lo Lore ren ntz

 y una part´ıcula Dado un campo magnético etico B ıcula de carga q que se desplaza por el interior de dicho campo con una velocidad v Lorentz descubrió que esta part´ıcula ıcula sufre una fuerza magnética etica igual a  = qv F

 ∧ B.

(16.1)

Elementos a destacar de esta fórmula ormula es que la fuerza fuerza magn´ magnética etica se deja notar, por tanto, sólo olo sobre part´ıculas ıculas cargadas; cargadas ; para part´ıculas ıculas neutras ( q = 0) se  = 0. Un hecho aún tendrá que F u n m´ as as rese˜ nable nable es que sólo olo act´ ua ua sobre sob re part´ıcuıcu las en movimiento. movimiento. Si una part´ part´ıcula est´ a en reposo respecto a nuestro sistema de referencia la fuerza magn´ etica etica ejercida sobre ella, aunque esté cargada y exista un campo magnético, etico, es nula. Para caracterizar el sentido del campo se puede emplear la denominada regla regla de la mano mano izquierd izquierda, a, consis consisten tente te en que, que, si consid consideram eramos os los dedos pulgar, pulgar , ´ındice y coraz´ c orazón on de la mano izquierda, de tal forma que el dedo corazón on se˜ nale nale en la direcci´ on on y sentido sentido de la velocidad y el ´ındice ındice en el del campo, obtendremos el pulgar “apuntando” en la dirección on y sentido correctos de la fuerza fue rza magn´ mag n´ etica. eti ca. 

101

Nota

CAPÍTULO 16. ELECTROMAGNETISMO ELECTROMAGNETISMO

La unidad de campo magnético etico en el Sistema Sistema Internaci Internacional onal es el Tesla. De la Ns ecuaci´ on on (16.1 16.1)) se puede puede extrae extraerr que dimens dimension ionalm almen ente te un Tesla esla ser´ será T = mC Newton segundo entre metro Culombio. Recuerda

 La fuerza magnética etica siempre es perpendicular p erpendicular a la trayectoria trayectoria de la part´ıcula ıcul a y al campo camp o magnético etic o  poSi, adem´ as as de un campo magn´ etico etico existiera un campo el´ ectrico ectrico E demos incluir esta fuerza en la Ley de Lorentz Lorentz y, como la fuerza eléctrica ectrica es  = q E  y podemos usar el principio de superposición simplemente F on ◦

Ampliaci´ on on

 = q (E  + v ∧ B  ). F

Un ejemplo de cómo omo se puede aplicar esta fórmula ormula para campos magn´ eticos eticos constantes se puede ver en la sección on 16.5.1.

16.2.1.

Fuerza sobre una corriente corriente el´ ectrica ectrica

Pero. Pero. . . ¿Y si en vez de una sola part´ part´ıcula tenemos tenemos varias mov movi´ i´ endose?, endose?, esto es como preguntarse por la fuerza que experimentará, a, debido al magnetismo, una corriente eléctrica. ectrica. Para ello vamos a suponer una corriente eléctrica ectrica y tomar un elemento diferencial de ella. Si diferenciamos (16.1 ( 16.1)) tendremos que, como sólo olo la carga q va a variar  = dq(  ), dF dq(v B

∧

pero habrá que calcular cuanto puede ser este dq. dq . Partiendo de la definición o n de dq intensidad para una corriente eléctrica, ectrica, I = dt y sustituyendo dq tendremos que  = I dtv dF

 ∧ B.

Veamos ahora que podemos hacer con esta expresión on usando la conocida fórmula ormula d l  de la velocidad v = dt y sustituyendo por tanto dl = v dt:  = I d  dF l B.

∧

Por ultimo, u ´ ltimo, recordando que en un circuito la intensidad, por la ley de Ohm, depende sólo olo de la diferencia de potencial y la resistencia de dicho circuito y podemos considerarla por tanto constante, tendremos que para un conductor finito:  = I F

16.3.

 ∧

 d l B.

(16.2)

Campo magn´ magn´ etico etico debido debido a una una carga en en movimiento

La relación on entre entre la electrici electricidad dad y el magnetismo magnetismo es tan ´ıntima ıntima que cualquier cualquier carga movi´ m ovi´ endose endose genera a su alrededor un campo ca mpo magnético. etico. Deducir cual es e s dicho campo a partir de principios iniciales no es fácil, acil, y por eso se detalla aqu´ı simplemente cual es el campo que genera una carga en movimiento:  = µ0 q v r B (16.3) 4π r 2 donde µ0 es la constante correspondiente al campo magn´ etico, etico, y se denomina permeabilid meab ilidad ad magnética eti ca del vac´ vac´ıo, q es la l a carga c arga de la part´ıcula ıcula v es la velocidad a la que se mueve y r es el vector que indica el lugar dónde onde queremos calcular el campo pero visto desde un sistema de referencia en en se la referencia centrado centrado en la part´ part´ıcula . Tambi´ conoce como ley de Biot y Savart. Esta f´ ormula ormula nos indica cómo omo el magnetismo está creado por corrientes y no por monopolos, es decir por “cargas magnéticas” eticas” del estilo de las cargas el´ ectricas. ectricas.



∧

102



 Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magn´ etico etico basta considerar considerar el intento intento de separar separar el polo de un imán. an. Aunque rompamos un imán an por la mitad este “reproduce” sus dos polos. Si ahora partimos estos cachos otra vez en dos, nuevamente tendremos cada cachito con dos polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no existen los “monopolos”

Nota

explicaci´ on detallada aunque con bastante nivel que deduzca más on ◦ Una explicaci´ rigurosamente estas expresiones y de razones para ellas puede buscarse en cualquier libro que trate sobre electromagnetismo, ecuaciones de Maxwell o incluso teor´ teor´ıa de la Relatividad.

Ampliaci´ on on

16.3.1.

Campo magn´ etico etico producido por una corriente el´ ecectrica

Si intentamos generalizar la fórmula ormula (16.3 (16.3)) a una corriente eléctrica ectrica deberemos debere mos pasar primero primero a una forma diferencia diferenciall para intentar intentar integrar integrar despu´ después, es, igual que hicimos con la fuerza de Lorentz. Para ello partimos de  = dB



µ0 v r dq 2 4π r

∧

en donde, haciendo tambi´ en en el cambio en funci´ on de la intensidad y teniendo en on cuenta que r es el punto donde queremos calcular el campo pero visto desde la carga, si llamamos a ese punto r desde un sistema de coordenadas, y r  a cada punto del conductor que vamos a recorrer en la integración, tendremos que  = µ0 I B 4π

16.4.

 ∧ − d l r (r

r

− r )2 .

Ley de de Amp` Amp` ere ere

El hecho de la no existencia existencia de un “monopolo” “monopolo” magn´ etico etico va a hacer que en cualquier situación on “entren y salgan” l´ıneas de campo magn´ etico etico en cualquier volumen que queramos queramos imaginar imaginar y que, por tanto, tanto, el flujo del campo magnético etico sea nulo siempre, con lo cual no hay ningún un teorema similar al de Gauss para el campo magn´ etico etico en cuanto a flujo se refiere. Pero no obstante la circulación on del campo   magn´ mag nético, eti co, es decir deci r B dl si que va a ser una magnitud interesante debido a que, se puede demostrar, que la circulación on del campo magnético etico a través es de una trayectoria cerrada cualquiera va a ser igual a µ0 por la intensidad de corriente que atraviesa el plano encerrado por dicha superficie. Esta relación, on, expresada matemáticamente aticamente se convierte en

 ·

 ·

 d B l = µ0 I

donde don de el s´ımbolo ımb olo



(16.4)

se utiliza para expresar integrales sobre trayectorias cerradas. Nota

El hecho de que la circulación on del campo magn´ magnético etico no sea nula para cualquier trayectoria indica que este campo no es conservativo, y por tanto no vamos a lograr encontrar un p otencial para él. No obstante esto se refiere úniunicamente al camp o magnético, etico, no a la fuerza f uerza magnética etica y no implica, im plica, por tanto, t anto, la no conservación on de la energ´ıa. ıa. Es m´ m ás, as, como la fuerza magn´ etica etica siempre es perpendicular a la trayectoria esto supondrá que el e l trabaj tra bajo o magnético etico siempre siempr e es cero, es decir, no se produce trabajo t rabajo magn´ etico. etico. 


103


16.5 16 .5..

Reso Resolu luci ci´ ´ on on de proble pro blemas mas t´ıpicos ıpi cos

16.5.1. 16.5.1 .

Part´ Part´ıcula sometida so metida a un campo camp o magn´ etico etico constante co nstante y uniforme

Supongamos que tenemos una carga que entra en un campo camp o magnético etico con una cierta velocidad y de tal forma que el campo magn´ etico etico sea perpendicular a dicha velocidad. ¿Cómo omo se moverá en el seno de este campo?. Se puede entender de forma intuitiva que al se ejercerá una fuerza sobre la carga que, debido a (16.1 ( 16.1)) debe ser perpendicular a la velocidad con la que se desplaza la carga, y por tanto tendrá una componente exclusivamente normal a la trayectoria. Como en todo momento la fuerza es perpendicular a la trayectoria, trayectoria, porque p orque as´ as´ı lo exige la ley de Lorentz, tendremos que la carga describirá una circunferencia, ya que estará sometida a una fuerza que crear´ a una aceleración on normal constante y una aceleración on tangencial nula. Podemos por tanto igualar la fuerza centr´ centr´ıpeta de este movimiento movimiento con la fuerza magn´ etica etica y tener as´ı que, si tomamos los m´ odulos, odulos, qvB = m

v2 R

de donde se puede deducir que el radio de la trayectoria será mv R= . qB

16.5.2. 16.5.2.

Fuerza uerza magn´ magn´ etica etica experimen experimentada tada por un conducto conductor r recto y perpendicular al campo magn´ etico etico

Podemos tomar un conductor recto y de longitud L que está situado sobre el  = B . eje OX . Un campo perpendicular a el puede ser B ˆ. Entonces utilizando la  expresi´ on on (16.2 16.2)) en donde dl = ˆıdx ıdx tenemos que  = I F



L

dxˆ dxˆı B ˆ = I LB kˆ

∧

0

 es constante. donde se ha supuesto que B

16.5.3 16.5.3..

Campo Campo magn magn´ ´ etico etico cread creado o por un conduc conductor tor recto e infinito

Este problema es fácilmente acilmente resoluble utilizando la ley de Amp` ere. ere. Debido a la simetr´ simetr´ıa que va a presentar el problema podemos afirmar que el campo magn´ etico etico será en cualquier cualquier punto perpendicular perpendicular al hilo conductor (ya que éste este es recto y en  el cálculo alculo del campo B aparece un producto vectorial) y, lo que resulta de gran utilidad, su módulo odulo sólo olo puede depender de la distancia al hilo. Aprovechando estas condiciones vamos a tomar como trayectoria una circunferencia centrada en el hilo conductor y perpendicular a él. el. La circulación on del campo magnético etic o a través es de este est e camin c aminoo será µ0 I =

 ·

 d B l,

para hacer esta integral debemos darnos cuenta de que, en cualquier punto de la  va a resultar paralelo a d trayectoria, B l y por tanto tendremos µ0 I = 104



 B dl



Idl

y

R

θ z

r dB y

dB x

x

Figura 16.1: Geometr´ Geometr´ıa para calcular el campo magn´ etico etico en el eje de una espira.  va a resultar constante y cómo omo además as B

| |

µ0 I = B



dl = B 2πr,

siendo r el radio de la circunferencia, que coincide con la distancia m´ m´ınima de un punto cualquiera de nuestra trayectoria hasta al cable conductor. De esta última expresi´ on on podemos despejar B que es lo único unico que no conocemos (la dirección on y  sentido de B se conocen, y se pueden obtener usando la “regla de la mano derecha 1 ” y as´ı µ0 I B= . 2πr Queda unicamente u ´ nicamente darse cuenta de que I es, tal t al y como c omo pide pi de el teorema de Ampère, ere, la intensidad que cruza la superficie limitada por nuestra trayectoria.

16.5 16 .5.4. .4.

Campo Campo produ produci cido do por una una espir espira a en su eje

Se va a calcular el campo que produce una espira circular en un punto del eje que diste una distancia R del centro de la espira, si circulara por dicha espira una intensidad I . No es un cálculo alculo sencillo y tendremos que utilizar la ley de BiotSavart expresada en (16.3) (16.3) Vamos a proceder tambi´ en en usando la simetr´ simetr´ıa, para facilitar el cálculo alculo de la expresión. on. El producto de d l r podr´ a descomponerse en dos componentes componentes,, una paralela paralela al eje y otra perpendicular perpendicular a él. el. Las componentes componentes perpendiculares se anulan unas con otras y por tanto nos bastará con conocer cual va a ser la componente paralela, ya que la otra será nula. Todo esto puede verse en la figura 16.1.

·

1

Tomando la mano con el pulgar se˜ nalando nalando en la direcci´ on de la corriente, el resto de los dedos on marcan cual es el sentido del campo el´ ectrico ectrico F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

105


B

I

Figura 16.2: Trayectoria para un solenoide infinito. Debemos calcular por tanto únicamente unicamente las componentes dBx paralelas al eje. Esto será R dBx = dB sin θ = dB 2 x + R2

√ 

que, utilizando Biot y Savart será dBx =

µ0 I dl 4π x2 + R2

√x2R+ R2 .

Para determinar ahora el campo debido a la espira completa bastará integrar la expresi´ on anterior alrededor de la espira: on Bx =

  dBx =

µ0 IR dl 4π (x2 + r2 ) 32

y, como x y R no van a variar 2 la expresión on anterior puede tomarse como Bx =

µ0 I R 3

4π (x2 + r2 ) 2



dl

donde la integral de dl alrededor de la espira es 2πr 2 πr.. Por tanto Bx = Nota

µ0 2πR 2 I 4π (x2 + R2 ) 32

La ecuación o n para el campo en el centro de la espira se deduce de la anterior anterior muy sencillamen sencillamente te y es 

B=

µ0 I , 2R

cosa que el lector interesado puede entretenerse en demostrar.

16.5.5. 16.5.5.

Campo magn´ magn´ etico etico en el interior interior de un solenoide solenoide infinito

Se llama solenoide a un conjunto de espiras arrolladas consecutivamente. Para calcular el campo c ampo magnético etico de un solenoide s olenoide habr´ıa ıa que q ue proceder p roceder más as rigurosamente de lo que se va a hacer en este apartado pero, en aras a conseguir cierta claridad, vamoss a hacer ciertas aproximaciones vamo aproximaciones “fuertes” y algunas “tropel “trop el´´ıas matemáticas”. aticas”. 2

x ser´ a la distancia desde el centro hasta donde queremos tomar el punto, y R el radio de la espira. Ambas magnitudes son constantes.

106



Concretamente vamos a tomar un solenoide infinito enrollado de tal forma que haya un total de n vueltas por unidad de longitud. Tomemos entonces el recorrido insinuado en la figura 16.2 que es un tanto peculiar. Dicho recorrido pasa por el centro de la espira infinita para luego salir y alejarse hasta el infinito, donde se cierra el circuito. Reconocemos que este recorrido no deja de ser peculiar, pero nos va a llevar correctamente a la expresión on deseada si nos abstenemos de hacer preguntas  sobre la rigurosidad de esta demostración. on. Evidentemente en el infinito el campo B será nulo, porque la perturbación on de la espira no llega hasta tan lejos, con lo cual   la integral B l va a ser nula en esta parte del recorrido. A su vez en los bordes de este solenoide (en el casi en el cual un solenoide infinito tuviera bordes) el campo va a ser perpendicular al recorrido. ¿Por qué?, e?, por simetr´ simetr´ıa es lógico ogico suponer que  va a ser paralelo al solenoide en su interior y, si existiere en el exterior, el campo B tambi´ tamb ién en deber´ deb er´ıa ıa ser paralelo para lelo.. Por tanto tant o unicamente u ´ nicamente quedará hallar la integral en el recorrido que discurre por el interior del solenoide. Esta integral será

 ·



  Bd l = BL

donde L es la longitud del solenoide (si, pese a todo sabemos que L = , pero es util u ´ til ponerlo as´ as´ı). ¿Y cu´ anto anto será I , la intensidad total que atraviesa el plano?. Como tenemos n espiras espiras por p or unidad de longitud longitud de solenoide, solenoide, la corriente corriente total que atraviesa el plano limitado por esta singular trayectoria será I total ı pues pu es total = LnI . As´ tendremos que µ0 LnI = BL

∞

con lo cual B = µ0 nI. Esta es la expresión on del campo en el interior de un solenoide infinito. Su inter´ es es radica en que es tambi´ en en una buena expresi´ on on para el campo magn´ etico etico que existe en el interior de un solenoide finito, siempre que nos encontremos lejos de los bordes .

16.5.6.

Fuerzas uerzas entr entre e corrien corrientes tes paralelas paralelas

¿C´ omo podemos calcular la fuerza con que se atraen (o repelen) dos corrientes omo paralelas?. Para ello combinaremos las expresiones usadas en los apartados 16.5.3 y 16.5.2. 16.5.2. Tomando el primer hilo, con una corriente eléctrica ectrica I 1 , creará en un hilo conductor, situado paralelamente a una 1distancia d de él, el, un campo que, usando 16.5.3 será µ0 I 1 B= , 2πd y claro está, a, este hilo segundo por el cual circula una corriente I 2 experimentar´ a una fuerza por estar sometido a este campo. Esta fuerza la tomamos de 16.5.2 y es F = I 2 LB. Ahora bien, como la longitud de ambos hilos es infinita, la fuerza total que sienten estos hilos también en es infinita, infinit a, aunque eso s´ı, repartida reparti da por su longitud longit ud sin l´ımite. Una magnitud util u ´ til es ver cuanta fuerza se siente por unidad de longitud L, lo que equivale a decir que F µ0 I 1 I 2 = I 2 B = . l 2π d Respecto al sentido de la fuerza, se puede ver que ésta esta es atractiva cuando las corrientes son en sentidos contrarios y repulsiva si el sentido es el mismo. Una forma de verlo es considerando el sentido del campo en cada hilo y aplicando entonces que  = I   , o bien la llamada regla de la mano izquierda. F l B

∧


107


frecuente utilizar estas relaciones para definir el Amperio. 1 Amperio  Es frecuente ser´ıa ıa as´ı la intensidad i ntensidad de corriente cor riente necesar n ecesaria ia para par a que dos d os hilos hilo s rectos rect os situados situ ados a 1 metro el uno respecto al otro sientan una fuerza por unidad de longitud N equivalente a 2 · 10 7 m . −

108


Nota

Cap´ıtulo 17

Inducci´ on on elec electr trom omag agn´ n´ etic etica a 17.1. 17.1.


La uni´ on on de la electrici electricidad dad y el magnetismo magnetismo queda patente cuando descubrimos descubrimos que una intensidad eléctrica ectrica es capaz de crear un campo magn´ etico etico a su alrededor. No obstante ob stante la l a f´ısica ısica es una ciencia en la que el pensamiento pensa miento “sim´ “ simétrico” etrico” resulta frecuentemente ampliamente productivo, es decir, podemos preguntarnos ¿Y podrá un campo magnético etico producir produ cir un u n fen´ f enómeno omeno el´ ectrico?. ectrico?. La L a respuesta a esta pregunta es afirmativa, como veremos a continuación. on.

17.2. 17.2.

Ley Ley de de Far Farad ada ayy-He Henr nry y

Si uno conecta un galvanómetro ometro a una bobina de conductor, sin nada más, as, el galvanómetro ometro no deberá se˜ nalar nalar nada: por all´ all´ı no circula corriente de ningún un tipo. Pero ahora bien, al acercar o alejar un imán an de la bobina descubrir´ descubrir´ıa un hecho sorprendente: el galvanómetro ometro marcar m arcar´´ıa una tenue te nue corriente durante d urante este est e proceso. proce so. Esta experiencia, similar a las llamadas experiencias de Faraday, demuestra claramente que existe una relación on entre el campo magnético etico y el eléctrico. ectrico. Si en la experiencia anterior uno acerca un imán an a la l a bobin bo binaa y lo deja ah´ı ver´ıa ıa que el galvanómetro ometro marca corriente mientras el imán an se mueve, pero no cuando le dejamos quieto. Este fenómeno omeno constituye la esencia de la ley de Faraday y Henry, que podemos ya enunciar: dφB = . (17.1) dt

−

En esta ecuación on  es la fuerza electromotriz inducida inducida y φB es el flujo magnétietico que atraviesa atraviesa la superficie superficie delimitada delimitada por p or el circuito. circuito. As´ As´ı pues la variac variaci´ ión on del flujo magn´ etico etico ocasiona la aparici´ on de una fuerza electromotriz. Como el flujo on  S  esta variación magn´ ma gnétic et icoo φB = B on puede deberse a tres causas diferenciadas o a una mezcla de todas:

·

1. Variaci ariaci´ón on del módulo odulo del campo magnético etico B. 2. Variaci ariaci´ón on del módulo odulo de la superficie del circuito S. 3. Variaci ariaci´ón on de la orientación on entre ambos.  La variación o n del del flujo flujo ma magn gn´étic e ticoo indu induce ce una una fuer fuerza za elec electr trom omot otri riz. z. 109

Recu Recuer erda da

´ ELECTROMAGNETICA ´ CAPÍTULO 17. INDUCCI INDUCCION

17.2 17 .2.1 .1..

Ley Ley de de Len Lenz z

´ ¿Y qué significa el signo menos en la expresión on (17.1 17.1)?. )?. Este puede deducirse de un principio princip io f´ısico más as general, conocido con el nombre de Ley de Lenz que afirma que “la fuerza electromotriz inducida posee una dirección y sentido tal que tiende a oponerse a la variación on que la produce”. Este principio es una manera más as elegante de “adivinar” cómo omo será la f.e.m. inducida en un circuito. Por ejemplo, supongamos que tomamos una espira conductora e introducimos en ella un imán. an. En este caso el flujo magn´ etico etico aumenta, lo cual produce una f.e.m. inducida. ¿Qué sentido tendrá?. a?. Aquel que se oponga a la causa que lo produce, es decir, como en este caso es producido por un aumento del flujo magn´ etico etico el circuito tenderá a disminuir dicho flujo magn´ etico. etico. ¿Y c´ omo omo puede lograrse esto?. Haciendo que la intensidad de corriente creada genere a su vez un campo magn´ etico etico que se oponga op onga al anterior y disminuyendo disminuyendo de esta manera el campo. De alguna manera este es un mecanismo de “inercia” que, en general, presentan todos los sistemas sistema s f´ısicos.

17.3. 17.3.

Fuerza uerza electr electromo omotri triz z

En general para que en un circuito exista un corriente eléctrica ectrica estacionaria debe deb e existir un elemento que suministre esta energ´ energ´ıa a las cargas. Este elemento puede ser, por p or ejemplo, una pila o bien un campo camp o magnético etico variable. Se define as´ as´ı la fuerza fuerza electromo electromotriz triz como el trabajo realizado realizado por p or unidad unidad de carga realizado a lo largo del circuito; como el trabajo por unidad de carga es el campo eléctrico ectrico tendremos tendrem os que: =

 ·

 d E l

definiendo la integral a lo largo del circuito. Se ve de esta definición on que su unidad va a ser el Voltio, al igual que el potencial el´ ectrico. ectrico. Nota

Entonces ¿p or que no llamar tambi´ en en V a la fuerza electromotriz?. electromotriz?. Cuando tenemos un campo estático, atico, por ser conservativo resulta que 



 · d E l=0

lo cual nos p ermit´ ermit´ıa definir el potencial el´ ectrico. ectrico. Ahora bien, ahora el campo el´ ectrico ectrico no resulta resulta ser conserv conservativ ativo o y por lo tanto tanto no podemos definir un potencial, con lo cual aunque  y V sean magnitudes similares que se miden en la misma unidad, no obstante no son la misma cosa.

17.4 17 .4..

Auto Autoin indu ducc cci´ i´ on on

Imaginemos ahora que tenemos un circuito el´ ectrico ectrico apagado, con el interruptor de corriente abierto. ¿Qu´ e sucede cuando lo encendemos?. Puede parecernos que simplemente se crea instantáneamente aneamente una corriente en V su interior igual a, según un la ley de Ohm, I = R pero la realidad no es tan simple. Al encender el circuito empieza a aumentar la intensidad por su interior, lo cual genera un campo el´ ectrico ectrico que atraviesa el propio circuito. Este campo es proporcional a la intensida intensidad d y por tanto tanto var var´ıa junto junto con la intensida intensidad. d. La variaci variaci´ on oń del campo crea una variación on del flujo magn´ magnético, etico, y por lo tanto tanto la aparici´ aparici´ on on de una fuerza electromotriz inducida que se opone a esta intensidad creada. Por tanto el circuito presenta una cierta “inercia a ser arrancado”. 110



ε R

L

Figura 17.1: Circuito con una resistencia y una autoinducción. Ahora bien: ¿Cómo omo podemos p odemos relacionar el flujo magnético etico que el circuito crea sobre s´ s´ı mismo?. mismo?. En principio principio como el flujo de un circuito, si no se deforma, deforma, va a resultar proporcional al campo camp o magnético, etico, y este es proporcional a la intensidad, tendremos que el flujo que el circuito genera sobre s´ı mismo va a ser proporcional a la intensidad. Esta constante de proporcionalidad se denomina la autoinducción on L , y se tiene φ = LI . La unidad de autoinducción on en el Sistema Internacional es el henrio (H), equivalente a 1H 1H = 1Ωs 1Ωs.

17.4 17 .4.1. .1.

Indu Inducc cci´ i´ on on mutua

De una manera análoga aloga a la anterior si tenemos dos circuitos próximos oximos uno de ellos puede inducir un cierto flujo magnético etico en el otro (y al revés). es). El flujo fl ujo magnétietico que qu e atraviesa atravie sa el primer circuito, circuito , llam´ lla m´ emosle emosle a debido a la l a corriente co rriente eléctrica ectrica que circula circula por b será proporcional a ésta, esta, y por tanto φa = M ab ab I b . Este coeficiente M presenta tambi´ en en las mismas unidades que L, el henrio, y se llama inductancia mutua. Nota

alogamente alogamente se tendrá que phib = M ba as, as, se puede  An´ ba I a donde, adem´ M demostrar que M ab = , una prueba m´ as a s de las simetr´ simetr ´ ıas tan comunes en ab ba ba f´ısica si ca..

17.5 17 .5..

Energ Ene rg´ ´ıa magn´ mag n´ etica etica

Deducir la expresión on de d e la energ´ıa ıa magnética etica de forma f orma directa no es e s sencillo, sen cillo, pero en cambio se puede obtener un resultado resultado muy útil util utilizando argumentos indirectos en los que la conservación on de la energ´ıa ıa juega su papel. pap el. Supongamos Sup ongamos que tenemos el circuito de la figura 17.1 y analicemos que esta sucediendo. Por la ley de Ohm el efecto de todas las fuerzas electromotrices es generar una I R, es decir,  = I R.  Podemos atribuir una  a la pila y una  a la f.e.m. que se induce en el circuito. Sabemos que  = dφ y que para un propio circuito φ = LI siendo L una constante. dt Tendremos por tanto que



−

 +  = I R

= I R, ⇒  − L dI dt


111


y despejando de aqu´ aqu´ı la f.e.m. que produce la pila, es decir,  resultar´ a que  = IR + L

dI . dt

(17.2)

Sabemos ahora que I es toda la potencia que suministra la pila. Multipliquemos entonces toda la ecuación on (17.2 17.2)) por I para ver a donde va a para esa potencia y tendremos que dI I = I 2 R + LI , dt es decir, que parte de la potencia se gasta en el efecto Joule (producir calor) y otra parte se va en el t´ ermino ermino LI dI . Como la potencia es P = dE si llamamos E B a dt dt la energ´ energ´ıa asociada con el campo magn´ etico etico que se almacena en la autoinducción on tendremos que dE B dI = LI dt dt de donde integrando se tiene que 1 E B = LI 2 . 2 Ampliaci´ on on

expresi´ on on general del camp o magnético etico contenido en una región on del ◦ La expresi´ espacio en funci´ on on de B es m´ as as dif´ıcil ıcil de obtener y tiene el siguiente aspecto: E B =

1 2µ0



B 2 dV.

V

17.6 17 .6..

Prob Proble lema mass y apli aplica caci cion ones es de induc inducci ci´ ´ on on electrom tr omag agn´ n´ etic et ica a

17.6.1 17.6.1..

Genera Generador dores es

Un generador es un dispositivo capaz de producir corriente a partir de otras formas de energ´ıa, ıa, generalmente generalm ente a partir de energ´ıa ıa mecánica. anica. La gran mayor´ mayor´ıa de los generadores consisten en una espira conductora que gira en el interior de un campo magn´ etico etico constante y homog´ eneo eneo a velocidad angular ω tambi´ tamb ién en constant cons tante. e. ¿Cómo omo será su fuerza electromotriz inducida?.  S  = BS cos El flujo magn´ etico etico que atraviesa la espira será igual a φ = B BS cos θ . En este caso si la espira gira a una velocidad angular constante, esto supondrá que θ = ωt + φ siendo φ una fase inicial que podemos suponer tranquilamente que es cero. Tendremos por tanto que φ = BS cos( BS cos(ωt ωt). ). dφ Para calcular  sabemos que  = dt con lo cual directamente obtenemos que  = BSω BS ω sin(ωt sin(ωt). ). En la práctica actica se usan solenoides con muchas espiras y otras mejoras técnicas, ecnicas, pero en cualquier caso la f.e.m. producida siempre es del tipo  = 0 sin(ωt sin(ωt). ).

·

−

Nota

 Si representamos la f.e.m. inducida en este tipo de generadores en funci´ on del tiempo, como en la figura 17.2 vemos que esta corriente generada es on alterna. Esta es una de las razones por las que el uso de la corriente alterna est´ a tan difundido: ya que su generación on es mucho más as sencilla que la de la corriente continua.

112



ε

t

Figura 17.2: Corriente alterna.

17.6.2.

Transforma ransformadores dores

Un transformador es un aparato capaz de cambiar el voltaje o tensión de la corriente eléctrica ectrica alterna. Básicamente asicamente están an formados por dos solenoides de n 1 y n2 espiras arrollados en torno a un núcleo ucleo de hierro, como en la figura 17.3 17.3.. Si uno de estos circuitos es alimentado por un generador que produce una f.e.m. 1 esto producirá un flujo magnético etico φ que atravesará cada espira del solenoide. En este circuito, circuito, si suponemos suponemos que no se pierde pierde energ´ energ´ıa en calor, calor, etc. . . tendremos tendremos que toda su 1 se está invirtiendo en flujo magn´ etico etico y, seg´ un un (17.1 17.1)) y como el flujo total que atraviesa el circuito es el de una espira, φ por todas las n1 espiras que tiene se obtiene que dφ 1 = n1 . dt

−

Veamos que sucede para el circuito 2. El hecho de arrollar ambos circuitos a un n´ ucleo de hierro sirve para que casi todo el flujo (siempre se pierde algo) φ que ucleo atravesaba atravesaba cada espira del primer circuito lo haga tambi´ en en en las del segundo. De esta manera vamos a suponer que no hay pérdida erdida alguna y que, tambi´ en en para el segundo circuito cada espira es atravesada por el flujo φ. En este caso se inducirá una corriente 2 equivalente a la derivada temporal del flujo total con signo menos, esto es dφ 2 = n2 dt

−

y como el término ermino dφ es el mismo en ambas expresiones si dividimos miembro a dt miembro tenemos que n2 2 = 1 n1 que nos da la relación on entre las tensiones de entrada y salida de un transformador. Ahora bien, este no es un dispositivo “milagroso” y aunque logra transformar un tenue voltaje en otro más as alto debe respetar el principio de conservación o n de la energ energ´ıa, y por tanto tanto las potencias potencias de entrada entrada y salida salida deber´ deber´ıan ser, si no hay pérdi er dida dass1 iguales. Como la potencia es P = I  esto nos dice que las intensidades se transforman como I 2 = nn12 I 1 . Resumiendo: Si elevamos la tensión on de un circuito lo hacemos a costa de disminuir su intensidad. Cuando bajamos la tensión on de otro a cambio elevamos la intensidad. intensida d. La L a potencia p otencia,, que qu e es el término ermino energético, etico, se mantiene ma ntiene constante. constante . 1

En un caso real la potencia de salida siempre es menor que la de entrada, el resto se disipa en forma de calor. F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

113


ε1

n1

n2

ε2

Nucleo de hierro.

Figura 17.3: Esquema simplificado de un transformador.

17.6.3 17.6.3..

Autoin Autoinduc ducci´ ci´ on on de un solenoide

Si tomamos la aproximación on de solenoide muy largo que vimos en el apartado 16.5.5 podemos intentar calcular el valor de su coeficiente de autoinducción. Como el campo en su interior vale B = µ0 nI siendo n, recordemos, la densidad longitudinal de espiras, tendremos que si cada espira presenta una superficie S el flujo total será φT = nlBS donde l es la longitud del solenoide. Despejando L=

φT I

y por tanto en esta aproximación on resultará que L = µ0 n2 lS.

114


Cap´ıtulo 18

La naturaleza de la luz. Dualidad onda corp´ usculo usculo de la materia 18.1. 18.1.

Intr Introduc oducci ci´ ´ on on hist´ orica orica

Hist´ oricamente oricamente la luz ha sido siempre un ente escurridizo al que los f´ısicos han querido asignar una naturaleza determinada, sin conseguirlo. Newton, a finales del siglo XVII, XVI I, sostuvo que la luz estaba compuesta por part´ part´ıculas, diferentes según un el color, y que “rebotaban” en un espejo logrando as´ı explicar p orqu´ e los ángulos angulos de incidencia y reflexión on eran los mismos. Parece ser que la propagación rectil´ rect il´ınea ınea de la luz tuvo mucho que ver con esta posición. Además as lograba lograba explicar la refracci´ refracci´ on on sobre la superficie sup erficie de dos medios diferentes usando también en una un a teor´ıa ıa corpuscular. corp uscular. Huygens, contemporáneo aneo de Newton, hablaba de ondas luminosas, y mediante el principio de Huygens, visto en 15.2 explicaba explicab a también en la refracción on y reflexión. on. Seg´ un un Newton N ewton la luz l uz deb´ deb´ıa ir m´ m as a´s rápida apida en un medio más as denso. Seg´ un un Huygens el fenómeno omeno era al rev´ r evés, es, pero no obstante o bstante en aquella a quella época epo ca a´ a ún un no se s e pod´ p od´ıa ıa medir m edir la velocidad de la luz de manera fiable, y no se levó a cabo ningún un experimento experimento para descubrir descubr ir quien ten´ ten´ıa razón; on; fue la eminencia de Newton lo que decantó la balanza hacia el lado corpuscular de la luz durante esa época, epoca, y esta inercia hizo que, pese a los continu continuos os debates debates y pol´ emicas, emicas, fuera la naturaleza naturaleza corpuscular corpuscular de la luz la dominante durante el siglo siguiente al de Newton. A principios del siglo XIX empezó a formarse un sistema consecuente y desarrollado de la luz vista desde un punto ondulatorio. Fueron de gran importancia las aportaciones de Joung y Fresnel. El descubrimiento de muchos fenómenos omenos de difracción on e interferencia relacionados con la luz y la posterior explicación del fenómeno omeno ondulatorio de la luz como una onda electromágnetica agnetica por parte de Maxwell pareció dejar sentada definitivamente definitivamente la teor´ teor´ıa ondulatoria sobre la luz a finales del siglo XIX. Pero no obstante a finales del siglo XX surge uno de los fenómenos más as complejos y enrevesados estudiados entonces: la radiación on del cuerpo negro: un sistema ideal que absorbe toda la radiación on que incide sobre él el y que, en buena aproximación, on, puede tomarse como un cuerpo con una cavidad que comunica con el exterior con un pequeño no orificio, y cuyas caracter´ caracter´ısticas radiativas cumplen la propiedad de depender depender sólo olo de la temperatura de sus paredes. Fue este hecho el que jugó un papel primordial en la historia de la f´ısica moderna y que obligó a Planck (a disgusto, según un cuenta la historia) en 1.900 a introducir 115

´ CAPÍTULO 18. LA NATURALE NATURALEZA ZA DE LA LUZ. DUALIDAD ONDA ONDA CORPUSCULO DE LA MATERIA

Figura 18.1: Dibujo de un “cuerpo negro”.

E

x**3/(exp(x)-1) x**3/(exp(1.2*x)-1) x**3/(exp(1.1*x)-1)

ν Figura 18.2: Distribución on espectral de la radiación on emitida por un cuerpo negro a distintas temperaturas. uno de los fenómenos omenos más as sorprendentes de la f´ısica: la cuantizaci´ on on de la energ ener g´ıa y, en concreto, de la luz.

18.2 18 .2..

El cuer cuerpo po negr negro o

Un esquema de la cavidad que puede aproximarse a un cuerpo negro ideal se encuentra en la figura 18.1 18.1.. Estos cuerpos al irse calentando van encontrando un equilibrio de radiación on en el cual, a mayor temperatura, el cuerpo emite a su vez más as radiaci´ on. on. Además as al irse calentando el cuerpo aumenta la cantidad de energ´ energ´ıa radiada (de acuerdo acuerdo con la ley de Stefan-Boltzm Stefan-Boltzmann) ann) y la concentr concentraci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa se desplaza hacia longitudes de ondas más as cortas. Precisamente a una representaci´ on de la potencia radiada frente a la longitud de onda se le puede denominar on distribuci´ on on de la radiación on o distribución on espectral. Una gráfica afica de la distri distribuc buci´ i´ on espectral de la radiación on o n de un cuerpo negro puede verse en la figura 18.2. Este resultado experimental se intentó explicar de una forma directa a partir de la termodinámica amica clásica, asica, y el resultado obtenido, que tambi ta mbi´én en est e st´ a´ representado en la figura 18.2, claramente no coincid´ co incid´ıa ıa con co n el resultado resultad o “verdadero”, que es siempre el que marca la experiencia de laboratorio. En 1900 1 900 el f´ısico ısi co alem a lem´án, an, Max Planck afirmó que realizando una inusitada modificaci´ on on de los cálculos alculos clásicos, asicos, e introduciendo una hipótesis otesis nueva y singularmente 116


´ CAPÍTULO 18. LA NATURALE NATURALEZA ZA DE LA LUZ. DUALIDAD DUALIDAD ONDA ONDA CORPUSCULO DE LA MATERIA

extra˜ na, na, hab´ hab´ıa encontrado una distribuci´ distri bución on espectral que explicaba perfectamente los datos experimentales. Esta “sorprende “sorprendente nte hip´ otesis” otesis” era que la energ´ energ´ıa emitida emitida y absorbida absorbida por el cuerpo no era continua, es decir, el cuerpo no pod p od´´ıa tomar o dejar cualquier valor de ésta, esta, sino discreta y adem´ a demás, as, proporcional a la frecuencia. Es decir E = hν

(18.1)

donde h es la constante de proporcionalidad, de valor h06 06,,626 10 −34 J s y conocida actualmente como constante de Planck . Planck fue absolutamente incapaz de encajar esta hipótesis otesis dentro del marco de la mecánica anica clásica asica y, sin proponérselo, erselo, hab´ hab´ıa dado el primer paso para el advenimiento de la mecánica anica cuántica. antica.

· ∗

 La radiación on electr electroma omagn gn´ética etica se emite emite en “paque “paquetes tes”” de energ energ´´ıa o fotones cuyo valor energético etico es:

Recuer Recuerda da

E = hν.

18.3.

El efecto fotoel´ ectrico ectrico

18.3 18 .3.1. .1.

Desc Descri ripci pci´ on o ń del problema

Este efecto fue descubierto por Hertz en 1.887 y estudiado por Lenard en 1.900. Fue satisfactoriamente explicado por Einstein en 1.905 y su explicación le supuso ganar el Premio Premi o Nobel Nob el de F´ısica. El efecto efec to fotoel´ fot oeléctrico ectrico consiste consist e en el e l hecho de que, que , cuando se ilumina una superficie metálica alica limpia, bajo ciertas condiciones se emiten electrones. Estos electrones pueden ser recogidos en un tubo de rayos catódicos para relacionar su emisión on con algo fácilmente acilmente medible, como es la intensidad y voltaje el´ eléctr ec tric ico. o. Analicemos que sucede en el circuito de la figura 18.3 18.3.. Cuando la luz incide sobre el cátodo atodo C se emiten electrones. Si alguno de ellos choca con el ánodo A existirá una cierta corriente por el circuito. El número umero de electrones emitidos que alcanzan el ánodo anodo puede variarse haciendo el ánodo anodo positivo o negativo respecto el cátodo, atodo, es decir, creando una diferencia de potencial V entre ellos. Cuando V es positivo positivo los electrones electrones arrancado arrancadoss por la luz son atra´ atra´ıdos por el ánodo. anodo. Para un valor lo suficientemente alto de V todos los electrones “arrancados” por la luz alcanzan el ánodo anodo y la corriente logra su valor máximo; aximo; si aumentamos más as V descubriremos que que la corriente ya no aumenta, se mantiene en su valor máximo, ya que V no influye en que se liberen más as electrones del cátodo, atodo, sino sólo olo en que todos los que son liberados se acerquen hacia el ánodo. anodo. Si variamos V al rev´ re vés es los electrones serán an repelidos por el ánodo, anodo, y sólo olo aquellos que tengan t engan una energ e nerg´´ıa 1 2 cin´ ci nétic et icaa ( 2 mv ) suficientemente alta lograrán an llegar al ánodo anodo y generar corriente. Pero ahora bien, cuando bajamos V y lo hacemos menor que un cierto valor V 0 no existe corriente alguna, lo cual significa que ningún un electrón on alcanza el ánodo. anodo. Entonces este potencial V 0 estar´ a relacionado con la máxima axi ma energ´ ene rg´ıa ıa cin´ cin ética et ica que qu e tendrán an los electrones, de manera que podemos poner

−

1 mv 2 2

|

max

= eV 0 .

Ahora Ahora bien ¿y qu´ e es lo interesan interesante te de esta experiencia?. experiencia?. Lo curioso curioso es que el valor de V 0 no depend dependee de la intens intensida idad d de la radiaci adiaci´ on ´ , pero si depende de “algo tan peregrino” como el color de la luz con que se ilumine el cátodo. ato do. As´ı pues pue s aparentemente aparentemente al aumentar la intensidad, por tanto la energ´ energ´ıa por p or unidad de tiempo tiemp o F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

117


Luz

s n e o t r e c l e

anodo

catodo

A

+

-

Figura 18.3: Dispositivo simplificado para la medición del efecto fotoel´ foto eléctrico. ectrico. que cae sobre el cátodo, atod o, no n o aumenta au menta la energ e nerg´´ıa cinética etica de los l os electrones el ectrones emitidos. emitido s. ¿C´ omo omo se puede explicar esto?. ¿Por qué sucede?. Estas fueron las preguntas que se hizo Einstein ( y logró contestar) en 1.905.

18.3. 18 .3.2. 2.

Solu Soluci ci´ on o ń

Einstein demostró que estas experiencias exp eriencias po d´ıan entenderse suponiendo que la energ´ energ´ıa luminosa no se distribuye de manera continua, como dice el modelo clásico asico ( y Maxwelliano) de la luz, sino cuantizada en paquetes pequeños nos llamados fotones. La energ ener g´ıa de un fot´ fot on oń es E = hν , la relación on que Planck usó para la explicación on del cuerpo negro. Einstein supuso que un electrón on emitido desde la superficie del cátodo atodo es de alguna forma “arrancado” por el impacto con el fotón, on, de forma que toda la energ ener g´ıa del fot´ fot ón on pasa al electrón. on. Ahora bien, el electrón on recibe su energ´ energ´ıa de un unico u ´ nico fotón. on. As´ As´ı, cuando cuando se aumenta aumenta la intensida intensidad d de la luz lo que sucede es que al incidir más as fotones sobre el cátodo atodo por unidad de tiempo quedan más as electrones liberados, pero la energ´ energ´ıa que ha absorbido cada electrón on no var´ var´ıa, es la misma. De esta manera se hace un sencillo cálculo alculo energético: etico: Si la energ´ıa ıa necesaria para que se desprenda un electrón on de la superficie de un metal es, pongamos, una cierta W , W , la energ´ıa ıa máxima axima de los electrones electrones deber´ deber´ıa ser la que queda de la que ten´ıa ıa el electr´ elec trón, on, es decir 1 mv 2 max = hν W 2 y como a su vez, sab´ sab´ıamos que esta energ´ energ´ıa era eV 0 podemos podemos deduci deducirr que este este potencial potencial de frenado frenado V 0 será hν W V = . e Este resultado coincid´ coincid´ıa plenamente con los datos experimentales, y además as el valor h de la constante h result´ o ser igual que el usado por Planck para explicar

|

−

−

118



el cuerpo negro. Esto supuso una nueva evidencia sobre la validez universal de la hipótesis otesis de la cuantificación on de la energ´ ene rg´ıa ıa lum lu m´ınic ın ica. a.

18.4 18 .4..

Efec Efecto to Comp Compto ton n

Arthur H. Compton, en 1.923 realizó una experiencia en la que se enviaban rayos X (un tipo de luz más as energética etica que la visible) a una zona con átomos, atomos, y posteriormente se s e med´ıa ıa tanto t anto la frecuencia frecuenci a y ángulo angulo de la luz dispersada como la velocidad el electrón on derivado tras el choque. Utilizando los principios de conservación de la energ´ energ´ıa y del momento lineal en estos choques, todos los resultados eran coherentes si se supon´ supon´ıa que la luz se comportaba como una part´ part´ıcula (un fot´ on) on) que colisiona colisiona con el electrón, on, con energ en erg´´ıa dada da da por p or la relación on de Planck E = hν y con momento lineal igual a h p = . (18.2) λ Nota

Puede resultar ´ util util recordar recordar que, de acuerdo acuerdo con la teor´ teor´ıa cl´ asica, asica, la energ´ıa ıa y cantidad de movimiento m ovimiento de una un a onda ond a electrom el ectromagn´ agnética etica está marcada por E = pc, 

entonces, relacionando esta E mediante la ecuación on ( 18.1) 18.1) y recordando que c = λν se obtiene f´ acilmente acilmente (18.2 (18.2). ).

18.5. 18.5.

Natura Naturalez leza a ondul ondulato atoria ria de la la mater materia ia

Las ideas de simetr´ simetr´ıa, que se muestran siempre muy utiles u ´tiles en la f´ısica, levaron a Louis de Broglie a pensar que, al igual que la luz, pese a ser de naturaleza supuestamente ondulatoria, presentaba muchas veces una componente corpuscular, pod´ıa ıa ser que la materia normal, tratada siempre como part´ part´ıcula, tuviese tambi´ en en una naturaleza ondulatoria. Pero de Broglie fue más as allá: a: si el momento lineal de un fotón, on, seg´ un un el experimento de Compton, era p = hλ ¿por qu´ e no utilizar esta relaci´ on on para encontrar la “longitud de onda de la materia”?. Esto es, para un cuerpo normal p = mv y usando (18.2 (18.2)) y desp d espejan ejando do as´ı λ obtenemos λ=

h . mv

(18.3)

Ahora bien, la f´ısica ısica tiene siempre una forma para decidir cuando una hipótesis otesis es o no correcta: la experimentación. on. En experiencias posteriores se pudo comprobar que efectivamente, efectivamente, part´ıculas ıculas como los electrones, pueden producir patrones de difracci´ on, un hecho puramente ondulatorio, similares a los que producen los rayos on, X. Ahora bien, si todas t odas las part´ıculas ıculas presentan esta dualidad onda y corp´ corp usculo, u ´ sculo, ¿por qu´ e en nuestra nuestra vida cotidiana cotidiana no vemos, vemos, por ejemplo, ejemplo, la difracci´ difracci´ on o n de una bola de billar o de algún un objeto igualmente macroscópico?. opico?. La respuesta es que, si tomamos una bola de billar con una masa de 100 gramos y una velocidad de 1 m su s longitud de onda será, a, dado el ´ınfimo ınfimo valor de h, extremadam extremadament entee peque˜ na, na, razón on por la cual con los aparatos actuales somos incapaces de comprobar su existencia. Para objetos más as peque˜ nos nos (protones, (protones, electrone electrones, s, neutrinos. neutrinos. . . ) se ha encontra encontrado do un comportamiento ondulatorio siempre que se ha buscado. Ampliaci´ on on

omenos nuevo invalida de tal maomenos ◦ Evidentemente toda esta serie de fen´ nera las leyes anteriores que es necesaria la búsqueda usqueda de nuevas nuevas “leyes “leyes de F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

119


Newton”, de nuevas ecuaciones que sean capaces de explicar a su vez estos nuevos fenómenos. omenos. Estas nuevas leyes entran a formar parte de un nuevo marco de la f´ısica que se conoce como F´ısica Cuántica antica o Mecánica anica Cu´ antica. antica. La palabra cuántica antica hace referencia al hecho de que, en este nuevo marco, algunas magnitudes no van a ser continuas, sino que van a ser discretas, a estar cuantizadas, es decir, a permitir sólo olo ciertos valores discretos. Podemos citar a los f´ısicos Schrödinger, odinger, Heisemberg y Pauli como los padres de la mecánica anica cuántica, antica, descubridores a su vez respectivamente de la mec´ anica de matrices, la ecuación anica on de Schrödinger odinger de la Mecánica anica Cu´ antica antica y la ecuaci´ ecuacion ´ on de Pauli de la Mecánica anica Cu´ antica antica y Relativista Relativista (en la cual aparece de manera natural el fenómenos omenos del esp´ esp´ın), pero toda lista ser´ ser´ıa incompleta. La Mecánica anica Cu´ antica antica y la Mecánica anica Relativista son dos espectaculares teor´ıas, ıas, en su mayor´ mayor´ıa poco p oco intuitivas intuiti vas e incluso i ncluso muchas veces vece s “contra “contr a el sentido com´ un” un” que han revolucionado revolucionado la f´ısica del siglo XX y han logrado explicar explicar infinidad de hechos nuevos y otros ya conocidos bajo una luz diferente. Su uni´ on on con co n las la s teor teo r´ıas de d e campos, cam pos, en lo que se conoce conoc e como co mo Teor´ıa ıa Cu´ C uántica de Campos ha dado pie a una de las teor´ıas ıas más exactas y extrañas nas que existen actualmente. Tecnol´ ogicamente aparatos tan cotidianos como los ordenadores o avances ogicamente m´ edicos edicos como la radiolog radiol og´ ´ıa no habr´ h abr´ıan ıan sido posibles posi bles sin estos descubrimiento descubr imientos. s.

18.6 18 .6..

Resu Resume men: n: Dual Dualid idad ad onda onda-c -cor orp´ p´ usc u sculo ulo de la luz y la materia

As´ As´ı pues p ues como resumen ¿qué es la luz y la l a materia? m ateria? ¿Son ondas o son s on part´ıculas? ıculas? ¿Se comportan como las primeras o las segundas?. Como se ha podido ir desgajando a lo largo de las secciones la respuesta no es fácil. acil. La f´ısica en s´ı misma no es una ciencia que pretenda explicar la esencia de la Naturaleza, sino más bien cómo omo se comporta compor ta ésta. esta. Por eso la contestaci´ c ontestación on a la l a pregunta pregu nta de si s i la luz l uz es onda o es part´ıcula ıcula es irrelevante. Lo importante es que, según un la experiencia, se comporta de una u otra forma en unos u otros casos. As´ As´ı mismo la materia materia se comporta como onda o como corp´ usculo usculo seg´ un un la ocasión. on. Ser´ Ser´ıa como si “fuera onda los lunes miércoles ercoles y viernes y part´ıcula ıcula el resto”. No obstante quizás as esta explicación on parezca muy absurda a muchos, que piensen que todo esto tiene que estar claramente equivocado porque ¿cómo omo va a ser algo onda y part´ part´ıcula a la vez?. Seg´ Seg un u ´ n los más as elementales principios de la lógica ogica algo no puede ser y no ser a la vez, o bien un ente no puede contener dos propiedades contradictorias de forma consecutiva. El problema surge al considerar la esencia misma de la concepción “onda” o de la concepción on “part´ıcula”. ıcula”. La mente humana crea un modelo, mo delo, un concepto como “onda” para explicar una serie de hechos, y luego renuncia a los hechos para afirmarse m´ as as en la concepción on de “onda”. Análogamente alogamente crea la concepción on “pa “ part´ rt´ıcula ıcu la”. ”. Posteriormente cree que, el hecho de que ciertos aspectos de la Naturaleza puedan explicarse como part´ part´ıcula implican que ese aspecto es una part´ part´ıcula, y esta identificaci´ on es la que resulta incorrecta. Por ejemplo: una bola de billar se comporta on como una part´ıcula, ıcula, pero esto no significa signific a que q ue sea una part´ıcula. ıcula. ¿Qué es e s por p or tanto una bola de billar?. billar?. No es la f´ısica quien tiene que dar la respuesta, respuesta, entre otras cosas porque (es mi opinión) on) ni es un tema de su incumbencia ni lo podrá saber nunca. La bola de billar es un objeto incognoscible al que podemos asociar una etiqueta “part´ “part´ıcula” porque en todas las ocasiones se comporta como tal, pero p ero por ello no tiene por qué ser s er una u na part´ıcula. ıcula. Dicho de otra forma, “onda” o “part´ “p art´ıcula” ıcula” son sólo olo modelo m odeloss o categor´ıas ıas mentales, m entales, y la Naturaleza Natural eza no tiene porqué amoldarse amol darse a nuestras aldeanas categor´ categor´ıas mentales. La Naturaleza será lo que sea, y muchas facetas suyas se aproximarán an a “onda” “onda” y otras a “part´ “part´ıcula” ıcula” que no son más as que 120



aproximaciones o modelos humanos. As´ı pues pue s ¿qué es un fot´ fot ón? on? ¿Qu´ e es la luz?. Conocer la esencia de la luz no es tarea de la f´ısica, ısica, su tarea es describir describir cómo omo se comporta la luz bajo ciertas condiciones. Y de esta forma se descubre y estudia que a veces se comporta como luz y a veces como part´ıcula, ıcula, pero p ero “comportarse como” es muy distinto de “ser”. A´ un un as´ as´ı ser´ ser´ıa interesante interesante concluir citando unas palabras de Einstein: Lo mas incomprensible es que sea comprensible.


121


122


Cap´ıtulo 19

Funda undame mento ntoss de F´ısic ısica a Nuclear 19.1. 19.1.


La materia está compuesta por átomos, atomos, unidos entre s´ı por enlaces qu´ qu´ımicos. A su vez los átomos atomos están an compuestos de electrones, neutrones y protones, denomin´ andose andose a estos dos últimos ultimos el n´ ucleo ucleo atómico. omico. Como los átomos atomos son neutros esto obliga a que exista el mismo número umero de electrones que de protones en un átomo atomo normal, ya que los neutrones no tiene carga y los protones y electrones tienen igual carga pero de distinto signo. Ahora bien ¿qué es e s un u n n´ n ucleo? u ćleo? ¿qué pasa pa sa dentro d entro de d e un núcleo? ucleo? ¿puede variar el núcleo?. ucleo?. Estas son las preguntas que intentaremos responder.

19.2.

El n´ ucleo ucleo at´ omico omico

19.2.1. 19.2.1.

Alguna Algunass definic definicion iones es

La masa de un n´ ucleo ucleo cualquiera cualquiera se puede constatar constatar que coincide coincide muy bien con un n´ umero entero de veces la masa del núcleo umero ucleo del átomo atomo de hidrógeno. ogeno. Las variaciones de masa de unos núcleos ucleos a otros ot ros también en es e s un múltiplo ultiplo de la masa del atomo átomo de H . De esta manera se denomina A al n´ umero umero m´ asico a sico de un átomo, atomo, es decir, precisamente al número umero que es ese múltiplo ultiplo del átomo atomo de H . De esta manera claramente para el hidrógeno ogeno A = 1. Al n´ umero de protones que contiene un núcleo, umero ucleo, que como hemos dicho es el mismo que electrones tiene su corteza, se le denomina Z . Como además as la masa de protones y neutrones es casi igual se tiene que el número umero de neutrones de un átomo atomo es N = A Z.

−

Un eleme e lemento nto qu q u´ımico ımi co est´ e stá formado por un conjunto de atomos átomos con igual Z , pero donde puede variar N . N . Por esta razón on se denomina isótopos otopos a los átomos atomos del mismo elemento pero de distinta masa, es decir, que necesariamente tienen que poseer un número umero distinto de neutrones. Un n´ uclido es aquel conjunto de átomos uclido atomos de igual A A y Z (y por tanto N ) N ) y se representa como Z X siendo X el s´ımbolo ımb olo qu´ımico ım ico del elemento correspondiente a su Z . Se ve fácilmente acilmente que en esta notación on hay informaci´ on on redundante. 123

CAPÍTULO 19. 19. FUNDAMENT FUNDAMENTOS OS DE FÍSICA NUCLEAR

El patrón on de medida que se utiliza para las masas atómicas omicas es la unidad de masa at´ omica o u.m.a., se define como la doceava parte de la masa del 1 26 C . omica

19.2.2. 19.2.2 .

Caracter´ Caracter´ısticas

Cuando se mide muy precisamente la masa del núcleo ucleo resulta sorprendente comprobar que ésta esta siempre es algo menor que la suma de las masas de las part´ part´ıculas que lo componen. componen. Concretam Concretamente ente se puede restar la masa de las part´ part´ıculas ıculas que lo componen de su masa real y obtener as´ı ∆m = Zm p + (A (A

− Z )m − m n

X

siendo mX la masa real del átomo atomo de A Z X . ¿Qu´ e ha sucedido con esta masa que se ha perdido?. p erdido?. Recordemos que según un la teor´ teor´ıa de la relatividad de Einstein masa y energ´ energ´ıa son intercambiables, intercambiables, por lo que podemos afirmar que el núcleo ucleo como tal tiene una energ´ıa ıa E = ∆mc2 menor que las part´ıculas ıculas que lo forman. f orman. Esta energ´ıa, ıa, por tanto, se desprendi d esprendi´ó cuando se formó el n´ ucleo y su carencia es lo que ahora posibilita su existencia como agregado. Si la ucleo volviéramos eramos a reintegrar al núcleo ucleo obtendr´ıamos ıamos otra vez los neutrones y protones correspondientes y por tanto disgregar´ disgregar´ıamos el átomo atomo a sus componentes. Se trata por tanto de la energ´ energ´ıa de enlace del n´ n ucleo u ´ cleo atómico. omico. Esta energ´ıa ıa nuclear está asociada a su vez a la fuerza nuclear fuerte, la interacci´ on on que evita que los protones se alejen (se repelen entre s´ı) ı) manteni´ endoles endoles fuertemente unidos. Algunas propiedades de esta fuerza son: Es de muy corto alcance, sólo olo se nota a distancia de un fermi (1 10−15 m) o menores.

·

No depend d ependee de la carga ca rga el´ e léctrica. ectrica. Es una fuerza atractiva, aunque a distancias mucho más as peque˜ nas n as que su alcance resulta repulsiva. Depende del esp´ın ın de los protones y neutrones que relaciona. En cuanto al tamaño no del n´ ucleo ucleo es del orden de 10 −15 . Se ha encontrado que se puede suponer a los n´ ucleos como esferas de radio ucleos 1

R = R0 A 3 donde R0 = 1,2f m y A es el n´ umero umero másico asico del n´ ucleo ucleo en cuestión. on.

19.3 19 .3..

Radi Radiac acti tivi vida dad d

La radiactividad es la emisión on de part´ıculas ıcul as α 1 , β 2 y γ 3 por parte de un núcleo ucleo at´ omico y como consecuencia de ajustes y cambios internos en los que generalomico mente el n´ ucleo ucleo cambia su n´ umero de neutrones y protones (y por tanto pasa de umero un elemento a otro). Históricamente oricamente la radiactividad fue descubierta por Becquerel al descubrir descubrir que un compuesto compuesto que conten conten´´ıa uranio uranio era capaz capaz de velar velar una placa fotogr´ afica afica sin necesidad de exponer ésta esta a la luz. Antes de entrar en detalle en estos procesos radiactivos es interesante señalar nalar que en aquellos que se producen desintegraciones (reacciones atómicas) se conservan la energ´ energ´ıa, el momento angular y el lineal y la carga, as´ı como otras “magnitudes” como conservar el número umero de protones más as neutrones (de nucleones). 1

N´ ucleos ucleos de Helio. Positrones o electrones. 3 Fotones Fotone s muy energ´ e nergéticos. etic os. 2

124


CAPÍTULO 19. 19. FUNDAMENTO FUNDAMENTOS S DE FÍSICA NUCLEAR

19.3.1. 19.3.1.

Radia Radiacti ctivid vidad ad α

En la radiación on α un n´ ucleo se desintegra emitiendo un núcleo ucleo ucleo de Helio, que es a lo l o que q ue se s e denomina de nomina part´ıcula ıcula α. De esta manera la reacción on que se establece es la siguiente A−4 A 4 Z X Z −2 Y +2 H e

→

en donde X era el n´ ucleo ucleo original e Y será el producto de la reacción, on, cuyo n´ umero umero at´ omico es dos unidades menor que el del original. Haciendo un cálculo de diferencias omico de energ´ıa, ıa, la energ´ıa ıa liberada liber ada en esta reacción será E = (M ( M X

− M − M )c2. Y Y

α

La radiactividad α es muy poco penetrante. Basta una hoja de papel o un vestido para pararla.

19.3.2. 19.3.2.

Radia Radiacti ctivid vidad ad β

Existen dos tipos de radiactividad β , la β + y la β − en cuyas reacciones se emiten positrones y electrones, respectivamente. De esta manera procesos de este tipo darán lugar a reacciones como − ν A A ν Z X Z +1 Y + β + ¯

→

y A Z X

+ − Y + β + ν

A Z 1

→

en donde ν ν¯ y ν son respectivamente un antineutrino y un neutrino, de los cuales hablaremos más as tarde. Experimentalmente se encontró que la energ´ıa ıa de los productos pro ductos finales no se correspond rresp ond´´ıa con la que se esperaba esp eraba si sólo olo se emitieran un núcleo ucleo hijo más as la part´ par t´ıcula ıc ula beta respectiva. Por esta razón on Pauli postuló la existencia de unas part´ part´ıculas nuevas, de carga neutra (razón on que hac´ıa ıa dif´ıcil ıcil su detenci´ dete nción) on) y masa, caso de tener 4 , muy peque˜ na (y por eso se le bautizó neutrino, puesto que era como un “neutrón na on chiq chiqui uit´ t´ın”. ın ”. Posteriormente se descubrió que, que , efectivamente, ef ectivamente, esta part´ıcula ıcula existe. La radiactividad beta es bastante penetrante, aunque se puede parar con una l´ amina amina de metal.

19.3.3. 19.3.3.

Radia Radiacti ctivid vidad ad γ

La radiación on γ consiste en la emisión on de d e fotones fo tones muy energ´ ene rgéticos. eticos. La raz´ r azón on de la existencia de esta radiación on se debe a la necesidad de descargar parte de su energ´ energ´ıa que tienen algunos n´ ucleos ucleos después es de una desintegraci´ desintegra ción on en la que quedan en un estado excitado. Este proceso es similar al de la emisión de luz por parte de un átomo normal (por ejemplo, uno de hidrógeno) atomo ogeno) cuando los electrones “caen” de un nivel excitado a otro más as fundamental. De esta manera el núcleo ucleo también en tiene algunos niveles energéticos eticos diferenciados entre los cuales puede moverse moverse mediante la emisi´ on on de fotones. Como la diferencia entre niveles energ´ eticos eticos de un n´ n úcleo ucleo es bastante cuantiosa, los fotones emitidos o part´ part´ıculas gamma tienen energ´ energ´ıas muy impresionantes. Esta radiactividad es la más as peligrosa de todas por su alto poder de penetración y por su elevado elevado nivel nivel energ´ energ´ etico. etico. Para Para frenarla frenarla se requieren requieren,, en casos extremos, planchas de plomo muy gruesas. 4

Tras cuidadosas mediciones se ha logrado establecer, tras varios años n os de duda, que la masa del neutrino es muy peque˜ na pero distinta de cero. na F´ısica General. http:/ /www.ele.uva.es/˜imar /www.ele. uva.es/˜imartin/libr tin/libro/index o/index.html .html

125


19.4.

Caracter Caracter´ ´ısticas ısticas de los procesos radiactiv radiactivos os

19.4.1. 19.4.1.

Cin´ Cin´ etica etica de las reacciones reacciones nucleares nucleares:: Ley de desint desinteegraci´ on on

Un n´ ucleo radiactivo posee una cierta probabilidad de desintegrarse. El hecho ucleo de que estemos tratando con un proceso probabil´ probabil´ıstico se debe a que la naturaleza de la desintegración on es fundamentalmente de tipo cuántico. antico. As´ı, ı, la canti c antidad dad de núcleso ucleso dN que se desintegran será proporcional al tiempo que pasa dt y al n´ umero umero total de n´ ucleos ucl eos que ten´ıamos, ıamo s, N . N . De esta manera obtenemos que dN = λNdt

−

donde λ es una constante de proporcionalidad que se llama constante de desintegraci´ on. on. Integrando y despejando convenientemente se demuestra que N = N 0 e−λt

(19.1)

donde N es el n´ umero umero de n´ ucleos radiactivos que quedan en una muestra cuando, ucleos tomando una muestra original de N 0 n´ ucleos ucleos dejamos dejamos transcurrir transcurrir un tiempo t. También en se puede expresar este fenómeno omeno en e n términos erminos del period p eriodo o de semidesin s emidesin-tegraci´ on on T 12 , que se define como el intervalo de tiempo necesario para que en una muestra el n´ umero de nucleos radiactivos se reduzca a la mitad. umero De esta manera, el que al pasar un tiempo T 12 tengamos una muestra que al principio presentaba N 0 n´ ucleos ucleos con sólo olo N 20 supondrá que N 0 T 1 = N 0 e 2 2 y, por tanto

ln2 ln2 0,693 . λ λ Es usual tambi´ en en hablar de la vida media τ de un n´ ucleo como el tiempo neucleo cesario para que el número umero N 0 de n´ ucleos radiactivos de una muestra se reduzca a ucleos N 0 . De esta manera se demuestra que e T 12 =

≈

τ =

1 . λ

Por ultimo u ´ ltimo se define la actividad de una muestra, cuya unidad en el S.I. es el becquerel (Bq) como una desintegración on por p or segundo. se gundo. As´ As´ı actividad ac tividad será

|dN | = N 0λe−

λt

dt

19.4.2 19.4.2..

.

Las series series radiac radiactiv tivas as

Una serie radiactiva es un conjunto de núclidos uclidos radiactivos que derivan del mismo n´ uclido inicial pero que, por desintegraciones consecutivas, conducen a un mismo uclido n´ uclido que resulta estable. uclido Existen tres series naturales, según un el elemento que les de origen. Se denominan pues la serie del uranio, del torio y del actinio. Por ejemplo, la serie del uranio, que comienza con el 238 U y termina con el 206 P b puede consultarse en la figura 19.1. 126



N

Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U

145

α

− β

140

135

130

125 Z 85

90

Figura 19.1: Serie radiactiva del uranio.


127


Nota

al puede ser la aplicación al on de las desintegraciones nucleares?. La  ¿Y cu´ radiactividad tiene m´ ultiples campos de utilización. ultiples on. Por ejemplo, el m´ etodo etodo del 14 C permite fechar una muestra muestra midiendo la proporci´ proporci´ on o n de 14 C frente al 12 C en muestras orgánicas anicas antiguas y, comparando dicha proporción on con la normal, se calcula cuanto 14 C ha deca´ deca´ıdo. Posteriormente con este dato y conociendo que la semivida del elemento son unos 5500 aós se pueden datar muestras en un intervalo de unos 1000 a 55000 años. nos. Para muestras de edad superior o inferior los datos no son significativos y el proceso no es fiable. Otra aplicaci´ aplicaci´ on consiste en el uso de isótopos radiactivos. on radiactivos. Como sabemos un isótopo otopo es qu´ qu´ımicamente ımicamente indistinguible indistinguible de otro que sea estable. estable. De esta manera, introduciendo algunos isótopos otopos radiactivos en un organismo, éste este los asimila como si fueran normales. y as´ as´ı podemos usarlos como trazadores trazadores en ciertos procesos biológicos, ogicos, o para determinar las velocidades de reacciones qu´ qu´ımicas, ımicas, observa observarr el recorrido recorrido de la sangre en el cerebro. cerebro. . .

19.5. 19.5.

Reacc Reaccion iones es nuclear ucleares es

Cuando los n´ ucleos vencen la repulsión ucleos on eléctrica ectrica que los l os protones pr otones generan entre s´ı y se sit´ sit uan u ´ an en posiciones de alcance de la fuerza nuclear fuerte, es posible que se produzca un reagrupamiento de los n´ ucleos ucleos obteniendo as´ as´ı unos productos de la reacci´ on distintos de los originales. Este proceso es el denominado reacción nuclear. on En estas reacciones se conservan la carga y el número umero de nucleones, nuc leones, la energ´ıa ıa y los momentos angular y lineal. Tipos inportantes de reacciones nucleares son las de fisión y fusión. on.

19.5 19 .5.1 .1..

Fisi Fisi´ on o ń nuclear

Es la división on o ruptura de un núcleo ucleo pesado en otros dos más as ligeros de masas similares. Es una reacción on que espontáneament aneamentee se produce con gran dificultad. dificultad. ´ Artificialmente se puede generar bombardeando los núcleos ucleos con neutrones. Estos, al no presentar carga, penetran con cierta facilidad en los nucleos y pueden desencadenar as´ as´ı un proceso que termina con la ruptura del n´ n úcleo ucleo original. Por ejemplo, una reacción on nuclear nucle ar t´ıpica ıpi ca es 235 1 92 U +0

En general, las reacciones del 1 0n

235 U 92

n

1 →141 56 K r + 30 n.

pueden esquematizarse como

+235 92 U

X + Y + 2 o 310 n → X +

siendo los restos de la reacción on X e Y n´ uclidos con numeros comprendidos entre los uclidos intervalos (84, (84, 104) y (129, (129, 149). El hecho de que entre los productos finales de la reacción existan 2 o 3 neutrones posibilita el hecho de que se produzca una reacción on en cadena, es decir, que estos nuevos nuevos neutrones neutrones emitidos emitidos vuelvan vuelvan a incidir incidir en nucleos nucleos que se fisionen, fisionen, creando creando as´ı mas a´s neutro neutrones nes que. . . y el proceso proceso contin continua. ua. Cuando Cuando sucede sucede una reacci reacci´ón o n en cadena de este tipo todo el “combustible nuclear” se fisiona muy rápidamente y de manera manera explosiv explosivaa liberando liberando enormes enormes cantidade cantidadess de energ´ energ´ıa: hablamos hablamos de una explosi´ on nuclear. Este es el fundamente básico on asico de una bomba atómica. omica. Ahora bien, si logramos reducir el número umero medio de neutrones liberados hasta uno por nucleo fisionado, tendremos una reacción on controlada. Este es el fundamento de las reacciones nucleares que suceden en un reactor nuclear de una central atómica. 128



19.5 19 .5.2. .2.

Fusi´ usi´ on on nuclear

As´ As´ı como fisionar fisionar es dividir, dividir, fusionar fusionar es juntar: juntar: en una reacci´ reacción on de fusión o n se obtiene un n´ ucleo pesado a partir de dos ligeros. Debido a la repulsión eléctric ucleo ect ricaa entre protones este proceso es más as sencillo cuanto más as ligeros sean los núcleos ucleos originales. Cuando el núcleo ucleo creado tenga menos masa que la suma de los núcleos ucleos originales originales tendremos tendremos que, este defecto defecto de masa se libera como energ´ energ´ıa. Este es el proceso que sucede en todas to das las estrellas, auténticos enticos “hornos de fusión” en los que la enorme enorme presi´ presión on que genera la gravedad al apiñar nar estas cantidades gigantescas de sustancias es suficiente para generar espontáneamente aneamente reacciones de fusión. on. Actualmen Actualmente te el proceso proceso de fusi´ on on controlada no está dominado dominado (el incontroincontrolado s´ı, en las tristemente c´ elebres elebres bombas de hidrógeno ogeno o de neutrones) puesto que se requiere alcanzar y mantener temperaturas del orden de millones de grados cent´ cent´ıgrados y no existe ning´ ning un u ´ n recipiente que soporte esto, con lo que hay que contener contener magn´ magnéticamen eticamente te el plasma formado: en cualquier cualquier caso el proceso proceso no es fácil. acil. No obstante, algunas razones para interesarse por el proceso de fusión controlada son Es una energ energ´ıa relativ relativamen amente te limpia: limpia: al contrari contrarioo que en las reacciones reacciones de fisión on apenas hay sustancias sustancias de desecho desecho peligrosas. peligrosas. Su rendimiento energético etico es muy grande. Por ejemplo en la reacción on 2 H +31 1 H +

H

→42 H e +10 n

se liberan unos 18MeV. El “carburante” que necesita, deuterio y tritio, es fácil acil de obtener. El agua de mar contiene cantidades ingentes de deuterio.


129


130


Ap´ endice A

Esquemas y formulario A.1.

C´ alculo alculo vectorial vectorial

1. Defin Definic ici´ i´ on on a )

Esca Escala larr

b)

Vecto ectorr 1) Modulo ódulo 2) Dire Direcc cci´ i´ on on 3) Sen Sentido tido

2. Operaciones Operaciones con vectores vectores a )

Compone Component ntes. es. v = (vx , vy , vz )

b)

M´ odulo. odulo. v = v =

c)

Vector ector unitar unitario. io. vˆ =

||



vx2 + vy2 + vz2

 v v

1) (1, 0, 0) = ˆı 2) (0, 1, 0) = ˆ 3) (0, 0, 1) = kˆ d )

Suma. a +  b = c Gr´ afica. afica.

e)

Product Productoo escala escalar. r. a  b = ab cos θ = ax bx + ay by + az bz

A.2.

⇒ (a , a , a ) + (b(b , b , b ) = (a x

y

z

·

Cinem´ atica atica

1. Vector ector de posici´ posici´ on on r 2. Vector desplazami desplazamiento ento ∆r = r2

− r1

3. Velocida elocidad d

− −

 r2  r1 t2 t1

a )

Media v =

b)

Inst Instan ant´ t´ anea anea v =

d r(t) dt

4. Aceler Aceleraci aci´ón on a )

Media a =

− −

 v2  v1 t2 t1

131

x

y

z

x

+ bx , ay + by , az + bz ).

´ APENDICE ENDIC E A. ESQUEMAS ESQUEMAS Y FORMULARIO FORMULARIO d d2  v ( t ) = r(t) dt dt2 at = ddtv vˆ

b)

Inst Instan ant´ t´ anea anea a =

c)

Tangenc angencial ial..

2

||·

Normal Norm al.. an = vR n, ˆ, n ˆ n Relaci cion ones es e ) Rela 1) a = at + an 2) a2 = at2 + an2

d )

A.2.1. A.2.1.

·

⊥ vˆ

Movim Movimien iento to circul circular ar

1. θ es el ángulo angulo recorrido en radianes. 2. 2πrad = 360o 3. Velocida elocidad d angu angular lar.. ω =

d θ (t) dt

4. Aceler Aceleraci aci´ón on angular. α =

d ω (t) dt

5. Relaciones Relaciones magnitu magnitudes des angular angulares es con con lineales lineales a )

v = Rω b ) at = Rα c ) an = Rω 2

A.3.

Din´ amica amica

A.3.1. A.3.1.

Transla ranslaci´ ci´ on on

1. Leyes Leyes de Newton Newton.. a )

Ley Ley de iner inerci ciaa  = ma F b) Ley de acci acci´ on oń y reacción on c ) Ley



2. Fuerz uerzas as  = m Peso. so. P g. Normal.. En rampas rampas N = mg cos θ b ) Normal Rozamien ento. to. F r = µN c ) Rozami ensiones. A ambos ambos lados de de una polea polea perfecta perfecta es igual. igual. d ) Tensiones. a )

 = m 3. Mom Momen ento to lineal lineal:: P v 4. Conser Conserv vaci´ ación on del momento lineal.



ini ini vi = i mi 



i

mfin vifin i 

 = F t = ∆ p 5. Cantidad Cantidad de movimie movimiento nto e impulso impulso mec´ mecanico. ańico. I

A.3. A.3.2. 2.

Rota Rotaci ci´ on o ń 2

1. Mov Movimien imiento to circular. circular. F c = m vR

2. Apli Aplica caci ci´ón on a curvas con y sin peralte. vmax =

√µgR, v

m ax

=

√tan αgr

3. Mom Momen ento to de un un par de de fuerza fuerzas. s. M = F r sin α 4. Mom Momen ento to de de iner inercia cia.. I =



n

mn rn2

5. Ecua Ecuaci ci´ón on de la dinámica amica de rotación. on. M = I α 132


´ APENDICE ENDIC E A. ESQUEMAS ESQUEMAS Y FORMULARIO FORMULARIO

A.4.

Trabajo rabaj o y Energ´ Energ´ıa

1. Trabajo: concepto concepto intuitiv intuitivo. o. 2. Trabajo: concepto concepto matem´ matemático: atico: a )

W = F r cos α

b)

 r W = F

·

3. Poten otenci cia. a. P = 4.

dW dt

 v = F v , P = F

·

Energ´ıa. ıa. a )

Concep Concepto to intui intuitiv tivo. o.

b)

Cinética. etica. T = E c = 12 mv 2

c)

Poten otenci cial al el´ elástica. astica. E p = 12 K x2

d )

Potencial Potencial gravitato gravitatoria ria superficie. superficie. E p = mgh

e)

Potencia Potenciall grav gravitator itatoria ia ggenera eneral. l. E p =

f )

Potencial Potencial coulombia coulombiana. na. E p = K Qq r

g )

Teorema eorema de conserv conservaci´ aci´ on on de la energ ener g´ıa. E c (A) + E p (A) = E c (B ) + E p (B )

A.5. A.5.

−G

Mm r

Movi Movimi mien ento to arm´ arm´ onico onico simple

1. Ley Ley de Hoo Hooke ke.. F =

−K x

2. Ecua Ecuaci ci´ón on del m.a.s. a )

Ecua Ecuaci ci´ón on general. x = A sin(ωt sin(ωt + θ )

b)

Rela Relaci ci´ón on velocidad velocidad posición. on. v =

c)

Rela Relaci ción ón aceleración on posición. on. a =

√A2 − x2 −ω 2 x

3. ¿Qu´ e es ω ? K m

a )

ω2 =

b)

Perio eriodo do.. ω =

c)

Frecuen recuencia cia.. ω = 2πν

d )

Rela Relaci ci´ón on periodo y frecuencia. ν = T −1

2π T

4. Energ´ Energ´ıa en un m.a.s. a )

Pote Potenc ncia ial. l. E p = 12 K x2

b)

1 2 Mecánica. anica. E total total = 2 KA

5. P´ endulo endulo simple. simple.

 g l

a )

Rela Relaci ci´ on ón con un m.a.s. ω =

b)

Propie Propiedad dades. es. C´ alculo aproximado para amplitudes pequeñas. alculo nas.


133


A.6.

Campo y potenc p otencial ial el´ ectrico ectrico y gravitatori gravitatorio o

1. Fuerz uerzas as a )

 = K Qq2 rˆ Coulom Coulombia biana na (carga (cargas). s). F r

b)

 = Newton Newtonian ianaa (masas (masas). ). F

−G

Mm rˆ r2

2. Camp Campos os a )

 = K Q2 rˆ. Elec Electr tros ost´ t´ atico. atico. E r

b)

Gravit Gravitato atorio rio.. g =

−G

M rˆ. r2

 total 3. Princi Principio pio de super superposi posici´ ci´ on on vectorial. F total = 4. Energ´ Energ´ıa potencial. a )

Elec Electr tros ost´ t´ atica. atica. E p = K Qq . r

b)

Gravit Gravitato atoria ria.. E p = G Mm . r



i

 i . F

5. Potencia Potenciall electrost´ electrost´ atico. atico. V = K Q . r



6. Princi Principio pio de super superposi posici´ ci´ on on escalar. V total total =

i

7. Diferencia Diferencia de potencial potencial electr electrost´ ost´ atico. atico.

V i .

8. Rela Relaci ci´ón on entre la diferencia de potencial y el trabajo. ∆W ∆ W = q(V A

− V ). B

9. Relaciones Relaciones entre entre campos campos y fuerzas fuerzas.. a )

 = q E  . Elec Electr tros ost´ t´ atico. atico. F

b)

 = m Gravit Gravitato atorio rio.. F g.

10 10.. Rela Relaci ci´ón on entre energ´ıa ıa potencial y potencial electrostático. atico. E p = qV . qV .  S  ) y teorema de Gauss. 11. 11. Fluj Flujoo (φ = E

·

qenc . 0

a )

Elec Electr tros ost´ t´ atico. atico. φ =

b)

Gravit Gravitato atorio rio.. φ = 4πGmenc .

12 12.. Anex Anexos os..

134

a )

Significado de la energ´ energ´ıa potencial negativa.

b)

Velocida elocidad d de escape. escape. E t = “ligadas”.

c)

Rela Relaci ci´ón on (unidimensional) entre el campo y el potencial. E =

d )

Leye Leyess de de Kep Keple ler. r.

e)

Reso Resolu luci ci´ón on de problemas problema s de satélites. elites.

1 mv 2 2

−G

Mm r

mv2 R

= 00.. Concepto de part´ıculas ıculas dV dx

= G Mm . R2



A.7. A.7.

Circui Circuitos tos de corr corrien iente te con contin tinua ua

1. Conductore Conductoress y aislante aislantes. s. dq . dt

2. Inten Intensid sidad. ad. Amperio Amperio.. I =

3. Difere Diferenci ncia a de potenci potencial. al. ∆V . V . 4. Ley de Ohm. Ohm. Resist Resistenc encia. ia. ∆V = I R, R = ρ S1 . 5. Asoci Asociac aci´ i´ on on de resistencias. a )

Asoci Asociac aci´ i´ on on serie. Re =

b)

Asoci Asociac aci´ i´ on on paralelo.

1



Re

6. Instru Instrumen mentos tos de medi medida da a )

Amper´ Amper´ımetros. (Serie).

b)

Volt´ Volt´ımetros. ımetros . (Paralelo). (Paralelo) .

i=n i=1

=

Ri i=n 1 i=1 Ri .

7. Trabajo de la corriente el´ eléctrica. ectrica. Ley de Joule. W = I 2 Rt( Rt(J ). ). 8. Potencia de la corriente corriente el´ ectrica. ectrica. P = I 2 R. 9. Generador Generadores. es. Fuerza Fuerza electr electromotr omotriz iz (fem). (fem). ∆ ∆V V = 

− I



ri .

10. Motores. Fuerza contra-electromotriz. contra-electromotriz. (fcem). (fcem). Ley de Ohm generalizada.  i + I Ri .

 



i =

11. Redes el´ ectricas. ectricas. Reglas de Kirchhoff. Kirchhoff.

A.8. A.8.

Electr Electroma omagne gnetis tismo mo

 . 1. Campo magn´ magnético. etico. B  S  . 2. Flujo magn´ etico. etico. Φ = B

·

3. Acci Acci´ón on de un campo magn´ etico etico sobre una carga en mov movimien imiento. to. Ley de Lo  rentz. F = q v B sin α.

| |

| || |

4. Radi Radio o de la orbita o´rbita de una carga carga mov movi´ i´ endose endose bajo la acci´ on o n de un campo mv magn´ ma gnétic et ico. o. R = qB . 5. Acci Acci´ón on de un campo magn´ etico etico sobre un conductor rectil´ rectil´ıneo recorrido por  una corriente. Ley de Laplace. F = BI l sin α.

| |

6. Campo magnético etico creado por una corriente rectil´ rectil´ınea. Ley de Biot y Savart. µ0 I B = 2π r . µ0

7. Campo magn´ magnético etico creado creado por una espira circular circular en su centro. centro. B =

2

I R.

8. Campo magn´ etico etico creado por un solenoide. solenoide. B = µI nl . 9. Fuerza entre entre corrie corrientes ntes paralel paralelas. as. Definici´ Definición on de amperio.


F l

=



µ0 II

2π d

.

135


136


Ap´ endice B

Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el rozamiento con el aire B.1. B.1.


Vamos a analizar analizar que sucede sucede cuando cuando dejamos dejamos un cuerpo cuerpo en ca´ ca´ıda libre bajo la acci´ on on de la gravedad, pero considerando tambi´ en en que existe un rozamiento con la atm´ osfera, con el aire, de valor F r = K v. osfera,

−

B.2. B.2.

Plan Plante team amie ien nto de la la ley de de Newto Newton n



 = ma. En este caso tomaremos el Aplicando la ley de Newton tenemos que F sistema de referencia habitual, y al tratarse el problema de una ca´ıda ıda libre, haremos u unicamente ńicamente un tratamiento unidimensional para el eje y. Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo que cae son únicamente unicamente la fuerza de 1 la gravedad mg y la de rozamiento K v . La constante K la dejaremos indicada, su valor se mide experimentalmente. As´ As´ı pues la ley de Newton se expresará como

−

−

− mg − K v = ma. B.3. B.3.

(B.1)

Inte Interp rpre reta taci ci´ ´ on on de la ecuaci´ on on de Newton

Vemos que tenemos una ecuación on que relaciona a con v . Ahora bien, la aceleración on y la velocidad no son magnitudes independientes, ya que una es la derivada de la otra. Por tanto no podemos despejar tranquilamente a o V , V , ya que, al estar relacionadas entre s´ı, esto no ser´ ser´ıa una solución on de la ecuación on (B.1). B.1). Hemos de plantear como resolver dv mg Kv = m , dt

− −

1

Hemos de ser conscientes que en este modelo del rozamiento hemos incluido ya el hecho de que el rozamiento siempre se op one al movimiento. movimiento. ¿Qu´ e c´ omo omo sucede suc ede esto aqu´ı?, ı?, simplemente simpl emente porque p orque cuando la velocidad sea positiva −Kv ser´ a negativo e ir´ a en sentido sentido contrario contrario al movimien movimiento. to. An´ alogamente alogamente cuando v < 0 tendremos que F r > 0 y tambi´ en en se opone al movimiento. movimiento. Por ultimo u´ltimo si el cuerpo no se mueve v = 0 y no hay rozamiento.

137

´ APENDICE ENDIC E B. MOVIMIENT MOVIMIENTO O DE UN CUERPO EN EL CAMPO GRAVIT GRAVITA ATORIO TORIO BAJO EL ROZAMIENTO CON EL AIRE

que recibe el nombre de ecuaci´ on diferencial diferencial . Aunque el tema de las ecuaciones diferenci diferenciales ales supera con mucho mucho el nivel nivel y los planteami planteamiento entoss de la f´ısica general general de este curso, este caso concreto representa, no sólo un caso sencillo e inteligible, sino además as un ejemplo potente y didáctico actico de lo que representan las ecuaciones de Newton para el mundo f´ısico, razón on por la que trataremos este sistema como una excepción on al nivel del curso, pero una excepción muy interesante. Para resolver esta ecuación on pasemos todos los t´ erminos erminos con v a un lado y los que tienen t al otro. As´ As´ı tendremos tendrem os = dt − mgmdv + Kv lo cual es una forma de acumular acumular todos los t´ erminos erminos en v a un lado y con t bien separados para nuestra próxima oxima acción. on. Integremos ahora ambos miembros entre el instante t = 0, en el cual suponemos que v = 0 y un instante genérico erico t.

 − t

m dv = mg + Kv

0

.



t

dt

0

Esta integral es inmediata dándose andose cuenta de que d K (mg + K v) = dt mg + K v , y por tanto tendremos t

t]0 =

−

 

m ln (Kv + mg) mg) K

t

0

,

que sabiendo que en t = 0 ten´ te n´ıamos ıa mos v = 0 nos dirá que t=

−

m ln K



K v + mg mg

.

Bueno, ahora basta hacer alguna acrobacia matemática atica y despejar despejar la velocidad, velocidad, que es la magnitud que nos interesa, esto se logra exponenciando Kt

e− m = y despejando v=

B.4. B.4.

−

Kv + mg mg

− 

mg 1 K

Kt

e− m

(B.2)

Conc Conclu lusi si´ ´ on on

Interpretar el resultado de la fórmula ormula (B.2 (B.2)) es una delicia de licia f´ısica que nos no s dirá mucho más as que todo el desarrollo matemático, atico, más as o menos complejo, anterior. Dejemos de momento pensar al lector que nos está diciendo esta relación on en general y, mucho m´ as concretamente que sucede para tiempos muy pequeños as nos y muy grandes, es decir, estudiar que significan los casos en los que t 1yt .



138

→∞


Ap´ endice C

Tablas y f´ ormulas ormulas utiles u ´ tiles C.1. C.1.


Este apéndice end ice est´ est á pensado como un complemento o un recordatorio matemático atico de algunos algun os conceptos concep tos de esta e sta ´ındole imprescin i mprescindibles dibles para p ara abordar ab ordar con éxito exito el estudio estudi o de la f´ısica. ısica. No obstante, obstante, si el lector lector descubre descubre que desconoce desconoce una gran parte del contenido de este ap´ endice, endice, o bien que no comprende la procedencia de las fórmulas, ormulas, deber´ deber´ıa por p or su cuenta estudiar estas bases hasta su total comprensión. on.

C.2.

C´ alculo alculo complejo

√i−2 1 (a + bi) bi) · (c + di) di) + a bi c+di

C.3.

= 1 = i = (ac bd) bd) + (bc ( bc + ad) ad)i ac+bd cb−ad = + c2 +d2 i c2 +d2

−

−

C´ alculo alculo vectorial vectorial

M´ odulo odulo a =

||



a2x + a2y + a2z .

b = ab cos θ . Producto escalar a 

·

Producto vectorial Ver 4.3.4. 4.3.4.

C.4. C.4. C.4.1.

Funcion unciones es elemen elemental tales es Trigonom´ etricas etricas sin2 t + cos2 t = 1, t sin(a sin(a b) = sin a cos b cos a sin b cos(a cos(a b) = co cos a cos b sin a sin b

∀ ± 

± ±

139

´ ´ ´ APENDICE ENDIC E C. TABLAS Y FORMULAS UTILES

C.4.2.

Logar´ Logar´ıtmicas y exponenciales ln 1 ln 0 ln(ab ln(ab)) ln ab ln ab e0 et ea+b ea b

→

−∞ ln a + ln b ln a − ln b

≥

d K = dt

= =

d (f + dt

g) =

0. d d f + dt g. dt d (Kf ) Kf ) dt

Producto por constante d (f dt

Producto Divisi´ on on

d f dt g

=

· g) =

d = K dt f . f .

   d f dt

g + f

d d f )g−f ( dt g) ( dt

g2

Regla de la cadena

d g dt

C.5.2. C.5.2.

d f ( f (g (t)) dt

d = ( dt f )( f )(gg(t)) d dt

·

d g(t). dt

sin(t sin(t2 ) = cos(t cos(t2 )2t )2t.

Tabla abla de de deri deriv vadas adas f ( f (t) t t cos t sinh t ln t at arcsin t arctan t arg cosh cosh t

√

C.6. C.6.

.

.

Ejemplo de la regla de la cadena

d f ( f (t) dt

1 1

√

2 t

− sin t cosh t 1 x

at ln a

√11−t

2

1 1+t2 1

±√t −1 2

f ( f (t) tn sin t tan t cosh t loga t et arccos t arg sinh sinh t arg tanh tanh t

d f ( f (t) dt n 1

nt − cos t

1 cos2 t

sinh t loga e x et 1

− √1−1 √t1

x2

2

+1 1

1 t2

−

Inte Integr grac aci´ i´ on on

C.6.1 C.6.1..

Defin Definic ici´ i´ on on y propiedades

  

Se define dades son:

f ( f (t)dt = F ( F (t) + C si se cumple que

d F ( F (t) dt

= f ( f (t). Algunas propie-

0dt = C donde C es una constante cualesquiera.

Constante

140

∀

Propie Propiedad dades es genera generales les

Constante

Nula

b ln a 1 0, t ea eb eab

Deri Deriv vaci´ aci´ on on

C.5.1. C.5.1.

Suma

0

= = = =



C.5. C.5.

=



K f (t)dt = K f ( f (t)dt, dt, (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


Suma



(f ( f (t) + g(t)) dt =

  f ( f (t)dt +

g(t)dt. dt.

La integral de un producto de dos funciones es



u(t)dv( dv(t) = u(t)v(t)

C.6.2. C.6.2.

 −

v (t)du( du(t).

Tabla abla de de int integr egrale aless

         

n+1

t = + C, n = 1 n+1 dt = ln t + C t et dt = et + C sin tdt = cos t + C cos tdt = sin t + C dt = tan t + C cos2 t √1dt−t2 = arcsin t + C tan x = ln cos t + C dt √t2 −1 = ln t + t2 1 + C dt = arctan t + C 1+t2

tn dt

||

−

−

− √| −| 


141


142


Ap´ endice D

Agradecimientos El autor quiere agradecer la colaboración, a la hora de buscar y corregir las erratas a todos sus (sufridos) alumnos, y más as especialmente por su dedicación on en dicha b´ usqueda usqueda a: Beatriz Beat riz Est´ıvaliz ıvaliz Muñoz noz Gonzalez. Elena Casillas Millán. an. Ma de la Concepción on de León on L´ opez. opez. ´ Miguel Angel Morillo Lozano. Miguel Torres Durán. an.

143

´ APENDICE ENDIC E D. AGRADECI AGRADECIMIENT MIENTOS OS

144


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´ Indi Indic ce alfab lf ab´ ´ etico ico 0 , 73 ˆı, 17 , ˆ, 17 kˆ, 17 λ, 84 84,, 87 , 47, 62 ν , véase frecuencia ω, 78

circulaci´ on, on, 103 de un conductor infinito, 104 en un solenoide, 106 en una espira, 105 monopolos, 103 por una carga en movimiento, 102 por una corriente, 103 representaci´ on, on, 63 tiempo de propagaci´ propagaci´ on, on, 67 vectorial, 61 flujo, 62 representaci´ on, on, 64 capacidad, 75 centro de masas, 49 sistema, 51 cielo azul, 96 cinem´ atica, atica, 131 circulaci´ on, on, 63 magn´ ma gnétic et ica, a, 103 coeficiente de restitución, on, 52 colisi´ on, on, 52 elástica, astica, 52 inel´ astica, astica, 52 Compton, 119 condensador definici´ on, on, 75 ley del, 75 condensadores asociación on de, 75 paralelo, 76 serie, 75 conservación on de la energ´ ene rg´ıa, ıa, 113 constante de desintegración, on, 126 corriente alterna, 112 continua, 112, 135 Coulomb ley de, 73 cuerda fija ondas, 94



acci´ on on a distancia, 65, 66 acci´ on on y reacción, on, 50 acelaraci´ on on angular, 59 aceleraci´ on, on, 23 23,, 24 composición on de, 25 de una oscilación, on, 79 del centro de masas, 50 instant´ anea, anea, 24 media, 24 normal, 25 tangencial, 25 actividad, 126 Ampère ley de, 103 103,, 105 Amperio, 108 arco iris, 96 arm´ onico, onico, 95 at´ omica omica bomba, 128 central, 128 autoinducci´ on, on, 110 de un solenoide, 114 campo, 134 circulaci´ on, on, 63 como perturbación, on, 66 conservativo fuente, 64 sumidero, 64 eléctr ec tric ico, o, 73 escalar, 61 formalismo matemático, atico, 61 gradiente, 62, 63 gravitatorio, 65 65,, 66 magn ma gn´étic et ico, o, 102 146

ÍNDICE ALFABETICO ´

cuerpo negro, 116 cuerpo rodante, 58 curvas, 35 peraltadas, 35 sin peraltar, peraltar, 35 de Broglie ley de, 119 desintegraci´ on on constante de, 126 ley de, 126 difracci´ on, on, 95 dinámica, amica, 132 efecto Compton, 119 foto fo toel´ eléctric ect rico, o, 117 descripción, on, 117 soluci´ on, on, 118 Einstein, 67, 117, 124 electromagnetismo, 109, 135 elipse, 66 ener en erg´ g´ıa, ıa , 41 41,, 133 cin´ ci nétic et ica, a, 41 de una oscilación, on, 79 conservación, on, 33, 45, 51, 52 cuerpos rodantes, 60 de rotaci´ rotaci´ on, on, 57 de un sistema de part´ıculas, ıculas, 51 de una onda, 87 el´ eléctr ec tric ica, a, 74 interna, 51 magn´ ma gnétic et ica, a, 111 negativa, 68 potencial, 43 de una oscilación, on, 79 el´ astica, astica, 44 gravitatoria, 43, 67 origen, 68 total de una oscilación, on, 80 equilibrio, 58 punto de, 77 escalar, 17 espacio-tiempo, 67 espira, 105 estática, atica, 58 experiencia de Young, 93 Faraday ley de, 109 faradio, 75 fase, 78

Fermat principio de, 99 flujo, 62 magn ma gn´étic et ico, o, 109 fot´ on on γ , 125 frecuencia, 78, 85 angular, 78 de una onda, 85 fuente, 64 fuerza, 29 como gradiente, 63 conservativa gradiente, 62 de Lorenz, 101 de rozamiento, 31, 45 electromotriz, 109, 110 entre corrientes paralelas, 107 exterior, 49 interior, 49 magn ma gn´étic et ica, a, 101 sobre una corriente, 102 normal, 30 nuclear fuerte, 124 Gauss, 74 ley de, 62 62,, 63 63,, 74 generador, 112 gradiente, 47, 62 gravitaci´ on on campo, 65, 66 matem´ atico, atico, 67 de un plano infinito, 70 de una esfera, 71 energ ener g´ıa potenc po tencial ial,, 67 ley de la, 65 sobre un planeta, 70 halos, 96 henrio, 111 Henry ley de, 109 Hooke ley de, 77 Huygens, 115 principio de, 89 im´ an an polos, 103 impulso, 47 indice de refracción, on, 97 inducci´ on on on on 110 v´ ease autoinducci´


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mutua, 111 inercia, 110 instrumento de cuerda, 95 intensidad de una onda, 88 interferencia, 89 constructiva, 91 destructiva, 92 entendida de forma intuitiva, 92 Kepler, 66 leyes de, 66 l´ıneas de fuerza, 64 de nivel, 63 Lenz ley de, 110 ley de Am Amp` père, er e, 103, 105 de Coulomb, 73 de de Broglie, 119 de desintegración, on, 126 de Faraday-Henry, 109 de Gauss, 62, 63, 74 de Hooke, 77 de la conservación on de la energ ener g´ıa, 45 de la dinámica amica de rotación, on, 56 de la gravitación on universal, 65 de Lenz, 110 de Newton, 29 29,, 65 de Planck, 117 de Snell, 97 de Stefan-Boltzmann, 116 leyes de Kepler, 66 longitud de onda, 85 de la materia, 119 Lorentz fuerza de, 101 luz reflexi´ on, on, véase reflexi´ on on refracci´ on, on, véase refracci´ on on trayectori trayec toriaa recti r ectill´ınea, ınea , 99 mano izquierda regla, 101 mapa geogr´ afico, afico, 63 masa perdida, 124 Minkowsky, 67 148

momento angular, 54 conservación, on, 57 57,, 59 de inercia, 54, 55, 59 aditividad, 55, 59 relaci´ on on con ejes, 56 de una fuerza, 53 lineal conservación, on, 32 32,, 50, 52 de la luz, 119 monopolos, 103 moviento arm´ onico onico simple, 133 movimiento armónico onico aceleraci´ on, on, 79 definici´ on, on, 77 energ´ er g´ıa cin´ ci nétic et ica, a, 79 potencial, 79 total, 80 péndulo endu lo simple, sim ple, 80 ecuaci´ on, on, 81 soluci´ on on de, 78 velocidad, 78 moviminento armónico onico amortiguado, 80 n´ ucleo, ucleo, 123 masa, 123 neutrones, 123 reacciones, 128 fisi´ on, on, 128 fusi´ on, on, 129 vida media, 126 n´ umero umero de ondas, 85 nabla, 47 neutrino, 125 Newton, 65 65,, 115 ley de, 29, 65 nivel l´ınea ın eass de, de , 63 nodo, 94 ocaso, 96 onda, 83 arm´ onica, onica, 84 ecuaci´ on, on, 84, 87 coherente, 90 definici´ on, on, 83 ecuaci´ on, on, 84 estacionaria, 93 93,, 94 longitudinal, 84 transversal, 84 (C) Ignacio Mart´ Mart´ın Bragado. [email protected] [email protected]


péndulo end ulo simple, sim ple, 80 ecuaci´ on, on, 81 Pappus teorema de, 49 part´ pa rt´ıcul ıc ulaa α, 124 124,, 125 β , 124 124,, 125 γ , 124, 125 part´ pa rt´ıcul ıc ulas as sistema de, 49 periodo, 78, 85 de semidesintegración, on, 126 en una onda, 85 Planck, 116 constante de, 117 ley de, 117 plano inclinado, 33 poermitividad, 73 polarización, on, 95 polarizador, 96 polaroide, véase polarizador polea, 58 posición, on, 23 potencia, 40 el´ eléctr ec tric ica, a, 113 transmitida en una onda, 88 potencial el´ eléctr ec tric ico, o, 74, 110, 134 campo constante, 75 carga puntual, 75 gravitatorio, 134 principio de Fermat, 99 de Huygens, 89 de superposici´ superposici´ on, on, 66 66,, 73 73,, 74 radiactividad, 124 α, 125 β , 125 γ , 125 serie, 126 radio en un campo magnético, etico, 104 reflexión, on, 96 principio de Fermat, 99 total, 97 en la superficie del agua, 99 refracción, on, 97 ´ındi ın dice ce de, de , 97 principio de Fermat, 99 regla del sacacorchos, 19 restitución on coeficiente de, 52

rotaci´ on on pura, 26 rozamiento, 45 sólido oli do r´ıgido ıgi do,, 53 sat´ sa télit el ite, e, 69 semidesintegraci´ on, on, 126 sime si metr´ tr´ıa, ıa , 55, 74 ejes de, 54 sistema de coordenadas, 15 Snell ley de, 97 solenoide, 106, 112 Stefan-Boltzmann ley de, 116 Steiner, 55 sumidero, 64 tensi´ on, on, 32 teorema de la conservación on de la energ ener g´ıa, 45 de las figuras planas, 55, 56, 59 de las fuerzas vivas, 42 de los ejes paralelos, 55 de los ejes perpendiculare perpendiculares, s, 56 de Steiner, 55 55,, 59 Tesla, 102 tiro parabólico, olico, 27 trabajo, 39 39,, 133 como circulación, on, 63 conservativo, 40 de rozamiento, 45 eléctr ec tric ico, o, 74 magn ma gn´étic et ico, o, 103 transformador, 113 translaci´ on on pura, 25 trayectoria, 28 uma, 124 uranio, 126 vector, 17 angulo, ángulo, 19 componentes, 17 derivación, on, 18 equivalencia, 18 fuerza como gradiente, 48 integraci´ on, on, 18 inverso, 18 m´ odulo, odulo, 17 nulo, 18 producto


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escalar, 19 vectorial, 19 proyección, on, 17 17,, 19 resta, 18 suma, 18 superficie, 62 superposición, on, 66 unitario, 17, 18 vectorial c´ alculo, alculo, 131 velocidad, 23 23,, 45 composición on de, 25, 26 de escape, escape, 69 de una oscilación, on, 78 del centro de masas, 50 instant´ anea, anea, 24 media, 23 vuelco, 36 Young experiencia de, 93

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Física General

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