Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. Albert Einstein.
UNIDAD 1 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN. El movimiento movimiento rectilíneo. rectilíneo.
El movimiento. El movimiento rectilíneo uniforme. ( MRU) El movimiento rectilíneo uniformemente variado. ( MRUV) La caída de los cuerpos.
UNIDAD 2 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. Magnitudes Magnitudes Vectoriales. Vectoriales.
Los vectores. Componentes de un vector. Suma analítica de vectores.
Movimiento de proyectiles. proyectiles.
El principio de inercia. Movimiento de proyectiles .
UNIDAD 3 LEYES DE LA DIAMICA. La fuerza fuerza – Primera Ley de Newton.
Características de las fuerzas. Fuerzas fundamentales. Medición de las fuerzas – Ley de Hooke. La primera ley de Newton.
La ley fundamental fundamental de la dinámica – Segunda Ley de Newton.
La segunda ley de Newton. El peso de los cuerpos. La fuerza de rozamiento. El plano inclinado.
Acción y Reacción Reacción – Tercera ley de Newton.
La tercera ley de Newton. La cantidad de movimiento lineal. Impulso mecánico. Colisiones.
UNIDAD 4 MOVIMIENTO DE ROTACION. El movimiento circular.
La velocidad en el movimiento circular. Movimiento circular uniforme. Aceleración centrípeta. Fuerza centrípeta. Fuerza centrifuga. Gravedad simulada. Movimiento circular variado.
La mecánica celeste
Leyes de Kepler. La gravitación Universal.
Rotación de sólidos
Cuerpos rígidos. Torque o momento de una fuerza. Condiciones de equilibrio para cuerpos rígidos.
UNIDAD 5 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA Trabajo, Potencia y Energía.
Trabajo. Energía. Energía Cinética Energía Potencial Gravitacional Energía Potencial Elástica Potencia.
La conservación de la energía.
La conservación de la energía mecánica. Las fuerzas no conservativas.
UNIDAD 1 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN. La rama de la física que se ocupa del estudio del movimiento de un objeto y de la relación de este movimiento con conceptos físicos como la fuerza y la masa se llama dinámica. La parte de la dinámica que describe el movimiento, sin considerar sus causas, recibe el nombre de cinemática.
1.1. EL MOVIMIENTO Para describir correctamente el movimiento de un objeto es necesario indicar con certeza su posición en todo momento con base en un sistema de referencias (sistema de coordenadas) y un origen especificado. Por lo tanto se nos hace preciso empezar el estudio del movimiento definiendo que es un sistema de referencia: DEFINICIÓN Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas, que nos permite en cierto instante de tiempo referir el cambio de posición que experimenta un objeto.
Como se nota en la definición es necesario un instrumento para realizar la medición del tiempo, que para el caso será un reloj (cronómetro), el mismo que formara parte del sistema de referencia. De manera general al realizar el análisis dimensional de un objeto o móvil consideraremos que nuestro sistema de referencia se encuentra en reposo.
1.1.1. Trayectoria, Distancia y Desplazamiento. Cuando un objeto esta en movimiento, ocupa distintas posiciones sucesivas en el transcurso del tiempo, por lo tanto podemos afirmar que durante su movimiento describe una curva (línea de secuencia de puntos). DEFINICIÓN La trayectoria es la curva geométrica que describe un objeto en movimiento.
Dependiendo de la trayectoria que describa el objeto, el movimiento se clasifica en: Rectilíneo
Trayectoria sobre una recta descrita por el objeto.
Parabólico
Trayectoria sobre una parábola descrita por el objeto.
Circular
Trayectoria sobre una circunferencia descrita por el objeto.
Elíptico
Trayectoria sobre una elipse descrita por el objeto.
Hiperbólico
Trayectoria sobre una hipérbola descrita por el objeto.
Curvilíneo
Cualquier trayectoria curva descrita por el objeto
DEFINICIÓN La distancia es la longitud que se ha movido un objeto a lo largo de una trayectoria cualquiera desde una posición inicial hasta otra posición final.
La distancia es una magnitud escalar que se mide en unidades de longitud DEFINICIÓN El desplazamiento de define como el cambio de posición de un objeto en el espacio, es independiente de la trayectoria, y esta dado por la diferencia entre sus coordenadas iniciales y finales, x f - x o.
El desplazamiento es una magnitud vectorial, porque le que usamos para su representación un segmento dirigido que denominaremos vector . La distancia recorrida y la medida del desplazamiento coinciden únicamente cuando el movimiento se realiza en línea recta y en el mismo sentido.
Nota:
Figura 1. Gráfica que muestra las tres definiciones citadas arriba, tome en cuenta que las mismas se encuentran en un sistema de referencia adecuado.
Ejemplo Calcular la distancia y el desplazamiento entre los puntos A y B T4
A
2cm
1cm
T1
T3
T2
Distancia = 2cm + π (1cm) + 2cm + π (1cm) +2cm = (6 + 2 π) [cm] = 12.28 [cm] Desplazamiento = 10 cm
2cm
1cm
2cm
T5
B
1.1.2. Rapidez y Velocidad. En la vida cotidiana es muy frecuente utilizar los términos rapidez y velocidad indistintamente, pero en el estudio de la física es importante hacer diferencias entre ellos. DEFINICIÓN La rapidez es una magnitud física escalar que expresa la distancia de un objeto por unidad de tiempo.
Al ser una magnitud escalar la rapidez solo hace referencia a la medida de la celeridad de un objeto, se designa por v y se mide en m/s. Su representación en formula es:
La rapidez media de un recorrido es el cociente entre la distancia total del recorrido y el tiempo empleado en el mismo. Con esta rapidez media nos referimos a valores en intervalos de tiempo determinados sin embargo es posible calcular una rapidez instantánea que representaría la rapidez en un instante de tiempo determinado. DEFINICIÓN La velocidad es una magnitud física vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.
Al ser una magnitud vectorial se debe indicar tanto su magnitud como su dirección, se representa por y se mide en m/s. Su representación en fórmula es:
Otra medida que resulta importante para nosotros el la de la velocidad promedio, que resulta como el promedio de todas las “rapidez” en un recorrido determinado, para su cálculo usamos la formula:
∑ Esta velocidad es un valor constante de que debería tener un objeto para realizar un recorrido en la misma cantidad de tiempo que si lo hace con distintas velocidades por intervalos.
1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Un movimiento es rectilíneo cuando el móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo. Por lo tanto: DEFINICIÓN Un cuerpo describe MRU cuando su trayectoria es recta y su velocidad es constante
El MRU se caracteriza por:
El movimiento se realiza sobre una línea recta.
Velocidad constante: Implica magnitud y dirección constante.
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
La aceleración es nula (a=0).
Para analizar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme recordemos que en un movimiento en línea recta en el mismo sentido el desplazamiento es igual a la distancia, por tanto:
De donde podemos obtener las ecuaciones:
Solo la usamos si conocemos las posiciones inicial y final
1.2.1 GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
Grafica X vs t (posición vs tiempo)
Una grafica posición vs tiempo es aquella que coloca en el eje de las “X” el tiempo y en el eje de las “Y” a la posición. Su representación es: X[m/s]
Xf xf - xo x
Xo
t [sg]
tf - to
to
0
t tf
La pendiente de la recta del gráfico X vs t es la VELOCIDAD.
GRÁFICA VELOVIDAD VS TIEMPO
Una grafica velocidad vs tiempo es aquella que coloca en el eje de las “X” el tiempo y en el eje de las “Y” a la velocidad, tomando en cuenta que la velocidad es siempre constante. Su
representación es: V [m/s]
Vcte d = Vcte*t t
t [s]
El área bajo la curva del grafico “V vs t” representa la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo
1.3. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV) Se denomina MRUV al tipo de movimiento en línea recta en el que su velocidad cambia de manera uniforme en función del tiempo. A esta variación de velocidad en un intervalo de tiempo determinado se la denomina aceleración la misma que como característica principal tiene la de ser constante para todo tiempo t. DEFINICIÓN La aceleración es una magnitud física vectorial que se obtiene como la variación de la velocidad que experimenta un objeto en un determinado intervalo de tiempo.
Debido a que los objetos en movimiento pueden aumentar o disminuir su velocidad en diferentes instantes de su recorrido se nos hace necesario definir la aceleración, magnitud vectorial que se representa por y se mide en m/s2. Su representación en formula es:
El MRUV puede ser acelerado o desacelerado dependiendo del signo de la aceleración, y por ende de la dirección de la velocidad. Entre los tipos de movimientos que encontraremos con estas características están:
Caída libre de los cuerpos Tiro vertical.
Cuando la dirección de la velocidad y la aceleración es la misma el movimiento es acelerado. Cuando la dirección de la velocidad y la aceleración con contrarios entre sí el movimiento es desacelerado. La aceleración se mide en
en unidades del S.I
1.3.1. ECUACIONES DEL MRUV El MRUV consta de 3 ecuaciones que involucran las variables necesarias para expresar este movimiento, dos de ellas se llaman horarias mientras que la otra recibe el nombre de ecuación auxiliar:
Ecuación horaria Ecuación horaria Ecuación auxiliar
Ejemplos. 1. Un vehículo parte del reposo y acelera a razón de 5m/s2 durante 10 segundos. Calcular la velocidad final del automóvil en ese intervalo de tiempo Datos
⁄ Desarrollo
()() ⁄
()() ()()
2. Un vehículo se mueve a razón de 60m/s durante 5s hasta detenerse. Calcular la distancia recorrida por el vehículo y a la aceleración que imprimieron los frenos. Datos
⁄ Desarrollo
⁄
()() ()()
3. Un automóvil si viaja a 100 m/s durante 10 s y luego se mueve a 50m/s durante 10 segundos más, con esta información calcular: a) b) c) d)
El desplazamiento total del recorrido si ambas velocidades son en el mismo sentido La velocidad media del recorrido. La velocidad promedio del recorrido. El desplazamiento y la velocidad media si la segunda velocidad es en sentido contrario a la primera velocidad.
Datos
⁄ Desarrollo a) ( ) () b)
c)
⁄
⃗ ⃖ d)
⁄
⁄
⁄
Ejercicios con gráficas. 1. Calcular la distancia total recorrida y el desplazamiento
()()() ()()() 2. Calcular la velocidad para la siguiente grafica para cada uno de sus tramos y calcular además la velocidad promedio X [m] (3, 10)
(10, 10)
105-
(14,5)
T [5] 0 (0, 0)
3
10
14
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
1.4. LA CAÍDA DE LOS CUERPOS. Un caso en específico del MRUV es el de un objeto que cae libremente cerca de la superficie terrestre. Nuestro planeta ejerce una fuerza de atracción, a todo cuerpo cerca de su superficie, esta fuerza le imprime un cierto valor de aceleración, a la que denominamos aceleración de la gravedad. Un objeto que cae en presencia de la gravedad terrestre experimente esta aceleración de caída libre dirigida hacia el centro de la tierra . Si despreciamos la fricción del aire y la altitud de caída es pequeña respecto al radio de la Tierra, se puede asumir que esta aceleración es constante. La gravedad denotada por la letra g se la ha determinado de forma experimental y para los cálculos se le da un valor de
Lo que nos indica que la velocidad de un cuerpo que cae aumenta su velocidad cada segundo.
Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo experimenta la aceleración de la gravedad una vez que fue lanzado.
1.4.1. Ecuaciones de la caída libre. Si suponemos que un cuerpo cae libremente por efecto de la aceleración de la gravedad y esta es constante, entonces estamos frente a un MRUV, con un valor de aceleración hacia abajo y que dependiendo del sistema de referencia que se elija este valor será positivo o negativo.
Ecuación horaria Ecuación horaria Ecuación auxiliar La letra h, indica la posición con respecto al punto desde el cual se considera el movimiento en el sistema de referencias.
Ejemplo 1. Se deja caer una pelota de tenis desde el reposo en la parte superior de un edificio alto. Sin tomar en cuanto la fricción del aire, calcule: a) La altura recorrida luego de 1 sg. b) La velocidad luego de 1 sg. c) Si es edificio mide 50 metros. ¿Qué tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? Datos:
Para t = 1sg tenemos que:
()() [] ()() Para calcular el tiempo de caída:
( ) √ []
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dada la grafica calcular lo indicado. a) Realizar la grafica V vs t que genera la grafica anterior. b) La velocidad en cada intervalo. c) La velocidad promedio del recorrido. d) La distancia Total recorrida.
2. Un corredor se desplaza a velocidad constante de 30[m/s]. Cuál será la distancia que recorrió luego de ¾ de hora. Nota: Exprese su respuesta en unidades de SI. 3. En un instante determinado un móvil tiene una velocidad de 2[m/s] y luego de 5 [s] es de 72[Km/h]: calcular a) La aceleración del móvil. b) La distancia recorrida durante los primeros 3 [s].
4. Calcular el tiempo que tarda un automóvil en recorrer 3 Km, si viaja a una velocidad de 50 [Km/h]. Exprese su respuesta en minutos. 5. Un automóvil parte desde el reposo y acelera a razón de 3 m/sg 2 durante 15 sg, luego avanza con velocidad constante durante 20 segundos y finalmente desacelera al misma razón del primer tramo hasta detenerse, luego de recorrer 337.5 m. Determinar: a) La distancia total recorrida y el tiempo empleado en todo el recorrido b) La velocidad media del recorrido 6. Un objeto que se deja caer llega al suelo 5sg después de soltarlo. a) ¿Desde qué altura se dejo caer? b) ¿Cuál es la velocidad de impacto? 7. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba hasta que alcanza 45 metros y vuelve a caer. a) ¿Con qué velocidad inicial fue lanzado? b) ¿Cuánto tiempo duro el ascenso?
8. Un auto viaja en línea recta una distancia de 20 Km a una rapidez constante de 30 Km/h. Durante los siguientes 20 Km su rapidez es de 40 Km/h y los últimos 20 Km los realiza a una rapidez constante de 50 Km/h. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad media en Km/h del auto durante todo el viaje? a) b) c) d) e)
1.2 37.0 38.3 40.0 45.2
9. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura, partiendo del punto A y con rapidez constante de 20 m/s llega al punto B al cabo de 2 s; seguidamente describe una trayectoria semicircular de radio R=10 m con rapidez constante de 30 m/s. Determinar el modulo de la velocidad media de la partícula en su recorrido total. a) b) c) d) e)
19.7 m/s 28.6 m/s 23.4 m/s 19.6 m/s 15.4 m/s
A
B
C R
10. Un trapecista de suelta de la posición mostrada en la figura. Despreciando la resistencia del aire, determine la magnitud de la velocidad media del trapecista entre los puntos A y B sabiendo que el tiempo empleado en regresar a su posición inicial fue 3 s. a) b) c) d) e)
11.54 m/s 9.36 m/s 8.22 m/s 0 m/s 6.98 m/s
60° 10 m
A
B
TALLER 1 Un automóvil se mueve con velocidad constante sobre una carretera recta. Si asumimos que a tiempo 0 está en la posición X=0 y que luego de 10s ha recorrido 100m. Determinar: a) b) c) d) e)
La distancia recorrida por el automóvil La velocidad del recorrido La grafica posición vs tiempo del recorrido La grafica velocidad vs tiempo del recorrido Demostrar que la forma analítica da los mismos resultados que la forma grafica.
TALLER 2 Se una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez de 25 m/s. Determinar: a) b) c) d)
¿Hasta qué altura sube? ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar el punto más alto? ¿Cuánto tiempo le toma llegar al suelo después de alcanzar el punto más alto? ¿Cuál es su rapidez cuando regresa al nivel desde donde fue lanzada?
UNIDAD 2 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. En la naturaleza podemos encontrar muchos tipos de movimientos que no necesariamente describen una trayectoria en línea recta. Muchos de estos movimientos se los puede describir con un cierto grado de exactitud a partir de su análisis en el plano, esto implica analizarlos en 2 dimensiones. Con esto queremos decir que el objeto en cuestión puede moverse en las direcciones x e y simultáneamente. Cuando efectivamente un movimiento se realiza en 2 dimensiones, las magnitudes se expresan por medio de magnitudes vectores.
2.1. MAGNITUDES VECTORIALES. Algunas magnitudes de las que estudiamos para describir los fenómenos solo requieren de un número y una unidad para quedar definidas. Por ejemplo, para indicar la temperatura a la que hierve el agua es suficiente con escribir 100 °C. En este caso, se requiere del número 100 y de la unidad °C. A estas magnitudes, como la masa, la densidad y el tiempo, entre otras, se les llama magnitudes escalares. Otras magnitudes no se pueden representar solamente con un número seguido de una unidad. Por ejemplo, para indicar la velocidad de un avión se debe conocer la rapidez con que se mueve, la cual incluye un número y una unidad, pero también se necesita indicar la dirección del movimiento.
⁄
Así es posible describir la velocidad de un avión como en dirección 50° hacia el noreste, caso en el cual la dirección del movimiento forma un ángulo de 50° con la línea oeste-este. De la misma manera, resultaría imposible localizar un punto a partir de otro sin conocer la dirección que se debe seguir. Es muy poco lo que se puede decir de un movimiento sin describir la dirección en que se produce, por esta razón usaremos el concepto de vector para tales descripciones.
2.1.1. Los Vectores. Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la media que representan. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores.
DEFINICIÓN Un vector es una cantidad física para la que es necesario especificar tanto su magnitud como su dirección.
Todo vector tiene una magnitud (también llamada norma) y una dirección.
La norma siempre es un número que expresa las unidades que el vector representa. La dirección de un vector está dada por la dirección de la recta que contiene al vector. La dirección está representada por el ángulo que forma el vector con uno de los ejes tomados como referencia.
La norma es la longitud del vector.
Punto final Norma
La dirección es el ángulo hacia donde está dirigido.
Dirección Ori en Los vectores se notan simbólicamente con una letra y una flecha sobre ella. Por ejemplo: la aceleración ,
2.1.2. Componentes de un vector. Todo vector se puede expresar por la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares en las direcciones de los ejes coordenados, a estos dos vectores sumados se los nombra componentes rectangulares del vector.
Sea un vector : La componente del vector sobre el eje de la x, la llamamos aplicar la relación trigonométrica coseno.
→ y se obtiene al
→ y se obtiene al
La componente del vector sobre el eje de la y, la llamamos aplicar seno, la relación trigonométrica seno.
() ()
→ →
Componentes rectangulares del vector
Vector
en forma rectangular
Los ángulos se miden positivos cuando están en sentido contrario a las manecillas del reloj.
x
2.1.3. Suma analítica de vectores. Para sumar vectores por métodos algebraicos, que estén ligados a un sistema de coordenadas el procedimiento es el siguiente:
1. Se hallan las componentes de cada vector. 2. Se halla la sumatoria de las componentes de cada uno de los ejes. 3. Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector suma. 4. Se calcula el ángulo (dirección) del vector suma. 5. Se representa mediante una grafica en el plano cartesiano los vectores con sus correspondientes componentes. Ejemplo. Sean los vectores:
= 5cm, 45
o
Vectores
A= 5 cm ΘA= 45o
B= 3cm θB= 90o
→ → =
= 3cm, 90
o
Componentes “X”
Componentes “Y”
Ax =5 cos (45o) Ax = 3.53 cm
Ay = 5 sen (45o) Ay = 3.53 cm
Bx = 3 cos (90o) Bx = 0
By= 3 sen (90º) By= 3 cm
Σx = Vsx = 3.53 cm
Σy= Vsy = 6.53 cm
() () √ magnitud del vector suma
Vs= Vs= Vs= Vs= 7.42 cm
( ) = ( ) = () =61.60
Θvs= Θvs Θvs Θvs
o
dirección del vector suma
2.2. MOVIMIENTO DE PROYECTILES. La forma más particular del movimiento en 2 dimensiones que analizaremos es el que se conoce como movimiento de proyectiles. Pero antes de examinar este fenómeno y las ecuaciones que lo gobiernan debemos entender un principio correspondiente al estado de reposo o movimiento de los cuerpos.
2.2.1 Principio de Inercia DEFINICIÓN Todo cuerpo continúa en su estado de reposo (velocidad nula) o de movimiento uniforme en línea recta a menos que sea forzado a cambiar su estado por fuerzas externas.
La definición anterior nos permite entender ciertos fenómenos que a simple vista para muchos resultan poco claros o entendibles, por ejemplo es más probable que un objeto al cual se le aplica una fuerza o impulso recorra mayor distancia sobre una superficie jabonosa o aceitosa, que sobre una superficie áspera. Esto ocurre porque en el primer caso la fuerza de fricción se reduce al mínimo hecho que no ocurre en el segundo caso. Para el caso de nuestro interés que es analizar el movimiento de los proyectiles, tenemos que suponer para el análisis del mismo que no existe resistencia provocada por el aire.
2.2.2. Movimiento de Proyectiles Cualquiera de nosotros que haya visto la trayectoria de que tiene un balón de futbol, reconocerá que efectivamente bajo las condiciones adecuadas este movimiento se asemeja al de un proyectil. El mismo que en el eje horizontal se comportara como un MRU y ene eje vertical como un MRUV (con a=g). Por tanto pasaremos a definir las condiciones de este movimiento.
Supongamos que un objeto a parte desde el origen con una velocidad y formando un ángulo con la horizontal, entonces bajo las definiciones de componentes de un vector, tenemos que :
() ()
y
()
Con la finalidad de analizar el movimiento de proyectil, dividiremos este movimiento en 2 partes, el movimiento horizontal (en el eje x) y el movimiento vertical (en el eje y). Como ya se señalo en el eje horizontal el movimiento es MRU, por lo tanto la componente de la velocidad a la largo de la dirección del eje de las x permanece constante. Por lo tanto, si el valor inicial de la componente de la velocidad en esta dirección es , este es el valor de la velocidad en cualquier momento de la trayectoria.
Movimiento Horizontal:
() ()
Con esto presente podemos encontrar una ecuación que nos permite calcular la posición horizontal del objeto en cualquier tiempo.
((()) ())
Dado que en eje vertical tenemos un MRUV con y esta siempre apunta hacia el centro de la tierra (Sur geográfico), dependerá en que instante de la trayectoria estamos analizando para darle un signo adecuado, sin embargo en términos generales podemos utilizar las ecuaciones siguientes:
Movimiento Vertical: Vertical:
Donde () La rapidez en cualquier instante de tiempo se calcula a partir de las componentes rectangulares, aplicando el teorema de Pitágoras. Otras fórmulas que nos permiten desarrollar de mejor manera este tipo de movimientos son:
() () ()
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula, los valores de son. ( es el ángulo con respecto al eje ) y
a) b) c) d) e)
20.0 20.1 15.8 18.7 38.8
; ; ; ; ;
30
230° -79° 210° -68° -71°
y
20
40°
60°
x
2. Los tres vectores mostrados en la figura representan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la fuerza resultante, es decir, la suma de todas las fuerzas tendrá como magnitud. y a) 38 N 5 40 N b) 42 N 50 N c) 48 N d) 55 N x -4 -1 1 3 e) 60 N 20 N
3. Un vector cuya magnitud es 16 unidades forma un ángulo de 140° con respecto al eje X positivo. ¿Cuáles son las componentes X y Y de este vector? Componente X
Componente Y
-6.12 u - 12.25 u 10.28 u 12.25 u 6.12 u
5.14 u 10.28 u - 12.25 u 10.28 u 5.14 u
a) b) c) d) e)
4. El vector C tiene una magnitud de 8 unidades y tiene una orientación de 30° con el eje X positivo. Las componentes del vector X y Y del vector B son respectivamente – 3 y 5 unidades. Si el vector resultante de: es un vector dirigido a lo largo de las x positivas de magnitud 4 unidades. Determine la magnitud del vector A.
()
a) b) c) d) e)
9 unidades – 9 unidades – 8 unidades – 6 unidades 6 unidades
5. Un barco sale de un puerto y viaja 35.0 Km., en dirección Este, luego viaja 70.0 Km. 30° al Oeste del Norte. ¿A qué distancia del puerto se encuentra el barco al final de este recorrido? a) b) c) d) e)
92.6 Km. 104 Km. 81.5 Km. 105 Km. 40.0 Km.
6. Dados los vectores A, B encontrar el vector suma R A: 250 u, 30° y B: 200 u, 120° a) b) c) d) e)
320 u, 158° 220 u, 68° 120 u, 68° 320 u, 38° 320 u, 68°
7. El vector A tiene una magnitud de 48 u y apunta hacia el Oeste, y el vector B tiene la misma magnitud pero apunta hacia el sur. Entonces el vector sera:
a) b) c) d) e)
48 u; 45° 67.9 u; 45° 67.9 u; 135° 96 u; 45° 48 u; 135°
8. En un recorrido desde su casa al colegio Abigail camina 5 Km hacia al norte y 10 Km hacia el este. Determinar la magnitud y dirección del vector desplazamiento de Abigail.
9. Un halcón vuela a 80 Km/h, en contra del viento y este a su vez tiene ¼ de la velocidad del halcón ¿Cuál es la velocidad real de la paloma?
10. Un avión en forma horizontal a una altura de 500 metros y con una velocidad de 40 m/s, deja caer una bomba. Calcular: a) El tiempo que tarda la bomba en llegar al suelo. b) El alcance horizontal de la bomba.
11. Un avión de rescate deja caer un paquete de raciones de emergencia para un grupo exploradores perdidos, el avión viaja en dirección horizontal a 40 m/s a una altura de 100 metros del suelo. ¿Dónde alcanza el paquete el suelo respecto al punto en que se soltó?
12. Se batea un cuadrangular de tal manera que la pelota de beisbol apenas pasa el muro de 21 metros de altura, situado a 130 metros de la base del bateador. La pelota es golpeada con un ángulo de 35° respecto a la horizontal. Encontrar: a) La rapidez inicial de la pelota. b) El tiempo que tarda la pelota en alcanzar el muro.
13. Un cazador apunta directamente a su presa, al mismo nivel, a 150 metros de distancia. Si la bala sale del cañón del rifle a 350 m/s, ¿a qué distancia del blanco llegara?
14. Un balón de fútbol es pateado desde la portería con una velocidad de 20 m/s y un ángulo de 15°. ¿Calcular la distancia horizontal que recorre?
15. Un objeto se lanza con velocidad inicial V 0 y un ángulo de elevación θ. En el instante que el objeto alcanza su altura máxima de 50 m este tiene una velocidad de 60 m/s. a) ¿Cuál fue el valor de la velocidad inicial V 0 con la que se lanzado el objeto? b) ¿Cuál es el ángulo de elevación con que se lanzo el objeto?
TALLER 1 1. La magnitud y dirección de un vector, que sumado a los vectores indicados en la figura dan una resultante nula es: y a) 22.4 u; 63.4° 20 u b) 30.0 u; 63.4° 10 u c) 22.4 u; -93.4° d) 30.0 u; 93.4° 30° 60° x e) 22.4 u; -86.6°
TALLER 2 Dados los vectores A= (5cm, 45°); B= (6cm, N60°O) y C= (3cm, -30°). Calcular la magnitud y dirección del V S = A + B + C.
TALLER 3 1. Un avión militar vuela horizontalmente con una rapidez de 120 m/s y suelta una bomba a una altitud de 2000 m. Si se ignora la resistencia del aire: a) ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a tierra? b) ¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae? c) Obtenga las componentes horizontal y vertical de la velocidad justo antes de tocar tierra Resp. a) 20.2 seg; b) 2424.37 m; c) V x = 120 m/s, V y = 197.99 m/s
UNIDAD 3 LEYES DE LA DIAMICA. 3.1. LA FUERZA- PRIMERA LEY DE NEWTON 3.1.1. Características de la fuerza Son magnitudes vectoriales, es decir, tienen magnitud y dirección. La mayoría de los fenómenos son el resultado de los efectos que producen las fuerzas sobre los cuerpos, aunque en ocasiones las fuerzas no son visibles, los efectos que lo producen si lo son. Identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no es fácil, puesto que muchos de ellos se contrarrestaron entre sí dando la impresión de que no están presentes. A este fenómeno se lo conoce como equilibrio de fuerzas y en dichas condiciones un cuerpo se mantiene en reposo a velocidad constante. Entre los efectos que puede ocasionar una fuerza se encuentra el estado de movimiento o reposo de los cuerpos, además existe otro efecto que se le atribuye a las fuerzas llamado deformación, la misma que depende del punto de aplicación propio. Por lo tanto definimos la fuerza como: DEFINICIÓN Una fuerza es toda acción que puede variar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, o bien producir deformación en él
Sobre todo cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas. La suma (algebraica) de todas estas recibe el nombre de fuerzas neta y se representa por:
Cuando la fuerza N es 0 o nula el objeto se encuentra en equilibrio. Si la fuerza N es diferente de 0 o no existe equilibrio el objeto adquiere un movimiento.
En el Sistema Internacional la fuerza se mide en Newton. Un newton equivale a la fuerza necesaria para sostener un cuerpo de 102 gramos en la tierra. 1[N]=102 [g-f]
Un newton equivale también a la medida de la fuerza que se debe ejercer sobre un kilogramo de cierta sustancia para ocasionar una aceleración de 1 [m/s 2] en la tierra. 1[N] =1[kg]*1[m/s 2] 1[N] = 1[kg*m/s2] En el sistema británico la fuerza se usa en libras. La reacción entre sistemas es: 1[lb]=4.5 [N]
Fuerzas de contacto y a distancia Fuerzas de contacto.- Cuando existe un contacto directo entre el cuerpo que ejerce la fuerza y el objeto al cual se le aplica dicha fuerza, estamos en presencia de fuerzas de contacto. Fuerza a distancia.- Se origina cuando no existe contacto directo entre los cuerpos, por ejemplo: la atracción de la tierra sobre los cuerpos celestes.
3.1.2. Fuerzas fundamentales de la naturaleza En la actualidad se consideran como fuerzas fundamentales a aquellas que explican los fenómenos que no pueden ser atribuidos a otras fuerzas. Estas fuerzas fundamentales son: 1. Fuerza gravitatoria: Es la fuerza de atracción existente entre dos masa y que afecta a todos los cuerpos. Esta fuerza es de un solo sentido, pero de alcance infinito. A esta fuerza se le atribuye que los objetos caigan con aceleración constante en la tierra, además de mantenerse en movimiento los planetas y las estrellas. 2. Fuerza electromagnética: Es una fuerza que afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y está implicada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas, esta fuerza tiene dos sentidos (+ y -) y su alcance es infinito. 3. Fuerza nuclear fuerte: Es la fuerza que une los patrones y electrones para formar núcleos atómicos, sin está fuerza el núcleo no podría existir ya que la repulsión entre los patrones generaría dispersión, su alcance es del orden. 4. Fuerza nuclear débil: Es la fuerza que actúa entre las partículas elementales, es la responsable de algunas reacciones nuclear y la llamada desintegración beta, la vida media del sol está determinada en esta fuerza.
3.1.3. Medición de la fuerza Para determinar la intensidad de una fuerza aplicando sobre un cuerpo se utiliza un instrumento denominado dinamómetro que consiste en un resorte graduado que al ser deformado determina el valor de dicha fuerza. Como lo muestra la figura:
Ley de Hook.-
DEFINICIÓN La longitud de la deformación producida por una fuerza es proporcional a la intensidad de dicha fuerza
Su expresión matemática es:
Ejemplo: Se ejerce una fuerza de 200 [N] sobre un resorte cuya longitud es de 20[cm] y se observa que la longitud del resorte alcanza un valor de 25[cm]. Determinar: a) La constante elástica del resorte. b) El alargamiento si se aplica una fuerza de 300[N]. c) La fuerza que se debe aplicar para el alargamiento.
⁄ ⁄ [ ⁄ ] [⁄]
[] ⁄ ⁄ []
3.1.4 Primera ley de Newton
[]
() []
DEFINICIÓN Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante), si no actúa ninguna fuerza sobre él o si la fuerza neta es nula.
La primera ley de Newton nos hace necesario conocer la posición en la cual hacemos el análisis para lo cual definimos lo que es un sistema de referencia inercial. Sistema de referencia inercial.- Sistema Referencial Inercial es aquel en el que es válido el principio de inercia.
3.1.5 Algunas fuerzas comunes Existen cuatro fuerzas de contacto que nos permiten trabajar los Diagramas de Cuerpo Libre (DCL). Una de ellas con acción doble y todas en dependencia del sistema de Referencia Inercial. El DCL es una representación grafica de la interacción de las fuerzas (en contacto o a distancia) que nos permite entender el efecto de los mismos sobre el sistema de referencia. Ejemplo:
Estas fuerzas de importancia son: •
Peso (w): w=mg Es una de las fuerzas básicas de la naturaleza que se representa por interacción de la gravedad, esta fuerza es ejercida sobre todos los cuerpos por la tierra. Se denomina peso y su representación es un vector dirigido hacia el centro de la tierra.
•
Fuerza normal (Fn): todo cuerpo situado sobre una superficie ejercerá fuerza sobre esta a la misma que denominamos fuerza normal o simplemente normal. La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie que la ejerce.
•
Fuerza de rozamiento o fricción (fr): un cuerpo que se desplaza sobre una superficie o sobre otro cuerpo experimenta una fuerza en sentido contrario al sentido de su movimiento, dicha fuerza de contacto se denomina fricción. El coeficiente de fricción es directamente proporcional al coeficiente de fricción entre las superficies. (μc) μk– coeficiente de fricción cinético. (μe) μs- coeficiente de fricción estático.
Características del coeficiente de fricción: A dimensional,
, •
Tensión (T): es la fuerza que se transmite por medio de un hilo y cuya dirección está determinada por la dirección del hilo.
Ejemplos: 1. Calcule el alargamiento que produce una fuerza de 500[N] sobre un resorte cuya constante es 200[N] por metro.
[] 2. Calcule la fuerza normal y de fricción en el diagrama que se adjunta.
[]
() []
3. Una caja tiene de peso 400 [N]. Si un hombre le ejerce una fuerza de 200[N] que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Determinar: a) El diagrama de cuerpo libre. b) La fuerza normal y la fuerza de rozamiento. c) El coeficiente de fricción estático dado que el hombre no puede mover la caja.
[]
[]
3.2. FUNDAMENTOS DE LA DINÁMICA-SEGUNDA LEY DE NEWTON Se entiende por dinámica a la rama de la física clásica que estudia y justifica el ¿Por qué? del movimiento. Además se ocupa del estudio del movimiento de un objeto y de la relación de este con los conceptos físicos como la fuerza y la masa.
3.2.1. Segunda ley de Newton DEFINICIÓN La fuerza neta que se ejerce sobe un cuerpo es proporcional a la aceleración que dicha fuerza produce, donde la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.
La ecuación matemática a utilizar para la segunda ley de newton es:
∑
Al analizar la expresión anterior nos damos cuenta que si podemos ver que cuando a dos cuerpos se les aplica la misma fuerza el de menos masa experimentara mayor aceleración, lo que significa que la masa del cuerpo el una medida de la inercia del mismo, es decir de la resistencia que dicho cuerpo presenta a la variación de su estado de reposo o de movimiento. Es necesario analizar qué pasa cuando la superficie no es recta u horizontal, para lo cual repasaremos la siguiente definición. Es una superficie plana que forma un determinado ángulo con la horizontal. La fuerza normal seguirá siendo perpendicular a la superficie, sin embargo el peso del cuerpo se tendrá que descomponer en base al sistema de referencia de inercia con el que realicemos el problema. Las graficas correspondientes al DCR de un plano inclinado en general son:
El plano inclinado.-
Ejemplos: 1. Un semáforo que pesa 100 [N] cuelga de un cable vertical atado a otros dos cables fijos a un soporte como lo muestra la figura.
a) Determinar la tensión en los cables fijos al soporte. b) ¿Bajo qué condiciones T 1 es igual a T 2? ΣFx=0
T2x-T1x=0 T2cos 53º-T1cos37º=0 T2cos 53º= T1cos37º T2=79.99 [N]
ΣFy=0
ΣFx=0 T2cosα-T1cosβ=0 T1cosβ=T2cosα
T1y+T2y-w=0 T1sen37º+T 2sen53º=100 T1sen37º+ (T1cos37º/cos53º) sen53º=100 0.60T1+1.05T1=100 T1= 100/1.65 T1=60.60 [N]
=45º
α=θ
2. Determinar la aceleración del sistema mostrado en la figura si m 1 es 6[kg], m2 es 10[kg] y μ es 0,20.
Para m1
∑ ∑ ()() [] ( ) () (A) Para m2
a (B) Resolviendo las ecuaciones A y B, tenemos que:
3.3 ACCIÓN Y REACCIÓN- TERCERA LEY DE NEWTON 3.3.1. Tercera ley de Newton. En la naturaleza las fuerzas no se representan solas, por lo general forman parte de un sistema de pares que actúan simultáneamente. Por ejemplo: cuando una persona empuja una pared ejerce una fuerza sobre esta, a su vez la pared empuja a la persona con exactamente la misma magnitud de fuerza pero en sentido contrario. Para explicar estas situaciones enunciamos la tercera ley de Newton (principio de acción y reacción). DEFINICIÓN Si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro, este produce otra fuerza de la misma intensidad (reacción), pero opuesta sobre el mismo.
Ejemplo. La grafica muestra la interacción entre los 2 bloques por medio de una fuerza F con la cual tenemos que:
ΣFx1=0
F-Q=0 F=Q
ΣFy1=0
Fn1-W1=0 Fn1=W1
ΣFx2=0
P=0
Ejemplos. 1. Determine la aceleración del sistema en la figura, considerando que el coeficiente de rozamiento de la superficie es de 0,20. ΣFxA=mAa
T-fr= mAa T-µmAg= mAa T- mAa= µmAg T-5a=(0,20)(5)(9.8) T-5a=9.8
ΣFyA=0
FnA-WA=0 FnA= mAg
ΣFyB=mBa
WB-T=mBa mBg-T=mBa -T-mBa = mBg -T-8a=-78.4
T-5a=9.8 -T-8a=-78.4 //-13a=-68.6 a=68.6/13 a=5.28[m/s2] 2. Un bloque de 500 [N] se encuentra ubicado en un plano inclinado que forma 30° con la horizontal. a) Calcular la fuerza norma, la fuerza de rozamiento y el coeficiente de fricción si el cuerpo desciende con velocidad constante. b) La fuerza normal, la fuerza de rozamiento y el coeficiente de fricción si la aceleración de descenso es de 1.5 [m/s2]. Literal a) ΣFx=0
ΣFy=0
Wx-fr=0 Wx=fr fr=Wsen30º
Fn-Wy=0 Fn=Wy Fn=Wcos30º
fr=250[N]
Fn=433[N]
Literal b) ΣFx=0
Wx-fr=ma 250-fr=51.02(1.5) fr=173.47[N] fr=µFn µ=fr/Fn µ=173.47/433 µ=0.40
ΣFy=0
Fn=433[N]
fr=µFn µ=fr/Fn µ=250/433.01 µ=0.57.
3.3.2. Cantidad de movimiento lineal DEFINICIÓN El momentum lineal o cantidad de momento lineal (p) de un cuerpo se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad.
Su expresión matemática es: p=mv En el sistema internacional de medidas la cantidad de movimiento se mide en
3.3.3. Impulso: Cuando se definió la segunda ley de newton en sus inicios se determino que la fuerza era resultado del cociente entre la variación de la cantidad de movimiento y el tiempo. De lo cual tenemos que:
de donde ,
A la expresión la definimos como Impulso es decir el producto de la fuerza por un intervalo muy pequeño de tiempo. Además tenemos que:
,expresión a la que llamaremos teorema de la conservación del impulso y la cantidad de movimiento. Esta ultima relación permite explicar porque las fuerzas no tan intensas como las que ejerce el lanzador en el baseball, que actúan durante un intervalo de tiempo largo puede producir efectos comparables con los de fuerzas intensas como la del bateador, que actúan durante intervalos de tiempo corto. En el sistema internacional de medidas
[][]
Ejemplo: 1. Un balón de futbol tiene una masa de 450[g]. si el tiempo de contacto entre el pie del jugador y el balón durante un tiro libre es de 8x10 -3[s]para que adquiera una velocidad de 20 [m/s] al partir del reposo, determinar: a) El impulso trasmitido al balón. b) La fuerza que imprime el pie al balón. Datos: Vo = 0 Vf = 20 [m/s] -3 ∆t = 8x10 [s] m = 450[g]
( ) [] [] Conservación de la cantidad de movimiento
Consideramos un sistema formado por dos esferas en donde las únicas fuerzas presentes son las que se ejerce mutuamente este sistema se caracteriza porque la fuerza neta ejercida es igual a 0. De acuerdo con el principio reacción y acción tenemos que: F 21=-F 12 ∆P 1 /∆t=- ∆P 2 /∆t ∆P 1=∆P 2
P1f -P1o=-(P2f -P2o) P 1f -P1o=-P2f +P2o P1o+P2o=P2f +P1f
Por lo tanto tenemos que:
P o=P f
3.3.4. Colisiones Muchas situaciones cotidianas, por ejemplo en el billar o el comportamiento de las partículas de un gas observamos choques o colisiones. Es importante reflexionar que la naturaleza de estos eventos está ligada a fuerzas (ya estudiadas) que nos permiten un mejor análisis de estas situaciones. Definimos entonces un choque como la interacción entre objetos en la que se producen transferencias de cantidad de movimiento, en ausencia de fuerzas externas. Se clasifican en: Choque Elásticos.- Cuando existe conservación tanto de la cantidad de movimiento como de la energía cinética. Choques Inelásticos.- Cuando existe conservación de la cantidad de movimiento, pero no se conserva la energía cinética, es decir que hay pérdidas por fricción durante la colisión. Dentro de esta clasificación hay una tipo especial de choque denominado Choque perfectamente Inelástico , que se presenta cuando después de la colisión las masas quedan trabajadas formando una sola, para este caso específico usaremos la formula:
Donde M es la suma de las masas que interactúan y v es la velocidad del conjunto después del choque. Puesto que la cantidad de movimiento es un vector, cuando consideramos choques que ocurren en el plano (2 bolas que chocan frontalmente) representamos la situación en el plano cartesiano y por tanto debemos tomar en consideración las componentes rectangulares (y su signo) de la cantidad de movimiento.
Ejemplos: 1. Después de una explosión de un objeto de masa 4 [kg] inicialmente en reposo se divide en dos fragmentos, uno de los cuales de masa 2.5 [kg] sale proyectado hacia la derecha con una velocidad de 40 [m/s]. Determinar la velocidad del otro fragmento después de la explosión.
Po=Pf mTVo = m1V1+m2V2 4(0) = 2.5 (40)+1.5 (V 2) 1.5V2 = -2.5 (40) V2= -2.5(40)/1.5 V2= -66.66 [m/s]
mT = m1+m2 4 = 2.5 + 1.5
2. Un pequeño carro provisto de un cañón cuya masa total es de 20 [kg] se mueve con una velocidad de 5 [m/s] hacia la derecha. En determinado instante dispara un proyectil de masa 1 [kg] con velocidad 1[m/s] con respecto a la vía. Determinar la velocidad del carro después del disparo.
Po=Pf mTVo = mBVB + mCVC 20(5) = 1(-1) + 19(V C) 100 = -1 + 19V C 19VC = 101 VC = 101/19 VC = 5.31[m/s]
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un tanque de guerra de masa 3000 [g] se mueve con una velocidad de 10 [m/s], lanza una granada de 10 [g] con velocidad de 600 [m/s] en la misma dirección de su movimiento ¿Cuál es la nueva velocidad del tanque? 2. Un proyectil de 10 [g] disparado horizontalmente contra un bloque de madera de 4 [kg] en reposo en una superficie horizontalmente. El proyectil tiene una velocidad de 500 [m/s] un instante antes de penetrar el bloque, y sale de él con una velocidad de 200 [m/s]. El bloque se desliza 10 [cm] antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano.
3. Una esfera de masa m que viaja hacia la derecha con velocidad de 25 m/s choca contra otra esfera de igual masa que se encuentra en reposo, luego de la colisión la primera esfera se desvía 45° al NE, mientras que la segunda se desvía formando 30° al SE. ¿Calcular las velocidades de las 2 esferas después de la colisión? 4. Si a un resorte de constante elástica de 200 N/m, se le aplica una fuerza de 400N, ¿Cuál es el alargamiento total del resorte? 5. Calcule la fuerza de rozamiento estática máxima de un bloque de madera de masa de 20 kg que se encuentra sobre una superficie plana y al que se le aplican las siguientes fuerzas: en dirección este; en dirección sur;
6. Durante cuánto tiempo debe actuar una fuerza horizontal de 90 N sobre un cuerpo de 20 kg para que alcance una velocidad de 20 m/s sobre una superficie horizontal si el coeficiente de rozamiento es 0.25?
7. Un niño empuja una caja en reposo llena de juguetes sobre el piso de su habitación. El peso de la caja es de 150 N y el niño ejerce una fuerzas de 90 N (paralela al piso) sobre la caja. Con base de esta información.
a) ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre la caja de juguetes (DCL)? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal? c) ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?
8. Determina las fuerzas T1 y T2 que actúan sobre un objeto de 100 N de peso para poder mantenerlo en equilibrio, como se muestra en la grafica.
9. El bloque mostrado en la figura se mueve con velocidad constante. Determine el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie, si el cuerpo se mueve horizontalmente. Sol=Fcosθ/(mg-Fsenθ)
10. Un cubo de madera pesa 2 [N] y se presiona contra una pared con una fuerza horizontal F. Se observa que cuando la fuerza es 12 [N] el cuerpo está a punto de resbalarse. Calcular el coeficiente de fricción estático entre el cubo y la pared.
TALLER 1 Dos objetos están conectados por un cordel lijero que pasa por una polea sin fricción, como lo muestra la figura. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es 0.3 Determinar la aceleración del sistema y la tensión del cordel. 4 Kg
7 Kg
TALLER 2 Una esfera A de masa 5 [kg] se mueve con velocidad de 2 [m/s] y choca de manera frontal con una esfera B de masa 0.8 [kg] que se encuentra en reposo. Como lo muestra la figura. Después del choque la esfera A se desvía 30º con respecto a su dirección inicial y se mueve con velocidad de 1[m/s]. Determinar la velocidad de la esfera B y el ángulo con respecto a su posición inicial.
UNIDAD 4 MOVIMIENTO DE ROTACION. 4.1. EL MOVIMIENTO CIRCULAR. Es muy frecuente pensar en el movimiento circular y pensar que esta solo está relacionada a la naturaleza, en específico con los cuerpos celestes. Sin embargo muchos mecanismos como motores y maquinarias basan su funcionamiento en este movimiento.
4.4.1. La velocidad en el movimiento circular. Consideremos un objeto que gira en forma arbitraria el cual gira alrededor de un eje. Supóngase que al girar el objeto recorre en ángulo y que por lo tanto el punto se desplaza a lo largo de la longitud de arco en el intervalo . De la ecuación que define las medidas en radianes, sabemos que:
Ahora dividamos ambos lados de esta ecuación entre rotación:
, el intervalo en que se produjo la
Si es muy pequeño, entonces el angulo que el objeto en rotación recorre es pequeño y la razón ⁄ es la rapidez angular instantánea . También es muy pequeña cuando es muy pequeña, y la razón ⁄ es igual a la rapidez lineal instantánea, , para valores pequeños de . Por lo tanto la ecuación anterior equivale a La dirección de es tangente a la trayectoria circular, por lo que se suele referir a esta rapidez lineal como la velocidad tangencial de una partícula que se mueve en una trayectoria circular. Debemos tener presente que aunque todos los puntos del objeto en rotación tienen la misma velocidad angular, no todos tienen la misma rapidez lineal (velocidad tangencial). Es necesario tener cuidado al utilizar esta ecuación pues ha sido deducido en base a la ecuación que define las ecuaciones en radianes y por lo tanto es válida solo cuando se mide en radianes por unidad de tiempo.
4.4.2. Movimiento circular uniforme. Ahora imaginemos que un objeto que gira en torno a un eje fijo cambia su velocidad angular en en el intervalo de tiempo . Al final de este intervalo tenemos
Dividiendo para obtenemos lo siguiente: Si el intervalo de tiempo es muy pequeño, entonces la razón es la aceleración tangencial en ese punto y
es la aceleración angular. Por lo tanto
Es decir la aceleración tangencial de un punto de un objeto en rotación es igual al producto de la distancia de ese punto respecto al eje de rotación por la aceleración angular.
4.4.3. Aceleración centrípeta.
En la figura, la pelota se desplaza en una trayectoria circular con rapidez lineal constante . Entonces ¿Por qué a pesar de que la pelota se desplaza con rapidez constante, existe una aceleración?
Para entender esto, consideremos la ecuación que define la aceleración media:
Recordemos que la aceleración media depende del cambio en el vector de velocidad, entonces hay dos maneras de producir una aceleración: mediante un cambio en la magnitud de la velocidad o por medio de un cambio en la dirección de la misma. Esta última situación es la que representa el caso de la pelota. El vector de la aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. La aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta (que busca el centro), y su magnitud está dada por:
4.4.4. Fuerza centrípeta. Si un cuerpo describe un movimiento circula, su trayectoria no es rectilínea y en consecuencia la velocidad cambia constantemente de dirección. A la fuerza que ocasiona dichos cambios en la dirección se la conoce como fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta se representa en dirección radial, hacia el centro de la trayectoria y es perpendicular al vector velocidad, en el MCU aunque la magnitud de la velocidad permanece constante, se presenta una aceleración centrípeta, en la misma dirección y sentido que la fuerza centrípeta. De acuerdo a la segunda ley de newton tenemos que:
Es importante definir que la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo es ejercida por uno o más cuerpos que también actúan en la dirección radial y esta puede ser según el caso elástica, de rozamiento, gravitacional e incluso eléctrica.
4.4.5. Fuerza centrifuga. En muchas ocasiones cuerpos en movimiento circular, que tienda a salir de la trayectoria tienden a hacer esto por efecto de una fuerza que provoca este efecto, y a esta se la denomina fuerza centrifuga, sin embargo no se trata de una fuerza, sino de una apreciación de la ley de la inercia. En algunos casos por facilidad podemos decir que en un MCU las fuerzas centrípeta y centrifuga se igualan en magnitud y dirección, sin embrago un son una reacción una de la otra, ya que la fuerza centrifuga solo existe en sistemas de referencia no inerciales y es considerada como una fuerza ficticia. Conviene aplicar las etapas siguientes para el manejo de aceleraciones centrípetas y de las fuerzas que la producen: 1. Dibújese un diagrama de cuerpo libre en el cual se muestren y se identifiquen todas las fuerzas que actúan sobre él. 2. Determine la fuerza neta hacia el centro de la trayectoria circular. Esta es la fuerza que causa la aceleración centrípeta. 3. A partir de este punto las etapas son idénticas a las que se siguen para resolver
∑ asimismo, adviértase que la magnitud de la aceleración centrípeta siempre se puede escribir como problemas de la segunda ley de Newton con
4.4.6. Gravedad simulada. Es la simulación del tirón gravitatorio conseguida mediante la rotación constante, a una velocidad angular apropiada, de todas las partes de una nave, estación, o colonia espacial tripulada. Esta técnica podría ser esencial, en misiones de larga duración, para evitar cualquier reacción fisiológica adversa (y posiblemente también psicológica) que pudiera causar la ausencia prolongada de peso. Generar gravedad artificial no es tan complicado como pudiera suponerse. Cualquier cuerpo sometido a aceleración sufre los mismos efectos que si estuviera dentro de un campo gravitatorio con una aceleración equivalente. Por ejemplo, dentro de un coche, al acelerar, una fuerza nos empuja contra el asiento.
4.4.7. Movimiento circular variado. Un cuerpo describe un MCUV, cuando la aceleración angular es contante, asumamos que un cuerpo en movimiento circular cambia su velocidad angular en el tiempo con lo que tendríamos un valor de α a la que denominaremos aceleración angular que se expresa como:
Por lo que las ecuaciones de la velocidad angular y del desplazamiento de un MCUV son:
⃗
En un MCUV se determinan dos tipos de aceleración: la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta . La aceleración tangencial, se relaciona con la variación de la norma de la velocidad. La aceleración centrípeta, se relaciona con la variación de la relación de la velocidad. Si la aceleración tangencial, tiene el mismo sentido de la velocidad, , entonces el cuerpo aumenta su velocidad. Si la aceleración tangencial, tiene sentido contrario a la velocidad, , entonces el cuerpo disminuye su velocidad.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Ejemplo. Un disco con una frecuencia de 54 r.p.m., se detiene después de 5 s. aceleración angular.
asi
Una frecuencia de 45 r.p.m equivale a
Luego, la velocidad angular inicial es:
Como la velocidad angular final es 0, tenemos que:
⁄
Calcular su
4.2. LA MECÁNICA CELESTE. 4.2.1. Leyes de Kepler. Las leyes de Kepler son leyes empíricas muy fuertes y relativamente simples. Con ellas Kepler realizo diferentes cálculos, que fueron publicados en 1627. Primera ley: Los planetas se mueven en orbitas elípticas alrededor del Sol, que permanece en uno de los focos de la elipse. Cada planeta se mueve alrededor del Sol describiendo una elipse.
Segunda ley: los planetas se mueven de tal forma que la línea trazada desde el Sol a su centro barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
Tercera ley: los cuadrados de los periodos de revolución (T) de los planetas son proporcionales a los cubos de su distancia promedio al sol (R). En términos matemáticos esta ley se escribe como:
Donde es una constante, T es el periodo del planeta y R es la distancia promedio del planeta al Sol.
Es decir que para cualquier planeta del sistema solar, se cumple que:
( ) ( )
Esta ley es diferente a la otras dos, ya que no se refiere a un solo planeta, sino que relaciona un planeta con cada uno de los otros, como se representa en la siguiente figura:
En la siguiente tabla podemos observar las distancias promedios al Sol y el Periodo de revolución de los planetas del sistema solar. Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
T.(s)
R.(m)
4.2.2. La gravitación Universal. En 1686 ya se había reunido gran cantidad de información sobre el movimiento de la luna y los planetas, pero no se comprendía claramente las fuerzas que llevan a estos cuerpos celestes a moverse como lo hacen. En ese año Isaac Newton proporciono la clave para descifrar esto. Newton sabía que, por la primera ley, necesariamente una fuerza neta actuaba sobre la luna. Si no fuera así, la Luna se desplazaría en trayectoria rectilínea. Dedujo que esta fuerza surge como resultado de una fuerza de campo atractivo entre la Luna y la Tierra, a la cual llamo fuerza de gravedad. Newton comprendió que la misma fuerza de atracción que obliga a la Luna a seguir su trayectoria, también hace que una manzana caiga al suelo desde su árbol.
En 1687 Newton publico su trabajo sobre la ley de gravitación universal, la cual establece que: “Toda
partícula en el Universo atrae a toda otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.”
están separadas por una distancia , la magnitud de la
y Si dos partículas de masa fuerza gravitatoria entre ellas es
Donde es la constante de gravitación universal y que se ha medido experimentalmente. Su valor en unidades SI es
Tengamos siempre presente que: 1. La fuerza gravitatoria es una fuerza de campo que siempre existe entre dos partículas, cualquiera sea el medio que las separe. 2. La fuerza varía con el inverso del cuadrado de la distancia entre las partículas y, por lo tanto, disminuye rápidamente con el aumento de separación. 3. La masa es proporcional al producto de las masas de las partículas. Ejemplo. Se colocan 3 bolas de billar en una mesa en los vértices de un triangulo rectángulo, como se muestra en la figura. Determine la fuerza gravitatoria neta sobre la bola designada como debida a las fuerzas que las otras dos bolas ejercen sobre ella.
0.400 m
0.500 m
0.300 m
, primero calculamos la fuerza que . Por último, sumamos vectorialmente La fuerza que se ejerce sobre debido a , y que se denota como es ascendente. Su magnitud se calcula como. ( )( ) ( ) Para determinar la fuerza gravitatoria neta sobre ejerce sobre y después la fuerza de sobre estas dos fuerzas para obtener la fuerza neta sobre
Este resultado muestra que las fuerzas gravitatorias entre los objetos comunes que nos rodean son de magnitud extremadamente pequeñas. Calculamos ahora la fuerza gravitatoria que
ejerce sobre y que se denota como .
La dirección de esta fuerza es hacia la derecha y su magnitud es:
( )( ) ( ) La fuerza gravitatoria neta se calcula sumando vectorialmente () ()
4.3. ROTACIÓN DE SÓLIDOS. 4.3.1. Cuerpos rígidos DEFINICIÓN Los cuerpos rígidos son sólidos cuya forma es definida debido a que las partículas que los conforman se encuentran en posiciones fijas unas con respecto a otras.
Cuando se aplican fuerzas sobre un cuerpo rígido, se produce un movimiento de rotación sobre él, que depende de la dirección de las fuerzas y de su punto de aplicación. Para comparar los efectos producidos por la fuerzas, diremos que estas producen mayor o menor efecto de rotación. Debemos tomar en consideración que todo cuerpo rígido constara de un centro de gravedad (o centro de masa) sobre el cual se soporta la masa inercial del objeto y que nos es de suma importancia al momento de considerar los efectos que producen las fuerzas que provocan rotación.
4.3.2. Torque o momento de una fuerza. DEFINICIÓN Es la tendencia de una fuerza a hacer girar un cuerpo en torno a un cierto eje.
La magnitud del momento de torsión debido a una fuerza
es:
La magnitud es el brazo de palanca que es la distancia perpendicular del eje de rotación s una línea trazada a lo largo de la dirección de la fuerza. Como ejemplo, consideremos una llave de tuerca que gira en torno al eje de un tornillo, en este caso la fuerza que se aplica puede tener un angulo con respecto al punto de aplicación, pero solo la componente perpendicular a este punto de aplicación es la que produce el torque, por lo tanto en un forma más general, podemos escribir la formula como:
() () Si dos o más fuerzas actúan sobre un mismo objeto cada una de ellas tiene una tendencia a producir torque, por lo tanto, existirá un torque neto resultado de la aplicación del principio de superposición. Para el SI note que el momento de torsión tiene unidades de fuerza por longitud, es decir,
[]
Ejemplo: Calcule el momento de torsión que produce sobre la perilla de una puerta, una fuerza de aplicada con un ángulo de 60° y cuya distancia entre la bisagra y la perilla es .
[ ] []
Note usted que es
()() ()( )
quien produce el torque y por lo tanto tenemos ( )( )
4.3.3. Condiciones de equilibrio para cuerpos rígidos. Para decir que un cuerpo rígido se encuentra totalmente en equilibrio (equilibrio estático), deben cumplirse las siguiente condiciones 1. La fuerza externa resultante debe ser cero 2. El momento de torsión externo resultante debe ser cero
∑ ∑
La primera condición representa el equilibrio de traslación, mientras la segunda nos enuncia un equilibrio rotatorio. Si el objeto esta en equilibrio, no importa donde se ponga el eje de rotación para calcular el torque neto, es decir, la ubicación de este eje el totalmente arbitraria.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una rueda tiene un diámetro de 10 m, si la rueda describe una vuelta cada 15 s. ¿Cuál es la distancia recorrida por un insecto en el contorno de la rueda?
2. Si un ciclista realiza seis vueltas en una pista circular empleando 15 min. ¿Cuál es su velocidad angular?
3. Encuentre la velocidad angular y la velocidad lineal de un disco que posee MCU, si su periodo es 1.8 s. y su radio es 80 cm.
4. Un objeto describe MCU y realiza 250 vueltas en 1200 s., si la circunferencia que describe tiene un radio de 75 cm. Calcular: a. La velocidad angular b. La velocidad lineal c. La aceleración centrípeta.
5. Calcule la frecuencia y el periodo de revolución de un motor que gira a 500 r.p.m.
6. Un automóvil cuyas ruedas tienen un diámetro de 80 cm., parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar 72 Km/h en 20 s. ¿Cuantas vueltas alcanza a dar cada rueda en ese tiempo?
7. Dos masas de 4 y 5 Kilogramos respectivamente se atraen por medio de una fuerza de . Calcule a qué distancia se encuentran las masas.
8. Una viga de 40N y 3 metros de largo esta sujeta por un perno de presión en uno de sus extremos y un cable ligero en el otro extremo formando un ángulo de 30º con la viga, una persona de 20Kg se encuentra a u metro de la pared. Calcular: a) La tensión en el cabe. b) La fuerza de reacción en el perno.
TALLER 1 Un satélite de 300 kg de masa se encuentra en una orbita circular alrededor de la tierra a una altitud igual al radio medio de la tierra. Encuentre: a) La rapidez orbital del satélite b) El periodo de su revolución c) La fuerza gravitacional que actúa sobre el Datos: RE = radio de la tierra = 6,37 * 10 6 metros.
TALLER 2 Una viga de 50 N y 5 metros de largo esta sujeta por un perno de presión en uno de sus extremos y un cable ligero en el otro extremo formando un ángulo de 60º con la viga, una persona de 25Kg se encuentra a 2 metros de la pared. Calcular: a) La tensión en el cabe. b) La fuerza de reacción en el perno.
UNIDAD 5 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA 5.1. TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA. En concepto de energía es uno de los más importantes en el mundo de la ciencia, la energía está presente en el universo de diferentes formas, entre las que se encuentran la energía mecánica, la energía química, la energía electromagnética y la energía nuclear. Aunque la energía se puede transformar de una a la otra, la cantidad total de energía del Universo permanece constante.
5.1.1. Trabajo. DEFINICIÓN El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de la dirección del movimiento por la distancia recorrida por el objeto.
Matemáticamente usaremos la formula
Es importante notar que una fuerza no realiza trabajo alguno cobre un objeto, si el mismo no se mueve, además si entonces el trabajo de igual manera es nulo.
El signo del trabajo depende de la dirección de con respecto a la dirección del movimiento. El trabajo el positivo cuando la componente tiene la misma dirección que el desplazamiento, por otro lado el trabajo es negativo cuando tiene una dirección opuesta al desplazamiento. El signo negativo proviene del hecho de que y .
El trabajo es una cantidad escalar y sus unidades son de fuerza por longitud, es decir, [], el equivalente de esta unidad para el sistema internacional, es el Joule 5.1.2. Energía.
Los conceptos energía y trabajo. Todo cuerpo que está en capacidad de realizar un trabajo, tiene también la capacidad de transferir energía. A continuación analizaremos tres tipos de energía que son de vital importancia en el análisis de los conceptos correspondientes a este curso.
5.1.3. Energía Cinética DEFINICIÓN Se llama energía cinética a la energía asociada a un objeto que se encuentra en movimiento
Matemáticamente se representa por:
5.1.4. Energía Potencial Gravitatoria DEFINICIÓN Se llama energía potencial gravitatoria a la energía asociada a un objeto sometido a la fuerza del peso, y que se encuentra a determinada altura con respecto a un eje de referencia.
Matemáticamente se representa por
5.1.5. Energía Potencial Elástica DEFINICIÓN Se llama energía potencial elástica a la energía asociada a un resorte por efecto de una compresión o alargamiento
Matemáticamente se representa por
5.1.6. Potencia. DEFINICIÓN La potencia se define como la rapidez de transferencia de energía. Otra forma de expresarla es como el cociente del trabajo realizado en un intervalo de tiempo
Matemáticamente
5.2. LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. 5.2.1. La conservación de la energía mecánica. Podemos generalizar el principio de conservación a fin de incluir todas las fuerzas que actúan en un sistema. Este principio no solamente se aplica a la física, en muchas ciencias el principio de conservación permite verificar el siguiente enunciado DEFINICIÓN La energía no se crea ni se destruye. En todos los sistemas la energía se transforma o se transfiera con la condición de que la energía total del sistema permanezca constante.
5.2.2. Las fuerzas no conservativas. En situaciones realistas están presentes las fuerzas no conservativas como por ejemplo la fricción. En este tipo de situaciones la energía mecánica total del sistema no es constante. Por lo tanto, es correcto aplicar en este caso el siguiente enunciado
DEFINICIÓN Le trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica del sistema
Matemáticamente tenemos que
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcule el trabajo que realiza un cuerpo de 3 Kg de masa, cuando se suelta desde una altura de 6 metros.
2. Se tiene un resorte con una constante elástica de 150 N/m y 20 cm de longitud. ¿Qué trabajo se debe realizar para comprimirlo completamente?
3. Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza un trabajo aprox. de 6.00 [kJ], ¿Cuál es la profundidad del pozo? Suponga que cuando se levanta la cubeta su velocidad permanece constante.
4. Un bloque de masa 3.5 [kg] se arrastra mediante una cuerda una distancia de 4 m a velocidad constante. Si la tensión de la cuerda es de 7.7 N y forma 15 o con la horizontal, Calcule: a) Trabajo total sobre el bloque b) Trabajo hecho por la tensión c) Trabajo de la fricción d) coeficiente de fricción.
5. Un niño de 20 kg se lanza con V o = 5 m/s por un tobogán sin fricción que tiene 5 [m] de largo y una inclinación de 60° con la horizontal. ¿Cuál será la velocidad del niño al llegar al suelo si se dejó caer desde el punto más alto del tobogán?
TALLER 1 Un niño de 30 kg se desliza con rozamiento por un tobogán que tiene 4 [m] de altura y una inclinación de 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el niño y la superficie del tobogán es μ = 0,2. ¿Cuál ser á la velocidad del niño al llegar al suelo si se dejó caer desde el punto más alto del tobogán?
ANEXOS Instrumento de medición.
En física, química e ingeniería, un instrumento de medición es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. Como unidades de medida se utilizan objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y de la medición resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de referencia. Los instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión. Dos características importantes de un instrumento de medida son la precisión y la sensibilidad. Los físicos utilizan una gran variedad de instrumentos para llevar a cabo sus mediciones. Desde objetos sencillos como reglas y cronómetros hasta microscopios electrónicos y aceleradores de partículas. Algunos instrumentos de medición Para medir masa: balanza báscula espectrómetro de masa catarómetro Para medir tiempo: calendario cronómetro reloj reloj atómico datación radiométrica Para medir longitud: Cinta métrica Regla graduada Calibre vernier micrómetro reloj comparador interferómetro odómetro
Para medir ángulos: goniómetro sextante transportador Para medir temperatura: termómetro termopar pirómetro Para medir presión: barómetro manómetro tubo de Pitot (utilizado para determinar la velocidad) Para medir velocidad: tubo de Pitot (utilizado para determinar la velocidad) velocímetro anemómetro (utilizado para determinar la velocidad del viento) tacómetro (Para medir velocidad de giro de un eje) Para medir propiedades eléctricas: electrómetro (mide la carga) amperímetro (mide la corriente eléctrica) galvanómetro (mide la corriente) óhmetro (mide la resistencia) voltímetro (mide la tensión) vatímetro (mide la potencia eléctrica) multímetro (mide todos los anteriores valores) puente de Wheatstone osciloscopio
Sistema métrico decimal
El sistema métrico decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionados entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. Necesidad de medida universal Fue implantado por la primera Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1889); se pretendía buscar un sistema de unidades único para todo el mundo y así facilitar el intercambio científico, cultural, comercial, de datos... Hasta entonces cada país, e incluso cada región, tenía su propio sistema de unidades; a menudo, una misma denominación representaba un valor distinto, de un lugar a otro. Un ejemplo es la vara, medida de longitud que equivale a 0,8359 m, si se trata de la vara castellana, o a 0,7704 m, si se trata de la vara aragonesa. Tres magnitudes básicas: longitud, capacidad y masa Como unidad de medida de longitud se adoptó el metro, definido como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, cuyo patrón se reprodujo en una barra de platino iridiado. El original se depositó en París y se hizo una copia para cada uno de los veinte países firmantes del acuerdo. Como medida de capacidad se adoptó el litro, equivalente a un decímetro cúbico de agua a 4 °C y 1 atm. Como medida de masa se adoptó el kilogramo, definido a partir de la masa de un litro de agua pura a su densidad máxima [1] (unos 4 °C) y materializado en un kilogramo patrón.
Transformaciones
1 pulgada= 2.54 cm 1 pie= 30.48 cm 1 yarda= 91.4 cm 1 milla= 1.6 Km 1 onza= 28.35 gramos 1 libra= 0.45 Kilogramos 1 pinta= 0.56 litros 1 galón= 3.78 litros 1 cm2= 0.155 pulg2 1 m2= 10.76391 pie2 1 Km2= 0.386102 millas2 1 pie= 12 pulgadas
pie= ft pulgada= inch milla= mile yarda= y onza= oz libra= lb pinta= pta galón= gl
Medianas y centro de gravedad de un triangulo.
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana. Las tres medianas de un triangulo concurren en un punto G, en la figura, llamado centroide o baricentro del triangulo. Si este es de densidad homogénea, entonces el centroide G es el centro del masas del triangulo. Cada una de las tres medianas dividen el triangulo en dos triangulo de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la mediana. Las tres medianas dividen al triangulo en 6 triángulos de áreas iguales.
