Física cinemática

c
  Y



  
 

Y Y Y Y Y

c
             Y

~
Y

c
  Y



  
 


 ’
        ’
     ’
 
     ’
   
                    

Y

~
Y

c
  Y



  
 

        Seenominamovimientoectilíneo,aquélcuyatayectoiaesunalíneaecta

 nlaectasituamosunoi
en ,oneesta unobsevaoquemei la~osiciónel móvil Gen elinstante  as~osicionesse n~ositivassiel móvilest alaeechael oi
enyne
ativassiest alaizquieaeloi
en

£  

a~osiciónGelmóvilse~ueeelacionaconeltiem~o meianteunaunciónG
 


es~lazamiento Su~on
amosahoaqueeneltiem~o ,elmóvilseencuentaen~osiciónG,m stae,en el instante  el móvil se enconta  en la ~osición G
ecimos que móvil se ha es~lazao èG GG en el intevalo e tiem~o è  , meio ese el instante  al instante 

[ 

avelociameiaentelosinstantes y est einia~o

 aa etemina la velocia en el instante , ebemos hace el intevalo e tiem~o è  tan~equeñocomosea~osible,enellímitecuanoè tieneaceo

 eoicholímite,eslaeinicióneeivaaeGcones~ectoeltiem~o 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

aa com~ene mejo el conce~to e velocia meia, esolvemos el si
uiente ejecicio    na ~atícula se mueve a lo la
o el eje , e manea que su ~osición en cualquie instante est aa~oG ,oneGseex~esaenmetosy ense
unos alculasuvelocia~omeioenelintevaloetiem~oente: ëY ëY ëY ëY ëY ëY

ys ys ys ys ys alculalavelociaenelinstante s 



nelinstante s,Gm

s) Gm) G GG

  

     ¬¬¬ 

     ¬¬¬ 

m/s

     ¬¬¬

     ¬¬¬

     ¬¬¬ 

omo ~oemos a~ecia en la tabla, cuano el intevalo  , la velocia meia tienea m/s avelociaen elinstante sesunavelociameiacalculaaen unintevaloetiem~oquetieneaceo alculamoslavelociaencualquieinstante 

a~osiciónelmóvilenelinstante esG     ëY a~osiciónelmóvilenelinstante è esG è )   è è   ëY les~lazamientoesèGGG è è  ëY avelociameia
es

ëY



a velocia en el instante  es el límite e la velocia meia cuano el intevalo e tiem~otieneaceo 

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

avelociaenuninstante se~ueecalculaiectamente,hallanolaeivaaela ~osiciónGes~ectoeltiem~o

 nelinstante s,
m/s

 

 n
eneal, la velocia e un cue~o es una unción eltiem~oSu~on
amos que en uninstante lavelociaelmóviles
,yenelinstante lavelociaelmóviles
 Se enominaaceleación meia ente los instantes y alcociente ente el cambio e velocia è


 y el intevalo e tiem~o en el que se ha taao en eectua icho cambio,è  



aaceleaciónenelinstante esellímiteelaaceleaciónmeiacuanoelintevaloè  tieneaceo,queeslaeiniciónelaeivaae


 : ncue~osemuevealola
oeunalíneaectaG  mallalaex~esióne ëY ëY

avelocia

aaceleaciónelmóvilenuncióneltiem~o



î      Si conocemos une
isto e la velocia ~oemos calcula el es~lazamientoGG el móvilentelosinstantes y ,meiantelainte
aleinia

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 l~oucto
 e~esentaeles~lazamientoelmóvilentelosinstantes y  ,oen el intevalo  l es~lazamiento total es la suma e los ininitos es~lazamientos ininitesimalesentelosinstantes y 

n la i
ua, se muesta una
 ica e la velocia en unción el tiem~o,el eaencoloazulmieel es~lazamientototalel móvil ente los instantes  y , el se
mento en colo azul macao en la tayectoia ecta allamos la~osiciónG el móvil en el instante , sumano la ~osición inicial G al es~lazamiento, calculao meiante la meia el ea bajo la cuva
  o meiante c lculo e la inte
al einia en la ómulaanteio



: ncue~osemuevealola
oeunalíneaectaeacueoalaley
 m/sSi enelinstante sest situaoenG meloi
enalculala~osiciónGelmóvil encualquieinstante



î      
elmismo moo,quehemoscalculaoeles~lazamientoel móvilentelosinstantes

y ,a~atieune
istoelavelocia
enuncióneltiem~o ,~oemoscalcula elcambioevelocia

queex~eimentaelmóvilenteichosinstantes,a~atie une
istoelaaceleaciónenuncióneltiem~o

Y

~
Y

c
  Y



  
 



n la i
ua, el cambio e velocia

 es el ea bajo la cuva , o el valo numéico e la inte
aleiniaenlaómulaanteio onocieno el cambio e velocia

, y el valoinicial
enelinstante ,~oemoscalcula lavelocia
enelinstante 



:

aaceleacióneuncue~oquesemuevealola
oeunalíneaectavieneaa~ola ex~esión    m/sSabieno que en el instante s,la velocia el móvil vale
m/s
eteminalaex~esiónelavelociaelmóvilencualquieinstante

 esumieno,lasómulasem~leaas~aaesolve~oblemasemovimientoectilíneo son

 

    

Y

~
Y

c
  Y



  
 

n movimiento ectilíneo uniome es aquél cuya velocia es constante, ~o tanto, la aceleaciónesceo a~osiciónGel móvilen elinstante lo~oemoscalculainte
ano  o
 icamente, en la e~esentación e
 en uncióne  

abitualmente, el instante inicial  se toma como ceo, ~o lo que las ecuaciones el movimientouniomeesultan

 

     n movimiento uniomemente aceleao es aquél cuya aceleación es constante
aa la aceleación ~oemos obtene el cambioevelocia

entelosinstantes

y ,meianteinte
ación,o
 icamente  


aa la velocia en unción el tiem~o, obtenemos el es~lazamiento GG el móvil ente los instantes  y ,
 icamente  ea e unect n
ulo ea eunti n
ulo),ointe
ano 



Y

~
Y

c
  Y



  
 

abitualmente, el instante inicial  se toma como ceo, queano las ómulas el movimientoectilíneouniomementeaceleao,lassi
uientes


es~ejano el tiem~o  en la se
una ecuación y sustituyénola en la tecea, elacionamoslavelocia
coneles~lazamientoGG  

 !"   l si
uiente a~~let, nos ~uee ayua a entene el conce~to e eivaa y la inte~etación
eométicaelaeivaa

 Se eli
e la unción a e~esenta en el contol e selección titulaounción# ente las si
uientes:

 Se~ulsaelbotóntitulaonuevo Seobsevalae~esentaciónelaunciónele
ia on el ~unteo el atón se mueve el cuaao e colo azul, ~aa selecciona una abscisa  Seeli
eelaumento,,,óenelcontoleseleccióntitulaoaumento uano se eli
e  ó , la e~esentación
 ica e la unción es casi un se
mentoectilíneoSe mie su~eniente conayua e laejillatazaasobe lae~esentación
 ica ëY Secalculalaeivaaelaunciónenel~untoeabscisa ele
io ëY Secom~uebasicoincienlameiaela~enienteyelvaloelaeivaaen



ëY

Y

~


Y

c
  Y



  
 

: le
imosla~imeaunciónyel~unto   le
imosam~liación a~enienteelaectavale,ysemuestaenlai
ua



aeivaaeichaunciónes

 ~aa laeivaatienevale            

Y

~
Y

c
  Y



  
 

   n este ~o
ama se van a estuia las ecuaciones el movimiento ectilíneo uniomementeaceleao,yenconcetoel movimientoecaíaeloscue~osbajola aceleaciónela
avea Sibien,esuntemaqueseestuiaalola
oetoosloscusose!ísica,eselosm s elementales, ~esisten al
unas iicultaes y en conceto aquellas que conunen la ~osiciónelmóvilcones~acioecoio Sehaeinsisti,quelasma
nituescinem ticastienenca ctevectoial,inclusoenel movimiento ectilíneo, y que ~aa escibi un movimiento se han e se
ui los si
uientes~asos: Y stableceelsistemaeeeencia,eseci,eloi
enyelejealola
oelcual tienelu
aelmovimiento Y lvaloysi
noelaaceleación Y lvaloyelsi
noelavelociainicial

Y a~osicióninicialelmóvil Y scibilasecuacioneselmovimiento Y "~atielosatos,es~ejalasincó
nitas 

î   ncue~oeslanzaoeseeltechoeuneiicioe altua G con velocia
, etemina las ecuaciones el movimiento, la altua m xima y el tiem~o que taaelcue~oenalcanzaeloi
en n~imelu
a,establecemoseloi
enylaiección el movimiento, el eje 
es~ués, los valoes e la ~osición inicial y los valoes y si
nos e la velocia inicial, y e la aceleación, tal como se inica en la i
ua esultano las si
uientes ecuaciones el movimiento

 

uanoalcanzalaaltua m xima,lavelociael móvil esceo
elaecuaciónela velocia,seobtieneeltiem~oquetanscueesequeselanzahastaquelle
aaicha ~osiciónltiem~otanscuiosesustituyeenlaecuaciónela~osición,obteniénose lam ximaaltuaquealcanzaelmóvilmeiaeseelsuelo

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 ltiem~oquetaaenlle
aalsuelo,seobtienea~atielaecuaciónela~osición, ~onienoG ,esolvienounaecuaciónese
uno
ao  $como~o com~obaellecto,lasoluciónel~oblemaesine~enienteela situación el oi
en Si colocamos el oi
en en el ~unto e lanzamiento, la ~osición inicialGesceo,~eoelsueloseencuentaenla~osiciónGes~ectoeichooi
en, esultano la misma ecuación a altua m xima se calcula ahoa ese el techo el eiicio,noeseeloi
en


! $ Sielejea~untahaciaaibalaaceleaciónela
aveavale  óm/s




!     $ Si el eje  a~unta hacia aiba y el cue~o es inicialmente lanzao hacia aiba el si
no e la velocia inicial es ~ositivo, en caso e se lanzaohaciaabajoelsi
noesne
ativo  


  !$ Seacostumbaa~oneeneloi
en,enel~untoen el que es lanzao el móvil en el instante inicial sto notiene quesesiem~easí,siun cue~o es lanzao ese el techo e un eiicio ~oemos situa el oi
en en el suelo,la~osición inicial el móvilcoes~oneíaalaaltuaeleiiciou



Si situamos el oi
en en el techo el eiicio y lanzamos el móvil ese el suelo, la ~osición inicialseíau



Y

~
Y

c
  Y



  
 

  Se ~o~onen ahoa un conjunto e ejecicios sencillos ~aa ~actica con el ~o
ama inteactivo, se ~ueen esolve ~imeo numéicamente y es~ués com~oba su es~uestaenicho~o
ama Seejacaeunobjetoeseuneiicioemealtua,calculalavelociayel tiem~oquetaaenlle
aalsuelo Selanzaunobjeto,situaoinicialmenteeneloi
en,haciaaibaconunavelocia em/s,calculalam ximaaltuaquealcanza Selanzaunobjetohaciaaibaconunavelociainiciale m/s,eseeltechoe uneiicioemealtuaalcúleselam ximaaltuasobeelsueloylavelocia conqueetonaalmismo

Se lanza un objeto haciaabajo,con velocia inicial e  m/s,ese unaaltua e malculalavelociaconquelle
aalsuelo               

Y

~
Y

c
  Y



  
 

-!   nesta~
ina,seescibeel~oceimientoeajusteelosatosex~eimentalesauna línea ecta enominao e
esión lineal, que se usa en el laboatoio en vaias situaciones: aacalculalavelociaenunaex~eienciaemovimientoectilíneo aacalculala constante el stica e unmuelle, colocano ~esas en un ~latillo quecuel
aesuextemolibeymiienolaeomaciónelmuelle ëY etc

ëY ëY

l~o
amainteactivoalinaleesta~
ina,est iseñao~aaqueseausao,enel

aboatoio e !ísica ~aa cualquie ex~eiencia que lo equiea os ~o~ociona los valoese: ëY ëY ëY

a~enienteelaectaee
esiónyeleocometioè

aoenaaeneloi
en l ínice e coelación  ste ínice mie el
ao e ajuste e los atos ex~eimentalesalaecta



î   Su~on
amos que estamos miieno la ~osición e un móvil en unción el tiem~o en un movimiento ectilíneo Si el móvil est  libe e uezas, es~eamos que laelación ente la~osición el móvil y eltiem~o sealinealG G

one G esla~osición el móvilenelinstante 

 Si meimos las ~osiciones el móvil G y G en los instantes  y , obtenemos un sistema e os ecuaciones con os incó
nitas e las que ~oemos etemina las cantiaes esconociasG y
 "hoa bien, esta aimación solamente es cieta en un ex~eimentoieallibeeeoes Si eectuamos  meias e la ~osición el móvil, el as~ecto e la e~esentación
 icaenuestasmeias~ueese~aecioalelai
uam sabajo,los~untose coloazule~esentanlosatosex~eimentales aelaciónentelasoenaasylas abscisasGeichos~untosessolamentea~oximaa,ebioaloseoesecaauna elasmeias Si tomamos únicamente os ~untos ~aa eini la ecta el esultao tenía un im~otante eo aauna mejo estimación e laecta y ~otanto, e las ma
nitues buscaas,seebe nutilizalasmeiastomaas

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

Su~on
amos una ma
nitu ísica , elacionaa con ota G, meiante la unción  Gnaectae~enientecuyaoenaaeneloi
enes asesviaciones 6 elosvaloese,véaselai
ua,se n ëY ëY ëY ëY ëY ëY

6  G ) 6  G )  6 G  6  G 

 Sealasumaeloscuaaosetoasestasesviaciones ) G)  G)G)  G )



osvaloesqueminimizana)sonaquellos~aalosque

 Seobtieneasí,unsistemaeosecuacionesconosincó
nitasycuyasoluciónes





x~esiones m s elaboaas nos ~emiten etemina el eo e, è y el eo e ,è Y

~
Y

c
  Y



  
 







a~eniente e laectase escibi è yla oenaa en el oi
en è [éase las e
las~aaex~esaunameiaysueoeunama
nitu l coeiciente e coelación es oto ~a meto ~aa el estuio e una istibución biimensional, que nos inica el
ao e e~enencia ente las vaiables  e # l coeicienteecoelación esunnúmeoqueseobtienemeiantelaómula

 lcoeicienteecoelación~ueevalecualquienúmeocom~enioentey ëY ëY ëY

uano ,lacoelaciónlineales~eecta,iecta uano ,lacoelaciónlineales~eecta,invesa uano , no existe coelación al
una, ine~enencia total e los valoese#

 n vehículo que se mueve su~uestamente con velocia constante os atos e las meiaseltiem~oencuato~osicionesse~aaas msonlassi
uientes

„%& 

   

£  G%&    

"justalosatosalalíneaecta G G 
 y estima el mejo valo e la velocia
 a~licano el ~oceimiento e mínimos cuaaos

Y

~
Y

c
  Y



  
 

ntoucienolosatosenel~o
amainteactivo,la~enienteesyeleoe la~enienteè  avelociaseescibe
$m/s                         Y

~
Y

c
  Y



  
 

     l objetivo e esta ~ ctica simulaa, es la meia e la velocia e un caito que eslizasinozamientoalola
oeunaíl

î  
is~onemos e un aíl hoizontal ~o el que se mueve el caito, una e
la aosaa al aíl, y un conómeto con os is~ositivos: uno que lo ~one en macha y oto que lo ~aa "celeamos el caito, meiante una cuea que ~asa ~o una ~olea situaa en el extemoeechoelae
lana~esaquesecambia~ulsanoelbotóntitulaonuevo, cuel
aelacuea

uanoelcaito~asa~oeloi
en,seeja eacelea,hacienoquela~esaseeten
a sobe un to~e a cuea eja e actua sobe el caito, ese este momento el caitosemueveconvelociaconstante 

ambiano la ~esa cambiamos la ueza sobe el caito y su aceleación uante el tayecto que va ese su ~osición inicial hasta el oi
en, ~o tanto, se moiica la velociainaljusto cuano ~asa~o el oi
en, que esasu vez la velocia constante conqueealizaelestoeltayecto lconómetose~oneenmachacuanoelcaito~asa~olalechaquemaca eloi
enelae
la  ëY lconómetose~aacuanoelcaito~asa~olase
unalecha 

ëY


eestemoo,elconómetomieeltiem~oquetaaelmóvilenes~lazaseentelas oslechas

alechaquemacaeloi
enest ija,nose~ueecambia

ase
unalechase~ueees~lazaalola
oelae
laelsi
uientemoo: ëY ëY ëY

Se~ulsaelbotónizquieoelatón,cuanoel~unteoest sobelalecha Sinejae~ulsaelbotónizquieoelatón,sees~lazaelatón uano la lecha est  situaa en la ~osición eseaase eja e ~ulsa el botón izquieoelatón

aa~oneenmachaelcaitose~ulsaelbotóntitulaoem~ieza c

Y

   ~
Y

c
  Y



  
 

Si el caito se mueve con movimiento ectilíneo y uniome la su ~osición G en el instante es~o~ocionala eacueoalaecuación G G 
 onienoenelejeelasoenaaslasmeiaseGyenelejeeabscisaslostiem~os

,la~enienteelaectaquemejoajustanosa lameiaelavelocia
                     

Y

~


Y

c
  Y



  
 

     l objetivo e esta ~ ctica simulaa es la meia ela aceleación e un caito que eslizaim~ulsao~ounauezaconstantealoalola
oeunaíl

î  
is~onemos e un aíl hoizontal ~o el que se mueve el caito, una e
la aosaa al aíl, y un conómeto con os is~ositivos: uno que lo ~one en macha y oto que lo ~aa

"celeamos el caito, meiante una cuea que~asa~ouna~oleasituaaenelextemo eecho e la e
la na ~esa que se ~uee cambia ~ulsano el botón titulao nuevo, cuel
aelacuea 

nesta~ ctica,elcaitosesitúaeneloi
enylauezaqueseejecesobeelcaito actúauantetoosuecoiolmovimientoesuniomementeaceleaolestoe la~ cticaessemejantealaanteio lconómetose~oneenmachacuanoelcaito~asa~olalechaquemaca eloi
enelae
la  ëY lconómetose~aacuanoelcaito~asa~olase
unalecha 

ëY


eestemoo,elconómetomieeltiem~oquetaaelmóvilenes~lazaseentelas oslechas

alechaquemacaeloi
enest ija,nose~ueecambia

ase
unalechase~ueees~lazaalola
oelae
laelsi
uientemoo: ëY ëY ëY

Se~ulsaelbotónizquieoelatóncuanoel~unteoest sobelalecha Sinejae~ulsaelbotónizquieoelatón,sees~lazaelatón uano la lecha est  situaa en la ~osición eseaase eja e ~ulsa el botón izquieoelatón

aa~oneenmachaelcaitose~ulsaelbotóntitulaoem~ieza

c   n las ecuaciones el movimiento es uniomemente aceleao la velocia es una unción lineal el tiem~o, ~eo no así la ~osición el móvil o lo que solamente se ~uee a~lica el ~oceimiento e la e
esión lineal a una tabla e atos tiem~o velocia,~eolaex~eiencianossuministaunatablaeatostiem~oes~lazamiento

Y

~
Y

c
  Y



  
 

o tanto, tenemos que obtene una tabla tiem~ovelocia, a ~ati e una tabla e atostiem~oes~lazamiento Sisu~onemos que el movimiento es uniomemente aceleao, vamosa emosta que lavelociameia 
elmóvilentelosinstantes y esi
ualalavelociaenel instanteintemeio  )/neecto,

 ëY ëY

SeaGla~osiciónelmóvilenelinstante  SeaGla~osiciónelmóvilenelinstante 

 avelociameiaelmóvilentelosinstantes y es

 oemosex~esala~osiciónGentéminosela~osicióninicialGyelavelocia inicial
 

avelociameiavaleentonces

 %uecomo~oemoscom~obaeslavelociaenelinstanteintemeioente y 



a velocia meia en el intevalo com~enio ente el instante  y  es i
ual a la velociaenelinstante  )/intemeioenenteichosinstantes otanto, ~aatansoma unatablatiem~oes~lazamiento en otatiem~ovelocia, ~oceemoselsi
uientemoo: ëY

ëY

Y

nlatablaees~lazamientoscalculamoslavelociameiaentelosinstantes

 y

 meiante la ómula 
ichavelociaselaasi
namosalinstante   )/ ~
Y

c
  Y



  
 

$

%&             

 %&       





 %&             

 %'&            

                  Y

~
Y

c
  Y



  
 

    n esta sección, vamos a eini las ma
nitues caacteísticas e un movimiento cicula,an lo
asalasyaeinias~aaelmovimientoectilíneo Se eine movimiento cicula comoaquél cuyatayectoia esuna cicuneencia na vez situao el oi
en  e n
ulos escibimos el movimiento cicula meiante las si
uientesma
nitues £  !# ½ nelinstante el móvilseencuentaen el~unto  Su~osiciónan
ulavieneaa~oel n
ulo,que haceel~unto ,elcentoelacicuneenciayel oi
ene n
ulos  l n
ulo,eselcocienteentelalon
ituelaco
yelaioelacicuneencia ,
  a~osición an
ula es el cociente ente os lon
itues y ~o tanto,notieneimensiones 

[ !#Ë

nelinstante elmóvilseenconta enla~osición & aa ~o el n
ulo   l móvil se hab  es~lazao
    en el intevalo e tiem~o
 com~enioente y  

Seenominavelociaan
ulameiaalcocienteenteeles~lazamientoyeltiem~o

 omoyaseex~licóenelmovimientoectilíneo,lavelociaan
ulaenuninstantese obtiene calculano la velocia an
ula meia en un intevalo e tiem~o que tiene a ceo

  !#|

Y

~
Y

c
  Y



  
 

Sienelinstante lavelociaan
ulaelmóviles y en el instante  la velocia an
ula el móvil es  a velocia an
ula el móvil ha cambiao
   en el intevalo e tiem~o
  com~enioente y  

Se enomina aceleación an
ula meia al cociente ente el cambio e velocia an
ulayelintevaloetiem~oquetaaeneectuaichocambio



a aceleación an
ula en un instante, se obtiene calculano la aceleación an
ula meiaenunintevaloetiem~oquetieneaceo

 î  !# ! Si conocemos un e
isto e la velocia an
ula el móvil ~oemos calcula su es~lazamientoentelosinstantes y ,meiantelainte
aleinia

 l~oucto  e~esenta el es~lazamientoan
ula el móvil entelos instantes  y

 , o en el intevalo  l es~lazamiento total es la suma e los ininitos es~lazamientosan
ulaesininitesimalesentelosinstantes y  n la i
ua, se muesta una
 ica e la velocia an
ula en unción el tiem~o, el eaencoloazulmieeles~lazamientoan
ulatotalelmóvilentelosinstantes y

,elacoencoloazulmacaoenlacicuneencia

Y

~
 Y

c
  Y



  
 





allamosla~osiciónan
ulaelmóvilenelinstante ,sumanola~osicióninicial  ales~lazamiento,calculao meiantela meiael eabajolacuva o meiante c lculoelainte
aleiniaenlaómulaanteio î !#   !
el mismo moo que hemos calculao el es~lazamiento an
ula el móvil ente los instantes y ,a~atieune
istoelavelociaan
ulaenuncióneltiem~o , ~oemoscalculaelcambioevelociaqueex~eimentael móvilenteichos instantes,a~atieuna
 icaelaaceleaciónan
ulaenuncióneltiem~o

n la i
ua, el cambio e velocia   es el ea bajo la cuva  , o el valo numéico e la inte
aleiniaenlaómulaanteio onocieno el cambio e velocia an
ula , y el valo inicial  en el instante inicial , ~oemos calcula la velocia an
ula  en el instante 



esumieno, las ómulas em~leaas ~aa esolve ~oblemas e movimiento cicula sonsimilaesalaselmovimientoectilíneo

 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

     n movimiento cicula uniome es aquél cuya velocia an
ula  es constante, ~o tanto, la aceleación an
ula es ceo a ~osición an
ula  el móvil en el instante lo~oemos calcula inte
ano     o
 icamente, en la e~esentación e  en uncióne  

abitualmente,elinstanteinicial setomacomoceo asecuacioneselmovimiento ciculauniomesonan lo
asalaselmovimientoectilíneouniome

       n movimiento cicula uniomemente aceleao es aquél cuya aceleación  es constante
aalaaceleaciónan
ula~oemosobteneel cambio e velocia an
ula   ente los instantes  y , meiante inte
ación, o
 icamente 




aa la velocia an
ula  en unción el tiem~o, obtenemos el es~lazamiento   el móvil ente los instantes  y ,
 icamente  eaeunect n
ulo eaeunti n
ulo),o inte
ano  

Y

~
Y

c
  Y



  
 

abitualmente, el instante inicial  se toma como ceo as ómulas el movimiento cicula uniomemente aceleao son an lo
as a las el movimiento ectilíneo uniomementeaceleao


es~ejano el tiem~o  en la se
una ecuación y sustituyénola en la tecea, elacionamoslavelociaan
ulaconeles~lazamiento            

     omo intoucción vamos a ~lantea ~oblemas e encuento ente os vehículos en movimiento ectilíneo ~aa que ~oamos com~aalos con los encuentos quetienen lu
acuanolosvehículossemuevenenunatayectoiacicula

     nautomóvilqueest ~aao,aancaconunaaceleacióne m/snese mismo instante es aelantao ~o un camión que llevauna velocia constante e  m/s alculala~osicióneencuentoeambosvehículos scibimoslasecuacioneselmovimientoecaaunoelosvehículos Y

~
Y

c
  Y



  
 

G 6  G  /

a~osicióneencuentoG Galu
aalaecuaciónese
uno
ao     cuyassolucionesson ,y  linstanteeencuentoes s,yla~osicióneencuentoGm meiaese lasalia
 !(  ëY ëY

SitazamosG enuncióneltiem~o obtenemoslalíneaectaecoloazul Si tazamos G en unción el tiem~o  obtenemos la cuva e colo ojo una ~a bola)

l~untoeintesecciónseñalaelinstante eencuentoyla~osiciónGeencuento

 [eamosahoaesteoto~oblemaal
om scom~lejo
os ~oyectilesse lanzan veticalmente haciaaiba con osse
unos e intevalol ~imeo,conunavelociainicialem/syelse
unoconunavelociainiciale m/salculaelinstanteylaaltuaalaqueseencuentan uanoel~ime~oyectilllevauntiem~o moviénose,else
uno~oyectillleva untiem~o enelaie asecuacioneselmovimientose n: G 6   / G  )  )/

Y

~
Y

c
  Y



  
 

l instante y la altua e encuento se ~ueen calcula esolvieno la ecuación e

s,Gm
 !(  ëY ëY

SitazamosG enuncióneltiem~o obtenemoslacuvaecoloazul SitazamosGenuncióneltiem~o obtenemoslacuvaecoloojo

l~untoeintesecciónseñalaelinstante eencuentoyla~osiciónGeencuento



£          
os vehículos esciben la misma tayectoia cicula l ~imeo, est  animao e un movimiento uniome cuya velociaan
ulaes~m,else
uno est animaoe un movimiento uniomemente aceleao cuya aceleación an
ulavaleÀ/a/sSabienoqueen elinstanteinicial el ~ime móvil ~asa ~o ", y os se
unos m s tae el se
uno móvil ~asa~o ',llevano una velociaan
ula e~malcula: ëY 

l instante en el que los móviles se encuentan ~o ~imeavez

[eamoselmovimientoanteseex~licael~lanteamientoel~oblema: omo intoucción vamos a ~lantea ~oblemas e encuento ente os vehículos en  movimiento ectilíneo ~aa que ~oamos com~aalos con los encuentos que tienen

Y

~


Y

c
  Y



  
 

lu
acuanolosvehículossemuevenenunatayectoiacicula

     nautomóvilqueest ~aao,aancaconunaaceleaciónem/snesemismo instante es aelantao ~o un camión que lleva una velocia constante e  m/s alculala~osicióneencuentoeambosvehículos scibimoslasecuacioneselmovimientoecaaunoelosvehículos G 6  G  /

a~osicióneencuentoG Galu
aalaecuaciónese
uno
ao     cuyassolucionesson ,y  linstanteeencuentoes s,yla~osicióneencuentoGmmeiaese lasalia
 !(  ëY ëY

SitazamosGenuncióneltiem~o obtenemoslalíneaectaecoloazul SitazamosG en unción eltiem~o  obtenemoslacuva e coloojo una ~a bola)

l ~unto e intesección señala el instante  e encuento y la ~osición G e encuento

 [eamosahoaesteoto~oblemaal
om scom~lejo

Y

~
Y

c
  Y



  
 


os~oyectilesselanzanveticalmentehaciaaibaconosse
unoseintevalol ~imeo,conunavelociainicialem/syelse
unoconunavelociainiciale m/salculaelinstanteylaaltuaalaqueseencuentan uanoel~ime~oyectilllevauntiem~o moviénose,else
uno~oyectillleva untiem~o enelaie asecuacioneselmovimientose n: G 6   / G  )  )/ l instante y la altua e encuento se ~ueen calcula esolvieno la ecuación e

s,Gm
 !(  ëY ëY

SitazamosGenuncióneltiem~o obtenemoslacuvaecoloazul SitazamosGenuncióneltiem~o obtenemoslacuvaecoloojo

l ~unto e intesección señala el instante  e encuento y la ~osición G e encuento



£          

Y

~
Y

c
  Y



  
 


osvehículosescibenlamismatayectoiaciculal ~imeo, est  animao e un movimiento uniome cuya velocia an
ula es  ~m, el se
uno est  animao e un movimiento uniomemente aceleao cuya aceleación an
ula valeÀ/ a/s Sabieno que en el instante inicial el ~ime móvil ~asa ~o ", y os se
unos m s tae el se
uno móvil ~asa ~o ', llevanounavelociaan
ulae~malcula: ëY 

l instante en el que los móviles se encuentan ~o~imeavez

[eamoselmovimientoanteseex~licael~lanteamientoel~oblema:    :movimientociculauniome lmóvilsaleeloi
enenelinstante  {   À
 À 

   ):movimientouniomementeaceleao lmóvilsaleela~osición À/enelinstante s

  

os encuentos no solamente se obtienen i
ualano las ~osiciones e ambos móviles

 , sino también y ~o se la tayectoia cicula, aquellas cuya ~osición se ieenciaenunacicuneenciacom~leta
 À
con ,,,

xaminemosenuncuaola~osiciónelososmóvilesenuncióneltiem~o: 

Y


› 


ù 

 ~
Y

c
  Y



  
 



Àvueltas)

À

Saleelmóvil'



À ÀÀ)

 ÀÀ À)

'et se"



À ÀÀ)

ÀÀÀ)

'et se"



 À À À)

ÀÀÀ)

'et se"



À ÀÀ)

 ÀÀ À)

'elantee"

(alcomoa~eciamosenlatablaelas~osicioneselosmóviles"y'enunciónel tiem~o,elmóvil'~asaalmóvil"entelosinstantesylmomentoenelque se~ouceel~imeencuentose uninstante aeteminaenelintevaloetiem~o com~enioenteys

aelaciónqueexisteentelas~osicioneselmóvil"yelmóvil',talcomovemos enlatablaes:
À





es~ejano el tiem~o  en la ecuación e se
uno
ao, obtenemos el instante el ~imeencuento*+¬  ntoucieno enlaecuaciónela~osicióne"ye'obtenemosla~osiciónelos móvilesenelinstanteelencuento:
 Àa
Àa

     la~~letquehemos~esentaoa~inci~ioela~
inasolamentesive~aaescibi el enunciao el ~oblema oemos usa el a~~let que viene a continuación ~aa esolvecualquie~oblemaeencuentosen
eneal cuacioneselmovimientoel~imecue~o:

 cuacioneselse
unocue~o:



Y

~
Y

c
  Y



  
 

one eseltiem~oquetaaelse
unomóvileninicialelmovimiento

a~aticulaiaela~~letesqueenloscontoleseeiciónnosolamentese~ueen intoucinúmeos,sinotambiénaccioneselnúmeoÀ oejem~losilavelocia eunmóviles: À/seintouce '+¬
À/intoucimosJ  '+obien,J '+ ëY Àintoucimos o£

ëY ëY

l~o
amaconvieteeltextoenunnúmeoecimaleoble~ecisión Seintouce: aael~imemóvilcoloojo):

a ~osición an
ula inicial e ~atia en el instante , en el contol e eicióntitulao   ëY a velocia an
ula inicial en el instante , en el contol e eición titulao   ëY aaceleaciónan
ulaƒ,enelcontoleeicióntitulao  ëY

aaelse
unomóvilcoloazul)

a ~osición an
ula inicial e ~atia en el instante  , en el contol e eicióntitulao   ëY a velocia an
ula inicial en el instante  , en el contol e eición titulao   ëY aaceleaciónan
ulaƒ,enelcontoleeicióntitulao 

ëY

ltiem~o ,enelcontoleeicióntitulao  !inalmente# el    enteos~osicionesconsecutivasecaaunoe losmóvilesenel eaetabajoela~~let       

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

        

- ! !,  !  ,!
e la einición e ai n unia natual e meiae n
ulos)obtenemoslaelaciónente elacoyelaioomo vemosenlai
ua,el n
ulo se obtiene iviieno la lon
itu el acoentesuaio:

 


eivano
es~ectoeltiem~o,obtenemoslaelaciónentelavelocialineal y lavelociaan
ula:



aiecciónelavelociaestan
entealatayectoiacicula,eseci,~e~enicula alaiecciónaial

 ! 

Y

~
Y

c
  Y



  
 


eivano esta última elación con es~ecto el tiem~o obtenemos la elación ente la aceleacióntan
encial ylaaceleaciónan
ula

 n móviltieneaceleacióntan
encial,siem~e que el móulo e su velocia cambie coneltiem~o

  l c lculo e la com~onente nomal e la aceleación es al
o m s com~licao a aceleaciónnomalest elacionaaconelcambioelaiecciónelavelociaconel tiem~onun movimientociculauniomenoexisteaceleacióntan
encialyaquele móuloelavelocianocambiaconeltiem~o,solamentecambiasuieccióny~o tanto,tieneaceleaciónnomal

 Su~on
amosunmóvilqueescibeunmovimientociculauniome nelinstante lavelociael móviles ,cuyomóuloes
,ycuyaiección estan
entealacicuneencia ëY nelinstante lavelociaelmóvil -,quetieneelmismomóulo
,~eosu iecciónhacambiao

ëY

alculemos el cambio e velocia
* ./  que ex~eimenta el móvil ente los instantes y ,talcomoseveenlai
ualvecto
tieneiecciónaialysentio hacia el cento e la cicuneencia os ti n
ulos e colo ojo y e colo azul e la i
uasonisóscelesysemejantes~oloque~oemosestablecelasi
uienteelación:


onelacuea
eselmóuloelvectoes~lazamientoentelosinstantes y 
iviienoambosmiembosenteelintevaloetiem~o
 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 uano el intevalo etiem~o
tieneaceo,lacuea

sea~oximaalaco, y el cociente
 nosaelmóuloelavelocia
elmóvil,



a aceleación nomal  tiene iección aial y sentio hacia el cento e la cicuneencia que escibe el móvil y su móulo viene ao ~o una u ota e las ex~esionessi
uientes:

 staeslaeucción m selementalelaómulaelaaceleaciónnomalquesebasa enlaientiicaciónelalon
ituelacoenteos~untoselacicuneenciaconla cueaque~asa~oichos~untos,cuanoambos~untosest n muy~óximosentesí na eucción altenativa se ~o~ociona en la ~
ina titulaa )
eucción altenativa elasómulaselaaceleacióntan
encialynomal) - 

a iección e la velocia e un móvil en movimiento cicula es tan
ente a la cicuneenciaqueescibe n móvil tiene aceleación tan
encial   siem~e que cambie el móulo e la velocia con el tiem~o l sentio e la aceleacióntan
encialesel mismoqueele la velocia si el móvil acelea y es e sentio contaio, si se ena n móvil que escibeunmovimientociculauniomeno tieneaceleacióntan
encial



n móvil que escibe un movimiento ciculasiem~etieneaceleaciónnomal,  ya que cambia la iección e la velocia con el tiem~o a aceleación nomal tiene iección aial y sentio hacia el cento e lacicuneenciaqueescibe

aaceleaciónelmóvilseobtienesumano vectoialmente ambas com~onentes e la aceleación

 Y

~
Y

c
  Y



  
 

na uea e  m e aio est 
iano con una velocia e * a/s, se le a~licanlosenosyseetieneen salcula ëY

aaceleaciónan
ula

  ƒ  nelinstante  slavelociaan
ula ƒ*a/s  l n
ulo
iaohastaesteinstantees

 ëY

nelinstante s,la~osiciónylavelociaan
ulaelmóviles

*/**/a  **)*a/s

avelocialineal
6 
*m/s

acom~onentetan
encialelaaceleaciónes  ƒ6  *m/s

acom~onentenomalelaaceleaciónes 
  *m/s 



     nabicicletaemontañais~oneetes~latosysiete~iñoneseistintoaioloque ~o~ocionacambiosemachaalciclista Su~onemos que el ciclista hace
ia al ~lato con velocia an
ula constante +u leslavelocia
queaquieeelciclistasobelabicicleta? Su~onemosqueconocemoslosatoselativosalabicicleta:

Y

~
Y

c
  Y ëY ëY ëY ëY



  
 

aioel~latoseleccionao,  aioel~iñónseleccionao,  aioelaueatasea, a aioelaueaelantea, b

"unque en la mayo ~ate e lasbicicletas losaios e ambasueasson i
uales, en al
unascomolasecom~eticióncontaelojsonieentescomoenlasimulaciónm s abajo

ai
uae~esentaun~latoyun~iñónunios~ounacaena oesnecesaiosabe inem tica ~aa establece una elación ente sus es~ectivas velociaes an
ulaes, y conclui que las velociaes an
ulaes son invesamente ~o~ocionales a sus aios es~ectivos



avelociaelacaena
eslamismaquelavelociaeunienteel~lato:
c  

avelociaelacaena
eslamismaquelavelociaeunienteel~iñón:
c   (enemoseestemoo,laelaciónentelasvelociaesan
ulaesy     neltiem~o un eslabónelacaenase muevee"a'nienteel~lato
iaun n
uloyunoel~iñón
iaun n
ulo(enemosentonceslasi
uienteelación:    "hoanosijaemosenlaueataseaSisu~onemosqueel~iñónesijo,lavelocia an
ulael~iñóneslamismaquelavelociaan
ulaelaueatasea

Y

~


Y

c
  Y



  
 


emooque,lavelocia
aeun~untoela~eieiaeichaueaes
a a staeslavelocia
conquesemueveelciclistasobelabicicleta nelca~ítulosólioí
ioestuiaemoscon m setallelaelaciónentelavelocia etaslaciónylavelociaeotacióneunsólioqueueasinesliza l n
ulo
iao~oichaueaeneltiem~o se : a  l eje e lauea elantea est unio al eje e laueataseameiante la estuctua í
ia e tubos e la bicicleta a velocia e taslación e la uea elantea es la mismaquelaelaueatasea avelociaan
ulaelaueaelantease :
b b l n
ulo
iao~oichaueaeneltiem~o  bb  

    Y

~
 Y

c
  Y



  
 

          na casete es una caja e ~l stico que is~one e os ~equeñas ueas en las que se enolla y esenolla es~ectivamente una cinta ma
nética
is~one e un cabezal que
abaoe~ouceelsonioenlacinta,talcomosemuestaenlai
ua





0 laioinicialelasueassincintaes cm,ylavelociaelacintacuano ~asa ~o el cabezal es constante e i
ual a
  cm/s a cinta taa un tiem~o  en e~oucise com~letamente ste tiem~o e~ene e la lon
itu total e la cinta 
6  l es~eso e la cinta u es muy ~equeño, y su valo lo eteminaemos m s aelante

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

nelinstanteinicial  ëY ëY

laioelaueaizquieaes cm laio e lauea eecha es- cm,~aaunacinta e uación    minutos

a cinta se esenolla e la uea eecha y se enolla en la izquiea n un instante eteminao , la elación ente la velocia lineal constante
 e la cinta y las velociaesan
ulaeseotaciónelasueasse n: ëY ëY

laioelaueaizquiease  ysuvelociaan
ula
  laioelaueaeechase  ysuvelociaan
ula
 

"unquelavelocia
elacintaesconstante,lasvelociaesan
ulaeselas ueasnolosonyaquesusaios y cambianconeltiem~o n caa vuelta *, la uea izquiea incementa su aio enu, el es~eso e la cinta uanolaueaizquiea
iaun n
ulo ,suaiosehab incementaoen 



aueaeechahab 
iaoun n
ulo ,suaiohab isminuioen 

 nte
amos estas os ecuaciones ente el instante , y en el instante , tenieno en cuentaqueenelinstante , ëY ëY

elaioelaueaizquieaes   elaioelaueaeechaes -

 nelinstante lacintasehae~ouciocom~letamente ëY ëY

elaioelaueaizquieaes - elaioelaueaeechaes  



Y

~
 Y

c
  Y



  
 

Simeimoslosaios y-,eltiem~o ,ylavelocia
~oemoses~ejaeles~eso u e la cinta e la ~imea o e la se
una ecuación Si la uación e la cinta es e

  minutos



os n
ulos
iaos ~o las os ueas se calculan inte
ano ,  , es~ecto el tiem~o 

 nelinstante ,  -y  ,el n
ulototal
iao~oambasueaseselmismo,



 na ex~eiencia que se ~uee lleva a cabo con la ayua e un conómeto es la e estableceunaelación ente lalectua el contao ele~oucto elacasete y el tiem~o tanscuio[amosacom~obaqueestaelaciónnoeslineal Su~on
amos que en el instante , elaio e laueaizquiea es , elcontao se ~oneaceonelinstanteinal ,elaioelaueaizquieaes-,ylalectuael contaoes

alectuaelcontaoenelinstante esiectamente~o~ocionalal n
ulo
iao ~olaueaizquieahastaichoinstante

 liminanolaconstantee~o~ocionalia entelasosecuaciones:


es~ejanoeltiem~o 

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 Su~on
amosqueenelinstanteinicial ,elaioelaueaizquieaes cm, elaioelaueaeechaes- cm,ylalectuaelcontaoesuanola cinta est  com~letamente enollaa en la uea izquiea ha tascuio un tiem~o e

  minutos,lalectuaelcontaoes





 

 n la i
ua, se e~esenta  en unción e  Se su
iee al lecto que analice el com~otamientoesue~ouctoecaseteycom~leteunatablacomolasi
uiente, y e~esentelosatosenuna
 icasemejantealai
uaanteio     

    



/    

    



s)                

 min) 

       



 

 

lsi
uiente~o
amainteactivoajustaunconjuntoe~aeseatosal~olinomioe se
uno
ao:

Y

~


Y

c
  Y



  
 

  G G

      î

niscocom~acto
tienecmeaio,mm e es~eso con un a
ujeo cental e  mm e aio ainomacióni
italse
abaenunaes~ial e"químeese~asouconstante





a ~ista m s cecna al eje tiene un aio - mm y la m s alejaa -
 mm, u,meslase~aaciónente~istaslnúmeoe~istasvueltas)es,~otanto

 l tiem~o total que se em~lea en lee a velocia lineal) constante la totalia e las ~istaseliscoes min nlai
ua,~oazóneclaiasee~esentaun
consolo~istas,se~aaas umm

Y

~
 Y

c
  Y



  
 



0!  1 [amosaobtenelalon
itu
eunaes~iale"químees~otesmétoosistintos, uno exacto y os a~oximaos l ~ime métoo nos ~emite ~actica el c lculo inte
alen~aticula,lasuncionessenh,senohi~ebólicoycosh,cosenohi~ebólico



 ëY

(2

ncooenaas~olaes G cos  sen Gcos  sen  sen  cos 

 nelcasoelaes~iale"químees

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 aa calcula la lon
itu e la es~ial se inte
a ente, y * one  es el númeoe~istas

 aaesolvelainte
alelti~o

 sehaceelcambioevaiable senh   cosh 


eshacienoelcambioevaiable



auncióninte
anoes

 lesultaoinalelalon
ituelaes~iale"químeeses

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 ntoucienolosatosenelesultaoinal

 ëY

(2 

btenemos unasolucióna~oximaa e lainte
al,si nos amos cuenta que el ~ime témino ebajo e la aíz cuaaau/ * ) es muy ~equeño en com~aación con el se
uno



a lon
itu e la es~ial e "químees se ~uee obtene aún m s  ~iamente, calculano el aio meio -- -
)/  mm e las ~istas y multi~licano la lon
ituela~istameia~oelnúmeoe~istasconsieanoquetienenelmismo aio-
*-m

[ !  

avelociaelectuaesconstante,

 

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 Sinemba
o,lavelociaan
ulaeotacióncambia,lavelociaan
ulainiciales 
-a/sylavelociaan
ulainales

-
a/s

avelociaan
ulaeotaciónenunciónel n
uloes

 nte
ano

 nelinstante  squesecom~letalalectuael



eivanocones~ectoeltiem~oobtenemoslaex~esiónelavelociaan
ulaen uncióneltiem~o 


one
-eslavelociaan
ulainicial,~aa  nlai
ua,semuestalavaiaciónelavelociaan
ulaconeltiem~o 

Y

~


Y

c
  Y



  
 



     î    âalileo y
escates ya econocieon que una ~atícula que escibe unmovimiento ciculauniometieneaceleaciónuy
ensueel~imeoqueesolvióeste~oblema Sin emba
o, el ~oceimiento em~leao ~o ewton ~aa euci la ómula e la aceleaciónnomaltienelaventajaesemuchom s cileentene

a eucción e la ómula e la aceleación nomal se basa en el an lisis e la tayectoia~oli
onalquesi
ueuna~atículaquechocacontaunasu~eiciecilínica sta eucción no ebe tomase e oma i
uosa sino como un ejecicio e im~otanciahistóica

Y

~
Y

c
  Y



  
 

î    3 omo veemos en esta eucción, lo im~otante es el cambio en la iección e la velocia, no la causa que ~ouce este cambio, ya sea el choque con la su~eicie í
ia,laacciónela
avea,etc onsieemos una ~atícula que se mueve en línea ecta con velocia constante  y que choca conta una su~eicie í
ia omo vemos en la i
ua, la com~onente e la velocia  que es ~e~enicula a la su~eicie
cos
 cambia e sentio en el momento el im~acto Sin emba
o, la com~onente que es ~aalela a la su~eicie
sen
nocambiauanteelim~acto l cambio e velocia que ex~eimenta la ~atícula en el choque conta la su~eicie í
iaes: 

è

cos


Su~on
amosahoaquelasu~eicieí
iaao~talaomacilínicaeaio 

 lcambioevelociaencaaim~acto è ,eslaieenciaentelavelociainal  encoloazul)ylavelociainicial encoloojo) aieccióneichocambioe velocia è  es aial y a~unta hacia el cento e la tayectoia que escibe la ~atículaSumóulovale:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 sta misma ex~esión se ~uee euci en el ia
ama e velociaes, calculano el lao è
Y el ti n
ulo isósceles e vétice $ que oman los vectoes velocia antes y es~uéselim~acto

0   pY 

avelociaela~atículaesconstanteenlostamosectosy~otanto,laaceleación es nula uano choca con la su~eicie í
ia la ~atícula cambia buscamente la iección e su velocia aunque no su móulo y la aceleación en el instante el im~actoesininita aaceleaciónmeiacomoveemosnosconucealaómulaela aceleaciónnomal
es~ués e im~actos conta lasu~eicieí
ia,la~atícula escibe unatayectoia que es un ~olí
ono e
ula e  laos (enieno en cuenta que el n
ulo $ À/ l cambiototalevelociaqueex~eimentala~atículatasim~actoses:

 alculamos ahoa el tiem~o que taa la ~atícula en escibi la tayectoia, un ~olí
onoe
ulaelaos nelti n
uloisóscelesomao~ounlaoyosaios,calculamoselvaloellao, conocienoel n
ulo$elvétice alon
ituel~eímetoel~olí
onoe
ulaes:



a ~atícula en caa im~acto cambia la iección e su velocia ~eo no cambia su móulo otanto,eltiem~oqueinvieteenecoelatayectoia~oli
onales£ 
 lvalomeioelmóuloelaaceleaciónes:

 

0        lcambiototalevelociaqueex~eimentala~atículatasim~actoses:



Y

~
Y

c
  Y



  
 

uano  es muy
ane tiene a ininito) el n
ulo $ es muy ~equeño y ~oemos sustitui el seno ~o el n
ulo
e moo que, el cambio total e velocia que ex~eimentala~atículaes:  uano  es muy
ane tiene a ininito) el ~eímeto el ~olí
ono e
ula tayectoia)queescibela~atículasea~oximaaunacicuneenciaeaio  omo el móulo e la velocia e la ~atícula
 no cambia en los im~actos con la ~aeí
ia,eltiem~o£quetaaenescibilacicuneenciaes:

 lmóuloelaaceleaciónmeiaes:


aa lasimetía e latayectoiacicula,laaceleación meia es laaceleación e la ~atículaencaainstante:



        Y

~
Y

c
  Y



  
 

        î     ! , s inteesante ex~loa otas eucciones altenativas e las ómula e la aceleación nomaln este caso,se ~esenta una eucción quetiene la ventaja e quese ~uee exteneamovimientosciculaesnouniomesstaseuccionesse~ueencom~aa con las ealizaas en las ~
inas titulaas )elación ente las ma
nitues an
ulaes y lineales) y
eucción e la ómula e la aceleación nomal si
uieno el ~oceimientoe ewton "l inal e esta ~
ina, se esciben las eucciones m s sim~les e la ómula e la aceleaciónnomal~aaunmovimientociculauniomequesehanencontao

    ¬  onsieemos que una ~atícula escibe un movimiento cicula e aio  con velociaconstante


Y

~
 Y

c
  Y



  
 



a~atículaseencuentaenla~osición"enelinstante è /,ysuvelociatan
ente alatayectoia)es  a~atículaseencuentaenla~osiciónsimética'enelinstante

è /ysuvelociaes  oloquemos los os vectoes velocia  y  que tienen la misma lon
itu
 con vétice en el ~unto  y calculamos las com~onentes aial o nomal y tan
encial el vectoieenciaè     ëY

om~onentenomal:

è &n
sen$
sen$)
6sen$ ëY

om~onentetan
encial:

è &t
cos$
cos$) otantoelvectoè es~aaleloalaiecciónaial ,yest ii
iohaciaelcento  omola~atículaecoeelaco"'e n
ulo$convelocia
constante

 lvalomeioelacom~onentenomalelaaceleaciónes~otanto,



acom~onentenomalelaaceleacióninstant neaesellímiteelaaceleaciónmeia cuanoelintevaloetiem~oè ,obiencuano$ nestelímite,sen$$  y~otanto,lacom~onentenomalelaaceleaciónenelinstante oenel~unto es:

 Y

~
Y

c
  Y



  
 

atualmente, la com~onente tan
encial e la aceleación es ceo en icho instante, t

       ¬   ! , Su~on
amos que la ~atícula ~asa ~o el ~unto " en el instante è  y lleva una velocia tan
entealatayectoia),y~asa~oel~untosimético'enelinstante  è llevanounavelocia omoelmovimientonoesuniomelosmóuloselas velociaesse nieentes alculamoslascom~onentesaial o nomal ytan
encial el vecto ieenciaè     ëY

om~onentenomal:

è &n
sen$
sen$)
 
6sen$ ëY

om~onentetan
encial:

è &t
cos$
cos$)
 
cos$ "lnoselosvectoesvelociaei
ualmóulo,elvectoieenciaè y~otantola aceleaciónnotienenen
eneal,iecciónaial

a ~atícula ecoe el aco "' e n
ulo $ em~leano un tiem~o è è  è  a velociameia
ela~atículaenesteintevaloetiem~oes:



acom~onentenomalytan
encialelaaceleaciónse n~otanto,

 nellímitecuanoelintevaloetiem~oè ,obiencuano$ ,secum~leque, sen$  $  , cos$   a velocia meia 
 
 es la velocia en el instante  cuanoelmóvil~asa~o ,ytambiénlavelocia~omeio
 
)/ 

e este mooobtenemoslamismaómulaelacom~onentenomalelaaceleación queenela~ataoanteio

Y

~
Y

c
  Y



  
 

n cuanto a la com~onente tan
encial, el numeao es un cambio ininitesimal en el móulo e la velocia
 y el enominao es el tiem~o  que taa la ~atícula en eectuaichocambio

ascom~onenteselaaceleaciónse n,~otanto,



î     ! ,

 nlai
ua,la~atículaseencuentaenelinstante enel~unto ,omanoun n
ulo
coneleje lvecto~osiciónela~atículaes: G  6cosV  6senV lvectovelocia seobtieneeivanoelvecto~osiciónes~ectoeltiem~o:

 lvectoaceleaciónseobtieneeivanoelvectovelocia:

 l vecto aceleación tiene os com~onentes, que ~oemos ex~esa en vitu e las elacionesentema
nituesan
ulaesylinealeseosomas

acom~onenteaialest ii
iahaciaelcentoelacicuneencia:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

n
 ,

acom~onentetan
encialtienelaiecciónelavelocia,tan
entealatayectoia:  {
 

î   %& Su~on
amos que el cue~o escibe un movimiento cicula e aio  con velocia constante


 lvectovelocia estan
entealatayectoiayes~e~eniculaalvecto~osición

ascom~onentesectan
ulaeselvectovelocia son:

 omo
 esconstante,lascom~onenteselvectoaceleaciónson:

 lmóuloelaaceleaciónenelmovimientociculauniomees:

 Su iección es aial la misma que el vecto) y su sentio es hacia el cento e sentiocontaioalvecto)

Y

~
Y

c
  Y



  
 

î   %& nestasección,seescibelaeucciónm ssim~lequesehaencontaoelaómula elaaceleaciónnomalenunmovimientociculauniome

 lvectovelocia seeine:

 Sumóulo~aaunmovimientociculauniomees:

 Sieno£el~eioootiem~oquetaaencom~letaunavuelta Suiecciónestan
entealatayectoia,eseci,~e~eniculaalvecto lvectoaceleaciónseeine:

 l vectoaceleación se obtienea ~ati el vecto velocia , e la misma manea que el vecto velocia  se obtiene a ~ati el vecto ~osición  Su móulo se , an lo
amente,

 Suiecciónestan
entealacicuneenciaeaio
,eseci~e~eniculaalvecto omovemosenlai
ua,losvectoesytienenlamismaiección~eosentios contaios Y

Y

~


Y

c
  Y



  
 

         

         Su~on
amosqueelmovimientotienelu
aenel~lano#,Situamosunoi
en,yunos ejes, y e~esentamos la tayectoia el móvil, es eci, elconjunto e ~untos ~o los que~asaelmóvil asma
nituesqueescibenunmovimientocuvilíneoson:

[    „¬

Y

~
Y

c
  Y



  
 

omo la ~osición el móvil cambia con el tiem~o n el instante  el móvil se encuentaenel~unto ,oenotas~alabas, su vecto~osición es y en el instante se encuenta en el ~unto &, su ~osición viene aa~oelvecto&
iemos que el móvil se ha es~lazao è*./ en el intevalo e tiem~o è  
ichovectotienelaiecciónelasecante queunelos~untos y & 

[   l vecto velocia meia, se eine como el cociente ente el vecto es~lazamiento è y el tiem~o que ha em~leao en es~lazaseè 

 l vecto velocia meia tiene la misma iección que el vecto es~lazamiento, la secantequeunelos~untos y cuanose calcula la velocia meia  4 ente los instantes y  

l vecto velocia en un instante, es el límiteelvectovelocia meiacuanoel intevaloetiem~otieneaceo

 omo ~oemos ve en la i
ua, a meia quehacemosteneelintevaloetiem~oa ceo, la iección el vecto velocia meia, la ecta secante que une sucesivamente los ~untos , con los ~untos , , tiene hacia la tan
ente a la tayectoiaenel~unto  

Y

nelinstante ,elmóvilseencuentaen y tiene una velocia  cuya iección es tan
entealatayectoiaenicho~unto ~
Y

c
  Y



  
 

[ 

nelinstante elmóvilseencuentaen  ytieneunavelocia cuyaiecciónes tan
entealatayectoiaenicho~unto n el instante  el móvilse encuenta en el~unto &ytieneunavelocia & l móvil ha cambiao, en
eneal, su velocia tanto en móulo como en iección, en la cantia aa ~o el vectoieenciaè * ./  

Seeinelaaceleaciónmeiacomoelcocienteenteelvectocambioevelociaè  yelintevaloetiem~oè  ,enelquetienelu
aichocambio

 #laaceleaciónenuninstante:

 esumieno,lasecuacioneselmovimientocuvilíneoenel~lano#son:



a~imeailacoes~one,alasecuacioneseunmovimientoectilíneoalola
oel eje , la se
una ila coes~one, a las ecuaciones e un movimiento ectilíneo a lo la
oeleje#,ylomismo~oemosecies~ectoeleje- £ #                 !¬ 4$ n automóvil escibe una cuva ~lana tal que sus cooenaas ectan
ulaes, en uncióneltiem~oest naas~olasex~esiones:G  ,  malcula: ëY

Y

ascom~onenteselavelociaencualquieinstante ~
Y

c
  Y



  
 


G  
 m/s ëY

m/s

ascom~onenteselaaceleaciónencualquieinstante m/s 

G  m/s +$

n ~unto se mueve en el ~lano e tal oma que las com~onentes ectan
ulaes e la velociaenuncióneltiem~ovienenaas~olasex~esiones:
G  ,
 m/s Si en el instante inicial  s, el móvil se encontaba en la ~osiciónG,  m alcula: ëY ascom~onenteselaaceleaciónencualquieinstante:

 ë ascooenaasGe,elmóvil,enuncióneltiem~o


aalavelocia
G  elmóvil,eles~lazamientoGentelosinstantesy se calculameiantelainte
al

 G

 m
aa la velocia
  el móvil, el es~lazamiento ente los instantes  y  se calculameiantelainte
al:

   m J$ Se lanza una ~elota veticalmente hacia aiba con una velocia e  m/s ese la azotea e un eiicio e  m e altua a ~elota aem s es em~ujaa ~o el viento, ~oucienounmovimientohoizontalconunaaceleaciónem/salcula: ëY ëY

Y

aistanciahoizontalenteel~untoelanzamientoyeim~acto

aaltuam xima ~
Y

c
  Y ëY



  
 

osinstantesylosvaloeselascom~onenteselavelociacuanola~elota seencuentaamealtuasobeelsuelo

Y  imeo, se establece el oi
en en el ~unto el lanzamiento y los ejes  e # a~untano hacia aiba Y Se eteminan los si
nos e las velociaes iniciales
Gy
yelaaceleación  Y Seescibenlasecuacioneselmovimiento



ëY

’ovimientouniomementeaceleaoalola
oeleje

G 
G   G  / ëY

’ovimientouniomementeaceleaoalola
oeleje#movimientoecaía eloscue~os)


 )    ) / Y l ~unto e im~actotiene e cooenaasG esconocia e m
ao se obtieneelvaloe ylue
oelvaloeG m

 s Gm Y aaltuam ximaseobtienecuanolavelociaveticalesceo:
m/s

s m

aaltuaeseelsueloesm Y lmóvilseencuentaenosinstantesamealtuasobeelsuelosobe eloi
en),yaquesutayectoiacotaenos~untosalaectahoizontalm

aecuaciónese
uno
aotieneosaíces

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

  ) /

 sy  s

! , 

ascom~onentesectan
ulaeselaaceleaciónnotienensi
niicaoísico,~eosilo tienenlascom~onenteselaaceleaciónenunnuevosistemaeeeenciaomao~o latan
entealatayectoiaylanomalalamisma alla las com~onentes tan
encial y nomal e la aceleación en un eteminao instanteesunsim~le~oblemae
eometía,talcomoseveenlai
ua

 ëY

Seibujanlosejeshoizontalyvetical#

ëY

Secalculanlascom~onentesectan
ulaeselavelociayelaaceleaciónen icho instante Se e~esentan los vectoes velocia y aceleación en icho sistemaeeeencia

ëY

Seibujanlosnuevosejes,laieccióntan
encialeslamismaquelaiección elavelocia,laiecciónnomales~e~eniculaalaieccióntan
encial

ëY

on la e
la y el catabón se ~oyecta el vecto aceleación sobe la iección tan
encialysobelaiecciónnomal

ëY

Se etemina el n
ulo
 ente el vecto velocia y el vectoaceleación, yse calculaelvalonuméicoeichascom~onentes: cos
y sen


$ l vecto velocia el movimiento e una ~atícula viene ao ~o t) t) m/s¬alculalascom~onentestan
encialynomalelaaceleaciónenelinstante s
ibuja el vecto velocia, el vecto aceleación y las com~onentes tan
encial y nomalenichoinstante

Y

~
Y

c
  Y



  
 

Y
aas las com~onentes e la velocia obtenemos las com~onentes e la aceleación:
G m/s,Gm/s
 m/s, m/s  Y osvaloeseichascom~onentesenelinstante sson:
G m/s,Gm/s
 m/s, m/s  Y
ibujamoselvectovelociayelvectoaceleación:



Y alculamosel n
ulo
queomanelvectovelociayelvectoaceleación: ëY ëY

oel~ouctoescala: 
6cos
 alculano el n
ulo que oma caa vecto con el eje , y estano ambos n
ulos

Y Secalculanlascom~onentestan
encialynomalelaaceleación:  cos
 m/s   sen
m/s  oemos halla la aceleación tan
encial en cualquie instante, a ~ati el ~oucto escalaelvectoaceleaciónyelvectovelocia  5
cos
6 



a aceleación nomal, se obtiene a ~ati el móulo e la aceleación  y e la aceleacióntan
encial 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 -  

 nlai
ua,semuestaelaioecuvatuayelcentoecuvatuaeunatayectoia cualesquieaenelinstante Seibujalaiecciónelvectovelocia enelinstante

, la iección el vecto velocia   en el instante   Se tazan ectas ~e~eniculaes a ambas iecciones, que se encuentan en el ~unto  enominao cento e cuvatua a istancia ente ente la ~osición el móvil en el instante , y el centoecuvatua!eselaioecuvatua"

n el intevalo e tiem~o com~enio ente  y   la iecciónelvectovelociacambiaun n
ulo queesel n
ulo ente las tan
entes o ente las nomales l móvil se es~laza en este intevalo e tiem~o un aco
"6  tal comosea~eciaenlai
ua 

taoma e obtenelascom~onentestan
encial y nomal e laaceleación, esla e escibielvectovelocia como~ouctoesumóulo
~ounvectounitaioque ten
asu mismaiecciónysentio /
 aeivaaeun~ouctosecom~onee lasumaeostéminos:

 l ~ime témino, tiene la iección e la velocia o el vecto unitaio, es la com~onentetan
encialelaaceleación

Y

~
Y

c
  Y



  
 

lse
unotémino, vamosa emosta quetiene la iección nomal  omo vemos en la i
ua lascom~onenteselvectounitaioson: cos5 sen5 

Sueivaaes:

 lvectoaceleaciónes:



ascom~onentestan
encialynomalelaaceleaciónvalen,es~ectivamente:

 sta última ómula, la obtuvimos e una oma m s sim~le ~aa una ~atícula que escibíaunmovimientociculauniome omo la velocia es un vecto, y un vecto tiene móulo y iección xisti  aceleación siem~e que cambie con el tiem~o bien el móulo e la velocia, la iecciónelavelociaoambascosasalavez Si solamente cambia el móulo e la velociacon el tiem~o, como en un movimientoectilíneo,tenemosúnicamenteaceleacióntan
encial ëY Sisolamentecambialaiecciónelavelociaconeltiem~o,~eosumóulo ~emanece constante como en un movimiento cicula uniome, tenemos únicamenteaceleaciónnomal ëY Si cambia el móulo yla iección e la velocia con eltiem~o, como en un tio~aabólico,tenemosaceleacióntan
encialyaceleaciónnomal

ëY

  

Y

~
Y

c
  Y



  
 

              !  n este ~o
ama, se estuia un caso ~aticula e movimiento cuvilíneo, el tio ~aabólico,queeslacom~osicióneosmovimientos: ëY ëY

niomealola
oeleje niomementeaceleaoalola
oelejevetical#

 aaesolveun~oblemaetio~aabólicoesnecesaiose
uilossi
uientes~asos stablece el sistema e eeencia, es eci, el oi
en y los ejes hoizontal , y vetical# 
eteminaelvaloyelsi
noelaaceleaciónvetical  ascom~onenteselavelociainicialincluioelsi
no)

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 a~osicióninicial scibilasecuacioneselmovimiento "~atielosatos,hallalasincó
nitas

î   nlai
uatenemosun~oyectilqueseha is~aao con una velocia inicial
§¦ hacienoun n
ulo
conlahoizontal,las com~onenteselavelociainicialson:

 omo el tio ~aabólico es la com~osición eosmovimientos: movimiento ectilíneo y uniome a lola
oeleje ëY uniomemente aceleao a lo la
o eleje# ëY



as ecuaciones el movimiento e un ~oyectil bajo la aceleación constante e la
aveason:

 liminao eltiem~o en las ecuaciones que nos an las ~osicionesG e, obtenemos la ecuación e la tayectoia, que tiene la oma G G , lo que e~esenta una ~a bola btenemoslaaltuam xima,cuanolacom~onenteveticalelavelocia
esceo; elalcancehoizontalGcuanoelcue~oetonaalsuelo

  esolve numéicamente los si
uientes ~oblemas y com~oba la solución con el ~o
amainteactivo 4¬/naviónenvuelohoizontalaunaaltuae myconunavelociaem/s, eja cae una bomba alcula el tiem~o que taa en lle
a al suelo, y el es~lazamientohoizontalelabomba

Y

~
Y

c
  Y



  
 

+¬/Se lanza un cue~o ese el oi
en con velocia hoizontal e  m/s, y con una velocia vetical hacia aiba e  m/s alcula la m xima altua y el alcance hoizontal J¬/esolve el ejecicio anteio, tomano como lu
a e lanzamiento la cima e una colinaemealtua 6¬/Se lanza un ~oyectil ese una colina e  m e altua, con una velocia hoizontal e  m/s, y una velocia vetical e m/s hacia abajo) alcula el alcancehoizontalylavelociaconquelle
aalsuelo 7¬/ncañónis~aaunabalaeseloaltoeunacantilaoemealtuaconuna velociae m/shacienoun n
uloe.~oencimaelahoizontalalculael alcance, el tiem~o e vuelo, y las com~onentes e la velocia e la bala al nivel el ma alla también la altua m xima alla~imeo, las com~onentes hoizontal y veticalelavelociainicial)

 ,(2  nela~~letsetazanlastayectoiase~oyectilesis~aaosconlamismavelocia inicial
~eoconlossi
uientes n
ulosetio
:.,.,., ., .,.,.,., ., .  asecuacioneselmovimientoelos~oyectilesson: G
cos
  
6sen
6 6 /

0(!  lalcancehoizontalecaaunoelos~oyectilesseobtiene~aa

 Su valo m ximose obtiene ~aa
 .,tenieno el mismo valo ~aa
  {,que ~aa
  {  o ejem~lo, tienen el mismo alcance los ~oyectiles is~aaos con n
ulosetioe .y.,yaquesen )sen)

aaltuam ximaquealcanzaun~oyectilseobtienecon


 Suvalom ximoseobtiene~aael n
uloeis~ao
 .

a envolvente e toas las tayectoias escitas ~o los ~oyectiles cuyo n
ulo e is~aoest com~enioentey.seenomina~a bolaese
uia Y

~
Y

c
  Y



  
 

 sta enominación hace eeencia al hecho e que uea e esta ~a bola estamos a salvoelos~oyectilesis~aaosconvelocia
 Setataela~a bolasiméticaes~ectoeleje#eecuación G que~asa~o los~untosG
,),yG,
))talcomoseveenlai
ua

aecuacióneicha~a bolaes:

 î   (! 

asecuaciones~aaméticaselatayectoiason: G
cos  
sen  / liminaoeltiem~o ,obtenemoslaecuaciónelatayectoia:

 staecuaciónse~ueeescibieomaaltenativa:

 onsieemos un ~unto abitaio  el ~lano Sustituimos las cooenaas G ) el ~untoenlaecuaciónelatayectoiay~ueeocui:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

Y %uelaecuaciónese
uno
aoentannoten
aaícesealesl~unto no ~oíaseun~untoeim~acto~aaun~oyectilis~aaoconvelociainicial
 Y %uelaecuaciónese
uno
aoten
aosaíceseales,loqueim~lica que el ~unto  es accesible, y que hay os n
ulos e tio y  que an en el blanco  n la i
ua, vemos que cualquie ~unto en el inteio e la envolventeesalcanzao~oostayectoias Y uanolaaízelaecuaciónese
uno
aoesobleomovemosen la i
ua, solo hay una tayectoia que ~asa ~o un ~unto  ao e la envolvente aaquelasaícesseani
uales,setienequecum~liqueelisciminante  ela ecuaciónese
uno
aoG Gseanulo

 staeslaecuaciónelaenvolventequehemosobtenioanteiomente

0 1  (2 

aaltuam ximasealcanzacuano
,enelintante 
sen a~osiciónGuu) el~oyectilenesteinstantees

 (enienoencuenta,laelaciónti
onométicacos)sen


es~ejano sen) en la ~imea ecuación, cos), en la se
una, elevano al cuaaoysumano,eliminamosel n
ulo

 staecuacióne~esentaunaeli~secentaaenel~unto,)cuyossemiejessony 

Y

~
Y

c
  Y



  
 



a semiistancia ocal y la excenticia  valen, es~ectivamente

 

a excenticia es un valo constante que no e~ene e nin
ún ~a meto el movimiento      

     Se ~o~one al lecto la esolución e ejecicios que ~onen e maniiesto que el tio ~aabólicoeslacom~osicióneosmovimientos: ëY ëY

nmovimientouniomeala
oelejehoizontal nmovimientouniomementeaceleaoalola
oelejevetical#

V 

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

na botella se eja cae ese el e~oso en el instante en que una ~iea es lanzaa ese el oi
en
etemina los valoes el n
ulo y e la velocia e is~ao ~aa que la ~iea om~a labotella(ómese
 m/s )



Silaaltuaelabotellaesceoseci,la~ieaylabotellaest nala mismaaltua enelinstanteinicial+u lse el n
uloetio?ontestaaesta~e
untasinesolve numéicamenteel~oblema l movimiento cuvilíneo e la ~iea se ealiza bajo laaceleación constante e la
avea,eseci,eslacom~osicióneosmovimientos: ëY

niomealola
oelejehoizontal: G
G
cos G
cos 

ëY

niomementeaceleaoalola
oelejevetical: 


sen6  
sen  /

abotellasemueveveticalmentebajolaaceleaciónconstanteela
avea:  
6    / uanose~ouceelchoque,la~osiciónela~ieayelabotellacoincien:



Y

~
Y

c
  Y



  
 


iviimoslase
unaecuaciónentela~imea

 aa om~e la botella ebemos e a~untala iectamente y en el instante en el que se eja cae, se ebelanzala~iea 

: ëY ëY

osiciónelabotellaGmem [elociaeis~ao
m/s

l n
uloconelquetenemosquelanzala~ieaestan/,. lim~actotienelu
aenla~osiciónGmyenelinstante: cos. ,one  s nestetiem~olabotellaseencuentaen:   /,eseci,  /m Silavelociaeis~aouesee
 m/s,elim~actose~ouciíacuanolabotella seencontaseen msobeelsuelo

V 1 ,  [amos a estuia en esta sección la tayectoia e un ~oyectil is~aao ese un vehículoenmovimientocuano: ëY ëY ëY

Semuevealola
oeun~lanohoizontal "scienealola
oeun~lanoinclinao
escienealola
oeun~lanoinclinao

  !  Su~on
amos que un vehículo que se mueve con velocia
G alo la
o e un ~lano hoizontal sin ozamiento
is~aa un ~oyectil con velocia inicial
 ~e~eniculamentealaiecciónelavelociaelvehículotalcomosemuestaenla i
ua

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 l ~oyectil se mueve a lo la
o e un ~lano hoizontal, a lo la
o el eje  con velociaconstantevxSu~osiciónenelinstante es: G
G6 

a~osiciónel~oyectilenuncióneltiem~o,es: G
G6  
6  / uanoel~oyectile
esaal~lanohoizontal,em~leauntiem~oe:




aistanciahoizontaloalcancees: -
G
 %ueeslamismaistanciaGqueecoeelvehículoeneltiem~o  ue
o,elvehículo is~aael~oyectileneloi
enyloeco
eaunaistanciae-
G
 :
Gm/s
m/s ltiem~o quetaael~oyectilene
esala~lanohoizontalyelalcance-son:

 lvehículoecoeGmenelmismotiem~o

  !   

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 Su~on
amosqueelvehículoasciene~oun~lanoinclinaoe n
ulo stablecemos un sistema e eeencia tal como se muesta en la i
ua, el eje  es hoizontalyeleje#esveticalalculamoslascom~onentese#elasvelociaes iniciales as ecuación el movimiento el ~oyectil es la com~osición e os movimientos:uniomealola
oelejeyuniomementeaceleaoalola
oeleje # G
Gcos
sen)  
Gsen
cos)  / l ~unto e im~acto se encuenta sobe el ~lano inclinao en la ~osiciónGtan Se es~ejaeltiem~o 



aistanciaeloi
enal~untoeim~actoes:

 l vehículo se mueve a lo la
o el ~lano inclinao Si no hay ozamiento, la ueza sobe el vehículo es la com~onentesen el ~eso que es e sentio contaio a la velocia
G aecuaciónelmovimientoalola
oel~lanoinclinaoes: G
G6 6sen6 / n eltiem~o  quetaa el ~oyectil en choca con el ~lano inclinao, se encuenta a una istancia - aa ~o la ex~esión anteio l ~oyectil es is~aao ese el vehículo en el oi
en en el instante , y es eco
io ~o el mismo vehículo en el

Y

~
Y

c
  Y



  
 

instante ,cuanoseencuentaaunaistancia-eloi
enmeiaalola
oel~lano inclinao omocaso~aticula,mencionaemosaquélenelqueel~oyectilse muevealola
o elejevetical#uanoG,
Gcos
senobien:

 l~oyectil~ateeloi
enye
esaalmismomoviénosehaciaaibayhaciaabajoa lola
oelejevetical#  
-  

 oemos analiza el movimiento el vehículo y el ~oyectil en un Sistema e eeenciaenelqueelejees~aaleloal~lanoinclinaoyeleje#es~e~eniculaal mismo

a aceleación e la
avea  est  ii
ia veticalmente hacia abajo as com~onenteselaaceleaciónsemuestanenlai
ua Sisuvelociainicialelvehículoes
GSu~osiciónGenuncióneltiem~oes: G
G6 6sen6 /

a~osiciónel~oyectilenuncióneltiem~oes~ectoeestosejeseslacom~osición eosmovimientosuniomementeaceleaos: G
G6 6sen6 / 
6 cos6 / uano e
esa al ~lano inclinao , em~lea un tiem~o  y se encuenta a una istancia-eloi
en:

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 l vehículoecoela misma istanciaG en el mismotiem~o l vehículo ~otanto, is~aa el ~oyectil en el oi
en y lo eco
e a una istancia- aa ~o la ómula anteio uanosecum~leque:



a~atículasale el oi
en ye
esaal oi
enalo la
o ela iección vetical aa com~obalo, en la ex~esión e G ) e la ~osición el ~oyectil sustituimos
G ~o
tan,ymulti~licamosambosmiembos~ocos’ulti~licamosambosmiembose laex~esión )ela~osiciónel~oyectil~osen[eiicamosque: Gcossenseci Gtanqueeslaecuaciónelaectavetical $ .
Gm/s
m/s ltiem~o quetaael~oyectilene
esala~lanohoizontalyelalcance-valen:

 lvehículoecoeG menelmismotiem~o Silavelociaelvehículo
Gtan  m/sel~oyectilsemuevealola
oe laiecciónveticall~oyectilsaleye
esaaloi
en

  !   

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 Su~on
amosqueelvehículoesciene~oun~lanoinclinaoe n
ulo stablecemosunSistemaeeeenciaenelqueelejees~aaleloal~lanoinclinao yeleje#es~e~eniculaalmismo

a aceleación e la
avea  est  ii
ia veticalmente hacia abajo as com~onenteselaaceleaciónsemuestanenlai
ua Silavelociainicialelvehículoes
GSu~osiciónGenuncióneltiem~oes: G
G6 6sen6 /

a~osiciónel~oyectilenuncióneltiem~oes G
G6 6sen6 / 
6 cos6 / uano e
esa al ~lano inclinao , em~lea un tiem~o  y se encuenta a una istancia-eloi
enaos~o

 lvehículoecoelamismaistanciaGenel mismotiem~o lvehículo~otanto, is~aa el ~oyectil en el oi
en y lo eco
e a una istancia e- aa ~o la ómula anteio $ .
Gm/s
m/s ltiem~o quetaael~oyectilene
esala~lanohoizontalyelalcance-son: Y

~
Y

c
  Y



  
 

 lvehículoecoeG menelmismotiem~o                      Y

~
Y

c
  Y



  
 

8 neste~o
amasevaaesolveun~oblematí~icoebalística:aaslascooenaas elblancoylavelociaeis~ao,eteminael n
uloetio n el ~o
ama inteactivo, al ~ulsa sobe el botón nuevo a~aece un teeno cuyo ~eil est  tazao ~o una unción cuyos coeicientes son númeos aleatoios Sobe ichoteenosesitúaelblancotambiéneomaaleatoia "ntese~oceeaesolvenuméicamenteel~oblema,seusa el~o
amacomoun jue
o: a en el blanco en el meno númeo e intentos ~osibles sto constituye una ~imea a~oximación a la esolución el ~oblema, ya que nos ~o~ociona un conocimiento intuitivo e la situación ísica, ~emitiénonos etemina el n
ulo a~oximao e tio que acieta en el blanco "em s, se com~oba  que existen os ~osiblessoluciones,os n
ulosetioqueanenelblanco"veces,~oel~eilel teeno,sóloes~osibleel n
uloquecoes~onealatayectoiam salta

î  

lmovimientoel~oyectiles la com~osición e os movimientos, uniome a lo la
o el eje , y uniomemente aceleao a lo la
oeleje# 

onociaslascooenaaselblancoGe,ylavelociaeis~ao
,sees~eja el n
uloetio


ascom~onenteselavelociainicialson:





asecuacioneselmovimientoel~oyectilson:

 onocia la ~osición G) el blanco,tenemos unsistema e os ecuaciones con os incó
nitas y
 liminano ,yem~leanolaelaciónti
onomética:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 nosqueaunaecuaciónese
uno
aoentan




a ecuación ese
uno
aotieneossoluciones, ~otanto, os n
ulos etio an enelblanco                   

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

)   l objetivo el ~o
ama es el e bombaea un blanco ese un avión en vuelo hoizontalavelociaconstante

aintuiciónjue
aun~a~elim~otanteenlabúsqueaelasolucióneeste~oblema "l
unos estuiantes,sitúan el avión justo encima el blanco en el momento en el que ejan cae la bomba (as el ~ime eo, se an cuenta que la bomba se ha e eja cae cuanoel avión est auna eteminaa istancia el blanco, que e~ene  e la velociaelaviónytambién,esualtuasobeelblanco aa com~lica el jue
o, en vez e un blanco ijo se ha ~uesto un blanco móvil, e maneaquesecombineeltio~aabólicoyelmovimientoelativo na vez ~obao el ~o
ama como jue
o, se ha e intenta esolve el ~oblema, es eci,sehaehallala~osiciónelaviónenelmomentoelis~aoSe~o~ocionan losatose:altuayvelociaelavión,~osicióninicialelblancoysuvelocia

î  

uano el avión eja cae la bomba, esta sale con la misma velocia hoizontal que el avión, e moo que las com~onentes e su velocia inicialson
G
y
 



onocia la altua a la que vuela el avión y su velocia meiante lasecuaciones el tio~aabólicose~ueehalla cilmenteelalcancehoizontalelabomba,eseci,la istanciaeseel~untoenquelaejócaeel~ilotoyelim~actosobeelsuelo

a com~osición e movimientos nos inica que mientas la bomba cae, se es~laza hoizontalmenteunaistanciai
ualal~ouctoelavelociaelavión~oeltiem~o que taa en cae omo ~oemos obseva, el avión y la bomba est n siem~e en la mismavetical +ómocambiaelesultaosielblancosemueveconvelociaconstanteenlamisma iecciónqueelavión?nlai
uatenemoselesquema

Y

~
Y

c
  Y



  
 

Sea G la ~osición el avión y sea Gla ~osición el móvil en el momento en el que el ~iloto suelta la bomba aa estuilo,la istancia ente el avión y el blancoebe se G 
 G
  talcomoseveenlai
ua
one esel tiem~o que taa la bomba en escene laaltuau u   

abombasesueltaenelinstante & as~osicioneselaviónGyelblancoGenicho instantese nes~ectivamente, G
  G G
  "~atieestaselaciones,obtenemosla~osiciónelaviónGenelmomentoenelque tiene que solta la bomba ~aa aceta en el blanco, conocios los atos e la altua u,velociaelavión
,la~osicióninicialelblancoGysuvelocia


 : lblanco~ateela~osiciónG m ysuvelociaes
 m/s l avión sale el oi
en, su altuau  m y velocia
   m/s se mantienen constantes Se~ulsaelbotónqueejacaelabomba,quetaaenlle
aalsuelountiem~o:



a~osiciónelaviónenelmomentoenelquesueltalabomba~aaacetaenelblanco ebe se:



Y

~
Y

c
  Y



  
 

  sta~
inaest eicaaalestuioelosas~ectosesencialeseune~ote~o~ula,el jue
oelbaloncesto (ataemos exclusivamenteelostiosontalesacanasta,los m s cileseescibi ese el ~unto e vista ísico, ya que su base esencial son las ecuaciones el tio ~aabólico, es~eci nose los eectos elozamiento con elaie,así como los eectos elaotaciónelbalón

! nlai
ua,semuestalamitaelcam~ooneseesaollaeljue
oelbaloncesto ylasmeiase
lamentaias



as meias que inteesan ~aa el estuio e los tios ontales a canasta son las si
uientes: ëY ëY ëY

laoest aunaaltuaemelsuelo li metoelaoese cm li metoelbalónesecm

    stablecemos el oi
en e cooenaas en la ~osición el lanzamiento el balón, tal comosemuestaenlai
ualcentoelaoest aunaaltuauyaunaistancia e la~osicióninicialelbalón

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 onsieamos el balón como una ~atícula que se lanza ese el oi
en con una velociainicial
,hacienoun n
ulo,conlahoizontal

as ecuaciones el movimiento, esultao e la com~osición e un movimiento uniomealola
oel eje,yeun movimientouniomementeaceleaoalola
o eleje#,sonlassi
uientes:

 liminamoseltiem~o enlasecuaciones~aaméticaselatayectoia:

 [    ,(! 

ascooenaasel~untoeim~actosonlaselcentoelao:G ëY

, u

onocioel n
uloetio,calculamoslavelociainicial:

 ëY

onocialavelociainicial
,calculamoslosos n
ulosetio,esolvieno la ecuación e se
uno
ao en tan aa ello, utilizamos la elación tan/cos

 obien,

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 !1   

l n
ulo  que hace el vecto velocia  e la~atículaconlahoizontalvale:

 

como:

 l n
uloquehaceelvectovelocia ela~atículaconelejeloex~esamosen téminosela~osiciónGeela~atícula,envezeltiem~o 



(!   n la i
ua, se muesta la e~esentación
 ica e
 en unciónel n
uloetio

 la unción tiene os asíntotas veticales, cuano el valo e la acción se hace ininito, o el enominaosehaceceo: tanu  cos 

Y

~


Y

c
  Y



  
 

omo
tienequese~ositivo,el n
uloetiono~ueetenecualquievalosino quetienequecum~li:

 aa que el balón ente ~o el ao, éste ebe e esta en la ~ate escenente e la tayectoiaelbalón,talcomosea~eciaenlai
ua:

 l n
uloeentaaqueomaelvectovelocia conlahoizontalenelmomento enelqueelbalón~asa~oelcentoelaoG , ues:

 omoesun n
ulone
ativo~oebajoelahoizontal)sutan
enteesne
ativa,lo queim~licaque:

 l n
uloetiotienequecum~li:

 onsieamos ahoa las imensiones el balón y el ao n la i
ua, se muesta la situación en la que el balón enta justamente~oelao"'nelti n
ulo "', el n
ulo el vétice ' es i
ual al n
ulo e entaa  mínimo en valo absoluto): sen||-/
 

one-eselaioelbalóny
eseli metoelao

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

omo - cm y
  cm l n
ulo  que oma el vecto velocia  con la hoizontal ebe se mayo en valo absoluto) que . ~aa que el balón ente ~o el ao sto limita aún m s el intevalo e n
ulos e tio a elación ente ambos n
uloses:



   es el n
ulo e tio mínimo que hace que el balón ente ~o el ao, sin tocalo l ju
aoebeelanzaelbalónconun n
uloqueseamayoqueelvalomínimo  ~aaconse
uiencestalo

0      
enuevo,nosijamosenlae~esentación
 icaelavelociainicial
enunción el n
uloetio bsevamosquelacuvatieneunmínimo
~aacietovaloel n
uloetio

 alculamosel n
ulom~aaelcuallavelociainicial
esmínima


es~ejamosel n
ulo sen u )sencos

 x~esamosel n
ulomeomaaltenativautilizanolassi
uienteselaciones:





Y

~
 Y

c
  Y



  
 

n esta última ex~esión, conocio tanƒ, esolvemos la ecuación e se
uno
ao en tanƒ/),tomanolaaíz~ositiva

 onociotanƒ/),calculamosenla~imeaex~esióntan .ƒ/)
es~uésehace al
unassim~liicaciones,lle
amosa:

 onocioelvalomcalculamoselvalomínimoelavelociainicial
m aaello em~leamoslaelacióntan /cos 

 aa intouci el balón ~o el ao, la velocia inicial
 tiene que se mayo que la mínima
,cualquieaqueseael n
uloetio $ Se lanza el balón ese una istancia  m el cento el ao, y ese una altua e melsueloobien,um~oebajoelao imeo,calculamosel n
uloetiomínimo:

 ëY


aoel n
uloetio..calculamoslavelociainicial:

 stavelociaessu~eioalamínima,queseobtiene~aael n
uloetio:

 ylavelociamínimavale: 

Y

~
 Y

c
  Y ëY



  
 


aa la velocia e is~ao
 es al
o m s com~licao calcula el n
ulo e tio

avelocia
tienequesemayoqueelvalomínimo
 m/s oejem~lo,si
m/s,calcula



asaíceselaecuaciónese
uno
aoentan son:  .,. Solamentelatayectoiael~imeose escenentecuano~ase~oelcentoelao, mientasquelase
unaesascenenteyenta~oebajoelao

!

 n los a~ataos anteioes, hemos su~uesto que el ~unto e im~acto situao a una istancia  y a una altuau el ~unto e lanzamiento es único omo el i meto el balónesmenoqueeli metoelao,vamosavequeexisteunaineteminaciónen elalcance ,quealu
aaunatoleanciaenlavelociainicial
enel n
uloetio oenambosalavez otanto,lavelociainicialelanzamientoyel n
uloetio que an lu
a a enceste ~ueen cambia en un ~equeño intevalo que e~ene e la ~osicióninicialelbalónes~ectoelao



Y

~
 Y

c
  Y



  
 

oíamos ~ensaque laineteminaciónen elalcance esi
ualala ieencia ente el i metoelbalónyeli metoelao,talcomosemuestaenlai
uaSinemba
o, elbalónentaenelaosi
uienounatayectoiacuyatan
enteomaun n
ulocon lahoizontal nlai
ua,elao"'esatavesao~ounbalón cuya iección e su velocia oma un n
ulo conlahoizontalnlosti n
ulosect n
ulos "'y
! "
6sen|| !"-
6sen||- 
 !/sen||

 

  en colo ojo) e~esenta el ma
en e eo en la istancia hoizontal  ese el ~untoelanzamientohastaelblancostema
eneeoesa~aececuano ,es eci,cuano

 omoyasehaex~licao,el n
uloqueomaelvectovelocia conlahoizontal ebe se mayo en valo absoluto) que . ~aa que el balón ente ~o el ao, sin tocalo ëY

!ijaoel n
uloetio  lavelociainicial
noesúnicasinoqueest  com~enia en el intevalo

 y
 
 stos intevalos se calculan el si
uientemoo

nlaómula,

 conlosatoseuy calculamos
~aauneteminao n
uloeis~ao  Y Sustituimos  ~o   y calculamos la velocia e is~ao
 

 Y Sustituimos ~o  ycalculamoslavelociaeis~ao
 



Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 nlai
ua,semuestalastestayectoias: ëY ëY ëY

ncoloojo,laque~asa~oelcentoelao, ncoloazul,lasque~asan~o  y~o  

!ijaa la velocia e is~ao
, el n
ulo e tio no es único sino que est  com~eniaenelintevaloystosintevalossecalculanel si
uientemoo

esolvemoslaecuaciónese
uno
aoentan

 conlosatoseuy calculamosel n
uloetio~aaunaeteminaavelocia eis~ao
 Y Sustituimos ~o  ycalculamosel n
uloetio  Y Sustituimos ~o  ycalculamosel n
uloetio  nlai
ua,semuestalastestayectoias: ëY ëY

Y

ncoloojo,laque~asa~oelcentoelao, ncoloazul,lasque~asan~o  y~o  

~
 Y

c
  Y



  
 

stos os m 
enes e eosiven e citeio ~aa ele
ila mejotayectoiauano mayoseael ma
en e eo~aaun eteminao n
ulo etio, mayo eslalibeta el ju
ao ~aa esviase e los valoes ~ecisos e
 y   necesaios ~aa que el balónente~oelcentoelao $ Su~on
amos,comoenelejem~loela~ataoanteio,queumy m ëY

!ijamosel n
uloetio.,lavelociainicialcalculaa
m/s

l n
uloeentaaelbalóncuanolle
aalaoes:

 lma
eneeo enlaistanciahoizontal vale:

 nlaómula,

 Y Sustituimos ~o  ycalculamoslavelociainicial
  m/s,ylatoleancia
 m/s Y Sustituimos ~o    ycalculamoslavelociainicial
  m/s,ylatoleancia
 m/s ëY

Y

!ijamoslavelociainicial
m/s,el n
uloetiocalculaoes . ~
 Y

c
  Y



  
 

nlaecuaciónese
uno
ao:

 Sustituimos  ~o toleancia ëY Sustituimos  ~o toleancia

ëY

  y calculamos el n
ulo e tio   ., y la .     y calculamos el n
ulo e tio ., y la .

                   

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

(2   emos emostao que el alcance m ximo se obtiene ~aa el n
ulo e tio e ., cuanoelcañónyelblancoest nenunasu~eiciehoizontal n esta ~
ina, vamos a estuia el movimiento e un ~oyectil que se is~aa ese unaaltuausobeunasu~eiciehoizontal,yacalculael n
uloetio~aaelcualel alcanceesm ximo ste ejem~lo, nos ~emiten estuia en etalle latayectoia~aabólica y ~acticacon uncionesti
onométicasseno,cosenoytan
ente


 ,    Se is~aa un ~oyectil ese una altua u sobe un ~lano hoizontal con velocia inicial
, hacieno un n
ulo  con la hoizontal aa escibi el movimiento establecemosunsistemaeeeenciacomoseinicaenlai
ua



ascom~onenteselavelociael~oyectilenuncióneltiem~oson:
G
6cos

6sen6 

a~osiciónel~oyectilenuncióneltiem~oes: G
6cos6   u
6sen6 6 / stas son las ecuaciones ~aaméticas e la tayectoia, ya que ao el tiem~o , se obtienela~osiciónGeel~oyectil

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

ltiem~o e vuelo se obtiene ~onieno  enlase
una ecuación y es~ejano el tiem~o 

 l ~oyectil lle
aal ~unto e im~acto en el instante Sustituyeno  en la ~imea ecuación obtenemos el alcance, o istancia hoizontal ente el oi
en y el ~unto e im~acto,-

 nlai
ua,see~esentaelalcance-enunciónel n
uloetio



acom~onente
elavelociacuanoelcue~olle
aalsueloes: 

a velocia inal

 el ~oyectil cuano lle
a al suelo y el n
ulo que oma con la hoizontalvéasela~imeai
ua)es:

 l móuloelavelociainal

se~ueecalculatambién,a~licano el~inci~ioe consevaciónelaene
ía

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 (2 
eivano-cones~ectoel n
uloetioei
ualanoaceoobtenemosel n
ulo etio~aaelcualelalcanceesm ximo

 levamosalcuaaoysim~liicamos:

 l n
ulo~aaelcualelalcance-esm ximovale:

 Sustituyeno cosysenenunciónel~a meto#,enlaex~esiónelalcance-,se obtienees~uéseal
unaso~eaciones:

 taomaeex~esaelalcancem ximo-es:

 (enienoencuentalaelaciónti
onomética:

 lle
amosaestaex~esióntansim~le~aaelalcancem ximo: -utan)

Y

~
Y

c
  Y



  
 

ltiem~oevuelo ~aael n
ulo

 (2  (  na oma altenativa e calcula el n
ulo, sin tene que ealiza un c lculo e eivaaseselsi
uiente: liminamoseltiem~o ,enelasecuaciones~aaméticaselatayectoia,lle
amosa laecuaciónela~a bolaecuéeseque/cos tan ):

 n el ~unto eim~acto con el suelo, obtenemos la ecuación e se
uno
ao en tan

 conossoluciones~aa--,yunasolución~aa--ynin
una~aa--,véasela i
ua

 stoim~licaqueelisciminanteelaecuaciónese
uno
aoebeseceo~aael n
uloquehacequeelalcanceseam ximo:

 Y

~
Y

c
  Y



  
 

lmismoesultaoqueyaobtuvimoseunaomam slaboiosa [  ,     

avelociainalyel n
uloqueomaconelejeson:



aelaciónenteel n
uloeis~aoyel n
ulo $queomaelvectovelocia cuanoel~oyectillle
aalsueloes:

 lvectovelociainicial 9yelvectovelociainal son~e~eniculaes : ëY ëY ëY

avelociaeis~ao
m/s,

aaltuainicialel~oyectilum l n
uloetio.

lalcance-es

 ltiem~o evueloel~oyectiles

 ëY

lalcancem ximovéaselaúltimai
ua)seobtiene~aael n
ulo

 lalcanceyeltiem~oevuelo~aaeste n
uloson,es~ectivamente

 ëY

Y

©n
ulosetioque~oucenelmismoalcance- m ~
Y

c
  Y



  
 

oemos calcula los os n
ulos e tio que ~oucen el mismo alcance--, ~o ejem~lounalcancee- malculamoslasaíceselaecuaciónese
uno
ao entan





.,.,omovemos   

Su~on
amos que un atleta lanza un ~eso ese una altua u con una velocia
, hacieno un n
uloconlahoizontal



Sielatletalanzael~esoeseunaaltuaeumyquieequelle
ueaunaistancia -m,el n
uloó~timoelanzamientovale: -utan) . l an lisis el lanzamiento el ~eso es m s com~licao, ya que la altua u no es ine~eniente el n
ulo , tal como se a~ecia en la i
ua, sino queu sen, sienolaaltuaelhomboylalon
ituelbazo


, "  onsieemos un objeto que enominaemos ~oyectil e masa que cuel
a e una cueaelon
ituuanosese~aaesu~osicióneequilibioysesueltacomienza aoscila,talcomoestuiaemosenla~
inaeicaaal~énulosim~le Soltamosel~oyectilcuanolacueaseesvíaela~osicióneequilibioun n
ulo  Se cota la cuea cuano el ~énulo se esvía e la ~osición vetical un n
ulo  |l~oyectilescibeunatayectoia~aabólicasisees~eciaelozamientocon elaie,talcomosea~eciaenlai
ua

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 £     ! l~oyectil~ate ela~osición inicial,con velocia inicial

escibe unaco ecicuneenciaylle
aala~osicióninal,convelocia
"~licamosel~inci~io econsevaciónelaene
ía~aacalculalavelocia
Si~onemos elnivelceoe ene
ía~otencialenla~atem sbajaelatayectoia:

     aaescibielmovimientoel~oyectil,situamoslosejese#el mooenelque seseñalaenlai
ua;elejeenelsuelo,yeleje#tienelaiecciónel~énuloenla ~osicióneequilibio l ~oyectil se is~aa con una velocia
, hacieno un n
ulo  con la hoizontal, eseunaaltuaucos)Sienolaaltuaelcentoe
ioel~énulo

a~osiciónel~oyectilenuncióneltiem~oes: G 6sen
6cos6   u
6sen6 6 / Si
uieno los mismos ~asos que en la sección anteio btenemos el alcance -, ~onieno , en la se
una ecuación, es~ejano el tiem~o e vuelo , y sustituyénoloenla~imeaecuaciónelatayectoia:

 x~esamoselalcance-enunciónel n
ulo

Y

~
 Y

c
  Y



  
 


aoel n
uloe~atiaelobjeto,setata ecalculael n
ulo,~aaelcualel alcance-esm ximo (2 
ao el n
ulo  e ~atia el objeto, calculaemos el n
ulo, ~aa el cual el alcance-esm ximo

 nlai
ua,see~esentaelalcance-enunciónel n
ulo,~aa.l n
ulo ~aaelcual-esm ximoseobtieneeivano-es~ectoel n
ulo,ei
ualanoa ceoseci,esolvienolaecuación -  n el se
uno atículo citao en las eeencias, el alcance m ximo se obtiene calculanolasaícesealeselaecuacióncúbica

 conGcos $ ëY ëY ëY ëY

on
ituel~énulom "ltuael~oyectilenlasituacióneequilibio,m Seesvíael~énulo.ela~osicióneequilibio Secotalacueacuanoel~énuloseesvía.

avelociael~oyectilcuanosecotalacueaes:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 cuacioneselmovimiento: G 6sen6cos6   cos6sen6  6 / lalcancesecalcula~onienoesolvemoslaecuaciónese
uno
aoen  a aíz~ositivavale  s alculamoselalcanceenla~imeaecuaciónGm (ambién~oemoscalculaelalcanceeomaiecta:

 aa calcula el n
ulo  ~aa el cual el alcance es m ximo, se esuelve laecuación cúbica: GGG con,,  Secalcula:

 omo- entonceslaecuacióntieneunaaízeal:

 l n
uloG cos,. ste n
ulose~ueeobtenea~oximaamenteeoma
 ica    

Y

~
Y

c
  Y



  
 

(2    emos emostao que el alcance m ximo se obtiene ~aa el n
ulo e tio e ., cuanoelcañónyelblancoest nenunasu~eiciehoizontal n esta ~
ina, vamos a estuia el movimiento e un ~oyectil cuano el blanco est  sobe un ~lano inclinao, y a calcula el n
ulo e tio ~aa el cual el alcance es m ximo ste ejem~lo, nos ~emiten estuia en etalle latayectoia~aabólica y ~acticacon uncionesti
onométicasseno,cosenoytan
ente

 Se is~aa un ~oyectil ese el oi
en con velocia inicial
, hacieno un n
ulo conlahoizontal,el~untoeim~actoest situaoenun~lanoinclinaoqueomaun n
ulo ƒ con la hoizontal aa escibi el movimiento establecemos un sistema e eeenciacomoseinicaenlai
ua



ascom~onenteselavelociael~oyectilenuncióneltiem~oson:
G
6cos

6sen6 

a~osiciónenuncióneltiem~oes: G
6cos6   
6sen6 6 / stas son las ecuaciones ~aaméticas e la tayectoia, ya que ao el tiem~o , se obtienela~osiciónGeel~oyectil omo las cooenaas G e  el ~unto e im~acto est n elacionaas ~o Gtanƒ, es~ejamoseltiem~oevuelo ,elasecuaciones~aaméticaselatayectoia:



Y

~
Y

c
  Y



  
 

lalcance-meioalola
oel~lanoinclinaoes:

  
-  

 "nalizamoselmovimientoel~oyectilenunSistemaeeeenciaenelqueeleje es~aaleloal~lanoinclinaoyeleje#es~e~eniculaalmismo

a aceleación e la
avea  est  ii
ia veticalmente hacia abajo as com~onenteselaaceleaciónela
avea!yelavelociainicial 9semuestan enlai
ua asecuacioneselmovimientoel~oyectilson: G
cosƒ)6 senƒ / 
senƒ)6 cosƒ / ltiem~oevueloseetemina~onieno,yes~ejanoeltiem~o 

 Sustituimoselvaloe enla~imeaecuación:

 nlai
ua,see~esentaelalcance-enunciónel n
uloetio,~aa/

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 (2 
eivano-cones~ectoel n
uloetioei
ualanoaceoobtenemosel n
ulo etio~aaelcualelalcanceesm ximo

 l n
ulo~aaelcualelalcance-esm ximovale:

 (2  (  na oma altenativa e calcula el n
ulo, sin tene que ealiza un c lculo e eivaaseselsi
uiente: liminamoseltiem~o ,enelasecuaciones~aaméticaselatayectoia,lle
amosa laecuaciónela~a bolaecuéeseque/cos tan 



ascooenaasGeel~untoeim~actoest nelacionaasGtanƒ,lle
amosa lasi
uienteecuaciónese
uno
aoentan



asaíceselaecuaciónese
uno
aoson:

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 (enemosos n
ulosetioyel n
uloqueanlu
aalmismoalcance- -,tal comoa~eciamosenlai
ua

 m~leamoslas~o~ieaeselasaíceselaecuaciónese
uno
aoGG



 acienoal
unaso~eaciones,elacionamosel n
uloyel n
ulo



 uanoelalcancetienehaciaelvalom ximo,losos n
ulosetioysehacen caavezm s~óximoshastaquecoincien asosaícessoni
uales



Y

~
Y

c
  Y



  
 

Sustituyeno~oƒ/*/ enlaex~esiónelalcance-al~inci~ioela~
ina:

 tomooeobteneelalcancem ximoeselsi
uiente:elisciminanteelaecuación ese
uno
aoentan,sehaceceo,cuanolaaízesoble otanto,


es~ejamos - y sustituimos  ~o ƒ/*/ , obtenemos es~ués e ealiza al
unas o~eacioneslamismaex~esión~aa- ltiem~oevueloel~oyectil~aael n
ulovale:

 Sim~liicamosestaex~esiónhastalle
aa:



[  ,      l n
uloqueomalavelociainalconelejees:

 aael n
uloeis~ao*/ ƒ/



 lvectovelociainicial 9yelvectovelociainal son~e~eniculaes

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 ëY ëY ëY

avelociaeis~ao
m/s

a~enienteel~lanoinclinaoƒ. l n
uloeis~ao.

lalcancevale:

 ltiem~oevuelovale:

 ëY

l n
uloeis~ao.

lalcancevale:

 ltiem~oevuelovale:

 ëY

l n
ulo~aaelcualelalcanceesm ximovéaselaúltimai
ua)es:

 lalcance~aaeste n
ulovale:

 ltiem~oevueloes:

 ëY

Y

©n
ulosetioque~oucenelmismoalcance-m

~
Y

c
  Y



  
 

oemos calcula los os n
ulos e tio que ~oucen el mismo alcance--, ~o ejem~lounalcancee-malculamoslasaíceselaecuaciónese
uno
ao entan G-cosƒ,Gcos. m

 .,.,omovemos .,y                      

Y

~
Y

c
  Y



  
 

(2    n esta ~
ina, vamos a estuia otas ~o~ieaes e la tayectoia ~aabólica que escibe un ~oyectil is~aao ese el oi
en con velocia
 hacieno un n
ulo conlahoizontal ëY ëY ëY

alon
ituelatayectoia l eaqueenciealatayectoiayelejehoizontal

aistanciaenteeloi
enyla~osiciónel~oyectilenelinstante 

 ,  Se is~aa un ~oyectil con velocia
 hacieno un n
ulo  con la hoizontal as ecuacioneselmovimientoson:





ëalola
oelejehoizontal

 ëalola
oelejevetical#

 liminanoeltiem~o obtenemoslaecuaciónelatayectoia:



Y

~
 Y

c
  Y



  
 



aabscisa-el~untoeim~acto,enominaaalcanceseobtiene~onienoenla ecuaciónelatayectoia

 lm ximovaloe-seobtiene~aa .

  onieno,yes~ejano ,tenemosossoluciones ,quecoes~onealis~ao el~oyectily

 lvalom ximoe seobtiene~aa .uanoel~oyectilselanzaveticalmente haciaaiba,escibienounatayectoiaectilíneaalola
oeleje#

, , :

 n la i
ua se muesta el ea ieencial 6 G l ea total enceaa ente la tayectoiayelejesecalculameiantelainte
aleinia



Y

~
Y

c
  Y



  
 

n la i
ua, se muesta que el com~otamiento el ea total enceaa ente la tayectoia y el eje  con el n
ulo etiol eaaumentacon el n
ulo etio, alcanzanounm ximoylue
ovuelveaisminui,hastaquesehaceceocuano .

 alculamoselm ximoelaunción
)sencos

 (ienesentiosolamenteelsi
no~ositivo,quecoes~oneal n
uloetio. uano se is~aa un ~oyectil con un n
ulo e tio., el ea enceaa ~o la tayectoiayelejehoizontalesm xima

0! , 



alon
itu el elemento ieencial e latayectoiaen coloojo en la i
ua) es la hi~otenusa e un ti n
ulo ect n
ulo cuyos catetos tienen lon
itues G y es~ectivamente

 Y

~
Y

c
  Y



  
 

alon
itutotalelcaminoecoio~oel~oyectiles:

 stainte
aleselaoma:

 susoluciónse~ueeconsultaencualquieliboe lculo
ieencialente
al

 "lcambialavaiableeGacambianloslímiteselainte
al ëY ëY

llímiteineioseobtiene~aaG,eseci,~aatan llímitesu~eioseobtiene~aaG-,eseci,~aatan

 (enienoencuentaquetan/cos 

 n la i
ua, se muesta que el com~otamiento e la lon
itu  el camino ecoio ~o el ~oyectil con el n
ulo e tio a lon
itu aumenta con el n
ulo e tio, alcanzanounm ximoylue
ovuelveaisminui

Y

~
Y

c
  Y



  
 


eivamos ) ~aa halla el n
ulo  ~aa el cual la lon
itu e la tayectoia es m xima:

 (enemosqueesolvelaecuacióntascenente:



ae~esentación
 icanosinicaqueelm ximoe )seencuentaentey. "l inal e esta ~
ina, se ~o~ociona elcói
o en en
uaje 0ava el ~oceimiento que~emitecalculalaaízelaecuacióntascenente~oel~oceimientoel~unto meiolvaloqueseobtienees .

î   ! ,, 

aistancia enteeloi
en yla~osiciónG)el~oyectilenelinstantetes:

Y

~
Y

c
  Y



  
 



 l m ximo e esta istanciase obtiene i
ualanola eivaa cones~ectoaltiem~o a ceo:  Sim~liicanoente ,calculamoslasaíceselaecuaciónese
uno
aoen 



asaícesealesexistencuanoelaicanoes~ositivoonulo:

 aa n
ulos e tio  la istancia  ente el oi
en y el ~oyectil es una unción cecienteeltiem~o,quealcanzasum ximovalocuanoim~actaenelsuelo lm ximo esi
ualalalcance-yocueenelinstante 
 senqueeseltiem~o evuelo nelinstante laistancia enteeloi
enyla~osiciónel~oyectilvale:

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 nelinstante laistancia enteeloi
enyel~oyectilvale:

 om~obamosque:


elasossolucioneselaecuaciónese
uno
ao y solamentehemosetene encuentalase
una,yaque  ~aa. Y

~
Y

c
  Y



  
 

[eiicamosqueelinstante esmenoqueeltiem~oevuelo 

 om~aamos ahoa  con el alcance- [amos a etemina el n
ulo a ~ati el cual esmayoque-



aecuación: GG G G  (ieneosaícesealesoblesGyG GG G G G)G)G  G ) esolvemoslaecuaciónbicuaaa: G  G hacienoelcambioevaiable# G  #  #

aaícesealessonG$ ,quecoes~onenal n
ulo$acsenG$. aael n
ulo%.laistancia enteleoi
enyla~osiciónel~oyectilenel instante esmayoqueelalcance-

Y

~
Y

c
  Y



  
 



 n la i
uase muesta, elinstante  ~aa el cualla istancia  ente el ~oyectil y el oi
en es m ximo aa . esta istancia es el alcance- y el tiem~o   al tiem~o e vueloSo~enentemente, la cuva ~esenta una iscontinuia en  " ~ati e este n
ulo , el instante   y la istancia m xima   as ex~esiones e  y  en unción el n
ulo e tio  las hemos eucio en este a~atao $ ëY

Sea..

lalcancevale:

 ltiem~oevuelo:

 l valo m ximo e la istancia  ente el oi
en y el ~oyectil se ~ouce en el instante:

 queesmenoqueeltiem~oevuelo  Y

~
Y

c
  Y



  
 

alculamosla~osiciónel~oyectilenelinstante  G
cos   
 
sen  /
/

 que es meno que el alcance-  ue
o, ~aa un n
ulo e is~ao e ., la m xima istanciaenteeloi
enyel~oyectilse~ouceenelinstante cuanolle
aalsuelo yeselalcance- ëY

Sea..

lalcancevale:

 ltiem~oevuelo:

 l valo m ximo e la istancia  ente el oi
en y el ~oyectil se ~ouce en el instante:

 queesmenoqueeltiem~oevuelo  alculamosla~osiciónel~oyectilenesteinstante: G
cos   
 
sen  / 
/

 queesmayoqueelalcance-

ue
o, ~aa un n
ulo e is~ao e ., la m xima istancia ente el oi
en y el ~oyectilse~ouceenelinstante 
yvale  
 

Y

~
Y

c
  Y



  
 


 ,   nesta~
ina,seescibeun~oblemaeatilleíaquenotieneunasoluciónsencilla ncañónis~aaun~oyectilconvelocia
,hacienoun n
uloconlahoizontal ncaoecombatesituaoaunaistancia elcañón,enelmomentoelis~ao,se mueve con velocia constantehacia el cañónSetata e etemina el n
uloo los n
ulos)eis~aoquehacenqueel~oyectilim~acteenelcaoecombate 



î   l ~oyectil se mueve bajo la aceleación constante e la
avea, que es la com~osicióneosmovimientos: ëY

niomealola
oelejehoizontal

G
Gvcos G 
cos  ëY

niomementeaceleaoalola
oelejevetical#


vsen6   
sen   lmovimientoelcaoecombateesectilíneoyuniomeSu~osiciónGenunción eltiem~oes: G 6  lim~actoel~oyectilsobeelcaoecombatese~ouce~aa,eseci,en el instante 
sen/ nichoinstante,hanecoinciilas~osicionesGeambosmóviles:

 Y

~
 Y

c
  Y



  
 

Se~ueenatescasose~enienoecualseanlosatosylasincó
nitas Y Seconocelase~aacióninicial ,el n
uloetioylavelociaeis~ao
 alculalavelociaelcaoecombate

 Y Seconocelase~aacióninicial ,el n
uloetioylavelociaelcaoe combatealculalavelociaeis~ao


 Y l caso m sinteesante, esaquél en el que se conoce lase~aacióninicial ,la velociaeis~ao
ylavelociaelcaoecombate,se~iecalculael n
uloo n
ulos)etio

!  (enemosquehallalasaíceselaecuacióntascenente:
6sen)6
sen 6 xistenvaios~oceimientos,elm ssim~le,estazala
 icaelaunción#
 #
6sen)6
sen 6 yeteminaa~oximaamente,los~untosecoteelauncióncon elejehoizontal, talcomosea~eciaenlai
ua

 lm ximoelaunción#se~ouce

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 ~aaun n
uloine~enienteelaistancia 



os os n
ulos buscaos  y  est n en los intevalos , ) y , */) es~ectivamente oemos em~lea un ~oceimiento como el el ~unto meio ~aa calculacaaunaelasaíceselaecuacióntascenente xiste una istancia  ~aa lacualla ecuacióntascenentetiene unasolaaízl m ximoelaunción
es#

 Sila istancia ente el cañón y el cao e combate es mayo que no hay nin
ún n
ulo~aaelquese~uea~ouciim~acto,laecuacióntascenentecaeceeaíces, talcomo~ueeveseenlai
ua

        Y

~
Y

c
  Y



  
 

V1 na uea e aio - se mueve con velocia constante
 a lo la
o e un ~lano hoizontal, un tozo e bao situao en su boe se es~ene
etemina la altua m ximaquealcanza n la i
ua, obsevamos la tayectoia e este cue~o, ese la ~osición e es~enimientohastaquelle
aalsuelo

 ste ~oblema es inteesante, ya que la altua m xima que alcanza el cue~o e~ene el n
ulo,siem~equesuvaloseamayoqueunvalocítico

[     omo estuiaemos con m s etalle en el ca~ítulo Sólio í
io lmovimiento e oasineslizaeslacom~osicióneosmovimientos: ëY ëY

’ovimientoetaslaciónelcentoemasasconvelocia
 ’ovimiento e otación con velocia an
ula  aleeo e un eje ~e~eniculaalaueayque~asa~oelcm

 l ~unto e contacto e lauea con elsuelo est  ene~oso,su velocia es ceo a elaciónentelavelociaetaslaciónelcm
yeotaciónaleeoelejeque ~asa~oelcmes
 6- aaescibielmovimientoeltozoebaoquesees~eneelboeelauea establecemosunsistemaeeeenciaemooqueenelinstanteinicialla~osicióne ichocue~oesG , 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 £  ,   „  "lcaboeuncietotiem~o ,elcue~osehataslaao
6 yha
iaoun n
ulo $ 6 Su~osiciónenelinstanteenelquees~eneelaueaes: G
6 -6sen$  --6cos$

ascom~onenteselavelociainicialelcue~oson:
G
 
cos$
 
sen$ lmóuloylaiecciónelavelociainicialson,es~ectivamente:

 $ ëY

uano$,


ëY ëY

uano$*/, ,*/  uano$*,

,

£  ,   „

ascom~onenteselavelociaelcue~oenelinstante son:
G

cos$
 
sen$  )

a~osiciónelcue~oenelinstante es:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

G G 
G6  )
6 -6sen$
cos$)6  )   
6  )  )/ --6cos$
sen$6  )  )/ ,(2  lcue~olle
aalsuelocuano 

 navezcalculao  )seobtieneelalcancehoizontalG G 
6 -6sen$
 cos$)6  )

aaltuam ximasealcanzacuano


 aa que este cociente sea ~ositivo, el n
ulo$ ebe esta en el intevalo $* l cue~oselanzahaciaaibasiel n
ulo$est enesteintevalo:



a altua  también se ~uee calcula a~licano el ~inci~io e consevación e la ene
ía nla~osiciónelanzamiento --cos$lascom~onenteselavelociaelcue~o son:
G
 
cos$
 
sen$

aene
íaelcue~oemasaes:

 nla~osiciónem ximaaltualacom~onente
elavelocia,lacom~onente
Gnocambia aene
ía
es:

 "~licamosel~inci~ioeconsevaciónelaene
ía 
yes~ejamosobtenieno elmismoesultao

Y

~


Y

c
  Y



  
 

(2  (2 

 nlai
ua,see~esentalaaltuam ximaquealcanzaeltozoebaoenunción el n
ulo $cuanolavelociaetaslaciónelaueaese
 m/slaioe laueasehaijaoen-mlvalom ximoelaaltuam ximasealcanzacuano $  .

 uano la velocia etaslación e lauea es e
   m/sl valo m ximo e la altuam ximasealcanzacuano$  alculamosel n
ulo$~aaelcual~esentaunm ximo:

 staecuacióntieneossoluciones: ëY

Y

a~imeasolución,seobtienehacienosen$,$*,~oloque- ~
Y

c
  Y ëY



  
 

ase
unasolución,seobtienehacieno:

 aaqueelcosenoseamenoquelaunia,envaloabsoluto,setienequecum~lique  aaque el cosenosea ne
ativo, y al la vez que latayectoiasea haciaaiba im~lica queel n
ulo$ebeeestaenelintevalo*/$*

am ximaaltuaalcanzaa~oelcue~oquesees~eneeesta~osiciónes:

 $ ëY ëY ëY

Sehaijaoelaioelaueaen-m Si
m/s Si el tozo e bao se es~ene cuano $*/, el instante  en el que se alcanzaesta~osiciónes  $6-
*/  s

alculamoslaaltuam xima

 aa
m/ssecum~leque  l n
ulo$quehacequelaaltuasealam xima~osible,véaselai
uam saiba, es:

 linstante enelquesealcanzaesta~osiciónes  $6-
 / s    

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 ,     î   n ~aa
uas e aio - est  mojao y
ia aleeo e su eje ijo con velocia an
ula,enel~lanovetical as
otasea
uaseis~esaneselosextemoselas vaillasconlamismavelocia
-~eoconistintaiecciónlvectovelocia inicialtieneunaieccióntan
entealacicuneenciatalcomosemuestaenlai
ua

a
otaea
uasituaaenla~osición: G -cos  -sen se es~ene el extemo e la vailla con una velocia inicial
 - omano un n
ulo ƒ */conlahoizontal 

a~osiciónela
otaea
uaenuncióneltiem~oes: GG 
6cosƒ6  
6senƒ6  / obien, G-cos
6sen  -sen
6cos  /

(2  Sielsueloest aunaistanciau~oebajoeloi
enlalcanceeuna
otaquesalee la~osiciónsecalcula~onienoenlasecuacioneselmovimiento u G-cos
6sen)  u-sen
6cos)  /
ao el n
ulo , calculamos el tiem~o e vuelo , en la se
una ecuación y lo sustituimosenla~imea~aacalculaelalcanceG "hoabien,nuestataease eteminala~osicióninicial,oel n
ulo,ela
otao
otasquelle
anm slejosomovemosenlai
ua,hayos n
ulos~aaloscualesel alcanceesm ximoei
ualaG

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 lalcanceGesunauncióneltiem~oevuelo yel n
uloenla~imeaecuación, yeltiem~oevuelo esunaunciónel n
ulo,enlase
unaecuación o~aecea ~imeavista,unataeasencilla,ex~esaGenunciónel n
ulo,yes~ejaenla ecuación que nos a la conición e extemo G  ealizaemos el c lculo e los n
ulossi
uienoel~oceimientoescitoenelatículocitaoenlaseeencias x~esamoslasecuacioneseltio~aabólicoenomavectoial: t) t!t/ one: G , -cos -sen, v sen v cos !6


ibujamoslostesvectoes, t,!t/,yelvectosuma,talcomose muestaenla ~ateizquieaelai
uanla~ateeecha,obsevamososti n
ulosect n
ulos "'y 'conlahi~otenusa 'común,secum~li que: Y

~
Y

c
  Y



  
 


eestemoo,~oemosex~esaGsolamenteenuncióneltiem~o   lextemom ximo)eGsecalculaeivanoGcones~ectoa 

 lalcanceG~aaelinstante es:

 alculamosel n
uloela
otacuyo~untoeim~actoesGu)omovemosen la~ateeechaelai
ua*ƒ

 alculamosel n
uloela
otacuyo~untoeim~actoesGu)

 omovemosenla~ateeechaelai
ua*ƒ)*ƒ

Y

~
 Y

c
  Y



  
 



(2 

a
otaqueselanzaenla~osición,semueveveticalmentehaciaaiba,

  
6   alcanzanounaaltuam ximacuano
,cuyovaloes:

 ayotas
otasquealcanzanunaaltuamayo,laquealcanzalaaltuam ximasalee la~osiciónan
ulaquevamosacalcula

acom~onenteveticalelavelociaela
otaquesaleela~osiciónan
ula

6cos)  -sen
6cos)  /

am ximaaltuasealcanzacuano
,ysuvaloes:

 l n
ulo,~aaelcualesunextemoseobtiene  

 na solución es cos, con */, que es cuano la
ota sale hoizontalmente a soluciónbuscaaes:



aaltuam ximaquealcanzala
otaque~ateeesta~osiciónes:

 ysuabscisaesG,talcomovemosenlai
ua,m sabajo:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

   

 omo vemos en la i
ua, la envolvente en colo azul) es una ~a bola simética es~ectoeleje#,suecuaciónes Galculamosysabienoquela~a bola ~asa ~o el ~unto , ), y ~asa ~o el ~unto G, u) (enemos un sistema e os ecuacionesconosincó
nitas:



aecuaciónelaenvolvente,~aaelcaso

,esla~a bola:

        

Y

~
Y

c
  Y



  
 

  nesta~
ina,seescibelatayectoiaquesi
ueunto~eois~aaoeseeloi
en cuano~esi
ueaunsubmainoquese mueveconvelociaconstante[alola
oe la tayectoia ectilínea  l to~eo se mueve con velocia constante
, ~eo su ieccióna~untasiem~ehaciaelsubmaino,talcomosemuestaenlai
ua



    nelti n
uloect n
uloelai
ua,labaseeslaieenciaenteeles~lazamiento el submaino [6  yla elto~eoG aaltua esla ieenciaomo la iección elavelociaelto~eoeslalíneaectaque~asa~ola~osiciónelto~eoylael submainoenelinstante ,tenemosque:

 oeomaaltenativa:


ieencianoambosmiemboscones~ectoeltiem~o:

 (enienoencuentaque

 6 
6
  Y

~
Y

c
  Y



  
 

 nte
amos ambos miembos, sabieno que el to~eo ~ate el oi
en , y su velociainiciales

,ii
iaalola
oeleje#

 aaesolvelainte
alelaeecha,sehaceelcambioevaiable# 



eshacienoelcambioevaiableyevaluanoambasinte
alesenloslímitesineio ysu~eio,seobtiene:

 levanoambosmiembosalcuaaoyes~ejano
 

 esolvemoslaecuaciónieenciale~imeoen:

 con las coniciones inicialessi
uientes: en elinstante , elto~eo ~ate el oi
en,  "ltenativamente, inte
amos e nuevo ~aa obtene la oenaa  el to~eo en uncióneltiem~o  aaello,hacemoselcambioevaiable#

Y

~
Y

c
  Y



  
 

 staesunaecuaciónim~lícitaelaoenaaenuncióneltiem~o  na vez obtenia la oenaa  en unción el tiem~o , se calcula la abscisa G, meiantelaelacióneuciaal~inci~ioeesta~
ina

 Sustituimoseltiem~o yobtenemoslaecuaciónelatayectoia:



î   ëY

uanolavelociaelto~eoesmayoquelaelsubmaino,
[

uano   ó # se ~ouce el im~acto el to~eo y la ~osible estucción el submaino

a~osiciónel~untoeim~actoes:

 que es ~ositivo solamente si
[ a velocia
 el to~eo tiene que se necesaiamentemayoquelavelocia[elsubmaino~aaquehayaim~acto linstante enelquese~oucees:

 ëY

uanolavelociaelto~eoesmenoquelaelsubmaino,
 [

lto~eoyelsubmainosea~oximanhastaunaistanciamínimaylue
osealejan

Y

~


Y

c
  Y



  
 

 lmínimoseobtieneeivano es~ectoe#ei
ualanoaceo:

 acienoal
unaso~eacionesobtenemos:

 ëY

uanolavelociaelsubmainoyelto~eoeslamisma,[


acom~onente#elavelociaelto~eovale:

 acemoselcambioevaiable#~aainte
a:



aecuaciónelatayectoiaes:

 uano
[, la istancia ente el submaino ~ueecom~obase cilmente

 y el to~eo tiene a /, como

$ ëY

uano la velocia
 el to~eo es meno que la el submaino [ o ejem~lo,


aistanciaem ximoacecamientoes:



Y

~
 Y

c
  Y



  
 

nla~osición:

 # , nelinstante:



aabscisaGseobtienea~atielaecuaciónelatayectoia:

 ëY

uano la velocia
 el to~eo es mayo que la el submaino [ o ejem~lo,


a~osiciónel~untoeim~actoes:

 enelinstante:

   

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

          uano se intouce en clase el movimiento elativo, se em~ieza el tema esolvieno ~oblemassencilloseintuitivos~aacuyo~lanteamientonoseequieeunaex~licación etallaaelconce~toevelociaelativa

4 n ío luye hacia el este con velocia e m/s n bote se ii
e hacia el este a
uasabajo)convelociaelativaala
uae
 m/s alculalavelociaelbotees~ectoetieacuanoelboteseii
ehaciael esteíoabajo)ycuanoseii
ehaciaeloesteíoaiba) ëY alculaeltiem~oquetaaelboteenes~lazase mhastael~unto  y e
esaenuevoal~untoe~atia  ëY uano el bote nave
a a
uas abajo la velocia el bote es~ecto e tiea es 
, es eci e  m/s  ëY uano el bote nave
a en sentio contaio a la coiente la velocia el botees~ectoetieaes
,esecie m/s

ëY



ëY ëY

ltiem~oquetaaelbaqueoenhaceelviajeeiaes  
 ltiem~oquetaaenhaceelviajeevueltaes  


ltiem~ototales:

 onlosatosel~oblema / s

+ nestasecciónelbacoataviesaelío ueenocuioscasos: %ue la velocia el baco
 es~ecto e la coiente sea mayo que la e la coiente ëY %ue la velocia el baco
 es~ecto e la coiente sea meno que la e la coiente

ëY

£ $; 

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

n ío luye hacia el este con velocia e m/s l bote se mueve en a
ua quieta conunavelociae
 m/s +ómoebeseii
ioelbote~aaquelle
ueaun~unto situaoenlaoilla o~uestaenentee ? ëY alculalavelocia[elbotees~ectoetiea ëY alculaeltiem~oquetaaelboteenes~lazase mhastael~unto  y e
esaenuevoal~untoe~atia 

ëY

 lvectovelocia[elbacoes~ectoetieaebeea~untahaciaelnote lesultaoelasuma[ es [
cos 
sen  obien, 
cos [
sen ëY ëY

l n
ulosecalculaa~atiela~imeaecuacióncos 


a velocia el baco es~ecto e tiea[ se calcula a ~ati e la se
una ecuación, o bien, como el cateto [ el ti n
ulo ect n
ulo omao ~o la hi~otenusa
yelotocateto 

ëY

lviajeevueltaessimilaalviajeeialtiem~ototaleviajese :

 onlosatosel~oblema, ëY ëY ëY

Y

avelociaelbotees~ectoetieaese  l n
uloqueomala~oaelboteconlaiecciónesteoestees. ltiem~ototaleviajese  s ~
 Y

c
  Y



  
 


!$   uanolavelociaelbaco
es~ectoelacoiente)esmenoquelavelociae lacoiente,noes~osiblequeelbacoatavieseelíosinesviase



avelociaelbacoes~ectoetieaes[  [
cos 
sen) 
cos) 
sen l tiem~o  que taa en cuza el ío e anchua  y la esviación G a lo la
o e la oillaes:



aesviaciónmínimaGse~ouce~aael n
ulo:

 ltiem~o quetaaenelviajeeia~aael n
uloemínimaesviaciónes:

 ltiem~oesmínimo,~aael n
ulo,. ltiem~oeviajeeiaesmínimo,~aaaquellosbotesquese muevanconvelocia
coshacienoun n
ulo.conlaiecciónelacoienteltiem~oe viajeylaesviaciónGes:

 

Y

~


Y

c
  Y



  
 

n ío luye hacia el este con velocia e  m/s l bote se mueve en a
ua quieta conunavelociae
m/s l n
uloquehacequelaesviaciónGseamínimaes.,laesviaciónmínima esGm,eltiem~oeviajees  s Si la velocia el bote es
cos, ,el n
ulo que ~ouce laesviaciónmínimaes.,laesviaciónmínimaesGm,eltiem~oeviaje eiaes s

J n ío luye hacia el este con velocia e m/s n bote se ii
e hacia el note  .convelociaelativaala
uae
 m/s alculalavelociaelbotees~ectoetiea Si el ío tiene una anchua e  m, calcula el tiem~o necesaio ~aa cuzalo ëY +u leslaesviaciónhaciaelesteelbotecuanolle
aalaotaoillaelío? ëY +ómoebeii
iseelbaco~aaqueunavezenel~unto enlaoillao~uesta e
eseal~unto e~atia? ëY alculaeltiem~oquetaaenvolveal~untoe~atia

ëY ëY



avelociaelbotees~ectoetiea[eslasumavectoialelavelociaelbote es~ecto ela
ua cuano ela
ua est  quieta)y la velocia e la coiente ea
ua es~ectoetiea lesultaoelasuma[ es: [senƒ [cosƒ 
 lmóuloelvectoesultante[es:  yomaun n
uloƒconlaiecciónnotesu:

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 ëY ëY

ltiem~oquetaaenelviajeeiaes  
,

aesviaciónhaciaelesteesG 6  6 
 bien,enelti n
uloect n
uloe lai
uatenemosqueG tanƒ 6


onlosatosel~oblema:

avelociaelbacoes~ectoetieaes[m/sysuoientaciónes~ectoe laiecciónnotesuesƒ . ëY ltiem~oquetaaencuzaelíoes s ëY les~lazamientohaciaelesteelbacoallle
aalaotaoillaesGm

ëY

a si
uiente ~e
unta ya no es tan  cil +on qué n
ulo ebe oientase la ~oa el baco~aaqueunavezenel~unto enlaoillao~uestae
eseel~unto e~atia?

 omo ~uee vese en la i
ua tenemos que calcula el n
ulo e la iección e la velocia  el bacoes~ecto e lacoiente ~aaquela velocia el bacoes~ecto etiea[omeun n
ulo/calculaoanteiomente)conlaiecciónnotesu lesultaoelasuma[ es: [6senƒ osƒ
sen 
cos  obien, [senƒ
sen [cosƒ
cos contanƒ 
 o esulta iícil emosta que  ƒ aa ello, se han e em~lea las elaciones ti
onométicasconocias:

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

 ltiem~oquetaaelbacoene
esaal~untoe~atia es:

 aaemostalo,sehaem~leaolaelaciónti
onométicatan ƒ/cosƒ ltiem~ototaleviaje:

 onlosatosel~oblematenemos: l n
ulo que oma la ~oa el baco con la iección esteoeste es   ƒ . ëY ltiem~oeviajeeevuelta  syeltotal   s

ëY

    ltiem~oelviajeeia s)enelteceejem~loeselmínimo~aacuzaelío, es meno que en el se
uno ejem~lo ~ime caso
)   s) eo el viaje e vueltaenelteceejem~lo  s)esemayouaciónqueenelse
unoejem~lo  s) oloqueeltiem~oeviajeeiayvueltaenelse
unoejem~lo  s)esmenoqueenelteceejem~lo  s)yeselmínimoqueseem~leaencuza elío ltiem~oeviajeel~imeejem~lo  s)esi
ualaltiem~oeviajeeneltece ejem~lo      

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

      uanouncue~osemuevesobelasu~eicieela(ieaest sometioaosuezas lauezacentíu
aylauezaeoiolis

auezaeoioliseslaes~onsableelaotaciónel~lanoel~énuloe!oucault, laciculaciónelaiealeeoeloscentosebajaoalta~esión,laesviaciónela tayectoia e ~oyectiles e la
o alcance, la otación el a
ua cuano sale ~o el esa
1eelabañea,etc

a ueza centíu
a es es~onsable el cambio en el móulo y en la iección e la aceleaciónela
aveaaistintaslatitues

as uezas eales como la ueza que ejece un muelle, la ueza e atacción
avitatoia,lasuezas elécticas o ma
néticassonlas que esciben lasinteacciones ente los cue~os as uezas e inecia solamente se obsevan en sistemas e eeencia aceleaos, ~aa istin
uilas e las uezas eales se enominan también uezasicticiaso~seuouezas

aintouccióneesteti~oeuezasjuntoconlasealesacilitalaesoluciónelos ~oblemas e ’ec nica en los sistemas e eeencia en movimiento elativo e otaciónuniomecomola(iea

asómulasqueelacionanlavelocia .yelaaceleación.meiasenelsistema no inecial con la velocia  y aceleación  meias en el sistema inecial son las si
uientes   Sujustiicaciónla~oemosencontaenal
unoslibosetexto

   ,  [   na~atícula se muevealola
oelejeconvelociaconstante
,sabienoque enelinstanteinicial ,se encuentaenla~osiciónG,eteminalatayectoiaenel sistema no inecial que
ia con velocia an
ula constante en el sentio e las a
ujaseleloj
  

a~osiciónela~atícula enuncióneltiem~oes: G G 
  

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

lvecto~osiciónesG 

atayectoiaela~atículaesectilínea:


   GGcos  Gsen  lvecto~osiciónes: Gcos ) .Gsen ).



Sila~atícula~ateeloi
enenelinstante ,G
6  aistancia ela~atículaal oi
enenelinstante es:  l n
ulo
iao~oelsistemanoinecialalcaboeuncietotiem~o es 6 

a ecuación e la tayectoia en cooenaas~olaeses:

 %ue es una es~ial e "químees, tal como ~uee vese en el a~~let m s abajo sta es la es~ial que escibe la cinta e una casete e es~eso  al enollase, o la tayectoia que si
ue una a
uja en unisco 

[  
  

avelocia
ela~atícula esconstante: Y

~


Y

c
  Y



  
 



  
eivano es~ecto el tiem~o obtenemos la velocia e la ~atícula meia en el sistemanoinecial:

 [amosacom~aaesteesultaoconelquenos~o~ocionalaómula:  on: 
 */< *G  seobtiene: .
G

"hoa, elacionamos los vectoes unitaios , , el sistema e eeencia # inecial con los vectoes unitaios .,.elsistema #noinecial:

 

btenemosenuevo,elvectovelocia . 

[ 
  

avelocia
ela~atícula esconstanteenmóuloyiección:  Y

~
Y

c
  Y



  
 


  
eivano las com~onentes e la velocia con es~ecto el tiem~o obtenemos la aceleación.meiaenelsistemanoinecial

 [eamosahoameiantelaómula: 

osatosquetenemosson: , el movimiento es uniome en el sistema e eeencia inecial < Gcos ) .Gsen ). .
cos )G6sen )& .
sen )G6cos )&. alculamoscaaaceleaciónse~aaamente:      .<)
G .
.)
 .
G. 
sen )G6cos )& .
cos )G6sen )&.

 n la i
ua, se muesta que la aceleación e oiolis es siem~e ~e~enicula a la velocia & " la izquiea, se muesta el ~oucto vectoial en el es~acio, y a la eechalamismae~esentaciónenel~lano   ! %& conGcos ) .Gsen ). Y

~
Y

c
  Y



  
 

%&<)%6Gsen ) .6Gcos ).) 6Gcos ) .6Gsen )j.

 n la i
ua, se muesta el esultao el ti~le ~oucto vectoial a aceleación centíu
atieneiecciónaial Sumano las os contibuciones volvemos a obtene la aceleación . meia en el sistemanoinecial: .vsen )6Gcos )) .vcos )6Gsen )).


 "c n0ean eon!oucaultcol
óun~énuloemetosela
oelacú~ulaelos nv lios en ais n eci~iente que contenía aena estaba sujeto al extemo libe, el hilo e aena que caía el cubo mientas oscilaba el ~énulo señalaba la tayectoia
emostóex~eimentalmentequeel~lanoeoscilaciónel~énulo
iaba.caa hoa l ex~eimento e !oucault es una ~ueba eectiva e la otación e la (iea "unquela(ieaestuvieacubietaenubes,esteex~eimentohubieseemostaoque tieneunmovimientoeotación n esta simulación, el movimiento e ~énulo se sustituye ~o el ’ovimiento "mónicoSim~leeun~unto  G cos~ )
one ~eslaecuenciaan
ulaeoscilacióneesteima
inaio~énulo Seibujalatayectoiaenelsistemanoinecial #a~licanolatansomación: GGcos )cos~ )cos ) Gsen )cos~ )sen )
one eslavelociaan
ulaeotación n la i
ua, se muesta el n
ulo
iao ~o el ~lano e oscilación el )~énulo) uante el ~eioo e una oscilaciónl~énulo ~ate e " ye
esaa',~aainicia

Y

~
Y

c
  Y



  
 

unanuevaoscilaciónl n
ulo
iaoesè
 6£Sieno£ À~el~eiooeuna oscilación:

 l n
ulo
iao~o el~lanoeoscilaciónel~énuloenunahoa,esel~ouctoe è
~oelnúmeoeoscilacionesqueael~énuloenunahoa è
£Ü6.alahoa

(enienoencuentaquelavelociaan
ulaeotación ela(ieaese.en  h

aa un lu
a e latitu!, el n
ulo
iao ~o el ~lano e oscilación el ~énulo en una hoa vale .sen! aazón estiba en que el vecto velocia an
ula e otación  oman un n
ulo —! con la iección ~e~eniculaal ~lano local tal como se ve en la i
ua ecuéese que la aceleación e oiolis es~onsable e este enómeno es el ~ouctovectoial ¬ 

Sabienoquelalatitue aisesea~oximaamente .,el~lanoeoscilaciónel ~énuloe!oucault
iaaazóne.caahoa  Ü ~ 

asecuaciones~aaméticaselatayectoiason:

Y

~
Y

c
  Y



  
 

Gcos6 )cos )/)cos )) cos6 )sen )/)sen ) liminamoseltiem~o elasecuaciones~aaméticaselatayectoiayobtenemosla ecuacióneunacicuneenciacentaaenel~unto/,)yeaio/

 "  "    
  -    n ~énulo eséico la com~osición e os ’"S e la misma ecuencia an
ula ~  ~eoeiecciones~e~eniculaesesasaos . G cos~ )  sen~ ) liminano el tiem~o  en las os ecuaciones ~aaméticas, obtenemos la ecuaciónelatayectoiaela~atículaen el Sistema e eeencia necial, una eli~seesemiejes"y',talcomoseveen lai
ua

 

n un instante  la ~atícula ista  el oi
en y hace un n
ulo  con el eje  a ~osiciónela~atículaenelSistemaeeeencianeciales: G cos  sen



a~osiciónela~atículaelSistemaeeeencia oneciales:

Y

~
 Y

c
  Y



  
 

G cos )Gcos )sen )  sen )Gsen )cos )

as ecuaciones ~aaméticas el movimiento el ~énulo eséico visto ese el Sistemaeeeencia onecialson: G cos~ )cos ) sen~ )sen )  cos~ )sen ) sen~ )cos )  ~*  Y uano ,el~énuloescibeun’"Salola
oeleje G cos )cos )/)cos ))  cos~ )sen ) /)sen ) liminamoseltiem~o elasecuaciones~aaméticaselatayectoiayobtenemosla ecuacióneunacicuneenciacentaaenel~unto/,)yeaio/ Y uano

,el~énuloescibeunatayectoiacicula:

G cos )cos )sen )sen )cos  )  cos )sen )sen )cos )sen ) l~énuloescibeunatayectoiaciculacentaaeneloi
eneecuencia  Y uano

y~el~énuloescibeunatayectoiacicula:

G cos )cos )sen )sen )  cos )sen )sen )cos )

atayectoiaesel~untoijo,)

Y uano& ,el~énuloescibeunatayectoiaelí~tica: G cos )cos ) sen )sen )cos  ) sen  ) )sen  )

  cos )sen ) sen )cos )/)sen ) /)sen )

 liminamoseltiem~o elasecuaciones~aaméticaselatayectoiayobtenemosla ecuacióneunacicuneenciaeaio )/centaaenel~unto )/,)  Y

~
Y

c
  Y



  
 

  !,   n este ~
ina, se ex~lican los eectos e la aceleación e oiolis y la centíu
a, sobe el movimiento e un cue~o que cae veticalmente en el hemiseio ote ese unaaltuau Su~onemos que el obsevao est  en un sistema  inecial, en otación soliaiamenteconla(ieanelca~ítulo
in micaelestesea unaex~licacióne los eectos e la aceleación e oiolis ese el ~unto e vista e un obsevao inecial

   

aómulaelaaceleacióneoiolises: */+  one eslavelociaan
ulaeotaciónel~laneta,yeslavelociaelcue~o meia ~o el obsevao no inecial l n
ulo £ es la latitu el lu
a consieao situaoenelhemiseio ote 

 omo~oemosa~eciaenlai
uaem sabajo,elvectovelociaan
ulaoma un n
uloi
ualalalatitu£conlaiección oteSuenel~lanolocal

aaceleacióneoiolisenelhemiseio oteest ii
iahaciaelsteysumóulo es: 
6sen £) 
6cos£ "lola
oeleje-laaceleacióneslaela
avea# 

Y

~
Y

c
  Y



  
 

nel~lanolocaltenemoslacom~osicióneosmovimientos ëY

niomementeaceleaoalola
oeleje- 

ëY

"celeaoaceleaciónvaiable)alola
oeleje#

 Sehasu~uestoqueelcue~o~ateele~osoesela~osiciónzu,

a aceleación e oiolis e un cue~o que cae es m xima en el ecuao£ . y es nulaenlos~olos£ .nel~olocoincienlasieccioneselosvectoesvelocia an
ula e otación  y la velocia  el cue~o que cae, el ~oucto vectoial e ambosvectoeses~otanto,ceo $ Si estamos situaos en el ~lano el ecuao £ , y el cue~o se eja cae ese una altua e  m,tenemos una esviación cm, que nose ~uee a~eciaasim~le vista

  ! Si estamos en el hemiseio ote, en un lu
a e latitu £  na ~atícula situaa en este~untoescibeunacicuneenciaeaio -6cos£ aaceleacióncentíu
aes aialyii
iahaciaauea,talcomoseinicaenlai
ua,sumouloes:   -cos£

osatosel~laenta(ieason: ëY ëY

Y

[elociaan
ulaeotación,unavueltaÀ)caa hoas s) laioela(ieaese-2m

~
Y

c
  Y



  
 



aaceleacióncentíu
aseescom~oneenos, ëY

om~onente en la iección aial, que isminuye la aceleación  e la
avea


-cos£

a aceleación centíu
a en el ecuao£ ., es m xima -, ~eo es muy ~equeña com~aaacon 

 ëY

om~onente en la iección oteSueje ), que esvíalos cue~os hacia el Su l valo e esta com~onente es G sen£ -cos£6sen£staaceleaciónesnulacuanoestamosenel~lano ecuatoial£ —

n móvilquecae,escibeun movimientouniomementeaceleaoalola
oeleje   $

aesviaciónhaciaelsueuncue~oquecaeeseunaaltuaemenun~unto elatitu£ .esGcm,muy~equeña~aasea~eciaaasim~levista

Y

~
Y

c
  Y



  
 

   

Y

~


Y