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1

7s A = 72ah A

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2 Análisis vectorial Las cantidades vectoriales se pueden representar con flechas. La longitud de la flecha representa la magnitud de la cantidad vectorial, y la punta la dirección de esa cantidad. A esta flecha, trazada a escala y apuntando en forma correcta se le llama vector. Vector: Son aquellos segmentos de recta dirigidos que nos permiten representar y estudiar las magnitudes vectoriales. Así:

2. Para dos vectores con sentidos opuestos. En este caso se obtiene restando los módulos de los vectores. A esta resultante se le conoce como resultante mínima. (RMIN) R=A–B Ejemplo:

3. Para dos vectores perpendiculares El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. R = A2 + B2 Ejemplo: Sus elementos son: el módulo y la dirección. Notación: • V: se lee “vector” • V : se lee “módulo del vector” R = A2 + B2

OPERACIONES BÁSICAS CON LOS VECTORES

R = 32 + 42 = 5 u

Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza.

I. Suma de vectores

Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo llamado vector resultante (R ). 1. Para dos vectores con el mismo sentido El módulo de la resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores. A esta resultante se le conoce como resultante máxima (Rmax) R=A+B Ejemplo:

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera.

Este caso se trazan las paralelas a los vectores por sus extremos. La unión del origen de los vectores con la intersección de las paralelas es el vector resultante. El módulo de este vector resultante se obtiene de la siguiente manera: R = A2 + B2 + 2ABCosθ

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FÍSICA

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5.o año

ANÁLISIS VECTORIAL

Propiedades

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo. A.

Dado un vector, se puede descomponer en otros vectores llamados componentes de dicho vector, de tal manera que estos en su conjunto sean capaces de reemplazar al vector dado. Ejemplo:

R=x 2

B. Si a = 60º

R=x 3



Como vemos un vector puede descomponerse en dos o más vectores, siguiendo diferentes caminos, todos en conjunto tendrán una misma resultante: el vector x.

C. Si a = 120º

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

R=x



Nota importante:

Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal forma que estos sean mutuamente perpendiculares.

D = A - B ← vector diferencia

MÉTODO DEL POLÍGONO Consiste en colocar un vector a continuación del otro.

Vx = V Cosq ⇒

Vx = V Cosq

Vy = V Senq ⇒

Vy = V Senq

Además: Tanθ =

R=0

FÍSICA

Vx

Usaremos los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y, z positivas, respectivamente. Los vectores unitarios i, j y k forman un conjunto de vectores, mutuamente perpendiculares, en un sistema de coordenadas de mano derecha como muestra en la figura. La magnitud de cada vector unitario es igual a la unidad es decir |i| = |j| = |k| = 1.

Para un polígono cerrado

2

Vy

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5.o año

ANÁLISIS VECTORIAL

Los vectores en un plano pueden expresarse por medio de vectores unitarios:

Componentes de un vector en una dirección determinada. Por consiguiente, tenemos: A = A x i + Ay j

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el módulo de la resultante de los siguientes vectores.

UNMSM 5. Calcula el módulo de la resultante de los siguientes vectores.

Resolución:

Resolución: R = 4 cm

2. Calcula el módulo de la resultante de los siguientes vectores.

R = 122 + 52 = 13 u 3. A partir del siguiente grupo de vectores, calcula 1 A - B - 2C + D 3

6. Si dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16, ¿cuál será la resultante de estos vectores cuando formen un ángulo de 60º? 7. Calcula el módulo de la resultante de los siguientes vectores: a b |a| = 5N y |b| = 3N 72° 12° 8. Calcula el módulo de la resultante de los siguientes vectores.

4. Determina el vector resultante:



9

FÍSICA

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5.o año

ANÁLISIS VECTORIAL

9. Calcula el módulo de la resultante en el siguiente paralelogramo si M y N son puntos medios. Además, q = 120º.

UNI 15. Si la figura muestra la disposición de los vectores. A, B y C, calcula la magnitud de la resultante.

10. Calcula el vector resultante de los siguientes vectores. Resolución A = 3ti + 6tj B =- 3ti + 6tj C =- 6tj

11. Calcula la magnitud de la resultante de los vectores F1 y F2 . a F2

a a



A + B + C = 6tj ⇒ R = 5tj R =5 16. Si el lado de cada cuadrado pequeño mide 1 cm, calcula el módulo de a + b + c + d .

F1

12. Calcula el módulo de la resultante en el espacio:



13. Determina el módulo y la dirección del vector resultante en el siguiente sistema de vectores.

14. Calcular el módulo de la resultante

2

FÍSICA

17. Calcula el ángulo a y la magnitud de B de tal modo que se cumpla A + B + C = 0 , se sabe que A = 10 u.

18. Sean los vectores A y B con módulos 3 y 10 , respectivamente. Si el módulo de la suma A + B es igual a 5, ¿cuánto vale el módulo de la diferencia A - B ?

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3 Cinemática Estudia el movimiento de un objeto ignorando las interacciones con agentes externos que pueden causar o modificar dicho movimiento.

MOVIMIENTO MECÁNICO Este movimiento representa el cambio continuo en la posición de un objeto con respecto a un sistema de referencia. La física estudia tres tipos de movimiento: traslacional, rotacional y vibratorio. Ejemplo:

Para A: C experimenta movimiento mecánico Para B: C no experimenta movimiento mecánico De esto podemos concluir que el movimiento mecánico no es absoluto, sino que es relativo, pues depende del sistema de referencia.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

VELOCIDAD ( V ) Es una magnitud física vectorial que expresa la rapidez con la cual un móvil cambia de posición con respecto a un sistema de referencia. El cambio de posición se puede dar en un intervalo de tiempo o en un instante de tiempo. Unidad en el SI: m/s

1. Velocidad media ( Vm )

Se evalúa entre dos puntos de una trayectoria y se define como la razón entre el desplazamiento del cuerpo (Dr) y el intervalo de tiempo transcurrido (Dt).



Vm = ∅r ∅t



Note que la Vm y ∅r son codirigidos. (Colineales y tienen la misma dirección)

2. Velocidad instantánea ( V )

• • • • • •

r o : vector posición inicial r f : vector posición final ∅r : Desplazamiento ∅r = r f - r o d: Distancia recorrida (longitud de la trayectoria) S.R.: sistema de referencia (observador - coordenada - sistema temporal) • Móvil: cuerpo o partícula que experimenta movimiento

11

La velocidad instantánea es igual al valor límite de la proporción ∅r / ∅t en la medida que tiende a cero. El vector velocidad instantánea se grafica tangente a la trayectoria e indica la dirección del movimiento.

Cuando Dt → 0, el desplazamiento es tangente a la trayectoria. V = lim ∅r ∅t ∅t " 0 FÍSICA

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5.o año

CINEMÁTICA En todo M.R.U. se cumple que:

RAPÍDEZ (V) Es el módulo de la velocidad instantánea. Ejemplo:

Dr = V . t Ejemplo: Supongamos que un móvil se desplaza horizontalmente con velocidad constante y rapidez igual a 4 m/s.

Obs: u) Rapidez media (V Magnitud física escalar que se define como: u =d V t d: distancia recorrida (m) t: tiempo (s)

Como: D r = V . t o D x = V . t

ACELERACIÓN ( a )

∴

Es una magnitud física vectorial que nos indica la rapidez con la que cambia la velocidad de un móvil. Unidad en el SI m/s2

Aceleración media ( am ) Mide la rapidez de cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. a m = ∅V = Vf - Vi ∅t ∅t

⇒ xf – x0 = V . t x f = x 0 + V . t Ecuación del M.R.U.

Notemos que el módulo del desplazamiento coincide con la distancia recorrida (d) ya que es rectilíneo y se da en una sola dirección, por lo tanto, en este caso en particular se puede denotar: d = v.t

Gráficas en el M.R.U. Gráfica “V” vs “t”

a m y DV tienen la misma dirección

Movimiento con velocidad constante Si es constante, entonces su módulo (rapidez) y su dirección es constante. Esto implica que la trayectoria del móvil necesariamente será rectilínea. A este movimiento se le denomina Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

3

FÍSICA

• La gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos. • El área bajo la gráfica nos da el espacio recorrido o distancia. A0→t = eo→t

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5.o año

CINEMÁTICA Gráfica “V” vs “t”

• La gráfica es una recta inclinada respecto de la horizontal. • La tangente del ángulo de inclinación indica la velocidad constante del móvil. xf - xo Tanq = t

⇒ Tanq = V

Tanq = pendiente de la recta

Ecuaciones auxiliares: 1. Tiempo de encuentro.

te =

dsep V1 + V2

2. Tiempo de alcance.

ta =

dsep V1 - V2

Trabajando en clase Integral 1. Si un automóvil viaja con una rapidez de 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia de 500 m? Resolución: V = 90 Km # 5 = 25 m h 18 s 500 t =d/V ⇒ t = 25 ⇒ t = 20 s

13

2. Si un móvil con M.R.U. tiene una rapidez de 72 km/h, ¿qué tiempo empleará en recorrer 10 m? 3. Los perritos Fido y Dido están separados por una distancia de 500 m y parten simultáneamente al encuentro con velocidades constantes de módulos 7 m/s y 8 m/s. ¿Cuánto tiempo tardarán en estar separados 200 m? (Asumir M.R.U. para ambos) FÍSICA

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5.o año

CINEMÁTICA

4. Si un tren con M.R.U. demora 6 segundos en pasar delante de un observador y 15 segundos en pasar totalmente por un túnel de 270 m de longitud, ¿cuál es la longitud del tren?

9. Determina la magnitud del desplazamiento de una partícula en el tercer segundo si su posición está dada por la siguiente ecuación paramétrica: r = (t2 + 1; t2 – 1).

UNMSM

10. Escribe V o F con respecto a la siguiente gráfica y marca la secuencia correcta.

5. Un auto se encuentra a 540 m de una montaña, y se acerca a ella si cuando el claxon del auto suena el eco es percibido por el chofer 3 segundos después, calcula la rapidez del autor si con M.R.U. (Vsonido = 340 m/s)

I.

El móvil parte a 3 m del origen.

II. La rapidez del móvil es 1 m/s.

() ()

III. Para: t = 6 s el móvil está a 9 m del origen. ( ) Resolución: 540 + 540 – 3V = 340 . 3 V = 20 m/s 6. Un automóvil se encuentra a 620 m de una pared y se aleja de ella con M.R.U. cuando el chofer toca el claxon calcula después de qué tiempo escucha el eco del claxon, si el auto viaja a 30 m/s.

11. Si el gráfico posición – tiempo mostrado corresponde a un auto que se mueve en línea recta, determina el grado de verdad de las siguientes proposiciones.

(Vsonido = 340 m/s)

7. Dos autos que se encuentran separados 200 m parten en el mismo sentido y con M.R.U. en el mismo instante uno de ellos posee una rapidez de 75 m/s y el otro una de 50 m/s menos, calcula el espacio que recorre el más lento hasta que es alcanzado. 8. Calcula el vector velocidad media para la partícula que se muestra en la figura esta demora 2 s en ir de A hasta B.

I.

Desde t = 2 a t = 4 su movimiento es uniforme.

II. Para t = 9 su velocidad es cero. III. Para t > 4 su velocidad es negativa. 12. Una avioneta tiene una rapidez de 120 km/h respecto al aire si hay viento favorable de 40 km/h, ¿en cuánto tiempo recorre una distancia de 320 km? 13. Dos ciclistas A y B parten simultáneamente desde puntos opuestos de un camino recto, separados por una distancia d. Sean VA y VB los módulos de las velocidades constantes de los ciclistas A y B respectivamente; de modo que se encuentran al cabo de un minuto. Si VB = 5 m/s y la distancia recorrida por el ciclista A es igual a (3/4) d, determina la rapidez del ciclista A (VA) y la distancia d.

3

FÍSICA

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5.o año

CINEMÁTICA

14. Si el gráfico muestra la posición «x» de un móvil versus el tiempo «t» determina el tiempo en que el móvil pasa por el origen (x = 0).

75 km/h, lo sobrepasa midiendo que el tiempo que tarda para pasar de la cola a la cabeza del tren es de 10 s. La rapidez del tren, en km/h, es:

17. Se muestra la gráfica x – t de una partícula, determina cuál de las siguientes proposiciones es correcta. I. El móvil estuvo en reposo alguna vez. II. Para t = 10 s su posición es 10 m a la izquierda del origen. III. Su velocidad para t = 9 s es –5it m/s.

UNI 15. Un hombre del altura h camina con rapidez constante v y es iluminado por un foco que se encuentra a una altura H (ver figura). Para que el punto más adelantado de su sombra en el piso avance con rapidez 3v, la relación H/h debe ser igual a: 18. Si un insecto demora 2 s en ir del punto A al punto B, calcula la velocidad media (en m/s) desarrollada por el insecto en este recorrido, sabiendo que el radio de la circunferencia mostrada es 5 m.

h = H 2vt 3vt H =3 h 2

16. Con el objeto de medir la rapidez con la que alcanza un tren de longitud l = 100 m a un automovilista, que avanza en el mismo sentido a

15

FÍSICA

3

4

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.)

Es aquel movimiento donde le móvil describe una recta y se cumple que en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes.

inicial y final en dicho tramo, es decir la rapidez promedio será: Vp =

Vo + Vf 2

En el M.R.U.V. la distancia recorrida por el móvil en cierto intervalo de tiempo se determina multiplicando su rapidez promedio por el intervalo de tiempo transcurrido.

DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN CONSTANTE La aceleración de un cuerpo es constante si su módulo y su dirección permanecen iguales en todo momento. Una aceleración constante produce cambios iguales en la velocidad durante intervalos de tiempo también iguales. En el M.R.U.V la aceleración es constante y en todo momento es colineal con la velocidad. Su valor se determina por miedo de la siguiente relación: a = TV Tt



a = Vf –V0 t

De esto se deduce que la distancia recorrida por el móvil en el 1er segundo (d1 = 1 m) se obtiene multiplicando el valor de la rapidez promedio en este intervalo de tiempo (Vp = 1 m/s) por el tiempo de 1 s. Del mismo modo, la distancia recorrida en el 2do segundo (d2 = 3 m) se obtiene multiplicando el valor de la rapidez promedio en este tramo (Vp = 3 m/s) por el tiempo de 1 s. Análogamente, la distancia recorrida en el 3er segundo (d3 = 5 m) se obtiene multiplicando el valor de la rapidez promedio en este tramo (Vp = 5 m/s) por el tiempo de 1 s. En general, si un móvil parte del reposo y se mueve con M.R.U.V., las distancias recorridas en cada segundo aumenta en la forma que se indica en la figura:

Cuando: ti = 0 y tf = t → Dt = t Donde: DV = Dt = V o = V f =

Vector cambio de velocidad Intervalo de tiempo Velocidad inicial Velocidad final

Unidades de aceleración: cm/s2, m/s2, pie/s2. En el SI se expresa en m/s2.

LOS NÚMEROS DE GALILEO Como la rapidez aumenta o disminuye de manera uniforme, el valor medio de la rapidez, en un cierto intervalo de tiempo, es igual al promedio de la rapidez

4

FÍSICA

Según esto, cuando un móvil parte desde el reposo las distancias recorridas en cada segundo son proporcionales a los números 1; 3; 5; 7 y así sucesivamente. Estos números se les conoce como números de galileo. Cuando el móvil no parte del reposo, es decir cuando la velocidad inicial (V0) es diferente de cero, las

16

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

5.o año

distancias recorridas en cada segundo aumenta en la forma que se indica en la figura:

Unidades

En ambos casos las distancias recorridas por el móvil en cada segundo forman una serie aritmética de razón “a” donde “a” es el valor numérico de la aceleración.

TIPOS DE MOVIMIENTO VARIADO

1. Posición vs tiempo ( x – t)

a) Movimiento acelerado

GRÁFICAS EN EL M.R.U.V

Es aquel en donde la aceleración actúa a favor de la velocidad, de modo que el módulo de la velocidad aumenta a través del tiempo.



La ecuación del movimiento para un M.R.U.V. es la siguiente: 2 x f = xo + Vot + at 2

b) Movimiento desacelerado

Se le llama también movimiento retardado y es aquel en donde la aceleración actúa en contra de la velocidad, provocando que ésta disminuya su valor a medida que transcurre el tiempo.

VA = Tanq

2. Velocidad vs tiempo ( v – t)



Una ecuación que puede ser útil es la que permite calcular la distancia recorrida en el enésimo segundo: d n = Vo + a (2.n - 1) 2

17

a = Tanq d=A

← distancia recorrida FÍSICA

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

5.o año

Sea la gráfica siguiente:

3. Aceleración vs tiempo (a – t)

A1: recorrido hacia la derecha. A2: recorrido hacia la izquierda. d: |A1| + |A2 |(Recorrido) |D x |: |A1 – A2| (Módulo del desplazamiento)

|DV| = A DV = V f – V o

Trabajando en clase Integral 1. Si un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 50 m en 5 s, ¿cuál es el módulo de su aceleración en m/s? Resolución: D = v.t + 1 at2 ⇒ 50 = 0 + 1 a.52 ⇒ A = 4 m/s2 2 2 2. Un móvil con M.R.U.V cubre la distancia entre dos puntos que distan entre sí 50 m en 5 s. Si la rapidez con la que parte es de 15 m/s, ¿cuál es el módulo de su aceleración? 3. Un móvil con M.R.U.V. pasa por dos puntos con velocidades módulos de 3 m/s y 7 m/s. Si dichos puntos están separados 50 m, ¿qué tiempo empleó en el recorrido? 4. Un móvil partió del reposo con una aceleración de módulo 20 m/s2. Cuando su rapidez sea de 100 m/s, ¿qué distancia habrá recorrido?

Resolución: a = –Tana a = – 15 = –2,5 m/s2 6 6. En el gráfico v – t, determina la aceleración del móvil para t = 3, si se sabe que se desplaza en el eje x.

7. Si un cuerpo se mueve describiendo una trayectoria rectilínea, con una rapidez que varía con respecto al tiempo como indica el gráfico, calcula la distancia recorrida hasta detenerse en el intervalo de tiempo indicado.

UNMSM 5. Se muestra el gráfico v – t de un móvil que se desplaza en el eje x. Calcula su aceleración para el instante de 7 segundos.

8. Se muestra la gráfica V – t de un coche que se mueve en el eje x, determina cuáles de las siguientes proposiciones son correctas.

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FÍSICA

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

5.o año

I. Durante los primeros cuatro segundos se mueve hacia la derecha. II. A partir del cuarto segundo acelera uniformemente. III. El módulo de su desplazamiento durante los 10 s es 10 m. 9. De acuerdo al gráfico V – t, calcular la distancia recorrida por el móvil.

10. Un ciclista con M.R.U.V entra en una pendiente con una rapidez de 14 m/s y llega al final de ella con 2 m/s. Si todo el trayecto lo recorrió en 4 segundos, ¿cuál fue el módulo de su aceleración? 11. Un auto con M.R.U.V. tiene una rapidez inicial de 5 m/s. Si al pasar por un cruce empieza a acelerar a razón de 2 m/s2, calcula el espacio recorrido en 6 segundos. 12. Calcula la rapidez final de un auto que pasa por un punto a 12 m/s y acelera a razón de 4 m/s2 durante 3 segundos. 13. Calcula el tiempo en el que un automóvil se detiene, si su rapidez era de 20 m/s y recorrió 100 metros hasta detenerse. (El automóvil realiza un M.R.U.V.) 14. Si la gráfica representa la rapidez (v) de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta en función del tiempo (t), ¿qué intervalo de tiempo representa la aceleración constante pero diferente de cero?

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UNI 15. El espacio recorrido por una partícula en un movimiento rectilíneo está dada por: x = 2t2 + t + 4, donde t se mide en segundos y d en metros. Si el movimiento se inicia en el instante t = 0, calcula la rapidez (en m/s) que tiene la partícula al cabo de 4 s. Resolución: x = x0 + V . t + 1 at2 2 1 ⇒ V0 = 1 m/s a = 2 a = 4 m/s2 2 Vf = V0 + at Vf = 1 + 4.4 = 17 m/s 16. El espacio recorrido por una partícula en un movimiento rectilíneo está dada por: x = t2 + 2t + 12, donde t se mide en segundos y d en metros. Si el movimiento se inicia en el instante t = 0, calcula la rapidez en m/s que tiene la partícula al cabo de 5 s. 17. Un carro se mueve en una pista recta con movimiento uniformemente variado. Si en los instantes 1; 2 y 3 segundos sus posiciones son 70, 90 y 100 m, respectivamente, calcula la posición inicial del carro en metros, 18. La dependencia de la velocidad de una partícula en función del tiempo es mostrada en la figura. Si la partícula realiza un movimiento unidimensional, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? (la partícula se mueve en el eje x).



FÍSICA

4

5

Movimiento vertical de caída libre (M.V.C.L.)

DEFINICIÓN Es aquel tipo de movimiento uniformemente variado (M.R.U.V) cuya trayectoria es una línea recta vertical, que se debe a la presencia de la gravedad más no del peso del cuerpo ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se presenta cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, o simplemente es soltado. Este tipo de M.V.C.L. es independiente del peso del cuerpo.

4. Todos los cuerpos que se dejan caer simultáneamente con la misma velocidad inicial desde una altura, utilizan el mismo tiempo para llegar al suelo. 5. Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.

En Hmáx ⇒ Vf = 0

Tener en cuenta:

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE 1. No se considera la resistencia del aire, es decir el medio es vacío. 2. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos, cualquiera que sea su masa. A esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor a 45º de latitud es: g = 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2 3. Si un cuerpo es disparado verticalmente hacia arriba desde una determinada altura, se cumple que la rapidez de subida (VS) es igual a la rapidez de bajada (VB), y que el tiempo empleado para subir (tS) y bajar (tB) un mismo tramo o altura, son iguales.

Hmáx = tv =

Observaciones

1. La gravedad no es la misma en todos los lugares de la tierra, depende de la altura sobre el nivel del mar y de la latitud. En los polos: g = 9,83 m/s2 (Máxima) En el Ecuador: g = 9,78 m/s2 (Mínima) 2. No solo la tierra atrae a los cuerpos, también el sol, la luna y todo astro. Se entiende por gravedad a la región de espacio que rodea a un astro, gracias al cual atrae a los cuerpos (campo gravitatorio) la aceleración de la gravedad es la rapidez con que es atraído un cuerpo.

tS = tB

g Tierra 6

gSol = 28 gTierra

VS = VB FÍSICA

2V0 g

tv: tiempo de vuelo (s) tv = ts + tb

gLuna =

5

V02 2g

20

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L.)

5.o año

3. Como las características en sus movimientos, (M.V.C.L. y M.R.U.V.) son equivalente, las ecuaciones o fórmulas y los gráficos también lo son. M.R.U.V.

4. Forma vectorial:

M.V.C.L.

YY Vf = Vi + gt YY h = Vi t + 2

gt2 2

2

YY V f = Vi + 2 g.h YY h = e Vo + Vf o .t

2



En este caso se deberá tener en cuenta el sentido de la magnitud vectorial que se va a reemplazar. ↑(+); ↓(–)

Trabajando en clase Integral 1. Calcula la altura que alcanza el proyectil (desprecie la resistencia del aire)

UNMSM 5. Desde una altura de 150 m se lanza hacia arriba un objeto con rapidez de 35 m/s. Calcula el tiempo que demora en chocar con el piso. (g = 10 m/s2) Resolución:

Resolución: H max =

derando caída libre calcula la rapidez con que se lanzó dicho objeto. (g = 10 m/s2)

2 V02 = 60 = 180 m 2g 2.10

2. Si un paquete ubicado en el piso es lanzado verticalmente hacia arriba con V = 40 m/s, determina la altura que logra alcanzar. (g = 10 m/s2) (Considere caída libre). 3. Si un cuerpo es soltado desde una altura de 180 m, calcula su rapidez cuando llega a tierra y el tiempo empleado se sabe que los efectos del aire son despreciables. (g = 10 m/s2) 4. Se lanza un objeto desde cierta altura llegando al piso en 5 s, con una rapidez de 70 m/s. Consi-

21

EC vectorial: V o = +35 m/s g = –10m/s2

h = –150 m t=? FÍSICA

5

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L.)

5.o año h = V o . t + 1 g t2 2 –150 = 35t + 1 (–10)t2 2 2 t – 7t – 30 = 1 t –10 t 3 t = 10 s 6. Si los efectos del aire son despreciables, calcula el tiempo que permanece en movimiento. (g = 10 m/s2)

Si la rapidez de lanzamiento de la pelota se duplica y se desprecian los efectos del aire, ¿qué altura máxima alcanza la pelota? 13. Un objeto cae libremente desde una altura de 45,0 m si en este mismo instante un joven, que se encuentra a 18 m de la vertical de la caída del objeto, moviéndose a velocidad constante, logra atrapar el objeto justo antes de que toque el suelo, ¿cuál es la rapidez V del joven y el tiempo t transcurrido? (g = 10 m/s2) 14. Un globo está ascendiendo a razón de 10 m/s, a una altura de 75 m sobre el nivel del suelo se deja caer desde él un bulto si se desprecia la resistencia del aire, ¿con qué rapidez golpea el suelo el bulto? (g = 10 m/s2) UNI

7. Calcula el tiempo que permanece en el aire el proyectil, considere M.V.C.L. (g = 10 m/s2)

15. Si un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el último segundo una distancia de 55 m, ¡desde que altura cae? (g = 10 m/s2) Resolución

8. Si un paquete ubicado a 70 m del piso es lanzado verticalmente hacia arriba con V = 20 m/s, determina a qué altura se encontrará luego de 2 s; considere caída libre. (g = 10 m/s2) 9. Si un objeto es soltado en el vacío y recorre 35 m en su último segundo de caída libre. Calcula desde que altura fue soltado. (g = 10 m/s2)

16. Si un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el último segundo una distancia de 44,1 m, ¿desde qué altura cae? (g = 9,8 m/s2)

10. Si desde la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra y regresa a tierra en 2 segundos, calcula su altura máxima si la resistencia del aire es despreciable. (g = 10 m/s)

17. Si una piedra es lanzada inicialmente hacia abajo en un pozo con una rapidez inicial de 32 m/s y llega al fondo en 3 s, ¿cuál es la profundidad del pozo en m y la rapidez con que llega la piedra en m/s respectivamente? (g = 9,81 m/s2) (desprecie la resistencia del aire)

11. Si se lanza un objeto verticalmente hacia arriba, en caída libre, ¿qué rapidez tendrá cuando le falten 20 m para llegar al punto más alto de su trayectoria? (g = 10 m/s2) 12. Una pelota, lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez V1, alcanza un altura máxima h1.

5

FÍSICA

18. Una partícula en el vacío es lanzada verticalmente hacia arriba y en el primer segundo llega a una altura h. Si g es la aceleración de la gravedad, ¿cuál será el recorrido de la partícula en el siguiente segundo?

22

6

Movimiento parabólico de caída libre (M.P.C.L.)

La figura es una simulación por computador de la trayectoria de una pelota con Vo = 50 m/s, a = 53º, sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota. ZZ Esta aproximación es razonable siempre que el

intervalo de movimiento sea pequeño, comparado con el radio de la tierra (6,4.106 m). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la tierra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado.

Con esta suposición, encontramos que la curva que describe un proyectil (partícula), que llamaremos su trayectoria, siempre es una parábola.

Tener en cuenta: Para un proyectil de largo alcance, tal como el mostrado en la figura, donde todos los vectores señalan hacia el centro de la tierra y varían con la altura, la trayectoria es un arco de elipse, como se estudiará más adelante.

Al proyectar se observa que:

1. En el eje x:

No existe aceleración, entonces en esta dirección la velocidad Vox se mantiene constante, por lo tanto el móvil desarrollada un M.R.U.

2. En el eje y:

En esta dirección la velocidad Vy experimenta cambios de manera uniforme debido a la aceleración de la gravedad (g ), por lo tanto, el móvil experimenta en esta proyección un M.V.C.L.

Observación: Si bien el análisis se hace independientemente en cada eje, esto ocurre simultáneamente, es decir, los intervalos de tiempo que transcurren para cada dirección son iguales. Si quisiéramos determina la rapidez de la pelota después de ser lanzada, tendría que usarse el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en el instante mostrado, Vx y Vy son respectivamente perpendiculares, luego:

Si tenemos en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria deja de ser parabólica y el alcance disminuye. Para analizar el M.P.C.L. se proyecta tal movimiento en la dirección vertical y en la dirección horizontal.

23

V = V x2 + V y2 FÍSICA

6

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (M.P.C.L.)

5.o año ZZ Para el movimiento horizontal:

ZZ Al disparar un proyectil dos veces con la misma

rapidez, pero con ángulos de elevación complementarios, se logra igual alcance horizontal.

dx = vx . t ZZ Para el movimiento vertical:

a + b = 90º ZZ Para una rapidez fija de lanzamiento, se logra

máximo alcance horizontal cuando el ángulo de lanzamiento es de 45º.

ZZ Podemos determinar si conocemos la relación

entre h, a y b.

Tanθ = 1 + 1 a b h

q = 45º

Trabajando en clase Integral 1. A partir del siguiente gráfico determina: • La máxima altura alcanzada • El tiempo que demora para lograr esa altura Desprecie la resistencia del aire

Resolución: 2 h máx = 80 = 320 m 2.10 ts = 80 = 8s 10



2. Si se desprecia la resistencia del aire, determina: • La máxima altura alcanzada. • El tiempo que demora para lograr esa altura.

6

FÍSICA

3. Una bomba es soltada desde un avión que se mueve horizontalmente con M.R.U. con V = 50 m/s. Si el avión está a una altura de 2000 m y se desprecia la resistencia del aire, ¿qué tiempo demora la bomba en estallar contra el piso y que distancia horizontal recorrió la bomba? (g = 10 m/s2) 4. De un movimiento parabólico de caída libre se sabe que el tiempo de vuelo es de 6 s. ¿Cuál es la máxima altura que logrará?. (g = 10 m/s2) UNMSM 5. A partir de la siguiente figura, determina el tiempo de vuelo en que la velocidad del proyectil

24

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (M.P.C.L.)

5.o año

forma un ángulo de 45º con la vertical si se desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)

10. Un proyectil es lanzado con una rapidez de 10 m/s, formando un ángulo de 60º con la horizontal, ¿a qué distancia del lugar de lanzamiento caerá si se considera M.P.C.L.? (g = 10 m/s2)

Resolución:

11. Un proyectil se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad. Después de haber sido lanzado, formando un cierto ángulo con la horizontal, cuando alcanza su máxima altura se afirma que:



∴ tvuelo = 3s

6. A partir de la siguiente figura, determina el tiempo de vuelo en que la velocidad del proyectil forma un ángulo de 45º con la vertical si se desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)

7. Determina con qué ángulo de elevación debe dispararse un proyectil para que su alcance sea el triple de su altura máxima. (Considere M.P.C.L.) 8. A partir del siguiente gráfico, calcule la rapidez con que el cuerpo llega a impactar con el piso si se desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)

12. Un bloque es lanzado con un M.P.C.L. con un ángulo de inclinación de 60º tal como se muestra en la figura. Determina la rapidez mínima inicial para que el proyectil pase por la barrera con una velocidad horizontal de módulo 12 m/s.

13. Un cañón dispara un proyectil con una rapidez de 1000 m/s, formando un ángulo de 53º con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el objetivo si horizontalmente se encuentra a 1000 m del cañón y se desprecia la resistencia del aire? (g = 10 m/s2) 14. La figura muestra un proyectil disparado con una rapidez (Vo) de 30 m/s, el cual impacta en P después de 10 s. Determina la tan si se desprecia la resistencia del aire.

9. Si una piedra se lanza horizontalmente desde P, de modo que llega a Q con movimiento semiparabólico de caída libre, calcula la rapidez en P.

25

FÍSICA

6

MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE (M.P.C.L.)

5.o año UNI 15. Desde el borde de un acantilado de 35 m de altura se dispara un proyectil con una rapidez de 50 m/s, con una ángulo de elevación de 37º respecto de la horizontal. Calcula la tangente del ángulo , que la velocidad del proyectil forma con la horizontal al momento de tocar el piso (Desprecie la resistencia del aire).

Resolución

En la vertical: Vfy = Voy + gt Vfy = 30 - 107 Vfy = 40 m/s ⇒ b = 45° ⇒ tanb = 1

6

FÍSICA

16. Desde el borde de un acantilado de 50 m de altura se dispara un proyectil con una rapidez de 30 m/s, con un ángulo de elevación de 30º respecto de la horizontal. Calcula la tangente del ángulo , que la velocidad del proyectil hace con la horizontal al momento de tocar el piso. (Desprecia la resistencia del aire)

17. Una pelota es lanzada con rapidez inicial Vo haciendo un ángulo con la horizontal como se indica en el figura. Si no se considera la resistencia del aire, determina el tiempo que tarda la pelota en ir del punto A al punto C.

18. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 20 m/s, con un ángulo de 45º con respecto a la horizontal. El proyectil pasa por dos puntos situados a una misma altura de 10 m, separados una cierta distancia d. Calcular en metros esta distancia si se desprecia la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)

26

7 Movimiento Circunferencial ¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL?

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)

Para responder, analicemos lo que ocurre cuando una piedra atada a una cuerda gira en un plano vertical. Se observa:

Es aquel movimiento donde una partícula describe una trayectoria circunferencial, experimentando en intervalos de tiempos iguales, recorridos lineales iguales, además el radio vector barre ángulos iguales.

Considerando “t” el tiempo transcurrido y “q” el ángulo barrido, tenemos: 1. Respecto al centro “O” la piedra cambia continuamente de posición (A, B, C, …). Si unimos todas las posiciones por las que pasa la piedra obtenemos una línea curva denominada circunferencia. 2. El vector que parte del centro “O” y ubica a la piedra en todo instante se denomina radio vector (R ), el que describe un ángulo central (q) y una superficie denominada círculo. Si solo consideramos la trayectoria que describe la piedra diremos que ésta desarrolla un movimiento circunferencial. Por lo tanto, movimiento circunferencial es un fenómeno físico que se manifiesta cuando simultáneamente un cuerpo cambia de posición y de ángulo central respecto de un punto fijo denominado centro, permitiéndole describir una circunferencia como trayectoria. Para medir la longitud entre dos posiciones se utiliza una magnitud denominada longitud de arco o recorrido lineal (L), la cual está relacionada con el ángulo barrido (q) y el radio de giro (R). L = qR q → en radianes (rad) R → en metro (m) L → en metro (m)

“q” es D.P. a “t”. Ello implica que: θ = cte., donde t la constante es la rapidez angular (w), la cual es el módulo de la velocidad angular (w ). ZZ Periodo (T): Es el tiempo que emplea un cuerpo con movimiento de rotación uniforme, para realizar un giro de 360º, es decir, una vuelta completa. T=

Tiempo empleado Nº de vueltas

(s)

ZZ Frecuencia (f): Es el número de vueltas o revolu-

ciones efectuadas en un determinado tiempo. Es la inversa del periodo. f = Nº de vueltas Tiempo



Unidad: hertz (Hz)

Obs.:

f= 1 T

VELOCIDAD ANGULAR (w ) Es una magnitud física vectorial que expresa la medida de la rapidez de cambio del desplazamiento angular.

27

FÍSICA

7

5.o año

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL Pero: L = qR …(**) Reemp. (**) en (*): VT = θR t VT = wR

Si la ω es constante, el módulo de esta velocidad se evalúa de la siguiente manera:

La velocidad lineal o velocidad tangencial (VT) no es constante en el M.C.U. porque su dirección cambia continuamente, por tal motivo en este movimiento existe aceleración, denominada aceleración centrípeta ( a cp).

Tener en cuenta:

w= q t Unidad:

radian rad segundo d s n

1RPM: Una revolución por minuto una vuelta por minuto. 1RPM ≈ ≠ rad/s 30

q: Ángulo barrido w: rapidez angular

1RPS: Una revolución por segundo una vuelta por segundo.

Como forma práctica para indicar la dirección de la velocidad angular se utiliza la regla de la mano derecha, la cual consiste en girar los 4 dedos juntos, menos el pulgar en el sentido del movimiento; luego de ello el dedo pulgar indica la dirección de la velocidad angular (ω ), tal como se muestra en la figura.

Como en cada instante el móvil gira en un mismo sentido y en cada segundo el radio vector barre un ángulo constante, entonces en el M.C.U. la velocidad angular es constante (ω ), tanto en valor como en dirección. En el M.C.U. ¿qué ocurre con la rapidez lineal o rapidez tangencial (VT)? Debido a que en intervalos de tiempos iguales los ángulos barridos son iguales, las longitudes de arco son iguales (LAB = LBC); por ello la rapidez lineal es constante (VT).

7

FÍSICA

Relación entre w y VT

1RPS ≈ 2p rad/s

ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( a CP) Mide la rapidez del cambio de la dirección de la velocidad tangencial cuyo módulo se determina para cada instante mediante: acp =

VT2 2 ; acp = w R R

unidad m/s2

Además la dirección de en todo instante está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Es decir:

28

5.o año

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

Trabajando en clase Integral 1. Si una partícula con M.C.U. genera 18º en un décimo de segundo, calcula su rapidez angular. Resolución: θ = 18” # ≠ = ≠ rad 180 10 ≠ θ 10 w= w= = ≠ rad/s t 1 10 2. Si una partícula con M.C.U. genera 36º en un décimo de segundo, calcula su rapidez angular. 3. Si un cuerpo con M.C.U. gira con 5p rad/s, calcula su rapidez tangencial. Radio de la circunferencia = 2 m. 4. Si una partícula con M.C.U. describe un arco de 6 m en un tiempo de 2 segundos, calcula su rapidez tangencial.

11. Calcula la rapidez angular del segundero y el minutero de un reloj. Da la respuesta en rad/s. 12. Calcula la rapidez angular de la rueda 2 si la rueda 1 gira constantemente con 12p rad/s. Además R se sabe que: 1 = 4 R2

13. Calcula la rapidez con que sube el bloque en el siguiente sistema si se sabe que RA = 10 cm, RB = 30 cm, RC = 5 cm, y además a polea C gira con una rapidez de 9 rad/s.

UNMSM 5. Si una rueda que gira con 120 RPM (M.C.U.). Calcula el ángulo barrido en el centro en 50 segundos. Resolución: 120 # ≠ = 4≠ rad 30 s

q = w . t q = 4p . 50 = 200 p rad

6. Si una partícula con M.C.U. gira a razón de 180 RPM, calcula el ángulo que genera en 1 segundo. 7. Si una partícula con M.C.U., gira con p/6, calcula el ángulo que genera en el tercer segundo de su movimiento.

14. Si las manecillas de un reloj (horario y minutero) marcan las 12 h, calcula el tiempo que transcurre para que ambas nuevamente coincidan. UNI 15. Desde una altura de 80 m se suelta una piedra sobre un punto X perteneciente a la periferia de un disco de 60 RPM y cuyo radio es de 10 cm. Si la piedra es soltada justo cuando el disco empieza a girar, ¿qué distancia separa al punto X y la piedra cuando esta choca con el disco? (g = 10 m/s).

UNMSM 8. Si un disco gira constantemente con 7p rad/s durante 10 s, calcula el número de vueltas que genera en ese tiempo. 9. Si un disco gira con una frecuencia de 45 RPM, calcula su rapidez angular. 10. Si el periodo de un disco que gira con M.C.U. es de 2 segundos. Calcula su rapidez angular.

29

Resolución 60 # ≠ = 2≠ rad & en 1 segundo da 1 vuelta 30 s FÍSICA

7

5.o año

Para la piedra: h =

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL gt2 " t = 4s 2

Cae justo en el punto x.

17. En el siguiente sistema se tiene 3 poleas tangentes, la polea de menor radio es inmovilizada por un motor que gira a 1800 RPM. Calcula las RPM de la polea mayor.

d=0 16. Desde una altura de 20 m se suelta una piedra sobre un punto “X” perteneciente a la periferia de un disco de 180 RPM y cuyo radio es de 10 cm. Si la piedra es soltada justo cuando el disco empieza a girar, ¿qué distancia separa al punto X y la piedra cuando esta choca con el disco? (g = 10 m/s)

7

FÍSICA

18. Un disco gira en un plano horizontal con M.C.U. si tiene un hueco a una cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pasa por el mismo hueco, ¿cuál es la rapidez angular mínima del disco? (g = 10 m/s2)

30

8 Repaso Trabajando en clase Integral 1. Calcula x + y + z si la siguiente ecuación dimensional es correcta: F = Mx+y Ty Dz F: Fuerza; M: masa; T: Tiempo; D: Densidad

7. Si la resultante máxima y mínima de dos vectores son 12 y 4, respectivamente, calcula el módulo del vector diferencia de dichos vectores si forman un ángulo de 60º. 8. Calcula el módulo de la resultante si es horizontal.

2. Calcula AC si V = A + BT + CT2 B V = Velocidad; T = Tiempo 3. Después de qué tiempo los autos estarán separados 50 m por primera vez. (Considera M.R.U.)

4. Calcula la rapidez representada en el siguiente gráfico.

9. José viaja en sus patines con una rapidez de 2 m/s si ingresa en una pendiente de 20 m de longitud, saliendo de ella con una rapidez de 12 m/s, ¿cuál fue el módulo de la aceleración constante que experimentó? 10. Si un automóvil que viaja con una rapidez de 20 m/s frena en una pista horizontal, recorriendo una distancia de 50 m durante el frenado, calcula el módulo de su aceleración constante.

UNMSM 5. Un tren que viaja a razón de 120 m/s con M.R.U. ingresa a un túnel de 300 m de longitud y demora 3 segundos en salir de él. ¿Cuál es la longitud del tren?

11. Si la gráfica representa un cuerpo con movimiento rectilíneo, calcula el módulo de la aceleración que experimenta.

6. Calcula la magnitud de la resultante de los vectores mostrados. Se sabe que ABCD es un trapecio y AB = 14 y DC = 22.

31

FÍSICA

8

5.o año

REPASO

12. Se suelta un lapicero desde la parte superior de un edificio. Si emplea un segundo en recorrer los últimos 45 m, ¿cuál es la altura del edificio si se desprecia la resistencia del aire? (g = 10 m/s2) 13. Si dentro de un pozo seco de 80 m de profundidad se suelta una moneda en caída libre, calcula el tiempo que dura la caída. (g = 10 m/s2)

17. Calcula la rapidez luego de 3 s.

14. Si se dispara una bala verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, ¿qué tiempo tarda en volver a tierra= (g = 10 m/s2) (Considera caída libre) 15. Un bombardero vuela horizontalmente con una velocidad constante de módulo V. Si en el instante mostrado suelta una bomba destruyendo al camión que se desplazaba a velocidad constante de módulo 10 m/s, calcula V.

18. Si un cilindro de 40 cm de radio gira uniformemente en torno a su eje a razón de 75 RPM, ¿cuál es la rapidez tangencial de los puntos de su superficie? 19. Una estrella fugaz brilla en el cielo durante 3 s describiendo un ángulo de 10º. Si su radio promedio es 90 km, determina la rapidez tangencial de la estrella en km/h. 20. Si w = 4 rad/s, determina la rapidez tangencia que tienen los puntos periféricos de 3. (R1 = 12 cm; R2 = 6 cm; R3 = 8 cm).

16. Si en la figura muestra un objeto en caída libre, determina H.

Bibliografía 1. Física Universitaria. Sears, Zemoansky, Young y Fredeman - Undecima edición. 2. Física teoría y Problemas. Walter Perez Terrel. Editorial San Marcos. 3. Análisis Dimensional y Vectores. Antonio Montalvo Correa. Lumbreras Editorial.

8

FÍSICA

32

Física

1 Estática I Es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es analizar las condiciones que deben reunir un conjunto de fuerzas o cuplas, o fuerzas y cuplas a la vez, que actúan sobre un cuerpo o sistema para que lo mantengan en equilibrio.



I. ¿QUÉ ES UNA FUERZA?

Cuando un cuerpo actúa sobre otro, puede modificar su estado mecánico. A la acción mutua entre dos cuerpos de denomina «interacción». La interacción mecánica puede efectuarse entre cuerpos en contacto directo (fuerza de contacto), así como entre cuerpos separados (fuerza de largo alcance).









El concepto de fuerza nos da una descripción cualitativa de la interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. La fuerza es una magnitud física vectorial, ya que para definirla debemos indicar su dirección de acción y su magnitud. La fuerza tiene como unidad de medida en el Sistema Internacional (SI) el newton (N). Las únicas fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son todas las fuerzas de campo (fuerzas que no involucran contacto físico).



5.°

año

2. Fuerzas electromagnéticas



Tiene como origen a las cargas eléctricas de los cuerpos en reposo o en movimientos. Las fuerzas son eléctricas si las cargas eléctricas están en reposo, y serán magnéticas si las cargas están en movimiento.

3. Fuerzas nucleares

Estas fuerzas unen los protones y los neutrones en el núcleo atómico y son de corto alcance.

4. Fuerzas débiles

Están fundamentalmente asociadas a la descomposición de núcleos radiactivos. Las fuerzas que con frecuencia usaremos en estática están comprendidas entre las dos primeras de la clasificación.

II. FUERZAS USUALES 1. Fuerza de gravedad (F g)

1. Fuerzas gravitacionales



atraerse por la fuerza de gravedad, a diferencia de otras fuerzas en las que también se pueden rechazar los objetos. Esta fuerza es la que mantiene a los planetas girando alrededor del sol y a nuestro satélite natural, la luna, orbitando alrededor de la Tierra.

Esta es una fuerza puramente atractiva, ya que dos cuerpos con masa siempre tienden a

117

Llamada también fuerza gravitacional, es aquella con la cual se atraen dos cuerpos en el universo, esto se debe a la interacción gravitatoria entre los cuerpos. La fuerza de gravedad es un tipo de fuerza que aparece de una interacción a distancia. El valor de la F g, que actúa sobre un cuerpo en la Tierra, depende de la ubicación (distancia al centro de la Tierra) del cuerpo. En la superficie terrestre y para alturas pequeñas, en comparación con el radio de la Tierra, se determina así:

FÍSICA

1

ESTÁTICA I V=0 g m



Fg

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//



FN



m: masa del cuerpo g : aceleración de la gravedad Fg = m.g



FN

FN



4. Fuerza elástica (F e)



La fuerza de gravedad se grafica vertical y hacia abajo, en un punto llamado centro de gravedad (C.G.); el cual, para cuerpos homogéneos, coincide con su centro geométrico.

Es aquella fuerza interna que aparece en los cuerpos elásticos cuando son deformados. Esta fuerza aparece en un sentido tal que se opone a la deformación que experimenta el cuerpo.

Lo

2. Fuerzas de tensión (T)



Es la fuerza interna que surge en los cables, cuerdas, etc. cuando son estirados.

x

Fe

Fuerzas de atracción



entre las moléculas del cable dan como resultado la





fuerza de tensión T

T

T T

⇒ T

Llamada también fuerza de contacto, es una fuerza de reacción que se manifiesta siempre que exista contacto entre dos superficies. La línea de acción de esta fuerza es perpendicular a las superficies de contacto y se grafica señalando al cuerpo en análisis.





1

FÍSICA

Fe x

= cte = K

Fe = KX

La fuerza de tensión tiene la misma dirección de la cuerda y se grafica jalando al cuerpo o sistema sobre el que actúa. Para una cuerda ideal (de masa despreciables), el módulo de la tensión es el mismo en cualquier punto de la cuerda.

3. Fuerza de reacción normal (R N)

A mayor «x», mayor Fe A menor «x», menor Fe



118

F e: fuerza elástica (newton=N) K: constante elástica del resorte (N/m) X: elongación del resorte Lo = longitud natural del resorte (cuando no está deformado) Fe: módulo de la F e Nota: el valor de K depende del material del resorte y de su longitud natural.

5. Fuerza de rozamiento o de fricción (f )

Seguramente alguna vez has intentado arrastrar un bloque de cierto material, y habrás notado que no resbala

5.°

año

ESTÁTICA I Inicialmente V=0

V=0 El bloque no resbala



fs



//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//





Esto se debe a que tanto la superficie del bloque como el piso presentan asperezas (rugosidades) y, por ello, se manifiesta una oposición al deslizamiento relativo entre las superficies, surgiendo así una fuerza que recibe el nombre de «fuerza de rozamiento».



R



R N: fuerza de reacción normal (N)



R : fuerza de reacción del piso bloque (N)



R=

f 2 + RN2

año



Esta se manifiesta cuando las superficies en contacto deslizan una respecto de la otra. Su valor es prácticamente constante. V



Nota: Cuando un bloque resbala o intenta resbalar sobre una superficie, la fuerza total ( R ) sobre el cuerpo es inclinada respecto a la superficie de contacto y para facilitar el análisis se descompone en una fuerza de reacciona normal ( R N) y una de razonamiento ( f )

Esta fuerza se manifiesta cuando las superficies tienden al desplazamiento pero no lo logran. Por ejemplo, si analizamos el bloque apoyado sobre el plano inclinado rugoso:

5.°

2. Fuerza de rozamiento cinético (fk )

sobre el

III. CASOS PARTICULARES 1. Fuerzas de rozamiento estático(f s)



de rozamiento estático

fk = uk . RN

Luego, tenemos:



RN

fsmax = uS . RN

Donde: uS: coeficiente (adimensional)

fN



b>a

El bloque aumenta su tendencia a resbalar, luego, también aumenta «fS», de modo que en algún momento el bloque estará a punto de deslizar (movimiento inminente). En este instante, la fuerza de rozamiento estático alcanza su valor máximo(fsmáx).



T



fs

RN

a

Luego:

En el ejemplo:

RN

V=0

Aumentamos el ángulo de inclinación

a

RN



uk= coeficiente de rozamiento cinético (adimensional) Nota: Entre dos superficies de rozamiento (uS y uk); de modo que: uS > uk.

IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL)

Llamado también «diagrama de fuerzas», es aquella gráfica donde se representan todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema. Para efectuar un DCL, debes tener en cuenta lo siguiente: 1. Se aisla el cuerpo en estudio. 2. Se dibuja la fuerza de gravedad vertical y hacia abajo. 3. Se analiza la existencia de interacciones; si estas existen, aparecen las fuerzas.

119

FÍSICA

1

ESTÁTICA I Ten en cuenta: Si interacciona con una superficie rugosa: Aparece una fuerza entrante al cuerpo y que no necesariamente es perpendicular a las superficies en contacto. rugoso



//=

//=

//=

T1



/ =/

//

/=



//=



/= =/

//=

//=

/ //=

//

1. Teorema de Lamy



El teorema de Lamy, que fue enunciado por el religioso francés Bernard Lamy (1645-1716), nos dice: Si un cuerpo rígido en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres (3) fuerzas, estas deben ser coplanares y sus líneas de acción deben ser concurrentes. La razón por la que las tres fuerzas deben ser coplanares es bastante simple. Si no fuese así, no se cumpliría la primera condición de equilibrio.



T1

Sena



=

T2

Senb

=

Fg

Senγ

2. Equilibrio mecánico

Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio mecanico, cuando su estado de movimiento como conjunto no cambia en el tiempo. Este concepto es relativo por que el estado de movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia elegido. Se distingue dos clases de equilibrio: traslacional y rotacional. Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional, respecto de cierto sistema de referencia, cuando su centro de masas se encuentra en reposo o se mueve con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme) respecto de él.

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=////= //= //= //= //= // = //=//

V = cte Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional, respecto de cierto sistema de referencia, cuando este no rota o se encuentra rotando con una velocidad angular contante (movimiento rotacional uniforme), respecto de él. w

T1 Fg



T1

T2

γ a

b



Fg Además, al graficar las 3 fuerzas a partir de un origen común se cumple que el módulo de cada fuerza es proporcional al seno de su ángulo opuesto.

1

FÍSICA

120

Si un cuerpo se encuentra en reposo respecto de cierto sistema de referencia, se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio estático, que es la forma más común de equilibrio mecánico. Por otro lado, existen tres formas de equilibrio estático: estable, inestable e indiferente. Se dice que cuerpo se encuentra en equilibrio estable si cuando un agente externo lo aleja ligeramente de su estado de equilibrio original y lo deja en libertad de movimiento, este retorna inmediatamente a su posición original. En cambio, si este se aleja aún más de su posición original, se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio inestable 5.°

año

ESTÁTICA I Nota: Al hacer uso de este principio, se ha identificado a todo el cuerpo con respecto a un solo punto; este es el centro de gravedad. Equilibrio inestable

Equilibrio estable

2. 3.a Ley de Newton (principio de acción y reacción)

Según este principio, cuando dos objetos materiales interaccionan, se generan fuerzas colineales que son de igual módulo, tienen direcciones opuestas y actúan en cuerpos diferentes.

Indifirente



Finalmente, se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio indiferente si cuando un agente externo lo aleja ligeramente de su estado de equilibrio original, y lo deja en libertad de movimiento, este no presenta tendencia ni a retornar a su posición original ni a alejarse aún más a esta.

V. 1.a y 3.a LEYES DE NEWTON 1. 1.a Ley de Newton (principio de inercia) En ausencia de fuerzas externas, actúan varias fuerzas que se anulan entre sí, y analizando desde un marco de referencia inercial (sistema en ausencia de aceleración), un cuerpo en reposo se mantiene en reposo y un cuerpo en movimiento se mantiene en movimiento pero con velocidad constante.

Freacción

Facción





3. Primera condición de equilibrio







//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=////= //= //= //= // = //= //=//

Es una aplicación de la primera ley de Newton, la cual se enuncia de la siguiente manera: Si un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación y sobre él actúa un conjunto de fuerzas, se cumplirá que: FR = ΣF = 0 Estamos suponiendo que el cuerpo puede representarse como una partícula puntual. Si el cuerpo tiene tamaño finito, debemos considerar en qué parte del cuerpo se vienen aplicando las fuerzas.

Trabajando en clase Integral



1. Si N es el módulo de la fuerza de reacción normal. Calcula F + N para que el cuerpo se desplace a velocidad constante. (m=1kg, g=10m/s2)

Resolución:

F

30 N

m

50 N

S 37° 40 N

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

50 N F

5.°

37° m

liso

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

año

10 N RN F – 40 = 0 F = 40 N RN – 30 – 10 = 0 RN = 40 N F + N = 80 N

121

FÍSICA

1

ESTÁTICA I 2. Si N es el módulo de la reacción normal, calcula F + N para que el cuerpo se desplace a velocidad constante (m= 2kg, g= 10 m/s2). 80 N

//= //= //=//= //= // = //= //

53°

F

6. Si el bloque es de 10 kg, calcula el módulo de la tensión en A. (g=10m/s2)

m A

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

3. Si el bloque se encuentra en reposo, calcula el valor de F. F 30 N 5N //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

7. Si el bloque de 6 kg se encuentra en reposo, calcula el módulo de la fuerza de tensión en A. (g=10m/s2) = //= //= //=//= //= //= //=//

4. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda que sostiene un bloque de 6 kg. //= //= //= //= //= //=//

A UNMSM

//=// =// =// =//=//=

5. Si el bloque es de 5 kg, calcula el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda A.

8. El peso de la esfera es 20 N. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda si el sistema está en equilibrio.

//= //= //= //= //= //= //= //

37°

A

Resolución:

//= //= //= //= //= //= //=

Resolución: //=// =// =// =//=//

T T T



//=// =// =// =//=//

=//=// =// =//

T

37° T

T

2T A

T + 2T + 2T – 50 = 0 T = 10 N TA = 2T = 20 N

1

FÍSICA

2T

50 N



T 20 N 37°

RN

//=// =// =// =//=//

//=// =// =// =

20 N

RN

122

⇒ T = 25 N 5.°

año

ESTÁTICA I 9. El peso de la esfera es 60 N, calcula el módulo de fuerza de la tensión en la cuerda si el sistema está en equilibrio.

13. El bloque de 10 N de peso se encuentra en equilibrio. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda AO. // = //= //=//= //= //= // = /////= //= //=// = //= //= // = //

//=// =// =// =//=//=

B

30°

A

53° 0

//=// =// =// =//=//

=//=// =// =//





10. Si el bloque de 15 N de peso sube a velocidad constante, calcula el valor de F.

14. ¿Qué magnitud F debe fijarse al bloque de peso 310 N, como se muestra en la figura, para que no llegue a resbalar sobre la pared vertical?. Considera u = 0,8. //= //= //= //=////= //= = //= //=//

liso F



11. El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Calcula q, si el peso de A= 30 N y B= 40 N.

Us

F

UNI 15. Una esfera de 10 N se encuentra en reposo. Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la cuerda. //=

//=

//

//=

//=

//

//=

A

37°

//=

//= //= //= //= //= //=// //= //=//



q

W

//=

//=

//=

//=

//=

//=

B

//=

//=

/=/=/ /=/= ///= //

liso

////== ///== ///

liso

30°

Resolución: //=

12. El sistema está en equilibrio. Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la cuerda horizontal, siendo el peso del bloque 20 N.

//=

//

//= //= //= //= // //= //

53°

//=

T //=

//=

//=

//=

//=

/= //= //= //=//

30°



RN 30°

//=

RN 10N 30°

10 N

T



5.°

//=



año

123

⇒T=5N FÍSICA

1

ESTÁTICA I 16. Una esfera de 40 N se encuentra en reposo. Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la cuerda. / / = // / /=/ / //=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

liso

////== ///== //

37°



a q

17. Dos resortes idénticos, de longitud natural L y constante elástica K, actúan sobre un bloque de masa «m», como se indica en la figura el módulo de la fuerza de tensión sobre el bloque en función del ángulo q esta dado por: (sistema en equilibrio) L

L

q

18. La masa «m» está suspendida de cuerdas inextensibles de masas despreciables, tal como muestra la figura, determina el módulo de la componente vertical de la tensión de la cuerda ab (g es la aceleracion de la gravedad), en función de m, g y q.

q c b



m

q

m



1

FÍSICA

124

5.°

año

2 Estática II Anteriormente hemos estudiado el efecto de deformación de un cuerpo debido a una fuerza. En esta parte analizaremos el efecto de rotación causado por dicha fuerza y las condiciones para el equilibrio de rotación.

I. MOMENTO DE UNA FUERZA (MF) o (T)





También conocida como momento de torsión, es una magnitud física vectorial que nos da la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar el efecto de rotación sobre un cuerpo, respecto de un punto o eje de giro.

d

Centro de giro

Línea de acción F





O

MAF = 0

II. TEOREMA DE VARIGNON



Matemáticamente:

F

Observación: Cuando la línea de acción de una fuerza pasa por el centro de giro, su momento de fuerza respecto a dicho punto es cero. A F

Es un sistema de fuerzas coplanares que presenta una resultante, y el momento producido por dicha resultante respecto a cualquier punto situado sobre el plano de acción de las fuerzas es igual a la suma algebraica de todos los momentos producidos por cada una de ellas respecto al mismo punto. MFR o = ΣMo

1. Equilibrio de rotación





Es el estado mecánico en el que un cuerpo no gira o lo hace uniformemente



2. 2.a condición de equilibrio:

MOF = ± F . d



Unidad:(N.m) F: módulo de la fuerza F (N) d: distancia o brazo de palanca (m) Convención de signos: (+) rotación antihoraria (-) rotación horaria

Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a comenzar a girar alrededor de ningún punto, así que la suma de los momentos de torsión debido a todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, respecto a cualquier punto especificado, debe ser cero.



El momento de F respecto de O se define como: F



ΣMo = 0

3. Equilibrio mecánico



q

Llamado simplemente «equilibrio«, es aquella situación en la que un cuerpo o sistema cumple las dos condiciones de equilibrio: de translación y de rotación.

r O

d

5.°

P

año

T=rxF T =rFsenq

Equilibrio mecánico

125

ΣF = FR = 0 ΣM = MR = 0

FÍSICA

2

ESTÁTICA II

Trabajando en clase Integral

//= //= //= //=

//= //= //= //=

1. La barra horizontal está en equilibrio, calcula las reacciones en los apoyos A y B, considerando despreciables el peso de la barra. 140 N A 6m





B 1m 1m

UNMSM

140 N

5. La plancha metálica es de 40 kg y es homogénea, calcula la fuerza de tensión para lograr el equilibrio.

Resolución:

A RA

B RB 1m 1m

6m



//= //=

2m 3m

ΣMBF = O ⇒ –RA . 7 + 140 . 1 = 0



RB = 120 N

RA + RB – 140 = O





//= //=

RA = 20 N ; ΣF = O



Resolución:

//= //=

T

2. La barra horizontal está en equilibrio. Calcula las reacciones en los apoyos A y B, considerando despreciables el peso de la barra. O

70 N

4m



B



3m 2m



3. Calcula los módulos de las fuerzas de tensiones en las cuerdas A y B si la barra es homogénea y de 10 kg; además. Q = 60 N. //= //=

A

4m

400N

ΣMOF = O T . 4 – 400 . 3 = 0 T = 300 N

6. La plancha metálica es de 80 kg y es homogénea, calcula la fuerza de tensión para lograr el equilibrio. 3m

1m

5m

126

//= //=

FÍSICA

6m

//= //=

4. Calcula el peso del bloque para que la barra homogénea de 6 kg se encuentre en reposo.

2

2m 3m

B

Q 1m



//= //=

//= //=

A

6m

8m

5.°

año

ESTÁTICA II

=//=//

=//=//=

//=//=//=//=

B

//=//=//=//





8kg

//=//=//=//



//= //= //= //=

12 cm

x

Resolución:

600N

20N 2m

60 kg

A



B 5m

x

ΣMOF = O 200 . 12 – 600x = 0

viga

//= //= //= //= //= //=

O 12 cm

6m

13. Una viga horizontal de 6 m de longitud y 100 N de peso, reposa sobre dos apoyos A y B, tal como se muestra en la figura. Calcula las magnitudes de las fuerzas de reacción en los puntos de apoyo A y B.

20 kg



6m

F

12. Calcula el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda para que la barra homogénea de 2 kg se encuentre en reposo. //= //= //

8. Calcula «x» para el equilibrio del sistema. (Barra de peso despreciable) 60 kg 20 kg



11. Determina F si la barra es homogénea y de 40 N. 2m 20N //= //= //= //=

7. Calcula la fuerza de tensión en la cuerda AB; considera la barra de peso despreciable. 2a 6a A

14. La barra AB, de peso despreciable está suspendida en B por una cuerda, se apoya sobre la esfera C, de 5 N de peso. Si el bloque D pesa 40 N, calcula la fuerza entre la esfera y la mesa, es de:

x = 4 cm

9. Calcula «x» para el equilibrio del sistema. (Barra de peso despreciable) 80 kg 40 kg

A

0,50m 0,50m

D

B

C 14 cm





x

A



5.°

//= //= //= //= //= //= //= //= //

10. Calcula la fuerza de tensión (módulo) en la cuerda AB para que la barra se encuentre en equilibrio. B 2L

8L

//= //= //= //= //=

año

//= //= //=

UNI 15. Calcula la masa del bloque Q para que la barra de 60 N se mantenga en la posición mostrada. (g = 10 m/s2)

60°

30kg

//= //= //= //= //= //= //= //



127

Q

FÍSICA

2

ESTÁTICA II Resolución:

T 2k

2k

17. Un bloque de peso W está suspendido de una vara de longitud L cuyos extremos se posan en los soportes 1 y 2 como indica la figura. Se quiere que la reacción en el soporte 1 sea «a» veces la reacción en el soporte 2. La distancia «x» debe ser: (en función de a y L) L

° 30 2k

60N

//= //= //= //= //= //= //= O k //

Q



x A

ΣMOF = O –60 . K + T . 2k = 0 T = 30 N ⇒ Fg = 30 N Q 30 mQg = m = 3kg

2

1 W



°

30

//= //= //= //

16. Calcula la masa del bloque Q para que la barra de 80 N se mantenga en la posición mostrada. (g = 10 m/s2).

18. Una plancha de madera homogénea de 60 kg y un cilíndro homogéneo de 20 kg están en reposo. Si el dinamómetro ideal indica 750 N, determina el módulo de la reacción del piso sobre la plancha: considera cilíndro liso y g = 10 m/s2. Dinamómetro

60°

//= //= //= //= //= //= //= O //

Q

2

FÍSICA



128

37°

g 0,6 0,9

//= //= //= //= //= //=

5.°

año

3 Dinámica 1. CONCEPTOS PREVIOS

experimentar cambios en su velocidad y esto sucede debido a las fuerzas que sobre el actúan, pero, cuidado: no siempre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifican su velocidad. Analicemos el bloque de nuestro primer ejemplo cuando se encuentra detenido.

A. Inercia:



Es una propiedad de todos los cuerpos, por la cual estos tienden a mantener su estado de reposo o de movimiento con velocidad constante. La inercia que posee un cuerpo puede ser comparada con la de otro por medio de su masa, es decir que mientras más masivo sea el cuerpo, mayor será su inercia.

Fg Vg = 0



¿Cómo se manifiesta la inercia? La inercia se manifiesta en los cuerpos como una resistencia que estos ofrecen cuando se les trata de cambiar su velocidad. Para entender mejor esto, veamos los siguientes casos: I. La plataforma con la persona encima de ella avanza con velocidad constante.

R



V

En tal situación, el bloque seguirá detenido, es decir, su velocidad no cambia al transcurrir el tiempo, y si su velocidad no cambia el bloque no acelera Por otro lado, podemos notar que Fg y R se equilibran. Por lo que:

FR = 0 Ahora vemos lo que ocurre cuando la persona al empujar el bloque le ejerce una fuerza F p. Fg

//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=



Cuando choca con el obstáculo, se interrumpe el movimiento de la plataforma, pero la persona por inercia continuará avanzando. II. La plataforma inicialmente esta en reposo.

<>

F



5.°

//= //= //= //= //=

//= //= //= //= //=

Pero al aplicarle una fuerza a la plataforma, esta se pone en movimiento, mientras que la persona por encima se resiste a cambiar su movimiento y tiende a mantenerse en el mismo lugar.

B. Segunda Ley de Newton

año

De lo anteriormente aprendido, sabemos que los cuerpos, debido a su inercia, manifiesta una tendencia a conservar su velocidad, pero también es sabido que los cuerpos pueden

Fp

a

R Encontrándose el bloque inicialmente detenido, conforme transcurre el tiempo, adquiere una mayor rapidez. El bloque experimenta cambios en su velocidad. Experimenta un movimiento acelerado. Si hacemos un análisis de las fuerzas que actúan sobre el bloque, notaremos que ahora no están equilibradas y además:

129

FR=FP≠0

FÍSICA

3

DINÁMICA

Luego de examinar estos dos casos, se llega a la siguiente conclusión: Una fuerza resultante no nula (diferente de cero) provoca que el cuerpo experimente aceleración.

Conclusión:

Para que un cuerpo describa un movimiento circunferencial, este debe experimentar una fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la circunferencia a la que se denomina «fuerza centrípeta» (Fcp), la cual causa una aceleración dirigida hacia el centro de la circunferencia denominada «aceleración centrípeta» ( acp).



De la 2.a Ley de Newton:

●● El módulo de la aceleración será mayor

mientras mayor sea el módulo de la fuerza resultante.

●● El módulo de la aceleración será menor

si la masa del cuerpo es mayor. Esto se debe a que, a mayor masa, se tiene mayor inercia, lo cual trae como consecuencia que sea más difícil modificar la velocidad del bloque.



●● Su fórmula matemática es:

a D.p FR a I.p. m



FR = ma ⇒ Fcp = macp



La aceleración centrípeta mide el cambio en la dirección de la velocidad tangencial en el tiempo.

Matemáticamente:

Entonces, tenemos:







V ac

Despejando la fuerza resultante: W

FR = ma

F4

F1 O



3

FÍSICA

F2

Fc



Aunque el planteamiento de la Segunda Ley de Newton lo hemos conseguido analizando un movimiento rectilíneo, esta se extiende también al análisis de los movimientos curvilíneos. En particular, nos concentramos en el estudio del movimiento circunferencial.

F3

m

R

De esta expresión se deduce que la F R y la a presentan la misma dirección.

2. DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL

2

F ∴ a = mR



acp = V = ω2 R R

Donde:

V: rapidez tangencial o lineal



ω: rapidez angular (rad/s)



R: radio de la circunferencia



Luego, tenemos:

Dirección radial

Fcp = mV R

2

Dirección tangencial

130

Fcp = mω2 R

5.°

año

DINÁMICA

Trabajando en clase Integral

4K



37°

37°

80 N

3m liso //= //= //= //= //= //= //= //=

m



6. Si no existe rozamiento, determina el módulo de la aceleración del sistema. (g = 10 m/s2)

//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=

4m //= //= //= //= //= //= //= //=

2. El bloque de 10 kg se mueve hacia la derecha con una aceleración de 9 m/s2, entonces la fuerza F1 mide: F2= 100 N F1 37°

37°

//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=

3. Determina la fuerza de contacto entre los bloques si no existe rozamiento. 100 N 60 N 3 kg 1 kg //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=

m



7. Un disco con una masa de 0,2 kg se desliza sin fricción sobre la superficie horizontal de una pista de hielo. Sobre el disco actúan dos fuerzas F1 y F2, que tienen una magnitud de 5 N y 10 N, respectivamente. Determina la magnitud del módulo de la aceleración. UNMSM 2009-I F2 53° 37°

4. Calcula el módulo de la fuerza de tensión T :

100

1 kg

2 kg

T

7 kg

8. Un hombre está parado sobre una balanza de resorte en el piso de un ascensor. Cuando el ascensor está en reposo, la balanza marca 80 N. Cuando el ascensor se mueve, la balanza marca 100 N. El ascensor tiene aceleración de módulo: (g = 10 m/s2)

liso UNMSM

5. Si no existe rozamiento, determina el módulo de la aceleración del sistema. (g = 10 m/s2)

5.°

año

F1



//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=



//= //= //=

Resolución: 4K + 80 = 20 • 5 K=5N ⇒ F1 = 5 K = 5 • 5 = 25 N



//= //= //=

1. El bloque de 20 kg se mueve hacia la derecha con una aceleración de 5 m/s2, entonces la fuerza F1 mide: 60 N F2= 100 N F1 5 K 3K



131

Resolución: 100 – 80 = 8 • a a = 20/8 = 2,5 m/s2 FÍSICA

3

9. Un hombre está parado sobre una balanza de resorte en el piso de un ascensor cuando el ascensor está en reposo, y la balanza marca 60 N. Cuando el ascensor se mueve la balanza marca 90 N. El ascensor tiene aceleración de módulo: (g = 10 m/s2) 10. El bloque A se desliza sobre el plano inclinado, con una aceleración de 2,0 m/s2. Si g = 10 m/s2, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es: UNMSM 2004-II A

37°



//= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //= //=

11. Si mA = 2 kg y mB = 6 kg. El módulo de la fuerza de tensión en la cuerda que une los bloques es: (g = 10 m/s2). La polea es de peso despreciable. //= //= //= //= //=



//= //= //= //=

DINÁMICA

F m

//= //= //= //= //= //= //= //=

14. Un automóvil de 1200 kg, con el motor apagado, empieza a subir por una pendiente a 54 km/h. Si recorre 37,50 m antes de detenerse, ¿cuál es el módulo de fuerza ejercida para disminuir su rapidez? UNMSM 2009-II UNI 15. Una esfera pequeña de 1 kg rueda sobre una superficie circular lisa de 2 m de radio, si se sabe que al pasar por la posición más baja posee una rapidez de 6 m/s, determina el módulo de la fuerza con la que la esfera presiona el piso en dicha posición. (g = 10 m/s2) g O m 2 R= Resolución g R=

A B



10N

//=

//=

//=

2M

//=

liso

//=

//=

//=

12. Calcula el módulo de la fuerza de tensión de la cuerda; no consideres rozamientos. (g = 10 m/s2)

M 30°



13. La polea tiene peso despreciable. Si la fuerza de rozamiento en la superficie horizontal es F , determina el módulo de la aceleración del bloque de masa «m» en función de F, f y m. UNMSM 2004-I

3

FÍSICA

O m 2

Fc = m • dc

RN

RN – 10 = 1 • 6 2 RN = 28 N

2

16. Una esfera pequeña de 2 kg rueda sobre una superficie circular lisa de 2 m de radio. Si se sabe que al pasar por la posición más baja posee una rapidez de 12 m/s, determina el módulo de la fuerza con la que la esfera presiona el piso en dicha posición. (g = 10 m/s2) g O m 2 R=

132

5.°

año

DINÁMICA 17. En la figura, ¿qué aceleración máxima (en módulo) es necesario que tenga el sistema, para que el bloque (de masa «m») permanezca siempre en el mismo lugar con respecto al plano inclinado? µ = 1/4 µ m

18. La posición de un vehículo de masa 5 kg que se mueve a lo largo del eje «x» está dada por x(t) = 3t2 + 2t + 1, donde «t» se mide en segundos y «x» en metros. El módulo de la fuerza resultante (en newton) que actuará sobre el vehículo, cuando t = 2s, es: UNI 2002-I

37°

5.°

//= //= //= //= //= //= //= //=

año

133

FÍSICA

3

4 Gravitación universal MOVIMIENTO PLANETARIO

D A

I. Teoría geocéntrica Fue enunciada por Claudio Ptolomeo, quien sostenía que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra, describiendo órbitas circulares. Es decir, se consideraba a la Tierra como centro del universo.

C B



II. Teoría heliocéntrica Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien sostenía que eran los planetas que giraban alrededor del sol describiendo órbitas circulares. Años más tarde esta teoría fue apoyada por Galileo Galilei, quien, utilizando su telescopio rudimentario, llegó a la conclusión de que los planetas giraban alrededor del sol.

Johannes Kepler, basándose en las mediciones de su profesor Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes:



1. Primera ley: Ley de las Órbitas

tAB = tCD ⇒ A1 = A2





III.Teoría actual

A2

A1

Los planetas giraban alrededor del sol describiendo órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra en el sol.

3. Ley de los Periodos

Cuando un planeta se mueve alrededor del sol, se observa que el cuadrado de su periodo (T) de revolución es directamente proporcional al cubo del radio vector medio (RM).



Radio vector medio = RM R1 + r1 RM = 1 2 R2 + r2 RM = 2 2



2

1

R1

r1







2. Segunda ley: Ley de las Áreas

4

2

El área barrida por el radio vector que une el sol con un planeta es la misma para tiempos iguales.

FÍSICA

134

2

T1

=

3



RM

1

T2

= ....... = cte

3

RM

2

5.°

año

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

GRAVITACIÓN UNIVERSAL



El estudio del movimiento de los planetas, trajo como consecuencia que el famoso astrónomo Galileo Galilei (amigo de Kepler) se incline a defender la teoría de Copérnico, gracias a la ayuda del telescopio que él mismo inventara. Sucede que los estudios realizados por Kepler y Galilei fueron la base para que Newton formulara su ley de la gravitación universal. Newton, quien precisamente había nacido en el mismo año que falleció Galileo, se preguntaba por qué los planetas giraban en torno al sol; llego a la conclusión de que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas a realizar este movimiento; así, pues, Newton nota que el sol atraía a los planetas.

F = maC = F=

mV2 R





G = 6,67 × 10–11

2. Algunos valores ●● Masa de la Tierra: MT = 5,98 × 1027 g ●● Volumen de la Tierra: VT = 1,09 × 1027 cm3 ●● Densidad de la Tierra: DT = 5,5 g/cm3

II. Variaciones de la aceleración de la gravedad con la altura

R mV2 F=G R2

G: constante de gravitación universal m; M: masa (kg) ac: módulo de la aceleración centrípeta(m/s2) V: rapidez tangencial (m/s) R: radio de la trayectoria (m)

Si colocamos un cuerpo en la superficie terrestre, su peso toma un valor; si se sube al cuerpo con respecto a la Tierra, este valor disminuye. Esto significa que a mayor altura, el peso (mg) disminuye; pero como la masa «m» es constante (a rapideces pequeñas en comparación con la rapidez de la luz), el que disminuye es «g» (aceleración de la gravedad). Esto no sucede solo en la Tierra; se repite en cualquier cuerpo celeste. h R

Dos cuerpos cualesquiera en el universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.

F=

m1

Gm1 m2 d2

Unidad: newton (N) F

F

d

5.°

año

F = mg

M

I. Ley de la gravitación universal

N × m2 kg2

●● Radio de la Tierra: RT = 6370 km



mV2

1. Valor de G



F = mg



GMm = mg (R + h)2



De donde: g=

m2



GM (r + h)2



Unidad: m/s2



Observa que «g» no depende de la masa del cuerpo, sino la masa y el radio del planeta que atrae; por supuesto que también depende de la altura «h».

135

FÍSICA

4

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Nota

Importante

Esta fórmula es válida solo para puntos exteriores en la superficie de la Tierra. Si se aplica la fórmula para puntos interiores a la Tierra, según la fórmula, «g» aumenta; pero, en la práctica, «g» disminuye. Al respecto, en la actualidad hay muchas investigaciones sobre el centro de la Tierra, de las cuales nos ocuparemos más adelante.

Es la superficie de la Tierra: h = 0 GMT 2 g= 2 = 9,8 m/s RT

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad a una distancia igual a 2 veces el radio terrestre de la superficie de la Tierra.

5. ¿Cuál es el módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta si su masa es el doble que de la Tierra y su radio es la cuarta parte del radio terrestre?

Resolución: GMT GMT ⇒ g’ = g’ = (RT + 2RT)2 (RT + h)2 GMT g ⇒ g’ = g’ = 2 9RT 9



2. Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad a una distancia igual a 4 veces el radio terrestre de la superficie de la Tierra. 3. El planeta demora 6 meses en ir del perihelio al punto B y del perihelio al afelio tarda 12 meses. Calcula el periodo del planeta (en meses) y que parte del eclipse es el área sombreada. B Perihelio Afelio

4

FÍSICA

2

6. ¿Cuál es el módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta si su masa es el cuádruple que de la Tierra y su radio es la mitad del radio terrestre? (g = 10 m/s2) 7. Si la masa de la Tierra es 60 veces la de la Luna y su radio 3 veces el de esta, ¿qué tiempo tardará en alcanzar la altura máxima, un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba en la Luna, con una rapidez de 30 m/s? 8. La fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas m1 y m2, separados «d» metros, es de módulo 6200 N. ¿Con qué fuerza (en módulo) se atraerán si «m1» se triplica, «m2» se duplica y «d» se duplica?

4. ¿Cuál es el valor de la gravedad en la superficie de un planeta si su masa es el doble que de la Tierra y su radio es el doble del radio terrestre?

Resolución: 2MT M g’ = G 2 ⇒ g’ = G R 1R 4 T M g’ = 326 T2 = 320 m/s2 RT



136

Resolución: m •m F = G 1 2 2 = 6200 N d 3m1 • 2m2 3 m1 • m2 3 = G = 5200 = 9300 N F’ = G 2 2 d2 (2d2) 5.°

año

GRAVITACIÓN UNIVERSAL 9. La fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas m1 y m2, separados «d» metros, es de módulo 8000 N. ¿Con qué fuerza (en módulo) se atraerán si «m1» se duplica, «m2» se triplica y «d» se reduce a la mitad?

UNI 15. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa M a una altura que es el triple de su radio. ¿Cuál es su periodo de revolución? Resolución:

10. Un satélite circula alrededor de la Tierra a una altitud de 600 km, haciendo una revolución cada 100 minutos. Encuentra la magnitud de su aceleración centrípeta. (Radio de la Tierra = 6,4 × 106 m) UNMSM 2005-II 11. La segunda ley de Kepler del movimiento planetario afirma: UNMSM 2004-II a) Los epiciclos de los planetas son proporcionales al cuadrado de las distancias. b) La trayectoria del planeta es una elipse. c) La fuerza gravitacional solar es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. d) El vector distancia entre el sol y un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. e) El sol es el centro del universo. 12. ¿Cuál será el peso de una persona, si se eleva a una altura igual a 3 veces el radio terrestre? Se sabe que su peso a nivel del mar es de 800 N. 13. Si la distancia entre el sol y la Tierra se reduce a la mitad, ¿cómo varía la fuerza de atracción gravitacional? 14. ¿Con qué fuerza (en módulo) una estrella de 1,6 × 1027 kg atrae a un planeta de 4 × 1024 kg que se encuentra a 4 × 1010 m?

5.°

año

m M



Fc = m ω2 • R ⇒ G mM2 = m 2π T (4R) T = 16 πR

2

4R

• 4R

R

GM

16. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa M a una altura que es la cuarta parte de su radio. ¿Cuál es su periodo de revolución? 17. Si el radio vector del planeta mostrado, barre de O a P, 1/5 del área total en 30 días, ¿cuánto tiempo (en días) tardará el planeta en moverse de P a Q? P Q

O

18. Un cometa describe una trayectoria elíptica alrededor del sol, de modo que el radio vector que une el sol con el cometa genera en 4 meses un área de 1/20 del área total de la elipse. ¿Cuál es el periodo de revolución del planeta?

137

FÍSICA

4

5

Trabajo mecánico y potencia mecánica

1. TRABAJO MECÁNICO





Recuerda

No es la intención dar una definición rigurosa acerca del trabajo mecánico, queremos que se comprenda las diferencias entre este tipo de trabajo y análogos en otros campos de la vida. Para comprender mejor, empezaremos por dar unos ejemplos: a) La esfera cae y aplasta al resorte venciendo la resistencia interna de este.

b) El gas se desplaza levantando el émbolo, superando la resistencia ofrecida por la carga hasta una determinada distancias, este desplazamiento es originado por la presión interna del gas.

Observa que en cada uno de los casos se ha superado una resistencia durante una distancia, mediante la acción de una fuerza; de esto podemos concluir: «El trabajo mecánico es aquella magnitud física escalar que mide la transmisión de movimiento que puede generar una fuerza, venciendo algún tipo de resistencia».

El vector de desplazamiento une las posiciones inicial y final del punto de aplicación de la fuerza, y se representa mediante el símbolo D r . La fuerza vectorialmente considerada forma con el vector de desplazamiento un ángulo j.



Es posible representar entonces el trabajo en la forma: F F j

Dr

j

DS c) La fuerza de rozamiento estático (fs) evita el deslizamientos de los pies del atleta y, a la vez, lo impulsa hacia adelante; es decir, le transmite movimiento.

W= F.D r

Cuyo significado es: W = |F| . |Dr| . Cosj F = F . d . Cosj W AB

5

FÍSICA

138

5.°

año

TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA Para F constante Donde F : trabajo desarrollado mediante la fuerza F W AB para llevar bloque desde A hasta B. j: ángulo formado por F y el desplazamiento.



El coche cambia de posición debido a la acción de la fuerza «F» y

F

Unidades: F : newton (N) d : metro (m) W : Nxm = joule (J)

F

x0

F x

d x1

Luego: F(N)

CASOS: 1. Cuando j = 0°, la fuerza y el desplazamiento siguen la misma dirección. F

F

F

A d x0

WF = F d

A = W xFo " xf

2. Cuando j = 90°, la fuerza y desplazamiento son perpendiculares. F

F

xf

xm

A = F.d



A: área debajo de la grafica F vs x



A: F(Xr – Xo) F(N)

d WF = 0 3. Cuando j = 180°, la fuerza realiza trabajo negativo si opera en dirección contraria al desplazamiento. F F

A x0



Gráficamente podemos obtener el trabajo mecanico de una fuerza:

5.°

año

xm



De esto podemos deducir que el área de esta gráfica es numéricamente igual al trabajo que desarrolla la fuerza «F».



En general para el caso de una fuerza variable, pero que es paralela a la distancia que avanza el cuerpo:

d WF = – F d

xf

139

A = W xFo " xf

FÍSICA

5

TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA

2. TRABAJO NETO



Se define como trabajo neto o trabajo total sobre un cuerpo (Wneto) a la suma algebraica de los trabajos efectuados por cada fuerza que actúa sobre él. También, se puede definir como trabajo hecho por la resultante de la fuerzas.



Si la potencia es constante en el tiempo, entonces: P = P media.



También podemos expresar la potencia aplicada a un cuerpo en función de su velocidad y de la fuerza que actúa sobre él.



En breve intervalo temporal «dt», el cuerpo recorre un desplazamiento «dr» y el trabajo efectuado en él es:

Wneto = 0



dW = F . dr

Ten en cuenta lo siguiente:



P=

2

3

resultante

Wneto = FR . d . Cosj Wneto = m . a . d . Cosj De aquí podemos deducir que el móvil se mueve con velocidad constante, entonces su aceleración será nula y, por lo tanto, el trabajo neto será:

YY El trabajo sobre un cuerpo será positivo cuan-

d W F.dr = = F. dr dt dt dt

do la fuerza aumenta el movimiento.

P = F.V

YY El trabajo será negativo cuando la fuerza trate

de detener el movimiento del cuerpo.

YY El trabajo de una fuerza será nulo si dicha

fuerza es perpendicular a la trayectoria o desplazamiento.

3. POTENCIA MECÁNICA

La potencia mecánica es una magnitud física escalar que nos indica la rapidez con que se realiza un determinado trabajo mecánico. Pmedia = W t



Lo cual significaría: P = F . v . cosa



a: ángulo entre F y V

5. EFICIENCIA O RENDIMIENTO MECÁNICO

Denota por N «n»; es un número que va asociado en la estructura de una máquina que usualmente indica la calidad de esta máquina. Su valor expresa qué fracción de la potencia absorbida o entregada al cuerpo es transformada en trabajo útil.



El trabajo útil o potencia de salida de una maquina nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, etc.



La diferencia nos expresa la razón entre lo útil y lo suministrado a una maquina.

Unidades:

W: Trabajo mecánico (J)



t: segundo(s)

unidad:

joule = watt(W) s

n=

4. POTENCIA INSTANTÁNEA

dW dt

donde dW es la pequeña cantidad de trabajo ejecutado en el intervalo infinitesimal «dt».

1



P=

Wneto = WF + WF + WF + ... = WF



La potencia instantánea P es:

Es aquella que nos indica la rapidez con que se realiza trabajo para un cierto instante. Su valor lo determinamos así:

5

FÍSICA

140

l Potencia util = P.u Potencia entregada P.e.

En porcentaje: n% = Pu .100% Pe

5.°

año

TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA

Trabajando en clase Integral 1. El bloque mostrado es de 4 kg y es levantado por F hasta una altura de 3 m, con una aceleración de 3m/s2. ¿Qué trabajo desarrolla F ? Resolución: V F

WF = F . d FR = m . a F – 40 = 4 . 3 F = 52 N

¿Qué trabajo ha realizado dicha fuerza luego de 3 s? UNMSM 5. Una fuerza de módulo y dirección constante traslada la partícula desde A hasta B. ¿Qué trabajo ha realizado? Resolución B 6m

13 m/s2 10m A

⇒ WF = +52 . 3 = 156 J 2. El bloque mostrado es de 5 kg y es levantado por F hasta una altura de 3 m, con una aceleración de 4m/s2. ¿Qué trabajo desarrolla F ? V F

C

F=10 N W AF - B =+ F . d W AF - B =+ 10 . 14 W AF - B = 140 J

6. Una fuerza de módulo y dirección constante traslada la partícula desde A hasta B. ¿Qué trabajo ha realizado? B 4m

3. Calcula el trabajo del peso entre A y C (m = 5 kg) B 15m 20m

C

4. Bajo la acción de cierta fuerza resultante, un cuerpo de 1 kg parte del reposo y se mueve rectilíneamente con a =4m/s2.

año

C

F=12 N

A

7. Halla el trabajo que realiza la fuerza para trasladar el cuerpo desde A hasta B, bajo la acción de una fuerza constante de magnitud 5N. y(m) 20

A

5.°

10m

A

8. Un joven levanta una carga de 80 N hasta una altura de 6 m, empleando para ello 10 s, encuentra la potencia que desarrolla el joven, en watts (el bloque se levanta a velocidad constante) Resolución: P = W W = 80.6 = 480 J t ⇒ P = 480 = 48 W 10 9. Un joven levanta una fuerza de 60 N, hasta una altura de 6 m, empleando para ello 10 s. Calcula la potencia que desarrolla el joven, en watts. (El bloque se levanta a velocidad constante). 10. Un motor consume una potencia 1,2 KW y es capaz de levantar cargas de 108 N de peso a razón de 10 m/s. Calcula la eficiencia del motor 11. Un motor bastante usado entrega 600 watts de potencia, y para su funcionamiento recibe 1000 J en cada segundo ¿Cuál es su eficiencia? 12. Según el gráfico mostrado, determina el trabajo neto cuando el cuerpo se ha desplazado 8m. F(N) 20 10

B F 37°

141

20m 20

x(m)

0 4

8

12

d(m)

13. La figura muestra la variación de la fuerza horizontal aplicada

FÍSICA

5

TRABAJO MECÁNICO Y POTENCIA MECÁNICA a un cuerpo en función de la posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y 7 m es: F(N) 0,5 0,3 0,1 0

F

3

7

x(m)

2

4

x(m)

UNI 15. Determina el trabajo neto que se desarrolla sobre el bloque de 5 kg para un tramo de 10 m. Considera que la fuerza horizontal F de 50 N es constante

5

FÍSICA

m

10

14. La figura muestra la variación de la magnitud de la fuerza aplicada a un cuerpo en función de la posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y 4 m es: F(N) 5 3 1 0

y que la fuerza de rozamiento es de 10 N (g = 10 m/s2). El ángulo de inclinación de la superficie es de 53°

53°

8m

17. Un tanque tiene una capacidad de 3000 litros y está situado a una altura de 36 m.

Calcula la potencia de la bomba que llena el tanque de agua en 20 min.



(1 litro de agua equivale a 1 kg de agua).

6m

Resolución: WN = WF + WFg + Wf WN = 50.6 – 50.8 – 8.10 WN = –180J 16. Determina el trabajo neto que se desarrolla sobre el bloque de 5 kg para un tramo de 5 m. Considera que la fuerza horizontal F de 50 N es constante y que la fuerza de rozamiento es de 5 N (g = 10 m/s2). El ángulo de inclinación de la superficie es de 37°. F

18. El bloque que se muestra inicialmente se encontraba en el origen de sistema de coordenadas, si a este le aplicamos una fuerza horizontal F cuyo valor depende de la posición del bloque X según la expresion:

F = (60 – 4x) donde F está en newton y «x» en metros.



Determina el trabajo que se desarrolla mediante F hasta el instante en que la aceleración del bloque es nula.

V=0 5kg

37°

F

0,4 m 0,5     

x

x=0

142

5.°

año

6 Energía mecánica La energía existe en el universo de varias formas: energía mecánica, energía electromagnética, química, energía termal, y energía nuclear en términos simples, el universo no es más que una transformación continua de energía. Podemos definir el concepto energía como la habilidad de causar cambios. Nosotros nos centramos principalmente en relacionar la energía con la capacidad para transmitir movimiento, es decir, para desarrollar el trabajo mecánico. Para ello, debemos conocer algunas de las formas en que se presenta la energía



Existen otras; como la fuerza de fricción, que es una fuerza no conservativa.



En situaciones donde una fuerza conservativa opera entre los objetos del sistema, es útil y conveniente definir otra clase de energía (energía potencial).



La energía potencial (Ep) se relaciona con la configuración de un sistema. Aquí «configuración» significa cómo las partes de un sistema están situados o dispuestas entre sí (por ejemplo, la comprensión o estiramiento del resorte en el sistema de bloque–resorte o la altura de la bola en el sistema de bola–tierra).

1. ENERGÍA CINÉTICA DE TRASLACIÓN (EK)



Es la medida escalar del movimiento de traslación de un cuerpo o partícula.



Esta energía se puede obtener a través del trabajo que se efectúa para mover un cuerpo.

K

Un bloque se mueve bajo la acción de la fuerza de un resorte

V



Ek = 1 mv2 2

Unidad en el SI:

- Joule (J)

m Se arroja una bola hacia arriba contra la gravedad de la Tierra

Ahora, estamos en posibilidad de explicar el cálculo de la energía potencial con dos ejemplos de las fuerzas conservativas para el sistema bloque -resorte y el sistema bola-tierra.



- m: masa del cuerpo (kg)

A. Energía potencial gravitatoria (Epg)



- v: rapidez del cuerpo (m/s)



Es la medida escalar de la interacción gravitatoria de un cuerpo y la tierra.

2. ENERGÍA POTENCIAL



Esta energía se almacena en el sistema cuerpo-tierra cuando desarrollamos trabajo para separarlos.



La energía potencial gravitatoria depende de la fuerza de gravedad del cuerpo y de la altura medida a partir del nivel de referencia (N.R.), en donde la energía potencial es cero.



La energía potencial se define solo para cierta clase de fuerzas denominadas fuerzas conservativas. La fuerza de gravedad y la fuerza del resorte; así como la fuerza electromagnética, se conocen como fuerzas conservativas.

5.°

año

143

FÍSICA

6

ENERGÍA MECÁNICA m

g

Importante

h

La energía mecánica de un cuerpo o sistema puede variar, ya que por lo general al analizar un fenómeno físico vemos que una forma de energía se transforma en otra.

N.R. EPg = ±m.g.h

Unidad según el SI:

FUERZAS CONSERVATIVAS

- Joule (J)

- m: masa del cuerpo (kg)



- g: aceleración de la gravedad (m/s2)



- d: distancia vertical que existe entre el C.G.



Se denomina así a aquellas fuerzas que cumplen las siguientes definiciones, las cuales son equivalentes. Considera el trabajo total efectuado por una fuerza que opera sobre una partícula a medida que esta se mueve alrededor de una trayectoria cerrada y retorna a su punto de partida. Si es cero, la llamaremos fuerza conservativa. Si la fuerza total del viaje redondo no es cero, la llamaremos fuerza no conservativa.

del cuerpo y e N.R.(m)



- (+): por encima del nivel de referencia.



- (–): por debajo del nivel de referencia.



- (nula) si está en el mismo nivel de referencia

Ejemplo:



B. Energía potencial elástica (Epe)

Es la energía que almacena un cuerpo elástico debido al trabajo que se desarrolla para deformarlo (estirarlo o comprimirlo). Para el caso particular de un resorte ideal (de masa despreciable), se calcula así:

Suponiendo que se lanza un bloque sobre un piso áspero: En el punto A el bloque tiene EM; sin embargo, la fuerza de rozamiento cinético fc lo va deteniendo hasta que en el punto B su EM es cero. Luego, la EM no se conserva. Conclusión:

x

La energía mecánica de un cuerpo y/o sistema se conserva (no cambia de valor) siempre y cuando las fuerzas no conservativas no efectúen trabajo mecánico.

FR

En general: DEM = Wfnc

FD

Unidad según el SI:



Joule (J)



K: constante de rigidez del resorte (N/m)



X: elongación del resorte (m)



La suma de estas tres formas de energía recibe el nombre de «energía mecánica (EM)». Es decir: EM = EC + Ep



En cambio, la energía mecánica de un cuerpo o sistema es numéricamente igual al trabajo desarrollado en él por las fuerzas que actúan en él (sin considerar las fuerzas de gravedad y elástica). La conservación de la energía requiere que la energía mecánica total de un sistema permanezca constante en cualquier «sistema aislado» de objetos que interactúan solo a través de fuerzas conservativas. Ei = Ef

Siendo Ep = Epg + Epe

6

FÍSICA

144

5.°

año

ENERGÍA MECÁNICA

Trabajando en clase Integral 1. Un neutrón 4×1027 kg de masa es emitido por un núcleo de uranio, recorriendo 6 m en 3×10–4 s. Determina su energía cinética en joule (asume que se mueve con velocidad constante). Resolución: Ek = 1 m.V2 2 V=

5 3.10-4

V = 2.104 m/s Ex = 1 4.10–27.(2.104)2 2 = 8.10–19 J 2. Un neutrón 4×1027 kg de masa es emitido por un nucleo de uranio, recorriendo 4 m en 3×10–4 s. Determina su energía cinética en joule 3. Una pequeña esfera gira en un plano vertical como se muestra en la figura ¿Cuál debe ser su rapidez mínima en A para que de una vuelta completa? O

R

UNMSM 5. Un cuerpo es dejado en libertad en A y resbala por un canal, llegando a B con una velocidad de 15 m/s. Si su masa es de 4 kg, ¿qué trabajo hizo el rozamiento sobre él en dicha trayectoria? Resolución: EMF – EMO = Wf 1 .4.152 – 4.10.20 = W f 2 450 – 800 = Wf Wf = –350J 6. Un cuerpo es dejado en libertad en A y resbala por un canal, llegando a B con una velocidad de 12 m/s. Si su masa es de 2 kg, ¿qué trabajo hizo el rozamiento sobre él en dicha trayectoria 20m A

R O

7. Un bloque de 30 kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado, comenzando de un punto que se encuentra a 2 m del piso. Calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento si el bloque llega al piso con una velocidad de módulo 1,0 m/s.

5.°

año

2m V

B

9. Determina el trabajo requerido para un cuerpo de 100 N de peso para que aumente su rapidez de 1 m/s a 10 m/s. (g = 10 m/s2) 10. Un bloque de 10 kg parte del reposo y desciende por la pendiente mostrada en la figura. Si la rapidez con que llega al bloque a la parte más baja es 8,0 m/s, determina el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (g = 9,80 m/s2) V0=0m/s

h =10m

V=0

R 37°

WF = 715 J

B

4. Calcula la rapidez en el punto B de la esfera soltada en el punto A (R= 2m) R

1 .10.122 – 1 .10.12 = Wf 2 2

R

A

A

Resolución: EMF – EMO = Wf

q

8. Determina el trabajo requerido para un cuerpo de 100 N de peso para que aumente su rapidez de 1 m/s a 12 m/s (g = 10 m/s2).

145

q 11. Una esfera de 3 kg es lanzada verticalmente, hacia abajo, con una rapidez de 4 m/s. Cuando la esfera se encuentra a 2 m del piso, su rapidez es 8 m/s. Determina la variación de su energía potencial gravitatoria. 12. Una piedra de 200 g alcanza una altura de 40 m cuando es lanzada verticalmente hacia, arriba. ¿Con qué energía cinética debió lanzarse la piedra? (g = 10 m/s2) 13. Sobre un bloque de masa 3 kg actúa una fuerza horizontal de FÍSICA

6

ENERGÍA MECÁNICA módulo 6 N. Si parte del reposo, determina la energía cinética del cuerpo después de 2 s. (Desprecia el razonamiento) F

t1=0s

F

14. Dos esferas de 2 kg de masa se mueven con velocidades constantes VA y VB, respectivamente, recorriendo la misma distancia. El cuerpo A tarda 25 segundos y el cuerpo B tarda 30 segundos; si la energía cinética del cuerpo A es igual a 16N – m, ¿cuál es la rapidez del cuerpo B?

Resolución EMF – EMO = Wf 0 – 1 . 200 .402 = –F . 2 2 1000 F = 80 N 16. Un proyectil de 200 g que llevaba una velocidad de módulo 50 m/s impacta en un tronco de madera y penetra en él 2,5 m ¿Cuál fue la fuerza de oposición que experimentó el proyectil mientras ingresaba en la madera?

UNI 15. Un proyectil de 200 g que llevaba una velocidad de 40 m/s impacta en un tronco de madera y penetra en el 2 m. ¿Cuál fue el módulo de la fuerza, de oposición que experimento el

6

FÍSICA

F(N) 40 20

t2=2s V2

V1

proyectil mientras ingresaba en la madera?

O

20

x(n)

18. Un bloque que parte del reposo en A resbala por una rampa y pierde entra A y B el 28% de su energía mecánica por efecto del rozamiento. Si en el punto B su rapidez forma 30° con la horizontal, ¿qué tiempo estuvo el bloque en el aire? (g = 10 m/s2)

A 10 m

mk B

17. Si el bloque parte del reposo en x = 0, ¿cuál es su rapidez x = 20 m? (La masa del bloque es 1 kg).

146

5.°

año

7 Cantidad de movimiento 1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ( P )



Llamado también momentum lineal, es aquella magnitud física vectorial que mide el grado de oposición que presenta un cuerpo al cambio de movimiento. Todo cuerpo que tiene velocidad es portador de cierta cantidad de movimiento igual al producto de su masa y su velocidad.

I =F . Dt



F : fuerza (N)

Si F varía en módulo, entonces el área debajo de la gráfica F – t nos dará el impulso. F

V P

F2 F1

Matemáticamente:

t1

P =M V Unidad:





Área = |I |

Kg × m s



P sist=

t

Relación entre el impulso (I) y la cantidad de movimiento (P).

El vector cantidad de movimiento (P ) presenta igual dirección que la velocidad (V ). Es decir: P ↑↑ V Si se desea obtener la cantidad de movimiento de un sistema de partículas ( P SIST), se suma la cantidad de movimiento de todos los cuerpos. En general

t2

I = DP



Toda fuerza que causa un impulso sobre un cuerpo origina en él un cambio en su cantidad de movimiento.



Para un sistema de partículas:

n

/ Pi

i=1

FR

2. IMPULSO ( I )

Es la magnitud física vectorial que mide el grado de efectividad que presenta una fuerza para cambiar el movimiento de un cuerpo o sistema. Matemáticamente: Si la fuerza F es contante.

V´2

V2 V1



V3

V´1

V´3

I R= DP SIST = P f – P i

Dt V=0

V F

5.°

año

F

Si I R= O

147

∴ P f = P i La cantidad de movimiento se conserva

FÍSICA

7

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

3. CHOQUES

Se llama choque o colisión a aquellas interacciones entre cuerpos cuyo tiempo de duración es pequeño, exceptuándose en este caso las explosiones. V1 V2

V1



Caso 2: Cuando dos esferas chocan frontalmente: V1 V2

V2

u1

Durante el choque, los cuerpos se deforman

A. Coeficiente de restitución

u2

Experimentalmente se percibe que las características del movimiento después del choque depende de las propiedades elásticas de los cuerpos en interacción, de las fuerzas en la deformación y recuperación, etc.; por ello, para caracterizar los diferentes choques usamos una cantidad adimensional llamada «Coeficiente de restitución» o coeficiente de percusión (e).

Velocidad relativa después del choque Velocidad relativa antes del choque

También se puede expresar: e=

VREL de alejamiento VREL de acercamiento

OBSERVACIONES 1. Si e = 1; choque elástico.

0 ≤ e ≤1 e=

e=

YY No hay deformación permanente, los cuerpos

I recuperador

recuperan su forma.

I deformador

YY EMA.CH. = EM D.CH.

Caso 1: Cuando un cuerpo choca con una pared:

2. Si 0 < e < 1; choque inelástico. YY Deformación parcial

Vi

YY Emi = EMf + QLIBERADO

3. Si: e = 0; choque plástico YY Los cuerpos quedan completamente defor-

mados, no se produce el rebote, por lo tanto después del choque quedan en reposo o se mueven con igual velocidad (juntos).

Vf

V1

e=

7

FÍSICA

Vf Vi

→

Vf= e Vi

V2

V

YY Emi = EMf + QLIBERADO

148

5.°

año

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Trabajando en clase Integral 1. Tres móviles A, B y C de masa 2 kg, 1,5 kg y 5 kg tienen velocidades de 100 m/s 120 km/h y 60 km/h, respectivamente. ¿Cuál de ellos tiene mayor cantidad de movimiento? Resolución: PA=2,100 = 200 kg/m PB = 1,5×120×5/18 = 50 kg m/s PC = 5×60×5/18 = 83,3 kg m/s → El mayor es A. 2. Tres móviles A, B y C de masa 3 kg, 4 kg y 6 kg tienen velocidades de 200 m/s, 180 km/h y 72 km/h, respectivamente. ¿Cuál de ellos tiene mayor cantidad de movimiento? 3. ¿Cuál es el módulo de la cantidad de movimiento resultante del conjunto de masas mostrado? 3V 2V

3m

m V/2

V 24m

2m

4. Se muestra la explosión de una granada en 3 fragmentos idénticos. Se puede afirmar que la granada se movía: V

4m

4m V

4m V

UNMSM 5. Determina la rapidez que adquiere la persona de 80 kg

5.°

año

luego de lanzar el ladrillo de 2 kg con una rapidez de 4m/s (la masa del carrito es despreciable).

Resolución:



PO=PF O = – 80V + 2.4 V = 0,1 m/s2

6. Determina la rapidez que adquiere la persona de 50 kg luego de lanzar el ladrillo de 3 kg con una rapidez de 5m/s (la masa del carrito es despreciable).

7. Un carro viaja con una rapidez de 6 m/s. Si en la misma dirección corre un hombre de 80 kg con una rapidez de 15 m/s, calcula la rapidez del conjunto carro-hombre, cuando este suba al carro (m carro = 100 kg) 8. Un martillo de masa de 500 g se mueve con rapidez de 6 m/s, golpea la cabeza de un clavo y lo hace penetrar en un bloque de madera. Si el martillo se detiene en 0,010 s, ¿cuál es módulo de la fuerza promedio? Resolución: DP = J 500 O= – 6 = – F . 105 1000 F = 3.105 N 9. Un martillo de masa 700 g se mueve con rapidez de 4 m/s, golpea la cabeza de un clavo y

149

lo hace penetrar en un bloque de madera. Si el martillo se detiene en 0,010 s, ¿cuál es módulo de la fuerza promedio? 10. Una pelota de 0,125 g se lanza frontalmente hacia una pared vertical con 20 m/s y rebota con una diferencia de 5 m/s. Si la fuerza media con la pared es de módulo 750 N, ¿qué tiempo estuvo la pelota en contacto con la pared 11. Una pelota de tenis de 50 g es lanzada con una rapidez de 10 m/s contra una raqueta. Si luego sale despedida con la misma rapidez, pero en dirección opuesta, determina la variación del módulo de la cantidad de movimiento de la pelota (en kg m/s) . 12. Se ejerce una fuerza determinada sobre un cuerpo durante 1,2 segundos, aumentando su rapidez de 1,8 a 4,2 m/s; si la misma fuerza es ejercida durante 2 segundos, se produce una variación de velocidades de módulo: 13. Un bloque de 2 kg de masa está inicialmente en reposo y se le aplica una fuerza horizontal que varía con el tiempo en la forma indicada. Determina la rapidez que adquiere el bloque una vez que la fuerza deje de actuar. F(kN) 10

0

0,01

t(s)

FÍSICA

7

CANTIDAD DE MOVIMIENTO 14. Un carrito de 4 kg de masa se mueve en una mesa horizontal sin roce con una rapidez de 30 m/s. Un ladrillo en caída libre, cae dentro del carrito. Si la masa del ladrillo es de 4 kg, ¿cuál será la rapidez final del carrito?

una superficie horizontal lisa. Calcula el tiempo que le tomará el cañón en retroceder 54 m (masa del proyectil 3 kg). Resolución:

30m/s

m

V m

UNI 15. Un cañón de 200 kg dispara un proyectil con una rapidez horizontal de 90 m/s apoyado sobre

7

FÍSICA



PO=PF

O = –200 . V + 90 .3 V = 1,35 m/s d 54 V = → 1,35 = →t = 40 s t t

16. Un cañón de 100 kg dispara un proyectil con una rapidez horizontal de 80 m/s. Calcula el tiempo que le tomará el cañón en retroceder 32 m (masa del proyectil 2 kg).

150

17. Dos masas idénticas chocan elásticamente y frontalmente sobre una mesa lisa, teniendo inicialmente una de ellas una rapidez de 1,2 m/s y estando la otra en reposo. Las rapideces (en m/s) de las masas después del choque serán: 18. Un patinador de 60 kg está parado sobre el hielo con los patines puestos y tira una piedra horizontalmente con una rapidez de 9 m/s. Calcula la distancia que retrocede el patinador si se sabe que la piedra es de 2 kg y el coeficiente de fricción entre los patines y el hielo es de 0,03 (g = 10m/s2).

5.°

año

8 Repaso 1. ¿Con qué fuerza (en módulo) debe tirar de la cuerda el hombre parado sobre la plataforma, para irse a sí mismo con una velocidad constante de 0,5 m/s, si el peso del hombre es de 800 N y la plataforma junto con la polea pesa 400 N?

3. La figura muestra un bloque de 15 N de peso; que se desplaza con rapidez constante hacia arriba a lo largo del plano inclinado, bajo la acción de la fuerza F de magnitud 10 N; determina (en N) la magnitud de la reacción del plano sobre el bloque).

5. La figura muestra un cuerpo, sobre una tabla, sujeto a una cuerda. Indica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

g liso

F

37°

a) 400 N c) 800 N e) 1200 N

b) 600 N d) 1000 N

2. Una viga horizontal homogénea de 10 m de longitud y 200 N de peso está fijada a la pared tal como se muestra la figura, pudiendo rotar alrededor del punto de contacto. El otro extremo está sujeto a una cuerda que hace un ángulo de 60° con la horizontal. Si un hombre de 700 N de peso está parado a 2 m de la pared, determina el módulo de la tensión (en N del cable)

a) 145 b) 155 c) 165 d) 175 e) 180 4. La barra homogénea pivotada a la pared está sostenida en el extremo libre mediante una cuerda ligera e inextensible que pasa sobre una polea ideal. Si la barra pesa 400 N, ¿con qué módulo de fuerza F (en N) hay que jalar de la cuerda para que el sistema permanezca en reposo? Asume que el segmento de cuerda ligado a la barra cuelga verticalmente.

F 60° 2m

a) 240 N c) 420 N e) 540 N 5.°

año

b) 380 N d) 480 N

a) 400 N c) 100 N e) 25 N

b) 200 N d) 50 N

151

a I. Sobre el cuerpo actúan 4 fuerza. ( ) II. La fuerza normal es la reacción del peso. ( ) III. La tensión en la cuerda tiene una magnitud igual a la componente del peso paralela al plano. ( ) a) VVV b) VVF c) VFV d) FFV e) FVV

6. Con el bloque inicialmente en reposo, marca V o F según corresponda. rugoso

F

I. Si el bloque permanece en reposo, la fuerza de rozamiento estático se calcula por fs = Us N (N: reacción normal) II. Si F > fk = mkN, entonces el bloque se deslizará hacia la derecha con aceleración constante. III. La mínima fuerza F para iniciar el deslizamiento es aproximadamente igual a la máxima fuerza de rozamiento estático. FÍSICA

8

REPASO a) FFF c) VFF e) FFV

b) FVF d) VFV

7. Dos bloques con masas m1 = 0,4 kg y m2 = 0,6 kg están dispuestos como se muestra en la figura. En relación con las tensiones, identifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Si están en reposo; T1 = 4N II. Si hay movimiento hacia abajo con rapidez constante de 5 m/s; T2 = 1N III. S i hay movimiento hacia arriba con aceleración 2 m/s2: t1 = 12N. T2

g

T1

a) FFF c) VVF e) FVV

b) VFF d) VVV

8. Una cuerda unida a una bola se hace pasar por un tubo y sujetándola hacia abajo se hace girar la bola en una circunferencia en el plano horizontal. Determina la frecuencia angular «w» (en rad/s) con que se debe hacer girar, de tal modo que el ángulo entre la cuerda y el plano horizontal sea q = 37° y el radio de la circunferencia, R = 2/15 m.

a) 3 rad/s c) 10 rad/s e) 18 rad/s

b) 5 rad/s d) 12 rad/s

9. Si no existe rozamiento, determina el módulo de la aceleración del sistema (g = 10 m/s2).

1kg

3kg

80N

a) 4 m/s c) 5,6 m/s e) 2,4 m/s

12. Un bloque de peso P está apoyado contra una pared vertical y a la vez está sometido a las fuerzas F y Q. El coeficiente de rozamiento cinético entre la pared y el bloque es «u». Si el bloque resbala hacia abajo con velocidad constante, calcula el trabajo realizado por F cuando el bloque llega al piso. F

30°

a) 10 m/s2 c) 14 m/s2 e) 20 m/s2

b) 12 m/s2 d) 15 m/s2

10. Se suelta la masa de 1 kg desde A y debido a la fricción llega a B con velocidad nula. Calcula el trabajo realizado por la fuerza de fricción (g = 10 m/s2); semicircunferencia de R = 2 cm. A 30° R

a) 0,1 J c) –10 J e) –9,8 J

b) 4,8 m/s d) 6 m/s

B

d a) (Qu +P)d b) (P – Qu)d c) –(Qu + P)d d) QuP e) (Qu – P)d 13. El bloque de 10 kg desciende con aceleración de módulo 5 m/s2. Calcula el trabajo de la fuerza F , cuando el bloque baja 2 m (g = 10 m/s2).

piso

b) –0,1 J d) 9,8 J F

11. El sistema de la figura se abandona a partir del reposo con el bloque de 24 kg, 2,4 m por encima del suelo. Utiliza el principio de conservación de la energía para calcular la rapidez con la cual llega al suelo el bloque. Desprecia el rozamiento y la masa de la polea (g = 10 m/s2)

Q

q

a) –100 J b) –50 J c) 75 J d) 100 J e) 50 J 14. En el plano inclinado, la masa de 2 kg se lanza con rapidez de 10 m/s y luego de recorrer 5 m su velocidad es nula. Determina el valor de la fuerza de fricción (g = 10 m/s2)

5m q

F

8

FÍSICA

V0=10m/s

24kg 2,4m

12kg

152

a) 1 N d) 4 N

53° b) 2 N e) 5 N

c) 3 N

5.°

año

REPASO 15. Se desea levantar una carga de 800 kg a velocidad constante mediante un moto de 40 Kw. ¿Con qué rapidez se levanta? a) 5 m/s b) 10 m/s c) 100 m/s d) 50 m/s e) 20 m/s 16. Si el bloque parte del reposo en x = 0, ¿cuál es su rapidez cuando x = 20 m? (La masa del bloque es 1 kg)

F(N)

40 20 0

20m a) 10 m/s c) 20 m/s e) 40 m/s

x(m)

b) –10 m/s d) 30 m/s

17. Determina la rapidez que adquiere la persona de 60 kg, luego de lanzar el ladrillo de 4 kg con una rapidez de 20 m/s.

a) 1 m/s c) 1,3 m/s e) 1,6 m/s

b) 1,2 m/s d) 1,5 m/s

19. Dos planetas giran en órbitas circunferenciales alrededor del sol y tienen periodos de 3 y 24 años. Si la distancia entre el planeta más cercano y el sol es 19 200 km, determina la distancia entre ambos a) 57 600 km b) 38 400 km c) 19 600 km d) 45 000 km e) 30 000 km

18. Un martillo de masa 600 g se mueve con velocidad de 3 m/s; golpea la cabeza de un clavo y lo hace penetrar en un bloque de madera. Si el martillo se detiene en 0,0010 s, ¿cuál es el módulo de su fuerza promedio? a) 1,8 km b) 18 km c) 0,18 km d) 180 km e) 2,4 km

20. Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad a una distancia igual a 5 veces el radio terrestre de la superficie de la Tierra. a) g/36

b) g/4

c) g/5

d) g/9

e) g/16

Bibliografía 1. HEWITT, Paul. Física conceptual. México D. F., trillas, 1996. 2. SEARS, ZEAMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. Física Universitaria. Argentina: Adolison Wesley, 2006. 3. SERWAY. Física. México D.F.: McGraw-Hill, 1992. 4. TIPLER, Paul. Física para la ciencia y la tecnología. Bogotá: Reverte, 2010.

5.°

año

153

FÍSICA

8

Física

1 Movimiento armónico simple (MAS) El estudio de las oscilaciones mecánicas es importante no solamente por su aplicación frecuente a la ingeniería, sino porque los resultados obtenidos también pueden ser usados para el estudio y aclaración de los fenómenos oscilatorios en otras ramas de la Física, tales como, por ejemplo, el estudio de las oscilaciones armónicas que experimentan los electrones en una antena de transmisión o el movimiento de las moléculas en torno a una posición de equilibrio en una red cristalina o el movimiento de las moléculas sobre la superficie libre de los líquidos luego de una perturbación. Por lo expuesto, el MAS es de suma importancia ya que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza. Antes de entrar a analizar y describir el MAS, conoceremos algunos aspectos previos, como el movimiento oscilatorio y el movimiento periódico.

Movimiento periódico

Es aquel que se repite regularmente en intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, el movimiento rotacional de la tierra, el movimiento de las agujas del reloj, etc.

Movimiento armónico

Es aquel movimiento cuya posición está expresada en términos de seno y/o coseno. En la práctica, todo movimiento armónico es a la vez periódico.

Observaciones

Analicemos el movimiento de una esferita sujeta mediante un hilo, como se muestra:

Movimiento oscilatorio Se caracteriza porque el movimiento se repite, siguiendo la misma trayectoria en ida y vuelta. «Se experimenta un movimiento de vaivén». Por ejemplo, un reloj de péndulo, un columpio, etc.

A

B

C

La esferita oscila en torno de su posición más baja B.

5.°

año

125

FÍSICA

1

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Primera La esfera completa una oscilación cuando desarrolla un movimiento completo, es decir, cuando va del extremo A hacia el extremo C y luego retorna al extremo inicial, A. A → B: un cuarto de oscilación A → C: media oscilación A → C → A: una oscilación Segunda El tiempo que debe transcurrir para que se repita nuevamente el evento se denomina: «Pperiodo (T)».



Luego, la fuerza recuperadora está dada por: FR = –KX

¿Qué es un movimiento armónico simple?

Es un movimiento oscilatorio y periódico en línea recta, en el cual se cumple la ley de Hooke. Por ejemplo, analicemos un bloque en reposo ligado a un resorte: Posición de equilibrio PE

Tercera Un movimiento periódico no es necesariamente oscilatorio, y un movimiento oscilatorio no es necesariamente periódico.

liso

Fuerza elástica

Estas fuerzas se generan cuando se deforma un cuerpo. Por lo general se distinguen:

a) Fuerza deformadora (FD)

Es aquella fuerza que produce la deformación del cuerpo, siempre tiene el sentido de la deformación. (x = Lf – L0)

Lo alejamos una distancia (A) de su posición de equilibrio (PE), por medio de una fuerza deformadora (FD). V=0 FD

Lo x FR

A

FD

¿Qué movimiento desarrolla el bloque al dejar de aplicar la FD?

Lf

Mov. de ida (T/2)

b) Fuerza recuperadora (FR)

Se genera en los cuerpos deformados. Si la deformación no supera el límite elástico, se cumple la Ley de Hooke. FR(DP) x

–A



K=

FR = constante x

N

K: constante elástica del resorte (N/m) x: deformación o elongación (m)

1

FÍSICA

V=0

+A FR

PE

V

x

M

Mov. de vuelta (T/2)

126

5.°

año

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) • El movimiento se repite cada «T» segundos. El bloque adquiere movimiento mecánico, debido a la acción de la fuerza recuperadora (FR = kx, la cual disminuye a medida que el bloque se acerca a la PE).

Elementos del MAS

De t0 = 0 a tf = t, la partícula barre un ángulo «q», y del MCU se tiene que: θ=ω⋅t

Ecuación de la posición

1. x : posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio llamada también, «elongación». 2. Amplitud (A): Máxima elongación.

A partir del

3. Periodo (T): Es el tiempo utilizado para dar una vibración u oscilación completa.

(+): vector hacia la derecha (–): vector hacia la izquierda

4. Frecuencia (f): Es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo.

f=

1 –1 T Unidad: s = hertz (Hz)

se deduce lo siguiente: x = ASen(ω t + α)

α: Fase inicial; su valor depende de las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial). Se expresa en «rad» en el SI

5. Frecuencia cíclica (ω) 2π = 2πf ω= T

Ecuación de la velocidad

¿Por qué al MAS se le denomina armónico?

Esta ecuación nos permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante de tiempo.

Ecuaciones del MAS

También:

V(t) = ±ω A Cos (ωt + α) ... (m/s)

Se debe a que su movimiento está gobernado por funciones armónicas (seno o coseno). Para obtener las ecuaciones del MAS, trabajaremos con la proyección horizontal de una partícula que experimenta un MCU, con el movimiento del bloque.

V = ω A A2 – x2 Esta ecuación solo nos permite conocer el módulo de la velocidad, conociendo la posición del móvil. De esto se deduce: Vmáx. = ωA (en la PE) Vmín. = 0 (en los extremos)

Ecuación de la aceleración ωt θ=

a

a(t) = ± ω2 A Sen(ωt + α) ... (m/s2)

x

Para cualquier instante de tiempo.

t

PE

De esto se deduce que:

∆t=t     

a(t) = ± ω2 x

x=0

t=0

tf=t

Xo x

El signo (–) indica que «a» y «x» son de direcciones contrarias. Luego, tenemos : |a(t)| = ω2x

A

5.°

año

127

FÍSICA

1

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) ZZ |amáx.| = ω2 A … (en los extremos)

despreciable de un punto fijo. Al ángulo que forma el hilo con la vertical en la posición extrema se le denomina «amplitud de la oscilación».

ZZ |amín.| = 0 … (en la PE)

θ θ

¿El periodo de oscilación, depende de la amplitud? ¡No! Depende de la masa y de la rigidez del resorte. El periodo (T) se evalúa así: T = 2π m k

2π ω= = 2πf T En el MAS, ¿la energía mecánica se conserva? ¡Sí! Porque la fuerza que mantiene el MAS es una fuerza conservativa (fuerza elástica). La energía mecánica del sistema masa-resorte de una MAS se evalúa así:

Para el periodo del péndulo simple, se cumplen las siguientes leyes: 1. Es independiente de la masa. 2. Es independiente de la amplitud, si esta es pequeña (θ ≤ 10º) 3. Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. 4. Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. 5. La expresión «bate segundos» indica que su periodo es 2 s. T = 2π

    

    

        

2 kx2 mV2 kA2 mV máx. + = = 2 2 2 2

en cualquier en un posición extremo

g

m

Recuerde lo siguiente:

EM =

L

L

en la PE

L gef

... (s)

gef: módulo de la aceleración de la gravedad efectiva (m/s2)

PÉNDULO SIMPLE

Consiste en una masa de dimensiones muy pequeñas, suspendida mediante un hilo inextensible y de peso

gef = g – a

a: aceleración local

Trabajando en clase Integral 1. De la siguiente ecuación de la posición de un MAS x = 50 ⋅ Sen(3t + π/2)m Calcula el periodo de oscilación en segundos. Resolución: 2π 2π ⇒ T= s T= 3 w 2. De la siguiente ecuación de la posición de un MAS

1

FÍSICA



x = 30 ⋅ Sen(5t + π/6) m Calcula el periodo de oscilación en segundos

3. De la siguiente ecuación de la posición de un MAS. x = 20 ⋅ Sen(4t + π/3)m Enuncia la ecuación de la velocidad. 4. Un cuepro tiene un movimiento armónico simple, con amplitud de 12 cm y una frecuencia de 4 hertz. Calcula su velocidad máxima.

128

5.°

año

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) UNMSM

UNI

5. ¿Cuál es la longitud de un péndulo de periodo 6 s? (g = π2 m/s2) Resolución: T = 2π L g

15. Un collarín A está unido a un resorte de K = 0,6 N/m, tal como se muestra en la figura. Si el collarín se separa 20 cm de su posición de equilibrio y luego se suelta deslizándose sin fricción, determina la máxima aceleración del collarín de 10 gramos de masa. k=0,6 N/m



6 = 2π

L π2

A

L=9m

6. ¿Cuál es la longitud de un péndulo de periodo 8 s? (g = π2 m/s2) 7. ¿Cuál es la longitud de un péndulo que «bate» segundos en un lugar donde la aceleración de la gravedad es π2 m/s2. 8. De la siguiente ecuación de la aceleración de un MAS: a = 50 ⋅ Sen(5t + π/6)m/s2 Calcula la velocidad máxima en m/s. Resolución:

Resolución: amáx. = w2 . A

k m

w=

0,6 = 60rad/s 10⋅10–3 ⇒ amáx. = 60 2 ⋅ 20 = 12 m/s2 100 w=

16. Un collarín B está unido a un resorte de k = 0,3 N/m el collarín se separa 40 cm de su posición de equilibrio y luego se suelta deslizándose sin fricción. Calcula la máxima aceleración del collarín de 20 g de masa. B

9. De la siguiente ecuación de la aceleración de un MAS: a = 36 ⋅ Sen(6t + π/6)m/s2 Calcula la velocidad máxima en m/s.

17. Se muestra un bloque que se encuentra en la posición de equilibrio. Si lo estiramos 10 cm hacia abajo y luego lo soltamos, ¿cuál será la ecuación del movimiento? Determine también la máxima rapidez. mA = 0,49 kg y g = 10 m/s2 ///////////////

10. Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple con amplitud 8 cm y una frecuencia de 6 hertz. Halla su máxima aceleración. 11. Un cuerpo que realiza MAS sigue la siguiente ecuación que define su velocidad en todo instante: V = 16 Sen4t. Determina su aceleración luego haber transcurrido 3 segundos. 12. El periodo de un péndulo simple es 3 s. ¿Cuál será su periodo si su longitud disminuye en 75%?

k=1,96 N/m PE

18. La gráfica x vs t representa el MAS de una partícula. Halla la ecuación de la posición en función del tiempo para este movimiento. x(m)

13. Una partícula con MAS efectúa 50 oscilaciones en 25 segundos. Si la amplitud es de 20 cm, calcula el valor de la velocidad en el momento en que la elongación es de 12 cm. 14. Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, ¿qué fracción de la energía total es cinética? 5.°

año

A

129

4 1,2 0 0,6

1,8

3

t(s)

–4

FÍSICA

1

2 Ondas mecánicas ¿Qué es una onda?

Son oscilaciones que se propagan en el espacio y tiempo, desde un lugar del espacio que ha sido perturbado, conocido como «foco». Para la propagación de una onda mecánica, ¿es necesaria la existencia de un medio? Rpta.: ¡Sí! Sabemos que las partículas de todo cuerpo, sea sólido, líquido o gaseoso, interactúan unas con otras. Por eso si una partícula del medio empieza a oscilar debido a la interacción, este movimiento oscilatorio comienza a propagarse con cierta rapidez en todas las direcciones. Una onda no transporta masa, solo transporta energía y cantidad de movimiento, las cuales son propiedades fundamentales de toda onda, sea cual fuese su naturaleza.

Elementos de una onda Según la onda armónica:

Son aquellas en las que las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación. El deslizamiento de unas capas de otras, en los gases y líquidos, no permite que aparezcan fuerzas de elasticidad, por esta razón, en los gases y en los líquidos no pueden propagarse ondas transversales.

b) Onda longitudinal

Son aquellas en la que las partículas oscilan paralelamente a la dirección de propagación. En la onda longitudinal, tiene lugar la deformación por compresión. Las fuerzas de elasticidad, ligadas a esta deformación, se originan tanto en los sólidos como en los líquidos y en los gases, por eso, las ondas longitudinales se pueden propagar en todos los medios.

2

FÍSICA

t=∆t

y

A

Z

x e=v.t

y: Es la posición de la partícula del medio oscilante ubicada a «x» metros del origen de onda. A: amplitud (ymáx.) λ: longitud de onda F: frecuencia en hertz (Hz) Rapidez de propagación V V=

Donde:

a) Ondas transversales

t=0

λ

e λ = = λf ∆t T

⇒ V=λ⋅f f= 1 T

La posición y(x, t) de una partícula situada a «x» metros del origen de ondas, en el instante de tiempo «t» es: y(x,t) = ASen2π t ± x T λ Ecuación de una onda armónica:

Donde: (–): si la onda se propaga es a la derecha (+): si la onda se propaga es hacia la izquierda. La frecuencia de la fuente de las oscilaciones es la misma frecuencia de oscilación de una partícula del medio y es la misma frecuencia que el de la onda.

130

5.°

año

ONDAS MECÁNICAS Las ondas experimentan fenómenos, como reflexión, refracción, difracción, interferencia y polarización. ¿Qué sucede cuando una onda se encuentra con la frontera de otro medio? Cuando un movimiento ondulatorio llega a una superficie o región donde cambia las propiedades del medio en el cual se propaga, sufre una alteración y como resultado, parte de la energía del movimiento ondulatorio es devuelta al mismo medio de donde procedía, constituyendo la onda refractada. El grado de reflexión y transmisión depende de la elasticidad del segundo medio. Fuente de onda incidente

Concluimos que cuando una onda pasa de un medio a otro su frecuencia permanece constante. ¿Qué ocurrirá con su longitud de onda? fmedio(1) = fmedio(2) Vmedio(1) = Vmedio(2) λ2

λ1

Es decir, la rapidez de la onda es proporcional a su longitud de onda. Si la rapidez en el segundo medio es menor, entonces la longitud de onda en el segundo medio será también menor.

Fuente de onda reflejado λ1

Vi

λ2

Vr

V1 > V2 V1 V2 La frecuencia de una onda no se altera cuando se transmite de un medio a otro.

Medio (1) Medio (2) R

VR

Fuente de onda refractado

Ondas estacionarias

En donde el rayo incidente, el rayo reflejado y el rayo refractado están en un mismo plano. ∧ En donde el ángulo de incidente ( i ) y el ángulo de ∧ reflexión ( r ) son iguales: ∧

∧

i =r

Las rapideces de las ondas son diferentes en los medios (1) y (2): ∧ Sen i = Vmedio incidente ∧ Sen R Vmedio rfefractado

Es un tipo especial de la interferencia de ondas que resultan de la superposición de 2 movimientos ondulatorios producidos por dos focos que vibran sincrónicamente (con la misma frecuencia) y por consiguiente tienen la misma longitud de onda. Estas interferencias se caracterizan porque existen puntos llamados «nodos» donde la interferencia es siempre con anulación, mientras que en otros puntos llamados «vientres», la interferencia es siempre con refuerzo. Los nodos y los vientres ocupan posiciones fijas, de modo que esta onda parece no avanzar en el espacio, de ahí el nombre de «onda estacionaria».

Las partículas del medio 2 empiezan a oscilar debido a que son perturbados por las partículas de la interface correspondiente al medio 1, las que se comportan como si fueran la fuente de las oscilaciones, y como la frecuencia de la fuente de oscilaciones es la misma que la frecuencia de la onda generada, podemos concluir que: fmedio(1) = fmedio(2)

5.°

año

λ1 > λ2

λ/2

N V N: nodo

131

λ/4

N

N V

V V: vientre

FÍSICA

2

ONDAS MECÁNICAS Una característica interesante es que la distancia entre dos nodos consecutivos o dos vientres consecutivos es de media longitud de onda (λ/2), mientras que la distancia entre un nodo y un vientre es de un cuarto de longitud de onda (λ/4). Esto se puede apreciar en la siguiente ilustración: λ/2 = L

Donde «n» es un número entero. Como f = V → f = V n ...(Ψ) λ 2L Es decir: f = V , 2 V , 3 V , ... etc. 2L 2L 2L La rapidez con la cual se propaga una onda a través de una cuerda está dada por: V=

T µ

λ/2 = L/2

Donde T es el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda (N) y µ es la densidad lineal de la cuerda. Reemplazando en Ψ, obtenemos la frecuencia de una onda estacionaria. f = n T ... (λ) 2L µ

λ/2 = L/3

Para n = 1, obtendremos: f1 = 1 T 2L µ

En los gráficos anteriores, se observa que la longitud de onda estacionaria toma valores definidos. L L L λ L = L, , , , ..., 2 3 4 2 n → λ = 2L, 2L , 2L , ... 2L 2 3 n

A la cual se le denomina «frecuencia fundamental de la cuerda». La expresión (λ) es importante, porque esta manifiesta cuáles son los factores que influyen en la frecuencia de las ondas estacionarias en una cuerda vibrante. Como las cuerdas vibrantes se utilizan en numerosos instrumentos musicales (piano, guitarra, violín, etc.), el sonido emitido por una cuerda de esos instrumentos se controla ajustando la longitud, la tensión o la masa de la cuerda.

Trabajando en clase Integral



V=λ ⋅f

1. Se sabe que en el agua el sonido viaja a 1500 m/s. Si se produce en el agua un sonido cuya longitud de onda es λ = 5 m; entonces, ¿cuál es su frecuencia? Resolución:



1500 = 5 ⋅ f

2

FÍSICA

132

f = 300 Hz

5.°

año

ONDAS MECÁNICAS 2. Se sabe que en el agua, el sonido viaja a 1500 m/s. Si se produce en el agua un sonido cuya longitud de onda es λ = 7,5 m; entonces, ¿cuál es su frecuencia? 3. Calcula con qué rapidez viaja el sonido en el agua de mar, si se sabe que un sonido de frecuencia de 2 KHz tiene una longitud de onda de 0,75 m. 4. Una cuerda tensa vibra en su cuarto armónico con una frecuencia de 40 Hz. Si la cuerda es de 0,05 kg/m y tiene una longitud de 2 m, ¿cuál es el módulo de la tensión de la cuerda en N? UNMSM 5. Determina la rapidez (en m/s) y la longitud de onda (en m) de una onda transversal que se propaga por una cuerda tensa cuya función de onda es: y(x, t) = 0,4 Sen(3πx – 2πt) Resolución: λ (x, t) = ASen(kx – wt)

k = 2π ⇒ 3π = 2π λ λ

λ= 2 m 3



w = 2π ⋅ f 2π = 2π ⋅ f ⇒ f = 1Hz ⇒ V = λ ⋅ f = 2 ⋅1 = 2 m/s 3 3

6. Determina la rapidez (en m/s) y la longitud de onda (en m) de una onda transversal que se propaga por una cuerda tensa cuya función de onda es: y(x, t) = 0,2Sen(2πx – 3πt) 7. La función de onda que es propagada en una cuerda de densidad 0,75 kg/m es y = 0,8 Sen(πx – 20πt + π/6)m. Calcula el módulo de la tensión a la que es sometida la cuerda. 8. ¿Cuál será el módulo de la tensión (T) necesaria con la que hay que sostener el extremo de una cuerda de 36 m de longitud y 2 kg de masa, si se quiere que las ondas formadas vayan con una rapidez de 6 m/s? Resolución:

V=

T⋅L T = m µ



6=

T⋅36 2



T=2N

5.°

año

9. ¿Cuál será el módulo de la tensión (T) necesaria con la que hay que sostener el extremo de una cuerda de 18 m de longitud y 4 kg de masa, si se quiere que las ondas formadas vayan con una rapidez de 6 m/s? 10. En una cuerda sometida a una tensión cuyo módulo es 50 N, se generan ondas armónicas de 10 m de amplitud y 10π rad/m de número de onda. Halla la energía por unidad de longitud que transporta dicha cuerda (en 105J/m) (π2 ≈ 10) 11. Indica las proposiciones correctas (V o F) respecto de ondas mecánicas. I. Se propagan en el vacío. ( ) II. Su frecuencia depende de las características del medio. ( ) III. Transportan energía y cantidad de movimiento. ( ) 12. Halla, aproximadamente, la potencia media (en W) que debe tener un oscilador de 60 Hz, para establecer ondas armónicas de 0,5 cm de amplitud en una cuerda de 20 g/cm, sometida a una fuerza de tensión de módulo 8 N. 13. La figura muestra el perfil de las olas que van en cierto lugar. Si dichas olas recorrieron 18 m en 3 s, halla la frecuencia que llevan asociadas. 6m

V

14. Cierto estudiante genera ondas en el extremo de una cuerda con una frecuencia de 4 Hz y nota que estas ondas avanzan con una rapidez de 12 m/s. ¿Cuál es la longitud de estas ondas y qué distancia habría entre la primera y la novena cresta? UNI 15. Una frecuencia sonora tiene una potencia de 200 kW. ¿Cuál es el la intensidad de emisión a una distancia de 600 m? Resolución: I = P 2 ⇒ 200 000 4π.600.600 4πR w I= 5 36π m2

133

FÍSICA

2

ONDAS MECÁNICAS 16. Una fuente sonora tiene una potencia de 100 kW. ¿Cuál es la intensidad de emisión a una distancia de 400 m?

sonora en 10–3 W/m2 que escucha otra persona ubicada a 200 m de la explosión.

17. En una fiesta costumbrista, explota una avellana de manera que una persona ubicada a 100 m de la explosión escucha el sonido con un nivel de intensidad de 100 dB. Determina la intensidad

18. El nivel de intensidad a 30 m de una fuente sonora, que emite ondas uniformemente en todas direcciones, es 90 dB. Determina la intensidad en 10–5 W/m2 de las ondas sonoras a 50 m de la fuente.

2

FÍSICA

134

5.°

año

3 Hidrostática ¿A qué se llama fluido?

¿Qué es la presión?

Consideremos dos bloques de concreto idénticos de 4 kg cada uno, apoyados sobre nieve, tal como se muestra. B

A

Es toda sustancia (líquidos, gases) que adopta fácilmente la forma del recipiente que lo contiene, y una de sus propiedades más importantes es la de ejercer y transmitir «presión» en todas las direcciones.

Densidad (ρ)

Esta magnitud nos indica la cantidad de masa que se halla contenida en la unidad de volumen de un determinado material. ρ=

¿Qué notamos?

Que el bloque B se hunde más que el bloque A, pero, ¿por qué, si en ambos casos los bloques ejercen la misma fuerza sobre la superficie? Fg=40 N

m v

Fg=40 N

Unidades SI: kg/m3

Nota

La densidad de una sustancia expresada en g/cm3, queda expresada en kg/m3 si se multiplica por 1000 Por ejemplo: ZZ ρH2O = 1 g/cm3

FN=40 N 20N

20N

luego, tenemos: ρH2O = (1 × 1000) kg/m3 = 1000 kg/m3

ZZ ρaceite = 0,8 g/cm3 = 800 kg/cm3

5.°

10N

FN=40 N 10N 10N

año

Notamos que en el caso B la fuerza de 40 N se distribuye sobre una menor superficie que en el caso

135

FÍSICA

3

HIDROSTÁTICA del bloque A, por ello cada unidad de área de la base en B soporta mayor fuerza; por eso experimenta mayor hundimiento. Luego, la presión es una magnitud física que mide la distribución de una fuerza perpendicular (normal) sobre una superficie de área A. Matemáticamente P= Unidad en el SI: N = Pascal (Pa) m2

ISÓBARA B

A

FN A

Principio de Pascal

FN: módulo de la feurza normal (N) A: área (m2)

ZZ 105 Pa = 1 atm

¿Ejercerán presión los líquidos? Como todo cuerpo sobre la Tierra, los líquidos se encuentran sujetos a la fuerza de gravedad, por lo tanto, pueden ejercer presión: Presión hidrostática (PH). Por ejemplo, un líquido puede ejercer presión sobre las paredes del recipiente que lo contiene. mg

pH

ZZ PA = PB ZZ PA < PC

C

¿Qué establece el principio de Pascal? Todo fluido transmite sin alteración la presión ejercida sobre él a todas las partículas del mismo y en todas direcciones. Por ejemplo: FEXT

A

P2+P P1+P

h P3+P

Sabemos que: P = F A Luego: PH = mg = (ρv)g A A ρAhg PH = A

Si ejercemos sobre el émbolo una fuerza externa; PH = ρ . g . h

Sabemos que:

k5 ρ: densidad del líquido m3

P=

g: aceleración de la gravedad (m/s2) h: profundidad

Presión total (PT). Es la suma de las presiones locales (manométricas, hidrostática, etc.) y la presión atmosférica.

F A

Luego, notamos que la presión ejercida (P), se transmitió en todas las direcciones. Una aplicación práctica de este principio es la «Prensa hidráulica». A1

F1 A2

Observaciones:

1. La presión hidrostática depende solamente de la profundidad, mas no de la forma del recipiente que contiene al líquido. 2. Todos los puntos en un mismo líquido ubicados a una misma profundidad soportan igual presión y la línea que une dichos puntos se llama «isóbara».

3

FÍSICA

136

Po Po

Po

F2

Po

Po Po

Po

Po 5.°

año

HIDROSTÁTICA Esta máquina basa su funcionamiento en el principio de Pascal. Al aplicar una fuerza sobre uno de los pistones, esta se transmitirá al otro en mayor valor. En la gráfica, cuando, sobre el pistón de área A1 se ejerce una fuerza F1, el líquido transmite una presión adicional: Po =

F1 ... (1) A1

Luego, sobre el pistón de área A2 el líquido le ejerce una fuerza adicional F2, de modo que: F2 = (Po)(A2) = … (2) Reemplazamos (1) en (2): F2 =

A F1 ⋅ A2 ⇒ F = F 2 2 1 A1 A1

Como ya sabemos, un líquido presiona sobre el fondo y contra las paredes del recipiente, y si en él introducimos un cuerpo cualesquiera, este también estará sometido a dicha presión. En consecuencia, observamos que el líquido ejerce presión sobre las paredes del cilindro, causando las fuerzas que se muestran, del tal forma que: Horizontalmente: F3 – F4 = 0 ⇒ FRx = O Verticalmente: Como P2 > P1 → F2 > F1 Luego, existe una fuerza resultante: (F2 + F1) a la cual se denomina «empuje hidrostático (E)». E = F2 – F1 E = P2A – P1A E = (P2 – P1)A E = ρg (h2 – h1)A ∴ E = ρL . g . Vsum

Observación

Como A2 > A1; entonces F2 > F1; esto significa que la prensa hidráulica multiplica la fuerza. Las máquinas hidráulicas, como los frenos hidráulicos, gatos hidráulicos, ascensores hidráulicos, etc., están basados en el principio de Pascal. A2 ; se llama: ventaja mecánica A1

Principio de Arquímedes

¿Qué establece el principio de Arquímedes? «Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un fluido, experimenta la acción de una fuerza perpendicular a la superficie libre del líquido y hacia arriba, denominada: fuerza de empuje hidrostático (E)». La fuerza de empuje actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida. Supongamos un cilindro homogéneo sumergido en un líquido de densidad «ρL», tal como se muestra:

Experimentalmente, Arquímedes comprobó que el valor del empuje es igual al peso del líquido desalojado. Líquido desalojado E E = mliq.desalojado ⋅ g  Indica el  Dinamómetro  valor de la   tensión

F1

h2 h2

Donde: Vsum = volumen sumergido E : fuerza hidrostática de empuje (en SI se mide en newton)

T E + T = mg

F4

F3

mg F2 5.°

año

E

E = mg – T

T: peso aparente del cuerpo

137

FÍSICA

3

HIDROSTÁTICA

Observación Cuando un cuerpo está sumergido en dos o más líquidos no miscibles y de diferente densidad, experimenta la acción de un empuje resultante.

A ET = EA + EB + EC

B C

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuál es la presión del agua en el fondo de un estanque cuya profundidad es de 2 m? (g = 10 m/s2) Resolución: PH = ρL ⋅ g ⋅ H PH = 1000 ⋅ 10 ⋅ 2 = 20 000 Pa

6. Si A1 = 2 m2; A2 = 4 m2 Halla «F2», si: F1 = 80 N F1 A1

A2 F1

2. ¿Cuál es la presión del agua en el fondo de un estanque cuya profundidad es de 3 m? (g = 10 m/s2) 3. Halla la densidad de una sustancia de 400 kg que ocupa un volumen de 8 m3. 4. Halla la presión sobre la placa triangular. F = 4800 N C A

37º 8m

7. Los émbolos de una prensa hidráulica tienen 8 cm y 40 cm de diámetro. Si al émbolo menor se le aplica una fuerza de 10 N, calcula el módulo que se desarrolla en el émbolo mayor. 8. El peso de un bote de madera que flota en el lago junto al muelle es de 500 N. Halla el volumen sumergido del bote. (g = 10 m/s2) Resolución:

B UNMSM 5. Si A1 = 0,2 m2; A2 = 0,6 m2, halla F2, si F1 = 20 N F1

500N

A1

A2 F2



Resolución: F1 F2 20 F2 = = A1 A2 0,2 0,6 F2 = 60 N

3

FÍSICA



E=500N

E = ρL ⋅ g ⋅ Vs 500 = 1000 ⋅ 10 ⋅ V5 V5 = 5 ⋅ 100–2 m3

9. El peso de un bote de madera que flota en el lago junto al muelle es de 700 N. Halla el volumen sumergido del bote. (g = 10 m/s2) 10. En la figura, determina la ρA y ρB, si se sabe que: ρA + ρB = 1600 kg/m3.

138

5.°

año

HIDROSTÁTICA

0,2m

A

0,3m

-- -- --- -- --- -- --- -- --- -- --- -- ----

h

B

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//

11. Una esfera pesa 10 000 N en el aire y 6000 N en el agua; encuentra el volumen de la esfera. 12. Un bloque de madera flota en el agua con 65% de su volumen sumergido. Calcula la densidad del bloque de madera. 13. A qué profundidad dentro de un lago se encuentra sumergido un buzo que soporta una presión total de 7,5 atm. (1 atm = 105 Pa)

17. En el sistema mostrado, determina la presión del gas, sabiendo que la presión del aire comprimido es 1500 kPa. Considera la densidad del aceite 800 kg/m3. Densidad del Hg = 13 600 kg/m3. (g = 10 m/s2) Aire

14. Determina la diferencia de presión entre A y B. 20 cm

A B

45 cm GAS

H2O

Hg

UNI 15. Se realiza el experimento de Torricelli en un lugar donde la presión es 1,2 atmósferas, siendo el líquido utilizado aceite cuya densidad es 0,9 g/cm3. Determina la altura de la columna (en m) 1 atm = 1,01⋅105 Pa (g = 9,8 m/s2). vacío

h



-- -- --- -- --- -- --- -- --- -- --- -- ----

5m

Agua

10m B

18. En la figura (1), se muestra un cubo sólido de arista a = 10 cm y densidad p = 3 g/cm3, y un volumen de agua (PH O = 1 g/cm3). Si en la figura (2) 2 el cubo tiene el 50% de su volumen sumergido, identifica la proposición falsa.

A -- -- -- -- -- -- -- -- -- --B-- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=// Resolución: PA = PB 1,2⋅1,01⋅105 = 900 ⋅ 9,8 ⋅h h = 13,74 m

año

Aceite

A

«balanza» a

a/2 (2)

(1) agua (g = 10 m/s2)

16. Se realiza el experimento de Torricelli en un lugar donde la presión es 0,8 atmósferas, siendo el líquido utilizado acepite cuya densidad es 0,8 g/cm3. Determina la altura de la columna (en m) 1 atm = 1,01⋅105 Pa (g = 9,8 m/s2)

5.°

5m

139

a) El volumen del cubo vale 1 lt = 10–3 m3 b) La masa del cubo es de 3kg c) El peso del cubo vale 30 N d) En (1), la balanza marca 30 N e) En (2), la balanza marca 15 N FÍSICA

3

4 Hidrodinámica El estudio de la hidrodinámica tiene una importancia grande, que fácilmente ha de advertirse con solo pensar que en él está basado nada menos que el vuelo de los aviones. En estos últimos años se ha avanzando mucho en el estudio de esta parte de la Física, y en la lucha por superar ese límite que significaba la velocidad del sonido. De allí que la línea de los aviones destinados a vuelos supersónicos sea muy distinta de la de los aviones comunes, sobre todo en el ángulo de las alas y en la altura de la cola. Cuando el fluido está en movimiento, su flujo se caracteriza como uno de dos tipos principales: ZZ Flujo estable o laminar



Cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme, de tal modo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se crucen. Todas las partículas de fluido que llegan a un punto dado tienen la misma velocidad.

Flujo de un fluido ideal ZZ Flujo ideal es incompresible (su densidad no pue-

ZZ

ZZ ZZ ZZ

ZZ

de cambiar) y no tiene viscosidad (se desprecia la fricción interna). Los líquidos casi siempre son aproximadamente incompresible, y también se puede tratar a los gases como incomprensible si las diferencias de presiones de una región a otra no son muy grandes. El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama «línea de flujo». Si la distribución global de flujo no cambia con el tiempo, tenemos un flujo estable. Una línea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. En situaciones de flujo , las líneas de flujo y las de corriente son idénticas.

Caudal de una corriente (Q) /////////////////////////////////////////////////

Flujo laminar alrededor de un automóvil en un túnel de viento y sobre cierta rapidez crítica. ZZ Flujo turbulento



A

V

v

d=V⋅t

Es un flujo irregular que se caracteriza por pequeñas regiones con forma de remolino. Q= V t

3 ... m s

V: volumen (m3) T: tiempo (s)

V=A⋅V⋅t⇒Q=A⋅V A: área de la sección transversal (m2) No olvidar los siguientes términos:

4

FÍSICA

V: rapidez (m/s)

140

5.°

año

HIDRODINÁMICA

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de continuidad

(Descubierto por Castelli, discípulo de Galileo)

P2A2=F2

A2

V2

ds2

flu jo

A2

V2

V2dt V1 b a

V1

A1

A1

F1=P1A1

y2 ds1

y1

V1dt

NR

El producto AV es la razón de flujo de volumen dV dt

Advertencia pre Tener cuidado de no confundir la presión hidrostática con la presión hidrodinámica, ya que en esta última hay que añadirle aquella presión generada por el movimiento del flujido.

5.°

año

    

Flujo incompresible ρA1V1 = ρA2V2 A1V1 = A2V2 A: área V: rapidez (para flujo estables)

    

ρ1A1V1 = ρ2A2V2

    

Flujo compresible

dv

    

La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. ρ1A1V1dt = ρ2A2V2dt

dv ZZ dw = P1A1ds1 + (–p2A2ds2) = (p1 – p2) dv dv dv dEK = 1 ρA2ds2 V22 – 1 ρA1ds1 V12 2 2 2 2 1 ZZ dEK = ρdv (V2 – V1 ) 2 ZZ dEP = ρdvg(y2 – y1)



dw = dEK + dEP (p1 – p2) dv = 1 ρdv(V22 – V12) + ρdvg(y2 – y1) 2 1 P1 + ρgy1 + ρg V12 = p2 + ρgy2 + 1 ρV22 2 2 En el principio de Bernoulli nos damos cuenta que: ZZ En los líquidos en movimiento no se cumple la ley general de la hidrostática. ZZ La presión de un fluido en movimiento es mayor donde la rapidez es menor, o, lo que es lo mismo, donde mayor es la rapidez, menor es la presión. ZZ Se llama presión hidrodinámica (P) a la suma de la presión hidrostática con la mitad de la densidad del líquido por el cuadrado de su rapidez. P = Ph + 1 ρV2 2 Ph: presión hidrostática (Pa) ρ: densidad (kg/m3) V: rapidez (m/s) ZZ La ecuación de Bernoulli es aplicada a un fluido ideal y con frecuencia se expresa como: Ph + 1 ρ⋅v2 + ρgy = constante 2

141

FÍSICA

4

HIDRODINÁMICA

Trabajando en clase Integral 1. Por una canilla cuya sección mide 2 cm2 sale agua a razón de 1 litro por cada 10 s. ¿Cuál es la rapidez de salida del agua en cm/s? Resolución: Q = A.V Reemplazando: 1 l = 1000 cm3 1000 ⇒ = 2.V 10

8. Por un caño de 60 cm2 de sección transversal corre agua con un caudal de 6 litros por segundo. En un trozo de la cañería, el caño sube 10 cm y se estrecha hasta que la sección vale 20 cm2. Calcula la presión hidrostática, en esta sección, si en aquella era de 20 kPa. Resolución: Q = 60 000 cm3/s 20cm2

V = 50 cm/s

2

2. Por una canilla cuya sección mide 5 cm sale agua a razón de 2 litros por cada 40 s. ¿Cuál es la rapidez de salida del agua en cm/s? 2

10cm 60cm2

3. El agua es conducida hasta la canilla del problema anterior por un caño de 4 cm2 de sección transversal. ¿Con qué rapidez corre el agua por ese caño? 4. El agua es conducida hasta la canilla de 3 cm2 por un caño, saliendo con una rapidez de 24 cm/s. Si la rapidez con la que el agua se transporta por dicho caño es de 36 cm/s, calcula el área de la sección transversal del caño. UNMSM 5. Un manómetro indica, en una cañería, una presión de 20 kPa, y la rapidez del agua es de 60 cm/s. Calcula la presión hidrodinámica. Resolución: P = P + 1 pV2 2 P = 20 000 + 1 ⋅ 1000 ⋅ 60 100 2 P = 20 180 Pa 6. Un manómetro indica, en una cañería, una presión de 15 kPa, y la rapidez del agua es de 40 cm/s. Calcula la presión hidrodinámica. 7. Si la presión hidrodinámica en cierto punto de una cañería es de 10 500 Pa, siendo su presión hidrostática 10 000 Pa, calcula la rapidez con la que el agua pasa por dicho punto.

4

FÍSICA

P2=?

1 P1=20 000 Pa

Usando: Q = AV 6000 = 60 V1 V1 = 1 m/s 6000 = 20 V2 V2 = 3 m/s



Ecuación de Bernoulli:



P1 + 1 ρV12 = P2 + 1 ρV22 + ρgH 2 2 1 20 000 + ⋅ 1000 ⋅ 12 = P2 + 1 ⋅1000⋅32+1000….. 2 2 P2 = 15 kPa



9. Por un caño de 50 cm2 de sección transversal corre agua con un caudal de 5 litros por segundo. En un trozo de la cañería, el caño sube 10 cm y se estrecha hasta que la sección vale 10 cm2. Calcula la presión hidrostática en esta sección si en aquella era de 10 kPa. 10. La compañía de bomberos de Trujillo tiene una manguera para apagar incendios de 7 cm de diámetro por la cual fluye agua a razón de 0,0048p m3/s. Si la manguera tiene una bombilla de 4 cm de diámetro, ¿con qué rapidez sale el agua de la boquilla?

142

5.°

año

HIDRODINÁMICA 11. De un tubo de 2 cm de diámetro fluye agua con una rapidez de 0,25/p m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará llenar un recipiente de 10 litros?

16. Se tiene un depósito que contiene agua como se muestra en la figura. Calcula la rapidez en la boquilla por donde sale el agua.

12. La rapidez de un líquido a través de una sección transversal de 6 cm2 es de 120 cm/s. ¿Cuál es el caudal de esa corriente?

7,2m

13. Una tubería de 16 cm de diámetro por la cual circula agua, tiene un estrangulamiento gradual que reduce su diámetro a 8 cm. Si la rapidez del fluido en la parte ancha es 1 m/s, calcula la rapidez en el estrangulamiento y el caudal. 14. La velocidad de flujo de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm3/s, la manguera y la boquilla tienen un área transversal de 6 cm2 y 1 cm2 respectivamente. Si la boquilla está a 10 cm del grifo, calcula la diferencia de presión entre el grifo y la boquilla.

17. Un tubo de Pitot, como el mostrado en la figura, va montado en el ala de un avión para determinar la rapidez de este. Si la densidad del aire es 1,44 kg/m3, el manómetro contiene alcohol de densidad 810 kg/m3 e indica una diferencia de nivel de 0,2 m; calcula la rapidez del avión.

UNI 15. Se tiene un depósito que contiene agua como se muestra en la figura. Calcula la rapidez en la boquilla por donde sale el agua. Resolución:

V

1

8,45m

ho

Alcohol

NR

2





Aplicando la Ec. De Bernoulli: P1 + 1 ρV12 + ρgh1 = P2 + 1 ρV22 + ρgh2 2 2 P1 = P2 = Patm V1 = 0 (baja muy lentamente) h2 = 0 ⇒ pgh1 = 1 pV22 2 V2 = 2gh1 V2 = 2.10.8,45 V2 = 13 m/s

5.°

año



18. Por la boquilla de un extinguidor contra incendios sale agua bajo presión de aire. ¿Qué tanta presión manométrica en el aire se requiere para que el chorro de agua tenga una rapidez de 30 m/s cuando el nivel del agua está a 0,5 m debajo de la boquilla?

143

FÍSICA

4

5 Calorimetría Tiene como objetivo conocer una serie de fenómenos en los cuales las sustancias (en virtud de ciertas propiedades que posee) experimentan cambios de temperatura; cambios en su estado físico, cambios en sus dimensiones geométricas, cuando intercambia energía en forma de calor con otros cuerpos.

Interacción térmica: calor

¿Qué ocurre cuando ponemos en contacto a dos cuerpos o sustancias a diferentes temperaturas? Para esto consideremos dos bloques de un cierto material, de modo que ToA > ToB Inicialmente: ToA

¿Qué es temperatura?

ToB B

A

Es un parámetro macroscópico de un sistema físico que nos informa indirectamente acerca de la situación energética del conjunto de moléculas o átomos que forman el sistema físico. Nos indica el grado de agitación molecular que hay en el interior de una sustancia. La temperatura y la energía interna están relacionados directamente; cuando la primera aumenta, la segunda aumenta también y viceversa.

TfB

TfA Calor

Aislante térmico A

En un gas ideal

B

n

U = ∑ Ec

Conductor térmico (inmóvil)

i=1

U = n⋅ 3 KT 2 U: energía interna Ec: energía cinética de las partículas n: número de partículas K: constante de Boltzman T: temperatura (K = 1,35 × 10–23 J/K) Unidades: SI T: K; U: J; K: J/K

Observación

Al ponerlos en contacto, observamos que la temperatura de B, se incrementa, por lo tanto aumenta su energía interna, por ello podemos concluir que el bloque A le está transfiriendo cierta cantidad de energía interna al bloque B, y esto ocurre en forma espontánea; desde la sustancia de mayor temperatura (A) hacia la de menor temperatura (B); a esta energía transferida se le denomina «calor» (Q).

En la vida cotidiana, en forma intuitiva decimos que un cuerpo está «más caliente» en comparación con otro cuando tiene «mayor temperatura», y esto implicará también «mayor energía interna».

5

FÍSICA

¿Qué es el calor?

Es aquella energía que se transfiere de un cuerpo a otro, debido a la diferencia de temperatura que entre ellos existe.

144

5.°

año

CALORIMETRÍA ¿Cuándo cesa la transferencia de energía? Cuando ambas sustancias alcanzan una misma temperatura llamada «temperatura de equilibrio térmico» (TE).

(I)

TfA = TfB = TE

10m

m El proceso analizado anteriormente podemos representarlo de una manera más sencilla mediante un DIAGRAMA LINEAL DE TEMPERATURA, como se muestra: QG

QP

TE

ToB

ToA T(ºC)

10Q

Q Se desea que ambas recipientes alcancen la misma temperatura, entonces se debe transferir MAYOR calor al recipiente que tiene MAYOR masa. Luego, tenemos: (II) D. P. Masa de cuerpo m Cantidad de calor (suministrado)

Por conservación de la energía:

Q

QG + QP = 0

∆T2 ∆T1

m

QG : cantidad de calor ganado QP: cantidad de calor perdido

Q1

To

10m

Q2

To ∆T1 < ∆T2

Efectos físicos producidos por el calor

1. Cambio de temperatura de la sustancia. 2. Cambio de fase (bajo determinadas condiciones) 3. Cambio de dimensiones geométricas de los cuerpos (dilatación)

Además podemos observar que cuanto mayor cantidad de calor se le suministra a la sustancia, mayor será el cambio en su temperatura. Q DP ∆T Luego, tenemos: Qs = Ce ⋅ m ⋅ ∆T

Cambio de temperatura

Cuando una sustancia gana o pierde calor, experimenta ciertos cambios en su temperatura, el cual está relacionado directamente con las propiedades térmicas de la sustancia.

Calor sensible (Qs)

Es la cantidad de calor que se adquiere para que una sustancia cambie de temperatura. Veamos el siguiente caso:

5.°

año

Donde: Qs: Calor sensible (calorías: cal) m: masa de la sustancia (g) DT: cambio de temperatura (ºC) Ce: calor específico (depende del tipo de sustancia y de la fase que se encuentra). cal gº C Calores específicos más usados (a la presión P = 1 atm)

145

FÍSICA

5

CALORIMETRÍA

Ce ⋅

Sustancia Agua líquida Agua sólida (hielo) Vapor de agua (100º C) Aluminio Vidrio Cobre (Cu) Plomo (Pb)

¿Qué es un cambio de fase?

cal gº C

Es la transformación física que experimentan las sustancias homogéneas al ganar o perder cierta cantidad de energía térmica. En los cambios de fase, se modifican las interacciones moleculares, lo cual implica una variación de la energía potencial intermolecular en las sustancias, manteniéndose la temperatura constante.

1 0,5 0,48 0,215 0,2 0,093 0,03

Los cambios de fase de una sustancia pura son:

¿Qué significa Ceagua líquida = 1 cal ? gº C

LÍQUIDO

∑Ep >>> ∑Ec

5

FÍSICA

Menor cohesión molecular respecto a la fase sólida

ión

Fu sió n

ac ifi c So lid

Cambio de fase To=20 ºC

Fase gaseosa

∑Ep ≈ ∑Ec

Mínima cohesión y gran movilidad molecular

∑Ec >>> ∑ Ep

ión ac

A determinados valores de presión y temperatura conocidos como «condiciones de saturación». Por ejemplo, el plomo cambia de la fase sólida a la fase líquida a la temperatura de 325 ºC y a la presión de 1 atm.

Pb

Qs

Gran cohesión molecular

ión

¿En qué condiciones una sustancia cambia de fase?

Es aquella estructura física que presentan las sustancias homogéneas en determinadas condiciones de presión y temperatura. Una misma sustancia puede estar en fase sólida, líquida o gaseosa. Veamos: Fase líquida

GASEOSO

Sublimación regresiva

¿Qué es una sustancia pura?

Fase sólida

ac ns

Sublimación directa

SÓLIDO

¿Qué es una fase?

e nd Co

Observación 1 cal = 4,186 J o 1 J = 0,24 calorías Es aquella que mantiene una composición química homogénea ante un suministro de calor; es decir, no reacciona, no experimenta disociación atómica en sus moléculas. Se consideran sustancias puras: el agua, el aire seco, el oxígeno, etc.

riz po Va

Respuesta: Significa que para que 1 g de agua líquida varíe su temperatura en 1 ºC, se le debe transferir 1 cal.

T=325 ºC Sólido Pb

Q1

325 ºC Pb

Q2

325 ºC

T>325 ºC

Líquido

Q3

Cuando suministramos calor (Qs) a la barra de plomo, en primer momento notaremos que la temperatura se incrementa, esto significa que la energía cinética de las moléculas está aumentado y, por lo tanto, aumenta la energía interna (U) del plomo. En un segundo momento, cuando el plomo llega a una temperatura de 325 ºC, tal temperatura se mantiene constante, a pesar de que se le sigue suministrando calor, observándose que el plomo empieza a derretirse; es decir, fusionar.

146

5.°

año

CALORIMETRÍA

¿Por qué no cambia la temperatura suministrando calor, cuando se encuentra a 325 ºC?

Unidad:

Cal KCal ; g kg

Es porque el calor suministrado es absorbido por el plomo para romper los enlaces intermoleculares, separándose las moléculas, es decir, el calor suministrado pasa a incrementar la energía potencial de las moléculas, mas no a incrementar la energía cinética, por consiguiente la temperatura aumenta, entonces decimos que el plomo está cambiando de fase sólida a fase líquida.

Por ejemplo:

¿Cómo se llama la cantidad de calor necesario para que una sustancia cambie de fase?



Se le llama «calor de transformación» (QT), para nuestro caso en condiciones de saturación (T = 325º C, P = 1 atm). Caso I



Lfusión = Lsolidificación = 5,95



(T = 1750 ºC, P = 1 atm)

Lvaporiz = LCondens = 175

cal Kcal = 175 g kg

Lfusión = Lsolidificación = 80

cal Kcal = 80 g kg



QT1

2. Vaporización – condensación (T = 100 ºC, P = 1 atm)

Caso II

Lvaporiz = LCondens = 540 To=325º C; P=1atm

To=325º C; P=1atm (Pb)



Significa que por cada gramo de agua le debemos entregar o sustraer 80 cal, a condiciones de saturación para que cambie de fase.

QT2 En el caso I, necesitamos suministrarle mayor calor de transformación que en el caso II, debido a que en el caso I, la barra de plomo tiene mayor masa. ∴ El calor de transformación (QT) es directamente proporcional a la masa (m). QT Dp m →

cal Kcal = 540 g kg

¿Qué significa para el agua que Lfusión = Lsolidif = 80 Cal ? g

m

Luego Pb

QT = constante = L m QT = mL

Donde: L: calor latente; su valor depende de la sustancia.

año

cal Kcal = 5,95 g kg

2. Vaporización – condensación

Pb

5.°

T = 325 ºC, P = 1 atm)

1. Fusión – solidificación (T = 0 ºC, P = 1 atm)

2m

Luego

1. Fusión – solidificación

Para el agua

To=325º C; P=1atm To=325º C; P=1atm (Pb)

Para el plomo

147

Recuerda Cuando en una sustancia está variando su temperatura, se debe tener en cuenta la temperatura en condiciones de saturación en donde se produce un cambio de fase. Primero se hace la transformación y luego se sigue con el proceso de variación de temperatura

FÍSICA

5

CALORIMETRÍA

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Halla el calor específico de un cuerpo que al ganar 300 cal aumentó su temperatura de 10 ºC a 40 ºC (masa del cuerpo: 2 g) Resolución: Q = Ce . m. AT 300 = Ce ⋅ 2 ⋅ (40 – 10) Cal De = 5 g ºC 2. Halla el calor específico de un cuerpo al ganar 200 cal aumentó su temperatura de 5 ºC a 45 ºC (masa del cuerpo: 4 g) 3. Un cuerpo de capacidad calorífica 20 cal/ºC, recibe 600 calorías cuando se encontraba a 30 ºC, ¿cuál será la temperatura final del proceso? 4. Se calienta 5 kg de agua entregándole 80 Kcal, si inicialmente su temperatura fue de 20 ºC. Halla su temperatura final. UNMSM

0º C

TE

60º C

Q1 + Q2 = 0 1.80 . (TE – 0) + 1.16 (TE – 60) = 0 TE = 10º C

10. Determina cuántas calorías son necesarias para derretir 0,03 kg de hielo a 0 ºC, en condiciones de saturación. 11. ¿Cuánto calor sería necesario entregarle a 16 g de agua que está a 90 ºC para vaporizarla? (en condiciones de saturación) 12. Un cuerpo absorbe calor para derretirse como muestra la gráfica. Si la masa es 25 gramos, halla el calor latente de fusión. Q(KJ) 460 400 300

20 ºC

80º C TE Q1 + Q2 = 0 1 . 50 . (TE – 20) + 1 . 100 . (TE – 80) = 0 3TE = 180 TE = 60 ºC

0

6. Se mezclan 1000 g de agua a 60 ºC con 250 g de agua a 10 ºC. Determina TE del sistema del sistema. 7. Determina la cantidad de calor que se debe suministrar a 2 litros de agua a 18 ºC para que alcance su punto de ebullición. 8. En un calorímetro de equivalente en agua 80 g que está a 0 ºC se vierte 16 g de agua a 60 ºC. ¿Cuál será la temperatura final del equilibrio?

FÍSICA

Q2

9. En un calorímetro de equivalente en agua 60 g que está a 0 ºC se vierte 20 g de agua a 80 ºC. ¿Cuál será la temperatura final del equilibrio?

5. Se mezclan 100 g de agua a 80 ºC con 50 g de agua a 20 ºC. determine TE del sistema. Resolución: Q1 Q2

5

Q1

80

120

t(ºC)

13. Dos esferas metálicas A y B presentan temperaturas T y 2T respectivamente. Si el equilibrio térmico luego de ponerlas en contacto, se da a la temperatura «1,4 T», ¿qué ocurre con la temperatura de equilibrio, aproximadamente, si la masa de B fuese el doble? 14. Determina la diferencia de temperaturas entre las aguas de arriba y las de debajo de una catarata de altura 420 m. Calor específico del agua = 4200 J/ kg ºC; g = 10 m/s2.

148

5.°

año

CALORIMETRÍA UNI 15. Un automóvil de masa 200 kg tiene una rapidez de 6 m/s (hacia el norte). Calcula la cantidad de calorías producidas por los frenos cuando se detiene. Resolución: Ek = 1 m v2 2 Ek = 1 ⋅ 200 ⋅ 62 3600 J 2 Transformando a calorías: 3600 ⋅ 0,24 = 864 cal

5.°

año

16. Un automóvil de masa de 400 kg tiene una velocidad de 5 m/s (hacia el norte). Calcula la cantidad de calorías producidas por los frenos cuando se detiene. 17. Una bala de plomo de 25 g de masa impacta contra una pared y con una rapidez de 300 m/s; 40% de su energía lo absorbe la bala en forma de calor. Determina en cuánto cambió su temperatura. 18. Determina la cantidad de agua a 50 ºC que se debe introducir a un calorímetro de capacidad calorífica despreciable que contiene 20 g de hielo a –20 ºC, para que la temperatura final de equilibrio sea 10 ºC.

149

FÍSICA

5

6 Termodinámica ¿Qué estudia la termodinámica?

UGas = ∑ECINÉTICA ideal

de las moléculas

Si la temperatura de un gas ideal se incrementa, sus moléculas presentan mayor rapidez (V) y, por lo tanto, mayor energía cinética, lo que significa mayo energía interna.

Conceptos preliminares 1. Sistema termodinámico

Porción de materia que separemos imaginariamente del medio externo a ella y la cual interacciona con su medio ambiente y como consecuencia se da una transferencia de calor.

2. Sustancia de trabajo El intercambio de energía entre sistemas que interactúan térmicamente. En nuestro caso, un sistema sería un gas ideal, otro sistema sería el recipiente que lo contiene, y otros sistemas serían las sustancias que rodean al gas ideal. El bloque es un sistema



3. Energía interna (U)



El gas ideal es un sistema

¿Los gases ideales tienen energía potencial?

FÍSICA

Es aquella energía de un cuerpo que está relacionada con el movimiento térmico de las moléculas que lo forman. Si no hay cambio de fase, la energía interna es una función de la temperatura absoluta, por lo que el cambio de energía interna solo depende de la temperatura del estado final y la del estado inicial, pero no de la forma como se ha pasado de estado inicial al final.

4. Proceso termodinámico

No, porque a nivel molecular, la separación relativa entre las moléculas es muy grande, lo que significa que las interacciones entre ellas son despreciables. Como las moléculas están en constante movimiento, significa que la energía asociada a un gas ideal es cinética, luego:

6

Sustancia empleada como medio de transporte del calor, así como de intermediario en la transformación de calor en trabajo. Usualmente es un gas.



150

Es la sucesión de estados por los cuales se hace pasar un sistema, con la finalidad de transformar calor en trabajo. El estado de un sistema está determinado por el conjunto de propiedades que posee en un momento dado. Estas propiedades se determinan por ciertas magnitudes, que determinan el comportamiento del sistema, denominadas «variables de estado».

5.°

año

TERMODINÁMICA

5. Ciclo termodinámico



Es una sucesión de procesos, la cual permite evolucionar a un sistema de estado inicial (I) hacia un estado final (F) y volver al inicial, de manera que, durante la realización del ciclo, parte del calor suministrado se convierte en trabajo. Como el sistema vuelve a su estado inicial se tiene que el cambio neto de energía interna es nulo y el trabajo neto, la suma de los trabajos realizados en cada uno de los procesos. El trabajo neto se representa por el área encerrada por el ciclo en el plano P vs V. P

γ=

Cp Cv

=

⊄p ⊄v

>1

Gases monoatómicos: γ = 5/3 Gases diatómicos: γ = 7/5

¿Cómo podemos variar la energía interna de un gas ideal? Variando su temperatura, lo cual suministrándose o extrayéndole energía.

se

logra

Casos

a) Transfiriéndose energía en forma de calor.

Ciclo I

FGas

F

V QEntrega al gas

Primera ley de la termodinámica

En todo proceso termodinámico se cumple que la cantidad de calor que se entrega o sustrae a un sistema es igual al trabajo realizado por o sobre el sistema más el cambio correspondiente de energía interna (DU).

x

Se cumple: QEntrega = ∆UExperimenta + WRealiza al gas

al gas

gas

(1.a ley de la termodinámica)

Q = W + ∆U

Calores específicos de los gases



FGas

b) Transfiriéndole energía, mediante trabajo realizado

El calor necesario para elevar la temperatura de un gas depende de cómo se halle confinado. Por ejemplo, si el volumen se mantiene constante, el calor recibido por el gas se convierte totalmente en energía interna, elevando por lo tanto la temperatura. Debido a esto, para un gas se distinguen 2 calores específicos: ⊄v: calor específico a volumen constante. ⊄p: calor específico a presión constante Para el caso de gases es usual emplear el número de moles en vez de la masa, razón por la cual se define el calor específico molar: Cantidad de calor (Q) C= [(Nº de moles (n))]∆T

P

QLibera al gas

Cumpliéndose que C = M C (M: masa molar) Para un gas dado se cumple: (2) Cp = Cv + R (1) Cp > Cv

F

x

Se cumple:

    

Esu minitra = ∆Udel + Qlibera gas

el gas

WF

(3) Coeficiente adiabático (γ) 5.°

año

151

FÍSICA

6

TERMODINÁMICA

Trabajo realizado por un gas ideal

Cuando un gas confinado en un recipiente experimenta un proceso de expansión o comprensión desarrolla o consume respectivamente un trabajo el cual depende de la forma como varíe la presión y volumen del gas, es decir del proceso realizado. Para cualquier proceso el trabajo queda representado por el área encerrado por la gráfica del proceso en el plano P-V y el eje de los volúmenes, teniéndose los casos: Expansión Expansión P P F Vf >Vi I Vf
F W=Área(+)

Vi

V

VF

V

Vi

Procesos termodinámicos simples

(1) Isócoro (V=Const.) (2) Isobárico (P=Const.) P F P I

I

Po V

V

Vi

(3) Isotérmico (T=Const.)

Fuente

W = 2.3PiViLog VF Vi V W = Pi . Vi Ln F Vi

Máquina térmica

Sudimero

W Vi W=

VF

FÍSICA

T2: Baja

Donde se tiene que el trabajo neto:

PFVF – PiVi

W ≤ Q1 – Q2

1–γ

1. Como el cambio de energía interna solo depende del estado final e inicial, siempre se puede relacionar con el cambio de energía interna en un proceso isocoro entre las mismas temperaturas: ∆U = Qv = Cvn(TF – Ti) 2. La isoterma (en el plano P-V) es una curva simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante. 3. La adiabática es una curva más inclinada que la isoterma, es decir, su pendiente varía más rápidamente.

6

Wútil

Q2

F

VF

T1: Alta

Q1

I

F

W

Observaciones

V

(4) Adiabático (Q =0) P

I

Vi

¿Cuál es la función de una máquina térmica?

W=Po(VF–Vi)

W=0 P

VF

Es un dispositivo que convierte energía térmica en otras formas útiles de energía, como las energías eléctrica y mecánica. Está diseñada con la finalidad de trasformar calor en trabajo, para lo cual la máquina sigue un ciclo termodinámico.

En una máquina de vapor, como ejemplo de un proceso cíclico, el agua es la sustancia de trabajo. Toda máquina térmica se puede representar por el esquema:

F W

¿Qué es una máquina térmica?

Que una sustancia de trabajo recorra un proceso cíclico durante el cual ocurre lo siguiente: 1. Se absorbe calor de una fuente a alta temperatura. 2. La máquina realiza un trabajo, y 3. Libera calor a una fuente de temperatura más baja.

W=Área(–)

VF

Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica

Donde la desigualdad caracteriza las máquinas reales y la igualdad a las perfectas o ideales.

Eficiencia térmica (n)

La eficiencia de una máquina térmica (E) se obtiene mediante la relación entre el trabajo realizado y la energía recibida del foco caliente.

152

nMAQ. =

WUTIL Q1

=

Q1 – Q2 Q1

=1–

Q2 Q1

5.°

año

TERMODINÁMICA

Segunda ley de termodinámica

Como se ha visto, la primera ley es una aplicación de la conservación de la energía, pero no afirma nada respecto al curso que toman los acontecimientos en el universo. Se conserva la energía cuando cae una piedra y su energía potencial gravitatoria se trasforma en cinética. Pero al chocar la piedra con el suelo y al llegar al reposo, su energía cinética se trasforma en energía térmica. Sin embargo, una piedra que se encuentra en reposo sobre el suelo, nunca cambia la energía térmica de ella y de la vecindad en energía cinética, y sale disparada hacia arriba. La primea ley no excluye esta posibilidad, ya que este proceso inverso también conserva la energía. Pero tal proceso no ocurre. Hay otros procesos en el universo que no están excluidos por la primera ley. Por ejemplo, en forma espontánea, el calor fluye de un cuerpo caliente a otro frío, pero no espontáneamente del cuerpo frío al caliente. Esto nos indica que en la naturaleza los procesos se presentan en una sola dirección en forma espontánea; la segunda ley ha sido formulada en varias formas, todas ellas equivalentes. Una de las más antiguas establece: El calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a otro frío y no a la inversa. En virtud de esto, es imposible que en un proceso cíclico se transfiera calor de un cuerpo de baja temperatura a un cuerpo de alta temperatura, a menos que se efectúe un trabajo externo sobre el sistema que efectúa el ciclo.

P A

Q1 B W D

T1 C

Q2

T2

A → B: proceso isotérmico B → C: Proceso adiabático C → D: Proceso isotérmico D → A: Proceso adiabático Cuando una máquina térmica trabaja con este ciclo, obtiene un trabajo neto máximo, con una cantidad de calor suministrada a la sustancia de trabajo. Se observa que en este ciclo ∆U = 0. La eficiencia máxima que se logra en este ciclo se determina por: nmáx. = 1 –

Q2 Q1

=1–

T2 T1

Además: Wneto = Q1 – Q2

Conclusiones de la segunda ley de la termodinámica

1. Una máquina térmica no puede tener un rendimiento del 100%. (Kelvin - Planck). 2. Es imposible para cualquier proceso tener como único resultado la transferencia de calor desde un cuerpo frío a uno caliente.

Ciclo de Carnot

Ciclo teórico que le permite a una máquina ideal transformar la mayor cantidad de calor en trabajo, es decir, es el ciclo de máxima eficiencia. Está constituido por dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos.

5.°

año

153

Advertencia pre Tener siempre en cuenta las unidades con las cuales se está trabajando y en el caso de gráficas, observar el sentido del proceso, es decir, si es una expansión o comprensión.

FÍSICA

6

TERMODINÁMICA

Trabajando en clase Integral 1. En cierto proceso químico, un técnico de laboratorio suministra 420 J de calor a un sistema. Si se observa que la energía interna del sistema aumenta en 80 J, ¿cuál es el trabajo realizado por el sistema? Resolución: Q = W + ∆U 420 = W + 80 W = 340 J 2. En cierto proceso químico, un técnico de laboratorio suministra 320 J de calor a un sistema. Si se observa que la energía interna del sistema aumenta en 90 J, ¿cuál es el trabajo realizado por el sistema? 3. Un gas encerrado recibe 1200 calorías y su energía interna aumenta 320 J. ¿Qué trabajo realiza el gas? (1 J = 0,24 cal) 4. A un gas perfecto se le suministra 200 J de calor isotérmicamente. Halla el trabajo que desarrolla el gas.

8. Halla el trabajo realizado por el gas en el proceso mostrado. P(Pa) 500 500 A 5

2

Resolución: W = –área (compresión) W = – 300+500 ⋅ 3 2



W = –1200 J

V(m3)

9. En el diagrama P-V, se muestra el proceso de A hacia B de un gas ideal. Calcula el trabajo realizado por el gas. P(Pa)

UNMSM 5. Un sistema termodinámico evoluciona desde un estado (1), P1 = 20 KN/m2; V1 = 3 m3, hasta un estado (2), V2 = 10 m3, isobáricamente. Si recibe una cantidad de calor Q = 100 KJ, halla el cambio de energía interna del sistema. Resolución: W = P∆V ⇒ W = 20 . 103 . (10–3) = 14 . 104 J Q = W + ∆U 100. 103 = 140.103 + ∆U ∆U = –40.103 J 6. Un sistema termodinámico evoluciona desde un estado (1), P1 = 10 KN/m2; V1 = 2 m3, hasta un estado (2), V2 = 8 m3, isobáricamente. Si recibe una cantidad de calor Q = 100 KJ, halla el cambio de energía interna del sistema.

2000

FÍSICA

A

0,5

0,2

V(m3)

10. Un gas sufre la transformación termodinámica ABC mostrada en la figura. Halla el trabajo realizado por el gas. P(Pa)

7. Un gas, en un cilindro, se mantiene a presión constante de 2,60 × 105 Pa mientras se enfría y se comprime de 1,801 m3 a 1,50 m3. La energía interna del gas disminuye 1,40 × 105 J. Halla el calor que entra o sale del gas.

6

B

3000

154

C

1800

600

A 0,2

B 0,6

3 0,8 V(m )

5.°

año

TERMODINÁMICA 11. Calcula el trabajo neto que se realiza en el ciclo mostrado.

A hasta B de un gas ideal cuando recibe 300 cal. Encuentra el incremento de su energía interna. 1 cal = 4,187 J. P(Pa)

P(Pa)

B

300

200

200

100

A 0,2

8 V(m3)

5

P(KPa) 7

15. En el sistema termodinámico mostrado, se produce un proceso isotérmico. Si el pistón de peso despreciable desciende 20 cm por acción de la carga Q = 40 N, determina el calor que disipa el gas al medio ambiente. Resolución:



2 0.3

V(m3)

13. Un gas experimenta el proceso termodinámico ACB mostrado en el gráfico P-V. Si el sistema absorbe 400 J de calor, calcula: a) El trabajo realizado al pasar del estado A al estado C. b) La energía interna en «C», si la energía interna en A es de 150 J. P(Pa)

200 0

A 2

Proceso isotérmico: Q=W W = –F . d = –40 . 20 . 10–2 = –8 J ⇒ Q = –8J, entonces disipa 8 J

16. En el sistema termodinámico mostrado, se produce un proceso isotérmico. Si el pistón de peso despreciable, desciende 10 cm por acción de la carga Q = 50 N. Determina el calor que disipa el gas al medio ambiente.

17. Un niño comprime el pistón lentamente con una fuerza constante de 250 N, disminuyendo el volumen del recipiente en 10–3 m3; debido a ello el recipiente libera 5 cal. Determina el incremento de energía si el pistón tiene una sección recta de 10–2 m2.

C

400

V(m3)

UNI

12. Halla el trabajo realizado en el ciclo termodinámico.

0.1

0,5

B 3 V(m3)

GAS

14. En el diagrama (P-V), se muestra el proceso de 5.°

año

155

FÍSICA

6

TERMODINÁMICA 18. Halla el volumen en C si la temperatura en A es de 300 K. P(Pa) 30

A Isoterma

10

B 1

6

FÍSICA

2

156

C V(m3)

5.°

año

7 Electrostática Objetivo

ZZ Cantidad de carga del electrón y protón.

Conocer la carga eléctrica y algunos fenómenos relacionados con ella.

qe = –1,6.10–19 C qp = +1,6.10–19 C

Carga eléctrica

Propiedades de la carga eléctrica 1. Cuantización de la carga P

N N

P

q + +

e

q = n|qe|

A la propiedad que presentan los electrones y protones y que nos permite explicar su atracción y/o repulsión le llamamos CARGA ELÉCTRICA. Por convención, al electrón se le asocia carga negativa y al protón, positiva. ZZ Un cuerpo se electriza cuando gana o pierde electrones. Si gana electrones (exceso de e–) – – – –– – – – –– – – – ––

→ Se electriza negativamente



Si pierde electrones (defecto de e–)



Ejemplo: Se tienen 2 esferas idénticas: una electrizada con q = 8 mc y la otra no electrizada. Si se ponen en contacto, determina el # de electrones transferidos.

año

INICIO (1) (2)

CONTACTO (1) (2)

q=8µc q=0

e–

FINAL (1) (2)

q’

q’

1) Conservación de la carga ∑qinicio = ∑qfinal

ZZ La carga eléctrica (q o Q) se expresa en coulomb

5.°

En un sistema eléctricamente aislado. ∑qinicio = ∑qfinal



→ Se electriza positivamente (C ) en el SI YY 1 milicoulomb: 1 mC = 10–3 C YY 1 microcoulomb: 1 uC = 10–6 C YY 1 nanocoulomb: 1 nC = 10–9 C

(+) pierde electrones (–) gana electrones n = # de electrones ganados o perdidos.

2. Conservación de la carga

+ + + + + + + + + + + + + + +

→ cuerpo electrizado

8µc + 0 = 2q → q = 4 µc 2) Cuantización de la carga q = n|qe–| 4.10–6 = n × 1,6 × 10–19 ∴ n = 25.1012 e–

157

FÍSICA

7

ELECTROSTÁTICA

Leyes de electrostática 1. Ley cualitativa (Benjamín Franklin)

–

+

+ ¡Atracción!

¿Cómo representamos el campo eléctrico asociados a cuerpos electrizados? Para ello, Faraday idea las «líneas de fuerza» o « línea de campo eléctrico», colocando cargas de prueba «q» en el campo que se analiza. +

¡Repulsión!

+ Líneas salientes

2. Ley cuantitativa (ley de Coulomb) q1

Fe

+

q2

Fe

...

– –

d

Fe =

Líneas ingresantes

K|q1||q2| d2

¿Cómo caracterizamos en cada punto el campo eléctrico debido a la «Fe » que transmite? Para ello, usamos una magnitud vectorial denominada «intensidad de campo eléctrico», (E ), cuyo valor expresa la Fe que transmite el campo eléctrico por unidad de carga.

Donde: K → constante eléctrica Para el aire o vacío K ≅ 9 × 109 N m2/C2

ZZ Para otro medio

Kmedio =

Kvacío

Matemáticamente

ξ

FeA EA = qo

ξ: Permitividad dieléctrica del medio (ξ ≥ 1)

Unidad N/C en el SI

Campo eléctrico

Entre partículas eléctricas ¿cómo es posible la fuerza de atracción o repulsión?

Q +

Q +

Fe

Fe // E

Fe

+

dA

qo + A

FeA EA

q ZZ Si «qo» es (+) → la E ∧ Fe tienen la misma di-

rección.

ZZ Si «qo» es (–) → la E ∧ Fe tienen dirección con-

Esta es posible porque a cada cuerpo se le asocia un medio denominado CAMPO ELÉCTRICO. El campo eléctrico es materia no sustancial que se asocia a todo cuerpo electrizado y que transmite las interacciones eléctricas.

7

FÍSICA

traria. Pero:

158

Fe =

K|Q| K|Q||q| ⇒ E= d2 d2

5.°

año

ELECTROSTÁTICA

Observaciones

5. El número de líneas de fuerza es DP a la carga de la partícula que la genera. 2Q Q

1. La E no depende de la «qo». Q

dA

+

dB

EA

A B

+

+

EB 6. Las líneas de fuerza nunca se cortan porque en un punto se tiene un solo valor de E ; ⇒ se produce la superposición de campos eléctricos.

YY dB > dA YY E < E B A

2. El vector E es tangente a la línea de fuerza y tiene la misma orientación. Línea de fuerza EA A

Q

Q

EB

B

Q

EA ≠ EB 3. Cuando las líneas de fuerza están más juntas, el campo eléctrico es más intenso. EA A

EB B

EB > EA 4. Las líneas de fuerza es DP a la carga de la partícula que la genera. ++– + – ++ – + – –+–+++– ++–

–

+

2Q

+

–

7. Cuando las líneas de fuerza son //, se tiene el campo eléctrico homogéneo o uniforme, donde la E permanece constante. q + – + + Fe=E|q| – + – EB + – + – + q – Fe=E|q| – + – + – Ec Energía potencial eléctrica

(Upe) 1º

Vo=0

Q +

+

Liso ∧ distante

d YY Al inicio están en reposo ® Ec = 0

5.°

año

159

FÍSICA

7

ELECTROSTÁTICA

Observación 2º

+

1. El V no depende de qo.

V

q

Q

+

+

YY Al cortar la cuerda la esferita «q», tiene «ener-

dB B

gía cinética».

La energía cinética aparece debido al «trabajo mecánico» que realiza el campo eléctrico y ello es porque al inicio hay energía al que denominamos «energía potencial eléctrica» (Upe). UPE =

KQq con signo d

dA > dB VA < VB 2. Para un sistema de partículas, el Vp es la suma escalar.

ZZ U pe (+) Repulsión ZZ Upe (–) Atracción

Veamos que sucede al colocar a qo dentro del campo eléctrico de Q.

q3

+

q2 +

Potencial eléctrico (V)

d2

q1

A

+

+

qo Fe

YY Considera el signo de la carga.

ZZ Se observa que se almacena Upe y que al analizar-

lo por unidad de carga «qo» se obtiene:

3. Aquellos puntos donde el potencial eléctrico tiene un solo valor, se denomina «superficie equipotencial».

→ Potencial eléctrico

C B

Unidad: volt (V) El V es una característica escalar del campo eléctrico, debido a la energía que almacena.

A D

Pero:

UPE = KQqo/d VA = KQ d

7

P

VP = Vp1 + Vp2 + VP3

dA

Upe WFeA–∞ qo = qo = VA

d3

d1

+ Q

A

dA

Q

FÍSICA

con signo de la carga eléctrica

YY YY YY YY

160

VA = VB VB = VF VA ≠ VC VA > VB

5.°

año

ELECTROSTÁTICA 4. A «qo» se puede trasladar entre dos puntos de un campo eléctrico. Q +

6. En un campo eléctrico uniforme: E=Cte

A A + Fe

B

B

dAB C WFeAB = (VA – VB) qo WFeAB = qoVA – qoVB →



Fe qo D

WFeAB = qo(VA – VB)

VA > VB

5. Para trasladar lentamente se emplea un agente externo.

+

Fe A

B

Como: Fe|qo| = cte → WfeCB = E|qo|dCB … (2) Luego: (1) = (2) YY VC – VB = E.d     

Q

WFeCB = qo (VC – VB) … (1)

V

Fext

V = E. d // E // d

Diferencia del potencial eléctrico

Wneto = 0 Fext = (VB – VA)qo WFe = –WFext ⇒ WA→B

Intensidad de campo eléctrico uniforme

Trabajando en clase Integral 1. ¿A cuántos electrones equivale la siguiente carga eléctrica de –32C? Resolución: Q = ± |e-| . N –32 = –16 ⋅ 10–20 . N N = 2.1020 electrones 2. ¿A cuántos electrones equivale la siguiente carga eléctrica de 64 C? 3. En cada caso se encuentran dos esferas iguales. ¿Qué cargas poseerán las esferas luego de haberse tocado por un determinado tiempo? 5.°

año

–12C a)

20C

+10C b)

+6C

4. Se tiene una esfera metálica cargada con +12C. ¿Cuántos electrones debe ganar para quedar eléctricamente neutra? UNMSM 5. ¿Cuántos cm separan a dos cargas de 6 µC y 5 µC para que experimenten una fuerza cuyo módulo es 900 N?

161

FÍSICA

7

ELECTROSTÁTICA



11. Si el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determina la masa del bloque de madera si las partículas de masas despreciables se encuentran electrizadas. (Q = 2.10–6 C) g = 10 m/s2.

Resolución: |Q | ⋅ |Q2| F=K 1 d2 6.10–6.5.10–6 900 = 9 ⋅ 109 ⋅ d2 d = 3 cm

///////////// Hilo aislante

6. ¿Cuántos cm separan a dos cargas de 12 µC y 5 µC para que experimenten una fuerza de 600 N? 7. Dos esferas conductoras de igual radio tienen cargas de +0,8 µC y –0,6 µC respectivamente. Si se ponen en contacto y luego se separan hasta que sus centros disten 30 cm en el aire, ¿cuál será el módulo de la fuerza de interacción electrostática entre estas? (en N) 8. Determina «x» sabiendo que en el punto P la intensidad de campo eléctrico es nula. Q 4Q 2 P 1 x

20cm –Q 12. Dos cargas eléctricas se repelen con 10 N. Si la distancia que los separa se reduce a la mitad y cada una de las cargas se duplica, entonces la nueva fuerza de repulsión tendrá como módulo: 13. Determina el módulo del campo eléctrico resultante (en N/C) en el punto A. Q1 = +15 × 10–9 C; Q2 = –32 × 10–9 C Q1

d

Resolución: E1 = E2 |Q | |Q | K ⋅ 12 = K ⋅ 22 d1 d2 Q 4Q = 2 x (d–x)2 d x= 3

3m

Q2

9. Determina «x» sabiendo que en el punto P la intensidad de campo eléctrico es nula. Q 9Q 2 P 1 x

+Q

60º

10. Determina el módulo de la intensidad de campo eléctrico en P. Q1 = +8 × 10–7C, Q2 = –4 × 10–7 C P Q1 + – Q2 20 cm

7

FÍSICA

A

14. Halla el módulo de la intensidad del campo eléctrico E (en N/C) capaz de mantener al péndulo en la posición mostrada; la carga q = 20 coulomb y pesa 500 N.

d

////////////

6m

E

30º UNI 15. Calcula el potencial eléctrico asociado a las cargas Q1 = 6 × 10–9 C y Q2 = –8 × 10–9 C en el punto P, según se muestra en la figura.

162

5.°

año

ELECTROSTÁTICA 17. Calcula el trabajo necesario para trasladar una partícula con carga q = –8 µC desde la posición B en presencia del campo eléctrico creado por la carga Q = 2 × 10–8 C. B

Q1 3m 4m

Q2

P

Resolución:

Vp = V1 + V2 6.10

–9



Vp = 9.109



Vp = 18 – 18 = 0

3

+ 9.109 ×

V=k

18m

Q

d (–8.10 )

+Q

–9

3m

5.°

año

6m

Trayectoria descrita por la partícula

A

4

16. Calcula el potencial eléctrico asociado a las cargas Q1 = 4 × 10–9 C y Q2 = –5 × 10–9 C en el punto P, según se muestra en la figura. Q1

Q2

9m

18. En la figura, se muestra un campo eléctrico uniforme. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es 80 V, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los puntos C y D? 2d B A E C

P

163

d

D

FÍSICA

7

8 Repaso Integral 1. Una partícula describe un MAS cuya rapidez está determinada por la expresión V = 8 Cos(4t + π/2) m/s. Señala la veracidad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones: I. En t = 0 s la partícula está en la posición de equilibrio. ( ) II. La amplitud del MAS es de 2 m. ( ) III. El mínimo tiempo entre los instantes en que la magnitud de la aceleración es máxima y luego mínima es π/4 segundos. ( ) a) FFF c) VFV e) VVV b) FVF d) FVV

F

a) 125 N b) 150 N

4. Se muestra un vaso que contiene agua y aceite. La densidad de este aceite es de 600 kg/m3. ¿Cuál es la presión hidrostática (en pascales) en el fondo del vaso? Aceite

c) 1000 d) 1400

Hg 61cm

a) 12 cmHg b) 15 cmHg

FÍSICA

c) 13 cmHg d) 30 cmHg

e) 7,5 cmHg

7. Una pesa metálica que pesa 80 N está sumergida en agua y ocupa un volumen de 0,006 m3. Calcula el peso aparente de la pesa. (g = 10 m/s2)

10cm a) 10 N b) 40 N

e) Más de 400

5. Determina F si el auto de 800 kg se encuentra en equilibrio (desprecia la masa de los émbolos) D1 = 400 cm; D2 = 50 cm; g = 10 m/s2.

8

e) 800 N

A

Agua a) 600 b) 800

c) 1000 N d) 500 N

6. Halla la presión del gas encerrado en A.

2. Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple con amplitud de 30 cm y una frecuencia de 6 hertz. Calcula su rapidez máxima. a) 80π cm/s d) 380π cm/s b) 120π cm/s e) 420π cm/s c) 360π cm/s 3. ¿Cuál es la longitud de un péndulo de periodo 6 s? (g = π2 m/s2) a) 2 m c) 6 m e) 12 m b) 3 m d) 9 m

Émbolo 2

Émbolo 1

c) 50 N d) 45 N

e) 20 N

8. Se mezclan 400 g de agua a 15 ºC con 200 g de agua a 45 ºC. ¿Cuál será la temperatura final de la mezcla? a) 20 ºC c) 30 ºC e) 15 ºC b) 25 ºC d) 35 ºC

164

5.°

año

REPASO 9. P-V. Halla el trabajo realizado por el sistema en un ciclo. P(Pa) 2

10

3

a) 60 N b) 60 2 N c) 80 N d) 70 2 N e) 90 2 N

T2=500K

3cm + 9µC

+ 9µC 4cm

5cm

16µC

1 0

6

3

a) 1200 J b) 300 J

16. Halla el módulo del campo eléctrico resultante en el punto P debido a las cargas mostradas q1 = 4 × 10–8 C; q2 = –6 × 10–8 C; q3 = 4 × 10–8 C; la figura es un cuadrado. q2 q1

3

T1=300K c) 600 J d) 418,6 J

V(m3)

e) 818,8 J

3m

12. ¿Qué trabajo realiza un gas ideal al expandirse isobáricamente a una presión de 2.105 N/m2 desde un volumen de 1,6 litros hasta 2,5 litros. a) 1,8 J c) +48 J e) 240 J b) 36 J d) 180 J 13. Determina el cambio de energía interna de un sistema en el que absorben 300 J de calor y se realiza 200 J de trabajo sobre el sistema. a) +300 J c) +200 J e) +600 J b) +500 J d) +370 J 14. Halla el valor de la fuerza eléctrica resultante sobre qo = 100 µC. Si: q1 = 2 µC y q2 = 1 µC. q1 q2 q0 3m

2m a) 1500 N b) 1620 N

c) 1720 N d) 1800 N

e) N. A.

15. Según la figura, calcula el módulo de la fuerza resultante en el vértice recto.

+

(P)

3m a) 10 N/C b) 20 N/C

c) 30 N/C d) 40 N/C

3m

q3 e) 50 N/C

17. Si a 20 m de una fuente sonora se registra un nivel de 80 dB, ¿en qué factor deberá incrementarse la potencia de la fuente para que el nivel presente 90 dB? a) 20 c) 3 e) 7 b) 5 d) 9 18. En una cuerda tensa fija en ambos extremos, se genera una onda estacionaria en su tercer armónico. Determina en qué porcentaje debe incrementarse la tensión en la cuerda para mantener su frecuencia constante y lograr su segundo armónico. a) 25 c) 50 e) 225 b) 100 d) 125

Bibliografía 1. 2. 3. 4.

5.°

año

SERWAY. Física. D. F.: Mc Graw - Hill. México. 1992. HEWITT, Paul. Física conceptual. D. F. Trilla. México. 1996. TIPLER, Paul. Física para la ciencia y la tecnología. Bogotá. Colombia. 2010. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. ADOLISOL WESLEY. Física universitaria. Argentina. 2006.

165

FÍSICA

8

Física

1 Electrodinámica Es aquella parte de la electricidad que estudia a las cargas eléctricas en movimiento y los fenómenos que producen.

La intensidad de la corriente «I» nos indica la cantidad de carga que atraviesa la sección recta del conductor en la unidad de tiempo. Plano perpendicular al conductor

Corriente eléctrica

Es sabido que en los conductores (metales) existen cargas libres, que se mueven caóticamente debido a la agitación térmica. Para que estas cargas se muevan ordenadamente es necesaria la presencia de una diferencia de potencial el cual generaría un campo eléctrico que los impulse, en este caso se dirá que circula una corriente eléctrica a través del conductor.

+

+

+

+

+ +

E VB

Sección recta del conductor

En la realidad las cargas libres en los conductores son electrones (carga negativa) que se moverán sentido contrario al campo E , sin embargo, es un hecho experimental que el movimiento de una carga negativa en un sentido, es equivalente al movimiento de una carga positiva del mismo valor en sentido contrario. Basándonos en lo anterior supondremos de ahora en adelante que la corriente eléctrica está constituida por cargas positivas, moviéndose en el sentido del campo E , esta es la llamada corriente convencional.

x

VA > VB

I=

Q  t

Donde: Q = Cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección recta del conductor (C). t = tiempo transcurrido (s) Unidad : SI 1 coulmb/segundo = 1 ampere

Corriente Eléctrica Real

Corriente Eléctrica convencional

Diferencia de potencial y fuerza electromotriz (ν) (ε)

Intensidad de la corriente eléctrica (I)

Para provocar la aparición del campo E , dentro del conductor, se debe colocar en los extremos de este, potenciales diferentes, ya que el campo señala hacia donde decrece el potencial y las cargas libres positivas se moverán en aquel sentido.

1. Fuerza electromotriz

La corriente eléctrica en los conductores circula de lugares de mayor a lugares de menor potencial y para la generación de corriente debe existir la diferencia de potencial en los extremos del conductor. 5.°

año

151

Es la energía que cada unidad de carga eléctrica gana al atravesar una fuente de energía eléctrica en sentido de (–) a (+). ε=

Energía Carga

FÍSICA

1

ELECTRODINÁMICA

2. Diferencia de potencial

Es la energía que invierte la unidad de carga eléctrica al desplazarse de un punto a otro en el recorrido que realiza. Se le conoce con el nombre de caída de tensión. Terminal positivo

Experimentalmente se comprueba que la resistencia de un conductor homogéneo de sección constante es proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su sección transversal.

Símbolos de las resistencias

E + –

L A

Pila o batería R∼L R ∼ 1/A

Terminal de menor potencial Unidad: 1 joule/coulomb = 1 volt. Analicemos el circuito más simple que se puede obtener formado por una batería y una resistencia en serie, comparémoslo con su simil mecánico: La persona hace las veces de batería ya que la persona entrega energía a las esferas al levantarlas, el rozamiento que consume la energía entregada reemplazaría a la resistencia del circuito, donde las esferas representan las cargas que constituyen la corriente. A la energía por unidad de carga que entrega la persona se le conoce como fuerza electromotriz.

+ –

R //////////////////////////

////////////

x E

R

Nota Las pilas reales tienen resistencia interna, que se coloca en serie con la fuerza electromotriz.

   R = ρ. L/A ... ohm  

1 ohm = 1 Ω = volt/ampere L: longitud de la resistencia (m) A: área de la sección transversal (m2) Donde ρ es una constante del material que constituye al conductor, llamado resistividad eléctrica del material cuya unidad es el Ω.m.

Ley de OHM

Para materiales metálicos (conductores) la corriente que los atraviesa es directamente proporcional a la diferencia de potencial conectada en sus extremos. La constante de proporcionalidad se denomina Resistencia eléctrica, del conductor, esta ley fue descubierta experimentalmente por el físico alemán Georg Simon Ohm (1789-1854). Se cumple: I ∼ VAB → VAB/I = constante VAB / I = R ⇒ en forma práctica:

E

R

VAB = I. R I

Resistencia eléctrica (R)

Las cargas al circular a través del conductor, colisionan con los átomos de éste debido a lo cual el material se opone al paso de la corriente, una medida de dicha oposición es la resistencia eléctrica. Los llamados buenos conductores poseen una resistencia eléctrica pequeña y los malos conductores (AISLANTES) tienen una resistencia eléctrica muy grande.

1

FÍSICA

R

VAB Donde: VAB = diferencia proporcional

152

5.°

año

ELECTRODIÁMICA

Efecto de Joule

VA – VB = Caída de tensión (V) I: Intensidad de la corriente (A) R: Resistencia del conductor (Ω)

Potencia eléctrica

Para que las cargas que forman la corriente atraviesen un dispositivo eléctrico se realiza un trabajo en cierto intervalo de tiempo, con lo cual en el dispositivo eléctrico se consumirá potencia. Sabemos que: P = WAB t I P=

WAB q t = VAB t

⇒ P = VAB . I

A

Las cargas que forman la corriente al atravesar los conductores van colisionando con los átomos del material, los átomos al ser «golpeados» vibrarán con mayor intensidad con lo cual el conductor aumenta su temperatura (se calienta), hasta emitir calor, este fenómeno se denomina efecto joule. P = VAB . I Econsumida t = (R.I) . I ⇒ Econs = R.I2 . t → en joules E cons = Q

B

... watt (W)

Advertencia pre

t→s R→Ω I→A

pero:

1 joule = 0.24 calorías



Q = 0.24 RI2 t calorías

Para el cálculo de la potencia eléctrica también podría usarse:

Tener presente y bastante cuidado con las unidades y los prefijos con las cuales se está trabajando.

P = I2 . R = V2 AB / R

Trabajando en clase Integral 1. En un conductor circula 18 C de carga en 2 segundos. Si la resistencia de dicho conductor es 4 Ω; halla el voltaje con el cual está trabajando. Resolución: 18 Q V = I. R ∧ I = ⇒ I = 2 t

4. Si 100 m de alambre de sección transversal 5 mm2 tiene una resistencia eléctrica de 0,34 Ω. Determina de que material está hecho el alambre, si se concoce la siguiente tabla:

I = 9A ⇒V = 9 ⋅ 4 = 36 V

2. En un conductor circula 12 coulombs de carga en 3 segundos. Si la resistencia de dicho conductor es 4 Ω; halla el voltaje con el cual está trabajando. 3. Si por un alambre conductor circula una corriente de intensidad 15 mA, determina el número de electrones que atraviesan la sección transversal del conductor en 0,1 s. 5.°

año

153

Material

ρ (Ω . m) a 20º C

Plata

1,6 × 10–8

Cobre

1,7 × 10–8

Aluminio

2,8 × 10–8

Hierro

10 × 10–8

Plomo

22 × 10–8

FÍSICA

1

ELECTRODINÁMICA UNMSM

3

5. Un alambre de cobre tiene una resistencia de 20Ω. ¿Cuál será la resistencia de otro alambre de cobre cuya sección transversal sea el triple y longitud el doble. Resolución: L R = ρ = 20Ω A

R' = ρ

3L 3 L 3 = ρ = ⋅ 20 = 30 Ω 2A 2 A 2

6. Un alambre de cobre tiene una resistencia de 30Ω. ¿Cuál será la resistencia de otro alambre de cobre cuya sección transversal sea el doble y longitud el triple. 7. Si la resistencia eléctrica de un alambre conductor es 100Ω, ¿cuál será la resistencia de otro conductor de cuádruple resistividad, triple longitud y doble área? 8. Un alambre de 1000 m de longitud y resistividad 5.10–6 Ω.m está conectado a un voltaje de 100 V. ¿Cuál debe ser el área de su sección recta transversal si queremos que circule una corriente e 2A por el alambre? Resolución: V = I.R 100 = 2. R R = 50Ω 1000 L –6 50 = 5.10 . R=ρ A A A = 10–4 m2 = 10 cm2 9. Un alambre de 1000 m de longitud y resistividad 4.10–6 Ωmm está conectado a un voltaje de 120 V. ¿Cuál debe ser el área de su sección recta transversal si queremos que circule una corriente de 3A por el alambre? 10. Un alambre de cobre tiene resistencia de 18Ω. Se estira hasta que su longitud se quintuplique. ¿Cuánto vale la corriente en Ampere que circula por el alambre estirado cuando entre sus extremos se aplica una diferencia de potencial de 1350 V? 11. En la figura se muestra una pastilla de grafito. Si lo conectamos a través de un circuito a través de los terminales 1 y 2, se determina una resistencia de 72 Ω. ¿Cuánto será su resistencia eléctrica al conectarlo entre los terminales 3 y 4?

1

FÍSICA

2a

2

a

1

6a 4

12. Un alambre de cobre tiene una resistencia de 9 Ω si se le estira mecánicamente hasta que su longitud se quintuplique. Halla la corriente que circula por esta última resistencia si se le aplica a sus extremos una diferencia de potencial de 675 V. 13. Una bombilla eléctrica presenta la siguiente especificación técnica 50 w – 100 V. Determina la potencia eléctrica que disipara a la bombilla cuando la conectamos a una fuente de 20 V. 14. Una pila se conecta a un resistor de 4 Ω, luego se reemplaza este resistor por otro de 9 Ω y se observa que ambas disipan igual potencia. ¿Cuál es el valor de la resistencia interna de la pila? UNI 15. Un hervidor eléctrico cuya existencia es 800 Ω se conecta a una fuente de 200 V. Determina el tiempo que se necesita para que 0,5 litros de agua eleve su temperatura en 24º C. (1 J = 0.24 cal) Resolución: 2002 E V2 = = 50 w P = ⇒ Esp.t P= t R 800 24 = 1.500.24 100



50 . t .



t = 1000 s

16. Un hervidor eléctrico cuya resistencia es 600 Ω, se conecta a una fuente de 300 V. Determina el tiempo que se necesita para que 1,5 litros de agua eleve su temperatura en 24º C. (1 J = 0.24 cal) 17. ¿Cuál es el costo mensual de energía que origina un televisor a color de 150 W al tenerlo encendido durante 5 h diarias (cada kw.h cuesta S/.0,30). 18. Un cable de densidad de 8 g/cm3 y resistividad 1.10–8 m tiene una masa de 200 kg y una resistencia de 0,64Ω. ¿Cuál es el valor de su longitud y sección recta?

154

5.°

año

2 Circuitos eléctricos Asociación de resistencias I. En serie



Características

En este caso las resistencias se conectan una a continuación de otra, de tal manera que el voltaje total conectado en los terminales V se reparte en cada resistencia en V1; V2; V3. También hay que observar que no se acumula carga en las resistencias por lo cual las corrientes en cada elemento debe ser la misma; aquella resistencia que reemplaza a las anteriores produciendo el mismo efecto es la llamada resistencia equivalente (RE). R1 I1

R2

R3

I2

I3

RE

1. V1 = V2 = V3 = V 2. V/RE = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 ⇒ 1/RE = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Instrumentos eléctricos de medición

Todo aparato destinado a detectar la presencia de corriente eléctrica en un alambre conductor se denomina galvanómetro, de acuerdo a su escala de medida se puede hablar de amperímetro, miliamperímetro o microamperímetro. Para medir la corriente que circula por un tramo del conductor el amperímetro debe colocarse en serie para que toda la corriente que deseamos medir pase por el aparato. Como el amperímetro tiene una cierta resistencia «interna» es conveniente que esta sea lo más pequeña posible para que el circuito no sea alterado prácticamente.

IE V

V

Características 1. I1 = I2 = I3 = IE 2. V = V1 + V2 + V3

+

3. REIE = RII1 + R2I2 + R3I3

–

RE + R1 + R2 + R3

II. En paralelo

En esta ocasión las resistencias se conectan teniendo terminales comunes, del cual se desprende que todos los elementos recibirán el mismo voltaje, y la corriente total se repartirá en cada resistencia, la resistencia equivalente es aquella que recibiendo el mismo voltaje soporta la misma corriente total.

I1

5.°

año

I2

I3

V

Req

IE V

I

R A

Si deseamos medir la diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia, debemos colocar un voltímetro en paralelo con la resistencia, la corriente que se dirige a la resistencia se bifurca penetrando parte de la corriente al voltímetro, la resistencia interna del voltímetro debe ser lo máximo posible para que a través de él pase lo mínimo de corriente y el circuito no se altere.

155

FÍSICA

2

CIRCUITOS ELÉCTRICOS +

Sustitución Delta – Estrella

–

Un circuito delta formado por R1; R2; R3 puede ser reemplazado por un circuito estrella equivalente, formado por X, Y, Z tal que se cumple: b

R

I

b

R1

x

R2

y

V a

Para un amperímetro y voltímetro ideal la resistencia interna es cero e infinita respectivamente.

Puente de wheatstone

Este montaje se utiliza muy a menudo para efectuar medidas rápidas y precisas de resistencias. Fue inventado en 1843 por el físico inglés Charles Wheatstone. c R1 I1

a

E

R4

I2

R1R2 R1 + R2 + R3

z=

R1R3 R1 + R2 + R3

b

Rz

R1

R3

R3

Para poder hallar una de las resistencias, se busca una relación tal que en R5 no circule corriente (I = 0), es decir Va = Vb. Se cumple: Vca = Vcb

Ry

Rx

d



R2R3 R1 + R2 + R3

R2

I3

I4

y=

c

Sustitución Estrella - Delta

R2 R5

x=

z

a

c

R3

R1 =

RxRy + RxRz + RyRz Ry

R2 =

RxRy + RxRz + RyRz Rz

R3 =

RxRy + RxRz + RyRz Rx

Vad = Vbd

R1I1 = R2I2 R4I4 = R3I3 Como I = 0 ⇒ I1 = I4 e I2 = I3

Conservación de la carga

Dividiendo las ecuaciones: R1 R2 = R4 R3 R1R3 = R2R4 Cuando se cumple esta relación se dice que el punto está balanceando, y en R5 no circula corriente.

2

FÍSICA

En una unión (nodo) cualquiera de un circuito eléctrico, la corriente total que entra en dicha unión tiene que ser igual a la corriente que sale. En la regla anterior, el término «unión» denota un punto en un circuito donde se juntan varios segmentos. La regla de unión (algunas veces llamada primera ley de Kirchhoff) es, en realidad, una afirmación relativa a la conservación de la carga eléctrica.

156

5.°

año

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Análisis de circuitos

El circuito eléctrico más simple se compone de una fuente de fuerza electromotriz (una batería por ejemplo) y un dispositivo de circuito (digamos un resistor). Entre los ejemplos de esta clase de circuito, se encuentran las linternas o los calentadores eléctricos. En la figura, vemos un circuito formado por una batería y un resistor R. A menudo, cuando analizamos circuitos queremos determinar la magnitud y la dirección de la corriente, conociendo su fuerza electromotriz y sus resistores. El primer paso del análisis consiste en suponer la dirección de la corriente. Cuando analizamos el circuito mediante el método de diferencias de potencial, lo recorremos una vez y llevamos un registro de las diferencias en cada uno de sus elementos. Comenzaremos en un punto cualquiera, recorreremos una vez el circuito sumando todas las diferencias de potencial y luego retomaremos al punto de partida donde debemos encontrar el mismo potencial con que empezamos. El procedimiento puede sintetizarse en los siguientes términos: La suma algebraica de las diferencias de potencial alrededor de una malla completa de circuito ha de ser cero. A la regla anterior se le conoce como regla de la malla (y en ocasiones se la designa como segunda ley de Kirchhoff). En última instancia, es una afirmación concerniente a la conservación de la energía. Una vez más, comenzando en a y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, primero encontramos una diferencia negativa de potencial de –iR y luego una diferencia positiva de +E. Al hacer cero la suma de estas diferencias de potencial, se obtiene: – IR + E = 0

a i

R

ε

Reglas de Kirchhoff

1. Regla de nudos En todo nudo la suma algebraica de corriente es cero, considerando positivas las corrientes que llegan al nudo y negativas las que salen. I3

I2

ΣI = 0 I1

I1 – I2 – I3 = 0



2. Regla de la malla Al efectuar un recorrido cerrado por cualquier malla de un circuito, la suma algebraica de caídas y subidas de potencial es cero; considerando positivas las subidas de potencial y negativas las caídas. R1

+ ε1

+ –

I

+

R2

– + ε – 2 –

Σv = 0 ε1–IR1–ε2–IR2=0

Trabajando en clase Integral

paralelos:

1. Halla la resistencia equivalente entre «x» y «y». x

2Ω

6Ω

B

3Ω A 6Ω

B

4Ω



y

1 1 1 1 = + + 3 6 Req 6

ReqA.B = 1,5Ω



Resolución: Como 6Ω; 3Ω; 6Ω están entre igual potencial, son

5.°

año

Reqx.y = 2 + 1,5 + 4 = 7,5Ω

157

FÍSICA

2

CIRCUITOS ELÉCTRICOS 7. En la asociación de resistores en la figura, calcula la resistencia equivalente entre «A» y «B».

2. Halla la resistencia equivalente entre «x» y «y». x

8Ω

7Ω

4Ω

8Ω

1Ω

y

4Ω

2Ω 2Ω A

3. Halla la resistencia equivalente entre los terminales «A» y «B». 5Ω

A

5Ω

5Ω

5Ω

5Ω

2Ω

4Ω

2Ω A

A 2Ω

5Ω

B

8. Determina la intensidad de corriente eléctrica que circula por el circuito.

4. Determina cuánto marca el voltímetro ideal.

3Ω

30V

20V 3Ω

80V 6Ω

3Ω

A

V

60V 10Ω

10Ω



5Ω

Resolución: Empezando en el punto A: 80 + 30 – 3I – 20 – 3I – 40 – 4I = 0 10I = 50 I = 5A

9. Determina la intensidad de corriente eléctrica.

UNMSM 5. En la figura se muestra una rama que es parte de un circuito eléctrico. El potencial en el punto «A» es 10 V, determina el potencial en el punto «B». I = 2A

2Ω

A

40V

5V

50Ω 10. Halla la resistencia equivalente entre a y b en función de R.

6. En la figura se muestra una rama que es parte de un circuito eléctrico. El potencial en el punto «A» es 10 V, determine el potencial en el punto «B».

A

2

FÍSICA

4Ω

a R

2Ω 30V

30Ω

B

Resolución: 10 – 2 ⋅ 2 + 20 – 3 ⋅ 2 – 5 = VB VB = 15 V

I = 3A

40Ω

300V

3Ω 20V

40V

4Ω

6V

b

B

158

R

R

R

R

5.°

año

CIRCUITOS ELÉCTRICOS UNI

11. Halla la resistencia equivalente entre A y B. 6Ω A

6Ω

6Ω

15. En el circuito mostrado calcula la potencia eléctrica que transfiere la fuente de 80 V.

3Ω

1Ω

6Ω

B + 60V – 8Ω

3Ω 12. Halla la intensidad de la corriente que circula por la resistencia R. 20V

I3

– +

2Ω Resolución: I1 = 10A –8I1 + 60 – 6I1 + 80 = 0 I2 = 25A –30 – 2I2 + 80 = 0 ⇒ I3 = 10 + 25 = 35A P = VI = 80 ⋅ 35 = 25800 w

8V

5Ω

30V

– I2 + 80V

I1

8Ω 40V

16. En el circuito mostrado calcula la potencia eléctrica que transfiere la fuente de 80 V.

I R

10Ω 60V 13. En el circuito, halla «R» en ohm. 2V

R R

17. Halla el potencial en el punto A. 7Ω 5V

R 14. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, calcula la lectura del amperímetro ideal y la corriente que pasa por la resistencia de 3Ω. A

A

2Ω

3Ω 3Ω

5Ω

8V

1Ω 3Ω

1Ω

18. Calcula el potencial en el punto B respecto a tierra.

6Ω

2V

año

15V

8V

6V

2Ω

5.°

– +

2Ω 12V

R

20V

– + 80V

+ 90V – 7Ω

6Ω

6Ω

2Ω

12V 5V 4Ω

159

B

5Ω

FÍSICA

2

3 Magnetismo Tiene como objetivo principal el estudio de las propiedades de los imanes y sus interacciones mutuas. Se denomina imán a toda sustancia que es capaz de atraer al hierro, a esta propiedad de los imanes se le denomina magnetismo.

2. Inseparabilidad de los polos

En todo imán se distingue las siguientes regiones: a) Polo. Es la región en la cual se concentran las propiedades magnéticas del imán en el caso de un imán en forma de barra los polos se encuentra ubicados en sus extremos. b) Zona neutra. Es la región que presenta muy poco o ninguna propiedad magnética.

Fuerza de atracción

ZZ Imán: Partes

Hierro Zona neutra

Polo

Acciones entre los polos magnéticos

F

N

Polo

F

S

Fuerza de repulsión F1

Propiedades 1. Orientación de un imán

N

N

F1

Campo magnético

Se denomina así a la modificación de las propiedades del espacio que rodea a un imán. El campo magnético trasmite las acciones entre los polos magnéticos y se suele caracterizar por una cantidad vectorial denominada vector inducción magnética o vector campo magnético ( B ). Unidad de la inducción magnética: SI → tesla (T)

El eje magnético pose una inclinación de 11,5º respecto al eje geográfico. Todo campo magnético al actuar sobre un imán ejerce sobre los polos de este, fuerzas de direcciones opuestas lo cual produce un torque el cual tiende a orientar al imán en forma paralela al campo magnético.

3

FÍSICA

El campo magnético al igual que el campo eléctrico también se suele representar por líneas conocidas como «líneas de inducción magnética» las cuales presentan las siguientes características: 1. Por cada punto del campo magnético pasa una y solo una línea de fuerza. 2. El vector inducción magnética es siempre tangente a la línea de fuerza en cada uno de sus puntos.

160

5.°

año

MAGNETISMO 3 Las líneas de fuerza se orientan del polo norte al polo sur por el exterior del imán y del polo sur al norte por el interior del mismo. 4. La separación entre las líneas de fuerza es inversamente proporcional al valor del campo magnético de la región considerada. ZZ Líneas de inducción magnética

Ley de Biot – Savart

Pocas semanas después de conocerse el descubrimiento de Oersted, los físicos Jean B. Biot y Felix Savart investigaron sobre la intensidad de los campos creados por corrientes. A estos trabajos se sumaron los aportes de Andre M. Ampere y Piere S. Laplace.

a) Para un conductor finito

Cuando un segmento conductor RS conduce una corriente de intensidad «i», como el mostrado en la figura genera un campo magnético tal que en un punto «P» contenido en su plano, el vector «B » será normal a dicho plano. Al unir el punto «P» con los extremos «R» y «S» del conductor, se genera lo mostrado en la figura: B

Experimento de Oersted

S

El danés Hans Christian Oersted descubrió que al acercar un imán a un conductor por donde circula una corriente, el imán experimentaba fuerzas que tendían a orientar al imán en forma perpendicular al conductor.

P

α

b

R I

R

Oersted además determinó que el sentido del imán dependerá del sentido de la corriente. Bp =

µoi (Senα + Senb) ... T 4π(R)

donde «P» es la distancia de «P» al segmento RS. Siendo µo la permeabilidad magnética del vacío. µo = 4π × 10–7 T.m/A i: intensidad de corriente eléctrica (A)

b) Para un conductor semi-infinito Bp =

µo i 4π R

... T

c) Para un conductor infinito

I µ i Bp = o 2π R

... T

B

Q O

P

Determinación de la dirección del campo magnético por medio de la regla de la mano derecha. ZZ Toda corriente produce un campo magnético.

5.°

año

161

FÍSICA

B

3

MAGNETISMO

d) Para una espira circular de corriente

Cuando un conductor bajo la forma de un arco presenta una corriente, esta genera un campo magnético en todo el espacio que lo rodea, de manera que todas las líneas del campo envuelven a la espira observándose que por una de sus caras las líneas salen de su interior y por la otra cara estas mismas ingresan. De esta forma podemos decir que una espira circular de corriente presenta dos polos magnéticos: uno norte y el otro sur. La intensidad del campo magnético tiene un valor máximo en el centro de la espira, y viene dado por: Bo =



µo i × ... T 2 R

B

B



r

Bo

T I



donde «θ» se expresa en radianes.

f) Para un solenoide

Se llama también bobina, y es un conjunto de arrollamientos por donde circula una corriente, creando en su espacio interior un campo magnético debido a la superposición de los campos individuales que genera cada espira, de modo que éstos se refuerzan, dado que en todas las corrientes tienen el mismo sentido. Puede comprobarse que: Bcentro = 2Bextremo L

O I

r

θ

r

Bp

x N

I

I

Y en el punto «P» del eje: µo.i.r2 B= 2(x2+r2)3/2



B=

... T

µoNI L

N = Nº de espiras L = Longitud del Solenoide

e) Para un arco de corriente

Un conductor en forma de arco de radio «r», subtendido por un ángulo central «θ», producirá un campo magnético a su alrededor de manera que en el centro de curvatura la intensidad «B» de dicho campo estará dado por: i.θ.µo ... T B= 4π.r



3

FÍSICA

162

Advertencia pre Al graficar la inducción magnética hay que tener en cuenta que es perpendicular al radio vector.

5.°

año

MAGNETISMO

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el módulo de la inducción magnética a 2 m de un cable muy largo, que transporta una corriente de 30 A. Resolución: 4π ⋅ 10–7 ⋅ 30 µ ⋅I B= B = o 2πR 2π ⋅ 2

6. ¿Cuál es el módulo de la intensidad del campo magnético en «A»? Si el conductor infinito lleva una corriente de 18A. A 37º 10m

B = 3⋅10–6 T = 3µ T

2. Calcula el módulo de la inducción magnética a 3 m de un cable muy largo que transporta una corriente de 20 A. 3. ¿Qué corriente fluye por un cable infinito para que a 20 cm de éste, el campo magnético sea de módulo 2.10–5 T? 4. Si duplicamos la corriente que circula por un alambre, y reducimos a la mitad la distancia al conductor, la inducción magnética en cualquiera de los puntos que rodea al cable: UNMSM 5. ¿Cuál es el módulo de la intensidad del campo magnético en «A»? Si el conductor infinito lleva una corriente de 16 A. A 53º

10m



16A 53º

10m

A BA =

I

R

I

4π ⋅ 10 ⋅ 16 2π ⋅ 8 –7

BA =



BA = 4⋅10–7 T

año

9. Una espira circular de 20 cm de radio conduce una corriente de 5A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el centro de la espira?

µo⋅I 2πR



5.°

8. Una espira circular de 10 cm de radio conduce una corriente de 4A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el centro de la espira? Resolución: µ ⋅I 4π ⋅ 10–7 ⋅ 4 Bc = Bc = o 2R 2.10.10–2 Bc = 8π.10–6 T = 8πµ T

10. Un anillo conductor de forma circular y radio R está conectado a dos alambres rectos y exteriores que terminan en ambos extremos de un diámetro (ver la figura). La corriente I se divide en dos partes desiguales mientras pasa a través del anillo como se indica. ¿Cuál es la magnitud y dirección de B en el centro del anillo? (en función de µo, I, R). I/A

Resolución: 8m

7. A una distancia «R» de un cable infinito la inducción es de 4.10–6 T, si la distancia se aumenta en 20 cm la nueva inducción será de módulo 3.10–6 T. Halla «R».

3I/4

163

FÍSICA

3

MAGNETISMO 11. Un alambre adquiere la forma de dos mitades de un círculo que están conectadas por secciones rectas de igual longitud como se indica en la figura. La corriente I fluye en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en el circuito. Determina la magnitud y dirección del campo magnético en el centro C. (en función de µo, I, R1 y R2) R1

I

Resolución: B1 =

4π ⋅ 10–7 ⋅ 6 = 4.10–5 T 2π ⋅ 3⋅10–2



B2 =

4π ⋅ 10–7 ⋅ 6 = 2.10–5 T 2π ⋅ 6⋅10–2



⇒ BG = B1 + B2 = 6.10–5 T

16. Calcula el módulo de la inducción magnética resultante en el punto «G».

C R2

2A=I I

1

12. Un solenoide de 20 cm de longitud y 100 vueltas conduce una corriente de 0,2 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el centro del solenoide?

I=2A 12cm

X 2

17. La gráfica muestra dos conductores de gran longitud distanciados 1 m. Calcula el módulo de la inducción magnética en el punto «M». Equidistante de ambos conductores situados en planos perpendiculares entre si. (I1 = 3 A; I2 = 4A)

13. Un solenoide anular tiene una circunferencia media de 250 mm de diámetro y consta de 800 espiras. Se pide determinar la intensidad de la corriente necesaria para tener un campo magnético de módulo 1,2 × 10–5 T. 14. Una espira circular de 10 cm de radio conduce una corriente de 0,4 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el centro de la espira?

6cm

G

I1

A I2

18. Determina el módulo de la inducción magnética resultante en el punto «M». (I = 3 A) 2I

UNI 15. Calcula el módulo de la inducción magnética resultante en el punto «G». I=6A 1

3

FÍSICA

B1 3cm

G

I=6A

B2 6cm

X 2

I

164

60º 10cm

M

5.°

año

4 Fuerza magnética Fuerza magnética sobre una carga móvil

Debido a que una carga en movimiento genera su propio campo magnético, al ingresar a otro campo magnético se produce una interacción entre ellos, lo cual origina fuerzas de naturaleza magnética, cuya dirección será normal al plano que forman la velocidad ( V ) y el campo ( B ), y cuando la carga es positiva, su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

B

θ

–

q

V

F

F B q

θ

5. Como F B →F V YY F no realiza trabajo YY F no altera el valor de la velocidad, únicamente su dirección.

V VSenθ

6. Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme. Si V ⊥ B → M.C.U.

F =q.V × B F = q v B Senθ

x

q: cantidad de carga eléctrica (C)

x x

Observación Si una carga se mueve dentro de un campo mixto (magnético y eléctrico), experimentará una fuerza por cada campo, de modo que a la resultante de ellas se le denomina: Fuerza de Lorentz.

De donde: 1. Si V

B → FMAX = q V B

2. Si V // B FMIN = 0 3. F ⊥ V y F ⊥ B 4. Sentido, depende del signo de la carga.

5.°

año

x

x

x

x

V : velocidad de la carga eléctrica (m/s) B : inducción magnética (T)

F = Fm + Fe donde: Fm = q v B y Fe = qE

x x R x

x x Donde: F

=F

x x

x

V x

mV2 R

q VB =



q  B.R. = mV → qBR = mV

165

x x

CP





x x

F q+

MAG

V

w

x

x

R=

m.V B.q

FÍSICA

4

FUERZA MAGNÉTICA

Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas

Pero V = w . R q  B w= m 7. Si V no es perpendicular a B , el movimiento es helicoidal

Si dos alambres paralelos conducen corriente eléctrica, entonces los campos magnéticos que ambos producen interactúan entre sí originando fuerzas de atracción si las corrientes tienen el mismo sentido, y fuerzas de repulsión si aquellas tienen sentidos opuestos. Estas fuerzas son de igual módulo pero de direcciones contrarias, pues constituyen una pareja de acción y reacción. El valor de estas fuerzas se determina así: i1

Movimiento helicoidal

F L

F

d

F i2

VCosθ

θ

B

F = 2 . 10–7

VSenθ

V

Fuerza magnética sobre una corriente rectilínea (fuerza de Ampere)

i1 . i2 . L d

Regla de la mano derecha

Esta es una regla equivalente a la anterior y para una carga positiva se verifica que:

Cuando un conductor se encuentra dentro de un campo magnético, cada una de las cargas que el conduce experimenta fuerzas cuya resultante será normal al plano que formen el conductor y el campo magnético. Su sentido viene dado por la regla de la mano derecha, y su módulo se determina así:

F

B i

Tener en cuenta para el uso de esta regla que la dirección de la velocidad se puede intercambiar con la dirección de la corriente eléctrica.

F L i θ

1. F ⊥ conductor 2. F ⊥ B 3. Sentido: Basta conocer el sentido convencional de la corriente.

B

F = I.Lu × B

ZZ Además

F = B. I. L. Sen θ



Si j ⊥ B → FMAX = B. I. L.

I: intensidad de corriente eléctrica (A) L: longitud del conductor (m)

Si j // B → FMIN = 0

u : vector unitario en dirección de la densidad de corriente eléctrica.

Siendo j la densidad de corriente cuya dirección nos indica la dirección de la corriente eléctrica.

4

FÍSICA

166

5.°

año

FUERZA MAGNÉTICA

Trabajando en clase Integral 1. Un electrón con una rapidez de 5.106 m/s, ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,6 T. Calcula el módulo de la fuerza sobre el electrón (en N). Resolución: F = B.V.q F = 0,6 . 5 . 106 . 1,6.10–19 F = 4,8 . 10–13 N 2. Un electrón con una rapidez de 8.105 m/s, ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,2 T. Calcula el módulo de la fuerza sobre el electrón (en N). 3. Una partícula cargada con +10 mC ingresa a un campo magnético B = 4.10–2 T con una rapidez V = 2.106 m/s formando 30º con las líneas de inducción. Calcula el módulo de la fuerza magnética sobre la carga. 4. El módulo de la fuerza de un campo magnético de intensidad B = 2 teslas ejerce sobre una carga de 1 mC que entra perpendicular a dicho campo es de 1 N. Calcula la rapidez (en m/s) de ingreso de la carga al campo. UNMSM 5. Calcula el módulo de la fuerza magnética sobre el conductor de 50 cm de longitud si por ella circula una corriente de 4 A de intensidad. x

x

x

x

x

x

Ix

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x B = 60 T



Resolución: F = B.I.L



F = 60 . 4 .

5.°

año

50 = 120 N 100

6. Calcula el módulo de la fuerza magnética sobre un conductor de 30 cm de longitud si por el circula una corriente de 5A, sabiendo que el conductor es perpendicular a un campo magnético cuyo máximo es 80 T. 7. Una partícula cuya carga es de +6 mC es lanzada sobre un campo magnético uniforme de 0,2 tesla con una rapidez de 400 m/s. Calcula el valor de la fuerza magnética cuando el ángulo entre la velocidad de la partícula y las líneas de inducción sea de 30º. 8. En el campo magnético uniforme B igual a 2 mT la corriente que pasa por el conductor es de 2A. Calcula la fuerza sobre el conductor. B 4m 3m

5m

Resolución: FM = B.I.L FM = 2.10–3.2.5 FM = 2.10–2 N 9. En el campo magnético uniforme B de módulo 4 mT la corriente que pasa por el conductor es de 3 A. Calcula el módulo de la fuerza sobre el conductor. B 8m I 6m

10. En la figura se muestra un alambre ACD doblado en C, por la cual circula una corriente I = 10 A; si θ = 60º y el campo tiene como módulo B = 10 T. ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre dicho alambre si AC = 5 cm y CD = 3 cm?

167

FÍSICA

4

FUERZA MAGNÉTICA

x

A

x C x θ

I

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

I

B

B V q

x

D

x

11. Calcula el módulo de la fuerza magnética sobre el conductor de 10 cm de radio, sabiendo que por ella circula una corriente de intensidad 2A.

x

x

x

x

15. Una carga de 40 mC y masa 40 g ingresa a un campo magnético de módulo 20 T en forma perpendicular con una rapidez de 60 m/s. Calcula el radio de giro. Resolución: 40.10–3.60 m.V R= R= 20.40.10–3 B.q

x

x



x

x

x

x

B = 100 T x x

I

x x

x

x

x

x

x

x

x x x x x

R

UNI

12. ¿Qué intensidad de corriente circula por un alambre de 2 m de longitud si al colocarlo en el interior de un campo magnético uniforme de módulo 0,08 T se ejerce sobre él una fuerza de módulo 0,9 N? 13. Iones con una carga de 4 × 10 C y que viaja con una rapidez de 2 × 106 m/s entran en un campo magnético uniforme de módulo 0,02 T que es perpendicular a la dirección de su velocidad de propagación. Si las cargas describen un radio de 40 cm, determina la masa de los iones. –6

16. Una carga de 40 mC y masa 20 g ingresa a un campo magnético de módulo 10 T en forma perpendicular con una rapidez de 60 m/s. Calcula el radio de giro. 17. Una carga de 6 mC y masa 3 g describe una circunferencia dentro de un campo magnético de módulo 3π teslas. Calcula la frecuencia de giro. 18. Una partícula cuya carga es q = 5 C es impulsada desde «P» con una rapidez v = 600 m/s en forma radial, alejándose de un conductor infinito por el cual circula una corriente I = 200 A. ¿Qué fuerza magnética experimenta la partícula en dicha posición? (d = 4 cm) (Dar como respuesta el módulo de dicha fuerza).

14. Una partícula con carga q = 2 nC y masa m = 4.10–29 kg ingresa perpendicularmente a una región donde existe un campo magnético uniforme cuyo módulo es B = 0,2 T con una rapidez de 104 m/s. Calcula la intensidad y dirección del campo eléctrico (en kn/C) necesario para que la partícula atraviese la región del campo magnético sin desviarse.

4

FÍSICA

R=3m

168

I

V

P

d

q

5.°

año

5 Inducción electromágnética El fenómeno de inducción electromagnética lo descubrió el físico británico Michael Faraday en el verano de 1831. Consiste en lo siguiente: En cualquier contorno conductor cerrado, al variar el flujo de inducción magnética a través de la superficie limitada por este contorno, se crea una corriente eléctrica. Esta corriente se denomina corriente inducida.

Experimento de Faraday

Este experimento se basa en hacer pasar un imán de propiedades magnéticas muy intensas a través de una bobina la cual se encuentra conectada a un galvanómetro, el cual permite la medida de la corriente. Al imán que genera el campo se denomina inductor y a la bobina en la cual se establece la corriente el inducido. Después de muchos experimentos Faraday llegó a las siguientes conclusiones. 1. Se genera una corriente inducida siempre y cuando exista un movimiento relativo entre el inductor e inducido. 2. El sentido de la corriente inducida depende del polo magnético que se acerque o se aleje del inducido, invirtiéndose el sentido de la corriente al invertirse el sentido del movimiento relativo. En particular al acercar un polo norte es equivalente a alejar un polo sur. 3. A mayor velocidad relativa le corresponde una corriente inducida de mayor intensidad. (Conductor)

Flujo magnético

Es una magnitud escalar la cual determina el número de líneas de fuerza del campo magnético que atraviesan (líneas de inducción) de una superficie dada. El flujo magnético a través de una superficie se obtiene multiplicando la componente de campo magnético perpendicular a la superficie con el área de dicha superficie.

Observación

1. La normal se traza a una sola de las caras de la superficie. 2. El flujo magnético puede ser positivo o negativo dependiendo del ángulo formado entre la normal y la dirección del campo magnético. 3. Debido a que las líneas de fuerza del campo magnético son líneas cerradas se tiene que el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es igual a cero. Normal (N)

B

θ

S

(Inductor)

φ = B ⋅ A ⋅ Cosθ φ = BN ⋅ A

V

Conclusión general

Donde: BN = B ⋅ Cosθ

Existe una corriente inducida y una fuerza electromotriz inducida si varía el número de líneas de inducción magnética del inducido.

5.°

año

Es la componente del campo perpendicular a la superficie (en la dirección de la normal). Unidad:

169

FÍSICA

5

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Donde ∆φ es la variación de flujo en 1 espira

weber (Wb) = T.m2 maxwell (Mx) = Gs.cm2 → 1 Wb = 108 Mx

Ley de Lenz

Determinemos ahora la dirección de la corriente inducida. El físico ruso Heinrich Friedrich Emil Lenz generalizando en 1833 los resultados de los experimentos expuso la regla siguiente: la corriente que se crea en un contorno cerrado tiene un sentido tal, que esta corriente crea a través de la superficie limitada por el contorno, un propio flujo de inducción magnética que se opone a la variación del flujo de inducción magnética que la origina.

ZZ Casos particulares

N

B

N B

φ = B. A

φ = 0

X

φ = – B.A

B

Ley de Faraday–Henry

La fuerza electromotriz inducida en un circuito es proporcional a la rapidez con la cual varía el flujo magnético a través de dicho circuito.

Casos posibles 1. Aumento del flujo Bo (Campo inductor)

εi = –∆φ ∆t

Unidad:

B1 (Campo inducido)

weber segundo

2. Reducción del flujo

Voltio: ∆ φ → εi

B1

B1

B0

ZZ Si el circuito está formado por N espiras el efecto

se hace N veces mayor.

I N

∆φ εi = –N ∆t

5

FÍSICA

Es decir: a) V

S

170

N

b)

V N

S

5.°

año

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA



a) V S

b)

N

V

T= S

N



ZZ En particular

Voltaje inducido en un conductor rectilíneo en un campo magnético (ε) x x x (+) x x x V x x x L x x x x x x (–) x x x

xB x x x x x

V

ε = B.VL

x (+)x L α x x x x

xB x x x

ε = BLV Senα



1. Amplitud

Es el valor máximo de la corriente o voltaje alterno.

2. Periodo

Es el tiempo al cabo del cual la corriente o voltaje ha dado una oscilación completa y ha tomado todos los valores positivos y negativos permitidos. Indica el número de veces que se repite la oscilación, también se le suele definir como la inversa del periodo. En el caso del Perú la frecuencia es de 60 Hz. ε(t) = εo.Sen(wt)

εo: amplitud de la f.e.m. (valor máximo) ... (V) W: frecuencia angular ... (rad/s) t: tiempo ... (s) T: periodo ... (s) f: frecuencia ... (Hz) Donde:

5.°

año

→ I(t) = Io Sen(wt)

Donde: Io = εo/R R: resistencia eléctrica ... (Ω) Io: valor máximo de la intensidad de corriente eléctrica ... (A)

Valores eficaces

Se denomina así a los valores de una corriente o voltaje continuo los cuales producen el mismo efecto que una corriente o voltaje alterno para un mismo intervalo de tiempo. V(t)

3. Frecuencia

R

I(t) = ε(t)/R

Se denomina así a toda corriente o voltaje que varía periódicamente en valor y dirección. Una de las variaciones más usuales es la variación armónica, es decir la corriente o el voltaje se expresan con la ayuda de las funciones seno o coseno. Para toda corriente alterna se tiene las siguientes características:



I(t)

–

Corriente alterna



+ ∼

x x x x x x (–) x x

1 2p = f W

+ –

I(t)

Q V(t) + R –

Q R

IEF

Depende la forma como varíe ε(t) y I(t) para una variación armónica. VEF = εo/2

Io Ief = 2

Luego se tiene: P = IEF . VEF = I0 . εo/2 IEF: intensidad de corriente eléctrica eficaz ... (A) VEF: voltaje eficaz ... (V)

171

FÍSICA

5

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Transformador

Se denomina así a todo dispositivo diseñado con la finalidad de modificar el voltaje o la intensidad de corriente alterna. Un transformador por lo general está constituido por: 1. Un núcleo de hierro o de un material magnético cuya función es la de concentrar el campo magnético en su interior. 2. Dos arroyamientos los cuales se emplean uno para recibir el voltaje que se desea modificar y otro para suministrar el voltaje modificado. Al primer arroyamiento se le denomina primario y al segundo secundario. Ip



Si las pérdidas son despreciables:

Pp ≅ Ps → εp . Ip = εs. Is Luego: Vp Np Is = = Ns Ip Vs YY Entonces





Is

φ



3 Vs

Vp 2

 Np > Ns Si Np > Ns  Ip < Is   εp > εs Si Np > Ns  Ip < Is  

1 1) Núcleo de hierro 2) Primario 3) Secundario εp = –Np

∆φ ∆t

∆φ εs = –Ns ∆t

    

Advertencia pre Vp Np = Vs Ns

Recordar que las líneas de campo inducidas son tales que se oponen a la variación de flujo de inducción magnética.

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Cuál es el flujo magnético que atraviesa el cuadrilátero de área 2 m2 si el campo magnético es uniforme de intensidad B = 3 T. B



φ=B.A



φ = 3 . 2 = 6 wb

2. Cuál es el flujo magnético que atraviesa el cuadrilátero de área 3 m2 si el campo magnético es uniforme de intensidad B = 1 T.

5

FÍSICA

172

5.°

año

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 6. Se tiene una bobina cerrada de resistencia de 6Ω atravesada por un flujo magnético que varía de 180 Wb a 60 Wb en dos segundos. ¿Cuál es el valor medio de la corriente inducida en dicha espira en ampere?

B

3. Determina el flujo magnético que atraviesa la superficie de 10m2 si la normal a la superfice forma un ángulo de 37º con el campo magnético uniforme de intensidad 0,1 T. N

7. La espira es atravesada por un flujo magnético de 4 Wb. Si la espira cambia de posición en un tiempo de 4 s, durante este cambio que f.e.m. se ha producido. B inicio

B

37º

x B R

B

37º

UNMSM 5. Se tiene una bobina cerrada de resistencia 5Ω atravesada por un flujo magnético que varía de 130 Wb a 30 Wb en dos segundos. ¿Cuál es el valor medio de la corriente inducida en dicha espira en ampere? Resolución:



V = IR



50 = I5 I = 10 A

5.°

año

L

V

Resolución: V = I.R V = 0,5 × 6 = 3V ⇒ V = VBL 3 = V . 2,5 . 1,2 V = 1 m/s

9. Considera el arreglo de la figura R = 4Ω; L = 5 m y un campo magnético de módulo 2 teslas, dirigido hacia la página. La rapidez de la barra para producir una corriente de 5 A es:

∆φ ⇒ V = 30 – 130 = 50 V ∆t 2

V=

final

8. Considera el arreglo de la figura R = 6Ω; L = 1,2 m y un campo magnético de módulo 2,5 teslas, dirigido hacia la página. La rapidez de la barra para producir una corriente de 0,5 A es:

4. Del gráfico mostrado calcula el flujo magnético que atraviesa el área A = 500 cm2. Si el campo magnético es uniforme de intensidad B = 1 T.



B

x B R

173

L

V

FÍSICA

5

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 10. ¿Cuántas espiras deberá tener el secundario de un transformador, cuyo primario tiene 300 espiras, para que el potencial de 220 voltios baje a 100 voltios? 11. ¿Qué potencia tiene un transformador si se sabe que la corriente en el primario es 4 A, el número de vueltas en el primario 2000, el número de vueltas en el secundario 1000, y el voltaje en el secundario 110 V. (Desprende todo tipo de pérdidas). 12. Una bobina que tiene 10 espiras apretadas y 10 cm2 de área está ubicada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de magnitud 0,1 T. Si el campo magnético se anula en un tiempo de 1 ms, ¿cuál es la fuerza electromotriz inducida en la bobina? 13. La resistencia de una espira cuadrada de 10 m de lado es 5Ω y se ubica en el interior de un campo magnético uniforme de módulo 0,3 T de manera que el plano de la espira es perpendicular a las líneas de inducción magnética, si en 20 s la mitad de la espira es retirada del campo. ¿Qué corriente inducida circula por la espira durante la extracción?

16. Indica verdadero (V) o falso (F): YY Si V1 > V2 el flujo magnético en la espira es constante. YY Si V1 = V2, el flujo magnético en la espira aumenta. YY Si V1 < V2, el flujo magnético en la espira aumenta. V1 V2

17. En la figura si el imán se aleja de la espira metálica a una velocidad «V » se puede afirmar que: (1) S

V (2)

14. El flujo magnético a través de una espira es dependiente del tiempo φ = 12t + 6, siendo t en (s) y φ en (Wb). Determina la f.e.m. inducida para t = 0at=8s

a) No existe corriente puesto que no hay fuente. b) El sentido de la corriente es según la flecha (1). d) Se induce una fuerza de repulsión sobre el imán. e) El sentido de la corriente es la flecha (2)

UNI 15. Según el observador, la corriente en la espira será: ( ) Antihorario si V1 > V2 ( ) Horario si V1 < V2 ( ) Nula si V1 = V2 Señala verdadero (V) o falso (F)

N

18. A través de una espira el flujo magnético (φ) varía según se indica en la gráfica. Calcula la fuerza electromotriz inducida desde t = 0 hasta t = 5s. t = tiempo.

V2

φ(wb)

V1 10 observador

t(s)

Resolución:

5

F-F-V

5

FÍSICA

174

5.°

año

6 Ondas electromágnéticas Consideramos una simple antena formada por dos barras metálicas M y N conectadas, como indica la figura, a un oscilador de alta frecuencia. Como el circuito está abierto, la corriente fluirá solo un instante, hasta que las dos barras quedan cargadas. Cada vez que se invierte la polaridad se produce un breve flujo de corriente en dirección opuesta. Este dispositivo es un dipolo oscilante con cargas opuestas en sus extremos que cambian continuamente de signo con la misma frecuencia que el oscilador al cual está conectado. +

M B

La radiación es transversal. En el caso del dipolo oscilante, el vector del campo eléctrico radiado está siempre en el mismo plano que el eje del dipolo y la radiación se dice que está polarizada en el plano. Se verifica que en el vacío la velocidad de propagación está dada por:

Oscilador

–

C=

B

año

1 = 3 × 108 m/s εoµo

N

Las cargas eléctricas aceleradas producen alrededor de la barra un campo magnético variable. Pero, como sabemos, un campo magnético variable produce un campo eléctrico capaz de inducir corrientes en los conductores. Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampere, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Fue el físico británico James Clerk Maxwell quien, en su publicación de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético. Investigando estas relaciones entre campos magnéticos y eléctricos, llegó a la conclusión de que un campo eléctrico variable, incluso en el 5.°

espacio donde no hay corrientes de conducción, produce un campo magnético oscilante. De este modo, alrededor del dipolo, el campo eléctrico alterno produce un campo magnético oscilante, el cual da origen a un campo eléctrico variable, etc. La asociación de un campo oscilante, es la condición necesaria para que se engendren ondas electromagnéticas capaces de propagarse por el espacio libre. El dipolo oscilante irradia energía en forma de ondas electromagnéticas. En todo punto, del espacio que recibe la radiación hay un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares entre sí y en ángulo recto con la dirección de propagación.

c: rapidez de la luz en el vacío La ecuación de la onda puede ser representada como: t x – o también T λ t x – B = Bo Sen2π T λ y E = Eo.Sen2π

E (campo eléctrico)

C Velocidad de propagación

175

z

C B (campo magnético)

(dirección de propagación)

FÍSICA

6

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS En una onda electromagnética plana, las magnitudes del campo eléctrico y magnético están relacionadas por: E = C. B De donde se concluye que los campos oscilan en fase, es decir cuando uno de ellos es máximo el otro también se hace máximo.

Energía de una onda electromagnética

En una onda electromagnética, al igual que en una onda elástica, lo que se propaga es la energía del campo electromagnético. Puede demostrarse que la energía que pasa, en la unidad de tiempo, a través de la unidad de área dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación, o sea, la intensidad de la onda electromagnética, es: I = εo EB = εo

E . E = εo E2 / c C

Expresada en W/m2 A continuación se muestra para comparación las analogías y diferencias que existen entre las ondas mecánicas y las electromagnéticas.

Analogías y diferencias entre las ondas mecánicas y las electromagnéticas Ondas mecánicas

Pueden ser longitudinales (por ejemplo ondas del sonido) y transversales (ondas en una cuerda). Se propagan con una velocidad que depende del tipo de onda y de la densidad del medio. Se propagan necesariamente en un medio material. Se caracterizan por la variación regular de una sola magnitud, que puede ser por ejemplo, la amplitud de las partículas vibrantes (ondas en una cuerda) o la densidad del medio (ondas sonoras). Transportan energía y cantidad de movimiento. Se reflejan, se refractan y presentan fenómenos de difracción o interferencia.

Ondas electromagnéticas

Son siempre transversales. Se propagan siempre con la velocidad de la luz. Se propagan a través del vacío. Se caracterizan por la variación regular de dos magnitudes, el campo eléctrico y el campo magnético. Transportan energía y cantidad de movimiento. Se reflejan, se retractan y presentan fenómenos de difracción e interferencia.

6

FÍSICA

El espectro de la radiación electromagnética

Las ondas de las diversas regiones del espectro electromagnético poseen propiedades semejantes, pero diferentes en longitud de onda, frecuencia y método de producción. En la figura se resumen las distintas radiaciones del espectro y los intervalos de frecuencia y longitud de onda que les corresponde. La frecuencia superior 1021 Hz (longitud de onda 10–13 m), corresponden a los rayos gamma más energéticos, y la inferior 104 Hz (longitud de onda 104 m) a las ondas de la radio de muy baja frecuencia. Las ondas de la radio se engendran por medio de circuitos eléctricos oscilantes. Según su frecuencia, se clasifican en radiofrecuencia (RF) y microondas. Entre las primeras están las ondas ordinarias de la radio, FM, televisión (VHF y UHF) radiotelefonía, etc. Entre las microondas están las ondas de radar. Para engendrar radiaciones con frecuencia superior a la región de microondas no son útiles los métodos electrónicos, empleándose en su lugar radiaciones atómicas. En el intervalo de frecuencia comprendido entre las microondas y la radiación visible están los rayos infrarrojos o radiación térmica. La luz visible es radiación electromagnética en el intervalo de frecuencia de 4 × 1014 Hz a 7.5 × 1014 Hz, correspondiente a longitud de onda comprendidas entre 750 y 400 nm (1 nm = 10~9 m). A frecuencia todavía mayores está la radiación ultravioleta (8 × 1014 a 3 × 1017 Hz). Estas ondas son producidas artificialmente por medio de descargas eléctricas en los átomos y moléculas. El sol es una fuente poderosa de radiación ultravioleta que interacciona con los átomos de la atmósfera superior, produciendo un gran número de iones. Por esta razón se denomina ionosfera. Los rayos X se entienden en el intervalo de frecuencia 3 × 1017 a 5 × 1019 Hz. Se producen en las capas más internas de los átomos. Por último, los rayos gamma ocupan la zona del espectro electromagnético de mayor frecuencia y son de origen nuclear. La relación entre longitudes de onda, λ y frecuencia del espectro, f, viene dada por la ecuación λ = c/f, en donde c es la velocidad d ela luz en el vacío. Así, por ejemplo, la longitud de onda de las ondas de radio transmitidas por una estación que opera a una frecuencia de 600 kHz (6 × 105 s–1) es: λ=

176

c = f

3 × 108 m/s 6 × 105 s–1

= 500 mm 5.°

año

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Ri = rayo incidente Rr = rayo reflejado N = recta normal a la superficie i = ángulo de incidencia r = ángulo de reflexión P = plano de incidencia

Leyes

Espectro visible

Estas ondas constituyen lo que llaman luz, y se producen como resultado de ciertos ajustes internos en el movimiento de los electrones en átomos y moléculas. Según su longitud de onda o frecuencia, la luz produce en nuestra retina diferentes sensaciones, que llamamos colores.

1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado son siempre coplanares. 2. i = r

Tipos de reflexión 1. Reflexión regular o especular

En la tabla 2 se indica la relación entre el color, la longitud de onda y la frecuencia de la luz. Debido a la relación entre el color y la longitud de onda o la frecuencia, una onda luminosa de longitud o frecuencia bien definida se llama monocromática (MONO: uno; CROMO: color). Tabla 2 λ(m)

Color Violeta Azul Verde Amarillo Naranja Rojo

f(Hz)

3.90 – 4.55 × 10–7 4.55 – 4.92 × 10–7 4.92 – 5.77 × 10–7 5.77 – 5.97 × 10–7 5.98 – 6.22 × 10–7 6.22 – 7.80 × 10–7

La luz en medios homogéneos se propaga rectilíneamente, por lo tanto podemos utilizar el concepto de rayo luminoso, que nos indicará la dirección de propagación de la luz.

Reflexión de la luz

Es el cambio de dirección que experimenta la luz al incidir sobre un medio que nos permite su propagación (rebote). R.I

N

P

Se presenta en superficies rugosas, verificándose que rayos de luz que inciden paralelamente se reflejarán en direcciones arbitrarias.

Espejo

Son superficies altamente pulimentadas, en las cuales existe reflexión regular.

Espejo plano

Son superficies planas, pulimentadas donde en base a las leyes de la reflexión se obtienen imágenes que cumplen las siguientes características: a) El tamaño de la imagen (I) es siempre igual al tamaño del objeto (O). b) La ubicación del objeto y su imagen es siempre simétrica al espejo (σ = –i). c) La imagen es virtual y derecha.

Int erf

ase

i R

R.R

2. Reflexión irregular o difusa

7.70 – 6.59 × 1014 6.59 – 6.10 × 1014 6.10 – 5.20 × 1014 5.20 – 5.06 × 1014 5.03 – 4.82 × 1014 4.82 – 3.84 × 1014

Este tipo de reflexión se presenta en superficies pulimentadas, verificándose que los rayos de luz que inciden paralelamente se reflejarán también paralelamente.

5.°

año

177

FÍSICA

6

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Zona virtual (–)

c) Cuando el objeto se ubica entre F y C, la imagen es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto ubicada más allá de C. d) Cuando el objeto se ubica en el centro de curvatura (C), la imagen es real, invertida y de igual tamaño que el objeto y ubicada en C. e) Cuando el objeto se ubica más allá de C, la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto, ubicada entre F y C.

Zona real (+)

i

o

Espejos esféricos

Son casquetes de esfera pequeños con una abertura angular menor o igual a 5º tal que una de sus caras está pulimentada, y permite obtener imágenes reales o virtuales.

2. Espejo convexo Son aquellos cuya cara pulimentada está en el exterior en estos espejos las características de la imagen son únicas, siempre es virtual derecha y de menor tamaño, que el objeto, ubicada entre F y V.

Tipos de espejos esféricos

1. Espejo cóncavo Son aquellos cuya cara pulimentada está en el interior. Z.V. Z.V. (+) Rayo paralelo (–) O F C x x V

Zona virtual (–)

Rayo paralelo

R x

C

foc yo a R

F i

al



o

r

Ecuación de descartes

C = centro de curvatura F = foco V = vértice xx = eje principal σ = distancia del objeto i = distancia imagen f = VF = distancia focal

1 1 1 = + σ i f

Ecuación del aumento (A) A=–

Características

a) Cuando el objeto se ubica entre V y F, la imagen es virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto. b) Cuando el objeto se ubica en el foco (F) no se forma imagen ya que los rayos reflejados salen paralelos.

FÍSICA

1 q

Cuadro de signos

R = radio de curvatura

6

x

Zona real (+)

f = R/2

O

f

Ra yo fo c

f

o

al

178

+ –

σ f Espejo Siempre cóncavo Espejo Nunca convexo

i Imagen real Imagen virtual

A o II Imagen derecha Imagen invertida

5.°

año

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Índice de refracción (n)

Es una cantidad adimensional que mide la densidad óptica del medio transparente, se define como la relación de la velocidad de la luz en el vacío (c) a la velocidad de la luz en dicho medio (v). n=

c λof λo = = λf λ v

Ya que al pasar de un medio a otro la frecuencia de la luz no se altera por que el número de longitudes de onda que llegan a la interfase en la unidad de tiempo, es igual al número de longitudes de onda que se transmite al otro medio. λo = longitud de la luz en el vacío. λ = longitud de onda en el medio. Tabla 3

Leyes

1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado son siempre coplanares. 2. n1Sen i = n2SenR (Ley de Snell) En base a la ley de Snell se deduce que cuando la luz pasa de un medio menos denso a otro m ás denso el rayo refractado se acerca a la normal, es decir n1 < n2 → i > r. Además si la luz pasa del medio más denso al menos denso el rayo refractado se aleja a la normal, decir n1 > n2. →i
Ángulo límite Sustancia

Es el ángulo de incidencia que permite un ángulo de refracción de 90º esto solamente sucede cuando el haz de luz pasa del medio más denso al menos denso.

Índice de refracción

Agua (25º C) Alcohol (20º C) Vidrio (crown) Hielo Vidrio flint Aire Cuarzo Sodio Diamante

1.33 = 4/3 1.36 1.52 1.31 1.65 1.00029 1.57 – 1.45 4.22 2.417

Reflexión total interna

Este fenómeno se produce cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite; en este caso la luz no puede pasar al otro medio reflejándose totalmente.

Refracción de la luz

n2

Es el cambio de dirección que experimenta la luz, al pasar de un medio transparente a otro. R.I.

N i

L (n1 > n2)

P

n2 R.r.

Ri = rayo incidente RR = rayo refractado N = recta normal a la superficie i = ángulo de incidencia R = ángulo de refracción P = plano de incidencia

año

Interfase

n1 r

5.°

n1

90º

Cálculo del ángulo límite ( L ) n1Seni = n2Senr n1Sen L = n2Sen90º n Sen L = n2 → L = ArcSen 2 n1 n1

179

FÍSICA

6

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Trabajando en clase Integral 1. ¿En qué longitud de onda podemos sintonizar una estación de radio que emite señales a una frecuencia de 12 MHz? Resolución: C=λ.f 3.108 = λ . 12 . 106 λ = 25 m

7. Una OEM que se propaga en el vacío, en cierto instante posee un campo magnético de inducción B = 6 × 10–12 T. Halla la intensidad de campo eléctrico en dicho instante. 8. Calcula α. 100º

2. ¿En qué longitud de onda podemos sintonizar una estación de radio que emite señales a una frecuencia de 9 MHz? 3. Indica la dirección de propagación de la onda:

E

B

B

Resolución:

E

40º

60º α 60º

V

α = 60º 9. Calcula α α 20º 80º

UNMSM 5. Calcula la longitud de onda de una radiación «X» cuya frecuencia de emisión es 4 × 1019 Hz. Resolución: C C = λ . f λ= f 8 3.10 λ= = 0,75 . 10–11 = 7,5.10–12 m 4.1019

10. Calcula α

6. Calcula la longitud de onda de una radiación «X» cuya frecuencia de emisión es 6 × 1018 Hz. FÍSICA

100º

40º

4. Marca V o F: Los rayos X son ondas electromagnéticas. Un rayo laser se puede considerar como un haz monocromático y coherente. Los fotones tienen carga eléctrica. a) VFV c) FVF e) VVV b) VVF d) FFV

6

40º

80º 40º

80º B

α

80º

180

α 70º

5.°

año

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 11. Calcula R

UNI 15. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,8 m. Halla a que distancia del espejo se debe colocar un objeto para que su imagen real tenga un tamaño 4 veces la del objeto. Resolución: 4 1 1 1 1 = +   = 1 f i q θ R 0,8 f = f= = 0,4 m = 40 m 2 2 1 1 1 = + k = 50 m 40 4k k

Aire 60º

n= 3

12. Un espejo cóncavo de radio de curvatura 40 cm se coloca un objeto a 60 cm de su centro óptico. Determina la distancia de la imagen del espejo.

⇒ θ = 50 m

16. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,6 m. Halla a qué distancia del espejo se debe colocar un objeto para que su imagen real tenga un tamaño 3 veces la del objeto.

13. ¿A qué distancia de un espejo cóncavo, de 40 cm de distancia focal, se debe ubicar un objeto para que su imagen sea real y se ubique a 80 cm del espejo?

17. ¿Cuál será la longitud focal de un espejo si se quiere producir una imagen del doble del tamaño normal de un objeto situado a 60 cm frente a el?

14. Un objeto se ubica a 2 m de distancia de un espejo convexo y su imagen virtual se forma a 0,5 m del espejo, ¿cuál es la distancia focal de dicho espejo?

18. Se tiene un espejo cóncavo de 24 cm de longitud focal. ¿A qué distancia del vértice del espejo debe estar colocado un objeto para que su imagen sea virtual y de triple tamaño?

5.°

año

181

FÍSICA

6

7 Física moderna La física moderna está más enfocada al microscópico mundo de las partículas. Estudiada desde la primera parte del siglo XX, cuando el alemán Max Planck investiga sobre el «cuanto» de energía, hasta la actualidad. la física moderna incluye la mecánica cuántica, la física molecular, la física nuclear, la física de las partículas, la física atómica, la relatividad, la física de la materia condensada, la nanofísica y la cosmología. Planck decía que los «cuantos» eran partículas de energía indivisibles, y que éstas no eran continuas como decía la física clásica. Por ello nace esta nueva rama ya que los temas anteriormente tratados de la física clásica no servían para resolver los problemas presentados, ya que estos se basan en certezas y la física moderna en probabilidades, lo que provocó dificultades para adaptarse a las nuevas ideas. En 1905, Albert Einstein publicó una serie de trabajos que revolucionaron la física, principalmente representados por «La dualidad onda-partícula de la luz» y «La teoría de la relatividad» entre otros. Estos y los avances científicos como el descubrimiento de la existencia de otras galaxias, la superconductividad, el estudio del núcleo del átomo, y otros, permitieron lograr que años más tarde surgieran avances tecnológicos, como la invención del televisor, los rayos x, el radar, fibra óptica, el computador, etc. La misión final de la física actual es comprender la relación que existe entre las fuerzas que rigen la naturaleza, la gravedad, el electromagnetismo, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil. Comprender y lograr una teoría de unificación, para así poder entender el universo y sus partículas.

ZZ Investigaciones cuidadosas, hacia finales del siglo

diecinueve, prueban que el efecto fotoeléctrico sucede también con otros materiales, pero sólo si la longitud de onda es suficientemente pequeña. Para cada sustancia hay una frecuencia mínima o umbral de la radiación electromagnética por debajo de la cual no se producen fotoelectrones por más intensa que sea la radiación.

La emisión de electrones por metales iluminados con luz de determinada frecuencia fue observada a finales del siglo XIX (1887) por Hertz y Hallwachs. Finalmente Albert Einstein publicó en 1905 varios artículos entre los cuales uno trataba del efecto fotoeléctrico y por el cual recibió el premio Nobel de Física en 1922. Mucho antes, en 1900, Max Plank había explicado el fenómeno de la radiación del cuerpo negro sugiriendo que la energía estaba cuantizada, pero Einstein llegó aún más lejos explicando -de acuerdo a los cuantos de Plank- que no solo la energía sino también la materia son discontinuas. La luz está constituida por partículas (fotones), y la energía de tales partículas es proporcional a la frecuencia de la luz. Existe una cierta cantidad mínima de energía (dependiendo del material) que es necesaria para extraer un electrón de la superficie de una placa de zinc u otro cuerpo sólido (energía umbral o función trabajo (Φ)). Si la energía del fotón (E fotón ) es mayor que este valor el electrón puede ser emitido. De esta explicación obtenemos la siguiente expresión: Ekmax = Efotón − θ

Efecto fotoeléctrico

Una placa de zinc recién pulida, cargada negativamente, pierde su carga si se la expone a la luz ultravioleta. Este fenómeno se llama efecto fotoeléctrico. El efecto fotoeléctrico es el fenómeno en el que las partículas de luz llamadas fotón, impactan con los electrones de un metal arrancando sus átomos. El electrón se mueve durante el proceso, dado origen a una corriente eléctrica.

7

FÍSICA

182

5.°

año

FÍSICA MODERNA gam

υ, f = frecuencia de la radiación (Hz) h: constante de Planck h = 6,625 x 10-34 J.s h = 4,14 x 10-15 eV.s

ma

x

La unidad usual de energía a escala atómica es el electrón-volt (eV), el cual se define como la energía que adquiere un electrón cuando es acelerado por una diferencia de un voltio:

x

electron

1eV ≈ 1,6.10-19 J Existe un potencial de corte (Vo) o potencial de frenado para el que i=0. Este potencial de corte es independiente de la intensidad de la radiación (I), pero depende de su frecuencia. El producto del potencial por la carga es trabajo (por la definición de potencial V=W/q). El trabajo de frenado (Vo.q) debe ser suficiente para frenar a los electrones más rápidos, que son los que estaban menos ligados al metal. Ek max = Vo ⋅ qe qe= 1,6.10–19 C

m: masa v: rapidez

La explicación de Einstein coincide con los hechos experimentales. Si se repartiese la energía de la onda entre los trillones de átomos en los que incide la radiación, tardarían años en acumular la energía necesaria para ser extraídos y todos los electrones superficiales de los átomos de la superficie abandonarían de golpe el metal, al cabo de ese tiempo. Por el contrario, se comprueba experimentalmente, que desde que incide la radiación hasta la extracción de los electrones transcurren solamente algunos nanosegundos y sólo son extraídos unos pocos electrones de los millones que componen las capas superficiales. La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado Plank (que sin embargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo suponía la teoría clásica). La aportación original de Einstein es que la energía se transmite e impacta de manera discontinua o discreta, en paquetes. La emisión de electrones es casi instantánea.

5.°

año

A la temperatura ambiente, los electrones más energéticos se encuentran cerca del nivel de Fermi (salvo en los semiconductores intrínsecos en los cuales no hay electrones cerca del nivel de Fermi). La energía que hay que dar a un electrón para llevarlo desde el nivel de Fermi hasta el exterior del material se llama función de trabajo. El valor de esa energía es muy variable y depende del material, estado cristalino y, sobre todo de las últimas capas atómicas que recubren la superficie del material. Los metales alcalinos (sodio, calcio, cesio, etc.) presentan las más bajas funciones de trabajo. Aun es necesario que las superficies estén limpias al nivel atómico. Una de la más grandes dificultades de las experiencias de Millikan era que había que fabricar las superficies de metal en el vacío. La función de trabajo fotoeléctrica es: φ = hf0 dónde h es la constante de Planck y f0 es la frecuencia mínima (umbral) del fotón, requerida para producir la emisión fotoeléctrica.

Láser

Un láser (de la sigla inglesa Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, amplificación de luz por emisión estimulada de radiación) es un dispositivo que utiliza un efecto de la mecánica cuántica, la emisión inducida o estimulada, para generar un haz de luz coherente tanto espacial como temporalmente. La coherencia espacial se corresponde con la capacidad de un haz para permanecer con un pequeño tamaño al transmitirse por el vacío en largas distancias y la coherencia temporal se relaciona con la capacidad para concentrar la emisión en un rango espectral muy estrecho.

183

FÍSICA

7

FÍSICA MODERNA de vista, operaciones odontológicas.

ZZ Industria: cortado, guiado de maquinaria y robots

ZZ

ZZ

En 1916, Albert Einstein estableció los fundamentos para el desarrollo de los láseres y de sus predecesores, los máseres (que emiten microondas), utilizando la ley de radiación de Max Planck basada en los conceptos de emisión espontánea e inducida de radiación. El 16 de mayo de 1980, un grupo de físicos de la Universidad de Hull liderados por Geoffrey Pert registran la primera emisión láser en el rango de los rayos X. Pocos meses después se comienza a comercializar el disco compacto, donde un haz láser de baja potencia «lee» los datos codificados en forma de pequeños orificios (puntos y rayas) sobre un disco óptico con una cara reflectante. Posteriormente esa secuencia de datos digital se transforma en una señal analógica permitiendo la escucha de los archivos musicales. Ya en el siglo XXI, científicos de la Universidad de St. Andrews crean un láser que puede manipular objetos muy pequeños. Al mismo tiempo, científicos japoneses crean objetos del tamaño de un glóbulo rojo utilizando el láser. En 2002, científicos australianos «teletransportan» con éxito un haz de luz láser de un lugar a otro.[] Dos años después el escáner láser permite al Museo Británico efectuar exhibiciones virtuales.[ ]En 2006, científicos de la compañía Intel descubren la forma de trabajar con un chip láser hecho con silicio abriendo las puertas para el desarrollo de redes de comunicaciones mucho más rápidas y eficientes. El rayo láser es luz monocromática, es decir, tiene una sola frecuencia o color.

Aplicaciones en la vida cotidiana

ZZ Telecomunicaciones: comunicaciones ópticas (fi-

bra óptica), Radio Over Fiber.

ZZ Medicina: operaciones sin sangre, tratamientos

quirúrgicos, ayudas a la cicatrización de heridas, tratamientos de piedras en el riñón, operaciones

7

FÍSICA

ZZ ZZ ZZ ZZ

ZZ

de fabricación, mediciones de distancias precisas mediante láser. Defensa: Guiado de misiles balísticos, alternativa al radar, cegando a las tropas enemigas. En el caso del Tactical High Energy Laser se está empezando a usar el láser como destructor de blancos. Ingeniería civil: guiado de máquinas tuneladoras en túneles, diferentes aplicaciones en la topografía como mediciones de distancias en lugares inaccesibles o realización de un modelo digital del terreno (MDT). Arquitectura: catalogación de patrimonio. Arqueológico: documentación. Investigación: espectroscopia, interferometría láser, LIDAR, distanciometría. Desarrollos en productos comerciales: impresoras láser, CD, ratones ópticos, lectores de código de barras, punteros láser, termómetros, hologramas, aplicaciones en iluminación de espectáculos. Tratamientos cosméticos y cirugía estética: tratamientos de Acné, celulitis, tratamiento de las estrías, depilación.

Potencia de un haz de luz (P) P=

(n° de fotones) xEnergia de un foton...W (intervalo de tiempo)

Análogamente, la intensidad (I) de una radiación se expresa como: I = Potencia ... w/m2 área Rayos X Los rayos X son una radiación electromagnética, invisible, capaz de atravesar cuerpos opacos y de imprimir las películas fotográficas. Es de la misma naturaleza que las ondas de radio, las ondas de microondas, los rayos infrarrojos, la luz visible, los rayos ultravioleta y los rayos gamma. La diferencia fundamental con los rayos gamma es su origen: los rayos gamma son radiaciones de origen nuclear que se producen por la desexcitación de un nucleón de un nivel excitado a otro de menor energía y en la desintegración de isótopos radiactivos, mientras que los rayos X surgen de fenómenos extranucleares, a nivel de la órbita electrónica, fundamentalmente producidos por desaceleración de electrones. La

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5.°

año

FÍSICA MODERNA energía de los rayos X en general se encuentra entre la radiación ultravioleta y los rayos gamma producidos naturalmente. Los rayos X son una radiación ionizante porque al interactuar con la materia produce la ionización de los átomos de la misma, es decir, origina partículas con carga (iones).

Electrón

f

θ 2 2 2 4 E = m0 c + p c p=p

Electrón dispersado

Ventana de Be e– Filamento de W

La producción de rayos X es un proceso inverso al efecto fotoeléctrico. En el cual los electrones son acelerados por una fuerza de energía eléctrica viajando desde el cátodo hacia el ánodo. Si toda la energía cinética de un electrón (Ek) se transforma en un fotón de rayos X de frecuencia fx, la conservación de la energía exige que: Ek = e.V = h.fx V: voltaje acelerador (V)

Efecto compton El efecto Compton es el cambio de longitud de onda de la radiación electromagnética de alta energía al ser difundida por los electrones. Descubierto por Arthur Compton, este físico recibió el Premio Nobel de Física en 1927 por la importancia de su descubrimiento, ya que el efecto Compton constituyó la demostración final de la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico. En el efecto fotoeléctrico consideramos que el electrón tenía una energía E= hv. Ahora, para explicar el efecto Compton, vamos a tener en cuenta también que el fotón tiene un momento lineal p=E/c. Suponemos que tenemos un fotón golpea a un electrón, tal y como indica la siguiente figura:

año

E = hv p = hv/c

Haz primario de rayos X

Bloque metálico

5.°

Fotón incidente

E=m0c2 p=0

o sad r e p dis E=hv’ ón t o F p=hv’/c

Antes del choque tenemos que el fotón se encuentra con una energía E = hv y con un momento lineal, p = hv/c. En cuanto al electrón, su energía es equivalente a E=mc^2, mientras que al estar inmóvil, su momento lineal es cero. El fotón colisiona con el electrón mediante un choque elástico. En física, se denomina choque elástico a una colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Las colisiones en las que le energía no se conserva producen deformaciones permanentes de los cuerpos y se denominan inelásticas. Tras el choque la situación de ambas partículas varía. El fotón dispersado varía su energía y su momento lineal en función del ángulo de dispersión. El electrón, al verse desplazado por el choque, adquiere momento lineal. Teniendo en cuenta que en un choque elástico se conserva el momento lineal y la energía del sistema, es decir, que su valor es el mismo antes y después del choque, vamos a obtener las fórmulas del efecto Compton.

Principio de conservación del momento lineal Sea p el momento lineal del fotón incidente: p = E = hf = h c λ c

Sea p’ el momento lineal del fotón difundido:

185

p’ = E’ = hf ’ = h c c λ

FÍSICA

7

FÍSICA MODERNA Sea pe es el momento lineal del electrón después del choque, se verificará que: p’ θ

p = p’ + pe (1)

pe

Ya que el electrón de retroceso alcanza velocidades cercanas a la de la luz, tenemos que reemplazarla por la fórmula relativista equivalente: 2 2 2 Ek = c me c + pe – mec2

p

Principio de conservación de la energía

Donde me es la masa en reposo del electrón: 9.1⋅10-31 kg

La energía del fotón incidente es: E = hf

El principio de conservación de la energía se escribe:

La energía del fotón dispersado es:

2 2 2 E = E’ + c me c + pe – mec2 (2)

E’ = hf ’ La energía cinética del electrón después del choque no la podemos escribir como:

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) llegamos a la siguiente expresión:

me v2/2

1 1 – 1 = (1 – Cosθ) E’ meC2 E

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Determina la energía en eV de un fotón cuya frecuencia es de 40 MHz (h = 4.10–15 eV) Resolución: E=h.f E = 4.10–15 . 40 . 106 E = 160. 10–9 E = 1,6 . 10–7 eV

5. Un metal tiene como función trabajo 2 eV. ¿Cuál es la frecuencia mínima que deben tener los fotones incidentes para que puedan arrancar electrones. (h = 4.10–15 eV) Resolución: φ = hfo 2 = 4.10–15 f f = 5.1014 Hz

2. Determina la energía en eV de un fotón cuya frecuencia es de 80 MHz (h = 4.10–15 eV) 3. La energía de un fotón de luz es 3,31 × 10 J. Halla la longitud de onda en (nm). (h = 6,62.10–34 J) –10

4. Fotones iguales, en número de 1020 chocan con un sistema sucesivamente uno tras otro y le entregan toda su energía. Si han elevado la energía de dicho sistema en 6,6 J, determina la frecuencia de la radiación (en Hz) (h = 6,6.10–34 J).

7

FÍSICA

6. Un metal tiene una función trabajo de 12 eV. ¿Cuál es la frecuencia mínima que deben tener los fotones incidentes para que puedan arrancar electrones? 7. El umbral característico de cierto metal es 3000 Aº . ¿Qué valor mínimo tendrá la energía del fotoelectrón producid (en 10–19 J).

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5.°

año

FÍSICA MODERNA 8. Calcula la energía de un fotón de rayos X, si su longitud de onda es 30 nm. (h = 6,6.10–34 J.s) Resolución: E=h. C λ 8 E = 6,6.10–34 . 3.10 –9 30.10 9. Calcula la energía de un fotón de rayos X, si s longitud de onda es 80 nm (h = 6,6.10–34 J.s) 10. La función trabajo de un metal es 6,63.10–20 J. ¿Cuál debe ser la máxima longitud (en m) de la luz para que se produzca la emisión de fotoelectrones? 11. Un electrón pasa de un estado de energía E2 = 4,95 eV a otro E1 = 2,95 eV emitiendo un fotón, la frecuencia (en Hz) asociada a este fotón será. 12. En el efecto Compton, un fotón de 600 keV choca con un electrón en reposo y este adquiere una energía de 500 keV. ¿Cuál es la energía del fotón después del choque? 13. ¿Cuál es la energía (en eV) de un fotón de luz de frecuencia 3,0.1016 Hz? 14. ¿Cuál es la frecuencia umbral (en Hz) para el efecto fotoeléctrico, sobre una placa de Wolframio, si el trabajo de extracción es de 4,52 eV?

5.°

año

UNI 15. Una luz λ = 3000 Aº que índice sobre una superficie metálica genera efecto fotoeléctrico. Si el potencial de frenado es de 1 V. Calcula la frecuencia umbral (n término de 1014 Hz) Resolución:

E = Ekmax + f 8 4.10–15 . 3.10 –10 = 1 + 4.10–15 . fo 3000.10

fo = 7,5.1014 Hz

16. Una luz λ = 6000 Aº que índice sobre una superficie metálica genera efecto fotoeléctrico. Si el potencial de frenado es de 2 V. Calcula la frecuencia umbral (en términos de 1014 Hz) 17. El umbral de longitud de onda para la emisión fotoeléctrica en un cierto metal es 5000 Aº . ¿Qué longitud de onda debe usarse para expulsa a los electrones con una energía cinética máxima igual a la mitad de su función trabajo? 18. Se desea determinar la función de trabajo de cierta superficie metálica. Cuando usamos una lámpara de mercurio (λ = 546,1 nm) el potencial retardado de 1,72 V reduce la fotocorriente a cero. Basándose en esta medida, ¿cuál es la función de trabajo del metal?

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FÍSICA

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8 Repaso 1. Se muestra la incidencia y reflexión de un rayo de lis que llega paralelo y a una altura «12 cm» del piso, sobre una superficie plateada que pertenece a un cuarto de circunferencia de radio «R», halla «R». (θ = 106º)

θ

2. Sobre un prisma de hielo (n = 4/3) incide un rayo de luz da un solo color el ángulo del prismas es 37º, halla θ.

6. Sabemos que el espectro de luz visible está conformada por diversas bandas de colores que van del violeta al rojo, según esto podemos afirmar que: I. La frecuencia del rojo es menor que la frecuencia del azul. II. El color violeta es el límite de la radiación visible con ultrarojo. III. La energía del violeta es mayor que del rojo. IV. Después del verde viene el amarillo, luego el naranja y por último el rojo. 7. ¿Cuál es la mínima longitud de onda (en Aº ) de la luz que puede incidir sobre una superficie metálica de sodio, cuya función trabajo es 1,8 eV para que no se emitan fotoelectrones? 8. Si la intensidad de corriente eléctrica en la rama mostrada es de 5 Aº hacia la derecha. Halla la diferencia de potencial entre los bornes C y D. 7Ω C

3. A qué distancia de un conductor infinito la inducción magnética es 24 104 T, sabiendo que la intensidad de corriente que transporta es 360 Aº . 4. Calcula la intensidad de corriente eléctrica que circula por un conductor recto y de gran longitud el cual a una distancia de 40 cm genera una inducción magnética de 1µ T.

FÍSICA

10V D

20V

9. Un alambre tiene una resistencia de 8 Ω. Determina la resistencia de otro alambre del mismo material, de doble longitud y con la mitad de la sección transversal del primer alambre. 10. En la conexión de resistores que se muestra, determina la resistencia equivalente entre «a» y «b».

5. Las líneas de inducción de un campo magnético atraviesan en forma perpendicular la superficie que encierra una espira circular. Si consideramos que el flujo magnético a través de ésta varía en 40 WB durante 5 s. Determina la fuerza electromotriz inducida.

8

3Ω

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R R a

R

R R

R

R b R

R

R

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REPASO 11. En el circuito mostrado, determina resistencia equivalente entre «a» y «b». R a R

R

R

R

16. Una barra metálica SP de 10 cm de longitud se mueve sobre un riel metálico con una rapidez de 5 cm/s, como muestra a la figura, entonces la variación del flujo magnético por segundo es B = 2 Wb . m2

R

b B

12. En el siguiente sistema resistitivo, determina la intensidad de corriente que se establece, así como el sentido en el que circula. 2Ω

V

6V

20V

S

P

3Ω 13. Si una corriente de intensidad constante igual a 2A, fluye por un conductor durante 1 minuto. ¿Qué cantidad de carga eléctrica pasa por la sección transversal del conductor? 14. En el circuito que se muestra, determina la intensidad de corriente «I». 1Ω

2Ω

17. Una bobina de 100 espiras está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme. Si el área de las espiras son de 20 cm2 y el campo magnético varía de 0 a 0,5 T en 0,1 s, determina la magnitud de la f.e.m. inducida. 18. Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

3Ω I

I. Desde el punto de vista de los principios físicos, se puede afirmar que un motor eléctrico es un dispositivo inverso a la de un generador eléctrico.

6V 15. Una bobina tiene 20 espiras cuadradas de lado 10 cm y se encuentra perpendicularmente a un campo magnético uniforme de magnitud B = 2 Wb2 . Si m la bobina efectúa un giro de 90º respecto al campo entonces la variación del fluido magnético es (N = vector normal al plano)

B

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II. la violación de la ley de Lenz conduce a la violación de la ley de conservación de la energía. III. En una central hidroeléctrica, al corriente eléctrica que se produce básicamente por la aplicación de la ley de inducción de Faraday. 19. Un equipo de rayo X requiere un voltaje de 30000 V para funcionar. Se dispone de un voltaje de 200 V y de un transformador de 300 espiras en el primario, entonces el número de espiras en el secundario es:

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FÍSICA

8

REPASO 20. Un alambre recto de cobre de 2 m de longitud se mueve con velocidad «V» en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,7 Wbm–2 los extremos se conectan a una resistencia de 7 Ω. Calcula la intensidad de la corriente para 5 m/s.

Resistencia despreciable

x x x x x x

x x x x x x

x x x x xVx x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x R=3Ω 2m x x x x x x x x x

Bibliografía 1. 2. 3. 4.

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TIPLER, Pau: Física para ciencia y la tecnología. Bogotá: Colombia, 2010 SERWAY: Física. D.F. Mc Graw Hill. México, 1992 HEWITT, Pau: Física conceptual. D. F. Trillas. México, 1996 SEARS, Zemansky, XOUNG, Freedman, ADOLISON Welfey: Física universitaria. Argentina, 2006

FÍSICA

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