Trigonometría
1 Sistemas de medición angular ÁNGULO TRIGONO TRIGONOMÉTRICO MÉTRICO Es la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial a una posición final.
Observación: Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo su medida cambiará de signo.
A���������� ���:
Para convertir convertir un ángulo en un sistema distinto, se tiene que multiplicar a dicho ángulo por un factor de la forma: x y 3
→ →
Sistema que quiero Sistema que no quiero quiero TRIGONOMETRÍA
1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
5.o año
T��������� �� ����� 1. Halla el valor de “x”. “x”.
≠
7
= 180º = 25° 42’ 51’’ 7
a = 25 b = 42 c = 51 Piden: a + b + c = 25 + 42 + 51 = 118 ⇒
2. Halla el valor de “x”. “x”.
9. Si: ≠ rad = a° 3b’ 1c’’ 21 Calcula: R = b a-c
3. Halla el valor de “x”, si: 63° = (4x – 6)g
10. Si un ángulo se expresa como ab° y también como (a+1)0g, halla: “a + b”.
4. Halla el valor de “x” si se cumple: 20g = x≠ rad 20 Resolución: 20 g = x≠ = ≠ rad 20 0 g 10
11. Halla un ángulo en radianes, tal que: 2C – S = 55
≠
10
rad
=
x≠ 20
12. Señala la medida radia de un ángulo que verifica: 3S – C + 20R = 20,1416 Resolución: 3S – C + 20R = 20,1416 3(9k) – (10k) + 20 ≠k = 20,1416
rad
144424443
5. Halla el valor de “x” si: 40g =
x≠ 40
17k + pk = 20,1416 Reemplazando: p = 3,1416 17 k + 3,1416k = 20,1416
rad
144424443
6. En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos miden 20mg y 12m°. Expresa en el sistema radial el siguiente ángulo: 2 3 g a = (1 + m + m + m )
20,141 ,1416 k = 20,141 ,1416
k=1 Piden: R = ≠k = 20
7. En un triángulo ABC, sus ángulos internos mi-
den: 10xg, 21x° y
≠x
6
7
1
rad #
180º ≠rad
tes miden:
=
TRIGONOMETRÍA
20
rad
14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-
7
Resolución:
≠
13. Señala la medida radial de un ángulo que verifica: S + C + R = 383,1416
rad. Señala el valor de “x”.
8. Halla el valor de: a + b + c, si se cumple: ≠ rad = a° b’ c’’
≠
f p 20
x=2
d
x 2 + 18x + 1 x
medida es mínima (x
180º 7
∈
n
cada uno. Si dicha
+ R ),
radial del ángulo desigual?
4
g
¿cuál es la medida
o
SECTOR CIRCULAR
5. año
Sector circular
L: longitud de arco q: ángulos en radianes R= radio de la circunferencia Tener en cuenta:
Z ]] θ = a - b c Se cumple [ ]] S = (a + b) c 2 \
T��������� �� ����� Integral 1. En un sector circular el ángulo central mide 3rad y el radio 5cm. Calcula el perímetro del sector circular.
3. Halla el área de la región sombreada.
2. Si OA =AB=8m, halla el área del sector AOB.
Resolución:
PUCP 4. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada. 5
TRIGONOMETRÍA
1
o
5. año
SECTOR CIRCULAR
Piden:
L = q R 2≠
=
≠ 2
R
S1 S2
R=4 5. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada.
=
1 ≠ (4) 2 2 12 1 ≠ (6) 2 2 6
1
4
16≠ S1 S2
=
12
=
36≠ 6
S1 S2
6. Calcula: E =
Resolución:
36 ≠ .12 6 3
3 =
2 9
9. Calcula: S1 + S 4
1
16 ≠ .6
S1 S2
S 2 + S3
S= S= S=
7. Halla el área sombreada
10. En la figura AOB y COD son sectores circulares. Si el área de COD es 9cm 2 y la longitud del arco AB es 10 cm, halle el área de la región sombreada.
S= S=
– 1 ≠ 2 1 ≠ 2 b a 2 5 2 5 ≠
10 ≠ 10
_ i b
2
- a2
(82)
← pitágoras
64≠ 10
S = 6,4 p 13. En la figura AOB y DOC son sectores circulares. Si AC = 10, halla el área sombreada.
UNMSM 8. Calcula:
S1
11. En la figura mostrada: OA = OB = 60 cm. O y B son centros. Calcula la longitud
del arco PQ .
S2
14. Calcula el área de la región sombreada.
_
Resolución: * 15° × * 30° ×
1
≠ 180º
≠ 180º
=
≠
UNI
12
=
TRIGONOMETRÍA
≠ 6
12. En la figura AOB y DOC son sectores circulares, si AC=8, halle el área sombreada. 6
L AC = LCD = LBD !
!
!
i
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos
OPERADOR TRIGONOMÉTRICO Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. El día de hoy se estudiaran a seis de ellos, los cuales son:
Operador
Abreviatura
Seno
Sen
Coseno
Cos
Tangente
Tan
Cotangente
Cot
Secante
Sec
Cosecante
Csc
Donde: a y c son catetos b es la hipotenusa a y b son los ángulos agudos
Cateto opuesto
Cateto Hipotenusa adyacente
Respecto al ángulo a
a
c
b
Respecto al ángulo b
c
a
b
Con respecto al ángulo agudo a se tiene:
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Sena =
cateto opuesto hipotenusa
=
a b
Cosa =
cateto adyacente hipoteusa
=
c b
Tana =
cateto opuesto cateto adyacente
=
a c
Cota =
cateto adyacente cateto opuesto
=
c a
Seca =
hipotenusa cateto adyacente
=
b c
Csca =
hipotenusa cateto opuesto
Sea un triángulo rectángulo ABC.
=
b a
b2 = a2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
7
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
5.o año
T��������� �� ����� Integral 1. Si: Tanx =
N=
a+b a+b
9. Si el perímetro de un triángu-
= 1
1
5. Del gráfico mostrado, calcula:
3
Calcula: L = (x: agudo)
10
Cscx
L = Tanf – Tany
lo rectángulo es de 210 m, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Halla cuánto mide el cateto menor.
10. Del gráfico calcula Cot a, si: 2. Calcula:
Cotθ
+ Cotβ
Cotf = 2,4
Cotα
6. En un triángulo ABC, recto en A, reduce la siguiente expresión:
3. Calcula:
a2 TanB . SenB . SenC
11. Si en el gráfico “I” es el incentro del triángulo ABC, calcula: R = Cota + Cotb
7. En un triángulo rectángulo
Tana . Tanb
ABC, recto en C, se cumple: 4SenA=7SenB. Calcula: 65Sen2A – 42TanB.
PUCP 4. Del gráfico mostrado, calcula: N = Tana + Tanq
UNMSM
UNI
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de sus ángulo agudos es 2,6. Calcula la longitud del mayor cateto. Resolución: Csca = 2,6 =
26 10
=
13
!
H
5
!
CO
12. Si AB=BC, calcula: Q = Cota – Cscf
Resolución: Resolución:
Dato: perímetro = 150 1442443
Piden: N = Tana + Tanq N=
2
a a+b
+
b a+b
TRIGONOMETRÍA
13K + 12K + 5K = 150 30K = 150 K=5 Piden: 12K = 12(5) = 60u
8
Aplicando Pitágoras en los triángulos ABO y BCO a2 + b2 = 52 (
ABO)
a2 + 32 = b2 (
BCO)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Resolviendo las ecuaciones: a=2
5.o año
13. Calcula: Tanb
14. Si AC es diámetro. Calcula Cotq, siendo AF = 20 ∧ ED = 16 (EB = BD)
2
Piden: Q = Cota – Cscf Q= Q=
3 2 2 -2
2 2
5
-
2 2
=-
1 2
9
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
Razones trigonométricas de ángulos notables TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Destacan los siguientes triángulos:
b) De 45° y 45°
a) De 30° y 60°
c) De 37° y 53°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30° 1
Seno
2
3
Coseno
2 3
Tangente
3
Cotangente
3
2 3
Secante
3
Cosecante
2
45°
60°
37°
53°
3
4
2
5
5
1
4
3
2
5
5
3
4
4
3
4
3
3
4
5
5
4
3
3
2 2 2 2
1
3
1
3 3
2
2
2
2 3
5
5
3
3
4
Advertencia pre
Por lo tanto: Tan A
=
Cot A
=
2
2
2
TRIGONOMETRÍA
10
a c+b c+b a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
T��������� �� ����� 6. Del gráfico, halla: SenxCscy
Integral 1. Calcula “x” en la igualdad: 2xSen30° + 2Sec 260° = 4xTan45° + 5Cos53°
2. Halla el valor de: L=(Sec53°+Cot37°)Cos60°Cot45°
7. Halla: Cot 45
3. Del gráfico, calcula Tan q
2
UNMSM 8. Calcula: M = 4Tana + 7Tanq
PUCP 4. Del gráfico, calcula Tan q si en triángulo ABC es equilátero.
Resolución:
Resolución:
Piden: M = 4Tana + 7Tanq 2
M= Tanq =
3
4 8
+73
3 7
3 6
M=4
5. Del gráfico, calcula Tan a (ABC: equilátero)
3
9. Del gráfico, calcula: N = 27Tana – 29Tanq
11
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
10. Si Senq = Tan37°
Resolución
Calcula: E=
7 Tanθ + 1
11. Del cubo mostrado, halla Cos 2a + Tan230°
Del gráfico: Tanq =
1 2
13. Del gráfico mostrado calcular “Tan q + Tan60°” (ABCD: cuadrado)
UNI 12. Del gráfico, calcula Tan q (ABCD es un cuadrado)
14. De la figura mostrada, calcula el perímetro del triángulo.
2
TRIGONOMETRÍA
12
3
Propiedades de las Razones Trigonométricas
Si tomamos el triángulo ABC, recto en C, como referencia:
RAZONES COMPLEMENTARIAS Llamadas también co–razones, se caracterizan por tener igual valor numérico solo si sus ángulos suman 90°, por ejemplo: SenA =
a c
y CosB =
a c
→ SenA = CosB
Generalizando: SenA = CosB
RAZONES RECÍPROCAS Son aquellas parejas de R. T. cuyos valores son inversos, por ejemplo: SenA =
a c
⇒ CscA =
c
TanA = CotB
a c
.
c a
También se puede escribir:
a
R.T.(q) = Co-R.T. (90º – q)
=1
En conclusión: SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1
A + B = 90º
SecA = CscB
Ahora, si multiplicamos estas R.T. tendríamos: SenA . CscA =
⇒
Tener en cuenta: ⇒
Ángulos iguales
Para que estas propiedades se cumplan los ángulos tienen que ser agudos.
T��������� �� ����� Integral
3. Sabiendo que: Tan3x.Cot(48°-x)=1
1. Indica V o F según corresponda: I. Sen25° = Cos65° ..................................... ( )
Calcula:
E = Sec25x - 4Tan(3x + 1°)
II. Tan20°.Cot70°=1 .................................... ( ) III. Cos50°.Sec40°=1 .................................... ( )
UNMSM
IV. Tan(15°+x)=Cot(75°-x) ......................... ( )
4. Si: (Cos17°+5Sen73°).Sec17=4Tana (0°< a <90°) halla el valor de: M = Sena + 5Cosa UNMSM2002
2. Calcula “Sen3x”, si: Sec(3x–20°) = Csc(5x+30°)
13
TRIGONOMETRÍA
3
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
5.o año
Resolución: (Cos17 + 5 Sen73°) . Sec 17° = 4Tana (Cos17 + 5 Cos17°) . Sec 17° = 4Tana 6Cos17°Sec17° = 4Tana
9. Si Cos4x.Sec(90° - 3x) = 1. Halla el valor de:
144424443
10. Considera a = x + y + 60 ° y b = x - y + 10 ° en el primer cuadrante de modo que: SenaSecb = 1. Hallar “x”. (UNMSM 2008-II)
3
"
CA
2
"
Tan5x
+
Cosx
+
Cot2x
Sec4x Csc3x
_
6(1) = 4Tana CO
Sen6x
L=
= Tanα
i _
i
11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se tiene:
_ i
SenA SenA SenA = CosB
Halla. “CscA”
Piden: M = Sena + 5Cosa M= M=
3 13 13
UNI
2
+ 5.
12. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica la igualdad:
13
Sec
13
=
13
≠
b
3
Tanθ
E
6. Reduce: Sen1ºSen2ºSen3 º...Sen89º Cos1ºCos2ºCos3 º...Cos89º
3Tan20º
+ Tan70º
b
≠
7. Si: Sen(4x+10°)Tan(3x+30).Secx=Cot(60°-3x) Calcula: P = 6Tan2(3x - 18°) + 7Tan6(x+29°) (UNMSM 1992)
3
3
Tanθ +
CO
"
CA
8. Si Tan5x=Cot6x, simplifica: L = Sen8x + Tan10x
"
Cotx
E=
≠
E=
14243
8x + 3x = 90° Sen8x = Cos3x
10x + x = 90° Tan10x = Cotx
Piden: L = Sen8x
Cos3x
L=1+1
3
11x = 90°
14243
Cos3x
Cotx
+
Tan10x Cotx
⇒ L = 2
TRIGONOMETRÍA
Tanθ
4
l
Cosθ - Senθ
b
≠ 4
Tanθ
l
= 90
= 90 6 6
= Tanθ
7
Cosθ 2
Tan10x
Tanθ
2Senθ - Cosθ
6 m 7
m
1
4
Piden:
Resolución: Dato: Tan5x = Cot6x 5x + 6x = 90° 11x = 90°
=
≠
60ºTanq + 45
PUCP
Sen8x
Csc
2Senθ - Cosθ
l
7 105 Tanθ
11x = 90°
=
Resolución: Dato: Sec ≠ Tanθ = Csc
(UNMSM 2005)
Cos3x
l= b
Calcula el valor de:
5. Reduce: P=(7Sen42°+2Cos48°).Csc42°+5Sec60°
M=
SenA
=
-
-
- Senθ 7 m 6
5 m
⇒ E =
1
m
⇒ E = 5
m
13. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica la igualdad: Sen
1
b
≠ 6
Cotθ
l = Cosb
Calcula el valor de:
E
≠ 4
=
Cotθ
l
Cosθ + Senθ Cosθ
- Senθ
14. Sabiendo que: Tan(40°+x).Sen(50°-x)=Cos(10°+x) Tan(2x-5°). Tany=Tan1°.Tan2°.Tan3°.Tan4°…..Tan89°. Calcula: E=Sec2(2x+5°)+Tan2(y+5°)+Csc2(y-x-5°)
14
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
Resolución de triángulos rectángulos
REGLA GENERAL
Lado incógnita = (Lado dato) × R.T.(q)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Advertencia pre
S: área S
=
abSenθ 2
15
TRIGONOMETRÍA
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
T��������� �� �����
Integral 1. Halla “x” en función de los datos dados.
Piden: perímetro 1444442444443
n + nCotq + nCscq n(1 + Cotq + Cscq)
2. Halla “x” en función de q y a
5. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide a y su cateto adyacente mide “a”. Halla el perímetro de dicho triángulo.
DC m
=
Cota
DC = mCota
ABCD: cuadrado ⇒ AD = DC x + m = mCot a x = m(Cota – 1) 9. Si ABCD es un cuadrado, halla “x”
6. Determina “x” en función de “m” y “ a”
3. Determina el área del triángulo ABC.
7. Determina “x” en función de “m”, “a” y “q”
UNMSM
PUCP 4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°) uno de los ángulos agudos mide “ q” y el cateto opuesto a este mide “n”. Obtén el perímetro del triángulo.
8. Si ABCD es un cuadrado, halla “x”.
10. Halla AB es función de “R” y “q“
11. En la figura, halla “x” (UNMSM - 2003)
Resolución:
UNI
Resolución:
12. Del gráfico mostrado, halla “x”. AB n AC n
3
= Cotθ = Cscθ
"
AB
= nCotθ
"
AC
= nCscθ
TRIGONOMETRÍA
16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
Resolución FD b
= Cosθ
FD
= b.Cosθ
(EBCF: rectángulo) → BC = EF
14. Del gráfico, halla ED en función de “R” y “ q”.
14243
ED a ED
= Senθ = a.Senθ
BC = ED – FD x = aSenq – bCos q 13. Halla “x” en función de “m” y “n” y “q”.
17
TRIGONOMETRÍA
3
4
Ángulos verticales
DEFINICIÓN Son aquellos ángulos formados en el plano vertical con dos líneas llamadas visual (línea de mira) y horizontal. Si la visual se encuentra sobre la horizontal el ángulo recibe el nombre de “elevación”, de lo contrario recibe el nombre de “depresión”
Advertencia pre Se conoce como ángulo de observación al ángulo formado por dos visuales.
T��������� �� ����� Integral 1. Desde la parte superior de un acantilado de 48m se observa una lancha con un ángulo de depresión de 37 °. ¿A qué distancia del pie del acantilado se encuentra la lancha?
del árbol si la visual para la visión efectuada mide “a” metros.
3. Un niño de 1 m de estatura observa los ojos de una señorita de estatura 3 con un ángulo de elevación a. Calcula la distancia que los separa, sabiendo que: Cotα
2. Una persona de estatura “ b” metros; observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación “q”. Halla la altura
4
TRIGONOMETRÍA
=
3
elevación de 30° , luego de ale jarse 40 m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 15° . Halla la altura del edificio Resolución:
+1
PUCP 4. Una persona observa lo alto de un edificio con un ángulo de
18
∴ x = 20m
5.o año
ÁNGULOS VERTICALES
5. Una persona observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 15°, luego de acercarse 12m observa nuevamente con un ángulo de ele vación 30°. Halla la altura del árbol.
Dato:
a 12
=
3 2
→ a = 18
Dato:
Cotb = 0,6 12
6. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con una ángulo de elevación de 60° y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30°. Si la altura del pedestal es de 2 m. Halla la altura de la estatua.
7. Desde un punto ubicado en la parte superior de un faro a 20m sobre el nivel del mar , se observa a dos barcos que se encuentran colineales con ángulos de depresión a y b . Si: Cota – Cotb = 10, halla la distancia entre dichos barcos.
UNMSM 8. En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera; a 12 m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de ele vación a y b, respectivamente. Halla la altura del asta si: Tana = 1,5 y Cot b = 0,6 Resolución:
sobre un objeto, empieza a descender con un ángulo de 37° por debajo de la línea horizontal 500 m en total, luego avanza en forma horizontal una distancia “x” y en ese preciso instante el piloto observa el objeto con un ángulo de depresión de 45°. Halla “x”. Resolución:
Tana = 1,5
x+a
6 =
10
20=x+a 20=x+18 x=2
9. Es la parte superior de un edificio, se encuentra una antena, a 15 m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior de la antena con ángulo de elevación a y q respectivamente: halla la longitud de la antena si: Tana = 2 y Tan q = 7
Objeto
Del gráfico: 400 + x = 2500 x = 2100m
3
10. Desde la azotea de dos edificios de 20 y 12 metros de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53° y 37°, respectivamente. Calcula la distancia entre ambos edificios.
13. Un avión que inicialmente se encuentra a 2700m de altura sobre un objeto, empieza a descender con un ángulo de depresión de 45°, 600 2 m, luego avanza en forma horizontal “x” y en ese instante el piloto observa el objeto con un ángulo de depresión de 37°, halla “x”.
11. A 20 de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación a y si nos alejamos 10 m el ángulo de elevación es el complemento de a. Halla Tan a.
UNI 12. Un avión que inicialmente se encuentra a 2800 m de altura
19
14. Desde un punto en el suelo se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación a, si avanzamos el triple de la longitud de dicho edificio, el nuevo ángulo de elevación sería el complemento de a. Obtener el valor de: . K = Tan2a + Cot2a
TRIGONOMETRÍA
4
o
5. año
REPASO
Repaso T��������� �� ����� 1. Dos de los ángulos de un triángulo miden 60 g y ≠
12
rad. Calcula el tercer ángulo en grados sexa-
gesimales. (UNFV - 2004)
a) 99°
b) 111°
d) 133°
e) 144°
c) 122° a) 13
b) 14
d) 35
e) 15
c) 27
2. ¿Cuántos segundos hay en: b = 2°4’5’’? (PUCP-2004)
a) 7444’’ d) 7404’’
b) 7445’’
6. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que
c) 7446’’
BC=65. Si además CosA = rímetro de dicho triángulo.
e) 7448’’
84 85
determina el pe(UNFV - 2008)
3. Calcula la longitud del radio de una circunferen-
cia de 56 m de longitud de arco que subtiende un ángulo central de 4 radianes.
a) 195
b) 810
d) 728
e) 546
c) 910
(PUCP 1995)
a) 12m
b) 14m
d) 18m
e) 20m
c) 16m
7. Halla el valor de “x” en la ecuación:
6(x–1)Cos245º – (x–40)Csc30º =
x 2
Tan260º
(UNMSM 2006-II)
4. Calcula q (en radianes) (UNAC-1990)
a) 10
b) 21/5
d) 21/4
e) 14
c) 15
8. En la figura, AOC es un cuadrante y AOD es un
triángulo equilátero. Calcula: Q
=4
3Cotθ + 3
(UNALM 1996)
a) 1/2
b) 3/4
d) 5/2
e) 4/3
c) 2/3
5. En el gráfico adjunto, calcula la medida del arco AB .
(UNMSM 2006-I)
4
TRIGONOMETRÍA
20
o
REPASO
a) 1 d) 3
5. año
b) 2 e) 3
c)
11. Halla la longitud de la piscina “x” en función de
2
los datos mostrados. (UNI 1998-I)
9. Siendo los menores ángulos positivos que verifi-
can las relaciones: Sena . Sec(3 a + q) = 1 ...................(I) Tana . Tan(2 a + q) = 1 ...................(II) Determina el valor de: M = 2Sen(4a – q) + Tan(2q – a) (UNALM - 2006)
a) 5 d) 3
b) 1 e) 4
a) LCosq + d + (h + LSen q) Cotf
c) 2
b) LCosq + d + (h + LSen q) Tanf
10. En la figura, calcula “x” si “D” es punto medio de
AC (UNAC 2006-I)
c) LSenq + d + (h + LCos q) Tanf d) LSenq + d + (h + LCos q) Cotf e) LSenq + d + (h + LSen q) Cotf 12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un
edificio y de la antena que se encuentra en su parte más alta. Los ángulos de elevación son 45° y 53°, respectivamente. Si la longitud de la antena es de 6 m, ¿Cuál es la altura del edificio? a) 2aCosaSenb c) 2aCscaCscb e) 2aCotaCosb
b) 2aCotaSenb d) 2aSenaCosb
(UNALM - 2001)
a) 2 d) 24
b) 12 e) 36
c) 18
B�����������
1. ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. 2. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: McGranw-Hill 3. HALL, H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elementa. Editorial: Uteha. 4. HOBSO, E. W.: Plane anda advanced trigonometry. Cambridge University Press. 5. RIBNIKOV, K. : Historia de las matemáticas. Editorial Mir. Moscú. 6. Trigonometría 5° Pre RACSO editores.
21
TRIGONOMETRÍA
4
Trigonometría
1 Ángulos en posición normal ición norm normal posición ométrico está en pos ángulo trigon trigonométrico Un ángulo das y su coordenadas ce está en el origen de coordena si su vérti vér tice vo del eje d eje dee las positi vo cide con e con ell lado positi inicial coin coincide lado lado inicial te cuadrante en cualquier cualquier cuadran ubica en El lado fin final se ubica abscisas. abscis as. El ulo. Si nece el áng ángulo. rante perte pertenece a que cuad cuadrante que que indicará indicará a semieje; el ángulo no cide con un semieje; coincide el lado lado final coin cuadrante. a ningún cuadrante. pertenece pertenece a ningún Ejemp Ejemplo: y
Sen q =
y ordenada ⇔ Cscq = r = radio radio vector vector = r radio radio vector vector y ordenada
Cosq = x r Tanq =
=
abscisa ⇔ Secq = r radio radio vector vector x
=
radio radio vector vector abscisa
y ordenada ⇔ Cotq = x = abscisa = x abscisa y ordenada
Nota b g
a q
Para recordar las definiciones anteriores, utilice los siguientes cambios: cambios:
x
Cateto opuesto < > Ordenada Cateto adyacente < > Abscisa a ∈ IC
b ∈ IIC
g ∈ IIIC
IVC q ∈ IVC
Hipotenusa Hipotenusa < > Radio vector
ÁNGULOS COTERMINALES én se mal tambi también normal Nota: Nota: Los án ángulos en posición nor
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición normal cuyos lados finales coinciden, siendo la diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es decir, un número positivo de vueltas. Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se cumple:
stándard.. canónicos o stándard ánguloss canónico denomi denominan ángulo
S DE DE UN ÉTRICA RICAS NOMÉT S TRIGO TRIGONOM RAZONES RAZONE AL N NORM NORMAL POSICIÓ ICIÓN LO EN EN POS ÁNGULO ÁNGU nométricas zones trigo trigonométricas sus razones canónico; susra Si q esun es un ángulo can el lado fina final como o un punto d punto del conociend onociendo se obtienen se obtienen c entes: iones sigui siguientes: las definic definiciones y se aplican aplic an las P(x;y) P(x;y) y y
P(x;y)
y
r
y
5.°
AÑO
a
es: Observacion bservaciones:
q
x
a – b = k(360°); k ∈ Z a = 360°k + b
x
ada y: orden ordenada x: abscisa ector r: radio v radio v ector 2 r = x + y 2
x
b a y b: canónicos y coterminales
95
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Trabajando en clase 5. Calcula: Tana + Senq
Integral
y
1. El punto P(1;–3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “a”, calcula el valor de: E = 10 Seca + Tana
2. El punto Q(–2;3) pertenece al lado final de un ángulo estándar q, calcula: Q = 13 Csc Cscq – Cotq
a
↓
x
y
Del dato: (4;–3)
(5;13)
y
9. Calcula el valor de “a” si Tan a = 4
53º
y
b x
y x
(a+1;a–2)
M = 3Tana - 2Senq - Seca Tanq Sena Secq
PUCP
y
4. Calcula: Csc q – Sena
10. Calcula: Sena + Senb
R=
y
a
(4;3)
a
x
a 7. Calcula:
(–12;5)
Cotq = –3 m - 2 = -3 m-3
m – 2 = –3m + 9 4m = 11 → m = 11/4
6. Obtén el valor de Tan b
2 y
↓ x
q
3. Calcula K = 1 Seny – 2Cosy (–15;8)
Resolución: P(m–2; m–3)
Sena
Tana + Tanb Tana
y
x
q
x
+
a
q
x
b Resolución: (–12;5) y x y
UNMSM (4;3)
a
r=13
x y r=5
8. Si Cotq = –3 11. Obten el valor de “Tan q”
Calcula el valor de m. x
y
y
q q Piden: Cscq – Sena 13 - 3 5 5 10 = 2 5
1
TRIGONOMETRÍA
P(m–2;m–3)
96
q
x 53º
x
5.°
AÑO
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Piden: 3Tan 3Tana + 1
UNI 12. Calcula: E = 3Tan a + 1 y
3
5 3 º
x
3 5 O
q B
x
13. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA 3
y
y C
B 4 5 º º
A
4
a
AÑO
C
A
5 3 º º
5.°
y
4 + 1 -6
–1
Resolución:
(–6;4) x y
d n
–2 + 1
a 3
14. Calcula: Tanq – Cotq
x
q
97
x
TRIGONOMETRÍA
1
2
Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES 90º
IIC
IC
Sen Csc (+)
Todas (+)
180º
0º; 360º
IIIC
VIC
Tan Cot (+)
Cos Sec (+)
Obs.: Las que no aparecen en los cuadrantes, son consideradas negativas
270º
ÁNGULO CUADRANTAL Es aquel en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del sistema coordenado, coordenado, los ángulos cuadrantales son de la forma: Ang. Cuadrantal Cuadrantal = 90° . k
(k ∈ Z)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS T RIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES CUADRANTALES Grados Sexagesimales
0º
360º
90º
180º
270º
Radianes
0
2p
p
p
3p 2
Seno
0
0
1
0
–1
Coseno
1
1
0
–1
0
Tangente
0
0
N.D.
0
N.D.
Cotangente
N.D.
N.D.
0
N.D.
0
Secante
1
1
N.D.
–1
N.D.
Cosecante
N.D.
N.D.
1
N.D.
–1
2
TRIGONOMETRÍA
2
98
5.°
AÑO
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Trabajando en clase Integral
UNMSM 8. Si Sena = 9 , a ∈ IIC
1. Señala el signo de:
41 Calcular: L = Sec a + Tana Resolución y Sena = 9 41 r r2 = x2 + y 2 412 = x2 + 92 x = –40 (ya que a ∈ IIC) Piden: L = Seca + Tana L = 41 + 9 - 40 - 40
L = Sen140 - Cos200 Tan320 c
c
c
#
2. Indica el cuadrante al cual pertenece q, si se cumple:
#
Secq < 0 ∧ Tanq > 0
3. Calcula el valor de: E = (Cos270°)Sen90° – Tan360 Cos0
c
c
PUCP
L = 50 - 40
5 4 9. Si: Cosx = – 1 (x ∈ IIIC) 3 Calcula el valor de: N = 2 (Cscx – Cotx)
4. Si: Sen2x + Sen4x - Sen6x Cos2x + Cos4 x + Tanx - 4Sec4x
f(x) =
b4l
Calcula f
p
Resolución
10. Si se tiene que Tan a > 0, además: Sena = Tan230° – Cot45°, calcula el valor de Cosa
Sen2x + Sen4x - Sen6x f(x) = Cos2x + Cos4 x + Tanx - 4Sec4x
11. Si q es un ángulo en posición normal del tercer
Sen2 p + Sen4 p - Sen6 p 4 4 4 f p = p p p 4 Cos2 + Cos4 + Tan - 4Sec4 p 4 4 4 4
cuadrante positivo y menor que una vuelta, determina el signo de: E = Sen2q . Cot q . Csc q 2 3
b l
Sen p + Senp - Sen3 p 2 2 f p = p p 4 Cos + Cosp + Tan - 4Secp 2 4 (1) + (0) - (- 1) f p = 4 (0) + (- 1) + (1) - 4 (- 1)
b l
UNI 12. Si: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1 Cuando q y f son positivos y menores que 1 vuel-
b l
b 4 l = 24
f
p
=
ta, calcular: Cscq + Cos2 f K= 1 - Senf
1 2
Resolución Dato: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1
5. Si: f(x) = 2Sen2x – Cos4x + Csc6x – 3Tan8x
1 – Senq ≥ 0 → 1 ≥ Senq
Calcula f(45°)
Senq – 1 ≥ 0 → Senq ≥ 1
6. Indica el cuadrante al que pertenece “ q”, si se cumple: Senq . Cotq < 0
→ Senq = 1 ∧ q = 90° Reemplazando en el dato:
7. Calcula el valor de:
1 - 1 + 1 - 1 = Cosf + 1
Q = (Sec180°)Cot270° + 3Csc90 Cos360
c c
5.°
AÑO
=-
Cosf = -1 ∧ f = 180°
99
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
13. La expresión:
Piden:
E = q- 2 + 4 - q es real, halla el valor de: M = Senq + Tanq + Cosq (q: es un ángulo cuadrantal)
Cscq + Cos2 f K= 1 - Senf 2 K = Csc90 + Cos 180 1 - Sen180 1 + -1 2 K= 1- 0 K= 2 =2 1 c
_i _ i _i
2
TRIGONOMETRÍA
c
c
14. Si: Sen2a = Sena + 1 ∧ a ∈ IIIC
Calcula:
12
E = Cota – 4Cosa UNI - 2001
100
5.°
AÑO
3 Reducción al primer cuadrante En este capítulo buscaremos determinar las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en función de un ángulo agudo.
CASO 1: ÁNGULOS NEGATIVOS Se aplica el siguiente criterio Sen(–x) = –Senx Csc(–x) = –Cscx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx
CASO 2: ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA �360°� En este caso se procede a dividir el ángulo entre 360°, tomando el residuo en lugar del ángulo original.
CASO3: ÁNGULOS MENORES A 1 VUELTA �360°� En este caso se descompone el ángulo usando un ángulo cuadrantal sumado o restado con un ángulo agudo, luego se aplica el siguiente criterio. R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q) R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Sec
El signo ± depende de analizar la expresión original con la tabla de signos de las razones trigonométricas.
Trabajando en clase Integral
III C Cos240° = Cos(180° – 60°) = –Cos60° = – 1 2 IV C Sec315° = Sec(360° – 45°) = +Sec45° = 2
1. Simplificar: Q=
Sen (- a ) 2Cos (- q) 3Tan (- b) + + Sena Cosq Tanb
Reemplazando: L = Sen150º – Cos240º + Sec2315º 2 L= 1 - -1 + 2 2 2 L=3
2. Calcula: E = Sec1860° – Tan1485°
b l b l
3. Obtén el valor de: Q = 4Sen210° + 3Tan315° PUCP
_ i
5. Calcula: E = Cos210º – Tan120º + Cot330º
4. Calcula: L = Sen150° – Cos240° + Sec 2315° Resolución II C Sen150° = Sen(180° – 30°) = +Sen30° = 1 2 5.°
AÑO
6. Reduce: E = Sec(–60º) . Cos(–37º) [5Tan(–45º) + 6Sen(–30º)] –1
7. Calcula: P = Csc1110º + Cos1440º
101
TRIGONOMETRÍA
3
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
UNMSM
UNI
8. En un triángulo ABC, simplificar:
12. Si x + y = 180º
Sen (A + B) – 2Tan(A + B + 2C) . Cot(A + B) SenC Resolución A + B + C = 180º Sen (180 - C) Q= – 2Tan(180º + C) . Cot(180º – C) SenC
Q=
Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Resolución Dato: x + y = 180º y = 180º – x Piden: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Sen(Cosx) + Sen(Cos(180º-x)) Sen(Cosx) + Sen(–Cosx) Sen(Cosx) + –Sen(Cosx) 0
c
Q = SenC – 2(TanC)(–CotC) SenC Q = 1 + 2TanC.CotC 1442443
Q=1
+
2(1) = 3
13. Si a + q = 360º
9. En un triángulo ABC, simplifica: L=
Cos (B + C) + Tan(A + B + C) CosA
10. De la siguiente expresión: Sen (p + x) + Sen (p - x) Calcula “x”
2x
3
/ (Cos:_- 1ik D2 = 5 7
+ x < 2
q
k=1
Sen (360 - x) + Cos (270 Sen (180 - x)
TRIGONOMETRÍA
Calcula: P = Sen(Tana) + Sen(Tanq)
14. Siendo q un ángulo agudo tal que:
11. Simplifica: E=
Calcula:
c
c
-
Calcula:
/ (Tan:_- 1ik D2 7
x)
q
c
k=1
102
5.°
AÑO
4 Circunferencia Trigonométrica I. DEFINICIÓN Se llama circunferencia trigonométrica (C.T.) a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema
N b Senb (+)
B
q
M
P
a(+) a b
A’
Senq (–)
M Sena (+)
a
Senf (–)
f Q
A
b(–)
a, b, q y f son arcos en posición normal
N
B. L.T. Coseno
B’
A: (1;0)
Origen de Arcos
MyN
Extremos de Arco
B: (0;1)
Origen de complementos de arcos
El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de ordenadas.
b
A’: (–1;0) Origen de suplementos de arcos N
B’: (0;–1) Sin denominación
a y b
Arcos en posición normal
Cosb (–) (–)
q
2. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS �L.T.� Representan los valores numéricos de las R.T. de un arco, ángulo o número real siempre que este definido.
Cosq
P
Cosa
M
a
(+) (+) Cosf
Q
f
A. L.T. Seno El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de las abscisas.
5.°
AÑO
103
a, b, q y f son arcos en posición normal
TRIGONOMETRÍA
4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Trabajando en clase Integral
5. Calcula el área sombreada
1. Coloca el signo >, < o =
b
I. Sen110º ( ) Sen20º II. Sen200º ( ) Sen250º
9. Señala verdadero (V) o falso
2. Coloca el signo >, < o =
C.T.
I. Cos20º ( ) Cos340º II. Cos100º ( ) Cos195º
3. Halla el área sombreada
Del gráfico: I. verdadero II. verdadero III. verdadero
6. Calcula el área de la región sombreada
y
(F) según corresponda I. Cos70º > Cos21º .......... ( ) II. Cos100º > Cos170º ...... ( ) III. |Cos230º| > |Cos160º| .. ( )
10. Halla la longitud del segmento
C.T.
MN
O
q
a
ñala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
4. Halla el área sombreada
Sena < Cosq ....................... ( )
q
N
11. Halla la longitud PO.
Cosa > Cosq ....................... ( )
C.T.
C.T.
7. Si 90º < q < 180º, entonces se-
PUCP
a
M
x
C.T.
|Cosa| > |Cosq| ................... ( )
O
UNMSM
C.T.
P O
q
8. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Resolución
I. Sen69º > Sen21º ........... ( ) II. Sen215º > Sen255º ....... ( ) III. |Sen310º| > |Sen320º| ... ( )
q Senq
Resolución 1
90º
C.T. (1)(Senq) 2 S = Senq 2
4
TRIGONOMETRÍA
12. Calcula el área de la región sombreada
14243
S=
UNI
180º – – 215º 255º
104
69º 21º + + – – 320º 310º
C.T.
a
5.°
AÑO
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
13. Calcula el área sombreada.
Resolución C.T.
q
C.T.
1 4 4 2 1O A 3 –Sena
a
B
3 4 1 2 4 1 C
–Cosa Ssombreada = S9AOB + S9BOC – S9AOC Ssombreada =
14. Coloca >, < o = según corresponda.
1 (- Sena ) 1 (- Cosa) 1.1 + 2 2 2
Ssombreada = - Sena - Cosa - 1 2
5.°
AÑO
105
I. Sen(Sen1)
Sen(Sen2)
II. Cos(Sen1)
Cos(Sen2)
III. Cos(Cos1)
Cos(Cos2)
TRIGONOMETRÍA
4
5 Variación de senos y cosenos VARIACIÓN DEL SENO –1 ≤ Senq ≤ 1 Senqmax = 1
Senqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Senq < 1
0 < Senq < 1
–1 < Senq < 0
–1 < Senq < 0
VARIACIÓN DEL COSENO –1 ≤ Cosq ≤ 1 Cosqmax = 1
Cosqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Cosq < 1
–1 < Cosq < 0
–1 < Cosq < 0
0 < Cosq < 1
Trabajando en clase Integral 1. Señala la variación de: Q = 7Sena – 5 2. Señala la variación de: F = 7 – 3Cos q 3. Si Senq = 2n - 1
7 ¿Cuál es la suma de los valores enteros que toma n?
5
TRIGONOMETRÍA
PUCP 4. Si q ∈ IIC, señala la variación
5. Si a ∈ IIIC, señala la variación de: R = 3Cosa – 2
de: E = 3Senq + 1 Resolución Si q ∈ IIC → 0 < Sen q < 1 0 < 3Senq < 3 1 < 3Senq + 1 < 4 1
106
6. Si x ∈ IVC, señala la variación de: L = 2Cosx + 1
7. Indica en que cuadrante el coseno es positivo y decreciente.
5.°
AÑO
VARIACIÓN DE SENOS Y COSENOS
UNMSM 8. Calcula el máximo valor de: E = 3Sen2x – Cosy – 2Cos 2z; x ≠ y ≠ z Resolución E = 3Sen2x – Cosy – 2Cos 2z Emax = 3(1)2 – (–1) – 2(0)2 Emax = 3 + 1 – 0 Emax = 4
9. Calcula el mínimo valor de: L = 2Sena – 3Cosq + 4Sen2b; a≠q≠b
11. Determina la extensión de: A = Cosq - 3 Cosq - 2
AÑO
⇒ 1 < Sena ≤ 1 2
UNI
2 < 4Sena ≤ 4
12. Sabiendo que 30º < a < 120º,
1 < 4Sena ≤ 3
señala la variación de: L = 4Sena – 1 Resolución
1 < L ≤ 3 L ∈ <1;3]
a 1
1 2
30º
13. Si 60º < x < 210º, señala la extensión de: H = 8Cosx+1
10. Determina la extensión de: E = Cos2q + Cosq + 1
5.°
Si 30º < a < 120º
C.T.
14. Señala la variación de: C = Sen(Senx + 2)
107
TRIGONOMETRÍA
5
6
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable angular, las cuales se verifican para todo valor de la variable que no presente indeterminación en una o más razones trigonométricas existentes en la igualdad. Se clasifican en:
I. IDENTIDADES PITAGÓRICAS 1.
2.
3.
Sen2x + Cos2x = 1
1 4 2Sen2x = 1 – Cos 2x ; ∀ x ∈ R 4 3 Cos2x = 1 – Sen 2x
Tg2x + 1 = Sec 2x
1 4 2Sec2x – Tg2x = 1 ; ∀ x ≠ (2n + 1) p , n ∈ Z 4 2 3 Tg2x = Sec 2x – 1
Ctg2x + 1 = Csc 2x
1 4 2Csc2x – Ctg2x = 1 ; ∀ x ≠ np, n ∈ Z 4 3 Ctg2x = Csc2x – 1
II. IDENTIDADES RECÍPROCAS 1 Senx
1.
Senx. Cscx = 1
; ∀ x ≠ np, n ∈ Z → Cscx =
2.
Cosx . Secx = 1
; ∀ x ≠ (2n + 1) p p, n ∈ Z → Secx = 1 2 Cosx
3.
Tanx.Cotx = 1
; ∀ x ≠ n p , n ∈ Z → Ctgx = 1 2 Tgx
III.IDENTIDADES POR DIVISIÓN 1.
Tanx = Senx Cosx
; ∀ x ≠ (2n + 1) p , n ∈ Z 2
2.
Cotx = Cosx Senx
; ∀ x ≠ np, n ∈ Z
6
TRIGONOMETRÍA
108
5.°
AÑO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Trabajando en clase Integral
m – 12 = 1 n m2n2 – 1 = n2 n2(m2 – 1) = 1 2
1. Reduce: 2
L = Tanx.Cosx + Sen x.Cscx
2. Reduce: P = (Tanx + Cotx)Senx
9. Elimina “x” si Secx = a y Cotx = b E = Senx Tanx
N = Tanx.Senx + Cosx
4. Reduce:
f
Resolución 2 M = 1 - Sen 2 x 1 - Cos x
f f
2 M = Cos2 x Sen x
+
p
2
M = 1 - Sen 2 x 1 - Cos x
+
trada 1 - Senx = aSecx + bTanx 1 + Senx Resolución 1 - Senx = aSecx + bTanx 1 + Senx
p
1 Tan2x
(1 - Senx) (1 - Senx) = aSecx + bTanx (1 + Senx) (1 - Senx)
M = 1 + Tan2x ⇒ M = Sec 2x
5. Reduce: +
(1 - Senx) 2 = aSecx + bTanx 1 - Sen 2 x
p
1 Cot2x
(1 - Senx) 2 = aSecx + bTanx Cos2 x 1 - Senx = aSecx + bTanx Cosx
3 J = Senx - Sen 3x Cosx - Cos x
7. Simplifica 4
C = Sec x2- 1 Tan x
-
1 - Senx = aSecx + bTanx Cosx Cosx Secx – Tanx = aSecx + bTanx → a = 1 ∧ b = –1 Piden: a + b = 0
1
UNMSM 8. Elimina “x” si: Cscx = m y Tanx = n Resolución Cscx = m Tanx = n → Cotx = 1 n Sabemos: Csc2x – Cot2x = 1 2 (m)2 – 1 = 1 n
|
12. Calcula a + b para que se cumpla la igualdad mos-
M = (Cot2x + 1)Tan2x
6. Simplifica
Calcula: E = (Senq + Cosq)4 + (Senq – Cosq)4 + 1,1
UNI
p
f
Tanx Cscx
1 Tan2x
+
1 Tan2x
2 P = 1 - Cos2 x 1 - Sen x
+
11. Si: Tanq + Cotq = 3
PUCP
13. Calcula a – b para que se cumpla: 1 + Senx = aSecx – bTanx 1 - Senx
14. Simplifica: Tan5 q + Tanq + 1 + Sec 2q – Tan3q Tanq + Sec2 q
b l
AÑO
n
⇒ m2n2 – n2 = 1
10. Expresa “E” en términos de Cotx
3. Reduce:
5.°
2 2 ⇒ m n 2 - 1 = 1
109
TRIGONOMETRÍA
6
7 Identidades Trigonométricas Auxiliares Son aquellas relaciones o expresiones que por el uso frecuente se han hecho conocidas, algunas de estas son: 1 1. Tanx + Cotx = Secx.Cscx = Senx.Cosx 2. Sec2x + Csc2x = Sec2x.Csc2x 3. Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen 2xCos2x 4. Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen 2x.Cos2x 5. (1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx)
Trabajando en clase Integral
6. Simplifica: (1 - Senx - Cosx) 2 Q= 2 (1 - Senx)
1. Reduce: E = (Secx. Cscx – Tanx) . Senx
+
Cosx
7. Simplificar:
2. Reduce:
(Sec 2 x + Csc2 x) E= . Cosx Tanx + Cotx
Q = (Sen2x – Cos2x)2 + 4Sen2x . Cos2x
3. Reduce:
UNMSM
L = (Tanx + Cotx) . Cos 2x
2 3 Calcula: H = Sen 4x + Cos4x Resolución 2 Dato: Senx + Cosx = 3 2 2 2 (Senx + Cosx) = 3
8. Si: Senx + Cosx = PUCP 4. Si: A = 9(Sen 4x + Cos4x) B = 6(Sen6x + Cos6x) Además: A – B = n Halla el valor de n 2 + 9 Resolución A = 9(1 – 2Sen2x.Cos2x) = 9 – 18Sen 2x.Cos2x B = 6(1–3Sen2x.Cos2x) = 6 – 18Sen2x.Cos2x Dato: A – B = n (9 – 18Sen2x.Cos2x) – (6 – 18Sen 2x.Cos2x) = n 3=n Piden: n2 + 9 = 18
d n
Sen2x + Cos2x + 2Senx.Cosx = 2 3 1 + 2Senx.Cosx = 2 3 1 2Senx.Cosx = – 3 Senx.Cosx = – 1 6 Piden: H = Sen 4x + Cos4x H = 1 – 2Sen 2x.Cos2x 2 H = 1 – 2 -1 6 H = 1 – 2 1 = 17 18 36 144424443
b l
5. Reduce:
d n
T = 3(Sen4x + Cos4x) – 2(Sen6x + Cos6x) + 4
7
TRIGONOMETRÍA
110
5.°
AÑO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 3 N = Sen x Cosx
1 3 Calcula: N = Sen 6x + Cos6x
9. Si: Senx + Cosx =
10. Si Senx + Cosx = n Determina: M = (1 + Senx)(1 + Cosx)
11. Si Sec2x + Csc2x = 81 (x: agudo) Calcula: M = (Tanx + Cotx) 3
UNI 12. Si Senx.Cosx = 1
4 Calcula N = Sen 2x.Tanx + Cos2x.Cotx Resolución N = Sen2x . Senx + Cos 2x . Cosx Cosx Senx
5.°
AÑO
Cos3 x Senx
+
4 4 N = Sen x + Cos x SenxCosx 2 2 N = 1 - 2Sen xCos x Senx.Cosx 2 1-2 1 4 N= = 7 1 2 4 13. Si Senx.Cosx = 1 3 4 Calcula L = Sen x.Tanx + Cos4x.Cotx
b l b l
14. Simplifica: E=
2 (1 - Senx) 1 - Cosx
+
Senx 1 - Cosx
(x ∈ IVC)
111
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula: E = (Cos270°) a) 0 d) 2
– Tan360 + (Sec180°)Cot90° Cos30 UNFV 2003 b) 1 c) –1 e) –2 c
Sen90°
c
2. Calcula:
Cosp - Sen 3p + 4Csc p 2 2 Q= Cos0 + Tan p 4 UNMSM 1997 b) –1 c) 2 e) 3
a) 1 d) –2
3. Calcula:
C = Sec240 Cos120
d) – 3
a) 〈–1;2〉 d) 〈 1;2〉
b) –4 e) 3 3
8. Halla B’Q
q A’
A
UNAC 1997 a) 1 – Senq d) 1 + Cos q
9. Reduce:
b) 1 + Senq e) Senq – 1
c) 1 – Cosq
3 3 R = Sen x + Cos x Senx.Cosx - 1
UNMSM 1994 b) –Senx – Cosx d) Senx.Cosx
a) Senx + Cosx c) 1 e) –Senx.Cosx
-
c
a) 1 d) 4
O
USMP 1996 c) 3
1 + 3 Tan240° -1 UNMSM 1999 b) 2 c) 3 e) 5 c
C.T.
B’
J = Tan(90°+x) Tan(180°+x) Sec(270°–x) UNFV 2004 a) Cosx b) Cscx c) Cotx d) Tanx e) Secx M = 2Sec120 4Tan315
B
45° Q
4. Reduce:
5. Calcula:
UNFV 1996 c) 〈2;3〉
b) 〈–2;3〉 e) 〈–2;1〉
c c
a) 4
7. Si a ∈ IIIC, señala la variación de C = 3Sen a + 1
10. Si: Tanx + Cotx = 3 6. En un triángulo ABC, reduce: E = SenA + Sen(B+C) +6 Sen(A + B + C) UNMSM 2008 a) 0 b) 2SenA c) –2SenA d) 1 e) –1
8
TRIGONOMETRÍA
112
Halla P = (Secx + Cscx) 2 a) 6 d) 15
b) 9 e) 18
UNFV 2004 c) 12
5.°
AÑO
REPASO
11. Reduce:
12. Calcula: 4
4
P = Sen 6 x + Cos6 x - 1 Sen x + Cos x - 1 a) 5/3 d) 1/3
b) –1 e) 3/4
(a + b) 2 Csc90 + (a - b) 2 Cos180 E= aTan360 + bCsc270 c
UNFV 1996 c) 2/3
c
a) 0 d) 4a
b) 3a e) –4a
c
c
c) –3a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elementa. Editorial: Uteha. HOBSO, E. W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5° Pre RACSO editores.
AÑO
113
TRIGONOMETRÍA
8
Trigonometría
1 Ángulos compuestos I Básicamente la utilidad de estas identidades radica en que con ellas se pueden calcular razones trigonométricas de ángulos desconocidos a partir de ángulos cuyas razones sean conocidas. Si deseo calcular el Sen67º simplemente bastará con descomponer el ángulo como Sen(30º + 37º) y aplicar la definición. I. Seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Sen(a + q) = SenaCosq + CosaSenq Sen(a – q) = SenaCosq – CosaSenq
II. Coseno de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Cos(a + q) = CosaCosq – SenaSenq Cos(a – q) = CosaCosq + SenaSenq
III. Tangente de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Tana + Tanq Tan(a + q) = 1 – Tana⋅Tanq Tana – Tanq Tan(a – q) = 1 + Tana⋅Tanq
Aplicación Calcula aproximadamente Sen67º. Sen67º = Sen(30º + 37º) Sen67º = Sen30º Cos37º + Cos30º Sen37º Sen67º = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 2 5 2 5
∴ Sen67 = 4 +103 3
Trabajando en clase Integral
A=
1. Calcula A = Sen75º
∴ A = Coty
2. Calcula B = Tan8º 3. Calcula el equivalente de:
5. Reduce:
J = Sen3º Cos34º + Cos3º Sen34º A=
PUCP 4. Reduce la siguiente expresión: Cos(x + y) + SenxSeny CosxSeny Resolución: A = CosxCosy – SenxSeny + SenxSeny CosxSeny
5.°
AÑO
Cosy CosxCosy ⇒ A = Seny CosxSeny
Sen(x + y) + Sen(x – y) Cos(x – y) – Cos(x + y)
6. Si Tan(2a – b) = 3 y Tan(2b – a) = –2 Calcula Tan(a + b) 7. Calcula «m» Si: mTan50º = Tan70º – Tan20º
105
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS COMPUESTOS I
UNMSM
UNI
8. Calcula: Tanq.
12. Calcula Tanx.
q 3 3
x 37º
2
Resolución:
Resolución: De la figura, Tan(q + a) = 5 ∧ Tana = 2 3 3
q
3
15
37º
53º De la figura: x = 37º + b ∧ Tanb = 10 = 2 15 3
2
Tanq + Tana = 5 1 – TanqTana 3
Tanx = Tan(37º + b) Tanx = Tan37º + Tanb 1 – Tan37º Tanb 3 + 2 4 3 Tanx = 1–3 2 4 3 17 8 Tanx = 6 8
3Tanq + 3Tana = 5 – 5TanqTana 2 2 3 Tanq + 3 3 = 5Tanq 3 9Tanq + 6 = 15 – 10 Tan q 19Tanq = 9 ∴ Tanq = 9
19
9. Calcula Tana.
Tanx = 17 8
4 2
a
13. Calcula Tanq, si AD = 2DC B
9
10. Calcula: E=
q
M
3Sen50º – Cos50º Sen25º – Cos25º
37º A
11. Calcula: M = Tan50º – Tan40º Tan10º
1
10
x
b
a 3
10
º 7 3
TRIGONOMETRÍA
D
C
14. Si: Sen4 + Cos3 = x Sen3 – Cos4 = y Calcula Sen1
106
5.°
AÑO
2 Ángulos compuestos II Propiedades Por ejemplo: Y E = 3Senx + 4Cosx Emáx. = 32 + 42 = 5
I. Si: K = A . Senx ± B ⋅ Cosx
⇒
⇒
Emín = – 32 + 42 = –5
Kmáx = A2 + B2 Y
Kmín. = – A2 + B2
Q = 2Senx – 7Cosx Qmáx. = 22 + 72 = 3
⇒
Qmín. = –
22 + 72 = –3
Tana + Tanb + Tana ⋅ Tanb ⋅ Tan(a + b) = Tan(a + b)
II.
Y
Tan12º + Tan14º + Tan12º ⋅ Tan14º ⋅ Tan26º = Tan26º 12º + 14º
Y
Tan2x + Tan3x + Tan2x ⋅ Tan3x ⋅ Tan5x = Tan5x 2x + 3x
III. Si: a + b + q = 180º ∨ 180º n; (n ∈ Z) 1) Tana + Tanb + Tanq = Tana ⋅ Tanb ⋅ Tanq
⇒
2) Cota ⋅ Cotb + Cota ⋅ Cotq + Cotb ⋅ Cotq = 1
5.°
AÑO
Y
Tan40º + Tan80º + Tan60º = Tan40º ⋅ Tan80º ⋅ Tan60º (40º + 80º + 60º = 180º)
Y
Cot20º ⋅ Cot60º + Cot60º ⋅ Cot100º + Cot100º ⋅ Cot20º = 1 (20º + 60º + 100º = 180º)
107
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS COMPUESTOS II
IV. Si x + y + z = 90º ∨ (2n + 1) p ; (n ∈ Z)
2
1) Cotx + Coty + Cotz = Cotx ⋅ Coty ⋅ Cotz 2) Tanx ⋅ Tany + Tanx ⋅ Tanz + Tany ⋅ Tanz = 1
Y
Cot20º + Cot60º + Cot10º = Cot20º ⋅ Cot60º ⋅ Cot10º (20º + 60º + 10º = 90º)
Y
Tan20º ⋅ Tan42º + Tan42º ⋅ Tan28º + Tan28º ⋅ Tan20º = 1 (20º + 42º + 28º = 90º)
Trabajando en clase Integral
6. En un triángulo ABC TanA = 1 y TanB = 2. Calcula TanC.
1. Calcula el mínimo valor de: P = 5Senx – 12Cosx + 7
2. Encuentra el valor de «x» si: Tanx + Tan2x + Tanx ⋅ Tan2x ⋅ Tan 3x = 3
7. En un triángulo ABC TanA + TanC = 3TanB Obtén el valor de E = TanA ⋅ TanC UNMSM
3. En un triángulo ABC, simplifica:
8. En un triángulo ABC, simplifica:
TanA + TanB + TanC Q= TanA ⋅ TanB
R=
PUCP
Resolución: CotA 2TanB CotB 3TanC CotC TanA R= + + + + + TanB TanB TanC TanC TanA TanA
4. Reduce:
Q = 3 + Tan23º + Tan22º + Tan23º ⋅ Tan22º Resolución: Q = 3 + Tan23º + Tan22º + Tan23º ⋅ Tan22º ⋅ (1)
R = CotA⋅CotB+2+CotB⋅CotC+3+CotC⋅CotA+1 R = (CotA⋅CotB + CotB⋅CotC + CotC⋅CotA) + 6 R= 1 + 6 R=7
(23º+22º)
Q = 3+Tan23º+Tan22º+Tan23º⋅Tan22º ⋅ Tan45º Q = 3 + Tan45º Q=3+1 Q=4
9. Si a + q + b = 180º, calcula: E = Cota+6Tanq + Tanq
5. Calcula: N=
2
Tan32º + Tan28º + 3Tan32º ⋅ Tan28º Cot60º
TRIGONOMETRÍA
CotA+2TanB CotB+3TanC CotC+TanA + + TanC TanA TanB
Cotq+5Tanb Cotb+4Tana + Tanb Tana
10. Calcula:
N = 4 + Tan210º + 2Tan70º ⋅ Tan10º
108
5.°
AÑO
ÁNGULOS COMPUESTOS II
11. Calcula Cotq.
13. Calcula el mínimo valor de:
4
Q = 5Cos(37º + x) + Senx
1 5
q
6
14. Si Sen(z + w) = 6 ∧ Cos(x + y) = 5 85
34
Determina: E = 5Tanx + 5Tany + 3Tanx ⋅ Tany 7Tanw + 7Tanz + 6Tanw ⋅ Tanz
1
UNI
Advertencia pre
12. Señala el mayor valor de: Q = 2 2 Sen(45º + x) + Cosx Resolución: Q = 2 2(Sen45ºCosx + Cos45ºSenx) + Cosx
Sen(x + y) = Cotx + Coty Senx ⋅ Seny Sen(x – y) = Coty – Cotx Senx ⋅ Seny
Q = 2 2 1 Cosx + 1 Senx + Cosx 2 2
Sen(x + y) = Tanx + Tany Cosx ⋅ Cosy
Q = (2Cosx + 2Senx) + Cosx Q = 2Senx + 3Cosx Qmáx. = 22 + 32 Qmáx. = 13
5.°
AÑO
Sen(x – y) = Tanx – Tany Cosx ⋅ Cosy
109
TRIGONOMETRÍA
2
3 Ángulo doble Operando: x = x ∧ q = x
El objeto de estas igualdades es expresar razones trigonométricas del ángulo doble (2 a; 2q; ...; 2x) en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple (a, q, ... x); estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Obtenemos: Tan(x + x) = Tanx + Tanx 1 – TanxTanx
Tan2x = Tan(x + x) =
Identidades fundamentales
2x
Sen2x = 2Senx Cosx ∀ x ∈ R Tan2x =
Cos2x = Cos2x – Sen 2x ∀ x ∈ R
2Tanx 1 – Tan2x
p p Tan2x = 2Tanx2 ∀ x ≠ (2n + 1) 4 ; (2n + 1) 2 1 – Tan x n ∈ Z
Demostración de las identidades fundamentales Z
Demostración de Sen2x = 2SenxCosx Sabemos lo siguiente: Sen(a + q) = SenaCosq + SenqCosa Operando: a = x ∧ q = x Obtenemos: Sen(x + x) = Senx Cosx + CosxSenx 2x Sen2x = 2Senx Cosx
Advertencia pre Con la ayuda de la identidad Sen 2x + Cos2x = 1 se puede expresar el coseno del ángulo doble (Cos2x), ya sea en función del seno o del coseno del ángulo simple (Senx o Cosx), para ello proceredemos del siguiente modo:
Z
Demostración de Cos2x = Cos 2x – Sen2x Sabemos lo siguiente: Cos(a + q) = CosaCosq – SenaSenq Operando: a = x ∧ q = x Obtiene: Cos(x + x) = Cosx Cosx – SenxSenx
Z
∴ Cos2x = 1 – 2Sen 2x
2x Z
∴ Cos2x = Cos x – Sen x 2
Z
2
Demostración de Tan2x = 2Tanx2 1 – Tan x Tana + Tanq Sabemos: Tan( a + q) = 1 – TanaTanq
3
Sabemos que Cos2x = Cos 2x – Sen 2x Pero Cos 2x = 1 – Sen 2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen 2x) – Sen2x
TRIGONOMETRÍA
Sabemos que: Cos2x = Cos 2x – Sen2x Pero Sen 2x = 1 – Cos 2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos 2x)
∴ Cos2x = 2Cos2x – 1
110
5.°
AÑO
ÁNGULO DOBLE
Trabajando en clase Integral
B=1
2
1. Calcula el valor de:
2Tan22,5º , 1 – Tan222,5
L = 2Sen15ºCos15º +
C=2 D=2
2. Reduce:
Cos24q – Sen24q + 2Sen5q ⋅ Cos5q – Cos8q
3. Indica el valor de «x», si se cumple: Sen2x = 1 ∧ x ∈ 〈0º; 90º〉 Cosx
2
Calcula: E + (G + H)F
10. Si Tanx = 5, calcula Cot2x.
4. Si Tanx = 4 (x: agudo), calcula Cos2x. Resolución:
11. Calcula «x». x
7 1
4
5 2
UNI 12. Señala el máximo valor de: D = Senq ⋅ Cosq ⋅ Cos2q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q
Cos2x = –15 17
Resolución: 2D = 2Senq ⋅ Cosq ⋅ Cos2q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q ⋅ Cos2q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q 2D = Sen2q 4D = 2Sen2q ⋅ Cos2q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q 4D = Sen4q 8D = 2Sen4q ⋅ Cos4q ⋅ Cos8q 8D = Sen8q ⋅ Cos8q 16D = 2Sen8q ⋅ Cos8q 16D = Sen16q Sen16q D= 16 (Sen16q)máx. Dmáx. = = 1 16 16
5. Si Tanx = 0,3333... (x: agudo), calcula Sen2x. 6. Si Senq + Cosq = 1,2. Calcula Sen2 q 7. Reduce: E = Cosx(Cosx + Secx) – Senx(Senx + Cscx)
UNMSM 8. Si: Sen4x + Cos4x = A – BSen D(Cx) Calcula: A + B ⋅ C + D Resolución: Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen 2x ⋅ Cos2x 2SenxCosx Sen4x + Cos4x = 1 – 2 2 Sen2x Sen4x + Cos4x = 1 – 2 2
2
2
13. Calcula el mínimo valor de: M = 7Senx ⋅ Cosx ⋅ Cos2x ⋅ Cos4x 14. Determinaa Tanq.
q
3
Sen4x + Cos4x = 1 – 1 Sen2 (2x)
2
2
2q
→ A=1 AÑO
3
q q
x
1 Piden: Cos2x = Cos 2x – Sen2x 4 1 2 Cos2x = – 17 17
5.°
Piden: 1 + 1 ⋅ 2 + 2 = 2
9. Si: Sen6x + Cos6x = E – FSen G (Hx)
PUCP
Tanx = 4 1
111
TRIGONOMETRÍA
3
4 Ángulo mitad Introducción El objetivo de estas igualdades es expresar las razones trigonométricas del ángulo mitad
a ; b q x en ; ...
2 2 2 2 función de las razones trigonométricas del ángulo simple ( a; b; q; ...; x). Estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Identidades fundamentales Sen
x ± 1 – Cosx = 2 2
Cos x = ± 1 + Cosx 2 2
Tan x = ± 1 – Cosx 2 1 + Cosx
x ∈ R
x ∈ R – (2n + 1)p / n ∈ Z 2
x ∈ R
Observación El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad x y 2 la razón que lo afecte; así por ejemplo:
Fórmulas especiales Tan x = Cscx – Cotx 2
→ Si: x ∈ IIC ⇒ Sen x tendrá signo (+) 2 → Si: x ∈ IIC ⇒ Cos 2 → Si: x ∈ IIC ⇒ Tan 2
2 x tendrá signo (–) 2 x tendrá signo (–) 2
Cot x = Cscx + Cotx 2
Trabajando en clase Integral
3. Si Cosq = 1 ; 0º 〈 q 〈 90º 6
1. Obtén el equivalente de:
Calcula: Sen q 2
1 – Cos50º – Tan25º 1 + Cos50º
PUCP
2. Reduce: 1–
1 + Cos84º 2
4. Si Cosb = 1 ; 270º 〈 b 〈 360º 7
Calcula: Cos b 2
2
4
TRIGONOMETRÍA
112
5.°
AÑO
ÁNGULO MITAD
UNI
Resolución: 270º < b <360º
12. Calcula: Tan a 2
135º < b < 180º 2
Cos b = – 1 + Cosb 2 2 1+1 b Cos = – 7 2 2
a
1
Cos b = – 2 7 2
Resolución:
5. Si Cosx = –1 ; 90º 〈 x 〈 180º 5
a
Calcula: Sen x 2 5
6. Si Tanq =
2
5
a
4 a 1
; 180º 〈 q 〈 270º
Calcula: Cos q 2
1 1
Del gráfico: Cosa = 4 = 2 6 3
7. Obtén el equivalente de:
Piden: Tan a = + 1 – Cosa 1 + Cosa 2 1–2 3 Tan a = 2 1+2 3
M = Sec40º – Tan40º
UNMSM 8. Reduce: P = Csc2x + Csc4ax + Csc8x + Cot8x Resolución: P = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x P = Csc2x + Csc4x + Cot4x P = Csc2x + Cot2x P = Cotx
5
Tan a = 1 5 2
13. Calcula Tan x 2
9. Reduce:
L=Cscx+Csc2x+Csc4x+Csc8x+Csc16x+Cot16x 4
10. Si Senq = 1
1
3
Calcula Tan 45º –
11. Si: Cscb =
–6 11
Calcula Sen b 2
5.°
AÑO
q
x
2
; 180º 〈 b 〈 270º
14. Si:
113
Csc2a+ Csc2b + Csc2q = Cot2a + Cot2b + Cot2q Halla: Tan3a + Tan3b + Tan3q N= Tana ⋅ Tanb ⋅ Tanq
TRIGONOMETRÍA
4
5 Ángulo triple Fórmulas fundamentales
Tan(A + B + C) = TanA+TanB+TanC–TanATanBTanC 1– (TanATanB+TanATanC+TanBTanC)
Sen3x = 3Senx – 4Sen 3x Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx 3 x Tan3x = 3Tanx – Tan 2 1 – 3Tan x
Si Tan3x = Tan(x + x + x) ⇒ Tan3x= Tanx+ Tanx+ Tanx– Tanx Tanx Tanx 1(Tanx Tanx+ Tanx Tanx+ Tanx Tanx)
1. Demostración: Sen3x = 3Senx – 4Sen3 Sen3x = Sen(x + 2x) Sen3x = Senx ⋅ Cos2x + Cosx ⋅ Sen2x Sen3x = Senx(1 – 2Sen2x) + Cosx(2SenxCosx) Sen3x = Senx – 2Sen 3x + 2SenxCos2x Sen3x = Senx – 2Sen 3x + 2Senx(1 – Sen 2x) Sen3x = Senx – 2Sen 3x + 2Senx – 2Sen 3x ∴ Sen3x = 3Senx – 4Sen 3x
2. Demostración:
3 x ⇒ Tan3x = 3Tanx – Tan 2
1 – 3Tan x
Usando identidades podemos demostrar lo siguiente: Sen3x = 2Cos2x + 1 Senx Además:
Cos3x = 2Cos2x – 1 Cosx
Por lo tanto:
Tan3x 2Cos2x + 1 = 2Cos2x – 1 Tanx
3
Cos3x = 4Cos x – 3Cosx Cos3x = Cos(x + 2x) Cos3x = CosxCos2x – SenxSen2x Cos3x = Cosx(2Cosx2 – 1) – Senx(2SenxCosx) Cos3x = 2Cos3x – Cosx – 2Sen 2xCosx (1 – Cos2x) Cos3x = 2Cos3x – Cosx – 2Cosx + 2Cos 3x ∴ Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
Recuerda
Sen18º = 5 – 1 4
3. Demostración:
Cos36º = 5 + 1
3
x Tan3x = 3Tanx – Tan 2 1 – 3Tan x
4
Trabajando en clase Integral
2. Determina el valor de «x» si:
1. Calcula el valor de:
3Tan2x – Tan32x = 3 1 – 3Tan22x
3Sen20º – 4Sen320º
5
TRIGONOMETRÍA
114
5.°
AÑO
ÁNGULO TRIPLE
3. Determina Cos111º
9. Determina el máximo valor de: N = Cos3x + 3 Cosx
PUCP 4. Si Cosx = 1 , calcula Cos3x.
10. Simplifica:
4
3 E = 3Tan(30º + a) 2– Tan (30º + a) 1 – 3Tan (30º + a)
Resolución: Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx 3 Cos3x = 4 1 = 3 1 4 4
11. Simplifica:
Cos3x = –11 16
P=
Sen3x + Sen3x Cos3x – Cos3x
UNI
5. Si Senx = 1 , calcula Sen3x 3
12. Simplifica la expresión: 3 N = Cos x – Cos3x Sen2x
6. Determina el valor de:
Resolución:
3Sen6º – 4Sen 6º + 1 4 3
N = Cos3x – (4Cos3x – 3Cosx) 2SenxCosx 3 N = 3Cosx – 3Cos x 2Senx Cosx 3Cosx(1 – Cos2x) N= 2Senx Cosx
7. Si Tanx = –1, calcula el valor de Tan3x. UNMSM 8. Calcula el mínimo valor de: M = Sen3x – 3 Senx
2 N = 3Cosx (Sen x) 2Senx Cosx N = 3 Senx 2
Resolución: 3
M = 3Senx – 4Sen x – 3 Senx 3 M = 3Senx – 4Sen x – 3 Senx Senx M = 3 – 4Sen 2x – 3 M = –4Sen2x Mmín = –4(1)2 = – 4
5.°
AÑO
13. Simplifica:
3 L = Sen3q + Sen q Sen2q
14. Resuelve y señala un valor para «x» si: 6x – 3 = 8x3
115
TRIGONOMETRÍA
5
6 Transformaciones trigonométricas I Sumas y diferencias a producto (A > B) SenA + SenB = 2 ⋅ Sen A+B ⋅ Cos A–B 2 2 SenA – SenB = 2 ⋅ Cos A+B ⋅ Sen A–B 2 2 CosA + CosB = 2 ⋅ Cos A+B ⋅ Cos A–B 2 2 CosB – CosA = 2 ⋅ Sen A+B ⋅ Sen A–B 2 2
Trabajando en clase Integral
5. Simplifica: N=
1. Simplifica: E=
Cos7x + Cos5x Sen7x – Sen5x
6. Calcula «x» si:
2. Reduce:
Sen80º + x ⋅ Cos50º = Sen20º
Q = (Sen50º + Sen10º) Sec20º
3. Simplifica:
Sen2x – Senx Cos2x + Cosx
Sen30º – Sen10º L= Cos10º – Cos30º
7. Calcula: Sen50º + Cos50º E= Cos5º
4
UNMSM PUCP
8. Simplifica:
4. Reduce:
M=
L = (Sen9x + Senx)Csc5x Resolución: L = (2Sen5x Cos4x) Csc5x L = 2Cos4x (Sen5x Csc5x) L = 2Cos4x(1) L = 2Cos4x
6
TRIGONOMETRÍA
Senq + Sen2q + Sen3q Cosq + Cos2q + Cos3q
Resolución: (Sen3q + Senq) + Sen2q M= (Cos3q + Cosq) + Cos2q (2Sen2qCosq) + Sen2q M= (2Cos2θ Cosq) + Cos2q
116
5.°
AÑO
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Q=
Sen2q(2Cosq + 1) M= Cos2q(2Cosq + 1) M = Sen2q = Tan2q Cos2q
9. Simplifica: L=
Q = 2Cos12x Cos2x 2Sen12xCos2x Q = Cos12x Sen12x
Cos50º +Cos30º + Cos10º Sen50º + Sen30º + Sen10º
Q = Cot12x
13. Obtén el valor de:
10. Simplifica: N=
2Cosx(Cos14x + Cos10x) 2Cosx(Sen14x + Sen10x)
Sen(3x + y) + Sen(x + 3y) Sen2x + Sen2y
11. Pasa a producto: E = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x
N = Sen75º + Sen65º + Sen55º + Sen45º Cos75º + Cos65º + Cos55º + Cos45º
14. Calcula el área del cuadrilátero PQRS. (OP = OR = m)
P
UNI 12. Reduce:
Q = Cos15x + Cos13x + Cos11x + Cos9x Sen15x + Sen13x + Sen11x + Sen9x O
Resolución: Q = (Cos15x + Cos13x) + (Cos11x + Cos9x) (Sen15x + Sen13x) + (Sen11x + Sen9x) Q = 2Cos14xCosx + 2Cos10xCosx 2Sen14xCosx + 2SenxCosx
5.°
AÑO
3a
a
S
Q
R
117
TRIGONOMETRÍA
6
7 Transformaciones trigonométricas II De producto a suma o diferencia
Demostración
Se suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar un determinado producto mediante una suma o diferencia. Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.
2Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) Recordemos: Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (I) y Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (II) Sumando (I) y (II) Cos(x + y) + Cos(x – y) = 2Cosx ⋅ Cosy
Demostración 2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) 2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y) 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) 2SenxSeny =Cos(x – y) – Cos(x + y)
2SenxSeny = Cos(x – y) – Cos(x + y) ⇒ Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (I) ∧ Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (II) Restando (I) – (II) Cos(x – y) – Cos(x + y)
Demostración 2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) Recordemos: Sen(x + y) = Senx ⋅ Cosy + Seny ⋅ Cosx ... (I) y Sen(x – y) = Senx ⋅ Cosy – Seny ⋅ Cosx ... (II) Sumando (I) y (II) Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2Senx Cosy
Recuerda Sen(x + y) ⋅ Sen(x – y) = Sen2x – Sen2y Cos(x + y) ⋅ Cos(x – y) = Cos 2x – Sen2y
Trabajando en clase Integral
Resolución: (Cos4x + Cos2x) – Cos4x P= (Sen6x + Sen2x) – 6Senx P = Cos2x Sen2x
1. Reduce: P = 2Sen4x Cosx – Sen5x
2. Calcula:
P = Cot2x
R = 2Cos20º Sen10º + Sen10º
3. Determina el máximo valor de:
5. Simplifica:
L = 2Cos3x Cos2x – Cos5x
PUCP 4. Simplifica: P=
7
N=
6. Calcula:
2Cos3x ⋅ Cosx – Cos4x 2Sen4x ⋅ Cos2x – Sen6x
TRIGONOMETRÍA
2Cos3xSen2x + Senx 2Cos4xCosx – Cos3x
E = Sen50º(1 – 2Cos80º)
118
5.°
AÑO
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS II
7. Simplifica:
1 Cos2x – Cos3xCosx 2 E= Cos4x
10. Reduce:
L = Cos25x – (2Cosx ⋅ Sen6x – Sen7x) 2
11. Calcula el valor de:
1 – 4Sen10º ⋅ Sen70º Cos80º
UNMSM 8. Si 3Cos2q = 4Cos8q Calcula: M = Cos5q ⋅ Cos3q Cos2q Resolución: 2Cos5q ⋅ Cos3q M= 2Cos2q M = Cos8q + Cos2q 2Cos2q
UNI 12. Reduce: P = Sen3x Cos4x + Sen3x Cos2x – Sen6x Cosx Resolución: 2P = 2Cos4xSen3x + 2Sen3xCos2x – 2Sen6xCosx
2P = Sen7x – Senx + Sen5x + Senx – Sen7x – Sen5x 2P = 0 P =0
Cos2q 4 Del dato: = Cos8q 3
→ Cos2q = 4k ∧ Cos8q = 3k Reemplazando: M = 3k + 4k = 7k = 7 2(4k) 8k 8
9. Si 2Sen9x = 5Senx
Calcula: Q = Cos4x Sen5x Senx
5.°
AÑO
2P=(Sen7x–Senx)+(Sen5x+Senx)–(Sen7x+Sen5x)
13. Reduce: L = Cos5xCosx + Sen4xSen2x + Sen3xSenx
14. Calcula el valor de: E = Cos p + Cos 3p + Cos 5p + Cos 7p 9
119
9
9
9
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula Cot8º.
7. Simplifica:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 5
e) 7
Cscx+Csc2x+Csc4x+Csc8x+...+Csc256x+Cot256x x Cot 2 x a) 1 c) 2 e) Tan2 2 x b) 1,5 d) Cot2 2
2. Indica un valor de «x» si: Tan4x + Tanx + Tan4x Tanx Tan5x = 1 a) 1º c) 5º e) 9º b) 3º d) 7º
8. Simplifica:
3. Calcula Tana. a) 11/33 b) 19/33 c) 17/33 d) 29/33 e) 31/33
Sen50º + Sen30º + Sen10º Cos50º + Cos30º + Cos10º
1
a
3 2
c) 3 3 d) 4
a) 1 1 b) 3
5
e) 2
4. Simplifica: 9. Reduce:
Sen2q + Cosq 2Senq + 1 a) Senq b) Cosq
c) Tanq d) Cotq
a) 0 b) 1
e) Secq
5. Reduce:
Q = Cos40º – 2Sen80º Sen40º c) –1 e) –1/2 d) 1/2
10. Si Tanx = 1 , calcula Tan3x. D=1–
a) Sen2x b) Cos2x
1 1 – Secx Cscx
c) Tan2x d) Cot2x
2
2
e) Sec2x
a) 3/2 b) 5/2
c) 7/2 d) 9/2
e) 11/2
11. Si: x = p rad, calcula: 24
6. Calcula el valor de: N = Senx Cos 3x – Sen3x Cosx 1 + Cos48º – Cos78º 2
L= 1–
a) 1
2 a) –2 b) –1
8
c) 0 d) 1
TRIGONOMETRÍA
b)
e) 2
120
1 2
1 4 1 d) 8
c)
e)
1 16
5.°
AÑO
REPASO
12. Simplifica: C=
Claves
(Sen4x – Sen2x)(Cosx –Cos3x) (Sen3x + Senx)(Cos4x + Cos2x)
a) 1 b) 2 c) Tan2x d) Cot2x e) Tan4x
1.
E
5.
A
9.
E
2.
E
6.
C
10.
E
3.
B
7.
A
11.
D
4.
B
8.
B
12.
C
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: Mc Granw - Hill HALL, H. S.; KNIGHT, S. R.: Trigonometría elemental. Editorial: Utera. HOBSON, E. W.: Plane and advanced trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Editorial Mir Moscú. Trigonometría 5º Pre RACSO Editores.
AÑO
121
TRIGONOMETRÍA
8
Trigonometría
1
Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones)
Concepto
Resolver un triángulo es determinar la medida de los tres lados y ángulos. Para resolver un triángulo oblicuángulo es suficiente conocer la medida de tres elementos entre ángulos y lados, donde por lo menos uno de ellos debe ser un lado.
Igualando (1) y (2) c a = = 2R ... (a) SenC SenA Z
Trazamos el diámetro que pasa por A se demuestra en forma análoga: b c = = 2R ... (b) SenB SenC
Z
Se demuestra de ( a) y (b): a b c = = = 2R SenA SenB SenC
a
c A
b
C C BAQ = SenC = 2R ⇒ SenC = 2R ... (1) a a BCQ = SenA = 2R ⇒ SenA = 2R ... (2)
Ley de senos En un triángulo ABC B
Entonces:
C
Se cumple:
Ley de proyecciones
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
En todo triángulo ABC: B
R: Circunradio
Demostración Z
Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia tal como se observa en la figura:
A
B
c
A
Z
5.°
R
C
c = a CosB + b CosA
a
C A Q
Demostración:
C
Z
Por B trazamos un segmento que pasa por el centro de la circunferencia hasta Q. (BQ = 2R; R: Radio). Observar que: m∠BAQ = 90º y m∠BCQ = 90º Además: m∠BQA = C y m ∠BQC = A
AÑO
b
a = b CosC + cCosB b = a CosC + c CosA
R
Z
a
c
129
En la figura, trazamos BH: B a
c A
m
n H
b
C
TRIGONOMETRÍA
1
RESOLUCIÓN DE T RIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES) Z
Se determina sobre el lado AC dos segmentos m y n tal que: b = m + n AHB: m = c CosA CHB: n = a CosC m + n = c CosA + a CosC
Advertencia pre En todo triángulo oblicuángulo se cumple: a = 2R SenA b = 2R SenB c = 2R SenC donde: R: circunradio
∴ b = c CosA + a CosC
Trabajando en clase Integral
6. De la figura, calcula «x» (ABCD: trapecio).
1. Según el gráfico mostrado, calcula «b».
B
C
C x
a
b
7
30º
53º
A
2q
q D
A B
7. En un ∆ABC, se cumple: SenA SenB SenC = = 2 3 4
2. En un ∆ABC, m∠+C = 60º ∧ R = 4. Calcula «c» donde R: circunradio.
b2 + c2 Calcula: F = 2 2 b – a
3. Se tiene un ∆ABC, m∠A = 45º; m∠B = 120º; a = 2. Calcula «b».
PUCP 4. En un ∆ABC: a = 3 ∧ b = 5.
UNMSM 8. Para un ∆ABC, reduce: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
2SenB + SenA Calcula: S = 2SenB – SenA
Resolución: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
Resolución:
b a Por ley de senos: SenB = 2R ∧ SenA = 2R M=aCosC+bCosC+aCosB+cCosB+bCosA+cCosA
Luego:
b a + 2R 2R = 2n + a = 2(4) + 3 S= 2b – a 2(4) – 3 b a 2⋅ 2R – 2R b a 2 2R – 2R 2⋅
11 S = 5 = 2,2
5. En un ∆ABC: a = 10; b = 13 ∧ c = 15
ordenando, se tiene: M=(aCosC+cCosA)+(bCosC+cCosB)+(aCosB+bCosA)
TRIGONOMETRÍA
b
∴ M = a + b + c
a
c (Ley de proyecciones)
9. Para un ∆ABC, reduce: N = a(CosB + CosC) + b(C osA + CosC) + c(CosA + Cosb)
Calcula: SenA + SenB + SenC SenC – SenA
1
130
5.°
AÑO
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES)
10. En un ∆ABC; de lado a, b ∧ c, ¿a qué es igual?
⇒ 2Cos2 – 1 = 1 ⇒ Cos2a = 3
c – aCosB F= aSenB
5
3
∴ Cosa = 5
11. En un ∆ABC, simplifica: (a – bCosC)TanB⋅Sen(A + B) R=
+bSenC
13. De acuerdo al gráfico, calcula «Sen a».
UNI
C
12. De acuerdo al gráfico, calcula «Cos a». 7
7
5
3x
Resolución: Aplicando la ley de senos, tenemos: 5
7
5
7
10Cos2a + 5 = 7 ⇒ 10Cos2a = 2 ⇒ Cos2a =
AÑO
x B
14. En el ∆ABC, si a = 14; b = 10 ∧ c = 12. Calcula el valor de la expresión:
⇒ Sena = Sen3a ⇒ Sena = Sena(2Cos2a+1)
5.°
9
A
3a
a
5
1 5
M=
131
CscB – CscA CscC – CscA
TRIGONOMETRÍA
1
2
Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes)
Ley de cosenos
Nota:
B
2
A
En un ∆ABC se cumple: (2p: perímetro) P = R(SenA + SenB + SenC)
2
a = b + c – 2bc CosA b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC
a
c
2
C
b
Demostración Demostración Z
Z
Trazamos la altura BH, determinándose los triángulos rectángulos BHA y CHB.
Z
a 2RSenA a SenA = 2RSenB ⇒ = SenB b b
B b A
Z
a
bSenA H
bCosA
c–bCosA C
Z
C
A+B 2Sen A – B Cos a–b 2 2 = a+b 2Sen A + B Cos A – B 2 2
uno 2 2 2 ∴ a = b + –2bcCosA
Ley de tangentes
2
Tg A – C a–c 2 = a+c Tg A + C 2
a
b
A
a–b = Tg A – B Ctg A + B a+b 2 2 Tg A – B a–b 2 ∴ a + b = Tg A + B 2
Tg A – B a–b 2 = a+b Tg A + B 2
B
c
C
TRIGONOMETRÍA
Aplicando proporciones: a–b SenA – SenB = a+b SenA + SenB A+B 2Sen A – B Cos a–b 2 2 = a+b 2Sen A + B Cos A – B 2 2
En el BHC: (teorema de Pitágoras) 2 a = (bSenA)2 + (c – bCosA) 2 a2 = b2SenA2 + c2 – 2bcCosA + b 2Cos2A a2 = b2(Sen2A + Cos2A) + c2 – 2bcCosA
Sabemos pr el teorema del seno: a = 2RSenA ∧ b = 2RSenB Dividiendo se tendrá:
Nota De Ley de cosenos:
Tg B – C b–c 2 = b+c Tg B + C 2
CosA =
132
b2 + c2 – a2 2bc
5.°
AÑO
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES)
Trabajando en clase Integral
x2 = 89 – 40 → x2 = 49 ∴ x = 7
1. En un ∆ABC, si m∠B = 120º; b = 3 ; c = 1. Calcula la longitud del lado «a».
5. Del gráfico mostrado, calcula «m».
2. Del gráfico, calcula «x».
B
C
4 30º
x
2
m
60º A
B
45º
A
3. Del gráfico mostrado, calcula «m».
C
6. En el triángulo mostrado, calcula «a».
C
A
135º
2m
4 2m
(2a+3)
(2a+1) A
120 º
B
13
B
PUCP
cumple que:
B
37º x
30º
8
D
6
60º
C
(2a–1)
7. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, se
4. En el gráfico mostrado, calcula «x».
A
D
2 2
1 Tan A – C Cot A + C = 3 2 2 SenA Calcula: SenC
C
UNMSM Resolución: ∆BCD: BC = a ⇒ Aplicando ley de senos, tenemos: a 6 Sen30º ⇒ = a = 6 Sen30º Sen37º Sen37º
a+b
8. En un ∆ABC, se cumple: a + c = Calcula la m ∠c. Resolución:
1 5 a = 6 1 → a = 5 5
5.°
AÑO
C a
b
Luego, ∆ABC ⇒ aplicando ley de cosenos, tenemos: x2 = 82 + 52 – 2.8.5 Cos60º x2 = 64 + 25 – 80 1 2
133
A
c–a b
c
B
Del dato: a+b c–a operando tenemos: = a+c b
TRIGONOMETRÍA
2
RESOLUCIÓN DE T RIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES) ab + b2 = (a + c)(c – a) ab + b2 = c2 – a2 Luego: c2 = a2 + b2 + ab ... (1) por ley de cosenos: c2 = a2 + b2 – 2abCosc ... (2) (1) = (2): a2 + b2 + ab = a2 + b2 – 2abCos 1 ab = –2abCosc → Cosc – 2 ∴ C = 120º
Por ley de tangentes Tan A + B a+b 2 = a–b Tan A – B 2 Tan 120 3b + b 4b 2 ⇒ 3b – b = ⇒ 2b = Tan60º Tan A – B Tan A – B 2 2 ∴ Tan A – B = 3 2 2
9. En un ---ABC se cumple:
bc (a + b + c)(b + c – a) = 4 Calcula «CosA»
Luego:
2Tan A – B 2 Tan(A – B) = 1 – Tan2 A – B 2
10. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, reduce: N = 2(a+b)2Sen2 c – 2ab + (a2 + b2)Cosc 2
11. En un ----ABC, se cumple que: ∠A = 45º; b = 10 2 ∧ c – a = 8
⇒ Tan(A – B) =
Calcula la longitud del lado «c».
2⋅ 1–
UNI 12. En un ∆ABC, ∠c = 60º ∧ a = 3b. Determina el valor de S = Tan(A – B) Resolución:
3 4
B
14. En un ∆ABC, se cumple que: a+c B ⋅ Cot A – = 4Tan a–c 2
C2
Calcula: TanA + TanB + TanC N= TanA ⋅ TanC
⇒ A + B = 120º
TRIGONOMETRÍA
1–
lor de: F = Tan(A – C)
60º
2
2
3
13. En un ∆ABC, ∠B = 30º; a = 4c. Determina el va-
a=3b b
3 2
=
⇒ Tan(A – B) = 4 3
B
C
3 2
134
5.°
AÑO
3 Ecuación trigonométrica Las identidades son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo valor de la variable (valor admisible). En esta lección estudiaremos las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican solo para ciertos valores, a dichas ecuaciones llamaremos ecuaciones trigonométricas. Ejemplos Tgx + Ctgx = SecxCscx : identidad Sen2x + Cos2x = 1 : identidad 1 Senx = : ecuación trigonométrica 2 Cos x –
p = 1 = 3 2
2
2
: ecuación trigonométrica
Resuelve Cosx =
2 ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y IV cuadrante
x = 45º, 315º Para obtener las demás soluciones se les va agregando o restando 360º a cada valor obtenido. Resuelve Sen(2x) =
1 ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y II cuadrante
2x = 30º, 150º ⇒ x = 15º, 75º
II. Ecuaciones trigonométricas no elementales Son ecuaciones que requieren del uso de operaciones adicionales para convertirlos en ecuaciones elementales, estas operaciones pueden ser transformaciones, identidades, operaciones algebraicas, etc.
Clasificación de ecuaciones trigonométricas I. Ecuaciones trigonométricas elementales Son de la siguiente forma: F.T. (ax + b) = N
Recuerda Ejemplos: Sen3x =
3 5
Cos x –
p =1
Ec. T. Elemental
Tg 2x –
p =1
Ec. T. Elemental
2
Si Senx = N ⇒ x = ArcSen(N) p p – ≤x≤ 2 2
Ec. T. Elemental 2
3
Si Cosx = N ⇒ x = ArcCos(N) 0 ≤ x ≤ p –1 ≤ N ≤ 1
Trabajando en clase Integral
3. Indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de: 3Tan2x – 3 = 0
1. Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica: 1 Sen3x = 2
2. Resuelve e indica la segunda solución de la E. T.
PUCP 4. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T.
2Cos5x – 2 = 0 5.°
AÑO
135
TRIGONOMETRÍA
3
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 1 1 = 1 + Cosx 1 – Cosx = 8
10. Resuelve la E. T.: 3 Cosx = 1 + Senx, donde x ∈ [0º; 360º]
Resolución: Operando, tenemos: 1 – Cosx + 1 + Cosx (1 + Cosx)(1 – Cosx) = 8 4 21 1 2 ⇒ ⋅ 2 = 8 ⇒ 1 – Cos x Sen2x = 4 1 = 2 2Sen x 2Sen2x =
11. Resuelve e indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de la E. T.: Sen6x – Sen2x = 3 Cos4x
1 ⇒ 1 – Cos2x = 1 ⇒ Cos2x = 1 2 2 2
UNI 12. Resuelve la E. T. en el intervalo
Luego: 2x = 60 → x = 30º
1 1 8 = = 1 + Senx 1 – Senx 3
7. Resuelve e indica la solución en el intervalo 〈270º; 360º〉 de la E. T. Senx + Sen3x + Sen5x = 0
UNMSM 8. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica p Sen5x + Senx = Cos5x + Cosx; x ∈ 0; 2
1–
〈
1
∴ 2x = 120º; 240º; 480º; 600º x = 60º; 120º; 240º; 300º
Sen3x 2x = 90º; 270º ∨ Sen3x = Cos3x → Cos3x = 1
∴ x = p ; 2p ; 4p
x = 45º; 135º ∨ Tan3x = 1 → 3x = 45º;225º;405º x = 15º; 75º; 135º Los valores de «x» son: {15º; 45º; 75º} o p ; p ; 5p 12 4 12
9. Calcula la menor solución positiva de la E.T.
3 = Cos2x 2
⇒ Cos2x = – ; x = 60º 2
Resolución: Por transformaciones, tenemos: 2Sen3x Cos2x = 2Cos3xCos2x 2Cos2x(Sen3x – Cos3x) = 0 Cos2x = 0 ∨ Sen3x – Cos3x = 0
3
3
3
13. Resuelve la E. T. en el intervalo 〈0; p〉 Cos6x + 3 = 4Cos2x, e indica la mayor solución.
14. Calcula la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2Cos2x = –4Cosx – 3
Sen5x + Sen13x = 3 (Cos5x + Cos13x)
TRIGONOMETRÍA
〈
3Senx – 4Sen3x + 2(1 – 2Sen2x) + 1 = 0 3Senx – 4Sen3x + 2 – 4Sen 2x + 1 = 0 (3Senx + 3) – 4(Sen3x + Sen2x) = 0 → 3(1 + Senx) – 4Sen 2x (1 + Senx) = 0 (1 + Senx)(3 – 4Sen2x) = 0 ⇒ 1 + Senx = 0 → Senx = – 1 → x = 270º 3 – 4Sen2x = 0 → 3 = 4Sen 2x 3 3 → 2Sen2x = → 1 – Cos2x = 2 2
Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
3
3p 2
↓
6. Resuelve: 1 + Cosx = 2Sen 2x
〈
0;
Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0 Resolución: Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0
5. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T.
〈
136
5.°
AÑO
4
Solución general de una ecuación trigonométrica
El objetivo de este capítulo es encontrar la solución general que satisface a una ecuación trigonométrica.
Solución general Si Senx = A ⇒ solución general: x = np + (–)n Vp
Definiciones
donde Vp = ArcSen(A) Si Cosx = B ⇒ solución general:
Valor principal (Vp) Es el valor que asume el arco cuando se aplica la función inversa. Si Snx = N ⇒ Vp = ArcSen(N) También Si Cosx = N ⇒ Vp = ArcCos(N) Si Tgx = N ⇒ Vp = ArcTg(N) Ejemplos: Si Tg x = 1 ⇒ Vp = ArcTg(1) 3
x = 2np ± Vp
donde Vp = ArcCos(B) Si Tgx = C ⇒ solución general: x = np + Vp donde Vp = ArcTg(C)
∴ n ∈ Z
Recuerda
⇒ Vp = p 4
Senx = A ⇒ –
1 Si Cos 2x – p = ⇒ Vp = ArcCos 1 2 6 2
p ≤ Vp ≤ p 2
2
Cosx = B ⇒ 0 ≤ Vp ≤ p
⇒ Vp = p
p
p
Tgx = C ⇒ – < Vp < 2 2
3
Trabajando en clase Integral 1. Determina el valor principal (Vp) para cada E. T. p = 3 →Vp = _________ Y Sen 4x – 6
Y
1 →Vp = _________ 2
p = – 3 →Vp = _________
Tan x –
Y
Cos 3x –
10
2
Cos(5x + 10º) =
Y
3. Resuelve e indica la solución general:
3
PUCP 4. Resuelve e indica la solución: p = 3 Tan 2x – 4
p = – 3 →Vp = _________ 6
2Cos x – 3 = 0 4
Resolución:
2
Tan 2x –
2. Resuelve e indica la solución general:
2Sen4x – 1 = 0
5.°
AÑO
137
p = 3 ⇒Vp = ArcTan 3 = p 2 4
TRIGONOMETRÍA
4
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2x –
p = np + Vp 4
p p → 2x = np + p + p 2x – = np + 4
3
2x = np +
3
5. Resuelve e indica la solución general. p = 3 Tan 3x + 3
2
7. Resuelve e indica la solución general: 1 x + p
Cos
3
6
=–
10. Calcula la solución general de la ecuación: 3 p p Sen + x + Sen – x = 4Cosx ; n ∈ Z 6
11. Calcula la solución general de la ecuación: 1 p p Cos2 – x – Cos2 + x = ; n ∈ Z
12. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 4p 5p Cos 2x + Sen 2x – 3
8. Resuelve e indica la solución general de la E. T.: Sen62x + Cos62x + Cos22x = 2 Resolución: 5 3 + Cos4x (Identidad) 8 8
Sen62x + Cos62x + Cos2x = 2
↓
1 + Cos4x 5 3 + Cos8x + = 2 2 8 8
6
– Cos2x + 1 = 0
Resolución: 4p 5p Cos 2x + Sen 2x – – Cos2x + 1 = 0 3 6 4p 4p 2Cos 2x + Cos – 2x – 2Cos2x + 2 = 0 3 3
2
S.q.: Sen6x + Cos6x =
2
8
UNI
UNMSM
6
8
6. Resuelve e indica la solución general: p = 3 Sen 4x + 6
16
4
7p → x = np + 7p 12 2 24
8
9. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 13 Sen6x + Cos6x = ; ∀ n ∈ Z
por transformaciones, tenemos: 8p Cos + Cos4x – 2Cos2x + 2 = 0 3 2p Cos + 2Cos22x –1 – 2Cos2x + 2 = 0 3 1 – + 2Cos22x – 2Cos2x + 1 = 0 2 1 2Cos22x – 2Cos2x + = 0 2
5 + 3Cos8x + 4 + 4Cos4x = 2⋅8 3Cos8x + 4Cos4x = 7 3(2Cos24x – 1) + 4Cos4x = 7 6Cos24x + 4Cos4x – 10 = 0 3Cos24x + 2Cos4x – 5 = 0
→ 4Cos22x – 4Cos2x + 1 = 0 (2Cos2x – 1)2 = 0 ⇒ 2Cos2x – 1 = 0 → Cos2x = 1
3Cos4x
5
Cos4x
–1
∴ 2x = 2n p ± p → x = np ± p
2
Vp =
p 3 3
6
Luego: (3Cos4x + 5)(Cos4x – 1) = 0 Cos4x – 1 = 0 ⇒ Cos4x = 1 ⇒ Vp = 0
13. Indica la solución general: p x p x = 3 Cosx 2Sen + Cos –
Finalmente: np 4x = 2n p ± 0 ⇒ x = 2
14. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T.:
4
TRIGONOMETRÍA
4
2
4
2
Tan2x + Cotx = 8Cos 2x
138
5.°
AÑO
5 Funciones inversas I Notación: Z Z Z Z Z Z
Tener en cuenta:
Función seno inverso o función arco Seno: Arc Sen Función coseno inverso o función arco coseno. Arc Cos Función tangente inversa o función arco tangente: ArcTan Función cotangente inversa o función arco cotangente: ArcCot Función secante inversa o función arco secante: ArcSec Función cosecante inversa o función arco cosecante: Arc Csc
–
p ≤ ArcSen x ≤ p ; –1 ≤ x ≤ 1 2
2
0 ≤ ArcCosx ≤ p ; –1 ≤ x ≤ 1
–
p < ArcTanx < p ; –∞ < x < ∞ 2
2
Trabajando en clase Integral 1. Calcula el valor de: a = ArcSen 3
5
2 6
2
q
2. Calcula:
1
q = ArcSen 1 + ArcCos 2 2 2 3. Despejar «q» de: Sen q + p = a 3
Nos piden Tanq = 2 6
5. Calcula:
6
M = Sen ArcTan 1 3
PUCP 4. Calcula:
J = Tan ArcCos 1 5 Resolución: 1 Senq = ArcCos 5 ⇒ Cosq = 1 5
5.°
AÑO
6. Si: q = ArcCot 1 2
Calcula: P = Sen q ⋅ Cosq
7. Si a = ArcSen 1 . 4
Calcula: Sen2a
139
TRIGONOMETRÍA
5
FUNCIONES INVERSAS I
UNMSM
10. Calcula 1 1 M = Tan ArcTan + ArcTan 5 3
8. Calcula:
1 C = Sen(ArcCot3 + ArcTan ) 2
11. Calcula:
Resolución: Sea: a = ArcCot3 ⇒ Cota = 3 b = ArcTan 1 ⇒Tanb = 1 2 2
UNI
Nos piden: C = Sen(a + b) C = Sena Cosb+ Cosa Senb Sabemos:
12. Reduce:
Sec2 (ArcTanx) – Csc 2(ArcCoty) J = Sen(ArcSenx) – Cos(ArcCosy)
10 Cota = 3 ⇒
Y
1
a
5 Tanb =
1 ⇒ 2
También: Sec2(ArcTanx) = 1 + Tan 2(ArcTanx) = 1 + [Tan(ArcTanx)]2 = 1 + x2 Csc2(ArcCoty) = 1 + Cot 2(ArcCoty) = 1 + [Cot(ArcCoty)]2 = 1 + y 2
Reemplazando 1 + x2 – (1 + y) 2 J= x – y
1
b 2
reemplazando:
x2 – y 2 (x + y)(x – y) J = x – y = x – y
C = 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 10 5 10 5 C=
5 = 1 = 5 2 5 2 2
Resolución: a = ArcSenx ⇒ Sena = x Sea: b = ArcCosy ⇒ Cosb = y
3
Y
Cos 1 ArcCot 3 2 4
⇒ J = x + y 13. Reduce: J=
Tan2(ArcSecx) – Cot 2(ArcCscy) Sen(ArcSenx) + Cos(ArcCosy)
9. Simplifica: R = Sen ArcCot 5 – ArcCos 3 12 5
5
TRIGONOMETRÍA
14. Calcula: J = Cos ArcCos Tan ArcTan
140
1 4
5.°
AÑO
6 Funciones inversas II Propiedades
Para valores negativos:
ArcTanx + ArcCotx =
p ; ∀ x ∈ R
ArcSecx + ArcCscx =
p ; ∀ x ∈ 〈–∞; –1] ∪ [1; ∞〉
ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) = p – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx ArcCot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) = p – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx
p ArcSenx + ArcCosx = ; ∀ x ∈ [–1; 1] 2
2
2
Trabajando en clase Integral
5. Reduce:
1. Calcula: q = ArcSen – 3 + ArcCos – 1 2
2
J = (3ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉
6. Resuelve el sistema y halla x
y
2p 2. Si ArcSenx + ArcSeny = 3
ArcSen(2x + y) = ArcTan(x – 2y) =
Calcula: q = ArcCosx + ArcCosy 1 3 – ArcTan – 2 3 Q= Arc Tan(–1) + ArcCos – 2 2
p 4
Arc Cos (–x) = 4ArcSenx
ArcSen
UNMSM 8. Calcula x si: ArcSenx = ArcCosx Resolución: Del dato ArcSenx = ArcCosx = a ⇒ Sena = x Cosa = x Sabemos que: p ArcSenx + ArcCosx = 2
PUCP 4. Reduce:
J = Sen(ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉 Resolución: J = Sen [ArcSenx + ArcCosx + ArcCosx]
p
a + a = p
J = Sen 2 + ArcCosx
2
a = p
J = Cos(ArcCosx) J=x
AÑO
6
7. Determina el valor de x en:
3. Calcula:
5.°
p
4
141
TRIGONOMETRÍA
6
FUNCIONES INVERSAS II
⇒ Sen p = 1 4
Resolución: Sen 2p = Sen p 3 3
2
9. Calcula x, si:
q = ArcSen Sen p + ArcSen Sen p
ArcSen2x = ArcCos2x
3
q = p + p
10. Calcula: M=
3
3
ArcSec5 + ArcCsc5 1 1 ArcCot + ArcTan 4 4
3
q = 2p 3
11. Calcula: R = 2(ArcSec3 + ArcCsc3)(ArcTan2 + ArcCot2)
13. Calcula: a= ArcSen Sen p + ArcSen Sen3p 5
5
UNI 12. Calcula q = ArcSen Sen p + ArcSen Sen 2p 3
6
TRIGONOMETRÍA
14. Calcula: b = ArcSen(Sen2) + ArcCos(Cos3)
3
142
5.°
AÑO
7
Funciones trigonométricas (seno y coseno)
Funciones trigonométricas seno
Del gráfico se afirma: D(Coseno) = R R(Coseno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Función par: Cos(–x) = Cosx Periódica; período principal: 2 p No es inyectiva
Representación
F. T. (Seno) = {(x; y) / y = Senx; x ∈ D(seno)} Gráfica y 1
p
Senx1
p x1
p – 2
Senx2
x2
3p 2
Criterios de periodicidad 2p
2
5p 2
Las consideraciones a tener en cuenta para el cálculo del periodo será: Dada la función: f(x) = A + B F.T. n (kx + f) Donde k ∈ R – {0}; n ∈ Z+ ⇒ Para Seno y Coseno n: impar n: par
3p x
–1
Del gráfico se afirma: D(Seno) = R R(Seno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Periódica, período principal: 2 p Es una función impar: Sen(–x) = –Senx No es inyectiva
2p T = k
p
T = k
Ejemplo: f(x) = 4Cos2x 2p n = 1 ⇒ T = = p 2 k=2 g(x) = Sen 4x p n = 4 ⇒ T = = p 1 k=1
Función trigonométrica Coseno Representación
F.T. (Coseno) = {(x; y) / y = Cosx; x ∈ D (coseno)} Gráfica y
Advertencia pre
1 Cosx1
–
p
p 2
2 x2 0 Cosx2
x1
p 3p 2
2p
5p 2 3p
La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje «y» mientras que la función impar es simétrica respecto al eje «x».
x
–1
5.°
AÑO
143
TRIGONOMETRÍA
7
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Completa los pares ordenados de la siguiente función: F. T. (Sen) = (0;
),
p 6
;
,
p 4
8. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = Cosx–1
;
...
Resolución: Analizando: y = f(x) = Cosx–1 ⇒ Cosx – 1 ≥ 0
2. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: I. La función y = f(x) = Senx, tiene un máximo en 〈0; p〉 II. la función y = f(x) = Senx es inyectiva en p p – ; 2 2
〈
Cosx = 1 Cosx ≥ 1: Cosx > 1
〈
∴ Cosx = 1 ⇒ x = 2np; n ∈ Z Dom(f) = {x ∈ R / x = 2n p; n∈ Z}
III. La función y = f(x) = Senx es impar sabemos que: Cosx = 1 Cosx – 1 = 0 Cosx–1 = 0
3. Halla el período de: f(x) = 4Cos 62x
∴ Ran(f) = {y ∈ R / y = 0}
PUCP 4. Dada la función seno, calcula un valor de «x» si el par ordenado p + x; 1 pertenece a dicha fun3
ción.
9. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = 1–Senx
2
10. Halla el período de la función: f(x) = 4 + 3Sen4x
Resolución: Como p + x; 1 ∈ f(seno) 3 2
11. Halla el dominio de: g(x) =
3Senx + 1 1 + Cosx
Sen p + x = 1 = Sen p 3 2 6
UNI 12. Calcula el rango de la función:
p + x = p 3
6
∴ x = –p 6
5. Dada la función coseno, calcula un valor de «x» si el par ordenado p +2x; 2 pertenece a dicha función.
10
2
6. Halla el dominio de:
Sabemos que: –1 ≤ Senx ≤ 1
y = f(x) = 1 + 2Senx
3 1 1 – ≤ Senx – ≤ – 2 2 2
7. Halla el rango de: y = f(x) = 4 + 3Cos2x
7
TRIGONOMETRÍA
y = f(x) = Senx (1 – Senx) Resolución: y = f(x) = Senx – Sen 2x = –(Sen2x – Senx) Completando cuadrados 1 y = f(x) = – Sen2x – Senx + 1 4 4 2 1 f(x) = – Senx – 1 4 2
144
5.°
AÑO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) 2 9 0 ≤ Senx – 1 ≤ 4 2 2 9 – ≤ – Senx – 1 ≤ 0 4 2 2 1 1 –2 ≤ – Senx – 1 ≤ 4 4 2
13. Calcula el rango de la función: g(x) = Cosx(Cosx – 1)
14. Halla el período de: y = f(x) = Sen x – p + Sen x + p 3 3
∴ Ran(f) ∀ y ∈ –2; 1 4
5.°
AÑO
145
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Halla el rango de la función: y = f(x) = 3 + 2Csc3x a) R – [1; 5] b) R – [–1; 5〉 c) R – 〈–1; 5〉
d) e)
B
〈 1; 5〉 R – 〈–1; 1〉 R –
c) p
b) 3p 2
d) p
Sen5x + Senx = 3 Cos5x + Cosx 3 a) 5º c) 15º b) 10º d) 20º
e) 30º
c) 6 d) 7
2Cos2x + 3Cosx – 2 = 0; x ∈ 〈0; 2p〉 e indica la suma de soluciones en el intervalo dado. 3p 3p a) 3p c) e) 4 2 5p b) d) 2p 2
e) 8
5. En un triángulo ABC, C = 2A; a = 9 y c = 14. Calcula CosA 8 9 7 b) 9
2 3 5 d) 9
a)
c)
e)
10. Calcula la solución general de: Tan x + p + 3 = Tan x – p ; n ∈ R
4 9
3
a) np – b) np +
6. En un triángulo ABC reduce la expresión: P= 1 8 1 b) 4 a)
bcCosA + acCosB + abCosC a2 + b2 + c2 1 c) e) 2 2
p
c) np ±
8
p
p
12
e) np ±
6
d) 2np ±
p
p
a) n + (–1)n 2 12
d) 1
b) n + (–1) n
lo B, siendo BD bisectriz.
TRIGONOMETRÍA
3
p 3
p 6
11. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T. Cot2x + Tanx = 4Cos2x; n ∈ R .
7. En la figura mostrada calcula la medida del ángu-
8
e) 30º
9. Resuelve:
4. Si 0º ≤ x ≤ 360º, halla el número de soluciones de: Tg2x = 3Tgx a) 4 b) 5
e) 150º
8. Resuelve:
3. Halla la solución principal en: Tanx + Cotx = 4 c) 18º d) 20º
c) 60º d) 120º
e) 0
2
a) 10º b) 15º
C
D
a) 30º b) 45º
8
a) 2p
42
A
2 Reduce la expresión: E = ArcSen Sen 7p + ArcCos Cos 9p 8
140
60
146
c) 2np ±
p 6
d) n
p ± p
e) n
p + (–1)n p
2 4
24 24
p 24 5.°
AÑO
REPASO
12. Halla los valores de x, si 0 < x < 2 p y se cumple: Cosx > Senx p ∪ a) 0; 4 b)
〈 〈〈 〈 p p p p ∪ 〈 〈 〈 〈 p 〈 〈∪ 〈p p〉 〈 p p 〈∪ 〈 p p 〈 4
c) 0; d)
e)
4
;
2
5p ; 2p 4 ;
2
4
;
5p 4
〈
Claves
5 4
;2
;
〈p
5 ; 2 4
1.
d
5.
b
9.
d
2.
c
6.
c
10.
e
3.
b
7.
d
11.
e
4.
d
8.
b
12.
a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
AÑO
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elemental. Editorial Uteha. HOBSO, E.W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5º Pre RACSO editores.
147
TRIGONOMETRÍA
8
