Física 2012. RUBIÑOS BN.pdf

-91

'y

La 3ra. Ley dti^KepIér , aplicada al movimiento de un planeta que se mueve eivfina órbita circular, dice que encuadrado del período del movimiento es igual al cubo del radio de la órbita multiplicado por una constante . Determine la dimensión de dicha constante. A jm w ” B) [ T f [Lf C) [rj* [t]5 D) [ r f [L]^ E) [ r f [ t f PROBLEM A 1 2 : En un experimento de laboratorio se determina que un sistema fisico almacena energía E , proveniente de una fuente calorífica, en función de una cierta variable a : E = E (a ). El gráfico E versus a es una recta cuya pendiente tiene las mismas dimensiones que la constante de Hooke. Entonces la dimensión de es: A )L B )L l C)J l D ) L 2 E) PROBLEM A 13 : La velocidad v de una partícula , de masa m en función del tiempo "/", está dada por : V = 2xHLnsen

j)m / 8

PROBLEMA 9 :

ad2t 2 La ecuación v = —^ ^ -+ p F t a n 4 , describe correctam ente el m ovim iento de una partícula.Siendo v su velocidad , d su diámetro, M su masa, F la fuerza

Indicar las dimensiones de ^ , si L0 es una longitud. A) MT-1 B) M T-2 O M 2^ D) M*T E)M*T^ PROBLEMA 14 :

La energía E y la cantidad de

>Í!m» movimiento lineal p están relacionadas por la ecuación: E*=Ap'+Bc* donde c es la velocidad de la luz. Entonces, las dimensiones de A y de B son , respectivamente. Al Í? M T * ¡ Ü M **

m tiT * i

C) L*T~* ;L*M T^

D)L*M T; L*MT~*

PROBLEMA 1 5 :

La velocidad crítica Vc a la cual el fliyo de un líquido a través de un tubo se convierte en turbulento , depende de la viscosidad r¡ , de la densidad p del fluido, del diámetro D del tubo y de una constante adimensional R. De la ecuación dimensional para la viscosidad. [n ] = M L lT l

B)RjnpD E)RnpD

PROBLEM A 18 :

A) W V D) F W

Enia ecuación:

PROBLEMA 2 3 :

dimensionalmente Ipmogénea, z es la potencia, Q es la rapidez y J es el trabajo. Determine la dimensión de xfy. A) M 'L T

B ) M ' L ' t "*

D ) M ‘ L*T*

B) M 'L T *

Q M 'L ^ T 4

En la ecuación y

x * (x -a ) f cosa

a es una aceleración y f es una frecuencia. La dimensión de y es: A) L*T~* B) L*T~* D) LT~* E) LT~7

Considere la siguiente ecuación : x = -A + B t-C t3 donde x: espacio (m etros), t: tiempo (segundos) y A, B, C son constantes no nulas. Indique el tipo de movimientos, y M JÍ.IIV, que es descrito por esta ecuación y escoja entre las expresiones F, G y H, la que es dimensionalmente correcta.. G -^B+ A f jr « £A+ C

1“

\-2ah

donde ^ £ = energía, a * a ce le ra cló n , A «altura, m *m asa A j d en sid a d d e m a m

B ) veloc idad

C ) p r e s ió n B) aceleración

D)

fr íc a m e la

PROBLEMA 21:

La fórmula para el periodo T en un cierto sistema es: zxdP+Kr donde R es un radio y g es la aceleración de la gravedad. Halle el valor de x. Aj 006

B t 0,60

C ) 0,7 5

D ) 1,00

B) 106

PROBLEMA 22 :

A) M.R.U.V. , H B) MJCU.V. ,1 CJMJLU. , H D) MJLU. ,F

Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

B) MJLU.V , 0 PR O B LE M \l7¿;

t) En una ecuación física constituida por la suma de varios térm inos, el principio de homogeneidad exige que todoB los términos de la ecuación tengan las mismas unidades.

t .»

•

La siguiente" ecuación o* _ -xtan(105°) 2a>Rxp Pi + Pa es dimensionalmente correcta. Indique la dimensión de la cantidad x si o 0es una aceleración, Ri es un radio, p¡,p¡ y p son densidades de masa y • es una velocidad angular. A)LT* B)LSMT* D)Ll T~l E)LT*

C)L* MT*

Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) Las cantidades físicas fundamentales son aquellas que se definen a través de una relación operacional con otras cantidades físicas.

III) La leqtura de 3kg.mls es tres kilogram os por m etro entre segundo. ■Aj W V

B) F W

C jF F V

D j FV F

Bj FFF

PROBLEBU6 20 t

C)

Determine la dimensión de 5 en la siguiente expresión cr— :--------S=

B) VFF E) FFF

2 0 12} CJVFV

II) En el sistema internacional, se considera a la fuerza como cantidad fundamental.

PROBLEMA 19 i

ORnDIp

PROBLEMA 16 :

f.

¡A

PROBLEMA 20 §

La dependencia de Vc con n , p , D y R es: AjRnplD D)RnipD

¡y*»

II) Una diez milésima de ampere es igual a lOmA. III) La cantidad (o magnitud) física que se mide en joule por kilogramo Kelvin tiene com o expresión dimensional

51 la siguiente expresión física es dimensionalmente homogénea. CDB + XYA + DF = AB(Í - CD K* Siendo: B * trabajo F » fuerza Determine la expresión dimensional de “D” AJLT* B>L-*T-* C iU P DJM L.T E jL

PROBLEBLA 23 i R e v is a n d o a p u n te s de c ie r t o exp erim en to un p r o fe s o r e n c o n tr ó la sig u ien te expresión: 1/2 Ed =* 2rni(x)*-, donde la variable que aparece entre paréntesis era ilegible, F es módulo de una fuerza, d es longitud y m es masa. En base al análisis dimensional halle a que cantidad física podría representar **x” . A j T iem po B) R a p id ez C ) A celera ció n D ) P resión

B ) T ra b q jo

PROBLEMA 20 I Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I) Dos cantidades con una misma expresión dimensional, se miden con las mismas unidades en el SJ. II) En una ecuación dimensionalmente homogénea las unidades a ambos lados del signo igual ( —) deben ser las mismas. III) En una ecuación física todas las constantes son adimensionales. Aj W V

B jV F V

CJ F V F

D ) FF V

B) FF F

PROBLEBU6 271 La rapidez d e un líquido en un tubo cilindrico a una dstanda r del eje central es á

P

4 tjL

( R* - r*), donde P es presión, R vi­

radlos, L longitud. Halle la dimensión de 9

F

PROBLEMA SE t

1

A) ÍM L * 7 ‘

B) M L T

D ) MUiT~*'

E) M *U lT l

PROBLEMA EB

E D IC IO N E S HUBMÑOM

77

C)

/

ndique cu áles de las siguientes proposiciones son verdaderas.

=> [á rea ( F - t ) ] = M LT *

SI quisiéramos obtener una ecuación para la fuerza (F) que ejerce el aire sobre una cometa, obtendríamos experimentalmente que ésta depende de la velocidad del viento 0 9 , del área de la com eta (A) y de la densidad del aire (d). ¿Cuál de las siguientes podría ser la ecuación buscada?. Considere a uk n una constante adimenslonal.

*

í ) En la expresión: D «

, sí V es velocidad, entonces la dimensión de a es

L*TK ¡I) Dada la ecuación: y -A se n (a t - k x), el principio de hom ogeneidad indica que /® r/= /* x /, por tanto tienen dimensiones iguales. III) La ecuación <4 + B + C * D 1 es dimensionalmente hom ogénea si cada término A, B, C y D tiene las mismas unidades. A) Sólo I D i I y II

B jS ó lo I I E) II y III

C jS ó I o lI I

PROBLEMA 29 / La energía por unidad de volumen que transporta una onda que se propaga en una varilla está determinada por la ecuación ft - -gp‘ to*A* donde p es la densidad, to es la frecuencia angular de oscilación y A la amplitud de oscilación. Encontrar el valor de 2x + y + z. A)2 B/6 C) to Dj-4 E) -8

B ) F = k

D)F=kV’ A jd

E) F*MV*Ad

[R1 M

j {mCTICA&'CÜtó.

la

Ubngitud

B) I

. ti - v

C)2 Dj 1(2 C E) ~1!2 La presión (p) que ejeréfe un fluido en movimiento, puede hallará en cierto caso particular por:

Como R es adim ensional lo reemplazamos por la unidad

R E S O L U C IÓ N 2 :

p = tnV '

/

[c l= M = IT 1 * \AV] M V T~* l l

= V * T 41* La unidad de la capacidad eléctrica es el faradio (F). RPTA : “B ” R E S O L U C IÓ N 4 :

IT

•'

d on d e m = m asa: t = tiem p o, * = área o = aceleración: determine las unidades de A en el sistema Internacional de unidades.

D i

—

RPTA : “ C ”

R E S O L U C IÓ N 8 : * Para determ inar la fórmula apropiada de P en función de la densidad d del agua, del caudal g y del área S. planteamos la fórmula empírica: P = AdxQ yS ‘ ................ (I) tomamos fórmula dimensional a la ecuación física y a la vez aplicamos propiedades, se obtiene: [p]^i\][dr[QY[sY donde: Í P ]= M L 1 T 2;ld] = M L *;[Q ] = lPT ~l ; [S] = L2

=I

* Reemplazando : M L lT '%= (ML~3)\ x ( Ú T ^ Y ( i f Y

=>■[AV] = J f L ’ T -* r ‘ La u n id a d d e la diferencia de potencial

B)

f bx Ae

=(2M

= Jx

[D] ( [A] + [ B ] U T ] ) « [1*3 => [D I [A] = [D ) [B] U T ] = !M] =* ML J [A] = ML 3 [B] e * M =>■ [B ] * L3 fl 1

J [«]

M

------------- — [volumen] L

a m p l i t u d

( l ) x E n l = ML 3 LT 1 L => [i\] ® ML‘T 1

1

[mo*a]

j tkncia

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones del trabajo y la carga eléctrica:

PROBLEMA S I t

ni>

= [p] [V ] [d j

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones de la carga eléctrica y de la diferencia de potencial:

AJO

/*

" RPTA : “E ” R E S O L & C IÓ N 7 : _ * Debemos plantear:

ecuación

Cuando un líquido en movimiento sufre un “estranguiamiento" com o el mostrado en la figura, la fuerza (F) con la cual el líquido interactúa con la pared Inclinada tiene la siguiente forma:

í-íj

_»• ,

^ [pendiente (A —B)J lpendiente U

PROBLEMA SO /

= - d *v js 2 ■ Siendo D: densidad del líquido; V = rapidez a la entrada de la sección delgada; 4 = área de la tubería delgada. Halle E « x + z - y .

lfil

rfV1

RPTA : “B ” R E S O L U C IÓ N 3 :

f

(pendiente ( A - B ) J = {4 } /

R E S O L U C IÓ N 1 : Escribim os dimensional:

La dimensión de la pendiente de la recta es:

VA

A) FmhVAd

W Ñ ÁW

RPTA : "B ” R E S O L U C IÓ N 6 :

-

[^XAAJTMMM M*MPMM2JmW4*2*ZASL,

C ) m 3 *t

E) fa iia con ocer et exponento x

o voltaje es el voltio (V).

RPTA: “B ” R E S O L U C IÓ N 5 : La dimensión del área comprendida por la gráfica F - t es: [área (F-t)J =[F] (t]/2=(M L73)(T )/l

* Igualando los exponentes •x = 1

* — y = —2 = » y = 2

•— 3 x + 3 y + 2 z = —1 =>

2

* Luego en (I) : p = AQ 2dJS* RPTA : “B ”

(5 F ir á R E S O L U C IÓ N 9 :

R E S O L U C IÓ N 11 : ♦Sea «P» el periodo del movimiento «R» el radio de la órbita y «K» la constante correspondiente.

♦ De lo dado : ad*t* V— ' ' ■ + BF 2M ♦ Se pide M

= [a] [£ ]-------------------

d i)

♦ De la expresión (I) t por el principio de homogeneidad , se tiene: UD i— — --------:— i = [p Fian 0 ]

(I) *De (I) :

M

siguiente expresión:

a d 2*±] =» LT~‘ = 2Mí J

2m2

M -1 m-S [a] = ML T

* De (U) : [v) = \pFtan+\ => L T ‘ = [p\ M LT* => [p] = M 'T ♦ Reemplazando en (II) : [ap^ fM L -'T ^ H M ^ T )

♦ Del enunciado, se puede obtener la siguiente fórmula empírica : P 2= R 3 x K ♦ Del principio de homogeniedad: [P 2J=fR3 xKJ ♦ Luego : [ P ] 2~ [ R ] 3[ K ] ♦Definiendo la expresión dimensional de P y R. T2=L3[K J = > [ K ] - T 2 X IT ® S i, [ ] es el operador dimensional, entonces , la siguiente [TJ2[L]~S no es correcta . Por ello, en las alternativas se debe considerar él corchete ([ J) como elemento de separación en el producto. RPTA: “D ” R E S O L U C IÓ N 1 2 : ♦ Graficando E versus a según el enunciado: (a, E) ta n 6=m = p en d ien te

RPTA : M E t$ R E S O L U C IÓ N 1 0 :

KSXX y z )

e ---- = a T „ L- num ero» • Debe cumplirse que : [ a ] « i ; ¡a )[ x ly z ] * l = > | V < J [ * ) [ * ] - Í . . M )

[z] = MU3............................(II) • [x\\y]=M^>[y\=M[xY, ...(III) • (OI) y (W en (I):

♦ Del gráfico: m = ^ => E *

...... (i)

[ mj

[K ]

—

(JO)

♦ Donde: K : constante de Hooke m : pendiente ♦ Por definición:

♦ En la ecuación anterior por ser dim ensionalm ente correcta , podemos plantear:

i

i

-----------” -------------

LT ‘ m ( / ) ( / / ] [ i ] =» [ /f ] = 7 r", --------------- (II) •V

♦ Además el argum ento de la función trigonom étrica es adimensional, entonces: 0 = J — t + ¿ **(a rg u m en to) =* 191

♦ Elevando al cuadrado: K x T 1 =»(!)* => K = MT

~am

M

X = IfT'1

♦ (OI) y (U) en (I) :

RPTA: “A ” R E S O L U C IÓ N 14 :

Tí)

p

2 ] = [ b c 2] (III)

(II)

D e W y (II):[E] = [A],/2x[p ] ¿ £ T Sm-t

♦ De (I) y flZO : tE]

*[C]

[m ] = [KJ = M T 2

♦ Luego, [Vá] dimensionalmente:

[m V*] = [B],/2 x tV]

♦ De (I) : [E] - [m ](a] => M Ü T'2 = MT~* [a ]

R P T A : “A ”

R E S O L U C IÓ N 1 3 : RPTA : " D "

í/J

LT¡

[a ) = L2 => [>/<*] = 4 l í => [^ * ] *“ L

=> [*]* =MiV 3

♦ Se pide determinar:

[ e 2] = [ a

[E] = ML*T~i

Dato: • * = densidad volumétrica

es dimensionalmente correcta.

♦Dado que la ecuación eB dimensionalmente correcta, luego

♦ Por dato, dimensionalmente:

S* -i

m

♦ Se pide [KJ

=> [afi] = L-lT *

♦Nos piden [x] para que la ecuación sea dimensionalmente correcta : expórtente

V = 2xH L0» m J—

♦ La velocidad V de una partícula de masa m está dado por la

RPTA; “B R E S O L U C IÓ N 1 5 : tubo

* La velocidad crítica Vedepende de la viscosidad r¡ de ja densidad /?, del diámetro D y de una constante adimensional R* * Entonces, tenemos : vc = RnxpyD t a) Donde f tenemos que determinar los exponentes x f y , y ¿ c para tener la correcta (lepen des ela entre Vc ylas magnitudes señaladas , para ello hacemos uso del análisis dimensional.

E s a 79 *Luego, conociendo las ecuaciones dim ensionales de A, B y C, verificamos utilizando el principio de homogeneidad. i» Si :F=^-+B =>[/?] IB] [F Tl l J]=!¡^=L ltj

[F]=LT * *LT-J

* De donde se deduce que F NO es dimensionalmente correcta: c*

Si G=— + A

-m -m -

[c]=>[ít]=(LT =z,r“*

'-►valoddad L-*-cte

Reemplazamos en

[tiHML-T1 (dato)

di)

(pl=MLJ ; [D1=L densidad ^dlánru

(longitud). => LT ' = (D Í M L 'T 'Y (MU* Y (L)‘ => M° V

T-‘ = M " \ L x,‘ l r . T *

T T T t t j •Luego de los exponentes , planteamos: x+y =0

Re solviendo -x +z -3 y = 1 x =l

* Finalmente en (I):

RPTA: “D R E S O L U C IO N 1 6 / ♦De: x = -A + B Í ^ Crtf w

(I)

d = v0 t ± ^ a t 3 => x - x 0 = vQt - i - a t 2

=>

2

—-at ¡

x0 = - A (m etros) =>[A]=L

[núm ero r e a l)* ]

[C09t)-1

[*)=1

y

Se non pide hallar : S =

* Ya que la ec^J dlmensionaiménti \i

J =L j

que se plantea es riogénea. entonces: \

J r fzQx)= [jj :fej w 4 (MÜT~*) (LT* .(II)

^[x] = V*T*hi

• Según*'el argumento de la función

=*H si es dim ensionalfneff correcta.

* Luego, se debe verificar que:

Qy

Se trata de un M .R .V .V y H es dimensionalmente correcta. RPTA; “A ” R E S O L U C IÓ N 1 7 :

L«*l

Ü«]wJ

J x J#¿, r

I

-lZ r W

=, ^ W=A,tT' - (H/)

* AI remplazar (II) y (III) en (I), tenemos: S * r\ =

y]

* Se pide * : * Ya que está ecuación es dim ensionalm ente correcta. Establecemos las dimensiones:

MLT*

S=M *L*T*

OPTA i ••€"

RESOLUCIÓN IS§ •Se pide determinar la fórmula dimensional de y: del principio de homogeneidad. (I)

x’ (x -a )

MDonde:

fcosct

Uf*)m(Jul => M-M-W

*[ao l « LT~2

a> ; velocidad angular

►[<»] = T '1

(II)

P*Pi y Pt •densidad => \J>] = ÍPj] = [Pz\ = I P i + P z i = M U 3

Entonces: lyJ

(II)

[2 ] = 1 - tan 105°] = i d * ecuación

* (I)en (II): (y7 *

dimensional de un número es la unidad).

Establecida la fórmula dimensional de la aceleración (a) y la frecuencia (f) se tiene

* * De (I) y (II); deducimos :

(poten cia) ^M L'T'3

R ¡ : radio------ >[ü , ] = L

* Para un M J L U Y ,;^ cumple : 2

(tra b a jo) -M L*T'a

coseno, tenemos: £*

donde a0 : aceleración

¿r*-»

(velocidad) ~LT '

De donde, deducimos [HJ

[g p f _ i x][-tan 105o] i2\[a>\[R1][p] [Pi+Pz\

y = Z = -1

de la forma A+B=C es dimensionalmente homogénea, se cumple que: |A1= (B) = [C] De donde se tiene: [A]: dimensión de la magnitud A. * También:

i*OxíA

[G]=rLT *_f =L =* [C]=Lr^ # L LT * En (I) , si tomamos dimensiones Luego, G no es dimensionalmente en ambos miembros, tenemos: [vc]-[Ri’ r’ tr]^[vc\-[R][nY[rY[Dr
K tm iÑ o s A

Reemplazando

( L T 2)2 ' l T 1LML~a

[xU MU3

en

(I)

[*] = L T 3

RPTA : "A "

B=o0(^.)=> \B\~LT1

lo siguiente: [yj= Í £ t^ íl—=> [y]=LJT~*

RESOLUCIÓN JO I • Por teoría se sabe que si en una ecuación

RPTA l “R” RESOLUCIÓN EOi SI tenemos una ecuación dimensionalmente correcta jr*+ys* del principio de homogeneidad sé cumple :

so

£

1A

M m= ( y M z ]

RESOLUCIÓN 22 $

xotx:

I) VERDADERO

[a ]: se lee: fórmula dimensional de a.

Sea una ecuación física constituida por: Ax + By = C x - D

Además flongitud]=L (I)

[aceleración]=LT~ *

(v e lo c id a d D L T 1------------------ (II) En el problema, debem os encontrar (5) tordaio S

■

donde:

—2ah

-1 t1l m

II) FALSO Puesto que una diez milésima de ampere significa: 0,0001A = 10-*A mientras que: lOmA = 10 mili ampere equivale a: IOx KFA = /(HA

E =energía, a s a ce le ra ció n , h = altura, m =masa cz 2 E entonces s = m

Para que la ecuación física sea correcta todos los términos de la ecuación deben tener las mismas unidades.

Com o podem os apreciar ambas cantidades no son iguales. III) FALSO

A , 2an

[S p = (2 a h ]

Joule por kilogramo Kel\1n = - — -

J

0 ) en (III) : ISJ*=(LT~‘ )(L ) => [S )* = L , T~ * (IV )

La dimensión de 5 es velocidad.

RPTA t " B ” RESOLUCIÓN 21 s Principio de homogeneidad dimensional para una ecuación: A+B*C se cumple que: fA]*[B]*fC]

2*Ot*+kr

I) Como: T=p&iodo»tiempo de duración de I uueiia o l oscilación. =>Su ecuación dimensional es ¡T]=T tt) Nótese que existe la suma: R*+K => Necesariamente, R* y K tienen iguales unidades y/o ecuación dimensional siendo R-Radio (unidad de longitud) ¡fC]=[K]—U til) También aparece : g » aceleración dé la gravedad

t

i

[ J ¡ ] = < L x T - * i* = Ú x T - ‘

MÜT-* M x0

= ÜT~*0~t

RPTA i “B”

T = 2x2*L**xL*xTt (a) Pero la ecuación dimensional de un número siempre es igual a la unidad (adimensional) z¿>{2xx2*] = l En ( a ) tenemos: t

Las cantidades físicas fundamentales son aquellas que no pueden expresarse en términos de otras cantidades físicas. En e! sistem a internacional d e unidades se fundam enta en siete can tid ad es fundamentales: Longitud (L), masa (M), tiempo (T), temperatura (0). intensidad de corriente eléctrica (I), intensidad luminosa (J), cantidad de sustancia (N). II) F A L S O : En el sistema internacional la fuerza es una c o m b in a c ió n d e varias can tidades

rr.,

fundamentales, donde: / * 1 -

ML -^ r

La fuerza es una cantidad física derivada puesto que está expresada com o productos y c o c ie n te s de las can tidades fundamentales. III) F A L S O :

— : se lee kilogramo por metro. m Por loqu e:

3kgm #

se lee tres kilogramo-metro por

segundo.

3

x T => L° x T = L * * x T

Los exponentes de base L se igualan.

=>0 = 2 x - -

RPTA t “E "

RESOLUCIÓN 24 t Al sacar ecuación dimensional se cumple:

R P TA i

.

l2

£

Sacamos ecuación dimensional tomando en cuenta que la ecuación dimensional de todo número es / , por lo que:

Esta expresión c o rre s p o n d e dimensiones de la velocidad.

ICD] [B ] = (D ][F ¡ „ .( ! )

a

las

RPTA r “O”

RESOLUCIÓN 20 i 1) FALSO : No necesariamente, puesto que: N xM

M ÜT*

J

M ÜT*

E n erg ía

Fíjese las dos cantidades físicas presentan las mismas dim ensiones, pero distintas unidades.

II) VERDADERO: Si la e c u a c ió n A+B * C es dimensionalmente hom ogénea, entonces se cumple [A ] = / B] ~ [Cf, es decir todos los términos de la ecuación tienen la misma dim ensión, por lo que las unidades en ambos lados del signo igual son las mismas.

III) FALSO : En una e c u a c ió n física no todas las constantes son adim ensionales ya que p u ed e estar co m p u e s to d e constantes numéricas que si son adimensionales y de con sta n tes físicas qu e no son adim en sion ales p u esto que presentan unidades, cabe citar co m o ejemplo de ésta última la constante de gravitación universal entre otras.

RPTA t “C”

RESOLUCIÓN 27 i De la expresión física de la velocidad.

Al sacar ecuación dimensional podem os lomar cualquiera de los dos términos de la diferencia, el cual tendría la siguiente forma:

/v / =

En la expresión física: CDB + XYA + DF = AB ( 1 - CD p r

2

A

—Fxd = 2xm(xf

Al dividir dos cantidades, por ejemplo:

Ú x T -I

3 „ de donde: x = —= 0,70

De la expresión física: 1

fu e r z a

kg x m : se lee kilogramo-metro

2miÜ +Ü f _ 2x(2Ú f

3

RESOLUCIÓN 23 1

M o m en to d e [

Al multiplicar dos cantidades, por ejemplo.

Reemplazando en (•) obtenemos:

T =L

1

I) F A L S O :

[S]=[velocidad!

r=

X ft

RESOLUCIÓN 23 t

*(11) en (IV):

T=

RPTA $“E”

Sacamos ecuación dimensional.

iSP=fa]¡h]----------(¡II)

* Se tiene:

[B]=lDJiF]=>ML*T* « [DJ(MLT*) [D] = L

*

j

Rg

=> r S ] = L T '

Para q u e la exp resión física sea dimenslonalmente correcta la expresión (I- CD) debe ser adimensional por lo que fCD] « / reemplazamos en ia ecuación (I). tendremos:

(F]¡dJ = fmJlxP (MU*) (L) = (M) /*/’ =>/x] = IT*

Según nos dicen:

Por el principio de homogeneidad, tenemos:

ENCMl’J* o r f c f l U 2 0 1 ¿ ]

(r\) =

[A P ) [ R r ] zJ n U L ] ( M L lT~2 ) ( Ü ) (L T '1 ) ( L )

f ^ ] = M L ,T '1

RPTA / “C”

81

resolución 3 o t

ÍF1 “ [ l ] tDJ'fVJI{Srf(1)í'

I) Verdadero:

M L T 3 = ( A fir3 )* ( LT~¡ )* ( L* )“

De la expresión: D = A e aV* Como el exponente es un número por lo que la dimensión del exponente es Igual a / .

M L T S - M xL 3t,*y*3aT '7 igualamos las exponentes según sus bases.

¡a j(ir * y = i II) Verdadero: De la ecuación física y * A sen fad - k x ) el principio de homogeneidad exige que los términos en una desigualdad presentan las mismas dimensiones y c o m o corresponde al ángulo su dimensión es numéricamente ig u a la /. ( a t - k x ) = ángulo

Luego:

(a>tj - [k x ] = i UI) Falso:

Para que la expresión dim ensional sea correcta, los términos de la diferencia deben presentar las mismas dimensiones, por lo que:

E = x + z -y = 0

RPTA i ttA” RESBLUCIÓN 31 / De la expresión física: P = m v í a,' ; )

La ecuación física A + B + C = D2 es dim ensionalm ente h om ogén ea si cada término tienen las mismas d i m e n s io n e s /y - - 1 =* ( L T ^ X T ) = l-^ ¡- :=> [ k j = ^ 8, L T para que la ecuación sea dimensionalmente Las dimensiones de [k ] son la longitud al correcta, entonces: cu bo que corresponde a la unl^ [A] = ]B ¡ = /CI = //> '/ tiempo que corresponde al segu n dé(*)&& lo que se lee com o: “La dimensión de A es decir: u n id a d J igual a la dim ensión d e B e igual a la dimensión de C y D1* l k l - j r m»

RPTA i “A"

RESBLBCIÓN 28 i

*

RESBLACIÓN 33 t

Nos dicen que la energía por unidad de volumen está expresado com o: Sacamos ecuación dimensional a ambos términos: en ergía

B) metro, temperatura, intensidad de corriente D) masa, longitud, tiempo

En U - 3 x + y + 2z = I -3 (1 ) + 2 + 2z = 1 => x = /

[a ] =* L'rP

A) masa, temperatura, tiempo

O masa, longitud, temperatura

EnM ;jr = / E n T :-2 = - y => y = 2

/oV5/ » /

E D IC IO N E S KlIDIÑOSij magnitudes básicas eran:

E) longitud, temperatura, cantidad de sustancia. r ^ /■& ' , ^^Indica? cuál no és magnitud fúndam e/fía! en el Siptema Internacional 4 f A) masa B) longitwtjDfcflémpo D) velocidad E) t^Upérotu ra Cuál es la unidad patrón de la masa? A* A) metro ¿B) kilóm etro O kelvin D) kilogramo E) segundo Indicar la relación correcta * masa

*metro

* longitud

* Kelvin

RPTA i “B” * temperatura

La ecuación física para la fuerza (F) en función de la velocidad V, el área A del co m e ta , la densidad d del aire y una constante adimenslonal A. estará expresado com o:

* tiempo

* kilogramo * ampere

* Intensidad corriente 0 segundo

eléctrica

iF] = J k ] [ v n A ] ’ [ d r Igualamos exponentes según la base:

w Indicar la relación correcta * tiempo *I 0 intensidad de corriente 0m 0 masa • kg * longitud *s

M L T 3 = ( LT~* )* ( L* / ( M L 3 F

* temperatura termodinámica 0 K

En M: x * / ^ ■ En 7 )-2 y

M LT 3 «

volum en ML*T*

[p r io F iA r

-

S a ca m os e cu a ció n dim ensional a la expresión

(ML^rcr-tfíL)*

física:

=2

-3(1) + z * ~ l\ > x = 2 Luego el valor de: 2 x * y + z = 6

RPTA i

" I "

RESBLUCIAN 301 A partir de la ecuación

2

t

*

En M: z = i En r* - 2 = - x => x = 2

@ 1 Indique que unidades no corresponden al Sistema Internacional de Unidades.

En L: -3 z + x + 2y = /

A) metro - segundo - kelvin

Igualamos los exponentes según sus bases:

En U - J 6 N 8

F = - i r v 7s

F =kV*A*d>

■ (■ -ti

Para que la ecuación dimensional exista la expresión A/5 debe ser adimenslonal (sin unidad) p u esto qu e e s resta d o d e un número, por lo que: [ ^ ] = 1 => ( S J = [ A ] - Ü Sacam os e c u a c ió n dim ensional a la expresión física.

- 3 ( ¡ ) + 2 + 2y = l = > y = l Luego la ecuación física es: F = kV*Ad

B) candela - mol - ampere

RPTA / “E " O kilogramo - segundo - metro

$ m m iW T T c fo W m m En el sistema Internacional existen ................... magnitudes fundamentales. A) 5 B) 3 C )7 D) 2 E) 9 @ In ic ia lm e n te

las

tres

D) metro - kilogramo - fuerza - mol O ampere - kelvin - candela Cuántas proposiciones están erradas respecto a su símbolo * Kilogramo kg 0 Kelvin .............. K 0 Metro.............. M 0 Segundo................8

.vía* * Ampere.............. A A) i BJ 2 C )3 D )4

E) 5

(ofj Indique una unidad no corresponde a las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional. A) kilogramo B) ampere O segundo D) watts E) metro Indicar cuántas magnitudes no son magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional. * masa

* trabajo

* aceleración

* tiempo

* temperatura * cantidad de sustancia A) 1 B )2 0 3 D) 4

E) 5

(77) Indique cuántas unidades no corresponden a las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional. * kilogramo

* ampere

* joule

* coulomb

* segundo A) 1 B )2

* watts 0 3 D) 4

E) 5

@ Cuántas proposiciones están correctas respecto a su símbolo?

* maso.....

m

* temperatura*,. 6 * longitud.

L

* tiempo..~.........t * In ten sid a d d e c o r r ie n te eléctrica A)1 B) 2 0 3 D) 4 E) 5 @ Indique cuál no es magnitud fundamenta] en el S.I. A) tiempo B) periodo O área D) masa E) altura @ Indique cuál no es magnitud fundamental en el S.I. * masa

*m

* diám etro

*k

* periodo

* m ol

* tem peratura

*kg

De las unidades indicadas, cuántas son fundamentales en el S. I. * watts * metro * segundo * voltios * kelvin * mol A) 1 B) 2 0 3 D) 4 E) 5 i

L| EXCHx fifi:O IA 201%) Ejem plos: la masa, el tiempo, la fuerza, volumen... B) Cantidad física: Es porción de una magnitud física. Ejemplos: 25 kg, 2 horas, 20 newton, 5 litros. C) Una cantidad física =■número con unidad física.

Dado el grupo de magnitudes, 0 )3 0 ° ;^ radián; L o g x ; también O indicar cuáles son derivadas eq él son cantidades físicas. S. I. 'E) 20 soles; 15 dólares; no son cantidades físicas masa acumulación * velocidad * tiempo Dadas las proposiciones ' r * trabajo * volumen ( JLas magnitudes físicas según A) 1 B) 2 0 3 D) 4 E) 5 su origen pueden ser: Indicar la relación correcta: fundamentales y derivadas. jou le velocidad ( JLas magnitudes físicas según su naturaleza pueden ser: escalares trabajo nt y vectoriales. watts presión ( ) Siete son las magnitudes mis2 volum en fundamentales: longitud, masa, potencia Pascal tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad Indicar la relación correcta: luminosa, cantidad de sustancia. Area L2 ( )L as magnitudes escalares volum en LT 1 tienen módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. velocidad ML2 T 2 ( )LaB magnitudes vectoriales aceleración L3 sólo tienen módulo fu erza MLT2 A) Todas son verdaderas (fjp) Indicar cuántas de las B) Todas son falsas C)Sólo dos son verdaderas unidades son derivadas en el S.I. D) Hay 2 falsas m * segundo * “ 2 E) Hay 3 falsas Am ... 3 * mis @)M arcar verdadero (V) o falso mis m (F) respecto a las las magnitudes. L = Longitud; T = Tiempo De los símbolos que se indican, ( ) L + L = 2L ( ) LL=L cuántos corresponden a unidades ( ) L + L* = L* ( ) L+T=LT derivadas en el S. I. 1? ( ) * kg * w * Pa A) Sólo 2 son verdaderos *J B) Todos son falsos * *8 m ol C) Todos son verdaderos A) 1 B )2 C )3 D) 4 E) 5 D) Sólo 1 es verdadero E) Sólo 1 es falso SEGUNDAPRACTICA D IM M \ En la siguiente ecuación v) calcular las dimensiones de R : (£7)Marcar la alternativa incorrecta: A) Magnitud Física: Es todo lo que se puede medir y ser cuantificado.

~ = 4 ,5 m f

donde: m = masa

88 f= frecuencia

(J^En la ecuación x = A b eab - n

d=densidad A)ML*T* B)APL*L* CJML’ T* D)MLTT* E)M*L*T Calcular la dimensión de K: K=Sen30‘‘dSmStrh ,li donde: d = distancia h = altura B)L9 C)L3t D)1

A)L

E)LiS

donde: e - Adimensional h= Altura

B= aceleración

homogénea: d = Vat + —a t2 + p donde: VQ~Velocidad

o = aceleración t= tiempo A) Es homogénea B) Falta conocer «p» C) No es homogénea D) Falta conocer tas unidades de «p» E) Hay dos respuestas

donde:

(ííh CalcularJtfSredida el ángulo 0 . La ecuacióg es jSpmbgénea: VF^P j P ” 9 donde:^

La ecuación física es homogénea A = B aCb donde: A= Altura ;B=9,8m¡s2 ;C = Tiempo A)0 B)-3 C)1 D )2 /^ ) S ^ La ecuación dim ensionales verdadera: Calcular

N = Área A)ML BJML* C)M D )U

E)L

@ L a siguiente ecuación es homogéng$j& calcular la relación: [x ] - j - j . A x+B y-C =D v i

A= aceleración ^ B= fuerza A)M B)L2 C)ML1>)AP EJU (^Calcular la dimensión Afc N = ( L o g x jx 2x donde: x es dimensional E)x* ABk (©Calcular [k ] si la ecuación es adimensional. C )xl D )x

donde: A = Área ; B= Fuerza ; C= Trabajo A)L B )L1 C)M D)T E)LT

Fuerza o = Velocidad ai V - Velocidad ÍF' A)0° B)30pC)60° D)45° E)53° La ecuación es homogénea: Calcular [D ] AB4 - C 2 AC4 - B 2 A) Es adimensional B)T C)L* D)Faltan datos E)L D=

[£] B = JL + t ± t3

C

B=Volum en h = Altura / = Tiempo A)T1 B ) T S C)T* D)L2 E)L

N

donde: B= Fuerza P = Presión AJI BJL1 CJL? D)L3 E)ML

donde:

donde: K= Densidad

B)x

D)L1 E)L3

m En la ecuación dimensionalmente homogénea se tiene x=dSen(abx)

@)Indicar si la ecuación física es

A)1

C)L

(Calcular a +6

D - densidad A)L*T* B)LT‘ C)L*T* D)LT* E)T?

Calcular [VJ Logx.V = ACD -

[Tg3 TALogaBJQ =P

calcular /x ] A)1 B)M

Calcular la dimensión de [b] A)L B)LTl C)L lT l D)LT* E)T

donde: W~ energía

d= densidad

(g)Calcular [Q ]

x — Longitud ; a - Tiempo

@}Calcular [x j: WB= D x2

MCMPMCMONMCS KUHMÑOái M= Masa AJO B)1 C)2 D)3 E)4

(id) Calcular la dimensión de la carga eléctrica «q» a partir de la ecuación física: «= ’ donde: * í=Intensidad de corriente eléctrica (i) t~ Tiempo AJIT B )IT C )T l D)P E)PT La expresión dimensional es correcta: Calcular: x + y + z F = k xW a z donde: F = Fuerza a — Aceleración k = Constante adimensional

Determ inar la fórmula dimensional de «W» . W=MGH M :Masa \G: Aceleración ; H: Altura AJMLT B) APLT C)ML2T DJMLT -i E) MLT "* (^ D e te rm in e la fórmula dimensional de «x » . x = A x B 2 A: Densidad ; B: Área A) ML B) ML* CJMLT D)LT’ ¡ E)UM Encontrar

la

fórmula

dimensional de «x» . v = y ] x x c V: Velocidad C: Aceleración A) T B) LT C) LT - 1 D) L E) LT2 Determ inar

la

fórmula

dimensional de «X» . A = R* Velocidad A: Frecuencia A )L B) LT

CJLT -i

'j r & s j r < c z A D) LT~3 E)L*T

K

Determinar la fórm ula dimensional de «x» : x = A x B A : masa ; B : Área A) ML B ) M ~ IL C)APL D)ML2 E)M L* (^ D eterm in a r la fórm ula dimensional de «Y» . Y —C x D D: longitud ; C: fuerza A) MLT B) M *LT C) M 2LT 1 D) MLT ~' E)ML*T~* En la ecuación obtener (A) P= P: presión t : tiempo

A sen (u )X t)

aD D: densidad

A )M 2l - 4t ~1 B )M lT 4T~l C ) M sL 4T~2 D)ML4T~*

E)M LT~4

De la ecuación y¿cuál será [x f! Ee kt x— F E: energía F : fuerza e: número t: tiempo A) L B)L* C) L3 D ) L 4 E)L* En la ecuación correcta , ¿qué magnitud representa “x ” ?

*

mv

W =xPc W: trabajo v: velocidad m: masa A)Presión CjDensidad E) Fuerza

P: periodo c: frecuencia B)Trabajo D) Aceleración

@ Hallar [x j,e n la ecuación dimensionalmentfe homogénea. *’ •* 1999C 2000A+B C—Velocidad A = Velocidad angular A )L B) L~l C )T D ) T l E ) l (Q) Obtener [U ], en la ecuación 3 e(m + x)U homogénea : « = ------ ^ -------

w

U SA

Halle las dimensiones de «b» , para que la ecuación sea homogénea . — —ba + b c e W—trabajo a = aceleración e —espacio A )L B ) ML *T~4C) M 2D)LT E) M AP Se sabe que : E = — + BC E = fuerza P = presión D = diámetro C = densidad Halle las unidades de «A» en el SJ. A) mis B)mls2C) ms D) s2 E) m3 Dada la expresión dimensionalmente correcta: A=0,75CD2* Donde: A : longitud D : fuerza [C]:M~lwI* ¿Cuál es el valor de «x »l A) 1 B) 0 £ C) 2,5 D) - 0,5 E) N A. Dada la expresión dimensionalmente homogénea:

Hallar la dimensión de «y» t s i : S: distancia t: tiempo g: gravedad h: altura A) L B) L3 C) Lt D) LH ~l E) NA. Hallar la dimensión de «A» para que la expresión dada sea dimensionalmente correcta «donde: P: potencia D : peso g: aceleración h: distancia P=

¡A g L o g 2 3 5 h 2

sen 30° V D A ) M 2T B)MT~* O M T - * D)M*T l E) NA. (Q ) Cuáles son las dimensiones de «R» en la ecuación dimensionalmente correcta: R = 0,082 P V V: volumen P: presión A) M L T 1 B)ML2T ¡ C) M L2T

a = aceleración m = masa D) ML~lT E) L2T ~1 e=espacio t = tiempo A) MTB)M~i C)T~* D ) M * E) T2 la expresión Dada

dimensionalmente correcta: P ta n 2a x= F ( V + y 3) Donde: F: frecuencia V : volumen a : adimensional P : cantidad de movimiento Hallar las dimensiones de «x» e «y» . A)L2M L ~1 B )L M L -*C )L M 2L l D)LM~ 2L~1 E)NA. Dada la expresión dimensionalmente correcta: A = B a b —yfExv2 Donde: Zfc masa cu aceleración b: longitud v: velocidad Hallar la unidad de «x» . A) kglm2 B) kglm3 C) kglm2 D) kglm E) NA. Si: F = x y . hallar las dimensiones de (xly) para que la dimensión de la expresión : _ xP F = — +xy sea dimensionalmente correcta . Donde : F: fuerza P: potencia I: impulso A) MT BJMLT-2 C ) M L lT 2 D) MLT~1 E) NA. S i: A = B C + pR D Donde : B: presión C: volumen D : tem peratura g y R son dimensionalmente desconocidos . Hallar la dimensión de «A», si la expresión es dimensionalmente correcta. A) MLT ~2 B) M L T 1 C) MSLT 2 D)ML2T~2 E) NA. @ )D a d a la ecuación dimensionalmente correcta: 7 A X = 3 R + ^ + 5 R A . Hallar[ X ] . H A ) L B ) M C) LT D) 1 E) L2 Dada la expresión: ABs=4Se™ , dimensionalmente correcta, hallar [k ] si A se expresa en msyB en mis A ) L 4T* D ) L 4T

~

2

B)L~4T - 2 E) L4T

C)L~4T 2

85

Si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta:

C)Tiempo D)Fuerza E) Masa En la siguiente fórmula :

42BA u>pL ogn Donde: fi frecuencia B: masa A* aceleración m: velocidad ¿Cuáles serán las unidades de «p» en el SJJ7 A) Newton B) Joule C) Pascal D) Watt E) mis1

^ A L + A ^ C ’ 1L: inductancia C: capacitancia ¿Qué magnitud representa K? A) Tiempo. B)Frecuencia. C)Resistencia eléctrica . D)Potencial eléctrico . E)Itensidad de corriente elétrica

xv S*c60* Se tiene : P = 2nr Donde: x: masa ; v: velocidad; y rr radio .¿A qué magnitud física representa «P »! A) Presión BJPotencia C) Trabqjo D) Fuerza E)Densidad Hallar las dimensiones de «x» en la siguiente ecuación homogénea xvC Cac¿0* =c, 10P Donde: v: volumen; P; potencia; C , Cj) aceleraciones. A)MT“J B )M T 'Z C )M T -S D)M T'4 E)M T'5 t

m w m c T ic flD m m i

@ Dada la fórmula k=A t+A *h . f;torq u e h : constante física (Ja ) . Hallar en que unidad del s.¡. se mide la magnitud yfkh A) Newton : B) Joule C) Watt D) Pa&ealÁ. JUHI E) Hertz @ HalleTaff dimensiones de «x» para que l á expresión sea dimensionalmeni&*eorrecta : «*

p4

P: presión p .‘ densidad g: gravedad A) L T ' 1 B) L * T ' 2 C ) L * T ' 4 D) L 4T ~ 4 E) L T ~ Z @ )L a siguiente ecuación es homogénea :T a n $ E = ^ í+ ^ 4 3 E: energía ¿.‘distancia /; impulso ¿Qué magnitud representa AB? A) Velocidad B)Aceleración

@ ) En la siguiente ecuación , dimensionalmente correcta : * = A 7 + A " iR r ; tensión superficial (N¡m) Ei energía mecánica ¿Qué magnitud representa k? A) Aceleración B)Velocidad C)Fuerza DjTrabajo E) Potencia y y'"y @ En la siguiente ecudcióñ dim ensionalm ente correctífR A B +C D =E . «A?* es velocidad y «D » es aceleración . Qué afirmaciones son verdaderas (V) y falsas (F) : I) Las unidades de “ C ” y “ E ” pueden ser iguales . U) [C IB ]=T . III) El término "2?” puede ser adimensional. A) VFF B)FFV C )V W D )F W E)FFF Señale la veracidad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones ; I) La homogeneidad dimensional de una ecuación física, implica que cada término de la ecuación debe tener las mismas unidades. II) En una ecuación física la dimensión de las constantes es igual a 1. III) Debido a la consistencia dimensional la de las ecuaciones físicas, no 6e puede multiplicar cantidades físicas de diferentes dimensiones. A) W V B) VFF C) FFV D) W F E) FFF Hallar la ecuación dimensional

E tH C IO X E S KUBMÑOSi

de ' V ' en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: V 2A ^ = - S a +Q Siendo: V—velocidad ; A = área; T*= tiempo ; a = aceleración A ) L ZT Z B) LT C) L3T D ) L ST I E ) L ST En la ecuaga&ijbomogénea : a - 0 2r(C os a r/LCos 2 a ) Hallar lak dimensione eabiendó q u e: o = aceleración; L^íongitud A )L B) LT C$BPL ) T 1 E)L -* *** Pd^Q d4 La ecuaoon: y = —— + 3EI 8EI es dimensionalmente correcta , donde : d , y = longitudes 1= (longitud)* P = fuerza Halle las dimensiones de *‘E** y "Q ” A) ML lT -*¿IT B) ML *T, MLT C) LT -*f MT -* D) L4T~l, M 4VT B)ML*,ML*T En la siguiente ecuación dimensional correcta: E l y = R x '-P (x -a )3-k x 4. Donde: E=presión i?= fuerza o, 6=longitudes Determinar las dimensiones det*I,,y A)L*, ML~*T B)L4, MT ~*C) L\ MLr* D) V , ML * E) L\ ML * (Q ) La siguiente ecuación dimensional es correcta: i-2 7 TgQ Z =

( 1+Sen0 )C Donde ; S : superficie (en ms)f y: capacidad volumétrica (en ms)y C : rapidez (en mi» ) . Hallar: [z ] A )L *T B ) L tT i C) L~*T D ) L tT* E )L-*T Í Si la ecuación correcta : **tf(0,8k +C)+P+ (2cm + y / =3,5cm Entonces la dimensión de “A ” eB : A) L l B) L * C) L D) L-* E) NJL

se

[M F 'jra S IW ^ iA . Dado la expresión: .mi»60a (Tan30°>+Ln -^ -1 = - ^ Ip A ) A u Dimensiones correctas , donde : F: fuerza p: presión A: superficie a : aceleración v : velocidad er. velocidad angular Hallar la dimensión de **x” . A)L* B)LT~S C)L*T* D)T~ 3 E)LT-* (0 ) Si la siguiente expresión contiene **n” términos y es correcta en sus dimensiones: a=K0V§+K1VItxí+KtV*lx*+kaV*/x}+...

Donde: a = aceleración; x¡ = longitud V¡=velocidad; K¡= constante física Hallar el producto de las dimensiones de Ks y K7. A) T*B) LT *C) LT lD) T °E) T *U (^ S a b ien d o que la siguiente expresión: Et+E2+ +F„ A w+ fí" +J+ C "+2+ V Tiene como unidades segundos. Determinar las unidades que puede

Siendo: E} = energía / i=1;2;3;4;............; n V= potencia AjUnidad de potencia. B)Unidad de energía. C)Unidaddepotencia elevado al cuadrado D)No se puede determinará E)Unidadde energía qieuado ál cuadra­ do. @ La fuerz^^jbeneion (S) en una cuerda está dada- por la fórmula : S = aJ U bd2 R Donde : Q = peso; Jfí=radio; d= diámetro. La ecuación dimensional d e : E=b/a , es: A) MLT-* B) MLT * C) ML~ *T t D) ML *T~*E) M~2LT

¿A

S i: k =QA* +FA es homogénea y Q:gasto(Kg/s) y F: fuerza , determinar las unidades de k en el SI: A) Joule B) Watt C)N ewton D) Pascal E) Tesla Halle la fórmula dimensional de “A ” , si la ecuación mostrada es homogénea. y/BSenS + C = A 2 Además : B : área A )L B) L 2 C) L4 D) L12 E) 1 @ )S i se sabe que : Va ~ VB = B v iS e n a : potenciales eléctricos (en voltios); B : densidad de flujo magnético (en teslas); v: velocidad (en mis) y I: longitud (en Halle: [B ] A) MT -H * B) M LIC) MT~*I ~s D) MT~lI~2 E)MT *I * _

•/

4

i I

0 Determinar las dimensiones de «Q» en la ecuación homogénea siguiente:

EIYCIUJ a/rUIPMA 2 0 1 2 }

circula por un orificio practicado en un depósito es : Q=CAyj2gh g= aceleración, A = área, /»= altura Q=caudal (volumen/ tiempo) Hallar las unidades de “ C ” en el sistema internacional. A) m B) m~l C) m3. a*1 D) m2s~1 E) adimensional En la siguiente ecuación, dimensionalmente correcta, hallar las dim ensiones de «K » en el sistema internacional.

T = 2 tH16FRL2/gd3K)m siendo: tF== fuerza ; T = periodo ; L = longitud ; d = distancia; R = radio ; g =aceleración . A) MT 2 B )M lT C ) M T - 2 D ) M 2T 2 E) MT ©

Hallar la fórmula dimensional

V W de R : R = - r y que^= —

i

q

V: potencial eléctrico; i: intensidad de corriente eléctrica ; W : trabajo del campo eléctrico ; q : carga eléctrica. A) ML2T - 3I ~2 B) ML2T ~*I l C) MLT 2I - J D) ML2T H E) MLTI

(K P+Q )StH3a‘ = AJB +zTg45° Sabiendo que : A = área ; B = velocidad. A ) LT B) LT ~2 C) L2T 2 D)L~2T -* E) L T ' 1 @ ) Alicia , una eficiente tutora , ¡flLiVES DE LA SEGUNDA PRACTICA^ ha observado que la potencia (P) w m ñn con que aplica una inyección 1/1)3f» MfllW m i depende de la densidad (D) del TERCERA PRACTICA líquido encerrado , de la velocidad 0 1 ) C 09) A 09) D 0 9 )0 08) D 07) C 09) A 0 0 ) 0 Í O )A (V) del émbolo al expulsar el líquido 01 91)) E0 It) 0 19) E 1 9 )B 18) A y del tiempo de aplicación (t). Jorge 1 9 ) B 1 7 )0 1 8 )B 19) E 90) C tt)o 99) € t9 )A 9 8 )0 un profesor de a c a d e m i a le ha tt 9i )) EO conseguido una fórmula con los CUARTA PRACTICA datos que ella le ha proporcionado, 99) C 0 9 )0 09) C 08) C si p=0,8glcc; V=5cm ls y t= 2s \9991))B D 97) E 08) D 0 9 )0 10) A 19) C 1 9 )0 19) A 18) £ entonces P =0,9 Watt. ¿Cuál sería 1 1 ) 0 19) € 17) C 1 8 )0 1 9 )0 90) E la fórmula descubierta en unidades t l ) C 9 9 )0 99) E 99) C 98) A del Sistema Internacional? >

A )P=300 pVt3

B )P=400 pV2ts

C )P =600p*V Bt* D )P=900pV*t3 E)P=250 pV4ta

(xa)La ecuación que perm ite calcular el gasto o caudal que

Completar la siguiente tabla *

H7

Magnitud Derivada

Fórmula

Fórmula Unidades Dimensional

Área (A)

A=(longitud)^

t A J=

Volumen (Vol)

Vol=(longitud)**

[ Vol ] =

Velocidad (V)

lonqitud tiempo velocidad tiempo

{Aceleración f ? )

[V ] = ["?] =

Fuerza (F)

F=masa* aceleración

fF ]=

Trabajo (W)

W —fuerza-distancia

[W ]=

Energía (E)

i o E* m asa(velocidad)^ CE] =

Potencia (Fot) Caudal (Q) Densidad (D) Gravedad ("g*) P éso(W )

Pot iS bajo tiempo 0 volumen tiempo £ masa - volumen

[D I =

~g=Aceleración

r s i=

Peso= (masa)-g peso volumen -p fuerza area

Peso Específico (y) Presión ( P )

[P ot] = [ Q 1=

[W ]= [v ] = fp ]=

Torque (T)

T = fuerza*distancia

t T ]=

Calor (Q)

Q=Energía

[ Q 1=

Ftenodo (T)

T = tiempo

[ T ]=

FrecugfcCía (f)

f=Htiempo 1

m =

w=frecuencia

[W ] =

w tiempo

[a ] =

Velocidad \ i angular (w) ^ Aceleración angular (a) Impulso ( 1 ) Carga Eléctrica (q) Intensidad de carga eléctrica ' Potencial Eléctrico Resistencia Eléctrica 1 ;

“r ^

t

(])=fuerzatiempo

[T] =

q=I.tiempo

(q ] = [1 ] =

* . trabajo carga ^ potencia

K iU C I O J V E S

f e il

[V ] = [R ] =

;

*

nU KM Ñ O $

1LA F ÍS IC A E S fM A C IE N C IA

Muchos científicos se desvelan por explicar las causas del origen del universo, pues ello podría llevar, también, un paso adelante hacia el conocimiento preciso del origen del ser humano; otros más se han dedicado, por otra parte, a tratar de explicar los fenóm enos que se producen e a ^ íjiá tu ra le z a , en nuestro miando material. Así, el c o nj u n t o ffffi^Órde n a d o de conocin^rifos:e'n la ciegjra^jp ha ido form an d o a paiffijg[de las especulaciones desjpscílñtiguos filósofos, pues fi&^jíMos griegos quienes asentaroiíTas primeras bases científicas; sin embargo, hasta la épóca de Galileo y Newton, no puedé hablarse de una verdadera ciencia física; estos dos grandes científicos establecieron las leyes de la mecánica, la base de ese enorme edificio que constituye la física, iniciándose así la ciencia experimental moderna.

La física es, por lo tanto, la Ciencia fundamental de la naturaleza, su objeto de estudio es el fenómeno natural, y su método, el método científico. Así, la naturaleza y nuestros sentidos nos permiten la observación de los fenómenos; tal observación nos induce a explicar el porqué de los mismos, y para ello, procedemos a la elaboración de una h ip ótesis. Para comprobar esta hipótesis y sacar de ella una consecuencia, debemos llevar a cabo la re co le cció n de datos, y éstos, utilizados convenientem ente mediante la experim en tación , pueden llegar a convertirse en el sustento de una te o r ía . Por último, si dichos datos muestran consistencia y una relación coherente al pasar las pruebas de las etapas anteriores, se deducirá lo que se conoce como una ley científica. En realidad, los pasos enumerados anteriormente son los que conforman un método científico, determinando una guía aceptable en el trabajo de los hombres que construyen la ciencia.

¡A £ v o r x o F £ i> il^ 0 1 ¿ l

OBJETIVOS ; * Representar algunos fenómenos físicos, empleando modelos vectoriales. * Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores. * Aprender la descom posición y com posición rectangular de los vectores. * Aprender a efectuar las principales operaciones con los vectores ¡adición , sustracción y productos escalar y vectorial.

causas, y los fenóm enos de la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión: para describirlo plenamente, debemos indicar no sólo qué tan rápidamente se mueve, sino también en qué dirección. Para ir de Lima a Cuzco, un avión debe ir al este, no al sur. La rapidez del avión combinado con su dirección constituyen una cantidad llamada velocidad. Otro ejemplo es la fuerza, que en física es un empuje o atracción aplicado a un cuerpo. Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no sólo su intensidad, sino también en qué dirección tira o empuja. f

-

/

T-

i

-

«

*

INTRODUCCIÓN : Ordinariamente usamos la palabra "modelo" para referirnos a una réplica en menor escala (digamos, de un ferrocarril) o a una persona que exhibe ropa (o se exhibe sin ropa). En física, un modelo es una versión simplificada de un sisterqa físico que sería demasiado complejo si se analizase de forma detallada. Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistemaba validez de las predicciones está limitada por la validez del modelo. La predicción de Galileo respecto a-la caída de los cuerpos corresponde a un modelo idealizado que no incluye la resistencia del aire. El modelo funciona bien para una bala de cañón, pero no para una pluma. Algunas cantidades físicas, como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctrica, se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero muchas otras cantidades importantes tienen asociada una dirección y no pueden describirse por un solo número. Tales cantidades tienen un papel esencial en muchas áreas centrales de la física, como el movimiento y sus

Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenóm enos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Te preguntarás ¿Qué se puede usar, además de los números y unidades, para detallar los fenómenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman m agnitudes vectoriales , las mismas que tienen en esencia dos características especiales: * Tienen dirección y sen tid o : Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 5ro, debemos agregar desde dónde y hacia dónde. Sin estos datos no podríamos imaginar el movimiento. * N o cum plen con la s leyes de la ad ición de n ú m eros rea les : Si décimos que dos personas empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 15 newtons, sin indicar la dirección y sentido de cada uno, el resultado puede ser variable. Así por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismo lado, el resultado será equivalente a aplicar una fuerza de 30 newtons. Sin embargo, si estas fuerzas se aplican en una misma recta pero en sentidos opuestos, el resultado seria como no aplicar fuerzas. Así pues, la resultante de las fuerzas

89 depende de la orientación de é6tas.

MCDMCMOJVM2& K U H lÑ o M o punto de aplicación del vector y el segundo extremo. La longitud del segmento determinado por los dos puntos es el módulo del vector, la recta a la que pertenece dicho segmento es su dirección y el sentido que sobre dicha recta determina el orden en que se dan los dos puntos es el sentido.

ELEMENTOS DEL VECTOR ccion

HISTORIA Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII. Es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas, sin que el concepto de vector este aún claramente definido. Fue mucho más tarde, y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretó. El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial ( suma, producto escalar y vectorial). El inglés Hamilton, p or cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial. Hacia el final del siglo X IX , el empleo de los vectores 3e generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside, y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del x para el producto vectorial), se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.

dirección

[elem entos

b á s ic o s

Horizontal

NOTACIONES j| ^ ^ | H

I) Módulq r '

I) Á Vector "A"

II) Dirección

m \ = ia i= a . 1— M ódulo d el v ecto r A III) 0: Dirección del Vector

III) Sentido

R E P R E SE N T A C IÓ N C A R TESIAN A D E UN VECTO R * Sean los puntos: M - (Xjtyj) a N = (xs ; y 2) * Ahora para obtener el vector , ubicaremos los puntos "Af" y "JV” en el plano cartesiano, para luego unirlos (como se muestra en figura):

V EC TO R Ente o modelo matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado. La física lo utiliza parq/^presentar a las magnitudes vectoriales. L ín ea d e a cción ♦y ¿ (D ir e c c ió n ) Saeta V—•Sentido Línea de Referencia ti— * Dirección c

i) M N = N - M = (x 2; y 2) ~ ( x t; y , )

MN = (x2 - x ¡; y 2 - yt) Un vector queda definido cuando se dan dos puntos en un orden determinado; El primero se llama origen

^-Vector MN

w W Por el teorema de Pitágoras: 2 = (x 2 -

X j ) 2 + ( y 2 - y 1)i

l Viító * Entonces:

I A EXCJCJ.oMBLt 2012}

I ÁB = B - A = ( I ;4 ) - ( - 2 ;0 ) = (3 ;4 ) =>AB = (3;4)

\m

ñ

\=
i

)* + ( ya — y O

i M ó d u lo o L o n g itu d

Vector

* Ahora: |ab| ~ >¡3* + 42 =

d e l V e c to r M N

5 M ódulo

OBSERVACIÓN : Dado que un vector e& análogo a un par ordenado, entonces sus operaciones serán similares:

* Finalmente: TgO —— => $ —5 3 ° ^

D irecció n

PROPIEDADES

IG U A L D A D :

i ) V E C T O R E S IG U A L E S í

Si: (a;b) = (2; —l ) = > a = 2 A b = —l

Serán así, si poseen igual módulo y dirección.

A D IC IÓ X : Si:A = (0 ;—4) A B = (2 ;4 ), luego la suma estará dado por:

A -B

A+ B = ( 0 ; - 4 ) + (2;4) = (0 + 2 ; - 4 + 4) => A+ B = (2;0) OJO: Cuando se suma o se resta 2 vectores en forma cartesiana; se procede sumando o restando sus componentes cartesianas.

n

)

V E C T O R E S O P E E S T O S D E iG V A L M Ú D E L O

:

(Víctor Negativo o antiparalelo)

¿IULTIPLICACMÓX PO R UX ESCALAR í Si: A = (5 ;3 ) A "/i" es un número real

* A = -B

Luego: n x A = n ( 5 ;£ ) = ( n x 5 ; n x £ )

* A+B=0

L *IaI=1-51

- > n x A = (5 n ;S n )

JI1) Considerando: Tgd = y z - y i x2- x _

0 = A rctg

y 2 - yi

¡Mi) R E L A E iÚ X E X T R E X tE C T O R E S D A R M E L O S

X2 - X j

B

Dirección del Vector

* B = 2A

EJEM PLO 1 :

• Á .ljB ,

Calcular el vector,Jtsu la dirección del vector • módulo, í AB» 8Í: A = f¿ 2 ¡ 0) * B = ( li 4) R E S O L U C IÓ N :

Si: A // B ^ A = n B ; donde «n» es un número real IV) Cualquier vector puede ser decompuesto, y graficado como vectores uno a continuación del otro o suma de vectores. EJEM PLO:

=>iV = A + B

=> A = m + n + p

(v m z r : 'r m e m e a c : 91 K U K tÑ o s i Para sumar dos o más vectores gráficamente, se colocan a la suma vectorial de todos los vectores. uno a continuación del otro, de tal forma, que la cabeza EJEMPLO: de uno coincida con la cola del otro; el vector suma será aquel que tiene por origen, el origen del primer * Dado: vector y por cabeza, la cabeza del último vector. i * Luego para obtener la resul adecuadamente:

V) VECTORES CONCURRENTES í

i

Son aquellos cuyas líneas de... acción se cortan en un mismo punto.

ladaremos

I) M ÉTO D O D EL TRIÁNGULO

El traslado debe ser paralelo a uno de los es, para colocarlo a continuación del otro^W jtooo que exista entre ellos una continuidad, a$fJgrqsuítante es el vector que cierra el triángulo.

> A

3

OJO: Cualquier vector puede ser trasladado en forma colineal o en forma paralela

S E G U N D O PASO j

P R IM E R PASO

x

VI)VECTORES COPLANARES: =¡> R = A + B

U ) M ÉTO D O D EL POLIGONO í

(p a ra m ás de 2 vectores) Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

OPERACIONES VECTORIALES Los problemas de adición y sustracción de vectores,, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría! Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como ur^gonjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante í g ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. EJEMPLO:

Sean A , B y C vectores:

- J L

.

ü

••»

* Luego :

PASO 1

PASO 2

ADICIÓN DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIAL

&

Operación que tiene por finalidad hallar un único vector llamado vector resultante (i? ), el cual es igual

A+B+C

¿¡

IA e s c ic jw ü o í A 2012}

9Z OBSERVACION;

PARA VECTORES COLETEALES

Recuerda que todos los vectores no colineales ni paralelos no pueden sumarse directamente, puesto que la suma aritmética o algebraica es diferente a la suma vectorial en el caso de estos vectores. Recuerda que el vector suma, o resultante vectorial, de 2 o más vectores no colineales ni paralelos, se determina ubicando los vectores uno a continuación de otro, determinando estos una poligonal abierta, que será cerrada por el vector resultante.

Caso

•—

2 7? #

.

2do Casó W B « ,.,,,.1,,'^___ fe

..

-i

.....

* En este caso la resultante viene dado directamente por la suma como si fueran simples números reales, ya que tienen la misma dirección. ~A+ » ........ r

b

* Además:

► \ Nv, ** 4

.

I5Ha M5|f

=>R = A + B + C + D + E

CASO ESPECIAL : Cuando el polígono presenta los vectores sucesivos, es decir no observamos intersección de cabezas de flecha, no existirá resultante (R = 0)-

Resultante Máxima''

* En este caso, la resultante viene dada por la diferencia como si fuesen simples números reales. r

=a -1 b

* Además:

151= IaI- Ib!

:.

1

_Resultante Mínima

* Dos vectores tienen su M áxim a Resultante cuando son paralelos y colineales y tienen su M ínim a R esultante cuando son opuestos. OJO: Lo anterior, también se cumple más de 2 vectores colineales. EJEMPLO:

* Sea: a + 6 + c + eí + e + f ~ 0 * Luego g = 2 + 3 -l= 4

n i ) M ÉTO D O D E L PARAIJELOGRAMO í Se emplea para hallar la resultante de dos vectores oblicuos, con los cuales se construye un paralelogramo, empleando dos paralelas auxiliares a cada uno de los vectores a sumar, donde la diagonal que parte del origen de los vectores dados indica el vector resultante.

*>. i

O Se cumple: 1) E + A + B = F

2) D + C = F

3) A + B + C + D = -E ^ A +B +C +D +E -0 4 vector nulo POLIGONO CERRADO

*) M + Ñ + P + Q = 0

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se constituye un paralelogramo trazando paraleléis a los vectores. El vector resultante se traza uniendo al origen de los vectores con la intercepción

E D IC IO N E S JKU itviÓ Si de las paralelas.

I => R = yjA2 + B2

PROPIEDADES :

* Cuando los dos vectores A y ,B son iguales en módulo u *y R = A + B y el módulo de 'U

R = J a 2 + B 2 + 2ABcoa0 CALCULO d e l

( ¿ T - X j2 \ y p _ „

v e c t o r ,d i f e r e n c i a

= A -By

D) Si :0 = 60°

F¡-Ft * D = A - B el módulo se calcula por: D = y]A2 + B 2 - 2A B cos0 «Ley de Cosenos» X CASOS PARTICULARES :

E) Si: 0 = 120°

(Modificando el ángulo 0) A)

0 = 0° ( A W B ):

=>Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante. A n

^

■ > ......

R =x

R = A + B — R max max «R esu lta n te M áxim a»

B) Si: 0 = 180°(A I t S ) =>Se obtigijfffisl menor valor posible de la resultante. 0 o

J ^ R = A - B = R „ in «Resultante Mínima»

X jz

=

C) Si: 0 = 90° =>Se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras.

R = 7x

q1

M

excjcj .o m b i A

EJEM PLO:

E JE M PLO :

Calcular el módulo del vector resultante, de

Indicar el valor de las componentes del siguiente vector:

12

2012 ]

R E S O L U C IÓ N :

3

x

R E S O L U CIÓ N :

0 Luego en lo dado, se obtendrá:

* Se aprecia que los 2 vectores verticales son opuestos y paralelos, con lo que su resultante será: 1 1

Í

•Análogamente ocurre con los vectores horizontales, con lo que su resultante, será: 3 -1 -1 = 1

IV ) M É T O D O

DE

LA

* Los componentes serán: 2-J3 a 2 =>V = ( 2 j 3 ; 2 ) D E S C O M P O S IC IÓ N

RECTAN GU LAR Z

0 Finalmente, se obtendrá:

Se empleará cuando se desea determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores, concurrentes y coplanares. El método consiste en: A) Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano haciéndolos concurrir en el origen de coordenadas.

MÉTODO D E L A L E Y D E SENOS Se utiliza cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos uno de los vectores.

►X

Fig.2

D E SC O M P O SiaÓ N RECTANGULAR DE UN VECTOR *« Se da cuando un vector estáí expresado como suma de vectores perpendiculares; así como se muestra:

B) Los vectores que poseen diferentes direcciones a los ejes "X" e "Y* serán descompuestos en otros 2 vectores componentes uno sobre cada eje.

Yi

úíi^ v!

Trasladando adecuadámeme ios vectores, te obten

a 0 De donde las componentes rectangulares de v serán: |a| = |tí|Co*0 y

\b I= I u ISen#

OJO: Nótese que las componentes adyacentes o que se encuentran al costado del ángulo están multiplicadas por la función coseno y la otra por el seno.

=|V|(iCos0; Sen0)

C) A continuación se obtienen las resultantes en cada eje sumando algebraicamente los vectores colineales

* Además:

|V|=>¡\~af +171* y

v

M

I

M ClUCiOXES HUBMXÚSjj

m

en el eje nX" y en el eje nY\ es decir: Rx - suma de los vectores en el eje "X” Ry = suma de los vectores en el eje "Y” D) Finalmente la resultante del sistema se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras y su dirección con la función tangente.

* Recordando loa triángulos rectángulos notables.se obtendrá: ,

5 Sen 37°

Módulo:

12 Sen 60° 5 Cos 37°. 2 Cos 60°

Dirección:

2j3Sen 60a

2 J3 C08&Ó*

T R IÁ N G U L O S N O T A B L E S :

4x

24

* De donde se aprecia, que en ej anulan los vectores, con lo que la resul fi este caso será vertical, cuyo módulo será 3 a dirección de 00°, es decir: * Rx = l + 3 '-4 = 0

EJEM PLO 1 : Calcular la resultante, su módulo y su dirección en:

Ry - 3

t Ry = 3 R*~° >

E JE M P L O 2 :

YA

Determinar la resultante y su dirección del siguiente sistema de vectores concurrentes y coplanares. SW-

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

▼

Paso # it^ 'Los vectores que se sumaran se disponen partiendo del o rigen'de coordenadas.

* Trasladando los vectores a un plano cartesiano, y descomponiéndolos: YA

Paso # 2: Los vectóbefíinclinados respecto a los ejes se reemplazan por sug^omponentes rectangulares. 3(4] Paso # 3 : Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje. Rx = £ vectores eje x

15

X.

* -3

< fJ 3(4) 4(4) a r v ;

'3(3)

í3

3(3) X

□

vectores eje y

Paso # 4 : Se calcula finalm ente el m ódulo y dirección de la resultante, Así:

✓ .

{MTMíSt

Tggf

* Después de recordar la relación de los lados de los triángulos (45°, 45°) y 53a)) se obtendrá que: Rs=14 +

LÜ jo

(\ ENCiCMASMSDtA

* |“y| = yji6* + 12x =>["vi = 20 •A hor*

v

- 4(4) - 4 = 6

ffl

20

1

K20 2 0 )

R =3(4) 4 - 3 ( 3 ) - 9 - 4 = 8 =* R t o t a l a

E JE M P L O .*

R to tal

El vector a = (-3 :1 :2 )

TgO = -= > T g 0 = -t=> 0 = 53° 6 o

VECTOR UNITARIO (u) Es aquel vector que tiene por módulo a la unidad f|u|= 1); se determina como el cociente entre vector y el módulo de dicho vector, luego:

|a|= \(-3;l;2)\=yj(-3f+(l)2+22 = j9 + l+ 4 = jl4 Luego el vector unitario ep>Ia dirección de ^ e s :

a U- w

(-3;1;2) =

a Nota : El proceso de hallar un vector unitario en 1a dirección del vector dado, «e llama normalización del vector. * i.

,

.

Considerados los vectores i - ( l ; 0 ) ; j - ( 0 ; l ) en R2, estos vectores tienen módulo 1 y se reprsentan apartir del, origen de coordenadas en sentido positivo de los ejes coordenados ; dichos vectores se les llama fimdamen tales. o

* Donde:

—• Vector “A- M ódulo

Todo vector de R se puede expresar como una com binación lineal de vectores canónicos: i=(l;0);j=(0;l) A

UA

=

uA = l

a = ( x ; y ) = x ( 1; 0) + y ( 0 ; 1)

OBSERVACION ES * El vector unitario que el vector ~A .

ua

A

es colinéal y del mismo sentido k

* Si los vectores "a* y ~B soh-'paralelos y del mismo sentido, entonces tendrán los mismos vectores unitarios. ^ .... Condición de Codireccionalidad

y

a = (x;y)

Va e R

1

A

a = xi + yj Los números x

; y se denominan componentes

escalares de ^ y l°s vectores xi;yj se denominan componentes vectoriales. * Todo Punto p(x;y) e R2es el punto extremo de cada radio vector „ , tal que a - x i + yj y recíprocamente el punto extremo de cada radio vector determina un punto único P =(x& ) E JE M P L O : El vector a = ( - 5 : 8 ) se puede expresar: a = S i -f 8 j * Igualmente en Rs los vectores canónicos son :

EJEM PLO : Calcular el vector unitario de |~v|= (16; 12) R E S O L U C IÓ N :

i —( 1 ;0 ;0 ) ; j = ( 0 ; 1 ; 0 ) ; k = ( 0 ;0 ;1 ) Todo vector a eR3 puede expresarse com o una combinación lineal de los vectores i ; j ; k

Va=(x;y;z) e R ■

97 A

f

^

M

=>a = xi + yj + zk

E D IC IO N E S KU D IÑ O íA

E JE M P L O 1 : a = (2 ; -3 ; 4 ) puede expresarse como una conbinación

Los vectores x i ;y j ;z k se llaman componentes vectoriales de £ según las direcciones x ; y ; z.

de: a = 2Í - 3 j + 4k

V E C T O R E S U N IT A R IO S C A R T E S IA N O S

E JE M P L O 2 : a =2 Í-3j +k

(V E C T O R E S CAN Ó N ICO S ) 9 E N R 2

En el plano cartesiano, hemos de tener frecuentemente vectores sobre el eje "IT (o vectores horizontales) y vectores sobre el eje "Y" (o vectores verticales), estos vectores poseen sus vectores unitarios que convencionalmente hemos de denotar por: í, j § respectivamente. ♦r * i = (1; 0):Indica la dirección del semieje positivo fb=J * -i - 1 ; 0);Dirección del semieje «X» negativo. * j = ( 0 ; l ) A - j = (0;-l) * Luego sean los puntos: A f= {xJ¿yiJA N —(x2;ys) t entonces el vector MN *estará dado por: MÑ = ( x¡ ¡ -x ¡ ;y 2 - y t) = (x2 - x , ) ( l ; 0 ) + (y2 - y ¡ ) ( 0 ; l ) MÑ = (x2 - x J)i + (y2 - y , ) j => MÑ = (* 2 - x , ) í + (y2 - y, ) j

VECTORES UNITARIOS TRIDIMENSIONALES Zí

;

=> 2 a - b = 2(2i - 3 j + k ) ~ ( i ^ 2 j - 3k) ■=>2a - b = 4i - 6 j + 2k -

b= ^

^

ü

A

+ y2j + zj

4

¿j

A

a) a + b = (x i + yi + zk ) + ( Xji +

f

= ( x + x 1) i + ( y + y 1) j + (z + p f)k b) ra = r(xi + yj + zk) - (j&H + (r y ) j + ( rz)k EJEM PJfG'3 :, Escribana ejelfes ion del (.3; 4; i ) vector A B , en función de los X vectores unitarios cartesianos. R E S O L U C IÓ N : AB = B - A = (0 ; 2 ; 5) - (~3; 4; 1) AB = ( 3 ; - 2 ; 4 ) = 3 i- 2 j + 4k E JE M P L O 4 : Determinar cuál de los siguientes vectores no es un vector unitario. 12'

m TT- *

IW C - C osaj + Senak I

+ 3k

=> 2a ~ b = 3 i - 4 j + 5k ’{ EN GENERAL: a ~ xi + yj + zk

5 '

*

b=i-2 j-3 k

í + *

IV) D

R E S O L U C IÓ N : * Se pide verificar si su módulos son 1: I )A =

WB=Í

13

r*(-sr

ts)

+( " ¿ )

(Vector Unitario)

-

+( ¿ )

- 1
Luego sean los puntos : M = ( x 2; y 2; z ¡ ) , A N -(x ^ y ^ z2), entonces el vector MN = N - M = (X g - x ¡ ; y g - y x; z 2 - z ¡ )

UI) C = iJCo82a + Sen2a - 1 IV) D = -Jl2 + 1 + 1

= yfS

(Vector Unitario) (No es Vector Unitario)

• sil EJEM PLO 5 :

EJEAfíPLO:

Calcular |X+ 2 B - 3 C arista cuya longitud es 1.

Calcular el ángulo formado por los vectores:

I,si la figura es un cubo de

~ A = ( 2 ; 1 ; - 1 ) a ~B =(1;0;1) R E S O L U C IÓ N : *~A •~B* = 2 x1 + l x 0 + ( - l ) x l = 1

(0 ; 1 ; 1 )

*IXl =y¡2* +1* +(-1 )2 =S *\~b \ = J i í + o * + i 2 = 4 2

(1 ;0 ;1 )

X •~B * Luego: CosO =

1

1

& 6

0 = ArcCos

(1; 0;0

(1 ; l ; 0)

OJO:

X

Si A y B son perpendiculares, entonces: A *B = 0

R E SO LU C IÓ N .

An g u l o s

* Se aprecia que:

t c o s e n o s d ir e c t o r e s

X =(0; 1; 0) - (1; 0; 1) = (-1 ; 1; -1 ) X = (1; 1; 1) - (0; 0; 1)=(1; 1; 0) ~C = (1; 1; 0) - (1; 0; 0 )= (0 ; 1; 0) * Luego:

•

A + 2 B - 3 C = (-1; 1; -1) + (2; 2 . 0 ) - (0; 3; 0)

...

X + 2~B -3~C = ( l ; 0 ; - l ) = i - k

Ó’J s * " "

V=(Vx&yS%)

=>|X+21) - 3~C\ = j l * + Ot +(-i)*=42 PRODUCTO ESCALAR D E <8 VECTORES <

•

* I

* Sean los vectores: A = ( a j ; a s ; a 3 )

••A**

* Del esquema:

B = (b¡;b2;bg)

V = V* + Vy + V« 6 V = V J + V yj + V zk

* El producto escalar, estará dado por:

V = VCosai + V C osfij + VCosyk

A • B = ( a , ; a 2; a 3) ( b , ; b 2; b3)

* Geom étricam ente:

Además: A B=

V Cosp = - f

v Cosa = —

eos 8

i v

x

Co»6

v

Cosenoa directores

* Se cumple:

cosQ = c o m j£ CosO =

A

B

HaIIbI

COMP B — ^

rA

A

b

A

A

^

A = xi + y j + zk

* a , (3 y ó: ángulos directores * C osa;C osp;C osr‘- cosenos directores

i

(V E C T O J M S íS Í

99

P R O D U C T O V E C T O R IA L Es otro vector perpendicular a los vectores a multiplicar, donde su dirección se obtiene por la regla de la mano derecha. C =A *B

* C = A *B

E D IC IO N E S KlTBIÑOSij

V) Si ~a y

están expresados en forma cartesiana:

A = ( a , ; a 3; a 3), B =(bj¡b2;b3) A

<%

A

i

i

k

A x B - a,

a2 a3 i b2 b3

®3 => A x B = i 62 b3 - J

°i b,

w

3.í

a b

=> A x B = ( a 2b3 - b 2a3) i - ( a j 6 ¿ ~ b 1a3) j + (afi2 - b j a 2)k

i

=> A x B = (a 2b3 - b 2a3;a sbI - a Ib3;a ¡b^-&ía2)

bxa

=> C = A x B \= A IIb ISenfl

« * A x B , S e n f l= , i ó \A\\B

*

«3 4 ^ ^ PC A «'•>,. r.

A x B = - B x A

E JE M P L O ; A x B

B SenO

A

.

,

Si: A = (2 ;3 /0 ) y B = (-J ;5 ;-2 ) Calcular: "a*x~B R E S O L U C IÓ N :

OBSERVA C IO N E S I) ~A y ~B 8011 coplanares. II) ~A * ~B es perpendicular al plano.

A x B

III) La regla de la mano derecha se hace doblando los 4 dedos desde ~A hasta ; como si rotara un ángulo «O»; el pulgar indica la dirección. IV) INTERPRETACIÓN GEOM ÉTRICA:

1 J 2 3 -J

5

* 3 0 » 5

0 , i—

2 J+ -1 m

-2

-2

3 5

Á x B = (3 x f-2 > -5 x 0 )¿ -(2 x f-2 > -f-J /x O ),/ + (2 x 5 -f-2 )x 3 )ft A x B = -6 i + 4 j+ Í3 ft Oe/O; E/ método de las determinantes menores, se llama "criterio de los menores complementarios p r o p ie d a d e s :

AxBA

i) X X

P

- A '’

v

*

II

b

A A «A ixj= k x

* Además I^ x

°2

II 1 . f*>

t

«3 t *3

VILA x~B =

X

O

t ~

/

= |X|*

2 JX(~b +~c)=X- iF+X~c X x ( T + c ’) = X x ¥ + X x c

.

^ IX x lfl

=1X1 -Ib

-(

a

-

b

)

5) Si: " J x T = 7 » en toncesX y 7 T fion paralelos. 6) El área del triángulo formado por

a"

y T T » será:

A x B I= A B S enO = A h = bh área

* Luego A x B |=área del paralelogramo MNPQ 4

Los lados del paralelogramo son A y B.

A rea. = —|A x B 4 2

100 lfe £ 5 OJO: Es importante tomar en cuenta el desarrollo de un determinante, como: a b 1) c d

=

2)

•

bj

*

t>2

*

b2 b3

03 ~ a J C2

Cl

c2

P R O P IE D A D

= o x d - c x 6

a¡ a2 a3

-a 2

C3

Volumen A •(B x Clh = \842-,35\ = 3 5 -8 4 2 Pedido

b¡ b3 C1

+ a3

c3

b¡ b2 C1

c2

C3

TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL Sean A =(a;;a íf* a3), B = (b ,; b2; b3) y C -(c 1; c 2;c 3) se define el triple producto escalar o mixto, a A[~A ~B ~C ] 0 producto escalar de ~j£ y (~B*x"C*) . es decir: ®! a2 [ a B c ] = A fBxC> = b, b C2

3 vectores A , B y C son coplanares (están en un mismo plano), si: A - ( b x ~c ) = Q OJO: Dado el tetraedro de lados ~a 9 ~B y ~C BxC

Volumen de Tetraedro

¿U

B

PUNCIONES VECTORIALES C,

O BSER VACIÓ N : El triple producto vectorial sirve para hallar el volumen definido por las aristas de un paralelepípedo.

(curvas) En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes. R ( t ) = < f ( t ) ; g ( t ) > - f ( t ) i + g (t)j Se dice que r es una función vectoria l. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones x = f(t) ; y ~ g(t); z = h(t) ; a < t < b Una función vectorial se expresa como: R (t) = < f ( t ) ;g ( t ); h ( t ) > = f(t)i + g (t)j + h (t)k

* Luego:

A (BxC)

Volumen =

V alorA beoluio d el l*rod u ctoT riple

Cuando / varía es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)

P R O P IE D A D : ~ A ( B x~C ) —~C(~A x ~B*) - ~B (~C x ~A ) EJEM PLO: Determinar el volumen del paralelepípedo que tiene c t f n o a r i s t a s a: ~A = ( l ; 8; 3), l f = ( - 2 ; 0 ; J ) y ~C = (42; 5; 0) R E SO L U CIÓ N : * Primero:

1 8 3 [~A ~B ~C*] = -2 0 1

42 5 0 -2 -2 1 0 1 +3 =1 -8 6 0 42 0 42

0 6

Una curva se puede definir como la trayectoria de una partícula en movimiento, representada por:

= 1 ( 0 x 0 - 5x 1) - 8(-2xO - 4¡¡ x l) + 3 ( - 2 x 5 - 4 2 xo)

C ; ~f(i) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ó

= -5 + 8 4 2 -3 0 = 8 4 2 -3 5

C : f(t) = ( x ( t ) ; y ( t ) ;z ( t ) )

* Luego:

Donde para cada valor de ”tnle corresponde un punto

E D IC IO N E S R U B IÑ O M 01 !*»&» de la curva "C", el cual es la huella que deja el extremo E JE M P L O 3 : de cada vector con origen en (0; 0; 0). Graficar: f(t) = 2Costi + 2S en tj + tk OJO; Usualmente el parámetro "f\ es el tiempo. R E S O L U C IÓ N : O BSERVACIÓ N * Haciendo: x = 2Cost 2 + y 2 = 2«2 La curva "C", también se puede representar por la x C : y = 2Sent siguiente ecuación paramétrica. z -t

(x-x(t) C:

f 2(t); f3(t))

y = y ( t ) ó f(t) z = z (t)

EJEM PLO 1

t

Graficar: f(t) = (2 ; 3 ; 0) + t ( l ; 0; 2 ) ; V t e X R E S O L U C IÓ N ; Tabulando para algunos valores de T :

t 0 1 -1 2 -2 • •

0

* Da entender que para cada valor d&//
0 X 4 X ~2 2x

X 2

y 0

42

42

0

2

0

z 0 X 7 X 2 2x

0

Cj x*+y*=4

t

m (2 ; 3 ; 0) (3 ; 3 ; 2) (1; 3 ; - 2) (4; 3 ; 4) (0 ; 3 ; -4 ) e

*

>

4

DERIVACION D E VECTORES Si A(U) es un vector función de la variable escalar u, en estas condiciones la derivada de A(U) con respecto al escalar u se define p o r:

• «

dA * Se aprecia o se deduce que la curva corresponde a una recta.

du

r. —Lim A

R E S O L U CIÓ N : * Las ecuaoánee paramétricas de f(t) , son: x = Cos t » . V „ .= »**+ ;y z= l ----- •-----y^ S en t E cu a ción d e una circu n feren cia

r. A(u+du) ~~A(u) . = L im ¿Su->0 Au Au y*

Si: A(u) = Ax(u)i +Ay(ujj+ A Wu) x(u)k

EJEM PLO 2 : Graficar: f(t) = Costi + Sent j

AA

Entonces:

d A _ d A x , y dAy du J + - d í k du du

EVTEGRALES D E VECTORES —

*

A

M

A

Si A(u)=Ax(u)i +Ay(u)j + A 2(u)k es una función vectorial de u , se define la integral indefinida A(Uf como . JAfUjdu=ij Ax(u)du+jf A ^ d u + k f A^jdu

Grafícando: Si se tiene : A(U) = — B(u) *entonces : du ^ A (u )d u ^ ^ ~ -B (U) ¿M = jB fa j+ C Donde C es constante arbitraria independiente de m. La integral definida entre los límites u = a y u = 6 e s : —

J A(u)du = J

d du

u)du=B(u)+C

M íos PR O B LE M A 1 : Que vectores, son iguales en:

MSS i o a IBBT A)FALSOt ya que A y B tienen diferente magnitud y sentido. B) VERDADEROt dado que: C + B + B = 0 + B = B/7A

U EXCM4i. 2012} * Para observar m ejor como debemos sumar los vectores, vamos a formarlos por grupo, como se muestra en la figura.

C) FALSO, ya que: |7f| * \~c\ D )F A LS O , dado que ~q diferente dirección que

A)AyB DJTodos

B)A y C C)B y C E)Ninguno

R E S O L U C IÓ N : Recordemos que 2 vectores serán iguales cuando tienen la misma: magnitud, dirección y sentido. Luego en lo dado se puede apreciar que ninguna pareja de vectores cumplen simultáneamente con estas características, entonces todos son diferentes. RPTA : “E ” PR O B L E M A 2 : Dado:

tiene

E ) F A L S O , dado que se puede deducir: D —C + E —3E + E = 4E PROBLEM A 3: El número mínimo de vectores de diferentes magnitudes, cuya resultante es cero, es: A)2 B)3 C)4 D)5 E)No se sabe R E S O L U C IÓ N : * El número mínimo es 3, ya que teniendo los vectores de diferentes magnitudes,siempre es posible orientarlos; de forma que:

observe A + B+C.+ D —O

B +F =A

R=A+I1+C+D + F+F 0 A =>R=Á ♦Por lo tanto la resultante de los i

vectores mostrados es A . RPTA: “E ” PROBLEM A 5 : La magnitud de la resultante del siguiente sistema de vectores es: A)2T ^ s’ R _

T + ~B + ~c =~0 RPTA : **B** PROBLEM A 4 : En la figura, |a I= |b |“ |c |= |3| y

E)T R E S O L U C IÓ N :

Podemos afirmar: A) A y B tienen la misma magnitudy dirección. B)Sumando los vectores C ,D y B ob­ tendremos un vector con la misma di­ rección que el vector pero con sentido opuesto a este. C)Lo8 vectores B ,C v D tienen magni­ tudesy direcciones iguales. D) El vector C es un vector opuesto al vector J)_\ con la misma dirección que el vector B E)Al efectuar la operación ( J j - C ) + ~É obtendremos un vector con la misma di­ rección y sentido que el vector pero con una magnitud 3 veces la de la mag­ nitud de E ' R E SO L U C IÓ N : * Analizando alternativas:

|r I= I?I .Encuentre el vector resultante de los vectores mostrados.

* Se pide: P + Q + R + S + T = T + T = 2T fcpür el m étodo del ifioltgoiw resu lta 2^

RPTA: “A ” PROBLEM A 6 :

D R E S O L U C IÓ N : Para determ inar el vector resultante se debe conocer los métodos de la suma de vectores, como, por ejemplo, el método del triángulo y del polígono. En el problema se pide : R = Á + B + C + D + E + F .......... (I)

El ángulo entre dos vectores de 5 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 30° con el vector mayor es: A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E)12(F R E S O L U C IÓ N : * Recordando "la ley de senos" en un triángulo, lo cual señala: B

a

c

5 SenB

SenA

EDICIONES RUUINOSi

« ¡S ^ fo fT E

SenC

RESOL UCIÓN:

PROBLEMA 10 :

* Esquematizando:

Tomando como base los lados del triángulo ABC, se establecen los

* Ahora en el problema:

0 OfíR?cordan 'sor mi

Sen 30°

doble

* Se deduce que: B I= 2(3) - 6 RPTA : "C "

10 S en (1 5 O °-0 )

PROBLEMA 9 :

5

=>Sen(l5O°-0) = ^ - x í o 2

Sean los vectores A y 5

= >S en (15O °-0) = l

módulos 3 y yfJo respectivamente.

=> 150a - 0 = 90° => 0 = 60°

con

Si el módulo de la suma A +B es

RPTA : "C ” PROBLEMA 7 :

igual a 5, ¿Cuánto vale el módulo

) A) 10; 53a B)10ií3f*\ C)5; 53? D)15; 37° E)20?j 33° RESOLUCIÓN:

+ * Ubicándolos vectores:

de la diferencia: A - B

La figura que sigue muestra tres vectores

A)2y¡3 B)4l3 C)4TÍ D)4Í5 E)4 B

A, B y C

vectores: AB, A C y BC • Sumando los tres vectores.¿Cuál será el módulo y el ángulo de inclinación del vector resultante con respecto al vector AC? ^ B

o

RESOLUCIÓN :

+—*-

i

. r“

* Dados dos vectores J

''A El vector resultante T f + ~C - A es:

a

B ;

de |AC + CB + ABI = 5 + 5 = 20

A)

* Luego la resultante, será:

D)

+

■ i
D

3

+

4

* Ubicando # , C y - A

<> “f e t i

»N » l *

-2

1)

PROBLEMA 11 :

2

+

2

De los datos tenemos I I ♦

2

B RPTA : “E ”

PROBLEMA 8 :

Loe vectores A y B forman entre sí un ángulo de 60? y el módulo de A vale 3, hallar el módulo de B, para que A - B sea perpendicular aA A) 43 B) 3 C )6 D) 275 E) 1

= 4ÍÓ;

= 3;

= 5

El módulo de la diferencia : D

La fuerza X resultante tiene el siguiente módulo y dirección (con o\ respecto a la dirección C): A) sIa 2 + B 2 + C2 + D 2; 90°

(«l'+p)* = ^1(3^)-!- (>/ío)*j =►[z>|* =VÍ3

_

Cuatro fuerzas A , B , C y D actúan sobre una masa colocada en O como es mostrada en la figura.

D

En la ecuación (III):

2

RPTA: “B 19

CO80 . . . ( I I )

De (I)2+(II)2 obtenemos:

p r+ D = 2

L

B CosO

Piden D

RESOLUCIÓN:

c

+2

—.

= A —B es A - B = 4 l 3 RPTA : “ B ”

B) (síl7/2)C ;ArcTan(y4) C) slA + B + C + D ; 45° D)(s¡5/2)C;30° E) (sÍ5/2)C; 45° RESOL UCIÓN:

U

10* * Utilizando nuestros conceptos elementales geom étricos, obtenemos por el m étodo del paralelogramo:

PROBLEMA 13 :

Se tiene un vector a de 10 unidades de módulo en el eje positivo de las "x " y un vector 6 de 10 unidades de módulo en el qje positivo de las "y". El vector a + b forma con el eje de las "x” un ángulo de: A)45° B)135° C) -45° D)90° E)180° RESOL UCIÓN:

-»|Xl=>/A2+(2C)2= ^ j +(2C) -►I R

C a a = A rcT a n ^ ^ RPTA : “B I»

* Esquematizando recordando el método del paralelogramo:

A)E B)2D C)2E D ) - E E)D RESOL UCIÓN:

0 Se pide:

f

R=A+B+C+D+E+F+G

rs r C+E =D

H|=10

PROBLEMA 12 :

Las cuatro fuerzas A , B ,C y D . de igual módulo F, actúan sobre una masa colocada en O. B y D son colinealesy C y A perpendiculares. I El módulo y dirección de la fuerza resultante es:

FjXCmíj.om’ é:d l \ 2012}

^

Estos 4 vectores forman un polígono cerrado, luego:

A+B+F+G =0

H =10

=> Entonces se ba form ado en triángulo rectángulo notable de 46° y 45° $ = 45° RPTA: “A ” PROBLEMA 14 :

Se tienen dos fuerzas de m agnitudes 10 y 20N. La resultante es ION. El ángulo a que forman las dos fuerzas es tal que:

A) \Í2F a lo largo de ( 1 - 2 ) B) F a l o largo de (1 - 2 ) C) 2F a lo largo de ( 3 - 4 ) D) F a l o largo de ( 3 - 4 ) E) \Í2F a lo largo de ( 3 - 4 )

A)0 £ a < x ¡ 4 B)xl4 5 a < 3 x ! 4 C)x(2 <.a< 3x14 D)x!2 <,a < x E ) 3 x 1 4 < a < 5x14

RESOLUCIÓN:

RESOL UCIÓN:

* Como las fuerzas B a D son colineales, de igual modo y sentido contrario, entonces se anulan; luego el sistema resultará: ■l

* Por una simple inspección relacionando los datos se obtendrá: 2 0 - 1 0 = 10 ^F¡ ^ F g 1'Resultante * Esto únicamente ocurre cuando los vectores son colineales y opuestos, es decir: 20 ^ I <> < 10 A O -------------►

10

RPTA : “B ff

PROBLEMA 16 :

En el triángulo, hallar el vector x en función de los vectores A y B, si se cumple que PQ = QRI2

C)x = ( B - 2A)¡3 D)x =(B + 2A)¡3 E)x = (2B + Á)f3 RESOL UCIÓN:

•Del últim o dato (utilizando vectores auxiliares):

»

* Luego: a = 180° • Cosa que al analizar alternativas, 3 5z se obtendrá que: —x < a < 4

=> R = 0 + D + D = 2D

❖ Se aprecia que: v + x = A -* v = A - x

4 RPTA : “E”

a2v + B = x

MI)

PROBLEMA 15 :

Determinar la suma de todos los vectores que se muestran en la figura:

v

« f e

De (I) y (II), se obtendrá —

A - —x

(D

T - ¿--F --

E D iC IO X E S R UH IXO fft * Despejando « ~ »: x =

2A + B

a + b + c + d + e es 4\Cl

AJ3m B)4m C)6m D)8m E)9m R E S O L U C IÓ N :

Del gráfico la componente x de

* Utilizando vectores auxiliares:

a + í + c + d + e es mayor que 4 1¿|

RPTA : “D*f

(FALSO)

PR O B L E M A 1 7 :

C) a + b + c + d + f = 2 e

Los vectores mostrados en la figura están relacionados entre sí mediante:

c 4- c + d + f e X

B = a A + p C > donde a y P son números reales. Determinar a y p* A) 115,-315 B) 115,1 C) 1/5,315 D) 115,-3/5 E) 1/3,-5/3

X

2~e J-K"' = 2~e

x +B = A

aY

x±C =B

V

B -C =A -B •Entonces:

¥

a

* Trasladando adecuadamente los vectores, al origen:

Verdadero

+ C = 2B

•Se pide: A + C + B = 2B + B=3B

R E SO L U CIÓ N :.

+ ~'e = 2 e

* Cuyo módulo será: 3(3) =9 R PTA¿“E ” P R O B L E M A 19 : ^ Marque la expresión incorrecta, considerando que los vectores ~a ,~ d ,~ c y T parten del origen.

kY

- *

►

RPTA: “B $$

PROBLEMA 20 :

Para los vectores mostrados en la figura NO se cumple que: a;

3 -

c

+5=

a

B )A -E =B C ) A - B =D + C D)E + B = A

X j E

E)E + C = D B R E S O L U C IÓ N : * Considerando el método del polígono, y analizando alternativas:

D -C +B =A

B =a A +p C l) = a ( - 2 ; - l ) + p ( l ; - 2 ) -> (-1 ; 1) = (-2 a + P ; - a - 2p) *

<

1 a" 5

.

V erdadero

B)VERDADERO, por definición de sustracción de vectores. A ja + 6 + c = e B) la componente x de:

Falso

a + S + e + d + e es41c I RPTA : “A ” PR O B LE M A 1 8 : Determinar el módulo de la suma de los vectores A , B , C , mostrados en la figura, donde: A = 8m >i B = 3 m y| C | = 5 m

C>a + 6 + c + d + /* = 2 e D )a + b - e - - c E)d-a + b = c R E S O L U C IÓ N : * Analicemos cada alternativa a + b + c - e A)

c

+ c = e=>2c = e (VERDADERO)

B) La componente x de:

•B

C

C

D)VERDADERO, por definición de adición de vectores. E)VERDADERO, por definición de adición de vectores. RPTA: “ C ” P R O B L E M A 21 : En el plano (x ; y ) una fuerza F = Fxi + Fyj tiene la componente F = y , y la componente Fy~x.

\ F M S iW C A En cuál de los siguientes puntos (x; y), la fuerza 7 hace el menor ángulo con el eje X. A)(\¡3;1) B)(l;s¡3) C)(3; 0)

=> TgO = —

y

Por dato

RPTA : “ D ” PROBLEM A 23 : El hexágono regular mostrado tiene lado «a ». Determine el vector E en función del vector . Si

7=-2X+27-27+7

B)(l;sÍ3) => Tg0 =

-> 0 = 30°

C)(3;0) => TgO = oo -+0 = 90° D ) ( l ; l ) TgO = 1-* 0 = 46° E)(42;l) => TgO = -J2 -* 0 = 54,7°

Determine el vector resultante de los vectores m ostrados, en el siguiente paralelepípedo. b;7

E)3I2~C

D )2 A -

7 f/X+7

R E S O L U C IÓ N : * Trasladando adecuadamente a ~a y 7 : _ _____ _ ^ C + A + D = B ....(I)

R E S O L U C IÓ N i * Se pide: R=A+B+C+D Por et mtíodm poeai etogm m o, K tim e que: B + C * A

* Luego:

7=X+X+7 =2~a +7 RPTA : "C ” PROBLEM A 26 :

D

Ahora reemplazando (I) en E: E = -2 A + 2(C + A + D ) - 2 D + C =>E = 3C

X ___

Si R es el vector resultante de los vectores X ,7,7 y 7 mostrados en la figura, determinar el módulo del vector 7 - 2~D •

RPTA: “B ”

A) 10

PRO BLEM A 24 :

B) 20 C )30 D) 40 E) 50

Determ inar la resultante del conjunto de vectores mostrado en la figura. 6

R ESO LU CIÓ N i

3

R E S O L U C IÓ N :

* Tomando en cuenta el método del polígono y respetando la continuidad necesaria (invirtiendo el sentido, si es necesario), se obtendrá que:

* Trasladando el vector A

X-7+7+7-7+7-7 =7 -+X+7+7+7=7+7+7 R E S O L U C IÓ N : * Reemplazando esto en « ~r »,

PROBLEM A 2 5 :

C)2~A + 7

En el sistema de vectores mostrados, determine la magnitud (en p ) de:

E

RPTA: “E "

C)2~C D)0

* Entonces el menor ángulo será: 0 = 30 RPTA: “B ” PR O B LE M A 2 2 :

3 = A + íl + C + D + í r + F + G i si se sabe que 7 + 7 = 7 y A=B=G =10u.

X+7+7+7+7 = ~0

A)~0

B)3~C 0=60°

* Resulta un polígono cerrado, luego:

A)4~C

A )( \Í3;1) => TgO =

2012}

->7 =^7 ->7 = 4 ( 10) = 40

* Graficando tomando en cuenta el enunciado, para luego analizar las alternativas: (y*)

&

fjvchj.o i ’£ b i A

^ R —B + J E + G + fí+ £ + G ^G

D)(l; 1) E)( s¡2;l) R E S O L U CIÓ N :

U

E l 109 E l resultará: R = A + C + D + F +B+E+G

* Trasladando adecuadamente

IV E C T O W K ^ =>Se aprecia que: ~B + ~C +~A =~D * Pero: ~R = T + J V c + ~D 1F=T)+~d

EMCiOXES RUBLVÓSl

107 PROBLEM A 28 :

AGC, la magnitud de A C , es:

Dado los vectores A y 3 de la figura, con relación a las siguientes identidades podemos afirmar que: XI

l*AC*| = y¡L* + L2 = L42 RPTA : M A” PRO BLEM A 30 : La magnitud de la suma de los siguientes vectores:

-> ~R-2~D =~0 RPTA: "D " PR O B LE M A 2 7 : Determinar J en el cubo de la figura, en térm inos de

AH + ~ÉG + ~FH + ~BC . sabiendo que los puntos ( ? //, H, L, J y K dividen en 3 pcyrtetfiguales los lados de los triángulos equiláteros ABC y DEF de lado L t es:e ^

0 1 a - b | = 21 a + b

IDIX-*5 *1* ~A +Ti n o 2| T | = I b IV) 2~A = X A) I y II son correctas B) II y n i son correctas C) II y IV son correctas D) Todas son correctas E) Todas son incorrectas R E S O L U C IÓ N :

E)Lf2 R E S O L U C IÓ N :

* Tomando en cuenta el de Pitagoras»:

* De la figura se puede deducir que: AH + 1&Í +

* I T + T I = V a2 + b 2 A) A + B + C

B)A+2B + C

C)2A + B + C

D ) A + B + 2C

E ) j ( A + B + C) R E SO L U C IÓ N : * Considerando vectores auxiliares: Z

c

+ ÜC

= h b + W + e g + W + M + b l +lc

~Á - T I = Va* + b 2 * Se aprecia que: IB I= 21A I * Luego se concluye que sólo U y III son correctas. RPTA : “B ” P R O B L E M A 29 :

=Gtf+íffi+£G+^B+BE+Z5+IC ~0

+

~Q

+ZC

= LC * Ahora se puede apreciar que: LC [ = | l 3

RPTA: “B f

Encontrar el módulo de la suma de los siguientes vectores:

PROBLEMA 31 :

AO» AB» OC y CG »sabiendo que el cubo es de lado L:

Dado los vectores mostrados en la figura.

B

B = V +V = > c= v+ v© a

D

= v +v

A + B + C = 6V...(I) * Además: x = V+ V + V = 3V...JH) * Con lo que de (I) y ( W , se deduce que: _ 7 _ — _ x = - f A + B + CJ 2 RPTA : “E ”

E A)L-Í2 B)2L\Í2 C)L4 s D)L E)3L R E S O L U C IÓ N ; * Se deduce, que: M + OC + AB + CG = AC Lo

♦ A h o r a d e l t r i á n g u l o r e c t á n g u lo

Indicar cuál de las siguientes alternativas es incorrecta. (La figura es un cubo de I m . de lado). AJA = B+C B )5=B xC C)E=CxB D)B+D+E=A-C R E S O L U C IÓ N :

E)B=AxD

tos ffi

E * Analizando las alternativas, se obtendrá:

¿A ENCh j.

2 012)

Además: A - B

a + q = 2x -

AJVERDADERO, por el método del paralelogramo.

©

—

b + p - 2x a+b+p +q*4x

x => x = — 2L42

- B)

B) VERDADERO, por la regla de la mano derecha. -+a + b = 3x

OVERD ADERO, por la regla de la mano derecha. D) VERDADERO, ya que:

RPTA: “B ” PRO BLEM A 34 :

B + D + E —B + 0 —B = A —C EjflALSO, ya que : A x D * B RPTA: “E ”

La figura muestra una circunferencia inscrita en un cuadrado, halle x en función de los vectores A y B-

PR O B LE M A 3 2 :

é

u*/ / / /

Y ^UVector VnitarUuh V

Determine el vector unitario de la resultante de los vectores mostrado en la siguiente figura. A)í+2j 1 75 1 C) 75 1 D )4 -(i+ 2 j) 76 l E)7 5 ( i ' * }

R E S O L U C IÓ N : •2jx(-3i) = (2 ){-3 )jx i= -6 (-k )= 6 k

A)

i-* PR O B LE M A 33:

^

PROBLEM A 35 :

D) - 6 j E)6k

RPTA : “E ”

OJO: Recuerda que:

M ód ulo d e V ector d e V

El producto vectorial 2 j x ( ~ 3 i ) >es igual a: A)6 B ) - 6 k C)6 j

RPTA: “B 9$

4

RESOL, U C IÓ N :

En el paralelogramo mostrado en

R E S O L U C IÓ N : ♦Trasladando los vectores, al origen: „

la figura, halle x en función de a y b . M y N son puntos medios.

Oa; a)

a

(a; a) \(a;

-a

A ) í ( a + b) B ) í ( a + b) C)~(a + b) «

u

D)a + b

H a

0

4

E)2(a + b)

* Se aprecia:

R E S O L U C IÓ N : * De la figura:

♦Considerando __ 1 vectores adicionales: ¿p

L + x = l 42= > x = L ( 4 2 - 1 ) u.

♦ Se aprecia que: 2p + 2q = 2 x -> p + q - x

R ~(-a;a) + (a;a) + (a;0)

* Además, vectorialmente:

-» R=(a;2a)AR=^ja*+(2af =a7E R * Se pide: pR = 1 5 1

( 2L-j2)ur + B = A V ector u n ita r io d e V M od u lo d e la d ia g o n a l

RPTA: “D ”

109

í v i s c x 'o j e j g . a g PR O B LE M A 3 6 : Determine la magnitud (en cm) de la com ponente del vector resultante en la dirección del eje X",del sistema de vectores que se muestran en la siguiente figura.

E D IC IO X E S R U B IX Ó S \

* Por definición cartesiana de los vectores, se obtendrá: A=(6;4)-(0;4)

A-(6;0) C = (6 ;4 )-(8 ;0 ) C -(^ 2 ;4 )

X(cm )

* Luego: R = A + B + C -+R=(6;0)+(6;4)+{-2+4)->R=(10;8) * Además: |j f |_ VlO2 + 8 2 = 2-JH

20

* Se pide: —

R E SO L U CIÓ N : * Descomponiendo el vector de módulo de 4 0 cm , en sus componentes rectangulares:

P = 2 f + g = 2( ¿ i) + (2-J3 ) j -> P = 4 i+243 j ; |?|= ^4* + (2 4 3 f

B = {6; 4)

Yfcm)

A) 2 B)1 30 C) 3 D) 0,5 E) 2,5

P = a + b + c + ( - d ) + (- e ) + f + g

Yl m —

(10; 8) 2 -jti 5 4 "W i

( 5

= 247 * Se pide: —

P

4¡ + 2yf3L 2>¡7-. V5Í-.

0 T 'R P T A : “D ” PROBLEM A 39 : H a lla rle » en el para — —* j mostrado,sí: (A + Z

,'4>

(0;Q;10J r •

j

RPTA : “D ” \Y

PROBLEM A 3 8 :

.................. jpj o ~ 3x8=24 9°

A Ít p 4x8=32 " 20

* Luego la componente del vector resultante en el eje "X", será: Rx = 3 2 - 3 0 = 2 RPTA : **A” PR O B LE M A 3 7 : En la figura se muestran tres vectores.

Dado el siguiente conjunto de vectores que están ubicados’en lós lados de un hexágono regular. Determine el vector unitario en la dirección de P = a +b+c - d - e +f +g

(4;0)

(0$)

! (0;6;0)

Y

A )-2j

B)-2,5i+3j

0 - 2 Í +1,5 j

D)2i

E)3Í - 2 j

R E S O L U C IÓ N : * Se deduce que: Á = (8; 6; 10) - (4; 0; 0) = (4; 6; 10) I f = (8; 6 ; 0 ) - (0; 0; 10) = (8; 6; -10)

iX

->A + B = (12;12;0) * Además: C = k(0; 6; 10) - (8; 0; 10) c f u

( 0; 0)

8

Determine el vector unitario en la * dirección del vector 8

(A +B +C ).

5 *

4

a

A )7 r i ¡

B)72li+72Íj

6 C)T 7 i1 W i J

5* 4 a D)W j + W i j

10

E>W i l 7 T iJ R E S O L U C IÓ N :

í j

-> C = ( -8 k ;6 k ;0 ) * Ahora en el dato:

„ .4 S i 4 T l E)——i + —— j 3 8 R E S O L U C IÓ N :

(A + B)/C = -6 ( 1 2 ; 1 2 ; 0 ) ( - 8 k ; 6 k ; 0 ) = -6

* Dibujando convenientemente los vectores:

Yf j

r

* w g \ ,* \
7

-»/* = 4

Con lo que: C » ( “ 'J»

.

7 7 ¡3 5 / \ _

+ -96k + 72k+0 =

0o Q .

C = (-2;1,5;0) = -2i + l , 5 j RPTA : “ C ”

X

P R O B L E M A 40 : Hallar el vector , en función de M

E l n o Eggjü

IA

R E S O L U CIÓ N : •Se aprecia que la resultante de los 2 vectores de la izquierda es colineal, opuestas y de igual módulo que la resultante de los 2 vectores de la derecha, por lo tanto se anulan, es decir:

R V C iix o r H U t 2 0 1 2 )

B)

2A+6B 3

a

2B+3B 6 A

D)

t:

5A+8B

6

....

1 a,......

E)A + 5B

R E S O L U C IÓ N : A) ■

^ ■ ÍAÍtW •

♦

V

o [^ ^ ]r S + w e>{L t

d) ^ ^ - ( m - ñ )

• ►

• « * 4 « ■

* • •

« * •

l • •

• Recordando que la intersección de las medianas de un triángulo se llama "Baricentro", el cual divide a cada mediana en una proporción de I a 2, es decir:

9

• I

-)<>*+ñ )

R E SO L U C IÓ N : •Utilizando geometría elemental:

3 --------•^

— -* ' >* * •«-...... ...•

A

Resultante Total: 0 RPTA : "E ” PRO BLEM A 42 : Determinar la resultante, de:

/ i \ BARICENTRO

/

/ JI

^*

\ /0 O-

/

• \

Luego en el problema: I

:• •• • ♦ « •

•» •»

••••••

Ano • Del esquema:

B

\v\= (R + R>¡2) - 2R = R (42 - 1 ) •Ahora por el criterio de codireccionalidad, para vectores paralelos, se obtendrá: - í M+Ñ 0 =tB+Ñ| j M+N R(yf2-1) RyÍ2

D)4\fl7

B)8

C)2j7

E)2\Ü3

R E S O L U C IÓ N : • Haciendo la descom posición rectangular, de cada vector: ..-■tfí--.. 3 a

5

* Ahora en el triángulo sombreado: A+B - A -----------x = ------> 3 2 • Se pide: R - A + B +x -> B = A + B + 2 B ~ «=

v = lzj£ (M + J })J & ::^ (M + IÍ) RPTA : “A " PR O B L E M A 41 : Determine el módulo de la resultante del siguiente sistema: UVÁ A)3yf3 B)7y¡7 C)8 D)13 E)0

5A + 8B

XV —

* Luego: R = y¡(3 + 3)2 + 4

- —

RPTA: “D ” O TR O M ÉTODO :

-+ R = 2yfl3 RPTA ; “E ” OJO:También se resuelve, usando sistema de coordenadas. ...

PRO BLEM A 43 : Calcular la resultante en función de A y 5 » en:

^

0

....................

,

B «Otra manera será ampliando el

c

111 PROBLEM A 46 :

vector x donde: B - — + 3 x » 2 PR O B LE M A 4 4 ; Calcular conociendo que la resultante debe tener valor mínimo.

A)3T B) 30a C)53° D)-53° E) -3 T R E S O L U C IÓ N : * Para que la resultante sea mínima, el vector v debe ser antiparalelo (opuesto y colineal) a la resultante de 3 y 4, es decir:

La figura muestra un cilindro recto de radio R y altura h. :
e ih c io x e s

n u tix o s i

SE APRECIA ANALIZANDO

R total —2a + 2b => R = 2(a + b) * Ahora por ley osenos:

a + ó|= -ja2 -trb _+2abCos60°

a--|?)’*D+2Í5£«

a +a =

►|«+ a = f V 7 4¡ Finalmente:

* Tomando 2 puntos simétricos:

r

U 2 ^ 4 7 ^ = d 47 RPTA: "A ”

* Se aprecia j = R +H B=~R+H J+B=2H

PRO BLEM A 48 : Hallar los vectores unitarios de los vectores p y Q . Si AJB y C son puntos medios de los lados del triángulo mostrado en la figura; dar respuesta de pq ■pp . IZ(m)

* Con lo que se deduce que: ¿ + 90° = 37° -> RPTA: “D

9$

PR O B LE M A 4 5 : De las siguientes operaciones: I)AxBxC

II)(AxB)C

III)(A B ) x q I V ) f A - B ) x ( C - B ) Es posible realizar: A)I, I l y ilI^ B jly II O h II y IV D)IU y IV E)II y III R E SO L U C IÓ N : * Sólo es posible realizar las operaciones I y II. La operación: (A B ) x C no tiene sentido ya que (A B ) es un escalar y no está definida vectorialm ente esta operación. La operación (A B ) x ( C ' B ) no tiene sentido pues no se pueden multiplicar vectorialm ente 2 m agnitudes escalares. RPTA : **B”

* Se pide la suma de 12 vectores donde hay 3 parejas de vectores (cada pareja tiene extrem os simétricos), en la cual cada pareja resulta 2/7, entonces: * Resultante total = 6(2H) = 12H * Luego se pide: 12H RPTA : “ C ” PROBLEM A 4 7 : En la figura MN=D, es un diámetro de la circunferencia y 2(MP) =MN, calcular la magnitud de la resultante de los 10 vectores. A )D jt B)2D\¡7 C)3D-j7 D)4D-j7

a/

11r & B •i \

. •

Z (m i

5Á

Y(mt

A)1

B)0

0 )4 3

U - jf *

O 46

R E S O L U C IÓ N : * Como "A", "B" y "C" son puntos medios, luego: 4 (5 ;0 ;0 ) + (0 ;0;5 ) ( 5 ^ . 5 } 2 V 2' ’ 2 ) n _ (0;0; 5) + (0 ;5;0 ) _ ( 5 2 L ’ 2 ’ 2) (5;0;0) + (0 ;5;0 ) ( 5 _5 y\

E )5D j7

2

\2* 2* J

* Ahora: RESOL. U CIÓ N : * Por simple inspección eliminamos aquellos que forman un polígono cerrado:

5>f2

Q = C - f0 ;0 ;5 j= ( |;|;- s ) - * |Q |= |> /6

* Luego: f

-

L 1 £ v r ifx

II* * Luego: Rx = 1 5 -1 0 = 5 R^ = 2 0 - ¥ 1 0 - 1 8 - 1 2

{ - - Á :0) í r 2 . j 2 . c) ¿ fe \ 2 ’ 2 '°)

2012}

RESOL UCIÓN:

* Dibujando los vectores adicionales Z

R = 4 s 2 + 122 =13 RPTA : “ 0 “

tó H

Q * l f -

PROBLEMA 50 :

¡«J r ee

U ’ « ’

sJ

* Finalmente: f>/6 a/6

^

sle)(

s¡2 J

2

n)

12 12

^

RPTA : "B ”

(4 ,0 ,1 2 )

Calcular "a", si la resultante del sistema se encuentra sobre la línea de acción de 27JV. A) 10? B) 20? C) 36? D) 37° E) 8?

(0 ,3 ,0 )

lY

(4 ,0 ,0 )

a = (4;0;12)-(0;3;0) -> a = (4;-3;12)

►X

OTRO MÉTODO

¡a|= i¡42 + (-3)* + 122

Sabiendo que: “¡T . 7T = abCosO •Luego se puede deducir fácilmente que el ángulo de p y <3 es 90? (son ortogonales), entonces pq es ortogonal a ~¡Jp» por lo cual: Pq ■p P = [p^| \pp |C o 890° = J x 1 x 0 = 0

PROBLEMA 49 :

Determinar el módulo del vector resultante del sistema:

-> |a|= 13 RESOLUCIÓN:

• Girando 17° los vectores en sentido horario ( 0 )>cosa que ahora la resultante estará sobre el eje "E , entonces las com ponentes verticales se anularán entre si: .Y

• Luego por el criterio de vectores codireccionales: a q ( 4 ;- 3 ; 12) 52~ 13 a

* Análogamente encontraremos f

i

u

e

:

_

-» 15

p = (S0;30;0)

* Se pide: p + q = (-40; 30; O) + (16; -12; 48) = (-24; 18; 48) RPTA : “E” PROBLEMA 52 :

* Luego: 25Cos( a + 25a) = 15 Cos(a +17°) = ^ -* a +17 = 53° 5 RESOL UCIÓNZj

* Girando los vectores 7o, en sentido horario ( 0 ), para obtener ángulos conocidos, 3^ descom poner adecuadamente: Y

a = 36° PROBLEMA 51 :

Si los módulos de los vectores P y q son 50 y 52 respectivamente,

_

A

A

A

Dado los vectores A = ni + 3 j - 2k y B = - i - 3 j + k'* determinar el valor de "n** para que el vector ( A - B ) sea perpendicular a J . A)1 B)2,5 C)5,5 RESOL UCIÓN:

D)-22

E)8

* Debemos recordar que:

calcular ~p+ q

a

* Luego en el problema se tendrá

y

que plantear: \ 1 0 j2

10


\ 4 5 3T S '' . '

4 ¿?t 10

3(5) = 1 5 .18

4(5) = 2 0

A)dO; - 10} -10) B )2 (7 i 9 ; 6) C )2 ( 1 0 ; - 9 i 7)

D)2(-t0; 9;-7)

B)6(-4;3;8)

1

IA - % B = 0 -*[(n; 3; -2) - (-1; -3;1)] (-1; -3;1)=0 l(n + l),-6 ;-3 )](-l;-3 ;l)= 0 ~(n+l) -1 8 - 3=0 -> n —~ 22RPTA : “D ”

[T O ? € T O Ig ^ ^ PR O B LE M A 53: Dados los vectores: A = 2 i - j + k, B = i + 3 j - 2 k $

119 120am - 540am 17 x39ma -140 140 CosO— 0~ ArcCoa^ 221

C = -2i + j - 3 k , D = 3i + 2 j + 5k Determinar los valores de los escalares a, b y c, de manera que D = a A + bB + cC A)a = 2 ; b = l ; c = - 3 B )a = -2 ;b = l ; c = - 3 C) a = -2 ; b = -1 ; c = ~3 D)a-2;b~í;c =3 E) a = 2 ; b = 2, c = -3 R E S O L U C IÓ N :

221

E D IC IO N E S R IlM X Ó S l RESOL, U C IÓ N : * Consideremos que: Y

)

RPTA: “B ” PROBLEM A 5 5 : Las diagonales de dos caras dé un cubo, OA y OC se indican en la figura. El vector unitario en la dirección y sentido de OA x OC es: (el cubo es de lado L).

* Deberemos reemplazar los valores

* Luego igualando las componentes: 2a + b - 2e = 3 Resolviendo el -a + 3b + c = 2 sistema resultará a - 2 b - 3 c ~ 5 a - -2; b = 1; c = -3 PR O B LE M A 54 :

B)(i + j + k) 1 (i+j-k) D) 73

A ) ( - i + j + k) C)(i+j + k)j3

B) 1 73

R E S O L U C IÓ N :

« T 1 R E S O L U C IÓ N :

* Se aprecia que:

* Debemos recordar que:

O A = ( L ; 0 ; L ) y OC = ( L ; L ; 0 )

P x Q = PQSenO y P Q = PQCos0

Encontrar el ángulo que forman los vectores siguientes: A - 8ai + 15aj B - 15mi - 36mj

i J k ->OAxOC= L 0 L =(-L2;L2;-L2) L L 0 * Además:

A) Falta conocer a y m B) 6 = arcCosf-1401221) C) 0 = arcCos(1401221) D) 0 = arcCos (-11221) E) 0 = arcCos (-31221)

OA x OC\=J(-L2/ + ( L2f +( - 1? f = L2J3 * Se pide: POAxOC ~

R E SO L U CIÓ N :

A = y](8a f + (15a )2 = 17a B = j(1 5 m )2 + (36m)2 = 39m * Reemplazando en (I): (8a;15a)(15m;-36m) CosO = (17m)(39a)

B)sÍ3¡ C)3i

( - i + j + k)

¿ y

* Por definición: A xB =ABCos 0 A B Cos0 = (I ) AB * Pero:_____________

99

Halle (PxQ)X(PQ) :Z A )3 js i

t

RPTA: "B ”

-> o= 3 0 ° RPTa PROBLEM A ^

Los vectores d e j^ fig u ra tienen magnitudes P = 2 y Q=3.

de A, B, C y D , en: D = aA + bB + cC (3; 2; 5) = a(2; - l;l)+b(l;3; - 2)+c( - 2;1; - 3) -*(3; 2; 5)= (2a+b - 2c a+36+c; a - 2b - 3c)

* Se deduce^que: or+ 60° = 90°

m

OAxOC

(~ L 2 ; L 2; L 2 )

lÓAxOcI

L243

RPTA: “E

99

PROBLEM A 56 : S*: A = B + C son vectores coplanares y A = m j ; |5 |= |£|= m El ángulo agudo que forma g con el eje positivo de las x es: Jo

Jo

A jA r c S e n — . B /A rcT g ~ 3 3

C )3
E )6 tr

J P xQ * Luego la expresión a calcular, será: (PQSert&rMPQCos&P^Tg&P^ * y su dirección será la de P x Q . que será ¿ (por el criterio de la mano derecha). RPTA : “B ” PROBLEM A 58 : Halle

|AxB|,

A+B+C = 6¡

Si|c| = 2

y

\ J F M S IM C A

R E S O L U C IÓ N :

P R O B L E M A 60 :

A)F = m/2 + ( l - 4 3 l 2 ) ñ

Dados los vectores:

B)F = m l 2 - ( l - 4 3 l 2 ) ñ

A = 4i + 3 j + 12k Y B - -3 i + 4 j Determinar el cociente entre la componente de A sobre B y la componente B sobre A . A)2,6 B)3 C)1 D)4 E)423 R E S O L U CIÓ N : O B S E R VA C IÓ N

C)F = m / 2 + ( 4 3 1 2 ) n D )F = m + ( 4 3 / 2 - l ) ñ E)F = m - ( 4 3 1 2 - l ) ñ R E S O L U C IÓ N : * Grafícando: B

* Se deduce que: C - -2 i ♦Luegoen: A + B + C = 6i -+A + B - 2 i = 6i-+ A + B = Si * Con lo anterior, podemos grafícar: COMPg D = \A\Coa0 ; |A|= 4 |5|= 443

Ux^JBM Senm r^éxéJSxM OjS RPTA : “D ” PR O B LE M A 59 : Se tiene 2 vectores unitarios en el plano XY: ~¡4t y ~¡T2 í

hace 16° con

la dirección +x, asimismo 69° con la dirección +x.

hace

Calcular: MrMs

"I B'f

Cli

D)1

pero: A •B = |a ||b |Cos0

A C o* - * £ Lb

Se aprecia:

com p £ = ^ 4 b

B

\B

* Con lo que también se puede deducir que: co m pb

- ^

I b

£ E

a

* Se pide: A B COMP¿ g| IaI -J4*+3*+ 12* o «COMPS AJI ~ 0 ^ ( - 3 f +42 Ia I 4169 _13_

E )4 s

RPTA: “A 44 A

ff

R E S O L U C IÓ N :

P R O B L E M A 61 :

* Elaborando un esquema:

Determinar el valor F en función de m y n •s¡ ABCB es un cuadrado y AM C y DM B son cuartos de circunferencia.

ya

T n

♦ Se pide: w

p í

M r 92

L

Mi Mí S en 5 3 °

-Tg53^~—

Mi Ms C o s5 3 °

RPTA: “A

44 A f f

B+F =— +n (I) 2 * Por el criterio de codireccionalidad, se tendrá que: n n

E

n 2k (II)

2 * Reemplazando (11) en (I): 43 - — m — n + F =— +n 2 2 — m ~z* RPTA PRO BLEM A 62 :

44 A f f

Determinar un vector paralelo al plano de los vectores b = ( l ; l ; - 2 ) y C = ( - 1 ;0 ;-2 ) y perpendicular al vector A = ( l ; 0 ; - 2 ) A)(0;-1;0) B )(-l;l& ) C)(0;-7;7) D)(0;-15&) E )(7;-15,-0) R E S O L U C IÓ N : * Sea , el vector deseado, luego:

a s Msa

( * Se puede apreciar que: D = Ax(BxC) i J k 1 1 •2 = (6;0;3) -1 2 2 • Luego:

0*

a

i j k D - ( l ; 0 ; - 2 ) x ( 6 ; 0 ; 3 ) - l O ~2 6 0 3 -2 1

B-(P 3

-21 1 0 3

6 O

-> D = (0;-15;0) RPTA: “D ” PR O B LE M A 63 : Sean A y B 2 vectores, donde \Á\= 2 y |5 |= 3 »además forman un ángulo de 60°; determinar el área del paralelogramo formado por los vectores 2A - B y A + 2B A)6yÍ3p2 B)15'Í3p2 C)7\¡5p2 D)1572p2 E)743 m2 R E SO L U CIÓ N : * El área pedida, esta dada por: (2 A - B ) x ( A + 2B) = 2 A x ( A + 2B) - B x ( A + 2B) = 2 Ax A + 4A x B - B x A ~ 2 B x B L - a x 5 Lo • 4A xB + ( Ax B ) * 6( Ax B) * s d T l f i f i Sen 60 “) » 5 ( 2 x 3 x

= IB Í2

RPTA : “D ” P R O B IE A IA 64 :

* Luego: Volumen de = ¿ ( AArea r de (Altura) Tetraedro base -L [L \ í ^ ( C° m p I ^ l\ r

—loxct &

C= (-1 ; 1 ; 0) y D = ( 0 ; 0 ; 4 ) A) 7m3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 2 R E S O L U C IÓ N :

a = ( - 2 ;- 4 ; 1) ; b = ( 3 : - 3 ; -6) ~c = ( 2 ; 2 ; - 7 )

; d = (J; 3 ; - 1 )

Área del polígono = St +St +S3

..■■

«■- la x S + Kx c|+í Cx 51 2 2 2 A * *• i j k i A tS 2 -7 = 44,98 1 f

6xc

—a - ( b x c ) = —[a b c] 6

R IH IN O S

* Luego:

- \ a -(b x c)

6

Volumen del Tetraedro * Pero: a = B - A = (-l;5;^4),

P R O B L E M A 66 :

b = C - A = (-3;3;-3)y c = D - A - (~ 2 ;2 ;1 ) * Entonces: - 1 6 - 4 Volumen del i -3 3 - 3 -» V Tetaedro - 2 2W 1 f 3 -3 -3 -3 •3 3 ¿ + (•4) 5) (-1) 6\ 2 1 -2 1 -2 2 #

M

' 4

= L(.(3+6)-5(-3-6)-4(-6+6)) = 6 6 RPTA : “D ” PROBLEM A 65 :

Dado los vector$é$S?V ti;- 1 ? 2 >, B = (3 ; 4 ; 5 ) * < * 0 ^ ( - 2 ; 3 ; - 3 ) . determinar: ? ROY( i A ) A)(l;2;0) C ) ^ ( - 1 3 ; l ; 7)

D )^ (7 ;2 ;-l)

E )~ (-1 3 ;l;7 )

R E S O L U C IÓ N : * Calculando previamente A x C y A x B » 8e obtendrá:

Se dan 5 puntos en el espacio que determinan un polígono tal como se indican en la figura. Determinar el área de dicho polígono.

A x C = ( - 3 ; - l ; l ) y A x B = ( - 1 3 ; 1;7) * Luego:

A)72 M* (.2; .2¡ 4) B) 45,25 C)42,72 D)44,98 E)98¿0

* Pero:

Calcular el vonlmen del tetraedro cuyos vértices son: A =(2 ; - 2 ; 3 ) ; B = ( l ; 3; 1);

IO H IO M S

11; 2; 3j

(2; 6:2) (3; 4; -4)

R E S O L U CIÓ N : * Dividiendo el polígono en triángulos: -r

(4; -1; -3)

PROY§ :Ü = [c ° M P g $ ]h .B ..M )

A X51 = J (-13)s +1* + 7* = 4219 (-13;1;7) MAxB ~ r219 * Además: C O M P A S ] = rA * C J Í A x g ) = UxB) Ia x b I ( - 3 ; - l ; l ) (-13;1;7) 45

(-U-2; ♦ Reemplazando en (I): 7)

( 1; 2; 3

^ P R O Y g$ = ^ (-1 3 ;l;7 ) (3; 4; -4)

RPTA: “E ”

l u\ li,TA Y j r r a i #£ 7 > /J l PR O B LE M A 6 7 :

Ti

•Ahora: i

En el triángulo ABC los puntos M y N trisecan al segmento BC, además AB = 2rAN + SÑ C.

j

k

1 cost

sen t

0 - 8 e n t cost

B

=1

cost sen t -s e n t co st

•

-J

I sen t

+k

0 cost

1 cost 0 -s e n t

= i( Cos2t + Sen2t) - jCoat - kSent

/j 2 0

9 b b u á ig n o í a i 9U p a o u b s b

9b

o o t b lo b b u J ig n o í a l

Calcular: 4 r - 3S A )2

B )0

E)10

CM

R E S O L U C IÓ N : • Se aprecia que: AB = AN + ÑB = AÑ + 2(CÑ)

*

:39onoán9 ,gcj lab bulhnoA * = * x i= e o 4 - ^ =ao 81*1 (rnA °0b£=°0e+tt+* :BBni9bA *

8

*

U - °0 ÍS )8 O O + l = X <= » 8 O 0 + l = X

-+AB = A N - 2 Ñ C • Por simple com paración de coeficientes con el dato, se obtendrá:

- c o a t j - s en t k

b I b ÍB U g i 8 9

:9Up BÍ99iqfi 9

A B - A N + 2(-ÑC)

2r = l

98

*

-»|jf ( t ) x f (lf =>/12+ { - c o s t )2 + ( - s e n t )2 ■J l2+ c o s 2t + s e n 2t = j l + l = 4 2

RPTA : “E ” P R O B L E M A 70 : Determinar el trabajo realizado por 4% O 4Z la fuerza F = - i - — j + — k , cuando 7

7

7

desplaza un objeto desde el punto P (-3; -5 ; -4 ) hasta Q(4; 9; 3) a lo largo de la recta que las une, tomando en cuenta:

ln 9 8 - ls X

S = -2 :9up oí noO * U aoo - 1 ;*«*« - *) = UY\

* Se pide: 4 r - 3 S = 4 [ j^ - 3 (- 2 ) = 8 RPTA : UD ” PR O B LE M A 68 : Supongamos que un aro cuyo radio mide 1, rueda sin deslizamiento a lo largo de una recta horizontal. En la siguiente figura, calcular la función vectorial del punto P (x; y) que originalmente estaba en el origen de coordenadas. r*

\,U aoo - i ) + iUnss - i) = UY\ "a ” a t o

U. distancia

►o

V—•OBJETO

snii 9 b BbBvhsb si 9up obn9Ídfi8 BÍ b Ifii/gi as ,Ibíioío9v nóionul sus sb fiflu Bbfio sb BbBvri9b :iio9b 89 89án9noqmoo :a9onoín9 ,(W¿\ -AV)Í\ ;W{\)=UY\:i3

:8¿m9bB

PtX&\

W= F x P Q

'p"u'
I

de

A)6Joul B)8Joul C)10Joul D) 12 Joul E)1 Joul R E S O L U C IÓ N : • Lo que señala el enunciado señala que el trabajo esta dado por el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento, es decir:

"M? - I «D

•

PQ = Q -P = (4;9;3)-{-3;-5;^t) = (7; 14:7) * Luego:

*800=' UW98> •

-> W = F p Q = [ | ;-| ;| ] r 7 ;« ;7 >

A

UnoavJaoo;!) = U n * *«98-=*

o=*uv |UYA X

A)f(t) = t i - c o a t j

&Ua a l a ia

B)f(t) = aenti - coa tj

E)f(t)=(t-í)i-coatj R E SO L U CIÓ N :

&Vk>
ua

•.w C>\o y j a o a a s i

C)f(t )=coa2 ti - 2tj D ) f ( t ) = ( t - s e n t ) i + (i -coa o

:ib IüoIbO

j

obsionun919 n9 obBb oí obnfioilqA * :aibn9Ído 98 « VUnos Vr*U*ob) 1

U 800 ;*no8-

->W = 6 - 4 + 6 = 8

RPTA : “B ”

P R O B L E M A 71 : Los puntos A = ( l ; l ; l ) ;B=(4; 1;1) ;

C = (4

;

1 + 3J3

r~ D = (l;l+ 3 y ¡3 ;l) ; E =

; 5

1

);

3y/3

5)t forman una pirámide de base rectangular con vértice "E". ¿Cuál

EDICWXES KUBlXÓSi

117 es la distancia del centro de la base a la arista AE ? A)1 B)2 C )2 ¿ D)2,4 E)3 R E SO L U CIÓ N : E

* Se deduce: Sena

Senfi

SenO

2n + B = C

Sugerencia: use la definición del producto vectorial.

2* + A = d - » * = Ü——

III)

R E S O L U C IÓ N :

n + 3k + A = C,

(III)

* Sabemos que:

* Reemplazando (I) y (II) en (III): C -B

g_|Ax_B|

Tl» Armad#J 2Triángulo * Luego en la figura sugerida, el área del triángulo se puede calcular de 3 formas, así: * Como la base es un rectángulo, entonces: * AC = 2AF

n - ——

6 x -a

« x -c

ex -6

-el S en fi-16 - a SenO

+

+A =C

* l

* Despejando, resulta:

PROBLEMA 7 ^ /

En la fig u r a s é riiuestran los vectores Jfty y Ñ .S ip a ]¡í+jvy q= 3M—&N ,el vector ü que mejor representa al producto (pxQ)xp es: *

C-A

,-jp (4;l+343;l)-(l;l;l)

AE AE

2+

3^3

3yf3

|-6 |Sena ♦Dividiendo todo p o r . resultará: Senfi SenO Sena \a\

A ) o

1)

;¿)->lÁ£Í =

«Ley de Senos» PROBLEM A 7 3 : Determinar |¡| en función de Á ,B y C , en:

* Luego: COMPAS = * * ,AE ** \AE\ 3 3^3 . Y a 3^3 . ~2* ~~2~ A l í ’ ~~2~ )

»*

D)

•* x

o o R E S O L U C IÓ N :

X B

* Costruyendo los vectores: P = M +N a

9

* A horajfljor el Teorem a de Pitágoras: "

d*+ [ compY?)* = Iaf|2 = 3 2- * d = 2,4 RPTA : “D ” PR O B LE M A 72 : Para el triángulo de la figura deducir la ley de senos.

AJA+B+C &

A+B+C

O

A+B+2C

j^A+B+C O R E S O L U C IÓ N : * Se debe apreciar que "G" es el baricentro, el cual divide a las medianas en la relación de 2 a 2, ahora utilicemos vectores auxiliares:

n

Q = 3M -5N

n

* Por otro lado, recuerde que: en el producto vectorial:

\ M ? W & M 4 tÍA REGLA DE MANO DERECHA: el vector oxfr es perpendicular al plano formado por los vectores aA b' * Para nuestro problema primero obtenemos: - _ P xQ

A)8u B) 10 u C) Bu D) 5 u E) 9 u

PROBLEMA 4 t

E) C - B

PROBLEMA 3

/

- J ---------

C) 2 D - C D )B

R = A + B + C + D del co n ju n to vectores que se muestran. •

jK m

•

9L %

• *

«

«

de »

A) a B) 2a C)ayf2 D) a^3 \D 1

Han

PROBLEMA 3

A+B

B ) Oí/ £\A + B

<4u

<16m L) 6/í £ A + B ¿ 10//

A + B £ \6u

PROBLEMA 7»

Determine la magnitud del vector resultante

/

Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en la figura.

re p o so . Si

F¡ =1000N y Fz =800N son

y

Dos vectores ^ y # tienen módulos de 10 u y 6 u respectivamente. Determinar en que intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.

E) 4u *

Dos hombres y un m uchacho desean jalar un bloque en la dirección X partiendo del

: f considere \Í3 = 1,73)

E) E

C)

PROBLEMA 2 i

E; a!2

B ) 2B

A) 0u£ A + B ¿16u

C) 20 45 N D) 20 N E) ION

figura, donde |a| = |bI = 2 ■

las magnitudes de las fuerzas con que los hombres tiran del bloque y las fuerzas tienen las d ireccion es mostradas, en ton ces la fuerza de menor magnitud, en N, que debe e je r c e r el m u ch ach o es

A ) 2D +B

A) 10 Vff/V B) 30 N

E)4

PROBLEMA LOi

El grupo d e v ectores m ostrados se encuentran inscritos en un cubo. Determine el vector resultante. _Á

PR O B LE M A 1 : En la figura , F ^ i o J b n y p , = ION . Hallar la magnitud de la resultante de los vectores F} y F r

C)yfÍ4

D) 8 E) 10

D) - 2 B

¡ El vector (PxQjxJ5 es perpendicular a p y se encuentra en el plano X I ! RPTA: “E ”

D )4 l5

B )J l3

0 6

C) Ó

Px^ XP

A)2y¡3

A) 2 B) 4

B) - B

PxQ

A —B

Determine el m ódulo d e A + B + C + B e n el sistema de vectores m ostrados en la

A) B

* Ahora (Px§)xPf

módulo de la diferencia:

PROBLEMA B s

Dada la figura cúbica, halle A + 2 B + C .

P xQ

^ v r j € x 4 * P I tD I A ]

L l

im

Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre sí. A) 12 u B) 14 u C) 20 u D) 10 u E) 15 u

PROBLEMA B t Sean los vectores A y B con módulos 3 y y fjQ respectivamente. Si el módulo de la sum aU +B es igual a 5, ¿Cuánto vale el

B )4 6 5 i C )4 6 S j D ) — 465j

_

E )-4 6 5 ¡i + j)

PROBLEMA 11

F2

í

Sean los vectores a = 67 + 8 j - 2 k y B= 2

l

+ 1 2 j + 6k ■Determine el

módulo d e ¿ = 6 A - 5 B A) 42 u B) 12 u C) 63 u D) 26 u E) 98 u

PROBLEMA 12 SI l o s

/

v ectores

A=*2i + 3 j + 2 k y

B = x i + 2 s ^ + 4 k son perpendiculares. Halle el vector unitario de B • Si *$J + 3k

B) - 4 Í -S6-JJl7+ 4k E)

3410

-Í * í j + 4Í c

>

’

•

- ¡ - 3 J + 4k

5¡

PROBLEMA 13 t El producto escalar de los vectores C y (B + A )

es

-18

C - 4 i - 5 j • Halle

si el

B = 4Í + 9 j v ector

A

y si

B) 281- 3 j

A )7 Í+ 3 j

O 71 - 3 j

E) - 3 ¡ * 7 j PROBLEMA I * /

En la figura se muestra un cu b o de 0,5m de arista. Halle en metros la com ponente Z de

A s

los

P = 4¡+3j f

Y

v e cto re s

\

Q = -3i+5j'

C ■ C,i + C9j . Determine los valores de C# manera que P + Q sea paralelo a Q + C . B) 1&

O 4;3

D) 8¡8

E) Í0&

PROBLEMA 1 9 / Dado los vectores

5 A - 2 B + 3C.

AZ(mJ

Aj -2 ,5

cv

y Ct mínimos enteros y positivos de la

A) U l

PROBLEM A E E t

llu

D ) 28¡+3¡j

Dados

EDICIONES RUBMÑÓSí

119

ÍW1 B C T O J M ? ^

Bj 1,6

1 u

AJ 0,16 Dj 1 ¿ 6

~ -

CjOJl

B J 0 ¿I E) 1,90

Y(m)

0 2,5 Dj 3,0

PROBLEM A 1 S /

Á,B,C, y D. obtener

En la siguiente figura M y N son puntos medios, halle

A x B + (A.C)D.

x en términos de A y B •

A

Bj 3,6

PROBLEMA-ptRÉ Halle el vgflor unitario en la v e c t o j á f . SIM y.V son pun

A) D) A ) 4$

- 48k

B ) 4 8j - 3 6 h

D > 24j - 3 6 Í t

E ) l $ * I 8k

C )

~ 24j + 3 6 k

A+B 3 Á -B 2

BJ E)

A -B 3 B -A

C)

A +B

3

PROBLEMA 20 :

PROBLEMA I B i Cada uno de los 4 cubos tiene ¡m de arista. Determine el ángulo qu e form an los

Determinar el vector x en función de M y J} , en el siguiente triángulo

i+j +k A J

vectores P y Q . D J

PROBLEM A E A / Halle el vector C , si: q

_,|V 11«a-*+-*b*>+ /-r 3 ( A —B ) |„f-r . ñ

]* U + b ]

A = 2i + j + k

A)

(i) D )a rcco ,{l) ^

««* * * ( j )

D)

A -B

B)2 A - B C)21A-7B

12

2(2 A - B ) 21

E)A-19B

B =3 i-j-k A )j + Ñ

BJ2Ú + H)

C )I6 (j-k )

D J2j + k

E )8 (i + j - k )

PROBLEM A E S l

PROBLEM A E l I

PROBLEJMA771

En los triángulos de la figura, determine el

Determine e! wctofunltario de la resullante del conjunto de vectores mostrados.

vector * en función de le» vectores c y d si

• * /

Hallar el producto A . B

si el vector A es

paralelo a s i + 3 j y el vector B es paralelo a 6 i + 1 8 j , la sum a d e los v ectores

se cumple que o ® -j . A + B = 3 2 ¡ + 48 j . AJ 240

Bj 332

0 432

Di 672

Ej 960

PRO BLEM A E B i A

Dados

los

v e cto re s

A

A = 2i + 2 j

y

B = 4 ¡ + 6 j . Determine e! resultado de la siguiente operación ( A . B ) ( A x B ) . A ) t -U j + i u J a

a n * i* )* f t n J a

D ) M + J H 4*

B ) < ¡+ j)ly ¡2

A ) 20¡

B )6C j

D ) 4 0 (i+ j)

EJ 30Ó+ h)

C) 80 k

c h - í - j h J 5

PROBLEMA I B i

A)

Dados los v ectores Á * B y C , ca lcu le m x n/px. si se sabe que: mÁ + n B + p C = 0

D)

2c+ d

3

2d —c

B) E)

2d+c

3 d+c

C)

2c-d

PROBLEM A E 7 i

La figura mostrada es un cuadrado. Determine el vector , expresado

U F W tS M C A en función de los vectores A y B

H

W ñ i x o Ü&59 vector está sobre el eje X y el vector c está sobre el eje Y. Si 13 X51 = 4 y le X51 = 2 . entonces el m ódulo del vector E = A x B +C

kD

i c .x c i t i.tn 'E lH A ]

PROBLEMA 33

/

En la figura |a |= 13 - lc| * ° -Calcule el vector unitario del vector resultante. Y¡

es: z

A )6

B)2J5 C ) 24s D) 2

D)A-yf2B EXA + B)(y[2-1)

Y BI j j U Í + 2 jt

PROBLEMA 291

E)Je

En el paralelogramo mostrado en la figura M y N son puntos m ed ios. Halle x * # + r + í e n fundón de a v b ■

-

b

3b

C)

B) - o - ^ 2

D)

2

PROBLEMA 291 correspondientes vectores unitarios á . b c . Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes:

PRÁCTICA W CUSI

R E S O L U C IÓ N 1 : Sea F*la fuerza resultante de

C a lcu la r(r.í)(r. j')í si i\ js o n vectores unitarios en las direcciones X , Y respectivamente y el módulo del vector r es r —2 . ♦Y A) 43

F ¡ y F s * Pj a a ^

B)-43

det m étodo d el polígotto (o triángulo)

C)

41 2

D)-

III) Si: A x B = C =>BxA = -C

43

PROBLEMA 30 i Determine el vector unitario perpendicular al plano ABC. Z* |fO;0;aJ -*A*

F S= 1 0 N

K *-« •••*• í * ': ■ ab i xi tF

c>

,

RPTA : “D ”

RESOLUCIÓN 2 í Trasladam os los v e cto re s continuación del otro.

En la figura se muestran los vectores P y R. Si |ü|=i,5 p|=a, el producto escalar de

CJFFV

> "" i

on

=> FR = 2 0 N

E) 3 PROBLEM A 33 :

II) SI: A x fi = C=>áx6 = c

a.r

v

del fcb.5372 (triángulo de fuerza)

0 á .b => b . c

B jF F F E lV F F

Et 0.499Í + 0,869j

En la figura se presenta un vector pen el plano X -Y .

SI se tienen los veclores Á , B , C y los

Al W V D) F W

+

PROBLEM A 3 2 :

B, - f +S

D) - —

Ct j U t 2 i* jl

:

y

a

i mi •

( P - R ) y (P + R ) es:

uno

i o i : t / ■

Fíjese el vector resultante es aquel que cierra el polígono, donde el módulo de dicho vector es:_______

120° /

R - Va* + a * = a 4 2

RPTA i •*€”

RESOLUCION 3 / Rt = 8 u

(atOíOÚ Ai

{-¡+M

DI

(¡+i+*)

m Q-M Bi —J3~ BI

2 C)

Js

43

PR O BLEM A 31 : En la figura se muestran cuatro vectores A, B , C , D • Los vectores 2J y jg están sobre el eje Z . El

“ T

Ji B)- t

2 c ,- bt

* C a lcu lam os la resultante aplicando Pitágoras: R = 10 u

-2 D>!h

Ry = 6 u

E>-

3

PROBLEMA 34 i

RESOLUCIÓN 4 i

El producto escalar del vector S de módulo

Procedemos a trasladar los vectores ¿ y B

5 y e! v ector R d e m ód u lo 8 es 32. Determine la com ponente del vector S en R Al 3

Bi 4

Cl 6,36

D) 9,6

El 10,38

tí.

E D IC IO N E S l i l H I M I S l

1Z1 En el triángulo sombreado se cumple:

A+B+C=0 Luego la suma de: A + 2 B + C ^ A + B + C )+ B = B

' -----------RESOLUCIÓN S í

RPTA i igA"

Trasladamos el vector n paralela. ^

i

en forma

775

c

^í=Rf+K+2 i5 f= p ir +f5 í - 2f f l •Sumando : ^

Co*0...(II)

+|S[* = 2 jpÍ|*

(il I)

•tero por datos tenemos :

2 Según el polígono sombreado se cumple:

A +C +B +E b O

= 7Í0 ;

= 3;

En el problema, sobre el bloqué actuán las fuerzas ejercidas por ios hotnB&s ( f j y F¡)

En la ecuación (III) :

Entonces la resultante del con ju n to de rectores es: A +C+D +

4

b

] +B

(«)*+|Bf =2((í')+(Vio)*)=•|B|’ =Jis •Por lo tanto módulo de la diferencia :

cero

D

Luego: B = B

2

—. — = A —B

.

F -

= y¡13

RPTA f étB "

RPTA i “D”

y la fuerza ejercida por gf m uchacho

).

D ebido a estas tjes w e r z a s , el bloque partiendo del tg p o s o se m overá en la dirección x : «flto n c e s la resultante de p j , p j y p j , debe estar en dirección x. y,

R E S O L U C IÓ N 6 : Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos vectores, cuando formen 0 o y 180° entre sí respectivamente. A + R = /6w

A -

B —4u

El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que forme i entre si será:

4 (/ ¿M + ¡ ¿16 i/

RPTA.: E

R E S O L U C IÓ N 7 : Supongamos que sean dos vectores ¿ y g , entonces según lo afirmado en el problema. , , 2u = I A -1 R

I4u = i A ' + .t ñ

+ 2

e

Del con ju n to de vectores m ostrados se cum ple que la suma de vectores de una m ism a con tin u ación es igual a los de continuación contraria, es decir:

C+D+í-A+B

Por el m étodo del polígono, y graficando P¡ perpendicular al eje jr, ya que nos pide su

Donde la resultante del conjuntode vectores es:

valor mínimo (Pj**,)-

A + B +pC + D + Bj A+B R=2A+2~B Graficando tendremos:

.

Resolvemos y encontramos los módulos délos vectores A a A |= 8 ü B

y B

= 6u

Del gráfico:

Calculamos el m ódulo de los vectores A y B > cuando los vectores son perpendiculares (0=90?). A +B = J 8 ' + 6 '+ 2 ( 8 X 6 ) Coa 9fT A +B

= lOu

RPTA.: D

RESOLUCIÓN Oí *Piden D *Graficando e l enunciado: Sea: S=A+B

A

D= A —B

F3mim = 6 0 0 /3 - 400 s » P3mim = 6 0 0 (1 ,7 3 )-4 0 0 => FSmln -

466N = * Famím = - 466 N( j )

El menor valor de la fuerza ejercida por el

El triángulo que se forma es equilátero por lo que R=4.

m uchacho es _ ¿ 6 5 iv (j)

RESOLUCIÓN lO t

R E S O L U C IÓ N 11 :

El m é to d o del p olíg on o sirve para determinar la resultante de cierto número de veciores.

Calculamos ¿ :

Del gráfico R = A + B + C

R=6(6l +Sj-2k)-S(2l + 12j + 6A)

RPTA i “B”

Un veclor trazado desde P a la recta 9 tendrá un m ód u lo m ínim o si es perpendicular a la recta o .

RPTA I "O”

+

R=6A-SB^

R= 3ol + 36j-42k

Calculem os el m ódulo de la

L l f¿ v o r r o r £ im )

m

RESOLUCIÓN 139

r e s u lta n te .

h

= V

Z»

(80)* +(86)* + ( - 4 2 ) * = 68 RPTA.: C

RESOLUCIÓN 12 9 Sean los vectores: A = 2 ¡ + 3 j + 2k = (2 :3 ; 2 )

• • • • • • • • • • a

ó

/4

Y

B =x i + 2s¡j +4k =( x ; 2 x ; 4 ) Cabe recordar, cuando dos a c to r e s forman un ángulo de 90° (son perpendiculares) el producto escalar es igual a cero, entonces:

A.B = 0 => (2 ;3 ;2 ).(x ;2 x ;4 ) = 0 =>2x + 6x + 8 = 0=>x = - l Entonces el vector j§ estará expresado como: B = ( - l i - 2 ; 4 ) = -Í - 2 j + 4 k Cuyo módulo es:

Ó« yj(-l)* +(-2)* +4* ~ sÍ21 Luego el vector unitario de B es: B -i - 2j +4k 121 R E S O L U C IÓ N

cierra el polígono, por lo que: A partir de la figura podem os decir: A = -8 ¡ = (-3 ;0 ¡0 )

B = yja* + a * « a j 2

B = 4 k = ( 0 ;0 í 4 )

Luego el vector unitario del vector resultante es: __ „ . R -a i+ a j -i + j

C = -3 ¡ + 4 j = (-3 ;4 i0 ) D = - 4 j + 4k = (0 ;-4 ;4 ) Podemos determinar el producto vectorial de:

x j

= -(-12j)

AxS

R = -a i + aj Cuyo m ódulo es:

RPTA / RESOLUCIÓN IR i-- 7A*

RPTA i "E”

A *=(aw;tif);É = (-4 ;9 ) = (br;by);C = < 4;-6)

Ait B - 12j • Calculo del producto escalar

i u Jí u

\ * Hgj IV:

139

Sean los vectores:

,c 1

A .C = ( - 3 ; 0 : 0 ) . ( - 3 ; 4 ; 0 ) Además nos dicen ay = - ~ b r entonces a = - L ( q) ~

y

de)

3

p roblem a

nos

—

Piden: £ =

A x B + ( A .C ) D = 12 j + ( 9 ) ( - 4 j + 4 k )

Si m A + n B + p C -0

A x B + ( A .C ) D =* -2 4 j + 3 6 k

(A + B ) es -18, entonces:

RPTA / ”C”

& (A + B )=t-18 => (4 ;-6 ) x [
RESOLUCIÓN 18 i

=> m Á = 5 m i+ 3 m j .. . ( 0 )

m A+nÉ+pC»(& m +2n+3p)Í+(3m - 5 n - 2 p ) j

Según dato: m Á + n B + p C = 0 Entonces:

A = ( a , ; a y ) => A = ( 7 ; - 3 ) = 7 ¡ - 3 j

RPTA 9 “C”

5m + 2 n + 3 p = 0

8ft%—6a —

R E S R L U C IÓ N 1 4 9

y C - (C, ;C , ) del cual nos dicen que el vector P + Q = (1:8) es paralelo al vector

Donde: P = l i + 2 k = ( l ; 0 ; 2 ) Q = 2 j + I k = ( 0 ;2 ;1 )

Q + C * (C t-S tC t+ S ).

( C ¡ —3 ; C f + 5 ) — k ( l ; 8 )

Com o C, y C, tienen que ser lo mínimo posible, entonces el valor entero mínimo de k debe ser / , por lo que: ------------------------------

1

-31 31n + l9 p = 0 ^ > p - — a

(a)

Reemplazando en 6 se obtiene:

Siendo el m ódulo de P y Q

Entonces se deb^cwnplír: (Q + C ) * k ( P + Q )

(6)

Multiplicando (ípor 3 y e por -5 ; y luego sumando las ecuaciones, obtenemos

Sean los vectores p = (4;3)t Q = ( - 3;5)

P = Q = J (l), + ( 2 f =V S Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores hacem os uso del producto escalar por lo que: P.Q = P.Q cosO

11 n ....................... (14)1 m -— Luego ( a ) y ( V) en (p)

{'¿ +

B = 0, 2 I

=> ( 1 ;0 ; 2 ) x ( 0 ; 2 ; 1) = ( Vff ) ( JE ) coaO

(C .-8 ;C i + 5) = (l;8 ) -

A = 6 i+

Sumando (0 ), (y) y (X) .

Finalmente el vector A es:

- V -

Del gráfico

C = 3 i - 2 j => n C = 3 p i - 2 p j ...(X )

=3. ( 4 )(a , - 4) + (~ 6 ).(6 ) = -1 8 = > a M~ 7

—

(p>

B = 2 i - S j= 9 n B - 2 n i - 2 p j* * .(r)

Zi

=9 (4 ;-6 ) x ( a , - 4 ;6 ) = -18

1

m xn

=> A .C = 9 Finalmente la expresión:

plantea que el producto escalar de C y

" f "

T

RPTA 9 “B”

=> 2 = ScoaS => & = o r c c o s ^ j

Igualando miembros: C ,-3 = l =>C=4

RPTA i “R " RESOLUCIÓN 171

Ct +S = 8 => C, = 3 Luego el vector C es: c = ( 4 ;3 )

RPTA 9 “C”

Trasladamos e! veclor de la base a la cara superior del cubo.

RESOLUCIÓN

19 9

Cabe recordar el teorema de los puntos medios en un triángulo, según ello la base presenta el doble de longitud del segmento que une los puntos medios del triángulo.

199

[V E C T O H B A i

E D M C W X iiS KfM iVÓSl RESOLUCIÓN ES i

RESOLUCIÓN S il

A.

Z(m)

Com o el vector

es paralelo al vector

a

5 i + 3 j , entonces: A = a (S ; 3) = (5a; 3a) además el vector B es paralelo al vector

2x + B + x - A = > x »

R E S O L U C IÓ N

3 iTPffl f " I "

20 :

* Debemos recordar que la altura en un triángulo equilátero, también es mediana y bisectriz, luego:

* Después de utilizar nuestra habilidad geométrica, se tendrá que: R

—

x

HM

2 k s ¡3

r

Donde: ' X(m ) A = - 0 , 6 j + 0 ,5 k

Sa + 6b = 32 ^ 3a + 18b = 4 8

B = -0 ,B ¡ + 0 ,5 h C = 0 ,5 Í + 0 , 6 j En la operación:

Í 2 a = 48 => a = 4

5 A - 2 B + 3 C = 2 , Si - I j + i,5fe

x + HM =

RESOLUCIÓN ES i

.

De acuerdo al teorema de los puntos medios

4 Ahora (IV) en (III): PM =

Luego el vector A y B * é s : A « ( 2 0 ; 1 2) ; B = (1 2 ;3 6 ) Finalmente: A . B * (20;12) . ( 12;36) => A . B = 2 4 0 + 432 = 672

RPTA t 99R99

RESOLUCIÓN E S t A partir de los vectores mostrados A = (2;2;0) y B = (4;6,-0) podemos determinar el producto escalar y vectorial. Producto escalar Á x B - (2 ;2 ;0 ).(4 ;6 ;0 )

.W ) 21x

, ys

5 (4 ) + 6b = 32 = > £ * 2

C om ponente en el e j e Z -— I

4 Pero considerando el baricentro:

PM

V

En la ecuación (1):

HM= - x....(IW 4

3

„ .(!) ...(II)

Restamos 3 X ( I ) - ( I I ) :

RPTA i “B”

PM x " ™ =JJ^ P M = x ......
- 0,6 j

Luego (a componente en el eje Z es l,5 m .

....................(I) /

Y(m)

0,6k

Según e) polígono sombreado se cumple:

6 i+ 1 8 j , por lo que: B = b(6¡ 18) = (6b; 18b) Según la condición del problema: A + B = (32;48) (Sa; 3a) + (6 b ;j£ ffl f (32; 48) Entonces:

A x B = 8 + 12 = 20 Producto vectorial AxB~(2;2;0)x(4;6;0)

• B ~ a i -
• además: B = -j a 2 + a 2 = a -j2

* Esto último en (II): PM = 4 Finalmente en (I):

21x B . — + — = A -> x 4 2 .*1 r_

4

x

2( 2 A - B) -------------21 RPTA : t(D ”

RESOLUCIÓN ’ 3 1

Como A I I B entonces se cumple: B ai - a j -

= (12k)-(8k) \ \

AxB

RPTA t ‘•O99

\

RESOLUCION ESt A partir de los vectores : A = (2 :1 :1 )

:

A x B = 4k

B = (3 ;-l;-l)

Finalmente la expresión:

Encontramos el vector C a partir de:

( a . b ) ( a x f i ) e <20t(4k)

(a .b )(a

C = [ Í Á ± l ) ^ ( A r 5 ) ] xU + 5)

RPTA i R E S O L U C IÓ N

e

^

6

! 0

! 0 >

+

3

( - l ; 2

; 2

) y

( S

; o

; o

2 7

" C "

:

)

4 De la figura:

A + B = MP

C = (l;3 ;3 )x (5 ;0 ;0 ) A

FjfP

En el triángulo sombreado se cumple:

6

-

-

-

= (1 5 j)-(1 5 k )

\ \

Mientras que en el triángulo no sombreado se cumple: ¿ = 6 + d . . . ( I I ) A continuación sumamos ( I ) con ( I I ) :

Y +3Í =Jf+2c*dt9* 2e * d RPTA

/ " A 99

C = 1 5 (j-k )

RPTA i “C”

d) MP MP

x

x



4 De (I) y (II):

x = ^ = (A + Bl (III) MP 4 Ahora hallemos la relación de V y "MP”;

U S

V F M S ÍW 0 1 A L\¡2

ix * E

l

C om o el m ódu lo de C * AB en ton ces a xbec-

III) V e rd a d e ro ;

MjA MCJVdA47MAPP£DlA] El dedo pulgar , nos indica la dirección del vector normal (producto vectorial). Al plano

En el producto vectorial se cumple: Si: A x B = C = > B x á = - C

RESOLUCIÓN 301

formado y 2 y y 2. Bajo este criterio definimos el producto vectorial RPTA l“C" —¿ x ]g (planteando en este problema).

Sean los vectores BA y B C A xB |A x B |=4

se deduce que

-= L j2 -L

2

-» X = 2 L ( y Í 2 - 1 )

<

/

MN=2L * Finalmente reemplazando en (3):

BA = - a i + ak

En este caso el vector(AxB;está en el eje -Y según la regla de la mano derecha (RDM). Análogamente , definimos el otro producto vectorial

B C - - a j + ah

C xD

Donde:

^

w

* - 2L<Í?T I } ( Á + B ) - ( j 2 - l ) ( Á + B )

¿lé

RPTA : “E ”

RESOLUCIÓN 30

/

C om pletam os v e cto re s polígonos cerrados: ? P

para form ar

2

m eólo)

a

A

A

C o m o nos piden el v ector u n itario/ / perpendicular al piano ABC, tenem os la n e ce sid a d d e encontrar un v ector perpendicular a este plano y dicho vector es el producto vectorial de:

M = BA x BC

(üxD)

M -(-a ;0 ;a )x (0 ;-a ;a )

( a *k ) - i - a 3i - a 2j )

Ai =

Según ei polígono sombreado:

- i

a b . - r a 8 + / + —+ —= 0 =^S + / = 2 2 2

b — 2

✓

- rta 6 r + 2 —+ — = 0=* r 2 2

2a b --------- — 2 2

M = a °(¡ + j + k) Donde el módulo de dicho vector es:

Finalmente el valor de:

Ui+ —

3a

t

^ X-nt —- - 6

OPTA t “0” RESOLUCIÓN 30 i I) F also: El producto escalar de dos yéctores está dado com o: a .b = 6 . o V'

más no: o . 6 = b . c a m e n o s q u e :c » o

II) Falso: Sean los v ectores Á tB ,C y correspondientes vectores unitarios

A

o=x

B

r

y

j

sus

C

-

- r

M

A

/

a

a

a2

a

\

a

a

|CxD |=2

a

RPTA I "R "

•Se pide el vector : E=AxB+CxD Tener en cuenta que el producto vectorial de 2 vectores es otro vector normal al plano definido por dichos vectores ; su dirección se define usando la regla de la mano derecha (RDM) así

•

De

la

figura

adjunta

C x D son perpendiculares entre s í ; tenemos : A x B

a

|]g|= >¡42 + 2 2 = 2>¡5 => |]g|= 2 J5 RPTA : “B ” R E S O L U C IÓ N 3 2 : • Nos piden los productos escalares

JV = V , x V,

a xb

c AB

^

de vectores: (

A toda esta expresión di\1dimos por ABC. entonces tendremos:

CAB

|AxB |=4

R E S O L U C IÓ N 31 :

Nos dicen que: A x B = C

\A\$£

z

M = a 2yfF*~+~P~+~Í3 = a* j s Luego el vector unitario perpendicular al plano es: Af _<* ( i + j + k ) j+ j +k

c: °

cf

+X Ahora nótese que al usar RDM , el vector normal C x D es*á sobre el eje +X. •Grafícando:

En el triángulo PNQ se cumple:

-

B

X

A

r .i)

(1) HMD

• Datos :

j

—*

(

A

r .j)

......( 2)

(W

: vectores unitarios

[\ rM D € y r4 * w * K ¿i

i: n n m x t: s k i j b i x o si

IKS3 1XB lí&»

RESOLUCIÓN 33 i

Y rs = 4 3 i V t r

:

Los vectores A , B y C presentan el mismo módulo a.

x

rt \

m

\

l -----------

* Luego

=!=> r =2

Ii

A

fuerzas tales que vencieron a las fuerzas gravltacionales, de m o d o que lu eg o sobrevino la gran exptosión. A partir de ese momento, el universo consistía en energía y materia extraordinariamente caliente, y conform e se/expandía y enfriaba, en el transcurso de cientos de miles dennos, se form aron" lo s electrones^ y -n ú cleos, uniéndose luego para formátáíómos.

♦Recuerde : a.b^\a\\b\co8 0 ♦ Cálculo de (I) : ( r .,/) = lrllílco*0 J = (2 )(I)c o e 3 0 °= > {r .j) = 43

♦ Cálculo de (II) : (r .j) = |r||jicos

=(2)(1) eos 120°

(r.j) =-1 i2o*=et ♦En (/):(j3)í-i) = -l3 R E S O L U C IÓ N

;«•> RPTA : “B ”

3 3 :

*Se pide determinar; M = (P -R ) x (P + R ) ♦ Usando el álgebra vectorial: m =p x r +p x r - r x p - r x 1L„m ) ♦ Se conoce que : AxA=|A |2 y A x B = B x A ♦ Usando estas propiedades en (I) tenemos: => M=\pf + P x R - R i—12

oM = P M=

n

x P~\r

'

-5 a *

RPTA : " C "

RESOLUCIÓN 38 t □ producto escalar entre dos vectores llene com o resultado Un escalar, es dedr, sólo tiene magnitud s

C o m p o n e n te d e l to r S a l o larga del v ecto r R

R

S .R * R S cob O La componente de S a lo largo de R se denota com o SK, porto que:

SR = S cos Q

ftx lo que: s .R = R S „ =* 32 = 8SK =>SK = 4

RPTM i “R”

velocidad d e escape, y en el caso del Sol, ésta es de 617 000 m/s. Pensemos ahora en la velocidad mínima necesaria de la materia de la bola de fuego, cuya masa equivalía a una cantidad inimaginable de veces la masa de la Tierra, para vencer su a tra cción ; sin em bargo, d e b id o a las elevadfsimas temperaturas, las reacciones térmicas en el Interior de la bola produjeron

t i ' Donde la resultante es el vector que cierra et polígono, asumamos que la resultante presenta un valor R = 2m por lo que el vector resultante será: R —m i + m -J sj Luego el vector unitario de este vector resultante es: R fd i + JtfyfSj fi* ~ R ~

=>*n~ 0*49991 + 0,866)

f „ £„

LA GRAN EXPLOSIÓN T odos los esfu erzos experim entales realizados hasta la fecha arrojan indicios de que el universo com enzó com o una bola de materia co n densidad y tem peratura extraordinariamente altas, que explotó violentamente hace unos ÍS mil millones de años. A partir de esa explosión, conocida co m o big bang. el universo com enzó su expansión y evolución en forma natural; tal expansión es fácilmente observable desde la Tierra, co n el u so de instrum enlos apropiados. La teoría del big bang supone que, antes de la explosión, la distancia entre las galaxias era c e r o . D espués de la exp losión , to d o el material e m p e z ó a expandirse y a enfriarse y, por efectos gravltacionales, se form aron con cen tracion es de materia, las cuales constituyeron posteriormente las galaxias. La bola de materia primitiva, decíam os anteriormente, consistía en una enorme masa de densidad y temperatura altísimas; en esa s c o n d icio n e s , para las capas exteriores sería m uy difícil separarse y escapar, dada la enorme fuerza gravitaciónal que aquella masa de materia poseía. Lo e x p lica rem os m ediante un e je m p lo comparativo: para que un proyectil pueda escapar de la fuerza de atracción terrestre, requiere un impulso inicial vertical, desde la superficie de la Tierra, que le imprima una velocidad mavor de 40 000 kmfh (unos / / 000 m /s); esta velocidad se con oce com o

¿ Terminará la expansián,deluniverso en algún in sta n te y te n d r á lu eg o la contracción para volver a la bofa de fuego primitiva? No lo sabemos: sin embargo, son tales las dimensiones en el universo que, en este retroceso, se necesitarían miles de millones de años para que se produjera el gran colapso, o big crunch, com o también se conoce.

LAS GALAXIAS Cuando en una noche clara observamos el délo nocturno, podemos advertir una gran banda luminosa que atraviesa la bóveda celeste; ésta es un asomo de ta configuración de la Vfa Láctea, el nombre de la galaxia a la que el Sol y los planetas de su sistema pertenecen. Si un observador ta contemplara desde otra galaxia percibiría a la Vía Láctea com o una enorme configuración en espiral. La Vía Láctea tiene un diámetro aproximado de cien mil años luz (un año luz es la distancia que recorre la luz en un año , siendo su velocidad de 300 000 km/s) y se calcula que posee, aproximadamente, cien mil millones de estrellas. Una galaxia es una agrupación de estrellas y nuestra galaxia, la Vía Láctea, no es la única, existen cientos de miles de millones de galaxias, cada una con cientos de miles de millones de estrellas; la estrella más cercana después del Sol está aproximadamente a cuatro años luz de la Tierra; se trata de Próxima Cenlauri. Esto significa que su iuz tarda carca de cuatro años en llegar hasta la Tierra. Otras estrellas visibles están a algunos cientos de años luz o más.

w lm m (6 ?)Determinar el módulo de la resultante. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

> 6

4

5

@)Determinar la resultante para los vectores dados, Siendo:

1A E V f O T . o r g B t l 2012)

I J F 'W & W C l S . paracaídas de 1000N en dirección vertical y hacia arriba. ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante sobre el paracaidista en dicho instante? AJ1600N B)1400 C)400 D) 600 E) 800

|a| = i 0 /|6 |= 2 ; \c\=4;\d\=3 a ► A)5

B)4

@ )H a lla r

-4

C)3 el

D)7

módulo

E)2 de

la

Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando formen 60®? A)7 B)9 C)14 D)5 E)12

\A\ = \B\ =4 y \C\=8

A)4

B)6

08

D)10 E)12

Encontrar el m ódulo de la resultante, sabiendo q u e:

En el mar, un viento sopla en la dirección Este, mientras que un barco navega hacia el Norte. ¿En qué dirección puede estar flameando la bandera del barco? A)5

B)4

C)3

D)y¡5

E)NJL,

A )/

B )\

c;[

d ;\ e)

@ H a lla r la resultante de:

En la figura |C|- 2 0 y |Z>|=20 determinar su resultante. ~D

15 A)22 B)20 C)18 D)21 E)23

A) 20

B) 20sÍ3

D )2047

E)60

@ La corriente de un río tiene una velocidad de 12mls. Si un alumno cruza perpendicularmente un río con una velocidad de 6mls. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante? A)17mls B)7 C)15 D)13 E)12

A)12,2 D)2,12

3)14,2 E)N*A.

0 2 ,1 4

Encontrar el módulo de la resultante: a + 6 . S i: \o\=6 y |6 |= 6

C)2045

(T7) Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados. io

A)243

B)443

0643

D )8 4 s E)0 (73) Calcular el m ódulo de la resultante. Si: |o|=3 ; |S|=4.

12

(0 )¿Cuál es el valor de la resultante?. Los vectores están colocados en un rectángulo. A)32 B)22 0 10 D)2

A)12

B)16

C)6

D)8

E)20

Un paracaidista salta y cae verticalmente por acción de su peso igual a 600N. Al abrir el paracaídas el aire ejerce una fuerza sobre el

(Q) Un bote a motor se dirige hacia el este con una velocidad lleva una velocidad de 1Omjs. Si la corriente marina tiene una velocidad de 6m¡8. en la dirección N30°E. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante del bote? A)16mfs B)15 0 1 4 D)12 E )ll @ 1 Determinar el módulo de la

resultante, s i :

a

E)5 A)1

3)2

03

a D)4

E)5

© S i:| A | = 3 ; |B|=5, encontrar la resultante. A

[W E C T O K K .y A)13 B )4 Í3 C)15 D)7

EDMCMOXES RUBLVOSñ

197 E)1

A) 14 B)10 0 1 2 D)6sÍ3 E)8s¡2

A)1

B)2

03

D)4

E)5

Calcular el módulo de la resultante en:

En la figura, calcular el módulo de la resultante. (Q) Descomponer rectangularmente el vector

de módulo 100N.

y* AJ13 B)10 C)6

D)16 E)NJL

@ Hallar el m ódulo de la resultante de los vectores mostrados. |a|=5N y |S|=3N

►X

A)Ax = SON B)Aw= 60N OA\ = 80N D)A = 80N E)A* - 60N

, A = 100N , At = 80N , A = 60N , A\ = 80N , Ay = 60N

A)yfÍQ»' D)/J3

En el si vectores d vector resijjpffite.

07

D)8

4 sistema de ar el módulo del

Y

Determinar la magnitud de la resultante, y, A)5N B)6

B fyfli

E)9

@ S e tienen dos vectores de ION y 15N cuya resultante es igual a 20N. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores. A)H2 B)l!4 O H 3 D)3I5 E)2¡5 Calcular el valor de la resultante de dos vectores de 3u y 5u, que forman un ángulo de 53°. A)2y[6u B )4 l3 C)2sfÍ3 D)2%Í26

E)426

^^C alcular el m ódulo de la resultante en el gráfico.

13

X

A) 14

B)10

D) 6^3

E) 8y¡2 *

Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados. Vi

A )1 0 j6 1 u

D)32 E)NA.

@ Determinar la magnitud de la y resultante. ■ 8

10

2

14

B)2

03

D)4

E)5

En el conjunto de vectores mostrados, hallar la dirección del vector resultante.

50u

20 V2u

A)30 B)35 0 3 7

012

A)1

B)10%¡49

C )104l3

D)10\Í29 E)50 @ ) En el siguiente conjunto de vectores, determinar el módulo de la resultante, i

A)3
D)53° E)60°

Encontrar la dirección del vector resultante del sistema

\F J n S W C A A)30° B)3T C)45° 0)53? E)60°

@ Calcular el m ódulo de la resultante de los vectores indicados. 6 ll

E )2 4 Í3 D )642 (¡7) Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. + -2 H

i

(^ D eterm in a r el m ódulo del vector resultante.

fpp iX M ffigg En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo de

B)15 E)21

E y c u j.Q M ’Ejn LX 2 0 l¿ \

(Q) Hallar el ángulo " e " para que la resultante de los vectores indicados sea mínima, si \A\ = 243 y |5| =2

A)2u B)4

06

0 )8

E)10

(jjt) Dado el conjunto de vectores, hallar el módulo de la resultante.

Si la fuerza resultante del siguiente sistema de vectores es nula, hallar "a ”•

A)3T B)30? 0 4 5 ° 0)53? E)NJl A) 4 2 B )2 4 2 0 2 @

A)12u D)2Í^

U

0)1 E)Nui.

Calcular el módulo de la

(Í^Dado el conjunto de fuerzas, determinar la resultante sabiendo

C)16

Si la fuerza resultante del siguiente grupo de vectores es

A)84ÍÓ u 0)50

B) 1841 o E)48

C ) so 4 2

Si en el siguiente grupo de fuerzas, la resultante es vertical.

A )3 r 8)53° C)60° 0)30° E)45°

0)24

E)20

H allar el m ódulo de la resultante, sabiendo que es vertical.

^

R)8 C) ^

D)f¡

E)W

KmCMOXES KUHLXOS) (^C alcular la resultante en: ¡Y A )3 4 2 s Determinar la resultante: 6 4

B)342\ 0 3 4 2 \

A)20<- B)6-> Q2 E)14-+ Calcular el módulo de la resultante. A)4

Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 17

D )4 4 2 s

E)442\ \

Determi resultante. A) 3

B)4y/3

C)8

_

_

el módulo de la

f

B)

4

q

D)8y¡3 E)16

D)1Ó

Calcular el m ódulo de la resultante. CosO A)2 R)4 C)6 D)8 E)10 Encontrar el módulo de la resultante, si:

.a = 6 y |S|=« A )24 s

E)8 A) 5

B)9

O 10

D) 7

Y6

E)8

(f^ C aícu lar las com ponentes Determine el m ódu j^ffcíla^ rectangulares del vector C. resultante del siguiente siSremaAfc* A)32;20 C = 4 0 Y vectores: ¡ ' B)32;24 K 0 2 4 ;2 4 N. A)8 ^<5 D)32;32 N. BjO E)í2zl2 3 7 °N 8 05 X D)22 Y* E)14 Determinar el módulo de la (^ C a lcu la r el módulo de la resultante,si está en el eje «X». Y resultante. 30 ü

b

B)4yÍ3

35 u

X

0643

D)843 E)0 '

^ ' í 60°

40 u

A)4s B)24B C)34s d )44s E)s 4B

A)20 u D)18u

Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

Calcular las com ponentes rectangulares del vector C. Y A)5;5

B)12

A)20

B)10;10C = 1 °

C)9

B)31

0 8 ;5

D)15

030

D)6;8

© Descomponer el vector A en sus dos componentes rectangulares. Indicar la suma de sus componentes A) 7

Y\

A

E)10

Descomponer el vector en sus componentes rectangulares. Indicar su componente horizontal.

D)28

16*

8

B)30u E)15u

045 u

E)4;9

E)25 14

Determinar el módulo de la resultante.

E53iao iBSB

W F W iS W C A

Vi

A) Sólo a D) Sólo d A)25 B)25-Í2 C)50 D )5 0 j2 E)75

© Calcular el m ódulo de la resultante de los vectores mostrados en el gráfico.

A)30 B)35 C )37 D )32 E)25sÍ3

(6?)¿Qué características deben proporcionarse para que una magnitud vectorial quede bien determinada? A)Sólo módulo. B)Módulo, dirección y sentido. C)Punto de aplicación y linea de acción. DjSólo dirección. E)Su origen y su extremo. ^j^Indique cuál de las siguientes magnitudes corresponde a una magnitud vectorial: AjVolumen B)Temperatu ra C) Tiempo D)Área E)Desplazam ien to Las figuras de este problema las dibujó un estudiante cuando trataba de obtener la resultante, y de dos vectores y ¡ y y 2. Señale las figuras en las cuales la resultante y se obtuvo correctamente. V2 V, (b)

(c)

B )b y c E) Sólo e

A)5h B)3h C)e+f D)a+2b E)2g (j#?)Del conjunto de vectores, determ inar el m ódulo de la resulante en el exágono regular de lado 8. g

C) a yd

¿Cuál de la siguientes proporciones es falsa? A ) La m agnitud d e la com ponente de un vector no pu ed e ser m ayor que la del propio vector B )S i un vectores perpendicular a un eje, la com ponente del vector sobre dicho eje es nula. C )S i un vector es paralelo a un eje, la m agnitud de la com ponente del vector sobre el eje es igual a la del vector. D )S i ambas com ponentes rectangulares de un vector son nulas, podem os concluir que la m agnitud del vector tam bién lo es. E ) Si la com ponente de un vector sobre un eje es nula, podem os.concluir que la m agnitud del vector tam bién lo es.

Dos vectores dj y d2 tienen magnitudes d¡ =4m y ds=3m. Se sabe que d% tiene dirección horizontal y sentido de izquierda a derecha. ¿Cuál debe ser la dirección y el sentido de d 2 para que la resultante de esos vectores tenga una magnitud igual a Tro? A) Dirección horizontal y sentido de izquierda a derecha. B) Dirección vertical y sentido de abajo hacia arriba. C) Dirección horizontal y sentido de derecha a izquierda. D) Dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo. E) No se puede deteminar. Del conjunto de vectores, determinar la resultante: a

De la figura mostrada, expresar x en función de y y z .(O: Centro)

A )(z -y )/ 2 B ) y - z

C )(y-z)/ 2

D )(y + z)l2 E )y + z (^ D eterm in ar el módulo de la resultante de los vectores A y B . (A=15 y B=7) , A

A )1 0

B )1 5

C )4 9

D )2 0

E )2 5

@ Se muestran a dos personas que jalan una pesada caja. Encuentre la única fuerza que es equivalente a las dos fuerzas indicadas.

c A)40N

B)3QyJl9N C )25j2N

D)40y[l9N E)16N En el conjunto de vectores mostrados en la figura determinar el módulo del vector

E j m j A)30° B)3T C)53° D)60° E)45° La figura adjunta muestra dos vectores P y Q, siendo P —20, Q=7. Determinar |f - Q\

E D IC IO N E S RU BLYÓ Sl la resultante sea horizontal. ♦Y 60

Q = x - y + 2 z -2 ]> , sabiendo que H = * /S A) 15 B)25 C)20 D)13 E)10

A)74° B)16*/£Q3(P D)60° E)53?

En la figura mostrada, calcular el módulo del vector resultante de los 4 vectores, sabiendo que

La resuftante de los vectoreB mostrados.es vertical h mide jtfVljeterminar el

A = 2 ^ 3 ; B=10; C =4; D = 10-J2

vector Q

<

%

A) 18 B)9 C)27 D)15sÍ3 E)12-¡3 Sabiendo que: | _ Jj>\= 6 , su dirección es horizontal y su sentido es de derecha a izquierda.

tía:2

\¿\ = 5 x + 9 y |g|= 20x Se pide calcular el valor de « x » : A B •—tf------------- ► •—# ----------- ► A)1

B)2

C)4

D)3

E)5

Calcular el m ódulo de la resultante sabiendo que la figura es un exágono regular de lado 4^3.

A)10 A)2\Í2 B )3 0 3 -J 2 D )5 E)2 (f^)En el sistema m ostrado, calcular el módulo del vector resultante.

B)15 0 3 7

D)35 E)20

Dado el vector A de módulo 20 unidades, hallar sus componentes rectangulares, (x&):

y.

ALÍÍ3 B)5\¡26 C)10^26 D)40E)4j20 A)3sÍ3 B)8 O S j2 D)12 E)6^3 Del conjunto cíe vectores se cumple lo siguientes í+ y + z = 0 ; r-í -- r~*. . rsiendo W = 7;|y|= S;|z¡ = 13.

(Q )D eterm inar el módulo del vector P sabiendo que la resultante del sistema de vectores es igual a cero. f y

Determinar el ángulo comprendido entre los vectores x e y. X

A)100 B)150 OSO DJ90 EJ50 Calcular el valor de j para que

A) (9;16) D)(0;20)

B)(16;12) E)(15;9)

O(20;0)

Dos vectores de módulos ION y 6N forman entre sí un ángulo de 60°. Hallar el módulo del vector resultante. A)7N B)10N 012ND)14NE)16N La máxima resultante de dos vectores es 14 y su mínima resultante es 2 . ¿Cuál será la resultante cuando form en un ángulo de 90o? A)10 B )U 0 1 2 D)13 E)14

U

i« A

La máxima resultante de dos vectores es 8 y su mínima resultante es 2. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando formen un ángulo de 60o? A)7 B)6 C)5 D)4 E)3 En el sistema vectorial mostrado, halle el módulo del vector resultante. y.

Halle la medida del ángulo - $", sabiendo que el módulo del vector resultante es igual a cero. Y: *1° A)30° B)3T 8 C)4F D)53° E)60° ■ 6> @ En el sistem a vectorial mostrado, hallar la medida del ángulo " 0 ", tal que, el vector resultante se encuentre en el eje X. Y: A)
A) 10 B)20 030 D)40 E)50

A)10 B)12 014 D)16 E)18

Los puntos A ,B y C determinan un triángulo equilátero de lado 2 m. Hallar el módulo del vector resultante. A

(FJ^La máxima resultante de dos vectores es 24 y su mínima resultante es 6. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando formen un ángulo de 60o? A) 21 B)18 0 1 5 D)12 E)9

A)2 m 8)4 m 06 m D)8m E)0

f

*

Hallar el módulo del vector resultante: A)3yÍ2

Hallar el módulo del vector resultante: |¿|= |g|= |¿|= 3 A)3 B)6 09

b

(fí) Halle el módulo del vector resultante. El lado de cada cuadrado mide la unidad de medida.

E)15 (Q>En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del vector resultante. El lado de la cuadrícula es igual a la medida.

*

i

A)0 B)1

J

*\

4

3*

V

A

T

•-JH Hallar el _______ módulo de los

vectores X y ~B sabiendo que la resultante es nula. Y:

4

A)5 B)10 C)15 D)20 E)25

30 • • • • • • • •

\ | MI***»**»*!x

Si la resultante de los vectores se encuentran sobre el eje vertical «Y», halle el módulo del vector «C». U| = 1 0 V2 y ®| = 10

A)40 y 50 D )30y50

B)s¡3 C)2 D)42 E) Cero

D)12

D)3 E)4

Sabiendo que .¿1 vector resultante se encuentra en el eje vertical, halle el módulo del vector resultante. y-

Y:

Y:

02

20

2012}

B)30 y 60 0 4 0 y 30 E )6 0 yl0 0

(7^)Hallar el módulo del vector X sabiendo que el vector resultante forman 45° con el semieje positivo «X».

A)0 B)1 C)2

D)3 E)4

I-2H Dos vectores A y B forman entre si un ángulo de 45°. Si el módulo de B es y¡6- ¿Cuál es el módulo de R t sabiendo que la resultante R y el vector A forman un ángulo de 30o? A)y¡3 B )2 j3 0 6 D)5 E)4 La figura muestra un cuadrado de lado 2 cm , donde M es punto medio. Determinar el módulo del vector resultante. A)3cm B)4cm C)5cm D)6cm E)7cm Dados los vectores la|= 5N y b\= 3 N , calcular la - 2 6

E IH C IO X E S KUKLXO& Í

[V E C T O fg J g ^ A)4N B)5N C)6N D)7N E)8N

Hallar la magnitud del vector resultante del grupo de vectores mostrados. Todos los vectores son horizontales. 3p ^

« o) 1 m d )4 m

3p

^ 4p

1m „ 6p

►

b) 2 m c) 3 m e )5 m

Dados los vectores. Hallar la magnitud de la resultante.

|3| =* 5 cm.

Señale las afirmaciones verdaderas (V) o falsas (F):

a) 5 cm b) 10 cm cj 15 cm d) 30 cm e) 45 cm

/ ) El vector resultante siempre es mayor que, al menos uno de los vectores que lo originan.

Dados los vectores, hallar la resultante.

a) b) c) d) e)

b

d -d 2
a) VF c)FF a) Otra posibilidad d) W Señale verdadero (V) o (¡ corresponda cada afirmaciói

Desde el baricentro de un triángulo escaleno de lados 3 ; 5 y 7 cm se trazan vectores a los vértices, hallar la magnitud de la resultante. a) 6 cm b) 10 cm c) 14 cm d) 15 cm e) 0 cm Dado el vector A = 10 cm. Hallar la

a) Sa b) VSe

componente en la abscisa.

c ) V7a

a) 5 cm I b) 5^3en, i

.e

d) M e) Vi3« Se tienen dos vectores no paralelos A y B de módulos 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser la magnitud de la resultante? a) 8 b) 2 c) 9 d) 1 e) 4

y

1.

\•*

\

c) -Wson 1 d) -5 cm i e) 10 cm I

vectores cuandojonnan 0: es 34. y cuando forman 18Q^és 14. ¿Cuál es la magnitud de la resutiante^U^hdo dichos vectores son perpendiculares? % b) 1 7 f\ c ) 2 6 a) 13 d) 34 O 41 "A A ' Encontrar la magnitud del vector

30^ ~

el conjunto de vectores, siendo |A|- lOan,

III) Un vefctor tiene infinitos pares de vectores componentes que lo originan; pero sólo un par que forme ángulo recto (en un plano). b) VFF c) W F e) FVF | 3 A + 2 B | = 30 u y | 2 A - 3 B | = 25 u. | 7 A -4 B | .

2A-3B

a) 50 u b) 60 u c) 70 u d) 80 u e) 90 u 3A+2B Calcular la magnitud de la resultante

Hallar la dirección del vector ,y resultante.

de los vectores mostrados, sabiendo que ABCD es un trapecio y AB=14 y DC=22.

15

a) 37° b) 53 • c)6
x

a) 8 b) 16 c) 32 d) 20

e) sV3 Hallar la magnitud de la resultante, si es horizontal.

o) 2 a) 24 b) 48 b) 64 d) 36 e) 42 Hallar la magnitud de la resultante en

II) Cuatro vecfores pueden ser perpendiculares entre sí.

Hallar:

Hallar la resultante de los vectores mostrados.

diferencia a -b, si estos vectores se muestran en la figura, de modo que: «so, |5j = u. A

I) Tres vectore^ perpendiculares e n j^ sf.

a) F W d) FFF Si:

Dos vectores de magnitud 7 y 8 cm dan origen a un vector de magnitud 13 cm. Hallar el ángulo que forman los vectores. a) 30a b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° La magnitud de la resultante de dos

I I ) Dos vectores, al restarse, generan un vector diferencia, cuya magnitud es siempre diferente a la magnitud de s r suma.

b) 4 c )5 d) 6

e) 12

Hallar la resultante de los vectores

LA E X c iti.o i’i M A SOIS]

B 3 En la figura ABC. es un triángulo rectángulo, recto en B. Determinar la maarütud de la resultante. B a)f a O b) 2a c) 3o 4a á 5a

Al sumar un vector a d e magnitud 30 con otro vector b , que forman con a 53:, se observa que la resultante forma 37' con b . Hallar la magnitud de b . 12

% 16

En lafigura, ABCD es un cuadrilátero cualesquieraen el cual MN-22. donde "M" y TT son puntos medios. Hallarlamagnitud de la resultante de los vectores mostrados. B

a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 55 Hallar la medida de "a" para que la resultante de los dos vectores sea de magnitud "a". En el diagrama mostrado.

10

15

c) 14

Determinar la magnitud de la mínima resultante que se puede obtener con dos vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de los vectores tiene magnitud 60. a) 45 b) 36 c) 24 d) 12 e) 48 El hexágono de 6 cm de lado es regular. Determine la magnitud del vector resultante de los vectores, si M, N y O son puntos medios y Tga=45/&.

a)l2 b) c )3

d )l e)5 Dos vectores a y b , de igual módulo, forman entre sí un ángulo de 128:. Determinar la medida del ángulo que forman el vector diferencia ( a - b ) y el vector

i2
B.

Los puntos ABCDEF son los a) 26° b) 52° c) 104° vértices de un exágono regular a d) 1549 e) 120° Las magnitudes de dos vectores x: t partir del vértice "A" se trazan los vectores AB, AC, AD, AE y AF. y la magnitud de su diferencia ü, verifican Calcular la magnitud de la la siguiente relación: § =§- =§ . Hallar la resultante de dichos vectores. Si medida del ángulo que forman los vectores |AD| =60. x y 2. a) 100 b) 120 c) 150 a) 37° b) 53° c) 16a d) 180 e) 200 e) 18° Si dos vectores tienen igual magnitud d) 74° y forman entre sí un ángulo e. Hallar la relación entre las magnitudes de ia suma y diferencia vectorial de ellos. Hallar la magnitud de la diferencia de a) 2 0 » to /2 í b) 2 S «y o/2 ) c) 2Tg
Una fuerza de 300 Nactúa sobre una caja en el punto "O" como se Indica. Determine la magnitudde las componentes de la fuerza a lo largo de las direcciones OAyOC. -aooN a) 3 0 0 y O N b) 500 y 400 N A c) 400 y 700 N <0 500 y 600 N e) 200 y 400 N

3cm

vector de magnitud 5 que se muestra es la resultante de otros dos; uno de tos cuales está en dirección de la recta AB y se sabe que el otro es horizontal de magnitud 6 . Hallar el valor de la componente sobre AB. a) b) C) d) e)

W3/2 3+2^3 30° horizontal 3(i/3-4) 4+343 8 Si cada cuadradito es de lado "1", en el siguiente diagrama. Hallar la magnitud de la resultante del sistema de vectores

e)2 Hallar la magnitud del vector resultante de los vectores a, b, ? y d; si: |=300, |b |=100. |r |=340 y |d|=20V2.

a) 380 b) 500 c) 450 d)

29042

r ------

e) 452¿5 Hallar la magnitud de la resultante de los vectores mostrados. Si: |o [=10, |b |=20. |? |=30 y |d |=40.

t

a ) 5042

b) 3542 c) 142 d) 71/5 e) 3s4s Encuentre el equilibrante del siguiente sistema de fuerzas coplanares: 300N a 0:; 400N a 30:: 400N a 150:.

a) 173Na24(T b) 450N a 180° c) 500 N a 530 d) 500 N a 2330 e) 141 N a 225°

Hallar el vector 5, sí la resultante del sistema de vectores mostrados es nula.

EIMCJOXES RUBLXÓ§\

235 (Mr

ftg g c a n o m M

a) 7 b) 13 c)2 4 d) 25 e) 30 Sean los vectores:

A - 3 7 - 4 Í * ,

a)87-27(N ) 5N 5 )2 7 -8 7 c) 7 7 -7

a) 2V2 53°

b)

c) 3

2

a

y

d)4^3

La resultante de los vectores p

y q

tiene una magnitud de 624 N. Hallar |p |

e) 3 7 -4 7

y I q I-

ION

i?=p+3

En el sistema de vectores, el vector resultante tiene una magnitud de lOu y una dirección de 37:. Determinar el vector

a) 13T-16T(u) i S i ^

o) b) c) d) e)

550 630 650 720 630

N y 280 N y 380 N y 320 N y 330 N y 330

c) 117-27

500

d) 137 + 37

0)4(7

e) 137-7

b) 20? c) 3(7 d) 60° e )3 T

gjjjjg En la figura se muestra a los vectores y b . Hallar: a - b .

a) -27-57 5 )2 7 + 5 7 -5

-1

JMT+37” ^

t u

^

P*10N

-1 2 -2

e) -6 í -5 7

El vector resultante del sistema es -87-67* Hallar el vector

a.

y

a) b) c) d) e)

6(7 90° 12(7 150° Q=20N 143a Hallar el ángulo "e" para que la resultante de los vectores indicados sea la menor posible. Si |a |=15 y |b |=20. a) 30? b) 60? c) 45 O d) 53 O e) 15 o

d) 3 7 -7 j

e) 47417 Determinar la tnagnitud del vector resultante del siguiente sistema de Vectores, si: |a |=10 y 1B |= 242-

a) b) c) d) e)

3V2 bjz sVz 7

B __

a) Valor 30 y dirección 30?. b) Valor 30 y dirección 120?. c) Valor 30 y dirección 150?. a) Valor 30 y dirección 240?. e) No existe tal vector. Hallar ta medida de a para que la resultante del sistea£féa igual a cera, si:

|p| = |s|* a) 75° b) 60? c) 3(7 d) 2 5 #
Eneldiagra la magnitud de

— x

Si la resultante de los mostrados en la figura tiene una dirección de 60: con respecto de la vertical (eje Y). Determinar el ángulo "a" entre dichos vectores, y

i

c) 4 7 -3 7

N N N N N

Si la resultante del sistema es cero. Determinar la medida del ángulo" e

b) 157-47

r-

-

2 = 2f-5f. Hallar: |A-B + c|.

d) 3 7 - 7

a

b

Qué vector se debe sumar al vector "A" cuya magnitud es 30 y dirección 60:. para dar como resultante el vector nula

Se tiene un vector cuya magnitud es 15. Halle la magnitud de otro vector que forme con el primero 37: de tal forma que la diferencia de ellos sea mínima. a) 9 b) 12 c) 15 d) 16 e) 10 En el diagrama,* =37\ Determinarla medida del ángulo que forma la resultante con el eje X. y

V2

En el siguiente sistema, hallar el valor de u para obtener una resultante máxima.

¡V a) O? b) 10? c) 3(7 d) 4 ( 7 e) 5(7

a

L K -L S !

x

En el sistema que se muestra, determinar la magnitud de la resultante. 50 a) 5VÍ6 b) 8Vio c) 10Vio d) íeTTo e) 2&VÍ0

Calcular la magnitud del vector resultante.

a) 5 m b) 10 m c) 3 tn d) 15 m e) 12 m

D=(2,-4) C=(-2,-10)

¿^ S ¡: A-2B l o 7 +■5 A

+

B

♦

-4

i +

Hallar: |A-sS-3^|

3

j

a) 0? b) 30? c) 45° d) 60? e) 90?

-x

/ x'

Encontrar una expresión vectorial para la fuerza E sabiendo que su magnitud es

¡A Eyci€J.oim tci>lA 2012}

30N.

Aj'JIsNewton B)4l7Newton O yÍ2¡New ton D)4 10cm _______

20cm

A)10 B)J99 OyÍ97 D)4>¡6 E)5y¡6

20cm

a) 10 (7 -7 + *) b) 10(27-27+ *) c) 10(T-2T+V d) 1 0 (2 7 -7 + *) e) 10(7-7+2*) Hallar la resultante del vector 7 + 7.

Hallar resultante:

el

módulo

de

la

50

(5,-1,10) (3,1 ¿ ) (3,-4,5) (4,1,13) (5 J ¿ ) (3,-45)

>resar

el

vector

en

función de los vectores a y b.

a)

b)

c) s+b d)

e)

-2b

Dado el conjunto de vectores. Hallar el módulo del vector resultante. v A*

A )14&

B)60

B )16j6 C)84 D)108 E)144

035 D)24 E)25

120P.

Hallar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. ABC; es un triángulo equilátero de lado «I» y «G» es baricentro. B

a

Hallar |a x b| A)25 B)0 C)5

B = (-4i + 3 j) D)125 E)16

iExprese la resultante vectorial en términos de X y ~B ■ MNPQ: es un paralelogramo A)(A + B)

A

B)2(A + B) 0 3 (A + B)

A) 2143

B)5l43/3

O I 114316

D)5l43 E)10I Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un exaedro.^______ ^sNewlon 2-¡2m.

D)4(A + B) E)5(A + B) Hallar el módulo de la resultante de los vectores.

(f?)En la configuración de vectores mostrados, se sabe que: c = k¡a + k2b Hallar k t + k 2 A)-2 B)2 C)1 D)-l E)l¡2

A)3m B)7m C)5m D)9m E )llm @ Si A = (3i + 4 j)

*

(Í^A B C jDBFGB es un cubo de arista 8u. Hallar la resultante del conjunto de A vectores mostrados, siendo M, N, P y O puntos medios de FB t B C , EF y CE respectivamente.

A) 85

m La resultante máxima y mínima de dos vectores P y 9 es 8M y 2 m respectivamente. Calcular el vector diferencia cuando P y 9 formen

A)4m B)49fi

E)10fi

A)1042 B)8 C)6 D)5s¡2 E)842

(1.-2.-3)

Hallar el m ódulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

04yf3/i D)7M

i

a) b) c) d) e)

E)5

2m ew ton s

QRS es un cuadrado E punto medio R S , D punto medio de ~RE, F punto medio de E S , G punto medio de PS . Hallar x en función deX y X -

íw

E

B E 9 x a r !<&'» •

c r o jg g ^

A)— (2B+3A) B) — (2B+3A) 37 17 C)— (2B-3A) D )~(3B + 2A) B)NJi 40 40 (?7J) PQRS es cuadrado. Hallar el vector x en función de los vectores T y IT

R

E D IC IO N E S

(Q)Do& fuerzas:

(Considerar: \oFs\ = 2 j l d N )

F t = ( t - 3 ) i N y F 2 = (1 2 - 2 t)jN

A)40N D)70N tfxAvE*

actúan sobre una partícula, variando a medida que transcurre el tiem po. Hallar la fuerza, resultante cuando ambas fuerzas tengan igual módulo. A)(6¡+fy)N

B )(i+j)N

A)(4A - 3B)¡28

B)(4A + 3B)/28

C)(3A - 4B)¡28

D )(Á - 3B)¡21

B )~ (2 Q ~ P í

= (i + i)/y¡2 y

= (i- j)fj2

Halle la magnitud del vector ~A si A + 2B = 42i A)0,5 B)1

C)l,5 D)2

E)2,5

@ E 1 vector M = 6i + 6 j , se descompone en 2 vectores paralelos alosvectores: Á =i+3jy~B = 2 ¿-jHalle la diferencia vectorial de las componentes de Af en A y ~B . respectivamente.

DI—+ J3B E)NA 2

1*)E

íí )«1

[l*)J \*JA

])>>ffcji3 B J u a iti) ¡ M t ¡ Q&MjMI lili

n

a

B

B

E

O

B

B

B

Sean los puntos: P(2;0;2)..\ Q(2;4;2) ; R(2&; 0) ; S(0;4;2) y T(0; 4; 0) ; en un sistema cartesiano XYZ. Determinar el vector unitario en la dirección de la resultante de los vectores P Q .R Q yS T . B )-k

C) +i

D )-l(llsf2 )(l+ k ) E)+(ll\Í2)(i+j) A B C D E F es un hexágono regular de lado 4cm .

D

Hallar el módulo de la resultante de las 6 fuerzas m ostradas, sabiendo que el lado FE es paralelo al eje «Y» y el plano en el cual está contenido dicho hexágono forma un ángulo diedro igual a 30°con el plano «-XY» ; además el vértice «A» pertenece al plano «-XZ» .

I

B

mi

B

B

E

K

f

i »k

D )~ < 2 Q * P j

l E

B

B

«./%

D *

I) B n

n

A)9j B)10,5j 012$ D)l+10,5j E)5j iPQRS es un cuadrado, PRT es un sector'circular. Hallar x en términos de A y ~B («M» punto medio R § )•

*)F.

1)

ID

w w

B í>

C )^ -< P + 2Q )

A) +j

O60N

WMÍTWU &H' Álmkl*x' Biu]«¿i *u*SmmnEnrm 17)01

W*

ABCD es un cuadrado, Hallar el vector í en función de p y Q Si: «M» es punto medio de CD. A)\t2Q-P) 8

B)50N E)NA Lm\

0 (® )N

D)(3¡ + 3 j)N E) (2i + 2 j)N

(Q)Los vectores ~A y ~B 8°n paralelos a los vectores unitarios

IW B IA O S ]

B

B

B

B

m m"m\ B

B

B

B

B

B

B

B

B

es;

D

r w ,u .T f( i i

«i« i^El l7>EUMMjm30)c] H A M IL T O N W ILLIAM ROWAN (1805-1865), matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.Describió una forma matemática de manejar pares de números reales. Esas reglas se usan en la actualidad para operar con números complejos. Más adelante descubrió la clave para operar con temas o n-uplas de números, en el caso de ns, que consistía en descartar la propiedad conmutativa de la multiplicación usual. A los nuevos objetos que creó les llamó cuatemiones, precursores de lo que ahora son los vectores. Su monumental obra acerca de este tema, Treatise on Quatemions, fue publicada en 1853.

« s a la s B 1

o b j e t iv o s :

• Establecer nociones básicas cinemáticas, para luego hacer un estudio más detallado de la mecánica. * Interpretar magnitudes del movimiento mecánico como: posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.

INTRODUCCIÓN .* Como un primer paso en el estudio de la mecánica, es conveniente describir el movimiento en términos del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinem ática. Al especificar la posición, velocidad y aceleración de un objeto, podemos describir cómo se desplaza y la dirección de su movimiento, cómo cambia ésta con el tiempo, si el objeto aumenta o disminuye su rapidez, etc. * * d

U

gOlg]

otra forma con posiciones en el espacio. Así, es conveniente estudiar primero cómo describir la posición de un punto en el espacio. Esta descripción se hace por medio de coordenadas. En general, un sistema de coordenadas es usado para especificar posiciones en el espacio y se compone de: * Un punto de referencia fijo denominado origen. * Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes. * Instrucciones sobre cómo marcar un punto en el espacio, en relación con el origen y los ejes. Los sistemas de referencias o marcos de referencias pueden ser: *

S I S T E M A

IN E R C IA L

D E

R E F E R E N C IA

O

M A R C O

IN E R C IA L

;

La primera ley de Newton, conocida también como la Ley de Inercia, define un conjunto especial de marcos (sistem as) de referencia, denominados marcos inerciales o sistemas inerciales de referencia. Un marco inercial de referencia es uno en el que es válida la primera Ley de Newton. Así, un m arco in ercial de referen cia es un m arco n o acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial. * En muchas situaciones supondremos que un conjunto de puntos cercanos sobre la superficie de la Tierra constituye un marco inercial. *

S IS T E M A

N O

IN E R C IA L

D E

R E F E R E N C IA

O

M A R C O

N O

IN E R C IA L

:

Un marco es no inercial cuando el marco está acelerado. CUIDADO ► Marco (frame) es mejor conocido como sistema. ¿Cóm o describim os el m ovim iento de un avión d e com bate?, al lanzar una pelota horizontalmente, ¿cuánto avanza?, cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque con el piso?, éste tipo de interrogantes se tocará en este acápite. En nuestro entorno podemos observar a una gran cantidad de objetos y seres vivientes que se encuentran en continuo movimiento, también es sabido que loa planetas, el sol, nuestra galaxia, ¡El Universo! están en constante movimiento. El movimiento es uno de

f C M J S n E N M A 'M 'M G Z A IK S 1 ' MS » E D IC IO N E S K lIt l.X O S los fenómenos que podemos observar e incluso CLYEMATICA experimentar con bastante frecuencia, es por esta razón que su estudio es de gran interés desde hace Parte de la mecánica que estudia la geometría del movimiento mecánico, pero sin analizar sus causas. siglos atrás. Js la la ESPACIO: Es todo aquello que lo ocupa todo, sin tener fronteras. 6mÍ8 2m!s 4m/s V=0 T IE M P O :

Galileo fue quien abrió las puertas para la comprensión de este fenómeno.

Idea fundamental que va ligado al espacio, luego será otra forma de la existencia de la maferia, una noción del paso del tiempo es el cambi&vV-

Galileo y sus contemporáneos heredaron el pensamiento de los griegos respecto al mundo físico. Así, antes de empezar cualquier investigación científica, debieron despejarse de conceptos como los de que "los cuerpos tienen deseos internos". Tuvieron que considerar el movimiento desde un nuevo punto de vista. Esto no se fue fácil.

m o v im ie n t o

Los científicos y los filósofos de aquella época tuvieron que enfrentarse no solo a las concepciones aristotélicas, sino también a una serie de preguntas tan confusas, como las paradojas de Zenón.

PARTÍCULA :

M ovim iento es e l cam bio de p osición de un cuerpo con respecto de otro.

El movimiento de un auto

i

A partir de la experienci^ cbtidiana nos damcfó^&enta que el movimiento representa el cambj^ffinjBüo en la posición de un objeto. La física estudiErtres tipos de movimiento: traslacional, rotacionáb^.vibratorio. Por "Partícula”, entendemosóin punto individual de masa, como un electrón; pero también designamos un objeto cuyas partes se mueven exactamente de la misma manera..Incluso los objetos complejos pueden ser considerados como partículas, si no existen movimientos internos como rotación o la vibración de sus partes. p o s ic ió n

El movimiento de un ave Los movimientos de (a tierra

Suponiendo que el avión al volar horizontalment e deja caer una bomba. Si usted observa la caída de la bomba estando dentro de la nave, observará que cae según una línea vertical por otra parte si se observa desde tierra (en B) se observa que al caer describe una trayectoria curva.

:

(T):

Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero hay que poder describir su posición. Consideremos una partícula que está en el punto P en un cierto instante. El vector de posición r de la partícula en ese instante es un vector que va desde el origen del sistema de coordenadas al punto P. POSICIÓN y S IS T E M A S D E REFERENCIA

Como muestra la figura.

el movimiento de un cuerpo depende del punto de referencia que se tome a este punto u objeto se le llama "sistema de referenciaH.

M E C Á N IC A Parte de la física que estudia las relaciones entre la fuerza, materia y movimiento.

Observador

Observador

* Una partícula estará bien ubicada en el espacio y el tiempo si sabemos a que distancia y en que dirección se encuentra respecto de otro cuerpo llamado cuerpo de referencia. Por ejemplo tiene sentido hablar de la posición de una estrella respecto de la tierra o el movimiento de

c

140

IA

2012}

los planetas respecto del sol, etc, pero no puede indicarse la posición de un cuerpo sin relacionarlo con cualquier otro cuerpo concreto.

Observador sistema de referencia

rapidez

\ t

o\ \ trayectoria

Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son despreciables en comparación con las demás dimensiones en el problema. * El cuerpo de referencia asociado a un sistema de coordenadas y un reloj se llama sistema de referencia (SJL) El sistema de referencia, donde se ubica un observador para analizar un acontecimiento, se encuentra, generalmente asociado a tierra.

X

7m

12m

El sistema de referencia se elige de tal forma que facilite lo más posible el análisis; es importante destacar que la posición de un cuerpo será distinta con respecto a otro sistema de referencia, por ello que no es absoluta, sino más bien relativa

MO VIMIENTO MECÁNICO Fenómeno que consiste en el continuo cambio de posición de un cuerpo, con respecto a un sistema de referencia.

* La posición de un cu erp o está dado p o r el vector posición ?t que se determ ina a l unir el origen de coordenadas con el cuerpo. Si el cuerpo se encuentra en el eje " X ” su posición se denota como £ y si se encuentra en el eje "Y ” se denota como y * Si un cuerpo se encuentra entre los ejes X e Y, su posición r tendrá dos componentes, uno medido en el eje X y el otro en el eje Y.

m m i T O S DEL MOVIMIENTO MECÁNICO Y(m)

r = (x ;y )

A

trayectoria

* Es decir: r - ( x ; y) O también lo podemos expresar en función de vectores unitarios canónicos como: r = x i+ y j

EJEMPLO'. Y

* Se aprecia que : r«Ua= +10m{ raulo=+20mi rn¡ñ„=-10m i; X rKac¡olt, = I5i + 8 j

10m

lOm

lOrn

Cuando un cuerpo cambia de posición, el cambio se denota como Ar

De acuerdo a los gráficos se tendrá:

M OVIL : Es aquel cuerpo que experim enta movimiento mecánico. EJEMPLO:

En los gráficos serán el avión, la paloma.

mi

(C M X J E jJ P M A a T M N lA

te © ?

1*1

E D IC IO N E S

IS in tlÑ O S ]

TRAYECTORIA Z

DISTANCIA (D) :

Es la sucesión de posiciones que ocupa la partícula durante su movimiento. Podemos decir que la curva que describe la partícula se llamará trayectoria. A la longitud de la trayectoria, se le denomina "distancia recorrida".

Es el módulo del “ desplazamiento” , es decir la medida de la longitud del segmento de recta que une la posición inicial con la posición final.

A

B

Es aquella línea que se form a al unir todos los pu n tos p o r donde pasa el m óvil. EJEM PLO :

' 9

/ m o v im ie n to p a r a b ó lic o

m ov im ien to r e c tilín e o

O JO : Si el movimiento es rectilíneoy'éh una sola dtrgpción entonces el recorrido es igtial af la distan (movimiento direccióny♦ Pero en otros casos: e * J

.8 .

♦ Al lanzar una esfera formando cierto ángulo con la horizontal, describe una trayectoria curva denominada parábola. *A1 soltar una esfera y caer verticalmente describe una trayectoria rectilínea.

DESPLAZAMIENTO (d)Z Es aquella magnitud vectorial, que nos expresa el cambio de posición que experimenta un cuerpo y se

CUIDADO ► Nótese que el desplazarüjefcfó no es lo mismo que la distancia recorrida por la partícula. Se determina sólo mediante los puntos iniciales y final del intervalo, no mediante la trayectoria cubierta entre ellos. Para describir el movimiento de una partícula, introduciremos la cantidad física velocidad y aceleración, que tienen definiciones sencillas en la física, aunque son más precisas y un poco distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano. Si pone atención a estas definiciones trabajará mejor con éstas y otras cantidades físicas importantes.

Un aspecto im portante de las definiciones de velocidad y aceleración es que son vectores, esto implica que tienen m agnitud y dirección.

representa mediante un vector d .

CLASIFICACION DE LO S MOVIMIENTOS * SEGÚN SU TRAYECTORIA ; a) M ovim iento R ectilín eo : Es aquel movimiento cuya trayectoria es una línea recta. £

* El vector desplazamiento (d) esta dirigido desde la posición inicial a la final.

* -

RECORRIDO (c) Z Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el móvil. EJEM PLOS: 12Km

exx=12 Km

TRAYECTORIAS RECTILINEAS

b) 200m

M ovimiento C ir cu la r :

Es aquel m ovim iento cuya trayectoria es una circunferencia.

cAa=20#m T R A Y E C T O R IA S C IR C U L A R E S

15» c) Movimiento P arabólico :

B _

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una parábola.

A

V. ••»

Al patear un balón

TRAYECTORIAS

Al cruzar un río

PARABOLICAS

d) Movimiento E líptico : Es aquel movimiento cuya trayectoria es una elipse.

La lámpara esta inmóvil en relación con el observador B, pero se encuentra en movimiento en relación con el A.

VELOCIDAD

* SEGÚN LA RAPIDEZ:

Durante el m ovim iento de un cuerpo los cambios de posición se dan en el transcurso del tiempo, lentamente o rápidamente. Por ejem plo, en una m aratón, los participantes trotan los primeros kilómetros para que en el último tramo agilicen en el paso hasta llegar a la meta.

a) Movimiento U n iform e:

>

Es cuando el móvil tiene una rápidez constante. Un movimiento es r e c tilín e o y u n ifo rm e cuando su velocidad es constante. * La velocidad es constante en dirección y sentido: la trayectoria es una recta. •La velocidad es constante en módulo: recorre espacios iguales en tiempos iguales.

b) Movimiento Variado : Es cuando el móvil cambia su rapidez.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

Y R A PID E Z

Para saber cómo se está moviendo un cuerpo, no es suficiente con conocer cuánto ha recorrido en un cierto intervalo de tiempo, sino que es necesario saber también, en qué dirección lo ha hecho por ello introducimos una magnitud vectorial que caracterice este movimiento, esa magnitud es la velocidad que se designa como 0 .

> L a r e fr ig e r a d o r a >• n o c a m b ia d e S p o sició n

VELOCIDAD M EDIA Definimos la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo ¿t como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. I

El camión se mueve con relación al observador en tierra, pero, está en reposo con respecto a su chofer.

El observador A dentro del avión, ve que la bomba cae verticalmente. Para el observador B , su A A trayectoria es curvilínea.

b

Ib

Ib 1 auto recorre Sm « ¿ hacía la derecha en

M H C IO X M C S K U K IÑ O S )

149

La velocidad media es una magnitud física vectorial que indica la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo que se emplea, es decir: Unidades en el S.L — • M etro ( m vM: -------------- — S egu n d ov s * Para el auto: d + 5m _ . v” = * = - i r - =+5m ,s

m

d = — = 5 mis At

4 Indica que el a u to se rapidez m edia dirige hacia la derecha

* La velocidad de un cuerpo puede ser constante o variable. Es constante si no cambia de rapidez ni dirección. v = cte | ra p id ez= cte d irección = cte # Veamos: 3m/s 3m¡8 3m¡8

* Durante el movimiento del7>ri_^7!f la rapidez no cambia y la dirección tampoco^ entonces: la velocidad es constante. C

Según esta definición, la velocidad media tiene dimensiones de longitud dividida por el tiempo (LfT?m/s, en unidades del SI. * La velocidad media es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de a ? . * Advierta que la velocidad media entre dos puntos es in depen dien te de la tra y e cto ria entre los dos puntos. * En general la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. NOTA:

* L a velocid a d m ed ia ( Tnt ) tien e la m ism a dirección que el desplazam iento ( ¿ ) . — _ d _ Ar _ rf - rQ Vm A t At *Si la velocidad m edia se m ide en un intervalo pequeño de tiem po ( A t= 0 ), se llam a velocidad in sta n tá n ea o sim p lem en te v e lo c id a d . L a velocidad siem pre tiene igual dirección que el movimiento del cuerpo. v

.¿ r * . 4

R A P ID E Z

Es el módulo de-la velocidad promedio

v

—> espacio total recorrido f - » tiempo total empleado

_ £

V E L O C ID A D IX S T A N T Á N E A (v) Al examinar el movimiento que describe un cuerpo notamos que *‘ la velocidad m edia” no da una información precisa del movimiento a lo largo del trayecto, debido a ello debemos de considerar tramos cada vez más pequeños. Notemos que para obtener tramos más pequeños debemos considerar también intervalos de tiempos pequeños, y cuando es muy pequeño (á t -> 0 ) , prácticamente: r0 - r y = r ;

Es el módulo de la velocidad, que indica la relación entre la distancia recorrida por el móvil con respecto al tiempo que emplea, es decir: “ La rapidez es un escalar”

-L -

R A P ID E Z P R O M E D IO (|i£|)

v=+8m ls dirección módulo V=-8m l8 dirección —J módulo

donde r es el vector

posición en el instante **t” f luego: A i— o

Ll

Si: x = f ftf\ es la función, entonces la derivada se denotará:

D erivada de algunas funciones conocidas *

Derivada de la posición con respecto al tiempo * Notamos en la figura que para tramos muy pequeños, el Ar es prácticamente “ tangente** al trayecto y en consecuencia la “ velocidad instantánea (v), también 6e representa “ tangente a la trayectoria **.

II

* La dirección del vector velocidad instantánea, en cualquier punto en una trayectoria de la partícula, está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en dirección del movimiento. * A la m a g n itu d d e l v e c t o r v e lo c id a d instantánea, se le conoce como rapidez. * El velocímetro de un automóvil indica la rapidez, no la velocidad. * La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos decir "duró un instante" para referirnos a algo que "duró un intervalo de tiempo muy corto"; pero, en física, un instante no tiene duración; es un solo valor del tiempo. CUIDADO ►La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo no nos dice con qué rapidez, o en qué dirección, se mueve la partícula en un instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, necesitamos definir la velocidad en cualquier instante o puntos específicos de la trayectoria. Esta es la velocidad instantánea y debe definirse con cuidado. OBSER VA CIO N ES: * La velocidad instantánea se representa con un vector tangente a la trayectoria, por ello también se le llama velocidad tangencial.

0 cn.tnI cost -sent el f,’(t)+f2’(t)

c

c.tn sent cost e* f,(t)+f2(t)

Según esta definición, la velocidad instantánea tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo (HT)~ mis, en unidades del SI.

II

V = Lm , ^ = í 'í a /-> 0 A t dt

O B SE R VA C IO N E S:

H

Definimos que el lím ite de la velocidad media, A r*7At, conform e At tiende a cero; es ig u a l a la r a z ó n in s ta n tá n e a de cambio de posición con el tiem po:

E X V R 'J . O M U I A 2 0 l¿ \

E JE M PL O : Si: x (tf =2t5+cost - 3 Entonces: dx = 2 x 5 t 6 l+ ( - s e n t ) + 0 = 1 0 t 4 - s e n t ~dt O JO : El vector velocidad se puede representar de las siguientes formas: y :y ¡

V=5m l8¿r-..........

y =3m/s

3 T _

ó también

y* 4\3T

... !

Y=4m/8

y = [5 f;3 T ) _ L_—►D irección de V -►módulo o Rapidez V = [4 ;3 }f = [4i + 3j) ► Componente vertical ► Componente horizontal Se debe tener presente que: A /= # -f0;

donde:

(kt) es el intervalo de tiempo o duración de un suceso (t) es un instante de tiempo. (tQ) es el instante en que se inicia el análisis del suceso, si t = 0 , se tendrá At = t

(muy común).

71

7

EJEMPLO IL U S T R A T IV O : La posición de un móvil que se desplaza en el eje horizontal varia con el tiempo de acuerdo a la siguiente

ÜMMCIOXM3S KUHIÑOSl íflÉ? La unidad del SI de la rapidez media, igual que la velocidad, también es metros por segundo. 4 La rapidez media, NO eB la magnitud de la velocidad

expresión: x (i)= 3 t2+ 4 ; donde *‘t ” se mide en

media.

segundos y **x" en metros, determinar:

* La rapidez media, NO tiene dirección.

A C E L E R A C IÓ N

I) La posición del móvil en t= 0 II) El cambio de posición desde t= 2 8 hasta t= 5 s III) La velocidad media desde t= 3 s hasta t= 7 8

Cuando la velocidad de una partítgtútf cambia con el tiempo, se dice que la

IV) La velocidad instantánea para t = l s

Conforme una partícula se mtfeve de un punto a otro a lo largo de cierta trayectoria* su vector de veleidad

R E S O L U CIÓ N : I) Como el móvil se desplaza solamente en el eje "X", luego la posición “ f ” ,será “ ¿¡j” ,donde: x ftj=3ts+4, como nos piden la posición del móvil en t= 0

instantánea cambia de \J[ en el tiempo f/a W ren el tiempo tf . ^ 5 m ¡8

=> x (t-Q>=3(0)2+ 4 = +4m II) Se pide: LX = Xfinal

- X inicial => & X - X (t- 5) - X (ts2)

=>áx=3(5)2+ 4 - [ 3 ( 2 ) 2+ 4 ]= > ¿ x = +63m III) Se pide: ■ A* _ Xfim7) ~ x (t=3)

Vm At

7 -3

— 3 (7 )2+ 4 - [ 3 ( 3 ) 2+ 4 ] , =>rm= ---------------- ------------- -= +30m!s IV) Se pide: 4

Es bastante común observar que los cuerpos durante su movimiento experimentan cambios en su velocidad que se puede dar en módulo y/o dirección.

ffv —• V = — = 6 t pero para t = l s => V (t=u=6(l)= + 6 m/a dt

Note que al dar la vuelta el automóvil no cambia el módulo de su velocidad (rapidez), pero cambia su dirección.

—

NOTA:

z

4 En el otro caso la velocidad del camión no cambia de

dirección, pero si cambia su módulo. En ambos caso se concluye en que la velocidad experimenta cambios al transcurrir el tiempo. Pero: ¡En algunos casos la velocidad cambia más rápido que en otros! lm ls

lOmls

En e l g r á f i c o p o d e m o s o b s e r v a r c ó m o s e rep resen ta n lo e v ec to r e s v e lo cid a d m ed ia y velocid a d in sta n tá n ea .

♦ RAPIDEZ M E M A ( v j Se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiem po total que lleva viajar esa distancia. Rapidez medía

distanda total tiempo tota)

P O R EJEM PLO: Algunos autos inicialmente en reposo alcanzan los 100 Kmlh en 10 8, pero quizás otros lo hagan en 15 8 6 20s.

Para caracterizar que tan rápido cambia la velocidad de un móvil hacemos uso de la “ aceleración” . p or lo tanto:

IA ENCU J.ortcoiA 2012}

La ACELERACIÓN es una m agnitud vectorial que nos indica la rapidez con la cu al cam bia la velocidad de un m óvil

* Para el módulo de la aceleración: a=

av

=

V f-V ;

At

ACELERACIÓN M E D IA: (ám)

At

Consideremos los siguientes casos: ls

* Si la aceleración media es medida en un intervalo pequeño de tiempo, se llama aceleración instantánea o simplemente aceleración.

I)

* Si la rapidez del móvil aumenta, decimos que está acelerado y si disminuye, que está desacelerado.

2mls

7m/s

NOTA:

El auto cambia su rapidez (AV) en 5 mis en 1 s.

Cuando el m ovim iento rectilín eo es acelerado, la aceleración ¿ y la velocidad y tienen igual dirección y cuando es desacelerado, son opuestos. GRÁFICAMENTE:

m 5mi8

lm/s

El auto cambia su rapidez ( a V) en 4 m/s en 2 s. Notamos que en el ca so I el auto cambia más rápidamente su rapidez ya que emplea menor tiempo por ello definimos.

Movimiento acelerado V—aumenta

Movimiento desacelerado V— disminuye

\é <

O B S E R VA C I Ó N :

ImA

:o\

V0 Yr Para calcular el módulo de la diferencia de vectores a m//Vf

, se invierte la velocidad inicial, para luego usar el método del paralelogramo: V ,- V „

V„2 + V / +2VoVf Cos0

_ AV __ V f y o IUnidad: (mis3) a m= Lt At a : aceleración m edia Vf! V0 '•velocidad final e inicial respectivamente * Para los casos I y II: I)

m

(+ 7 )-(+ 2 ) i—

—

— _ (+ l)-(+ 5 )_ U) °m g

m + s? am s2

En ambos casos el signo (+ ) indica la dirección del vector aceleración, hacia la derecha:

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

{C M X E & M A .'X 'M G Z A 1*7 E D IC IO N E S K V M Ñ O g i Al examinar el m ovim iento, se aprecia que la describe un movimiento "circunferencial” , entonces: aceleración no nos da una información precisa de cómo recta ¡ son los cambios de velocidad en todo el trayecto, tan norm af sólo nos relaciona el estado inicial con el estado final. En consecuencia, para tener una mejor información, debemos de considerar tramos más pequeños e intervalos de tiempo muy pequeños (A t-> 0 ) y con ello tendremos: % rey Cuando Atj# 0 ; entonces VQ* * V

Donde y es la velocidad en el instante 2, luego: aceleración (¡instantánea ) Se lee: La aceleración instantánea. es igual a la derivada de la velocidad instantánea respecto del tiem po, pero:

A

\r V = —d r => a =

dt

' df dt dt

.

=i> a =

d2 dt

• Donde: p : radio de cu rvatu ra> * En ese instante, se trazan dos rectas (ratátShgencial y la recta normal), en ellas se ubicaiflapcplü ponentes rectangulares de la "aceleración instantánea” , a las ^ cuales se denomina: aceleración»tangencial (a r ) y aceleración norm al o cer&rtpeta ( a ^ ) . Estas componentes facilitan el análisis del movimiento. El rnódulíTde.^aceleración instantánea, es igual a:

La aceleración es la segunda d erivad a de la posición ( r ) con respecto a l tiempo. • En general, la dirección de la aceleración no se relaciona con la de V. Es posible que v y á sean paralelas, antiparalelas, perpendiculares entre sí o en cualquier otro ángulo relativo. La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cam bio instantáneo en la velocidad. • Como la velocidad cambia en la dirección en la cual la trayectoria se curva, la aceleración está siempre apuntado hacia la concavidad. OBSERVACIÓN: 1) Si un describe una trayectoria curva, su aceleración instantánea siempre apunta hacia la "concavidad” dé la trayectoria:

* Al examinar en nuestro alrededor, notamos una diversidad de movimientos y para poder estudiarlos, debemos conocer la ley que los gobierna (ley del movimiento), la cual se define conociendo la velocidad, aceleración y las condiciones en que se inició el estudio del movimiento.

E JE M P L O : Determinar la aceleración de una partícula para 2=2 s, conociendo que su posición en metros con respecto al tiempo en segundos, se da según la siguiente ley: r iii -* + 7 R E S O L U C IÓ N : * Primero calculemos la velocidad: ? ,« - § - « * - 1

* Ahora recién, se puede obtener la aceleración: dV a (0~ dt =12t Se pide: M O V IM IE N T O

(M JtJL) :

a

=12(2) = +24m/s2 R E C T IL ÍN E O

U N IF O R M E

Características: 2) Para un análisis más detallado de la aceleración instantánea en un movimiento curvo, se inscribe una "circunferencia” que sea tangente a la trayectoria en el pequeño tramo que se está analizando: Se puede considerar que en ese pequeño tramo, el móvil

* La velocidad permanece constante en magnitud y dirección. * En tiempos iguales se recorren distancias iguales. * La distancia recorrida es directamente proporcional

c al tiempo transcurrido

,1 m e t a .

P O R EJEMPLO:

v

V t

un joven que se encuentra en una plataforma, la cual avanza a velocidad constante, lanza una esfera en forma vertical con respecto a él. Para el jo v en en la p la ta form a :

Fórmula : d = distancia recorrida V = rapidez constante del movimiento

La esfera ha sido lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad ji y se encuentra sometida a la aceleración de la gravedad, por lo tanto describe un movimiento vertical de caída libre y al cabo de **t” segundos retoma a las manos del joven.

t = tiempo transcurrido

Para el observador en la vía:

♦ ECUACIÓN DE L A PO SICIÓ N E X FUNCIÓN DE L A VELOCIDAD T EL TIEJU’ O

La esfera, un instante antes de ser lanzado se encontraba sujetada por las manos del joven y éste se movía junto con en coche; es decir antes de lanzar la

En general, cuando la aceleración de una partícula es cero, la velocidad es una constante y el desplazamiento cambia linealmente con el tiempo.

esfera, presenta la misma velocidad ( y ) del coche. El joven le imprime una velocidad en la vertical (j¡) y al superponer ambos efectos, la esfera sale en forma inclinada y experimenta la aceleración de la gravedad, por lo tanto: describe un movimiento parabólico de caída libre y al cabo d e"t" segundos, retoma a las manos del joven. * D e lo descrito anteriorm ente, llegam os a la conclusión que, el m ovim iento descrito p o r un cuerpo depende del observador, la velocidad, la aceleración y en qué condiciones se dio origen a l m ovim iento (condiciones iniciales).

Hemos establecido en el presente capítulo que el movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia; en consecuencia: la posición de un cuerpo, su velocidad y aceleración también dependen del sistema de referencia que se elija.

Considere el movimiento de rotación de la Tierra al mismo tiempo que el de traslación alrededor del Sol. En la medianoche, la Tierra se traslada en la misma dirección en que rota; al mediodía, sucede lo contrario. En el primer caso, la velocidad de rotación se suma a la de traslación, y en el segundo caso, se resta. Veamos ahora un segundo ejemplo. Un barco se mueve a una velocidad de 30 k m (h hacia el este; paralelamente a la playa, una lancha de motor se mueve a su lado con la misma velocidad. La velocidad del barco con respecto a la lancha será de 0 km lh, pero la velocidad del barco con respecto a un observador en reposo, desde la playa, será de 30 kmlh al este. Para distintos sistemas de re ferencia, lancha y tierra,

E D IC IO X E 8 R U D IX O á i

149

habrá distintas opciones en cuanto al movimiento del barco; pero, ¿cuál es la correcta?

de referencia. Yf

Donde: A

: posición d e la p artícu la “ B f* con r e s p e c to a la partüjula “A ” . r BiA

efnós, del jtrlffn gu lo form ado i^oSém os dedu

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cualquiera de las doB; el principio de la relatividad del m ovim iento no tiene preferencia p or algún sistem a inercial en particular; p or eso, es n ecesario indicar de qué sistem a inercial se trata. Mientras nuestro barco y lancha se mueven como indicamos anteriormente, un pasajero trota sobre la cubierta del barco a 10 kmlh hada el este, con respecto al barco. ¿Cuál será su veloddad con respecto a la lancha? ¿Cuál será su veloddad en reladón con la playa? ¿A qué velocidad debería correr este pasajero, para que ésta fuese de cero, con respecto a tierra? Las respuestas son respectivamente: 10 kmlh hada el este, 40 kmlh hacia el este, y 30 kmih hacia el oeste. Supongamos ahora dos automóviles , A y B, separados por una distancia de 200 m en el momento en que se dirigen a su encuentro, con velocidades de 70kmlh hada el sur (auto A )y de 50 kmlh hada el norte (auto B), ambas con respecto a la superfide del suelo. En esas condidones, ¿cuál es la veloddad del auto A con respecto al auto B? ¿Cuál es la veloddad del auto B con respecto al auto A? Las mediciones realizadas, en este caso, para un lapso de pocos segundos, son (intente su respuesta y luego verifique:: veloddad del auto A, con respecto al auto B, 120 km/h hacia el sur, mientras que el auto B se mueve a 120 kmlh hada el norte, con respecto al auto A.

# •

nat Si al transcurrir el tiempo, los posición, podemos deducir: A r B /A = A r B D -A r *

rA

cambian de

=>

A*

B¡A : Velocidad de la p a rtícu la r'B" con respecto a la p a rtícu la “A ” ♦ Si al transcurrir el tiempo los móviles cambian de velocidad, podemos deducir: ¿V bia ~ÑVB ” ÑVj

LVBIA _ At

aVo

a V.

At

Lt

T R A N S F O R M A C IO N E S D E G A L IL E O

• a c e le r a c ió n d e la p a r t í c u l a “ B** con respecto a la p a rtícu la “A ” .

Consideremos dos partículas “ A 99 y “ B ” que se encmentiiffÉríjttiovimienco con respecto a un sistema de referencia fíje a la superficie terrestre.

V E L O C ID A D R E L A T IV A

a BiA

A

♦ Donde; r A : posición de “A ” r „ : posición de "B ”

* Ahora imaginemos que un observador se ubica sobre "A ” y para poder ubicar a "B ” se asocia un sistema

La velocidad relativa de “B ” respecto de “A ” como:

IÍ5S3 I S O BBS3

IA

/
EXi

2012]

E JE M PL O 1 :

3m/s

7 m ls Significa que **A” será considerado el nuevo sistema de referencia; es como si el móvil “A ” estuviera en reposo y observaría moverse al móvil "B ” con Vba • Gráficamente:

* En el esquema: — ccu n ión

N O TA;

^

^

a

a

Vmoto =Vcamión ~ Vmoto= —3l —7l

Va -V b= - ( V

b

-V a )

h

= ~ 10Í

E JE M P L O 2 :

Trayectoria relativa de “B ” respecto de "A”

OJO:

Significa (gue la moto observa al camión moverse con velocidad de 10 m/i V , acercarse hada éL X

~

—camión V m oto

/

Consideremos los siguientes casos: vÁ=2m¡8 >

La definición de velocidad relativa, también se puede aplicar para otras magnitudes físicas.

( B ) , 1v„=5mla

/r

Posición relativa de “B ” respecto de “A f f

i&w. - ' -------------------------------------------------— En este caso, la velocidad relativa de B respecto a A es ^

VBIA

=

A

VB-VA -(+ 5 Í)-(+ 2 Í)

^ v b /a

A

A

= +3imls

Aceleración relativa de “ B ” respecto de “A*

¡IN T E R P R E T A C IÓ N !

* Si «O» es considerado inmóvil:

El resultado de la velocidad relativa nos indica que respecto del atleta A en cada la el atleta B se le aleja 3m . E JE M P L O 3 : vA = 2 m / 8

* Si «O» fuera un sistema móvil o fijo :

(B )

vB= 5 m ¡8 < --------------

Vab V

— V ao a b

= [V

— V bo a

- V

o

) -

(V b -

V o )

* Suponiendo tres móviles A, B y C tienen sus velocidades respecto de un sistema referencial «0»\ entonces: V a b = V a c + Vcb V AB

=

Ahora la velocidad relativa de B respecto de A, será VBIA — v b — v a

= (-5 i)-(+ 2 i)

=> v b /a = ~7i (mis) Este resultado nos indica que respecto del atleta (A) en cada segundo el atleta (B) se le acerca 7m.

ó

(Va — V c ) + (V c — V b)

E JE M P L O 4 : V cA = VcB + V ba \ Ó IV cA — VcB —vAB

a A=3m/s2

* Para varios móviles : V AB

=

V ac

+

V cd + V d e

CASO A :

+

Ve f

+

V fg + Vgb

ciff=4m ¡s

[gCÜENrMZJ+JL'L'JTM* 1 A

1B1 i,® »

La aceleración B respecto de A sería :

ajg/A = a s - a a = f ^

CASO B:

í

- f +3¿ )

2

=> ob/a = +2iro/s Og=4ml8

lIH tH E X lS

K U K tÑ O M

MOVLVÍIEXTO D E UNA PARTÍCULA Por ahora sólo es necesario saber que una partícula está en movimiento cuando su posición cambie continuamente al transcurrir el tiempo. Z L |—trayectoria ra: posición inicial,

aA=3m ¡82 ición final. í tQ: instante inicial. En este caso, la aceleración del auto B respecto del auto A será calculada mediante el método del polígono a partir de

o bia

De la cual

Qb/a + a a = o b

instan

= aj? - a a

V E L O C ID A D M E

v ecto res su cesivos

Entonces, teniendo en cuenta que las aceleraciones a a y a s forman 90° entre sí, se construye el triángulo siguiente.

Considerando la trayectótttf curvilínea de una partícula, mostrada en la figura anterior, indicaremos su despl|^atniento entré las posiciones mostradas, con un vectory* denominado también cambio de posición, ral romo se muestra en la siguiente figura:

i

El módulo de la aceleración relativa de B respecto de A será a m = J t f T á 2

* Usando el álgebra vectorial, en el t r i á n g u l o sombreado, se tiene

S r-

y

’ t

rf

# i

/v

a AlB = 5w * /* 2

M O V IM IE N T O

■

L

.

+ Ar

(

"

rf

Y

a

* entonces:

E N 3 D IM E N S IO N E S La posición de una partícula en el espacio, se deñne por un vector au|í parte del origen de un sistema de coordenaíjtfy llega a dicha partícula. Este vector puede representarse de varias formas: Por ejemplo, para un sistema de coordenadas formado por tres ejes mutuamente perpendiculares, se usan tres coordenadas ubicadas en cada eje, las cuales definen la posición de la partícula; así del gráfico, se puede indipar: ,

r = (x ;y ;z )

* El cambio de posición (A r) se realiza en cierto intervalo de tiempo ((A t), donde: A

O•

Dos partículas pueden tener la misma trayectoria e igual cambio de posición pero se pueden diferenciar en la rapidez con que realizan dicho cambio de posición. Esto es una característica de cada cuerpo que nos permite distinguir sus movimientos. A la magnitud que mide la rapidez con la que una partícula cambia de posición, se le denomina velocidad. • Para cierto intervalo de tiempo: unidad:

m

* Donde: VI7t : velocidad media * Observar que la velocidad media tiene la misma dirección del cambio de posición f A r ) *

WBCín

E

VE LO C ID AD IX S T A N T Á N E A (V ) También podemos analizar los cambios de posición en intervalos de tiempo más pequeños; en estos casos, el v e cto r A r se v a h a c ie n d o m á s p e q u e ñ o y c a m b ia d e d irección ta l q u e : ry s e a ce r ca d e r0 .

A la vez que Ar cambia de dirección, también la VZ cambia su dirección, tal que ambos siempre mantienen la misma dirección. En el límite, cuando ry, está muy cerca de J/ , el vector ¿r y la \T¿ coinciden con la tangente al punto P, tal como se muestra en la figura: * Notar que dicha velocidad tangente indica un cambio de posición Ar en un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a cero (tal como un instante de tiempo Z

L \ FJYCM'JWUVLt 2012}

Aplicando el álgebra vectorial, se tendrá: Vf = Vc + AV De donde: ¿IV = V ^-V 0 Hemos visto que, para precisar el movimiento mecánico, es decir: conocer más detalles acerca de las características, hubo necesidad de definir la velocidad. Ahora hay necesidad de conocer mucho más del movimiento, ya que esta misma velocidad puede cambiar y podemos encontrar el hecho de que, dos partículas tengan el mismo cambio de velocidad; sin embargo, la diferencia puede hallarse en la rapidez con la que se realiza estos cambios. Entonces nos encontramos con otra característica de los cuerpos que posibilita distinguir aun más sus movimientos. A la magnitud que mide la rapidez con la que una partícula cambia de velocidad, se le denomina aceleración. Para cierto intervalo de tiempo: unidad: —| 8*

recta tangente Donde:

a : es la aceleración media.

Observar que la aceleración media tiene la misma dirección del cambio de velocidad. (AV)

A C E L E R A C IÓ N IN S T A N T Á N E A (a) Si consideramos los cambios de velocidad en intervalos de tiempo más pequeños (dt), entonces la velocidad final estará cada vez más próxima a la velocidad inicial. * Usando la definición de la velocidad media, esta nueva velocidad tangente se puede definir matemáticamente como:

V=velocidad instantánea La expresión anterior, es un operador matemático conocido como "la derivada"; en este caso: "de la posición respecto del tiempo".

En el límite, cuando Vf está muy cerca de 7T0 , obtenemos un cambio de velocidad y una aceleración en un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a cero. La aceleración en un intervalo de tiempo cercano a cero, se denomina aceleración instantánea. Usando la definición de aceleración media, la aceleración instantánea se puede expresar matemáticamente como:

A C E L E R A C IÓ N M E D IA En el movimiento curvilíneo, la velocidad cambia generalmente en módulo y en dirección.

ÍLa aceleración es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo!

El módulo de la velocidad cambia debido a que su valor aumenta o disminuye.

Observar que la aceleración tiene la dirección del

La dirección de la velocidad cambia debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria. En la figura se indica la velocidad en los instantes t0y t¡. El cambio de velocidad entre estos dos instantes está indicado por el vector AV.

cambio de velocidad (dV )
E D IC IO N E S

en algunos puntos de su trayectoria:

R U B IÑ O S i

donde “ V ” es el módulo de la velocidad (rapidez) u? es un vector unitario en la dirección de la velocidad. Entonces, la aceleración será: ** d V d /\j* i ■* / a . d V du*p / i a = —— = — (VuT) => a = (u T) —- + ~ ~ f - ( V ) ..t.(g)) at at at at Si la trayectoria fuese una recta, el vector üT sería du constante y por lo tanto: - ~ - = 0

COMPONENTES NORJLU. T TANGENCIAL D E L A ACELERACIÓN Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva. Por simplicidad suponemos que la curva es plana, pero los resultados que obtengamos serán válidos para el movimiento a lo largo de cualquier curva. En el instante de tiempo la partícula se encuentra en la posición “A ” con velocidad y y aceleración . Como la aceleración está dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria, podemos descomponerla: en una componente tangente a la trayectoria, (en el punto analizado), denominada aceleración tangencial (áT) y una componente perpendicular a la curva en dicho punto (componente normal), denominada aceleración normal (áN). Cada una de estas componentes, tiene un significado físico bien definido: • La aceleración tangencial está relacionada con el cambio en el módulo de la velocidad. • La aceleración normal está relacionada con el cambio en la dirección de la velocidad. Analicemos un poco más acerca de las componentes de la aceleración; tracemos el vector unitario üT tangente a Ja^curva, tal como muestra la siguiente gráfica: La velocidad se 'puede expresar como: y = y ^

Pero, cuando la trayectoria esjámva, la'dirección de úT, varía a lo largo de la curv|| y por lo tan to^ ja de ser constante y

dü. dt

&

será diferente de ce

Para proseguir, debemos calcular^xjfly /d f; para esto introduzcamos el vector unitario 4 jv normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavór^fjsando el ángulo “ ¿ ” que hace la tangente a la ciírva en el punto "A ” con el eje x >s^miéíe escribir: U^U^i ú*= ú, eos

+ ó^sen ( # + 1 j

=$ üN= - úx8en¿+ üy eos 4 A s í:

duT . .d# A ,d+ — - = - urserié -r- + uveos é —dt dt dt 9 du? ~ d+ — ——un —— dt N dt

(I)

Esto indica que düT/dt tiene la dirección de üN , por lo tanto: es normal o perpendicular a la curva. Además:

r— rapidez

fty= y . A i . ( ¡ i ) dt dt ds ds Donde “ d s” es el pequeño arco a lo largo del cual se mueve la partícula en el intervalo de tiempo “dt ” Las normales a la curva en los puntos A y A1se intersectan en el punto C, llamado centro de curvatura. La distancia del centro de curvatura a cualquier punto del pequeño arco (ds) se considera constante y se denomina radio de curvatura (p ) . ,

Según esto: d s= rd ¿, entonces: A A -L ds p Reemplazando en (II) , tenemos:

X

Luego, en (I): AA-YL dt p

d#

V

Im tjts iA 2012] MBSa 15* Finalmente, introduciendo este último resultado en solo sistema de referencia dado. Sin embargo, hay casos en los que es más razonable (a veces es necesario) examinar la expresión (p), obtenemos: a el movimiento del punto (o del cuerpo) simultáneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales * El prim er término, es un vector tangente a la curva se considera convencionalmente móvil y el otro se mueve y es proporcional al cambio del módulo de la velocidad, de un modo determinado respecto del primero. respecto al tiempo; corresponde a la aceleración El movimiento que experimenta el punto (o el cuerpo) se llama movimiento compuesto. tangencial ( ) cuyo módulo, es:

P O R EJEM PLO : iZ * El segundo término, es un vector normal a la curva y corresponde a la aceleración normal (a^). Está asociado al cambio en la dirección de la velocidad

Y

El módulo de la aceleración en el punto A es, entonces:

OBSERVACIONES Y PR O P IE D A D E S ;

(5?) Si el movimiento curvilíneo es uniforme, esto es: si el módulo de la velocidad permanece constante (rapidez constante), se tiene que a

no hay T dt

Se puede considerar a una persona que camina sobre una plataforma que traslada por los rieles de una villa de un tren, este movimiento se compone del movimiento de traslación de la persona respecto de la plataforma y el movimiento conjunto con la plataforma respecto de los rieles (sistema de referencia inmóvil). De este modo el movimiento compuesto de la persona se descompone en dos movimientos más simples y más fáciles de estudiar. Del gráfico : r s = t a + t b

/a

■ Donde :

aceleración tangencial.

r a : posición de A respecto del riel.

© Si el movimiento es rectilíneo, esto es, la dirección de la velocidad no cambia, el radio de curvatura es

r s- posición de B respecto de la plataforma. posición de B respecto de A.

ra /A ;

infinito (p-+a>); por lo tanto: a - V* _ q t no hay p aceleración normal.

Si: y = f(x )t en ton ces:

Luego

retA = r s - r A

(r)

El m ovim iento de B respecto de A se llama m ovim iento relativo ; luego la primera derivada de y respecto del tiempo nos define la velocidad relativa ^4 de B respecto de A ( v b /a )■' VBÍA - V B - V A .............................. ( P )

Finalmente la derivada de p respecto del tiempo nos define la aceleración relativa de B respecto de Afas/A)' aB¡A—OB—aA SISTE M A S D E REFERENCIA EVEREIAIJES

MOVIMIENTO MECÁNICO RELATIVO T R ID IM E N S IO N A L El movimiento mecánico realizado por un cuerpo es relativo porque depende del sistema de referencia. Debemos de señalar que hasta ahora hemos estudiado el movimiento de un punto o de un cuerpo respecto de un

La solución que dio la mecánica de Newton al problema de los sistemas de referencia (SR) se basa en el descubrimiento que había hecho antes flalilen (1564 - 1642), de que no es posible distinguir entre los acontecimientos físicos que ocurren en un SR el reposo o en cualquier otro SR con movimiento rectilíneo y uniforme (MRUi. Tales SR (en reposo o con movimiento rectilíneoy uniforme respecto de un SR en reposoI se llaman sistemas de referencia inereíales (SRI) Por ejemplo , las experiencias vividas al montar en

IRS1

cualquier tipo de vehículo nos enseñan que mientras éste no cambie su velocidad, dentro todo ocurre igual que si el vehículo estuviera parado.

V

V

El pasajero de un vehículo con MRU puede, por ejemplo, lanzar al aire una pelota. Tal como se muestra , respecto del vehículo. [Sistem a de referencia in e r c ia l, el cu al es en donde el cuerpo rígido (desde donde se ubica el observador) está en r e p o s o o s e e n c u e n tr a moviéndose con MRU] la pelota realiza un movimiento vertical y acelerado. El pasajero se considera legítimamente en reposo (respecto de su suelo, el suelo de su vehículo) y plantea que es el suelo exterior lo que se mueve.

1BB nasa

EDICIONES RIJHIXO$\

PM1NC1PMO DE MELATIVEDAD DE GAJLMLEO Las leyes fundamentales de la mecánica clásica (concretamente los principios de la mecánica de Newton) se escriben igual en cualquier sistema de referencia inercial (SR1) y su aplicación conduce a descripciones de cada m ovim iento d iferen tes y ajustadas al movimiento real en cadaSRl. El principio de relatividad de G alileo da una respuesta al problema de los SR, al afirmar que se pueden aplicar las leyes de la mecánica de Newton en cualquier SRI. ¿Qué ocurre, en el ejemplo anterior, si el vehículo acelera? Desd^el SRI exterior las leyes de Newton prerán para la pelota el mismo movimiento parabólico, mientras el vehículo, acelerado, la adelantará o quedará retrasado respecto de ella (animación de la izquierda) En cambio, en el SR interior, ligado al vehículo (acelerado y, por tanto, no inercial), las leyes prevén que la pelota, lanzada en dirección vertical y ascendente (y sometida a una fuerza de atracción de la Tierra, vertical y descendente) tenga un movimiento rectilíneo, vertical y acelerado. Pero, lo que realmente ocurre es que la pelota describe una trayectoria curva.

Ayuda a entender por qué ocurre esto analizar el movimiento de la pelota desjigél punto de vista de un Bistemafde. referencia exterior, ligado al suelo.'Según este punto de vista, la pelota inicia su movimiento con una velocidad igual a la suma de la velocidad vertical que le comunica la mano y la velocidad horizontal del vehículo. Por tanto, describe un movimiento parabólico con la misma velocidad horizontal que el vehículo y , tal como se muestra , está siempre encima de la mano que la lanzó.

Esto confirma que en el vehículo (no inercial) no son aplicables las leyes de la mecánica de Newton. El principio de relatividad de Galileo y, por tanto, la solución que dio la mecánica de Newton al problema de los sistemas de referencia, únicamente es aplicable en SRI.

Como consecuencia de estos hechos, la Mecánica Clásica formuló el siguiente principio:

En este sistema de referencia , el observador e s tá m o v ié n d o s e aceleradam ente respecto de otro considerado inercial

S IS T E M A D E REFERENCIA NO INERCIAL (S R I)

PROBLEM A 1: D eterm inar el recorrido y la distancia de un auto cuando da media vuelta sobre una pista circular de 250 m de diámetro. A)125 m y 125 m gg)I25;r y 250* C) 125 y 1 2 g £ ^ ¡D ) 125 * y 250 R E S O L l^CIÓN: * Esquematizando: * La trayectoria que deamfieelauto cuando da media vuelfcatnla pista, esta línea curvatjfJBIdSntinua AB. Luego, el recorj¿daes la longitud de esa curva que es una semicircunferencia de 100 m de radio, luego

« = í( -» e= xR = x(125) -> e=125x * Por otro lado la distancia es la longitud de la recta desde **A” hasta “ B ” , entonces: d =diámetro => d -2 5 0 m RPTA : **D” PROBLEM A 2: Un auto recorre 3 km hacia el norte empleando 2 h t luego gira hacia el este y recorre 4 km tardando 3 h, determ inar el módulo de la velocidad media o rapidez media: A) 2 kmih B) 1 kmih C) 3 kmíh D) 1,5 kmih R E S O L U C IÓ N : * Por el teorema de Pitágoras: |¿| = 3 2+ 4 I -> \d\=5km * La variación de tiempo: bt = 2H + 3H = 5H

Ll O* •

final

P R O B L E M A 4:

OBSERVA C IÓ N :

En 2 a una partícula se desplaza desde el punto (2; 1; 1) hasta (8; 5; -3 )} determinar su velocidad media.

Del problema 5, se puede deducir que el resultado es independiente de la forma de la trayectoria, es decir: 2 v>—i v, + v. rapidez promedio

.

.

A

A

A

-

A) i - j + 2k A

A

A

A

B) 2 ¡ ~ j + k

A

« A

_

C) 3 i+ 2 j~ 2 k i n ic io

E x c t c j . om ’E D IA 2 0 1 2 }

A *

A

A

D) i + j - k

R E S O L U C IÓ N :

RPTA : "D ” * Luego:

SH =lkmlH

^

PROBLEM A 6

RPTA : “B ” PR O B LE M A 3: Un bote navega en aguas tranquilas avanzando en la dirección norte 15 m seguidamente en la dirección oeste 30 m y finalmente en la dirección norte 25 m . Determine el recorrido y la distancia que avanzó el bote. A) 50 m y 50 m B) 70 m y 50 m C) 50 m y 70 m D) 100 m y 50 m R E SO L U CIÓ N : En primer lugar interpretamos el movimiento que describe el bote y para ello debemos de colocar un N

sistema cardinal sirve como referencia.

que nos

(8;5;-3) X * Entonces: d(8; 5; - 3 ) - (2; 1; 1) = (6; 4; - 4) * Luego: d (6 ;4 ;- 4 ) = (3 ; 2 ;-2 ) m At 2 v l= 3 i+ 2 j-2 k RPTA: “ C P R O B L E M A 5: Un auto se desplaza de A a B a una velocidad de 40 Kmlh y regresa de “5 " a “A ” con velocidad de 3 0 Km! h. ¿Cuál es la velocidad promedio de todo el viaje? A) 35 Kmlh i

* Nos piden: e¿g y d ¿3

99

B )70K m lhi

C) 35,3 Kmlh i D) 34,3 Kmlh i R E S O L U C IÓ N :

* Cálculo del “e m ” e AB = g A i f + ?A flV + e NB

-> €¿3 = 15+30 + 25 -> e ¿3=70x1

* Esbozando el gráfico de su movimiento y considerando que

40kmlH

M

A

l

\15m

N

A h

O * De la figura se deduce que: -+d¿B=y]30*+40 b v

2(50)(V) 60= V+50 p vJ+v£ -+ 60V + 3000 = 100 V - + V = 75 kmlh

y

^

P R O B L E M A 7:

30m\

— -----1 l;

* Considerando la observación del problema anterior, se obtendrá:

RPTA : “D ”

AB

I

Sobre una pista rectilínea se encuentran dos puntos A y B, separados **e*9Km. Un auto va de A hasta B , con una velocidad constante de 50 Km lh; al llegar a B , inmediatamente regresa con velocidad constante V. Entonces, para que la rapidez promedio (considerando la ida y vuelta) sea de 60 Kmlh, el valor de V , en Kmlh, debe ser; A) 45 B) 55 C )65 D)75 R E S O L U C IÓ N : 50kmlH

30kmlH * La velocidad promedio estará dado por:

-*d¿3=50m

e = ( 2 x R )x 10 = 2 x x 60* 10=1200*

25m

M" 15m A mm

Un joven tarda 31,4 minutos en dar 10 vueltas a una pista circular de radio 60 m. La magnitud de su velocidad promedio fue en mis: A) 10 B) 8 C )1 D) 2 R E S O L U C IÓ N : * Según el enunciado, el espacio recorrido en 10 vueltas y radio 60 m es:

v

y

- ( e i d * + e em*ita íj r P

1 t

e+ e

vuelta i. 40

RPTA : “B 99

30

. : i = 3 4 ,3 i

L ongitud de una vuelta

* Además que el tiempo total que se empleo fije de 31,4 m in -3 1 ,4 x

[ t X Y K . , £ , lT i< v l 60 a e 1200x 1200(3,14) -►V = - = p t 31,4 x 60 31,4 x 60 ~*Vp = 2 mía RPTA : “D ” P R O B LE M A 8 : Con una rapidez constante de 5 mí s un atleta recorre 200 m , para luego desviarse su trayecto en 60° y recorre J00 m. Determinar su rapidez media. A) 7 mía B) 4"7 C)

is r m M

A) 10 i +10 j

E D IC IO N E S R U B IN O S l es cero.

B) 25 i -1 0 j

III) En el punto 6 la componente Vg es cero.

C) lOi +15j D) 25 i +10 j R E S O L U C IÓ N : * En el gráfico se muestra el desplazamiento S de la partícula: B

* Trayectqj&j* de la partícula en el plano vertical.

m 'L r r

z

IV) La velocidad media en el intervalo de tiempo correspondiente a los puntos 4 y 7 tienen la dirección del eje Y positivo. A) W F V B) FVFV C) V F W D) F V W E)JFFVy R E SO L u g iÓ N :

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo un esquema: lO km

* Se verifica:

5m/$

d=O Pi + PCj.......................... (I) * Se deduce que la componente 200

* Primero hallemos el tiempo empleado: V= 5 m ¡8 =

€ -> r e c o r r id o to ta l

200m+100m

.4

* Luego: O P=O M +MP t = 60s

* Ahora calculemos la distancia (módulo del desplazamiento), por la ‘ ‘ley de cosenos” : d= ¡200*+Í002 - 2 ( 2 0 0 ) ( 1 0 0 ) Co8l2

- i -+d=100j7

* Finalmente, la rapidez media, será: d lOOyJ7 „ 5J7 mis m+dia Wfjifl w

vertical de AB es B C *5yf3, 'A además AM =PC=10 Km. * x PC = 10 km

^

O P = 10K m + 15K m OP = 25 km * En (I): d = (25i + 10j)km RPTA : “D ” P R O B L E M A 10: El siguiente gráfico muestra la trayectoria de una partícula en un plano vertical. El intervalo de tiem po entre dos puntos consecutivos es de 1 8.

RPTA: “D tt

3 es el desplazamiento y t el tiempo

Una partícula que parte del

p u n to O d e scrib e la trayectoñéÍTTiostrada

empleado. La v e lo cid a d m ed ia tiene la m ism a dirección que el desplazamiento. Entre los puntos 4 y 7 el d esp lazam ien to tiene dirección vertical (eje Y).

en la figura. £1 d e s p la z a m ie n t o rea liza d o p o r la partícula h a s ta el

y

C

es: r

1120

°

543km

II) (VERDADERO): En el punto 3 la velocidad sólo tiene la componente en la dirección del eje X. En la dirección del eje Y: Vy = 0 III) (VERDADERO): En el punto 6 la velocidad sólo tiene la componente Vy en la dirección del eje Y. En la dirección del eje X: Vx = 0 TV) (VERDADERO): La velocidad media está definida por: Vm= y

P R O B L E M A 9:

p u n to

I) (FALSO): La velocidad de la partícula no es constante, pues la velocidad es tangente a la trayectoria y co m o vem os varía en cada instante.

Determ ine la com binación de proposiciones, verdaderas (V) y falsas (F) en el orden correspondiente I) La velocidad de la partícula es constante.

RPTA: “D ” P R O B L E M A 1 1: Lea con detenimiento las siguientes proposiciones:

/)N o es posible describir el movimiento de una partícula sin un U) En el punto 3 la componente Vy sistema de referencia.

\ F w s tr a A W El módulo de la velocidad media es el cociente de la longitud recorrida entre el tiempo empleado para recorrerla. 727) El módulo de la aceleración media es el cambio de la rapidez entre el intervalo de tiempo empleado para el cambio. ¿Cuál (es) de las proposiciones enunciadas son verdaderas? A) Sólo I B) Sólo II O S ó lo III D) I y III E) II y III R E S O L U CIÓ N : I) Para describir el movimiento de una partícula siempre es necesario un sistema de referencia

WSÜ1B8 IffiS A jS ó l o I

B) Sólo II

DJ Sólo l y II

Ej Sólo II y IV

ru

C) S ó lo

RESOLUCIÓNi

v ectores

Si la velocidad de un cuerpo cambia con ei tiempo, decim os que el cuerpo tiene una aceleración. Así

H a l la r e l v e c t o r v e l o c i d a d m e d ia

c o m o la velocidad describe la tasa del c a m b io de p osición c o n el tiem po, la aceleración describe la tasa del cam bio de la velocidad con el tiempo. En consecuencia la aceleración no nos Índica el sentido dei movimiento del cuerpo, pero si nos indica si el m ovim ien to es a ce le ra d o o desacelerado. II) F A L S O :

La rapidez media, sin embargo, no es la m agnitud d e la v e lo cid a d m edia, por ejem plo en una carrera de natación de ¡OOm un nadador estableció el récord en 4 7 ,7 4 » su rapidez m edia fue *

W La velocidad media es el cociente del desplazam iento entre el intervalo de tiem po ................ (VERDADERA).

At

Sin embargo com o nadó dos vueltas en una alberca de 50m, terminó en el punto donde partió, con un desplazamiento total de cero, y una velocidad media de cero.

PROBLEMA 12 t Indique las proposiciones verdaderas (V) respecto de las cantidades cinemáticas. I) La aceleración es un vector c,ue indica el sentido del movimiento de una partícula. II) La rapidez media es el m ódulo de la velocidad media en un intervalo de tiempo. Ul) La rapidez de una partícula es el módulo de la velocidad instantánea

m a g n it u d e s

p o s ic io n e s ,

si

su

24l0ml8.

A) 6i - 2j B)

C) 6Í+ 2¡j

2 i + Q/

D ) 3 i - j E) 3i+ 2¡j R E S O L U C IÓ N : * De acuerdo al concepto de velocidad media. r3=(9i +3j) ; r1 = f3 i+ j)m m

(I)

At

* Además: m

2 -J lÓ =

At

; d a to:

46*+2*

Vm\=2yfíd

A t=

At

* Reemplazando en la ecuación (I) :

III) VERDADERO:

La rapidez es una cantidad escalar definido c o m o el m ó d u lo d e la v elocid a d Instantánea.

Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) La velocidad media es un vector paralelo al vector desplazamiento.

III) La aceleración media es el cambio de la velocidad entre el intervalo de tiempo. (F A L S A )

eB ta s

6i + 2 j

PRO BLEM A 13 : Vm (1

en tre

.

RPTA / étC”

_|Ar|

r¡=(3¡ + j)m y rs=(9i + 3 j) m .

!) FALSO:

lOOm ---------- « 2 ,1 3 9 m a 46,76a


H ESCJrj.orentA 2012} P R O B L E M A 14 : La posición inicial y final de una partícula esta expresado por los

U) La rapidez media es igual al módulo de la velocidad instantánea. Ul) La velocidad instantánea es un vector paralelo a la aceleración instantánea. A) W V B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF R E S O L U C IÓ N : I) Con lo señalado, en el problema 11, esta proposición, será VERDADERA.

RPTA: “ C f*

PROBLEMA 70

/

Sobre cantidades cinemáticas, indique la veracid ad (V ) o falsedad (F ) d e las siguientes proposiciones: I) La v e lo cid a d m edia es un valor representativo entre una posición inicial y una final y que siempre coincide con ia velocidad en cada instante de tiempo. II) La rapidez m edia es m ód u lo d e la velocidad media. IU) La aceleración media y la aceleración instantánea pueden ser iguales en el MRUV A j VFV

Bj F V F

C jF W

D) FFV

E) FFF

RESOLUCIÓN/ I) F a lso : La velocidad m edia está referida a dos puntos * inicial y final - de un Intervalo de tiempo y es un veclor que se dirige de la posición inicial a la final y siempre coin d dc con ei vector desplazamiento. Final

II) La rapidez media es ei m ódulo de ia velocidad media, y no de la instantánea ... (FALSA). III) La velocidad instantánea siempre es

tangente a la trayectoria, mientras que la aceleración instantánea siempre se dirige a la parte cóncava de la trayectoria... (FALSA).

RPTA : “B ”

La rapidez media, no es el m ódulo de la velocidad mccfla, podemos citar un ejemplo, un joven parte d e su casa a la tienda e

B is a r .i* »

[CX N E N LN 'FM CJi. inmediatamente retoma, la rapidez media esta dado com o el espacio recorrido total entre el tiem po. Sin em b a rg o su desplazam iento es cero, por lo que su velocidad media es cero.

• La partícula movimiento como:

RPTA r “B "

PR O B LE M A 1 5 :

v, _L _V2

velocid a d v elocid a d in icia l fin a l

(r Vj

in sta n te in icia l

III) F a lso :

_ Vr - y o ^AV^VJ -V f AT AT AT * Grafícando:

x=5t* + 20t * En t= 3 s: x ts =5 x 3* + 20 X 3=105 je,, =105 m * En t= 4 s: x {4=5 x 4* + 2 0 x 4=160 x t4=160 m * *C = *<« " = 160 ~ 105 =55i mis " t4- t 3 4 -3 RPTA : ”D ” PR O B LE M A 1 6 :

ódulo es 3 m¡8. Un V¡ cuyo segundo más tahlé su velocidad es i.

V2» vector que es perpendicular a Vj y cuyo módulo es de 4 mía. El módulo y dirección (el ángulo con respecto a Vj) de la aceleración media (en mis2) es: A) 7, are sen —IB)5, are sen

(!)

C)6,arc sen^—J D)5, are sen

(!) (!)

AV

(I)

A l “C"

Ai

Pr

o blem a

x = - 3 t + 4t2. •

•

•

é

Por Teorema de Pitágoras: ]a V|=5 m/s 4 * También: sena=senO=— 5 — 1a V| 5 _ , 2 Luego: a m= — = y = 5 mis • Como vemos en la ecuación " / ” la dirección de la aceleración media es la misma que la del cambio de velocidad. * Entonces: a = are sen

En un ciertoriBSCante la velocidad de una DtiKncula icula está descrita por

R E S O L U C IÓ N :

La accleradóptm edfa está definida com o el cam bio dola^éloctd& d instantánea en cierto intervafrfíe tiempo, divtfB o entre dicho tateívalo, esto es:

La posición deáínírpartícula que se mueve a lotefgo del eje X está dada en funclátrael tiempo por

* La posición de la partícula está descrito por:

(!)

un

* Se pide:

Si la posición " x ” de una partícula es descrita por la relación x=5t*+ 201, donde “x ” esta en m y “ 2 ” en segundos, entonces su velocidad media entre los instantes 2=3 s y 2 =4 s, en m/st es: A) 320 B) 160 C) 95 D) 55 E) 16 R E S O L U C IÓ N :

_________________________________________________________

realiza

E D IC IO N E S RU BIN O S\ dividido por A i .

in sta n te fin a l

III) Verdadero lina de las características del MRUV la aceleración se m antiene con stan te y adem ás la a e e le ra ción m edia y la acelera ción instantánea son iguales y constantes.

i b

Su velocidad en m/s en el instante t = 2 s t e s entonces: A)

B)13i

C)10i

R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que la velocidad en un instante cualquiera (velocidad instantánea), está dado por: dx d (-3 t + 4t2) = -3 + 3 2 V f0

dt

dt

V(t) = - 3 + 8t * Se pide para 2=2s, luego: %t =2*i= - 3+8(2) =13 m/s

(!)

A

-+ Vfta¡29)=13i mis

RPTA: “D ”

PROBLEMA 17

por Ai. II) La aceleración media en un intervalo de tiempo Ai es igual a la velocidad media en ese intervalo di\1dida por A/ • B lF F

C )V F

RPTA : "B ”

PROBLEM A 19 :

/

Con respecto a las cantidades cinemáticas, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) La velocidad media en un intervalo de tiem p o A/ e s Igual a la diferen cia de vectores posición en ese Intervalo dividida

Al W

D )-13i

Di FV

RESOLUCIÓNI U) Verdadero: La velocidad media para un intervalo de tiempo Ai está definido com o la diferencia de v e cto re s p osición en e se Intervalo

Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación: x= 4 L 2+4L+1 (“je” en metros y “ L ” en segundos). Determinar la posición “ je” del móvil (en m) cuando su velocidad es 8 m/s. A )0 B) 4 C )3 D)9 R E S O L U C IÓ N : * En este caso la variable “ L ” representa al tiempo, luego:

v '* Pero debemos hallar que valor de *,L 9\ la velocidad es 8 m is, entonces: V(l,= 8

_ j

8L+4 = 8

* Finalmente, se pide:

* El móvil pasará por el origen, cuando: ...... rWB0 -> t 3 - t 2+ t - 1—0 - > ( t - l )( t 2+ l)= 0 -> 2 - 2 = 0

-li-5 i-3 Í= -9 i

RPTA: “D ”

2

* Finalmente hallemos la posición deseada para L= —, considerando que: x fLi=4Ls+ 4 L + l =4m

-*x

rí e o m (hacia la izquierda) por cada 1 a que transcurre.

PRO BLEM A SI :

*

*

dV Vm= ~ = 3 t 2 - 2f+ l y afl)= dt . _ _ d (3t2 - 2t+ l) _ ^ „ m---------- dt---------- 6 t - 2 4 Se pide:

# %

#

60“/'--'.' «A A

RPTA : “B ”

4 Ahora:

Un auto tarda 3 a para viajar de A hacia B, en el punto A la rapidez es 2 mis y en el punto “ B ” 5 m/s, indicar el módulo de la aceleración media en el recorrido AB. «

2 = 2s

a u = w ^ 6 (1 )" 2 = 4 mi** RPTA: “ C”

«

PR O B LE M A SO :

PR O B LE M A S3 :

Un cuerpo se mueve sobre el eje i de tal manera que su posición varía

En el plano, una partícula se mueve

%

según: x = t - t 2 (unidades en el SJ.) Determine: I) La velocidad en el instante t = l 8 y 2=3 8 II) La velocidad media durante el intervalo t e [Ja; 3a]

A ) 2 s¡7 m i»2 B )

di

m/s2 C ) J l 9

m is 2

determ inar el módulo de la

D )y [Í 7 m is2 E )2 > [5 m is2

H E S O L U C IÓ N : * Invertimos , para determinar

D )~ m/s2 2 R E S O L U C IÓ N : 4 La velocidad, será:

D )-9 i

dr V(t)- —r - ( - sent; 2 cost) di 4 Luego la aceleración, será:

V -1 -2 Í

— a (tj=

velocidad instantánea sobre el eje |VA - VB|=^22+5*+2(2) (5)Coal2(T

•

* Se pide: |0 J =

vA-v¡

4l9

At

4 Para t e [2a; 3s\~*Dt = 2 s

r0 = *, =0 rf = Xa - - 6 m

d = r f - r0= - 6m i d esp la za m ien to

\ r = d i .= - 3 — (i) m 2 8 4 Este valor indica que, desde 2=1 8 hasta 2=3 a, el cuerpo recorre 3

4 Para 2 = —:

2

2

.2 m/s

RPTA ; "B ” PROBLEM A SS:

A2

dV = ( - cos 2; - 2 s ent) dt 4

En 2=2 a: V .= - 2 — ...(va h ada- x ) 8 En2=3s: Vs= - 5 — ...¿vahada-x) * 77) Cálculo de velocidad media:

B ) j3 m/s2 C)y¡2 m/s2

* Por la ley de Cosenos:

I) Cálculo de la velocidad:

X

aceleración para: t —^ s .

Va - V b|, luego:

E indica la suma de los 3 resultados. A)2i B ) 2 Í - j C ) - 2 i R E S O L U C IÓ N :

fiégún la ley: rft)= ( cost; 2sent>,

La posición que ocupa un móvil se describe según la siguiente ley: r w = t3 - t2 + 2 - J ; donde " r ” está en metros y " 2 ” en segundos, determ ine el módulo de la aceleración en el instante en que el móvil pasa por el origen. A) 2 m/s* A) 3 m/s* C) 4 m/s* D) 6 m/s2 R E S O L U C IÓ N :

5)|

t

RPTA : “A ”

PROBLEMA RE

/

Halle el desplazamiento (en m) de una partícula que se mueve sobre el plano mostrado, desde el punto A hasta el punto medio del segmento BC. Y(mh

A ) 8i - 4 j

8

B )4 ¡~ 8 j

C)9i+y

.

D )-8 i +4j E ) - 4¡ + 5 j

\ 1

«A

20 X(m)

¡C g /V E y £ m € /t

E M C IO X E S Iíllt l\ O S \

MI

RESOLUCIÓN*

PROBLEM A 2 6 :

Y(m )

a = k V ¡ ■=2 m !» e g / aeg

Una partícula se mueve en el plano XY a partir del instante t= 0. El vector posición r de dicha partícula en cualquier instante t> 0 está dado

8

10 X (m ) El punto m edio P de la recta entre dos puntos C y B está dado com o la semisuma de dichos puntos cartesianos.

Finalmente el vector desplazamiento del punto 4 al punto mecflo del segmento CB, es decir en/* es:

d = P -A =>d = (2 ;5 )-(10;l) d - ( -8:4) = -8¡ + 4j

RPTA * “R "

PR O B LE M A 2 5 : Determine el módulo de la aceleración media , cuando un auto se pasea con rapidez constante 2 mfa, dando media vuelta sobre una pista circular de 50 m de radio. A 25x . 2 B )^ m ¡s 2 A)— -m¡a £

por r = a ti + bt2j donde a y 6 son constantes positivas; ¡ t j son vectores unitarios a lo largo de los ejes X , Y respectivamente. La gráfica que m ejor muestra la trayectoria de la partícula es:

R E S O L U C IÓ N : * La posición de la partícula está dada por: r = ati+bt2j= (a t, bt2) t t — > x = at ; y - b t 2 * Luego tabulando y grafícando se tiene: (t^O )

* Esquematizando las velocidades al inicio y al final: ♦ Se aprecia, que: Vr - V 0= - 2 j - 2 j =4

RPTA : “D ” -2jm¡8

• Ahora determinemos el tiempo empleado en el recorrido de media Mjelta:

t=« m =25xt V

2

2

2

* Finalmente, se pide: Vt ~ V°

* mía2 25 x RPTA: "D ”

* El vector velocidad es tangente a la trayectoria: V=d a/dt * Luego como F tiene dirección constante, el ángulo de F y V cambia con el tiempo. RPTA : “E ” PRO BLEM A 29 :

D) mis2 C) — mfa2 10 25x R E S O L U C IÓ N :

V ,-V 0= - 4 j - >

* Lo cual se puede interpretar como que la velocidad cambia 2 mis en cada segundo. RPTA : “B ” PROBLEM A 28 : Un cuerpo se desplaza en una trayectoria no rectilínea bajo la acción de una fuerza F de dirección constante. E n gaces él ángulo entre la fuerza m y la velocidad V del cuerpo es: £ A)0° B) 90° C¡}J80° D) Cualquier valor, pef& éste se mantiene constanífjt r ’ E) Cualquier valérpero que cam­ bia con el tiempSÍ R E S O L U C IÓ N :

PROBLEM A 2 7 : La expresión 2 m¡ss significa que: A) El m óvil en cada segundo avanza 2 m. B) El móvil cambia au velocidad en 2 mis. C) El móvil avanza 2 m mas cada segundo respecto del segundo anterior. D) La aceleración del móvil cam­ bia cada 2 m. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. R E S O L U C IÓ N : * La definición de aceleración es:

En la figura se muestra (vista desde arriba) la trayectoria plana de una partícula, con velocidad de magnitud constante. En cual de los cuatro puntos señalados es mayor la magnitud de la aceleración. B A) En A B) En B C) En C ^ D) En D E) Falta información. C R E S O L U C IÓ N : * Por definición: a=AV/Af 44—»» ♦ Como Jvl» la magnitud de “ a dependerá del cambio de dirección de V , donde mayor sea el cambio, mayor será (al* En el dibujo

¡A PROBLEM A 33 :

observamos que esto ocurre en el punto C. Tomemos para ello dos puntos en la vecindad de C

La ecuación del movimiento de un cuerpo, es: r = (3 tz+ l;4 t)m ; donde: el tiem po “ t " está en segundos, determine: La rapidez instantánea en t —0 y t = l 8. II) La rapidez media durante el intervalo comprendido entre f = 0 y t = l 8. III) La ecuación de la trayectoria.

A) 5(43 - I ) í + S ( j 3 - l)j B) Byfsi +5 j $9

PROBLEM A 3 0 : Un autom óvil ha descrito la trayectoria que se muestra en la figura. Si VA y VB son la velocidades instantáneas en los puntos A y B respectivamente, la dirección y sentido de la aceleración media en el trayecto AB será:

C) 5(43+1)1 + 5(43 - l)j D) 5(43 - l)i - 5 ( 4 3 - V j

R E S O L U C IÓ N :

E ) 5 ( 4 3 - l ) i +5(43 + D j R E S O L U C IÓ N : * De la figura:

* Analizando el vector posición, se deduce:

V ¡= (1 0 C o 8 6 0 °;1 0 S e n 6 0 °)= 5 Í - 5 ^ 3 j V ¡ = ( 1 0 C o * 3 0 ° ;1 0 S e n 3 0 ° )= 5 y ¡3 Í -5 j

* Luego:

AV = % - V ¡ = 5 (4 3 -D ( í + j) * Entonces: Lt

RPTA :

“A ”

PROBLEM A 3 2 : La trayectoria de un móvil es la semicircunferencia de radio i?=4 m.

* Por definición: a ^ A V ^ /A # * Pero: AVAB = VB - VA=VB+( - VA)...(I)

d ir e c c ió n s e n

la y

t i d o

„c o r r e c t o e B t a r ía

por el AV^

dado v ector

RPTA : “A ” PROBLEM A 3 1 : Un móvil sigue la trayectoria mostrada en la figura. En i y 2 se cumple que: iV ^ lV ^ JO m /aeg.y que a=60°, 0=30° Si el móvil demora 1 segundo de 1 a 2 , su aceleración media será: (en mtseg2)

* r= (3t2+l;4t)=(x;y)=9 El cuerpo se mueve en el plano XY y las ecuaciones param étricas del movimiento, son: • x = 3tz+l=> V = — (x)=6t x dt .. xr d , . .m • y = 4 t => V = — (y)= 4 — 7 dt 8 * Ahora, la velocidad instantánea, será: ( dx V=— (f) dt [ ddtt9ddtt ) K V = (Vx ;Vy)= (6 t;4 ) m En t = 0 ;V = ( 0 ;4 ) 8 m En t= la ; Vf =(6; 4)

* La relación (I) se puede representar en forma gráfica de la* siguiente manera: * Luego

2012}

l) Cálculo de rapidez instantánea:

V = ) v f + v j = J(6 tf+ 4 2 Calcular la velocidad media en m/s entre A y B, sabiendo que tA=2 seg y t B=4 seg. A )i - 0,27 j

B)2i+0,54j

C )i- 0,54 j

D)i + 0,27j

V = ^¡36t2 + 16 m En t=0: V = j3 6 (0 )2+16=4 8

m En t= ls : Vf =436(l)2+16=2413

8 II) Cálculo de rapidez m edia:

R E S O L UCIÓN:

La rapidez media, es el módulo de la velocidad media la cual, se puede determinar de diversas formas:

* Se puede deducir que: rB~(4; 4) a rÁ=(2; 2^3)

* Luego:

vm =

%

y ' J i - ' K j 4i4>-f2¡*431 ” J b -U 4~2

. [s)

_► Vm= Í + ( 2 - j 3 ) j = l + 0 ,2 7

R PTA: “D ”

rr ~ r° Lt

Lt

♦En t = 0 : ro= ( 8 x 0 * + l ; 4 x 0 ) = ( l ; 0 ) ™

9

•En / = ! * : r y = ( 3 x l * + l ; 4 x l ) = ( 4 ; 4)m L t = tf - t 0= l 9

{CWKE&LlX'TMCuX

EIHCJOXES RUBLVÓSl

♦Luego: r r _ (4 ;4 )-(l; 0>_

m 9ft j 19/ 8 La rapidez media durante el intervalo t e [0 ; i « ] , es: Vm=\V¿\=y¡3*+4*=6™=>d=(3;4)m III) Ecuación de la trayectoria: Para esto, debemos relacionar las coordenadas espaciales en que se ubica el cuerpo en cada instante. Utilizamos las ecuaciones paramétricas: y= 4 t => t=y!4 x=3t*+ 1 ...................... ♦ Reemplacemos

en (I):

IV) 18entdt= - eos/ +c

♦Una antiderivada de f(t) =2t> será Fn = t2, dado que: F 'u =2t

V) ¡ costdt = 8ent+c

♦Una antiderivada de f(t)=cos t , será: F(tf =sent d t , ya que:

VI) Je'tft=ef +c

F \u = cos t

VIII) K fw+g(l>)dt=i f(í)dt+¡ gmdt

AXTMDERMVADA GENERA!.

constante, si:

dt

F(t)+C) = f iw

(I)E JE M PLO : La antiderivada general defft) = 2 tt At

Ecuación de la trayectoria.

INTEGRAL LXDMFLXIDA

OBSERVACIÓN: La velocidad media también se puede obtener aplicando la antiderivada o la integral indefinida, así: ♦De: V = — =>dr=V d/ dt

La integral de una funciótw es su respectiva antiderivada general..*; * A n tid eriv a d a d e f Ut

N o ta ció n f f ( t ) d t = F ( t ) + c I.

con atan te

E JE M P L O S : *¡2tdt = t z+C *jSentdt=cost+C

a T E G R .1 1 DEFINIDA

♦Desplazamiento: d = \\Vdt =>d= ¡f (6t;4)dt

4(1)2- 4(0f =4

Á

La integral definida se aplica en el cálculo de áreas, superficies, volúmenes, longitudes, centro de gravedad, momentos de inercia, etc. \Notación\ £ fmdt = Fm[ * - F(b)

E JE M P L O : - 3

A

Ahora, la rapidez . media en / e [ 0 ;i«],será : VM= 1 Vm W

m (3; 4) =5 ls 8

NOTA: AETIDERIVADA Una función F es llamada antiderivada de otra función “f*\ si: dF(t) _

di

fm

PROBLES E T » ; Una partícula se el espació, 'partiendo eU el instante t =0 del punto (O^Jt^^pEn cada instante,la velodd^adéla partícula es: :0 - ' v lt,= (- 2 ; 2 /;>>); en que instante el vector yéíocidad es paralelo al vector posición. A) 2 s B) i * C )3 s D)l!2 a E)5s R E S O L U C IÓ N : ♦ Calculemos el vector posición, tí - dr considerando:. y dt

dr=Vdt

♦ Integrando:

.

I

R

•lt

—

-> íy = (- 2 <; is; e')[ * +r- » 7f = ( - 2 t ; t ‘ ; e ' ) - < 0 ; 0 ¡ l > + < 0 ; l ; l i -> r ¡ = ( - 2 / ; /* + 1; e*)

l p o s ic ió n d esp u és d e un tiem p o

♦ Ahora por condición de vectores paralelos: ~=k~ i

♦ Fftf: anriderivada de “f ftí ” , * Note quej'erígeneral: * y : velocidad instantánea

IX)¡ kf(t)dt=k\ f(t)dt ; k: constante

¡ I ' d r = í ‘0 Vdt =7r - 7 0= £ < - 2 ;2 t ;e ')

Donde: ♦ a y 6 : límites de integración.

zS (l) -3(0) - 3

dt VII) i y = L n /+ c

La antiderivada general de f(l)i será F (li + C , donde “ C " es una

será: t2+C , ya que:

x=¿\ — I + 1 — >

“C

E JE M P L O S :

n ú m ero rea l

- + ( - 2 ; 2 t ; e ‘ ) = k ( - 2 t ; t 2+ l ; e*)

1 3 i ! =4 2 m2

-> (-2 ; 2 t; e * M - 2 k t ; * (/* + /); ke*)

* ¡¡¡®Coatdt=( - Sent)[*f = - Sen^j^

/ ; e ‘ = k e ‘ -> k = l

-(-S e n 0 )= -l-(0 )= -l

i

F Ó R M U L A S E L JE EM ME EiV NTV TA ILES D E RAC EO S USTEGRACK

I) Si: F(t)=l‘a fn)dt =>

♦ Entonces:

(t)

ll)\dt = t+ c; ¡d (t3) = t3+c iílTi I I I j¡tndt= -+ c; ] t 3d t= — +c n+1 4

11) _ 2 = - 2 k t - » l = k t -> l = ( l ) t -► /= !

///J Además debe cumplirse: 2 /=ftr/í + í)= ^ 2 (U =i ( l * + l ) } c u m p l e

♦ Por lo tanto, se pide: t = l 8 RPTA: UB ”

IA PROBLEM A 3 5 :

V 2 -1 6

= - x 2 -* V 2+ 2 x2=16

Una partícula se mueve a lo largo de la curva: f ( t ) = ( t s -4 t )i+ (t* + 4 tJ Í j+ (8 t* - 3 t a) k

Determinar la aceleración para t=2a. A)2i - 20k

B )i + j - k

C )2 Í -3 j+ 8 k D)12i + 2 j - 2 0 k RESOL UCIÓN:

* En este caso f (t), hace el papel de r(ih luego:

RPTA: “A” PROBLEMA 37 :

e x c h 'j.q i ’ KQíA

2012Q

media (Vm) entre 2 puntos muy alejados entre sí, sobre la recta “L ” : Vm- j, ~ **AC 2X -

nd En la figura, se muestra la V = — = — = — m T 2T 3T ñ f trayectoria de un electrón que va a 2 ( R - r ) 8r la deriva a lo largo del plano de Vm= T separación de 2 zonas con campos 4V 4(330) km 8r m agnéticos diferentes. La =140 trayectoria está form ada por 3x 3 x 22 8 6x V 7 semicircunferencias, de radios “R 9f y “ r ” en forma alternadas; además, RPTA : “D ” la rapidez del electrón, es constante PROBLEMA 38 : e igual a 330 Km/s. ¿Cuál será el Una partícula se mueve con una valor de la rapidez media entre dos £ puntos de la recta **L” durante un iceleneiáfi de a = —, donde Ma "s e intervalo de tiempo muy grande? mide en m is2, **V ” en m ¡8. 22 D eterm inar el m ódulo de la Considere: x = — y R = 5 r= 2 0 cm velocidad, para t =4 a; sabiendo que R las condiciones iniciales son: t0=0; V0= l mja A)3 m/s B)5 m/a C)4 mía D)0 m/a \

57

dr

Vm =- » V (i)* »( 3 t* - 4 ) i + ( 2 t + 4 )J + (1 6 t - 9 t 2 ) k

X

la velocidad

* Ahora recién calculemos el vector aceleración, así: -

dV

aw=— -+á(i)=6ti+2j+(16 - 18t)k * Pero se pide evaluar para t= 2 a, es decir: áftmSa=6(2)i+2¡j+(16- 18(2))k

A) 7 Kmia B)70Km/s C) 120 Km/s D) 140 Km/a E) 90 Km/s RESOL UCIÓN:

- > a (t=12Í + 2¡j-20k * Dada la rapidez constante sobre RPTA : “B M la trayectoria y la forma repetitiva PROBLEMA 36 : de la misma, se concluye que: el Un cuerpo se traslada a lo largo del m ovim iento es periódico en el eje x y su aceleración está dada tiempo y el espacio: por: á = - 2 x , donde x está en, * El tiempo del movimiento del electrón entre 2 puntos de la recta metros y a en mis*. Determine, La relación entre la velocidad j la. UU \ es: 6xr posicióñ, sabiendo que: en x=0\ T^*A B -.*(R +r) (I) V V V V=+4m/a V A) V2 + 2x2=16 B) V2 - 2x2=16 C) V* - **=3 D)[ V* + x*=3 ■

>

T

.

RESOL UCIÓN:

%

* Como d = - 2 x y sabemos que:

#t

♦

ó

V=+ 4 m/s (condiciones iniciales): v & V * V = & . 0( - * x ) d x ro

dV 3 dV a = ---- -> —= ---dt V dt -* 3dt=VdV * Integrando en ambos miembros (considerando las condiciones iniciales): ¡3d t= ¡V d V Vo-i t*-o r * = V 2 rv 3t Lo- 2 L*

3 (t-0 )=

r 2

V2=6t+1 > V (t)= ±7 6 t+ l

* Ahora evaluando para t=4: V(4) = ± yj6(4)+l - > V(4) = ±5 m/a -+\V(4)\=5 m/a PROBLEMA 39 :

(f>-

* Ahora; integramos implícitamente considerando que, en x=0\

* Sabemos que:

RPTA: "B ”

- dV entonces hacem os un a dt 1 artificio: - dV 2x=>VdV=-2xdx dx

RESOL UCIÓN:

Datos: ^ V=330 Km Is R = 5 r = 2 0 cm = 2 x l0 ~ * K m

*Ahora; evaluem os la rapidez

Dos automóviles se mueven en una misma vía, en línea recta y en el mismo sentido. El automóvil que adelanta lo hace con rapidez de 30 Km/h y el retrasado lo hace con 60 Kmih. ¿Con qué rapidez observa un pasajero (del automóvil que adelanta) m overse al otro automóvil?.

U M U IO X E S RlTBIÑmSL

163

A) 10 Kmlh acercándose B) 10 Kmjh alejándose C) 30 Kmlh acercándose D) 20 Kmlh alejándose

A )(-l; 0; 1) B)(2; 3; 4) C)(3;-2; 7) D)(10; 8; -3) E)(2; 13; 7) R E S O L U C IÓ N :

E) 30 Kmlh ni se a cerca n i s e a lqja

•De r¿> su velocidad, será:

RESOL, U CIÓ N : • Esquematizando: Vg=60km/h

v,=8okm¡h

“Velocidad relativa de 2 respecto de 1>9

A) 13 mía 4. B) 17 mis \ C) 7 m/s S D) 13 mis*/ R E S O L U C IÓ N : * Nos piden: VGlJ= ??

V] = ^ = ( 2 ;- 3 t 2;2 t) at * para n,, su velocidad, será:

«Velocidad del globo respecto del joven: * Sabemos: V Gj= V G- T j'*V tW = 5 (-j)~ 1 2 i

V2 = ^ = (6 t;-2 t; 1) at * La velocidad relativa, será:

* Nos piden: V 211=??

el joven moverse al globo?

V m= (6t; -2 t; 1) - (2 ; -3 t2; 2t)

=>Vgu= - 5 / - Í 2 Í

-* V 2„ = ( 6 t - 2; 3t2 - 2t; l - 2 t )

* de la definición:

•Ahorapara t= 2 : V ^ f l O t f f - S ) V 2/j= 60i - 80i * Luego:

Vg=5m/a

RPTA : “D ”

Vm = -2 0 í

Vj=12mÍB

y ( - ¡ ) indica: que (1) observará alejarse a (2) hacia la izquierda.

PRO BLEM A 42 : La curva velocidad en función del tiempo, de un móvil que se desplaza a lo largo de una recta está dibujada^ en la figura, ¿qué distandarecoixe.

• Es decir 20 Kmjh alejándose: V%l=20km/h

el móvil en —* ? £

* La suma vectorial es:

A) 2 m

VniJ=4s2^l2i Vg¡j -13

V m = -2 0

km

.X

V(t)=cost

B) 1 m RPTA : “D ” P R O B LE M A 4 0 : Una partícula se mueve con una

=*V0fJ=13^

C) 3 m D) 1/2 m

velocidad Vt=( - i - 2j)m/s; otra partícula se mueve con velocidad

E) 314 m

V ¿=(2i+ j)m ls. ¿Determinar la velocidad relativa de la primera partícula respecto de la segunda partícula?,^ A )-2 i+ j ~ -B )-2 (Í ¿ j) C)2(Í + j )

* Sabemos que: T-y, . dr . dr = °° ~ di * Integrando:

RPTA : “D ”

R E S O L U C IÓ N :

í# r/f a008 dt=\1 *ta-v *ro dr

eos tdt = dr

% ♦

»

* Se pide:

P R O B L E M A 44 : Las ecuaciones de movimiento para 2 móviles A y B , vienen dadas por: A :x (t)=2t2+3; B: x(t)= t 2+ 2 t+ 2

sen \',3 = Á h

D ) - 3 í i - j ) E) ~3(i + j ) R E SO L UCIÓNr

G i J

Lo

-► sen — senO = r, - r 2 1 ---- í

Donde x está en metros y “ t ” en segundos, determinar la velocidad relativa de A respecto a B, en el instante que se cruzan los móviles. A) 2m/si

V m = % - V ¡ = (i - 2 j ) - (2i + j )

1- 0 = d

-+ V i ¡ 2 = ( - S í - 3 jí)ro/s

RPTA: “E ” P R O B L E M A 41 : Se conoce los vectores posición de 2 partículas y son: 7J=(2t;-ta;t*)y7 i = (3 t* ;l-t2;-2+t) Determinar la velocidad relativa, para un tiempo de 2 s .

RPTA : “B ” P R O B L E M A 43 : Un globo aerostático desciende verticalmente con rapidez de 5 mi s. Un muchacho ubicado a derta distancia corre con rapidez de 12 mis con la intención de cogerlo en el aire. ¿Con qué velocidad observa

B) 3i

C )-2i

D) 0 E) S i R E S O L U C IÓ N : * El instante en que se cruzan, será cuando sus posiciones son iguales, es decir: 2 t2 +3 = t 2+ 2t+ 2 -> t 2 - 2t + l= 0 -> (t-l)= 0 -* t= l * Entonces se cruzan cuando t = l s

1)553 l ea + Ahora determ inam os velocidades:

sus

-> VÁ( l) = 4 ( l) = 4 m / a i

di

L\

W Aceleración normal. IB ) El radio de curvatura; para t= l 8 R E S O L U C IÓ N :

V ¿ = ^ = 2 t + 2 - * V ¿ = 2 (l)+ 2 = 4 m / ií ai w

* Debemos tomar en cuenta:

V ajB=v2 -V ^ = 4 m / s i-4 m/s i=0 PR O B L E M A 4 5 : Dos trenes corren en sentidos contrarios con velocidades Vj=36 mis y V3=54 m/s. Un pasajero del primer tren (el de Vt) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado § segundos, ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (se supone que el pasajero está inmóvil en el primer tren mirando a través de la ventana). A) 100 m B) 540 m C) 270 m D) 250 m E) 300 m R E S O L U CIÓN : * Esquematizando: L Va-54ml»

* Entonces primero calculemos: V = ^ f-= 2 ti-6 t2j= (2 t; - 6t2) dV á = -~ -= 2 i - 1 2 tj= (2 ;-1 2 t) dt * Ahora evaluemos para t = l : V (t-ii= (2 ;-6 ) y a(^ X)= (2 ;-12) * Luego: V - á = (2 ;-6 ) •(2 ; -12)=76 00

Vj=36m/s

6 PRO BLEM A 48 :

Un m óvil se mueve sobre una circunferencia de radio 3 m , y su ecuación horaria es SftJ=2ts, donde “ S ” se mide a partir del punto (3; 0 ); determinar la aceleración del móvil para t = l s. B) yfémls*

• Se aprecia:

-> |Vxa|=í2 * Finalmente reemplazando en las fórmulas señaladas,, se obtendrá: *> 76 19 r—r . 9 I} OT=^ m =T ' íi° ml' 12 _ 3 II) Oy= 2-JlO ” 5 P

= 3 7 ,5 m

O 743 mí*2 O) l2y¡2 mis2 R E S O L U C IÓ N :

00

1 J k V x5 = 2 - 6 0 = -1 2 k 2 -12 0

III) De : aN=

d y =6x - d ’ y = -6 dx dx2 * y cuando pasa por (1; 3 ), es decir para x = l , se obtendrá:

A) 2 mis2

-> V=J22+ ( - 6 ) 2=2yfld r

2012}

Q -= 6(1)= 6 dx * finalmente:

• Se pide: RPTA : "D ”

encicj .w e d í A

Se aprecia:

Y

p = 3

(

X

\ (3 i0 )

4

r- S - '

s

=^ =í« v =m. P

3

* Se sabe que la aceleración está dada por:

5

0 ” VaiV+aT ->O.= yj(12t4f +(12t)2

20 rrz -* P = y/10 m

-> a(í)=12yjt8+ t2 * El pasajero del le r tren observa al 2do tren moverse con: “ Vf;j" * Pero: V /„= V j - % -» Vm = 5 4¡-(-3 6 Í)= 9 0 i

* El pasajero "supone” que está en reposo y el otro tren de 4tL 99 de longitud demora 6 s en cruzarlo con rapidez V2>1=90 mis, entonces: V = --+ 9 0 = ~ ^ L = 5 4 0 m t 6 RPTA: "B ” PR O B LE M A 4 6 : Una partícula describe una trayectoria, dada por: rftt- t si - 2tsj ; determinar: /) Aceleración tangencial.

PROBLEM A 4 7 : Un móvil se desplaza sobre la trayectoria y = 3 x*, determinar el radio de curvatura, cuando dicho móvil pasa por el punto (1; 3). A) 38 m B) 39,2 m C) 37,5 m D) 362 m E ) 4 l £ m R E S O L U C IÓ N : * Recordemos que en la última parte de la teoría, se señala que: Y Y=ftx)

s/i p-

tó íl

* Luego como y = 3x2t entonces:

* Finalmente para t = l : a((„ 1}=12>Jl8+ l2= 1242 mis 2 RPTA : “D ” P R O B L E M A 49 : Una llanta de radio de ^ m , gira de U forma que la relación entre el camino recorrido y el tiempo que se emplea en el movimiento es: S fif= t 3+ t 2+ 5 , determ inar el ángulo que form a el vector aceleración total y la aceleración normal, para un tiempo de is , después de iniciado el movimiento, si " S ” esta en tém 99y la aceleración en mis2.

C C W E y M T /C l

167

A) 30° B) 46 C)60° D )A r c tg [j^

e d ic io n e s

automóvil respecto al camión? (en Kmfh)

R E SO L U CIÓ N :

r e b in ó S i

con respecto a tierra 4 Gráficamente se tiene:

Vpt=20 m/s ; VGT=40 m/s

dV ar =— ; pero V=

4 Luego:

T ga -40/20 = 2 -* a=arc tg2

-*V = 3t2 + 2t

RPTA : “D ”

'aT=6t+2 P R O B L E M Ats

V2 (3ts+2t)2 a N ~ --------p 5/3

A) 20 B) 30 C) 51,3 D) 101,25 R E S O L U CIÓ N :

4 Evaluando para t = l :

4 Por ley de cosenos:

Clrr= 8 y —15 * Finalmente en el triángulo sombreado: 0 = arc tg

t v « te - Vrvmlón\=yjl002+ 7 5 2 -2(100)(76)C o»30°

V auto/camión —51, 33

Dos partículaj^^y B se mueven, una de P aljÉíífy oirá de P a N, respectivafhéiite enlínea recta con igual ragidez constante . Si p a rte en el mismo inst^feüHallar '

,

r..

'

que

eñ él

AUTO

Pab |=^

(¿ )

ifitWp-W, son puntos

medios de^^respectivos lados del

RPTA : “D ” PR O B LE M A 5 0 : Dos móviles A y £ se mueven con velocidades VA=5 m/seg y VB=2 m¡ seg. se pide calcular el módulo de la velocidad de A con respecto a B , (VABen m/seg) (sen37°=3/5) A) 426 B) 4 1 3 O 345 D) 2 4 l 3 E) 245

VcAMkbft

RPTA: “ C ” PROBLEM A 52 : En lafigura se muestraun tubo montado sobre una plataforma horizontal que se desplaza con velocidad (respecto a tierra) de módulo Vs=20 m/seg. Una gota de lluvia cae con velocidad (respecto a tierra.) vertical de módulo V1=40 mfseg. El ángulo a para que una gota se introduzca por la boca del tubo y no toque las paredes del mismo , es:

R E SO L U CIÓN :

A) 90°

4 Trasladando adecuadamente los

B) arctg (-2) C) arctg (-1/2) D) arctg 2 m tg m

vectores:

. v . ' - V

A)(2/3;2(3)m/s B)(2/3;-2/3)m/s C)(—2/3;2/3)m/s D)(-2/3;-2/3)mfs R E S O L U C IÓ N : 4Determinaremos las velocidades de A y B en forma vectorial, calculamos los vectores unitarios de PM y P N z

^

R E S O L U C IÓ N : 4 Debemos considerar que: V GT—V G P + V PT

* Por ley de cosenos: VAB=|\^ - V¿|=y/52+2* - 2(5)(2)C (*3r=Jl3

RPTA : “B ” PR O BLEM A 51 : Un camión marcha a 75 Rm/h y el auto A a 100 Kmfh. El camión cruza bajo el paso a desnivel. ¿Cuál es la velocidad aproximada del

OT

* Vgt: velocidad de la gota con respecto a tierra 4 VGP: velocidad de la gota con respecto a la plataforma velocidad de la plataforma

a *. PM —a k + ( —a i ) + —j = a

Z

= a PM

m

Ia

¡A Ea\CM€J.ortioiA 2 0 1 2 )

H8S3 í e s E ^ Ppu

PM ~

\p m \

a(—l ;l l 2 ;l ) a x 3/2

2 12 PPM = 3*3*3 Análogamente: a * PN —a j i + ak = a 2 |pÑ|=

a 4 (l/ 2 f

«A» respecto de «O» es: Vad= 10¡ +10j 0)y0l) : V a — V o = 10i +10j (-) Vo ’ - V o = IOÍ VA - V o = 1 0 j

— •1*1 2 ,h l

+ 2* + 2* = o x

PN 12 2 M/w —.__ ■ Mpat — 3 *3 *3 Ií WI Las velocidades de A y B son: V a // P M =>V a =\ v á \vpm

Vao' = ( 20 j)m /» F Va — Vo = 10¡ +10 j V o * - V0 = 10 j

VAO, = 10m / s

7rr: velocidad del tren con respecto a tierra * Gráficamente tenemos en ambos casos: CT

H a=30°

Va - Vo* = lOi

=>Vao* = (l 0Í)m/»

V^: velocidad de la gota respecto al tren

En el segundo triángulo:

Vao' —lOmfg

tr

Finalmente:

gT

T g 2 a = v 4 3 (T g 6 0 °)

= V 4 3 (4 3 )

RPTA : UA 99 V á H P N = > V b = \Vn\nFN

=»Vb ~ 2I—

3 3

3

= j(~l{2;2)m /9

Como A y B se mueven a velocidades constantes, la velocidad relativa entre ellos es la misma en todo instante.

gT =V >/3

PROBLEM A 55 : Cuando un tren va a una velocidad horizontal V, las gotas de lluvia dejan una trayectoria conforme se muestran en la ventana 2. ¿Cuál será la velocidad del tren , cuando la trayectoria de las gotas es la que se muestran en la ventana 2? (Las gotas caen perpendicularmente a la superficie terrestre).

= 3V RPTA : “D ” tT

PROBLEM A 56 : La figura muestra dos sistemas S (x,y) y

S ^ ^ y ') de instante

t-O s tiene un origen común y que tienen una velocidad relativa entre S 9y S V = i m / Respecto del origen de S para una partícula en t= 0 a , con una velocidad V = ^3í —4 j )m /s.¿C úal es la distancia entre las posiciones de la partícula en t —2a y t=6s ; según las mediciones en S 9?

Á ’

m ■8 R PT A : “ D 99

PR O B LE M A 54 : Consideremos trea sistemas de referencia: O, O 9, 0 »4

i

Á

i Vgt=2V

Ventana 2 Ventana 1 A) 2 V B) 5 V C) 1,5 V D ) 3 V R E S O L U C IÓ N : * Debemos considerar que:

Si Vo'o = lOim/t y Vo*o = 10jm/8Donde: Halle el cociente'delas rapideces de velocidad de la gota con una partícula A en los sistemas O 9 y O » si la velocidad de la partícula respecto a tierra en el sistema O es (io¿ + 2oj)m/* A)í B)2 C)3 D)l/2 E) 1/4 R ESO L U CIÓN : Tenemos: V o o = V o > - V o = 1 0 ¡ ___________ ( I ) V o - o = V o ' - V o = 1 0 Í ................. ( I I )

Además : La velocidad de la partícula

A) 7 m B) 8 m C) 19,2 m D) 16 E) 17,9 m R E S O L U C IÓ N : ♦Sea «A» la partícula en mención

EDICIONES KUBLXÓS\

ÍCaDWBMAMC^IL * V
I!) VERDADERO:

\Vao = Í 3 i —4 j ) m i s ;ir: ' f Es decir:

Un aspecto importante de las definiciones de velocidad y aceleración en fisica es que son vectores. Aquí nos Interesa sólo el

u sa r

io o ie S

VA- V o = 3 i - 4 j

[(wiocitíaddefo p a rtícu la respecto de S 'j

Notamos que esta velocidad es constante entonces el desplazamiento entre t=2a y t=6s (referimos al sistema S*) será: dAtr = VAO, xaí

Durante el movimiento rectilíneo el cual puede ser acelerado o desacelerado, el vector aceleración es paralelo al vector velocidad Instantánea y ésta paralela a su desplazamiento y com o la velocidad media es paralelo al desplazam ien to, en consecuencia la a m,atn*i,vuuit Vm deben ser paralelos. III) VERDADERO :

djuy = (2 i - 4 j ) ( 6 - 2 ) = ( « i - J 6 j')m

La distancia se calcula d e : d « 2 7 ,9 m

Recuerde que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el Intervalo de tiempo se acerca a 0. Es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo.

Vmlim—

PROBLEMA 37 1

•

.< •í . »

I) Si la trayectoria e s circular, necesariamente la aceleración instantánea, es perpendicular a la velocidad instantánea. II) SI la trayectoria es recta, necesariamente: la velocidad media, velocidad instantánea, a celera ción m edia y la a ce le ra ció n instantánea son paralelas.

IV) FALSO: Para definir la posición de un cuerpo en un instante cualquiera y medir las cantidades cin em áticas c o m o son su velocid a d , a ce le ra ció n es n ecesa rio definir previamente un sistema de referencia y a partir de este definir el movimiento del cuerpo. tz

A

IV) Para poder definirlas se requ iere previam ente esta b lecer un sistem a coordenado adecuado, com o por ejemplo el sistema

CjVFW

RESOLUCIÓNt K O FALSO s

M ovim ien to a c e le r a d o d e la p a r tíc u la A

1 5 i; recta en direcciónY * ; — 5 i

E)

15i ; P arábola ;-k— 5 i

RESOLU l

* Los móyíles parten del origen r Q= (0 * Calculo del desght^&ttifento rqlfctivo **d^> Lacpoii&ones de A y B respecto deLó^gén: 1

D e: r A = Va x t

a

= (< /)*

m

YL #

Va

y * .

D e: r » = V b x t =>r

= ( « + 4 /)

B = ¡5 ti+ 4 tj}m

RPTA t “B " PRO BLEM A

58

:

Dos m óviles parten simultáneamente del origen de coordenadas, uno con velocidad Va = 4 jm / 8

En u n a tra y e cto ria c ir c u n fe r e n c ia l descrita por una partícula'e) cual p u ed e se r a c e le r a d o o d e s a c e l e r a d o , la aceleración instantánea apunta hacia la concavidad.

D)

-X

III) Se puede afirmar que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el Intervalo de tiempo tiende a cero.

V

b

y el otro con

= \5i + 4 j ^ m l 8

Hallar: /)E1 desplazamiento (en m ) de A respecto de B entre t l = 2a y t2 = 5a . II) La trayectoria de A respecto a B.

M ovim iento d e»a celera d o lie la p a rtícu la B

A ) — 1 5 i; recta en dirección X * ; 5i

-;

M-*0 At

Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones respecto de las cantidades cinemáticas.

...

A

(4 Í)

R P T A : “E ”

A jW W . $S¡& B}FFFV DíFWF YVFF

A

b

C ) — 1 5 i ; recta en dirección X * ; — 5¿

Vao' = (2 i — 4 j ) m l *

+ 16

—V

B ) — 1 5 i ; recta en dirección X ~ ; — 5 i

Va —Vo* = 2 i — 4 j

d = y¡8

a

A

H

Vo>-Vo = i

lo largo del eje Y, hallar V (en mis).

III) Si y a y V B son las velocidades de cada móvil respecto a un tercer objeto qi i 1 í nueve a

* La posición de «A» respecto de «B» en cualquier instante es : r ÁB= r A - r B = 4 t j - (<5ti+4 {/) ............. ( I ) =>r AB -~\-5t*\™ M En* =2*; r AB(2) = ( - 5 x 2 í )

m

Luego: el desplazamiento relativo es : d AB =árÁB =>dAB= rABW - rAB{2)

¿Cuál es la trayectoria de A respecto deB ? De la relación anterior: (Ec. (I)) f AB = ( - 5 t ) i

ifésa i 7 o ifigg Significa que el móvil se desplaza por el Bemieje X”*: * Velocidades de cada m óvil respecto de un tercero: Supongamos (por dato), el tercer móvil tiene velocidad: Vc = kj

(dirección eje Y )

* Luego: V * a

=

V

a c

PROBLEM A 6 0 :

A)[ lí O¡ + 2 0 j-6 ó £ )m / a B)[I1O¡20;88)

En un sistema S la posición de una

c ){-n o ; 20;&8)m¡* D)[ito¡ - 20} - 6$k)

A

V

a

—

V

A

A

partícula en t= 0 8 es (i+ j+ k )m

£)(jíG;-55; 20)

yen t= 5 s es ( l l i + l l j + l l k ) m . Si dicha partícula se mueve con velocidad constante, determine la rapidez de la partícula con respecto a otro sistema S'que se mueve con

R E S O L U C IÓ N :

v e lo cid a d =

IA EX('h j .*m ’KUIA 2012}

Si los tres sistemas de referencia son inerciales, entonces no son acelerados Datos:

co n s ta n te ( i + j — k ) m ¡ 8

Vo'o- = ( 4 0 ; - 3 0 ; 20)

respecto de S.

c

V o-o = (-5 0 ;1 0 ;-~ 1 5 )

V A = 4 j - k j = ( 4 - k ) j mis

A )5 m i s

V b = Vbc = Vb - V c

B )y fíim i 8 D )j2 1 m i *

C )Jl9m ¡8 E)4l7ml8

V i = (ffi + 4 j ) - kj = (5Í + (4 - k ) j ) m / .

Luego:

V o- - V o- = \ -5 0 ;1 0 ;-1 5 )

R E S O L U CIÓ N :

Va-Vo

*En el sistema S :

V A - V , = [4 - *) j - [ 6 ¡ + [4 - k) j )

RPTA : "B ”

V & - V o - = (4 0 ; - 3 0 ; 2 0 )

(+)

= ( - I 0 ; - 2 0 ; B ) ................. ( I )

Dato adicional:

r0 = í+ j+ í...............

(f= 0 )

V

ao

= [1 0 0 ;0 ;-5 0 )

P R O B L E M A 59 :

r f = l l i + l l j + l l k ..........................(* = 5 )

Va - V

Se tienen 3 sistemas de referencia 0 ,0 * y O " .Se sabe que

La velocidad de la partícula (P) respecto de (S) será:

( I I ) - ( I ) : V A - V < y = ( 1 1 0 ;2 0 ;—55 )

V o‘& = 4 i + 2 j m f B A V o 'o = (* + j ) m / «

Halle la velocidad de una partícula «A* respecto a O 'f si su velocidad respecto a O es: ( ó í+ S jJ m /s A)[l2Í + 4j) m ! 8

=

■

Al

8 -0

> '

(II)

B )(a ¡+ 4j) mi 9 D )(-8¡-4j)m l

R E S O L U CIÓ N :

V p - V s = 2 Í + 2 ¡ j + 2k

H

V& —Vs = i + j —k A

— «

Datos:

A A

V om
Vf - V

Voo=i +j

p » |= VÍ* + l*+3* RPTA .• “B ”

-V o'+ V o= 3 i + j Además: Vao- = ??

f

V a - V ty = V ao '

- V a + Vo = V ao ' Reemplazando operando: V

ao'

Si

(-) -

P R O B L E M A 61 : Considere 3 sistemas de referencia inerciales O , O 1, O », y una partícula A.

= 5i + 3 j

(fii + 3j j f/j

yA O = {ío o i - 5 0 k } m !8

V ao- = (¿OÍ - 30 j + 20*) m / s V o-o = (-5 0 Í + 1 0 j - 1 5 k ) m l a

= |#¿ + 4j^m¡ s RPTA : “ B ”

ff

Tres m óviles A, B y C se encuentran sobre el plano XY. A y B se mueven a lo largo de las rectas mostradas en la figura y el móvil C está en reposo en la posición mostrada. El móvil B observa que A se mueve con velocidad Vi = \24i + 6 jorn ia y el móvil C observa que A se mueve con velocidad V 2 = (fií + 6 j Jm i s .

H

V 0' - V o = i + j

V a —V o = 5 i + 3 j

+ 3A

Vs' = i+%j + 3k

Vo- - V o' = 4Í + 2 j

V ao

A

s'= * + j

RPTA : “A PRO BLEM A 62 :

De ( I ) y ( n ) : C ) ( 8 j + 4Í)m/s

= ( 1 0 0 ; 0 ; - 5 0 ) .................( I I )

1

=>Vn =(2í+^+2*jm/#«-__ (I) Nos dicen además: V s's= í- t f - A n»/«.

o

Determ ine la velocidad de A respecto de O'.

¿Cuáles son las velocidades de A y B respecto del origen de coordenadas y que ángulos hacen con los ejes X e Y respectivamente?

fca z «E 'jfL w tC u X A )\3Í + 4 j ] m t $ ; - 1 6 Í ; 3 7 ° ; 9 0 °

I E S 171 JÜSg A) Se mueve a la derecha

B j ( 6 i + 5 j ) m i a ;—1 6 Í ;5 3 ° ;9 0 °

B) Se mueve a la izquierda

C >(«¿ + 6 j^ m / a ;—1 6 ¡ m l a ; 3 7 ° ; 90°

C) Depende de el observador

D )¡4 Í + 3 j^ m ! a ;—16i m í a ;3 7 ° ;0 °

D) Todas las anteriores

E )¡8 ¡ + 6 j } m l a ; - I 6 Í t 6 3 o; 0 o

RESOLUCIÓN:

Como «C» esta en reposo; entonces

Dado el sistem a mostrado defina la velocidad de la partícula 11191

RVBtÑOSí II) Para otra persona que está en tierra y ve pasar el autobús, ¿Cóm o sería la trayectoria de la piedra? (Haga un dibujo)?

De la gráfica correspondiente cual de los vectores mostrados gráfica mejor la velocidad que tiene la partícula. V

*7

Ve = 0 »P°r tanto las velocidades de «A» y «B» respecto del origen, son las mismas respecto de «C ». Además:

_ V i = Vab=(24;6) V 2 — Vac = ( 8 ;6 ) m l 8

Luego:

i) Desde el observador A .

*

V a —V b =Í24;6) -

Va

ii) Desde el observador B .

^ c =(8;6)

- V b = (16;0) = > VB =

También: Va = (s i + 6 j Jm / a Ubicando las velocidades en los ejes «X» e «Y» Vb

m La distancia de la tierra al sol es casi 104 veces mayo^á diámetro de la tierra. Al estf v movimiento de esta alrededor del sol. )Diría Ud. que la podemos considerar como una particular? (S ) Un satélite artificial, de lOm de radio, esta girando en torno de la tierra a una altura de 500 K m . Sabemos que el radio terrestre tiene un valor de casi 600 km . en el estudio de este movimiento.

r cicuta esta girando Si la alrededoír n punto O. Dibuje la trayecfSria. j

Una persona mide sobre el suelo, el tamaño y la velocidad de la sombra de un avión.¿Puede deducir el tamaño y la velocidad del avión? (Explique) Cuál será el desplazamiento del balón una vez que entra en la canasta, respecto del jugador?

I) La Tierra se podría considerar como una partícula? U) Y el satélite?

' t8a=¡ á * a = 3 r

Los án gu lfó^ n n ados entre las velocidades s o n t a *37° a d = 90° RPTA:“C”

m m

PRACTICA DIRIGIDA]

(ft^jDos autom óviles A y B, se desplaza por una carretera recta y plana, en el mismo sentido, el auto A corre a 60Km!h, y el auto B, un poco más adelante, también corre a esa velocidad.

(Q ) Si un auto viaja de A hacia B si llegando a B se detiene, resbalando y retornando al punto de partida. I) Cuál es el desplazamiento? II) Cuál es la distancia recorrida?

I) Varía la distancia entre A y B? Dado el sistema mostrado. )Qué podemos decir acerca de la velocidad del automóvil?

II) Para un observador en A, ¿el auto B esta parado o en movimiento? Una persona, junto a la ventanilla de un autobús en movimiento, deja caer una piedra en dirección al suelo.

I) Para este viajero,¿qué trayectoria describe la piedra al caer?

SI una

partícula

se mueve

la trayectoria m ostrada, llegando punto B con una velocidad de

por al

U

BSEI-1CT-JEB de B a C en 3 8. Determinar.

Om/s. Determine:

ENCMM8MSBMA 2012}

El móvil retrocedió

1-------------- 5cm-------------- 1

DLa velocidad en B

C

B

WE\ desplazamiento

ni) El espacio recorrido

-10

B

A

-4

El móvil retrocedió

i/ fm\

y

y Si al final del movimiento de una partícula se tiene que el desplazamiento es «cero». ¿Qué podemos decir con respecto a la trayectoria? ^^Para el caso anterior ¿el espacio recorrido será cero?.

EJ

I) La distancia recorrida

m óvil

retrocedió

:

W El desplazamiento

mmCTlCA DIRIGIDA

— x(m) -50

@ )E 1 móvil avanzó:

El móvil avanzó:

Un automóvil recorre una carrera en una pista circular, si da 20 vueltas. ¿Cuál será su desplazamiento y la distancia recorrida al final de la carrera?

0

x(m)

7

El móvil avanzó

x(m) i

O

@ S i una partícula se mueve/con una aceleración igual a cero.¿Qüé podemos decir acerca' de la trayectoria que describe la partícula? ¿r* $5) Si una hounigtr-cámina por todos los ladoErde'Un tetraedro regular de lado 2m, determina la distancia total recorrida de tal forma que esta sea la mínima posible.

50

18

Btmdvil avanzó:

16 @

40

x(m)

El móvil avanzó:

El móvil retrocedió:

4

18

(Q) Si el vector posición y el vector velocidad en todo" instante forman entre si un ángulo de 90° que podemos decir de su trayectoria.

El móvil retrocedió:...

Si una hormiga camina de A hacia B en 2s y luego de 3s camina

10

x(m)

x(m)

-10

EDICIONES RUBINOS\ AX~ '

Calcule la distancia recorrida y el módulo del desplazamiento en m .

t= 10s

d =

i X(m)

+ =

f

X

20

-10

T «

i i i i

t s 4s

i i i

Ax =

d =.

A)0; 0 / D)14; 10

•En cada caso hallar la Velocidad Media (Vm)

C)8; 8

s

© m le ta velocidad trayecto de A deínoradoos.

t * 8s

Recuerda: i

B)4; 4

X(m)

y(m) 8

@)Sabiendo que el desplazamiento es -15m . Calcular X, x(m) t* 3 s X(m)

t « 2s

Sabiendo desplazam iento determinar Xt

que el es 25m

10 X(m)

m

Si el desplazamiento del m óvil es - 20m calcular la distancia recorrida

X(m)

•En cada caso halladla velocidad media promedio (V a )/

Sabiendo que la distancia recorrida es de 150m. Calcular X,

©

A)(2i - j)mia 0 ( 4 i -2 j)m }s E )(5 i- 3j)mis Un móvil se desplaza 8 km hacia el Norte y después 6 km hacia el Este, demorando para esto 2 horas. Determine su rapidez media y el módulo de su velocidad media en todo el trayecto. A) 9 km/h y 7kmih B) 7kmih y 5 km/h O 5 km/h y 3 km/h D) 3 km/h y 1 km/h E) 9 km/h y 4 km/h (Sh Para un móvil que viaja sobre el eje Xt su velocidad esta dada por: V = 1 4 t - 3 t 2{ V e n m/s y t en segundos). Halle la magnitud de la aceleración media del móvil en el intervalo de t= 2s hasta t=6s.

X(m) X(m)

m cm

\= 5s

X(m)

m c t ic a j

Un escarabajo parte de A para m overse por el perím etro del cuadrado, hasta llegar también a A.

A)3m/as B)6m/ax C)2m/aí D)8m/a2 E)10m/a2 @ )S e muestra la trayectoria de un móvil que se desplaza manteniendo el módulo de su velocidad constante. ¿ Cuál de los siguientes

U

17* vectores representa m ejor la dirección de su aceleración media en el tramo A B ?.

B

C)

B)

A)

@ D a d a las proposiciones: I) La trayectoria de una partícula depende del sistema de referencia. U) El vector de desplazamiento es la suma de los vectores de posición. III) El movimiento es la forma primordial de existencia de la materia. Son correcto: A)SóloI B)I y II C)Sólo III D jly lI I E)Todaa Una partícula se mueve en el plano r = ( 2 t - l ;2 t + f). Hallar el desplazamiento entre t = [ l ; 3J. A )l+ j

B )2 (i+ j)

C )4 (l+ j)

D Í i - j E )2 (i-j) (6 ^ La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X está dada en función del tiempo por x = -3 t+ 4 t2. Su rapidez en m/a ,en el instante t~2a, es entonces:

(Q )H allar el m ódulo de la aceleración media de una partícula que choca frontalmente contra una pared con una rapidez de lOm/a, sabiendo que el tiempo de choque es de 0,1 a y que rebota con una rapidez de 8m/a. A ) 120 m is2

B ) 160 m is2

DJ20 m/a2

E )6 0 m/a2

C )1 8 0 m / s2

Un ciclista lleva rapidez constante de 15m/a ; pero debido a un obstáculo cambia de dirección en 74° moviendo su timón, maniobra que dura 3a. ¿Qué magnitud de aceleración media experimenta el ciclista? A) 5 m/a2 B) 6 m/a2 O 7m/a2 D) 8 m/a2 E) 0 m/a2 Con rapidez constante V", un ciclista recorre una pista cuadrada .Encuentra el m ódulo de la velocidad media, cada vez que el ciclista recorre dos lados consecutivos. A )V j2

B )— \¡2 2

C)Vy¡3

D)—j 3 E)V 3 La figura muestra la trayectoria de un móvil que va de A hasta B, con rapidez constante "V ". Si ,4R ” es el radio de curvatura, hallar el módulo de su velocidad media.

A)4m/a

EXCMtx €pípm-:o l \ 2012) B)S 0 6 D)7 E)8

Un avión vuela a una altura constante desde su posición inicial a 30 km al N6(FE del aeropuerto Jorge Chávez de Lima, hasta su posición final a 80 km al S60°E del mismo. Determine el módulo de su desplazamiento. A)110km B)70 0 3 0 D)50 E)12,5 (¡J)E\ pirata "Barba Roja” , lee las instrucciones para llegar al tesoro escondido y son: "partiendo del pozo camine 12 pasos hacia el Sur, 6 pasos al Este y 20 pasos al Norte, y cave 5 metros” . Asumiendo la longitud de cada paso (0,5m ), determine el módulo del vector desplazamiento seguido por el pirata desde el pozo, hasta el tesoro y la distancia recorrida. A)5m ,24m B)10m,34m O 8y/~2 m,25m D)15 m, 25m E)542 m,24m En la figura A y B, se mueven sobre rectas perpendiculares. Hallar el modulo de la velocidad media de B desde la posición mostrada hasta que llega al punto

A ) - 3 i B ) 1 3 i C)XÓi D)r 131 E)3i

^J^Un móvil tiene un molimiento rectilíneo representado por la ecuación: x = 4 t s + 4 t + l (*en metros y / en Begundos). Hallar la posición x del móvil (en m ) cuando su rapidez es 8m/a. A)0

B)4

C)3

D)6

E)9

Determinar la magnitud de la aceleración media en el tercer segundo de b u movimiento, si la ecuación de la aceleración del móvil está dado por: a - 2 t + 1 . A)1 mis1 B)2 mía* O 3m/8* D)6m/a* E)7 m/a*

móvil A )V D)V/3

B)V/x E)3V/x

O 2V/X

La partícula mostrada para ir de “A"hacia "C "demora5a. ¿Cuál es el módulo de su velocidad media? AB=

o /T i a

BC=15%Í2m .

A)16cm/a B)6,8 0 1 2 D)18 E)24 Un móvil se desplaza de un punto N a otro M con una rapidez constante V y regresa con 3V también constante. Halle la rapidez media en todo el recorrido. A)1,5V B)18V O 10V D)1,8V E)20V lEn una carrera se quiere saber la rapidez media que tuvo al recorrer una distancia de 60 k m .

B3 El camino se dividió en dos tramos iguales, recorriendo cada tramo con rapideces uniformes iguales a 3 V y 6 V, respectivamente. A)V B)2V C)3V D)4V E)5V @ )U n auto se desplaza de “ A " a “ B ” con una velocidad constante de modulo “ V ” y retorna con otra velocidad constante de módulo “X 9*. Si para el recorrido de ida y vuelta su rapidez media es V/3, determinar ttX " (No considerar el tiempo que el móvil tarda en invertida dirección de su velocidad). A)Impo8Íble BJV/5 C)4VI3 D)2V/3 EJV/10 Un cuerpo tarda 2a para trasladarse de "A ” hacia “ B ” Si: AC= 3m; BC= 5m ,halle el módulo de la velocidad media en

A) 1,4 mis D )l,9

E D IC IO N E S R U H IN Ó S )

175

B)0,5 E )l,l

C)l,3

@ )H a lla r el módulo de la aceleración media si el tiempo de contacto entre la pelotita y la pared fue 3a. V=10m/a

A) VSen0(2 B)VCoaOÍ2 ^ D)VSen0l2 E)VCo aecSB A)lmía2 D)4mla2

B)2m/s2 E)6 mis2

C)3 mía

En el diagrama, para que el móvil vaya A hacia B emplea 2a, observándose que, en A, su rapidez es de 8mÍ8 y, que en B, es 4m/a, ¿Qué magnitud tendrá Jk aceleración media del móvil en éste

1200

A )2 jS o m¡B B)^ D )1 5 m l9

A)2y¡3 m/s2 B)4mfa2 D)6y¡3 mis2 E)5m/s2

OlOm/s2

Dos alambres rectilíneos se cruzan formando un ángulo de 60° y se mueven con rapideces

y BC=75m.

m is

C ) 6 m (•

E )5 ,3 m f t

•t?í» @ )U n escarabajo pa^te en A y sigue la trayectoria mostrada, llegando a B. Hallar el módulo de su velocidad media para el recorrido dado, si el tiempo que ha empleado es lOs. 8m

Si el móduj^p^Taífrelocidad de la partícula permanece constante, es igual . arr2m/a. Hallar la aceleración^media para ir de “A ” hasta “ B ” , si demora la.

A h o riz o n ta l

A)(i+ J3 j ) m/a2 B)(i- j)m/a2 C)(i + j ) mía2 D)(3i+J3 j )mla? E ) ( - i + j 3 j)m/a2

A)2f0 B)3,5 C)l,5 D)0,5 E)2,5 @)Hallar el módulo de la velocidad media de cierto móvil que recorre el trayecto ABC con una rapidez constante de 5m/s, AB = 100m

Dos barras idénticas se mueven con igual rapidez V y perpendiculares a sí mismas. Hallar la rapidez del punto de intersección de las barras.

constantes de 2^3 mis y y¡3m!s cada una perpendicular al respectivo alambre, Halle la rapidez del punto de intersección de los alambres.

A) y¡7 m/s B)2y¡7m/a 0 3 ^ 7 m/a D)4\¡7 mía2 E)5°j7 m/a2

Los vectores velocidad instantánea en los instantes .tt y t2 son

V¡= (2i +3¡j)mfa

V2—(6i+9j)m/St Si la aceleración media en este intervalo de tiempo At es (2Í+3j)m/a2 , determine At= (t2 - t ¡ ) e n segundos. AJO,5 D)10

B )l,5 E)12

C)2,0

Un automóvil circula por una avenida recta y se ha observado que la posición x del vehículo está dada por la ecuación x (t) = 6 t+ 12 (con t en segundos y x en metros). Determ ine el m ódulo de la velocidad media en m/a, del automóvil en el intervalo de tiempo desde t= 0 hasta t= 1 0 segundos. A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

176

@ S i la posición x de una partícula es descrita por la relación x=5t2+20t, donde x está en metros y t en segundos. Entonces, el módulo de su velocidad media entre los instantes t=3a y t=4s, en mis, es: A)320 BJ160 C)95 D)55 E)16 CUARTA*

4*

( Q ) C on una

rapidez

A) 2i - 0,5j

B) 2i - j

0 2Í + j

D) 3i

Un ciclista tardó 2 h en viajar

- 0 ,5 j

m Una pelota de ping pong rebota en el piso de manera que su velocidad antes del impacto es VAy un instante después es VB como se muestra en la figura. Si transcurrió 0¿2 a entre VA y VB. Determine su aceleración media (en m/s2) l*

constante de

2 m /s u n ciclista recorre 3 0 m y a causa de un obstáculo desvía su trayecto en 60° y recorre 5 0 m más. Calcular e l m ódulo

\ WA-2omi8

de la velocidad media.

W^lOmfs .53° 53°'

A)2mls B ) |

C) 1 D ) j

E )7 -

X A

A

( Q ) P o r u n a r e g ió n m o n ta ñ o s a u n

A) - 50(i + j )

B) - 50(2i + 3j)

ciclista sube con una rapidez de 5 Km /h y cu an d o d escien d e lo h a ce co n u n a ra p id e z de 2 0 K m / h n . C a lc u la r la rapidez m edia para todo el cam ino si los cam inos de bajada son de doble longitud

O -50(i-2j)

D )-5 0 j

que los cam inos de subida.

A) 5 Kmlh B)20 0 1 2 D)10 E)6 Calcular el m ódulo de la aceleración media para el tramo AB, el tiempo que tarda el móvil en dicho tramo es 4 8. VA=5 mis y VR - 4 mis

A) 2 i; 3450Í/61 B) - 2 i; 3450Í/61 O - 2 i; 118Í/61 D) 2 i; 118Í/61 E) 2 i; 3660Í/61 m Una partícula realizó el movimiento que se indica en la figura; demorándose de “A ” a 4tB ,f 2 8. Si conservó la rapidez de 6 mf s el módulo de la aceleración media fue:

Á

A)1 m/a2

E)10( - 4i + 9j) @ ) Un objeto resbala por el tobogán que se muestra. Evalúe el módulo de la aceleración media entre los puntos “A ” y “ B ” , si demoró 2 8 en recorrerlo y sus velocidades son las que se indican. A F = (1 5 i - 8 j ) m / s

i.--”

A) 1 mía*

con v=60i km/h de una ciudad A hasta B, y luego retornó hasta C a 2Km de A sobre la misma recta que une A con B. Si el viaje de retomo lo hizo con una rapidez igual que la ida, Calcular la magnitud del desplazamiento entre B y C, y la velocidad media en el tramo ABC, en Km y Km/h respectivamente.

B)2 m/a2 0 3 m/s2

/

40 _4 4

S

t

DJSs/Smi*2 E) 3^2 m/a2 Calcule la aceleración de una partícula para t —1 a, conociendo que su posición (en m ) con respecto al tiempo (en s) se da según la siguiente ley: r= 4 t3 - 4 t 2+8 A) 11 m/a2 B) 7 m/a2 O 8 m/a2 D) 17 m/s2 E) 22 m/a2

B) 1/2 m/a2 O 3/4 m/a2 D) 4 m/a2

E) 0 La figura muestra los vectores A

A

A

A

posición r¡=i+4j a r2=5i+$¡ de una partícula eñ los instantes tj=ls y t2=3a. Calcule la velocidad media en (m/s) en dicho intervalo.

A)12y¡12 m/a2 B)3-j2 m/s2 06yf2 m/s2 D)6 m/s2 E)12 m/s2 Una partícula tiene una A

velocidad de 3jm /s durante 3 segundos. Luego en los siguientes 4 segundos su desplazamiento es A

-3 jm y en los últimos 3 segundos A

su velocidad es de - 2jm/a. Determine la velocidad media (en m/a) durante todo el movimiento de la partícula. A) 0

B) 2 j O - 2 j D) 4 j E) - 4 j

(¡Y) La posición que ocupa un móvil se describe según la ley: r = í3 -3 2 if + 2 t - 6 r en m etros y t en segundos. Calcular la aceleración en el instante que el móvil pasa por el origen. A) 6 m/s2 B) 7 m/s2 O 8 m/s2 D) 12 m/a2 E) 1 m/a2 Un autom óvil se desplaza rectilíneamente según la ecuación: x = (2 t3 + t - 2 )m ; “ t **en segundos. Calcular su velocidad en t —2 a. A) 24 m/a B) 23 m/a O 0 m/a

EDICIONES MJHIÑOS)

177

D) 25 mis E) 13 mía

D) 4 mía2 E) 5 mía2

© Un insecto se mueve rectilíneamente y la ecuación de su velocidad es:

Un movimiento rectilíneo se da según la siguiente ley:

V „ = ( 8 t s - 2t) mía Donde “ t ” esta en segundos. Calcular su aceleración cuando su velocidad es nula. (Considere f>0) A) 2 mía2 B) 3 mja2 C) 10 mía2 D) 6 mía2 E) 4 mía2 Los móviles (I) y (II) parten de los puntos (-2 ; -2 ) y (7; 1) con velocidades (2i+3j)mla y (-2; 51+1; 5j) mía respectivamente. Determínese la posición de encuentro (en m). A) 4i + % B) 2i + 4j C) 6i + 4¡ D) 4i + 6j E) 4i + m La posición de un móvil a medida que pasa el tiempo, se define por: x = ( 5 - 5 t 2 -8 t)i m; t en a Calcular la diferencia de velocidades final e inicial en el enésimo segundo de su desplazamiento. A)10imla B)-¡Oimla C)10nimla 10

r= A t3+ B t+ C Su aceleración es 4 mía3, su velocidad mínima 3m!a, y partió en r= 2 m . Calcular la mencionada ley. A)rtí=t2- t + l B)rt =t-1 C)r„ =3t* - 2t+5 D)rtl =2t2+3t+2 E)rttt=7 Un auto “A ” se dirige al norte con una velocidad de 28 Kmlh y al mismo tiem po otro, auto “ B ” avanza con una velocidad de 60 Km¡h S 53° E. Calcular la velocidad relativa de “ B ” respecto de "A ” A )8 0 K m lh S 3 7 °E B )7 0 Km/h S 5 3 ° E C )3 0 Km/h N 3 7 ° E D/40 Km/h N 3ff> E E )60 Km/h S 53° E

Tres partículas 1, 3 s í» mueven con rapideces constantfes trV” , tal como se muestra] Eh el instante indicado en la figura, un observador ubicado en una de las partículas evalúa el intervalo de tiempo de retraso entre las otras partículas para llegar al punto de intersección de sus trayectorias. ¿Cuánto es ese intervalo de tiempo?

-

D) — i mía E)-5i mía n

A) >¡3LfV

@ El movimiento de una partícula en un plano horizontal obedece a la siguiente ley. x = St1 - 8t + 8 Donde x : e n . m - y t : en a En qué-'TO&uftfo y en qué instante su velocidad e^tiula^ A) 4 m ; 0,5 a ' B) 4,8 m ; 0,8 a C) 4,8 m ; 0,6 a DT8J2 m ; 0,8 a E) 17,6 m ; 0,8 a

B) LI3V C) 2L(V

A) 6m/a D) 8mla

B) 5m(a E)14mla

Un crucero se desplaza en el mar tranquilo con una velocidad de (60i + 80j) km/h. repentinam ente aparece una corriente cuya velocidad ( - 20i + 30j)kmlh . Determine la velocidad (en ^fftw^de la corriente de aire qurf^rfperimentan los pasajeros ofiel crucero. A) (40i+1 Í 0 j r B) (30Í+ C)(-t E)(~80i+50j) -AW Un auto de/feáplaza con una rapidez de 72 hmíh y el conductor ve caer laslgotas de lluvia en la dirección de la diagonal de la ventana que se encuentra a su izquierda. ¿Cuál es la rapidez (en m/s) de la caída vertical de las gotas? 2m 0,5m

A)2

B)3

C)4

8m 1*2

L

V

i

Dos insectos A y B se mueven en el plano de la mesa con velocidades constantes como se indica.

D)5

E)6

@ ) Dos automóviles se mueven por vías perpendiculares con rapideces constantes. A partir del instante mostrado, determine cuál es la mínima separación entre ambos móviles.

D) y/3LI6V E) LI2V

C) lOmla

i

!

8mh

a

(ÍJ) Una partícula desarrolla un movimiento rectilíneo en el eje X y la ecuación de su posición vs tiempo aS es: x = -----2ts+6t; donde: tsx " 3 está en m y *7"en segundos. Calcular la aceleración, cuando su rapidez es mínima. A) 2 mía2 B) 1 mía2 C) 0 mía2

Hallar la velocidad relativa de «A» respecto de «B» (en módulo). Y

ólSm/i o

A)2m B)4m O0,6m D)0,8 E)lm En el instante en que el automóvil desde el origen, inicia su m ovim iento uniform em ente acelerado en la dirección del eje X aparece un m otociclista con velocidad constante en la dirección

U SO 1 7 8 E f del eje Y, ¿Qué trayectoria aproximada, describe el automóvil respecto del motociclista? Yj

A) 10j;10j;10j parábola, recta, parábola B )-m -ld j;~ 1 0 j parábola, recta, parábola C)-10j;10j;10j parábola, parábola, parábola D) -lO j; - 10j; - lOj parábola, recta, recta E) Qj;Qj;CtÍ parábola, recta, parábola

A) Y

Dos proyectiles A y B se disparan al mismo tiempo desde el punto O sobre la superficie de la tierra, según se ilustra en la figura. Determ ine la aceleración y velocidad de A respecto de B en el instante en que B alcanza su altura máxima, (en m/s2 y m/s respectivamente).

C) Y

S)Y

U Excirj.QM’HDlA 2012) sistema (S*) en la posición (4 ;2 ) m . ¿Con qué velocidad constante se traslada el sistema S*? A)(2i + 2J)mfa B)(4i + 4j)m/s C)(-2i-2¡j)m /s

D)(^4i-4j)m /s

E) (4Í + 8¡j)m/a La velocidad de una partícula en relación al sistema O es V = 2i y en relación al sistem a O * es V' = i + j . Halle la velocidad de otra partícula, con respecto a O si su velocidad con respecto a O ' es 2 j . (Todas las velocidades están en m/s) A) i + j

B) i ~ j

D) ~ i - j

E) 3 Í - j

C) - i + j

La posición de una partícula eBtá d e s c r ita p o r d o s s is te m a s d e r e fe r e n c ia O y O *. D e s p u é s d e 2 segu n dos

VA=lOOmis Desde la base naval se observa que un portaaviones se mueve a 100 km/k en dirección Norte. Con el radar del portaaviones se determina que un avión esta volando en un plano horizontal a razón de300-12 km/h en dirección Ñor Este. ¿Cuál es la rapidez del avión respecto de la base? A)200kmlh B)300kmlh C)400km/h D)500km!h E)1000 km/h (g ) Tres personas están ubicados como se muestra: A en reposo, B en M RU con V B = 8 i m / s y C en Vc = 4im/a. De pronto B lanza una partícula P vertióalmente hacia arriba con rapidez de'16m/s. ••.'i^ Hallar: ~' ‘

g Vn=lOOmis

A)0;36,5(i - j)

B)0;50(i-j)

4

C)0;50yf3(Í-j) D)0;36,5( - i + j ) E)0;50(-i+j) Dos sistemas de referencia inerciales inicialm ente son coincidentes en su origen. Uno está en reposo y el otro se mueve a velocidad constante (3i + £J)m/s. Pasados 2 segundos, desde el sistem a m óvil se obsejva un partícula en la posición (lOi + 2¡j)m ¿En qué posición se observa desde el otro sistema? A)( 5i + 4j)m B)(4i + 8j)m D)(16i + 12¡j)m

E)(-16i + 12¡})m

II) Las trayectorias observadas por A, B y C. Considere ( g = - l Ojm/s2)

m o v im ie n to

la s

posiciones son 2i + 3 j . En relación a O y 5i + 7 j en relación a O9. Halle la velocidad con que se mueve O 9 en relación a O. Inicialmente (t=0), O y O ' eran coincidentes.

C)(-4i + 8j)m

I) Las aceleraciones ap/A, apm, a p¡c ¡ en respectivamente.

de

Dos sistemas de referencia, uno fijo y otro móvil se encuentran inicialmente en el mismo punto. Pasados la, desde el sistema «S» fijo se ubica una partícula en la posición (8 ; 6)m y desde el otro

•Considere que posiciones y velocidades están en m y m/s respectivamente. A)-l,5i + 2¡j B)1,5Í - Sjj C)l,5i + SJ D bl,5i + 2j E)-3Í +
EDICIONES KtJIILXÓSl

2A

A)(5i + 12j + 12k)m/a

A )- lOi - 2QjB)-7i + 16j C)7i + 16j

B)( - 5 i-2 ¡} + 12k)mls

D)20i + 10j E)10i+2Qj

C)(5i + 2¡j- 12k)mis

8 7 ) Sobre una plataforma que se

D)(5i - 2 ¡ j - 12k)mls

mueve a velocidad constante V = lOim/a, se realiza el siguiente experimento: A un cuerpo de masa 2 k g se le aplica una fuerza F = 20ÍN * se yuelve a hacer el mismo experimento sobre la misma plataforma en reposo y se aplica la misma fuerza al cuerpo. Halle la relación entre los módulos de las aceleraciones en ambas situaciones.

A)48Ím

B)63im

D)~48im

EJISim

C) - 63Ím

Un avión tiene una velocidad A de 20jm¡8 respecto a un observador en reposo y (10j+5j)n*¡8 con respecto a un auto que viaja con velocidad constante. Determinar la velocidad (en m/a) de un Helicóptero con respecto al auto, si su velocidad con respecto al observadores (5j+5j)m/aA)(l,5i - 1,0j )

B)(15i - lOj)

C)(1,0Í - l,5j)

D)(10i - 1 5 j )

E)(15i + lOj) El observador en O 9se mueve con velogjdad (3¡ + 4j)m;a respecto del observador en O. Si el observador en O 9detecta que sobre la masa m = l k g á'ctúa una fuerza F = (ti+2tj)N- « t » e n segundos, ¿Con qué aceleración (en m/a2) se moverá «m» respecto de O al cabo de 108? V

/

.

D)2

Á )7

E)4

[ELITES DELA TERCERA PRACTICA] S)B |/0jD M j0 3 m « fd ú w 2/)»J&)B|8J* m I B w 2 *)E l# )J W

[CLAVES BE L\ CUAKTA PMCTICA ] m

&)C m toe m W ím>)Klj¡U 8)0 i » m Wj m i

Tres móviles (1), (2) y (3) recorren la misma recta con velocidades constantes Vsji = 8¿mi* y Vas - 4Ímj8 Si se sabe que para un determinado instante « t» sus posiciones relativas s o n rs/i = 5im y raíz = lOim , Hállese 4a después la posición del móvil (3) respecto del móvil (1).

1

E)( - 5 i - 2¡j- 12k)mfa

Como la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s (a 15 °C), recorrerá 34 m en una décima de segundo. Por tanto, para que se produzca el eco el obstáculo debe estar situado , como mínimo , a 17 m del foco emisor. De forma que el sonido recorrerá 17 m para ir y otros 17 m al volver el sonido reflejado.

}

)

L m ----------

El matemático .fraftofip 0. Sturm y el físico suizo D.. Goíladon midieron por primera vez la Velocidad del sonido en el agua en 1826. Sturm golpeó una campana inmersa en un lago a la vez que hacía una señal visual a Colladon, quien usando un detector sumergido logró medir el tiempo que tardaba el sonido en llegar a la orilla opuesta. El valor medido fue muy cercano al aceptado actualmente a esa temperatura (unos 1440 metros por segundo).

mzTK

EL ECO Un curioso fenómeno relacionado con la reflexión del sonido es el eco. Cuando se grita frente a una montaña, se oye primero el sonido directo, y después el sonido reflejado en el obstáculo. Esta repetición del sonido se denomina eco y se debe a la reflexión de las ondas sonoras. El eco es el fenóm eno que se produce cuando las ondas de sonido rebotan en algún obstáculo y cambian de sentido. Nuestro oído es capaz de distinguir dos sonidos si llegan separados por 0,1 a o más. Si producimos un sonido frente a un obstáculo v el tiempo transcurrido entre la emisión de nuestro sonido y la recepción del sonido reflejada es mayor o igual a tina décima de segundo, nuestro nido percibirá dos sonidos distintos (eco).

El sonar es un instrumento utilizado en la navegación marítima. Se basa en las reflexiones de sonidos de alta frecuencia (u ltrason idos) em itidos por un dispositivo capaz de detectar los sonidos reflejados y medir el tiempo que tardan en regresar. Así, midiendo el tiempo que tarda en recibirse el eco y conociendo la velocidad de propagación del sonido en el agua, es posible determ inar la profundidad de los fondos marinos, detectar bancos de peces o la presencia de submarinos. Los delfines y otros animales poseen una especie de biosónar que les ayuda a vivir en un medio en que la visibilidad es limitada, además de utilizarlo para encontrar comida.

180

OBJETIVOS :

* Estudiar el movimiento más simple de la cinemática (M.R.U.) * Identificar la ley de movimiento rectilíneo con velocidad constante, aplicando métodos razonados en la resolución de problemas. INTRODUCCIÓN í Un tren de carga va por la vía a 40 km por hora. Saliendo de la niebla un kilómetro más atrás aparece un expreso que circula por la misma vía a 70 km por hora. El maquinista del expreso acciona los frenos y el tren frenado recorre aún dos kilómetros. ¿Se producirá el choque?. No hemos de hacer más que predecir las posiciones de los trenes en los instantes siguientes y hallar, en particular, si en algún instante se hallarán en el mismo lugar. Más generalmente, hemos de buscar las relaciones existentes velocidades, posiciones y tiempos. La parte de la Física que estudia dichas relaciones recibe el nombre de cinemática. La capacidad de movimiento constituye un aspecto importante en la vida. A veces nos resulta peligroso el movimiento de los objetos que nos rodean, especialmente si dicho movimiento es errático y sin gobierno, como el que observamos en un río desbordado, qn buracán o un automóvil que sale de la pista. En cambio^ el movimiento gobernado sirve frecuentemente a nuestras convivencias. El estudio de los movimientos dk loé objetos es necesario cuando se quiere comprender comportamiento y aprender a gobernarlos. Gomo la mayoría de los movimientos son muy complicados, será preciso comenzar con los casos más sencillos Resulta sorprendente los movimientos tan complicados que puede analizarse y representarse en funÉigp'de algunos tipos elementales, cuando se ha llegado a comprender estos últimos.

elocidad=4m/s ls

Is

ls

ls

éL J 8* V

4m

4m

4m

4m

I

El movimiento rectilíneo uniforme como su propio nombre lo indica es el movimiento más sencillo de

IA Ex w j w v o i A 2012}

todos, pues en éste, el móvil u objeto en movimiento describe en su trayectoria una línea recta (dirección constante) y mantiene siempre una misma rapidez. A esto le denom inam os m ovim iento a velocidad constante, en este caso tanto la velocidad media y velocidad instantánea vienen a ser la misma, por esta razón en este capítulo hablaremos de velocidad simplemente sin especificar. Lo mismo ocurre entre el módulo del desplazamiento y la distancia recorrida que también coinciden. En el caso del M.R.U. (movimiento rectilíneo uniforme) se da una proporcionalidad entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, cumpliéndose que para tiempos iguales las distancias recorridas deben ser iguales. En el M.R.U. la velocidad viene a ser lo que el móvil avanza por cada segundo, por cada hora, etc. Normalmente la unidad para la velocidad es m/s (metros recorridos por cada segundo).

V E L O C ID A D V R A P ID E Z Los conceptos de velocidad y rapidez merecen una atención especial en el estudio del movimiento; trataremos de abordarlos con el rigor que requieren y, por lo tanto, entenderemos que la rapidez y la velocidad, com o tales, corresponden a valores instantáneos. Si la rapidez de un automóvil es de 70 km lhy esta magnitud corresponde a la rapidez del movimiento del automóvil, en un instante dado. Así, en este caso, correspondería a la lectura que el conductor h ace cu an do observa el tacóm etro (« rapidóm etro») del tablero de su auto. El dato de 70 k m lh indica lo rápido que es el m ov im ien to y solam en te eso, aunque, cabe aclarar que en un instante en particular; la rapidez la entenderemos, por lo tanto, como una rapidez instantánea.

i Qué sucede si el conductor conoce la dirección del movimiento, en el momento en que efectúa la lectura? El conductor dirá, entonces, que el auto se mueve, por ejemplo, a 70 kmfh hacia el norte. Este valor con orien tación corresponde a la velocidad del auto en el momento de la lectura y entenderemos la velocidad

EMHCMOXES K U B IX O S i 181 fe® I) La trayectoria descrita por el móvil es una línea como una velocidad instantánea. Se deduce de lo anterior que , si la velocidad de un recta, entonces la dirección de la velocidad no cambia, . objeto es de 70 kmlh hacia el norte, la magnitud de por ello se llama "M ovim iento R ectilíneoM \p i o v d i i e n t o

i w h d d m i;

esa velocidad, o sea, 70 km/h, es la rapidez del objeto. Igualmente, se puede distinguir entre velocidad y rapidez (ambas instantáneas), atendiendo a su carácter vectorial y escalar, respectivamente. La velocidad es un vector porque tiene magnitud (70 kmlh) y dirección (norte), mientras que la rapidez es un escalar, porque posee sólo magnitud (70 kmlh); así, la rapidez es la magnitud de la velocidad. Si en un instante dado, un objeto se mueve a una velocidad de 30 m¡8 hacia el este, la rapidez instantánea del objeto será de 30 m/a y , simbólicamente, se expresa en la siguiente forma: V =30 mis; la velocidad instantánea se expresa como

II) Como su rapidez es constante y 2mfa, entonces; en cada 18 que transcurre, recorre 2 m, por ello, en intervalos de tiempos iguales, recorrerá distancias iguales. III) La distancia que avanza el móvil fes proporcional al tiempo empleado.

t = l s -> d = 2m t = 2 s -> d = 4m — , 2 — = V M 8 t = 38 d = 6m nr

V : 30 mis hacia el este. M O V IM IE N T O C O N V E L O C ID A D C O N S T A N T E

Consideremos un móvil que se traslada con una velocidad constante tal que su rapidez, es 2 mfa, sobre una pista rectilínea.

• Al movimiento que cumple estas características se le llama movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). IV) En este tipo de movimiento la velocidad media e instantánea son iguales y se mantiene constante. o b s e r v a c ió n

:

Uno de los objetivos más importantes en la mecánica es poder precisar la posición del móvil en cualquier instante de tiempo y para ello es imprescindible conocer la "Ecuación del movimiento". Veamos en el caso del "M.R.U." * Vector que se dirige al eje X +, tendrá signo "+" ó vector unitario “ ¿ **. V = +4m/s t'2=28

Obsi +2rn * ■+4m

x(m)

+ 6 ro

X2 = + 1 0 m 2m Se sabe que :

* f - x » = v (*-*»)

De los esquemas, se puede inferir:

•ecuación del movimiento para el M.R.U. (permite encontrar la posición del móvil en cualquier instante de tiempo)

U (+) : indica a la derecha (en el caso de la posición) y hacia la derecha (en el caso de la velocidad) * En el caso particular que hemos planteado: Xf = (+ 2 ) + (+ 4 )t

X f = 2 + 4t

O B SE R V A C IÓ N : l) Para dos móviles que tienen un mismo recorrido, se cumple que la relación de tiempos empleados es inversa a la relación de rapideces. ♦

E JE M PL O :

V=50m/s

* Tabulemos algunos valores: X(m )

t(8) X(m) 0 +2 1 +6 +10 2 3 +14 •

•

•

t

•

•

£jvriCJ.or£i>M gQi¿]

t=3k

“Gráfica posición vs. tiempo” (x-tí V=30m/8

+JO -

E N GENERAL: Si: d = constante, entonces Vjtj = V3t2 = constante W Para dos móviles, se cumple que para un mismo tiempo; la relación de sus recorridos permanece constante.

♦ También se puede obtener:

t(8) V(m/a) 0

V(m/s)> “Gráfica posición vs. tiempo”

+4

4m

4m

32m

+4

+4 +4

3 t(s)

De donde: Í-|M = E N GENERAL : ti

MOVMMENTO >

♦

<

R E C T IL ÍN E O U N IFO RM E Es aquel movimiento que realiza una partícula, donde su velocidad es constante, y por ende su trayectoria necesariamente es rectilínea, además:

III) Para 2 móviles, se cumple que para un mismo recorrido, la relación de sus tiempos empleados permanece constante. v

' • *

“Forma práctica de recordar la relación d = Vi”

«

* JL

•y‘

tu l

40a „ d S

6d 72b

& IO IW B C T T O mBCTBUCVMM VXIFGimMC

E D IC IO N E S RUM1IÑO&

Tff^S3

TIEMPO D E ALCANCE ( t x) Si un móvil va al alcance de otro que se aleja simultáneamente en la misma dirección, efectuando ambos un M.R.U. entonces el tiempo que emplea en alcanzarlo estará dado por la siguiente expresión:

EN G EN ERAL :

9 io v m

kxtos

s im u l t á n e o s

Son cuando dos o más móviles inician y terminan sus movimientos al mismo tiempo; es decir sus tiempos son iguales. 5 //. 5 //.

8a. m.

Diferenóa de jecorri los ddwnóviles en sim

TIEMPO DE

8a.m.

W e -jr

2p.m.

í

2p.m

5 p .n u

EN GENERAL Si 2 móviles realizan movimientos simultáneos,

Donde: L : longitud de túnel

entonces:

x : longitud del móvil

TIEMPO DE ENCUENTRO ( t j

V ; velocidad del móvil E JE M PL O :

Si dos móviles parten simultáneamente al encuentro, efectuando ambos un M.R.U., entonces el tiempo que emplearán en encontrarse estará dado por la siguiente expresión:

Un ómnibus tarda 10 segundos en pasar un túnel de longitud 30 m con una velocidad constante de 3,5 mfs. Calcular la longitud del ómnibus.

. d, + .d f= & -

R E S O L U C IÓ N : * El ómnibus ingresa al túnel Lr ’OM N

Pero; d = V I #

M

*4*

rrn

ib

// * El ómnibus atravesará al túnel cuando salga completamente ~77

V ¡ * # + Vjf x f = P

^>t(V^V2)=D

~7?

suma de los recorridos de los móviles en simultáneo.

*77*—

(

77

/7 7/ '

-7 7 -7 7

VA u

77

~77 ---------7 7 ---------

u

Y

CWN

f «cmjUffM

d recorrida ~ * L ommbus) “ ^OJCVX* =>30 + L 0= (35) (10) => L0 = 5m

N O TA :

OBSERVA CIONES :

Cuando necesites hacer cambios de unidades: de km lh a m ¡s o viceversa. Te recomiendo hacer lo siguiente:

1) Usar la "jEcuación E sca la r" cuando el movimiento se analice entre 2 puntos de una misma dirección, en caso contrario mejor use la "Ecuación Vectorial

IMPORTANTE: *2

- lOOOm ~h ~ 3600s 0km _ 5 m h 18 a

, km _ 5 m h 18 a m _ 18 km T ~ ~ F x ~h ~

EJEM PLO S : 5m • 54 km/h = 54% — —= 15 m/s 18a 18km = 36 km/h • 10 m/a = 10% 5h

ECUACIONES a) Escalar

LA FJVCUJ.wEQLl 2012} derecha del origen de coordenadas" RPTA : “E ” PROBLEM A 2 :

Dos autos se trasladan con velocidad constante tal como se muestra en la gráfica. Determine el tiempo que transcurrirá hasta 2) Si el movimiento se realiza en el que estén ju n tos "tiempo de eje IT* encuentro ( t e) H (parten en. La ecuación será: "i~ = ~x¿ + "V f — simultáneo) 2mla 8mf» (si trabaja con vectores unitarios) ó también x = x 0 + V t .„ (si traba­ te» ja con signos) 300m

3) Considerar:

A)20s B)15s C)30s D)40s E)1

•Vector que se dirige al eje X *, ten­ drá signo"+" ó vector unitario ” * Vector que se dirige al eje X ~ ten­ drá signo ó vector unitario

R E S O L U C IÓ N : * Graficamos lo que sucederá t. i. \2m/a

2m /8 i 8mf»

8m !sj

~ 99

SOIOm

b) Vectorial

—

desplazamiento

PROBLEM A 1 : (Ecuación

posición - tiempo) En p a r tic u la r :

Un auto se encuentra en la posición ~x~o = + 8m y se traslada con una ve­ locidad constante, a lo largo del eje X t con Vm + 20 m/«-

Ubiquemos al móvil en un eje Determinar, su posición al transcucoordenado. . rrir 3 segundos. A )^8m B )+ 1 6 m C) +42 m D) -64 m E) +68 m ■-_j-& x> * Sabemos que: d = V x f * Pero:

R E S O L U C IÓ N : Graficando: i

x = Posición inicial Xf = Posición final f= intervalo de tiempo transcurrido

ea

* Del esquema: e¡ + e2 = 300 2%te + 8%te = 300 10t.=300

t,, =r 30s RPTA : UC”

O JO : Otra forma de resolución, será tomando velocidad relativa de uno respecto del otro (manteniendo en reposo a uno). * Luego: V¡/2 = 2 i - ( - 8 i ) = lOi

lOm/a

D = x f - x¿■'-+ x f - x a = V t

Donde:

—

* Como el auto se traslada con velocidad constante, se trata de un M.R.U.; luego, en 3 s ha recorrido una distancia "d” ; donde: d = V x t = 2 0 x 3 = 60 m

* Entonces el chofer del 2do vera acercarse al otro con velocidad de lOmla , y 300m = 308 dem orará lO m l 8

fen

acercársele totalmente. * O T R O M É T O D O D E R E S O L C C IÓ M f P O R REGINA D E T R E S )

Ib

* Entonces, según el gráfico: x = (8 + d) = +68 m * "El auto se encuentra a 68m a la

auto una que

8m

2m 300m

[2w r .jR .iT .

EDMCMOXES KIJBLXOS)

Tiempo En la ) se acercan>

D) 5 mfa E) 6 mi» R E S O L U C IÓ N :

Espacio 2+8=10m

* Por regla de tres:

* Grafícando lo que sucederá:

K j ^ e-n qwrearae

t= 4 0 a

en el alcance

Un "tigre" persigue a un venado, sí cuando el tigre esta en "A", el venado esta en "B" luego de que tiempo desde el instante mostrado se produce el atóñ.oo^(Considerar su velocidades wnstames) f.r.V ’

. 300ro x ia =>** = — — = 30s * lOm P R O B LE M A 3 Un tren experimenta un M.R.U. avanzando con una rapidez de 36 km¡h. Si tarda 408 en atravesar completamente un túnel de 300m de longitud, determine la longitud del tren. A)200 m D) 150 m

B)100 m E) 400 m

* Grafícando: V jm & km íh

300m L * Como nos piden la longitud del tren, notamos que en los 408 empleados para atravesar el túnel, la parte delantera del tren recorre la distancia : (300 + L) -> Para la parte delantera del tren: (I)

S6m /s

40VA = 200 + 40(4) =>VA = 9 m/a RPTA : “B ” Otro método (Por regla de

R E S O L U C IÓ N :

V = Í-> V T = ™ ° ± ± t T 40 * además:

tfe 3 T --------------* Luego del gráfico, se aprecia: dÁ = 200 + dB 200m

C)300m

tres)

:

Tiempo Descuento de Ventaja la -> x - 4 40s En rrr r /v ,=> 2 x 200 = 40(x - 4) •=>x = í f mfá RPTA: “B ” PROBLEM A 5 Dos móviles A y B se están moviendo en sentidos opuestos con velocidades constantes VA y VB. En t = 0 se encuentran separados 120 m. Si los móviles se cruzan después de 70a, calcular después de que tiempo a partir del encuentro estarán separados 60 m . A)5b B)10a C)16a D)20a E)25a R E S O L U C IÓ N :

VT = 3 6 ^ - = 3 6 x ~ m ¡ a = lOm/a ...(II) h 18

PR O B LE M A 4

Va -4m¡a

w

3

V

200m

A) 2,8 mía

B) 9 mis

120m

Segundo caso:

Determinar la rapidez de "A” si éste alcanza a "B\ luego dé 40a desde el instante m ostrado. Ambos jóvenes desarrollan M.R.U.

C)6,4 mía

lOSm A/14$ B)12s C)l00 j))1 5s E)21a R E S O L U C fÓ N : * Graficaq4
p o s ic ió n d e a lc a n c e

* Recordemos que para un mismo tiempo, la relación de sus recorridos permanece constante, luego: T, t e tigre y— * s. /-------*- s — £-*• 105+20 35t e ven a d o 20+80 35t-105 * Al resolver, resulta: t = 25a RPTA : “D ” PROBLEM A 7 : Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco a los cuatro segundos y el siguiente a los 6 a. ¿Cuál es la separación entre las montañas? Considere la velocidad del sonido en el aire igual a 340 mis.

Primer coso:

reemplazado (II) en (I): ./ 300\L L = lOOm * 10 = 40 RPTA: “B ”

120t = 6 0 x1 0 -> t = 5a RPTA : “A ” PROBLEM A 6 ;

A) 680 m D)l700m

B)1120m E) 2160m

C)920m

R E S O L U C IÓ N : 60 m * Ahora consideremos el espacio recorrido por ambos juntos: Espacio Tiempo 10s u er caso ^ 120m

* Grafícando lo que va suceder: 340m¡» 340m

t>

) 2do caso) 6Om

t

* El sonido luego del grito va y

IA

viene haciendo el viaje de ida y vuelta en el mismo tiem po, entonces, se aprecia que la distancia entre las montañas será:

D)130 m

340x3 + 340x2 = 1700 m RPTA : "D** PR O B LE M A 8 :

Vmm Í80kmlh*5Qml»

En el instante mostrado, desde el automóvil se toca el claxon y la persona nP escucha el eco cuando el automóvil se encuentra en el punto "A". ¿Qué rapidez presenta el automóvil?

E)165 m

R E S O L U C IÓ N : Vs=340m/t

d e -d

U) FALSO: En un (M.R.U.) la velocidad es constante. Velocidad constante implica que tanto 6 U módulo (rapidez) y dirección 6ea constante.

50m

4 Se puede deducir, que: m o te

^

,

= Ts o n id o

3m fs

50 + e + e 340

1 = -------------- => e = 145m 4 Si la rapidez es constante pero la

P R O B L E M A 10

6e e A) 17m/a B) 28m/a D) 17,5m/a E) 34mla

—t

e C) 20m¡a

R E S O L U C IÓ N :

Indicar la veracidad o la falsedad de las siguientes proposiciones: JjEn un M.R.U. la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo.

dirección cambia ya no se experimenta en M.R.U. Esto ocurre en una trayectoria curva, por ejemplo: 3 m/s

II)S i la rapidez de un móvil es constante entonces describe un M IL U .

4 Graficando lo que va suceder: m uro

r M

T ra y ecto ria

4 Graficamos lo que va suceder:

V=0

“ >'í

Xnr'ÉCifMA 2 0 1 2 }

movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).

RPTA: “B ”

•m

FNCM4

•

A

*

III) La aceleración y la velocidad siempre tienen la misma dirección. A)VFF B)VFV C )W F D )W V E)FFF

3 m/s

III) FALSO: La dirección de la aceleración coincide con la dirección del cambio de la velocidad.

R E S O L U C IÓ N : I) VERDADERO : El recorrido (e) ♦ Se puede deducir que el auto uti~ es la longitud de la trayectoria lizó un tiempo hasta el punto "A?, descrita por un móvil y la distancia igual al tiempo que el sonido demo­ (d ) es el módulo del vector ró en ir y volver hasta la persona^ desplazam iento (~ d ) que luego: gráficam ente indica el cambio efectivo de posición. a u to

* p o n id o

e+ e+ 8e auto

340

=>y«mio = 34 m/a

RPTA : “E ”

posición fin a l

R P T A : UA $$

PR O B LE M A 9 : Un motociclista que lleva una rapidez de 180 kmfh se desplaza en línea recta dirigiéndose a una pared. Si el motociclista toca la bocina y la escucha luego de la . ¿A qué distancia de la pared se tocó la bocina? Velocidad del sonido = 340 mfa A)180m

B)145 m

C)265 m

P R O B L E M A 11 : Dos insectos vuelan con velocidades constantes en el mismo plano poste horizontal y están iluminados por un foco de luz y la figura muestra * En una trayectoria curva: e > d t la posición de los insectos para sólo en una trayectoria rectilínea / = Oa. Determine la longitud de donde el m óvil no cambia de separación (en m ) entre las sombras dirección, el recorrido y la distancia de los insectos al cabo de la . coinciden. Tal es el caso del

EDICIONES RlJItlNO^l R E S O L U CIÓ N : * Después de un tiempo 7", ocurrí rá lo siguiente:

A) 6 m B) 7,5m C)8m D) lOm E) 12m

* Ahora por semejanza de triángu­ los, se obtendrá: H 3Vt H 3 h 3 V t-V t~ * h 2 RPTA: “A ” PRO BLEM A 14 :

ilm R E S O L U C IÓ N : * Graficando, luego de 1 segundo

* Ahora, considerando la semejanza (base - altura), en el triángulo sombreado se obtendrá: Vmt - 2 t

V ,t -6 t

2L

L

=>Vm- 2 ~ 2V 9 - 1 2 => Vt = lOm/a

Un móvil recorre 300m con una cierta velocidad|flBBhstante. Si la velocidad hubyrajádo en módulo lOmls mayagpero observando su dirección. El tiempo empleado sería 1 segúndamenos. ¿ tieneiá joven? í^ljovt A) 60 m/a B) mía D j 20 mía E) lé'jnl J RESOL UC

Al decir: 7d¿tiempo empleado sería ls menos'1, da entender que la PROBLEM A 13 : diferencia entre los dos tiempos Un hombre de altura h caipiüá con empleados (en el caso real y en el rapidez constante V y es ilunpñaffa supuesto) sería 1 , es decir: por un foco que se encuentra a una coaoraol ^ca«o su p u tito ^ altura H (ver figura). Para que el ^ « r punto más adelantado de su sombra 300 300 en el piso avance con rapidez 3V, la V + 10 relación H/h debe ser igual a: 300V + 300 - 300V V(V + 10) RPTA : “E ”

/ $»\ :^3m . *

Smla sededuce

r

por semejanza/ de triángulos/

-

- , f _

J

/

r #

4

•

■

2m/«

*m '==••••J n r ^

im

* Finalmente por semejanza de triángulos: 4 + 2 = ----e ►e = 7,5m *rx 3+1 5 RPTA: “B PR O B LE M A 1 2 :

3000 = V (V +10) => V = 60m/a 99

Se muestran 2 velas y una pared, al encenderse, la primera 6e desgasta con velocidad de 2m/a y la otra con ¿Con qué velocidad decrece Jásombra de la✓ vela ubicada ' s ’ entre la pared y vela, proyectada sobre la pared? \ nY /

A) 6m¡8 B) 4m/a D)12m/a E)10mla

RPTA: “B

9»

PROBLEM A 1 5 : ‘\ 3 V

A )2

B )3

O 3

D)3

E )í 4

R E S O L U C IÓ N : * Graficando lo que va ocurrir, después de un tiempo 7":

3Vt

La figura ilustra las posiciones de los dos móviles, A y B, que parten en el mismo instante, con velocidades constantes, iguales a Í ^2 mía y 1,6 m/s, respectivamente. La distancia inicial entre los móviles es 40m . Determine las distancias recorridas por los móviles A y B respectivamente, hasta el encuentro.

A)24 m y 32 m B) 32m y 24m

\ E J ÍS iM m ± C)24J5m y 30m D)25,0m y Sljhn E)30m y 32m R E SO L U C IÓ N : * Se pide determinar las distancias de los móviles A y B hasta el encuentro. Del gráfico dado, se deduce que la única posición donde se encontrarán los móviles , es el punto P.

t s s a i s s .fiSSI R E S O L U C IÓ N :

U R E S O L U C IÓ N :

2012}

* En un instante, pasado "2" segundos la separación es:

* Graficando lo que va suceder:

50m 5 0 -4 1

4 t5 0 - 3 t

50m

• En la figura:

500m

* Ahora, por el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado: dg= (5 0 - 4 t)i + (5 0 ‘ 3 t ) 2 => d¿= 2 5 0 0 - 4 0 0 t + 1 6 t * +2 6 0 0 -3 O 0 t + 9 t * = > d ,= 5 0 0 0 - 7 0 0 t + 2 6 Í s

* Luego formemos un cuadrado perfecto en el lado derecho: d s = ( S t f - 2 x 6 + 70t + 70* + 100

• Del M.R.U. de cada móvil

-> VA'=VA + VHo= 1 8 + 2 = 20m/s VB'= V B+ Vrío = 12 + 2=14m/s * Luego en l s "A" le saca una ventaja de 20 m - 14 m = 6 m a "B", entonces en 10st le sacará una ventaja de d = 10 x 6 m = 60 m * Ahora para "A":

dA = VAx t = 1,2 2

= >d 2 = (Bt - 7 0 f + 100

dB = VBx t = i , 6t

* Entonces "d" será mínimo, si el cuadrado es mínimo (es decir cero), es decir:

* Del triángulo rectángulo d1 = dA* + dB*

* Si ~d* es mínimo, entonces (5t - 70)s debe ser mínimo, luego: ( 5 t - 7 0 ) f = 0 -> 2 = 14*

(4 0 f = ( l ¿ t f + (1,6 t ) * - * t = 20» -> dA = 24m dB = 32m a

RPTA: "A ”

* En aguas tranquilas: VA = 18 mi* ; VB = 12 mis * Pero como el río presenta una rapidez de 2mjs y las lanchas avanzan a favor de la corriente.

2 0 xl0 + 2 0 t = 500 MN

* Finalmente para la paloma: Vpx2= Vp *15=60+20(15)=>Vp= 24m¡s RPTA : UB

4

RPTA : “E ”

PR O B L E M A 1 6 : PROBLEM A 1 7 :

Dos autos parten simultáneamen­ te con velocidades constantes según* La rapidez máxima de dos lanchas muestra la figura. ¿Cuánto tiempo en aguas tranquilas son 18m¡s y Si ambas pasan después la separación entre ellos es 12mia. sim ultáneam ente frente a un mínima? observador, que se encuentra » < ■ * * 50m sentado en la orilla de un río que 7 •tí—r presenta una rapidez de 2mjs y 4m¡s luego de 1Os de la lancha de menor rapidez sale una paloma al 50m encuentro de la otra lancha, alcanzándola a 500m del lugar 3m/sA donde se encontraba el observador. Determinar la rapidez de la paloma (considere que las lanchas se dirigen aguas a abajo), con b u máxima rapidez. A) 8 mis B)24 m/s C)12 m/s A) 10* B) 12b C) 7s D) 6 m/s E)40 m/s D) 8* E) 14*

t=15s

99

PROBLEM A 18 : Dos coches partieron al mismo tiempo uno de ellos de A en dirección a B y el otro de B en dirección de A y cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir del instante de encuentro el primero tardó cuatro horas en llegar a B y el segundo 9h en llegar a A. Calcular la distancia entre A y B.

A) 108 km B) 36 km C)72 km D) 144 km E) 180 Km R E S O L U C IÓ N : * Graficando el movimiento de los coches.

d+36

23+36

189 t * Ahora recuerda que para un mismo recorrido, la relación de sus tiempos es constante, luego: - = - - > / * = 3
recorrido d + 36 d

por regla de tres: 6d = 4(d + 36)->2d = 144-+d=72 * Se pide: 2d +36 = 2(72) + 3 6 = 180km RPTA : “E ” P R O B LE M A 19 : El amigo "Bu-Bu" recorre la Vía Expresa. En su cam ino se encuentra con un "Ikarus" cada 10 min. y es alcanzado por otro cada ISmin. ¿Cada qué tiempo salen los Ikarus de su paradero inicial? (Todos van a velocidad constante) A)12,5m B)12m C)13m D)14m E )ll m

RUBIÑÓSi

E D IC IO N E S

PROBLEM A 20 :

P R O B L E M A 21 :

Una pista ABC tiene la forma de un triángulo isósceles de base 6 = 5000 m, y los lados de longitud L = 2750m. Otra pÍ6ta horizontal está paralela a la base del triángulo. Un auto sube con velocidad Vs = 70 kmlh que es el 75% de la velocidad con la que realiza la bajada. Un segundo auto avanza por la pista horizontal con velocidad VQ. ¿Cuánto debe valer V0 aproximadamente en mis t para que, partiendo en un mismo instante desde A y M, los dos autos lleguen simultáneamente a C y N respectivamente?

Una nave espacial ubicada en el planeta Marte manda señales de radio a tierra. ¿Cuánto tiempo más emplearía la señal en llegar hasta la tierra, cuando Marte está más lejos de la tierra que cuando está más cerca? Las distancias promedio de Marte y la Tiqjfjnl al sol son "dM y "dT” resp ec^ ^ ^ n tA

A) 192,,5 B) 94,5 C) 72,7 D) 61,2 E) 20,2

C : rapidezjde la luz. A)2^L R B É O LTJC IÓ N . ♦ Sabemos qu egtó^ P el planeta tierra como MarBPEfran alrededor del sol, describiendo órbitas elíptica^, ♦ Lué&o, las posiciones de los planetas en que se encuentran lo mas acercados posibles y alejados son: •narra Ufirit •

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

* Datos:

* Consideramos "e" la separación entre ómnibus y ómnibus. Luego:

70km/h= 75%V. ->Vh=93,3km¡k

i

* Nos piden: A t = t2 - t ¡

IRm in

* Del M.R.U.: At

C ) c RPTA: "A ”

PROBLEM A 22 : * En el ^¡jtcjuema hemos colocado los tigmpÓ6 *qpapleados por los "Ikarus", ¡ahora com parem os tiempos, cuando "Bu-Bu" emplea 15 min el “Ikaru" u tili¿3^ J5 - f , y "/ - 1 0 ", entonces plantearemos: Tiempo de Bubu

Tiempo del ^Ikarus”

15 10

1 5 -t t-1 0

-

---

>

* Además, para que lleguen simultáneamente se debe cumplir: p r im e r a u to

T iem p o d e l

M"

2750m 2750m + 70kmlh 93,3 km/h

16ft - 10)=10 (16 - 1) => Í6t - 160=160 - lOt =>26t=300=>t = 12 min

k i

500771

T iem p o to ta l d e l

por regla de tres:

RPTA

\,t ;t

2 d o a u to

5000m Va

* Despejando y transformando a m/s, resultará: V0 = 20,2 m/a >99 RPTA : “E ”

Un tren, después de 2h de recorrido, se detiene 15 minutos y vuelve a ponerse en marcha con una velocidad igual a 314 de la velocidad anterior llegando a su destino con un atraso de 33min. Si se hubiera detenido 7km más adelante, el atraso hubiera sido de S lm in . ¿Qué distancia (en km ) recorrió el tren? A)1000 km B) 183 km C)203km D)253 km E)187 km R E S O L U C IÓ N : * Considerando el tiempo en minutos, analicemos los siguientes casos:

I A flV f/rj.o rfctfM 2012)

190 * 2do caso:

3V casosupuesto* Og los * Ahora tomemos en cuenta el desprenderá: tramo de los 7km : x + L = 10x5 I) En el caso real: lo hizo con una 2 x + L = 10x9 velocidad de 3V, y se llegó con un x = 4 0 y L = 10 atraso de 33 min. Se pide 'T ', donde: II) En el caso supuesto: lo hizo para d cmcc también' con una velocidad de "4 V", y se llegó pueda conskterar la llanta trasera con un atraso de 31min. lOm/s O * D educción : por ir a "4V" se □ 13 □ Ü ahorró 3 3 -3 1 = 2 m in , entonces: DYGVLtr Estación *r- • v•

D iferen cia d e tiem po*

(D if e

tram o d e lo e 7 km 7

)

7

lO m

fi

30m

24

* Ahora de la parte superior del gráfico, se deduce que: 4Vt « 4V(120)+ 3 V (t-1 2 0 - 1 5 + 33) = > 4t= 480+ S t-306= > t= 174m in

* Se pide: 24 min

4.

7

3V 4V

4Vt - 4 x

Jncijentro

10

RPTA

U

A

ff

E N GENERAL: cru c*

VJ+ V,

— ► V = 45km/h

PR O B LE M A 2 3 :

B )3 s C )6 s D ) 9 b E )2 s

R E SO L U C IÓ N : * ler ca so:

velocidad de encuentro H

RPTA : " C ”

A) 4 s

* Ahora recordemos que para un mismo recorrido, las v e lo c id a d e s son inversamente proporcio­ nales a los tiem pos empleados:

3 0 k m x l0 m in = (V+30)4m in

xl74 min = 203km

Cuando un camión tráiler, cuya marcha se da a lOmfs, cruza un túnel, emplea 5s, pero si encontrara un túnel de doble tamaño émplearía 5». ¿En cuánto tiempo/es6 Ttráiler pasará por delante de una estación de 30m de anchoé

*• ' t 1

RPTA : " C " P R O B L E M A 24 :

PROBLEM A 2 5 :

Sale un tren hacia el Norte con velocidades 30kmlht luego de 10 minutos sale otro tren también hacia el Norte y con la misma velocidad ¿Con qué velocidad constante venía un tren desde el Norte si se cruzó con el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos con el segundo tren? A)35kmfh B)40kmfh C)45kmih D)50 kmíh E)55 km/h

Un portaviones avanza hacia el Sur a una velocidad constante de 60 kmlh respecto a tierra. En un instante dado (t~0) despegan de su cubierta dos aviones de reconocimiento , uno que va hacia el Norte y el otro que va hacia el Sur , ambos con una velocidad de 600 kmlh con respecto a tierra y en la misma dirección del movimiento del portaviones. Cada uno se aleja 200km respecto al portaviones y regresa a él. La relación entre los tiempos empleados en esos recorridos para el que fue al Norte y t9para el

R E S O L U CIÓ N : * Gmfiquemos la situación, en el momento en el que viene se cruza, con el 1ro que va.

*

Crar.jg.rz.

1 >1 1 9 1 lité»

E D IC IO N E S R U B IN O S l

que fue hacia el Sur) está por:

avanzará con la velocidad de la

A )t= 2 tt C )t= t%

escalera, y en J« , subirá: A

B )t= 2 tn D)tm= 3*,

de

30

R E S O L U C IÓ N : * Graficando lo que va suceder:

* Ahora analicemos para cada segundo, cuando la persona camina y la escalera en movimiento:

"

las

r = rQ+ V t

escalera.

T i ?

* Ahora considerando ecuaciones vectoriales:

En : t , = 2 En : t~=4

2Í = ñ +V(2)
4i = 2V

avance dt» la persona—i avance de la escalera en la

•Finalmente, se pide r ,para t= l r = - ¿ í + í? ¿ ) 0 ) => r 0 ) * Del esquema , se deduce que en 1 a, la persona camina: 1 1 3 -1 1 10 30 30 16 * Finalmente analicemos en la, cuando la persona baja, y la escalera funciona: lo que avanza en, la bajada, en la

t* =

60 0 + 6 0 6 0 0 - 60 * JL , ■ ,1

c t

200

,

tiempo de alcance tiempo de separación

200 60 0 - 6 0

A

200

6 0 0 + 60 A

tiempo de vuelta tiempo de alejamiento

* Finalmente, se pude apreciar que RPTA: “ C” PR O B LE M A 2 6 : %

Calcular el tiempo'que demora una persona en bajar camiriañdo por una escalera mecánica en funcionamiento hacia arriba, si parado sobre la escalera en funcionamiento demora 30a, y si camina hacia arriba sobre la escalera en funcionamiento demora 10a. A)16s B)30a C)20a D)10a E)40a R E S O L U CIÓ N : * Si lá persona esta parada,

La figura muest; Tetante t = 0 s en que dos nwwieg se mueven a lo largo deljgje a con velocidades constántes^aetermine la posición (en m )^dél móvil A cuando ambos nuevam ente se encuentran separados 100 m. A

En la baja

1

1_

30

30

* De los esquemas, se puede deducir: 200

PRO BLEM A 28

7mfa

A)100i D)-140i * Luego como en la baja — de 30

escalera, entonces toda la escalera lo bajará en 30a. 1 * la < > — escalera 30

1

E )1 2 0 i

R E S O L U C IÓ N : * Graficando lo que va suceder:

V,

=> 3 0 8 0

B)-120i

V2

v2

^ lOOi 1

escalera. RPTA; “B ”

lOOi

•

PROBLEM A 2 7 : Un móvil parte del punto A del eje X y se mueve con velocidad constante a lo largo de dicho eje. Si en el instante t t =2 a pasa por r¡ = ¿i y en el instante t2 = 4a pasa

V¡ = 7i ; V2 = -^¿ ; r2- r2 = lOOi * Luego de

F ¡ = 0 + 7 ! t

por 72 = 6 l, ¿dónde estuvo (en m) en el instante * = 1 «?

T, = n

A)_2i

B )-¡

C)0

O) ¡

R E S O L U C IÓ N : tp2s

1 0 0(Lafc i- 3 it

- í = - 1 0 0 l+ 1 0 it

lo o í=

* Graficando:

segundos:

- lO O l+ lO tt —

t= 2 0 s

* Se pide: ^ = o + 7i(20) = 140Í RPTA : "C ”

t^4» PRO BLEM A 29 :

Tres m óviles A , B y C se encuentran sobre el eje X en las

[J P X ^ g ^ C IA

ÜS£31 9 2 1&ST

posiciones xÁ=50 m , x g=100 m y xc = 200 m. Si en t=0a se mueven con velocidades VA = 20i m/a , V‘fl=30í m/a y Vc =-10im fa, determine en que instante estarán equidistantes (en s). AJO

B)1

C )2

R E S O L U C IÓ N :

D) 3

E) 4

%

4 Graficando lo va a suceder, luego:

* El primer instante en el cual equidistan es cuando ”F ' se encuen­ tra entre "A" y "C\ A B C s

— 7—

d

rM Ye De:: ~7 = ~ir0 +~Vt 4 Reemplazamos los datos.

‘ roAj50Í #roa ” tOOi •roc = 200i VB = 30i Vc = -lOi VA= 20i 4 Luego:

rÁ = 60i + 20H r¡¡ = lOOi + SOti r¿ = 200i-10ti

4 El desplazamiento de "A" a "B",

1A E S acj. qm-e d i A 2012} PROBLEM A 32 :

es:

En el instante t = Oa una partícula

d - B - A = ( 4 0 ;2 0 ;0 ) - ( 8 0 ;- 1 0 ; 120) = > d = ( - 4 0 ; 3 0 ;- 1 2 0 ) = > d = 1 0 ( - é ; 3 ; - 1 2 )

una velocidad V = -3im/a * otra 4 Luego la distancia, será: partícula esta en x = 7im y tiene d= +32 + (-12)* = 130m una velocidad v = ~7i m/a • Si las * Finalm ente, el tiempo de velocidades de las partículas se encuentro, será: mantienen constantes, calcular los instantes en los cuales estarán d * 130 t/i separadas 2m . * Vl + V2 ^ * 8 + 5 8 A) Sólo a loa 2a B)Sólo a la RPTA : “B ” C) la y 2a D) 2a y 3a E) la y 3a P R O B L E M A 31 : R E S O L U C IÓ N : 2 partículas se mueven en los ejes cartesianos con las siguientes leyes: 4 Grafícamos la posición inicial de las partículas: ^ = (3 -# ) * y r2 = (4 + t ) j Vj*3mJs = 7m/s Donde "t" esta en segundos y V" en metros. ¿Cuánto tiempo después de A) O iniciado el movimiento en t = 0 , su -3im 7im separación será 2 metros más que I) Observamos están separados 10 la separación inicial? m (inicialmente), y para que estén A) 3a B)4a C) 6a D) 5a E) 7a separados 2 m debe de ocurrir. R E S O L U C IÓ N : 1 er CASO : (tiempo de alcance) 4 Determinemos la separación en­ tre las partículas en 7 = 0 , es decir:

En la figura r B ~ r A " r C “ r fl

O = (3 rr0 )í = 3¿ = (3; 0 ) ; _ r ¡ = te + 0 ) j = 4 j = ( 0 ;4 ) => d ai r2 - r j = (-3 ; 4)=> d = 5

* Reemplazando y resolviendo: * Las velocidades serán: t= l8 f . *■ RPTA : V¡ * í p * = avanza a la izquierda dt PR O BLEM A 3 0 ^ * é\ * d t* Dos móviles que viqjan en trayéctoñas Vo = — *- = jf ^ avanza hacia arriba rectilíneas van con velocidades 2 dt constantes. Si parten en e] mismo 4 Graficando después de un tieminstante, uno del punto A ■=(40 ; 20; po t . ( ) (0 ;4 + t ) 0)m hacia el puntí^B =* (80; -10; 120)m con rapidez d^S m/a y el otro va de B hacia étgon rapidez Smfa. Determine el tiempo necesario para que ambos se encuentren. A)6a B)10a C)4a D)3a E)2a M ili

R E S O L U C IÓ N : \ Graficando:

(3 -t;0 )

-10.120Í

se encuentra en ^ = - 3 jm y tiene

f

£

separación finaflesto ocurre t antes del = 19—^=2* J alcance

7 -3 2 ° ° CASO : (tiempode separación) T s -^ S a s 7 -3 4 Esto ocurre después del alcance

RPTA : “D ” PROBLEM A 33 : Un m óvil que se mueve con velocidad constante, parte de la posición ¿ i + 3 j + 2k y después de 2a pasa por la posición 2i + 5 j • Determine su desplazamiento (en m) entre el 3er y 4to segundo de su movimiento. A )i + 3 j - k C) 3 j + k

B) 2i + 2 j - k D )j-k

(3 :0 )

* Luego después de un instante "í", la separación, será: V (# -3 )2 + (4 + t)* = 7

R E S O L U C IÓ N : 4 De loe datos del problema :

70 = (2 ;3 ;2 ) 4 Durante A t=2a ; r¡ = (2 ;5 ;0 )

* Resolviendo : i = 3 R PTA: “ A ”

4 L a v e lo c id a d m e d ia s e r á :

ÍP M -K .IT . v

n - n .j z 5; 0)-(2; 3; 2)

"

A 2 * La posición en cualquier instan-

E D fC iO m S RUBt&ÓS 1

19X

B ü

C) 5 m/s D

A) 12 m/s B)6m/s )36 m/s E)18 m/s R E S O L U CIÓ N :

•Grafiquemos después de un tiem­ po :

te será: í ^ = £ + v£* * Se pide: ~d =

- r u -ít = t í + V*

V.t

- [ r . + V., ( 3 ) ]

p a re d

=»T =^ =(0;

tra z o a u x ilia r

RPTA : “D ”

triá n g u lo s

P R O B LE M A 34 : Los móviles A y B se están moviendo sobre la misma recta con velocidades VÁ -

1(H ~ y VB = -25Í ”

'< V _____ Y "® s f i . v.» -W ^ 4 / : }2m__ ^

.

En el instante t=O s, A y B se encuentran separados Ikm y 20s después A se malogra y pierde 10s en continuar el viaje, con la misma velocidad. ¿Cuál es el tiempo (en s) dé retardo en el encuentro de A y B A) 12 B) 10 C) 8 D )6 E) 4 R E S O L U CIÓ N : * Graficando lo que va suceder: punto de encuentro si no hubiera desperfecto

10m¡8

ae deduce p or\ l semejanza de / s

ISm/s

lOOOm

* En esos 10s, el auto M A" se quedó, 1 0 x l0 = 1 0 0 m , del punto de encuentro (si no hubiera desperfecto).

V.t

lOt

* Finalmente por semejanza de triángulos, en los triángulos sombreados, se obtendrá: ío t -

4 t

L -r

Yjlí

6 =2

PRO BLEM A 36 : 2 autos parten simultáneamente desde un mismo punto con velocidades constantes de 5 y 8m/s respectivam ente en el mismo sentido tales que sus direcciones forman 00° entre sí. ¿Qué distancia los separa luego de 2Os? A )1 3 0 m D )8 0 m

B )3 0 m E )4 3 m

C )7 0 m

R E S O L U CIÓ N : * Grafiquemos luego de 20s:

* Entoncggj^retardo, será tiempo que utiliopn ambos en recorrer: 100 m , es decir: V s? 100 = 4s ¿ t s ---------10 + 15 , RPTA : “E ” PR O B LE M A 3 5 : r Paralelamente a una pared, se mueven en el mismo sentido, un atleta con una velocidad de 3m/s y un auto, con faros encendidos, con una velocidad de 20 m/s. Sielatleta dista del auto en 2m y en 6m de la pared. ¿Con qué velocidad se moverá la sombra del atleta proyectada en la pared?

PROBLEM A 3 7 : Dos ciclistas A y B parten simultáneamente desde puntos opuestos de un camino recto , separados por una distancia d. Sean VA y V B las velocidades constantes de los ciclistas A y B, respectivamente ; ambos ciclistas se encuentran a l } cabo de un minuto. Si V^rnSm/s y la distancia recorrida pofel ciclista A es igual a del ( 7 ) ^ ’ en^ nceB la veloci ciclista A(VÁ) y la dista: A) 1,7 m/s y 4,0 x 1 B) 20 m/s y 4,8 C) 15 m/s y 1 D) 10 mis y 2,4 E) 3,3 m/s y 0 X 10* m. R E S O L'-tU C IÓ N : Graficando : Vm=5 m/s t B A* A 4d B Podemos deducir que: eA = 3eB entonces:VAt-3Va t => vA= sVH Va = 3 (5 m íe) => —d = V Rt = 5 m/&x 60 9

4

=> d - 1

B

200 m

RPTA : “ C” PR O BLEM A 38 : Una avioneta tiene una velocidad de 120 km/h respecto al aire. Haj' viento favorable de 40 km/h. ¿En cuánto tiem po recorre una distancia de 320 km ? A )l,5 h B) 4,0 h C )2,0h D) 2,5 h E) 4,5 h R E S O L U C IÓ N : Para determinar el tiempo en que recorre 320 k m , se tiene que bailar la velocidad del avión respecto a la Tierra. VAfaire= 120 km/h Dat°s: Vaire =40 km/h =V v A ja ire + Va¡n

* Ahora por ley de cosenos:

VAJt¡erra=1 2 0

x = y¡503 + 8 0 * - 2 {5 0 )(8 0 )C o s 3 6 0 9

d = vt

RPTA : “ C ”

x 1 0 3m

1 6 m / § a 1 , 2 x 10*771

A/tierra

= > x z= J 4 9 0 0 = ifx = 70 m

=> VÁ=15 mi*

+ 40 = 160 km/h

320= 160t =>t=2h RPTA : “ C”

Ü P f .S J C A

LA

pro rlem a so i La araña puede desplazarse con una rapidez constante de 2cm/a y la m osca ha quedado atrapada en el punto que se muestra. El menor tiempo posible (en t ) en que la araña puede llegar a la posición de la m osca es: A) 21,6 \ B) 21,0

t

C)20,4

j « « ;

Dj 20,0

..............................

..............................

E) 19,6

RESOLUCIÓN t Para un mejor análisis estiramos la caja.

automovilista que avanza en el mismo sentido a 75 km lh lo sobrepasa, midiendo que el tiempo que tarda para pasar de la cola a la cabeza del tren es de 10 segundos. La velocidad del tren , en km lh , es: A) 36,5 B) 39 C) 42,5 D) 45 E) 48,5 R E S O L U C IÓ N : * Piden la velocidad del tren en kmlh. * Longitud del tren: 100 m

escjvj .o i ’ü d i A

2012]

Y(mk 120

•

!• • • • « • * • • • • • • * . M

X M

»

4(30)

99 X(m) 3(30)

apartir del m ó d u lo d e ia v elocid a d expresamos en su forma vectorial. V=(12;16)m la

* Velocidad del automóvil: 75 kmlh 30 cm

I i. . . cM

I

* Tiempo que tarda en pasar al tren, desde la cola del tren = lOs.

T

"fis f y ? I; I

Ú

1

AL

* Considerando que los móviles se desplazan con velocidad constante , observamos :

42 cm

Para que la araña pueda alcanzar a la m osca debe recorrer 42cm donde: 2

,53o

=> i = 21b

H

„

12 Fíjese para el instante t= I 0 s su posición r * (9 9 ;1 2 0 )m , reemplazando en (I): (9 9 ; 120) = r 0 + (1 2 ;1 6 )(1 0 ) r 0 = (-2 1 ;-4 0 ) = (-2 U --44u0jjm j)m RPTA / “ C ”

L * 100 m 75km;M**r==

V

16

PROBLEM A 3 3 i

vtwuf\í4r

Dos m óviles 4 y B inicialm ente están

RPTA i “B”

PR99LE9U4 3 0 1

u b ic a d o s en las p o s icio n e s X

Un automóvil que se m ueve a rapidez constante de 10,0 mi» emplea ¡5 ,0 a para atravesar un puente de ¡4 7 m de longitud. ¿Qué longitud tiene el auto?

y X a - 20 im ; el móvil A parte con una

A )2,0 m B j 2 ¿ m O £ 6 m D ) 4 , 0 m

E ) 3 ,0 m

RES9 1 UCIÓN /

Y "0,lkm +

velocidad V a = -Simia y 3s

t = is.

A) 3

B )4

1

v.

= JO mía

* Del gráfico obtenemos : vAt = 0 ,l+ v t * t

t~T

>vt =39 km/h

L+147 = 10=> L + 1 4 7 —150 => L = 3 m 15

RPTA t “E "

PR O BLEM A 41 : Con el objeto de medir la velocidad con la que avanza un tren de longitud / = 100m , un

I

B) 18

A ) 9¡

120

B) -1 2 j

3

80m

4

dÁ+20 + dñ=80 =>07'+ 4 (T - 3 ) = 60=*T=6a RPTA / “ C " PRO BLEM A 3 3 1 99 X(m)

R ESO LU CIÓ N t Nos dicen que el móvil presenta una rapidez constante de 72kmjh es decir 20m l» Com o desarrolla un MRU, la e cu a ción d e su movimiento estará dado según: .

r = r9 + V t

f**T

Se puede apreciar que para el instante / = T am bos móviles están separados 80m. Antes cabe recordar que d=V /,de la figura:

Km;

E ) -3 2 Í-1 0 J

/«3 »

8mtt ]4

La figura muestra la posición en el Instante 1=Í0b de un móvil con MRU. Si el móvil tiene una rapidez de 72kmlh, halle la posición desde donde inicia su movimiento.

D ) - 9 i - 12 j

t

í-0

T

RPTA t “ 9 ”

C ) - 2 l l —40j

‘A=—10

D /12

U bicam os a los m óviles A y B en sus posiciones iniciales, tomando en cuenta que el móvil 4 parte d esd e el instante /= 0 . mientras que B lo hace 3s después.

PROBLEMA 33 i

leí auto tam bién tie n e una rapidez onstante de 10 mía., t htonces aplicamos:

C) 6

RESOLUCIÓN i

7 5 x — = 0 ,l+ v t x 1 360 360

e deduce que la parteTx*teiÍor (punto A )

después el

móvil B parte con velocidad V b = 4im¡a Después de cuánto tiempo (en s ) de haber partido el móvil 4. estarán separados 80m.

lv„=75km jh

d Á= o ,i+ d,

A

í

«k

Nos piden la longitud del auto, la cual lo denotaremos con L. Debe considerarse que el auto cruza el puente en su totalidad. Esta situación lo graficaremos así:

-O

a

*#•(I)

Dos móviles inicialmente separados 150m se mueven en sentidos opuestos y a rapidez con stan te. Si al c a b o d e 10 a ellos se encuentran, ¿cuál es el tiempo que Uene que transcurrir para que se separen 60 m a partir de dicho encuentro? Aj6,0a

B/6,0»

C )3,0a

E M C M N E S R D H tX Ó S l D )2 ,0 b

Ej 4,0 s

RESOLUCIÓNi * Grafícando las situaciones mencionadas : /*• situación: Se muestran los móviles desde el instante en que están separados 150 m hasta que sucede eJ encuentro.

A) W V D) FFF

El joven oye el sonido hasta el instante en que se encuentra con al última molécula del sonido a partir de la posición mostrada. d

*2S£b

*B

=> t mnido oye t i

M

3 4 0 (0 ,7 ) 340 + 1 0

’o y t t i so n id o

v AA+v, 1 O 3 4 (7 ) = 34 350 50

R E S O

L U C

B) VFV C) FVF E) F W IÓ

N

t

I) FA LSO : 2 m/s

= 0 .6 8 »

7 m/s

to n Id o

RPTA./ C PROBLEMA 40 s

La v e lo cid a d no constante en una t

Una partícula se desplaza de A a B con d¡ = 150m

2 .a situación: Desde que se encuentran hasta que están separados 60 m.

velocidad v ¡ = Simia . en B se detiene 0,5s y luego se desplaza de B a C con MRU. ¿Con qué velocidad debe ir de B a C si la velocidad media (en m/s) de

6m

4"Si'-

Si la v e lo cid a d (rapidez y dirécción) es .f'c o h s tá n fe n ecesa ria m en te la trayectoria es rectilínea. III) FALSO:

B

A ) ~12i

V,

« ¡a *A'

t

I V

B ) - 18i

g)

Analizando la última de las situaciones.

D ) - 12$

X

Se nos pide hallar t.

E ) -1 %

* Del gráfico observamos que:

RESOLUCIÓNt

B (=0,89?

dB+ d A= 60 =&vBt+ v At= 6 0 60

vB+ v A Analizando la primera situación.

<*»-

S e d e tie a é Ó f

= 3 m /a

t(v „+ v i )= 6 0 => / =

RPTA./ C

(I)

PROBLEMEA40 i Una partícula se encuentra en t4 = 2$ en la

Para hallar el tiem p o d e en cu en tro, utilizamos: V .+ ü

en la posición r = (8 Í + 8 j + 8 k ) m ; si el movim iento que efectúa la partícula es MRU, halle su desplazamiento (en m) entre/, = 3s y t2 = 8s.

cl~{6¡-6)

VA + VB

vá+ vb=15

* Reemplazando obtenemos:

(II)

mis.

el valor de (II) en (I),

^0

A

posición ro = (2 i + 4 j + 6 k )m y en t = 4a

150

10 =

.

.

i = — ^ t= 4 15

PROBLEMA 03 i

b

RPTA i “E”

Desde el poste se emite un sonido durante 0,7 s. Determine dyrante que intervalo de tiempo el atlet&óue experimenta un M.R.U. escucharáeísonido. (Vt |Y = 340 m is) 1 0 m/s

Nos piden determ inar )a v e lo cid a d constante en el tramo de B hada C, si se sabe que la velocidad media de todo su movi mi ent o de A hasta C es

L U C

IO

N

9^

tto.ta l

+

4

-

( e -

10

(

■DOOOOOOOOOO 340- l

V L = 340 (0.7) m

m/s

E ) 10Í + ÍO j' + 16k

tAB

s>

+ *ac

t0 = 2 a = > r o = ( 2 i + 4 j + 6 k )m

BC=3=>^*- +0,5+^ = 3 AB

t = 4 a = > r = (8 i + 8 j + 8 k )m

BC

:

Vfir

RPTA /

" 5 "

PROBLEMA 47 i La veracidad (V) o falsedad (F) d e las siguientes proposiciones.

s

ÚLTIMA MOLÉCULA SONIDO

D ) 15i + 15j + 5k

Nos dicen que la partícula para los instantes se halla en la posición.

V bc = ~12jmla

R E S O

C ) 15Í + 10j +■5 k

Donde:

C om o esta dirigido verticaimenle hacia abajo.

C j 0,68 9

B ) ISi + 10 j + lO k

RESOLUCIÓN/

8

BJ 0,34 m E ) 1 ,0 2 s

A ) 10Í + 1 0 ) + 5 k

V* =(2;-2)mis.

—+ 0,5 + — — = 3 => —— = 0,5 => Vm; - 12m¡9

A ) 0,17 s DJ í 9

Cuando la rapidez del móvil es constante no 2 rrvsn e c e s a r I a m e n t e experim enta un M.R.U.; su trayectoria puede ser curvilínea.

C ) 1 2 i - 2¡j

I

60m

6m

Y+

esariam ente es rectilínea.

11) VERDADERO

todo su movimiento desde A hasta C es (2i-2j)m fa?,

«y * ,? -

I) Si la trayectoria es rectilínea, necesariamente la velocidad es constante. II) S¡ la velocidad es constante; entonces necesariamente la trayectoria es rectilínea U l) C uando la rapidez de un móvil es constante necesariamente experimenta un M.R.U.

C om o la partícula desarrolla un MRU. entonces su velocidad estará dada com o: y = Ar M

r -r 0 t-t0

( e i + 4 j + 2k) t . -\m V =i j L= ( s i + 2 i + k ) ~ Pero

nos

p id en

determ inar,

el

desplazamiento d desde tt = 3a hasta i2 = 8a , es decir en el intervalo de tiempo A t= t¡ - t j = 5 a ,

com o

la

partícula

desarrolla un MRU, entonces: d = V A t => d = (3 i + 2 j + k ) ( 5 )

=>

= (15¿ + 10 j + Bkim K m

uC"

Ü T M S IJ tC A

¡A

m Identifique la veracidad (V) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones: _ (Completar:

i? Una partícula tiene velocidad A) En el M IL U. el móvil se mueve constante cuando su rapidez es en una trayectoria ............... ; constante. recorriendo en tiempos............. I I ) Cuando una partícula se mueve J?/En un M.R.U. la velocidad del móvil se mantiene.....................

con M R U la trayectoria y el desplazamiento son iguales.

O La velocidad es constante si su módulo y dirección.................. cambian.

/ / / / l a velocidad apunta en la dirección del desplazamiento A)FFF B)VFF C )F W DJVFV EjFVF

D )E \ módulo de la velocidad se define: Velocidad =

tiem p o

t

(íTí) Dadas las proposiciones:

siguientes

( /E l desplazamiento es un vector.

E ) Indique las unidades de: Velocidad:............ Distancia recorrida:............. Tiempo: F) Complete: V ®

id ®

s

e

¡

t*

G) Para convertir la velocidad de km/h a m/s: km

m s

y la velocidad de kmlh a mis : m

km

s h H) La velocidad de la luz es de..... .y del sonido en mis. I) Un auto con Af.i2./¿'posee una velocidad de 10 mis, entonces en el quinto segundo recorrerá. ...... ...... . @)complete la siguiente oración: “ En el movimiento........................ el desplazamiento y la velocidad son siempre..................... ” . A) rectilíneo, perpendiculares B) rectilíneo, colineales C) desacelerado, codirigidos D) curvilíneo, iguales El acelerado. opuestas

( /E l cambio de posición de un m óvil viene dado por el desplazamiento. ( /la longitud del vector desplazam iento nos indica la distancia existente entre el punto de partida y el punto de llegada. Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda A) VFF B)VFV C )V W D )F W E)FFF Relacione, correctamente: DMJLU. II) 18 kmlh III) Tiempo de encuentro y tiempo de alcance

E X C M íj.

£012}

( ) La velocidad puede ser cero en algún instante. A )W F B)VFF C)VFV D )W V E )F W Indique con V (verdadero) o F(falso) según corresponda: ( / L a rapidez en el MRU es constante. . ( /L a velocidad en el MRU puede cambiar de dirección. ( ) En el inicio del M RU la velocidad puede ser nula. AJW F B)VFV C)VFF D )V W E )F W Una rapidez de 72km!h es equivalente a una rapidez de: A)10 mis B)15 mis C)18 mis D)20 mis E)25 mis Un auto que viaja a razón de 90 km lh desarrolla una rapidez de: A)18 mis B)15 mis C)20 mis D)25 m/s E)30 m7s (Q )U n tren que recorre una distancia de 30 metros , en cada segundo, posee una rapidez de: A)36 kmlh B)54 kmlh C)72kmlh D)90kmlh E)108kmlh @ ) A qué distancia de B se produce el alcance (E) del auto y el peatón, sabiendo que partieron simultáneamente de las posiciones mostradas? 2m!s 52m!s

A ) Fórm ulas Particulares B) 5 mis C ) Velocidad Constante A )IC ,U B J IIA B)IA , I I B , IIIC C)IB , IIA , IIIC D)IC, HA , IIIB E)IA , IIC , IIIB Indique con V(verdadero) o F ( falso) según corresponda al MRU: ( / Se recorren distancias iguales en tiempos iguales.

-2 0 0 m

A)8m B)7m C)6m D)5m E)10m ¿Cuánto tiempo después de la partida simultánea el móvil A alcanzará al móvil B? Omjs 2mls A ~B

( ) las distancias recorridas son proporcionales a los tiempos empleados.

A)12s B)13s C)14s D)l5s E)16s

EIH CIO XES RUItlXOSl (Q)Despues de qué tiempo de que partieron simultáneamente el móvil A alcanzará al móvil B ? *3 6 m }8

20m/a

288m

A) 14s B)16a C)17é OjlSa E)19a Un auto se mueve a razón de 72 kmlh. ¿Cuál es su rapidez en mis A)10m!8 B)15 C)20 D)25 E)5 Una hormiga corre a razón de 20cmls al lado de una regla graduada en centímetros. Cuando hayan transcurrido 30a, ¿en qué marca se encontrará la hormiga, si inició su movimiento en el cero? A) 100 cm B)200 0400 D)600 E)800 (Q)A 170m de una persona se produjo una explosión. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 mis, ¿después de qué tiempo lo logrará escuchar? A)ls B)2 0 3 0)0,5 E)l,5 Un tren de pasajeros avanza a razón de 72 kmlh y demora 15 8 en pasar delante de una persona ubicada en tierra. ¿Cuál es la longitud (en metros) del tren? A)100 B)200 0 3 0 0 0)450 B)150 Marión, un joven estudiante, desea saber a. qué distancia se encuentra^], cerro más próximo, para lo cual emite un grito, y cronómetro en' paño, comprueba que el eco lo escucha luego de 3s. ¿Cuál es esa distancia' en metros A)510m B)170 C)340 D)680 E)85 Una escalera mecánica de 28 m de largo traslada a los pasajeros a razón de 0,5 mis. ¿En qué tiempo un pasajero pasa de un piso a otro? A)28a B)56 C)14 0)112 E)7 £?)Dos atletas salen juntos en la misma dirección con velocidades deVJ=4m/a y Vg=6m/8. Después

de i min ¿qué distancia los separa? A)100m B)120 0140 0)60 E)600 ^^U n m óvil avanza uniformemente en línea recta una distancia de 1800 m. Al cabo de 90 s, ¿cuál es su velocidad en km/h7 A36 kmlh B)72 018 0)54 E)108 Un helicóptero y el auto experimentan un MJLU a partir del instante mostrado , determine la distancia que los separa transcurrido ls. 20mls

40m!s

10m/8

a.

► A)30m 0)60

050

Dos personas “A " y “B " están separadas una distancia “ x ” , en cierto instante " A " dispara una bala con una velocidad de 170 mis en dirección del blanco que se encuentra junto a **.B *\ Si t4B " escucha el disparo y 3 8 después percibe el impacto en el blanco, determinar “ x ” . (velocidad del sonido = 340 mis) A)l 020m B)340 0380 D)850 E )1200 &3}La figura muestra el instante t=O s , en que dos móviles se mueven a lo largo del eje tfX ” con velocidades constantes, determine la posición (en 4tm 99) del móvil “A " cuando ambos nuevamente se encuentran separados 100 m. á . 7mis x= 0 A) + 70m O )+180

0 )2

@ )D os móífles "A ” y “ Bffifrjgstán moviendo en sentidos opuestos con velocidades constante&l\ ^ yV ?flen t = Os se encuentraxnseparados 120 m, si los móvile^se éruzan después de 108, calcular después de qué tiempo a ¿partir del encuentro estarán‘separados 60 m. A)5a B)10 0 1 5 0)20 E)25

9

60m B)40 E)45

@ )U n a motocicleta se mueve con una velocidad constante de 50 kmlh hacia un automóvil que se encuentra en reposo pero cuando se encuentra a 600 m del automóvil, este parte con una velocidad constante de 20km fh. Hallar a partir de ese momento el tiempo que tarda en alcfljjjbr el automóvil. A )l,8 min J l B)0,6 O l¿

@ )D o s insectos vuelan con velocidades constantes en el mismo plano horizontal y están iluminados por un foco de luz y la figura muestra la posición de los insectos para t = Os. Determine la longitud de separación (en t4m 99) entre las sombras de los insectos al cabo de 2 a.

01 ’2 m 4m{a \1 m 3mla Jm A)16m

B)30

012

5m

x(m) 5m

x=100 0 + 140

E)18

@ )D o s m óviles parten simultáneamente con velocidades constantes según muestra la figura. ¿Cuánto tiem po después la separación entre ellos es mínima? 4m!a

3mls B

B)+210 E)+105

0 )2

3mla

lasa 19 8 A )l¿a B)0,7 0 1 , 4 D)0,6 E )l,6 @ ¿ Q u é rapidez lleva el móvil, si pasados 6a consigue el máximo acercamiento al punto “A ” ? lOOrn

V \

A)5mla B)10 0 1 6

D)20 E)25

En el instante mostrado, el patrullero decide dar alcance al motociclista. Si ambos móviles realizan determinar la distancia que recorre el patrullero hasta que se produce el alcance. 144kmlh 20mis

y A)10Om D)400

100m

@ ¿ E n cuánto tiempo un tren de 300 m con una rapidez de 10 m/a pasará a otro tren de 500 m que viaja con una rapidez de 8m/a? Ambos viajan en igual sentido por pistas paralelas. A)300a B)350 0400 D)460 E)500 Una vela se consume con una rapidez de 1 cmla. Si el extremo de la 6ombra producida por un obstáculo sobre una pared vertical se desplaza con una rapidez de 2 cmla. ¿A qué distancia de la vela está el obstáculo?, si la pared y la vela están separados 4 m. A)lm B)2 0 4 D)8 E)S,0 @ )U n observador que mira con un solo ojo, se encuentra a 30cm frente a una ventana de 2 0 cm de ancho y a 12 m de él pasa un camión con una velocidad de 20m¡a. Si el observador lo vio durante 1 a, ¿cuál es la longitud del camión? A)18m B)6 O 10 D)8 E)12

(&3)Un auto que se acerca a un gran muro viaja con rapidez constante @ E n la figura, el helicóptero y la .En cierto instante emite un sonido moto experimentan un 3fJZ.Lt . Si durante 9 a y percibe el eco durante la distancia de separación luego de 8a. Halle la rapidez del auto. la es de 1 0 0 m , determ ine la ,/ ^muido ~340m la. A) 10 mfa B)20mia C)30m/a rapidez de la moto. 20m/t D)40 mfa E)50m!a B)200 E)600

0300

80m i A)5m!$

90m

« *

B)10yC¿¡6 D)20 E)26

@ D o s autos estañ ubicados en un mismo lugar de una pista rectilínea a una distancia de 70 m de un poste. Si estos empiezan a acercarse simultáneamente al poste con rapideces constantes de 30m/a y 40 m/a, ¿cuánto tiem po debe transcurrir para que los autos equidisten del poste? A)2s B)4 06 D)8 E)10

tren que viaja a rapidez constante atraviesa un túnel de 90 m en 10» y otro túnel de 18m en 4a. Halle la rapidez del tren. A)4mfa B)6mla 08m/a D)10 m/a E)12m(a Un tren cruza un poste en 10 a y un túnel en 16a. ¿En cuánto tiempo el tren cruzará el túnel si el tamaño de éste fuera el triple? A)15a B)20a 025a D)30a E)36a (ff^Un hombre está parado frente a una montaña a 1700 metros, y toca una bocina; luego de qué tiempo escuchará el eco. (V

aoftido

= 340mla) .

I A EXCJiJ. ob*mcmA 2012}

A)5a

B)6a

O 7a D)9a

E)10a


ÍW K J«-Cr. En el punto A y por la superficie externa del vaso, se encuentra una hormiga la cual se mueve a rapidez constante de 6,25 cm/a. Determine el tiempo mínimo para llegar hacia la gota de miel adherida en la superficie interna del vaso y en el punto B.

"A"

2,5cm I "BMI

t

2,5cm

A)la D)3,5

B )l¿ C)2 E)lmpoaible saberlo

Dos velas de igual altura h se encuentran separadas por una distancia. ¿Con qué rapidez se mueve la sombra de las velas, a lo largo de las paredes, si una de ellas se apaga en un tiempo t¡ y la otra en f2?

i

i’ T

t

r n

- f -r

a A)V, =

2ma A)Tan9= 3nb 2ma CfTan0= nb

3ma B)Tan0 = 4nb 4ma D)TanO = nb

i i i + a

gusano de 2s¡2 m de longitud se mueve en su interior con velocidad constante paralelam ente a la diagonal del agujero y un observador, ubicado a 20cm por encima del centro de dicho agujero lo ve pasar durante 5s. Calcúlese la rapidez del gusano.

&

A) 4cm/a B)4^2 C )3,6 0 )3 ,6 4 2 E) 4,2>Í2 (f^Una hormiga va de A hacia B sobre la superficie de la caja cúbica de arista “ L ” . Hallar la mínima distancia que podría caminar la hormiga.

);v2=h(?ÍL Z h .) tjt2 t¡ t2 ta- t t¡ t2 ti t2

_ En un billáiy con las barandas a y b, se lanza una bola desde el centro del lado b ¿Rara qué ángulos q ella vuelve al mismo ptinto de la baranda de la que empezó su movimiento?

0

=

0

♦Donde m y n son cualquier

exposición X D O s fc íó n 3el aei obturador ooturaaor es ae 0,1 s. La línea de trazos muestra en la figura la forma del avión. lcm

La figura muestra la vista de planta de una caja de Í 0 cm de profundidad, con un agujero cuadrado de I2cm de lado, un

ngtt

h

i

EDICIONES RUBtl

it a a i »9 M I números enteros.

B

A)100m/a 0)400

1)200

É)600

(57)Un autojposee una velocidad constante¿j!e 3 6 k m !h , el espacio que recorrerá en 2 minutos será: A)1000m B)1200m C)600m D)500m E)180 m 70m de Carlos se produjo una explosión. ¿Después de qué tiem po la logrará escuchar?
A)0,2a B)0,3a E)0,6a

C)0,4a

0 )0 ,5a

@ lS e tiene un recipiente de base cuadrada de 40cm de lado al cual ingresa agua. Si el nivel de agua tiene una rapidez de lcmla y el recipiente se llena en 1 minuto. La velocidad mínima constante con que deberá avanzar la hormiga, inicialm ente en el fondo del recipiente, sobre la varilla para no ser alcanzada por el agua , será: A)yf¡7 cm/a B)4l7í2cmja

B)2L D)Ly¡2

C)

3L

C)4Í7f3cm/a

E )L 4 3

@ )E n la figura, se da una “ fotografía borrosa’ Me un avión reactor en vuelo. La longitud del avión es de 30m y la de la sección de nariz, de lOm. Haciendo uso de esta “ fotografía” , determínese la rapidez del avión. El tiempo de

40cm

agua

La figura muestra la posición inicial de los móviles que parten simultáneamente al encuentro con velocidades constantes de 9km/h y

U

o 18kmlh respectivamente, ¿en qué tiemoo se encuentran? 9 kmlh

18 km lh

Un niño se encuentra en reposo a 850m de una montaña. En cierto instante silba, ¿al cabo de qué tiempo escucha el eco? (Velocidad del sonido en el aire 340 m/s)

450 m '

A) 1 min D) 4 min

B) 2 min E) 5 min

8 0 0 km

A)780 km B)680 km C)580 km D)480 km E)0 auto recorre rectilíneamen­ te la primera mitad del camino con una velocidad de 60km ¡h y la segunda mitad en una dirección perpendicular a la primera con una velocidad de 120 km/h. Calcular la velocidad media y promedio en kmlh. A)40j2;80 B )20j2; 40 C)60;60 D) 50; 80

EnoJlí; 20

© U n tren de 100 m demora ,JOs en pasar a una persona qu&Q& mueve en su misma dirección con 2m/*, y en pasar a un^únel 40n. Determinar la longitud deTfünel. A) 100 m D) 380 m

A)1750 m D)350 m

B)3500 m 0 1 500 m E)1800 m

2 0 m is

850 m A)5s

16 k m lh

1000 m

En el gráfico el helicóptero y el auto experimentan un M.R.U. a partir del instante mostrado, determ ine la distancia de separación al cabo de 1 s.

C) 3 min

@ )L a figura muestra la posición inicial de los móviles. Si parten simultáneamente, calcular la distancia que separa a los móviles después de 4 horas: 2 0 km lh

E S C H 'j w é c m A 2 0 1 2 }

B)3s

C)4s

D )ls

E)7s

(íTJLa velocidad del sonido en el aire es 340 mis. ¿Cuánto tiempo tarda en oírse el disparo de un ca­ ñón situado a 3,4 km ? A)ls B)5s 0 10 s D)15s E)20s (Q)Una hormiga intenta salir de un tubo que se va llenando con agua tal como se muestra. Si el nivel del líquido asciende con una rapidez de 2cmls y la hormiga con Icm ls, manteniéndola constante, deter­ mine si la hormiga logra escapar. Si no lo loj^ra;'¿cuál será la menor rapidez'qué debe tener para lograr suobjetivo?

A)30 m B)40m C)50 m D)70m E)25 m

40 m

10 m is

60 m

(Ql Calcular la longitud de un óm­ nibus, si tarda 6 segundos en pasar por delante de un poste de luz y 12 segundos en pasar un túnel de 35m de largo.

^ ♦

A)l.m/s B)1 cmÍ8 0 2 cmfs D)ly2 cm/s E)l,3 cm¡8

6 cm 4 cm

A)35m B)40m 045m D)50m E)55m (Q) Un avión se dirige de B hacia C, el ruido del motor emitido en B, alcanza al observador en A en el instante en que el avión llega a C. Sabiendo que la velocidad del sonido es de 340mls, determinar la velocidad del avión.

B)2Ó0^ti } C) 280m EjA oO m

@ ¿ A 1 cabo ¿& 4fué tiem po el muchacho escucha el impacto de los móviles "A" y "B” ?. (Vmtntdo = 340 mis) v=o 12m fs

900 m

8m/$

200 m

h)20s B)10$ 0 7 $ D)23s E)13s

@ D o s hombres parten el uno al encuentro del otro en form a simultánea, con velocidad de 6 mis y 4 mis, uno de los hombres lleva una paloma mensajera que va de uno a otro sucesivamente con velocidad de 35 mis. ¿Cuál es el recorrido total que realiza la paloma?

A)170 m/s B) 190 mis 0 2 0 0 m/s D)210 mis E)17 m/s (Q)Un tren demora en pasar frente a un alumno (muy cerca de é# f

[y /jg .n . ¿fecundos y luego recorre integramente un túnel de 200 metros de largo en 45 segundos con velocidad constante. ¿Cuánto mide el largo del tren?

EiHCJoms ríjuinóSi

rosa *0 1 B O L T (9 0 0 9 ) , E L H O M BR E M Á S R Á P ID O D E L M U N D O

o O

*

A )50m B )6 0 m C )7 0 m D )8 0 m E )4 0 m

(Q)Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco después de 3a y el siguiente a los 3,6 a. ¿Cuál es la distancia de separación entre las montañas? (Velocidad del sonido en el aire 340 mía). A)1000m B)1222m 0)1122 m D)2244 m E)3000 m @ )E n la figura el ciclista se desplaza con 5 mía y los móviles "A" y ”B" con 20 mía y 10 mis respectivamente. ¿A cabo de qué tiempo el ciclista escucha el choque entre "A" y

^

- . p S .. ,

■

‘v\ llevó la carrera de 100 metros más rápida y espectacular de la historia. El jamaiquino salió perfecto. Y cuando estaba cerca de la meta, levantó la cabeza, miró a ambos lados, abrió sus brazos y comenzó a saludar. Un oro sobrado.

(Considere M.R.U. para todos los móviles; V = 340 mía) 5 mis

20 mi»

10 mía

300 m

540 m

A) I b

B )3 b C)2 • D)4 s

E)5«

[(LUISBEIÁFHDERAPRACTICA)

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[anís DELASEGCmPRACTICA) ,j|.) i)f i 6 )# s)Ebjcte -*\V Ujl ijí ig 151.1i;)f i4 4 i)i •

[anís DELATERCERAP&ICTICA] iji 6JL1 lljf hií ís jíjirt

BEIJING, Chin».* Pekín vio hoy el nacimiento de un nuevo rey de la velocidad: el Jamaiquino Uealn Bott. El atleta no eólo se proclamó campeón olímpico de los 100 metros lisos, sino que también lo hizo batiendo el récord del mundo con un tiempo de 9.69 segundos. En una noche templada y sin brisa, el corredor se impuso con una apabullante superioridad por delante de Richard Thomson (plata con 9,89) y de Waher Dtx (bronce con 9,91). Loe grandes rivales de Bolt, su compatriota Asafa Poweli y el eatadounidenae Ty s o n Gey, fracasaron rotundamente en las primeras Instancias de los Juegos Olímpicos de Beijing. Nunca nadie antes habla corrido por debajo de 9,7 sin ayuda del viento, pero Bolt lo hizo esta mañana (hora de la Argentina) con una facilidad casi Insultante, dejándose ir en los últimos metros y golpeándose el pecho ai cruzar la meta. A sus 21 años, el atleta negro buscará ahora el doblete en los 200 metros. La final se presentaba como una de las más atractivas de la historia, con tres hombres en posición de reclamar su derecho a ser el rey. Bolt era el plusmarquista mundial desde el 31 de mayo. En Nueva York, sorprendió al mundo corriendo la distancia en 9,72 y mejorando el tiempo que tenia Poweli en dos centésimas.

«Sus piernas parecían llegar hasta mi cara», dijo en aquella ocasión Gay, que no pudo hacer nada para evitar entonces la victoria del espigado jamaiquino, de 1,96 metros de altura, un hombre cuya fisonomía no parecía destinada al hectómetro.

E vo lu ció n fie Ut Velocidad Resulta muy difícil Imaginar que podría haber existido algún instante en la historia da la humanidad donde en ningún rincón de nuestro planeta existiese una mente trabajando en la resolución de algún problema, por simple o complejo que este fuese. Es justamente de esas mentes ocultas en esos rincones, e inspiradas por la necesidad o tatvez algún sueño o fantasía, que han nacido inventos como la rueda, la palanca, la escalera, el clavo la mesa, la brújula, el barco, las velas de viento, las hélices,£l avión y tantos otros que revolucionaron su época o que en el peor de loe casos patero^ desapercibidos. Se quiere enfatizar con esto que siempre ha existido la ciencia y que como tal, siempre existirá; además de esperarse en Infinidad de ramee, dedicadas cada una de ellas a resolver problemasWcttstlnta Indole. 'sS & k * Quizás fue algún tronco caldd a tas oriSair de un rio el primer medio de transporta utilizado por el ser. humano, o probablemente algún animal dom esticado; lo c ie rto '* » que siempre ha permanecido el espíritu doíúcha por mejorar lo concebido; logrando así, evolucionar de la forma hoy conocida; llegando a construirse grandes embarcaciones» velas o a vapor, movidas por aspas gigantescas (toda una hazaña da Ingeniería), que representaron el principal medio de transporte por varios siglos. Hasta que a alguien se le ocurrió mirar hacia el cielo y envidiar a las aves sus alas. Fue asi como muchos hombres de ciencia (conocidos o no), decidieran crear un artefacto similar a las aves; con alas, cota, jy hasta plumas!. No obstante, muchos resultaron Infructuosos. Siguió la lucha y en 1903 los hermanos Wright lograron su cometido. E s «vidente el gran seJto científico y tecnológico dado e n to n c e s . D e sd a ese m o m e n to ee ha tra b a ja d o m uch ísim o y se han rebasado m uchas metas. Los avidnss de hoy dia son, por ejem plo, m uchísim o más rápidos que los de entonces y que cualquier transporte terrestre o m a rin o de c u a lq u ie r época pasada o p re s a n ta ; p o r s ilo s u im p o rta n c ia a l h a b la r de velocidades, pues resulta claro que el volar brinda un a in n ú m e ro de v e n ta ja s a la h o ra da m o v e rs e rápidamente.

Nunca se ha podido predecir con lujo de detalles las consecuencias de alcanzar ciertas velocidades, ya sean dichas consecuencias sobre el artefacto o sobre el piloto. En un principio se desarmaban tas atas, se catan loa motores y nunca faltó un giro mortal imprevisto a la hora de acelerar más y más; paro fue la practica la mejor maestra y poco e poco todo se solucionaba. Entonces alguien se fijó (nunca falta gente así) una meta: Rebasar la velocidad de el sonido. Considerada la velocidad del sonido imposible o por lo menos muy difícil de superar, quedaba solo la taras da trabajar e idear hasta lograr lo propuesto. Fue asi como un buen día, a bordo de un avión de gran poder y mucho ruido, se cruzó el cielo a una velocidad superior a la del sonido. Es difícil Imaginar el momento cuando el aparato aceleró y produjo ese / Boomf que todos asociemos a la llamada «barrara del sonido» (Ese «B o o m » no se debe propiamente a la ruptura de una «barrera del sonido» sino a la presión del aire en ia punta de la aeronave), pero ea fácil suponer el gran sentimiento de satisfacción de los realizadores. H o y dia la velocidad del s o n id o (Q u izá s sea esta la meta m á s significativa en lo que a velocidades se refiere) puede s e r superada co n relativa facilidad, e In c lu s iv e v a ría s v a c a s s u v a lo r, p ro d u c ié n d o s e a lg u n o s fenó m e nos qu e aquí n o se iá n tratados. Sin e m b a rg o , la a m b ic ió n , la c u rio s id a d o g ra n d e s sueños hayan fijado lo qua es h o y día la próxim a m eta a rebasar,

la velocidad de le luz.

L1 £vrfo. o p é c q í A

O

o b j e t iv o s :

2012}

= 3Tm/s2

* Describir e interpretar las características del movimiento rectilíneo donde la velocidad cambia uniformemente (M.R.U.V.), • Plantear correctamente las ecuaciones de movimiento en función de las variables que participan en los problemas del (MM.U.V)..

Vq = 1 5 m/s i

V3 —24 m/s i

At = 1 s

A t = 1 s.

At = 1 s

t3 - 3 s

* -r MOVIMIENTO

INTRODUCCIÓN : En el capítulo anterior donde estudiamos el M.R.U. que se caracteriza , porque el móvil no experimenta cambios en su velocidad; es decir su aceleración es nula ( a = 0 ); pero el M.R.U. es movimiento ideal, ya que el movimiento de la mayoría de cuerpos que encontramos en la naturaleza, no presentan esta característica, es decir: presentan "aceleración\

V2 —21 m/s i

V j = 38 m/s i

TgjhfFtiC7,

Vq

íT=-4im/s2

V2 - 2 0 m/s i

= 2 8 nyaT .V j"^ 24 m/s i

►V"

-----—►

' 'At J 1 s

►

1i ”1

= 1s

--------

At = 1 s

At — 1 s t

V3 * 16 m/s i

*7^-*i,fcr*n* n 4 ' ^ r v r i Jt;W

Í2 = 2 s

tQ - 3 s

MOVIMIENTO

“Movimiento acelerado ”

“Movimiento w >* desacelerado ”

El movimiento de una partícula es rectilíneo, cuando su trayectoria ee una recta. Si el movimiento Rectilíneo, tiene una aceleración con stan te o u n iform e se dice que el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. Es importante tener en cuenta que si la aceleración de una partícula permanece constante, su magnitud y d irección permanecen in v a ria b les durante el movimiento. jú * ' En el movimiento unidimensional, con aceleración constante, la 'á ce le ra ció n m edia es igual a la a ce le ra ció n in sta n tá n e a , en consecuencia la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento. Si ia veloddad y aceleración tienen dilecciones iguales, se dice que el movimiento es "•celerado''.

MOVEHSENTO R E C T IL ÍN E O CON A C E L E R A C IÓ N CO N STAN TE Consideremos el análisis de un auto que inicia su movimiento y que conforme transcurre el tiempo aumenta su rapidez:

ls

i

i

r

Omls

Si la veloddad y la aceleración tienen direcdones opuestas, el movimiento se denomina "retardado*.

T

Movimiento acelerado

Movim iento desacelerado o retardado

ls

ls 8m/s

8m h

\ i i ■r

ls

lOm/s

R STcoi Del movimiento que se muestra, podemos realizar las siguientes observaciones: I) La trayectoria descrita por el móvil, es una línea recta. II) Nótese que la velocidad del auto cambia de manera uniforme, es decir a iguales intervalos de tiempo se tienen iguales cambios de velocidad. III) Notamos que conforme transcurre el tiempo, el móvil avanza más a prisa, es decir experimenta cambios en su velocidad.

E D I C I O N E S KUHM ÑOSi

•Como su aceleración es: a = 2 —* = ~—=cte 8 At cada 2 s que transcurre la rapidez del auto aumenta en 2 m/s. * Luego: ls ls ls

-4

/V a b = (+ 2 ) - ( 0 ) = + 2 m/s en: l s * Tramo "AC": A V Ac - (+ 4 )-(0 )= + 4 m/s en: 2 8

O B S E R V A C IÓ N :

POR DEFINICIÓN Z

* Tramo ”AD": ad

= (+ 5 )-(0 )= + 6

m/aen:

~d & ^etq en este movimiento, la velocidad cambia AL

3 s

* Pero también podemos notar que "los cam bios en la velocid ad , son p r o p o r c io n a le s a l tiem p o transcurrido"\ debido a ello, deducimos:

de m an ^ u gjfbrm e, debido a ello, la y m se puede hallar como un promedio aritmético entre el menor y el mayor valor de velocidad en el tramo elegido.

Á V a= = constante

—

At +2 mis 4 mis +6 m/s a= =cons tan te ls 28 38

VQ+ Vf

*"La aceleración m edia en cualquier tram o que se esco ja , no ca m bia , es decir: se man tiene c o n s ta n te e ig u a l a su a c e le r a c ió n instantánea" OJO: Al movimignfo cotí las características anteriores se denomina 'movimiento rectilíneo uniformemente variado (MJL U.V) .

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M Jt.U .V)

■/ Consideremos un auto que inicia un movimiento rectilíneo a lo largo del eje **X** con una aceleración constante cuyo módulo es 2 m/s2. V=0

a=2mls

'! a

.

:

d At

Luego, aplicando esta ecuación:

a = + 2 m/s2

ÍLÍ

v.;

Del caso anterior, bemos observado que: a transcurre el tiempo, el avanza más ello, las distancias qu ^recorre en ca aumentando, p e ro /¿có m o det distancias?

* Tramo "AB":

Á V

B

+ 2m ;

d AB

d

( 2+4 (l)= + 3 m bc— l 2

d c o = ^ ^ J (2 )= + 5 m * Finalmente: a=2m/s2 ls

ls

* Al avanzar, el móvil experimenta cambios uniformes en su velocidad; también, las distancias que avanza en cada segundo cambian de manera uniforme y la diferencia de distancia recorridas en dos segundos consecutivos, es numéricamente igual al valor de la aceleración. Por otro lado: cuando el cuerpo inicia 6U movimiento (V0 = 0), la distancia que recorre en el primer segundo es numéricamente igual a la mitad del valor de la aceleración.

[ z p 'j r :

L l E v n r x o r f c Q lA 2012)

GRÁFICAMENTE:

n ) ECUACIONES VECTORIALES :

a =2mh*

j=*rÁ>ml8

I) ECUACIONES ESCALARES Z V,

t

i i d =V0 t + — a t 2 2

Vf

iii)\ v*= V *+ 2 a .d M = V it± j¡a t2

p ro d u cto esca la r También:

i i i \ v f 2= V ¡2 ± 2 a d • Se usa el signo (+ )c u a n d o el m o v im ie n to es acelerado (si la rapidez aumenta).

• Luego:

%

A*

( -) cuando el movimiento es desaceleradá (si la rapidez dism inuye).

• Si el movimiento es en el eje "X"

* Como la rapidez del móvil varia uniformemente con el tiempo, podemos utilizar : 'é /Ecuación Práctica % * Espacio recorrido,en

Snésim o segundo

Para una partípif^^n M.RU.V lo = 0 / %

OBSERVACIONES Z * El hecho de que un objeto esté en la posición correspondiente a x = 0 no implica que su velocidad o su aceleración sean cero. • En determinado instante, la partícula puede tener una velocidad nula y sin em bargo, puede experimentar una aceleración diferente de cero o igual a cero. Las ecuaciones vectoriales, se emplean usualmente cuando el movimiento es de ida y vuelta, pero si es en una sola dirección es más recomendable emplear las ecuaciones escalares. E C U A C IÓ N x - t Z

* Donde: * n! = 1 x 2 x 3 x 4 x

E U H IO X E S K W IX O S ) R m f * ob T3SS Si en un segundo logra recorrer una distancia d en el (factorial de " n ") siguiente segundo recorrerá la distancia anterior pero aumentado en el valor de la aceleración.

xn....

9

la

I

w

AV

E JE M PL O : Tipo de Movimiento Reposo

Ecuación x - t H II H

M.R.U

x = x a+Vt

Suponga que un móvil parte delreposoy&celera, si en los 2 s iniciales recorre 4 m, áSu&ntofócorrecátfn los 6 s siguientes? R E S O L l C IÓ N :

M.R.U.V

* = Xo + Vof + J « t *

Movimiento Rectilíneo con aceleración uniformemente variable

A

En este caso consid^Éren^s'interj 2 s cada uno.

p tiempo de

x = x 0+ V . t + j a * * + j a t 3

LOS NÚMEROS DE GALILEO Si el móvil parte del reposo (velocidad inicial nula) y viqja con M.RU.Y, se cumple que las distancias que recorre en intervalos de tiem pos iguales son directamente proporcionales a los números impares, los cuales son denominados los números de Galileo.

V iz 2 2§'. ■ 2s

2s

y

3k

4 • 4^ m k = 4m

x

.

x = 3k + 5 k + 7k = 15k x = 60m

O JO :

V i=O t

Pero ¿qué ocurre si al com enzar a examinar el movimiento, el cuerpo presenta una rapidez inicial no nula? Para una partícula que pane del reposo, durante el desarrollo de su movimiento en su primer segundo este ha de recorrer:

+

a ts

a (lf =~2

Supongamos que al iniciar el movimiento anterior, el cuerpo presenta una rapidez de "V j” , luego: 18

a ~2

1+2

Is

£> B

V =0

d¡ = \v>.t Yiul] x l = V 1+1 /

d, = V,., + V„

V:ii-4

£ C x I = VU9

2

Fíjese la partícula en su primer segundo ha recorrido ia mitad del valor de la aceleración.

¿Qué ocurre durante los siguientes segundos posteriores?. Como la velocidad aumenta de manera proporcional al tiempo, entonces los recorridos por cada I segundo que pase aumentará en un valor igual al de la aceleración. .

V>0

— N i>

En General: G R Á F IC A S F N I A M J L .U .V . Considerem os el ejem plo anterior, del cual se desprende:

L 1 f i v d f x o r g a i / l 2012]

k

“Gráfica 99 aceleración vs. tiempo

a = + 2 m Í8 i

6iH¡8

t(s) V(m) +2 0

ak

+2 +2

x (m )

+2

: xj = + j l :

*

A r e a —AV co n sta n te

*► +2

t ----------------------------------

i o

Ahora se sabe que:

a

1 2

3

l4 4

“E l á re a d e l re c tá n g u ló so m b re a d o , nos d a la v a r ia g ió n d e v e lo c id a d ” ejemPLO /

a; = * 0 + V „ í + ^ a i 2 * Luego para ~¡¿~=0;V0= 0

I

a| v

La figura muestra la gráfica x vs t del movimiento uniformemente variado de una partícula. Halle la pendiente (gn m /s) de la recta tangente a la curva x(t) en el instante* = 2s .

a =2

x = 0+(0)t + ^-(2)t2 £

Tabulemos algunos valores: “ G r á fic a p o s ic ió n - vs. tie m p o (s e m i p a r á b o l a )

99

t(8) x ( m ) 0 0

9

leda tangente eri:*‘Q*’

*V p = ^ = Velocicfad in stan tá n ea en “P ” *Vp >V q : M ovim iento a celera d o G ráfica velocidad es, tie m p o 99 ' % eetd)

La pendiente m = tg 6 de la curva para el instante * = 28 no es más que la velocidad en dicho instante. Analizamos e l m ovim iento:

f =0

t= 2 s

x —4m

Donde:

* P en d ien te = tgQ = a

+Área som bread a ~ e reco rrid o

e

(2)z$V = 4mjs

lu eg o: m = tgQ = ¡ V = 4

RPTA i “B "

l y / j B .r X

0 7

O B S E R V A C IO N E S F I N A L E S :

* Si nos indican que el móvil parte del reposo, debemos considerar que

O JO : El resultado también se puede obtener aplicando "las ecuaciones": Vf = V i + a t

su rapidez inicial es cero (v¡ = 0 ) *Si la rapidez aumenta se dice que el móvil está acelerando, y la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad (m ovim iento acelerado), donde > V¡. *Si la rapidez del móvil disminuye, se dice que esta desacelerando. La aceleración tiene sentido contrario a la velocidad (m ovim iento desacelerado o retardado), donde v r < v ,.

♦ En el M.R.U.V la aceleración es constante, es decir su módulo y su dirección perm anecen iguales en todo instante.

Cuando un auto dejuguete se suelta en un plano inclinado, notamos que recorre Im en el primer segundo de su movimiento. Determine cuánto recorrerá en los siguientes 3 segundos. Considere que su aceleración es constante. A)16m B17m C)15m D)14 m E]23m R E S O L U C IÓ N :

Un móvil con M.R.U.V parte desde la posición + 2 m con una velocidad de +4 mía y acelera a +3 m/s*. Determine su velocidad final y su posición final al cabo de 2 s. A) +3 m;2m/s B)-8m;2m/a C )+16 m; + 8 mía D)+16 m; S ma E)+16 m ; +10 mía R E S O L U C IÓ N : y*" * Haciendo un gráfico: Vq= +4m/a to = 0 t, =la •V -V

* Graficanj§o1<^ que ,va suceder; y considerando "los núm ero de Galileo", ya que parte del reposo, se obtendrá:

1

Un ciclistay^EkWn movimiento uniforme a /'u n a velocidad de 10 m/a , alSmtírara una rajgij^nte adquiere ‘ una aceleracfSn de 2 Si la loM m icL íle la pendiente es 0,6 ¿rroeLtiempo en segundos , en r É n á la longitud de la pendiente®: A)5s B)26¿fá)10a D)20» E)16» R E S O L U C IÓ N : * Graficando lo Bucedido:

t, =29 •V x(m )

W=+2 ¡ ;

196=0(7) + -a/7>* 2 * Despejando: o = 8 m/a1 RPTA : “C” P R O B L E M A / íp

P R O B L E M A 2:

Oba.

PR O B L E M A 1

E D IC IO N E S R U B IÑ Ú S i * En el M.R.U.V. la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, luego:

a=3mla3 xf=?f

♦ En este caso el ciclista efectúa un M.R.U.V., entonces:

* Ahora apliquemos:

x f = 2 + 4 (2 ) + - ( 2 ) * = +16 m ' 2 * Como también:

60O=10t+-(2)t* - 600=t(10+t) 2 20 x 30 = t( 10 + t) >t = 20a t í Vr = 4 + 3 ( 2 ) = + 10mfa RPTA: UD RPTA : t(E 99 P R O B L E M A 5: La velocidad (media) de un auto que PROBLEM A 3: Un avión parte del reposo y recorre recorre 200 m en línea recta es 196m en 7 s para despegar. Su 25 m/a. Si su aceleración es constante e igual a 4 m/a1, calcule aceleración media es cercana a: la velocidad de partida en m/a A)4mia2 B)6m/a2 C)8m/a2 A) 13 B)26 C)25 D)14 E)17 D)2 m/a2 E)-12m¡a2 R E S O L U C IÓ N : R E S O L U C IÓ N : 99

* Graficando lo que va suceder: 7a

* Graficando lo que va suceder: Vo + V

V

♦Sepide: 3 + 5 + 7 =I5m S ♦

RPTA: “C 91

196 m

k . <

200 m

IA * Al decir que la velocidad del tramo fue de 25 mis, luego se trata de b u velocidad media, es decir: 25

200

t= 8 8

• Ahora de:

mismas unidades respectivamente:

2012}

serán,

A)8; 20; 52 B)0; 10; 20 C)4; 20; 48 D)4; 20; 52 R E S O L U C IÓ N :

oO

0 (2 t ) + i a (2 t f = 0 ( t ) + 1 A i 2

4¡

áS

A i*

4a = A

* Grafícando lo sucedido: a=4mla7

=>2at*=

Ü ó a .l

* S e p id e :f= ¿ = I

/.= o

W 0=4mla

RPTA : “A ”

-> 2 0 0 = V ,(8 )+ Í (4 )8 * ~x(m)

* Despejando: V, = 17 m/s RPTA ; “E ” PR O B LE M A 6 : Un automovilista que se desplaza con una velocidad de 60 Kmlh aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 12 segundos hasta detenerse. La distancia que recorre en este tiempo A)160m B)100m D)60m E)120m R E S O L U C IÓ N :

C)144m

* Grafícando lo señalado: t=12a

Vo=60kmlh

Ahora de: Vf mVt -O l => 0 = — ~ a (l2 ) 3 Como también:

=> V, = 4 + 4 x 4 = 20 m/a

o

P R O B L E M A 9: Un automovilista parte desde el reposo epinicio de la Ira. cuadra de una- callfr^, e increm enta su velocjdaá a razón de 2 mis en cada segundo. En la 2da. cuadra maritiene su velocidad constante; y *én la 3ra. cuadra desacelera a razón

= x„+ VJ + - a t g[ y ^ áe 2 Determine el tiempo transcurrido para recorrer las tres cuadras x (t-4 )= 4 + 4 (4 )+ í(4 j4 *= *5 2 m mencionadas. Considere que cada £ )RPTA * “D ” cuadra mide 100m de longitud. Así mismo, desprecie el espacio entre P R O B L E M A tí? cuadra y cuadra. Dos partículas partiendo de reposo g )x s s B)20a 025 s recorren la misma distancia con D)30 a E)35 a movimiéfrto / rectilíneo de R E S O L U C IÓ N : aceleración constante. La acqlerdtfgnde la primera es «a .y * Grafícando lo que va suceder: la'segunda es A. Si la segunda ' ' tíítila hace el recorrido en la \d del tiempo empleado por la Ira. cuadra 2da. cuadra 3ra, cuadra primera, la relación a/A es: 100 m 100 m 100 m A)l/4 B)l/2 O I D)2 E)4 * Ahora analicemos tramo por R E S O L U C IÓ N : tramo: * Luego:

* Se deduce que: Para la I r a partícu la:

I r a cu ad ra: Aplicamos: 1 0 0 = 0 xtj+ í(2 )tf

= > d -^ U 2 )-± 3 2

12*=100m RPTA: “B ”

PR O B LE M A 7:

P a ra la 2da p a rtícu la :

* Ahora: Vf=V0+ a t

1

En un cierto instante la aceleración ua 99t la velocidad V y la posición x , de un móvil en M.R.U.V valen ám/a*, 4m/s y 4m t respectivam ente, 4segundos después del instante mencionado, jos valores de " a " , V y * en las

= 0 + 2(10) =>Vf = 2 0 mía

2da cuadra:

♦ Además se sabe que:

Como m antiene su velocidad constante, entonces: . d . 100 , '

h

m

t .i j .v .

09

3ra cuadra:

Finalmente dividiendo (II) entre

Como desacelera:

2ad
= > 0 = 2 0 -2 (t3) => t3 =108 * Se pide:

Un automóvil se mueve a 48 kmih en línea recta. Repentinamente se aplican los frenos y se detiene luego de recorrer 2m . ¿Si se hubiera estado moviendo a 96 kmih y se aplicaran los frenos como en el caso anterior, de manera que, se obtuviese la misma desaceleración, cuál sería la distancia que recorrería desde el momento que se aplican los frenos hasta que se detienen? A)4 m B)6 m C)8 m D)10 m E)12m R E SO L U C IÓ N : * Considerando que la aceleración del automóvil es constante y como el problema indica que el movimiento es rectilíneo, se concluye que el autom óvil desarrolla un M.R.U.V. disminuyendo su rapidez, luego consideremos: Prim er caso: Vn=48km/h

Vr=0

a

ia . Y~\^ 2nr \ *s

02=Vo* - 2a (2) Segundo caso:

V / -2 a d 4a.

$9

• Resolviendo, se obtiene

Un automovilista se desplaza con una velocidad de 52 mis , aplica los frenos de manera que desacelera uniformemente durante 3 s. ¿Qué distancia recorre en este tiempo? A)78m B)102m C)64m D)60 m E)220 m R E S O L U C IÓ N : * Graficando lo que va suceder: aplica los frenos t=3 52™l* V„=$2m¡^ V,=0

* Ahorra apliquemos:

SL

RPTA : “A

0*=V„2 - 2a(2) -> V*=2ad.

a = 5 m /* '-íf

99

- ¿O -

Un objeto inicia su movimiento y recorre dos tramos consecutivos, el primero acelerando a 4mls2 y el segundo desacelerando a 2m !s2 hasta detenerse, si el recorrido total es 600 m. Indicar el tiempo que estuvo en movimiento. A)38s B)5s C)40a D)50s E)30s R E S O L U C IÓ N :

¿i dt • Ahora en el tram o AB:

• Haciendo un esquema:

•piden

Vf=V0+at

Vt=0+10i=10t

• Luego en el tram o B C : 0 = 1 0 t-5 (3 0 -t) -+t=10^Vj=100

(0+100^ 2 )

K 2

) RPTA : “B ”

PROBLEM A 14:

600 m • En el tramo AB : (I)

* En el tramo BC: (II)

Un ciclista parte del aceleración constante luego de recoryér^ftri* cierta distancia desacdgra/a razón de 5 mis2, hasta que finalmente se detiene. . ¿w fé distancia habrá recorrida '8 l ciclista si estuvo en movimiento durante 30 segundos? A)3000m B)2000m C) 160m D)1000m E)900m R E S O L U C IÓ N :

P R O B L E M A 12:

-* VB—0 + 4tj -> VB-4 t¡ • Aplicando:

• Se pide: t,+L¿jflbjt‘2p=30 s ? R PTA:“E ” PROBE

vo=0

=> d= 78 m

(I) Uf=0

t j—10 -> ts - 2 0

• Graficando lo sucedido:

/

U0=96km/h

= 600

« (s r—

P R O B L E M A 11:

+ *s ~ 10 + 5 + 10 ~ 258 RPTA: “C” P R O B LE M A 1 0:

• Apliquemos:

^

U* RPTA : “ C

*i +

E D IC IO N E S RU RIN Ó S\ * En el tramo AC:

0=4tJ- 2 t 2 - * t 2= 2t1

(II)

Un móvil parte del reposo con M.R.U.Y si entre el cuarto y octavo segundo recorre 192 m , determine la longitud recorrida entre los instantest = 3 a y t = 7a. A)200m B)160m C)320m D)180m R E S O L U C IÓ N : • Graficando, considerando “ los

V F J r s u r c A

números de Galileo” (ya que

= 0)

iisss g i o tiSSS de tiempo se encuentra relacionado con las distancias recorridas tanto por el sonido, como por el auto. • Para el sonido (M.R.U.):

lk

3k

5k

7k

ls

1»

Í9

la

monido = V , 2 =>

= 340t........ (X)

• Para el auto (M.R.U.V):

I A E Y f w x B r e i H i l Ü flM )

los cambios en la velocidad son uniformes) A)12 m/s B)8 m/s C)10,4 m/s D)11J2 m/s E)12£m/s ■ R E S O L U C IÓ N : • Graficando: 40m/s

, ' t-4

9k

llk

13 k

15k • t?8

—V

,r

d Á= 2 0 t + í ( 1 6 ) t l = 2 0 l+ 8 t* . .. ( I I )

192m

%

•Del esquema:

* Pero: dxnido =2400+ da u to

9k + llk+13k+15k =192 -» k =4 •Se pide: 7k + 9 k + llk + 1 3 k = 4 0 k = 40(4) =160 R PTA : “B ”

PROBLEM A 1 5 : Un conductor imprudente avanza con una rapidez de 20 m/s y una aceleración de 16 m/s \ en este preciso instante, un policía de tránsito hace sonar su silbato; determine luego de qué intervalo de tiempo el conductor escucha el sonido = 340 m/s). A

=> t 2 -4 0 t+ 3 0 0 = 0 => (t~ 1 0 )(t-3 0 ) = 0 => t =10 ó t =30 R P T A : “E ” OBSERVA C IÓ N : Interpretando estos resultados del problema 15: lOs ))))))))

t

•

<.

, C)30» 4 .

_

• A hora en e l tram o A -> B : J^L= 2 0 = V + a (2 )............................(I) • Luego determinemos el valor de “ a "para ello examinemos:

30s i m m )))))))))))!))

V¿ = V i +2a dBC 4 0 s= 2 0 *+ 2 a (7 5 + 5 0 ) => a = 4 , 8 .................................. ( I I )

2400 m A)20» B)10 * D)40» E)‘B ”Ó “ C” R E S O L U C IÓ N :

• Nos piden “ V” y por condición del problema, “ el tren experimenta cam bios uniform es en sus velocidádes” , luego, experimenta unM.R.U.Y

• El tram o de B -> C :

20m¡8

• Graficando des “ 2” :

75 m 50 m

¡5

V

un tiempo

Al cabo de 10 s, el sonido alcanzó al conductor y éste recién escucha al sonido, pero, como el sonido se propaga con mayor rapidez que del auto, el primer frente del sonido rebasa al auto. Como la rapidez del auto está en aumento, en algún momento: Vauto > Vmldo, debido a ello el auto se acercará al primer frente del sonido y finalmente lo alcanzará. Si medimos el tiempo desde el inicio, ello ocurre al cabo de 30 8. P R O B L E M A 1 6:

2400 m

• Nos piden " 2 M, el cual nos representa el intervalo de tiempo que tarda el sonido en alcanzar al auto, y de esta m anera ser escuchado por el chofer. • Además sabemos que el intervalo

Un tren de 50m com ienza a ingresar a un túnel de 75 m con una rapidez de 20m/s y justo cuando sale com pletam ente tiene una rapidez de 40 mis. Determine la rapidez que tenía 2s antes de iniciar su ingreso al túnel. (Considerar que

•Reemplazando (II) en (I): 20=V+4,8(2) -> V=10,4 m/s RPTA : “ C” P R O B L E M A 1 7: Un móvil que parte del reposo se mueve con aceleración de 20 m/s9 acercándose perpendicularmente a una gran superficie plana. Al partir el operador que está sobre el móvil emite una señal sonora y cuando ha avanzado 40 m , recibe el eco. Entonces la distancia a que se encuentra el muro o superficie plana del punto de partida es: (en metros): (Velocidad del sonido en el aire: 340 m/9)

A)360 m B)400 m D)320m E)280m R E S O L U C IÓ N :

C)680 m

• G raficando lo que sucederá,

S il rapidez máxima de 30 mis y por querer alcanzar al auto no disminuirá su rapidez, entonces la mantendrá “ constante” .

después de un tiempo t€t" :

v

VK=340m la

o=0

H *f+ H /

• P a r a el M .R.U.: tiem p o d e a lca n ce:

a=20m la

40m

t=

d

• Del esquema, para el m óvil (M.R.U.Y1

V m ox- v

3 0 -2 0

(U)

10

EDICIONES RUBINÓ§\ * Ahora el m óvil **B99 en el m om ento del encuentro tiene velocidad: V = 2 0 + 4 x 5 = 40 m/s •Luego del encuentro los móviles se separan. En t= 3 s , la separación será: V = 4 0 m !$ M ^ 2 0 m l8

• y del g rá fico: m

40t + 1 (4)(S)i=58m

40=0(1)+^(20)t* -><=2 £ • Luego para el sonido (M.R.U.):

0 + 30

d = 2 0 (l0 )

)

A • • Se pide: 58 + 60 = 1 1 8 m

( 20 )

jfitP T Á : “D ”

-> d=50m............................( ///) • Reemplazando (III) en (II ):

40+d+d I I según esquem a

-+ 340t=40+2d -> 340(2)=40+2d -+d=320 * Se pide: 40+ d =40 +320 = 360 R P T A : “A "

PROBLEM A 18 : Un policía motorizado ve pasar frente a él, a un automóvil con una rapidez no permitida de 2 0 mis; en ese instante inicia la persecución. Después de acelerar uniform em ente durante lOs alcanza su rapidez máxima de 30mls notándose que aún no lo alcanza. ¿Cuánto tiempo demora en alcanzarlo desde que inició su movimiento? A)6s B)15s CJjt3s D)17s E)18s RESOLJjfiJÓN: * GraíicanáS.' lo que va a suceder: V=20m/a

20(

PROBLEM A ' Un auto realza un movimiento * 50 * rectilíneo una aceleración de 7o 8 2 m/ss ; primero recorre un tramo *Y luego en (I): tAB =10+ 5 = 1 5 s en 2 s y a continuación otro tramo RPTfc: “B de 6 m de longitud. Si la velocidad P R O B L E M A 19 : * media en el primer tramo es de Dos autos ,,A " y **B99 parten l m ¡ S y la velocidad media del simultáneamente con la misma movimiento completo, en m/s es: B)2m/s C)3m/s rapidez V=20 m/s pero en sentidos A)1 m/s E)0,5 m/s opuestos tal como se ilustra. “A 99 D)4m/s lo hace con M.R.U. mientras "B ” se R E S O L U C IÓ N : * Grafícando: mueve con a = - 4 i mis2 • Is

Determinar la distancia (en m) que los separa después de 3s del encuentro. V v

d

om

•Como en el primer tramo: Vfr%=7 m/s 250 m A) 78 m B)102m D)118 m E)204m R E S O L U C IÓ N :

C)200 m

• Grafícando lo que va suceder después de un tiempo **ttt V=20m/s

Vo=20m ¡s

¿

-+ — =2 -* —=7 -> d=l

t

1

* Además: d=V 0t + j a t 2 1=V0(1)+±(1)1* ->V0=±m/s

V =0*

201---- y£0t+£(4)f250 m-

* Del esquema:

* Nos piden: *AB = 10 + t............................

(I)

* Pero por condición del problema, el motociclista JO a después de iniciar su movimiento alcanza su

20t + 2 0 1 + 2t* = 250 t 2+20t -1 2 5 = 0 (t -5 )(t + 2 5 )= 0 = > t = 5

Vf = U l ( l ) = ^ m l 8 * En el 2do tramo: = í - f < +í« * *

«Ega * Al resolver: t = 2

1A f l Y a a o r K O li ¿ tíjíl PRO BLEM A 23:

Vr =V0 - atr -* 0=11000 - 100tf

* Finalmente se pide: Distancia Total Vm= Tiempo Total

Una partícula se mueve en línea rectilínea sobre el eje X y su ley de movimiento es: x (tf = 6 r - 3 t + 1

• F i n i l m c n t e c a l c a l am (recorrido del frenado)

Donde **t” se mide en segundos y “* " e n metros.

Usando:

Vp+Vf

RPTA: “B ”

11000+0

’i

PROBLEM A 21: En un viaje espacial, la máxima aceleración que un ser humano puede soportar durante un tiempo corto, sin que sufra daños, es de a —lOOm/s1. El primer astronauta retomó a la Tierra con b u cápsula espacial el 24 de Junio de 1 969. Su velocidad, al entrar a la atmósfera, fue de Vo= 11000 ms’ 1. Determine el recorrido de frenado y el tiempo de frenado, considerando que en ese lapso se movió con aceleración constante a = -100 mis1. A)450km; 110 a B)700 km; 200 a C)400km;100a D )605km ;110a R E S O L U C IÓ N : * Para resolver el problem a, podemos considerar que la nave se mueve en línea recta dentro de la atmósfera y como la aceleración es constante, entonces la nave experimenta un M.R.U.V

110

Determinar el espacio recorrido desde* = 0 hasta * = —.

= 605km

B)Om C)2m RPTA: “D >1 A)lm E)314m D) 7/2m P R O B L E M A 2 2: ÓN: 2 autos parten del reposo con R E S O aceleraciones constantes en el mismo instante del punto “ lN *\ El ler auto se dirige hacia “M ,9con 2 m/a* y el 2 do auto se dirige hacia P con 4 m/s*. ¿Luego de qué tiempo x=lm x=lm estarán separados 49"¡3m ? • De la ecuación de la posición: N A )3 i l? = 6 t* -3 t+ l B)7 8 C )5 ¿a • En t = 0, la posición es: ............. D)12a 1 T = 6 (0 )* -3 (0 ) + l= lm R E S O L U C IÓ N : •Luego de un tiempo

* En í = ~ , la posición es:

recorrerán:'

• Esta ecuación: ~ x = l - 3 t +|fi]** corresponde a un M.R.U.Y, donde

OBSER VA C IÓ N :

x = x Q+ V0t+

V

• entonces comparando: ,

Vo=11000mí$

Vc= - 3 m!a\a=12 m /g*[x0= + 1 m • Ahora haciendo un análisis geométrico, se obtendrá:

* Ahora grafiquem os desde el momento inicial; hasta que se detiene: V=0

o = -1 0 0 m/a2

• El movimiento es desacelerado , moviéndose hacia la izquierda:

Indica que la ~a es de dirección opuesta a la velocidad. •Calculando t F(tiempo de frenado)

t*j3 = 4 9 yl3 -> t= 7 s RPTA : *'B

99

Considerando:

12mfs*

3m¡8

0*=3* - 2 (1 2 )d -> d = ^ m

I W Í R .U .V .

P « « del movimiento

Además:

* Ahora en la Ecuación de la velocidad (VB) del móvil “B ” :

0 = 3 -1 2 t-* t= — a 4 t i l ->falta: —- —= — a, para que 2

4

E D IC IO N E S R U B IÑ O S i PROBLEM A 26:

U B I

Vs =VoB + a t -yV B= —4Q + 4t * Pero cuando se detiene momentáneamente se cumple:

4

¿Yt=H2

Luego de que se detiene, empezará

VB = 0 = -4 0 + 4 t= > t = 10

4

3 después habrá recorrido -zm y O estará ubicado nuevamente en el punto de partida. * Finalmente se pide:

(t = 10) la posición del móvil “ A " será: xÁ = 80t = 80(10) = 800 m RPTA: "B ” PROBLEM A 25: Una partícula describe una trayectoria rectilínea sobre el eje Y; A

espacio 3 3 3 = —+ —= —m recorrido 8 8 4 di=H2 3/8 m

<■

3/8 m

RPTA :“ E ”

PR O B LE M A 2 4 : Dos móviles A y B que parten del origen se mueven sobre el eje X con m ovim iento cuyas posiciones son x A = 8 0 1 (en m) y x B = 1200 - 40t + 2ts. Determine la posición (en m) del móvil A en el instante en que B se detiene momentáneamente. A)100 B)800 C)600 D)400 E)200 R E S O L U C IÓ N :

■*

x=x0+V04 + ía 4 í

L

velocidad inicial

posición inicial

en t= 3 8 su posición es 70 j (en m). Determine su velocidad (en m/s) en el instante t=7,5 8. A)2,2 B)3,8 O0 D )lf5 R E S O L U C IÓ N : * Consideremos las condiciones iniciales del movimiento: En t = 0 - + y ¡ = 1 0 j

a

Va = 2 5 j

* Luego la ecuación general de la posición (en el eje Y), para el M.R.U.V:

y

= 1 0 j+ 2 5 j

+ — ( ~ o- j ) a t 2

L

d e a a celera d o

* Peroen :t = 3 , y = 7 0 J ; entonces: 70 = 10 + 2 5 ( 3 ) - ^ - a ( 3 ) 2 -+ a = ^ -m / s *

2

i

•—a0= - 4 &

*—a = l 6

la

9

a0= - 8m/$‘ a = 6 mis3 > » * cambio de a celera ción

RPTA :“ B” PROBLEM A 27: Un automóvil inicia su movimiento en x = 0 , se mueve en línea recta y su rapidez depende de su posición según la ecuación V3 = 2 x mis; determine la rapidez del automóvil a los 7s de iniciado el movimiento.

x= 0 A)2 mis B)3 m/s D)6 mis E)7mis R E S O L U C IÓ N :

+X C)4 mis

* Debem os considerar que en M.R.U.V, se tiene que:

3

* Finalm ente de la ecuación de la

(I)y(B ):

velocidad para el M.R.U.V: Vf = V .+ a t

—a = 2z> a = 4 ~ : aceleración cte 8

^Debemos la ecuación general del mqjnmiento ampliado:

m) y su velocidad V0 = 2 5 j (en m/ s), desarrollándose un M&ÍTJtV. * Luego com parando con (desacelerado), considerando q^g^. ecuación dada, se obtendrá:

* Luego comparando las ecuaciones V „ = - 4 0 mis ( + - )

vis* *

A

rw

(II)

•r*

Determinar ia ^ ü a c ió n inicial y como varía ¡¿aceleración en m/s2y mis3t respectivamente. A )2 y 3 ¿ : B )-2 y 2 D )0 y -3 E )-8 y 6 R É S O L U C IÓ

en /= 0 s su posición es y0 =10 J (en

* De la ecuación de la posición del móvü x B = 12MF*4Qt + 2th~. M) v * Pero la ecuación general de la posición de una^'aptícula con M.R.U.V en el eje X: ^

'í ( í)= ( / 3 - 4 f , + s ) } '; donde “ x ” esta en metros v&tf' en segundos.

* Finalmente, en este momento a moverse a la derecha y en * = 4

Consideremos un movimiento con aceleración variable uniformemente de una partícula, en el cual su posición respecto del tiempo, se rige por:

para t = 7,5, se tendrá que: 10 V =25j - — ( 7 , 5 ) j - 0 j RPTA: “ C ”

* Según lo dado: En x = 0 ^ V o=2(0)=0

2 x = 2 a x — ► a = lm Í89

\ft!SmixtUM * Finalmente se pide la rapidez a loe 7 s, entonces de:

posición "r0 ", velocidad *V0n y aceleración 'o~, iniciales de un móvil en M.R.U.V Si loe vectores — y "^r«gon unitarios ; se

RPTA : 44E ,f

(

l

)

♦ Del tramo BC (MJLU.V.):

de Simia2 . A partir de t= 2 a desacelera y se detiene en t=4a describiendo la ecuación

0 ¿Qué velocidad com o mínimo necesita para llegar al origen? A)1 m/a B)42 m/a C)2 m/a

x lt)= A + B ( t - 2 ) + C ( t - 2 ) ' . Determine los valoree de é4A ", 44B " y t4C 9,e n m t mÍ8 y m/a2, respectivamente.

DyJSm/a E)y¡5m/a Resolución: * Nos piden 44V0" mínimo para llegar al origen es decir en t40 " ,

♦ Graficando:

v, = o

vf=o

Si

Vf> t BC Yjl (P) C *Vo wB — 0 ♦ Reemplácenlos (a) y (fi) en (I) Vy a ♦ Ahora recordemos que:

A)10; 10 y -2 5 B )6; 5 ylO C)10; 5 y 10 D)5; 10 y 2 5 R E S O L U C IÓ N :

i =2

Lb ^ t

t* A B -y .................................. (a )

Un auto parte del reposo en el instante f = 0 con una aceleración

t=0

“

* Del tramo AB (M.R.U.):

pregunta:

PR O B LE M A 2 8 :

IA F jy y w x o rB m l I 0 I ¿1 * Se pide calcular “ V ” de tal forma que, el tiempo “ t ^ 99sea el menor posible; entonces planteamos:

L

V

IL —x v V a

y +T

a=lm/a3

t ^ > -A£~ 2 \a

lOm/a* 1 = 4

* Luego V -0

lm

0 -1 0 K ° i* —; — “ -o

mínimo,

cuando: *ac= 2J“

* AhoT*:xe = 0 + ± ( 6 ) 2 2 =10

* Entonces:

V, * - 2od

De:

'7 AC” será

4L a

0 i t=* V ? - 2 ( l ) < l ) -v

RPTA :4tB ”

♦ Luego en el 2do tram o:

-f

P R O B L E M A 30: Un patinador recorre la distancia 44L "con una velocidad constante

*Perof i ra t = 2 -+ ^ = * 1 0 ; x9 * 10, y los 8Íguientect¿t¿empo8 tendrán la siguiente fo rm a d - 2 ", luego reemplacemo^gnYp: 10+20 (t - 2d+A(j5)( t - S)9 x*10+10(t - 2j^2,5(t - 2)s....(ll)

* Pero por dato: x= A + B (t-2) +C(t-2)*.

(III)

* Finalmente comparando (II) y (BI) , se obtendrá que:

“y " y luego frena con una aceleración constante "¿"hasta detenerse; ¿para qué valor de “y * , el tiem po em pleado por el patinador, será el menor posible? aL A)aL B) C)y[aL D )4á R E S O L U C IÓ N : ♦Graficando: V =0

A = 1 0 ; B = 10 ; C = - 2 f i RPTA: 41A " PR O B L E M A 2 9 : La figura muestra los vectores

M.RU.V.

L2 V

2L a

k -Y .= o -+ v = y í7 L V

a

RPTA: “ C” PROBLEMA 31:

Joel y Jesús corren con M.R.U.V partiendo de los extremos de la fqja que inicia su movimiento simultáneamente con los jóvenes y acelera a razón de 3 m/a*. Los valores iniciales de las velocidades de los tres móviles (respecto de tierra) se indican en la figura. ¿Qué intervalo de tiempo debe transcurrir hasta que los muchachos se crucen?

2iM partícula se el com unica una aceleración a - ( * ♦ } ) m/s2, halle la magnitud del desplazamiento (en m) de la partícula entre t = ls y t = 3s.

IjyS m ls S i /m ' ou;;«

A)2m

B)3m

C)>Í2m

D)6y¡3m

E)4y¡2m

ED ICION ES RtJRIÑÓSi simultáneamente desde A y B a partir del reposo y poseen aceleraciones iguales y constantes: ~a=(i + j)m / 8 2, ¿Qué intervalo de tiempo debe transcurrir desde el inicio hasta cuando las partículas equidistan com o mínimo del ongen

R E S O L U C IÓ N :

30m

* Como a=(l; 1) ; %=~0

A)i* BJ2s CJ3® R E S O L U C IÓ N :

DJJs

E)5s

* Ubicamos nuestro observador sobre la plataform a, para ello hallamos las velocidades iniciales y aceleraciones relativas respecto de la faja.

* Luego de:

A d r= 0 ( t ) + U l ; 1)1*

£

- e -

* ParaJoel:

í)

Se pide: v f =V

jo j - V p

= 3 i-3 i= 0 i

RESOL UCI * Los m óviles realizarán un M .R .U .V ,partiendo del reposo (V o=0)\ la dirección de la aceleración nos indicará la dirección de su movimiento. Luego: si

aí

=ajow - aj? =3¿ - 3¿=0i

* Para Jesús: VJ / '“’ =Vj.,ü. - V f = - Bi - 3i= - 8i —JeaÚM — — a f

= a j e » úm —a F = —4 i - 3 i = - 7 i

* Ahora consideraremos que la faja esta inmóvil y que los muchachos tienen las velocidades y aceleraciones que se calcularon. Observando la faja de perfil. oel * * (f *

V0=8m/s ^ * Jesús a = 7mfs\

ü>

a

1

•

30m ♦ Finalmente analizemos a Jesús, puesto que Joel está^én reposo, luego de: 3 0 = 8 t + ± (7 ) i 2 * Al resolver, resulta: t = 2 8 RPTA: “B ”

P R O B L E M A 32: Una partícula se encuentra inicialmente en reposo. Si a la

d ii~3)-d d»j) I=Jé2 +4 =4>Í2m a = (i + j)m / s RPTA : “E f 9

P R O B L E M A 33: Una partícula parte del origen de

* En el plano el movimiento será; i Y(m)

coordenadas conv£=(2 í-j'+ £ )w */s, m oviéndose con aceleración

d is ta n c ia ín im a

a = (-i-k )m / 8 2 , determine su posición al cabo de 2 s. A )(l;-1 ;0 ) B )(0 ;0 ;-1 ) C)(-2;2$) D )(l;-2 ;0 ) E)(2; -2 ; 0) R E S O L U C IÓ N : * La ecuación de la posición en un M.R.U.V es: __ r0=(0; 0;0)

T0= (2 ;-l;l)

X(m)

* Se deduce que: \~a\= 4 l 2+ l 2 = J 2 d -+ J 2 = 4 - * d = 2 ^ 2

* Ahora apliquemos:

< T = (-i; 0 ; - i )

* Luego para / = 2\ =>T= (0 ; 0; 0 ) + ( 2 í - i ; 1) 2+ 1 ( - i ; 0; - i ) ( 2 )*

2 j 2 = 0 ( t ) + l ( j 2 ) t 2 -> t = 2s 2£

*>~r={4; - 2 ; 2 ) + ( - 2 ; 0 ; - 2 ) = * 7 = ( 2 ; - 2 ; 0 )

R P T A : “ B 99

RPTA : “B ” P R O B L E M A 34: Dos partículas se mueven en un plano horizontal; parten

^

Observación/

En un movimiento rectilíneo, con igual sentido (ver figura) pueden

E S -ü ¿ 3 B S presentarse dos casos de acercamiento o alejamiento en particular: V, V,

* En el momento enminente que etá a punto alcanzar la onda al auto , se cumplirá que: dauto = d mtdo -* ± a (t+ 3 4 )* = 3 4 0 (t)..........(1) & * Ahora el alejamiento será mínimo , si las velocidades finales se hacen

CASOI:

ig u a le s :

Si V¡ > Vf entonces el móvil 1 se acercará continuamente del móvil 2 , si los m ovim ientos son acelerados, el acercamiento máximo se produce cuando las velocidades finales de i y 2 se hacen iguales. VPl = V,F2

,

F2

...(alejamiento máximo)

NOTA :

PROBLEM A 3 7 : Dos móviles parten simultáneamente del origen de un sistema coordenado. El móvil (1) lo hace conyjSB2 im ¡$ y ai=(3¡+4j)ml8*;(2) lo hace con Vi=6jm/8 y a*=(—4i — Determine la posición de (2) respecto de (1) en el instante que (1) tiene una rapidez de 8^Í2m I s •

0+a(t+34)=340............. „.(II)

m

J5>|—iSiJm

* De (II) en (//, se obtendrá:

E )[2 ¡ + 1 6 j}m

R E S O L U C IÓ N :

J (340}* =340 2 °{ a )

i

_

•

Analizando el problema según la última condición. a = 5m /•*

PRO BLEM A 36

Si Vt < Vs entonces el móvil 1 se alejará continuamente del móvil 2 si los movimientos son acelerados, el alejamiento máximo se produce cuando las velocidades finales de 1 y 2 Be hacen iguales. - v

mnido

RPTA: “B ”

CASO II:

„

auto

fin a l

=> 1 7 0 ^ 3 4 0 - 3 4 a

(acercam iento m áxim o)

v

^ fin a l

iA EXCMrj.oM’ EittA 2012}

Se tiene un alambre doblado de 46 m tal como se indica. Si un collarín liso es soltado en "A ” . Determine “ d ” de tal manera.que el tiempo empleado por el collarín en ir por loe tramos ¿ j j y fo s e a n iguales. A)12m B)46m C)30 m D)48 m E)72m

Si las velocidades finales durante el movimiento no se igualan, no existirá alejamiento o acercamiento '^R E S O L U C IÓ N : máximo.

Voj = 2 im ís ; ai =|2i + 4j^m/s De \Vf = V 0 + at calcularemos el instante en que su rapidez Vf es 8*j2 m/«. Vr = 2i + \3Í + 4j ) / = (2 + 3t)Í + (4t)j La rapides

se calcula por:

V = )(2 + 3 t f + (4 tf Luego: J é + 12t + 9t* + 16t2 = 8 j 2 Desarrollando: 25t* + 12t - 124 = 0 25t

PR O B LE M A 3 5:

+62 -2

<, 2^,

Si una granada activada demora 34 ué b para explotar. ¿£ o aceleración constanteKmínima tendrá que alejarse un automovilista qu$ ac^yala granada para que no sgjalcjiftzado por la onda expansivámA velocidad del sonido en el aire es 340 m/s). A) 10 mis* B)Sm/s* C)12 m/s1 D)8 mi»*

E ) l l mi«*

R E S O L U C IÓ N : * Graficando:

t = 2s Cálculo de las posiciones de los móviles (1) y (2) respecto de un sistema fyo, en el instante t —2s . Los

dos móviles parten de

• En el tramo A B , el collarín realiza un M.RU.V

r o = (0,0)

^ 4 5 - d = [ ~ ~ ^ t - 9 90-2d=Vt. (D

De: r f =

* Pero cuando el collarín llegó a “B 99sigue avanzando y como es liso realizará un M.R.U.:[5=V*|

-f V 0t + ~ a t s £

rf = (0;0)+ (2;0)x2 + íx {3 ;4 )x 2 * £ rr = (10; 8 ) ^

• Reemplazando en (I) : 9 0 -2 d = d -+ d = 30m RPTA: “ C ”

De:*> = r 0 + Vot + í a t *

EDICIONES RUBINDSl rr =(0; 0) + (0; 8 )x 2 + | x ( - # ;- 2 )x 2 * d!

Cálculo de la posición de (2) respecto de (1) en t=2s. rn - ri ~ r j =

“ rr{„

ru =(-8;8)-(10;8) RPTA : “B ” PROBLEMA 38 :

Sobre un plano inclinado sin fricción se sueltan dos cuerpos desde una misma altura, uno de ellos acelera 4,0 mis más rápido que el otro. ¿En qué tiempo se separarán 18 m ? (g = 10 mis*). A) 3,0 s B) 2,1 8' C )4 ¿ 8 D) 1,9 a E) 2,4 a RESOL UCIÓN:

Piden determinar el intervalo * que dos objetos, que realizan MRUV, demoran en separarse 18 m a partir del instante mostrado: SUPERFICIE DEL PLANO INCLINADO VISTO DE FRENTE

plano inclinado; entonces sus aceleraciones son iguales. El enunciado del problem a es incorrecto. RPTA : “ A ” PROBLEMA 39 :

xt +

xt +— \+18

^ A + 2 fs = £Í_ + /g => t=3s 2 2 OBSERVACIÓN:

Como se desprecio la fricción y los cuerpos se sueltan sobre el mismo

a = 2 mis1

t= 4 s

6 mis

a vfm /s)

A) 0 B) 2 C)4 RESOL UCIÓN :

Siéhdo la aceleracjjJfTdé 2m!a , el objeto al desplqzjlrg^ae P hacia Af in cre m e n ta ^ T m ó d u lo de su velocidad^Sn-4m/s , por ello , cuando pá&a por Af tiene 6m¡8 . El desplazamiento de t= 2s a t=4s , viene dado p o r.

^ '

* Primero debemos recordar que la gráfica (v - *) si es una línea recta iniciada corresponde a un M R U V ( a = c t e .) •

Del gráfiéq^la relación enere las distancias ^ue^anzan los objetos son: a = dA A 4*18 > Por ecuaciones del MRUV.: s + 18 v¡t +

(a

* Ahora sobre la trayectoria se tiene: t = l8 t0=0 V=0 2 mis

La gráfica muestra la velocidad en función del tiempo de un objeto que se mueve en trayectoria rectilínea. Calcule el desplazamiento (en m etros) del objeto durante el intervalo de t¡ =2s a tg=4s.

* El desplazamiento realizado por el móvil esta dado por el área bajo la curva en un diagrama v vs t. En este caso como es una curva de velocidad constante (línea recta), la distancia pedida estará en el valor del área de los triángulos sombreados.

Reemplazando:

(el objeto se detiene por un instante)

Se define que : a = tan a = + 2 mis2 A pu n ta a ta dcrocha en todo in etan te

* Interpretando la gráfica para t = 0 ; la v = - 2 mía Mov. hacia la izquierda

t = l s ; la v = 0

-

=> d = +8m hacíala derocha

El desplazamiento por ser una cantidad vectorial es definido por un valor y una dirección. Lo que debieron pedir es la distancia, que viene a ser el m ódulo del desplazamiento. RPTA: “E” PROBLEMA 40 :

Un autom óvil y un camión se encuentran en el mismo lugar en el instante t= 0 . Ambos vehículos se desplazan en línea recta y en el mismo sentido. El gráfico muestra la dependencia de la rapidez de cada uno de ellos con el tiem po . Determine la distancia en metros que deben recorrer para encontrarse nuevamente. A) 150 B) 300 30

o(mls) camión

C) 450 D) 600 E) 800

:

5 RESOL UCIÓN :

t(»)

H B a ia lR g f P R O B L E M A 41 : En el instante 2 = 0 , dos partículas parten de un mismo punto y se mueven en línea recta en una misma dirección y sentido. Una de ellas se mueve con velocidad constante y la otra con aceleración constante. La figura muestra las gráficas de ambas velocidades. La distancia d , en m etros , que recorren y el tiempo 2 en segundos que tardan hasta que se vuelven a encontrar, respectivamente, son: v(mls)

•En 2 = 0 ambos m óviles se encuentran en el mismo punto de partida , solo que uno parte del reposo y el otro ya viene con velocidad constante. •Del análisis de la gráfica deducimos que el camión realiza MRU y que el automóvil realiza M RUV, siendo la velocidad inicial de este último nula. Inicialmente , el camión se adelanta al auto, pero luego , debido a que el valor de la velocidad de este últim o está aumentado, ambos volverán a encontrarse. I v(m/s)

¡A

EXCm*xo i’ EPlA 2012}

* Luego:

t=0

i

t= t

^a = —m/s*

v- = 0

d 1. = d

v -2mÍ8 d 2= d

&

Punto de partida * Para el mpvil © :

,,.

• Para el móvil d2 - vt d = 2t 2 .*De <7) + © •— = 2t t = 12

cam ión

• En ® : d=24m *t<*) d

A) 12 : 24 B) 48:12 C)24:48 D)24:12 E) 36:24 R E S O L U C IÓ N r •Del gráfico V vs 2 una de las partículas se mueve a velocidad constante i? = 2 mis, (partícula I) y la otra partícula (partícula II) parte con velocidad inicial cero y se mueve con aceleración constante

* Representamos gráficamente lo que se acontece t t=0

Note que cuando los vehículos se encuentran , sus desplazamientos son iguales. * Luego :

t

Wa

*

(i)

• Para el auto que realizecMRUV: , at*¡ • Del gráfico: AV _ a== ó t~ * Luego:

!

= 6 mis9 = - - = 322

(U)

* Para el camión que realiza MRU: ......(III) ¿camión_ Vcamión** Igualando (II) y (III) en (I): 3 t2 = 3 0 t= > t= 1 0 s

* Por lo tanto, la distancia que debe dv avanzar el cam ión es ¿ c a m i ó n ~ 3 0 0 Til.

RPTA : “ B ”

• Las partículas parten del mismo punto en 2 = 0 en la misma dirección. P id e n ;d = ?y 2 = ? • De la gráfica velocidad (v) versus el tiempoft) se tiene: • el m óvil Q) experiem enta MJLU.V 2 en 2 = 0; v0 = 0; a¡ = tan a = —mfs2 • El móvil Q) experimenta m JLU e n t = 0 ;v = 2m/s = cte.

RPTA: “D

99

PROBLEM A 42 : Cuando el conductor de un vehículo frena intem pestivam ente , la “ distancia de parada” se define como la suma de la “ distancia de reacción ” y la “ distancia de fren ado” . La “ distancia de reacción” es igual a la velocidad inicial por el tiempo de reacción del conductor , y la “ distancia de frenado” es la recorrida durante el proceso de frenado hasta que se detiene el vehículo. Usando los datos de la tabla adjunta , calcule la distancia de parada (en metros) de un vehículo que se desplaza a ¿o m/s. V elocid a d Ín icia l(m fs)

D is ta n c ia d e rea cció n (m )

D ista n cia de fren a d o (m )

15

9

5

30

18

20

A)8,0 B)8,8 C)12,0D)12,8E)20,8 R E S O L U C IÓ N : •Según el cuadro mostrado: J0Si V0=15m fs y d R= 9 m t. entonces el tiempo de reacción en este caso es de 9m t R =15mls = 0,6 seg. U) Si Vo=30 mis y dR=18 m t. en este caso el tiempo de reacción es de t R=18m +30m /s=0,68 , que coincide con, el caso anterior.

919 Podemos decir entonces que el tiempo de reacción es el mismo en cualquier circunstancia. Se puede apreciar que el proceso de frenado puede considerarse constituido por dos m ovim ientos cuyas características son conocidas : MRUyMRUV. t

1—

íihMafo

p osición

inicial

e d ic io n e s

es

x 9= S¡m ,

y su

A

V* = 12 im/a, lu e g o la e c u a c ió n del movimiento es: x * x§ + V#í + a — ^ x

2

t* . = (3 + 12t + a — Jim 2

mientras que 2a después, es decir en el instante t « 2a su p o sició n .reemplazamos: - 5 = 3 + 12(2) +

es * = - 5 i

* (2 ?

|¿| = 16m/s3

RPTA §tfC” El tiempo de reacción es el tiempo que le toma al conductor en reaccionar frente a un estímulo visual. Además podemos considerar que la aceleración, durante el proceso de frenado, es constante para cualquier proceso de parada. * Datos de tabla: 9

78

3

15

30

5*

d reacción ,a . r e a c c ió n

7final

=* d rmaceión - V ¡ x t rmaeel¿ H = 12m

* En elatramo de frenado V^O

Vf

Un carro se mueve en una pista recta con m ovim iento uniformemente variado. En los instantes 1; 2 y 3 segundos sus posiciones son 70; 90 y lOOm, respectivam ente. Calcrfjé !?Ia posición inicial del carro eñ í ;I% A)30 B)40 C)60 A D)70 E)80 R E S O L U C IÓ N :

0 2 = 302 - 2 a (2 0 ) (III) * De (II) y (S I) :a= 22,5 mis2 * P a ra > ií^ 2 0 m/# en (I ) 02 = 202 - 2(22,S)(d) -* d = 8,8 =>

~

20,8 * &p T A ; "E "

PROBLEMA OSl

™

Una partícula se mueve a (o largo del eje X c< n aceleración constante. Cuando su velocidad es de 12 im/a su posición es 3 im ; 2 segundos después su posición es im , determine (en m/s*) la magnitud de su aceleración. - 5

A i 12

B) 14

C ) 16

D ) 18

E) 20

resolución e Nos dicen que una partícula se mueve a lo largo del eje X y en el Instante / = 0, su

CJ F F V

D j FFF

RESOLUCIÓNt A

La aceleración el désarrollo de un MRUV se cara cteriza p o r p erm a n ecer constante y ¿d e m á s .se c o m p l i q u e la a celera ción , m e d ia 'é in s ta n l^ r e ^ s o n iguales. AV

U) V erdadero: Durante el desarrdM dáf MRUV la rapidez del cuerpo varía Encálmente con el tiempo, recuerde q u e to R p id e z es el módulo de la velocidad. , , " AV a ■ t

111) V erdadero: C o m o en el MRUV, el m ód u lo d e la velocidad depende del tiempo, entonces la v e locid a d m ed ia estará d a d o c o m o el promecfio entre la V « y la V r . V r + Vo

* Nos plantean el problema para un carro que experimenta un MRUV.

)

RPTA t "

f

PROBLEMA AS * tt=2s

/,=3a x(m)

Nos piden x 0 .

O2 = 1 5 2 - 2 a ( 5 ) ............ (II)

AJ W F BJ W V E j FVF

''

1 1 V¡2 - 2 a d .......................(I)

* Utilizando los datos:

Ul) La velocidad media entre dos instantes es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final.

P R O B L E M A 44 :

/,= /« •

II) La rapidez varía linealmente co n el tiempo.

I) V erdadero:

> a = -16m /sf lu ego el m ód u lo d e la a celera ción es:

(Tramée

I) La a ce le ra ció n m edia e s Igual a la aceleración Instantánea

• Como en cada segundo el carro disminuye su recorrido, entonces , experim enta un m ovim iento desacelerado. • Sabemos que en un M RUV desacelerado los recorridos en segundos consecutivos disminuyen en la misma cantidad , cuyo valor numérico coincide con el valor de la aceleración.

La m agnitud d e la a ce le ra ció n y desaceleración de un ascensor es de 4mfs* y su máxima rapidez vertical es de 360 mí m in. C alcule el tiem p o m ínim o (e n •) seguido para que el ascensor suba y llegue hasta 90m de altura, partiendo del reposo y llegando con rapidez cero. A j 12,6

B j 13,6

C) 14.6

D j 16,6

E j 16,6

RESOLUCIÓNi V

« 0

desacelera hasta detenerse Durante este trama la v e lo c id a d m á xim a perm anece constante e igual a:

90m

min.

6—

acelera hasta alcanzar su máxima velocidad

• Del gráfico: d * lOm => d + a = 20 ^ a = 10 + 2 a = 70 - x 0 ^ 10 + 2 x 10 = 70 - x 0

Xn = 40m

RPTA : “B ”

PROBLEMA AS i Con relación a) m ovim ien to rectilíneo uniforme variado, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

C alculam os el tiem p o i para el tramo acelerado: a =

AV

.

(6 )

t = 1,5a

t t Durante su m ovim ien to a ce le ra d o y d e s a c e le ra d o el a s c e n s o r recorre las mismas distancias d, por presentar la misma aceleración de la figura:

¡ A FJVCICJ,OfEDlA 2012} 2¿,MMrv, + <****■,= 90

■ i^ y

V ^ .t* * 90

16 m

= » a - f im / i*

RPTA t “A"

=> (4 1 (1 .6 / + 61, - 90 => t , - 13.69

Luego el Uempo total desde que parte hasta que se detenga es: = 2 t + t2 = 16,5a

RPTA t “E” PROBLEMA 4 7 / Una partícula describe un MRUV. En el Instante t = 2a su velocidad es -1 0 im/a y el Instante t = 7a su velocidad es -3 0 im/a. ¿Cuál es la rapidez de la partícula (en m/s) luego de haber recorrido 4m a partir del Instante t = Os?. A }2

B )4

C )6

Di 8

B ) 10

El esp a d o recorrido por una partícula en un movimiento rectilíneo está dado por: d = t* + 2 t + 1 2 donde **t*f se mide en segundos y ud ” en metros Si el movimiento se inicia en el instante f = 0 , calcule la velocidad, en m/s , que tiene la partícula al cabo de 5 segundos. AUO B ill 012 D113 El 14

R E S O L U C IÓ N :

RESOLUCIÓN/ La partícula se mueve hacia la Izquierda puesto que su v e lo cid a d e s negativa, analizando el m ovim ien to para cada Instante.

Darse cuenta que la ecuadón de la partícula es un MRUV y de la cual podem os extraer datos c o m o la v e lo cid a d inicial y la aceleración (a ). Según datos, la posición alcanzada por una partícula durante su movimiento rectilíneo es ’ d =s x - 1 2 + 2t +

w ¡¡ * Comparamos (a) y (fi) :V d = x = x 0 + v0t 4 ^ a t 1

Recuerde que el cam bio de velocidad varia linealmente con el tiempo. M ac s M eo 10 - V . 3 0 - 1 0« o s — ■fcy = ■■ ■■ -f■——

¿AC

^CD

2

5

x 0 = 12m

(posición inicial deí móvil)

v0 - 2 m/a (rapidez'Inicial)

Operando:

Vl - V ¡ + 20*1^ => V* - ( 2 f + 2 ( 4 ) ( 4 )

6mk PRORLERUk 49/ =» V ‘

—a = 1 ■=> a = 2m/a2 2 4 Se debe calcular la vr en t= 5 s ; entonces, usámos: vF = v0 + at

KPTM , “C" *

Un móvil que se mueve con MRUV pasa por los puntos consecutivos A, B, C y D. Se sabe; que en los tramos BD y AD invierte 2 y 4a respectivamente y que en el tramo BD su rapidez se c u a d r u p lica , d e te r m in e s u , a ce le ra ció n

Reemplazamos datos ‘ vp = 2 + 2(5) => vF = 12 m/a

RPTA / " C

"

M É T O D O P R Á C T IC O : Si: d = t* + 2 t + 12

(en m/a*). BC = 8m . AD = 16m. Al 1 B }2 0 4 D j 6 B j b

derivando tenemos la velocidad (v) :v = 2 t + 2

RES9LUCIÓNg

* Reemplazando para t = 5 a

Nos (ficen que el móvil em pleé 2a en ir de fl hada D v 4a en ir d eA h ad aD . 4V

16m Calculamos su aceleradón en el tramo BD, donde: 4 V -V =>Oas3V o V = - a Os 3 2 2 A partir de la figura podem os apredar que no conocem os la velocidad en A pero si en D, ahora para encontrar la aceleradón a tomaremos el movimiento al revés es decir de D hada A por lo que: (4V U 41-

0 (4 /

O f-0

dt En el tramo AB, el conductor se dispone en activar los frenos ; por lo tanto aún no se altera la velocidad , ocurre MRU. A partir de B , el conductor activa los frenos y el auto realiza MRUV desacelerado. Obser 1:4 ciú x: Nos piden el recorrido durante el frenado, lo cual sería BC=d2; sin embargo\,ííio hay clave al respecto: por lo tanto , reorientam os el objetivó al calcular el recorrido total desde que el conductor empieza a reaccionar. Luego, de la figura lo que debemos encontrar es distancia desde A hasta C donde. 1

.............................® ^ ac= í^i El el tramo AB (MRU): d¡ =Vgt => d ,= (2 0 )1 0 ,6 ) => d j= 1 2 m .............. ( / / )

a *= 4m/aí ; K =2m/a Pero nos piden la rapidez de la partícula después de haber recorrido 4m , analizando el tramo AB.

v 0=20m ls

PRO BLEM A 49 :

* Tener en cuenta que el objetivo es hallar la velocidad luego de 5 segundos.

aomit i

q= 5m ¡8

t= 0 ,6 a

vfS) = 2(5) + 2 = 12 m/a PROBLEM A 5 0 : Un automóvil que viaja a 20 m/a, frena bruscamente en una pista seca. El tiempo de reacción del conductor es 0,60a y la desaceleración del automóvil 5,0 m/a2. Encuentre la distancia de frenado. A) 28m B) 56m C) 59m D) 52 m E)65m R E S O L U C IÓ N : Graficando lo que acontece :

En

el tram o BC v f =V q - 2 a d 2 Remplazando datos.

(M R U V ):

=» 0 = 2 0 2 - 2 (5 )d s => d 2= 4 0 m ....(U I)

* (II) y (ni) en (I) : dAC=52 m R P T A :UD "

PROBLEMA 31 t Un camión y un auto se mueven sobre un cam ino rectilíneo de tal forma que en el instante t= O s la distancia entre los vehículos es 91,3 m (ver figura). El camión se mueve con velocidad constante de 90 km/h y el auto, que parte del reposo, Incrementa su v e lo cid a d a una tasa de 9 km/h cad a se g u n d o hasta alcanzar su v e lo cid a d máxima de 108 km/h. ¿En qué Instantes, en s, la parte trasera del camión coincide con la parte delantera del auto? c a m ú Sn ifc

&

-----------------5 ,5 m

91,3 m

Al En lo9 inatontea 1*4,8y B) En toa inatontea t *4/1 y O En loé inatontea t*S¿5 y Di En toa inatontea t =6,6y

] 32 mj i*l6J t t* l7 ,7 t =14,6 t *16,0

El En loa Inatontea t»S »S y t=18,5

RESOLUCIÓN t Pasando los datos al SI

ta i

\ P W M .W J -V Rapidez del camión

( a

-

2,5mla

Aceleración del auto Como su rapidez cambia en ^ km ^ mja=2,5mja ¿v = 9 ——* 9 h En cada segundo, entonces el módulo de su aceleración será a=2,5m !a* En el gráfico Vf, = 25m fa

a = 2 ,5 m la *

nfJL Q

Entonces

V f= V 0+ at~+

En 2 2 »: 1) P reco r ra: e f = vpt = 2 5 ( 12) = 300m

movimiento....

2 ) Q r e c o r r e : eQ = vQt + —a t 1 = 180m

2

Del gráfico En t= 1 2 s P y Q están separados x = 2 0 m y a partir de este instante, ambos realizan un MRU El tiempo en que
20

*

=Vq —vp t

• 3,2 m •

vr = v9 + a t => 80

12»

0 + -t= > t

2

Por lo tanto, el auto alcanza su rapidez máxima en el instante t= 1 2 s. Considerando que la parte posterior del camión (P) alcanza la parte delantera del auto (Q ) cuando este último se mueve con un MRUV.

a G = 2 ,5 m ¡8 3 v p = 25m la

Vq = 0 j . O

J

}M R U V \

100 m

MRVV 25t

Del gráfico:

Q lo g r a

«u

tiem po o d /c /a /r a J

MATAi “0” 'HWMIIIM

@ )C om pletar: A) Una partícula con MJuíLv desplazarse lo hacj línea................... , aumentando o ........................su velocidad en cantidades ...................... en intervalos de tiempos............. B) En el M. R. U. V la aceleración es.................................. y en todo momento es........................... con la velocidad.

5

52

F) En uñJf&.R.U.Y la velocidad es ¿t?................. y 8 aceleración es.......................... G) Cuando una partícula o cuerpo parte del reposo, entonces su..................................inicial es @ )C om p lete gráficos: a=2m./8* A)

2a

la

la

M ovim iento.

2a

l*

'^lOmJa

a=2m!a*

C)

M ovim ien to:

la

la

2a

'JSmfr

es

a =3m/al

un D)

movimiento

j

es un

x-20m >I

e p = 300m

M ovim ien to:

D) Según el gráfico

I)= *

r*. -

siguientes

6m/*

sOfe.

At = .............

Coató podem os ot&prvar t2= 14,47 t es mayor que t =12 9 qu$*é$ cuando el auto alcanza su rapidez máxima, ?>órteñto. antes de que el cam ión a lca n cé di auto por segunda vez, este último J b adquirió su rapidez máxima.

los

a = 4 m l»s

donde:

#

t ,'f T f ,4 7 »

m

la

B)

¡00 + -(9 ,0 )1 * » 25t => /* - 201 + 80 « 0

Operando ^

E) En el siguiente gráfico, identifique cadaj^érmino con su respectiva uní

C) El valor de la aceleración se determina como:

(3 .S H

en

t

Piden en cuánto tiempo el punto P alcanza al punto Q. La con dición del problem a acerca de ia rapidez máxima del auto es v_^_ = 180J tm lh = 3 0 m l a Veamos en cuánto tiempo el auto alcanza su velocidad máxima, com o este realiza un MRUV

Vf =V0 - a t - + movimiento....

30 - 25

r a p id e z m a rc m a

100 m

en

=> tt = 22» + 4» - 26» / le m p a e n q u e

91,3 m

E D IC IO N E S R IJR lN Ó S i

movimiento

la

M ovim ien to:

la

2a

^lOmía (^C alcular la velocidad inicial, de un m óvil que viaja con una aceleración de 4 m/s* si en 5s recorre 30 m . A)10m¡s B)8 C)6 D)4 E)2

LA n x c u j.o i'r ju A 2012)

\FW SM 4ZA auto viaja con una aceleración de 6 m/s*, si al cabo de 4 s logró recorrer 60m. ¿Con qué velocidad inicial partió? A)3mi8 B)4 C)5 D)6 E)2 ©Un m óvil parte con una velocidad de 10 mía y en 2a logra recorrer 30m . Calcular la aceleración. Ajlm/a * B)2 C)3 D)4 E)5 @ )U n m óvil parte con una velocidad de 20 mía y acelera con 4m/a*durante 6a. ¿Qué distancia recorrió? A)150m B)140 C)130 DJ120 E)110 ^f^Un coche viaja con 30 m/a y desacelera con 2 m/a9 durante J0a. ¿Qué distancia recorrió? AJIOOm B)200 C)300 D)400 EJ500 (J^Un móvil parte con 2 m/a y una aceleración de 4 m/a9 ,logrando recorrer 60m. ¿Qué tiempo empleó? A)U B)2 C)5 D)10 E)12 @ U n m óvil parte con una velocidad de 36 km/h y una aceleración de 6m/a9 ¿Qué velocidad en m/a tendrá luego de fí*? A)30m/a B)40 C)60 D)60 E)36 © U n móvil parte con una velocidad de lOm/a yV¿j£on aceleración 6mla9. Determinár la distancia recorrida en ^ l áéptimo segundo de iniciado su movimiento A)49m B)25 .C)3&2D)55 EJ46 '« 1

móvil pártecón velocidad de 5 m/a y con aceleración de 4 m/a9, Determinar la distancia recorrida en el quinto segundo de iniciado su movimiento, A)23m B)22 0 2 1 D)19 E)17 (£^Un móvil parte con velocidad de 8 m/a y con aceleración de 2 m/a9. Determinar la distancia recorrida en el tercer segundo de iniciado su movimiento.

A )llm

B)12 C)13 D)14 E)26

(ilJ)Un móvil parte en reposo con una aceleración de 6m/a*. Determine la distancia recorrida en el tercer segundo. A)12m B)15 0 2 7 D)18 E)6 (Q)Un móvil parte del reposo con una aceleración de 8m/a9. Determine la distancia recorrida en el cuarto segundo, A)28m B)26 0 2 4 D)20 E)16 Un móvil parte del reposo con cierta aceleración de 12m/a2. Determine la distancia recorrida en el sexto segundo A)66m B)64 0 6 8 D)66 E)48.

Determinar “ 'x”

v,=o . ■

■.

4m A)60m

38

Ü__ =

B)50 0 4 0

D)30 E)20

@ ) En el siguiente gráfico el móvil se mueve desde el reposo realizando un M.R.U.Y Determinar “x** 3 b V> 0 . \ A)24m

B)38

0 3 6 D)32 E)42

Eri el gráfico siguiente el móvil realiza un M.R.U.Y desde el reposo. Un móvil logra recorrer 9 m Determine “x ” . en el quinto segundo de. su v,=o.. 38 28 m ovim iento. Determine la a velocidad con la que inicia su 1 0 movimiento, si su aceleración eB de '27m\ 2 m/a9. A)lm/a B)0 0 0 ,6 D)1JS E)2 A)84m B)48 0 6 6 D)36 E)40 (f^E n el gráfico siguiente el móvil parte del reposo con M.R.U.V. Determine “ x ” 1°9 2°a 3*8

&

r

o

iO

8m— I A)20m B)30 0 4 0

\^x D)80 E)50

@ )E n el gráfico siguiente el móvil realiza un M.R.U. V desde el reposo. Determine **x” . 1°8 2°a 3*9 4°8 =Q

=Q

h~~2/7Z“H A)14m

B)12

O 10

D)8 E)28

En el siguiente gráfico el móvil partiendo del reposo realiza un M.R.U.V Determinar vv,=o - n * J°* 1

A)20m

%

*

3m

\ +

B)22

024

28 ..........

%-

= D)26 E)28

En el siguiente gráfico el móvil desde el reposo realiza un M.R.U.Y

Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena de tal modo que se logra detener por completo en 6 a. ¿Cuál es su aceleración? .Dar la respuesta en m/a2. A)3 B)4 05 D)6 E)8 Un móvil aumenta su velocidad de lOm/a a 20m/a, acelerando uniformemente a razón de 5 m/a2. ¿Qué distancia logró recorrer en dicha operación? A)30m B)60 0 9 0 D)80 E)100 Un avión parte del reposo con M.R.U.V. y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2 logrando despegar luego de recorrer 1 600m. ¿Con qué velocidad en m/a despega? AjlOOm/a BJ120 0150 DJ160 E)NA. @ )U n móvil que se desplaza a razón de 10 m/a ve incrementada su velocidad por una aceleración de 5m/a2. ¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los dos prim eros segundos de este movimiento variado?

H559 **a USOS A)60m

B)BO C)40 D)35 E)30

Durante tos cuatro primeros segundos de su movimiento, un cuerpo logró avanzar 80m, observándose que siempre estuvo afectado de un m ovim iento acelerado, aumentando su velocidad a razón de €m/ t*. ¿Cuál era !a velocidad del móvil al inicio del movimiento?

A)10 m/a B)9

C)8

D)6

E)12

@ ) U n cu e rp o parte d el r e p o s o c o n M.R.U.V. y avanza 50 m en 5a. ¿Cuál es su aceleración en m/a3?

A)3

B)4

C)5

D)6

E)7

automóvil Ingresa a una avenida a razón de 36km/h y acelerando a razón de I m/t3 avanza 48 m . ¿Qué tiempo le tom ó dicha operación?

A)2

B)3

04

D)5

E)6

En un recorrido de 49m un móvil logra triplicar su v e lo cid a d inicial. Si su aceleración fue de 4m¡a3, calcular dicha velocidad Inicial.

A)5m/a B)10

015

D)21

E)7

desplaza con una aceleración constante recorrien d o 18 m en los tres prim eros segu n d os. Calcular la distancia qu e reconerá durante los 7 s siguientes.

a) 200 m b) 42 m c) 84 m d) 182 m e ) 2 1 m Un cuerpo parte del reposo con MRUV y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. ¿Cuánto avanza en los 4 s siguientes?

a) 82 m d) 54 m

b) 96 m c) 100 m e) 150 m

Un auto parte de) reposo con MRUV y viaja cierta distancia entre dos ciudades con a ce le ra ció n c o n m ó d u lo d e 2,5 m /sa lca n za n d o una rapidez de 80 m /s. D eterm ine la distancia entre am bas ciudades.

a) 1840 m d) 1620 m

b) 1280 mc) 1460 m e) 1680 m

Un carro parte del reposo y viaja una distancia de 2 km entre dos ciudades, con una aceleración constante de magnitud 2,4 m /ss. D elerm inar la m áxim a rapidez alcanzada por el auto. , j/

a) 20V2 mis c) 40V3 m/a e) 40V5 m/a

b) 20V3 m/a - )/ d) 40V2 m/a

Si un atleta, partiendo de! reposo, &

.¿En qué tiempo adquirirá un cuerpo

una rapidez de 72 km/h, si parle con MRUV con una rapidez de 8 m /s y c o n una aceleración de 3 m/s-? Halle, también, la distancia recorrida.

a) 3 a ; 48 m c) 2 s; 54 m e) 8 s; 64 m

b) 4 s; 56 m d) 6 s; 42 m

¿En qué tiempo adquirirá un cuerpo una rapidez de 54 km/h, si parle con MRUV co n una rapidez d e 3 m /s y c o n una aceleración de 2 m/s'-? Halle, también, la distancia recorrida.

a) 4 a; 58 *b) 3 o; 48 m c) 5 s; 72 m ./ d) 8 a; 62 m e) 6 a; 54 m Un auto con MRUV logra duplicar su rapidez en 4 s. recorriendo una 'disrancia de 48 m. Determinar la aceleración del auto.

a) 4 mis2 b) 8 m/a2 . c) 6 m/s2 d) 3 m/a2 e) 2 m/a2

realiza un M.R.U.V. recorriendo 9 m en 3 s. ¿Cuánto demora en recorrer los primeros 100 m?

a) 40 a a) 15 a

b) 25 a c) 20 a e) 10 a

Un automóvil lleva una rapidez de 25 m/s v frena uniformemente deteniéndose luego de recorrer 50 m. ¿Qué rapidez lenía 18 m antes de llegar ai reposo?

a) 18 m/a b) 17 m/a c) 21 m/a d) 15 m/a e) 11 m/s Una partícula desacelera con 4 m/s".

Hallar la distancia que recorre en el último segundo de su movimiento. o) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 0,1 m Un auto se mueve con una rapidez de 45 m/s, desacelerando constantemente. Luego de 3 s: su rapidez se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para lograr detenerse? a) 4 a b) 3 a c) 5 a d) 6 a e) 7 s

Un auto que describe un MRUV, para

Un móvil con MRUV parte del reposo

triplicar su rapidez recorre una distancia de 80 m y demora para esto 5 s. Determinar la aceleración del auto.

con una aceleración de 4 m/s-. Halle la distancia recorrida en los Ires primeros segundos y en el tercer segundo de su movimiento.

o) 6,4 mja?b) 12,8 m/a2 c) 3¿2 m/a2 d) 1,6 m/s2e) 0,8 m/s2 Un m óvil parle del re p o s o y se

a) 18 m y 10 m c)18m yl8m e) 5 m y 10 m

bj 10 m y 10 m d) 9 m y 10 m

E D IC IO N E S K lIH IX O S l Un móvil parte del reposo con MRUV, si durante el décim o tercer segundo recorre 10 m. Halle la distancia recorrida en el octavo segundo.

a) 2 m a) 8 m

b) 4 m c) 6 m e) 9 m

¿Durante qué segundo un móvil que parte del reposo y tiene un MRUV recorrerá el triple del espacio recorrido durante e) quinto segundo de syBjpvimiento?

a) En el décfmoMf b) En el décimo segundo. c) En el décimo cuarto, a) En el décimo tercero, e) En el décimo primero. JYL ¿En* qu é

se g u n d o la& tfstapcla ,’ o q v í > V recorrida por un móvil en¿efié%egurido y su aceleración estarán en lájjeládón de 7 a 2? El móvil partió del reposá/

a) 2 do a) 5to

b) 3 ero c) 4to

e) 6to ‘

Una partfóíila describe un MRUV y tiene una rapidez V = 1 0 m/s en el instante t = 2 s 5' una rapidez V = 30 m/s en el instante t = 7 s. ¿Cuál es )a rapidez de la partícula, después de haber recorrido una distancia d = 4 m a partir del instante t=0?

a) 6 m/a a) 2 m/a

i>) 8 m/a c) 4 m/a e ) 10 m/a

Un m óvil parte del re p o s o y la magnitud de su aceleración uniforme es 3 m/s-. Cierto tiempo después de la partida, aplica ios frenos siendo la magnitud de su desaceleración de 6 m/s- hasia detenerse, si su viaje duró 30 s. ¿Qué distancia logró recorrer?

a) 450 m d) 900 m

b) 600 m c) 300 m e) 1200 m

Un m óvil se desplaza so b re una trayectoria rectilínea con una aceleración constante de magnítud2 m /s-, y 5 s después de haber pasado por un punto "A" de su trayectoria, tiene una rapidez de 72 km/h. ¿Calcular cual era su rapidez 9 m antes de llegar al punto A?

a) 10 m/s b) 8 m/a c) 20 m/s a) 4 m/a e) 15 m/s Un

auto

que

se

m ueve

co n

aceleración constante recorre en 6 s la distancia de 180 m que separa dos puntos de su trayectoria su rapidez aJ pasar por el segundo punto es de 45 m/s. A qué distancia antes del primer punto estaba el auto en reposo. (Dar la respuesta en metros),

q) 15,5 d) 52,5

b) 5,5 c) 22,5 e) 25,5

Indique los enunciados correctos: I ) Para hablar de m ovim ien to d e una partícula es indispensable referirse a un sistema de referencia. //) La trayectoria descrita por una partícula n o d e p e n d e del sistem a d e referencia elegido.

U EXCirj:anm EMPlA 2012) U l) Para dos sistemas de referencia, la velocidad Instantánea d e una partícula tendrá que ser siempre diferente,

a) Sólo / a) Todas

b) Sólo III c) 1 y III e) Ninguna

¿Qué distancia recorrerá en 80 s un vehículo que parte del reposo y en cada segundo Incrementa su velocidad en 1 0 m/s?

a) 31 km b) 32 km a) 36 km e) 20 km

c) 33 km

Un m óvil parte del r e p o s o y se desplaza con una aceleración constante recorriendo 18 m en los prim eros 3 s. Calcular la distancia que recorrerá durante los 7 s siguientes:

a) 200 m b) 42 m c) 84 m a) 182 m e) 21 m

está en reposo, con rapideces de 20 m/s y 30 m/s. Calcular cuántos metros de la longitud del tren pasan por ese punto, en la primera mitad del tiempo necesario para que el tren pase por completa a) 0 b) 45 c) 40 d) 35 e) 30 D os móviles parten del reposo y van

al encuentro desde los puntos A y B con aceleraciones de 2 m/s2 y 4 m/s2 respectivamente. Si el móvil que parte de B lo hace en un segundo más tarde que el móvil que parte de A ¿Qué tiempo demora en encontrarse el móvil que parte de A con el que parte de B, si A dista de B 262 m? a) 9 s b) 10 s c ) í l s d) 12 s e) 13 s

a) S m a) 7,5 m

b) 6 m c) 7 m e) 8 m

Un cu e rp o qu e parte del re p o so recorre, con aceleración constante, un espado de 100 m en 5 s. Calcular el tiempo que tardará para adquirir una rapidez de 56 m/s desde que partió.

a) 8 s a) 5 a

b) 7 s e) 4 m

c) 6 $

Un camión que se mueve con rapidez constante de 20 nVs pasa por un punto A, mientras que un auto parte del reposo del mismo punto con aceleración de 4 m /s 3 de módulo. ¿Cuál es el valor de la veloddad del auto en el instante que alcanza al camión?

a) 20 m/s b) 30 m/s c) 32 m/s a) 36 m/s e) 40 m/s

VJLa velocidad es constante en módulo A)I B)II C)III D)IV E)V En el siguiente gráfico el móvil realiza un M.R.U.Y desde el reposo. Determine *4x ” .

v,=0 •

1°S .

•

gQ A)8m

Un móvil parte del reposo y acelera constantemente tardando 2 sen desplazarse entre dos puntos de su trayectoria rectilínea que distan 24 m. SI cu a n d o pasa por el segundo punto llene una rapidez de 16 m/s. Calcular la distancia entre el primer punto y el punto de partida

I V )L a velocidad aumenta o disminuye cantidades iguales al recorrer distancias iguales.

Clasifique como verdadero (V ) o falso (F ) e indique la alternativa correcta. ♦En el M.R.U.V, en tiempos iguales se recorren espacios iguales. ♦En el M.R. U. la aceleración varía en forma constante. ♦En el M.R.U.Y la velocidad varía en forma constante.

•

8°s

2*s

«

_

«

•

/isÉv Q B)2

»

✓ 1 C)1

Ü Q h-45m—\ D)0

E)5

@ )E n el siguiente gráfico el móvil realiza un M.R.U.Y desde el reposo. Determine “x ” . l°s 2°s 13*8 lü

ÜQ

i S

Q

\ -5 0 m - 4

A)12m

B)6

C)3

D)2

E)1

(fi^En el siguiente gráfico la esfera parte del reposo y realiza un M. R. U. Y con aceleración constante. Determine **x” V t= 0

♦Si un móvil parte del reposo, su velocidad inicial es cero . A jW F F BJFFW CJFVW DJFVFV E)FFFV De la figura:

Un co ch e de turismo y un cam ión parlen a la vez, estando inlciálménte el c o c h e a cierta distancia por detrás del camión. Este último tiene una aceleración constante de módulo 1 , 2 nVs*tnlentras que el coche acelera con J, 8 rñ/¿ h e módulo. El coch e alcanza aljpaiplón S ia n d o este ha recorrido 90 m. ¿CuáJera la distancia Inidal entre ambos vehículos?" »

a) 25 m é) 40 m

'

b) 30 m c) 35 m e) 45 m

Dos coches que distan 400 m parten del rep oso sim ultáneam ente y van al encuentro con aceleraciones constante. ¿Después de qué tiempo estarán separados nuevamente 400 m si para encontrarse tardaron 1 0 s?

a) 10 s

d)28¿m

b) 14,1 s e) 16,4 s

c ) 20 s

Los extremos de un tren de 100 m de longitud pasan por un mismo punto que

6m fs

12m/s

1 8 m ¡s 24m/s 30m/s

Halle la aceleración: A)3m/s* B)4 C)2

D)5

E)6

Señale cuál de las siguientes la proposiciones son correctas con respecto al MRUV. I) La magnitud de la aceleración aumenta o dism inuye uniformemente. II) La velocidad puede ser nula en algún instante. III) La distancia recorrida es directam ente proporcional al tiempo empleado.

A)lm

B)2

03

D)6

E)5

(S^En el siguiente gráfico la esfera parte del reposo y realiza un M.R.U.Y con aceleración constante. Determine

xxh

A)lm

B)1S C)20 D)30

E)25

^^Señale verdadero (V) o falso (F): I) Un móvil describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de rapidez creciente para luego continuar m oviéndose rectilíneam ente con rapidez decreciente. Luego, es posible que el vector aceleración sea igual en ambas fases del movimiento. W Si un móvil viaja con aceleración constante, se puede afirmar que su velocidad en ningún momento será nula. A)FV B )W C)FF D)VF E)Ninguna Señale verdadero (V) o falso (F): I) La aceleración es una magnitud vectorial que mide la diferencia entre la velocidad de un móvil en dos instantes diferentes. U) La aceleración de un móvil hace que el móvil varíe su velocidad cantidades iguales en tiempos iguales. A)FV B)VF C)FF D) W E)Ninguna Señale verdadero (V) o falso (F): I) Si un cuerpo tiene aceleración constante, entonces la magnitud de su velocida^ya en aumento. II) Si un ctiérpo tiene movimiento uniformem ente retardado entonces cuando Su rapidez llega a cero, su aceleración és'nula. A)FF B) W C)VF D)FV E)Ninguria Señale verdadero (V) o falso (F): I) La velocidad media es un vector. II) La velocidad media de un objeto significa la longitud de trayectoria recorrida, dividida por el tiempo transcurrido en hacerlo. III) Cuando la velocidad de un

!i¿& móvil varía continuamente durante el movimiento, se dice que el cuerpo tiene aceleración AJFVF B )V W C)FFF D )W F E)VFV Indicar verdadero (V) o falso (F): I) Un cuerpo puede tener velocidad nula en un instante determinado y, sin embargo, estar acelerando. II) Un cuerpo puede tener una rapidez constante y sin embargo tener una velocidad variable. III) Un cuerpo puede tener velocidad constante y; sin embargo, tener rapidez variable. A)FFV B )W F C)FVF D)VFF E )W V Señale verdaderas:

las

afirm aciones *

4a V

I) Para todo movimiento rectilíneo la aceleración tiene igual dirección que la velocidad. II) Si la velocidad de un móvil es constante; entonces, la aceleración del mismo es constante. III) Si la aceleración de un móvil es constante; entonces, necesariamente su velocidad no es constante. A)Ninguna B)Sólo II C )IIy III D)SóloIII E) Todas (T^)Señale correctas:

las

afirm aciones

I) No existe reposo absoluto, sino reposo relativo. II) En el MRUV , la aceleración varía de acuerdo con el transcurso del tiempo. III) Para que exista aceleración, necesariam ente debe haber variación de la velocidad. A)I y III B)I y II C )IIyIII D)Sólo III E)Todas

EDICIONES RUBIÑOSÜ referirse a un sistema de referencia. II) La trayectoria descrita por una partícula no depende del sistema de referencia elegido. III) Para dos sistemas de referencia, la velocidad instantánea de una partícula tendrá que ser siempre diferente. ^ A)Sólo I B )$óloII C)¡ y III D)Todas E)Ninguna Una partícula efectúa un m ovim iento redfjft íneo uniformemente acelerado a lolargo del eje X . Al cabo, defiois'tiempos tj =28 y t 2= 4 ,$ s se mide la velocidad de la partícula resultando los valores Vj^2mis y V2=-10mls respectivjaítriente. ¿Qué desplazamiento A x en metros ha tenido la partícula en el intervalo de tiempo indicado ? A) + 8i B) + 4i C )O i * *

*

+

,

D )-8 i E )-1 0 Í (Q)Un carro, partiendo del reposo y moviéndose en línea recta con aceleración constante, alcanza una rapidez de lOOmfs. A partir de este instante, se mueve en línea recta desacelerando con una aceleración 50mls2, hasta llegar nuevamente al reposo. El tiempo total desde que parte hasta que se detiene es de lOs. La aceleración inicial en mis2, fue entonces: A)11,0 B )ll,5 C)12,0 D)12,5 E)13,0 (í§)Un automóvil se desplaza en la dirección (+ de modo que su rapidez varía con la posición de acuerdo a la siguiente expresión V= y¡4 + 2x mis (donde x se mide en metros. Considerando que al móvil 6e le empezó analizar cuando

enunciados

pasaba por J = o ; determ ine cuánto recorre el móvil desde t= 0 hasta t=2. A)2m B)4 0 6 D)8 E)10

I) Para hablar de movimiento de una partícula es indispensable

Los móviles A y B parten del reposo con aceleraciones de lm ls2 y 2mls2 respectivamente. B parte

(Í^Indique correctos:

los

F I S I C A

I A E X C m .o i‘ FMt\ 2012}

después de A. ¿Qué distancia los separa cuando sus rapideces son iguales?^ g

la

A)Om

B)2

'18m C)8 D)12

E)15

Un hombre que puede correr a razón constante de 6m/s o b se rv a el bus estacionado y corre hacia él, cuando se ubica a 12m del bus éste arranca alejándose con una aceleración constante de 2m !t *. ¿El hombre alcanza aJ bus? De no hacerlo hasta qué distancia com o mínimo logró acercarse al bus.

A) Si alcanza al bus. B) No lo alcanza y dmlm= Im C) No lo alcanza y dmfn = 2m D) No lo alcanza y dmln = 3m E) No lo alcanza y dmtn = 4m Un peatón corre hada un ómnibus para alcanzar con una rapidez constante de $mf s en el instante que se encuentran a 2 0 m por detrás de é l, éste parte del reposo acelerando a razón de lm/s*. Determinar si el peatón alcanza o no ómnibus, “ sino” qué distanda se a ce rca .

A) Si lo alcanza B) No lo alcanza C) No lo alcanza, se acerca a lo más a2m D) No lo alcanza, se acerca a lo más a 4m E) No lo alcanza, se acerca a lo más a Im.

@ ) U n a partícula se desliza sobre una superficie horizontal en línea recta sin fricción entre los puntos A y 5 , en d os ocasiones. La primera vez lo hace en 7s, con una rapidez Inidal v (m/s) y con movimiento u n iform em en te a ce le ra d o c o n la aceieradón a (m/s*). La segunda vez lo hace en 2s, con una rapidez constante Igual a c(m/s). La aceleración “a” de la partícula en la primera acción es:

A)v

B)2v

C)3v

D)4v

E)5v

Un automóvil está esperando en reposo que la luz roja del semáforo cambie. En el instante qu e la luz se torna verde, el autom óvil aum enta su rapidez uniformemente con una aceleración de 2m/s* durante 6 segundos, después de ios cuales se mueve con rapidez uniforme. En el instante que el automóvil com en zó a moverse por el cam bio de luz, un camión k f sobrepasa en la misma dirección , c o n movimiento uniforme a razón de ¡Om/s. ¿Luego de cuánto tiempo y cuán lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán a estar juntos?

A)25 s f 250 m 0 1 5 8 , 150 m E)188 ,1 8 0 m

B)12 8 ,144 m D )9 s x,9 0 m

@ )E 1 m óvil describe un m ovim iento de ida, y vuelta recorriendo A B y BA. _Con aceleración constante (a ) . Al subir pasa por “M ” con 8m/at al bajar pasa por “J f” con:

N :x = 3 t2+ 5 t+ 8 (m )

Xj = 6 + 2 0 t - 2 t 2

x s=14 + 4 t - 2 t 2 Determine cuánto tiem po transcurre desde la segunda hasta la tercera vez que los móviles vuelven a estar separados 8m . A)la B )l,l C)h6 D)2 E )2 ¿

•4

H .

. />■ : «? • > >

: ■t " f 0 3m

A)2 m/s2 D)5 m/s2

B)3 m/s2 E)6 m/s2

C)4m/s2

Un cuerpo A comienza a moverse con una rapidez Inicial de 2m/s y avanza con una aceleración constante “ a ” . Después de 7Os de haber com enzado a moverse el cu erp o, y desde el mismo punto de partida, empieza a m overse el cuerpo B con una rapidez inicial de / 2m/s y con una aceleración “ a ” . ¿Para qué valores de " a ” el cuerpo B puede alcanzar al cuerpo 4?

A) a < 0,5 m/s2 O a < 2 m/s2 E) a< lm/s2

B)a > 2 m/s2 D) a> lm/s2

V = 4 m í s , d esliza n d o por una tubería horizontal c o m o se indica, determinar la posición que logra alcanzar la arandela finalm ente; ia cual experim enta una aceleración retardalriz constante de (4/L)m/

M : x=4t2+ 5 t -l(m )

D)+24im¡8 E)+29im¡8 @ )L a ecuación del movimiento de 2 partículas es:

@ )D eterm in e el módulo de la aceleración del bloque A si los bloques se cruzan luego 7s a partir de la posición mostrada. Considere que los bloques realizan MRUV m >m B*

Si la arandela de 4 kg es lanzada con

La ecuación del movimiento de dos móviles M y N son:

¿Qué velocidad tiene M cuándo se se encuentra con N ? A)+Hm/ai B)-5im ia C)-10im/s

A)Va * 6 m/s ; VB = 8 m/s2. B)Va = 4 m/s ; VB = 7 mía. C)VA » 5 m/s ; VB * 7 m/s. D)V a = 8 m/s ;V B = 4 m/s. E)V A = 2 m/s ; VB = 10 m/s.

B A)8m/s B)9m/s 06m/s D)Rapidez mayor que 8 m/s E)Rapidez mayor que 9m¡s Dos esfera; “A ” y “ B ” inician su movimiento describiendo MRUV de tal forma que A sale 3s después de B. Si a partir del instante mostrado las esferas demoran 2s en chocar, determine 0tVA” y t(VB" t=t lm/s' 2mfa t= t

V=4m/s A) Llega hasta el punto A. B) Llega hasta el punto B. O Llega más allá de B. D) No llega el punto A. E) Llega a un punto entre A y B.

Un automovilista que tiene M.R.U.V varía su velocidad de 18 km/h a 72 km/h en 10 segundos.

**r

L v . k . i'lv .

Un automóvil que tiene M.R.U.V. sale con velocidad inicial diferente de cero y aceleración de 4 m fa3, recorre SOm en 4 segundos. Determinar la velocidad final.

A)12 m/a B)20 m/a C)24 m/a D)25 m/a E)28 m/a ©

A un auto que viaja con velocidad de

36 km/h, se le aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50 m . Si tiene M.R.U.V., ¿qu é tiem p o d e m o r ó en detenerse?

A)5a B)10a C)15s D)20a E)25a ©

Un automóvil ínlda su movimiento en

la posición que se muestra. Determinar el mínimo tiempo que dem ora en llegar al punto “B” . Si su aceleración constante es de 2 m/a1 y la máxima rapidez que puede alcanzar es de 40 m/a.

A)20a B)30a V = 0 040 a D)50 a E)17 a m Dos autos A y

B que tienen M.R.U.V.,

salen del reposo simultáneamente en el m ism o sentido, del m ism o punto, c o n aceleración de 2 y 4m/a3 respectivamente. ¿Después de qué tiempo estarán separados 900 m?

A)10a B)20a O30a D)3a E)35a Un ratón se dirige a su hueco en línea recta con velocidad constante de 2 m/a. cuando le faltaban 5 m para llegar, pasa por el lado de un gato que se encuentra en reposo. Sí e\ galoacelera a razón de 2 m t t 1en dirección del ratón, ¿el gato alcanza al ratón? qué distancia de sp agujero?

A)í m D)0,5 m

B)0‘,8 m E)0,Ó01 m

0 0 ,6 m

A)1 km B )l£ km D)l,6 km E)l,8 km

A)90m • B)100m D)125 m E)225 m

su movimiento con velocidad de 20 m/a. Acelera a razón de 2 m/a3hasta cuadruplicar su velocidad, entonces, ¿qué distancia ha recorrido el auto?

B )l£km E)2 km

C)l,5km

Un automóvil, violando las reglas de tránsito se mueve a 72 km/h en una zona donde la máxima velocidad es de 40 km/h. Un policía m otociclista arranca en su persecución, de) reposo con aceleración constante de 0,5 m/a3, justo cuando el auto pasa en frente de él. ¿Qué distancia recorre

C)l,4km

Los móviles A yB parten del reposo con a ce le ra ció n d e lm /a3 y 2 m/a3 respectivamente. Si “B” parte la, después de “A” , ¿qué distancia los separa cuando sus velocidades tengan igual valor?

A) Cero B)2m C)15 m D)8m E)12 m

18 m

Un móvil c o n M.R.U.V., sale co n velocidad de 6 m/a y aceleración constante de 4mJa3. ¿Qué distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento?

A) 10 m D)13m

B)16 m E)14 m

C)12 m

Un automóvil que tiene M.R.U.V., sale con velocidad de 4 m/a y aceleración de 3mla3. Calcular la distancia que jéhórre'fen el octavo segundo de su movimléqror X ,

B)26,5 m E/32 m

C)28 jflF

Un móvil que tiene M.R.U.V., recone "d“ metros partiendo del reposo durante cierto tiempo "t*\ para luego recorrer 600m más durante los 70 segundos siguientes logrando triplicar su velocidad. Determinar

■‘
BJ65 m E)89 m

C)75 m

Un m óvil c o n M.R.U.V. tiene la siguiente ley del movimiento en el eje X: x flJ = 8 t - 3 t 3donde “ ¿"representa al tiempo (en segundos), “ jr” en metros. ¿En qué posición se encuentra en el Instante / » 5 a?

A)x = -30 m C)x = - 2 0 m E/x = 0

B)x = -35 m D)x = 35 m

Un cuerpo que se mueve con M.R.U.V. recorre 36m en 3 segundos. ¿Cuántos metros recorrió en el 2do. segundo de los 3 segundos?

A)18m B)16 C)14 D)12 Un

le o p a rd o

africano

E)6

Q7) Un auto que tiene M.RU.V sale del reposo con aceleración de m/s3, en el mismo instante, un camión lo pasa con velocidad de 9 m/s, en la misma dirección y sentido. ¿Qué distancia recorp ^ el auto hasta alcanzar al camión?' A)54 m B/44 m C)34 m D)24 m f E jl4 m Ur^leopardo puede logmpdesde el reposo una aceleraciónÁjeEinFa3. si va a la caza d e unagai^^píe puede lograr una aceleraron d e 4 m/ss, y si ésta inicia la hhxlft clesd e el reposo en el mismo>jtistante en qué el leopardo épté a 18 metros de ella. ¿Cuánto* tardará el leopardo en alcanzar a la gacela? A) la B)2a C )3s D)4s E)5s Un auto se encuentra en reposo frente al semáforo, en el instante que cambia la luz a verde pasa por su costado un camión con velocidad constantede 20ms,inmediatamente el auto sale con aceleración constante de lm/a2. ¿Después de cuántos segundos el auto alcanza al camión? A)10a B)20a C)30a D)35a E)40a Los extremos de un tren de 42 m de largo pasan por el costado de un “ poste de luz” con velocidades 4 y lO m fs, respectivam ente. Determinar la aceleración del tren , si tiene M.RU.V, en m/s2. A)1 B)2 03 D)4 E)5 :m

A)2a B)3 a C)4 a D)9 a E)10a

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B I E I E

cuya

aceleración es Sm/s1, persigue a una gacela cuya aceleración es 5 m/a3y está ubicada a 150 m de él. Si am bos parten del reposo simultáneamente, calcular el tiempo que tarda el leopardo en atrapar la gacela

C)115m

Sil

Un automóvil que tienénf.R.u.V. inicia

A)lkm D)l,8 km

recorrerá en los siguientes 4 segundos?

A)24,6 m D)30m 1200

R U B IN O S i

el policía hasta alcanzar al auto?

9a* i

¿Cuál es la aceleración del automóvil? A)l,5 mía2 B)2 m/a2 C)2,5 mía2 D)3 m/a2 E)3£ m/a2

E D IC IO N E S

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Un móvil con M.R.U.V. recorre 50 m en los dos primeros segundos, 75 m en los siguientes 2 segundos. ¿Cuántos metros

• ja B a g o n a roí u n m o a im n n flflMf'JliUflflgr^iDSlFLyi.tfBniTjijtDSTF

iA

1213

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Si lanzamos el objeto hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta anularse en el punto más alto, o sea, el movimiento de subida (ascendente) es retardado.

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Las características de estos movimientos ascendente y descendente fueron objeto de estudio desde tiempos muy remotos.

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OBJETIVOS : * Describir, fundamentar y reconocer las causas y características principales de la caída libre de los cuerpos. ♦ Manejar correctam ente las ecuaciones que caracterizan este m ovim iento y relacionarlo experimentalmente.

INTRODUCCIÓN : t

§

v=o

*9.

- 4 * .. >

ENCMrj.orMCDiA 2012}

Entre I o b diversos m ovim ientos que se producen en la naturaleza siempre ha habido interés en el estudio del movimiento de caída de los cuerpos próximos a la superficie de la Tierra. Cuando dejamos caer un objeto (por ejemplo, una piedra) desde cierta altura, podemos comprobar que al caer , su velocidad aum enta, es decir, su movimiento es acelerado.

En el periodo comprendido desde Aristóteles (383*322 a.c.) hasta antes de Galileo Galilei (1564-1642), reinó una verdadera confusión acerca de las causas del movimiento. Aristóteles sostenía que el estado natural de los cuerpos, en relación con la Tierra, era el reposo; así, todo movimiento de un cuerpo debía tener una causa y ésta era una fuerza. De esta manera, para que un objeto mantuviera su movimiento, era necesaria la acción permanente de una fuerza sobre el mismo, y en el momento en que cesara la acción de la fuerza, el cuerpo tendería a detenerse para pasar a su estado natural, el reposo. La excepción, según esta concepción del universo, eran los cuerpos celestes, que se imaginaban en movimiento constante alrededor de la Tierra, mientras que ésta se hallaba en el centro, completamente inmóvil. Esta idea de un estado natural de reposo de los cuerpos y de una Tierra inmóvil y como centro del universo arraigó en el mundo antiguo durante siglos, de tal modo que pasó a ser dogma o principio innegable para la Iglesia; así, hasta la época del Renacimiento, refutar este principio del geocentrismo significaba cuestionar la doctrina de la Iglesia. La concepción aristotélica del movimiento perduró, pues, a lo largo de casi veinte siglos, y empezó a derrumbarse a partir de la nueva concepción de un sistema heliocéntrico (el Sol en el centro del universo), defendido por Copémico (1473-1543), quien llegó a la conclusión de que los planetas giraban alrededor del Sol. Galileo Galilei (1664-1642) , partidario activo del sistema heliocéntrico de Copérnico, propuso posteriormente, en contra de las ideas de Aristóteles, que el estado natural de los cuerpos era el movimiento rectilíneo uniforme. Para Galileo, un cuerpo en movimiento sobre el que no actúan fuerzas, continuará moviéndose indefinidamente en línea recta sin necesidad de fuerza

[ M o n w i O T O i# f; c i i » , i MjMUMtMC -co a t a o t i m C J O X K S R V M U X Itfi, alguna que conserve ese movimiento. Esta facultad de mantenerlo. un cuerpo para moverse uniformemente en línea recta, El razonamiento de Galileo sobre el movimiento sin que intervenga fuerza alguna , es lo que se conoce rectilíneo uniforme, sin la intervención de fuerzas como inercia. externas es lo que se conoce como ley de la inercia, La inercia es una propiedad intrínseca de todos los que contempla también, por supuesto, a los cuerpos cuerpos en el universo. Sin embargo , para que el en reposo. La ley de la inercia es fundamental en física cuerpo en movimiento cambie la rapidez o la dirección para explicar el movimiento de los cuerpos. es necesaria la participación de alguna fuerza. Por Otro aspecto conflictivo entre las ta p a s de Galileo y consiguiente, para que no se produzca cambio alguno, Aristóteles era acerca de la ca íd i^ ^ ^ m erp os. Para no debe intervenir fuerza neta alguna, de manera que explicarlo, consideremos lo sij el cuerpo seguirá en movimiento uniforme rectilíneo. Igual razonamiento se haría para un cuerpo cuyo Si una fruta se desprende dé "un á estado de movimiento fuera el reposo; el reposo es un simultáneamente, de la mijjggalfcüra se dee hoja, cuando la fruta hallegado al suelo lacaso particular del movimiento uniforme. aún en el aire. La idea,¡aeque los cuef ¿ Cuál es la razón p a ra que los cuerpos se caen más rápido hacia la superí* detengan ? constituyó en verdad última, a pesaídéRjúe I06 filósofos Una pelota de fútbol que rueda sobre el césped , se griegos de la antigüedad tenían opiniones encontradas detendrá más rápidamente que si rueda sobre un piso acerca de la diferencia en k caima de los cuerpos, según de cemento; y cuanto más lisa y pulida (resbalosa) sea su peso (usted mismo puede comprobar que una hoja la superficie por la que se mueve la pelota, más lejos de papel,»éjrteñdida, cae más lentamente que la misma, llegará. Es el rozam iento o fricció n entre la pelota si la estriJwy tkce con ella úna bola). La intervención y la superficie sobre la que rueda lo que se encarga de del aire én la raída de los cuerpos no era ignorada, y el impedir que el movimiento se mantenga; el rozamiento mismo Demócrito estaba convencido de que, aun o fricción es una fuerza natural que se produce al eliminando el aire, los cuerpos pesados caerían más interactuar dos cuerpos, cuando uno tiende a rápido que los ligeros. Sin embargo, Aristóteles creía deslizarse, o se desliza sobre el otro. lo contrario; él defendía la idea de que, en el vacío, todos los cuerpos caerían con igual rapidez; no obstante, llegó a la conclusión de que la caída de diversos cuerpos con igual velocidad era algo irreal, por lo que era obvia la imposibilidad de la existencia del vacío. Inicialmente, Galileo se encarga de demostrar * con experimentos sencillos, en un plano inclinado, que Aristóteles tenía muy clara la existencia de esta fuerza la velocidad de caída es proporcional al tiempo de la como un obstáculo para el movimiento, es decir, como misma. Luego, desde la torre inclinada de Pisa, su ciudad natal, dejó caer diversos objetos y logró la causa del frenado que experimenta todo objeto que demostrar, finalmente, que dos piedras de pesos rueda o regíala por la superficie terrestre, e insistió diferentes caían con igual rapidez, y no como creía en su presencia (el roce con el aire y el roce con la Aristóteles, que la piedra más pesada era la más rápida. superficie); pue^ por su naturaleza es real , se halla siempre présente; así, las fuerzas de rozamiento Galileo comprendió el papel que desempeñaba el aire llevarían de maneRa natural a un cuerpo en en la caída de los cuerpos, caída debida a la fuerza de atracción gravitatoria terrestre; así, llegó a la siguiente movimiento al estado de reposo. conclusión: Si se desprecia la resistencia del aire, Galileo no pensaba ae esta manera y demostró, todos los cuerpos, sin im p orta r su peso, en el mediante un experimento pensado, lo que sucedería m ism o p u n to d e la T ierra , ca en co n ig u a l cuando las fuerzas de fricción se redujesen cada vez aceleración. más; el rozamiento puede disminuirse de varias maneras, y cuanto más se eliminen las fuerzas de Esto quiere decir que, cuando dos objetos de peso resistencia al movimiento, más larga será la trayectoria diferente se dejan caer al mismo tiempo y desde la del cuerpo. Si por otra parte, las fuerzas de rozamiento misma altura, si se desprecia el roce con el aire, son nulas, el movimiento del cuerpo se prolongará en descienden juntos y llegan al suelo simultáneamente. una trayectoria rectilínea con rapidez constante y por En un recipiente de dimensiones apropiadas, del que tiempo indefinido, y mientras este movimiento se dé, se haya extraído el aire, una hoja de papel y una piedra no será necesaria la acción de fuerza alguna para caerán a igual rapidez, esto es, con la misma aceleración

Ffgsa a a o Ksg , porque no hay aire con el cual rocen , el error de Aristóteles consistió en concebir el movimiento supeditado a las fuerzas de fricción, mientras que el acierto de Galileo, por el contrario, consistió en comprender la idea del movimiento sin fricción, descartando lo irrelevante, para llegar a su descubrimiento. r Galileo es considerado el creador del método experim ental en la física, estableciendo que cualquier afirmación relacionada con algún fenómeno debía estar fundam entada en experim entos y en observaciones cuidadosas.

'cuenta que Galileo" tejó caer cuerpos' de¿ ¡distintos pesos desdé ‘ lo alto de la torre dé ,‘ 1

¡Pisa, comprobando que dichos cuerpos caen en forma |iinultánea.

Este método de estudio de los fenómenos de la naturaleza no se había adoptado hasta entonces, por lo cual varias conclusiones de Galileo se oponían al pensam iento * dé Aristóteles. Al estudiar Ja caída de los cuerpos mediante experim entos y m ediciones precisas, Galileo llegó a la conclusión de que:

¡A Exrn'J. tn’i:uL\ 2012)

haciendo las siguientes consideraciones: • La causa por la cual caen los cuerpos es su propio peso. • Los cuerpos de mayor peso son atraídos más intensamente por la Tierra. • Los cuerpos pesados caen más rápido que los cuerpos livianos. Este modo de ver las cosas prevalecieron como verdades absolutas por cerca de 2000 años hasta la aparición de Galileo, quién afirmó que todos los cuerpos al caer lo hacen con igual rapidez, y en el caso de los cuerpos pesados consideró que la Tierra tendría mas dificultad en atraerlos, precisamente por ser más pesados, y allí existiría, una compensación. é

R A Z O N A M IE N T O ¥ E X P E R IE N C IA D E G AMALEO

Según Galileo; al atar un cuerpo liviano A con otro más pesado B para formar un único cuerpo (A+B>, éste caería de modo que A lo retrasa y B intenta bajarlo más rápidoféllo significaría que el cuerpo (A+B) cae con una rapidez intermedia a la de A y de B. Sin embargo ésto es absurdo, pues según Aristóteles el cuerpo (A + B ), por ser más pesado, debería caer más rápido que A y B. Por tanto, la suposición de que un cuerpo más pesado cae más rápido es falsa, y ello nos conduce a la siguiente conclusión: "Todos los cuerpos al caer desde el mismo lugar lo hacen con igual rapidez". Se cuenta que Galileo subió a la Torre de Pisa para confirmar esta hipótesis.

Si se deja caer simultáneamente desde una misma altura un cuerpo ligero y 6 tt*o pesado, ambos caerán con la misma acelenrióivllegando al suelo en el mismo instante. *■ .4* \ ¿P O R QUE CAEX L O S CU ERPOS? .

La causa por la cual todos los cuerpos caen es por el hecho de que ellos se ven atraídos por la Tierra. La intensidad de esta atracción es conocida con el nombre de peso, y éste es mayor en los cuerpos que poseen mayor masa; así, una piedra tiene más peso que una pluma, porque la masa de la piedra es mayor. TEORÍA ARMSTOTEÍICA DE L A CAÍDA D E LOS CUERPOS Los grandes filósofos griegos, y en particular Aristóteles, describieron el movimiento de caída

¿C IA N D O i z r C U E R P O E S T A I X CAMBA L IB R E ?

Se dice que un cuerpo está en caída libre cuando al moverse sólo se ve afectado de su propio peso. Esto ocurrirá únicamente en el vacío. Si soltamos un cuerpo cerca de la superficie terrestre, éste caerá libremente, describiendo una trayectoria recta y vertical; si lanzamos oblicuamente un cuerpo, éste se encontrará en caída libre, pero describiendo

[ M o m i r ^ v r o i>f; c i i u t

m h k i:

M91

una trayectoria parabólica. Y si lanzamos un satélite al espacio vacío y alrededor de la Tierra, diremos que también está en caída libre, pero describiendo una trayectoria circunferencial.

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIB R E (M.V.CJL) Examinemos el siguiente acontecimiento: * Una piedra y una pluma son dejados en libertad, en forma simultánea: vacio

>G
E M C I O X E S KVH tÑ O & ¡ denomina "movimiento vertical de caída libre".

• Este movimiento fue estudiado por primera vez en forma experimental por Galileo Galilei. Examinemos el siguiente acontecimiento: Desde la parte más alta de una torre, es dejada en libertad una pequeña esfera y en dicha zona se desprecian los efectos del aire:

T orre in clin a d a d e P isa (Ita lia )

pied ra #11 » M áquina

14,7/ra w M

i . .

En el vacío, una piedra y una pluma caen con la misma aceleración. * Notamos que los movimientos descritos por ambos cuerpos son diferentes: mientras la piedra al ir descendiendo, describe una trayectoria rectilínea; la pluma describe una trayectoria curvilínea; además de ello, la piedra tarda un menor tiempo que la pluma hasta llegar al piso. ¿A qué se debe esta diferencia en los movimientos de los cuerpos ?

vacio

* En primer lugar, los cuerpos descienden debido a que la tierra los Loa cu erp o s atrae, además de ca en d e la ello, al ir mUma /•°™«descendiendo lo8 f

cuerpos, impactan contra las partículas del aire,

(las cuales ofrecen uTTsSjgeistencia al movimiento de estos cuerpos) afectando más al movimiento de la pluma, motivo por eltual, la piedra llega primero al piso. Pero, ¿qué ocurre si ambos cuerpos son dejados en libertad en una zona donde se desprecian los efectos del aire? * Notamos que los cuerpos caen afectados tan sólo por la atracción que ejerce la tierra, es decir, caen "libremente". Cuando esto ocurre, se denomina "movimiento de caída libre". Además, describen trayectorias rectilíneas, las cuales son verticales y por estas características que presenta el movimiento, se

*•

-’V

24,5m

•Podemos observar que, al despreciar los efectos del aire, el movimiento que describe la esfera, es un movimiento vertical de caída libre, pero además al realizar mediciones, las distancias recorridas en cada segundo de la caída del cuerpo, obtenemos los resultados que se muestran en la figura. * Podemos observar que, al despreciar los efectos del aire, el movimiento que describe la esfera, es un movimiento vertical de caída libre, pero además al realizar mediciones, las distancias recorridas en cada segundo de la caída del cuerpo, obtenemos los resultados que se muestran en la figura.

De lo observado, concluim os que en cada segundo que transcurre, el cuerpo recorre mayores distancias, ósea se mueve cada vez más a prisa. CARACTERÍSTICAS 2 La caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión * Si puede ignorarse el efecto del aire, Galileo está en lo cierto; todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración, sea cual sea su tamaño o peso. * Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, la aceleración es constante.

¡Jprjr¿^-jr«C!A

U

EN CONCLUSIÓN:

0

♦

El cuerpo experimenta una aceleración y ésta debe de estar dirigida hacia abajo. Para determinen* el valor de esta aceleración. Galileo observó que los resultados que él había obtenido, guardaban cierta relación: V elocidad en m¡8

5m lOm/8

15m g=10m/s

T iem po en segu n d os

0

Em 'Mrj.om uiA 2012]

20m/s

0

30m¡8

25m 35m

9,8

5m .

19,6

-

W

.

•> .

**

Cuando aproximamos g*1 Om/s3, logramos encontrar que la velocidad (v) y los desplazamientos verticales (h) que se producen de segundo en segundo cuando dejamos caer un cuerpo son tales que ellos se rigen por una regla de formación que mostramos a continuación.

29,4

15m v*20

"

f ’.'

O -

1$

2Sm v *30

1s

a

©

|fl

36m

vMO

1s •**-,*

r

: " -

45m v «50

_

ATRACCIÓN TERRESTRE!

•*v, f

* En cada segundo que transcurría, las distancias recorridas aumentaban en un valor constante de 9,8 m. *Luego de iniciar su nwviftüento, en el primer segundo recorre la mitad doJ),8 m es decir 4,9m. Con estas observaciope?uegamo8 a la conclusión que este cuerpo experimenta una aceleración cuyo valor es 9,8mlst y está <3mgida hacia abajo. A esta aceleración se le denom ina: aceleración de la gravedad g = 9 ,8 m f»s ( i ) .

* Cuando un cuerpo desciende en caída libre su velocidad aumenta 9¿¡mla en cada intervalo de la. o b s e r v a c ió n

1i

TA B LA SALVADORA * *.

i

:

En el movimiento de una piedra que ha sido dejada en libertad desde cierta altura, despreciando efectos del aire y considerando g - 1 0 mÍ8st notaremos:

La causa por la cual todos los cuerpos caen es por el hecho de que ellos se ven atraídos por la tierra. La intensidad de esta atracción se denomina "peso”, y éste es mayor en los cuerpos que poseen mayor masa.

{P im m n w s m ra i i k c t i a i m i i í k i : I S i A C E L E R A C IÓ N D E L A G R A V E D A D ( g )

B E D IC IO N E S RVttMÑOái¡ * En Lima - Perú: 9,8 m/a2

Soltando una piedra sabemos que parte del reposo y que su rapidez va en aumento mientras cae. La piedra acelera mientras cae debido a la atracción terrestre.

o b s e r v a c ió n :

La aceleración que adquieren los cuerpos a causa de la atracción terrestre se llama aceleración de la gravedad (gjLa aceleración de la gravedad (g) tiene las siguientes características. íh

VI 0

\a =S

La atracción te­ rrestre (peso del cuerpo) produce aceleración (g).

Cada cuerpo celeste tiene su propio valor para su aceleración de la gravedad. Debe tener en cuenta que el cuerpo en caída libre experimenta una aceleración especial, la cual es conocida como "aceleración de la gravedad” y su valor, para nuestros problemas, será cercÉSe la Tierra , de 9,8 mía2, para facilidad de los^roafeSas, a veces se toma el valor de la aceleraciótfde la fpjavedad como lOm/a2, pero es necesari<íj¡jí5
g = io mis* = i£ ? !± Ja

g p =9,83m ls2

lOnifa

"Da entender que en cada segundo dfiTpíUvimiento, su velocidad varía en 10 m/8H ^ Subida (desacelera) $ tajada (acelera) y V = 0i

VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD La aceleración de la gravedad no es la misma en todos los lugares de la tierra; depende de la latitud y de la altura sobre el nivel del mar.

AV

■20mfs i Y

18

10m)8\ 20m!s

i 70mla{

60m/s

g= 9,81m / s2

80m/s

P R O P IE D A D E S

g E=9,79m/s2 * v , = ve * V , = V, • v3 = o • V: rapidez ng ntiene un valor diFerejitéen cada lugar de la Tierra. * En los polos, debidqal achatamiento de la Tierra, la aceleración de la gravedad alcanza su mayor valor.

* En el E cu a d or, a causa del ensanchamiento y rotación de la Tierra; alcanza su menor valor.

• A la latitud 45°N y al nivel del mar se llama aceleración normal de la gravedad y vale: gN= 9,81 m!t?

I) El tiempo de ascenso de cierta altura es igual al tiempo de descenso de la misma altura.

H) En un punto de la trayectoria la velocidad de ascenso posee igual valor que la velocidad de descenso.

ni) En

la posición de altura máxima (Hm ax) la velocidad es nula.

M E jy fjrx era ?a it 2012} ECUACIONES PARTICULARES

IV) La caída libre vertical para alturas pequeñas viene a ser un MJLU.V y cumple sus misma leyes. 'N *'

M VCL.

i

Vp = V0 ± a t

1

VF = V0 ± g t

a

d J Vr + Vo>t 2

1

h - J V P + V0>t 2

ni

d = V0t ± - a t 2 v 2 V2 = V2 ±2ad

111

h = V0t i ± g t 2

bP

j IV. ’ **'J V 2 = V 2 ± 2gh

V) Si el cuerpo se deja inicialmente en libertad, la velocidad inicial es nula: Vo = 0 VI) Si el cuerpo se deja en libertad, al caer libremente las alturas que descienden en intervalos de tiempos iguales , son directamente proporcionales a los números: 1 / 3 $ 5 f •••••a los cuales se les denomina los números de Galileo.

I) Altura máxima:

U) Tiempo de ascenso máximo: j j j ) Tiempo total de vuelo: IV) D eslizam iento libre en el p la n o inclinado é

r

En este caso\el cuerpo se desliza ascendiendo o descendiendo sobre un plano inclinado sin fricción.

ECUACIONES (mamMammimtmam d e l I) FORRA ESC ALA R Z Usar: Vf2=Va2±2gh (+ ) cuando baja

CARACTERÍSTICAS:

1 h=V0t ± ^ g t 2 ( - ) cuando sube 2

♦Es un MJLU.V

=0 v

♦ Acelerado en el descenso.

I

3k

♦ Retardado en el ascenso.

Vf+V0

"altura ascendida o descendida durante el enésimo segundo" •

»

i

♦ La aceleración es una com ponente rectangular de aceleración de la gravedad.

5k ■

i*

U ) FORMA VECTORIAL Z g =gsena\

* h - \ r ° t \ 2 )

7 V) Caída libre uectical en sistem as acelerados e je m pl o

* Considerar: g = -1 0 j mfs2 ó g = - lOm/ss * Por convención, todo vector dirigido hacia arriba será (+)>y hacia abajo (-), * Las ecuaciones vectoriales se usan generalmente cuando se analizan tramos de subida más la bajada.

:

5

[MOIXWFATO M0K Cllll.l IsliiK §c o b s e r v a c ió n

E0TÜST8’J tt»

:

:

E D IC IO N E S

r e c u e r d a

I) El observador A (Qué analiza el movimiento) tiene aceleración ( a L

KlTMSIÑO$¡i

:

a | v, vjt +lg t 2

II) Para el observador, la piedra tiene una aceleración efectiva (g*) diferente a g.

V, = V¡ + gt

*

p r o c e d im ie n t o

Vi

:

a) Halle la aceleración efectiva ( g *) (agregue a "g " la aceleración contraria del observador (&))•

a

Cuando usamos las ecuacioni tomar en cuenta:

debemos

5J ~

a? h

Para el ejemplo: Observe que el sentido de a se invierte.

Veloc

)

Aceleración

b) Use las fórmulas de la caída libre vertical.

NÚMEROS O E GALILEO Lo que es notable en el caso de Galileo es que avanzó mucho más que las observaciones cualitativas o semicuantitativas de sus predecesores, y pudo describir el movimiento de los cuerpos con bastante detalle matemático. Para un cuerpo que cae desde el reposo, las distancias recorridas durante intervalos iguales de tiempo, se relacionan entre sí de la misma forma que los números impares comenzado por la unidad.

v(+T )

„

* H)

8 (i )

GRÁFICOS DEL MOVIMIENTO VERTICAL I) h (vs) t h (vs) t parábola

,,V=0 m/s MI

O 5 m *= 5(1) m

\V =10^/frW

——

v + - - 0 -----

{

r

*;

35 m = 5(3) m

1s-

25 m * 5(5) m

* Trazando tangente en los puntos A , B y C de le parábola se puede definir:

V=30 35 m -"5(7) m

1$ V=40 m/s tt

ls -

45 m = 5(9) m V = 50m /s^ l

- i £

Esta relación es válida para g = lOmls . Desplazamiento wrticai

=

t

VA Tga -+ VA(+) VB = 0 VB = TgO Vc =Tg¡3 vc( - ) i Conclusión de:

A -y B el cuerpo sube, y de B -►C , el cuerpo bqja.

I A E X C M í'jw fd IA 2019]

Srj V(v9)t VJ.vtU V(mÍB) +V, f 0

t(seg)

de lanzamiento (V). (g=10 m/a3)

* Nos piden determinar "if*

A)80 mía

Tram o 'AS': V a = y * + 2ghAB

B)95 m/a

V* = 2(9,8)[ H - 44,1] ....(I)

C)76 m/a D)88 m/a

Note que para determinar "£P hace falta conocer M V*\

E)120 m/a

Tram o "BCT:

R E S O L U C IÓ N :

-V, * Del gráfico: Tgp=-g • Pero, por trigonometría: Tg
• Según la figura, en el tramo de bajada: a iguales cam bios de velocidad, los intervalos de tiempo (t) son iguales: R a p id ez = > / = * + * + * aum enta en - V ”

36 = 3t t = 12$

PROB P R O B LE M A 1 : Un helicóptero que está descendiendo a una velocidad uniforme de 7m/a; deja caer una pelota verticalmente. Calcular la velocidad de la pelota en m/a; al final del primer segundo. No considere la resistencia del aire. (g=10m/a*) A)7m/a B)8 m/a C)13 m/a D)17 m/a E) 15 m/a R E S O L U C IÓ N :

■% >r*

c

* Y en el tramo de, A VC =VA - g t 4

=>0 = V - 10(12) => V = 120m/a RPTA : “E ” P R O B ÍÉ m Á 3:

Un cüérpb cae libremente en el vacígy recorre en el último segundo una distancia de 44,Im . Entonces, • En el instante que el helicóptero ej cuerpo ^ desde una altura, en deja caer la pelota, ésta (por inercmL ^ de; (g - g fs m/a2) tiene velocidad inicial igual B)?8>4 C)122 5 velocidad del helicóptero. «*•-' D) 162,5 E) 172,5

44

(1)

-+ V*= 39,2 m/s * Reémpláéandoen (I): . m ¿ V = (2) (9fi) [H - 44,1] •

*

-i

* despejando: H=122t5m R P T A :“ C ” P R O B L E M A 4: Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su caída lo realiza en el último segundo. El tiempo total, en segundos, de la caída es aproxim adam ente: (g= 10m fss) A)3,41 B )1¿1 C)2 D)5 E)8 R E S O L U C IÓ N :

* En el gráfico; notamos: h AB=H •De: 2H (bajada)

R E S O L U C IÓ N : * Representemos gráficamente lo que se nos indica:

7m¡$

o í * D e :V , = V0 +g*

Una pequeña esfera es lanzada verticalmente hacia arriba tal como Be índica, si luego de 12a su rapidez sé duplica . Determine su rapidez

(i)

* Tramo AC:

ai)

• Finalmente (I) en (II): 2 [5 (t~ l)* ) = 5t* => + f2 (t-l) = t^>t = 2 + 42 z3 ,4 1 RPTA: “A ” PROBLEM A 5:

RPTA: t4D 19

PROBLEM A 2:

2 = j-x io x (t-ir

2 H = -x l0 x t* 2

g\

-> vr = 7 + iori) Vf = 17m/a

’

• Tramo AB:

44, lm

V +9,8

En cierto planeta se observa que un cuerpo cayendo cerca de la superficie, duplica su velocidad

f > # © V T C W J E iV T O

MjMISMtMC

I> J ? C / l f l M

durante un recorrido de 90m en el que tarda 3s. ¿Podría ser este planeta la Tierra? A)No. L a a celera ció n es m u y p eq u eñ a . B)Falta m ás in form a ción p a r a decidir. C)N o. L a a celera ció n es m u y g ra n d e. D/Sí, p o d r ía s e r la T ierra . E)Se n e c e s ita r á n c á l c u l o s m u y com plica d os p a r a decidir.

R E S O L U C IÓ N : *

w

•Analizando el m ovimiento del cuerpo. • Ahora de:

90m \V>

2V+V

=>90

)

x.3

B E S T m

EDICION ES MJfíMÑOS\

Y

2 ,5= 0(t) + ± (1 0 )t2

* Al despejar: t = -¿=s

R E S O L U C IÓ N : RPTA : "B

99

P R O B L E M A 7:

, o

Desde una altura de lOOm se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde el piso es proyectada otra partícula verticalmente hacia arriba. Si las dos partículas tienen la misma velocidad cuando se encuentran, ¿qué altura ha recorrido la partícula lanzada desde el piso? (g = 10 mis3) A)60m B)35m C)50 m D)20 m E)75 m R E S O L U C IÓ N : * Graficando:

20x2= 20+ gpx3-> g p=6,67m/8* íb

mmé

* Notamos que no puede ser la

ví

.í vV:

-

^ V S*V b RPTA : “C” P R O B L E M A 9: Considere 2 esferas metálicas A y B. La esfera A se deja caer libremente desde una altura de 30 m. En el mismo instante la esfera B, es lanzada hacia abajo desde una altura de 20m con velocidad constante Vc en m/s ; para que ambas esferas caigan al suelo al mismo tiempo , Vc es: A )10¿B )8,16 C)5,42 D)4,37 E)2 (considere despreciable la resistencia del aire y asuma g= 10 mis2)

«p

*

9f

P R O B L E M A 6: Del techo de un ascensor de altura de 2fim .t que sube con velocidad constante de 3m/s, se desprende un clavo. Determinar el tiempo que tarda el clavo en chocar con el piso del ascensor. (Asumir: g=10 m/ss)

* Del esquema se tendrá que:

• En el tramo AB:

R E S O L U C IÓ N :

B lltJS s C)lyf3s 0)113» E)yÍ2s

R E S O L U C IÓ N : • Ubicamosun observador en el interior del ascensor; como se mueve a velocidad constante los cálculos de tiempo son los mismos de las de un observador en tierra.

vf=

Para el móvil

1 0 0 -x = 0 (t)+ L l0 )(7 5 )*

'A”:

x = 75m RPTA : “E

99

PROBLEM A 8:

80 m 2omi

*

• La velocidad inicial del clavo respecto del ascensor es VJ=0 • Luego para el observador:

H = 2 ,5 m

* Del esquema, la aceleración de la gravedad, en la ida es opuesta dirección en su m ovim iento, pero en labajada tiene ls0 ¿iam a dirección que la de su movimiento; en los puntos & ir y* 'B';

%

✓

A)l!2*

y=°

b

V = 20

RPTA: “B

la tra y ec to ria d e la p e lo ta s e cu m p le q u e la v elo cid a d d e su b id a es ig u a l a la v elo cid a d d e b a ja d a d e la p e lo ta .

Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba; alcanza su punto más alto y regresa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A )L a a c e le r a c ió n s ie m p r e e s tá en la d irecció n d e l m ovim ien to. B )L a a c e le r a c ió n siem p re se o p o n e a la velocid a d . C )L a a celera ció n siem p re está d irig id a h a cia a b a jo. D )L a a celera ció n siem p re está d irig id a h a cia a rrib a . E )E n u n a lín ea h o r iz o n ta l q u e c o r te a

iib

T

'j-»ao=aru+!«
)i\,/ V» T *Para el móvil ° B : (MJLU.)

d = Vt 20 =

=> V„ = 8,16 m/s RPTA: “B

99

PROBLEM A 10 : Desde un nivel W ," se suelta un

M £ jy f if x o r £ f lit gOÍg) cuerpo midiéndose que para pasar por el nivel W ," ha necesitado 7 / segundos. Con el fín de aumentar su aceleración de caída se repite el experim ento, pero esta vez colocándose un cuerpo "ZT encima; el tiempo que toma «A» para pasar de *Nj” a W / es 7 / segundos Nuevamente se repite el experimento pero esta vez se cuelga el cuerpo 7T del cuerpo «A» y el tiempo m edido es "t 9* segundos; si despreciamos el efecto de la resistesncia del aire , los tiempos m encionados satisfacerían. Si

£

A*.

ífc B )tt < t$< ts C )t¡= tg>t3

D )tt = t 2 = t 3

R E S O L U C IÓ N :

que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre es:................ ; (g=10mla*). A)6a B)9» C)12» D)15b E)t3a R E S O L U C IÓ N :

g

9,8 vuelo = 2 ^ = 40s

Graficando: 10 'p elota s

Descenso

0

iEn et instante que sale aún no ss encuentra su si airm y no se te cusnitt)

(En s i instante que llega aún se encuentra «n el a ire y ss ls cuenta)

* Con lo que el número de pelotas que se puede contar en el aire; al mismo tiempo; será 20 pelotas. RPTA : “A ” PROBLEM A 12: Una pelota cae verticalmente al piso y rebota en él. La velocidad justo antes del choque es 0,9V. Si la pelota se deja caer desde un metro de altura, a que altura llegará después del primer bote? (g —9,8m¡a3) A)0,90m B)1,00 m C)0,95 m D)0,85 m E)0,81 m R E S O L U C IÓ N :

h * T t

_»V*= 2g...

PR O B LE M A 1 1 :

(g = 9¿t mía3). A)20 B)15 C)17 D)19 E)21 R E S O L U CIÓN : * Las pelotas al ser lanzadas verticalm ente hacia arriba experimentan M.V.CJ+:

Ahora de:

* Entonces, la primera pelota llega nuevamente al piso en 40a.

* Si se desprecia el efecto de la resistencia del aire, entonces en los tres casos se efectúa un movimiento vertical de caída libre y como se sabe en este tipo de movimiento, todos los cuerpos (pesados o ligeros) se desplazan con la misma aceleración de la gravedad. Luego como los 3 * Graficando lo sucedido: v*o se dejan en libertad desde el mismo * * En la bajada: nivel W /, entonces los 3 tardan ló V * 0 mismo en llegar al nivel W / ; es De: e decir: Vr* = Va* +2gH t, = t2 = t U ~ l n 9 P V* = 0* + 2.g(l) RPTA: “D Desde el pisa se lanzan pelotas verticalmente hacia arriba, cada 2 segundos,convelocidad del96m(s. Calcular el número máximo de pelotas, todas en el aire al mismo tiempo que se pueden contar .

* Si desde el globo se deja caer la piedra, entonces esta piedra adquiere la velocidad inicial igual a la del globo: V¡ = 5 mfa

k i -i

(I)

* En la subida:

H=360m h

=>-360 = 5t + -(~ 1 0 )t2 2 /3 - f - 72 = 0 = > (t - 9 ) (t + 8) = 0= *t= 9 RPTA : “B ” P R O B L E M A 14: Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,2m de altura, se observa que el objeto invierte 0 £ s en recorrer la altura de la ventana. ¿Qué distancia existe entre la cima del edificio y la parte superior de la ventana? (considerar g - 1 0 miss) A)16 m B)20 m 025 m D)5 m E)10 m R E S O L U C IÓ N : ^Graficando:

De: V*=V*-2gfÍ\

0* = (0 ,9 V )‘ - 2 g h

(II)

* De (I) y (U )t se obtendrá: h —0,81 RPTA: “ E” P R O B L E M A VJ Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad constante de 5mla. Cuando se encuentra a una altura de 360m, se deja caer una piedra. El tiempo, en segundos,

* E n e l tr a m o NP:

f .VOTOffKJVT'O f>f£ CJ

.2,2 = VJ(0 ,2 ) + j ( 1 0 ) ( 0 ,2 )* V, = 10 mía En el tramo MN:

102 =0* + 25(10)H =>H = 5

MtfC

E D IC IO N E S R IJB IN O S l

999

se deja caer. ¿Desde que altura V se tendrá que dejar "Q", para que ambos se encuentren en la máxima altura recorrida por "P ? A)450m B)360m C)620 m D)210m E)870 m R E S O L U C IÓ N :

Se lanza un proyectil en f =08 desde

♦ Graficando:

la posición r(0) = Om y cuando el proyectil se encuentra a la mitad de.su altura máxima la rapidez es J200 .Considerando la aceleración de la gravedad g = -10 j m/a2 1 determine el vector posición para t = 3 .

♦ Para la í Ésta cae movió 8a,

¥f = 0 +10(8) ♦Para "P",en subida:

♦ Ahora: _> h = 0(/ f+ ~ (1 0 )8 2 - * h = 320m * En seguida, grafiquemos lo que sucederá:

I

320m

♦ Graficando:

180m * Para "Qn, en la bajada:

j/200m/* -+0='j2(X) ~2(10)h

r

..« i* ,..

♦En el tramo MP:

0* = V *-2(10)20

-> VB=20mI»-> VB= 20 j ♦ Luego para t* 3 , aplicaremos:

r(<=j) = (2 0 j)(3 )+ ^ -(-1 0 j)x 3 * Jé RPTA: “D ” PR O B LE M A 16: Dos cuerpos " P y "Q" se colocan en la misma vertical tal como se indica en la figura. El cuerpo " P se lanza hacia arriba con una velocidad de 60m/8 y en el mismo instante "Q"

t í

406m SOmft

/V v- ° * En el tramo NP:

=> h = lOm

jués, -entonces se

* luego>|yr = Vp + gt

A)10j B)5j C )5 j D)15j E )10j R E S O L U C IÓ N :

Ni.1 }

♦ Para la Ira gota:

=>40B = 0(tt) + k l 0 ) t ? £ =>t=9a

RPTA: “D ” PR O B LE M A 1 5:

RESOLUCIÓN:

-►h , = 0(6) + k 10)6* = 180m £ * Se pide: x = h j+ h s=180+180=360m RPTA: “B 99 PROBLEM A 17: En el pozo de la figura caen sin fricción, gotas a razón de una gota / segundo. Un objeto asciende a una velocidad constante de 87,5m/a y es alcanzado por una gota cuando está a irna profundidad h=405m. ¿Cuánto subirá, aproximadamente, el objeto hasta ser alcanzado por la segunda gota? (g=10 m/a3) A) 175 m B)43,75 m C)87t15 m h D)122,15 m E) 82,85 m

í i . i

id a gota * f—encuentro

T 97.5m'¡Í'Yt imU..... rnirnt * Del esquema: = 405 - 320 ii + « 87,51 + 80t + —(10)t* = 85 2 ->2t*+ 67t -3 4 = 0 -* ( 2 t - l ) ( t + 34) = 0 - > t = 2 * Se pide: eUoqut = 8 7 ,s ( RPTA : UB

99

P R O B L E M A 1 8: De la llave de un caño malogrado que está a 7 £ m de altura, cae una gota de agua cada 0,1 a; cuando está por caer la tercera gota, se termina de malograr el caño y sale un chorro grande de agua. ¿Cuál deberá ser la velocidad con la que sale el chorro para que alcance a la primera gota, en el momento preciso que ésta choca con el piso? (considerar g=10m/s2)

I&S3 Z4 4 |i* g f

A) 1,8 m¡$ B)2 m/a C)2¿2 m/a D)2,4 m/a E)2,6 m/a R E S O L U C IÓ N : • Graficando:

*ac = + *r.........................® * Cálculo de 7 / , el cual es el tiempo que emplea el paracaidista en recorrer "d y som etido a la aceleración de la gravedad. ^ d AB = V0t + l g t f

S eg u n d a g o ta H = 7 ,2 m \

0,1$ P r im e r a g o ta

'¡x&U&tÁir-'-vs • Para la Ira. Gota:

-> 8 0 = j¡U O )t*

=> t¡ = 4a,

(II)

* Cálculo de 7 / , el cual es el tiempo que emplea en recorrer m d BCn y experimenta una aceleración donde su rapidez disminuye en 2m/a en cada segundo: a = 2 m/a A

• En el tramo B -» C -► 7,2 = 0(t) + ± (1 0 )(t, + 0 ,2 )l¡ £ ~+t = l

• Luego para el chorro:

Vn = V„ + at 2 = > 2 = Vd - 2t2

(III)

* Y en el tramo de B -> A ; V s-V ^ + gt,

=> VcA = 2,2 m/a RPTA : “ C " R O BLEM A 19: Un paracaidista después de soltarse de un helicóptero suspendido en el aire cae en forma líbre 80m, abre en ese instante su paracaídas disminuyéndole su rapidez a razón de 2 /n/s por cada segundo. ¿Cuánto tiempo demora su descenso?, si llega al suelo con una rapidez de 2 m/a. (g=10m/a2) A)21a B)23a C)17a D)26a E)14a R E S O L U C IÓ N : g»10mf$í.

* (IV) en (III): 2 = 4 0 - 2t2 -> t2 = 19.....

• Luego en el tramo AB: s V / = V0 + 2gh -» SO2 = 0i +2(10)hAB + hAB —125m •Sepide: H =350+125 = 475 m RPTA: UC” P R O B L E M A 2 1: Se tiene un pozo vacío cuya profundidad es de 170m , una persona eñ la parte superior lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una rapidez de — —m/a, J luego de que tiem po desde el instante del lanzamiento se escucha el eco. (g= 1 0 m ls2 ;

=340 mis)

A)5s B)4,8s C) 7s D)3,Ss E)ls R E S O L U C IÓ N :

=> Vb =0+10(4)=> VB=40m/a.....»(IV) 7 , 2 = V cfcr J / + ^ ( J 0 / í rJ /

BC

L l llx c n j o rH H l 2012} 10 hBC=350m

* Graficando: ^ — iUl:

E scu ch a e t im p a c to

(V)

• Luego (II) y (V) en (I): tAC =4 +29=23» RPTA : “B ” P R O B L E M A 2 0: Un paracaidista se deja caer desde una altura H y al cabo de cierto tiempo abre su paracaídas el cual produce una aceleración neta de -3 j m/a2 \si después de lOs cae al mar con una rapidez de 50m/8, determine H ; (g=10 m/s2) A)375 m B)300 m C)475 m D)505 m E)625 m R E S O L U C IÓ N : • Graficando: •En el tramo BC:

H=170n

Vm=340ml» * Según la figura el tiempo que transcurre desde que se soltó la piedra, hasta que se escucha el impacto es: O sea: * Cálculo de 7 / , el cual es el tiempo que tarda la piedra en descender 7 T y experimentando la aceleración de la gravedad. a -v »

=>uo=i^.tl+ etf

* Resolviendo: t¡ = 3 s................. (I) 50 = VB+(3)(10) -> VB = 2 0 m/s •Ahora: • Para determinar el 7 AC", del gráfico podemos plantear:

Ahora el cálculo de 7 a", el cual es el tiempo que tarda la señal sonora en recorrer la distancia "Jí", con una rapidez constante. H -

= > 1 7 0 = 3 4 0 t9 => t2 - 0 ,5 $ ...(H )

[M O lX V IlíiV T O W»K C ^ i a i *AtMIKK

fa g f « A l T O 1

E D IC IO N E S R E B I N O #

+ t2=3+0,5=3,5% RPTA : “D ” PR O B LE M A 2 2 :

A)25 m/s B)30 m/s 0 1 7 m/s E)32 mis 0)12,5 m/s R E S O L U C IÓ N :

En el tramo AB;

Dos partículas son lanzadas hacia

* Colocando datos:

a = g sen30°

* Finalmente:

RESOL UCIÓN:

arriba desde las posiciones ~yol = 4jm e ^l2 = 5jm con velocidades VOJ-7jné y \T2 = 5 j m/s respectivamente. Halle el tiempo (en s) en que las partículas se encuentran. A) 0,ls B) 0¿a C) 0,3s D) 1,4% E) 0,5s R E S O L U C IÓ N :

g = lO m !a *

M - V J + ± g t * $ & l6 .W Í ) + ~

k Vb = 0+ 5(2)=

* Grafícando:

* fjn él tramo BC ♦ Nos piden "V", la cual es la rapidez con que el objeto impacta en "B". En el tramo de "PB" Ye = Vp+gt2

* La posición de una partícula se calcula:

* Luego: iyM+V./ +2** =J'o2+Vo2 +2 t^ = M /+ 7> + |

= 5 j+ 5 jt+± (r é )l*

99

\.r«f.

M +•>•W * /

8m

Z =>V=0+10t<, =>V=10/o..—iiy ^ ■ w d Para el cálculo de 7 J" usaremos la condición del problema, la cual establece que luego de ser lanzado el objeto debe impactar en "B", y en ese mismo intervalo de tiempo el bus recorre ¿ A B = Y bu a (* 1

8= 2 (t¡+ t2) -►t2+t¡¡=4.....(II)

Una persona lanza un objeto con 15m/s tal como se muestra y cae en el punt*r*£TÍ.con una rapidez "V". Determinar s f e l "bus" se desplaza con velocidad constante (g=10m/s*). (Despreoajypl efecto del aire) ló m / s A

r

y'

* Para el tren:

* Resolviendo: t=0,5s RPTA: “E PR O B LE M A 2 3 :

B*

t*2a

IA 2 m ¡8

* Cálculo de 7 / ;

-+ 15=VfJ ->Z5<|i * Se deseft ¿¡Lfiempo total, el cual será: 2+Ttff**3¿>8 Z R P T A ;UD " PRO BLEM A 25: Si en el instante en que el auto se deja en libertad, el ciclista empieza su movimiento a 9mfs; determinar a que altitud se produce el choque, (sabiendo que la pista oblicua es lisa

y

g= iO

A)6 m 8)2 m C)4 m D)7m E)5 m

* T ram o: AT-*P; ^ = ^ - ^ = > 0 = 1 5 -1 0 /, => t2 = 1,58.................(III) * Reemplazando (III) en (II): t2=2f5s * Luego en (I): V = 10(2,5) ~+V = 25 m/s RPTA: “A ” P R O B L E M A 2 4: Determinar el tiempo que emplea el auto en deslizar desde "A" hacia "B". (no hay fricción y g=10 m/a2) A)2s B)ls C)3s D)3,5s E)25s l5m

R E S O L U C IÓ N : =>a = 10

j => a = 8 m/s

* Del esquema: e eielia ta + e a u to ~

a = gsen53° //A * 4

-> 9 t - - ( 8 ) t 2 + 0(t) + - ( 8 ) t * = 9 2 2 -+ t = l * Luego:eeuiuta= 9 ( l ) - í ( 8 ) ( l ) 2 = 5

• Se pide: H = (5)Sen53° =(5)

(i)-

4m

RPTA: 4tC 9t

*Para Lenin como observador, la aceleración efectiva, será:

PR O B LE M A 2 6: Un pasajero, que viaja horizontalmente en un tranvía suficientemente largo observa que un foco 6e desprende del techo del tranvía y llega al piso en 2a. Determinar la altura del tranvía, si en el momento de la caída del foco, disponía de una aceleración c o r s i l u l e . (g=10m la2) A)10 m B)20 m C)6 m D)15 m E)40 m R E S O L U CIÓ N : p a ra e l ob serv a d o r

.

■

* Se deduce que: _ g = g * sena -* g* =

g sena *Dado que para el observador el foco se desprende, luego V =0 Ahora: -> d = 0(t) + l - ( - Z — ) t 2 2\$ena)

1A L vrffxortatl 2012} * Cálculo del tiempo:

242 R E S O L U C IÓ N : Vr*o

p a ra W obm m a d o r

g* = g + a)[ l ) -+ g* = 10 + 3 = 13 mía2

V 13mls

* Luego calculemos el tiempo de subida:

-> -2 0 = + 1 0 + (-1 0 )t -+ t=3a * Este tiempo es el mismo que emplea el globo en subir "IT * Finalmente: H +15= 10(3)+15=45m RPTA : “E ” P R O B L E M A 2 9: Sobre una cuña cuyo plano forma "45o" con la horizontal, colocaron el cuerpo "M". ¿Qué aceleración mínima es necesario transmitir a la cuña en dirección horizontal para que el cuerpo "M" caiga libremente en dirección vertical hacia abajo? & A)g «♦ •

0 = 39-> tsubida = 8* * Luego para subir y bajar, necesitará: 2(3 s)=6a RPTA : “ B” PROBLEM A 28: Un globo se eleva verticalmente con una velocidad constante de 1 0 mía, cuando este se encuentra a 15m del piso , se abandona un lastre ¿con qué velocidad y luego de cuántos segundos caerá el lastre al piso? ¿qué distancia separará en ese instante al globo? ( g = 1 0 mía3) A) 10 m/s; 5 a y 28 m B) 8 mía; 2a y 4 m C) 17 mía; 5 a y 60 m D) 9 mía; 5 a y 62 m E) 20 mía; 3a y 45 m R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N : * Para que el cuerpo caiga libremente, no debe tener contacto con la cuña y debe recorrer la altura "IF de la cuña, en el mismo tiempo que la cuña recorra una distancia "H\ experimentando un (M.R.U.V.).

&

* Graficando:

z ^ d sen a = —i 2 2 =*H = ^ ( 2 ) 2 = 20m i,

,

ftP T A :“B ”

V=0

P R O B L E M A 27: Lenin con una pelota en la mano, está parado sobre una plataforma que sube con una aceleración constante de 3 mis3. Si Lenin lanza la pelota, verticalm ente hacia arriba con una velocidad de 39 m/s ¿qué tiempo debe esperar Lenin para volver a tener la pelota en sus manos? (g = 10 mía3) A)3a B)6a C)9a D)12a E)13a

H

=

\Omís\

p' n ivel de Ireferencla

l,5n

\h:-

* Cálculo de ( . v» /*v(i O)3+ ( 2

10

)( - ) =>Vj a m!s 16

2 0

* Luego se deduce que ambos deben em plear la misma aceleración, ya que la caída libre es un MJI.U.V y deben recorrer el mismo espacio, en el mismo tiempo; entonces: a = g RPTA ; “ A " P R O B L E M A 30:

2 paredes verticales distan 42 m. ¿Qué longitud debe tener la tabla

E D IC IO N E S M H I X O S ) lisa MAT, tal que al dejar en libertad a un cuerpo en "M", emplee el tiempo mínimo en llega a "AT? A)2 m B)4 m C)6 m D)8 m E )2-j2m

(2m

R E S O L U CIÓ N :

11

0

* El cuerpo experimentará un MJLU.V., con d = 42Sec0 a=gsenO\, y MN Entonces de: 42Sec0 = 0(t) + í(g S en 0 )t* £ gSenO fi 42 CosO 2j2 SenBCosO

4yf2 Sen 20 * Además como "í" es mínimo, luego ”Sen20" será máximo, y lo cual lo hará cuando: Sen20 = I -> 20= 90° -+ 0 = 45° * Se pide: MN = yf2Sec45° = 4 2 (4 2 ) = 2m RPTA : “A ” P R O B L E M A 3 1: Indiquer las proposición(es) correctaís/respecto de la caída libre de los cuerpos: ^ ' I) El valor de la acelewuaóñ de la gravedad es diferente en el Ecuador que en los polos. '5Í? II) Deben actuar otras fuerzas aparte del peso. Ul) La aceleración de caída libre depende del volum en de los cuerpos. AjSólo I BjSólo II C)Sólo III D)Sólo I y III E)Sólo Iyll R E S O L U C IÓ N : I) VERDADERA: dado que:

P R O B L E M A 3 3:

g E cu a d o r = 9 - 7 8 » / * *

gpala. = 9’83 m¡*2 ID F A L S A : dado que sobre un cuerpo con caída libre, sólo actúa la fuerza de la gravedad o peso del cuerpo.

Se disparan 2 proyectiles simultáneamente con velocidades V¡ Y V¿ • Indique las proposiciones correctas acerca de los módulos de las velocidades V¿ y V¡ a una altura

III) FALSA: ya que todo cuerpo con movimiento de caída libre, posee una aceleración independiente de la forma y volumen. RPTA : “A ” P R O B L E M A 3 2: 2 objetos fueron lanzados verticalm ente hacia arriba simultáneamente con velocidades = 20 j , = 30 j ( e n m / s ) respectivamente. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: * I) La separación entre ambq| proyectiles 1 s después de salir, és de 10 m. (g=10 m/s2) W La diferencia entre sus alturas máximas es de 25 m .(g=10 m/s2) ///) L a diferencia de longitudes total recorridas es de 50 m (ignore rebotes posteriores). (g=10 m/s2) A )V W B )W F C)VFV D )F W E)VFF R E S O L U C IÓ N : I) VERDADERAf dado que para t = ls : Ah = hB- h A = 30(1) ~ (1 0 )1 2 é£ ■í = 10 m

H

20(1)-4 (10)1* £ ]

v2

~ **m ax(B ) ~ A k u p W ) ~ 2 g ~ 2 g

Ahmax

'

Jvi

•

i

vJ

.

I) Si v , = V3 , eqto II)Si ^)>Jí^fí entonces |V2|puede ser igual a |v^ III) Si Vj entonces puede ser mayor que A)Sólo I BjSólo II CjSólo III DSólo II y III E) Todas R E S O L U C IÓ N : I) Sabemos que:

• Luego: 2

V, + 2 g

2

H

+2g

2

- V,

Vé\ *

(I)

* Pero como —2

—. 2

V2 - V 4 = 0

II) VERDADERA, ya que: v* 30 2 2 ( 10)

i

20 2 ( 10)

|v2 = V4 -> / es verdadera II) FALSA, ya que:

= 2 5 r tt

III) VERDADERA, dado que la diferencia de longitudes totales recorridas es: A£ = £ b - £ a

= 2hmax(B) - 2hmax(ÁJ = 2(45 - 20)

j

V,

RPTA: “A ”

t —

V*

2

>0

* Luego con (I), se tendrá que: 2

>0

III) FALSA, ya que si: 2

V,

= 50 m

2

Con (I):

2

<0

BESE*** W M 2

<0

t^r <

iv /

V . < V.

RPTA : “A

19

PRO BLEM A 34: Determine por cuál de los canales lisos desciende, en m en or tiem po, el a n illo q u e e s s o lt a d o e n el extremo A. Se sabe que A B es un diámetro de la circunferencia. A

I A EXCBrj.arFDlA 201%}

el disparo es h ech o del origen de coordenadas . C alcular el tiem po que dem ora ubicarse en el plano: 5z+ 3= 0

A )U B)3/5t C)l/29 R E S O L U C IÓ N :

ig

D)2l7s

* Sabem os que:

7o = ( 0 ;0 ;0 ) ;V o = ( 0 ; 0 ; 2 ) ; a =4m}&

g = ( 0 ;0 ;- 1 0 ) * adem ás en el m om en to q u e el p r o y e c t il in t e r s e c t e a l p la n o 3 n ~ - .

s

* La aceleración efectiva con que se m overá la moneda, según el niño, será: ^ \g* ~ g - a \ ^ g * = 1 0 - 4 = 6m lt2 4

' ^

' V Ahora de: - + - l = 2 t + / - ( - 6 ) t 2 -* 3 t2 - 2 t - l = 0 B

£

D

A)AB B)AC C)AD DJAE E )P or to d o $ e m p le a e l m ism o tiem po R E S O L U C IÓ N : * Efectuando el análisis a lo largo de un canal cualquiera:

(3 t + 1 ) ( t ~ l ) = 0 - ¥ t = l» R P T A : 4,B " PROBLEM A 37 : se tendrá que: r final

- i )

• Ahora:

A VA= 0 ___

( 0; 0; 0)

• Se observa que:

r = r¿ + V„t + — g t 2

a = g sen a

Una pelota lanzada verticalm ente hacia arriba con rapidez v ¡ , alcanza una altura máxima h s , Si la rapidez d e la n z a m e in to de la p elota se d u p lica , la altu ra m áxim a que alcanza es A )6 h t B )3 h ¡ C )h J D )2 h t E )4 h l

R E S O L U C IÓ N : ( p v = 0 (altu ra m áxim a}

= (0 ; 0 ;0 ) + (0 ; 0; 2 )t + j- (0; 0; -1 0 » 2

at

Sena

AC=g

- f =

...ID

5 3 •Al resolver, resulta: t = —

,

.

* Reemplazando.en

12 =>t =

R P T A : 44B 19 PROBLEM A 36:

=> A C = Á B S eñ a

ABSena = g

,

O

• Pero el triángulo A C B es je cto en C

h

2A B g

* EJ tiempo empleado no depende de a, sólo del diámetro. Es el mismo en todos loe casos.

RPTA : “E ” PROBLEM A 35: Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de V ¿ = ( 0 ;0 ;2 ) b a jo la a c c ió n d e u n c a m p o gravitatorio g = 1 0 mis2, n o se tom o en cuenta la resistencia del aire, si

D entro de u n ascensor que baja con una aceleración constante de 4m ls2t se encuentra un niño con u n a m o n e d a e n t r e m a n o s , la m oneda es lanzada verticalm ente hacia arriba con una velocidad de 2m¡8. ¿Después de qué tiem po, la m oneda tocará el piso del ascensor, si las m anos del n iñ o dista lm del piso del ascensor.

A)2s

B )ls

C)3* D )l,5 a E)0t7s

R E S O L U C IÓ N : * Grafícando:

P r im e r c a s o : D espreciando la resistencia el aire , se tiene M V C L , donde

y ( = v f - 2gh1 h¡ =

vf

(ecuación de la altura máxima)

Segundo caso: L a r a p id e z d e la n z a m ie n to se duplica vl = (2 vj) la nueva altura máxima es:

|m o \r§NMf K i i r r o

ititi: h2=4hj

RPTA: “E ”

[JÜ53 w »

JÜ H

Todo cuerpo que se mueva cerca de la superficie de la Tierra, afectado sólo por la atracción de la gravedad, experimenta caída libre, por lo cual, aproxim adam ente, su aceleración

PROBLEM A 3 8 : Un objeto cae libremente desde una altura de 45,0 m . En ese m ism o instante un jo v e n , que se encuentra a 18 m de la vertical de la caída del objeto , m ovién d ose a velocidad constante , logra atrapar el objeto justo antes de que toque el suelo. La velocidad v del joven y el tiempo t transcurrido son: A) 4 £ mis y 2,1 a. B) 8,5 m/s y 2,1 a. C) 6,0 m/a y 60 a. D) 8,5 m/a y 30 a. E) 6,0 m/a y 3 a.

El M V C L es un M R U V , así que se caracteriza m atem áticam ente con las m ism as ecuaciones.

* R eem p lazan d o d atos ob ten em os h = 1 4 0 ,lm Piden v F: vF= v 0+ g t Reem plazam os datos vp=61,4 m/a

Reemplazando datos: « ss-x / O x f1 => t*=4S/5=o ts=9=*t=3a

2 Pero sabemos que el recorrido de 18 m del jo v e n sucede en 3 a , entonces: v~±

t

18 m 3a

6 m/a => f =3#

a

v=6 m/a

R P T A :*'E

PROBLEM A 39 :

v

U na p ie d ra e V ^ ^ fá n zad a verticalm ente hacia^abajo en un pozo con una ra p id e? inicial de 3 2 m /a y lle g a al fo n d o en 3 segundos. La profundidad del pozo, en m , y la rapidez con que llega la piedra, en m/s , respectivamente, son:

La profundidad del pozo en metros es 140,1 y la rapidez con que llega la piedra al fondo del pozo, en m/s, es 61,4

RPTA : " A ” P R O B L E M A 40 : De un globo aerostático que se está elevando con velocidad constante de 3,6m/s , se lanza una bolita hacia a rrib a d e s d e e l g lo b o co n u n a velocidad de 1,2 m/s respecto al g lo b o . El tiem p o que dem ora la b o lita para v o lv e r al g lo b o eB: (desprecie el rozam iento, g=10m/aeg*)

A) 0 2 d *

♦Va=3,6m/s

»*/•*)

A) 140,1; 61,4 B) 140,1; 62,4 0)141,1; 61,4 D ) 141,1; 62,4 E) 142,1; 63,4 R E S O L U C IÓ N ;

* Si analizam os el m ovim iento de la bolita respecto del g lo b o , se tiene el siguiente esquem a: V = 0

\g —a

v = o?

g lo b o

27 m

Calculando el tiem po de caída libre:

RESOL UCIÓN:

es c o n s ta n te , su tra y e cto ria es rectilínea en la vertical; es decir, el cuerpo experim enta M VCL.

R E S O L U C IÓ N 1 1 8 : O v=o

45 m

E D IC IO N E S R U I t i N O S]

b o lita

g lo b o

JP#

* Es este caso el gtótto se considera en reposo PoxLcTato: Vb = 1¿1 m/s (respecto d erglobo) * Una yéz lanzada , la aceleración de la bolita respecto del globo es igual a g dado que el globo respecto de tierra se m ueve con velocidad constante (Vg=3,6m /s) Si t es el tiem p o q u e d e m o ra en su b ir la bolita , en ton ces , el tiem po que dem ora la bolita en regresar desde que fue lanzado es 2t. * Del gráfico en el tram o de subida Vf = V0 - g t =>0t = Vh -1 0 t =>t = ^

=> t = 0,12a

2t = 0,24a RPTA : “ A ”

P R O B L E M A 41 : Una piedra es lanzada hacia arriba verticalm ente con una velocidad de 2 0 m/s. En su cam ino de regreso, es atrapada en un punto situado a lOm por encim á del lugar de donde se lan zó. El tiem po que dem oró h a s ta e l in s t a n t e e n q u e fu e atrapada es: (g = 1 0 m/s2, ignore rozam iento) A) 3 £ 0 a B) 3,60 a C) 2,60 a D) 0,59 a E) 3,41 a R E S O L U C IÓ N : B o s q u e ja m o s lo q u e s u c e d e , te n ie n d o en c u e n ta q u e en un m ovim iento vertical de caída libre, la rapidez varía en 10 m/s en cada segundo y la altura varía en 10 m en cada segundo.

/A ENCjnwMCBiA 2ÚI2] £v-

■

i

descontarse el e fe cto del aire, todos los cuerpos sea cual sea su tamaño caen ai m ism o tiem po. En c o n s e c u e n c ia al abandonar dos cuerpos los desplazamientos que estos ejecutan en intervalos de tiempos iguales serán iguales.

■

el aire de un tubo (dándose el vacío) tanto un objeto liviano com o un cuerpo pesado (pluma- piedra) caerán en Igual tiempo. U) FALSO: El m ovim iento Idealizado d e caída Ubre incluye también el movimiento ascendente. ¡II) VERDADERO:

II) VERDADERO : T odos los cu erp os independientem ente sean sus pesos caen con la misma rapidez.

Durante el desarrollo del m ovim iento el cuerpo experimenta la acción de su peso d e b id o a la atra cción terrestre y se desprecian toda influencia d e agentes externos com o es el aire. RPTA t " f "

W ) FALSO: La aceleración de caída Ubre es mayor en los polos y m enor en el Ecuador, por lo que al abandonar un cuerpo este experimentará mayor variación de su rapidez en ios polos. RPTA i “ C " PROBLEMA 4 3 »

16m

Respecto a la superficie terrestre, desde una altura d e 20 m , se lanza una partícula verticalmente hacia arriba con velocidad Vo = 40 jm !» . Halle el desplazamiento de' la partícula (en m ) entre los instantes /, = 2 * v tj= 8 s (considere g = ÍOmJs*). A) +20j

De la figura la piedra es atrapada luego de T = 1 + 2 +2 +* = 3 + * (I) Hallamos t en el descenso.

B ) - 40 j

Vq - 40 j t= o y„=20m

Desde la com lz^ de un edificio de SOm de al tura cu erpo A se lanza verttcalmente h a d f arriba en el mismo Instante en que otraB seT anza verticalmente hacia abajo. Sí l^ffajSideces Iniciales son iguales a 10 t m /t;iC u ál es (en metros) la separación de vi$ m b o s m óviles a los 2 segu n d os del lanzamiento? ‘

A

C M - 6Qj A ) 20

B) 30

C )4 0

—

v«o

4

'v la

2

*

De donde:

E j 55

Desde la com iza de un edificio un cuerpo A es lanzado hacia arriba con lOm/a y otro B es lanzado hacia abajo con JOm/a.

5 = 10t + - ( 1 0 )t 2

6 =

D ) 50

RESOLUCIÓN!

D ) +80j E) RESOL UCIÓN »

¡lo la m a !

PROBLEMA 0 3 »

=

y

? + 2 t-l= 0 D ela'& yá'ción del movimiento

2(1)

En (I ) : T = 3,41 s RPTA :

En lo s instantes t , y / , la partícula se encontrará:

PROOLEOUk 0 3 »

Para:

Respecto del movim iento en enfria li señale la veraddad (V) o fa lseíE íf ( I ? de las siguientes p ro p o sicio n e s^ ^ .

f, = 2a => y t + 2 0 + 4 0 (2 ) - 8 ( 2 f * 80m

I) Todos los cuerpos inriependüWfemenle de su p e so , ^¿¿cufian Iguales desplazamientos e ¡ y gtKíes ihtervalos de tiempo. JT* w U) Todos los cuerpcftícéen con la misma rapidez. UI) En el Ecuador la variación de la rapidez del cuerpo es mayor que en el polo norte. A jW V B)FFV C) W F D jF W E)FFF

lu e g o el d esp la za m ien to para estas posiciones es:

tt = 8 a = > y x + 2 0 + 4 0 (8 ) - 8 ( 8 f =* 20m

C om o p o d e m o s apreciar al c a b o 2$ el cuerpo A estará retomando a su posición de lanzamiento mientras que B habrá avanzado la distancia d, donde: **L d = (10)(2) + (10)(2f d » 40m

d = VJt +

d=y3- y l=-60m

2

RPTA t táC ”

RPTA » **C”

PROBLEMA OO »

PROBLEMA OO a

Con respecto al movimiento de caída libre.

Se deja caer del reposo un cuerpo desde una altura ti. Un observad or p on e en marcha su cronóm etro cuando el cuerpo ya ha h ech o parte de su recorrido y lo apaga justo en el instante en que llega al suelo.

I) Sólo se da en el vado. II) Es únicamente descendente.

RESOLUCIÓN»

líl) La única fuerza que actúa durante el movimiento es el peso.

O VERDADERO /

A )W V

Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caen con mayor rapidez que los ligeros, G alileo afirm ó q u e los cu erp os cafan c o n una a ce le ra ció n constante e Independiente d e su peso, entonces, la caída de los cuerpos se reliado ¿orí gran precisión. SI puede

RESOLUCIÓN»

B iV F V

C) W F

D )F F V E) FFF

l) VERDADERO : El m ovim ien to d e ca íd a líbre e s un movimiento Idealizado en el que se hace c a s o o m iso d e lo s e fe c to s del aire, la rotación terrestre y la dism inución de la

El tiempo m edido por el observador es la mitad del tiempo que transcurre desde que se suelta el cuerpo hasta que llega al suelo. El porcentaje de la altura t i que recorrió el cuerpo antes que el observador encienda su cronóm etro e s : A j 10

B ) 20

RESOLUCIÓN»

o

25

DJ3S

E ) 50

f^iovxvñi^vro mpms CAfiiA isin K ic

E D IC IO N E S RIJRIN O SÍ

Movimiento vertical de caída Obre (MVCL)

ecuaciones para aceleradón constante. Donde: 2 P 2

Si un cuerpo se mueve verticalmente bajo la acdón única de la atracción de la Tierra, el cuerpo realiza un movimiento vertical de caída libre (MVCL) ; donde

d es directamente proporcional al tiempo al cuadrado. III) FALSO; Analicemos el movimiento de cada piedra. El prim ero ( ! ) es lanzado hacia arriba, mientras que ei segundo (2) hada abajo con la misma rapidez.

H = o 0t ± Y g t 2

Usar

billas A y B para cuando B alcanza su altura máxima. Para ello encontramos el tiempo t a partir del movimiento de B.

+ ; rapidez aumenta - : rapidez disminuye Sea i el tiempo que dem ora el observador en poner en funcionamiento el cronómetro; entonces

¿V _ 5 A n „ g =~ = > iO = y = > í = 0 ,5 a

Luego las alturas recorridas para este tiempo I esta dado com o h = V9t -

46

Para la billa B :

Naturalmente el segundo llegará a impactar primero en el piso, pero am bos impactarán c o n la m ism a rapidez pu esto qu e son lanzados con igual rapidez desde la misma altura. RPTA t “ B " PROBLEMA OS t

hB= B ( 0 , B ) - ^ ^ - = l,28m Para la billa A :

+£?

^

hA = 1 0 (0 ,5 ) - I 0 ( 0 ' S } s 3,750m luego la diferencia de alturas es: á h = h A - h B = 2 ,5 m

RPTA

/

" J

"

PROBLEMA O S t R especto al m ovim iento de caída Ubre, indique la veraddad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: donde el porcentaje de la altura que recorrió el cuerpo antes de encender el cronómetro respecto de H (s) será S = ^-xlOO%.

(f l )

Encontramos h y H aplicando / : • En el tramo AB

h=

=>h =

• En el U ékn T 4^ r. H = v ,[2 t)+ ± g [2 * f = 2gt*~»{lV) Z Reemplazamos (III) y fTKten (B ) : S=25% El porcentaje de la alturáfóie recorrió el cuerpo antes de encenderle) cronóm etro respecto de H es 25%. RPTA i " C ” PROBLEMA 0 7 i Desde el piso se lanza a la vez, verticalmente h a cia arriba, d o s b illa s A y B c o n ra p id e ce s d e 10 m/s y 5 m/s: respectivam ente. Halle la diferencia de alturas (en m ) cuando la segunda alcanza su altura máxima. A)2¿ B) 3,0 C )X 5 W 4,0 E) 4.6 RESOLUCIÓN i

I) Se deja caer una bola de acero y una pelota simultáneamente y desde una misma altura, impacta en el piso primero la bola de acero y luego la pelota. II) Cuando se deja caer una partícula desde cierta altura, la distancia que recorre es directam ente proporcional al tiem po al cuadrado. III) Una piedra es lanzada verticalmente hada arriba con rapidez V desde el borde d e un barranco y sim ultáneam ente una segunda piedra es lanzada verticalmente hacia abajo con la m ism a rapidez V, la segunda piedra Uega al fondo del barranco con mayor velocidad que la primera. AJVW

B lF V F

C) VFV

D jF F V

E) FFF

Si soltamos un cuerpo a una altura de 45 m sob re la su p e rficie d e d os planetas d iferen tes c o n gravedades g y g/9, respectivamente, ¿cuál será la diferencia de los tiem pos que demoraría ei cuerpo en llegar a ia su p erficie d e los planetas? ( g - 1 0 m/Bx) Al 6,0 a

Bi 6,0 a Ci 4,0 a

D }7 ,0 a E l 8,0 a

RESOLUCIÓN t • Sea un planeta 4 , cuya aceleración de la gravedad es g, tenemos lo siguiente:

O ih

m

Se usa la siguiente ecuación:

RESOLUCIÓN t I) FALSO : Durante el desarrollo del m ovim iento de caída Ubre de los cuerpos se desprecia el efecto que puede causar el aire, es por ello que al abandonar dos cuerpos cualesquiera sea su p e so , llegarán a Tierra simultáneamente. II) VERDADERO : AI dejar caer una partícula, ésta experimenta una acelera ción constante d e b id o a la gravedad, así que p od em os utilizar las

• Sea un planeta B, cuya aceleración de la gravedad es g/9 , tenem os lo siguiente:

o g 9

l

h —45 m

1A EXCM 4JW W 1A 2012) Usando la ecuación:

! observa y analiza ¡

Llamamos caída libre al movimiento de * = M f +i ( § ) : =>“ - j f f >•' ~*>=9‘ los cuerpos que transcurre bajo la acción sólo de la fuerza de gravedad. Para Entonces, la diferencia de los tiempos que investigar la caída libre de los cuerpos, demoraría el cuerpo en llegar a la superficie hay que librarlos del influjo de todas las de los planetas es: fuerzas ajenas y, en particular, de la t s - 11 = 9 8 - 3 9 => tt - 1 ¡= 6 9 APTA i “ A” resistencia del aire. PROBLEMA SO : v . • p V f

Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba y en el primer segundo llega a una altura h. Si g es la aceleración de la gravedad, el recorrido de la partícula en el siguiente segundo es: Sg

A )2 h -g

B )h -

D )h -2 g

E )h -3 g

1

\k

' V

'

¿Cómo se interpreta a - g

*

U ) Cada l s , el recorrido disminuye en g mis (cuando el objeto súbe). * En nuestro caso , $ucédé lo siguiente: •a ^ 3g) ; í: (V q~ 2 g )

S k - g)

(h)

B)15 D)30

020 E)50

(£2 u ^ cí^ ripo es soltado desde ciería*altura, calcular la velocidad qué obtiene luego de 4s.

El movimiento vertical de caida libre ér? un movimiento similar al MRUV donde la aceleración constante* es la aceleración constante es la aceleráéión de la gravedad llamada aceleración de caída libre. La aceleración de caída libre, en diversos puntos ;de la tierra de precisión no muy alta varía en valor, esta diferencia (que no es más del 0,6%) puede ser despreciada y considerarse g = 9.81 m/

arriba con una velocidad de lOmjs. Calcular el tiem po de subida.

A) 2s B) 1,5 O I

D ) 3 E) 2,5

@ )U n cuerpo es lanzado hacia arriba. Demorando en subir 3a. Calcular la velocidad con que se lanzó. A)10m/s

B)30 D )15

040 E)60

Un cuerpo dem ora en subir 4 seg. cuando es lanzado hacia arriba. Calcular cuanto demora en bajar. B )8 D )6

04 E)12

@

Si un cuerpo dem ora en bajar 2 s . Averiguar con que velocidad fue lanzado hacia arriba. A)10mls

B)15 D)35

025 E)20

B) 40 D) 0

O 20 E) 30

Un cuerpo es lanzado desde cierta altura hacia abajo con una velocidad de 20 m/s. Calcular su velocidad luego de 3s.(g~lQ mis*) A) 10 mis B) 20 D) 50

O 30 E) 70

@ ) Un cuerpo es lanzado desde tierra con una velocidad de 30 mis. Calcular la altura máxima que alcanzará.

(JJ/)Uh cuerpo es lanzado hacia

t

* Graficando según la propiedad del M R U V , que se aplica como caso particular al M V C L , puede deducirse que la partícula durante el 2 a0 recorre: h - g RPTA: « C »

A) 60mfs

A)40m

A)2s. t í S

(JÑ^Si un cuerpo al ser lanzado hacia arriba demora en bajar 5s. Calcular con que velocidad llega a tierra ( g —10 m/s*)

.

?.

1) Cada ls , la v disminuye en g ms (si el objeto asciende).

v

C)40 E)30

*

Este valor tiene doble interpretación:

%

D IO D)20

(g=10mls*)

* La partícula sube durante, al menos, los dos primeros segundos, lanzándose en / = 0, con una velocidad inicial V 0. Sólo actúa la fuerza de gravedad sobre el objeto y esto le ocasiona, en las inmediaciones de la superficie terrestre, una aceleración a ^ g —cte-

w

A)5m ls

A ) 10 mi8

C )h -g

RESOLUCIÓN:

ía ,

Si un cuerpo es lanzado hada arriba con una velocidad de 20 m is . Calcular con qué velocidad regresa a la tierra.

B)35 D)42

030 E)45

Si un cuerpo posee un tiempo de permanencia en el aire de €s. Calcula cuál es el tiempo de subida. A ) 3s

B) 4 D) 6

0 5 E) 1

(Q)Si un cuerpo es lanzado hacia arriba y demora en subir 4s, Calcule la altura máxima que alcanza. A ) 60m .

B) 160 D) 40

O 80 E) 8

@ >U n cuerpo es soltado desde cierta altura, calcular la altura que recorre al caer durante 2s. A)5m

B)15 DJ20

C)25 E)30

Personaje ilustre que estudió el m ovim iento de caida libre, en contra de las ideas de Aristóteles.

[iV

f O

I7

>

f IliW

0

MPMC € ^ \ M M L \ M , U S K K

AJNEWTON B ) TORR1CELI OGAULEO D ) ARQ U ÍM ED ES E)L. DA V1NCI

IP X B

E D IC IO N E S MIJBtÑOSi

M it f l

D)35

E)80

dejo caer. (g=10m lat )

U n cu erp o es solta d o desde

móvil. Cuando es soltado de cierta altura y ha recorrido durante 5s.

45m . Calcular que tiem po dem ora en llegar al piso. A)2a B)4 06 D)3 E)8

AJSmla

@ ) S i un cuerpo es lanzado hacia

(fijC a lcu Ia r la v e lo cid a d d e u n

B)10 D)20

C)15 E)50

Si un cuerpo es lanzado a razón de 40m ia. C a lcu la r q u é tiem p o demora en subir.

A)2 b

B )8 D )4

06 E)10

(fí^U n cuerpo es lanzado desde el piso verticalm ente hacia arriba a razón de 25m /s. ¿ Calcular cuánto demora en subir?

A)25

B )0 ¿ 5 D )í,5

0 2 ,5 E)5

a r r ib a y d e m o r a en s u b ir Calcular la altura máxima que logra alcanzar.

A) 120

B) 140 D) 180

0160 E) 200

@ ) Desde que altura se debe dejar caer un cuerpo para que llegue a tierra luego de 2s. (g= 10m l82)

A)5m

B)15 D)20

025 E35

U n cuerpo es dejado caer desde

A)70m D)45

B)80 E)60

0125

A ) Los cuerpos.................... . por que e s tá n a fe c t a d o s por la .................. .rffie^ atracción de la

B) Según. Aristóteles los cuerpos de m a y p r ....................................... ¿ o n a tra íd os....................^^jJ^rtem ente p or la tierra.

CJUn cu erp o-«e_encuentra en caída , cuando al moverse £o1o se ve afectado por su propio..........................

cierta altura al cabo de 38. Calcular * la velocidad alcanzada por elinóvih D ) Las trayectorias que puede tener (g=10m/8*) ■"* '*#*■ un cuerpo en caída libre son: -r

(Q )S i un cuerpo que fue lanzado verticalmente hacia arriba dem ora en subir 4s. calcular la velocidad con que fue lanzado.

A)10mls

B)20 D)40

030 E)50

Si un cu erpo es lan zad o con

30mi» hacia arriba. Calcular con que velocidad retom a al piso. A)40m/a B)30 020 D)10 E)0

A)10 mis

B)20 D)40

030 E)50

a

S e su e lta una p ied ra d esd e cie rta a ltu ra re co rrie n d o en su ú ltim o s e g u n d o d e ca íd a 3 5 m . Indicar ¿con qué velocidad llega a tierra?

A)60 mía

B)40 D)30

@ S i un cuerpo es lanzado desde

@ )U n

el piso a razón de 60mÍ8. Calcular el tiempo que perm anece en el aire.

verticalm ente hacia arriba con una r a p id e z d e 4 0 m fs . I n d ic a r la m áxim a altura que alcanzará el m óvil {g = 1 0 m / s)

A)6a

B)8 ))12

O 10 E)14

U n c u e r p o 'e s la n za d o h acia <

1

,x.

.

arriba con 30m ¡¿ UCalcular la altura máxima que lograÜlcanzar. •* >

A)90m

BJ180

D)450

045 X]¡E)900

Un cuerpo es soltado de cierta altura. Calcular la velocidad al cabo de 3s. (g = lüm/a9)

A)30m/»

B)20 D )0

O 10 E)5

Un cuerpo es soltado de cierta altura. Calcular la altura recorrida en 48. de caída libre.

A)60

B)70

A)40m

045

cu erp o

050 E)90

B)80 D)70

se

la n z a

060 E)50

@ 1 Desde la base de una torre se lanza hacia arriba una piedra con u n a v e lo c id a d d e 3 0 m Í8 , u n a persona ubicada en el techo de ésta, observa que la piedra pasa hacia arriba y a los 2 s . regresa a la misma posición. Calcular la altura de dicha torre. (g=10m/a9)

A)45M

B)30 D)40

020 E)60

)

..................................................................................

b) ......................... c) ........................................

E) El valor prom edio de la aceleración de l a ....................... ,es d e ......................... el cual provoca una disminución o un de la velocidad a razón de..........................por cada .................... transcurrido. F ) Un cuerpo en (¿ida libre vertical, cuando sube su velocidad y cuando baja ......................... su velocidad. G)Si un cuerpo demora 10 s en subir, el tiempo de bajada será de .......................y su tiem po de vuelo.................. J) El tiempo de vuelo y altura máxima respectivamente se da como: /*,=

Se deja caer un objeto, si en el

H ) C u an do un cu erpo alcanza su a ltu ra ......... en un la n za m ien to vertical, su velocidad es cero.

últim o segundo, de su caída recorre 35m. Calcular desde que altura se

J) Si: g = 1 0 m/s9 indique el valor de las velocidades en cada caso:

I&53 aso K B

U P jr » jr c iA

$ | V .= 0 J .(:

' 8 jv ,=

$ }V „= 5 m /« * .( : p \ W

v t=

uniformemente, cantidad iguales en tiempos iguales.

lanzabas, vertícalmente hacia arriba uV cuerpo con una velocidad V, señalé V(verdadero) o F(falso) según sea:

( ) El movimiento que adquiere es uniformemente variado.

s»

S i » _

'

8

( ) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto es V 0¡g

1

t

@ In d iq u e con V(vérdadero) o F(falso) según V correspondan a la caída libre de los cuerpos. ( ) No considera la resistencia del aire. ( ) Es ocasionada por la atracción que ejerce la Tierra. ( ) Siempre es sobre trayectoria vertical. AJFFV B )F W C) V F V D )V W E )W F Señalar verdadero (V ) o falso (F) según como corresponda: ( ) Todo cuerpo en caída líbre tiene movimiento uniforme. ( ) Solo existe gravedad en la Tierra. ( ) La aceleración de caída libre depende del tamaño de los cuerpos A)VFV B )F F V C) F F F D )V W E )V F F @ C o n relación a la aceleración de caída libre de los cuerpos en la superficie de la Tierra, no es cierto que: A) Depende del peso de los cuerpos. V¿ *•*

B) Es independiente de su volümen. C) Es la misma a todf^ltura. D ) Es mayor en la*£ierra que en la Luna. ■* hn’v E ) Se consi dénl constante en la superficie de la Tierra A)E B )C C)D D )B E )A (0)Señale con V(verdadero) o F(falso) respecto a movimiento de una esfera sobre un plano inclinado de ángulo a. ( ) El móvil recorre distancias en proporción con cuadrado de los tiempos.

(k

)La - v e l o c i d a d

a u m e n ta

( ) El tiempo de vuelo es igual a 2V0fg

A )W V D )V F F

B )V F V E )F F V

( ) La altura máxima alcanzada es igual a V*0lg & C) F W A ) W F ri B )V F V D )FFV $ k¿&yJB )W V

C )F W

© "Todos los cuerpos en caída, ¿Cuárifo demora la caída libre libre de la oposición que ejerce el de ui*.cuerpo desde 45 m de altura? aire, adquieren la misma ( g = 10 mis) aceleración llamada de gravedad (gff independientemente de su:..... ’ Vl . Á )ls 45m ¿Cual es la frase que np está B)2s C)3s referida a la ley caída libre: , D)4s A) masa B) peso C) volumen E)5s D)composición química (77) Desde qué altura se dejó caer un E ) gravedad @ )S eñ ale con V (verdadero) o cuerpo si demora 4 s en llegar a tierra? (g = 10 m/ss) F(falso) respecto a caída libre de un cuerpo desde el reposo, g=10m!st. a

( ) La altura recorrida en el primer segundo es 5m . ( ) Eridos siguientes segundos recorrerá: 15 m ; 25 ; 35m ; .... ( ) Durante el segundo " n - ésimo99 recorrerá un altura igual a: ( 2 n - l )g!2 A )W F B )W V D )V F V E )V F F

C) F W

(0 )S e lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad V .. indique con V(verdadero) o F(falso) según sea ( ) La velocidad disminuye hasta el valor cero, en punto más elevado ( ) El tiempo de ascenso, hasta la máxima altura, e igual al empleado hasta el punto de lanzamiento ( ) La velocidad (en módulo) para dos puntos a igual altura en la trayectoria es siempre igual. A )F W B )V F V C) V W D )W F E )V F F

A)25m D)80m

B)45m E)125m

C)70m

(Q )n cuerpo es dejado caer desde 80 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá 35m antes de impactar en el piso? (g = 10m¡8*) A)10mls B)20 D)40 E )N JL

C)30

(J^Una piedra fue abandonada desde la azotea de un edificio. Si durante el último segundo de su caida recorre 35 m , determine la altura del edificio (g = J 0 m/si). A)20m B)30 C)50 D)60 E)80 (77) Desde la superficie terrestre, se lanza verticalmenfe hacia arriba

[ w 0 i x » i i K . v r o w #í c i m

i m. bhkwc

una piedra y regresa a tierra en 2s. Hallar su altura máxima.

g=10ml82. A)2m D)20m

B)5m E)50m

CJlOm

B)120m E)240m

Un

m ó v il

C)150m

es

la n z a d o

verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40m/s. Después de que tie m p o d el la n z a m ie n t o se encuentra a una altura de 75m . g=10m/s2.

A) 2a y 4a D)6a y 8a © S ii

se

B)3a y 5s E )5 a y 15a la n z a

un

C)3a y 6a o b je t o

verticalm ente hacia arriba. ¿Q ué velocidad tendrá cu an do le falta 40cm para llegar al punto m ás alto de su trayectoria?

A)14m/a D)2,8m/s Un

B)28m/s E)l,4m¡a

p r o y e c t il

es

C)7m/a a r r o ja d o

verticalm en te para arriba con 40mÍ». ¿A qué altura del nivel de lanzamiento se encontrará después de 6s de la g = 1 0 m !s 2.

A)100m D)55m U na

B)80m E)45m p e lo ta

es

C)60m la n z a d a

vertical merjLte hacia arriba. Si la pelota permanece en el aire 6 segundos, ¿cuál habrá sido el ascenso vertical máximo de la pelota? A)30m D)75

B)45 E)90 /

C)60

Un cuerpo es dejado caer desde

125 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el instante del im pacto? AjlOm/a B)20 C)30 D)40 E)50 tf7)Un jugador de fútbol, pateó una pelota verticalm ente hacia arriba con una rapidez d e2 0 m /s. ¿Cuántos

E D IC IO N E S RiJBlÑOfS\

s e g u n d o s ta rd a rá la p e lo ta en regresar al nivel de lanzam iento? g=10m/a2.

A)2a

B)3a

Un

Se suelta una piedra y llega a tierra en 6 s. Si se considera que g=10m/s2; entonces, la piedra fue soltada desde una altura de: A) 60m D)180m

u ^ i m i

C)4a

o b je t o

D)6a es

E)8a

la n z a d o

v ertica lm en te ob servá n d ose que luego de 6 a su rapidez se triplica. D eterm ine su recorrido hasta el in s ta n te q u e lo g ra tr ip lica r su rapidez (g=10m/s2) .

A)310m D)420

B)330 E)280

D)145

E)NJí

U n elevador viaja hacia arriba a 7 0 m/s y el cable que la sujeta se r o m p e c u a n d o la c a b in a se e n c u e n t r a a 4 0 m d e l s u e lo . Calcular el tiem po que dem ora en estrellarse con el piso. (g= 1 0 m / s2)

C)360 (»l i, 11*

T

un cu erp o 4tA " se deja caer desde un edificio de 80m de altura, ¿con q u é rapidez (en m/a) hacia a r r ib a debe la n z a r s e sim ultáneam ente otro cuerpo uB 99 para que cuando " A ” llegue al piso estén separados 10 ro?

A )l,5 D)12,5

B)22,5 E) 125,5

<¡}3,5 í 4

@ ) U n objeto es lanzado hacia abajo co n 1 0 m/a. D eterm in ar en qué segundo de su m ovim iento el objeto recorre 75m. (g = lOm/a2)

A) 2*° segundo Cj 7mmsegundo E) 10"° segundo

B) 4*° segundo D ) 9*° segundo

D esde una altura de 4 5 m se lanza hacia arriba un objeto con una rapidez de 40m/a. D eterm in e la rapidez con la que llega al piso

(g = 10m/82) A)35m/a B)45 D)60 E)70

pelotitas hacia arriba, la prim era a 30m/a y la segunda 2 segu n dos d e s p u é s p e ro a 40m /s, ¿q u é d is ta n c ia lo s sep a ra cu a n d o la prim era llega a su altura máxima? (usar: g=10m /s2)

B )10 C)15

D )20

E)25

tf^ U n a pequeña esfera es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio para impactar en la base del mismo, luego de 10s, con una rapidez de 7Om/a. Determine la altura del edificio, (g = lOm/a2)

A)100m

B)20Q

A)2a

B)4

06 «

D )8

E)10

♦. v * .

•

.

Se lanza' verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad V0 = 1 00 m/s. C alcu lar en que p osición se en con tra rá la piedra ( respecto del punto de lanzamiento) al cabo de 2 5 s .

A)550m D)650 U na

B)600 E)720

0625

p ie d r a

se

la n z a

verticalm ente desde un punto **A99 con una velocidad de 80 m/s. ¿A qué distancia se encontrará otro punto “ B ” donde la velocidad de la piedra será de 2 0 m/s hacia abajo?

A)300m D )310

B)250 E)280

0320

C)50

D e s d e el p is o se la n z a n 2

A)5m

.

Ki n 40m

0150

Se

d is p a r a

un

cu erp o

v e r tic a lm e n te h a cia a rrib a co n velocidad de 144 km/h. ¿C on qué velocidad llega al piso? (g=10m /s2)

A )5 m/s B)10 m/s 0 2 0 m/a D)25 m/s E)40 mis Se

V>

d is p a r a

un

cu erp o

v e r tic a lm e n te h a cia a rrib a co n v e lo c id a d d e 1 0 8 k m / h . ¿Q u é tiem po tarda para tener la misma velocidad de partida? (g=10m /s2)

L1 e x c jc j .o i *£D í A 2012} A)l8

B)2a

038

D )4s

E)6s

Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad de 20m/s. Calcular la altura máxima que alcanza.

A) ls B) 2s

A) 1,6 m B )l,7 m C )l,3 m OJ2 m

C )3a 120 m

(g=10m/s2) A)20 m D)35 m

separa a la azotea y la parte superior de la ventana?(g —1 Om/s2J

0

B )2 5 m E)40 m

030 m

)

4

8

E) 5s

E )2 ¿ t

@ Se dispara un cuerpo verticalmente hacia arriba con velocidad de 1 4 4 k m lh . ¿Qué velocidad tiene al cabo de los 4 segundos? (g = 1 0 m / s *) AJO BJ10 mis DJ54 km/s EJ18 kmfs

0 2 0 m/s

Si el proyectil mostrado cae libremente determine el valor de la velocidad V. (g = 10 m/s2) AJIOm/s

#1

B)10sÍ2mls

Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad de 50m/s. Calcular el tiempo que permanece en el aire.

OloJÜm/a D)10yf5ml8 E)10y¡7m/8

30 mi

Desde la azotea de un edificio de 80m una persona suelta una pelota de fqtbol con la intención de agarrar dicha pelota, otra persona distante 2 0 m de la base del edificio, presentando un M .R.U ., se dirige hacia el lugar del impacto. ¿Cuál debe ser la velocidad V para que lógre su propósito? (g=10m /s2). Desprecie los efectos del aire.

(g = 10 m/ssJ A)2,5s DJIOs

BJ5s EJ20s

O 7¿ s

Se dispara los cuerpos A y B con velocidades de 80m/s y 50m/s simultáneamente. ¿Al cabo de qué tiempo los cuerpos se encontrarán al mismo nivel? VA = 80 m/s V B = 5 0 m/s A) la B)2s C)3s 0)3,58 EJ5a

© S i los dos proyectiles se lanzan simultáneamente hacia arriba tal como se indica y llegan juntos a su posición de altura máxima P, determiné la relación H/h. AJ 4 BJ3

V

’

O 4/3 D ) 3/2 EJ 1 ' '¿í: i- í*.

© Sabiendo que la velocidad de lanzamiento es V o - 4 0 m / s . Calcular el tiempo para que la pelota llegue al piso, ( g - 1 0 m/s2)

0 Si el proyectil demora 6s desplazarse desde A hacia determ ine la velocidad lanzamiento en el punto A- (g =

vj

¡

BJ5s O lO s

o jies E)20s

B,

de 10

m/s2) !

AJ9s

en

;

AJ10 m/s BJ20 m/s

- T

- *

100 m V

1

f |

L..J £

(0 ) Se disparan los cuerpos A y B con velocidades de VA=70 m/s y VB = 40 m/s simultáneamente. ¿Al cabo de qué tiempo los cuerpos se éhcóntrarán al mismo nivel?

0 3 0 m/s

2Vj

fv

DJ40 m/s

A)6 m/s B)8 m/s 0 4 m/s DJ5 m/s EJ10 m/s

Una piedra se deja caer del borde de la azotea de un edificio y una persona que se encuentra frente a una ventana de 2m de altura ve pasar a la piedra en un tiempo de 0 ,ls . Calcule la distancia aproximada entre el borde de la azotea y el marco superior de la ventana. (g = 1 0 m/s2) A)9 m 0 )3 9 m

BJ19 m E)49 m

029 m

© ) Desde el borde de un pozo de 1445m de profundidad se suelta una piedra. ¿Qué tiempo después se escucha el ruido que hace la piedra al chocar con el fondo del pozo? (g = 1 0 m/s2) Velocidad del sonido en el aire =340 m/s

EJ50 m/s

A) 7$ B )4 ¿ 5 s 0 )2 3 s E )l,7s

021¿5s

(T%) Un objeto se suelta desde la azotea de un edificio observándose que pasa frente a la ventana de 1,4 m de altura , en un intervalo de tiempo de 0,2*. ¿ Qué distancia

Desde un globo aerostático que sube describiendo un M JLU. con una velocidad de lO m /s, una persona suelta una moneda y observa que demora 6s en llegar al

(>*oiTOfraLvro ** k CAiai

ía

suelo. Calcular desde que altura h fue soltada la m oneda. Desprecie los efectos del aire sobre la moneda. (g = 10 m/a2)

A) 120 m B)80 m C)100 m D )125m E)140m

ttK tc

(fH)Se

E D IC IO N E S R IJD IN O S]

la n z a

un

cu erp o

v e r t ic a lm e n t e h a c ia a b a jo com probándose que desciende 120 m . E n 48, ¿cuál fue la velocidad inicial de lanzam iento?

10 m/a

A)12m/a B)20 @ )U n a

(Q) En el pozo de la figura caen sin fricción gotas a razón de una gota / segundo. Un objeto asciende a una velocidad constante de 10 m/a y es alcanzado por una gota cuando esta a una profundidad h =500m . ¿Cuánto subirá aproximadamente, el objeto hasta ser alcanzado por la segunda gota? (g = 10 m/a3)

015

D )10 E)8

p e lo t a

se

la n z a

verticalm ente hacia arriba con una v e lo c id a d V 0 = 2 0 m/a. ¿ A q u é distancia se encontrará la pelota respecto del punto de lanzam iento luego de 2 a?

A)20m B)15 0 2 8

D )18

@ )U n

se

cu erp o

q u e am bos tien en igual rapidez. ¿ C u á l fu e la v e lo c id a d de lanzam iento de la segunda piedra? g = l Om/a*.

A)20m/a D)50m/a

B)30m/a E)60m/a la z a

a

un

C)40m/a cu erp o

verticalm ente h arriba con una velocidad V Lo un tiempo t ¡ en alcanzjjjlfafftoáxima altura y lle g a n d o /a í í é r r f i h a b ie n d o transcu rriatf;ü n tiem po es corpgtfto afirm ar qu<

E)30 la n z ó

verticalm ente hacia abajo tal que,

A) 3 m C )7m

m ovim iento?

I) E ntre 0 y t¿ su aceleración es positiva.

D)9 m

A)40 m/a B)30 0 2 5 D )32 E)45

II) Entre t¡ y t 2 su rapidez crece.

E )ll m

@ U n

III) Se m ueve en la dirección +y.

B)5 m

Un pequeño cohete comienza a m overse con una a celera ción constante de 5 m/s2. Si al cabo de 6a se termina el combustible, ¿qué altura com o m áxim o logra elevarse? D esprecie los efectos del aire y considere g= 10 m/a3

A)130 m

cu erp o

es

la n z a d o

verticalm ente hacia arriba desde la superficie terrestre con una rapidez de 40m/a. H allar después de qué tiem po y a qué altura se encuentra cuando su rapidez sea de 10 m/a hacia abajo. g=10m/a2.

A) 10a ;2 0 m 0 5 a ; 200m E)8a ; 120m

B )5 a ; 75m D)10a ; 75m

Un p aracaid ista salta de un

B)125 m C)UO D )90m E)135 m (£ ^ ¿ C u á l

d ib u jo

ilu s tr a

la

trayectoria de una bom ba que cae de un avión en vuelo, si n o hace viento? v t #

f A

%

helicóptero estacionario en el aire y cae lib r e m e n te sin c o n t a r la fricción del aire 5 0 0 m , luego abre su paracaídas y experim enta una desaceleración neta de 2m/as y llega al suelo con una rapidez de 4m/a. ¿D e qué altura saltó el paracaidista? g = 10m/a2.

A )2 8 0 0 m B )2 5 9 6 m D)2496m E)2996m

C )2796m

%

\

m

Desde una altura de 80m se

suelta una piedra y desciende en c a íd a lib r e . S im u ltá n e a m e n te , d e s d e el p is o , se im p u ls a v e rtica lm e n te h a cia a rrib a otra piedra y chocan en el instante en

TV) Entre t l y t2 su aceleración es positiva. A )S óloI B )Iy II O Todita D )S óloIl E) N inguna Dos cuerpos, uno de los cuales es m ás p e s a d o q u e e l o t r o , d escien den en caída libre en las p r o x im id a d e s d e la s u p e r fic ie terrestre; e n to n ce s, podem os afirm ar correctam ente:

I) La aceleración del cuerpo más pesado es igual a la que adquiere el cuerpo m enos pesado. ID El tiem po de caída del cuerpo m ás pesado es m en or que el del cuerpo liviano.

III) Si la aceleración de la gravedad fuera 4,9m , los cuerpos lanzados v e r t ic a lm e n t e h a c ia a r r ib a alcanzarían m ayor altura. A) Sólo I B )Iy U O ly lU D) Todas E )II y III M arcar verdadero (V ) o falso

(F): I) S i

un

cu erp o

la n z a d o

M E X i'tr jw tc o iA 2012} Verticalmente desde el piso, tarda “ /"seg u n d os en alcanzar su altura máxima; entonces, dem ora “ //2 "e n subir la prim era m itad de dicha altura.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones re p re se n ta el m o v im ie n to d e la piedra, respecto a u n observador de tierra, a partir del m om ento en que fue lanzado?

U) En un m ovim iento vertical de caída, libre se cum ple que en un m ism o p la n o d e r e fe r e n c ia los v e cto re s v e lo cid a d d e s u b id a y bajada son iguales.

A ) y = i 6 / - 5t2 B ) y = 2 0 ~ 5 t* C) y ~ 60 -1 6 t + 5t* D ) y = 3 0 0 ~ 1 6 t + 5 /* E) y = 300 - 20t - 5/* @ >D el

p r o b le m a

a n t e r io r ;

determ in e, aproxim adam ente, la altura desde la cual fue lanzado la piedra.

A)VFV D )W F

A)20m D)240m

C)FFF

B)60m E)120m

C)300m

(H^Desde lo alto de una torre se

(f^ C u a n d o el cron óm etro m arca

lanza verticalm ente, hacia arriba un cu erpo con una v elocid a d de 30m¡8. (g=10m ¡82). ¿C uál de las siguientes es correcta para un cierto sistema de referencia?

5 ,6 s; desde lo alto de un edificio se lanza verticalm en te hacia arriba u n a e s fe rita co n u n a v e lo cid a d inicia] de 8mfs y llega al piso cuándo e l c r o n ó m e t r o m a rc a 1 2 ,2 s . C on sid era n d o q u e s ó lo á ctú a la gravedad g=10m /8 *. ¿Cuál de las siguientes afirm aciones es correcta p a ra u n c ie r t o s is te m a de referencia?

í)L a posición es: y (t) = 4 0 + 3 0 /- 5 ts

II) Durante todo el m ovim iento la velocidad es: V = 4 0 - 5 t III) La ecuación de la aceleración es: a = -1 0 t. A jS óloI B )I y I I C )Sólo II D)Sólo III E) N inguna
tie n e n

tres

p u n to s

equidistantes A rB y C ubicados en la misma vertical (“ A " sobre “ B " y é s te sobre Simultáneamente, se d e ja ca e r un objeto desde “ A " y se jan zá otro desde “ C " , verticalm efite, hacia arriba c o n u n a v e lo cid a d “ V ” , e n c o n tr á n d o s e ^ m b o s * e n " B " . Hallar el tier^pp’que*transcurrió para el en cu en tro^ ' r

'

A )2V g

3 «

B)V/g

'»

'

,

C)VI2g

E)^2V~¡g D)V*i2g @ ) U n g lo b o a e r o s t á t ic o

I) M ien tra s su b e la e cu a ció n de m o v im ie n t o e s: y ~ 8 t - 5 t 2 y m ientras baja: y = 8 t + 5 / 2. II) Durante todo el m ovim iento la velocidad es: V —8-10t. III) La posición es: y = 1 6 5 + 8 /- 5 /2. a jS ólo I B )I y I I O S ó lo II d)S ólo III E )II y III

A) V=5t* -1 2 t C) V ~ t - 1 2 E )V = 1 0 t-1 2

la

B ) V = 5 / - 12 B jV =10/+ 12

verticalm ente hacia arriba con una velocidad inicial " V " , otro cuerpo “ B " cae desde una altura “ H ” con una velocidad inicial nula (am bos en la m ism a vertical). Hallar com o va ría la distan cia “ ¿ r " en tre los cu erpos“ A ” y “ B " en función del tie m p o si a m b o s co m e n z a ro n a m overse s im u ltá n e a m e n te . (g = aceleración de la gravedad). -

-

V ?

Vo= 0 O B ............

K

i

T

A) Vt - gt*!2 D) V t - g t sl2

B) H -V t E) H

C)Vt

@ ) S e realiza un experimento en un lugar donde la dirección vertical de la a c e le r a c ió n d e la g ra v e d a d , (g=10m }8S) cambia cada 5s. Con la gravedad, orientada hacia abajo, se suelta una esferita desde y = 8 m . ¿Cuál es la posición y (en m ) de la esferita 9s después de iniciado su m ovim iento?

La ecuación de m ovim iento de un proyectil lanzado verticalm ente desde el punto " A "cerca n o a tierra es: y (t) = - 1 0 + 4 0 / - 5 ts. ¿Cuál es la altura alcanzada co n respecto al nivel de referencia? ♦Y

se

encuentra descendiendo con una velocidad constante de 4 m /s . Un paracaidista ubicado en el g lob o lanza una p ied ra v e rtica lm e n te hacia abajo con una velocidad de 1 6 m fst tardando 6 » en lle g a r a tierra.

y = 5 t * -1 2 t + 2 3 . E xp resar ecuación de su velocidad.

U n cuerpo “ A " se ha lanzado

TU) C uando un cu erp o en caída libre llega al piso, luego de estar quieto, la aceleración de la gravedad se anula. B )F F V E)VFF

de posición del m ovim iento de una partícula en caída libre es:

tr

o

I

g

I A) -125m D) - 317m

B ) -117m E )-2 3 7 m

C)-167m

(T^ Desde la azotea de un edificio "

7 r

A )7 0 m D)80m

B)90m E)50m

Q A iiii.

C)60m

Considerando las unidades del sistema internacional, la ecuación

d e t(H ,f m e tr o s d e a ltu ra , una persona arroja dos objetos “ A " y “ B ” uno hacia arriba y el otro hacia a b a jo c o n v e lo c id a d e s “ V f> r e s p e c t iv a m e n t e en e l m is m o instante. ¿Cuáles de las siguientes afirm aciones son verdaderas?

f> # o v K w is n r r o » f í c í i i m

r r im is '

I) En el m om ento que " A ” alcanza su altura máxima impacta en el piso. U )Cuando “ A ” alcanza su altura m á xim a , la m a g n itu d d e la velocidad relativa de “ B ” respecto de “ A ” e s 2 V

i n u iox i:s riihlxos]

Q BB g ü ü Jfljsifl

u n o b je to . A su m ie n d o q u e só lo a ctú a la graved a d , ¿C u ál d e las siguientes ecuaciones representa el m ovim iento del objeto, respecto a un observador de tierra, a partir del m om ento en que fue soltado?

y e n e s e m is m o in s t a n t e , la plataform a inicia su m ovim iento hacia la derecha. Calcular la m ayor a c e le r a c ió n q u e p o d rá te n e r la plataforma para que la piedra llegue a dicha plataform a, sin tocar las paredes del cilindro.

(g = aceleración d e la gravedad).

III) “ B ” impacta en el piso y luego de **2V/g99segundos impacta " A ” . \V B

A ) y = 4 0 t - —t 2

B )y = 6 t+ ^ t*

2

A) Sólo III B )Sólo II C )II y III D) Iy II E) N inguna

2

C ) x = 4 0 - 6 t - —t 2 D ) x = 4 0 - 6 t - ^ t *

2

2

E )y = 4 0 + 6 t - —t*

e n cu e n tra e n c e r r a d a en un ascensor que no tiene indicador de pisos. N o sabe si la ca b in a está detenida, se m ueve hacia arriba o h a cia a b a jo . P a ra t r a t a r d e averiguarlo deja caer una moneda d esd e una a ltu r a de lm demorándose ésta 0,4 8 para caer el piso del ascensor. Luego......... A)No se puede afirm ar nada. B)La cabina se mueve a velocidad constante. C)El ascensor acelera hacia abajo . D)El ascensor está detenido . E)(El ascensor acelera hacia arriba. @ D e un ca ñ o m alogrado, caen gotas de agpa cada " f " segundos. Calcule jb¡£recorrido desarrollado p o r la píi'm &ca g o ta h a s ta el instante en qu & está p o r caer la e n é sim a g o t a . 'D e s p r e c i e la resistencia del aire.

n 2g t2 A) 2 (n + l f g t 2 C)

@ ) E 1 c a r r ito m o s tr a d o aceje^a c o n

a = I0 \ ¡3 m ls2 y desde el se suelta un tornillo. ¿Al cabo de qué tiempo choca con la superficie esférica de 2,5m de radio? (g=10m f s2). tg

t

H Z T U n globo aerostático asciende co n rapidez con stan te de 90m/a. Cuando se encuentra a una altura “ H ” , se suelta un objeto desde el g lo b o . In d ic a r las a firm a cio n e s verdaderas: / / Para el observador “ B*\ el objeto parte del reposo sin aceleración.

A)0,6s D )l,ls

B)0,8s E)0,5s

O 0 ,9 s

Desde una cierta altura, se deja caer un objeto, tal com o se muestra. Hallar: V ¡ f V g.

/ / / Para el o b s e r v a d o r " A ” , el objeto parte co n velocidad inicial h a cia a b a jo y c o n a c e le r a c ió n constante.

I I I ) E n * = 2 s , e l o b je t o tie n e velocidad diferente de cero para el observador **B ”

V o= 0 ¿

v J

í : 5h/4

x . L v >\<>

D )(n + 1)2g t

E )(n -l) g t g lo b o

OHLg

2

^ ^ S ilvia , una de la academ ia, se

a e r o s t á t ic o

se

e n cu e n tra a s c e n d ie n d o con v e lo c id a d c o n s t a n t e d e 6m/a . C uando el g lo b o se en cu en tra a 40m sobre el suelo, se suelta de él

A)1 D)l/2

BJ1I3 EJ4/9

02/3

@ ) U n cilindro hueco se encuentra sobre una plataform a horizontal, com o se ve en la figura. Si en el punto “ A ” , se deja caer una piedra

A jS ó lo I D )Sólo III

@Se

B )S ólo II E )II y III

lanza

un

O ly ll

cuerpo

v e r tic a lm e n te h a cia a rrib a co n velocidad “ V ” tal com o se muestra.

956

U Ei\'€irj. QfiCDtA 2012}

Señala las afirm aciones correctas:

^ ^ C on sid era n d o las unidades del

l) Para ningún instante de tiem po , la velocidad sera **2V” en módulo.

sistem a internacional, la ecuación de p osición de u n a partícu la en ca íd a lib re es: y = 5 t * - 8 t + 7. E x p r e s a r la e c u a c ió n d e su aceleración.

17) Para el tiem po t= 5 V / 2 g t el móvil se encuentra p or debajo del plano de lan zam ien to.

III) Para t =2V¡g la velocidad media del cuerpo es cero.

A) a = 1 0 t C ) a = -1 0 + t E) a = 1 0

A ) —yflO 8 5

B)2y¡5

E)

¡f

C)yflO

■JlO

[C U reS DE 11 SESUDA PR\CT!Cfl

B) a = 1 0 t-8 D )a = -1 0

Un ascensor sube verticalmente

p la n o d er lan za m ien to A)TodaM D)II y III

con una velocidad de 72 k m lh . Si d el tech o se d esp ren d e un foco. ¿Q u é tiem p o tarda en lle g a r al suelo, si la altura del ascensor es de 2 m ? (g=10m ¡82).

jjC

fmres d e l a gama p r a c tic a ]

B)Sólo I C)Sólo 1 1 E)S6lo III

@>A1 lanzar un objeto verticalmente hacia arriba, si d u p licam os su velocidad de lanzamiento, la altura máxima que alcanza A) perm an ece con sta n te B) se duplica C) se reduce a la m itad D) se cuadruplica E) se triplica

t

MOVIMIENTO RECTILINEO GENERAL Consideremos una partícula P que sem u év e a lo largo de una recta. La posición de P en cualquier instante t se puede especificar por su distancia 8 a éfétto punto de referencia O fijo en la recta. En el instante / , P se habrá desplazado hasta P* u n a lón gitü d A s .

p* -s

+3

O

As

AS La velocidad media del punto durante el intervalo de tiem po At es: V med —

At

Á medida que At se hace m ás pequeño, tendiendo a cero en el límite, la velocidad media tiende a ser la velocidad instantánea d e P , la cual es

v=

L im A t -> 0

T7 d8 ' ;e s d e c ir : V = — = 8 dt

(i)

[>/OIXUIIiiVTO M P K

t.M K E K M C

BgKl £ 5 /

La aceleración inedia de P durante el intervalo de AV

tiempo At es: a med = “ 7 . A medida que A t se hace At m ás p eq u eñ o, te n d ie n d o a c e r o en el lím ite , la a c e le r a c ió n m e d ia tie n d e a s e r la a c e le r a c ió n _

.

áv

,

E D IC IO N E S

Se debe observar tam bién dos gráficas m ás (figuras 3a y 3b ) . Del m ism o m odo que los casos anteriores, en la fig. 3 a t el área bajo la gráfica a os a es ada ; así entonces, según la ecuación (3 ), oda = vdv. Luego:

ó bien

.

instantánea de P, la cual es a - Lt lltt~ 7 7 les decir: ¿t-,0

K IIM X O S l

ax

(2 )

o bien

Al eliminar d t de las ecuaciones (1 ) y (2) se tiene:

da dt dv

re

Flg.3 .Gráficas complementarías para un mo

vdv = oda o b ie n :

(3 )

dt

Finalmente, cuando se representrfjíff¡rt$Tocidad v en función, del desplazamiento a (fig. 367f!á pendiente en el punto A es dvlda. Trazando el segmento AB, normal a la y' CB curva, por semejanza se nota que:

En las figuras 2 a , 2 6 y 2 c se representan g r á fic a m e n te las m a g n i t u d e s determ inadas en las e cu a cio n e s (l), (2 ) y (3). Nótese en la fig. 2 a que, al hallar la pendiente de la curva s va t en el instante t se o b t ie n e v; asim ism o, en la fig. 2 6 , al h a lla r la pendiente de la curva v va t en el instante t se obtiene a ; así, con d ich o s p u n to s p o d e m o s tr a z a r la curva d e lá fig. 2c.

ds = s dt

dv =v dt

dv

Así entoipes,jj££Ú n la ecuación (3 ), C B = a . Para todos los casos recién expuestos, es indispensable que el alum no tenga las escalas en los ejes con las unidades adecuadas, de m odo que la magnitud buscada se obtenga en las unidades esperadas. Las gráficas descritas en la figura 3 son útiles para estim ar resultados tanto antes de realizar cualquier cálculo com o los experim entales. En las experiencias de laboratorio del curso el alum no podrá com probar la utilidad de los gráficos. Antes de estudiar los casos particulares del movimiento rectilíneo, veo necesario dar a conocer a los estudiantes la existencia de una m agnitud cinem ática adicional, que mide cuán cóm odo se ha de sentir, por ejem plo, un pasajero al viajar en un m óvil. Dicha m agnitud se denom ina la sobreaceleración, la cual se simbolizará

«o*-

Así entóncés, apreciálído en la 26 que el área limitada bajo la curva v va t en el lapso d t es vdt, en el lapso entre t¿ y t%el áreá"Bajóta ctirva será:

ó bien

8s ~ 8í = Área bajo la curva v - t Análogamente, en la el área limitada bajo la curva a va t en el lapso d t es o d t. Luego, en el lapso entre t¿ y ts el área bajo la curva será:

ó bien : vg — vt = Área bajo la curva a —/

com o j

, y viene a ser:

(4 ) Para dar una idea, invito al estudiante a recordar cóm o se siente cuan do se en cu en tra en un vehículo que a r r a n c a o fr e n a b r u s c a m e n t e . T a l c a m b io de a ce le ra ció n es su m a m e n te in c ó m o d o ; J m ide la m agnitud de ese cambio. Veamos a continuación uno de los casos más estudiados por los alum nos de Ciencias e Ingeniería antes de formar parte de las aulas universitarias: El movimiento rectilíneo uniform em ente variado (M R U V) , el cual se caracteriza porque su aceleración es constante.

te s a *8 Así entonces, dando la forma correspondiente a las ecuaciones (1) y (2) para integrarlos, y considerando por razón de sencillez que en t= 0 , 8=0 y v=uf0f» para un lapso t , las fórm ulas para evaluar el movimiento de una partícula con M R U V serán: En mi experiencia en el dictado del curso siempre tuve alumnos que pretendieron resolver problemas de Cinemática de aceleración variable con las fórmulas del M R U V . Ello representa un grave error, muy frecuente en los ingresantes a carreras de Ingeniería. Desde estas líneas hago votos para que ningún alumno cometa errores de ese tipo, a la vez que exhorto a mis colegas a incidir en sus alumnos al respecto. V

9

A) El tiempo mínimo que se requiere para cubrir dicha distancia. C) La máxima rapidez que alcanza. Un tren que viaja a 144 km/h aplica los frenos al llegar al punto A . y reduce su velocidad con una desaceleración constante. Se observa entonces que la rapidez se redujo en 48km/h cuando pasa por un punto situado a 800 m delante de A . JJn automóvil que va a —

De(2) : J d v —a j d t

=► V = Va

9 De ( 3 ) : J vd v = a j d $

+ at,

(5 )

V

=> v* = v0*

t

*

U EXCJ4J. W F D L l 201¿\ 81 donde se detiene. Si la aceleración de la motocicleta está limitada a 0,7 g y la desaceleración a 0,6g, calcular:

(6 )

2aa,

+

-

8 = v0t + —a t * .................. ( 7 )

DefJJ.* J d s = J ( v 0 + a t ) d t o o

•

, y

.

90 km/h pasa por el punto’ B en el mismo instante en que el tren llega al punto A.'En un imprudente esfuerzo por ganar al tren en el cruce, el conductor «pisa» el acelerador. Calcular: Trenas. ^

a

T 1.6 km n í T ^ i ga+ g rri r i n n n ir 11ti u

Al combinar las fórmulas (5) y (6) adecuadamente, se consigue otra fórmula más:

"■*

2

(8 )

t

Dichas fórmulas se pueden adecuar de modo que se interprete que un móvil pueda estar aumentando o disminuyendo su rapidez; es decir, a ( + ) o a ( - ) . Este caso tiene una situación muy particular: El movimiento de caída libre vertical. En este caso, el recorrido de la partícula se con siderará com o A , y la aceleración como g. Luego, las ecuaciónes (5) a la (7) tomarán la siguiente forma: v

=

v0

g t . . .

+

(9 )

.............................

+ 2gk.................... (1 0 ) h= y , =

+ -g t b

±

V

o

_

(W =

h

...............................................

V med

2 t La cóntidad de aplicaciones y problemas de Cinemática es sumamente abundante, y la información disponible es amplia. Por ello, sugiero a los estudiantes seguir la secuencia de trabajo de sus profesores, y verán que no hay problema difícil si se sabe plantear bien.

V . Automóvil A ) La aceleración a que debe adquirir el automóvil para que gane al tren en el cruce con un margen de 4 8. B) La rapidez del automóvil cuando llegue al cruce. En una carrera de 400 m planos, partiendo del reposo y con aceleración constante, el atleta A alcanza su máxima rapidez » Aen 4s, y la mantiene hasta alcanzar el punto medio de la carrera al cabo de 25 s. El atleta B también parte del reposo y con aceleración constante simultáneamente, alcanzando su máxima rapidez vB en 5 8, y la mantiene hasta alcanzar el punto medio al cabo de 25J2 8. Luego, ambos atletas corren la segunda mitad de la carrera con la misma desaceleración constante de lOcm / s2 •Calcular: A ) La aceleración constante de cada atleta. B)En qué instante debe el atleta B partir.

*

200 m

(07) En un ensayo de rapidez, una motocicleta parte del reposo de un punto A, y se desplaza 300 m a lo largo de una pista horizontal recta hasta un punto B

200 m

La magnitud de la aceleración y desaceleración de un ascensor rápido está limitada a 0,4g, y su máxima

259

rapidez vertical es 36 0 m /m in . Calcular el tiempo mínimo que se requiere para un recorrido de 90 m . Un agente de policía en una camioneta de patrullaje estacionada en una zona que limita la rapidez de los vehículos a 72 km/h observa el paso de un automóvil que viaja a rapidez baja constante. Creyendo que el conductor pudiera estar ebrio, el agente arranca su camioneta, acelera a razón constante hasta 90 km/h en 8s, y manteniendo dicha rapidez, lo rebasa 42s después que el automóvil lo pasara. Sabiendo que transcurrieron 18s antes que el agente iniciara la persecución del automovilista, calcular: A) La distancia recorrida por el agente hasta que alcanza al automovilista. B)La rapidez de éste. Calcular el tiempo requerido por un auto para que viaje 1 km a lo largo de una carretera partiendo desde el reposo, adquiera una rapidez máxima en cierto punto, y luego se detenga. El auto puede acelerar a razón constante hasta 1,5 m/s1, y desacelerar también a razón constante hasta 2 mis2. (0 ) Una serie de señales de tránsito 6e programa de tal manera que un automóvibque avance a la rapidez constante de 45 km/h llegará a cada semáforo jqsto en el cambio de luz verde. Un automovilista pierde la luz verde y está parado en el semáforo A. Se sabe qu^el siguiente semáforo B está a 325m adelante, y que la máxima aceleración del automóvil es 1,5 m/a*. Determinar: A) Qué debe hacer el automovilista para mantener la rapidez tan baja como sea posible, y llegar al semáforo B justo cuando se ponga en verde BjLa máxima rapidez alcanzada.

Un automóvil viaja a 54 km/h cuando observa que la luz de un semáforo a 280 m adelante se pone en rojo. Sabe que el semáforo está programado para estar en rojo durante 28 8. ¿Qué debe hacer para pasar el semáforo a 54 km/h en el momento en que se ponga la luz verde otra vez? Trace la curva v-t, seleccionando la solución para la cual se tengan los valores más pequeños posibles de desaceleración y aceleración, y determine:

E D IC IO N E S R IJB IN O S } C) Representar los fenómenos en los diagramas 8-t, v - t y a - t . El movimiento de una partícula está definido por la siguiente relación:

x = :^ -ts u

—

J

— 2 0 t + 10

Estando x y t expresado en metros y segundos respectivam ente. Calcular el iQlf£a?íte, posición y aceleración de la partícula cuando

v =°

éSm

. Ug avión aterriza enuna pista 34 krrtfi rectilínea a la rapidezde5§0^m/fc. En el momento aterrizar se aplican los frenos, y esto hace que 280 m su velocidad dism inuya al A) La aceleración y desaceleración aumentar .lia posición 8, según la del auto. 75 B) La mínima rapidez alcanzada. relación: w — k+5 /,.* ■ m Un móvil tiene una aceleración Donde s se expresa en metros, y v constante a — 8 m/s2. Se sabe que en m/s. Si k es una constante en t=4s1x = 2 0 m t y cuando v=16 desconocida, calcular: m/st x=4m . Calcular la rapidez y A) La aceleración del avión en el el espacio recorrido por el móvil momento que aterriza. cuando t = lls . BjLa distancia recorrida cuando Un móvil se mueve en línea alcanza la velocidad de 54 km/h. recta a la velocidad constante de C ) El tiempo necesario para que el 4m/s en los prim eros 8s de avión recorra doble espacio que el m ovim iento; de inm ediato calculado en B. desacelera a razón constante de La posición de un móvil 0,5 mis2. durante el lapso de t= 0 a t=6s es Determinar: s — 0,5t3+6t*+4t (m ) . Calcular: A) El instante en que la partícula A) El desplazamiento del móvil en retoma al punto de partida. este lapso. B)La posición más alejada lograda B) La rapidez mínima en este lapso, por el móvil. y en qué instante ocurre. C )La gráfica s - t del móvil, C) La aceleración cuando la rapidez indicando los valores más notables. es máxima. 0 Una partícula que se mueve en El movimiento de un móvil está línea recta tiene una velocidad en definido por la relación cm/s dada por la relación v=12-3t2, con * expresado en segundos. x = 6 t2+4cosrrt — 8 , con * y * en Calcular: centím etros y segundos respectivamente. Hallar las cuatro A) El desplazam iento d de la primeras posiciones en las que su partícula entre t= 0 y t=3s. velocidad es máxima. B) El espacio total recorrido por la partícula en el mismo lapso.

El movimiento de un móvil está

E S Sefinido

por la

relación

8 = t * - G t + S e ^ t ' donde a está en metros y t en segundos. Calcular bu velocidad cuando bu aceleración es 4 m/a*. (Q ) La aceleración de la bala que sale del cañón de un riñ e es inversamente proporcional a su posición x La bala parte del reposo en x= 7 ,6 m m 9 y su velocidad de salida es 600m/a en la boca de salida. Calcular su velocidad y aceleración al pasar por el punto medio del cañón. h' 7.6m m ÍU

t -760 mm — 1

ís o

ZE

LA FNCJCjwtcoiA 2012)

m/s respectivamente. Sabiendo que para /= 2 a, v =0,5 d0 ,calcular: A) La rapidez v#. B /E l tiem po detenerse.

que

tarda

en

C/Su posición cuando v =1 m/s. La rapidez de un maratonista se puede aproximar por medio de la siguiente fórmula empírica:

•r, ^ v

donde v y x se expresan en km/k y km respectivamente. Sabiendo que x = 0 en t=0, calcular: I) La distancia que cubre cuando t = 2h. W El tiempo que emplea para recorrer 25 k m . I I I ) Sü^fapidez para t = 2 h. TV) Su aceleración cuando t = 2 h , en m/s*.

A) La aceleración del airé cuando

@ )E 1 registro de las medidas de aceleración realizadas sobre un vehículo experimental durante su movimiento rectilíneo viene dado por la línea de trazo continuo. Si el vehículo parte del reposo en t = 0, utilizando la línea trazos, se pide:

v = 1 2 (l-0 ,0 2 5 x f 's

■ 600 m/s

@ Datos experimentales indican que en una zona aguas abqjo de un ventilador impelente de persiana, la velocidad del aire insuflado está definida por la relación *>=0,l8v9/xt donde v y x se expresan en m/s y m respectivamente, y v0=3,6 mía es la rapidez inicial de descarga del aire. Calcular:

W Calcular la aceleración del móvil cuando a = 60 m , indicando el instante en que ello ocurre.

0 0

4 t, s

I) Trazar aproxim adam ente la curva v - t para los 9 a. del registro. I I )C alcu lar la distancia total recorrida por el vehículo. @ La velocidad de una partícula varía con el desplazamiento s según se muestra en el gráfico para un lapso de su movimiento.

@ ) Si la rapidez v de un móvil en movimiento rectilíneo disminuye Linealmente con su recorrido s desde SOmfa a un valor aproximadamente nulo en s = 100

B/El tiempo quelfarda el aire en fluir desde x = l m y x = 3 m . C/El tiempo que demora el aire en adquirir una velocidad de 3 cm/a.

Calcular la velocidad v de la partícula cuando s = 12 m, si su velocidad disminuye 9 m/s cada segundo en esa posición.

@ Cuando t=0, un móvil parte de x = 0 con una rapidez v 0 y una aceleración definida por la relación: 5 a = -------------v -2 v 0 Donde a y v se expresan en m/s* y

Se pide determinar lo siguiente: //Dem ostrar que el móvil nunca alcanza los 100 m de recorrido.

N O TA : £/ articuló da movimiento rectilíneo ganar»! fuá realizado en baam at texto da ñatea universitaria da turto* UNI (JOSÉ MARTIN CASAOO-2CO&)

[ M W W P U K n n rip s s k

B 0 T ¿6

¿P o de m os e x p e r im e n t a r dos m ovimientos mecánicos sim ultáneos? Un cuerpo o sistema si puede estar sometido a la acción de dos m ovim ientos m ecánicos sim ultáneos pues; en algunas oportunidades lo hemos experimentado o apreciado. Por ejemplo, examinaremos ef caso siguiente:

En el gráfico, el hom bre corre hacia a ba jo p or una escalera m ecánica de rodillos cuyas gradas están subiendo.

E D IC IO N E S M l t l X O S }

í

La lancha inicia su m ovim iento en la orilla en A y cruza el ancho del río, debido a la velocidad que le imprime su m otor; pero en dicho proceso y de m odo simultáneo, el agua del río arrastra horizontalm ente a la nave y llega a la orilla opuesta en B. E n consecuencia, la lancha experim entó un m ovim iento en la dirección X y otro en la dirección Y ; entonces, realm ente fue de A = > B con V efectiva la n ch a ~

A partir de esta situación objetijT^jíbdemoe deducir y plantear: * £ / m o v im ien to m e c á n ic p d e u n o b jeto p u ed e^ ser e s tu d ia d o co m o l a f s u p e r p o s i c i ó ^ d e f d o s m o v i m i e n t o s s i m u l t á n e o s » . E s t^ é r ité 'r ío fu e a d v e rtid o p or G a lile o G a lile i cu á irfu oA n a lizó el m ovim iento parabólico de los pt$yÉ$tíÍes com o un m ovim iento com puesto. ¿C om o?^

E n to n ce s, la ra p id e z e fe c tiv a c o n la cu a l desciende realmente el hombre será

Exam inem os el lanzam iento horizontal de una canica con una rapidez v , desde cierta altura respecto de la superfide,terrestre. l

*■ Faire~~Q

V

m O tQ f

Vy=0

i.

'

Vyl

X é ír g

I

Otro ejemplo de dos movimientos simultáneos sucede cuando una lacha activada por su motor se desplaza por las aguas de un río en favor de la corriente. En este ceso, la tencha avanza debido al Impulso que origina su motor al expulsar con una bomba el agua hacia atrás con Vmoío,'> pero también colabora en ei avance de la lancha la corriente del río con v río’ de modo que la rapidez efectiva con la cual, realmente. avanza la lancha es : ^ efectiv a la n ch a ~ **m otor *** ^río

Si no funciona é l motor, entonces i;(fH>/or= 0 Sú' 3* :

.

= > V efectiv a la n ch a

^ rio

Efectivamente, analicembs otro caso en el que una lancha cruza el ancho de un río, cuyas aguas se mueven como indica el gráfico.

B

(Y )

efectiva r.

Vri
éfectiva

■fe «

(X )

v HORÍZO N TALM EN TE : su rapidez de lanzamiento v (—►) no varia. ¿Por que? porque no hay rozamiento ni fuerza del aíre que modifique su rapidez, además. v ( - > ) se conserva por inercia at no haber ninguna fuerza opositora, en consecuencia, la canica, horizontalmente, experimenta VER TIC ALM EN TE : su rapidez inicial v = 0 , pues no hay lanzamiento en ésta dirección; sin em bargo, en esta dirección la masa terrestre si atrae a la canica y le ocasiona ca m b io s de ve lo c id a d . E s d e cir, experim enta una aceleración denominada aceleración de la gravedad (g), de modo que cada 1s la rapidez de la canica varia en 10 m/s y por lo tanto, rea/iza un movimiento vertical de caída libre

(MVCL). En consecuencia, podemos enfocar el movimiento parábolíco de la canica lanzada como un movimiento compuesto por un

‘V m o t o r V rio

V m o to

Nótese que la canica.

MRU.

Como podemos apreciar en los casos anteriores, sí es posible que un objeto esté sometido a la superposición de 2 m ovim ientos sim ultáneos.

^ V r.

v \

MRU en la dirección x más un M VCL en el eje Y .

M ovim iento parabólico = M R U (x) + M V C L (x) de caida libre

•

3*¡v

M PCL : ax =0

; ay = g

[m ^m

I A L V f i í x o r u ^ t 2012)

O B J E T IV O S : * Describir matemáticamente el movimiento de una partícula en un sistema bidimensional. ♦Interpretación del principio de independencia de los movimientos.

IN TR O D U C C IÓ N : En el presente capítulo, abordaremos el estudio de un movimiento fascinante que se produce con mucha frecuencia en la naturaleza, el movimiento parabólico . En esta primera parte centraremos nuestra atención en el movimiento de los proyectiles, cuyas trayectoria presentan la belleza exquisita de una parábola. Ejemplos de trayectorias parabólicas son: el viaje de la bola de basket a la canasta, el de la bola de béisbol después del batazo, el de la pelota de fútbol después del saque de puerta, el del chorro de agua que sale de la manguera, el de la piedra lanzada por el niño que juega, o las rocas lanzadas mediante catapultas; el de una bala al abandonar el rifle o el cañón; el salto del delfín para atravesar un aro; la línea que siguen el cohete balístico, o la flecha despedida por un arco. % a

movimiento a situaciones en 2 y 3 dimensiones. Seguiremos usando las cantidades vectoriales desplazamiento, velocidad y aceleración pero ahora tendrá dos o tres componentes y no estarán todas en una misma línea. Veremos que muchos movimientos im portantes e interesantes ocurren en sólo 2 dimensiones, es decir, en un plano, y pueden describirse con dos coordenadas y dos componentes de velocidad y aceleración. Consideramos un movimiento bidimensional durante el cual la aceleración permanece constante. Es decir supóngase que la magnitud y la dirección de la aceleración permanecen invariables durante el movimiento. El movimiento bidimensional que tiene aceleración constante es equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones X y Y con aceleración constante ax y a r

Un p roy ectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego, sigue una trayectoria determinada totalm ente por los efectos de la a celera ción gravitacion al y la resisten cia del aire. Una bola golpeada, un balón lanzado un paquete soltado de un avión y una bala disparada por un rifle son proyectiles. El camino que sigue un proyectil es su trayectoria. Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado que representa al proyectil como una partícula y realizamos las siguientes suposiciones: ♦ El alcan ce es su ficien tem en te p eq u eñ o com o para d espreciar la cu rva tu ra d e la tierra.

* Cuando uno patea una pelota, ¿qué determina dónde cae?, ¿cómo describimos el movimiento de una bala de cañón o el vuelo de una ave? * No podemos contestar estas preguntas usando las técnicas de capítulos anteriores donde las partículas se movían sólo en línea recta. Tenemos que aceptar el hecho de que el mundo es tridimensional. Para entender el vuelo curvo de una pelota de fú tbol, la órbita de un satélite o la trayectoria de un proyectil, necesitamos extender nuestras descripciones del

♦ La a ltu ra es su ficien tem en te p eq u eñ a com o para d espreciar la variación de la gravedad c o n la a l t u r a . L a p a r t í c u l a t i e n e u n a a c e le r a c ió n d e la g r a v e d a d c o n s ta n te en m agnitud y dirección . (1 * ) ♦ L a v e lo c id a d i n i c i a l t i e n e u n v a lo r suficientem ente p eq u eñ o com o p a r a despreciar la resistencia d el aire. ( 2* )

Para un proyectil de largo alcance, tal como el mostrado en la figura, donde todos los vectores y señalan hada el centro de la tierra y varían con la altura. La trayectoria es en este caso, un arco de elipse, como se

[y iO

IlH IB V W

J •A R A B Ó U rO

D E C A ÍD A U B R E

969

estudiará más adelante. T . , . , , * , La trayectoria de un proyectil de largo alcance no es una parábola, sino un arco de e lip s e .

EDMCMONMCS KUttMÑOM

una velocidad constante, Juan es arrastrado por la corriente del río y su velocidad cambia. J

Trayectoria rectilínea

■

/

V j = Velocidad constáfite dé Juan Si ten em os en cu en ta la re siste n cia d el a ire, la trayectoria deja de ser parabólica, com o se m uestra en la figura y el alcance disminuye. y(m)

100

*

'

V , = Velocidad constante del río

V = velocidad de la resultante -pSh la que Juan cruza el río EJEM PLO^:

-

Si Juan 4¿j&a cruzaren forma perpendicular a la superficie con velocidad iraistante un rio que tiene una velocidad que cambia con aceleración constante, Juan nuevamente es arrastrado por el rio y su velocidad cambia.

Trayectoria parabólica en \ el vado

50

\ 1

100

\

200

A \

300

B

C

x(m)

E fe c to d e la r e s is te n c ia d e l a i r e en e l

T rayectoria p arabólica

m ovim ien to d e un p r o y e ctil.

La figura es una sim ulación por com putador de la trayectoria de una pelota con Vo= 5 0 m/s, a0=s3.i°, sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota.

(1 * / Esta aproxim ación es razonable siem pre que el intervalo de m ovim iento sea pequeño, com parado con el radio de la tierra (6,4 x lO 6 m ). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la tierra es p la ira S fl6 ;| a rg o^ iel in terv a lo del m ov im ien to considerado, n / (2 * ) P or lo gcTne^al, esta a p ro x im a ció n n o se justifica, en especial á^áltas velocidades. A dem ás, cualquier giro dado a ti^proyectil, lo que ocurre cuando un lanzador envía uná bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos m uy interesantes asociados con fuerzas aerodinámicas. Con estas suposiciones, encontram os que la curva que describe un proyectil (p a r tíc u la ), q u e lla m a rem o s su tr a y e c to ria , sie m p re e s u n a p a r á b o la .

EJEMPLO 1: Si Juan desea cru zar en form a perpendicular a la superficie con velocidad constante, un río que tiene

V j =Velocidad constante de Juan Vr = Velocidad del río que aumenta con una aceleración constante.

MOVIMIENTO COMPUESTO Es aquel m ovim iento que puede ser descrito com o la com posición o superposición de 2 o más m ovim ientos simples. En todo m ovim iento com puesto se deben tener en cuenta: / / A quellos m ovim ientos m ecánicos que dan com o resultado un m ovim ien to com pu esto, se les llam a m ovim ientos com ponentes. 77/ La velocidad resultante del m ovim iento compuesto es igu al a la sum a v e cto ria l d e ca d a u n a d e las velocidades com ponentes.

L l L V r f r x o i g p M 20t¿\

I I I ) La aceleración resultante es igual a la suma vectorial de cada una de las aceleraciones componentes. EJEMPLO:

Cuando una persona nada de una orilla hacia la otra de un río, lo hace con movimiento compuesto.

* También debemos indicar que la trayectoria descrita por el proyectil es una curva conocida como "parábola"; debido a ello, al movimiento del proyectil se le denomina "movimiento parabólico de caída libre" (M.P.C.L. ) .

* Ahora examinemos el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente desde un acantilado y de otro que se suelta del mismo nivel que el anterior. * Notamos que ambos cuerpos descienden recorriendo las mismas distancias verticales en los mismos intervalos de tiem po; esto porque siem pre se encuentran en el mismo nivel (misma altura). V

V *-

o - 0

^

A

PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS

. . . » •

i.

Este principio fue establecido por Galileo, el cual dice:

“Era todo m ovim iento compuesto, los movimientos componentes pueden ser analizado independientemente, uno del otro; existiendo como parámetro común a ambos; E L T IE M P O ” EJEMPLOS:

* Consideremos un avión que vuela horizontalmente manteniendo una velocidad constante y que en determinado instante, suelta un proyectil: t

t

___

d

d

%

aV

-

k

*

i

* Si consideramos que ambos proyectiles se encuentran en las cercanías de la superficie terrestre, experimentan la aceleración de la gravedad, cuyo valor permanece constante y es g = 9 ,8 m/s9, dirigida verticalmente hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). * De las observaciones planteadas en los párrafos anteriores, podemos concluir que: para un estudio más sencillo del movimiento parabólico de caída libre, se le puede considerar com o la com posición de dos movimientos simultáneos: * E N L A H O R I Z O N T A L : Como un movimiento rectilíneo uniforme (M.R. U .), en donde la velocidad en la horizontal se mantiene constante.

*

4

'4

-

♦_ b

* E N L A V E R T I C A L : Como un movimiento vertical de caída libre (M. V.CJ+ ), en donde la aceleración que experimenta el cuerpo, se mantiene (g).

*

* Notamos que el proyectil y el avión avanzan horizontalmente de la misma manera, es decir: recorren en la horizontal, distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. Por lo tanto: el piloto al observar al proyectil nota que éste se encuentra debajo de él y descendiendo. • De lo observado, podemos concluir que al despreciar Iob efectoB del aire sobre el proyectil , éste experimenta un movimiento de caída libre.

* Es decir:

* Eje “X ” : Se trata d e M R U d = V e *t

Im o u m m e n to p a r a b Oí m

o de

ubr

Í:

963

MCMPMCMOJVES KUBMJYOM

M O V IM IE N T O P A R A B O L IC O D E

* Eje “ Y " : Vertical de caída libre

C A ÍD A L IB R E (JIJP.CJL.)

* E N PARTICU LAR: Examinemos el movimiento de un proyectil que ha sido lanzado horizontalm ente con una velocidad de 4 m/s. (Desprecie efectos del aire y considere

g = 1 0 m l a is ^

is

4m/s

ls

4m¡8 4m!s 4m/s

NJ :

l 8 (\ io m / s

Vi

y ™

Es aquel m ovim iento cuya trayectoria es una curva llamada parábola en donde la aceleración es constante. Si un cuerpo se lanza en form a inclinada o se lanza en fo rm a h o r iz o n ta l y se m u ev e ce rca d e la tierra d esp recia n d o la resisten cia d e l j i i f e , realiza un m ovim iento parabólico de caídáHrare en donde su aceleración de la gravedad es ccmsrante. • El M U C .L . puede ser descrito com o u n moyjffliento com puesto por:

:

I) U n m ovim iento vertical de caída lib ra jjl

1?

*

i

l s ( |20m/8 Í

«

•

•

•

■

2 0 m l+ %%'• •

30m/a

•

1

0L

•

II) Un m ovim iento (MJI.U.).

W v * = 4 m /s m

m

•

rizoh tal a v e í

X&L . ) . constante

i

lA X Z A tn E X T O DE\ PROYECTILES

vy=30m/8 [N i V=Í302+42=2¡229

YA

'rio _

* F i n a l m e n t e analicemos cuando un bote es arrastrado p o r la c o r r ie n te d e un r ío , a d em á s el m otor imprime una velocidad p erp en d icu la r al movimiento del río.

Se cumple:

• t AC . „ = t CE vA= vg

B ,/ ' V á

“ V _

vB= y D

____________________ ' * k E ::ríw , v

Además: * Eje X ; (M JL U .):

dx=V.río xt * Eje Y; (M.RU . ) :

* La velocidad inicial es: Va = (V0Cos$; VoSen0) * La v e lo c id a d e n "C " s ó lo tie n e c o m p o n e n t e horizontal: Vc = VoCosO * P o r e l p r in c ip io d e in d e p e n d e n c ia , se pueden analizar com o:

V=Veloéidad, resultan te

. .............

O B S E R V A C lb .

— :»C*

1 H

D M R U + M R =M R U =M od. Parabólico II) M R U + I I I ) S i : V 0= a M RUV+ M RUV = M RUV VO :0 0 4

EJEMPLO:

I

V1 ,

U n proyectil ha sido lanzado con una velocidad de 5 0 m/s y form ando un ángulo de 37° con la horizontal. 51 despreciamos los efectos del aire y consideramos

H\ sL

T MOVIMIENTOPANABÓLICO

« L.

C.U

♦

O -* O -* 6 ~ JO m/a*, determ ine: M.N.U.

• El tiem po de vuelo.

[M ^ J r ^ J T ^ Z A • El alcance horizontal del proyectil.

Xétm O JO ;

R E S O L U C IÓ N :

* En primer lugar describamos el movimiento que experimenta el proyectil. Ig=10m!¿ Vy =¿L 40m¡a

10

20m!al 40m¡a K — 30nfK / ° mla fy ^ T

Í0/»/«|

. Si.

''sjiOmla /

20m la

40m

40m [s--------------------------

íf*+

>

.

•

LA ESCMn.oMiMA 2012]

¿ c u e c u a c io n e s v e c to r ia le s s im p lific a y red u ce e l n ú m ero d e e c u a c io n e s , c u a n d o e l p u n t o fin a l d e l m ov im ien to e s tá p o r d e b a jo d e l p u n t o in icia l, a d em á s r e c u e r d a q u e to d o v e c to r q u e e s tá d ir ig id o h a c ia a r r ib a s e r á p o s itiv o ( + ) , p e r o si e s tá h a c ia a b a jo , s e r á n e g a tiv o (-). ~ ')l* •Además:

ALTURA JLÍXIJIA (H ,LÍX)Z De: V ? = V * - 2 g H ,max

(su bid a )

' SOmji

_ V g S en z0

0 = ( V oS e n $ f - 2 g H max

* Examinando la proyección vertical del movimiento parabólico encontramos que: tvumU=6s y examinando la proyección horizontal del movimiento encontramos el alcance horizontal (d) del MJLU.x

2g

V ,

TIEMPO D E VUELO (T ): I '

De: V f= V 0 + g

(s u b id a + b a ja d a )

d = V x x r pttWo => d = 4 0 (6 )= 2 4 0 m

- V „ S e n 0 = V oS e n 0 + ( - g ) T

EN GEN ERAL (E cu a cio n es):

yy=0 V0cos$

V0 V0send\ / 0

ALCÁNCE HORIZONTAL (D ):

b60

V0cosd Entonces:

V0coéQ ví DW M EX= — cuando: S en 29= l =>20=9(1 => 0=45° g •• • •

. i

yo 8en 0

V = y ¡V / + V *

~

* 0 ..............- V %%

1) M O V IM IE N TO H O R IZ O N T A L (M JL U.) /< h ^— D = VJ2os0 t tiem p ó d * vuelo

U) M O V m iE N T Ó Q ^ R T IC A L (C A ID A L IB R E ) ^DBEcuaciones E acáláfS ^H r y 0= o ^ \ r x >-.......

vf =v0 ± gt

V /= V * ± 2gh

Dmáx • En un lanzamiento parabólico se comprueba que el m á x im o a lc a n c e h o r iz o n ta l se presenta cuando el ángulo de disparo es de 46°.

h=V0t ± 4 g t *

Ecuaciones VectoriáteS^M '

H

*

** é T

j

V f= V 0 ± g t h = V o t± ± g t* ¡S

41'-

v ; = v 2 ± 2g h

• A d em á s s i 2 c u e r p o s s o n la n z a d o s c o n ig u a l

jJ

r a p id e z , c o n in c lin a c io n e s te n d r á n e l m ism o a l c a n c e , si:

* ♦ * '] / \ 2 )

a+0=9O°

y * 0 ", en to n ces

EMPMCMONES H U fíiÑ O M

tM 0 ittjS E & )B ÍÜ U M N to J C O D E CAÍ0 ,1 U B R E

ECU ACIÓ N D E L A T R A Y E C T O R IA Yi

Vn^'

• VB = V .C o .0 • V = VoS e n 0

H = altura máxima L = alcance máximo NOTAS : * Podemos determ inar 6 si con ocem os la relación entre A, o y

6.

l) HORJZONTAIMENTE (MJLU.) *= y ,* A m 11) VER TICALMENTE En “ A ” la velocidad inicial vertical es nula (Vy0= 0)

£>££ G R ítP l El descenso originado

atracción de la tierra es:

TIRO PARABÓLICO A PARTIR DE UN PLANO INCLINADO E n esta situación se sugiere t r a b a ja r e n d ir e c c io n e s paralelas y perpendiculares al p la n o in c lin a d o , a d em á s * u tiliza r el án gu lo del plano in c lin a d o (a ) para descom poner la aceleración de la gravedad.

= > D .V ¿ -V ,t + l g t ,

En gen era l:

RESOLUCIÓN:

I A E s c u J W E D V k 2012}

2G 3

-.2

l ) r = r _ + V nt + —á t 2 ó d - V Dt + o ° 2

2

V f2 =V 02 + 2 á ■d

EJEM PLO 1 :

•

U n estudiante para m edir la altura de un árbol, lanza una pelota desde una distancia horizontal de 42 m m ediante un aparato desde el suelo con un ángulo de e le v a ció n de 53°. S i él c o n s ta ta q u e el tie m p o transcurrido entre el disparo y la llegada de la piedra a la punta del árbol es de 3 s. ¿Cuál es la altura (en m etros) del árbol? (Asum ir g = 1 0 ntls9 y tg 53°=4f3)

* L u ego e l a lc a n c e s e r á :

* L u ego la a ltu r a r e s p e c to a l p l a n o in clin a d o ,

A) 7 B) 9 R E S O L U C IÓ N :

C) 11

D ) 9,6

E) 15

♦ Grafícando, descom poniendo la velocidad inicial:

a=(0;-10)ml8~

sera:

( a=g=10mfs2

♦Donde “ t ” es el tiem po de vuelo com pleto.

H

R A D I O D E C U R V A T U R A (p ) Para cualquier m ovim iento en trayectoria curva.

P" a N —a Cp •

42m

V2 — O

i

'« A \ u o.

w ~ * r9 — 1 - 7

/ *

V2 * e

As

4V\ A Í = 5V 1/53° 3V

P A R A E L C A S O D E M J * .C J L ¿ V elocid a d in s ta n tá n e a en UB "

* Ahora aplicam os: d = V l t + - á t 2 ° 2 ♦E ntonces: (4 2 ;H )= (3 V ; 4 V ) 3 + - ( 0 ; - 1 0 ) 3 2

-+ (42 ; II) = (9V ; 1 2 V - 45) ♦ Finalm ente igualando com ponentes:

4 2 = 9 V y II= 1 2 V - 4 5 - > H = 12 R a d io d e c u r v a tu r a en “ B " V=

14 d

i

14

45

II= llm R P T A :“ C ”

EJEM PLO 2 :

M O V IM IE N T O E N D O S Ó M A S D IM E N S IO N E S Las ecuaciones para estos tipos de m ovim iento con a celera ción c o n s ta n te , será n las m ism a q u e las ecuaciones vectoriales anteriores, pero el vector estará ubicado en m ás de una dimensión.

A partir del gráfico mostrado. Determ ine el ángulo " o '* de lanzam iento del cuerpo “B ” , si este impacta en el lugar de lanzam iento de “A ” .

Ih OVMIEYTO PARABÓLICO DE C+\ílh\ LIBRE 1 8 5 } g f l » A) 2 T B) 3 T C )8 1 D) 18° E) 38 ° R E S O L U C IÓ N : Cabe acordar que el lanzam iento de un cuerpo con la m ism a ra p id e z b a jo á n g u lo s c o m p le m e n t a r io s determ ina el m ism o alcance h orizon tal sobre una superficie horizontal.

Como las partículas A y B son lanzados con la misma rapidez y com o logran el m ism o alcance entonces sus á n g u lo s d e b e n s e r c o m p le m e n t a r io s p o r lo que: a+63°=90p => a=2T

E M C M O X E S K V f íiÑ O M A ) 90 ¿4-180j

B ) 120 i+ 1 6 0 )

C ) 160i+12Qr

D ) 180¿+I2Qj

E ) 180 ¡ + 9Q¡

B & r S :V=0

RESOLUCIÓN i

Y

Encontramos el tiempo t a partir dél mo\1miep^jSr§TOlÍcot en su trayecto vertical, donde VIS _ 4 0 - 0

Su

RPTA : " A ”

Tanto el proyectil A co m o B axperinjj^an la misma aceleración

EJEM PLO 3 :

g t por lo que

Se lanzan dos proyectiles desde u n m ism o punto y con el mismo ángulo respecto de la horizontal. Si uno de los rangos es 80% m ayor que el otro, halle el cociente e n tre las a ltu r a s m á x im a s a lc a n z a d a s p o r lo s proyectiles.

gAB= g - í / A C om o n o experimentan aceleración uno respecto al otro podrigorios considerar co m o si el movimiento es a velocidad constante pc^ío que.

A) 1,3 B) 1,5 R E S O L U C IÓ N :

C) 1,8

D) 2,1

la aceleración >*elaüva uno respecto al otro es

r = Vt => r='(30i + 4 0 j)(4 ) => r = (120Í +160j)m RPTA i “ R "

E) 2,3

£

PROBLEM A 1:

B

Se m u estra n las tr a y e cto ria s d e s c r ita s p o r d os partículas A y B , n atu ralm en te al ser lanzado la partícula B con m ayor rapidez la longitud de tiro (eB) será mucho m ayor que A . Del problema no‘3 dicen que la longitud de tiro de B es 80% m ayor que A , enfdpcee: eB = e A + 80% eA = 2,5 •A

U n m uchacho apunta con su escopeta directam ente a un coco que cuelga de un árbol. En el instante que sale el disparo, el coco se desprende del árbol y cae. Considerando que el proyectil sale a 75 m/s, que el m uchacho esta a 9 m de la vertical que pasa por el coco y que este está a 12 m del suelo, determ inar la distancia en cm q u e cae el coco hasta ser impactado por la bala. (g = 1 0 m/ss)

A) 10

B) 15

C )2 0

D) 25

E) 30

R E S O L U C IÓ N : * La dirección del disparo se obtiene ubicando la visual del m uchacho directam ente hacia la posición del coco.

Cabe recordar: tga -

4H.

4H b

«4

«B

A-

B

HA _ *4

HB *>8 e A

H

± = 1,8

-*

fíA

RPTA: "C ”

12m

EJEM PLO 4 : Se lanza un proyectil A desde el origen de coordenadas con velocidad (8(H +40j)m /9, en el m ism o instante, d esd e cierta posición, se suelta un proyectil B, si am bos se encuentran Justo en el instante en que el proyectil A alcanza su máxima altura, encuentra la posición Inicial (en m ) del proyectil fi.

d=9m

* Analizando el m ovim iento horizontal del proyectil: 1 9 = 75C os53°t -► * = - * d = Vt 5

270 0 Luego la caída libre del coco: H = y ¿ t+ I Í - -> 1 1 = —

(lL=¿m

inclinado que hace un ángulo de 30° con la horizontal. El alcance “ P Q ” es igual a: a

(Considere g~10 m/s ) -> H=—(100 cm)=20 cm

RPTA : “ C ”

A ) 120 B) 960 C) 480 D) 540

PROBLEMA 2 : Desde la parte superior de una torre de 5 m d e a lt u r a , se la n z a horizontalmente una billa y cae al suelo en un punto situado a una distancia de 5 m . Del borde de la torre. Calcule T g $ donde " q ” es el ángulo que form a la velocidad de la b illa con la h o r iz o n ta l e n el instante en que ésta llega al suelo. (g= 10 m ls*)

A)0,5

B) 0 ,3 C)2

* G r a fic a n d o e l m o v im ie n t o semiparabólico: Inicialmente ¡a velocidad inicial vertical es nula VH

1

2

IDVERDADERO:

* D e s co m p o n ie n d o la v e lo cid a d inicial (V J , considerando:

La velocidad siempre es tangsnts a la trayectoria y en el punto más alto dsl movimiento parabólico debe ser horizontal ya que el móvil continúa con su movimiento hacia delante. La componente vertical de le velocidad es nula en el punto más alto, de lo contrario, él móvil seguiría subiendo. Entonces, en el punto más sito le velocidad es perpendicular a la aceleración da la

45'f3ml

y luego: ..

4 '

gravedad que en todo instante es vertical.

* En la horizontal (M .R.U .):

d = V Ht ^ l ^ Í 3 = 4 B t ^ t = k ^ 45 0 F in a lm en te en el m ov im ien to vertical:

* Se p id e : P Q =2L =2(270)=540 m R P T A :“D ” j PROBLEM A 4: Un objeto se lanza desde el piso tal -r Cómo se m u estra , co n sid e ra n d o despreciable la resistencia del aire, t= l entonces:

>■" Jt»

Además:

vr= v4 t m

V i = 0 + 1 0 ( lf c l0 f ñ t 8 * Luego en la horfíontal (M .R U .):

5 = V n ( l ) => VB = 5 mis

Todo cuerpo en movimiento, sujeto a la aceleración de la gravedad, siendo despreciable toda otra influencia externa tal como la resistencia dei aire al movimiento, se dice que desarrolla un movimiento de celda libre. Existen muchas trayectorias para el movimiento de caida libre. Una de elles es

RESOL UCIÓN:

* Al resol v e r = 2 7 0 m

Entonces (M .VCJL ) :

DVERDADERO:

la parábola.

D )3

RESOLUCIÓN:

I A EXC/if'Jf.o rtcn iA 20l¿\ RESOLUCION:

I ) D e s c r ib e parabólico.

un

m o v im ie n t o

U ) Cuando está en “ C ” (punto más alto) la aceleración y velocidad son perpendiculares.

UDVERDADERO: V La componente horizontal de la velocidad

es constante en el movimiento parabólico ya que en esta recta no hay aceleración. Entonces la proyección horizontal del movimiento experimenta un M.R.U., en forma simultánea con el movimiento parabólico.

N o ta m o s q u e d e A h asta C , la p r o y e c c ió n a v a n za e l d o b le d e d is t a n c ia q u e de D h a s ta E f entonces:

RPTA : “ E 99 PROBLEM A 5: Una pelota es lanzada con velocidad inicial VD, haciendo un ángulo " a ” con la horizontal com o se indica en la figura. El tiem po que tarda la pelota en ir del punto **A ” al punto 44C " e s:. (sin con sid erar la fricción del aire). YA

B

£« % I

TU) t AC = 2 tDB (t: tiempo)

* Se pide: T g 0 = ^ - = — = 2 Vy 5

a Igual a l tiem po entre O y A . B) La m itad del tiem po entre OyB* C) Igual a l tiem po entre B y IX D) La m itad del tiem po entre B y l X B)(2VJSena)fg

A )

RPTA : “ C ” PROBLEMA 3: Se lanza un proyectil con velocidad in icia] V = 9 0 m/s y á n g u lo de elevación de 60° contra un plano

A) VPF D )F W

RESOL UCIÓN: 0 A nalizando la gráfica:

B S iy >

\9WJP’J C J L * S e a p r e cia q u e la v e lo c id a d horizontal es constante; luego para espacios iguales lo hará en tiem pos iguales.

Vz

c_ V,

* vA

/

:

v" i VJ \

Y : o r — i I I ' a '

¡

¡

a . vh M b— I I ' a J

I a ' a

*AC-*BD

*OA - *AB *~^BC - *CD

RPTA: "C ”

P R O B L E M A 6: Se dispara un proyectil con una

* En (II) _> tBD=2%Í2 a

B)20%Í2

D)40y¡2

E)50y[2

PROBLEMA 7:

V / = O2+ 2(9,8) (1000)

U na piedra es lanzada co n una inclinación de 60° y una velocidad inicial de 40 mis. ¿Al cabo de qué tiem po se encontrará en un plano horizontal que contiene al punto de lanzam iento?

Vj=140

A) 7,61 a B) 6,71 s D) 7,06 a E) 6,81 8 RESOL UCIÓN:

* Colocando las com ponentes de la velocidad inicial: 20m/8 .

.

g = 9 ,8 m la 3

♦ A n a liz a n d o la p r o y e c c ió n horizontal del tra m q B D :

d^V Jgo z*d=(20)tBÚ............. ~.(1) * Donde: t BD= 2 t BC................... (II) ♦ P ara d e t e r m in a r e l t BC es necesario determ inar la VyB; para e llo , a n a lic e m o s la p r o y e c c ió n vertical en el tram o AB.

* Con esto, el

V?B=20*-2(10)(10)

lt

K

g

10

* L u ego la velocidad de llegada, será: ,--------V =J1402t i K r =166,4

A : “B ” P

R

O

B u

U n proy&ctil eslanzado^dS^Jjxito “A" cpgoo se m uestra e^jgBjigura. El nfóáulo de su veJqtfflacTmicial es V ¿ i* i0 m/a. tiem po en segundos que i j p f l l proyectil en llegar al piu^gtB.

g = 1 0 mía1)

Vn = 2 ¿(3 m la

A )J á + i

B )\¡3+2 ♦ En lo vertical (M .V .C L .):

C)j3-1 D )2 j3 + 1 RESOL. UCION:

♦ Al despejar: t = 7 ,0 6 a

h on\

V y B = 1 0 s Í2 m

C) 6,17 a

=> -20'/ 3= 20yÍ3+ ( - 9 ,8 )t

* Es necesario considerar que el proyectil experim enta un M P .C .L . tal com o se muestra en el gráfico: i}=0 c v.

y /i ,= v !,-a g h

* En lo vertical (M .V .C L .):

030^2

RESOL UCIÓN:

R tJB M N O Sl

RPTA : “ D ”

v e lo cid a d in ic ia l d e 2 0 ^ 2 m/a,

i*) A) 10y[2

E D IC IO N E S

* Finalm ente, en (I): d = 4 0 °j2 m

.

inclinada 45° con re sp ecto a la horizontal. El proyectil pasa por dos puntos situados a una misma altura de 10 m , sep a ra d os una cierta distancia d . Calcular, en metros , esta distancia, ( g —10 m !

BBH

♦Considerando las com ponentes de B r • +* * #

RPTA : “D ” PROBLEMA 8: Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90 m/a deja caer una piedra desde una altura de 100 m . ¿C on qué velocidad (aproxim ada) lle g a la p ie d r a a t ie r r a s i se desprecia el efecto del rozam iento del aire? A /140 m/a B)166,4 m/a C)230 m/a D)256,4 m/a E)345,6 m/a RESOLUCIÓN: ♦ Graficando: 90m/a Vw =90m/a

^

L h

V„=5 * En lo horizontal (M.R.U.) :

d = V „ t -> L = 5t ..................

(I)

En lo vertical (M.V.CJL):

-> L = 5 y f3 t+ -(-1 0 )i2 2

(B )

♦ De (I) y (I I ):

5t = 5yf3t-5t2 -> t= (4 S -l)a lOOOm

RPTA : “ C ” PROBLEMA ÍO: Respecto a la figura mostrada, en la cu a l la d ir e c c ió n d e l ca m p o g r a v it a t o r io g se r e p r e s e n ta

TB H mediante líneas punteadas.

L1 EiVCMrj.ortcoiA 201Í]

mueva sobre la superficie hacia la izquierda. -> No habrá reposo. La proposición es FALSA (F ).

La proposición es VERDADERA

y /g = c te .

U ) En 6, el cuerpo que se lanza efectúa un movimiento parabólico. IH ) En c, el cuerpo que se lanza regresa al mismo punto. TV) En d y el cuerpo que se lanza regresa al mismo punto. a; v f v f B) f v f v o fvff D) W F V

E) V W F

/

(aceleración de la gravedad g ) están a lo largo de las líneas punteadas hacia abajo, tal como lo mostramos: á0 g

.■

'/

K4 4

é4

0

0

/

0 0

*

4

4

4

.*

t

0

4

4 4

*

0

0

/

//

4

4 4

0I

0 J

7f

4

4

4

/

0

/

,

Nm

un cam po g m v itétp fio hom ogéneo

4 4

Ahora, para cada uno de los casos que plantean, saáielf^jÉ* D >■' *

y

.*• '

Como no so mencionan efectos del aire (resistencia) se entiende que ee deben omitir, entonces en ceda uno de loe casos en que la esfera se mueva fuera de la

«’ T5- 1J*;»

De la teoría en cinemática sabemos que, si la velocidad de un cuerpo no es paralela ( ) ( ) a su aceleración, el m ovimiento es con trayectoria curvilínea. Para el caso dado y ()0 por lo tanto; la esfera empieza á describir un movimiento parabólico de caída libre (M .R C J L )i La proposición es VERDADERA (V). UU trayectoria x ^ ivectoria J Nx

‘ X 0

4

#

/

y

0 *

ir0

En este caso, la esfera también describe un M J i C J L y según el lanzamiento dado, su trayectoria es aproxim adam ente com o en el gráfico anterior. Del gráfico se deduce que la esfera no regresa al lugar de lanzamiento. La proposición es FALSA (F).

x'

w y y ¿ ‘ S

-=*■ Ello permitirá que la esfera se

Z

s

j c

superf¡cfe*estará en calda libre. . . . %.

t

V*

R P T A : "AJ"

P R O B L E M A 11: Sobre un techo de un tren, que se mueve en línea recta horizontal y a velocidad constante, está parado un pasajero. El pasajero deja caer una piedra desde lo alto de su mano. ¿Cuál es la trayectoria de la piedra visto por este pasajero? (despreciando la fricción del aire). A) H o r iz o n ta l o p u esta a l m ovim iento d el tren . B) V ertical h acia abqjo, C) H orizon ta l en la dirección del m ovim iento d el tren . D) D escribe u n a curva opuesta al m ovim iento d el tren . E) D escrib e u n a cu rva h a cia el m ovim iento d el tren, R E S O L U C IÓ N :

* Cuando el pasajero deja caer la piedra en ese instante la velocidad de la piedra (por inercia) es la misma del tren. Como el pasajero también lleva la velocidad del tren, no notará el desplazamiento horizontal (que una persona desde tierra, si lo ve); por tanto: Vtnm

7 * s

la componente horizontal de la ~F^ , no tiene con qué equilibrarse.

,v / /* S * g Bp{e. s /

* \v •»?'

V*

IV )

A partir de la figura, se aprecia que

(V). OBSERVACIÓN:

R E S O L U C IÓ N :

* Según el gráfico, podemos afirmar que la fuerza de atracción gravitatoria (fuerza de gravedad F q ) y la aceleración que origina

-> Del gráfico la esfera retoma al lugar de lanzamiento.

tra yectoria

®

Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V ) o falsas (F ) . Las alternativas presentan respuestas en el mismo orden que las afirmaciones. I) En a,el cuerpo que se deja sobre la superficie lisa permanece en reposo.

en línea recta y la trayectoria de la esfera será aproximadamente tal como en el gráfico anterior.

%

g^ctc.y

En este caso, la velocidad de lanzam iento es paralela a la aceleración (V H g )\ e8to determinará que el movimiento sea

I I t f t I

tren

♦ Solamente observará desplazarse a la piedra, en caída vertical hacia abajo. RPTA : “B ”

E D ÍC J O X E S R IJ B M O &

979

PRO BLEM A 12: 5Qmls

U n proyectil es lanzado desde el punto “ A " con una velocidad inicial

A .A s3° ,V

Va= (2 Í + 3 j ) mis • D eterm inar el ángulo que form an los vectores de^, 21 la velocidad y de la aceleración en el punto “ B " de ch oq u e con la A)Jgh B )4 g ¿ C )j2 g h pared. (g=10 m/s9) D )j2 g 7 E) 2 f g ¿ A ) 30° R E S O L U C IÓ N : B)6V> Vfí * Luego de lanzar al disco y al ser «3 C )T g a fe c t a d o p o r ta l a t r a c c ió n ■3 gravitacional, el disco describe un D) 45° m o v im ie n t o p a r a b ó lic o con E) T g 'H -2 ) 0,4m aceleración a . * C om o nos piden V, exam inam os R E S O L U C IÓ N : el m ovim iento: * * En lo horizontal (M ,R . U>):

i /

d=VHt

A) l a B) 2 a C) 3 a D) 4 a E) 6 a R E S O L U C IÓ N : -A

Vj~4Qm¡9S* ’

SOmln

* N oá p id e n exa& iíiem os la pr $

* A h ora pa exam m

rm in ar posición en “ B .

=> 0 ,4 = 2 x t

> t= 0 ¿ * Pero en la proyección horizontal se observa un MJLU.

% | ( v w=2m/a

-* VxA=V sB=50m /# -+ Vyn^SOmis^OS)

* Sobre el eje X: ¿ c p - V * *

3m¡8

OT 2L = V x t - > V = — ............. 0,4m

* Ahora en lo vertical (M .V .C L,) Cálculo de “ V / ' De: vr *v„+gt -► Vj=3 -1 0 x 0 ,2 -> V j= l m !i

* Finalmente:

V vH

1 ; pero ¿

se pide Tg(9
T¿‘(r2)

* Sobre el eje Y:

dac =VYt + —ot2 2i * L = 0 + jig o * * * Adem ás en el ¿&BED:

Coaú=Ijr .................................. (III)

velocidad inicial V cuya dirección es paralela al borde A B del plano. Si el disco pasa por el punto D , el módulo de la velocidad inicial está dado por:

Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 10 m/s perpendicular a una h ile r a de 8 p a re d e s equidistantes com o se m uestra en la fig u r a . La s e p a r a c ió n e n tre p a re d e s es d e i m . E n tr e q u é paredes cae dicho proyectil al suelo? (Considere g —10 m/s9)

* Reem plazando (U I) y (II) en (I ) :

Atiguht pedido

^ yR P T A : “E " PROBLEM A 13: La fig u r a m u e s t r á f u n p la n o inclinado liso A B C D 3 é longitud / , ancho 2 1 y altura h . U n disco pequeño colocado sobre el plano es lanzado desde el punto A con una

(1)

* Reem plazando (11) en (I): 30 = 40 - 1 0 t - > t = l RPTA : UA ” PROBLEM A 15:

V=

2L 2L g

V = j2 g h

(!) R P T A : (,C 99

P R O B L E M A 14: U na p eq u eñ a esfera es lanzada desde “A " e im p a cta perp en d icu larm en te en la pared inclinada. Calcular el tiem po que emplea desde su lanzam iento hasta que ocurre el impacto. (g=10 m/s9)

A) E ntre la tercera y cuarta pared B) Entre la segunda y tercera pared C) M ás allá de la octava pared D) Antes de la prim era pared B) Entre la quinta y sexta pared

R E S O L U C IÓ N : * D e s co m p o n ie n d o la v elocid a d inicial y com o las partes superiores de las paredes están en línea recta, n u e s t r o a n á lis is se h a rá en la

tiesa 279

ÜFWÍSWÍJAl intersección entre dicha línea y la parábola descrita.

* Reem plazando en (I): 2(40)

10

• En lo horizontal (M JL U.)

**

De: L = V H x t

L=5t

— y *' 1 i

(I) i

5 y¡3m¡8^i

'

/

y

J & Z - - - L ..........¿ 4* 5m!a En lo vertical (M.V.C.L.)

L=6>Í8+-(-10)t* 2

=

88

R P T A : “ C p$

PROBLEMA 17: Un proyectil se lanza de tres formas diferentes obteniéndose trayectorias tal com o se m uestran en la figura. ¿Cuáles son las afirm aciones falsas (F ) y v e r d a d e r a s (V ) e n los siguientes enunciados (en el mismo orden)?

I) Todos tienen el mismo tiempo de vuelo. II) La com ponente vertical de la velocidad de (a ) es la mayor.

* (I) en (II) y resolviendo: t = (y¡3 - 1)8 -*■ t= 0 ,7 3 s * En (I): L = 5 t = 5 x 0 ,7 3 = 3 ,6 5 m RPTA : “A ” PROBLEMA 16: Determine el tiem po de vuelo del proyectil. Si el gráfico m uestra su posición luego de 6 s de haber sido disparado, ( g - 1 0 m is * y 0 =37°)

i*

III) La componente horizontal de la velocidad de (c) es la mayor. IV ) La velocidad inicial de (a ) es mayor que la de (b ) y está mayor que la de (c). Y

A) FVFV B) FVFF C)FFVF D) VFFV E) VFVF RESOL UCIÓN:

25m/s * • *

U E N C IfT .om D L t 2012}

« * # •

r

'

*

-

^

A) 68 B) 78 C)89 D) 9 s E)10$ RESOLUCIÓN: * Graficando:

I) Cuándo las partículas alcanzan la mism a altura m áxim a entonces su tiem po de vuelo es el mismo. (V E R D A D E R A ) II) Para q u e a lcan cen la m ism a altu ra m áxim a , es p orq u e sus com ponentes verticales son iguales.

RPTA : UE ” PROBLEMA 18: In d ica r cu a les de las siguien tes p ro p o sicio n e s Gon co rrecta s con r e s p e c t o a l m o v im ie n t o de proyectiles: / / L a alttfra m áxim a se p rod u ce cuando la velocidad en el eje vertical es máximo? 4

I I ) L a V e lo cid a d en el e je X es constante. * , . .

i

III) La velocidad tiene la m ism a m agnitud para dos instantes tt y t g en el que el proyectil se encuentra a la m ism a altura. A) Sólo I B) Sólo I I C )S ó lo III D) I y II E) II y III RESOLUCIÓN: I) F A L S A : y a q u e u n p r o y e c til alcanza su altura máxima, cuando la velocidad en el eje vertical es nula. I I ) V E R D A D E R A : p o r q u e la aceleración en el eje X , es nula. III) V E R D A D E R A : ya que a una m is m a a lt u r a , e n 2 in s ta n te s d iferen tes el p royectil tendrá la m ism a rapidez.

(FALSA) 20mtt Trrrr^rrr 7 1

k

H

M

* N os piden el cu al es el tiempo de vueicFy.dél m ovim iento parabólico sabemos:

*

-

M C“

...(tiem po de subida)

°y

w

g * C á lc u lo d e “ V 0y” : p a r a e llo analicemos la proyección vertical. Por dato del problem a ¿¿#=68 = ^8 * Luego:

VM =Vo,-g*AM 0 =Voy- 10(4) -> v oy= 4 0 mía

III) Hay m ayor alcance horizontal cuando la com ponente horizontal de su velocidad es mayor. (V E R D A D E R A )

= | v * l= K + v ;

du = Vn a xt IV ) Todas tienen igual com ponente vertical de sus velocidades, pero " c " tiene m ayor com ponente horizontal y por tanto la velocidad inicial de “ c ” es m ayor que las otras. (FALSA) > Vn >V „ (al inicio

RPTA : “ E ” PROBLEMA 19: S e g ú n e l g r á fic o m o s tr a d o , determ ine el ángulo de inclinación “ O*9 p a r a e l la n z a m ie n t o d e l proyectil. (Considere despreciable la resistencia que ofrece el aire).

E D IC IO N E S

ds. paralela al plano inclinado igual a

3 0 m ¡»

T

SOm/s

gj=gS en30°=10 x ^ = 5 m/a2

H m áx.

J_____

0 Luego, el valor de O A = R será:

A) 15° B) 37° C) 63a D) 30° E) 8o R E S O L U C IÓ N : 5 0 m /$ ,.--‘ Wr

yy\ h* f

40m/a A) 5 m

5

«■..

'v

\

horizontalm ente con una rapidez de 40 m/a llegando al piso luego de 2 s, en ese instante a que distancia d e l v e h íc u lo se e n c u e n tr a . D eterm ine la distancia en que se encuentran. (g = 1 0 m/a2)

•••"A lc a n c e H o r iz o n ta l"

R _ (2 0 )sS e n ( 2 x 6 0 V =4Q

- ? 30ml$

R IJ B IN O &

H im ir.

RPTA : “ E ” 20mla

PR O BLEM A 21:

I * N os piden " 0 ,f y d el g r á fic o observamos que: V C osO = ^ (I) 50 0 Adem ás; p or d ato: n os dan la rapidez que tiene el cuerpo cuando alcanza su altura m áxim a, la cual debe ser la com ponente horizontal ya que ésta se m antiene constante.

La figura muestra un m otociclista q u e sa lta d e sd e A a te r r iz a n d o suavem ente en B , de tal m odo que su v e lo c id a d sea ta n g e n te a la rampa en B . determ inar la rapidez VA (en m/a) necesaria para efectuar dicho salto.

-> Vx=30m/s ............................... (U )

* Reemplazando (II) en ( / ) : O

9 /1

CoaO=— -* C o s O = --> 0=53° 50 5 RPTA : “ C 99 PROBLEM A 20: Un niño lanza una bola sobre una pista inclinada sin rozam iento con una rapidez de 2 0 m/s y un ángulo de 60°, tal com o se m uestra en la figura adjunta. Hallar la distancia

OA
34,64m A) 10 B) 15 C )2 0 R E S O L U C IÓ N :

0 N os piden la dtfftancia que separa al objeto del auto en el instante en que el objeto impacta en el piso, o H A 99 sea a *

D) 25 E) 30 P a rá b ola

* Del gráfico:

* Pero tam bién: d AB= d x - 65 -> d = d aut- ( d , - 65) — x= 3 4 ,6 4 m —‘

0 Si el m otociclista in gresa a la rampa en B , tal que su velocidad es ta n g e n te a e lla , e n to n c e s d eb e cumplirse:

B) 40y¡3 C )8 0

d = d aulo - d r + 65 * Y d e l M .R .U . y m o v im ie n to parabólico tenem os:

d = Vaulot - V xt +65 d = lOt - 40t + 65,

VAlcance H orizontal

0 ----------------------------------- A

R E S O L U C IÓ N :

*g Sen 20 0 Reem plazando valores: ( 34 .64(10) S en (2 x 3 0 °) 1 Sen

¡84.84(10)^s20m/8 '3/2

RPTA : “ C ”

%s20m/«

(I)

99

O)20yÍ3 E) 40

t4~ d aut0 <1\b

* C á lc u lo d e p a ra e llo , observam os que el objeto desciende v e rtica lm e n te 2 0 m en los “ V* segundos.

2 0 = 0 + —(10)t t= 2 a 2 0 Reem plazando (II) en (I):

(II)

d = 1 0 (2 )-4 0 (2 ) + 6 5 - > d = 5 m

(>•60*

PROBLEMA 22: II

0 L#a aceleración de la gravedad t,g=10m/s2” tiene una componente

Si el vehículo pequeño describe un M.R. U. y en el instante en que pasa p o r “ A ’ \ s e la n z a u n o b je t o

R PT A ; “A ” PROBLEMA 23: Determine la altura h si la persona “A ” y “ B ” , lanzan simultáneamente

m S J x r e |B

L1

esc h jw vm

A 2012}

las dos esferas según com o indica el gráfico si se observa que dichas esferas im pactanenP . (g=10m ¡8*).

h = 2 0 ( 7 ) - 5(7)2 ►h = 105 m RPTA: "B " PROBLEM A 24:

m is m a r a p id e z . D e t e r m in e la m e n o r d is t a n c ia q u e lo g ra n acercarse. Considere g^lO m /a1

Despreciar el efecto del aire.

U n proyectil es lanzado desde el punto “ Q 99 y pasa por los puntos #A ’ ' y “ B ” . determ ine (e n m is )las com ponentes horizontal y vertical d e la v e lo c id a d in ic ia l d e la partícula.

A )d B)2d

20m¡8[

'• i t

.

Vi /

C )d 43 D )l,5 d E)0,8d

y c*:

:-------------2d

R E S O L U C IÓ N :

V=V, 75°

•■I I ;y

A) 100 m B) 105 m D) 125 m E) 130 m R E S O L U C IÓ N :

C) 120 m

A)( - 2; 1)

* Nos piden: h * Despreciando la resistencia del aire las esferas experim entan un

B )3(45;-l) C )7 (j3 ;2 & )

R E S O L U C IÓ N :

M .V.CA.

•

SOmfa

p

V¡

»

-

■

•

*

i

• *. %

i

•

’3m

• 3m 1

•

0m¡8

*

2m\

lm

1

3erCKa

wi '2d ------------ 1

* R especto al observador (1 ) los p r o y e c t ile s "A " y “B” e x p e r im e n t a n m o v im ie n t o p a r a b ó lic o a fe c t a d o s e n to d o in s t a n t e a la a c e le r a c ió n de gravedad (g ). Pero respecto a un observador ubicado en el proyectil “ B ” dicho proyectil n o se m ueve y el proyectil " A ” se encuentra en m o v im ie n to re ctilín e o u n iform e (porque la aceleración relativa de “A ” respecto a " B ” es nulo) com o se indica.

i

% * La eaiación de la trayectoria en ^ m o v im ie n t o parabólico será: 5m_‘* • i^ T o lh a n d o c o m o o r ig e n de Coordenadas el punto de partida)

T rayectoria d e la p a rtícu la “A ” respecto a l observador ubicado en *BW ^

. 1. ^

V.

7 r \vr,

* Se tie n e q u e e l tLeíppo^t}ue im pactar emplean las esferas en el mismo. * M óv il " 5 9 M .V.CL. será

---------* Si: g = 1 0 m ía*

* Para x = 2 m -»• y = 3 m t luego:

a c ió n d e l

h = V J + í g t s U h = 2 0 t -5 t * ...(I )

.

Vh

2

(I)

Vh

* Para * = 3 m - * y = 3 m , l u e g o :

* La m ín im a d is t a n c ia es la p e r p e n d ic u la r d e (B ) a la

J t trayectoria luego del

d mÍH= 2 d S en 3 (T -+ d mlH= d RPTA : " A ”

TMóvil “ 2 ” la ecuación del M.V.CL. será:

(II)

* De (I) y (II), se obtendrá: V „~ fw

A V ¡= | v /I Ó

R P T A : UD ”

-> 35 = 30t - 5t* -> t3 - 6 1 - 7 = 0 * Resolviendo t - 7 a

PROBLEM A 25:

• E n (I):

D os proyectiles son lanzados con la

PRO BLEM A 26: L o s p r o y e c t ile s se d is p a r a n sim ultáneam ente desde “A ° y UB ” con velocidades: VoA= (^ )0 Í + 4 0 j)m fe y V0B=(lOÍ+4Oj)m/M

H allar el ángulo que form an s u b vectores velocidad, al m om ento del im pacto.

\ P r j* .c J L .

E D IC IO N E S RUBM NOSl 16V 2 50g _3_ V =15 m/s 8V 16 V+7 (! 5g RPTA: “ C” PROBLEMA 28:

que se desplaza con una rapidez constante de 7 m/s.

'g=10m /&

^

C a lc u la r la lanzam iento, si ingresar por e el muro.

200m A) 120P B) 108,6° D) 90° E) 130° RESOL UCIÓN:

C) 116,5°

♦ Se aprecia que en la vertical sus velocidades iniciales son iguales; p or ta n to a lca n z a n u n a m ism a altura máxima.

A) 10 m/s B) 12 mis C) 15 m/s D) 16 m/s E) 17 m/s RESOL UCIÓN: ♦ La velocidad V de la esfera que se m uestra es con respecto a un o b s e r v a d o r u b ic a d o s o b r e el cam ión, el cual está desplazándose horizontalmente con una rapidez de 7 m/s, nuestro objetivo es, ¿cóm o

v e lo c id a d de royectil pudo establecido en

A) 10 mfg^ B) 20 m/s

calcular V ?

CIÓN:

♦ Respuesta: analizando el MBCJL. de la esfera, pero r e s p e c t ó /S lln . P a ra ^ u e el P ™ y e c til p u ed a ob serva d or c o n v e n c i o n a l , e ¿ . ingresar p or el canal, debe tener tjerra .*gr una velocidad de llegada paralela al * A n a liz a n d o parabólico.

el

m o v im ie n t o

\gsi0mit2

La esfera sale disparada) con la velocidad ü

* En lo horizontal (M IL U ,)

♦ En la vertical:

O

r\fxr\

M óvil B : e B= 1 0 x t

e B+ e A = 2 0 0

►10t+30t=20

t= 5 a

.............. ¡o

J2L/.

V--


L Alcance horizontal de la esfera d ^ d

M óvil A : e A= 3 0 x t ♦ Pero:

vr

H

3V

* N ote que la velocidad y respecto al cam ión, es:

-> V j = ( 4 V f -2(10)<& ,75)

♦ En lo vertical: Para am bos móviles:

81V *

V ¡= 4 0 + (-1 0 )x 5 = -1 0 m / s ♦Luego: V ^ f - 3 O ; - l 0 ) y V ¡ = ( l 0 ; - 1 0 ) Aplique:

-3 0 0 + 100

Cosa

Cosa =

1&Jio7íó42 -i 75

(S V T g S T f= 2 6 V * - 1 7 5

(1) • D e la p r o y e c c ió n v e rtica l del M .RC.L, de la esfera: 2 í-v l 16V 2 = / / = U _ l = H max (I) 2g 50g ♦ Adem ás: 4V

a » l fe , RPTA : “ C ”

PROBLEM A 27:

r»ub~T

1-----g 5g • De la proyección horizontal del M B C .L , de la esfera:

U n cu e rp o es la n z a d o c o m o se indica. Si la relación entre su altura m áxim a q u e a lc a n z a (H ) y su

dAC= d = V x (2t)

H 3 alcance horizontal (d) es — , d 16 determine la rapidez (V) con la cual fue lanzado respecto del cam ión,

• Pero del dato del problem a:

2x -

(

?

IL = J L d 16’

H

(

4V 5g

(1 U )

reemplacemos (II) y (IB )

16

=16V -1 7 5

♦ Se desea: 5 V = 5 (4 ) = 2 0 m/s

R P T A ; tlB ” PROBLEMA 29: U na placa recta n g u la r lisa cuya base es 2 veces su altura, se inclina c ie r t o á n g u lo c o n r e s p e c t o al h o r iz o n t e y d e sd e d o s v é r tic e s opuestos se lanzan proyectiles (ver figura) con igual rapidez. Halle si estos proyectiles impactan en “O".

A) 16° B) 8° C) 30° D) Tg‘(42) E ) C os

U E y c m w w t A 2012} R E S O L U C IÓ N : * Analizando los m ovim ientos, se obtendrá:

* Ahora luego de la fórm ula general:

segundos, en

( 0 ; 0 )= ( 0 ; 0) + (2 ; 3 )t + 1 á (t* ) * Se p id e la r e la c ió n de su s •componentes, el cual será: 4 “ ( 4 ~1 2 a = { - 7 !- 7 F 6 = 3 t R P T A : “A ”

* Del esquema se aprecia que:

V C o s 0 t + V t = 2 a . . . . . . . . . . . . . . . . . (I) • P a ra la aplicamos:

p a r t íc u la

-> o —h¡=VSen0t -

in fe r io r ,

£

- » « . - í ( g S e n f ) t a=VSen/)t - í ( g S e n , ) t 3

m ■4 a=Y5m&

/

4

P R O B L E M A 32: Desde una altura de 8 m se lanza una pelota con una velocidad inicial Vo= J 0 m/s haciendo un ángulo de 37° con el eje Y y 53° con el eje Z . Si en el instante de lanzam iento com ien za a soplar el vien to que p r o p o r c íp n a a la p e lo ta u n a

X R E S O L U C IÓ N :

a

* T o m a n d o e n c u e n ta las com ponentes en los ejes “ Y ” y “ Z ” de la velocidad inicial.

C o**0+ 2C o»0+ l= 4S en *0 -> Cos20 +2Co»0 +1 = 4(1 - Co»*0)

19 pies 3

* N otam os la posición finid Mr ”

-* 5 Coa16 + 2Cos0 - 3 = 0 ►0 = C o s

10 pies

id

PROBLEM A 3 0 : Una partícula se lan za desde él origen de coord en a d a s^ corf'tln a í £ = ( 2> + 3 j ) m / «

• S ie n d o el c h o q u e e lá s tico , la velocidad de im pacto en sT ft será igual a la velocidad de rebote; luego:

A) 213 B) 415 C) 1/2 D) 4/7 E) 3/5 R E S O L U C IÓ N : * Debemos considerar:

TR A M O A I : 1 9 -1 0 -+ 9 = 0 (t)+ í(3 2 )t* ->t=0,75 £ * Además: Vf = 0 + 32(0,75)=24

* TR A M O IB : - 10 = 2 4 S e n 3 0 °t+ -(-3 2 )t* 2

Además:

-> - 1 0 = 2 4 ^ E jt - 1 6 t *

rf = (0 ;0 ) mefún enuncÍ4¡do — - —

■

W

ecuación: i 2 r 0* \ 1 * 8jml*

Ig=-10kmf*s 1 T

y

aceleración constante. Si después de u n tiem p o^ **” retorn a a su p o s ic ió n d e d u g ^ fro ; h a lla r la re la ció n q u e e x is te e n t r e las componentes de su aceleración.

ro= (0 ; 0); V0 = ( 2 ; 3 );

pertenece al plano X Y . -> r= (x ; y ; 0)

Z\ * De la 6hmtJt

RPTA : " E ”

v e lo cid a d

R P T A : "B ”

.

* Elevando al cuadrado, resultará:

5

0,75 + 1/25 = 2 s

P R O B L E M A 31 : U n cuerpo cae desde una altura de 19 pies con respecto al piso a una a celera áóñ *a = (2 i + j)m /ss, hallar a ltu r a d e 1 0 p ie s , é s te c h o c a la poSicióiTr del punto de im pacto e lá s tica m e n te c o n tr a u n p la n o in c lin a d o de 3 0 ° r e s p e c to a la de ló pelota sobre el piso (plano X Y). horizontal. Determ inar el tiempo, Z\ V. que emplea el cuerpo en tocar A ) (2; 7; 0) el piso desde que es soltado, B) (5; 6; 0) ( g = 3 2 pies/**) C) (1; 8; 0) A) 15 B) 2 C ) 3 D) 4 E) 0,5 D) (2; 6; 0) R E S O L U C IÓ N : f E) (4; 18; 0) * Graficando lo sucedido:

* Luego f l ) y ( / / ) , se obten d rá: C oi e +1 = 2 S en 0

CO80 =

* F in alm en te: se pide el tiem po total, el cual, será:

Al resolver: * = ¿> 2 5 *

í-a=(2j+t)m (2 j+ i)m !% i r¿=(0;0;8) V=<0;8;6) á=( 2; 1; 0)+(0; 0; -10) -+a=(2;l;-10) ->(x;y;0)=<0t0;8)+(0;8;6)+ | (2; U-IO)? * D e la c o m p o n e n t e “ Z #f, se obtendrá:

0 = 3 + 5 * - 5**

1 W J R .C X .

E D IC IO N E S R IJ R IN lffi

79

♦Al resolver: t = 2 t luego de las otras componentes:

x = t 2 - > x = 2 2= 4 ; t2 22 y = 8 t+ * -= 8 (2 )+ = -= 1 8 2 2 ♦ Entonces: r = ( 4 ; 18; 0) R P T A : “E ” PRO BLEM A 33: El m ovim ien to de una partícula esta d escrito en sus e cu a cio n e s paramétricas com o: x i t = 4 ^ + t + l ; y f t = 3 ts + 5 Donde x ftJ e y (tf están en m etros y ‘ 7 " en segundos. Evaluar:

aceleración a á = (2 ; 3 ). Determine la velocidad del auto después de 4 s de iniciado el m ovim iento.

A ) 8 i + 1 2 j B )6 Í + 8 j C )6i - 8 j D )8 Í + 2 4 j E )2 4 j R E S O L U C IÓ N : ♦ Recordem os la ecuación general del m ovim iento, el cual es:

♦ Donde:

V ¡= (0; 0 ); ¿ > ( 0 ; 3) y ~¿Tf = (2 ; 3) ♦ Además:

a , - a.

a ) Su velocidad b) Su aceleración en t= 1 4 s

(2 ;3 )-(0 ;3 ) a= = (1 ;0 ) At 2 ♦ Reem plazando en (I):

E in d ic a r la su m a d e a m b o s resultados.

r= (0 ; 0 ) + (0 ; 0 )t+ j(0 ; 3)t‘

A )3 i-6 j

♦ Pero:

B )4 Í + 3 j - k

C )2 i-k D )9 i+ 6 j R E S O L U C IÓ N : ♦ Considerando los m ovim ien tos p o r s e p a r a d o (p r in c ip io d e independencia): ♦En el eje X : x fl/= 4 t* + 0 + l

g=( 0 ;0^ i 0)J

• .

.

♦ A l m om ento de infePB^ctarse con el'plano, se cumjjlinÍOTie:

-+ 10Í + 2 0 Í $ $ O t - 5 t 2+800=0 -> t 2 - 1 2 ^ - 1 6 0 = 0 -> ( t - 2 0 ) ( t + 8 ) = 0 -> t= 2 0 ♦ Luego: r(t s o M 10(20>i 2 0 (2 0 ); 30(20) - 5(20)*)

V = ^ = f (0; 3 ) t + ^ ( l ; 0)t* €tt ¿ O ♦ Se pide para t= 4 , es decir:

r(tmM,= (2 0 0 ; 4 0 0 ;-1 4 0 0 ) = 2 0 0 ( U 2 ;- 7 )

p a r a / = 20:

♦Adem ás;

V (l=ei=<0;3)4+~(1; 0)4*=(8}12)

Vf =10(1; 2 ; 3 ) + ( 0 ; 0; - 1 0 ) (20)

V(t~e)=8¡+12j

V a=2o>=10(l;2;-17) RPTA : **Ati

RPTA: “B ”

Pero en general: xm=x0+ V o j + ^ o , í 2 £

PRO BLEM A 35:

PR O BLEM A 36:

♦ Se aprecia que:

U n proyectil se dispara co n una

Se deja caer desde un puente una p ie d ra . A tr a v é s d e l p la n o del puente sopla un fuerte viento que le im p r im e a la p ie d ra u n a a c e le r a c ió n a d u r a n te to d o su m ovimiento. Para los diversos casos planteados, indicar cual o cuales son las trayectorias correctas.

x 0= l m ; Vw =1 m is; a x= 8 m/s2 ♦ En el eje Y: y ffJ= 3 t2+ 5 Pero en general:

y („ ^ y 0+ V o yt + ^ a yt s

♦ Por comparación: y0= 5 m ; Vo = 1 m /s ; a = 6 m is2 ♦ L u ego de la su p e rp o sició n de ambos m ovim ientos, s $ obtendrá: V » = (V0; V ) = ( ¡ ;0 )

'*

á =(ax; a y)= (8 ;6)

------------ z ----------- . 1—

velocid a d inicial de V ¿ = 1 0 (1 ;2 ;3 ) b a jo la a c c ió n d e u n c a m p o g r a v it a t o r io g = 1 0 m is 2, si el disparo es hecho desde el punto ( 0; 0; 0) y no se tom ó en cuenta la resistencia del aire. D eterm inar la velocidad del proyectil y su posición cuando se encuentra en el plano.

x+ y+ z+ 800= 0 A ) 10(2i - k )

B) 2 0 0 (i+ 2 j - 7 k )

2 0(i + j - k )

está a celera ción es con sta n te p a ra cu a lq u ier in stan te

1 0 (i+ 2 j - 1 7 k )

C )2(200i - k)

(l) (II)

200(2Í+k) R E S O L U C IÓ N :

A)SóloII B)Sólo IV C)S6lo II y IV D)SóloIyIII E)Toda9 R E S O L U C IÓ N :

U n a u to p a r te d el r e p o s o c o n

r = r 0 + V0t + ~ g t 2

á = 3 j , al cabo de 2 s cam bia su

r = ( 0 ;0 ;0 ) + 1 0 ( l ¡ 2 ;3 ) t + ± ( 0 ;0 ^ 1 0 ) t 2

♦ En todos los casos, suponiendo que el origen de coordenadas está en el punto de partida , las

* S e pide: (1 ; 0 )+ (8 ; 6 )= (9 ; 6)

RPTA : “ D " PRO BLEM A 34:

3S

(III)

(IV)

U FJVfirxoyjEBMfiOljj]

280 8. Calcule la altura k

ecuaciones del m ovim iento de la piedra son:

y= e*2 y 2 X =

y_ X

Del gráfico tenem os:

(en m )e n que la partícula golpea la ram pa AB. (g = 9 ,8 1 m is3)

D ividiendo m iem bro a m iem bro

En la vertical, com o el objeto sube y lu e g o d e s c ie n d e , r e s u lta ú til aplicar la ecuación vectorial para el M VCL

g t 49,66m

t t = e „ t + J # * - [49,96 - A ) = I L j S t + í —

.sólo la trayectoria JT, es la que cumple.

R P T A : “A ”

A) 5 B) 10 C )2 0 R E S O L U C IÓ N

PROBLEM A 37: Una partícula inicia su m ovim iento en el instante t = 0 a, partiendo del re p o s o d e s d e e l o r ig e n de coordenadas con una aceleración *

D ) 30 E) 40 :

La descripción cinem ática de un M P C L se realiza de fo rm a m ás s e n c illa c u a n d o se a n a liz a el m o v im ie n t o d e su p r o y e h o r iz o n t a l y v e r t ic a l. E n la horizontal, la proyección realizarán M R U p o r q u e n o h a y fu e r z a s h o r iz o n t a le s e x t e r n á s - y en la vertical, un M V C L con aceleración

£

a = (4 i + 3 j ) m/s ; entonces: /) La partícula se m ueve sobre una parábola en el plano XY.

W El eje de la parábola hace 37° con el eje coordenado +X . IB ) Entre t = 0 8 y t = l 8 la rapidez media de la partícula es de 2 5 m/a A) V W B )W F C )F F V DJVFV E) FFF R E S O L U C IÓ N :

Iiii,

M V

.•

<-T

(U )

17 Realizam os (II) en (I) 2\49,06 17

A - * * ) * (a , « 17 ‘ 3

a j V5

í

O perando obtenem os h = 30,02 m .

D escom p on em os la velocidad de lanzam iento { p <>) en la horizontal

tiem po posible? (g=9,8lml»z)

& • • • • •

♦

1 /

• » • • •

« • » « «

I • • • • « •

» t »

♦

« • • • • t •

•

• * 4 2

# #

«

•

• « • I • , •

» I I l i l t l

9f

f

a ü é t

|#|

-►r = ( 0 ; 0 )+ (0 ; 0)t+ ± (4; 3)t* y V t í .

N os solicitan h.

i7-_ rm " rm _ (2; 3/2) - (0; 0) _ ( 0 .3 ^ m~ M ~ 1 -0 V *2)

2 (4 9 ,6 6 - h )

D e s d e la p o s ic ió n A s o b r e la superficie terrestre , se lanza una partícula con la intención de que llegue a B que dista 81,56 m de A (v e r fig u r a ).S i la v e lo cid a d de lanzam iento solo puede ser 40m/a. ¿ b a jo q u é á n g u lo d e e le v a c ió n diferente de cero se debe producir el la n z a m ie n to de m o d o q u e la partícula llegue a £ en el m enor


\

t

•

.1

Ahora:

= * (4 9 ,6 6 - h ) j 3 = ¥ - t

P R O B L E M A 39:

g

¿

%

Ecuación do una rocía

d=vt ^

RPTA: “D ”

L

a r 'T '

En la horizontal, tenemos un M RU; lu e g o , ^ c o r r i d o h o r iz o n t a l qued&ró definido por lo siguiente:

La altura h es, aproximadamente, 30m .

g = —9 t18m /a2.

r=í2í2; | ^

— yfsm /a 2

Considere que ~¡,x , es constante.

“E cuación de una recia**

A

—

y vertical.

; ” or)

B vo = 17m/$

A)5°

VmI= 2 , 5 m/a

d * Luego:

I) F, U ) F y III) V (49,66-hU h RPTA: “C”

PROBLEM A 38 : En la figura, se lanza una partícula con velocidad V 0 de m ódulo J 7 r o /

vv

i

\ *

B)15* 0 4 5 * D)60° E)75°

g=9,S2m/jr* R E S O L U C I Ó N :

E 0 C m O •tv

[M J P .C J .,.

E D IC IO N E S R lIH l\ rOS\

* Existen 2 posibilidades para el v a lo r d e 0 ;a ó 0 q u e so n complementarios.

* De la figura : tan O — — 0 Vu tí Tram o A B :

• Sabemos que el alcance se puede calcular com o:

D el m o v im ie n to p a ra b ó lico , se tiene

D =v*

a en 2 0

g

81,66 =

402 aen20

• En la figura h o riz o n ta l, com o la

9,81

velocidad es constante vH = 40 mis

* Luego: sen 2 9 = 0 ,5

* Para que la partícula llegue al punto “ B ” en el m en or tiem po posible: 0 = 15° RPTA : “ B ” PRO BLEM A 40 : Se lanza un p ro y e ctil co n u n a velocidad de SOmjs h acien do un ángulo de 37° con la h orizon tal. Halle el m ódulo de la aceleración tan gencial; en m/a*. Del proyectil luego de 2s del lanzam iento . {g = 9,81m Í8S) .

C) 2,03

* En todo instante, la aceleración que actúa sob re el cu erp o es la aceleración de la gravedad y desde lu e g o tie n e u n a c o m p o n e n t e ta n g en cia l a la tr a y e c to r ia d el p royectil.

v2 = 3 0 - ( 9 , 8 1 ) ( 2 ) = 1 0 ,3 8 * En (II) : tanO =

1 0 ,3 8

10,38

.‘ a T

^ 2 ,4 6

^ RPTA

RPTA : “ D ”

PR O BLEM A 42 :

Desde el borde de un acantilado de 5 0 m d e a ltu r a se d is p a r a un proyectil con una rapidez inicial de 30mia con un ángulo de elevación de 30° respecto d e la horizontal. Calcule la tangente del ángulo 0 ,

C o n s id e r e u n p r o y e c t il q u e se m ueve únicam ente bajo la acción de la gravedad. Después de haber sido lanzado form ando cierto ángulo con la horizotal , cuando éste alcanza su m áxima altura se afirma que:

que la velocidad del proyectil hace con la h orizon tal al m om ento de tocar el piso. (g = 9 ,8 m !s2)

A) la aceleración total es nula. B) la aceleración n orm a l« nula. C) la aceleración tangencial ea nula. D) la aceleración norm al ea nulo. E) la velocidad ea nulo.

R E S O L U C IÓ N : Vy=0 Í0m/aj

V,

A)0,577 B )0,748 D )1,336 E) 1,732 FT * ^ * T ? R E S O L U C I Ó N :

l i m o n o rm a l

Del ¡x o l del proyectil en la posición B: • En la dirección tangencial F B(tan) ~ m a T => r f g * e n 9 ~ r f a T

^ a r = (9 ,8 1 ) sen0

M1 52j036 = 1,336=» tan 0=1,336

P R O B L E M A 41 :

* En la posición B planteamos fi

40 mi*

— " ' i m T - ....... * (A ) y (C ) son pun tos s im á n eos , entonc^^^yerticalmenUapSEaS7 fC) h a^í ñ '(D ) poderaofllfevtihiar t>, haciendo u so ^ j¿P=V a + 2 a d • =Sv2 = 152+ 2 g h = 225 + 2(9,8)(B0)

tan 0

* El p r o y e c til lu e g o d e 2a se encuentra en la posición B .

a,*50 m!f

en (D ) , allí *

=> senO = 0,251 mía 2

(l)

i*

h =50 m

vv= J l2Ó tbH 18 ln (I)i /TI- I** * En

40

* En (I)

(Cñ\ 16 '

• El proyectil h se cum ple,

• En la v e r tic a l: vp = v 0 - g t

De donde : 20 = 30a=> $ = 16 a 20 = 160° =>0 = 7&

A) 0 ¿ 5 B) 1,89 D) 2,46 E) 4,48 R E S O L U C IÓ N :

iS&m*

• En la vertical solo actúa la fuerza d e graved a d , la cual origin a la a c e le r a c ió n g y s e cu m p le las ecuaciones del M V C L .

: /nW«*0 \h ,n

C)1,000

• La co m p o n e n te h o riz o n ta l no v a ría la v e lo c id a d p u es n o hay fu e r z a s h o r iz o n t a le s e x t e r n a s (vientos , rozam ien to , etc.) , las cuales n o originan aceleración.

tTas Xeg

* H orizontalm ente, no hay viento ni otra fuerza exterior, entonces la com ponente: vx = c te • Verticalmente, solo actúa la fuerza de gravedad sob re el ob jeto y le ocasiona una aceleración vertical constante: ^ ^ a = g = cte d e m o d o q u e e s ta descom poner en la

se puede dirección

m s i x s z ig g "

[F W S I W a A

íu \ E X C í c j .o m : u l \ 2 0 1 2 ]

ta n g e n te y n o r m a l, a la t r a y e c t o r ia . => E n e l p u n t o m áB a l t o d e la t r a y e c t o r ia ,

la

r a p id e z

es

vx > 0 ( -* ) L a a c e le r a c ió n in s t a n t á n e a e s

o= o n

= g

N o h a y co m p o n e n te

ta n g e n c ia l atan - 0

I) VERDADERO:

RPTA : “ C ” pr o ble m k a

S i 0 e s e l á n g u lo d e d is p a r o d e u n p r o y e c til t a l q u e s u r a n g o s e a ig u a l a la m á x im a a lt u r a q u e a lc a n z a , h a lle tg O . A jí

B U

C )3

Di 4

El 5

El m ovim ien to d e p roy ectiles es la superposición de dos movimientos: Movimiento a velocidad constante en la dirección Inldal AC.

El vector posición r en cada punto de la trayectoria parabólica, se representa en la figura. O b serv e qu e si n o existiera la aceleración g , el recorrido del movimiento

• B movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical CB con

sería en la djr$cción

aceleración constante g

desplazam iento vertical d e b id o a la

I) INCORRECTO:

aceleración g dirigido hada

El desplazamiento vertical CB es debido a la aceleración gdirigido hacia abajo, el cual

abajo.

D onde el vector

- V o t. dmtuv

De la figura: r = d ta u + dtatw

_

está dado: C B = g —

II) VERDADERO :

• 2

U) CORRECTO:

La aceleración está expresado

Donde el desplazamiento vertical. -

Del problema nos plantean que el rango, es decir la longitud de tiro e es igual a su altura máxima H alcanzada, por lo que f= W Cabe recordar: ATM

tg 0 = —

CB = g —

B2

III) INCORRECTO: Según la figura se puede ver claramente que la exp resión v ectoria l para su desplazamiento 4 0 es:

= > tg 0 = 4

€

?- y./+

RPTA 9 “ 0 "

p r o b le m a 0 0 §

IV) CORRECTO:

Desde el punto A en la Inmediaciones de la superficie terrestre en t§ = 0» , se lanza un

Si no existiera la aceleración g , el recorrido

proyectil con velocidad inicial Vo en la dirección AC, co m o se muestra en la figura. SI en el Instante / el proyectil se encuentra en 0 , respecto a las proposiciones:1) C B ^ V J + I g i ’ x

X

**

.»1

US) El desplazamientgdel proyectil entre A v fle s á r = V < d - ¿ g t 3 * .C IV A C * V 0t

P

*

del proyectil sería rectilíneo en la dirección A C = v0t . RPTA i “ B " PROBLEM A 0 0 9 Para una partícula que efectúa movimiento en d o s d im e n sio n e s c o n a ce le ra ció n con sta n te, id en tifiq u e el n ú m ero de proposiciones correctas: I) El desplazam iento equivale a la suma vectorial de un MRU más un MRUV. II) La aceleración m edia coincide con la aceleración instantánea. III) La trayectoria está contenida en el plano formado por la veloddad V y la aceleración aIV) El vector posición r de la partícula no necesariamente está en el plano formado por la velocidad y la aceleración. A) 2

Son correctas: A jS ó lo I

B j Sólo IU

yJV Di Sólo U y IV

E) Sólo JU y IV

.2 0 0 0 1 UCIÓN i

O u, UJ

Bi 3

e s el

C )4

Di I E i ninguna

AV

ót

c o m o la a ce le ra ció n e s con stan te, se cum ple que en todo instante la aceleración media e instantánea son iguales. III) VERDADERO : Se demuestra que la condidón para que el movimiento de una partícula se realice en un p lan o e s q u e su a ce le ra ció n sea con sta n te, y c o m o el m ovim ien to se desarrolla co n aceleración constante, el m ovim iento se desarrollará en ei plano form ado por los vectores velocidad V y aceleradón a IV) FALSO: C o m o el m ovim ien to del proyectil se desarrolla en un piano, entonces el vector posición r del proyectil estará contenida en dicho plano (ver la figura). RPTA 9 “ B ” PROBLEMA 0 0 9 Señale la ver addad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) Un movimiento circular es un ejem plo de movimiento bicfimensional con aceleración constante. II) La variación A V , de la velocidad de una partícula en movimiento parabólico, en un intervalo de tiempo A T , es mínima en el vértice de la parábola. UI) La velocidad media de una partícula en movimiento parabólico, en e! Intervalo (té: o , es Igual a j [ V ( t . ) + V ( t ) ] -

RESOLUCIÓN 9

A jW V

Se muestra el lanzamiento de un proyectil, para el cual se despreda el efecto de! aire

RESOLUCIÓN 9

por lo que la aceleración g es constante.

-

B )W F

O FFV D)VFV

BjFYV

I) FALSO: Un movimiento bldimensional en el que la

ts i aceleración perm anece constante, es decir en magnitud y dirección no varían durante ei m ovim iento, se presentará en una trayectoria parabólica. II) VERDADERO:

E D IC IO N E S

RESOLUCIÓN g Se muestra el lanzamiento del proyectil en el punto A, para luego impactar en B, al cabo de un tiempo t — 3s. V.

457 =

R D B IN O S \ 4 5 ,7

t = 0 ,ls

• En dirección vertical : S olo actú a .en ton ces: h = v0yt

la

fuerza de gravedad 0(0,11 + ~ (9 ,8 IJ (0 , V 2

2

2

h - 0 ,0 4 9 m => \h = 4,90 cm

RPTA g “ B ” PROBLEMA Com o podem os apreciar la velocidad del proyectil es mínimo cuando este alcanza el vértice de la parábola, es decir su punto máximo de elevación. III) VERDADERO: Durante el d esa rrollo d el m ovim ien to p arabólico la a ce le ra ció n p erm a n e ce constante, por lo que la velocidad media, estará d a d o c o m o el p rom ed io d e las velocidades en los instantes t4 y t y

- V**»1+ V 111 2

RPTA l ,gE ”

PROBLEMA 4 0 f Halle la a celera ción con stan te d e una partícula, en (en m/s3) que, partiendo con una velocidad de ( i - j)m ¡8 pasa d e la *

ü

p osición ( - 4i - l% j)m

Dj Si el auto acelera a rosón d e 6m/s*el paquete ca e sob re A .

Trayecto H orizon ta l: e = V ¿ = > 3 = V J 3 )= > V g ~ lm/s Trayecto vertica l: Com o el movimiento es de subida yjbajada, entonces em pleam os ecuación vectorial?, h = v ,t + gt* 2

-6 « V (3 ) J

I 0 (3 f =? V , = 13ml8 RESOLUCIÓN g 2

y;

Vo = ( ¡ ¡ - j ) m l 8 y pasa p or la p osición a

la

RPTA g “A "

P osición

Con un tifie que dispara proyectiles con una velocidad de salida de 457 m/s , se dispara horizontalmente una bala a un pequeño blanco colocad o a 45,7 m de distancia. ¿A qué altura (en cm ), con respecto al b la n co, debe estar colocad o ei rifle para im pactarlo? (g = 9,81 m/s1)

?r = (8 ¡;+ 1 2 j)m en un tiem p o t = 3 s .

A) 2,46

desarrollando para e llo un m ovim iento constante.

RESOLUCIÓN i

De la ecuación del movimiento:

r = r » '+ V o i + a —

Bf 4,90 Cj 7,36

D j9,81

Ej 1 2 ¿6

* Realizar un grá fico q u e d e scrib a la situ ación qu e plantea el p roblem a y designamos por «/i» la incógnita buscada.

Reemplazando tendremos: (8¡ +12j ) » (~4Íi-12j)

+

a/3f

Ik fjlm it’ ■

___ JO . » 200x — mis 36

PROBLEMA 4 B i

Nos dicen qu e una partícula parte con velocidad

=> o =

km

V9 = 4 t* V l3 * => V, = 13.04mfs

C) 2¡+

D )2 ¡~ 6 j E) - 2 i + € j RESOLUCIÓN i

=> (9 ¡ + 27 j ) - ^

Ej L a a celera ció n d el a u to , a p a r tir d el in stan te qu e se su elta el p a q u e te , p a ra que el paqu ete caiga sobre el, depende de la altura d e la calda.

luego la velocidad V# de lanzamiento es: v . = Jv;

B) i - 3 j

r = < -4 ¡;-1 2 j)m

*

Aj E l p a q u ete ca e sobty e t auto. B) E l p a q u ete ca e d etrá s d e l auto, Cj El p a q u ete c a e d elan te d el a u to o 420m de

a la p o sició n

8i + 12 j m en 1». A)

Para con ocer la velocidad de lanzamiento V# es necesario con ocer sus com ponentes, por lo que debem os analizar el molimiento, tanto en su trayectoria horizontal co m o vertical.

Un auto viaja af 120 km'h en una carretera recta Un avióflvuela sobre el a u lojjn forma paralela, a 200 km/h. En el inst SP que el avión pasa justo sobre el $ la un ca e r sin p a q u ete el cu a l co m le n resistencia del aire, eniojjtíés:

RPTA t “ C ”

PROBLEMA 4 7 §

h

8

t?) Blanco

d=45,7m

i

Primero debem os con ocer el tiempo que em plea en caer el paquete a Tierra, del movimiento vertical: g t3 . ¡2h h =

t

g • Si analizamos el movimiento horizontal y estos cu erp os experim entan velocidad constante el paquete caerá delante del auto por presentar mayor rapidez horizontal. En con secu en cia para que el paquete caiga sobre el auto, este último debe experimentar aceleración. Según la figura:

a t*

f*tpaquot* eliminamos l:

¿Con qué rapidez (en m/s) hay que lanzar una partícula del punto A para que en 3s llegue al punto B?. ,v0

Del gráfico se observa que’ 'h ” es la altura que desciende la bala en su trayecto hacia el blanco.esto es la altura que descendió en el m ism o tiempoque recorrió la distancia horizontal üd”

para encontrar )a aceleración del auto es n e ce s a rio c o n o c e r la altura d on d e se abandonó el paquete. RPTA g “ E ”

Aj 13,04

Según el enunciado, se dispara con el rifle

PROBLEMA 9 0 g

B) 14.04

un proyectil c o n una v 0 * 4 5 7 m / s .

DJ 16,04

despreciando la resistencia del aire ; el p royectil d e scrib e un m ovim ien to parabólico

La recta de la gráfica es la trayectoria de una partícula en m ovim ien to. Indique la veracidad (V ) o Falsedad (F ) d e las siguientes proposiciones:

BJ 17,04

* En dirección horizontal: ¡¡ _ c ¿e

I) La partícula se m ueve con velocidad

C) 15.04

*s* IBES

\E M S W C A constante. U) 0 movimiento es tridimensional lü ) La pendiente de la recta es igual a la velocidad de la partícula.

IA Ei\cn'j.o9*£QL\ 2012\

Fbdríamos considerar e! movimiento com o un movimiento com puesto, uno a velocidad constante y el otro de caída Ubre. e = V .Í

>Y(m) —

v.

m odo que en la proyección horizontal del MPCL, ten em os: dK s o a(m¿Jl; Reem plazam os; 4 = vx ,m¡J 0 , 5 ) => vxlmü.) = 8 m l t

y

II) Si se lanza con ia máxima el mineral cae en el punto D ; luego , en proyección horizon tal d el MPCL , ten em os dfíD ~ Vx(m úx)l Siendo d BD - 6 m .

X (m ) r e s o l u c ió n

t

De la figura:

M

6 = vx = > vx(máx,

co*6 -

2V' ^ t - »Y. gt

gcosd APTA i ' 4

1 "

• E n ton ces , la rapidez d e la faja transportadora debe estar com prendida en el intervalo14.

=* 8 S V, S 12 mi*

PROBLEMA 9 2 $

I) FALSO: Se muestra el movimiento rectilíneo de la partícula, pero n o podem os precisar que la velocidad de este sea constante, pueda que podría ser un movimiento variado. II) FA LS O :

Una faja transportadora horizontal anota m inerales hacia un vagón W c o m o se muestra en la figura ¿Cuál es el intervalo dé velocidades, en m/s . que debería tener la faja para que esto pueda ocurrir?

AB = l,25m ; g = 9,81mlas BC = 4m , CD = 2m

RPTA i “ B ” PROBLEMA 9 3 t R especto del m ovim iento bidimenslonal con aceleración constante, ¿cuáles de tas siguientes proposiciones son verdaderas?. I) A V » para cualquier Ai tiene la misma dirección y sentido.

.u s e s m ír

No podem os precisar con exactitud si el movimiento de la partícula es a velocidad constante o es un movimiento variado, pero si la trayectoria de la partícula es rectilínea por io qu e su m ov im ien to es unidimensional. ¿Qué hubiera ocurrido si la aceleración fuese oblicua a la velocidad?, ésta cambiaría de dirección describiendo una trayectoria que deja de ser unidimensional, es decir el movimiento será en dos dimensiones y en general será un movimiento curvilíneo. UI) FALSO: La pendiente de la recta nos indica la dirección del movimiento desarrollado por la panícula, más n o la velocidad. RPTA t * 4 1 " PROBLEMA 9 1 t Desde lo alto de una rampa, s e lanza un proyectil co m o se m uestra 'en-.la figura. Exprese el tiempo que demora él proyectil en negar a la parte inferior de la rampa en

té r■ in i s i t V#. g jjf é . \¡k

U)

A) E n tr e 3 y 7 B i E n tre 8 y 12 Cj E ntre 13 y 17 Di E ntre 18y 21 El E n tre 2 2 y 26

RESOLUCIÓN i •Para la faja transportadora la m ínim a velocidad ocurrirá al llegar justo a C y la máxima velocidad al llegar a D . Se observa que los materiales al salir describen un movimiento parabólico.

CD'

e m p lea n d o

el m ism o tiem po

El 2 — SenO RESOLUCION /

I) VERDADERO:

t j j ) = t ÁC = t . Porque H -I ^ S m y c ^ -O .

Cabe recordar que la aceleración esta dado

En la p ro y e cció n vertical d el MPCL . ten em os: M iV iV n j ^ O

co m o o * AV f Ai y com o la aceleración es constante,

B

g SenB

Analizamos el movimiento de un proyectil, d esp recia n d o para ello los efectos que pu ed a oca sion a r el aire, por lo qu e la aceleración es constante.

• Cada trozo de mineral lanzado por la faja con <7 realiza MPCL desde A hasta el nivel

g = 9 ,8 I mía9

t

*

h 4m i

o ¥±Tge 8

c a y OI

B) II y III E) ninguna.

RESOL OC/ÓN

»

B)

Ai

es constante.

A jiy U Di tod a*

H=lp25m\

2Vm g CoaB

es constante para todo A i .

m)

■4

A)

t2 m l»

=

2m

C lfc T O

rD

E? ♦ En la v e rtica l: * H =

+ g ~ = > 1 ,2 5 = ? £ l t s = * t * 0 ,6 *

2

I) Si se lanza con la mínima rapidez el minera] cae con las justas en el punto C , de

es decir su magnitud y dirección novarían, entonces el cam bio de velocidad A V tiene la m ism a d ir e cc ió n y sen tid o para cualquier j f . II) VERDADERO : C om o a s AVI A i , y la a ce le ra ció n es con sta n te, e n to n ce s

AV /

para

cualquier Intervalo de tiempo A i . ¡II) VERDADERO: Recuerde que la aceleración Instantánea está expresado com o: a =- lim Ai

¡«aeran1« constante entonces:—

s u r* * *

Ti

ERECMOXES RURIXÓSl

también se cerraran más.

en dos dim ensiones y en general será un movimiento parabólico.

t- aV = cte * Um

jr-*9 j f

RPTA $ “ B ”

RPTA t “ B "

PROBLEMA 3 3 9

PROBLEMA 3 * i Con respecto al movimiento bidlmensional con aceleración constante, se puede afirmar que:

APTA t “ B "

Dos móviles A y B se mueven en los eje X, Y según las ecuaciones x A = 4t + 2 ; y9 « 6t + 3 respectivam ente. Halle la velocidad relativa de B respecto a A, y su

l ) El ángulo entre la v e lo cid a d y la aceleración es constante.

PROBLEMA 3 3 1

posición relativa r a ^ e p t= 2 s (en m/a y m

//) La trayectoria es una parábola cuyo e]e es vertical.

Juanlto trata de cruzar un río en un bote. Para tal efecto, Juanlto inicialmente en reposo en el punto A, rema hacia la orilla opuesta con

respectivam enleLáP^, •

una aceleración a = 2 j mía* .mientras que

D )+ 6í-e)

l i ¡ ) La apertura d e las ram as d e la trayectoria p arabólica, d e p e n d e de la aceleración. A jV W

B lV F V

CjFVF

DjFFV

E) FFF

RESOLUCIÓN/ I) FALSO: Analicemos el movimiento bidimensiona! cuando un proyectil es lanzado desde Tierra •

»

V,

el río fluye con una velocidad V = 2 i m/a. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) E) tiempo que tarda en cruzar e! río es de 4». II) La magnitud del desplazamiento entre los instantes inicial y cuando logra cruzar el

A) - 4 ¡ - 6 j

~io ¡ - 1 s j

Como podem os apreciar el ángulo entre la velocid a d y la a ce le ra ció n cam bian a medida que el proyectil se desplaza. II) FALSO: La trayectoria parabólica tiene su eje de simetría paralelo a la a celera ción , por ejemplo a) lanzar un proyectil desde Tierra, ésta sigue una trayectoria parabólica co m o se aprecia en la figura

i s j * toí

¡oí - iaj

E )Ú ~8j

ISj+JOÍ

12)- 8 ¡

RESOLUCIÓN t Según el problem a los: mueven según las _ _/ xA . « 41 + 2 ;

v_B=

vites A v B se s.

6¿ '$3*'

Donde la posición relativa de B respecto a A es:

r&A = r jP - r A

río es 8 j 5 m .

r&A■= (0 ;y B) - ( x A;0 )

III) La trayectoria seguida por el,bote yista desde la orilla, es una recta. 'EL .

r&A = ( - x A;y B)

YYYYYYYYYYYYYYYY

g

C) - 6J-41

r&A = ( - 4 t - 2 ; 6 t + 3 ) A )W V

I

Bj W F C) VFF

y

Ecuación del movimiento de B respecto de A.

t

Por lo que en el Instante I = 2a su posición es: r&A = ( - 4 x 2 - 2 ; 6 x 2 + 3 )

9 *

DjFVF E/FFV

r&A = ( - 1 0 ; 1 5 ) = ( - 1 0 ¡ + 1 5 j)m

RESOLUCIÓN i Com o el joven cruza el río con aceleración constante la trayectoria descrita será una parábola, j________ x ________|

Mientras qu e la velocidad relativa de B respecto de A (V&A) se puede obtener derivando la relación r&A, resp ecto al tiempo dr&A =*V& a = ( - 4 ;6 ) = * ( - 4 i + 6 j)m/a RPTA 9 “ B ” PROBLEMA 3 7 9 D esde una torre d e 125m de altura es lanzado horizontalmente un proyectil con

Pero, c o m q n ¿ n o s especifican com o es la a ce le ra d o r constante, p od em os asumir también el movimiento de' un cuerpo sobre un plano Inclinado Uso para este caso el eje de simetría n o es vertkaLslno indinada.

*

una velocidad de 6 im/a, si en el Instante de! lanzamiento un carro parle del reposo desplazándose en el eje X

I) \rERDADERO: Para el tray ecto vertical a t2 16

2

2IS 2

Luego el tiem po que em plea en cruzar el río es t = 4$. II) VERDADERO :

III) VERDADERO: Si bien es derto la apertura de las ramas de la trayectoria parabólica d ep en d e de la aceleración com o también de la velocidad y ángulo de lanzamiento, por ejemplo. Se muestra un joven regando un jardín a medida que este inclina la manguera las ramas de la parábola se abrirán c o m o

Para en con tra r la m agnitud del desplazam iento d, d eb em os co n o ce r el a lcan ce horizontal x . el cual está dado com o: x = V faf =>x = (2) (4) = 8m

con una aceleración de 2 im/a2, determine la velocidad (m/a) del carro respecto del proyectil en el instante que el proyectil impacta sobre la superficie horizontal (eje

n

125m

Luego el desplazamiento es: d = y¡x* + y* => d r 4(8)* * ( 1 6 / = 8y¡5m

III) FALSO; D ebid o a qu e el jov en presenta una aceleración constante el cual es oblicuo a la velocidad, entonces el movimiento será

A ) 30j

B) 4i

D) 4¡ - 60 j

E) 4i * 60 j

C) 101 - 60 j

I A EXCMi x o ABSOLUCIÓN i V o=(*0)m l9

u* (0;~10)m!s

trayectorias rectilíneas co m o muestra la figura. Halle ta rapidez de la partícula B (en m i» ) con la que es observada desde A. A ) 4-JS

Y\

B )2 j7

A

2012}

una velocidad V = 5 0 mía. V

0 542 0 )3 4 3 Di 1

A) 160 m D) 40 m

¡ .h’Í T <*

X

C )320m E) 200 m

Hallar la distancia «x»

ABSOLUCIÓN i Encontrem os el tiem po que em plea et proyectil desde su lanzam iento hasta el impacto en el piso, entonces en el trayecto vertical.

B) 80 m

Expresemos vectorialmente las velocidades de las partículas A y B.

(g = 10 m !t*)

V0»4m/s

J VA=(0¡10)m/9
= » '= * » luego la veloddad del proyectil en el instante que impacta en el piso es:

:-7

A a íOm/8

A) 2 m D) 8 m

=>V , « (6;0) +(0;-10H6)=> V, •(6;~80)m/t Mientras que la veloddad del carro al cabo de este tiempo es:

v .-y í+ z t = > V ,« ( 2 ;0 ) ( 5 ) = (lOíOhnt* Pero nos piden determinar la veloddad del carro respecto al proyectil cuando impacta en el piso.

v * « v .-v ,

D onde la v e lo cid a d d e la partícula 8 respecto a un observador en A es: V*a = V . - V a =>VW ~(8;81-(0;10)=> Vka -(8;-Í)ml* luego el m ódulo de la velocidad de B con respecto A, al cual también denominamos rapidez e s :_________ . = 4 (8 f

= > V + ~ ( 1 0 ;0 ) - ( 6 ;- 5 0 )

Ifflili

RPTA t PR 0R LB R U L50! Dos móviles A y B simultáneamente con velocidades: V . » ( 4 ¡ + 6 j ) m f i y V M ~ (3 ¡-2 j)m / 9 . Halle el d esp lazam ien to (e n m ) de B respecto a A entre t t *2* y A) -

- 16j

B) 8¿ - 1 4 j

D )-4 i~ 1 8 j

E l-6 i-7 j

"

por el proyectil. (g = 10 m/t*) V0=20m /s

V * A = (3 i-2 jl-t4 i+ 6 j)

A) 10 m D ) 25 m

B) 15 m

C) 20 m E) 30 m

@ )D el gráfico mostrado calcular el tiempo que la esfera tarda en llegar al punto . V0= 3 0 m /s

luego el desplazamiento de B respecto A desde f,= 2m hasta / , » 4$ es decir en el intervalo de tiempo, d t * / t es:

Calcular: I) El tiempo que el proyectil viqja libremente desde el momento que se suelta el avión hasta impactar al piso.

I

■% .

h = 135 m.

Hallar la máxima altura alcanzada

RBARLUCIÓNl

V „ - V , - V . j.

En el instante en que el avión bombardero suelta un proyectil. Velocidad del avión = 5 0 m/a. Altura donde se encuentra el avión:

4"

C) 2 ÍV 8 j

Para determinar el desplazam iento d e B resp ecto a A d e b e m o s en con tra r la veloddad relativa de B respectóá Á, el cual está dado según la expfesiórír

C) 6 m

+ ( - i ? m éji™

RPTA i

=> V + = (4;SO) - ( 4 ¡ + 50j)m j»

B) 4 m E) 12 m

I I ) El desplazamiento del proyectil hasta llegar al piso. I I I ) La com ponente vertical al llegar al piso. IV ) La velocidad con que llega al piso. R p ta .: I) t = 3 §

= 2 ».

; II) d = 120 m

III) Vg = 60 m /« ; IV) V = 72,1 mía

dtiA - V b¡aM

¡Lia = M - 8 j)(2) =>3xa = (~2¿ - 16j)m RPTA

/

"

4"

PRRRLARUk 5 0 1 Respecto a un observador en rep oso en Tierra inerdai las partículas A y B se mueven con la misma rapidez d e 10 m/t y con

A) 3,6 a D) 4,8 a

B) 1,8 a

C )2 ,4 a E) 7 ¿ a

@ Hallar el alcance horizontal que logra el cuerpo alcanzando con

Una pelota es lanzada con una velocidad inicial V0 , formando un ángulo 6 con la horizontal. El tiempo que tarda la pelota en ir desde la posición A a la posición C es (sin considerar los efectos del

\ 9 IJ P .€ L

m

aire): A

B

7 .

B ..o

O

I m M M Ü

E D IC IO N E S

A) C ero B) 30 m/a C) 30 ^¡2 m/a

c

En

D) 40 m/a E) 40 y¡2 m/a

0 .

(Q ) E l a r c o A B m u e s tr a una ti

£

R U B IN O S l

L— I— L—i— L— I D

A) La mitad del tiem po entre O y B

porción de la trayectoria parabólica de un proyectil. Si la velocidad en « A » es de 5 0 m/a, ca lcu la r la distancia vertical entre «A » y « B » .

la

fig u r a

m o s tr a d a ,

determ inar con qué velocidad V se d e b e la n z a r la e s fe r a , si d e b e in gresar h orizon ta lm en te p or el canal B. Desprecie la resistencia del aire (g = 10 m/a2)

B) Igual al tiem po entre O y A C) Igual al tiem po entre B y D D ) La mitad del tiem po entre B y D

A -V —

E) No se puede afirm ar nada

A) ÍÓ ^ ¡3 m/a

^ ^D espreciando la resistencia del aire, calcular el tiem po que dem ora el proyectil en ir de B a D .(g = 10 m¡B$)

C ) 20 m/a

D) 15 m

E) 58 m

Se lanza un cu erp o co n una

B

180m

•Q d

A) 2 8 D) 6 s ©

B) 4 8 E) 1 8

C) 3 s

Un cañón dispara un proyectil

con un ángulo de elevación de 53°. Luego de qué tiem po y qué altura impactará?

v u e la

A) l a D) 4 a

A) 1 0 0 0 m B)1 200 m C)1 500 m D)1 800 m E) 2 000 m

B) 2 a

C )3 a E) 5 a

(Q ) Hallar la velocidad del proyectil

(Tty)Con qué ángulo de elevación

de manera que «A>> sea m ínim a (g - 10 m/a2)

debe dispararse un proyectil para que su alcance sea igual al triple de su altura m áxim a?

A) 30* B) 37* C) 45* D) 53/E) 60°

d£°

(Q )S i el proyectil lanzado describe la trayectoria mostrada. Hallar el valor de «V » (g = 1 0 m/a2)

50m/s i

A) 20 m/a D) 30 m/a

La esfera al ser|Bmzada en el

que

v e lo c id a d d e 4 0 y¡2 m/a yr u n a in clin a ció n de 4 5 °.¿Q u ó /iíenfpq^ d e b e t r a n s c u r r ir p a r a n t e v e lo c id a d fo r m e 3 7 ° c o n m horizontal? (g = 10 m/a2)

240m

A)3 a; 80 m B)2 a; 7$m_C) 3 a; 75 m D) 4 a; 80 m E) 3 *;.80 m ^

U n H fe r ió n

horizonjpm iente suelta una bom ba al pasar sobre un cam ión militar que va a 108hm/h y logra destruirlo 600m m ás adelante. )D esde qué altura aproxim ada en m etros, soltó la bom ba el avión? (g = 10 m/a2)

A

~

0°

x

B) 50 m/a C) 40 m/a E) 60 m/a

D eterm inar «h » si la velocidad de lanzam iento es de 5 0 m/a y el tiem po de vuelo 10 a (g = 10 m/a2)

A) 1 m/a D) 9 m/a

B) 3 m/a E) 12 m/a

C) 6 m/a

Un cachimbo cabecea una pelota con una velocidad V = 5 0 m/a, chocando en « P » . Hallar «x»

(g = 1 0 m/a2) V

punto A con una velocidad de 5 0 m/a tarda i a en llegar al punto B . Hallar la velocidad de la esfera al llegar al punto B (g = 10 m/a2)

50m /s

A) 60 m D) 240 m

B) 120 m E) 360 m

C )1 8 0 m

Ü V j = 1 5 m/s

O

EXCH 'JW M LX 20l¿\

Determine el alcance. (g = 10 m /s2).

r

r

z z z

Calcular la velocidad de lanzamiento

v 2

V si la altura máxima de 45 m. (g = 10 m/s:)

a) 25 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 45 m/s m) 50 m/s

a) 100 m b) 140 m d) 2000 m e) 240 m

Desde la superficie terrestre se lanza

Con una rapidez d escon ocid a una partícula abandona la plataform a. ¿En cuánto tiempo tocará el piso?

Vn

a) 40 m/s b) 30 m/s c) 50 m/s d) 20 m/s e) aoVSm/.

r P

Calcular la velocidad horizontal V . (g = 1 0 m /sz)

a) 0J5 s d )3 s

80m

c) 2 s

a) 15 m d) 45 m

V « 4 0 m/s

2 2 2 2

con una velocidad de 3 0 m/s. ¿Determinar su velocidad al ca b o de 4 s y su altura descendida? (g —10 m/s2).

\ V

2

\ 160 m

a) 2 s d )7 s

50 m

b) 4 s e) 9 &

c) 6 s

a) 40 m/s; 40 m b) 30 m/s; 45 m c) 50 m/s; 80 m d) 40 m/s; 125 m e) 50 m/s; 45 m ©

a) 150 m b) 125 m c) 80 m d) 50 m e) 45 m

©

Un cuerpo se lanza horizontalmente

2

2

(g = 1 0 m/s2), vE-

0m

2

V - 10 m/s

Encontrar Y

©

b) 30 m c) e) 50 m

v0

Determinar la altura ’ H"; si V = 10 m /s -

b) 1 s e) 5 s

horizontal desde lo alto de un edificio to n una rapidez de 40 m/s. Deterrttiiie éuánto tiempo duró todo el movimiento.

BOm a) 20 m/s b) 10 m/s c)5m /s d) 40 m/s e) 16 m/s

c) 2 s

desplazam iento horizontal para d ich o intervalo de tiempo.

Se lanza un proyectil en,4prm á

\

b) 0 ,5 s e )4 *

É tíd problem a anterior. Determine el

2 2

\

(g=10rTVS3).

\

).¿m? 2 2

un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando 53° con la horizontal. Después de qué tiempo su velocidad estará formando 45° con la horizontal. (g = 10 m /s2).

a) 1 s d) 2,5 *

i

c) 1800 m

© 2 0 m/«

Un cuerpo se lanza horizontalmente

Con una rapidez de 10 m/s. Calcular V . \ (g = 1 0 m /s í ).

Un cuerpo se lanza con velocidad V

de tai m od o que ia distancia en el punto "O" sea igual que su altura irüdai. (g=10 m /s3). Hallar: V, ~ .'*>

V=10m fe

rt 2 z 2 45m 2 2 2 2

'■y ftV'*-'

\ \ n í L

2

I L ljilli i ír r c r r ------------- X

a)90 m b) 60 m cp%20 m d) 150 m e) 180 rn/ Calcular la velocidad de la esferita a lo s 4 s . (g=10m /s2).

Vx =30m/s

a) 5 m d) 30 m

\ X

b) 15 m c) 25 m e) 50 m

Hallar H del gráfico, si la com ponente horizontal de la velocidad, cuando el cuerpo llegó al suelo, es de 2 0 m/s. (g = 1 0 m/s2).

'l U

J M

J Í U 'J 1

a) 10 m/s b) 10J2 m/s c) 20V2 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s Hallar la rapidez Vo co n que d ebe lanzarse horizontalmente un proyectil de la posición A para que este impacte en forma perpendicular en el plano inclinado. (g = 10 m/s3). A . .

\ a) 40 m/s b) 30 m/s c) 50 m/s d) 60 m/s e) 20 m/s Un cuerpo se lanza con una velocidad horizontal de 15 m/s. Hallar su rapidez luego d e 2 s .(g * 1 0 m /s 3).

a) 50 m d) 70 m

b) 55 m c) 65 m e) 80 m

a) 10 m/s b) 15 m/s c) 30 m/s d) 45 m/s e) 60 m/s

989

{jMT-tKCmMZ Halle el valor de la com p on en te vertical de la velocidad de disparo en "A". Si al impactar en M B", horizontalmente, lo hace con V3= 1 6 m/s. (g = 1 0 m/s2).

altura se lanzan h orizon talm en te d o s proyectiles con rapideces de 20 m /s y 30 m/s. Determinar la separación entre los puntos de impacto con ei suelo, en metros. (g=IOnrvs-). a) 2 0 m b) 4 0 m c) 6 0 m d) 8 0 m e) 10 0 m El

a) 6 ,0 m¡a b ) 7 ,5 m /s c ) 5 ,0 m /s d) 1 0 ,0 m /s e ) 1 6 ,0 m /s

E D IC IO N E S

cu e rp o

a

fu e

lan zado

horizontalmente con una rapidez "V". ¿Con qué rapidez se debe lanzar horizontalmente un cuerpo "B" para que tenga el m ism o avance horizontal que "A" al llegar a tierra?

Un proyectil se lanza con una rapidez

RURLXOSi

a) 0 ,5 5 6 3 b ) 0 ,3 6 6 s d) A b s u rd o e ) 0 ,3 5 0 s %

c) 0 2 5 0 s

Se lanza un prqyjejjlil con rapidez inicial

d e 90 m /s, fpftrTando un ángulo de inclinación d e 60* con la horizontal, contra una platafornía inclinada 30° con respecto a la horizontal. Hallar el a lc a i$ F £ Q en m elrosJftvtO nvss)

de 50 m/s. Hallar la velocidad con que impacto en la pared. ^ / o =90m /s. .

ú

»

y

v-

r

37°

"------- 200m-------

a) 1 0 m /s d)

20 V5

b ) íoVs m /s

m /s

c ) 2 0 m /s

e ) 4 0 m /s

Si un proyectil es lanzado de A y llega a B en 4 s, d eterm in e el á n g u lo d e lanzamiento « . (g= 10 m/s2).

xA

D os esferas salen ro d a n d o d e la superficie horizontal de una fyigsa rapidez d e 3 y 8 m/s, cayendo al piso de m an era q u e sus v e lo c id a d e s form an ángulos com plem entarios con el piso. Calcular la altura de la mesa, ( g - 1 0 m/s2). a) 0 ,6 m b) 1 m c ) 1 2 m d) 1 ,6 m e) 2 m

5 3 *K / 1 0 Q m)

La partícula se arroja horizontalmente

•120 m a )3 0 ° d) 5 3 ° ©

b) 3 T e ) 60 °

c) 45'

a) 3 9 0 d) 6 5 0

e) V1J2

d )2 V

en “A" con 20 m*s y ca e a 20 m de la base del plano inclinado. Halle "H\ en metros. (g= 10m /s-).

Determinar la rapidez Vo para que el

a) 5 m d) 2 0 m © b ) 2 0 m /s -4c) 2 5 m /s e ) 5 0 m/s ^

¿Desde qu é altura Sé d e b e lanzar

c) 5 4 0

D Desde una altura de 4 5 m sobre el suelo, dos proyectiles "A" y ’B*1 se lanzan en d ir e c c ió n h o rizo n ta l tal q u e sus velocidades form an entre sí 9 0 :; s e n d o la rapidez d e cada u n o en el lanzamiento 8 m /s y 15 m /s respectivamente. Halle la distancia de separación entre los proyectiles en el m om ento que "A" llega a tierra. ( g = l 0 m/s2). a) 6 5 ,9 m b ) 9 5 ,1 m c ) 77m d) 5 1 m e) 6 0 m Fbr la cañería, sale agua que debe caer al tanque que tiene un ancho de 3 m. Hallar la mínima y máxima velocidad con la que d eb e salir el agua parar que ésta caiga dentro del tanque. (g = 1 0 m/s2).

proyectil llegue al punto B, siendo el radio de la superficie cilindrica 75 m. (g = 1 0 m /s2).

a) 1 0 m /s d) 4 0 m is

>) 4 5 0 e) 440

b) 1 0 m c) 15 m e) 25 m

20m

1 Tanque r

Se lanza un proyectil tal com o muestra

la figura. Hallar el tiem po de permanencia en el aire, si V = 1 0 0 m /s. (g = 1 0 m /s2). V.

a) 2 y 2 ,5 m /s c ) 1 y 2 ,5 m /s e ) 1 y 3 ,5 m /s

b ) 1 y 3 ,0 m /s d ) 2 y 3 , 0 m /s

horizontalmente el cuerpd para que caiga a 30 m del pie del plano inclinado? (g = 1 0 mis1). ^ - % r :Z S m /5 a) 1 0 9 d) 5 0 s

b) 2 0 s e) 6 0 3

e) 2 5 9

Un dardo es lan zado d e "A" y se a) 2 5 m d )5 0 m

b) 3 5 m e) 4 5 m e) 75 m

Desde un m ism o punto a 80 m de

Incrusta en "B" perpendicularm ente a la pared Inclinada. Calcular el tiempo que viaja ei proyectil, si su rapidez de lanzamiento es V = 10 m/s. (g = 10 nVs:).

Completar: *Todo movimiento compuesto esta form ado por la unión d e......................... o más movimientos..................... * En el m ovim iento de tiro

n g » » o i3s? horizontal el m óvil posee una velocidad de lanzam iento de dirección......................

• Los movimientos que componen el m ovim iento parabólico se desarrollan en forma uno del otro.

* En el tiro horizontal el móvil realiza doB m ovim ientos simultáneos: en el eje horizontal

•En ambos m ovim ientos la magnitud que los une es el.................... de donde se cumple:

se realiza un.................... . en el eje vertical se realiza un....................

mor. horizontal

•En el eje “ X " : m ovim iento horizontal, el móvil por realizar un................... Be deberá cumplir que su velocidad horizontal siempre será.......................y su valor es: V ,«V L (Velocidad de lanzamiento)

mor. vertical

2012}

A)sólo I B ) sólo I I C) sólo I I I D ) I I y I I ¡ E)Ninguno (0 ) Desde el borde de una azotea de un edificio un niño lanza una piedra con una velocidad horizontal cuya magnitud es 6m/st como se muestra en la figura. Calcule la distancia entre el punto de lanzamiento y el del impacto.

<@ Lae com ponentes de la velocidad en un tipo parabólico son tales que la velocidad horizontal es.................... y la velocidad vertical es..................... A) constante - constante B) constante - variable C) variable - variable D ) variable - constante

1

V

♦

*\t

1

9 A

4

lOm

r

-----------------------------

i

□ □

AilOyfBm B)>¡5 C)10 D)10y¡3 E)30 @ )D esde lo alto de un edificio se @ E n relación a las siguiente^'' lanza horizontalmente una piedra afirmaciones: s T con rapidez irV0” y■luego de 3s la /) Todo movimiento parabólico es rapidez es el doble de la inicial. causado por la gravedad. . Determine “ V0n C)2043 I I ) En ausencia de la gravedad A)30sÍ3 mis B )1 5 & todos los tipos seriáh rectilíneos. D)104S E)5^3 avión que vuela U l ) Si en el mismo instante en que @ )U n soltamosuna esfera desde el mismo h o r iz o n t a lm e n t e a r a z ó n d e 90 mis lugar disparáfhos horizontalmente d e ja c a e r u n a p ie d r a d e s d e u n a una bala ésta llegará al piso después a ltu ra d e 720 m , ¿ c o n q u é velocid a d (a p ro x im a d a ) llega la p ied ra a tierra qu? la esfera.

•El desplazamiento horizontal del proyectil se calcula por :

• La altura descendida por el móvil en el eje " y ” se calcula por:

W

...................... • El tiempo es una magnitud para los m ovim ientos que con form a n el m ovim iento com pu esto. Se debe cu m p lir: t^k o rlB o n ia t

I A ESCJ4x o

vertical

$

•En todo el movimiento el proyectil posee....................velocidades.

• En el punto de lanzamiento el Indicar lo correcto: móvil posee como velocidad de \ Á)sólo I B)sólo I I lanzamiento a la velociv d !d ' D ) I y U E) I y III .

z

bí

C) sólo I I I

»

....................... ; adem ás su velocidad - (£5)El movimiento de un proyectil en

................... será cero. V — VL ~ ......................

*• '^ *

■‘ v‘ *

• • *

• En cualquier instánt£ ¿1 móvil (proyectil) tend^ffítiq^ velocidad resultante J u V 3ue 86 calculará:.... • En un movimiento parabólico el proyectil se mueve en ......... dimensiones. • En el movimiento parabólico se desarrollan.................. movimientos simultáneamente. En el eje horizontal ( X ) :

E n e l e je v e r t i c a l (Y):

el vacío resulta de la composición de: Aj M R U - M R U Cj M RU Bolamente

B) MRUV- MRUV D) M R U V - M C L

Kj M R U - M C L

(0 )E n relación al movimiento mostrado se dan las siguientes afirmaciones: I) L a

se

d e s p r e c ia

el

e fe c to

r o z a m ie n t o d e l a ir e ? ( g = 1 0

A) 140 mis D)150

B) 166,4 E)345,6

del

mlss)

C)230

(0 Desde un balcón se lanza una piedra en forma horizontal con una rapidez de 15mls, Hallar bu desplazamiento horizontal hasta el instante en que su rapidez ha aumentado en 10 mis. (g=10mls*) i*

t BC w \vÁ | = III) ”VBnes m ínim a b

B A )1 5 m

B )20 C)30 D )25

E)45

(fi^Una bomba lanzada desde un avión que viqja a 300 mis impacta sobre un barco en reposo con una rapidez de 500 mis. Calcular el

E D IC IO N E S RUH IN Ó $\

1 B S 5 *9t tiempo (en segundos) que tarda 1a bomba en hacer impacto. (g=10 m/a*) A) 10 B)20 C)30 D )40 E )50

pared im pacta la pelota.

(Q jD esde el punto “ A " es lanzada

hueco y el punto de lanzam iento, si el p royectil logra m gresar en el hueco. V~15m fs Q -

una pelota perpendicularmente a la rampa con una rapidez “ V 0” tal co m o m u e s tra la fig u r a . Determinar la longitud “ A B " .

2V02 A) g B )(

A )lm

B)2

04

A)2m D )5

E)8

H allar la separación entre el.

A)60m B)75 080 D)100 EJ125

g : N

(Q ) U na bola es soltada en “ A ”

2V2

D) — —ctgOcacO g @ D e s d e lo alto de un cerro , se lanza un proyectil com o se m uestra en la figura , ¿cuál es el tiem po (en segundos)que dem ora el proyectil en llegar a tierra?

colisionando elásticam ente con el plano inclinado. Según esto, hallar “ x ” . H = 1 0 m , (g = lOmfa*)

A )5 0 m B)40\¡2

E/16

(Q lE l a lc a n c e m á x im o d e u n proyectil es 8 m . Calcule la altura máxima par^ dicho lanzamiento

A)5 m

,B )4

03

D)1

punto “ A " con una rapidez de 25 mía com o se indica. Luego de colision ar elásticam ente en “ B 99 logra fin a lm e n te lleg a r a “ C '\ Peterm ine “ x ” y la velocidad con que llega.

y*

c\

x

A)40m ; 25mla 0 2 0 ;15 D )20 ; 25 12H A)30° D)

B ) 37° 2

C )4 5

53° E)60° 2 A una distancia horizontal de

8 m de una pared se lanza una pelota con una velocidad de 10m¡a formando un ángulo de 37° con la horizontal, hallar a qué altura de la

D /6 0 ° E)74°

c u e r p o c u a n d o ^Ve ee;n c u e n tr a a 500m de altur$i;/ £ e lOm/as).

A)50 m/s BJ125 m/a 0 1 3 5 m/s D)100m la E) 150 m/s Una persona practica tiro al blanco. El

B)0,4m E)0,90m

C)0t45m

una altura en “ H/2” hay un agente exterior que m odifica la trayectoria de la esfera despidiéndola horizontalmente. ¿Qué tiempo total demorará en caer el suelo?

C ) 2 jH g

Un proyectil, una piedra y un carro

(i^ H allar el ángulo de lanzamiento

i

A)8° B)15°

*

E)2

en la figura mostrada.

te r r e n o h o r iz o n ta l co n ra p id ez inicial de 20m/at tiene un alcance h o rizo n ta l de 2 0 m . ¿Cuál fue el ángulo de elevación del disparo con respecto a la horizontal? (g=10m/s2).

Una pequeña esfera se suelta desde

U n proyectil se lanza desde el

D )14

U n proyectil lanzado sobre un

A)0,2m D)0,3m

D)80\Í2 E )6 0

C)12

E)15

centro del blan co se encuentra sobre la misma Ifnea horizontal que el cañón del arma, y a pesar de ello, la persona dispara errando el tiro. Si la bala tiene una velocidad inicial horizontal de 500m/s y el blanco está a Í50m. ¿Ror cuanto yerra? (g=10mfs*).

C )2 0 * j2

A)8 B)10

D)18

de 2 7 0k m jh t se suelta uiucuerpo de l O k g . Si el avym^Tyuela hori^ontalmente a un*£ altura de lOOOm. Calcular lajT apidez del

P-1 h

V* C )— tgO aec 0 g

012

D esde u n avión cuya rapidez es

;

l g ) a en O coa O

B)6

20m i B)40 ; 20 E )1 0 ; 25

parten al m ism o tiempo de los puntos A, B y C respectivamente. Sabiendo que cuando la piedra y el proyectil chocan en “ P ” el carro pasa por “A” . Halle la rapidez de lanzamiento del proyectil, si la piedra y el carro parten del reposo. (g=ÍOm/$l).

V

Una pelota es lanzada en “A 99con V igual a 5 m/s, si realiza una colisión elástica con la pared. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento colisiona por segunda vez?

o =0

\80m

A)5 m/a D)20 m/a

a = 30mta2 VoZ= °

180m ' B )10 mía 0 1 5 m/a E)25 m/a

D os proyectiles son lanzados simultáneamente. Si las celeridades

de A y B , se diferencian en 6m¡8. ¿A l ca b o de q u é tie m p o d ich o s p ro y e c tile s e s ta r á n s o b r e u n a misma vertical?

E sa x»a A)10m/a B) 20 m/a D )40 m/a E)50 mfa

I A EXCU'J. w m zM A 2012} 0 2 5 m/a

( © ¿ D e s d e q u é a ltu r a se d e b e lanzar horizontalm ente el cuerpo para que caiga a 30m del pie del plano inclinado? (g = lOm/a2).

25m ¡s lOm A)la

B)2a

*

—

C)4 b

D)5a

E)8a

@ ) S i el proyectil B fue lanzado dos segu n dos d esp u és d e te rm in e el valor de V0 para que im pacten en el aire. (g=lOm/a )

m Se m uestra un avión que desea b o m b a r d e a r u n ta n q u e q u e se m ueve en la m ism a dirección. Si la velocidad del avión es 280 m/a y la del tanque es 2 0 m/a .Calcular la distancia “ x ” , si en este instante el avión suelta una bom ba y logra su objetivo. (g ~ 1 0 m/a2) A)2 000 m

A)25m B )3 5 m 045 m D )5 0 m E )7 5 m

B)800m C)3 000 m

BOOrn

D)2 600 m

X

E)1 300 m

La b o lita se lanza en form a Un proyectil es lanzado com o

A)10m¡8 DJ40 m/a

B)20 m/a E)50 m/a

0 2 5 m/a

© D e s d e un vagón, que se m ueve con rapidez constante de 30m/a, se lanza una piedra con una rapidez de 15m/a respecto al vagón y una dirección de 53°. Luego de la , el desplazam iento h orizon ta l de la piedra respecto a tierra, es: 15mla

n

A)21 m D)12m

B)42m E)Om

_ 30m/s 3 ------- ►

se m uestra. Determ inar el valor de su velocidad en el punto más alto. (g=10m /at)

50m/8j

desplazamiento horizontal respecto a lv a g ón es:

A )3 m B)6m C)9m D)12m E)Om © D e t e r m in e la rapidez V0 para que el proyectil llegue al punto B , siendo el radio de la s u p e rficie cilindrica 75m.(g=10m/a*.)

B) 60 m O 75 m E) 100 m Se da el gráfico del movimiento

A) 30 m/a B) 40 m/a O 50 m/a D) 60 m/a E) 70 m/a

parabólico de un proyectil. Calcular

( © Del problema anterior, Calcular

la V* -v Va-

el alcance h orizon ta l y la altura m áxim a. (D ar com o respuesta la sum a de ellas) A) 240 m B) 285 m O 265 m D ) 320 m E) 300 m < © Del gráfico m ostrado, Calcular

039m

A) 45 m

D) 80 m

/ 3t

la altura m áxim a y el tiem po de subida ( g - 1 0 m/a2; V = 1 0 0 m/a) V.

© E n el p ro b le m a a n t e r io r el

37*

-

horizontal con V=20m/a . Calcular la lo n g itu d del p la n o in clin ad o. (g=10m /a2)

30° A) 120 m y 12 a B ) 1 0 0 m y l 0 a O 125 m y 5 a D ) 125 m y 10 a E) 100 m y 5 a

12mla

A)20 m/a; 15 m/a B)12 m/a; 16 m/a 0 1 6 m/a; lOm/a D) 10 m/a; 20 m/a E)16 m/a; 10 m/a D os proyectiles se lanzan con valores de V = 20 m/a.

velocidades iguales

Calcular (x+ y) (g=10 m/a5)

< © Si una pelota es lanzada en la posición con V=15m/a impacta en la ventana “ A ” Calcular la altura de la ventana (g = 1 0 m/a2)

A) 2 m

B) 25 m E) 50 m

O 30 m

B) 4 m

El alcan ce de una piedra lanzada

0 6m

desde cierto punió es x = 2 4 0 m y la altura máxima a que se ha elevado es H =45 m. Calcular con qué ángulo de elevación es lanzado el proyectil.

D) 9 m E) 10 m

18m

99» E

BEES

E M t l O X K S RiJBLXOS)

A) 30P B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°

Determine las coordenadas de dicho punto. (g=10m /s2).

(Q ) Calcular x , si VQ= 2 0 m¡8 . (g =

Y

10 m/s2)

V0

(í#?)Se

A) 5 m

un

x?= 20y

p r o y e c t il

v S

verticalm ente con una rapidez de 60m/s e n u n lu g a r d o n d e la a c e le r a c ió n d e la g r a v e d a d es constante y cuya m agnitud es de 20m/s2. Halle el alcance horizontal.

B) 10 m 45m

C) 15 m

la n z a

D) 20 m

''A X

£

E) 25 m

50m (fj) Si en el tiro al sapo se hizo con

30$

A )(8 ; 4) B )(10 ; 5) 0 ( 1 6 ¡ 10) D )(2 0 ; 20) E )(40 ; 80) -

V =60jm ls

En el instante m ostrado , tres

Y

V9=5 mis , tal com o se indica en la figura, hallar el tiem po que dura el vuelo (de A a B ). Tom ar g= 1 0 m/s2

A)865m B)965m C)1245,6m D)1400,3m E)1300,5m Dentro de un tren que avanza

@

¿C u á n to tiem p o ta rd a rá la

esferita en llegar al piso?

(g^lOmfa1). Calcular tam bién “ x ” .

h o r iz o n ta lm e n te co n v e lo cid a d constante un pasajero lanza una moneda verticalmente hacia arriba. El m ovim iento de la m oneda visto p or un observador fijo en tierra, está m ejor representado por :

A ' A) 4 s; 50 m B) 3 a; 120 m

1

135m

D) 1 a; 70 m

J

E) 9 a; 80 m

X—H

m Si el choque de am bos cuerpos la n z a d o s s im u ltá n e a m e n te se produce erv la posición m ostrada, calcular-."# " (g = 1 0 m/s2)

m ayor que 1 .

o v=o B 40m

f

w La ecuación de la trayectoria que describe un proyectil es:

JTi A) 5 ■J77 D)

B)2

2 C )3

3 4 D)4

vA

5 E)5

A)1

C) 2 a; 60 m

d e te rm in e la re la ció n Y
MA A A

..

V=50m/8

esferas son puestae en'movimiento. Si después l s la esfera B equidista lOm de cada esfera cuando las tres se encuentran en la misma vertical,

x y =x 100 el á n g u lo de D e te r m in e lanzam iento, si fue im pulsado del origen de coordenadas. A)3(T B)37° 0 4 5 0 D)53° E)60°

Ve 40m ^

40rn

B) E)

Ig

5 ^JTl 437

O

\¡77

Si los proyectiles son lanzados sim ultáneam ente y chocan en P f determ ine el ángulo $ .

@ ) S i un p roy ectil es disparado *

B )3 T 0 53°

i

%

V ' / *7

D) 60a

80m

60m — !

d e s d e O p a sa p o r lo s p u n to s A (40;25) y B (1 6 0 ; 40). Determine el ángulo de lanzam iento. /g=iom/i*t. V.

E)3
A tr

B •. D)15*

E)3°

7mla

A)80m; 28m B)40m; 14m C)80m; 70m

Un jugador lanza una pelota con

A)30° B)37° 0 4 5 ° D)53° E)60°

una velocidad de 15^3 j +15 k .

Si el proyectil que es lanzado en

E n e l m is m o in s t a n t e de lanzam iento em pieza un viento con

O con V0= 10^/2 m/s impacta en A.

una aceleración de 1 ¡ m/s 2 A qué

a p J r ^ jr c iA

f ím

2

9

* ia a

I A ENCJUJ.ap^oiui 2012}

d ista n cia d el b a te a d o r ca erá la

A /30° BJ3T 0 4 6 a 0 )6 3 ° E)60°

pelota? g = -10km /M *

(Q )E n un partido de fútbol entre el U niversitario y el Alianza Lima, un ju gador de la U patea la pelota e n el su elo la n zá n d ola con una rapidez de 26mia y con un ángulo de 3 T respecto a la horizontal. En el m ism o instante un jugador del A lia n z a L im a c o r r e en s e n tid o contrario y logra alcanzar la pelota justo al llegar al suelo. Si la rapidez del segundo ju gador es de 5 m /s , la distancia que separaba inicialmente a am bos jugadores es: (g=10m ¡8*). A) 76m B) 60m O 65m D)48m E)76m

A )r = 4 l+ 6 j+ 8 k B )r = 2 5 j3 Í + 2 5 & j + k C )r = 1 6 i+ 1 6 j D )r = 2 0 i+ 2 0 y f3 j E )r = 4 ,5 i+ 4 6 > [3 j ^Tf^Con qué rapidez en el m om ento de lan zam ien to de un co h e te es necesario disparar de un cañón para destruir el cohete que sube con una aceleración a . •

(Í ^ U n proyectil es lanzado desde el punto A con

210m . (Considere g=10m l8s). B

lOOmls . 53° H orizon tal A )W V D )FVF

B)FFF E)VFF

OVFV

(Q )U n vagón de tren

Be

desplaza

co n v e jq cjd a d u n ifo rm e .E n u n determinado instante, se desprende del techo fin perno, luego se puede a fín n a r que el perno impactará en el punto:

una velocidad ' . 1

¿O

^ P ern o > " i5

^

inicial V o— (2 i + 3 j ) m /s.

A )~ j2 (g + a )L

B )J (g + a )L

C )j2 (g -a )L

D )J (g -a )L

E ^ fg * - a * ) L

Determ inar el ángulo que form an los vectores velocidad y aceleración en el p u n to B de ch oq u e con la pared. (g=10m Í8s). A

(Q S e lanza un proyectil hacia la

A) 4

jf.*

inclinación de la ram pa es a = 30°

un

á n g u lo

0 = 4 5 ° con

la

horizontal, (asum ir g = 1 0 m /a * ^

t* A) 30° D)4S°

0,4m B)60° E )Tg -*(2)

O T g l(l/2)

@ ) U n p royectil, en m ovim ien to

La distancia
A/9Jm D)132m

B )Í0 lm E)122m

C)112m

(Q )Si un proyectil es lanzado de A y llega a B en 4 b , d eterm in e el ángulo de lanzam iento $ .

(g=10m/a9).

120m

02

D) 1

E)5

(ffyU n estudiante, para m edir la

parte superior de una ram pa com o se m u e s tra en la fig u r a . La y el proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 50m í» haciendo

B )3

parabólico, pasa por los puntos A y B . La figura m uestra la magnitud y la dirección del vector velocidad del proyectil en dichos puntos. Diga c u á le s de la s s ig u ie n te s afirm aciones son verdaderas (V ) o falsas (F) en el m ism o orden en que son enunciadas:

altura de un árbol, lanza una piedra desde una distancia horizontal de 4 2 m m ediante un aparato desde el suelo con un ángulo de elevación de 53°. Si él constata que el tiem po transcurrido entre el disparo y la llegada de la piedra a la punta del árbol es de 3s. ¿Cuál es la altura (en m etros) del árbol? (Asumirg=iOm/#, j.

A) 7

B )9

O lí

D )9t6

E)1S

( g ) U n a m a sa m u y p e q u e ñ a es lanzada hacia la parte superior de u n plano inclinado com o se muestra en la figura. ¿C on qué rapidez, en m /s, debe dejar el plano para llegar justo al punto P ? (g = lOrn/s*/.

/ / El tiem po que tarda el proyectil en ir del punto A al punto B es 3,58. / / / L a velocidad del proyectil en el punto B , es de 75m /s.

III) La distancia horizontal entre las proyecciones verticales de lo's puntos A y B sobre el piso es de

A)5

B)8

O10

D)2

E)15

R tm m a S i

e d ic io n e s

(@ F J carrito acelera

A 1p-

con a=7,Sm/s2.

a) 1 0 m

Desde el punto “A” se suelta un tomillo. ¿AI cabo de qué tiempo ch oca con la superficie esférica de 2,5m de radio? (g=10m/s*)

r .o

20 m

lOOOm

25 m 40 m 50 m

•

lOOOm

a

A )3 (T

B )3 T E )5 3 °

D )6 0 °

C )4 S ° En la figura mostrada, determine la

@ ) F d t un plano inclinado de 450 se lanza una bola con )a rapidez Vo y form ando también un ángulo de 45° con la horizontal.

•'OíS

AJO,6 »

B )0 ,8 s

D )la

E )l¿ 5 a

rapidez con la que se arro)a la pelota en (A) para lograr encestar en (B). (g = 1 0 m /s 2).

C ) 0 ,7 5 a g

I

© S i los proyectiles A y B son lanzados

2,5 m

sim ultáneam ente de las p o s icio n e s indicadas chocan en ei punto P. Determinar una relación entre tos ángulos d e

8m a) 7 ,5 m/s d) 1 5 m /s

lanzamiento a y O . y>

/X

A)L*=Te. B )L = V ¿ — 8 8

C tL

Yl 2g

D )L

b ) 1 0 m/s c) 1 2 ,5 m/s e) 2 0 m/s

% La ecu ación de la trayectoria que

Un

A

proyectil

es

lan zado

horizontalmente con V = 5 m/s. Determine la distancia BC. (g=J0m/8*).

.

\c

A )T a n O = S T a n a

B ) T a n a = STanO

a) 5 m

C )T a n O = 6 T a n a E YTanB= T a n a

D )T a n a = 6TanB

b ) sVfm c ) lO m

ttMEn el instante en que "n a piedra es

d)

soltada desde el punto A, un proyectil es lanzado del punto B con una velocidad

e) 2 0 m

io

« r ^ v0

(g= 10 m /s-). a) 1 m/s b ) 2 m/s e ) 4 m/s d) 5 m/s e ) 8 m/s

io m

J2m

IWK]

£Zd 'JiuiE fE Jüi^iüurD sibiiii bLinwi):* __________________________________________ m

inicial V, que forma un ángulo " (X "c o n la

Un cuerpo se lanza horizontaimente

horizontal. Determine el valor de 11& f*

del punto A con una velocidad de 10 m/s e im pacta en el punto C. D eterm ine la máxima longitud de AB. ( g = 10 m/s2).

para que el proyectil impacte a ia piedra en el punto P.

describe un proyectil es: 4y = 4V3x -5 x 2 en unidades del S.l. Hallar la velocidad en el punto más alto de la trayectoria.

[aaWBS P g M T M roiM fJU C W O C a ¡M 8 )R [ 6 j » p M * ) 0 »>€|Í0)O: fi i > n i* )f I3)F. i i a Í M u l l f M f7)J»]f*M 19H 'k fM t*)r. l*ixta> /:ía7)d»> rl»íC & #> r

) i D ü n jn n n ü 3 Q i i :m E R i j n [íijBl tu; m rifm xm pe

M OVIM IEN TO C O M PU E STO

ü

p

íi

St

a

w

u c t íc j i

M ovim ien to C om p u esto 3 Ks aquel raov»mi«ilu que se origina por Jo» (2) o m is velocidades en distintas direcciones O bserva el m o v im ie o to d e l n iñ o y la p e lo ta A l p r in c ip io la pelota n o tie n e m o v im ie n to , p e r o lu e g o d e s e r p a te a d o p o r e! niñ o, la p elota a d q u ie r e d o s v e lo c id a d e s en d ife re n te s d ire ccio n e s.

P rincipio ü r Írtd«pendrQciti d e lus muvimitmtos : Esk* primiinu fue mtoUUfcuk) jmr fiable» (»&l¡U*i y mjUWcy que? ~\d* rnm*im*ntn* corapmenU* pn un n w ¡ mutnte rom puertos* rtauMimdUin ind*puiwJH*itcmml
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Movimiento verlirol

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V,iV«turM»d Horltcwiil Cita w M éa d m roiauaui1

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MOVIMIENTO COMPUESTO

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MOVIMIENTO COMPUESTO

Un bote moviendo** en el rio i El boto por su* propio* medio* pose* una velocidad V, rtupecto al agua, y el it(u» a »u vea m mueve reapretó del fondo (Uerra) con una velocidad V* Luego, el bote potce simultáneamente dos velocidades.

Tiro Horlaonlal

Problema*

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O B J E T IV O S :

* Relacionar las variables circulares con las rectilíneas.

LVTROOUCCMÓN í M OVIM IENTO CIRCCI-AR (I irrunlVrfiuMiil) He d ice que un m óvil m ilita un m ovim iento circular. ruando la

trayectoria que dcarrib* «u m ovim iento e » una circunferencia. I

j i i

d r

m i

-...

I. r»X X * á »n 4 * w#J<ñA fr*vé* m

ij* maa rlrrvwfereHri». (i t n m

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i m

Estudiarem os ahora u n o de los m ovim ien tos más h e rm o s o s y p e r fe c t o s q u e se p r e s e n ta n en la naturaleza, el m ovim iento circular. Sabem os que los planetas giran a lred ed or del S ol con velocidades variables en órbitas elípticas; sin embargo, para efectos prácticos con sid era rem os estos m ov im ien tos casi circu la res y u n ifo rm e s . E l m o v im ie n to c ircu la r uniforme se produce cuando la trayectoria que describe un cuerpo es una circunferencia, y además, el cuerpo se mueve siem pre con una rapidez constante. En este tipo de m ovim iento, la velocidad del cuerpo que gira en cualquier punto de la trayectoria tiene dirección tangencial a la misma, y p or lo tanto, es perpendicular al radio de la circunferencia. Así, la m agnitud de la velocidad es constante, pero su dirección varia; esto h ace q u e e s te riío v im ie n to sea a c e le r a d o . E sta a celera ción , c o m o v e re m o s m á s a d e la n te , tie n e dirección radial y hacia el centro de la trayectoria, y es producida por una fuerza, que es, precisam ente, la responsable de este tipo de m ovim iento. Otros ejemplos de fuerzas que originan este m ism o movimiento son la que ejerce la Tierra sobre la Luna, o la que produce una cuerda sobre un objeto que gira atado en su extrem o. ¿Q ué sucedería si, por ejemplo, se reventara la cuerda, o desapareciera esa fuerza? . El objeto saldría despedido en la dirección de la flecha

E v g w w ia M A g flM ]

estado de m ovim iento. En el m ovim iento circular, la fuerza es necesaria para desviar al cu erp o de su m ovim iento inercial; se trata de una fuerza dirigida hacia el centro del círculo; por eso, se le llama fuerza centrípeta. La descripción anterior ilustra, además, que la llamada fuerza centrifuga, o pseudofuerza (hacia fuera del centro), n o desem peña ningún papel en la despedida del objeto cuando la cuerda se rom pe; para el m ovim iento inercial se supone que la fuerza total es nula (en este caso, n o con sid era m os la fuerza de gravedad).

* Reconocer y verificar que en un m ovim iento circular uniforme , las magnitudes de la velocidad y aceleración no cambian, pero sí sus direcciones.

I],*

U

ta n gen te; el objeto en m ovim iento tendería a moverse en una trayectoria rectilínea por inercia, pues ahora no habría fuerza externa alguna que le cam biara ese

* Conocer y describir las características y propiedades de un m ovim iento circu n feren cia l.

£jwnplo*:

l E

i i

Cuando nos desplazam os en línea recta dentro de un autom óvil con velocidad constante, y en determ inado m om en to éste realiza un vira je cu rvad o hacia la izquierda, tenemos la sensación de ser empujados hacia la derecha, y ese costado del autom óvil es el que nos impide salim os hacia fuera; en este caso, tam poco se trata de una fuerza centrífuga que nos quiera expulsar, sino de la fuerza centrípeta que modifica el movimiento inercial original del autom óvil; nuestra tendencia a seguir en linea recta es la que en realidad justifica ese tir o h a cia fu e ra c u a n d o in t e r v ie n e u n a fu erza centrípeta. En u n cu erpo ríg id o, tod as las partícu las que lo conform an describen u n m ovim iento de rotación igual, dando una vuelta respecto del centro o eje en el mismo t iem po; en el caso de la Tierra, en el ecuador, a 45° de latitud norte o sur, e incluso en los polos, todo gira alrededor del eje, una vez en 24 h . Analicemos el siguiente juego acrobático en el cual un ciclista entra en un rizo, de abajo arriba, y describe una circunferencia completa, a pesar de que la parte superior de esta circunferencia la recorre con la cabeza hacia abajo.

D

E

" '

A

Para poder pasar felizmente la parte peligrosa del rizo, es decir,

997 la parte superior, el ciclista debe llevar una velocidad suficientemente grande. Esta velocidad viene determinada por la altura desde la cual empieza a descender. La velocidad mínima tolerable depende del radio del rizo.

•

rotación

K IH C IO X E S

K V tU Ñ O fÁ

MOVIMIENTO CIRCULAR Es aquel movimiento efectuado por móvil que describe una trayectoria circular o parte de una circunferencia, como por ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al extremo de una cuerda. ^

traslación

A diario estam os rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un d is co com pacto durante su reproducción, las manecillas de un reloj, las ruedas de una motocicleta, asi como los planetas y satélites describen órbitas casi circulares,.... etc

¿Q u é e s e l m o v im ien to c ir c u n fe r e n c ia l?

Para responder, analicemos lo que ocurre cuando una piedra atada a una cuerda gira en un plano vertical.

R A D IO D E G IR O ( R ) Z

Es el segmento de recta ¿razado desde el centro de la circunfdrghcia hasta la partícula; su medida es igual al radique U&trayectoria circunferencial con la diferencia que este segmento es móvil, ya que gira a medida que la partícula se mueve. Por ello recibe el nombre de radio de giro y su unidad es el metro (m ). An g u l o

d r gm ro

( q) :

Es el ángulo que barre el radio de giro de la partícula, por ello se le denomina ángulo de giro. Nótese que también es el ángulo central de la circunferencia, siendo su unidad el radián (rad).

M O V IM IE N T O C IR C U L A R U N IFO R M E (M .C .U ) • Respecto al centro ( O ) la piedra cambia continuamente de posición Si unimos todas lajgposiciones por las que pasa la piedra obtenemófiuna línea curva denominada circunferencia. • El vector que parffcdescentro *O » y ubica a la piedra en todo instante se denomina radio vector r , el que describe un ángulo^ftntral (6 ) y una superficie denominado círculo. Sisólo consideramos la trayectoria que describe la piedra diremos que ésta desarrolla un MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL.

Por lo anterior, se dice lo siguiente: El MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL es un fenómeno físico que se m anifiesta cuando simultáneamente un cuerpo cambia de posición y de ángulo central respecto de un punto fyo denominado centro, permitiéndole describir una circunferencia como trayectoria.

Es el movimiento de trayectoria circular en donde el valor de la velocidad del móvil se mantiene constante en todo instante (pero su dirección cambia). Se recorren en la circunferencia distancias iguales en tiempos iguales y también se describen ángulos centrales iguales en tiempos iguales:

D E S P L A Z A M IE N T O A N G U L A R ( 9 ) Es el ángulo central barrido por el móvil, el cual se mide en radianes (rad).

[ju 'w ^ í

U EVT/aoi^Bñ 2012}

■ K ñ itH

9 está expresado en vueltas, revolucione* «radianes.

Cuando t t o M m o » d e dato o no* pidan hallar e l núm ero d e vuelta*, de

revolucione» o radianes, en realidad uus están dando o no* «atan pkiieudo 6.

una partícula, por cada unidad de tiempo al desarrollar un M.C.U. En consecuencia : n ú m e r o d e v u e lta s tie m p o e m p le a d o e n d e s a r r o lla r "n" v u elta s

R ; Kndlo v e cto r

LO N G IT U D D E A R C O ( S ) Es la longitud del arco de la circunferencia, el cual coincide con el recorrido de la partícula. Magnitud física que nos expresa el espacio recorrido por el móvil, se mide en ”m" (metros).

La frecuencia y el periodo están relacionados. Dadas las relaciones pará detérminarlas y las unidades que se maneja para cada una , se deduce que son

AS = RAO

S = 0R

Es común dar la frecuencia en ciclos por segundo (cps) o revoluciones por segundo (RES.) y en otros casos en revoluciones por minuto (R.EM.). El número de vueltas, revoluciones y los ciclos son términos descriptivos que en consecuencia no tienen unidad, por ello la unidad de frecuencia, es lis o 8~* y se le denomina Hertz (Hz).

E a p n rio T.ínrnl Ea el t r a y e c t o r e c o r r id o p o r el m ó v il en la c ir c u n fe r e n c ia .

magnitudes inversas, tal que : U n id a d : H ertz (Hz) , .. . 1 R evolución * 1Hz = 1 oscilación/s < > ---------------------< > Irp s segundo

oscilación < > ciclo < > vuelta < > revolución El arco O

La frecuencia es la inversa del periodo y viceversa.

*«tá c t p r e u d n en : ( w . C fflO K m )

El periodo y la frecuencia también se pueden relacionar con la rapidez angular. En una vuelta el radio de giro

P E R IO D O T : En el M.C.U., se denomina periodo al intervalo de tiempo que emplea una partícula en realizar una vuelta, una revolución o un ciclo(describir 2 x r a d ) . Si conocemos el número de vueltas (n ) y el tiempo empleado, el periodo se determina así

barre un ángulo 0= 2 n r a d y el tiempo que emplea en una vuelta es justamente el periodo, entonces :

tie m p o e m p le a d o en w

—

y

d e s a r r o lla r "w" v u elta s

Lé tmta+rtcUcoínrldt

t

n ú m e r o d e v u e lta s

El periodo siempre será expresado en segundos. Con fines descriptivos, algunas veces el periodo también se da en segundos por revolución (s/rev) o en segundos por ciclos (sfcictq).

en nwSduío ron 1a veW idiul Mnffutflt

o

rujimltt csUn t*u:.

RcWéa VovUnV*.

...... r . * Vuelta v S*v 1 « n i cv p reu d o e n : — — «

«

*

V E L O C ID A D TA N G E N C IA L O fVoWidMt A«Kui»r Constante.

"

»•

(V )

* Periodo <33 tath.rxp!>*■■*» en ««gundoBf»*),*»

R

•* .

L IN E A L

...

M b rm ttttn d »

q u e » por una vurttin

Mtmpo 1 «Sofito» I

FR E C U EN C IA (O í Es una magnitud física escalar que nos expresa el número de vueltas, revoluciones o ciclos que realiza

V \ : Vrloi'idwl Liiwul

Vi. está ex p resa d o en :

E I H C I O X E S RUHMÑOSH

999 Es la velocidad instantánea del M.C.U., su valor nos indica la longitud de circunferencia recorrida en la unidad de tiem po y es tangente a la circunferencia de trayectoria.

Como:S= OR radls Además:

V E L O C ID A D A N G U L A R (m) Es la magnitud física vectorial que nos indica la rapidez y dirección del ángulo central descrito. Su dirección se determina m ediante la regla de la M ano Derecha, la cual consiste en girar los 4 dedos juntos, m enos el pulgar en el sentido del m ovim iento; luego de ello el dedo pulgar indica la dirección de la velocidad angular

ra p

r m e d ia or II JIM. MírvolwrfiM Por Minvio: M

radia

(¿)),(se representa p or un vector perpendicular al centro de la circunferencia), tal com o se m uestra en la figura. UTeild cxpr*Mdo ro ;

A í E E E R A C l Ó N Á X G l J l . A K (a ) r .

Si un cqárpo se desplaza p or una curva y su velocidad angulai& ram bip, e n to n ce s a p a rece la a celera ción angular cu yá'airección es perpendicular al plano de ro ta ció n , y su sentido coincidirá con el de la velocidad angular si el m ovim iento es acelerado y será de sentido opuesto a e lla , si el m ovim iento es desacelerado.

(radia9)

VT= — 1 t

0 co=— t

M ovim iento d esacelerado

M ovim iento a celera d o

A C E L E R A C IÓ N TAN G E N C IA L O L I N E A L (aT ) Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor o m ódulo de su velocidad tangencial cam bia, entonces aparece la aceleración tangencial cuya dirección será tangente a la circunferencia y su sentido coincidirá con el de la velocidad tangencial si el m ovim iento es a ce le ra d o y será de s e n tid o o p u e sto a ella , si el m ovim iento es desacelerado. ♦ El m ódulo de la aceleración tangencial se define:

fu l f c V T f r x o y a » t t 2 0 1 * 1

AV At

V , - V¡

Ai

m ¡ a* )

r

•En un movimiento circular la aceleración normal, será igual a la centrípeta.

* Recuerde: V, y Vj: son velocidades tangenciales (lineales) instantáneas. r a d io d e c u r v a tu r a U T

i W w qtfr* n t i r + n : — M

i »

* »

*

_

O

.

Ai- eatá expmado tn :

A C E L E R A C IO N T O T A L (a ) Se denomina así a la resultante de la aceleración tangencial con la aceleración centrípeta, también se le denomina aceleración instantánea. >

•También: y

m is'

rád/s * m *y

M o v im ie n to a c e le r a d o

t r

M o v im ie n to d e s a c e le r a d o

A C E L E R A C IÓ N C E N T R ÍP E T A ( a ^ ) Es la aceleración que posee todo cuerpo con M.C.U. está relacionada con el cambio de dirección de la velocidad tangencial y está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. . * . ;

'

i

En un M.C.U. la velocidad en módulo se mantiene constante, sin embargó, continuamente cambia de dirección, por ello decimos que la velocidad es variable y debido a está-variación concluimos que el móvil experimenta aceleración. V«

pero V = fl> r

*

M o v im ie n to a celera d o

M o v im ie n to d e s a c e le r a d o

M O V IM IE N T O D E T R A S L A C IO N Consideremos una polea que resbala (no rueda) a través del piso sin fricción.

e ir jg r r t rjfw ug Todos los puntos de la polea tienen igual velocidad de traslación o avance.

M O V IM IE N T O D E R O T A C IÓ N Ahora con sid erem os un eje g ira to rio fijo e n sus extremos, la polea únicam ente podrá experim entar

En este ca so ú n ica m e n te los p u n to s p e rifé rico s (tangenciales) de la polea tendrán igual velocidad.

M O VIM IE N TO D E T R A S L A C IÓ N Y R O T A C IÓ N Consideremos que la polea - rueda trasladándose sobre una pista áspera, en cada uno de los puntos periféricos (A, B y C ), acá el centro de la polea de radio “ E " se traslada con una velocidad “ V " y ella gira con una velocidad angular " ¿y " •

Vt+Vr=V+V=2V

* Donde: i

Velocidad de traslaSSn(vector horizontal). .

© TU S

E D IC IO N E S K U D IÑ O S

día sidéreo. Si tom am os com o referencia al Sol, el m ism o m eridiano pasa frente a nuestra estrella cada 24 h ora s, llam ado día solar. L os 3 m in u tos y 56 segundos de diferencia se deben a que en ese plazo de tiem po la Tierra ha avanzado en su órbita y debe de girar algo m ás que un día sideral para com pletar un día solar. 1

Ptáo W

La primera referencia tom ada p d ffcM lfrn b re fue el S ol, cu y o m o v im ie n to a p a r e a te T o r ig in a d o en la rotación de la Tierra, d etem in a éfclía y la noche, dando la im presión que el cielo gira alrededor del planeta. En el usp goloquial del lenguaje se utiliza la palabra día parájri^ignar este fenóm eno, que en astronom ía se refíereron\<5ifa solar y se corresponde con el tiempo solar. M O V IM IE N T O D B T R A S L A C IÓ N D E L A T IE R R A

Es un movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol. En 365 días con 6 horas, esas 6 horas se acumulan cada año, transcurridos 4 años, se convierte en 24 horas (1 día). Cada cuatro años hay un año que tiene 366 días, al que se denom ina Año Bisiesto. La causa de este movimiento es la acción de la gravedad, y origina una serie de cambios que, al igual que el día, permiten la medición del tiempo. Tomando como referencia el Sol, resulta lo que se denomina año tropical, lapso necesario para que se repitan las estaciones del año. Dura 365 días, 5 horas y 47 minutos. El movimiento que describe es una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de prácticamente 150 millones de kilómetros ó 1 V A . (Unidad Astronómica: 149 675 000 km). De esto se deduce que la Tierra se desplaza con una rapidez media de 106 200 km/h (29,5 km/s).

j

VR: Velocidad de rotación (vector tangente). V ,= 2 V

¡VD= V B= V j 2

t

A

; Vc = 0

MOVIMIENTO DB ROTACIÓN D E L A TIEi Es un m ovim iento que efectúa la Tierra girando sobre sí misma a lo largo de un eje im aginario denom inado Eje terrestre que pasa p or sus p olos. U na vuelta completa, tomando com o referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 m inutos y 4 segundos y se denom ina

I

í r

ItitM

IKE^

a oa

La trayectoria u órbita terrestre es elíptica. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse y, debido a la excentricidad de la órbita, la distancia entre el Sol y la Tierra varía a lo largo del año. A primeros días de enero se alcanza la máxima proximidad al Sol, produciéndose el perihelio, donde la distancia es de 147,5 millones de km, 1 mientras que en los primeros días de julio se alcanza la máxima lejanía, denominado afelio, donde la distancia es de 152,6 millones de km. Como se observa en el gráfico de arriba, el eje terrestre forma un ángulo de unos 23,5° respecto a la normal de la eclíptica, fenómeno denominado oblicuidad de la eclíptica. Esta inclinación, combinada con la traslación, produce sendos largos períodos de varios meses de luz y oscuridad continuadas en los polos geográficos, además de ser la causa de las estaciones del año, derivadas del cambio del ángulo de incidencia de la radiación solar

I A E X C m .o M n n A 2012}

4)

yJ=V* = VU“ Puntos periféricos

; \a)jll = a)2r

n o ta:

Si dos o más partículas girán en base a un mismo centro, bus velocidades angulares serán iguales.

P R O P IE D A D E S D E L A m

T R A N S M IS IÓ N D E M O V IM IE N T O S * e

l)L o s p u n to s l y 2 p e r te n e c e n a la r u e d a

polea m ó vil

Para el instante mostrado:

qje de g i r o

(D j —

* ú9

V j s o r j ; V2=(or2; V3 =a>r¿

O : C en tro in s ta n tá n e o d e r o ta c ió n d e u n c u e r p o ríg id o .

también:

O B S E R V A C IÓ N :

Cuando un disco, polea, rueda o engranaje posee un movimiento de rotación uniforme con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro, todos loe

909

[w o y iy ifC T r o

puntos rotan con la misma velocidad angular.

M O VIM IEN TO Cm CVFEREN CM AL U N IFO R M E (M .C .U )

E M C M O N E S K U ttiÑ O M

Por eso para resolver los problem as, debemos considerar esa semejanza, y para ello graficaremos como si se tratara de un movimiento rectilíneo.

Es aquel m ovim iento cuya trayectoria es una circunferencia, donde:

2S

M O V IM IE N T O CJJRVILINEO ■s

G/ E¿ NV'E R A L E N UN P L A N O

ECUACIÓN BÁSICA :

Considé^ño^Ét movimiento de una partícula que describ^ima^wayectoria curvilínea en un plano tal como se muestra:

ITCTORLIL : //E n iguales intervalos de tiempo barre ángulos centrales (o longitudes de arco) ¡guales. / / / La velocidad tangencial o instantánea es constante en módulo. |y|= constante, además:

|¿z?|=

constante

.V

* Cuando la partícula se encuentra en “ A ” , su velocidad está dada por: v = dr

U l) ‘ *S” es directafhénte proporcional a **t“

" 0 99e6 directamente proporcional a OBSERVA CIÓN

$

Es fácil darse cuenta, que hay una semejanza entre el M.C.U. y el M.R.U., si cambiamos a ” 0 "por tfd ” y 11m” por es decir:

........................................................................................................................................................

dt

•Usando los vectores unitarios: ( ¿ r // p) y

(I)

± p)

* Se puede escribir: r = r ■ur * Por consiguiente, en (I): ¥, d i ~ \ - d r , rdur , ww. V = — \ r u r ) = u r — + —— ............................ ( / / / d t' dt dt • Ahora, usando las componentes rectangulares de los vectores unitarios, se tiene: A

I

A

I

A

I

|

^

• U r = IUr IU x C o sO + \ur \U yS en O u r = U x C o sO + u y S en O

IA

2012}

partícula describe un movimiento circunferencial en el plano xy.

u e - |ug|( - u , ) S e n e + \üe |(u y ) CosO => u e = - u xSenO + uyCosQ

* Vemos que: * _ dQ ~ n _ d& ^ dO dur = - UxSenO —- + u yCoéO —— dt dt y dt Ue~dt * Por consiguiente, reemplazando en (¿7) a

dO V^=r— = 0 , no hay velocidad transversal. Oí

La

velocidad es completamente radial y la partícula no experimenta giro; entonces, la trayectoria será rectilínea en la dirección que indica el ángulo " 0 ".

(III) * El primer término de la ecuación, es un vector paralelo a ? y e s una componente de la velocidad que se le denomina: velocidad radial (V ¿ ) y está asociada al cambio de la distancia ( r ) desde “ O ” hacia la partícula. En módulo: • El segundo término, es un vector perpendicular a

PROBLEM A 1

La figura muestra una hélice .compuesta de 5 paletas que giran a razón de 360 rpra. Si la longitud de cada paleta es de 0,5 m etros, calcule la aceleración centrípeta en mis3 de las puntas exteriores de las paletas.

r , es la otra componente de la velocidad, a la cual

A )1 4 ,4 x *

denominamos velocidad transversal (V e) y está

B )6 6 x 3 C) 72x2

asociada al cambio de dirección de X , o al giro de la

D )8 5 x 3 E )9 8 x 3

partícula alrededor de “ O ” . En módulo:

R E S O L U C IÓ N :

• Donde: -^7 =© , se denomina rapidez angular: dt

Ahora, si se desea conocer la aceleración de la partícula en cualquier instante ‘V9*, debemos derivar la ecuación (III) respecto del tiempo. « = - r :( v ) y se obtiene : dt ■ (d * r

M

360revoluciones 360(2n ) o> = 60s 1 m in u to -> co =12 k rad/s...................................(I)

* Se desea la aceleración centrípeta, la cual esta dada

> . \

d * 0 )~ J 0 h r de ,

Íd ¡p r -r ^

* Al decir 360 rpm, se refiere a la velocidad angular: 1vuelta o revolución j =

2:d F - dt

d te )~ r d t2 ) UB

P°r: a cp=ú>2R = ( l 2 x f ( 0 , 5 ) = 7 2 x 2m t s2 RPTA : “ C ” PROBLEM A 2:

= ( r - r ¿ )u r + (2 'r 0 + r e )u g 0

Una piedra que estaba cogida entre las llantas dobles de un camión que se mueve a 60 k m ih , se desprende justo en el punto más alto de su recorrido. ¿Con qué velocidad sale despedida? p ie d ra

*• * d 2r • dr r = — A r = — 5* A dt d t2

11 s-

Donde:

dt

A

d t2

C A S O S P A R T IC U L A R E S

1) Si la distancia “ r "p erm an ece constante, entonces:

dr

A) 120 km/h B)100 km/h C)90 km/h D)60 km/h E)39 km/h

Vr= — = 0 , no hay velocidad radial. dt

2)

Si el ángulo "¿"p e rm a n e ce constante, entonces:

t rLa velocidad es com pletam en te transversal y la

R E S O L U C IÓ N :

[MOVmMEXTtí CMMtCW^Ait - MCtJ E S O L U C IÓ N : l e r método:

EDICIONES

A V

* AI igual que el problema anterior; la velocidad angular "¿y" es constante para todos los puntos del disco: tú=cte traslación Vrotación traslación pura pura y rotación

RUBIÑÓSj

120 rpm , entonces la velocidad lineal de un punto periférico de la polea es igual a (en m/s): A)x B)2x C)18n D)32x E)60x R E S O L U C IÓ N :

* En este caso se debe recordar que:

* Datos: revoluciones " • i2° ) . ¡ a

* En el punto A :

^ a = 1 2 0 ^2I $

VA=V+V=2V=2(60) =120kmlh

-> o = 4x

R PTA: “A ”

y ,.v 3

V =or

2do Método:

í

* La velocidad de 00 km/h (dato), será la velocidad lineal con que se traslada el punto "©"(recuerda que todos los puntos giran con la misma velocidad angular).

* Si observamos en la figura:

k

rs _ Y? Vj

1,5

Yi

ri 3 RPTA “A ”

* Se pide: V=a>R\-+V=4sefB^5fi02xmls ¿ 'fítP T A : "B ” PROBLEM AS ^y

La velocidad óngular de la volante de unjlfuto aum enta a razón Una rueda de radio r = 4 0 cm constante de 2 4 0 0 rp m a desciende rotando por urLBláíío 4 800 rpm en 30 a. La aceleración inclinado. Si en un deterjpñad^, angular del auto en radianes por instante la velocidad de los punios segundo al cuadrado será: A y B valen 0 y 120cmls, (el sentido Be indica en la figura). ¿Cuál será A)0,8x B)l,74x O2,09x la magnitud de la velocidad del D)2,66x E)3,04x punto C? R E S O L U C IÓ N : P R O B L E M A 4:

49

*

_

A ) 60 cmls

B) 60y[2 cmls

* En un instante el punto T puede ser considerado como el “Centro instantáneo de rotación".

C )6 0 j3 cm¡s

La velocidad con que sale despedida la piedra es la velocidad instantánea de *Am respecto de T .

E)120sÍ2 cmls

* Por teoría: V0=
D)120 cmls

RESOL. U C IÓ N : (dato)

VA=w*2r=2(ü>r)=2V0 -* VA=2(60)=120 kmlh PROBLEM A 3 : Un disco rota uniform em ente alrededor de su eje, Siendo V¡ la velocidad del punto' 1 y V2 la velocidad del punto 2. Los puntos 1 y 2 distan de R: 1,5 cm y 2 cm respectivamente. La relación de velocidades de V2/VJ es: A)4I3 B)1 0213 D)1I3 E)2

♦ En el movimiento circular, la aceleración angular está dado

* En un cierto instante, el centro de rotación será el punto **A ahora grafiquem os los radios correspondientes: * Se sabe que: B R c _ Yb R^ RB Vc 120 R\¡2 Vr = 60\Í2 cmls

r:

v-

$

* Reemplazando datos se obtiene: rpm (4800 -2400) rpm _ =80 Q 30 s a = 80(2xrad! 60s) =2 66x ^ 8 RPTA : "D ” P R O B I jE M A 7: Un disco gira con velocidad angular constante. La velocidad lineal de los puntos periféricos del disco es 6m! 8 y la velocidad lineal de los puntos situados a una distancia L=0,15m más cerca al eje es 5,5 m/8. Entonces el radio R del disco mide

A)2 m RPTA: “B 99 B)2,5 m C)l,5 m P R O B L E M A 5: D)l,8 m Una piedra de radio 0,5 m está girando a la velocidad angular de

IA

RESOL,U C IÓ N : • Sabemos que todos los puntos que están en el disco, giran con la misma velocidad angular, luego:

aumenta uniformemente, entonces: la partícula realiza un M.C.U.V tal que en el instante mostrado: 5=*yja*+3 a ~ > a e = 4 m /a*

2012}

Una bala disparada paralelamente al eje de rotación perfora las bases en dos puntos, cuyos radios forman un ángulo de 8 °(8 g r a d o s ). Calcular la velocidad de la bala. A)405m/a B)604m/s C)410m/a D)400>ÍSmla E)390m/a R E S O L U C IÓ N :

• Además sabemos que: V, =6 m/s , = 5 ,5 m/a

R P T A : “A 99

o j-c te

PROBLEM A 9 : 6_ R = > 6 R -0 ,9 = 5 ,5 R

5 ,5

R -0 ,1 5 R = l,8 RPTA : “ D ”

PROBLEM A 8: La rapidez de una partícula que se mueve en una circunferencia de 2 m de radio, aumenta a una razón constante de 3mfs*. En cierto instante la m agnitud de la aceleración total es de 5 m/a*, en ese instante determ ine la aceleración centrípeta de la partícula y su rapidez.

Con un instrumento de observación cuyo ángulo de visión es 2°, se observa el paBo de un satélite artificial que se encuentra a 260 km de altura. Si el tiempo en cubrir dicho ángulo es 4 a. La velocidad del satélite en kmja es de: A)12x B)13x C)25x d

> !°,

• Consideremos que se trata de un cilindro ideal, es decir que tiene sus bases y la superficie lateral constituido por un material muy ligero y por tanto se supone que la bala no modifica su velocidad al perforar las bases.

• Para el proyectil: • Del dato se sabe que en el lapso en que el proyectil recorre el largo del cilindro, éste gira 5°, entonces:

*íf'

12 R E S O L U C IÓ N :

''V . 4 8

#Q '

* Dividamos las dos igualdades anteriores:

A)4m/t?; 2y[2mla B)lmja2;42mja C)2mia%;2mja

D)3mjaa;lm/a

R E S O L U C IÓ N : 8°x

•Como el ángulo es muy pequeño (3o), entonces podemos aproximar la trayectoria a un arco de circunferencia con centro en el punto UP 9\ luego:

/ R=2m\

* Se pide: V = ?? C.

E-

•w;* • V, a,**fftnla* *En el m ovim ientocircular tratado ,1a **V” aumenta uniformemente , entonces :o/ = constante, mientras que: La "a/'aum enta y por lo tanto: el módulo de la aceleración instantánea **at99 también aumenta. • Como la rapidez tangencial (Vt)

T, 3xx/ 180x260 km 13x , . = - — km/a _>V =-----------4a 12

RPTA: “D ”

P R O B L E M A 1 0: Un cilindro hueco de 3m de largo gira alrededor de su eje con velocidad angular constante a razón de 180 vueltas por minuto. Una bala da 180 vueltas por minuto.

xl80^^=405m/a 60 a 180° R P T A : 44 "AA 99

P R O B L E M A 11: Se tiene dos discos ñjos a un mismo eje que gira con una velocidad angular m . Los discos tienen ranuras en sus bordes desplazados entre si un ángulo $ , y la separación entre los discos es Determíne la velocidad que debería tener un proyectil para que pueda atravesar las ranuras sin impactar en los discos.

A)

20 o>L B) ~0 &L C) lo

[ m o i t w o t o entcuMjAR - w r r W *l a o y f f iB g R E SO L U C IÓ N : ♦ La velocidad tangencial del punto M está dado t v por: V = a r=a>(RCos60°)....(I)

♦Al dispararse la bala coincidiendo con la ranura de uno de los discos; para no tocar el otro, la bala debe encontrar en la ranura del mismo, para lo cual dicha ranura gira un ángulo f'0 "e n el mismo tiempo en que la bala recorre 4iL ” que es la distancia entre los discos. ♦ (Disco)

♦ La velocidad angular del planeta es igual a: 2x x rad/s T 57600 ♦ Luego, en (I): V= 250x m is RPTA: “A ” P R O B L E M A 13: La magnitud de la velocidad, paralela al plano ecuatorial, de una persona que se encuentra en un punto de la superficie terrestre de latitud A, en m/s si el radio de la Tierra mide 6,36 X1(fm y tomando la cantidad

E D IC IO N E S ftr m v o s l P R O B L E M A 1 4: En la figura se m uestra una partícula moviéndose en sentido antihorario sobre una circunferencia de radio r = 5 m. La magnitud de su velocidad es variable. En un determinado instante el vector aceleración es el mostrado en largura. Calcular el valor de la vejfcúl&dlen m/s y el tipo de n\ávumento en dicho instante. ^ (“ acelerado” : la veloci “ retardado” : disminuye).

cidad

M.C.U.: (Bala) M.R. U.: d = Vt -> V=

ú)L ~Q

0 a> RPTA : “B ”

PR O B LE M A 12: En un planeta de 28 800 km de radio, el día dura 32 horas. La velocidad tangencial en un punto ubicado sobre el paralelo a 6 (f al norte del Ecuador, debido a su rotación es, en m/s: A)250x B)500x C)250s¡3x

A)JCos(A¡2) B)JCos(A) C)JCos( A/3)

»r \Eje de rota erra

D)JCos(A(4 E)2JCos(A)

A ) 4 1 25, a celera d o B ) 4 125, reta rd a d o C) >¡250, a celera d o D ) 4 2 5 0 , reta rd a d o E) 4 2 5 0 , u n ifo rm e

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N : Proyectando el p la n o de * A partir del gráfico que se tiene rotación de la person a (P ) como dato, se puede descomponer al vector aceleración instantánea. (Aprovechando el ángulo dé 45°).

D)125-j3x E)500\Í3x

♦ Además sabemos:

p la n o Ecuatorial

R E S O L U C fÓ N : ♦ Según láa condiciones

a T=50

propuestas; p a r a le lo a 600

-> V=a>r = &RCo&A................. ( / )

0 = rapidez angular de la Tierra c6 s6 0 °

lín e a e cu a to ria l

♦ El período de rotación es un día en dicho planeta. T=1 día = 32 h = 3 2 x 3 600 s =115 200 s

= 2 x =_ _ 2 x _ _ “ T 24x3600 T: periodo de rotación \ de la Tierra (24 horas) j ♦En W : 2x j ( 6 , 3 6 x 1 0 6)C os A 24 x 3600 x l,06xl0*C osl V= 7200

50=

V

2

% =50&

V t = 7 260 mis ' ' * Además al descomponer la aceleración instantánea se observa que la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad instantánea y por lo tanto el movimiento es retardado.

RPTA: “ D ” P R O B L E M A 1 5:

Un par de poleas de radios R y r = R¡4 giran por acción de una fqja 9 9 RPTA : t4B C . Si el movimiento de cada polea

1A r jiC H J W n n iA 20l¿\

es uniforme y el período de rotación de la polea mayor es 4 segundos, diga cuál es el período (en segundos) de la polea de radio menor.

♦ El chofer del auto, apreciará:

A)1 B)2 C)4 D)8 E)16

S = ¿00

R E S O L U CIÓ N :

S = RO -> AS = RAO

* Dado que las poleas están unidas por una faja, las velocidades tangenciales de aquellas son iguales. Ta = 4 a

=R

I) (VERDADERO), la velocidad angular de una partícula está dado — d~0 — , . pon ñ) = — —,como a> esparalela dt a d~o(~¡D //d"¿T)» entonces-©" y son perpendiculares al plano de la trayectoria.

♦ Luego: V»«V, R 4

- +a) Á x — =a>B x

0

2x 1 R TÁ 4

2x Tb

II) (FALSO) y puesto que al no haber aceleración centrípeta no habría movimiento circular, III) (VERD AD ERO ), ya que la

1 = í - * T A= la 4T A RPTA: “A " PR O B LE M A 1 6 : ¿C u á n to s d e la s s ig u ie n t e s p r o p o s ic io n e s Bon v e r d a d e r a s respecto al m ovim iento circular?

I) El desplazamiento angular es un vector perpendicular al plano de la trayectoria. II) En ciertos m ovim ientos circulares la aceleración centrípeta puede ser cero. W ) La velocidad angular determina el plano de jnbvimiento. IV) La m agñitud' del vector posición con respecto al centro de giro se mantiene constante. V) La velocidad tangencial se define específicam ente para los movimientos circulares. VI) Siempre es válida la ecuación aS = R aO

AJS B)5 C)3 D)2 E)Ninguna R E S O L U C IÓ N :

velocidad angular en todo instante es perpendicular al plano del movimiento del móvil.

S=Vt -> S=o>Rt -> 200=a>(0,4)(5)

-* 1OOrad/s = a> RPTA : “E” P R O B L E M A 1 8: En el sistema mostrado las poleas tangentes ruedan al contacto. Si el bloque “A " sube con rapidez de 40 mis determine la rapidez del bloque “B ” . o = 10 cm ; b = 30 cm ; c = 15 cm, d = 40 cm A)36 mía B)45 mía C)25 mía D)38 mía

E)65 m/a

IV) (VERDADERO), la dirección

R E S O L U CIÓN :

del vector posición (¿T) de la partícula con movimiento circular respecto al centro de giro cambia en cada instante, pero su módulo

* Graficando como se transmite la sv

permanece constante (|Tl= /?). V) (VERD AD ERO ), ya que en otros movimientos se denomina velocidad instantánea.

VA=40mÍ8

VI) (VERDADERO), ya que si: A» = RAO S=R6\ +

variación de **i)” variación de

RPTA: “B ” PROBLEM A 17: Un auto es capaz de recorrer uniformemente 200 m en 5 s, si el radio de sus llantas es 0,4 m. Determinar su velocidad angular durante el movimiento. A)2rad!s B)20rad¡8 C)20Qrad¡8 D)50 radia E)100rodia R E S O L U C IÓ N :

* Aprovechando los radios 10 cm y 30 cm hemos obtenido la velocidad t43VA9f (considerando la misma velocidad angular en dicha polea). * Luego 443 V a” se transm ite tangencialmente a la polea mayor, en la cual de nuevo plantearemos: Yb = ?¥ a -* vfl- 16x3(40) =45 m/a 40 15 40 RPTA: 4tB t%

[ü é r a w o r o

c if f f n . iw

- w n

E D IC IO N E S

0 9

PROBLEMA 19:

♦ En (I): aS = (2)(4) = 8 m

Dos poleas están acoplados rígidamente a un mismo eje, y sus radios son R y 4R respectivamente, tal como se indica en la figura. Si el bloque A baja en un instante con una rapidez de 12 m/s; con qué rapidez (en m/s) sube el bloque B en ese instante. 4R R A) 1,5

II) La rapidez angular media {&„) es igual a:

B)3 C)10

D)12 E)20

A0 —

Ai

A0

4 ra d

= t2 - t j

(3 - l ) a

m

RPTA : UD

Un móvil ejecuta un M.C.U. del punto A con velocidad angular a)=l,25x rad/'s. Si R =2 m , ¿cuál es la velocidad media «vi (en m/s) en los primeros 5 segundos?

Como las poleas están acopladas rígidamente a un m ism o eje,

R

PROBLEMA 22:

Un niño se encu$jQ|x¡a sentado sobre el borde de^|raifi$p que gira uniformemente': El pridre del niño que está pq£ado eñ tierra, observa que desdq,ún punto del i^Cde^del disco: el niño lanza unajpélota verticalmente haciajosibaceTn una rapidez V -1 0 m fí^ S S el ángulo central subtendjffl£$¡Ór los puntos de partida yjUegada de la pelota sobre el disgoes 70°, halle la rapidez angular fen rad/'s) del disco.

PROBLEMA 20 :

* Cuando el muchacho lanza la pelota, m ientras ésta se esta moviendo en campo gravitatorio el disco esta girando.

A )íj2 (i+ j) o B )± j2 {l-j)

Una partícula se desplaza en una trayectoria circular de 2 m de radio en donde su posición angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuación O= 2 + 2 t . Si 0 se mide en radianes y t en segundos, determine: // Su desplazamiento entre t¡ = 1 8 y ts = 3 8. II) Su rapidez angular media en el mismo intervalo de tiempo. A )4 y 8 B )3 y 6 C )8 y 5 D )8 y2 E )5 y 2 * ^ RESOL UCIÓN:

^ v

I) Cálculo del desplaí lineal.

iento ( aS)

C )U j2 -2 )¡+ íj2 j O

o

D )U j2 -2 )í-íj2 j O

o

RESOL UCIÓN:

* Ángulo central

* Para la pelota (M .C.L):

barrido en:

vr - v 0 - g t9Hbida

At = t = 5 8

0= 0 = 6 x + x/4~+

-> 0 — J O - 10t9ub¡da -* t,ubUia-lB

ttotal ~2(1 s) = 2 8

* Ahora para el disco (M.C.U.):

Y(m)k

0=m t

B

X(m)

* A partir de la ecuación de la posición angular: &=(2+2t)rad

A 6= 0f -0 ¡= 8 r a d - 4 ra d = 4 ra d

70° x

* =fl>(2) 180°

4 © = — rad 18 36

Como: S=RO R= 2 m -> AS=RA0....(I)

E n t j = l » -> 0 j - 2 + 2 ( l ) 4 r a d E n tg= 3 a -> 0 ¡ = 2 + 2 ( 3 ) = 8 r a d

CJ7 D)l E)7

RESOLUCIÓN:

VB=3m/ 8

RPTA : “B ”

"7

5

RPTA: “ C ”

,A)5Ú

entonces: 0 a = 4R

ff

PROBLEMA 21:

RESOL UCIÓN:

Ra

m~ A t

=2 rad i 8

Y(m)¡ i

J2_V *

R IT B IX O Ü

“ 3 vueltas completas más 45° • 9

V e lo c id a d m e d ia ( v m ) :

RPTA : “B ”

PROBLEMA 23 :

Dos m óviles parten simultáneamente con M.C.U. en condiciones que muestra el gráfico. Determ ínese el ángulo en radianes que debe desplazarse (1) para alcanzar a (2) por primera vez.

É & S IO

IA ENCMmaPMSOLt 2012}

• Graficando lo que sucederá

Y¡\ V,=(-8i+Qj) m/s

f#0 ” :Centro rotación;

instantáneo

de

Además ambos puntos “Af "y "JV" con respecto a “ O ” , tienen la misma velocidad angular, luego: <*>N- °>M

V,=
Ys.=YtL Ru

r n

YiN = -~ -*VN=4m/a 4k

3k

RPTA : "A " A)x B)2x C ) ^ - D)5x % 7 RESOL UCIÓN:

( l o q u e ae b a j a ) + ( l o q u e a u b e )= 3 0 c m

10 _ rad — T =«

+6*=10 -* V,

4

—

9 ra d

R 2

40 cm * Del gráfico:

• Se puede deducir:

U 8 -A S

PROBLEMA 26:

O

= 2 ——

4

•Ahora haciendo una semejanza con el tiempo de alcance (M.R.U.):

Vjt+ V2 t= 30

=> t ( o r + a>R)=30 => t(2 * l+ 2 x 4 ) = 30=> t= 3 a RPTA : “A

99

PROBLEMA 2 5 : (o,=5 radia *•

360°-6(r=30O o= Y

o 5 x!3 gjr -+t= 5 -2 ~ 9 Se desea: 0¡= a>¡t= 5

j=

25x

RPTA : “ C " PROBLEMA 24:

En el diagrama indicado las poleas giran en sentido antihorario con una rapidez angular de 1 rad/s, 6Í sus radios son R = é c m y r =1 cm, ¿en cuánto tiempo la barra estará en posición horizontal?

4Ócm

La barra de longitud “L " desciende resbalando entre la pared y la superficie horizontal. Si para el instante mostrado el punto “ A f" tiene una rapidez de 3mls. ¿Con qué rapidez se mueve el punto “TV" en ese instante? A)4 m/a B)5 m/a C)6 m/a D)2 m/a E)Í2 mía

La figura muestra una “ rueda chicago"de radio igual a lOm, la cual gira con una rapidez angular constante igual a —rad/s. Si una 4 persona se encuentra en la rueda en la posición A, mostrada en la figura, y en ese instante una persona en tierra lanza, desde el suelo, las llaves de la persona en la “ rueda chicago**, recibiéndolas dicha persona cuando pasa por B. La velocidad (en m/s) con la cual fueron lanzadas las llaves es : (C o n sid e re AB diám etro de la circunferencia y despreciable le altura de la persona en tierra).

N C)40 j

A

M

RESOL UCIÓN:

* En este caso el centro instantáneo de rotación no se encontrará en un punto perteneciente a la barra. • Analizando en el instante mostrado:

RESOL UCIÓN:

* Para que la persona coja las llaves en el punto “ B ", se debe cumplir: f A-*B ptruono

llocaa

miradla N

A)3 s D )la

B)2a

RESOL UCIÓN:

C)4s E)2,5 s

Vy - 3 m/a * Para la persona (M.C.U.):|0= pe: 4

4a=t

[m

o

w

i i e

.\ t

o

r m

a

L t A

- M

• Para las llaves (M.VC.L*.):

EDICIONES M U IA O S )

n

* Se pide:

* Se aprecia que: ru=7) = - 2 j

x x 6 * ( f ) = T rad

RPTA : “D** PROBLEMA 28: - » 2 0 } v í r ( r f ) + | ( - j o j ) 4 * => ñ = 2 5 } m / s

RPTA

;

“A ”

PROBLEMA 27:

Una partícula realiza un M.C.U. con periodo de 6 a, si en t~ 0 s se encuentra en la posición mostrada, siendo su radio de giro 2 c m t Calcular su posición (en m) en /= 7 Yk

S’

A )2 {i-j) B )2 (j3 i+ j\ C)~2i D) - 2 j

RPTA: “ B ”

Las partículas A y B describen cada una un M.C.U. con periodos 4s y 8 a, respectivamente si en t=Os se encuentran en la posición mostrada, Calcular la posición angular (en rad) de encuentro de ambas partículas por primera vez.

* Como el período de la partícula es: T = 6 a, luego:

2x2x

x

..

a>=—- = — = — rad 8 T 6 3 * La ecuación del movimiento de la partícula:

Se tiene un cuerpo esférico de radio: R =1 m , el cual gira con una velocidad angular: m - iradi» k , constante. E ntonces: si una partícula se enóúentra en un punto donde su latitud es 60°.

5x A) ~T 5x B) ~2 3x_ C) 4 3x D)

¡s

RESOL UCIÓN: RESOL UCIÓN:

PROBLEMA 29:

* '“f e '

* Como se conocen los periodos, luego: 2x 2x x ,. 0)A= — = — = — rad 8 A TA 4 2 2x 2x x ,. 7 r a d lt Yk

I)S u rapidez es 0,6 m is, y su período es 2 x s. II) El punto S no se desplaza. III) El punto Q tiene mayor velocidad angular que el punto P. IV) Para el punto Q su rapidez vale 0¿> mis, y la velocidad angular es 1,5 rad/s&.

o)=~rad/8

A )W F V

B )W F F

D )V F W

E )F F W

OVFFF

R E S O L UCIÓN: I) (VERDADERA) , ya que: Vp = a>r =

= 0t5 m ¡ 8

* Además: k • Las ecuaciones movimientos será: Ahora evaluemos

*=7a:

9=0o+wt

A 6

de

sus

2

4,. 7.) Ahora para que se encuentren sus posiciones angulares deben ser

x xM

x x.

6

3 4

*14

“ 9 — + — t = * + — + —t -* t = —

2

3

íj-lR luego: T=^ j -= 2 x 8 II) (VERDADERA), dado que:

a

ojt = 0

V9 = 0 , por lo tanto "S"no

& w it l a se desplaza.

W M a i* f f lB I

w w

1A ENCJ43.atm BDlA 2012]

P R O B L E M A 32:

Además: aB= g (-}') 1

III) (FALSO ), ya que todos los puntos de la esfera poseen la misma velocidad angular.

II) En “ C ” :

IV) (FALSO), ya que:

Vc = - j m ¡ 8,(0 c = 0 y a c = 0

Vq=&R = 1 x 1

= 1

(FALSA)

m/s

y a>q= 0 p = 1x1 = 1 rad/s k

(VERDADERA)

I I I ) E n “D ” : v ; = í m /8,

RPTA : “B ” PR O B LE M A 3 0: Un carro de diversiones cuenta con una pista horizontal como la de la figura, formada por dos semicírculos de 5 m de radio. Un carrito recorre con rapidez constante toda la pista en X0x segundos. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de proposiciones son totalmente correctas?

<*D=az>i(t) y


44TP99

Las poleas mostradas son solidarias y está girando de modo tal que el bloque “ M ” sube con rapidez V, Calcular la velocidad con que se mueve el bloque **m99.

Un disco está girando alrededor de un eje que pasa por su centro con una velocidad angular igual a 3 rad/s. luego el disco sufre un giro de 120° en sentido antihorario cambiando la dirección de su eje de rotación respecto al plano original (de rotación) y su nueva rapidez angular es 8 rad/s. Si la rotación se produjo en l s . ¿Cuál es la aceleración angular media del disco? A)8 r&d/*2 B)7radls2 C)3rad¡a2 D)y/71 E)5 radia2 R E S O L U C IÓ N : * La velocidad angular es un vector paralelo al eje de rotación: ♦ Graficando según-la condición del problema.

I)E nB , v=i(m /s)

E je final

señal a f ,

yjf cjr=8radl8 ¿J/P Eje inicial <=

Y*

t» = -0 ,2 k (s~ 1)jt B

v ;' ' 9 “ S f_ •‘ . "¿y*. . RrnAl * (0o=3radls

H) En C, A

3rod/s

v = -j(m / s ) * Del triángulo sombreado (por ley de cosenos):

a =0,a) = 0 III) En D ,V = ¿ (m/s), a señala

R E S O L U C IÓ N :

t m = 0 ,2 k (s l )

* Ya que las 3 poleas fyas tienen la misma velocidad angular, luego las velocidades tangenciales, serán proporcionales a sus radios, luego:

A)I B)II C)III D )I y III E )IIyIII

U »| = 7 s 2+ 3 2 -2 ( 8 ) ( 3 ) C o s 1 2 0 °

=7 rad/s

* Luego: 7 ra d /8 _ , 2 = -------— =7rad /a a M E D IA 18 RPTA: UB

4 8 V j+ V ^ V

D * La rapidez del carrito en cualquier punto esta dado por: 8

V=

* TOTAL

5x + 5x , , ---------- =lm 8 10x '

luego: í)E n“ B ” : VB=im/s,
♦ Pero por lo la teoría: V

expuesto en

- yi + yj - g y - y

m

2

2 RPTA : “A”

99

P R O B L E M A 33: Desde *’A 99 que se encuentra a 16 m del pie de la rampa lisa, se deja caer una billa la cual choca con la masa “ m ” que se mueve constantem ente con M.C.U., pasando por D en el instante en que se suelta la billa en “A ” . Si “ m ” sólo recorre media circunferencia, hallar aproximadamente su rapidez angular (en rad/s), (g = 10 m/s2).

[w e iT W E A T O g n a n ^ y n - w r r

B

ü

ü

Z

B

=>at(t* 8j = 6 (2) = 12 m ía2 * La aceleración centrípeta, se encontrará, así: A)x rad 18

B)2x rad

C )2~ radia 3

D )Y rad!a £

r = (* ;y )= (-J ? S e r t 0 + 0 F ; R -R C o s O )

= R (-$ en e + 9; 1-C os0)

cp

R R 4 -> acp=36 mf a2 * Finalmente:

* Derivemos respecto del tiempo: d_ — rp= j S e n t f ( é ) ]

dt

RESOL, U C IÓ N : V -o

E D IC IO N E S K H U N O S ) 4iP ” yes una curva llamada cicloide y, las coordenadas en el instante 44t"y son:

«.total= yJ o[+ ^ = y¡122+362

6m/8>

8mla’ g=10m/s

Z> xí -'•'*=» * En el tramo AB (M.R.U.Y): •••

=12410 mía2

RPTA : “D ” P R O B L E M A 35: Un disco de radio “ R ” rueda sin deslizar con una rapidez constante sobre un plano horizontal. Si la rapidez angular del disco, es igual V a:
t=2 a

* Luego en el tramo DB (M.C.U.): x rad x .. a) = -------- = — radia 2a 2 PR O B LE M A 34:

* Reemplazando en (I) :

.V , *

16 = 0(t) + ± ( 8 ) t 2

V=0R[-C
»»***

punto “P " de la periferia, empiezq a analizarse desde su contacto con el piso, ¿cuál será la expresión de la velocidad del punto "P ” a través del tiempo 44t ” l R E S O L U C IÓ N : in stante mt

t=0

La partícula describe una trayectoria circunferencial de 4 m de radio y con una rapidez que varía

PROBLEM A 36 : Bajo la acción del viento , una puerta gira uniformemente un ángulo de 90/ en 5,0 segundos. Si el ancho de la puerta es de 50 cm , la aceleración centrípeta de una polilla que está en el borde de la puerta es: A )0 ,7 6

según: V =(3t2) — (“ *” ensegundos). a Determine el módulo de la aceleración de la partícula en el instante t = 2 s . A12 mi»2 1 B )5yf¿m ía2 i

OsJÍO m 112

D)12sflÓ m ja2

E)7 mla2 R E S O L U C IÓ N :

,

* Sobre la trayectoria^ v w = at1 ♦ Luego la

a. t= 2a

/

i

aceleración ;

f

tangencial, \R=4m\ sera: dV aT= — = 6,

* V,=0 t=0

x l O * m i**

B )0 ,1 0 x x 1 0 * m is* C ) 0 ¿ 5 x * x JO -2 m is*

Cuando el disco sólo rueda , pero no se desliza en el plano, se verifica que: * El centro del disco, se desplaza rectilíneamente con una rapidez: V0=a>R.

r•

m*

* Los puntos de la periferia del disco, presentan rapidez tangencial VQ=
D )0 ,5 0 X a x 10 * m is* E j x * x 1 0 * m/s*

R E S O L U C IÓ N : Com o la puerta rota uniformemente, entonces todos los puntos del borde y la polilla realizan un MCU: 0 ( 0^ a c = co2 R p e r o c o ~ — => a c =1 — 1 x R or

j

* 0 ,5 m => a e = 0 ,5 x x

RPTA : 4,D ” PROBLEM A 3 7 : Los puntos periféricos de un disco se mueven con una rapidez de 10 m is, en tanto que los puntos

IJ EiXCMfJ.a ri:u iA 2012}

\ F W S iW C A e,

u b ic a d o s a 2 m d e la p e r ife r ia se m u e v e n c o n u n a r a p id e z d e 6 m ¡a .

de la figu ra este valor es 0

D eterm in e el ra d io d e la ru ed a (e n m ). AJ 1 . 5

B) 2 , 5

C) 3 , 6

D) 6

PROBLEOUk AU9

e

9, =69

E) 7 , 6

RESOLUCIÓN!

Una partícula desarrolla un MCU co n un periodo de 6». Si en lt =Ot pasa por punto A, calcu le su velocida d (en m /») en el instante /= 2 t . y

= 6 ( — rad) = 5, Orad 1 V ISO ) RPTA 9"C"

q

■periferia

PROBLEtEA OS 9

/

Con respecto a las cantidades cinemáticas angulares se puede afirmar que: 1) Todas las ca n tid a d es cin em áticas angulares son vectoriales. U) El sentido de la aceleración angular se obtiene con la regla de la mano derecha.

Como se (rata del mismo disco todos sus puntos giran con la misma velocidad angular por k> que:

111) La velocidad angular y la aceleración angular son siempre colineales.

A) V

W

B) WF

OVFV D)FFV E)FFF

RESOLUCIÓNi 1) FALSO:

r

6

10

R

>6R-10R-20

R -2 ~ R Operando: R = 5m

RPTA i “O” PROBLEMA OSi

La trayectoria no es más que el conjunto de sucesivos posiciones ocupados por el móvil, la medida de la longitud de esa trayectoria denom inam os espacio, para el casp del movimiento circunferencial es la longitud de arco. Además de la cantidad angular el ángulo barrido ¿son magnitudes escalares.

Dos móviles parten simultáneamente con MCU en condiciones que muestra ei gráfico. Determine el ángulo (en rad) que debe desplazarse (1 ) para alcanzar a (2 ) por primera vez ( x = 3,14). Y __ V, = - 4i +Sjm/w

7

A) [y/sí g+í)

B) -

♦))

RESOLUCIÓN9 Nos (ficen que iápartícula desarrolla un MCU con, uh p e r ío d o T = 6» p or lo qu e su velocidad angular e s : 2* x ra d . . . ^ por lo que al cabo de 2m _ . 2x , habrá recorrido un ángulo 9 *= e * = — r a a . Además su velocidad tangencial es:

VaenSCT

......

P

A )X 3

\

B í 4,4

II) FALSO;

\t V^ejm/9

C)6 , 5

0)6,6 O

1 W

La .velocidad angular o es un vector perpendicular ai plano del movimiento, representado en e) eje del m ovim iento circunferencial. Por convención el sentido , >

7 ,7

RESOLUCIÓN9 Como la partícula (2 ) presenta velocidad V i = ( - 4 ¡ + 3 j)m l* , entonces él triángulo form ado e s n o ta b le p o r . ^ o q u e

A

f

*

/

X .

Como se trata de un MCU los recorridos angulares serán p ro p o rcio n a le s a sus respectivas rapideces por lo que: 0 ,‘ V ," 5

Recordando proporciones:

y¡3 Js

X

U

22

3 2)

Va = ~ ( j 3 ; D m I »

RPTA 9“O"

PROBLEMA Al 9

r, = 40cm ; r , * S cm ; r, * lOcm ; r4 - 6cm

dt'

L -Y l -1

X

\f Vmémia U)

Unpartícula»

_(

Vb - — x— ;— x — m/t

*

¿ p a r t íc u la

Encuentro

de a se determina por la regla de la mano d e re ch a , y c o m o c o n s e c u e n c ia d e la velocidad angular determinamos el sentido de la aceleración angular, por ejemplo si el movimiento es desacelerado, la aceleración a angular presentará sentido contrarío a la velocidad angular.

V * = (-V aen6C F ;-coa60)

La figura muestra un sistema de poleas y fajas para la transmisión del movimiento, las poleas (2 ) y (3 ) están soldadas del mismo eje. Si la frecuencia con el que gira ( 4 ) es de 100 H z, determine las revoluciones por minuto que experimenta la polea (1 ). Los radios son:

9

*-5T «fixx

.

Al cabo de 2s de Iniciado su movimiento la velocidad de la partícula en el punto B es:

m o v im ien to d e s a c e le r a d o

(1)

¡II) VERDADERO: Si se trata de un movimiento circunferencial acelerado el sentido de la velocidad angular y la aceleración angular es el mismo; pero si es desacelerado la aceleración angular presenta sentido contrario a la velocidad a>. En consecuencia la velocidad angular a y la a ce le ra ció n angular a son siem pre colineales.

RPTA 9“O”

D) ¡8 0

RESOLUCIÓN

E) 90

[m

c m k c ít m n r -

o v im ie n t o

MCV

ED ICIO N ES RUBLVÓSl

Iggfr w g j f i ü

Cabe recordar que la velocidad angular m en función de su frecuencia t está dado com o a = 2 tf. Según el problema el disco (4) gira con frecuencia f 4 = lO O H t = 1 0 0 X —

(1)

* Cálculo de la aceleradón tangendal: or = a ü = (0 ,5 )(1 ) = 0 ,5 “

r

• Cálculo de la aceleradón norm al: V-

X -5 Ü Í-

*

R

lm,n

ar =

=> mt (5 ) * (2 x ft )(6 )

=

O

Respecto a las poleas ( ! ) y (3 ) estas están unidas por una faja por lo q u e las velocidades tangenciales de ambas poleas son iguales. » trt «Vi v ,« v ,

°

"Í

o **

(10)

= ~ ^ ( 6 0 0 0 R P M ) = 1800RPM

RPTA t " 9

"

PROBLEMA 82 i Respecto a las cantidades cinem áticas angulares, ¿cu á les de las siguientes proposiciones son verdaderas?. I) El m ód u lo del d esp lazam ien to es proporcional al desplazamiento angular de la partícula. II) La v elocid a d angular m edia es proporcional al desplazamiento angular. III) Solamente en el caso de MCU se tiene que V = ® x r . A) V W B) W F

C jF W

D)FVF

Para analizar el movimiento tomamos unos ejes cuyo origen 0 coincide con el centro de la circunferencia de la trayectoria. Se muestran las posidones inicial (P J y final (P ) d e la partícula, don de la velocidad angular media (a>m) de la partícula está dado com o:

(am)~

áo

e -e .

Ai i-t La v elocid a d angular m edia (
Como las poleas (2 ) y (3) están soldadas, la rapidez angular de estas es la misma, es decir as= ar

(2xft)(40) I2x 6

E)FFF

desp lazam ien to a n g u la r^ B ) son cantidades diferentes. ¿Qué ocurre en MCIP. la

(afm) = c te

p rop orcion a l a

, por lo q u e

A0

es

=

25^^25™

2R

mn

Por lo que d n o e s p rop orcion a l al desplazamiento angular 6.

y](50)* +(25/

ttj * 25 yfs

cm MPTMi éáM"

PROBLEMA 04 t Un ciclista qugvtaja en la iiirecdón /V00“ £ a 35km íh, apnca los frenos detótSJéqdose luego de. 4 iy Determine la del vectorAceleración angular.

Aj E3trs

B) ENF4& átf

D) S30,E

E)

050*5

RESO LU CIÓ N » Com o el c ic lis ta ^ mueve en la dirección N60°E, utilizadnos la regla d e la m ano derecha paráencontrar la dirección de la velocidad angular, jy t

No sólo en el MCU, sino en todo movimiento drcunferendal se cumple que la velocidad instantánea de una partícula que se mueve con movimiento circunferencial es igual a su velocidad angular instantánea por el radio de la circunferencia que recorre. V =a >x r

RPTA t “E”

PROBLEMA 43 i Una partícula se mueve con aceleración angular constante igual a 0,5 radia1 en una circunferenda de radio Im . Si en un instante d a d o la v e lo cid a d d e la partícula es V - 0 ,3 i+ 0 ,4 j m/a, halle la magnitud (en cmla*) de la aceleración total.

A) 25^5 B) 20Js OlóJs D) 10js E) s¡S

RESOLUCIÓN»

V = -J(0 ,3 0 + (0 ,4 f = 0,5m la

Supongam os q u e la partícula inicia su movimiento en la posición P9 y para el instante t se fija su nueva posición en P donde el módulo del desplazamiento d en fundón del desplazamiento angular 0 es:

cm

propordonal a A0 . III) FALSO:

velocidad sea V = f0 t3 ;0 ,4 )m / a ,es decir cu yo m ód u lo

(I) - rGJ f

í

a

a /» más n q f o m es

Nos piden determinar la aceleración total d e una partícula en el instante que su

d- 2sen[ —xAo

,

* Luego la aceleradón total en

Podemos apreciar que las poleas (2 ) y (4 ) están unidas por una faja de m odo que las velocidades tangenciales del disco (2 ) y (4 ) son iguales. V, = V, => = mdr4

- 50^-

/ S Al aplicar los frenos, el disco com ienza a desacelerar, por lo que la acelera ción angular debe ser contraria a la velocidad angular, luego el vector aceleradón angular presenta dirección S30°E.

RPTA » "E " PROBLEMA 43» R esp ecto a las cantidades cinem áticas angulares, iden tifiqu e el nú m ero de proposiciones correctas: I) Facilitan el estu d io del m ovim iento circular. II) El desplazamiento angular es igual a la longitud de arco. III) 1.a veioddad angular medía es la rapidez con que cambia la posición angular en un intervalo de tiempo. IV) La aceleración angular m edia es la rapidez con que cambia la velocidad de la partícula en un intervalo de tiempo. Al Todos B) 3 Cl2 D) i El ninguna

RESOLUCIÓN» I) VERDADERO: Para una mejor compresión deJ movimiento circu n feren cia l es n e ce s a rio realizar

U m ed icion es y es Justamente c o n las cantidades cinemáticas angulares que nos van ha facilitar el estudio de este tipo de movimiento. U) FALSO: La longitud del a r c o 5 es Igual al desplazamiento angular ¿ 0 (en radianes) por la longitud de radio S=A $ x R ¡B) VERDADERO: La velocidad angular media está definida com o el desplazamiento angular por cada unidad de tiempo, es decir la rapidez con que cam bia la p osición angular en un Intervalo de tiempo. Ad m. At IV) FALSO: Puesto que la aceleración angular media (a m) se define co m o la rapidez con que cambia la velocidad angular de la partícula en un intervalo de tiempo. Am

°m" ~M PROBLEMA O/ i

RPTA i “C”

La aceleración angular de un disco es 2 rad/ í 3 . Al cabo de 0,5 segundos de Iniciado el movimiento la aceleración de un punto dei borde es ¡3 ,6 m/s*. Determine e) diámetro del disco (en m). A) X24 B) 0,00 C) 10J8 D) 12,16 E) 17.02

RESOLUCIÓN/ Nos dicen que la aceleración angular de un - rad , por lo que al cabo de disco es a 0,5* de iniciado el movimiento ( o 9 = 0 ) su velocidad angular es: * = a t - ( 2 ) ( 0 , 5 ) = I ra d

IMPORTANCIA HISTÓRICA E INTERÉS ACTUAL DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES El movimiento circular y uniforme (MCU) tuvo mucha importancia en la conformación del m o d elo c o s m o ló g ic o vigente en la antigüedad. El cosm os aristotélico se dividía en d os grandes m undos radicalm ente distintos, el celeste y el terrestre, cada uno de los cuales debía ser objeto de una ciencia diferente. En el mundo terrestre los objetos parecían tender al reposo, cayendo siempre hada la Tierra, y se consideraba necesario ejercer fuerza sobre ellos para ponerlos y/o para m antenerlos en m ovim iento. En cambio, en el mundo celeste «el Sol, la Luna y las estrellas se muev en en dreulos suaves y uniformes alrededor de la Tierra». De esta forma, el movimiento circular y uniforme, se asoció durante siglos a la perfecdón c inmutabilidad, supuestas en el m undo celeste. Con la primera gran revolución científica, que se consolida en el siglo XVII c o n la form u lación d e la síntesis new loniana, se superó esta separación radical entre Cielo y Tierra, y se comenzaron a formular leyes de carácter universal Además de su Interés histórico, el estudio d e los m ovim ien tos circu lares y, en particular, el estudio del MCU tiene mucho interés práctico. Al ser un m ovim iento p e r ió d ic o , q u e realizan o b je to s cosm ológicos, se convierte en referencia para medir el tiempo, usando com o unidad una cantidad de este m ovim iento (un segundo, un día, un año) Por otro lado, son m uchos los artllugios artificiales que llenen y aprovechan m ovim ientos circulares, uniformes o no: agujas del reloj, satélite de telecom u n icacion es, d isco giratorio de cualquier tipo (co m o un CD), plataforma giratoria (co m o un tío-vivo), rueda, volante, etc.

Historia da la física Sir Isaac Newton

Donde su aceleración tangencial y radial al cabo de 0,5* es: o ta_ ■ a R = 2 R => o v * a * R = l x R

Del problema nos dicen que la aceleración total al cabo de 0,5* es 15t6mJa3, el cual está dado com o: a - J ( a Tf + ( a N) ' = 1 3 ,6

=> V í s r / T r * - IS .6 sÍBR - 1 3 ,6 => «

RPTA i "A”

U N P O C O D E H IS T O R IA

o *0

-

luego el diámetro del disco es: D = 2R = 12,16m

- 6 ,0 8 m

considerado uno da los científicos más grandes de la historia. Desde la antigüedad las personas han tratado de comprender la naturaleza y los fenómenos que en ella se observan: el paso de las estaciones, el movimiento de los cuerpos y de los astros, etc. Las primeras explicaciones se basaron en consideraciones filosóficas y sin realizar verificaciones experimentales, concepto este Inexistente en aquel entonces. Por tal motivo algunas Interpretaciones «falsas», como la hecha por Ptolomeo - «La Tierra está en el centro del Universo y alrededor de ella giran los astros» - perduraron cientos de aftos. En el Siglo XVI Galileo fue pionero en el uso de experimentos para validar las teorías da la física. Se interesó en el movimiento de los astros y de los cuerpos. Usando el plano inclinado descubrió la ley de la Inercia de la

ENCMr*Mm £M iA 2012]

dinámica y con ei telescopio observó que Júpiter tiene satélites girando a su alrededor. En el Siglo XVII Newton (1687) formuló las leyes clásicas de la dinámica (Layes de Newton) y la Ley de gravitación universal. A partir del Siglo XViU se produce el desarrollo de otras disciplinas tales como la termodinámica, la mecánica estadística y la mecánica de fluidos. En el Siglo XIX se producen avances fundamentales en electricidad y magnetismo. En 1855 Maxwell unificó ambos fenómenos y las respectivas teorías vigentes hasta entonces en la Teoría del electromagnetismo, descrita a través de las Ecuaciones de Maxwell. Una de las predicciones de esta teoría es que la luz es una onda electromagnética. A finales de este siglo se producen los primeros descubrimientos sobra radiactividad dando comienzo et campo de la física nuclear. En 1897 Thomson descubrió el electrón. Durante el Siglo XX ta Física se desarrolló plenamente. En 1904 se propuso el primer modelo dei átomo. En 1905 Einstein formuló la Teoría de la Relatividad especial, la cual coincide con las Leyes de Newton cuando los fenómenos se desarrollan a velocidades pequeAas comparadas con la velocidad de la luz. En 1915 extendió la Teoría de la Relatividad especial formulando la Teoría da la Relatividad general, la cual sustituye a la Ley de gravitación de Newton y la comprende en loa casos de masas pequeAas. Planck, Einstein, Bohr y otros desarrollaron la Teoría cuántica a fin de explicar resultados experimentales anómalos sobra la radiación de los cuerpos. En 1911 Rutherford dedujo la existencia de un núcleo atómico cargado positivamente a partir de experiencias de dispersión de partículas. En 1925 Heisenberg y en 1926 Schródinger y Dirac formularon la Mecánica cuántica, la cual comprende las teorías cuánticas precedentes y suministra las herramientas teóricas para la Física de la materia condensada. Posteriormente se formuló la Teoría cuántica de campos para extender la Mecánica cuántica de manera consistente con la Teoría da la Relatividad especial, alcanzando au forma moderna a finales de los 40 gracias al trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson, q u ie n e s form ularon la Teoría da la Electrodinámica cuántica. Asimismo, esta teoría sum inistró las bases para el desarrollo de la Fisica de partículas. En 1954 Yang y Mills desarrollaron las bases del Modelo estándar. Este modelo se completó en los años 1970 y con él fus posible predecir las propiedades ds partículas no observadas previamente pero que fueron^descubiertas sucesivamente siendo la última de ellas el quark top. En la actualidad el modelo estándar describa todas las partículas elementales observadas asi como la naturaleza de su Interacción.

PROBLEM A 48 :

La figura muestra las trayectorias de dos partículas que salen simultáneamente del punto A y

[iu o v m ie v t o e m a n a n - w a r e í' « r U g llegan, también simultáneamente ,al punto B (las flechas indican las direcciones de los movimientos).La primera realiza un movimiento Completar: circular uniforme y la segunda un movimiento rectilíneo uniforme , *E1 movimiento circular uniforme La razón de la rapidez de la primera ............................ es aquel que partícula a la rapidez de la segunda desarrolla una , es: B trayectoria...................... • En todo M.C.U. siempre existen desplazamientos: a) Desplazamiento...................... b) Desplazamiento......................

___ A) 0,78 B) 1,00 D) 2 ¿ 2 E) 4,42 R E S O L U C IÓ N :

•En todo M.C.U. existen................. velocidades. La velocidad mide el ángulo barrido en un intervalo de tiempo. C) 1,11 e

o

íS

*t

•La fórmula de la

es: o -

De donde ee puede obtener dos relaciones adicionales:

\

b

Si la frecuencia de un disco es 4 H z. Calcular el período y la velocidad angular. B ) —;8 x

A ) —8 ; 2 x

4

C )j;8 x

(d ) ± ; 4 x E )L g 6 x

Un disco gira 18de la velocidad angular

«taicule

A)^- rad/s 3x D) 4 - .¿ p m™ Una»♦polea da ocho vueltas en 6 8,calcule la velocidad angular. 4x 2x C) A j— radís B) ~3 5 16x 8x D) E) 3 3 Un disco da 16 revoluciones en 4 8, determ inar b u velocidad angular en (rad/s).

~~
@ ) Indicar cuántas proposiciones son verdaderas:

22

( )E n el M.C.U. la velocidad angular no siem pre es perpendicular al plano de rotación.

I) El periodo de “A " es mayor que el de " B "

( )E n el M.C.U. la velocidad tangencial es constante en su valor.

II) ha velocidad angular de "A "es igual que la de " B ” .

( )En el M.C.U. la aceleración es constante sólo en valor. D)Ninguna E)0

U l)La velocidad tangencial de " A " es mayor que la de "B ". A )F W b)FFV e )W F d )V W e)FVF

El período de rotación de un disco es 8s. Determine la RPTA: “C 99 frecuencia y la velocidad angular.

(fZ) Determine la velocidad angular del móvil según se muestra el móvil demorando en ir de **A99hasta “B "

0j Piden : »•*••••—*(I) v2 La partícula “ 1 ” experimenta M.C.U. luego su rapidez tangencial .■z*. es v1

l, = 0x R

°> í’7

„. 1 x E )-i-r 2 2

Un disco gira con M.C.U en el plano horizontal sobre el disco se encuentran dos puntos “A ” y “ B ” ,

— ***

\

c ' lA

B,í ’ í

I unidad3*. ÜJ O ’j ca

i

’J

A)/-H z;^-radls 4 2

A )4 x B )1 6 x C )1 8 x D )8 x E )12x Hallar el ángulo barrido por un disco en 6 s, si su periodo es 4 s. A)xrad B)2x C)3x D)4x E)6x Un disco gira con 60R P M , determine el ángulo girado en 5 8. A)2x B)5x C)15x D )10x E)20x

\

s

EDICIONES RVBMO&

l

* En (I): v, = i ^ L 4t

¿....(11)

• La partícula (2) experimenta MJLU. luego su rapidez v3; d2 b vs = -y = > v2 = j

(III)

* (II) H U I) en ( I ) : Vj _ x j 2 ^ = i,u Vo Vo 4

Donde:

A)1 B)2 C)3

Indicar (V) verdadero o (F) falso.

U F W s iw e z A

DJ§

E)

15 Determine el tiempo que demora el móvil en ir de “A"hasta “B ", si el móvil se mueve a — ____B radia. A)0,la B)0¿ C)0,6 D)0,3 E)0,9

H 5 3 818 IB 5 3 de qué tiempo impactan? A)3,5a B)3,75 0 4 D)7,5 E)7,75 Con qué velocidad angular debe girar un satélite en el Ecuador con la condición de que se vea estático desde la Tierra? X .. X X radia B) A) O 37800 6000 3600 x x D) E) 20300 43200 Un disco de 3m de radio gira con w=5rad/s. Calcular la velocidad tangencial de un punto de la periferia. (j) A)12m/a B)10 015 D)20

E)45

-------- ^

(© S i la velocidad de un móvil es 20 m/a y su frecuencia angular es de 5fx rad/a, determ ine su aceleración centrípeta. AjlOmfa* B)50 0 1 6 0 D)200 E)20 (© S i el radio de giro de una partícula que realiza un MCU es de 4m, determine la velocidad de la partícula si la Aaceleración centrípeta es de 9m/a . a)2m/a d)8 b)4 e)10 0 6 (© S i la aceleración centrípeta de un móvil es 20 m/a3, determine su radio, sí su velocidad era lOm/a. A)lm B)2 0 3 D)4 E)5 )Si un m óvil gira en una trayectoria circular de radio 5m determinar su aceleración centrípeta en un punto cualquiera de su trayectoria si lo hace con MCU. (V=15m/a) A)25m/at B)35 0 4 5 D)55 E)15 (© D os partículas parten de dos puntos diámetralmente opuestos con velocidades angulares de ^ O y jjj radia al encuentro. ¿Después

Una polea gira con 90RPM y posee un radio de 7ni. Determine la velocidad tangencial de la periferia. A)10xm/a B)14x O 21 x D) 28 x E)7x Hallar la velocidad lineal de una mosca ubicada en el extremo del segundero de 30cm de un reloj de pared. a)lcm/a A )x e)3 d)3x e)l,5 un disco gira a razón de 45 RPM y tiene un radio igual a 15 c m . Determ inar la velocidad tangencial de un punto que se encuentra a 7cm del borde. A)3xcm/a B )9 x O l2 x D)15x E)20x Un móvil recorre el borde de un disco 180m de arco en 20a. Determinar la velocidad angular (®). (R=10m )

360 m

I A EXCM
En un planeta de 28 800km de radio el día dura 32 horas. Calcular la velocidad tangecial en un punto sobre el paralelo a OOP al norte del ecuador debido a su rotación. Dar su respuesta en km/h. AJ900x B)300x 0 1 8 0 0 x D)450x E)100x (© U n a partícula ingresa a una curva experimentando un MCU. Si en 4a recorre un arco de 32m el mismo que es subtendido por un ángulo central de l& rad. Se pide encontrar la aceleración centrípeta que experimenta la partícula, (en m/a3) a)lm/a* b)2 0 3 d)4 e)6 Dos m óviles parten sim ultáneam ente com o en el diagrama con velocidades constantes de o A=47xrad /a ; &b=2 x rad/a. Luego de qué tiempo se encontraron. A )j.

« i

CJÍ 0 )1

E>í

A B Determine el ángulo central barrido por un proyectil para un lapso de tiempo de ¿Os sabiendo que gira con una velocidad de 5 x rad/a. AJoxrod B)10x O20x D)40x E)50x (© E l periodo de rotación de una partícula es 8a. ¿Cuál será la velocidad angular del móvil? E )1 A)xrad B )— O S¡ © U n brazo mecánico demora 20a en realizar 5 vueltas. Determine su periodo de revolución. A)2a B)4 0 5 D)8 E)10 ^© U n disco gira con una frecuencia de 5 ¿2PS, hallar su velocidad angular en rad/a.

[MOVIMIENTO cmCIJMJLK - W H A)5x B)10x C)8* D)16x E)2t5 x

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda respecto al M.C.U.: ( ) Sólo existe una velocidad. ( ) Período es el tiempo para dar una vuelta a la circunferencia.

B

819 u s a

El disco mayor gira a razón de 40 rps.Calcular con qué frecuencia girará el disco de menor radio. A)120 rps B)40 rps 0 6 0 rps D)240 rps E) 180 rps/s Si el eje que une a los discos

Un cuerpo con M.C.U. gira un ángulo de 7200 en 10 segundos. Calcular su velocidad angular. A)0¿2x radía B) 0f4x rad/s 0 0 ,1 rad/s D)2x rad/s E) 4x rad/s

A)12 mis B)4 mis 0 3 m/s D)36 m/s E)24 mis

Una partícula gira con M.C.U. de tal modo que da una vuelta de 22 s. Si al recorrer 40 cm de arco, emplea 108,¿cuál es el radio de giro del movimiento? (n = 22/7) A)10cm B)12cm C)14cm D)16 cm E)18 cm

m Si la rueda de radio “ 2 r” gira con velocidad angular constante de

A) i cmlé B)2 em/M C)96 cm'n

R a = 2 m ;R B = 3 m y R c = 4 m c t >w

rad 2 0 ----- Calcular la velocidad con 8 la cual asciende el bloque. (r= 5 cm) A)50 cm/s B)60 cm/s 0 8 0 cm/s D)150 cm/s E)100 cm/s

(^Calcular la velocidad tangencial de la rueda “ C ” si la velocidad angular de la rueda "A ” es 5rad/s. (R a =20 cm ; RB=10cm ;R c =5 cm)

D)8 cmI»

A)0,6 m/s B)0,8 m/s O I mi* D)l(2 m/s E)l,4 m/s

A)8x rad/s 0 8 rad/s E) 7x rad/s

B)4 n rad/s D)4 rad/s

(f^ Un disco gira a razón de 45 rpm y tiene un radio igual a 15cm. Determinar la velocidad tangencial de un punto que se encuentra a 7 cm del borde. A)3xcm/s B)9xcm/s C)12xcm/s D)15xcm/s E)20 cm/s (Q) Dos móviles A y f i parten tal como se muestra desplazándose con velocidades angulares de

£

8

y

rad — respectivamente. u 8 ¿Después de qué tiempo lo alcanza ? X

A)2 8


B)4 s 06 8 D )8 s

E )l2 o m

La figura muestra un péndulo cónico, que gira a razón deJO rad/ 8. Sabiendo que L=20cm , 0=37°, ¿cuál es la velocidad tangencial de la masa pendular?

^ ^

mA= 1 2 x ra d / s;R c = 3RB

A y B giran con 0=12 rad/s, calcular la velocidad del disco “ C ” .

Si: o A =12 rad/s, Calcular Vc (Ra = 20 cm; Rb = 8 cm; Rc = 12 cm)

A)20 rpm B)40 rpm 0 6 0 rpm D)45 rpm E)120 rpm

(^Calcular la velocidad angular de la rueda “ C'\ si los discos giran tal como se muestra^

( ) En tiempos iguales se recorren arcos iguales. A )F W BjFFF C)FVF D)FFV E)VFV

Un cuerpo posee una velocidad de lOn rad/s (constante). Calcular el número de vueltas que da en medio minuto. A)5 B)150 C)300 D)50 E)20

E D IC IO N E S K U B IÑ O $

E)3s Se tiene un disco con un agujero que gira con velocidad A)50 cm/s B)25 cm/s OlOOcm/s D) 12,5 cm/s E)75cm/s

rad angular constante de & =4x—— .

(í7)Calcular la frecuencia de la rueda “ D ” , si las poleas están soldadas.

A partir de la posición mostrada. Calcular la distancia de separación entre el agujero y la piedra luego de 2 s . (g = 10 m/s2; R = 5 m)

Rc = 3RB; f A = 120 rpm

1 A fL Y rjfx o rfc '»!! 2012}

+ Vt=0

A)5m B)5'j2m C)25m

25m

D)25y¡2m E)15m @ El tronco de cono mostrado está girando en el eje “ Y*\ Calcular la relación en que se encuentran las velocidades lineales de los puntos A y B t si el periodo de rotación es 6 A)0t5 B)1 C)2 D)3 E)4

12 cm 4 cm

(7^)Si los discos giran tangencialmente, calcular "e>B” (RA“ 6 cm; RB~15 cm); a>A=10 radia

A)1 radia B)2 radia 0 4 radia D)8 radia E)10 radia

de 1 2 ra d la t ¿que velocidad tangencial posee el cuerpo, sabiendo que la longitud de la cuerda es 2 m i A)6mla B)12 O IS D)24 E)32 un disco gira a razón de 45 R PM y tiene un radio de lOcm. Determine la velocidad linea] de un punto que se encuentra a 4 cm del borde A)6xcmfa B )6x C)9x D)10x E)18x (íj^Un cuerpo con MCU gira a razón de 10 rodls. Si un punto de su periferia puede recorrer 20 m en 5 s , calcular el radio de giro. A)10cm B)20 0 3 0 D)40 E)50

A) 22 cmls B)10 cmls C) 2 cmls

A )x s B)xl3a C )2s D)4a E)xl2 Los tres m ovim ientos mostrados están caracterizados por: En la figura: .J

4

mx= 3x15 radfs y a>2 - *15 radia. Luego de qué tiempovolverán a encontrarse si poseen un MCU.

A) la B)2 03 D)4 E)5

_

.
,-* y .

(JF^Un disco gira con velocidad angular constante. Si en los puntos que se encuentran a 9 cm d.él borde su rapidez es 10 cmls y los puntos periféricos poseen una rapidez de 40 cmls, hallar el diámetro del disco A)6cm B)9 0 1 2 D)18 E)NA. Dos m óviles parten de un mismo punto con velocidades de

@ Un disco de 1 a de periodo de rotación tiene un diámetro de 7cm . ¿Cuál es la velocidad tangencial que poseen los puntos ubicados en su periferia?(Considerar x =2217)

Desde un punto situado sobre una circunferencia se mueven dos partículas en el mismo sentido, Baliendo simultáneamente con velocidades angulares constantes de 2rad¡a y 5rodla. ¿Cuál debe ser el tiem po m ínim o que debe transcurrir para que ambas partículas se sitúen en los extremos de un mismo diámetro?

a

11

o ;%

%

m

A ) I : r a p i d e z c o n » i a n t e tI I : r a p id e z d ecrecien te, U h ra p id ez crecien te. B ) I : r a p id e z c r e c ie n te , I l t r a p id e z co n sta n te, 111: ra p id ez d ecrecien te O I : ra p id ez d ecrecien te, I I : ra p id ez co n sta n te, H I: ra p id ez crecien te . D )I: r a p id e z d e c r e c ie n te , I I : ra p id ez d ecrecien te, H1: ra p id ez d ecrecien te. E ) I : r a p id e z c o n s ta n te , I I : r a p id e z co n sta n te, III: ra p id ez con sta n te.

(í7)Una barra cae sobre una pared y un piso, si el instante mostrado el punto A de la barra tiene una rapidez de 12 m is, para dicho instante determinar la rapidez para el punto medio de la barra.

♦ *

@)¿Cuál 6erá ]tf veloéidad angular del segundero cfeunfreloj mecánico? x C) A) — radía B) 30 20 x E) D) 40 50 @ H a lla r el ángulo girado por la manecilla horaria de un reloj entre 4:21 p.m . y 5:05p.m . A)10* B ) i r 0 2 0 ° D)22° E)30° *

@ S i un cuerpo atado a una cuerda experimenta una velocidad angular

Un cilindro vacío de radio en su base 0,4m gira con velocidad angular constante a 150R PS respecto a su eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente, de m odo que pasa por el eje de rotación. Calcular la máxima velocidad del proyectil (constante) para que atraviese al cilindro haciendo un sólo agujero. A)200m¡a B)220m¡a C)240mla D)280mla E)300mla

A)12mle D)5m¡a

B)16m!as E)10mls

018m ls

(T^Desde qué altura se debe dejar caer la piedra para que pase por el

ÍWOITWE.VTO CIRClTi^XR - MO

agujero cuando el disco haya girado 3 vueltas. La rapidez angular del disco es 6xRad/a(g-10m/83).

A)

«21

v B2-

D)

B )~ O -,— R J tf-x u th n

v

A)2f0cm D)l,5cm

B)5,0cm E)2,5cm

C)3t0cm

A

v

E)

■Jr 2 - v2t2

E D IC IO N E S R U B IN O S ) ¿Cuál es la velocida media, si va desde x 0 = 0 a x f = - 1 ,5 en segundos? At = 3

: Y

Jr 2 -vh t

x*+ys= 9

(75) Halle el ángulo que forman entre sí las velocidades de los puntos “A " y “B ” , si la llanta rueda sin resbalar.

(fjt)La llanta mostrada rueda sin resbalar. Si la rapidez de su centro es 5m/a, halle el valor de la velocidad del punto P.

•»« y v - V

. " V

A ) ± ( - 3 i +J3J) B M -S Í+ J sj) ¿ ^ 7A C ) ^ (- 3 i + \Í2 j ) p )2( - 3i +\Í3j) a:

A)60° B)72° C)132° D)120° E)48° (Q P ara la llanta que rueda sin resbalar, si el punto **P” tiene una rapidez de 5m/s, halle la rapidez del punto “ Q ” . D)6mis

E)8ml8

(f^Una pequeña esfera puede moverse por cierta circunferencia de radio R , empujado por una varilla que rota alrededor de O y cuyo ángulo barrido depende del £ tiempo según 0 = —t ,donde $ y t se expresan en el S.I. Determine el módulo de la aceleración de la esfera. (R =20cm ).

A)3 m/s D)8 m/a

B)4 mís E)10 m/s

ma C)6 m/a

(j§)Si el centro de la llanta “A " se mueve a 30 km/h. Halle la rapidez del punto “ B ” El radio de la llanta es 1 5 cm yB C = 7cm.

AJlJlmfa2 B)l,6m/al D)2,4ml82 E) 3£mf82

qué

A) La aceleración tangencial siempre tendrá la misma dirección que la velocidad instantánea. B) Si la aceleración tangencial es cero entonces la velocidad instantánea mantiene constante sólo.su módulo. C/Si un móvil posee aceleración normal con magnitud constante, entonces se tratará de un movimiento circular uniforme. D) Si la velocidad es cero, entonces la aceleración también es cero. E) Ninguna es correcta A)A BJAyB D)Sólo B E) Todas

O B yC

(&7)Una partícula parte de la posición (2 ; 0 ; 0) y realiza un MCUV alrededor de ( 0 ;0 ; 0) sobre el plano XY, si acelera a —% Radja23 Determinar la magnitud de la aceleración centrípeta para /= !« , si el móvil tiene una velocidad inicial

C)l,8m/s2

(Q)Un rollo de papel 6e desarrolla de manera que su extremo presenta una rapidez constante 0 . Si el instante inicial el rollo presentaba un radio R\ ¿qué rapidez angular tendrá el rollo al cabo de un tiempo t? (El grosor del papel es h).

De las siguientes, afirmaciones es correcta:

A)16 km/h 0 3 0 kmfh E)24 km/h

B)14 km/h D)34 km/h


j 2n . de — jm/a. 3 8n2 6x A) B) 9 7n2 12x D) E) 9

C)

IQx 9

B ta a * IH

[M ^ A S I A A I A Una barra de 3 m de longitud rota con velocidad angular constante respecto a un eje vertical que pasa por su centro (O ). Marcamos con A un punto de la barra ubicado a 0,5m de su centro y con B un punto en un extremo de la barra. _ _ 0,5m 3 O A B

L|

R2=3cm RI = 2 cm R4 = 4cm Rs = 4cm Ré = 6cm Rs=lcm A)2 Radia B)l¡3 C)2/3 D)4¡3 E)1 Se muestra un cilindro que rueda sin resbalar por el plano inclinado 26t5°\ sabiendo que el radio del cilindro es 31,4cm y que la rapidez de “ A” es 10 m/a. Halle la rapidez

ench jw e d m

A 2012)

Una rueda se traslada sin deslizar sobre una superficie horizontal de manera uniforme con rapidez V .Del punto A se desprende un agota de barro .¿Con qué rapidez se traslada la rueda, si la gota vuelve a caer sobre el mismo punto de la rueda, luego de dar dos vueltas?

Respecto a las aceleraciones tangencial y centrípeta de los puntos A y B diga cuál de las siguientes proposiciones es verdadera (V) y cuál es falsa (F). /)E1 valor de la aceleración tangencial de ambos puntos es cero. //)E 1 valor de la aceleración tangencial del punto B es triple que la del punto A. III) El valor de la aceleración centrípeta del punto B es el triple de la de A. A jV W B)VFV C )W F D)FVF E)FFV @ )La ecuación del movimiento de una partícula esté expresada por f = 3 C o s ( x t ) i + 3 S e n ( x t ) j m •Si su velocidad en cualquier instante t es:

A)J¿R g A)10m/a B)5m/a C)Om/a D)5\Í2 m/a E)1042m!s Se muestra una llanta de 40 cm de radio, que rueda sin resbalar sobre un terreno horizontal, si su centro tiene una rapidez de 20m/s. Halle la rapidez del punto “A ” , que se ubica a 30 cm del centro .

*Rg D)

B)y]2zRg E)

C)2y[xRg

xRg

Dos niños se encuentran en reposo respecto de una barra que desliza tal como se muestra. Si en el instante en que la barra forma 16° con el plano horizontal, A observa que B presenta una rapidez de lOm/a, determine la rapidez de A y B en dicho instante. B

v= - 3 x Sen ( x t ) i + 3 x C o a ( x t ) j m ! »

, determine el módulo de la aceleración normal (en m/s3). A )3x* B )4x2 C)Bx* D)6x2 E )7x2 @ )S i la rapidez de la polea "1 ” es 16 Rad/s. Halle la rapidez angular de la polea “ 6 ” .

A)50 m/a

B)25m/a

C)15 m/a

@ )L a gráfica muestra la sección de 2 cilindros que ruedan; sin deslizar por una superficie inclinada. En dicho instante, determine el módulo de la velocidad de A respecto B VB=4yj3m/8

4m/s 2m/s

A )34Í5 m/a C)2yfl3 m/a

B)2'Jl5 m/a D)lOm/a

A)12 m/a ; 9m/a B)10m/a ;7m/a C)14 m/a ; 12m/a D)10 m/a ;12m/a E)10 m/a ;8 m/a m *J* S)E 7)0 flf t)B i)* /Í>1 li}(. m m m m IJ)Bm m SPpjI m 21)4ít)£ m m \ [CUYES m : L\ SEGUXIKX t’ H U ’TM'A)

*)B p 6)/i 7)A p k \ m Jfijt' Í7)f m m m m ip r^i H/l

tai

l)C t ) o m 4)C P B)E w p |p m\ mi m m m m m m SftjDj m lp )i w ti)Á tp isp

E D IC IO N E S

R U D IÑ O S )

O B J E T IV O S :

*Describir e identificar las características de movimientos circulares con velocidad variable.

S=R0

V =R o)

a T=aR •«IV

*Relacionar las variables utilizadas en el M.C.U.V. con el de va estudiado M.R.U.V. *

INTRODUCCIÓN Z

/) La velocidad angular del móvil experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general los cambios de la velocidad angular^ (Ato) son directam ente proporcionales a los tiempos empleados;: ••i

Muchos de los espectaculares ju eg os de m anos que incluyen en sus programas los malabaristas, s e basan en la propiedad que tienen los cuerpos giratorios de mantener la dirección de su eje de rotación, co m o por ejem plo:

r-4ui

U

1 -.7-

Q

Q ?

*a moneda se echa hacia arriba sin rotación puede caer de cualquier forma, además un sombrero es más fácil de coger cuando se tira dando vueltas alrededor de su eje.

A continuación estudiaremos las características y propiedades de los movimientos circunferenciales uniformemente variados y acelerados, los cuales se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza.

«’

[A cd = a>f - Ú) (D .P )t

A celeración an gu lar (radia2) La aceleración: angular se representa por un vector paralelo a la velocidad angular, de igual sentido si el movimiento es acelerado y de sentido contrario si el movimiento es retardado:

“tt

io

(O

iCOp

Movimiento acelerado


i

v

✓

II) El módulo de la velocidad tangencial experimenta cambios iguales en tiempos iguales, en general, los

s

cambios en módulo de la velocidad tangencial (AV^) son directamente proporcionales a los tiempos empleados: AVMOD(D .P .)t

M O V D IIE N TO C IR C U LA R U N IFO R M EM EN TE V A R IA D O (M .C A J.V ) Este movimiento circular presenta las siguientes características:

V/-=Ro)|

e V

o

(O í

—

= cona tan te

Aceleración tangencial (mía2)

• La aceleración tangencial e s un vector tangente a la trayectoria en cada uno de su s puntos, teniendo el m ism o sentido que la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y sentido /¡i y opu esto si el movimiento e s retardado.

Vn=Rca^/. '< R

Movimiento retardado

\

0)1 / / /; A-''*

^ III) Aceleración del movimiento (a )° Determina rapidez con la cual varía la velocidad del móvil, es decir determina que tan rápido cambia el módulo y la

IA

í

dirección del vector velocidad. Luego la aceleración en cualquier instante de tiempo es la resultante de la aceleración centrípeta y aceleración tangencial:

^ % \ % ii Movimiento acelerado

2012}

é. t Ecuaciones Angulares

Ecuaciones Linea les

q ± a t

Vf = v O± a T t

a>2 = a § ± 2a0

V ? = V § ± 2aj,S

9 =w0t ± j j a t 2

S —VQt ± ^ a j,t ^

(a>0 +a>-'\

o í V« + Vf l s -[ f l‘

O 9n = 0)o ± ~ a ( 2n ~ l)

Sn = v0 ± ía ,p (2 n - í)

T = ~e~¿+ ~ m ^ t+ ía t2

S = S0 + V0f + ^ a r / 2

Donde:

ECUACIONES : Son análogas a las del m ovim iento rectilíneo (M.RU.V.)

i

• ( +)Movimiento acelerado (cuando hay aumento de velocidad) * (-) Movimiento desacelerado (cuando disminuye la velocidad) * 6n: ángulo descrito en el número de segundo "n". • SH = arco recorrido en el número de segundo (n-ésimo segundo). O B SE R VA C IÓ N : Con frecuencia cuando se afronta problemas de M.CU.V graflcarlo resulta muy engorroso, cuando el móvil da varias vueltas. Por ello lo adecuado será hacer una semejanza al M.R.U.V con lo que graficaremos como si fuera un movimiento rectilíneo, así:

a t (Di V

Ct'i'

Gráfico angular

—

■»:o\* 6

s

PROBLEM A 1 : Una rueda que gira con 30rpm, comienza a desacelerar uniformemente a 2irad¡si , determinar el ángulo que gira en el tiempo que desaceleró.

Gráfico lineal

A )—rad 4

B ) 7ira d

R E S O L U C IÓ N

C )—rad 6

D ) 2 x ra d

EDICION ES RUBEVÓSi

tw r.CL¿7r- i i

a 32,5 rp m . ¿Qué tiempo, en segundos, tarda el tocadiscos para detenerse?

R E S O L U C IÓ N : (ü =30\

•

l60ff

\=7irad¡a

éI

t • »

«y^-ssO

% i ti?.

a = 2jiradls2 \

A)250 B)89 C)189 D)298 E)198

% % % It t -V 4»

R E S O L U C IÓ N : • Haciendo una semejanza con el M.R.U.V:

*. c?*v

R PTA : “D

• Ahora al buscar la fórmula, que relacione a «o*», «&> y « 0 » ; encontraremos:

t=7?

PROBLEM A 3 :

Una partícula gira en un círculo de 3m de diámetro a una velocidad de 0*=r;r*-2(2;r)0 6m/8, tres segundos después su velocidad es 9m/s. El número de -+ 4 x6 = x 2 - > 0 = — vueltas que ha dado al cabo de 6 segundos es. 9 » R P T A ; “A A )5 4 ,3 6 D )3 6

PROBLEM A 2 : La velocidad de un autom óvil aumenta uniformemente en J0s de 19km/h a55km/h. Si el diámetro de sus ruedas es 50cm, ¿cuál es la aceleración angular de las mismas, en rad/s2? A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

3a

33rpm

B ) 18,20 E )5 ,73

C ) 11,46

• Durante el frenado, el tocadiscos rotó con desaceleración cdñstante, entonces en los 3a Iniciales (tramo >!* * AB): &f = d)0 - gt

R E S O L U CIÓ N : * Haciendo una semejanza-con el M.R.U.V: 6mfa

3s 9mls 3a

a

C) 3

a B

2x 60l

32

• Luego hasta que se detenga O (tramo AC): t.

G)f - 0 o - a t

R E S O L U C IÓ N : * En AB: V.

Qfr “

9 -6

3 3 \ -^ \ -a (3 ) 60 s

x rad /s 180

S=0x.

* Para el automóvil V,

32.5m m

0 = 33 = 1 m/s

2x

60)

180

t = 198a RPTA: “E ”

PROBLEM A 5 : ia w 19x1000 190 . m/s V ,- 19 km /h = -----------------3600 36 « «. /«. 5 5 x 1 0 0 0 550 . V, = 55 km /h = ----------------- « -------- m/s 3600 36 550 190 V ,-V >í __ 36 Qt = = 1 mis2

10

* Para la rueda: En este caso se cumple que cuando la rueda del automóvil, "Rueda" de tal manera que su centro se traslada aceleradamente, entonces todos los puntos periféricos describen un M.C.U.Y con respecto al centro y con una aceleración con la que se traslada el centro de la rueda. * Luego para el punto periférico con respecto al centro. cij- =aR => 1 =a(0,25m ) =>a=4 radia2

Luego en AC: -> S = 6 (6 ) + - U ) ( 6 ) 2 = 54 m 2 * Ahora: S = R0 -+ 54 = (1,5)0 ->0 = 3 6 rad

•Finalmente se desea el número de vueltas (sabiendo que para una vuelta se gira 2n rad), lo cual se calcula así: # de vueltas = " 2x

36 «5 ,7 3 2(3,14) RPTA: 4iE "

PROBLEM A 4 : Un tocadiscos gira a 33rpm. Al cortar la corriente la fricción hace que el tocadiscos no frene con desaceleración constante, observándose que luego de 3a. gira

En el piso (sin fricción) de un salón una bolita atada a una cuerda gira alrededor del punto O , con aceleración y velocidad angulares constantes. ( a = x/6 rada 2 y ú)0 = x r a d a 1 respectivamente). La bolita inició su movimiento en el punto A y a los 12a se rompe la cuerda. Calcule la longitud total en metros recorrida desde el inicio del movimiento hasta 5a después de que la cuerda se rompió. r= 0,2 m A) 18,84 m B) 24,49 C) 39,56 D) 16,96 E) 21,98

I I

326

R E S O L U C IÓ N :

/ a |)rad/8,%N O

•0)o=7r rad/s n •a = —rad/s2

.0 ) 3 ' r = 0 ¿ m

$"XiL.o

reposo. Calcule la velocidad angular de la polea de radio r en un instante / = 5s, si se sabe que no hay deslizamiento entre las poleas.

EXCM t'J.oi’ M l A 2 0 1 2 ]

2(2x)=0{l) + ^a(l)2 a=8x radie2 442l«

(Do=0 A)60rad/s

)¿ls 2 siguiente^ vueltas” •=!

B )1 8 0 r a d ¡8

-'S .s r \ -J

C)210rad/s D)150rad/a E)30rad/s

4n 4n * Ahora consideremos el tramo AB =>s* =o(t +1)+1(8*) (t +i?

* Calculemos la longitud de arco recorrida, desde el punto "A" hasta el momento en que se rompe (t=12s):

-+ 9 = x ( l2 ) +

= 24 tc

-> S = O x r = 2 4 x (0 ,2 ) = 4,8n

t = >Í2 - / » 0,41 8

R E S O L U C IÓ N : ♦ Si el cuerpo desciende con una aceleración de 8 m/s2, entonces la aceleración tangencial de la polea 2, es 8m/s2, luego su aceleración angular, será: aT = aR 8=a2(0,2) a o = 4 0 rad /s2

* Luego a partir del momento en que se rompe la cuerda, la bolita sale en forma lineal, calculemos la velocidad tangencial V en ese momento. 0 = a>o + a t 0

B

->VB = mr = 3 x (0 ,2 ) = 0,6nm/s * Ahora lo longitud "dnque recorre la bolita 5 segundos más tarde después de romperse la cuerda (MILU.) e s :

-> d = 0 ,6 x (5 ) = 3nm * Finalmente se pide la longitud total recorrida, la cual será: s+d=4,8n+37t=7,8Tt=7,8(3,l4) -> s+ d = 2 4 ,4 9 m

R PTA: “B ” PR O B LE M A 6 : La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entre ellas, de radios r 1=0,3m y r s = 0,2 m , y una tercera polea de radio r= 0,4m . El cuerpo F desciende con aceleración constante a = 8 m/s2, partiendo del

PROBLEM A 8 : Un motor eléctrico que hace girar una rueda de molino (R=lm) a lOOrevfmin , se apaga. Suponiendo una desaceleración angular de 2radfs2 para detener la rueda, indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I) La rueda se detiene en 2,5s. II) Antes de detenerse la rueda gira 27,4 rad.

r¡=0,3m

a=8m/s~

III) Antes de detenerse la rueda da 4,36 vueltas. A)I B)II O III D )Iy B E)II y III

* Pero:

R E S O L U C IÓ N :

]

= x + —(12) = 3 n rad/s

RPTA: “A ”

a i = a2 ~ 40 rad /s 2 Ahora en la polea de radio r = 0,4 se cumplirá : uT = a Tj —>ar = ajr¡ -» a (0,4) = 40 (0,3) -» a =?30 rad/s * Finalmente:

0f=O + 30 (5)=150rad/s RPTA : “D ” PROBLEM A 7 : Un cuerpo inicia un M.C.U.A.(acelerado) partiendo del reposo y recorre las dos primeras vueltas en un segundo, ¿en cuánto tiempo (en segundos) recorrerá las dos siguientes vueltas? A)0,41 B)1 C)l,41 D)2,88 E)3

% %

% t

*

\

»% II • 9 t 9

|

= 2 ra d ¡s

99 9 9

i nn( r a d } 10x (B„=J00 rev - 7-= 100^ -^ T -J=— rad/s mm

I) (FALSO) , ya que: ay =(0o - a t 0 = í ^ - - 2 t -> / = 5,2 4 II) (VERDADERO), dado que: 0 = a > J --a t2

R E S O L U C IÓ N :

-*■ 0 = —

* Para las 2 primeras vueltas (t= ls ) :

B I) (VERDADERO) , puesto que:

3

( 6 ,2 4 ) - ^ ( 2 ) ( 5 t 2 4 )2 = 2 7 ,4 r a d

2

L v . r . i r. v . „ . , 1 v u e lta . n„ 0 = 2 7 ,4 r a d x —-------- = 4 ,3 6 vueltas

2x rad

RPTA : “E ” PROBLEMA 9 :

La posición angular de un punto P sobre una rueda ( R - 0 ,5 m) se describe p or: 0=x/4 + 10nt + 2 n t2 en rad y t en s. El movimiento se realiza en el plano XY. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F)

m mantenerlas constantes. Si la corriente es cortada 3 minutos luego de ser encendida, las revoluciones del turbo disminuyen constantemente deteniéndose en 1 min. calcular el total de revoluciones que habrá logrado girar el turbo. A)900 B)1200 C)300D)850 E)736

E IM 'J O X E S R IlH IX O d )

* Luego para "A" (t = 120 a y m0 = 0), aplicaremos:

* Pero se pide en número de vueltas, es decin 0A=Msx)U20y XIp“ e//q = ¡0800vuelta*

R E S O L U C IÓ N : * Grafiquemos lo que va suceder, recordando que:

I) En t-2 a la velocidad angular es o = l é x k i s 1)-

RPTjC z UD »

PROBLEMA 12 :

r La centrífuga de secado de una máquina lavadora está dando vueltas a razón de 200rpm y desacelera uniformemente hasta 20 rp m luego de efectuar 25 revoluciones. Determ ine su aceleración angular. i

II) En t-2 a la posición de P es 0 = n!4*

1 mirt W a -0

III) Entre t ~ l s y t= 3 s la aceleración angular media vale 2nh radl s 2■ A)FFF D )W F

B)VFV E) FVF

C )F W

R E S O L U CIÓ N : * Haciendo una comparación con la ecuación general:

2 min

1 min

0)f»300rev!min

0

02 9x=.TOOx2=fiOOr*u

v et„(0±300jJmlsOr,v

1 9 ¡5 0 r e v

* Se pide: 0j+02+ 03= 150 + 600 +150=900 Rev RPTA * €iA "

99

*

>£

*

A) 2 revjmin2 B) 632 revlmin* C) 308 revlmin2 D) 0y2 revlmin* E) 792 revlmin2 R E S O L U C IÓ N : * Grafícando los datos: (úo— 20Orev/min

C L > f = 2 0 r t r f m in

PROBLEMA 11 : 0a~ — ;&o = 10xrad / 8 y a = 4 x ra d ts2

4

p a r o 1 ^0

I) (FALSO), ya que: o>r=10x+ 4x(2)~18x -*■o=18xk

En la figura se muestran tres ruedas que inician su movimiento desde el reposo, si HC" acelera a razón de 12 taradla2, durante dos minutos. ¿Cuántas vueltas dio la rueda "A" ? A C

II) (FALSO), ya que para t - 2 s : 4

Rc = 5cm

RPTA : “A

99

PROBLEMA 10 :

Al encender una aspiradora su turbo incrementa constantemente sus revoluciones alcanzando las 300 rpm en lm in , para luego

R B~ 1 6 ctn R As¡20 cm

A) 1 200 D) 10 800

-+ 2 0 2 * 200r - 2 a (2 5 ) = > a = 792 r e v lm in *

RPTA : “E ” PROBLEMA 13 :

4

UI) (FALSO) , dado que en todo M.C.U.V la aceleración angular instantánea (a ) es igual a la aceleración angular media (am), es decir: ___ a = am - 4 n rad I s2k

* Ahora de:

B

6„^ U l0z< 2) + ¿¿(¿r)22= í + 28;r*í 2

0 = 2 5 r*r

B) 3 800 E) 15 800

C) 6 800

R E S O L U C IÓ N :

Vo¡=lmÍ8j

* C om o "A", "B " y "C” están en contacto, p o r ta n to en cu a lq u ie r in stan te s u s velocidades tangenciales (o lineales) son ig u a le s , lo m ism o s e rá c o n s u s aceleraciones tangenciales.

-» arÁ*°Tr -* aARA=“(-*1 ■=>aA(20cm) *{l2*radfi*)(5cm)=>aA - 3

Una partícula describe un M.C.U.V, con una aceleración angular de 1 rad ia2. La partícula inicia su m ovim iento en el punto A, mostrado en la figura. El valor de su aceleración (en mía2) luego de describir un ángulo de 7 n¡4 ra d , será: Y4

m radi»9

A) 22,18 B) 22,28 C) 22,38 D) 22,48 E) 22,58

[M <'W &¡W €ZS%.

TO Taas EUSSI

R E S O L U C IÓ N :

I) La velocidad de la partícula es igual a 23,48 m / s .

* La aceleración tangencial esta dado por: aT = a R = 1 x 2 = 2 mis2 Yk Vo= 1mis

II) Su aceleración centrípeta es a cp = 130 mis1. III) La partícula recorrerá una vuelta en ls.

ia

e k c h 'j.o i ’ míulx a o /a )

A)3 k 2 B)4n2 C)5 k 2 D)6 k 2 E)7tt3 R E S O L U C IÓ N ; * Sabemos que la aceleración normal e igual a la centrípeta en un M.C.U.V, luego:

AJI B)II C)I y II D)III E)II y III R E S O L U C IÓ N : * Considerando el triángulo &±(37° ; 53°), se obtendrá:

* Ahora calcularemos los módulos de ~y~ y ~^T, es decir: |r| = yj{3Cos (?r #)J* + {3 S en (w t ) f

* Com o:

—»|r| = 3>]Co 82 (nt)JVSen* (7 tt)-3 \ fl= : 3m

* Ahora la aceleración centrípeta, pero primero determinemos la velocidad en "P", para lo cual , aplicaremos:

2 12 =

* Análogam ente se obtendrá ~>V0 = 5,48m /s

* Finalmente: a N1 —

=> V /

= 1 + I4x

* Luego: 1 + 14n a cp

Finalmente la aceleración total está dado por: i

I) (VERDADERO) , ya que para t =2s

-> Vf = 5,48 + 9 (2) = 23,48 m¡s — >o = 22,58 m/s1

RPTA : “E ”

PR O BLEM A 14 : La figura muestra la aceleración total (a = 15 mis ) de una partícula en el instante inicial de su movimiento circular uniformemente acelerado. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son correctas, luego de dos segundos de iniciado el movimiento.

(3k )2

= 3 tt2 m/s2 RPTA : “A ” PROBLEM A 16 :

pero S = R0 V*p - l U 2(2)^2 X

que:|"y| _ 3 ^ m ¡8

II) (FALSO), ya que: a ep=12 m¡ss‘ III) (FALSO), ya que para t = l s :

Una partícula gira con M.C.U.V partiendo del reposo y alcanza una rapidez de 40cm¡s en 8 segundos. Si el radio de su trayectoria circular es lOcm, halle la aceleración de la partícula (en cmfss) en el instante en que su velocidad es de lOcm/s. A )4Í25

B)yf25

D)\ÍÍ80

E)yÍ225

0 J 49

R E S O L U C IÓ N : * Grafícando lo que va suceder:

Q

-+R0 = {6,4 8)U ) + 1 {9 )1 *

V -40m !a

- > { 2 , 5 ) 0 = 9 ,9 8 ^ 0 = 3 , 9 9 2 r a d —> 0 = 3 ,9 9 2 r a d x

2tt r a d

= 0 ,6 v u e l t a «

RPTA : “A ” PROBLEM A 15 : La ecuación del movimiento de una partícula está expresada por: r = 3C os(n t)i + 3 S e n (n t)j

=10cmÍ8 * En el tramo AC :

y su velocidad en cualquier instante V ' es V= —3Sertnti + 3nCo8[nt)j; determ ine el módulo Ade la aceleración normal (en mis ).

40 = 0 + a T( 8 ) —+a.T = 5 cm/a

* Se pide la aceleración total, la * Finalmente para t-la: cual está dada por: *eP=— p -= 3 1 ,4 m ls a=yja%p+ a%-\Jl02 + 52-4125 cm/a2 PROBLEMA 17:

R P T A : “A ”

Un móvil parte desde el punto P con una velocidad de l,6m/a efectuando un M.C.UA.: Si al recorrer 0t18m, su aceleración hace 45° con la dirección radial, determ ine su aceleración centrípeta (en mía2) en t=l8. A) 17,2 B) 23,7 C) 31,4 D) 39,9 E) 47,1

EMCWXM2S M U IA O S

a girar en t=Oa con aceleración angular constante de lrad/a2. Si después de cierto tiempo t (en s) la aceleración centrípeta del punto "P" R P TA : “C ” es igual a 9 veces su aceleración PROBLEMA 18 : tangencial. Determine el instante C_U>(D Un meteoro, aproximadamente a T . 75km de la superficie terrestre, inicia su movimiento destellando luz durante 5s y recorre un arco de circunferencia cuyo ángulo central es 15° respecto a tierra. Calcule la aceleración tangencial y centrípeta (en m/a2) en el instante final, medida por un observador en tierra (considere un M.C.U.Y). é

A)500n ; 250 k 2 B)250n 2 ; 500*

RESOL JJQIÓN :

C)500n ; — 7T2 D )400k ; — 7T2 * Se deduce que el radio de giro es .

RESOLUCIÓN:

* Grafícando lo sucedido:

*

r-3m ,

E)300n; 250tc RESOL UCIÓN:

* Ahora calculemos la velocidad angular, después de un tiempo Y’:

* Grafícando:

0)r=0 +(l)t= t ,

'^ ¡ y = o \£t=5a

“

En la posición M: «Por el ángulo de 45°)

75^n

* Ahora de: ¿W = 0(*) + 4 a r 52

76000 180 2 Oj - 53 =

—

= > O j. =

SOOn m / a 2

* Ahora para calcular la aceleración v Oj* — a* = V2 (I) centrípeta, hallamos primero la velocidad tangencial * En el trayecto P M : V=0 + 50(hr(5) Vf = y; + 2arS V = 2500n m/a =>V2 = {1,6)* + 2(V‘){0,18) =>V = 2 m/a * Finalmente: Al reemplazar en (I) : V2 (2500nf 250 k 2 m/a 2 a T = 22 = 4 m/a ° - = i r 7500 * Luego para calcular la aceleración R P T A : “C ” centrípeta en t - l a , primero calculemos la velocidad tangencial: PROBLEMA 19 : Vf =V0 + aTt » V , = i , 6 - t - 4 ( i ) = 5 , 6 m / » Una esfera de 6 m de radio empieza

* Pero por dato, en "í": acp =9a

< f^ ¡

mm

< ofr- 9 a r

=>(t)2 = 9(1) =>t = 3 a PROBLEMA 20 :

R P T A : “B ”

Dos móviles parten del reposo en la posición m ostrada y con el sentido indicado, con aceleraciones angulares de 2rad/a2 y lrad/a2 respectivamente. Determine el tiempo mínimo necesario en s, para que sus vectores posición respecto de "O", vuelva a hacer un ángulo de 57¡/6 rad.

U

m ia a o lO M A) 4ña

A) 28 B )3 a O 4a D )5 a E )0 t8 s

B )2 ^ l3 a C)2X8

R E S O L U C IÓ N : * Grafícando lo que va suceder:

m N/2* m — s

f i .Y Q r x o r m i 20V¿) *(2+ 2tf= 16

{Vo+aTtL 2°0 ____ ->t=ls 8 RPTA : “D ” PROBLEM A 23 ; En el problema anterior determinar el ángulo (en sexagesimales) que forman la velocidad y la aceleración para t — 3a.

E )j7 lx s R E S O L , U C IÓ N :

A)45° B) 30° C)Tg~l(2) D)Tg-*(4)

* Grafícando lo que va a suceder:

R E S O L U C IÓ N : Q )o = 0

* Grafícando según los datos del problema.

\(0„=0

/

0 + f.

í ..-V T í : r & § 3 | '“ i

38 * Del esquema: 0 A

* El tiempo deseado será cuando por primera vez (después de la partida) estén

&K

separados —r~ (antes de encontrarse), o

6A+ — + 0B+ — = 2n -+G. +9b = — b

/ A \\2m

1 2

+

O o

“

6

A

B

3

n ,2 + —1 x —x t.2 = -----5x 4 2 6 ■ 6

—

t—}. Es así porqueparten del reposo ( úíq = 0 )

RPTA : “A ” PROBLEM A 22 :

¿ (2 )/* + 1 (j) ** = IL # = , 2 2 3 3 RPTA : “D ” PR O B LE M A 21 : Los móviles A y B de la ñgura parten en t=Os desde el reposo con aceleraciones angulares de (tt I4 )k y ( - n 16)k radfa* • En cuanto tiempo , “A ” se encuentra con "B " por primera vez (desplazamiento angular).

00 f

*

r\

$0 t

4

5 jt

6

% \% % t 4

Ik I»

% % \%

Sffj = ts + 2t + 2. Determinar el instante (en s) en el cual la aceleración centrípeta es de igual magnitud que la aceleración tangencial.

V ¡A $

0

* En la figura se observa que el ángulo ”0' que forma V y o ; se puede calcular de la relación que

* Luego en el tramo AB:

-* Vf = 2 + 2 (3 ) = 8mla * Ahora: _

'

g 2

°cp = —

=

8 m l8

2

A)2a B) 3 s C)4 a D) 1 a E)7a

* Finalmente, de:

R E S O L U CIÓ N : * Por teoría se sabe que el arco recorrido en un M.C.U.V se calcula

T g 0 = ‘^ - = - = 4 - * 0 = T g ' ( 4 )

aT

2

PROBLEM A M t

* Igualando térm inos de las ecuaciones obtenemos: So = 2 m

;

V0 = 2 mía y

Una plataforma parte del reposo acelera uniformemente de tal manera que en el quinto segundo realiza 54 vueltas. ¿Cuántas vueltas habrá realizado en el tercer segundo de su movimiento?. A) 20

B) 25

C )3 0

D) 36

E) 46

RESOLUCIÓN i

k

»

R=8m

existe entre a T y «fc p

La longitud S (en m) recorrida por un móvil en movimiento circular de 8 m de radio depende del tiempo t (en a) según la ley :

Pero:

X

— x— t

* Al despejar : t - 2

luego se aprecia que:

6

Vtr=2mla t= o

5n

4

a

^

a T = 2 mfa* * Ahora por condición : V vf2 R

Estiramos el movimiento de un punto de la plataforma, co m o la plataforma parte del reposo (a>0 ~ 0) en su primer segundo ha

=2

de recorrer una distancia angular: 0 = ^ y

L H .C .Í7 .V .

• 'H

en cada segundo posterior aumentado el valor de su aceleración angular ( a ) . te r c e r segu n d o

q u in to segu n d o

54 v u elta s

En el quinto segundo nos dicen que recorre 54 wjeltas entonces procedem os a igualar.

2

2

Mientras que en su tercer segundo habrá recorrido: á n g u lo r e c o r r id o

te r c e r seg u n d o

381

E D IC IO N E S

PROBLEMA 26 :

Una partícula describe un m ovim iento circular, con una aceleración angular a, partiendo del reposo en el punto P mostrado en la figura. Cuando llega al punto Q su aceleración cambia repentinamente a - 2 a » llegando nuevamente a P con velocidad angular cero. Si la partícula tarda ¿s.en dar la vuelta completa , el valor de la aceleración angular a , en rad/s2 , es:

R U B IX Ó S l

para q u e lu e g o d e 10 seg u n d os sus aceleraciones tangencial y centrípeta sean de igual magnitud. Al L'6 BI VIO C) 1/25 Di 1/60 El H100

RESOLUCIÓNl 0

~

10b V 6>

La partícula A inicia su movimiento desde el reposo ( = 0 ) luego de l Os m VekXjdad angular.flñal (a ) es: 'É & fá

a>F = r f + at ^ a J § (Í Ó )

5 (6 )

te r c e r seg u n d o á n g u lo r e c o r r id o

*

Nos dicen que cuando ^^transcurrido 10s la aceleración centápéto .y tangencial son iguales, a,, * a jí

= 3 0 v u e lta s

RPTA § “ C ”

PROBLEMA 23 t Una esfera de 4m de radio em pieza a girar, en t = Os, co n aceleración angular constante de 2 rad/s1. Si después de cierto tiempo / (en í ) la aceleración centrípeta del punto P es igual a 50 v eces su aceleración tangencial, determine el instante i.

RPTA i “ E”

PROBLEMA 201 R E S O L U CIÓ N : * Haciendo la analogía con un diagrama rectilíneo: t=i*

A) i

B )2

03

Una masa puntual empieza su movimiento desde el reposo en una circunferencia de 5 m de radio con aceleración tangencial constante y completa la primera vuelta en ¿«.Calcule el tiempo, en », que tarda en dar la primera media vuelta. B)

75

C)

72

D)

RESOLUCIÓN§

Di 4

oj^ o Molimiento circunferencial

75

El

*'75

uniformemente

variado (MCUV).

El 5

En el MCUV, el m ódulo de la aceleración tangencial y angular permanecen constante.

Q

RESOLUCIONi

El ángulo barrido ($) se determina a s í:

Como la esfera empieza a girar ( oq = 0) con A ra d

aceleración angular ct = 2 —j - 1al cabo de

• Por dato :

/, + /<►= J 8

un tiempo t la velocidad angular de todos sus puntos es o = d = 2 t.

* En el tramo P - Q : aif 4x °di

A continuación analizamos el plano que contiene el oCÜUó P

2

rad

y ***•;■jq = 2 — P¿*&t=2t *

(I) (II)

__

3

2

* Para hallara primero debemos conocer t t : ú)f = m = a t¡ (III) * En el tramo Q-P, aplicamos la u>0 : rapidez angular inicial misma ecuación : a : aceleración angular G>f=m- 2ats => 0 = eo- 2atz En el problema, la partícula =>a) = 2at.¿ (IV) •Ahora (III) = (IV) : tt = 2t2

Al ca b o de un tiempo f, su aceleración tangencial com o la radial del punto P es: Oj = a r = 2r a N ~a>3r = ( 2 t ) * r Pero, según el problem a la aceleración centrípeta de este punto P es 50 veces su aceleración tangencial por lo que: 5 0 {2 / )= z > t = 5u c v » 5 0 a r => 4 ts f RPTA / “ E "

* En ÍO • Reemplazamos en (II) :

a

= 6x r^ ~

RPTA: “A ”

PROBLEMA 271 Hallar la aceleración angular (en rad/s1) con la que una partícula debe iniciar su MCUV.

experimenta aceleración tangencial constante, por ello realiza un MCUV. Sea t el tiempo que demora la partícula en

íW 'M S Í M € Z j^L

« a

2

2

«

a

»

t = J— ..

Va

ahora, en una vuelta :

Aj 9

Bi 10

L l flv < n i . o /’/ 'H M 2 0 1 2 }

it á S S Í

tangencial de m ódulo a t = 2 m f s 2 . SI la magnitud de la aceleración normal en el instante t = 0» fue de / m/s3, halle la m agnitud (e n m/s3) d e la a celera ción normal, cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes.

C om o el m ód u lo d e la a ce le ra ció n tangencial es constante la partícula realiza un MCUV; aplicamos uBn. ± —at* =?jra - a / *

s a

C) 11D 1 12

aii«.v = a r,A,' mi graficando la rueda de! auto.

vA = 20mf*

B) ÍS

RESOLUCIÓN» Cabe recordar que la aceleración centrípeta o normal está dado com o: a «F=V3/R

& : aceleración angular del eje Para el MCUV del punto periférico A de la rueda del a u to , planteamos.

a>A=a>0A+at

~^-=0+at 80

• Reemplazando datos: — ^ s o ) =><*= »**&•* 3

RPTA » “B” 2* - La(lf 4b

* (III) ai (W

t=

a = 4*—

d e la r u e d a r e a liz a n

72*

vuelta.

RPTA » “C” PROBLEMA ES» Una partícula realiza un MCUV com o indica la figura. Si )a partícula inicia su movimiento en P y en Q en t = l s y r=0,5m , ¿con que velocidad angular en rad/s la partícula completa la primera vuelta?.

Com o la partícula experimenta aceleración tangencial, el m ód u lo de la v elocid a d tangencial experimentará cambios, por lo que la aceleración centrípeta (norm al) también estaría cambiando continuamente com o nos piden la aceleración normal luego de recorrer &=3rad , entonces calculamos su velocidad fina) a partir de: V / = V / + 2arS Vf = V / + 2(2)(3R ) V*

i

C)3j2i D )4 y ¡2 ¿

< *77 j / c c / v

)~aMRUV~a x r

PROBLEMA SE» Un punto, partiendo del reposo, se empieza a m over c o n aceleración tangencial a t constante sobre una circunferencia de radio R. ¿Después de qué tiempo su aceleración centrípeta es k v e c e s su a celera ción tangencial?

bií B) i &

ct±m d, íe ciiJ£ oi V

2 ■,

—w 8/1

RESOLUCIÓN»

[y* i

_

r u e d a . ta l q u e .

a, m

!-£i =Hh+12 ,R ] R , 1 «aceleración normal inicial

A ) J2n

Graficando lo que acontece:

aceleración normal final

a N fflm ot> ~ 1 + 1 2

E )8 jx

= 13m/ss

RESOLUCIÓN»

RPTA »

Com o se puede apreciar luego de 1s el recorrido angular 0o en función d e su longitud de arco 5, está dado com o:

. M = Jro¿ QtK ---------

* <«/*

,-o

PROBLEMA S I » Un automóvil acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s, en un tiempo de 30 $. Si el radío de la rueda del automóvil es de 1/3 m , determine la aceleradón angular de una de sus ruedas.

A) 1 JSr o d . y D) 1 , 0 rad!**

Bf 2 , 0 rad!** E) 3 , 5 rad!**

C) 2 , 5 rad’* 3

Sea en UBMdonde se verifica la condición:

a9=KaT Debido a que ei módulo de la aceleración tangencial es contante, entonces la partícula realiza un “MCUV” , luego a lo largo de la trayectoria se verifica:

0/

V f - p o + a Tt ^ vB= a Tt

RESOLUCIÓN»

Analizando el tramo en e! primer segundo, donde el recorrido angular está dado com o: _ ^ at* . a ( l )* 2 ra d 0 = aPÍ + ------- ^ i = — - •=> a = — r ~

2

2

s9

Pero nos piden la velocidad angular de la partícula para la primera vuelta, por lo que:

+2a0 .. =>a* - 2(2x)=> 0« 2-^2*

RPTA » “B” PROBLEMA SO» Una partícula realiza un movimiento circular uniformemente acelerado con aceleración

/ vo=0

(I)

Com o en UB ” se cumple que:

El automóvil realiza un MRUV por condición del problema t= 3 0 s

°

MRUV, l o s p u n t o s , p e r i f é r i c o s MCUVe n t o m o a l e j e d e d i c h a

C u a n d o e l a u to r e a liz a

La partícula tarda / = - j - s en dar media

B) 2yf2*

Obtrvactón:

~.{UI)

■~=KaT....(lI) = v‘ R

\ a

fl) en (II) :

2 0 /m/s

El MRUV del automóvil corresp on d e al movimiento de traslación del eje de cada rueda, entonces ; a ^ =

_ Ka R

kR aT

RPTA » “O” PROBLEMA SS»

• C om o la rueda no desliza , el recorrido de su eje es Igual al recorrido de un punto A d e su p eriferia y , p o r lo tan to , planteamos vA= r Worfáw ^ ^

La rapidez angular del vector posición de una partícula q u e se m ueve sobre una superficie plana, está dada por co=4t3- 12t3, en donde "amestá en rad/s, y T en segundos. Cuando 1=0, la partícula parle del reposo desde una posición en que q = - 3 rad. Determinar:

De esta relación podem os concluir que

I)

La aceleración angular.

i j h í i o x i s rubm ños) * Derivemos respecto del tiempo:

883 W Desplazamiento angular. III) El ángulo total descrito entre t= 0 y t =5 s. RESOL UCIÓN :

♦Dato : & = 4ts - 12t2 .............. (I) ♦Para; t = 0: o 0 = 0; 00 = -3 rad I) La aceleración angular (a) se determina:

RESOL UCIÓN:

♦ De la información dada, se deduce que la partícula gira y se aleja respecto del origen de coordenadas: radial - transversal que en esta oportunidad conviene utilizar; entonces recordemos: R = (30 + í ) m ; 0 = (2Z2) rad

dV a = = 12ur + 16ue dt a

♦ Por lo tanto: el módulo de la aceleración cuando 0 = 60°, Berá: a = yfaj + a 0 = 20 m¡8 • PROBLEM A 35 :

do a= dt tiempo,

*

derivando (I) respecto al

♦ se tiene:

A

II) La rapidez determinar así

angular,

se

to - 4^- => d& = mdt dt d0 = Í4t3 - 1 2 t 2)d t * Integrando:

Oi La velocidad instantánea, es igual a: d r ~ d0 V = U r — + Uo (I) dt dt

* Luego, el desplazamiento angular será:

Graficando: . a; a celera ció n a n g u la r con sta n te

Se deduce que el radio la rueda va a girar 0 =10(2n rad)

r= 3 (2 t2) + !.=> ^ = vr = (/ 2 <)m/»

♦Para hallar: =>

dt

Q

usamos

q

= 2/

= o) = (4 t) radls

con / = 0, se tiene 0O = - 3rad * *f

con / = 5s,¿é'.tiene 0S = 122rad Luego: 0 = 05- 0O

V = (1 2 t)ur + (30 + l ) ( 4 t ) uo “ ' V0 ♦ Para:0 = 00° = —ra d , se tendrá: 3 0 = - = 2 t2 =>/ = — s 3 2

Una partícula se mueve en una trayectoria cuya ecuación , es r = (3 0 + 1 ) m, siendo 0 = 2 ^ rad; "/" en segundos. Determine la velocidad y el módulo de la aceleración en el instante en que 0 = 6 0 °. Considere n = 3 . A)5 mis2 B)7m ls2 C)8mÍ82 D)12 mis2 E)20 mis2

V = 12

42

=>

ú)2 f~ ú ) 20 + 2 a 0

Reemplazando: (20 ra d ¡s)2 = 0 + 2 a x 20n ra d

Despejando a: 400??a = --------- ¿ — -=— radls3 =>o= rad/s1 40a rad 71 3,1416

♦ Reemplacemos en la ecuación anterior: PROBLEMA 3 4 :

La rapidez angular después de 10 revoluciones será: (Velocidad angular) a =20 radia o>0=0 (velocidad angular inicial) 6 = 1 0 rev. = 2 0 x rad. cof = 2 0 rad/s (velocidad angular final)

♦ Reemplazando valores en (I) : III) Elángulo "0' descrito desde / =0 hasta / = 5s:

*

* Para determinar: ^ , usamos

* Evaluando con: t0 = 0 => 0O= C = -3 rad

^

A) 6¿2 B) 2,2 C) 4,2 D) 3£2 E) 2,8 RESOLUCIÓN :

¡(d 0 ) = \{4t3 - 1 2 t 2)d t 0 = t4 - 4 t 3 + C

i

Una rueda" empieza a gü'Év con movimiento" uniformeírieíite acelerado al ca b ja /S ^ N = I0 revoluciones alean angular 20 radía . Hallar la aceleración angular de la rueda, en radía2. ,

U

♦

a$

=» a -3 ,1 8 * SJÜrad/s2.

PROBLEMA • A

: r + (a |

Uo

- \m V = (6V2Úr+sV2««) 8 ♦ Ahora; en la ecuación general de la velocidad instantánea: V = ( I 2 t )u r +

N

1 \(4t)uo

V = (l2 t )ü r + (l6 t )u o

RPTA ; “D ” 36 :

Un disco gira con aceleración angular constante a =2 radia2. Si el disco parte del reposo , halle ajuna ecuación que relacione el desplazamiento , la velocidad y la aceleración angular. b) el desplazamiento angular al cabo de 10 a. c) la velocidad angular al cabo de 10 a.

d) ¿cuántas revoluciones dará en 10 8 ? R E S O L U C IÓ N : a) El disco se encuentra , inicialmente , en reposo :

83* Reemplazando en la expresión obtenida para el desplazamiento angular. 6=0(10)+

2(10j2

6= 100 ra d

c) La expresión para determinar la rapidez angular final es: ap=a>0+at como : 0o=O; a=2 rad/s2; t=10 s Reemplazando: a>F= 0 + 2 (1 0 ) ^ a e =20 radia

periferia del disco. Trascurrido un intervalo de tiempo ti tenemos

d) El número de revoluciones (vueltas) que dará el disco se evalúa mediante la siguiente expresión : 6_ # r e v o lu c io n e s =

2x

Para un intervalo de tiempo de 10 8 el desplazamiento angular (01 es 100 rad (obtenido en la parte b) , lu e g ° i , . 100 ra d # r e v o lu c io n e 8 = ------------2 x ra d # r e v o lu c io n e s = 1 5 ,9 l

Aproximadamente 16 vueltas. B=0 El diBco rota con aceleración angular constante , entonces desarrolla un m ovim iento circunferencial uniformemente variado (MCUV) • Por definición de aceleración angular tenemos -&0 => coF=a)F+at M) £J t • Para un intervalo de tiempo la rapidez se evalúa de la siguiente forma: $ ®=—... £J e: desplazamiento angular Como la rapidez angular varía uniformemente , para dicho intervalo tomamos su valor medio. 0o+ap 0

(S7)Un disco parte con una velocidad de 45rad/s con una aceleración constante de 3rad/s2. ¿Qué ángulo recorrerá en 6s? A)116rad B) 62 rad C)324 rad D)500 rad E)409 rad Un disco cuando tiene una velocidad de 9xradfs desacelera y se detiene en 10s. Calcular el número de vueltas que realiza. A)20 rev B)22,5 rev C)25 rev D)27,5 rev E)32t5 rev

b) Inicialmente , el disco está en reposo , entonces ®0=o.

Si una partícula que gira con M.C.U.V tarda &r en triplicar su velocidad dando 16 vueltas, su velocidad angular al finalizar dicho tiempo es: A) 2)tradls B)3x rad/s C)4x rad/s D)6xrad/s E)8xrad/s @ )U n motor que gira a 1800 rpm , se detiene en 2 0 s una vez desconectado. ¿Cuántas vueltas ha dado hasta detenerse? A)100 B)200 C)300 D)400 E)500

Datos:

(0 ) Calcular la aceleración angular

)

-

Reemplazando en (II) : 0o+ 0 p _

0

¿7"

2

e=

0 o+ 0 f

DeW : 0

2

)

<*=2 ra d ia 2 ; t = 1 0 a

at 2

I A EN L \ 20l¿\

que tiene un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20s. A)xrad/s2 B)2xrad/s2 C)3xrad/s2 D)4xrad/s2 E)5x radls2 Un disco parte del reposo con M.C.U.V Si da 8 vueltas en 4s\ hallar su aceleración angular. A )2 n rad/s2 B )3 x rad/s2 C )3 x rad/s2 D ) 5 x rad/s2 E ) 6 x rad/s2

Una partícula con M.C.U.V. posee la velocidad de i 0 m/s. Si su aceleración tangencial es de 4m/s2, determine su velocidad al cabo de 68. A)14 m/s j3)18 m/s 0 2 4 m/s D)34 m/s E)44 m/s Una partícula efectúa un M.C.U.V Si aumenta su velocidad desde 20 m/s hasta 80 m/s durante 10s\ determ ine el valor de su aceleración tangencial. Aj2 m/s2 D)8 m/s2

B)4 m/s* E)9 m/s2

C)6 m/s2

En un M.C.U.V con 3m de radio de giro, Calcular la aceleración tangencial sabiendo que en 5s la velocidad angular de rotación aumenta en 20 rad/s. A)6m/s2 B)8m!ss C) 12 m/s* D)4 mis2 E) 5 m/s2 Un cuerpo con M.C.U.V parte con una velocidad de 15mls con una aceleración de 5m/s2 recorriendo un arco de 40 m . ¿Cuál es su velocidad final? A)25 m/s B)20 m/s C)15 m/s D)1 m/s E)30 m/s (T7) Un móvil con M.C.U.V. parte con una velocidad de 20rad/s y luego de 4s su velocidad es de 8rad/ 8. ¿Cuál es su aceleración angular? A)1 rad/s2 11)2 rad/s3 0 3 rad/s2 D)4 rad/s2 E)5 rad/s2 (T& Una rueda parte del reposo y al cabo de 20x rad. alcanza una velocidad angular de 20xrad/s . Hallar su aceleración angular en rad/s2.

Ma

E M C IO X E S K tltlX O S l

B)4 radia 0 3 radia E)1 radia

Una partícula con M.C.U.V. posee una velocidad tangencial de 75mis si su aceleración es 7mis2 entonces luego de i Os su velocidad angular será: (R —5 m) A) 12 radia B)29 radia 0 1 7 radia D)20 radia E)19 radia

KS3 as* A)10xB)20x 0 3 0 x D)40x E)50x Calcular el ángulo central barrido por un proyectil al cabo de 3 8 de haber iniciado su movimiento circular con una aceleración constante de 4 x radia2 • A)10xrad B)18xrad O 2 0 xra d D)22x rad E)24x rad Un cuerpo com ienza un M.C.U.V. con una velocidad de 60mfa y luego de 5s ésta disminuye a 20 mis. Si el radio de giro es 4m , determine el valor de la aceleración angular. A)lradla2 B)2radla2 C)3rad¡8t D)4 radia2 E)5 radia1 Un cuerpo con M.C.U.V posee cierta velocidad inicial. Si al cabo de 8s su velocidad es 3 7 m ls, determine el valor de su velocidad angular inicial sabiendo que su aceleración es de 4mla2 y el radio de giro es 5m.

A)5 radia D)2 radia

@ )U n disco de 300cm de radio, parte del reposo con M. C. U. V y luego de 16s su velocidad es 20rodis. ¿Qué arco habrá recorrido en dicho tiempo? A)160m B)320 m 0 4 8 0 m D)600 m E)80 m (Q )Un cuerpo con M.C.U.V triplica el valor de su velocidad tangencial durante un lapso de lOs. Si el valor de su aceleración tangencial es 6mls*, determine su rapidez inicial. A)10 mía B)20 mía 0 3 0 m/a D)40 mis E)50 mis Un disco con M.C.U.V posee una velocidad de 4,3m!a y luego de recorrer un arco de 12m velocidad es 7,7/n/s. Entonces el tiempo transcurrido es: A )la B)3 a 0 5 a D)2 a E)4 a

MOVI9HENTO CURVILINEO El movimiento de una partícula en el plano es único; sin embargo, a veces no resulta fácil tratar de conocer sus características en un solo sistema de coordenadas. Por ello, para el mejor aprendizaje, este tipo de movimiento será estudiado en tres sistemas de coordenadas: * En coordenadas cartesianas. * En coordenadas polares. *

9

Un ciclista ' *corre por un * velódromo coji M.C.U.V de tal modo que al cabo
Í)C Í)C 6)A 7)0 Sjftoe toe ll)f u)i m HJÍm m i/y M B m

Antes de iniciar el movimiento, debemos conocer dos conceptos sumamente importantes, con los cuales el estudiante aprenderá mejor el tema.

MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA LÍNEA RECTA De manera análoga al movimiento rectilíneo de una partícula podemos establecer relaciones para definir la posición angular de una línea en función al ángulo e, según se aprecia en la figura 5.

* En coordenadas intrínsecas.

Fig. 5. La posición angular de la línea L se puede definir en forma análoga al movimiento rectilíneo de una partícula.

Fig. 4 . El movimiento plano curvilíneo de una partícula se puede evaluar en tres sistemas de coordenadas.

En primer término, en analogía a la relación (2.1) se puede hallar la rapidez de variación del ángulo 0 , llamada rapidez angular ( 0 ). Luego:

IM ?M S7W CA § ^

ii

ii 3

...

ÉB4. é . .a .

B . . BBÉ

(

19 )

¿

—

T

«

S en

A0 49

2

m i

¿0 i*

¿ t-* 0

At

A0

S en

= Lim a t-+ o

2

A0

A0 At

•Lim T.

rf» dt

y la aceleración angular (a ) será: o bien a =

íde dt dt

d*0 =0 2 dt

=

On

(17)

Es decir, se obtiene un vector normal al vector original. Con esta relación s e determinará las magnitudes del movimiento de una partícula en los sistem as de coordenadas propuestos.

(15)

tiempo:

é = 0 =u> Finalmente, la

derivada del vector unitario será: e

Podemos hallar una relación más, independiente del

-7 7

¿t-*o A*

2

Simplificando queda:

¿0

im c o o r d e n a d a s CARTESIANAS

m o v im ie n t o

DERIVADA D E UN VECTOR UNITARIO

En la figura se tiene que: e (f) = e ( t +At) = 1 Como el triángulo formado es isósceles, entonces:

<

La posición de la partícula en cualquier instante es, según la fig. 4: f ~ x i + j . ...................... (18) Derivando (17) con respecto al tiempo: dr dx ? di = v = — i +x — + ^ j + y& dt dt d t J J dt dt

Ae =Ae = 2 Sen

Se debe notar en la figura 4 que los vectores unitarios 1 y j mantienen su dirección y sentido en todo •

•

momento. Luego: ¿ = Qy j = Ó ■Asíentonces: (19) y el módulo de v será: v = yjv2 + v 2

( 20)

Derivan o con respecto a tiempo: =*►

Fig. 6. Esquema de d ed u cción d e la derivada de un vector unitario

Luego, variando Ae en el tiempo se tiene:

Ae

A9

2Sen {

(16)

At

~At

El alumno debe notar que, conforme At -y 0,A8 -¥ 0 y 0 ->• 9 0 °; es decir, n tiende a ser perpendicular a ¡>. Luego, aplicando el concepto de límites en (I) : ÍA9) 2Seti A0 . Ae de . r .

L i m ú i-tO

A*

=

O Í

*

=

Lim ->0 At

At

+

0•♦

yj

=

#

•

0*1 + vvj = axi + a j

y el módulo de a será: a

=

( 21 )

yja2 + a 2 .................... ( 2 2 )

MOVIMIENTO D E PROYECTILES

v

¡

2

«•

v = xi

AB

L u . r . t ? . » ’. Flg. 7. Movimiento de un proyectil. Nótese que en todos los puntos de la trayectoria, éste está sometido a la misma aceleración constante, lo cual significa que puede tratarse como un MRUV.

Consideremos un proyectil que es lanzado con una velocidad V0 según se indica en la figura 7. Teniendo en cuenta el Principio de la Independencia de los Movimientos, se determ inarán las fórm ulas particulares de movimiento. Nótese claramente que en todo el recorrido la componente horizontal de velocidad de la partícula Vx permanece constante.

ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA Para el mismo instante, entre los puntos O y P se tiene:

L i m i O X E S R U B IN O & i ALCANCE D EL MOVIMIENTO (R ) : R = VOCO80 2voSend = v* {2Sen0CosO) g g D AIr

vj¡Sen20 g

ALTURA M Á X D IA (hytAX) 2 ♦

Reemplazando el valor de t obtenido en (III), se obtiene: ,2 v0SenO VnSenO 1 K á , = voSen0 ~ 28 /g •

u

Dirección horizontal: x = v jt = v0Cos9 .t ......................( I )

(2 5 )

r

.V:

_ vi S en26 2g

( ¿ .( 2 6 ) •

*

Dirección vetical:

RELACIÓN ENTRE x , y , R y g í

Despejando t de (I), y reemplazando en (II), se tiene:

La siguiente relación resultará sumamente útil cuando se disponga de dos puntos de paso de un proyectil en su parábola, de modo que se pueda hallar el alcance R y el ángulo de alsparo 0 .

(id

1 y = v0SenO VqC osO ~ 2 g vnCos0

x2 rr

Ecuación de la trayectoria: y = xTanO — 2 v2q Q83q

Simplificando se obtiene la ecuación de la trayectoria g*

de un proyectil: y = xTanO - 2 vqC o s 20

gy2

a

(23)

La ecuación (23) demuestra que la trayectoria descrita por un proyectil en movimiento libre por acción de la aceleración de la gravedad es una parábola. A continuación se determinarán las características particulares. de! movimiento de un proyectil cuando completa úhtviaje respecto de un mismo nivel.

TIEMPO DE VUELO (T ) : En la fig. 4 se nota que y toma su máximo valor para hmáx- Derivando la relación (1 1 ) con respecto al tiempo se tiene: dy „ . VnSenO - £ = v0SenO - g t = 0 = > t = -2 .......... ....... ( I I I ) dt g

Dando forma adecuada: y = xTanO -

ZvqCoP o g

Sen0 SenO

= xTanQ —

v ¡ (2SenOCoa0) CoaO Sen3 g

raí*

2 Simplificando se obtiene: y = xTanO — — TanO R ■ /= x Finalmente: y0

R\

TanO

(2 7 )

MOVIMIENTO EN COORDENADAS POLARES Para estudiar el movimiento de una partícula en este sistema, se sitúa en P un par de vectores unitarios direccionales er y ee , er perpendiculares entre sí, tal que er se encuentra en la prolongación del vector

Así entonces, como T -2 t, se obtiene:

posición r •Así entonces, se observa que: „ A

2v0SenO

(2 4 )

g Al reemplazar este valor en (I) , se obtendrá el:

r =

(2 8 )

e

Al derivar esta expresión se obtendrá la velocidad de la partícula. p

•

r = r e r + r e r............................... ( I )

\FM SW X 1A

I.A i:\ d i j.íu 't niA 2012}

E Ü 3 338 W ñ

DETERMINACIÓN D E L A ACELERACIÓN : A continuación se derivará la relación (II) con respecto al tiempo. . der r = rer + r dt

(r¿ + rO)j é0 + (r ¿ )

de0 dt

(III)

De la relación (17): er = Óe0ee = —é e r Al reemplazar en (III) : á = (rer + réég) + ((r0 + ré')ee + (r0').(-0ir)) Fig. 8. Movim iento plano curvilíneo de una partícula en coordenadas polares.

Agrupando los términos semejantes en cada caso, se obtiene: d = (r —r02)er + (ré +2r4)}e0 = a rer + a 6eg (33)

De la relación (17) tenemos que: ¿?r = Óe0

Donde: a r= Componente radial de la aceleración. a0 = Componente transversal de la aceleración.

Reemplazando en (I): r —rer + r[Óe$) = rer + [rÓ}ee ......................( I I )

y el módulo de a será: o. = y[a2 r +aj¡................—,..„.(34)

=$>v = vrer + v0ee .............................................(2 9 )

Adicionalmente se puede hallar las componentes de aceleración de modo similar al empleado para hallar las componentes de velocidad.

Donde: vr —Componente radial de la velocidad. v9 = Componente transversal de la velocidad.

a.e„

Así entonces, el módulo de v será: Asimismo V = yjv2 +V¡¡....................................... (3 0 ) Complementariamente se puede calcular el valor de

a0

0

vr y i^en términos dé v y las direcciones e ry e 0 aplicando conceptos de Geometría Analítica básica. En primer lugar, en la f i g . 9 se debe notar que vr = Comp^ v .

(31)

Luego: vr = — -

Fig. 10. Componentes de la aceleración de una partícula en coordenadas polares.

MOVIMIENTO EN COORDENADAS INTRÍNSECAS Fig. 9. Componentes de la velocidad de una partícula en

Consideremos una partícula P que se mueve desde O ' en una trayectoria curvilínea. La velocidad de P será:

coordenadas polares.

Asimismo: vg = í ^ «0

-(32)

- dr _. Ar v = -7 7 = L im -¿ dt

at-to At

(IV)

mm «a »

EDICION ES K fm V Ó S l derivada. Previo a su definición, se define el ángulo de trayectoria 3 , que define ladirección de et respecto de una línea de referencia. Así entonces: det — - = e. = Be dt Reemplazando en (V): v = vet +v&en................ (V7)

Trayecto

Fig. 11. Esquema de partida para deducir el movimiento de una partícula en coordenadas intrínsecas.

Con la fig. 12, denotando con As la distancia recorrida entre t y t + At. Si se toma el vector unitario e definido apuntando en la dirección de A r, la relación anterior puede escribirse como:

A Fig. 14. Esquema para determinar la aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo evaluado en coordenadas intrínsecas.

Fig. 12. Posición de P en los instantes t y t + A t . Cuando A/ —►0,As /At se vuelve dsfdt, y e viene a ser un vector tangente a la trayectoria en la posición de P en el instante t t que denotaremos como e ,. Así ds entonces: v = vet = — e d

(3 7 )

(a t ) de P, la cual, como corresponde, es colineal con v , pudiendo ser del mismo sentido o contrario. Además, como v cambia de dirección, entonces debe haber una aceleración que mida este cambio, correspondiente al término va de fV7), el mismo que, por ser normal a dt , se le conoce como aceleración norm al (an).

t e * ............................................................

Derivando (37) con respecto al tiempo se tiene: - d o - t det " S t ' - t ’ lü

dv = v viene a ser la variación del módulo de v en el ~dt tiempo, y se le conoce como, la aceleración tangencial

tv i

Para hallar Ó nos basaremos en el movimiento muy breve de Pf ilustrado en la fig.15. Como ¿ t 0*P tiende a ser constante en el recorrido ds. Luego: ds = pdO..........................(VII) Dividiendo entre dt se obtiene: ds dO x v = v =p — = p 0 ^ e = dt dt p

(V IH )

O+dO

Fig. 13. Cuando At —> 0 ,e se convierte en et . Como et gira conforme P se mueve, entonces tiene

840

1A E y C irjw M H A 2012)

Fig. 15. El movimiento de P evaluado en coordenadas intrínsecas

Fíg. 16. Esquema del movimiento circular de una partícula.

permite definir radios de curvatura ( P ) y centros de curvatura (O) instantáneos de su trayectoria.

M O V IM IE N T O C I R C U I A R U N IF O R M E (M C U )

Llevando (VIII) a (VI) : v = úet + v

V = üJ/?!<

v

U) MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO I

• [r* =í- v = ve, + en =► P

(38)

En cualquier instante, el movimiento tendrá las siguientes aceleraciones:

a .e t

(39)

ae,

Análogamente: a„M= a .em IV

v.a - v A ,— ■■, a t = a . — =>• * i> v

(40)

r*

i—

(48)

0 = u )0t + í a t 2. 0 2

(4 9 )

va

«» =

P

=>

V

P-

UJ+
_

_

0

(50

(42)

MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL

Se sabe que: V2

.(4 7 )

u>2 = u>02 + 2 ol0

^med “ vxá

.

Al combinar las fórmulas (47) y (48) adecuadamente, se consigue otra fórmula más:

vxa De la figura (10) : an = aSen/3 = a

C) M ovim iento C ircu la r U niform em ente V ariado (MCUV)

u) —u>0 + a t

(41)

,

(46)

En forma análoga al MRUV, las fórmulas para el MCUV serán las siguientes:

En la fórmula (39):

an —

(4 5 )

a, = ctR

Así como se dedujeron las fórmulas (31), (32), (35) y (36), se puede deducir fórmulas relacionadas con las componentes de la aceleración. De la figura 10 se observa que: at = a

(44)

V2

V

P = T^— I Z ¡¡ex a

(43)

CASO PARTICU LAR: MOVIMIENTO CIRCULAR En este tipo de movimiento es donde más se usa los términos velocidad angular (w ) y aceleración angular (o.). Luego, considerando que el radio de curvatura ( p ) es en está ocasión el radio de la circunferencia descrita, se tienen las siguientes fórmulas: P

Este movimiento se estudia también en vanos sistemas de coordenadas. Sin embargo, el estudiante requeriría tener más conocimientos en Matemáticas que los recibidos antes de su ingreso a la Universidad inclusive. Por ello, solo estudiaremos el movimiento tridimensional en coordenadas cartesianas.

Del mismo modo que en el movimiento en dos dimensiones, la posición de la partícula queda definida por el vector (fig. 17): i

8* W%

B) Ejes en rotación.

P9

(51)

r = xi + x j + zk

E D IC IO N E S RUHINOÑ\

Aplicando las relaciones (19) y (21) en su contexto ¿P « ** A más general, tenemos: v = — - = x i + yj + zk at ^

En la figura 19 se ilustran las trayectorias de dos partículas A y B en movimiento de traslación, cuyos vectores posición y velocidad están claramente definidos. Sobre la base de ella se observa que: rB = r A+ rB/A

(52)

(55)

Derivando (55) con respecto al tiempo se tiene Fig. 17. P o sició n y ve lo cid ad de una partícula en tres dimensiones.

rD = r A -+ rB/A Más bien:

Asimismo: VB = VA + v

dv . : *. / a = — = v xi + v y j + vxk 9*

A

A

á = a j + a y j + a zk.

(53)

Se puede apreciar que las fórmulas (39) a (43) son generales; es decir, pueden aplicarse incluso en .casos de movimiento tridimensional. Por lo tanto, se pueden aplicar sin restricción en este caso, incluyendo la fórmula (4). En consecuencia:

Trayectoria de A

(54) Fig. 19. Partículas A y B en movimiento absoluto; a partir de éste se determinará el movimiento relativo entre ellos.

Donde vBfA viene a ser la velocidad de B con respecto a A , o la velocidad que B tiene vista por alguien situado en A y en movimiento de traslación, o también la velocidad que a A (móvil) le parece que B tiene. Derivando (56) se tiene: vB = vÁ + Vb/a Más bien: á D —á A + á B/A

(5 7 )

Donde a B/A viene a ser la aceleración de B con respecto a A. La interpretación de esta magnitud es similar a la de ¿>b m Fig. 18. Componentes de la aceleración de una partícula en tres dimensiones.

MOVIMIENTO RELATIVO Lo estudiado hasta el momento se limita al movimiento absoluto de las partículas. No obstante, a veces un sistema de referencia fijo no resulta conveniente para describir el movimiento de una partícula. Por ejemplo, el sistema de referencia natural para observar el movimiento de una gota de lluvia en la ventana de un auto en movimiento es ésta, no la carretera. El movimiento relativo se estudia considerando: A) Ejes en traslación (de competencia del curso).

Nota: El estudiante sabe que un vector unitario tiene derivada siempre y cuando gire. Sin embargo, como los vectores unitarios i fj y k no cambian de dirección, las ecuaciones (56) y (57) son correctas para el movimiento relativo en traslación. En cuanto al movimiento relativo en ejes en rotación, su estudio en el nivel de nuestro curso es un tanto tedioso. Se invita al estudiante a pasar al anexo B y leer el artículo «La verdad mentirosa», en el cual se relata qué sucede con ciertos fenómenos fijos debido a la rotación de la Tierra (considerándolo en verdad como un sistema de ejes en rotación). Como se verá, ello hace que en los sistemas de rotación aparezca una aceleración extraña, llamada aceleración de Coriolis, en honor a su descubridor,

1B i n a \ íF M S iM a ¿ % . Gaspard - Gustave de Coriolis, ingeniero y matemático francés. Confío en que el artículo será de su completo agrado.

MOVIMIENTOS DEPENDIENTES Consideremos el movimiento del sistema mostrado en la figura 2 0 . El propósito es hallar la relación entre la velocidad y la aceleración de los bloques, notándose claramente que el movimiento de A depende del movimiento de B, y que la longitud de la cuerda permanece constante.

IB S

L1 I XCH K H -t M A 2012}

@)Determinar la posición h del lugar hacia el cual debe el lanzador tirar la pelota para que impacte en los guantes del parador y el tiempo en que tiene lugar el movimiento luego del lanzamiento. La pelota sale a la velocidad V0=40 m/s .

2.2 m 0,6 m— Un proyectil es lanzado desde una superficie horizontal con un .ángulo de elevación oc y velocidad inicial V0 desde cierto punto de la Tierra. Determinar sus componentes de aceleración tangencial y normal en función del tiempo * antes de volver a Tierra.

Se nota que las longitudes L = x + 2 y =constante y b son constantes, mientras que las longitudes x e y son variables (x disminuye mientras y aumenta). Luego, la longitud L de la cuerda puede quedar del siguiente modo:

Un grupo de niños está lanzando piedras a través de un neumático de 0,72 m de diámetro interno. Uno de ellos arroja una piedra con una velocidad inicial v0* orientada según se muestra. Hallar el intervalo de valores de Vg para los que la piedra pasará por el neumático.

L = x + 2 y =constante....................................... (58) Derivando (58) con respecto al tiempo se tiene: L = x + 2 y = 0 => v a + 2 v b = 0 Despejando: v A —

2vB

0,25m

(5 9 )

El resultado se debe interpretar del siguiente modo: 1/La rapidez de A es doble que la rapidez de B.

Tres niños se están lanzando bolas de nieve. El niño A arroja una con una velocidad horizontal v 0 . Si esta bola pasa justo por encima de la cabeza del niño B y le da al niño C, calcular:

2/E1 signo menos indica que, mientras una longitud aumenta (y), la otra disminuye (x). Para nada significa cambio de sentido de movimiento. Derivando (5 9 ): v A = - 2 vb = » a A = - 2 a B

(60)

La interpretación de este resultado es similar que para la velocidad. Aquí es cuando menos debe creer el estudiante que *un móvil acelera y el otro frena*.

El vector posición de un punto está dado en función del tiempo por el siguiente vector: r = t 2i —tj + t 3k( m )

k fl.C .K T.A ’. Determinar, en función de t:

AJLas componentes normal y tangencial de la , aceleración. BjEl radio de curvatura. CjLa sobreaceleración. Las coordenadas cartesianas del movimiento de una partícula son: x = RCoa

u>t T

E M C to x E S m it ix o s ]

m

; v = — Senuit ; z = BCos — * 2 2

B) Calcular los módulos de la velocidad y aceleración en t=0. ^ ^ •. , *. . . , , O Calcular, si existe, el radio de curvatura de la ,, , ,. , • A . partícula en dicho instante. La posición de una partícula se define con el siguiente vector posición: f = ( í2 - 2 )i + t 3j S e» ' 'mTT,

7T

donde r y / se expresan en metros y segundos respectivamente. Si su movimiento se obseja&Itjiesde t = 0, calcular, para t= 2 s: '

Determinar:

A) El módulo de la velocidad y la aceleración.

A) La trayectoria de la partícula. B) Su velocidad y aceleración en función de t.

B)Su velocidad y aceleración mediST ■ O El radio de curvatura.

C) La sobreaceleración.

D) La sobreaceleración.

A partir del siguiente vector posición de una partícula: f = (R tC o 8 u > t)i+ R tj+ (R tS e n u ít)k Hallar lo siguiente: A) El módulo de su velocidad para cualquier instante.

(77)La aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo está expresada por la ecuación: á = 5ti — 9 j —3 t 2k\m! a2) Si en t = 0,r = —3i + 2 j + k(m),y v = —4i + 5 j + 7k(mfs)

B) Su radio de curvatura.

, hallar e n /=3 a:

C) Si existe, la sobreaceleración.

A) El módulo de la velocidad y la aceleración.

La aceleración de un punto está dada por: á = 6ti + 12t2j —4k (m / s2) En / = 0 ;v ^ = .2 i(m / a );yr = i 4- 3 j + 9k Para t = 5 ¿'hallar:

B)E1 radio de curvatura. C) La sobreaceleración. (|^)E1 movimiento curvilíneo de una partícula viene dado por la siguiente relación:

'V

A) La aceleración tangencial. B)E1 radio de curvatura. CjLa sobreaceleración. (fó^El movimiento de una partícula se define con el vector posición: r = (3tCoat}i + 3yjt2 + l j + [tSent] k A) Probar que la curva descrita por la partícula yace 2 2 en el hiperboloide: ^ —z 2 = 1

nt 7rZ i -f 8Sen r = 8Coa j + 4tk(m ) ~5~ 5 Calcular, en t=2¿> s: A) El módulo de la velocidad y la aceleración BJE1 radio de curvatura. CjLa sobreaceleración. Dada la siguiente trayectoria de un móvil: r=4coa(2nt)i+3Sen(2izt)j+t2k(m) Calcular su aceleración y radio de curvatura en el

VlY.

instante t = — arccosO ,7 5 . 2n @ D o s aviones vuelan en línea recta horizontalmente a la misma altura, según se muestra, cuando t =0, las distancias AC y B C son 20 km y 30 km respectivamente. Los aviones vuelan con velocidades constantes vA=300 km/h y vB=400km¡h. Determinar:

A) La posición entre los aviones al cabo de 3 minutos . B) El tiempo en que la separación entre los aviones indicados es mínima, indicando la magnitud de dicha separación.

U

FNCM1J.

2012}

( 0 ) En el instante mostrado, el auto A marcha por la curva circular a la rapidez constante de 72km/h, mientras que el auto B lo hace a la misma rapidez, disminuyéndola a razón de 9 kmlh por segundo. Calcular la aceleración que A parece llevar a un observador que viaja en B.

(Q)Fara aumentar su velocidad, un esquiador acuático A corta por la estela de la lancha B, que se desplaza a razón de 60 km lh. Cuando 0= 30°, la trayectoria verdadera del esquiador forma el ángulo (3=50° con el cabo de enganche. Para esa posición, calcular: A) Lo velocidad vA del esquiador. B) La rapidez relativa de rotación 0

vehículos A y B viajan en las trayectorias que se muestran. La velocidad de A es constante, y de valor vA,mientras que B describe una trayectoria en espiral definida por las siguientes relaciones: r= b t2; 0 = a t2 Si en t= 0 ambos móviles pasan por O, determinar la posición, velocidad y aceleración del 7T vehículo B relativas al A para 0 ——rad Un jugador de voleibol sirve la pelota con una velocidad inicial vo= 20 m/s, orientada según se muestra. Determinar:

a) Si la pelota pasará por el borde superior de la red, indicando a qué distancia de ella tocará el piso. b)

El tiempo de vuelo de la pelota.

ih :m,

wnxwüxrw H tlHs#s U sa

OBJETIVOS : ^Conocer la importancia de las gráficas como una herramienta que permite exponer algunos resultados en una investigación. * Analizar y discutir la relación entre el tiempo, velocidad, posición y aceleración mediante gráficas cartesianas.

E B IC M O X E S I t l l l i x o s )

* A continuación estudiaremos todo lo concerniente a gráficos cinemáticos.

EJEM PLO

il u s t r a t iv o

Sea: t=o

v=o

t= 7 a

: _

t= 8 a

V —lO m ia

rt j_Jf

, Ñ.

* Conocer como se determina la velocidad y la aceleración utilizando las gráficas .

v

W

= 7m /«

8 ,5 m

20m

in t r o d u c c ió n :

Los científicos, al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, comprueban que en ellos, generalmente hay 2 (o más) magnitudes relacionadas entre sí; esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.

Y (m ls)

M .R.U.

A)

Por ejemplo consideremos las velocidades de ciertos móviles, como: ; Móvil

Transeúnte

Velocidad M ía)

1,5

Velocista Auto , Tren Turístico Comercial] Olímpico 10

20

30

200

“ velocid ad ” versus “ tiem po

Se puede decir que la velocidad está en función del tipo de móvil; todo los datos de este recuadro también se pueden sintetizar en un gráfico cartesiano, como el siguiente:

V(mls), i 200

■

En el ejemplo la velocidad varía conforme transcurre el tiempo, de lo cual se puede apreciar: /) Para t= 0 la velocidad es V=0 II) Desde t= 0 hasta t = 5s la velocidad crece desde 0 hasta 10 m/s (a = 2 m/s2).

TsQ = 1 0 ~ ° = 2 v Tg
a celera ció n

III) Desde t=5s hasta /= 7 s la velocidad permanente ! Tipo de enlOm/s (constante). i m óvil TV) Desde ¿=7s hasta t —8s la velocidad disminuye desde lOmjs hasta 7mfs(a=3mis2). V) El área de la región sombreada, resulta 53,5m2, que coincide con el espacio recorre desde t —0 hasta t —8s, es decir: 25 + 20 + 5,5 = 53,5 m

{JF'W Í

>I» »

IA

2012}

EN EL MmRmU y M .C.U i ) G R Á F IC A P O S IC IÓ N -T IE M P O M .R U ;

E cu a ción : x —¿ó+ vt

Xq! p o sició n in icia l M.C.U.

* En el ejemplo “la posición" varía conforme transcurre "el tiempo", de lo cual se puede apreciar:

iO(rad)

1) En t= 0 se ubica en el origen (x = 0), E c u a c ió n :

W En el instante t=5s el móvil esta a 25m (x~25m ) del origen.

0 = 60 +
III) En #=78, entonces x=45m. IV) T ga =

4t

^5 = 1 0 7 -5

y TgO = Velocidad CARA C T E R ÍS T IC A S :

Velocidad

C)

1) La gráfica es una línea recta oblicua que parte de la posición inicial r * 0" si es y « 0 o» e&M.C.U.),

ia (mis*) íí

H

tu tu »

a vs t

2

2) La pendiente (tangente trigonométrica) nos da la velocidad constante, es decir:

M .R.U.V.

It 0 -1 -2 -3

t(s)

(o = Tga

V = Tga

L . M .C .U

7 8

3) El cuerpo se mueve a la derecha

)

O B SE R V A C IO N E S : X(m)

M .R . U. V.

Ecuación: X = Xq

“a celera ció n ” versu s “ tiem po 99

“ L a g r á fic a d a en te n d e r q u e e l m ó v il p e r m a n e c e s ie m p r e en **xo” (n o h a y m o v im ie n to )**.

Xo

* Se aprecia que: I) Desde t —0 hasta t~5s, la aceleración permanece constante e igual a 2m¡s2, (M.R.ZJJV,). II) Desde t=5s hasta f= 7 s, la aceleración es nula, es decir a = 0 (MJLU.). *Ahora estudiemos formalmente las siguientes relaciones: V vs "t", "V" vs ”t" y "a” vs ’T .

0

t( 8)

( V s i C i IPMZMj í9 IW IX W £A 7'Ó * En este caso: V =T ga=T g(180° - 0 ) = - T g0 V = -T g 0

947

«Pendiente negativa por ello el móvil se desplaza hacia la izquierda (* -)» * Lo que se cumple en el M.C.ZJ. es análogo a lo de MJL U.t pero hay que considerar laBvariables en forma circunferencial.

* kX(m)

“P ”In d ic a el in s ta n te •* y p o s ic ió n en q u e s e c r u z a n (e n c u e n tr a n ) lo s m ó v iles “A " y “ B ”

MCDMCIONE& R U ttiÑ O S

CANA C T E R ÍS T IC A S : 1) La gráfica es una línea recta horizontal paralela al e**e ^

t*emP°*

2) El área "A" debajo de la gráfica nos da el valor del espacio recorrido.

O B SE R VACIÓ N : A) Primer cuadrante s área (+ / -> desplazamiento hacía la derecha *

B) Cuarto cuadrantes área (-/ -> desplazamiento hacia la izquierda *

ur> *V(mla) %

■i

t(s )

A .41 vt fe -

A cá e l m óvil se d esplaza a la izqu ierd a (velo­ cid ad en sentido n egativo)

E JE M PL O : Se presenta un móvil con M.R.U., represente sus gráficas x-t y V-t.

II N *

♦En: t j < t í t 2

II su1

En: 0 <, t <, t¡

V

X l - * o

5s

0- x t

20 m

* Luego: |e * e¡ + e. 0m 5m

U ) GRÁFICA VELO Cm AD -TIEM PO

\ & M . R . U. , ,V(mls)

■'••• ,

M

0)(rad/s)

(0

V i

1 j

A

0

M .C .U .

i

A r

t t(s)

0

1 1

i t(s)

R E S O L U C IÓ N :

5s

I

25 m

20 m

-

IA

* Luego: * Calculando la velocidad: V = — = — = 4 mis * $ * Construyendo las gráficas tenemos:

E N C J t'j.n i’ K M A 2 0 1 2 )

X (m )n

Parábola

,vV(m/s)

76 5

• Como: 02 > 0¡

Tg02 > Tg0t

Movimiento -> v2 > v , -► A celerado

,

EN EL 9IJR.U.V. M.C.U.V.

* Si el móvil parte del reposo (V =0), la gráfica será

M) GRÁFICA POSICIÓN-TIEM PO

En este caso la gráfica es un arco de parábola cuyo ejes es vertical paralelo al eje de coordenadas (x ), si el móvil parte del reposo la gráfica es una semiparábola, cumpliéndose que en cada punto de la gráfica la pendiente nos da la velocidad instantánea del móvil.

M.ILUV.

£

M.C.U.V.

iX(m)

xr

ParábolaVg V

w

0

£
1

JM 1

x 0-

60 —1 //

/e

j 0 t, Etm o ció n :

t(s)

x = x 0+v0t+ ~ a t2

0

i i i

si

U ) GRÁFICA VELOCIDAD-TIEM PO Z

En este caso la gráfica es una línea recta inclinada cuya pendiente puede ser positiva o negativa, esto se debe a que la velocidad del móvil va cambiando continuamente ya sea aumentando o disminuyendo, así como también cambiando su dirección.

t t (s)

Ec'u a ción : d^do+coot+^at1

CARA C T E R ÍS T IC A S : 4 *

* En el instante 7 / V, = TgO (pendiente de la curva en 7 / ) V¡: velocidad x0: posición inicial * Observe en la gráfica x-t del MJI.U.V., la pendiente a la parábola varía, lo que indica que la velocidad también varía.

C AR A C T E R ÍS T IC A S : • La gráfica es una línea recta oblicua que parte desde la velocidad inicial (V0).

|i;fL iF i#^i,s’

mpmcMs^

f o i rm m v i o

E iH C iO A 'E S KlTKhXOS

949

* El área "A" debajo de la gráfica nos da el espacio recorrido.

M.R.U.V.

VV M.C.U.V.

afmis2)

cc(radlss)

* La pendiente de la gráfica nos da aceleración constante.

/ Uy

ti 0

* Si el móvil parte del reposo la gráfica será como la línea «A»:

A

j

1

0 ti t(s) E’c u a ción : \a=constante\ „

A

|

0 $'■- ■ t t(8) ¿L. r r i« =constante\?¡?

C A R A C T E R ÍS T IC A S : ■ M :' * El área M A" debajo de la gráfica ñ o r da el cambio de velocidad. * Si el móvil desacelera la gráfica será como la línea

V(mls)

Móvil D / * a=tga=-tg0

a*-tg0

* El móvil «A» se dirige a la izquierda. * Punto que indica el instante en que las velocidades son iguales a «V2»

* V(m/sl

* De la gráfica: OBSERVA C IÓ N :

* En las gráficas velocid a d - tiem po y aceleración - tiempo en donde la gráfica está ubicada en el primer cuadrante y cuarto cuadrante, entonces en el primer cuadrante es positiva y la del cuarto cuadrante es negativa.

(+):I Cuadrante ( - ): IV Cuadrante * Durante todo su movimiento :

* En toda gráfica velocidad - tiempo se cumple que:

D

=£ AREAS ... D esplazam iento^S um atoria de áreas

tn ) GRÁFiCA A CMCMJEMIACiÓN-TIEMPO

d = z\ÁREAS\ En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esto se debe a que la aceleración es constante y no depende del tiempo transcurrido.

D istancia recorrida =Sum atoria de áreas

c EJEM PLO 1:

aso X(m)

La gráfica m ostrada 29 ■ corresponde a un M.R.U.Y, determine el valor de la aceleración del móvil.

1A KxcHJW t:i*L\ 2012}

E JE M P L O 3 : S e m ip a r á b o la

Un móvil dos M.R.U.V consecutivos tal como se indica en la gráfica. Si la velocidad inicial es 10 m fst determine la velocidad final al cabo de los 20s iniciales.

V(m/s) t(s)

R E SO L U CIÓN : * Datos: x0~4 m; x =29 m ; t= 5 s; V¡=0 m/s * Distancia recorrida: d = x - x o=29 - 4=25 m * Hallando la aceleración: 25 = 0 + ^-(5)2 ->a=2m!a2

R E S O L U C IÓ N : AV = Area = A¡ + A2

EJEM PLO 2 : Un móvil realiza tres MJL U. consecutivos tal como se representan en la gráfica MJt. U. mostrada. Hallar la distancia recorrida en todo el movimiento y también el desplazamiento.

~->Vf-10 = 15(6) + (20 - 15)(4) = 110 ->

Vf = I20mfs

CÁLCULO D E L DESPLAZAM IENTO (d) Y VELOCIDAD M ED IA (Vm) ORÁTICO x - t Z 1

* No interesa la trayectoria seguida, solamente la posición inicial y final.

R E S O L U C IÓ N :

V(m!s, 40 * En el intervalo: tl < ,t^ t2

* O también: * LA VELOCIDAD MEDIA se evalúa por

d = 10(40) + 110(-5) | + 10(10)

—

i

d >

— ■ AT

1

t(s)

n,

-5

¡ a 3¡ 9 J IOY A A w 30

3

10

x2- x x t2 - t j

__ 1*2 - X 1 * Rapidez m edia: Vm =

to-t

d = 400 +50 + 100 = 550 m D = Area = A¡ + A2 + A3 «Desplazamiento» D = 10(40) + 10(-5) + 10(10) = 450m

O B SE R V A C IO N E S : * Consideremos la siguiente gráfica V - f en la cual se observan áreas sobre el eje del tiempo y también áreas

MPtCM,

1

EDICIONES ntJIUAOdl

851

debajo del eje del tiempo:

M.R.U.

PROBLEMA 3:

La posición inicial en t —0 es x 0=20m.

Dada la siguiente gráfica x - 1, donde en todo momento, la velocidad del móvil "AT es 4m/st determinar la velocidad del móvil "P".

-> En 3s avanzó: d~32~20~12m . *

* La distancia recorrida (d) para el intervalo [to; tjl, será:

= 4 m/s

Luego: V =

38 * Entonces para que avance 44m de su posición inicial habrá de pasar 44 m ^ m/,a =J1* 4 RPTA : "E ”

d ~ Aj i* A^ "t"A^ PROBLEMA 2:

* El módulo del desplazamiento |3|, para el intervalo [ta; t^], será:

* Recordar que en forma general:

La gráfica corresponde al m ovim iento de una partícula. Determinar la longitud i*ecorrida por el móvil hasta el instante f ~ 6s. A)8 m X(m)

B)12 m * En forma práctica el desplazamiento y velocidad media podría obtenerse así: H 1

\rm _ X2 *2 * Si el resultado:

Tiene signo ( el desplazamiento es hacia la derecha. Tiene signo (-) el desplazamiento es hacia la izquierda.

C)4s 0)9 8 E )lls R E S O L U C IÓ N : * La gráfica corresponde a un

RESOL, UCJÓN: * Como las velocidades están dados por las tangentes, consideraremos los ángulos correspondientes: M

0)6 m E)24 m

o

3

r*

t(8)

R E S O L U C IÓ N : * Ubicamos en la gráfica, (para t = 6s) su correspondiente valor de ** X(m )i 15

12

* Del triángulo sombreado, por ángulo exterior, se obtendrá: a = 0 + 90° -> Tga = Tg( 0 + 90°) -> VP = - CtgO

12<

* En el sombreado, apliquemos la semejanza de triángulos: 12 x 9 ~ 4 = 1 ~ >X = * Luego como en t= 0 -> x o=15m fy * En t r= 6s -> x f=3m , entonces recorrió: 1 5 -3 = 1 2 m — ^t=s3*t=o x s ‘. 3

-fr-'™

9m

->V» = — -----► = = -0 ,2 5 p - Tge p 4 RPTA : “ C ” P R O B L E M A 4: Un móvil recorre una recta tal como muestra la gráfica xvs t. Determine su velocidad media entre t ~ 10s y t-1 5 s (en m/s). A)2Í X(m) B)-2Í

* Es decir, realizó lo siguiente:

x=0

*Como la velocidad de"3f”es4m/«. Luego: TgO = 4 VP = Tga

*

El gráfico muestra la dependencia de la posición respecto del tiempo para un móvil. Hallat* él instante en el cual se encontrará a 44m de su posición inicial. X(m) A)2 s B)3 8

B)0,&mfirQ)-0J5 m/a ^S0^E)OJ!5 mis

P

7

♦

$7*1 A )l m/a D)-2 mis

07 m

PR O B LE,M A 1 : » '

X(m ),

x = 12

• 3

x=15

RPTA: “Bfp

C)i D)-i E)5i

0\

5

R E S O L U CIÓ N :

t( 8)

HSSag* Mñ * Se sabe que: X (m )k

^ - S e deduce t y' geom étricam en te ¿oí/ .*.**, (debido a l p u n to m edio) in icia l

¡A E

* Durante el intervalo [5;13] se cumple lo siguiente: Iniáalmente,oseaalcabodelos Xi^lOm j * primeros », se encuentra a lOm i del origen de coordenadas

x F=10 -

x ~0 m ^ na^mon^ ’ 0868*1cflfr0 de ^^^S s -f

5 to=10 tf*15

^°8 ^ primeros«, se encuentra en el origen de coordenadas

• Luego evaluamos sus velocidades: * Intervalo [5; 7J: V=0 lo i-m

ít

/ m

/

-^ v^ - Í 5 ^ W ^ Vm=(' l)m!9 RPTA: “D " P R O B L E M A 5: La gráfica espacio - tem poral mostrada describe el desplazamiento correspondiente a un vehículo.

0| 1 2 3 4 5 6 7 8 010111223

T iem po (segundos)

La magnitud de la velocidad media en el intervalo de tiempo [5; 13] y la mayor velocidad adquirida en el mismo intervalo son respectivamente: A)3 mis y 15 m/s 3)512 mis y 25 mis C)15i4 mis y 25 mis D) 5/4 mis y 15 mis R E S O L U C IÓ N : > * Según la gráfica propuesta, la velocidad media en el .intervalo [5;13J es: . y _ desplazamiento m tiempo empleado * f-* t tr - t . -►La magnitud de esta velocidad ,. 6m media es —- — 4 s ‘ A dem ásen la gráfica posición (x) vereue tiem po (t), la velocidad In stan tán ea se determ ina m ediante la p en d ien te da la g rá fic a a n #1 In s ta n te c o n s id e r a d o , entonces de la gráfica:

• Intervalo 17; 8]: 2 5 -1 0 V = = 15 mis 8 -7 * Intervalo [ 8; 9]: V = 0

t

'

H

2012}

• En este caso se cumple que: w*ncu*ñiro

(I)

y

* De las gráficas se deduce que: 000 km 600 km = lOOkmih 6h 1 ( 12 - 6)hr 600 km 600km 60 kmih (1 6 -6 )h r lOh •Luego al reem plazar en (]), resulta: . 000 15 _ . —:rr - —r A=3h 45mm *ncu*HtrQ ,100+60 4 • Como partieron a las 6:00a.m.t entonces se encontrarán, a las: t

* Intervalo [9; 13]:

0.*00 + 3:45 = 9:45 a.m.

0 -2 5 25 = — - mis 1 3 -9 4 * De todo esto se deduce que la m ayor velocidad adquirida es 15 mis. RPTA: "D ” P R O B L E M A 6: V =

Un motociclista en Lima y otro en Chepen, situado en el km 000 de la Panamericana Norte, parten a las 6 a.m., el 1ro. hacia Chepen y el 2efo.hacia Lima. El desplazamiento de cada uno de ellos está descrito en las gráficas adjuntas. ¿A qué hora y a qué distancia de Chepen (en km) se encuentran? d(hm )

X

d(km )

600

6 8 10121416

A) 12:00 m.; 222 km. B)9:45 a.m.; 225 km C)10:30 a.m.; 375 km D)10:00 a.m.; 375 km R E S O L U C IÓ N :

* Además: * - Vj •1, -* * = 6

0

4

= 226km RPTA: “B ”

P R O B L E M A 7: La figura muestra las gráficas x vs t de dos partículas "A" y "JET. ¿Al cabo de que tiempo las partículas "A" y "IT se encontraran separadas una distancia igual al triple de la separación inicial? A) 7s X(m) B)8s 5 \ C)9s D)10s E)12s R E S O L U C IÓ N : * Observamos que ambos móviles inicialmente están separados 3m , se encuentran luego de 3s, luego en el instante Y" estarán separados 3(3m) =9m , ahora: X (m )i

* Grafícando lo sucedido V, D

m

Lima

encuentro

m

600 km

Chepén

t-3 * Por semejanza de triángulos (base - altura):

MPKM,

3 3

f-3

O

* Evaluemos el desplazamiento del cuerpo en los 9 segundos.

-* t = 12s RPTA : “E

KDM CM Om S M U I A O S }

&3 9 | p

99

PR O B LE M A 8 :

-2

El ángulo que gira un punto de un disco está dado por el gráfico de la figura. ¿Cuál es el ángulo (en rad) que gira ese punto, desde un tiempo V hasta / +20 segundos?

0

+2

in icia lm en te

8 9 1 0 t(s )

* Luego sus posiciones para t=3s, sera:

* Notamos que solamente en t:[2;8] hay desplazamiento (d)\ luego:

o

J to ' «

A) 7xrad B) 3xrad C) xrad D) 12x rad E) 20xrad

\d = dreal Área = A¡ +A2 = 3 x 4 + 3 x 2 = 18 ->d = 18 m * Pero como la posición inicial fue: x o=12 m, luego su posición para t= 9s, será: 12+18= 30 m. RPTA: “A ” P R O B L E M A 10: *

R E SO L U CIÓ N : * La gráfica mostrada corresponde a un M.C.U. físicam ente el movimiento es: Ai

0= AO 4 x -x l2 3,5x radis Ai 10a 10 * Nos piden el ángulo que gira, desde nt" 8 hasta ni +20" s ; es decir en 208, luego:

fir)

x20=7 xrad

•

.»

Dos móviles M y N en M.RÜ. a lo largo del eje X tienen sus velocidades representadas por la gráfica adjunta si inicialmente ( t = 0s) se encuentran en las posiciones : x M= 2m y x s-= - 2 m ¿Calcular la distancia que los separa en el instante t=3a? V (m ls) A)8 m 4 B)12 m C)17 m D)20,5 m E)30,8 m R E S O L U C IÓ N :

7m 9 * Cuya separación será: f+10=17m RPTA: “ C P R O B L E M A !! : El movimiento de una partícula esta representado mediante la rama de la parábola mostrada. Determ inar la rapidez de la partícula en t= 3 s. Si la rapidez inicial fue 0,2 m/a. 99

N

t(8) M

^Evaluemos las distancias recorridas para t=3s

A)2 m¡8 B)3 mfa D)2,6 m/a E )l ,8 mfa R E S O L U C IÓ N :

C)5 mfa

* Según el gráfico, se deduce que: Para

t=0~+x=0

* Al cabo de 3s recorrió 3m.

RPTA: “A ”

* Se pide la velocidad final para t= 3 s.

El gráfico que se muestra describe el movimiento rectilíneo de un cuerpo. Si inicialmente el cuerpo está en la posición x 0= 12 m , hallar su posición en t=9s.

* Ya que se trata de un M.R.U.Y, luego:

PR O B LE M A 9:

V(m/*)

AJ30 m B)25 m C)28 m D)32 m E)36 ni

An = 3 x 4 = 12

4

~+ dN = 12 i * A m = 3 x-3 = 9

o

2

R E S O L U C IÓ N :

5

8 To ¿}9)

¿ v —-9i falo izquierda) * Ahora:

( V , + 0,2^1 -►3 =I 1 3 -> Vf = 1,8 mfa RPTA : “E ” P R O B L E M A 12: El gráfico "X" en función del tiempo indica el M.R.U.Y de una partícula.

¡A

Calcular su velocidad en el instante t=2s. X(m) A)1 mis s B)2/3 m/s C)7 mis D)0J2 m/s _ E) 7/5 m/s o | 3 R E S O L U C IÓ N :

En t= 0 ~ * x = -3 m En t=2s -> (x= 0 y Vf =Tg45° = 1 m/s) • Con lo que obtendrá: 2s V0

* Según el gráfico, se obtendrá:

x=-2 I

V/=4 m/s

3 m

* Luego: Vf = V0 - a t l-2-a(2) x=0

Ó) Físicam ente el m ovim iento realizado entre f =0 y t = l s es: t-o t—ls iúf=0

1 m/s ,2 2

-> a = —

x=3 3m

V0 = 2mfs • Pero para determinar la rapidez media para t=4s, debemos calcular:

•Apliquemos:

Luego:

y

0 = 2 -a (3 ) ±£\a 2 m/s2 i r -+ a = 3* -+Va = 2 m is • Luego para t= 2s, apliquemos :

d = 2 (4 )

d~4m

- m

• Finalmente:

PR O B LE M A 1 3:

P R O B L E M A 14:

Un auto recorre sobre trocha carrozable rectilínea, según la ley, mostrada, en el gráfico:

La figura muestra la posición angular « q » vs el tiempo 7" para un M.C.U.V

Calcular la rapidez media en los primeros 4s.

Calcule: a) El instante (en s) en que
B)2sy ím /í* &

Q4sy 2-m/a? 4

A)2 m/s

B)1 m/s

D)8 m/s

E)7t5m/s

C)3 m/a

R E S O L U C IÓ N : * Analizando el gráfico, se deduce 9»e:

2 s'

m0 = ^ rad/s RPTA:

44 A 99

RPTA : ftB f* P R O B L E M A 15:

RPTA : “B ”

i

acp ~ °*o B

7-^) ° CP = ( f ) ('

4 -► Vm = “ T= 1 m/s 4

->Vr = 2 - | w = | m /«

X (m )

2012)

D)lsyxm¡s?

Dos móviles "M' y W se mueven con M.R.U.V siendo sus gráficos x vs t los mostrados en la figura. Si se sabe que el móvil M parte con velocidad inicial de i m/s, encontrar la distancia de separación entre "Ai" y W al cabo de 2s , considere la aceleración constante de "Af' lm/s2. M A)12/5 m B)7 m C)13 m D)67/5 m E)99/7m

R E S O L U C IÓ N : a) La pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera nos da la velocidad angular, luego se aprecia: Que para t = l s -> a>=0

R E S O L U C IÓ N : * Consideremos la ecuación general

{r;roif

SS8

E D IC IO N E S

|

♦ El área debajo de la curva V vs t; representa matemáticamente el espacio recorrido por el móvil.

de la parábola:

A ¡= 4 x 7 = 2 8

* Ahora evaluemos:

x0=5 ; V0= l mis y a = l mis3 * Ahora evaluemos para t= 2s; x M=5+1(2) + —(1)2S -> x M=9m £ A3= 5 x 15=75

Móvil N (x 0=-7) * Para t= 5 s ; x = 0 , Entonces:

10Vo + 25a = 14...........(7) ♦ Para t=7s; x=5m , Entonces: 5 = -7 + V0(7) + í a ( 7 )2 A -+ 14V. + 49a = 24.......

(II)

♦ De (I) y (I I ), para "AT, se obtendrá: V „ = g m /a

, «. =

|

♦ Luego para t=2: 43 xn = ~7+ 2\35) 70 * Finalmente, para t=2s:

0 mm

22

* Luego la distancia recorrida durante los 11 primeros segundos, será: d = 28 + 22 + 75 = 125 m RPTA: “A ” P R O B L E M A 17:

0= - 7 + V o(5) + j a ( 5 ) *

A)90i m; 300m

B)90i m; 200m

C)60i m; 300m

D)70Í m; 300m

Calcular:

E)60i m; 250m R E S O L U C IÓ N : I) Por semejanza de triángulos (base - altura).

b) El ángulo total girado.

Vs _20

7

Vo = 40

9 m 9 m

AJ20 8 y 70 rad B)50 s y 60 rad 0 5 0 8 y 70 rad D)50 s y 90 rad R E S O L U C IÓ N : * Se aprecia que desde t=20s hasta t = 7Os, desaceleró, es decir, durante 7 0 -2 0 = 5 0 s. b)

V(m¡9)

6x40

70

t(s)

* El ángulo girado es el valor del área debajo de la curva (m vs /) 70 + 20

) 11 t(s)

♦ Luego el desplazamiento entre t= 3 8 y t= 1 2 s, será: d = (Aj —A2)i

20

15 •

Í20 W

w (radls)

Calcular la distancia recorrida por un móvil si su gráfica V vs t esta representada en ia figura.

x2 = 90

3x20,7 )i = 90im

U) Por semejanza de triángulos: Vo _ 2 0 Vo =60 9 3 * Luego el espacio total recorrido, entre t =0 y t =12 8, será: r f = 9 x 0 0 + 3 x 2 0 = 5O(>m

^ g ira d o = 9 0 r a d

RPTA : “D”

R E S O L U C IÓ N :

t( 8)

el movimiento de un tocadiscos viene a estar representado en el gráfico siguience. a) El tiempo que desaceleró.

* Entonces la distancia de separación será: A * . Q ( 36} 99 m -[-T F T RPTA; “E ” PR O B LE M A 1 6:

A) 125 m B)60 m C)70 m D)68 m E)29 m

La gráfica describe la velocidad del móvil en un movimiento rectilíneo. Si parte de la posición x= 0 . \ /)¿Cuál es el desplazamiento del móvil entre t=3s y t=12s. >'*■* 7/)¿Cuál es el espacio total recorrido al cabo de Í2 s efe su partida? n.7 V(m/s)

Para t= 0 t se tiene:

T

PROBLEMA 18:

Diga usted:

Móvil M:

86

K IR IX O S \

RPTA: “ A

99

USB a s « IBM

IA E ycm on E D M A 2012}

Pero como experimentan M.R.U.Y

PR O B LE M A 1 9:

R E S O L U C IÓ N :

La figura representa la relación V-f para un móvil. Calcular la velocidad media entre t=0a y t=5a, si el móvil partió en x=Om y se mueve sobre el eje 7L V(mla)

* Graficando, después de un tiempo 7" Wm,W

• Entonces:

* Del esquema:

• Ahora en (I):

*

3

í( t )

t-3

* Al resolver, resulta: t=10a RPTA : “B ” PROBLEM A 22:

-+V 1 = 3 ( t - 3 ) 4 ■ * Además por dato (desplazamiento):

01

1

AX2m !a)i

2

3

4K t(a)

2

2 RPTA : “A**

B X S m / stf C X 2/3 m ¡a )i

P R O B L E M A 2 1:

D )(3 l2 m ¡9 )i E)(4l3m Sa)i

R E S O L U CIÓ N : * Considerando la proporción de los lados de los triángulos, se obtendrá el valor de las velocidades: * Sabemos: V(mfB)

Dos m óviles parten simultáneamente y del mismo punto, con velocidades que varían con el tiempo de acuerdo al gráfico mostrado. ¿En qué instante se vuelven a encontrar los móviles? V(m¡8) a A)5a B BJlOa

cm D)8a E)12s

01

«

t(B)

R E S O L U C IÓ N : -~4 9W

"

1 2 -0

12

i

2

En la figura se muestra la gráfica de la velocidad (V) en función del tiempo 7 " del movimiento de un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba, halle A \AV\ en m/s entre dos instantes,

m R E S O L U C IÓ N : * Si el cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, entonces su aceleración es igual a la aceleración de lagravedad (g ) * En la gráfica V-*.*

•Del esquem a, hallem os las aceleraciones de los móviles: V(mla) B <*B-Tg0 = -

RPTA: “ C II P R O B LE M A 2 0 : La gráfica muestra como varía la velocidad de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 24m de altura. ¿Calcular el tiempo que demora en llegar al piso?

01

5

•Ahora los móviles se encontrarán, después de un tiempo 7", lo cual se muestra, en: t~ ° a ¡ A !

A)8a B)7a C)6s D)12a E)17a

t(s)

* '

a

_

=4m/a

1 m/s

5

2 m is

dB

T g a = -™ = -1 0 (± ) ~+ t - l a * En el intervalo de tiempo At=tr -t0 A t = l ¿ - 0,5=0,7a * El cambio de la velocidad es igual o; A V = V ¡ - V0 = - 2 - f+ 6) = - 7 mia( < ->

• Luego: • Como: dA = dB

U vl

\-7m/a\

At

0,7a

= 10 mía2

RPTA : “ E”

f > f X M O 1 fiW lw V T O \» PR O B LE M A 2 3 : P R O B L E M A 2 4: La longitud del arco AB es R/2. Una partícula parte de A y otra de B con las velocidades angulares representadas en la figura. ¿En qué instante (en segundos) se encuentran las partículas por primera vez? miradla)

B

t(9)

A) 0,27 B) 0,87 D) 2,73 E) 3,73 R E S O L U C IÓ N :

C) 1,73

RUBLXOSl

En la figura se muestra la gráfica de la rapidez angular" &" en función del t i e m p o d e una partícula que describe una circunferencia de radio 2m. Determine el número de vueltas que realizó en el último Begundo. miradla) A)2,85 BJ1, 85 C)0,85 D)4,85 E)3,85 RESOL, U CIÓ N : miradla)

®(rad/s)

com portam iento velocidad con respecto al tiempo, (g = 10 m/s1) V(mls) A) 15 m B)20 m C)30 m D)45m

\0 t( 8)

E)80 m R E S O L U C IÓ N :

10

t(s)

* La gráfica mostrada corresponde al movimiento de unaj)iéd^a que fue lanzada vertitígjiñe'hte hacia arriba con una rápideé 'V :

8a ’

m0=2a

0 * Para la partícula "A"

0)o= 2a

SÁ = VAt = c ARt * De la gráfica
rad

6a ................ d -j«v 4 10 tis) n =10 w=8ji

/=0

t=9s

-cte

SA = 2Rt.

t-lO s Oto

(I)

* Para la partícula "B" S B = S _ + e o°B^ R t + — a Tr Bo t 2 °B

* De la gráfica &*t: Ent-O , &0-2 n radls „ ^ _ _ 6x 3x rad Pendiente = TgO- — = r =a 10 5 8

2 co =OAaB=T ga=—= l rad/s

* Ahora, el ángulo central ( 0n) en cualquier segundo del movimiento de una partícula con M.C.U.V está

aTB~ a ¿R = t x R = R

dado por: 0n = mQ+

* De la gráfica m - t:

R R 2 ->SB (w 2 2 * Ahora, las partículas A y B se encuentran cuando: + —t 2 o t 2 -4 t + l= 0 2 2 *Resolviendo, Resulta: *, = 0,275 0 t ¡ - 3,735 * Luego, el primer encuentro sucede en: t= 0£7s R PT A : “ A ”

a ( 2 n - 1)

Para n =10 (último segundo)

0j o

3n

H

f )

max

* Debemos Determ inar JVHMT según la gráfica , la piedra estuvo en movimiento durante 69,entonces demoró da en ascender y 3s en descender. m * Cálculo de "V" * En la subida: Vf = V; - g t ^ 0 = V - 10(3U>L.

(W

* Reemplazando (II) en (I):

« ■

m

(3) = 45 RPTA : “D ”

(2 x 10-1)\rad

1 vuelta ptíá x^ &io 10 \2 n ptíú -3 ,8 5 vueltas RPTA : “ E ” P R O B L E M A 2 5: Una esfera pequeña de plomo se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso. Determinar su altura máxima, si se muestra la gráfica del

P R O B L E M A 2 6: Un objeto experim enta un movimiento rectilíneo y horizontal cuya gráfica ( V - t ) se muestra. Construir la gráfica ( a - t ) V(m!s) 40¥—

1020 t(s)

U

•i,

A) a (m is1) B ) 3— i /+ \t(s) \t(») i O O 10 20

3m!s lt(») O

JO 20

R E S O L U C IÓ N : * Se pide gráfica ( a - t ) , para ello interpretamos la gráfica ( V - t ) dada. t~0

ÍO

0

ÍO mi*

__1° a

t—20 m

_r

j

±.40 m/s

RPTA: “ C”

PROBLEM A 28: La variación con el tiempo de la aceleración de una partícula está mostrada en la figura. Si para t ~0 las condiciones iniciales son x 0- V q-Q , indique cuál de los siguientes enunciados es incorrecto: a (m/a*) 2 ........

aac

_ v £ -V fl

ac

r + ^ -r + io ; i0

= + 5m /íS * Llevando los datos obtenidos a la gráfica a - t a(m/s2)

0

10

20

t(s )

0 t(8 ) A)En t = Ja la velocidad es lm/a B)En t = 2s la velocidad es 3 m/a C) La velocid ad m edia en el intervalo (0; ls) es 0,5 m/s D)La aceleración media en el

(C) En el intervalo (0;ls), para el M.R.U.V inicial:

r -¿-ÍSZ i v

1

9

6

t(s)

* Sabemos que en "a" vs M f , el área, nos indica el cambio de velocidad; es decir: AV = AX- A 2 5(m¡h) VJ-V 0 = 2 x 2 - f x l 2 0 1 At \ para t=3s M ? .... m °| A ,i « -1

+ 0& m/s

m~ (CORRECTA)

(D ) En el intervalo (0 ;2 s) el movimiento es variado -

AV At

V f-V At

Una rueda inicia su movimiento de rotación desde el reposo con una aceleración angular que varía en el tiem po tal com o se indica. Determinar la velocidad angular de dicha rueda en t - 7s y la aceleración centrípeta de un punto periférico en t = 6s. (la rueda es de 0,3 m) .

lint** _

d= 0 ,<5

Í 8

V—lm/s

2m,**

_ _5¡m/»

D =2m

A)20 rad/s y 2 m/s2 B)5 radia y 10,8 m/a2 C)5 radia y 12£ m/a2 D)20 rad/a 12¿2 m/a2 R E S O L U C IÓ N : * Por teoría de gráficas se sabe que el área debajo la curva "o" vs T indicará el cambio de velocidad. a(rad/aÉ )

a (m ii)

AJI 2 B)2 C)3 1 D)4 0 t E)5 -J R E S O L U CIÓ N :

1

Vm- á t~

-

* Según los datos del problema, el móvil inicia su movimiento en el origen de coordenadas: v=o

En la figura se muestra la aceleración en función del tiempo de un m óvil con m ovim iento rectilíneo. Se sabe que para t=0, p=0. Encuentre su velocidad en m/a cuando t= 3 segundos.

o r r e c ta )

PROBLEMA 29:

RPTA : “C ” PR O BLEM A 2 7 :

(C

* Entonces, (D) ES INCORRECTA. R P T A :“ D ”

5 ,2 intervalo (0; 2s) es -rm/s 4 R E S O L U C IÓ N :

3

2012]

-> Vf2 = 1+2 x 1 = 3m/s

a”

Tramo A-+B: V;cfe = a AB = 0 Tramo fí-*C :

EXCMi

* Ahora, analicemos cada una de las alternativas. (A) En el intervalo ( 0; ls ), el móvil realiza un M.R.U.V (a ^ lm / s 2), luego: VoJ + a , /

- * V ^ » o + i x i = j m / « ....(C

¡.Area = a>f - 0)t -+

o rrecta)

(B) En el intervalo (1; 2s), el móvil realiza otro M.R.U.Y (as=2m/s$), luego: VeS + a*/

7 t(a)

= mf ~0 -» o)f = 5 rad/a

->para t=7s * Además para t = 6s: 09+at * = 0 + 1 ( 6 ) = > < a_ » ot.R

6 ra d l*

~ é * ( 0 ,8 ) x * ttq, » 1 0 ,8 mi*2

RPTA : “B

[ c i f c t f T d S KSt'W, . V o \x w j^ v r o 959 R E S O L U C IÓ N : PR O B LE M A 30: Un móvil recorre una recta partiendo con una aceleración de 2m¡8 y sometido a las aceleraciones mostradas en la gráfica. Calcule el desplazamiento (en m) experimentado entre t=Os y t= 6s. á (m fk )

A)38im C)30i m D) - 26 im

o

PROBLEMA 33:

*6 ra fiq u e m o s haciendo una sem ejanza con un m ovim iento rectilíneo:

eg

02 * Luego:

0¡ =O(3)+—(2x)3 2 -+0¡=9xrod £

t— 1

E)12im

OÍJ-0 + 2x(3)

0¡ = 6x rad/s

R E S O L U C IÓ N : * Pasemos la gráfica (a - 1) a (V - 1), recordando que en esta última, la pendiente nos da la aceleración: . V(mís) a(mla*)

TRAMO BC: -* 02 = 6x(l) ——( 6x )l 2 02=3xrad 2 '* -n * Luego se deduce, que i' giró: 0¡ + 02= 12x rad =6 vueltas'?:

24—4— -

P R O B L E M A 32:

O4 -¿

Un automóvil parte del origen de coordenadas con velocidad de 3m\s y se mueve a lo largo del eje X. Si su aceleración varía con la posición x según la gráfica mostrada, determine su velocidad en m/s en el punto x=5m . a(m/s*)

-2

•'Tga=4=| ‘ Tgfi=3=^ -Tg0=2=^ * Luego para el desplazamiento, determinemos el área "A" es decir: D esplazam iento - A rea (i i

-» d = 3 S í m

^ PR O B LE M A 3 1 :

RPTA

ua **

Una partícula describe una trayectoria circular con una aceleración angular quevárfa con el tiempo según se muestr^en la figura. Si en t =0® parte del repbso desde la posición 0 = * r a d t Determinar el número de vueltas descrita por la partícula en los 4 primeros segundos de su movimiento.

5 A) 3 B)4 C)5 R E S O L U C IÓ N : * Se aprecia que desde x= 0 , hasta x=5m la aceleración es constante (a=4m/s2), luego:

2n

B )6 v u e lta s

—

C )5 v u e lta s D )7 v u e lta s E )8 ,5 v u e lta s -* * ’

•3

s i(s)

E)Ü/7 1;* R E S O L U C Ii =0(1) -* S ==0,. rerego el ángulo central barrido "es numéricamente igual al arco recorrido. * Por dato:

0 A

~

0 D

3 4 7 • Luego lo girado por "A", será: 4 36x 1vuelta 24 =— vueltas 0a = —x 2 xra d 7 RPTA : "JE” P R O B L E M A 34: Se muestra la gráfica (0-1) del M.C.U.V. de una partícula. Determine cuantas vueltas realiza la partícula al cabo de 3s. B(rad)

A) 1,0 8x

R E S O L U C IÓ N : RPTA : “E ”

41)

o)A = Tg53° - —rad/s 3 *Que al reem plazar en (/),s e obtendrá:

E)3,5

V f - 3 2 + 2(4) (5) ->V/. = 7mis

3 x

<¡>b ~ Tg37° = —rad/s 4

0)2,5

* Apliquemos:

—

* Y sabemos: 0 -cat

C)2,0

a = 4 m/S

d=5 m I

C)5

B)l,5

V0=3 mi

a(rad¡8sf

A )3 v u e lta s

A)3 B)6

• Sabemos qu¡

RPTA : “B ”

6m

Dos cuerpos A y B efectúan M.C.U. de radio R=1 m. La gráfica adjunta muestra el comportamiento de la longitud recorrida versus tiempo. Determine el número de vueltas que debe dar A para que adelante a B en 1 vuelta. s(m )i

TRAMO AB:

4

B)42¡m

E D IC IO N E S R U B IÑ O S )

* Del tramo BA:

Parábola

lui Lvmxorfc'aíi 2012)

B(rad)

•Además:

I 2

I 3

RPTA ; "B

9$

PROBLEMA 36:

t(8)

- + 8 x - 4 x = 0(2) + fra(2)* £ -* a = 2xrad/s1 • Ahora en el tramo BC:

->A0 = O (l)+ l( 2 x )(l)* = xrad * Entonces hasta t= 3s, ha girado: 4x + x = 5 xrad = 2,5 vueltas RPTA : “D ”

Un auto parte del reposo con 2 2 aceleración constante de —m/a , 5 luego de recorrer una cierta distancia se mueve con velocidad ciisUitc de 6 m/s durante 5s, para luego desacelerar a razón de 2m/sf. ¿Qué distancia habrá recorrido en los 26 primeros segundos? A) 87 m B) 93 m C) 6m D)101 m E) 32 m RESOL UCIÓN:

La gráfica corresponde al movimiento uniform em ente acelerado que realiza un cuerpo. En el intervalo desde x =0 hasta x=4 m . Podemos afirmar: V(mVs*j

•Haremos un método gráfico (V-t) , recordando sus propiedades: V(m/s)

t(s>

4

• Analizando la gráfica: * Para x = 0 -> V / = 4-> V0 = 2 ♦ Para t=4s -> V / = 0 -►Vf =0 * Ahora adecuadamente escogemos:

1 m/s i s a =— 2

•Sededuce: 2 k = 6 -+ k = 3 • Luego la distancia recorrida estará dado por el área: 6k+5+5\ - n x 2 n —A j+A j— b 18+5+5 6 +n t

t(s)

* Luego en ”x tmse cumplirá: Posiciónfmoto) = Posición/bicicleta) -* x a + Vat + í a t s = Ve hT

1 --- .9 3 + (0)t + j-(2 )t* =VEt "2 «. —►3 + t 2

(1)

* Pero para la moto en m ET:

• En (I): 3 + t* = (2 t)t -> t 2 - 4 t + 3 = 0 -+ (t-lX t+ 3 )= 0 -> t= ls ó t= -3 s * Luego la velocidad mínima, será para í= i « , es decir:Vfi=2fU=2m/a RPTA: “B ” Un cuerpo experim enta movimiento según:

un

l + 3 t - t 2; 0 í t < 3 0 ; 3 út<4 xft) 5 -3 t ; 4 Z t < 7 ¿Cómo sería bu gráfico V-t? A )iV B)kV

)

• Pero del gráfico: 5k +5+k +n =26 —►5(3) + 5 + 3 + n = 26 —►n —3 -+ d = 2 8 x 3 + 3* =93m RPTA : “B “

■4--- >

17

t

D )iV

PROBLEMA 37:

Bob esponja con su bicicleta, se encuentra a 3m de un motociclista el cual arranca con una aceleración constante de 2 m/s2. determinarla mínima velocidad constante a la cual debe manejar su bicicleta, tal que pueda alcanzar al motociclista. A)1 m/s B)2 m/s C)4 m/s D)6 m/s E)3 m/s RESOLUCIÓN:

t = 4*

ti

PROBLEMA 38:

^

1 2 3 4 X(m) A)La velocidad media es nula B)El tiempo recorrido ei 4$ C)No se puede conocer el tiempo de recorrido D)La velocidad media es 8 m/s E)La aceleración es 2 jn/«* R E S O L U C IÓ N :

0\

Vs = VQ+ a t ~+ Vs = 0 + 2t = 2t

PROBLEMA 35:

~*0 = 4 -2 a (4 )

“P u n to de encuentro, r ,adem ás tn inttant* ** la velocidad s tr ó ta m ism a p a ra am bo« (tgñ)

7 = im /*

8x A $ \ 4 \\ n r* U#* 4n o>=fli I I a

X(m) motoj-bicicteta

• Graficando adecuadamente:

RESOL UCIÓN:

* D e 0
P a rte de

una parábola a = -2 mis2

-> x 9=lm;Vm=3mfs y ( • Para t= 3 s, su velocidad será:

\

[c iL ific is i * /O f x w i ¿ i r r r > ->Vf = 3 - 2 ( 3 ) = - 3 mis • Por la forma de la gráfica el móvil realiza un MRUV. *De 3 á t < 4: permanece en reposo Esquematizando la traslación del *De45l<7:hacemos una móvil semejanza con x= xa+Vt (M.R.U.) t= o

->x0= 5 y V= -5 (Recorrido a la izquierda)

7

¿J = 10a

E D IC IO N E S

A j : Recorrido hacia la derecha A j,; Recorrido hacia la izquierda

\ t f ^ lO a

V t-2 0 mfa

ér~0

Finalmente lo pedido, será: V(mls)

• Ahora: Analicemos cada una de la alternativas;Vtói función a lo obtenido de laográfica» A) Vf

4

\7

t( 8)

M.R.V. |

B )V

Como el objeto se mueve en una sola dirección e —d

S in m ov im ien to

r

R U B IN O S i

It

Usando ecuaciones del MRUV.

•-(n x R P T A :“ C ”

(20 + 0 }

•

e = I— —— Jx 10 = 100^> e - l O O m - l x l O m

PR O B L E M A 39 :

1

m* v e r d a d e r o

Si un cuerpo se mueve describiendo una trayectoria rectilínea, con una velocidad que varía con respecto al tiempo como indica el gráfico, la distancia recorrida hasta detenerse en el intervalo de tiempo indicado será:

RPTA : “ C ”

PROBLEM A 4 0 :

* •

La dependencia de la velocidad de una partícula en función del tiempo es mostrada en la figura. La partícula realiza un movimiento unidim ensional. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 2,0 xi0*m B) 20 m C) l,0xl0*m D) 2, Om E) 3,0xi0*m

R E SO L U C IÓ N : Piden el recorrido e de un móvil hasta que se detiene, si su trayecto ríales rectilínea y cuya ’ gráfica v ~ t es: jm

v(m(a)

A )L a v elo cid a d m ed ia d e la p a r tíc u la en e l in te r v a lo Ost&la ea cero. B jL a v elo cid a d m ed ia d e la p a r tíc u la en e l in terv a lo 0,5 s / s 1,5 a e a -1 0 mía.

(20m/a? Os)

v'-n f

1 »’ Ai

1

a

v e r d a d e r o

A) VERDADERA ;La velocidad media de la partícula en el intervalo de tiempo [ 0; 1 ] , ya que la aceleración es constante en este intervalo, se puede calcular como la semisuma de las velocidades en t —Qy t s 1 1por lo que la velocidad media es cero. B) VERDADERA :La velocidad media en el intervalo [0,5 ; 1,5] la podem os calcular hallando el desplazamiento de la partícula en ese intervalo. El desplazamiento es igual al área encerrada entre los segmentos de la función velocidad y el eje del tiempo (horizontal). El desplazamiento obtenido es -i m , y la velocidad media calculada es el desplazamiento entre el tiempo, que es ls. Luego la velocidad media es -ím /s. C) vA

C )L a ra p id ez m ed ia d e la p a r tíc u la en e l in te r v a lo O s t s i a es l,Om¡a. (0 m/a; 10s) t(a) 10

De las coordenadas en la gráfica se deduce • En t = 0 s el móvil posee una rapidez de 20 mis. * En t = 10 s el móvil se detiene pues v - 0 mis.

D )E l d ea p la za m ien to d e la p a r tíc u la en e l in te r v a lo 0 s t ¿ 8 e e a 2,0 m . E )L a a celera ció n d e la p a r tíc u la tien e su m e n o r m ó d u lo e n e l i n t e r v a l o 2$t*3a.

R E S O L U C IÓ N : * En una gráfica V - t la suma de las áreas nos da el desplazamiento y la suma de los valores absolutos de las áreas nos da el recorrido.

VERD AD ERO

VERDADERA: La rapidez es igual al módulo de la velocidad en el intervalo de tiempo [0;1]. Hallamos el área encerrada por los segmentos que representan el valor absolute de la velocidad en el intervalo de

U F 'W M r C A tie m p o

[0 ;1 ] Y

r a s g a

ob ten em os

d is ta n c ia r e c o r r id a ig u a l a l m

la que

d iv id id a e n t r e e l t ie m p o d e Ja n o s d a la r a p id e z m e d ia l m / s .

a

«

g

i ¡ &

LA f j n r a w o m 20Í2}

g

J0;4)« el movimiento es acelerado

desde

0

V en el jnstante final 4a es: V =V „+ot

B ) 18

a, >í £i±Zi]« =>a,

0 20 D ) 22

(4 ) = +4 im

E ) 24

RESOLUCIÓNi x fm )

• Donde la distancia d¡ recorrida para este

2,5

D m 2,5 m FALSO

B

A ) 16

Analizando el intervalo de [ 4 :0) a podem os apreciar que no hay aceleración, por lo que la velocidad permanece constante (V m+ 3 m/a =* ele).

D r m S j + S f + S í + S4

x (m )

con a = +Jfln/#, • p o * 1° que la velocidad

VI ¿ =>V = ( - V + ( l ) ( 4 ) = 43¡m/B * Además la distancia recorrida es: m enor aceleración

v*

recorrida por B cuando A recorrió lOm.

VERDADERO

D) FALSA: Calculamos el desplazamiento de la partícula de t = 0s hasta /= 3 ¿ , obteniendo el área encerrada por la función velocidad y el eje del tiempo (horizontal), y obtenemos 2,5m . E) VERDADERA: La aceleración de la partícula es igual a la variación de la velocidad (AV) dividida entre la variación del tiempo (At) en cada intervalo. La menor variación ocurre en el intervalo de t= 2s a t=3st cuando la aceleración es 0U> mis*. RPTA : “ Z>”

PRSBLEMA At l Se muestra ia gráfica aceleración * tiempo de un móvil que se mueve a lo largo de) eje

Intervalo dt - 6 - 4 ■ 2a es: d i = V A t = > d , - ( + 3 ) ( 2 ) * +6 im Mientras que la v e lo cid a d d e 3m/$ se em pezará a reducir en el intervalo de (6tio)a p u esto que en este Intervalo d e sa ce le ra c o n a = -lm / a * d on d e la distancia recorrida para este Intervalo de tiempo t= A i ■ ( 1 0 - 6 ) = 4 a .

n al* Vol, +— —=

Donde la velocidad de cada móvil es:

Va - W a “ j “ 2mi8 VB - tgdB m ~ » 4m(a Cuando el móvil A ha recorrido JOm habrá transcurrido un tiem p o i =

=> V . =

= *1.4 im/.

RPTA i

" f "

PROBLEMA A2 t Un automóvil se desplaza con sucesivos MRU, com o muestra la figura Determine el valor de V para que su desplazamiento total sea lOOm. v(mla) V

X, su posición Inicial e s X o » - 2 ¡ m y su

B) 15

jo

velocidad Inicial es V o - - im/a . Halle su velocidad media desde í « 0 hastaf=J 0 0 (en m/a). a (m r f)

C) 10 D ) 30 E) 26

dA

10 = — * 5 » ,e n e s te mismo tiempo el

móvil "fe ha recorrido la distancia dt =Vg t = (4) (5 ) = 20m

RPTA t “C” PROBLEMA AAt El g rá fico m uestra la variación d e la velocidad en función del tiempo d e dos móviles que pasan por el origen ( x = 0) en t = Os. Calcule el desplazamiento de A hasta el instante en el cual tiene la misma rapidez que B. A ) 16i

T 1

'

5

g

“

B) 32i 12 tía) C) 48 ¡

RESOLUCIÓN§ v(mfa) V 10

Analizando la gráfica:

th id o d c l m ovim iento tanto de A com o B

m

Pero, nos piden la velocidad media desde f#» 0 hasta tr*IOa donde:

A ) 20

RESOLUCIÓNi

t(t)

D ) 64¡

i

i

E ) 72¡

RESOLUCIÓNi

A, :í A,

V(mfa)

i

2 5 12 i(a) Nos dicen que el desplazamiento total es ¡OOm, pero dicho desplazamiento es Igual al área total bajo la curva; es decir:

I/uianlc en d cual m móvil** A y B p resentan la misma velocidad

MÁ, +á2* Ás 100 20 Ha)

= > O 0 )(2 ) + (V )(3 ) + (S )(7) = 100 = s V = ISm/a

RPTA t “R” PROBLEMA AS i V$m - im/a. p o d e m o s a p r e c i a r q u e

La figura muestra las gráficas x vs / de dos móviles A y B. Halle la distancia (en m )

Para el triángulo de 45*. sus catetos son Iguales por lo que: V * * t - 2 ..~*(l) además:

[ c R i f 7 C i a ? iimkcm* j9M0p\rwjrtWjKnnri0 tge

10 20

20-t 20-t

= V „.(II)

2 0 -t

X(m)

es 2 i m ¡a - 2 imfa.

t = 8a

III) El desplazamiento entre t = 2 a y t = 8a

Reemplazamos en (1) : V - 6mJs luego el desplazam iento d e A hasta el Instante que am bos (A y B) presentan la misma velocidad, está dada com o el área sombreada. dA - Área

I) La velocidad media entre t = 2% y # = 4%

es - 4 imfa. A) V W

B tW F

C) F W

D tF F V

E) FFF

RESOLUCIÓN t

I

RPTA i PROBLEMA AS t

V(m/&)

0 - 4 = C ( 3 - 1 y => C = -l entonc|j^fendremos: x - 4 = * > ¿£ í)í. . desabollán dola: x = 5 * h * este resultado es útil porqueOTríparáhdolo con la. ia- ' e c u a c ió n d é t l - ‘ m ovim ien to

I) VERDADERO: Encontramos las posiciones de la partícula para cada instante. En: t, « 2a xt 4im

A) -1 0 i B) 12 i C) -1 4 ¿ D) 16 i

t(B)

-

20x5:

5x6;

2

2

xt -(€i) =— -— i

i = > x r - 16tm ir

RPTA t “O§9

PROBLEBUt AB i La figura m uestra la p o sició n d e una partícula versus el tiempo. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. X(m)

esto

II) VERDADERO :

=>V - =

=> ^ « - 2 / y

es

a = - 2m/a>

tF - 3a x p = 0m luego la velocidad media está dado:

Vm=

*

^ V*

Ax 0 - 3 i ^ V m = -1 im/a At 3 -0 II) FALSO: Para todo instante la partícula experimenta una

aceleración constante iguala = ~2m/a3. III) VERDADERO:

III) VERDADERO

De la ecu a ción del m ovim iento para la

Encontramos las posiciones de la panícula para t0 = 2a x e - 4im

velocidad v - V 0 + a i

tf

d =8,-A^ =yxr ~x» =\ - A,

x 0 * 3m ; V, =.?»•/# y — = - l

Para el ins.ante: t0 = 0 => x 0 * 3 im

10 V tg$ = ~ = ± = > V = 6

Pero en ^¡desplazam iento. encontram os calculando el área'óntre la gráfica V - f. para lo que: *<.

cim os que:

Luego la velocidad media está d^Jo.com o: dx X i - X t

V = tgO = -tg a => V =

t = 0,xo

x 9 + V6t +

I) FALSO;

En el intervalo de tiempo de 4$ hasta 8% la panícula se mueve liada la Izquierda con velocidad constante, por lo que la velocidad en el instante t = 7a es igual a la pendiente de la recta, es decir:

5 3 Para determinar la posición final d e la bicicleta es n e ce sa rio en con trar el desplazamiento hasta el instante / = 10%,ya que c o n o c e m o s _su p osición inicial en

x

En: tx - 4 a ^ x t ■8im

E) ¡8 í

RESOLUCIÓNl

t(»)

Para determinar C^oSfrslderarnos el punto donde le/=3svy / = 3s y jx: r»~ 0 ,vasí' la ecuación es:

" f "

Una bicicleta se desplaza con una velocidad que varía co m o se muestra en la figura. Si en el instante inicial se halla en X o = 6 im , halle su posición (en m ) en el instante

3

A partir de ia ecuacióftde la parábola x - k = c (t4 ^ & (x -4 ) = c(t-I)1

)* =><í a = { ^ ^ ] ( 8 ) * 64m

f=/Os

E M C M X E S RU tíL\O f¡\ RESULUCIÓN t

U) La velocidad instantánea en f = 7a es

Igualando (I) con ( I I ) :

t-2

sea

a 8 * =* X p - 0

Donde el desplazamiento de dicha panícula para el Intervalo de tiempo es: 3 = dx

- Xa

^ d

=

0 ~(4im )

=>

d

PROBLEMA AB 8

APTA a“D”

4im En la figura se muestra la gráfica de dos OPTA i ••A" móviles “A” y “B ” posición versus tiempo. Determine el instante de tiempo (en a) en PROBLEMA 471 que se encuentran separados 200 m . Respecto a una panícula que realiza un X(m) movimiento rectilíneo y cuya posición en A) 5.7 función del tiempo se muestra en la figura, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de B) 3,7 las siguientes proposiciones: C) 7.7 I) La velocidad media de ia panícula entre DJ1.7 los instantes t = 0 y I - 3s es - 0 ,8 im/a . -

x?

para el instante t -2 % V = ( 2 ) + f - 2 ) ( 2 ) => V = -simia

= -

II) En el Instante t - I a la aceleración de la partícula es nula. III) En el instante t= 2 s la velocidad de la *

panícula es - 2 im/a. Aj V W B/FFF CJVFV D) FFV E) VFF

Ei 11.7

RESOLUCIÓNi Analizando la gráfica:

IBS' m * Ma Donde la velocidad de cada móvil está dado com o la pendiente de la recta, es decir: V a ■ tgd. = ~

■ 20mf»

II) FALSO: Puesto que la velocidad del cuerpo es ¡Om/t. III) VERDADERO Partimos de la ecuación del movimiento: r = x , + V7=>x = -1 5 + lOt

V * -tg d B = -

x A=-40m

PROBLEMA SO »

lOOm

200tn Desde el instante mostrado para que los móviles se encuentren , a m b os d eb en caminar ÍOOm y lu ego para qu e esten separados ambos deben recorrer 200m . En con secu en cia d esde su inicio hasta su separación ambos han recorrido. t Á+eB *100 + 200 => 20t + 60t * 300

=>/ * 3,79

Dos partículas A y B parten de la misma posición y se m ueven en e) eje X. Sus velocidades varían com o se muestra en la figura. Si la recta es tangente a la parábola en el punto (P)\ no es correcto que:

* Sé observa que J

Vfm/B)

B) Sólo II

I) SI la

cj sólo ni y El i y II

W ) El móvil pasa por x » 0 en el Instante 7» I ¿ * .

RESOLU CIÓN »

AjSóiol

16

según ~x sz A t 2 parábola):

D jV = 3 t

E)V=4t

depende de tiempo 7. (e c u a c ió n

de

una

Entonces el móvil experimenta un MRUV.

Además cuando B(Pnrábola)

D jIylII

ü ) La rapidez del móvtl es de Sm/t.

X(m)

C)V=2t

II) En / = / , las partículas A y B tienen la misma velocidad III) En 7 - 7, las partículas tienen la misma aceleración.

El gráfico representa un MRU. ¿Cuáles de estas proposiciones son correctas? O», en dicho Instante, X e = - l o l m .

\ : «

RESOL. U C IÓ N :

A) Sólo 1

es correcta hasta

A j V = — B )V = t

I) En t » t t , las partículas A y B tienen la misma posición.

f "

PROBLEMA OO» extrapolación

La figura muestra el gráfico X vs t de una partícula que partió del reposo y se mueve en la dirección X. Su velocidad en fundón del tiempo está entonces dada por. Xfm)

RPTA » “C”

x t =60m

RPTA » "

PROBLEMA OI »

Cuando el cuerpo pasa por la posición x = 0, es decir: x * - / 5 + ÍOt = 0 => / = 7,5*

L20mfB 60m¡BÍB

i=

I A ESCtfT.arKULX 20l¿\

t = la ; x = 1 m

reem plazando en determina que A = 1

x = A t 2 se

=>x = t 2.......................... (I) t(B)

Sea x # la posición donde parten las partículas AxB. V(mfB)

* Luego, de la ecuación del movimiento para MRUV , se tiene : x = x 0 + Z0t + -| a t 3

(II)

B) Sólo II

*

C om p aran d o

(I )

y

(¡1 )

C) Sólo ¡II

x Q = 0 ; v 0 = 0 a + a = 2 m /a *

DíTbdo»

* Finalmente , la velocidad para cualquier

E) Ninguno -6 ém oioetéá t

Instante será : u = / o + a t => v = 2 t t(B)

Xfm)

I) FALS Nos dicen que ambas partículas parten de la misma posición, hasta el instante 1 - 1 , podem os apreciar según la gráfica que el recorrido realizado por A e s e A « A ,+ A, mientras que B recorre eB= Ar

x-0 — Si extrapólam e la recta e « *

correapowWria *u au punto de inicio f « 0

La velocidad del cuerpo está dado co m o la pendiente de la recta, es decir:

v-tg$

20 2

1) FALSO: A partir de la ecuación del movimiento x = x § +Vl Fíjese que para el instante t, * /* su posición es » -5m reemplazamos en la ecuación del movimiento: ~S = x B+ ( 1 0 ) x l =>xB= í

Esto significa que A estará más alejado que B. II) VERDADERO: Puesto que para el instante 7 * 7 , ambas partículas presentan la misma velocidad V. III) VERDADERO: La aceleración para la curva está dado com o la pendiente de la curva y com o podem os notar para el Instante t * t, ambas partículas A y B presentan la misma pendiente (tg$) por lo que sus aceleraciones para dicho instante es la misma a = tgd.

RPTA » iiMtt íéA

* OTRO MÉTODO» Luego de haber determinado q u e : J _

¿2

aplicamos el criterio de la derivada Se sabe q u e : dx d * *+ v = — =>v = — ( t 2) Z $ v = 2 t a dt RPTA» “ C ”

PROBLEMA SE»

En el gráfico se muestra la velocidad versus la posición x de una partícula que parte del origen de coordenadas en el instante 7*0* con una aceleración constante. Dadas las siguientes proposiciones: I) La aceleración de la partícula es de 8 m/s*. B) La partícula pasa por x=4,0m en el instante 7*/,0s. UI) La velocidad de la partícula en et instante 7* 5,0s es de 20,0 m/s. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F) :

¡tas t

E D IC IO N E S R U B IX O &

•En la gráfica M* ,fvs “í ” móvil parte del

AJFFF

B fFF V

C jV F V

D jF V F

V(mÍM)

V(ml$)

♦En un m ovim iento, si la velocidad y la a ce le ra ció n tienen el m ism o signo, el movimiento será acelerado, caso contrario será

E) V W

RES OLUCIÓNt MRUV : a = c t e . (M o vim ien to acelerado) Según la gráfica planteada, tenemos

♦Según el g r á ff^ ^ g S jn p I e le lo que representa ca d jfió n a de la gráfica.

•Del gráfico anterior, para: t la posición **x” e s _________ •La posición de un móvil puede ser positivo o ______________. * Observando la gráfica se deduce y construye lo siguiente: x fmt 0 1.6 4 6 vtmf¡ 2 4

•El gráfico que indica el avance es _________ y el retroceso es (A)

* A partir de esta información bosquejamos lo que sucede: o t v0=2m/s

v¡=4m/a

•En las gráficas **x9* vs “ t ” , el tiem po siem pre es

r l.Sm 4m

• ¿Qué aceleración experimenta la partícula? Dei primer tramo, tenem os:

c* » v* + 2 ad 4* = 2 * + 2 a ( 2 . 5 ) z * a = 4 m h 1 => La proposición (!) es falsa. para llegar a x - 4m, ¿qué tiempo transcurrió desde el inicio? Usamos: v r- c 0+at Reemplazamos : 6 = 2 + 4 1 9

•En las gráficas “ x-t**, 4tx ” nos indica la__________ del móvil para un determinado

U = 6 m/s

f x =01

•En el gráfido anterior, la velocidad de / = 0 hasta t —2 es___________ y de / = 2 hasta t —4 es________.

•En gráficas vs “ t ” la pendiente de la recta es el valor de la_______ •La siguiente gráfica indica que el cuerpo está e n ___________ , por lo tanto su velocidad es__________y su posición_______ .

•Según el gráfico **v - 1 ” , la velocidad de " A ” a " B ” está________ y de “B ” hacia “C está

- t

í « 1« - > ¿ o proposición (U) es verdadera.

♦ ¿Qué rapidez tiene .lapartícula en t= S s? Ahora empleamos

A) La velocidad inicial es de_

vr =pt + cr * 2 + 4(5) => i> ,= 22

m

-

La proposición (¡II) es fabo.

RPTA t “D"

La pendiente “m ” de la recta “A "se calcula como_______ y para la recta UB ” coomo recta'BT y

t

•Si la pendiente es__ ________ la velocidad es hacia la y si es negativa, la velocidad es hacia la________ . ♦En la gráfica “ c - f ” , la pendiente nos indica la y el área la_________ . ♦Sí la aceleración es negativa, significa que apunta a la________ y si es_________, apunta a la derecha. ♦Según el gráfico, la aceleración en "A” y en **B" son respectivamente ______________

y _________

B)£n t = 25, su velocidad es CJEn I = 6s. su velocidad es. D) En el tramo AB, la velocidad está

£JEn el r e c o rrid o d e

BC

la v e lo c id a d

Determine la velocidad del móvil para t = 3 s t en la gráfica mostrada

I A EXCJCj.Mm MCDL\ 2012]

IKS3 s e a R A)+3mla B)+4 C)+5 D )+6 E)+8

(gjDeteminar la posición para t-5 a .

^^eterm ine la velocidad para t - 4 s t bí el móvil realiza un M.R.U. como se muestra en la gráfica. •* t( 8)

- t(s) A)+3m B)+6 CJ+S Z »+ 4 JS)+7 @ ) En la gráfica “x ”vs *7*', ¿cuál es la posición para t = 6 a? A)10 m/a B)8

C)6

D)4

A)+2mls

B)4

C)6

D)8 E)10

(7^)Según la gráfica, indique si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F)t

x(m) *

E)2

@ D e te rm in e la velocidad del móvil en t = 5s.

-

t(s)

A)+4mla B)-4 C)+8 D)-8 E)-2

D) +20 E) +25 la gráfica “;c*'vs *7” , determinar la velocidad que tiene el móvil en t= 8a.

Ax(m)

@ E n la gráfica " x ” vs *7"; hallar la velocidad del móvil en t = 10 a

x(m)

"■ t(a)

I) El móvil se acerca al origen. II)E l móvil posee velocidad decreciente. /I I ) El móvil posee velocidad constante. A )W F BJVFV C )F W D)FVF EJVFF (T^fSegún la gráfica, señale la afirmación incorrecta: x(m )

A)+2mla B)-2 C)+4 D)-4 E )S

A)+2mla B)-6 C)+4 D)-2 E h3 (0 )Determine la velocidad del móvil para t -10 a.

(ñ^De acuerdo a la gráfica ux " vs *7” , determine la velocidad del móvil en t —8s

~t(8)

A)+2m!a

B)0

C)6

D)4 E)-2

(Q)De auerdo al gráfico vs *7” mostrado, hallar qué velocidad tiene el móvil e n f s : 9 «, '

*.

A)Su poaición inicial es x=5m . B)Su rapidez ea 0,5m¡a C)La distancia recorrida en los primeros 20s es lOm. D)El móvil se alqja del origen con velocidad constante. E)El móvil recorre 15 m en los primeros 20a. Halle el módulo de la velocidad media y la rapidez media, en el intervalo de tiempo. [ 0; 10] segundos.

MPSJM, 1*MO I rMiNMWW:nrM'4P [U S ? 267

x (m )

A)5m/s DJllm/s

EiUCtOXES RUBiXOSl

B ) 6m/a E)30m/s

C)9m/s

aceleración angular y $(rad)

En el gráfico, se muestran las velocidades de 3 móviles en función del tiempo. Halle la relación entre la aceleración menor y mayor. V (m )

C )6 m/s y 5 m/s D)5 m/a y 8 m/s E)2 m/s y 8 m/s

a A)4

B)5

« C)2

D ) l /6

w E)l/4

(@ E n el gráfico V - t de dos móviles que se mueven en la horizontal^ que parte de una misma posi B )t= 8s E t=9 s

C )t = 6 a

Parábola

„

^ )E n qué instante de tiempo la posición del móvil es x = —4m? x(m )

A)t=7 s D)t=5s

.

t(»)

A)Rad/s1y 19 Rad B)5 Rad/s9y 19 Rad 0 4 Rad/s9y 18 Rad D)3 Rad/s9y 18 E)2 Rad/s1y 20 @ S i el desplazamiento del móvil en los 20 seguñdcS*es nulo, halle: V. V (m ls)

V (m )

@ E n el gráfico m ostrado, la velocidad media en el intervalo A)2t3 m/s B)2,5 m/s C)3,0m/s D)3,3 m/s E)4,0 m/s Una partícula se desplaza a lo largo del eje X , según la gráfica. Si para t =0 su posición fue x=90m, halle su posición para t=7s.

[ 0; 6] segundos es igual a -lm /s i y la velocidad media en el intervalo [0 ;3 ] segundos fue Halle: (2 xj+ xt)x(m )

+ 2 m /s i-

las proposiciones:

V(m/ 8)

ZjLos móviles parten con la misma velocidad. I I ) La distancia de separación entre los móviles varía directamente proporcional al tiempo transcurrido en una forma lineal desde t s 2 ■

@ H a lle la rapidez del móvil en el instante t=3s. x(m )

I I I ) La velocidad relativa entre los móviles desde desde t'z.2 varía con el tiempo en forma directamente proporcional. A )W F B )V F F OFVF D )F F V E )F W Una partícula efectúa un M C U V donde su desplazamiento angular ( 0) varía con el tiempo (t) como se muestra en la gráfica adjunta. Determine el módulo de su

C )x=160 m D)x=160 m E)x=70m Determine la posición del móvil en el instante t=18 s. x(m )

m A)xm lOm B )x ~ 8m C )x = 4m Ü )x —12 m E)x=16 m @ )S i en la gráfica mostrada, la distancia recorrida fue de 20m y el desplazamiento +JOro .sobre el eje X. Halle: t¡ y t 2

IA LvmxopfcBtt

m g3LS68 HfÜ»

2 0 1 2

)

El movimiento rectilíneo de un móvil está representado por la siguiente gráfica x-t: iX (m )

V(m ls)

V(mla) A)20 m D)120m

B)80m E)250m

C)100m

Determinar la magnitud de la velocidad media para t= la y t= 2s , Si la velocidad en función del tiem po de una partícula es: A)10y 15 B )7 y 9 D)5,5 y 8 E)2,5 y 7

C)7P5 y l O

@ )S i los móviles parten del mismo punto, en la misma recta; para que instante de tiempo se vuelven a encontrar, si el móvil A acelera con 1 m/a*.

V = (t 2+ lj ¡ A)2,3 m/a B )l,3 m/a D)3,3 m/a E ) 7,3 m/a

C)0,3 m/a

Determinar la magnitud de la velocidad para t= la . Si la posición en función del tiempo es: r = (t3+ ta+ l)i para uña partícula. A)1 m/a B)2 m/a C)7 m/a D)5m/a E ) 6m/a @ )¿C uól es la velocidad del móvil en el instante f= 6s? V(m/a) 10

A) 12$ B)4a C ) 6a D ) 8$ E)10a @)Determ ine la distancia de separación entre los móviles A y B al cabo de 4 segundos de partir, del mismo punto, sobre el eje X-

A)6 m B )7 m C) 8m D )9m E)10 m @>Dos móviles A y B parten de un mismo punto, según se indica en el gráfico. Halle la distancia que los separa en el instante t= 10$.

f

Cuadrante de circuferencia

10 A )6 m/a D)3ml

B )8 m/a E ) 7m!a

t( 8) C)10 m/a

Dada la gráfica x vs t , ¿en qué relación están las velocidades en los tramos A B y B C ? k X (m ) A )l; 2 B)2; 3 C)3; 4 D )l; 3 E)4; 1

* Se puede afirmar que: /)E1 móvil se detiene dos veces en el trayecto^mostrado. 1

.•

I I ) El móvil siempre tiene velocidad positiva o nula. III)h a velocidad en t=4,5a esIm/a A) Sólo I ea verdadera B) Sólo I I es verdadera C) l y IIs o n verdaderas D) I y I I I son verdaderas E ) Todas son verdaderas Determinar la velocidad media en el intervalo de t= 4 s hasta t = 12s. Vfmfs) A) 2 m/s B) 5 m/s C) 7,5 mis D) 10 m/s E ) 12,5 m/s 0 (0 ) Se muestra la gráfica V-t de una partícula que se mueve sobre el eje "AT. Hallar el módulo del vector desplazamiento. __Vímla)

A) 40 m B) 30 m C) 10 m D) 70 m E ) 36 m

6> -1 0

*

>10 --

Dos m óviles parten de un mismo punto en la misma dirección, describiendo las gráficas mostradas en la figura. Determinar el instante en que A alcanza a B. A) 10$ B) 12a C) 15a D) 18a E ) 20a

V(m/s) 12 .........

U 8)

(r;itii7r^.s

mpkcm.

j*Mip\rtptwici%m p IK S3, 8 6 9 IP-

Hallar la posición del móvil para/=1 5 a , si para #=0 su xa=~4m, según la gráfica V - t. A) 61 m B) 57 m C) 36 nt D )2 8 m E) 48 m

u»)

Un automóvil a las 6 horas se encuentra en el kilómetro 600 de la Panamericana Norte, llegando a Lima a las 10 horas. A las 0 horas, ¿cuánto dista de Lima? A) 150 km *X(km) B) 120 km 600 C) 300 km D) 450 km E) 480 km ~ t 10 h t ( 8) Un móvil que se mueve en línea recta describe un M.R.U.V cuya gráfica x-t se muestra. Hallar el área del triángulo sombreado. X (m )

0

2/

A) 4 B) 5 0 2 D ) 1(5 E 1/4

(2>f^Hallar el módulo de la velocidad media y promedio desde t = 0 hasta t = 10 8. **ím> A)8 m!s;5m/8 B)8 m!a;4mia C )6 m ¡8 ;5 tp f$

D)5 m¡8; 8m¡i E)10 m!8;Í4mls

t(»)

(Q )Dos m óvileE'A y B parten simultáneamente, sus^posiciones iniciales son xA= - 2m y xB= +4m. Calcular en qué posición se encuentran, si ambos se mueven en la misma recta. V(m¡8) A) 2s B) 4 8

En el gráfico a - 1 de un coche que se mueve en el eje X. Hallar la velocidad para t= 4 y si para t —2 el coche se encontraba moviendo en la dirección del eje negativo con una rapidez de 8mfs. A) 20 m/a B) -20 m/a O 4 m/a D )8 m/a E) 24 m/a

0 68

D) 88 E) 108 12

t(8 )

X (m )

A) 1 m B) 0,6 m O 1,2 m D) 2,4 m E )4,8 m

z,

TI Ii

0

o AI

I J.

I»

0,A

o j

t(h )

/

A) -6 m/a B) 10 m/s O S m/a D)12 m/a E) 14 m/a

A ) D e t = 0 ,2 h. a - 1 = 0 ,4 h e l a u t o p erm a n ece p a r a d o .. B ) L a d is ta n c ia t o ta l r e c o r r id a p o r e l v e h íc u lo fu e 8 k m . ^ C ) E n e l i n s t a n t e t = 0 ,6 ( h ) r ¡ i í a u t o e s ta b a d e r e g r e s o e n la p o s ic ió n tn ic ia L D ) E l a u to r e c o r r i ó 4 k m en- u n s e n tid o y 4 k m e n s e n tid o c o n t r a r i o : E ) E n e l in s ta n t e # = 0 e l a u to m ó v il s e h a lla b a en e l k iló m e tr o 2 0 y en e l in s ta n te t = 0 ,6 h e n e l k iló m e t r o -2 0 .

¿ií-' El gráfTco x -t representa el m ovim iento rectilíneo de dos móviles en línea recta. Hallar el tiempo de encuentro. Xfm)

A) 2,5 s B) 2,8 b

0 28 D) 4 s E )3 s

7 t(s)

(Q ) En la figura se muestra el gráfico posición vs tiempo perteneciente a un móvil que se desplaza en línea recta. Determine si los enunciados son verdaderos (V ) o falsos (F ): ( ) El móvil se acerca al origen.

(7^) En el movimiento rectilíneo de un móvil se muestra la gráfica a - t . Si parte con -2 m/a en /= 0 s, ¿qué velocidad tiene el móvil en ¿=Ss? a ,

20

f*.

°l 4 t(s) Calcular la distancia que recorre un móvil que se desplaza según la gráfica mostrada, durante el duodécimo segundo.

t(a)

equivocada. iV (k m lh )

■20

tangen te

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E )1

(77) En el gráfico se muestran las velocidades en función del tiempo de 3 m óviles. Determ inar la relación entre la aceleración menor y la mayor.

/íiw m v /js RUBixosft

a fm lsJ)

(7£)E1 movimiento de un auto en una carretera se representa en la figura de este problema. Entre las afirmaciones siguientes, relativas al movimiento, señale la que está

( jE l m óvil posee velocidad decreciente. ( jE l m óvil posee velocidad constante negativa. A) W F

iX(m)

B) V FV O FW D) F V F E ) V F F _______ 5

t(s)

(Q ) La gráfica representa la velocidad de una partícula en función del tiempo. ¿Qué fracción de su recorrido total efectúa en los últim os 4 segundos de su

lifisa aro issa la distancia recorrida en km durante las primeras 4 horas. V (k m lh )

movimiento? V (m la )

A) 66% B) 46% C)32% D) 28,1% E) 16%

o

s

9

13

L 1 E X iB J.oMm icniA 2 0 1 2 ) partícula. El espacio total recorrido en kilómetros y la velocidad media en kmfh al cabo de 25 horas son gec entonces, respectivamente. V(km

t (s )

@ Un disco parte del reposo y desarrolla un m ovim iento rotacional uniformemente variado; si cuando to~30radís. ¿Cuál será su velocidad (en rad/s) cuando t=8s? Aa(rev/9 *)

A)200¡3 D )80013

A) 72 B) 60 0 50 i D) 40 _ E ) 30 0

aceleración (a ) versus el tiempo (t) de un móvil que se desplaza sobre una línea recta. Determine la rapidez del móvil para t-4 a , si para t= ls la velocidad era de 3m/s a la izquierda

t(s )

Una máquina rotativa realiza un movimiento circunferencial partiendo del reposo y su gráfica
t(h) B)400I3 E )90013

C)600I3

@ lS e indica la gráfica de la

5

10

A)1050;42,0 C)1300;52,0 E)800;40,0 :

15 2 0 26

t (h )

B)800;32,0 D)1050;52,5

Dados los gráficos x - t de dos automóviles A y B. Determinar a qué distancia del origen de coordenadas se encuentran

A )6 ¡x

B ) 10f* O io o D)10 E)50lx

D)50m¡$ N

E)37mla

(7TÍ)E1 gráfico posición - tiempo, corresponde a un coche que se mueve en línea recta. <

@ )S e muestra el gráfico x - t de doe partículas que se mueven en línea recta. Hallar la velocidad del móvil A para t=2a. x(m )

4

¿ Cuál es el desplazamiento del móvil en el intervalo [0;J 0] segundos?

negativa. I I ) Para t - 6a su velocidad es cero. I I I ) El módulo de la velocidad media de t= 4 a t - 8s es 4 mis. A )W F B )W V OVFF D )V F V E )F F V @ U n móvil se mueve en línea recta con una velocidad que varía según se indica en el gráfico. Halle

_ La figura muestra el gráfico m velocidad versus tiempo del m ovim iento rectilíneo de una

La gráfica a - t corresponde a un coche que se mueve en el eje X negativo. Señale verdadero o falso.

o \ rwp t) Durante los 4 primeros segundos, el coche acelera. W A partir de los cuatro segundos, el coche desacelera uniformemente. ZffJLa variación de su rapidez de t - 0 hasta t —4 fue -1 6 mis. A )F F V B )V F V C )W F D )V W E )F W

e

í

o

E IH C IO aX E S R U B LYO Sl Indicar la veracidad o falsedad de las proposiciones:

B)Sólo 1 es falsa. C) Todas son correctas. D)Sólo I I es falsa. E)S 6lo I I I es correcta. (l7)La gráfica **a - 1” corresponde a un coche que se mueve en el eje X positivo. Señale verdadero o falso

el móvil acelera. I I ) En el intervalo de 4 a 8s, el cuerpo realiza un MRUV I I I ) En el intervalo de 4 a 8s, el cuerpo se encuentra en repdéjp. j p

I II ) El módulo de la velocidad para *= ls es 4mls. A )V FV B )F W C )W F D )F F V E )F F F Para 2 partículas que se mueven en la misma recta, la gráfica indica: V(mls)

Arco de semicircunferencia

’ *s •; r

construir la gráf|d¡|s¡j¿í, si se sabe que el coche semtíeve sobre el eje “ 3T* y desdejérorigen. V (m ¡s)

TV) En el intervalo de 8 a í ¿ s, el cuerpo realiza un MRU. A )W V F B )W F F C )V F F F D )F V F V E )F F F F (Q)Se muestra el gráfico x - t de una partícula que se mueve en línea recta. Hallar la velocidad para t= 8s. x(m)

• h --»

I I ) La distancia de separación entre los móviles permanece constante desde * £ 4 . m óviles de 8'd q ? /¿ ¿perm anece constante. 0$ ^ A )F W B )F F V D )w y * E )V F F A partir de ls j^ á fíé a V - t ,

Señale el verdadero (V ) o falso ( F ) .

I I ) El módulo de la velocidad es mínima sólo entre t —2 a t=4seg.

A)l¡3 D)3/5

B)2¡3 E)4/3

2

A)

B)

C)34

II)En el intervalo de 1=8 s a t = 12, (B ) recorre menos distancia que (A). UDPara algún instante en los 12 primeros segundos, las velocidades de (A ) y (B) son iguales. A)Todas son falsas.

En el gráfico “ V - í” de dos m óviles que se mueven en la horizontal y parten de una misma posición: V (m ¡ 8)

t ( 8)

0

D)

O

:

I) La rapidez de (B ) es máxima para 0< t < 8s.

parten

I I I ) La velocida^^ativa entre los

muestra la gráfica x -t de una partícula:

para t —0 a *= 10 es 12m.

I ) Los m óviles simultáneamente.

▲ A

M

I

x(m )

Una esfera sintética se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de V0 ; si la esfera cae y vuelve a subir hasta la misma altura que alcanzó al comienzo (choque elástico). ¿Qué gráfica representa m ejor el comportamiento de su velocidad en toda la trayectoria ?

!rk& I ) La rapidez de (B)es maxima para 0< t < 10s.

B) V

to 2 t 03t 0

t» 2 t(í 3 t 0

I I ) En el intervalo de t=10s a t=20s (B ) recorre menos espacio que (A ). I I I ) Para t=10s la aceleración de (A ) es mayor que la aceleración de (B ), A)Toda$ son falsas. B)Sólo / es falsa. C)Todas son correctas. D)Sólo I I es falso. E)Sólo I I I es correcto.

(Q)La gráfica ( x - t ) corresponde al MRUV de una partícula. Con respecto a ello, podemos afirmar:

(7^)En un determinado instante, se logra que un móvil A avance con una velocidad constante, y 40m delante de él un cuerpo inicia su movimiento en la misma dirección. Si la velocidad de A con respecto a B varía según indica la gráfica adjunta, determ ine la menor distancia de separación entre ambos móviles.

I A Exemas^MSOLt 2012} A)18m¡s B ) 15 mis C) 12 mis D)10 m/s E )8 m/s Dos móviles A y B se desplazan sobre la misma recta, según la gráfica mostrada. ¿Qué distancia los separaba inicialm ente, si el encuentro entre ambos sucede para t = 6s l V(m/a)

A)16m D)32m

B)20m E)48m

C)24m

Una partícula que se mueve sobre el eje X t para x =0 tiene una velocidad de - 10m/s i . ¿Cuál será b u rapidez para t = lOsl a(m/s2)

t(s)

0 A)En t i instante t= 0 el cu erp o p o s e e una rapidez de 8mls. B)La aceleración d e la p a rtícu la tien e un valor de

( — )m/sZ. U

C )D espués d e t = 8s la p a r tíc u la se dirige hacia la izquierda, Ü )E n lo s 8 p r im e r o s s e g u n d o s la partícula desacelera/ B)Todas son in co rrecta s"

Para 2 partículas que se mueven en la misma recta, la gráfica indica:

A)32m D)4m

B)16m E)20m

C) 8m

Un móvil ,se mueve rectilíneamente en el eje X , según la gráfica. Su velocidad para t =0 es -3 m !s y cuando t=10s es +32mjs. Halle su velocidad en t=5s. a (m ¡ 8z)

A)10m/s D)40 m/s

B)20m/s E)60 m/s

C)30m/s

REPASO-CINEMÁTICA. En el gráfico se muestran dos móviles que se desplazan por vías paralelas y que experimentan un M.R.U. Determine luego de cuántos segundos a partir del instante mostrado estarán separados 20m por segunda vez. 6m/s

4ml$

AL

«M b ,r* 30 m

A) la

B)3a

C)Sa

D)7a

E)9a

EDMCJONES KllUXOSl

978 m Dos móviles A y B se desplazan con velocidades constantes cuya relación es de J a 3. Si a partir de la posición mostrada, la menor separación entre ambos es 12m y esto ocurre al cabo de 2a. Determine la rapidez de ambos móviles. - ...............

Un camión de carga de 5m de largo y que se mueve con M.R.U.V, ingresa a un túnel de 35m de largo tal com o se indica. Si sale com pletam ente del túnel con rapidez de 16m/a. ¿Cuál es el módulo de su aceleración? 4 mi* A)1 m/a* B)2 m/a* C)3 m/a* D)5 m/a2 E )6 m/a* Un autobús se mueve con velocidad constante de Simia. Un muchacho ubicado en "P" empieza a correr desde el reposo y logra alcanzarlo luego de 10a. ¿Qué aceleración llevó el muchacho? A.

B)3 mfa;4 mis A) 2 mía; 6 mía C) 4 m/a; 5 m/a D )6 mi»; 7 mía E) 6 m/a; 10 m/a @ ) Si el m osquito avanza a velocidad constante, ¿con qué rapidez avanza su sombra proyectada en el piso? A) 2 m/a B) 3 m/a C) 4 m/a D) 5 m/a E) 6 m/a

(Q)Las ecuaciones de movimiento para dos móviles A y B , vienen dadas por A: x=4t 2+ 5 t¿ í% B :x = 3 t 2+5t+3 donde x esfe en metros y 7" en segundos. •^ ^ Determinar la rapidez/dejlfeh el instante en Que^qg^cnizan los móviles. A) 17 m/a B)l§jnja C)19 m/a D ) 20 m/a E/21 mía Dos in i^ o s son lanzadoB en la misma vertical tal como se muestra en la gráfica. Determine luego de cuánto tiempo los cuerpos chocan. (g = lOm/a2) JOm/a

O' SL V »3 m/« —

“

@)Calcular la aceleración media experimentada entre los puntos A y B t si transcurrió entre dichos puntos 28. A )(-l; -4)m/a B )(-l; 4)m/a C )(l; 4)m/a D)( 2; - 8)m¡$ E)(-2; - SÍm/a: Un automovilista que se mueve rectilíneamente cdn velocidad V i ¡ observa (en el instante mostrado) un avión moverse eri dirección contraria. Si después de 2a el autom ovilista observa que la separación entre ellos es mínima y es de 400m. ¿Qué velocidad llevaba el automovilista? A)50m¡a B)100m/a C)80m/a D) 20m/a E)120m/a

x - 6t - t 2 , donde V se expresa en metros y 7 Men segundos. Calcule su recorrido en los 6a iniciales. A) 9m B)18m C)15m D) 35m E)42m

A)0,5m/a* B)lm/as C)2m/at D)4 m/a* E)10m/as En la figura mostrada el atleta corre sobre la plataforma a razón de lOm/a respecto de ella. ¿Con qué rapidez corre dicho atleta respecto al observador sentado en la plataforma "B" ? A) 12 m/a B) 10 m/a ^ 2 8m/._-K. C) 15 m/a ^ D) 9 m/a E) 7 m/a La pelota colisiona durante 5 m/s con el plano inclinado, si sigue la trayectoria mostrada sin variar su celeridad. ¿Hallar el módulo de la aceleración media experimentada por la pelota? A) lOm/a B) lm/a C) 0t01m!8 D) 0,001 mis E )1000m/8

A) 5a B) 4a C) 6a D) 7a E) 8a

J00 m

10 m**

La gráfica muestra el instante en que se suelta la esfera; si al ingresar al líquido, experimenta un M.R.U.V disminuyendo su rapidez a razón de 2,5m/a por cada segundo. Determine a qué profundidad se detiene. (g=lOm/a2) V=0 i e Ie

8m

.5mf*

Una partícula se desplaza en línea recta, según la siguiente ecuación de su m ovim iento:

¿'be? A) 30m D) 22m

B) 20m E) 42m

C) 32m

(Q ) Un coche de juguete inicia su m ovim iento vertical con una aceleración constante de 5m/a2. Si luego de l i a se le acaba el

h \ E y a < j. o i 'VIHA 2012}

combustible, ¿qué altura como máximo logra elevarse si la máxima rapidez que alcanza es de SOm/s? (g=10m /8S), i ^

A) lOOm B) 190m C) 240m D) 200m E)220m

i

I V=0

A) 3
D)2H\Í2

B) 3 T

Una partícula se mueve en un plano y al pasar por la posición (x&) = ( 0; 0), presenta una velocidad

C) 45°

4úm

E) 60° 30 m

Un globo asciende con una rapidez constante de lOmis. En el instante indicado la cuerda delgada se rompe. ¿Qué tiempo demora en impactar contra el piso el bloque A? A) 2,07a B) 4,5a C) 5a D) 6a E) 6,5a

A)

D)53°

m :

|gm lOm/a*

75m

@ Indique la verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones /JLa velocidad y la aceleración tienen igual dirección. ( )

Cuánto debe ser el ángulo de tiro con que se debe lanzar la pelotita en A, de modo que logre impactar con otra esferita en el punto B.Considere que V 0 es la mínima rapidez que se le puede proporcionar a la esferita.

En el preciso momento en que se suelta un objeto en A, se lanza

E )H

p a r á b o la

t(a)

oI

lO t(t)

Determine la rapidez de la partícula en el instante t = 8s, A)2y¡34m/8 B)4l7m/s 06m/a

Se lanzan simultáneamente desde A y B dos proyectiles, quienes colisionan en el punto R ¿Cuánto fue la velocidad con que salió el proyectil en B? (g = -lO j mis2) P

I I I ) Si la velocidad es constante entonces la trayectoria es rectilínea.^ )

Dos m óviles parten simultáneamente. En qué relación están la rapidéz.V^/V,, si ambos colisionan en el piso en el mismo instante. v, M r A) 314 B) 1!4 C)4/3 D)3¡5 E) 415

C)*Í2H

V = 10(i + j ) m/a .Si en todo momento presenta una aceleración constante y además, se le asocia las siguientes gráficas. X(m)

01

A) 16° B) 37° osar D) 74° E) 82°

I I ) Si una partícula experimenta aceleración, entonces su velocidad es siempre no nula, f )

IV )Si la trayectoria es curvilínea necesariamente existe aceleración. O A) F V W B )V F V F C )V V W D) F F W E )F V F V

H

otro en B. Hallar "o* para que ambos colisionen en C.

80 m

D)1042 m/a E)434 m/a @ ) Dos partículas se mueven en línea recta horizontal cuyas posiciones varían con el tiempo com o se indica. Si una de las partículas, presenta una aceleración de lm /s 3t ¿en qué instante, las partículas presentarán igual velocidad? X(m) p a r á b o lo

60 m

A X3Q i+3Q j)m ja B X 50i-3Q i)m /a CX-30Í + 3 í¿ ') m/a DX~20Í + 2Q¡)m/a E X -40Í + 4
(2¿)Enel instante que la plataforma tiene una rapidez "V" respecto a "Tierra, de "P" y ”Q n se lanzan dos partículas con velocidades y respecto a la plataforma. Calcule la mínima distancia de acercamiento entre ellas.

Halle la rapidez angular de la rueda C mostrada en la figura, sabiendo que el bloque sube con una rapidez constante de 6m/a(a =20 cm ,b=40cm y c=60cm). A) 10 rad/a B) 18 rad/a O 24 rad/a D) 20 radia E) 12 rad/a vj El disco mostrado en la figura cuyo radio es R = l,2 m gira

[#;K.ÍI7fLt^ BPKM, uniformemente en un plano horizontal y alrededor de un eje que pasa por su centro. En el instante mostrado, una esferita es lanzada desde un punto cercano a la periferie de un disco, con un ángulo de lanzamiento 0 = 37°. Sabiendo que llega al punto diametralmente opuesto en el mismo instante que por dicho lugar pasa el punto B marcado en la plataforma. Calcular la velocidad angular del disco en rpm. (g =10 m/s*) B

A) 25 B) 35 C) 60 D ) 50 E ) 75 Un balde con agua gira en un plano horizontal con un periodo de 3x12 segundos y va derramando gotas de tal modo que éstas describen una circunferencia de radio R en el piso. Si la longitud de la cuerda es L = 5 m t A B = 9 m y 0 = 3 7 Calcular R. (g = 10 mis2) _i A) 1 m _

B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m En una competencia de aeromodelismo, un "avioncito" describe un M.C.U. en un plano vertical de 10^f2 de radio. Al pasar por A suelta un paquete. ¿Cuál deberá ser la velocidad angular que debe mantener el avioncito a partir de dicho instante con la finalidad de reencontrarse con el paquete cuando éste regrese al plano horizontal que pasa por A? (g=10 m/s2) A)x rad/s B)2x rad/s C)xl3 rad/s D)x/4 rad/s E)3x rad/s

90

9 9

ii %

II I*

HDICIOXES MJBIMt&l

f&*£l 8 7 5 [E

En la siguiente figura se muestra el bloque B que se mueve hacia la derecha con una rapidez de 3m/s la cual disminuye a razón de 0,3m/s*. Si el bloque C no se mueve; determine la rapidez y el módulo de la aceleración del bloque A para el instante mostrado. Vb=3 m/s

•a .

A)2m/s y 0,3mls2 B)lmfs y 0,2 m/s3 C)2 m/s y 0,2 m/s2 D)4m/s y 0,4 m/s2 El carrito mostrado acelera con a =7,Sm/s* y desde el punto A se suelta un tomillo. ¿Al cabo de qué tiempo choca con la superficie esférica de 2,5m de radio? (g—lOmjs2) A) B) C) D) E)

0,6s 0,8s 0,9s l,ls 1,28

A)

i a

Un avión caza que vuela horizontalmente con una rapidez de 250m(a. tal como se muestra, suelta una bomba en Ay simultáneamente se dispara desde B un proyectil en dirección horizontal, impactando a la bomba a 800m del suelo. Si sus velocidades de impacto son perpendiculares, ¿con qué rapidez se disparael proyectil? (g= 10m/ s~) A)10 m/s B)20 m/s C)30 m/s D)50 m/s E)40 m/s

130 0 m

(0 )Una esfera pequeña se lanza por la superficie interior de un cilindro vertical liso de radio l, 2xni bajo un ángulo a=53° respecto a la vertical. ¿Qué rapidez inicial mínima es necesario comunicar a la esfera para que retome al punto de lanzamiento antes de chocar en el fondo? (g =10 m/s2) A)5m¡8 \ \ % B )xm ¡8 9 9 9

Del sistema, ¿qué cantidad de revoluciones alrededor de su eje efectuará el engranaje A si en el mismo tiempo la rueda dentada realiza n i revoluciones y el engranaje central, n 2revoluciones? El radio interior de la rueda dentada es R y rdel engranaje central es r. n l > n t

C)5\fxmls D)10 m/s E)5xm/s

2( n ¡ R - n 2r )

R -r n 2 ( n j R -n 2r ) C) R

n¡R - n2r R -r D ) n,R - n2r

~

El diagram a, muestra el sistema de transmisión de una bicicleta. Si el ciclista da dos pedaleadas por cada segundo, ¿con qué rapidez se traslada la bicicleta?

20 cm

AJxm/s B)2xm/s D)3xm/s E)4xm/s

C)0,5xm/s

@ )L a gráfica ( x - t ) corresponde al M.R.U.V de una partícula.Con respecto a ello podemos afirmar: X (m )

« Us) A)En el instante t = 0 el cuerpo posee una rapidez de 8 m/s. B)La aceleración de la partícula

S7B |$23

B F jr a R r c L A fiene un valor de m/s2. C)Después de t= 8s la partícula se dirige hacia la izquierda. D)En los 8primeros segundos la partícula desacelera. E) Todas son incorrectas. Un móvil A recorre una línea recta con una velocidad constante y delante de él un cuerpo B inicia su movimiento. La gráfica adjunta muestra como varía la velocidad con la posición de ambos m óviles. Determine la aceleración de B sabiendo que A lo alcanza y se encuentra junto a él por una sola vez, en la posición x=16m . A) 1 mis1 B) 5 m/s2 C) 3 m/s2 8 D) 8 m/s2 E) 2 m/s2

V(m/s)

B vW*x

X (m )

m En el gráfico se muestra la llanta de un camión cuya rapidez es de 144km/tu Si el perno P se desprende en la posición mostrada, calcule la rapidez con la que lo hace (aproximadamente). A)144km/h B)154km/h C)72km/h D)148km/h E)200km/h La rueda desciende sin resbalar. Sabiendo que la rapidez del punto P es 4m/s, determine la rapidez del punto A respecto a un sistema de referencia ubicado en O. A) 5m/s B) 4m/s C) 3m/s D) 2,5m/s E) l f5m/s Un gato persigue a un ratón y en todo instante se dirige hacia él. En el instante que se muestra el gato presenta la rapidez V y el ratón

la rapidez p , separados una distancia L. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por el gato en dicho instante.

U

fiV fia o r m ig O fg ]

M O V IM IE N T O R E L A T IV O

(57) Rara dos móviles que se mueven en direcciones que forman entre sí 60° describiendo MRUV con igual valor de aceleración « a » . La aceleración relativa de uno respecto al otro es.... A)a B)

A) L

LV2

C)

LV

P2 Lp 2LV D) E) V p Una pequeña esfera puede moverse por cierta circunferencia de radio R , empujado por una varilla que rota alrededor de O y cuyo ángulo barrido depende del tiempo según 0=—¿ , donde o y t ti se expresan en el S.I. Determine el módulo de la aceleración de la esfera. (R = 20 cm) A ) l a m/s2 B) 1,6 m i»2 0 1 , 8 m/s2 D ) 2,4 m/s2 E) 8 £ m/s2

Una barra rígida de longitud L desciende resbalando apoyada en una pared vertical y el piso. Determine el recorrido del punto P y M hasta que el punto B de la barra llegue al piso (la barra inicialmente estaba vertical). Af; punto medio. A ík L ; ^

B)0

C)2a

D )a 4 3

E)3a

Si los móviles mostrados van a velocidad constante, halle la mínima distancia entre ellos.

12mfs

5m¡8 a

65m A)30m B)25m C)13m D)26m E ) 6m Para dos móviles que se mueven paralelam ente en la misma dirección con igual rapidez, la velocidad relativa de uno respecto al otro e s .... A )E l d ob le d e la ra p id ez d e u n o d e ellos. B )L a m ita d d e la r a p id ez d e u n o d e ellos. C )N u la . D ) Ig u a l a la ra p id ez d e u n o d e ello s. E) E l cu á d ru p lo d e la ra p id ez d e u n o d e o e llo s .

Dos Móviles A y B se mueven desde las posiciones mostradas V A= 6m/s y V B=10m/s. ¿Luego de qué tiempo la separación entre los

ti

B) 2xL ; nL C)

D) E)

3xL

•* L 2 • 2L

xL

xL

4 xL

4 xL

~T

A )ls B)l,5s C)3s D)4,5s E ) 6s Dos m óviles parten simultáneamente de los puntos (A) y (B ) de dos carreteras con V, =3m/s y Vs=4m/s. ¿Cuál es la mínima distancia de separación entre estos

EDICIONES RURIXOS

yt<*\rn*§imcjy’m o B 877 acercarse. ( g —lO m fP ). móviles? ( O A = O B = 5 m ) .

A)10m ¡a

V (A)

B

( 0)

h*

V2

¿ A )lm

2d

A )2 d B ) d 4 3

(B)

B) y¡2m

C )2 m

3ZS Determine también la mínima distancia entre ambos móviles. (M O=60m ; N O -8 0 m ).

C ) l ,5 d D )d E )0 ,8 d

@ )U n bote sale desde «A » hacia « B » que se encuentra en la orilla opuesta del río de 2 4 m de ancho. Las aguas del río se desplazan a razón de 2t5 m ¡s respecto a tierra. ¿Con qué rapidez mínima, respecto al agua, debe moverse el bote para llegar a (B ) situado a 7m de «C»? C

A )14s;8sÍ2m M<

B

C )12s;8y[2m D )14 a ;8'j5 m j\n

@ )E n la figura mostrada, los móviles experimentan MRU en vías que forman un ángulo de 60°. Determine la menor distancia posible entre los móviles.

A)0,7m !a D )2 t4m¡8

B )l,5 m is E)2,5m la

C)20m/a

(Í7)E1 ascensor asciende con velocidad constante y del punto «A » se desprende un perno. ¿Luego de cuántos segundos pasa frente a la visual horizontal del niño? (g = 10mis2).

80m K ^ rsarr 20m!s

D ) 4 0 j3 m

y

■í • / * • / .» #

E )80y[3m

4m ¡s

C)8a

r

0 0

#

D )7a

E)9a

m Dos proyectiles son lanzados con la misma rapidez. Determine la menor distancia que logran

/

*

*

0

y

D )6

E )2

O N

B )y[2l2s

C )2s

(f^P or los cristales de un ascensor panorámico que sube con 2m/s , una persona ve caer la lluvia en la forma mostrada, con una rapidez de 8\Í2mla ■ Halle la rapidez de la lluvia respecto a tierra.

^ a scen sor

2 ni/s

B )9

0 3

D )1 2

E )6

(g)D os trenes de 120m y 80m de longitud van al encuentro por vías paralelas con rapideces de 36km/h Y 54km lh. Halle el tiempo que tardan en cruzarse. A)4a

A )y f2 s

í0

O 4 J Í3

36km /k

B )6

C )8

D )1 0

E )7

@ D o s móviles A y B están sobre la misma recta y parten del reposo sim ultáneam ente yendo en la misma dirección con aceleraciones constantes cuyo valores sonde 3m¡8 y 7m¡s2 desde una distancia de 200m. Halle el tiempo que tardan en reunirse. A

A ) 10a B)3a

0

(í3)Una bandera ubicada en el mástil de un barco flamea haciendo un ángulo de 60° como se indica; pero una bandera ubicada en la orilla se extiende en dirección S30°O. Halle la rapidez del viento respecto a tierra, si el barco se mueve a 36 km lh.

A )1 8 k m lh

..................

C )4 0m

Dos móviles presentan rapidez constante de 5mfs y 4m¡s y se dirigen en la dirección indicada. ¿Después de qué tiempo estarán separados 20m ? (B )

A) la

/

E (A )

B )2 0 s¡3 m

E )5

«

í

2 f5 m

A )2 0 m

D )8

@|Por la ventana de un tren que se mueve a 0/n/s, una persona observa caer la lluvia a razón de lOmfs y formando con la vertical 37°, en la forma que se indica. Halle la rapidez de la lluvia respecto a tierra. V^rcrt,= 0m/s

A)8m/a B )1 2

B)12a;6\f5m

E)16a;5m

B )1 2 C )6

B )2 0

015

0 )2 5

E )3 0

(Í?)E 1 conductor de un coche que viaja a lOmja divisa a lOm. delante de él un camión que se mueve en la misma dirección con rapidez

■**

U

de lOmjs 2 respecto a tierra; para una persona que sube en un ascensor a razón de 2mjst. ¿Cuál será la aceleración de la manzana? A)6,5mls* 3)10,0 012,0 D )ll£ E)3,7

constante de 4m!s. Para intentar evitar el choque, el coche frena con 2mist. Luego: A)El coche chóco con el camión. B )E l coche no chocará con el camión. C)La mínima distancia entre los móviles es 2m. D JFalta inform ación p a ra predecir. E)Lo mínima distancia entre los móviles es 6m. (QlEn un lago de aguas tranquilas, un bote navega a 5m!s como se indica, mientras que una persona se desplaza a 3m!s paralelamente a la orilla. Halle la rapidez relativa del bote respecto a la persona.

r V p erso n a

B)7

C)6

D )8

EJ10

Una cuña (2) se desplaza con una velocidad V¡ = 6m¡s. ¿Cuál será la velocidad con la cual el bloque ( 1) se deslizará sobre la cara inclinada de la cuña (2) desde un sistema de referencia ubicado en el piso? (a = 6(F).

C)8

D)

60m

A)21m B)36

6E)9

A)0,4cm¡s B)0,6 C)0,8 D)2 E )1 Una cuña (1 ) se encuentra entre 2 muros horizontales y se apoya sobre la cara inclinada de una cuña ( 2) la que se desplaza horizontalm ente con una aceleracióncuyo valor es a 2= 8m/s . Calcular el valor de la aceleración con la cual desciende la cuña ( 1). (0 = 37°)

a j =3m/s

Vo =0

8m ls

Si la barra vertical desciende con rapidez constante de 0,3 cmis, hállese la rapidez de la cuña respecto a un ciclista que se mueve con 0,6cm!s. (No hay rozamiento entre las superficies).

@ ) Si el coche y el ascensor parten simultáneamente del reposo. ¿Cuál será la mínima distancia entre ellos?

Vo=0

Determinar la magnitud de la aceleración relativa del bloque «A» respecto el bloque «B », sabiendo que el bloque «B» desciende con 2m/s*.(PoIeas de peso despreciable).

V bote~ 5ml a

A)3mls

a A)2mls3 B)4

E xcti'jw tC M A 2012}

A)5m/s B)10 C)8

D )2 E )12

En la figura, el bloque «B » se mueve con aceleración cuyo valor es aB= 6mlss. Se pide calcular la aceleración relativa del bloque «A » respecto al bloque «B » , si en todo instante las cuerdas que los une se mantienen tensas. Los dos iniciaron su movimientos simultáneamente. B A

A)3m¡s2(<- ) B )3(->) 06(<~) D ) 6(-> ) E)2( <-) Una manzana cae verticalmente con una aceleración

080

D)48

E)12

En el diagram a, halle las velocidades relativas de A y C respecto de B, respectivamente. VA =3m ls

VB =2m/s

. ~c T

Ic l 10m

A )lm /s y opuestas. B)2mla y opuestas. C )lm /s y opuestas. D ) l m /8 y dirección. E)2m ls y dirección.

Vc = lm ls

~o*

12m

2m/s en direcciones Im ís en direcciones lm ls en direcciones lm ls en la misma 2mls en la misma

En la pregunta anterior. ¿A qué distancia de B se reúnen A y C f A )lm B)2m C)3m Un vagón de ferrocarril se desplaza con una rapidez de 41km/h. En su interior, el agente de seguridad persigue a un sospechoso hacia la parte posterior del tren caminando a razón de 5kmlh. ¿Qué distancia recorre el agente respecto a tierra en 3s? A)10m B)15m 0 1 8 DJ30 E)5 Con respecto a las cantidades cinem áticas relacionadas al m ovim iento circunferencial . Marque verdadero V o falso F según

[ # ;f L Í i 7 C i ^ corresponda

asBCMj y tasi x v i f . i V r o BB55~¿7¿ 4a después la posición del móvil (3) (jLa velocidad angular y la velocidad respecto el móvil ( 1). tangencial son perpendiculares. A ) 8i B)3i C)50i D ) - 4 i E)63Í II) La aceleración centrípeta es constante En un instante determinado una en el movimiento circular uniforme. partícula se encuentra en el punto III) Si un auto se dirige de Sur a Norte y su rapidez aumenta, la aceleración angular P (2 ;l)m , posteriormente se desplaza hasta el punto Q(4;4) m . Si el módulo de sus llantas también se orienta hacia el de la velocidad media entre P y Q es Norte 2y[l3mf8, determine el vector A )VFV B )W F C )V F F D )F F F E )F V F velocidad media (en m/s ) entre estos Señale la la veracidad (V ) o puntos. falsedad (F ) de las siguientes A ) 2i+6j B) - 4¡+6j C)4Í+6j proposición.

D )-2 Í + 3 j E )2 ¡~ 3 j

I)L a posición angular es una cantidad física vectorial.

Los puntos A y B distan 400m, una partícula parte de A con rapidez de 20m¡8en trayectoria rectilínea hacia B. manteniendo constante su rapidez. Luego retoma hacia A y vuelve hasta quedarse finalmente en B. Si cada vez que va de un punto a otro duplica su rapidez y la mantiene constante;calcule:

II)L a velocidad angular es un vector perpendicular al plano de giro. III) El sentido del vector aceleración angular se obtiene aplicando la regla de la mano derecha. A )V W D )F V F

B )W F E )F F F

CJVFV

m Un proyectil es disparado con una velocidad V¡J=(120i+160j)mf8 Determine el m ódulo de su velocidad (m/s) luego de 10s del disparo, (g = lOmla ) A)40\¡3

B) 12045

D )8 0 4 2

eu o o

C )6 0 4 B

4s

Un ciclista asciende por una rampa con una velocidad igual a V¡¡=(16Í+12¡j)m/8*Determine el tiempo (en s) que demora en llegar al punto B si tga - 1/2 .

a) El módulo de la velocidad media, en m/a. b) La rapidez media, en m/s. Á) 11,4:34,3 B) 11,4:11,4 C) 34,3:34,3 D) 0:11,4 E ) 0:34,3 Dos m óviles parten simultáneamente del origen de un sistema coordenado. El móvil ( 1) lo hace con V t = 2im/a y ai =3Í+4jmia2\ (2 ) lo hace con Va = 6j m ¡8 y 02 = -4 i - 2jm/a2• Determine la posición (en m ) de (2) respecto de ( 1), en el instante que ( 1) tiene una rapidez de 8j 2m/s • A)-9Í B)-18i CJ-24Í D)-32¡ E)-40¡ posición 2¡+ 4jm í 000velocidad y 0

B)3

C)4

D)5

E )6

Tres móviles ( 1 ) J 2 ) y (3 ) recorren la misma recta con velocidades constantes V 2/2= 611/1/0 y V 3j2= 4im¡8. Si se sabe que para un determinado instante t sus posiciones relativas son ; A

A

rm = 5i m/s y r&y = lOi m , hállese

A

) - 3¡¡ B)3¡ l - j

2

2

C)3¡ - j

2

D)3¡ + 3¡j

Una partícula se desplaza a lo largo de eje X , la ecuación de su posición en cualquier instante es: x(t) = 10-16t +4t2, donde x está en m y i en a. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son correctas: /) En el instante t —0 , el auto va hacia la izquierda, desde x 0—10 m , con una rapidez de 16m/s. I I ) En t-2 s el auto se detiene e invierte su movimiento. III) Después de 10a su velocidad es:

(£*7) En ¿q-0 una partícula parte de

A)2

E M C IO X E S K IJH IX O S )

V=06i?m/« A) Sólo I B) Sólo I I C) Sólo I I I D)Sólo I y I I E ) Todas Una partícula desde el origen de coordenadas se lanza con velocidad V o - 1 0 Í + jm / 8 y queda bajo la A aceleración constante a — - 2 im /s. ¿En que instante t>0 los vectores posición y aceleración forman ángulo de 00o? A)10s B)12 C)14 D)16 E)18 Una partícula realiza un movimiento en un plano con una velocidad Inicial

v o = 2 i-jm / s

y a -2 i +2¡}m/s2. Si en el Instante inicial la partícula está en el punto (3 ;- 6)m. Halle después de cuanto tiempo (en s) la partícula cruza el eje X y cual es su posición (en m) en ese instante. A )2 ; - ISi B )0 ,3fl,8¡ 0 3 ;1 8 Í D)3;18i

1)' S)Di ¡t)B lt)X 11)8mn m: 1W H)B LüiU

LUiil-ilüi

EÜUlí^IaUÜÜJüJJIjtüHiJ

#jñT^¡F[íé>r l)E E n a m o r a d d u n fm lí)f r?fl)lilj! /¿JE |/l)E [ÍtS? [Ce a v j : s

de

u

tercera

y aceleración a = 4i +3jm/s2 la cual [flLlUjP $)E ]j)lt 1&)C permanece constante . Se sabe que en t=la la partícula se encuentra en m 9)C |üL 4 /i la posición 7¡+4jm, halle yQ ( m/s). m

m i « mp ?

r m m r ii

\7)€jS)ll ¡»At IÑÜfl

H)C Ü)E 1Q)B

IS)C i m m U)F.\Z7)B

WJDisjr m

m

m :

EE

w 1 W ‘ tt)A m w CLAVES DE U fttT V X l P tLU T U ll}

a

6)0 513 *)f W mi 16).1t7)8ISlÉI9)f fijc| ííX'lSi)0Z6X'm 38)M37)( Mm íñrlwjfte! tt)f

u im u

^ X (m )

Ll R E P A S O

I (T IP O

U N I)

06. La ecuación E = E 0sen(ax + pt) es dimensionalmente correcta. E=

01. ¿Cuál es la lectura correcta de la siguiente cantidad física 1 kg. m/s? A) Kilogramo por metro sobre segundo. B) Kilogramo por metro por segundo. C) Kilogramo metro por segundo. D) Kilogramo metro segundo. E) Ninguna de las anteriores. 02. Respecto al uso adecuado del sistema internacional de unidades, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un bloque experimenta una fuerza de 20 Newton. II. La energía total de una partícula es de 220 Joules. . Si C = coulomb y T =tesla. kg m/s — s ni C T A) F W D) W V

B) FFV E) VFV

intensidad de campo eléctrico; E = q donde F es fuerza y q es carga eléctrica, x es posición y t tiempo. Determine í P ' 2 ■o A) B) M - V 2I2 T 4 C) MA r'\ 2V D) M - l - ’IT 2 E) M - 1L"1I2 T 2

* un

*

D) k 9 05. Sabiendo ^[quér: la velocidad de propagación de la onda en una cuerda tensa está en función de la tensión en la Cuérdá^'V de su densidad lineal masa (i -----------| . Deduzca una ecuación longitud para la velocidad B) v = ^ 7 t A) v = >/f7¡¡' C) v = p /T

T1/2 E) v = J—

I I 1/2

D) v = -

12. En la figura M y N son puntos medios, halle d + 2 e en términos de a y b i

07 La deformación de una viga de longitud L, de área de la sección recta A y sometida a una fuerza de tracción F se expresa mediante la ecuación 5 = — , determine la dimensión de E. EA A) M L 'T 2 B) M L -T - 2 : C) Wft-T2 D) ML- 2! - 1 rr E) M I - 2T 08 Cierto fenómeno físico puede ser descrito por la siguiente ecuación empírica: P = mvz (a t-k /S ); siendo m: masa, a: aceleración, t: tiempo, S: superficie o área, Determine las dimensiones de k en el sistema internacional. A) L*T B) L-^T C) L'^T’ D) L * r1 E) MLT" 3 09

04. El periodo de un péndulo depende de su longitud f y del valor de la aceleración de la gravedad g. Hallé la expresión física empírica del período del péndulo.

11. La energía radiante E que emite un cuerpo de área A que se encuentra a una temperatura termodinámica T en un tiempo At, vale: E = £aAT 4At, donde e es una corriente adimensional. ¿Cuál es la expresión dimensional de o? A) M T V B)M T 'e ' 3 c> M2r V D) M ^ e -3 E) M L r ^ - 3 ' _

■

C) W F

03. Si las siguientes expresiones son dimensionalmente homogéneas A P = — +B; Q = A y+B , determine las x dimensiones de [B ]/[y]. Considere P = presión; A - trabajo. A) MLT B) M L T 1 C) ML+ 2 D) ML+ 2 E) MLT- 3

LXCH I OI’ IM L I ¿012}

A) |( á - 2 b )

• b B) a + ; 2

C )¿ -|

D) j ( a - b )

E) A (á + b) 13. La figura muestra cuatro vectores m .n .r y p. Halle |x| si x = 2m + 2 / + 2 p + 2ri , m = 6 y n = 5.

La ecuación que describe el flujo de un fluido ideal está dada por la ecuación pgA +£5_+C = D en donde: D = energía por unidad de volumen p = densidad g = aceleración de la gravedad. Determine las dimensiones de A y B A) L y LT B) L y L r ’ C) M y L D) ML y LT E) T y L

10. Determine el valor de la constante k en (A + B) CD la siguiente expresión k = AB A = 2 x 10* Gm B =4000x106 Mm C = 20x109 km D = 200x 10° mm A) 1,88x10 '6m B) 2,88 x10 15 m2 C) 3,88 x 10 15 m3 D) 1,88x1015 m2 E) 8x1o 23 m2

A) V Í3 D) 4>/Í3

B) 2^13 E) 5JÍ3

C) 3>/Í3

14. En la figura que se muestra el punto M es el baricentro del triángulo ABC. Halle el vector x en función de e y f . B

[E tH C iO K E S RMJMgMJVOS A) 3e + 3f

B) —í é - f ) 3

C) ^-(é+f)

D) i ( é + f ) Ó

6

19. Determine si las expresiones son verdaderas (V) o falsas (F) para los vectores a = 7i+9j y b = 8 í - 6 j,

íj Mü&m a s

UNI

T H mO

24. Dados los vectores Á y B. Determine el vector unitario de la operación [(Á + b )-2 (A -B )1 .

I. 5-6 =10

E) ^ (2 e + f)

6

15. Determine resultante.

PROB

el

módulo

del

vector

a

|a x b| = 114 i. (2a b)a = 14i+18j A) W V B) VFV D) F W E) FVF 20. Si

Á = 2 Í+ 3 j + 4ky

C) VFF

3 //i A

B = 4 i-2 j + 6 k,

..

hallar (Á B )(Á xB ) A) (2Í + j - 3 k ) / 7 í í '

A) 2 6 (6 ¡+ ]-4 k )

B ) ( 3i - j f | ) / % 1

B) 9 4 (2 4 Í+ 4 j-1 6 k ) /

D) 3a

A

X

A

p ,(-i-]-k f/7 3

\

C) 22(6i + j-4 k )

E) 2a73

16. Si ABCDEF son los vértices de un hexágono regular, de 1 m de lado, halle la magnitud de la resultante de los vectores AB, AC, A D , AÉ y Á F . A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 17. Hallar la resultante de los vectores mostrados en el cubo de arista “a”.

D) 9 4 (6 Í+ ]-4 k )

% l|¡ 3 Í- 3 j- 3 k ) /7 2 7

E) 52 Í13i + 2j —4k)

'Íj'- f - 2 Í- 3 j - k ) /7 Í4 V • A

A

21. Dado los vectores A = 2 i+ 3 j^ k .y B = 3 i-j+ 3 k ; ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. Á es perpendicular a B ( a + b ) es perpendicular a (Á -B ). «

’

I. A - Á = lÁl2 = AJ = 14 >y

L-X

A) -4 a k C) 2ai+4ak E) 2aj+4ak

B) 2ai + aj D) 4ak

18. En la figura mostrada R y Q son puntos medios, determiné el vector unitario de la resultante de los vectores A.ByC. w

A) W V D) VFV

B) W F E) FFV

C) VFF

B) F W E) FFF

25. Dados los vectores A = 2¡ + 3 j, B = -2 j + k , detennine el vector unitario del vector AxB 2¡+3j + 4k 3 i~ 2 j-4 k B) A )~ 7 2 T ~ V29 -2 i+ 4 ]+ 3 k 4i-3J+2k O) C) 429 y¡2S 3 i-4 j+ 2 k ? V29 A

A

A

A

A

«

A

A

A

suma A +B y ú2 . al vector unitario de la diferencia A - B . Halle la diferencia

úi-ú2-

C) FFV

23. En la figura mostrada, la resultante de los vectores Á, B y C es nula, si los módulos de los vectores son iguales, determine la medida del ángulo 0 .

A) j

B) 721

D) 4 (i-i)

E) | 0 + j)

C) 721

#

*

27. La figura muestra dos vectores A y B cuyos módulos son A = 2 u y B = 5u, halle el módulo de la diferencia de dichos vectores.

A) 0,6i + 0,1j+0,8k B) -0 .8 Í+ 0 .lj C) 0,8Í“ 0,6j+0,1k D) —0,8¡ + 0,6 j E) -0,1Í + 0,6j + 0.8k

^

26. Si llamamos ü, al vector unitario de la

22. Dado tos vectores no colineales A y B, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. á -( b * á ) # o Á xB =B xA Á x (B x Á) es paralelo al vector Á A) W V D) VFF

^

D ) 20

E) 25

¡r jr s jC L t

USES;

U fó

¡A

D) 668 ¡ + 576j + 2k E) 768Í+576j-28k 31. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1 2 , 6 ) y es paralela al vector (3¡+4j).

>x

A) VÍ1 u 0) V Í7 u

B) Vt3 u E) V Í9 u

C) V ¡5 u

28. En la figura se muestra un cubo de arista L. Halle FÓ + 8 0 + DO + 2 0 G .

A) y = —x -1 0

B) y ——x —10 3

C) y = 4 x -6

D) y = y X - 3 4

EXUCMMUEDLi 2 0 l i ¡

35. Determine la ecuación de ia parábola mostrada en el gráfico si se corta con la recta: 7 x -1 0 y -4 8 = 0

E )y = - x - 3

7 /°

32. Obtener ia ecuación de la recta L2, si se sabe que es perpendicular a la recta Li tal como se muestra.

7

49 4SSSF 2 A)y + 2= ^ - 8»J B>y + 2= ^ - ( x - 4 )2 *

B

• •

200 18

•Cp y_2=i5ó(x A) ^(í+j+k)

B) i+ j+ k -

.

" t i

C )L (Í+ j+ k ) E) Ó

D) L n/3 ( í + j + k)

29. En la figura mostrada P y Q son puntos medios, determine A x B + A •B z

A) y = - 74 x + ^4

B) y = l4 x + 6

C) y = -^ x -6 4 4 25

D) y = - x - T n v

4

..

2 5

E)y=3x+T

E )y+ 2=4 L (x- 4f 200

36. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la siguiente función: y = -X 3 + 4 X -2 I) II)

33. El área del triángulo sombreado vale 50 mz. Determine la ecuación de la recta L2 perpendicular a la recta y que pasa por el punto P.

>x

.4 v*

III) A) B) C) D)

0,4i+0,3j+0,5k 5. '«■ 0,32Í+0,32j+0,64k 0,2Í+0,27j+0,48k ^ 0,18¡+0)1 6 j+ 0 ,2 4 k - f % / *

E) 0 ,2 4 ¡+ 0 ,2 8 j+ 0 ,^ k

•

A) y = 1 7 -7 x C) y = 7 -7 x E) y = 2 0 -x

B) y = 2 1 -2 x D) y = 7 -3 x

..*5*

30. Dado los vectoras .A^yr B de módulos iguales a 10.M ,^term ine el vector S S iS = A x B -(A íB )A

34

Halle la ecuación de la recta mostrada en la figura cuya pendiente es 2

B) 468? - 365j - 20k C) 568Í+400j-30k

A) I D) IV

B) II C) III E) Ninguna

37. Las rectas y1 = 2 x -6 y y2 = -4 x + 18 intersectan a una parábola en los puntos (1.-4) y (4,2) respectivamente. Si la parábola pasa por el punto (0 ,-1 4 ). Halle la ecuación de la parábola. A) y = 2(x —3 )2 +4 B) y = 4x2 -1 2 x -1 4

a % «. *■' y

A) 368i+ 300j+16k

IV)

A) y = 2x - 5 C) y = 2 x -2 E) y = 2 x -3

B) y = 2 x -4 D) y = 2 x -1

C) y = - 2 ( x - 3 )2 +4 D) y = -4 x 2 + 12x-14

[EntCtOJXES MtURMXOS I.

E) y = -2 (x ~ 3 ) - 4 38. En la figura se muestra una parábola de vértice (2 , 1 ) y la recta x , determine la ecuación de la parábola.

y = 2x2 -2 x + 5 y = x2 + 2 x -5 y = x2 + 4x - 5 y = x2 -4 x + 5 y = x2 - 4 x - 5 %

P R O lt L E M lS

La velocidad media en el intervalo (to. t) se define como 1 /- +v m= 2(V. ). La rapidez media es igual a la magnitud de la velocidad media. El desplazamiento es el espacio recorrido por el cuerpo

A) W V D) VFV

A) B) C) D) E)

888MB

B) W F E) FFF

39. Una recta z y una parábola se intersectan como se muestra en la figura, halle la pendiente de la recta.

» !

•t

40. La parábola de la figura intersectan la recta i , , de pendiente 1, én efpunto P. Halle la distancia

y/

A) 2,2 D) 5.2

*

B) 3,2 E) 8,9

'-

C) 4.89

41. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

r

* '

46. En la figura se muestra la trayectoria circular que sigue una., partícula, con rapidez constarle.de 3 $ m/s. Indique verdadero (V) ofálso (F) I. La velocidad medía entre A y B tiene lá direéción de (-i+ j). II. El módulo del desplazamiento entre ‘ A y D es 5>/2m aceleración media am entre A y C tiene la dirección del vector ( - j ) .

A) V W B) W F C) VFV D) F W E) FFV

A) W V D) F W

E) 2

VM ]

45. Una partícula parle de la posición ( - 24; 0); se dirige en línea recta hasta el punto (26; 0) y luego al punto (8 ; 24) también en forma rectilínea. SI todo el movimiento tardó 10 s. halle su rapidez media y el módulo de su velocidad media (en m/s) A) 5 0 y 50 B) 5 y 5 C )8 y 4 D )10 y 20 E) 5 y 10

C) F W

42. Una partícula se desplaza con una rapidez constante de 10 m/s, sobre una circunferencia de 2 m de radio. Con relación a las siguientes proposiciones indique verdadero (V) o falso (F). I. El desplazamiento de "A" a *D" es cero. En el tramo de “A" a “C" la vm tiene la dirección (-i)La am para una vuelta completa

T IP O

B) W F E) FFF

C) VFV

43. Sobre las cantidades cinemáticas, señale verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: I. Para todo At, el desplazamiento y la velocidad media son paralelos. Para definirlas es necesario los ejes x. y. z. . La velocidad medía es tangente a la trayectoria. A) W V B) W F C) VFF D) FFF E) FVF 44. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La aceleración media es paralela a la velocidad media. II. Para definir las cantidades cinemáticas es necesario usar un sistema de coordenadas. III. La trayectoria de una partícula es independiente del sistema de referencia usado para describir su movimiento. A) FFF B) FFV C) F W D) W V E) W F

xím)

47. Sobre el piano mostrado una partícula se mueve desde el punto medio de la recta AB al punto medio de la recta BC. halle su desplazamiento (en m):

x(m) A) 1 2 i-4 j C) 8 i—2j E) 1 1 i-4 j

B) 1 0 i-2 j D) 8 ¡-4 j

48. El primer lugar de una carrera de autos sale de la curva final con rapidez de 180 km/h e ingresa a una trayectoria recta de 2 km de longitud. El auto que va en segundo lugar le sigue con un segundo de diferencia, ¿que rapidez debe alcanzar (en km/h) este auto al salir de la curva e ingresar el tramo recto, para ganar la carrera por un segundo? Considere que ambos autos se desplazan con rapidez constante en el tramo recto. A) 175,5 B) 189,5 C) 194,5

LA separación (en m) de las partículas en el instante t - 6 s.

D) 199,5 E) 205.5 49. Un tren que viaja con una velocidad constante de módulo 36 km/h tiene “n" vagones de longitud “L“ de manera que al cruzar un túnel de longitud aLB se observa que un vagón lo cruza en 5 s, dos vagones juntos lo hacen en 7 s. Determine el tiempo en segundo que demoran en cruzar los ’n* vagones. A) 5n + 3 B) 3n + 2 C) 2n + 3 D) n + 1 E) n + 6

>t(s) A) 2 D) 5

50. Un bote de longitud pequeña, navega por un rio cuya corriente tiene una velocidad de 2 m/s. Cuando pasa por un puente muy ancho a favor de la corriente se demora 10 s, si pasa en contra de la corriente demora 20 s. Calcule el ancho del puente (en m) A) 10 B) 30 C) 50 D) 80 E) 120

B) 3 E) 6

C) 4

54 En la figura se muestra la gráfica de la posición versus el tiempo para dos móviles A y B con movimiento rectilíneo uniforme. Determine el tiempo (en s) que tardan en encontrarse y la distancia recorrida (en m) por el móvil "A', hasta dicho instante. x(m)

51. La figura ilustra como varía en el tiempo la posición de una partícula que se mueve a razón de 10 m/s. ¿A qué distancia (en m) del origen se encontraba inicialmente el móvil?

A) 4.5 y B) 6.5 y C) 8,5 y D) 10,5 y E) 11,5 y

>t(s)

C) 75

52. Una partícula se mueve en el eje x; su gráfica posición versus tiempo se muestra en la figura; entonces de las siguientes proposiciones; sbrí incorrectas; __ I. La posición en t = 25 s esrfí2'5Í% .' II. En t = 4 s el móv£4 in%$fftv' el sentido de su movin}ienfo¿^ . La rapidez m edia^/el =j0*á t = 10s es 0.4 m/s.

»t
A) Solo i D) I y

B) Solo II E) Ninguna

C) Solo

53. La figura muestra la posición x versus el tiempo correspondiente a dos partículas (1 y 2). Halle la distancia de

A) 930 D) 610

B) 640 E) 530

2012\

C) 720

57. Una partícula que parte del reposo recorre 160m en los 4 primeros segundos. Si el movimiento es con aceleración constante qué distancia (en m) recorrió en el segundo segundo de su movimiento. A) 10 B) 30 G) 50 D) 60 E) 80 58. Un automóvil dé'3m de longitud viaja a una vqtóc^gcrde 101 m/s 13 m detrás dé uÁ^camión de 9 m de longitud qué 1viaja a una velocidad de £ 6 f _km/h. Si para adelantar el camión * _ acelera a razón de 2 i m/s el tiempo en segundos que ^¿requiere para sobrepasarlo por completo. A) 5 B) 7 C)8 D) 10 E) 12 «.-> -

»

59. La posición x de una partícula varía con el tiempo de acuerdo a la siguiente

x (m)

A) 25 D) 100

e n c ic l o p e d ia

%* •

-30

expresión

6.5 8,5 . 10,5 10,5 m 10,5 m

desplazamiento de la partícula durante el n-ésimo segundo de su movimiento.

55. Lá^ posición de un objeto en í movimiento rectilíneo se define en términos de las lecturas del cronómetro mediante la expresión x = 1 5 t-7 t2. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son falsas (F)' I. La velocidad media del objeto en los primeros tres segundos es - 6 i m/s II. El objeto invierte el sentido de su movimiento en t = 2 s. III. El objeto pasa por el origen (x = 0) en t = 2.14 s. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) Ninguna *

»

56 Una partícula parle del reposo en t = 0 con una aceleración i i = 2 i m/s2, en cierto instante adquiere una aceleración ¿2 = —3i m/s2 hasta detenerse,si la partícula estuvo moviéndose durante10 minutos. Determine su máxima velocidad (en m/s).

C) 2 an

x = - a t 2.

2

Halle

el

D) 2a

E) 2 a (n + l) 60. En la gráfica se muestra la posición en función del tiempo de una partícula. Indique verdadero (V) o falso (F) con relación a tas siguientes proposiciones: I. En el instante t3 la velocidad de la partícula es cero. II. Entre los instantes b y U la rapidez aumenta. . La aceleración es constante. x(m)

A) V W B) W F C) VFV D) F W E) FFF 61. El gráfico muestra la posición x de un cuerpo en función del tiempo t, de acuerdo a esto, señale la verdad (V) o

[e

m

c m

o x e s

k í i c í ñ o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La rapidez disminuye con el tiempo. II. El cuerpo se mueve hacia +x. III. En el punto A se produce un cambia en el sentido del movimiento.

C) W F

B) VFV E) FFF

62. De la gráfica v contra t mostrada, identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:

x—

III. Si de t =0 a t= 5 el desplazamiento de (B) es Ax, de t = 0 a t = 10 su desplazamiento es A) Solo I D) I y III

B) Solo II E) Todas

C) Solo III

65. Una piedra en caída libre demora 0,3s en pasar frente a una ventana de 2,2 m de altura. ¿Desde qué altura (en m), por encima de la ventana, se soltó la piedra? A) 1.8 B) 2,0 C) 2,2 D) 2,4 E) 2,6 66.

Clara está en el borde de un acantilado cuando una piedra se desprende y cae directamente hacia abajo, hasta llegar a un lago. Siete segundos después oye el sonido producido por la piedra al llegar al agua. La rapidez del sonido es de 340 m/s. ¿Qué altura (en m) tiene aproximadamente el acantilado? g = 10 m/s2

I La velocidad en los tramos AB. BD y DE, son -4 ¡. +4¡ y 0; respectivamente. En el punto B el móvil invierte el sentido de su velocidad. . El desplazamiento entre los puntos A y Des 81 m B) VFF E) W V

A) FFF D) FFV

A) 150 D) 230

B) 180 E) 260

C) 205

67. En el instante t = 0 las partículas A y B son disparadas en velocidad VoA = 5j VoB = 5 j (en m/s). Determine la posición (en m) de las partículas cuando se cruzan (g = 1 0 m/s2).

C) FVF V oa

A) 85 j

é U=i;--)MrII

B) 25} r

C)0

D) —85 j E) -1 2 5 ] 69. Un proyectil és disparado desde el suelo con una velocidad vo = 10i+40jm /s, debido a la gravedad y el viento experimenta una aceléración constante a = ^5(i + 2j)m/s2 . Determine a qué distancia del punto de disparo cae el proyectil (en m). A) 160 B) 80 C) 40 D) 120 E) 100 70. El movimiento de una partícula está descrito en sus ecuaciones paramétricas como: x(t) = 4t2 +t-t1; y(t) = 3t2 +5 ; t (en s) y x(t). y(t) (en m) Determine: a) La velocidad de la partícula en t = 3s (en m/s). b) La posición de la partícula en t = 1 s (en m). A) 25i+ 18j 1 0 Í+ 2 5 j

B) 20¡+16j 5 ¡+ 9 j

C) 25¡+18j

D) 20¡+16‘j 3 ¡+ 4 j

6 Í+8 ]

E) 15¡+ 9j 81+12j

5 Jl íí

y*

20 m

ii 114

* x

parábola ~ p

■Vos

£II■ tf/=//=7/=//=//

B

I. La velocidad de (A) es constante y vale 6 i m/s. II. La aceleración de (B) es t 6 i m/s2

v Q = 1 0 i + 8 jm /s

a

63. Las curvas (A) y (B) representan los movimientos de dos partículas sobre el eje x. Indique las expresiones correctas.

-2 0

el punto de impacto del proyectil con la pared (en m).

4 AX.

0

V(m/s)

mi)

P R O it L E M X S i T I P O

64. ¿Cuánto tiempo (en s) después del segundo segundo de su caída libre, un cuerpo recorre 20 metros? A) 0,2 B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8 E) 1,0

x(m)

A) W V D) FVF

385

s

68 .

A) 2í

B) 4¡

D) 10 Í

E) 20 í

C) 5 i

Desde un determinado punto de una pared vertical se dispara un proyectil, tal como se muestra, si la aceleración constante es -4 ¡-1 0 jm /s 2. determine

71. Una partícula parte del origen de coordenadas y se mueve según x (t) = 5 ti, ¿qué velocidad constante mínima adicional (en m/s) debe adquirir para moverse en dirección E53° N. A) -24i + 3,2j B) 2,4 ¡ + 3,2j D) -3 ,2 1 + 2 .4 ] C) 3,2 i + 2,4] E) -3 ,2 Í-2 ,4 j 72. Una partícula tiene una aceleración de -4 i+ 2 j m/s2 durante un lapso de 5s.

LA ffiC JC Lo rizD b t 2Ót£\ Después de este tiempo su velocidad es -5 i - 2k m/s. Halle la distancia (m) entre las posiciones extremas de este movimiento, es decir en el lapso de los 5 s. A) 119,7 B) 109.7 C) 99.7 D) 69.6 E) 36,7 73. La figura muestra un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Desde el punto A se lanza una partícula con una velocidad de i m/s, la partícula se mueve en el plano liso hasta llegar a la base, halle su desplazamiento horizontal (en m).

A) 31 D) 37

B) 33 E) 39

C) 35

76. Un cuerpo se lanza horizontalmente como se muestra, con una rapidez de 10 m/s e impacta en el punto "C\ Determine la máxima longitud de AB (en m)

a

A) 20 D) 35

A) 1,16 D) 79,7

B) 1,26 E) 1,56

C) 1.36

74. La figura muestra un proyectil lanzado desde el piso con una velocidad inicial v0. De acuerdo a esto, señale verdadero (V) o falso (F) para las siguientes proposiciones: I. La altura máxima se calcula como: H’m ax *

B) 25 E) 50

A) 60° D) 37°

B) 53° E) 30°

C)45°

79. El proyectil de la figura se lanza con 10 m/s y llega a la pared inclinada golpeando en forma perpendicular. Determine el tiempo de impacto en segundos.

0 )3 0

77. Un jugador de basketboll lanza una pelota con una velocidad inicial de 6 i + 8 j hacia ei centro del aro como se muestra en la figura. Determine la velocidad con que la pelota pasa por el aro.

2g

II. El tiempo transcurrido hasta alcanzar el punto A es el tiempo de vuelo entre cuatro (L/4) . La rapidez en A es Vq/2 3.2 m

Viví'

6m

A) 0,12 D) 0,36

B) 0,18 E) 0,42

C) 0,28

80. Con referencia a las cantidades cinemáticas angulares, señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Son imprescindibles para describir el movimiento circular de una partícula. II. Si en un instante dado ei movimiento circular de una partícula está descrito por v y w , estas cantidades satisfacen la relación w xv = Ó. III. Si una partícula en movimiento circular ejecuta un desplazamiento angular A0 y el radio de la trayectoria es R, entonces su desplazamiento lineal está dado por Ar =RA0.

l— X—I—x—i B) VFV A) W V E) FFF D) FVF

C) W F

con 75. Se lanza un proyectil v0 = 3 0 (i+ V3j)m/s. Halle, aproximadamente, la rapidez (en m/s) del proyectil en el instante que es observado desde el punto de disparo con un ángulo de elevación de 45°.

A) 3Í + 4 j D) 6 ¡ + 2j

B) 6 i- 2 j E) 2 ¡-4 j

C) 3 i- 2 j

78. Un mono cuelga de la rama de un árbol a 4 m del cuidador y a 3 m sobre la mano de éste (ver figura). El cuidador sabe que el mono deja la rama en el mismo momento en el que le arroja la banana. ¿Con qué ángulo de elevación debe arrojar la banana para que el mono lo atrape?

4m

A) W V D) F W

B) FFF E) VFV

C) VFF

81. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes respecto al movimiento circular. I Si la velocidad angular está definida con una orientación cualquiera entonces ésta determina el plano del movimiento. II. La magnitud del vector posición de la partícula con respecto al centro de giro varia en cada instante de tiempo. III. En el MCU o en el MCUV la velocidad angular, la aceleración centrípeta y la velocidad lineal son siempre perpendiculares entre sí.

PR0BLM2pm*Ñ~'M'MM*0 VM) 3 8 7 K U n iJ Y O S centrípeta en el instante t = 0,5s (en determine el periodo de la polea, de C) FFF radio menor. m/s2) B) 4n2j C) 6 ¡t2j A) 2 x2j 82. Una partícula gira en una D) 8 i 2j E) 9it2j circunferencia de 1 m de radio; entre los puntos (A) y (B) emplea 5 s. ¿Cuál 85. Una partícula gira en una trayectoria o cuáles proposiciones son correctas? circular como se muestra en la figura. ¿Cuál es su desplazamiento angular 371 An B) (rad) luego de 15 s y en que sentido A> § gira vista desde Z(+)?. D) a* E D 1C ÍO W E & A) W V B) VFF D) VFV E) FFV

I. La velocidad en (A) es 5k rad/s. II. La velocidad angular media entre (A )y(B )es n/10m /s. . La aceleración angular media entre (A) y (B) es k rad/s2. A) Solo I D) I y II

w(rad/s) 10

o 5

C) Solo III

B) Solo II E) II y

15

■> t(s)

A) - 25, horario B) 50. horario C) - 50 antihorario D) 25, antihorario E) 25. horario

83. Respecto al movimiento circular, identifique cuántas de las siguientes proposiciones son correctas.

89. En un plano
86 . Un móvil está girando con MCU a

razón de300/ ti rpm sobre una circunferencia de 10m de radio. Si en el instante inicial, el móvil se encuentra en el punto P(10, 0), ¿en qué instante mínimo (en s) la velocidad del móvil .será" v = 50(-i + >/3j)m/s ? A) 0,01 B) 0,03 C) 0,05 D) 0,07 E) 0,09

i. El desplazamiento angular A0 es igual al cociente L/R, donde L es la longitud de la trayectoria recorrida. II. Siempre son paralelos los vectores “r tu, arn y a . W* 87. Determine la velocidad instantánea para la posición mostrada (en m/s). Si . El cambio de la velocidad angular la frecuencia de la partícula al recorrer V2 - Vi está dado por ié k la circunferencia de radio 0.5 m es de R 30 rpm. donde vi y V2 son las velocidades v en los extremos:. IV. Los ve#Gres.'(tf^y Aw siempre señalarfen eí mismo sentido. :

4

A) To
*

•VB) Solo E) i y ii

. * •

\

B) 19,4 E) 30,5

C) 24.5

90. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) respecto a las proposiciones relativas

al

gráfico

ío2v s 0 .

w:

velocidad angular y 6 ; posición angular, de un movimiento circular. Es un MCU. . La pendiente de la recta es la aceleración angular. . En 0 = 0, la velocidad angular vale

%4

C) Solo II

84. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r = 2 m con MCU. Su posición angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuación 0=

A) 16,8 D) 26,7

^ + 2 jitjrad, en donde t se mide

en segundo. Si el movimiento es antihorario, determine su aceleración

A) 3iri + 47ij

B) 4ffi + 3jtj

C) 0,37ii + 0,4itj

D) -0,37ri + 0,47tj

D) FFV

E) VFV

E) jci-icj 88 .

Las poleas de la figura giran uniformemente unidas por una faja. Si r = R/^a y el periodo de rotación de la polea mayor es de 14tc segundos,

91. Un balde con agua gira en un plano 3 ji horizontal con un periodo de — s y va derramando gotas de modo que éstas forman una circunferencia de

Lí radio R en el piso. Si la longitud de la cuerda es L = 5m , AB = 9m y 6 = 37°. calcule “R" (en m) g = 10 m/s2. A tl=U=¿'=l/

D) 10

E) 12

92. Un disco desarrolla un movimiento de rotación, tai que la gráfica de la posición en el tiempo de un punto del disco es la que se muestra. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes;

I. El disco desarrolla un movimiento circular acelerado. II. El disco desarrolla un movimiento circular desacelerado. III. El movimiento del disco es acelerado entre 0 y t; desacelerado en trety 2 t. A) FFF D) VFF

B) V W E) VFV

C) F W

93. La gráfica muestra la posición angular de una partícula en función del tiempo. Halle el módulo de la velocidad angular media (en rad/s) de la partícula entre los instantes t = 1 s y t = 4 s.

D) 4

94. Se suelta una esferita en el instante en ia ranura del disco superior pasa por debajo de ella. Los dos discos están fijos al eje vertical el cual gira con velocidad angular mínima. ¿Cuál debe ser la separación L entre los discos (en mm) para que la esferita pase por las dos ranuras que están desfasadas un ángulo de 90o? = cte oiIO m

B) 2

C) 3

97. Un cuerpo parte del reposo y se mueve sobre una circunferencia de 18m de radio con una aceleración tangencial de 2 m/s2. Determine el tiempo (en s) que debe transcurrir para que la aceleración normal del cuerpo sea igual a 3 veces su aceleración tangencial. A) 3 B) 2\¡3 C) 4 D) 3s/2 E) 3^3 98. Un disco gira con aceleración angular constante de 2 rad/s2 Si después de 0.5 s de haber iniciado su movimiento a partir del reposo, un punto periférico del disco tiene una aceleración de 22,36 cm/s2, determine el radio del disco (en cm). A) 10,0 B) 8,8 C) 6,5 D) 5,6 E) 4,8

A) 1,28 B) 1,91 C) 5,62 D) 2,83 E) 3,17 95. Dos hormigas se encuentran paradas 99. Un disco de 1 m de radio parle del sobre un disco que gira uniformemente reposo con MCUV, en el instante alrededor de un eje que pasa por su t = 0 s, y efectúa 10 vueltas en 10 centro. Entonces, señale el valor de segundos. ¿Cuál es el valor de ia verdad de las siguientes razón (aceleración centrípeta^ proposiciones; (aceleración tangencial) para un punto I. La hormiga que está más lejos del del borde en el instante t = 4s? centro del disco experimenta una aceleración centrípeta de menor A) jt B) 1,6;t C) 2n magnitud que la hormiga más cerca D) 3,2:t E) 6.4 ti al centro. II. La hormiga más lejana al centro 100. La longitud s (en m) recorrida por un tiene una rapidez mayor que la más móvil en movimiento circular de 18m cercana. de radio depende del tiempo t (en s) 2 III. La hormiga de mayor peso tiene según la ley s = (1 + 2t) . Determine el menor aceleración que la hormiga instante (en s) en el cual la aceleración más lejana del centro. centrípeta es de igual magnitud que la aceleración tangencial. A) W V B) W F C) F W A) 1 B) 2 C) 3 D) FVF E) FFF D) 4 E) 5 96. Respecto a la aceleración centrípeta CLAVES D EL REPASO ( TIP O UNI ) indique la veracidad (V) o falsedad (F) de cada propuesta □ Q B D D Q B D D D I. Siendo v y ac los vectores velocidad y aceleración centrípeta n H O B d O O O B I l m m m m fsi m ?£) m de una partícula en un instante B B E lB B B B B K a B I determinado, el ángulo formado por estos vectores es menor que n/2 . B a B D O a Q O K lB II. Una partícula en movimiento tiene aceleración centrípeta cuando B D D Q B O B O B D cambia la magnitud de su Sfl @0 S6 58 82 ©3 velocidad. □ B B C l E l O Í B a . Si una partícula toma una curva "cerrada" (con R pequeño) a gran □ n iio E S B B C o ia velocidad tendrá un valor grande de aceleración centrípeta. E 3 B O Q r a B D i l B K i A) FFV D) W F

A) 1

E)5

2012}

E X C iC L o r a o L i

B) VFV E) FVF

C) FFF

D

B

□

B

B

O

D

K

B

1

B

B

D

B

B

B

B

E

U

B

I

a

¡EOMCIOJNES RU BM KO S REPASO II ( TIPO UNI)

P R O iS L E P M A S

08. En la expresión V = 01. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El símbolo de la cantidad física intensidad luminosa es Ca. II. Una cantidad física derivada se define describiendo la forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. III. 20 attometro es equivalente a 20 *10"15m. A) W V B) VFV C) VFF D) FFF E) FVF 02. Señale como correcto (C) o incorrecto (I), según corresponda: I. El sistema internacional de unidades considera siete cantidades físicas como fundamentales, una de dichas cantidades es la fuerza. II. La carga eléctrica es una cantidad fundamental en el Sistema Internacional. III. La dimensión de una cantidad física adimensional es igual a 1. A) III B) ICC C) CCI D) ICI E) CCC 03. La forma correcta de leer la unidad mN/s es: A) metro por newton segundo. B) metro newton por segundo. C) mili newton segundo. D) mili newton por segundo. E) metro newton segundo. 04. La representación mediante símbolos de la unidad joule por kilogramo kelvin, es: A) J-kgK J 0) kg.K

B) J-K

*9

O ¿-fcg

t3 b-h a

c

I. determine ia

B) T3 E )T V 1

QTV*

B) W F E) FW

F*G

i-:#-

r2 m, y m2son las masas y r es la distanciaeNtre.'.i ellas. ¿Cuál es la expresión dimensional de A) ML3T2 B) (ÜPL 3T2' ^ & \ ^ C) L3! ^ - 1 E) [ f T W

j&k.

11. Experimentalmente se ’-ba aetérminado que la fuerza de sustentación que actúa, sbbre ei ala de un avión dep&ndecdel área $ del ala, de la densidad p deJ*■airéy.de la; velocidad V del 1**^% avión. Halleel exponento de fa velocidad V. A) -1 ’ V B ) 1/2 - . " C) 1 D)2 ^ E ).3 -> ir

.

9

C) 2m B) Jim A) D) 2>/3m E) 3V2m 16. En la semicircunferencia de la figura de radio R se hallan los vectores a. b, c y d. Determinar el módulo del vector suma.

" *

A) 2R D) 6R

B) 3R E) 8R

C) 4R

17. En el paralelogramo mostrado en la figura, halle X en función de a y b . M y N son puntos medios.

A

13. En la siguiente figura, halle X en términos de a y b sim/n= 3/5.

A) i(a + b)

B) -(a + b ) 3

C) —(á +b) 4 E) 2(a+b)

D) (a+b)

16. Dados los vectores A * am+pn y 0 = am-pn,

C)

07;Experimeritfimehle se obtiene que la potencia * dé-descarga‘de! chorro de agua que sale de üh¿Tú^ed9 es proporcional a la densidad del agiíáb^su velocidad y al área de la sección transversal de dicha tubería, halle el exponente de ia velocidad A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

^¡§

T .

i

'~:S:

DL<

i#

/jk] = 2|á|y 0 = éD°. Halle el módulo de la resta

i— :

. donde F es la fuerza

06. El desplazamiento p&tfcuia en trayectoria rectilínetjcon aceleración constante (a) está determmadff$c i r =k a ^ : donde t es tiempo; k es constarte ¿dimensional. Encontrar los valores de m y n. Dar.como respuesta m +

n.

/

~ n p

10. La ley de Newton de la gravitación universal se expresa mediante la siguiente relación;,

C)W F

.•f-%

fijan vJOF.

15. Desde el jkintdjfdeUá éfitunferencia mostrada (de radio trazan 2 vectores hacia otros 2 puntos;J& 9i circunferencia; tales que

05. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las l p £ P * ! ? ddad v y de la VISC0Sldad n siguientes proposiciones: ^^gtper^entalm ente se ha obtenido que si I. El criterio de homogeneidad es condición^ . R=2jím, v=7x107m/sy n=3>c103kg m"V1 necesaria y suficiente para e v a l u a r ^ ^ resist¡va es 252,x10 18 N. Luego la ecuación física. " ” ,expresión " para denotar la fuerza resistiva es: Ii. Una cantidad adimensional al sP&WA) 6xvqR B) 7tv2i)R C) jivii2R también es adimensional D) BnV^R1'2 E) AzVr\R7 III. [logio x"] = •. A) VFV D) FFV

*

¿A''*>

■3?i

P = kR*wftDe donde k es un número. R el radio de la hélice, W es la velocidad angular, y D es la densidad del aire. Determine el valor de ab/c suponiendo que la ecuación es dimensionalmente correcta. A) 5 B) 8 C) 12 D)15 E) 20

12.-La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo /^tésférico) en la sangre depende del radio R, de

E)- kg*K

A+B+C+D=0

A) W V B) FFF C) W F D) FVF E) VFF

09. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por:

v .r *

J

m yt

II. Á+B = C -D Á+B+C = 2D

a-b dimensión de — si V = volumen, t = tiempo y h = altura. A) T V 2 D )T \

T IP O

si se sabe que A) -á + ^b

B) a + -b

C)

D) - i U b

5

E)

O 3’ 3b

14. Indique ia veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes;

8)2

A

ni

=y¡5a

0)3

E) 5 19. En la figura se muestra un cuadrado cuyo lado mide dos unidades y un arco de circunferencia,

determine el vector a .

]

\ r ¡ 'w

&

r e z s %

lu:*

.

jik

A)(2+V2K4+j)

D)

Í2 »

E)

-i+ j+ k

Jz

9

i-k

ü

23. En ia figura determine el vector unitario del vector F . sabiendo que tiene la dirección de la diagonal AD en el paralelepípedo mostrado.

B) (4 2J 2 H í^i)

C)t2-&{A+]} D) (3 ^2)(¡+¡) E)U-JiX\+l

20I¡2\

U j+ k

A) C)

LA EXCH :i‘O r E D iA

1

20. Determine e) vector unitario del vector A . sabiendo que la resultante del conjunto de vectores mostrados es nula.

Entonces son corJftStiKL» A) Soto I B)Í£JI 0)1

QJfylll

y111 .«rJEJ®

27. Determine' $ veáoíjesultante del conjunto de vectores mostrador? el vector F que sumado .con tos vectores gados resulta cero.

o/f 3a

-9

, D ♦•

*

.1

XA 2a .

A) (i+ j+ k W ÍÍ C) (i—2j—k)/Jl5

B) (í+2j-r-a)/Vif ^ D) (4+2*j+3k)/,

-

\ m _/

E) (í f2Í-3k)/7Í5 ^ 24. En la figura se muestra un cubo de Determine el vector unitancQp lárdlf^3n A) (4i+Í)/VÍ7

B) (i+2Í)/
C) {2 + llJs

D) (3Í+2Í/VÍ3

V2 - V 1 .

E) (5¡+4j)/V4Í 21. Dado los vectores A y B que se muestra en la figura, determine un vector unitario en la dirección y sentido del vector C . si

—

—

-

-

—

b A) 2bi 4 2aj

-2bi-2aj

B) bÍ+aj

-bí-aj

C) bl-aj

bUaj

D) -2bí+3aj

2bí-3aj

E) 4bi-3a j

-4b¡+3aj

a -> x

28. Para tos vectores: A .B ,C y D (á + bM

c

: - ' a25 En la siguiente figura se muestra un triángulo *3?• ^equilátero ABC de 8 onde lado. Halle el vector _

determine

+ d ). z

) (-j-í¡)/>/2

Á+B+C=Ó.

i.

—

A

4 i

^ A) - f U j í

5

5 A

unitario en la dirección del vector R : si el segmento BD =-BC 4

A) 4if 3j

B) 4j-3k

C)ia+12k

D) 12k

E) - 12] 29. El cubo mostrado es de lado ‘a*, baile

c> M ¡

Á (8 * C )

22. La figura mufdtya tirt|Cubo de arista 4 determíne la resultante de A)

5i |2V3j

5¡T3v5j C) 2^ >y

2>/Í3

D)Si-rZJz}

E) 26. Dado el cubo en la figura, se plantean tres proposiciones respecto a sumas de vectores. I. FB+CG=2FG II. AF+DG=2ÍAB+BG) III. FÁ+EEU2EA

A) -a3 D) 2a3

B) a3 E) -8a3

C) -2a3

30. Sean los vectores Á = 2 i* j-k y B = j-k . determine Á *B . A) 2¡+j+k

B) 2Í+2j“ 2k

C) 2j+2k

D) -2Í+2k

E) -Í+2K

EMSMCMOXES I tt tSEXOS

PROBI,ej*la&

31. Hafe un vector perpendicular a los vectores

A) y = x-4>/6

B) y = x+4^6

a=j+>/3k y b = V3j+2K cuya magnitud es

C )y = -x -4 j6

D )y = -x -6 ^

igual al área del paraleiogramo que forman a y

E) y = -x+6>/2

b. A) -2j

8) -í

D) 5Í

E) 3Í

C) 3k

32. Los vectores a = 3Í+10j •

b = bxi+brj

y

•

c = -1 2 - 6j

38. La ordenada del vértice de una parábola es y = -2. Si el eje tiene por ecuación x * 3 y la parábola pasa por el origen de coordenadas, determine su ecuación

forman un polígono cerrado

vectores Á. B. C.si ÁxB = C » a x b = c

A) y = 2 --(x + 3 )? B) y+2=9lx-3)2 9 A

C) y + 2 = -(x -3 l2 D) y - 2 = 2(x - 3)2

9

E) y -2 = 9(x+3)¡ 39. Obtener la ecuación de la recta que corta a la parábola de vértice V(4, -2), tal como muestra el gráfico.

8> A

0) VFV

B) FFF E) FFV

34. Si se sabe que: Á=2Í , B = 4i-3j. Calcular Á-BÍÁ+Á*B)

A) 32k

B) -48k

C) 16i-48k

D) -16¡+48k

E)6Í-16¿ 35. Si se sabe que el área encerrada por triángulo A08 es de 8 cmz. determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y 6.

tfcm)

A) y=2x+4 B) y=x+4 C) y = 4 -x D) y = -4x-x E) y=2x-4

A) y-7x = 48 C) y+7x = 8 E) y-0.7x=9 40. Las ecuacionepjde dos rectas sbn yt = 3x+l e yj = -6 x+4 ^Vféstas interceptan en un punto. una parábola, una de cuyas pasador (3, y) común a la recta y, y la parábola.' Encuentre la ecuación de Ja parábola. ^ .i

Á)_y-2=9(x-3l2 B) y + 2=9(x + 3)2 9 .

x{on )

^

,

.

_

9

= -(x + 3)‘ D) y -2 = -( x -3 ) 2 8 7 8

1 ' 36. Si el producto de las pendientes de las rectaíj x— mostradas vale -3 . halle la ecuación di^lal't&s 8 Z) recta de pendiente positiva, si ésta °f -^.■'Sabiendo que x varia cuadráticamente con t, que 1,5. r que el mínimo valor de x es 2 cuando t es 1, y que si U2 el valor de x es 4. determine el valor x cuando t = 3. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Z A) y=x

^

C) y = x+1 0 E) 2 y - x = ^ J & \ / 37. Detemvne^tá-I^a¿ión de la recta tangente a la el*’punto “P\ tal como se i, radioR=6m

II. La velocidad media entre los puntos A y B es: v = t33¡-j(nYs). III. Si el tiempo que demora la partícula en ir de A a C es 2 s. Las velpggéfes medias entre A y C; C y B son iguiwT&l -, IV. No puede calcularse ^feF.vribddad instantánea en el pur$$£. A) VFVF B) FVFF/*® D) VFFF E) FVEV 43. Con relación . a las siguientes proposiciones sobre la veiocttád media ín indique verdadero (V)ofals¿(FL'f *• ' ‘ I. La veiocWád D«ffla tiene igual magnitud que la rapidez m&iarvm. -V

II. A B¿0

A) VW D) FVF

UNI

«

Determine el producto escatar b-c en valor absoluto. A) 14 6) 42 C) 56 D) 70 E) 84 33. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. a . b. c son los vectores unitarios de ios

t ip o

42. Una partícula realiza la trayectoria mostrada en la figura, el tiempo que emplea en trasladarse de A a B es 3 s. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

y L a

aceleración media 3m es una cantidad orial que tiene la dirección del cambio velocidad Av. I rQ&dulo de la velocidad instantánea recibe '^nombre de rapidez. £A) W V B) W F C) VFV 1.t)) F W E) FFF

44. Un avión vuela en circuios a 200 km/b esperando que la torre lo autorice a aterrizar, entonces, cada vez que culmina una vuelta; es falso que: A) El desplazamiento es cero. B) La velocidad media es cero. C) La rapidez media es igual a la rapidez. D) La velocidad instantánea es 200 km/h E) No se requiere el radio de giro para calcular la velocidad media. 45. La posición de una partícula está dado por r = 2tí-t2j+Í3t2-4t)k en unidades del S.l. Determine la velocidad media (en m/s) en el tercer segundo de su movimiento. A) 10M3j+19k

B) á+13j+19k

C) 10Í-5j+l9k

D) 2-5¡+15k

E) 2-5j+1fl¡ 46. Señale ia veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La magnitud del desplazamiento puede ser la longitud recorrida. II. La rapidez media puede coincidir con la rapidez instantánea. III. La velocidad media y el desplazamiento poseen el mismo vector unitario. A) W V B) W F C) VFF D) FFF E) FVF 47. Una partícula realiza un movimiento, tal que pasa por los puntos A y B. cuya posición es fA = 4Í+3jm y re =10¡-jm, con velocidades Va = 4¡+4j m/s y Vb = i+9j m/s respectivamente. Si el intervalo de tiempo entre A y B es de 5s, calcule (en m/s) su velocidad media y (en rrVs2) su aceleración media.

1 2 3 4! El desplazamiento v

4

A

BA= fB- Ta = 3í- 4j

A )2 i+ 4 j;6 ¡-7 j B )-2 Í-4 j;3 M C) 1,2Í-0,8j; 0,6¡+j

U 52. Una partícula se mueve a lo largo del eje X (sentido positivo) de forma que en cada segundo cambia su rapidez en 2 m/s. Si en U 0 s. la posición y velocidad son

D) -O.Si-»-12j; 0,6i+j E) -1 2 U q.b¡ ; - a s - i 48. Una partícula avanza con rapidez constante v a lo largo del camino PQRS (véase la fig). Si la partícula se hubiera movido en linea recta de P a S con la misma rapidez v. hubiera (legado 1 s antes que el caso anterior, halle

y

*

A) 140¡

4a Q

B) 2

A)1

0)4

II. En t = 8 s el móvil se ha d^spUgádo 6i m. III. En t = 10s la posición^f^-tñ^il es

*

B) 141Í

x=-4Ím.

C) 142¡

«v(m/s)

**

0) 143Í E) 144Í 53. La figura muestra el instante t = Os en que dos móviles se mueven a lo largo del eje X con velocidades constantes, determine la posición (en m) del móvil A cuando ambos nuevamente se encuentran separados 100m

s

2a

posición es xo = 2im . ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. En t - 6 s el móvil invierte su movimiento.

respectivamente x = 2im yv=4i m/s. halle la posición de la partícula (en m) para U lO s .

{en O .

a.

.

EM:iciMri:i>L\ 2QÍ$\

A 7 m/s 3 m/s

i ■> ■■

C) 3

0

E)5

A) 100¡

49. Una partícula se desplaza a lo largo de la trayectoria A - B - C como se muestra, si la partícula emplea 2 s en ir desde A hasta C (A: vértice de la parábola), determine la velocidad media (en rrVs) en dicho intervalo. Considere la pendiente de 1 igual a - 6.

I -

x(m)

100

B) -120Í

B) VFF E) VFV

C) 140Í

C) FFF

D) -140i E) 120¡ 54. La figura mostrada representa el movimiento de, %57_ Dos-'partículas A y B están separadas 'Animalmente por una distancia de 100 m en dos autos Determine la distancia (efl m^que; ^ = 0 parten del reposo con aceleraciones los separa en el instante 1= 9s \ ir^ :'T ¿a = 7i (en m/s3)y a& =5Í (en m/s2). tx(m> Determine el instante de tiempo (en s) en que A una alcanza a la otra. A) 10 B) 15 C) 20 eíT D) 25 E) 35 re

»

*re

3

-2 0

A) 100 B )95. v . CÍ9Q D) 85 ET80^ ■■ 55. Una partícula¿se ffluiNp. con una velocidad v = -3ti (ep m § ‘estarS<®fén segundos) si en C) 1,25j-6k

D)12,5j-6k

U O parteadúi posición xo = -2¡ (en metros). Indique la gráfica, posición vs tiempo más acertada para dicho movimiento.

E) t25j-4k 50. Dos móviles (1) y (2) se desplazan en el eje X. Sus posiciones varían con el tiempo de acuerdo a las ecuaciones x,=(120-v,t) m y x? =(10t)m. Si parten simultáneamente y sel

*{m)

•.

♦tro

encuentran a los 2,4s; determine la wksaáSáFLJ1' del móvil (1) en m/s. A) -20Í

B) -40¡

D) -60¡

E) -80Í

C) -50¡

51. Un móvil efectúa movim largo del eje X cuyo gráfio¿¿ Si en uno de los trame» que en el otro, halle. " x vs. t correspondiera! tramó

— • V w . -t

58 Un móvil se mueve en línea recta (eje X) La gráfica muestra su posición (x) en fundón del tiempo (i) Indique la veratidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El móvil se mueve en el sentido positivo del eje X. II. El desplazamiento del móvil entre t»0 s y U iO s e s igual a 100 m. III. La rapidez media entre U O s y U 5 s es 2 m/s.

A)

B)

*x (m )

movimiento

D) W F E) W V 59 Un móvil en MRUV tiene el comportamiento mostrado en la gr#ica ¿Cuál es la aceleración (en m/s2) del móvil si en x=0. m/s?

24

B) 101-120

C) 3 0 )4

D ) 101-180 E) — 1-100

o

56. Una partícula se mueve en trayectoria rectilínea a lo largo dei eje X, su velocidad varia con el tiempo como se ve en la figura. Si en ^ = 0 su

E )5

¡EBICMOJVES R U U IK O S 60 Un móvil se mueve a lo largo dd eje X, ta figua muestra su velocidad (v) en función del tiempo (t). Halle el instante (en s) en que el móvi vuelve a su posición inicial, (a que corresponde at*0.

PROBMAWMJXf* T I P O D)

C)

de una gota que toca el fondo está la gota siguiente? (g^lOm/s2). A) 0,80 B) 9.6 0) 30.2 E) 40.0

Wm/i)

A) 6

0)9 61. Un móvil se desplaza en una recta con una velocidad que varia según muestra el gráfico. En el instante 1$ =0 se ubica en xo=4l(m). indique cuáles de las sígnente* proposiciones son verdaderos (V) o falsos (FY L En los primeros 6 segundos el movimiento es retardado H. En ios últimos 4 segundos el movimiento es acelerado. lit En el instante l=6s el móvil invierte su movimiento. IV.En el instante t=4s el móvil invierte su movimiento y está en la posición x « 20Í m. V En t* 10s el móvi está en x=8i(m)

C) 18.4

67. Una partícula es I arriba con una rapidez d ___ desplazamiento (en t1= 2 s y t2 = 6s 63. La gráñca muestra la velocidad en función del tiempo de dos partículas P y Q. sabiendo que en t*0 x ^ s lO y =-800m Determine el instante de tiempo (en s) en el cual tienen igual velocidad.

C) —40i

A) Oi

jg ) « i

TU ' *

EJ.60Í

»v (m/s)

é 4. A) 12 B) 24 C) 36 D)48 E) 52 Á ^ 64. Una partícula en trayectoria recjiin¡|j b.largO£ del eje X pasa por los puntosAyljjg* cumple con ta gráfica mostrada, ier4orices~sáfaieTa veracidad (V) o falsedad I. La aceleración magnitudes , W La aceteraqftfe.entre. B varia La aeetefdoódenbeiíAy fi-es constante y su

magnidies^h^

A es soltado desde una altura 3 segundos después es lanzado otro cuerpo B desde la misma ambos llegan a berra detemWte la veioadad inidaJ jfce B (en módulo en nVs); g * 10 m/s2. ' A) 28.4 B) 31,6 C)52.5 0)63,4 E) 72,8 69. Desde el borde de una azotea de un edificio de 33.6 m de altura, se lanza un objeto (hacia abajo) con una rapidez de 2 mis. Halle la rapidez (en m/s) del objeto, un instante antes que impade con el piso Considere g=10m/s3. A) 22 B) 24 C) 26 D)28 E) 30

"

A) W V

B) VFF C) FVF •01 FFF A) I y II 8) II y III C) II y IV D) IIIy IV E) IVyV 62. Para un móvü que parte del origen de coordenadas y se mueve en el eje X. se tiene siguiente gráfico v vsL T. ¿Cuál es el vs.t?

U N i)

(rn) Una partícula se mueve sobre una recta de manera que su velocidad en función del tiempo es como se muestra, sobre ésta se propone: I. La posición es x«-1 0 -1 0 t+ t2 en metros. II. La gráfica de la aceleración en fondón del tiempo es una reda de pendiente cero. III. La gráfica de posición en función del tiempo es una parábola que se abre hacia ab^o

70. ¿Con qué velocidad debe lanzarse un cuerpo (en m/s) desde Tierra, en el instante tg * 0 para que en el instante t - T se encuentre a una altura H y en el instante t « t 5 T se encuentre a uta altura 1.25H moviéndose hada arriba con una velocidad de 5 m/s? (Considere g * 10 m/s^ A) 15j

B) 20j

D) 30j

E) 45]

71. Una piedra es lanzada hada arriba desde el tercer piso. ¿Cuáles de las gráficas representan su movimiento'9

*(nVs)

-10 Son correctas A) FFF B) FFV E) W F D) VFF

C)FVF

66. Un grifo (cario) malogrado está a 40on del fondo de un lavadero y gotea a razón de 7 gotas por segundo. ¿A qué distancia (en cm)

C) 25]

10

♦t

LA e x c j c l q p e d l 1 2 0 1 2

(jF u r ^ jr c z A (iii)

77. ¿Con qué velocidad (en m/s) hay que lanzar una partícula el punto A para que en 3 s llegue al punto B?

(IV)

■t 6m B____ A +~3 rrw A) 2i + 3j B) i+10j .

(IV) A) Solo I D) III y IV

.

C) í+13j

B) I y II C) I. II y E) III, IV y V

posición (s+4j)m parte del reposo con aceleración (6¡+8 jjm/s2. Determine (en m) su desplazamiento en el tercer segundo de su movimiento. B) 8Í+20j

C) 21Í+28J

D) 15¡+20j

151+80} m/s. Sí desde el mismo punto de lanzamiento se dispara otro proyectil A con una A

A

velocidad 3O+40j m/s. ¿después de qué tiempo (en s) de haber sido disparado B debe dispararse A de tal manera que imparten en el aire? C)9 A) 16 B) 10 D) 8 E)6 -

\

79. Una partícula es lanzada desde el origéii’déutf sistema coordenado cartesiano^. con' i r á

E) l2Í+18j 73. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial vo = 30Í+40j m/s, desde la superficie de un planeta donde la aceleración gravitacional es g = -6Í-10¡ m/s2. Determine el rango (en m) del proyectil. A) 13 B) 22 C) 48 D) 65 E) 80

74. El vector posición de una partícula en función del tiempo está dado por r(t)= i d +20tj+4t2Í+3t*j , m. Halle el cociente (cambio de velocidad/tiempo transcurrido), para el intervalo entre t, = V2 5 y tj = A) 8¡+6j

B) 4t +3 j

C )-4 ¡-3 j

D) 16Í + 12j

E) 2¡+t5j

velocidad de i+j m/s, en una regtójfjtende- la aceleración es a = 10jm/sf. ‘Halle la de la trayectoria que de A) y =5x2 + x C) y=5x2 + 2x _ -g g )y ^ -! ’ E) y=5x2-x ..

*7* B) II, III y (V C)Sok> E) II y 84?JUna partícula que se está moviendo sobre una circunferencia de radio R. con una velocidad angular w . ejecuta un desplazamiento Ar en un tiempo ¿V La variación Av en su velocidad es igual a: A) wvR B) oRAt C) «xAT AT E) ArlcjAt) D) o>x At 85. Una partícula desarrolla una circunferencia en el plano YZ, si se sabe que su velocidad angular para t = Os es 4i rad/s. t=3s es

80. Desde uaTnismo- p g n tíw una meseta plana horizontal té terrán ¿proyectiles A y B. ambos haciendo un ángulo de 45° respecto del piso y rapideces ¡nidales. V* y V8 respectivamente. Si ^proyectil B logra doble alcance que A. halle É V,

- 2 rad/s. Determine su aceleración angular media entre t = 0s y t = 3s {en rad/s2). A) - 6 i

B) -2¡

D) 2/3 í

E) -2/3Í

C) -41

86. Un disco rota uniformemente alrededor de un

5.

B) £

C) £

E) £ ¿

¿Cuál será el rango del proyectil de la figura si es lanzado con una rap«dez de 20 m/s (en m)?

75. Una persona se encuentra ¿p ro=(¿+3]) m y parte con de vo-2Ím

[■i

E) 13S+2] 78. Un proyectil B se lanza con una velocidad

72. Una partícula se encuentra en 1= 0 en la

A) 5U20j

D) 13Í+j

83. Para una partícula en movimiento circular, la cual pasa por A y B con velocidades angulares 2 rad/S y 0,6 rad/s; respectivamente, identifique tas proposiciones co/fertaé: I El ángulo entre A y B vale xrad.V ^ II. La velocidad angular nÉtfia válefySjpyd/s La variación de vetocttacfeingu&ir’éhtre A y B vale 0,4 rad/s,*. y IV. La aceleración ángular frwSla vale 0,2 rad/s2. ^

eje que pasa perpendicularmente por su centro. Los puntos en ia periferia del disco se mueven a razón de 0.4 m/s y los puntos a 2 cm de ia periferia lo hacen a 0,3 m/s. ¿Cuál es la rapidez angular (en rad/s) con que gira el disco? A) 5 B) 9 C) 14 D) 15 E) 20 87 Una partícula que describe un MCU en una trayectoria de radio R = 120m con una rapidez v = 9,42m/s. Calcular la velocidad media (m/s) en el tramo BC

m/s.

aceleración para q m en 2 s (en m/s2) A) ¡+I5j C )i-t 5 j

76. U

•

82. Una partícula realiza un movimiento circular con velocidades angulares conocidas en los instantes t, = 2s, t2 = 4s y t3=8s. Si estas origen de coordenadas con leradón constante a = i+ 2j idez en el instante que cruza

velocidades son a», = 1 rad/s, (Oj-2 rad/s y 03 =5

rad/s

respectivamente

halle

la

aceleración angular media entre t, y t2 y entre t, y taen rad/s2

C) A jí A) 0.9 ; 0,98 C) 0.7; 0,76 E) 0.5; 0,67

B) 0 ,8 ; 0,87 0 ) 0 .6 ; 0.77

A) 2,50j

B) 5.2 i

D) 33 i

E) 69 i

C) 7,8 i

88 Una partícula realiza un MCU de radio igual a

J í metros, demorándose 8 segundos en dar

[jE D IC IO N E S JRUBMÑOS na vuelta, ¿cuál será la magnitud (en m) de su desplazamiento, en un intervalo de 2 segundos? B) j 2 t D) 2

C)/2

E)*

89. Una partícula se mueve sobre una drairferancia con movimiento uniformemente variado, de acuerdo a la ecuación 0=7+3t2-5t, donde 8está en radianes yt en segundos Calcule su rapidez angular (en rad/s) al cabo de 6 s deiniciado su movimiento. A) 36 B) 42 C) 28 D) 31 E) 39 90. Un auto que viaja con una rapidez de 20 nVs disminuye uniformemente su velocidad basta 10 m/s en 10 8. haüe el número de vueltas que da la lanía antes de detenerse Asuma que la 3 llantatiene un radío de — cmyque * = 22/7. 20 A) 90 B) 106 C) 206 D) 35 E ) 116 91. Un disco parte del reposo y gira con un MCUV alcanzando los 240 RPM en 10 s. ¿Cuál será su aceleración angular en rad/s?

P R O B t .E P M S

94. En el gráfico se muestra el comportamiento de la velocidad angular de un bloque que se encuentra en el borde de una plataforma giratoria de 0.5 m de radio, determine el módulo de su aceleración (en m/s2) en t=5s y la longitud descrita entre t * 0 y t = 6s (en m) i

100. Una hormiga se mueve del punto A al punto B (véase ia fig). con rapidez v * í m/s, una segunda hormiga se mueve a lo largo del eje X con v = 2 m/s. Halle aproximadamente la rapidez (en m/s) de la primera hormiga respecto de la segunda.

*(rad/s)

ijrím)

10

4 (0 .2 )

4 0 A) 12,5.44 C) 12.8.22 E) 17;44

2

4

6

B) 12.8; 44 D) 2,5:22

95. lina partícula inicia su MCUV a partir del reposo con una aceleración angular de 2 rad/s2 Halle aproximadamente en qué instante (en s) su aceleración centrípeta es el cuadruplo de su aceleración tangencial A) 0.3 8)0,7 C) 1.0 D)1.4 E) 1.8 96. Una partícula se mueve en una circunferencia (R = 2 m). según la ley 9(t}=x+0.5trad. donde t está en segundo. Halle la aceleración normal, en m/s2. de la partícula en 1* 2s A) 0,25 B) 0,50 C) 1,0 D) 1,50 E) 2,00

A) 1.4 D) 16,5 tOl.En el instante t =0 se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio suficientemente alto: un observador O* se encuentra en un ascensor descendiendo con una velocidad V = -5 j (en m/s). Determine la velocidad (en m/s) y la aceleración (en m/s2) que mide dicho observador en el instante t=3s (g=10 m/s2).

B) i 2k

D) 0,8i¿

E) -0,8xk

C) 0,5xk

92. El ángulo que gira la rueda de un generador es 0«244t-3t2 (el radio de la rueda es r = 2 m). Indique cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. Después de 2 segundos la velocidad angular es de 10 rad/s II. En t = 3s , el arco recorrido tiene una longitud de 82 m. III. La aceleración tangencial es oonstante e igual 3 m/s2 A) WV B) FFF C) FW D)FFV E) FVF 93. La gráfica corresponde al movimiento circular de una partícula. ¿Cuál es su desplazamiento angular (en rad) entre t=Q,5s y t=\5s? 3*

efad/s)

T X 4

♦«*)

fll A )| 6

d,5

B) l

5

E>!

c>;

8ntiborarío con S = 2t2. donde S: se mide en m y t en s; si el movimiento se inicia a partir del punto de intersección del eje X con la circunferencia. Determine el módulo de la aceleración de la partícula (en m/s2) en el instante t = 2s. A) 4 B) 7,5 C) 16 D) 16,5 E) 18,5 98. Cierto ascensor tiene un agujero en una de sus paredes laterales y está bajando con una rapidez constante de 5 m/s. Cuando el agujero se encuentra a 60 m del suelo, se lanza a través de él. una bolita con velocidad horizontal (respecto al ascensor) de 2 m/s. Si g= 9.8 m/s2 . se pide calcular el alcance horizontal de la bolita, en m, hasta tocar el suelo A) 2.05 B) 4.05 C) 6.8 D) 8.05 E) 10.05 99. Un auto A se desplaza hacia el norte (eje Y) a 20 m/s con respecto a un observador *0* fijo a Tierra, simultáneamente otro auto B se desplaza en la dirección N53°0 a 25 m/s con respecto a un observador O* . si el observador O' se mueve en la misma dirección del auto B y V0.0 es igual a 5.0 m/s. Determine la velocidad de B respecto de A (en m/s). A) -15Í+4j

B) -24Í-2¡

C) -15Í-2j

D) 26Í + 2¡

E) -26i-4j

A) -3 5 j; -10j

B) -2 5 j; -10j

C) -3 0 ¡; -toj

D) -2 5 j; 10j

E) -40]; -lOj 102. Un avión vuela con velocidad 500 km/h (í+j) respecto a Tierra. Si un observador en e< avión toma los datos del movimiento de una billa cuya velocidad resulta ser (40i+20j)km/h. ¿Cuál es

97. Una partícula se mueve sobre la trayectoria x2-*-y2 = l6 considerando un movimiento A) - i 2*

t i 1*0 U N I

en km/h la velocidad de dicha bita para un observador en Tierna? A) 540Í + 520j

B) 460Í+480]

C) 480Í + 460J

D) 520U540j

E) 500fi+j)

CLAVES DEL REPASO II ( TIPO UNI)

m tw m I D D B C D u as m as ng a® a? m d® 20 B m m D Fp 13M3-21E l B

an

B

2-o m as m 3.0

m

m

B

C

E

E

C

C

C

B

C

B

E

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D I E E I B I D

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C

D

38 m C

C

B

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E

B 9.3

B

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E

C

D

B ! P l C } B 1A

i a i:\ r it j.t n -f in .i 20n )

M á aoe f e a

OBJETIVOS : * Conocer e interpretar el concepto de fuerza, analizando las interacciones más importantes en la naturaleza.

conceptualmente no muy exigente, pues son pocos los conceptos que es preciso comprender para adquirir un sólido conocimiento de la misma y, además, se trata de conceptos que están muy próxim os a nuestra experiencia cotidiana.

* Establecer las condiciones que deben cumplirse para el equilibrio de un cuerpo.

Sin em bargo, es asimismo una ciencia con métodos de cálculo muy elaborados, especialmente métodos gráficos, que fueron desarrollados sobre todo durante el s. X IX .

INTRODUCCIÓN : En capítulos anteriores hem os descrito el movimiento m ecánico de los cuerpos; pero no todos los cuerpos de nuestro alrededor experimentan movimiento mecánico; en tal sentido es muy común hablar acerca del equilibrio (equilibrio mecánico) de los cuerpos, cuando éstos están detenidos; ahora si súbitamente son puestos en movimiento se dice que "perdieron el equilibrio". Con esto se concluye que el equilibrio de un cuerpo se establece bajo ciertas condiciones y conocerlas es precisamente el objetivo de este capítulo. Gracias al estudio y desarrollo de la "estática", se ha avanzado tanto en lo que concierne a edificaciones y si comparamos a través del tiempo notaremos que el avance es sorprendente. En el presente acápite desarrollaremos los conceptos y métodos fundamentales de la estática, rama de la mecánica que se ocupa del estudio de las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sometido a diversas fuerzas se halle en equilibrio. Los problemas de equilibrio tienen una importancia capital en la construcción de edificios y de máquinas, y de ahí que la estática sea una ciencia fundamental tanto para el arquitecto como para el ingeniero. Históricam ente, la estática es una ciencia antigua, ya que empezó a desarrollarse mucho antes que la cinemática y la dinámica (Arquímedes dejó dos tratados de estática, mientras que los prim eros conceptos científicos de cinemática se deben a Galileo), y

^ fé s T É R A e C IÚ N Es importante destacar que para el estudio de la estática se debe sentar el concepto de "interacción" lo que nos llevará posteriormente a plantear el concepto de "fuerza". Para ello consideremos el análisis del siguiente caso: Una persona le da un golpe a un saco de arena:

3

acción Reacción ¡INTERACCION!

Note que luego del golpe, el saco que se encontraba en r e p o s o adquiere m o v im ie n to mientras que el movimiento de la mano de la persona se ve frenado.

Por lo tanto podemos plantear que cuando un cuerpo influye o actúa sobre otro, puede modificar su estado mecánico y lo más importante es notar que la acción es mutua y a esta "acción mutua" entre dos cuerpos se

(m s & le denomina "interacción*'.

K IU C J O X K S M JItlÑ O ÍÁ B w E S mínima que sea) en dicho cuerpo. Para poder conocer en qué medida la acción de un Unidades de Fuerza en el S .I.: N E W T O N (N ) cuerpo modifica el estado mecánico de otro debemos conocer con qué intensidad interactúan, para ello Otras Unidades kilogramo fuerza (k g -f = kg) hacemos uso de una magnitud vectorial a la cual

denominamos "fuerza" (F ). cuya unidad de medida en el sistema internacional (S J .) es el Newton (N ).

libra fuerza ( Ib -f = Ib) EJEMPLO :

ESTÁTICA La estática es una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste se encuentre en equilibrio.

EQUILIBRIO Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto sólo hay 2 posibilidades: está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante. Equilibrio: a = 0

gramo fuerza (g -f = g )

L

♦

"Una esfera se desplaza sobre una superficie horizontal e im pacta contra un resorte" V i< y

A cció n del Resorte

A c c ió n de la E sfe ra

I

A cció n m u tu a

1 )V = 0 ( Reposo)

[interacción]

2 ) V = C t e (M R U ) OliSER VACIÓN :

mov.

La representación de una interacción por medio de las fuerzas.

Se realiza una separación imaginaria de los cuerpos.

fa

I

FÁ : fuerza de acción de la esfera sobre el resorte. •Toda fuerza modifica el estado de reposo de un cuerpo • Toda fuerza modifica el estado de movimiento de un cuerpo, además de deformarlo. F U E R 2E Á L ( p ) Cuando suspendemos un cuerpo, golpeamos un clavo, estiramos o comprimimos un resorte, empujamos un automóvil o limpiamos una ventana de vidrio, decimos que estamos interaccionando; la interacción es pues jalar o empujar los demás cuerpos, entonces: La fuerza es la medida de la interacción que se manifiesta entre dos cuerpos. Toda fuerza modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo , además de generar deformaciones (por

F £ : fuerza de acción del resorte sobre la esfera.

C A R A C T E R ÍS T IC A S D E L A F U E R Z A D E A C C IÓ N Y D E L A F U E R Z A D E R E A C C IÓ N I) Aparecen en parejas. I I ) Son colineales, es decir tienen la misma línea de acción. I I I ) Son opuestas. IV ) Actúan sobre cuerpos diferentes. V) En forma experimental se puede verificar que en valor son iguales, es decir:

fa

=

fR

I5 E 3 s o s M U

¡ A EXCM i fH’i tnA 2012)

C L A S IF IC A C IÓ N B E L A S F U E R Z A S

P o r e je m p lo :

R E S P E C T O A S U P O S IC IÓ N

* Cuando un futbolista le da un puntapié a una pelota.

1 ) FUERZAS EXTERNAS Z . Separando im aginariam ente a la p erson a y a la pelota

•El movimiento de un cohete (o de un avión de propulsión a chorro) es ■ - Vv producido por la

fi— ¿

Son aquellas fuerzas que se presentan en la superficie de los cuerpos que interactúan.

a

fuerza de reacción que los gases expulsados ejercen sobre él.

Realmente hay muchas fuerzas externas que nos son familiares: El peso, la reacción, la fuerza de rozamiento, etc.

2 ) FUERZAS INTERNAS Z Son las que mantienen juntas a las partículas que forman un sólido rígido. Si el sólido rígido está compuesto estructuralmente de varias partes, las fuerzas que mantienen juntas a las partes componentes se definen también como fuerzas internas; entre las fuerzas internas más conocidas tenemos: La tensión y la compresión.

N ATURALEZA D E L A S FU ERZAS

T IP O S D E F U E R Z A S

(F U E R Z A S B Á S IC A S )

I) FUERZAS DE CONTACTO Z Se produce cuando resulta del contacto físico entre dos o más cuerpos.

Todas las interacciones se agrupan en cuatro tipos de fuerzas:

I)FUEKZA GRAVITACIONAL (fe) Es la fuerza de atracción entre dos cuerpos debido a sus respectivas masas, esta fuerza es muy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo menos uno de los cuerpos tenga una masa muy grande como la del Sol o de los planetas. Es fuerza con la cual todos los cuerpos se atraen en

\) FUERZAS DE C A M P O : Es aquella fuerza donde no interviene el contacto físico entre los cuerpos, pero que actúan a través del espacio, a dicho espacio se le denomina campo. . • .

o

m

• .

O‘ ••. •o « •** %• •« •

»

.O

•

••

• •

• • •

virtud a su masa y su valor depende de la masa de los cuerpos y de la distancia que los separa.

M H C IO X E & KVRIÑO&i

{jE & 'X lA 'jr W C 'L t * . M 899 * Donde: G: constante de gravitación universal

H

(G = 6,67 x 10 n N x n^lkg2)

CASO

p a r t ic u l a r

tn •fe»

:

rCEMKA DE GRAVEDAD ( ? g ) ;

Es aquella fuerza con la cual la tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentran en sus inmediaciones. Se considera concentrada en un punto llamado "centro de gravedad (C.G.) y está dirigida hacia el centro de la tierra.

t

•V

•

-*• —

EL P E S O :

v r

«x -

% * »

*

De los cuerpos (WJes una fuerzagravitacional y|p debe a que la masa de la Tierra (M ) atrae la masé, (m ) de los cuerpos.

h

C.G.

W = mg

h

W : Peso del cuerpo g : aceleración de la gravedad

• El peso es un vector que siempre apunta hacia el centro dé la Tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende, de la aceleración de la gravedad (g).

I ) F U E R Z A D E T E N S IÓ N (?)

Sabemos: Donde: * G = 6,67 x l O - a (N xm *lkg*) * M t = 6 X 1021 kg (masa de la tierra) * R T = 6 400 km (radio de la tierra) * Si consideramos que "h" es muy pequeño en comparación con *RT" ( H < R T), entonces podemos realizar la siguiente aproxim ación: h + Rt = RT Luego tendremos:

r

m : masa del cuerpo vr\*

Y F,G ! ______b

.

F,i = m

Es una fuerza interna que surge en los hilos, cuerdas, cables, etc. y se manifiesta como "resistencia" a que estos cuerpos sean estirados. La naturaleza de esta fuerza es eléctrica. Para poder graficar la fuerza de tensión se debe realizar un corte imaginario en la cuerda. Cabe mencionar que a nivel de Ingeniería la tensión o tracción como también se le llama, aparece también en cuerpos rígidos como en algunas columnas de una estructura.

GM T;

R£ 9 ,8 m i a9 a celera ció n d e ta g ra v ed a d / g )

corte Imaginarlo // ti

Donde: * m : masa del cuerpo en kilogramo (kg) La F G en Newton (N )

tt

I

II

T-F

u

ti

T-F

Cuando un cuerpo de form a regular es U ) F U E R Z A B E C O M P R E N S IÓ N (c) hom ogéneo su ncen tro d e g ra v ed a d " Es también una fuerza interna que surge en los cuerpos coincide con su "centro geom étrico rígidos y se manifiesta como una resistencia a que estos

B I*oo sean comprimidos.

3 ) FUERZA ELÁSTICA. (?,

&

*

Es aquella fuerza interna que se encuentra en los

i

Í

A

M "V s-V

IA Ex c u 'j.o í 'K M A 2012}

cuerpos con propiedades elásticas (liga, resorte, etc.) o deformables. La fuerza elástica se opone a la deformación.

.F

i

en

r.’

R esorte sin d e fo rm a r

R esorte J id e a l (m** 0)

árWbív' gfJP

x=0corte imaginario

x

-m ♦ Debido a la fuerza F, las moléculas de la barra se acercan.

♦ Si el resorte es ideal la fuerza elástica (F e) es la misma en cualquier punto del resorte.

♦ Para contrarrestar este acercamiento molecular aparece una fuerza de restitución, llamada C O M P R E S IÓ N (C ) la cual se opone a la fuerzas exterior F. ♦ Separando imaginariamente una porción MA de la barra observamos que la fuerza de compresión (C ) se opone a la fuerza exterior F, porque en el punto M las moléculas se acercan.

FE =Kx Luego:____ * Donde:

(Ley de Hooke)

K : constante de rigidez elástica.

* La constante de rigidez ( K ) depende de las propiedades elásticas del cuerpo. Unidades (S .I.): *FE :Newton (N ).

Z ) F U E R Z A N O R M A L (N ) 2

*x

: metros (m)

Consideremos un cuerpo sobre una superficie plana.

*K

: (Nlm )

* Ahora cuando estiramos un resorte:

Resorte sin d e fo rm a r

♦ Separando im aginariam ente el cuerpo de la superficie plana representamos la fuerza normal perpendicular al contacto. Las fuerzas de tensión (T ) , compresión (C ) normal (N ) son moleculares y por tanto de naturaleza electromagnética.

£

I m m

♦ Debido al contacto las moléculas inferiores del cuerpo se comprimen (acercan). ♦ En el contacto aparece una fuerza N O R M A L (N ) para contrarrestar el acercamiento molecular.

*

i £0 : longitud natural del resorte (sin deformar) £

longitud final

x: deformación Graficando la fuerza elástica:

E D IC IO N E S

R U D IÑ O S )

F U E R Z A D E R O Z A M IE N T O Es aquella fuerza que surge entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro, esta fuerza siem pre es contraria al m ovim iento o posible movimiento. F

m *

-n m

m

8

m ¿r

fuerza deformadora **/La deformación "x" del resorte, depende de la nF d \pero, cuando el resorte es deformado lentamente, se cumple: F d — F t\ en consecuencia: • A mayor «x », mayor F t * A menor «x», menor F t OBSEJRVACIÓN :

La constante de rigidez (K ) depende de las propiedades elásticas del cuerpo (mientras más rígido es el cuerpo, el valor de K aumenta) y además depende de las dimensiones del cuerpo. (Mientras menor longitud tenga el cuerpo elástico, el valor de "K" aumenta, es decir "JT* es inversamente proporcional a su longitud i. Ejemplo:

C L A S E S B E R O Z A M IE N T O I ) P O R D E S L IZ A M IE N T O :

Cuando un sólido se desliza o trata de deslizar sobre otro. II) PO R RODADU RA Z

Si un sólido rueda sobre otro sólido. K=4

C o rta m o s e l resorte en dos p a rte s Ki

N!m

-y ff0ÍP_ Li =lm L

q

M I) P O R V IS C O S ID A D Z

En los líquidos o gases.

CLASES DE ROZAMIENTO PO R

k2

=3m

DESLIZAMIENTO

-'T n ft R fip - 1,2 =2m * Pero sabemos: K I.R L ^

K L 0 = K , L j = K 2L 2 4 ( 3 ) = K ¡ (2) = K 2 (2 ) r T

A ) ROZAMIENTO ESTÁTICO í Es la que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estático varía desde cero hasta un valor máximo, el cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto está a punto de moverse, pero sin conseguirlo (movimiento inminente).

Comparando:

K¿ = 12 Nfm K 2 - 6 Nlm

KOZAMMEMTO

Este valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente fórmula. v=0 ^

Cuando dos superficies están en contacto y se intenta mover una de ellas respecto a la otra, siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento que impiden el movimiento, por otra parte, estas fuerzas de rozamiento son limitadas y no evitarán el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes.

F

f ...

fs =

HsN

409 Siendo:

IA

f i v r f f x o r m i 2012]

es menor que el estático ( p . ).

fa: fuerza de rozamiento estático máximo pt: coeficiente de rozamiento estático N : reacción normal

SUPERFICIES EN CONTACTO

B ) ROZAMIENTO CINÉTICO í Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece casi constante, si es que la velocidad no es muy grande. (Entre 0,01 m/s y 20 m/s). v=0 mov. 9

#

■

f.

f j

1

Nt r

Acero sobre acero Cobre sobre cobre Vidrio sobre vidrio Teflón sobre acero Madera sobre madera Piedra sobre piedra

M» 0,74 0,53 0,94 0,04 0,50 0,70

0.57 0,36 0,40 0,04 0,25 0,40

LEYES D E N EW TO N Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “ Principios Matemáticos de la Filosofía Natural” , publicada en 1 686 . Ellas son conocidas com o la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con ei orden que aparecen en esta obra citada. En este capítulo, estudiamos la 1ra y 3ra ley, que nos permitirán analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la estática; la 2da ley será estudiada en el capítulo: “ Dinámica".

I R A L E Y (L E Y D E L A IN E R C IA )

fa: fuerza de rozamiento cinético .

La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que:

pt: coeficiente de rozamiento cinético N : reacción normal JL E Y E S D E L R O Z A M I E N T O P O R D E S L IZ A M IE N T O

Io La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto.

Todo cuerpo continúa en su estado de REPOSO o de movimiento a velocidad CONSTANTE mientras que sobre el cuerpo no actúe una fuerza resultante EXTERIOR que lo obligue a cambiar de velocidad. La tendencia que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante se llama IN E R C IA .

F=10 N

t

V

2o La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento, si su velocidad no es muy grande (entre 0,01 m/s y 20 m/s). v = 2 m/s

v = 15 m/s

F=30N

Un cuerpo en m ovim iento tiene, p o r inercia, a continuar en m ovim iento.

3o El valor del coeficiente de rozamiento depende del tipo de materiales de las superficies en contacto.

4o El coeficiente de rozamiento cinético ( pk) siempre

Un cu erp o en rep oso t i e n e , p o r in ercia ,a seg u ir en rep oso.

K in c io x E S K i w n o ^ IBM *oa IN T E R P R E T A C IO N E S D E E A moviéndose en línea recta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. ¿Por qué? - porque el microbús se L E Y D E E A IN E R C IA Ejemplo 1: Al

q u ita r

e l m a n tel lo e o b je to s en sus respectivos lugares.

p e r m a n ec e n

detuvo por acción de los frenos; pero ¿quién o qué detuvo a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual la persona seguirá moviéndose.

-J V-

S R A L E Y (L E Y D E L A A C C IÓ N Y R E A C C IÓ N ) Cuando tiramos hábilmente el mantel de la mesa observamos que los utensilios (copas, botella, tazón) tienden a permanecer en reposo. EJEMPLO 2:

Si un caballo se detiene de golpe, el jinete sale expelido por encima, porque cuerpo en movimiento, por ( inercia, tiende a* seguir en movimiento.

(Tercera ley de Newton) Descubierta por Isaac Newton y publicada en el mismo año que la ley anterior, establece que:

Siempre que un objeto ejerce una fuerza (ACCIÓN) sobre otro objetó, él segundo ejerce una fuerza igual (REACCION) y opuesto sobre el primero. ... N

EJEMPLO 3:

Algunas veces si no disminuimos la velocidad d ^ auto, éste puede salirse de la carretera éa la curva ya que por la lev de la inercia el auto trata de conservar su velocidad constante (en línea recta). '

• %h '

• La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes. La acción sobre uno de los cuerpos y la reacción sobre el otro cuerpo, por esto nunca se anulan. • La acción y reacción no necesariamente producen los mismos efectos M OVIM IENTO M OVIM IENTO

: eQf qssacción Fs

EJEMPLO 4 :

Consideremos que un móvil cuya base inferior sea lisa, así como la suela de los zapatos de una persona. Inicialmente el microbús se mueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro del móvil, también estará moviéndose con la velocidad v. De pronto el móvil se detiene; pero la persona sigue

j/r

y

’ $ igrrr^ff7 r^rrrrrrri ACCIÓN

tf.V "TAI

■^m

rtrr:

c

40* E JE M P LO S :

Si una person a em puja un a m esa, ésta em pujará a la person a con una fu erza igu a l y con tra ria .

IA E x e n t o*

2012}

Al clavar con un martillo, éste impulsa al clavo, hacia abajo (acción) y el clavo reacciona sobre el martillo deteniéndole e inclusive hasta hacerlo rebotar.

AC C IÓ N RECCIÓ N

La acción y reacción actúan en cuerpos diferentes. La acción sobre el clavo y la reacción sobre el martillo.

D IA G R A M A D E L C U E R P O L IB R E (D .C .L .) ACCIÓN RECCIÓN

HÉLICE

1

.

r

IN T E R P R E T A C IO N E S D E L A L E Y D E A C C IÓ N Y R E A C C IÓ N E JE M P LO i : Cuando un patinador empuja el pasamanos (acción ~Ál) éste reacciona y la fuerza de reacción (J¿) hace que él se aparte.

Consiste en aislar a un cuerpo y grafícar sobre él, primero su peso y luego todas las fuerzas externas que actúan sobre él (tensiones, compresiones, reacciones, etc.); se debe tomar en cuenta lo siguiente: I) Representar el peso siempre en forma vertical y hacia abajo, donde su punto de aplicación será el centro geométrico del cuerpo (si su masa es homogénea). I I ) Las fuerzas internas para ser grafícadas se deben separar los cuerpos en contacto o también realizar un corte imaginario sobre el cuerpo en estudio, esto debe obligatoriam ente realizarse (caso tensión compresión). I I I ) A lo largo de una misma cuerda existe una misma tensión. IV ) En todo contacto entre superficies sólidas represente la fuerza normal (N ) entrando al D.C.L. perpendicularmente por el contacto.

L.V e je m p l o

a:

En el lanzamiento de un cohete, éste ejerce una gran fuerza de acción ( j [ ) sobre los gases, para expulsarlos, y los gases ejercen una fuerza igual y opuesta de reacción ( sobre el cohete que lo expulsa hacia arriba. r-V---

V )L a s fuerzas externas serán grafícadas necesariamente al analizar un sistema (no se graflcan fuerzas internas) y pueden prolongarse sus líneas de acción respectivas.

NOTA: * Si existiesen superficies en contacto, se representa la reacción mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo ( N ó R ). * Si hubiesen cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario (T ). * si existiesen barras comprimidas, se representa a la compresión mediante un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario (C).

íJTí,\-taí 'MZSk "JTMN M * : i n c u * x t : & h u m m m iíió s í IHBl 505 * Si hubiese rozamiento se representa a la fuerza de Donde: roce mediante un vector tangente a las superficies en T : tensión del cable. contacto y oponiéndose al movimiento o posible N; reacción normal de la pared 8obre la esfera. movimiento. W: peso de la esfera.

T IP O S D E A P O Y O í

Existen diversos tipos de apoyo, nosotros estudiaremos

2 )B L O Q U E .

sólo dos: 1) A P O TO F IJ O : En este caso existen dos reacciones perpendiculares entre sí.

Liso..

Ri

3) C IL IN D R O :

X ) A P O T O M Ó V IL : En este caso existe sólo una reacción que es perpendicular a las superficies en contacto

4) lt«JI

ll*JJ

if J l

lt*j|

I *

E JE M P LO S : M

Realicemos el diagrama de cuerpo libre (D .C .L.) sobre el cuerpo en cada caso (despreciando toda fricción). 1) Esfera homogénea apoyada sobre la Se realizan cortes imaginarios a las cuerdas y separamos a la barra de ellas.

pared lisai^' 5) Se realiza un corte imaginario a la cuerdas y una separación imaginaria de la esfera con la pared.

Tv

\D.C.L

» 5x ♦«

■D.C.L 6) A r tic u la c ió n

I W =m g

Rx mg

«0 6 A veces no se puede determ inar la dirección de la fuerza en la a rticu la ció n en form a directa, p o r ello se g rá fic a como fuerzas perpendicu lares. 7)

ic*

ii* n

Ü J 2012] lisa y de masa despreciable. Para realizar el diagrama de cuerpo libre se debe realizar cortes imaginarios a la cuerda y al resorte.

10)BARRA:

Para este ejemplo, por facilidad de análisis de las fuerzas, en al articulación B la reacción se descompone en dos, una componente horizontal R x y otra vertical R y tal que quedaría así:

X

8)

re

K

11*11

rrm

Donde: U)

9) Realizar D .C .L. de la polea "A" y el bloque.(Considere polea ideal)

W=mg G: Baricentro 12)

♦I N,

I Mg

N. *•••«*ti •*•’

Debemos tener presente que una polea ideal es

•• V

W S a tW / L Y J T C Z A

w 407 E D IC IO N E S MZURIÑOÜÁ 3o Se resuelve el problema aplicando los principios

M

13)

i

* De la barra,será: T,

matemáticos. NOTA : Sí en el problema hubiesen varios cuerpos, no es necesario hacer el D.C.L. de todos ellos; hay dos posibilidades:

I

* Hacer el D.C.L. de dos cuerpos o tal vez tres. a Hacer el D.C.L. de uno de ellos y del sistema completo.

"A": Polea fija de masa ingrávida, (no tiene peso)

Polea móvil

P R IM E R A C O N D IC IÓ N P A R A E L E Q U IL IB R IO * Cuando un cuerpo se encuentra en reposo o moviéndose con velocidad constante, es decir sin aceleración, decimos que está en un estadía mecánico llamado: equilibrio de traslación. 9

* Reposo o M J I.U . E q u ilib rio de traslación Entonces, si un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación y sobre él actúan fuerzas, estás deben cumplir que: ( I r a condición i m* mi • Los puntos " i ”, ”2" y "3" pertenecen a la misma cuerda, por tanto soportan la misma tensión (T ).

de e q u ilib rio ) * Además si todas las fuerzas se grafícan sobre los ejes X e Y la primera condición de equilibrio mecánico, se plantea en forma práctica de la siguiente manera:

OBSERVACIÓN :

Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y este presenta equilibrio de traslación sin rotar, entonces dichas fuerzas deben ser paralelas o concurrentes.

* En la polea móvil observar, si hay equilibrio. Tt = 2T mg

15) “ F u erz a sp a ra lela n '* “ F u e r z a s c o n c u r r e n te s "

• Para plantear la solución a esta situación, podemos escoger cualquiera de las 3 formas que indicamos a continuación.

M ÉTO D O P A R A R ES O LV E R P R O B LEM A S

1) P or descomposición rectangular \ trazando un sistema de coordenadas rectangulares. Se debe cumplir que:

Io Se dibuja el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) 2o Dado las fuerzas (vectores) se resuelve aplicando uno de los métodos ya conocidos.

A) E ^ = o= >

x

* Coordenadas rectangulares. •Polígono cerrado. • Teorema de Lamy.

%

b)

E F(t)=EFW

c

IA

2 ) Medíante el triángulo def uerzas, ya que si la resultante es cero, los vectores fuerza deben formar un polígono cerrado.

F j + F 2 + Fs =

Fi

f l P O

S

D E

ES TA B LE

E Q

E N em o rL M M L t 20121

U I L I B R

IN E S T A B L E

I O

INDIFERENTE

o

09 09 3) Aplicando e l "Teorema de L a m y ".*

é

En la figura se han representado los tres tipos de equilibrio para un cuerpo apoyado y suspen dido. Exam inando p o r ejem plo , el disco suspendido, si el pu n to p or el que está suspendido se halla p or encim a de su centro de gravedad el equilibrio es estable , si está p o r debajo, es inestable, y si coincide con ese punto, es indiferente.

OBSERVA CIÓN :

Si un cuerpo presenta cambios en su movimiento ("y*

cfe) ello se debe a que existe un desequilibrio

en las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

o)

I I I ) Se quede inm óvil en la nueva posición, equivalente a la que tenía. En este caso, el cuerpo está en equilibrio indiferente. . E J E R C IC IO En el sistema mostrado hallar la tensión en la cuerda y la reacción normal del plano inclinado liso, si el bloque pesa I O N ., existe equilibrio. RESOL UCIÓN:

¿Porqué « s t i «n equilibrio et cuerpo?. Esté en equilibrio por que las tres fuerzas concurrentes y coplanares se anulan.

* Haciendo el D .C .L. del bloque:

T IP O S D E E Q U IL IB R IO Si un cuerpo que se encuentra en reposo, en posición de equilibrio, es ligeramente apartado de esa posición, puede ocurrir que: I) Vuelva por si mismo a su posición primitiva debido a que, al producirse el desplazamiento se ha generado un momento que tiene a hacerle recuperar la posición. En este caso, se dice que el cuerpo está en equilibrio estable. II) Se aleje cada vez más de su posición primitiva debido a que se ha generado un momento que tiende a desviarlo aún más en el mismo sentido. En este caso, el cuerpo estaba en equilibrio inestable.

...i

Par descom posición rectangular, ibicaido las ejes adecuadam ente. #

x

COS30P

[j s a e 'j r s k 'r w * 'u%. ~w

^ 3

Fx = o ) :

E n el eje X -+ T -1 0 \ ^ \ = 0 E n el eje Y ( £

t

««>» í;>.*&>

K U IC IO X F S KUUIJVOM

- 10Sen30° = O

T = 5N F

,

=

o

)

: N - 10Cos30° =0 3)

N — 10

*J3

2

= 0

—y N = 5\¡3 N

ZDO MÉTODO : Mediante el triángulo de fuerzas:

4) Pero:

N = k y ¡3

2k = 10

m .jm .

A?

k = 5 -+ T = 5 Como: N = k43 = 543 N

SER MÉTODO Z Aplicando el Teorema de Lamy: N , T

V

15(0

(Af < m ) t 10 Sen90°

3(0

■%

N Senl20

Sen150°

T = K ,x ,

ION

T=K ^x>

Entonces:

T = T1 xé = 5 N

y o b s e r v a c ió n :

N = l ° x ^ = B j3 N

1

2

Se debe tener en cuéntaque para resolver problemas de estática es obligatorio realizar urícorracto D.C.L , para luego aplicar las condiciones de equilibrio. Por ello sería adecuado que analices los siguientes ejerclclos.lfil D .C .L (Todas las superficies son lisas): ' :f

1

mg T = K sx 3

6)

D .C .L .

C A S O

Ta

y , lt* Ji

a. m m

IM J

\ W y• e*

"

mg

LA ENi'irJMMiDMJÍ 201s\

12)

■ cu erd a id ea l

■ ■ ■ .o - 1%a • '•» •

»•* * •

I '/ >i< v b — p la ca hom ogénea

mg ^

L a r e a c c ió n en M p a sa p o r O

9

6F i -f a F g

F=

2

*n fuwrza.

~Fr = ^ ( F

b+a

i

+ Fg)

( p rop ied a d ): F *para el equilibrio : => •para el equilibrio :=> * Siempre debemos recordar que el peso o la fuerza de gravedad en un cuerpo se gráfica vertical y hacia abeyo, en un punto llamado C entro de gravedad (C .G .) el cual; para cuerpos homogéneos coincide con su centro geométrico.

l ü 411

LisAi'M lt’k 3TJTCLA M

H

E D IC IO N E S

R U t ít Ñ O M

Por ejemplo:

A) para una barra

Cuando aproximamos un imán a otro, notamos que se atraen mutuamente.

B ) p a ra una esferatdisco y a ro :

C.G.

3 ) FUERZAS NUCLEARES C) Para una placa:

C.G.: B A R IC E N T R O

D ) En una varilla hom ogéneae n form a de semicircunferencia y en una placa homogénea en forma de semicírculo:

Son fuerzas que aparecen cuando lá^distancia entre los cuerpos es menor que 10'f^oir y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango. Núcleo Estas fuerzas explican Ot Neutrón porque las partículas ( ] & Protón dentro del núcleo del V A Q—«-Ó d m0 átomo se m antienen . unidas.

*)

f u e r z a s d é b il e s

Es el responsable de la desintegración que experimentan algunas partículas, fundamentalmente a la descompoéitión de núcleos radioactivos.

®

7r

NOTA: La ubicación del centro de gravedad depende de la forma del cuerpo y de la distribución de su masa, y no siempre está dentro del cuerpo.

2) FUERZA ELECTROMAGNÉTICA í ^

Atomo: La carga eléctrica es responsable de la i n t e r a c c i ó n electromagnética entre las partículas.

• Todas las diferentes fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional electromagnético o nuclear. * En la actualidad, se esta tratando de unificar las 4 fuerzas, en una sola, la cual se llamaría "súper fuerza". n o t a

:

En nuestro quehacer diario es muy común hacer uso de cuerdas, para colgar o suspender cuerpos en el aire, para jalar cuerpos, etc. ¿Pero qué es lo que ocurren en el interior de la cuerda en todos estos casos? Analicemos:

• Se descompone en:

FUERZA ELÉCTIUCA Z Es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que ambos poseen cargas eléctricas

FUERZA MAGNÉTICA Z Es una fuerza adicional a la fuerza eléctrica cuando las cargas eléctricas están en movimiento.

T / 7 \ sep a r a ció n V j / im a g in a ria

< ;>

tA La acción del bloque sobre la cuerda internamente provocará una tendencia a la separación de sus moléculas, por lo que entre las moléculas deben surgir fuerzas para evitar esta separación que traería como consecuencia la ruptura de la cuerda.

O(

* Cuando jalamos una cuerda:

L a soga

se rom pe lp orq u éf

2012}

PROBLEM A 2 : Una esfera de 4 kg se mantiene en equilibrio apoyada sobre una superficie semicilíndrica y esta atada a una cuerda según se indica. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. A) 48 N - r ...................JO l g = 1 0 ]T ll8 2 B) 28 N f\ .< j C) 24 N ' D )3 2 N E) 42 N

R E S O L U C IÓ N : vista a m p lia d a del “corte” de la cuerda Cuando tratamos de romper la soga, estirándolo, lo que estamoB intentando hacer es separar sus moléculas; lo cual causa que la fuerza de atracción entre las m oléculas aum ente, im pidiendo su separación. La fuerza total con la cual se atraen las moléculas, en un punto de la cuerda, se llama tensión.

• Realizando D.CX.

LÍ80

para la esfera: • Como la superficie es li 6a, la reacción será normal a la zona de contacto. • Como las fuerzas no son paralelas para lograr el equilibrio de la esfera, formemos un triángulo de fuerzas: =* S e n 3 7 ° =

PROBLEM A 1 : Una esfera de plomo de 3 kg se sostiene por medio de una cuerda tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza de tensión en dicha cuerda, (g = 10 miss) A)40N B)35N C)50N D )80N E)6 0 N

T 40

W =40N' R 5 40 =* T = 2 4 N R P T A : “C ” PROBLEM A 3 Realizar el D.C.L. en cada caso, sí todas las superficies son lisas y en todos los caso hay equilibrio:

R E S O L U C IÓ N :

I)E8fera2: II) Barra hom ogénea: 111) Bloque A:

• Graficamos las fuerzas

I T eos 53

sobre la esfera: T

R E S O L U C IÓ N W -m g = 3 x l0

W =30N

I ) sjisi ..

* En el equilibrio de la esfera F R - 0 W J 2 *En: TCoa53° = 3 0 N

T X — = 30

T = 60 N R P T A : “C"

419 PROBLEM A 4 : Dos cilindros idénticos en equilibrio, donde todas las superficies son lisas, determinar "0*.

KI/«liV0áj 4) Una partícula está en equilibrio solamente si se encuentra en reposo. E D IC IO N E S

5) La fuerza gravitacional es la menos intensa.

6) La fuerza nuclear fuerte es sólo atractiva. A )2

7) La fuerza electrodébil depende de los medios.

B)y¡3

8) La fuerza gravitacional no es capaz de modificar el estado de reposo de un cuerpo.

c -

2

D )T g

9) La fuerza de interacción entre^ó&jbargas eléctricas es de naturaleza electrodébil.

ls J a

10) Las fuerzas gravitacionalés son de mayoz^ orden de magnitud que las electrodébiles. A) 1 B) 10 C )7 D) 3 '¿ E ) 4

E ) Tg -\ 2 )

RESOLUCIÓN:

R E S O L U C IÓ N :

NcobQ

•Realizando los D.C.L. Nten

• 'M j

’senQ ’

¿ser.

NC08Q

rv

^ < ?k .

*y^Fy = 0...~..~( cilindro izquierdo) =>W = NcoeO____ ( I ) F x — 0 => N8en9 = N 28 e n 3 0 ° ...(II) * Y , Fy = ° = > w + N c o s O = n 2e o s 3 0 ° ...(III) Ahora (I) en ( I I I ) : NCosQ + NCosO ~ NCos30° => 2NCo¡>0 - NCoa30° * Finalmente (II) NSenff^ 2 NCosO

1) V E R D A D E R A :

;•

Dado que la fuerza es una cantidad física vectorial que expresa la medida de las interacciones entre los cuerpos materiales del universo, posee módulo, dirección y sentido. 2) FALSÁJ Ya que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando se encuentra en reposo perm anente o cuando experimenta M .R.U. es decir, si la velocidad de un cuerpo es nula (~y* = "0") , no necesariamente se encuentra en equilibrio, esto se puede apreciar cuando un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, cuando alcanza 6Ualtura máxima su velocidad es cero, pero sobre el actúa la fuerza de gravedad y ^ F = m g ^ 0 , en consecuencia no se encuentra en equilibrio. 3) FA LS A :

(IV )

Ya que sobre una partícula en equilibrio pueden actuar un conjunto de fuerzas, pero la resultante de ellas debe

(IB ):

N 2Sen30 N 2Cos30

'

TgO = 2Tg30

ser nula ( f

b

=

o

).

4) FA LS A : TgO — 2

43

r& rg •¿

- i I 2J 3

Ya que también estará en equilibrio cuando se mueve en línea recta a R PTA : “D ”

PROBLEM A 5 ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) La fuerza es una cantidad vectorial.

= c t e ) (M .R .U.).

5) V E R D A D E R A : Dado que la fuerza gravitacional es la más débil de todas las básicas.

6) V E R D A D E R A :

2) Si la velocidad de un cuerpo es cero, entonces éste se encuentra en equilibrio.

Ya que fuerza nuclear fuerte representa el pegamento que mantiene unidos a los nucleones, por ello que es de carácter atractivo.

3) Para que una partícula esté en equilibrio, ninguna fuerza debe actuar sobre ella.

7) FA LS A .

8) FA LS A :

E 05j í Z ^ S Ya que la fuerza gravitatoria es capaz de modificar el estado de reposo de un cuerpo.

L 1 EX4 M4'j.oim t:oL\ 2012}

R E S O L U C IÓ N : Haciendo D .C .L ,: •Formando el triángulo de fuerzas

9) V E R D A D E R A : Ya que las fuerzas eléctricas en algunos casos son fuerzas débiles o electrodébiles. 10) FA LS A : No siempre es cierto. R P T A : “E ”

*160 = 411 M¿\.

PROBLEM A 6

Mg=5k =* k = 40

Determinar la tensión T / sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A) 120N

9 9

B )1 6 0 N

*

* lu e g o :

T = 3(40) = 120 • De la polea: ▲T=120N

Se ten d rá q u e:

C)200 N

J 1 2 0 = 2T t f 2 0

D )1 0 0 N E)240 N

*20N

R E S O L U C IÓ N :

* Ahora en el bloque «m »

* Haciendo el D.C.L. de la esfera:

7i= 50N

mS = Tj

A

m ( l O ) = 50

*

m = 5kg

30 k ,

jm g R P T A : “C ”

s rK 4k

PROBLEM A 8:

L

7¡ W 12xl0

▼

La barra de 35cm se encuentra en posición horizontal. Determine a qué distancia del punto "A" se ubica el centro de gravedad de la barra.

• Debido a que el sistema se encuentra en equilibrio, luego: 3k=120 => k=40

A )1 2 m

•Además: T 1= 4 k = 4 (4 0 )= 1 6 0 N

B )7 m RPTA : “B ”

PROBLEM A 7: Considerando que en el sistema todas las superficies son lisas (no hay-fricción), y que el bloque "Af recibe una reacción 6& A60N de la superficie inclinada; determinar la masa "m", si la polea pesa 20N y el sistema está en equilibrio, (g = 10 mis )

45°

C)18 m

a*

D )2 0 m E )1 6 m R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que el centro de gravedad es aquel punto donde se encuentra aplicado la "tV", entonces debemos graficar las fuerzas que actúan sobre la barra.

A) 10 kg ]w

53*r

B)7 kg > 5

x

=4k I

3K

y^ T

C)5 kg D )8 kg E)12 kg

\

* 4* \ 4 K / p u n to de ■* concurrencia

m 416 * Como actúan 3 fuerzas y la barra se encuentra en reposo, entonces las 3 fuerzas son concurrentes, con

>NKS K U R IÑ O f Á

K,

i

Tj y T3 se determina el punto de concurrencia, por dicho punto debe pasar la línea que contiene al W.

* Nos piden ”x = 4kn * De la figura:

• w

7 * = 3 5 m =^ f t = S m

x — 4( 5 m ) = 20 cm RPTA : “D ”

B) Solamente 3 y 5 D ) Solamente 2 ,3 y 5

* E l equilibrio estable de un cuerptí: se da cuando su centro de gravedad ocupa la posición más baja posible en el sistema en que se encuentra.

C) 3 cm

D ) 4 cm

E ) 5 cm

* Para determinar la deformación "x " del resorte hagamos los D.C.L. necesarios: *

>

♦ Para la solución de este problema e » líéóesario conocer los tres tipos deequilibrio en uncuérpo sólido.

Mediante el sistem a de poleas se mantiene en equilibrio un tablón de 40 bg, tal com o se indica despreciando la fricción y la masa de las poleas, calcular la deformación del resorte cuya constante de rigidez es de40Nlcm. (g=10m!s2)

•T¡=Kx=40x

A) Solamente 1,2 y 6 C) Solamente 2 y 5 E) Solamente 3 y 4 RESOLUCIÓN:

P R O B L E M A 9:

A) 1 cm B) 2 cm R E S O L U C IÓ N :

• * *

♦ E q u ilib rio inestable: ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo no Ocupa la posición más baja posible. “i. • E l equilibrio indiferente: ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo no tiene posibilidad de variar su altura respecto de un nivel de referencia. Con lo anterior ya se puede indicar qué tipo de equilibrio corresponde a cada situación:

De! equilibrio: Bqnuntao indiferente

£

F X 0 S JB R JO

R S TA B L*

F ( t ) = £ F W

40x = 3 T 3T 40

(I) E Q V t U B R IO IS b S T A B IS

B Q W J B R IO t S E S lA B L E

* Del equilibrio :

6 T — 400 Mg=400N

=>T =

B O TA R LE

R PTA : “C

X > (t ) = £ W ) 200

F Q U ÍU B I9 0

(U )

♦ Reemplazando (II) en (I) se obtiene: x=5cm RPTA : “E ” P R O B L E M A 10 : Los esquemas de la figura adjunta muestran cuatro esferas y una media esfera, todas de lOcm de radio, homogéneas, en contacto con varias superficies de soporte, sobre las cuales pueden rodar sin deslizarse. Diga cuáles de ellos corresponden a situaciones de equilibrio estable.

P R O B L E M A 11 Si la esfera homogénea de 7kg se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la fuerza de tensión y la reacción del piso sobre la esfera. (g = 10 m/s2)

A )2 0 j2 N y 30 N B)30 N y 742 N 0 3 2 4 2 N y 50 N D)40 N y 842 N E)3242 N y 30 N R E S O L ,U C IÓ N :

MSI * * En primer lugar grafiquemos las fuerzas que actúan Bobre la esfera homogénea:

H

IA E xrn 'j.oP ’tioL t 2012} debido a que la fuerza resultante sobre el libro es nulo, es decir

ie

X F = 0.

U ) FALSO :

O B S E R V A C IÓ N * La reacción de la superficie (F t ) es perpendicular a la superficie en contacto, cuando una de las superficies o ambos son lisos.

W=70N

* Como las 3 fuerzas Ü iMi«i0riiai«9<» 37°*f*. mantienen a la esfera en reposo entonces la = T y con dichas fuerzas podemos formar un triángulo.

3K

* De la figura: 70 = 3k + 4k = * k = 10 * Luego:

70N 4K<

T = 3 J 2 * 10 = > t — s o js N

N = 5(10)

N = 50N R P T A : "C ”

Recordemos, las fuerzas de acción y reacción deben presentar el mismo módulo y dirección contraría y sobre todo actuar sobre cuerpos diferentes, sin embargo el peso del Ubro W y la reacción normal Fx actúan sobre el mismo cuerpo. En consecuencia dichas fuerzas no son fuerzas de acción y reacción. III) F A L S O :

El contacto entre el libro y la mesa realmente no existe, la repulsión a nivel molecular es tan grande que lo Impide. Entonces nosotros entenderemos por contacto, cuando una superficie se acerca mucho sobre otra, tanto que la separación entre ellas sea imperceptible. Esta fuerza es de naturaleza electrodébll ya que se debe a la repulsión electromagnéticas entre moléculas para impedir el acercamiento entre ellas.

RPTA t “X”

P R O B L E M A 13 : Si el sistema libre de fricción se encuentra en equilibrio, determinar la deform ación del resorte, si las esferas pesan 60Ny 20 43 N A )1 0 c m

B)7cm

C ) 6cm

D)2y¡3 cm h ía í

PROSLERUk IX i

E )5 4 3 cm

B libro mostrado en la figura se encuentra en reposo sobre una mesa. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de tas siguientes proposiciones: I) B libro permanece en reposo porque no hay ninguna interacción externa sobre éi. II) Las fuerzas peso y reacción normal sobre el libro son una pareja acción-reacción. UI) La naturaleza de la fuerza de contacto entre el libro y la mesa es gravltatoría.

R E S O L U C IÓ N :

Ai V W Bi W F C/VFF D) VFV Bi FFF

* Haciendo los D.C.L.: R=40 m0 • • a

=2n

n43 = =►n = 20 =*■ R=. 40 y N = 20 £ (-)-£ (-)-» ■* 2 x

RESOLUCIÓN r Analizando el libro, para ello realizamos su DCL. F.

1reacción)

S ep a ra ción Im aginaria

faootón)

PRORLEMA

Podemos apreciar que sobre el libro se están dando las Interacciones externas tanto por el campo gravita!orlo como por el contacto con la mesa, sin embargo este permanece en reposo

2

lO c m

R P T A : “A if

;

Indique ia veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) Un cuerpo en reposo permanece indefinidamente en dicho estado. II) La fuerza es el resultado del contacto entre dos cuerpos. III) Todas las fuerzas conocidas se pueden clasificar en tres tipos. Aj W V

I ) FA LS O :

M

4 0 x — *> x

K* - RCo*60'

Bj VFV

O FW

D iFFV

Bi FFF

RESOLUCIÓN8 I) FALSO:

El movimiento de un cuerpo es el resultado de las Interacciones con otros y de las condiciones iniciales, por lo s! un cuerpo está en

is a reposo permanecerá indefinidamente en dicho estado a no ser que sobre él actué una fuerza que m odifique dicho estado mecánico. U ) VERDADERO: La fuerza es aquella cantidad vectorial que describe la interacción entre dos cuerpos en el universo. Desde un enfoque didáctico las interacciones entre los cuerpos, se puede plantear de dos formas: interacción por contacto e interacción a distancia. Un ejemplo de lo prim ero es cua ndo empujamos un libro sobre la mesa. Al poner la mano sobre el libro se está produciendo la interacción por contacto, donde dichas interacción es medido por la fuerza. acción a o b re el lib r o e x p r e s a d o m ed ian te F

*17

EIH C /O iXE S K U M Ñ O Sá

Igualamos fuerzas contrarías: Z F (t )-Z F U ) = > N + T sen 3 7 ° = M g = > T ( 0 , 6 ) = 100 - N

C o m o la tensión T debe ser m áxim a entonces la fuerza normal debe ser mínima, donde N mlm = 0 , entonces: T még(0 .6 )= 1 0 0 = > Tmá, =

600

N

=>

T c o » 3 7 • = m ,g

=mJ(í0>^ m¡

RPTA i

" I "

PROBLEMA IS t Respecto a la tercera Ley de Newton: I ) Sobre un cuerpo siempre aparecen dos fuerzas, una de acción y otra de reacción, es porque las fuerzas actúan en pares. II) Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido contrarío.

L a fu e r z a m id e la in /c r a c c íó n e n tr e loa c u e r p o »

III) VERDADERO: Las fuerzas que se perciben pueden explicar en función a tres interacciones básicas que ocurren entre las partículas elementales. • Gravilatorias. • EJectrodébiles.

Por lo tanto, por más que un cuerpo presente mayor masa que otro las fuerzas d&acción y reaedón son de Igual

RPTA i

^

•• r ^ La esfera de 2kg se tnarttlene en equilibrio junto a un resorte Ingrávido (* = 4 0 Nfcm). Si el dinamómetro .índica 60N. determine ¡a deformación .x jp texperimenta el resorte. (g = 1 0 m ís 7y

K

•*e

Son correcfas: B) N in gu n a E) S ólo 111

"

PBBBLEMA 171

C) S ólo l

RESOLUCIÓNt

• Nucleares fuertes.

RPTA i

H í) Si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro de mayor masa, este último ejerce sobre el primero una mayjpF fuerza (reacción). a A ) T od a» D ) S ólo 11

Además dichas fuerzas de acción y reacción son de igual módulo pero de direcciones contrarias. til) F A L S O : La tercer ley de N ew ton establece lo siguiente: “En una interacción surgen un par de fuerzas c o n o c i^ ^ c o m o fuerzas de acción y r e a c c ió n ,^ cuáles son de igual módulo y p re se n t^ direcdones contrarias.

Además: = Z F U -)

Como entre los vehículos se está dando una acción mutua podemos plantear. A toda acción le corresponde una reacción.

A r c o liso

I) FALSO : " C "

PROBLEMA 131 En la figura el bloque de 10 kg. Descansa sobre una superficie lisa. Calcule m , (en kg) y la tensión T (en JV) si se sabe que es máxima. r,

Es muy común suponer que las fuerzas de acción y reacción al presentar igual módulo y ser de direcciones contrarias, deberían compensarse e incluso anularse; pero esto es incorrecto ya que ellas no actúan sobre un m ism o cuerpo; sino más bien sobre cuerpos distintos. Para ello veamos un ejemplo.

A )1 cm

BfZem

C j3 cm

D )4 cm

E)6cm

RESOLUCIÓN1 * Nos piden determinar la deformación del resorte ( r ) C om o la esfera se encuentra en reposo

(V T -T )

í C ) 20,

f u e

600

s e p a r a c ió n

m = 2kg

im a g in a r ia

E ) JO. ai L a s f ú c r s a m d o a c c ió n y r e a c c ió n a c tú a n

La tensión en la cuerda (1 ) que sostiene la bloque de masa m , no es más que la fuerza de gravedad de dicho bloque: y * m g

s o b r e c u e r p o s d if e r e n t e *

II) VER D AD ER O : Se muestra el impacto de dos vehículos.

™tg

T -6 0 N

60N =T\

60sen30° 60sen3(T • La lectura del dinamómetro coincide con el valor la tensión en la cuerda.

T = 60 N

* En la vertical: ^ A continuación analizamos el bloque de M g*lOOrf

60cos30°

60cos3O%

RESOLUCIÓNt

masa m.

fe

TWnST0 IBeniS/

s e p a r a c ió n

F (“f ) —^ F (j.)

im a g in a r ia

t 1

=>

= 2{60S en30°) + 20 => FE = 80N

* Como: Fr = K x T, = m ,g

T cosS T

En el impacto uno de ios vehículos ejerce una acción sobre el otro, pero también el otro ejerce una acción sobre el primero.

* Tenem os:

K x= 8 0

(4 0 )x = 80

x = 2 cm

RPTA i “B”

¡ A £Y(74XQ*•t:M A 2012}

PR99ÍELKA 19

i

Respecto a la figura mostrada señale la veracidad (V ) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones: I) Si v = c te , entonces el hilo que sujeta al péndulo permanece vertical. ü ) Si aumenta linealmente con el tiempo, entonces el hilo se desvia a la Izquierda. til) Estando el tren con V =c/e, entonces al romperse el hilo, la bolita cae vertlcalmente respecto a un observador fijo a tierra. V

lnidalmente el cuerpo se mueve a V=cfe atado al techo del tren al aum entar Hnealm ente su velocidad, es decir al experimentar aceleradón el tren, notaremos que el hilo experimenta una Inclinación, esto es debido a que el extremo del hilo atado al techo avanza aceleradamente, mientras que el otro extremo del hilo que está con V# tiende a mantener está veloddad debido a su inercia i / » etc

g

I A) W V

B jW F

Cj VFV DjVFF

B) FFF

RESOLUCIÓN/

tren p y. debido a la atracdón gravitacional cae vertlcalmente efectuando en si un m ovim iento parabólico de caída libre respecto a nosotros fijo en tierra RPTA i " 9 "

I) VERDADERO : v=cte a ■T g

( )

—

A) romperse la cuerda, en virtud a su Inercia, ésta continua manteniendo la velocidad del

PRO BLEM A

mg e n r .

«• »

Al desplazarse el tren a velocidad constante Laaceleración que este experimenta es cero, y por consiguiente la esfera también se desplaza con velocidad constante y aceleración nula (a = 0 ) . A dicho estado físico se le denom ina equilibrio de translación, aJ realizar el DCL de la esfera actúan dos fuerzas, la fuerza de gravedad Hm g n vertical dirigido hacia abajo y la tensión en la cuerda que necesariamente debe ser vertical hada arriba y del mismo valor que la fuerza de gravedad para el equilibrio. lí) VERDADERO; La inercia, es pues, la propiedad de "Inmovilidad" o resistenda a cambiar de veloddad; es dedr, si un cuerpo se halla en reposo, continuará en reposo, si está

19 i

En la figura dos cuerpos A y B de diferentes densidades tal que pÁ> p9y de pesos iguales permanecen en equilibrio: El diagrama de cuerpo libre del bloque B es: & ------------------

A)

B)

£ F ( t ) « I F ( i ) => 2 T = W + R = > 2 T ~ 2 T + R=>R=*0 Finalmente el D CL del bloque B será.

W

Respecto a la primera ley de Newton señale la veracidad ( V ) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones: t) A y B son dos objetos con MRUV respecto a Tierra y poseen la misma aceleración. Entonces A puedo ser sistema de referencia para aplicar la /* ley de N ew ton al movimiento de B. U ) Todo cuerpo en reposo respecto a Tierra que inicia movimiento ha experimentado una fuerza. ÍU ) Un cuerpo con MRUV puede tener V=0 en cierto Instante. Justo en dicho instante

XF = Ó. A) F W

B) W F

C) FFV

Dt VFF E) FVF

R E S O L U C IÓ N t I ) VER D AD ER O : Si bien es cierto los objetos A y B no son sistemas de referencias Inerdales (SRJ) por presentar aceleración, pero si podemos decir que la aceleración relativa de A respecto a B es cero. a A I B

A

D)

RPTA i “9”

PRO BLEM A XO /

C)

m a A

a A =

~ ° B

“ 0

°

E) B

«B * O ■\ ■ *

Q.

R E S 9 L U C IÓ N i Realizamos el D C L del sistema:

realizando un M RU ( v * cíe) continuará con MRU a no ser que sobre él actúe una fuerza y modifique dicho .estado físico. V .n cte

Procedemos a igualar fuerzas contrarias, es decir. £ F (t)« £ F (¿ )

Esto significa que para un observador ubicado en A el cuerpo B puede presentar reposo o se mueve a velocidad constante. Por lo que para que este estado de reposo o de movimiento a c=cte pueda modificarse respecto a A se debe aplicar una fuerza adicional neta que modifique el estado de reposo o de movimiento por tanto A puede ser considerado com o un sistema de referencia para aplicar la Jera ley de Newton al cuerpo B.

z*4T = 2W

I ! ) VER D AD ER O :

=>2T = W

Para que el cuerpo en reposo respecto a tierra inicie su m ovim iento, este debe experimentar una fuerza neta que cambie su estado de reposo.

A continuación realizamos el D C L del bloque B. T

7

Igualando fuerzas contrarias tendremos:

R

*

*

Luego que el joven patea el balón este inicia su mavimienlo, con lo cual se demuestra que ha sido necesario la acción de una fuerza que modifique el estado de reposo del balón. III) FALSO: Para un análisis sencillo consideremos para ello el movimiento vertical de caída libre que es considerado com o un MRUV, ¿qué ocurre a) abandonar un cuerpo? Rodemos apredar que para este instante dich o cu erp o presenta velocidad inicial igual a cero V4- 0 , pero esto no significa que el cuerpo este en reposo, pues sobre éste actúa la fuerza de gravedad el cual m odificará notablemente el movimiento del cuerpo, por lo que Z F * 0 .

Noo*ftw iw m /r p m e quilibrioon 0 9 to In stante

I l P H I O X t S nUMttÑOfÁ

419

'W 4 J A M til) FALSO :

El que un cuerpo esté adyacente a otro cuerpo significa que esta }unto a él, es decir la interacción se da por contacto com o por ejemplo tenemos ai golpear un cuerpo o al empujar otro cuerpo son formas de interacción por contacto, pero no sólo existe las Interacciones por contacto sino también a distancia.

módulo y direcciones contrarias, además estas fuerzas actúan sobre cuerpos diferentes, por consiguiente el peso (W ) y la normal (N) no son fuerzas de acción y reacción ya que actúan sobre el mismo cuerpo. ii) VERDADERO: El importante comprender que la acción de un cuerpo sobre otro viene acompañada de la “reacción” de ese otro cuerpo sobre el primero. Al emgu}ái.el bloque m t este empuja al bloque m,; pero también este empuja al bloque m t. Entonces podemos plantear que: A toda acción le corresponde una acción de dirección contraria; a^a cuaJ, comúnmente se le denominal&gaSlÓrt.

Se m u e i/r a la in tera cció n o d ista n cia e n tr e tu tierra y e l cu erp o.

F

RPTA t “B”

/TlrO =

PROBLEMA E E i mg

Realizamos al sepan^óri imaginaria.

Respecto a la 3ra. Ley de Newton, señale la veracidad ( V ) o falsedad ( F ) de las siguientes proposiciones:

ü \g

sep a rp cióm im a g in a ria

é

JT:------En síntesis, para que un cuerpo se halle en equilibrio
RPTA i “B”

PROBLEMA E l / Con reladón a las siguientes proposiciones sobre la primera Lev' de Newton indique verdadero (V) o falso (F). I) Una partícula que se encuentra en estado de reposo, continuará en dicho estado indefinidamente a menos que una fuerza actúe sobre ella. II) Solo una fuerza puede cambiar el estado de reposo o de movimiento de las partículas. til) Solo existen fuerzas cuando los cuerpos que las generan se encuentran adyacentes. A) W V

Bj W F

C) VFV

D) F W

t) En la figura I , la normal Ñ y el peso. W del bloque son fuerzas de acción y ij^icdón... U) En la figura 2. F¡ es la fuerza que

ejefoé

sobre m 2y Ft es la que ejerce m 3sobre m r por tanto son fuerzas de acción y reacción. III) En la figura 3. la tensión y el peso son fuerzas de acción y reacción.

m,sobrom,

Accióndo m,sobrom 9

III) FALSO : Para que dos fuerzas sean de acción y reacción, d eb e ser produelo de la interacción de dos cuerpos claro que dichas fuerzas deben ser opuestas, del mismo valor y actuar sobre cuerpos diferentes. Por lo tanto las fuerzas mencionadas para este caso no son fuerzas de acción y reacción.

£ ____________ ¡a T (acción) F ig .2

corte im aginario

Fig 3

E j FF V

RESOLUCIÓN» t) VERDADERO: La primera ley de Newton recog e el prindpio de Inercia d e Gaüleo: “El estado natural de los cuerpos es encontrarse en reposo o en movlmtenló réctllfneo con veloddad constante (MRU). Si es que no hay una fuerza externa resultante que actúe sobre él y logre sacarlo de dicho estado”. En síntesis, el movimiento de un cuerpo es el resultado de las Interacciones con otro y de la condiciones Iniciales, por lo que sí un cuerpo está en reposo perm anecerá indefinidamente en dicho estado a no ser que sobre él actué una fuerza que modifique dicho estado mecánico. II) VERDADERO: Como hemos planteado anteriormente ia fuerza externa aplicado sobre un cuerpo puede modificar el estado de reposo o de movimiento de las partículas.

A) W

F

B j VFV

C) VFF

D) F V F

E) F W

RESOLUCIÓN» I) FALSO : Realizamos la separación imaginaria del bloque respecto a la superficie. w

f ü o r t 41 d o r o a c i 'i á n d o t p i» o

h a c ia

LJ N

W M aque to p a ra c ió n

im a g in a r ia f u e r z a d o a c c ió n d w i b ia q u o h a e U * o í p is o

N

Fíjese que en la interacción surgen un par de fuerzas conocidas co m o fuerzas de acción y reacción, las cuales son de igual

Puesto que la fuerza de tensión T y el peso W son dos fuerzas que actúan sobre el mismo cuerpo.

RPTA g"B”

PROBLEMA E S t Indique la veracidad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones: I) El reposo MRU o movimiento no acelerado, son estados equivalentes (índislínguibles) de una partícula en equilibrio. II) Una partícula que se mueve con MCU se encuentra en equilibrio pues su rapidez permanece constante. ¡II) Sólo las partículas que no se encuentran sometidas a ia acción de fuerzas (partículas libres) se encuentran en equilibrio. A) W V

BJ F F F

C) VFF

RESOLUCIÓN t

D j VFV

E) F W

M S I w

U RV(ÍYXOM’ MCUL12012]

M BS

I) VERDADERO :

Ai ~ 4 ¡ - s j

at 4¡ +s j

Todos los fenómenos físicos ocurren de la misma manera cuando son analizados desde sistemas (cuerpos o partículas) en reposo o en MRU, de ahí que no se puede diferenciar el estado de reposo o de MRU de un cuerpo o partícula. Por tanto la partícula ya sea se encuentra en reposo o con MRU esta se encontrará en equilibrio de fuerza.

Di - 41 - SJ* Sk

B) -41 + Sj-Sb

c ¡ - 4t - s j - s í

RESOLUCIÓN/

R = ( R j en 53°; R con SO9>

=>A* ( 100x0,8;200x0,6)N

Realizamos el DCL de la esfera. Z

(8 0 ; 60 j N = (80i +■6 0 j) N

T'

RPTA i “Cn PROBLEM A 26 :

F ff-i+ a jM

En la figura se muestran 3 esferas en equilibrio. La reacción en "AM es de 15 N .

L ib ro en rep o to

r n Ambos cuerpos se encuentran en equilibrio puesto que al no experimentar aceleración la Ft =0 It) FALSO : Al moverse la partícula con MCU, si bien es cierto el valor de la rapidez no cambia, pero si lo hace la dirección de la velocidad, esto último es debido a que experimenta una aceleración radial.

Finalmente la reacción R estará expresado vectorlalmente como:

mg* ShN Para que dicha esfera perm anezca en equilibrio se debe cumplir:

I F *0

Determinar la reacción del piso sobre la esfera más pequeña y calcular la fuerza que ejerce ”P n sobre la barra "PQ" (no hay rozamiento).

Q

Ft + F t + F + mg * 0 (6¡ + 2 j i + ( - 1 4 3Í) 4 F 4 f-6k) * 0 F « - 4 ¡ - 5 j + 5k

RPTA i “O"

PROBLEMA ES t La esfera de Í 2 kg mostrada en la figura se encuentra en equilibrio sobre un plano Inclinado Uso. Determine (a reacción del plano indinado sobre la esfera (en N).

Y

g

A i 401 + 6 0 ]

A) 45 N, 15 N C) 65 N, 15 N E ) 40 N, 25 N

B ) - 80Í + 60j

Debido a que la partícula presenta aceleración, ésta no se encontrará en equilibrio ya que dicha aceleración es consecuencia de la fuerza resultante que actúa sobre ella. W ) FA LS O ; No necesariamente, ya que para que un' cuerpo esté en equilibrio pueden actuar sobre el varias fuerzas, se anulan, es decir

C t SOI f 60 j D ) 601 - 80j

B ) 45 N, 25 N D ) 65 N, 25 N

RESOL UCIÓN:

E ) 90Í ♦ 4 0 ]

* Realizando el D .CX.:

RESOLUCIÓNi Realizamos el D C L de la esfera y descomponemos las fuerzas Inclinadas según los ejes X,Y. y

M-I5

ZF = 0 Por ejemplo tenemos un cuerpo en reposo sobre una mesa.

R e o *53°

* Del equilibrio horizontal: Sobre el cuerpo actúan varias fuerzas, sin embargo está en equilibrio ya que estas fuerza se anulan.

RPTA t “C” PROBLEMA

M

RCos53?=15 Igualando fuerzas contrarias.

ZF(-*) ='ZF(*-)

r

• Luego del equilibrio vertical:

Sobre una partícula de masa 0,5 kg actúan las

fuerzas

= 16 => R = 25 N

Ft* (5 Í + 2 j)N

y

F i * ( - ¡ + 9 j ) N , determine la fuerza f (en N ) que mantiene a la partícula en

eq u ilib riog = - 10kmlt*

=>T-R Además:

ZFCXi^ZFd) ^ Rco*53°+T00*63* = mg =* R (0 ,6) 4 (R gO , 6) = 120

z>RmlOON

RSen53° + N = 60 +10 +5 14\ + N = 65=>N = 4 5 N 25 \5) RPTA: “ B”

(msAi'MiTLrFMe P R O B L E M A 27

EMPMCMOXPS R U B E Ñ O ti

:

manifiestan cuando existe contacto entre los cuerpos.

Hallar la tensión del cable, si la esfera tiene un peso 5N (el sistema se encuentra en equilibrio).

7) Un joven fyo en tierra observa que varios vehículos se mueven con M .R .U . en distintas direcciones y afirma lo siguiente; sobre cada vehículo la resultante de las fuerzas es cero. 5>Un cuerpo en reposo permanece en reposo y un cuerpo en m ovimiento en línea recta continua moviéndose con velocidad constante, si la fuerza resultante que actúa sobre él es cero.

A) 8N

B ) 6N

C )5 4 2 N

D )5 N

E) 3 N

9) Jesús comunica por teléfono celular a Edu, diciéndole que está observando a un cuerpo enastado de reposo permanente, entonces Ediv.v£cj&testa afirmándole que dichÓ cuerpo se epcUfejilfcrá en equilibrio. -v

R E S O L U C IÓ N :

10) El estado natural de los cmei^ipfees encontrarse

* Realizando el D.C.L.:

en reposo o en movimiento con velocidad constante. f * Formando el triángulo de fuerza:

11) Si la fuerza resultante*^ue actúa sobre una partícula es cero entonces es posible que ésta describa una trayectoria curvilínea. 12) Si la aételerjiqión de un cuerpo es cero entonces no actúan fuerzas sobre él. A) 3 B) 4 C) 7 D )8 E) 1 R E S O L U C IÓ N :

60&

* corno se forma un triángulo equilátero, luego: T = 5 N

1) FA LS A : Dado que la lera ley de Newton se cumplirá, si el cuerpo está en reposo permanente. 2) V E R D A D E R A :

R PTA : " D ” P R O B L E M A 28 :

Ya que toda fuerza desequilibrada provoca un cambio en el estado de movimiento.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son no correctas?

3) V E R D A D E R A :

1) Sin importar la ubicación o lugar donde se encuentre un observador; si un objeto esta en reposo respecto de dicho observador entonces cumple la lera ley de Newtoní ‘ $ 2) Según la primera ley de Newton. El cambio del estado de movimiento de una partícula se debe a la acción de una fuerza resultante diferente de cero que actúa sobre la partícula. 3) Una esfera se desliza hasta llegar a una superficie horizontal lisa, entonces según la primera ley de Newton, deberá deslizarse libremente (F R=0) sobre esta superficie en línea recta con velocidad constante sin detenerse. (F R = Fuerza resultante). 4) Según la tercera ley de Newton. Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre un mismo cuerpo. 5) La fuerza de acción es igual a la fuerza de reacción.

6) Las fuerzas de acción y reacción sólo se

Dado que: ^

•

Como en

el tramo

horizontal la (fb = 0); entonces la esfera mantendrá su velocidad constante. 4) F A L S A : Ya que la fuerza de acción y reacción se aplican en cuerpos diferentes. 5) FA LS A : Porque la fuerza de acción ( F ¡ ) tiene sentido opuesto a la fuerza de reacción ( F 2L pero tienen igual valor.

6) F A L S A : Ya que las fuerzas de acción y reacción se manifiestan cuando los cuerpos están en contacto o en las llamadas fuerzas a distancia.

W 3 3 L*z* M 5 ?

7) V E R D A D E R A :

Lí

1 0 orAPlI *012]

A ) 30°

Vista superior

B ) 8°

4

Como la aceleración de cada auto es — = ~0 (M .R .U .); entonces la fuerza resultante en cada

Joven fijo

a =o

auto será: E¡t = ~0

C)10° D ) 15° E ) 12° VW5I.' R E S O L U C IÓ N : ♦ Para

8) V E R D A D E R A : Ya que de acuerdo con la lera ley de Newton, un cuerpo en reposo permanece en reposo y un cuerpo ya en movimiento permanecerá en movimiento con una

*para el equilibrio: /45°-ct J * / T = w73Senf45° +

velocidad constante (F ¡¡ = ~0

........... .............

9)FALSA:

...... t é

Ya que Edu no puede afirmar que el cuerpo que observa Jesús este en equilibrio. Porque no sabe el sistema de referencia en el que se encuentra Jesús. 10) V E R D A D E R A :

t • • «

I «

•

é m i

* • • • • • « *

#

..........................................................

* Para nW”: • para

N.

Ya que según Galileo: Inercia es la tendencia natural de un cuerpo a mantener un estado de reposo o a permanecer en movimiento uniforme en línea recta (velocidad constante). 11) FALSA:

el equilibrio:

T = WSen(45°+<*)....(II)

/ .£

........

* Finalmente de ( i) y (II) :

Porque si un cuerpo presenta F ¿ = ~0~, nunca puede describir una trayectoria curvilínea; solamente puede describir trayectoria rectilínea (M J L U J .

=> 43C o s (45° + a ) = Sen(45° + a )

v

a = 0(FU= 0) 12) FALSA: Si un cuerpo presenta ¡Sepuede ~ _~ q \ entonces la apreciar fuerza resultante será que actúan i fuerzas! nula ( FR = 0 )

R P TA : t4C " PROBLEMA

W43 Sen(45° - a ) = WSen(45° + a ) y =¡- j3 C o s [90° - ( 4 5 - a ) ] = Sen(45° + a )

29 :

Sn la figura, determinar el ángulo "a ”, para que los Desos ”W" y "W 4 3 , se encuentren en equilibrio con respecto al prisma ABC, teniendo en cuenta que no íay fricción.

J 3 = lSen f4g° + Q-) =* Tg60° = Tg(45° + a ) Cos(45° + a ) 00° = 45° + a => a = 15° RPTA : t4D 99 PROBLEM A 30 :

Una persona mantien M J en equilibrio a una barra de 60kg ejerciéndole una fuerza cuyo módulo es de 400 N. Calcular el módulo de la reacción en la articulación, si la polea lisa es de lO kg. (g =10 mis2) A ) 500 N

B)300 N

D ) 200 N

E)600 N

C )4 0 0 N

499

[md& 'jn/k 'JTjreh'%. m R E SO L U C IÓ N :

* Para determinar el módulo "R" de la reacción en la articulación, necesitamos el D.C.L. del sistema (barra + polea): •Nos pid en

R -

+

*P*ro d el equilibrio del sistem a :

E D IC IO N E S

KUH1ÑOAÁ

de las esferas de igual radio para que el sistema se encuentre en equilibrio? A ) 413 B ) 314 C ) 215

T -4 0 0 N F = T=400N

400N

D ) 3/5

=> R - 900N

E ) 4/5

=*

R,

-

<+■ R , - 4400a + 900*

«

500N

R E S O L U C IÓ N :

* Realizando los D .C L .: RPTA

94 A 9 f

PROBLEMA 31 :

Un hombre de peso W se encue en equilibrio sobre una plataforma de peso 3W, sosteniéndola como se indi en la figura. Por medio de cuerd sin peso. Determinar la tensión ejercida por el hombre. W A) é£

B)2W

D)3W

E)7W

• Formando los triángulos de fuerzas:

C)W

R E SO L U C IÓ N :

* Realizando los D.C.L.: I

U

I

m w m ’M

I

* Para el hombre:

R + T = W.

T = W¡sen3 7 °...( I )

(I)

T = w 38en53°.„( I I )

De ( I ) y ( I I ) : W,Sen37° = W2Sen53°

* De la plataforma :

4

R + 3W = 3T....(II)

Wt = Sen53° _

* De (I) -

Wo

(II):

T —3W=W —3T 4T = 4W T=W

Sen37°

5 3

4 3

5 R PTA : "A ” PROBLEM A

33 :

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) Las fuerzas nucleares fuertes dependen de las cargas eléctricas (partículas) en el núcleo.

3W R PTA : “ C” PROBLEM A 33 :

Considerando que las superficies son lisas y que las cuerdas se mantienen paralelas a dichas superficies, ¿en qué relación W}!W2 deben encontrarse los pesos

2) Las fuerzas nucleares fuertes 6on las de mayor valor y su rango de acción es del orden, aproximadamente, de 10' 7m. 3) La fuerza de empuje ejercida por un fluido es de naturaleza gravitatoria.

s

IA

IK S Ü * * * . r o s k

4)Las fuerzas fundamentales pueden ser atractivas o repulsivas en general.

E X C M x .o i"K U lA .2 0 l2 }

5) Haciendo el D.C*L.

Tsen 0 v

TsenB u .............

E n u n ciad o: Un cuadro de mesa uniformemente distribuida y peso W está soportada p or dos T cosq

cables tal como muestra la figura,

TcosQ

señale la veracidad ( V ) o falsedad (F ) de las siguientes

' W=mg W 5) El módulo de la tensión T es 2Sen0

Luego para el equilibrio: W 2 TS e n 9 = W = > T = 2SenO

» T mln =WI2 7) T máx se produce cuando

q

tiende a cero

VERDADERA

6) V E R D A D E R A Enunciado: El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Si las cuerdas y polea son ideales señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones :

%

C) 7

D )4

W = —

Ya que "7* se hace muy grande, cuando SenO « 0 »es decir 0 => 0

8 ) T ¡ = T 2 9 ) T ¡ = T slyf3 10 )m =M /*¡3 B )5

W

decir: SenO = 1 »entonces: T MtN = 7) V E R D A D E R A :

m

A) 6

Dado que "I” será mínimo " SenB " sea máximo, es

E) 9

8) Realizando los D.CLL.: =m g

R E S O L U C IÓ N :

mg

3) FALSA: La fuerza de empuje ejercida por un fluido es de naturaleza electromagnética, puesto que las moléculas en un fluido están unidas por fuerzas eléctricas.

T2 / >

6 ( T f \ U '6 0 °

Mg

Para la trisección

Fx = O):

T,Cos60° = T2Cos60° =* T t = T t => V E R D A D E R A 9) V E R D A D E R A : Ya que (X ) ■ F y = °) ■T,Sen60° + T 2Sen60° = T s ;

pero T j= T ,

2T2

4) V E R D A D E R A : Dado que las fuerzas fundamentales pueden ser atractivas o repulsivas en general.

ík."

T3= M g

2)FALSA: Dado que las fuerzas nucleares fuertes son la de mayor intensidad, pero su rango de acción (alcance) es del orden aproximadamente de 10"16m .

Me

r t1 M

1) FA LS A : Dado que las fuerzas nucleares fuertes no dependen de las cargas eléctricas (neutrones, protones,... etc), en el núcleo, es decir la fuerza nuclear entre 2 protones es la misma que entre 2 neutrones o entre un protón y un neutrón.

T.

10) V E R D A D E R A Ya que de:

= T3

T

— ^

2~43

E M C M O N E S KUH IÑOSÜ

4MB M m= 13

ma M g mg = l 3

R PTA : “C

99

* Cuando F = 0 ,9 N la cinta mide lOOcm entonces

■ tr ia

F=50cm , por consiguiente 3 = 37°

P R O B L E M A 34 : El sistema mostrado se encuentra en equilibrio con los resortes ingrávidos deformados 1Ocm, determinar la constante (K ) de elasticidad de los resortes.

40cm

i \Fe C os &S.

^Descomponiendo S ' F = 0,

A; 7 Nlm B) 7 N¡cm C)12 Nlcm D) 15 Nlcm

-.1?

=> 2 F ESenO = 0,9 N 40cm

Fe Cose

E)15 Nim RPTA : “D 99 P R O B L E M A 36 : R E S O L U C IÓ N :

Sobre un cuerpo actúan en total 4 fuerzas y hacen que el cuerpo se mueva con rapidez constante de 6mjs a lo

* Realizando los D.C.L.:

largo delire Y. ¿ F, = (SOOÍ + 300k)

KxKx

í l i

T t = (-4001 + (-2 0 0 j ) + lOOk) N E , = (-1 0 0 Í + 50 j - 400k) N N

2 T + 2 K x = 9 ...(I ) => 2 T —2 K x = 3 ...(I I ) * De (I) y (II) y x =10cm, se obtendrá: T = 3 => 2 K x =4- 2 K (1 0 ) = 3 3 N 3N =>K = =>K = — 15N/m 1 20 cm c.'.W i 5m 9 « R PTA : “E ” P R O B L E M A V35

Determine (en " N ) la cuarta fuerza. A )2 0 j D ) - 300 j

E ) 2 0 i - 20 j + k

R E S O L U C IÓ N : * Si el cuerpo se mueve a V —d e (en cualquier eje ó dirección), está en equilibrio. Luego: y ^ F = 0

. r * * ' % _

Una cinta de goma tiene vina longitud natural de 80cm. ry ± j^ i 40cm En su punto medio se le ejerce una fuerza horizontal de módulo F. ¿Cuánto es el módulo de la fuerza elástica, 40ctn si cuando F = 0 t9N la cinta mide lOOcml A)0,1 N

B )0¿5 N

C)0,56 N

D)0,75 N E)0,8 N

F , = (60O; 0; 300) F 2 = (—400; —200; 100) Fs = ( — 100; 50; —400) Luego: F,+F í +F3+F4= 0 =>{500; 0; 3O0)+(-4 0 0 ;-2 0 0 ; 100)+(-100; 6 0 ;-4 0 0 )+ ^ = {0; 0; 0) =>{0;-150; 0} + F4={ 0; a; 0).

=>¥4= (ft 160; 0)= 150j RPTA : “B

R E S O L U C IÓ N : * Realizando el D.CLL.:

C ) 200j

B )1 5 0 j

P R O B L E M A 37 : Si la polea de la figura no ofrece rozamiento.

¡A FJVCJrj.orEDLl 2012} Determine la tensión de la cuerda AB.

R E S O L U C IÓ N :

A) 20 N

* Realizando los D.CX.:

B )3 0 N O60N D )7 0 N E) 30yf2 N R E S O L U C IÓ N : * Realizando los D .C .L. a las cuerdas que sostienen los bloques: • Del cuadrilátero som breado se deduce que a =16°, luego: * Formando el triángulo de fuerzas: Na 20N m g = R x l0 = 2 0 N T j= 20N

t m g=30N T 2= 3 0 N

* r, i , Na 20 * Por ley de senos: ---------------------Sen37° S e n l 6°

• Ahora del D.CJL. al sistema que contiene a los nudos nB" y "D"

* En equilibrio: Las 4 fuerzas forman un polígono cerrado. => T ab - 3 0 = 2 0

Ti =20 =► T a b

bc

= 30

K P R O B L E M A 38 : *

=

5 0

R PTA : “C

«

En la figura se muestran dos cilindros iguales cuyas masas son de Ik g cada uno, determine el valor aproximado (en N ) de la fuerza de interacción entre el cilindro inferior y el plano A. Considere fricción nula en todos los contactos. A)35t7

25 P R O B L E M A 39 :

Determinar la fuerza ”F ' necesaria para mantener en equilibrio las partículas mostradas (desprecie todo tipo de fricción). AJWSenot B)7WTgct

C)32,4

C)12WCosa D)3W Tgct

D)28,4

E)4W Tgct

B)42,9

E )1 7 »

RPTA : “B ”

[JEAi 3TVl'3TM4 IA ~M

497

R ES O L, U C IÓ N :

M0I9MC1ONMCS K U I I I Ñ O M

* Donde "G" es el centro de gravedad para un

* Haciendo los D .C L .: Y

4R semicírculo O G — — - , entonces en el triángulo 3n 4R sombreado:

Tga =

R

a = T g -‘

Aliena

3n

S£ RPTA : “D ” P R O B L E M A 41 :

i

o»

Despreciando toda fricción, de a", sise desea que al resbalar "2YT sobre "W^'feste no se m

"EF,- ° => N co8ct + W = N¿ cosa

• Además

Fx = 0 , en el bloque triangular:

F = NSence + N 2Sena---------- ( I I I ) * Ahora de (I) en ( I I ) : W =

4

H acie¿|^08^;C.L.:

Cosot

4W 3W Nt= yN = Co 8Cí Cosa

*"2W' b a ja con "2WSena\ pero en la dirección p e rp e n d ic u la r a su

* Que al reemplazar en ( I I I ) se obtendrá: 3W 4W F = — —— Sena + - ^ — Sena => F = 7 W T g a C08CX

m ovim iento:

C 08 Ot

N = 2W Cos2a............ (1) R P TA : “B

99

P R O B L E M A 40 : Una plancha semicircular de radio "R" se halla suspendida de un hilo, determinar el ángulo "a" que define el equilibrio de la plancha. ( *Por el teorema de Lamy: N W Sen(180° - a ) Sen(l80° - a )

A)45° B )T g (' Q Y C )Tg —2 I ¿ I *■ 3 tt

D )T g

3n

E)23‘ R E S O L U C IÓ N :

N = W...

(")

V * Finalmente de (H ) en (I): W = 2WCoa2ct => Coa 2a = — 2 Coa 2a = Coa60° 2a = 60 ex =30°

RPTA : “ C

99

* Sobre la plancha únicamente actúan 2 fuerzas, su peso

P R O B L E M A 42 :

( localizando a -¡J -) y la tensión,

En el sistema mostrado las cuñas se encuentran en equilibrio, determinar la deformación del resorte m = 4 k g ;k = 1 0 N ¡c m , considere superficies lisas. (g =10 mis2).

luego para que este en equilibrio se tendrá que: T = W

luI fiV< u x

í

2012}

* Ahora en la esfera, donde actúa "F1:

A)3 cm B)2cm

*De:

C)1 cm

F = R 2Cos6(P+Rt

D)2,5 cm

«F»será mínimo si RÁ=0

E)5cm

^ ^

r

11

2

( )

F Min = R o I —

R E S O L U C IÓ N : Además: Y^FV = 0

* Haciendo los D .C .L .

N = W + R 2Sen60°. Nt

éa •

A

J7

* De (I) en (III) :

40N Xa

5W

(III)

= IV + R 9Sen60

R 0 = W j3 o

• • A y*"-

Que al reemplazar en (III): F/ifin “

w

43

RPTA : “ A $$ P R O B L E M A 44 :

= 50iV •Pero :K = 10N ¡cm =$>10x = 30

x = 3cm RPTA : “A "

de la parte superior (d < L).

P R O B L E M A 43 : Determinar el mínimo valor de ”F' que mantiene el sistema en equilibrio, el cual consta de 4 Filas de esferas iguales de peso"W\ dispuestos formando un triángulo en equilibrio (desprecie todo tipo de fricción).

A)

U na varilla metálica homogénea de masa m y longitud L , está colgada verticalmente de uno de sus extremos. Determinar la tensión en la varilla a una distancia "d”

A )m g 1 - 4 — | D )m g

B )m g

( d) 2

E )m g

C )m g

1 -

I -

2

d\

L

R E S O L U C IÓ N :

W J3 2

5W

B ) ^ 4 3 6 c £ w

TL

&

Separación n H-| T , la im aginaria ni

1

D) W 6

fT

¡> •

E)5W>¡3

^^1

♦

n

i

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D .C .L .: W

\ * De equilibrio vertical: W +2W +3W +4W =4N

n = 5 w. 2

r ?

* Para el equilibrio mecánico de la barra: £ F ( t ) = $ > ( 4 - ) => T =m ¡g.

(I)

* Como la barra es homogénea, la masa se distribuye proporcionalmente a su longitud, usando la regla de

m

md

[ j e 'W'SÍ ZTM4

429 (V.3&

• Pero: m¡ = m —m2 = m —— — m i JLá

* E n (1): =>T = mg

> -

E M C IO X K S

K U K IÑ O M

en la figura. ¿Cuál es la magnitud del peso de la barra? (las poleas son ideales).

d L

í

RPTA : “J5” PROBLEM A 45 : Dos ladrillos iguales, de longitud L y masa m , se colocan sobre una mesa como se muestra en la figura. ¿Cuál es la máxima distancia "d " a la cual se pueden colocar los ladrillos sin que caigan por su propio peso?

A)

7L 10

B )-L 4 4 c

-

l

A

D>oí L E )±

• E n el D .C L . de la polea móvil:

R E S O L U C IÓ N : * Para que M
T=F

* D.C.L. del sistema: • N o t e q u e : Necesariam ente; a lo más, el C .G . del ladrillo superior debe situarse sobre "ó".

* De la figura: 2 x = —

T=F

línea que contiene a y al punto

*

"a". (E q u ilib rio )

x = F+F=W =>2F=W

'í *

RPTA : “B ”

3 r * Por lo tanto: dmáx= x + — = —L ,

* E n el D .CL. de la barra:

* También; el C.G. del sistema coincide con la

24 r ^ M .R = 2 m g dmav

fr =0

L

ROBLEM A 46 : RPTA : tfB

09

O B S E V A C IÓ N : La resolución re sulta más sim ple si tom am os momentos en "AM:

PROBLEM A 33 : Si para mantener la barra en equilibrio se tiene que aplicar una fuerza de módulo F tal como se muestra

E n la figura se muestra una rampa lisa. Si un piano de 350kg se desplaza sobre la rampa con velocidad constante por medio de 2 personas que lo empujan con fuerzas cuyo módulo es de 200N cada uno y estas 2 fuerzas paralelas a dicha rampa considerando que el piano se desplazó desde el extremo inferior de la rampa hasta una altura h = 5 m\ determine la longitud de la rampa.

IA

2012] Para que la fuerza que aplica

A)4,37

la persona sea mínima; la normal JeJ plano horizontal

B)43,7

superior será nula.

C)32,5 D)8,5 E)13,8 R E S O L U C IÓ N : Con lo q u e : F = S O ° C tg 3 T = 1 5 0 - \ ~ 2 0 0 N

* Haciendo el D.C.L. al piano de 350 kg. 3500N

¡r

e s u m e n

RPTA : “B 9$

:

E S T Á T IC A

* AB » /

La estática es la rama de la mecánica que estudia las condiciones que deben tener las Tuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema para mantenerlo en equilibrio.

5m

CONCEPTO DE FUERZA , . - $ 0 *—

* Como : V = cte

El concepto de fuerza nos da una d escripció n cualitativa de la interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. Cuando empujamos un auto atascado en la nieve, ejercemos una fuerza sobre él. Cuando dos partículas ínteractúan podemos asegurar que se provoca un par de fuerzas de igual magnitud y dirección opuesta.

ri

C

A

/

= 0

La fuerza es un vector. Para describir una fuerza debemos indicar:

Gráficamente:

* El punto de aplicación, es decir, el punto en que la fuerza actúa sobre el cuerpo;

Del k

*

* Su magnitud, la cantidad que describe "cuánto" o "qué tan fuerte" la fuerza empuja o tira.

400 SenO = 3500 4_ => SenO = 35

Debido a que las fuerzas son vectores, se deben utilizar las regias de la adición vectorial para obtener la fuerza resultante sobre un partícula.

PRHOERA LEY B E NEW TON [L E Y OE /N ERCiAJ

a cambiar dicho estado"

=» SenO = — £

¿

=

4 3 , 7

m

RPTA : “B ” PROBLEM A 47 : Determine el módulo de la fuerza horizontal mínima que debe aplicar la persona, para m antener en equilibrio la esfera lisa de 15 kg. (g -1 0 mía2)

B )200N C)150 N 0)240 N E )120N

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D.C.L. a la esfera:

/

"l'n objeto en reposo perm anece en reposo y un objeto en m o vim ie nto continuará en m o vim ie n to c o n u n a velocidad constante (es decir, velocidad constante en una linea recta) a menos que experimente una fuerza externa que lo obligue

* E n el L ACBt

A )100N

La dirección, es decir, la recta a to largo de la cual actúa la fuerza;

Esta proposición se denom ina la prim era Ley de Newton, conocida también com o la Lev* de Inercia. Fue inicialmente propuesta por Sir Isaac Newton (1642-1727), e s o tra fo r m a d e e x p r e s a r la Idea d e C atiteo.

CUIDADO ► La primera Ley de Newton es válida so lo para sistemas inerdales de referencia. D icho sim plem ente, tas co sa s tienden a seg u ir h acien d o lo q u e y a estaban haciendo. U N tO A U E S O E F U E R Z A

Y tO A S A s

La unidad de la fuerza del S.l. es el Newton, que se define: L'n Neulon es la cantidad de fuerza que al actuar sobre una masa de 1 kg p rod u ce una a celera ción d e un m etro p o r segu n d o a i cuadrado. Podem os expresar en té rm in o s de las siguientes unidades fundamentales masa, longitud y tiempo. lN * lk g.m /s 2 U N ID A D ES D E FUERZA. M ASA Y A C E LE R A C IÓ N : Sistema de unidades S.l.

Masa kg

Aocicracíón m/s2

Fuerza N=kg.mte2

TER CER A L E Y D E N E W T O N : CUANDO UN CUERPO EJERCE UNA FUERZA SOBRE OTRO, TAMBIÉN ÉSTE EJERCE UNA FUERZA SOBREAQUEL. ESTASDOS FUERZA S SIEMPRE TIENEN LA MISMA MAGNITUD Y DIRECCIÓN CONTRARIA

.

• □ enunciado matemático de la tercera lev' es: “ "F B A

[ M2MPM02M0PJXTMC&

M*.EJMXWI%r40&

/,> tf* r s n w . *

M

FUERZAS USUALES DE LA MECANICA Ocurre cuando el cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.

Es aquella fuerza que mide la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra a los cuerpos ubicados en su entorno. m

A

Fg

^ =ó

3.- FUERZA DE ROZAMIENTO! I )

l9 n Tierra

A

Reacción del Piso = .*(fk) +N

'

m

Donde: N Reacción Normal

V = cte

Donde: F, = mg

g s 10m/s

* ]

i

L =P k N

2.2.- EQUILIBRIO CINÉTICO 1 . 1 FUERZA DE GRAVEDAD (Fg)

S

Es aquella fuerza que se opone al deslizamiento o posible deslizamiento de los cuerpos. Existen dos tipos:

Donde: fk : Valor de la fuerza de rozamiento cinético. pk : Coeficiente de rozamiento cinético N Valor de la reacción normal OBSERVACIÓN: Experimentalmente se cumple: p»> p«

Donde. Fg: Módulo de la fuerza de gravedad (N) m : masa del cuerpo (kg) g : valor de la aceleración de la gravedad.

3 .1 - FUERZA DE ROZAMIENTO

OBSERVACIÓN: La fuerza con que un cuerpo actúa sobre su apoyo o la suspensión por causa de la atracción gravitatona se llama Peso (W)

Es ta fuerza que se opone al intento de deslizar un cuerpo sobre una superficie debido a las mutuas asperezas entre ambos cuerpos.

4.- PRIMERA CONDICION DE EQ UILIBRIO! 1° C E )

ESTÁTICO: ( 4 )

1.2. FUERZA ELÁSTICA (Fe)

Establece que si sobre un cuerpo la fuerza resultante es nula, se garantiza que este cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación es decir en reposo o con M R U.

mg = W

Es aquella fuerza que se manifiesta en el interior de los resortes cuando éstos experimentan deformaciones longitudinales P .E (posición de equilibrio) elásticas

F

m

' U

*

k

I

F

íHWWVWNA-1 —► Rp Reacción del piso

Donde: N : Reacción Normal.

De lo anterior se infiere: en los ejes Y e Y

IF M « S F (H £ F (? ) = i: F (4)

Reacción del Piso = ^(fg)2+N f»m «: Valor de la fuerza de rozamiento estático máximo (Newton) [ F. = K x Donde: F*= Fuerza elástica del resorte (Newton). K = Constante de elasticidad o rigidez del resorte (N/cm ó N/m) x = Deformación longitudinal del resorte (cm ó m )

ps

. Coeficiente de rozamiento estático

N

: Valor de la reacción normal de la superficie de apoyo sobre el cuerpo.

PROBLEMAS R ESU ELTO S 1.- Si el sistema se encuentra en equilibrio calcula e! valor de la tensión s i: m 35kg . (g=t0mfe2)

3.2.- FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO :(F k)

2.- EQUILIBRIO MECÁNICO Es aquel estado físico en el cual un cuerpo mantiene su rapidez constante. Existen dos casos:

Solución. D.C.L (bloque) Se presenta durante el deslizamiento de los cuerpos sobre las superficies ásperas.

Por equilibrio

W=mg -F ( T )

2.1.- EQUILIBRIO ESTÁTICO Ocurre cuando el cuerpo se encuentra en reposo relativo. V =0

T

Rp: Reacción dd piso

=

350N

t I

Im rjr*

1./1

ESO T = 350N

V . . li4 .

=tI F + (eje V )

mg=*350N

2-Si el bloque se mueve con rapidez constante, además m=10kg. calcula el coefidente de rozamiento cinético. (g=10mfe'j v

*.•»•

•

Solución D.C.L. (Bloque)

40N = F + fr

; [f r= ^ x l^

40 = F ♦ p* x N - » F = 4 0 - — x70 10

F -J 2N 4 - Determina el valor de la fuerza F si se sabe que el bloque de 100N está a punto de deslizar hacia la derecha.

P .-0 .7

F ,»in g*lOON SON

(1)

D.C.L. (bloque)

Por equilibrio: £Fj N

=

1

3).-Un bloque de 60 kg se encuentra en un plano indinado liso y sostenido mediante una cuerda, tal como se muestra en la figura. Calcula la fuerza de reacción del plano y la tensión en la cuerda (en Newton) a) 480.360 b) 460; 320 C) 450; 350 d) 500; 480 e) N A. 37* 4).- Calcula la masa del bloque m para que la esfera homogénea de 40 Kg se mantenga en equilibrio.

Solución Sabemos que t - u x N

100N

TTT^m ///////f

p«a 0,7

e

£

H

fg => N = 100N

a) 28 kg b) 29 kg c)30kg d) 31 kg e) 32 kg

=

A m us0

Por estar en Mov. Inminente se cumple el Eq Estático. 50N


f, * v Ff = 5).- Un bloque se encuentra apoyado en un plano indinado, si las superficies en contacto son mutuamente ásperas: indica el numero de fuerzas que actúan sobre el bloque para el equilibrio.

Luego : 50N = |i x N N = 100N. (1) SON = p x 100 * EF-»J= ¿ F ^ 160 = F + fr ; 160 = F + 0,7x100 3.» Determina el valor de la fuerza F sabiendo que el bloque de 100N resbala con rapidez constante en la dirección indicada (pe = 0,4).

fr = p* x N¡ F = 90N

a) b) c) d) e)

D.C.L (bloque)

10; 10 3 10; 13 15; 12 20; 20/3 10; 10

2).- Una esfera de 2,8 kg se encuentra en equilibrio tal como se ve en ia figura. Calcula la tensión en la cuerda y la reacción normal de la pared. a) 35N y 21N Por equilibrio Cinético.

c) 3

d) 4

e)5

6).- Calcula la tensión de la cuerda si la esfera pesa 60N (no existe rozamiento). a) 50N b) 30N c) 45N d)60N e) 75N

bso

Í 7). Sabiendo que no existe rozamiento Calcula la deformadón que experimenta et resorte de constante de rigidez k=10 N/cm. B bloque es de 350 N.

a) 21cm b) 50 cm c) 9 cm d) 10 cm e) 7 cm

b) 35N y 20N c)30N y 35N

«vpt = v f I (eje-y") N+30 = 100 + N = 70N

b) 2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1).- El bloque de 2 kg se encuentra en reposo en un plano indinado. Calcula la tensión en la cuerda y la reacción del plano, en navton.

Solución

a) 1

(D

d) 40N y 21N e) 28N y 33N

8). Calcula la reacción en las cuerdas A y B sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. El bloque es de 24 kg.

't£x*rasiii

'WZtl.'M'MC

13) - ¿Cuántas fuerzas actúan

b) 320N y 400N d) 250N y 300N

a) 320N y 380N c) 300N y 320N e) 350N y 350N

9).- Determina la tensión en la cuerda *A* si el semáforo pesa 40 N. a) 60 N b) 40 N c ) 160 N

sobre el

14).- Un bloque de 10kg es colocado sobre un plano inclinado de 37* Halla el valor del coef. de rozamiento estático. (g=10m/s2) a) 0.6 d)0,75

b) 0,7 e) 0.8

c) 0.3

15).- Un bloque se coloca sobre el plano indinado que forma 53* con la horizontal. Si p*=4/3. halla la masa del bloque (g=10m/s2). Si la normal es 48N.

I

d) 40^3 N e) 80V3 N 10) • La esfera de 1 200 N se apoya en la pared lisa y se sostiene de un resorte tal como se muestra en la figura ¿Cuánto es la deformación longitudinal del resorte? K=100 N/cm.

a) 6kg d)10kg

b) 12kg e) 4kg

c)8kg

16).- En el gráfico siguiente halla "P" para el equilibrio (g=10m/s2 , ps = Vi ) si la reacción normal es 20N

a) 10cm b) I2cm c) 15cm d) I4cm e) 18cm

d)Seca e) 2 Cos a 21).- Un bloque de 20N descansa en una pista indinada que forma un ángulo de 53° con la horizontal. Si el bloque está a punto de deslizar ¿Qué valor toma la fuerza de rozamiento estático entre las superficies en contacto?. a) 12N b) 14N c) 16N d) 18N e)8N 22).- ¿Con qué fuerza hay que presionar un borrador contra una pared para mantenerlo en equilibrio? El peso del borrador es 100 Newton y el coeficiente de rozamiento resulta 0.2. a).100 N b) 200 N c) 300 N d)400 N e) 500 N

23) - En la figura, la esfera homogénea de 70N está en equilibrio, determina la tensión en la cuerda y la reacción del plano sobre la esfera a) 70N; 50N b) 70N, 60N c) 70N ; 70N

11).-Calcula las tensiones en los cables A y B que sostienen a la carga W = 80 N

B W a) 100N; 60N c) 80N; 60N e) 60N; 60N

b) 100N; 80N d) 60N; 80N

12) Sabiendo que la esfera es de 600 -¿3 N, se encuentra en equilibrio. Calcula et valor de la reacción de la pared No existe rozamiento (8 = 30") *•'1 •

a) 100N b) 300N c) 600N d) 500N e) 200N

M]

#t

%

«

a) 10N

b) 20N

d )2 0 J ? N

e) l O ^ N

c )1 0 ^ " N

17).- Si un bloque de masa 5kg esta en reposo sobre un plano indinado de pendiente ‘ a* donde Tgu = 24/7. Halla la fuerza de rozamiento. (g=10m/s2) a)7N b)12N c)48N d) 16N e)4N 18).- Un cuerpo es lanzado sobre una superficie rugosa con una velocidad inicial de 10m/s recorriendo 25m. Halla el tiempo. a)2s b)3s c)4s d)5s e)6s 19).- Un bloque de 15kg de masa es jalado por una fuerza *F" con una rapidez constante sobre una superficie rugosa con p*= 1/3. Halla "P (g=10m/s2) a) 40N b)30N c)60N d) 50N e) 100N 20).- Si el bloque está en movimiento inminente, Calcula el coeficiente de rozamiento estático del plano indinado a) Sen a b) Tan u c) Cotan a

d) 5QN; 70N e) N.A. 24).- Si las barras ingrávidas están en equilibrio determina las comprensiones que soportan dichas barras si m = 12kg.

a) 96N; 72N b) 72N; 9N c) 50N, 72N d) 60N; 96N e) N.A

CLAVES DE RESPUESTAS 7: i' -y; A 2) A

4 3 ) A 4) E

5 )C

6)

8)

1 0 )0

E

7) A

¡11) Á 12) C 16) C 17)C *

21) C 22) E

B 9) D

1 3 )0

14) Ó

1 5 )C

18) D 19) B

20) B

•*

23) O

24) A

l u í EXCM f 'J. a r t c n i A 2 0 1 2 } SE

t t »

a

»

Indicar el diagrama de cuerpo

libre (D C L ) del cuerpo en equilibrio

Realizar el D.C.L. A* • • •t i *

r

A) •i

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¡

«i ^ «i «i

H «t H ><*1 •>S «

r

y

♦••• #// "

i <««

C) 4

Liso

Rugoso

A)

B) :

(0ySe lanza una piedra en forma in c lin a d a con u n ángulo de inclinación Mo ” . Hallar el diagrama de cuerpo libre cuando la piedra se encuentra en el aire (Desprecie la resistencia del aire). A)

BL-

O

D)

C)\

Liso

m

*

i f

E> .• 4>

* + .

Hallar el diagrama de fuerzas Indicar el diagrama de cuerpo

M

D)

j¡ ,

Rugoso

libre (D C L ) del bloque en equilibrio (las cuerdas están tensionadas)

•• V/

que actúa sobre el punto *fP ” . y//////z¿y////////////////////,

:x & H & r r x z r ..

i» i ii • »i

v

:5 'ú

^^E fe ctu a r el D .C .L. del bloque A ,

A) A

ByC.

B ) 1

> Éfaacttttsa:

o:

<

Z>

C )Z

*« D)A

E )

Di x

tSAALAÍE

fe

t

T

B ) T,

V

( 0 ) Indicar el diagrama de cuerpo @ H a l l a r el D C L correcto del cuerpo mostrado.

libre (D C L ) del cuerpo mostrado.

H allar el D C L de la barra

U n tC iO X E S

4&M

Indicar el diagrama de cuerpo libre (D C L )

H allar el diagrama de cuerpo libre, del bloque mostrado

KUBLXOSl

(Q) Hallar el diagrama de cuerpo libre de la esferita cuando pasa por el punto más bajo, (m = m asa).

J C ln n

T

D)

I

' **

H allar el diagrama de cuerpo

T

•y

libre de la esfera, en equilibrio.

(T?) Indicar el diagrama de cuerpo libre (D .C .L ) de la esfera mostrada

& La palabra «estática» proviene

Indicar cuántas fuerzas actúan sobre "A ” de masa m .

A) \

•¡ i?

libre (D G L ) del bloque de masa m

99

$án

A) 1

.

C )3

V -cte

i

n in r ti # r g » T n

3 )2

* Equilibrio * Equilibrio

I A

Hallar el diagrama de cuerpo

del vocablo griego_____________ que quiere decir «________ ». La_______ se encarga de estudiar a los cuerpos rígid o s en el estado llam ado de________ .Se llama cuerpo rígido a aquel cuerpo que no se __________ ante cualquier acción sobre él. Equilibrio es aquel estado donde el cuerpo no posee___________ alguna. Existen________ tipos de equilibrio:

n r

i

D) 4

V -0

E) 5

Hallar el diagrama de cuerpo libre (D C L ) de una esfera en su a ltura m áxim a, cuando ésta es lanzada en forma vertical desde tierra con una velocidad de 60mla.

_Q_

a=

* Primera ley de Newton llamada también principio de_________ nos indica que todo cuerpo siempre tratará de permanecer en el estado en el que se encuentra.

(Desprecie la fuerza del aire)

A) 1

C)

1

T T T

D) 1

E)

1

* Fuerza es todo agente capaz de _________ el estado de un cuerpo. Es la medida de una________ entre dos cuerpos. La unidad de medida es el________ Los efectos de la fuerza en los cuerpos son:

M g S f it a T l! m 1 )---------------------------------------------------------

¡A

II) La normal es una fuerza siempre

D)

vertical cualquiera sea la superficie. III) La fuerza es la medida de la inercia de un cuerpo.

2 )---------------------------------------------------------

3 ) --------------------------------------------------------• E l peso es una fuerza________ que nos indica como la T ie r r a nos _________ hacia ella.

A) F W D) FFF

o «*

I •-

.i

La tensión es una fuerza que aparece en los cables, hilos y/o cuerdas. La normal es una fuerza que aparece cuando dos superficies se ponen en______________ .

E y c ir j.w tiu iA 2012}

B) VFF E) FVF

C) FFV

Indicar verdadero (V) o falso

(F) en las siguientes proposiciones. a «

I) S i sobre u n cuerpo la fuerza

II

resultante es nula (además las fuerzas son concurrentes) entonces el cuerpo se encuentra en equilibrio.

II) Si un cuerpo está en reposo es

G)

porque no actúan fuerzas externas sobre él.

O 7

w

-

O

pv

Condiciones de equilibrio:

Ó

H ) t

.......

afectado por tres fuerzas y está en e q u ilib rio sólo si estas son concurrentes.

i %

Primera condición

%

o -

Cuerpo en equilibrio de_ cuando posee aceleración y la fuerza_________ de las fuerzas que lo afectan es nula.

III ) S i u n cuerpo se encuentra

[/

A) VFV D)FVF

B) W V E) FFV

C) VFF

Se dice que un cuerpo está en I)

equilibrio cuando carece de:

O

—

J)

c p "

A) Velocidad lineal B) Velocidad angular C) Aceleración lineal D) Aceleración angular E) Toda aceleración «To d o cuerpo sometido a la

@ ) Indicar cuál de las proposiciones es la (s) correcta(s):

Método gráfico

I) E n un D .C.L. se deben incluir las polígono

fuerzas in te rn a s del sistema analizado.

II) U n cuerpo en reposo no tiene @ R e a l i z a r los d ia g ra m a s de cuerpo lib re de cada objeto seleccionado. Ai

□

D .C .L. ya que la fuerza resultante es cero.

acción de fuerzas, cuya resultante es n u la , estará en reposo o m oviéndose con velocidad constante». Ta l es el enunciado de:

A) 2da ley de Newton B) El Principio de inercia C) 3ra ley de Newton D)El Principio de acción y reacción E)Ley de gravitación E n el gráfico mostrado son

III) Solo se hace D .C .L. de cuerpos que están en equilibrio.

A) sólo I D) 1 y II

parejas de acción y reacción:

B) sólo II C) sólo III E) ninguno

Señale verdadero (V) o falso (F)

A) F, y F,

según corresponda:

B) Fsy FJ

I) E l peso es una fuerza gravitatoria

C) F, y F,

que se representa por un vector vertical y su valor es proporcional a la aceleración de la gravedad del lugar.

D) F, y F, E)F y F, 4

4S

¿Cuál de los vectores mostrados representa m ejor la fuerza de gravedad?

(g

=

1 0

BDMCMOXBS RVBtSOSi

m/s2)

(Q )H a lla r la tensión en el cable, si se sabe que el bloque pesa 60N y ejerce una fuerza contra el piso de

g

25 N, m

-'

A)20N B)40 0 6 0

D)30

E)50

( g ) E n el siguiente grá fico , el

A)F,

B)Fg C)Fa D)F

¿C uál

de

los

E) Todos

4

siguientes

diagramas muestra erradamente a la fuerza norm al (N) entre dos superficies lisas? -

j a

,

» &

•

bloque es com prim ido con una fuerza «F» igual a 20N. Sabiendo que el bloque está en equilibrio, determ ine la reacción del suelo sobre el bloque, si su masa es de 4kg. (g = 10 mis2)

g

• •

-V' iS r

TSSTSBR

A)20N B)15 0 3 0

D)35 E)N*A ..

.;A

H a lla r el peso del blo
Dinamómetro

°

N

A) 20 B)40

P> E)

060

D)50/?E)NJ^£

H a lla r la reacción deliteclíb' El

sistem a

m ostrado

se

encuentra en equilibrio, determine el módulo de la fuerza que ejerce el bloque *A» de 16 kg a la superficie h orízontal(con sidere:

g=10m}8*) A)100N

£ L _

sobre el bloque de masa 5kg , si se le sostiene con una fuerza de 80N.

(g

- 1

0

mis2) *•» "

m B=4kg;

-9

8

A)12N B)36 0 2 4

D)60 E)48

D e te rm in e la tensión en la cuerda «1 » , si la esfera de 30N esté en reposo, «sa?:

\

™

B)120

A)ION B)20 0 3 0 D)50 E)N*A

C)160

U n niño le aplica una fuerza de

40N a u n baúl según como se

D)40

muestra. Determine la reacción en la pared, si el baúl pesa 90N.

E)200 La

que soporta la cuerda

a

( ) es d O ^ lv ^ p e te rm in e la masa del bloque «A ».(g = ml 2) 1

1 0

*

8

v

«■

A)10N B)15 0 2 0 D)30 E)60 Determine la tensión «T» en la cuerda, si el bloque es de 140N.

90N

¿Ü ü

S

A)20N B)52 0 1 3 0 D)40 E)NJi S i u n bloque de 2 5 N se & encuentra suspendido por un hilo al techo, determine la tensión que; A)40N B)140 0 7 0 D)280 E)100 aparece en el hilo. (g = 1 0 mls2)

A )lt0kg B)191 0 1 f2 D )l,4 E )l

@ )P a r a que un bloque de cierta , 8

Si el bloque está en equilibrio como se m uestra, determ ine la reacción normal del piso sobre el bloque, si su masa es de 6 kg.

masa se encuentre en equilibrio se ejerce una fuerza de 80N en el extremo de la cuerda «1 » . ¿Cuál será la masa del bloque, si la

g

A)20N B)15 0 5 0

D)25 E)NJL

tensión en el cable «2» es de 35N ?

IA A) ION B) 20 \ C) 30 D) 40 E) 80 8

H allar el «WB» t si el sistema está en equilibrio (WA=30N).

A)2,5kg B)3,5 0 6 ,5 D)5,6 E)4,5 © U n bloque es elevado con una velocidad constante por medio de las fuerzas que es igual a 21N y «F3» igual a 29N tal como Be muestra. Determ ine el peso del bloque. A„

A) SON B) 40 C) D) 39 E) 60

'

2

201¿]

La figura m u e stra u n bloque de peso W en e q u ilib r io . Desprecie el peso de las poleas y el rozamiento.

M E

1

C u á l(e s ) de las siguientes afirmaciones es correcta: /) Si: 0 = 0 °, entonces F =

A)20N B)40 C)60 D)80 E)120 E l siguiente sistema está en

II)S \:

0

III) Si:

8

TP

=3

0

0

=6

W

°, entonces F =

0

W

°, entonces F =

W

A) Sólo I B)Sólo II OSólo III D)Sólo II y III E)Todaa

F i

sem áforo de 1 5 k g

© E l

© L a figura muestra un bloque de peso W en equilibrio, si F es una fuerza h o riz o n ta l, indique la afirmación correcta:

se

encuentra suspendido de los cables «A» y « £ » , determinar la tensión que soporta cada uno de ellos.

(g

=

1 0

mía9). A)160N B)180 0 2 4 0 D)280 E)320 E n este sistema en equilibrio, determinar la masa del bloque «B» , si el bloque «A v posee una masa de I k g . (g = 1 0 mls*). _______________ ja

I) S i F aum enta , entonces o disminuye.

AJ200N & 50N B )1 5 0 ;2 0 0 D )2 5 0 ;2 0 0 E )1 8 0 ;2 4 0

C )1 2 0 :1 5 0

II) Si F = W , entonces q =

t

III) Si F aum enta, entonces la tensión en la cuerda AB disminuye. AjSóloI BjSólo II OSólo III D)Sóto Iy II E)Todaa son correctas

© )S i la esfera homogénea de 4kg se encuentra en reposo, 'determine el valor de la reacción eri «A» y « B » . (g = 1 0 m l a *)

A)16kg B)24 0 3 2 D)28 E)36

A)30;60

(© D e te rm in a r la tensión «T» en el cable.

B)40;50 C)30;50 D)50;3Q E)50;40

fuerza F tal que el bloque de 120N de peso esté deslizando con velocidad constante sobre la pared hsa. Ig|

A )1 0 0 N k g está en

0200N

equilibrio, determine la fuerza que ejerce el hombre.

D )26 0N

8

A)10N B)30 0 5 0

D)70 E)90

a.

(© H a lla r el m ínim o valor de la

B )1 5 0 N © S i el bloque de

4 5

E )5 0 0 N

Ésa w »

{r Z S 'T u -i.T M I Z .X t

Según el principio de acción y reacción. ¿Dónde se encuentra la reacción al peso de una persona? m

A) E n el aire BJ E n la misma persona

EDICIONES KtJDLXOS)

A)64N BJ48N O U 2 N DJ80N E)34N

lisas.

Si el sistema se encuentra en equilibrio. Hallar la tensión en la cuerda, si el bloque pesa 80N y F=60N .

AJ360 N

C) E n los zapatos D) E n la tierra E) No tiene reacción

0480 N 0)540 N E)680 N Hallar la.-t£n$ión de la cuerda A B , si el sistema está en equilibrio.

Hallar nF' para el equilibrio, la polea pesa 2N y el bloque ION.

BJ420 N

A)50NB)60NO70ND)100NE)140N

A )2 N

Hallar la reacción del piso sobre

B )4 N

la esfera de 50N de peso. F=40 N

C)5 N

4'

II< »1

A )5 0 N B )4 0 N

D )6 N E )8 N

Ci

030 N D)20 N

La fuerzas *F' que mantiene al péndulo de 80N, de peso en reposo es:

AJ80N 0 )1 0 0 N

E JIO N

B )40N C)35 N D )6 0 N

(H )S i la tensión en la cuerda

A)10 N

E)100N Si la esfera pesa 40 N y or=37°, determinar la tensión en la cuerda.

A) IO N

C)60 N

E l sistema se encuentra en superior es 26 N. Hallar la tensión en la cuerda inferior si se sabe que el bloque de ION de peso se encuentra en equilibrio.

A )30N

B)40N EJ120N

*

*

*

equilibrio, determinar la tensión en la cuerda "A\

BJ32N 016 N D)20 N

B )6 N

E) 64s¡2 N

016 N

E l sistema está en equilibrio.

D J2 6 N

Hallar *cf.

E)4 N

A) 75° " w

B )20N

K

m

‘

B)55

m

V •

Determine el peso W2 para que

C)30 N D )40N

el sistem a se encue ntre equilibrio. W¡ =

en

E)50 N Hallar "T* sabiendo que existe

030° 0)80° E)37° ¡CLAVES BE L\ SEGUIDA PfLHTlCA)

equilibrio y que los bloques A y B pesan 64N y 48N respectivamente.

A) 225N D) 125N @

B) 350N O 300N E ) 100N

Hallar la tensión de la cuerda,

si el bloque de 600 N de peso, está en equilibrio, las superficies son

i r 2)' Í)E as- 6)EjflB 8)f fyEjM mu líjf MIClf)B ISJf íí)lll7)llJlí)í|l9)Dm WliijE 8)1 2i)CjQ lf S M H jC m [CUYES DE L\ TERCERA PRACTICA 6)0 10)0 i)0 5)0 2)0 toC W fljf K É íU liW 1-5)0 (CÚ

W M l ü ñ l BBSf

OBJETIVO : Establecer las condiciones que se deben cumplir para que un cuerpo se encuentre en equilibrio de rotación, así como conocer el concepto de momento de fuerza.

INTRODUCCIÓN 2

U

fiv n a o F m

i 2012]

* Anteriormente hem os analizado y planteado la condición para e) equilibrio de traslación d e los cuerpos afectados y por fuerzas. Pero, debem os tener presente que cu an do una fuerza actúa sobre un cuerpo, no s ó lo trata de trasladado o lo traslada sino que también puede causar otros e fe cto s c o m o deform ación y rotación, veam os:

° Al a ltera r su m ovim iento de traslación.

• Siempre que abres una puerta o un grifo, o que ajustes una tuerca con una llave, ejercerás una fuerza de giro que produce un torque. E l torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicas una fuerza, la fuerza tiende a acelerar a los objetos. Si quieres que un objeto gire o dé vueltas le aplicas un torque.

V A

j.

La Fuei'za F causa traslación al cuerpo • A lterara su form a (deform arlos).

F

* Los torques producen rotación .

La Fuerza F causa deformación en el cuerpo * Producir movimiento de rotación F

La Fuerza F causa rotación al cuerpo

* Analicemos lo siguiente: Podemos notar que la fuerza aplicada a la llave provocará que ésta comience a rotar, lo que traerá como consecuencia que el tom illo se desenrosque.

Distancia " /

Línea de acción \ deF

* El efecto de deformación de un cuerpo debido a una fuerza ya ha sido estudiado anteriormente, en esta parte analizaremos el efecto de rotación causada por dicha fuerza y las condiciones para el equilibrio de rotación. • Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, ésta puede o no causar giro, respecto de un punto o eje, esto depende de cómo y dónde actúe la fuerza.

Centro de momento (C.M.)

¿qué ocurrirá si repetimos la experiencia haciendo uso de una llave de brazo más largo y aplicásemos una mayor fuerza?

* au

[MSA4 jBZA. 'M'M4 Ic'S

*0*4

* Para caracterizar el efecto de giro producido por una fuerza, sobre un cuerpo, respecto de un punto o eje, utilizamos una magnitud vectorial llamada momento de una fuerza

M CM CM ONKS K U ttM Ñ O M * La dirección de m está en el eje de rotación y se determina por la regla de la mano derecha.

CONVENCIÓN D E SIGNOS

).

M O M E N T O D E UNA F U E R Z A ( m ) Es una magnitud vectorial, donde su módulo indica el grado de giro que produce una fuerza a un cuerpo alrededor de u n p u n to denom inado: centro de momentos o centro de giro. La dirección del vector momento es perpendicular al plano formado por el centro de giro y la línea de acción de la fuerza y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha.

M=Fxd

* Si el cuerpo gira o intenta girar en sentido horario, debido a una fuerza "F", se dice que el momento producido por dicha fuerza es negativo .

K

M = (Fxd)/i

< - ) ,* rv r •to*

Alrededor de "A": Momento negativo * Si el cuerpo o sistema gira o intenta girar en sentido antihorario. Debido a una fuerza "F", se dice que el momento producido por dicha fuerza es: positivo.

"O" : Centro de rotación o de momentos.

"dn : Perpendicular trazada desde "O” hasta la línea de acción de la fuerza.

a a

r_N.

Alrededor de HA " : Momento positivo.

al punto "O" está dado por:

M * = Fd d

OP = Brazo de palanca

F

Fuerza aplicada M

C A S O PARTICULAR Z Cuando una fuerza actúa directamente en el centro de momentos o su línea de acción pasa por dicho punto,

m IA EX I) M p = F¡ x d¡ = (7 N )(7 m ) C)

[m ^ m :

APLICACIONES:

-> M p = -4 9 N x m

V;

m M p = F xd = ( i ONHO) -+ M p = 0 2

2

OJO: ¡ F¿ no es capaz de hacer girar la barra! Para la fuerza jf£, la distancia es cero porque la línea de acción de dicha fuerza pasa por el punto 0.

E JE R C IC IO : Determinar el momento producido por cada una de las fuerzas que actúan sobré la lámina cuadrada y el momento resultante con respecto al punto "O". •A l aplicarse la fuerza al martillo apoyado éste sobre un punto “ O ” ; se produce un efecto de rotación (momento) que hace gira r al m artillo - clavo con respecto a dicho punto.

F ,= 6 0 N ; Ft =20N ; FS= 7 0 N ; F4= 1 4 1 N Mp = M p =

Mp = •A l encontrarse demasiado duro el contacto del perno, es muy difícil extraerlo con una llave por mas grandiosa que sea la fuerza; por tal motivo se suele aumentar el brazo de palanca con ayuda de una barra. • La obtención de un momento de giro enorme con la ayuda de una palanca grande, condujo a Arquímedes a afirmar: “ Dadme un punto de apoyo y moveré la T ie rra ”. Sin embargo lo que no tuvo en cuenta Arquímedes fue que la Tie rra no está sola, sino que pertenece a todo un sistema ( el sistema solar, y éste a la vía láctea y éste al universo).

EJEM PLO 1:

Mp =

E JE M P L O 4 :

3m "• c—

1—

......... ....

L

o te

, F = 5 N

£ = F x d = B x 3 = * T ? = 15N .m

Calculemos el momento de ~p respecto de 0.

M* = F x d = (6N )(3m )

”F' produce rotación horaria. To

= 1 5 Í - k ) N .m

To

= -1 5 k

N .m

=>Aíf = +48 N x m d=8nt

EJEM PLO 2 : Calculemos el momento de cada fuerza respecto del

T E O R E M A D E VARIGNOJV Establece que la suma algebraica de los momentos producidos por un grupo de fuerzas con respecto a un punto cualquiera es igual al momento producido por la fuerza resultante respecto a dicho punto.

[je Ai 'Mltk'M'W* li*

E IH C ID N E S KUHMÑOM + 180 N x m =(R)(x) +180 N xm =100 N(x) -> x = l , 8 m

M ? 1 + M Í 2 + M fJ + M i * + ... + M Í " = M í *

P = Punto de aplicación de la fuerza resultante (R).

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO " Si un cuerpo se encuentra en equilibrio, se cumple, que la suma de momentos de las fuerzas que actúan sobre él, con respecto a un mismo punto es igual a cero " ; es decir cuando un cuerpo sometido avvgrias fuerzas, no gira, se encuentra en equilibrio dé rotación y se cumple que el momento resultante^respecto del centro de giro, es nulo.

* Donde: FR = F} + F2 + FS + .... Fn * Además: F ; ; F2; Fs ; ... Fn ( Fuerzas) EJEM PLO 1 :

" 2 da. condición para el equilibrio" yj 1

• De esto podemos deducir que: Si el momento resultante, respecto del centro de giro, es cero, la suma de módulos de los momentos de fuerza horarios y de los momentos de fuerza antihorarios son iguales.

Si:R=Fj+F =► M § = M p + M p

"Aquí no se considera el signo de los momentos1

2

E JE M P L O S :

EJEM PLO 2 : E n el siguiente sistem a de fuerzas paralelas, determinar a que distancia del extremo "A" actúa la fuerza resultante.

CASOI

CASO II

R eposo

M ovim iento con rotación uniform e

ico = 0 )

100N

100S lm

lm

lm B

A Im

|sOAr

(co= c te )

isOJV

• Cálculo del módulo de la fuerza resultante: (R )

R = + 100 - 80 -2 0 + 1 0 0 -> R = + N 1 0 0

* Cálculo del m om ento re su lta n te o sum a de momentos: ( E M a ) Z M fa = - ( 8 0 ) U ) - ( 2 0 ) ( 2 ) + 100(3) = +180 N x m

* Aplicando el Teorema de Varignon:

es la fuerza resultante.

h— AC

*—

~\p DB

R=100

o también

E JE M PLO 1 :

£M f = M * • Donde: T

* Podemos observar que en ambos casos el cuerpo no experimenta cambios en su estado mecánico de rotación (reposo o movimiento con rotación uniforme) debido a ello se cumple:

Determinar el peso que debe tener la persona sentada en el extremo derecho, para que el sistema pueda estar en equilibrio. Además la personas sentada en el extremo izquierdo pesa 540 N . (N o considere el peso de la barra AB)

AO = l £ m ; OB = 1,8 m

iA

Rvnrxor£Pfct 2012)

nos indica que debido a las fuerzas que actúan sobre la barra, ésta girará en sentido antihorario.

O

E JE M PL O 3 : Si la barra homogénea de 2kg se encuentra en posición horizontal, determine el módulo de la tensión en el cable, (g = 1 0 m/a1).

s

:m »¿

R E S O L U C IÓ N : 0

Grafiquemos el diagrama de cuerpo libre de A B .

£ R E S O L U C IÓ N : * Aplicando la segunda condición de equilibrio con

/

,

• Nos piden el m ódulo-de ía tensión, para ello grafiquemos las fuerzas "Sobre la barra. Ir

A

.V

respecto al punto " O " : £ Mt

£ M l = + (5 4 0 ¿ V )(A O )-(t V fl) ( O f l ) = 0 (5 4 0 N )(lt2 m)mWB( l

, 8

m ) -> WB «8 6 0 N

f *1

EJEM PLO 3 :

e ¿

u

w= 2 0 N ^ J

Determinemos ei la barra que se muestra está en Como la barra se encuentra en reposo presenta equilibrio de rotación y se cumple: 0

* Pero en el problema

no es conocido.

* Entonces eliminamos su efecto tomando momentos con respecto al punto "O".

-4 W]L = Tfíft) * Recordemos que un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando el momento resultante respecto del centro de giro, es cero. 0

Cálculo del momento resultante: 2m

A M r¿ + M ? + M u - (+7 k4) + ( - 5 x 3) + (0) + (0 ) -

AfjM -+JSJV xm

/4 m

-> 20 = 2 T - > T = 1 0 N

EQUILIBRIO MECÁNICO Es aquel estado mecánico en el cual se encuentra un cuerpo, presentando equilibrio de rotación y traslación. En consecuencia si un cuerpo presenta equilibrio mecánico se cumplen:

Ft

M ? = 0

N O TA : 0

Luego:

Como el movimiento resultante no es nulo, la barra no está en equilibrio de rotación. E l resultado del m om ento resultante ( + 13N*m)

P a ra que un cuerpo se encuentre en equilibrio es necesario que cumpla con las 2 condiciones de equilibrio.

E O iC iO X E S B E S '* * * B L O S C A S O S g i l ; S E P K E S E X T A X S O X .* siguientes condiciones.

[mz P * J r v A T

RUKMÑOS)

f f LA

I) Reposo:

fr

R e p o so

V =

0

=

o

mr

=

o

* Aplicando FR = 0

ay — 0

W Movimiento de traslación pura uniforme: R A + R B = SO + 1 0

R A + R g = 00

(I)

* Como con esta ecuación no es posible calcular RA y Rb, aplicamos la segunda condición de equilibrio respecto de uno de los apoyos; .líiego.

— i.

111) Movimiento de rotación pura uniforme:

M

M

- 0

+ M% =

8 0 x l + 1 0 x4 = RB

v = o

'% )

-U A>

120 = 3RB =>R b = 40N En (I) : R a =50 N

.

v

CUPLA O PAR DE FUERZAS t/ *

P o le a IV) Movimiento de traslación uniforme, con rotación uniforme:

Curva elíptica

EJEM PLO 4 :

r¿

Una viga homogénea de 8kg se apoya en dos rodillos tal como se muestra. A l ejercer F = ION , determine el módulo de la fuerza que ejerce cada rodillo a la viga. ( g = 1 0 m l 8 S).

Es un sistema de 2 fuerzas paralelas; iguales en módulo y dirigidas en sentido contrario, cuando una cupla actúa sobre un, cuerpo trata de proporcionarle cierto movimiento giratorio.

NOTA: Se creerá que la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto dado es cero; sin embargo, no lo es. Aunque las fuerzas F no producen la traslación del sólido sobre el cual actúan, tienden a hacerlo girar.

It

3m i— — —

A

i—

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D.C.L. de la viga. W=80Ñ)

F=10Ñ)

Un

2m

\ Im

r -x*"z

3m

w tS

* Para introducir el sacacorchos hay que aplicar un par de fuerzas para hacerlo girar e introducirlo en el corcho. * Para hacer girar el volante de un auto , se aplica un

* E n e l e q u ilib r io d e la v ig a , la s fu e r z a s c u m p le n la s

par de fuerzas.

I5JS3 * * 9 IffiSS M ¡ = +FLSenQ

O B S E R V A C IO N E S IM P O R T A N T E S 2

Lí

2012}

* Hacemos el D.C.L. de la barra homogénea: R

* P ara

re solver problem as aplicando la 2 d a . condición de equilibrio, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

OBSER VA C IÓ N : I) E l

m o m e n t o m ín im o , s e r á

:

Centro de giro

U) E l

* Hacer el D.C.L. * Ubique el punto de giro (O) y desde este punto halle la distancia a cada fuerza que no pasa por este punto.

m o m e n t o m á x im o

,

será

* Iguale los momentos horarios a los antihorarios para garantizar que la suma de momentos sea cero. * Cuando se dice que un cuerpo está en equilibrio se puede usar la primera y/o segunda condición de equilibrio. * Cuando el cuerpo es pequeño (partícula, pesa, bloque, cajón) se em plea solam ente la p rim e ra condición (E F = 0)>

III) E l momento en forma general, se calcula, ya sea prolongando la línea de acción de la fuerza, o descomponiendo la fuerza. Sea: m

i i

* Si el cuerpo es grande (barra, palanca, escalera, vig a , ...) en p rim e r lugar se usa la segunda condición de equilibrio (E M = 0) y si fuera necesario se usará po ste rio rm e n te la p rim e ra

& ~r

FcosO o

FsenO

m r= o

* A dem ás, como no interesa c a lc u la r las fuerzas en la articulación O , tratamos que en nuestro cálculo no aparezcan, esto se logra tom ando m om entos precisamente en dicho punto donde concurren estas fuerzas, es decir en el punto 0; luego aplicamos la 2da. condición de equilibrio. ea

O

=

eaO

M„w = M l - > W x 4 k = T x l0 k ->•20x4 = T xlO — >■T = 8 N

RPTA : “ C ”

PROBLEM A 1

U na barra uniforme de masa “ m ” está en equilibrio sostenida por un extrem o m ediante un a cuerda vertical y por el otro extremo está articulada en el punto O. De los enunciados siguientes indique los verdaderos y los falsos:

A) 12 N B)14N C)8 N D )6 N

U

=o

PROBLEM A 2 :

Una barra homogénea de 2kg se mantiene en la posición mostrada debido a la cuerda AB. Determine el módulo de la fuerza de tensión en dicha cuerda, (g = 10 mis2).

Oa

fr

condición {E F = 0) •

*

Entonces:

* Como la barra no se traslada ni rota, está en equilibrio mecánico, por consiguiente las fuerzas que actúan sobre ella deben cumplir las condiciones siguientes:

E)20N R E S O L U C IÓ N :

I) La fuerza de reacción en O tiene una componente vertical y no tiene componente horizontal.

II) La fuerza de reacción en O tiene componente vertical y horizontal, que dependen del ángulo oc .

III) La fuerza de reacción en O tiene sólo una componente vertical cuyo valor depende de a .

B B I

m e

EMHCIONES M JM Ñ O S)

447 f i g

se equilibra con 4 k g - Cuando se

A jF W

punto 'A " es:

colocar el objeto en B la balanza se

B)VFF CJVFV D)FVF EJFFV

equilibra con 9 k g en A ; luego el objeto pesa:

B

A

R E S O L U C IÓ N :

A)7cm D)32 cm

* Haciendo el D.C.L de la barra en

R E S O L Ui

-

equilibrio:

Cuerda •vertical

O

A )5 k g

B)6 k g

D )10 kg

E )13kg

-

5

'

0 6 ,5 kg

R E S O L U C IÓ N :

B)16cm E )S im r tete

C)25cm

• *f

• Haciendíf él D .C .L •> noBjJamos cuenta que hay 3 fuerzas debei>ser concurrentes | haya equilibrio.

* Analicemos por separado los 2 casos:

25

Caso 1 : Y mg • Como la fuerza de tensión y la fuerza de gravedad son verticales, necesariamente la reacción en la articulación es vertical. Para que se cumpla la primera condición de equilibrio, ya que, si la fuerza de reacción fuera oblicua, tendría una componente horizontal, que no será equilibrada. • Así, por la primera condición para el equilibrio : R + T = mg

¿■V

x = 2 0 Sen53°=20

(í -

J 2 M Z = ° -> 4 (a )+ (-W x b )= 0 4a = Wb

(I)

RPTA : “B ” O t r o m é to d o :

Caso 2 :

• Entonces el enunciado (I) es VERDADERO y el enunciado ( II) es

O

I— a

FALSO. • Aplicando la segunda condición para el equilibrio, respecto del punto P , se tiene:

M * = M pg

R x2/ f = m gxpí

“

2

w

W

l

o

* E/v= 0

4T = 3k

*

3 T x = 4 k (2 5 -x )

0

3x 4

Luego de:

XV(a)+(-XVx9)=0 R = -m g

* Notamos que el valor de la fuerza de reacción depende de la masa de la barra y no del ángulo a • Entonces, la alternativa (III) es FALSA. RPTA : *7?”

PR O B LE M A 3 : En la balanza de la figura el punto de apoyo no coincide con el centro de gravedad de la barra. Cuando se coloca un objeto en A , la balanza

2 5 -x*

• Finalmente (I) en (II): W X

XVb

9 x = 400 —16x x=16

(II)

W a = 96

,

=9b

W 2 =36

4 h (2 5 -x ) 3

RPTA : “B ” PROBLEM A 5 :

W=6

RPTA: “B ” PROBLEM A 4 : E n la figura la barra no uniforme está en posición h o rizo n ta l suspendida por cables de peso despreciable. Si: < / > = 5 3 0 = 5 3 °

y L = 50 cm ; la posición del centro de gravedad de la barra desde el

U n alambre rígido homogéneo de 25 cm de longitud es doblado tal como se in d ic a , con a = 5 cm. Para que el alambre apoyado se mantenga en equilibrio, la longitud nx" deberá ser: >i l » .............. x

T a i

)

(jp w s íjr c i^ il A)12,5cm B)10cm D)llcm E )l2cm R E S O L U C IÓ N :

C)8cm

que como la barra es homogénea, luego si la parte vertical pesa " i f , entonces la parte horizontal pesará .

* Luego de: E3 /)=em) ; en el punto "A", se tendrá que:

* Haciendo el D.C.L., considerando

W

=>

Pa

=►

3,5P = F(4,5)

+

P (2 ,5 a )= F(4 ,5 a ) =►

RPTA : “ C

i lO cn r

U EXCM*xat'iiiH A 2012}

1 5 3 » * » f f ig f

99

PROBLEM A 7 :

lOcnr

E n el esquema se m uestra una barra articulada en O , R¡ y Rg son dos poleas fijas. Sobre la barra son aplicadas dos fuerzas por medio de dos cuerdas sujetas a ellas, que sujetan en el otro extremo pesos respectivamente iguales a P¡ y Pg. Asum iendo la no existencia de fuerza de rozamiento, el sistema queda en equilibrio en posición

4W

4W(x —10) = W(20 — x) 4x —40 = 20 —x x = 1 2 cm RPTA: “E PR O BLEM A 6 :

99

d

dista "“ "del extremo "B" es:

H 2 ro -4

y

7 P

P

A ) ^ B ) = f C )lA - D ) ~ 3 3 9 4

80N

= 1 2 0 (2 )-8 0 {4 ) —►^

M * = —8 0 N * m < >Sentido horario

RPTA : “A ” A)0,48B )0¿8 0 0 ,5 7 D)0,15 E)1 R E S O L U C IÓ N :

PROBLEM A 9 : E l m ódulo de la fu e rza F en Newton, y la distancia del punto B a la que debe ser aplicada, en metros, para que el sistema esté en equilibrio respectivamente. I'

2 P

4m

* Debemos de hallar el momento resultante con respecto al punto P .

Él

P

* Graficando:

120N

B

kJ

A) Gira en sentido horario, B) Gira en sentido antihorario. O Se desplaza a la derecha . D) Se desplaza a la izquierda. E) Continúa en equilibrio. R E S O L U C IÓ N :

(

* Haciendo el D.C.L.: 3

U na varilla rígida y uniforme se encuentra en equilibrio apoyada en su p u n to m edio P . A c o n tin u a c ió n se coloca simultáneamente una masa mj =12 k g , a 2m a la izquierda y b1 1 o m s=8kg , a 4m , a la derecha d e P . Como resultado la varilla:

vertical. ¿Cuánto vale

Una barra horizontal ^ ^ d e peso "P" y de longitud 5a, puede rotar alrededor de un eje fijado en el gozne " A ”. U n peso de va lo r también "P" está suspendido a una distancia "a" del extremo "A"; para que el sistema este en equilibrio la fuerza vertical "F" cuya dirección

PROBLEM A 8 :

15m

•I

E)P

R E S O L U C IÓ N : * Realizando el D .C .L .:

F,

* Del gráfico

m

4,5a P¡Sen60°(2L) = P2Sen30°(L) P 1 P £l = -L = 0,288

1,5a

a

P2

\

D

\

3

2^3

P2

A)14; 3 D)10; 3

B)14; 4 E)10; 4

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D.C.L.:

RPTA : “ B ”

C )14;5

E I M 'I O X E S R I M A O S 1

B 449 P R O B L E M A 11

[ 9 C & T A . ' r M 4 l c \ KM

I5m 1 10aen3T

UOR

(¿ lOcoaST

• Y F u erza s = O :

F = 2 + 10Coe3T =>F = 2 + 8=>F=1QN M om entos = O : ('O 'ce n tro de mamen toe)

2(15—x) = 10 Cos3T(x)

K K S O L U C IÓ N :

Si las esferas lisas "A" y "B" cuyas masas son de 12 kg y 4 k g respectivamente se encuentran en equilibrio, determinar el módulo de la tensión en la cuerda "L" (g — 10 mis2).

A )1 0 N B )2 0 N C)30 N D )4 0 N E )5 0 N

* Realizando el D.C.L. :

R ¿ .2 ‘ .r-

• E l resorte' debe habe ,

! .

'

una distancia r = .ÍT' •' -

=>2(15—x) = 8 x = > x = 3rti R P T A : “D ” P R O B L E M A lO :

U n espejo uniforme de 1 3 N cuelga de dos cuerdas como se muestra. Encuentre la magnitud de la fuerza P necesaria para mantenerlo en su posición. q

barra llegue a esto

R E S O L U C IÓ N : • Nos piden la tensión en la cuerda horizontal, para ello examinaremos el sistema de esferas igual a la cuerda oblicua.

• E n tal caso, gp rlirle y de Hooke:

=kx

j =25y¡3

De :*] £ Fy (< -) = £ Fy (-> )

—► R = F = 25 yj~3 De:

A) 0,5 N B) 1 N C )2 N D J1 5 N E) 7 N P

n/3

en “ O

PP

/ $ I / II /

/ 40N \

|

R (0 ,5 ) = W

¡^ ]

¿ ¿ * 2 n A S i„ J J

\p7L O

9L

50

120N I

* Como el sistema se encuentra en equilibrio mecánico:

R E S O L U C IÓ N : • Realizando el D.C.L.:

3 .5 K

* De la figura: 2a = 7k

W(3,5k - 3k) - P ( 3 k +3,5k) 13(0t5 k ) = P ( 6 f5k) —►P = 1 N R P T A : “B ”

R P TA : “D

PP

PROBLEM A 13 :

E l sistem a m ostra do está en equilibrio. Se quita la masa m y se colocan sobre la varilla horizontal 120(7L) - 40(9L) - T (1 2 L ) las masas m , y m t a distancias y d t del punto O , respectivamente, de - + 480 = 1 2 T - + T = 40 N m a n e ra que se restablece el M R P T A : “D equilibrio sin mover el contrapeso P R O B L E M A 12 : C de su posición inicial. La masa La barra de la figura de 1 m de longitud m está entonces dada por: es homogénea y descansa inicialmente Varilla Horizontal sobre el piso y la pared vertical, ambos Contra lisos. El resorte unido a la barra en su peso fijo extremo inferior tiene una constante elástica de 5 0 N/m. Cuando la barra esta vertical el resorte no está estirado. Calcular el peso en Newtons de la barra si en la posición indicada, esta se encuentra en equilibrio. A )(m t + m jdtfdj + d j B )(m ¡ + m j ! ( l + d t + d ¿ A) 20 C )(m íd1 + mid)lds B) 30 D )(m ld J + m /U íd — i O 10 E )(m id1 + m f l j l d qqqqqoqoqH . D) 50

E ) 60

RESOL UCIÓN:

450

* Como en ambos casos existe equilibrio, luego S M f = 0 , Primer Caso:

U

* Para que no se voltee el cilindro, éste deberá estar en equilibrio. E l punto crítico para la volcadura es P. (en realidad es una línea, que se le ve perpendicularmente como un punto). * Entonces: => (WSen l(T)(hl2) - (W Cosl(T)(r)=0

h = 2r CtglO° = 10°Ctgl0°

Z M Í=0 => mgd = Mgx md M x ......................

Dos ladrillos iguales de longitud L y la masa m , se colocan sobre una mesa como se muestra en la figura. ¿Cuál es la máxima distancia a la cual se pueden colocar los ladrillos sin que se caigan por su propio peso? A)

3L

mg

¿I: *

4

» í

¿fi.

RPTA : "A ”

(/)

PROBLEM A 15 :

Segundo Caso: d

mg

2 0 t¿ \

PROBLEM A 16 :

* De donde: F

L V f ffJ .

mg

B líí

Una persona, sostiene una tabla de 2kg no homogénea, en posición horizontal, tal como se muestra. A qué distancia del dedo de dicha persona se encuentra el centro de gravedad de la tabla. Considere el ladrillo de 3kg y g = 1 0 mis2.

E) L

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D .C .L.:

L/21

A) 0,1 m ZM F 0 = 0

B ) 0 ,2 m

=> ntjgdj + m2gd2 = Mgx => + mod9 2“ 2 = M r .......

C) 0,3 m (/I )

D ) 0 ,4 m E ) 0 ,5 m

* De W y (17): m d » m ^ + m^d2 =>w* a

RPTA : “D ” PR O B LE M A 14 :

R E S O L U CIÓ N : * Placiendo el D.C.L.:

Wr=20N

Sobre un plano que forma con la h o rizo n ta l u n ángulo a =10° se apoya un cilindro recto de radio r =5cm y la altura h . ¿Cuál es el m áxim o v a lo r de h (e n cm ) permitido para que el cilindro no se voltee? A )J0 C fg IO ° B)10Senl0° C)10

Cosí 0o D)5 CtgKf E)5 SenKT R E S O L U CIÓ N : * Consideremos al cilindro apoyado en e q u ilib rio sobre el plano inclinado.

(Tabla>

* Tomando momentos en A :

mg

( i - ) -

L x =— 4

mgx

3L 2

\4)

2

RPTA: " A ” persona

PROBLEM A 1 7 :

W ,= 3 0 N

* Para el sistema (barra - bloque):

F 20N * p e r v o n a = 30N + T ^ W1 F J p e r s t m a = 50N ? • Adem ás entonces:

2r

dm áx

la

b a rra

no ro ta ,

Determine el módulo de la reacción del piso sobre la barra homogénea de lO k g . C o n sid e re F = 7 5 N y desprecie las asperezas. (g=10mfs2)

AjlOON B)150N C)200N D)300N E)400N

W a en lO f- . ,,.^4

30 (0,2) = 20(x) W c o s ld

R E S O L U C IÓ N :

* De donde : x = 0,3 m

RPTA : “ C”

* Realizando el D.C.L. para la barra en reposo.

ÍK ¿ T .ÍT m

551

i MM

EIUCJOXES ItlH IX O S

• La tensión sería una fuerza interna del sistema en equilibrio, luego: S W .-* O

fiOÓ (6) + JSd (rf) = $ 0 0 (12) 360 + 75 d - 960

h

75 d = 600

2 k C o * i ---1 x k coa (1 2 0 °

T

d =8

> 2 k C osa = C o sl2 0 °C o a a +•S e n l2 0 pS ena -* 2C osu — —

5n

Coaa

2 43 c

43 S ena RPTA : "A

>- C o a u - — S en o

2

ls

• Com o despreciam os las asperezas, la reacción de parte del piso es normal a la zona de contacto (Np) y como la barra no rota:

(? ¿ )(4 ) + (lOO)(j<¿)= N P( 0 ) (25)(4) + (100) (0,5) = N 150 = N RPTA : “ B "

H max = 8 Tg37°

PRO BLEM A 20 :

2

- T go ~ *a = T g -i

99

15 RPTA : UD ”

P R O B L E M A 19 : U n jo v e n de 75kg asciende lentamente a través de un tablón homogéneo de 60kg tal como se muestra. Determ ine hasta qué altura podrá ascender el joven sióe sabe que la cadena puede soportar, como máximo 800N.(g=10m/a2)

E n la figyira la esfera es déJ.Okg y la barrá homogénea áe^Okg^m no hayfricción en toda$^e& superficies en contacto. E f ic ie n t e entre los módulos de la téiisián en la cuerda y la fuerza queia pared ejerce sobre 4• la esfera e8 de: & 31 A )7

B)5\¡3 C)3sÍ3

PR O B L E M A 1 8 : E)

E n el sistema mostrado hallar el ángulo"a"P& r& que las dos esferitas, unidas por un hilo, se mantenga en equilibrio.

s

4 5

15

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D .C .L . a la barra homogénea de 20kg: R E S O L U C IÓ N : ° Para esta posición la cadena soporta Tmáx = 800N

A)1S°

. B)60°

C)53°

E )Tg -¡ (2 ) R E S O L U C IÓ N :

750N= Tablón W p = 6 0 0 lS lJ

• Hacemos D .C .L . al sistem a compuesto por las dos esferitas. "O" (convenientemente). M H M ««

R - 550N ( para que la £ F = 0 )

K coa a

K c o a (1 2 0 -u )

• Para el sistema persona - tablón que se encuentra en equilibrio de rotación.

200xX = N

x

(Equilibrio)

4 ¿

-> N = 5 0 N * Haciendo el D .C .L. de la esfera de 10 k g :

entonces se c u m p lirá que la

L l ESCMrj.ar&MA 2012} PROBLEM A 23 :

Fu - 0 ; pero e to no nos asegura

2 rodillos están unidos mediante

el equilibrio del cuerpo rígido, porque también debe cumplirse

una barra ingrávida. Determine el peso del rodillo "A". (Desprecie la fricción; m B = 3 kg; g - 10 mis3).

íiici

\ F r s tw c j% . 6

50N

S U = 0-

200N\

RPTA : “E ”

A

B

PROBLEM A 22 :

i 3 * Gráficamente: r -/o o A T

U n aro de peso hom ogéneo y u n ifo rm e se halla en reposo y colgado a un techo mediante una cuerda, una billa de acero, cuyo peso es igual al peso del aro, se suelda en el punto "A" del aro y se va liberando lentamente. ¿Qué ángulo girará el diámetro vertical del aro hasta el nuevo equilibrio?

* Del k ;

T - 100 = 25 -> T = 125 N -> N P = 2 5 4 3 N

A) 15a

T 125 5 * Sepide: N - f i f i - ^

B) 8o

PR O B LE M A 21 : Indique la verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones:

R E S O L U C IÓ N :

/) Si la fuerza resultante de las que actúan sobre un cuerpo rígido es igual a cero, entonces dicho cuerpo esta en equilibrio.

♦ Del D.C.L., tomamos momentos en O :

y £M = 0).

$ i

/ ■

»

f \

tI

t i

a %

I I #

i

# i 4 4 44

i •

JRj2\$en6 y V / \ : / v X ♦ii

% I • I

i i» ii t

%%

% t i

* Del gráfico: tomando momentos convenientemente en " O " : -

C]

x

/

Si el sistem a se encuentra en reposo, además la esfera y el bloque son de 5kg y 2kg respectivamente. D e te rm in e la lectura del A dinamómetro ideal, (g = 10 m/s )

s P o le a h om ogén ea

#

P=W -> WRSenO = WRyÍ2Sen (45° - 6) -> SenO = 4 2 Sen (45° - 0) - > SenO = 42 ^ —

2

II) FALSA, dado que no; también

* Despejando:

debe cumplirse que la F^ = 0 •

— CosO 2

III)FALSA, porque si y ~ c¿e ;

%%

,u e \ „

I)FALSA, ya que para que un

(í£ = T

k

RPTA : " B ” PR O B LE M A 24 :

D)FVF E)FFF R E S O L U C IÓ N : cuerpo rígido este en equilibrio total; debe cumplirse la primera y segunda condición de equilibrio

O

30(k) = WA(3k) => Wa =10N

actúa sobre un cuerpo rígido es igual a cero, entonces dicho cuerpo se encuentra en equilibrio. con velocidad constante, entonces dicho cuerpo se e n cu e n tra en equilibrio. A JV W B )W F C )F F V

3k

sjQ

U) Si el torque resultante que

III) Si un cuerpo rígido se traslada

♦ Haciendo el D .C .L . al sistema como si fuera un cuerpo. ir r

C) Tg-'(2) D) Tg ‘ (2 ') A E) 16°

RPTA : “E ”

A)7N B)10N C)8N D)12N E)16N R E S O L U C IÓ N :

*

2

CosO- —

2

S en O

=>0 = Tg~* (2 “J) RPTA : ,fD 9*

A)7N B)5N C)3N D)12N E)40N R E S O L , U C IÓ N :

[ WC&'M'A'M'MIIlX mm

E D IC W m S

*53

RUBLVOSl

PROBLEM A 26 :

m 50N

Las barras "A" y "B" son homogéneas; despreciando todo tipo de fricción, determinar mIM, para que "B" permanezca en forma vertical. B

R E S O L U C IÓ N : * Hacemos el DX£E. de la placa, el peso parte dej^pitersección de las diagonales de la placa.

20N 50N

W '-

* Del D.C.L. de la polea mayor:

'

* Tomando momento en " O " :

50r = Tj(2r) -+ T ¡= 2 5

A) 2 B)

O

W 4

R E S O L U C IÓ N :

* Del D.C.L. del bloque:

2a\9eh(45°+a)

* Realizando los D.C.L.:

=> Z ^ ( t ) = Z F , U )

T j= 20 + T=> 25 = 20 + T => T = 5 N RPTA : “B ” PROBLEM A 25 : Si la esfera homogénea de 24N de peso, se m antiene en reposo, determine el peso "W" del bloque suspendido. EL

/ •

Son iguales debido a que está en form^ vertical. -

o

¡i tt

W

Ry Wf*

®

-

0

* Para la barra: T \ 2 a S en (4 5 ° + a ) = W [a C o a {4 6 ° + a )]]

A) 24N W

a

E) 0,2

R(2KSenO) mgfKCoaO) _m g CtgO R= (I)

^ N 5

C) 17 N

-> T g (4 5 ° + a ) = -

* Para la esfera:

D )8 j3 N

r*(45° + a) = | ( f ]

a

2yf3

-> T g (4 5 ° + a ) = j 3 -> T g (4 5 ° + a ) = Tg60P —►a = J 5 °

mg

E )1 J r ^ N

RPTA : “D ” PROBLEM A 28 :

R E S O L U C IÓ N : * Tom em os m om entos en "O ", luego de colocar datos geométricos en forma adecuada: |sa p -s¿Q |

T=W

-> R = Mg C tg .

(II)

* De (I) y (II) : CtgO = M g C tg e £

W(5ky/3)=24i4k)

E l sistema mostrado se encuentra en reposo, la barrá homogénea es de Ik g y las esferas de Ik g cada una. Determine la deformación que experimenta el resorte de K=2NI cm . (g=10m¡8S).

=» m = 2AÍ =}■ — = 2 M

32j 3

g

RPTA : “A PROBLEM A 27 :

44 A 99

RPTA : “B ”

E l diagrama muestra el equilibrio de una placa cuadrada homogénea apoyada en un horizonte rugoso, si el peso de la placa es a la tensión h o riz o n ta l como 2>¡3 es a 1. Determinar Ha M.

Ftoiea

ideal

A)3cm B)5cm C)4cm D)6cm E)12cm

¡A

R E S O L U C IÓ N : • Del D.C.L., tomamos momentos en "O": 0*s?~

4m

que exista una única fuerza que reemplace a las n fuerzas dadas es necesario que se cumpla:

Ex c m xo r v ir iA 2012]

R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que: r A = a x R

(1 )

A) R=0; Mo=0 B)R=0; RMo=0 C) R . 0; RMo=0 D) R .0 ; R M o=0 E) Ninguna de las respuestas

r

R E S O L U C IÓ N : * Cuando a fuerzas actúan sobre un

30(4m) = £ r/1 0 m j =» 12 = 2 * =►6

c m

=

x

RPTA : **D” PR O B LE M A 2 9 : Si el sistema se e n cu e n tra en reposo. Determine el peso de la esfera, si la masa del bloque es 2kg. (g = 10 mis*; K = 2r)

cuerpo ríg id o , es necesario distinguir dos efectos: traslación y rotación. La traslación del cuerpo está determ inado por el vector suma de las fuerzas:

R = Fj + Fs +

R E S O L U C IÓ N : * Del

D .C .L . de las poleas concéntricas, tomamos momentos en m O\

20N

0

20N

T

W(r) = 20(2r)

W = 40N RPTA : “A ” PROBLEM A 30 : Sea un sistema de n fuerzas, donde R es la suma de los vectores fuerza y M0 la suma de los vectores torque (con respecto a un punto O). Para

(1 )

• E l efecto de rotación sobre el cuerpo está determinado por el vector suma de los torques de las fuerzas, todas evaluadas con respecto al mismo punto:

Mu « Af 10.+

A)40NB)30N C)20N D)60N E) 100N

+F

+Afmo............. (2)'

• A primera vista es lógico suponer que el punto de aplicación de la fuerza R debe ser tal que el torque debido a R sea igual a M0, una situación que siempre se cumple en el caso de fuerzas concurrentes. E n este caso la fuerza R así aplicada es equivalente al sistema tanto en traslación como en rotación. Por consiguiente, en el caso en que todas las fuerzas sean coplanares podremos reemplazar todas ellas por una sola, cuya resultante de acuerdo a la definición de torque deberá ser perpendicular a la fuerza R , lo que implica que RMQ= 0. • En estas condiciones el conjunto de n fuerzas puede reducirse a una sola, sin que varíe la condición física.

* Pero de la figura: a = r
(2 )

• (2) en (1) : t a ^ ( ro A + r ) x «

= r oAxR + r*R • Pero de acuerdo al enunciado: r

0

= rx R

• Entonces: T A = T o + T oA * R

RPTA : “A ” PRO BLEM A 32 : La barra AB , de peso despreciable , está suspendida en B por una cuerda , se apoya sobre la esfera C de 5,0 N de peso. Si el bloque D pesa 40 N , la fuerza entre la esfera y la mesa es de: L_a 0,50 m , 0,50 m

AJ25N B)45NC)15N D)35N E)55N R E S O L U C IÓ N 120 : Realizando el diagrama respectivo:

RPTA : “ C” P R O B L E M A 31 : Si R es la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes y x0 es su torque con respecto al punto O (origen de coordenadas), el torque con respecto a un p u n to A cualquiera es:

A)T„+r„AxR C) —r 0 + roAxR E)Ninguna

B ) r „ —rnAxR aA D)—

+ r^ xB )

Sabemos que por simetría: RA = T Entonces:

x f v=ra +r - 40=0

=> 2Ra = 40 => R a =20

Aplicando fuerzas a la esfera y mesa:

1. n

*•

n n ic io x E S

!■>*«

* Reemplazando en (i) :

20 N

p t ¿ ( ¿ -x )= 3 p * é c o 8 4 ¿

=> x = ¿ ( l - 3 cosj )

5N

RPTA : “ D ” PROBLEMA

r íj b íx o k

en la fig u ra . Se quiere que la reacción en el soporte « 1» sea a veces la reacción en el soporte «2 » .La distancia x debe ser:

SA t

Si el peso de la barra hom ogénea es de 288N, determine el peso del bloque UQ** (en AO para mantener el sistema en equilibrio estático. Considere la polea flja y la polea móvil ingrávidas.

^N

Entonces: Z Fv = 0 => Z Fv = 5 N + 2 0 N = 2 6 N => L « fu e r z a b u sca d a es d e 2 5 N.

RPTA : " A ” PROBLEM A 33 :

R E $ O L U C IÓ N : %

E n el sistema mostrado en la figura , la barra tiene una longitud t. Si la tensión de la cuerda es igual al triple del peso de la barra , ¿a qué distancia de M se encuentra el centro de masa de la barra?

* Si u n cuerpo presenta equilibrio mecánico sobre él, debe cumplirse: Aj 800,00 Di 533,33

Bt 600.00 Bt 466,66

RESOLUCIÓN

Fr =Q a M ¡? = 0

/

A nalizam os la barra h o m o g é n e a para encontrar la tensión en la cuerda. - * T

t mt>=288N % C

(r+ ,

0O 5A B (

Ct 500,00

'

0,5AB

0,25AB y w

Será necesario realizar un diagrama de cuerpo libre (DCL ) . * E n el problem a nos deben plantear que la vara de longitud L es de masa despreciable. Como la vara reposa, sobre ella la Fa=0\ entonces, será importante graficar las fuerzas que actúan sobre ella. D C L iba rra )

y''0,6A B

A)¿12 B) ¿ (1 -3 coe+) C)¿(l-2coo+) D) ¿(1 - 3 aenj) E)¿(1 - 2sen+) R E S O L U C IÓ N : * Veamos el diagrama de cuerpo libre de la barra. Calculemos la suma de momentos alrededor del punto N (para eliminar la reacción R de nuestlá ecuación), T

‘‘O Elegim os c o m o punto de m o m e n to la articulación ya que por dicho punió pasan fuerzas desconocidas. 11*0=13*0 2 8 8 *0 ,5 A B = T * 0 ,6 A B = > T = 240N Una vez encontrado la tensión en la cuerda analizam os el b loq u e • p o lca para ello realizamos el DCL \

*

(

i

f = clR , DCL (b lo q u e)

* Como la vara no rota, se cumple:

i ^ Z Mo = Z Mo \ ) = M ¡

Rs x L = T x x .................. (1)

-

* Como la vara no se traslada: f i , + a R j —T

( 11)

Gt + 1 * (Il)e ji(I) : 1

* Se pide : x

* Como la barra está en equilibrio , se concluye:

(N ota : M%” n*=M¡?y=Mgx =0) => m g (e-x )= T co a fL .................(i) * Por dato : T=3mg

Igualando fuerzas contrarias. Z F ( / ) = T .F ( / ) => 2 T = W sen S P

=> 2 (2 4 0 ) = W (0 ,6 ) => W = 800N RPTA t “ A ”

PROBLEM A

T

x L = T x =>• x =

a + 1

a + 1

La distancia x debe ser

35 :

U n bloque de peso W está suspendido de una vara de longitud L cuyos extremos se posan en los soportes «1» y «2» como se indica

a + 1

RPTA : “D PROBLEMA

99

30 »

En la figura calcule en N.m el torque del peso de la esfera hom ogénea respecto a 0 . (M = lO hg ; R = 0,60m)>

IA acción de una fuerza P . 600( ¡ + j + Ñ)N ■ ¿Cuál es la magnitud del torque (en kN.m.) de F respecto del punto localizado con h -R / 2 A) ¡O i

Bj 62 Ñ

. .. . . g=10m /a

CJ-26Ñ D )6 4 Ñ E j-6 4 Ñ

a s $ 0 i u c ió n §

r n (4 i + 3 jh n ?. A j 3,6

C o m o n os piden determ inar ei torque resultante respecto al centro de la barra, entonces a partir de dicho punto trazamos los vectores posición a cada fuerza

Bj

Cj 6,6

a b s o l u c ió n

D j 6,6

B) 7A

C .6 .

t ei

mg

Por lo que a partir del punto A ubicamos la

Luego el torque resultante respecto al centro de rotación CG estará dado com o:

3 * M

r jx m g

Reemplazando tendremos: 30% N x m

3

RPTA i “ B ” PROBLSMA

SO

/

Una barra hom ogénea de 7m de longitud es d ob la d a form ando un ángulo de 37* y sosten id a c o m o m uestra la figura, manteniendo AB=2m horizontal, si la masa de uQ n es 8 kg, determine (en kg/m) ia densidad lineal de la barra.

" f "

07 l

= >

+ 7 + 6 h )m

7 w 3*fm

P " - (6001 - 600h + 8000j ) - {oook + 9000Í - 600j ) P » -24004 ♦ 3600) - 1200h

8nB

P * 1 2 0 0 (- 2 Í i-S J -k )

Luego la magnitud del torque es: P ’ - 1200Vf- 2 ? + ( 3 ? + ( - ! ) * P~m 1200(3.742)

H -im H

P ~ = 4,6xJOaN x m o 4 , 6 k N x m

ABSOLUCIÓN i

RPTA i “ R ”

Realizamos el DCL de la varilla homogénea. mgmSOON

t.

á

Im A i ¡m

PROULBMA

Sm

A

Bj 3J3

i

Analizamos la ligadura que mantiene al bloque Q en reposa T. «••••«•••• T.eenST •i

R SB O LO C téM i Realizamos el DCL de la barra hom ogénea - 3 0 ¡ + 40J

= 50i + 30j

RPTA i “ C " 00 i

jjji r p l m C.G. 2m en

ro * (8 Í + 4 j + 6h)m y está sometida a la

M g -8 0 N

Igualando fuerzas contrarias para et equilibrio. Tt aen63* = 80 Tt ( 0 ,8 ) » 8 0 = > T ¡= 100N

40i loca liza d a

D/4,75

A) -3 0 Ñ Bj 80 Ñ C j 70 Ñ D j-7 0 k BfOOÑ

800* I * W * 1 * 100% 3 = W mBOON

está

0 6,0

Tteoe63•

Com o se puede apreciar hem os tom ado com o punto de momentos en A puesto que pasa una fuerza desconocida, por lo que: I J Í 0 .I J /0

partícula

Bj 7,6

msoJ+OOj

m *5kg

TmlOON

PR0RL0RU4

Aj 12.6

RESOLUCIÓN

00 i

C alcule el torque resultante (e n N .m ) respecto a) centro de la varilla uniforme de 4m de longitud que se muestra en la figura F t - 50s

Una

Z + M lc v

7 ' = 6 0 k -8 0 k + 60%

M^o -+ £ 2 * N x m

Bj 400 C) 500 Dj 000 Bj 700

* Jtfjj/cc + M i t o + M

Donde: 3 - r # - r

Luego el torque de ? respecto al punto A

La varilla uniform e de 4m d e longitud mostrada en ia figura se encuentra en equilibrio, si el bioquedto pesa 800N y la tensión T en ia cu erd a es d e ÍOON. determine el peso (en N) de la varilla. * 4m i Aj soo D

W

punto A localizado e n r * (4Í + 3 j ) m .

3 » ( 3Í + 4 J + 6 k ) - (4 ¡ + 3 j )

PROBLEMA

(~ltOJ

de la fuerza p sobre la partícula respecto al

Por tanto el torque o momento de la fuerza de gravedad respecto al punto 0 es:

RPTA t

r ,= (2 ;0 l

SOh

posición 3 de la fuerza (ver la figura).

Como ei momento de mg es antihorarlo esto quiere decir que apunta hada el eje Z( + ).

.T i .

/ ’ a r l x F J+ r , x / J + r J x mg + 0 Operando tendremos: *

— = 0,3m

MZ*0 *(lO Q )x(ot3-j3) = B&Nxm

(~2; 0)

r

r

A partir del punto de momentos (del punto o ) trazamos la distancia perpendicular a la fuerza para en con trar e i m o d u lo del momento de ésta fuerza. -™ g x d

P un to d e m om ento*

Fi

Ubicam os a la partícula según problema en la posición. r é * (3i + 4 j + Bk)m

m g= 1 00N

E N C it'J* QM*£OLi 2 0 1 2 }

-60 j

A con tin u a ció n an alizam os la barra homogénea, co m o esta barra está doblada debem os tomar cada porción de barra, en donde se cumple:

[ MSSTTArFi p

_

fín tC iO ixa s m u n d o s )

587

m AB

m BO

Lab

LgQ

especifica un pumo de referencia.

♦ E Q U ILIB R IO ESTÁTICO DE UN CUERPO RÍGIDO

♦ D IR E C C IÓ N D E L M O M EN TO

Cuando loe fuerzas están actuando sobre un cuerpo

El momento de una fuerza respecto a un punto O esta

2 6 Del DCL de la barra:

representado por un vector perpendicular a 7 como F : esto «s perpendicular a) plano que forma r y F . y d rígido en el sentido de avance de un tomillo de rosca derecho rotado en

T

el mismo sentido que la rotación producida por F alrededor

rígida, menecesario considerar el equilibrio en relación tanto a ta tro*loctón como a la rotación♦Por lo tanto• se requieren tos condiciones siguientes: I. Le suma de todas tas fuerzas debe ser caro

£ ? «()[

(equilibrio de traslación):

II. La suma de todos los momentos de tas fuerza con respecto a cualquier punto debe ser cero (equilibrio rotacional): £Mo * 0

Las dos condiciones* deben cumplirse simultáneamente p a rq u e ei cuerpo se encuentre en equilibrio; s i á n i Sollo, n o hay equilibrio estático. EQ U ILIB R IO Y REPOSO ^

g=50u

Para el sistema se cumple:

I F ( t ) = £F(4,) 2 T + 1 0 0 = 70fi

. . .( / )

Además el momento tomado en cualquier punto debe ser cero, para ello escogem os ei punto A ya que pasan mayor cantidad de fuerzas desconocidas, donde:

U N ID A D

Í00y2=20H >l+r*2 2 T = 200 - 2 0 n

...(/ / )

Reemplazando (II) en (I): (200 - 20/i)+100 = 70fi

fi = 8,33 kg

•n

a rotor alrededor de O cuando F crece, y conforme el brazo de palanca d, aumer^o.,

90M= 300

RPTM / " f "

M OM ENTO D E U N A FUERZA R ESPECTO A UN PUNTO (M0) ¿De qué depende b efectividad de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación? La magnitud y dirección de la fuerza son importantes, pero también b es b posición del punto de aplicación. Si tratamos de abrir una puerta pesada, es mucho más efectivo empujar

La unidad en el SJ. del momento de una fuerzaeslfiiew metra CU ID AD O ► Al haba t ce trabajo y energía llamamos joule a esta combinación, pete el momento de una fuerca no es trabajo ni energía. Así que debemos expresado en newton* meco, no joules.

Termineremc* este capitule co n tra reviáion c«Jtii£fikYj0 «H de repodo y eq w ^ ci^ ^ 9 Una panjeófese encuentra en repose con rsjjlffit*jffig& er.adoy m e ú l .piando * . vebodad. medida pnr r « cero. ° L'na ^ánicula se encuentra en respecto a un obtefador modal ciando íu.afefeÉ*fion encero Una pcrtkuU puede estar en rem ^ ^ dp relación a un obsesvador modal pero no estar en ^aropb Ciando SrairoitV^Dcalmente tocia arriba b piedra, toa iiiDmemaneamene aqfepbio cuando alcanza su abura máxima Si embargo nc e w jn^quiübrio ofbrque? Ic^abnerce upe partícula puece e*tar en equilibrio y no estar en rtpoic rsbtKo a un obse.vodor inercial Ejemplo: E*> partícula bbre. como no actúen fuerza* sobre efe. no hay aceleración y b par&cula se encuentra en equilibrio. La iiruaocr mas común que se encuentra es aquella de una panícula que esta tanto en reposo como equilibrio al mismo pampo, Por dicto razón mucha* personas consideran erróneamente los do* concepto* como sinónimos Por supuesto, una partícula sn equilibrio pu rés estar

sirmprr en reposo rn otgúnsistrma inercia! de referencia.

Ei m o m e n to d e una fu e r z a n o d e b e confundirse con ia fuerza. CASOS:

b

m£ = ON.m @ ) D o I problema I a! 6 , hallar el momento &

de la fuerza “ F” respecto del punto “ O ” . (+ )

1 0N = F

MÍ=+Fd

lejos del efe de rotación (cerca de b manija) que cerca de él (cerca de bs bisagras)."*

El momento de una fuerza es una magnitud vectorial; por lo tanto, tiene m agnitud y dirección.

3m

W Mq = - F d

♦ M AGNITUD D E L M O M EN TO ¡M^

D irección de la fiurrza F

Cuando se ejerce uno fuerzasobre un cuerpo ríg'do cue gira A_

B ra z o de

alrededor de un q e jjn g pasa por el punco O. e] objeto tiende a girar entorr.oajtfé s e punta

^

F . 10

N

d¿ — z

La tendencüfde v ¿ í£ t * m f é hacer girar un objeto alrededor de cieno efe que pase por Apunto O. se mide por medio de una cantidad ferr ada morfento de una fue*za s

f^ rz a ^

MÍ =+Fd

<**■ 4 m

*

Definimos b magnitud del mo.nento d é unafiferza respecto a un punto O medente b expresión; Mo=±Fd| Magnitud de b Fuerza

O


S.A Brazo de fcüanca. 'Es la distancia perpendicular desde el centro de rotodón ° hasta la línea de acción de T

La magnitud del momento de una fuerza respecto a un punto O es el producto de b magnitud de una fuerza y el brazo de pabnca de esta fuerza y este úhimo se define sólo en función del efe de rotacióa * La linea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende a partir de ambos extremos del vector que representa b fuerza. * E) brazo de palanca representa la distancia perpetxficubr desde el efe de rotación a b línea de acción de b fuerza F. * Es muy Impórtame que podemos reconocer que el momento de una fuerza respecto a un punto se define sólo cuando se

P

F-

M Í-+M0

5¿V=F,

♦ E Q U ILIBRIO ESTÁTICO DE U N A PARTÍCULA

Uno partícula se encuentra en equilibrio relativo si la sumo de todas loe fuerzas que actúan sobre ella es

m

cero: esto es: Si el objeto se trata de una partícula, ésta es b única condición que debe satisfacerse para el equilibrio. Esto significa que si b fuerza neta sobre la parocub es cero: * La partícula permanece en reposo relativo (si originalmente estaba en reposo) o: 9 Se mueve con velocidad constante (si originalmente estaba en movimiento}.

,\.\Vv\\«';sV\.•'s*sVsN\

'X'.OaV'

T

10N=Ft

\

3N=F,

i

*58

dirección

20N

(fi¡) Hallar el momento resultante,

(T i)L a barra no pesa. H a lla r la

en “ O ” .

fuerza resultante, y a que distancia de “ O ” deberá aplicarse.

3m 2 m O

4m

4m

1m % 4 V

»

A2 N

A4N : 11 m ?

3m

i

t

t 1N

3N

A)F B) 2F C) 4F D) 3F E) Cero (g )C a lc u la r el momento total o

(7 7 )H a lla r el m om ento de “ F "

momento resultante de todas las fuerzas mostradas respecto del centro de giro “ O ” .

respecto de ftO 99. F = 10 N

^

A )2 N ;0 D) 4N; Im

B )2 N ;lm E) 0; 0

H allar el momento resultante (La barra no pesa respecto de " O ” ). 4N

r

1m

1m

'O'C

4N

2m

C) 4N; 0

10
A) -40 Nm B) 40 Nm C) 20 Nm D) -20 Nm E) 50 Nm @ )C alcularel momento resultante

A)-40 N m D)-30 N m

de las fuerzas mostradas en la figura.

(T ^ H a lla r el m om ento de **F9*

2N

B)40 N m E)50 Nm

C)30 N m

respecto de " O ” . La barra pesa

20N.

4N

A) 0; existe equilibrio B) 0; no existe equilibrio. C) 2 N m ; existe equilibrio. D) 2 N.m; no existe equilibrio . E) -2 N.m; existe equilibrio. (713)Hallar el momento respecto de “O ”

Fa 20 N

F * 15 N

\6N

Q“ <

4m

A) - 22N.m B) 22 N m C )ll Nm D) -11 Nm E) 40 N m

A) 30N.m B) -30N.m C) 15N.m D) -15 N.m E) -40N.m

@ H a ll a r el momento resultante,

(7^) Hallar la fuerza resultante y a

respecto a (tO

que distancia “ d " (respeto del centro de giro " 0 ” deberá aplicarse. La barra es homogénea y pesa 6N. La barra mide 4m .

F, = 50N

2

m

¡m

i

F3=20 N

A)-140N.m B)140N.m C)100N.m D)-lOON.m E)-40 N.m (7?)Hallar el momento respecto de “O ” “O "

F2 s 10 N •

■o* «

%

A)-90N.m B)90N.m C)100N.m D) -lOON.m E)Cero

A) 4 N; 1,75 m C) 4 N; 1 m E) 2 N; -2 m

B) 2 N; 1,75 m D) 4 N ;- l m

F=2N

AhlOON.m B)-10N.m C)+10N.m D)+100 N.m E) Cero

f

ISSM 4 3 9

km

E D IC IO N E S

M ltlX O S }

La b a rra se e n cu e n tra en equilibrio y peso 80N. Calcular la tensión de la cuerda: (6 ?)CalcuIar F t para que exista

A

equilibrio. La barra no pesa

i!¡

F 6N A)12N B)6N C)48N D)54N E)7N Calcular la tensión **T99 de la

O

1

2 m —\

4m

4

cuerda. Existe equilibrio. La barra pesa 120N.

A )1 2 N B )6 N C )1 8 N D ) 2 1 N E )2 4 N

/

A)40N B)8ÓN O70N D)30 (T í) Calcular la fuerza

@ >H allar la fuerza **F” para que

pared. Existe equi pesa 12N .

exista equilibrio. La estructura metálica no pe6 a F

Rugoso

2a

n

2a

2a

□ A J90N B )1 2 0 N C )1 8 0 N D )4 5 N E )1 5 N 2m

La barra es de peso despreciable y perm anece h o riz o n ta l $ óen equilibrio. Hallar la tensióiípST

3m

6m Rugoso A)8N B)4N 0 3 N D)16N E)20N

12N

A)24N B)12N C)18N D)6N E)3N

(f^C a lcu la r el peso 94W " para que

@ C a lc u la r la fuerza “F*' para que la b a rra de 200N de peso, permanezca en equilibrio

exista equilibrio. La polea pesa J00

N. A)12N B)18N C)10N D)6N E)22N @ )C a lc u ia r la fuerza “F ” para que la b a rra de 60 N de peso, permanezca horizontal. A p lica r momentos respecto de “ O ” .

X F A )2 0 0 N B )5 0 N 0 2 5 0 N D )1 0 0 N E )2 5 N

A )4 0 N B Í 8 0 Q C ) 10 O N D )2 0 N E 1 10N y

@ )L a barra nb pesa. Calcular el peso del bloque B para que la barra permanezca horizontal & IA

Hallar la tensión “ T ” para que o| lO m

exista equilibrio. La barra pesa W .

A )5 0 N B )6 0 N C )2 5 N D )1 0 0 N E )7 5 N

Calcular el peso " W 99para que exista equilibrio

ION

m

2m

f- 2m H

4m

A)5NB)10N C)12N D)25N E)15N

A)W B)2W 0 3 W

iCalcular “ W " para que exista ibrio. La barra pesa 24N

AJ80N B)40 C)120 D)160 E)20

D)W¡2 E)W/4

(Q)La estructura metálica no pesa. H a lla r la fu e rza **F" para el

M E fk o o U S equilibrio.

Indique verdadero (V ) ó falso (F ) según corresponda:

I) Si la suma de momentos sobre un

U

EACJf'J.wMMA 2012} UI) L a dire cció n del vector, m om ento de la fuerza F , es p e rp e n d ic u la r al triá n g u lo de vértices A , B y C .

cuerpo es nula, entonces la fuerza resultante sobre el cuerpo es nula.

C

I I ) Las fuerzas de acción y reacción

B

siempre se equilibran. I I I ) Si tres fuerzas equilibran a un

2a

10 N

cuerpo rígido, entonces estas tres fuerzas son concurrentes. A )V W B )F F F C )F V F E )W F

A)SóloI BjSóloII CjSólolIl D)Sólol y III E)Sólo II y III

AJ20N B)10N C)5N D)15N E)25N

D )F F V

© C a lc u l a r la fuerza 44F ” del

( © L a figura muestra un par de

obrero para equilibrar la carga 4fW” . La barra no pesa.

fuerzas de módulo 1N cada una. Si el cuadriculado tiene como lado 1 m , indique la(s) afírm ación(es) correcta ( s ) :

hom ogénea cuyo centro de gravedad se encuentra en el punto C . Si T¡ y Ts son las tensiones en las cuerdas (1) y (2), indique la(s) afirmación(es) correcta (s):

7) E l m ódulo del m om ento resultante respecto del punto A es

I) Las tensiones en (1) y (2) son

45 Nxm* II) E l

4 5 Nx m-

III) Si colgamos un bloque en D , entonces T¡ < T3.

III) E l

B)0,5 W E)W

D ) 0,8W

C)0,6W

iguales.

II) Si colgamos un bloque en B , entonces T¡ > Tr

m ódulo del m om ento resultante respecto del punto B es

A)0,4W

La figura muestra una barra

m ódulo del m om ento resultante respecto del punto C es

r

fi)

( 2) f *

45 N xm .

H allar 44F * 9 para que exista equilibrio. La barra pesa 2 0 N . 10 N

A)Sólo I B)Sólo II O Sólo III D)SóloIy II E)Todas son correctas

13

C a lc u la r el m om ento de la

3m

fuerza ( F = 20 N) respecto al punto "O ".

i .* t«

ÍÍV e 1m &

V

ñ

AJ40N B)20N C)10N D)5N E)4N

© E l momento de una fuerza:

A) Es una magnitud escalan B) Sólo depende de la fuerza. C) Sólo depende del brazo de palanca

D) Es paralela a la fuerza. E)Mide el efecto de g iro que provoca una fuerza sobre un cuerpo .

F=20N k

¥

O

A )SóloI B)Sólo II C)Sólo III D )SóloIyII E) Todas son correcta» (© E n

la fig u ra m ostrada, el

módulo de la fuerza F es igual a la medida del segmento A B , además el punto C es el centro de giro. Si el área del triángulo es de módulo k , indique la (s) afirm ación(es) correcta (s):

5m

A)100Nxm B)-100Nxm C)Cero D )50N xm E )-50N xm (© C a lc u la r el m om ento de la fuerza ( F = I O N ) respecto al punto "O ". F=10N

7) E l módulo del momento de la fuerza F , es igual a k.

II) E l módulo del momento de la fuerza F , es igual a 2 k .

O

A

5m

i.

AJIONxm B)20 0 3 0 D)40 E)50

[J

M

M

E M C m m S KUM XOS}

491

@ )D e te r m in a r el m om ento de fuerza, respecto al punto "A".

A)30 Nxm B)20 Nxm C)10 Nxm D)40 Nxm E)50 Nxm

F=10N

A )40N B)80 N C)100 N D )2 0 N

E)10 N

x=¿? A)2m B)lm C)0,5m

¿

0 )2 ,5m

E)l,5m Calcular "W" para que exista equilibrio. La barra pesa 24N .

@

D e te rm in e el m om ento de

fuerza respecto al punto A .

F=20N A h l6 Nxm B)24 Nxm C)-32 Nxm D)-64 Nxm E)-60 N xm

A)12N B)6N C)48ND)54N E)7N

(Q) Una placa fcpnógénea descansa sobre d o s jp h fe íle s elásticos, encuentre conociéndose que los m u e lle » están igu^írqgpte deformare

A) l i i B)Í¡3 OH4 D)2/3 E)3!4

H a lla r las reacciones en los Calcular el peso nW' para que apoyos A y B si la barra horizontal exista equilibrio. La polea pesa está en equilibrio y es dérpe&b'' 100N. r = 2 0 cm despreciable.

2m

R = 30 cm

F=140N A >

(^ H a l la r el momento resultante de las fuerzas m ostradas con respecto a "O".

3 *

20N

ím

6m

B) 30 N; 60 N D) 60 N; 100 N

A) 20 N; 120 N C) 40 N; 60 N E) 30 N; 80 N

A)-2 N xm fcB )2 N xm C)6N xm 0 )-6 N xm E)& Nxm i

(Q )La

b a rra ^ j 2 6

de

6m A

T

^ 3

E l sistema físico mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Si la e s tru c tu ra es de peso despreciable y la esfera A pesa 50 N , hallar la tensión en la cuerda horizontal ~ bc-

peso

despreciable y pefíñahece en equilibrio. Hallar la tensión "T .

3m

Im

3\

J

12N AJ12N B)18NC)10N D)6N E)22N @ C a lc u la r la fuerza *F' para que la b a rra de 200N de peso, permanezca en equilibrio.

A) 10 N B )15N C C)25 N ™ D )20N E)35 N

■m

AJ200N B )50N 0250 N D)100 N E)25 N

Calcular el peso ' W para que exista equilibrio.

A )80N B )40N 0120 N D )160N E)20 N

B

Dos personas llevan una carga en una varilla rígida y sin peso. La longitud de la varilla es de 3 m. ¿En qué punto estará situada la carga, si el esfuerzo de una de las personas es el doble que el de la otra?

Hallar la tensión en el cable, si el sistema que se muestra está en equilibrio y la placa homogénea pesa 9 n N •

A )6 N B )9N 012 N 0)15 N E )18N

R 'j

L

R *\

Í,7.Ü¿¿

g [ |d in a m óm etro

E n cada caso hallar el momento de la fuerza «F» respecto del punto «O ».

A)

F=10N

O

A)10N

B)20

¡A

HXCM4 J. o m n L t 2 0 1 2 }

muestra. Determine el módulo de la reacción del piso sobre dicha placa si la lectura del dinamómetro es

20N, d ina mámetro ideal ~

-

i g s l omf¿

C)40 D)80 E)60

Dos personas tratan de mover

3m

i—

RPTA B)

'-%4rj-Dir*cción de la fuerza Brazo de d/

F=10N

»

é

a un bloque mediante dos cuerdas ta l como se m u e stra . Si las tensiones en las cuerdas (1) y (2) son 40N y 30N respectivamente; determine el módulo de la fuerza total que ejercen ambas personas.

A)5N B)10 0 1 5

D)20

E)50

Si la esfera se encuentra en i e q uilibrio , determ ine «F» si la esfera posee una masa de lOkg .

RPTA : C)

RPTA Si el sistem a m o stra d o se

A)60N B)70 0 5 0 D)100 E)120

encuentra en equilibrio, halle el valor de la fuerza que ejerce el piso al bloque (m A= 1 0 k g ; m B= 6 k g , g = 10 m/s*)

D e te rm in e el m ódulo de la fuerza que ejerce la articulación a la barra homogénea de 12kg. si en la posición mostrada se encuentra en equilibrio.

A)50N B)120 0130

A)59N B)159 0 7 5 D)200 E)100 E l sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Los pesos de las poleas y de la palanca, asf como las fuerzas de fricció n son despreciables. Determ ine la reacción del apoyo «O» sobre la palanca.

M=5kg

D)170 E )70

ro

Hallar la magnitud de la fuerza Una barra de 8 k g se mantiene

«F» para mantener el sistema en

en reposo. Determine el valor de la reacción en la articulación.

e q u ilib rio estático. E l peso del bloque es

»

••

O 5kg

articulación A)48N B)24 C)16

A)10N B)20NO30N D)40N E)50N (TT) Se

D)56 E)64

una

esfera

@ ) La placa triangular de 3kg se

homogénea en e q u ilib rio en la posición en la mostrada. Halle los valores posibles que puede tomar el coeficiente de rozamiento estático

encuentra en equilibrio tal como se

entre la esfera y la pared.

La barra de 6kg se mantiene en reposo, si el dinamómetro indica 20N, determine el valor de la fuerza que ejerce el plano inclinado a la barra. (g=10m/8*)

m ue stra

Ü L D

[MCS'rA.'TMÍZtA KM

E D IC IO N E S R U R IN Ó & H alle la relación entre los pesos de los bloques «A» y «B» para que el sistema esté en equilibrio, las superficies son lisas y las poleas ingrávidas.

fMtm

cuerda K

m

(T> \ A)L¡3 B)L¡2 C)LI4 D)L/5 E)L16 _ Una persona de 600N de peso A)m, Z1 B)m. 2¡ 1 D) jj, ¿ 0,5 E)pm<>2

C)M. * 0,5

(f ^ U n cuerpo de peso p está sobre una superficie plana horizontal, sometido a una fuerza J? paralelo al plano, m enor que la fuerza necesaria para moverlo. Siendo pt el

está sujeta a una polea que puede deslizarse a lo largo del cable inextensible de 5m de longitud, cuyos extremos A y B están fijos a las paredes verticales separadas 4m e n tre sí. E n condiciones de equilibrio, halle la magnitud de la tensión del cable en N.

€

¡y Ti

A)1

B)2

C)3

m u e stra

[—

m ódulo d e - ^ - v 3 ,

>

d a g ^ p a rra s i

fiT*'

homogéneas idénticaSaruculadas y en reposo. Si in|j£réj)resenta el módulo de laffierza de gravedad sobre cadajltfa rra y p tiene u n '•* m g

coeficiente de fricción estático entre el cuerpo y el plano, la primera ley de Newton se aplica en este caso con la siguiente forma:

)8

D)

existe entre

0

¿qué relación

y #?

¿O*

AÍP ' N r e a c c ió n d el p la n o a l p eo o
CJP + AT + F a + F - O

A)200B)300 C)500D)600 E)1200

D)F=gtN

(Q )U n a barra no homogénea de Im

(fl^Para qué valor de

0

, la barra

homogénea resbala?

de longitud pesa 25N , estando su centro de gravedad a 36cm de su extremo « A » . Halle el valor de la reacción en la articulación del extremo B. Todas las superficies son lisas.

B |

A

A)* = 20 0 )0 = 0

Indique la veracidad (V) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones:

I)S i u n cuerpo d e sa rro lla u n A)20N B)25 A )0 <30°

B )0 < 37¿*$j0 < 45°

0 ) 0 = 53° E ) 0 < 5 3 ° ^

@ En

la fig u ra , -u n a v a rilla

uniforme de longitud «L» y masa « m» sostenida por dos resortes de constantes K¡ y K gf tales que K j = 2K 2• ¿A qué distancia del resorte de constante K l deberá colocarse un cuerpo de masa m para que la varilla se mantenga horizontalmente en equilibrio? (Los resortes tienen la misma longitud natural).

Una

C)10

cadena

0)15 flexible

E)5 y

homogénea de 8m de longitud se encuentra en equilibrio. Si el plano es liso, determinar «x» en metros.

movimiento circular uniforme en forma permanente respecto a un observador fyo en tierra, entonces dicho cuerpo puede en a lgún instante encontrarse en equilibrio.

II) L a fu e rza cen trípeta es la resultante de todas las fuerzas que actú an sobre u n cuerpo en movimiento circular.

III) E n u n a re gió n donde la gravedad efectiva es nula no se podría medir la masa de un cuerpo por medio de una balanza de brazos (platillos).

A)4m

B)5

0 )3

E)7

A)FFF B)VFF C)W F D)FFV E)VW

SÜ

{ is a

* e *

IA ENCimarJEMMti 2012)

la M

E l sistem a m ostrado se e n cu e n tra en e q u ilib rio . Determinar la tensión de la cuerda que sostiene a la barra homogénea

iHallar «H» máxima del cilindro homogéneo de 3m de diámetro para que esté a punto de volcar. No hay resbalamiento ( a =37°).

J N -l)(2 N -l)k

de peso:

6

L

U n bloque es c o m p rim id o

D)p*Tan

contra una pared con una fuerza j ?, según muestra la figura. E n las afirmaciones siguientes existe una equivocada. ¿Cuál es?

©

E)pt—7bna

©

£

_ E l bloque que muestra la figura está en reposo y unido a un resorte no deformado. Sabiendo que si se aplica una fuerza horizontal de 12N al bloque, éste se desplaza 40cm y como consecuencia el resorte se estira 20cm , siendo la nueva lectura de la balanza 8N. Hallar la lectura original de la balanza. k

S

A) La p a red e je r c e so b re el bloque una reacción normal de misma m agnitud y d irección opuesta a j? . B)Si el bloque p erm a n ece en reposo ex iste una fu e r z a de fricción estática que actúa sobre él dirigida hacia arriba. C) Si el cuerpo perm an ece en reposo, podemos concluir que la fu en a de fricción estática de la pared sobre él, es mayor que el peso del bloque. D)Si el valor de y es nulo no habrá fuerza de fricción de la pared sobre el bloque. E)Si el coeficien te de fricción entre la pared y el cuerpo es nulo, este últim o caerá no im porta cuan grande sea el valor de j?.

1

A ) (N d ) < W 1l ) k

C)(N-1)(2N-1) h D)(2N+1)(2N+1) h 4 3 @ ) L a placa triangular presenta densidad u n ifo rm e de 5kg¡m 2, d e te rm in e la deform ación del resorte de rigidez. K =60N /m ,(g--10~j m¡§2 ) ; L = 1 2 0 'j2 cm

£

B a la n z a A)9N

B)12

C)17

D)18

E)21

@ ) L a longitud natural del resorte es de 30cm . Si se suspende un bloque de 80kg, esté desciende le n ta m e n te hasta quedar en equilibrio en la forma indicada ahora. Si el resorte es cortado en P y de dicho punto se suspende un bloque de 40kg; determine la nueva deformación de la parte A hasta el equilibrio. (g=10mls2).

E)50 L a v ig a hom ogénea ABC conserva su lado BC en posición horizontal siempre que la masa del bloque, sea 3kg mayor que la del lado AB. Para las condiciones mencionadas, determine el módulo de la fuerza que experimentará la polea lisa de parte de la cuerda. (g=10m/s2). 60° T*

@ ¿ C u a l debe ser el valor de //, para que la bola no se escape de los planos, al intentar d ism in u ir el ángulo diedro a? (E l sistema se encuentra sobre u n a mesa horizontal lisa).

Bc ■ IÍ80

L A

A)4cm

B)6

C)8

D)10

E)12

% < 0 * E y

A

A)10N 3 )2 0

0)30 0 )4 0

E)S0

m

E P t C iO X E S ISUKIXOSl

40B t e l

( 9 C S rT A T M € l c \ I I

La esfera homogénea de 200N

esta apoyada en el plano liso. Determine el módulo de la tensión en el cable ideal.

A)100N B)120N C)80N D)125N E)75N

J ^ jS O N

20N

A)100N 0)150 N

B)120 N EJ170N

0130 N

m D e te rm in e el m ódulo de la te nsió n en el cable (1 ); si el sistema se encuentra en reposo.

(g=10mfa2). Determine la deformación en el resorte ideal cuya constante de rigidez es K=10N/cm ,(mbioqux=3kg *mpoUa = °>5 ; g -1 0 m s s. E l sistema se encuentra en equilibrio.

A)3,5 cm B)7 cm C)7,5 cm D)3 cm E)6,5 cm

E

A)30N B)40N O50N D)80N E)67,85N

se encuentra en reposo. Determine el módulo de las reacciones en los puntos A y B. (g = 10 m/s2)

A)80j3N y 160N B)40N y 40N

O 0 ,8 k g

m E n la. figura el b lo a d ^ B se desliza con rapidez édnaxarite. Determine el módulo. de lá fuerza * **a¿ *• horizontal F si Iqa&loques A y B 6 on de 2kg y GA^fy&Tpectivamente y el coeficiente de rozam iento cinético entre todas las superficies es 0 ^ . (g —10 mis2)

Determ ine la masa necesaria que debe tener la esfera, para m a n te n e r el e q u ilib r io del s is te m a . D e s p re c ie todo rozamiento, (g = 10 mis2).

A)8 kg B)10 kg 0 5 kg 0 )6 kg E )4 k g

O40yÍ3N y SON D)50Ny30N © E n la figura las poleas son lisas

E)40Ny 40-J3 N

y de Ik g cada una. Determine la masa del bloque B, si el bloque A de 3A£^perrnanece en reposo. (g=10mla2). v-

(^ D e te rm in e el ángulo q ; si los

A)1 kg B)2,5 kg 0 1 ,5 kg 0)0,5 kg E)3 kg

B )l,2 k g ¡ *É)3 kg

A)20N B)12N C)16N 0)4N E)24N

E l cilindro homogéneo de 8 kg

e _ __________

A )lkg 0)1,5 kg

bloques de masas m} = 2 k g y m2 = l,2 5 k g se mueven con rapidez constante. Desprecie todo rozamiento.

(£7) E l

sistem a

m ostrado

se

encuentra en reposo, si la barra es de 3kg. ¿Qué valor tiene la reacción en A? (g = 10 m/s2). A

A)40 N

'

B) 20-JSN C )4 0 j2 N D )50N A)3T B)63° 0 4 5 ° Kí l

E l sistema mostrado esta en reposo. ¿Qué valor tiene la reacción en A? (la barra es de 100 N ) .

0)60° E)30°

E) 30y¡2N

Determine la masa de la polea móvil si el bloque A se desliza con rapidez constante, (g = 10 m¡s ).

E n la figura se muestra a un bloque liso en reposo unido a un resorte de rigidez K =600 N/m, si

U Ft=Fs= 30N , Fs = F4 = 40N y Fs = 5ÍEMV. ¿Cuánto está deformado el resorte?

Se m uestra una escalera homogénea de 180N en reposo sobre superficies lisas. ¿Qué valor tiene la tensión?

K

c ir c u n / e r e R c / a

A)10 cm D)25 cm

B)15 cm E)30 cm

C)20 cm

(© D e te rm in e el m ódulo de la reacción de la superficie inclinada lisa, sobre la barra homogénea de 7 *5 - (S = 10 m/s3), AJ25 N

B)30N C)40 N D)45N E)35N |S77

A)120 N B)135N 0 150 N D)180 N E)125 N

Im

2m

i

g

Si el ángulo del plano inclinado 2m

<.

( © E n la figura se observa los bloques en equilibrio y sostenida por el muelle mostrado (K=20N/cm) . Si retiramos lentamente el bloque A de 8kg. ¿Qué distancia ascenderá el bloque "B".

B)2 cm 0 3 cm D)4 cm E)F.D.

E n la figura se muestran tres resortes idénticos A , B y C de peso despreciable, respecto de ellos se puede afirmar:

A A )5 k g D)3,5 kg

B)I2 kg E)2,5 kg

© D e t e r m in e

C)4 kg

la le ctu ra

del

dinamómetro ideal D. Considere poleas lisas y homogéneas de masas Ikg y 2kg. (g = 10 m/s3).

A)40 N B)70N C)80 N D)110 N E)50 N

^

cm cm cm cm cm

2m

A J Í cm

© D e te rm in e la mayor masa que puede tener el bloque de pequeñas dimensiones colocado en el extremo de la barra, si esta debe permanecer en reposo, considere la b a rra homogénea de 5 kg. (g=10 m f83).

A)24 B)20 018 D)32 E)16

E y c M 'jw viP L t 201¿]

A)C se estira más que B y A. B)A y C se estiran y B no, ONinguno se estira, D)B y C se estiran. E) Todos se estiran por igual,

se va incrementando lentamente, halle el mínimo ángulo para el cuál se pierde el equilibrio.

A)37° B)30° 045° D)60° E)53°

pt=0,75

( © E l coeficiente de fricció n estático entre las superficies en contacto es 0,3 y el coeficiente cinético es 0,2. Si el bloque A cae a velocidad constante, ¿cuál es el módulo (en N) de la fuerza F que actúa perpendicularmente sobre el bloque B?

A)25 B)30 035 D)50 E)70

.kr x*

Q ue diám etro debe tener el hemisferio sólido mostrado, para que cada vez que su parte superior sea oscilada hacia cualquier lado, este re to rn e a su posición de equilibrio. Considere que tanto el h e m isfe rio como el cono son homogéneos compactos y del mismo material.

( © E l sistema mostrado está en equilibrio, calcular la deformación en cm del resorte cuya rigidez elástica es K=500N/m se sabe además que WA= 4WB y no hay fricción.

73

Air = h/yf3 B)r > h!sÍ3 C)r < h ¡& D)r < hl\Í3 E)r < hl>Í2

[M C&rr A .'X 'IC l* \ BM

B S 3 L *e 7 m

@ ) E 1 sistema que se muestra esta

30cm i■ >l

m n r c iO iX E S

(1)

40cm

ti

iB

AJIOcm D)15cm

B)12cm E)16 cm

C)14cm

@ ) S i la barra y las poleas son ideales. Determine el módulo de la reacción en la a rticu la ció n A .


20cm

A)40 N y 40 N 0 5 0 N y 30 N E)44 N y 36 N

)

30cm

formado por la barra homogénea de 2kg y un bloque (1) de 5 k g t si a 20 cm del extremo B se coloca un bloque de 2kg. ¿Cuánto hay que desplazar al bloque (1) para que siga habiendo equilibrio? lO c m i ■ ii»

r u iu x o s

A )40N B)20N C)25N D )35N E )50N

n

•

* _w n

C

'

g

w¿

B)20 N y 60 N D)56 N y 24 N

@ ) A un cilindro compacto se le ba taladrado consiguiéndose el agujero circu la r m ostrado. E l cilindro descansa sobre un tablón, este comienza a levantarse lentamente por un extremo. Hállese el ángulo límite del tablón con el horizonte para el cuál el cilindro aún puede perm anecer en e q u ilib rio ; sin deslizar.

g

pequeño cubo^d Q?$00g descansa apoyado e n u n plano

m Un

in c lin a d o ru g o s o ^ # ¿$*1* 25 ) . Determ ine el mfnimc/valor de la fuerza horizontal F con que se w

debe em pujar el cubo para que empiece a moverse.

3L

AJ3N B)4N C)5N D)

E)JÜ)N

4

A)30-¡3N B )20jl3N C)12jlON DiI2s[Í3N E)204lÓN

A )cn=arcTgp O cu ~ arcSenp

B)ct = arcCtgp D)a = are Cos fj.

Los bloques de la figura están

Dos cadenas de 5kg cada una, sostienen horizontalmente a u n también homogéneo de 1 2 k g . Determine el mayor valor de la tensión ..en, una de las cadenas

(A B = 3 B C T ¿ = 10 mis2).

en movimiento inminente, si entre los bloques y la superficie h o riz o n ta l e in clin a d a no hay fricción; encuentre el coeficiente de fricción estática entre los bloques m jy m 2. Sim 3 = 2ml y q = 3 7 °.

A)80N B)40N C)90N D)130N E)120N C

(ñ7) Si la esfera lisa y homogénea de 7kg se encuentra en reposo; determine el módulo de la fuerza que le ejerce a la superficie curva (g = 10 m/s2).

^X(m) A) SON D)80N B

A

Las barras homogéneas de lm

y 4kg cada una se encuentran en reposo; si los rodillos son lisos y de masa despreciable determ ine el m ódulo de la reacción en los rodillos A y B. (g = 10 m/s2)

A)0,2 B)0,4 C)0,6 Se

m ue stra

D)0,8 E)0,1 una

placa

rectangular homogéneo de 6kg en reposo. ¿Qué valor tiene la fuerza de rozamiento sobre el vértice B? (g = 10m/82).

B)40N EjlOOON

O 50N

E n un cilindro homogéneo a

2R ¿f

de su centro (B : radio del

cilindro), paralelamente al eje se ha

R

perforado un orificio de radio — , el cual se ha llenado con una sustancia cuya densidad es 11 veces la del

* ñ s \

cilindro. D eterm ine hasta qué ángulo se puede inclinar la tabla sin que el cilindro pierda el equilibrio.

Ú&*

fA ENCM4x

2012)

mayor la tensión de las cuerdas? (cuerdas de igual longitud).

(g = 10 miss).

M .= 0 ,7 5

A)26J¡° B)3T C)185° D)16P E)14.6? E l sistema que se muestra está en reposo y está conformado por cuatro barras homogéneas que están articuladas. Si la masa de las barras articuladas al techo es la mitad de las masas de las barras de longitud L , ¿qué relación existe entre x e y?

A)lcm D)0,5cm

B)2cm E)0,8cm

03cm

E n el sistema m ostrado, el bloque de 9 k g desciende con velocidad constante; determine el m ódulo de la fuerza ~JF perpendicular a la barra de masa despreciable, sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la barra y la polea de menor radio es 0,75 (R =20cm ; r = I O cm ; g = 10m¡8 *).

A)En (1) B)En (2) 0 (1 )= (2 ) D)De pende del peso del cuadro . E)Depende del m aterial de la cuerda . U na cadena se suspende de 2 puntos de apoyo: A y B , determine en qué relación están los módulos de las reacciones en dichos puntos B de apoyo.

53*.

AJTan x=tany B)Tanx=l,5tany C)Tanx=2tany D)Tan x=2,5tany E)7hnx=3tany

A) 7/24 D)9/25

TERCERAPK\CTICÁ

Se tiene un marco de alambre situado en un plano vertical. Dos esferas de masas m ¡ = 0,1 k g y m2=0r3kg unidas por un resorte de K = 1f3N¡cm , se desliza sin fricción. Halle la deformación del resorte en

06/23

B)5/24 E)8¡25

A)100N D)800 N

B)960N EJ240 N

C)180 N

1

2)1) t e *)E|s)E

IJ l c iím i

iCalcule el máximo voladizo x

la posición de equilibrio. (J 7 = 2,6) • para que las tres tablas homogéneas de 12 cm de largo se mantengan en reposo.

t e t o 1

i w

CLAVESDEIA CUARTAPRíCTICA]

[m i w DELAQWTAPRACTICA} A)lcm B)2cm C)3cmD)4cm E)5cm

ES í)e t e

lUna barra homogénea de 1,4 kg y 25cm de lo n g itu d desciende lentamente hasta que adquiere el equilibrio. Si inicialmente el resorte de K = Í OONlm está sin deformar; ¿cuánto se desülaza el rodillo liso?

A)5 cm D)9 cm

B)6 cm E )ll cm

0 8 cm

U n mismo cuadro se cuelga de dos modos distintos como se ve en la figura. ¿En cuál de los casos es

un g

S)Á !)C IjjE m É I7JDJS)Ei 3 i

.111 t » 8)f t o t e Si

[f'jfc iir r * * * *

o b j e t iv o

w p+

: f

»

a

#>

:

“ Reconocer aquel lugar característico de cada cuerpo en el cual actúa su peso". in t r o d u c c ió n :

Ya sabemos que el peso de un cuerpo es el resultado de las acciones de atracción de la tierra sobre él, pero cuando tratamos con sólidos, es importante reconocer el lugar donde actúa su peso, esto nos permitirá tener más conocimiento de su estado de equilibrio cuando se coloque sobre otro cuerpo, o cuando se le suspenda mediante una cuerda, a dicho lugar puntual se le denomina “ centro de graved ad (C.G.)9*

e m

a o m

' K U fítÑ o sÁ

Es el punto de aplicación del vecto^geso y además si en este punto aplicamos una fue^fcáde igual módulo, dirección y sentido opuesto a i peso, el cuerpo será equilibrado.

C A R A C T E R ÍS T IC A S O C E N T R O D E G R A V E O ¡Ú Ó (C .G .) I) E l C .G . es un punto que puede estartloicado dentro o fuera del cuerpo.

II) E l centro de gravedad de los cuerpos sólidos ocupa u n lu g a r fijo en él, independientem ente de su orientación.

W =m g

W =100N

E l centro de gra ve da d de u n cuerpo quedará perfectamente determinado con respecto a un eje de coordenadas, por una abscisa (x) y una ordenada (y). Centro de gravedad es el punto donde se encuentra concentrado el peso de u n cuerpo.

CEN TR O D E

GRAVEDAD

-T

Es aquel punto donde puede asum irse que esta concentrado el peso de un cuerpo, en consecuencia el

III) E l C .G . de un cuerpo puede cambiar de ubicación por los siguientes motivos: • Si el cuerpo es rígido y se le d eform a . • S i el cuerpo es flexible o elástico. • Si el cuerpo es lanzado al espacio y sobre el actúan otros campos gravitatorios de otros planetas. E n este caso, existe la posibilidad de que en un lugar del espacio la resultante de todas las fuerzas gravitatorias sea igual a cero, desapareciendo el centro de gravedad, puesto que el cuerpo no tendría peso.

IV) E l C .G . depende de la forma, distribución de masa y de los campos gravitatorios que actúan sobre el cuerpo. Cuando el cuerpo está cerca de la superficie

I A E v r w y .o i^ P lil 2 0 1¿)

£ terrestre y éste no es deformado, puede considerarse fyo su C.G. Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo perm anecerá en e q u ilib rio , independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al centro de gravedad.

OJO: Si a l cu erp o co n sid era m o s com o p a r tíc u la (pequeño), entonces C M . < > C.G. ** . s

V) Si un cuerpo presenta un agujero o tiene un aspecto cóncavo, el C.G. puede ubicarse en algún punto de su borde o incluso fuera de él.

VI) Los C.G. siem pre se ubican en la zon a de mayor concentración de m asa. VII)Cuando los cu erpos tien en una lín ea o plano de sim etría , y son adem ás uniform es y homogéneos, se verifica que su C.G. se ubica en un pu n to de la línea o del p la n o m encionados. Ott&EHVACiOXES 2 Cuando los cuerpos presenten distribución de masa u n ifo rm e y s im é trica , in d is tin ta m e n te hablaremos, plantearemos y definiremos al C .G ., centro geométrico y centro de masa como aquellos puntos físicamente iguales.

Cuantomás cerca áei centro áegfCYtOodcorporal se encuentre le carga, más fácil será Bevarla mochila.

(C U E R P O S A P O Y A D O S ) Para que un cuerpo apoyado sobre una superficie quede en equilibrio deberá cumplirse que la línea de acción del peso debe intersectar a la base que le sirve de apoyo; de otro modo se producirá una volcadura. E stá a p u n to d e v olca r E ste b lo q u e d e h ech o volca rá E ste b loq u e esta en eq u ilib rio

Realmente el peso de un cuerpo se aplica en el C.G. y no el centro de masa. Para propósitos prácticos no hay diferencia entre dichos centros a menos que el cuerpo sea muy grande. E l C.G. como punto de aplicación del peso, tiene sentido para cuerpos pequeños (cuyas dimensiones son pequeñas en comparación al radio de la tierra) y cuando las fuerzas de gravedad puedan considerarse paralelas.

Se tiene un cilindro en equilibrio. ¿Por qué está en equilibrio? Porque la línea de acción que contiene el peso pasa por la base del cilindro.

CENTRO DE MASA o centro de inercia tiene sentido

Se muestra un cilindro un tanto inclinado; pero sigue en e q u ilib rio porque la línea de acción que contiene al peso sigue pasando por la base del cilindro.

para cuerpos grandes o pequeños y cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas externas (diferentes a las gravitatorias) y no necesariamente paralelas. E n consecuencia, el centro de masa, es aquel punto donde se considera concentrada la masa de un cuerpo y en donde se supone que actúa la fuerza resultante total (que no necesariamente será el peso). EJEM PLO:

Donde: F n ^ F t + Fg + F S + F4

Actúa sobre el C.M.

O

Se tiene otro cilindro, que evidentemente no está en e q u ilib rio porque la línea de acción que contiene al peso no pasa por la base. Cabe m encio na r que el cilindro caerá por acción de la cupla (Jt y W).

[*:MZJ%rrM€4P MPK

K IH C IO X E S

KUKW OSl

E n el caso de que un cuerpo plano se le ubica gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en suspendiéndole (C U E R P O S S U S P E N D ID O S ) de 2 o estas condiciones, no habrá u n momento restaurador más puntos arbitrarios, hasta que se equilibre en cada y el cuerpo abandona definitivamente la posición de caso, de manera que el C .G . se hallará en la vertical equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará que pasa justamente por el punto de suspensión; la a una nueva posición de equilibrio.

m

intersección de estas líneas definirá al C .G .

DE TERMINA CMÓN D E L A S COORDENADAS DEL CENTRO D E GRAVEDAD (C .G .) Sea un cuerpo de peso T cuyo C.GvTfeseamos conocer, entonces lo descomponemos en parteé simples de pesos: W ¡, w r W p ..., Wn y cuyos C .G . son x t, y x x T y a**. . . ; x H, y n y definimos a l C .G . : x y y , se Y t

.é r r -y

o Se m u e stra un a placa en e q u ilib rio . ¿P o r qué está en equilibrio? sencillamente porque 6 obre el cuerpo actú an dos fuerzas con las misma intensidad, en la misma línea de acción; pero en sentido contrario, o sea el centro de gravedad se encontrará ♦Donde: W =W J+WS+W3+... +W, ♦ Del Teorema de Varignon: en dicha línea recta. También se muestra la misma placa en equilibrio; pero en otra posición. Nótese que las dos fuerzas anteriores tienen otra línea de acción que intersectándola con AB nos dará el centro de gravedad. Se muestra la misma placa, en el cual actúan dos fuerzas iguales en módulo, en sentido contrario; pero en diferentes líneas de acción. Si bien es cierto que estas fuerzas se anulan, también es cierto que ellos constituyen una cupla (par de fuerzas), la cual h a ría g ira r a la placa hasta llevarla a la posición de equilibrio. nota:

My -Y, My

(Momentos respecto al eje Y)

W x=W jX j+W2x 2+W sx 3+ ' " + W nXn •

♦ De donde:

_

+ ................... Wj + W2 + ..............

Análogamente tomando momentos respecto al eje X:

W¡ + W2 + ..... + W9

NOTA:

♦ Si el cu erp o es hom ogéneo, es decir, de p eso

específico constante, p u ed e sustituirse los pesos p or los volúm enes correspondientes . V1x 1+Vax 9 + V J+ V 2 +

n

n

+ v .n

í _ V Jy í + V 2 y 2+ .... ....... + Vny„ V ,+ V 2 + .... .... + V„ ♦ Si el cu erp o tien e p e s o esp ecífico y esp esor

U n objeto apoyado sobre una base plana estará en constante, entonces solam ente p u ed e trabajarse equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro con áreas, quedando: de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el C G cae dentro de la base de apoyo. A¡ + A 2 + + A„ Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá u n momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. N o obstante, bí se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de

_

J

A ,y ,+ A 2y 2 + .. - + a 7 + a 2 + ... - + A .

L1 F A 'C tr j.o i’HOJbi s o n )

£ P a r a c a b le s , c a d e n a s , consideraremos longitudes: *

barras,

e tc ,

SUPERFICIE *

_

x=

LjX j + L2x 2 + +

+ L

i» x n

Triánsulo: Punto de intersecciór las de medianas

a

^ •••• ^

¿ 2

UBICACION

L¡ + L2 + ....... + Ln

m g

=\am U

C .6 . D E E IG V K A S CONOCIDAS

UBICACION

LINEAS

* Pa ra lelogram o Igual que las líneas

* Segmento de Recta A

C.G - o -----

*

B

y = * y 2

Punto medio del segmento. >unto de concurrencia de as m e d i a n a s del riángulo obtenido al unir os puntos medios de los ados.

Recta N M une los puntos medios de las bases

Trapecio: B b M

h

Paralelogramo:

y =

Punto de intersección de las diagonales.

____

lB+2b\h B+b 3

N

B * Sem icírculo:

Rectángulo: y = —

y 3n

- h y = 2

* Cuarto de círculo:

* Cuadrado:

4r

V

x= y = s¿

Centro de figura

r = r a d io del cuadrante

* Circunferencia: Centro de figura

* Sector Circular: %

r

%

C .G

* Semicircunferencia:

>x

• • ¿ Y . . . . . . » . . . * * - » *

0

yy = JLr n

*$

-r_ rsenB x —

r ~

«73

[raa m ry w to msmz f t f L t v g i A i i »

V O LU M EN E S

E M P U JO N E S

UVBM ÑOS]

U B IC A C IO N

* Prisma:

PROBLEM A 1: MC.GMse encuentra en el plinto medio del segmento que une los centros de gravedad de las bases.

U n cuerpo, según la figura, reposa sobre una superficie perfectamente lisa (sin fricción) y horizontal. Su centro de gravedad está en G como indica la figura. Si el cuerpo se inclina ligeramente cae^ak piso. ¿Dónde quedará su centro de gravedad

* Cilindro: oT

_

h

y = j

* Pirámide: “C .G .wse encuentra a J/r de la lo n g itu d del segmento que une el vértice con el centro de gravedad de la base, medido a partir de la base.

* Cono:

* Esfera: Centro de la figura

+

+

P

Q

R

S

T

A) En P. B) D ep en d ien d o de h a cia qu é la d o se haya producidó elim pulso,en Q ó S. O E nT.

D) En R. E) Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción. R E S O L l X IÓ N : * Cuando el cuerpo se in c lin a lige ra m en te y se deja en libertad, las únicas fuerzas que actúan.sobre él son el peso (W ) y la reacción normal del piso ( N ) t ambos verticales.

A l no existir fuerzas horizontales, el centro de gravedad de la barra (G) no se moverá en el eje horizontal, sólo lo hará en el eje vertical. Luego el centro de gravedad caerá en el punto R. RPTA .* "Z>"

PROBLEM A 2: Con cartón homogéneo se construye una caja cúbica cerrada quedando una caja homogénea. Si Be quitara la base superior (tapa) entonces:

* Hemisferio: r y —— r y

8

A) El centro de gravedad estará más arriba que cuando la caja está cerrada. B) El centro de gravedad estará más abajo que cuando la caja está cerrada. C) El centro de gravedad estará en el mismo lugar que cuando la caja está cerrada.

fe D) D epende del v a lo r de la densidad de masa de las caras de la caja. R E S O L U CIÓ N : * Cuando la caja esta tapada, el centro de gravedad se encuentra justamente en el centro geométrico del paralelepípedo. Pero si se saca la tapa superior, el centro de gravedad tiende a acercarse a la mayor cantidad de masa; en este caso hacia la base inferior * E l centro de gravedad no se podría desplazar hacia los costados porque las caras laterales son iguales. RPTA : “B ”

*7* P R O B L E M A 4: D eterm inar las coordenadas del C.G. de la figura sombreada.

A) (7; 11,2) cm B )(7 ¿; 11,3) cm C)(7,3; 11,6) cm D)(8; 12) cm E) (10; 11) cm R E S O L U C IÓ N : Y

A) (2; 2) cm B)(0; 2) cm 4 C)(2; 0) cm

20em 5cm

4cm c

D) E)(2; 3) R E S O L U CIÓN : * E l área de la región sombreada viene a ser la diferencia entre el área del cuadrado y del triángulo, luego:

14cm

* Descomponer la figura en 3 áreas parciales.

A ¡= 2 0 x 5 —100 cm*

Y

PR O B LE M A 3:

A2=9 x 8 =72 cm 2

A j = 4 2=16

Determ inar las coordenadas de C.G. de los cuatro pesos de 2; 4; 6 y 8 kg, que se muestran en:

A3=8 x 14=112 cm 2 * Como las áreas parciales son re ctá n gu lo s, sus centros de gravedad están en la intersección de las diagonales.

y, =2

Y(cm) Shg

2kg 6

x l = 10, y ¡ = 1 9 ,5 ......... (A bcisa y

* r -

ordenada de O G t) : 2

3

4kg

i-v

l \ ' " % ¿ 6k& 4 = r “

5

l

1 40 5 2

2 80 4 6

3 20 0 1

— _ A jXj — A2x 2 _ 16(2) —8(2)

A ¡-A 2 4 60 -2 5

J

~

(I). 4 1 6 -8 3

A2 - A 2

- » C .G = (x ;y )= ^ 2 ;^ j

100+72+112 * La ordenada del C.G. será:

P R O B L E M A 5:

4

_ _ 5(40)4-4(80) +0(20)+( - 2)(60)

40+80+20+60

=2

100(19,5)+72(12,5)+U2(4) ■ ■ = 1 1 ,0 J 100+72+112 ~+ GG=(x; y)= (7, 3; 11, 6) V=

RPTA : “ C” P R O B L E M A 6:

Determinar coordenadas de C.G. de la figura sombreada.

20cm 5cm

W¡+W2+W3+W4

2(40) +6(80) +1 (20) +5(60) _ y“ 40+80+20+60 * Finalmente el centro de gravedad será: C.G .=(2;4,4) RPTA : “D ”

= 7,3

_

RPTA: “D ”

w¡+wg+w +w * Luego:

* La abscisa del C.G. será: _ 100(10)+ 72(4)+112(7)

x=

1 6 -8

* Ahora aplicamos: 3

y 2= 1 2 ,5 ............ (Abcisa y ordenada de OG2)

* Luego, aplicamos las fórmulas:

* Del gráfico se aprecia que:

n Wn Xn ■■ Yn

x 2= 4,

x s=7> y 3= 4 ................. (A bcisa y ordenada de OG3)

X(cm)

A) (2; 3) B) (3; 2) C)(2,6; 3,5) D) (2; 4,4) E) (4; 3,5) R E S O L U C IÓ N :

*7

I A E xcM rM *m ici»li\ 2012)

I

12cm

22cm

Si el triángulo ABC es equilátero, se tiene una placa PQR (triángulo equilátero) determinar la ordenada del centro de gravedad de la región B(0; 2-JS) sombreada. a

>43

b

)^ -

8cm O*

E) 14cni

1

(-2; 0)A

C(2i 0>

[ # ^ V T W O MPMC R E S O L U CIÓ N :

ig g a * 78 F ü g S

* 3 k = 2 n/3

ii i

-> * =

4/2H *y• • v t • t k \ Iyt ' » M

. 2

2>/S

* C.G. de A2: x 2=2a -► y 2= — a 3 * C.G. de A 5: x s=3a -> y3= —a

* Luego:

y ¡ - —o 3

3

3

* Para mayor información, ver la siguiente figura, notando que los ángulos de 45° se dan para localizar la simetría.

2 n/3 7 i=

A 2 C * Además:

4> /3

A p ^ « = A i?

W 3

K IJ K IÑ O &

* E n este caso: L¡ -40 cm -* CG de L¡: x¡=0 ; y¡=20 Lg =30 cm -> CG de L¡: x2=15; ys=0 Lg=20 cm -> CG de Ls: x3=30; y¡=10

* C.G. de A ¡:X j=a

* Sea:

B

E D IC IO N E S

X — L>i x i +L>2X 2+L3X s L j+ L a+ L s

40(0) +30(15)^20(30)

35 3

V _ Liy¡+Ljyx+L3y s

2a * 3 n = y ¡3

40(20) +30(0) +20(10, 2a

-> n - ^ tf

->yx=2n=

2sf$ 1

* Finalmente: 2 J3 f , 7 A - 7 A -

A ,-A ,

7

i

f4V 5> -2^ r V 3 > ~ '

*g

. 3

573-V3 R P T A ; “C ”

PR O B LE M A 7:

0

¡¡a

1

a

■»

* E n donde intervengan A ¿# A g y As pondremos signo negativo (-) pues no existen.

Cortamos una placa rectangular A B C D a lo largo de la línea ¿jjg, a través de la esquina “ D ” , de tal forma que cuando suspendemos la placa ABED del punto **E’ %el lado está en posición horizontal.

* La abscisa: _ _ Atx - A¡Xj —AgXa- A3x3

Aj>—A¡ — —A3

Determinar el C .G . de la figura mostrada.

_ 8at (2a)-aa(a)-aí(2a)

- 1

8a* - a 9—a2—a2

2a

P R O B L E M A 9:

Calcular la magnitud de E B . Esta abscisa (xG) se podía haber previsto por la simetría de la figura sombreada:

2a

C "

E

B

i

* La ordenada:

C) 0,125a A )(2 a ; a i

D)

b

b f) C){ 2a; M B)

13a

t5

, _ sa’ fa>-° , b 1 O

2a;

)

t 13a\

) \

15 )

b

“ 1 s oL 3 o »JT

-» CG=ff; y>=[2 0 ; - ^ 1 ^ 15 J RPTA : “E ”

D) 0,365a

•’

* E n este caso es preferible considerar un área%*total a la cual deben quitarse ciertaspartes para re p ro d u cir el área dato del problema. *'■

Determ inar el C .G . del alambre mostrado.

a ^ ■1 1

J

A _ (a ~ x)h

A ,= a h / M

r

- -■:< "i •a r A ■4' ' v -

1

2

x¡ =a!2 ,

D

* Ahora de:

o

* Area total: A r =2a(4a)=8a*

E

/ /

I

¿

R E S O L U C IÓ N ;

P R O B L E M A 8:

RESOLÍJCIÓN : r «. *

M

*

* Areas por quitar: 7ki(a)

A|» -■

—

2

sg

2

/A

20cm .

.

.

. |

A a u p en orizq u ierd o)

1

O

1

30cm

„ í At =a .......................(A inferior)

A ,= a ! ....................... ( a superior derecho) * C .G . de A r * x = 2 a -* y = a

a h -(a -x )— (35 100 D\ a ’ 9 ) R E S O L U C IÓ N :

E )(2 0 ; 15)

-* a -x =

3a s - (a - x)* + x=0,365a 3(a +x) RPTA : " D ”

[jr ^ j r & j r e 'Z s

IA

PR O B LE M A 1Q:

R E S O L U C IÓ N :

Determinar el C .G . de la región sombreada.

* Hallamos los centros de gravedad de cada círculo.

ÚD A )— ( l ; l )

* Para el círculo de radio

Aj=xR2 :

B )^ (líl)

3-x

*3=7

y 2= 0

x

* E l área sombreada la hallamos restando al área del cuarto de círculo; el área del triá n g u lo , entonces definiremos. * Para el cuarto de círculo, se tiene:

A i»

- 4 R ------x- ,= 1 3 x 4R

xR 2

y>=37 * Para el triá n g u lo rectángulo isósceles, se tendrá que:

R xR

R2

_R x*= 3 R ** 3

* Luego para la figura sombreada:

* Para el círculo pequeño de radio R/4, tenemos: .

( R ) * _ x R * ¡ x 3= R I 2

3"UJ " 16ty3=0 _

49

x — =77 cm*

2

y i= 4

x 2=7

R ) — (2;l)

.

*1 = 7

xR 2 [x 2= - R/2

R E S O L U CIÓ N :

22

A « = A j= 7 7 c m 2

(E l de la izquierda)

D) ( R ; x )

A j= 1 4 2= 1 9 6 c m 2

7

* Para el círculo de radio R/2.

2R C) (lfl) 3(x-2)

* La figura se descompone en un cuadrado y 3 semicírculos.

x(7)2

x ¡= 0 y

M V (7 < x o f t i M A 2 0 1 2 }

~ 4 r

y ,=7 ■— ■=4

J3

3x

4r x4=24+j¿=17;y4=14 196(7)+77(7)+77(7)+77(17) _ g X 196+77+77+77 ‘ t e r e s u lta d o p u ed e o b ten er p o r im p le in s p e c c ió

* Luego las coordenadas del C .G . serán:

o©

^ _ AjX¡ - A 2x 2 - A sx a Aj

Ao

_ 196(l4)+77(24)+77(4)+77(14) _

A(

x R * (0 ) - x R ¿ ¡4( -R ¡2 ) - xR *¡16(R I2) xR s -

xR

3¡ 4 - x R 3/16

y~

196+77+77+77 CtG=(x;y)=(8,8; 14) RPTA: “E ”

P R O B L E M A 1 3: D eterm inar el C .G . de la figura

* Observamos que: =>*2=>3=o-> y = o

22 7 ‘

mostrada. Considerar:

* Por “x ” pasa el eje de simetría y el C .G . se encuentra a 3RI22 a la derecha del disco. C . G = ( x ; y ) ^ ; o)

x R * ( 4 R m4 R } R 2 ( R ' R \ 2 1 3 ! 3J C.G .» 4 \3 x ; 3 x J xR3 R 4

2R 3(x-2)

(1:1)

RPTA : “ C ”

PR O B LE M A 11: Determinar la posición del C .G . de un disco del cual han sido cortados dos pedazos circulares como indica la figura.

RPTA

ur***

P R O B L E M A 12: H a lla r el t y C .G . de la f i g u r a

som breada que se m uestra y que consta de un cuadrado

A) (8; 9) B) (7; 9,8) C) (8 ¿ ; 9) D) (8,4; 9,7) E) (8,4; 7,9) R E S O L U C IÓ N : * C onsiderem os el área del re ctá n g u lo A B C D , del que debemos quitar el semicírculo y el cuadrante. Area Total: Ar =20 x 14=280

x(7)3

de 14 cm de lado y de 3 semicírculos colocados sobre 3 lados ■

(*-? )

A) (8; 8) B) (8; 14) C) (8; 14,8) D) (8,14; 8) E) (8,8; 14) R E S O L U C IÓ N :

Area semicírculo: A ,= --------- =77 1 2 Area del cuadrante: A 3= ^ - ~ ~ = ~ = 3 8 , 5 4 « y -7 C.G de A , . - * » ! ©

4r C.G de At:xj= 20-— = 1 7 ; 3x

C.G de A,/: =3 ^ 2 3x

;

y j= 7

[r :i;iv r fg o

r 7 ;# A t f>

wpmc

_ 2 8 0 (1 0 )-7 7 (1 7 )-3 8 ,5 (3 ) a s x - ---------------------------------------------- = 6 , 4 2 8 0 - 77 - 3 8 ,5

y=

tim io x r s

4.

R E S O L U C IÓ N :

• Luego:

_

477

2 8 0 (7 )-7 7 (7 )-3 8 ,5 (3 )

2 8 0 -7 7 -3 8 ,5

* Reemplazando valores en (I) :

* De acuerdo al gráfico, para el hemisferio tenemos:

y~

X j= 0

= 7,9

V ,= -n R s • Para el hueco esférico:

PR O B LE M A 1 4:

x 2=0 y,=RI2

V! = í J * ) 3 = ¿ „ R ° ;

C a lcu la r el C .G . del alam bre mostrado en la figura. Considerar:

2 3

6

Is J

* E l C.G. del sólido hueco será:

\8

)

6

-+ C.G=(x; y)=\ 0; A)(7; 11) B )(l9,2; 3,6) 0 (1 8 ,7 ; 4) D) (20,1; 2,8) E) (19; 5) R E S O L U CIÓN : * E n este caso, consideramos 3 longitudes: L 2= 30

L 3= x ( R ) = x ( 7 ) = — x 7 = 2 2 7 Gt:x j= 1 0 C o s5 3 °= 6 ; y ,= 10S en53°=8 y^ -0

G ¡ : x a—3 7 ;

y 3—

\ 2 ) ^R

2(r)

2(7)

22

\

3 a¡2 '

R > 3)

E n un cilindro de radio (r) y altura (h) se practica una perforación cónica, el cono tiene por base la superficie plana s u p e rio r del cilindro, y el vértice de aquel se halla en el centro de la base de éste. Calcular el C .G . del cuerpo que queda.

-

—i

20+30+22 _ 2 0 ( 8 ) + 3 0 ( 0 ) + 2 2 (4 ,5 ) y ^ o 20+30+22 -+ C .G = ( x ;y ) = (1 9 ,2 ; 3 ,6 )

Q^

RPTA : “B ” D e te rm in a r el C .G . del sólido hueco, mostrado en la figura.

* Por simetría se nota que el C .G . estará en el eje (Y ) . Consideramos como área total el semicírculo de radio (a ) y las áreas por quitar, los semicírculos de radios (a¡2). -> Aj =A 2= —

A=—

8

• Los C .G . son:

G:

* El C.G. se halla de todas maneras en la altura OH y d e b e m o s u b i c a r a q u é distancia de la base se encuentra. V jyi-V a y»

4a

x=0

y=

G¡: x ¡= -a / 2 ;

y t=

(I)

V | -V ,

x 2=a/2

; y%=

* E n donde: V ,; Vol. del cilindro= xr~h

PR O B LE M A 15:

D) (0; 2a)

3 R E S O L U C IÓ N :

3Jt 8

^

2n

C)

a

B)

3

PROBLEM A 16:

R E S O L U C IÓ N :

_ _ 2 0 (6 ) + 3 0 (1 5 )+ 2 2 (3 7 ) _ t n n

2a

RPTA : “B ”

= 4,5

* Luego:

a »

a

0

7

X

C a lc u la r el* C .G . de la figura sombreada que se muestra:

Y

^ x R 3 - — x R 1* 6

2= 1 5 ;

PR O BLE M AJ7:

v ,-v 2

_ 3

x

RPTA : “D ”

>.

v. y,y,-y,y,

22

G s:

3

8

x r 2h

C.G=(x

RPTA : “E ”

;

*r¡h[ í ) - í * r°h[ i h)_ 3h x r 2h —

-+ C . G = ( í ;y ) = r 6 ,4 ;7 ,0 )

Lt = 2 0

kvkm ñosA

2a ~3x 2a

3x

* La abscisa será de todas formas: x = 0

V.¿: Vol. del cono= — nr¿h y,: h!2

* La ordenada: 1

y2 ; / t - - / « = - A

x a 3 ( 4a \

g_"2 I s x )

y

H u eco

Hemisferio

x a 1 ( 2a \

9

xa2

8

x a 2 ( 2a ^

3x) 9 9

8

1

xa2

xa2

8

8

1

3x)_

2a

x

C .G =(x;y)=[o;^

RPTA : “B II P R O B L E M A 18: X

E n la figura mostrada, calcular la altura del cilindro que el C .G . del sistema esté ubicado en el punto de

L1 EN C m orED M A 2012)

•

* La fig u ra som breada está compuesta por 2 sectores circulares,

contacto con la esfera

(R=3 cm , r = 2 cm)

2

B) (0 ; 7) M

f

H

' í

' ' - ' 2 X

D) (0; 7¿)

SenO

R E S O L U CIÓ N : * Según la figura y por condición del problema: f x=0

•L 3=

'

X I

x .¿=0 V2=xr2H: y 2=Il/2

- x R s+xr~H 3 * Reemplazando: | ( 3 ) * + t ( 3 ) 3H + 2 2 l l J —A ----------------- 4 -------> H = 7 ,2

*

R

E R ----------------R x R + x -~ +x — 2 2 • La ordenada será: R xR+x^+x^

2

• Además: y 2 =0 X2 =

2RSenO 30

2

-> C .G = (x ; y )= ^ R : * ) « ( *

2RSen30°

2R R P T A : “D ”

PROBLEM A 21: Determinar la abscisa del C .G . de la figura sombreada.

• Ahora:

A )-R

x =

- x R a( R + H ) + x r 2 ^ U ) =//

2(R/2)

3 ~ ; y 3 = -----------—

y=

y además: Vi + V2

9R

xR +

•Pero: x = 0 ; puesto que: Xj=x2=0

= - y jy i+ V s y s

x3=

R - 7

------------------ d

* Para el sector de la derecha:

x,=0 y^ H + R 9

R

— ;

0 (R/2)

• La abscisa será:

RSen30°_R

30

x

R

X

24

-

y=H

* Considerando el volumen total como la suma de volúmenes: V ,= -xR °:

!

r

* * 2

•Además: y t=0

H

4

R

R -L «-*7 ;

• Sector de la izquierda:

C.GA

•L, = x R :

luego:

A) (0 ; 6,5)

C ) (0 ; 8,1)

xt=R

n R 2 ( R \ x R 2 (2R'\ 24 [ x ) + 6 { n ) _ 9 R 5n nR2+ xR 2 24 + 6

C) -

CG =( x ; y ) = o) R PTA : “E

99

P R O B L E M A 20.

R E S O L U C IÓ N : *2a = 60° -> a = 30®

C a lc u la r el C .G . del alam bre mostrado en la figura.

\(3)s + ( 2 f H O -> C . G = ( x ; y ) = <0; 7 , 2 )

R P T A : “D ”

PR O B LE M A 10: xR9(0 )-

Determinar el C .G . de la figura sombreada:

-> x = xR

xR 2 R S en 3 < T 6 3(30)

2

-

- 0 ,4 R

xR 9

RPTA : “E 99 P R O B L E M A 2 2: A )(R ;2 R )

B ) ( R ;n R ) C) K

"

í

)

Determinar la posición del C .G . del área sombreada. Y

D IR ^ l;

E ) R ( x ; 2)

B

R E S O L U C IÓ N : D iv id im o s el a la m b re en tres lo ngitudes y cada uno con su respectivo C .G ,:

R E S O L U C IÓ N :

D) R (l; 0)

O

[r L L V IT tO

K IH C IO X K S K irH iÑ O fÁ

R E S O L U C IÓ N :

•Primero hemos de hallar las masas y sus

• Este problema lo resolveremos por partes, considerando:

coordenadas: m t= A ¡ ' a ¡

A

B

• La ordenada: o 1(a¡2)~

(3*14) - p

f a

•Siendo: o-: densidad superficial.

°

• Las coordenadas están en metros.

c o - Í\ t8

16

(al 1 2 ) - ^ f3 a W - - J (aí3l 7<>

a

a

16

a

4 ~ 8

' t1ÜV :" * » 6) t 16

R P T A : “D ” (i)

m , =12 * 2H1X 104 )=4 x 104gm = 4tí k g

PROBLEM A 25:

m-_,=Asa s ^ ( 2 * 2 ) ( 2 x 1O4 )=S% lü 4g r*= 8 0 k g ina= A ¿ r a= f 2 * 2 ) ( 3 * 1 0 4) = 1 2 x !U4g r* = 1 2 0 k g

...fW

c a

O

i

o

*■ Obsérvese

que la suma de las áreas: A O B y BCO \ nos definen el área sombreada. R

"

4R 3x

4 R 3 x

A3=R~:

r

xR

X* ~ 8 n

: A *b - 7

; y 2= l m

A D para que en la posición de equilibrio,

x 3 = 3 ni

; y s —l m

y 4= R -

4R 3 x

* Luego las coordenadas del C .G . del área sombreada serán:

- _ n i j X ¡ + t tiTx i -i'm 3x 3 _ 4 0 ( 1 ) + N 0 f I J + 1 2 ( H 3 ) _ g

m,+rn9+ms

2

R. 3 ^ R f J - r W _ R Í 2 S

a ( 3

B)

H bc-c=í* *K!;f)=f ,ui> RPTA : “B ” PROBLEM A 23:

E n la figura se m uestran tres cuadrados u n ifo rm e s con densidades superficiales de 1, 2, y 3 gr/cm 2 respectivam ente. Calcular la posición del centro de masa6 del sistema.

B ) (1 ; 2 ,5 ) C ) (2; 1,33)

Y( m)

La ubicación respectivos son: A=«* */ A f= t r

1

*

16

a

:

de

C .G .

; y = a!2

x

y,=3a/4 y,,=ail2 ; y;t=3a/4 : y4=a¡3

* G L l , .• Xv¡

A.,= "~ - 16

los

* 0 «. , : x\,4» Íf /J C T j.- v.Va

* u( l v ♦xv 4

R E S O L U C IÓ N :

necesario que la línea de acción coincida con la línea de tensión del hilo.EI peso está concentrado en el baricentro del triángulo. i

27

+

9

l

Xtm )

* Según datos:

AJI —2 7 cm H B=9cm * Incógnita: AD •Como CM es mediana:

A M = M B = — =18cm 2 * Entonces: M H=18 - 9= 9 cm •De AM DG^AM H C: MD MG , p e ro : M C = 3 M G y M H =9 M il M C ->

= - -> M D = 3 cm

* FftialAente: AD =18+3=21

RPTA : “B ”

8

PRO BLEM A 26:

• La abscisa sei’á:

3 4

* Para la p o s ic ió n de e q u ilib rio es

a

•Consideremos como área total (A) del cuadrado de lado (a) y las áreas por quitar: A t, A.„ A 3 y A4

4

2

2

U

X'

»/

E ) ( l ¿ ; 1,3)

R E S O L U C IÓ N :

a

t/™*\

a D ) i ( ¡ U0;7)

A - íl

2

A) 2 0 cm B) 21 cm C) 17 cm D) 4 cm E) 23 cm

• v i o ’* 6

1

0

Aa

/ \

7

4

D ) (1 ; 2 ,3 3 )

L

sobre A B divide a este lado en dos segmentos de 27 y 9 cms.

R E S O L U C IÓ N :

* Análogamente se obtiene:

A ) (2 ; 1)

a

. a (1 A) — ; 4 ‘> 9

8

*R*Hl+tR* - * R * 4 ) *12

’

RPTA : €tC "

C) ~(10;7)

_ _ R*
- - R < 2 - * R 4 + R ‘3 + R ' 2

40+80+120

-> C t l = ( x ; y )= (£ 1.31)

* Reemplazando: iR:

40+80+120

111,+m-j+m3

a

( A J- A 2 ) + ( A 3 - A 4 )

~

sabe además que la altura bajada de C

• La abscisa será:

— A 2x 2) + (A3x 3 ~ A 4x 4)

- =

A B quede horizontal? (ver figura). Se

Determinar el C .G . de la superficie de la figura sombreada que se muestra. Y

4R A

x 2= l m

PR O B LE M A 24:

# A partir de (II) definimos: X.H- 2

; y¡=3m

*V

Xr>— R -

*R * R S A *~ 4

At=R~:

x t= l m

colgada de un punto-'D del lado A B > mediante un hilo. ¿Cuánto debe medir

_ m , y i + i « 2.va + n ijv , _ 4 0 (3 ) + 8 0 ( ¡ ) + I 'J O i l )

* A partir de (I) tenemos:

Una lamina de form a triangular está

2

« - V i n *r

2

2

¿

G W / - tí (**-6* ¡0twist- *a l£Jat4i-nÉ 4 _ * •* _ * *

Calcular el máximo valor del ángulo de inclinación de un plano inclinado, para que al colocar sobre éste un cilindro recto de altura "H” y diámetro (D); no vuelque a

IXT.& través de dicho plano.

A^ 1 f )

B>Tg{i¡)

C )S e c

■ & )

fu 1 l á V f i f f l o r g P M 2 0 1 2 }

volcará. La m áxim a a ltu ra la encontraremos cuando el peso pase por (A ).

tí

D>ctg-l{ ñ ¡ ) E,4lp R E S O L U C IÓ N :

* La línea de acción del peso, cuando el c ilin d ro está a

a+3T{ 80

punto de volcarse, debe pasar por el punto “ B ” como indica la Figura; y además en ese instante:

* Podemos suponer que 1 cm pesa: (1 g r). Aplicamos el teorema de VARIGNON, respecto de (A).

iW

N=0, el plano AB

*Las fuerzas que producirán el equilibrio son las componentes del

tiende a perder contacto y además para que no vuelque:

peso.

* Hemos elegido este punto para m avor facilidad de los cálculos.

^ 80(20Coaa)

=20(10C oaa)+60[30C oa(37°+a)] => 16C oaa=2C osa+18C oa(37+a) -> W .Scn¿f0o ^

j - W C o s3 0 °(1 0 4 3 ) = 0

-> W S e n 3 0 ° - = W C os30°(10s> 3)

2

-> h = 2 0 j 3 C t g 3 0 ° = 6 0 cm

RPTA : “ C ”

=> 24Coaa=18( Co837°Coaa - SenaSen37°) 7 C o sa

-> HSen0=DO>ai) >TgO= f - -*0=T g *i , ] // Vn)

RPTA : "B ” PROBLEM A 27: Sobre un plano que forma con la horizontal un ángulo a=30°, se apoya un cilindro recto de radio

Una barra delgada de acero doblado 37°, siendo sus partes de longitudes 20 y 60 cms se apoya en la esquina de una mesa, tal como se indica en la figura. C a lcu la r (a) para la posición de equilibrio.

r=10>Í3 cm. ¿Qué altura máxima (h) podrá alcanzar dicho cilindro

a = Tg

A) 30 cm B) 45 cm C) 60 cm D) 90 cm E) 120 cm

S en a

)

T g a = -~ 27

íh)

RPTA : **E$*

(61) Una barra de 20 cm de longitud se dobla formando un ángulo de 6(0, con los lados de igual longitud (10 cm y 10 cm). ¿A qué distancia del vértice se encuentra el centro de gravedad? A JJ cm

0)2,5

sin que se caiga

5

27 ■— S e n a = — C o s a ^ S S

PROBLEM A 28: W C o*& [^ = 0

= »(!

C oaa—

^ ¡3

B) 1,5 43 cm C )2cm cm E)NA.

Ubicar la abscisa (en cm ) del C .G . de las esferas respecto de O . A) 10

4kg

4kg

R E S O L U C IÓ N :

B) 11 (l C) 12

* Mientras la línea de acción del

* Es necesario que el C .G . se encuentre en la vertical que pasa por el apoyo, sólo en este caso habrá equilibrio.

peso pase por el plano de sustentación (AB), el cilindro no

E l sistema quedará entonces así (figura).

segmento circular en el que r=18 cm v a=90°.

R E S O L U C IÓ N :

D) 13 * E) 14

t b -------------- i *

— 8

8

C a lc u la r el C .G .

de un

KIHCMO aV E S K V B IK O & 1) L a coordenada Yc de una pirámide se encuentra a un cuarto de su altura a partir de la base.

U) La coordenada YG de un cono

Q :)a

se encuentra a un tercio de su altura a partir de la base.

NOTA:

III) La coordenada YG de una

Considerar área del sector y quitar área del triángulo.

semicircunferenpiíúviene dada por

A) 10,9 cm del centro B) 11,9 cm del centro C) 12,9 cm del centro D) 13,9 cm del centro E) 14,9 cm del centro

A) X G=15 cm B) X G—18 cm Yf;=18 cm Yg=15 cm C )X g =18 cm D )X g=36 cm Y(;=30 cm YG=15 cm

(63) Si la b a rra m ostrada se encuentra en e q u ilib rio y en posición horizontal, indica en qué punto se ubica su C .G .

A) B B)A C)D D )C

Un semianillo AB se encuentra apoyado en su extremo A tal como se indica en la figura. Hallar el ángulo (a) que hace el diámetro del semianillo con la vertical para la 22 posición de equilibrio. Usar n - — f

la

A) /, II, I I f B) L U D) 1,111 E) I (TJ) ¿A qué distancia f i^ c m T d e la base de un cono recfSy homogéneo se encontrará su Ó.G. ei su altura es de 40 cm .

A) 4

B) lO ^ t) 12 D) 15 E) 16 Ubicar (en cm ) las coordenadas

del C. G. de la lámina homogénea y uniforme. Las longitudes están en

cm. A)arctg

S B)arc

B Calcular el C .G . de un sector circular de radio, r = 2 4 cm y cuyo ángulo en el centro vale a = 1209.

A) 10,18 cm del centro B) 13,23 cm del centro C) 15,12 cm del centro D) 16J24 cm del centro

O arctg D) a re tg

(6 ») Calcular el C .G . de la figura sombreada.

A) (9; 4) D) (5; 6)

4

@ )D e t e r m in a r (en cm ) las coordenadas del C .G . del sistema de pesas mostradas, si sus pesos son

Y (cm )

20 A )X G=2a B) X c =a v

_

i/; ^

B) (4; 9) E) i3; 9)

X (c m ) C) (3; 5)

Calcular el C .G . de la figura rayada que se muestra; siendo R=36 cm v r=18 cm.

C) (3; 5)

AB—BC—40 cm

a 10

B) (4; 6) E) (4; 5)

_ U n a la m b re u n ifo rm e y homogéneo se dobla en ángulo recto y se cuelga del modo que se muestra en la figura. Si en dicha posición se encuentra en equilibrio, se pide C a lc u la r (e n cm ) AP=? •

P¡=1N, P 3=3N, P 3=4N, P j =2N.

A) (8; 5) D) (14; 5)

X

7

tr 9

ü

C )X (;= “ Y ..= -a 0 9

7 i / j —— ci

v

_

G 18

D) Xfí =a/4

s c

Yc = — a ° 18

(íj¡) M a rc a r las aseveraciones correctas.

A) 18 B) 20 C )30 D) 17 E) 24

E _

Calcular las coordenadas (en

cm ) del C .G . de los alam bres

Sr mostrados en la fig u ra . longitudes están en cm.

Las

B

y

O

A) (0; 15)

A) (1; O)

B) (3; O)

B) (0; 18)

D ) ( 1 ; 1)

E ) ( 4 ; O)

C) (-1; 0)

(Q) U n alambre m uy fino se dobla

C) (0; 20) D) (0; 12)

E) (Oi 19) (Q) Calcular el centro de gravedad

IA 2012} Calcular la posición de x para el área achurada que se muestra en la figura.

de tal maneru que se forma la figura mostrada. Calcular si es posible una de sus coordenadas del centro de gravedad.

A) 4,3 B) 8,6 C)5,3 D) 11,4

12

24

E) 9,4 12

ay

con respecto al eje y del área sombreada de la figura mostrada.

íf f lm s nt: L i PRLWM FñACriW 1)0 m 1)0 !)B 8)0|7)B, S)C W ) £ /Di 12)1 li)0 1$ I l l l i

AY

CEN TRO D E G R A V E D A D Debido a qua un cuerpo aa una distribución continua da mata, an cada una da aua partea actúa la fuarza da gravedad. El cantro da gravedad o c a n tro id a aa la p o s ic ió n d o n d a aa puada conaldarar actuando la fuarza da gravadad nata, aa ol punto ubicado an la poaiclón promedio donda aa concantra al pato total dal cutrpo. Para un objato simétrico hom ogéneo, al cantro da gravedad ao ancuantra an al cantro geométrico, paro no para un objato irregular.

R

A)yml D)y @

DI

~

R

y = ~l2

- R

EM

T

E )y = T

C) y =

-B

5+6x

5+x

(T?J) Calcular lu coordenada Yü del centro de gravedad de la figura sombreada.

~R

¿Cuál debe ser la altura de un

cilindro para que el sólido formado por este cilindro, teniendo encima una esfera de la misma sustancia y del mismo radio; tenga su centro de gravedad en el punto de tangencia de los dos volúmenes.

-

’

s

B )R C )R (4 -n ) 3R D) 4 -n

E) ^ (4 £

n)

E n la siguiente figura se tiene u n alambre doblado, Calcular su centro de gravedud con respecto al eje X, H

7 REH Í R ( g ) Ubicar (en cm) el C .G . respecto de O , para dos alam bres de la misma longitud L = 10 cm, pero de distintos materiales. Las masas A y B son de 80 g y 120 g respectivam ente, además son uniformes y homogéneos.

A)x=*2,3 B )x * 2 ,5 C)x**3,l D)S = 3,5 E )x = 3,8

P o r e je m p lo , al co n s id e ra m o s dos p u n to s mataríais» A y B, cuyas m atas respectivas valgan m, y m ,; además loa auponamoe rígidamente unidos por una varilla de m ate despreciable, a fin da poder coneiderarioe com o formando parte de un cuerpo sólido. La gravadad ajerca sobre dichos puntos sendas fuerzas partíalas m ,g y m,g qua a d m ita n una raaultanta c u y o p u n to d aplicación reciba al nombre da centro de gravedad o centroldo. E n otrae palabras, el centro de gravedad da un cuerpo ea al punto da aplicación de la raaultanta da todaa las fuerzas qua la gravedad ojarca sobre loe diferentes puntos materiales qua constituyen el cuerpo. Un objeto esté en equilibrio estable mientra» au contra da gravadad queda arriba y dentro da au basa original da apoyo. Cuando éata aa al caso, siempre habré un torqus de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cas futra dal cantro de apoyo, al torquo do restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torqus gravitación») qua lo haca rotar fuera da su posición da equilibrio. Loa cuorpoa rígidos con bases amplias y centras da gravadad bajos son, por consiguiente, mée estables y manos propensos a volteares. Esta rotació n aa e vid e n te an al diserto da loa autom óviles da carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchoa y centras da gravadad eorcanoa al suelo. También la posición dal cantro da gravadad del cuerpo humano tiene efeetoe sobre cierta» capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelan doblarse y tocar loa dados da aua pisa o al suato con las palmas da aua manos, con más facilidad qua toa varonea, quienes con frecuencia ae caen al tratar de hacerlo; en ganara!. Loa varonea tienen centro# de gravedad más attoa (hom bros m is anchoa) que las mujeres (pelvie grande), de modo que ee mée fácil que e< centro de gravedad de un varón quede fuera de au basa de apoyo cuando ae flexlona hacia el frente.

í/iiA:ivir;i

E D IC IO N E S R U R IÑ O S )

m. e n m u l

OBJETIVOS: •Conocer el concepto de inercia como propiedad de los cuerpos y su síntesis en la primera ley de newton. * Describir el movimiento mecánico relacionándolo directamente con las causas que lo originan, así como reconocer el efecto de la inercia y la segunda ley de Newton. •Conocer como se analiza un movimiento respecto de un observador que acelera (sistema de referencia no inercial).

INTRUDUCCIÓN: Desde hace mucho tiempo el problema del movimiento fue para el hombre un tema fascinante. Los filósofos griegos se admiraban y no ocultaban su sorpresa al ver cómo una flecha podía seguir en movimiento después de haber abandonado el arco que la había arrojado, “ ¿cómo es posible que siga moviéndose, si nadie la impulsa?” , se cuestionaban. Para Aristóteles, uno de los más grandes sabios griegos, el movimiento de un cuerpo estaba condicionado a la acción de la que hoy denominamos fuerza. Según Aristóteles “ Se necesita siempre una fuerza neta para que un objeto se mantenga en movimiento continuo” . Las ideas de Aristóteles prevalecieron por espacio de 2 000 años, durante todo este tiempo tuvo el apoyo incondicionado de la iglesia, puesto que sus ideas no se contraponían a las leyes de Dios. Se le acredita a Galileo ser el principal gestor en el derrumbamiento de las ideas de Aristóteles sobre el m ovim iento, fue necesario abandonar ciertos prejuicios para llegar finalmente, al concepto de inercia, que entre otras cosas afirma: La naturaleza está hecha de tal manera, que los cuerpos que están en m o vim ie n to siguen en movimiento por si solos, sin que nadie tenga que ir empujándolos. En cinemática, se estudió el movimiento de los cuerpos, pero no se analizaron las causas que lo originan, es decir sólo se realizó una descripción geométrica del movimiento. E l problema fundamental de la dinámica radica, en describir la Ley que vincula las fuerzas y el movimiento, fue precisamente Isaac Newton, quien recogiendo los aportes de Galileo, estableció sus famosas Leyes de Newton.

Com o la aceleración de la gravedad en la Luna es casi seis v eces m enor que en la Tierra, el p e so de un astronauta en la superficie también será casi seis v eces menor. Por ello, al dar un salto en esa superficie, el astronauta alcanzaría alturas y distancias m ucho mayores que en la Tierra. ¿

“La aceleración que adquiere una partícula sometida a una fuerza resultante que no es cero, es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa de dicha partícula, y que tiene la misma dirección y sentido que esta resultante” 2DA LEY DE NEWTON Im / s

1N

Cuando un cuerpo de masa igual a 1 kg, es impulsado por una fuerza resultante de 1N, adquiere una aceleración de lm ls2.

L1 m iix o r f c / r íA

vw »!

posición Í4A ” y lo suelta (lo deja de empujar) en “B ” :

La expresión m = F/a permite determ inar la masa de un cuerpo, cualquiera que sea el lugar donde se encuentre.

V=0

La escala de este dinamómetro indica un valor igual a R

Cuando un cuerpo cae, sobre el actúan dos fuerzas: su peso y la resistencia de aire.

* Ahora, luego de haberlo soltado:

* ÍE1 bloque luego de soltarlo sigue en movimiento! * Se puede comprender que si el bloque se desplaza de “A ” hacia “B ” es debido a la fuerza que ejerce la persona al empujarlo. Pero:

y;*?.-.. ««

La aceleración de un cuerpo que resbala sobre un plano inclinado, sin fricción, es a = gSen 6L

«ii»

M ovim ien to A celera d o a
¿Cóm o es p osible que luego de soltarlo, siga en m ovim iento?

tenemos que a = g

* Lo que ocurre es que todos los cuerpos estando en movimiento manifiestan una tendencia a conservar su movimiento y lo mismo ocurre cuando están en reposo manifiestan una tendencia a conservar su estado de reposo. Esto lo sintetizamos en que:

Después de cierto tiempo de la caída el cuerpo adquiere un movimiento uniforme.

“ Todos los cu erp o s tien d en a c o n s e r v a r su velocidad’ *.

D IN Á M IC A

* Como esto se da en todos los cuerpos decimos que es algo propio de ellos, es decir es una “ propiedad” y a esta propiedad se le denomina “ In ercia ”

sí

e=

0

M ovim iento.* ‘U niform e

9 0 o,

Estudia la dependencia entre el movimiento de los cuerpos materiales y las fuerzas que actúan sobre ellos. El movimiento de un cuerpo dado, queda determinado por la naturaleza y disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente así como por las condiciones iniciales del movimiento.

IN E R C IA Para hacer una descripción del movimiento mecánico (poniendo un m ayor énfasis en los movimientos acelerados) en relación con las causas que lo originan es necesario conocer previamente la propiedad de la uInercia” , lo cual nos permitirá abordar el análisis de algunos fenómenos que veremos en éste capítulo de “ dinámica” y en general en la “ mecánica” . * Para ello consideremos el caso de una persona que comienza a empujar un bloque liso a partir de la

* Acerca de la inercia hay mucho que discutir, pero se hace bastante sencillo entender esta propiedad cuando se manifiesta en nosotros mismos. Por ejemplo: * ¿Qué es lo que ocu rre cuando el carro en el

cu á l n os tr a n s p o rta m o s esta n d o en rep oso a celera o esta n d o en m ovim ien to se d etien e súbitam ente? * E n el primer caso nuestro cuerpo tiende ir hacia atrás manifestando así una tendencia a continuar con su estado de reposo. Veamos:

a u to en rep oso

(g P M X A ^ n V A

f j.m

u

*83

Luego al acelerar súbitamente:

K tH V iO X K S

K U H lX O fÁ

hecha de madera y luego intentemos moverla cuando se encuentra llena de piedras.

* E n el segundo caso nuestro cuerpo tiende a ir hacia delante manifestando así una tendencia a conservar su velocidad. Veamos:

* A l agregar piedras a la caja vacía (se incrementa la cantidad de sustancias) 6 e hace más difícil moverla que cuando esta vacía; ósea, la caja con piedras es más inerte que la caja vacía. ♦ Para medir la inercia de los cuerpos introducimos una magnitud llamada masa, cuya unidad de medida es el kilogrom o (kg).

M ASA INERCIAL * Luego al frenar súbitamente:

Aquella masa que se emplea para caracterizar la oposición que ofrecen los cuerpos al cambio de su velocidad se denomina **masa in ercia l ” Se obtiene dividiendo la fuerza aplicada entre la aceleración producida:

m ♦ Es por esta razón que los automovilistas usan cinturones de seguridad e incluso algunos autos tienen el sistema de “ bolsa de aire” para evitar golpearse con el parabrisa al frenar repentinamente.

= i ai

La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado, es una magnitud física escalar denominada masa del cuerpo. E n mecánica se considera que la masa es una cantidad escalar positiva, y constante para cada cuerpo dado, es decir no depende de la velocidad del cuerpo considerado.

az

i y i

%

°3

i •

M ASA GRAVITACIONAL Aquella masa que se emplea para caracterizar la atracción que se ejercen los cuerpos debido a la interacción gra vita cio n a l se denom ina *tmana gravitacional ” Se obtiene dividiendo el peso del cuerpo, entre su respectiva aceleración (g)

\ A ^ \ A 4 = V\fc

Ahora, intentemos poner en movimiento una caja vacía

=cte

. . .

LA M A S A : UNA M ED ID A DE LA INERCIA La inercia se manifiesta en los cuerpos como una tendencia a mantener su velocidad.

= i

02

Oí

¿Q U É E S L A IX E R C L X ?

La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo o movimiento (mantener su velocidad), recibe el nombre de inercia.

= i

9a

9b

9c

j r 'j r & j r a o L c N L

=>Fr

SEGUN DA L E Y D E N E W T O N Toda fuerza resultante no nula al actuar sobre un cuerpo de masa “m "constante produce una aceleración que posee la misma dirección de la fuerza resultante, siendo su valor directamente proporcional al valor de la fuerza resultante o inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

EiXCif'J.at*i;tHA 2012} D.R aceleración....................................... (I) U

586

III) ¿Qué ocurre si colocamos un segundo bloque idéntico al primero y los atamos?

ls *

v 0= o F=12N

Analicemos las siguientes situaciones:

I) U n pequeño bloque de 4 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa y de pronto se le ejerce una fuerza constante dirigida hacia la derecha de 12 N , tal como se muestra.

ls =40N

L

is o

—

V0=0 ;" ' F = 1 2 N £ m 0

|------- =■

Liso

d = l,5 m A l colocar dos bloques se duplica la masa y a la vez se hace más difícil moverlos (por inercia) debido a ello se observa que en el prim er segundo de su movimiento recorre la mitad de la distancia recorrida que en el caso (I) y en consecuencia el valor de la aceleración se reduce a la mitad, es decir a 2 = 1,5 m/s2 ^ masa I.E aceleración......................................... (II) * Finalmente de (I) y (II)

d=l,5m * Al aplicar la fuerza F se observa que el bloque inicia su movimiento, aumentando el valor de su velocidad. En consecuencia el bloque experimenta aceleración. Además las causa de esta aceleración del bloque es la influencia de los agentes externos que actúan sobre él, esta influencia esta caracterizada mediante la fuerza

aceleración x masa

sscte

R

E n el S . I : cte = 1

aceleración = _

PR

masa

* Esta última relación se va ha emplear siempre y

resultante (í£ )*

cuando la masa del cuerpo no cambie.

Examinando las fuerzas sobre el bloque encontramos que ~F~=12N (->)&$ la ( í £ ) y ella es la causa de la aceleración que experimenta el bloque.

a

W ¿Qué ocurre si el valor de " F " aumenta a 24 NI ls

(Segunda Ley de Newton)

Vn=0

a La a y la Fr tienen igual dirección

a * A l duplicar el valor de

p », es decir de la " FR " se

observa que se duplica la distancia recorrida en el primer segundo de su movimiento y en consecuencia se duplica el valor de la aceleración, es decir

a l = 6 m/s2.

• De lo anteriormente analizado podemos concluir que: para que un cuerpo experimente aceleración es necesario que sobre él exista una fuerza resultante no

[flIX lU M L I

i» :i.r *

¡J N E A M .

nula (F b = O) en caso co n tra rio , el cuerpo no experimentará aceleración. Si: Fr * 0 => 3 a

FR = 0 =>

i o x t s

í c i h í ñ o

M

* Recordemos que el movimiento de caída libre es aquel donde, sobre el cuerpo la única fuerza que actúa es la fuerza de gravedad. * Según el D .C .L. la " W ” es la fuerza resultante que origina la aceleración del cuerpo. Por la Segunda Ley de Newton se tiene:

a

O BSERVACIÓN a jL a 2da. Ley de Newton en la forma general se empleará siempre y cuando la rapidez que adquiera el cuerpo sea pequeña en comparación con la rapidez de la luz, de lo contrario la masa del cuerpo experimenta un incremento (efectos relativistas).

F r = rn a Fg = m a CL => m g = m a CL =>'aCL = g %

* La aceleración de la caída libre es igual a g y es el mismo para todo cuerpo.

m 1/ 0

( Efecto relativista)

m mam del ~ “ cuerpo en L m * movimiento *1 \c J

NOTA : ¡Independientem ente de su m asa! Esta aceleración para un cuerpo en caída libre se había planteado en el ca p ítu lo dé cinem ática y su demostración había quedado pendiente, pues ésta es dicha demostración.

* m0 : masa del cuerpo en reposo * c : rapidez de la luz ^c = 3 x JO*

e je m plo s

* V : rapidez del cuerpo

:

•

JLas leyes de Newton se cumplen tan sólo para aquellos sistemas de estudio conocidos como sistemas de referencia inerciales. Se puede considerar como sistemas inerciales a aquellos que se encuentran en reposo o se mueven con velocidad constante con respecto a la superficie terrestre. 6

c)Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es constante, su aceleración también lo será; pero, si la fuerza resultante varía, la aceleración también varía, ya que están en relación directa.

Si‘ FR = c t e => a

t i m

-cte

Fr * c t e => a * c t e

U n pequeño bloque es soltado sobre una superficie inclinada lisa, cuyo ángulo de inclinación es 37°. D e te rm in e el m ódulo de la aceleración que experimenta. (g=10 mis2)

R E S O L U C IÓ N :

^ V0=0

• F0=m g

\ * Realizando el D .C.L.: * Nos piden “ a ” , para ello observemos que el bloque in icia su movimiento descendiendo por el plano inclinado, en consecuencia los incrementos de velocidad están dirigidos en esa dirección y la aceleración también.

EJEM PLO 1 :

Determine la aceleración de la caída libre de un cuerpo de masa m que es soltado desde cierta altura.

R E S O L U CIÓN :

Se descomponen todas las fuerzas en dos ejes mutuamente perpendiculares, uno es paralelo a la aceleración y el otro es perpendicular a esta. * E n el eje paralelo a la aceleración:

SenO a=gSenO a = mg x m * Para nuestro caso 6 = 3 7 ° ■lílli

*

r CL

o

l

0

6 m is

-

W =m g •A

o =10Sen37°

NOTA:

E n e l e je

í~i a la a c e le r a c ió n : - * >

FN=mgcosQ

y

p

1A EX t u x w * :n i A 20t¿\

________

e j e m p l o

a :

R E S O L U C IÓ N :

Sobre el bloque de 5 kg inicialmente en reposo en la superficie lisa, se aplica la fuerza horizontal constante cuyo módulo es 10 N ; determine su rapidez cuando han transcurrido 2 s.

V =0

i

* Caso I: • Como el bloque y el ascensor presentan la misma aceleración. i||i” i||i"i||i’

f

E

3m/s

____________

* Para el bloque:

R E S O L U C IÓ N :

W=10N

* E n el ejercicio nos piden la rapidez del bloque en t = 2 8.

t=2a

F m -1 0 MN 3=

V,

V=0

Fn =13N «I

a l

N

j

• La lectura de la balanza es 13 N * Como las fuerzas sobre el bloque son constantes podemos deducir que "7 - Cfe y además describe trayectoria rectilínea. •notaremos que el bloque realiza u n M .R .U .V

®

A

indica FN

O B S E R V A C IÓ N : La lectura de la balanza nos da el módulo de la fuerza con que el bloque presiona la plataforma de la balanza. A esto se le llama peso del cuerpo. a=3m/a~

I

* Luego: De Cinemática:

* Caso II:

+ at

Vf = a(2) .............................................................. (I) * Nos falta el valor de la aceleración, el que podemos

\V=10N

L .

* Exam inem os la in te ra cció n e n tre el bloque y la balanza.

calcularlo utilizando la 2da. Ley de Newton, para lo cual debemos graficar las fuerzas sobre el bloque.

mg

* Observe que el bloque se desplaza horizontalmente y como = sobre él, la única fuerza--------------r horizontal es F ,

a F=10N

3=W

?F- - * F n = 7 N

=> La lectura de la balanza es ION. O B S E R V A C IÓ N :

S

entonces es la fuerza resultante. * Luego: F = m a => 1 0 = 5 a = > a = 2 m /s2

* Reemplazando en (I): Vf = 4 m/s

E JE M P L O 4 1

Observar que en estos casos se trata del mismo cuerpo, pero la lectura de la balanza, es decir el peso del cuerpo no es el mismo. Además la fuerza con la cual la tierra atrae el bloque (F s) no ha cambiado. E n conclusión el peso del cuerpo es la misma que la fuerza de gravedad.

M Á Q U IN A D E A T W O O D

En el interior de un ascensor se encuentra una balanza y sobre ella un pequeño bloque de 1 kg. Si el ascensor asciende verticalmente, determine la lectura de la balanza cuando:

1) cuando la aceleración es 3 m/s2( t ) a

W cuando la aceleración es 3 m/s / i )

Este método se emplea con el fin de reducir el número de diagramas de cuerpo libre y con ello muchas ecuaciones. La máquina de ATWOOD se usa para hallar la aceleración de un sistema de partículas, (excepto las que tienen poleas móviles, con un solo diagrama y ecuación).

[m x A P ttti

a ¿ im u

IllL*8jUB R E S O L U C IÓ N :

* Procedimiento:

E IH E IO N E S

K U K IÑ O M

l^En el D.C.L. al sistema ubicar:

*En el sistema:

• Trace la línea de movimiento.

Graficamos las fuerzas a favor del movimiento (EM.) o dirección opuesta al movimiento (D.O.M.)

* Las fuerzas externas en la dirección de la aceleración (D A )

* Por la Regla de Atwood

• Las fuerzas externas en dirección opuesta a la aceleración (D.OA) 2Mpücar la ecuación:

Donde: F= 5 0

• DA. => Dirección de la aceleración • D.OA => Dirección opuesta a la aceleración • Luego:

k*

Si la aceleración está en el sentido del movimiento, la ecuación se puede escribir: _y F E F Ayudan M o v / . Oponen M ov a = ó a m m Z

total

Z

totales

O B S E R V A C IÓ N * En el D.C.L. no se representan fuerzas internas. * E F :se halla en la línea de movimiento sumando las fuerzas en igual sentido que la aceleración y restando las opuestas. * Después de A T W O O D puede usarse dinámica lineal para una partícula específica.

a

_ F + mBg - mcg _ 46+2( 1 0 )-5 ( 10) __ m mA+ m B+ m c 1+2+5 s2

E JE M P LO 6 : Si: m J= l kg ; m 2 = 2 kg im3 = 0 kg. Halle la aceleración de cada masa, (g = J0 m/s2)

b

n

í

e z z ím i

ú

m

R E S O L U C IÓ N :

* Las fuerzas deben descomponerse sobre la línea de movimiento. * El peso se halla como W = mg E JE M P LO S Z i

.

*

Determinar lá aceleración con que se mueve el sistema formado por los bloques de masas

m jg + m3g - m 2g -> a = m 1+ m 2+ m 3

(1 + 6 - 2)10 60 mf 8 1+2 + 6 9

P O L E A S M O V IL E S

V,

F=48N

en—

m A = 1 k g;m B = 2 kg y m c = 5 k g ;(g = 10 mis2)

2

a m3

*90

I A E X C tt JM'ici*LA 2012)

II)

* Es aquella polea cuyo centro se traslada. * Si queremos una aceleración entre estas tres velocidades, será más sencillo examinar los movimientos desde el interior de la polea ya que tan sólo se observará el movimiento de dos puntos y no de tres.

a ,=0 y a q u e es c u e r d a f ija

n a ¡ = 2 m ¡8

*Luego:

i

aP= a ,+0 2 a _ = - 2¿ ± 0= - í

* Si se considera aceleraciones:

2

h a c ia a b a jo

a a

O B S E R V A C IO N E S :

* RELACIÓN ENTRE TENSIONES : a * Las aceleraciones vectoriales se reemplazan por positivas o negativas, de acuerdo a la convención del “ signo” para los vectores.

a

(+a)

(■ ba)

(+a)

ba)

i* Si la polea es ingrávida, entonces: m^g = 0, y por la 2da Ley de Newton:

* Procedimiento:

T j - 2 T = mpa => Tt - 2 T = 0xa=> T¡= 2 T

I) Para cada partícula hacer D.C.L. y usar dinámica lineal.

* Para “ti "poleas móviles:

II) En la polea móvil se relacionan las aceleraciones de las partículas.

->

O B S E R V A C IÓ N * No debe aplicarse ATWOOD en presencia de polea móvil, porque cada partícula tiene aceleración diferente. * Para aplicar dinámica lineal a cada partícula siga las instrucciones antes vistas.

* Donde §4n " es el número de poleas móviles.

* Los sentidos de las aceleraciones se asumen; si al resolver resulta negativo, solamente, cambie el sentido de la aceleración.

* "a p«" aceleración de la enésima polea móvil.

E JE M P LO S : E JE M P LO 7 : ^

^ 1= 3 m /8 2i "A*

•£= 3 i + l i = 2 im/s2 2

— y— a la d e re ch a * a o = lm / s si

Determinar la aceleración en el sistema mostrado (poleas móviles). g = 10 mlss

[l»L V Á W < A EMNEAL R E S O L U C IÓ N :

r a í

K i t H 't O X K S

*9i

KUM SM ÑO$

R E S O L U C IÓ N : * D.C.L. polea:

* 3 T -5 m g = 5 m a J T = 5 ( m a ’ + m g ) 41) mg

5m g

m g - T = ma =>T = mg - ma,

(II)

* De (I) y (II): mg - ma = 5^

-+ 3g - 3a = 5a¡ + 5g

- 2 g -3 a 5

♦Pero mp = 0 ^ = > F - 2 T = 0xa=> 2 0 - 2 T = 0 * D.C.L. bloque “A ’ <

(III)

* Para la polea móvil: T - m Ag = m AaA

2(-a ¡) = -a + a ¡

-w

„

mAg

a = 3 a ¡ , p e ro s e g ú n ...(III) a = 3 C -^ 2 )

10-0,5(10) =0,5 aA => aA =10 m/s2

< * = -f (2 g + 3 a )

u

hacia abajo ♦ Pero lo real es que el sistema se mueve hacia arriba,

♦ D.C.L. bloque “B ": m Bg

es decir: a = ^ ( 2g + 3a )

TZ h a c ia a r r ib a e j e m p l o s

=>10-0¿2(10)=0>2aB => a B= 40 m/s2

SISTE M A B E REFERENCIA

:

Las masa? de los bloques “ A "y “ B "son 0,5 kg y 0 2 kg respectivamente. Sobre la polea se aplica una fuerza F = 2 0 N . Calcule la aceleración (en mis2) de los bloques A y B respectivamente considerando que la cuerda y polea tienen masa despreciable.

F

Es aquel lugar del espacio en el cual se situará un observador con la finalidad de analizar un fenómeno físico; como por ejemplo el movimiento mecánico. En mecánica se utilizará con frecuencia los sistemas de referencia: I ) In e rcia l

I I ) N o Inercia l

En cada problema concreto el sistema de referencia se elige de tal modo que simplifique lo más posible su solución. En nuestro curso se utilizan generalmente sistemas de referencia inercial tal como lo hemos venido planteando en los problemas anteriores. En cada problema concreto el sistema de referencia se elige de tal modo que simplifique lo más posible su solución. En nuestro curso se utilizan generalmente sistemas de referencia inercial tal como lo hemos venido

¡A

í

planteando en los problemas anteriores. DSistema de Referencia In e rc ia l(S .R I) (S.R.I.) Es aquel lugar del espacio que se considera en reposo o con M.R.U., y en el cual se sitúa un observador para analizar un movimiento mecánico.(S.RL) En el S.R.I. se cumplen las Leyes de Newton. Para efectos prácticos se toma un sistema de referencia cuyos ejes de coordenadas están asociadas rígidamente a la tierra y se le considera un S.R.I. aproximadamente despreciándose la rotación diaria de la Tierra cuyos puntos periféricos, no exceden de 0,034 m/s . E JE M P LO :

2012]

Generalmente este sistema de referencia lo utilizaremos cuando desde tierra observemos 2 aceleraciones inmiscuidas al cuerpo que se quiere analizar. Es importante tener presente que en los S.R.N.I. no se cumplen las Leyes de Newton, pero con la finalidad de emplearlas en dicho sistema de referencia, hay que aplicar sobre el cuerpo una fuerza adiciona], llamada: “ Fuerza de Inercia” E JE M P LO : * En el ejem pío anterior, el observador / / , notará que sobre el péndulo actuaron además del peso (mg) y de la tensión (T ) del cable, una fuerza de inercia (F ¡) quien fue la que hizo retroceder al péndulo.

Cuando viajamos en un bus, experimentamos una serie de movimientos, algunos de ellos nos hacen ir hacia adelante y otros hacia atrás. Si el bus acelera hacia adelante, nosotros somos “ empujados” hacia atrás. La pregunta que nos asalta en ese momento es: ¿Quién nos empuja? La respuesta que corresponde dar aquí, dependerá de quién sea el observador. Para comprender mejor este fenómeno analizaremos el ejemplo

Esta es una fuerza ficticia, cuya existencia sólo puede ser reconocida si se analiza el movimiento desde un sistema de referencia acelerado.

Para el observador (I ) ubicado en tierra, dirá que nadie empujó al péndulo. Para éste, el péndulo quedó atrasado respecto del bus debido a su inercia de reposo, (observador inercial)

Es una fuerza ficticia que se añade al D.C.L. establecido por un observador no inercial, con la finalidad de hacer cumplir las Leyes de Newton.

a

Ff mg

F U E R Z A D E IN E R C IA (F ¡)

La fuerza de inercia siempre tiene un sentido opuesto a la aceleración del sistema donde esta parado el observador (S.R.N.I.), su módulo se determina, así: r-* -“Masa del cuerpo que se analiza ”

tie r r a

F:i = m a “Aceleración del observador respecto del S .R I. ” N O TAS : Jean D' Alambert, recurrió a la fuerza de inercia para poder aplicar la segunda Ley de Newton en un sistema de referencia acelerado.

* X Fx = m a

=> TSen0 =m o

.......... (i)

*1 v o => TCos0 —mgSeni).............. (II)

La fuerza de inercia (F x) que experimenta un cuerpo de masa m en un sistema de referencia que posee una aceleración ~a »viene dada así:

mg * De (1) y (2): a.=gtgO II)Sistema de Referencia no In e rc ia l(S .R N .L ) Es aquel lugar o sistema acelerado en el cual se ubica un observador para analizar el estado de movimiento mecánico de un cuerpo.

CRITERIO D E D 9A LA M B E R T Como se sabe las Leyes de Newton presentan limitaciones cuando el análisis del fenómeno físico se realiza desde un S.R.N.I. (sistema acelerado). El criterio de D’ Alambert, consiste en agregar una fuerza al D.C.L. del cuerpo en análisis; esto para que

Í W ^ f l f L i E lÑ lL M . M j m las leyes de la mecánica cumplan para dicho observador no inercial. Usualmente denominan a esta fuerza F U E R Z A IN E R C IA L y se gráfica en dirección opuesta a la que se encuentra el observador no inercial, respecto de otro inercial (el que por comodidad puede ser uno fijo a tierra)

E iw m v ü á i i a tituyos] -» F¡ Sena + mgSenO = mat a ;= (a + g)SenO

maSena + mgSenO=ma¡ E J E M P L O 10 :

Un coche acelera con “ a ” , la esferita de masa “ m ” permanece en reposo respecto del coche, determinar “i? ” (Desprecie todo tipo de fricciónj.Un coche acelera ^ * con “ o ” , la esferita de masa **m” permanece en reposo respecto del coche, determina^,” # ” (Desprecie todo tipo de fricción). a

El valor de esta fuerza será: Ft=ma Donde: • F ¡: Fuerza Inercia l • m: Masa del cuerpo en análisis • a: Aceleración del observador respecto de un S.R.I. S U G E R E N C IA S : • Elegir convenientemente la ubicación del observador.

R E S O L U C IÓ N : • Esta técnica puede usarse tanto en la Dinámica Lineal como en la Circunferencial. • Algunos autores llaman a esta fuerza: Fuerza D' ALAMBERT. En el caso del movimiento circunferencial se el conoce como: Fuerza Centrifuga • Se recomienda utilizar S.R.N.I. cuando desde tierra observemos dos aceleraciones asociadas al cuerpo en estudio. e je m p lo

^Ubiquemos a un observador en el coche (S.R.N.I.), el cual observará a la esferita en equilibrio, luego realicemos el D.C.L. de la esferita: * Formando el triángulo de fuerza (ya que existe equilibrio):

F¡=ma

mg

9:

F¿=ma

Tga = g = l

mg Determinar la aceleración “ a / ’del bloque de masa **m” , si el ascensor sube con una aceleración "a”

g Tga as a pero a=g

a =45° *Luego consideremos ” ü ” y ” / f ” : •

a

R E S O L U C IÓ N : • Se aprecia 2 aceleraciones, entonces tomamos un S.R.N.I.: observador no inercial • El observador no inercial, sólo ve una aceleración " « /'c o n la cual baja ‘*m” , observe también que “F . ” esta opuesta a la aceleración del ascensor.

? /.V

r " * 'V ' 45° y

H y R

A P L IC A C IO N D E U N S IS T E M A D E R E F E R E N C IA E N P O L E A S M Ó V IL E S Cuando examinamos ciertos sistemas físicos acelerados, a veces e^tos contienen poleas móviles sometidas a un conjunto de fuerzas, y debido a ello estas poleas y objetos experimentan aceleraciones que

IB

í

*9 *

JA

ÍMB3

con relativa dificultad podemos encarar y resolver.

'VAjoba

A fin de facilitar esta singular situación, examinaremos el siguiente caso:

Vectorialmente

Reemplazando ( a )

En el gráfico, la polea móvil respecto a un observador fijo en tierra, asciende con una aceleración a p( f ) . a Los bloques A y B unidos por la misma cuerda, que pasa a través del canal de la polea, también experim entan movimientos acelerados, siendo:

V Á — Vobs

a —

=-

\VBloba v s io b •

(f l) ~(V g

—

Vobs )

VA ~ V B = 2 Voba a

Pero, Vobs - v p (respecto a tierra)

gráfico (l)

aA( "t) aceleración de A respecto a un observador fijo en tierra. aB( t ) ; aceleración de B descendiendo respecto a un observador fijo en tierra. ¿Cómo hallam os

+ v A jo b a

E S C M rj.w tC D lA 2 0 l¿ \

Ecuación d e la velocidad para la p olea móvil

Análogamente se obtiene la aceleración para la polea móvil y estaría dado por °p -

la aceleración de la polea

Ecuación de ta aceleración para la polea móvil

móvil a p ?

|a P

Desde tierra se aprecian tres aceleraciones y resulta desde esta posición «complicado» poder hallar a p » entonces,... ¿qué podemos hacer?

Cp —+flp

Razonemos si desde tierra se complica el análisis, pues será necesario que cambiemos de posición en nuestro enfoque, ¡sí!... pero, ¿cómo? Situémonos sobre la polea móvil y desde allí analicemos el movimiento de A y de B. obsevador En el gráfico (2), para el observador situado en la polea, el punto P no se aleja ni se acerca; su velocidad no cambia, entonces, este punto P no tiene aceleración respecto a él.

aA + aB

«A = + «A

a B = 0 (Puntoíyo)

Reemplazamos en la ecuación de la polea móvil a A+0 = — aA a A a P ~ ---2 E J E M P L O 11 Z Consideramos dos poleas móviles

=>v Pfob»

^ gráfico (2) velocidad de P respecto = 0 del observador

* Analizamos la polea inferior _a A + 0_ a A (a) 2 2 * Analizamos la polea superior a p¡+0 q A/2 a A ~

Bien; pero además el observador ¿Cómo ve a l bloque A ? Lo ve que se acerca con una velocidad definida así: a A ¡ o b . = V Á - V o b . .................... ( a )

Y, ¿Cómo ve a l bloque B ?

p2

2

...................................................................................................

2

22

( P)

De ( a ) y ( f i) generalizamos para el caso cuando se tenga n poleas móviles

Lo ve que se aleja con una velocidad que se define como: VBIob, = VB ~ V°<»..................... ( 0 ) Como A y B están unidos por la misma cuerda y ésta, a su vez, es inextensible, quiere decir que dos puntos cualesquiera de dicha cuerda siempre experimentarán igual recorrido en el mismo tiempo, es decir, igual rapidez (de lo contrario la cuerda se rompe).

n: Número de poleas móviles. apn: Aceleración de la enésima polea móvil respecto a tierra. a A : Aceleración del bloque sujeto en un extremo de la cuerda respecto a tierra.

[fl/x lw :i MJNM1AM. W M S U G E R E N C IA S P A R A R E S O L V E R

E D IC IO N E S

495

P R O B L E M A S S O B R E D IN A M IC A L I N E A L

H V K iÑ O Ñ

a€f = g + ( - o ) =o amf— yjg2+ a* * En el interior del vagón:

• Entender correctamente el problema con los datos e incógnitas. * Hacer el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) al cuerpo o sistema por analizar. • Ubicar la(s) dirección(es) de la(s) aceleración(es) y descomponer Ia(s) fuerza(s) esa(s) dirección(es) y perpendicular(es) a ella(s). * En la dirección del movimiento acelerado aplicar:* En la dirección del movimiento acelerado aplicar: * Para el caso de ascensores: ai S u be a c e le ra d a m en te

b )S u b e d eea celera d a m en te

* En la dirección perpendicular al movimiento acelerado aplicar: * Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y es factible descomponerlos en los ejes cartesianos, entonces conviene aplicar: =m ax ^ F y = m ay ^ F t = ma

*E1 análisis del fenómeno, lo haremos desde un Sistema de Referencia Inercial (S.R.I.); sea fijo o a V = cte. * Un S.R.I. práctico es desde tierra. * R e co rd a r q ue : A lg u n a s v e c e s , los p ro b le m a s no necesariamente serán resueltos según la secuencia dada, podrán obviarse algunos pasos y en otras usar m étodos prácticos que conduzcan a una solución satisfactoria.

a ,f = g + a

c)B aja aceleradamente,

aef ~ g-<*

* En el caso de un vagón que acelera a la derecha con “ a ” ,con un observador en su interior.

Se tendrá que: La fuerza inercial que se agrega (suponiendo fuera real) produce una aceleración, la que sumada a la aceleración de la gravedad, nos da una nueva a la cual llamaremos en adelante aceleración efectiva (aef).

atf - £ “ a

* Si hay 2 o más cuerpos interactuando entre sí por medio de cuerdas o apoyados uno en el otro, de modo que no hay movimiento relativo entre ellos, entonces la aceleración del sistema es la misma de cada uno de ellos. _

m

R

1 5 5 5 *9S

• "to liiM

iMSfluotino

PROBLEM A 1 : S iR Ay R B son las reacciones entre los bloques m y Af para los casos A y B respectivamente, calcule la relación R AIRB•No tome en cuenta el rozamiento (M > m ) Caso A :

Caso B :

A)miM B)Mim D)ml(m + M) E)M (m +M) R E S O L U C IÓ N :

IA

l?js5S

superficie sin fricción, debido a que sobre la masa M t de 45 kg actúa una fuerza F = 90 N. Determinar la aceleración del sistema, si la tensión de la cuerda quéjala a “A f,” en la misma dirección’ del movimiento es de 45 N .

F=90N A J-im /s 2B )-2 im /s 2 C )l,5im ! 8?

C)1

..........

...(I)

* Del bloque de la derecha: __________ (U )

F -T = m a * De (I) y (II):

F - T = T = > F = 2T * Luego “F ” será máxima, cuando ‘ T ” sea máxima, es decir: Tmax= 2 N ^ F max = 2 (2 N )= 4 N PROBLEM A 4 :

* Realizando el D.C.L. de “A f/': M ,g

Dos bloques están en contacto sobre una superficie sin fricción. Se

R PTA:

“ B

”

aplican dos fuerza horizontales F ¡y

Mg =m 'M \ r a rá f t I— i --------- — sam

acción ,_ «, y .. 1«2 reacción *De la 2da. Ley de Newton:Sobre “m ” ® a fl ^

lT = 4 5 N

* Sabemos que la aceleración del sistema es igual para cada una de las masas, además que la tensión de la cuerda quéjala a “A f/'es la misma que interactúa con “ Af/*, luego apliquemos la 2da Ley de Newton en el eje horizontal: ma

-9 0 i + 45i = 45a e s

\mg

I

-> a = - i m /s

y j k S g ........

RPTA : “A ”

k

R, *De la 2da.Ley de NewtontSobre “Ai” =

'(II)

* Ahora si examinamos al conjunto (m + M ), podemos observar que en ambos casos actúa la misma fuerza resultante (F ); en consecuencia, el módulo de la aceleración es la misma en ambos casos.

PROBLEM A 3 : Dos cuerpos idénticos que están unidos por una cuerda yacen sobre una mesa horizontal. La cuerda puede soportar sin romperse una tensión de 2 Newton. F

RA - m R b Af

Sin considerar la fricción entre los cuerpos y la mesa, la fuerza F máxima en Newton que puede aplicarse a uno de los cuerpos para que la cuerda no se rompa es: A)5 B)4 C)3 D)2 E)1 R E S O L U C IÓ N :

R P TA : “A ”

* Realizando el D.C.L.:

* Luego: aA = a B * Entonces de (I) y (II): RA - RB m M

T = ma

Dato

F=90N

* Coso “ B ” ; a. Af¿?

* Del bloque de la izquierda:

D)4i mis 2E )-5 im fs 2 R E S O L U C IÓ N :

* Caso “ A '* :

f

FJVCJ*x oi**:otA 2012}

PROBLEM A 2 : 3 masas Af¡ , Af, y Afs están unidas por cuerdas y se mueven sobre una

a

&m

* =

f

F

~F¿, tal como se muestra en la figura. Si m l = 3 kg, m 2 = 2 kg, F t = 6 N y F , = 2 N , ¿cuál es la fuerza que un bloque ejerce sobre el otro?

A)4,5 N B )8 ,0 N D )6 ,0 N E )6 ,4 N R E S O L U C IÓ N :

C )3,6N

* Partimos bajo el supuesto que los dos bloques siempre permanecen juntos; entonces sus aceleraciones son iguales y en el mismo sentido. * Para todo el sistema:

a

* D e :^ F t=ma F 2= (m 1+ m 2)a

6 - 2 = (3 + 2)a 4 a = —m l8 5 * Ahora analicemos el bloque de la izquierda:

[p f iY A m r A

M .v f w i y,

* D e :^ F x= m a -> F¡ - R = m¡a - + 6 - R = 3 x - - > R = 3,6 N RPTA : “C ” PROBLEM A 5 : ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) La 2da Ley de Newton es válida respecto a un sistema de referencia inercial. 2) La 2da Ley de Newton es válida en todo sistema de referencia. 3) La 2da Ley de Newton define el estado de equilibrio en un sistema de referencia inercial. 4) La aceleración a de un cuerpo es la misma respecto a cualquier S.R.I. 5 )La velocidad v de cualquier cuerpo es la misma respecto a cualquier S.R.I. 6)Si un cuerpo no está acelerado respecto a un sistema de referencia, entonces dicho sistema es un S.R.I.

2) V E R D A D E R A : La 2da Ley de Newton es válida también en un sistema de referencia no inercial (sistemas acelerados). En este caso el observador debe adicionar una fuerza denominada “ Fuerza Inercial” o “ Fuerza Ficticia” al diagrama de cuerpo libre del cuerpo en cuestión. Si a es la aceleración del S.R.N.I., entonces la F u e r z a Inercial

) es igual a: F¡ = - m a

3)FAI^SA: Es la primera Ley de Newton que define el estado de equilibrio (reposo o M.R.U.) de un S.R.I.

v=0

y -c te

5 )F A LS A : Dado que:

se mide por comparación con el patrón internacional en una balanza de brazos iguales; el peso que es una fuerza se mide con un dinamómetro cuyo principio de funcionamiento está basado en la Ley de Hooke.A^’ . 9) V E R D A D E R A : La física clásica considera a la masa de los cuerpos como una magnitud constate; El peso (W) depende de la gosicióh del cuerpo respecto aljséjrffb de la tierra, así: J ^ G M in W - m g = ■---------- -g Donde: + hj

Un bloque de 2 kg asciende por un plano inclinado liso, tal como se indica. Determinar el módulo de su aceleración (g = 10 miss) A)7 m/a* B )8 mía2 F = 5 0 N i C)9 m/a2 * * D)10 m/a* E ) l l m/a2

8) La masa se mide en una balanza de brazos igualesy el peso mediante un resorte.

1) V E R D A D E R A : Efectivamente. La 2da Ley de Newton es aplicable en todos los Sistemas de Referencia Inerciales, es decir en aquellos sistemas de referencia que están en reposo o con M.R.U.

8) F A L S A : La masa de los cuerpos

4 )V E R D A D E R A : Un sistema de referencia inercial; es aquel sistema M : masa deía tierra que esta en reposo o que mantiene una velocidad constante. La m : masa del cuerpo aceleración “ o ” es la misma en R t : radio terrestre >> cualquier S.R.I. h : distancia del cuerpo a la superficie terrestre a a G: cte. de Gravitación Universal RPTA : “B ” PROBLEM A 6:

7) En un ascensor acelerado puede variar el peso de los cuerpos.

0)La masa de un Cuerpo siempre tiene el mismo valor medido a cualquier distancia de la superficie terrestre y el peso en función de esta distancia. A)3 B)5 C )6 D)4 E)9 R E S O L U C IÓ N :

E IH C IO X E S R U B iX O S ) : cuando acelera hacia abajo

R E S O L U C IÓ N :

6)F A L S A : Ya que no siempre se verifica. 7 )V E R D A D E R A : En los sistemas acelerados el peso de los cuerpos varía. En el caso de un ascensor acelerado, el peso de un cuerpo (llamado algunas veces “ peso aparente” ) está dado por: KparexU = W™1 ± " l <* (+ ): cuando acelera hacia arriba

• Para determinar el valor de la aceleración debemos primero realizar el (D.C.L.) para el bloque y plantear

|g£3 * 9 8 ÜE53

V P 'M & W d A 50 Cos53° - 20 Sen53°=ma 50 ^ j - 20 ^ j = 2a -> a = 7mls2 RPTA : “A ”

IA

PROBLEM A 8 :

E X C ir M .o r 'E U lA 2 0 1 2 )

R E S O L U C IÓ N :

Determine la aceleración (en mis*) del sistema mostrado en la figura. La cuerda es inextensible.

f, lOKg

'S=4mjs*

m¡ = 2m g; g =10 m/s3

PROBLEM A 7 : Los tiempos que tardan 2 bloques en descender sin rozamiento por un plano inclinado son " f / 'y Si las respectivas masas son:

* Liso

*De

> ( -2 a - 3 0 j)+ ( - 4 o 3 + (i« + flü j)+ J $ =4Ói -4 5 ¡+ 2 0 j+ F ¡= 4 0 i= > f¡= 3 B i-2 0 j

m 1 = 0,5 g y m g = 5 g t la relación entre “ / / ' y “ts”es: A)2I3 B)3/2 C)3/4 D)4/3 R E S O L U C IÓ N :

lOKg

E)5I3

* Si en la condición mostrada hacemos el D.C.L. a los bloques:

A)tj > tf B)tl < tt C)Depende del valor de “ a

a = ?? 99

D ) t ,= t ,

E)Depende del valor de *7i R E S O L U C IÓ N :

99

* Analizando el caso en donde un cuerpo desciende por un plano inclinado liso y de longitud **L” * En la dirección del movimiento: 0

J \ F — ma mgSena — m a -> a = gSena “ Sólo depende de “g** y del Sen a , no depende de ilm ” * Luego como se efectúa M.R.U.V, se tendrá que: 1 -2_ „ . 9S ena {2 L =V;*+ — a t *=0 + * 2 2 2L 9Sena

-*

t, = t

RPTA: “D ”

* En la dirección del movimiento, se tendrá que: m g - T = 2 m a ..........................(I)

* Ahora aplicando: -» F 4+ Fs =m a -+ (8 5 Í-2 0 j) + (-2 5 i-6 0 j) = 10a a = 6i - 8j

T - mgsen53° = m a ............... (II) * Al dividir (I) + ( W , se obtendrá:

R P T A : “A

99

P R O B L E M A 10:

Cuando sobre un bloque de 10 kg que se encuentra sobre una mesa horizontal lisa actúan las fuerzas

Sobre un vagón de masa ‘ '3m ” actúa una fuerza horizontal de 4 Newton; en su interior se encuentra un carrito de masa "m" el cual por efecto de la aceleración se recuesta en la pared posterior. La reacción de la pared sobre el carrito es:........ (despreciar la fricción en todas las superficies). A ) 1N B)1,33N C)2N D )5N E)7 N S O L U C IÓ N :

F, = (-20 í - 3 0 7 ) N ,F ¡ = - 4 0 iN ,

* Efectuando el D.C.L. del sistema:

r

.

”

«

3 * Que al reemplazar en (I ), se tendrá: 26 2 . 2 mg m = 2m a -» a = — m /s 6 3 3 R P TA : “A ” P R O B L E M A 9:

F 3= ( l 5 i + 5 0 'J ) n y F 4 la aceleración que adquiera tiene un módulo de 4 m/s* en dirección del eje +X. Si sobre el bloque actuaran

F

=

W total

a

3m

las fuerzas F 4yFB = {-25 i - 6 0 j ) N t halle la aceleración (en m/s ) que tendrá dicho bloque. A ) 6i - $

B )á -7 j

D ) 9 i - l l j E )4 i-Q j

C )5 i+ 2¡j

I i * Dado que **F” es aplicado a todo el sistema, luego:

[ n &ivAjfwwa¿% w. mnwcsl m. 4=4m a

->a=

( 1)

m * Ahora para el carrito: mg

a

^— ►

1N

R = rna

E D ÍC M íYES RlJBMÑOSd P R O B L E M A 12: Cuando una misma fuerza se aplica a tres cuerpos diferentes adquieren aceleraciones de 2;4 y 12 m/s 2 respectivamente. Si los tres cuerpos se colocan juntos y se aplica la fuerza anterior, determine la aceleración de los bloques. (Considere a los bloques sobre una superficie horizontal lisa). A )6 m/s9 B)4 m/s3 C)2 m/s2 D)2,2 m/s2 E ) 1,2 m/s2 R E S O L U C IÓ N : * Del enunciado: 2rti¡a 4m/a

Un péndulo simple se suspende del interior; encuentre en función de la aceleración “a ”el ángulo que el hilo forma con la vertical en la posición de equilibrio. A)a = Ctg

j

C)a = T g ' \ ~ \

B)a = T g 1^ 2 ^ j D)a = Sec

ü)

a E)a = Ctg~1^ 2 ^ R E S O L U C IÓ N : •Analicemos al sistema cuando el péndulo adopta posición de equilibrio con respecto al vagón, haciendo el D.C.L. de la esferita. a Teosa Tsena

• De la 2da Lev de Newton:

(I)

• Además: T C o s a = m g ......................

) RPTA

•Segunda Ley de Newton: Z* Fr -m a T - 2S0a f ~ % í£ 3 ;a

¡ 2m/a3

* Como todas las superficies son lisas. Entonces F representa ser la

-+ a = — (T -2 5 Ó ) 250 ^ * En la expresión*sí se requiere de a max -* 4T Mdebe ser máximo. -+ a máx= ^ z ( 3 0 0 - 250) 250

am áx-1*9G m/* F t> que experimenta en cada uno R PTA : “B 19 ,y * P R O B L E M A 14: de ellos. Sabemos que: Dos cuerpos de masas m y 3m se * Para (1): F = m ¡x 2 -> m¡ = F ¡2 sueltan al mismo tiempo desde una cierta altura. La resistencia del aire * Para (2): F = m s (4)-* m.¿=F/4 es la misma para ambos cuerpos e * Para (3) : F = ms (12) -> m3=F/12 igual a mg/6. si am y a ^ son sus respectivas aceleraciones mientras * AI final: descienden, entonces el cociente a ^ ! a=? am es igual a: F

=

Liso

Luego:

A )i l m !* o ” m ” 15 15 15 5 R E S O L U C IÓ N :

(II)

e >!*

5

F h = m xti

Pu ra el con ju n to

i

del con ju n to

F = (m t+m g+ms )a

12 4 12)

xa

mg

* Resolviendo: a = 1¿2 m/s3 RPTA : “E ” P R O B L E M A 13:

mg

TSena = ma

250 • Para analizar el problema, se hace un esquema general de fuerza para encontrar una expresión general de la aceleración.

f

RPTA : “A ” P R O B L E M A 11:

cuerda de tensión m á x im a 300N

Un trabajador desea enviar un peso de 250 N con una cuerda que resiste una tensión máxima de 300 N . ¿Cuál es la máxima aceleración, en m/s2, con que se puede elevar este peso sin que se rompa la cuerda? (Considere g = 10 m/s2) A) 0,86 B)l,96 C)2,16 0)2,26 E)2f36 RESOL UCIÓN:

m g~ 6 =mam

s ir t e

►Ow —5 o

’Z F , = m,o,al‘* Z |“ I fflfÍ

3m g

— = 3 tn a m

6 17

>a3m l8 8

3mg

mg

(1

• Luego de (II) * ( I ) :

a J S - L -

IR

Í7 15 RPTA : “A ”

IA E S íH J . oi

500

P R O B L E M A 16: Una pelota de lO O g lanzada La posición de un vehículo de masa 5 verticalmente hacia arriba con 60 kg que se mueve a lo largo del eje X mis emplea 5s en ascender. Si está dado por: x ( t) = 3P + 2t + 1 consideramos constante en módulo donde t se mide en segundos y * en la fuerza de resistencia del aire, metros. La fuerza en Newton que determine el m ódulo de la actuará sobre el vehículo cuando / = 2s,es: aceleración con la cual desciende. A)10 B)20 C)30 D)40 E)50 (g = 10 mis2) A)2 mis2 B)4 mfss C )8 mis2 R E S O L U C I Ó N : D)9,8mls* EilOmfs* * En f = 0, la posición es x = lm y R E S O L U C IÓ N : en t =2 s la posición es x= 1 7 m v H=0 (B ) * * Esta ecuación: x = l + 2 l + \3¡t2 P R O B L E M A 15:

corresponde a un M.R.U.V donde: attv

5s

Í

m = 0 ,lK g W =1N

• Entonces, comparando: V0= + 2 mis y a = + 6 mis (A )

V Á= 6 0 m !s l) Durante el ascenso de la pelota * Por 2da Ley de Newton: F R=m a -> F ain+ W = m a Fain+ l = 0 , l x a

(I)

•Calculamos el m ódulo de la aceleración (a): De A hasta B: M.R.U.V > 0=60 - a x 5 a = 12 m Is

* En (I) : - + F ttin + l = 0 tl * 1 2 - > Fai„ =

N

• Por 2da Ley de Newton: F R = ma -» F r = 5 x 6

RPl'A : “ C ” P R O B L E M A 17: Un muchacho que pesa 25 N en una balanza, se pone en cunclillas en ella salta repentinamente hacia arriba. Si la balanza indica momentáneamente 5 5 N en el instante del impulso, ¿cuál es la máxima aceleración del muchacho en este proceso? (g = 10 mlss) A )3 ¿ mis2 B)10 m/s2 C)12 mi»2 D)22 mis2 E)32 mis2 R E S O L U C IÓ N : • Efectuando el D.C.L. del muchacho que se encuentra parado sobre la balanza, justo en el preciso instante en que salta hacia arriba. W

• Por 2da Ley de Newton:

^-----------

W -F a ¡n =m a ,

l - 0, 2= 0,l* a ¡

I W = IN

a!\ i }

a

% m = 0 JIKg

Fm „=0,2N

Q j= 8 m ls 2

RPTA : “ C ”

•Observemos que el muchacho acciona sobre la balanza con una fuerza de módulo 'W ” y que la balanza reacciona sobre el muchacho con una fuerza también de m ódulo “ ¿V” , siendo esta reacción la que favorece el impulso hacia arriba; entonces: y ,m g = 25 ;/i =

25 10

N -W = m a

5 5 -2 5 = — a 10

a = 12 m is 2 R PTA: “ C ”

P R O B L E M A 18: Un hombre cuya masa es de 60 kg sube en un ascensor parado sobre una balanza. El ascensor asciende con una velocidad constante de lOmls. ¿Cuánto marcará la balanza (en kg) ? A)0 B)30 C)60 D)90 E)120 R E S O L U C IÓ N :

FH= 30N

U ) Durante el descenso de la pelota:

FR=ma¡\

2012}

!

N

e s a .

•Analicemos a la persona parada sobre la balanza y dentro del ascensor que sube con velocidad constante. • Observem os que la persona acciona sobre la balanza con una fuerza de módulo ‘W ” y esto es lo que indica la balanza, pero la balanza reacciona sobre la persona con una fuerza de módulo ‘ W ” , entonces: £ Fx = ma (Pero como y es constante -» a = 0) - + N - P E S O = m(0) -y N = PES O = 60 Newton RPTA : “C ” P R O B L E M A 19: Una persona se encuentra en un ascensor parado sobre una balanza (dinamómetro). Al comenzar a subir el ascensor, es acelerado y la balanza indica un peso P ¡. Después, sube a velocidad constante y la balanza indica un

{mSMJNAJPWMUJS

I.M N M C iX f.

peso Pr finalmente, es desacelerado hasta pararse y la balanza indica un pesoPj.La relación entre las indicaciones de la balanza está dada por: A)Pa > P S> P 2 B)PS = P S = P J C)Pg > P t > P a D )P l > P Í > P Í E)Pa > P i > P l R E S O L U C IÓ N :

• «•

X = m (-a ) P3 - m g = - ma P $ -m (g - a)

Pj >P2 >P¿

MEDICIONES K lfíL X O S l 2mf8S, la longitud total del resorte es de 15cm. ¿Cuál será, en cm, la longitud total del resorte cuando el ascensor baja con una aceleración de 4 m/s*?(Considere g =10 m/s*) A)6,0 B)8f5 0 1 0 ,0 D)7,5 E )1 2 ¿ R E S O L U C IÓ N : •Cuando el ascensor subeq.=2m¡8~: ■

<■ *¡* •*» '£e- <•

RPTA : t4D fp

Ixl>

P R O B L E M A 20:

“i

••I <*

%*

V

£ > .V

• La persona acciona sobre la balanza y ésta reacciona sobre la persona con una fuerza de igual intensidad, de sentido opuesto y a la que estamos denominando normal t4N ” , se deduce que la lectura que indica la balanza es el valor de la fuerza de acción sobre ella, también de módulo “N ” y que estamos llamando normal, luego veamos: • Cuando acelerando

el

ascensor

Una persona cuya masa es de 80 kg se eleva con el sistema mostrado. Si se sabe que la magnitud de la fuerza de interacción entre la canastilla de 20 kg y la persona es de 150N. Determine la magnitud de la fuerza que la persona aplica a la cuerda.

15cm

\

A)200N B )250N C)180N D )300N E)192N

x*

-> kx - W =ma -> k(15 -1 0 ) -1 0 =1x2 -> k = — N/cm 5 * Luego cuando el ascensor bqja, a=4m/8*:

R E S O L U C IÓ N : • Realizando los D.C.L.:

•De: ^ F y=ma lO c m

W - kx=ma na I 10- — x =lx4 L T iv + 5 x = 2,5

sube

Y .F „ rl = ma

Ia

> P j - mg = ma P ¡=m (g + a)

• Cuando sube con velocidad constante (a = 0)

mg P2-m g = 0 -> P 2~ m8

* Cuando el deeacelerando

ascensor

sube

. .

* Ahora de:

mg

P2

- «PlWí/í

• Finalmente, la longitud, será: L = L o+ x = 10 +2j> = 12,5 R PTA : 44B ” P R O B L E M A 22: • De (1) +■( ¡ i) , se obtendrá: T + R -m g _ m T -R -M g ~ ~ M T + 1 5 0 -80(10) 80 T - 150 -2 0 (1 0 ) ~ 20 -+ T = 250 N R P T A : “B ” P R O B L E M A 21: Un resorte, cuya longitud natural es de 10 cm , se cuelga del techo de un ascensor y en su extremo libre se coloca un peso de 10 N . Cuando el ascensor sube con aceleración de

La figura muestra dos objetos cuyas masas son m y M . Si m se encuentra sobre una superficie lisa. Halle-^-para que la magnitud de la aceleración de la partícula M sea —. .g: aceleración de la gravedad. A

' 3

B)1 _ C )2 D ) 1,S E )l,7

t

*

-

U P W & iW C in L R E S O L U C IÓ N : * Realizando el D.C.L. a todo el sistema:
v /

-

—

U Bff4JOFT:i»U 2012]

¿ <•»

2T = m a

(II)

* De las ecuaciones (I) y ( I I ) la tensión “T ” pedida resulta:

R P T A : “B ” P R O B L E M A 24 :

M g

* Luego de: X F u = 3AÍ= m+M £ M g=im +M )— m * V ; 3 -+ 2M = m ->^~2 M RPTA : "C ” P R O B L E M A 23: Los 2 bloques con las masas indicadas están conectadas mediante una cuerda como se indica en la figura. Despreciando la fricción en superficies y en las poleas, determine la tensión en la cuerda 1 .

1

En la figura m l =4kg y m 2= lk g , h=24 m . Si el sistema empieza a moverse del reposo. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las masas cuando se encuentran? (g =10 m/s*) A ) 6m!s B)12 mis

D)g

ffl(

ei~ ej - > ej ~ e¡ ~ 12m * como se efectúan un M.R.U.V:

-> V? = 2 x 6 x 12 -> V, = 12mls RPTA : “B ” P R O B L E M A 25: En el sistema mostrado, en la figura, la polea móvil es de Ik g . Determine el módulo de la tensión en el hilo (1 ). Desprecie las asperezas (g = 10mlss)

C)4yf30 mis D ) 12-12 mis E ) Tiene diferentes valores

A )6 N B)1 N

R E S O L U C IÓ N : * En este caso considerem os primero la expresión del principio de la máquina de Atwood, y determinemos así la aceleración del sistema. ^^I'favor de a

* 5 '

* Pero se debe tener en cuenta en /f. este caso que debido a la disposición de la cuerda en la polea, los bloques se mileven con aceleraciones de igual valor y por ello recorren simultáneamente espacios iguales, ósea que:

^'cantra de a

m »iaiem a

mM 4M+m Ig \4m + M J g

C )7 N D )5 N E)4 N

R E S O L U C IÓ N : * Si la polea móvil asciende Im entonces la cuerda se desenrolla 2m Entonces: •Analizando

E) 2g

al bloque:

R E S O L U C IO N :

F r= " “ W .

* Realizando los D.C.L.: ~ 10- T = 2 a

h =24

(I>2o} m

ION * Analizando a la polea móvil: F R = m a poUa

=* 2T - 10= ( 1) (a) z * 2 T - 1 0 = a ........................(II) _> a - w i ~ w i m ¡+ m 2 * Aplicando la 2da Ley de Newton: * Bloque “ M ” : M g - T = M (2 a )......................(I) •'Bloque “m

m 1+m 2

4 (1 0 ) -1 (1 0 ) . . 2 = -------------------- =6 m is 4+ 1 * También de los espacios recorridos se deduce que: el + e2 = 24 m

* Resolviendo (I) y ( I I ) : T = 6N R P T A : “A ” P R O B L E M A 26: La joven de la figura ejerce una fuerza de 1000N sobre la cuerda para que el coche suba por la rampa. Hallar la aceleración en m/s* que

im tC lO X E S KtJKLXOdl

\T9M NAM B0 "u\ adquiere el sistema si el peso del joven y del coche es de 2000ÍV. Desprecie él rozamiento y considere g = 10m/s.

* Al llegar la masa al suelo, el bloque sigue por inercia pero con una aceleración menor ya que no actúa la tensión del bloque. comdta la velocidad

320N * Por la máquina de Atwood:

A)0 B)2,5 C)5,0 D)7,5 E)10,0 R E S O L U C IÓ N :

P R O B L E M A 29:

320 - 50Sen53° 280 a= 32 + 5 37 * Ahora para el bloque izquierdo: k x - 5Sen53° = 5a

* Realizando D.C.L.:

R P T A : “D ” jp

IndiquéV la g r á fic a F /y ^ T V correspondiente al mgpfflupmo del bloque "A" a partirjtónnstante que se suelta (no asperezas) (g -10 mía2)

2Am

x = 10cm

4

RPTA : "C " P R O B L E M A 28: T =

1

0

0

0

N

• Analizando sobre el sistema (joven - coche): = ma 3 T - M r gSen30° = M Ta 3(1000)- 1000 = 200a

Un bloque B sobre un plano inclinado sin fricción está unido mediante una cuerda a una masa m como se indica en la figura. Ambos parten del reposo. ¿Qué gráfica muestra mejor la velocidad del bloque después de soltarlo (antes de llegar a la polea)?

l , 6m

C) LVfmi,) 46 l(») 0 0.8 I Um¡ E)

IW

a = 10 mis

RPTA : “E ” P R O B L E M A 27: Dos bloques de pesos 50N y 320N están unidos por una cuerda unida a un resorte de masa despreciable y de constante k=778,3N/m, como se indica en la figura. El resorte se estira por acción de los pesos y se inicia el movimiento de ambos bloques.Hallar, en cm el estiramiento del resorte durante este movimiento. (g = 10ni/a2)

Im A ) IV

B ) IV

t e D )\ V

B)5,0 C)10,0 D)15,0

0,8 I t(,f

R E S O L U C IÓ N :

CjkV t e

E )\ V

t e t e R E S O L U C IÓ N : * Es necesario tener en cuenta los desplazamientos qué experimentan los bloques hasta el instante que la masa llega al piso.

A) 1,0

E)20,0

0

•Cuando se suelta el bloque"AM ,los 2 bloques y la cuerda aceleran debido a: m *<#i

3 2 0 N

R E S O L U C IÓ N : • Efectuemos el D.C.L. sobre cada bloque, en el sistema que tenemos como dato:

Z

- Z dm a

- m.iMt * « d* a

=> m g - 0 = ( 2 m )a

mj- ....... => a = 5_ —

co n sta n te

HS5 s o * M U

Ljfj * Estos bloques aceleran con este valor hasta que el bloque "F1impacta en el piso y m A npasa por "Q" con una rapidez "V", luego del M.R.U.Y de "A".

R E S O L U C IÓ N :

U Excj[z,aptsD L\ 2012

* De donde: a__jia = m*dta

a(tn/i )

Rt 2 1,6 = ^ - + t ¡ = 0, 8s V=4

=

8

x

l 0

*

(

2 2 5

xlO

P R O B L E M A 32:

L ito—

m

* Y ¿qué pasa a partir del instante en qué " F impacta en el piso? * Respuesta: como " F ya no jala la cuerda entonces: T 'U.rd» =0 y F r = 0 * En consecuencia: El bloque "AH continúa deslizando hasta la polea sólo por inercia de tal manera que realiza un M.R.U. dqR = Vt -> 0,8 = 4tz -> t2 = 0£a

(II)

* A partir de (I) y (II) se deduce que la gráfica v - t Para el movimiento del bloque "A" sería:

, ,~45N

R PTA : 44E 3*

2m¡8*

8

4 x10a

2

iFg ma

>••••....... ( I )

,

* Reemplazando en (I); F m * u a

2

225

* Como la fuerza resultante, es lo mismo para todos los bloques: -> F = m j(2 ) = 3(0,5)

8 R P T A : “D ” P R O B L E M A 31: Al atrapar una pelota de béisbol que viaja borizontalmente con una rapidez de 15mfs, un jugador mueve el guante en línea recta hacia atrás a 20cm de la línea de contacto hasta el momento en que la pelota llega al reposo. Si la masa de la pelota es de 0,080kg. ¿Cuál es la fuerza media sobre la pelota durante ese intervalo? A )2 0 N B )2 5 N C)30 N 0)40 N E)45 N R E S O L U C IÓ N : 15m¡*

Un collarín de 4kg mostrado en la figura, es soltado en "A". Determine la aceleración que experimenta, al pasar por "F , considerando que la longitud natural del resorte (k=2N [cm ) es de 30cm. (g=lOm/Pj 30c m A)4 mía1 B)5 mis* C )6 mía* D)7 mis9 E )8 mis* R E S O L U C IÓ N : x=0

A tfvter

Ny 4* * * Del (D.C.L.) en & F r ~ mS Cos37° - F e Cos37°

0,2m

* Nos piden determinar el valor R P T A : t4 D f* medio de la fuerza que ejerce la personas a la pelota (F ) hasta que P R O B L E M A 30: la detiene. En un laboratorio »% de mecánica, a la que provoca diversos bloques con diferentes masas F : fuerza que se encuentran sobre una desaceleración de la pelota: superficie horizontal lisa, se les aplica * De la 2da Ley de Newton: una misma fuerza a cada una de ellas, resultando la gráfica adjunta para las aceleraciones medidas.Halle m / e n k g ). %

-> P m edia =

m edia

A)6

Pmedia ~ 3 x 1 0 2(a media) .. (I)

B)12 C)3

* Determinando la a medta de la esfera.

D)3I4

Para la esfera:

E)1I2

=>0 = 152 - 2 a media ( 0, 2)

=>ma = m g Coa37° - F s Coa37° m a = m g Cos37° - kx C os3T 4 a = 4 x l0 x --2 x l0 x — 5 S a = 4m/s2 RPTA : t4 A 3t P R O B L E M A 33: Se abandona el sistema en la posición mostrada. Según esto, calcule la aceleración con que se mueve el bloque que esta colgado, considere que no hay fricción, tampoco peso en las poleas. A)5 m/a2 l§5 B)10 mis* C)15I2 mis* D )8 mis* E)2,5 mis* e

^

— ■■ "im

\m*Mív A j >WW€V% R E S O L U C IÓ N :

EM CKom s

505

m m vó$l

* Para todo el sistema, en el eje

R E S O L U C IÓ N :

• Realizando los D.C.L.: «)

horizontal: 80 - 6 0 = (3 + 2 + 5 )a -> a = 2mls 2 * Ahora del bloque "nij";

...(I)

Tse n d \ / T |iV, 2m g

TcosQ

2T=2m a

=60N

03 a= 70í24míi

N, (II)

mg T - ma.

(III)

R s S e /» 3 5 ¿ o 0 = m3a

•Luego de 10s se ha perdido 201 de agua entonces quedan

W

2 4 0 -2 0 = 2 2 0 / £ & * Asumiendo: P /ifO -lk g /1 -+ mHg0= 220 kg * Luego la masa del sistema

a, =a. ->a* =

3o* = o

•Analizamos el instante, luego de transcurridos lOs desde que se salió el tapón.

€

7

• De (U ) y ( I I I ) :

(MH20+ mRe4g

(IV )

será: m = m ag0 + -y m g - T = m a;

(V)

mg

• Dem, ffW y (II): mg - mas = m(3as)-> a 3= g ( 10) = ^ -m /s 2 R P T A : “C ” P R O B L E M A 34: Una avioneta que viaja horizontalmepte con una aceleración ‘ *70 , ¿ constante a - — mis transporta 2401 de agua tal coSS se muestra. Si del fondo del recipiente de 20kg sale un tapón por la-cual el agua escapa a razón constante de 21 /8. Determine el módulo de la tensión en la soga 108 después de haberse salido el tapón. (g= 10m/ss) ».

= 240kg

* Como el recipiente sólo se traslada horizontalmente: (70) TCosO=m a-y TCosO=(240) 24 TCosO = 700. (I) * En la vertical F R=0 -» TSenO = 2400.................(II) •Resolviendo (I) y (II ): T=2500N RPTA : " C ” P R O B L E M A 35: El sistema mostrado se mueve debido a la fuerza indicada. Hallar la reacción de los bloques"m 3 sobre mr Asumir que m ¡= 3 kg; m t =2 kg! m s~5kg y no hay rozamiento. F ,= 8 0 N Í> \

Z h i / F¡>=60N

§ ) - « o . « 2j

—> Rr, =

350

N RPTA

«m fD i

P R O B L E M A 36: El ascensor asciende con aceleración constante de 2m/s2. Calcule la aceleración respecto del ascensor con la cual desciende el bloque por el plano inclinado liso. A)5,l m/s2 B)12,3 mis2

g i

C)7,2 m/s2 D ) 8, l mis2 E)10 m/s2 R E S O L U C IÓ N : •Ubicamos un observador dentro del ascensor (S.R.N.I.) * Cuando el observador haga el D.C.L. al bloque tiene que adicionar la fuerza inercial (F '=m a hacia abajo)

A)200N B)2200N C)2S00N D)3000N B)4000N

A )80N

B )™ N 5 400 350 D) E) 3 30 R E S O L U C IÓ N :

O ^ -N

* En el eje "X" (De la 2da Ley de Newton)

tasa bo «

m(g+a)Sen53? = ma¡ Q (10+2)— - a l -> al =7i2m¡8 5 R P TA : UC P R O B L E M A 37: Una cadena uniforme de longitud L metros y que pesa W Newt/metro pasa por la polea conforme se indica en el dibujo. Si se suelta a partir del reposo con x de cadena colgando de un lado y (L-x) del otro lado, encontrar la aceleración en función de x: se sabe que x>(L-x)

IA

im

R E S O L U C IÓ N : 3K d1

F M ' t i J . a t ’t i u í A 2 0 1 2 )

m m (V -V J

99

A )(2 x-L)W g/L B)W xglL C )(L - 2x)glL D )(2 x -L )g lL E)x - 2L)g/L R E S O L U C IÓ N : Repartiendo en forma proporcional el peso (dado que la cadena es uniforme), para luego aplicar la 2da Ley de Newton: r . , 1

m ( V -0 ) = F o ^4T - J j p j 4F T 3 m * Ubicamos un observador subido en el carrito (S.R.N.I.). Este observador ve a la barra en reposo; por tanto para él la barra está en equilibrio. Al hacer D.C.L. a la barra, adicionará la fuerza inercial (F¡ =m a), en sentido contrario a la aceleración del observador, que es la misma del carro respecto de tierra. •Elegimos como centro momentos al punto "O".

Un cuerpo se halla sometido a la acción de una fuerza F(x) cuyo gráfico se adjunta; si para x=2m, V=2m/s. ¿Cuál es su velocidad cuando se encuentra en x = 12m?; (en m/s) F

i

WL m s -----g

Wx - ( L - x)W = mo W x -(L -x )W = — a g (2 x - L )g Despejando: a=. L R PTA : “D ” P R O B L E M A 38: La barra homogénea permanece en la posición mostrada, cuando el carrito avanza con aceleración constante "a". Despreciando toda fricción halle "a". (g =10 mis3) ^ A )6 m/s* B)8 m/s* J C)9 m/s* J D)7¿m/s* " E)10 m/s*

F(x)

de

* En equilibrio: =>L m = Í

m

d V dx a = —— >a =----x — dt dt dx

mg x d¡ * ma x d 2 =>(10)x3k = a (4k)

W (L -x )

m g = WL

99

P R O B L E M A 40:

V*

=> a = 7,5 m/s* *>

RPTA : “A

Va -V . 2

RPTA : €,D ” P R O B L E M A 39:

(I)

• Del gráfico: F = 2x , además:

Una partícula de masa m , F = m a 2x = 2 a -+ a = x originalmente en reposo, está sujeta a una fuerza cuya dirección es * Que al reemplazar en (I): constante pero cuya magnitud varía con el tiempo de acuerdo a la 9 relación: F = F a[2 - (t/T)2J donde F 0 fíi _ v * - v / ** r » v 2- 22 | x d x = ----------2y T son constantes. La velocidad de 32 2 la partícula en el instante de tiempo 22 V 2- 4 t = 2 T es: -> V = J2mls A )4TFJ3m B )3T FJ4m C )4 F T (l-2 T )lm D j2F vT EJ3FJ1 - T)

R E S O L U C IÓ N : * De la 2da Ley de Newton: F = m a * Pero como "F" es variable, entonces ”a N lo será, por ello debemos considerar: F = m ( ----- 1 \d t) -» m dV = F d t ; pero:

2

R PTA : “E ”

P R O B L E M A 41: Una barra homogénea de longitud nL H experimenta la acción de dos fuerzas P y Q aplicadas a sus extremos y dirigidas en sentidos opuestos tal como lo indica la figura. Hallar la fuerza de atracción que experimenta la barra en su sección que se encuentra a una distancia *I mde uno de sus extremos.

E D IC IO N E S MJHINO&1

\M9MXAJ9WMCV* WsWWtmW. R E S O L U C IÓ N :

„ j -- — 50 m /8 y a 3 = — 70n/2 ., -►a — mis

* Asumiendo P >Q ;

v

“ V

R P T A : “D ” P R O B L E M A 43 :

'Z F* = ma t P - Q = ma..........(I) * Pero siendo barra homogénea (masa uniformemente distribuido), luego por regla de tres: m —— >L 1m,

-> m = ( - f-) m * ul) — >7

...(11)

* D.C.L. de una parte de la barra:

Q

___

i

T

s \ i° : Y*Fn = m3a3 -> F¡Coa45° + m 3gSen45° = m3a 3 Pero: Ff « m 3a 2 Siendo: a 2aceleración del S.R.N.I. Donde está parado el observador. -+ a 3j 2 - a 2 = 10

T - Q =mxa

* Además del D.C.L.: N + F { 8en45°=m3gcof$£6° ^

* Reemplazando (II ): ma

Sobre una superficie horizontal lisa descansan juntos 6 cubitos de madera de igual masa. Una fuerza constante F actúa sobre el cubo 1 .4 ^ . n . como se muestra en la figura. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es correcta í ’ .2»

-+ N = íy f 2 (1 0 -a 2)

(I)

• D.C.L. d e "m 2 :

A ) L a fu e r z a r es u lta n te q u e a ctú a e o b re e l cu b o 2 ee-FfST B) L a fu e r z a r e s u lta n te q u e a ctú a e o b r e e l sistem a fo r m a d o p o r los cu bos 5 y B e s F/4. C ) L a fu e r z a r e s u lta n te q u e a ctú a s o b re e l c u b o 4 es F/5. D ) L a fu e r z a r e s u lta n te q u e a ctú a s o b re e l cu b o 5 es F/B. B) L a fu e r z a r e s u lta n te q u e a ctú a s o b r e e l c u b o 1 e s ig u a l a la fu e r z a r e s u lta n te s o b r e es s istem a d e los B cu bos.

R E S O L U C IÓ N :

De donde:

* Se observa que la fuerza resultante sobre el sistema es F, la cual es la que causa una aceleración(a) en su misma dirección.

P R O B L E M A 42: Determinar las aceleraciones de los bloques: m J = l k g ; m 2= 2k g y m 3=3kg, despreciando la fricción. (g = 10mls2)

* Veamos los diagramas de cuerpo libre para cada cubito (no se tiene en cuenta el peso que se anula con la normal). F.»

* Reemplazando (I): T = - a 2-1 5 ...

2 2

9«

* D.C.L. de "m /; A)3m!#y

B)5y

Q ^ -j3 y l8 £

D)— y — j2 E)— y 9 9 5J 7 R E S O L U C IÓ N : * Obsérvese que ”m 3n posee dos aceleraciones luego nos conviene ubicar un observador no inercial sobre "m2 . * D.C.L. de "ifij":

-> m Ig - T = mIa 1 * P ero: a J= a 2; p u e sto q u e m l y m s está n u n id o s p o r la m ism a cu erd a . • R eem p la za n d o m J= l y

(II)

en

10~ ^ a 2+ 15 = a 2

Tener en cuenta que cada uno de los bloques experimenta la misma aceleración y como las I masas de cada una de ellos son iguales, entonces cada uno de los bloques experim enta la misma fuerza resultante. m

m

m

m

m

m

t

2

3

4

5

6

(III):

Uto

lE T a o s BBSÍ

G E Z ^ Z < ^ •Como todo el conjunto esta acelerado con aceleración a. entonces tenemos F =6 ma. es decir. ma=F 16. (Como sistema):

* De la segunda ley de Netwon: FR=ma F = 6ma => a=

6m

■ «.«

es sistema o \ |para para emaIquiercubo )

Para cualquier cubo la F B es la misma porque todos tienen la misma masa y la misma aceleración.Veamos ahora las alternativas que nos indican

F 0=m g A)9 B)12 C)18 R E S O L U C IÓ N :

0\ Y

C) F A L S O : La F R sobre el cubo F (4) : Ffí=ma => F, =m ( ---K6m

K

D )V E R D A D E R O : La F R sobre el cubo (5) : FR=ma >' ~ ( ¿ H R P TA : UD ” P R O B L E M A 44 La masa total de un ascensor y los pasajeros que lleva es 1500 kg. La figura muestra el gráfico de la variación de la velocidad del ascensor al subir. Calcule la tensión en k N en el cable del ascensor durante los intervalos: 0<,t£ 2s , 2s<.t<,10s y 10s$t<. 12s respectivamente , (g = 9,8 m¡82) v(m/8) 3,6----

8

10

12

1 2012 ]

Gráfica v va. t v (mis)

F =>F *=-

FR= m a => Fi¡= f 2 m ; ( £ - J = |

l

i

A) FALSO ; La F R sobre el cubo

B) FALSO; La F R sobre el sistema: cubos 5 y 6 es :

EN< i* x

A)17,4 ; 7,0 ; 6,5 B)3,6 ; 0,0 ; 7 ¿ P R O B L E M A 4 5 : C)19,3 ;9,8; 12,0 D)21,6;14,7; 6,6 Un bloque de masa M ¡- 4Kg se E ) 17,4 ; 14,7 ; 12,0 encuentra encima de otro bloque de R E S O L U C IÓ N : masa M2=5Kg .Se sabe que , • Veamos el diagrama del cuerpo manteniendo fijo se necesita libre del ascensor. por lo menos una fuerza de 12 N para mover a M, .Considerando que I) En 0 * t «í 2s entre Msy la mesa no hay fricción, Ascensor determ ine la máxima fuerza horizontal Fen N sobre ¿/¿para a que ambos bloques se muevan juntos.

las alternativas:

m » :

L1

io 12 • Cuando la cabina del ascensor sube y según la gráfica para este intervalo, la rapidez aumenta, tal que el valor de 6u aceleración es AV 3,6 _ . c 2 a= — = a = 1,8m/s At 2 => FR=m a => T - mg = ma = > T - 1500 (9,8) =1500 (1,8) =>T = 17,4 k N

----------7 3 D)21 E)27

• De la ecuación inicial manteniendo fijo a M 2. Paralograr desplazará Af, se debe aplicar una fuerza: F i f ,mál,paraFmü,= f ,^ ,= I 2N • Para que el bloque no se desplace respecto a M 2, la fuerza inercia! que este experiemente debe ser igual flmáx: a

f

I I ) En 2s z t z l 0s • Se nota que su velocidad es constante, entonces. FR= 0 = > T = m g= > T = 1500 (9,8) =>T = 14,7kN I I I ) En 10a £ t 5 12a

°l * En este intervalo la rapidez disminuye , e n t o n c e s s u aceleración es hacia Fg-fng abajo y su módulo. av 3,6 a = 1,8 mis At 2 Luego FR=m a =>mg -T = m a =>1500 (9 ,8 )-T = 1 5 0 0 (1,8) = > T = 12 k N RPTA : “E ”

• Respecto d e : A : F¡=m a = M la = f9= 12N a = 3m/s2 •Ahora analicemos el conjuntoAi, y Af^como uno solo. M, >''M = M 1+M a=9kg M

* Aplicando la segunda Ley de Newton: F = M a =9(3) =27N R PTA : ,4E

99

P R O B L E M A 46 : Un ascensorista cuya masa es de 60 kg está sobre una balanza en un ascensor en movimiento; ésta le

[M9WlVAj*rWCl¿% M.IINMIAW, indica que pesa 760 N. Asumiendo g=9,8m/ss, la magnitud y dirección de su aceleración será: A ) 13 mis2, hacia abajo. B) 2,9 m/s2, hacia arriba. C) 2,3 m/s2, hacia abajo. D) 2,3 m/a2, hacia arriba. 0,3 m/a2, hacia abajo. R E S O L U C IÓ N : F 8

aceleración del bloque m es 12,5 m/s3.

m) VERDADERO:

ü ) La reacción del bloque de masa 5m sobre m es 25N.

Del diagrama de fuerza anterior a partir de) ángulo de rozamiento planteamos:

---------------------

10

HI) El coeficiente de fricción entre la masa 5m vm es 4/5.

ma

RPTA i “ C ”

PR O BLEM A 48:

n =o VSEbS» A jF F F

*: D .C .L del ascensorista* a ¿rfV i*

EDICION ES MJBLXOSl

309

B )F F V

C jV F V

D) W F

E) W V

RESOLUCIÓN / El sistema desliza por la superficie horizontal lisa, para este c a s o la fuerza aplicada F=Í20N y m =2kg. Ahora, com o el bloque está apunto de resbalar hacia abajo, es decir, no se mueve respecto del carro esto indica qu e a m b os se m ueven c o n la m ism a aceleración.

Al realizar un viaje de la Tierra a la Luna, un astronauta encontrará que su masa ^ A ) y su p e s o d ism in u yen . B ) n o c a m b ia p e r o su p e s o a u m en ta . C) y su p e s o n o ca m b ia n . D ) a u m e n ta y su p e s o dism inu_ . „ E ) n o ca m b ia p e r o su p e s o d is m inüye.

R E S O L U C IÓ N : Veamos primero que; masa y peso.

existe entre

F=150N Peso. El peso es igual al valor de la fuerza de gravedad. Ahora la fuerza de gravedad depende de la aceleración de la gravedad según:

1) VERDADERO:

F . k,— 760N

F g =m g

Para el sistema:

N O TA :

a =

La balanza indica la fuerza normal y en este caso coincide en valor a la fuerza de gravedad.

a - —

F g = mg

Se observa que:

F g = 60(9,8) = 588 N F x>Fg entonces sobre el ascensorista se tiene una fuerza resultante hacia arriba, por 1q tanto experimenta una aceleración hacia arriba. 2da. Ley de Newton.

* 12

-

= 1 2 ,5 m /a2

8 luna

Analizamos el bloque m =2kg. Á ngulo d e roza m ien to R e c ta \ t n orm a l ¡

m g=20N

”

q

8 tierra

entonces el peso en la.hina es menor.

o = 1 2 ,6m / a2

-V

►

lu n a

Fíjese que al trasladar las fuerzas el polígono de fuerzas que se forma es abierto, por lo que la resultante (FK=m a) que cierra el p o líg o n o n ecesa ria m en te d e b e ser horizontal ya que ésta presenta la misma dirección de la aceleración.

..........

Esto lo n ota m os ya qu e cu a n d o un astronauta camina en la luna pareciera que flotara. Masa. La masa es una magnitud escalar que nos expresa el grado de inercia de los cuerpos. Tanto en la Tierra co m o en la Luna, el astronauta tendrá la misma inercia o sea la misma masa. Entonces su masa no cambia.

RPTA : “E ” PROBLEMA 4 9 1

PROBLEMA 4 7 1

I) Si la fuerza aplicada es Í50N y m =2kg la

notamos de la expresión que el peso depende de « g » , en la luna la gravedad es menor y se cumple.

U) FALSO;

Tenga en cuenta que la aceleración del ascensor es igual a la del ascensor, entonces la aceleración del ascensor es 2,886 m/s3, hacia arriba. R PTA : “B ” En la figura el bloque de masa m está a punto de resbalar h acia abajo. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

W = mg

Finalmente la reacción del carro sobre el bloque es:

R = j(2 0 f + (2 5 ? ~32N

El ascensor de la figura se m ueve hacia arriba con una aceleración de 5 m/s3 . Si m t = 3 k g y m 3= 8 h g . Indique si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F ).(g= J 0m / s3) ¡) La tensión en la cuerda es 45N II) La reacción del piso sobre m , es 75N. III) Si el ascensor descendiera con la misma

U SI B io M U aceleración la tensión en la cuerda sería

Analizamos cada uno de los bloques.

1SN

Bloque de masa m t

“

la -

A)VW BJVFF CJWF D)FVF E/FFF

a

ÍA

•Debemos determ inar x (deform ación del resorte) en términos de L y 0 . De la geometría del problema se tiene :

L0=L

5m/s*

m ,= 3 k g

m,

p

m.

E x c u 'j w t c n i A 2012)

Q

-

m ,g = 3 0 N De donde:

RESOLUCIÓN !

f«?f = ma

Se muestra un a sce n so r qu e se eleva verticalmente con aceleración a=Sm / $*.

LtanQ

T -3 0 = (3 )(6 ) T = 16N

Lp=LsecQ

Bloque de masa m , T=45N

¥

R

m ,= 8 k g

• De la figura: x=

a=5m/s* m .=

m ,g = 8 0 N

m 2= 8 k g

Donde:

cos 9 FR=ma

pum

mg - 2k x senO=ma

F a = ma 80 -1 5 - J t , * . = ( 0 ) ( 5 )

f t

«j*. = 25N

'Mil |l"

RPTA i “ C "

í ) VERDADERO :

Analizamos para ello el bloque m t=3kg

a=5m le*

m ,= 3 k g

PROBLEM A 50: D o s r e so rte s id é n tico s f d e lo n g itu d n a tu r a l L y c o n s ta n te e lá s tic a k a ctú a n s o b r e u n b lo q u e d e m a sa m , c o m o s e i n d i c a e n la f i g u r a . L a a ce le ra ció n d e l b lo q u e en fu n ció n d el ángul o 0 está dada p o r :

m ,g = 3 0 N

-L

Fa = ma => T - 30 = (3 )(fi) =>T = 4SN

2k

=>£- m

((.coa# — - * ])

sen9= a

2k

=> g -------L ( 1 - eos 9) tan 9=a m R P T A : “E

$9

PRO BLEM A 5 1 i La figura muestra la aceleración (módulo) versus la fuerza (m ó d u lo ) para dos partículas l y 2 d e m asas m , y m ¡ respectivamente. Indique la veracidad (V) o falsed ad (F ) d e las siguientes proposiciones: !) m2 > m J U) Para una misma fuerza F, la partícula 2 tendrá una m ayor a ce le ra ció n q u e la partícula /.

U ) VERDADERO:

Analizando el bloque de masa m3=Skg. T=45N

U¡) Las partículas / y 2 no pueden tener la misma aceleración.

a —5m¡o*

a

m t= 8 k g A)g+—

m

msg=80N \ Donde:

^

pV-

C )g

FK = ma

=>46*

- SO

E )g = 7 BN

kL m

(l-s e n 0 )c o t 0 B ) g - —

n

CO60

2kL m

m

(l-s en 0 )c o i0

D)g+^Z(l-co60)tan0 m

Ai V W

(l-eoaQ )tanü

RESOLUCIÓN t

R E S O L U C IÓ N :

IB ) FALSO :

Para este caso nos dicen que el ascensor d escien d e c o n la m ism a a ce le ra ció n a = 5 m /s * .

B) VFV C) W F D) FVF Ej FFF

Para que mejor análisis invertimos la gráfica.

* Consideramos que el movimiento tiene lugar a lo largo de la dirección vertical mostrada en la figura:

1 o=5mi»3

a

mg

\i » m

x

A

i *k m c 'a

EH3' b u rosa

r^ n n n cA g ,

Donde la aceleración del bloque está dado com o: a ~ — , por lo que la masa del cuerpo

m

E D IC IO N E S nU H LX O S )

U N ID A D E S D E FUERZA Y MASA

es: m = — = tg a > pero está relación no es

a

más que la pendiente de la recta en la gráfica F vs a. Por tanto de la relación F vs a quien presente más pendiente presentará m ás m asa. En consecuencia: m, > m¡ II) VERDADERO:

p

equivalentes y sólo son válidas si b masa ~maes constante. * Cuarta b segunda Leyde Newtonsólo es válida en sistemas inerciales de referencia.

Masa

Sistema de unidades S.I.

Es la parte de la física que se Fuena 1Ñ»^3.itvs2 j encarga de estudiar__________ que originan el________ de los cuerpos.

AceIpración irvs^

kg

PESO W Sabemos que tocos tosobjetes son atraídos hacia b tierra. La fuerza ejercida por b tierra sobre un objeto se denomina el peso del objeto w. Esta fuerzo está dirigida hacia el cenrro de b tierra y su punto de aplicación se ubica en el centro de gravedad del objeta B peso ie un objeto es una fuerza, una cantidad vectorial y podemos escribir como una ecuación vectorial

• En la_________ley de Newton. Se indica: * «Todo cuerp$que es afectado por una fuerza -' experimentará

Veamos la gráfica:

V# 4,’

Según ia gráfica podem os notar que para una misma fuerza Fia partícula (2) presenta mayor aceleración que la partícula (I), es decir: ag >a, III) FALSO:

Según la gráfica podem os apreciar que las partículas ( I ) y (2 ) pueden presentar la misma aceleración para distintos valores de la fuerza aplicada. RPTA i " 5 " SEGUNDA L E Y D E N EW TO N La segunda Ley de Newton estudia a los cuerpos que tienen una fuerza resultante diferente de cero actuando sobre él Si unefuerza externe nota actúo pobre tm cuerpo, cote me acelera. La dirección do lo aceleración eo ta mioma

A P L I C A C IÓ N

D E

L A

S E G U N D A

L E Y

D É

N g J V T O r i

'V w -,

(Para sistema inercbl de referencb).

. Ahora podemos analizar problemas de diríá&ica. donde ap&camosb segunda Ley de Newtona cuerposen aceptación (no en equilibrio). En este caso b fuerza neta sobre el cuerpo no es cero: es igual a a masa del cuerpo multiplicado por su aceleración. B siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas qje requieren b apteaelón de bs leyes de Newton: 9 Aísle al objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto. No incluya en el diagrama de cuerpo fibra bs fuerzas cuee) cbjefc) ejerce sobre sus alrededores.

9 Establezca ejes coordenadas convenientes para cada objeto y determine bs componentes de bs fuerzas a lo largo da estos ejes. ,,

,

Fy

mg

que lo do la ¡aorta noto. Lo aeoieractón dol cuerpo oo directamente proporcional a ¡a fuerza neta que actúe eobro él e tnaereamente proporcional a mi moto, oí lo mama ae conetante. . “‘ i

----- —^— t-----

«•

Do este moda os posible rebelona; bra^av.y b masa con o) siguienteenunciado matemático b seguid Ley de Netvion:

, í

-x

N Aplique a segunda Ley de Newton:

B símbolo de propotctonaficbd B puede reemplazarse por b unidad siempre que estemos tn el 5.1. Hay al menos 4 aspectos de b segunda Ley*de Newton que merecen oía atención enacial: * Primero, b ecuación 1es vectorial y se puede escribir

II

Cada componente de b fuerza total es igual a b masa multiplicada por b componente correspondiente de la aceleración: EFX= ma* ; ZFy * may: £ F* * m«2. • Segundo el enunciado de b segunda ley se refiere a fuerzas externas, es decir, fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por ocios cuerpos de su entorno. ♦

Tercero ¡as ecuaciones ef =

y

* rm sor.

una se

Donde *m~ es b masa del objeto y 'g* es b aceleración de b gravedad. 9 Puestoque depende de g. el pesovaríacon b ubicación geográfica. 9 Los cuerpos pesan menos a altitudes mayores que al nivel del mar. esto es porque
£

£F mma

*»

► F* podemos observar que bs fuerzas petpendicubres a b aceleración se anubn entre si. 9 Otra forma de aplicar, si se conoce b dirección de b aceleración.

r Fr =

IF

XF = ma a favor encuentra deV de "a”

.A

<»

en la misma que esta fuerz

• Por la segunda ley^aípNewton también se sabe qtwPfa^acéíeración es_______ proporcional a la_____ & * La aceleración es proporcional, k la ___ • La expresión matemática de la segunda ley de Newton es: .

* La unidad de la masa es: * La unidad de la fuerza: * La unidad de la aceleración es:_________ * En una

todo M.C.U. llamada

existe

Señale con V(verdadero) o F(falso) respecto a la Segunda ley de Newton: ( ) La aceleración algunas veces tiene la misma dirección que la fuerza resultante. ( ) La aceleración que adquiere un cuerpo es inversamente proporcional a su masa. ( )La fuerza resultante es proporcional a la masa. A )W F B) F V F C) F W D) W V E )V F V Indique con V(verdadero) o F(falso) según corresponda: ( ) Todo cuerpo en reposo se resiste a abandonar el reposo. ( JTodo cuerpo animado de movimiento circular tiende a conservar dicho movimiento. ( ) Todo cuerpo animado de MRUV i:__ i____ i __

DJVFV

E) VFF

(@ S i la fuerza del muchacho es F = 8 0 N , calcular la aceleración que adquiere el carrito de m =16kg a

ÉEisLBi^aSS el cuerpo es nula A) F F V B) F W C) V F F D )V W E) W F A un bloque que está sobre un piso liso se le aplica una fuerza «F » igual a la mitad de su peso. Hallar la aceleración que adquiere dicho bloque. (g= 10m¡8~). a

Liso A)lm l 8s D)4m¡8*

B)2m(8* E)5m/82

C)3mÍ8*

Si duplicamos la fuerza resultante sobre un objeto se observará que: A ) Se d u p lica la velocid a d . B) S e d u p lica e l d esp la za m ien to . C) Se d u p lica la m asa. D )S e d u p lica la a c e le r a c ió n .

Indicar la verdad (V ) o falsedad (F ) en las siguientes proposiciones:

E V C h j w

A)5ml82 B)10

A)4mfs2 B )6

C )8 D)5

E)10

(T^La persona que se muestra en la figura es de 50kg y va en un auto que comienzaa acelerarcon4m/s2. Hallar cuál será la fuerza con que la persona presiona el respaldar de su asiento, (fuerza horizontal) a^4m¡9*

A)100N D)300

11)200

v d l I

2 0 1 2

}

0 1 5 D)20 E)25

(Q) Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura, si su masa es 21kg, 40yÍ3N

300

I O N 3-

liso A)3mlsx D)4,13

A)5m¡82 B)4m¡82 C)3mlax D)2ml8s E )lm ¡ 82 (^C alcu lar la aceleración que adquieren los bloques, si m = 2kg y M —3kg. Considere F = 2 0 N ® a

IA

B)3,33 E)2,8

02,18

(Di) Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura, si su masa es 3kg: 56 N y

44 N lis o

V

rBP 1 1

A)lm ls 2 B)2

03

D)4

E)5

(Q) Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura, si su masa es 8hg, 48N 16N

C )5 0 0

E )4 0 0 I Í

(Q ) Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura si su masa es 6kg. 18J2

.

A )lm i 82

B)2

03

8

O

mI.

D)4

E)5

(Q )Si el Bloque 2kg sube a razón de 4m¡82, Calcular el módulo de j?.

I) Todo cuerpo siempre tiene masa y tiene peso. I I ) Es imposible que un cuerpo tenga peso y no tenga masa. ///)E s imposible que un cuerpo tenga masa y no tenga peso. A )FV F B) F W C) F F V D) W F E )V W @ )U n cuerpo se desliza sobre una superficie horizontal y se observa que se desplaza con velocidad constante. Según esto indicar la verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones: I) Necesariamente sobre el cuerpo no actúan fuerzas. II) Necesariamente solo actúan las fuerzas perpendiculares a la dirección de su trayectoria. La fuerza resultante que actúa sobre

A)lm !s2 B)3

05

D) 7

E)9

Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura si su masa es 5kg. 45N

A) 8N B)1G 0 2 4

A)2mls2 B)3

(Tk) Determinar la masa del bloque que sube por el plano inclinado liso con una aceleración de módulo 4m¡82. (g=10m¡82). 6 F=90N

04

D)5

E )6

D)32

E)36

Hallar la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura, si su masa es 9kg. A)2kg

B )6

08

D)10 E)16

@ )H a lla r la relación de las tensiones I y 2.

[W9MXAPWM€y% W.WiyjfC;* w. F=100N

I li

E D IC IO N E S R U D EX O S i A)2mla2 B)4 0 6 0 )3 E)5

m

Hallar la aceleración del sistema si no existe fricción. (g= 10m/$2) si: m = 2kg.

A)3/4 B)l/4 C)3/7 0)4/7 E ) 8f7 bloque es abandonado en «A# y pasa por «12» luego de 3s. Considerando las superficies lisas, determine d, (g = 10mls2)

A) V F V D )V F F

A)12m B)9 027 D)36 E)54

Hallar la aceleración, si la masa es 5kg. 25 N r — rr\^3 0 N " T i m IO N

L

A)2m/s* @)E1 bloque de 2,5kg inicia su movimiento al ejercerle una fuerza constante y paralela al plano inclinado (F = 1 2 N ), ¿qué rapidez presentará dicho bloque al pasar por «B » f (g =10 m/s2; d AB = 9m)

OFFF

B )W F E )V W

B)3

K

04

D)5

E)1

Un joven arrastra al cajón liso de 10 kg ejerciéndole una fuerza de módulo 2 0 N como se indica, determ ine el módulo de la aceleración que experimenta, el cajón (g =10 m/s2)

a

liso

%

37° > '

A) lm/a*

03

0)4? E)5

. b

Hallar la aceleración aeijsistema mostrado, si: m = 2kg*tno%xiste fricción).

A)3m¡s3 B)5 0 7

0 )9

E )N JÍ

(íí? )H a lla r la aceleración del bloque. Superficies lisas.

7N

A) 1,2 m/s2 B)2 0 1 ,6 0)1,8 E)4 m Determine la aceleración del bloque mostrado, si su masa es de @ L a camioneta acelera con 796m/a2 y el bloque de 4kg no desliza, determine la fuerza que ejerce la plataforma sobre el bloque (g = 10m/s2)

@ )L a figura muestra un sistema inicialmente en reposo. Si se desprecia todo tipo de rozamiento, indicar la verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones: I) Si: m B> m A el sistema tendrá aceleración. II) Si: m B=m A el sistema estará en reposo. III) Si: m B
0 3 ,5 m/a3

¿Q u é o curre con la masa de un

Ajl0m/a 2 B)12 O H D)13 E)19 Hallar la aceleración en el sistema mostrado. (g = 10m/s2). A) lm/a*

A)25N B)40 0 3 0 D)70 E)50

A)7m/a3 B)2 m/a3 0)2,5 m/a3 E)4 m/a3

B)2 03 0)4 E)5

*7R"

Ú 2 ,5 kg 7,5 k g £3

Calcular la aceleración del sistema mostrado. (g =10 m/s2) t //ij =80kg, m 2= 20kg.

cuerpo que es llevado de la Tierra a la Luna?

A)aumenta C)no cambia E)se alarga

B)diaminuye D)ae infla

Asumiendo que en todo momento un caballo puede ejercer la misma fuerza, qué sucederá con su aceleración si se triplica su carga.

A) aumenta B) disminuye O permanece constante O ) se vuelve velocidad E ) se convierte en fuerza Un automóvil se mueve en línea recta cambiando su velocidad en 10m/s cada 2s. Determine la fuerza resultante sobre un joven de 60 kg de masa que viaja en el auto.

A)100N 0)400 N

B )2 0 0 N E)500 N

0300 N

Calcular la distancia en la que una

IA

51* fuerza de tON, actuando sobre un cuerpo de 18 kilogramos de masa, le cambia tu velocidad de 20m/s e 40 m/s.

A)150m D)300m

B)200m E)350m

C)250m

¿Qué tipo de trayectoria seguirían los planetas si la fuerza gravítatorla del sol cesara repentinamente?

A)rectilínea B)curvilinea CJcircular D) parabólica E)indeterminado @ ) Un joven suelta una esfera de 4kg de masa de cierta altura, sí la fuerza de resistencia del aire al movimiento de la esfera es 20N. Halle el m ódulo de la aceleración que experimenta la esfera.

(g=10m/$3)

A)3 m¡8s D )6 mis2

B)4 mía2 E)7 mía2

une los bloques. Superficies lisas.

■P , W &

é: A)24 N D )1 2 N @

¿ON

M—

fife

B)28 N E )1 8 N

^ C)23 N

Calcular la fuerza de contacto entre

los bloques. Superficies lisas.

200N

W*-

se A)100N D)180N

« . 100N d h g -------- ► "1 3 C)200 N

B)140N E )U O N

( 7 ^ ) Hallar la aceleración del bloque, bajo las condiciones que se indican. (g=10m/s3)

i

C)5 mis3

F=45N

F=14N

Calcular la fuerza en newton que una persona de 900N de peso ejerce sobre el piso de un ascensor cuando asciende con una aceleración constante de 1m/s3.

(g*10m/s3)

A)540 N D)1150N

B)650 N C)990 N EJ1305N

Hallar la aceleración del sistema de bloques mostrados. (g=10m/s3)

E v n a . 0 r / » l . l 2012}

A )4 0 N D)80 AT

B )6 0 N E)0 N

O100N

(Ttt) En el sistema mostrado determ inar la aceleración del bloque A. No hay rozamiento. A = B = 1 kg; g = 10m¡8S. La polea móvil tiene masa despreciable. A) 2 mía2 B)4 mía2 0 6 m/s* D )8 m/s*

E)Ninguna I I . Determinar la mínima aceleración con que se debe mover el sistema de modo que la esfera no caiga. Las superficies 6on lisas. irb,

A)5 m/s2( t ): 3 mía2( i ) B)2 mta2( f p 3 mía2 ( i )

a

C)5 mlas ( t ) : 2 m/s* ( i ) D)4 mía2( l ) ; 3 m/s* ( f ) E)5 mías (^ ); 3 mía2( f )

^

gar

"(f)*

@ H a lla r V ' (g=10m fa2)

c{ i ) «

d ;( ! > ® (í)* En la figura determinar la reacción de la pared posterior del coche sobre el carrito de masa "Af". No hay fricción.

A)1 mía* B)2 mía2 C)3 mía3 D)4 mía* E )5 m la *

¿ jj

(Q ) Hallar la aceleración del bloque, si la su p e rficie hace constante de 12N.

una

o p o s ic ió n

27N

A)1 mía2 D)4 mía2

B)2 mía2 E)5 m¡a2

0 3 mía2

(T¡¡) Si no existe rozamiento determinar la relación entre las aceleraciones. a

i

A)5 mía1 D )6 mía*

B)4 mía* E)3 mía2

C )2 mía

(Q ) Hallar la aceleración del bloque. Superficies lisas. F*25N.

3N

A )a = a t B)a, = 2a, r O u 1=3aJ D )a J= l! 2a 2 E )a J=4ag

A )l N D)4 N

i

_ j r (7?) Hallar la fuerza de contacto entre los bloques "A” y "B". ( m .= 6kg; m n=4kg; g= l0 m ¡8 2) liso

(Q )

B)2 mía 2 E)5 mía*

C)4 mía*

Calcular latensión delacuerda que

03 N

[fMVKS PE LAHBMEIMP/L1CTCÍ]

m Í)( -5)D6)Db>A w ¡J)Bm |;¡HS lijDIMi/T 1 9 )» ÍS)fti)F. «iiijau ^ lljf ÍÍ)£S}1S (« á íto

A)1 mía* D)3 mía2

B )2 N E)5 N

im la sm m \

p iu m a l

¿)C|*)Bi)C JJ1f>U|7)€ S)f|9)B¡ll)l 11)1) I1Uli)f

E D IC IO N E S

OBJETIVO ; Establecer la relación entre las fuerzas sobre un cuerpo y su aceleración cuando experimenta un movimiento curvilíneo; utilizando las leyes de la mecánica circular.

M iV K M Ñ O M

* Sabemos que un cuerpo debido a siynercia tiende a mantener su velocidad y en consecuencia a moverse siguiendo una trayectoria rectilínea, pero debido a la atracción terrestre el satélite e¿ "obligado" a describir como trayectoria una circunferencia, razón por la cual su velocidad cambia continuamente en dirección, por lo que el movimiento es acelerado. * Si consideramos que el satélite sólo está afectado por la "atracción terrestre" entonces? Fn = F g Además "F g " en todo instante está dirigida hacia el centro de la Tierra (que para nuestro caso sería el centro de giro o centro de la circunferencia descrita por el satélite), es por esta razón que en este caso r y *

*

INTRODUCCIÓN í

también se le dénomina: "fuerza centrípeta" ( F^ ) (este término se deriva de un vocablo griego).

• Aunque el planteamiento de la "Segunda Ley de Newton" lo hemos conseguido analizando un movimiento rectilíneo, esta se extiende también al análisis de los movimientos curvilíneos.

De lo expuesto se deduce que la "fuerza centrípeta" es la resultante que se obtiene al sumar todas las fuerzas en la dirección radial. N

En particular nos centraremos en el estudio del movimiento circunferencial. Tomemos como ejemplo un satélite que órbita entorno de la Tierra, si el satélite no está muy alejado de la Tierra la trayectoria que describe es prácticamente una circunferencia. __________ D ia g r a m a d e F u e r z a s

t

W =mg

Para el movimiento circular que se muestra en la figura, la fuerza centrípeta está proporcionada por la tensión de la cuerda. Si se reventara, la fuerza centrípeta dejaría de existir, y el cuerpo pasaría por inercia, a desplazarse en línea recta.

i 4 »

Para un auto que describe una curva, la fuerza centrípeta la proporciona la fricción entre los neumáticos y el suelo. Fuerzas que actúan sobre un motociclista dentro del "globo de la muerteM(FIG U R A superior D ER ECH A).

L1

HS53 8 i «

O fE lílA gfllg)

D IN Á M IC A C IR C U L A R Es una parte de la mecánica que estudia las condiciones que deben cumplir una o más fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste realice un movimiento circular.

Dirección Tangente

Según la Segunda Ley de Newton la aceleración sobre un cuerpo se produce en la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, esta aceleración cuando no es colineal con la velocidad produce en el móvil un movimiento curvilíneo. * Dado el movimiento curvilíneo, la aceleración lineal (a ) P°drá descomponerse (proyectarse) en dos direcciones perpendiculares; normal y tangencial, generando las aceleraciones normal y tangencial.

•El papel de la fuerza centrípeta es desviar -----------* Entonces, para que un continuamente el cuerpo del camino rectilíneo que \ ^■"■'-^cuerpo describa un recorrería por inercia en ausencia de la fuerza actuante. movimiento circunferencial X i 0w\ . - — J uniforme (M . C. U.) , debe ser N O T A : afectado por una fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la La fuerzá centrípeta no es circunferencia a la que denominamos fuerza centrípeta una fuerza real como el peso, reacción* tensión, etc., es ** (F q ji la misma que provoca una aceleración (dirigida hacia el centro de la trayectoria circunferencial) más bien una resultante de ¡ las fuerzas en la dirección * denominada aceleración centrípeta (a ), \ del radio en cada instante. * * De la 2da Ley de Newton Siendo así, dicha fuerza se \ / puede representar de la siguiente manera:

F g =m a F cp = m a cp

* La aceleración centrípeta mide el cambio en la dirección de la velocidad tangencial a través del tiempo y se calcula así:

T t2 V °cp = R

/ %--------

Fc = Zfuerzas hacia el centro - Zfuerzas hacia afuera Analicemos el diagrama de cuerpo libre de un móvil

-

acp= 0 2R r

**

• Donde:

en movimiento circular en cuatro posiciones: A , B ,C y D , luego determinemos la fuerza centrípeta en cada posición.

V: rapidez tangencial o lineal • r. n <

A

a>: rapidez angular (radls) *

\

R: Radio de la circunferencia Luego:

\ i

^ T»

En •! punto MA”:

mgfTA

En •! punto“B”: í=»Tb mg En «I punto MC":f=.Tc- mg

• En el caso del movimiento circular, la fuerza resultante se analiza en términos de las siguientes componentes.

En «I punto “D":í|*T0- mgcosQ

A ) C O M P O N E N TE R A D IA L ( F ^ ) Llamada también fuerza centrípeta, se obtiene mediante la suma de las componentes radiales de las diferentes fuerzas actuantes y genera a la aceleración centrípeta.

B ) C O M P O N E N T E T A N G E N C IA L ( F ^ ) Ésta componente se obtiene sumando las componentes tangenciales de las diferentes fuerzas actuantes, produciendo la aceleración tangencial.

F l AN^ F tansent= m a T El papel de esta componente tangencial es la de modificar la velocidad, es decir acelera o retarda el movimiento.

m n c M O X M is k v d m ñ o s A D.C.L. que plantea , una fuerza inercial centrífuga o simplemente "Fuerza Centrífuga La fuerza centrífuga es una fuerza inercial radial opuesta a la fuerza centrípeta aplicada al C.G. del cuerpo en estudio; su módulo es igual a:

OBSERVACIONES Z I) En un movimiento rectilíneo no existe aceleración normal. II) Los movimientos que carecen de aceleración tangencial se denominan uniformes. I I I ) En un movimiento circular la aceleración normal apunta hacia un centro estable. • En todo movimiento curvilíneo existe aceleración normal debido al cambio constante de la dirección de la velocidad. IV ) En codo momento el cuerpo esta sometido a la ^ ”Fg " la cual es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y apunta hacia el centro de la circunferencia, debido a ello se denomina

1-

E JE M P L O 1:

**

9

^

Cuando viajamos en un automóvil a gran velocidad y al pasar por una curva pronunciada, o en un aparato que da vueltas en una feria dé juegos mecánicos "sentimos" una fuerza que nos "empuja" o' nos "jala" hacia fuera o lejos del centro de curvatujrala este efecto se le da el nombre de fuerza centrífuga. Para el conductor del automóvil el pasajero és empujado hacia la puerta por la fuerza centrífuga; sin embargo, el pasajero dirá que esto es jpafcialmente cierto, pues aunque reconoce que ha sido "empujado", no sabe qué agente lé.aplicó la fuerza. *■

v »* •„

E J E M P L O 2: Realizar el D.C.L. de la barra A B C para el observador no inercial. Cpü)

"fuerza centrípeta ( Fcp) ”. V) Recordemos que, (de la segunda ley de Newton), la fuerza resultante y la aceleración presentan igual dirección.

CL>a>

Para nuestro caso, la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia y se le denomina: "Aceleración centrípeta o norm al ( a ^ ) ”.

A U TO E N L A CURVA Z Cuando una persona se encuentra dentro de un auto

Luego:

que se mueve en una trayectoria curva, ésta tiene la

O JO :

sensación de ser empujada horizontalmente hacia afuera, incluso puede ser lanzada hacia un costado.

*

La aceleración centrípeta no se encuentra a favor ni en cpntra de la velocidad, en consecuencia no mide "cambios en la rapidezXLa aceleración centrípeta mide de los cambios en la dirección de la velocidad.

(Módulo de la aceleración centrípeta)

F U E R Z A C E N T R ÍF U G A (F ir) Cuando un observador se sitúa en el eje de una plataforma giratoria y analiza el estado de movimiento de un cuerpo, dicho observador no ino^rial, añadirá al

¿Qué obliga al auto a no seguir en línea recta?

fjr r jr « s jr « A

IA

Rpta. Las fuerzas de rozamiento en las llantas, por este motivo el auto se moverá en línea curva y la sumatoria de las fuerzas de rozamiento compondrán la fuerza centrípeta. Pero ¿Qué obliga a la persona a describir la misma trayectoriacurva? Rpta. Nada.uTodo cuerpo que se mueve en línea recta, seguirá así a no ser que fuerzas externas lo impidan” (Ley de la Inercia).

SU GEREN CIAS P A R A R E S O L V E R PROBLEM AS

E N i'M f 'j.a w E O iA 2 0 i¿ \

entonces: Orr —0

2 F

t =

0

* El análisis se hará desde un sistema de referencia inercia] (S.R.I.). Un S.R.I. aceptable es la TIERRA.

P E R A L TE D E UNA CURVA Hay muchas pistas curvas que tienen una inclinación con el plano horizontal. Al ángulo que hace la pista con el plano horizontal se llama Peralté ($ ).

Para resolver los problemas aplicando esta ley se sugiere seguir el siguiente procedimiento similar a lo mencionado en Dinámica Lineal: * Entender el problema relacionando datos e incógnitas. * Hacer D.C.L. al cuerpo ha analizar. * Ubicar la dirección radial y perpendicular(es) a ella. * Descomponer las fuerzas en la dirección radial y perpendicular(es) a ella. * En la dirección radial aplicar:

* Sin considerar el rozamiento hallaremos la máxima m V2 velocidad: mgSenQ = R, * Pero: R , = R 1 CO80 R = radio de la pista.

Donde:

* En la (s) dirección(esperpendicular(es) aplicar: * Si es la dirección tangencial. £ F r = m a r 4

r"

* Luego, reemplazando R ¡ en la ecuación inicial: m V2 mgSenO = R IC o rt * De donde:

'

* Si es otra dirección, donde hay ¿eeleración. = ma * Si es otra dirección, donde no hay aceleración:

* Recuerde que en todo movimiento con trayectoria curva: a = a Cp + o r

OBSERVACIÓN S Nuestro propósito en éste capítulo será examinar situaciones físicas contrarias a la de equilibrio mecánico de un cuerpo o sistema, pues ahora en Dinámica estudiaremos situaciones en las cuales el equilibrio es alterado, para tener un panorama general de este interesante capítulo, usando otra de las leyes de la naturaleza, podemos esbozar el tratamiento de la dinámica (contrario al de Estática) con el siguiente cuadro: Atiranto to vdoektod

acp: Modifica el modulo de y

W t

a r : Modifica la dirección de y * La aceleración centrípeta siempre existe en el movimiento circunferencial. * La aceleración centrípeta está siempre dirigido hacia el centro de la rotación. * En el M.C.U.; el módulo de su velocidad no cambia,

McMmtentode M lid én M kvido

Dh iránu y

tovtooddad

TSSS

DM nkaU

Atirantoto rotación

M orim fcniofotodonai

acttorado

9SS*

Obrnánuyv

torotodón a/ / o

t i,

J— »_ _ . _

a

¡

dAucitendo

t

y

Jt

(M>MXAPrW€lt%

P R O B L E M A 1: Un automóvil de masa 1 000 kg circula con velocidad V = 10m ¡8por un puente que tiene la forma de un arco vertical de radio 50m. ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción del puente sobre el automóvil en el punto más alto de la trayectoria circular? (g = 10m/ss)

A )K P N B ) 6xlO*N C)7xI
m g - F R=m

R

»'

1000( 10) - F R=1000x

10¿ 50

* Al despejan F R=80000N R P T A : “D ” PROBLEM AS: Un cochecito viajd'en un trayecto tal como se muestra erTla figura. Si el módulo de la velocidad en todo el trayecto es constante, entonces, en el punto A* de la trayectoria circular:

te» d irig e hacia el centro de la trayectoria circulan C )La aceleración no es cero y se dirige radialmente hacia afuera de la trayectoria circulan D )La aceleración es constante y tangencial. E )L a aceleración no es constante; pero es tangencial. R E S O L U C IÓ N : V

mg

• Al recorrer la pista cóncava, el camión está sometido a una fuerza centrípeta, qué1se dirige hacia el centro de radióle curvatura. • Por el principio de "agción y reaccióji^ de Newton la fuerza^ue el can£ón ejerce sobre lapista,%erá la normal (R ) . J E '0 • Ahora por la de Newton:

•Como V = cte => la aceleración tangencial del automóvil es cero en todo el trayecto. •Debido al movimiento cqrjgilíñeo actúa sobre el móvil una' centrípeta. De la Segunda Ley de Newton: •Por lo tanto, existe una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular. APTA; “B ” P R O B L E M A 3: Un cam ión de masa «m * se desplaza con la velocidad «V» sobre una pista cóncava de radio «R », como se muestra en la figura. Si (« g » es la aceleración de la gravedad), la fuerza que ejerce el camión sobre la pista en el punto más bajo es:

"'X*

yi

R - mg = m — R

R = mg + m

R R P T A : “B ”

P R O B L E M A 4: Un niño suelta un pequeño coche y este al pasar por el punto más alto del rizo, pierde contacto con él. Determine el radio « r » si el coche presenta en"AHuna rapidez áelm/s (g -10 mis9). A

A) 10 cm B)20 cm D)40 cm E)50 cm R E S O L U C IÓ N :

C)30 cm

* Si en el punto "A", el coche pierde contacto con la pista en forma de rizo, entonces la pista no ejerce fuerza sobre el coche. A)mg - mV*/R C)mV*/R E) m g + y¡2gR

B)mg + mV*/R D ) m g - y¡2gR

R E S O L U C IÓ N :

A)La aceleración del coche es cero ya que la velocidad es constante. B)La aceleración no es cero y se

EDICIONES MlJttlNÓlSi

•Para determinar la fuerza que ejerce el camión sobre la pista en el punto más bajo nos conviene efectuar el diagrama de cuerpo libre del camión en dicha posición:

i« = °

tesa m g=m

=> V 2= g r => l*=10r => r= — m = 10cm 10

IB

IA

disparado siguiendo la dirección de la velocidad en ese instante.

•E.n "A": F c p = ™ < *cp

sa o

R PTA : “A

P R O B L E M A 5: ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? 1) La aceleración siempre es radial.

2) La fuerza centrípeta es constante. 3) La única fuerza que actúa es la fuerza centrípeta.

•Ahora, como la velocidad actúa según la dirección tangente a la trayectoria, entonces el cuerpo saldrá disparado en esta misma dirección. 5) V E R D A D E R A , todos los cuerpos tienden a mantener su estado de movimiento rectilíneo uniforme. Al frenar bruscamente el autobús en movimiento, la persona tiende a mantener su V=cte, es decir tiende a ir hacia adelante en la misma dirección y sentido del movimiento.

4) Un cuerpo atado a una cuerda realiza un movimiento circular uniforme; si de pronto se corta la cuerda instantáneam ente , entonces el cuerpo sale disparado según la tangente a la trayectoria en ese instante.

6) V E R D A D E R A , si en cada tramo

5) Una persona se encuentra de pie en el corredor de un autobús en movimiento; si el conductor frena bruscamente, la persona tiende a ir hacia delante (en la dirección y sentido del movimiento).

Una piedra atada a una cuerda gira uniform em ente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es igual a IO N ¿cuál es la masa de la piedra? (Considere g = 10 mis2) A)2,0 kg B )l ,6 kg C)1,0 kg D)0,5 kg E)20,0 kg R E S O L U C IÓ N :

6) Un cuerpo que realiza un movimiento rectilíneo uniforme por tramos respecto de un observador fijo en tierra, implica que en cada uno de dichos tramos se cumple A)1 B)Ninguna C)2 R E S O L U C IÓ N :

D )3

E)4

1) FA LS A , porque también puede haber aceleración tangencial. *

2) F A L S A , dado que la fuerza centrípeta sólo es constante, si el cuerpo desarrolla M.C.U. 3) F A L S A , porque también puede actuar la fuerza tangencial. 4 )V E R D A D E R A , ya que por inercia, todo cuerpo tiende a mantener su movimiento rectilíneo. Si un cuerpo atado a una cuerdas realiza un movimiento circular uniforme, y de pronto se corta la cuerda, entonces el cuerpo sale

el cuerpo tiene M.R.U. (equilibrio cinético), entonces su aceleración en dichos tramos es nulo, es decir: £ F = 0. RPTA : “D ” P R O B L E M A 6:

•Analizando la resistencia de la cuerda en las posiciones extremas:

2 0 V ¿)

f i.V f jr x o r u n M

d i) •Restando las dos ecuaciones anteriores, tenemos ( I - I I ) : Tmáx- T min-2 rn g = 0=>10N=2mg =>10 = 2m(10) =>m = 0,5kg R P T A : “D ” P R O B L E M A 7: Un hilo se utiliza para mantener una esfera de 50 g , describiendo un m ovim iento de trayectoria circunferencial en un plano vertical y con un radio de 40cm. Si el hilo se rompe cuando la fuerza de tensión en él excede los 2N. Determine con qué rapidez angular puede girar la esfera antes de que el hilo se rompa. AJ)fl> = 5 > /5 —

B )e > > 5 j5 —

8

8

rad C)to < 5>/3 — D)to S 54S s s R E S O L U C IÓ N : * Sabemos por el problema anterior, qué la tensión máxima se presentará cuando la masa se encuentra en el punto más bajo, es decir: I

9

ftI

P o s ic ió n 1

/ • '_1t \ oi

i i•

I ¡« V .¿ .

» »1

'• j »* Jt.*: D .4

P o s ic ió n 2

» ’i

*mg •Obsérvese que en la parte superior se presenta la tensión mínima y en la parte inferior se presenta la tensión máxima, entonces:

« Luego en dicho punto: F cp

m a cp

- m g = mto2R 2 -5 0 x 1 0 3 x10=50x103xto2 x0,4 =>o> = 5\Í3 radia * Para que el rompa: &< 5y¡3

8

hilo

no

se

R PTA : “ C”

• En la posición más baja:

P R O B L E M A 8:

• En la posición más alta:

A un vaso con aceite se hace describir un movimiento circular uniforme mediante un hilo de 2J5

[ mPMXAPWWCA C fW C TT/^lH metros de longitud. El movimiento se realiza en un plano vertical. Calcular la velocidad angular mínima con la que debe girar el vaso para que no caiga el aceite. (g = 10mfs3) A) 68' B )2 s l 0138* D )88 l E)4 R E S O L U C IÓ N :

* Cuando el vaso describe el movimiento circular a través del hilo se establece la acción de la fuerza centrípeta. A

1

I S

C

*

E m C W X E S ISIIIIXOS)

H

* Se sabe que la esfera da una vuelta en 2s, considerando rapidez constante. T7 d 2xR 2x x l y = —=------=---------= V ssxm/a t t 2 * Luego: F

r cp

R

p

=1 ^

= ,*

1

RPTA : “E ” PROBLEM A 10:

Si la esfera de masa lk g e6 soltada en "P" y pasa por el punto H A" con 2m/s, determine la tensión en la cuerda cuando pasa por "A"

R=4m

O

R=4m B a la n z a

1043

* En la posición mostrada: •Descomponiendo convenientemente a mg y aplicandgrj&segunda ley en dirección radjáPT;-^ '' Fcp = m a N s -10 = m

yt

=>N ^ 1 0 = 2x

( g = 1 0 m ls * )

VB

2222

V

A)10N B)20N C)30N D)40N E)50N * Como se observa en el punto A el aceite podría caer.

•v* A^

R E S O L U C IÓ N :

PROBLEM A

Determine la^cleformación del resorte (K = 5 0 N jm ), si la esfera al pasar por el punto más bajo de su trayectoria lo hace con lOmfa indicando la balanza G5N en ese instante. g = 10mfa3 1

* En el punto más bqjo: "A"

* La fuerza centrípeta en el punto A esta dada por: F ^ T A+mg=>m coR2= T A+mg * De la expresión se concluye que la velocidad angular" m" es mínima, cuando la tensión ”T A* es mínima, es decir nula: entonces: 2 D ___________ _íg (O ma>minR = m g min

10 -t *28 ^ ®min 2 ,5 i*y R P T A : “B P R O B L E M A 9: Suponga que hace girar un objeto de lk g fijo al extremo de una cuerda con rapidez constante, describiendo una trayectoria circunferencial de 1m de radio en un plano horizontal , si le toma 28en dar una vuelta; determine la fuerza resultante que actúa sobre el objeto. A)1N B)2N C)10N D ) n N E ) tc2N R E S O L U C IÓ N : mg 99

” *

.*

V=2m/a m g= 10N F cp = m a cp

V2 22 Ta • m8 - m =*TÁ -1 0 = Ix R =*Ta = 30N

R P T A : “C ”

R = lm .............

O

C)0,3 m

* Cuando la esfera esta en el punto más bajo, suponemos que el resorte está comprimido: O

P R O B L E M A 11:

Si la esfera es lanzada sobre la superficie semicilíndrica rugosa, determine la lectura de la balanza cuando la esfera pasa sobre ella y con JO mfa. (g=10 mfa2) 4m

Balanza /

m8 ♦ \Nb=65N = > 6 5 -m g-K x= m

O

=>65-10-5Qx=lx (10f

R

x = 0,lm

R P T A : “A Balanza

i

A)0,1 m B)0t2 m D)0,4 m E)0,5m R E S O L U C IÓ N :

A)40 N D )5 5 N

B)45 N E )6 0 N

RESOL UCIÓN:

C )50N

99

PROBLEM A 13:

Calcular la frecuencia cíclica (en número de vueltas por segundo) del péndulo cónico mostrado en la

«Vi 4..

figura f si la cuerda tiene 50cm de longitud y forma 37° con la vertical durante el movimiento circular de la bolita. (g =10 m/s2) £ A)2,5lx

¡A

5Z8

El periodo de revolución es igual a gr

I) La rapidez angular de la esferita es 2,475 radls. //) La tensión en la cuerda es 12JS5 N. I I I ) La esferita se encuentra en equilibrio.

B)x¡2

A )F F F

C)5

B )F V F

0)7,5

mo

12012)

ESI

C )V W

£' w

A)

R E S O L U C IÓ N :

B)2x

2)r VgCoaO

H Tg O

g hSend D)2x g

* Realizando el D.C.L. de la bolita: E 3 R E S O L U C IÓ N :

D )V F V E )W F

ú''l.*

' ........................ R E S O L U C IÓ N : • Realizando el D.C.L. de la esferita: r“ m

* Efectuemos el D.C.L. del cuerpo de masa "m", tal como se indica:

m- PX . _^

tI

mgv * Las 2 fuerzas: "7” y "mg" tienen una resultante que será la fuerza

3 _ rp

TcosS

m

-? *.<•?
%TsenQ

* Del triángulo sombreado: Tg37° =

mg

ma
10 4 _____ mg 3~ 30 rad =>ú)= =5 8 4*0,5x% O _ rad 1vuelta 2,5 Tí . =5 x ----------= -----vueltaajs 8 2ir rad x R PTA : "A ” P R O B L E M A 14: Una masa "m" se encuentra suspendida como se muestra en la figura . Ella oscila en una trayectoria circular cuyo plano de oscilación esta a una distancia "A" por debajo del punto R

TSenO = mm2r

...................

g

•Verticalmente la esfera no sube ni baja: =>- T = 9,8 => T = 12.25N 5 •Como la esferita realiza movimiento circunferencial existe:

centrípeta (F ep). * F ^ : apunta hacia el centro de la circunferencia.

O

(I) T C o 8 0 = m g ...(II)

• Dividiendo (I) + (II): TSenO m2r Tg0 = T C o 80 mg g * Pero del triángulo sombreado: r TgO= • Además se sabe que:
- T = m(m 2x R ) 5 •Reemplazando: 5

12,25 ) = (l)(c t2 x 1,2) ra d

a) = 2,475 •Analizando las proposiciones propuestas referidas a este problema: I) E S V E R D A D E R O : _ rad o) = 2,475----II) ES VER D A D ER O : T=12£5N

R P T A : "C ” P R O B L E M A 15: La figura muestra una esferita de Ik g de masa atada a un hilo de 2m de longitud que está girando en un plano horizontal con una rapidez angular constante. Señale la veracidad (V) o falsedad (F ) de las siguientes proposiciones. (g=9,8m/s~)

I I I ) E S F A L S O : porque la esferita experimenta una aceleración centrípeta y no está en equilibrio. R P T A : “B ” P R O B L E M A 16: En la posición mostrada del péndulo oscilante, la magnitud de la tensión en la cuerda es igual a 2 veces la magnitud del peso oscilante.

C lI M T X y t J t Calcular el cociente entre las magnitudes de las fuerzas centrípeta y tangencial actuantes

K S f BZR A )! ° f

B )! ° f

E D IC IO N E S RUIIINÓS\ c¡ f

D if

R E S O L U C IÓ N : r= L *en 6

* La rapidez angular será máxima, cuando la fuerza de tensión es máxima. • Grafícando:

F í /- ' => TgO = F = mgTgO mg *

? A)1I2 B)7!4 C)3 D)8l9 R E S O L U C IÓ N :

ION

E)6/7

.............

* Realizando el D.C.L., ubicando las direcciones radial y tangencial; descomponiendo las fuerzas adecuadamente (considerando el ángulo).

m a r ,* mgTgd

!

°CP

=> a mr = gTgO...

% /I * Del D.C.L. de lí^ fé ra :

M)

4 * 1 ' ^

* Calculando la F__ gráficamente.

Si la rapidez angular es constante la fuerza resultante está dirigida al c e n t r ó l e la circunferencia.

+'63\ * Método del A :

& c p

T=2m g

•

V 'V '

\ i. /

■

♦Delfc^: F ep = 8N ; 0 = 53° * Cuando: L= 3 0 y 0=37°

• Luego del A lA IIB :

^

B

En la dirección radial:

* En (I): a>2(0,3)Sen37°=JOx ^

Fep = T - m g C o * 5 3 ° => F cp - 2 m g - m g

R = 0,4m

(í)

7mg

ep 5 * En la dirección tangencial:

(I ) Ahora: =>Fcp = m o 2R 2

|Fr = maT 4

>FT = m gSen53° => Fr = —m g ....,(II)

De (I) y (¡I) ^se obtendrá: 7mg / Ese. 5 •Sf 7 4mg 4 5 R P TA

8= (0,6)a?(0,4) =>a>=

10V3

RPTA : “B ”

B

PROBLEM A 17:

Una masa de 0,6hg gira suspendida de un techo mediante una cuerda de 50cm de longitud , dicho giro lo realiza en el aire paralela a un plano horizontal. Si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es ION, cuál será en rad/s la rapidez angular máxima a la que puede girar dicha masa.

Una esfera unida a una cuerda de 30cm de longitud gira con cierta velocidad angular, formando la cuerda con la vertical un ángulo de 37°, determine la nueva longitud de la cuerda tal que manteniendo la misma velocidad angular para la esfera, la cuerda forma un ángulo de 53° con la vertical. A) 10 cm D)40 cm

B)20 cm E)50 cm

R E S O L U C IÓ N :

L = 40cm R P T A : “B

PRO BLEM A 18: « D M

2 3 3 yn 3 g 125 a — x — = 10x— =>ú> = 10 5 4 3 * Cuando 0 = 53° determinamos la longitud de la cuerda para que la rapidez angular se mantenga constante. IOS ♦En (I): —— LSen53° = 10Tg53°

C)30 cm

99

P R O B L E M A 19: El sistema mostrado gira con una velocidad angular constante a>=5rad/s . Determine la reacción de la pared vertical sobre la esfera de 2kg.No hay rozamiento • (g=lO m/s*) | lm 1 Jg

ilaw «

[ w i 'r s i w c j* A)20N B )30N D)50 N E)80 N R E S O L U C IÓ N : .

-

C )40N

•=> Kx = m(2a>)3(2 + x 2) * (I) en (II ):

lm

mg=20N

* La esfera describe una trayectoria circunferencial debido a la acción de ia fuerza R p , luego: ^

R p

U fivr/fxo f v n L l 2012}

=

2x 52x 1

=* Rp = SON R PTA : 4tD ” P R O B L E M A 20: La figura muestra un sistema masaresorte en un sistema giratorio; si la rapidez angular es constante e igual a " G>", el collarín se encuentra a 2f5cm del eje de rotación y el resorte está deformado 0,5cm . Determine la deform ación del resorte cuando la rapidez angular se duplica lentamente. Considere superficies lisas. A)10 cm B)8 cm C)6 cm D)4 cm E)2 cm R E S O L U C IÓ N : x= 0,5cm

(II)

^ mm25x2 = m4oz(2 + x 2) => x 2 = 8cm R P T A : “B ” P R O B L E M A 21: Una partícula cuya masa es 2kg desarrolla un M.C.U.V sobre una superficie horizontal. Si en un instante dado su posición está dado ^ A t o por r « ( 8i + 6j)m y su aceleración es a = 5 j mis , Calcular para tal instante el módulo de la fuerza centrípeta (en N ) que actúa sobre ella. A)5 B)6 C)8 DJ10 E)15 R E S O L U C IÓ N : n a = S j m¡8* *m • I «II # I $ i 9 «I 1I i r ! % \ V

'

* Vista Superior

* Luego: = > °cp =

=>3p»

3m!s3 p 2(3) = 6N

mg P R O B L E M A 22: Con respecto a la figura, determine la proposición incorrecta: Plano horizon tal

tangencial -r mis 4 R E S O L U C IÓ N :

R

ti=0t5s V................

o

A ) E l m ódulo de la fuerza centrípeta ea igual al de la fuerza de tensión en la cuerda, B) L a aceleración centrípeta

t ¡=0,58

o\ \

/

* Rapidez angular: \a>= — x 4 x, . =>a = — — = —( radia) 0,5 2 * Rapidez tangencial: V = o>R\=> V = - R z * Analizando las proposiciones del problema, la incorrecta es la (E ). R PTA : “E ” P R O B L E M A 23: Dos esferas de masa m y 3m estén unidas por una cuerda de 4 metros de longitud que pasa por una polea sin fricción. Calcular "cT cuando el conjunto gira a velocidad angular constante d y A)1,0 m B )l,5 m

02,0 m

*Elcollarín describe una trayectoria circunferencial debido a la acción de la fuerza elástica luego de:

^>K = 5ma>*........................... (I) * Cuando el sistema alcanza el doble de la rapidez angular (2 o)»

siempre apunta hacia el centro de la circunferencia que describe el bloque, C )La aceleración centrípeta nos mide la ra p id e z con la que cambia de dirección la velocidad, D )E l m ódulo de la fuerza centrípeta puede determinarse: Pcr~macp Donde: módulo de la fuerza centrípeta circunferencial E )L a rapidez angular del bloque es zl 4radfs y su rapidez

D)2,5 m

C .}

(jj

E)3,0 m R E S O L U C IÓ N : *Las esferas describen circunferencias en el plano horizontal (O ¡ es el centro de la

í« K V A » f f ^ t C ffCCTT.AIC circunferencia que describe la esfera de masa m). * Para la esfera (7);

=o TSen6¡ = mto2Rl => TSen6l = ma>2dSen0j => T = mo)2d ............................. (7) •Análogamente para la esfera (17).* T = 3ma>2(4 ~ d ) ................ (77) * Igualando (I) y (77);

555 => TCoa37° = mg................ (77) * Dividiendo (7) -i* (77); o)2« gTg-37° R 2 10x314 ú) = 2,5rad/a 1,2 R PTA : “B ” P R O B L E M A 25: Sobre un riel en forma de semicircunferencia de 2m de radio que se encuentra en un plano vertical puede deslizarse una partícula de masa m. Hasta que altura h (en m) subirá la masa cuando el riel gira con una rapidez angular de 5rad¡a. el}**>=5radls A )l, 6m B)2m C ) l f4m D)l,56m E ) l , 8m " — II

A)tg~* (0,1) B)tg~* (O & é íiff^O .S ) D)tg-¡ (0,4) E)tg-* (0,5) R E S O L U C IÓ N : * Realizando un esquema acerca del enunciado obtenemos:

R E S O L U C IÓ N : ’

ma)2d = 3mo)2( 4 - d ) => d = 3m R PTA : “E ”

•Realizando el D.C.L. de la partícula, de donde: R = 2Sen O (ú=orad!8

P R O B L E M A 24: Si la esfera gira uniformemente tal como se muestra, determine su rapidez angular. (g = 10m¡s2) (o = c t e .

CID

A)2 rad/s

E D IC IO N E S RU BlN OSft • Del gráfico: 2 C W + /i = 2 = > 2 ^ ¿ j + /í = 2 =o h = l ,6 R P T A : “A ” P R O B L E M A 26: Un patinador sobre hielo recorre una pista circular sin fricción de radio J2m, conunarapidezdefím/s. ¿Cuál debe ser*>el ángulo de peraltado que; debe tener la pista para que pueda recorrer la circunferencia sin incidqjites? (Considere g=10mjs2)

P era lte liso

* Considei’ando que la rapidez se mantiene constante durante el movimiento circunferencial, la fuerza resultante estará dirigida hacia el centro de giro (F cp), luego del triángulo vectorial.

0,9m

B)2,5 radia

F,>= é :;-. 0 ,5 m

C)3 radia D)3,5 radia

•Calculando la Fcp = FR gráficamente.

E)4 rad/s RESOL U C IÓ N : \ i-JHL0)

Eq mg

T g 0 = I C E

>

^

T g O

= ^ £ P

mg

O cp

c .>

09*%^ S'

* Del EX:

Tg O = ^ = - ^ - = g g Kg

Tg0= * ^ = > F a , mgTgO mg

T

=> fÁa>2( 2SenO) = /igTgO

1

* Como la esfera gira en el piano horizontal:

TSen37° = m
(I)

=>Cos0=52<2$ertff)=10 \ Co80 J 5 * Calculando"h" geométricamente:

62 g O = 0,3 =>0= Tg'fO.S) 12x 10 R P T A : “C ”

P R O B L E M A 27: Con una velocidad de 144 kmfh un automóvil entra a una curva que tiene una inclinación respecto a la horizontal. Si el radio de la curva es de 250m, encontrar el ángulo "a'* mínimo que la pista hace con la horizontal, de manera que el

A)a=ArcTg(0,64) B)a-ArcTjg(3) C)a=ArcTg(0950) D)a=ArcTg(0,35)

IS3«w Ifigf sustentación aerodinámica como consecuencia de la forma de sus alas, esta fuerza ascensorial (F ) siempre es perpendicular a las alas del avión, luego en plena curva:

R E S O L U C IÓ N :

•Ahora:

automóvil no se salga de la carretera. (g =10 mis2)

V* • Eje Radial: FSenO = m-— ...... (I) R • Eje Tangente: FCosO = mg (II)

TgO =

gR

mV => FtfSena = ~~R

D.C.L. del

(I)

=> F NCosa = mg.................... (II) •Dividiendo (I) por (II) , se obtendrá: 40 = 0,64 Tga = Rg 250x10 =>a = Are Tg ( 0,64) RPTA : “A ” P R O B L E M A 28:

= > V l= 4 * + 2( 12) ( ? f } => V Í = J f i + 84x g •Pero en "D"; FCP= -je - = 16 +]84x

* Se pide:

12

FCP

16 + 84x

= 0,045

P R O B L E M A 30: 4

En la figura, la esferita realiza un M.C.U. con velocidad angular de

RPTA : “B ”

J E rad/s\ describiendo el péndulo cónico de 2cm de radio. La medida del ángulo "0*' que forma la cuerda con la vertical es: (g= 10m/8s).

>0 = 37° * Efectuando el automóvil se tiene:

V* = V i + 2aTS

RPTA : “E ft

• De (I) + ( I I ) , se obtendrá: 30 10x120

U EXCJf'j.arMSMMidi 2012}

P R O B L E M A 29: Un cuerpo de masa m = l k g se mueve con movimiento circular uniformemente variado de radio R = 1 m .Si la longitud de arco recorrida por el cuerpo está dada por sft = (4 t + 6t 2)m . determine (F jJF cp), cuando pasa por segunda vez por el punto D. A) 0,055 B) 0,086 C) 0,011 V: •*„ D) 0,021 .r E) 0,045 D R E S O L U C IÓ N : v.

t=o

* Ubiquemos a un observador sobre la esferita:

«r.

La velocidad de un avión es de VTo=4m/s

30m/s, ¿en cuánto debe inclinar sus alas, con respecto al horizonte, para que en el plano horizontal pueda describir una circunferencia de 120m de radio? (g =10 m/s2) A)16° B )3 T C)45° D)300 E)60° R E S O L U C IÓ N :

\ t =0

* La dirección de esta fuerza será opuesta al de la aceleración centrípeta (aceleración existente para el observador en tierra).

c 7x 7x => S = 1 x ——= ——m 2

•Para el observador no inercial, usaremos el criterio de D Á L A M R E R T , agregando al D.C.L. la fuerza inercial, ahora l l a m a d a : F U E R Z A C E N T R ÍF U G A (F cf)

2

* De la ecuación:

• Su valor será:

Sa f 4t+rf

L Vro L*|a.,=6 * Entonces: VTc = 4 ; ar • Los aviones pueden suspenderse en el aire debido a la fuerza de

=> FT - maT = 1x12 ~ 12 * Luego de M.C.U.V:

fe =

12

D mu

EM M CIO XES K I/B im V l R E S O L U C IÓ N : * Ubicando a un observador sobre el ascensor (S.RN.I.) yhacemos el D.C.L. del manguito para dicho observador.

I • Del triángulo sombreado: T g Q ^ Fer ^ ma>*R ^ C}2R mg mg g ^>Tg 0= ^ j ^ - = I ^ > T g 0= l

=>0= 45°

: W« 1 A ------— f r .• T£5enfcip- -

RPTA : “C ” P R O B L E M A 31: Suponga que la barra del sistema gira respecto a su eje. Si la masa gira con rapidezconstantede2m/s, en un plano horizontal, determine la fuerza centrífuga para un observador no inercial ubicado sobre la esfera.

C )2 m g R E S O L U C IÓ N : A

N*

\ „ n ’RsenB V

D ) mg Y , f rad = mm* GÜBenfi) te-dü . ■ => FNSenO = m &2RSenQ s,

»

^ F jv =

A )2 N

2b

*De: ^ F y = O % F NCos0=mg + Ft

B )3 N

=> FNCo80 = mg + ma

I mg

C)S N D)4¿2 N

t

R E S O L U C IÓ N : * D.C.L. de la esferita (Desde S.R.N.I):

Donde:

Cos0= £ ± ^ -= > 0= C o s 1 a)2R { (d2R )

F¡ = Fcf = mm2(36)

RPTA : “B 99

F ¡ = Fcf = M a 2(6)

* Tomando momentos respecto a "O" debe ser cero respecto al observador no inercial.

S

=> Fcf(b) + Fef(2b) - mg(2b) = 0 * Reemplazando: mo>23b(b) + Mo)2b(2b) = 2mgb => 0 =

mg

* Geométricamente, se deduce que: R=4

R P T A : “A " P R O B L E M A 32: El sistema adjunto está inicialmente en reposo, en la forma mostrada en la figura. Calcular la velocidad angular con la que debe girar el eje vertical "AB" para que la "T" de peso despreciable se sitúe verticalmente.

P R O B L E M A 34: Una esfera que pesa IO N es mantenida a una barra horizontal solidaria a un eje vertical AB. Calcular la reacción en el apoyo ”B" cuando el sistema gire a ISrpm . Desprecie el peso del eje Y de la barra solidaria. A )2 0 N

2mg

b (2 M + 3m) B)20 y¡3 N 99 RPTA: “A C)30 N P R O B L E M A 33: El ascensor sube con aceleración "a", en su interior un manguito puede deslizarse libremente a lo largo de un anillo liso de radio nR " que gira accionado por un motor con velocidad angular constante ' a>*. Calcular el ángulo "9 " correspondiente a la posición estable del manguito.

n

A )T g

■ (i)

BfCoa C)Sen D )T g

te )

f

$

1

i O

(

\<*

R y y t

\

• 1

- t e )

te )

(II)

* Luego de ( I I ) + ( I ) , se obtendrá:

.T

Mg

E ) 6,8N

(/)

A

^

i

8m 2*l2m

D )4 0 N

2m

X E )3 5 N R E S O L U C IÓ N : •Hacemos un D.C.L. del sistema para un observador no inercial:

8 * 8 lg *^

- O -

+ Bx = F^

±L

Para Am

T = Am»2

+ L ~ 20R

* Luego: Am =

*De £ M Í = 0:

(II)

1^(8) - mg(2\Í2) - BJ10) = 0

* Siendo: ”L n: longitud de la cadena L => 8me>*R -10(2yÍ2) - BJ10) = 0 L = 2xR\^>R = 2x 9(10) <2^ > - W *J»)-BJW ) =0 60 En (II ): B=90j2 ~~(W 0m Am Am = • La reacción en"ZT será: En (I): r b = Jb z +b ;

■-(¿Xr) ^0,2 f

f

=>Rb = ij(2 0 j2 ? + 1(? = 30N R P TA : “C ” P R O B L E M A 35: Una cadena de longitud "L n, cuyos extremos están unidos, fue colocada en un disco de madera el cual gira con una velocidad angular na n, Calcular la tensión de la cadena metálica. meo as*

Sí> 4x R E S O L U C IÓ N : * Hacemos un D.C.L. de una porción pequeñísima de cadena: A£ TcosQ

T cob O

^

1- me}2I>

y l T )~20\ 2Í )

4x RPTA : “E ”

P R O B L E M A 36: Una barra homogénea de longitud H L" y masa uniformemente distribuida, gira alrededor del eje vertical con una velocidad angular ¿Qué tensión horizontal experimenta la barra a una distancia M cT del eje de giro? me? A) 3L m c ? (Ü -d ? ) B) (O 2L mo?(í? +d 2) C) 3L 3L D) m mo?(I? + 2d) E) 3L R E S O L U C IÓ N : * Realicemos el D.C.L. del extremo de la barra:

r*

d -L

\ e [O y Tsend V • Donde: 0 ^ 0 °

¡ C .A f.j r™ r— !

Tsend

* Entonces:!SenO = 0\ => AL = 20R Además: => 2TSen0 = Amm2R Amat R Ame?R => T = (I) 2Sen0 20 •Siendo la cadena de masa

C ip

E X C U J . o r ’K Q tA 2 0 I¡¡}

* Observando el D.C.L.,

homogénea: m

•De Y . Fj = 0-B = m g =10----- (I)

IA

• Cálculo de ám ; siendo la masa uniformemente distribuida, por regla de tres: m >L Am

* (L -d )

De donde: Am=[ Li r ) m

^ > T = 4-m o> 2(L 2- d 2) 2L R P T A : “B 99 P R O B L E M A 37 : ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incompatible con el estado de equilibrio de una partícula? A )L a « u r n a v e c t o r i a l d e to d a » la » fu e r z a » q u e a ctú a n so b re la p a r tíc u la t e » cero . B )L a s u m a v e c t o r i a l d e to d o » lo » to rq u e» o m om en to» con resp ecto a un m ism o p u n t o , q u e a c tú a n s o b r e la p a r t íc u la , e s cero . C )L a p a r t í c u l a » e t r a » l a d a c o n v elo cid a d co n sta n te D )L a p a r t í c u l a r o t a c o n v e lo c id a d a n g u la r c o n sta n te a lre d e d o r d e un qje

A/o. E )L a p a r t í c u l a e s t á e n r e p o s o a l sistem a d e refe re n c ia in ercia l.

R E S O L U C IÓ N : * Respecto del estado de equilibrio de una partícula podemos afirmar que: • Equilibrio mecánico : Es aquel estado donde las partículas no experimentan aceleración (¿ = 5)> ¿Cómo se consigue esta situación?. Para esto es necesario qu e: E stado j rep oso

—

E quilibrio está tico ¡E q u ilib rio de

0)

L - d L -d

\¡

E s ta d o

—

M.R.U. (V-C" )

E quilibrio tra sla ción ! cin ético

\D m g

Estadorro=5)

E \\

reposo

M%=0: E s ta d o

R=

L+d

¡E q u ilib r io de

rotación! (a í= c te )

KM.C.U. Analizando cada alternativa:

BM9 te *

< IW T T ^ m A) V E R D A D E R O . Si £ F = 0 la partícula permanecerá en su estado natural de reposo o de traslación a velocidad constante ; según la primera Ley del movimiento de Newton B ) V E R D A D E R O : z t = 0 es consecuencia de que^F^O para una partícula en equilibro

EM CM O m S K lJ iU X O f íl

RESOLUCIÓN i

lR E C U E R D A /

I) FALSO:

Para prod u cir el m ovim iento curvilíneo, la fuerza resultante d ebe esta r haciendo un ángulo con resp ecto a la velocidad, de m o d o q u e la a c e le r a c ió n ten g a una com ponente perpendicular a la velocidad qu e proporciona el cam bio en la dirección del m ovim iento. , L-

Si bien se cierto en el MCU, la velocidad en módulo permanece constante, sin embargo, continuamente cambia de dirección, esto es d e b id o a la aceleración instantánea denominada aceleración centrípeta el cual en todo Instante apunta hacia el centro de la circunferencia.

/ *-T

C) V E R D A D E R O : La traslación a velocidad constante es compatible con el estado de equilibrio. D) FA LS O : Se considera que una partícula solo tiene movimiento de traslación. Si la partícula rota con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo , entonces esta presenta aceleración centrípeta y ya no está en equilibrio ; como ejemplo , podemos plantear el jtí.C.1/ de la partícula unida al eje con ............ . un hilo.

Com o vem os el valor de la aceleración centrípeta p e rm a n e ce con stan te, sin em b a rg o con tin u am en te cam bia de dirección, por lo que en sí la aceleradón no es constante ya que cambia de dirección.

II) FALSO:

X

*

De ia rebelón ? = ma llegamos a la conclusión: i

/ LT

Al desarrollar la partícula un MCUV, velocidad de la partícula varía en módulo, ’ esto debido a la aceleración tangencial ( a j cuyo m ódulo es constante.

co = cte y

'

Sobre la partícula P actúa una

Pero la partícula n o só lo experim enta a ce le ra ció n tangencial, sin o tam bién aceleración centrípeta el cual está dado:

V2 a
Pr - Pcp “ F =* existe a CP>0 /N o h a y « q u iit r io m a c im c a /

E) V E R D A D E R O : El estado de reposo respecto a un sistema de referencia, inercial es compatible con el estado de equilibrio. R P T A : “D ” PROBLEM A 3 8 : Señale la veracidad (Y) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones*.

Donde V es el módulo de la velocidad para un instante del m ovim ien to c o m o la partícula experim en ta un m ovim iento acelerado entonces e! valor'de la velocidad cambia conlinuamente con el tiempo, es decir V = a¿. Al cam biar la v e lo cid a d trae c o m o c o n s e c u e n c ia q u e el m ó d u lo de la a ce le ra ció n centrípeta ca m b ie continuamente por lo que ia relación: aT _ Py R

I ) En el M C U , la aceleración instantánea es constante. W En el M C U V , el cociente entre las componentes tangencial centrípeta es una constante. III) En el M C U V puede darse que la aceleración instantánea apunte hacia el centro de la trayectoria. A) V W B) W F C) VFV D) V FF E) F F F

t

(í

* La c o m p o n e n te de la fuerza perpendicular a la trayectoria, o la fuerza normal o centrípeta es :

donde p es radío de curvatura

* La fuerza centrípeta es responsable del cam bio en la dirección de la velocidad. * La com ponente de la fuerza tangente a la trayectoria, o la fuerza tangenciales, es:

Fp = ZFt = may X.

No es constanle pues depende del tiempo. III) FALSO: En el movimiento circunferencial, el hecho que la aceleración instantánea apunte hacia el centro imptíca que el movimiento que desarrolla la parifcula sea un MCU rnás no un MCUV, por tanto en un MCUV no puede darse que la aceleradón instantánea apunte hacia el centro.

RETA l “ E”

• La fuerza tangendal es responsable del cam bio en la magnitud de la velocidad. A n a lic e m o s un c a s o p a r tic u la r d e m ovim iento circular , p es el radio R y V = aR, de m od o q u e la fuerza centrípeta e s tam bién:

F^ = m ~ - = m o ) 2 R R

BSO cuerda en ese lugar es de diez veces el peso de la esfera.

\

IA

E x c m i 'j w k d i A 2 0 1 2 ]

% %

%

3m

Fc = IF van hada el centro

Fr = I F -

-

IF

= ma,

salen de! centro

IF

seleccione las afirmaciones verdaderas con respecto a la fuerza centrípeta. I ) Se representa en un DCL.

« mat

a favor en contra dea¡ deat O En un plano tnctimuio liso la aceleración del bloque abandonado sería:

a = g.Sen0

O L i tKeUraaán del carro para que el péndulo se

esuiblezcii cano sigue ex

I I ) Es una fuerza resultante. U l ) Es perpendicular a la velocidad. A) I y l l B )IIy I I I C )Iy lU D) Sólo I I E ) Sólo I I I Un insecto de lOOg describe una circunferencia horizontal de 40cm de radio con una rapidez constante de 8m/s. Hallar la fuerza centrípeta sobre el insecto. A)12N B)16 C)20

a

a = g.TanO

O lodo cuerpo tlemro de un ascensor experimenta un duntertuo de beso {peso aparóte*) cuando este sulv x una perdida {iiptirente) cuando este baja.

SUGERENCIAS / O Tenerpresente la tviaaón de lados en los triángulas

rectángulos notables. O Retida algunas pmpiedatles de vectores, como la descanpostdán rectangular O interpreta bien la segunda Ley de Xewtai. misa algo sobre ctwsa y efecto. O Repasar el concepto de equilibrio y segunda Ley de Sewtax. O Recordar siempre las propietlades citadas en este capitulo. O Ten presente que la /u e o t de rodamiento v la normal son compwuouo' de la reacción total de ia supeijície sobre el cuerpo en estudio.

¿Qué fuerza centrípeta se requiere para mantener a una masa i elJ5kg que se mueve en un círculo de radio 0,4m a una rapidez de 4mfs? A) IO N B) 20 C) 40 D)60 E J 120 En la figura la esfera se suelta en «A». Determine la rapidez al pasar por «B » si la tensión de la

D)24 E)28

Una piedra de 2kg gira con una velocidad angular de 3rad/s describiendo una circunferencia de 0,5 de radio. Determine la fuerza centrípeta. A )5N B )7 0 9 D )ll E)13 @ )U n atleta de 60kg corre por una pista circular de 25m de radio de manera que en cada vuelta demora 20s. Calcule la fuerza centrípeta sobre el atleta en Newtons. A )1 0 x 2 B)15 O 20 D)25 E)30 ♦

@ )E n un plano horizontal gira una pelota de 0£ k g con una velocidad angular de lOrad/s. la pelota está atada a una cuerda de manera que describe un radio de Ofim. Calcule la tensión en la cuerda. A)16N B)18 0 2 0 D)22 E)24 @ )E 1 diagrama muestra una piedra de Ik g amarrada a una cuerda de 3m de longitud. Halle la tensión « T » , si en dicho instante la velocidad de la piedra es de 6 m/s y se encuentra girando en un plano vertical, (g = 10 m/s2)

s$

0

0

'■ " '• « O í í A )IO N B)12 0 1 8 D)20

E)22

(^C alcular la rapidez «V» (en m/s) del cuerpo en la posición m ostrada, si este tiene un movimiento circunferencial en un plano vertical. Además: m =5kg y R =10m. y 38N /'" v / r R ¡ M m ¡3 7 y y A)5

B)3

02

D)1

E)4

Determinar la rapidez «V » (en m/s) del cuerpo, si este experimenta un movimiento circunferencial en un plano vertical y m = 8k g . Además: R = 2 m .

9 Jé g

A)5

B )6

07

D )8

E)9

^7) Una esfera de 5kg asciende por un rizo de modo que en el instante mostrado presenta una velocidad V = 6m/s. Si el rizo tiene un radio R =4,5m y no existe rozamiento, ¿cuál es la reacción del rizo en la posición mostrada?

A )4 N

B )8

00

06

E)2

En un día lluvioso, el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la carretera es 0,48. ¿Cuál es el

[ mPMXAPWWCÁ. €'WK€'tTW^lK radio de una curva conociéndose que ia máxima velocidad de dos automóviles es de 12mfal, (g = 10mfa2) A)36m B)40 C)44 D)48 E)52 m Halle la rapidez «V » suficiente que debe mantener el motociclista para superar el rizo vertical de 8,lm de radio. (g = 10m¡82).

Bat (Q>Una pequeña bolita se encuentra dentro de una esfera grande, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante de 7radfa adoptando la posición mostrada. Hallar « o » . CL5o>

ED iCIO N ES nUHIXOS\ mencionada? (LQ 9oHe= 0,7m) A) 0£m

(57)Determinar la fuerza penfrípeta sobre la esfera mostrada en la figura. (m = 5 k g ;g = 1 0 mía ) B)6

C)7

E )8

D )7

Amarrada al extremo de una cuerda de 3,6 m de largo gira una masa en un plano vertical. ¿Cuál es la mínima velocidad en el punto más alto sin que la masa deje de girar? (g = 10mfa2) A)0 B)2mls 0 4 D )6 E )8 (7£)la masa total de un motociclista es de 80kg. Viaja por una curva de 50m de radio con una rapidez de lOmia. Seleccione como verdadero (V ) o falso ( F ) las siguientes afirmaciones: I) La fuerza centrípeta sobre el motociclista es de 160 N. I I ) El m otociclista tiene una aceleración centrípeta de 2mls2.

A)16?

B)30°

03T

(Q)Una esfera de 0,5kg de masa viene rodando por el montículo. Calcular la medida del ángulo "¿Tpara la cual la esferita logra desprenderse si en ese instante su velocidad es 4yJ2mfa y e l’*radió mide 4m.

A)30°

B)53° 0 3 T D)45° E)60°

(Í7í)¿para qué velocidad angular del eje el bloque que se encuentra atado a una cuerda de 2m empieza a desprenderse del plano?

A) 50 iV B) 40 N

--•-i--**'* Si una piedra de 7kg gira describiendo una circunferencia de radio R=14m con un periodo de 1la, 22¡7, determinar la fuerza centrípeta. A )3 0 N B )1 6 N 032 N D) 60 N E)40 N Si la masa de la esfera es de 2k g , determinar la tensión en la cuerda si la velocidad en A es de lOmia. (R = 2m y g = lOmfa2) A) 100 N

D) 130 N

/v

O 120 N

E) 140N

g

D)2

©

E) 60 N

m Hallar la velocidad angular con que gira el péndulo cónico.

g 2H

N t *53*>&0Nf

D) IO N

B) 110 N

O

9

O30N

I I I ) la fuerza centrípeta cambia la rapidez del motociclista. A )V W B )F W OVFV

A)

% % %

9

En la figura se muestra un disco de radio R = l,5 m y un bloque de 3kg reposando unido a un resorte de rigidez K=108Nfm . Si el disco empieza a rotar poco a poco hasta alcanzar una rapidez angular de 2radjs. ¿Cuánto se deformará el resorte en la situación final

■~v

Si una esfera gira en una circunferencia vertical, Calcular la aceleración centrípeta en la posición indicada (m = 5 k g y g = 10ml8*) A) 6 m/s2 B) 10 mfa2 O 12 mía2 D) 5 mfa2 E) 8 mfa2

/ ' 8

III »I I %

IIION ‘ I * I

I t K

II

0 9

IRSffa» IB

O P 'W S iW d A m Un cuerpo de masa m = 2 k g describe una circunferencia en un plano vertical, de radio R = l m . Calcular la tensión de la cuerda cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria con 6m¡s [ g = 1 0 m ls2).

A) 52N D) 92N

B) 72N E) 60N

C) 32N

Ll £V(7rxorfcOtt 2012}

(Q) Determinar la fuerza centrípeta de la esfera mostrada, si m =5kg y g = 10mís2

uniformemente variado, la fuerza centrípeta es de magnitud constante.

A) 1N B) 2N C) 3N D) 4N E) 5N

I I ) Para todo movimiento circular de una partícula, la fuerza resultante está siempre dirigida hacia el centro de rotación.

\37?S V O?

í ! \

'

\ i i

9

En una mesa horizontal gira una esfera de lO kg , por medio de una cuerda de Jm de longitud fija en un extremo y con una velocidad angular constante de 5rad/a. ¿Cuál es la tensión que soporta la cuerda? A) 50N B)150N C)250N D) 350N E) 500 N

(í7)Una bolita de 6kg*de masa se encuentra atada a una cuerda de 2m de longitud y gira en un plano vertical. Si en el instante mostrado su velocidad tangencial es V=5m/a, ¿cuál es la tensión en la cuerda? (0 = 53°),

@ En la plataforma giratoria mostrada se escogen tres puntos A, B y C al girar la plataforma. ¿Cuál de ellos tendrá menor aceleración centrípeta? (O = centro)

I II I% . J9 ' «i % ' I $

m

A) 100 N B ) 111 N C) 120N D) 130 N E) N A .

4

i

4

4 4

9

•

9

•

% II \ 4 9 9

4

@ Si la partícula "m" gira en un plano horizontal con movimiento uniforme siendo la aceleración centrípeta 3g/4t ¿cuál es la medida del ángulo "0"? (g =aceleración de la gravedad) A) 45° AJA B )B C )C DJTodoa iguales E)Faltan datos

B) 60°

@)Determinar la fuerza centrípeta que actúa sobre la esfera de masa 5kg (g = 10 mis2)

0)53° , /

i) 4N V 6N

50N 3 8 N ¿ 453°

1) 8N

0 $ 4

1) ION

4

C) 3 T .

W 3
y i 2N

........ 5^ Un cuerpo se hace girar en un tlano vertical mediante una cuerda uya longitud es "i?". ¿Cuál es la nínima velocidad a la que podrá tasar por su parte más alta? \)j2 g R B )Jg R C )JgÍR 0)^12g/R

L

E)yf5gR

C) 3 D) 4 E) 5 (f$) Indicar verdadero (V ) o falso ( F ) , respecto de las siguientes proposiciones: 7JEn el m ovim iento circular

I I I ) En un movimiento circular uniform e variado, la fuerza tangencial mantiene su magnitud constante. A) W V B JFFF CJFVF D) F F V E )W F (tEjUn cuerpo está sujeto a la acción de una fuerza única "Fn haciendo que describa un movimiento circunferencial uniforme. Indicar con verdadero (V) o falso (F)\ las afu'maciones siguientes: I ) Si F dejara de actuar. ¿El cuerpo seguirá en movimiento circular? TI) La fuerza F ocasiona variaciones en la dirección de V y en la magnitud de y . I I I ) El cuerpo está en equilibrio. A) F F V B JFFF CJFVF D) VFF EJVFV (7&Si sobre una partícula de masa "m" con velocidad V, se aplica una fuerza F que actúe siempre perpendicularmente a su velocidad y cuya magnitud aumente constantemente, la trayectoria de la partícula será. A)

B )( J )

C>

(Q ) Se muestra una esferita que gira respecto del eje AB. Determine para qué rapidez angular se cumple 0 = 37°. S—O.fln» B A) 1 rad/a B) 1,5 radia C) 2 radia D ) 2,5 rad/a E ) 3 rad/a

C

. 2

xo

í

<»#f» í # . . W í

Una esfera lisa de 2kg es lanzada en un plano horizontal y gira alrededor del punto O con una rapidez de 5mls. Determine el módulo de la tensión en el hilo. A)20N Plano horizontal B)30N C)50N DJ60N EjlOON

*## = = = V O-/*»

E D IC IO N E S R U IU N O S ) E )L a a c e l e r a c i ó n e s u n a m e d id a c u a n tila liv a d e la in ercia .

Determine la máxima fuerza horizontal que puede aplicar el joven de tal manera que el bloque « A » no resbale sobre « B » (m A= 8kg, m B= 10kg, Mt =0£5, g = 10m¡82).

Si el collarín se mantiene en reposo respecto del apoyo horizontal, determine la máxima rapidez angular oí que pueda experimentar dicho collarín. (g=10mls2; fit = 0,6)

B) 1 rad/s C) l,5rad¡s D) 2radia

5m~\

E) 2,5radla Una esfera de 2kg es lanzada en A y cuando pasa por B tiene lOmls.

B)35 C)20

D)36

Marcar la alternativa incorrecta:

@ )U n cuerpo que pesa I O N desciende con velocidad constante por un plano que hace un ángulo de 30° con la horizontal. La fuerza Ft en newtons, que hace subir al cuerpo paralelamente al plano inclinado con aceleración constante igual a la aceleración de la gravedad V constante

B)40

C)30

donde «t» en segundos. Determine la deformación del resorte en el instante que adquieren igual aceleración si esta ocurre a los 6a de aplicar «F » . Considere que al inicio el resorte no está deformado además el sistema carece de rozamiento. (mA=m B= 5 kg). A)5cm B)3 0 7 D )8 E )6

D)20 E)15

@ )E n la figura el automóvil está jalando a los vagones con una aceleración de 5m¡82(las masas en kg se indican en la figura). 30

338

@ )C a lcu la r el módulo de la aceleración de la persona de masa 64 kg para que pueda comunicar al bloque de 80 kg una aceleración cuyo módulos 2mfs2.

a constante

A)45

B

200

w

@ ) A una masa de lO O k g, en reposo, se le aplica una fuerza

06

D)4

E)10

La esfera de 5kg está conectada a una cuerda de Im de longitud y se lanza en «A » ¿Cuál será el módulo de la tensión en la cuerda cuando la esfera presenta una velocidad ? V = (3 ;-4 ) m t * ; (g = lO m ls2 ) X

♦

I

0,5/h\.

«

f t

I» I

V

.......

Halle la fuerza total de rozamiento en las 4 llantas del automóvil (considere que las llantas no resbalan sobre el piso). A)1250N B )1000 0250 D)1050 EJ1500

A)2mfa* B)3

,/■ •

A) L a in ercia es a q u ella p ro p ied a d d e la m a te r ia p o r la c u a l lo e c u e r p o s tratan d e co n serv a r su esta d o d e rep oso o e s ta d o d e m o v im ie n to r e c t i l í n e o uniform e. B jln ercia es la p ro p ied a d d e un cu erp o p o r la cu a l es n e c e s a r io e je r c e r u n a fu erza p a r a a celera rlo . C)La m asa es una m edida cu a n tita tiv a de la in ercia. D )L a in e r c ia q u e p o s e e un c u e r p o depende d e su p o sició n y a ltu ra so b re la su p erficie ter r es tr e , a s i com o de su velocid ad y a celera ció n .

El sistema m ostrado .se encuentra inicialmente en reposo. Si al coche se le ejerce una fuerza horizontal cuyo m ódulo varía según: F = (4+10t)N. K=4N!cm

E)40

Determine el módulo de la tensión en la cuerda cuando la esfera pasa por i?. (g = 10m¡s2) A) 80 N B) 100N C) 110N D) 120N E) 150N

A)45 B)500 0 3 0 0 D)50 E)255

Rodillos lisos A)15N

A) 0,5rad/s

horizontal constante de 1 0 0 0 N , para hacerla deslizar sobre una superficie horizontal sin fricción. Al final del tercer segundo cesa la fuerza. ¿Qué espacio, en m etros, recorrerá en 1 0 segundos, contando a partir del instante en que se comienza aplicar la fuerza?

►X

U F W S ÍW 4 Z A A)280NB)180 C)200 DJ240 E)400 @ )S i el sistema se suelta del reposo, Siendo la masa de los bloques iguales. ¿Después de que tiempo la distancia que los separa será mínima, siendo d = 2 ,5 m l (g = 10mf8S).

IA

distancia de 3 m , el móvil se desplaza una distancia de 2,5m. Determinar el desplazamiento que experimenta el bloque B respecto del móvil.

A)0,5m

A) 0,25 D)0,80

B)0,50 E) 1,00

C)0,75

La figura muestra un móvil, que se encuentra en reposo respecto de la tierra y dentro de él una barra no homogénea A B f de 32cm de longitud, en equilibrio respecto de él. Determinar con qué aceleración debe moverse el móvil para que la barra, en su nueva posición de equilibrio relativo, adopte una distancia horizontal. No existe rozamiento. (R=20cm ; o =37°).

B)1

0 1 ,5

D)2

A)3g¡5 D)12gl25

B)4g¡52 E)3g

C)7gí25

(Í^Se tiene un disco de radio R y a lo largo de su circunferencia se enrolla una cadena de masa «m todo el sistema gira con una frecuencia f. Hallar la tensión de la cadena.

E)2,5

(Q)Un coche Viaja con una aceleración a de módulo a =om¡82. Hallar la medida del ángulo que define la posición de equilibrio relativo de las masas respecto del coche. (M =4m , g=10mf82).

AJxRmf2 B)2xRmf 2 C)3xRmf 2 D)4xRmf 2 E)5xRmf 2 (g)C alcular la mínima rapidez angular del sistema para que el bloque de masa «m » esté en reposo respecto a la superficie donde esta

A)37°/2 B )3 T 053°/2 D)53° E)No se mantiene en equilibrio relativo (T3)En el sistema mostrado las supeficies son lisas y los bloques tienen masas indicadas. Halle el módulo de la aceleración con la cuál baja la cuña, si el sistema parte del reposo. (g = aceleración de la gravedad). D)

C j| g 4 (Q)Se muestra un vagón que se traslada una aceleración constante, el muchacho que se encuentra en su interior al cortar la cuerda nota que el bloque presenta M.R.U. ¿Qué módulo tiene la aceleración del vagón?

E X C M n a M M L t 20 12}

A)g/13 D)g¡129

B)gl7 E)gi33

Ogl26

g 4pR

g E) 'y¡5pR

(Q)Suponga que la barra del sistema gira respecto a su eje. Si la masa tiene una rapidez de 6ml8en un punto horizontal. Determine el módulo de la tensión en la cuerda inferior. g = 10mfs2.

(£rt)Si el sistem a m ostrado parte del reposo y las superficies son lisas. Halle el m ódulo de la aceleración de la cuña q u e resb a la en d irección h orizon ta l, sabiendo que am bas cuñas tienen igual

A)8,5mlas B)10 012,5 D)7,5 E)5 Si cuando una persona desplaza horizontalmente el extremo A una

A) 78,3N D)29,6

B)51,7 E )ll,7

0 4 0 ,8

5 ga g nasa m Una esfera de 2kg de masa se encuentra oscilando en una superficie lisa cóncava de radio 6Qcm. Si cuando pasa por la posición mostrada su rapidez es 4mfs. Hallar el módulo de la fuerza con que la esferita presiona la superficie. g = 1 Om/s2.

A)64N B)80

C)78 D)60 E)84

@ Si el sistema es soltado en la posición mostrada, determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque B. mA=2 kg; m n=8 kg; g =10 m/s2 Liso

A) 4 m¡82 B) 2,5 mis2C) 3 m/s2 D) 1 m/s2 E) 2 m/s2

E n tv m x E S

V=0

M A) 0,2 m D) 0,7 m

B)0,4 m E)0,9 m

0 0 ,5 m

La grúa eleva el bloque comunicándole a través de la cuerda una fuerza de 900 N , determine el módulo de su aceleración en m/s2. desprecie la resistencia del aire (g =10 m/s2) A) 0,5 B) 0,75 O I D) 1,25 E ) 1,5

JL

r

©

© i ’

El joven arrastra al cajón liso de lOkg ejerciéndole una fuerza de módulo 20N , como se indica; determine el módulo de la aceleración que experimenta el cajón (g = 10mfs2)

A) 1,6 mis3 B) 2 m/s2 O 1 m/s2 D) 1,5 m/s2 E) 1,2 m/s2 Un bloque es lanzado sobre un tablón, donde el coeficiente de rozamiento cinético con el bloque es 0,5 y logra moverse sobre el durante 0,4s. Determine cuánto logra avanzar el bloque del tablón ( g = 10mfs2) M=4m

A )ls

A) 2 m/s* B) 6 m/s2 O 4 m/s2 D) 5 m/s2 E) 3 m/s2 Una caja de 5kg que tiene la forma que se muestra en el gráfico adjunto contiene una esfera de lOkg. Si la fuerza F horizontal con la que se jala la caja es der300N. Determine el módulo de la fiíerza de contacto en A y B (desprecie las asperezas).

rA*ti

(0)U na moneda es lanzada sobre una superficie horizontal constituida por dos tramos cuyos coeficientes de rozamiento cinético con la moneda son px =0,3 y p2 = 0,2 .Determine luego de cuánto tiempo, desde el instante de lanzamiento, la moneda se detiene. (g = 10 m/s2)

V= 10m,s

t:iu t i\ (F s \

14ni B)2s C)2,5s

.-■'■Y'

E ) 6s

D)4s

( 0 ) Determine el módulo de la aceleración del ascensor, si el dinamómetro ideal indica 2 6 N (g = 10 m/si ) A) 1,5 mis2 B) 2 m/s2 O 3 m/s2 D) 4 misE) 6 mis2

A) 100 N; 300 N B) 250 N ; 250 N O 250 N ; 300 N D) 300 N; 200 N E )2 5 0 N ;1 0 0 N (0)L a fuerza aplicada al bloque A varía con el tiempo de acuerdo a la siguiente expresión F = (5 t +4) N (t: en segundos), si el coeficiente de rozamiento cinético entre el piso y los bloques es 0,4 determine para que instante de tiempo el módulo de la fuerza de interacción entre los bloques es 12N (m A= 2m B= 4kg) g = 10m/s3. considerar lisa la zona de contacto entre los bloques.

F -f 1 A f B A) l , 6s D) 7,2 s

B)3,2s E ) 8,6 s

0 6 ,1 s

(fj))El bloque de 200g de masa al salir del rizo impacta en C , determine el módulo de la reacción del riso sobre el bloque en B . *I!i111

i

B

A) 2 N B )4 N

(0 A I levantar una maleta de 8kg se emplea una fuerza vertical F = 120 N. Determine el módu lo de la aceleración que experimenta la maleta, (desprecie la resistencia del aire, g = 10m/s2)

0 6N D ) 8N E) 9 N

$

45 / C

IA

(Q ) La esfera de 2kg de masa se mantiene en reposo respecto de la superficie semicilíndrica lisa que rota con una rapidez angular constante de J E rad/a, determine el módulo de la fuerza de interacción entre la esferita y la 0 superficie semiesféríca. (g = 10ma ) A) 25 N B) 20 N C) 15 N D) IO N E) 5 N (Q ) Se muestra una esferita que gira respecto del eje AR. Determine para qué rapidez angular se cumple 0=37°.

_i—- 0.9m

B

A)J rad/a B)l,5 radia C)2 radia

(T^jEl pequeño bloque que se m uestra, se desliza por una superficie cilindrica lisa de tal manera que al abandonar la superficie presenta una velocidad V = (1,6; 1,2) m/a .Determine el módulo de la aceleración del bloque en el instante en que abandona la superficie. (g = 10m/a2) A)5m/a2 B)7m/as C)9m/a2 D)10rn/a2 E)12m/a2 (Í72) ¿A qué distancia del punto "A" impactará la pequeña esfera en la superficie horizontal? Considere que cuando la esfera pasa por A experimenta una fuerza, de parte de la superficie cilindrica, de 40N. (It= 5 m ; g -1 0 m/s2, ni =4kg)

D)2,5radla E)3 radia

9 •

i

(í11) Determine la aceleración del pequeño bloque, al pasar por el punto "A" si en dicho punto experimenta una reacción de 14N debido a la superficie cilindrica. (g =10 mía2; m = lk g ) A )6 m/a2 B)8 m/a2 C)10 m/a2 D ) 8yf2 m/aE)15 m/a* •

•

».• •

Liso

Una esfera de i kg se encuentra en el interior de un tubo liso tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza que ejerce el fondo del tubo (punto A) sobre dicha esfera, si el sistema gira uniformemente con 5rad/a. (g-10m/s2)

m Liso P A )2 sÍ3m B)3y[5m

A)Q = a r c C o s

B )0 = a r c C o s ^ - ^ j

C }0 = a r c S e n ^ - ^ j D )0 - a r c S e n

(73) Si al abandonar el sistema éste adquiere movimiento, el gráfico que m ejor representa para A su aceleración respecto al tiempo es: 9

(Q ) Dos bloques A y B d e lk g y 2kg respectivamente se encuentran unidos por una cuerda, la cual se enrolla a una polea lisa. Si al bloque B se le ejerce una fuerza horizontal de módulo F = 2 5 N , a partir del instante mostrado; determine al cabo de qué tiempo el bloque A llega al otro extremo del bloque R. (g = 10m/a2) . Q.2m . La X

'5

C) 10 y¡3m

D)1042m E)I5y[3 ni (T?)Un ascensor asciende verticalmente acelerando con 2m/s". En el interior del ascensor hay un dispositivo que hace girar una pequeña esfera, con una rapidez angular constante de lO rad/s. Determine la medidad del ángulo "O” que se inclina el hilo de Im de longitud respecto de la vertical. ( g ~ 1 0 m/a2)

E N ('jrM 9 * M £ iM L \2 0 l2 }

Liso

A)0,la B)0,2s C)0,5a D )la E)2a (sÑ^La figura muestra a 2 bloques de masas m y M unidas por un resorte. Si el sistema se abandona en la posición mostrada, determine la aceleración de m en el momento en que M esta a punto de deslizar. El resorte inicialmente está sin deformar (M =4m ; g=10m/a2). A) 5 m/s2 B) 10 m/aC) 8,4 m/a2 D) 9,6 m/a2 E) 4,4 m/a2

A) 5 N B) 7 N C) 8N D) IO N E) 12 N

(£7)Calcule el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso del elevador. Se sabe que cuando el elevador sube con a=3g, el bloque

5»rl 1

está a punto de resbalar.

ín8*" * cuerda se mantiene constante.

(g: aceleración de la gravedad).

ffl)E \ ángulo 0 disminuye.

A) 113 B) 2!5

JV)E1 radio de giro se mantiene constante.

€ MM<€ ’ f

C) 219 D) 1/9 E) 1/7

,o’

A/

Tf . 7 l W

E D IC IO N E S KIJIUXO$\ de tal modo que el bloque de 8kg no deslice sobre la plataforma? (g=10 mis2; K = 40 Nlcm )

9

@ ) Cuando el hilo de un carrete que está en el piso se tira como indica la figura, el módulo de la aceleración de aquél es 6m ls*. ¿Para qué coeficiente de rozamiento entre los bordes del carrete y el suelo se deslizará el carrete sin rodar? (R = 4 r). A) OJO B) 0,20 C) 0,25 D) 0,30 E) 0,40 El bloque de masa m se ubica sobre la plataforma rígidamente unida al eje que rota. Señale la proposición incorrecta. A) Si ú) -cte y no hay fricción , entonces m no gira. B) Si ío -cte, ni tiende a s a lir r a d ia lm e n te cuando hay fricción. C)Si a) aumenta, m tiende a salir radial y tangencialmente cuando hay fricción. D) Si m disminuye, ni tratará de abandonar la plataforma en la dirección radial y tangencial. E) Si a) aumenta, la fuerza de rozamiento estático disminuye y su dirección será radial. @ ) El sistema mostrado rota con rapidez angular constante debido al motor. Si de repente el balde con agua so raja, entonces: I) La rapidez angular del balde aumenta. II)E \ módulo de la tensión en la

o) =cte

A) 5radls B)10 rad/s C)15rad\s D) 20rad/s E)25 rad/s

m o to r

Luego, son afirm aciones verdaderas: A) I I I B) sólo I C) sólo I I D) I , I I E) ninguna @ > Se muestra una barra rígida y homogénea de longitud L, la cual en su punto medio lleva una pequeña argolla de masa m. *Si el extremo inferior de la barra se traslada con velocidad constante v; ¿qué fuerza ejerce la argolla sobre la barra, en el instante mostrado? A\

A)m

[g ~ i i ^ 30}

V B)m\g + j^ S e c 30 C)m g +

v 2L.

(sSi) El sistema que se muestra rota con rapidez angular constante
16° 3T 53° 60° 74°

l t

(£?)En la figura se muestra un sistema rotado en forma uniforme. Si el resorte de 45cm de longitud natural se encuentra deformado lOcm ¿qué valor máximo toma o

@ ) Se muestra un collarín, unido a un sistema que rota con rapidez angular constante. El resorte está deformado 0,5cm. Si lentamente duplicamos la rapidez angular, ¿qué deformación presentará ahora el resorte? A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm

2 .5 m

@ )U n niño de 25kg se desliza sobre una superficie esférica, pasando por P con una rapidez de 4mis. Determine en ese instante el módulo de su aceleración (g=10m/s2; R = 4m). A) 2 m/s2 II) 2\¡5 m/s2 C) 4 m/s2 D) 4^2 m/s2 E) 5 m/s2 Determine el módulo de o , si el cilindro que gira con rapidez angular constante está a punto de deslizar (ni = 4kg ; p9= 0,5 y g =10 m/s2). A) 1 rad/s B) 1,2 rad/s C) 1,8 rad/s D) 2 rad/s E) 4 rad/s

-#

M *

(57)A1 dejar en libertad el sistema de dos bloques A y B, el movimiento de B se representa mediante la gráfica ( y - i ) . Si el bloque A es de

\ F M S ÍM € ^ 5kg; ¿qué masa tiene B? (Considere polea ideal y g = 10m!s2)

E

(M = 4 m ; K = 2r = 0,5 m). 20 A)a> <, n ¡i _ 3 B)e> = C)a£

B A) 2 kg D) 6 kg

IA EKVH'j.ofMcmA 2012}

T5 3 8 IH 5

M

- i R

D) cú <,

B)4 kg E)6,5 kg

C)5 kg

La barra doblada rota en un plano horizontal con rapidez angular constante. Si el collarín de 100g no desliza respecto de la barra lisa; determine a). El resorte es de 15cm de longitud natural y se encuentra comprimido 5cm. Además K=100Nlm .

V7 s Si el ascensor que se muestra asciende verticalmente con 5m/s2. determine la lectura del dinamómetro ideal (m = 2kg y g = 10 m/s2)

livianos como indica la figura. Entonces podemos afirmar que; A ) si cortamos el hilo 1,P cae con a=g. B ) si cortamos el h ilo 2,Q cae con a = 2g. C ) si cortam os el hilo 2, la tensión en 1 disminuye en mg/2. iQ / ^ D) si cortamos el hilo 1, en ese instante*la fuerza resultante sobre P es 2 mg. E) si cortamos el hilo 1, la tensión en 2 en ese instante se hace cero. @ )¿E n qué caso la cuerda ideal que une los bloques soporta mayor tensión? Desprecie la fricción y considere F > 2mg. (g: aceleración de la gravedad). F

A) 100 N B) 80 N C )5 5 N D)110 N E) 90 N I" 1 I11I

C) í o j í d rad¡s E )2 0 j2 rad/s

D)20 rad/s

Sobre la superficie interna de una esfera hueca de 2,5 m de radio que rota con una rapidez angular mínima de J s rad/s, se halla un pequeño bloque. Determine los valores de io de manera que el bloque no resbale. (g =10 m/s2)

El coche se mueve hacia la derecha con aceleración de 20m/s2. el bloque de I k g no se mueve respecto de él y mantiene tensas las cuerdas. La relación de tensiones en la cuerda ( l ) y ( 2)es:(g=lQg¡t/ss) A )T ~ T S B )T = 2 T 2 C )T = 3 T 2 n > T,= 4 T, C g E )T = 5 T S

— V 17 D ) S <.úi< J35

@)E1 bloque es abandonado en A en el instante que el coche empieza a acelerar hacia la derecha. ¿Con qué velocidad respecto al coche el bloque pasa por B? (superficies lisas). 9J A )j7 g

E)4E ÜO < y¡55

B )2 f f g

A)4E
B) 4s i a ¿ y 17 C)yf5 <
En la figura el sistema rota con una velocidad angular
(!!!) A) En (I) fí) En (II) C) En (III) D) En (II) y (U l) E ) En todos los casos la tensión en la cuerda tiene el mismo valor.

(¡láve 1)1)'w w 1)B 5)f 6)B¡Í)D su t e 10)1 m im ím 11)1! 1,5)0 m/t ¡í)f M)115)1 m

'CLAVESDEJA SEGCm PRlCTlCí] di

í j f t e i w W M 7)C S)f 0)8 10)0

11)0 !í )('j;¡).i iljDiíiK Í0)Bm m 15)0m

(CLAVES1)E LATÉRCERX PRlCTICá] 1)1 ¿¡II fljl)¡í)l 5)£ fi)W¡7)0 ¡0)1 ¡9)£ll5K

iirM m W M i0)0 i/)i m 19)050)0 ( UVES HE U (TARTAVlíXCTICA i)i:n \ ^.íiíjiií))) (i)C 7)0 S)K^)C ¡W ll)|1);,]llj:!)¡j;)l)D).i)í) i6)f 17)0.15)0; I5)0|!0)i

E )2 jg @ )D os esferas P y Q idénticas, de masa m , se suspenden de hilos muy

!1)C[Í¿)0Í¡)£ m ¿5)1

Ifefej 539 j E

OBJETIVOS :

K lW C IO iV f J á i R t B i i X O S )

Fn

Reconocer e interpretar las fuerzas que ofrecen resistencia al resbalamiento de un cuerpo, cuando éste se encuentra en contacto con una superficie.

INTRODUCCIÓN Z

Movimiento Quando el bloque se _ mueve,el rozamiento F . ^ que actúa sobre él recibe el nombre de ------------ *— fuerza de fricción cinética. . .

"Una persona al intentar desplazar un paquete que se encuentra sobre una superficie horizontal, tal como se muestra". v

=

*

o

í

Como podemos observar al tirar el joven de la cuerda, el bloque no logra deslizar, pero ¿quién impide que el bloque deslice? Para ello observamos que el bloque tan sólo se encuentra en contacto con el piso, entonces examinemos con mayor detalle que ocurre entre ambas superficies. Al examinar las superficies en contacto observamos que presentan pequeñas grietas o irregularidades, debido a ello a estas superficies se denominan : "Superficies ásperas o rugosas

.. J

Al intentar deslizar el bloque sobre el piso, las grietas se engranan o atascan entre sí, dando origen a pequeñas fuerzas, las cuales las hemos representado separando imaginariamente las superficies en contacto. FT " »

Al caminar (o correr), una persona empuja el suelo con sus pies, hacia atrás. Una fuerza de fricción se ejerce entonces por el suelo sobre la persona empujándola hacia delante. De modo que en una superficie sin rozamiento ninguna persona podría caminar.

f

V^A) ■ _ N

— **>

Al pisar el acelerador, las ruedas de tracción (en la figura, las delanteras) comienzan a girar, empujando el suelo hacia atrás. En virtud de la fricción, el suelo reacciona sobre las ruedas empujando ai auto hacia adelante. Luego, es gracias a la fricción que un auto pueda moverse. Un autobús estacionado en una calle inclinada no se desliza gracias a la fricción entre el suelo y las ruedas . Entonces, si no existiese el rozamiento, sería imposible estacionario en la forma que se observa en la figura (autobús).

%

3® Separando imaginariamente o las superficies en contacto

•Gracias al movimiento podemos escribir en la pizarra. * La fricción cinética es necesaria para encender un cerillo. • Si no existiera rozamiento los clavos y los tomillos

'‘ IW 2

U E x c tf 'M.ai*i:i>L\ 2012}

saldrían de las paredes, no podríamos sujetar nada con las manos.

* Sin el rozamiento los sonidos no dejarían nunca de oírse y producirían ecos sin fin que se reflejarían en tas paredes sin debilitarse. * Los atletas emplean zapatos especiales para aumentar la fricción estática y lograr mayores velocidades. * Cuando una persona camina hacia delante impulsa uno de sus pies hacia atrás, por tal razón la fuerza de rozamiento es también hacia adelante. Imagine Ud. caminando sobre una plataforma de hielo (donde el rozamiento es pequeño).

La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro en una fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe el nombre de rozamiento. Las superficies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre otro no es normal a dicha superficie de contacto. Si se descompone la reacción (F R) en dos componentes, una perpendicular ( F s) y otra tangente a la superficie de contacto, la componente tangencial (f) a dicha superficie se denomina fuerza de fricción o rozamiento.

Aspero b lo q u e

* Si el pavimento fuese liso, el auto no podría dar la vuelta en la curva. Recuerde Ud. cuando realiza la misma experiencia a gran velocidad, seguramente su cuerpo tratará de seguir en línea recta al igual que el móvil (principio de la inercia); sin embargo Ud. podrá realizar la curva gracias a las fuerzas de rozamiento entre el pavimento y las llantas.

En consecuencia, los diagramas del cuerpo libre para problemas donde interviene el rozamiento son los mismos que para aquellos en que La superficie en contacto i n t e r v i e n e n presentan irregularidad

~

.

(miCToscópícamcnte) superficies lisas, J salvo que ha de incluirse una fuerza de rozamiento tangente a la superficie de contacto.

* Muchas veces el roce entre dos cuerpos puede producir calor debido al incremento de temperatura en ambos cuerpos. * Las montañas o cerros son producto de un proceso geológico; sin embargo no se puede negar que sus pendientes están limitados por el coeficiente de rozamiento estático máximo (p j que hay entre sus componentes.

ROZAM UW TO Fuerza que surge cuando la superficie rugosa de un cuerpo, intenta deslizarse sobre la superficie rugosa de otro cuerpo. Esta fuerza es independiente de las áreas de las superficies en contacto y siempre se oponen al deslizamiento o posible deslizamiento de los cuerpos.

AV—

Donde:

r

f ; F U E R Z A B E R O Z A M IE N T O Es aquella fuerza que surge entre dos superficies ásperas y se opone al deslizamiento o tendencia de deslizamiento entre dichas superficies, se gráfica tangencialmente a las superficies de contacto. F NZ F U E R Z A N O R M A L Es aquella fuerza que surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otros. Siempre se gráfica

m u c u tx K S

541

perpendicularmente a las superficies en contacto. F U E R Z A D E R E A C C IÓ N

En consecuencia: • Es más fácil hacer deslizar un bloque de hierro sobre una superficie de vidrio que sobre una superficie de madera y ello se debe exclusivamente a la naturaleza de las superficies. En consecuencia vamos a caracterizar el grado de aspereza que existe entre dos superficies en contacto por medio de una cantidad adimensional conocida como “ coeficien te de razonam iento típ icos H '

*.

Acero sobre acero (seco)

C L A S E S D E R O Z A M IE N T O

A ) ROZAM IENTO E STÁTIC O ( f s ) l Cuando no hay movimiento relativo entre los cuerpos en contacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan com o si fueran uno sólo, oponiéndose a cualquier intenta dé movimiento relativo. En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es exactamente suficiente para mantener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo. - v- P O R E JE M P LO : * Cuando el cuerpo intenta reabqji^éobre una '• > ' .iir *.1 >s.\Xry' superficie:

"coeficiente de rozam iento ( ¿j ) ”

-

v=o

V=0

0 ,6 0

0,40

0 ,1 0

1e

0,04

0,04

Acero sobro met al blanco (secol

0 ,4 0

0 ,3 0

Acero sobro metal blanco (engrasado J

0,10

0 ,0 7

Latón sobre acero (seco)

0 ,5 0

0 ,4 0

Forro de frenos sobre hierro de

0 ,4 0

0 ,30

0 ,9

0 ,80

fundición

0 ,2 0

0 ,15

0 ,3 0

0 ,20

m

0,02

1 ,10

0,13

(seco) Qjerdadgcáñamo sobre metal Metal sobre hielo' Níquel sobre níquel

.-ió>e

afe A• • ■ • 9 m

m m m r n

v-x

«(Pv m

9 9

m 9

i

Si aumentamos lentamente el ángulo notaremos que el bloque tendrá mayor tendencia a resbalar y como no lo hace, implica que " f " ha aumentado

Imé*

su valor para evitar que el bloque resbale; entonces, la fuerza de rozamiento estático puede variar su módulo, tal que:

o z f a z f sm a x

liso (seco) Cuerda metálica sobre polea de hiern

• • • Vb

0 ,05

Teílón sobre acero

Neumático de goma sobre pavimento

v=o

Estático Cinético (MIí) ;
Acero sobre cuero tengrasadnj

M

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:

Es la resultante entre la fuerza de rozamiento y la fuerza de reacción normal.

Superficies en con tacto

k u is iñ o

* Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es una fuerza regulable o variable alcanzando un valor máximo o límite, el cual depende de la normal y de la aspereza de la superficie en contacto. • La ”f$" es máxima cuando el cuerpo está a punto de resbalar (mov. inminente) y se cumple que es propor­ cional a F v, donde:

F U E R Z A D E R O Z A M IE N T O E N S E C O (fr) Es aquella fuerza que se manifiesta cuando un cuerpo trata de moverse o se mueve a través de una superficie sólida y rugosa; oponiéndose a su deslizamiento o

fl 8 : coeficiente de rozamiento estático. Ó : ángulo de rozamiento estático.

B ) RAZONAJIIENTO CINÉTICO ( f k ) .* Se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en movimiento relativo. La fuerza de rozam iento es constante y prácticamente independiente del valor de la velocidad relativa.

Urania

ÍA

• Cuando un cuerpo resbala sobre una superficie:

E X C U 'j w

m

i

A 20 12}

• Esta fuerza máxima es independiente del tamaño de la superficie de contacto. • L a fuerza lím ite de rozam iento estático es m a­ yor que la fuerza de rozamiento cinético, siem­ pre que actúe la misma fuerza normal.

. t e « ............. a : . . . . E JE M P LO : * Cuando el cuerpo resbala en una superficie plana, el módulo de la fuerza de rozamiento cinético es cons­ tante y proporcional a F v donde:

ftk : coeficiente de rozamiento cinético. a : ángulo de rozamiento cinético.

• E l coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático. (pk
N O TA :

• »//¿"es .. <» aproximadamente 25% más pequeño que

Para que las superficies en contacto logren deslizar, algunas de las pequeñas grietas se deben quebrantar y ello ocasiona un desgaste entre las superficies en contacto, como consecuencia disminuye el grado de aspereza cuando las superficies deslizan entre sí.

* La fuerza de reacción ( f r ), es el vector resultante de la fuerza de rozamiento y la fuerza normal.

M*>Mk

(V=0)

V ■ Á wfl■■kó 'lie».*,<*O **■ ~1 ■F¿ = F l + ~fr : donde é : ángulo de fricción. // : coeficiente de rozamiento • Además :

(Propiedad)

o

L E Y E S D E R O Z A M IE N T O Los resultados de un gran número de experiencias sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas por COULOMB en 1781, proporcionaron las primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento, obteniéndose las siguientes leyes: • L a fuerza m áxim a de rozamiento que puede producirse es proporcional a la fuerza norm al entre las superficies en contacto•

• Cuando el bloque está a punto de moverse: (Propiedad) * Donde:

: ángulo de rozamiento estático

Cuando el bloque está en movimiento.

E 1H V J O X E S M ltl-iO S )

F►

EJERCICIO : * Indicar la dirección del rozamiento:

o

::

I)

fr=f> (Propiedad) • Donde: j k: ángulo de rozamiento cinético.

n i) $a >
LECTURA ,

t

la fuerza de

El rozam iento entre dos superficies en contacto ha sido aprovechado por nuestros antepasados más remotos para hacer fuego frotando maderas. En nuestra época, el rozamiento tiene una gran Importancia económica, se estima que si se le prestase mayor atención se podría ahorrar muchísima energía y recursos económicos.

* El rozamiento (f) y la normal son las componentes de la reacción total (F R) del contacto rugoso, es decir, que y "Fx" constituyen una sola fuerza ”F R*.

Históricam ente, el estudio del rozam iento com ienza con Leonardo da Vinci que dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana. Sin embargo, este estudio pasó desapercibido.

P L A N O IN C LIN A D O R U G O S O

En el siglo XVII Guillaume Amontons, físico francés, redescubrió las leyes del rozamiento estudiando el deslizamiento seco de dos superficies planas. Las conclusiones de Amontons son esencialmente las que estudiam os en los libros de Física General:

* NO confundir"//" (rugosidad) con fricción.

A ) C A S O B E L B L O Q U E g í T B E S C iE X B E :

* La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de un bloque que desliza sobre un plano. * La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque. •La fuerza de rozamiento no depende del área aparente de contacto. El científico francés Coulomb añadió una propiedad más * Una vez empezado el movimiento, ia fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad.

U ) CASO

B EL BLO Q UE

* El bloque desacelera con: n=o

Q IE

A S C IE N D E ;

La mayoría de las suporficies, aún las que se consideran pulidas son extremadamente rugosas a escala microscópica. Los picos de las dos superficies que se ponen en contacto determinan el ¿rea real de contacto que es una pequeña proporción del área aparente de contacto (el área de la base del bloque). El área real de contacto aumenta cuando aumenta la presión (la fuerza normal) ya que los picos se deforman. Los metales tienden a soldarse en frío, debido a las fuerzas de atracción que ligan a las moléculas de una superficie con las moléculas de la otra. Estas soldaduras tienen que romperse para que el deslizamiento se presente. Además, existe siempre la incrustación de los picos con los valles. Este es el origen del rozamiento estático. Cuando ei bloque desliza sobre el plano, las soldaduras en frío se rompen y se rehacen constantemente. Pero la cantidad de soldaduras que haya en cualquier momento se reduce por debajo del valor estático, de modo que el coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.

I

Finalmente, la presencia de aceite o de grasa en las superficies en contacto evita las soldaduras al revestirlas de un material inerte.

U F J T S iM IZ S * .

B

m

* M 531

IA

EiXCi* x o i 'Z i H A 20 12}

t

t

PROBLEM A 1 : Determinar la reacción total de la superficie áspera sobre el bloque de peso 8N , si está a punto de resbalar. (M. = 0,8).

h

m i íti2 PROBLEM A 3 :

IV )

Determinar la aceleración

del

bloque sobre el plano inclinado áspero:^ pk= 0,5\m =5kg;g=1 Om/s*)

’ . .1 A )7 N B ) 8N D ) j 4¡ N E )3 N R E S O L U C IÓ N :

C ) 447 N

* Haciendo el D.C.L.: * ZFx = 0z*4k = ii,FN -+4k = (0,8)FN -* Fn = 5 k .............. (I)

D) 6 mis2 E)1 mis2 R E S O L U C IÓ N :

8N\3k i)

p

T

KM

* Realizando el D.C.L. * De: £ Fy = 0 Fs = 40N

F E= k x

Sx

fr

F .= W

* De:zFy = 0 -> 3k + F N=8 -+3k + 5k = 8 -+ k = 1 Pero: FR =

s r\4 0 N

+ f¿2'ma:r t.: f j 3 r __ 50N

-*F R = Fn J jj* + 1 = 5 (1 )4 0 ,8 )* + 1 = J4ÍN

* Por la 2da Ley de Newton:

RPTA : “D ”

FR = ma -+80 - 3 0 - pxFN = 5a -+80 - 3 0 - (0,5)40 = 5a

PROBLEM A 2 : Realizar el D.C.L. en cada caso: I) Bloque "A”:

-+ a = 6 mis2 RPTA ; "D ” PROBLEM A 4 : mAg

U ) Del cilindro, si está a punto de subir. wp

IV )

Sobre un bloque de 2kg que se encuentra en reposo en una superficie horizontal, se ejerce una fuerza J? horizontal cuyo módulo depende del tiempo según F = (4 t+ 2 0 )N

IB ) Bloqueé,si está descendiendo.

(t en segundos).

Determine el módulo de la aceleración del bloque cuando ha transcurrido 5s de haber ejercido

E IH C IO X E S K IJH IX O S l

[Mt49XS%J+WWtCWnÍ p . Considere ¿¿¡1= 0,5 ; g = 10m!s2 A)8 m/ss B)7 m/s2 D)2 m/s* E)1 m/s* R E S O L U C IÓ N :

* Horizontalraente: fs(maX) * Fx

C)15 m/s2

10,5N > 5 j3 N •Por tanto, el W sen a

* Luego de haber, analizado las fuerzas sobre el bloque en el instante t = 5st tenemos:

-> a = 15 m/s2

_ _ R PTA : "C ”

PROBLEM A 5 : La figura muestra un bloque de masa m sobre un plano inclinado. El bloque esta sujeto por una cuerda para no caer por el plano. Busque el enunciado correcto:

W * Entre el bloque y el plano inclinado existe lo que se denomina posible deslizamiento (el bloque tiende a deslizar sobre el plano, hacia abajo), la cuerda y la fricción estática impiden que este deslice hacia abajo (suponiendo que la componente del peso "WSena" sea mayor que la fricción estática ”f j ) ; entonces del equilibrio: £ Fx= 0 -> T+f,= W S en a -► T = W S e n a - f .

* La tensión sería mayor si nó hubiese rozamiento entre el bloque y el plano" RPTA : “B ” PROBLEM A 6 :

Un bloque es presionado contra una pared vertical mediante una fuerza de 20N , como se indica en la figura, en donde 0=45°. El coeficiente de fricción estático entre el;bloqúe y la pared es 1J> El máximo peso, en N y que puede tener el bloque para permanecer en equilibrio es: A) 5

F

B)5\Í2 C)543 D)10 e ) s 4E R E S O L, U C IÓ N : • Haciendo el D.C.L 20N

• Como el bloque está en equilibrio (P = l,5 ): W + FSen45°= p(FCo845°)

B)4yf3N C )5 -j3 N

m f... |

D) 6\Í3N

W + 20N f y

R E S O L U C IÓ N :

W = 5 j2 N

* Realizando el D.C.L.: Fy=6M „ -

m

=>

í °iN\

{ l,5)20N [ ^

)

R P T A : “B

PROBLEM A 8 :

F

=

F

f

i

Fk

R E S O L U C IÓ N : * Efectuemos el D.C.L. del bloque que esta descansando sobre el plano inclinado y consideremos que existe rozamiento.

se

Calcule la fuerza de rozamiento que se genera entre el bloque de 10 kg de masa y el piso, cuando se le aplica la fuerza F de IO N como se indica en la figura. Considere el coeficiente estático de fricción igual a 0,1 el coeficiente cinético o de fricción igual a 0,05. (g = lOm fs2) A ) 2\Í3N

A)La tensión es independiente de si existe o no rozamiento. B)La tensión es mayor cuando no hay rozamiento entre el bloque y el plano. C)La tensión es mayor cuando hay rozamiento entre el bloque y el plano. D)La tensión es mayor que el peso del bloque. EJNinguna de las anteriores.

no

moverá.Z F X =0 => Fk= 5sÍ3N RPTA : “ C” PROBLEM A 7:

i Ft = 2 0 N

• Como el bloque experimenta aceleración debido a las fuerzas sobre él, usamos la 2da Ley de Newton. F r =ma -> 4 0 - fk = ma ~ > 4 0 -p kxFN =ma - » 40-0,5x20 =2a

bloque

F x = 5 N + 100 N = 105 N * Fuerza máxima con rozamiento estático. fsinuvcñUsFx =0,1(105N) = 10,5N

Un ladrillo de masa m es lanzado horizontal sobre una superficie horizontal con una rapidez de lO m fs. Si entre el ladrillo y la superficie el coeficiente de rozam iento cinético, es 0,4 ; determ ine el módulo de la aceleración del movimiento de dicho ladrillo (g = 10 mis3).

1A

URSS B 4 6 1

A)2 mía1 B)3 mfa2 D)1 mía2 E)3 mía2 R E S O L U C IÓ N : •Graficando tenemos:

lo

C)4 mía2

que

sucede,

lOm/a

* Notamos que el ladrillo experimenta un movimiento desacelerado debido a las asperezas. Luego, graficando las fuerzas sobre el ladrillo, durante el movimiento.

la aplicación de una misma fuerza horizontal; entonces los bloques opondrán una resistencia debido a la fricción, tal que: A)re 8Íatencia 4 > resistencia 1 B)reaiatencia 2 > resistencia 3 C)resistencial =resi*tencia2 Y reaistencia2 < resistencia 4 Djreaistencia 2 = resistencia 3 Y resistencia 3 > resistencia 1 E)Ninguna de las anteriores.

->

fu = ma -> Mk^N ~ ma

-¥ a = pkg = 0,4 x 10 -> a = 4 mfa

O JO : Como la F r = fk es constante, la aceleración también es constante, es además trayectoria recta, por consiguiente se trata de un M.R.U.V R PTA : “ C " PROBLEM A 9 : Se tiene 4 bloques de madera con una masa de lO kg cada uno, pero de diferentes áreas de base y alturas, que reposan sobre una superficie horizontal de vidrio. (Ver figura)

-$ 4

Si se pone en movimiento horizontal a cada bloque mediante

'j

-i

F - f = 0 ~+f=F=10N RPTA : “A ” P R O B L E M A 11

La fuerza que actúa sobre el bloque será (en Newtons). (g = aceleración de la gravedad) A) Falta conocer el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el carrito. B) 6 g 05 D ) 1,2 E ) 6N

Fuerza de fricción

F H= R e a c c ió n

* Cuando el bloque está a punto de deslizar se cumple que; ”fa" es máxima y su valor es directamente proporcional a la normal "Fv". f. •La f,,maxJ sólo depende de la normal "Fv" y de m p f t o sea del coeficiente de rozamiento estático el cual es una característica de las superficies ásperas en contacto, luego no depende del área de las superficies ásperas en contacto: concluimos entonces que: Reaiatf1) = Resist(2) = Reaist(3) = Resist(4) RPTA ; “E ” P R O B L E M A 10 : Se requiere de una fuerza horizontal de IO N para desplazar una caja de 3kg de masa sobre un piso horizontal a una velocidad constante de 0,20 mis. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que se opone al movimiento de la caja, (en Newtons)? A)10 BJ15 C)20 R E S O L U C IÓ N :

3

—

• Recordando la teoría del roza­ miento se tiene que: W

to ta l

• Aplicando la 2da Ley de Newton F r = ma

F = 1 0 N r.

R E S O L U C IÓ N :

Fs = R e a c c ió n n orm al

•fk es la fuerza resultante sobre el cuerpo y ella causará la aceleración.

* Entonces:

Un carrito se desplaza (con respecto a Tierra) con aceleración de 5m/8* hacia la derecha. Sobre él reposa un bloque de 1J2 kg de masa.

a

• Como el cuerpo se traslada horizontalmente las fuerzas verticales se equilibran. -+ FN = m g

Rycffxoffc'»M 2012]

D)30

* Si la velocidad es constante, el cuerpo se encuentra en equilibrio. (a = 0):

R E S O L U C IÓ N : • Analizando al sistema "carrito bloque" se tiene: a i

1um

$?... M

* Observamos que el bloque de masa m no desliza sobre el carrito debido a que entre ellos existe rozamiento estático, si no hubiese rozamiento entonces por inercia el bloque se quedaría fijo con respecto a Tierra y deslizaría sobre la parte superior del carrito, entonces efectuemos el D.C.L. del bloque: mg a t ■

f

* Entonces: Fr«, = ma

f /T n

-> f . = ma

Reemplazando valores: f , = l ¿ * 5 = 6N R P T A : “E "

547 P R O B L E M A 12 : Un pequeño bloque de masa m desciende por el perímetro de un aro vertical de radio R fijo a tierra. Considerando el instante en que el bloque pasa por el punto A y respecto a un observador fijo a tierra, ¿cuál de los siguientes diagramas de cuerpo libre representa correctamente las fuerzas que actúan sobre el bloque?

E D IC IO N E S niJB M X oS i

P R O B L E M A 13 : Un bloque de Ik g de masa está en reposo sobre una superficie horizontal que tiene coeficiente de rozamiento estático = 0,3 y cinético /jk= 0,2. Se aplica al bloque una fuerza j ? ,paralela a la superficie cuya magnitud varía en el tiempo en 8, como se muestra en la gráfica. (g=9,8 m/s3). Entonces el tiempo en s, que transcurre desde que se aplica la fuerzajphasta que el bloque comienza a moverse es: F (N )

Fm

10 \Fr E) X j

A)l,63 B)2,45 D)5f25 E)7,50 R E S O L U C IÓ N :

\mg |

RPTA

fB

* ÍD ’ t

PROBLEM A 14: Desde la posición indicada en la figura se deja deslizar un bloque, si éste llega al punto "Fmeñ 2s, diga cuál es el coeficiente de rozamiento cinético para las superficies en contacto (g —10 m!s2).

8m A)0,125 B)0,25 00,75 D)1 E)0,33 * Efectuemos el D.C.L. en una posición intermedia:

Ft : Fuerza centrífuga Fe : fuerza de centrípeta • Al aplicarle la fuerza ~p sobre el bloque, este inmediatamente no desliza, debido a que la superficie con la cual está en contacto es rugosa. Para que pueda deslizar, se debe superar el valor de la fuerza de rozamiento estático máximo

R E S O L U C IÓ N :

? mg

* La fuerza centrífuga no actúa sobre el bloque.

F F =V*mg -+ F = (0,3)(9,8) = 2,94N m g = 9 ,8 N

f N

donde la normal N es igual a la fuerza centrífuga Ft RPTA : “E ”

8m

Fre, - ma mgSen37° - fk = ma mgSen37° - pkmgCos37° = ma a = g(Sen37° - pkCos37°) (I) • Además como parte del reposo se cumple que:

6'

es:

• Se sabe que:

* En el movimiento inminente:

* El D.C.L. del bloque es:

•El D.C.L. para la superficie

5

R E S O L U C IÓ N :

f ; Fuerza de de fricción

* Como la fuerza f centrípeta es la suma de todas las fuerzas radiales N___ que actúan sobre el bloque, entonces no es una fuerza propiamente dicha.

2,45s

t(s ) C)2,75

• Según el enunciado se tiene:

N : Componente

2,94

2

N

• Para que la fuerza adquiera este valor debe transcurrir un cierto tiempo t, de acuerdo a la gráfica:

* En (I): 5 =

a = 5m/s2

\ F W S iM d A 5 = 6- 8/ik gk =0,125 R PTA : “A ” P R O B L E M A 15 :

L í i:.\t'i4 j .o i ’i:in A 2012)

E w » IB R E S O L U C IÓ N :

I ) Cuando la fuerza es máxima -►Fmajc= mgSena +pN

R E S O L U C IÓ N : * Graficando las fuerzas sobre el cuerpo.

Un bloque de IO N se coloca sobre un plano inclinado a 53°. Si la fricción es de 2N, ¿con qué fuerza horizontal se deberá empujar al bloque para que éste se deslice hacia abajo del plano con velocidad constante? A)2N B)5N C)7t5N D ) 8N EJIO N

Donde: N = mgCosa

R E S O L U C IÓ N :

* Entonces:

* El D.C.L. del bloque es:

Fmax=U 0)<10) ^ + ( 0J )( 10)( 10) ^ j =68

* De la Ir a condición de equilibrio £ F = 0.

I I )Cuando la fuerza es mínima: F min ~ mgSena - p N N

* En el eje x*’: ZF x=0 -=¿>TCosO + ff= mgSen$............(I) * En el eje y': TFy = 0

mgcosa * Cuando el bloque deslice hacia abajo con velocidad constante, éste se encontrará en equilibrio. E n 1on ces:

I ' F dh'ección d el

“ 0

m ovim iento

* Del gráfico: WSen53° - f - FSen3T=0 * Luego, despejando F : W S q f f W = 10(415) - g S en 3 7 °

3/5

RPTA : “E ” P R O B L E M A 16 : En el plano inclinado AB se apoya una caja de 1Okg de masa. A fin de mantenerla en equilibrio se aplica una fuerza F paralela al plano inclinado. Las superficies presentan un coeficiente de rozam iento g = 0 ,l. En estas condiciones, ¿en qué intervalo de valores debe variar la magnitud de la fuerza F , en Newtons, a fin de mantener el estado de equilibrio? A)25
^ mgCosO + TSen0 = N .......(II) * De la 2da condición de equilibrio Z M o= 0

Donde: N = mgCosa * Entonces: Fmim= (1 0 )(1 0 )¡^ y < 0 ,l)(1 0 )(1 0 )[í^ = S 2

•En consecuencia, de los resultados obtenidos se deduce que: 52 < F <68 RPTA : “C ” P R O B L E M A 17 : Un cilindro de masa m descansa en equilibrio sobre un plano inclinado. Una cuerda horizontal une el punto más alto del cilindro con el plano inclinado. La fuerza de fricción entre el cilindro y el plano tiene entonces el siguiente valor: T

ff R = T R - + f f = T

* Reemplazando la ecuación (II I) en la ecuación (I). ffCosQ + ff = ingSenO f _ mgSenO Operando : fr - ¿ ^ R P T A : “C

En la figura se muestra una estructura equilátera rígida y fija formada por tres planos, uno de ellos horizontal. Las masas A y B son iguales y están unidas por una cuerda inextensible y muy liviana. Determ inar el coeficiente de rozam iento mínimo entre los bloques y la estructura para que ambos bloques permanezcan en equilibrio. :^ B)j3

C) J3 2

7+ í W

{

|B iN C o ^ O m g i J ü * - \ SenO ) ' ° \ 1 + Cob0 )

D )m gS en 0

E )N (1 + CosO)

99

P R O B L E M A 18 :

Á )7s

A )N

(III)

D)

2

73

E )t

E D IC IO N E S t i l HUNOS] R E S O L U C IÓ N :

P R O B L E M A 19 :

• Como nos piden el coeficiente de rozamiento esto es posible calcularlo cuando los bloques están a punto de resbalar, allí se manifiesta f,lmax) ■

Se jala un bloque de masa de 4kg apoyado sobre una superficie horizontal rugosa (coeficientes de fricción estático y dinámico 0,2 y 0,1 respectivamente) aplicando una fuerza horizontal de magnitud igual a 9 Newtons. En estas condiciones, ¿cuánto valdrá el ángulo que forman la reacción total del plano sobre el bloque con la línea normal al plano horizontal? (tome g = 10 mis2).

A)0 B)0,2 C)0,4 D ) 0,6 E)0,8 R E S O L U C IÓ N : • Se tiene los casos siguientes: W =50N

F=0 r. ,

50N

A)Tg~l(0,l) B )Tg -'(0 ¿ ) C )Tg-¡(0,3) D) x/4 E ) x/2 R E S O L U C IÓ N : • Considerando que el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es el mismo (p j-

• Efectuemos el D.C.L. del bloque cuando está sometido a la acción de la fuerza horizontal ”F \

* Si tratamos de mover el bloque (jalando el resorte). W=50N

4s\ >

s'

F>0

fs > 0

(A )r _

F N=50N • Luego:

fssmajc(l)

'N l

fuerza de fricción cinética y de la fricción estática máxima.

* Calculemos pB:

Luego : N = peso — mg

* Para bloque A:

Cuando el cuerpo está a punto de resbalar, el resorte está estirado : x = 0p20rn. W=50N

—> N = 4 x 1 0 - 4 0 N e w to n s

•Pero: FN¡ = m g

(delequilibrio

* También del equilibrio del bloque:

* Luego: T = pBm g ............... (I)

* Como: F = 9 Newtons, es mayor que la fafmax): entonces se deduce que el bloque desliza y la fricción es cinética, luego: f = f k

* Para el bloque B :

•Finalmentedel D.C.L.: Tga. =

9 M O X ¡

m

T + f , = mgSen60°................ ( I I ) * También : PnF l 2* pero: t smax(2) = r~ *~ N F K2 — mgCos60° “ ►FMmax{2) = //, (mgCos60°)..MII) • (I) y (III) en ( I I ) : P,

+ / J, y^gC oaG O 0 ~ ^ n g S e n 6 0 °

* Resolviendo: P» = RPTA ; "A ”

= 0 ,1

x 40=4

=> Tga = ± - = 0 ,1 40

* EL

del bloque). => ftmax = y.,mg

T = /f A

K

-*■ f,(m a xñ p » N = 0 , 2 x 4 0 = 8 N e w to n s

—» fk= p.k N

%

.

Bloque en reposo (no se jala el resorte)

mg

V=0

- '

N e w to n s

f_ N

= Tg~l(0,l) RPTA : “A ”

a(niiix)

F S=50N * En esta situación, próxima al res­ balamiento planteamos: £ F (-> ) = £ F ( « - ) —>F e —f s(máx)

200(0,20) = p8(50)

ps =0,8 R P T A : “E ”

P R O B L E M A 20 : El bloque de la figura tiene una masa de 5kg\ la constante del resorte es de 200Nlm. El máximo estiramiento que se puede dar al resorte sin que el bloque se mueva es de 20cm el coeficiente de fricción estático entre el bloque y el piso es entonces: (g =10 m/s2).

K x — p ,FN

P R O B L E M A 21 : Un bloque de dimensiones 0,40m x 0,40 m x 0,60 m y peso IV se coloca sobre un plano inclinado rugoso con (coeficientes de fricción estático y dinámico 0,80 y 0,70, respectivam ente). En estas condiciones el bloque tenderá a:

B íg g o M ü 0,4m

A)Deslizarse con aceleración igual g/2 BjDeslizarse con aceleración igual g¡3 C)Deslizarse con aceleración igual gi4 D )N o se d e sliza rá , pero se volcará, E) No se deslizará ni se volcará,

L A E X í'§ t

PROBLEM A 22 :

R E S O L U C IÓ N :

El bloque de 5kg se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado, tal como se indica. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque. (g=10 mis2). 4.

^Hagamos una separación imaginaria de los cuerpos:

* Analizando al bloque A : A )1 0 N B ) 2 0 N C ) 3 0 N D ) 4 0 N E ) 5 N

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

* En el plano inclinado propuesto. p8= 0,80 , pk =0,70 TgO = 314 =0,75

* Como el bloque de 5 k g se encuentra en equilibrio JOF = 0Descomponiendo con venientemente a "mg".

0,4

mg

* Comparando

37° * Paralelo al plano:

y TgO se tiene

R 3R

r

3 0 = 2 0 + fa = > f,= 1 0 N RPTA : “A ”

Un bloque "A" liso y de 6 k g se encuentra en reposo. Determinar el módulo de la fuerza de rozam iento entre el piso y la semiesfera (considerar que el bloque"A"es pequeño y g=10mis2).

= W (3f5)(0,3)-W (4¡5)(0,2) = W/50

RPTA : “D”

60 6

F = 20N

Analizando a la semiesfera como se encuentra en equilibrio mecánico:

PRO BLEM A 23 :

= (V/SenO ) ( 0 ,3 ) - ( WCoaO) (0t2)

* Como M r > 0 , entonces no hay equilibrio. El bloque se volcará.

mg

F=

* Por lo tanto:

* De lo anterior se concluye que EL BLOQUE NO SE DESLIZA.

-> M

Como se encuentra en equilibrio mecánico y sobre el bloque actúan 3 fuerzas podemos formar un triángulo de fuerzas y de acuerdo al triángulo sombreado.

De la semejanza de triángulos:

que: (p t =0,80) >(TgO =0,75).

* Para determinar si el bloque vuelca o no, tomamos momentos con respecto al punto A.

20 12]

A)20N D)J2N

B )14N E)10N

C )16N

- > F x = f &^ F C o s 3 r = f a 20

5

= fs

> fa = 1 6 N RPTA : " C ”

PRO BLEM A 24 :

Un bloque A de peso W se desliza con velocidad constante sobre un plano inclinado 37° con la horizontal, mientras la plancha B de igual peso se apoya sobre A . Si el coeficiente de fricción entre las superficies A y B es el mismo que entre A y el plano inclinado; determinar dicho coeficiente de fricción.

u m io x is

p ? s asi is a

L n ipzstu+tMM'Zixrw'ii

R E S O L U C IÓ N :

lililí

* Nos piden determinar la masa de la polea (M p) cuando está a punto de girar. M p g ^ lO M ,

iIMIi

¿ }-T r a »\ s

i

r Mk=°>5 f*K= 0,75

A )7 k g D)8,5 kg * Si el bloque "A" baja a V =cte , entonces está en equilibrio. * Hacemos D.C.L. a los bloques de masas iguales: <

V

C)8 kg

B) 7,5 kg E)9 kg

R E S O L U C IÓ N :

* Debido a que los bloques deslizan con velocidad constante, entonces: Del sistema se encuentra en equilibrio cinético de traslación y F lie = 0 . con lo cual podemos determinar la masa de ”B

*

'

F=N Como aún no gira: ÍA1C=EM0 * Para el joven:

* Hacemos D.C.L. de cada bloque: N ,\ii }ng V ^

y

í

mg

60N

AV |l

.ll N

F

J íM M 1

i

60Kg

F

W=600N

* El joven experimenta un M.R.U. F*„

n.

NOTA :

* Bloque ”BT : N j= mgCos37°

(I)

* Bloque "A" : N ? = N,+mgCos37° * De (l) :

* horizontalm ente * horizontalmente N -F Na = F * Verticalmente * Verticalmente

r.t = so

>»g = r.B

= 50;,^ = 0,5 m (10)—hbN

Como

asciende

ENTONCES:

F -1 0 0 N x (í/ ) = T (/ )

RPTA : “B ”

—►N 2= 2mgCos37D PR O B LE M A 26 :

Un joven de 60kg asciende 20F* = 0 | — > mgSen37°=i±N,+nN.j lentamente con ayuda de una cuerda -+ mgSen3T=ftítngCos37°+2mgCoB37°J tal como se muestra. Determine la mgSenST = ii*3mgCo83T masa necesaria que debe tener la polea homogénea, la cual está a punto 3 0 4 1 — ¥ — = U X O X — —> í i = — 5 5 4 de girar. g=0f2 RPTA : “C ”

PROBLEM A 25 :

Dos bloques A y B están unidos mediante un resorte ingrávido. Si el resorte permanece horizontal, y los bloques deslizan con velocidad constante, determinar la masa del bloque B. (M A=5 kg y g=10 mis2) .

persona

lentamente su y es muy pequeña ->V=0, y podemos considerar que permanece constante.

N 2— mg cos37° + /« g eos 37° * D e:

la

*

(3) = 600 -> /i* F n = 200 (0t2 )(FN )= 2 0 0 -> F n = 200

* Verticalmente : N = 1 0 M p + 6 0 0 ^ > N = 1 0 M p + 600 1 0 0 0 = 10M p+600 = > M p = 40kg

RPTA : “A ” PROBLEM A 27 :

A)40 kg fí)G0 kg C)80 kg DílOOkg E)120 kg

\ 3r: =10m¡8*

Determinar el menor ángulo "0" para que la escalera homogénea de la figura quede en equilibrio. Se sabe además que p es el coeficiente de rozam iento para todas las superficies.

l F

f W

€ A

I&S3 BBS IKS3

de deslizar tal como se muestra. Determine el coeficiente de rozam iento estático entre el

* Hacemos el diagrama de la cadena por partes:

in

Sección "n" : T = W

i

A)arcTg (l + fi2) BJarcTg (l

W * Sección sobre la mesa (L - rt) N —

P*)

C)arcTg((l + p*)l2»)

m

A)0,3 B)0,5 C)0,2 D)0,6 E)0t8

D)arcTg{[l - v 2)12n)

RESOL UCIÓN:

E)arcTg((l — h )I2/ i ) R E S O L U C IÓ N : * El menor ángulo "0 Mse cumplirá cuando la varilla está a punto de deslizar. En ese instante la fuerza

* Analicemos las fuerzas que actúan sobre el cascaron de masa despre­ ciable. O'

f i(P ) = W —> M—

W

(I)

* Si la cadena es de peso uniforme, el peso será proporcional a la longitud.

* Hacemos D.C.L. a la barra

P L -n

\L2

* Como el cascaron se encuentra a punto de resbalar la fuerza de rozamiento es estático máxima. Además el cascaron se encuentra en equilibrio mecánico.

* En equilibrio:

* Por lo tanto:

En la horizontal: Z F m = 0 X = t¿N2 ............................... (I) * Tomamos momentos de fuerza respecto de "O”; en el equilibrio:

FN(4R) = f s . ( 8R)

n

9*MUX

>F„ —2(tsN — > Ma = 0,5

RPTA ; "B ” PROBLEMA 30 :

El diagrama muestra el descenso a velocidad constante de una esfera des­ alojando a una cuña que desliza friccionando con el piso, solamente existe rozamiento entre el piso y la cuña, por ello halle el coeñciente de rozamiento cinético. El peso de la cuña es el doble que el de la esfera.

RPTA : “ B ” PROBLEMA 29 :

- . 'S M = £M h NjX-SmU 2 +fiN^-QuO £ +tMtX-StnV^NiX^ame 2 -*N¡{StnO+i£kmB)=.N7{(JotB~nSefC} * De (I) : fj.p y£ (Se n B + ftCosO)

-fjS en ff)

Una cadena de longitud "L" y peso uniforme reposa sobre una mesa áspera, halle el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre la cadena y la mesa para el reposo de la cadena.

2

Un cascaron semiesférico de masa despreciable se encuentra a punto

3

* D.C.L. de la esfera: NSena = W (I)

N eosa

n D)0,5 E)0,2 L + rt RESOL UCIÓN:

3

RESOL UCIÓN:

n

RPTA : “D ”

PROBLEM A 28:

A ) T g a B ) C l g a C )3 T g a

W N= Sena

* Desarrollando: 1 -H 9=are Tg 2p

(II)

m

i k*en6

a (C o s0

W ^ n n L -n

W P .......... n B e (I)y (II):g = L -n

I— ^cosO

= X

N = P

Eie X :

c e n tr o dv m o m en to s

de rozamiento es:

FñMNij

Eje Y :

w

Ifg • D.C.L. de la cuña:

lin iU O X V S RUKiXO&l (F) de las proposiciones siguientes: I) Siempre tiene sentido contrario al del movimiento del cuerpo sobre el que actúa. Ncosa

II) La fricción estática desgasta o destruye las superficies sobre las que actúa.

2W N 2 = 2W + /VSe/ia • ( I ) e n ( n j : N s ,2 W +{ £ - )

Sena

N 2 =3W ........................ (III)

RESOL UCIÓN:

* Eje X : pN2 = NCosa................. (IV) * (I) y (II I) en (TV):

RPTA ; "E ” PROBLEMA 31 :

Considerando que en cada contacto sólido existe una medida de la rugosidad estática igual a , halle la máxima carga "IV" tal que no se inicie el movimiento.

RESOL UCIÓN:

• Haciendo los D.C.L.: T ^ /iAJ /í— t ltSI3 2m g M

f

Iw

T=\V

N,

T*

T,

T 3mg

N ,=2m g T, = 2 ni mg

* Para el bloque de masa "3m"\ N 2= + 3m g -> N 2 =

/ II) Los coeficientes de fricción no pueden tomar valores mayores que uno. A )V W B JF FF C )V F V D )F V F E ) V FF

+ 3 m g = 5m g

* Además: T = T¡ + g N ¡ + p N 2

I) F A L S A , ya que la fuerza de rozamiento cinético, siempre tiene sentido contrario al movimiento del cuerpo sobre el que actúa, en cambio la fuerza de rozamiento estático actúa sobre un cuerpo en reposo relativo, en este caso la fuerza de rozamiento se opone al sentido del posible movimiento. I I ) FALSA, dado que la fricción cinética es la que desgasta o destruye las superficies sobre la cual actúa.

I I ) Si

= 4» el bloque en reposo ü se mantendrá en tal posición. m,

I I I ) Si pa = 0,3 y pk = 0 ,2 el bloque descenderá con aceleración de 0,8 mis2. A )V V V B )F W C )V F V D )W F E )F F V RESOL UCIÓN:

• Descomponiendo '*J?n I) F A L S A , y a que si la pared es lisa •• . 30N

F, 40N

Del gráfico: = 1 0 N (i) m a = 10 5

--> a = 2 mis2

40 N

I I I ) F A L S A , experimentalmente 30N se ha demostrado que Ioscoeficientes de rozamiento están II) V E R D A D E R A , dado que: entre 0 y I , sin embargo hay excepciones en la que pueden ser Si: M. = 50N / mayor que 1. Del gráfico: RPTA ; “B ” F x = 30N V=0 PROBLEMA 33 : 30N Una fuerza de magnitud F = 50N actúa en un plano vertical sobre un bloque de masa m = o k g . 40N Determine la veracidad (V ) o • Análisis: falsedad ( F ) de las siguientes ¡Cuando F it> 0 \ entonces perderá proposiciones: el equilibrio y empezará a acelerar! I) Si la pared y el bloque en contacto son lisos, entonces el • En la figura: bloque sube con una aceleración de F l{ = 1 0 -f t................................. (I) módulo 8mis2. Fí{ = 10- jj^ F n mov.tn m in .

-> W = 2 p m g + j j ( 2 m g ) + ¿ ¿ (5 m g )

-> f h = 1 0 -

-+ W = 9 p m g

RPTA : “C ” PROBLEMA 32 :

Respecto de la fuerza de fricción indicar la veracidad (V ) o falsedad

¡El bloque esta a moverse! III) VER D AD ER A ,

Fr = 0

punto

de

IA

si p9 = 0,3 y f!h = 0 ,2 .

constante por F t sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de fricción m = 0,64. Si se quisiera transportarlo con una aceleración de 0,4mls2, será necesario incrementar F, en:

-+ f r „ Ar= (0>3)(30) ♦En (I): -+ F R = 1 0 -J \ ^ -> F R =1N ♦ Entonces el bloque pierde el equilibrio y empieza a acelerar hacia abajo. -> Pr = 10~

&

ma

-> 5a = 1 0 - fth F n 30

PR O B LE M A 34 :

Un cuerpo de masa = lO kg se encuentra sobre una mesa horizontal y es amarrado a una pesa de mesa Afg = 2 kg a través de una cuerda. (Ver figura). Considerando un coeficiente de fricción de 0,1 y g=10m¡82 , la aceleración con la cual avanza M 2 es: AjlOm/s2 B)5i3mis2 1 C)5l6mi8* D)5ll2mls2 E)5m/s2

♦ Para el sistema cálculo de la aceleración. mg

' ______________________________________________________________

F,

fM p,W = 0,64x5 = 3,2 N W

a

I

Fs * Si se desea transportar al cuerpo con una aceleración de 0,4 m/s2' w il F, í Él

la

-+ Á F = F2 - F 1= 3 , 4 - 3 , 2 = 2 x 1 0 í N

RPTA : “ B ” P R O B L E M A 3(1 :

Tv* ♦ D e l p r i n c i p i o d e la m á q u i n a d e A t w o o d ;

fftj + fTtg ♦Pero: fh = tihN = /j^W, V*-MkV, mt + 2 x 1 0 -0 ,1 x 1 0 x 1 0

5

2+10

6

, 2

-* a = --------------------------- — m 8

o

=

m g S e n 3 0 °+ M g S e n 3 0 °-fk

— “ - = ------------------------------------------------------- —

ni

----------------------------------

m+ M

...

*■••41)

L f-

♦ En consecuencia, el incremento A F de la fuerza será:

^

Fr,

* Para el bloque "M" :

F,

Fv W Fs -f,. - ma =— xa ->F¿ -3,2 = — xO,4 g 10 ♦ De donde se obtiene F 2 = 3,4N.

♦Analizando al sistema:

„

R E S O L U C IÓ N :

fei : (g=10ni!s~)

_____________________________________________________________

i

R E S O L U C IÓ N :

,

C)4,6N

♦ Cuando el cuerpo se desplaza con velocidad constante:

RPTA : “B "

A

B)2,0N E)48,0N

R E S O L U C IÓ N :

-* 5a = 4 -* a = 0,8 m(s2 4

fh

A)0,8N D)8,0N

A)2 I0-2N B)2.10 ‘ N C)2 10° N D)2 10‘ ¿V E )O N

m oví

(0.2)


I.X11< M W t i t n A 20 12)

Dos bloques de masas m = 15kg y M=10kg, se desplazan a lo largo de un plano inclinado como se muestra en la figura. La fuerza de rozamiento sobre el bloque de masa m es constante e igual a 2N y el rozamiento sobre el bloque de masa M es nulo. La tensión en la cuerda vale:

MgSen3T - T = M a (II) ♦ Ahora, reemplazando (I) en (II) tenemos: M tS en X r

T - M{ V

M ♦m

J

* Simplificando: r = _^ M = 2 x i 0 = 2 x i0 = 0SJV M + m M +m 25 RPTA : “A ” PROBLEM A 37:

En la figura mostrada el bloque de 2kg esta unido a un resorte. Si el bloque es lanzado con cierta rapidez, determine la aceleración que experimenta cuando el resorte está comprimido 2cm . El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso es de 0J2 (g = 10 m/s2). K=Wt\iem

V

i_ J Z

R PTA : “C ”

ru goso

P R O B L E M A 35 : Un cuerpo de 5 Newton de peso es transportado con velocidad

A) 12 m/s2 D) 18 mis2

B )10m !s9 C)8m/s* E)6 mis2

a 4 -^ 1 0 ?

R E S O L U C IÓ N : * Graficando el instante en que el resorte está comprimido 2 c m , tenemos:

a = 0,08 m is

* Además de la 2da Ley de Newton: Fnm = ma

2kg

'OS Realizando el diagrama de fuerzas para dicho instante:

W = 2 0 N e ic to n

XVSena - fk = ma mgSena - pkmgCosa = ma 4 ph x 10 x — = 0,08 10 5 (? )gk = — — x5 = 0,74 40 RPTA : UD P R O B L E M A 39 :

Fs

N=20

* Para el bloque existe una F R: Ffí = FB + fk -+m *a = F k + fk rtixa = F¡¿ +/j8(N) -+m xfl = Kx + p 8(N) * Reemplazando: 2a = 10x2 + (0 ,2 ) (20) -> 2a = 20 + 4 -> a = 12 mis2 RPTA : VA " P R O B L E M A 38 : Un bloque de Ik g se coloca sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Al soltarlo con velocidad cero se desliza una distancia de 40cm en 1Os. ¿Cuál es el valor aproximado del coeficiente de fricción? (Considerar g = 10 mis2)

E D I C I O N E S RlTHlNÓ&\ plano inclinado que hace un ángulo de 30° con la horizontal. La fuerza F, en Newton que hace subir al cuerpo paralelamente al plano inclinado con aceleración constante igual a la aceleración de la gravedad

9 9

Un ladrillo de 4kg, en reposo sobre una superficie horizontal, es empujado con una fuerza horizontal F = 2 0 N . Si los coeficientes de rozamiento entre el ladrillo y la superficie son: 0,4 y 0,6. determine la rapidez del ladrillo 5s desjniés de empezar a ejercer la fuérzá F'. (g=10m l82). A)cero B)1 m/s C)2 mis D)3 m/s E ) 5 mis R E S O L U C IÓ N : m =4kg rugoso [ F=20N Vo=0\ Piso(P) te * Para determinar la rapidez del ladrillo, debemos a veriguar si la fuerza F = 20N es capaz de hacer Fg = 4 0 N deslizar al bloque.

A)45 B)40

C)30

D)20_ E)15

R E S O L U C IÓ N : * P r im e r

caso

:

• Por equilibrio: f R = Wsen30°........................ W

• S egundo caso:

Cuando sube con aceleración.

F= 20N

A)0,59 B)0,65 C)0,70 D)0,74 E)0 R E S O L U C IÓ N : * Determinemos en primer lugar la aceleración debido a que el bloque efectúa sobre el plano inclinado un M.R.U.V: V=0 nJ

N P= 4 0 N

* Para que el bloque deslice, se debe cumplir: F > f Smáx * Calculando fsmáx = t1, ^ r =0,6x40 S m á x = 24N * Como F = 20N es menor que , entonces el bloque queda en reposo y en consecuencia: a = 0 -> V=0 R PTA : “A ” P R O B L E M A 40 :

* Se sabe que:

Un cuerpo que pesa IO N desciende con velocidad constante por un

* En la dirección del movimiento. F r = ma W -+F-WSen3t r - f R = - x g

+ F -5 -5 = l0

^

RPTA : “D ” P R O B L E M A 41 : Un bloque se desliza sin fricción desde el reposo hacia abajo por un plano inclinado que hace un ángulo de 45° con la horizontal.Cuando se desliza sobre otro plano que tiene la misma inclinación que el anterior pero con un coeficiente de

sse fricción también partiendo desde el reposo, el tiempo empleado en recorrer la misma longitud es el doble. Calcular el valor de //. A )U 4 B )1I3

U

V .=r^s.................... (i)

* Pero: Z F vert=0 -> f, = mg

* Por la 2da Ley de Newton:

* Del D.C.L. se observa que lá normal W origina la aceleración y que la Y ," equilibra al peso y sostiene al bloque, pero si el bloque está a punto de deslizar se tiene que: ”f ,mes máxima, entonces:

FR = m a ;

FR f ! a i Im p o rta n te!

C)4J9 D )3 !4 E)4J3

* Calculando la gráficamente.

R E S O L , U C IÓ N :

* Cuando no existe rozamiento: a ¡ = g S en a = g S en 4 5 °

_ o / /2 _ gSen45° 2 e=

g

-> m8 xma =mg ->a=—

(I)

* Cuando existe rozamiento: -*a2~S (Sena - phCo8a)

* Reemplazando valores: 3,5 ~ 49 jn ,_2 a = m/s 0,2 R P T A : “C ”

o.2 ~ g {Se n 45° - fiC o s45°)

2

2

* Geométricamente

P R O B L E M A 44 :

2

e = 2g (Se n 459 - fiC o 8 4 5 °)tf ............ ( II)

* Igualando (I) = ( I I ) :

lOrn =

lOm —(L A .L )

= 2 g (S e n 4 5 °-M C o 8 4 5 °)tf _> Í = 2 ( 1 - m) - + 1 = 4 -4 / i

-> ^ = 37°

-¥ 4g = 3 -+ m = 314

RPTA : “D ” PROBLEM A 42 :

El sistema mostrado en la figura formado por el bloque de masa M y una persona de masa m , descienden sobre la rampa lisa. Si la persona que se encuentra sobre el bloque M está a punto de resbalar sobre él, halle el coeficiente de rozamiento u . m

A )l¡5

=m g

f a (m á x ) = m g

F r =6

e * ñ s h - = a (Se n 45a- fiC o 8 4 5 °)(2 t í )

B f i r j . o r m i 2012}

* Reemplazando en (I) : //,=7i?37* = J R PTA : “E ”

Sobre la plataforma que se muestra, se ejerce una fuerza horizontal J? cuyo módulo depende del tiempo según ]? = io + 2t > donde F está en Newton y « t » en segundos. ¿Para qué tiempo "2" el bloque de masa/n = 10kgt deslizará respecto de la plataforma? Considere : Ms= 0,8; M = 40kg; g~10m/s2

PRO BLEM A 43 :

En la figura, calcular la mínima aceleración de M 2 para que la masa M t no resbale sobre M 2 , con coeficiente de fricción estático 0,2. (Considere g = 9,8 m/s2)

A )t = 30s B )t = 195s D ) t < 195a E )t > 195s

C )t < 408

R E S O L U C IÓ N :

B)1I4 C )l¡3 D)1I2

F

—

*\*

E)3!4 R E S O L U C IÓ N :

A )9 ,8 m/s3 B )2 0 m / ss C )4 9 m / s2 D )81 m/s2 E )l,9 6 m/a2

* Sabemos que: a - g S en 3 7 °

a = 6 m is2

V* 10 * Haciendo el D.C.L. a la persona de masa "m". \X \IOm , g=IOmlrJ

R E S O L U C IÓ N :

Analizando al bloque "2": .

”

* De la 2da Ley de Newton: li^=/^a¡ - + F = 5 0 a ........................... (I)

* Determinemos el módulo de la

F —

aceleración cuando el bloque se encuentra a punto de deslizar.

* '" " 1

W

* Considerando al sistema forma­ do por el bloque y la plataforma.

‘^ x . * De la 2da Ley de

Newton:

F ^ = mol -» iV = mxo

m g -lO O N

[h < )/ a w

]¡j£ g í 8 5 7

i :a t w

* De la 2da Ley de Newton: F r = ma •(máx) = m xa -> ¿ia•jtíg = f ií *a -y a = 8 ^ Luego en (I) :

m 8

F = 50(8) -+ F = 400N • para que el bloque deslice: F > 400 ........................ (II) * pero: F = 10 + 2t -y 10 + 2t > 400 -+ t >195 RPTA : “E ” P R O B L E M A 45 : Con que aceleración debe subir el coche si se quiere que el bloque esté a punto de resbalar respecto de él, durante su movimiento. Considere: p„ = 0,5; g=10mls2

* Luego del equilibrio: N = F + mgSen37° -y N = ma + mgSen37°............ (I ) * f’má, = mSCos37° -y j¿N = mgCos37°................... (II) * De: (I) v (II) : N 0 ,5 N

a + lO x — _______ 5 4 10 x 5

a=10 m/s

(I)

' Z F =° -y N = mgCosST • En (// :

RPTA : “A ”

T - pmgCosST* - mgSenST1* m a **

P R O B L E M A 46 : Calcular el coeficiente de fricción estática suficiente entre el hombre y el carro, para que ambos puedan ascender con una aceleración constante de 8 mis2, la masa del hombre es J20 kg y el carro de 30 kg- (g = 10m/82).

l4 0 0 - p ^ 8 0 x l0 x

5)

o

11 16

R P T A : “C ”

PRO BLEM A 47: Determine "p", entre el anillo y aro, de 2,om de radio, si para una rapidez angular constante a>= \¡5 radía el anillo está a punto de descender, (g = 10 mía2).

B)0,12 015116 D)0,5

A) 1/5 B)l¡8

• Para una solución mas efectiva, el análisis lo haremos desde un S.R.N.I.; para lo cual ubicaremos al observador subido en el coche.

g

01/4 D )lí 7

A) 10 mis2 B) 7 mis2 C)6 mis2 R E S O L U C IÓ N : D)12m/s2 E)15mls2 * Para todo el sistema: R E S O L U C IÓ N :

* Haciendo el D.C.L. respectivo:

= ma -> T -f ,

A) 0,52

El observador verá al bloque en reposo; recordar por la técnica de D’alambert en sus D.C.L. debe agregar la fuerza inercial ( F ) en dirección opuesta al movimiento del coche. F = ma.

E D IC IO N E S n iit iN d S l * La fricción es hacia abajo, porque el carro como pesa menos que el hombre, trata de desprenderse hacia arriba.

.X

R E S O L U C IÓ N : •Realizamos el D.C.L. para el anillo.

I

’

:

.40 y

,

►v*........

¡

s

(Eje X ): YF = m ra

N

' H 1

y 2 T - mTgSen3T= mTa y 2 T = mT (a + gSen37°) -y 2 T = 200] 8 + lOx

<¡[p>
Z...J [wS.

* En el plano horizontal: —> FCp = mo)2R

!)

cp

ma

- N - — p N = m {^ís)2 x 2 5 5

T = 1400

,x

- » - N - - f i N = 10 m ............... (I) 5 5 3 4 * En el plano vertical: -N+-£tiN=mg -* — N + — fiN = lO m .............. (II) 5 5

* Si el bloque está en movimiento inminente la fuerza de rozamiento será la estática máxima.

* D e (I)y (II):P = ~ RPTA : “ D ”

ESI! u s a heS? P R O B L E M A 48 :

ÍA

R E S O L U C IÓ N :

* El móvil visto de Planta es:

Un pequeño bloque resbala sobre una convexidad esférica rugosa (g k~ .l) de Im de radio de curvatura, si en el lugar mostrado el móvil carece de aceleración tangencial, Calcular la velocidad angular en tal instante. (g —10mis2)

* La única fuerza radial sobre las llantas de la bicicleta, es la fuerza de rozam iento estática ( f j , luego:

vm : a.t

A

E N C m o i ’ EMML\ 20 12}

p u t a p la n a h o r iz o n t a l

f-

* Visto de perfil es: mg Fr, = ma

O cp

f= f^ N

v R • En la vertical:

O D)0,5 radia E)2,5 rad/a

R

R E S O L U C IÓ N :

N

* Eje Radial:

* La velocidad máxima del móvil se dará cuando esté a punto de salirse de la carretera, en ese instante la fuerza de rozamiento que actúa es la estática máxima.

/R

• Del D.C.L. Vertical: N s mg N = m (g C o s 3 T - w 2R )

* Dividiendo (I) i (II): gCos37° - o)2R gSen37°

* Reemplazando datos: 1

10(3/5) RPTA : “B "

P R O B L E M A 49 : Cuál es la

velocidad

máxima

(en m/a) a la qual un móvil puede recorrer una carretera circular de radio de curvatura 5m ,sin resbalar hacia el exterior, gt=0t5\g-10m}a2 A)5 B)3 C)2 D)4 E)8 RESOLUCIÓN:

• Pero:

2 R mV R

£M8-mg=>V2 <*H,gR

• El máximo valor es:

(I)

V m áx = f P ' g R

-+ V máx = y jo ,7 5 x 1 0 x 3 0 = 1 5 m is

(D

* Eje Tangencial: Como no existe aceleración tangencial , usamos: ZF = 0 * Luego: p N = mgSen3T>................. (II)

N P = m g .................................(II)

0<,

•Dirección Radial

1 ¡á

(I)

paN = ma

cp

RPTA : 4tB ”

* De (I): = y[ÜgR VmíU = y]0,5 x 10 x 5 = 5 m/s m áx

R P T A : “A

ft

P R O B L E M A 51 : Un pequeño objeto se encuentra a r = Im del centro del disco de 8m de radio que gira con ú) = l radls. Si el objeto está a punto de deslizar, halle el coeficiente de fricción estático entre el objeto y el disco.

P R O B L E M A 50 : En la figura se muestra una pista horizontal rugosa. Si el tramo A -B . es una semicircunferencia, determine la máxima rapidez con la que el ciclista podrá dar la curva. (g = 10 mis2). A)10 mis B)15 m/s C)20 mis D)25 m/s E)30 mis

A)0,1 B)0,2 O 0 f3 c D)0t125 E)0,23

C£> + ♦ j

§S

R E S O L U C IÓ N : •Si el objeto está a punto de deslizar, la fuerza de rozamiento es el estático máximo. , i , «. i-* IN i

75

r=lm (Vista de perfil)

BB9

• Dirección radial:

En la vertical N = mg.

(I)

•En la dirección radial: ->

“ lm

B) yfsf radía C)7fl radía D)3 rad/a E) 455 radía R E S O L U C IÓ N :

— ~ 0 ,5 x — 5 5 G) = 455radfs

10

-> 6 ( 0 , l ) - 0 ,2 F Nl

F„= W b = • En (I I ) :

P R O B L E M A 53 : En la figura el resorte se encuentra comprimido y el equilibrio por efecto del peso A (1 0 N )y B (2 0 N ). Si entre A y B no hay fricción. Hallar la aceleración de "Bn al quitar el bloque "A". La superficie horizontal tiene un coeficiente de fricción igual a 0,80; la constante de elasticidad del resorte es: K=60Ním K J

. (II)

* Pero en:

RPTA : UE ”

• Hacemos D.C.L. al aro • Para el caso de máxima velocidad angular el aro tiende a subir (o a salirse del brazo); por ello la fuerza de rozamiento es la estática máxima y se gráfica oponiéndose al posible deslizamiento.

fi

Kx

4 n * 3 . 5 + 0,5X

RPTA : “A ”

'

Kx

Co837° + pSen37° m2r Sen37° - t*Cos370 ~ g

-> // = 0,1

P R O B L E M A 52 : En la figura el poste gira con una rapidez angular o de modo que el aro no se desprende del brazo rugoso (pt=0,5). Calcular la máxima o) del poste, (g = 10 m/a2)

W¡B

* De (I) y (II) (dividiendo):

-m ú)2r

-►¿¿,(10) = 1*(1)

Frad = maCp

-> NCaa370+fiNSen370=nuu2r...(II)

m 2. •Reemplazando (I) : M*mg = nuafr

A)8 radls

E M H C IO X E S M I M A O S )

m m m

6 ( 0 ,l)-0 ,2 {2 0 ) = \ j~ ^ a -> a = 1 mía2 R PTA : “ C ” P R O B L E M A 54 : En el sistema mostrado se tiene 2 bloques m y M , sobre nm Hactúa una fuerza horizontal nF \ si la fricción entre "M"1y el plano inclinado es cero. Calcular nF ' para que ”M neste en reposo mientras "m" se desplaza horizontalm ente con una aceleración *gTg0' . F

A)2 mía2 D)3 m/a2

B )l,5 mía2 E)0,5 m/s2

O I mía2

R E S O L U C IÓ N : • Realizando el D.C.L.: WA + W fí A )(m +M )gSenO B )M gT g0 C )M gTg0 D )m TgO

Kx ) f= M ÍN

E )(M + 2m )gTgO

R E S O L U C IÓ N : * D.C.L. de "m" y M :

—

F

I y

• Como inicialmente el sistema está en equilibrio: -> K x = ftFN -> K x = 0,2Fn ........ ( I ) H>FN = w A + w B

componentes radial y vertical."0": Centro de Rotación • Vertical (Hay equilibrio) :

NSenST - gNCoa37°=mg... (I)

->

Fs = 10 + 2 0 = 3 0 N

•En (I): 60x=0,2(30) -> x = 0,lm

• Del D.C.L. de "m": ’ Íh> F — f = ma F = f + mgTgO

(I)

É!& s e o é m

\ F W & ¡W € lA u

¡A

E N C ir x o y - js u iii 2012}

K NcosO

* Del D.C.L. de "Af

O i a i - f e (///>

^ F y = 0 i R C O 8 0 a iV +Afg

*=(

Af+m

CoS#

E)1

g 3\Í6

g

g

R E S O L U C IÓ N :

* Reemplazando (II) : RCosO = m g + M g -

aruu NsenO', pNcosd |

)g

nRgfi y y uNsend ye * Para un observador fijo en tierra:

fr

* En ( I I I ) :

f = i ^ ^ ) gS^ ^ f =(M+ wMí3* 9

=> pN C osO + N S e n O = m . a h[AX... ( / / )

•En W :

* Dividiendo:

F = (Af + m )g Tg O + m g Tg O -> F = (M + 2 m )g Tg O R P T A : “E ”

( II)

_( pCosO + SenO

( III)

° ^CosO - pSenO

= a

MAX

• En (I):

m g 8 e n 0 - f f = m a => m g a e n d - p N = m a O p i g sei\0 - p p í g coaO = pía =5 g * en O - p p í g c o » 0 = a

P R O B L E M A 55 :

ysen-ÍS0 - pgeoa450=2>f3

En la figura mostrada hallar la fuerza máxima y mínima “F ” para que H m" no resbale sobre "Af". Sólo existe fricción '*//’ entre "Af'y "m".

g ~ ~ pg~=243 => pero x = V 5 t 2 ^ > a = 2 y ¡3

* D.C.L. de "m" cuando "F MlN

R P T A : “A ”

P R O B L E M A 57 : ÍVCO80

or.

Nsen 0

pNcosO mg

R E S O L U C IÓ N : * Como "m" no resbala sobre "Af", podemos utilizar la segunda ley de Newton para el sistema másico: * De (7),observamos que"F" es máxima solo sí"a"es máxima y análogamente si"F "es mínima "A" también lo es; pero: ¿qué sucede con m * Sí: F max: entonces "m" tiende a subir sobre "Af". * Sí: F mjn: entonces "m" tiende a bajar sobre "Af’ * Conclusión: La fricción tendré dos sentidos, apunta hacia abajo sí "Fwax" y apunta hacia arriba sí $

"J? " r MÍN •

* Realicemos D.C.L. de "m" cuando " J W :

Z ñ .... ■=>N Se n O - pNC osO = m •a MIN ...( IV )

=> NCosÓ + pNSenB = m g

(V)

* Dividiendo (rv)

(V) * *

f SenO - pCosO ^CosO + p Se n O

MÍN

S e n O - pCosO C os0 + pSenO

P R O B L E M A 56 : Un bloque se desliza por un plano inclinado á 45° ; la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es x=-j3 t2, donde t se expresa en segundos y x en metros. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano?

Dos automóviles de masas m ¡ y m 2 siendo m J > m 2 , viajan por una carretera recta con velocidades iguales. Si el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento es el mismo para ambos , al momento que ambos conductores aplican el freno en forma simultánea (considere que al aplicar los frenos , las ruedas no giran , solo se deslizan). A ) e l a u to 1 se d e tie n e a m e n o r d is ta n c ia que e l a u to 2 . B ) a m b o s a u to m ó v ile s se d e tie n e n a la m is m a d is ta n c ia . C ) e l a u to 2 se d e tie n e a m e n o r d is ta n c ia que e l a u to 2. D ) la s a lt e r n a t iv a s a n t e r io r e s pueden s e r c ie rta s dependiendo d e l c o e fic ie n te de fric c ió n . E ) e l a u to 2 ta rd a m á s tie m p o en d e te n e rse que e l a u to 2.

R E S O L U C IÓ N : * Considerando que al frenar la fuerza de fricción con el pavimento será la encargada de disipar toda la energía cinética de cada uno de los autos, y que el trabajo realizado por dichas fuerzas de fricción es igual a

[fg Q ig y tiW C T T O la fuerza multiplicada por la distancia recorrida. * Para escoger la alternativa correcta , debemos de recordar lo que pasa cuando , por ejemplo , lanzamos un bloque sobre una superficie horizontal áspera. V

ifc

M*

"“ 7 m * Mientras el bloque desliza por inercia , la superficie le ofrece una resistencia (F K) ?la cual origina una aceleración í a'}F g - mg V' -í • —

ÍN= m8 • De la segunda Ley de Newton :

E M C W X E S RtJBMXÓ&i tendrán la misma aceleración y por tener igual velocidad , se detienen luego de recorrer la misma longitud. dj — d. R P T A : "B ” P R O B L E M A 58 : Un automóvil de 1000 kg de masa está en reposo , acelera uniformemente durante 20 s , al cabo de los cuales invierte su aceleración y se detiene , después de haber recorrido una distancia de 100 m. Halle la : A) magnitud de la aceleración. B) rapidez máxima de automóvil. C/magnitud de la fuerza de frenado.y

rozam iento , la velocidad del automóvil comenzará a disminuir (en el tramo B C ), hasta detenerse , siendo esta fuerza de rozamiento, la fuerza resultante sobre el automóvil. Ahora de acuerdo a la Segunda Ley de Newton, tenemos: FR = ma => F r = f K = ma F r =1 000(0,5) = > F r =500N D ) Cálculo de la distancia total recorrida por el automóvil , del gráfico tenemos : . -v-*’# i*0-o

vF=0 AB

dBC

D) distancia total recorrido. R E S O L U C IÓ N : Se deduce que el automóvil estaría realizando un M R U V en cada tramo , haciendo una representación gráfica: .iHtV

fr a = —

.

. „ r t

w Hallando t nc•

.(a)

# C ~ V B ~ a t BC

■=>0 = 10 - 0,5tBC

tBC=20 s

Finalmente, en ta/:

>* Vy=0

(I) * El resultado obtenido refleja que el valor de la aceleración es independiente de la masa del bloque ; esto significa que cualquier bloque (cuerpo) que sea lanzado con velocidad (¿) experiméntala misma aceleración siempre y cuando se tenga el mismo m K y con ella debe avanzar lo mismo hasta detenerse. •P

ara nuestro caso:

a i= a

•‘,ol«, = 100+ Y < 20)=>dto,al = 20°^ Considerando que en B el auto invierte su aceleración (comienza a frenar) , podemos notar que en dicha posición alcanza su máxima rapidez vfí = vmtix Ahora, nos piden a) La magnitud (módulo) de su aceleración , en el tramo AB. V? =r¿¡ - 2 a tllu. =>

- 2 a (1 0 0 )

^ v% = 2 0 0 a ............................................

(I)

De vF=pa+at =» v0=a(20l~.................................(U) Luego (II) en (I): 120a)~=200a => a = 0 ,5 m/s3

* Como al frenar las llantas solo deslizan (resbalan) , según el comentario anterior, los autos

¿Qué coeficiente de rozamiento tiene un plano inclinado, que forma un ángulo de 37° con la horizontal, si al resbalar un cuerpo , tarda en recorrer la misma distancia el doble del tiempo que tardaría si no hay rozamiento?

De:

Hallando vB . esto en el tramo AB

02= «i

P R O B L E M A 59 :

B) Cálculo de la máxima rapidez , esto en B. vn = vmáx=2°a =>v„„u =10mj8 C) Cálculo de la magnitud (módulo) de la fuerza de frenado , debido a la acción de las fuerzas de

A) 0,56 B) 0,50 C) 0,75 D) 0,38 E) 0,62 R E S O L U C IÓ N :

IA

¡2

RESOL UCIÓN:

Piden Mk Como sobre el bloque existe fuerza resultante constante , entonces presenta aceleración constante, y como la trayectoria es rectilínea, el bloque realiza M R U V.

i

* Las fuerzas actuando so b re r=0 ambos bloques se muestra en la figura que sigue:

Wacos3T\

Luego d = 9 ¿ + ^ ait2

**«• * #

Aplicando la 2da ley de Newton tenemos F R=ma

* Por dato : tana = — => a - 37°

m gsen37° ~ f b= m a l

* Como está en reposo : =» 40+f ^ ^ sanSP

mgaen37° - Mhm g c o s37°=m a }

E A T i r j . o w M L i 20 12}

4

* Aplicamos la a segunda la ley de Newton (solo en forma F escalar) para el bloque B :

7

s

g tA l

'

/ s

•

‘

A

T ,

*

— t fN

i.1' 'P? ▼-í n . &

1 rN

=> a ¡= g se n 37° - / i kcos37° ............. ( I I )

=

Si el plano inclinado es liso , entonces gb- 0

* Pero: FN = WA eos 37°

F r = mDa F - f K - f \ = m Ba ...(I)

* Reemplazando : 40 + psWA eos37°= WAaen37a..........(I)

* Pero , como sabemos :

*Luego a2=gsen37°................ (III)

2 1

2

4

0

+

= VVa s c t i,? 7 0

ID Si W„t ú = 8 0 N

de la condición del problema —a ,(2 t)2= —a.J~ => 4a = a ^

>

— Mc/jv y f í = Vcfíi * Reemplazando en (I) , tendremos ík

^ A tiende a resbalar hacia arriba

^0^

•(IV)

F -

-

Reemplazando (II) y (II I) en (TV)

’Wav.os:í t <

4 [g a e n 3 7° - /¿¿cos3 7 °]= g a e n 3 7 °

=> uk = - ~ = 0,56 * 16 R P T A : “A ”

PR O B LE M A 60 :

¿ “ =37° => A como está en reposo I F ( / * ) = Z F ( J/ ' )

Los valores máximo y mínimo que deben tener el peso W para sostener en reposo al bloque A son 80N y 40N respectivamente. Halle el peso del bloque A, en Newton, y el coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie inclinada. 4

En la figura a -a r e ía n ^ A )1 2 0 ;0 ,2 5 B )1 0 0 ;0 ,2 5 C )1 0 0 ;0 ,2 0 D )1 5 0 ;0 ,2 5 E )1 6 0 ;0 ,2 0

=>80=W Asen37°+M aF N = > 8 0 ~ x,W a eos3 7 ° = WÁsen37°

( II)

* Resolviendo (I) y (II) se obtiene. WÁ= 1 0 0 N y m=0,25

F = Mc (2m A + m B)g + mBa RPTA : “ B ”

P R O B L E M A 61 :

PR O B LE M A 62 :

En la fig u ra . los bloques A v B tienen masas m Áy m Brespectivam ente. El coeficiente de fricció n cin é tico entre los dos blo qu e s y

En los juegos m e cá n ico s d e u n a feria un cilindro sin fondo de 2m de radio (v e r figura)

entre el bloque B y el piso es Mk •Determ ine

c o e fic ie n te d e fric c ió n estático e n tre el m u c h a c h o . c u n o pe so es de 600N , y la superficie interna del cilindro es // = 0,500. Si el m u c h a c h o n o resbala hacia abajo , ¿cuál es el valor v la dirección de la fuerza de rozam iento sobre el m uchacho? ( g - 1 0

la fuerza F que debe aplicar al bloque B para que se m ueva co n aceleración de m ó d u lo

. cu a n d o

la cuerda £ está tensa.

■X

gira con velocidad angular o = 5, 00ra d ls. El

mis1).

F •*+

ín -4 0 N ' Si Wm ntift =>A tiende a resbalar hacia abajo , entonces , su D .C.L. será .

fN=mAg:fÑ=fN + ml
RPTA : “ B ”

RESOLUCIÓN:

En este caso tenemos que analizar dos diagramas de cuerpo libre. El bloque A está en reposo y se presenta dos casos para su tendencia al deslizamiento.

* Para determ inar /a t y fí¡ » analizamos las fuerzas en la vertical en el diagrama de cuerpo libre de ambos bloques ; allí se deduce que en esta dirección , la suma de fuerzas debe ser nula. * Por lo tanto :

=>80 = WAsen37° + f M

a

A*

[/¡v + r ¿ ] = m na ...(II)

A )n K(mA+m B)g+ m Aa

B )n K(2mA+m a )g + m Ba

C)tiK(mA+ 2 m B) g + m Au

D ) ttK{mA+ m B) g + m Ba

F)fKmAg+mHu

A1 3000 N , h o r iz o n ta lm e n te h a c ia e l e je d el cilin d ro. B) 3000N , v e r tic a l h a cia a r r ib o . C) 1500 N , v e r tic a l h a cia a b a jo . D ) 1 500 , h o r i z o n t a l b a c ía e l e j e d e l cilin d ro. E) 600 N t v e r tic a l h a cia a r r ib a .

RESOLUCIÓN/ * SI el peso del m u c h a c h o es 600N para que n o re s b a le h a c ia a b a jo la fu e rz a d e rozamiento deberá equilibra]' el peso, ya que ei diagrama de cuerpo tibre del m u c h a c h o m u e stra q u e n o h a y m á s fu e rza s en la d ire c c ió n v e rtic a l. P id e n el v a lo r y la dirección de la fuer/a de rozam iento sobre el m u c h a c h o , c o m o el c ilin d ro rota co n velocidad angular constante y el m u ch a ch o n o re sb a la . d e d u c im o s q u e este gira también con velocidad angular constante. =► S u rapidez tangencial n o es co n stan te Por lo tanto. N o experim enta aceleración tangencial. entonces . la fuerza resultante tangencial sobre el m u c h a c h o es cero.

♦ Relizando el D .C .L sobre el muchacho tenemos :

RESOLUCION i

sea

E D I C I O N E S R U B iX O S )

D esco m po nem o s la fuerza de gravedad del bloque según los ejes radial y tangendal (ve r la figura).

• «

%

* “ *

fr-

1 f=

5) *

fs

IO :ií

600 N

Del triángulo de fuerzas:

' '-0

tgiSS-- 8) = tg(63-e) =

r = 0 ,fy n

mg Fi = m at r

Por lo que o = 8o, luego el coeficiente de rozam iento entre ei bloque y la superficie interna de la esfera h u e c a es:

P, = tg0 => P, * tg8? = ~

n¡fí=20ni C a b e , re s a lla r, q u e la c o n d ic ió n d e l problem a es q u e c u a n d o el bloque pasa por la p o s ic ió n m o s tra d a (p u n t o P ) n o experim enta aceleración tangencial por lo q u e las fuerza según el eje tangencial deben anularse.

fif,S - 6«i ->(0,9) N - 6'mt> S 20m d

M ie n tra s q u e e n la d ir e c c ió n ra d ia l planteam os: F,v - ma>*r ■=* Hm - A' -- mat*r

>tftrt 20pi -> (a

2.4

uta,* {0,8)

r-> 0) - I>3

inri

RPTA i “A”

PROBLEMA 6*9 «Aa*

e q u ilib r io , p o r lo q u e tra s la d a m o s las fuerzas. r

S o bre la superficie interna de una esfera h u e c a de ra d io in te rio r 2,5m y q u e gira alrededor de su eje vertical con velocidad

RPTA i “B " FUERZA DE FRICCIÓN Cuando hay dos cuerpos en "contadcT. tal o r n o en d caso de un Ubro q je reposa sobre una meta, hay una resistencia que se o pene al movimiento (dativo entre los dos cuerpc-s. Dicha resistencia recfoe d nombre de 'fuerza de frioczñf por desJzanúento. Esta fuerza es muy importantes en nues ra vida cotidiana. Nos permite caminar o correr y son necesarias para el movimiento de vehículos rodantes (fricción por rodamiento). FRICCIÓN ESTÁTICA Y CINÉTICA Las Cuereas de fr.cckin pueden ser estática o cinética d e lu d ie n d o de la situación que se presente, pero limitaremos el estudio inesente aJ rozamiento seca es decir, a problemas que se ocupan de cuerpos rígidos que están cu contacto a lo largo de superficies no lubricadas.

l\>ro no debem os olvidar que la única fuerza q u e la superficie le a p lic a a t c u e r p o e n e s t u d io e s la r e a c c ió n . Analizaremos que ta reacción tiene dos componentes en una superficie en contacto la normal y la fricción.

angul ar constante » = JE r a d / s . se e n c u e n tr a una pequeña m oneda. D e t e r m in e et m ín im o c o e f ic ie n te d e ro z a m ie n to pa ra el c u a l la m o n e d a n o resbala d e la posición mostrada.

1 .t

ir.

( g = l ( ) m /s') ^ Ahora en la vertical las fuerzas d eb en estar equilibradas ya que el m i ic h a ch o no resbala respecto del c ilin d ro . tMtionces:

I. FUERZA DE FRICCIÓN ESTÁTICA Si aplicamos una fuerza horizontal externa F a un bloque solw una mesa horizontal. com o se muestra en la figura, hacia la derecha. H tiloque jiermanece estacionario si F no es suficientemente grande. La tuerca que se contrapone a F y evita que el bloque se deslice y actúa en contra de la tendencia a deslizar, recibe el nombre de fuerza de fricción r

£ F ( T ) = £ F ( 4 ) = > fs = 600N • Esta fuerza de fricción es estática pero n o c o rre s p o n d e a la m á x im a fu e rz a d e ro z a m ie n to e s tá tic o . d e b id o a q u e el m u c h a c h o n o está e n d e s liz a m ie n to inminente.

rpta

i ”E "

PROBLEMA 63 r Hallar aproxim adam ente la rapidez angular (e n rad /s) en el p u n to P d e l m ó vil q u e resbala sobre una sujxMficie esférica rugosa (//k s 0 , 9 ) d e 8 0 c m d e ra d io . L a aceleradón tangencial en el punto P es nula.

RESOLUCION t Para u n m e jo r a n á lis is d e l p r o b le m a ubicam os un observ ador en el ccn lro de giro d e l b lo q u e , a h o ra re s p e c to a este o b s e rv a d o r d e b e m o s c o lo c a r la fu e rza ínercial (/ ; = in a * r ) contrario al cen tro de rotación del bloque.

* Mientras el bloque no está deslizando, f * F Puesto que et bloque está estacionaria lamamos a esta fuerza fricción, la fuerza de fricción estática, f,.

i»M

N

\Í5radl s Experin.entalincnte su encuentra que. hasta una buena aproximación fSinA> es proporcional a la fuerza normal que actúa sobre eibloque. Esto es verificare cuando el cuerpo se encuentra a punto de deslizarse (movimiento inminente!

A)1,3 B) 1,5 C/ 0,7

Movimiento inminente:

D) 1 3 E) 2,1

imán

Hi N

donde m« es una constante llamada coeficiente de

rtr

fricción estática, m es número puro sin unidades.

SR R e s p e c to al O/V/ el b lo q u e se h a lla en

(Constante adimeusioual). Si el Moque se encuentra en movimiento inminente se

564

IA

cumple;

• L a línea de acción de la fu e rza de ro z a m ie n to es___________________a las superficies en contacto.

mg

eü

'S—2rr

•El sentido de la fuerza de rozam iento e s ____________________ al m ovim iento o _________ m ovim iento del cuerpo.

K

Esto se demuestra experimentalmente en un plano Indinada cambiando el ángulo del plano inclinado para que el bloque se encuentre en movimiento inminente. * Si incrementamos la magnitud F en algún momento el bloque se deslizará. Cuando el bloque está a punto de deslizarse. f( es un máxima y se lama fuerza de fricción estática máxima f (jnn (movimiento inminente es. deck a punto de deslizar). * Cuando F supera a lf mas. ei bloque se desliza. II. FUERZA D E FR IC C IÓ N C IN É TIC A Supongamos, por ejemplo, que empujamos un libro a lo largode una mesa, dándole cierta velocidad. Después essobada disminuye su velocidad y hasta que sedetiene, Esta perdida de la velocidad es una indicación de la existencia de una fuerza opuesta al deslizamiento. Esta fuerza se denomina fricción por deslizamiento y se debe a la foteracdón entre las moléculas de los dos cuerpos, algunas veces llamada cohesión y adhesión, dependiendo de si los cuerpos son del misino o diferente material. E) fenómeno es algo complejo y depende de muchos tactores talescomo la condición y ia naturaleza de las superficies, la velocidad relativa, etc. El tipo de fricción que octúa cuando un cuerpo se desliza sobre uno superficie e s la fuerza de fricción cinética /fc. * Fbdemos verificar experimentalmente que la f, tiene una magnitud que. para muchos propósitos prácticos, puede considerarse como proporcional a la fuerza normal N.

* MfeN

irg

utwimtenio

(c) Déla figura: (a) La magnitud de la fuerza de fricción estática es igual a la fuerza aplicada, (b) Cuando la magnitud de la fuerzaaplicada supera a la de la fuerza de fricción cinética, el bloque acelera a la derecha. (c) Una gráfica de la fuerza de fricción contra la fuerza aplicada. Advierta que f( tnax > fA.

* Los valores de

E l coeficiente_________ cumple con:

mi,

y m dependen de la naturaleza de

las superficies, aunque

mi,

es por lo general menor que

s a * L o s c o e f i c i e n t e s d e fr ic c ió n son ca si Independíenles del área de contacto entre las superficies. * La fuerza de fricción también depende de la ropldez del cu erp o relativa a la superficie. Ignoramos este efecto y supondremos que y* y/k so n In d ep en d ien tes d e la ra p id ez para concentram os en los casos más simples. La naturaleza aproximada de las ecuaciones f, y f-4 se demuestra fácilmente tratando de lograrque el bloque se deslice hacia abajo por un plano indinado a vebddad constante. A partir de la descnpción anterior, parece que pueden presentarse cuatro situaciones diferentes cuando un cuerpo rígido se pone en contacto con una superficie

Pfict

Mh * Ton

'♦l>

I

' R

Esto se demuestra experimentalmente en un piano indbtada cambiando el ángulo del piano inclinado para que el bloque se desplace con velocidad constante. CUID AD O ► Osando dos cuerpos A y *B* están en contacto las fueizas de fricción ejercidas respectivamente por ‘A* sobre T T y por T T sobre 'A" tienen dirección opuesta e igual magútud (Tercera Ley de Newton). La dirección de la fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo 'A'es opuesta la dd deslizamiento (o movimiento inminente) de Acuando se observa de U '. De un modo semejante se determina la dirección de la fuerza de rozamiento que actúa sobre B. Obsérvese que se determina por un movimiento relativo. Rúa el mismo objeto en estudio y la misma superficie se cumple: h < V Mnvknimto ANALISIS D E LA FR IC C IÓ N I «9

P ........ Pk • Sólo el hielo puede poseer un coeficiente de rozam iento que se acerca a:

P = ......... In d ica r cuántas proposiciones son no correctas: f ) L a fuerza de rozam iento depende del área de contacto.

( ) L a fuerza de rozam iento no depende

’h-HiM contacto.

«,-F

FR IC C IÓ N POR R O D A M IE N TO Es mocho más fácil mover un archivero carado sobre un piso horizontal un carrito con ruedas que desfizanda ¿Cuánto más fácil es?. Fbdemos definir un coeficiente de fricción por rodamiento ur que es ia fuerza horizontal necesaria para lograr una rapidez constante sobre una superficie piaña dividida entre ia fuerza normal ejercida por la superficie. Los ingenieros de transporte llaman a u. resistencia a la tracción y tiene un votar típicode 0.002 a 0.003 para ruedas de acero sobre rieles de acero y 0.01 a 0.02 para ruedas de caucho sobre concreto (hormigón). Esta es 'una' de las razones por la que el combustible suele rendir más en ferrocarriles que en camiones.

a B

• Para todas las superficies se cumple:

f J L a fu e rz a s ie m p re se opone al m o v im ie n t o de las s u p e rfic ie s en

(confiante adimenfional).

r-o ' mkkoó*

< ................

de las v e lo c id a d e s re la tiv a s de la superficie.

WM¿

fricción ciñó tica, Mk es número puro sin unidades,

mg

• E l coeficiente de rozam iento es un_________ uno posee___________ .

Las observaciones experimentales Indican hasta una buena aproximación:

una constante llamada coeficiente de

* la fuerza de fricción por deslizamiento se opone al deslizamiento del cuerpo •Si el bloque se encuentra moviéndose con velocidad constante se cumple:

• L a fuerza de rozam iento_______ es constante. Cuando los cuerpos en contacto se deslizan uno respecto del otro. fk

• E l coeficiente representa el grado de________que presentan dos______ . en contacto..

horizontal: 0 £ F < F< F ócndtf Mfc «s

E yC M í'J o r 'V D l A 2 0 1 2 )

ü H

ü

(6 7 )L a fuerza de rozam iento o llamada también________________ es una fuerza de origen_____________ . * Tod a fuerza de rozamiento se debe a las______________presentadas e n tre el

contacto de dos________ cuando se deslizan o intentan resbalar una con respecto de otra.

A)1 B)2 C)3 D)todas E)Ninguna Indicar la proposición incorrecta:

I) Si: f r = j j N : entonces la fuerza de rozam iento es proporcional a la normal.

II) S i la norm al es siempre igual que el peso entonces la fuerza de rozamiento es proporcional al peso.

III) S ie m p re que u n cuerpo está en m ovim iento y actúa el rozam iento sobre é l; éste p e rm a n e c e con m ó d u lo constante. A/Sólo i D )II y N I

B/Sólo U EjSólo III

C/IyJI

Indicar verdaderofVJo falso (F): ( ) M es coeficiente de rozamiento. ( ) ¿i es adimensional. ( )P,>Ph

A )W F D )V W

B)VFV E )F W

C)VFF

[ü O Z A M fC iV T O (^ D eterm in e la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso, si el bloque se mueve a velocidad constante. mov. w V— ► 34 N 28 N M--—► '“ irWW A)3N B)6 C)12 D)8 E)16 m Determine la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso. m

«as

u

F=20N

n

i c

m

x

10 kg ^

i t s

n

i

m

i

i

o

s

)

j\B

BESET 4

%

a aacsvT------------------------^ A)12N B)16 0 1 8 D)24 E)15 Si el cuerpo se encuentra en reposo, hallar la fuerza de rozamiento. 30J 2N

5 kg A )|

B )í

E )±

(Q ) Halle el máxidio peso del bloque «B » para que el bloque «A » no resbale. 4 kg. (g = IQjnla2) 6-0,4

5 ,5 k g

A)40N

A)15N B)5

B)55

C)15 D)95 E)20

@ )E l bloque de 5kg de masa se encuentra en reposo sobre la superficie indicada. Al aplicársele una fuerza horizontal de 1 5 N durante 10a, la fuerza de rozamiento es: /<=0,5

I AJ10N B)15

L 020

D)30

E)20

(T7J)Si el cuerpo está a punto de deslizar, hallar la fuerza « F » : ( fi =0,5); m = 3 kg. (9 = lÓjtt/aM)

1m

A )IO N B)24

030

D)28

E)40

(Q) Determine el coeficiente de rozamiento para que el sistema se encuentre en equilibrio. El bloque está a punto de moverse (considere: ntA= 2,5 kg; m B=5kg, g = l Omia2). G ^ ___________ 7 _

0,2

A)10N

D)12 E)25

Determine la fuerza rozamiento si está en reposo. F=25N

O10

de

B)1042

030

(f^)Halle la fuerza mínima necesaria para que el bloque de 2kg de masa no resbale. (g-10m ¡a2). 1 A)120N B)25

B)20 0 1 8 D)25 E)30

040

(@Halle lafiierza de rozamiento, que impide que el bloque de 2kg se desplace, ri F = 12 N

D)30

A)15N

A)2N

B)4

08

---------D)12 E)16

Determine la fuerza de rozamiento que hace que el bloque no se deslice sobre el piso áspero. IO N 18 N ----- ► *----IBU.'-.j A)2N

B)4

08

D)10

E)28

Hallar la fuerza de rozamiento que no permite que el bloque se deslice.

AJO,5 B)0,4 0 0 ,3

D )0 ¿

E)0,6

(S7))Calcular la aceleración con que se mueven los bloques del sistema, si:// = 0,2 y g= 10 m/a2.

E)150 (R )D eterm ine la fuerza de rozamiento que experimenta el bloque si no se mueve.

A )IO N

B)7

014

D)24

E)48

(T7>) Determine el coeficiente de rozamiento entre el bloque «J3» y el piso, (g = 1 0 m fs 2) para el equilibrio.

Una mota de pizarra de 40N es presionada perpendicularmente a una pizarra vertical cuyo g=0,4. Determine la fuerza necesaria para mantenerlo en reposo.

A)0,01N D)10

B)30 E)160

C)100

ÜSSS566 | g g mantenerlo en equilibrio: //f = 0,75.

@ )S i el bloque mostrado se desliza a velocidad constante, determine el módulo de la fuerza de rozamiento del piso sobre la superfice de contacto, (m htm^ = 1 4 ,8 k g ).

*j

B)54 C)47 D)87 E)57

@ )L a cuarta parte de la fuerza aplicada a un bloque es igual a la fuerza de rozam iento cuyo coeficiente de rozamiento es 0,1. Determine la aceleración del bloque. A)lm/s2 B)2 C)3 D)6 E)9 En el sistema las masas se encuentran en equilibrio. Determine la fuerza de rozamiento en el bloque «B ».

(S7)E1 cuerpo se encuentra en equilibrio estático (reposo).Calcular la fuerza de rozamiento estático. ]F = 2 0 N

A )2 0 N <- f % B )2 0 N

f 0 C ) 1 0 N < - f,

D ) 1 0 N - > f , E )0

<0)En el gráfico el bloque se encuentra en reposo, determinar: A ; La fuerza de rozamiento B : La fuerza normal 50N

7kg B

12N

3 kg

A)10N B)20

C)40

D)30

E)15

@ )E n el sistema se muestran las masas de los bloques en k g . Hallar la fuerza de rozamiento sobre el

A)28N;50N B) 14N;20N 0 15N;30N D)50N;30N E)28N;20N Calcular el valor de "F* si se sabe que el bloque está a punto de deslizar hacia la derecha. (g =0,5 y g=10m/s2) 100N

A) 100N D ) 125N

B)4

08

D)16

E)12

@ )S i el bloque pesa 90N. Hallar el mínimo valor de « F » para

t*

B) 50N E) 0

B ) -> ; cinético D ) « - ; cinético

Calcular la aceleración del bloque si m =10 kg ; g=10 m/s2; mt = 0,5 y F = 20 N a

A) 10 m/ss O 25 m/s9

B) 15 m/s2 D ) 30 m/s2

Con respecto a la fuerza de rozamiento, marcar (F) o verdadero (V): ( ) La fuerza de rozamiento es una componente de la fuerza de reacción, con dirección tangencial al punto o superficie en contacto. ( ) La fuerza de rozamiento se opone siempre al movimiento relativo, del cuerpo respecto de la superficie en contacto. ( ) La fuerza de rozamiento estático eB variable, desde cero hasta un valor máximo, cuando el cuerpo está pronto a moverse. A) W F B )V F F OFW D) V F V E) W V ( 0 ) Indique con V (verdadero) o F (falso) según sea: ( ) La fuerza de fricción es tangencialm ente opuesta al movimiento o posible movimiento. ( ) La fuerza de fricción (cinética) es proporcional a la reacción normal.

< 5kg W

i

A)2N

20Í2\

A ) -» ; estático O 4- >*estático

A)120NB)160 0180 D)240 E)200

A)45N

IA

025N

Un hombre camina a velocidad constante sobre un plano horizontal hacia la derecha sin resbalar. Indicar la dirección y sentido de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el zapato del hombre.

( ) El coeficiente de fricción depende de la calidad de las superficies en contacto. A) W F B) W V O V FV D) VFF E) F F F ¿Cuál es la mínima fuerza horizontal (F ) necesaria para sacar del reposo a una caja de lOkg,

[W 0 Z /t9 fff;jV 7 ,0 apoyada sobre una superficie horizontal; cuyo coeficiente. (g = 10 m/s9). A) 20 N E) 40 N C) 60 N D) 80 N E) 100N Si el coeficiente de fricción es p9=0,1. Calcular la aceleración del sistema (en mis9). A) 0,1 B) 0,3 C )0 ¿ D) 0,7 E) 0,9

A )g (SenO - pCosO) B)gSen0 C)gCosO D )g(CosQ - pSenO) E)g

(Í3) Si la masa del bloque es 20kg, Calcular *F’ para que el bloque esté a punto de resbalar hacia arriba. (g=10 mis 2). P x= ll4

A) 100 N B) 200 N O 300 N D) 400 N E) 500 N

y

*\

E D I C I O N E S niJH LXOS) C) La fuerza estática de fricción es máxima cuando el movimiento es inminente. D)Para iniciar el movimiento: F totn . = /j f imax E ) La fuerza estática es proporcional a la reacción normal en todo momento. .

(Q ) Calcularla máxima aceleración de Af, para que m no resbale aobre el carrito, (g = 10 mls2)s ^ *„ v tv ^ ' M=0,6

—

1K

—

Mg Si el cuerpo está a punto de descender (no se mueve , el equilibrio es estático). Calcular el coeficiente de rozamiento estático p9 entre el cuerpo y la pared (M = 2 k g ;g = 10mis2)• L A) 0,5 B) 0,8 C)0,9 40N D) 0,1 M E) 1

(Q ) Determinar el coeficiente de rozamiento si el bloque está a punto de resbalar: A) B) O D) E)

0,7 0,8 0,75 0,56 0,25

(ÍJjSi el bloque está a punto de resbalar, determinar el peso del bloque C, cuando ps=0,5 ;W A= 40 N

g

A) 5 m/s2 D) 6 mis9

B) 2 mis2 E ) 8 mis2

O 4 mis2

(T3) Calcular el máximo valor de la fuerza F de modo que el bloque de masa "m" no resbale sobre Af = 3 m = 6 kg.

Considere:

.

m = 1/4 y g=10m/s2. La polea es de masa despreciable.

í (77)Si el cuerpo está a punto de descender, Calcular la fuerza de rozamiento estático ( f j (p = 0,5; 0,6; g = 10 mis2; M = 4 kg) A) 12N B )6 N 0 24N D)10N E) 0

fi

A)15NB)20N CJ25N D)30NE)35N (Í3) Al intentar mover a un cuerpo mediante una fuerza F no es cierto que: fíotum iritéft

f, mux

A) ION D)25N

B/15N E)30N

O20N

(7d) ¿Qué aceleración debe poseer el carrito para que el bloque de masa m , no resbale? Considere p =0,5 y g = 10 m/s2.

Calcular "a",para un bloque que desciende sobre un plano rugoso.

g A ) 4 m/s2

o fo fi t(s) A ) La fuerza estática de fricción ( f j aumenta al aumentar F , en el reposo. B)Mientras no hay movimiento: f.= *'

\ . nip

B) 6 m/s2 C) 8 m/s2 -.ST* D ) 10 m is2 y y ^ E) 5 m/s2

L\ EXCM4xorLi>ll 2 0 1¿]

& A )F F V D )W F Indicar si es verdadero (V ) o falso (F ): ( ) El coeficiente de rozamiento ( p ) depende del tipo de superficie en contacto. ( ) Si la superficie es lisa entonces: p*0. ( jPara superficies sólidas en contacto: 0 £ p £ 1. A) F W B) F V F C) V W D) F F F E) VFV (53)Se muestran dos bloques de masas diferentes pero del mismo material, en planos inclinados idénticos. Halle la relación entre sus aceleraciones. ^

A) aJ>ai B) a J
B )F F F E )W V

C )V F F

Señale verdadero (V ) o falso (F ) acerca del rozamiento: 7) Para una misma pareja de superficies pk > pM. I I ) Se necesita menos fuerza para iniciar el resbalamiento de un cuerpo que para mantenerlo en movimiento. 7/7) La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento del cuerpo. A) V W B) F F F C) VFV D) F V F E) FFV (^Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0,2. Determine el valor de la fuerza »j?" para que el cuerpo «B » estó en condición de movimiento inminente. WA=20N y Wñ= 1ON.

C )a = a g

La fuerza fricción de las gotas de lluvia con el aire es proporcional al cuadrado de su rapidez y al cuadrado de su radio. ¿Qué gotas impactan sobre la superficie de la Tierra con mayor rapidez, las gruesas o las finas? A) La» gruesas. B) Las finas. C) Impactan con igual rapidez sin importar su tamaño. DjDepende de la aceleración de la gravedad. E)No se puede precisar por falta de mayor información.

A)8N

B)10

C)14

D)12 E)7

@ )E n la figura la barra «2» se encuentra a punto de deslizar, si el coeficiente de fricción entre «1» y yf3 «2 » es — y la reacción en la 3 J . particulación es 3 2 x 1 0 N . Determinar d (m A=m B=500g y la longitud de «1 » es 0,5 metros). considere barra homogéneas.

I I )La fuerza de rozamiento no depende del área de contacto. III) En todo caso la fuerza de reacción normal es igual al peso del objeto en módulo.

D A )lm

B )l¿

O IA

D )l,6 E )l,8

(@1Determine el menor valor de F que peí-mita sostener el bloque de masa m . El coeficiente de rozamiento estático entre la curva y la polea es p .

A )m g

B )m g (p + 1)

C)mge **

(f^)Calcule la altura máxima del cajón homogéneo y la medida del ángulo o de modo que esté a punto de volcar.

A ) h = DTanO; 0=Tan~t( p ) O h — DCotO; 0=Tan~1(p ) D ) h = DCotO; 0 < T a n 'U p )

iSeñale verdadera (V)o falso (F ): I) Los coeficientes de rozamiento dependen del grado de pulimentación de las superficies en contacto.

la barra, si el módulo de la tensión en la cuerda es mínimo? Considere p M=0,75.

A) 15,25cm 012,11

B) 10,25 D )íl,8 9

Una barra de 2,5m de longitud permanece horizontal, pero su extremo izquierdo está a punto de deslizar por la pared. ¿A qué distancia del extremo 7 se encuentra el centro de gravedad de

E ) h = DCotO; 0 ¿ Tan l (p ) (R )S e muestra un sistema en reposo, si los bloques A y B son de 4kg y 2,6kg respectivamente. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento entre el piso y el bloque A (g=10m¡s3).

[fg Q Z y lM fK iV I ^ O D)3 A)0 B)1 C)2

B IW M V E S

. xt

E)4

mostrado, @ D el sistema determine el coeficiente de rozamiento estático mínimo entre la pared y la rueda de radio R 3, tal que no 6e pierde el equilibrio.

(Q)Determine el valor mínimo de «x», si la cadeua flexible y homogénea de 8m de longitud se encuentra en equilibrio y el coeficiente de rozamiento estático entre la cadena y el plano inclinado es 0,5. Ar.

sistema inicie su movimiento. (g -lO m /s s; m A= lk g ; m B=2kg). Jo,3 10,5 F B l[0 ,4

x min

'““ l0,25. A)16N B)22 /(£—0,5

A)4m B)5 A)3/5 B)5/3 C)9/5 D)5/9 E)3/8 (^D eterm inar el módulo de la máxima aceleración del camión, sin que la caja vuelque, suponer que el rozamiento es suficiente en todo momento para evitar el deslizamiento. (g=10nifs2). Im

^ C a lc u la r el módulo de la máxima aceleración que puede tener el vehículo sin que la caja A resbale, si el = 0,5 y g=10mls .

C)6

B)8

04

D)2

E)7

B)3,12 E) 7,02

05,42

(Q)La figura adjunta muestra una barra uniforme y homogénea inicialmente en reposo, si se comienza a aumentar la tensióu en la cuerda hasta el instante que la barra comienza a deslizarse sobre el piso, manteniendo a partir de este momento su módulo constante. Hallar la distancia que recorrerá la barra hasta el instante que comienza a levantarse con el extremo

El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Calcular el coeficiente de rozamiento " que el peso del bloque y La'áenuesfera homogénea son de* 200 ¿y 100N respectivamente. El sistema esta a punto de ponerse en movimiento.

@)E1 bloque A, de peso Wt desliza hada abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado cuya pendiente es 37* mientras la tabla B, también de peso W, descansa sobre la parte superior de A La tabla se encuentra unida mediante una cuerda al punto más alto del plano inclinado. Si el coeficiente de rozamiento cinético es el mismo para todas las superficies en contacto, calcular su valor.

- — -—

B)0,22 E)0,48

A)0,25 0)0,42

E)1

T i a v i .s h e

014

0 )1 5

E)16

.T O i P iitf m a

ú í Tía s e g v x b ía

m

A)10kg B) I 2

ia m

00,33

[ir I2J.I <3)HI | JJ8¡(!)('Mí |8)B

(ÍTa v é s

T

E)20

\Í6 + 1

(g)Determinar la masa de «A », si el bloque «B » de 40kg desciende con una aceleración de 2m ¡ss. (g=10m¡82).

ftc=S!4

C)18 D)19

A)0,25 B)0,50 00,75 D)1 E)0,40

«A» aun deslizándose. AjlOm/a*

D)3

(Q)\a cadena flexible y homogénea de 8m de largo está en equilibrio, y el g u =0,5 en el plano. Halle el valor máximo de «x »; en metros.

A)2,95 0)6,67 A)10m/8* B)5 0 2 ,5 D)7,5 E)12,5

k ííb M

A)L(ETg30V C )L (l-T g l5 Q)

B)L(1-Ctg30°) D)L(1-Ctgl5°)

(Q ) Determine el valor necesario de la fuerza F de tal manera que el

m

I

PRACTICA1

S)B (¡),\

i m i ! m Ii^ j; i í ^ ¡ M)f i9)Ú i m i m w

i i A \ t : s n i : 1 .1 r m n :iL \ p itic n c S ¡ m m i h »¡ l)fí\ñ)B w

7J0|#)D|9)€l/5)5

/JJ.1 k )u!j w :tw\ M/.I m

iv U n iin /iM i

• *

fr

*

l '

570

o b j e t iv o :

Identificary analizar las leyes que rigen el movimiento de los planetas. LXTROIIVCCIÓX:

Ahora vamos a describir el paso más audaz del trabajo de Newton, el cual demuestra su extraordinaria capacidad de extrapolación, así como su gran intuición. Al analizar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, Newton se dio cuenta de que debía existir una fuerza de atracción de la Tierra sobro la Luna, análoga a aquella con la que el Sol atrae a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse de un árbol concibió la idea de que su caída también debía ser causada por atracción de la Tierra. Reuniendo las ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra atrae la Luna y a la manzana, Newton llegó a la conclusión de que la atracción observada debe ser un fenómeno general (universal), y manifestarse entro dos objetos materiales cualesquiera. En otras palabras entre usted y este libro debe existir una fuerza do atracción, de la misma manera que existe entre usted y su compañero, io entro el profesor y el pizarrón! Surgió así la idea de la Gravitación Universal, de que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza ~p y denominada fuerza gravitacional, cuyo valor está dado por la misma expresión matemática de la fuerza entre el Sol y un planeta. Entonces, siendo m ¡ y m 9 las masas de dos cuerpos separados una distancia r habrá entre ellos una fuerza de atracción cuya m./üo magnitud está dada por: F = G — ~ r

L E Y D E G R A V IT A C IÓ N U N IVER SAL Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

-V *

IA

L Y f i f x o r L / l H 2012}

m 2

7 7 1

F

F

€

te l—

La Tierra atrae a la Luna con una fuerza de la misma naturaleza que la fuerza con que el Sol atrae a los planetas. ...... Luna % %

% «

Tierra

Trayectoria de la Luna ai no hubiese atracción de la Tierra. Entre dos objetos materiales cualesquiera existe una fuerza de atracción (Gravitación Universal).

La fuerza de atracción gravitacional entre dos objetos “ comunes” existentes en la Tierra resulta ser muy pequeña, y Newton no pudo comprobar experimentalmente dicha atracción. Sólo cuando la interacción es entre dos masas muy gixmdes (como el Sol y los planetas) esposible apreciar la fuerza de atracción gravitatoria.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Muchas veces nos hemos hecho la pregunta, ¿por qué los cuerpos soltados desde cierta altura se precipitan a tierra? o ¿por qué la Luna se mantiene en órbita alrededor de la Tierra? o ¿por qué los planetas se mueven alrededor del Sol? Todas estas preguntas tienen hoy en día una respuesta satisfactoria gracias a la Ley Universal de la Gravitación.

ÜT#>JV Desde hace muchos siglos atrás (400 a.C.) que el ser humano se interesó por entender el movimiento de los cuerpos celestes; fueron los griegos los primeros en este campo.

E IH C IO X K S Todos estos fenómenos se rigen por una misma ley.

Si bien los instrumentos ópticos de precisión tardaron todavía 2 000 años en aparecer la simple observación del cielo nocturno había proporcionado los datos suficientes respecto al movimiento de los cuerpos celestes, para establecer diversas teorías al respecto. Las primeras basadas en la hipótesis hechas por Aristóteles, consideraban a la Tierra como el centro del Universo (Sistema egocéntrico), lo cual hacia que describir el movimiento de los cuerpos celestes fuese sumamente complicado. Esta teoría con el tiempo sufrió ciertas modificaciones, pero aún tenía serias limitaciones para explicar con sencillez una serie de fenómenos que se observaban. Fue alrededor del año 1 600 d.C. cuando un joven estudiante polaco Nicolás Copérnico tuvo la audacia de establecer una teoría en la cual se considera al Sol como el centro de nuestro sistema, y los demás planetas incluido la Tierra orbitando alrededor de él. La teoría de Copérnico no era del todo satisfactoria, ya que él sólo aceptaba como trayectoria para los planetas una circunferencia y eso hacia que su teoría tenga muchas limitaciones, pero estableció las base para que luego JohanneB Kepler y posteriormente Isaac Newton dieran la gran respuesta a: ¿Cómo funciona el Universo?

XEW TOX Y LA LEY

• >

Newton estableció que dos qtiérpós cualesquiera experimentan una atracción mutua y la fuerza que define dicha atracción sé denom ina: ^Ü ^rza gravitatoria (F g).

L E Y D E G R A V IT A C IO N U N IV E R S A !. Dos partículas cualesquiera se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas rpgvo inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. m2

Donde: G = 6,67 xlO~n N x m ’ lKg* (Constante de gravitación universal) * Para el caso de la atracción entre los cuerpos y la Tierra la fuerza gravitacional, también se denomina fuerza de gravedad ( Fg ).

D E LA. G R A V IT A C IÓ N Muchas veces pensamos que fue Newton quien estableció el concepto de gravedad, pero antes de Newton y a ^ conocía el concepto de gravedad. El gran" acierto de Newton fue establecer que los cuerpos que se precipitaban a tierra, la Luna orbitando alrededor de la Tierra, los planetas moviéndose alrededor del Sol, son todas manifestaciones de una atracción universal que experimentan los cuerpos. ¡Extendió el concepto de gravedad a todo el Universo!

Luna

m g=

GM Tm ( R + h )2

g = Valor de la aceleración de la gravedad a una altura “h ” respecto de la superficie terrestre. Afr: Masa de la Tierra ó M r = 6 x l0 24kg R t : R adio terrestre ó R T =6,4x10*m OBSER VACIONES :

* A pesar que “ m / ' puede ser diferente que " m ,” sobre cada masa actúa el mismo módulo de fuerza (F ) . * Las masas se consideran puntuales cuando sus

IA

G

E X U r j . o r E D L t 2 0 v¿]

dimensiones son pequeñas comparadas con la distancia (r) que las separa.

Cabe resaltar que antes que Newton enunciara la Ley Universal de la Gravitación, un astrónomo alemán Johannea Kepler ya había establecido tres leyes * Cuando las masas sean esféricas o cascarones relacionadas con el movimiento de los planetas, esféricos, no necesariamente deben ser puntuales, la basándose en las observaciones, hechas por su maestro distancia (r) a considerarse es aquella medida entre Tycho Brahe, dichas leyes son reconocidas actualmente los centros geométricos de las esferas o cascarones como las leyes de Kepler, pero tener presente que estas homogéneos. leyes se pueden deducir de la ley establecida por Newton. * Generalmente, la fuerza gravitacional es considerable cuando las masas-son muy grandes (planetas, estrellas, L E Y E S D E K E P L E R ...). Cuando las masas sean pequeñas, se despreciará la fuerza (F) gravitacional debido al pequeño valor de PRIM ERA LE Y (le y d e la » ó r b it a » ) .* G( 6,67xl0~u Nmt¡Kg3). Todos los planetas se trasladan alrededor del Sol, * Por lo menos, para que la fuerza gravitacional (F) describiendo trayectorias elípticas, donde el Sol ocupa sea considerable una de las masas debe ser muy grande uno de los focos de la elipse. Elipse (Luna, tierra, planeta, estrella,...).

r

* La fuerza gravitacional es una fuerza más del D.C.L. y existe a pesar de que las masas sean móviles. (Ejemplo: Tierra, Luna).

Sol f

VARIACIÓN D i: LA ACELERACIÓN D E LA GRAMCDAD CON LA ALTiTVD t vm

* Sabemos que: yf=mg ... (peso)

P laneta W

♦Además: iy GmM ds

mg =

*

R

GmM

SEGUNDA LEY (le y d e la s ú r e a s ) Z Durante el movimiento que desarrolla un planeta, el radio vector que une el Sol con el planeta “barre” áreas iguales, cuando los intervalos de tiempo son iguales.Es decir el área barrida por el radio vector es proporcional al tiempo empleado. B ...

c . Y

s

g= Aceleración de la gravedad en las proximidades del planeta.

/ A2 ¿

.."i"

t co t \

d = R +h

;

g,=

A

OM.

II

,

A

A

♦A cierta altitud comparable con el radio terrestre: j

W

f ............................ v*?* AB .*>V i — ':»■* A

Mt- *

♦En la superficie: d=R

A¡

i

(R+h) 2

*AB

tc D

♦Notar que 6Í íAB=^C/>: entonces At =AS ♦En las inmediaciones de la superficie terrestre: h« R

gmt g =

'2 R j>

a

_

* 9 , 8

.2 :

m is

TERCERA IJSY ( l e y d e l o s p e r í o d o s ) Z El período (T) de un planeta (tiempo que emplea en dar una vuelta alrededor del Sol) elevado al cuadrado es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica que describe. R : Semieje mayor de la elipse.

573

E D IC IO N E S

M tlliMÑOS)

• Cuando una de las partículas puede considerarse en reposo por tener una masa mucho mayor que la otra, la expresión anterior se reduce a: U =- R max + R MIN

* Para el caso de dos planetas A y B. para

el

so l

n Ra 3

_

n R3 a

:

El radio máximo de un planeta que gira a su alrededor se llama "Apohelio" y el mínimo radio ”Perihelio" PA R A L A T IE R R A : El radio máximo de un satélite que gira a su alrededor se llama Apogeo y el mínimo radio, Perigeo. NOTA:

La importancia del trabajo de Newton radica en que proporcionó una explicación sencilla a diversos fenómenos como por ejemplo las mareas oceánicas, y además permitió predecir el descubrimiento de algunos planetas de nuestro Sistema Solar. (Neptuno y Plutón ).

EXE11GÍA V O T E X C iA L GRAVMTACIOXAJL (E r) Consideremos dos cuerpos de masas y m2separados la distancia d. Cuando las masas se mueven de modo que la distancia d varíe, la fuerza gravitacional F realiza un trabajo. Puede probarse que la energía potencial gravitacional de los cuerpos de masas m 1 y m 9 separados la distancia d es:

; (m 5 M ) * Donde M es la masa del cuerpo que se supone en reposo. Por ejemplo, en el caso de la Tierra y el Sol podemos suponer que el Sol está enJVeposo, y en el caso de un satélite artificial moviíhdo&e alrededor de la Tierra podemos suponer que la Tierra éstá en reposo. ¿

v v

• Entx*e la Tierra y un cuerpo esférico: M k m v B S ...................................^ 'p

r Mrm j

d Para mayor comodidad se ha tomado la E p( - ) ; interpretando * físicamente esto quiere decir que: C u a n d o los cuerpos se a le ja n , la energía p o te n c ia l a u m e n ta . E s to es, los cuerpos inleraclúan mediante fuerzas de atracción, p o r consiguiente, p a ra alejarlos uno del otro será necesario g a s t a r tr a b a jo . **La E n e r g ía P otencial” será m á xim a cuando los cuerpos están infinitam ente alejados y será m ín im a cuando la distancia es m ín im a ”. * Lu interpretación gráfica será:

•> '*

De modo que es inversamente proporcional a la distancia.

d0: es la separación entre los centro de masa de los cuerpos (esféricos) en contacto inicial. O B S E R V A C IÓ N : • La energía total de dos cuerpos sometidos exclusivamente a su interacción gravitacional y moviéndose con velocidades V¡ y V2 es:

EL CAMPO GRAVITACIONAL Toda masa produce en el espacio qup le rodea una situación física que llamamos campo gravitacional, que viene a ser un‘agente transmisor de interacciones gravitatorias.

M

IN T E N S ID A D D E C A M P O G R A V IT A C IO N A L (E c ) Es una magnitud física vectorial que nos expresa a aquella fuerza de atracción que ejerce la masa creadora del campo sobre una unidad de masa colocada en su interior. Este vector intensidad de campo siempre está dirigido hacia la masa que lo origina y es colineal a la fuerza de atracción. M EG

EWCICMI'EDLt 2012)

* En la figura entre M y m existe una fuerza.de mM atracción: FÁT=G (I) R • Por movimiento circular: F a t =

m

R

(ID

* Además (I) = (II) : m ^ = G ^ R R * De donde: • Siendo, R = radio de la órbita del satélite.

(I) * Por Ley de Gravitación Universal: F = G ^ ¡ f a * En módulo, reemplazando en (/): M =G m d * En consecuencia; en módulo la intensidad de campo gravitacional se determinará así:

Aproximadamente: R = R T = radio terrestre. Entonces; para la Tierra su satélite debe ser lanzado con una velocidad aproximada de:

SEGUNDA VELOCIDAD CÓSMICA (V J Es aquella velocidad con la cual se debe lanzar un cuerpo para que deje de ser un satélite del planeta desde el cual fue lanzado (ya no gira en órbita circular ni elíptica).

* Donde: m = masa puntual AI = masa creadora del campo gravitacional

VELOCIDADES o r b it a l .e s y d e e s c a p e

PREVERA VELOCUtAD CÓSMICA (V J :

A esta velocidad también se le denomina Velocidad de Escape. é

Es aquella velocidad con la cual un satélite puede desplazarse en trayectoria cerrada (circular) alrededor de la Tierra (o del planeta desde el cual es lanzado el satélite).

Para hallar la mínima velocidad de escape (V J para que, a fin de cuenta llegue al infinito, entonces la energía total debe ser cero o positiva (se entiende que no escapa del sistema planetario solar al cual suponemos como un sistema conservativo). •En E Toíal= E c + E p -» E r o ia .^ 'n V .3 ~ G ~ * En el infinito: E Total=cero * Por el principio de conservación de la energía, se debe

B7B

r ZM00IV cumplir: m 3f

E Totol en

7Wa¿ en e¿ in fin ito

-m V / -G =0 2 e “5”

ig iB iM A ) Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Por ellos estas teorías se denominan geocéntricas. SISTEMABE PTOLOMEO k b iv j o x k s

D e: Saturn

Obsérvese que: • V = j2 V 0 • La segunda velocidad cósmica (de escape) para el caso de cuerpos lanzados desde la tierra es aproximadamente: * Notar que la velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo. Sin embargo la fuerza requerida para acelerar un cuerpo hasta que alcance ésta velocidad, si depende de la masa del cuerpo, y esta es la razón por la cual los proyectiles y satélites requieren de motores muy poderosos.

M O V D IIE N T O P L A N E T A R IO (ZIECÁATCA C E L E S T E ) Uno de los primeros problemas científicos que preocuparon a la humanidad fue el del movimiento del Sol, la Luna, los planetas y los demás astros del firmamento. Podemos afirmar que la Astronomía es quizás la primera ciencia cultivada por el hombre. En una primera etapa, que duró más o menos hasta el siglo X V II, la Astronomía se limitaba a describir y correlacionar el movimiento de los cuerpos celestes. Uno de los procesos de más trascendencia en la evolución de la ciencia fue el descubrimiento de las leyes que rigen dicho movimiento.

Lam entablem ente, este e squem a se fue c o m p lic a n d o al p ro cu ra r te n e r en cuenta los d iv e rs o s detalles de m o v im ie n to planetario. A s í, en la teoría d e P to lo m e o se e x p lica b a ei m o v im ie n to de lo s planetas en la sigu ien te fo rm a : (1) ei planeta d escrib ía un c írcu lo relativam ente p e q u e ñ o lla m a d o e p ic ic lo : (2) a s u v e z , el ce n tro d e este c írc u lo re co rría la c irc u n fe re n c ia de o tro c írc u lo m ayor, c o n c é n tric o c o n la Tie rra y lla m a d o deferente. E l re su lta n d o final era q u e la órbita d escrita p o r el planeta era u n a c u rv a d e n o m in a d a e p ic ic lo id e . E l s is te m a p to le m a ic o p e rd u ró p rá ctica m e n te s in o p o s ic ió n sería hasta el s ig lo XVI, a p e s a r de q u e ta m bié n reque ría c ie rto s aju stes para c o n c o rd a r ple n a m e n te c o n las o b s e rv a c io n e s .

P la n e ta Ep icicloid e

i

Ep iciclo

9

Pero fue Newton quien, al explicar el movimiento planetario en términos de la gravitación universal, sentó las bases de la Astronomía como una ciencia deductiva en la que es posible hacer predicciones y cálculos basados en una teoría más que en la extrapolación de observaciones. De este modo ha sido posible el empleo de satélites artificiales y el poder viajar de la Tierra a la Luna.

T E O R ÍA G E O C É N T R IC A Los griegos ensayaron varios métodos para describir el movimiento planetario, suponiendo siempre a la Tierra en el centro del Universo, inmóvil e inmutable con los astros conocidos moviéndose alrededor de la Tierra en el siguiente orden: Luna, Mercurio, Venus,

I%

T ie rr a / E p ic ic lo id e

T E O R ÍA U E L iO C É N T R IC A E l a s tró n o m o p o la co N ico lá s C o p é m ic o p re s e n tó en el s ig o XVI, un m o d e lo m á s s e n c illo para s u s titu ir el siste m a de To lo m e o . S ie n d o un h o m b re c o n una p ro fu n d a fe re lig io sa , C o p é m ic o creía q u e "e l U n iv e rs o d eb ería s e r m á s s e n c illo , p u e s D io s no haría un m u n d o tan c o m p lic a d o c o m o el d e T o lo m e o ". E n el m o d e lo de C o p é m ic o , el S o l está en re p o s o , y lo s planetas, in c lu y e n d o la T ie rra , g ira n a lre d e d o r de él en órbitas circu la re s (teoría h e lio cé n trica ). Esta idea y a había s id o p ro pu esta p o r a lg u n o s f iló s o f o s d e la G r e c ia A n t i g u a . C o n s u te o ría h e lio c é n t r ic a , C o p é r n ic o lo g r a b a u n a d e s c r ip c ió n d e lo s m o v im ie n to s ce le ste s tan sa tisfa cto ria c o m o la q u e se obtenía c o n el siste m a de T o lo m e o , y c o n la ventaja d e se r u n m o d e lo m u c h o m á s se n c illo q u e el e g o c é n tric o .

Iu\ E x i ' n j . w i inA 2012} Pero un sistem a en el q u e el S o l s e c o n s id e ra b a In m ó v il, y la Tie rra se co n ve rtía en un planeta en m o v im ie n to c o m o to d o s los d e m á s , Iba en c o n tr a d e la filo s o fía a ris to té lic a y la s convicciones religiosas de la época. E n virtu d d e ello, C o p é rn ic o tu v o gran renuencia a p u b lic a r s u s id ea s. E l lib ro en el cu al expuso su teoría c a u s ó g ra n d e s p o lé m ic a s , y te rm in ó p o r s e r co lo cad o en la lista d e lo s lib ro s p ro h ib id o s p o r la iglesia.

*D e ( I ) = ( I I ) : mg = G ülMx. Rt (6400 x10a) •Dedonde: kfT = g -T -= 9 ,8 --------u 6,67x10 M t = 6 0 1 9 ,6 x 10*1 k g

T E O R ÍA A C T U A L El m odelo de C o p é rn ic o fue p e rfe c c io n a d o p o r T y c h o B ra h e y Jo h a n n e s K e p le r (1575 -1630) q u ie n lle g ó a la c o n c lu s ió n de que las órbitas planetarias s o n elipses c o n el S o l en u n o d e los focos. S e s u p o n e q u e los planetas se m u e v e n a d ista n cia s cada vez m ayo res del S o l en el s ig u ie n te o rd e n : M e rc u rio , V e n u s, Tierra, Marte, J ú p ite r y S a tu rn o ; U ra n o , N e p tu n o y P lu tó n no habían sid o d e s c u b ie rto s a ú n en esa é p o c a .

Uranio

M T= 6 0 1 9 ,6 x 1018 Tonelada$

C A L C U L O D E L V O L U M E N D E L A T IE R R A (V T) Asumiendo que la Tierra tiene forma esférica, de radio promedio 6 400 km , tendremos:

EFECTO SO BR E EE P E S O DE UN CUERPO DEBIDO A EA ROTACIÓN

Satu

Todo cuerpo en el Ecuador pesa menos que en el polo, esto es debido a que:

C o nvien e h a ce r una o b s e rv a c ió n im p o rta n te . C o m o sa b e m o s, el m ovim iento es un co n ce p to esencialm ente relativo y, p o rta n te , carece de v a lo r a firm a r q u e la T ie rra está fija y s o n el S o l y los dem ás planetas los q u e d e s c rib e n tra y e cto ria s a s u alrededor, o que el S o l está fijo y la T ie rra , ju n to c o n lo s restantes planetas se m u e ve a s u alre de dor, y a q u e , en re a lid a d , lo q u e h a ce m o s en el p rim e r c a s o es re fe rir lo s m o v im ie n to s d e lo s a s tro s respecto a la Tie rra y en el s e g u n d o re s p e c to al S o l. La única ventaja de esta s e g u n d a s e le c c ió n e s q u e la d e s c rip c ió n del m o v im ie n t o e s m á s s e n c illa y p o r e llo e s la a d o p t a d a universalm ente. M ás n o p o r e s o p o d e m o s ta ch a r de e rró n e o el m o d e lo g e o c é n tr ic o , y a q u e la d if e r e n c ia c o n el m o d e lo heliocéntrico está en el sistem a de referencia u tiliza d o .

* P R IM E R O . El cuerpo está más cerca al centro de la Tierra (por efecto del achatamiento en los polos). •S E G U N D O : El cuerpo está más alejado del centro de la Tierra y se le debe restar “ m a **(Por el efecto de la rotación de la tierra). En este caso; en el Ecuador:

niac¡>

W - WB=maCP -> Wg=W - maCP * Donde W ,= peso en el Ecuador

W = peso en el polo

a = aceleración centrípeta cp

CÁECiXO DE EA M ASA D E EA TIERRA

Considerando el radio de la Tierra ( R T) aproximadamente 6 400 km y además como la Tierra atrae a todo cuerpo que está sobre su superficie o en sus inmediaciones con una fuerza gravitacional igual

T = período de rotación de la Tierra (24 h) R t = radio de la Tierra = 6 400 km O B S E R VA C I Ó N : U n uc a m p o gravitatorio” , es aquella región del espacio que rodea a una m a sa UMHcre a d o ra d e l c a m p o , lu g a r en el cu al deja se ntir s u e f e c to ( a t r a c c i ó n ) s o b r e o t r a s p a r t íc u la s . E l c a m p o gra vita to rio se c o m p o rta c o m o u n agente tra n s m is o r d e fuerzas gravitatorias. E l c a m p o g ra vita to rio se p u e d e re p re se n ta r m e d ia n te líneas de fu e rza s (líneas g e o m é tric a s ) in g re s a n d o a la m a s a 7W " creadora del c a m p o . S e traza una línea d e fu e rza d e m o d o q u e en cada p u n to la d ire c c ió n d e l c a m p o es ta n g e n te a la linea q u e pasa p o r el p u n to .

* Pero: F = m g

(W

R e p r e s e n t a c i ó n g r á f ic a d e l c a m p o g ra v ita to r io d e u n a m a s a p u n t u a l ó e s f é r ic a .

ÍC fV /IlT T A rfÓ iV

H

i

P R O B L E M A 1: En el experimento de Cavandish; podemos determinar que la fuerza entre las esferas era alrededor de 2,53x10*' N , cuando el péndulo de torsión estaba en su posición de equilibrio. A partir de la figura, calcular la constante de gravitación universal en unidades de 20"11Nmi/kg3

W ñ T Í7 7 * Realizando un D.C.LT del cuerpo situado entre ambos astros: a Ffierra Luna * Siendo: Mr > M t * Entonces por la Segunda Ley de Newton: F T - F L =ma

G

■m _

Mt m _Q

C) 6,7 D ) 7,0

E ) 6,8

R E S O L U C IÓ N :

22,5cm

Mi * Por definición: _ F Gd 2 „ GMm G= d2 Afm * Reemplazando valores: (l,55 $10'7N){225 lO ^m ) G= (158 kg) (73 x lO 2 kg)

D ■ = 3 ,8 f 4 xl0 *m

I

I

ma

a+

R P T A : “C i»

P R O B L E M A 3: Un planeta de masa ”M ” tiene una luna de masa "m”, que gira alrededor del planeta en órbita circular con radio "d* medido desde los centros geométricos de los cuerpos esféricos. Determinar a qué distancia dél planeta, entre M y m t se encuentra la zona de ingravidez, es decir la aceleración de la gravedad es nulo. A)

0,73kg

t centro

R E S O L U C IÓ N :

(i)

(f

a =^ ( M T -M L) O

B ) 6,9

B ) 4,68 X JO* D ) 4,68 x JO*

A) 0 C) 4,74 x JO*

* Por Gravitación Universal:

M =168 kg

A) 7,1

E Ú iC iO X É S IU J K t \ 0 $ (en km) del centro de la Tierra se ubica el centro de masa del sistema Tierra - Luna?

d _. m+M

B)

2d

* Aplicando el teoremas de Varignon respecto al centro dé la Tierra, es decir: (M

t

+ M

l

)

x

= M

t

(0 ) + M

l

(D )

-* M l ( D ) - x (M t + M l )

-» ML(D)=x((8lM L)+ Ml ) X = R = S.’ *4 * ™ * ? = 4 ,6 8 * 10*km

52

82

RPTA : “Z>"

P R O B L E M A 5: A partir de la siguiente tabla de datos estime la rapidez (en km/s) de la tierra respecto al sol.

d\fm C) m + sÍM

M ata d e la tierra

5,98xl0k**g

M ata d el to l

l,9 8 x l(j* k g

R E S O L U C IÓ N :

D istancia tierra •tol

l,4 9 x l o " m

* Si la aceleración de la gravedad en el punto N A” es nula, entonces la fuerza resultante sobre cada unidad de masa '"mj es igual a cero.

C onttan te U nivertal G

6,67x10 ' W

A) 8

B) 80

D ) 8 000

E ) 30 000

» V

C)800

R E S O L U C IÓ N :

d -x

x

V

Sol

é

Nm2 -n G = 6 ,7 xl0 Air*

m RPTA : “C ”

P R O B L E M A 2: Calcular la aceleración de un cuerpo que se halla en el punto medio de la distancia “d ” que separa la Tierra de la Luna. Considere M T y M L como masas de la Tierra y la Luna respectivamente. A)?S-(M t - M l ) B) 3GMt d2 Ml 5G 4G C ) ^ ( M t - M l ) D )-~ (3 M l - M t ) d* d RESOLUCIÓN:

R Aplicando la 2da Ley de Newton

0 —►Fp— G •Mm0 _ G •mm0 x2

(d- x) 2

M

m

x2 ( d - x f

d jM * Al despejar: * — y¡m +y/M RPTA : “D " P R O B L E M A 4: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y la distancia que separa los centros de ambos cuerpos es 3,84 X 108 m. ¿A qué distancia

Fn=m

V2

(Asumiendo

R trayectoria circular)

la

GA& m=m VB „ ¡GMé — ------ >V=. R R R* ¥, 6,87x10-" xl,98x10* , , V = . I— ----------------------- - r , ------------- m j a » 3 0 k m j 8 1,49x10)

•>----------- *—

RPTA : “B ” P R O B L E M A 6: Se desea colocar un satélite en órbita circular a 1500 km sobre la superficie

K m 57» terrestre, ¿qué rapidez (en m/s) orbital deberá tener el satélite? Rr=6 400 km A) 6 000 D) 8 1 0 0

C) 7 2 0 0

B ) 7 099 B ) 6 400

R E S O L U C IÓ N :

¡A ENUCJ.w e d i A 2 0 1 2 ]

* Como: R GAfr 2 R,= 2 2 R* 1 • De (I) + (II ), se obtendrá: GM t

fy /f{ V ¡)

«s 2GM t r2

satélite

(II)

Yi Y RPTA : “D ” H

í

f

P R O B L E M A 8:

h Rr

1500 km _ 15 6400 km 64

Dos satélites giran circunferencialmente alrededor de un planeta, tal que la distancia mínima entre ellos es a su distancia máxima como 3 es a 5. Calcular la relación de mayor a menor de sus velocidades lineales. A) 1 B)2 C)4 D) 1/4 E) 8 R E S O L U C IÓ N :

r=Rp+h

=R t + — R t = — R t

^

64 ^

64 ^

Calculo de «V» GMT m V2 Fo=— r2 5 — =m— r GM

P R O B L E M A 9: ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) La fuerza que la luna ejerce sobre un kilogramo de agua en la superficie de la tierra en un punto más cercano a la luna y en un punto lo más alejado de esta son iguales. 2) Las mareas que se producen en el mar se asocian con el movimiento del sol. 3) Las mareas que se producen en el mar se asocian con el movimiento de la luna. 4) La tierra atrae a la luna con una fuerza que es de la misma naturaleza que la fuerza con que el sol atrae a la tierra. 5) La rapidez angular de un satélite en órbita circular alrededor de la tierra depende de la masa del satélite.

6) El fenómeno de las mareas en el océano se deben a las fuerzas éi gravitacionales del sol y la luna sobre las aguas marinas. I a m • 7)Todos los objetos que orbitan alrededor de la tierra y con el mismo radio orbital, tienen la misma rapidez. v 3) La fuerza gravitacional sobre un astronauta a 200km de la superficie x= distancia mínima entre y m3 de la tierra es 6% menor cuando está y = distancia máxima entren»! y m 2 en la superficie de la tierra (RT =6 x 3 5 400 km). •Por dato: ~7~T~* y~~qx 9) La fuerza gravitacional sobre una y 5 o nave espacial cuando pasa por el ._ _ _ _ Gm ,M rn.V? punto medio de la distancia entre la •Para "m /: FG = - ^ - = - ^ L tierra y la luna, es cero. A) 3 BJ 9 O S Dj 6 E) 8 GM 0 A ~» V /= ------, pero 2a+*=y R E S O L U C IÓ N : t

$

Br

$ 9

9

9 • É 9

« I

%

*

10 x 6 4 x 6 4 0 0 x 1 0

720 0 m/s

79

RPTA : "C

99

P R O B L E M A 7: Un satélite de la tierra gira en una trayectoria circular de radio Determine la relación de sus rapideces V JV Í A) (2/3jts D) ( l/ 2 jls

B ) (1/3J,S E ) (3I4)IS

C) (1/4)13

R E S O L U C IÓ N :

1) F A L S A : No; las fuerzas son diferentes

2 a + x = ^ - -ya=x/3

porque estas fuerzas dependen de la distancia de separación.

2_3GM V /= * Para "m /:

* En la trayectoria de radio "R ¡: GM GMTm V/ F#=---- ife—=m * R. R • En la trayectoria de radio *R{: _ GMr m Fl= Jz R

GM R

R

L=V?

GM V* 2 a+x

- Gnt2M - m2V* Gí fc + x )2 ío + x )

p

GM _ 3GM * ... 4x i +x • Luego (I) + « » : _

(//)

\2

V, 2

=4

i =2 _

R P T A : “B”

2)FALSA: El movimiento de la luna origina las mareas debido a la atracción combinada con el sol y la tierra, son ascensos y descensos de agua marina. La marea alta se presenta en luna nueva y luna llena, marea baja en otras dos fases. 3) VERDADERA: 4 )V E R D A D E R A :La fuerza entre cualquier pareja de cuerpos del universo es de la misma naturaleza (Fuerza Gravitacional).

ir,* v i T / i m b N 5) FALSA: La rapidez angular de un satélite en órbita circular alrededor de la tierra es independiente de la masa del satélite. 6) V E R D A D E R A : Las fuerzas gravltacionales debido al sol y la luna actúan sobre las aguas que cubren la tierra produciendo las denominadas mareas oceánicas. 7) VERDADERA: Si, puesto que la rapidez solamente depende de la masa de la tierra y la distancia. 8) VERDADERA: La distancia del centro de la tierra al astronauta es: r = R r + 200 RT = — RT 32 6400 GMTm GMsm =0,94 -* 0 = R* 32 = 100%Fg -6 % F g 9) F A L S A : La fuerza no es cero, puesto que la tierra tiene mayor masa que la luna. RPTA : “C ” PROBLEMA 10:

Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura donde la aceleración de la gravedad es la cuarta parte de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Calcular el período de revolución del satélite. (Considere "iZ" el radio de la Tierra y "g” la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre). A)4xJWg B)2xjR¡g C)4xJgÍ2R D) 4xy[2Rlg E ) 4xy¡RJ 2 g •

^

* Sabemos que: 6h ~St •^ (R r + H f

gR*

4 (R + h)2 -* H = R -» r = 2 R

R + H = 2R

satélite

H

Esquema del movimiento de las dos estrellas: C e n tro de W

meo2r = mg n -> co2(2R) = g/4 -» a?2= g!8R -» Q)=yJg/8R * Pero: Q) = 2n/T -> T=2nf& 8R T=2it T=4Kyj2R/g g

a=g¡4

n t iu x o s

RESOL UCIÓN:

ro ta c ió n Fr: / Fu

R PTA: D 44

99

PROBLEMA 11:

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra, demorando 1 s en llegar a la parte más alta de su trayectoria. Si el mismo cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de un -* r planeta de M P= — M T y £ 2 con la misma velocidad, determinar la máxima altura alcanzada en el planeta (en m). gT-1 0 m/s2 A) 1.5 D ) 4,5

B ) 3,0 E ) 2,5

C) 3,5

RESOL UCIÓN:

*Si el cuerpo demora ls en alcanzar su altura máxima, entonces se lanzó con 10m/8. 9 Cálculo de la gravedad "gp" en la superficie

del planeta:

2 M t I „ ( GMt ' Rj /7**10 mf

gp =

gP=20 mis2 * Altura máxima alcanzada en el planeta: hmAX= — *— = = 2,5 m máx 2gP 2x20 RPTA : “E ” PROBLEMA 12:

RESOLUCIÓN:

. g_

t m ic m x m

m 2$~87» f e a * También: F cp—F GRAVEDAD

Dos estrellas, una de ma6a ”2m" y otra de masa "m" están separadas una distancia "cfry giran alrededor 2 de un punto que está a — de la u distancia de separación entre ellos medido a partir de la masa "m\ calcule el período de rotación de las estrellas. Considere "G" = Constante de gravitación universal.____ A)2it

C)2n

3Gm Gm

B)2n D )2 x

3Gm m

J-d 3

* Aplicando la 2da Ley de Newton a la estrella de masa "m” Fuerza Gravitacional =FC = macp G(2m)m s (2 j) 2x — = m e> - o ;p e ro ú > = -—d2 J T «U ♦ ____ 2mG (2 x 'fY '2 J '\ „ „ / d3 [ s dr T - 2xí i G ^ RPTA : “B ”

- >— ^

PROBLEMA 13:

Sean Mp y R p la masa y el radio de cierto planeta y sean M T y R T la masa y el radio de la Tierra, respectivamente. Si se sabe que la aceleración de la gravedad en la superficie de ese planeta es 6,4 m is*. Diga cuál de las siguientes afirmaciones podría explicar este hecho: (g=10 m/a2). Rt=0,64 Rf Rr=0,80 Rf Rr=l,60 R,

A) Mr=M ,

B)

C) Af,=Mr D) Mf =0,8M T

:

E) M r= l ,6 M r

:

Rf=Rr

RESOL UCIÓN:

GM * Sabemos que: g = ~ z r íi * Para la tierra: GM T =10 (I) g T= ~ R2 * Para el planeta "P": GM p _ = 6,4 (II) R p2 * Dividiendo las ecuaciones /IIJ + ÍIJ : 2 **£*1=0,64 i

M TRp

* Si M P= M T = * | f = 0,64 RP

RT = 0 ,8 R P RPTA : “B ”

PROBLEMA 14:

Se tiene una estación espacial en órbita circular alrededor de la

\ M ?W S W C 1A tierra. Si la estación soporta una aceleración de la gravedad igual a la octava parte de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. Determinar a que altura (en k m ) sobre la superficie terrestre se encuentra la estación 6 400 km. (g = 9,8 m/s) A ) ll 701 K m

B ) 1 2 8 0 0 Km C )9600K m

R E S O L U C IÓ N : E sta c ió n espacial

M

m í

M

IA

• Para un satélite de órbita circular, la segunda Ley de Newton expresa que: GM TmB _ mKv2 (R + H f ~ (R + II) GM v= ( R + m ........................
RPTA : “C ”

Rr

P R O B L E M A 16: Un péndulo en la tierra tiene un

* Gravedad (g ) en la superficie terrestre: GM /ri g R 2 ................................... * Gravedad ( g ') en la estación espacial: GM (II) g 8 (Rj+h)* * De (I) y (II) se tiene: h={2>¡2 - 2) Rr=(2>/2 - i ) 6400

período de y¡2 s •Determine su nuevo período al ser llevado a un planeta cuya densidad promedio es el doble de la densidad promedio terrestre y cuyo radio es la cuarta parte del radio terrestre. A) OA s B ) 1 *

C) 2 s

D) 4 s

E )8 s

R E S O L U C IÓ N : \px=2pT Tti.rra=-J2; Tx = t R - * T '“T

período del movimiento circular uniforme de radio r de un planeta alrededor del Sol de masa M, y G es la constante de gravitación universal. La relación que vincula al período de un planeta con su velocidad V es: 4X2 B) T *= i S ™ i A ) T 2= v GM V4 2 2r*2 O C )TT 2-G v „M D )T ) T2-- g 2m 2 vv R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que la velocidad tangencial del planeta alrededor del sol, está dada por: X T (or => X 2*- x r ......... V= VT=— (I) T * Del dato: T z= — r 3...................... GM ♦ Sustituimos (I) en (II):

(II)

3

4x* V T GM 2x 2_ 4 x 2 y3ip3 =>T*= < -------- 5 GM 8x3 2

. 2

%m

T=

2GMx

2

=> t 2= 4*‘ g : m v6

R P TA : "C ”

P R O B L E M A 18:

h = 11701,9 km R PTA : “A

C )¡t\ g/ (R + H f ’

B )R

(1)

99

P R O B L E M A 15: Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra en una órbita circular, a una altura H sobre la superficie de la Tierra. Entonces, si R es el radio de la Tierra, g la aceleración de la gravedad (sobre la superficie de la Tierra), la velocidad del satélite estará expresada por:

A)[Rg)1/1

t L X C U 'J W C M A 2 0 1 2 )

T t — 2x

(II)

Ét

• ( I ) + ( I I I : T x = 2 x J ^ - T t ....... ( I I I ) 8 x

* Además: gT ->

¡4

14

*^jRxPx

'Considerando solamente la interacción entre la Tierra y el satélite artificial, tendríamos:

ms

♦Luego:

g;

* En ( I I I ) : Tx=(j2 )y¡(2 )= 2 s RPTA : “C ”

;h

.•R+H

g:Aceleración superficial. V R A) 2g+RV

de la gravedad VR B) 2g+V

g T = G { J j * ^ R TPT

•Análogamente:

R E S O L U C IÓ N :

Pr

_G M t

A un cuerpo se le comunicó una velocidad nvn verticalmente hacia arriba en uno de los polos de la Tierra. ¿A qué altura máxima asciende el cuerpo? R:Radio terrestre.

P R O B L E M A 17: La tercera Ley de Kepler establece

T ie rra

que T 2— — 4* r 3 donde T GM

es el

V 3R v 2r D) C) 2gR+V 2gR - V* R E S O L U C IÓ N : * Energía Inicial: _ 2 2 GMm E = — m v ............ ................ (I) 2 r * Energía Final: (En la altura máxima la velocidad es cero). R + Il * Comparando (I) y (II) :


[giffcrlVW'rJY €'M4bX

gR 2 _ v* ~ 2gR R+H ~ 2

B81 P R O B L E M A SO: Si p y R son la densidad media de la tierra y el radio de la tierra respectivamente. Calcular la aceleración de la gravedad (en mis ) en la superficie de un planeta del sistema solar cuya densidad es 3p y su radio es 5R (g ^ ^ lO m / a 2).

//= 2gR*j ~ R

R E S O L U C IÓ N :

GMm 1 2 GM m ------- = —m v --------R+H 2 R GM

v

GM

R +H 2 R * En la superficie: G M = g R 2 * Luego: gR2 Va R+H ~ 2

_>

gR2

gR 2 R

2gR ~v2

2 g R -v 2

V*R 2gR~yS R P T A : “D ” P R O B L E M A 19: Un cuerpo es soltado desde una altura sobre la superficie terrestre, equivalente al radio terrestre ¿Con qué velocidad el cuerpo tocará la superficie terrestre. Desprecie la fricción de la atmósfera. A) Jg R B ) 2yfgR C ) 2gR _

A) 120

B )1 5 0

h-

>

D )5 j3 g R E)3yfgR R E S O L U C IÓ N : * Como M > > >m podemos usar:

E = 0 -9 M ü t.... 2R • Energía Final:

(1)

T ie rra

g= lOm/t

_ 0 -

GMm

2

1

M

• Planeta:

i * R3 M‘

M

4 x (5 R f

125\ 4 x R 3

•••(ID

* De (I) y (II): M ’=375M. (II I) * Las aceleraciones de la gravedad en la superficie de la tierra y del planeta serán:

2R

2

GMm

R

1

= —m v

2R

2

2

GM

•Pero:

R

[GM "V R

•••

(III)

“ gravedad en la

E

n

( I U

)

:

v

=

4

Para calcular la masa de un planeta cuya órbita alrededor del Sol es circular, ¿cuáles de las siguientes informaciones son suficientes?

]¡ R

RPTA: “Aff

R

t J H

L

X

O

S

)

•Considerando únicamente que interactúan el Sol y el planeta, el sistema sería:

•Entonces, sobre el planeta que realiza movimiento curvilíneo, necesariamente actúa: FCP—maCP *En la figura: „ ^ , F = m(D2R -+ G M M * d2 ♦ Reemplazando:

• Podemos notar que la masa del planeta depende de la masa M del sol, de la constante G de gravitación universal, del período T de traslación del planeta y también depende de la distancia d entre el sol y dicho planeta. RPTA : **E” P R O B L E M A 22: Calcular la longitud del semieje mayor y el período de un planeta que tiene una órbita elíptica, con una distancia al sol en el perihelio de 8f75xl07km y en el afelio de 5¿!6x 109 km (masa del sol = 1,99 xlO30 kg) responder en unidades de 1012 m y 109 s respectivamente. A) 2,65 ; 2 ,88 C) 2 ,6 5 ; 2 ,65

B ) 2 ,65; 2,82 D ) 2 ,6 7 ; 2,38

II) El tiempo que tarda el planeta en R E S O L U C IÓ N : dar una vuelta alrededor del Sol. III) La distancia del planeta al Sol. PerihelioA) Só lo l y I I B ) Só lo I C) I , I I y I I I no ton tu fic ie n le t D ) Só lo I I E ) 1,11 y I I I

superficie” *

P R O B L E M A 21:

I) La masa del Sol y la constante de gravitación universal.

- — = — 771i r --------——

S

M

R P T A : “B ”

GMm

E

• Tierra:

. GM ' GM' „ r. •Planeta: g , = --------(V) * (R )2 25R * De ( II I), (IV ) y (V ) se obtiene: g f=150 mis i

(W 2 R * Como se desprecia la fricción de la atmósfera, la energía lotal se conserva. * Igualando (I) y (II):

N

* Entonces, el centro de masa (C M .) del sistema sol-planeta estará fijo y el planeta gira con un radio de curvatura R respecto del C.Af. y será igual a:

* D1

—=r-

I O

que:

R

GMm

I C

• Considerando sólo la interacción entre sí el sol y el planeta^-tenemos

•Tierra: £ = - ^ r .................... ^^V)

1 té——m v

D

C)200 D f220 E ) 180

Planeta

*** V ’

* Energía Inicial:

E

RESOL UCIÓN:

m

... Afeli* — vm / —

R

R*

IF W S ÍW 4 Z A RJ=8,75xl07km =8,75xl0I°m

1 A f í W í f x o F i a i t í 2012}

* En ( I I I ) : GMrn = ma2R GM =2Í— ) R 3 2R2 ~ \ T 3) * En la superficie del planeta:

2^=5,26 x 109km =5,26 x 1012m • Semieje mayor: (« • 7 5 x 2 0 lo + 5 f 2 6 x 2 0 ,* ) iii

R j+ R z R

~

2

GM =gR2 * Pero: _ s „ 2 _/_2 g=4x m¡8

2

~

= 2 ,6 7 x lO 12 m

• Período (T ): Fc=G m ^ =m(ü2fí=m^ j

R

R3 -+T=2n GMs (2,67 xlO12f =2n (6,67 x 10~n )( 1,99 x ÍO80) =2,38x109a R PTA : “D ” P R O B L E M A 23: Halle el período de rotación de un planeta alrededor de su eje geográfico, si el radio del planeta es “ 22” , la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 4 n ~mis" y que cualquier cuerpo “ pesa” el doble en el polo geográfico que en el Ecuador. A)j41R

B )4R

Cl42R

v2> vJt dado que r9 > r¡ II) VERDADERA: Por la ley de Johannes Kepler

^ ( g R2) = y4*2 ^ -R T2

T 2=2R -> T=y[2R R P T A : “C ” P R O B L E M A 24 Dos planetas X ¡ y X2 de igual masa están en órbita alrededor de una estrella E (ver figura). El planeta X Jt recorre una órbita circular de radio 108 km, mientras que X.2recorre una órbita elíptica donde el semieje mayor de la elipse vale3x205fcm. Entonces, podemos afirmar: “ N.

e

* Comparando (I) y ( I I ) :

2 _ T 2= K r f y T j= K r¡

•Como: r2>rl -+ T2>T¡ III) VERDADERA: Analizando la energía total en el punto P. „ Gm M 1 2 -+ E xi r ---------+ — mv 1 *• o _ Gm M 1 2 ^ E x = -— — + - m v 2 •Dadoque: v2> vi RPTA : “A ”

\p J

Xo

I) En el punto P, la velocidad de X2, es mayor que la de X2 II) El período de X Jt es menor que el de X 2

P R O B L E M A 25: En la figura se muestra la órbita de un planeta alrededor del Sol. Respecto a las siguientes proposiciones indicar verdadera (V) o falso (F ) . B

P la n e ta

I I I ) La energía total de X„ es mayor que la de X¡

D) 42 R E>R A) W V B) F W R E S O L U C IÓ N : D) F F V E) W F * El peso en el polo (2N) es el doble que en el Ecuador (N ) , debido a que R E S O L U C I Ó N : en el Ecuador el cuerpo de masa “m ** I) VER D AD ER A: se encuentra en rotación. * Por teoría gravitacional: 2JVJ

C) V F V

I) La energía cinética del planeta en “A ” es mayor que en “ C ” . II) El tiempo que emplea el planeta en ir de AB es mayor que BC. III) En la posición “ C ” la fuerza de atracción es mayor que en “A ” . A) F W D) W V

m N

B ) V FV E) FFV

C)W F

R E S O L U C IÓ N : B ««•* i

* Por dinámica circular: FCP= m

* En el polo (No hay rotación): SF=0

2N=F

éC * En el Ecuador (Hay rotación):

Vi

(I)

v

* En el punto P: F G~ F CP * ni t v Gm M mv, • Planeta X,: — =— l

FCP=mO)2R -+ F -N = m a > 2R ..................... (II) * ( I ) e n (II): F - [ ^ = m ú ) 2R -> — = me>! R ................................ ( I I I )

2 •Sabemosque:

v}= G M —% GmM v\ = m • Planeta X«: 2 r, vs - J g m

R2

(I)

—•

(II)

s'-Á S i m a A

)

4

A

> l

. i

A

,

........... ........... * y I ) F A L S A : La cantidad de movimiento angular (L) de un planeta respecto al sol permanece constante, es decir: L Á= L c -> myVA=mxVc Á = * < 1 -* V A En
[r;# M v i t a n ó i V por el radio vector en el trayecto AB y BC están relacionadas con los intervalos de tiempo en los mismo por: AB _ l BC "1

HBEi' a « a A ) 58

B) 48

C )6 8

D ) 18

E ) 78

R E S O L U C IÓ N :

I B U I O M S n tlS IX liS ] R E S O L U C IÓ N : T r = 2 s ;R = 6 ,6 R t

D

¿AB>tBC

n 2

*BC

"2

le

I I I ) V E R D A D E R A : L a s fu e rz a s de atracción gravitacional sobre el planeta en los puntos A y C son respectivamente:

>1 -»

f c>fa

R P T A : "A ” P R O B L E M A 26: Si la distancia de mercurio a la tierra es el triple de la distancia de mercurio al sol, determine aproximadamente, ¿cuántos días terrestres dura el año en mercurio? A ) 2 1 ,8 D ) 5 3 ,8

B ) 3 6 ,8 E ) 6 9 ,4

C ) 4 5 ,6

R E S O L U C IÓ N : Graficando: S ol M e r c u r io

A jotal A jo TAL T 16 meses 6A 2A

'"ék

T ie r r a

* Aplicando: (3ra Ley de Kepler) * Pero: Ts=305 días ....(Periodo de la Tierra)

B) 3

A sd a b

0

4

RPTA : "B M

D) 9

D

r

(I)

’1

i - W . (II)

8

[ R

t

s

,

* De (I I ) en (I): T=T,

=2s V

6,6 R t . Rt

« 13,2 8 ,

RPTA : “B ” P R O B L E M A 30: En los vértices de un hexágono regular de lado / s e han colocado masas puntuales m. determine en Gm 2 términos de el módulo de la fuerza que actúa sobre una de las masas debido a las otras cinco. A ) 1 ,8 3 D )2 ,9 1

B ) 1 ,9 8 E ) 3 ,7 3

0

2 ,7 3

R E S O L U C IÓ N : { m %

-

2 Ri _ =4 R

Tj=45, 6 días R P T A : “C ”

P R O B L E M A 27: En la figura se muestra la trayectoria de un planeta alrededor del sol. Si tarda 16 meses en barrer el área S D Á B y considerando que el área S O D es la mitad del área SAB. Determine el período del planeta en meses.

E ) 14

• Luego para los dos satélites emplearemos la ley de los períodos: RI R,

\2

T = 48 meses

R E S O L U C IÓ N : * En este caso emplearemos las leyes de Kepler; para el satélite S¡ emplearemos la ley de las áreas: T'1_ 144 * T¡=216 h A

l i _ = l± Rl Tj _ J 365*2

• IjL = 1 ^ - ^ t ^ T t T9 \ g r ,f ' VSi * Por gravitación universal:

P R O B L E M A 28: Dos satélites “ S l ” , §§&t 9* orbitan circularmente alrededor del mismo planeta. El primero barre en 144 horas las 213 partes del área total de su órbita. El segundo satélite tiene un período igual a 27 horas. Entonces la razón de los radios dé sus órbitas, R¡JR2, es: A) 2

-

r

• De la ley de las áreas: Periodo T _ tpAR

RPTA : t4C ,f P R O B L E M A 29: Un satélite "geoestacionario” está en órbita en el plano ecuatorial de la Tierra con un radio orbital R = 6,6 R r, donde R T es el radio de la Tierra, adecuado para que su período sea 24 horas, es decir, su posición relativa a Tierra permanece fija. Un péndulo cuyo período es 2 segundos en la superficie de la Tierra tendrá sobre el satélite un periodo, en segundos, de: AJI

B) 2

O 8 ,3

D i 6 ,6

E) 1 3 ¿

La resultante de las dos fuerzas F l es igual a F ¡ en la misma dirección deF. • La resultante de las dos fuerzas F 2 es igual a F2>¡3 en la misma dirección de F. * Luego la fuerza resultante que actúa sobre la partícula en “P ” será: Fjf—F +íj + Fg4s -> F o =

Gm2 G m 2 —y +

* (2ei2

Gm 2 Gm f >¡3=1,83

(tjs) RPTA : “A ”

P R O B L E M A 31: Tres cuerpos celestes de masas iguales a m (m ¡ = m f = m 3= m ) rotan d e s crib ie n d o una circunferencia si se encuentran formando ángulos centrales de 120° entre sí. Determine el período de rotación si la distancia de separación entre ellos es ¿ .

P R O B L E M A 32: La figura muestra 4 masas puntuales de magnitud m cada una, unidas en los vértices de un cuadrado de lado £. Determine la fuerza gravitacional resultante que actúa sobre la masa en C debido a la presencia de las masas en A, B y D. B' * GMmL

m

/

A) 2x

s

3Gm £ B)2x Gm

C) 4x1*IGm

’lie T F GmML

t

tf m

m +M '(R *+L*f R E S O L U C IÓ N : m

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D.C.L. a una de las masas: —Á m

C *' F D A )G m 2 (4 + n/í?)(Í +j)l4¿* B )-G m * (l +2sÍ2)(i + j) ¡212 C ) -G m 2 (2 + 4 2 ){l+ j)¡2 ¿ 2 D ) -G m 2 ( l - 2 \ Í2 ){i+ j)/ I2

* En este caso “m ” atrae el anillo de masa “Ai”, pero para hacer uso de la ecuación de gravitación universal como es válida para partículas puntuales, hemos de tomar sobre toda la longitud del anillo partículas de masa A mJt A .... A mn

E )G m 2 (l + 3 j2 )(l+ j)l2 I2 R E S O L U C IÓ N : 3 J L -.-+ G,„2 f

*7 7 F éi / m j

V0

f » \\ :F2 d/ : L \ \\ d\ Ai « / J L — ^ tr / r ..A........ P $1........ /•....... í , /

sor?

t—Fuerza gravitacional

O

R

IAm

Am ¡

* Del gráfico de fuerzas de atracción:

macp * La fuerza resultante en “ C ” es: / f— \ / PC= f + F ,^ j í + F + F 2

* Luego:

Gm j3 w í c 1 - G" 2 [w ~ 3Gm (0 - p r ■l £ = R\Í3 2x T

3Gm

T= 2 x

3Gm

RPTA : “ A 99

Siendo la masa *'M” del anillo uniformemente distribuida: M=2Am1+2&in2+2&m3+....+2Ójnft...(I)

* Las líneas de acción de las diferentes * Pero: fuerzas FJt F *,.... F n determinan un Gm 2 Gm Gm cono y además sus componentes F ' ¿2 horizontales se anulan (véase la (I.Í2 )2 2 l2 • Luego: simetría), luego la fuerza resultante será vertical e igual a: ~ ( O n * Gm* - j 2 ) , j G m * G m : V * V FcT r * -¡F 'T Y \ -7 r +^ ' T ) J FR=2F]SenO+2F2SenG+...+2FrtSen$ => F r =2SenO(F¡ +F2+.... +Fn) -2 j* .(* W 5 )(2 + j) RPTA: "A " * Por Ley de Gravitación Universal: P R O B L E M A 33: Í g ^ L +g ^ ,+ d2 d2 Se tiene un anillo de radio “R ” y Fft=2Sen0 o A m jm . ^ Am„m M 99 uniformemente masa d2 d2 distribuida. Determine la fuerza de atracción mutua que ejerce sobre * Factorizando: una masa puntual “ m ” situada a F r~ G S e n 3 ( 2 A m 1+ 2 A m g+ ...+ 2 A m n ) una distancia “ L ” del centro del d * Reemplazando (I): anillo, en su eje de simetría.

585

€ f o .v

v i

mM Fd=G * ,2 SenO...................... (II)

* En f f l) : F o -G

/ |\ / ! \

mM

(R 2+ I f )

i \ i. \

lLé

T i ¿1 O

¿SÍ v B X.. L 7FTU

* Donde: m0=DV0= D ^ x r s * Además, nótese las distancias y fuerzas de atracción y repulsión sobre " m ” . C

ri t

S e n O = ^ = - r - ---- / d s ¡ R 2+ L 2 /

* Por el principio de conservación de la Energía Mecánica:

* Cálculo de “ d ” y Sen 0 : * De la figura: d2 = R 2 + L 2 / /

H D H E O m S niJBEXOS)

\ -O,

tñ B • / GmML

■

di

r

* * • • ...

^ £$....

A

L

F

* Donde la fuerza “ F Mes la fuerza resultante que actúa sobre **m Por Ley de Cosenos, tenemos que:

Ea a +Epd )-EC(p+EP(p

%/rxVr2---------GmM -> —1 m V + —1M 2 2 d 2 GmM = -(r n + M )U 2 x * De (I) en (II) : -i 1 2V2 x= d G (m +M )

R P T A : “C ”

(Rs+L*f PROBLEM A 3 6 :

R PTA : “D ” Reemplazando tenemos:

PROBLEM A 34:

Una esfera de plomo de radio B= 50 cm tiene dentro de sí misma, una cavidad esférica de radio r=5 cm, cuyo centro se encuentra a una distancia d =40 cm del centro de la esfera, ¿con qué fuerza la esfera atraerá un punto material de masa **m*$=10gr que se encuentra a una distancia L=80 cm del centro de masa de la esfera, si la línea que une los centros de la esfera y la cavidad, forma un ángulo 0 =60° con la línea que une el centro de la esfera con el punto material?

III)

4

Ifí^

F - —x G m D t¡—t + — s------- o - . 3 \ L 4 (L2 - d 2 )2

2 R 3r 3Coafi , , « L2(L2 - d 2 )

*Reemplazando valores, se obtendrá: F * 5,7* 1 0 ^ N PRO BLEM A 35:

2 masas puntuales " m ” y “ A/” aisladas de otros cuerpos, separados inicialmente una distancia “d ” son lanzadas en sentidos opuestos con igual velocidad de módulo “ V ” ; calcular la máxima distancia de separación que alcanzan los cuerpos, v m M \r J

masa de la Tierra. (g=9,81 m/s2) A) 197 B ) 2 2 7

R P T A : “B ”

- ------------------

Calcule aproximadamente el valor de la gravedad solar en m/s2, 3i el radio del Sol es 110 veces el radio de la Tierra y su masa es 330 000 veces la C) 2 6 7 D ) 3 1 7 E ) 337

R E S O L U C IÓ N :

Se debe tener en cuenta que todo cuerpo con cierta masa (M ) tiene asociado en su entorno un campo gravitatorio cuya intensidad puede ser cuantificado con la gravedad g . Para los planetas y estrellas se demuestra que en su superficie \g

...........................

d A )i-+

d

2V GmM

o\ I C) 5 ,2 x 1 0 E ) 7 ,3 x1 0 '* N

D j 6 ¿ x lO - * N

d

2V 2 G (m + M )t

I.G

ü_ GM

¡ gnaritoloria eampo

* Si la esfera fuera sólida, entonces la fuerza gravitacional seria igual a: r4

'

*Donde: M —D V —D ~ x R 3 :“ Masa 3 sin Cavidad” * La presencia de la cavidad es equivalente al surgimiento de la fuerza de repulsión: m0m m0m

& su p erficie

2

Ü-d2

* Cuando los cuerpos alcanzan la máxima distancia de alejamiento, tienen velocidades iguales a “ 17” (sentidos iguales). * Por el principio de conservación del momento lineal: ^ (in ic ia l)

GM

d )\ m + M )

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

F2=G

d

R)u i

j^ 2

Nos piden el valor de la aceleración de la gravedad solar: gt; entonces, plantearemos que en su superficie: g.

fin a l)

-» M V - m v = (M + m )U

-» U =

(M -m )V (M + m ) U

(I) U

8s =

2

(I)

B Por condición del problema tenemos M s = 330 000 M T Rs = U 0 R T

W & s s e flB

L1 E X iir j.o r E D L l 2012}

En W: „ G x 330000M t ' '{ ílO R r) 1

m , * 3 ,3 3 x 1 0 ° m T ;

300

GMT

~ Í T X ~ W ~ '~

an

Pero en la superficie de la Tierra también podemos plantear:

=* ^ ( A ) +

r P g(a

• Reemplazando en (I):

)^ J & * (£ Í + E P g {B)

Fq/Soi,

* 2 Mv" ' " - ° - R r

campo T gruvitactonai

R T*

Donde:

(I) )

GAÍ

— j L = g = 9,81mía*(en la superficie

terrestre). g T = ^ í = 9,18.,....(dato) En (II):4 " r 300 gs = -j~ x 9 ,1 8 = 267t5m l 8* El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie solar será 267 mía*. R P T A : UC ” P R O B L E M A 37 :

S tS S x lO ^ m jd }

‘•'otTtmmn mT(2,36xl0clT)i P R O B L E M A 39:

~üb

GM

GM.

A jIndependiente de M

* Reemplazando en (I) Vmin = 'JgRT => vmín = 7,9km/a P R O B L E M A 38 : La masa del Sol es aproximadamente 3,33 x lO s veces la masa de la Tierra. La distancia promedio al centro del Sol para una persona sobre la Tierra es 2,35xl04 veces la distancia al centro de la Tierra. Calcule la razón entre la fuerza gravitacional que ejerce el Sol y la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre una persona.

B )proporcional a sfm C ¡inversam ente p rop orcion a l a R D jproporclon al a

( R j * 6 , 3 8 x l 0 * m ; g - 9,81m la*)

m

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

l

•La energía potencial gravitacional de un cuerpo de masa m a una distancia R del centro de la Tierra /masa M , radio R T) es : = (G m M )iR . La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es g = (G M R )/ T Í .

•Considerando a m como la masa de la persona. Veamos un esquema del problema en la siguiente figura:

D ) 6 ,0 6 x 1 0 *

r

s

• Sobre la masa m actúa una fuerza F gt debido a la atracción gravitacional entre m y E

E ) 6 ,0 8 X 1 0 *

B ) 6 ,0 3 X 1 0 •'

O

E¡proporcional a R 3 R E S O L U C IÓ N :

A) 6 ,0 3 X 1 0 * C ) 6 , 0 6 x 1 0 *'

después del lanzamiento , sobre el cohete actúa únicamente la fuerza de gravedad , entonces se puede plantear la conservación de la energía mecánica para el sistema cohete-Tierra.

= 6 ,0 3 * 1 0

Un Batélite de masa m órbita un planeta de masa M en una trayectoria circular de radio R. El tiempo requerido para una revolución es:

Desde la superficie de la Tierra se dispara un cohete verticalmente hacia arriba ¿Cuál es la mínima velocidad inicial (en Km/a) que se le debe dar para que llegue a una altura (con respecto a la superficie terrestre) igual al radio B r ?.

♦La rapidez mínima de lanzamiento será para el caso en que el cohete llegue con rapidez cero a la altura que nos indican.Considerado que en todo movimiento, (hadaB)

d B^ 2 , 3 5 x l 0 4dr

F g es responsable del movimiento circular de m con centro en O. es decir, F g es para m una fuerza central, cuyo módulo se relaciona con la velocidad tangencial Vt de m. /K

\Fa R

l P la n e ta

\

o

! /

na

T : Período de órbita o tiempo que emplea m en dar una vuelta alrededor de M. Como el satélite realiza un movimiento circunferencial. F ep = m a cP I = » F g = m a ) SR

• Se pide :

?0(wot)

GMm

GiTUrm!

• Aplicando la ley de la gravedad universal tenemos: G ’GfBot1 e Q
Q

m .m

'n.<*T mrdf

(I)

• Las dim ensiones de masa y separación del problema son indicadas:

( 2x\

GM _ 4x

F ~ = r r J r =>1 F = s ¡9 C ¡It' 7 x Jtw » —zz •co/utonto P* OM GM) * El periodo es proporcional a aM R P T A : “D ” P R O B L E M A 40 : El peso de un objeto en la Luna es 0 de su peso en la Tierra . Si un reloj de péndulo que hace tick una vez por segundo en la Tierra se lleva

[g

tT T v tr fó v

im

E M llO A E S nUlilAOS)

a la Luna , en dicho lugar el reloj hará tick cada. OH D) J&r E)6t B)4= i Je R A ÜE/ S O LO/ L Í7U U C L / Ii O L /N i T .: * Considerando el peso del objeto como la fuerza de atracción gravitacional,se tendrá que: r GTTWms/=6/vGOjuta) * Por otro lado: En un reloj de péndulo , cada segundo(o sea cada tick)corresponde a medio período de oscilación.Además el período (T) de

Cabe recordar de la tercera ley de Kepler: “ El c u a d ra d o d e l p e rio d o d e c u a lq u ie r planeta que gira e n torno a una m asa fija M es proporciona] al c u b o del radío de giro que describe” donde:

Ti &

=k

S ie n d o k la c o n s ta n te q u e d e p e n d e inversam ente proporciona] de la m asa fija a lre d e d o r d e la c u a l g ira n los planetas, siendo: *

* GM

C o m o se puede apreciar en la ecuación la constante sóio d epende de la m asa fija M m ás n o de ia masas de los planetas mt y 171y

un péndulo es:

U ) V erd a d ero

■

De la tercera ley de Kepler:

Tf

♦Por lo tanto:

=s ltfLunaJ

Tj

Rf ~ «2 3

UMU»» u~ *

Urur, VM tu*rm

'Iía' E f V

SeMtperitnié* d e t p é n d u lo

^ lsfLuna J=j6s " * ,irrro' ‘ RPTA : “D ”

PROBLEMA Al t

C o m o Rj >R, entonces se com ple Tt>Tr por tanto el período del pianela (2) es m ayor del planeta (I).

III) Falso C o m o el planeta (2) está m ás lejano que el planeta (I)\ el período del planeta (2) es m a yo r q u e del planeta (I), es decir: T2 > T t

Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las sig u ie n te s p ro p o s ic io n e s (v e á s o la figura).

I) La constante de Kepler depende de las masas M, m t y my II) El planeta de m asa m , tiene un periodo m ayor que el planeta de m asa mr III) Si m r entonces las frecuencias angulares c o n q u e se m ueven los planetas / y 2 son iguales.

ÁJ VW Bj W F

w /K

T*l

párffríé tf*

ÍJj lTúts«fcf

E) FFF

Sean los p la n e ta s m , y m , q u e g ira n alrededor del planeta fijo de m asa M.

/ 4 4 4 4

I C • « I % t % 0% $ 4

\\

M

4

m

l

49 4

%

RA

♦ La lectura de la balanza va a depender del módulo aceleración de la gravedad en el lugar donde se realiza la medición: ♦ En el Ecuador:

P R O B L E M A 42 :

SP = G

♦ En el Polo:

4 0 ,0 0 N

4 0 ,2 0 N

A ) L a m a s a v a r í a d e l E c u a d o r a l P o lo . B )E s u n e r r o r d e l e c t u r a . C )E n e l P o l o d e l a g r a v e d a d e s m a y o r q u e en e l E cu a d or. D jL o s p u n t o s d e m e d ic ió n e s tá n a d ife r e n te s a ltu r a s . E )L a t e m p e r a t u r a e s m á s b a j a e n lo s P o lo s .

R E S O L U C IÓ N : ♦ Para pesar a un cuerpo es necesario contar con una balanza y situar sobre su platillo el cuerpo,

= G AfTierra M Tierra

R*rolo

♦ Por efectos inerciales se nota en los polos, un cierto achatamiento y por consiguiente menos radio ♦ Como : Rpolo < Remador

g*
♦Por lo tanto, multiplicando por m tng* ( peso en

ecuador J

<

mg P / pono en

I

p olo

R P T A : “C ” PROBLEM A

Un cuerpo es pesado en una balanza de precisión en dos lugares distintos de la Tierra y registra los datos.

ge

R ecu 2 ad or

RPTA $“B”

¿Cómo se explica la discrepancia?

R E S O L U C IO N i

♦ La masa del cuerpo no varía al cambiar el lugar (la inercia de reposo es la .misma), entonces* m = cte

Por tanto las frecuencia s: ft> ft c o m o se puede apreciar las frecuencias no dependen de la m asa de los planetas ( I ) y (2).

p eso

D) FVF

♦ La balanza registra la fuerza de contacto F c entre el bloque y el platillo -+ fc = mg (peso del cuerpo)

tlf

L u g a r E c u a d o r P o lo T e r r e s tr e

O VFV

mg

asi:

I) Falso

AS t

C a lc u le la a ltu ra h s o b re la s u p e rfic ie terrestre a la q u e se encuentra un satélite artificial en órbita sobre el E cu a d o r si su periodo de rotación es T. La m asa y el radio de la Tie rra son M y R respectivam ente y G es la constante gravitatorla.

B,(x i carY'* I -í

AJ

GMJ -R

ii» GMi

- 2R

R E S O L U C IO N i

Se m uestra el satélite el cual gira c o n un periodo de rotación T y un radio de giro ........ r = h + R. r/ x

U ENi M
siendo: k

4** , por lo q ue: GM

-(s s }- * "’ -

( T‘OM)H9

RPTA i “B”

-.(i)

GM^

Mientras que el periodo de la Luna TL =

PROBLEMA 40 t L a figura m uestra u n triángulo equilátero en cu yo s vértices se h a n co lo ca d o 3 masas. Halle la fu e n a en el punto P (e n térm inos

13

alrededor de la Tierra es:

BJ-

T* = k r 9 S ie n d o k la c o n s ta n te q u e d e p e n d e Inversamente proporcional d e la m asa fija Jf alrededor d e la cual giran los satélites

es u n quinto del área total.

alrededor dei Sol es: _ 4* i3 9 0 r )3

4x GMTitrrm

(2)

Grftt* /

d e — j — ) do nde hay una m asa m .

D ividiendo (1) en (2):

da)* -

=>

« ft

2m

3,6*10* "ft RPTA i “B” x (3gQ )J 13*

NOTA i

R+h

Intensidad d e c a m p o gravitatorio terrestre.

m

Al 2!3 B)1 Cj 4 3 RESOLUCIÓNt

RPTA i “A” PROBLEMA OS i La tuna da a p ro xim a d a m e n te 13 vueltas alrededor de la Tie rra en u n año. Se sabe además que la distancia d e la Tie rra al sol es 390 veces !a distancia de la Tie rra a la Luna. Determine, aproxim adam ente en qué relación se encuentran las masas del Sol y de la Tie rra . A s u m a q u e las órbitas son circulares.

AílAxiP Bl2,6x 10* Di 3,6x10* El 3,9x10* RESOLUCIÓNt

Tl

L a intensidad de c a m p o gravitatorio e n P está d a d o c o m o :

GM

CiXtxlP

Sea T el tiem po que la Tie rra d em o ra en dar una vuelta com pleta alrededor del Sol, es d e d r un año. A dem ás según el problem a en un año la luna da 13 vueltas por lo que en u n a vuelta la lu n a T d e m o ra u n tie m p o , L una

L.

Si to m a m o s para h < < R es d e c ir h - 0 e n to n c e s la in te n s id a d d e c a m p o gravitatorio se dará en la superficie:

Sobre la m asa ubicam os en P se genera la atracción gravitatorio por parte de las tres m a sa s m m y 2m. Se p u e d e a p re c ia r adem ás que horizontalm ente las fuerzas se anulan por ser opuestas y del m is m o valor, por lo tanto sólo nos quedaría Ft, donde la fuerza sobre la m asa m colocada en P es:

GM

* ni R e la c io n a m o s tendrem os: gp

esta *

8nup

dos

e c u a c io n e s

t e ) '

PROBLEMA 40 l

13 t

l

r i

\ Tierra \

r<

Cabe m encionar la Tercera ley de Kepler “El cuadrado del periodo de cualq uier planeta q u e gira en to rn o a u n a m a s a fl]a M es proporciona] al c u b o del radio de giro que describe”» es decir: T * a MR3 S ie n d o k la c o n s ta n te q u e d e p e n d e inversamente proporcional de la m asa fija M alrededor del c u a l gira n los planetas, siendo * *

4z GM

Según el enunciado el periodo de la fie rra

Ai 0,04

p la n e ta

C o m o el planeta d e m o ra 10 m eses en Ir del periheUo al afelio, esto significa el periodo d e rotación del planeta alrededor del Sol es 20 meses. De la segunda lev d e K epler se cum ple:

Á r e a T o ta l PB

p e r ío d o

—

_S_

c

20

H e m o s en co n trad o q u e el área som breada

RPTA l “E”

fí/0,08

Ci 0,12

Di 0,16

El 0,18

L a a c e le ra c ió n d e la gra vedad (g) es la a c e le ra c ió n q u e presenta u n c u e rp o en caída libre (só lo afectado por la atracción terrestre). p

/afelio

B

Gm

RESOLUCIÓN!

— .\a t n = 4m e*e*

80

— X ------ F

m/s2)

N

p e n h e lU fy .

Gm(2m ) _ ,,

¿En cuánto se reduce, aproxim adam ente, ta aceleración de la grav edad en u n avión que vuela a una altura de 12 km com parada con la a c e le r a c ió n d e la g ra v e d a d e n la superficie de la fierra? Dar la respuesta en m/s2. (R a d lo d e la T ie rra = 6 3 7 0 Jbm, g-9,81

.

%

. c

PROBLEMA 47t

C ab e recordar q u e el perihelio, es el punto m ás ce rca n o al Sol, m ientras que el afelio, es el punto m ás. lejano al Sol.

Ó6

e’

(i*J

U n p la n e ta d e m o r a 4 m e s e s e n Ir d e l periheUo a u n punto B y del perihelio al afelio tarda 10 meses. ¿Q ué parte de ta elipse es el área barrida por el planeta del perihelio al p u n ió 3?. A) 1.4 B) 1!6 C) 1!2 Df 2/3 Ei 3 5

RESOLUCIÓN/

□ periodo de ia luna es TL »T/13 alrededor de la Tierra, siendo T el periodo de la fie rra al rededor del Sol.

El 3/3

Di 2

~

E im to x E S n m tix o s i

889 La aceleración de la gravedad en ei punto P es i z— X P

Del problema nos dicen que la gravedad en la superficie del planeta es g =g.

tienen masa iguales a 75 000 toneladas (1 tonelada =1000 kg). ¿Cuál será la atracción entre ellos cuando están separados una distancia de 300 m suponiendo sus masa concentradas en sus centros?

A una altura h del planeta la intensidad dei campo gravitatorio respecto a ia gravedad en la superficie es:

•<*>=í Gi7ji) "(í) Para determinar en cuánto se reduce la aceleración de la gravedad en el punto P. respecto de la aceleración en la superficie (a). Calculemos la aceleración en los puntos P y S. Con la ecuación r

z>

• En P g , =

G A /r

Si tomamos para h - J 2 R - R . entonces la gravedad para dicha altura es:

GM g, = _ / ; por dato : g , s 9,81m/as Rt GM f - = 9 ,8 1 m la *

So l ¡ II) FA LSO : V*

A

R

2

g{h) - g ^ R +Rj

[Rr+hY

gih)

g ~

5 ,8 3

RPTA / “B "

terrestre al cuadrado ( R 3). GMr x = > g ,~ g , = 9 , S I T ( R j. + h )

Rt Rt + h

R¿ Rt 8

2

6370x10 (6370 + 1 2 ) x l0 s

= 0 ,3 7 m fs 2

La aceleración dé la gravedad se reduce en aproximadamente 0,04 ais1.

RPTA i tgA” AS t

Sea un planeta de masa M y radio R. si g es la gravedad en la superficie del planeta identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones, siendo h la altura respecto de la superficie. l)S \ h = ( > ¡2 - l) R ,e ntonces g (h ) = ^ U) Si h = R. entonces g(h)

4

111) Si h = >¡2R, entonces g ( h ) - ^ .

6

A/VW

Bí W F

Ci VFV

R E S O L U C IÓ N i

D )F W

E) FVF

A) P/9 D ) P/12

B ) P I1 0 E ) P !1 3

C) P f l l

@ ) En la figura mostrada, un planeta se demora 3 meses en hacer el recorrido AJB. ¿Qué tiempo empleará en el recorrido CD? (S =■Area)

(Q) Dos personas de 5 0 k g y 6 0 k g están separadas 1 m . ¿Con qué fuerza se atraen? A l2 x lO T N D ) 6 x lO T X

= 9 ,8 1 -9 ,7 7

PROBLEM A

La trayectoria de un planeta, cuyo año consta de 200 días, encierra un área total “P ”. Calcular “ S ” si en la traslación de “A 9*hasta “ J5 " se emplean 40 días y de "2?” hasta UC ” se emplean20 días. “ O ": centro elíptico

I I) VERDADERO:

Multiplicando y dividiendo por el radio

= 9 ,8 1 — 9 ,8 1 x

m

g,h) = *[(.J2RRR) +R

GM.

=9 ,8 1 -^

C) 6 ¿ 3 N

E lip s e —

Consideramos ahora h = >Í2R - 1 , 4R por ío que la gravedad a la altura h es:

Piden g ,~ g p = 9 ,8 1 -

B ) 2 ,3 N E) 3£ N

Para este caso hemos de considerar que h =/?, por lo que la gravedad a una altura h es:

(Rr + h)*

• En S

R

I) VERDADERO:

A) 4 ,17 N D ) 8,3 N

B ) 4 x lO T N C ;« x iO rAr E ) 1 0 7N

@ ) Dos masas M ¡ = 2 x 1 0 * ° k g y M o= 3 x l 0 9 se encuentran a 1 k m de distancia. ¿Con qué fuerza se atraen? G : Cte de gravitación universal A) 1 0 13 G D i 2x10” G

B J 2 X 1 0 13 G C j6 x l0 13 G E j€ x lO J9G

A) 1,5 meaea B ) 3 meses C) 4,5 meses D ) 6 meses E ) 7,5 meaea

Si un planeta que gira alrededor del Sol demora 9 días en trasladarse en A hacia B. determine el período de órbita.

m Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie del Sol, considerando el radio del Sol den veces el radio terrestre y su masa 250 000 veces la masa de la Tierra. A )9 8 m ts 2 B )1 9 6 m(as C )245m ja 3 D )490 mía 2 E ) 980 mfa2

@ ) Un cuerpo pesa 320 N en la superficie terrestre. ¿Cuánto pesará a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra? A J80N D ) 35,5 N

B ) 160 N E ) 106,6 N

C) 20 N

Los grandes barcos ingleses Queen Mary y Queen Elizabeth

A) 48 d ía s D i 18 d io s

B ) 24 d ía s E l 2 0 d io s

C) 15 d ía s

Determinar ei período de rotación, si un planeta demora en ir de B a C un tiempo de 60 días. } B ___

m

y .....

A:

-te / Di

lasa 5 9 0 ÍES? A) 60 días DJ240 día»

B)120 día* E)300 día»

C )180día»

(ffy Determinar el área barrida de A a fi, si el área total es de 800 ms y demora 320 días el planeta en barrer

¡A

2012}

AJ800 día» B )1200 día» C)2 800 día» D)2 300 día» E)3 200 día»

A) heliocéntrica, K epler B) geocéntrica, T. B rahe C) geocéntrica, Ptolom eo D) heliocéntrica, M ayer E) geocéntrica, Ein»tein

(Q ) Determine la expresión para la energía cinética del satélite cuya masa es m . »**.............. mI W

La segunda velocidad cósmica para la Tierra es de 22,2 km/s. ¿Qué velocidad tendrá el proyectil muy lejos de la Tierra si fue lanzado radialmente de un polo geográfico con 12 km/u? (R tjerra=6 400 km ). A) 4 kmf» B)5,4 km f» D) 12,3 kmfa E) 8,3 km/a

C)3,3 km/a

¿En cuánto cambiará el peso de una persona si la Tierra fuera hueca y su radio interno fuera la mitad de su radio externo? A) 2 0 0 0 m* Di 6 000 m*

B )4 000m * C) 1 000 m s B) 16 000 m*

(Q ) Hallar el tiempo de Af a Ar si el tiempo de P a Q es 40 días. El movimiento es de un planeta alrededor del Sol.

mM mM tS/KJ C )G A )G ■ ~6R 4R 8R Dos masas y m2 se mueven una respecto de otra de manera que la distancia entre ellos permanece constante e igual a “a ” . Busque la energía del sistema. A)Gmjfíty/a B¡ -G m tmJ2a C)GmtmJ2a D )-2 G m tm^a E) -(3/2)Gmtm^a

A) 10 día» D) 40 día»

B) 20 día» Ei 80 día»

C) 30 día»

© Determinar la relación de tiempos recorridos en el gráfico (tAB/tCD) un Paneta.

Un satélite de la Tierra se encuentra en una órbita elíptica, tal como se muestra, luego al afirmar. ......................... B ^ *

Tierra

..

A) 7/4 D)4I7

Sol

..... ; B/S/7

C) 1117

E) 1114

@ Determinar en qué razón se encuentran los tiempos empleados S, 3 *1 y tr si S2 = 4

A] 2/3 D )M

B) 318 E) 2/7

...... I) La energía cinética en A es mayor que en B. II) La energía potencial en A es mayor que en la B. III) La energía total en A es mayor que en B. Lo correcto es: A) Sólo I D ) Sólo III

BJ Sólo II C) Sólo I y II B) II y III

En una galaxia existe un sistema solar formado por dos planetas, que orbitan alrededor de un sol tal como se muestra. Si el planeta para ir de A hacia fi demora 200 días terrestres, determine cuánto demora el planeta P2 en ir de C hacia D. Considere órbitas circunferenciales. C) 3/4

@ Completar correctamente: "La Teoría........................fUe sustentada por..........................

4 R /

\

:r y r y \ .JL.

c

AjAum enta en un 50% B jD ism in u y e en un 50** C) D ism in u y e en un 25% D)Aum enta en un 75% E )N o ca m b ia ría

<^7}Un péndulo simple cuando se encuentra sobre la superficie terrestre tiene un período de oscilación de 2 ». Si elevando el péndulo hasta una altura igual a la mitad de) radio terrestre, entonces el nuevo período será. A) 6 »

B) 5 »

C )4 »

D )3 »

E ) 2 ,5 »

Un reloj de péndulo incida correctamente la hora en la Tierra. Si es llevado a un planeta cuya masa es la cuarta parte de la terrestre pero de doble radio al terrestre, cuando en la Tierra ha transcurrido 20 minutos, en tal planeta, el reloj indica. A )2 0 m in u to s B ) 4 0 m in u to » C )1 0 m in u to » D ) 5 0 m in u toa E ) 5 m in u to s

Las masas de 2 planetas están en la relación de 2 a 64 y la distancia entre sus centros es de 9 000 km. ¿A qué distancia del planeta de mayor masa se debe colocar un cuerpo para que se equilibren las atracciones que ejercen los 2 planetas (en km)? A) 10 000 D) 80 000

B ) 9 600 E) 66 700

O 6 670

Alrededor de un planeta M giran 2 satélites de masas, M t y M 2 con radios R¡ y R 3 tal que R 2= 4 R V Calcule el período de M3 siendo el de

iitm 'IO X K S K IM V Ó S

G K .1 V 7 W « f f O . V

Un satélite gira en torno al planeta P ubicado en el foco F ¡, empleando 18 meses. Si el tiempo para ir de A hacia B es de 1 mes, y de C hasta D es de 3 meses. ¿Qué parte de toda la elipse es la región sombreada? F, segundo foco de la elipse.

^

B A) 1/5

,

B ) 1/4

^satélite C) 1/6 D ) 1/8

EJ 1/9

@ La trayectoria elíptica de un planeta encierra una región de área S. Determine Sx sabiendo que desde A hasta B emplea 30 días, que de B hacia C demora 60 días, y que un año en dicho planeta dura 280 días.

A) (3/28JS DJ (7/49JS

B ) (1/7) S E J (5/27JS

C) (5 /2 8JS

(Q) ¿Con qué fuerza una estrella de l,6 x l0 r7 kg atrae a un planeta de 4X1024 kg que se halla a 4 x l0 10 m de distancia?

GM g =

(R+hJ2

G: constante; M : masa de la Tierra; R: radio de la Tierra ¿A qué altura, "8 ” es la cuarta parte del valor en la superficie terrestre? A )— 2

B )R

C)2R

D)3R E ) — 5 Hallar la aceleración de la gravedad en la Tierra a una altura igual al radio terrestre. (gt: gravedad en la superficie) A )2 g, B)3g, C)4g,

E )$ ¿ 4

ir

La gravedad en la superficie de cierto planeta es 18 m/s2. ¿Cuál será la gravedad en su superficie si su masa se duplica y su radio se triplica? A j 18 m/s

BJ 9

C) 6

D) 4

Ej 2

(0^) La masa de cierto planeta es 50 veces la masa terrestre y su radio es 5 veces el de la Tierra. Halle la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. (g T: gravedad en la Tierra) A )2 t B)2gT C)3gr D ) ^ - E ) & ¿A qué altura sobre la superficie terrestre la aceleración de la gravedad es 2,45 m/s2? El radio de la Tierra es 6400 km . A j 1 600 km D ) 6 400

B j 3 200 E j 8 000

C) 4 800

A una de 3 200 km sobre la superficie terrestre, ¿A qué aceleración debida a la gravedad AJ J,67x lO ^ N B j 2 , 67x 10™ C j 3 ,6 7 * 10 20 encontremos? Considere que el radio terrestre es de 6 400 m. DJ 4,67 x1o 1 * EJ 5,67x JO2® (02) Las masas de dos esferas son de 4 y 9 kg; sus centros distan en 60 cm. Calcule la fuerza gravitacional entre estas. A j6 ,6 7x¡0~ * n B j7 ,6 7 x 10 9 C j 5,67x JO-* D) 9,67x10-* E ) 1 0 ,6 7 x1 0 *

Si la distancia entre el Sol y la Tierra se reduce a la mitad, ¿Cómo varía la fuerza de atracción gravitacional? A ) n o v a ría B ) s e d u p lica CJ s e trip lica D ) s e c u a d ru p lic a E) se r ed u c e a la m ita d

La aceleración de la gravedad (gj varía con la altura (h j según la ecuación:

A j 3,35 m isDJ 6,35

B / 4,35 E J 7,35

C j 5,35

¿Qué sucede con el peso de un objeto si se duplican la masa y el radio de la Tierra? A j se reduce a la m ita d B j se duplica C j permanece ig u a l DJ se trip lic a E j no se sabe

(J7) Una estrella cercana posee una masa 32 000 veces la masa de la Tierra y su radio 40 veces. Calcúlese la aceleración de la gravedad en la superficie de esta estrella. AJ 156 m is3 DJ 186

BJ 166 E ) 196

C j 176

(#2) Suponga que la Tierra pudiera comprimirse hasta la mitad de su diámetro, ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad en la superficie? A )S -

B )g

Ct

D)3g E)4g

'2 g

$) Suponiendo que la densidad de la Tierra y de la Luna son iguales y que en la Luna los objetos pesan la sexta parte que en la Tierra, halle el radio de la Luna en términos del radio “K ” de la Tierra. A j0 ,0 7 R D i 0 ,3 7 R

B ) 0 ,1 7 R E ) 0,47 R

C) 0 J 7 R

(Q ) ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie del Sol, cuyo radio equivale a 100 radios terrestres y su densidad media es 1/4 de la densidad de la Tierra? A j io g D j 25g

C j2 0 g

B j i5 g E )3 0 g

(Tnj La aceleración debida a la gravedad sobre la cima del monte Everest es: A) Bj C) Dj

ig u a l a 9,8 m/»3 m enor que 9,8 m/s3 m ayor que 9,8 m/s3 cero

EJ ligeramente menor que 9,8 m/s3 (Í7t} Alrededor de un planeta M giran 2 satélites de masa, Mt y Ms con radios R t y R s; tal que R 2=4R¡ . Calcule el periodo de Ms siendo el de M lf 30 días (en días). ♦s

4

4 t

Ia Ia t

*

M

%

AJ 30 BJ 60

CJ 90

DJ 120

EJ240

(Q)Se sabe que una persona de masa ttm ” pesa en la Tierra seis veces lo que pesa en la Luna. Hallar la relación entre el radio lunar (Rj) y el radio terrestre (RTJ, suponiendo que tengan igual densidad la Tierra y la Luna. AJ 7/6 BJ 3/6

CJ 5/6

D ) 2/6

E ) 1/6

(Q) Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura donde la aceleración de la gravedad es la cuarta parte de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Halle el

__________I A

período de revolución del satélite (considere R el radio de la Tierra). A)4x

2R_

C)4x

8 (Tj£ La figura muestra las posiciones relativas de tres masas puntuales de valor “m ", dos de ellas están fyas. Determinar la aceleración de la tercera en ese instante. G=constante de gravitación universal. m 9O\

pequeña esfera en libertad de uno de los extremos. ¿Qué tiempo tardaría en llegar hasta el extremo opuesto? 3x 3x B) C) Gp Gp 'y G p En una galaxia existe un sistema solar, formado por dos planetas, que orbitan alrededor de un Sol tal como se muestra. El planeta P¡, para ir de A hacia B, demora 200 días terrestres. Determine cuánto demora el planeta P 9 en ir de C hacia D. Considere órbitas circunferenciales.

\L

........... . ÍA t

mo — A)

Gm2>¡3

2

Gm

O m

L B)

Gm >¡3

L

C)

Grn^S

A) 1/5 B ) 1/4

C) 116

D ) 1/8

B ) l/ 9

0 En cada-uno de los vértices de un tetraedro regular de 1 m de arista se tienen una masa de 1 k g . La energía potencial gravitacional total del sistema es: (G=cte de gravitación universal en el sistema internacional de unidades). r\M y i y> \ 1m M S ! \

A J -G D J -6 G

/ .............. ; ; ; : : í o \j ............. &■M = lk g B )-2 G E ) 4G

m

.

A )800 d ía s B ) 1200 d ía s C/2800 d ía s D ) 2500 d ía s E ) 3200d ia s

En un punto situado a una altura $4a ” de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad tiene magnitud “gi " y a una profundidad “a ” de la superficie terrestre tiene magnitud “ g3” . Hallar: **a” , si: 8gs=9g¡= radio de ia tierra y suponer que la Tierra es esférica, maciza y homogénea). A) 16R/25 D ) 4R/9

s a té lite

\

P.¿ C

2

E) L2 ' L2 Un satélite gira en torno al planeta P ubicado en el foco F¿; empleando 18 meses. Si el tiempo, para ir de A hacia B, es de 1 mes, y de C hasta D es de 3 meses. ¿Qué parte de toda la elipse es la región sombreada? F? segundo foco de la _____— d elipse. D)

a

•

G m $¡2

'X

B ) R/4 E ) R t2

C) 3R/9

Para crear una gravedad artificial en el tramo pasivo de vuelo, dos partes de una nave cósmica cuya relación de masa es de 1 a 2, fueron separadas de una distancia R la una de la otra y las hicieron girar alrededor del centro de masa. Determinar el periodo de giro de las partes de la nave, si la fuerza de gravedad artificial que actúa sobre cada parte de la nave es la mitad del valor de la fuerza de gravedad en la Tierra. 4tc A )2 n g B) C)

71

D)2fCyfg

c

>2 -t 7 !

C J -4 G

Se tiene un planeta de densidad uniforme p. Si el planeta es perforado diametralmente y dejamos una

(67)¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas en relación a las leyes de Kepler? I) El área barrida por el radio vector

E X t H J .o i 't :n L \ g f j f g j

es proporcional al tiempo transcurrido. I I ) El periodo de rotación de un planeta es proporcional al área de la elipse descrita por el planeta. III) La velocidad angular con que gira un satélite en torno a un planeta es independiente de la distancia entre el satélite y el planeta. A) V F V D) W F

B) FFV B) F F F

C) V F F

Si la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos en el vacío, es de 20N en módulo. Al sumergirse en agua, colocados a la misma distancia de separación, dicha fuerza de interacción gravitatoria: A) Se rá m enor a 20N. B ) Se rá m ayor a 20N. C) Se rá tam bién de 2 0 N en módulo. D ) D e p e nd e rá de la c o n sta n te de p e rm isiv id a d del medio. E ) Se rá m a yor a ION.

Dos masas puntuales separadas a cierta distancia poseen determinada cantidad de energía potencial gravitatoria. Si su separación se reduce a la mitad, la energía potencial gravitatoria del sistema. A ) A u m en ta . B) D ism in u y e. C) S e m a n tie n e co n s ta n te . D ) A u m e n ta y d ism in u y e. E) A u m e n ta o d ism in u ye.

Hallar el valor de la velocidad de escape o segunda velocidad cósmica (velocidad que hay que comunicarle a un cuerpo para que pueda vencer la gravedad y alejarse para siempre de nuestro planeta). Radio de la Tierra=6370 km A)4t9 km/a B) 9,8 km/a C)11J2 km/a D) 32 km/a E) 13,1 km/a ¿En qué lugar de la superficie terrestre existe mayor intensidad de campo gravitacional? A) E n e l m e rid ia no de Greenwich. B ) E n lo s polos. C) A 45° de la titu d norte. D ) E n e l Ecuador. E ) E n e l centro de la T ie rra .

Si contamos sólo la presencia de las tres masas indicadas, el sentido aproximado de la intensidad del campo gravitatorio en el incentro del triángulo equilátero, es:

E555 5 9 8 m

P.m i

Un planeta de densidad constante se hiciera más grande, su fuerza de atracción gravitatoria sobre un objeto en su superficie aumentará debido a la mayor masa del planeta, pero disminuirá debido a la mayor distancia del objeto al centro del planeta. ¿Qué efecto predomina?

*

L/

\L

Respecto al movimiento planetario, indique cuál (es) de las proposiciones es (son) correcta(s): /^Describen trayectorias elípticas, donde en uno de los focos se encuentra el Sol. I I )El vector posición del planeta, respecto al Sol, barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales. I I I ) El periodo de traslación del planeta, alrededor del Sol, es proporcional al cubo de su radio vector medio. A l Só lo I D lly in

B )Iy II E li, U y I I I

C) Só lo I I

La figura muestra la órbita de un planeta alrededor del Sol, si para ir desde (A) hacia (B) demora 4 meses. ¿Qué tiempo emplea para el recorrido

Se? <•*

..............

JD ) O

%

f$J

%

\ sr*--.

(^ In dicar verdaderas:

B ) 2 meses E ) 12 meses

las

C) 8 meses

proposiciones

I)En puntos exteriores a la Tierra, la aceleración de la gravedad es mayor en puntos más cercanos a la superficie terrestre. I I ) En el centro de la Tierra, la gravedad es mayor que en la superficie terrestre. 777) La fuerza centrípeta que ejerce el Sol sobre la Tierra es constante en módulo. A) Sólo 77 D) I I y I I I

B ) Só lo I E l Todas

(TT) ¿Por qué la luna no cae sobre la tierra? A)Porque no tiene peso. B)Po rq ue está m uy lejos. C lP o rq u e la T ie r r a no cae sobre la Lu n a . D)Porque la fu e rza centrípeta se a nula con la fu e rz a g ra v ita to ria sob re la Lu n a . E iP o rq u e la fu e r z a g r a v ita to r ia s o b r e la L u n a n o tie n e la m ism a d ir e c c ió n q u e au v e lo c id a d lin e a l.

Un satélite que gira en tomo a un planeta en una órbita-circular de radio 108 m con una velocidad lineal de 103 m¡8 tiene una masa igual a 800 kg. Determinar la masa del planeta. (G=6,6xl0~n N m rlk g * ). A ) 4 ,5 x 1 0 ts k g C) 3 ,5 x l0 * ° k g E l l^ x W k g

(A) A) 4 meaea D ) 6 meses

A) No se puede predecir. B )L a respuesta depende de la distancia del planeta a l S o l. C) E l aumento, debido a la m ayor masa del planeta. D jL a d ism in u c ió n , debido a la m ayor d is ta n c ia d e l objeto a l c e n tro d e l planeta. E lL o s efectos se n e u tra liza n debido a que la d e n sid a d d e l p la n e ta se m antiene constante.

C lI y I I I

B ) 2 ,5 x 1 0 * * k g D I 5 ,5 x 1 0 16kg

E M C IO X IC S K I H I X O S l verdaderas (V). II Los planetas que están más alejados del Sol giran en tomo a éste con mayor rapidez. II) La máxima rapidez de giro de un planeta P en torno al Sol ocurre cuando P pasa por la posición más cercana al Sol. III) El radio-vector está representado por la semisuma de los ejes mayor y menor de una trayectoria elíptica. A) F F F D) V FV

B )FV V E )F F V

(/») Un cohete es lanzado desde la Tierra en dirección a la Luna y pasa por el punto de ingravidez (lugar donde la atracción terrestre es igual a la atracción lunar). Si en ese instante se suelta un objeto del cohete, podemos afirmar que: A ) E l objeto llega a la T ie rra . B ) E l objeto llega a la Lu n a . C )E l objeto se queda en dicho punto. D ) E l objeto se mueve en d ire c c ió n a rb itra ria . E ) S u m ovim iento depende de la masa que tenga dicho objeto.

@ Analice la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones e indique la incorrecta: A) U n p la n e ta , cuando pasa p o r e l p e rih e lio , tie ne su m á xim a energía cinética. B ) U n p la n e ta , cuando p a sa p o r e l a fe lio

tie n e s u

g

e n e rg ía

C )La energía potencial de interacción g ra vita c io n a l entre e l S o l y la T ie rra d ism in u y e con la se p a ra c ió n e ntre estos. D )L a a c e le ra c ió n de la g ra ve d a d depende de la a lt u ra “ />” desde la s u p e rfic ie t e rre s t re según

, R g ~g o ~R+h

Cl

m á x im a

potenciaL

@ ¿Cuál de las sigientes gráficas representa mejor la variación de la aceleración de la gravedad de un planeta de densidad uniforme? 7?=radio de planeta. B) Al

R

C)F V F

d

g

k .' R (73)¿Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas (F ) o

.2 donde

8.

eM

la

a c e le ra c ió n de la g ra ve d a d en la sup e rfic ie . E) Durante el movimiento de un planeta, el cuadrado de su periodo es proporcional a l cubo de su radio o rb ita l medio.

(TT)Un satélite del sistema de posicionamiento global (GPS) usa un satélite geoestacionario (G E) para determinar su radio orbital. Si el GPS

KS3 W * I pasa R km sobre el GE, determine su radio orbital, M es la masa de la Tierra y T su período de rotación alrededor de su eje. (Dar la respuesta en km). A)R+[10-°T*MGI4 ¡r*]13 B)R+[T*M G!4 x *}12 C) [T*MG!4 X 3] 13 D ) l T 3M G !4 x t Y*

IA

mM mM mM A )G B )G C )G 4R 8R 6R En el dibujo se muestra un cascarón esférico homogéneo de masa M , dentro del cual se halla inmersa esa esferita homogénea de masa “ro ” La magnitud de la fuerza de atracción gravitatoria entre ambos cuerpo es: F = G M m (k) teCTt

El\CM€'j.atm MCUL\ 20 12}

A ) r mtn= (G m J V o s )/Jl + (L V o 2/Gmt ) * +2/ B ) r mÍM= (G m J V o * ) C )r mtH= (G m ,/ V o2 ) [ J l + (L V o T!G m ,)* - 1 /

[CUYES DE L \ PRIMER! PRACTICÓ «)B 0 * «jeteo 4)D ll).l p b f 1)1,1 Iflf m m «jiliw lm (1)0 U)l Í5)f ¿611 *

¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la variación de la gravedad creada por un planeta de masa “ M” distribuida unifórmente en un cascarón esférico muy delgado? Radio del planeta =R B )g A) g

i;» m te» t)B S)D m T)B H)üjB)B Í0|1 ll)E ll)E m m tm tm 11)98JI MMm i 'CIAWS BE IA TERCERA PRACTICÓ

Hallar K , sabiendo que: x = R r ^ 2 y r _ 2r 2 AJI D) 19/66

BJ 1/2 E) 11/19

011/56

Determinar el módulo de la intensidad del campo gravitatorio en* el punto “A ” , si el lado del cubo mide “L ”. No contar la gravedad terrestre.

-A» Oi R C )g

Oí

R

d

(Q ) En la configuración mostrada, determinar la relación iftj/m*, para que la intensidad del campo gravitatorio (g) en el punto VA 99sea horizontal. m m sQ y

A ••

g

A) 1/8 B) 312 C) 3/4 D) 8

E) 1/2

Determine la expresión para la energía cinética del satélite cuya masa m es m. Q

9 9

a

Considere yflO+2^3 = 3,6 y G=constante de gravitación universal. .................. - o m Ai ■ A* • é A ntfS j i y : | i* i ¡ »1 ; í\ / ! í l i \ ¡ aí i : : \A \ i • M I i i1**1 f l I **I ii i / \L,m i | : P ............ i-— -.«i :/ ? / \j / \/ í:\.................... A) 4Gm/5L,* B) 6Gm/5L~ O 3Gmi5L2 D) l2Gm/5LUn cuerpo cósmico A se mueve hacia el sol S, teniendo en una rapidez Vay parámetro visor L = brazo V0con respecto al Sol. Determinar la distancia mínima, a la que este cuerpo se acercará al Sol. (mt: masa del Sol).

7)A\W V)B m $)B i}C o » ll)E ttjt im tm ¡5)8 IS)f Í7)\ m Í9)Dm ÍJ)D2i)l) ¿ Cómo lanzar un satélite artificial? Newton fue uno de los primeros científicos que consideró laposibilidad de lanzar un cuerpo desde una cima muy alta yhacerlo girar alrededor de la Tierra gracias al lanzamiento con un cañón; sin embargo, apoyándonos en las ecuaciones de gravitación universal podemos calcular fácilmente la velocidad necesaria que requiere el proyectil para realizar tan fabulosa aventura; ésta es v = 8 km/8 = 28 800 km/h; no existe un misil que empuje al proyectil a tanta velocidad. Para poner en órbita alrededor de la Tierra un cuerpo; es necesario el uso de una nave espacial, la cual está comformada por la nave en sí y un cohete cuyo interior está compuesto por un conjunto de almacenes de combustible para posteriormente quemarlo y formar grandes nubes de gas los cuales escapan con fuerza hacia atrás, mientras que la nave es empujada hacía arriba. E n r e a lid a d u n c o h e t e tie n e v a r i o s s u b c o h e te s , la p rim e ra h a c e q u e la n a ve a lca n ce u na v e lo c id a d d e 9 500 km/h, para d e s p u é s s e r d e ja d o c a e r al o c é a n o ; la s e g u n d a hace q u e la n a v e a lc a n c e 22 500 km /h; m ie n tra s q u e la te rc e ra a lc a n z a la v e lo c id a d d e 28 800 km/h q u e e s la v e lo c id a d m ín im a q u e necesita u n c u e r p o para q u e g ire e n ó rb ita a lre d e d o r d e la T i e r r a ; e n e s e m o m e n t o la a lt u r a p ro m e d io e s d e 190 k m . E s ta n d o la n a ve a d ic h a v e lo c id a d ; s e p u e d e la n z a r el “ satélite a r t if ic ia r c o n u n a v e lo c id a d ta n g e n c ia l, el c u a l q u e d a rá e n ó rb ita .

E T lÍ 9 g ~ E r' •'

•Al’./- 'Wm .

I

*

M > K 70*V M

K iB L X O S

¿ X' *

TRABAJO

t¡+** V

OBJETIVOS : * Comprender el concepto de trabajo, trabajo mecánico y de potencia , para así conocer el proceso de la transmisión del movimiento mecánico. •Conocer las diferentes circunstancias en la que se da el trabajo mecánico realizado por un cuerpo o una máquina. tNTROD UCCMÓN 2 El co n ce p to c o m ú n q u e t e tiene de trabajo es m u y diferente al co n ce p to del trab ajo m e c á n ic o , e sto es, n o c o in c id e c o n el significado físico de esta palabra. E s co rrie n te e s c u c h a r a una persona d e cir: Mhe realizad o m u c h o tra b a jo ” ; p e ro d e s d e el p u n to de vista fís ic o , p u e d a q u e n o haya re a liza d o n in g ú n trabajo. A lo largo de la h isto ria el s e r h u m a n o a te n id o la n ecesida d de a p ro vechar la naturaleza, d o m in á n d o la y tra n s fo rm á n d o la en su beneficio c o n el objetivo de satisfacer s u s necesida des. Para lo g ra r esto el s e r h u m a n o tiene q u e d e s a rro lla r un p ro c e s o al cual d e n o m in a m o s "tra b a jo ". E l h o m b re se dife re ncia de los anim ales , p o rq u e el tra b a jo q u e d e s a rro lla lo hace c o n un objetivo pre establecido, es d e c ir lo hace c o n una p la n ificació n , po r esto es que po d e m o s plantear q u e el "trabajo" es un p ro ce so tanto fís ico c o m o m e n ta l q u e d e s a rro lla el h o m b re c o n la finalidad de tra n s fo rm a r la naturaleza.

Debemos tener presente que podemos desarrollar distintas formas de trabajo, aunque en este capítulo nos centramos específicamente a lo que denominamos "TRABAJO MECÁNICO". Sí malla* traht\jn inprti M i r o j O rxitxjiio frantrult*» movimiento

Como podemos observar el niño "A" empuja al niño "B" y como consecuencia de ello le transmite movimiento mediante la fuerza que le aplica. A este proceso por el cual un cuerpo le transmite movimiento mecánico a otro cuerpo mediante la acción de una fuerza le denominamos: "Trabajo mecánico". Cuando una fuerza actúa en un cuerpo que no se desplaza, no realiza trabajo alguno.

De este planteamiento se deduce que: A mayor transmisión de movimiento, mayor será la "cantidad de trabajo" desarrollado.

o

mecánico

a

V

K:B

Es importante destacar que el concepto de "trabajo" esta relacionado directamente con la transmisión de movimiento, pero se dirá que el trabajo es mecánico cuando la transmisión sea de m ovim iento mecánico. Para comprender mejor esta relación considerem os el análisis del siguiente caso:

Fig-1 F¡g.2 • La fuerza que aplica la persona si realiza trabajo, ya que vence la resistencia del carro y lo hace mover de un punto a otro (figura 1). • La fuerza que ejerce cada persona no realiza trabajo, cuando ellas están igualdadas(figura 2). Entonces: ¿De qué depende que se dé una mayor o menor transmisión de movimiento? Para dar respuesta a esta interrogante podemos aprovechar que la cantidad de trabajo que desarrolla el niño "A" se refleja

l..\ /J.V í'mí'm.ipi*t:oiA 2012)

{J F T W & IW C Z A

en el agotamiento que éste m anifieste. De la experiencia se deduce que una mayor fuerza aplicada y una mayor distancia traerán como consecuencia un mayor esfuerzo, un mayor agotamiento y por lo tanto una mayor cantidad de trabajo desarrollado por la persona. De lo expuesto se concluye que cuánto mayor es la fuerza aplicada y mayor es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de la línea de acción de esta, mayor será la cantidad de trabajo que se desarrolle. 1 r

L ín ea d e a cció n

A

B

i-

-1 d «d »i distancia que se traslada el punto de aplicación de la fuerza (]? ) a lo largo de la línea de acción. (Note que para éste caso, coincide con la distancia avanzada por el bloque). v v

=

o

F (a) tf» * En (a) la fuerza realiza un trabajo positivo, y en (b) un trabajo negativo.

—\

F

A d

V

Unidad en el S. L : Joule N.m. < > Joule (J) Donde:

(a)

(b)

(c)

* E l trabajo de una fuerza depende del ángulo entre ella y el desplazamiento.

T R A B A J O (W ) Magnitud escalar que caracteriza la acción que ejerce la fuerza sobre el cuerpo, al comunicarle cierto desplazamiento. El trabajo caracteriza la acción de las fuerzas capaces de modificar el módulo de la velocidad del cuerpo, es decir, que pueden acelerar o retardar el movimiento del cuerpo considerado. Esto implica que sólo pueden realizar trabajo aquellas fuerzas que tengan un componente en la dirección del movimiento, es decir una componente tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos. “La cantidad de trabajo que se desarrolla depende de la fu e iza aplicada y el desplazam iento” m a t e j ia t m c a j m e x t e : »

»

I) Para una fuerza F constante y co lin e a l:

WAB •Cantidad de trabajo desarrollado mediante F F : Módulo de la fuerza aplicada. d : Distancia. Form a gráfica:

y* v=o F o

A el

d = F (x2- x t)

(I)

* Sólo para el caso de ciertas fuerzas el trabajo es independiente de la trayectoria, como por ejemplo una fuerza constante. A

estas fu erzas se denom inan fu erzas potenciales o conservativas. ♦ Un caso p a rtic u la r de una fuerza constante es la fuerza de gravedad, p o r lo tanto notaremos que:

K im n tX M .s ic i Hi.xofJj

*»r A

A

m

Fuerza media

P O T E N C IA (P )

iJB r m

H F

m Fe= m g

g

Magnitud escalar la cual determina la rapidez con la cual se realiza un trabajo. En el caso particular que el trabajo se realice de manera uniforme, es decir se realizan trabajos iguales en tiempos iguales cualesquiera, la potencia es constante e igual al trabajo realizado en la unidad de tiempo: 4

B '

O

B

•Como la fuerza de gravedad es vertical, entonces w ^ = F g .n

F. W AH = m S U

"Si la fuerza Unidad: Watt (W) = J/s

"El trabajo de la fuerza de gravedad es independiente de la trayectoria , sólo depende del valor de dicha fuerza y la altura desde la posición inicial hasta la posición final". C uando su be: ^ H C uando bqja: IV^Í+j

es colineal al movimiento"

E JE M P LO : Para efectuar un mismo trabajo, diferentes cuerpos necesitan distintos tiempos, por ejemplo.

Si el módulo de la fuerza j? varía linealmenbe con la posición x , o sea su gráfica F vs x es una recta .podemos utilizar el criterio del valor medio. Veamos:

k F

: V=0 Se observa que tanto la persona como el motor realizan igual trabajo sobre el bloque; sin embargo el motor realiza el trabajo en menor tiempo, es decir, más rápido, entonces, se dice que el motor tiene más potencia que la persona.

A rea =

i* ,-* ,) m

d

— WF ~ v v l-> 3

U EiM

c Si preguntamos: ¿Quién tiene más potencia en los brazos ?. La respuesta sería **A” tiene mayor potencia, ya que ambos realizan el mismo trabajo sólo que UA ”

mc j. o iw n lA

2012)

P oten cia A bsorvida

lo hace más rápido.

P oten cia Útil

P O T E N C IA M E D IA (P }l) Nos indica con muy poca exactitud el valor promedio de todas las potencias con que actúa un animal o máquina en un intervalo de tiempo determinado. Se define matemáticamente como el producto de la fuerza por la velocidad media.

P oten cia E ntregada

(I)

* Sabemos que:

Además tenemos:

(II)

* Después de reemplazar la relación (II) en la relación

P. Recibida

0 ^ P. Útil

(I) se obtiene: P = F x — : de donde:

P O T E N C IA IN S T A N T Á N E A Se define así como la rapidez con que se efectúa un trabajo en un intervalo de tiempo bastante pequeño de tal manera que este tiende a ser cero. Su valor instantáneo depende de la velocidad instantánea:

* Donde:

P. Pérdida

* p en tregad a

P ú t í l + E pérdida

* 0 < TJ < 1 C A N T ID A D D E T R A B A J O D E B ID O A UNA F U E R Z A C O N S TA N TE

E F IC IE N C IA D E UNA (

t\

M Á Q U IN A

tenemos:

)

Denotada por un número fraccionario o en forma porcentual, es un indicador que va asociado en la estructura de una máquina y que usualmente indica la calidad de la máquina. Esta fracción refleja que parte de la potencia "absorbida o entregada" a la máquina es transformable en algo útil. Debido ha que no es posible eliminar completamente las fuerzas internas de fricción , parte de la potencia absorbida será perdida en vencer dichas fuerzas, y , otra parte en poner en movimiento estos mecanismos; pudiendo manifestarse como un aumento en la temperatura y una transferencia de calor con el medio ambiente, de está forma solamente queda una parte que es la potencia útil la que puede ser utilizada para efectuar un trabajo mecánico o de otro tipo. Es decir:

*Construyendo la gráfica F vs X

* Si calculamos el área debajo de la gráfica obtenemos: Área = F (x ¡ - x 2), pero de la expresión, notamos que esto es el trabajo desarrollado mediante la fuerza /?.

W^,} - A re a

tt jt*o

x \

te ñ B»a 1EG31

OBSERVACIONES : Es importante tener presente que una fuerza puede actuar sobre un cuerpo a favor o en contra de su movimiento y para hacer tal distinción a la cantidad de trabajo le asociamos signos.

K M U C B O X K S H U H IÑ O S i

CAXTiDAM* DE TRABAJO DEBIDO A UNA FUERZA CONSTANTE NO E S COLINEAL AI, MOmUELXTO

En este caso es recomendable descomponer la fuerza en una componente colineal y otra perpendicular al movimiento, por lo tanto su trabajo realizado será entonces la suma de trabajos de dichas componentes, veamos:

1)

En éste caso la fuerza actúa a favor del movimiento del bloque, por lo cual a la cantidad de trabajo desarrollado mediante dicha fuerza le asociamos un signo (+ ).

* Como F $ , es perpendicular a la dirección del 2)

movimieñtó, *
En este caso la fuerza actúa en contra del movimiento del bloque, por lo cual a la cantidad de trabajo desarrollado mediante dicha fuerza le asociamos un 6Ígno (-).

•Pero: F =F CoaO

3) Si la fuerza es perpendicular a la velocidad.

F

«Form a general» • Esta es la forma general de cómo se calcula la cantidad de trabqjo realizado mediante una fuerza constante en un tramo. Esto se deduce a partir del producto escalar entre los vectores y y ¿ (fuerza y desplazamiento).

4) Por último el trabajo neto (W"*0) es la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo; entoncfes;:^ . K = m g

Fe = m g

W B k N

* Forma general del cálculo del trabajo realizado mediante una fuerza constante.

|lB g l a n a f i g

CANTIDAD D E TRABAJO DEIS¡D O A FUERZA DE MÓDULO VARIABLE . PERO COLMXEAL COX EL MOVIMIENTO.

I„1 EX c u /.oi’/.Hl.l 20 12]

l

CANTIDAD D E T R A B A JO D EBID O A FUERZA E S D E MÓDULO CONSTANTE V EN TODO INSTANTE TANGENTE A LA TRAYECTORIA

Yt

V=0

* En este caso, no podemos plantear que el trabajo de la fuerza p es F d porque esto sólo es válido para fuerzas constantes.

El trabajo de una fuerza de módulo constante y tangente a la trayectoria es igual al producto del módulo de la fuerza por el recorrido. B

* Para estas situaciones se construye una gráfica de la

; ,

f

fuerza ( p , versus la posición (J ) del cuerpo). Y lF

OBSERVACIONES í Casos que se pueden presentar (fuerza constante) F 0 P < 0 < 90 WF ( + ) Xl 31área de la región sombreada (Área bajo la curva) s representa el trabajo realizado por la fuerza p

90° < e < 180P variable. wF0 EN CONCLUSIÓN:

En toda gráfica" p vs la cantidad de trabajo que se desarrolle mediante M F ' entre dos posiciones se obtiene como el área que encierra la gráfica (área bajo la gráfica) entre esas dos posiciones.

e = 90°

wF= o

Integral Ó Cuando un cuerpo se traslada sobre una superficie plana con asperezas:

IBEH eoi fea k i h €:i o x k s itu itu v o fá Fg=m g • Si el movimiento es retardado (|y[disminuye): W#oía/ (-) •Si el movimiento es uniformet \y\ = constante): Wtotat =0 * Cuando trabajes con gráficos: Fuerza vs posición debes tener en cuenta que las áreas tienen signos según la región que ocupen, así:

Fk W Fes ( + ) ; W fke s ( - )

W * =0

♦

W F" = 0

t

•Cuando un cuerpo describe trayectoria circunferencial, considerando la resistencia de parte del aire.

A ♦

........

T »

♦

y

-

T '

y Fghm g • • 9 0 0 *

WT=0 ;

i

r

*

es ( + ) ;

W '^ e s

( - )

En el tramo donde la esfera asciende, el trabajo realizado p o r la fu erza de gravedad es negativo. O

r->

* Si sobre un cuerpo actúan dos o más fuerzas, se denominan ^trabajo neto, total o resultante en un tramo, aJá súma de trabajos de cada fuerza en dicho

»

• Se dice y con razón, que el trabajo es un concepto relativo, es decir, que depende Siempre del sistema de referencia desde donde se haga la observación del movimiento. Así, una misma fuerza para distintos observadores ubicados en sistemas de referencia también distintos podrían tener opiniones diferentes para el trabajo realizado por aquella. •

.

,

-X

•

• En genera] el trabajo de una fuerza depende de la trayectoria recorrida, o como el cuerpo o sistema pasa de su posición o estado inicial a su posición o estado final.

T R A B A J O Y P O T E N C IA C IR C U N F E R E N C IA L Consideramos: Fv = Fuerza normal o fuerza resultante radial o fuerza centrípeta. F t = Fuerza resultante tangencial, la asumiremos constante. B

tramo:

• De la figura, observamos que: F v = F ep y además esta fuerza no realiza trabajo 6obre el cuerpo ya que Si el movimiento es acelerado (|y| aumenta):Wtota¡ (+ )

no transmite movimiento radial.

a o a '«sa

♦La fuerza tangencial desplaza "S" al cuerpo, luego: (I)

♦Pero; en una vuelta: S —2irR ♦En "n" vueltas: S = 2n R n

EX C irj.oM iB Lt 20 12}

IA

EJEMPLO 2: Determinar el trabqjo efectuado sobre el péndulo mostrado.

♦En (I): W = Fr x 2rrRn ♦Ordenando: W = (FTR )( 2irn)

R E S O L U C IÓ N :

♦Observamos que de: A - t O : mov. acelerado. 0

3 : mov. desacelerado.

♦Además como son simétricos: *•%

/e|e\ Momento de FTrespecto a "O", * Reemplazando: * Donde: W; Trabajo efectuado durante un movimiento circular por una fuerza resultante tangencial (cte). Af0fr:Torque o momento de la fuerza tangencial respecto al centro de la circunferencia. "n": Número de vueltas. E JE M P LO 1 :

Determine el trabajo efectuado Bobre nm" que gira a velocidad constante.

*

B

mg ♦Siendo: Trabeyo de A —*■O lo realiza la componente del peso: ( mgSenO ) , sin embargo de O —> B el trabajo es negativo. ♦ En consecuencia:

^

D.C.L. de “m ”

♦ En cada oscilación el trabajo es nulo. E J E M P L O 3: "Cálculo de la potencia" ♦ Sabemos que:

t= tiempo total ♦ En una vuelta: t = T. (1 periodo; ♦ En V vueltas: / = nT. Cn* periodos; ♦ Y además:

♦Del D.C.L.:

WrSenB “ 0 : no hay movimiento radial. «W ,

= w mg = o : no hay movimiento vertical.

* En consecuencia, sobre un péndulo cónico que gira a velocidad constante el trabajo es nulo.

p _w

* Luego: r —— ——

~/ÍT 2jr 1

P = — =M?T t ° T

= M ? (2 * f)

[í7 m k ,i* ío w iv r r iv A r x i •Pero: W = Velocidad Angular

E l goa [| ^ E D I C I O N E S I C l TM Ñ 4 Í $ -* F impulaión del agua = 1 „ s0 *V/Í£0.................... ( / / ) Donde:

Finalmente: * La potencia d e sa rro lla d a en u n m o v im ie n to c irc u la r o p o r una m áquina rotativa es igual al p ro d u c to del to rq u e p o r la ve lo cid a d a n g u la r (es m u y u su a l para ve rific a r la p o te n cia q u e e n tre g a n los m o to res).

CÁLCULO D E Li PO TEXCLX H ID R Á U L IC A

1 Hg0: peso específico del agua ^//*o : volumen de agua impulsada

(TU ) en (II):

1

Para el caso de elevaciones de agua a una cierta altura (caso de edificios) se suele utilizar las denominadas bombas centrífugas, que por lo general son accionadas por un motor, para luego succionar agua y luego impulsar a una cierta altura el agua.

* En (I): p _ 1 h2o VH2QH *

jC T

-

4'

V

"-7o — ca uda l h id r á u lic o s Q t s\ --------v------------------7 »ar-.,v * E n (/V ): P = 7 « 2o Q ^ ___________ * En General: I P =7«ñÍwo ? t}H • Hacemos:

* Donde?, P : pot^ci^cle bombeo.

H fi H

MOTOR

BOMBA Tubería de succión

Tfiuido1 Peso específico del Huido. Q : caudal hidráulico (Ufs; m 9/s) H i altura de bombeo O B S E R V A C IO N E S í * L a s tra n s m is io n e s d e F u e rza - P o te n cia p u e d e realizarse a tra vé s de p o leas y fa ja s, ru e d a s d e n ta d a s (p iñ ó n - catalina) y c a d e n a s , á rb o l de tra b a jo c o n s titu id o p o r u n e n g ra na je y un p iñ ó n (e n g ra n a je c h ic o ). E n to d o s lo s c a s o s d e n o m in a m o s p iñ ó n a la ru e d a d e n ta d a m á s p e q u e ñ a . * L o s m o to re s e n tre g a n p o ten cia a dete rm in a da can tid ad de rpm , s in e m b a rg o esto ú ltim o se m o d ific a e s c o g ie n d o u n a adecuada rela ció n de d iá m e tro s c a s o d e p o le a s ó e n g ra n a je s o tam bién una re la ció n d e d ie n te s (p iñ ó n - e n g ra n a je ) c o n v e n ie n te ; p o r lo g e n e r a l la p é r d id a d e p o t e n c ia e n e s t o s e le m e n t o s d e tra n s m is ió n de p o te n c ia n o re p re s e n ta n m á s del tf al 8 % de la p o te n cia q u e re cib e n y en c a s o s ideales o p rá c tic o s tentativos p o d e m o s a s u m ir q u e : Piñón

* Donde:

= F impuU¡ón dBtagua x H .............. ( I I )

* Pero; el agua sube a velocidad constante ya que el motor hace girar el motor de la bomba a R P M uniforme. * Por equilibrio cinético:

m otor

— ■P* p iñ ó n = xP engranaje

Donde: M = Torque entregado por el motor. o = Velocidad angular del eje del motor.

IA

E J E M P L O 1: Un ladrillo de Ik g es desplazado 2 m sobre una superficie horizontal, bajo la acción de la fuerza horizontal: F=3 0N ; si el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies en contacto es 0,5. Determine el trabajo neto sobre el ladrillo, (g =10 m/s3) R E S O L U C IÓ N :

♦ Como el trabajo neto es la suma de trabajo de cada una de las fuerzas que actúan sobre el ladrillo, hacemos el D .C .L.

yAB°°°

♦¡Sólo realiza trabajo con la componente colineal al movimiento!

~~fk x d = - p kxFNx d = - 0,4x30x6

F=30N

< ¡ r = K ñ +K

Fg - 3 0 N

♦ Entonces:

2m ♦ Como nos piden el trabajo neto, debemos graficar las fuerzas que actúan sobre el bloque, para observar qué fuerzas realizan trabajo. Fg = 1 0 N

ENCJCJ.WUDIA2012}

=>W £0b = -7 2 J E J E M P L O 3: Una persona jala un cajón de 44kg con velocidad constante. Determine cuánto trabajo realiza dicha persona en un tramo de 10 m. ( Mk=0,5; g -1 0 m ¡8 3)

(I) -> < Z b = O?,per* ♦Además; como el cajón se traslada con velocidad constante, entonces está en equilibrio de traslación, luego: FR=0 -> Fx=fk= gkFN

- > ~ F perú f*k( F , - F y) ± F p,n = 0 , s [ 4 4 - ^ F pen F ^ O N

fk

* Reemplazando en (I) : WABn = 160 J

♦Luego:

E JE M P LO 4 : R E S O L U C IÓ N : ♦Analizando al cajón:

-> W” ‘° = WF + W fk

-+W%°=Fd-f„d -+WZ¡° = F d - MhFN d -> WXb'° = (30)2 - (0,5)(10)2 =>

= +50 J

E J E M P L O 2: Un pequeño bloque de 3kg es lanzado enuna superficie horizontal notándose que el recorrido es 6m hasta que se detiene. Determine el trabajo neto sobre dicho bloque durante su movimiento. (ftk = 0,4; g = lOm/a2) R E S O L U C IÓ N :

d ^ lO m ♦ El trabajo realizado por la persona es debido a la fuerza que ejerce, pero como esta fuerza no es colineal con el m ovim iento, no podemos plantear que el trabajo es el producto de la fuerza y la distancia; en estos casos es necesario descomponerla en dos fuerzas; una colineal con el movimiento y otra perpendicular. y-.F,p er* •

<137° ¿ F

v=o a

d/jp 1Om d=6m

Donde:

Un ciclista cuyo peso total es 500 N ssube con velocidad constante de 36 k m lh , sobre un plano inclinado que forma 30° con la horizontal. Determ inar la potencia desarrollada por el ciclista. Desprecie la fuerza de oposición del aire. R E S O L U C IÓ N : * La fuerza desarrollada por el ciclista es igual a la componente del peso paralelo al plano.

:30o... ♦De: F=WxSen30° 1 = 400 N F = (8 0 0 N ) x 2 ♦Cálculo de la Potencia.

18B 605

M

P=(400N ) ( lOmla) =4000 Watt

P R O B L E M A 1: Un muchacho tira de un bloque de manera que se desliza sobre el suelo con velocidad constante, como se muestra en la figura. Si la fuerza de rozamiento entre el objeto y el suelo de SON, ¿qué trabajo realiza el muchacho para llevar el objeto a una distancia de 5m l

E D I C I O N E S lU ItlÁ H J s}

B ) El trabajo mecánico se mide mediante una magnitud escalar denominada Cantidad de Trabajo Mecánico.

D ) De la figura, la cantidad de trabajo realizado a través de la fuerza de rozam iento, se determinaría: W = ~ fk t4

C)125 J

R E S O L U C IÓ N :

D )1 0 0 J

* D .C .L. del bloque:

E )Fa lta conocer el ángulo a.

•La fuerza de gravedad y la fuerza normal ^ no realizan trabajo 6obre el bloque, porque

R E S O L U C IÓ N : • Debemos recordar que el trabajo lo efectúa la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento; así como el bloque estará en equilibrio, ya que se desplaza a velocidad constante.

Fcosa f= 3 0 N f mg • Por equilibrio horizontal:

FCosa = fk = SON * Luego el 'trabáyo realizado por el muchacho, será: W=FCoaa x d = 3 0 x 5=150 J R P TA : "A ” PROBLEM A 2 : Indique la proposición incorrecta:

f=PN

W L B = +Fd

B )7 5 J

F

• El D .C .L del cuerpo es: YA

C) Si "F" es constante la Cantidad de Trabajo Mecánico realizado a través de ella de A hacia B, sería

E ) De la figura, la fuerza de gravedad y la fuerza normal realizan trabajo mecánico.

A )1 5 0 J

RESOL UCIÓN:

* Dado que el cuerpo se desplaza con velocidad constante, éste permanece en equilibrio^. En el eje X: F 2Cos30° + F t - phF N = 0........ (I) • En el eje Y :

Fg =mg - F sSen30° - W + FN = 0.

■X

* De (I) y (I I ) : fk

N son perpendiculares a la trayectoria. •Analizando las alternativas, la incorrecta es la (E ) RPTA : “E ” P R O B L E M A 3: El cuerpo mostrado en la figura tiene 4 Newtons de peso y se desplaza con velocidad constante una distancia de 10 m sobre una superficie horizontal, (coeficiente de fricción = 0,4), por acción de las fuerzas F¡ paralela al plano y F 2 de 2 Newtons inclinada un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. El trabajo realizado por la fuerza F¡ es:

30°

Fj = p (W + F2Sen30°) - FsCos30° -*F¡ =0,4(4+2(112)) - 2(4312)=0&74N • Luego el trabajo realizado por la fuerza F ¡ será, entonces: W = Fjd = (0,27N)(10m) = 0,27x10* J RPTA : “E ” PROBLEM A 4 : Un bloque de 18 kg es sometido a la acción de dos fuerzas, donde: F j = 1 0 0 N y F S= 8 0 N . Determine el trabajo que desarrolla F s , cuando F ¡ realiza un trabajo de +300 J , en tal recorrido. F A)—400 J B)-320 J C) 360 J

..M

D )-3 0 0 J

F

E )-2 5 0 J R E S O L U C IÓ N :

P

•Se nos pide: A) Trabajo Mecánico es una actividad que consiste en transferir Movimiento Mecánico a través de la aplicación de una fuerza.

(II)

A) 0 ¿7 x 10-2 C) 0,27 xlO 2 E) 0$ 7 x 10

B) 0,27 x 10° D) 0,27 x 101

w

= — F 2dCo860° S

(V

•Determinemos "
Wfy = +800J -* F¡ dCo*37°=3O0 lOOd

800-*d=10 m

(!)• * Reemplazando (II) en (I);

j(II)

1 = —400J w aÉ =*-80(10) \2 \

!A EXCjrj.afMCOLt 20lt)

IH3S36Q6 l&g? 2 )V E R D A D E R O : WFm > 0 ;WFy = 0 ;Wr$ <0

Wasf = F d

3 )V E R D A D E R O :

¡Los trabajos son iguales!

Si (a=0 => E F = o ) => W = F x d = 0

10) FA LS O , No, porque el trabajo de la fuerza constante que se opone al m ovim iento es negativo (fricción).

4) VER D AD ER O : (

= f9X d < 0

tiene sentido contrario a d )

RPTA : " A ” PROBLEMA 5:

5 )F A L S O : Wfm= f td ; ( f M= fimg) =>WÍm= ( u m g )d

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1 ) E l trabajo hecho p o r una fu e rza que tiene d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r a la dirección de desplazam iento sie m p re es cero.

2)El tmbajopuede serpositivo, nulo o negativo.

3) E n

un desplazam ien to a velocidad constante , e l tra b a jo hecho p o r la fue rza re su lta n te es cero.

4) E

l trá b e lo hecho p o r la fu e rza de

rozam iento es negativo.

si depende de la masa del cuerpo

w& = co n sta n te

6 )F A L S O : No; también realizan trabajo las fuerzas que tienen sentido opuesto al movimiento (trabajo negativo).

* De la figura: WJ& = F d eos6

8 )F A L S O :

•Se puede apreciar que el signo del trabajo depende del ángulo que forman la fuerza "F" y el desplazamiento ¿

6 )L a s fu e rz a s en e l se n tid o d e l m o v im ie n to so n la s ú n ic a s que re a liza n trabajo.

f Si 9 = 180°

7)La unidad y d im ensión d el tra b a jo y el torque son ig ua le s.

11)El signo del trabajo, realizado por una fuerza constante F sólo depende del sistema coordenado. A)ll B)10 C)8 D )7 E)5 RESOLUCIÓN:

WJ[b = R PTA : “F ”

* Del gráfico: FR = F j + F s + F s = 0 W FR

9 ) E l trabajo de una fu e rza constante es e l m ism o p a ra d o s s is te m a s de referencia in e rc ia le s. 10)E l tra bajo de una fu e rza constante es siem pre p o sitiv o .

YK

7 )F A L S O :La unidad del trabajo y el torque son iguales (N .m = J ); pero sus dimensiones no necesariamente son iguales.

5 ) E l trabajo hecho p o r una fu e rza de rozam iento es negativo.

8)S i todas la s fu e rza s actuantes sobre un cuerpo fo rm a n un polígono cerrado entonces e l tra b a jo re su lta n te es cero.

11) F A L S O :

T ra ba jo n eto o resu t ta n te

= FR d = 0 TT

9) V E R D A D E R O , Un sistema se considera inercial, cuando se analiza el movimiento de un cuerpo respecto a un observador fijo. F

PROBLEMA 6 :

Un cuerpo con 2 kg de masa está inicialmente en reposo en un plano horizontal y sin fricción. Si se aplica una fuerza horizontal de 10 N por un tiempo de 10 8 , ¿cuál es el trabajo realizado por esta fuerza? A)200 Jou lea B)2 500 Jou lea C)1 500 Joules D)750 Joulea RESOL UCIÓN:

(1)

•Consideremos a la fuerza horizontal de 10 Newton desplazando al bloque sobre el plano horizontal liso. a

• Trabajo realizado por una fuerza:

Obs. fijo

(2) F

F=10N-

-

fc £ * Para un mismo desplazamiento de l)VER D AD ER O .Fy ± d =>14^=0

los cuerpos; se tiene: W f = F d y

W» = F . d

(I)

• Pero como el bloque efectúa un

607

rFMSMT4

t? M J L U .V , entonces: at at d = y f . t+

(II)

E D IC IO N E S M J B IY O S )

sobre el bloque de 10 kg , para trasladarlo de ”A" hacia"B (g=10ml8*)

^ = °>75

A )+500 J B )-5 2 0 J C)+900 J D)-305 J E)+550 J R E S O L U C IÓ N :

* Además: F =— 10 = 5m/s * # = ma -> a = — Af 2 * Luego en (II ): d =

- =250m

* Finalmente en (/):

:9m

Wf =J0x250 =2500J R P T A : “B ” P R O B L E M A 7: De la figura mostrada, determine el trabajo neto realizado sobre el bloque de 10 k g , hasta que llegue 0 al piso. ( g= 10 mis ) P k = 0 ,5

A )4 0 J B )4 5 J F=50N

C)50 J D)55 J

C)1 455 J

* Para que la cantidad de trabajo sobre el bloque sea mínima, éste debe moverse lentamente, luego considerarem os: y =constante (equilibrio). F„ bloque) =0 => F „ = 8 O + 0 -> F u = 125N

l

E )6 5 J

A)1 200 J B)1 250 J D)1 325 J E)1 500 J R E S O L U C IÓ N :

i

*.

i

* Deseamos calcular el trabajo neto sobre el bloque:

d = lm

4

* El bloque desliza vertical mente, entonces en eje x: N p = 30N * Luego: f K=pKN P= 0,5x30

f K =15N

* Ahora, desde A hasta B. -*wj¡j¡l0 =

F j Cose = 60. yyj’ot.n = ( F j ' Cog0)'d

WÍ"iTn = (60) y. 15 = 900J R P T A : “ C” P R O B L E M A 10:

fk = F k * Ñ P

6m Fk= 0,75x60

B)1 608 C)1 760

~+ Fk=45N -> dÁB=1 Om

D)1 640

* Luego: W fg = Fl i xdAB = 125xl0=+1250J R P T A : “B ”

E )1 580

P R O B L E M A 9: Si el bloque liso de lO k g es arrastrado lentamente de A hacia B, determine la cantidad de trabajo realizado por el joven. (g=10m/8s)

-+Wj$¡to= (1 0 0 -1 5 ‘ 4 0 )x l = 45J RPTA : “ B ” P R O B L E M A 8: Determine la mínima cantidad de trabqjo que debe realizar el joven

rugoso /

R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D .C L . al bloque de 220 N fr AT

F8en53° p-------

= F g .d

- >W%‘° = (F t - r „ - 4 0 ) . d

(I)

Un bloque de 220N se desliza sobre una pared vertical debido a una fuerza F constante. Calcular (en N ) la magnitud de la fuerza F si el trabajo neto realizado para desplazar el bloque 5 m es 660 J y el //* = 0,5 A)1 800

R E S O L U C IÓ N :

4Q N \¡

A * -* '..........................jM »-R •>’ • Cómo el bloquQ?Üso sube lentamente, ( y ^ . constante^ entonces: F n/bí¿qu9) a ■ = 0 , es decir

p,k=0,5

..................... fa*/.

220N

* Del gráfico: F v = F S en 53°

(Equilibrio)

BBS

BH

U ESCM4xo r v o iA 2012}

B) La cantidad de trabajo mecánico realizado a través de la fuerza de gravedad es independiente de la trayectoria que describe el cuerpo.

fr - MkF N =>fr = 0,5FSen53° • Por definición: yyNETo _ ^ yy| Suma de todos ' ' J los trabajos

O En el caso I I , la reacción de la superficie no realiza trabajo mecánico.

=>660=WFe*maT+Wfh+WSSON 660= Fcos53°d - frd - 220dz -»660=^(Fcoa53° - 0,5Fu¡n53? - 220) O o r OE* -+132 = - ~ - - ^ - - 2 2 0 -+ F=1760

¿>)En ambos casos, la cantidad de trabajo mecánico de la fuerza de gravedad no son iguales.

RPTA : “ C ”

E ) A veces la fuerza normal realiza trabajo mecánico.

P R O B L E M A 11: Un bloque desciende libremente desde una altura A.El trabajo realizado por el peso es: A)-mgh B)Hace falta saber su velocidad iniciaL C)1/* mgh D)mgh E)Si cae con v = cte, el trabajo ea cero. R E S O L U C IÓ N : h

II u

ÉE" T K - - T El trabajo de lafuerza de gravedad o del peso será W =mg a

WP*a b =+ WdÁB=mgh T tiene el mismo sentido que el movimiento R P T A : “D

9 9

P R O B L E M A 12 : En ambos casos, se sueltan bloques idénticos de masa "m" en "A" tal como se muestra. Indique la proposición incorrecta.

d

= h 0- h

W =peso (h 0- h ) = m g (h 0- h ) * Luego: W = -h m g + m gh0 - + W = ( - m g ) h + m hg0 p en d ien te n ega tiva

* Graficando W versus h : W

R E S O L U C IÓ N : Z- Cato I

Cato 11

ho

%

H

* El trabajo de la fuerza de gravedad no depende de la trayectoria del cuerpo, luego en los casos I y II, el trabajo de la fuerza de gravedad es el mismo.

R PTA : “ C” P R O B L E M A 14 : Un cuerpo puntual de masa m se mueve en una trayectoria circular bajo la acción de una fuerza constante F y una velocidad instantánea V, siendo ambas tangentes a la trayectoria. El trabajo realizado por la fuerza sobre la masa para ir de A a B es:

* A n a liza n d o t la incorrecta et la (D ).

RPTA : “D ” P R O B L E M A 13 : Un cuerpo se desliza sin fricción hacia abajo sobre un plano inclinado, partiendo de una altura h 0 con respecto al piso. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa cualitativamente el trabajo W que realiza el peso del cuerpo en función de la altura h l C)W C)W B )W A )W h h R E S O L U C IÓ N :

ho h

h A) En ambos casos la cantidad de trabajo mecánico realizado a través de la fuerza de gravedad es igual a: = + m gH

* De la figura:

•Recordemos que el trabajo del peso es: W = Peao.d

B A)2 mv/RF B)mv2(F C)mv2lRF E )* R F D)m vRF R E S O L U C IÓ N : Representemos Eli cuerpo que se mueve en una trayectoria circular: • En este caso la fuerza tiene en todo momento módulo constante y además es tangente a la trayectoria, entonces el trabajo se determina, mediante el producto de la fuerza y la longitud de la trayectoria seguida: WB = F . e -+W d 4 ^ ^ F = x R F

l

R PTA

í “E ”

P R O B L E M A 15 : ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? 1) En un movimiento pendular, el trabajo del peso en una oscilación completa es cero. 2) El trabajo de una fuerza constante siempre es distinto de cero. 3) Se suelta una pelota desde el techo de una casa, la cual da varios rebotes hasta detenerse. Entre dos rebotes sucesivos el trabajo del peso siempre vale cero.

4)Luis lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, entonces en el tramo de subida el trabajo del peso es positivo. 6) El signo del trabajo de una fuerza depende del sentido de los ejes en un sistema coordenado. 6JE1 trabajo es una cantidad evaluable (que se puede calcular) en cada instante. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 R E S O L U C IÓ N : 1) VERDADERA , El peso de un cuerpo (Fuerza Gravitatoria) es una fuerza conservativa, por lo tanto el trabajo de esta fuerza en una trayectoria cerrada (como el caso de la oscilación com pleta de un péndulo) es cero. 2) FALSA, El trabajo de una fuerza constante puede ser positivo, negativo o cero.

I E «O » magnitud escalar, por lo tanto no depende de la orientación de los ejes coordenados de un sistema. 6 )F A L S A , En general el trabajo implica transferencia de energía de un sistema a otro en un intervalo de tiempo considerable y no en un instante. No existe trabajo instantáneo. R P T A : “D ” P R O B L E M A 16: Una fuerza F actúa sobre un cuerpo de masa 2 k g .En el dibujo se muestra dicha fuerza en función de la posición. Sabiendo que la fuerza F tiene la misma dirección y sentido que el movimiento, determine el trabajo (en Joules) realizado por la fuerza entre las posiciones x=Om y x = 3m IF (N ) A) 7

4) FALSA ,Cuando un cuerpo sube verticalmente, el peso del mismo realiza trabajo negativo, puesto que el desplazamiento y peso tienen direcciones contrarias. 5) F AL SA , El trabajo es una

k F (N )

A )1 6 J B)14 J C )1 2 J D )1 8 J

E )2 2 J R E S O L U C IÓ N :

xim)

* Según el enunciado y la gráfica F V sx ( F u e r z a - p o s i c ió n ), >* • establecemos; la fu e r z a en co n s ta n te

-4

*

*

la fu e r z a varía au va lo r

x= 0

A . F
B)5

x im )

C)8

* Como piden la cantidad de trabajo (W ) sobre el bloque desde la posición ¿v0 = 0 hasta la posición x = +4m , la podemos determinar calculando el área debajo de la gráfica F Va x comprendida entre x 0 — 0 y x = +4m

D)10 0 1 1 2 3 x (m )

E )6

R E S O L U C IÓ N : • Recordemos que dada la gráfica fuerza vereus posición, el trabajo se determina mediante el área bajo la

Se deduce que:

gráfica: < - . c = A , + A 2 .............................( I )

* Que en este caso, será el área de • Donde: un triángulo ^A¿ =

j:

*

A j : Area de un rectángulo A 2 : Área de un trapecio

iF (N )

* Es cero cuando la fuerza y desplazamiento son perpendiculares. 3) VERDADERA ; Supuesto que en cada rebote (subida y bajada) el trabajo del peso es cero, a pesar que las alturas alcanzadas en cada rebote es cada vez menor.

E M t m X E S i:i!IU \ 0$\

3 x4

=6J

A j= a x L = 2 x 5 = 1 0 J

Reemplazando en (I): 12

3 x(m ) RPTA : “E ”

H & c = 14J RPTA : “B ”

P R O B L E M A 17: La figura muestra la variación de la magnitud de la fuerza aplicada a un cuerpo en función de la posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y 4m es:

P R O B L E M A 18 : El gráfico muestra la variación del m ódulo de una fuerza con el desplazamiento. El trabajo (en *7) realizado entre 0 y 72 m es:

m r r s iw c A

H

I & g L S lo J Ü S R E S O L U C IÓ N : F

E Y f w x o r f a M 2012)

_—«, r wF k t f 5 + 1 5 } * 3x15 -*Wl_rt=5xi+| x /+ --;--= + 3 7 1 *J x=0 2 2 Xm5

V

J

R PTA : “2>” P R O B L E M A 21:

A)75 B)-75 C)90 DJ-95 E)95 R E S O L U C IÓ N : * Recordando: F r -

x (m )

Una persona empuja un bloque sobre una superficie mediante una fuerza que varía de acuerdo a la gráfica. Determinar el trabajo desarrollado por la persona sobre el bloque al desplazarlo lOm . i i F (N ) A )2 5 J 10

Por definición:

B J5 0 J

xx4s

x x 32 23x 2 i~ ~ ~ r RPTA : “A” P R O B L E M A 20 :

C)75 J

20x(m )

~

Si un cuerpo se mueve en línea recta sobre una pista horizontal y sobre él se empieza a ejercer una fuerza en la misma dirección de su movimiento, la cual varía según la gráfica, determine la cantidad de trabajo realizado por dicha fuerza desde x = 0 hasta x = 5 m

* Ahora en el problema F

A )3 1 J

D )1 4 J E)100J

x=0

R E S O L U C IÓ N : * El trabajo de una fuerza variable, se calcula mediante el área en la gráfica F Va. x F o= 1 0 N

x(m)

i F(N)

ifi.

B)32f5 J C)35,5 J D)37,5 J - 20

E)38 J

* Del esquema: A, =

10x5

= 25

1 2

5 x(m)

R E S O L U C IÓ N : * Deseamos determinar el trabajo de una fuerza variable, sobre un cuerpo que desliza horizontalmente.

Aí=R r ) 20=/00 * Luego: w £ w = A j - A 2 -> W ¡\]2 = 2 5 - 1 0 0 - - 7 5 J R PTA : “B ” P R O B L E M A 19 : La figura m u e stra la d e p e n d e n c ia de una fu e rza re s p e c to al d e s p la z a m ie n to ; el trabajo (en J) realizado p o r la fu e rza entre OyA.

F(N )

0

Arcos de

circu nferen cia

xim )

x(m )

W 10m = (. ^ o y 4f= JO

\

10=7Sj

*

N O TA Recuerde que el área sólo expresa el trabajo de la fuerza variable más no así el trabajo neto. RPTA : "C ” P R O B L E M A 22 : Un joven desea extraer un cilindro sum ergido com pletam ente, la fuerza que ejerce se da por la relación: F = 1 0 + 5 0 x , donde ”F ” está en Newtons y *xn en metros. ¿Cuánto trabajo efectúa para sacar el cilindro, si su altura es de 60 cm l ( 0 < x < 0,6m)

MJLm

ex

KIWMVUS KUBLXOS)

lyáfet g i l

,0

A) W V

cien to

B)FFF

■53? ™A

x(+)

AF(N) B*

C)FVF 80

D)VFV \X(m) E )F W o 0,6 R E S O L U C IÓ N : A )8JB )9 J C)10 JD)12 J E)15 J R E S O L U C IÓ N : kF F

AF x=0J

.

JT

fx =ru

-rX ‘5

•

.

.

.

i

*

u * .

4:

C)+18 J

0,3 m

i =12

X<+)

, x=0,6m jbí L

»

A )+12 J B )+ 1 5 J D )+ 1 9 J E) +20 J R E S O L U C IÓ N :

dyíAUr0-2 m . 1

F =10+50 x , entonces, la fuerza F 0 0,6 1,2 X(m) es variable y depende linealmente : v.' de la posición x. Para determinar Construyendo la gráfica el trabajo de esta fuerza es necesario, * En: x = 0 , f(O=80N m construir una gráfica F vs í Fx = SOx —= 64N

— KAT F y= 5 N | - d_

=0,4 m

J r * •El trabajo neto sobre la esfera se puede determinar según:

5

x= 0 ,6 ; flo,ei=0 => Fx=0 x

j =0

x = l ¿ ; f(¡,,=80 =>Fx= 80x-= 64N 5 Luego analizando, las proposiciones: /) VERDADERA , Ya que: •Si x = 0 => F = ION •Si x = 0t6=>F = 40N • Luego la gráfica F vs x es: -» WF = A _>

) x (0,6)=15J

RPTA : (tE ” PR O B LE M A 2 3 : La fuerza F(x} actúa sobre un cuerpo manteniendo una dirección constante y se muestra su gráfica F en función de la posición x , luego señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I) El trabajo total vale 38,4 J. II) La fuerza máxima en la dirección del desplazamiento es 64 N . III) La mínima masa del cuerpo debe ser 4,8 k g .

w ™ =A¡ +A,=—(0,6).64+—
2

=38,43 II)VERDADERA, Dado que de la gráfica F vs x, se puede apreciar que la máxima " F en la dirección del desplazamiento es 64N. III) VERDADERA, En la vertical: De.*

FV = 8 0 \ ^ \ = 4 8 N

EF, = 0

m g = Fs + 48 e =

48

m min 10 = 0 + 48

RPTA

ti A»»

P R O B L E M A 2 4: Determine el trabajo neto sobre la esfera de lOkg en el trayecto A hacia B, si el viento ejerce sobre ella una fuerza horizontal constante de 5N. (g =10 m/s2)

w £ to =Fg • dyfAB>+(-FV• d*} +0 W Ntto AB = 1 0 0 x 0 ,2 -5 x 0 ,4 W Neto = +18J AB

N O TA Recuerde que el trabajo de una fuerza constante entre dos puntos depende del valor de la fuerza y la distancia paralela a la fuerza entre dichos puntos. RPTA : “ C ” PROBLEM A 25: Determine la cantidad de trabajo realizado por la plataforma sobre el bloque de 7Okg durante los 5 primeros segundos de iniciado su movimiento. Considere que el bloque no se mueve respecto de la plataforma que acelera a razón de 4 nt¡82.

A)15 3 7 0 J B)15 7 0 0 J C )1 6 0 0 0 J D )14000 J E)17 000 J

flTB R E S O L U C IÓ N : * Analizando las fuerzas que actúan sobre el bloque: VmO

L

* La fuerza de rozamiento estático (f§) sobre el bloque impide su deslizamiento, realizando trabajo desde A hasta B. W3 * * = w & = ft . d ................. (I ) * Tte: FR= m a -> ft = 70x4 = 280N El bloque realiza M.R.U.V. d = 0 + 1 x 4 (6 / ~60m *E n(I):

W g?taf = 280 x 5 0 = 14000J

R P TA : “D ” PR O B LE M A 26: La figura muestra un resorte de longitud natural /o - Se toma al resorte del extremo A y se le desplaza hasta B, entonces determine la veracidad (V ) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, relativas a la fuerza restauradora elástica F = -k x . (W%bj = trabajo realizado por F de A hasta B utilizando la trayectoria I). I W k t * wL,.n V J W L j = ^AB.II * WJlB.III

IA

R E S O L U C IÓ N : * El trabajo de la fuerza elástica depende solamente de la deformación final e inicial del resorte.(D ebido a la fuerza recuperadora).Com o las deformaciones en "B" y "A" para los 3 tramos son iguales; entonces se cumplirá:

VW Á bj =

w L ,m

• Luego: I )F II) F

III) F

IV)V V) F RPTA: “D ”

^ ^

■A

25m

A)El Wflc = +2COJ BJEIWZZi = -IBOJ D )E 2 W ??a = + 1 0 M

R E S O L U C IÓ N : * El bloque a partir de "A", Be desliza sobre la pista lisa: ^Ya *0 mg

P R O B L E M A 27: Un ladrillo de 4kg reposa en x= 0 , sobre una superficie horizontal cuyo con el ladrillo es 0 2 , ri se le ejerce una fuerza horizontal F\ tal que: \100N : 0 ¿x< 1 0 m 100N : lOm ¿ x á 15m Determinar el trabajo neto sobre dicho ladrillo desde # = 0 hasta x= 1 5 m A) 180 J B)200 J C)380 J D)400 J E)500 J R E S O L U C IÓ N : * Según los datos y teniendo en cuenta la variación de la fuerza conforme el ladrillo cambia de posición, se tiene: F*0

140N

/-■ i

-^mr»iowmmrmiooN

* Entre x = 0 hasta x =10, la fuerza es de i 00 AT hacia la derecha. * Entre x=10 hasta ¡r=15; la fuerza es de 100 N hacia la izquierda. * Entre x = 0 hasta x =15; la fuerza de rozamiento. MKN = (02X 40) -> f h= 8N (hacia la izquierda)

D)FFFVF BjFFFFF

(g =10 m/s2)

E )E l W ¡Z?B = 0

= w lBM¡ - W^bmi

PROBLEM A 28 : Un bloque de lk g es soltado en "A". Indique la proposición falsa:

C )E IW Z Z * = + 1 0 0 J

I I W L ,., = K b .u + W U m

W ) W L ., =

K V C if j . ot'UOMA 2 0 1 2 1

* Luego: "W , * W'+W' - F(10)- F(5)- Fx(15) -*WSltlo^100xl0-100x5-8(15)=380J RPTA: “ C”

25m 15m

VVJJf = mg .dy(AC) = 10x25=+250J W$f = -m g.dyíCBt=-10xl5=-150J w$ + wcb =(+260)+(-150) -+W%g = +100J;Wj3¡=0 wajb

; Np es perpendicular a la trayectoria ♦Luego: W%¡‘°= W%¡+ Wj¡g=100J wj¡*° * 0 RPTA : “ C” PROBLEM A 29: Una cadena de 50kg y lOm de largo, tirada en un piso horizontal, es elevado lentamente por medio de una fuerza vertical aplicado en uno de sus extremos, ¿cuánto trabajo se habrá realizado sobre dicha cadena, hasta el instante que su extremo inferior esté a 5m del piso? (g = 1 0 mÍ82) A)1 kJ B)2 kJ C)3 kJ D )4 k J E)5 kJ R E S O L U C IÓ N :

L

mgI

1

ao.

5m 6m

[y jiA I fc l> W

fg J * Q ’JTM:

:ju%.

EDICIONES IZUtlXlVS

613

* Si la cadena se eleva lentamente, entonces: Ww =0=>WF+ ¥ rg=0=>WF=-W mg; Luego: WF=m g d\ como el centro de gravedad 6e desplaza una distancia d, entonces d =10 m

al jalar la cuerda con una fuerza "T\ sobre la carga actúa una fuerza de n3 T ", luego por la regla I Se obtendrá que:

=*W f = 5 0 x 1 0 x 1 0 = > W f = 5 00 0 J = 5 K J

w H om bre = (3 T )(d )............... (I)

* Observación: notar que la fuerza ”F' es variable. RPTA : “E ” P R O B L E M A 30: Un obrero de 60 kg está sentado sobre una liviana silla que se acomoda a una polea móvil y otra fija mediante una cuerda inextensible que pasa por ellas. Calcular el trabajo hecho por el hombre por cada 30 cm de ascenso lento, (g = 10 m/s2) A) 120J B)180 J C)240 J D)300J E)250 J R E S O L U CIÓ N : * Consideremos que la máquina es simple (son aquellos dispositivos generalmente empleados para multiplicar la acción de una fuerza aplicada desde el exterior). (Las máquinas simples más usuales son: la palanca, plano inclinado, poleas móviles, torno,... etc.). * El objetivo de una máquina simple no es transformar una forma de energía en otra, sino hacer más "liviana" la carga... Pero: "LO QUE

^ 'H om bre

Si dos máquinas simples diferentes efectúan igual trabajo interno, sus trabajos externos serán iguales. * Ahora en el problema, el hombre

Luego: WF=FAx=100(l,25 - 0)=125J

^ C a rg a

TTT i ki

Pero por el equilibrio

(La F desarrolla trabajo en contra del movimiento). • Reemplazando) 50 = 125 - 25 + W P™

vertical: 3 T = 6 0 0

->■ W F‘ = - 5 0 J R PT g^B

W¡hmb„=(600)(0,3)=180J

PR O BLEM A 32:

6 0 0 N

RPTA : “B ”

Determine el trabajóle ?,fF" para que desde el reposo mostrado, la soga de longitud "L" y peso uniforme "P ” suba lentamente hasta la plataforma, suponga que las superficies tienen buen pulimento. - F * *

PR O BLEM A 31:

Un anillo de 1 k g es arrastrado por un alambre desde x = 0, .•como .kse muestra. Si p es constante^ de módulo 100 N t el trabajo neto hasta la posición en que x = l , 25 m es 50 J; determine cuánto trabajo realizó la fuerza de rozamiento hasta esta posición. (g =10 m/s2) Y(m)h A )-10J b )- 2o j

' y =lt6x¿

A ) P L B ) PLTgC t c ) P L C oscc m

2

4

P L S en a

3

2

* Consideremos la fuerza para cierta porción de la soga homogénea:

C)-30 J D )-4 0 J E )-5 0 J

i

R E S O L U C IÓ N :

0

73

X(m)

R E S O L U C IÓ N :

* Por proporciones: L -x

R E G LA 1 :

REG LA 2 :

roz

WFg= - F gAy=- 10(2,5 - 0 ) = -2 5 J

SE GANA EN FUERZA SE PIERDE EN DESPLAZAMIENTO

En una máquina, sin fricciones, el trabajo externo (de la fuerza aplicada) es igual al trabajo interno (fuerza aplicada sobre la carga).

wN eto = W F + w r* + w

L

P 1 X=P

L-

£)

(I)

• Por equilibrio: F=PX Sena * Se pide el trabajo de la fuerza de rozamiento desde x = 0 hasta x = 1,25 m •Pero: cuando x= l,25m entonces y = 2,5 m * Además como sobre el anillo actúan 3 fuerzas:

(II)

* De (I) en (II) : „ n >L — x } ^ iP S en a F = P \ ------------- S e n a = P S e n a — x _

-(

PSena

.......................

0

x + PSena (Esunarecta)

* Que al graficar resulta:

{j

f m s íw u j

*

* E l tr a b a jo esta rá dado p o r el área som brea d a :

RPTA: “D ” PR O B LE M A 33: Determine el trabajo realizado por la siguiente fuerza, cuando viaja de "P" A M Q": Q ( - 3 ;3 ;3 )

A) 6 J F = i + % - 3 k B )- 6 J C)-18J D) 20J E)-20J P (2 ;5 ;0 ) R E S O L U C IÓ N :

* Donde:'Wes el trabajo efectuado contra el peso para elevar los 18 000 litros de agua hasta la altura de 30m,entonces: W = m gll "t” es el intervalo de tiempo empleado, o sea: t = l hora Recordemos que cada litro de agua tiene la masa de 1 kg; entonces: ^ p=n^ j j o o m o m =I500uaJt t 3600 * Pero como: 1IIP = 746 watt P=

* Sabemos que: W = F . d P roducto

Escalar

-> W = (l;2 ;-3 )[(-3 ;3 ;3 )-(2 ;5 ;0 )] -> W = 0 ;2 ;-3 )x (-5 ;-2 ;3 ) -> W = -5 - 4 - 9 = - 18J RPTA : “C ” PR O B LE M A 34:

746

RPTA: “D "

PROBLEM A 36 : ¿Qué potencia desarrolla el pescador en levantar el tramboyo de 3 k g a un metro sobre el piso, si enrolla el cordel a velocidad constante durante 2 segundos. (g = 10 m¡82) l

= J l* + ( - l ) 2 + 2= x J l* + 2* + ( - l f C o s 0 -> 1 -

1 -

1 = 3 C o se

—— = C os9 3

e = Cos 1

2 3

RPTA : “ E ”

* La potencia esta dada por: W^FdCoe5J ^(900 t t t t •Para determ inar el tiempo, apliquemos la 2da Ley de Newton, en:

100 NI 100 N *

SON D e:

fb=flhPt)

Fs —>60 - pkFN=10a ->60-0,5(100-80)=10a -*a=5mla2 * Luego com o se experimenta M R.U.V., luego: 10=0(t)+~(5)t 2 t =2

PRO BLEM A 38:

A) 12 watt B)8 watt C)7 watt D)15 watt E)24 watt R E S O L U C IÓ N :

En la figura, el joven jala el bloque con rapidez constante de 2m/s. Si el coeficiente de fricción cinética es /ij(=0,5, ¿cuál es la potencia (en W) desarrollada por el brazo del joven?

* Sabemos que cuando la fuerza es colineal al movimiento, se tendrá que: P=FV=™ =^ = ? í i £ > m =í5ualt t

t

20 k g

2

RPTA ; “ D ”

¿Qué potencia tiene el motor de una bomba que eleva 18 000 litros de agua por hora de un pozo que tiene 30m de profundidad?(Considere g=10 mis2) (1HP=746 watts). Aproximadamente: B )3 H P E )l,6 HP

A) 120watt B)300watt C)400watt D)250watt E)500watt R E S O L U C IÓ N :

RPTA: “B ”

PRO BLEM A 35:

A flO H P D )2 H P

10m

Que al reemplazar en (I), se 600 obtendrá: P = = 300watt

F = i + j - k y d = (1 ; 1; - 1 ) A)8° B)30° C)60° ¿ -i D)37° E) Cos 3 R E S O L UCIÓN: W = F x d = F d C osd = ( 1 ; - 1 ;1 )(1 ;1 ; - 1)

H ,= 0,5

= 2, 01HP * 2HP

Determinar el ángulo entre:

* Sabemos que:

¡ A E Y f / f x w m l 2012 ]

IB « i » [B U R E S O L U C IÓ N : * Como sabemos la potencia se determina de la siguiente manera:

C )1,5H P

P R O B L E M A 3 7: Hallar la potencia que desarrolla una persona, quéjala una caja con una fuerza de 100 N en la forma mostrada, mientras va de "AHhasta H B", si la caja estaba en reposo en A.( m = l Okg)

A)20 B)55,5 CJ100 D) 145,5 E)200 R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el D.C.L. al bloque de 20 k g i V = cte) — ►T a n ^ f i =

+k=53°I2

(P o r p r o p ie d a d )

* Como: FR = 0

e is •Como:

(V = cte)

v

3fc i

srX 4k J

= c t e =>fr = o

EMHCiOJUOSS KIJBLVOS\ R E S O L U CIÓ N : • Sabemos: ífOMIMlio

P ero:

=2fíhW

•Luego:

KM BiOrrgado t+nmmhd* y

/

C*

E F (V = Z F a )

r

8k ssr/ 2/

' J III * '

—> 2T = 800N —>T = 400N

800 N

• Del gráfico: ílK = 200 =» K = 200 U • En ^.sombreado: T = 5K =>T =

1000 11

* Luego como la fuerza es paralela a la velocidad, entonces: 4 1000 P ¡¡£ = 1 ? = 7VCbe37° = 1( 2) 11 [5 = 145,5 W RPTA : “D ” PR O B LE M A 39 : Un limpiador de ventanas de 48 kg de masa sentado sobre una plataforma de 32 k g de masa como se muestra en la figura debe elevarse conjuntamente 3,40m. ¿Qué potencia ten W) desarrolla el obrero al jalar la soga por uno de sus extremos; si el desplazamiento de dicha altura lo realiza con rapidez constante en un intervalo de 85 segundos. A)16 B)32 C)85

&

D)24 E)40

Calcular la potencia que disipa el hombre cuyo objeto es jalar con rapidez constante un bloque de granito de 200kg en 4 m si dispone de 2 minutos y el coeficiente de fricción cinética entre el granito y el piso áspero mide

•El trabajo que y realiza el brero; sera: B M || I •

•Haciendo el D.C.L. al obrero y la plataforma como si fuera un cuerpo.

20

Pctmsumida~ 25KW

Pcoruumida • Luego la energía e n k W - h , será: E^. ¡Ml=P„ ^ 1t=í2SKLvH20h)=50aKu>-h RPTA : 4tD tf PROBLEM A 42 : Un automóvil que tiene un^iñótor ”rjf? * de 9k Watt de potencia,‘ Se mueve en línea recta sobre un plano horizontal alcanzando una velocidad máxima de 30mÍ8. Determinar la fuerza resultante que ejerce el aire sobre el auto. Despreciar las perdidas de energía debido al rozamiento. A)200 N BJ250 N 0300 N D)240 N E)360 N R E S O L U C IÓ N : aire

0,5. (g = 10 m¡82)

A)40 W B)20 W C)32t5 W D )3 6 ,6 W E) 3 3 ,3W R E S O L U C IÓ N : • Del D .C .L.^Debido a la polea móvil, el trabajo realizado por el hombre es igual al de la tensión" ^Hombr* ~ Wrmtfn “> Wthmb" = = MKFyd = 0,5(2000)14) ~^Hombre = 4000J * luego su potencia desarrollada,

R E S O L U C IÓ N :

3,4 m

* La potencia del obrero será: jiOftrwo W j»™ T x d AB t t y pObrero _ 400x3,4 _ jgyy 85 RPTA : "A ” P R O B L E M A 40:

->0,8 =

A

será: Pg kum mb h„rt = W /Ion,btv = 33,3watt Ilo 2X60 RPTA : “E ” P R O B L E M A 41: Un m otor eléctrico con una eficiencia de 0,8 mueve conos de hilo mediante una faja transportadora con una potencia de 20 k W durante 20h. Calcule la energía en kW -h que consume en dicho tiempo. A)200 BJ300 C)400 D)500

• El motor del automóvil realiza trabajo mecánico positivo, en virtud a la variación de su "Energía interna" (combustible). El trabajo realizado por el aire, es negativo. • Cuando el auto alcanza su velocidad máxima se mueve con velocidad constante por consiguiente el trabajo neto es igual a cero. Luego, la fuerza desarrollada por el motor es igual a la fuerza del aire. -+ P = F V -> 9000 = F(30) -> F = 300N RPTA: «C M P R O B L E M A 4 3: Un motor eléctrico de 80% de eficiencia requiere de 6kW para impulsar una bomba centrífuga de 73,5% de rendimiento, la cuál a su vez bombea agua hacia el tanque de un edificio situado en su azotea a razón de 0,54 m slm in. Calcular el

ÜNi&jggS

\M?MS¡wa¿%. número de pisos que tiene el edificio, si cada uno de ellos tiene 2J5 m de altura y la bomba está en la planta baja. A)12 B)20 C) 16 D)8 R E S O L U C IÓ N :

U ESCI4J. W 'K M A 2012)

utilizó la misma potencia que empleó en el ascenso? La fuerza de fricción es una cincuentava parte del peso del auto. A)30m¡8 B)18mis C)44mls D)54m/a R E S O L U C IÓ N :

•Sea, "AT el número de pisos del edificio y "IT su altura total, entonces:

motor

Pi

Ptí ~ Wm'VB'Pz • Para el motor: (II)

(III)

.0 'W • En el ascenso la potencia del auto es: P=Fm (Vi) -> P = (f+WSenO)Vt W + WSen (I) - 50 • Cuando el auto desciende su potencia será: P = (W SenO - f)V2

-(

(II)

50) * Pero, por condición del problema:

(I)

_ P it *(I) x (II): tjm•Tfg =

=

(II):

w{^+Senejvi=w[sen0- ^ V .¿...(IIl)

• Donde: P H ¡Potencia hidráulica

* Donde: V1 = 6m/s

= r QH PE : Potencia eléctrica = 6 kW

•Además: Pendiente = TgO = 2¿50

* Reemplazando: rQ H = TjmT)B(6000)

-> H =

Y H 2O Q

(0,8)(4210) (10* x 9 ,8 )(0 ,5 4 l60)

TgO = — * SenO "P a ra 0 « ( T B 40 * Siendo; "0": ángulo pequeñísimo.

50*40 =

r (MEC) =P (ÜtDj

40m

6

=

1 -

------------- -

40

50

+P,»«,»„,....... (W (PERDÍ

• Por dato: P (perd) “ 25% P P/PBRDJ ~ 0 * 2 5 P (IU D )

• En (II) : Pf}¡£C) ~I*25P(mD) •En (I):

>7=»Sp0; =°>s0 =80% i

mDi

RPTA : "C ” PRO BLEM A 46 : Calcular la eficiencia del motor de un automóvil sabiendo que a la velocidad de 50 km/h consume 15 litros de gasolina por cada 150 km de camino recorrido desarrollando una potencia de 20 1I.P. = 0, 8gr/cc,poder calorífico de la gasolina = 3 ,7 3 x 1 0 7J/kg ; (1II.P. = 746 watt) A)20% B)32% C)44%D)36% E)50% R E S O L U C IÓ N : • Sabemos que: _

Reemplazando en (III) :

0,80x0,735(6000)

(I)

• Pero, también:

WSen

-

MEC)

_ _ P(ltlD) P *(M E C )

> WcoaQ

ps

• Para la bomba: Ph Va

MtD)

* De la figura:

> W'wso

H

BOMBA

(PERO)

y *

N= " .....................................m 2,5 •Realicemos un esquema descriptivo de lo que acontece:

proveniente de un motor, para luego desarrollar una potencia hidráulica.

P (ú lU )

(I)

P r a ba)

= 54m/a R P TA : 4ÍD ”

* Donde, para el caso del motor del automóvil tenemos: P ^ c a i = 20 H.P=14920

PROBLEM A 45 :

•Que al reemplazar en (I) , resulta: Calcular la eficiencia de una bomba centrífuga, sabiendo que la potencia de pérdidas que experimentan N = = 16 pisos 2 ,5 durante su operación es el 25% de RPTA : “ CM su potencia efectiva ó potencia de PR O BLEM A 44: bombeo. B)68% C)80% Un auto sube por un plano A)75% E)72% inclinado cuya pendiente es 2J50% D)91% con una velocidad constante de R E S O L U C IÓ N : 6m\s. ¿Qué velocidad poseerá al * Para su operación, la bomba descender por el mismo plano, si recibe una potencia mecánica

W

—/ j M| lfa n fM fa p gasolinaor

_ E n e r g ía G a s o lin a

* Sabiendo: D : Densidad de la gasolina V0 : Volumen de gasolina absorbida Peal: P°der calorífico de la gasolina t : tiempo de operación

\TTM9J%.MXAm94* y# Mm4PrM'MZI%Z€

EDICIONES KIISLXOSl

€17

* Por cinemática: (V = ote)

R E S O L U C IÓ N :

R E S O L U C IÓ N :

V = ±=>t = l = ™ ° t V 50 ~^t=3h=10 800 seg

* Datos: m =2kg

* Se pide la potencia que desarrolla el motor del volquete, cuando este asciende con rapidez constante de 54 kmlh, V=54km/8=15ml*

y0<£

* En (W : ( 0 , 8 x 10) X l S x l O ^ X S ^ x K f )

*idbt)-------------- 10 800

h=5m

* En (I) : rj = nl i -9-2°- - «=0,36 = 56% 373 xlO R P T A :”D ” PR O B L E M A 4 7 : Se desea elevar agua a una altura de 25 m, para llenar un tanque de 2 m de altura por 3,73 m 2 de fondo, disponiendo para dicha operación de 10 minutos. ¿Qué potencia en H.P. debe efectuar una bomba hidráulica? Considere g = 10 mis2

N.DBR.

rl

50m

♦ En el trayecto AB el bloque tiene M .R.U . desacelerado, luego la potencia desarrollada por la fuerza de fricción será: pFk

(1)

* Cálculo de 7*": En el trayecto AB, el trabajo de las fuerzas no conservativas (fricción) es igual a ia variación de la energía mecánica, esto es:

(lH P = 746w a tt) AJ3H.P. B)2 H.P. C)5H.P D) 8H.P. R E S O L U CIÓ N : * Por teoría, hemos demostrado que:

** - f M(10) = | (2 )4 3 + 2 x 1 0 x 6 ~ ( 2 ) ( l 2 f = 2, 6JV....................................

(U )

* (II) en (I): P fk = ( 2 , 8 ) \ ^ ± ^ = -22,4W RPTA : “ C”

V 2 x 3 ,7 3 ms P R O B L E M A 4 9 : * Caudal = Q = — = ——------— t 10 m m En la Panamericana Norte entre * Además: H = 18 m Lima y Trujillo hay pendientes pequeñas del 5% .La potencia * En (I) : 7 46 desarrollada por el motor de un p = jo* x i j £ l x i 8 = 2238W = 3H.P volquete con 10,5 toneladas de 600 RPTA: “A ” masa para subir estas pendientes PR O B LE M A 4 8 : t • r a 54 kmlh será. (g=10m (s2) Se lanza en A un bloque de 2 k g con m ea V0=12mis llegando' a.® a b con una velocidad de 4m ¡s. Calcular la potencia desarrollada por la fuerza de fricción f en W). •

*•

*

y

i

lOOm

♦ Se sabe que la potencia que desarrolla el motor se determina como: P (I) W m' -£ m otor = *F ~ m otor V„ ................................ * Pero como el volquete asciende a rapidez constante, entonces se encuentra en equilibrio de traslación, por lo tanto. 2 F (s ») = Z F fS ) -> Kmotor= mg Sena................. (II)

o —

3 Kg **4 N * Donde: 7u¿> = 10° —¡^ - 10 m

Fg-mg

.

* Además, como la pendiente del plano es muy pequeña (5%) se puede realizar la siguiente aproximación: 50 sena = tan a 100 sena -

(III)

20 * Reemplazando (III) en (II): m otor

= (10,5 X 10 )10x

Fmotor = ~ - x l 0 3N

(¿ ) (IV)

* Finalmente, reemplazamos (TV) en (I): m otor =¡2j-xl&, yi5)=78,75xl03W m otor

= ( ? l x l 0 3yi5)=78,7SxlOaW

^PnuXor=79kW RPTA : “B ” PRO BLEM A 50:

A )l,6xl02kW C)7f9 x l0 3 kW E )l,6x103 kW

B)79kW D)Faltan datos

Un cuerpo recorre la trayectoria mostrada en la fígura desde A hasta B , bajo la acción de una fuerza constante J d e magnitud 5N. Hallar el trabajo que realiza la

UP'MSiWCLA

L 1 fLVY/rx

fuerza f para trasladar el cuerpo desde A hasta B.

* Se d e d u c e q u e la b o m b a presenta una potencia útU d e PM =1,8¡2 kW.

tero:

y (m )

A) 10(h¡2 J B)80J C)60J D )2 0 j2 J E )140J

20m

►xfm)

J

1812

• C o m o por dato:

V volumen =0,480 m3¡min t ~ t(min) volumen 0,480

t(e) * En (l)

V=X2mla

De la figura: tgo

*

= Fx*dx(AB)+Fydy= 4(20)+3(20)

RPTA : uE 9t

PROBLEMA 31 / La figura muestra el gráfico velocidad versus tiem po de u n bloque de 5kg de m asa que se desplaza a lo largo del eje X. Si el ca m b io en la velocidad del b lo q u e desde 1=0 se

F

constante paralela al eje X, el trabajo en J realizado por esta fuerza entre los instantes l= 0 \ t= l4 s es: v (m fa )

Al 321,1

L a fu e rza F a ctú a so b re ei b lo q u e d e la figura. L a gráfica m uestra la variación de la fu e rza e n fu n c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . D eterm ine el trabajo realizado por la fuerza F (e n J ) desde x = 0 hasta

12

VF

10

4

x=10m.

M-rf.-H

A ) 60

*

=-<«>(*.«)*-¿(*)Uaf=> wr * *

.-wa*4j

B) 55 0 45 D) 40 B) 35

RPTA t ••B"

PROBLEM A 52 : U n m o to r eléctrico d e 60,0% de eficiencia re q u ie re d e 4,00 kw para im p u lsa r una b o m b a centrífuga d e 75,5% de re d im ie n to , la cual a su vez b o m be a agua h a d a el tanque de u n e d ifid o situado en su a zo te a , a razón de 0,480ms/m(n. D eterm inar en m e tro s , la

RESOLUCIÓN

altura aproxim ada del edifido. (g=IOm/a2) A) 20,0 5 B) 22.05 C) 25,05 D ) 27,56 E) 30,05 r e s o l u c ió n

s

• C o m o el m o to r tiene u n a eficiencia de solo 60%, sólo convertirá e n trabajo ia fracción correspondiente de la p o te n d a q u e emplea, es decir: 0,6x4 kW lo q u e corresponde a 2,4kW . L a b o m b a c e n trífu g a u tiliz a efld e n te m e n tc solo el 75*5 % de la potencia q u e e l m o to r le p r o p o rc io n a , es d e c ir 0,755x2,4 kW, lo q u e nos da u n a potencia efectiva d e la b o m b a centrífuga d e solo 1,812 kW. L a p o te n d a m edia po r el tiem po nos da el trabajo realizado sobre la m asa de agua, en contra d e la fuerza de g ra ve d a d

tu

«fe

0

f

S

-

A A 10

F

„

,

— => F = 5

D o n d e el trabajo desarrollado por la fuerza F está d a d o c o m o :

WF jraO~Kr=J0

WF

BE3ÚLUCIÓN / El trab ajo d e s a rro lla d o p o r esta fu e rza resultante F que actúa de form a horizontal sobre el bloque es igual a la variación de su energía cinética, por lo q u e es necesario conocer las velocidades tanto en su posición Inicial c o m o final.

obtiene:

se

PROBLEMA 3 3 i

D o n d e : WF = AEc

^cada comporvanta)

resolviendo

RPTA : “B ”

Vr=4,8m/a

V)r = 4 , 8m / 9

Ahora , puesto que el trabajo mecánico es una magnitud escalar tenemos P r ( Suma da trabajo ) W ^B=WA f*„+W p g desarroRado por I -»B

v

60

mJ/a

H= 22,6Sm

liso^

debe a que sobre él actúa u n a fuerza

«J fMnmra ai tanqwe

intervalo de tiempo * Entonces: ^ -=¡812 => £j-gH=1812„.
Nos piden la cantidad de trabajo de una fuerza constante , desde A hasta B. En este caso se debe descomponer dicha fuerza en cada eje. Veamos

B) 354,1

ó* E y o|Mkilogramo* tffid f lo bamba l

R E S O L U CIÓ N :

^>WLb=140J

20 fg]

WF

2 =551

2 RPTA t “ B "

B om ba l

4

O

PROBLEMA 3 * i R e s p e c to al tra b a jo d e u n a fu e rz a , identifique la v e ra d d a d (V) o falsedad (F)

ElHCIOXIiS

619 i (¡VÁV

E de las proposiciones:

x r está dad o c o m o el área bajo la c u n a, es

I) SI la Tuerza es constante y ei c a m in o es

decir:

s ^

W

curvo, el trabajo es W = \p\L, donde L es ia

II) Si la fuerza es constante y ei c a m in o es curvo, el trabajo es W * |^|d , donde d es la distancia entre los extrem os dei cam ino.

III) Si ia fuerza es de m agnitud variable con la posición x, el trabajo se halla c o m o el área bajo la gráfica F v ersus x. A) W F

B) W V

C) VFF

D) VFV

F = ma => F = (1 0 0 0 )(2 ,5 ) = 2500N

RPTA $“E” PROBLEMA 99 i

longitud de ca m in o recorrido.

El FFV

U n a partícula de masa m , se m u e ve sobre u n a s u p e rfic ie h o r iz o n ta l Usa e n u n a trayectoria circu lar bajo la acción de una fuerza F de m agnitud constante, tai c o m o se m uestra en la figura. Si pasa po r A con u n a rapidez V9 , el trabajo realizado po r F entre los puntos A y 8 es:

A!_^ X

RESOLUCIÓN§ l) FALSO: Sea L la longitud de la c u rva de A hacia 8 .

A )2 R F B ) xa>m V0

el m o to r al auto. Para e n c o n tra r la p o te n c ia e n cu a lq u ie r Instante d a d o es necesario dete rm in a r el trabajo desarrollado po r F en función del tiem po. f W F = F x d = (2 5 0 0 )\ r f-\

D onde la p o te n cia desarrollada esta dado com o: - Y te dWF 3125(2 t) = 6250t V

m

312511

W F = (2 5 0 0 )

•

i

di

'

F

P = 6 2 5 0 (4 ) = 2 5 k W

B

v ^

PROBLEMA 9 7 i

A l 65

Donde: W

- f\ x d

•V*

L a ca n tid a d de trabajo de u n a fuerza de m ó d u lo c o n s ta n te y ta n g e n te e n to d o instante a ia trayectoria es igual a) producto del m ó d u lo de ia fuerza por el recorrido. Por lo q u e el trabajo desarrollado en el tram o AB por dicha fuerza es:

B, 71

= F xxR

n m / "C "

PROBLEMA 98 t

m ó d u lo de d ic h a fu e rz a y la d is ta n c ia paralela a ella.

W=\f\dM líl) VERDADERO: Ai conocer ia d e p e n d e n cia 'd e 1á fuerza F respecto a la posición podem os representar en una gráfica.

B) 10

Ci 15

Di 20

Cl 77

Di 80

El 86

Nos dicen que durante el funcionam iento de u n a b o m b a centrífuga ia potencia de p é rd id a s que e x p e r im e n ta es a p ro x im a d a m e n te el 3 0 % de su potencia

Pt..^=30
410

~7T P SRtngoéo = P mtrogoóo

U n autom óvil de 1000 k g Inicialm ente en reposo es uniform em ente acelerado hasta alcanzar 2 5 m/s en 10 segundos. Halle la p o te n c ia (e n k W ) c o n ia q u e se está acelerando el autom óvil e n el instante t = 4 s . Al 5

J*

RESOLUCIÓN§

D onde: es la longitud de a rco en el tram o AB el cual está d ad o c o m o = x R , luego.

WF

RPTA t ”E»

m E n e l f u n c io n a m ie n t o 'd e u n a b o m b a c e n trífu g a la p o te n c ia d e p é rd id a s q u e experim enta es a p ro x im a d a m e n te el 3 0 % de su p o t e n c ia ú til, d e te r m in e a p r o x im a d a m e n t e (e n p o r c e n t a je ) la eficiencia de dicha bo m ba.

RESOLUCIONi

El trabajo desarrollado por m e d io de una fuerza constante es in d e p e n d ie n te de la trayectoria, donde d ich o trabajo depende del m ód ulo de dicha fuerza y de] m ó d u lo del desplazam iento paralelo a dicha fuerza sin im portar el trayecto q u e siga d cuerpo.

-y

ft>r lo que,en ei instante

+P

ártf = 1 3 0 % P étií

D o n de la eficiencia es: tUII 1 3 0 % JEVíT n * 77%

E) 25

RPTA t $éC”

RESOLUCIÓN /

PROBLEMA 90 i

N o s d ic e n q u e el a u to m ó v il d e m a s a m = 1 0 0 0 k g p a rte d e l re p o s o (V t = 0 ) acelerando de m a n era uniform em ente, de tal form a que e n JOs alcanza u n a rapidez V = 2Sm/s p o r lo q u e la ace lera ció n que experim enta es: AV 25 a = = 2 ,5 m {a t 10

D eterm ine ia m á x im a potencia instantánea (e n k W ) q u e se r e q u ie r e p a ra e le v a r vertlcalm ente u n bloque de 100 k g co n una a c e le ra c ió n d e 3m /$3 d u ra n te 5 t , si in ic ia lm e n te el b lo q u e se e n c u e n tra en r e p o s o : a d e m á s d e te rm in e , e n k W , la potencia m e d ia utilizada. Al 5,90 : 2,95 Ci 15,90 i 7,96 El 23,00 ; 11,50

Bl 9.50 ; 4,76 Dj 19.50 ; 8.76

RESOLUCIÓNt x,

Xf

X

D onde ei trabajo d e sa rro lla d o p o r d ic h a fuerza al trasladar al cu e rp o desde x 9 hasta

Encontram os la fuerza que le proporciona

Nos dicen q u e el bloque d e m asa m = lOOkg es acelerado verticalm ente desde el reposo ( V = 0 ) co n a =3m /s3, p o r lo q u e al ca b o de 5$ la v e lo c id a d q u e e s te p re s e n ta es

IA E v m x o r g a M 2012} * *

observadores, el trabajo les parecerá positiva negativo o cero.

E¡ trabajo es in a cantidad escalar. D trabajo depende AH riswtna de referencia.

CU IDADO ► Fuerza constante es aquefla que no cambia su magnitud y dirección. C A SO S: ].

Observador

Cuando 0 = 0o . b fueras y el despbzamwmo siguen b misma dirección.

.

?

*2 *

?

WF-Fdl 2.

Cuando o » 90* * ta fu m a y el desptaam tento son pvfpendic ubres.

j:

i! I.1 . . . J

l

3*

fttdem os encontrar la fuerza F utilizada para elevar al bloque, para ello plateam os:

Fg = ma z $ F - mg = ma =>F- (I00)(10) = (i0 0 )(3 ) = > E = 1300N

Wp*G

K* l.' l I

í*

,

•>

Cuando 9 «1 8 0 * • b fum a rea&za trábelo negativo s opera en dirección contraria al desptaiam bnto.

T .

- '(

t

♦ TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE GRAVEDAD El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de ta superficie de la tierra es:

I

En la figura, se da un ejemplo de estos conceptos:

I

Ñ

N.R

Com o el peso es considerada una fuerza constante para alturas pequeúas h comparada con ei radio de la tierra entonces: Wg =mgsCosO.....Q)

)

La fuerza gravitacional mg efectúa W g>0

Luego ia potencia instantánea estará dado co m o la derivada del trabajo en fu n d ó n del

La fuerza de fricción efectúa Wp<0

(h «R x > iR j.; radío de la tierra)

Del triángulo fy>- hj * sCostf Reemplazando (2) en <1)

.........

(2)

Wg = mgdv, - hf)

tiempo. La fuerza normal efectúa

= 0

Wg * -mgfhf - ho)

dt

* A parir de esto, vemos Wfl sólo depende de las coordenadas inicial y final del objeto. * En consecuencia, es independíenle de b trayectoria.

L a potencia m á x im a instantánea se dará para el tiem po m á xim o q u e es 1=5», por lo qUe:

T

fw F — ra]

Para encontrar la potencia utilizada en cada instante es necesario determ inar el trabajo desarrollado po r dicha fuerza útil en función del tiempo, por lo que: , „.

WÍ2 =Fxd?*W£¡

Observador

* 1—

= (1 3 0 0 1 (3 1 (5 )

=>PfMt

= 1 9 ,5 k W

Calculo de la potencia m edia: Mientras que la potencia m edia desarrollada por la fuerza útil será: P Mrii* ~ P X Vmmáim mmtim = (1300 )! V* + V madim = (1300)

(?)

t

P^=9,7SkW

RPTA i

" f M

TRABAJO (W) S e realiza irabolo mecánico cuando se transmite movimiento tajo la ocdon de una fuerza. ♦ TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE Considere una p a rtícu la que experim enta un despbzamiento d a lo largo de una línea recta mientras actúa sobre dia una fuerza constante T . que forma un ángulo h con d com o la figura.

f

f

En la figura, la tensión en la cuerda T no es una Rierza constante, porque su dirección cambia aunque su magnitud permanezca constante. Ftero si imaginamos una trayectoria circular que habrá de dividirse en una serie de desplazamientos infinitesimales serán perpendiculares a T. que actúa en dirección radial. Así, pues, el trabajo hecho por ia tensión es cero.

JT

km z&f

5 trabado d » b e» tiritado * q u » d t tp k á cw n no w d u p t o

pjtúu

u*

CUIDADO ► Estos primeros tres ejemplos han sido observados desde un sistema inercial de referencia porque el trabajo depende d d sistema de referencia. Un ascensor sube con velocidad constante e) trabajo realizado por la fuerza normal que actúa sobre el bloque es: *fbra el observador *1* b fueras norma) Ñ se desph za =»

W*0 *Fferaeto3servador *2* b íu e n a normal N no se desplaza => W -0

Et trabajo W. efectu a d o p o r una fuerza con sta n te Y e s :

WF = F. d Cose

El trabajo realizado por la fuerza tpavitaloria sobre un objeto que se mueve entre dos puntos cercanos a ia superficie de la tierra, también se puede determinar de la siguiente forma.

Aunque ia fuerza F* es una invariante ftíene la misma magnitud y dirección con cualquier elección del marco de referencia inercial). no lo es el desplazamiento, por ella el valor determinado para el trabaja dependerá del m arco inercial del observador. A distintos

[Ü *£h TR A B A JO REALIZA D O PO R UNA FUERZA VARIABLE Efera determinar ef trabajo realizado por b fuerza variable en magnitud, pero dirección constante: debemos tener una curva que muestra com o una fuerza F varia con x. En una gráfica d e la fu erz o en fu n ción d e ta p osición , e l trabajo total realizado p o r la fuerza está representado p o r e l área bqjo la curva entre la» p o sicio n es inicial y final.

[ y y L i f g ,> > # o

M 2 JB H

m

12

F

n — =►

-kx Estiramiento

o

Compresión

Wp = áre/»

<¡

1 figura "b

♦ TRABAJO REALIZADO POR U N A FUERZA D E UN RESORTE En seguida, examinaremos un ejemplo de una fuerza variable unidimensional, la que ejerce un resorte cuando se les estira o componte. La figura muestra un cuerpo unido a un resorte. Un cuerpo sujetado a un resorte se encuentra en x= 0. cuando el resorte está relajado. Una fuerza exlema hace pasu d cuerpo del desplazamiento ¡nidal x ai final x.. FJ eje x es positivo a la derecha. x=0

Lotiyiluü i(.«lAjíKÍa

■

i / . '.

i ext

EFICIENCIA O RENDIMIENTO
deFs = -kx situada entre x$ y * f. Las áreas sombreadas representan el trabajo negativo por el resorte en la figura *a~ y ~b~. UNIDAD DEL TRABAJO La unidad de trab^o depende de que se realice una fuerza unitaria, at hacer que d cuerpo recorra ur.a distancia unitaria en dirección de ia fuerza. La unidad del trabajo en d S.l. es d newlon-metro, determinado Joule (cuya abreviatura es J). TRABAJO NETO Se define com o trabajo neto o trabajo total sobre un cuerpo (W^ctq) a Ia suma algebraica de los, trabajos efectuados por cada fuerza que actúa sobre éL Thmbiéq. se puede obtener com o d trabajo hecho por la resultante de fuerzas. W ncto =

imctal

;*i ^•K'ión ¡jivJ Figura *a”

Esta unidad se llaina así en honor de James Wat! (1736 •1819). quien introdujo importantes mejoramientos en los motores de vapor de su época. Unklad: 1 Watt = 1 Joules 1H .P = 746W 1 C V » 7 3 5 W

cuerpo al pasar de X| a xj es igual al área bajo la gráfica

Curva que muestra com o una fuerza F varia con x

F i rst

figura

1W = 1 J /*

El trabajo efectuado por una fuerza del resorte en el

xim)

C

REJIilXO&l

UNIDAD DE POTENCIA La unidad de potencia en el S.l. es el joule por segundos y se conoce com o watt (su abreviatura w).

■■ . .f» ■+ i, - i y i , r i

x=0

E D IC IO N E S

Figura

¿Cuál es la naturaleza de la fuerza ejercida sobre d cuerpo por d resorte cuando se estira o se comprime? Los experimentos revelan que la fuerza nc es constante. Cuando más modificamos la longitud del resorte, mayor será la fuerza que ejerce
* Wf2 + u * 3 + — ■ =

POTENCIA Al disertar un sistema m ecánica & menuda hay que tener en cuenta no sólo cuánto ha de ejecutarse, sino también la rapidez con que debe hacerse. La misma cantidad se realiza al levantar un cuerpo a determinada altura, tanto si tardamos en eüo 1 segundo o un año. Ffero la rapidez cor. que se efectúa es muy diferente en ambos casos. Definim os p oten cia, c o m o ta rapidez co n que se lleio a c a b o e l trabajo. Aquí consideramos exclusivamente la potencia mecánica que se origina en el trabajo mecánico. Una idea más general de potencia com o energía aplicada por unidad de tiempo, nos permite ampliar el concepto e incluir la potencia elécrica. la potencia solar y otras clases. POTENCIA MEDIA Si cierta fuerza realiza trabajo W en un cuerpo durante un tiempo V . La potencia media debida a eUa será:

•kx

POTENCIA INSTANTÁNEA Que se conoce com o Ley de Hooke. A la constante k de la ecuación se le conoce com o constanié d e fuerza d d resorte (o acunas veces, cotnc constante d d resorte). Los resortes más rígidos tiene tnayórk. La ecuación es válida mientras no taiga que estirarlo más allá de dertos Unútes. □ signo menos nos recuerda que la dirección de la fuerza d d resorte siempre es contraria al desplazamiento de su posición cuando d resorte se halla en estado relajado (longitud natural). La ecuación F = -kx sirve para calcular el trabajo ejecutado por la fuerza de resorte en la figura. Estiremos de su estado inicial (donde x = x.) a su estado final (donde x = x).

dW

P - d , donde dw. es la La potencia instantánea P es: •

pequeña cantidad de trabajo ejecutado en el intervalo infinitesimal d t •Si b potencia es constante en et twmpcx entonce* P -P « d También podemos expresar la potencia aplicada a un cuerpo en función de su velocidad y de la fuerza que actúa sobre él. En un breve intervalo temporal dt. el

movimiento a un cuerpo. E l trabajo de una fuerza constante se obtiene mediante: • La unidad del trabajo es el______ Donde:..............................= ........... X

• • • • • • • • • •

•Existen_________ tipos de trabajo mecánico. Trabajo positivo: cuando la F es__________al desplazamiento del cuerpo. Trabajo nulo: cuando la F es _______ al desplazamiento que experimenta el cuerpo. Trabajo negativo: cuando la F

es

___________al desplazamiento que experimenta el cuerpo. Señale conV (verdadero! o F
B jV F F

C jV F V

D jV W

E )F W

Cuál de las fuerzas que se muestran sobre el bloque realiza un trabajo nulo?

cuerpo recorre un desplazamiento d s y el trabajo efectuado en el es dvv = F.dr\

dy,

F J7

di

dt P

El trabajo que la fuerza del resorte realiza durante e s te desplazamiento, en e l cu erpo, e s :

(???) El trabajo es el __ a una resistencia. por eso se entiende que el hacer trabajo se puede

•

^ Fi

F áf


Y A . r

f

F .v

d

Si F y V tienen igual cfaecdór. P *■ FV

* Nótese que la potencia puede ser negativa si F y V tienen direcciones opuesta*

A ) F,

B) F2

D )F 4

E )N in g u n a

C)F,

E SS! « «

IA E x a * 'j.o im t:o iA 2012)

UBI

(0)¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza F=20 N, en el tramo de A aB? ___

Del problema anterior, se sabe

E 5m (0)Qué trabajo realiza la fuerza F = 20 N al desplazar al bloque una altura de 6 m i F AJ50J B) 60J C)70J 5m D)80J rrsos E)120J

que jaq = 0,5 ; ; entonces el trabajo realizado por el rozamiento es: A) 200J Bh465 O 930 D )-525 E)650

20 m A) 200 J D)150

B)400 E)300

Una fuerza horizontal«F» constante empuja un bloque, sobre un plano inclinado, efectuando un trabajo de 60 J al trasladarlo desde «M» hasta «N». ¿Cuál es el valor de «F»?

¿Qué trabajo realiza la fuerza F = IONa\ desplazar el bloque de

(^ C a lc u la r el valor de la resultante de las fuerzas sobre un cuerpo, si se sabe que el trabajo neto es de 000 J en un desplazamiento de 20 m. A) 60N B)30 O 40 D) 48 E)45 (7^)¿Cuánto trabajo realiza la persona sobre el cajón 80kg al trasladarlo desde «A» hasta «B» con velocidad constante? Pe = 6,5 m (g = 10 mis2) B

A) 1N

B)2

C)3

D)6

E)5

(TJ) Si el bloque de 2 kg se desplaza con velocidad constante de 2 m/s durante 5a, calcular ¿qué trabajo realizó el rozamiento? (g = 10m/a2) A) 40 J D)100J

B)60J E)110J

A) 2kJ B)4 0 6

C)80J

-« r -w

—

(6?) Sabiendo que el trabajo realizado por la fuerza «F», es de 400 J de «A» hasta «B », ¿cuál es el módulo de dicha fuerza?

A) 40 J D)160

B)-40 E)80

C)-80

D) 8

E)10

(Tti) Calcular el trabajo que realiza el peso del bloque mostrado cuando este se mueve desde «A» hasta «B» si su masa es 8 kg.^tB

(T2) Si el bloque de 5 k g se desplaza con velocidad constante desde «A» hasta «B », hallar el trabajo que

;4 m

realiza «F». AB=30 m; Pe = 0,2. A 25m B A)16N B) 32 C) 8 D) 25 E) 40 @ ) Determina la medida de «9 » si el trabajo por la fuerza «F» de 50 N en el trayecto de «A» hasta «B» es de 600 J. F e

20 m A) 45° D)42°

B)37° E)30°

T!TÍ * B C)53°

Encontrar el trabajo que realiza la fuerza «F» de 30 N en el trayecto de «P » hasta « Q » t si además 6 = 120°'

A) -320J D) 350

A

A) 500 J D)350

B)450 E)300

Me

0400

(jlt) Del ejercicio anterior, encontrar el trabajo que realizé: rozamiento. A) 300 J B) 400 O - 400 D) 500 E)-300 (Tí) Sabiendo que el bloque de 5 kg se desplaza desde «A», hasta «B», hallar el trabajo que realiza F=20 (AB = 15 m *ST.?7> B !* A) 240 J D) 160

6m B)300 E)320

B)200 E)180

0 210

0 -3 0 0

(fi¡) Encontrar el trabajo que realiza el peso de la esfera masa 5 k g si el movimiento es desde«A»hasta «B». V=6m/s r-

>♦ •• «\ \ % • • • •

20 m

% '

K

[-— 77:—

A) 700J D) 1000

B)800 EhlOOO

0900

Una lancha de 5 0 0 k g se desplaza en línea recta sobre un lago de aguas tranquilas y que

['W'ME^S.

1 -JTO

W Wm4P 'M'W-ZIh?* :m¿%.

ofrece una resistencia constante de 1500N. Si la fuerza con que los motores impulsan la lancha es de 3000N. Determine el trabajo de las fuerzas que actúan sobre la lancha en un recorrido de 30 m . A) 35kJ BJ 25 C) 15 DJ 45 EJ90 Calcular el trabajo realizado por la fuerza F =75 N, desde Xj=-10m hasta x 2=90 m. F

AJ 3000 J DJ4 800

BJ 3 600 EJ6 000

C)4 000

El bloque de 8k g acelera a razón de 2 mía3. Hallar el trabajo de «F» para un desplazamiento de 10 m. (g =10 m/s3) %

A) 360 J DJ560

B) 400 EJ6 00

0500

@ Calcular el trabajo desarrollado por «F» para un desplazamiento de 5 m.Siendo la masa del bloque 5kg y

su

aceleración 2m/s2.

A) 18 J D) 144

EDICIONES RUBIÑÓS\

628 B) 36 EJ68

072

El sistema mostrado se deja en libertad; en relación a ello indique la veracidad o falsedad de las proposiciones. (mA> ma) I) Sobre (A) la fuerza de gravedad desarrolla trabajo positivo. II) Sobre (BJ la tensión de la cuerda desarrolla trabajo negativo. Z//)La cuerda desarrolla trabajo negativo sobre ambos bloques. AJ W F BJ FFF O VFF DJ W V EJFW

rv'

BJ 150 EJ 300

II)E\ trabajo neto sobre un cuerpo nunca es negativo. III) Sobre un cuerpo que desarrolla un MRU el trabajo neto es nulo. A)FFV B) F W C) FVF D) W F E) FFF Un bloque se desplaza por un plano inclinado* con una rapidez constante jalado por un muchacho. Indique (V) o falso (F). II) El trabajo del muchacho es positivo.

¿Cuánto trabajo se desarrolla sobre el bloque de 2 kg por acción de «F» para un tramo de 8 m , si el bloque asciende verticalmente con una aceleración constante de 2,5 m/s2? lF AjlOOJ BJ150 0250

a

D200

III) El trabajo de la normal es cero.

D)VFF

E) FFV

EJ50

C JF 200

El bloque de 3 k g sube lentamente jalado por el joven; determine el trabajo realizado por el joven cuando el bloque se desplaza 4 m. (g =10 m/s2)

I) El trabajo realizado por el peso de un cuerpo, siempre es positivo.

I) El trabajo neto es cero.

<£?) bloque de 2kg. se ubica en el piso de un ascensor que sube con una rapidez constante de 2m/s. Determine el trabajo realizado por el ascensor sobre el bloque cuando transcurren 6 s. (g =10 m/s2) A )100J Dj 250

En las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

AJ 120 J DJ 360

BJ 240 EJ 60

O 180

Un automóvil que se desplazaba con una rapidez constante de 20 m/s frena y se detiene luego de 0,5s, determine la cantidad de trabajo desarrollado por la pista sobre el automóvil si la fuerza de rozamiento entre la pista y las ruedas es de módulo 4000 N. AJ 20 kJ BJ 10 O 5 DJ16 E) 18

(Q) Señale la alternativa correcta: Z)E1 trabajo realizado sobre un cuerpo puede ser cero y el cuerpo puede estar en movimiento. II) Cuando se hace trabajo sobre un cuerpo, este aumenta su energía mecánica necesariamente. III) El trabajo realizado por el peso tiene valor negativo siempre. AJSóloI B)Sólo II O I y II D)Todas E)II y III El sistema mostrado es jalado mediante la fuerza. Indique qué afirmaciones son verdaderas: movimiento L

b

.-^

m I) La cuerda C realiza trabajo negativo sobre el bloque B .

U) La cuerda C no realiza trabajo sobre B ya que es una fuerza interna. III) El bloque A realiza trabajo negativo sobre el bloque B. A) Sólo I B)Sólo II C)I y III D) II y III E)Todaa Se lanza un bloque paralelamente a un plano inclinado y hacia arriba. Al rato el bloque está de regreso en el punto de partida. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) El trabajo realizado por la fuerza normal es cero.

A )5 0 J D) 40 J

(65) Determinar el trabajo realizado por F = 500N al desplazar la masa durante 10 8 a velocidad constante de 2 mis. F=500N

A) 5 kJ D) 1 kJ

B) 8 kJ E) 4 kJ

O 10 kJ

Determinar el trabájo realizado por la fuerza "F* desde A hasta B. F=80N / Á53°

F =80N / /5 3 o

L

d=5 m

A)160J D)240 J

B)140 J E)400 J

B 0200 J

@ Si el cuerpo de masa 2 k g se desplaza con velocidad constante, Calcular el trabajo de "F' para un recorrido de 5 m . p = 0 ,5 -\ = = [m ^ — ^

0 30 J

Si el cuerpo de masa "m" se desplaza con velocidad constante, Calcular el trabajo de la fuerza "F" si la fuerza de rozamiento es 8 N. F te 3m B )-24 J E) Cero

A) 24 J D) -16 J

C) 16 J

Determinar el trabajo neto para un recorrido de 4 m. (M = 6 kg; g = 10 m/s2) F=50N

f ) El trabajo realizado por el peso en el movimiento de subida es negativa. ( ) El trabajo total realizado por la fuerza de rozam iento en el movimiento de subida y bajada es cero. A) VFF B )V W OWF D) FFV EjFVF

B) 20 J E) 10 J

53?

L A) 120 J D ) 40 J

B) 80 ti E) 240 J

V= 0,1

C) 160 J

m Determine el trabajo neto para un recorrido de 6 m. (M —8 kg) ,.-n * — ¡r 100 N i A )6 0 0 J

B)240 J

D )-240 J

E)-600 J

C )360J

@ Si las fuerzas F¡ y F , tienen igual magnitud de 15 N, calcule su trabajo para un recorrido de 2 m . A)5 J ; 30 J B )0 J ; -30J C)30 J ;30J D)30 J;-30J E )3 0 J ;5 J

IA L V ( m o w m i g 0 f 2) A) 60 J B )30J C)120 J D) 15 J E)40 J

Determinar la potencia del m otor de un ascensor cuando levanta la cabina con un peso total de 15 000 N , a la velocidad de 2,2 m/s. A) 12 kW B)15 kW C)18 kW D) 21 kW E)Ninguna ( g ) Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) según corresponda: ( ) La potencia es la rapidez con que se realiza un trabajo. ( ) Si una fuerza levanta a un bloque (uniformemente) la potencia desarrollada por dicha fuerza es nula. ( ) El kilowatt - hora (kW/ h) es unidad de potencia. A) FFV B )W F C)VFV D) VFF E )W V (Q) ¿Qué potencia (en watts) debe desarrollar una grúa para levantar una carga de 100 k g con una rapidez de 3,8 m/s? (g = 10 m/s3) A) 1 750 B)3 800 C) 380 D) 38 E) 58 ¿Cuántos focos de 100 W se pueden encender con un grupo electrógeno cuya eficiencia es del 75% siendo su potencia teórica de 25kW> A) 60 B)61 C)62 D) 63 E)188 ( g ) Una persona de 50 k g de masa sube por una cuesta de 37° de inclinación con velocidad de 9km/h. ¿Qué potencia desarrolla?

(g ) Si un cuerpo cae libremente, Calcular el trabajo del peso para un recorrido de 8m . (masa del cuerpo=3 kg) A) 240 J B )-240J C)120 J D) -120 J E)180J (g)U n bloque de 6 kg se desplaza por un terreno horizontal con una aceleración de 2m /s2Calcular el trabajo neto para un recorrido de 5 m.

D) 1200 W E) 500 W A un resorte sin deformación (x = 0) se le aplica una fuerza que

ic n m o x i- s

Itl^l 823 varía como muestra la figura. Calcular el trabajo neto realizado sobre el resorte hasta que su deformación sea x = 3m .

A) 125 J D) 300 J

C)275 J

B)200 J E)400 J

( ) La potencia mide la rapidez con que se realiza un trabajo. A) 40 J D) 90 J

B) 60 J E) N.A.

C) 80 J

La persona sube su equipaje a velocidad constante hasta el último peldaño. Calcular el trabajo 2 realizado h = —m .El equipaje pesa O 200N. fr h

A Jk AJ-400J D) 400 J

B) 200 J E) 100 J

£ C -2 0 0 J

Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) El trabajo mecánico es una magnitud escalar. ( ) Siempre que la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 0o, el trabajo será nulo.

( )E1 kilowatt - hora es unidad de potencia. A) FFV B )F W O VFV DJWF E )V W Indique con V (verdadero) o F (falso) según sea: ( ) La potencia expresa la rapidez con que un electrodom éstico consume energía eléctrica. ^ ( )Una bombilla de 100 W gasta más energía que uno de 15 W. ( ) Al le%'antar uniformemente con una velocidad V mediante una fuerza F , se desarrolla una potencia FV. AJVW BjFFV OVFV D)VFF E )W F Determinar la potencia de la fuerza «F» en el instante indicado. F=40 N ;V=15 m/s

A)600W D) 750

Un bloque es jalado por una fuerza F t paralela a ün plano horizontal, pero variable en módulo según la gráfica. Calcular el trabajo

En el caso mostrado, se sabe que la potencia desarrollada es de 300W. Si F = 5 0 N y V=10 mis, ¿cuál es la medida del ángulo «# »?

—

— i *

—

B) 650 E) 800

O 700

realizado por dicha fuerza ,entre x 0 = 0 A x = 10 m : ío

F

0

2Ó

o

10 X(m)

/O X

B)20 E) 30

O 25

Determine la potencia de la fuerza «F» en el instante indicado. F = 4 0 N ;V = 15 mis. F

( ) La unidad S.I de la potencial del watt.

( ) La fuerza de rozamiento no siempre realiza trabajo negativo. A) W V B)VFV C )F W D) W F E)FFF

F(N)

instantánea es - 450 W. F A)35mls D)40

(¡H) Señale con V(verdadero) o F (falso) según corresponda:

k u iu x o s ]

A) 30° D)45°

c

B)53° E) 60°

O 3T

@ )E n co n tra r el valor de la velocidad «V» si en el instante indicado F = 1 5 N y la potencia

A h lW D) 300

B) 600 E) 0

0 3

i¿Cuál es la potencia de un motor que lleva 100 litros de agua por minuto a una altura de 6m ? A) 9SW B) 60 0 100 D) 196 E) 490 Una persona de 50 kg de masa sube por una cuesta de 37°de inclinación con velocidad de 9kmlh. ¿Qué potencia desarrolla? (g = 10 m/s2) A) 600W B) 750 O 800 D) 1500 E) 1600 m Una persona de 700 N de peso sube por una pendiente de 75% con velocidad constante de 18km/h. Halle que potencia desarrolla. A) 700W B) 1500 O 3000 Dj 2100 Ej 3600 @ »U n transportador eleva, en el transcurso de 40s una carga de 160kg hasta una altura de 2 m Halle la potencia desarrollada. A) S0W C) 100 Bj 90 Dj 110 E) 120 (Q) ¿Cuál es la potencia de un hombre al andar, si durante dos minutos da 40 pasos y con cada paso realiza 30J de trabajo?. A 10W B) 12 Cj 14 D) 16 E) 18 La potencia del motor de un ventilador doméstico es de 35W. ¿Qué trabajo efectúa en J0 minutos? A) 19 KJ Dj 25

B) 21 Ej 27

Cj 23

mar,

(T^Un trineo es arrastrado mediante una fuerza F=50JVsobre un piso de hielo. Calcule el trabajo cuando el trineo se ha desplazado 4 m. f u.

er»" A)120J D)180

B)140 E)200

C)160

Se levanta un libro de 0,4 kg hasta una altura de l,5 m tardándose 3s. ¿Qué potencia fue desarrollada; (g =10 m/s*) A) 1 W B) 2 0 3 D) 4 E) 5 (f2)¿Qué potencia consume un coche de carreras cuando se desplaza a razón de 30m/s venciendo una resistencia del 80 N? A) 5 000 W B) 5 200 05400 D) 5600 E) 5800 @ En una construcción se sube un balde de arena de 30kg de masa total a una rapidez constante de 3m/8.Halle la potencia que consume el motor que mueve el balde. (g= 1 0 m/s*) A) 90W B) 180 O 450 D) 900 E) 1 000 (f¿)Un turista de 6 0 k g sube corriendo por las escaleras hasta la azotea de un edificio de 200 m de alto tardándose 4 minutos. Calcule la potencia que desarrolló. (g= 1 0 m/8S) A) 600W B) 600 O 700 D) 800 E) 900 De un pozo debe extraerse cada 3 minutos 900 litroB de agua desde una profundidad de 150 m. Halle los watts necesario. g =10 m/a8. A) 5 500 B) 6 000 C) 6 500 D) 7 000 E) 7 500 @ E 1 bloque de la figura experimenta una fuerza de F=50N y en el instante mostrado su velocidad «V» es de 4m/s. ¿Qué potencia instantánea se le suministra en dicho momento, si 3 = 37°?

A)80W D)200

B)120 E)160

C)150

Un hombre de 60 k g sube por las escaleras de un edificio de 20 m de altura en 4 minutos.¿Qué potencia desarrolló? (En watts) A)80 B)90 050 D)120 E)49 Un motor levanta a velocidad constante un cuerpo de 100 kg a una altura de 20m en un tiempo de 5 segundos. ¿Cuál es la potencia del motor en KW ? A)2 B)3 04 D)5 E)6 ¿Cuál es la potencia de un motor (en KW) que acciona una bomba que saca 33 000 litros de agua por hora de un pozo que tiene 15 m de profundidad? A)l,5 B)2 0 2 ,5 D)2,25 E )l ,8 El bloque de la figura pesa 300 N y es jalado a velocidad constante a razón de 5 m/s. Hallar la potencia desarrollada por el motor. ix = 0,6 M o to r

_

rs A)600W D)900

B)150 E)750

0300

Calcular la potencia media de una fuerza, si el tiempo para que los desplazamientos indicados se produzcan es de 108. i F (N )

20 0 •10

5

\ , 10

:

x (m )

r B)-7

08

20 U¿)

U

626

D)7

Encontrar la potencia media de una persona durante 50 s de aplicar una fuerza que varía con la posición 6egún como se indica.

D)40

E)50

Determinar la potencia media, que desarrolla una licuadora durante los primeros 20s si en dicho tiempo la fuerza que aplica varía con la posición según como se indica.

20

x fm )

A)6 W

B)7

08

D)9

E)10

Calcular la potencia media de una máquina en los primeros 40s de funcionamiento, si la fuerza que aplica en dicho tiempo varía con la posición según como se indica. i F (N )

20

x fm )

JÓ

A)3W

B)4

05

D)6

E)7

una máquina pierde, por medio de calor, 60W . Si la potencia aprovechable llega a ser 140Wt¿cuál es la eficiencia de dicha máquina? A) 50% B) 70% O 75% D) 80% E) 85% @ )U n motor eléctrico disipa 60 J de energía en forma de calor mientras aprovecha 2 0 J como trabajo útil. Halle la eficiencia de este motor. A) 10% B) 15% O 20% D) 25% E) 30% un elevador suspende hasta una altura de 3 m un peso de 800N. Halle la eficiencia del elevador, si en esta tarea consume 3 000 J. A) 40% B) 50% O 60% D) 70% E) 80%

[

w fo y y g ;v r

Una fuerza «F» constante en módulo y dirección actúa sobre una partícula que se mueve en el plano XY. Halle el trabajo realizado por «F» desde el punto A(2;8) metros hasta el punto B(8;3) metros. Y(m) M 60N

X(m) A)390J D)90J

B)30J E)120 J

C)60 J

@ El trabajo efectuado mediante la fuerza F de módulo constante; pero tangente a la curva de radio R, al desplazar el collarín de A hacia

M i 0 * 7 11^5 a 12N perpendicular a la barra en «A». Halle el trabajo que realiza «F» hasta que la barra llegue a su nueva posición de equilibrio A) x J B )2 x J 0 4xJ D ) 8x J E) 16 x J

Ti

-U La fuerza sobre un cuerpo que viaja por el eje X. esta dado por F = -7 + 8 x -x 2l «F» en Newton y «x » en metros. El trabajo que realiza en el tramo de x = lm hasta x=4m es de 18 J. ¿Determinar el trabajo que realizará en el tramo de x=4m hasta x= 7 m l A) 18 J B )36J ZÍ172J 0 )1 0 8 J E)9J Calcular el trabajo realizado por la fuerza F(cte) de 100N, al trasladar el cuerpo de masa «m» a lo largo de la trayectoria ABCD. Vertical

D )^ -F

FJFaltan datos

(0)Un blotjqjide lk g es desplazado 12m a lo láfjgqde un plano inclinado 53° respecto a Iá horizontal, por una fuerza constante «F» paralela al plano.Calcular el mínimo trabajo realizado por dicha fuerza, si el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el bloque es 0,50. g=10m¡82. A) 26J B) 30J O 35J D)132J E )40J (63)Una barra AB homogénea y uniforme de lm de longitud y 48N de peso, está en equilibrio en posición vertical articulada en su extremo superior. Si se aplica una fuerza de módulo constante e igual

A)350J D)160 J

8m B)200J E)960J

O850J

E D I C I O N E S R C I I I X O fü I) El trabajo realizado por la normal es igual a cero. II) El trabajo realizado por el peso en el movimiento de subida es negativo. III) El trabajo total realizado por el rozamiento en subida y bajada es igual a cero. A) VFV #¿£B V )V WW OWF D) FVF
A )m g (h + its )B )m g (h - pa) @ U n bloque de 2kg es trasladado, con rapidez constante de 4mfa, por un rizo mediante la acción de una fuerza F en todo instante tangente a la trayectoria. ¿Cuánto trabajo se desarrolla mediante F entre A y B? (g = 10mla2).

@ ) Sobre un bloque que se encuentra en una superficie horizontal rugosa, se le aplica una fuerza F = (5 x + 1 0 )iN . Determine el trabajo que realiza la fuerza «F» desde x =0 hasta x = 10m. A) 100 J B) 200 J O 3 5 0 J D) 300 J E) 500 J Indicar verdadero (V) o falso (F). Si un cuerpo se lanza sobre un plano inclinado con rozamiento y luego, resbala hacia abajo sobre dicho plano. V0

D )~ m g fi8

C )m g h

g

i

A )2xJ B )22xJ 036xJ D )48xJ E)52xJ (Q) Calcular el trabajo realizado por la fuerza «F» a lo largo del recorrido «d», si ésta varía según la gráfica. ÍFfN)

A)18J so B)¡80 01 800 0 ) 1,8

E)36

u

jo

30

60 d(m)

U flvofxw tc o iA 20l¿\

(Q) Sobre un cuerpo se aplica una fuerza «F » que depende de la posición «x»> como se muestra en la figura.Determine el trabajo realizado en Joule desde x = 0 hasta x=4m. F(N)i 2

X(m)

A)-1,0 D) 2,5

B )lfO E)-3,0

C)2,0

(T3)una fuerza horizontal actúa sobre un cuerpo en el eje X y tiene la siguiente ley\ F = 4 x+ 2 , en unidades S.I. Halle el trabajo realizado por la fuerza cuando el cuerpo se desplaza desde x = 3 hasta x = 8m . A)120J 3)130 J O 140 J D) 150 J E) 160 J Una fuerza actúa sobre un bloque de 3kg, de tal manera que la posición de bloque varía de acuerdo a x = 5 - f 2t 4 - 2 t 2, donde x se expresa en metros y / en segundos. Determine el trabajo neto realizando sobre el bloque durante los primeros 4 segundos. A) 540J B) 480 J O 320 J D) 280 J E) 240 J Calcular el trabajo realizado por la tensión en la cuerda sobre para un desplazamiento de éste de 5m; M¡ =60kg $ i s=40 kg. (g= 10ml82).

* £

MI

AJ1200J Bhl600J D) -2400 J E)2800 J

F=600N

O2000J

(Tjh De un pozo de lOm de profundidad, se saca agua mediante

un recipiente de lk g . Durante la elevación del recipiente el agua se derrama a través de un agujero en la base, de manera uniforme, llegando a la parte superior del pozo los 213 de la masa inicial de agua que llenaban inicialm ente el recipiente de 15 L. Si el recipiente se trasladó lentamente,¿Cuánto trabajo se debió desarrollar? (g = 10ml82). A) 125 KJ B)1,35KJ O 1,42 KJ D) 1,64 K J E) 1,74 KJ (75)Un bloque se mueve sobre una superficie que se encuentra en el plano XY, el valor de la fuerza de fricción que actúa sobre él varía según la ley f= 6x . Determinar el trabajo de esta fuerza cuando se mueve según el trayecto ABCDA. Y(m) D C

donde x e y se expresan en metros. Determine cuánto trabajo se desarrolla mediante esta fuerza desde la posición [ 0;0] a la posición / 2; 8]m . A) 36J B) 32 J - 0 26J D) 16J E)4J La figura muestra un bloque sobre el cual actúa una fuerza variable «F» que hace un ángulo « 0 » con la horizontal. Si «F» varía, según se muestra la gráfica, determínese el trabajo realizado por «F», si el bloque se desplaza «da» . Fi F

djfSenO

B)

|)dlTanB C^d*Cos*e

£ dj¡Sen*0 E )0 2 Sobre un bloque que reposa (en *= 0> sob re una superficie horizontal lisa se aplica una fuerza horizontal F cuyo valor depende de la posición x : 5x|+ij;0 < x < 4m F= donde F 20^+i^;4m < x < 8m D)

X(m) A) -72 J B )72J 0 - 1 4 4 J D) 144 J E )-361J ¿ Cuánto trabajo hay que realizar para que una tabla de 8m y de 16kg, que es homogénea, x rote -r ra d sobre una mesa horizontal alrededor de uno de sus extremos? torque (Tf)=120N.m (La fuerza es de módulo constante y perpendicular a la tabla) tabla 8m C

L

Superficie horizontal A)20xJ B)40xJ O 60xJ D )80xJ E)120xJ Una partícula es llevada a través de una trayectoria curva cuya ecuación es y = x 3 mediante una fuerza que depende de la posición según F = yi+ x * j

está en Newton. ¿Qué trabajo se realiza mediante dicha fuerza desde A A x = Oim hasta x = 6im ? A)20J B)40J O 80J D)100J EJ200J En la figura mostrada, calcular el trabajo desarrollado por la fuerza «F» de 35 N t la cual permanece constante, si el cuerpo se desplaza desde A hasta B. B

A)14J D )7J

B)28J E)5 J

084J

Una fuerza «F» jala un bloque sobre una superficie horizontal, en

'my%. línea recta, y con una velocidad constante. Sabiendo que la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque vale 2 7iV. Calcular el trabajo realizado por la fuerza «F» cuando logra desplazar al bloque una distancia de 5m . ^F V =constante

r T r 'i 'i 'i 'i v r i ’r r m

A)0 J 0)45 J

B)135J E)5 J

r i 1.1

C)65J

@ )U n bloque es arrastrado sobre una superficie lisa mediante una fuerza «F» que varía desde cero hasta 20N. Para d=3m el trabajo de «F» en joules (J) es: kF(N)

peso de 300 N, hasta una altura de 5m , empleando un minuto? A) 10 W B) 15 W O 20 W D) 25 W E) 30 W Un motor levanta una carga de 360 N , a velocidad constante, llevándola hasta una altura de lOm, empleando dos minutos. ¿Qué potencia desarrolla? A )1 0 W B) 15 W O 2 0 W D) 25 W E) 30 W El muchacho jala con una fuerza F =50N , moviendo al bloque con una velocidad V=2mis. ¿Qué potencia desarrolla? SI

A)36J D)9 J

B )18J E)50J

C)72 J

@ ) Un bloque es desplazado en un plano horizontal desde la posición fj= ( 0;20)m hasta r2=(10;28)m por medio de una fuerza F = (8;3)N ' Determine el trabajo realizado mediante dicha fuerza. A )100J B) 104 0 210 un pequeño anillo de 200g es trasladado mediante una fuerza constante cuyo módulo es 5N y su dirección es 53°. Si el anillo se traslada a través de un alambre liso, cuya forma obedece la ecuación y y = yfx determine la cantidad de trabajo neto realizado sobre el anillo para llevarlo desde x =0 hasta x=4m . (g=lOm/a2). A)4J B)16 J 012 J 0)8 J E)15J

(67)¿Qué potencia desarrolla una grúa al levantar uniformemente un

i¿Cuál es la potencia en Watt de una máquina que levanta un martillo de peso 0,98 k N a 0,375m de altura 42 veces en un minuto, si el rendimiento de la máquina es 709c? A) 45 B)367,5 0964,1 D)23 E)0J5 _

A) 40 W D)100W *~d(m)

Hallar la potencia en HJ* de un motor que levanta bloques de 38kg hasta una altura de 8m en 2 segundos a velocidad constante. 1H P=746W . A)1,0 B) 1,5 0 2 ,0 D)2,5 E)3,0

B)60W E)120W

O80W

El muchacho empuja con una fuerza F = 4 0 N bajo una inclinación 0 —37 ° -Si la velocidad que desarrolla el carrito es V=10 mis, ¿cuál es la potencia desplegada?

A)320W D) 240 W

B) 300 W E) 200 W

O 2BO W

¿Cuál es la eficiencia de un motor si recibe una potencia de 80W, empleando tan solo 60 W? A)25% B)309c 0 5 0 9c D)609< E)75% ¿Cuál es la potencia empleada por una máquina, cuya eficiencia es del 809c, luego de recibir una potencia de 60 W? A)36W B)48W O 60W D)72W E)80W
. *«

,

@ Calcular la velocidad constante con la cual un auto puede viajar sobre un terreno horizontal, sabiendo que el aire y la pista ejercen una resistencia de 1960N y que su motor tiene una potencia de 150 HJ* con una eficiencia del 809e.l.H.P=746W. A)67,09m/s B)52,91 042,33 D)37,55 E)45,67 (77) Un motor con un rendimiento del 809c opera una grúa que tiene un rendimiento del 509c. ¿Con qué rapidez constante en mfs levantará la grúa un fardo de 800N de peso, si la potencia suministrada al motor es de 8hW? A)1 B)2 03 0 )4 E)5 ¿Qué potencia en Watt debe desarrollar un hombre sobre un tronco de 5 0 k g que está arrastrando hacia abajo de una ladera, con una rapidez constante de0,5w/s?La ladera forma 16ocon la horizontal y el coeficiente de rozam iento cinético es 0,8 (g = 10 m/ss). A) 30 B) 61 O 244 D) 122 E) 456 ( g ) Una fuerza actúa sobre una partícula que se mueve por el x y varía con la posición de acuerdo con la gráfica mostrada. Si el móvil parte del origen. Halle la potencia media que desarrolla la fuerzas si para llegar a la posición x=9m

Ifggg e s o B un edificio a razón de 0,54m3imin. Halle de la altura del edificio. (g = 10mfs2). A) 5 M B )1 0 M O IS M D)20M E) 25M

demora 2 segundos

A) 13W D)23W

B) 17W E)27W

C) 19W

Calcule la potencia que desarrolla «F» , para que el bloque «A» de 20000 N de peso 6uba a velocidad constante de 6mla. El bloque «B» pesa 15000 N.

A) 120 KW B) 60 KW C) 30 KW D) 18 KW E) 15 KW Una locomotora consume 2000kW depotencia cuando arrastra irnos vagones con velocidad de 20 mía, midiendo la fuerza de tracción que ejerce la locomotora sobre los vagones resulta ser de 90kN. Encuentre el rendimiento del sistema de tracción. A)0,9 B)0,8 C)0,7 D)0,6 E)0,5 (0 ) El motor de una grúa tiene un rendimiento del 75% y el sistema de transmisión 90%. ¿Cuál será el rendimiento efectivo de la grúa? A) 67,5% B) 82,5% E) 75,0% D) 15,0% E) 90,0%

Hallar la eficiencia de una máquina, si se sabe que pierde una potencia igual a 25% de su potencia útil. A) 0,4 B) 0,5 O 0,6 D)0,7 E)0,8 Un bloque de 10 k g asciende mediante una cuerda que pasa por una polea de eficiencia «n» con una velocidad de 40m¡8. Si el muchacho que jala ia cuerda, entrega a la polea, una potencia de 4900 watts. Determine «n». (g=9,8mfas). A) 0,4 B) 0,5 O 0,6 D)0,8 E) 0,9 Un cuerpo de 4kg se deja en libertad desde una altura de 5m. Determine el valor de la potencia media, desarrollada por la fuerza de gravedad durante toda la caída. (g= lOm/a2). A) 100 W B) 200 W O 300 W D) 400 W E) 500 W Un motor que trabaja a razón de J00 watts efectúa un trabajo en 10 a, otro motor trabajando a razón de 200 watts efectuará el mismo trabajo en: A) 15 a B) 10 a Cj5 s D) 20 8 E) 25 a

(fj) ¿Cuál es el momento de fuerza (en N.m) desarrollado por un motor al consumir 6 k W de potencia cuando gira a 3600 R PM ? ( jt=3,14). A) 11,9 B) 13,9 E) 15,9 D)17,9 E) 19,9

Un automóvil de masa 1000kg baja por una cuesta, con el motor apagado, con una rapidez uniforme de 54km fh. La pendiente de la cuesta es igual a 4m por cada lOOm de recorrido. ¿Qué potencia deberá tener el motor del automóvil para poder subir por la misma pendiente con igual rapidez? Asumir que la fuerza de rozamiento es la misma en ambos casos. (g=9,8m/a ). A) 9,1 KW B) 10,2KWC) 15,7KW D)18,6 KW E)U,76 KW

(0 ) Un motor eléctrico de 80% de eficiencia requiere 3 k W para accionar una bomba hidráulica de 73,5% de rendimiento la que a su vez bombea agua hacia la azotea de

Un motor eléctrico de 50% de eficiencia pone en funcionamiento el mecanismo de una grúa cuya eficiencia es del 20 % la cual se encarga de levantar bloques de 37N

de peso. Los bloques son levantados desde el muelle hasta un barco cuya altura sobre el muelle es de 30m con una rapidez de 10 bloques/min. Hallar la potencia en watt entregada al motor. A) 925 B) 1850 C)425 D) 345 E) 3974 Qué potencia en watt debe desarrollar un hombre sobre un tronco de 5 0 k g que está arrastrando hacia abajo de una ladera, con una rapidez constante de 0,5mls? La ladera forma 16° con la horizontal y el coeficiente de rozam iento cinético es 0,5. ( g - lOmla3). A) 30 B) 60 C) 244 D) 122 E) 456 Un automóvil de 103 k g de masa viaja en ascenso por una pendiente de 3% con una rapidez constante de 20m/a. Encontrar la potencia requerida en watt. Considere la superficie lisa. (g = 10 m¡a2). A) 309 B) 618 C)55 D) 34 E)168 Calcúlese la potencia media en watt requerida para levantar un piano de 250 k g a una altura de 20m en un tiempo de 1 minuto. (g = 10 mla2). A) 45,8 B) 346,6 O 25,7 D) 74 5 ¿ E) 833,3 @ ) Un motor eléctrico de 50% de eficiencia pone en funcionamiento el mecanismo de una grúa cuya eficiencia es del 20%, la cual se encarga de levantar bloques de 37N de peso. Los bloques son levantados desde el muelle hasta un barco cuya altura sobre el muelle es ue 30
(2 una velocidad de 3m }s. Si la potencia útil del montecarga es de 9kW. Determinar el coeficiente de rozamiento entre el tronco y la pendiente.

que se desplaza con velocidad V = (3 Í - j - k ) m / s

es

F = ( Í - 2 j + 3 k ) N . Hallar la potencia de esta fuerza en dicho instante. A)1W B) 2W 0 4 W D) 6W E)8W (C IA V E S D E U

Qué potencia desarrolla una chica, si empuja una lustradora formando un ángulo de 37° con la horizontal. Si se sabe que el peso de la lustradora es 135N y el = 113 . La lustradora se desplaza con velocidad de 025mlsl A) 9\V B) 12 W O 14W D)16 W E) 18 W @ )U n motor éléctrico está conectado en serie a una bomba centrifuga de 60% de eficiencia que sirve para elevar agua. Determine la eficiencia del sistema motorbomba si la energía perdida en el motor es el 20% de la energía que éste entrega a la bomba a través de su eje de transmisión. A) 0,4 B)0,5 O 0,6 D) 0,8 E) 0,9 En un instante, una de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo

fW M U L l m C T J G Í

Carreta jalada co& la potencia de tres caballos.

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A) 0 ¿ B) 025 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,75 Determinar la potencia que debe desarrollar un automóvil de 5kN de peso para subir por una autopista que forma 16° con la horizontal con una velocidad de 72kmlh. Considerar que la fuerza de resistencia del aire a esta velocidad es de 300 N. A) 11 kW B) 22 kW C)44 kW D) 66 kW E) 88 kW Un motor B, cuya eficiencia es 60%, funciona con la potencia que se obtiene de un motor A cuya eficiencia es 20% .¿Cuál es la eficiencia del sistema formado por los dos motores? A) 10% B)12% O 14% D) 16% E) 18%

E D IC IO N E S lU IU X O S } sería de un “ Caballo de vapor” .

fe 'I A V E S D E I A

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m S)B fí)u 7)E\mí>)3 «Mi l/l>I>/¿joImií: »/r t»b\ /«U ííjfl»)» m S IG N IF IC A D O

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te S i e l m o t o r a v a p o r ,'t e n í a la m is m a p o te n cia q u e tre s c a b a llo s , e n to n c e s su p o t e n c ia s e ría d e M T r e s c a b a llo s de v a p o r” . E s p o r e llo q u e c o m e r c i a l m e n t e la p o ten cia d e lo s m o to re s se e xp re sa en té rm in o s d e c a b a llo s , pero de va po r.

NOTAS : E l agua p ro v e n ie n te de la red pú b lica se d e p o sita en la c is te rn a , lu e g o m ediante u n tu b o y u n a b o m b a se s u c c io n a (L a b o m b a g e n e ra para e llo cierta po tencia) a g u a para lu e g o s e r tra s la d a d o hacia un ta nque e le va d o ; el tra b a jo q u e se realiza para lle va r el agua de la ciste rn a al tanque ele va d o p o r u n id a d de tie m p o , vie n e a s e r la p o te n cia útil realizada p o r la b o m ba .

P A L A B R A

C A B A L L O - V A P O R

A n tig u a m e n te c u a n d o n o e x is tía n lo s v e h íc u lo s m o to riza d o s , el tra n sp o rte de las p e rso n a s se realizaban p o r interm edio de ca rre ta s, las cu a le s eran jaladas p o r ca b a llo s.

La potencia de una motobomba El a g u a del rio fu n c io n a c o m o cisterna , d e e s t o a p r o v e c h a n m u c h o s p a ra b o m b e a r el a g u a m e d ia n t e una m o to b o m b a y u n a m a n g u e ra .

La carreta era jalada con la potencia de un caballo.

E l a g u a e s s u c c io n a d a re a liz a n d o p o r ta nto c ie rto d e s p la za m ie n to en co n tra de la g ra v e d a d ; e s in d u d a b le e n to n c e s la e x iste n cia de) trab a jo m e c á n ic o en cierto la p so de tie m p o . El ca u d a l del líq u id o o b te n id o depe n de rá e n to n c e s d e la p o te n c ia d e la b o m b a c o m o u n o d e s u s fa cto re s Im portantes.

Si el motor a vapor, tenía la misma potencia de un caballo, su potencia

E s te s is te m a se u tiliza fre c u e n te m e n te para el u s o d e ta a g ric u ltu ra asi c o m o en la lim p ie z a d e e le m e n to s a je n o s a la a lim e n ta ció n y/o s a lu d .

\M

ÍBÉ aa ; B flgg

OBJETIVOS : * Establecer e interpretar el concepto de energía, para así explicar algunos fenómenos físicos. * Relacionar las diversas formas de energía con el trabajo.

INTRODUCCIÓN í Cotidianamente se suele decir: “Ya no tengo energía”, “el enfermo está recuperando sus energías ”, “se ha consumido mucha energía eléctrica”, etc. Frases como estas suelen escucharse infinidad de veces, sin embargo no se sabe el verdadero significado de la palabra energía.

/tw m

Creemos que esto constituye, por lo menos, una manera sencilla de comenzar el estudio de la energía, como lo estamos haciendo ahora. Así, diremos que un cuerpo posee energía cuando es capaz de efectuar un trabajo. Por ejemplo, una persona es capaz de realizar el trabajo de levantar un cuerpo debido a la energía que le proporcionan los alimentos que ingiere. Del mismo modo, el vapor de agua de una caldera posee energía, puesto que es capaz de efectuar el trabajo de mover las turbinas de una planta de generador eléctrico.

ii : / r e m :

energía \ energía\ en ergía \energia\ Energía es uno de los conceptos más importantes de la física y tal vez el término «energía» es uno de los que más se utilizan ahora en nuestro lenguaje cotidiano. Así, a pesar de que es muy difícil definir, en pocas palabras, lo que es energía, ya estamos acostumbrados a emplear esta palabra y ya se tiene, por tanto, cierta comprensión de su significado. En la física el concepto suele introducirse diciendo que «la energía representa la capacidad de realizar trabajo». Energía eléctrica Torres de a lta tensión

f„l n y ,'ir j.* n ’ i:o iA 2012}

Ya debe haberse dado cuenta de que la energía se puede presentar en diversas formas: quím ica, m ecánica, térm ica, eléctrica, atóm ica o nuclear, etc. En el caso citado, los alimentos que toda persona ingiere 6ufren reacciones químicas y liberan energía; es decir, podemos afirmar que los alimentos liberan energía química en el organismo humano. En el caso del vapor de una caldera, decimos que posee energía térmica, y que al mover las turbinas genera energía mecánica, que se transforma luego en energía eléctrica en los generadores. En los reactores de las plantas atómicas, la energía nuclear liberada en los «combustibles atómicos», origina la energía térmica que podrá ser utilizada para producir energía eléctrica, etcétera. m

i B Energía

- W m

V sO

MU

[jEmaEJHMSJtA

E I H t I O X E f i K U IÍIÑ O M

ea »

• Cuando un cuerpo cae desde una altura h , su peso realiza un trabajo W = mhg. * La energía p oten cial gra vitacion al de un cuerpo de masa m, situado a una altura /», está dada por Ep = mgh

Un cu erp o en cinética.

m ov im ien to

p osee

e n e r g ía Un cuerpo en contacto con un resorte deformado posee energía p oten cia l elá stica ¿

Un cuerpo que posee energía cinética es capaz de realizar un trabajo .Como la energía se puede relacionar con el trabajo, también es una cantidad escalar. En consecuencia, la energía se mide con las mismas unidades que el trabajo, es decir, que en el S.l. 1$ unidad de energía es el joule.

¿Tiene energía el a tleta ? El atleta debido a la velocidad que tiene, está disipando energía poj* tal jpotivo llega a la meta exhausto. A*

Un cuerpo situado a cierta altura, posee energía potencial gravitacional. /

¿Tiene energía el agu a? Ec=ím v 3

E l agua antes d e c a e r tie n e cierta e n e rg ía d e b id o a la altura "H ”, c u a n d o ésta ca e d ic h a e n e rg ía se rá a sim ila d a p o r la tu rb in a la c u a l g e n era rá un m o v im ie n to de ro ta ció n q u e en c o m b in a c ió n c o n u n c a m p o m a g n é tic o , p ro d u c irá e n e rg ía elé ctrica.

La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad y está dada por Ec = (l/2)mV*

¿Tiene energía el Sol? E l S o l es una fu e nte e n o rm e d e e n e rg ía y la m a y o r parte de la ■ ^nivel

energía q u e u tiliza m o s en n u e stra v id a diaria p ro v ie n e de él. La d e s in te g ra c ió n de á to m o s de s u s ta n c ia s e xiste n te s en el S o l lib e ra n u n a in m e n s a c a n tid a d d e e n e rg ía . L a e n e rg ía s o la r calienta la T ie rra , e v a p o ra el a gu a , p ro d u c e los v ie n to s , etc.

I A ENCJrj.QM’tcoiA 2012]

TRANSFORMACIONES D E LA ENERGÍA

En mecánica interesa conocer la posición y rapidez de un cuerpo, por lo que se tienen las siguientes formas de energía mecánica:

I) ENERGÍA CINÉTICA (Ec)

/

Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad. Se mide por el trabajo que habría que hacer sobre el cuerpo para que adquiera la velocidad que posee, partiendo del reposo. La energía cinética asociada al movimiento de traslación es la energía cinética de traslación (EeT) cuyo valor depende de la masa (m) del cuerpo y su rapidez (V).

La Energía se encuentra en constante transformación, pasando de unas formas a otras. La energía siempre pasa de formas máa útiles a formas menos útiles. Por ejemplo, en un volcán la energía interna de las rocas fundidas puede transformarse en energía térmica produciendo gran cantidad de calor; las piedras lanzadas al aire y la lava en movimiento poseenenergía mecánica; se produce la combustión de muchos materiales, liberando energía química; etc. Energía luminosa

Fncrgú sonora

Energía calorífica

.

c

»

<

Unidades:

m V

: masa del cuerpo (en kg) : rapidez del cuerpo

(mis)

=>EcT : en Joule (J) O B SE R V A C IO N E S :

Energía nuclear

A) Como la velocidad de un cuerpo depende del sistema de referencia elegido, la energía cinética de traslación también depende del sistema de referencia.

Energía eléctrica

VCB=3ml8

Energía qu ím ica

IKg V mA= 2 m ¡ 8

ENERGÍA Se entiende por energía la capacidad o aptitud * Para el observador «B»: que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Debido a esto la energía de un cuerpo se medirá por el trabajo que ésicapaz de efectuar en condiciones determinadas. Si un cuerpo realiza trabajo su contenido energético disminuye en una cantidad equivalente al trabajo efectuado. Por el contrario, si sobre el cuerpo se realiza un trabajo su energía aumenta en la misma cantidad.

E cbtoqu* —~ 2 mvc¡B ——(1)3 => Kcbloqu€-4 ,5 J * Para el observador «A »: E c b¡oque = | mvíaA = ± ( 1 ) 5 2 => EcbloqU4)=12,5J

B) La energía cinética asociada al movimiento de rotación es la energía cinética de rotación El origen de esta aptitud puede ser muy diferente de un cuerpo a otro, por lo que la energía se manifiesta (Ecr) cuyo valor depende del momento de inercia de diferentes maneras a las que se denominan formas del cuerpo respecto del eje de rotación (I) y su rapidez angular (a>). de la energía.

833

EMHCMOJVES K tT ItlÑ O S )

* La energía del núcleo en un átomo se debe a la interacción de los nucleones (protones, neutrones).

^ b a >

La energía del átomo se debe a la del núcleo atómico,

Donde:

■ l'V

a : rapidez angular (en rad/s) I : momento de inercia (su valor depende de la geometría del cuerpo y del eje alrededor del cual rota)

>.

y la interacción electrón - núcleo yjaépergía cinética de los electrones. . ^ . A .I

* EL MOMENTO DE INERCIA «I » es una magnitud que mide la inercia al movimiento de rotación de un cuerpo respecto de un eje, de un modo semejante a como la masa es la medida de la inercia de un cuerpo al movimiento de traslación. C) En el caso del movimiento de la tierra, analizado desde el Sol:

Veamos los siguientes casos de energiapotencial: *

. *

»

U - l ) E N E R G ÍA PO TE N C IA L GRAVITATORMA ( e Po ) í Es aquella energía asociada a la interacción gravitacional éntre los cuerpos. La energía potencial gravitatoria depende de la masa de los cuerpos y la distancia entre ellos.

U ) ENERGIA POTENCIAL ( E p )

.*

Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición o de su configuración. Se mide por el trabajo que hay que hacer sobre el cuerpo para hacerlo pasar de la posición o configuración tipo (Ep = 0) a aquella en que se encuentra.

Cuando un cuerpo de masa «m » se encuentra a cierta altura respecto de la superficie terrestre la energía p o t e n c i a l gravitatoria del sistema (cuerpo + tierra) es:

V

m

i

g

H N iv e l d e r e fe r e n c i a (N .R.)

EpG—O

O D SE R VA C IO N E S : OBSERVACIONES \

* El lugar de referencia (punto de referencia) al cual se le considera energía potencial nula es arbitrario y se puede asumir donde es más conveniente. Para nuestro estudio de la mecánica lo consideraremos en la superficie terrestre. H Nivel de referencia ........... o ...........................

(e i:= o)

R

Por facilidad, la energía potencial gravitatoria del sistema (cuerpo + tierra) se le asocia al cuerpo « m » , decimos entonces que la energía potencial gravitatoria es de «m».En algunos casos es más recomendable tomar un nivel de referencia diferente a la superficie terrestre, esto facilita los cálculos. Por lo general se toma en la posición más bqja del cuerpo, respecto de su posición inicial y final. • Respecto del nivel de referencia elegido. E PGa = 0 E PGB= m g h

ese

I A ENi ic j .o p i : i i l \ 2012]

ENERGÍA MECÁNICA (EM)

m h

g

,é *

N.R.

Un cuerpo o sistema puede tener asociado una energía cinética y/o potencial en virtud a su movimiento e interacción. La magnitud que caracteriza la energía total del cuerpo o sistema es la energía mecánica (Ey) que matemáticamente viene a ser la suma de las energías cinética y potencial.

EJEM PLO :

U -2 ) ENERGÍA ELÁSTICA (£;,J :

POTENCIAL

Determinemos la energía mecánica para el ladrillo de 4 k g f en el instante que pasa por «A» con 10 mis (g = 1 0 m/a*) * Recordemos que:

Es aquella energía asociada a un cuerpo elástico debido a su deformación longitudinal. La energía potencial elástica surge como consecuencia de las interacciones de las partes del cuerpo elástico cuando está deformado y es también igual al trabajo realizado sobre él para que adquiera una deformación. Para el caso de un resorte ideal de constante de rigidez Ky la energía potencial elástica que almacena, se determina de la siguiente manera.

g

illli

A

¡L

H=8m

N ivel d e referen cia

(i) * Como el ladrillo sólo tiene movimiento e interacción con la tierra, la expresión (I) queda así:

3 X

E M

—

E c+

e pg

EMladrillo

+ m g ll

EMloJríUo = - x 4 x l 0 2 + 4 x 1 0 x 8 = 200+320=520J 2 EMla d rillo = 520J Donde: K = constante de rigidez del resorte en

N) m

x = deformación lineal (m) =>• la EPS en Joule (J)

F

TEOREMA O E L A ENERGÍA CINÉTICA Y EL TRABAJO El trabajo realizado por la fuerza resultante (trabajo neto o total) que actúa sobre un cuerpo durante cualquier parte de su movimiento es igual al cambio que experimenta la energía cinética (Ec ó EK) del cuerpo durante esa parte de su movimiento. Vo_ V[^

637 Vft s Í B w

m u tk m ñ o s í

Debido a su energía cinética la esfera realiza un trabajo, sobre el resorte, equivalente a la cantidad de energía que tenía antes de deformar el resorte. sobre el w.resorte

Vi/ / $ A

E c in icia l esfera

trabajo de la Fuerza de Gravedad com o cam bio de la energía p oten cia l La fuerza de gravedad (peso) realiza un trabajo que posee las siguientes características:

W *r= W ?¿°= A E c

* «También se puede comprobar que: cuando un cuerpo dotado de cierta velocidad se frena, la fuerza que lo detiene realiza un trabajo negativo y el cuerpo que causa el frenado adquiere una energía igual a la que pierde el cuerpo en movimiento. Entonces este último transmite su energía al cuerpo que lo ha frenado (realiza trabajo sobre el cuerpo que lo frena) por ello se establece que la energía cinética caracteriza la cantidad de trabajo que puede realizar un cuerpo en virtud a su movimiento mecánico». Veamos: • Cuando disparamos un proyectil hacia un muro.

A

o- -

1m g

g h0

B

•K> Al

Nivel de referencia <§>El trabajo no depende de la trayectoria recorrida. <^>E1 trabajo es igual al producto del peso con el desplazamiento vertical (y la diferencia de alturas):

v

<^> Se denomina energía potencial gravitatoria a:

* La energía cinética final de la bala, es nula entonces La bala transmite toda su energía al muro.

Con la cual el trabajo del peso se puede expresar como:

* Cuando una esfera choca contra un resorte

V -J

Hl

vr =o J x

«El trabajo realizado por la fuerza de gravedad depende de la posición inicial y final y no de la trayectoria seguida ni del tipo de movimiento que realiza el cuerpo sobre el cual se realiza el trabajo» trabajo realizado p o r la fu erza elástica como cam bio de la energía p oten cial Consideremos un resorte inicialmente deformado unido a una esfera lisa.

j'M

-J

A

x =0 XA

x=0

A .I

IA LV( M4j.aw tm iA 2012} 08 S * El trabajo realizado por las fuerzas conservativas en trayectoria cerrada, es nulo. En el estudio de la mecánica encontramos dos fuerzas conservativas: la fuerza de gravedad y la fuerza elástica. * Entre las fuerzas conservativas tenemos las fuerzas disipativas, son aquellas cuyo trabajo total, cualesquiera que sea la trayectoria, es siempre negativo, por ejemplo la fuerza de rozamiento por deslizamiento y los de resistencia al movimiento de los cuerpos en los líquidos y gases.

B XB

* Por ser la fuerza elástica una fuerza de módulo variable, su trabajo realizado lo calculamos utilizando la gráfica F v a x :

FUERZAS NO CONSERVATIVAS Son aquellas cuyo trabajo si depende de la trayectoria seguida por el cuerpo. Ejemplo: La fuerza de rozamiento. O BSERVACIO N ES

WT' = KXa + 2 KXb .(Xa - x B) ^ W Fm= E ( . Wr ’ = - K x ‘ - - K x i

-* Ü )

WF' = E p - E pf

* Un sistema mecánico (sistema de punto materiales) se llama conservativo, si en él todas las fuerzas internas y externas son conservativas.Los sistemas que no satisfacen las condiciones indicadas se dice que son no conservativas.

A

m g\ ( D

é M

B

* El trabajo realizado por el peso no depende de la trayectoria seguida por el cuerpo.

«El trabajo realizado por la fuerza elástica depende de la posición inicial y final del punto de aplicación y no de la trayectoria seguida ni las leyes del movimiento de dicho punto»

w m w m

E L

* El trabajo realizado por el resorte produce una variación en la energía potencial elástica del cuerpo.

FUERZAS

C O N S E R V A T IV A S Las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria seguida por el punto de aplicación ni del tipo de movimiento se llaman fuerzas potenciales (fuerzas conservativas). Una de sus características es que su trabajo sólo depende de la posición inicial y final del punto de aplicación, es decir de la disposición de las partes del cuerpo o sistema.

.

i

E D 1C M O X E &

639

* La energía mecánica de un cuerpo no cambia cuando actúan sobre el únicamente fuerzas conservativas.

LEY DE CONSERVACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA

Analicemos el siguiente sistema aislado:

4

D esp u és d e c ie r to in te r v a lo d e tiem p o ;

JL=o--' * >*

fr

0

v

S.A.

l

i

l

Ecr+Eff+Eg+E^at+

....

m

i

2 5 J 3 0 J 1 5 J 30J

es la F g , por lo tanto. ¡La EMdel bloque se conserva!

Cuando en un sistema sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas: fuerza de gravedad y fuerza elástica, entonces LA E N E R G ÍA M E C Á N IC A SE CONSERVA. Matemáticamente:^! sólo realizan trabajo la Fg y/o F t * Para la esfera que gira unida a un hilo. y*.#•«

* Como la fuerza de tensión es perpendicular en todo instante a la velocidad; entonces WT=0 y sólo .estaría d e sa rro lla n d o trabajo la

— S.A. Ec+Ep+Ex+E}cut+

* La única fuerza que desarrolla trabajo sobre el bloque

O B S E R VA C IÓ N :

Constituye una de las leyes más importantes de la naturaleza, establece que: «La energía total de un sistema aislado no varia cualesquiera que sean las transformaciones que ocurran en él». Un sistema de cuerpos se considera aislado, cuando estos no interactúan con el exterior (no actúan fuerzas externas), es decir los cuerpos interactúan únicamente entre sí, sin intercambiar energía con el medio externo.

.

20J

=

KUKÍÑOiSÁ

.

.

.

* *

< í"

. '

—r

Fm 3

Luego, la E w de la esfera se conserva. .

u

2 0 J 2 0 J 30>J 2 5 J 2 5 J

—v— 120J 120J En consecuencia en un sistema m ecánico y/o termodinámico aislado, cuantitativamente se cumple que:

• Para el sistema esfera - resorte: la única fuerza que —► desarrolla trabajo es la Fg 9pero como ésta no hace variar la energía mecánica, podemos concluir que la energía mecánica del sistema se conserva.

• Puede observarse como la energía total del sistema en cantidad nos altéra, sin embargo internamente ocurren transformaciones así la Ec , Ept Eh,... etc., se reducen o aumentan transformándose la una en la otra. •Veamos casos donde la Energía Mecánica se conserva v

• Para el bloque que désliza sobre la superficie lisa.

=

o

O JO: Una forma práctica de darnos cuenta que la energía mecánica de un sistema se conserva es viendo que no existen fuerzas disipativas externas ni internas (superficies lisas) y las fuerzas diferentes a la Fg y F# no realizan trabajo. O B S E R V A C IÓ N : Como hemos observado en estos ejemplos la fuerza de gravedad no modifica la energía mecánica, pero ¿qué sucede si sobre un cuerpo actúan fuerzas diferentes

L1 EX i t u . o r v n iA 20Í2) tra b a jo rea lizad o p o r la fu e rza d e fric c ió n (Wt).

de la fuerza de gravedad que realicen trabajo? Consideremos a un bloque inicialmente en reposo y sobre él aplicamos la fuerza F (F > F g) Inicialmente la energía mecánica es cero ( Em¡ = 0) pero al actuar la fuerza F el bloque asciende aumentando su rapidez, ganando energía cinética, además respecto al piso el bloque gana altura (energía potencial gravitatoria). Como se puede deducir este cambio en la energía cinética y potencial gravitatoria (energía mecánica) es debido

_£É

\F V .| J i

J

Q _—_ DC EA CNATLI DO RA D—_

"r

ix r

* «E I c a m b io en la e n e rg ia m e c á n ic a d e u n c u e rp o o siste m a es num éricam ente igual al trabajo d e sa rro lla d o p o r aquellas fuerzas diferentes de la fuerza de g ra v e d a d y la fu e rza e lá s tic a ».

* La «E c » presenta un carácter relativo ya que depende del sistema de referencia (S.R.)

h

Desde el cual se analice el movimiento. C p r e s e n ta B '

£

t

1 f-f

F

b lo q u e )

(

N.R.

a que la fuerza F desarrolla trabajo. => W F = A E M ♦ En general la suma de los trabajos desarrollados por las fuerzas diferentes de la fuerza de gravedad y fuerza elástica ( £ \ y ♦^originan cambios en la energía

SUGERENCIAS PA R A RESOLVER PROBLEM AS ♦ Ubicar la posición inicial y final trazando una línea horizontal de referencia, para luego aplicar:

mecánica. La suma de trabajos de las fuerzas no conservativas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica.

TEOREMA DEL TR AB AJO Y ENERGÍA MECÁNICA La suma de trabajos de las fuerzas no conservativas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica.

* Para hallar E¡ ó Eo en cada caso se debe sumar las 3 posibles energías (potenciales y cinéticas). ♦Las fuerzas conservativas usuales son el peso (W=mg) y la fuerza elástica en un resorte (F=K x), las demás fuerzas se considerarán «no conservativas». ♦Cuando un cuerpo desliza la fuerza normal (N) no hace trabajo:

* Esta expresión también se puede plantear así

W£taiC: trabaj0 total de fuerzas no conservativas.

♦El cálculo de la normal «generalmente» será de acuerdo a la inclinación. N O IN C L IN A D O :

&*

* De lo dicho anteriormente se deduce que: si

W?"F total =

0 ,entonces :

¡La EMse

conserva!

Fn IN C L IN A D O :

OBSERVACION ES : C u a n d o un c u e rp o resbala a tra v é s d e u n a s u p e rfic ie á sp e ra , las superficies en co n ta cto d e b id o a la fric c ió n e x p e rim e n ta n u n a elevación de s u s te m p e ra tu ra s, d is ip á n d o s e c a lo r al m e d io exterior; ésta cantidad d e c a lo r (Q) e s n u m é ric a m e n te igual al

♦ Para hallar

se debe hacer un D.C.L

ta sa 9 4 i

EDICIONES ni!MAOS\

R E S O L U C IÓ N : PR O B LE M A 1: La esfera es soltada en la posición mostrada, determine su rapidez al pasar por su posición más baja B .(g = 10m/s*) V=0 A

t

* *

T

• Las únicas fuerzas que actúan en la joven son su peso, que es una fuerza conservativa, y la reacción normal de la superficie, que no realiza trabajo sobre la joven, pues siempre es perpendicular al d e s p la z a m i e n t o .P o d e m o s , entonces, aplicar la conservación de la energía mecánica.

• El agua en la parte más alta tiene energía potencial gravitatoria (E¡J, la que al descender se transforma en energía cinética (Ec ); luego, por conservación de la energía mecánica para cierta masa de agua (m) de A hacia B. => m g h — — m V 2 V = y f2 g lt

RPTA: "B

99

P R O B L E M A 4: N.R

« v B A)8 m/s B)5 m/s D)2 m/s E)20 m/s R E SO L U CIÓ N :

C)10 m/s

• Si medimos las alturas en relación con un nivel horizontal que pasa por B, y designamos por m la masa de la joven , tendremos. EpA= m g h ;

Determine la menor rapidez con la que debe ser lanzado el bloque en la posición A, para que llegue hasta la posición B, considere superficies lisas y g = 10 m/s2. B

EeA —0 ; EpB = 0 g

•Diagrama de fuerzas para la esfera: A V =0 — V -.................

=>e cB = \ mvt • Donde v es la velocidad del joven al llegar a B.

H=20m

NJL

*E nton ces: m g h =

donde

A

A) 10 m/s v -y ¡2gh \T

RPTA : "B

¡ V

~B F*=m g

Observe que sobre la esfera, la única fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad y como ésta no modifica la energía mecánica ,entonces en las posiciones A y B las energías mecánicas son iguales. ema - emm => BPa + ECa = EPb + ECb = > m g h + 0 = 0-\—

2

9 9

=>v = J 2 g h = y¡2( 1 0 ) ( 5 ) = lOm / «

RPTA : “ C”

A )j9h

D )2 jg h

B )j2 g h

C )J g h

E )2gk

IiB S O E U C IÓ N : •Se pide la rapidez (V) del agua en la parte baja de la cascada:

B )j2 gh C )20gh D )0 2 m h E)y]2mgh

e 4 m

El agua fluye sobre un dique y desciende suavemente, desde un altura «h » (ver figura). Si la velocidad del agua es nula en el punto superior del agua es nula en el punto superior del dique, la velocidad de la cascada es:

-yfgh

C)12 m/s

D)24ld*n/* E) 048 m/s R E S O L U C IÓ N :

PROBLEM A 3

mv2

PR O B LE M A 2 : Una joven se desliza idealmente (sin fricción) en un tobogán como el que se muestra en la figura. Si parte del reposo en A, ¿con qué velocidad llegará al punto más bajo del aparato (punto B) ? A

B)20 m/s

•Diagrama de cuerpo libre para el bloque: •

* Del D.C.L. podemos observar que la fuerza normal no realiza trabajo por ser ésta en todo instante perpendicular a la dirección del movimiento, y la fuerza de gravedad realiza un trabajo negativo por ser contrario a la dirección del movimiento, pero como ésta no modifica la energía mecánica, entonces. * Como la rapidez de lanzamiento debe ser mínima, el bloque debe llegar con las justas a B ( ECg = 0). ^■ECA=Bhlm+Bc¡ ímVZ=mgh=>VA= ^ = j 2(ÍÓj(20) £ V . =20m¡9

N ivel d e . referen cia

RPTA : “B

99

P R O B L E M A 5: En la figura un anillo de masa «m» se desplaza libremente en la varilla

iA

LVmxorEPtl 2012}

doblada. ¿Cuánto vale el ángulo 0, si «m» parte del reposo en el punto A y llega a B con velocidad ^ 2 g R ?

Kpgíaj — Kptmi Kx = mg 200x = l( 10) l —+ x = 20

méx

t Ft =m g

RPTA : WC” PROBLEM A 8 :

•Reemplazando en (1): EUgUt= 4 0 + 100 R E S O L U C IÓ N :

Slutide rw fer+ncia

* Desde A hasta B, el cuerpo resbala y no existe fricción, por lo tanto la energía mecánica (EM) se conserva, entonces:

Una pequeña esfera de 4 k g unido a un resorte (K = 2 0 0 N lm ) inicialmente sin deformar es soltado en la posición que se muestra. Determine la máxima deformación que experimenta el resorte, (g =10 m/s2) resorte sin

YX + E , ) Á = < E c + X >

A )9J B)8 J C)13J D)24 J E)19J

R E S O L U C IÓ N :

RPTA : "E ” PROBLEM A 6 :

A) 40 J B)5125 J C)4025 J D)82,5 J E)3725 J

K = 200— tiene una deformación m de 1 0 c m . ( g = 1 0 m/s i )

NJL

^>0~3CF

Un bloque de 1 k g cuelga de un resorte (K = 200 N¡m) tal como se muestra. Determine la energía mecánica del sistema respecto del piso.(g=J0m/s*;

N

H=lm ve=o

=>2gR*enO = gR=>senO

Determine la energía mecánica pira el sistem a (esfera = resorte ideal;, cuando la esfera de 1 kg pasa por la posición B con una rapidez de 2 mjs y el resorte ideal de rigidez

deformar

^ 02RmnO)=(j2gR/f2

=>MgR¿

20

PROBLEM A 7 :

R

PktAi —8

= 40,25J RPTA : UC”

Va-0

= ? < M m = 0,4m max = 2mg k 200

A)0 2 m D)0f25 m

B) 0,1 m E)0,5 m

0 0 ,4 m

R E S O L U C IÓ N :

* Observe que cuando la esfera pasa por B tiene movimiento por lo que hay energía cinética, como se encuentra a una altura II respecto del nivel de referencia tiene energía potencial gravitatorio, además como el resorte está deformado (estirado) éste tiene energía potencial elástica. • En la posición B:

V=0

v = o¡y

2m N.R.

R E S O L U C IÓ N :

* Para el sistema tenemos: •Como el bloque no tiene movimiento mecánico, no tendrá energía cinética, luego queda: pg+ E , B = m g I I + j K x * => EMtM= 2 ( W ) ( 2 ) + í ( 2 0 0 ) x * ....( i )

• Calculo de «x»: Como el bloque está en reposo existe equilibrio, entonces:

lY=o

J

N.R.

B • Notamos que luego de soltar la esfera este desciende estirando el resorte pero, debido a la fuerza resultante la rapidez aumenta y luego disminuye, entonces, la deformación es máxima cuando la rapidez de la esfera es cero.

•Observe que para el sistema (esfera - resorte; la única fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad, por lo que la energía mecánica del sistema se conserva.

=>EM8=lmv* + mglI +ÍKx* = -■ (l)2 x + ¡ U O ) l i ) + { ( 2 0 0 ) \ j -

"•2

2

=13J

[10 RPTA : “ C "

PR O BLEM A 9:

El bloque de 3 kg se encuentra en reposo en la posición A, si sobre él se aplica la fuerza F, determine su rapidez al pasar por la posición B. Considere superficies lisas. V«=0 Yz^ Ft=12N # = =T Ft _________ ^ r A' B 4m

EDICIONES iUJBLYÓS) C)5 m/s

A)3 m¡s B)4 m/s D)1 m/s E)2 m/s R E SO L U C IÓ N : V0=O F ,= 1 2 N

=é ¡ N .R .

B 4m

C)980J

A)1300 J B)660J D)320 J E)830 J R E S O L U C IÓ N :

V0 = 1 2 m f s

•De la relación entre el trabajo y la energía mecánica.

t

F,

i ’Fv

K¡¡c =L 2>-n

......... a)

•Del D.C.L.se observa que las fuerzas diferentes a la fuerza de gravedad son la fuerza normal Fv y F. Luego en (I) : WF = WFN= L mV* 2 F •Pero como la fuerza normal es perpendicular a la dirección del movimiento \yFx _ q = ^ W F = - m V i => F . d = - m v ;

2

1 2 x 4 ——( 6)Vf 2

2

• Se pide W^k desde «A» hasta «B» . V=0,AjV A

h=10m/s V=8m lg

RPTA : “ B

Un bloque de 10 kg parte del reposo y desciende por la pendiente mostrada en la figura. Si la velocidad con que llega el bloque a la parte más baja es 8 m/st encontrar la cantidad de trabajo negativo realizado por la fuerza de rozamiento (g=9,8 m/s2)

v0=o

A)2 m/s B)3 m/s D)8 m/s E)12 m/s R E S O L U C IÓ N :

C)4 m/s

V0 =12m /8

/
Nivel He referencia

•Conforme el bloque desciende, sobre él se desarrolla trabajo mediante «F G» y « f k» , pero el trabajo desarrollado mediante la «F» no altera la «EM» del bloque, así que la variación de la «EM» se debe sólo al trabajo desarrollado mediante • E N E R G ÍA M E C Á N IC A IN IC IA L E N A :

• De la relación entre el trabajo y la energía mecánica: 1 2 • D.C.L. para el bloque: PNC

1

^ ”i ffl r ^

(I)

• Se observa que las fuerzas diferentes de la fuerza de gravedad J?.=m íf

Se presenta sólo energía potencial son f k y F n gravitatoria. = > e m ec

* Luego en (I) : FN-m g

= 0+ m gh = (10)(9,8)(10)= 980J

In icia l

* E N E R G ÍA M E C Á N IC A F IN A L E N B .

Como se encuentra en el nivel de referencia, ya no posee energía potencial gravitatoria, sólo tiene energía cinética.

W fk = í m ( V ^ - V ¡ 2) 2 • Como la fuerza de rozamiento está en contra de la dirección del movimiento =>. w^k( —)•

^ z U ' d = í m(y2F~ v' ) =* &M EC = fin a l

PR O B LE M A 1 0 :

14m

•=ÍTí~Í

Vf =4m/s 99

Vr

= fe ^ /

•Inicialmente el bloque no tiene energía mecánica ( Ema = 0 ) pero al pasar por B tiene rapidez, es decir tiene energía cinética, lo que significa que sobre el bloque existe una fuerza diferente de la fuerza de gravedad que está cambiando la energía mecánica. jFt=mg

14 m ( pk=0,5; g =10 m/s2)

+ 0 = ■— ( 1 0 ) 8 ~

=

3 2 0 J

¿

• Notamos que la energía mecánica ha disminuido de 980 J a 320 J debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. — e m e c ~

final

Wi FN

e

m b c

W * = 3 2 0 -9 8 0

inicial

W fh = —6 6 0 Joules

La cantidad de trabajo negativo es 660 J RPTA : “B ” P R O B L E M A 11: Un ladrillo es lanzado con una rapidez de 12 m/s sobre la superficie horizontal áspera; determine su rapidez . uando se ha desplazado

- ¡ x h. r f g . d = ± r f ( V ¡ - Y t ) => ~ ( 1 0 ) ( 1 4 ) = í-(V * - 122) 2 2 * => VF= 2m/s F RPTA : "A ” PR O BLEM A 12 : ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) La energía mecánica es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar trabajo mecánico. 2) Las únicas energías potenciales que existen son la elástica y la gravitatoria.

iisa «** 3) La energía mecánica es independiente del sistema de referencia. 4)Al igual que la masa, la energía cinética es una cantidad característica de los cuerpos. 5) La energía cinética puede considerarse como una medida de la fuerza que es capaz de aplicar un cuerpo.

6) Dado un sistema de referencia, la energía cinética es una cantidad que depende del origen del sistema coordenado. 7) La energía mecánica se conserva en sistemas donde solamente actúan fuerzas conservativas como el peso y la fuerza elástica debido al resorte.

8) La energía mecánica se conserva en sistemas donde solamente actúan fuerzas conservativas. 9) La conservación de la energía mecánica es un caso particular de un caso más general llamado conservación de la energía. 10) La energía mecánica siempre se mantiene constante.

1 1 ) La energía mecánica es la misma respecto a dos sistemas de referencia inerciales.

1)VERDADERA, Efectivamente un cuerpo o sistema tendrá tanta energía mecánica como trabajo mecánico sea capaz de realizar. 2) FALSA, La energía potencial que poseen los cuerpos o sistemas dependen de su posición o configuración y pueden ser: elástica, gravitatoria y eléctrica.

14) Es una energía cuya magnitud es Rpg > 0 (la energía potencial gravitatoria). 15) Es una energía que cambia con el movimiento del cuerpo (respecto ala E pg ). A) 10 B)15 C)3 R E S O L U C IÓ N :

D)12

E)5

RYmxortmi30l¿]

conservación de la energía involucra a todas las formas de energía, en cambio el principio de conservación de la energía mecánica es un caso particular que involucra a las diferentes formas de energía mecánica. 10JFALSA, La energía mecánica se conserva solamente si el wrrvc= o

3 )FALSA, La energía mecánica depende de los sistemas de referencia del cual se mide, puesto que la posición y la velocidad son medidos en relación a los sistemas de referencias elegidos.

11) FALSA, La energía mecánica varía de acuerdo al sistema de referencia inercial que se elige; esto se debe porque la 4tE ^ ene¡a¡» puede ser negativo, positivo o cero. (Depende el N.R.)

4)FALSA, La energía cinética no puede caracterizar a un cuerpo al igual que la masa; porque la energía cinética también depende de la rapidez del cuerpo, y ésta rapidez

12) FALSA, No siempre se cumple 13) FALSA, La energía potencial gravitatoria esta dada por:

m i

puede variar. Ec —~ m V 2 5)F A L S A , La energía cinética puede considerarse como la medida del trabajo que realiza una fuerza; porque ambos son una forma de energía, pero no como una fuerza solamente.

6) VE R D AD E R A, «La energía cinética depende del sistema de referencia (origen del sistema de coordenadas)»

E■K-gmV .=l

12) Sólo tienen energía mecánica aquellos cuerpo que se mueven con una cierta velocidad distinta de cero. 13) Es una energía asociada únicamente a la masa de un cuerpo y a una altura relativa en la cual se encuentra dicho cuerpo (la energía potencial gravitatoria).

IA

OBS.

h

t i

N ivel de referencia F Pg — nxgh (También depende de la gravedad local) 14)FALSA, La energía potencial gravitatoria puede ser negativa (Epg<0), positiva o cero; depende del nivel de referencia que se elige.

O

Sistem a de referen cia

7) VERDADERA, Efectivamente, la energía mecánica se conserva solamente cuando sobre un sistema actúan fuerzas conservativas. El peso y la fuerza elástica son fuerzas conservativas.

8) V E R D A D E R A , Si sobre un cuerpo o sistema actúan solamente fuerzas conservativas, entonces la energía mecánica permanece cte. 9)VERDADERA, El principio de

1 5 )F A L S A ,No siempre en un mismo nivel, puede cambiar de movimiento. RPTA : “E ” PR O B LE M A 13 :

Hay cuatro pistas de la misma altura, pero de diferente forma, como se muestra. Si un bloque se suelta (por turnos) de la parte superior de la pista y baja sin rozamiento, alcanzando al final de la pista una velocidad V, ¿en cuál de los cuatro casos es el módulo de la velocidad final mayor?

EMCMOXm niJHLYO$\

W B 645 R E S O L U C IÓ N :

2Kg

Imls 3m!s*

1 2 A)1 B)2 C)3 D)4 E)Los cu a tro m ódulos de la velocidad son iguales R E S O L U C IÓ N : * Como las 4 pistas tienen la misma altura y el bloque al inicio tiene velocidad cero, entonces sólo tendrá energía potencial, tomando como referencia el final de la pista en todos los casos el bloque tendrá Ep=mgh Donde: h ; altura de la pista m : masa del bloque * Al final, por conservación de la energía el bloque posee una energía cinética. —ni V 3 —m g h

Vf = j 2 g h

* Como la velocidad final sólo depende de la altura todos tendrán la misma velocidad. RPTA : “E ” PR O B LE M A 14 : En la figura se muestran la altura y la velocidad de tres proyectiles en un determinado instante. Las masas de los proyectiles a ,b y c son respectivamente 3; 1 y 2 kg, ¿cuál de las siguientes alternativas respecto a los valores Ea, Eb y Ec de la energía mecánica total de los proyectiles es correcta? lm/s

2ml8 3Kg

3m

lm i

N ivel d e referen cia

' Un cuerpo pequeño de masa se *E= Er = m g h r “ encuentra sobre una superficie hem isférica de hielo, como se mE„ = (3 k g )(1 0 m / 8 * )(lm )+ * (3 k g )(2 m la f= 3 6 J 2 muestra en la figura. El cuerpo •J=; = {lk g )(I0 m Itf)(2 m ) + L jk g )(3 m / » f= 2 4 ,B J resbala a partir del reposo en A, 2 suponiendo que el hielo es = (2 h g )(1 0 m í* * )(3 m )+ i(2 k g )(¡m !a f = 6 lJ perfectamente liso. A partir del =>E, > $ , >E> RPTA : “E ” punto B la masa deja de tener P R O B L E M A 15: contacto con la superficie. La esfera de masa «m» es lanzada en «A» llegando hasta «B », en relación a su movimiento podemos decir: I)La cuerda no realiza trabajo sobre la esfera. II) El trabajo realizado por la fuerza de gravedad es m gh. Ul) La energía mecánica de la esfera se conserva. B A) W V B )F W C )W F D)FFV E)VFV

h

O

a—

R E S O L U C IÓ N ;

B

A V .= * I •

4 9

3m

m

2m

m

lm

mg

*

1 N iv e l d e r e fe r e n c ía

A)E, = E b < E c C)Ea = Et = Ec E)E° > Ea > E*.o ' r

Entonces se cumple que: A)La velocidad centrípeta en B es máxima en todo el recorrido. B)La fuerza centrípeta en B se anula. C)Si la masa cambia, el punto B también cambia. D)Si la masa cambia, el punto B es el mismo. E)La velocidad en B es mínima R E S O L U C IÓ N : * Efectuemos el D.C.L. del cuerpo en el instante que deja de tener contacto con la superficie hemisférica lisa:

3m/ss h—

2m/s

III) VERDADERA, Como la única fuerza que realiza trabajo es la «m g », diremos que la energía mecánica se conserva. RPTA : **E” P R O B L E M A 16

2m i

«mg» entre A y 3 es: - mgh (por que la «m g» se opone al movimiento).

B)E > E .> Ea ' t b D)E ' a > Ek6> Er

/ ) V E R D A D E R A , La tensión siempre es perpendicular al movimiento de la esfera. WT = 0 II) FAISA, El trabajo realizado por

R * Si no existe contacto en «B », entonces: = 0 , luego: m g cosQ —

m Vl *

gRcosO = VB..........................J)

1E3 »*« MS

\FM&BWC2A •Ahora, por conservación de la energía mecánica. ema - emb => ECa + EPá _ ECa + EPfí mV9 => 0 -f m g R —------— 4- m g RcoaO

2

=$2 g R = V¿ ± 2 g R c o * Q .................. ( I I )

• De (I) en (II): 2 g R = VH + 2 V*=>VB =

2g R

* De esta expresión se deduce que la ubicación del punto B no depende de la masa del cuerpo. RPTA : *‘D ” PR O BLEM A 1 7 : Un mismo móvil puede deslizarse sobre dos toboganes lisos, mostrados en la figura, partiendo desde el punto más alto A sin velocidad inicial. Se puede concluir que: • El trabajo hecho por la gravedad es el mismo para las trayectorias AByAC. •La energía cinética en B es mayor que en C.

• VERDADERO, El trabajo hecho por la gravedad no depende de la trayectoria sólo depende de la distancia vertical. * FALSO, La energía cinética en B es igual a la de C , por encontrarse a una misma distancia vertical, puesto que los toboganes son lisos. • VERDADERO, Puesto que los toboganes son lisos, la energía se conserva. * FALSO, Como A es el punto más alto, la velocidad en B será mayor si el deslizamiento se inicia en A y no en D. RPTA : f*A" P R O B L E M A 18: Una partícula de materia que se mueve en un campo de fuerzas conservativas, posee una energía mecánica E = 20J en el instante t = 2 segundos. La gráfica para su energía potencial en función del tiempo t es: E p

•Si es conservativo F wes constante, en todo instante. Del gráfico: En t= 2s: 20J = 10J+E

Ec =10J

• Analizando las proposiciones: I) VERDADERA, La partícula está cambiando su velocidad en todo instante, del gráfico observamos que su energía cinética varía en todo instante, por lo tanto también su velocidad. II) V E R D A D E R A , Del gráfico observamos que en el intermedio de 1 a 2 segundos, la energía potencial aumenta, por lo tanto la energía cinética diminuye por lo cual la velocidad también disminuye. III) VERDADERA, En t =8 s se presenta la mayor energía potencial (15 J ), por lo tanto la energía cinética será la menor (5 J). IV ) F A L S O , L a p o t e n c i a desarrollada en todo instante es la misma, pues la energía mecánica no varía. RPTA : “B ” P R O B L E M A 19:

(J )

*En cada instante sobre cualquier trayectoria, la energía total del móvil es constante. •La velocidad en B será mayor si el deslizamiento se inicia en D y no en A. 2 5 ts t(s) Determine la com binación de proposiciones verdaderas (V) y falsas (F) en el orden correspondiente. B C Señale la com binación de conclusiones verdaderas (V) o falsas (F) en el orden indicado: A)VFVF B)FVFV C )W F F D )FFW E )FW F R E SO L U C IÓ N :

I) La partícula en todo momento está cambiando su velocidad.

• Se muestra dos toboganes lisos.

TV) La potencia desarrollada sobre la partícula en el intervalo de tiempo de 2 8 a 5 8 es 5/3 W. A )F W F B) V W F C) FVFVD) VFVF R E S O L U CIÓ N :

II) En el intervalo de tiempo Is a 28 ,el módulo de la velocidad disminuye. III) En t = 8s presenta la menor energía cinética.

*Dato:En t = 2 s , la mecánica: F w= 20 J

L í L V f i a . o r m l 2012} • Por teoría: E SJ=Ep+Ec

energía

Un cuerpo de 5 k g de masa se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza F paralela a este eje, cuya magnitud varía con la posición como se indica en la figura. Si en x = 0 el cuerpo está en reposo, su velocidad en m/s cuando se encuentra en x =6 m, será: A)I2 B)8 C)1 D)2 E)4

ÍF(N)

2 4 6 R E S O L U C IÓ N :

8

x (m /

• Se tiene el gráfico p (vs) # ; cor esta información interpretamos } planteamos lo sucedido así

i j >h i o

047 F (N )

F a 2 ) + E p Q j — E c n ) + E P (V

mVj

mVf

TT

\ i : s itiin i\ ro § }

fricción en el tramo DE. Calcular el coeficiente de fricción cinético.

=>—^ - + m g ( 0 ) = — f - + m g H ^ V 2= J V ?+ 2g H

=>V2 =y¡502 + 2 x 1 0 x 4 0 = .¡3 300

x(m)

^ V 2 =,57,44 ,n!s

wf-A^'JOj \v!=20 J

PR O BLEM A 21:

, * 7 = 0 ^ ' 77wkx f= ion L... * ••*fcL " fc, _ * (x=0)

(X=4)

(x=(i)

• Nos piden hallar la rapidez del bloque en x = 6 m, ¿qué hacemos?. En la figura vemos que el hombre realiza trabajo (que se calcula con las áreas de las regiones sombreadas en la gráfica). \irrealizado por hombre

p perdida de hombre

A¡+Ag

Una esfera de masa M se desplaza del punto A, (partiendo del reposo), al punto B en un plano inclinado sin fricción. ¿Cuál es la velocidad que tendrá en el punto BI (g = 10mls2) _ A)10yÍ5m{ 8

p g añada de bloque

B)10y¡2m/s

1my2

C )lQy¡7 m i 8 D)10m/ s

-m V

40J

1

RpTA . „ c „

M

R E S O L U C IÓ N :

* Al analizar el recorrido del bloque en el riel, observamos que actúan solamente dos fuerzas (peso y normal); mientras que, en el tramo horizontal, tres fuerzas (peso, normal y rozamiento).

M

( 5 ) V Z = 4 0 = » V = 4 m !s R P T A : “E ”

PROBLEM A 20:

En cierta zona el malecón de Chorrillos tiene 4 0 m de altura y desde él se lanza una piedra al mar con una velocidad de S O m j s . Despreciando la fricción del aire, con qué velocidad choca con el agua. ( g = 1 0 m / s 2)

A )52 m is B )5 3 t41 m/s C )5 7 ,4 4 m/s D )62,82 m/s E )6 0 m/s

R E S O L U C IÓ N :

• Como no existe fricción, entonces, la energía mecánica permanece constante. => Ec¡¡ + EPb = ECa + EPa

0 —mghA = —fL

=? m^B + m g(0) = (O)2 + m g (5) £ => VB = y]2( 10)(5) = lOmls

mghA = jJtngL =» ¡i = ^ RPTA : “C ” PRO BLEM A 23:

R E S O L U C IÓ N :

RPTA : t(D ”

Un bloque pequeño de masa m se deja caer libremente desde la parte superior de un tubo en forma de un arco con 0 = 7r / 2, deslizándose sin fricción hasta llegar a la superficie horizontal rugosa (ver figura) con coeficiente de fricción cinético jih = 0 ,5 . La distancia en metros que recorre el bloque antes de

PRO BLEM A 22:

•Como no existe resistencia del aire entonces la energía mecánica del cuerpo permanece constante en todo instante, entonces:

Un bloque, partiendo del reposo del punto «A» so desliza sobre un riel como se indica en la figura. En el tramo desde «A» hasta «D » no existe fricción entre el bloque y el riel. El bloque se detiene en el punto «E» debido a que existe

A )1 ,0

B ) l , 5 C )2 ,0 D )0 ,5 E )0 ,2 5

R E S O L U C IÓ N :

IF W S M 4 H A

vc=0

N.R.

* TRAMO AC: Cuando el bloque «Am se dirige hacia «C» , se observa que en el tramo J g , la energía mecánica se conserva y en el tramo B C , debido al trabajo de la fuerza de rozamiento (fk), no se conserva; entonces entre «A» y «C» no se conserva la energía mecánica. ♦De la relación entre el trabajo y la energía mecánica, con respecto al nivel de referencia indicado, se tiene:

ESO e x » WSÜ el tramo BC y el resorte queda comprimido por primera vez 0,9 m. Con respecto al sentido del m ovim iento de la masa y la distancia donde se detiene se puede afirmar lo siguiente: (K del resorte = 2000 N/m) (g = 10 mía2)

f

0 ,5

,

=>L = — =>L = — - = Im Pk

0 ,5

RPTA : “ A

PROBLEM A 24:

Una piedra de 3j> k g , resbala sobre una superficie horizontal con una rapidez de JO mis. ¿Cuánto trabajo se requiere para poder detenerla? A)-146J BJ-147J C)-187 J D)-l 75 J E)-170J R E S O L U C IÓ N : V o = 1 0 m l8

£L

v=o j=¿

fr

♦Para detener la piedra es necesario ejercerle una fuerza «F» . El trabajo realizado a través de esta fuerza, modifica la energía mecánica (energía cinética) del ladrillo. =*’ *■E*o =*w" = ■ =>WF= --mV* = --(3,6) Xl(/ = -176J 2 2 R P TA : “D ” PROBLEM A 25:

Un cuerpo de masa m =10 kg , se deja caer desde una altura h=ll,lm tal como se indica. Debido al resorte el cuerpo comienza a subir y bajar repetidamente hasta que finalmente se detiene. La trayectoria sólo presenta fricción en

PROBLEM A 26:

El resorte de la figura, de longitud natural L y constante K, está comprimido la longitud a. Al recuperar su longitud natural empuja a la masa m . la velocidad de esta masa, luego de descender una altura h, es: :

D

B C A)De C a B; 1,8 m de C B)De B a C; 4,2 m de B C)De C a B; 1,8 m de B D)De B a C; 4,2 m de C E)De C a R; 4,2 m de B

m m ,v K

A ) j 2 g h

m -

t h 1

B )s ¡K a 2 /2 m

D ) y ¡ 2 g h + ( K a 2 Im )

C)\¡Ka2/m E)\¡2Ka' I m

R E S O L U C IÓ N :

1 6m B

a

«*

R E S O L U C IÓ N : A JOKfí

=>ltkFs ¡L = mgR=> ¡j+sfí/ L = M/ R R

/•iV ( f r x o r i » n 20/2)

6m

* í ‘c = $ < £ - E < n A => - f t d „ c = - E p g A

W

U

wm\ C

D

♦Determinamos mediante el teorema del trabajo y la energía mecánica, el trabajo efectuado por la fricción en la primera pasada:

♦ Como no existen fuerzas externas en el sistema analizado; entonces, la energía mecánica se conserva, luego: m K

wr a t e c t ó s =>WF R I C C I O N =>wr a t e a o s

~

kx2—tngil 2 2000

(0 ,9 / -1 0 x 1 0 (1 1 ,1 )

—F

F = 8 1 0 - 1 1 1 0 = -3 O 0 J

♦El signo negativo nos indica que se han perdido 300J de energía. ♦Como el bloque pierde 300 J al pasar cada vez por el tramo áspero BC y al principio tenía 1110J, podemos hallar entonces el número de pasadas: =>

= 3,7, Pasadas 3 0 0

hasta detenerse. ♦ De esta última expresión, se deduce que luego de la tercera pasada, sólo

0,7

recorrió: 0¿75 —;. d e 6m=0,7(6)=4,2m | 7 -ü ♦ Grafícando se tendrá: l, 8m l

Ü -N .R .

4,2m

B

6m

^ I N I C I A L

= > E Pg +

2

E p. =

~

M F !N AL

E C f

Ka2 \ m gh = —Mv2

2

a K ♦ Al despejar: u = J 2 g h + m RPTA : “D ” PROBLEM A 27:

En la figura se muestra un pequeño cuerpo que cuelga de un hilo, de longitud L y masa despreciable, que está fijo en el punto O. Si se deja libre al cuerpo (desde el reposo) cuando el hilo forma un ángulo 0o con la vertical, se observa que el cuerpo pasa por la vertical con una velocidad v .Si en otro experimento, el cuerpo pasa por la vertical con

una velocidad 2 v ; ¿cuál será la RPTA : “ C 99 longitud del hilo si dicho cuerpo se

TRSTiafg

EDICIONES ItUKINOS1

liberó con el mismo ángulo inicial e nf

A)3T B)53° C)45° DJ600 E)30*

-g -

A)4L B)2L C)L/2

B )-l, 6 xlQ*J A )-3,2xl0*J D )- 6,6 x l 0*J 0 -9,8x10* J E) +1,3x10* J R E S O L U C IÓ N :

L e. \

W 02L

R E S O L U C IÓ N :

R E SO L U CIÓ N :

~

•La desviación será máxima, cuando la esfera no logra «subir» más; entonces la velocidad final es cero:

* PRIMER CASO:

•• J . /

•Con las condiciones dadas por el problema, debido al rozamiento, parte de la energía mecánica del bloque se va transformando en calor (Ed¡ . ) tal como se indica.

vA=ov

Uo*e. 'ro. h=ÍOm

«•»

(V.=0)

Y,=8m¡

Ls. .• T \ h = L (l-co8 ti,) V ^ r "'............. *F ' M R -

* Como no existe W^.la EM de la esfera se conserva.

v = C ............... i'/ r

E Miinicio) — E Mifinal)

m g\

=>jrfghz=írfV 2 Í (I) z * En forma análoga examinamos el segundo caso: TT => g L(1 - cosO ) =

(Vo=0)

1hf=Lf(l-eo80c) ■ •U N.R.

2V

E M ( fin a l)

=> g L f ( l - c o s 0 o ) =

( 2V)

(II)

W&B

La única fuerza que realiza trabajo d e A —►B es la «F^ », entonces la energía mecánica de la esfera se conserva.

(El signo (-) indica que la f h actúa en contra del movimiento del bloque)

=*

e Ma

=

e Mb

mghj = mgh 2

gLr(l-co »9 J _ g L(l-coaO „)

2

^ L

•Ahora geom étricam ente, se deduce que: x L c o s 3 7 ° -L / 2 Seru/> = L /2 L/2 3L Setup = M . = - => <$>= 37° L 5 RPTA : «A 99

• Dividiendo (II) entre (I): <2V f

P R O B L E M A 20.

Un bloque de 10 k g parte del reposo y desciende por la pendiente 2 RPTA : ,fA 99 mostrada en la figura. Si la velocidad con que llega el bloque a PRO BLEM A 28: la parte más baja es 3,0 m/s. La figura muestra un péndulo de Calcular el trabajo realizado por la longitud «L» y masa m , suspendido fuerza de rozamiento. (g= 9,80 m/s') de la parte superior de una mesa y V„=0 haciendo un ángulo de 37° con la vertical.Cuando se suelta, el péndulo llega hasta la posición de desviación máxima que se indica. Calcular el ángulo f v8

(considere sen3T = 3/5).

—4L

rozamiento (WÍ* D) planteamos:

O B S E R VA C IÓ N

=>hj = h 2 ;=$. Las esferas en A y B se encuentran en el mismo nivel.

Lf co8§.

E M ( in icio) ~

v«* v .............. N .R

N.R •Ahora para determinar la cantidad de trabajo debido a la fuerza de

p ........................( I )

•Por otro lado la energía que se transforma en calor lo calculamos con un balance de energía para el bloque en el tramo de A — Según el gráfico tenemos respecto del nivel de referencia (NR) lo siguiente. b p g (A , se transforma en Ecy también en EdMp • Por lo tanto: EPCfA) mV2 => m g h — f - + E* + 10(9.8) (10) =

EdUip

+ Ed¡t¡p

Editip = 660J * Finalmente en (/): W t e B = - 6 ,< ¡x l 02J RPTA : “D ” P R O B L E M A 30: Un cuerpo de masa 2 m, partiendo del reposo se desliza por un plano inclinado, luego sobre una barra horizontal homogénea, cuya masa es m y longitud 4L, y que se encuentra apoyada en B y C, tal como muestra la figura. Si la barra

IA EXCJCJ.optCDiA 2012]

B ESaw puede rotar alrededor de C, determine el tiempo que el cuerpo desliza sobre la barra horizontal basta que la reacción en el apoyo B sea cero. Desprecie todo rozamiento.

A ) - Z £ = B ) - í í = C t i k ^ D) 2yjgh 2-Jg h 2J2gh

7L

R E S O L U C IÓ N :

t=

BC + x v

3L + L/2

7L

42gh

2 j 2¿ h RPTA : Í4D ”

P R O B L E M A 31: Desde una altura de lm , se deja caer una esfera d e l kg. Si en cierto punto de su trayectoria su energía potencial gravitatoria respecto al piso es de7,5 J .Determine la energía cinética en dicho punto. g =10 m/s2 A)2,5 J B)2 J D)3,5 J E) 7,5 J R E S O L U CIÓN : f

T

C)l,5 J

A f V B=0

^ 0 + tm g h s m cg + 0

* De donde se obtiene: vB = q 2 g h

2L

*

* Debemos bailar la Ec¡), sabiendo que en ese punto: EPgB = 7 ,5 J Como la única fuerza que realiza trabajo mecánico es mg afirmaremos que la energía mecánica se conserva. + E Ca

\R< 3L

=>■ 1 ( 1 0 ) 1 = 7 , 5 + E Ca = > E Cb = 2 , 5 J

RPTA : “A ”

*

* Como en ese instante el sistema se encuentra en equilibrio.

=> R b (3 L ) + 2 m g (x ) = m g (3 L — 2 L ) => 0 + 2 m g x = m g L

* Despejando x se obtiene: x = L/2 * Por conservación de la energía mecánica, y como se desprecia todo rozamiento, se deduce que vB se mantiene constante en la barra horizontal. El tiempo empleado por el móvil en recorrer la distancia ( B C ) a una velocidad vB = >/2gh será, entonces:

u=

4N

Va = 6m / s ^ — N .R .

•Analizando la fuerza «F0 », es una fuerza diferente de «m g» que realiza trabajo mecánico, entonces la energía mecánica no se conserva.

= m e hA + w

± ( 1 ) ( 6 )2 = 1 ( 1 0 ) H - 4 ( H ) £ =>■ H =3m RPTA : “ C ” P R O B L E M A 33:

=» l i S m t o l + (S m ig h = l(2mM>Z + *2 m i(g )(0 )

2m g

mov

H

=►

•En el tramo A B , por conservación de la energía mecánica: S*a~ B*a £ ca + E r A = Rr-~+Ei

* Intuitivamente podemos decir que la reacción en el apoyo B es cero cuando el cuerpo se encuentra en el tramo q j ) .

m g=10N

P R O B L E M A 32: Desde una altura (II) respecto al piso se debe abandonar un cuerpo de I kg\ para que llegue a él con una rapidez de 6 m/s. Considere que el aire ejerce una fuerza de oposición de 4 N. (g = 10 m/s2) v ^ ... A)1 m B )2 m

C)3 m D)4 m E)5 m

H

Una piedra cuyo peso es de 20 newtons cae desde cierta altura (suponga velocidad inicial igual a cero). La caída dura 1,6 segundos. Despreciando la resistencia del aire, la energía cinética (Ec) y la energía potencial (E p) de la piedra en el punto medio del camino recorrido serán iguales (en joules); (Asumir g = 10 m/s2) A)128 yl28 B)64 y 128 C)32 yl56 D)64y 180 E)96 y 96 R E S O L U C IÓ N : V¿=0 hl2

■\

1

g = 1 0 m ¡8 *

h/2 jw

•Determinemos la altura descendida

"i í í v . + t í 1

RESOL. U C IÓ N :

=> h = — ( 1 . 6 ) 2 = 1 2 , 8 0 m

M

* Como se trata de un movimiento vertical de caída libre, se cumple el principio de conservación de la energía mecánica: EM= Ec + E p = mgh —constante • Entonces en el punto medio se cumple que: =^Ec = EP = m g^ 2 2 0 x 12,8 as 128 J => En = En = RPTA : “A tf PR O BLEM A 34. Se lanzan verticalmente una esfera de J kg en una región donde el aire ejerce una fuerza de oposición de 5 N. ¿Quó distancia recorre el cuerpo respecto del lugar de lanzamiento hasta que su energía cinética y su energía potencial gravitatoria se igualan? (g = 10m/s2) A)1 m

B) 2 m C)3 m D) 4 m E)5m N.R:........

^ W * = Em.- E m,

=> 2 ( l ) ( 1 0 ) h = ~ ( 1 ) ( 1 0 ? - 5 h

*

=$■ 2 0 h = 5 0 — 5 h = > 2 5 /i = 5 0 = > h = 2 m

RPTA : “B” P R O B L E M A 3 5:

=> W* =>W*

¿Cuánto trabajo es requerido para levantar verticalmente un bloque de 0,lk g partiendo del reposo, hasta una altura de 2 metros, de manera que llegue a dicha altura con una velocidad de 3 m/s? (g = 9,8 m/s2) A)4,32 Joules B)2,41 Joules C)3,28 Joules D)5,15 Joules E)3,35 Joules R E S O L U CIÓN : m =0,lK g V=3m/s

- mg h——mv* 2

0 ,2 x 9 ,8 x 2 0 -

R P T A s **B"

P R O B L E M A 3 7: Un motor tiene que elevar un ascensor de 7000 k g de masa, desde su estado de reposo a nivel del suelo, hasta que alcance una velocidad de 3 m/s a una altura de 12 metros. ¿Cuánto trabajo tendrá que realizar el motor? Asumir que la fuerza sobre el ascensor es constante en todo momento y que g =10 m/s B)36 000 Joules C)4 600 Joules DJ72 000 Joules E)9 200 Joules R E S O L U C IÓ N :

2m

sjVr=0 * Por el teorema del trabajo y en ergía E 0=0: =>wF- w r* = e f - e 0

Nivel 11 X

12m

= > W F = E F+ W r * = * W F = - m v 2 ■+m g h

—

2

i

W F = 2 ,41J

h

mg |i 0111/8

A >

—*np|------* Nos piden h, de tal forma que en B : ECB = E p g B Analizando las fuerzas sobre la esfera en una posición intermedia, realiza trabajo la fuerza de la gravedad y la fuerza de oposición del aire. Notamos que

Una bola de 200 gramos'cae a partir del estado de reposo . Su velocidad es de 15 m/s después de haber caído 20 metros.¿Cuánta energía se perdió debido a la fricción del aire? (g = 9,<9 m/s2) A )ll,2 J B)16,7J C)12,2 J D)21,3 J E)32,5 J R E S O L U CIÓ N : V¡=0 rn = 2 0 0 g

Y

g=9,8m!as

h =20m i

\4O w F° Ec a + E p g n —Ec Á-f W P O N.R:

Nivel I

RPTA : i(B

P R O B L E M A 36:

e mf < Em0 ¿porqué? Porque laF 0 del aire le resta movimiento mecánico, entonces:

N.R.-1 - -

9,8x2

=>1Vf = | x 0 , Í x 9 + 0 . í x

2m g h = 1 m Vj¡ — F0 h

(15?

=> Wfr = 39,2 - 22,6 => W* = 16,7J

Vu = 3 m .8

1 Om/s

1( 0 , 2 )

A )1 2 4 5 0 0 J o u l e s

\g

R E SO L U CIÓ N : B ->■

NJL

I Q H I O M I S RUBLXOM

651

iVo=15ni8

t

f mg * Por el principio de la conservación de la energía. La variación de la energía mecánica entre el nivel (I) y (II) es igual al trabajo efectuado sobre el ascensor. Así: w

= e Mí - e Mj

=> W —~ m v 2 + m g h —(0 + 0) 2 => ty = -(1000)3* + 1000(10X12) 2 => W = 124500J RPTA : “A tf P R O B L E M A 38: AJ soltar la esfera de plastilina, ésta se adhiere a la barra de masa despreciable, ingrávida que se encuentra unida al resorte de N k = 1000 — f logrando comprimirlo

20cm. Determine la altura (H) que separaba inicialmente a la esfera y la barra ingrávida. (m = 0,5 kg) A)3 m B)3,5 m C)3,6 m D)3,8 m E)4,l m

653

1 A EATMf 'J .o m u i A 2 0 1 2 }

R E S O L U C IÓ N :

parabólico de caída libre (resistencia del aire despreciable). Entonces, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la gravitatoria.

* K=100N/m ; m =3Kg

=>La energía conserva.

g = lO m ia 2

H

mecánica

se

K = 1 0 0 N !m ^

e

c a

~

E c b +

E

P 8 g

=> — ( 1 7 ) * = - ( 7 ) * + 1 0 h = > h = 1 2 m

2

2

notable: => dAB= 20m

* Del F in a l

R E S O L U C IÓ N :

r • Debemos calcular h , tal que al final la energía almacenada por el resorte sea 8 J. Notamos que el resorte al inicio ya está deformado «x»; pero como está en equilibrio: Kx = m g Reemplazando:

= 1Om¡82

H=i PE.

B 20c

V»=0 NJL

¡nieto Final * Nos piden: H Analizando las fuerzas sobre la esfera en el trayecto de «A» hacia «B», sólo realizan trabajo la fuerza gravitatoria y elástica. => La energía mecánica del sistema esfera - resorte se conserva. EMA ~~ e m b =>e P 8a = e Peb =>m ghA = — Kx (0 ,5 X 1 0 ) I I = 3,8m

RPTA : “D f9

PROBLEM A 39:

Al bloque mostrado, que inicialmente se encuentra en reposo es desplazado lentamente hasta « B » . Determinándose que el resorte ideal en esa nueva posición almacena 8 J. ¿Cuánto se desplaza el bloque? (g = 10 m/s2)

100x=3(10) => x=0,3m Pero la energía almacenada en la Dosición final será: 8 = - ( l O O ) ( h + x )*

2

=> 8 = 5 0 ( h + 0 ,3 )2 => h = lO ctn

RPTA : “ B " PR O B LE M A 40:

La gráfica muestra dos posiciones de un cuerpo que realiza un m ovim iento de caída libre. Determine la distancia de separación entre las 2 posiciones mencionadas (g = 10 m/s2) 7m/s - €v

A'=i OONim

™J

RPTA : “D ”

PR O BLEM A 41:

Una bala de 20g atraviesa un bloque de madera de JOcm de espesor. Si la bala ingresa con la velocidad de 10 m/s y sale con

6m/s, que fuerza promedio ejerció la madera sobre la bala en su recorrido? Despreciar las perdidas por calentamiento. A)64 N 3)6,4 N 0 0 ,6 4 N D)640N E)6 400N R E S O L U C IÓ N :

V,i «gE>

O

:V F : v2 — Ü >

i

lOcm • En este caso se cumple que:

7

1 7m/s

D 16m

’ iP-------A)14 m fí)16m D)20 m E)22 m

C)18 m

R E S O L U C IÓ N : _ B VB = 7m!a

A )5 cm

B)10 cm C)12 cm D)15 cm E)18 cm

1 6 = 4>¿4\

VA=17miy N.R. 16m

* Nos piden: dAfí .Como el cuerpo ^experimenta un movimiento

=>-F.D =

10

20

100

1000

62 __

2

mV*

2 ™ 20 1000

mV*

x

2 10*

* Al operar: F = 6,4 N RPTA : “ B” PRO BLEM A 42:

Se dispara horizontalmente una bala y se observa que atraviesa 8 tablas del mismo espesor como máximo. ¿Cuántas tablas podrá atravesar si su velocidad fuese el triple? (Considere la fuerza promedio que ejerce cada tabla es constante).

in m o x r s

fi^ T e s s W S

[ M €IVKCM Z4¿M .\

kiiuxos )

superficie horizontal lisa, determ ine hasta que altura asciende sobre la superficie inclinada. ( g = 1 0 m ¡ 8 2)

€L>

A)50 B)68 C)70 D)72 R ESO L U CIÓ N :

A)x = 2ypí(IÍ —h) B)x j 2 h ( I Í - h) C)x = 2>fÍiH D)x 24hl¡

E)82

“ n 'H a b la s

R E S O L U CIÓ N :

0 3 ,6 m

A)3,2 rn R)3t4 m D)4,2 m E)5,2 m R E S O L U C IÓ N :

Vp=0,

VF=0 [E >

Vn—8m¡s

Mi?.

Uso-

A

♦ Nos piden h: N .R .

♦ Sea «n» la cantidad de tablas pedidas y su rapidez el triple del caso inicial (3V) , cuando ingresa con una rapidez «3V». Analizando las fuerzas que actúan sobre la bala encontramos que son la gravitatoria y la fuerza de oposición de cada tabla (f) . La Em no se conserva. e m,

= e mo- \ v '

> O — - ^ m ( 3 V ) 3 — n fd

............................ ( i )

= > m (3 V f = 2n fd

♦Analizando para las 8 tablas:

V„=V 4fIT>

« f n *L

♦Cálculo de #:Analizando las fuerzas en el tramo ABC notamos que sólo realiza trabajo mecánico la fuerza de gravedad.

♦Analizando la fuerza sobre el bloqueen una posición intermedia. Notamos que la única fuerza que realiza trabajo mecánico es la fuerza gravita toria.

=>La energía conserva.

-^D ecim os que la mecánica se conserva.

C:

mecánica

se

♦ En «B» el cuerpo sale en forma horizontal y el tramo BC es un movimiento parabólico. *T R A M O B C : Mo v i mi e n t o parabólico. H orizontalm cnte (MJR.U.) x - VBt = > t = x .........................(I) Vb ♦Verticalmente (M.V.C.L.)

[E >-

(Ii)

*= ♦ (I) c>n (II) : “V "

*De:

X

/I

= E » , , J »* "

=>0

[m fV f-S fd

z > m V * -- 1 6 f d ................. .

16 fd =>11 = 72 n fd R P T A : “D PROBLEM A 43:

- ( 8 ) * = 10h

> l¿rfvo - r f S h

2

•=?* h = 3 ,2 m

R P T A : “A ”

P R O B L E M A 45: Se suelta la esfera de 2 k g que se encuentra atada a un hilo inextensible. Si el aire ejerce una fuerza de 4 N. Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda. Cuando la esfera pase por su posición más baja.

h= 2* n * TRAMO A l i : [ E M A = E M B

53outr**

=> m g I I

=>V*

m g

2 g ( II

h t -mV,a h ).............(IV )

2

ft

Si un pequeño cuerpo de masa m , parte de «P » y se desliza sin rozamiento por la superficie, como se muestra en la figura, entonces la longitud «x» viene dada por:

Fu = E p g p

(¡i)

♦De (II) ~ (I) : mv 2 mv 9

(III)

energía

* (IV) en (III) : h = 2 S x = 2 y¡MH

A)23,9 N B)25,4 N D)26,9N E)29,6 N R E S O L U C IÓ N :

2 g (H - h)

5L .

h) R P TA : “ A ”

P R O B L E M A 44 : Un pequeño bloque se lanza con una rapidez de 8 mis, sobre una

A

A'.

,,r\n

0 2 7 ,6 N

•Or tur 3L

4L.

7 % f=4n

I

T7

" Vm g = 2 0 N

[Mi'WSM* IA

U f;vn
E S ® *#®

• Dinámica circunferencial.

P R O B L E M A 48:

•Conservación de «EM» :

f i p t o = m a ep ta

V2

=>T- 20 = ( 2 )-*~r..................... ( I ) 5L • Cálculo de la rapidez en «P» Relación: W - E v La «E v» de la esfera cambia debido al trabajo que realiza la resistencia del aire sobre la esfera.

e

= >

= ECp -I E

c a

f P

21 = l ( 2 ) V * i (2 )(1 0 )(0 ,6 )

Se abandona una esfera de 2kg sobre una superficie esférica lisa. Determine el módulo de la fuerza que ejerce dicha superficie fija a la esfera, cuando esta pase por su posición más baja, (g = 10 m/s2)

V2 = 9 m 2!s 2 9

• En (1): <*cpla

3

R

o

-* 6 m/ 8 R RPTA ¿ “B ”

=*• E Cf = E PgA+ W f a

P R O B L E M A 47: =>|mV/ = m g h —Fairwd =>Í(2)V¿ = 2(10)<2L )-4(4L ) 2 =» V/ = 24 L ............................. ( / / ) * (U) en (I):

Determine la rapidez V necesaria que se le debe de imprimir a una masa m, para que la reacción de la pista sobre el bloque en la parte más alta (punto B) sea la mitad del peso.

A)40 N D J70N

C)60N

BJ50 N E )7 5 N

R E S O L U C IÓ N : * Nos piden: llB • Analizando las fuer/as en «R»

T -2 0 = 2 x (- M ^ ) =>T = 29,6N (5L) ft

R

RPTA : “ E

PR O BLEM A 46: Se lanza una esfera de 2 k g adquiriendo una energía cinética de 21 J. Si despreciamos todo tipo de rozamiento. Determine el módulo de la aceleración centrípeta cuando pase por «P ».

A )J g Ii Í2 D J^gR

B ) j3 g R

C)

gR S Jt.

E)

R E S O L U CIÓ N :

• De la 2da. Ley de Newton (Din. Circu nfc rencial) vVB2 => R b — m g = m R

•Como: WABC = 0

Rb =20 + 2

* A)9m/as B)6m/s~ C) 11 m/s* D)12 m/s* EJ13 m/s2 R E SO L U CIÓ N : 0,9m \ 6 + S

NM.

[ fcvw.

eKh•e r g M

= eKa

di)

V* r 2 g R

En el punto «B» : N Jt

A

F cp

\N

* Del movimiento circunferencial, en «P» :

=> m* m =>V’

(I) •Debemos calcular y observamos que en todo el trayecto sólo existe «W entonces se conserva la «Eu»

/2¡

e

P

8 a

*

E

c b

= > # í g h . = ± - j ¿ V 2 => 1 0 R = I V *

mu cp R

V2

(II)

gR • = l

En el sistema mecánico mostrado, hallar la mínima velocidad « V0» que debe tener el carrito en la posición «A» de modo que pueda rizar el rizo

K % ........................................

e R . 2 g r -> v

o í)

• (II) en (I):IiB=20+2(20)=60N R P TA : " C ” P R O B L E M A 49:

2

R

• Reemplazando (II) en (I): y;

• Como la reacción es perpendicular al movimiento en todo el tramo, su trabajo es nulo. La única fuerza que realiza trabajo os la gravitatoria. * La energía mecánica se conserva.

* nc* tti gR- *jn Vf => V/

(1 )

RPTA : “ C ”

c completamente. Desprecie la perdida de energía por rozamiento. iif

im tc M o m s R E S O L U C IÓ N :

•La altura mínima (II) permite que el cuerpo pase por el punto «B» también con velocidad mínima, esta velocidad será tan mínima que el cuerpo estará a punto de desaprenderse del rizo en el punto «B »t luego en «B» la normal será cero, luego:

A)2jgR B)3jgR CffJgR D )jgR R E S O L U C IÓ N : •Cuando el carrito pasa por el límite superior de su trayectoria, la reacción normal de la superficie sobre las ruedas es igual a cero. Fv=0, de la condición del problema, su energía cinética debe ser mínima. De la segunda Ley de Newton, en la posición «B ». Dinámica circular.

* *

=

=>—muB = m g(II 2 R) 2 2 g ( I I 211)....................( / ) •Por Dinámica circular en «B». (Recuerda que N 0 = 0 , para «B» mínimo)

T

U -2 R

i

N.R.

F/. = m

(II)

* por principio de conservación de energía mecánica: EPa + EKa = E'‘n + E* b = m .g .(4 R )+ ~ m V 3________ (¡I I )

* Reemplazando (II) en (III):

L

T

PRO BLEM A 50 :

Un cuerpo pequeño se desliza por una superficie inclinada lisa que se transforma en un rizo. Determine la altura mínima de donde debe soltarse el cuerpecito tal que pueda superar el rizo de radio «R»

v*

R

—m 11- ...... .............. (I I ) 6 R • Reemplazando (/) en (II): -> m g

gR = (2g (II

* Al comprimir el resorte, éste queda en equilibrio en «A ». => Fr= F => Kx = F =4» 400x =200 => x=0t5m • Analizando las fuerzas sobre la esfera en el tramo AB, notamos que sólo realizan trabajo las fuerzas de gravedad y elástica, la reacción del piso (como es perpendicular a la velocidad) no realiza .trabajo.

e ma

1 =>2

— e mb o

1 ~~2

^ I^ P E a — E C B + E p g B .

. 9

b

2 R ))= > II =

5R

=>í(400)(0,5f = ~(1)V§+1(10)2 =>V|=60 •En «B »: dinámica circunferencial. V*

=> Fc = m ac = > R B+ m g = m - ±

RPTA : “D ” PR O B LE M A 51:

En la figura la esfera de I k g comprime el resorte por acción de la fuerza F=200 N . Si dejara de actuar F, que fuerza ejercerá la esfera al rizo de 1 m de radio en el punto más alto de su trayectoria. Desprecie el rozamiento. K” = 400 N

A )2 R B )3 R C)10 R

i

g=10 m

d4 r E )\ r

N Jt

V*

| v / = 4 g f í + ]2 g R = > V 0 = 3 ^ R

RPTA : “B ”

030 N

• La energía mecánica del sistema se conserva.

(I)

R * Luego: V*=gR

A)10N B)20N D)40 N E)50 N R E S O L U C IÓ N :

E A

entonces: =►m .g = m

nuB L \<>$\

h

F

=bRfí = 1( ^ - ~ ( 100) = RB = 50 N RPTA; “E ” PR O BLEM A 52:

Un bloque de masa m se coloca sobre el resorte vertical de constante K como se muestra en la figura, halle la máxima comprensión del resorte. fc m A)mg(2k B)mglk C)2mg/k K D)4mg/k E)kimg R E S O L U C IÓ N :

I A EXi'J* 'J-artitiIA 2012] PR O B LE M A 54:

A. m '.v=0 •• C l í l

x=0

Fuerza» no

* Como el w conwrl'ü/'üaj' = 0 "/IB e m b= e m a =>£*iíLj4S E pC *A V 1

g*2

2mg

*

*áX*smgx"*x =>*j*u * RPTA : “ C ”

PRO BLEM A 53:

El móvil que se muestra en la figura esta inicialm cnte en reposo y contiene en su interior un bloque de masa <*m» unido a un resorte no deformado (x = 0) , de constante de elasticidad «/e». Si de pronto el móvil adquiere una aceleración constante «a ». Determinar la máxima deformación que experimenta el resorte, si el coeficiente do rozamiento cinético entre el bloque y la plataforma es « fi». a

resorte de rigidez «K» sin deformar. Calcular la máxima deformación del muelle cuando el sistema de masas se libere. A)

M m g

B )(M +m )g C )3 (M -m )g

x

D) 2(M m)g K

E>X Á R E S O L U C IÓ N :

♦ Del inicio y final:

¥

En la figura se muestra una masa de 20kg sujeto al extremo de un m -\

N resorte de constante k = 5 0 ----- . cm

Determine la deformación máxima (en cm ) del resorte, considerando que se abandona la masa cuando el resorte no está deformado ( ¡j. = 0 ). AJO,12 BJ3.6

o : A)

2m

m C)~—( a - p g ) R

R)2mg

_ .2m ,

„

R E S O L U C IÓ N :

D )— - ( a - f t g ) k

A

N

♦ Si «M » baja «jr», « m » subirá « x »

V=0

vt=o Q\

N Jt

* De la figura: Por conservación de la energía mecánica: E

I

2

kx-

i IHlUi

* Teorema del trabajo y la energía mecánica.

mg

p

»

a

3x 5

6mg

6x10x20

5K

5x50

~

E

p

*b

=> m
W*

EJQ i [ErfP)-EK(P)\

Í

,.!* * *

. 0 x__ = — — * ------------------ = 4,8cm

RPTA : “ C ”

«A l simplifican X = 2 (M ~ ^ A R P T A : “D ” PROBLEM A 56 :

En la figura mostrada «m» esta unida al resorte y la mesa no ofrece rozamiento. Si M y m son llevados hacia la izquierda de manera que el resorte, se deforma 3 0 cm por comprensión, ¿cuál es la nueva deformación del resorte, después que las masas se liberan? Si se sabe m _ 4

que '

~M~~5 K Js iiiYHi'niWiWrt

¿01

V > x = —- ~ t a - u g )

RPTA ; “D n

m±Kxí

2

=> M g (a )= M g ( a - x ) + m g (x) + ílC x *

|W /ffiwsuji N O am xvrvulivas) = £ * í

= > »'

mgh =

vé=o

Fs = m g

.V »•*«

h = Xmuxs e n 3 7 ° = - X max

a-x

m

r

E )--(a + pg) k

♦ Las fuerzas externas para nuestro observador os: F¡ = -m a , peso, fuerza elástica, fuerza de rozamiento.

■60NícmVs0

y

T rM J

m .

♦Elegimos un sistema de referencia no inercial, sobre la plataforma para t= 0 , la velocidad inicial es cero y la deformación x = 0.

DJ24 E )4 8

I

tu

R E S O L U C IÓ N :

C)4t8

a

PRO BLEM A 55:

Un sistema de masas (M > m ) es mantenido sujeto y unido a un

x ±0 K Hmmn

x=30

A)20 cm D)24 cm

B)30 cm E)10 cm

C)15 cm

R E S O L U C IÓ N :

* En x = 30 cm, el resorte almacena energía potencial elástica la cual la cede a las masas «m » y desplazándolas hacia la derecha. Analicemos a «m» y «M» en (x= 0) . V K r. j ----------• En este preciso instante «Af» se despega y deslizará con M.R.U. (m =0), V =cte., sin embargo «m» comenzará a frenarse puesto que está sujeto al resorte y en el extremo (xF) su velocidad será cero. V = cte

V »= 0 J

x =

EDICIONES RUBLVÓSl

657

fj KNKMwAcX

m M H n. • »ft0 0 :

—

X

•Aplicando el Principio de Conservación tenemos:

de la

energía

realiza la fuerza no conservativa F vertical que levanta la cadena de

10 k g de masa y cuya longitud es 4 m, inicialmente en reposo como se muestra en la figura, cuando es desplazado hasta el instante en que el último eslabón abandona la superficie con una velocidad de

desprende horizontal.

de

superficie

L iso

A ) *BL B ) * ^ 2 g

10 m/s?

la

C )I L

B -x 2

D)

g

R E S O L U C IÓ N :

A)1800 D)700

B)1200 E)450

C)500

* El peso de cada parte de la cadena hom ogénea es directam ente proporcional a la longitud. W=Kx L.R.—

R E S O L U C IÓ N : Inicio LI2

S/i

v= o

N.R. •Utilizado la relación entre el trabajo y la energía mecánica: EM FINAL

=

INICIAL

+ wF N C

* Principio de conservación de la energía mecánica. E M {t) —EAf(/.j

F in a l

* Reemplazando:

10m¡8

=> — K x 2 = — m o2 + —M v2

* De donde: v =

-K

2

x 2 p + - M *

2

!

v 7

2m

=> K x2 * Kx*p +

( B - x 2) l ~ S * **

RPTA: “ D ”

PR O B LE M A 59:

pasa a través de una polea sin

M K x* m+M

fricción. Si la soga de longitud « / » se suelta en la posición mostrada. Determinar la velocidad de la soga cuando pierde contacto con la polea.

4Af =>m=—— y x= 30 cm , se obtendrá: 5

i

.

J K 2 Vm+M

* Al reemplazar los datos, es decir:

xF-

* J

En la figura mostrada se tiene una soga de masa uniforme «m» que

-K x * = -K x * p + - M

2 p

l

C .G .

K x m + Af

* Volviendo a reemplazar para hallar «xF», tenemos:

2

Kx ——j = KL

KL) L v + i 2 S 2

4M 5 (30) = 20cm 4M + Af RPTA : “A ”

PRO BLEM A 57:

Si se desprecia todo tipo de rozamiento, ¿ qué trabajo (en J)

* Utilizando la relación entre el trabajo y la energía mecánica: (10)(l0)(2) + l ( l 0 ) ( l 0 f = W F W F =700 J RPTA: “D ”

•

«i

gl

B)

gs

PRO BLEM A 58 :

Una cadena uniforme de longitud « L » , se abandona sobre una superficie horizontal perfectamente liso, como indica la figura. Calcular la velocidad de la cadena en el instante que el último eslabón se

u

r>

¥ JLp

C)

i)

D)

u

e >L

4l

S g i

R P T A : “D ”

R E S O L U C IÓ N : * En la posición mostrada a soltarse la soga ésta resbala quedando en la posición mostrada en las figuréis: Estada in icia l

E sta d o Final

es8 •Cuando en la zona rugosa ha ingresado una longitud «x». fu = Pk N k = Bhmk 6 cos 37°

IA * Del gráfico: FR = F

20í¿\

• Calculando

=>/’* = y.km ^-gcos 37° L LÍmo

=>fx = 0 , 5 x 6 0 - x l 0 x í = 120x 2 5 • Determinemos el trabajo de fk, desde x = 0 hasta x = L = 2 m fK(N )

2

|mg

• Como no existe fricción:

u

x(m)

P.R. W f* = A r e a ” A " = —

2x240

= -2 4 0 1

•Reemplazando en (I): 3

fd 1 1

8

= mg

£ +—mv 2

• Aplicando la relación entre el trabajo y la energía mecánica; en el tramo A -+ B

W F = m g L s e n 3 7 ° - W rk

• De donde: _ 1 \3 g £ v*=-g/=>vF = F 8 F 2 RPTA : “£>” P R OHIjKMA 60: Determinar el trabajo realizado por la fuerza «F» para que el tablón homogéneo de 6 0 k g y 2 m de longitud ingrese completamente en la zona rugosa, lentamente. (g = 10 m/s3) '\i=o.s A)958 J B 960J C)957 J D)950J E)962 J R E SO L U C IÓ N :

►W F = 6 0 0 x 2 x - - ( - 2 4 0 ) = 9 6 0 4

6

P R O B L E M A 61: Un bloque de masa m que puede moverse sobre un piso liso, descansa en x = 0 como se muestra en la figura. Si actúa sobre el bloque una fuerza paralela al piso de magnitud variable; halle la máxima rapidez que alcanza el bloque en el tramo x = 0 v x = d.

2m I RPTA: “ A

Se muestran 2 bloques de igual masa, uno sobre el otro, actuando F = 4 N. Sobre el bloque inferior. Si parte del reposo halle la energía cinética (en J) que adquiere luego de recorrer 10 m sobre el piso liso.

A) 10 B)20 C)30 D)40 R E S O L U C IÓ N :

E)50

•Haciendo el D .C .L. a los dos bloques; como si fuera un solo cuerpo. V=0

= 0 |a = 0 J

• Haciendo el D.C.L. Bloque: (1)

99

P R O B L E M A 62:

donde alcanza su máxima rapidez.

WF + + W ft = 0 ; WN= 0 WF +[-mgh)+Wfk=0 W r = m g - L sen 3 7 ° - W r* .

hasta que la F

EbB= WSm

= Á r e a = > ^ m V 2áx =

• El bloque empieza a aumentar su rapidez desde x = 0 ; esto se dará mueve

fb

RPTA : “B 99

B)(2F 0d/m)tS A) (F0d/2m) ' 2 C)(3F0d/m)12 D)2(FQdfm)12 R E S O L UCIÓN:

* Como el tablón se lentamente : V=C/e.

EM b = P * ( a +W

10m

í KIVWCK4

t D H I O M S M IM AO S)

659

* En el tramo A -+ B , Aplicamos: E M f ’nal = E B? = K b E™ = 40

Inicial

+ W F» C

Pero: v2= V0+2gx=>Ec =mgx] Función Linea/

C$V=0 5m

Energía Mecánica = E M = cte

B ? = FdAB= (4)(10)

Otan.

BmEpn W h x

* Pero; la energía cinética de un bloque será: r^ b loq u e _

fie *

4 0

_

5m

y

Egoqu* = 20 J

a

NJt. x =0 * En el tramo A

RPTA : “B ”

w ~

—

.

EK=200J

C'

P R O B LE M A 63 : La figura muestra una persona de masa «m» que cae verticalmente partiendo del reposo. Si Ep: energía potencial; Ec: energía cinética; Em: energía mecánica, de las alternativas que se muestran señale

P R O B L E M A 64: Sobre una partícula actúan sólo fuerzas conservativas si la gráfica muestra la variación de la energía cinética (E k) en función de la posición x , halle (en J) la energía potencial (Ep) cuando la partícula se encuentra en la posición x = 5 m medido a partir del origen considere (Ep (x = 0) = 0). E

Enurgía

E ttergia

En erg ia

Enet'gia

Km

hx

hx A)

Bl

C)

Di

R E SO L U CIÓN : x=+h t

k

—HA=>mgh = 200

,— c

(J )

-10 0 +10 x(m) A)25 B)50 C)75 D)100 E)150 R E S O L U C IÓ N : * Como sobre la partícula sólo actúan fuerzas conservativas; entonces se cumplirá:

( 10) ( 10 ) =200 => m = 2 kg * En la posición «B» : E P % ™ = m g h AB =» £ p G W _ (2 )(i0 )(5 ) = 100 J R P TA : "D ”

P R O B L E M A 65: Una persona aplica una fuerza en algún punto de la barra de 10 kg que se muestra en la figura para levantarla hasta que forme un ángulo de 60? con la vertical. ¿Cuál será el trabajo (en J) realizado por la persona si se desprecia el rozamiento considerando que la barra es desplazada en forma lenta? AJ30 J B )60J C)70 J D )50J E)80 J 2m

60°

Fuerzasno

^ rfo w n n /iw ii _ q

Emecánica ~ CTE.

• A partir de la gráfica Ek - x ; se R E S O L U C IÓ N :

h x x =0 Ecuación de las diferentes formas de energía: Energía : EP g = m g x Función Lineal Potencial * Energía Cinética = F c = - m i )

60°

lm\

k

.C G .

h

N.R. C.G .

• Cuando x = 0 =>FA=200 J x = 10 m=>EA=0 (V=0)

Im

m = 10K g Inicial

Final

IA Ex c h * * Para las condiciones del problema se cumple: w~

2012]

EMB= - m V t + m g(-h ) 2

E M B = I ( l ) V t -(l)[10)(7t + B r ]

- A E P - E Pqrinal - EpolnMa,

« Pero: V* =(2 —6tf+(7 f 10tf_____ (I)

=> VVp' r*°"a = rn g h , c o m o : h — 0,5 m = > W pMona = 1 0 x 1 0 x 0 , 5 = 5 0 J

(2 — « ) ‘ t ( 7

+

' <

- , <, ( 7 < + g , . )

RPTA : “D ” PRO BLEM A 06:

d ^ Va {Va / 1 0 )&

V* J s

Una esfera de masa m es soltada desde el punto A a una altura II, deslizándose sobre la superficie lisa que se muestra en la figura, abandonando la superficie en el punto B. determine la distancia «d» para que logre hacer impacto en el punto C. •A

( 111)

20

* (I) en (III) : d =

101143

* En (I) : ,---------------------------- V = J ( 2 - 6 t f + ( 7 + 1 0 tf

Il43

20

R ~ ¡3 6 t 2 + U 6 t+ 5 3

2

RPTA : “A ” PROBLEM A 67 :

El desplazamiento de un bloque de masa m = l k g que se mueve con aceleración constante en el plano vertical XY (Y eje vertical) es

* Entonces «V» será mínimo, si «R» es mínimo, para lo cual derivemos e igualemos a cero:

HÍ2

R E S O L U C IÓ N : A)

IIy/3

B)Il4s 0211

♦Y

v=o

R E S O L U C IÓ N : ,

«

t= u

Ak I I

X ...........................** N ii'fl tle refvrvruAa

(7t+5t

2

)

"Método

= > t = -0 ,4 2 6

Practico"

♦Que al reemplazar en (II): E M b ^ 2 4 ,5 J RPTA: “E ”

A r = ( 2 t - 3 t 2) i - ( 7 t + 5 l * ) j m. En el instante que el bloque adquiere su velocidad mínima, halle fen J) el valor aproximado de su energía mecánicauconsidere r,tm0=0). A)36, l R)52,5 C)G7,9 D)85,3 E)24,5

^ 2 7 2 1 + 116 = 0

PROBLEM A

68:

Un bloque de masa m se desliza sin fricción por la rampa mostrada en la figura. Si parte del reposo en A y , AO B = 90° ,
m =i Kg

H/2 * Como r 0 = 0 — (para t = 0) A r = (2t - 3 í2) T - (7t + 5 t2) j

♦ Como el w! b c = o

EM A= EM m

II

Grav.

> E PA

2

v¡=ion

♦ En el

-jd V *

B

(I) V = ( 2 - 6 t ) i - ( 7 + 20/) j

sombreado:

VBt = 10t* =>t = -£ B

* Se sabe que:

10

(II)

VJ =>d = -A- 4s..~...................... notable) 2

* Reemplazando (II ) :

♦ La energía mecánica en el punto «B »; esta dada por:

♦ De acuerdo con el problema no hay fricción entre el bloque de masa m y la superficie de la rampa, entonces igualamos la energía mecánica en el punto A y en el punto C, para calcular la rapidez del bloque en el punto C. Podemos establecer lo siguiente:

Í Í aÍÍk

g

Z

i

t H -S i

• Piden t ; del gráfico se establese que : * - Rj + d,, w S

....................................(I)

* Necesitamos d ¡f ; para ello analizamos el M.P.C.L del bloque de C hasta D

«6 1

t ;B

P R O B L E M A 70:

n o varia durante el m o vim ie n to del m ism o .

D e un p o zo de 4,0 m de p ro fu n d id a d se sa ca agua c o n un balde, el cu a l pesa 95 N c u a n d o se e n c u e n tra c o m p le ta m e n te lle n o . S í en 30 min se sa ca n 35 b a ld e s lle n o s , e n t o n c e s el t r a b a j o realizado y la potencia m edia desarrollada para s a c a r lo s 35 baldes s o n :

D ) la e n e rg ía m e c á n ic a total de un c u e rp o s ie m p re es co n sta n te .

• Se deduce de la proyección horizontal:

M fM íJ H - - - ’

J3 20

(III)

* De (III) necesitamos v, ¿qué hacemos? Analizamos el movimiento del bloque de A hasta B. V= 0

r

P R O B L E M A 72 : A pa rtir de este g rá fic o c o n c lu im o s q u e la ca n tid a d de trabajo d e sa rro lla d o para s a c a r el balde c o in c id e c o n la va ria ció n d e e n e rg ía p o te n c ia l g ra v ita to rla . P o r ta n to planteam os. wa

=* WA^B =m g h=(95)(4) =>WA^B =380J

E s te v a lo r exp resa el trab a jo para s a c a r u n b a ld e , al s a c a r lo s 35 b a ld e s se d e sa rro lla una can tid ad de trab a jo dada por. ^todam lo» bul,U» -3 5 W Á

B

T a m b i é n p id e n la p o t e n c ia m e d ia d e s a rro lla d a en lo s 30 min. q u e d u ra to d o el p r o c e s o . S a b e m o s q u e la p o te n c ia m e d ia se define p o r

P=

ír V s I => g 2

v ~2

V2

=

g R y ¡3

* En (III): df ¡ = (1 0 R j3 ) f j r 20

3R

* Finalmente en (I) : ¿ - 2R RPTA : “C ”

La fig u ra m u e s tra (a g rá fic a v e lo c id a d v e rs u s tie m p o de un c u e rp o so m e tid o a la a c c ió n d e u n a fu e rz a F. A c e rc a del trabajo realizado p o r esta fuerza, diga cuál d e la s s i g u i e n t e s a f ir m a c io n e s e s co rre cta .

V(mls)

>a=AEp/;=Epg - E ^

^ tod o» lo» balde» = 1 3 3 0 0 J = 1 3 , 3 K J

•Considerando que la rampa es lisa , es conveniente aplicar para el bloque conservación de la energía mecánica de A hasta C. mv e m(aj - E\í(C) -

R E S O L U C IÓ N :

RPTA : “C ”

(II)

* Ahora calculemos t ; en la proyección vertical planteamos : 2 =>t = g 10 f) • Reemplazando en (II):

E ) la e n e rg ía c in é tic a de un c u e rp o bajo la a c c ió n le fu e rz a s c o n s e r v a t iv a s se c o n s e rv a .

El principio de conservación de ia energía mecánica afirma que la energía mecánica total de un cuerpo bajo la acción de fuerzas conservativas no varía durante el movimiento del mismo. C om o consecuencia de lo anterior la energía potencial y la energía cinética a s o c ia d a s a un c u e rp o o sistem a experimentarán transform aciones mutuas, mientras que el total la energía mecánica se mantendrá constante.

R E S O L U CIÓN :

(vu=cte) que du = vux t

EIHCIOXES lU lU X tiS )

Wiodo* lo* balde*

Si reemplazamos datos: 13300J = 7,38 W => P * 7 , 4 W 30(60 a)

RPTA : “C 9 9

P R O B L E M A 71 El p rin c ip io de c o n s e rva c ió n de la energía m e c á n ic a afirm a que: A ) la energía potencial gravitatoria s ie m p re es igual a la energía potencial elástica. B ) la s u m a de la energía potencial d e un c u e rp o y s u energía cin ética s ie m p re se m a n tie n e constante. C ) la energía m e cá n ica total de un c u e rp o bajo la a c c ió n de fu e rza s c o n s e rv a tiv a s

A) E ntre los instantes t=Os y t = l s es negativo. B) Entre los instantes t=Os y t= 8 s es cero. C) E ntre los inlantes t= 8s y t= 9s es negativo. D) E nire los instantes t - 8 s y t= 9s es m en or qu e el que corresponde a l reali­ zado en tre t=Os y t =8s. E) E ntre los instantes t=Os y t=9s es cero.

R E S O L U C IÓ N : A)(FALSO) La rapidez del móvil aumenta al igual que su energía

=>W(+). B) (VERDADERO) Rapidez inicial = Rapidez final=0 , luego el cambio de energía cinética es nulo W =0. C)(FALSO) La rapidez del móvil aumenta => W(+)D)(FALSO) Porque el segundo es nulo y el primero es positivo. E)(FALSO) Porque la rapidez final es mayor que la rapidez inicial ^ W(+) RPTA : “B ”

L i F jr w x o p m t 2 0 l 2 ] P R O B L E M A 75 :

P R O B L E M A 73 :

* En (I) :

En el extremo inferior de un resorte de 40cm de longitud natural se coloca un bloque de 5»0kg y el resorte se estira 10 cm , quedando el sistema en equilibrio estático. Luego , muy lentamente , se aplica al bloque una fuerza F vertical, que lo hace descender 10 cm. Calcule el trabajo (en J) realizado por la fuerza, (g = 9,8 mis2). A) 1¿5 B) 1,55 C) 1,85 E) 2,45 D) 2,15

W ,í,* = 6 g (0 ,l)+ 5 0 g

R E S O L U C IÓ N : L0 = 40 cm . es la longitud natural del resorte. d =10 cm. es el estiramiento inicial (debido a la masa m ).

2

= > WLt t .= 2 ,4 6 J

PROBLEM A

2

4

4

RPTA : “E ” 74 :

Un automóvil de 1200 kg, con el motor apagado, empieza a subir por una pendiente a 54,00 km/h. Si recorre 37,50m antes de detenerse, ¿cuál es la fuerza ejercida para disminuir su rapidez? A)2600N BJ1600N C)3600N DJ4600N EJ5600 N R E S O L U C IÓ N : • La energía mecánica de un cuerpo se conserva cuando la cantidad de trabajo de las fuerzas diferentes a la fuerza de gravedad es nula

Una esfera de 3,0kg es lanzada verticalmente, hacia abajo, con una rapidez de 4,0 m/s. Cuando la esfera se encuentra a 2,0 m del piso, su rapidez es 8,0 m/s. Determine la variación de su energía potencial gravitatoria. A)62JB)32JC)52J D)42J E)72J R E S O L U C IÓ N : * Para un cuerpo en caída libre, solo realiza trabajo la fuerza de gravedad (F g) ; debido a ello podemos asegurar que la energía mecánica asociada al cuerpo se conserva.

(WF*Fg= 0).

A*

m=5 kg. es la masa adherida al resorte.

B

* Veamos el siguiente diagrama : donde

EM: Energía mecánica =EC -hEpc

(,*0,4 m O O O

T x ,= 0 ,¡ m

I

o S .......

^A) '

Considerando superficie lisa, tenemos

V-

i ....J__ w

x ,= 0 ¿ i m

bloque en equilibrio

(C)

F (f~ n a a l a u , o r m g s e n B ................. W

Ahora, como de A hacia B la v=0

( 2)

Se Pide: El trabajo desarrollado porral trasladar lentamente al bloque de la posición ( 1 ) a la posición (2 ). Como ei movimiento es lento, significa que la variación de la energía cinética del bloque es despreciable , así el trabajo de la fuerza F(Wf,s) sólo provoca variación en la energía potencial gravitatoria y elástica. Tenemos:

(? ¥)•

m * Determinamos la rigidez (K) aplicando equilibrio mecánico en el gráfico intermedio: M g = K x,= > 5 g = K (0 ,l) => K = 50 g

wf*F ¿ =xvR+wR=o la energía mecánica se conserva; en tal sentido m v$=m gll e M(A)~e M(B) Del ^±ABC,H=eÁ^ítsenQ ; entonces *

2 vo - g ( eA >b 8en° ) ........(M) _

Ec : Energía cinética del objeto 1 p2 = -m 2 EpQi Energía potencial gravitatoria = mgh * Nos piden la variación de energía potencial gravitatoria. ¿Por qué ocurre variación de la energía potencial gravitatoria del cuerpo? Dicha variación se da al disminuir la altura a la cual se encuentra la esfera, como se puede apreciar en el esquema graficado, según el enunciado t|(h ¡lanza! * *

( ! ! ) * ( III) tnvj¡ fren a at a u to

^

h

A >D

Reemplazando datos tenemos ju o o ja r f^ 9 / Q 7 ml a u t o

C l ,0 /

=3600N P™ * a u i9

* Por lo tanto la fuerza que frena al auto es 3600 N. RPTA : “ C "

nivel de - - referencia 2m

- - (E ho,h,=0)

En A la esfera posee E MfA) = E C'AJ + E PG
IÍE2T g « a "l

ID UiOM S

•En B la esfera tiene para el nivel de referencia mostrado q

distancia d presenta una rapidez v, tendremos:

FM(B) ~FC(B) + EpdiB)

_ m 2v 2 Ec = ¿ T ...................... (I) Por otro lado, los bloques unidos por una cuerda inextensible presentarán, en todo instante, la misma velocidad y recorren la misma distancia. V D/.-0 e, 0

Al considerar que la esfera se encuentra en caída libre, podemos afirmar que su energía mecánica se conserva, entonces F M ( A ) - F M(li)

mvA , p - mvu -r&PGfA) 7T~

i

F

*

r'

El trabajo de la fuerza F (W F) produce el incremento de la energía cinética de los bloques. Luego, aplicamos:

Reemplazando datos obtenemos Epg(A)^~^(52 ~ 4 2)

.

E PG(A)~ 72 J

\tr F _

= >

•Por lo tanto la variación de energía potencial gravitatoria es

VY

-

r* alaterna &

C f¡n o t

wp a h t e m * -

&

C tn lria l

PROBLEM A

Una fuerza constante F actúa sobre un bloque de masa m, que está unido mediante una cuerda de masa despreciable a otro bloque de masa m g, como se indica en la figura. No hay fricción entre los bloques y el piso y los bloques están inicialmente en reposo. Cuando los bloques han recorrido una distancia d, la energía cinética del bloque de masa m 2es: 1 F^ |m 2

Luego

D)

m2 m 2Fd

(m, + mg)

E)

c í^ i™

rn

m

.

m ,F d

(m,

R E S O L U C IÓ N

:

El trabajo mecánico de una fuerza puede incrementar o disminuir la energía mecánica de un sistema; en este caso, la fuerza ~p transfiere energía cinética a los bloques. Nos piden la energía cinética (Ec ) del bloque de masa m g. Considerando que al recorrer una

W& =

E M nB - E M a

= j m ve - m g h

los datos, Reemplazando considerando g ■ 10 m}ss (30)(10)(2)

O B S E R VA C I Ó N

(¡ 1 )

Reemplazando(//Jen (I) obtenemos

R PT A : “ C ”

V

Fd

2

tn.+nt., / * /

Fd

Ec = m 2

\

PROBLEM A

{m , + m 2 j

La energía cinética del bloque de masa m 9t cuando a recorrido una distancia d ,es m.¿Fd m i + m2 PROBLEM A

Fd n i

Y w F*mgKX = A E M

El trabajo de FK es negativo; sin embargo, en las alternativas todos los valores son positivos.

RPT A : “D

A)

Aplicando la relación entre el trabajo y la energía mecánica.

=> wj¿ = -585J

=> Wf =E?— ' - 0 =>Fd= (-mi. — ?y 1 final 9

76 :

Graficando el movimiento según las condiciones del problema

Como los bloques parten del reposo, entonces e = 0

F pg
R E S O L U C IÓ N :

liso

d

Epc=!j ( m v ‘ l ~ m v ° )

KÍ7BLXOS)

77 :

Un bloque de 30kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado, comenzando de un punto que se encuentra a 2m del piso. Hallar el trabajo de la fuerza de rozamiento si el bloque llega al piso con una velocidad de l,Omis. AJ600 J B)575 J CJ-585 J D)595 J E)485 J

y

2m

78 :

La d ep en d en cia fu erzacompresión de un resorte viene dado en la gráfica adjunta. La energía potencial (en joule) del resorte com prim ido en estas condiciones es: £ A ) 0,3 4 • B ) 0,2 3 C )0,4 2 D )0 ,5 E)0,1

10,1

0,2

0,3

x(m )

R E S O L U C IÓ N :

Según la gráfica F va x , mientras al resorte se le comprime su rigidez va cambiando y él va almacenando energía. Nos piden calcular la E pe que adquiere el resorte, por teoría debe coincidir con la cantidad de trabajo que se desarrolla sobre él.

IA pyt'H JYH’Uiíux 2012}

e e t í B M

F(N) •

«

j......Ám m Aqut se cumple WF = A , + A„

* entonces ntgR = Q + —mv¡¡2 * Reemplazando V2 mgR = Q +~m

3gR

A) 0,5y0

=> Q = 12,5 J

RPTA : “E ” P R O B L E M A 80 : 0,2 0,3 Como F(N) es la fuerza que permite comprimir al resorte, entonces se debe verificar = W F Con M£> ayuda de la gráfica F vs x se puede plantear £££°rt' = A , + M, ¡^ resorte _

&pE

-

2(0,2)

+

(2 + 4

El péndulo de masa m alcanza una altura máxima II respecto a su nivel más bajo. Considerando la aceleración igual a g , ¿cuál será su velocidad máxima? A ^ g ll

B)2gH

C)(gH) 112

D)(2gIl)IJ E)mgl¡ R E S O L U C IÓ N :

* Consideremos el péndulo siguiente: Soltando desde la posición A, como E ^ rte =0,5 J máximo llega hasta una posición RPTA : ltD P9 simétrica A*t tal como se muestra, P R O B L E M A 79 realizando un movimiento Un cuerpo de lOkg de masa oscilatorio comienza a resbalar , partiendo del reposo y sobre un cuarto de circunferencia , llega al final del tramo con una velocidad =J3^ . ¿Cuál es la energía que pierde debido al rozamiento en el tramo 1 a 2?. (g

* Considerando despreciable los efectos de oposición al movimiento por parte del aire tenemos que la energía mecánica (EM) de la esfera se conserva. Se tiene además que la Ee será máxima en B ; en consecuencia, VH será también máxima. De la conservación de la E.M. => EM(A) = E. M(B)

R E S O L U C IÓ N :

^ E£P*¡+EÍ>g vB=vmáx=02gU N .ÍL

* Por consecuencia de la energía , respecto del nivel de referencia (NJt) mostrado, de 1 a 2 , la energía potencial gravitatoria en l(Bpcnt) se transforma en calor (Q) y energía cinética (Se,-,), en tal sentido EPCat = EPE. ni

■ I I I

(a) 1 1^ Z i: i ¡ k f r

f

•*

l

|

i^ 2 3y yo0 íg; %¿

£

^

? s

n

X i=0

Ü n

fe n

•' f

l

mg(h +3y 0) - ^ k ( 3y0f .......... (4)

N.R.

A) 13 J B) 10 ú C) 14 J D) 15 J E) 12,5 J

R E S O L U C IÓ N : En el esquema mostrado h es la altura de la que debemos de abandonar el bloque para que el resorte se logre deformar 3y0. Ya que sobre el sistema (bloque resorte) la fuerza de gravedad es la única fuerza externa que actúa sobre é l; la energía mecánica del sistema de c -> d se conserva *, entonces: (cjn vpO

E M fsiutcm u ¡n ¡c ia ll“ ’ E AI (sistem a finalJ

A’

= 10m/s2)

w iy Q C )2 y 0 O) 2,5y0 E) l,5y 0

RPTA : “ D ” P R O B L E M A 81 : Cuando un cuerpo de masa m se coloca sobra un resorte sin deformar , éste se comprime una longitud y0. ¿Desde qué altura se debe dejar caer el mismo cuerpo para que el resorte se comprima una longitud 3y¿? (ver figura).

Como en (b) , el bloque se encuentra en equilibrio mecánico , la Fr =0 ; entonces => Fe=Fg=> Ky0=mg.................(fi) (P)en(p): Ky0(h+3y0)=^K(3y0)*

RPTA : “E ” PR O B LE M A 82: Un niño de 30kg de masa se desliza hacia abajo sobre un tobogán desde la altura h=5,0m , partiendo del reposo en A. Si llega a B con rapidez de 4m/s, la magnitud del trabajo realizado por la fuerza de fricción, expresado en J, es (g=9,81m/8~)

e d ic io n e s

A)981,5 B) 1231,5 0)1551,5 E) 1980,5 R E S O L U C IÓ N :

C) 1421,5

Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas diferentes a la fuerza de gravedad, que realizan trabajo mecánico, entonces, la energía mecánica del cuerpo varía, donde esta variación es igual al trabajo realizado por estas fuerzas.

RESOLUCION i

!) 1.a energía cinética d e u n a partícula se

Al conservarse la energía m e cá n ica de la esfera, esto significa q u e dicha esfera debe alcanzar la m ism a altura respecto aJ nivel de referencia desde d o n d e fue abandonada (ve r figura).

o.an q,6L j

A) W V

Sen/ = - = > / = 37°

5 PROBLEMA

RPTA i tgA ” S* a

a u n a referencia determ inada n o puede ser negativa.

B Pára el tramo AB, debido al trabajo mecánico realizado por la fuerza de rozamiento sobre el niño, la energía mecánica del niño varia; entonces, planteamos:

C> W F

D) FVF

El FFF

I) FA1SO :

I) La energía potencial gravitatoria respecto

MM

n> F W

R E S O L U C IÓ N a

S e ñ a le la v e ra c id a d (V ) o falsedad (F ) respecto de las proposiciones siguientes:

vB = 4m l a

partícula se c o n s e n a sí y solo si sobre ésta actúan sólo fuerzas

el desplazam iento de la partícula entonces se concluye que esta fuerza es conservativa.

Del triángulo som breado:

h=5m

II) L a e n e rg ía m e c á n ic a lo la l d e u n a

III) Si una fuerza n o realiza trabajo durante

A’./?.

m= -3 0 k g

conserva si y solo si sobre ésta actúan solo fuerzas conservativas.

conservativas.

• -...--i.....'* '

Para un instante del tramo AB grafiquemos las fuerzas que actúan sobre el niño:

m w xos)

II) Si una fuerza n o cam bia de orientación a lo la rg o de u n a tra y e c to ria e n to n c e s n e c e s a r ia m e n te d ic h a fu e rz a es conservativa.

El valor de la energía cinética o energía de m o v im ie n t o d e u n c u e r p o p u e d e d e te rm in a rs e e n b a se a la c a n tid a d de trabajo q u e se necesita para p ro d u c ir el m o vim ie nto d a d o al cuerpo. Por e je m plo al abando nar u n cu erp o sobre este actúa la fuerza c o n s c n a tiv a (fuerza de g ra v e d a d y el c u e rp o se m u e v e b ajo su influjo, al descender el cu e rp o cierta altura la fuerza de gravedad efectúa un trabajo y la e n e rg ía d e l c u e r p o e n m o v im ie n t o c a m b ia e n u n a c a n tid a d igual al trabajo efecluado. V=0 T

mg

III) EJ trabajo e fe c tu a d o p o r una fuerza c o n s e rv a tiv a es ig u a l al c a m b io d e su energía potencial. Aj FFF

fí/FFV

C) VFV

RESOLUCIÓN

D) V W

El VFF mg

a

I) FALSO:

Entf) K t

b = E UiBi - E

UiA, =>

=> WÍ* a = - x 3 0 x 4 * - 3 0 x 9 , 8 1 x 5

2

=>W '*_B= - 1 2 3 1 , 6 J

El valor absoluto de la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es 1231,5 J . RPTA : UB ”

PROBLEMA B3 a La figura m uestra un péndulo de longitud ( y masa m , suspendido de la parte superior de una m esa y haciendo un ángulo de 37° con la vertical. C u a n d o se suelta, el péndulo llega hasta la posición de desviac ión m áxim a que se indica. Halle ia m edida de! ángulo 4 . considere

\v

La energía potencial gravitatorio depende del nivel de referencia dado, así tenem os:

S e n 3 r = 3/5

• Si la m asa se encuentra por e n cim a del nivel de referencia! su energía potencial será positiva. • Si la m asa se encuentra en el m ism o nivel de referencia su energía potencial es cero. • Si la m asa se encuentra por debajo del nivel de referencia su energía potencial será negativa. II) FALSO: N o necesariam ente puede ser conservativa, le ñ e m o s para este ca so u n a trayectoria recia, la fricción cinética es constante, sin em bargo lo que genera es un desgasto de energía, por lo q u e a d ic h a fuerza se le co n o ce c o m o fuerza disipativa. III) VERDADERO: To d a fuerza conservativa F e tiene asociada a ella una función, llamada energía potencial Ep tal que el trabajo realizado por esta fuerza conservativa es igual a m enos el ca m b io de su energía potencial.

En consecuencia “El trabajo total realizado sobre u n c u e rp o o sistem a es igual a la variación en la energía cinética del cuerpo o sistema".

W F*a' = AEC 11) VE R D AD E R O : L a conservación de la energía requiere que la energía m e c á n ic a total d e u n sistema perm anezca constante en cualquier sistema aislado a través de fuerzas conservativas. Donde: EM = Ec + £ , = c te Es im portante observar que la ecuación es valida siem pre q u e n o se extraiga o se añada energía al sislema. A sí m ism o n o debe haber fuerzas n o conservativas dentro del sistema. ¡II) F A 1 S O :

Wc = - A E p

RPTA a “ B ” PROBLEMA

BS a

C o n referencia a las fuer/as conservativas, señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Ta n to la fuerza de rozam iento (fr - 0) co m o la fuerza n o rm a l durante c) desplazam iento del bloque n o desarrollan trabajo; adem ás estas fuerzas n o son conservativas ya que

\M?W¿SW*1A

sea

no están asociadas a una energía potencial. RPTA i PROBLEM A

“ D”

06 /

Inicialmente tas dos masas de ia figura se encuentran en reposo y en el m ism o nivel horizontal Halle la rapidez (e n m /s) de las masas en el instante en que )a d e / 0 k g ha descendido 2 metros. Use consideraciones energéticas: g ^ lO m fs 1. A) 1¿3

E

B) 2,44

EA £iV(7fXOri:T>tt 20t¿\

en consecuencia, ganando energía cinética. Gradas a su posición en el espada el ladrillo tiene ENERGÍA CINÉTICA DE energía potencial (tiene ei potencial para hacer DIFERENTES OBJETOS trabajo), la cual se convierte en energía cinética Obtoém (umMa tíadMta «conforme cae. En el momento en que el ladrillo U H w lA m iiie l* * 14* K P llega al suelo, efectúa trabajo sobre el clavo 1 8 «P liü fv M á to a lilW IfiN 9 encajándolo en la tabla. C d w w w d w a li w m Obi 10® a w L a e n e r g ía q u e u n o b j e t o tie n e , d e b id o 90 AMOMM A) 10 U 10* a s u p o s ic ió n en e l e s p a c io , r e c ib e e l 14 M Brto és uU • b « M d «r n n f M «¿to1 n om bre de e n e r g ía p o te n c ia l Gol» d# fcwe *0 MM)'1 g r a v ita c io n a l. E s la e n e r g ía m a n ten id a tk iéito il ■pain en iM sao M .l O * M itf* p o r un c a m p o g r a v ita c io n a l y tra n sferid a ai o b j e t o c o n fo r m e é s t e c a e . * La velocidad de escape es la velocidad mínima sistemas de referencia.

que un objeto debe alcanzar cerca de la superficie de la Tierra para escapar de ia fuerza cyavüadonal terrestre.

C)3,66 Di 4,66 E) 6,32 R E S O L U C IÓ N

ENERGÍA POTENCIAL

t

¡n id o

(2i

(J.. 1

La energía potencial se define sólo para cierta clase de fuerzas denominadas fuerzas conservativas. La fuerza de tyavedad y la fuerza del resortese conocen como fuerzas conservativas. Existen otras, la fuerza de fricción es una fuerza no conservativa. En situaciones donde una fuerza conservativa opera entre los objetos del sistema, es útil y conveniente definir otra c ase de energía:

F in a l

¿ ip

lp « J

6 k g lO k g

J

2m

a

n iv e t d e r e f e r e n c i a

Al descender el bloque de ¡Okg en 2m el bloque de 5 k g asciende 2 m , para encontrar las rápides de los bloques es conveniente trazar el NR en la posición m ás baja para luego plantear:

=j Í5)f 10)(2) + (1 0 K 1 0 H 2 ) = ( B K I 0 H 4 ) 4 ( e + W

y*

=> Í0 0 = — V * => V = 3,65m /t

2

RPTA t

“ C "

ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética es la energía asociada con el movimiento de un cuerpo. Definimos la magnitud £mv2 . como la energía cinética Ec de un cuerpo de masa m q u e s e mueve con ta r a ^ d e z ^ h ^ La e n e rg ía c in é tic a tie n e las m is m a s unidades que el trabajo y la m ed im os con las m ismas unidades (Jo u ie ). * Al igual q u e el trabajo, es una cantidad escalar. * Por ser u n a ca n tid a d escalar n o tiene dirección ni com ponentes. * N ótese a s im is m o q u e n o p u e d e ser negativa nunca. * La energía cinética £mv2 se aplica sólo a partículas o cu e rp o s q u e se c o m p o rta n co m o ellas. Esta restricción se analiza m ás a fondo en la dinám ica rotacional. * La e n e rg ía c in é tic a d e p e n d o d e los

De este moda la energía potenda! asociada a un objeto en cualquier punto en el espacio es el producto del peso del objeto y de su coordenada vertical. E origen del sistema de coordenadas podría localizarse en la superfide de la Tierra o en cualquier otro punto conveniente. (y < < Rt : Radio tenestre)

Js a

Centro de masa

mg

U * mgy

Nivel de referencia

* Se considera la energía potenda! gravitadonal cero en el nivel de referencia. 9Con frecuencia: es conveniente etegr ta superfide de la Tierra como la posición de referenda para

K

* E,n>

= m^Í2Í*m^(£í m,gÍ4Hm‘^- t

Ug a mgy

y (+ ) cuando está endma del nivel de referencia y(-) cuando está debajo de! nivel de referencia

jjiñ

=EM. S> U * EH**0t

La energía potencial *U) se relaciona a la configuración de un sistema. Aquí *configuración" significa c ó m o ¡as partes d e un sistem a están situadas o dispuestas entre s í ( p o r e je m p l o , ta c o m p r e s i ó n o estira m ien to d el r e s o r te en e l sistem a d e b loq u e-reso rte o la altura d e la bola en el sistem a d e bola-tierra).

Definimos, la energía potencial gravitadonal U .

Un likxpie unt^ve Ixijo bi acción d e l¡t fu.-f/n tl«* un rpsorte.

potencial « r o : pera otra vez. esto no es (otíIxi roí,im la gr
S*
* Es muy importante recordar que ia energía potencial caracteriza al sistema y no a sus objetos individuales. Para hablar correctamente, deberíamos referirnos a la ‘ energía potencial elástica del sistema de bloque-resorte o a la ‘ energía potencial gravitadenal del sistema de bola-Tterra'. No a ta "enerva potencia! clástica det resorte' ni a la energía potencial gravitadonal de la bola. * En consecuencia, podemos reladonar la energía potenda! sólo con .as fuerzas conservativas. * En particular, como w < 0 en un viaje redondo, no podemos reladonar la energía potencial con la fuerza de friedón. Ahora, estamos en posibilidad de explicar el cálculo de la energía potencial con dos ejemplos de las fuer/as conservativas para el sistema bloqueresorte y el sistema bola-Tierra.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Cuando un objeto cae en un campo gravitacional. el campo ejerce una fuer/a sobre él en la dirección de su movimiento, efectuando trabajo sobre él con lo cual incrementa su energía cinética. Considere un ladrillo que se dejó caer desde el reposo directamente sobre el clavo de una tabla que está horizontal sobre el suelo. Cuando es soltado el ladrillo cae hacúi la Tierra ganando veloddad y.

♦ ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA La /u n ció n de en erg ía p o te n c ia l elá stica asociada a la fu erza d e reso rte está definida por:

L%»^kx2 L a e n e r g ía p o t e n c i a l e l á s t i c a p u e d e considerarse com o la en ergía almacenada e n e l r e s o r t e d e fo r m a d o (u n o que e s tá c o m p r im id o o e x te n d id o a p a rtir d e su estad o natural o relajado). Para visualizar esta considere la figura 'a ' que muestra un resorte indeformado sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando se empuja al bloque contra el resorte (figura b l y l o comprime una distancia "x”. 1a energía potendal elástica almacenada en el resorte es kx-.2. Cuando el bloque se suelta desde el reposa el resorte regresa a su longitud original y la energía potendal elástica almacenada se transforma en energía cinética del bloque (figura c). 9 La energía potencial elástica almacenada en el resorte es cero, siempre que el resorte no esté deformado (x=0). 91.a energía se almacena en el resorte sólo cuando éste está alargado o comprimida 9 Además, la energía potencial elástica es un máximo cuando el resorte ha alcanzado su

[msjvickcíé. i

lA ttt iOXES u n itiv o s) (BS3L e e i W S es un máximo). TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA

compresión y extensión máxima (es decir, cuando }xj * Ftar última puesto que la energía potencial elástica es proporcional a x^ vemos que U. siempre es positiva en un resorte deformado. t» x

w

m

La figura m uestra u n a "partícula" de m asa que se m u e ve hacia la derecha bajo la acción de una fuerza neta constante f . C o m o la fuerza es constante, por la segunda L e y d e N e w to n sabem os que la partícula se m overá co n aceleración constante a. Si la partícula se desplaza una distancia, el trabajo neto efectuado p or la fuerza F es:

-

b)

Vf

Vi

*=0 V III

'SMWM ; ■

De ia figura: a) Un resorte sin deformar sobre una superficie horizontal sin fricción. b) Un bloque de masa "m" se empuja contra el resorte, comprimiéndolo una distancia V . c) El bloque que se suelta desde el reposo y la energía potencial elástica almacenada en el resorte se transfiere al bloque en la forma de energía cinética.

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL: EM La energía mecánica total E ^ se define como la suma de las energías cinética y potencial.

* Fbr la segunda Ley de Newton: F - ma. * Si la aceleración es constante, d =

(V. + V| )t 2’ i r

a ~

_

Vf -Vt t

donde V es la rapidez en 1=0 y V. es ia rapidez en tiempo L Al sustituir

Wn«o = m (^ -)j(V i +Vf)t Wnao^mVf-lmV,2 En términos de la energía cinética inicial y final Eq^m V f2 y

= £mV|z .

Fbdemos escribir así la ecuación:

Si más de una fuerza conservativa actúa sobre el objeto: entonces, una función de enerva potencia] se asocia a cada fuerza: en tal caso la energía mecánica del sistema es:

Esta ecuación es la representación matemática de un resultado importante denominado teorema de trabajo - energía:

FUERZAS CONSERVATIVAS

El t r a b a jo n e t o r e a liz a d o p o r la s fu e r z a s q u e a c tú a n s o b r e un c u e r p o , e s Ig u a l a l c a m b i o d e s u e n e r g ía c in é tic a .

Se denomina así a aquellas fuerzas que cumplen las siguientes definiciones, las cuales son equivalentes. C o n sid ere e l tra b a jo to ta l e fe c tu o d o p o r una fu e r z a q u e o p e r a s o b r e una p a r tíc u la a m e d id a q u e é s t a s e m u e v e a l r e d e d o r d e una trayectoria cerra d a y r e to m a a s u p u n to d e partida. S i e s c e r o , la llam arem os fu e r z a con serv a tiv a . SI la fu e r z a to ta l d e l viaje re d o n ­ d o n o e s c e r o , la llam arem os fu e r z a n o co n serv a tiv a .

Fbdemas expresar lo expuesto de la siguiente manera: El trabajo h ech o p o r una fuerza conservativa ejercida so b r e una partícula q u e s e m ueve p o t uno trayectoria e s cero.

C U ID A D O ► A u n q u e el te o re m a lo o b tu v im o s d e u n a fuerza constante, en general se aplica tam bién a fuerzas n o constantes. A s e m e ja n za d e la s e g u n d a L e y d e N e w to n , q u e u tiliza m o s al obtenerlo, el teorem a se aplica sólo a las partículas o cuerpos que se com portan c o m o ellas. Esto se analiza en la dinám ica rotacional.

TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA CONSERVATIVA

Una fuerza e s cotisennulva si el Las funciones de energía potencial son definidas sólo p o r fuerzas trabajo en tre d os pu n tos cualesquiera conservativas. En genera!, el trabajo W , h e c h o sobre un objeto por e s ¡ndcftendlenle d e la trayectoria una fuerza conservativa es igual al valor inicial de energía potencial seguida p o r la partícula.

b

w - u, - u, TRABAJO DE LAS FUERZAS NO CONSERVATIVAS

asociada al objeto m e n o s el valor final;

Wabl = W*2 = W*3 Ejemplos comunes de fuerzas conservativas F C son el peso o fuerza gravitatoria. la fuerza elástica de los resortes, etc.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS FNC Son aquellas que no verifican las definiciones anteriores. U n a fuerza es no conservativa si produc e un c a m b io en la energía m ecánica. Por ejem plo, si alguien m u e v e un ob je to sob re u n a superficie horizontal y lo regresa a la m ism a posición y al m is in o oslado de movimiento; pero encuentra q u e fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeio. entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeio. Esa fuerza disijjativa so conoce co m o friedón entre la superficie y el objeio. 1.a fricción es una fuerza disipativa o "no conservativa'. Ejemplos co m une s de fu e rz a n o co n se rva tiva s so n la fu e rza d e frie d ó n , la tensión d e las c u e rd a s, etc.

En general, sobre un sistema actúan fuerzas n o conservativas y conservativas. Por ejem plo, el trabajo h e c h o por la fuerza de fricción dism inuye la energía m ecá n ica; esta pérdida de energía sólo es aparente p o rq u e re a p a re c e c o m o otra fo rm a de energía q u e estudiarem os m ás adelante. En el enunciado de la conservación de la energía se puede incluir el efeclo de la fricción u olías fuerzas n o conservativas escribiendo: e K;

■u , ,

w

FNC E Kf ■*U F

d o n d e W r v ' es el trabajo de las fuerzas n o conservativas. Otra m anera de representar esta expresión, es la siguiente: _ AE WF N C = M CONSERVACION DE LA ENERGIA E n objeio que se m antiene a cierta altura h sobre el suelo no tiene energía cinética, pero, c o m o aprendim os antes, hay una energía potencial gravitacional asociada igual a m g h , relativa al suelo, si el ca m p o gravitacional está incluido c o m o parte del sistema. Si el objeto se suelta, ca e h a d a el p iso c o n fo rm e ca e su v e lo c id a d y e n

l£ Z I e o s I f l f consecuencia su energía cinética aum entan, en tanto que la energía potencial dism inuye. La sum a de las energías cinética y potencial, c o n o c id a c o m o e n e rg ía m e c á n ic a E . perm anece constante en el tiem po. Este es un ejem plo del principio de la con servación d e la energía. E = E Ec, + U¡ = E c , + U , La conservación de la energía requiere que la energía m e cá n ic a total de un sistem a permanezca constante en cualquier "sistema aislado" de objetos que interactúan sólo a

E P(; * La energía

mide la energía almacenada en un dispositivo llamado _.La energía se mide con: -

x

La energía

viene a ser:

través de fuerzas conservativas. Es importante observar que la ecuación es válida siempre que n o se añada o extraiga energía del sistem a. A sim ism o , n o d e b e haber fuerzas n o conservativas dentro del sistema realizando trabajo.

SUGERENCIAS t • E lig e c o n v e n ie n te m e n te tu n iv e l de referencia antes de analizar los tipos de energía que existan. • T e n p re s e n te q u e la e n e rg ía p u e d e conservarse co m o tam bién no d e b id o a las fuerzas n o conservativas. • A la s u m a d e las e n e rg ía s c in é tic a y p o te n cia l e n u n s is te m a se d e n o m in a energía m ecánica total del sistema.

fe . ° l^a unidad de la energía en general en el S.L es:

• El tra b a jo re a liz a d o p o r u n a fu e rz a conservativa en una trayectoria cerrada, es nulo. No olvides:

. ^ , 0 - &I:K . U/Frtmu',v --At„

[

Según el «principio de conservación de la energía» se puede decir: «I^a energía________de un sistema aislado siempre se conserva». 0 En un sistema donde sólo actúan «fuerzas conservativas»- se va a cumplir la conservación de la energía_________ total del sistema. Es decir: t

• La "Ep." es relativa; pues depende del nivel de referencia q u e se tom e c o m o cero.

.

mMul

Además: E (02)Si un cuerpo de 2kg se mueve a velocidad de 20mls y a una altura de l O m , entonces indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F). ( ) \¿i energía cinética es 200 J.

La energía es la quo posee un cuerpo para generar un_______ osea se puede________ movimiento así mismo o poder________ a otro cuerpo. La energía mide el movimiento que posee el cuerpo. La energía________ se mide: m

=:o

+.V

|Ef ■-

♦ La energía_____________mide la energía almacenada en los cuerpos en una posición y que se encuentra para su transformación. La energía

so mide con:

( í La energía potencial gravitatoria

es 200 J . ( ) l¿i energía mecánica es 600 J. A) FFV I)) VFF

H) W V E) F W

( ) La energía cinética puede ser negativa. ( ) La energía potencial gravitatoria puede ser negativa.

K _VWWMM_ e ,.e

IA L v n o o jv a H 2012} A) W F B) F W C) FFV D) VFV E) W V (05) Indicar verdadero (V) o falso (F):

C) VFV

(02)SeñaIe verdadero (V )ofalso (F): ( )Un cuerpo que describe M.R.U. puede tener un valor de energía mecánica constante o variable. ( )La energía mecánica de un cuerpo siempre sufre variación cuando el móvil desciende. ( ) Un cuerpo puede poseer energía mecánica igual a cero para un sistema de referencia.

( ) La energía potencial gravitatoria puede ser cero. A) V W B) W F C) VFV D) FVF E) F W (03)Una esfera de 0J2kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20/re/s, ¿a qué altura presentará 10J de energía cinética? A)5m

B)15

D)10

C)20

E)1

@ )U n cuerpo de 2 k g se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20/n/s, ¿cuál es la energía potencial gravitatoria respecto al piso, que posee el cuerpo (g = 10 mf8%) en su punto más alto? A) 300J B) 350 C) 400 D) 500 E) 250 (05)Una esfera se abandona desde 16m de altura, ¿a qué altura la energía cinética será el triple de la energía potencial gravitatoria? A)2m B)3 C)4 D)6 E)8 (0^>Un cuerpo tiene una masa de 3kg y se mueve con una velocidad 6 m ¡s. Determine su energía cinética. A)54J fí)36 0 3 0 D)24 E)18 (0^) Una paloma vuela a razón de 4mís y posee una energía cinética de 16J , ¿cuál es su masa? A)2kg B)4 06 D)8 E)1 (¡7$) Encontrar la energía cinética de un coche de 20k g cuando alcance una velocidad de 72km/h. A)1KJ B)2 03 D)4 E)8 (77)Un cometa de 2 x l O I0k g se estrella contra la Tierra con una

EDICIONES Ki HUNOS)

[y.c^~6«9~~BEB3 velocidad de 20kmfs. Encuentre, en Joules, la energía cinética del cometa. A) 2 x l0 ¡9 B) 3xlO te C)4xlOia D) 5xlO ta E) 6 xlOia Miguel y su bicicleta tienen una masa de 80kg. Halle la energía cinética total si cubre una distancia de 80m en 168. A)500J B)600 C)700 D)800 EJ1000 (í7í)Un cochecito de 400kg parte desde el reposo con una aceleración constante de 0,5m !ss. Halle la energía cinética del cochecito cuando ha transcurrido 20s. (En KJ) A)5 B)10 0 1 5 D)20 E)25 (f^)¿Cuál es la velocidad de la bola de 6 kg si su energía cinética es de 75 J ? *

m

ó

(Q)En la figura, la maceta tiene una energía potencial gravitatoria de 60J respecto del piso. ¿Cuál es la masa de la maceta, si: h=15m ? (g =10 mis3)* %

*

'r f

g A)200 000J B)100 000 0 5 0 0 000 0)80 000 E)20

h

A)8kg

11)9

O IS

D)4

E)6

A)4J

B)6

08

D)10

E)12

Cuánta energía potencial gravitatoria tiene el bloque en «B» con relación a la horizontal que pasa por «A» ? m =5kg y AB= 8m.

( 0 ) Cuál es la longitud de la barra uniforme y homogénea mostrada de 10 k g , si su energía gravitatoria respecto del piso es de 300 J?

-■ »

■—

0

1

lm 1 3m

r A)10J B)40 0 6 0 D)120 E)90 (Q)Del ejercicio anterior, ¿qué energía potencial gravitatoria tiene la lámpara respecto del techo? A)-10J B)-100 0 -2 0 0 D)-50 Eh20 1

@ )U n alumno de 60kg se deja deslizar desde (A) como muestra la figura. Hallar con qué velocidad llegará a pasar por (B).

(fi¡)En un estante un libro de 0,5kg se halla a 1,6 m del suelo. ¿Cuál es su energía potencial con respecto al piso? (g = 10mfs¿),

A)10mls B)5 0 8 D)3 E)2 @Determine la relación entre sus energías cinéticas de cada proyectil.

Sabiendo que la lámpara tiene un peso de 20N , ¿qué potencial gravitatorio posee la lámpara respecto del piso? *«♦

@ )¿Q u é energía lleva un auto de lOOOkg que va a 72km !h con respecto al suelo por donde va? V

i

A)10m¡8

B)20 0 3 0 D)40 E)50

m En el problema anterior, el muchacho luego de (B) pasa por la rampa mostrada llegando al punto ( O con la altura que se observa. Hallar la velocidad cuando pasa por (O •No hay rozamiento.

(C 5 m

1

(B) A)10mia

B)10y¡2

D)20sÍ2

E)20

O10y[3

(0 ) Se suelta el bloque de 2kg en (A ). ¿Qué velocidad tendrá al pasar por (B) ? A)lm B)3 06 0 )4 E)8 (0)U n resorte de K=100N¡m se estira Im por acción de una fuerza externa. Determinar la energía potencial clástica. A)40J B)10 C)30 0)20 E)50 @)I>a constante de rigidez de un muelle es de 2000N im . ¿Qué energía almacena cuando el muelle es deformado en lOcm? A)8J 11)10 0 1 2 0)16 E)20

A)10mi8 B)20 0 3 0 0)40 E)NA (0 )C ierto tanque de agua se encuentra a una altura de 80m

IA EXCii'JWEDLt 2012) sobre la azotea de un edificio. ¿Con qué velocidad llegará el agua al primer piso aproximadamente? (Desprecie todo rozamiento). A)10m/s B)20 C)30 D)40 E)NA @ C alcular la energía mecánica de un cuerpo en el instante mostrado respecto al piso. m=5 kg ; g-lOm/s2

A) 1 m B) 1,5 m O 2m D) 2,4 m E) 3 m

Calcular la energía potencial de un mono de 40 kg ubicado a 20 m del suelo, (g = 10 mis2)

(ff) Calcular la energía mecánica del cuerpo en «A» respecto del piso

A) 8 000J D) 7 000J

11)9 000J O 10 000J E)6 OtíOJ

@ )L a constante de rigidez de cierto resorte es lOOONim. ¿Qué energía potencial almacenará este resorte cuando sea deformado en 80 cm?

A)240J D)500

B)200 E)750

Un coche viaja con 72 km¡h con una masa de 4 000 kg. Calcular la energía mecánica del piso. (g = l Omís ) A

fr*

■

20m Piso

A)16KJ D)16000

asi

B)160 E)160 00

01600

Si Juan puede realizar trabajo podemos decir que posee........... A) Fuerza B) Movimiento O Potencia D) Energía E) Eficiencia Cuando una papaya madura cae de su árbol se cumple que: A)La energía potencial se conserva. B)La energía cinética se conserva. C)La energía p oten cial se transforma a cinética. D)La energía cinética se transform a a potencial. E) Nopasa nada. La energía independiente de:

cinética

es

5mle

I) La masa del móvil. II) La velocidad del móvil. III) La dirección de la velocidad del móvil. mu A) I O I y II D )I E)I y II

A) 280 J ¡1)320 J 0350 J D) 450 J EJ500 J @ )U n a pelota se lanza con una energía cinética de 9 0 J . ¿Qué velocidad adquiere si su masa es de 200g l A) 10 mis ít¡20 mis C)30 m/s D) 40 mjs E)50 mis (Q) Si la velocidad de un móvil se duplica, entonces su energía cinética: A) se reduce a ¡a mitad B) se duplica C) se triplica D) se cuadruplica E) falla conocer su velocidad @ )U n auto de / 000 kg se desplaza con M.R.U. sobre una pista horizontal con V = 2 0 m /s. Determine su energía cinética. A) 200 kJ 11)150 kJ 0 3 0 0 kJ D) 350 hJ E)400 kJ (fjjf) La energía cinética del auto de 500 k g es 25 kJ. Determine su velocidad.

A) 5 m/s D) 20 mis

ii/lü mis E)25 m/s

C)15 m/s

(/Tí) 1ja esfera de la figura posee una energía mecánica de 65J. Determine la altura «h». (m = 2 kg); (g=lO m/s2)

(m = 2 kg).

— A nfrv=GmSs

A) 232 J B) 196 J

iOm

O 36 J D) 268 J E) NA. (f£) El bloque de masa 5 0 k g se encuentra en reposo en un resorte (K =500 N/m) tal como se muestra. Determine la energía potencial elástica. ( g = 1 0 m /s2) A) 240

J

B) 250 J

O 260 J D) 270 J E) 280 J _

sm r

(¡Ti) Qué velocidad tiene el cuerpo cuando pasa por «B» si parte del reposo en A? No hay rozamiento. ( g = 1 0 m / s 2)

At

A) 10 m/s B ) 15 m/s

O 20 D) 2 5

m/s m is

E ) 3 0 m/s

lOm

(T£) Una esfera de masa «m» se deja caer desde la posición «A ». Determinar su máxima velocidad si la cuerda tiene 80 cm de longitud. (g =10 m/s5) ~ ^ r * A A) 2 m/s B) 4 mis O 0 m/s D) 8 m/s E) 16 m/s

EDICIONES nUlUXOSI

6 71

Se tiene un alambre curvo AMB dentro de un cubo como se muestra en la figura. Desde el punto A se deja caer un anillo que se desliza (sin fricción) por el alambre. ¿Con qué velocidad llegará el anillo al punto flf? A ,—Anillo M = e s el p u n ió m ed io de AB

A )J g L B ) j 2 ¡ L O ) ^ -

E )2jgL

(0 ) Si se suelta el bloque en el punto A, calcular su velocidad cuando pasa por el punto B. No existe rozamiento. R = 10 m; g = 10 mis2 Asm R R

(0 ) Calcular el trabajo total de A hacia B. lOm/a 1Omfs

A) 0 D)10 J

B)100J 0 -1 0 0 J E) Falta la maaa

@ ) El bloque mostrado de 0,5 k g es desplazado desde A hasta B desarrollándose sobre éste un trabajo neto de +15J. Considerando que F = 2 0 Í (N ), Calcular el trabajo que desarrolla la fuerza de rozamiento desde A hasta B. (g = 10 m/s2) B R u g oso

V

2m F 3rn A) 30 J D) -20 J

A) 10 m/a

B) 20 m/a C) j O02m

W lO 05m

E)5 mía

(Q) En una figura se muestra un anillo de masa «M» que puede deslizar libremente a través de la varilla. ¿Cuánto mide «ex» para que el anillo partiendo del reposo en «A» llegue a «B» con una velocidad y]2 g R . A) 300 B) 3T C)45° D) 530 E) 60° Calcular el trabajo de «F» de «A» hasta «B» . V<=0 8m ¡s Liao fr F F Y.

B A)32J B) 64J C)16 J D)8J E) F.IX

11) -30 J E) -50 J

D_ O -35 J

(Q) Un cuerpo de 4kg es soltado desde una altura de 20m. ¿Qué valor tiene su energía mecánica total? ( g = lOmis2) A)800J 11)80 C)400 D)40 E)8 (0)Dol ejercicio anterior, si durante la caída no hay fuerzas externas, salvo el poso, ¿qué valor tiene la energía cinética a la mitad de la altura de caída? A)800J B)200 0 4 0 0 D)100 E)NA ( 0 S e lanza una pelota de 0,5kg con una velocidad de 20 m/a. Calcular su energía potencial gravitatoria cuando alcance su máxima altura. (g = 10m/s2) A)40*J B)60 C)100 1))120 E)80 (0)D iga si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera (V) o falsa (F): I) 1.a energía cinética de un cuerpo aumenta cuando la fuerza

resultante hace trabajo positivo. II) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo aumenta cuando el peso hace trabajo positivo. III) La energía potencial elástica de un cuerpo fijo a un extremo de un resorte aumenta cuando el resorte se comprime o se estira. A )W V B )F W O VFV D )W F E)FFV (0)¿Cuál de las siguientes fuerzas es no conservativa? A)La fuerza elástica de un resorte. B)La fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas. C)El peso. D) La fuerza de resistencia del aire. E) Todas son fuerzas conservativas. Señale con (V) lo verdadero y (F) lo falso: ( jT od a fuerza conservativa siempre aumenta la energía del cuerpo sobre la que actúa. ( jToda fuerza no conservativa siempre aumenta la energía mecánica de un cuerpo. ( )A1 lanzar un cuerpo verticalm ente hacia arriba la fricción del aire hace trabajo sobre él. Durante el retorno, el cuerpo recupera su energía perdida en el ascenso y llega al punto de partida con igual energía cinética con la que se lanzó. A)FVF B)FFF OFFV D)VFF E )V W (0)D e la figura, calcular el trabajo de «A» a «B» realizado por la fuerza «F». E -2 0 J _____________ F .

E=60 J ft -

A h A)+20J B)-20 0 -3 0 D)+40 E)+50 Calcular el trabajo realizado por la fuerza «F» en el tramo A-B, sabiendo que el bloque pasa por «A» con 2m/s y por «B» con 6m/s. (masa bloque = 10kg).

UFW StW AlA

IBSBIgy» ESI del arco adquiere una energía potencial de 10J. ¿Con qué velocidad saldrá disparada la flecha? A)2mfa B)4 0 6 D)8 E)10

10 m A)130J B)160 C)170 D)180 E)190 ^^Del problema anterior, calcular el valor de la fuerza «F ». A)8N B)10 0 1 6 D)18 E)20 (T^El bloque de 4kg es lanzado sobre la superficie horizontal rugosa con una rapidez de 8m/a. Determine el trabajo de la fuerza de rozamiento hasta el instante en que su rapidez es 2 m/a. V« V,

A) - 100J B) -80 O -120 D) -140 E) -180 (Q)Un niño se encuentra sentado en un columpio como se muestra. Si al pasar por «A» presenta una rapidez de 5m¡a determ ine su rapidez cuando pasa por B . (Considere la masa de la soga muy pequeña) (g = 10m/8*).

V=5m/a

Un esquiador parte desde el reposo en la cima de una colina (A) , si se desprecia la fricción con el hielo, halle la velocidad del esquiador en ei valle (B). (g=10m¡82)

I A E X C JrJ.& réC M A 201% )

A)8m B)10 0 1 2 D)18 E)20 La esfera mostrada es soltada en la posición «A». Determine la rapidez que alcanza al pasar por la posición «B ». (g=lOm/a ) AQ

L = 0,4m w \

A)2mia

A)8ml8 B)10 0 1 2 D)14 E)16 En el problema anterior, halle la velocidad cuando el esquiador pasa por la cima de la segunda colina (O ■(En m/a) A)0 B)2 04 D)6 E)8 (75)Se deja caer un objeto desde una altura de 21m . ¿A qué altura durante su caída la energía cinética será el doble que su energía potencial? A)5m B) 7 014 (ÍS)Si el péndulo de la figura se sujeta en el punto « 1 ». ¿Qué ángulo máximo « a** formará la cuerda con la vertical?

;v

B)4

06

D)8

E)10

<57)Determine la medida del ángulo « $ ». Si la esfera llega como máximo al punto «B» , considere superficies lisas. (g = 10m/as)

A)16° B)30° 0 3 T D)45° E)53° En el punto «A », se lanza el bloque con una rapidez de s42m/a ¿Qué altura logra ascender? (g = 10 m/a*) 1 t*h=~2

1m

A)45mi8 B)5 04 (T^Un mono de 20k g sube por un árbol derecho con una rapidez de 0,4m/a. Halle la energía potencial que ganó el mono si llegó a la copa del árbol en 20a. (g = 10m/a2). A)1 600 J B)1 700 O I 800 D)1 900 E)2000 Una rampa tiene una altura de 0,8 m; si una esfera es soltada en la parte superior, ¿con qué velocidad llega ésta al suelo? (g = 10m/as) A)lm/a B)2 0 3 D)4 E)5 (Q(Un arquero coloca una flecha do 0£ k g en su arco, al tensar la cuerda

A)arc sen (3/4) O a rc eos (4/3)

B)arc tan (3/2) D)3T E)53°

(Í2)E1 bloque es abandonado en «A ». Determ ino el alcance horizontal que logra al salir de la rampa, considere superficies lisas. (g =10 m/a2).

A)2,5rn B)3,5 0 1 ,5 0)0,5 E)4,5 @ )U n bloque de 2k g es lanzado con una rapidez sobre un plano inclinado rugoso tal como se indica. Si al llegar a la superficie horizontal tiene una rapidez de 4m/a, hallar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento de «A» hasta «B» .

\2m

A)66J

B)44

0 8 8 D )77 E)99

E im m x u s KIIUXOS)

TZBI « 7 8 BEÉI

ÍE iV K K G ll

@)E1 bloque de 4kg se encuentra unido a un resorte de rigidez K=10N/cm sin deformar. Si dicho bloque es lanzado con rapidez de 2m/a como se indica, ¿qué longitud máxima se logra com prim ir el resorte? v=2m ¡s I K -WMW/MVA-. A)Q,1 B)0,001 C)0t5 D )0$ E)Q£5 Un bloque de 2kg se coloca al lado de un resorte la cual se deforma lOcm como se indica. Cuando se suelta al bloque, ¿qué distancia logra avanzar el bloque sobre la superficie horizontal rugosa?, K=1000N/m (el resorte no está soldado al bloque) (g= lOm/s2)

0,lm A)0,5m B)1 0 1 ,5

D)2

E)2,5

en la posición «A» para que logre dar la vuelta en el riso. Considerar superficies lisas. ( g = 1 0 mfas) (R=2m ) '

y

Una esfera hueca que por su interior pasa un tubo liso, es dejada en libertad en A tal como se muestra. Determine su rapidez con lacual llega a impactar al piso. Desprecie la resistencia del aire. (g =10 mis1)

+

?•

A)4mls B)4\Í5 C)3 D)2*j2 E)NJi @ La figura muestra a un cuerpo que fue lanzado en «An con una velocidad de 2 m/s. Determine cuál será su velocidad al pasar por el punto «B*. (g=lOm/s2)

O

A) 6 m/s B) 8 m/a

i

O 10 m/a D) 12 m/a E) 14 m/a

Tuoo 3m

El ejeverticalmostrado es liso. Calcular con que rapidez se debe lanzar el collarín de 2 kg paraque A)22m/s B )U C )4T l D) 2 j l i E)33 el resorte (K =1 120 N/m) se comprima 0,5 m como máximo. ^ft^De la figura, determine el valor de «V» considerando que no existe (g = lOm/a2) rozamiento. (g =10 m/s)

El bloque de masa 4kg se suelta en (A) .velocidad llega al pasar por (B)?

•/ l,5m m a sa d e s p r e c ia b le

mK A)lm¡S B)2

03

D)4

E)10

(27)Determine la rapidez con la que debe ser lanzado el bloque en la posición «A» para que pase por la posición «B» con una rapidez de 2m¡8. (Considere superficies lisas)

(6?) Desde A se lanza un proyectil con una rapidez de 50 m/s; calcule la rapidez con la cual el proyectil impacta en el cocotero.

A) 8 m/a B) 10 m/a O 12 m/a D) 13 m/a E) 15 m/a @ ) Si la esfera de 5kg se suelta en la posición que se indica, ¿con qué rapidez llega al fondo? El agua ejerce una fuerza de oposición constante, cuyo módulo es de 10 N. (g =10 m/a2)

h=4,8m

t lm

A)2m/a

B)4

OS

D)10 E)20

@)Determine la mínima rapidez con la que debe ser lanzada la esfera

A)15-j2m¡» B)20m/s C)20j5m/a D )20j2m la E)2Sm/a

i

g

A) 1 mis D) 4 mis

B) 2 mía E) 5 mía

C) 3 mía

Un joven coloca verticalmente una viga homogénea de 40 k g y 3J5 m de longitud, tal como se indica, si lo hace lentamente.¿Qué cantidad de trabajo realiza? (g = 10 m/s*)

A) 0 ¿ 5 B) 0,35 C) 0,45 D) 0,70 E) 0,75 Determine el módulo de la fuerza horizontal constante que ejerce el aire sobre el bloque de Ikg, sabiendo que la rapidez del bloque en A y B es de 6 m/a y 4m¡a, respectivamente; (g = 10 m/a ) r = lm A)17,5N*\..........................V e B)7,5N '53°: C)12N D)4,5N E)20N A

IA EArCU'J *>*m *T>L\ 20 í¿] A) 12,5 m/s B)12,6m/a C)12,8m/s D) 12,9 m/s E)13m/s Una placa metálica de 4kg tiene soldado en su parte inferior un resorte de K =200N /m . Si ejercemos una fuerza constante F = 80 N tal como se indica. ¿Qué máxima altura ascenderá dicha placa? (g = 1 0 m/a2) F

V D) 700 J E) 500 J Un collarín de 2kg es elevado mediante una fuerza vertical constante de 200 N , tal como se muestra. El resorte tiene una longitud natural de 90cm y rigidez igual a 1150 N/m. Determine la rapidez del collarín en el punto B, sabiendo que partió de A, desprecie el rozamiento; (g = 10 mis2) F=200N A) 9 mis B) 6 mis C) 5 mía D) 4 mis E) 3 m/s

Un tejo de 5 kg es soltado en A y al resbalar sobre la superficie áspera se disipa 920 J de energía en forma de calor, al desplazarse desde A hasta B. ¿Qué módulo tiene la reacción cuando el tejo pasa por B. (g = 10 m/a2) A)24 N B)30 N C)32 N D)36 N 23m

A)20 cm D) 70 cm

B)40 cm E) 80 cm

R e s o r te sin d e fo r m a r

C)60 cm

Una piedra se lanza tal como se m uestra. Si la com ponente horizontal de la velocidad de lanzamiento tiene un módulo de 30 m/a, determine 0. (g=10m/s2)

E ) j5 N

120cm

Un bloque de lOkg pasa por la posición x =0 con una rapidez de

1 90cm Un bloque de 10 kg se suelta desde el punto A en el carril ABCD. El resorte al hacer contacto con el bloque experimenta una deformación máxima de 0,3 m. Determine el coeficiente de fricción en el tramo BC de longitud 6m, siendo las demás superficies lisas; K = 2000 N/m; (g = 10 m/a2) A

12 m/a. A partir de dicha posición se le ejerce una fuerza horizontal que varía con la posición, tal como muestra la gráfica, determine la rapidez máxima del bloque. (g = 10 m/s2) ((F(N) 100

x(m)

1

(0 . 5 0, 75 6m

x= 0

A)30° B)45° C)53° D)60° E)74° Dos esferitas de igual masa están unidas a un resorte ideal de constante de rigidez K. Cuando el sistema está en equilibrio se corta el hilo, indique la alternativa correcta. A ) L a e n e r g ía c in é tic a d e B i n m e d i a t a m e n t e d esp u és d el co rte a u m e n ta . B ) L a e n e r g ía c i n é t ic a d e A in m e d ia ta m e n te d esp u és d e l c o r t e n o s e a lte r a . C )L a e n e r g ia p o te n c ia l e lá s t ic a d e l r e s o r te va a m a n te n e r s e co n sta n te. D ) L a e n e r g ía c i n é t ic a d e l c e n tr o d e m a sa va a a u m e n ta r . E ) A y B c o n s e r v a n su e n e r g ía m e c á n ic a .

K

[e j v m

Un esquiador inicia su descenso desde la posición A. ¿A qué distancia del borde de la rampa caerá dicho esquiador? (g = 10m¡s2) g

80 m

t

180 m

A)300 m

BJ160 m E)240 m

D)200 m

EDICIONES tilHUNOS)

673

s r il ía

B C)180 m

(£j) En el instante mostrado el resorte no presenta deformación. Si la faja transportadora inicia su movimiento m anteniendo constante su rapidez, se determina que la fuerza de rozamiento realiza un trabajo de 2o J hasta el instante en que el bloque llega a tener rapidez igual a cero. Determinar la máxima deform ación que experimenta el resorte K=50Nlcm.

módulo tiene la reacción de la superficie sobre la esfera, cuando ésta pasa por B? (K=100 Nfm, g = 10 mis2) A)148N BJ146N CJ166 N D)186 N E)191 N

_ Si el bloque de ma6a M =3 kg se suelta en la posición mostrada, estando el resorte sin deformar, determine la rapidez de M en el instante en que el bloque m comienza a elevarse. (K = 12 Nlm y m = 2 kg)

A) 0,1 m D) 0,4 m

E>

B) 0,2 m C) 0,3 m E) 0,45 m

Calcule la rapidez V0con la que se debe impulsar a la bolita de vidrio para que pueda pasar por el punto B con las justas, luego de recorrer la superficie cilindrica lisa. K = 0,3 m; g = 10 mis2 B Y 0/10

R

A) 5y¡6m / s

K)5 m¡8

C)3,2 mis

RJ 6\¡5 m I s F)6 mis (Q)En la figura se abandona una esfera lisa de 5kg en la situación que se muestra. Si la longitud natural del resorte de l £ m . ¿Qué

B)Jd g R

D )3 jg R

E jJlO gR

C )p g R

En la figura O es un punto fijo y la esferita está unida a un resorte sobre un plano horizontal liso. Si estiramos el resorte unido a la esferita y la lanzamos como se muestra sobre el plano, señale la proposición incorrecta.

A) 10 m{s B ) i o j 2 *»/*

g = 10mf82

C) 2 0 4 2 mis D)20 mis E>

42 mis ^

F a ja tr a n s p o r ta d o r a

-n m n fr r r a \

A ) j3 g R

Un disco homogéneo fijo a una pared está enrollado por un cable muy liviano pero resistente, el cual en su extremo sujeta un bloque de 2kg. El bloque empieza a caer desde una altura de 90 cm. ¿Qué rapidez angular tiene el disco cuando el bloque impacta en el suelo? (Mdixo = 4 k g ;g = 10 mis2) r = 0,6m í r A) 4 radjs B)3,4 radia 0 6 ,8 radia g D)5 radia E)7,6 radia

¿Con qué rapidez máxima se debe lanzar el bloque de masa m en forma horizontal para que el aro de masa 5m no se desprenda de la superficie esférica? No hay rozamiento.

A) La en erg ía cin ética de la e s fe r ita no se m an ten d rá constante. B)La en erg ía p o te n c ia l del resorte perm anece invariable, necesariamen te. C)La fu e r z a elá stica p u ed e r e a liz a r tra b a jo sob re la esferita. D) La e n erg ía m ecá n ica del sistema se mantendrá inalterable. E) La en erg ía p o ten cia l gravitacional de la esferita no varía. @ 1 Un collarín de l k g es lanzado

en el punto A, con una rapidez de 2mls hacia arriba de una varilla lisa in clinada 53° sobre la horizontal llegando con las justas al punto B. Si el resorte de rigidez 400N lm , está deformado 20cm cuando el collarín está en A y 10 cm cuando llega al punto B, determine el recorrido del collarín desde A hasta B. (g = 10 mis2)

IA

vertical

A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

hasta que se detiene completamente el líquido del tubo. (R=20 cm) A) 0,5 J B) 1 J C )2 J D) 3,5 J E) 4 J

@ ) Determine el trabajo que debe realizarse mediante la fuerza p para ubicar lentamente la cadena homogénea de masa m y longitud L sobre la superficie horizontal. Desprecie el rozamiento.

La pelota de 2kg que parte del reposo en A se desliza a lo largo del alambre liso. Si, durante su movimiento, actúa una fuerza F = (11; 6 y ; 2 z ) iV, estando «y» y «z» en metros, determine la rapidez de la pelota al llegar a B. (g = 10 mis2 ( —%))

A)2,5 mL B)3 mL C)5 mL D)mL E)3£ mL @ )U n observador, ubicado en el carrito que acelera con 7,5m/s*, nota que cuando el bloque de 4kg pasa por la parte más baja de la circunferencia de 20cm de radio, tiene una rapidez de 4m ¡s. Determine el módulo de la fuerza que ejerce el bloque, para tal observador, en la parte más alta de la circunferencia. (g = 1 0 m/s ) A

A)50N D)75N

B)60 N E)80N

A)5 mis B)10 mis O 5y¡5 m/s D) 15 m/s E) 10 JE m/s ( Una potencia P se transmite con ayuda de una correa. El radio de la polea de correa es de 50 cm , y ésta gira uniformemente a razón de 300 rpm. La tensión del ramal motriz de la correa es F=4 kN y excede en 60% a la tensión T del ramal conducido. Calcule la potencia P.

C)70N

Un tubo contiene 2 / de agua y gira en un plano horizontal respecto de un eje vertical coi. rapidez angular constante m=10 radls tal como se indica. Si repentinamente, el eje deja de girar, determine la cantidad de calor que se disipa

A)1 kW B)2 kW 0 7 ,5 kW D )4k W E )5kW @ )U n a máquina jala un bloque sobre un plano horizontal con una

E X C i r j.o M i D l A .2 0 l S )

rapidez V¡=8 m/s. ¿Con qué rapidez V subirá el bloque por el plano inclinado la misma máquina? Considere fx = 0,75 Ha

yt

Máquina

id Máquina

D)6 m/s

E)no lo sube

En un cilindro de paredes muy delgadas se enrolla un hilo y Be suelta sobre la superficie inclinada tal como se muestra. El cilindro se desenrolla de manera que el hilo perm anece paralelo al plano. Determine la rapidez del cilindro luego de recorrer 4 m a lo largo del plano (g = 10 mis2)

A) 2 m/s B) 2-J2 m/s 0 4 m/s D) 4 y[2 m/s E)8 m/s Sobre el bloque de 2 k g que está en reposo se empieza a ejercer la fuerza p , donde el módulo de p varía según F = 20x+10 tal que x es la deformación del resorte cuya rigidezK = 2 4 N/m. Determínela máxima rapidez que logra alcanzar el bloque. F K=24N/m Liso \

[msivmsrgéLa

677

A ) -Jl3,5m/8 B ) y ¡1 3 m is U ) yjl,5m/a

WyjJÜmls E)10 mía El sistema que se muestra se suelta en la posición que se indica. Si la varilla es de masa despreciable y el rozamiento entre las esferas de 2kg y la superficie existe pero es pequeño; determine cuánto calor se disipa al transcurrir un gran intervalo de tiempo. (R = 4 m ;g = 10 mis2, j 2 1 ,4 )

A)32J B)28J C)16JD)12J E)4J (6^ El sistema m ostrado se encuentra en reposo, en cierto instante se corta la cuerda vertical y en forma simultánea el coche inicia su m ovimiento hacia la derecha con una aceleración

El bloque mostrado desliza sobre una superficie lisa con una rapidez V e ingresa sobre una plataforma de superficies rugosas y cuya masa es de 50 kg. Determine la cantidad de trabajo mecánico (W) que realiza la plataforma sobre el bloque, si al final ambos avanzan con una rapidez constante de 2 m/s. V —

A) -120 J B) -60 J O +30 J D) +50 J E) -100 J Si lá barra de masa despreciable de 30cm de longitud se desvía ligeramente de la posición vertical, ¿a qué altura H dicha barra no experimenta fuerza interna?

constante de módulo -r - m /s Determine el menor ángulo que forma la cuerda con la vertical, (g =10 m/s2) .

A) 16 cm D) 25 cm

A)0t4 J B )0 ¿ J C)0,25 J D)0,8 J E)4 J 0,4m

Un péndulo es desviado 00° de su posición de equilibrio vertical al dejarlo en libertad. Señale las afirmaciones falsas. I) El trabajo de la fuerza de gravedad sirve para aumentar la velocidad de la masa pendular en su descenso. II) El trabajo de la tensión de la masa pendular permanece constante, si no se considera la fricción del aire.

40

A) 15° B) 8o C) 16° D) 3T/2 E) 63°/3 La cadena homogénea de 2 kg y de 2m de longitud está inicialmente en reposo. Determine el trabajo que es necesario que efectúe F hasta que los extremos inferiores coincidan, considere que la polea pequeña es \isa.(g=10m¡8S)

H n iC J O N E S K llt lX O S ) horizontal. Si su rapidez se reduce en 20%, su nueva energía cinética es e l de la energía cinética anterior. A)10% B)32% C )20% D)64% E)40% @ )L a energía cinética inicial de un cuerpo en movimiento es E0. La velocidad del objeto se duplica por acción de las fuerzas aplicadas. ¿Qué trabajo efectuó la fuerza resultante sobre el cuerpo? A)2E0 B)4E0 O 3E 0 D)E0 E)5E0

B) 20 cm O 30 cm E) 15 cm

(57)Un camión cargado y un pequeño automóvil se mueven con la misma energía cinética. Indicar la(s) afírmación(es) verdaderas: /) La rapidez del automóvil es mayor que la velocidad del camión. II) El trabajo necesario para detener el automóvil es menor que el requerido para detener el camión. III) El trabajo necesario para detener los vehículos no depende del valor de la fuerza aplicada para frenarlos. A)I y II B)I y III O H y III D)Sólo I E)Sólo II Un automóvil se mueve con una rapidez V sobre una superficie

HI)ha energía mecánica de la m asa p en d u la r perm an ece constante, si no se considera la fricción del aire. A)Sólo II B)Sólo I OSólo III D)I y II E)I y III Un cuerpo de masa «m » se suelta desde el punto A, situado a una altura «h » sobre el suelo. Considere al cuerpo al pasar por el punto B , a una altura «h/4» sobre el suelo, en su caída vertical. Si la resistencia del aire no es despreciable, indicar verdadero (V) o falso (F): I) La energía potencial del cuerpo en B, vale mgh/4 respecto del piso. II) La energía mecánica total del cuerpo en A, vale mgh respecto del piso. III)La energía cinética del cuerpo en B, es menor que 3mgh/4. (g=aceleración de la gravedad). A )V W B )F W OFVF D )W F E)VFV

I F E S U fC A (© C on relación al trabajo de las fuerzas conservativas, señale la expresión falsa: A)Ea in d ep en d ien te de la tra yectoria en tre 2 p u n tos dados. B) Es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de la energía p o ten cia l asociada a dicha fuerza, C) Es completamente recuperable. D) Depende de la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada. E) Se puede medir en Joule. m Se tienen dos cuerpos de diferentes masa las cuales se encontraban inicialm ente en reposo. Si ambos son acelerados hasta que adquieren la misma energía cinética; luego, es correcto: El trabajo total efectuado sobre ambos cuerpos es igual. //JE1 cuerpo de menor masa adquiere una maj'or rapidez. III) Si sobre ambos cuerpos actúa la misma fuerza resu ltante, entonces el cuerpo de mayor masa recorrió mayor distancia. A)I y III B)II y III C)Sólo I D)I y II E)Sólo II Un cuerpo describe un M CUV entre dos puntos debido a la acción de una fuerza resultante. Luego, se podrá afirmar correctamente: I) El trabajo neto depende del radio de la trayectoria.

U E jV T m oi^'P M gO f^l constante de 2mfa. La cadena es homogénea de 8 k g y longitud L=10m. (g= lOm/a2). S éls?3*; • A)100J D)400

B)200 E)500

C)300

L/5

Una esfera de 2kg es lanzada, 4L/5 en la forma mostrada, desde la superficieterrestre. Sinconsiderar lafricción del aire. Halle suenergía potencial gravitatoria respecto al A)64J B)128 0 2 5 6 D)512 E)640 piso enel instante que su velocidad © )L a cadena homogénea de 90cm forma 45° con el horizonte. está en equilibrio en la posición (g = 10 m¡82).

mostrada. Si el extremo «A» es desplazado, ligeramente, hacia abajo y luego es soltado, se pide: la rapidez de la cadena cuando ésta adopta la

V0 = 20 m ¡8

53° A)144J B)256 056 D)112 E)400 (Q)Un resorte ideal, cuya constante de rigidez es 4Nlcm, se encuentra inicialm ente estirado 3 c m . Determine en cuánto varía eu energía potencial elástica si lo estiramos 2cm más. A)80mJ B)160 0320 D)640 E)240 Por un extremo de una mesa cuya superficie es lisa cuelga una cadena homogénea de 3kg y 3m de longitud. Siendo el extremo libre im , la cadena inicia su deslizamiento. ¿Con qué rapidez abandona la cadena la superficie de la mesa? (g= lOmla2)

A)5m/a B)42 0 4 5 D)7/3 E)7 © S e abandona una pequeña esfera en la posición mostrada. Si al pasar por «P » posee una aceleración de 1045mfa2, determ ine «H » . No considere fricción. (g = 10 mls2).

II) El trabajo neto depende de la masa del cuerpo. Ul) El trabajo neto será nulo. A)Sólo II D)I y II

B)Sólo I C)Sólo III E)I y III

Un bloque de 4 k g está en reposo sobre un piso liso en t =0 se le aplica una fuerza F = 20N , como se muestra. Halle la variación de su energía cinética entre los instantes t= la y

t=3s.

lm

A)2j3 B)3yf2 0 5 4 2 D)24b E )-4 l5 3

© A partir de la posición mostrada y despreciando el rozamiento en la mesa, calcular el trabajo necesario para colocar toda la cadena sobre la mesa subiéndola a la velocidad

A)R/2 B)R 02R © )U n a fuerza horizontal que viene dada por F = (3 0 x + 50) newton, donde «x » está en metros, actúa sobre un cuerpo de 2k g durante el recorrido de x =0 hasta x = 2 m , no hay fricción. ¿Qué velocidad tiene el cuerpo al final del recorrido, si partió del reposo? AiJldm/s B)24Í0 C)3y/ld D)4n[Í0

[m s j v m s k c íé a .

EDMCiONES RUBINOSft

679

(Q)En el sistema mostrado en la figura, se pone en movimiento mediante una carga central de masa «m». Determínese la magnitud de la velocidad máxima de la carga central. h----------2C------------ w

& m

i

g

A)0,5m/8 B)0,8 C)0t9 D)1 E)l,5 El bloque de 3 9 k g de masa parte del reposo en A. Determinar la altura que desciende hasta que se d etien e. No con sid ere rozamiento, la fuerza central F en todo momento apunta al punto P y cuando valor en Newton está dado por F = 2 0 r, donde r es la distancia del bloque al punto P. (g = 10 mls2).

m

m

B )^ g £ (3 -j3 )

(f^)En la figura mostrada, el bloque de 2kg es soltado en A y se desliza sobre la superficie rugosa. .Calcular la máxima deformación del resorte (k=140Nim). (g = 10m/82).

A)0¿m B)0,3 C)0,4 D)0,5 E)0,6 El bloque de lOkg descansa sobre la superficie horizontal como se muestra en la figura. El resorte, que no esta fijo al bloque, tiene una rigidez K=500 N/m e inicialmente está comprimido 0J2m (punto «A» ). Después de soltar el bloque en A, a partir del reposo, determine su rapidez cuando pasa por C. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloqueyel plano es pk= 0t10 (g= 10mls2). . 0t5m

I 5.

* ' , TODOESDODORT’— í

A)6m B)9

C)10

D)12

^

B )r = 2 y f2 a (l - CosO) C )r = 4 a ( 1 - Co8&) D )r = 4\Í2a( 1 - CosO) E )r

8 a ( 1 - CosO)

(S^El gráfico nos muestra un bloque apoyado sobre una tabla y unido a un resorte inicialmente sin deformar. Si la tabla empieza a descender con aceleración constante de módulo a. ¿Cuál será la deformación del resorte en el instante en que la tabla se despegue del bloque?, ¿Cuál será la máxima deformación del resorte? (a
E)15

@ )U n a barra de peso insignificante tiene en sus extremos sujetas las masas m y 2m , estando articulado sin fricción en su centro. La barra está en posición horizontal, siendo entonces liberada a partir del reposo. ¿Cuál es la rapidez de cada masa cuando la barra pasa por la posición vertical? H á m o --------------

A)r = 2 a (l - CosO)

d £

Aj.|| dg B)J| C;J| D)J~ E) La barra AB uniform e y homogénea que muestra la figura es de longitud 2a. Una cuerda de longitud 2 \Í2a , que pasa sobre una polea pequeña situada a una distancia 2a por encima del punto B t une el extremo A de la barra con una pequeña esfera Q que se desliza sin rozamiento por una superficie curvilínea. Si cuando la barra se encuentra en posición horizontal, la cuerda que sostiene la esfera Q es vertical, determinar la relación entro r y ^ para que el sistema se encuentro en equilibrio indiferente.

g

—

K

I m

A ) ^ - ( g - a ) ; ^ - [ g + ^ 2 g a - a 2] k k „. m

m

C ) ^ ( g - a ) ; ^ y]2ga - a n r Un collarín de 4kgyinicialmente en reposo, es desplazado mediante una fuerza constante p desde A hacia B como se muestra. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, si cuando llega a la posición Bt presenta una rapidez de 3m/s y además en este tramo la fuerza de resistencia del aire realiza un trabajo igual a -20J. (g= 10mls2) F = 6ÓÍN

W5H*80 MBB

\JFWSíW40LS%.

U

A )-l 1J B)-30 C)-28 D )-22 E )-18

El bloque de 2 k g inicia su

Si en el instante que el coche acelera el bloque, se suelta en «A», y luego de recorrer una distancia horizontal igual a la longitud del plano inclinado se ubica reposo relativo al coche. Hallar la aceleración del coche desprecie el rozamiento. A ______________ a

ascenso debido a la fuerza p , cuyo m ódulo varía de acuerdo a la gráfica. Si a una altura de 4m t pJT deja de actual*; determine la altura máxima que alcanza dicho bloque.

E y c i r j.a n u í P L t 2 0 1 2 ]

T

I

t

í

t .......

(g = 10m/82).

X

a F (N )

g

t

F 60

1

A )V = < / - / „

—

) l ~ B ) V = ( e - t 0 J — Cosa V2 m

Vro

30

v=o

+ Y(m) A)gSen0/2 B)gCos0f2 OgTgO/2 D)gCtg9í2 E)g Un anillo de radio R es dejado en libertad de la posición mostrada. Si no existe rozam iento, determinar la máxima energía cinética que adquiere el anillo (formado por dos m ateriales) durante su movimiento.

2m

i*

A)4,5m

B)7

09

y

D)9,5 E)12

El sistema que se muestra se suelta en la posición que se indica. Si la varilla es de masa despreciable v el rozamiento entre las esferas de 2kg y la superficie existe, pero es pequeño; determine cuánto calor se disipa al transcurrir un gran intervalo de tiempo. (R=4m, g - 10mÍ82; 02 =1,4) R R rn

S )B

t )E

6 ) f t ) C

« )1

9 )1 4

l í ) f

M

!1 )C

8 ) £

I

I M

m

0

8 ) 1

I S )1

I S jB

K

jC

t y l

w

ú

8 ) 1

m

D E ¡ A S E O i m P M C T IC Á !

t e s

a)B 6 )f 7)11 S)1 9)B I0)f i f i [á)B m !/)! líjJ Ií)l¡»)f

Í)B2)f É

[ m m D E L A TE R C E R A P R A C T IC i] l ) f

l)D

I

4 , A)mg — B)2m g— K R D)4mg— E)mgR R

03m g —

x

@ )T re s esferitas de masas: m í =3g;m s =2g y m 3=19 están enlazadas por varillas imponderables de igual longitud. Si el sistema se suelta de la posición mostrada, hallar la máxima rapidez que adquiere el centro de masa del sistema. No considere rozamiento.

B)

203

)gR

3 -0 3

D0 -0

>gR n j e *

A)32J B)28J 0 1 6 J D)12J E)4J @ E n los extremos de un muelle imponderable de rigidez **k» y longitud « , se hallan abalorios de masa «m » cada uno. Los abalorios están puestos en barras sujetas rígidamente de la manera expuesta en la figura. La distancia entre los extremos de las barras « ¿ a» coincide con la longitud del muelle sin estirar. Determínese con qué velocidad se moverá el muelle en la dirección «x» , después de que los abalónos se desprendan de las barras. En el instante inicial el muelle se encontraba en reposo. Menosprecie la fricción y el campo de gravedad.

1 1 )1

1

2

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C b * = E U f - E »0

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donde

f

MCWTWSWl%r*»P6

MISCELANEA # 3 01. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Un objeto necesariamente se encontrará en reposo si sobre el no actúa fuerza alguna. II. En ausencia de fuerza externa un objeto en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante. III. Aquello que puede alterar el estado de movimiento de un objeto se denomina fuerza. A) W V B) F W 0 ) FFV D) FFF E) VFF 02. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones respecto a la primera ley de Newton: I. Si un cuerpo en movimiento, en ciertos instantes está en reposo, en dichos instantes el cuerpo se encuentra en equilibrio. II. Todo cambio en la velocidad de un cuerpo indica el efecto de una fuerza. III. Si el velocímetro de un cuerpo indica rapidez constante entonces la fuerza neta sobre dicho cuerpo es cero. A) W F B) FVF C) V W D) F W E) VFF 03. Respecto al concepto de fuerza, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Surge cuando dos o más cuerpos se encuentran adyacentes. II. Es una cantidad escalar y la unidad en el S.l. es el newton (N). III. Los cuerpos que interactúan, necesariamente tienen que estar adyacentes. A) V W B) W F C) VFV D) VFF E) FFF 04. Un objeto es soltado por un riso circular liso, desde la posición "A", el D.C.L. más adecuado del objeto en la posioón "B’ es:

A)

«8 »

MFWSKJMZMHalle lo que marca el dinamómetro ideal -D’ (en N) g = 10 m/s2.

C)

B)

-» v

05. Jaimito, quien se encuentra parado en el centro de la plataforma, está en reposo. Si Jaimito tiene masa m y la plataforma tiene masa M, ¿cuáles de los siguientes DCL son correctos?.

-7!§w=ir=iMHi=ihiilkr A) 30 B) 60 C) 30t/3 D) 60>/3 E) 120 08. Halle la tensión en el cable (1) del sistema en equilibrio mostrado en la figura

¥

I.

II.

s

Ti 73

j 1

l

09. Si se sabe que el peso de A es de 200 N, calcule la suma de los pesos (en N) de B; C y D.

mg

A) Solo I B) Solo II C) D) Todos E) Ninguno

Solo III

06. Para que ei cuerpo mostrado en la figura, sea considerado como una partícula en equilibrio ¿cuál(es) de las siguientes condiciones es (son) necesaria(s)? I. Fi +F2 +F3 = Ó II. F1 , F2 y Fa son colineales • F1 . F2 y Fa son concurrentes.

A) Solo i B) Solo II C)Solo D) Solo I y IIE ) Soto I y 07. El sistema mostrado se mueve con velocidad constante v = 4im/s; las cuerdas no tienen una masa significativa y la del bloque es 6kg.

A) 250 D) 336,6

B) 260.5 E) 358,1

C) 300,2

10. En ia figura se muestran dos esferas iguales de radio R = 0,2m y masa 2kg. Calcule la reacción de B sobre A (en N) asumiendo que todas las superficies son lisas.

i& rn i= n = u = n = i& r A) - 7 3 B)2073 C)— 73 3 3 D) 3072 E) — 72 3

L A

11. Dos cilindros de masas 10 kg se encuentran en reposo como se muestra en la figura. Suponiendo que todos los contactos son lisos, halle la fuerza F (en N) con que el resorte sostiene al cilindro.

A) 5.45 D) 2,80

B) 4,20 E) 1,50

C) 3,66

15. La figura muestra la varilla AOB al que se le aplican fuerzas, si la varilla tiene masa insignificante, determine el torque resultante (en N.m) debido a las dos fuerzas respecto del punto O.

6m

9

x 20 N

B

A) 25k B) -2 5 k C) -30k D) 30 k E) 50 k 16. La barra homogénea mostrada pesa 140 N y el torque respecto de O es -24kN m cuando se aplica sobre B una fuerza F cuya dirección está a lo largo del eje +Y. Evalué el torque de F respecto de A. Calcule

4m

I. Es una cantidad escalar y su unidad en el S.l. es mN.

143®

II. El torque sobre un cuerpo solo depende de la fuerza que actúa sobre el. . El torque es perpendicular al plano formado por el brazo de palanca y la fuerza. A) WV D) FFV

B) W F E) FVF

C) VFV

B)

D) Ff

E)

3 F7

C)

F f.

£ 18. La barra homogénea AB de masa 9 kg está sostenida por cuerdas (1) y (2). Halle el torque de la tensión en (1) respecto de A. Considere Lab =4m y g = 10 m/s2.

O 3m

13. Respecto al torque, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones;

A) 0

15 Nf

pared

A) -70 0 j B )-3 0 0 jC )-5 0 0 j D) 800j E )-800j

.€ » m» msm» m a 2 0 1 2 ]

14. La placa es un hexágono regular de 0,5m de lado. De tas 3 fuerzas mostradas, calcule la magnitud del torque resultante (en N.m) respecto del punto A.

A) 24 6) 36 C) 48 D) 60 E) 72

12. La piedra triangular isósceles homogénea de 20 kg encaja en la pared vertical manteniéndose en equilibrio con la fuerza F = -300i + 500j N . Si los contactos son lisos, halle la fuerza de reacción (N) sobre la piedra en la superficie horizontal.

k x c m c m

A) -168k D) 70 k

B) 168 k

C) -70k

E) 100j

17. La varilla doblada de la figura puede girar en tomo a O y es de masa insignificante. Calcule en N.m el módulo del torque de F respecto a O si IF I = 300N.

A) -5 0 k B) -30k C) 20k D) 40k E) 60k 19. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio, la suma de tos torques de todas las fuerzas que sobre él actúan respecto a cualquier punto, es cero. II. Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero, entonces está en equilibrio. III. Si un cuerpo rígido no se encuentra en equilibrio, necesariamente la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre él es diferente de cero. A) W V B) FFF C) VFF D) W F E) FFV 20. La figura muestra una esfera homogénea de masa M y radio R. Si a ésta se aplica una fuerza F horizontal, como indica la figura y las superficies son lisas, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones; I. Para cualquier valor de F (siempre que no se rompa la esfera o la pared, la normal

Ñ W M S ia M Z M ^ y m -x m C J * .

ejercida por el piso tiene igual módulo que el peso). Para un F relativamente grande la normal del piso vale cero. El torque resultante respecto al centro de la esfera es igual ai torque resultante respecto al punto de apoyo en el piso.

23. El peso de la barra homogénea en la figura es de 100N y su longitud es 2 m. ¿Cuál es la tensión (en N) de la cuerda? A) 10 B) 20 C) 50 D) 80 E) 100 i30°

A) VFV B) W V C) FVF D) FFV E) FFF 21. La esfera de radio R y la barra homogénea de longitud 4R de la figura tienen pesos iguales están en equilibrio. Halle el ángulo 0 si la cuerda que sostiene a la esfera mide R.

24. La figura muestra una varilla homogénea que se encuentra apoyada en una báscula permaneciendo en reposo bajo la acción de la fuerza F (perpendicular a la varilla). Si la lectura de la balanza es de 41N, determine la masa (en kg) de la varilla. (g = 9,8 m/s2). F, A) 1,02 B) 2,01 C) 3,05 D) 5,10 E) 6.54

A) tg-’ (2 + S )

B) tg-' (2 - n/3)

C) sen-1( ^ + 2 )

D) ig-'fi

25. Hallar el módulo de la fuerza HF" para que la barra de .1 kg, permanezca horizontal ( W = 10 N).

E) s e n -'^ 22. Una barra de peso W y longitud * f* se encuentra en equilibrio apoyándose sobre una pared vertical lisa y un piso horizontal rugoso. Determine la reacción del piso sobre la barra.

¡¡=)/=)r=)hi/=}h¡M A) ^ (l+ c o tg 20)1/2 B) ^ *(1 + sec2 0)w2 C) y ( 4 + tg20)1/2 D) ^ (4 + s e n 20)V2

D) 20 E) 25 26. La barra uniforme AB de 15m de longitud mostrada en la figura, tiene una masa de 180 kg. Si todas las superficies son lisas, determine la mayor fuerza de reacción (en N) sobre la barra. Considere a la cuerda CD de masa insignificante.

A) 200 D) 500

8) 300 E) 600

4 »

0

3

j

C) 400

27. En el sistema mostrado no existe fricción, el bloque A recibe una reacción de 80 N de la superficie inclinada si la polea P tiene peso insignificante y la polea Q pesa 10 N y considerando que el sistema se encuentra en equilibrio, determine los pesos de los bloques A y B (en N).

A) 100 y 25 C) 120 y 50 E) 180 y 60

B) 120 y 30 D) 150 y 50

28. El bloque de masa m mostrado en la figura se mantiene fijo al aplicarse una fuerza F mediante el sistema de poleas y cuerdas ideales. Determine la tensión T. en la cuerda mostrada. A) B) C) D) E)

mg/2 mg 3mg/2 2mg 5mg/2

I g

29. Con relación a las siguientes proposiciones sobre las fuerzas de fricción indique verdadero (V) o falso (F). I. Siempre actúan tangentes a la superficie en contacto. II. No dependen del área de las superficies en contacto. III. Para dos superficies determinadas la fuerza de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético. A) W V B) W F C) VFV D) F W E) FFV 30. Respecto de las fuerzas de rozamiento, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. Siempre es contraria al movimiento del cuerpo sobre el que actúa.

1,4 K!yCM€'M<*»M»MSDMé\€OÍS¡\ II. Todas las fuerzas de rozamiento desgarran o desgastan las superficies sobre las que actúan. III. La magnitud del rozamiento o fricción estático, es siempre proporcional a la fuerza normal de contacto a las superficies sobre los que actúan. A) W V B) FFF C) VFV D) FFV E) FVF 31 En la figura todos los contactos tiene fricción estática p = 0,4. Si el sistema se encuentra en reposo, calcule el máximo valor del peso (en N) del bloque de la masa M si m = 2kg.

D) 80

E) 100

32. Se muestra los instantes en que un bloque lanzado, pasa por dos superficies (1), (2) con las velocidades indicadas. Si los coeficientes de rozamiento del bloque con cada superficie valen ^ y ji2i respectivamente, ¿para qué ángulo 6 las fuerzas de fricción respectivas tendrán el mismo módulo? 1 m/s

de la horizontal, y transporta las maletas con velocidad constante, el valor del coeficiente de rozamiento estático que debe haber entre las maletas y la faja, para que éstas no deslicen debe ser mayor que: A) 0,57 B) 0,60 C)0,63 D) 0,70 E) 0,78 34. Sobre la segunda ley de Newton, indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. Es una trayectoria curva !a dirección de la aceleración es diferente al de la fuerza. II. En la segunda ley de Newton no se cumple el principio de superposición de fuerzas. III. Las fuerzas a que se refiere la segunda ley de Newton son fuerzas internas del sistema analizado. A) W V B) W F C) VFF D) F W E) FFF 35. Sobre un cuerpo de 2 kg actúan, una fuerza de 3N y otra fuerza perpendicular a la anterior. Si el módulo de la aceleración del cuerpo debido a estas dos fuerzas es de 2,5 m/s2. Encontrar la fuerza perpendicular expresada en newtons. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 36. Determine la máxima aceleración que un atleta de masa "m” puede alcanzar, sobre una superficie horizontal sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las superficies en contacto es M-

38. En el sistema mostrado el ascensor desdende con una aceleración á = -2 j m/s2. Si la masa m = 10 kgy el hombre de masa M = 80kg se encuentran en reposo respecto del ascensor, determine la reacción (en N) del piso sobre el hombre.

A) 320 B) 490 C) 560 D) 600 E) 650 39. Si la partícula (2) de la figura se mueve con a * 2,5-?-, halle a.

D) 60°

40. En la figura el coefidente de rozamiento cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg es 0,3. No hay rozamiento en la superficie horizontal y en las poleas. a) Dibuje el D.C.L. de cada bloque. b) Halle la magnitud de la aceleración (en m/s2) con que se desplaza el bloque de 2 kg. II

5 m/s

- f f)

( D x vfl A)ü

A) are sen C) arctag

B) árceos O) are sen

E) árceos 33. En el aeropuerto Jorge Chávez se desea instalar una faja para el transporte de las maletas desde las bodegas del avión hasta el carrito que las lleva al almacén Si la faja tiene una inclinación de 30° respecto

g

D) pg

B )I M

C) 1 -£i M

E ) pg2

37. Un bloque sube por un plano indinado, que hace un ángulo de 37° con la horizontal, luego de ser lanzado con velocidad inicial de 15 m /s. ¿Cuánto tiempo en segundos tarda en alcanzar su máxima altura, si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.3? (g = 9,8 m/s2). A) 1,51 B) 1,82 C )2,53 D) 4,25 E) 6,25

E) 90°

E

a 3 kg

n iO k g A) 2,3 B) 3,2 C) 4,8 ,D) 5,9 E) 7,0 41. Un bloque de 0,2kg descansa sobre otro, de 0,8 kg. El conjunto es arrastrado a velocidad constante sobre una superficie horizontal por un bloque de masa 0.2 kg, como se muestra en la figura (1). Posteriormente el primer bloque de 0,2 kg se separa del de 0,8 kg y se une al bloque suspendido como en

UNti la figura (2). ¿cuál es la aceleración (en m/s3) del bloque de 0,8 kg en estas condiciones?, (g ■ 10 m/s3).

(en m/s) que el carro puede tener en B y continuar sobre la pista?

A) 25000.14 0 30000,12,2 E) 24000.12,2 42. Indique las proposiciones verdaderas respecto de una partícula que se mueve en trayectoria circular. I. SI su velocidad angular es constante entonces su aceleración centrípeta es constante. II. Si su aceleración angular es constante y mayor que cero entonces su aceleración tangencial es de módulo constante. til. La velocidad angular y la aceleración angular tienen siempre la misma dirección y sentido. A) Solo I B) Solo II C)Solo III D) Soto I y II E) Solo II y III 43. Un cuerpo de masa m = 2kg se mueve con MCUV de radío R = 2m. Si la magnitud de la fuerza centrípeta en el punto A es Fe* «4N y la rapidez en el punto B es ve =* 10 m/s, determíne la rapidez (en m/s) cuando el cuerpo pase nuevamente por A. .

A) 37,6 D) 16,4

B) 19,7 E) 3,1

C) 18,4

44. Un carro que se mueve en una montafla rusa tiene una masa de 600 kg cuando está totalmente lleno de pasajeros. Si el vehículo tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A. ¿Cuál es la fuerza ejercida (en N) por la pista sobre el vehiculo en ese punto? ¿Cuál es la rapidez máxima

B) 20000.14 0 ) 25000,12,2

45. Un disco, de radio R = 50cm ,g¡ra con una velocidad angular igual a V Í0 rad/s (véase la figura). ¿A qué distancia máxima (en cm) del centro del disco debería estar un objeto para que gire con el sin deslizar, considere \it =0,2? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

I. La velocidad de un auto respecto de un S.R(1) fijo a tierra es v. Para otro S.R(2) el auto tiene velocidad cero, entonces este S.R se mueve con velocidad -v respecto del S.R.(1). II. Dos S.R., (1) fijo a tierra y (2) con velocidad constante horizontal respecto de (1), observan el movimiento de un proyectil. Para ambos sistemas el peso del proyectil es la única fuerza que actúa sobre él. III. En el caso (II) se puede afirmar que para el S.R.(I) la trayectoria del proyectil es una parábola y para el S.R(2) la trayectoria es una linea recta (proyectil en caída libre). A) Solo I B) Solo II QSolo D) Solo I y III E) Todas 49. La figura muestra un vagón de tren, dos observadores S y S ', además 3 situaciones distintas para las posiciones de un péndulo según sea el movimiento del vagón.

46. La rampa en forma de cono gira con velocidad angular o>=0,5 rad/s. Si el bloque gira con el cono sin resbalar pero en movimiento relativo inminente, halle el coeficiente de fricción bloque-cono.

30 A) 37 33 O) 37

34 E) 37

47. Indique ¿cuáles de los siguientes sistemas no son inerciales? I. Una nave espacial que despega con aceleración constante respecto de tierra. II. Una persona que se mueve con aceleración nula sobre una pista. III. Un automóvil que se desplaza con rapidez constante en una pista circular. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 48. Indique ¿cuál de las siguientes proposiciones son correctas respecto de sistemas de referencias inerciales (S.R)?

I. Para el observador S \ la situación (1) corresponde a un movimiento del vagón hada la derecha con velocidad constante. II. Para el observador S, la situación (2) corresponde al caso cuando el vagón tiene un MRU. III. Para el observador S, las situaciones 1 y 3 corresponden al caso cuando el vagón tiene un MRUV. A) FFF B) FVF C)F W D) VFV E) W F 50. Con referenda a las leyes de Kepler indique cuáles son las proposidones verdaderas (V) o falsas (F). I. En la expresión T2 = KR3 el valor de K depende de las masas de los cuerpos que ínteradúan. II. Si el radio medio de la órbita de Venus alrededor del Sol es Rv = 0.73RT entonces et periodo del planeta Venus es Tv = 0,63Tt III. Kepler demostró que la órbita de los planetas alrededor del Sol son elípticas. A) FFF B) FVF C) F W D) FFV E) VFF

687

51. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones I. Si dos satélites A y B en órbita circular a 4400kg sobre la superficie de Marte tienen masas mA = (3 / 2) mB, entonces el periodo de A es igual al periodo de B. II. Si el radio medio de la órbita de Venus alrededor del Sol es Rv = 0,73Rt , R t radio de la órbita terrestre, entonces el período del planeta Venus es aproximadamente 227 días terrestres. . El gráfico muestra la trayectoria de un planeta en órbita alrededor del Sol. Las rapideces del planeta en A y B son Iguales.

D) FFF

E) FVF

52. En la figura se muestra la órbita elíptica de un planeta que gira alrededor del Sol, con un período igual a 3 años. Si el planeta demora 6 meses en ir del punto A al perihelio y 2 años seis meses en ir del punto B al afelio, ¿qué fracción del área de la elipse es el área de la parte sombreada? A

B

«i 53. Si para los planetas orbitando alrededor del Sol se tiene que T es el período, v la velocidad de traslación y R la distancia al Sol, ¿cuáles de las siguientes gráficas son correctas?

A) I y II 0 ) Todas

I jjI

B) II y III C) ly E) Ninguna

54. En un punto sobre su órbita, distante 2x109mdel Sol, el planeta Casiopea tiene una rapidez angular de 2x10~7 rad/s. ¿Cuál será su rapidez angular (en rad/s) a una distancia de 2x108m? A) 10-6 B) 2x10"® C) 3x1o-6 D) 4x1o-6 E) 6,3x1o-6 55. Dos satélites A y B mantienen movimientos circulares alrededor de un mismo planeta, la relación de Ta 4 radios de órbita es — , además rB 1 el período de B es 27 días. Determine el tiempo (en horas) en que el satélite A barre los 2/3 del área total de su órbita. A) 88 D) 182

B) 94 E) 196

C) 144

56. Dos satélites A y B giran en forma circular alrededor de la Tierra. El satélite A da la vuelta a la Tierra en 20 y el otro lo realiza en 5 días. Halle el radio de la órbita del satélite A, si el radio de la órbita del satélite B es 2R, donde R es el radio de la Tierra. A) R B) 2R C)3R D) 5R E) 7R 57. La figura muestra la trayectoria elíptica de un cometa que se desplaza en torno al Sol. Si el área barrida por el radio vector del cometa entre C y D es seis veces el área barrida por el radio vector entre los puntos A y B, además el tiempo transcurrido entre A y B es 3 meses, halle el período (en meses) del

D) 45

E) 54

58. Suponiendo que ei radio de un planeta sea 1/6 del radio de la

2012)

Tierra, además suponiendo que la densidad de ia Tierra fuera el doble que la densidad del planeta. Determine la aceleración de la gravedad (en m/s2) en la superficie del planeta (gT = 10 m/s2) . Considere densidad del planeta: masa del planeta/volumen. A) 0,56 B) 0,83 C) 1,26 D) 2,32 E) 2,68 59. En la figura se muestra un sistema de 3 masas ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo y otra en el punto medio de la hipotenusa. Determine la fuerza resultante que actúa sobre la masa ubicada en el punto medio de la hipotenusa, en términos de L = G m2 /(V2a2) . iy(m) M

.m

rrr A) -L (í+ j) C) -L (4 + j)

x(m) aV2

M

B) -L O -D D) L {Í+j)

E) 2 t.(¡-j) 60. Halle el valor de la densidad de la Tierra (en 103 kg/m3), considerándola uniforme, además tome g = 9,8m /s2 y Rt =6,38x106m. A) 5,1 B) 8,3 C) 9,5 D) 6,7 E) 7,9 61. Considerando la distancia promedio de la Tierra a la Luna de 385 000 km y la relación de sus masas de 81 a 1, a qué distancia (en km) de la Tierra se encuentra un satélite ubicado en la línea que une de los centros de la Tierra y la Luna, sabiendo que es atraído igualmente por ambos. A) 185 000 B) 220 000 C) 295 000 D) 346 500 E) 362 000 62. Determine a qué altura (en km) sobre la superficie de un supuesto planeta cuyo radío es de 2 700 km debe elevarse un cuerpo para que su peso disminuya en 19%.

i

M R M JM 9K 7% T*m ^

A) 200 D) 540

B) 300 E) 1500

C) 513

63. Una estrella enana tiene radio RE = (3 /2 )R T ( R t , radio de la Tierra) y masa cuya densidad es Pe = 100pr, donde py es densidad de la masa de la Tierra. Halle la relación gE +gT de las aceleraciones de gravedad en las superficies de la estrella y la Tierra. A) 120 B) 150 C) 180 D) 200 E) 210 64. Calcule la fuerza (en kN) con que el planeta Marte atraería una masa de 100kg en la superficie de este planeta. Suponga que la masa es 1,1 veces la masa de la Tierra y que su radío es Rm = 0,5Rt (g = 10 m/s2) A) 3,3 B) 4,4 C) 5,5 D) 6,6 E) 7,7 65. Si en el sistema mostrado el botecito se mueve con rapidez constante de 2m /s debido a la masa de 20 kg, determine el trabajo (en kJ) efectuado por la fuerza de resistencia del agua sobre el bote durante los 10 primeros segundos. A )- 4 n B) - 2 C) 2 D) 4 E )8

««« 1¡flif

12 cm desde su posición no deformada (a) Encuentre la constante del resorte (en N/m) y (b) determine el trabajo realizado (en J) en extender el resorte. A) 221,0; 1,2 B) 259,0; 1,8 C) 335,0 ; 2.0 D) 416,6 ; 3.0 E) 667 ; 4,8 69. La velocidad de una bala a la salida del cañón de un fusil de 80 cm de largo, es de 1000 m/s. Si no se considera el rozamiento y el cañón se mantiene horizontal, ¿cuál es la fuerza media (en kN) ejercida por los gases de la explosión de la pólvora durante el disparo? (masa de la bala = 10 g) A) 5,50 B) 6,25 C) 7,22 D) 8,49 E) 9,81 70. La esferita se suelta en la posición mostrada, ¿cuál es la máxima altura (en m) que alcanza respecto al punto (P) no considere fricción y R = 2,7 m?

~ t

□

20 kg

66. En la figura se muestra la gráfica de la fuerza versus la posición. Determíne el trabajo desarrollado (en J) por "F" desde x = 0 hasta x = 8m . >*F A) 48,8 B) 38,8 20 C) 28,8 0) 58,8 E) 17,8

^x(m)

67. Se estira lentamente un resorte hasta deformarlo 0,1 m realizando un trabajo de 10 J. Determíne la magnitud de la fuerza (en N) necesaria para deformar el resorte

A) 3,2 D) 5,0

B) 4.2 E) 5,4

C) 4.8

71. Pedrito (m = 80 kg) se eleva a sí mismo, a velocidad constante, jalando de una cuerda atada a su cintura y que pasa por una polea ideal. Usando el teorema del trabajo y la energía, halle el trabajo (en kJ) que debe realizar Pedrito para elevarse 10 m. ii=ii-ii-i¡ A) 0 B) 2 C) 4 D)6 E) 8

Encuentre la fuerza de fricción promedio (en kN) que detiene la bala; suponiendo que la fuerza de fricción es constante, determine cuánto tiempo (en ms) transcurre entre el momento que la bola entra en el árbol y el momento en que se detiene. A) 11200; 10 B) 15000 ; 20 C) 18888 ; 0,2 D) 22.500 ; 0,13 E) 32427; 0.08 73. Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones; I. La condición para que se conserve la energía mecánica es que no existan fuerzas no conservativas. . Si el W efectuado por una fuerza para mover un cuerpo desde una posición inicial a una final es independiente de la trayectoria, entonces la fuerza es conservativa. . Las fuerzas no conservativas son disipativas. A) W V B) VFV C) F W D) FVF E) FFF 74. Con respecto a la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica señale verdadero (V) o falso (F) para las siguientes afirmaciones: i. La energia potencial gravitatoria aumenta siempre que se hace trabajo en contra del peso. II. La energia potencial elástica aumenta siempre que el resorte se acerca a su posición de equilibrio. III. La suma de la energia potencial elástica y gravitatoria siempre se mantiene constante. A) V W B) VFV C) W F D) VFF E) FFF 75. Sobre un resorte en posición vertical inidalmente no deformado, se coloca un bloque de masa 2kg y se le suelta. La constante elástica del resorte es k = 100 N/m . Calcule en metros, la máxima deformación del resorte. (g s 9 .8 m/s2).

0,2 m.

A) 100 D) 400

B) 200 E) 500

C) 300

68. La fuerza requerida para estirar un resorte varia de cero a 80 N cuando se le extiende moviendo un extremo

72. Una bala con una masa de 5g y una velocidad de 600 m/s penetra un árbol hasta una distancia de 4,0 cm.

A) 0,198 D) 0,392

B) 0,224 E) 0,486

C) 0,301

14

889

76. Un resorte de longitud original, N ¿o = 20m y constante K = 5 0 0 — , m está unido a un aro que se desliza sobre una varilla como se muestra en la figura. Calcule el trabajo realizado (en J) por la fuerza elástica, cuando el aro va desde A hasta B. Despreciar el rozamiento.

A) 141,1 D) 282.2

B) 182,5 E) 357.5

P=Q6

1,5 m (A) A) 1 D) 3

B) 2 E )4

C) 2 V2

80. Se suelta un bloquecito de masa 100 g, en el punto A de una cavidad esférica rugosa de radio 1 m. El bloquecito partiendo del reposo se desliza por la superficie y sube hasta (y no más arriba de) el punto B. ¿Cuánto vale el trabajo, en J, realizado por la fuerza de fricción en el recorrido de A a B? (g = 9,8 m/s2).

C) 236,3

77. Un bloque de masa m = 2kg está comprimiendo el resorte de constante k una longitud de 2cm. Cuando el bloque se suelta, desliza sobre la superficie horizontal lisa y efectúa un movimiento parabólico, llegando al piso con rapidez v = 6 m/s. Halle la constante del resorte (en 103N/m).

A) 3,/2 D) 1072

fO lll

B) 572 E) 2072

C) 10

83. Una cuerda se desliza hada la izquierda dei alambre sin fricción. ¿Qué rapidez debe tener en el punto D para que se detenga en el punto A B?

A)

D)

A) 0,49 D) 9,8

B) 0,98 E) 10,8

C) 4,9

81. En la figura, la esferita se suelta desde la posición mostrada. Halle H (en m) para que, luego de recorrer parte del rizo impacta en el punto

84. La figura muestra un carril de 99 kg que se puede deslizar sin fricción sobre la varilla horizontal. Sí el carril se une a un resorte de constante k = 4 N/m y longitud natural 5 m, halle la máxima rapidez (en m/s) que adquiere si parte del reposo. k— 24 m

(P)-

Considere R =4m

I ... i

A) 40 D) 100

B) 60 E) 120

\ B

D) 8

C) 80

78. El auto de la figura se desliza 35 m minimo antes de detenerse cuando aplica los frenos. ¿Qué distancia en m se deslizará si su velocidad fuera el doble?.

A) 140 B) 150 C) 160 D) 170 E) 180 79. La barra homogénea de 2 kg desliza sobre una superficie horizontal lisa, pero, a partir del punto (A), se vuelve rugosa. La barra ingresa 1 m de su longitud antes de detenerse sobre ésta última superficie. Determine V (en m/s). g=10m /s2.

E) 10

O L A V E S D E L A M IS C E L A N E A

3

w m m < a a w m oB < s& í® M m m a n a a m a m (P) A) 4,0 B) 5,5 C) 6,4 D) 7,0 E) 8,0 82. Determine la velocidad mínima (en m/s) que debe tener la partícula de masa m en la posición P para llegar hasta el punto más alto *Q" considerando que no existe rozamiento y R = 5 m. n

D O O D B a n n D S a fflS B 8 a S 0 S 5 ® 9 3 0 8 >o □ Q O D Q D D D a D Q Q O B K 3D B B B ü

4SI 48 43846’Al flftffi49 4»

DOOBK3DIOOB

fifi B B B B B B B m E IE l B B B B E 3 D B I1 B K 1 I c t

m

Qi 0

SS CS

J*M W S i

MISCELANEA # 4 01. La ............. es aquella capaz de cambiar el estado de movimiento de una partícula, y su expresión dimensional e s .......... Completan la oración: A)m asa; M B) aceleración; L T 2 C) fuerza; MLT* D) magia; MLT E) imaginación; * 02. Con relación a las siguientes proposiciones sobre la primera Ley de Newton indique verdadero (V) o falso (F): I. Una partícula que se encuentra viajando con velocidad constante continuará en dicho estado de movimiento, salvo que una fuerza actué sobre él. L Un cuerpo que está en reposo puede iniciar su movimiento repentinamente sin la acción de una fuerza, i. Para que un cuerpo tenga un movimiento rectilíneo uniforme, es necesario la acción de una fuerza constante. A) V W D) F W

B) W F E) VFF

C) VFV

03. Respecto a la 1a Ley de Newton señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. La primera ley de Newton es aplicable también en un sistema de referencia acelerado respecto a Tierra. I. En un reposo Instantáneo respecto a Tierra es aplicable la 1a Ley de Newton. I. Los objetos en reposo o con MRU respecto a Tierra cumplen con la 1a Ley de Newton. A) VFV B) W F C) FFV D) FFF E) FVF 04. Se propone lo siguiente: I. La expresión dimensional MLT-2 tiene unidad newton en el SI. II. La lera Ley de Newton explica porqué al romperse la cuerda que 8ta a una piedra en movimiento circular, ésta se mueve en una recta tangente a la trayectoria que tenia. SI un objeto se mueve con MRU respecto de otro, entonces según la lera Ley de Newton existe equivalencia entre ambos,

es decir está en equilibrio uno respecto al otro. Son correctas:

A) I 0)1

B) II

E) ii y

C) ni

05. Respecto a 1a lera Ley de Newton, determinar si las proposiciones siguientes son falsas (F) o verdaderas (V). I. Si la fuerza sobre una partícula es nula, ésta necesariamente tiene un MRU. II. Si la fuerza sobre una partícula es nula, ésta necesariamente está en reposo. L Si no existe acdón externa sobre una partícula. ésta necesariamente está en reposo o con MRU. A) V W D) F W

B) FFF E) VFF

B) W F E) FFV

B) FFF E) W F

A) V W B) W F C) VFF D) FVF E) FFF 09. Las esferas A y B están apoyadas sobre superficies lisas tal como lo indica la figura. Indique el D.C.L de la esfera A, si sobre B actúa una fuerza vertical F = F(-j)

A)

B)

C)

C) VFF

07. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. Las fuerzas básicas en la naturaleza son cinco. Las fuerzas de interacción electrodébil tienen menor alcance que las de interacción gravitatoria. L El cambio en el estado de movimiento de los electrones en tomo del núcleo de un átomo, es el resultado de la interacción nuclear fuerte. A) V W D) FVF

08. Señale verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones con respecto a la 3ra Ley de Newton. I. Es consecuencia de la primera ley de Newton. II. Las fuerzas se presentan en pares. III. Es válida solamente usando los cuerpos están adyacentes.

C) FFV

06. indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Cuando se lanza una moneda hacia arriba, en el punto más alto de su trayectoria, se encuentra en equilibrio. II. Un tren se mueve con velocidad constante igual a Vo. SI una manzana se encuentra en reposo sobre una mesa del tren entonces sobre la manzana debe actuar una fuerza paralela a Vo. La interacción entre un cuerpo y la superficie que le sirve de apoyo es de naturaleza electromagnética. A) V W D) VFV

**

C) FFV

10. La figura muestra a Pedro (peso P) sentado en reposo sobre un andamio (peso p). tirando de una cuerda ideal (que pasa por la polea, también ideal) que soporta una tensión T. ¿cuál es el DCL correcto?

«01

12. Dos cilindros macizos de 10 y 15 kg de masa, se apoyan sin rozamiento como se muestra en la figura. Calcule el ángulo que forma con la horizontal la linea que une tos centros de los cilindros.

B)

D)

i.A

J ,> v »

B) arctg(1/2) D) 45°

13. En la figura halle el valor de la normal N en función de W considerando que el sistema está en equilibrio. P *P

11. La barra que se muestra es homogénea y se mantiene en equilibrio apoyada en una pared vertical lisa y en un piso horizontal rugoso como se indica en el dibujo (A), es correcto que: I. Al descomponer la reacción del piso sobre la barra. Su diagrama de cuerpo libre queda como indica la figura (B). II. El peso y la reacción normal del piso forman un par de acciónreacción. La reacción de la pared y el rozamiento forman un par de acción-reacción.

A) W C) W >/3/3 E )3W 14. En la figura las masas están en equilibrio. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: m I. <1 m La normal N sobre m* en función de a varia aproximadamente según la figura.

Reacción de la

N

a

m' óm

ozamtento

A) Todas Dhr

Reacdón e normal del piso

B) Solo I E) Ninguna

15. Dos cilindros de radios R ,= 4 m y R2 =4m y masas m ^ lO k g y m2 =2kg respectivamente se encuentran en equilibrio. Halle la constante K en N/m del resorte si éste se deforma 8 cm.

+2T

IÑWIF A) arctg(1/4) C) 30° E) 60°

a

Z O l j]

C) I y II

A) FFF D) FVF

B) W F E) F W

C) VFF

A) 150 D) 600

B) 300 E) 900

C) 450

16. Una barra homogénea de 20 N de peso y 10 m de longitud puede girar alrededor del punto “O", si es abandonada en la posición "AV Determine el torque (en N.m) debido at peso, en el instante que la barra pasa por HBV con respecto del centro de rotación.

g

■>x

A) 2
B) s o M

C ).-2 0 -/3 k

D) -2 5 \/3 k

E) - s o M 17. Sobre una placa actúan tres fuerzas como se muestran cuyos módulos son: F1 =60 N, F2 = 5 0 N , F3 = 1 0 N . Si P es punto medio, determine el torque resultante (en N.m) respecto al punto P.

jR M R M C M O xw íai

mmmjwBMiYrmuaé

18. Determine el torque (en N m ) de la fuerza F respecto del punto A.

A) 25 D) 45

oes Í.W* B) 30 E) 50

C) 40

22. La barra homogénea de 10 N de peso, se mantiene en reposo en la posición mostrada, halle la tensión A) 4 B )5 C) 6 D )8 E) 10

100 N\ ' (4.6,0) *
23. En la figura se muestran 2 esferas del mismo material cuyos radios son a = 3cm y b *2 c m apoyadas en una superficie hemisférica de radio 11 cm si ignoramos la fricdón y

E) 50>/3

20. Una bolita de peso P parte de A y se mueve hada B con una veloddad constante de icm/s, sobre una viga horizontal. Considerando el peso de la viga despreciable, determine el tiempo en segundos en el cual la reacdón en el soporte A es el doble de la reacdón en B. B n —»v

¡té*757 i—

!R R ¡ 1

3m

A) 80 B) 100 C) 70 D) 60 E) 110 21. En la figura la viga de 1 m con una masa de 6 kg esté apoyada en un piso rugoso y en una esfera lisa como se índica. SI la esfera de radio a tiene una masa de 10 kg. Determine (en N) la reacdón normal del piso sobre la viga cuando ésta se encuentra a punto de deslizar.

A) 15° D) 45°

D ,lw

B)iÍ o w E)i5ow

26. El sistema es ideal, las poleas no tiene pesos, no hay fricción, determine la razón de masas mg/mA, para obtener el equilibrio.

/MrtHl

senp * - , determine a que define la 6 posición de equilibrio

A) 25 D) 50

A>fw

B) 30° E) 22,5°

C) 37°

24. Se dispone de una varilla de 3 m para levantar un saco de 100 kg. Si se utiliza una fuerza de 100 N, ¿cuál es la máxima distancia (en cm), medida desde el extremo donde se coloca al saco, donde debe ubicarse el apoyo a la varilla? A) 15 B) 27 C) 32 D) 45 E) 52 25. Determine la fuerza “P necesaria para mantener al bloque de peso •W en equilibrio, sobre el plano inclinado liso. Todas las poleas son de peso despreciable. tMMPi

A) 3,0 D) 1,2

B) 2.4 E) 0.4

C) 1,8

27. Un bloque de iookg se encuentra sobre un plano inclinado 45°, si la fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano es Insignificante, determine la fuerza mínima horizontal (en N) capaz de mantener al bloqueen reposo (g * 10 m/s2) A) 500 B) 500./2 C) 1000 D) 1000./2 E) 750 28. Entre que valores, debe estar ta fuerza que la persona aplica a la caja (paralela al plano inclinado) sin que esta llegue a deslizar. (Peso de la caja 100 N; u, = >/3/6. a = 30°).

IH I= H M l= tM Í= í¡ A) 20 y 50 B) 30 y 90 C) 25 y 75 D) 25 y 80 E) 30 y 75 29 Un bloque de 80 kg de masa está apoyado sobre una superficie horizontal áspera, al tomar mediciones de la fuerza horizontal F y la fuerza de rozamiento se obtiene la siguiente gráfica. Indique las afirmaciones verdaderas.

fiS

G

< .U *

F(N)

I. El coeficiente de rozamiento estático entre las superficies es 0,75. El coeficiente de rozamiento por deslizamiento es 0,5. . La fuerza de rozamiento por deslizamiento es 800 N. A) Solo I

B) Solo II

C) Solo

D) Soto I y II E) Solo II y 30. Del gráfico, al aplicar una fuerza F = 60 iN , el bloque de 2 kg de masa, se encuentra en estado de movimiento inminente hada arriba; si la esfera tiene una masa de 5 kg, determine el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la pared (g = 10m/s2).

2Y//////^^^

A) 0,5 O) 0.2

32. La figura muestra un bloque de 15i/3kg, al cual se le aplica una fuerza horizontal de 150 N, haciendo que el bloque se mueva con velocidad constante a lo largo del plano, determine la magnitud (en N) de la reacción del plano indinado sobre el bloque. (g = 10m/s2).

A) 150 D) 300^3

B) 150^3 E) 450

33. El muchacho desea poner en movimiento un bloque cuyo peso es 4 veces el suyo. Halle el mínimo coefidente de rozamiento que debe existir entre sus zapatos y el piso Entre el bloque y el piso: p, =0,12; p* =0,10. m

W

B) W sen a D) Wtan a

B) 0,3 E) 0,8

C) 0.5

36. Una escalera de longitud f y 8oN de peso, descansa en reposo como se muestra en la figura. Halle la fricdón (en N) con el piso (a = 53°). A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 60

37. La escalera de 5 m de longitud tiene una masa de 20 kg, un niño de 40 kg sube por ella, si solo hay fricdón en la superfide horizontal (p,=a5yM j,=0t4). Determine la altura “h’ que puede subir sin que el conjunto deslice (en m).

m

im

W = IF !T

A) 0,03 8)0,06 C) 0.12 D) 0,40 E) 0,48 34. Mediante una fuerza horizontal se desea llevar un bloque de 50 N hacia arriba, sobre et plano indinado, con movimiento uniforme. Si ei coefidente de friccióndnético entre el bloque y el plano es 0.5. Determine la magnitud de dicha fuerza (en N) (g = 10 m/s2)

A) 175 D) 25

A) 0,2 D) 0,7

6018)

C) 300

B) 0,4 E) 0,6

31. En la figura la esfera en equilibrio está apoyada en una rampa rugosa. Calcule la fuerza de fricdón si fa prolongadón de la cuerda pasa por el centro de dicha esfera.

A) W eos a C )0 E) W dan a

li/1

«93

A¿/>53° H=//=/M/=/H/=/f

A) 1 B) 2 C) 3 D )4 E) 5 38. La barra de 8 kg mostrada en la figura, se apoya en un piano indinado liso (punto A) y la articulación (punto B). El coefidente de fricdón en el plano horizontal es p, = 0,6, pk = 0,5. Si el sistemaestá a punto de deslizarse, determine la reaedón de la superficie sobre la barra en el punto A (en N) considere ia pesa de 1 kg pequeña.

C) 225 E) 275

35. En el sistema mostrado en la figura las partículas tiene masas iguales y están en equilibrio. Halle el valor mínimo de u para que no se

A) 40 D) 90

B) 44 E) 100

C) 50

39. Si la gráfica representa la aceleración que adquiere un bloque al aplicársele una fuerza, señale verdadero (V) o falso (F): I. El gráfico es una consecuencia de la 2a ley de Newton. II. m ,>m 2.

&MMS>cmsw. m2

A) 0,20 O) 0,35

A) V W D) VFF

B) W F E) FFF

C) VFV

40. Un cuerpo de 10 kg de masa se desplaza sobre una superficie horizontal rugosa (p* = 0.2) bajo la acción de una fuerza F paralela a la superficie. Si la velocidad del cuerpo varía con el tiempo de acuerdo a la gráfica que se muestra, determine la magnitud (en N) de la fuerza F. (g * 10 m/s2)

B) 0,25 E) 0,40

C) 0,30

43. Indique las afirmaciones correctas respecto de una partícula con movimiento circular. I. Si mantiene su velocidad angular constante la fuerza resultante sobre la partícula es nula. II. Una partícula con aceleración angular constante cuyo radio de trayectoria es R experimenta una fuerza tangencial nula. . La velocidad lineal de la partícula cambia de dirección debido a la fuerza centrípeta. A) Solo I B) Solo II C) Soto D) Solo I y II E) Solo II y 44. ¿Cuál es el DCL que mejor representa a la partícula en el punto •A*.

A) FFV D) VFV

47. Un objeto de o,4kg se mueve en una trayectoria circular en una cuerda de 0,5 m de largo. Si se mantiene una rapidez constante de 4 rrVs, ¿cuál es la tensión en N en la cuerda cuando el objeto está en la posición mostrada en la figura? ¿Es el movimiento del tipo MCUV?

9

!

E) 4,2 D) 3,2 42. Se observa que cuando se aplica una fuerza de F = 50N a un bloque de 10 kg su aceleración resulta ser la tercera parte de la que tiene cuando la fuerza que se aplica es F *8 0 N. Determine el coeficiente de fricción cinética.

w

D)

9

A) 15,8; no C) 39,5; no E) 20,7; si

A)

,N

E)

iN

W Fe W 45. La figura muestra una panícula de masa m, atada a un hilo, que realiza un movimiento circular en un plano vertical. Seríale la veracidad o falsedad (F)de las siguientes proposiciones: I. En A la fuerza centrípeta es mayor que la tensión. II. En B la mínima fuerza centrípeta es la tensión. III. En C la fuerza centrípeta es menor que la tensión.

C) W F

46. Sobre una pista circular de 450 m de radio, un auto de 1000 kg acelera desde eJ reposo hasta adquirir luego de 9 s una rapidez de 30 m/s. Halle la relación entre los componentes centrípeta y tangencial de la fuerza que el piso ejerce sobre el auto. A) 0,2 B) 0,4 C) 0.6 D) 0.8 E) 1,0

i

A) 12,5 B) 15,0 C) 20,0 D) 25,0 E) 27,5 41. Si el bloque “C" es abandonado en la posición mostrada. Determine la aceleración que adquiere el bloque “A' (en m/s2). Desprecie el rozamiento en todas tas superficies en contacto. (o = 10 m/s2), si mA = 3mc =6m0 =12m

B) W V E) FFF

B) 39,5; si D) 15,2; no

48. Una partícula de masa m = 2kg describe un M.C.U.V con una trayectoria horizontal de radio R = 1m . En el punto A de la trayectoria la fuerza sobre la partícula es F = -8>/2iN , calcule aproximadamente la velocidad en el punto B de ia trayectoria.

»x C) 6 D) 8

E) 10

49. Un piloto desciende en picada con su avión y cuando su velocidad es de 700 km/h describe una trayectoria semicircular en un plano vertical, manteniendo su rapidez constante. Si sabe que puede soportar en el punto más bajo de la trayectoria un peso aparente de hasta 6 veces su peso, el menor radío posible de esta trayectoria

1

£ semicircular debe medir (en m) aproximadamente: (g=9,8 m/s2) A) 756 B) 759 C) 763 D) 768 E) 771 50. Sobre un riel en forma de semicircunferencia de 2 m de radio que se encuentra en un plano vertical puede deslizarse una partícula de masa m. Hasta que altura h (en m) subirá la masa cuando el riel gira con una velocidad angular de 5 rad/s, tal como se muestra en la figura.

« = 5¡rad/s

£

D) 1,6

E) 1,9

51. Respecto a los sistemas de referencia inerdales, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. Un sistema de referencia es inercial, solo si está en reposo respecto a Tierra. I. Las leyes de Newton solo se cumplen en los sistemas de referencia inerciales. Un cuerpo solo puede estar en reposo o con MRU, respecto a un sistema de referencia inercial. A) V W B) FFF C) VFV D) W F E) FVF 52. Un vagón con aceleración constante "a* se desplaza hacia la derecha, en su interior un pasajero suelta una moneda. ¿Qué alternativa representa mejor la trayectoria de la moneda respecto al pasajero?

«»*

JLl k .v g k x i»a»MCX*tu\. £ 0 1 2 ]

53. Dadas las siguientes proposiciones: I. En un sistema de referencia inercial todos los cuerpos sometidos a resultante de fuerzas cero o se encuentran en reposo o moviéndose con velocidad constante. II. Un sistema de referencia inercial es aquel que cumple con la 1ra Ley de Newton. III. Desde un móvil que se encuentra en Tierra, con velocidad constante, respecto a un observador se observa un objeto que se mueve con velocidad constante, entonces sobre dicho objeto la suma de fuerzas es cero. ¿Cuáles son verdaderas? A) Solo I B) Solo III C) Todas D) I y II E) II y III 54. Con relación al concepto de sistemas de referencia inerciales (SRI), señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La aceleración de un cuerpo es la misma en cualquier SRI. II. La velocidad de un cuerpo es la misma en cualquier SRI. III. Si un cuerpo no está acelerado respecto aun sistema de referencia, entonces dicho sistemaes un SRI. A) FFF B) VFV C) VFF D) F W E) FVF 55. Dos observadores "A" y “B" uno fijo a Tierra (A) y otro que se mueve con velocidad constante V (B), observan que una esferita “C" es abandonada, con relación a las siguientes proposiciones indique verdadero (V) o falso (F). I. Solo “A" es considerado un sistema de referencia inercial. II. Los dos observadores medirán el mismo tiempo de caída de aCa. . La trayectoria de C observada por ambos sistemas (A) y (B) son rectilíneas.

fí^7m=ll=f&hlfclhh

/ A)

B)

X C)

Tierra

D)

E)

A) FVF D) F W

B) W F E) VFF

C) FFF

56. El gráfico muestra un satélite A8 en órbita alrededor de un planeta; si el satélite recorre el tramo AB en \5 dias y barre un área que es el 30% del área COD; calcule el periodo (en días) del satélite.

D \C■

■

B A) 10 D) 20

B) 15 E) 25

C) 30

57. El dibujo muestra un planeta con los satélites A y B. Si el periodo del satélite A es de 25 h, calcule el periodo de B. Asuma que RB= t5 R A.

B A) 32,8 D) 49,4

B) 43,2 E) 53,2

C) 45,9

58. Un satélite artificial ama es puesto en órbita alrededor de la Tierra con un periodo de órbita de 2.8 días, un radio de órbita 5a (en km). Determine aproximadamente el período (en días) de otro satélite artificial “n" cuyo radio de órbita es 4a (en km). A) 0.5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 59. El cometa Halley se acerca al Sol a una distancia aproximada de 0,57 UA, y su periodo orbital es de 75,6 años. ¿Qué tan lejos del sol viajará el cometa Halley antes de que inicie su viaje de regreso? (UA: unidad astronómica 1UA = 1,5x10® km es la distancia media Tierra-Sol). MM| =1,99 x 1O30 kg. Dar la respuesta en U.A. A) 5 B) 12 C) 17 D) 21 E) 35 60. Dos satélites artificial y natural orbitan alrededor de un planeta, tai como se muestra, determine el máximo alejamiento del satélite (2)

MWWJ'WBMT&40^ p a cí « » « J+MMS *zmsw. 90% de su valor al nivel del mar? (R, respecto del planeta, si su periodo 63. Halle el valor de la masa m' para radio de la Tierra) es ¡h/5 veces el periodo del satélite 9^® |a fuerza de gravitación resultante sobre la masa m, más A) R/10 B) R/20 C) RA30 ......................... próxima a m \ sea cero. El polígono D) R/40 E) R/50 es un hexágono regular. 69. Se sabe que g es la aceleración de ,^ • > 0 ) \ rn la gravedad en ia superficie de un planeta. Determine el valor de la * aceleración de la gravedad a una altura igual a 2,5R donde R es el ^ # a —0 ---------- x am radio del planeta. ................. m’=? \ A) g/49 B) 4g/49 C) 5g/49 A) 5R B )7R C )9R \ D) 6g/49 E) 7g/49 D) 10R E) 15R V 70. ¿A qué altura sobre la superficie (en m km) de la Tierra la aceleración de la 61. Con respecto a las siguientes *« _ M mn ñ W i gravedad se reduce a la mitad del proposiciones. seftale (V) o falso (F): §2® , C)3m /4 valor en la superficie? ¿En qué porcentaje se reduce *gBa 100 km de I. La relación ^ 3 = Cte se cumple 64. Los radios de las órbitas circulares altura sobre la superficie terrestre? g=9,8 m/s2 en la superficie de la para cualquier par de planetas alrededor del So1 de „Sa,umo » Independientemente del sistema Urano son 1,43x10 m y Tierra, (MT = 6x102< kg, al cual pertenezcan (la cte es la 2,87x1012 m respectivamente. RT = 6400 km misma). Encuentre la relación entre las A) 9030; 2% B) 2630; 3,2% , . , . „ . „ . , aceleraciones de los planetas, C) 15500; 2% D) 2630 ; 8% l. La 3a ley de Kepler (ley del A. á r\ « n ir E) 9030 ; 4% cuadrado del período) se ° ° 1 71. ¿A qué altura sobre la superficie de demuestra aplicando la 2* ley de es. pára el sistema Sol-Tierra-Luna. la Tierra (en términos de su radio R) determine el cociente entre las el valor de la aceleración de la I. El radio medio usado en la magnitudes de las fuerzas máxima y gravedad es la cuarta parte del valor aproximación circular de la mínima, actuantes sobre la Tierra, que le corresponde en su superficie? trayectoria elíptica de un planeta, ,é |nog de de B) R C) 2R es la semisuma de los semiejes MUne 1 mayor y menor de la elipse. R —3o<~Tt*fTl = y Suponga órbitas E) 3R d) | r A) W V B) VFV C) W F RTlWTi. Luni y ***

PU-

y

*•?

D) FVF

E) FFF

circulares.

62. Sea F la fuerza gravitacional entre ios planetas M y 3M. Halle la magnitud de la fuerza gravitacional sobre el cometa "nT, en la posición mostrada, debido a M y 3M.

66 .

Jw 60*/ ($*.......................... 3M M

Im J t /Í3 ( m V ~ {W

X~Y 2 x+y2 x2 _ y D) x +Y

.s/y=//=//s//=//^=//=//=//=//=//

E )ü y x -y

m / \

a\ VR\ le A) 3 ^m- jF

A\ X+Y 2 x -y 2 x2 + y C) ■2- x “Y

72. Si el bloque de 5 kg sube 4 metros con velocidad constante, halle el trabajo de la fuerza "FB (en J) g = l0 m/s2.

d\ V/T1 3» ^ímlc B) -J F

Un cuerpo pesa 500 N sobre la superficie de un supuesto planeta de radio 4100 km. Determine a que altura (en km) sobre la superficie su peso será 3,96% menor. A) 600 B) 500 C) 400 D) 350 E) 83,7

67. Determine a que altura (en km) sobre la superficie de la Tierra un cuerpodere tendrá la mitad de su peso (oo(¿ ^ =640 q km)

m 1ímV

A) 1381

3vM y

D) 2942

68 .

8)2105

E) 3557

C)2624

¿A qué altura sobre la superficie terrestre aproximadamente la aceleración de la gravedad es el

t □ A) 200 B) - 200 O -100 D) 400 E) 600 73. El sistema mostrado empieza a moverse a partir del reposo. Halle el trabajo que realiza la tensión de la cuerda, para desplazar al bloque de 5 kg una longitud de 7 m. (g = 10m /s2) 5 kg

i

9

A) 100 D) 400

B) -2 0 0 E) 800

C )-1 0 0

74. Sobre el objeto (m = 1kg) mostrado en la figura, actúa una fuerza F = 2 iN . Si el objeto se desplaza 3¡m, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El trabajo hecho por F es 6 J. II. El trabajo hecho por la fuerza resultante es 6 J. III. El trabajo hecho por la fuerza de fricción es -1 J. Mu s 0,1

A) W V D) F W

B) VFV E) FFF

C) VFF

75. Sobre el bloque de masa m mostrado en la figura, actúa una fuerza Fw paralela al piso de magnitud variable. Halle el trabajo de F(x) desde x =0 hasta x = d. F^x)

íWó* Utt7 (en J) desde x = 0 hasta x=6m , considere la masa del bloque 3 kg. (g =10 m/s2)

v=

/ A )-9 0 D) -180

B) -120 E) -240

q> ¥

E)F0d

76. En el extremo inferior de un resorte de 20 cm de longitud natural se cuelga un bloque de 5 kg. el resorte se estira 5 cm. Luego, muy lentamente, se aplica al bloque una fuerza F vertical, que lo hace descender 10 cm. Calcule el trabajo (en J) realizado por la fuerza. (g = 10 m/s2) A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 77. En la figura se muestra un bloque sobre una superficie horizontal rugosa inicialmente en reposo, si al bloque se aplica una fuerza variable cuyo módulo es F = 10x+20, x (en m) y F (en N) considerando m = 0.5. determine el trabajo de la fricción

M=0,5

de otro bloque, del mismo material que el anterior, para que al impactarle una bala con velocidad igual a v0 se detenga justo al salir?

B) L

C|SL

E) 2L 83. Una partícula de 4 kg se somete a una fuerza que varia con la posición, como se muestra en la figura. La partícula parte con una velocidad v = -2 Í m/s. ¿Cuál es la velocidad (en m/s) en (a) 5 m y e n (b )1 5 m ?

C) 500

80. Un bote se está desplazando con una energía cinética K. ¿Qué trabajo debe realizar el viento sobre las velas del bote para que este duplique su velocidad? A) K B) 2K C) 3K D )4K E) 5K 81. Un bloque de 1 kg, en reposo en el origen de coordenadas, inicia su movimiento bajo la acción de una fuerza F = 3x(en newton). ¿Cuál es la variación (en J) en su energía cinética cuando se desplaza desde x= 1 hasta x = 3m? B) 8 E) 20

. ¿Cuál debe ser la longitud

vo

79. Halle el trabajo neto (en J) necesario para trasladar un cuerpo de 300 g de masa, de un punto (A) a otro (B) distantes entre si 6 m en un tiempo de 6 s. El cuerpo parte del reposo y el movimiento es rectilíneo uniformemente variado. A) 6,0 BJIO-6 C )6x106 D) 0,6 E) 60

A) 4 D) 16

y

C) -150

78. Si se desprecia todo tipo de rozamiento, ¿qué trabajo (en J) realiza la fuerza no conservativa F vertical que levanta la cadena de 10 kg de masa y cuya longitud es 4 m, inicialmente en reposo como se muestra en la figura, cuando es desplazado hasta el instante en que el último eslabón abandona la superficie con una velocidad de 10 m/s? (g = 10 m/s2)

IMMMMMMt A) 1800 B) 1200 D) 700 E) 450

A)

L1 2QJ¿| 82. La figura muestra un bloque de madera de longitud L, una bala lo impacta con una velocidad inicial V0 y sale de mismo con una velocidad

C) 12

A) 1,7; 2.9 C) 2,2; 3.7 E) 4.5; 6,3

B) 2,9; 4.5 D) 3,4; 5,8

84. Un cuerpo parte del reposo y se mueve sobre una superficie horizontal por efecto de una fuerza de magnitud variable que actúa siempre en ta misma dirección y sentido, tal como se muestra en la figura. Si la masa del cuerpo es de 10 kg. ¿Cuál es su rapidez (en m/s) cuando x = Q m ?

37°

¡w/=¡&r=7M&!Hr=/i F(N) A

«N . La energía potencial elástica de un resorte de constante k, V t 'jü

A) 0,94 D) 2,77

B) 1,82 E) 3,01

C) 2.03

85. Una partícula puede desplazarse a k> largo de cualquiera de las trayectorias que se muestra en la figura. La fuerza actuante sobre la partícula es conservativa a lo largo de todas las trayectorias excepto a k) largo de la trayectoria CE. Si los trabajos ejecutados por la fuerza son WAD = Wfee=Wfec=Ot WAe=10J y = -20J; halle (en J) V^ eoc.

A) 0 B) -2 0 C)-10 D) 10 E) 20 86. Un pequeño bloque está conectado al extremo de un resorte de masa despreciable, k) separamos ligeramente de su posición de equilibrio una distancia ‘A" y en seguida lo soltamos, de modo que el bloque se desliza sobre el piso horizontal so; entonces es correcto que: I. Durante el movimiento del bloque las fuerzas que realizan trabajo sobre el son conservativas. II. La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio. La gráfica energía mecánica versus posición es: Eu

deformado x = - A , es - jk A 2. A) W V B) F W C) FVF D) W F E) FFF 88 Un cuerpo de masa 'm ' se desliza sin fricción sobre un plano indinado, si se suelta desde una altura ho respecto al piso y considerando que h es la posición del bloque en su descenso respecto al piso en un tiempo l > 0 , ¿indique cuál de los gráficos mostrados representa mejor el trabajo que realiza el peso del cuerpo en función de h? W(J) W(J)

h(m)

h(m)

A)

B)

W(J)

W(J)

h(m)

C)

i

D) ly

E ) ii y

87. Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: i. Si el trabajo de una fuerza F por 2 caminos Ci y C2 diferentes, entre 2 puntos fijos, es el mismo, se concluye que F es conservativa. II. La energía potencial gravitatoria requiere de un nivel horizontal de referencia.

89. A un trineo de eokgque se encuentra sobre un lago congelado se le imparte una rapidez inicial de 5 m/s. Si el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y el hielo es ji= 0 ,1 ; ¿cuál es la longitud que recorre el trineo, hasta detenerse? A) 12,5 B) 7,5 C) 5,5 D) 2,5 E) 1,15 90. El muchacho de la figura tira de la cuerda con una fuerza cuya magnitud se incrementa desde cero hasta que él quede suspendido. Si su masa es de 60 kg y k = 500 N/m, calcule el trabajo realizado sobre el resorte, (en J)

A) 180 B) 360 C) 540 D) 720 E) 900 91. El bloque de toog comprime ai resorte (k = 100 N/m) y luego se suelta. Calcule cuál debe ser la mínima longitud que debe comprimirse el resorte (en mm) de tal manera que el bloque pueda recorrer la circunferencia que se muestra en la figura.

rrvyvr] A) 70 D) 120

0)100

B) 80 E) 160

92. Una esferita se encuentra suspendida del extremo libre de un hilo muy largo. ¿Qué rapidez (en m/s) debe proporcionarse a la esferita para que ascienda hasta 1,8 metros? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E )6 93. En el sistema mostrado en la figura M = 20kg, m = 5kg, h - 3 m y la polea es ideal. Si el sistema parte del reposo, emplee el principio de la conservación de la energía para encontrar la veloddad con que el cuerpo M llegará al piso.

M

□

th

\)HNM¡f A) 6 D) 12

B) 8 E) 14

C)6>/2

3 B B 6 D t o S 8 ® B 6 S ( S Q 6 $ í ®

n n n n n n n n r a n US8SSia&8ia212&0U9Sft

Q B B ia B I I D I I I lia m m m »

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[fAVTH M i> i>g.w i i t i f O T t f - r ’m i^ fT á í flB3 699

E P IM O N E S

HUttMÑOSj

OBJETIVOS : * Caracterizar el movimiento de manera vectorial (cantidad de movimiento). •Conocer otra forma de medir la transmisión de movimiento, el impulso. • Comprender algunos fenómenos haciendo uso de la ley de conservación de la cantidad de movimiento. •Conocer el concepto de centro de masa y sus aplicaciones. * Describir los efectos producidos en el movimiento de los cuerpos como consecuencia de choques violentos en intervalos pequeños de tiempo.

Ahora examinemos el siguiente aconte auto y un camión impactan contra un se muestra.

nto un 1como

tXTRODUCCMÓX: • Imaginemos que tenemos una pelota de 0 £ k g y lo lanzamos contra una pared.

V=5mls

¿Cuál de estos m óviles es más fá cil detener? Es obvio que el automóvil ya que presenta menor inercia, por lo tanto, para poder diferenciar este tipo de casos, es necesario que la nueva magnitud considere la inercia de los cuerpos. • Si quisiéramos medir el movimiento mecánico, tendríamos que utilizar la energía cinética. EC= ±(0,2)(5*)= 2,5J £ • Pero nos damos cuenta que la energía cinética antes y después del choque es la misma, ello indicaría que no ha ocurrido nada, pfero sin embargo podemos notar que ha cambiado la dirección del movimiento del cuerpo, esto significa i.que la energía no nos da una información exacta de lo que esta ocurriendo, por lo que es necesario definir una nueva magnitud que nos permita identificar los cambios en la dirección del movimiento, es por ello que esta magnitud es vectorial.

• En el capítulo de dinámica hemos explicado el movimiento de los cuerpos utilizados básicamente la 2da Ley de Newton y en el capítulo de Energía usando el principio de la conservación o el teorema de las fuerzas no conservativas. Entonces podemos decir que hasta cierto punto ha sido sencillo tal estudio, pues el número de cuerpos participantes fue muy reducido, pero cuando se presentan interacciones entre dos o más cuerpos debido a colisiones, explosiones, etc. Los conocimientos adquiridos hasta el momento quedan muy limitados debido a la manera compleja que aparecen las fuerzas por lo cual se hace necesario estudiar “ nuevas magnitudes y principios físicos como son la cantidad de movimiento, el impulso, etc, que veremos a continuación”.

(

M FNCMiJ.o i-t:o íA 2012}

CANTIDAD DE MOVDDENTO O MOVIMIENTO LINEAL (p ) Es una magnitud física de tipo vectorial que se calcula como el producto de la masa por la velocidad, su dirección coincide con la velocidad y mide el grado de oposición que presentan loe cuerpos contra los agentes externos que pretenden alterar su velocidad y/o masa.

OJO : Recuerde que el signo (+ ) o (— ) asociados a la velocidad indican su dirección. «E JE M P L O 3 : Calcular el módulo de la cantidad de movimiento iiel sistem a de partículas geom étricam ente y analíticamente. *Y JV 2

m2 =lkg

a

v

m^s

X

m i =4kg*

m

V i= 3 m fa

* Donde: R E S O L U C IÓ N :

m: masa en (kg)

Geométricamente:

y : velocidad en (m/a)

m 2Ví =5kg-m/s P,

p : cantidad de movimiento en (kg.m/a) La velocidad y la cantidad de movimiento tienen la misma dirección. EJEM PLO 1 : En los siguientes casos, la cantidad de movimiento de las esferas son iguales. V=4 mis

V=4 m/s

Y=4 mis.

* Módulo de la suma vectorial:

\Pt\='¡52+122 =13kg x

3 kg

m=3 kg

• Analíticamente:

* No, si bien es cierto que el producto P = mv en valor es el mismo para todos los casos: '

m P = 3 ( 4 ) => p = l 2 k g a • Loa direcciones son diferentes, y al aer la cantidad de movimiento una magnitud vectorial, estas sort diferentes.

P j= m jV ji

m a

Pi= -1 2 kg.m/a j

p 2=m2V3i => P2=5kg.m/si •Luego: Paui=Prl-P 2=5 kg.m/8Í - 12 kgm/ 8j - » P »u i= (5i - 12j)kgm /s • El módulo será: |p#|= £ s 2+ 122 = 13

EJEM PLO Calcular el módSlb^de la cantidad de movimiento del sistema de partículas

*

EN g e n e r a l :

(P m)

2mís

im/s 3m/s¿f¿

^ ™ 2 R E S O L U C IÓ N :

JÍÜh m

P s = P t+ P a + P s => P s =m l V ] + ms V 2+ms Vi P s = (l)(+ 2 )+ (2 )(+ l)+ (4 )(-3 ) p s=

-

9 k g m (s

d irección— M ódulo

P a is t.= P l + P 2 + — ' + P n

[f A \ T f R U > D E

IMPULSO O

, ÍM PETU

I MP UL S I ÓN

701

r$

K IH C IO X K S K U iU Ñ O M

F u erza s que a ctú a n sob re la p e lo ta

( i,j)

Es una magnitud física de tipo vectorial que se calcula como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que ella actúa, su dirección coincide con el de la fuerza y nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza para cambiar la velocidad al cuerpo sobre el cual actúa

¿Por qué cam bia la cantidad de m ovim iento de la p elota ? P o rq u e s o b re ella s e m anifiesta la a c c ió rrjffc u n a fuerza en un in te rva lo de tie m p o p e q u e ñ o . O b s e rv e , q u e m ie n tra s m a y o r e s e je rcid a s o b re la pelota, m a y o r e s el c a m b io en ia < ^ ^ % á d cíeum o v im ie n to , lo m is m o o c u rre c o n el tie m p o d e co irtá cto d e fos cueri

“El im pulso y la fu erza :resu lta n te¿iñ fia misma dirección * Si analizamos el impacto del ba *ía pelota.

* Donde: : Intervalo de tiempo en (a) ~p: Fuerza resultante en (N)

V Etapa de

j : Impulso en (N x a) * La fuerza (j?) y el impulso ( j ) tienen la misma dirección.

1

* Esta última ecuación es válida sólo si la fuerza ( p ) es constante.

v— — Etapa de recuperación

* Obsp^an$]í)8 que la pelota se deform a progresivamente, luego comienza a recuperar su forma y finalmente se aleja del bate. G R Á F IC A F U E R Z A ( P ) V S . T IE M P O ( t j

NOTA : Por lo general la fuerza es variable en módulo, por lo cual en la fórmula anterior va la fuerza media “V (valor medio de la fuerza), que produce el mismo impulso que la fuerza variable en el mismo intervalo de tiempo.

* Considerando a una fuerza media sobre la pelota.

ii» % •V

»

i

= fm

OBSERVACIÓN : 7

De:

i

*

II t t

Fr = md m { V F - V 0)

Pero: 5 = ^ ^

=>F =

♦ Una pelota es golpeada con un bate.

At

F (A t)= m V f -m V o F (A t)= P F - P o (tp) Relación impulso y la cantidad de movimiento” ♦ El impulso de la fuerza origina cambio en la cantidad

IA

(ffi

de movimiento del cuerpo. T en er p r e s e n te . E l im p u ls o r e s u lta n te , la fu e r z a r e s u lta n te y la v a r ia c ió n d e la c a n tid a d d e

E N C m * j . oi*icotA

2012}

*Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento total del mismo.

m o v im ien to tie n e n ig u a l d ir e c c ió n .

TEOREMA DEL IM PULSO Iy

Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

&\

/7 b

4•

*

El impulso que ejerce la fuerza resultante sobre un cuerpo durante un cierto intervalo de tiempo, se invierte en cambiarle su cantidad de movimiento.

\

8

:

0

'" B ^

/ S istem a

Fuerzas internas de acción y reacción, producen impulsos de igual m agnitud, pero de sentidos contrarios. 44Relación entre el impulso resultante y cantidad de m ovim iento9* EJEM PLO 1 :

Sobre el bloque de 1 k g se aplica la fuerza F=40 N, durante un intervalo de tiempo de 1/20 s , determine la rapidez que este adquiere. V„=0

^ > F (A t)= P B - P => 40x

0 = > 2 = V f => VF= 2m / s

i

O B S E R V A C IÓ N :

• Los automóviles, báteos' locomotoras, son impulsados (propulsados) por una fuerza, en el caso de los automóviles la fuerza de rozamiento debido al contacto de las llantas con el piso es la que lo impulsa y en consecuencia le causa una aceleración. • Sin eiñbargo, un cohete en el espacio no tiene vias por la cual podría impulsarse, entonces la propulsión del cohete debe ser diferente a la del auto. Esto último puede ser explicado con la ley de la conservación de la cantidad de movimiento para el sistema conformado por el cohete más el combustible de la siguiente manera: • Considerar el cohete de masa “Af ” suspendido en el espacio y el combustible de masa um ” .

FUERZAS INTERNAS 9

1i

Y EJSTERXAS l Las fuerzas que actúan en' un. sistema se pueden clasificar en internas y externas. Si un cuerpo del sistema ejerce una fuerza sobre otro que también pertenezca al sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fiiérza que actúa sobre un cuerpo del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al sistema, sé tratará entonces de una fuerza externa. • 4 y f

Por ejemplo, suponga que hubiésemos elegido un sistema de partículas constituido por dos bolas, una blanca y otra roja, en una mesa de billar. Al golpear con el taco la bola blanca, sobre el sistema habrá actuado una fuerza externa. Si dicha bola choca con la roja, las fuerzas que una ejerce sobre la otra serán internas. Si la bola blanca hubiese chocado con otra, por ejemplo, una amarilla, la fuerza que recibiría de esta última sería una fuerza externa, pues el sistema está constituido únicamente por las bolas blanca y roja.

v

m C om bu stible i ! ■

-

- T

H

T

T

In icio

B

- T

T T ~ T *

F in a l

* Se nota que al liberar el combustible en forma de gases recibe un impulso hacia la izquierda como a la vez la nave recibe un impulso a la derecha, ambos impulsos son de igual valor pero de direcciones contrarias, entonces el cambio de la cantidad de movimiento de ambos son de igual valor pero de direcciones contrarias. Al calcular la cantidad de movimiento del sistema al final se tiene: P N= - P C = > P n + P c=0 * Este resultado significa que la cantidad de movimiento del sistema al final es nulo ( p F= 0)Luego al inicio la cantidad de movimiento del sistema se nota qu'i también es nulo ( P 0=o)-

[cAXTtnAD d e

709 %

CONSERVACION DE LA CANTIDAD D E MOVIMIENTO Si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es nula, entonces la cantidad de movimiento total de este cuerpo o sistema se conservará, o sea, se mantendrá constante. Sabemos:

l = F R b t = P f - Pi

— -/ 0 — —» •Si: F r =0 => R At = P f - P i

E M C IO X E S

K U itlÑ O S l

así en el sistema. • Consideremos dos esferas A y B de masas m y unidos por un resorte inicialmente comprimido. ,—

H ilo * ---------- , i

Liso

* Como el sistema está en repos P mm=Pí(AJ+ * Luego de cortar el hilo. V

♦EN GENERAL: Debemos indicar que las condiciones para la conservación de la cantidad de movimiento son muchas más amplias que las condiciones para la conservación de la energía mecánica. Esta no varía si sólo actúan fuerzas conservativas. La cantidad de movimiento por otra parte, se conservará aún cuando estén actuando fuerzas disipativas, como la fricción, pues estas fuerzas son internas al sistema.

Pf

P f (A )+ P f (B )

P r .U I - J

^

+M V B

• Analizando las fuerzas:

f l

NtA)

FUERZAS IMPULSIVAS Cuando estalla una bomba o cuando dos automóviles chocan, así como en algunos otros casos semejantes, aparecen entre los cuerpos fuerzas muy intensas, pero que actúan durante un intervalo de tiempo muy breve. Por ejemplo, cuando un jugador de fútbol patea un balón, la fuerza de interacción entre éste y el pie del jugador es del orden de J0^ATy dura casi 0,01 8. Estas fuerzas se denomina fuerzas impulsivas. Debemos observar que estas fuerzas, en general, producen enormes aceleraciones en los objetos que actúan, es decir, al ser aplicadas en intervalos de tiempo muy breves, producen variaciones considerables en la velocidad de dichos cuerpos. OBSERVACIÓN : • Para la conservación ¿de la cantidad de movimiento de un sistema, se puso atención en la resultante de las fuerzas exteriores al sistema, pero ¿qué ocurre con las fuerzas internas o fuerzas entre los cuerpos del sistema? Las fuerzas internas o fuerzas entre los cuerpos del sistema, por ser de igual módulo y opuestos dan una resultante nula, por lo tanto su impulso total también es nulo; pero esto no significa que su efecto es nulo, pues causan variación en la cantidad de movimiento en cada uno de los cuerpos que interactúan, pero no

• Para el sistema esferas más resortes: la F r es nula, pero sobre cada esfera no es así, entonces cada uno experimenta un impulso que causa variación en su cantidad de m ovim iento; pero, com o la fuerza resultante sobre *34” y “B ” son opuestas y de igual valor, entonces sus impulso son contrarios, luego: I (A ) = ~ I ( A )

-> P.f(A )

( * f

(B)

f (A)

P i(B ) )

f (B)

CENTRO DE JIASA O DE INERCIA (CJ*I.) Cuando tratamos el caso de un cuerpo finito, o sea, un cuerpo que tiene tamaño, hemos supuesto que se puede representar en forma aproximada por una partícula puntual, o que 6Ólo tiene movimiento de traslación. Sin embargo, los cuerpos reales “ finitos” pueden experimentar movimiento rotatorio o de otros tipos. Por ejemplo el movimiento de traslación y rotación. Las observaciones del m ovim iento de los cuerpos

iA ENCif'JWMCDiA ¿0l¿\

(ffi

indican de cuando gira un cuerpo, o cuando hay varios cuerpos que se mueven en relación uno con otro, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta. A este punto se le llama CENTRO DE MASA (CMjn El movimiento general de un cuerpo ñnito, o sistema de cuerpos, se puede definir como la suma del movimiento de traslación del centro de masa y los movimientos rotatorio, vibratorio y de otros tipos con respecto al centro de masa.

( x y j coordenadas de m

El movimiento de una clavadista es traslación pura en (a), pero es de traslación y rotación en (b).

_ m jX j + m 2x 2 + . . . + m n"B „x Xcm —

-

cm

+ m 2V2 + - + rnny „

-

m l + m 2 + •••• + m n

* Donde |xcm;

j son las coordenadas del centro de

masas del sistema de partículas.

CONCEPTO DE CENTRO DE MASA Es aquel punto donde se considera concentrada la masa de un sistema, en este punto podemos colocar una “partícula” que reemplaza al sistema, cuya masa y cantidad de movimiento es igual a la del sistema.

<>

O BSER VA O JO N E S:

* Para cuerpos no muy grandes el centro de gravedad y el centro de masa coinciden. * Si sobre un cuerpo en reposo existe una fuerza resultante que pasa por su centro de masa, causará en él un movimiento traslacional y en caso contrario, un movimiento de traslación y rotación, e6to lo podemos apreciar en los juegos de billar, si de alguna manera se evita el rozamiento con las superficies en contacto. Liso

* Por ser sistemas equivalentes: p ^ . = P cm. * Donde:

V=0

Liso

¡Traslación! ^=0

/

mT= « 15+ 1» , + ... + mx

* Luego, la velocidad del centro de masa se calcula, así:

* A

•♦a

m¡ + m¡ + ... + mH

* Imaginemos a un sistema formado por “n ” partículas de masas ítstti^, n ij,... (x ^ y j) coordenadas de m, (x¿ y j coordenadas de

¡Traslación y rotación! * Durante el movimiento de rotación y traslación de un cuerpo rígido, la rotación se da respecto de un punto o eje que pasa por el centro de masa.

[rvivr/p,u> p f: M m T m tE x m -v n i> u tT 2& B S

705

EM PU JON ES

R U R IÑ O &

CONSERVACIÓN DE

EJEM PLO :

Tres pequeñas esferas de 0,1 k g cada una, presentan velocidades: 8Ímf8;-5jm/8 y (l-7j)m /a respectivamente, determine la rapidez del centro de masa. R E S O L U C IÓ N :

LA CANTIDAD D E MOVIMIENTO Si es nulo la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas, la cantidad de movimiento total de este sistema se conservará.

* Para el sistema dado: ~ _ m lVi+m 2V2+m 3V3 » c#w«* ntj+mg+m, v; _ 0 ,l(8 i)+ 0 ,l(-5 j) + 0 , l ( i - 7 j ) CM'~ 0, 1 + 0, 1 + 0,1 V c m .={3í - 4 j ) m l »

t

CM -

t

como vc.« = K + v ,2 C.M. 1 RECO RD AR QUE 2

* La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas es igual a la resultante de las cantidades de movimiento de las partículas.

Fuerzas internas, de acción y réilCEión, producen impulsos de igual m agnitup^pero de sentidos contrarios. ** • La din*¿cióñ de la

del / y de la &p son iguales.

• Esta ráyÍóq¿m pulso igual al cambio de la cantidad de movimiento, se determinó en el caso que las fuerzas sobre el cuerpo son constantes pero he aquí la gran importancia de esta ecuación porque a pesar de que las fuerzas no sean constantes esta relación es válida. • Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley de newton en su forma más general (con la cantidad de movimiento). • Originalmente, Newton enunció su segunda ley en términos de la cantidad de movimiento y fue él quien le dio dicho nombre, el enunciado es el siguiente: “La rapidez de cam bio de la cantidad de movimiento d e un c u e r p o es p r o p o r c io n a l a la fu e r z a resultante aplicada a é l ” . Frrs - m a — 4? FRES dvo“ m

• Una forma de obtener la cantidad de movimiento de un sistema es utilizañüb 1asuma vectorial geométrica” . Así: — Pi

(y ,-y .) Af

• La forma general de la segunda ley de la dinámica también resultó ser válida en la teoría de la relatividad. Como habíamos dicho antes, según dicha teoría la masa depende de la rapidez del cuerpo. Por lo tanto en esta teoría la ley de la dinám ica se form ula así: F R = ~ (m v ) at — dm dv dm - . Fr v + m — = — v + ma dt dt dt

El impulso de una fuerza sobre un cuerpo, provoca una variación en su cantidad de movimiento.

* Al cambiar la rapidez cambia la masa “m en el caso general, la fuerza resultante no coincide en dirección con la aceleración y la aceleración no es proporcional a la fuerza resultante.

¡JC W ¿

IA EycMrj.oi**;tíL\ 20 l!t)

♦Siendo el sistema aislado (librede fuerzas externas).

Cálculo tle la cantidad de movimiento de un sistema d e Mn mp a rtícu la s en fu n ción de velocidades relativas

♦ Luego necesariamente se cumple que: Es decir; generalizando:

(4) * Tener presente que este principio de conservación del Momentum Lineal o Ley de Conservación del Impulso es una consecuencia del Análisis de las leyes de Newton. * Para casos prácticos siendo la cantidad de movimiento una magnitud física vectorial, la ecuación anterior la podemos plantear así: ' Conservación ' del Momentum Lineal

E PinicialW- E P fUuUiM) E PiMÍcial(y) = E P

V i-

V im' Velocidad, relativa de «2» respecto de «n»

y s „ Vm= V jm•Velocidad, relativa de «2» respecto de «n» Y así sucesivamente, donde también: m , + m 2 + m3+ ....+ m„ = m ,utema ♦ Donde la expresión ( f ).constituye el Teorema de la Cantidad de Movimiento muy usual y práctico para resolver ciertos problemas; para lo cual una de las masas componentes se debe tomar como referencia para calcular las velocidades relativas. *

O BSER VACJÓN: Al plantear las ecuaciones anteriores tener cuidado con los signos de la cantidad de movimiento, puesto que convencionalmente: f r v -

•~v P -m v P mv

Este Teorema es bien práctico para el caso de movimientos simultáneos de 2 ; 3 6 más cuerpos o partículas. ♦ Este Teorema lo plantearemos, para:

ai CASO DE 2PARTÍCULAS:

•

* Los cuerpos poseen movimiento ^mecánico de traslación y rotación en realidad, como ya expresamos el m ovim iento m ecánico de traslación viene expresado por la cantidad de movimiento, y el movimiento mecánico de rotación se expresa mediante el M o m en tu m A n g u la r (Z) q tí^es tgual al producto del i • ''P/# V i i i momento de ¿neréja'por la velocidad angular.

OI) CASO DE 3 PARTICULAS:

EJEM PLO 1: Una esfera pequeña de 0 £ kg es lanzada con 50 m/s y un ángulo de elevación de 37°. Determine la cantidad de movimiento de dicha esfera en t= 2 s, y t= 5 s, considere g =10 m/s* y desprecie la resistencia del aire. R E S O L U C IÓ N : * Analizando el movimiento de la pequeña esfera: 40m/s C ^í¡L. 40m/s

lOm/s 40mís J 30m/

7\ l40m/s

I : momento de Inercia (medida de la oposición a la rotación) Velocidad Angular.

]T: Momento Angular.

lOm/s 1f-tOm/s*

♦ P a ra t= 2 s (Posición B ):

40m¡8 D

20m¡8

P = m V= 0. z(4Ói+ 2 Ó j) -> P = ( 8i + l Ó j) k g m l 8

0 * Para t - 5 a (Posición D):

EMPtCMONES RUBMÑOál R E S O L U C IÓ N :

P = m V = Q ,2 (4 Ó Í -2 0 j)^ P = (8 i - 4 j ) k g mla E JEM PLO 2 :

Una pelota de béisbol de 50 g llega hasta el lugar del bateador con una velocidad de 2 mis, éste golpea la pelota desviándola como se muestra, si la rapidez sigue siendo 2 m/s y el tiempo de contacto entre la pelota y el bate es de 0,1 s. Calcule la fuerza con que la pelota fue golpeada. ^

* Recordemos que: A P = P r - P , * Como las cantidades de movimiento p f y p t no son paralelas, procedemos en forma geométrica formando un triángulo según: P* + A P = P f * Grafícando:

%

43^ R E S O L U C IÓ N :

* Grañcamos la diferencia de velocidades. * ComoyWpf debe ser mínimo, entonces debe ser perpendicu iícu fa r^ p f

.

* Del triángulo sombreado notamos que: P f—3 k g mis -> 3 ~ m V -> 3 = 0 ,5 V -> V = 6 m /* ♦También: ^Pmin- 4 k g •m/s * La fuerza (F) del bate sobre la pelota tiene la misma dirección que la diferencia de velocidades. * Calculamos vectores.

- V¿\ usando una propiedad de los 2

EJEM PLO 4:

Determine la rapidez que adquiere la persona de 64 kg, luego de lanzar el ladrillo de 1 k g con una rapidez de 8 mis. f

\Vf-Vo \= 2yÍ3

v= 0

X 2

Inicial

Usamoadffrecuación del impulso en el plano: ZF-í=m |V f 3¥o\l'4F(0,l)=(0,05)(2‘j8 ) -+ F = j3 N R E S O L U C IÓ N : EJEM PLO 3 :

Una pelota de jebe d e A 5 k g rebota en una superficie horizontal tal como se ífiuestra. Determine la rapidez de rebote y el módulo del cambio de la cantidad de movimiento sabiendo que este es mínimo.

♦ Consideremos al sistema formado por el hombre su patineta y el ladrillo.

F in a l

1r 38?> - ....... • 7 S»

♦ En el eje x no hay ninguna fuerza => f r = o

i!»

♦ Según la condición del ejercicio, al lanzar la esfera

♦Ahora usamos: - > F ( A

t)=Pp

- Po

i A F JV m xor£iiL I 2012}

- > 0 ( A

t)=Pp

con

- Po

- > P

o

= P

50 j m/s, éste experimenta una aceleración

f

♦ La cantidad de movimiento se conserva.

-+0=1(8)+64Vp

g = ~ 10 jm / a i por lo tanto su velocidad

será:

-10 j (m/a) al transcurrir 6 a.

-> V P= - 0,125 m/s ♦ La persona retrocede con una rapidez de 0,125 m/a. OBSERVA OTÓN:

S& t= t

♦ La c a n tid a d d e m o v im ie n to *e c o n s e r v a también en el caso q u e el intervalo de tiem po llei i t i cer • (A t= 0 )

lOm/a

=>-10=6Q+( - ion =>/=0«

EJEM PLOS: Sobre un bloque que está en reposo en una superficie horizontal, 6e ejerce una fuerza F = 3 t i donde F está en Newton y / en segundos. Determine el impulso de la fuerza desde t = l * hasta t = 7 s . R E S O L U C IÓ N : t = l* t*0

t= 7 s

vio 21N

50m/a ♦ Para el impulsp'de la fuerza de gravedad, tenemos: I = F A t - > /= ( 0 ,2 ( - 7 0 ) ) 0 = - 7 2 í —+ . E JE M P L O 7: Un motociclista de masa total Mm M se encuentra inicialmente en reposo sobre una tabla áspera de masa “M ” (M =10 m) y se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal perfectam ente lisa. Si el motociclista comienza a moverse y el velocímetro de este marca 44 km/h, calcular la velocidad de la tabla respecto de la tierra. R E S O L U C IÓ N :

♦ Como la fuerza F varía su módulo

transcurrir el

tiempo, la expresión J = F -A/ no se puede utilizar para el cálculo del impulso, para eUqrtit^izdmos el criterio ■

de la gráfica F v* t, luego: >

•

t{. 0

-> 7=A

27+3

1 = 7 2 N*

♦ El velocímetro marca la velocidad relativa, del motociclista respecto de la tabla. ♦ Teorema de la cantidad de Movimiento: ->0=1»! •Vm + (m 1+m 2)V 2

EJEM PLO 6 : Una esfera de 0,2 k g es lanzada con 50 j m/sDetermine el impulso de la fuerza de gravedad sobre la esfera hasta el instante en que desciende con 10 m/s. Desprecie la resistencia del aire, (g —10 m/*s) R E S O L U C IÓ N :

0 = m Vlf2+ ( m + M ) ( - U ) -> U =

m T m + M )' Vm

m (44)=4 km/H U= (m + 10m ) ♦El momentum lineal del sistema fisico (m+M ) se conserva en el tiempo.

[rAYTTPAP DE .VOtXVfFATrJ-fTIOtfí TM

709

KM CM OXES

H U B M Ñ O ál

\ M rW S & M *^ A .

CHOQUES

OCOLISIONES

Un choque es aquel fenómeno que se produce cuando dos cuerpos interactúan por contacto durante un tiempo muy breve y se originan fuerzas impulsivas o impulsoras variables y muy intensas.

IA

E N C M rt.a n cD L X 2 0 1 2 }

OBSERVA C IÓ N : * Durante el choque, la línea de acción que contiene a las fuerzas que surgen como consecuencia del choque se llama linea de choque. * Para dos esferas lisas. \

U nea de choque «Durante el choque, los cuerpos que interactúan se deforman debido a las enormes fuerzas que surgen» Según sea la línea de movimiento de los cuerpos los choques se clasifican en:

í

I) CHOQUE FRONTAL

Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque, es la misma.

Lfneo del mov. (A. Ch.)

Unen del mov. (Dl Ch.) i

S#

U) CHOQUE NO FRONTAL U OBLICUO Cuando la línea de movicqiené de los cuerpos, antes y después del choque &$&diferentes.

* Si la línea de choque pastf pordos centros de masa de loe cuerpos, estos experpnentarísolamente movimiento de traslación, pero]si nb es así, experimentan movimientos de traslación y rotación. Esto se vio ya ante6. $

* En el presente capítulo analizaremos principalmente los choques.frontales. Para ello veamos, algunas características de dichos choques. * Durante un choque o colisión la cantidad de movimiento de cada uno de los cuerpos en interacción y su energía varían, produciéndose de esta manera un intercambio de cantidad de movimiento y energía.

La energía y cantidad de movimiento de las esferas varían debido al choque entre ellos. * Cuando la energía cinética total tiene el mismo valor antes y después del choque, es decir, la energía cinética del sistema se conserva, el choque es elástica. En genera], una colisión es elástico cuando los cuerpos que chocan no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. Dos bolas de billar, por ejemplo, experimentan choques que se pueden considerar elásticos. En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones permanentes debido a la colisión o se hubiera producido calor durante el choque, hallaríamos que hubo una reducción en el valor de la energía cinética del sistema, pues parte de esta energía se utilizó para producir las deformaciones, o bien, se transformó en calor. Siempre que los valores de la energía cinética del sistema, antes y después del choque, son diferentes, decimos que el choque es inelástico. * Un caso particular de colisión inelástica se produce cuando los cuerpos, luego de chocar, adquieren igual

fr A iw m iP

d e

j/o w w g g á m r n o g f ^

7 1 1 J8SS

velocidad. Esto sucede por ejemplo, cuando chocan dos automóviles y se mueven pegados después de la colisión. En este caso se realiza la mayor reducción posible en el valor de la energía cinética del sistema. Por ello, este tipo de impacto recibe el nombre de choque completamente inelástico (plástico).

E 1 U C IO N E S RUBMÑO&¡

Así, por ejemplo, en la figura, tenemos: * ANTES DEL CHOQUE: (V, > Vs)

* Definimos:

O E CÁ= 8 J

Es'd'—4*J

V Yi - Vvt

Antes del choque • DESPUÉS DEL CHOQUE: JUj

E ’ ca= 5 J

O

Velocidad Relativa de Ace

O

En un choque elástico, la energía cinética del sistema se conserva. * Durante el choque, los cuerpos experimentan deformación y dependiendo de sus propiedades elásticas también existirá una recuperación, pero después del choque puede quedar un remanente de deformación o recuperará completamente su forma.

* Definimos: Velocidad Relativa de Ajejafhiento Despuépdql Choque — tls _ V eLR eLA lejam ientoD .C H . VeL ReL A cercam iento A.CH.

Pord

* Para los casos anteriormente descritos; reemplazando U2 - U j tenemos: e = —-r——L Vl - V2 * Donde: 0 £ e á I

h C O N S E R V A C IÓ N D E L A C A N T I D A D D E M Q jrm m N T O E N L O S C H O Q U E S

La cantícwra^ movimiento total de un sistema de cuerpos que chocan, inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento total del sistema, inmediatamente después del choque.

COEFtCIEXTE %E RES TIT IC IÚ X ( e j Es un factor adimensional que nos define la relación entre la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad relativa de acercamiento antes del choque. Este coeficiente es muy usual, para los análisis de choques frontales, puesto que nos va a permitir distinguir los choques m ediante un análisis cuantitativo de su valor comprendido entre cero y la unidad.

Para un choque oblicuo las velocidades deben tener la dirección perpendicular a la tangente común en el punto de contacto, es decir, las velocidades se descomponen en las direcciones de las rectas tangente a los cuerpos y perpendicular a la tangente. 1) PARA EL CASO EN QUE UNA ESFERA CHOCA CON LA PARED: e=

-> e=

I recup

A P recup

Id e f.

A P d e f.

m V f-0 lo - m V i

mVf

- Vf 1m V i ' V t

* P O R E JE M P L O : si: V¡=30 m/s y e= 0,6 30 mis

>

II

¥

U

Vf =eVi= 0 ,5 x 3 0 - > Vf =25 m/s 2) CUANDO DOS FRONTALMENTE:

E X C M C x .a m o iA 2 0 l¿ \

se cumple.

ESFERAS

CHOCAN

• Este es el tipo de choque que generalmente se produce en la naturaleza.

III) CHOQUE PLÁSTICO (e= 0) :

V 2- Vi e=

(I)

Vi - V S • Donde:

* Los cuerpos en interacción quedan completamente deformados, no se produce el rebote, por lo tanto después del choque quedan en reposo o se mueven con igual velocidad (juntos). V,

' [V elocidad relativa Va-Vj después del choque • *

-

— í Velocidad relativa \antes d el choque

• Existe una gran cantidad de calor liberado. 2

* La expresión (I) lo podemos escribir así: _ R apidez rela t. D.CH _ VnU,IDCH R apidez rela t.A .C H V ^ ,^ ,, OJO:

*■

ms

RMC

u

(mx+ m j

'■'.W-:

* Por el'principio de conservación del raomentum fr-

lineal:

"antea)

F (deapuéa

m j •Ví + m 2V2=(m l + m 2) ' U

* Si e =2, el choque se llama elástico. * Si 0
* Las características de los diversos: tipos de choques son: \

I) CHOQUE ELÁSTICO (e = l) :

LEY DE REFLEXIÓN EN LOS CHOQUES Una partícula incide sobre una superficie rugosa 44p ” formando un ángulo 44a ” respecto de la normal y rebota formando un ángulo 44fi El coeficiente de restitución “e ” entre la partícula y la superficie es:

* Se da en el caso de c^érpog elásticos (ideales), en este caso no existe deformación remanente, los cuerpos recuperan totabner^eu* fSrirna. * La energía cinética ele! sistema se conserva, o sea:

V '

C ACH

P*CDCB

* La energía térmica de los cuerpos que interactúan no varía y el calor liberado (Q) es nulo. Qubmdo~0

U) CBOQUE INELÁSTICO (0 < e< l) : • Los cuerpos en interacción quedan con cierto grado de deformación. * La energía cinética no se conserva, existe incremento en la energía térmica de los cuerpos y calor liberado, pero si se desprecia el incremento de energía térmica,

CASOS PARTICULARES: A ) Una partícula incide sobre una superficie perfectamente lisa, formando un ángulo “ a 99respecto de la normal y rebota formando un ángulo 14fi El coeficiente de restitución entre la partícula y la superficie es: Tga e ~Tgfi ^^iendo *lue: 9 < e ^ l

a<. fi

[ f j t v r i m » m ; .v oix w is.v T O -rm jfjf t-;,* | ^ í 719 K IH C IO X E S RUUÍÑOSÁ B) Para un choque perfectamente elástico (e = 1), el masas se mueven con la misma velocidad pero en ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son sentidos opuestos. Calcular la relación de masas: iguales. R E S O L U C IÓ N :

Si, e = l -+ a = p

• Según el enunciado, graficamos: C) Cuando una partícula choca perpendicularmente con una superficie fija (Tierra), su velocidad de incidencia “V ” y su velocidad de reflexión 44Uf* se relacionan del siguiente modo: U

Antes del choque: m¡

y

ms ' V.=0

Después del choque: Uj=U

%

T

BT

U= ev

e<,l * Siendo un medio carente de fricción? »

4

V *Si el choque es perfectam en te elástico (e = 1 ), las velocid a d de in cid en cia y r e fle x ió n son iguales. D) Cuando una partícula es abandonada desde una altura “H ” y choca con una superficie horizontal la altura máxima que alcanza después del primer rebote

E P a c //= E P d .cu

-> mlV1+m 2V2:=mi(-U i)+m 2(U2) -* m¿VI+m s(0) = ml(-U )+ m 2(U) -> - m ¡ ) ................................... *.

‘

• Además como el choque es elástico (e =1): Í V i Vj_= i V ,-V ,

;e < 1

sera:

* En general, la altura máxima después de n-ésimo rebote será: h = e 2 n H ; n = l ; 2; 3; 4; O fíSER VA C IÓ N : Cuando se dispone del gráfico fuerza versus tiempo, el coeficiente de restitución viene dado por la siguiente relación:

(I)

* Reemplazando:

U -(-U ) y _ o =1

217 = V,

(II) m1(2U) = U(m2- m 1)

(II) en (I):

m2

E JE M P L O 2 : Una bola de billar de 0,3 k g choca frontalmente con 40 mis contra otra de 0,1 kg en reposo. Si el coeficiente de restitución es e = 0,6 determine la rapidez de cada bola después del choque y la cantidad de energía calorífica que se disipa. Considere que las bolas están sobre una mesa horizontal lisa. R E S O L U C IÓ N : 40m¡8

Antes del choque EJEM PLO 1: Sobre una mesa sin fricción se lanza una esfera de masa 4tmt ” con una velocidad ttV¡ ” , la cual colisiona frontal y elásticamente con otra esfera de masa “ w , " inicialmente en reposo. Si después del choque ambas

Después del choque

• La rapidez de los cuerpos después del choque lo podemos determinar utilizando el coeficiente de restitución.

c _ Vrelat.D.CH

24=V b - V

relat.A.CH a

0, 6=

^ i 4 0 -0 (I)

[fF 'M í

* Considerando las dos esferas como un sistema y notando que la fuerza resultante es nula planteamos que: Pa.ch=Pd.cu.

IA Ei\Ci
* Para el coeficiente de restitución ->0,3(+40)+0,1(0) = 0,3(+VA)+0,1(+VB) 12=0,3VA+0,1VB -+ 120 = 3Va +V b ....................................... (W

e = YrvIat.D.CH. _

relat.A.CH.

30

0,6 ¡El choque es inelástico!

MECÁNICA CLÁSICA

* De (I) y (II): -> VA= 24 m¡a y VB=46 m is

E n M e c á n ic a C lá s ic a la f o r m a m á s u s u a l d e I n t r o d u c i r la c a n t id a d

* Por otro lado: para determinar la cantidad de calor liberado analizamos energéticamente el sistema.

d e m o v i m i e n t o e s m e d i a n t e d e f i n i c i ó n c o m o e l p r o d u c t o d e la m a s a ( K g ) d e u n c u e r p o m a t e r ia l p o r s u v e l o c i d a d (m / s ), p a ra lu e g o a n a li z a r s u r e l a c i ó n c o n la s t r e s le y e s d e N e w t o n a t r a v é s

* Como la energía cinética no se conserva (choque

d e l t e o r e m a d e ! i m p u l s o y la v a r i a c i ó n d e la c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o . N o o b s t a n t e , d e s p u é s d e l d e s a r r o l l o d e la F ís ic a

inelástico).

& C in ic ia l= ^ c fímal + Q lib era d o

M o d e r n a , e s ta m a n e r a d e h a c e r l o n o r e s u l t ó la m á s c o n v e n i e n t e p a r a a b o r d a r e s ta m a g n i t u d f u n d a m e n t a l.

-+±(0,3)40*=±(0,3)24*+±(0,1)48*+Qlibtnldo

E l d e f e c t o p r i n c ip a l e s q u e e s ta f o r m a e s c o n d e e l c o n c e p t o i n h e r e n t e a la m a g n i t u d , q u e r e s u lt a s e r u n a p r o p i e d a d d e c u a l q u i e r e n t e f í s i c o c o n o s i n m a s a , n e c e s a r ia p a ra d e s c r i b i r

Qlib*nado:=38>4'J

■las in t e r a c c io n e s . L o s m o d e l o s a c t u a le s c o n s i d e r a n q u e n o s ó l o lo s c u e r p o s m a s i v o s p o s e e n c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o , t a m b ié n

EJEM PLO 3 :

r e s u lt a s e r u n a t r i b u t o d e lo s c a m p o s y lo s f o t o n e s .

Una pelota de 0,2 kg, que desciende verticalmente con 30 mis choca con una superficie horizontal y rebota con 20 mis. determine el módulo del impulso que experimenta la pelota, el módulo de la fuerza media del piso sobre la pelota y el coeficiente de restitución del choque cuya duración es 0,02 s (g =10 m/s2) P E S O L U CIÓ N : * Analizando gráficamente el choque.

Lacantidaddemovimientoobedeceaunaleydeconservación, lo cual significa que la cantidaddemovimiento total detodo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y c u y a s fuerzas internas no son disipadoras) no puedeser cambiaday permanececonstante enel tiempo. En elenfoquegeométricodelamecánicarelativistaladefinición esalgodiferente.Además, el conceptodemomentolinealpuede definirseparaentidadesfísicas comolos fotones olos campos electromagnéticos, quecarecendemasaenreposo. Nosedebe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, quees unamagnituddiferente. F in a l m e n t e , s e d e f in e e l i m p u l s o r e c i b i d o p o r u n a p a r t íc u la o u n

lililí

50m!s

40mis

c u e r p o c o m o la v a r i a c i ó n d e la c a n t id a d d e m o v i m i e n t o d u r a n t e u n p e rio d o d e t ie m p o d a d o .

MECÁNICA NEWTONIANA p is o

* Debido a las fuerzas sobre la esfera, durante el choque existe un impulso resultante que causa cambio en la cantidad de movimiento', luego, por la relación impulso y cantidad de movimiento tenemos: ÍR=mVf - mVi I

r

= 0 ,2 (2 0 ) - 0 ,2 (- 30) - > I

r

= + 5 -> I

r

- 5

N.s.

Como: mg

-*• lR = FgAt+Fm át+5={-0,2x 10)0,02+ (+Fm)0,02 -> Fm~252N * Notamos que el módulo de la fuerza media del piso (252N) es mucho mayor que la fuerza de gravedad de la esfera (2 N) por ello durante un choque la fuerza de

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. De forma intuitiva, la Cantidad de Movimiento se define como «la inercia de los cuerpos que están en movimiento», es decir, a mayor cantidad de movimiento mayor oposición al cambio de velocidad. Por ejemplo abstracto , un camión y una mosca viajando ambos a una velocidad 40Km/h; el camión tiene mayor masa que la mosca, por lo tanto mayor inercia que la mosca; si quisiéramos afectarlos de alguna manera , por ejemplo, querer frenarlos, sería más difícil detener el camión , pues su cantidad de movimiento es mayor, y va a tender a permanecpr cu ia dirección y sentido de la velocidad que lleva. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad.

(m p y tso r ciiV rm to ni;

EMCIOXES RtJHIXOgj

m o m m íkv r «

* Finalmente, el impulso neto estará dado por: PROBLEM A 1:

Calcule el impulso (en Na) debido a la fuerza F que actúa sobre el bloque de masa igual a Ik g, que inicialmente está en reposo, hasta el instante en que el bloque alcanza la rapidez de 20 m/a. Liso BT F ( A) 5Í

, B) 10Í

C) 20i

D) 25i

R E S O L U C IÓ N :

V,=0

Ikg \ ül • Sabemos que: T=Pfi„ai - P inicial

R E S O L U C IÓ N : F (N ) 60 j

1=2(10 j ) - 2(-10j)=(40j)Ns RPTA : "C ” P R O B L E M A 3:

t(ma)

Una partícula cuya masa es 2 k g , que se mueve en el plano XY, cambia su velocidad de (14i + 12¡}) m/a a (8i + 4j) m/a, en un intervalo de tiempo de 0,2 a, calcule la fuerza media (en N) que provoca el cambio de velocidad. A ) - 6 0 ¡ - 80 j

B ) - 3 0 i - 40 j

C) - 6 i - 8 j

D ) - 60 + 8 0 j

R E S O L U C IÓ N :

‘9ombr*ad<\ • El impulso de la fuepzff "F (fuerza; de in tera cci$ ¿^ én el intervalo [ 0; 8] s será:

99

I - A j + A2 + 2 0 x 2 ( 2Q1réQ x60 =>/ = ) 2+± 2 A 2 I = 2 2*0 rÑ x ma ¡o =» 1= 220 x 10 -*N . 8.= 0,22 N/a ,

* Recordemos que:

;

=> I = m V f i n a l - m V i n i c i a l

RPTA : “B ”

=> T = l(20i) - 1(0)=20Í Ns PROBLEM A

RPTA : “ C ”

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

PROBLEM A 2 :

Una esfera de 2 k g es soltada en el punto A y cae libremente, si luego del choque llega justamente hasta (A), determine el impulso neto (en N.s.) sobre la esfera durante el intervalo de tiempo que dura el choque. A)10j B )2 0 j

i

C)40j

1I5m

D)60j

i

E)80j

media * Luego en el problema: l= m V f-m V i -+Fn£J=m V f-m V é -s

_mVr-mVi

At

2(8i+4j)-2(14Í+12¡j)

0,2

"

RPTA : “ A PROBLEM A

R E S O L U C IÓ N :

* Al llegar al suelo tendrá una velocidad de: V f= V * + 2 g h

1) Si la fuerza resultante sobre una partícula es cero, su momentum lineal permanece constante.

^ F a = (-6 0 i-8 0 j)N

*7"

(M VCL)

=> V,2u¿ o= 0*+2(10)(5)=> V9ueío=10m ls

99

4:

Al chocar un cuerpo con otro, un dispositivo registra los valores de la magnitud de la fuerza de interacción en función del tiempo tal como se muestra en la gráfica. Calcule la magnitud del impulso intercambiado (en Na) en el intervalo de [ 0 - 8 ] a.

lOmi«

luego del choque

»►

2) El momentum lineal es una cantidad física que no depende del sistema de referencia respecto al cual se mida. 3) El momentum lineal se define como el producto vectorial de la masa por la velocidad. 4) Sólo la suma de las fuerzas externas distintas de cero pueden cambiar la cantidad de movimiento del sistema. 5) Las fuerzas internas no cambian la cantidad de movimiento porque su suma siempre es cero.

6) La cantidad de movimiento de cada una de las partículas del sistema se mantiene constante.

* Ahora según el enunciado, señala que luego del choque, la esfera llega al punto “A” , entonces se deduce que la rapidez antes y después del choque serán de igual valor.

lOmfa

5:

t( ma) A) 44

0,22

C) 4,4

D) 46

7) Respecto a una bolita de ping-pong que es lanzada contra una pared y regresa. El impulso sobre la pared es igual en módulo pero en sentido contrario al de la bolita.

8) Al soltar una pelota, da varios

{JP'MSÍMCA rebotes en el p iso, entonces el impulso de la fuerza debida al piso es constante. 9) El impulso debido a una fuerza media es el impulso de una fuerza constante.

10) Si un cuerpo rebota en una pared rígida, entonces AP es perpendicular a la pared. A) 5 B) 9 C) 10 D) 7 E) 6 R E S O L U C IÓ N : DVERDADERA: Si la fuerza resultante sobre una partícula es cero, entonces el impulso también es cero, luego la cantidad de movimiento o momentum lineal permanece constante.

W & 71

elM3

5) VERDADERA: Las fuerzas internas cambian la cantidad de movimiento de las partículas que forman un sistema, pero no pueden cambiar la cantidad de movimiento total del sistema puesto que la suma de ellos es cero.

6) FALSA: La cantidad de movimiento de cada una de las partículas de un sistema puede variar en el transcurso del tiempo, pero la suma vectorial permanece constante. 7) VERDADERA: A n tes d el ch o q u e

D u r a n te e l D espués d el ch o q u e ch oqu e

Se sabe que: J=AP <=>FAt = P f-P o -+Po = Pf=cte. o 2) FALSA: En general la cantidad de movimiento o momentum lineal de una partícula es igual a: P=mV= masa en reposo

Impulso sobre la bolita de ping-pong: (acción)

l 2=m(V2+V3) j * Como la pelota en cada rebote alcanza alturas menores a medida que transcurre el tiempo, entonces: V3V3m(V2+V3) < m(V¡+V2) h h -> I 2 < I¡ “ Esto quiere decir que el impulso de la fuerza debido al peso no es constante.” 9) VERDADERA: Cuando una fuerza variable, actúa sobre un cuerpo durante un intervalo de tiem po, esta fuerza puede ser sustituida por una fuerza media (FfnA de valor constante de modo que produzca el mismo impulso en el mismo intervalo de tiempo. ♦ Gráficamente: [F(N)

I = F *At

F=variable

át Impulso sobre la pared: F*=cte (Reacción) -

El principio de la relatividad establece que la masa de una partícula será diferente en distintos sistemas de referencias. Luego la cantidad de movimiento también depende de los sistemas de referencias.

¡A FJVCJfM^DLÍ 2012} Impulso en el 2do rebote:

F

pared

Fm

Ütf At

12 = - F A t - > / 2= - 7 í h 8) FALSA: =0 (solta d o)

3) FALSA: El momentum lineal, es una magnitud física vectorial que se calcula multiplicando la masa de la partícula (escalar), por su velocidad (vectorial), esto es:

Area

=Area í

I d e “F ” =/cie “Fm 10) VERDADERA: * Antes del choque

m

p a red

P=m V ♦ Después del choque

NOTA: El producto vectorial está definido para dos coeficientes vectoriales. 4) VERDADERA: Si la fuerza resultante externa distinta de cero actúa sobre un sistem a de partículas, entonces la cantidad de movimiento de la misma está cambiando en el tiempo. I =FJt(ext) *A/=A/>* 0

Y

JL l*r rebote

2 ** rebote

Impulso en el l e r rebote: 7/= AP=Pf - Po=mVsj - (mVj)( - j )

AP =P f - P 0=mVf (-i)-(m V 0)i AP = -m (V 0+Vf ) i ± eje Y _L pared RPTA : “ E 99

[p ip l is o r fA v rm u i ni: M o n u fO T o 717 P R O B L E M A 6: III) El impulso neto es de 5 AU. Sobre un bloque ubicado en un IV ) El vector impulso señala plano horizontal liso, actúa una siempre en el mismo sentido. fuerza horizontal cuyo módulo F(KN) depende del tiem po com o se 10 muestra en la figura. Calcule el módulo del impulso (en Na) que produce dicha fuerza entre los instantes t= 5 s y t= 3 0 s . 7

EDICIONES RUBIÑOStl F(N)

•• • •

A) 11/3 D) 20/3 '•E)25I3 R E S O L U b íÓ N :

0

2

t(m s)

3 t(ms) C) 19/3

* El únpulso de la fuei

A)Sólo I B)S6lo II C)I, II y III DJSóloI y IV E)S6lo IV

A)187t5 D) 112,5

B)152,5 E)93,75

C)162,5

R E S O L U CIÓ N : Liso

(

R E S O L , U C IÓ N : I) VERDADERA: De la gráfica el intervalo que duró el contacto es At= 2m a . U) FALSA; En el intervalo 1 el objeto impactado recibió im pulso igual a: I^ A ^ flO k N H lm sl^ lO Ns(-+) y en el intervalo At= 2 - l = l a

3 t(m 8) / = A9ombrmda^ F MA t J í^ -\ x l0

)

Recibió: I2=A2(5kN)(lm8)=5Nxa(->)

At=20N x ma

F(kN)

20

Fu (3 jk¿ )= 2 0 N x 10

P R O B L E M A 9: m mA .

La figura m uestra la fuerza actuante sobre un objeto en función del tiempo. Si el impulso recibido por el cuerpo en el intervalo de

. 4<

AJ »

El impulso de la fuerza “F ” entre los instaqtéé t= 5 s y t= 3 0 s. *

*

—

* Estará dada por: I= A ¡ +A2 - A 3 r (1 0 + 1 5 }. 15x15 5 x 5 I= { - 2 ~ ~+1=162,5 Ns RPTA : “ C ” PR O B LE M A 7: Se muestra una gráfica F v s t, para un cierto im pacto. Entonces identificar las proposiciones correctas: I) El contacto duró 2 ms. II) El objeto impactado recibió 10 N& hacia la derecha y 5 N.s hacia la izquierda.

•.. J. i.*

0

->Fm= — N 3 RPTA : “D ”

^ >■»

t(m 8)

III) FALSA: El impulso neto es: I neto=Al +A2=100 N •s+SN •s=15N •s IV) VERDADERA: De la gráfica se puede apreciar que la fuerza es siempre positiva, por tanto el impulso también es positiva, o sea apunta a la derecha. RPTA: P R O B L E M A 8: En la figura se muestra el gráfico de la magnitud de la fuerza variable F (en N) en función del tiempo t (en ms). Halle la magnitud de la fuerza media.

[0;x ] es 10 i N s, halle (en ms) el tiempo de interacción. F(kN) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 R E S O L U C IÓ N :

tima)

F: fuerza cgn interacción

a p 'j r a g j r c L A fauna

* t(m 8) * El impulso de la fuerza "F ” será: X MXT ■*=\— ( IOOOO x >\ at ] F= Km,10N - — lAf x ms

K

¿

¡o-3

'

u s a y jg ia M P R O B L E M A 1 1: Sobre un cuerpo de 3 kg de masa, que se encuentra en reposo en el origen de coordenadas del eje x , actúa una fuerza que varía con el tiempo t, de acuerdo a la ecuación F =(2 + 2 t) N , donde t se mide en segundos. ¿Cuál es la rapidez (en m/s) del cuerpo cuando t= 3 a? A) 2 B) 3 C )4 D) 5 E) 6 R E S O L U C IÓ N :

• Ecuación de la fuerza que actúa sobre la bala:

* Gráfica: F -V s -t

t(s ) ’

.►F=(N)I

0

3xl(P

400

0

F(N) 400

i

r- F d )

10fihCs=Y ° ° ^ )X} 10' 3Ñ
‘

RPTA : “B ”

PROBLEM A 10:

t=3a

Una bola de 300 g de masa colisiona frontalmente con un tablón. Su cantidad de movimiento (P) antes, durante y después de la colisión es representada en el gráfico adjunto. ¿Cuál es la pérdida de energía cinética de la bola, en joules, debido a la colisión?

0

G ráfica: F - 1 F(N) 8

3 xl0 ~3

- t(s)

* Cálculo del Impulso (I): El impulso de la fuerza es igual al área sombreada, es decir: I = A r e a = — Í3xl0~ s )x 4 0 0 N .8. 2 1= 0 ,6 N . 8.

I=Área i

* Cálculo del tiempo que permaneció la bala en el cañón: t(a ) F = (2 + 2 t)N

0

1

2

3

2

4

6

8

• *

♦

•

• De la ecuación del teorema del im pulso y la cantidad de movimiento: A) 31,4 B) 45,0 D) 51,0 E) 36,0 R E S O L U CIÓN :

C) 40,0

•Antes del movimiento: \Pa= MVt I ->6 = 0,3Va -> Va= 2 0 m/s •De la energía cinética: ECa= 4 M V /=1(0,3) (20?= 60 J A ¿ • Después del choque: Pd=MVd ->-3=(0,3)Vd -+Vd=-lOm/a • De su energía cinética: ECj= | m V /= 4 (0,3)(-l 0 ? =15 J • Se pide la perdida de la energía cinética durante el choque, lo cual será: AEc =60 -15=45 J RPTA : “ B ”

I = Á r e a ú = Ó.P = Pf - ^ f = m x V r Í ^ ± ^ ) 3 = 3 V , . -* V f = 5 m l» i 2 ) RPTA : “ D ” P R O B L E M A 1 2:

En pleno disparo, una bala de 20g soporta una fuerza F fh=400-(4/3)105t , mientras se encuentra en el cañón de la pistola. Grafique F vs t y de la gráfica halle el impulso (en Ns) y el tiempo (en ms) que permaneció la bala en el cañón. A) 0,6 y 3 B) 0,3 y 3 C) 0,1 y 6 D )0 ,3 y 8 E) 0,6 y 6 R E S O L U C IÓ N : * Masa de la bola=m =20g= 2xl0~*kg

El tiempo que demora la bala en el cañ ón es m edido hasta el m omento que la interacción se hace nula (F = 0). A partir de la gráfica se tiene: t=At=3xlO ~s a=3ma RPTA : 14A ” PR O B LE M A 13: Sobre un bloque actúa una fuerza F(en N ) variable en el tiempo / (en «), según: t - 4; ai 0 <, t <10 F =)6 ; si 10 <12 f ;a i l 2 £ t < t f Si lu ego de 1 2 s la fuerza dism inuye linealm ente hasta anularse, y considerando que el im pulso resu ltan te es 4 0 N s, determ ine el valor de f(en N ) cuando t = 1 7s A)1 B) 2 C) 3 D) 4 R E S O L U C IÓ N :

E) 5

[D1PVJSO T CANTIDAD fíE M O m iRTTO • Construimos la gráfica F - Va - t F(N)

EDMCIOiXÉS KMttVQgl

| B 1 7 j>

* El impulso (/) es igual al área bajo la gráfica, esto es:

DCL: A y B m g=W

/= A l+ A ,= ^ |í2 ja < » > + (:^ ~ ^ j 2 j x / 0 - a AL*. => 1 = 0 ,2 6 0 N S .

t($)

• Cálculo de la masa (m) de la bala

V0=6OOm/g

* El impulso resultante hasta que la fuerza se anula es igual a: (-) <+) ImpuUo = I= A ¡ +A 2

1 =>

( 3+t* -

4 0 = ± ( 4 ) ( 4 ) + [ ------

* Resolviendo se obtiene: tf=18 a * Por geometría, el valor de la fuerza tgf *9en t = l 7 a es: \ f= IN RPTA : “ A ” P R O B L E M A 14: Una bala que se mueve con una rapidez de600mis, incide y penetra en un bloque de madera, el cual le ofrece una fuerza de oposición F que varía con el tiempo según se indica en la gráfica. Si la bala sale con una rapidez de 400 m /a, calcular la magnitud (en Na) del impulso que recibió la madera y la masa (en g) de la bala. F(N)

V f=400m la

I) FALSA: I n o r m a l— N A t ( t ) , ’ / p « * o

madera •Ahora, el impulso que experimenta la bala es igual al impulso que recibe la madera pero de sentido contrario, esto es: / b a l a - I — A P b o l a — m V f - T tlV 0

=> - 0,260Í =m(400 - 600)i y y =>m =0,0013kg=l,3g

RPTA : «A* PROBLEM A 15: Las masas de dos cuerpos A y B son iguales. El cuerpo A cae desde una altura de 1 m y el B desde 1000 m. Ambos regresan al punto de partida. Respecto a los impulsos que ambos experimentan al interaccionar con el piso. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proporciones: I) El impulso de la normal es igual al impulso del peso en ambos casos.

100

II) El impulso de la normal es mucho mayor que el igipulso del peso en ambos casos. ?

0\ 2 ^U -t(m s) A)0¿60; 1,33)0,52; 1&C)0,26; 2,6 D)0,52;2,6 E)0,78;3,9/ R E S O L U C IÓ N : F(N)

III) El impulso d&'la normal es aproximadamente igual al impulso de la resultante sólo para el cuerpo B. A) FFF B) VFF C) FVF D) FFV E) W V R E S O L U C IÓ N :

Comót

U) VERD. como: N >í> > > m g => NÁt » » mgAt 1 n o rm a l •p*M> => I n orm al > > » I P„ o > casos

en

a m b ° 8

UI) FALSA: fr e a u ¡ta n te ~ F R A t

Como: F r =N - mg » N { f : impulsiva muy grande => 1 multante» N A t» en am bos casos. RPTA : “ C ” PROBLEM A 16 : Una esfera de masa 2 k g esta unida a una cuerda y gira con una rapidez angular constante de 10 rad/s en un plano horizontal liso. ¿Cuál es el módulo del impulso (en N s) que experim enta la esfera cuando se traslada de A hasta B, considere R - 5 0 cm

m

100

m Im t(ms)

í

Ll

lOOOm

I

A) 10 42 D) 10 piso zssa

B) 20 J2 E) 20

R E S O L U C IÓ N :

C )6 j2

kestmovoS <ü=10rad!$

•Por el M ,aU .: V=a>R=> V=(10)(0,5)= 5 m/s * Del gráfico: P Inicial ~P final = 77fV= 2(5) = 10 N 8 • Pero el impulso: I-P i-P r 10N¡ P f-P i

IA ENCmíf.

QJLt 2012}

PR O B LE M A 18: Una partícula de masa M se mueve con una energía cinética Ec y cuyo módulo de momento lineal es P, mientras que otra partícula de masa m=M I2 tiene una energía cinética E q/2. En términos de P, ¿cuál es el módulo del momento lineal de la partícula m? A) PI2 B) P/3 C) P/4 D) P15 R E S O L U C IÓ N :

t= 1 0 s

240m/s

* Cálculo de “ Vy” en /= J 0 a :

Para la 1ra*partícu la: * M = 2m

'

De la ecuación del movimiento de proyectiles;^

P

y r~Y0;+ g t => Vy=70j+(-lCÍj)(10)

De: E ^ = -m V

=>Vy= - 30 j ( l ) => Vy= - 3 0 j ( i ) • Del triángulo rectángulo:

RPTA: 44A " PR O B LE M A 1 7: Dos partículas de igual masa se mueven como se ilustra en la figura. Calcular la rapidez (en m/s) con la que debe moverse una partícula que tiene el doble de masa que una de las partículas mencionadas para que la magnitud de su momento lineal sea igual a la magnitud del momento lineal total de las/ partículas de la figura. Y A) 6,5 4m¡8 B) 4,5 1 C) 3,5 D )2 ¿ B m fs B) 1 ¿ •

-

R E S O L U C lS Ñ ! * Según enunciado y considerando el gráfico; «P s

(m)(3i)+(m)(4j)-(2m)V -+ 3 Í + 4 j= 2 T I

&

(D

Para la 20a' p a rtícu la :

&

VB= 2 4 0 i-(3 0 )j • Finalm ente, la cantidad de movimiento “P B99en “B ” será: P a -m V a m P B= (0 ,3 )(2 4 0 Í-3 0 j)k g 8

Pf

P B\=PB= 9 j6 5 = 9 a RPTA: 44E "

De: Ec m2 mV*

PRO BLEM A 20:

2§ - A mVÍ 2 2 1 .

5Además: P2=mVs Vm

(II)

* D e ffly (II), se obtendrá: P<í=— RPTA : 44A

99

PROBLEM A 19: Sobre la superficie terrestre se lanza un proyectil de 300g de masa

k • 1

+ Ps

= 2 m J*Z Vm

■

-

.

Pi

■

•Además: P=mv

I~ \ P i-P f

* Luego: la velocidad en “B Mes:

Í! m

Ec A (2 m )V *

con velocidad Vo=240 i+ 7 0 j m /s. Calcular el módulo de la cantidad de movimiento (en kg.m/s) del proyectil a los 10 s de iniciado el movimiento ( a =065 )

En el punto más alto de su trayectoria un proyectil se está m oviendo con velocidad de magnitud V0y explota dividiéndose en dos fragm entos iguales. Inmediatamente después de la explosión uno de ellos tiene también velocidad V0pero se mueve en sentido contrario al que tenía el proyectil. La m agnitud de la velocidad del otro fragmento en ese instante es: A) V B) 2 V C )3 V D) 4 V o D )5 V p R E S O L U C IÓ N : * Inicialmente, el proyectil tiene una rapidez vQen el punto más alto de su trayectoria.

A) a W 3a O 5a W 7 a E) 9a R E S O L U C IÓ N :

+4* - 2 V -> V**2,5 m/a RPTA : i4D ”

* Masa del proyectil = m = 3 0 0 g=0,3kg.

8

E

3

x

IM P U S O T C.LVTOMJ> DE MOVBIIEXTO

o

m /2

m ¡2

V,

E

l

EDICIONES RlltLXOSl

721

♦Datos: mp=80 k g ; m b=0,050 k g

R E S O L U C IÓ N :

F fr

fuerza de fricción

* Despreciando la resistencia del aire, el proyectil realiza un movimiento parabólico de caída libre. Entonces, sobre el proyectil actúa sólo la fuerza de gravedad. Luego, en todo instante la cantidad de movimiento del proyectil, en la horizontal, antes y después de fragmentarse, perm anece constante. Al fragmentarse el proyectil se tiene lo siguiente: P

x p royecix)

— P

* fra g m en tos(x)

-> i»r+v0> = ^ - v 0j + ^ ( v , ) ¿ £ ♦Dedonde: VX-+ 3 V 0 El signo f+ j, nos indica que el segundo fragmento se dirige en ese instante hacia la derecha. RPTA; "C ” P R O B L E M A 21: Diga cuál de las siguientes afirmaciones en Incorrecta:

A.) Si la cantidad de movimiento de la masa “ m ” de la figura es constante, esporque hay una fuerza de fricciqr$fcuya magnitud es igual a la deB) La cantidadíde movimiento de una partícula qué gira alrededor de un punto no es constante* ^ CJUnapelota lanzada verticalmente hacia arriba regresa 01 punto de partida con una velocidad cuyo módulo es igual al de la velocidad con quepartió (se desprecia el efecto de la fricción del aire), D) La cantidad de movimiento de una pelota lanzada hacia arriba varia con el tiempo. E) La cantidad de movimiento de la masa “m **dela figura es constante, si la fuerza ~p ^ q es constante, independientem ente de su magnitud.

v h= 2 0 0 m fs ;

Fv: fuerza normal N

Analizando las alternativas. A) La cantidad de movimiento p = mv , permanece constante si la velocidad es constante, si ¡? es anulada por f ¡ ,entonces la velocidad de m es constante. CORRECTO B) Cuando un cuerpo gira alrededor de un punto su velocidad cambia en dirección por lo tanto P -m v varía. CORRECTO C) Por conservación de la energía, si una pelota es lan^sad^ verticalmente, la pelota conformé sube adquiere energía potencial y disminuye su energía cinética, al regresar por el mismo punto de partida su energía cinética es la misma por lo tanto tiene la misma velocidad en módulo. CORRECTO D) La velocidad de una pelota varía cuando es lanzada hacia arriba por efecto de lagravedad por lo que su cantidad de m ovim iento también CORRECTO E) La cantidad de movimiento de la masa m es P = m v , si F es constante, la velocidad de la masa varía con el tiempo V =at, por lo tanto p varía. INCORRECTO PR O BLEM A 22: Un policía de masa mp=80 kg se encuentra en reposo sobre patines en una pista de hielo y empieza a disparar su metralleta horizontalmente. Dispara 20 tiros. La masa de cada bala es de 0,050kg y su velocidad al salir del arma 200 mfs. ¿Cuál es la velocidad en m /s, que adquiere el policía, suponiendo que todos los disparos salen en la misma dirección? A) 2,5 B) 5,0 C) 10,0 D) 20,0 E) 40,0 R E S O L U C IÓ N :

n = 2 0 tiros

* Por conservación de cantidad de movimiento: => mp(-vp)+n(mb)(vb)=0 _ nmbvb __200(0,05kg) (200mis) v m 80 kg =2,5 m/s,*£ r 'F*v RPTA : “A 23: >1 * £ -

•a

V

. v

^

99

Una partícula de masa 4j$5%ÍO~*6 kg lloviéndose con unWpflocídad de ¿ 6 0 0 m is ^^j^P^áfcección perpendicular 'alffná *A * *w pared lisa choca con ésta y rebota Calcular aproximadamente el impulso en N s que recibe la pared durante el choque. A)0£xl0-** 3)3x10-** 05,6x10-** 0)2x10'** E)2xl0** R E S O L U C IÓ N : ♦Datos: m=4,65xl0~*6kg¡V=600mfs Y

m >v y ♦ Impulso: /=A P = variación de cantidad de movimiento. AP = P 2 - Pi=m v(-i) - mvi -> AP = - 2mvi -> 7= - 2mvi 1\= (2)(4,65 x 10~26kg)(600 mfs) 7|= 5,58 x 10~23 N s RPTA : “ C” PR O BLEM A 24: Un proyectil de 10 g es disparado contra un saco de arena de 1 & kg colocado en una superficie sin fricción logrando incrustarse en él para que finalm ente todo el conjunto se desplace en la misma línea recta. Si la velocidad del proyectil antes del impacto es: IS lm fs, la velocidad del conjunto

LA EXCJf'JomDíA 20l¿\

inmediatamente después del choque es igual a: A)151m/a D)10ml»

B jlllm í$ E)lm/a

(l,6kg)(40m/a)=me (2,4 mía) me=25kg * Finalmente:

C)llm/a

R E S O L U C IÓ N :

Pf - J

o ’ = FtnmUo *A/

“ ►mV

Fmsdia At 50 X

Vp=2,5 mía

PESOeaAÓH=25 k g (9 ¿ mis9)=245N RPTA : “B ”

PROBLEM A 26:

RPTA : UD” PR O B LE M A 27:

Dos esferas de masas y ms chocanen el origende coordenadas, realizando un choque plástico. ¿Cuál es el ángulo que se mueve el conjunto.después del choque?

Con un taco se le da un golpe a una bola de billar inicialmente en antes después reposo, ejerciendo una fuerza del choque del choque * Recordemos que en todo choque horizontal media de 50N durante la cantidad de movimiento del 0,01 a. Si labolaes de200g. ¿Qué sistema permanece constante, rapidez adquiere después del Siendo m1^20 g; m s=80 g impacto? entonces: V}=10imla, Va=2,5jm/a A) 1 m/a B) 1 £ m/a C) 2 m/a * Lás esferas se mueven en una P tltfama(finali= P aUtmmm(lnieial) D) 2 fi m/a E) 3 m/a superficie horizontal lisa. (m+M)Vf=mVl R E S O L U C IÓ N :

10x151 1610 mV f9t (m+M)m(10+1500) " (1510) Vf=lm/s

Y

Inicio:

* Antes del impacto:

RPTA:“B”

/ y

A) SO6 |—

P R O B LE M A 2 5 :

ta c o

B) s r rep o so

C)53r

Elcañónquesemuestraen lafigura dispara balas de 1,5 kg con una P =0 velocidad de salida de 40m/a. Calcular el peso del cañón, en N, * Durante el impacto: paraque después de 6 segundos de ffledia^SMtía haber disparado una bala, el cañón choque con la pared vertical. Se asume que no existe fricción entre el cañón y el piso. (g=9,8 m/a9) ♦Como lafuerzahorizontal media es aplicadaen un tiempo pequeño, 40m/a se dice que sobre la bola se ejerce un impulso, lo cual produce cambio en la cantidad de movimiento de la esfera. A) 122JS B) 245,0 O) 150,0 ♦Se cumple: ÁP=1 (de la fuerza D) 367A E) 490,0^ media) R E S O L U C IO N : " ♦ Como toda fuerza media es *Como no hay friÉrión: constante, entonces: !

4*

*

é

.

D) 45° E) 60°

R E S O L U C IÓ N : Yi

F „= 0 .

v

*

V,

t*

■* *

t O * Por conservación de cantidad de movimiento:

Vb=40m/s

* Considerando el sistema formado por las esferas "2 My “2 ”, notarque antes durantey después del choque la F«xttrna resultante es nula, conservándose la cantidad de movimiento del sistema. * Luego: Po

=Pf

P l+ P í = P l 2

Vb»40m/s

* Luego:

[im p u so

r

-> \Pi\=m,v,=(20) x 10^(10) -> Px=0,2kg.m fs |P 21=m¿v2= (80) xlO -3(2,5) -> Ps=0,2 kg.m/s „ * = £ l= M =J ♦tg 0=l -+ 0=45° P, 0,2 RPTA: “D ” PROBLEM A 28: Un bloque de 4kg fue lanzado sobre una superficie horizontal rugosa con una rapidez de 20 m/s. Si su velocidad varía con el tiempo como se indica en la gráfica. ¿Qué módulo presenta el impulso que actúa sobre el bloque en los 2s iniciales? V(mfs) A) 10 Ns 20

EDICIONES

7» a

fA V im tii ni: m m m r .v r o

♦ Entonces en ( I ) :

G

>

£

40kg

RKBW OSI A®

50kg\

I = m ( v F - V 0) -*I=4(+10 - 20) = - 4 0 N s

fs,

ya

RPTA : tfD ,$ PR O BLEM A 29: Determine el desplazamiento de la balsa de 10 k g y de 10 m de longitud cuando los jóvenes de 5 0 k g y 4 0 k g llegu en a los extremos opuestos de la balsa en un mismo intervalo de tiempo, asu m ir qu e los jó v e n e s experimentan un MJL U., además desprecie el rozamiento por parte del agua.

50kg

¿t*i« i ,

X

'

.

B) 20 Ns C) 30 Ns D) 40 Ns ♦Además la ft depende en forma

E) 80 Ns i,

R E S O L U CIÓ N : * La variación de la velocidad implica una variación de la cantidad de movimiento. Toda variación de la cantidad de m ovim iento es causado por un impulso. Tal que: 7=AP ♦Luego: l = m ( v F -V o )...(l)

Jy

_«

0

*

i

A) 0,5 m B) 0,8 m D) 1 m E) 1J2 m R E S O L U C IÓ N : 40kg,

•

C) 0,9 m

directa de la FN entonces f ,2> f B¡, luego la balsa se m overá a la derecha. ♦ Conservación de cantidad de movimiento del sistema Po=Pr{-Z)-+0=mIvJ+mjv3-m2v2

\ 50kg

Límite Siatema\

V(mls)

i— }

*

2~

t

—>x=lm

2 0 -k

RPTA : “D ”

•A l in icio los cu erp os está n en rep oso: *I ~t(8)

♦ C on sid era n d o el sistem a formado por los jóvenes y la balsa notaremos que la fuerza externa

♦ Del gráfico: hallando V F= ???

resultante es nula (Pcr=0)

♦ Por semejanza de triángulos: 20 - V F VF .. , - = — => Ve=10ml8

•E ntonces la can tid ad de m ov im ien to d el sistem a se conserva, las partes del sistema se m overán debido a las fuerzas internas ( f j

=>VF= + 10 m /8 • Además considerando movimiento sobre el eje ux n.

PR O BLEM A 30: Dos cuerpos inelásticos tienen una masa total de 1 2 k g moviéndose en se n tid o s op u estos con velocidades de 4 m/s y - 6 m/s; co lis io n a n y a d q u ieren una velocidad común de +1/4 m/s. ¿En qué relación están las masas de los cuerpos? A) 6/4 B) 5/3 C) 8/3 D) 6/5 E) 514 R E S O L U C IÓ N : ♦ En este caso se produce un choque plástico: ♦Antes del choque:

Vj=4m/$

• "Significa que en 5 /Í£ s se dispara 1 proyectil” . -4 M —IptmjmulB __ Ijrwm. ..í

J L

* Después de! choque:

®

IA " ¿ W ir a w g P lá 2012} IB ) VERDADERA:

PSF

por c «d i

- » w « 2 1 5 p r o y ae< tle> /m m

w

RPTA : “ C ” PROBLEM A 32 :

•Del dato: mj +m t =12

(I)

• Del choque plástico: com fort/e -m 2VJ=(mi +rní )x/i -9 mi *(4) -

=12 x ^ 4

4m¡ - 6m2=3~

ff»

• De (/> y (ZD:

Se lanza una pelota de masa m =50g con una rapidez inicial de 16 m/a y con un ángulo de 45° respecto del piso. Si después la pelota llega a impactar al piso. Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas. I) La energfa cinética al lanzarse la pelota es igual a la energía cinética justo antes de llegar la pelota al piso.

- » ii*|+ m 2= 4 (4 m ¡-6 m t )

w

=> m 1+ m 2= 1 6 m í - 2 4 m 2

=*25m2=15m¡

m, m

5

RPTA : “B

p,

m ) á p = p r - p t=wtvi (w peso: t v: tiempo de vuelo) 1 9

PROBLEM A 31: Una ametralladora dispara sus proyectiles de 50 g con una rapidez de 1000 mía. El tirador la sostiene en sus manos ejerciendo sobre ella una fiierza media cuya magnitud es 180 N. Determine el número' máximo de proyectiles que puede disparar por minuto. A) 126 B) 184 C) 116 D) 254 E) 846 R E S O L U C IÓ N : m=5xl0~*kg

A) I D J Iy U I

B) II E) II y IU

*AB~*V.........(tiempo de vuelo) Fr =

(fuerza resultante)

• Por definición: I

= Pf- Po -* F m•A/=P f -P»

-+ W t'=Pr-Pú -*AP=Pp-P9=Wtm RPTA : “D ” PROBLEM A 33 : Las partículas de masas: 10g, 20g y 50 g , se encuentran en el plano X Y con las velocidades que se indican. Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

C) III V2= l A j m/a

R E S O L U C IÓ N : I) VERDADERA:

.s jr V; = 4 j m l s

V.mXSmh

I) El momentum lineal de , es P¡ =0,04ikgm/sD ) El momentum lineal de mv es P2= 0 ,0 3 j hgm/a •

Como: VA=VB II) FALSA: * Del gráfico:

1000m /9

í—

* En el tramo AB:

UI) Si V3= 0,04^-0,05 j m/a

4+*d?=>

entonces P *«-~ = 0 A) W F D) V W

B) VFV E) FFF

C) F W

R E S O L U C IÓ N : • Por definición: ? = m V f - p& a

I) VERDADERA: Según el gráfico: Pi=rn¡Vi => P t=(10-*)(4¡)

=* | = m V /

=> FnAt=mV( => Ffí&t=mVf =*<180)ói~(5*10-*)<1000)

• En forma análoga se demuestra ^

p f = ? V0^ ‘ ! 2

-> P j= ( 0 ,04i)kg *m/a U) VERDADERA: De la misma manera:

(mpuiso y cxxrnhin ni: .voi7.w k.vto H H 725 P R O B L E M A 35: P ¡= m 2V, => P s= (2 x l0 -* )(l,5 j) Juanito que tiene una masa -> P s= {o ,0 3 j)k g ■m/s m = 5 0 k g se encuentra parado sobre una superficie horizontal lisa III) FALSA: y lanza en movimiento parabólico Si: Vs={-0,04i - 0,05 j ) m/a una pelota de 0,5 kg que en el punto más alto de su trayectoria tiene una => Ps=m3 V „ rapidez de 3 m/s ¿con qué rapidez => Ps=(5 x 10~2) (-0 ,04Í - 0,05j ) (en cm/s) retrocedió Juanito, luego de lanzar a la piedra? P, = (-0 .0 0 2 Í - 0,0025j ) A )l,5 B)2,0 C) 2,5 D)3,0 E)3,5 * Luego: -•lil/M M

P

—• —

R E S O L U C IÓ N :

—

=Pi+Ps+P3

- * p U'= (3 8 x lO -3Í+275xlO -*j)kg.m /B

* Considerando como sistema a Juanito y la pelota:

RPTA : “A ” PROBLEM A 34: Un vagón abierto de 24 000 k g se desplaza sin fricción con una rapidez de 3m/s sobre una vía plana en un lugar donde llueve intensamente. El vagón está inicialmente vacío; si la lluvia cae verticalmente, la velocidad (en m/s) del vagón luego de recibir 40000 k g de agua de lluvia, será:

F<’\

n id a l =

P final

i * .

=$U=3x 10~* m/s =3 cm/s M

D ) - 0 ,6 i

E )-li

P R O B L E M A 36: Una partícula en m ovim iento repentinamente se fracciona en 3 partes de igual masa, que se mueven con velocidades Vj=3jm/s

R E S O L U C IÓ N : * ANTES * ' \ * DESPUÉS: Lluvia

V=3ml» 1.

M = 6 4 OOOkg

• Por conservación de la cantidad de movimiento:

..6 :

„ v5 :

1 -

5t

2-,

D)2Í - 4 i E )2 Í + íj O o R E S O L U C IÓ N :

V¡=(2i+4i) m/a,V2= ( - 3 i +2j)m/s a y V3=(4Í-$)m/a y y m ,= ¿ k g , m , = 1 ftg ./flffiflg kg Respecto a iSr^-áiguientes proposiciones ihaique verdadero (V) o falso (F) . ! 7' I) La cantidad de movimiento total del sistema P =0 II) La cantidad de movimiento del sistema se conserva. *

A) W F B) VFV ______ C) VFF D) W V E) FVF R E S O L U C IÓ N : P*m = P i+ P s+ P s=2 (2i+4 j ) + (1) ( -SÍ+3 j ) +0,5 {4i - 6j ) -> P*i*=3i + 8j II) VERDADERA: Como el sistema

IB ) FALSA: Ya que de pMÍat=Pl+P2+PS

RPTA: **E

99

P R O B L E M A 3 8:

M V =M t͡ 3m V,=3i m/s

(1,125 m/s) i RPTA : “ C ”

PR O BLEM A 37: En la figura se muestra un sistema aislado formadajx)? tres partículas con velocida

P ¡+ P 2= “ Ps+

V=M 24000(3¡)= 64000Ji

HT%99

*V2=2jm/s y V3= —0,5(i+j)m ¡s■ es aislado; entonces: ¿Con qué velocidad (en m/s) se ¡La cantidad de movimiento total estaba moviendo la partícula? del sistema se conserva! A )T + 2 j W 6 l + 2 J C ) 6 l - 2 J

M=24 OOOkg

RPTA

I) FALSA: Ya que

RPTA : “D ” B )li

=>(3m)V=m(3¡)+m(2j) +m[-0,5(i+j)] — *• *r 5 v -• . *1 ■

ni) p, + p 2=-p3

0=-(50)U+(0,5)(3) -» 50U=1,5

A) 0 , 6i

* Como la f'r =0 -+ pÍ'^uü = Pp’na,

«

* Como la

iY

3m/s

KIJHLVOSl

Vs= -0,5(i+j)

Una granada se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa en la posición r0=(l(H+15j)m. Tal como se muestra en la figura. Si explota en

¿ v m x o r F i H t 2012 )

U tres fragmentos de igual masa. Determine la velocidad del tercer fragmento (en m/a) sabiendo que la velocidad del primer fragmento es Vj=(10i —4 j )m ¡8 la velocidad del segundo fragm ento es V2= (8 i+ 1 2 j )m/s-

y

R E S O L U C IÓ N : * Del dato se sabe que ocurre lo siguiente:

v,=o

• Instante antes y después del impacto: ( “ &t ” muy pequeño) =>mV0=(m+AÍ)V (0,02)V 0= (5 )V .................... (I)

*

^ Ih iptí *, referencia * Para el cuerpo pequeño de masa “m ” :

* Después del impacto: (sólo existe: W )

- (m +M )V2=(m +M )gh 2

EM= constante

í v * =10(0,2).................. 2 * De (I) y (II): V0=500 m/s

* Pero como: R = L -> V2= j 2 gL A ) - 4 i - 7 j B)8i+ 2 j C )1 4 i-6 j

* Como la f r sobre el sistema es cero; entonces: ífa l

RPTA : “E ”

* En el choque: \PBÍatéma=cons tan te

OBSERVA C IÓ N :

(m+M)' fi=mV2 " — my2 (m+M) * Para el sistema conform ado después del choque plástico se cumple que:

Debido a la colisión cuando la bala penetra en el bloque, una parte de su energía cinética se transforma en “ energía térmica”

D )-2 i-8 j E )-1 2 i-6 j R E SO L, U C IÓ N :

ai)

PR O B LE M A 41:

= P fin a l - * 0 = j l ( v I + J t i v 2 + j r f V 3

EP-E C

EM—constante

=>V*=-(V,+V*) + V ,= -[(/ O Í - 4 j)+ (-8 ¡+ 1 2 j)]

(m +M )gh=(m +M )

=-2Í-8j

RPTA: "D ”

/»=

P R O B L E M A 39:

2g

m (m + M f

2

Vi 2g

(■j2gLÍ

m2

2g

(m + M f

Un bloquecito de masa m se desliza (partiendo del reposo) por un tobogán completamente liso que termina horizontalm ente, de manera que el bloquecito impacta sobre un péndulo de masa M , al que queda adherido, elevándose los dos basta una altura máxima h. Determinar h teniendo en cuenta: 1)Que la cantidad de movimiento (momentum) del bloquecito justo antes del impacto es igual al momentum de la masa total del péndulojusto después del impacto. 2) Que la energía cinética del péndulo se transforma en energía potencial.

Una bala de masa 20 g se dispara contra un péndulo balístico de 4,98kg. El centro de gravedad del péndulo se eleva 20 cm después del impacto, calcular la rapidez inicial. (g =10 m¡82) r A) 350 m/a B) 380 m/a C) 30 m/s D) 360 m/s ' E) 500 mis

Entonces h estará dado por:

R E S O L U C IÓ N :

h=

(m + M f

L

P R O B L E M A 40:

z It

A) L B) (mlM)L C) (Mfm)L D) (m*IM*)L E) (m*l(m 4*M f)L

a

RPTA : “ E ”

v=o

i

Una bala de masa m se dispara contra un bloque de masa M, como se muestra en la figura. Después de la colisión, el centro de masas del conjunto (m + M) se desplaza hasta una altura h . Encuentre la velocidad de la bala en función de m ,M y h.

I--- te> A )(m +M )y¡2gh/m B ) j2 g h (m + M )¡m C ) y¡2Mgh!m

D )(m + M )J gh / m

E )M j2 g h / m

R E S O L U C IÓ N :

[m m s o

r

civrmt»

d e

BBS

m o m m ie x t o

♦ Choque plástico:

EDICIONES RURlNOSl

Entonces tenemos:

mV (m+M)/i=mV -+ /i= (m+M) Para el sistema:

(m + M )g h = (m + M )

m

M=j2gh

m RPTA : “A ” PR O B LE M A 42: Una esfera de 1 k g de masa se desliza desde la cima de un bloque de 2 k g de masa. Ambos están inicialmente en reposo (ver figura). Halle la rapidez de la esfera cuando abandona la superficie cilindrica de 0,3m de radio (g=10mfs2)

MU2 2

roV* 2

(1 )(1 0 ) (0 ,3 )

E M= c o n s t a n te

2

„

(I)

Vw*0

=

V 2+ 1 Í 7 2

=>6=V Z+ 2 U 2..........................(I) ♦Ahora, se requiere una relación entre V y 17, la cual la podemos determinar haciendo uso de la conservación de la cantidad de movimiento (P ) para el sistema (esfera - bloque) en la dirección h o riz o n ta l, ya que en esta dirección, la fuerza resultante para el sistema, en todo instante, es nula; entonces planteamos:,

— N.R.

O B p E R VA C IÓ

Igs orizontal

La4uerza resu.

sobre el sistemSB^Sula (F /^ « o), entonces la qáhtidad de movimiento del sistemase conserva: Ps0x - Psfx

en la horizontal * De la figura: Q= P e,reni+ Pu^. =>0 = + m V + (-M U )

+M

= m V + (-M U )

U M =Vm (I)

^>0=V - 2U -> U --~ (II) 2 * Finalmente reemplazamos (II) en (I): U ; velocidad de bloque

=>V=2m/s RPTA : "C ”

V : velocidad de la esfera A) 4 mís B) 3 m/s D) 5 m/s E) 6 mis R E S O L U C IÓ N :

C) 2 m/s

V

r«0,3/n

P R O B L E M A 4 3: Un bloque de masa 6 k g se suelta en la p o s ició n m ostrada, resbalando sobre la superficie lisa del coche. Determine la rapidez del bloque en el instante que abandona el coche. M = 10 k g

el de e r e n c ia

•Determinación de uV ": * Para este caso es apropiado considerar un balance de energía: según el nivel de referencia, la energía potencial gravitatoria de la pequeña esfera se transforma en energía cinética para ella y para el bloque; esto considerando las ruedas pequeñas y rígidas.

A) 10 m/s B) 8 mfs D) 5 mfs E) 2 mfs R E S O L U C IÓ N :

C) 6 mfs

* Sobre el sistema sólo **Fg” realiza trabajo, la **EM” del sistema se conserva. mgh=^-m V 2+^-M)J2 * (I) en (II) : m g h = -m V 2+ - M { ^ \ v * 2 2 « Luego: V 2=2^

m m+M

* Reemplazando datos: 10 ^ (10)(2)-+ V=5mfs - * fK— 1 10 +oJ +6 ) RPTA : “D ” P R O B L E M A 44: El péndulo de la figura consta de una cuerda de longitud 1 = 1 m y una masa m =0,5 kg inicialmente en reposo. La plastilina de la figura de masa M =1,5 k g y velocidad V=4mfs choca con la masa pendular *‘m ” e inicia un m ovim iento adosado a él. Se dan las siguientes proposiciones:

nssg r a a -m a g “ Por lo tanto, la proposición (II) es VERDADERA ” RPTA : “B ” PR O B LE M A 45: Dos bolitas penden de 2 hilos de tal modo que~se hallan a la misma altura y están en contacto en el punto A. Las longitudes de las cuerdas son L, =10 cm yLj=6cm. Las masas de las bolitas son iguales. La bolita que pende de la cuerda de longitud L| se desvía un ángulo a¡=60° y se suelta. Hallar la elongación máxima angular a 2 luego del choque elástico, (ver figura)

I) El cambio de la energía cinética del sistema inm ediatam ente después del choque es de 3 J . U) El móvil resultante se eleva una altura máxima de 0,45 m . Escoja la alternativa correcta. lv A)VF B )W C)FV D)FF

plastilina

E) Faltan datos ^

m

R E S O L U C IÓ N :

% M

MV*(m+M)V 2 p,: velocidad después del choque

Ec,: energía cinética antesí'del choque. E c,: energía cinética d^spuée'del choque.

EM(F)~ e M(í) 1=> mgHs»

VF=0

• De III: gHt -

=>Lg( l - c o s a , ) =

R E S O L U C IÓ N : * Sobre la bolita que pende de L¡:

MV =3 tr V .« ---------* (m +M ) (l,6kg)(4 mis) * V' m
* Sobre la bolita que pende de Lf :

B) co t'1(115)

E) « w - v i / a ;

* Por consecuencia de la cantidad de movimiento lineal:

“ Velocidad de M2 Wdespués del choque” .

•Además: H o=Lg(l- c o s a o )

D) c o a 1(1/7)

L *1 m ;m - 0 ,5 k g i M ~ l ,5 k g ; V = 4 m /s

2 0 1¿]

A) eos-* (114)

cj cos-'(m)

plastilina

IA

Em(F)-e M(1)

referencia

j mV¡ „ =*—-l-= m g H > i*

• Reemplazando valores: a *0 ^> l*- c o $ a 2= — s 6(/,l - c o s a 2)i= — 2 6 =>coaa 3= l /6 => a ^ c o a ' 1 ( 1/6) RPTA: “ C” P R O B L E M A 46: Las esferitas de la figura chocan elásticamente en el punto A. Si L1 = 10 cm, m 1 = 0£ kg, mt = 0£ kg, coa ax= l /6, determinar la longitud L , (cm).

VP=02gh

•Además: Hl=Ll - L ¡ coa 60° => H¡= L,I2 => V ,= fiL t

vV

Bfy*12 J -+ECí= -(M + n ffv ¡ =* Ec ¡=9 J

“ Velocidad de " I " antes del choque” . • Análisis del choque elástico (e= l): V it

AEC= 1 2 J -9 J = 3 J “Por lo tanto, la proposición (I) es verdadera”

v

=€& Antea

l*i

./ i

Choque

Pfinvi'Ptniciai I

f*a

Después

mn2 - mfj¡=mV¡

• El móvil resultante alcanza su altura máxima cuando la E e se convierte en Ep (energía potencial).

•Además: //i +/ii=V J.......... (II)

\EC- E P

• Sumando /+ U :

í (m +M )v\=(m +M)gh,ma»

£ é* 6m *0,45m

R E S O L U C IÓ N :

5cm

=> M2 -P i= V i.......................

M ^ V r J g L ,........................... (III)

•Al abandonar la esferita blanca de una altura de 5cm respecto al N. de R .t está desciende e impacta con la esferita negra con una rapidez

[d e p u s o y c \ x r m x n d e m o v b u e x t o

"V ” , la rapidez de la negra después del choque es “V ny la blanca queda quieta en virtud al choque elástico, y por conservación de la energía la esferita negra sube 5cm respecto al N.deR. Por trigonometría: x = L2co8a 2=L2(l/6)=L 2/6 L2—x +5

L

1*2~~ 4 +5 o

L 2= 6

RPTA : “ A ”

PR O BLEM A 47: La argolla de la figura se suelta desde A y cae debido a su peso de 5N a lo largo del aro vertical liso. Calcule la cantidad de movimiento (en kg.m/s) en B.

Bgg3 n %

MSMCIO aV E S

♦ (II) en (I): p B= - ( 0,5) 2i = - i

r u b iñ o

M

♦Delgráfico: a P = P f - P o

RPTA : “B ”

PR O B L E M A 48:

=> A P = m V f - mVo

Una bolita de acero de masa m = 200g se lanza verticalmente con una rapidez de 3m/s a un canal circular de radio R =0,2 m t liso y después emerge horizontalmente por la parte inferior. Determine la variación de su cantidad de movimiento lineal desde que entra hasta que sale (en kg.m/s)

=> A P = 0 , 2(3,6i) - 0 ,2 ( - 3 j ) =>AP = 0 ,7 2 Í+ 0 ,6 j RPTA :

“A ”

P R OBLEM A J $ : La esferita de Jafígura de 42 kg de masa, se diñara desde el punto A paralelamente al plano inclinado liso de altura h =20 m . Al^fr^pctar en eLpunto B rebotQ^con una velocidad de módvdWóT^^/^ en sentido contra^^^e^erm ine la variación d&¿9Ir cantidad de movimientojjpn (k g m/s) en el punto B j(g =10 m/s2)

A A) ¡ B) - i

V n=20m/s A )0 ,7 2 i + 0 ,6 j B ) 3 ,2 5 i + 0 ,6 j

C) 2i D) -2 i

C ) 0 ,6 i + 0 ,l j

D )0 ,6 i+ j

E )+ 0 ,6 i

R E S O L U C IÓ N :

E) + j

m boU ,a = 0 >2 k e

t

RESOL, UCIÓN: * Si el peso de la argolla es 5N, entonces su masa (m) será: W 5 W=mg => m =— = — = 0,5kg g 10

V0=3m/a, *

\0,2m

A ) 100

B ) 125

D) 25 42

F ) 50

C) 150 J 2

R E S O L U C IÓ N : N iv el d e r efe re n c ia

g

♦ Como en el tramo A - > B El R iv e l d e referen cia

W ™ ° = 0 => E M a = E M b

=> E Ca + E P ^

= E Cr

♦ La cantidad de movimiento de la argolla en B está

4 (0,2) ( 3 f +(0¿ ) (1 0 )(0 ¿)= í (0,2) V/ 2 2 VF=3,6 mis

dado por: PB= -m V Bi............... (I)

* Calculando la variación de ia cantidad de movimiento.

♦ En el trayecto AB la energía mecánica se conserva, puesto que no hay rozamiento, luego podemos escribir:

\EMA= E MB

illlli rn = 0 ,2 k g

J

jm V f+ m g h ^ ^ m V f+ O

\*yo=3m/s

V ? = V ¿ + 2 g h = 2o/»2 0 * + 2 x l 0 x (2 0 ) —

$éA°+epga~Ekb+J£pgb° =>mgh=—mVB VB=S[2gh=j2xl0(0¿)=2m /8„.(W

♦ Cálculo de "Vj ” “ En el trayecto 99 A -+ Bf = cié

V¡ = 2 0 4 2 m ¡ 8

-iV ^ 3 ,6 m /í ♦ La variación de la cantidad de movimiento (AP) en “ B” es:

\ J F W S iW € lA A P = P f - P 0= m V 2j - m V / - j ) =>AP = m (Vj+Vs ) j = 42 (2 0 -1 2 + 5 4 2 ) j =>A P =50

RPTA : “E ”

B w o l i que se detienen. Calcular la masa (en kg) del auto si el coeficiente de fricción cinética entre el auto y la pista es pk= 0, 2 . Antes del choque

PR O BLEM A 5 0: Si el proyectil de masa m impacta plásticamente sobre el bloque de masa M, determine la altura que ascenderá el bloque respecto a la superficie horizontal; considere: (M = 9 m )

s liso

2012}

iA

A) 1,2 B) 2,4 C) 3,6 D) 4,8 E) 6,0 R E S O L U C IÓ N : W

♦ M a sa del p a tin a d o r: M = —

30

m = 3 0 0 k g (V = 0 ) V=54km /h=15m !s

muro

7/W)

* M a s a de la p i e d r a : rn = —

= 3kg

P>=0,2

z

^5 (I n ic ia l) A) 200 B) 300 D) 500 E) 600 R E S O L U CIÓ N :

C) 400 700 N

V=28m/s

D esp u és d el ch oqu e (m + M )g

V

v=o

(F in a l) N =700N

A) 96 m B) 0,7 m D) 0,9 m E) 1 m R E S O L U C IÓ N :

C) 0,8 m d=9m

1

liso

* Por conservación de la cantidad de movimiento:

♦ Cálculo de la velocidad (Jj) del patinador después que lanza la piedra: “ Por conservación de la cantidad de m ovim iento horizontal”

0 —P p a tin a d o r + P piedra

=> M xl5 + 0=(M+300)U....(1) ♦ Como el tiempo del impacto es pequeño (A t-+ 0) entonces la PM.nu> “ conserva:

Fr / íf=

AP

=>mVb=(m +M )V

♦ En el trayecto AB (después del choque), aplicamos el teorema del trabajo y la energía: Nrl° = A E c \= > W r* =

=> - f kx d = - —(M +m )U 2

♦Luego del impacto sobre el bloque sólo realiza trabajo la “Fg” , luego la EM se conserva.

♦pero: f k=pkN = p k(M + m )g

=>±(ph<í)v*={ptá)gh

= > 4 (3 )* = io h = * h = 0 ,4 5 m 2

♦ Con respecto a la superficie horizontal.

2

— fik(M +m )gd=^-(M + m )U 2 2 U 2=2(0,2) (10) (9) =► U = 6 m/s............................ (II)

- N=(0,02)(700N)=14N ♦ Cálculo de la longitud “ d “ recorrida por el patinador al retroceder: ♦ Del teorema del trabajo y energía: = > w r -^ °-E c 0 ^ - f k d = -/-M U * = > d = ~ ...(II) £ ¿Tk

♦ (II) en (I): 15 M = (M + 300)6

IT 42 m/s , U=— (I) 35 ♦Cálculo de la fuerza de rozamiento cinético “f kn

- E co

=^m(30)=(m + 9m)V=>V=3mls

E m „= E m tf

0 = - M U + m v => 0 = - 7 0 U + 3 x 2 8

M=200 kg RPTA : “ A”

H = 0 ¿5 + h -+ H = 0 ¿ 5 + 0,45-> H =0,7m P R O B L E M A 5 2: RPTA: “B 9* Un patinador sobre hielo, de 700N, PRO BLEM A 51: lanza una piedra de 30 N con Un auto que viaja a 54 kmlh choca rapidez de 28 mis en dirección respectivamente en un muro de horizontal. Encuentre la longitud protección de 300 k g y (en m ) recorrida por el patinador al posteriormente el auto y el muro retroceder, si el coeficiente de recorren una distancia de 9 m hasta fricción entre él y el hielo es 0,02.

. /r\

„r:

y (70)(42/35)*

♦ ( / ; en (II): d =

— —

2 (1 4 )

„ ^

-------- = 3 ,6 m

RPTA : “ C” P R O B L E M A 53 La masa m t se suelta desde una altura h y cae sobre la masa m3. ¿Con qué velocidad inicial se mueven inmediatamente después del choque completamente inelástico?

[depuso

t

EDICIONES RUBiNOSl

c m m » ) ni: .wm m ?.vre ¡gsg rst

Considere m i = m t =m J=Af y el movimiento es sin fricción. A )j2 g h

* Después del choque: U ;

(m +M)

£

*>E* = EKA+EKa

v=o 1

2 2 2 • Reemplazando valores:

B ) ± j 2gh C ) ^ 42 gh

m

* Como:

\

I

X

P x= cte => m V=(m +M )p

D )-J 2 g h

4

(I)

* Después del choque la EM= cte:

E)y[gh

m3 m

—(m+M)/J2= —Kx 2 2

R E SO L U C IÓ N :

2

U'=U

2M M

m «= M M

Antes del ch oqu e D espués del choque

* La rapidez de mJ=M justo antes de chocar con m3 es igual a: V=j2gh * Para un intervalo de tiempo breve se cumple: MV=2Mp+Mp' => M V = 2 M p + M (- p ) => p = V = j 2 g h

RPTA : «A ” PR O B LE M A 54: Se lanza un dardo de 25 g con una velocidad de 32 m/s el cual impacta a un blanco de 1,6 k g conectado a un resorte como se muestra en la figura. S^elblaneo retrocede como máximo 2,4 cm . Determine la constante del recorte en (N;m ). *"

%

dardo w m sm

m 2V 2 (m +M)x 2

* Resolviendo

obtiene:

VA = 2 m/s

fe 4 m/s

A) 1 y 2 B) 2 y 3 D) 3 y 4 E) 4 y 2 R E S O L U C IÓ N :

c

C) 2 y 4

m m m

% • Después:

* Inicial: mÁ=2kg

mB=4kg

V

V,

m m m x

A) 463,5 B) 1625,6 D) 683,7 E) 686,3 R E S O L U CIÓ N :

C) 1366

B

* Antes del choque: V=0

É L liso

0=mAV

(25 x 10~3)2 (32)2 RPTA: “ C " ~ (2 5 x l0 's + l ,6 ) ( 2 ,4 x l 0 2) PRO BLEM A 56 : ~\ = 683,7 N/m Dos cuerpos idénticos de masas RPTA “D ””^ M = 0 ¿ £ 5 k g unidos por una cuerda, V A 7r "V P R O B L E M A 55: A ¡?e stá n comprimiendo un resorte, Dos bloques A y B de masas 2 k g y com o m uestra la figura. Si la 4 k g respectivam ente están energía potencial elástica en el separadas por un resorte ideal de sistema es de 100 J, determine las constante k =1200 N/m y que está rapideces máximas (en m/s) que comprimida una longitud de 0,2 m. adquieren los cuerpos al romperse De pronto se suelta el resorte, la cuerda. poniendo a ambas masas en M movimiento; despreciando todo rozamiento determine la rapidez que adquiere cada bloque (en A) 10; 15 B) 15; 15 C) 20; 20 m/s). D) 20; 30 E) 15; 25 A R E S O L U C IÓ N ; OOtOOM •Antes: resorte comprimido

liso

V=32

•--flp <-

=>0=A¿VAi+4VBi =:

a

u

•'dé.la cantidad * Por consery de movimientoIV^ •

(II)

• De (I) y (II): K=

=>t-<1200)(0,2)2=t-(2)Vl+Í-(4)VÍ 2 2 2 Va +2Vb =24 (/)

¿4 1

= ^ ssssm m ^ =

• Por conservación de la energía mecánica:

* Por conservación de la cantidad de movimiento: P a n t e t = P d etp u é* ^

0 = — M V | Í + M V jÍ

=? Vj=V2=V

• Por conservación de la energía mecánica:

U =EU ^ =>EP í"E», +E>, ,/Ü VM 9

-*EPsmÍMV1+ -M V 1 2

com o

f ¡¡PE*100 J [M*0t3 5 k g

flóo 20 m/s 25 y 0,26 RPTA : “ C”

PROBLEM A 57: La bala de masa m 0y velocidad vot se incrusta en un bloque de masa 4m 0 que está unido a un resorte ingrávido de constante elástica k, éste bloque está sujeto a un cocbe de masa 7 m0. Despreciando todo rozam iento, halle la máxima deformación x (en m) del resorte, considere m0=30 g, k = 3 5 N/m y V0=20 mis. V.O m.

(6m 0+7m0) en el instante que velocidades es p , esto es: m0xV0=(5m0+7m0) '

Vn

20

12

12

3

Ec.bUma°Epi\=:> ^ x 4 mU *=ÍKx*

• Por otro lado: Después que el proyectil se incrusta en “ 4m0” la energía mecánica del sistema se conserva, esto es: í(5m 0)V, =±(5m0+7m0)jj‘ +±kxZm ás = > *m d x

D

e

í / i :

l x m ( - v ) S= - K x 2 U ) 2 4

2

=>±T ^-x4m V 2= L 2 0 0 0 )x 2 2 16 2 *

* Reemplazando valores: *mdx

'30-10M 35 RPTA ; "A ”

PR O BLEM A 58 : >

4

inicialm ente la j '. Determine la máxima deformación del resorte, (K =2Q 00 N/m). Considere choque plástico.

liso

*

* Pero de (II) : mVs=80

La figura muestra 2 bloques donde e>

La deform ación será máxima cuando toda la energía cinética del sistema se transforme en energía potencial elástica.

p=5/3 mis

V *

I C

b u s

ENCttJ.w v n iA 2012]

x= 0,3m = 30cm

RPTA : “ C ” P R O B L E M A 59 : En la figura se muestra un resorte ideal de rigidez K=600N/m comprimido 10 cm, si el tablón y el bloque de m = l k g son soldados simultáneamente, determine la rapidez con que sale despedido el bloque en el instante que pierde contacto con el resorte. Considere M=5 m, desprecie todo rozamiento, siendo L: longitud natural del resorte.

A) 115 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/2 E) 1 R E S O L U C IÓ N : * Choque entre el proyectil y el bloque (4m0) 20m/i

i

4m a

IC=X>

(antes)

A) 9 cm B) 12 cm D) 40 cm E) 22 cm R E S O L U C IÓ N :

C) 30 cm

e

5m

(después)

•»

«

/*

■

D)yfEm /8 E)y/6 m/a R E S O L U C IÓ N :

r.

¡-'TOSBBF

ir .

* Por conservación de la cantidad de movimiento: -v*^ *

A ) j 2 m/a B ) j 3 m/a C) 4 i m/a

• Ltiego del choque plástico: U .

^

y

> m0(2O)*5mi(y) => V=4m!s

• La máxima deformación (x^ .J del resorte se*qgigjna cuando las velocidades de u!fm09*y i47m0*f son iguales.

X

* La energía mecánica del sistema disminuye por la deform ación plástica de los bloques durante el choque. En cambio la cantidad de movimiento se conserva durante todo el choque. • Entonces:

P fin a l efu x jm

8mV=4mU=>U= • Ahora igualamos la cantidad de movimiento del proyectil antes del impacto con la cantidad de movimiento del sistema

í

•Como:

** P

3V

in icia l ch oq n »

(I)

120i

=>| (3m)V1=120 =>mV2=80...(II) £ * Después del choque:

v=o

[P I P U S O r

* Al soltar el bloque y el tablón, el resorte deformado “ empujará” tanto al tablón y al bloque adquiriendo cfu de ellos movimiento. Además sobre el sistema formado por el bloque y el tablón la fuerza extema resultante es nula, luego se conserva la cantidad de movimiento del sistema, también notamos que solamente la FeU9ttea realiza trabajo entonces también se conserva la EM. * Conservación de p : Pot=P f,

EDICIONES RUBWOSl

799

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PROBLEM A

* pQr definición: y c u - m lV , + m 2V *

mJ+m2

=>yc.* .=Í£Ízií±Ü±£íl=o,5 /+1 , 5 jRPTA : "C ” PR O BLEM A 61:

Tres masas iguales se desplazan como se indica en la figura. Cuál es (en mf a) la velocidad del CJM. Y

10 j mfs

62:

En la figura se muestra un plano inclinado de masa “M** y un bloque de masa " m ” . Si no existe rozamiento entre las superficies en contacto. Determine el módulo de la velocidad del centro de masa del sistema cuandq.^'m ” llegue al extremo inferi^pqgi, plano, bloque part^ détTópOSO en el punto “A” . P *«4.

lOmfs

0=M U - mv => M U=m v

liso (I)

* Conservación de “EM

10 i m/s

ff

1 1 => —Kxn = —mv2+ —MU 2 2 2 (600)

ü í-

(l)V 2+(5)

©

=> V=y¡5 mfs

A)Falta conocer la posicioft* inicial de las masas. B) 12,05i+12,05j C)6,02i+6,02j D) 4,02i + 4,02 j E) 5,69i+5,69 j

B )~ ^ h

C)0

m D )^ s e n a ^ 2 gh

RESOL UCIÓN:

Y\ V ^ lO jm fs m

10m /8

VmfM

Halle en mfs la velocidad del centro de masa si se sabe que (m 1 +m 2)= 2 kg.

r* -U = Velocidad del plano _ inc lina d o

V?=10im/8

Ym/,us M Ym- V„ M

" L V = Velocidad que observa O

A )0 ,5 i+ 0 ,8 jB )1 ,5 Í+ 0,5 j C )0,5i+ l,5j 0 )0 ,5 U j

E )j+ j

R E S O L U C IO N : * Del gráfico

1

10mfsA í? _

Tt .

5^2mf8

d 5>Í2mfs

# Luego:

1 V3=5yÍ2 ( i + j)mfs

P¡ = m,Vi => m ,V i = ( 2 j - i ) P 2 = m2 V 2 => m2V 2= ( j + 2 i)

Velocidad que observa O*

-* V = Vm¡M+U * Construyendo el A de velocidades: Vv -> t g a y (1) U+V.

* Com o;

m jV i+ m 2Vs+m 3V3

mí+m2+m3

(j+ 2¡)

M

R E S O L U CIÓ N :

RPTA : “ D ” PROBLEMA 60 :

Considere dos partículas de masa3 m 1 y m g cuyas cantidades de movimiento son Pj=(2Í - j ) k g mfs y P2=(i - j ) kg mfs respectivamente.

A )j2 g h

VmfM

—

m (lQ j )+ m (5 j2 i+ 5 \ Í2 j) + m l0 i

Tr

(lO + 5 j2 )Í+ (lO + 5 j2 )j

=V c.m.—------------ 5 --------------------m+m+m '

f~_" «

3

=5,69i+5,69j

1

Px—cte => 0=mVx+MU RPTA • €4E

-> mVx- -M p ^ r mVx=MU....(II)

• Por conservación de la energía mecánica:

EM,mEMt => m g h a ím V '+ iM U * 5

m

• Pero: V *-V /+ V y* ^mghmLm[V¡+V*)+^MU*...(Ul) •La velocidad del CJJf. del sistema es: t; _ mV+MÜ _ m (v* + Vy) + MÜ m+ M m+ M =7 =ó V

c a í“

mVM+mV 9+mV — *----------- ---------------m+ M

Pero: 1/ i#?? mVM m-MU

xr

-MU+mVy+MU m+ M

s ó V c i í " --------------^ -------

rw

)v , •De (I), (II) y (III): Yy■ y¡2 ghaena, para M

m

=)C. A Í . * ^ Í Í ^ . 3+ 3+ 3 c #A # ^ a ± a + a 3 •Pero: ri + rj+rj=(3¿+4/'+4¿)ff»

RPTA : t4D ” PR O B LE M A 03 : Halle el centro de masa de 3 partículas de masa iguales a 3 kg, si se sabe que sus posiciones son r¡*(2i+S ¡j+4h)m ; f ¡ = ( - 2 ? - S j + 5 k ) m

y rs= (8 Í+ 4 }-5 k )m tivamente.

(3¿ + 4fj+Y¿) -&3M • Entonces: C M .3 RPTA; "C " P R O B L E M A 64: Un proyectil es lanzado desde una M 4M superficie horizontal con una (m) TT * rapidez de 30 mis formando un A)(J,5;3¿) 'B)(3,5;l,5) C)(l,5;2,5) ángulo de 60° con la horizontal y D )(2¿;1,5) E)(2; 3) en el punto más alto de su trayectoria explota en 10 porciones R E S O L U C IÓ N : entonces cuál o cuáles de las ' Tfm) j I 2M=m, siguientes proposiciones son 3qJ~~.......... — 3M verdaderas (V) o falsas (F). i a I) El CM . del conjunto de porciones 2 llega a la horizontal de lanzamiento antes que cada una de estas 4MJ porciones. X (m ) & M =m ¡ 5 n ) La aceleración del CJIY. en el punto de explosión es cero. • Si el C*M* de M y 2M se III) Todas las porciones llegan a la encuentran en (0; 2), entonces se horizontal'de lanzamiento antes cumple: que el CM* a(m a)= b (m j) a b =2 A) FFF B) VFF C) VFV =>a(2M )=2(M )=>a=l D) FVF E) FFV Y 0 + 5(4M ) + 0 + 5 (3 M )_ „ R E S O L U C IÓ N :

respec­

c" = M + 4M + 2M +3M

Ú0

A )¡-4 ¡+ 4 Ü B )¡+ 4 j+ 4 k C ) 31 * 4í t > * .

w iítl= i

CM Y E ) Í -< j+ S &

R E S O L U C IÓ N :

Yc ¡ g = l ,

CM

rCi4= (3 ,5 ; 1,6}

RPTA : 44B ” P R O B L E M A 66 :

^

• En el problei C.M .= OTi^ +m^ +m^ CM(xtya)

rX

dedujo análogamente A * cm )

.5

\CM

¿

Si el CM . á e M y 2 M se encuentran en (0 ;2 ) m y e lC M . de 3Í y 4 3 f en (4; 0) m ¿En qué punto (x; y) se encuentra el C M . de las 4 masas del rectángulo? Y(m)

0

2ghsena

CM

I A EiXt'J*J-ofE D lA 2012} P R O B L E M A 6 5:

HffF V* M • Pero: mJ=m J:=771^=3 ñg

I) FALSA: No; el CJlf. puede llegar a la superficie antes o después que algunas porciones. / / ) FALSA: Aun después de haber explotado, el CM* de las porciones siguen una trayectoria parabólica; es decir que en todo momento el C.Af. presenta una aceleración: a=¿ III) FALSA: No necesariamente. RPTA : “A ”

Halle la posición (en unidades del radio de la tierra R T) del centro de masa del sistema Tierra - luna, medido a partir del centro de la tierra? Considere: Rr =0i3 7 x l0 8m RL= lf7 4 x l0 6m
[mpuijSO

C A xrm in

y

de

785

.» /o iw ie t o

Rl : radio de la luna

rrm

EDICIONES MIIlINOSl

¿Uto

* Reemplazando valores: C) 50 R t

A) 0,72 Rt B) 32 R t D) 100 R t E) 68 R t R E S O L U C IÓ N :

* La posición (x ) del C.M- del sistema Tierra - Luna medido a partir del centro de la tierra está dado por:

s

A)b/4 B)b

2á,+s(2Í+ 4 j)+ s {- 1 0 j) 2+5+5

ff

J

Mr + M

7 ,3 6 x 1 0 ss

{6 x lO u + 7 ,3 6 x lO s x = 4 ,0 0 4 8 x l 0

u

IRf

x

8 x10a

) = 0. 72Rr

f e 34 x 1 0 a RPTA : “A " PROBLEM A 67 : Tres partículas m x=2 kg, m 2=5kg y m 3= 5 k g se encuentran en movimiento, donde m 3 se encuentra en caída libre y ms tiene

una aceleración de (2i + 4j ) mis2. Hállese la aceleración (en m/s2) de m¡ , si se sabe que la aceleración del centro de masa del conjunto de partículas es cero. A)(2i+7j) B )(-5 Í + l$j) C)(2i - 21j) D)(2i+4j)E)f^55¡+4j) R E S O J ju tílÓ N : V

! ms—5kgi

0*2=2 i+ 4 j

I

«3= g m 2=5kg mx= 2kg * La aceleración del centro de masas de un sistema de partículas está dada por: -

R E S O L U C IÓ N : Y

♦ Despejando á¡ se obtiene: á ¡= (-5 i + 15j)m/82 RPTA : "B ” P R O B L E M A 68 : En la figura se muestras un sistema formado por dos partículas de masas mx=2 kg y m2=3 kg. Si la velocidad relativa de 1 respecto de 2 es (50Í) m/s y considerando que

(

C) b/2 D)b/3 E) b/5

*

Sobre el sistema lede aproarse que, a el eje externas, Vcm= 3 V 2, determine la velocidad OÚ no actúan rde masa CM. por lotanto el (en mis) del centro de masa ( V c m ) permanecerán la misma posición del sistema. a lo largo ¿fe X. V< Hay que advertir que a lo largo Jdel eje “ Y 9*hay fuerza resultante externa, pero ésta no interviene A) 30i B) 40i C) 50i D) 60i E) en lasolución, pues el movimiento es horizontal. R E S O L U C IÓ N : * Considerando el sistema en la posición inicialmente mostrada, podemos calcular: * La y CM del sistema es igual a: (I)

2 +3

_(!*)

M+mb

Kcm¡

“

M+m

(I)

* Luego de bajar “m” hasta “A ” (vértice de la cuña) UM Mse habrá Vi/2=Vi - V 2 —50Í.............. . (U) desplazado “ d n respecto al origen ♦ De (I) y (II) resulta: de coordenadas. Grafícando lo acontecido, tenemos y podemos =>Vcu = 30(10i)=30i calcular lo siguiente: $ $ A 9 9 RPTA • Por dato:

r

P R O B L E M A 69: Una cuña de masa M =2 k g reposa sobre un plano horizontal liso, desde su vértice superior, se coloca un bloquecito de masa m = 0,5 k g el que desliza sin fricción. ¿Cuánto avanzará el vértice “A?9cuando el bloquecito llegue a dicho punto? «W

d+2/3b

>♦!*)

M+md

M

_ ajmj+a 2m2+a 3m3 , A ^30°

h

b ” 3

X cm- -

M +m

♦Habíamos advertido horizontalmente:

(II) que

it e V a a . W

_ mAXA

In icio

I FM~0

X'

I A E x c i r r .o n n o i A 2012}

*r4+-§-<02)

•Es decir, no intervienen ftierzas externas que modifiquen el momentum o cantidad de movimiento del sistema: cuña bloquecito.

mÁ+mB =>Af

Ai

=>d* 0,2

Y como la posición del CM . novaría, entonces:

RPTA : “ D ”

CROQUES O COLISIONES

XcMi = XcMr

P R O B L E M A 71:

* Igualando (I)= (II):

La figura ¿nuestras la colisión de los bloques-^1 *y 2. Entonces el coefióiente'tie restitución entre los bloqyes es:

Tenemos: A í+ m d

A í+ m b

M+m

*

M +m

.r:TV*

^'SOcm/§

V=0

12cml»

16cml$

V *

=> —xbM+mb=d(M+m) + —bM 3 3 m

Ante» del choque

A í+ m

m0

m*0

* Reemplazando datos: d “ —

m A*At + m B*B0

MÁ + mB

R P T A : "B ”

A) 0,1 B) 0 ¿ C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 R E S O L U C IÓ N :

.

_

mA + m0

* Recordemos que el coeficiente de restitución está dado por:

PR O B LE M A 70:

O B S E R VA C IÓ N t

Sobre un prisma homogéneo “B”, situado sobre un plano horizontal, se ha colocado otro prisma him agíaeo **An\ laB secciones transversales de los prismas son triángulos rectángulos, la masa de ,

Considerando el sistem a de “ partículas” ^formado por los prismas/A” y UB ” se observa que la fuerzaY’esultante externa en la direcci&n horizontal (x) es nula

/s

entonces la cantidad de mB ” es tres veces la masa de A , v ' .l* . j , *. . , i . , movimiento del sistema se conserva suponiendo que los pnsmas y el % Mw • i • , « i •á ©n i© dirección x plano h orizon tal son nfiqs. Calcular la lon gitu d
Im A) 0,1 m D) 0,2 m

B) 1 m E) 0,4 m

R E S O L U C IÓ N :

C) 0,5 m

V S ^ !iva e“ JOUatlva V In ic ia l

1 6 -1 2 _ ' 2 0 -0 RPTA : “B ”

P R O B L E M A 72: D eterm ine el coeficiente de restitución e de la colisión de 2 bolas de masas m , de tal forma que la bola iropactada (inicialmente en reposo) adquiere la mitad de la velocidad de la bola impactante. A) 0, ? B)0,4 C) 0,5 D) 0 E) 0,8 R E S O L U C IÓ N :

•Comola Fp'^d =>

La cantidad de mov .d e l) sistem a es nulo1

( v m )„ =0 =>

• El centro de masa en mueve, luego: Cfltfl

Después del choque

) =0

no se

m V=m (2U )+m (U ) -+V=3U Por definición: e= Raen RAOÍ

C fñ f

V

V

3U

RPTA : " A ”

E D IC IO N E S R U B iÑ O á 1 P R O B L E M A 73:

• Después del choque tenemos:

Dos masas m y 2m se desplazan con movimiento uniforme sobre una misma recta, colisionando elásticamente. Si para la masa 2m la velocidad final es el doble de la inicial, la relación (velocidad final)/ (velocidad inicial), para la masa m, en valor absoluto es: A) 115 B) 1/2 C )1

D)'2

Mi

Mi

&

f t

m ; =m

m 2= m

RPTA : **D”

P a la t e r n a = C O H 8 t a n t e

-+ 1,2 m=mp 2 - mMj ->M2 -Mi= 1»2..................

(/)

• e = l (choque elástico): M2 +M1

Punto de choque

p 2+Mj=l,2

1¿ * Sumando (I ) + (I I ) : 2 g 2 = 2 ,4

* Por conservación de la cantidad de movimiento: mv¡+2 mv = mua+ 2 m(2v) * Resolviendo tenemos: ^=^+2» (/) * Como la colisión es elástica e = l

Entonces

—= e => e = 0,75 4

E) 4

R E S O L U C IÓ N :

2v -t >2 V-Vj

tg 3 7 * =

c o e fic ie n te d e restitu ció n

►p t = l,2

e*V eV

(II)

m fs y p ¡= 0 m /9

RPTA : “ C” P R O B L E M A 75:

P R O B L E M A 76 : Si se suelta la eafijfót en la posición mostrada. ) Determine/hasta qde altura se elevará di^Din. (gllO m ;**) ^ r A) 1 m B ) l ,5 m

C) l¿ti. m /

Si el coeficiente de restitudór E) 0,5 m es el mismo en todas las cojfl&pnear R E S O L U C IÓ N : Calcular “e ” para la trayRtol^B* Inicio V=0 seguida por la esfera en ún plano O horizontal. (No existe rozamiento).

F in a l

$ 04

/

:--te?)

• Resolviendo: v¡ = 3v - v2 ....

(W

Caso final:

* De (/) y (II):

Ek=EP => ^m V 2 =mgh

v 5 v9 1 vs = —; v,= --v -> — = —

* 2 * 2

vx 5

A) 0,5 B) 0,8 C) 0,6 D) 0,75 E) 0,9 R E S O L U C IÓ N :

RPTA : “A "

V2=eVt

Dos masag^dénucas chocan elástica y frontálSíñl^^bre^ina mesa lisa, teniendo inicialmente una de ellas una velocidad de T&in/s y estando la otra en reposo. Las v£í!5cidades en m/s de las masaSjiespués del choque serán: A)12y 12 B)12 y 12 C)Oy 12 D)0,12y 0,12 E)0 y 12

v=o

m¡=m

mi =m

V2=(0,5)V,............ (//)

• Caso inicial: EP=EC => mgh = -m V Í 2 1 1 0 (5 ) = Y v ?

£

Vj=10m/8...(IU)

* (III) en (U ): V2=5 m/s 52 •En (/): h= 2 x 10

R E S O L U C IÓ N :

-—►

2g

* Para el choque:

PROBLEAtg. 74:

* Antes del choque tenemos: V,=I,2m/a

(/)

h=

* Se sabe que: vf=e V0 ,

h=l, 25 m RPTA : “ C”

(línea del choque)

* En la gráfica se observa lo que ocurre con la velocidad en cada choque. * Luego del choque en “ C ” :

PROBLEM A 7 7 : Dos partículas de masas iguales m J=m t =2 k g se desplazan sobre la misma recta la una al encuentro de la otra, y antes del choque la

I A EHCJCJ.orvM A 2012}

energía cinética de m¡ es 36 J y la rapidez de mt es de 4 m/a. Si luego del choque frontal las energías de y m 3 son 9 J y 25 J , respectivam ente, hállese el coeficiente de restitución del choque. A) 0,5 B) 0,6 C) D) 0,8 E) 0,9

R E S O L U C IÓ N : A n ta » d e l c h o q u e

V

D ew pui» d e l ch o q u e

v-0

V,

V,

• Por conservación de la cantidad de movimiento:

=^mV + 0 = mU i + 3mUi => V— U j+SU t.......................(7) • Por definición de coeficientes de restitución (colisión elástica).

• Después del choque:

2 • Nos piden la energía cinética del sistema después del choque: => E ?= / -(2m )V 3 Bt

R E S O L U C IÓ N : • Antes del choque:

=> m V =2m U => t/«

m

(ST-=?

=>4E*=m V

ai)

•DeftJy (II) , se obtendrá:

~Séf

RPTA : “B ” A 80:

e= 1 = u ± z E i = U i z t E i ¿ Vj-V*" V -0

y n a ; esfera de 2 k g es lanzada =*u¡+u2=v, (II) hbrizóntalmente desde una altura 0 m y cae sobre una superficie * D e ( I ) y ( I I ) :U 1=U2= j horizontal pulida. Si después del primer rebote alcanza una altura de 1 * ^ * Dato: ntj = m t - 2 k g 5m. eM i ¿ mU! <%rvi* Cálculo de “ V ,” (antes del — -=m. % Determine la altura que alcanzará ± ( 8 m ) V \ ¿ 'x choque): después del segundo rebote. RPTA : “B ” (g = 10m/a1) m/a P R O B L E M A 79 r A) 4J5 m B) 3 £ m C) 2,5 m .* • * Cálculo de /¿¡ y ¿¿2 (después del Un cuerpo con energía cinética E 0 D) 1J5 m E) 1 m choque): produce un choque perfectamente R E S O L U C IÓ N : inelásticq. con otro cuerpo de igual Vx masa ^ue ihicialm ente está en reposo;-’ determ ine la energía \ =? ¿¿2=3 m/a cináticá jdel conjunto después del 6 Q o Ehf \ m n \ => 26= ^ ( 2 )n i % .^oqué— 4 ti t f te Á) EJ4 B) EJ2 C )E 0 => u 2= 5 m/a it -e \• ¡ D) 2 E9 E) 3/2 Ee \: V hs\ •Luego: Por definición (fin/, R E S O L U C IÓ N : t IChoque coeficiente de restitución " Cé> p téetio o l escribimos: V V -0 ” • Antes de chocar y después en el Van -a punto “A” . 0,2 ^ t**=5

=*-¡r'-'

9 9 8

I

9

| «

V j/i

J ^ R P T A .* P R O B LE M É ^ y t

11/199

Un bloque de masa m { =m se desplaza sobre una pendiente sin fricción, su rapidez a una altura h 0 es p0, luego colisiona en la base de la pendiente, contra una masa mx=3m que se encontraba inicialmente en reposo. Si el choque efectuado es elástico, determine la relación de energía cinéticas después de la colisión (Ehl/Ekf ). AJI B)l/3 C) 1/2 D) 1/6 E)l/12

A ntee d el im pacto

%

Vx

D tep u éed el im pacto

9

ev'

E0= j¡m V ‘ ... (Dato) =>mV*=2E0........................ (I) * Como el choque es perfectamente inelástico (plástico); entonces después del choque los cuerpos se moverán juntos con una rapidez común. * Luego: Como F r'= 0 =>

• En la vertical de “P " hacia U A” \

Vf=2gh,

(I)

• En la vertical de **A” hacia UQ V f= V S -2gkl \-> 0 = (eV, )* - 2gh2 ->
7S 799 * En el segundo rebote:

•Análogamente: (e V /a= 2 ^ .......

( ///)

* De (I), (II) y (OI) : ha 5 _3 __ h, ^ 5 20

h3=2,5m

De manera análoga U2=eU 1= (0,8) (8) =6,4 m/a •Finalmente:

H = ^ - = = 2,0 4 8 m

2g

RPTA : "C ”

* Factorizando:

En la figura se muestra una esferita la cual es lanzada desde una altura de 4J5 m respecto al piso, con una rapidez de JJom/a verticalmente hacia arriba. La esferita rebota en el piso y si el coeficiente de restitución es igual a 0,9; determine la altura (m) alcanzada por la esferita luego del segundo rebote.

Con una velocidad “v99e inclinación 44$ 99una pelota se lanza sobre un horizonte liso cuyo coeficiente de restitución elástica es 4te 9t. Hállese el tiempo adicional en el que puede considerarse que la pelota deja de rebotar. 2V*en6 2V 2V B)— —tg30 C) A) (1 +e)g ge ge V E) 2Vaen0 D) 1 -V g(l - e) R E S O L U C IÓ N : •Descomponemos la vi inicial del movimiento paral recordamos que en cada choque frontal la velocidad de rebote se halla multiplicando por “e ” .

C) 2,048 A) 0,048 B) 1,048 D) 3,048 E) 4,048 R E S O L U C IÓ N : * En el tramo AB: De la ecuación del M.V.C.L. :

=> V /s (JÍÓ )s+2 x 20 x (4,5) =>VJ=20m/«

4Tomi*l

* En el primer rebote: Por definición de coeficiente de restitución: _ Ü g - U i _ O -U i e

V 1- V 2

-V j+ o

,

«,

^

R P T A :“ E ”

PROBLEM A^Sí La figura tires (3) esferas de igual radiolas ¿sferas (Bh/ (III) están inicialmente en reporeKja (I) se dirige hacia las ocm ^ os^on veloóidad v¡ a lo lars^mStíá línea qué une sus cencg¡j^B'i>i =2 m/a, m =0,5 k g y A f=5 J ^ entonces las rapideces, después del choque elástico dé//), (II) y (IB) serán: m f

r

T/

m

—

f

r

I

M ^

II

III

A) 0,182; 0, 0,182 B)-0,182; 0; 0,182 C) 0; -0,182; 0,182 D) 0; -0,82; 0,182 E) 0; 0,182;-0,182 R E S O L U C IÓ N : m =0,5 k g y M =5 k g ^ M = 1 0 m 2m/s

y=0

V=0

J1L ú L * El tiem po de vuelo en cada parábola es: 2Vaen0 g 2vsen$ Para la 2° parábola: t¡= g 2evaen0 Para la 2o parábola: t2= g 2e 3vaen0 • Para la 3° parábola: t3= g * Para la 4o parábola: t4= 2 e 3vaen0 g • Así hallamos los tiempo hasta suponer un rebote lejano (T^) en donde la pelota deja de rebotar. • Hallamos el tiempo total: t = 11 + + ....+ <0 . 2 vaen0 2evaen0 2e 2vsen0 , t= --------- + ----------- H--------------4* g g g 2 e
=> Uj= eV¡=(0,8) (10) =8 mía

2 .

t = ---------- (1 + e + e +... + e ) g * Usando cocientes notables:

-

m

,

2 vaen0 f em- 1 1 2 vsen0 -► t= f e - g (l-e ) g RPTA : "C M

PROBLEM A 82 :

4,5m

2vaenQ

.

2x10

PR O B LE M A 8 1:

VíÓm/

EDiClONES RVBIÑOSi

* Cuando colisionan I y U : v=o

S r ió k • Como

=0

p R

=>

|P i n i c i a l

= P fin a l

=$m (l) = mUj + m V =* Ut

+

* Además: e = *7 *

=>V

------ ,(I)

V - 2 .... y R .D .C H .

_ v -u t

y R .A .C H \

í

Ut - 2 . . . ......................(U)

• De (I) y (II) : U¡ =0 y V=1 m/s * Cuando colisionan II y IH : Imi'•

10M •Como j f ? - 0 = > ? ? * - ? ?

v

í-V.Í-ÑÍ

IA

anterior: p 2l9t9ma se

♦ Gráfica: F(vs) t

3M - 2m=2M+4m

lOmfs

íl«

=> m flj =~m U 2 + 10mUs

♦Por lo conserva

z> io u s - u s = i .................... r/ir; * Además: e =

Vr .d .c r .

Fq .

tf

1

i

yn.A.CH.

M m ♦ Pero como sabemos cual de las relaciones es la correcta, para esto determinamos el coeficiente de restitución en cada caBo:

(IV)

* de ( I I I ) y (IV ): Us=0,82 ; Us = 0,182 ♦ Finalmente: Ua=0,82mls Va^0,182mfs

V ra.ch.

RPTA: “D ” Sobre un riel liso, se encuentran deslizando dos collarines. Si luego del choque A adquiere 2 m/s y B, 4 m/s, determine la relación Mlm,

ja r

t 3

F(N) Max

4 - 2 __2 3 -(-2 )~ 6

♦ Luego: — * 0 ° m

4

R PT A /i'W PROBLEM A 8 5 : ! -j.

M

m

3m¡8

2m¡s

Si la esfera * es laihzada verticalmente hacia abcyo con una rapidez de 10 m/s,. défe'ermine la rapidez que experimenta la pelota después del choque; si la gráfica muestra cojno varía la fuerza que ejerce la süpérfície a la pelota conforñié t^anscurre el tiempo.

A) 0,4 B) 1 0 1 , 5 D) 6 E) 2,6 R E S O L U C IÓ N : M

2mls ■K -

10m/9

>1

**• '*

Cuando hacemos el análisiá encontramos las siguientes posibilidades: 2mte

sistema las ♦Cuando anali en el impacto fuerzas produ son internas, por ello: PsUtsma se conserva * Es decir: z$8M -2m =-2M +4m z>5M *6cm

C n ^ r9C U P * rtttt° r

Ideformador ITrelativa __valzamiento *rrelativa Yacercamiento

a ^1 3a 3 (I)

♦ Del gráfico: e ♦En ( 1 ) .- = ? * 3 Y,

O/) V .» -—«10 m/s RPTA: UD ”

(A¡=3Ái):

2mls

(V=0)

-y como e < 1 =>e/7 = 0,4

PR O B LE M A 8 4:

M 6 * m~S

40m

(I) e, = = 4 ~ (~2) = ^. ' V b,™ 3 - (-2) 5 (U )e„=

3m/a ♦ Luego del impacto:

2012]

-

=>U3+US = 1

U^O

.

en cjcm fem a

F(N)

y

40m

A) 6 mfa B) 8 m/s D) 12 mfs E) 14 mfs R E S O L U C IÓ N :

O 10 mfs

P R O B L E M A 86 : En la figura mostrada se tiene una cuña de masa “M n inicialmente en reposo. Si se lanza horizontalmente una esferita de masa um ” , determinar el ángulo “ a ” de tal manera que después del choque elástico ( e = l ) f la esferita rebota verticalm ente. Desprecie el 4 rozamiento. ( M - —m) O

O B SE R VAC IÓ N : A medida que desciende la esfera aumenta la presión que le ejerce al piso y en consecuencia aumenta la reacción p . ♦ Cálculo de la rapidez con la que impactó.

4mfs =>V f=(100) + 2(10)(40) => V, »30 m fs

A) 15° D ) t f l(U2)

B) 37° E) 30°

O t ^ ( 2)

MMurtn.ajo r r^ .v rm u j i>j¿ .*ioix«uj¿vro R E S O L U C IÓ N : ♦Considerando “ 17” la velocidad de la cuña “Ai” después del choque. => mV = M U

v=— u m

..................(I)

♦ Considerando " í /y” la velocidad de **m” después del choque. Conservación de la energía cinética, en el choque elástico.

P R O B L E M A 8 7: Una partícula es lanzada contra una superficie horizontal con un ángulo respecto a la vertical. El coeficiente de restitución para el choque eB “e ” , y el coeficiente de fricción entre la partícula y la superficie es ¿Para qué ángulo de incidencia “ 0 ” el rebote será vertical? A )tg -l [r fe -lj\ B )tg ~ '(fi-e) C)tg~‘ ( e - f l )

(II) ♦ Reemplazando (I) en (II) :

RVBLXOSft

741

D)tg~, [fi(e+ 1 )\

E)sen~‘ (2e - 3fj) R E S O L U C IÓ N :

U2= ( — - l\— U2................ (III) 7 \m ) m ♦Definición del coeficiente de restitución (e ), para choques frontales o perpendiculares, luego hay la necesidad de descomponer las velocidades y tomaremos como referencia la dirección perpendicular a la cuña.

♦ En este caso sobre la partícula actúa una fuerza exterior, originando un impulso:

-> 7 = m ( v , - v ) ................ (III)

na

M __ tg a = Í M -- m

V = eVcosO

V eos 0

♦ En (V): V senO M= eV CO80+V cos0

senO cos0 (e+ l)

tg 0= fi(e+ l) -fM = tg-’ \fi(e+l)] RPTA: “D ” P R O B L KWW T 088 : 0 :■ rW .s • -/ Cañón de 1 de 2 0 k g fcón una veloci m/s aüeltóce un ánguléneroir con la irorizontal. SiJifl^nslánte de rigidez dél resorf&¿mdrtiguador es k = 1 0 4Nfm , calcule la máxima distancia 4 et^/n, que retrocede el cañón. . ^

A) 0 B) 0,31 D) 1 ¿0 E) 3,10 R E S O L U C IÓ N :

♦ Pero: 7=A P

tga= V* V -U ♦Reemplazando (I) y

e=

r

Í = { f + r N) A t ....................... (i)

V.R. Alejamiento rcamiento ! Uf* coa a+Usena => e tí-sena ♦ Despejando:

♦ De la figura:

C) 0,63

♦ En la figura se muestran las cantidades M = 1000k g . masa del cañón. m = 20k g masa de la bala. v= 200m/s rapidez de la bala; q = 6(T el ángulo que hace el cañón con la horizontal y k=104N/m la constante de rigidez del resorte. 200 mi'

Insta nte en que recién sale la bala

* Donde (I) = (II):

liso

m ( v ; - V ) = ( f + F¿).At -> m [ V y j - ( v s en éi-V C°8 0 j)] = = (IV)

*Ati + F¡$At j

* Identificando térníinos: ~m c*en 0i+m (D r+ o co * 0 Ú = -u F n &í í + F n &Ú

) en (IV) :

1_______ !_______m

—

- mV sen0= - gFN •Aí ........(777) ^ m(Vy+Vcos0)=FN A t (IV)

♦Ahora considerando que 3 f= —m 9 * De (III) + (IV): entonces: V senO (V) Vy+V eos 0 4 3 m =2 -> a = tg ‘ *(2) * Para un choque frontal: tga= 4 — m - m _ Vel. reL A leja m ien to (D. CH.) (y) tf 3 €= RPTA: “ C Vel.reL Acercam iento (A CH.) (y)

Instante en Wcañón ya no puede rv/rocvder más y lo deform ación del m o r ie se hace m áxim a .

Uso

i*

Como nos piden la xmáx, un instante después de que la bala escapa del cañón, la energía mecánica del sistema cañón-resorte se conserva. Debido a que se desprecian los efectos de fricción.

«asa EManicio) - F M
~Mv2 =>1 000v2 = 104x 2móx (I) * Para determinar v planteamos que la cantidad de movimiento P del sistema cañón-bala entre un instante antes y un instante después del disparo se conserva, debido a que FR(horíM) = O* p o n te »'

— p d jts p u é *

del d ltp aro

disparo

0

Pbala + P cañón

=>0m 29(+100) + 1000(-v) => v=2 mi2 ........................ (II) * Finalmente , reemplazamos (II) en (I): 103(2)2 = 104x 2 máx =$xmás=0,63m RPTA : “ C ” P R O B LE M A 89 : Un cuerpo de 10 kg, inicialmente en reposo, se encuentra en una superficie horizontal que no tiene rozamiento. En un instante dado, actúa sobre el cuerpo una fuerza horizontal cuya intensidad varía con el tiempo, de acuerdo con el diagrama. Determine la velocidad final del cuerpo en m/a.

7* » í b s

I A E N C jrj.o tm EQ íA 2 0 VÍ\

La fuerza entre [ 0 ; 30] a es en todo instante ( + ) t de esto se concluye que está dirigida hacia la derecha. Vemos que sobre el objeto la fuerza (j?)e s la fuerza resultante y transmite un impulso horizontal que hace que el bloque modifique su cantidad de m ovim iento, entonces planteamos. I F=AP => AA= Pp - P0 30x40 i 2 600=10vp

- m (0) vf

=60

m

/b ( - + )

RPTA : “ C” P R O B L E M A 90 : El centro de gravedad de unv excursionista de 80 kg dista 1,10 m del suelo. ¿Q ué centrg de-, gravedad tendrá el excursionista cargando una mochila de 20 k g si, en esta condición el'cen tro de gravedad de la mochila dista 1,30 m del piso? A) 1,18 m B) 1£6 m C) 1^20 m D )l,1 0 m E) 1,14 m R E S O L U C IÓ N : %

*

-

Myt + mys M+n => y=l,14m

RPTA : "E ” P R O B L E M A 91 : Dos masas puntuales m J y mt se colocan en una varilla de masa despreciable y longitud L. La masa m t se fija en el extremo izquierdo y la masa mf a una distancia y de dicho extremo. Determine cuánto habrá que desplazar m 2 desde su posicióipñicial, para que el centro de mas» ctetíonjunto se ubique en el ^uñto .medio de la varilla. A)!#2\2

* Para determinar el centro de masa (C.M.) debemos elegir un sistema coordenada. • Para las masas 4tm ” y €tM 9i mostradas a continuación , se cumple: m a CM b M Centro de masa

A) 40 centro de masa del excursionista

C)60 D) 70

m.

R E S O L U C IÓ N :

rñ

B) 50

3 2

1+ ^ C)k3 mt

D) 2 (3 mg £jri|+— 3 m<

• Estado inicial:

F(N)

80(1,1) +20(1,3) 80 + 20

* Con este criterio, representamos el enunciado del problema. Inicialmente:

yt=l,lm

E) 80

(X)

R E S O L U C IÓ N :

*» «V

* Se cumple que entre loa instantes t=tmy t= tf el ii^fltfe^J que actúa sobre el cuerpQjdg 10kg es igual al área bqjo la curStJtef gráfico F vs /.

Lutgoi

Estado final: con mochila centro de

^

maio de

m.é

la mochila

F(NJ

(X)

30 F=0

t

liso

Mr

En estas circunstancias, representando m la mass de la m ochila y M la masa del excursionista, la posición del centro de masa del sistema: excursionista + mochila es:

L L L — + x = -~ + &=$/\ = x - — 3 2 6 * Es este último caso: I* * L Resolviendo

(

L (1 , mA m3) RPTA: “D "

[ t » ir ix .< o

y

ia .v r ia u »

i» u

E D I C I O N E S M J B IÑ Ó $ \ A)50% ;H!2 B)75% ;H/4 C)66% ;H/3 0)75% ;H¡2 E)25% ;H/4

7*&

> w » ix * u c .v r o

siguiente choque elástico:

PROBLEMA 92:

Una bola de 0,6 ¿ g de masa se mueve en el sentido positivo del eje X con una rapidez de 1,8 m/s y choca frontalmente con una bola de 0,3 k g en reposo. Si la colisión es perfectam ente elástica, las velocidades, en m/s, de la bola incidente y la que estaba inicialm ente en reposo, respectivamente, so n : ♦

vt = í , 8 m f •

(*>2 = 0 ) 4 wm 2 r

RESOLUCIÓN :

Uso

antea del chotjue como m; > m 2 después del choque Ac*; o n ! _

# . - »:'t

•El porcent

después del choque

De (I) P sist.(a.ch.)~-Psist.fd.ch.)

B ) - 0,6¿- 2t4 ¡

RESOLUCIÓN:

€ é á mi r '.sr""O1 * ' **■*j'f antes d el choque

como v¡ > v2ocurre: /reacción

'acción

durante el choque

=> 2u , + u , =

Además , para un choque elástico / * 'i?

%L

4

P a*k. = Pd^h. => m (-v ) = 3m (—us ) + m (u¡)

f j l '

jJ

m

• i

Í p ^ =*■- v = -3 u a + ur ..( II)

Um “ I I .

=» J= 'I=> ug-u , = !,&...(n i) 1, 8 -0 De (II) y (III) se obtiene u2 = 2 , 4m { s vectorialmente =» u 2 = 2 ,4 im ¡ 8 = 0, 6 m ¡ 8 vectorialmente

Las velocidades de las bolas, después del choque elástico, son 0,6/ y 2,4i en m/s.

después del choque

Como I neto =0 sobre el sistema, se cumple ^ P s b t d j M k d ^ P sist . ( a . c h . ) . : d i )

=>mjVj +mgV2 =mjUi +m jU2 Además, para ^ canalizar cuantitavamente uij^hoque, se define el coeficiente de restitución (e) cuyo valor indica el grado de recuperación de 6u forma geométrica original debido a la elasticidad de los cuerpos después del choque, u2 ~ u ¡ e ~ V j — vr,2 (forma práctica) Si el choque es elástico e = i * Según el'enunciado, sucede el

♦Ahora , ¿p ara el sistema planteamócHa conservación de la cantidad de movimiento lineal. _

=> Uj = 2 , 6 im/a

U2

* -%

=> 0, a(+i,a) + 0.3(0) = 0.6(+u,) + 0,3(+u,)

v ¡~ v 2 -y

le

VM7u¡

E E(%) = —u*"l

m¡ v¡ -f m2vs = mxui + m 2U2

Los choques son interacciones de una corta duración durante la cual los cuerpos intercambian cantidad de movimiento y energía cinética. Examinemos el choque frontal siguiente: Vj Ug

de la energía cinética

inicial de^péndulo (E m0 )L. y Íb trasmite aj bloque lo de f--'/

A ) - 0 ,6 i ;0 t6i B ) 0 .6 i; l,2 i C ) - 0 ,6 i ; l ¿ i D ) 0,6i; 2,4¡

i

-

RPTA : “ D ”

* Siendo el choque elástico , el coeficiente de restitución es : -*rW
e= — tWoMb = i=>

Vo»ek

II. + u —= 2 v

=> u¡ + u2 = v.,.(III)

• Resolviendo (II) y (III) , se obtiene u ¡ —u2 = u reemplazando v 2 Reemplazando en (I) u ——

PROBLEMA 93 :

La masa m de un péndulo simple choca elásticamente con el bloque de mesa 3m , en reposo sobre la superficie lisa mostrada y ubicada en el punto más abajo de la trayectoria del péndulo. Si soltamos la masa m desde una altura H respecto de la superficie horizontal , ¿Qué porcentaje de la energía mecánica inicial del péndulo se transfiere al bloque en la colisión y hasta qué altura llega el péndulo después de la colisión?

(IV)

E ( % ) = V v2) 2 gH

• A h o ra , por conservación de la energía de A hacia B pa ra la esfera , deduce :

v = ^2 g i l • Reemplazando (IV) : E% =0,75 • Por último ; luego del choque , la energía cinética de la esfera se transforma en energía potencial gravitatoria. u íp tu 3 , = p tg h * > í = gh

=^~( 2gH) = g h ^ h = o

H 4

H ♦ Entonces la esfera se eleva 4' RPTA : “B ”

i w i 'j r & j r u A M lfífA l M r

NI) FALSO:

Con referencia a la colisión frontal entre dos partículas, señale la veracidad 0 9 o falsedad 0 9 de las siguientes proposiciones:

E n la co lisió n c o m p le ta m e n te Inelástlca, d e s p u é s d e l im p a c t o las p a rtíc u la s pe rm a ne ce n unidas.

I) SI las partículas son d e Igual m asa y la

Antee

7WB IffRj

colisión es elástica, entonces las partículas In te rc a m b ia n v e lo c id a d e s d u r a n t e el choque.

m

f j

y =0

tíl) Si ia c o lis ió n es c o m p le t a m e n t e inelástlca y u n a d e las p a rtíc u la s está Inldalm ente en reposo entonces la partícula Incidente rebota c o n su m is m a rapidez de Incidencia.

A) WV

B) W F C jF W DíVFV Sj FFF

xEsmurctám $

Para el sistema estas fuerzas se anulan por lo q u e en todo tipo de ch o q u e la cantidad d e m o v im ie n to d e l sistem a se conserva, m á s n o d e cada u n o de los cuerpos ya que d e b id o al Im pa cto se m odifica su cantidad d e m ovim iento.

(tí) FALSO: Durante

II) En el caso de una colisión Inelástlca, la velocidad relativa después del c h o q u e es m enor que la v e lo d d a d relativa antes del choque.

E y r w x o y g p it i 2012)

G r a n disipación c a lo r Después

En este tipo de colisión elástica la energía m e c á n ic a d e l sistem a se c o n s e rv a y n o necesariam ente la energía cinética en form a Individual de los cuerpos. t, ,«Q 1 Q Ante* del im pacto

< fc 0 HUTA i “ B ” PH OBLEBU ! 9 3 /

R e s p e c to al c h o q u e d e d o s c u e rp o s , identifique la v e ra d d a d (V) o falsedad (F) de las proposldones:

Dnp*té*d*i Impacrto

ffP TJ g « £ «

-

P B B B iS B a %

B B m

U n bloquéete m , = m se desplaza sobre un pla no Inclinado sin fricción, su rapidez a una I) VERDADERO: i) Siem pre se conserva la energía d n é tic á ; altura h t es V , , luego colisiona en la base Sean las partículas A y B c o n rapidez V, y VM í>(p la n o horizontal sin fricció n ) contra una del sistema. respectivam ente, c h o c a n e lá stica m e n te m a s a m 3=Sm q u e se e n c o n tra b a II) S ie m p re se c o n s e rv a la c a n tid a d d e : in lc la lm e n t e e n re p o s o , si el c h o q u e m o vim ie n to de cada cuerpo. Ante9 efectuado es elástico, d eterm ine la relación III) SI e! ch o q u e es elástico se conserva la de energías cinéticas (BCj /Ec ¡ ) después de energía c in é tic a d e c a d a c u e rp o . la colisión.

A) W V

B )W F

Cj VFV D ) E W

B) F F F

B E S B L U C IÓ M §

Durante

I) FALSO:

De ia c o n s e rv a c ió n d e la c a n tid a d d e movimiento.

E n d e p e n d e n c ia d e ' Las p ro p ie d a d e s elásticas d e lo s c u e rp o s , las c o lis io n e s pu e d e n transcurrir de form as m u y diversas. S e a c o s tu m b r a d e s ta c a r d o s c a s o s e x tre m o s : e l d e l c h o q u e d e c u e rp o s pe rfecta m en te elásticas y del c h o q u e de cu e rp tí& o tó lm e n te Inelástlcos.

N o s d e te n d r e m o s p rim e r a m e n te e n el EPmmtn * EP*••*>**• s e g u n d o d e e llo s . E n t e n d e r e m o s p o r < Cfipque totalm ente tnelastlco al encuentro m V , + m ( - V 3) *= m(/¿ 3 ) + *»(->*,) - deudos cuerpos cu yo resultado es la unión - V, = pf - Pj —(!)+ dé am bos, por e je m p lo el c h o q u e d e una Adem ás del coefldente de restitución é = / . • b o la de plastilina co n tra el piso. tendremos. .. r. •. T o d o c h o q u e Inelástico va a co m p a ñ a d o de = v * io c b = j Mi + Mf ^ t u n a transform ación energética en form a de calor, por lo q u e la e n e rg ía c in é tic a del y*,o*, y .ig i sistem a n o se conserva. Por ejem plo:

12 B E S B L B C lé U t Se m uestra el Instante q u e el bloque 1 Uega al bloque (2) c o n cierta rapidez V y posterior a ello después del im pacto. an te* dot Im pacto d etp u ét d el im pacto

V -0

*

^ V , + V , = M l+ ^ t^ ( Ü )

v.

v.

De (I) con (U) oblen co lo r Q

V,

Mt

Esto significa q u ÍT e s ta tfln te rc a m b la n su ve loddad durante e í W x j u e

U ) VERDADERO: El coefidente de restitución para u n ch o que inelástico entre dos partículas es 0 < s < / , el cual a su vez está dado:

e»

M lD C H

ysiDca A partir de esto obtenem os

Vaacm > ^V 'aocH Se puede apreciar q u e la velocidad relativa d e s p u é s d e l c h o q u e e s m e n o r q u e la velocidad relativa antes del choque.

A l n o e x is tir r o z a m ie n t o , e n to n c e s la c a n tid a d de m o v im ie n to d e l sistem a se conserva, p o r lo q u e planteam os:

O R e p re s e n ta c ió n c o m p le t a m e n t e cuerpos.

de una c o lis ió n In e lá s tlc a e n tre d o s

tí) F A L S O : Supóngase dos esferas las cuales colisionan frontalm ente, durante la colisión aparece, la fuerza d e acción y reacción las cuales son Iguales y opuestas. v,

ifúeroa do roacoUÍn)F

^ -o

Fífúorut de acción i

jKV - p ( (-//,) + Spí (+//, ) 8 p ¡- p ¡ = V

...( /)

C o m o se trata de u n ch o q u e elástica a partir del coeficiente d e restitución planteamos:

#_ Í W . £ JÍ!-L4--T

a

« ^

<

f

r

C o m p a ra n d o ( 7) co n (II) obtenem os:

v

L u e g o ta relación de las energías cinéticas después de la colisión es: ^

i m4 .

I BPTA / “ C”

ayit*i x.vo i' f^ n T m u » ifí;

745 total del sistema. Se sabe que m¡ = m2: V , F= 5 m ¡ 8

V ,= 8 m / a

SEEncuentre la velocidad de un rifle

Vt = 5m is

de 5kg cuando dispara una bala de lOOg con una velocidad de 300 m/s. A)3m/s B)6 C)9 D)12 E)15

SE Un arquero de fútbol de 59,9 kg de masa inicialmente en reposo, atrapa un balón de 0,1 kg que se acercaba con una rapidez de 6m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el arquero? A)0,05 m/s B)0,1 C)0,15 D )0¿ E)0¿25

SEUn auto se mueve a la derecha con

una velocidad de 12 m/s y choca con un camión de masa doble que viene en sentido contrario. Si ambos vehículos quedan quietos después del choque, ¿Con qué velocidad venía el camión? A) 12m/s B)9 C)6 D)3 E)1 Las masas de un padre y su hijo son de 30 y 40 kg, estos se hallan en reposo en una plataforma de hielo sin fricción. Al empujarse mutuamente el padre se aleja con una velocidad de 0,4 m/s. ¿Con qué velocidad se aleja el hijo? A)0,2m/s B)0,4 C)0,6 Dj0,8 E)1 Dos carros de 3000 y 2000 kg se mueven con velocidades de 10 y 3m/s respectivamente, siguiendo direcciones opuestas, si estos al chocar quedan pegados, ¿Con qué velocidad seguirán moviéndose? A)0,8m!s B )l ,8 C)2,8 D)3,8 E)4,8 w Dado el conjunto de bolas de masas iguales m = 2 kg, se pide determinar si se conserva la cantidad de movimiento. V,=10771/8

£

V ÍF=10m/s

- Q Antes

.

Después

A)si B)no C)no se puede saber D)falta información E)NA. Determinar si después del choque, se conserva la cantidad de movimiento

A )% B ) í C )1 D ) 4 E)N.A 5 2 7 4 Si el rebote mostrado es elástico, hallar el coeficiente de rozamiento entre la bola y el piso.

Después

Antes

A) Sí B) No C) No se puede saber D) Falta información

53°', 57° >
Sabiendo que las bolas son idénticas, se pide determinar si se conserva o no, la cantidad de movimiento total del sistema. V ir=3m/s

V ,-Í 0 m l8

Vj=3m!a

V ^ —lO m / s

A ntes

P ,= 1 5

V „= 1 3

P t=0

O

ILV. I

P„=l

22 Después

A ntes

A)1

o "

B)i

*> 1 Ugh persona de 80 kg empieza a moverse desde el* extfenío'de una **? ,■•) plataforma de ma3a M¡s320kg hacia el otro extremo.; ¿A qiíe distancia de la pared quedará el hombre cuando haya llegado hl otro extremo?

Después

A) Si B)No y. C)No se puede saber D)Falta información E)NA. Dado el siguiente conjunto de esferas se pide determinar la cantidad de movimiento de la bola 2 después del choque.

B)2

D)Í3

C)5

E)12

Para el siguiente conjunto de cuerpos, determinar qué momentum tiene la bola 1 después del choque. Expresar la respuesta en términos de los vectores unitarios cartesianos P lf= ?

jQ Q* jQ i-

Vü 't

A n tes

A)10

v3=o

V„=8m !a

JEDICIONES RUBINÓ&

B)6

P iF= 6

Q¿

D espués

C)8

D)14

E)12

(Q)Si el piso es liso, encontrar el coeficiente de restitución entre la bola y el piso.

53° & n

8 A)20m B)12

10 C)U D)9

E)10

Determinar el desplazamiento de la balsa de 10 kg ylOm de longitud cuando los niños de 50 y 40kg lleguen a los extremos opuestos de la balsa en un mismo intervalo de tiempo. Asumir que los niños experimentan un MRU, además despreciar el rozamiento por parte del agua. 50kg

A)0,5m B)0,8 C)0,9 D)1 E)l,2 La esfera de 0,2 kg se mueve sobre una superficie horizontal lisa con una rapidez de 40 m/s, después de chocar con la barra lisa se mueve en la dirección que se indica. ¿Qué módulo tiene el impulso que le ejerce la barra? Si el bloque duró 0,ls, ¿qué módulo tiene la fuerza media

H S 3 7 w M gS? A)7,8Na ; 78N B)6,4 ; 64 0 5 ,6 ; 56 D)8,4 ; 84 E)104,4 ¡1044 Un joven de 60 k g , en reposo sobre una superficie horizontal, sostiene una bola de 3kg. La persona lanza horizontalmente la bola comunicándole 5m¡s. ¿Con qué rapidez retrocede el joven? A) 0,5m¡8 B) 0,25 C) 0,125 0)0,025 E)2,5 (T2)Una pelota de 100 g incide horizontalmente en un plano inclinado y rebota verticalmente, tal como se muestra. Determine el módulo del impulso resultante sobre la pelota.

8m!s

A)10N* B)1 C)0,1 D)100 E)NJL iU na bola de

billar llega al borde de la mesa y rebota, tal como muestra la figura, si la bola estuvo en contacto con la mesa durante 0, 028; calcular el módulo de la fuerza resultante media del borde de la mesa sobre la bola de 200 g.

10m/8 10m/8

A)120N D)180

B)140 E)80

0160

Si las masas de las partículas son iguales a 2 kg, hallar el módulo de la cantidad de movimiento del sistema Y

V = 8m/s -o

«tf)En la gráfica, hallar el módulo del impulso durante los diez primeros segundos.

D)34N.s

E)28N.s

<£?)Una bola se mueve horizontalmente hacia una pared con una cantidad de movimiento con módulo de 0£kg.m!n\ al chocar se invierte la dirección de su cantidad de movimiento. Calcular el tiempo de interacción de la póia con la pared, si el modulo de la fuerza media ejercida sobre la pared fue de ION. A)0,01s B)0,028 O0,03a 0)0,048 E) 0,05a zp.; Una pelota de tenis de 50g se mueve horizontalmente hacia una raqueta con una rapidez de ÍOm/a. Después del golpe, la pelota sale disparada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 5m/s. Calcular el valor de la fuerza media que la pelota ejerció sobre la raqueta, si la interacción entre ellas duró Ims. A)250N B)500N C)250>Í5N @ )L a figura muestra una partícula de masa“m “que se mueve a velocidad constante "V " sobre el eje “X ” ,en cierto instante explosiona originando tres partículas de masas msy m3, cuya velocidades son V¡, V¿ y V3 ¿Cuáles de la siguientes afirmaciones son verdaderas? X — V YI c / m-

x

v ,

m V=10ml9 A)8kgmla B)10 O l2 D )1 6 E )2 0

m

U EXCJi 'jw t e u iA 2012) I) mV = nij Vj + m 2V2 + m3V3 II) mIVJSena= m3 V3Senfl III)S ia = 0 = > V 1 =V 3 A)1 B)I y II O I y III D)III E) Todas La cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos, se conserva si: /JLa resultante de fuerzas internas al sistema es nula. J7)La fuerza externa resultante es nula. 111) Sólo actúan fuerzas internas sobre los cuerpos del sistema. A)Sólo en I B)Sólo en II O IJ I ó III D)I ó III E)II ó III Una persona se cae del árbol en donde estaba cogiendo fruta. Cuando choca con el suelo, la fuerza ejercida por éste sobre su cuerpo. JJEs igual a su peso en módulo II)No depende más que de la altura de la caída. I I I ) Depende de la duración del

choque. A) S ólo I es cierto C jS ólo I I ea c ier to

B )S ólo III es cierto D )I I y ¡ I I son cierta s

E )T odaa so n fa ls a s

(^Considere una partícula que está en movimiento circular uniforme. Indicar verdadero (V) o falso (F) : energía cinética permanece constante durante su movimiento. II)S\i cantidad de movimiento es constante mientras dura el movimiento. III) El impulso aplicado sobre la partícula es nulo. A )V W B)VFV OFFV D )F W E)VFF ffi?)L~na partícula se mueve a lo largo del eje X, y su cantidad de movimiento varía con el tiempo en la forma indicada en la gráfica. Halle el módulo y dirección de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula P(kg m/s) I )S u

G

I V P f l.V O

1'

D I : . U O I 'I . W K A ’T D

A)200 N en dirección - X BJÍ0O N en dirección + X 0 2 0 0 N en dirección + X. D)50 N en dirección + X. Sobre un bote de 1 0 k g en reposo y en agua tranquilas hay dos personas paradas en sus extremos. A es de 40 kg y B de 50kg. Si A y B comienzan a caminar para encontrarse con velocidades con módulos de 2m/s y 4m¡ 8 respectivamente respecto al bote. Determinar el módulo de la velocidad del bote cuando A y B se encuentran. (No hay fricción entre el bloque y el agua).

B U

km cm xks

a y .

h um aos)

A)0,4 B)0,5 0 0 ,6 D)0,7 E)0,8

D) F W

Suponiendo que los cuerpos forman un sistema, la cantidad de movimiento total del sistema será:

Un cuerpo de 4 kg de masa se desplaza rectilíneamente con una velocidad de 4 m/a (-+). Si luego su velocidad se convierte en 2 m/a (-+), ¿cuál será el impulso (en N.a) que recibió? A ) 8 (-+ ) B) 4 .(-> J O Cero D) 4(<~) E ¿ 8Y * -/

6m¡8

2m!s

8m!s

fr 4kg

3kg

A) + 82kg. m/a O - 30kg. m/a E) Cero

7kg

B) 40kg. m/a D) -J 7kg. m/a

Calcular la energía cinética de un cuerpo de masa €*m” que tiene una cantidad de movimiento “P ” . op2

p 2

o p

P

E) FVF

Un cuerpo* de 10 kg se desplaza rectilíneamente con una velocidad de 6m/a (hacia el Norte). Skíúego su velocidad se convierte en 8 m/a (hacia el Este), ¿cuál es el impulso (en A¿a) qué recibió? A) 120 B)100 C )80 D) 60 E)20

P 2

A )-—— B)— O — D ) 4 - E) m m m 2m ' 2m

A)2,8 m/a hacia hacia la izquierda. B)0£mfs hacia hacia la izquierda. C)í*2 m¡8hacia hacia la derecha. D)172m/8 hacia hacia la izquierda. E)04 m/s hacia hacia la derecha En la figura, la balsa de 3m de largo está en reposo. En sus extremos, están parados un niño y un adulto, si ambos empiezan a correr simultáneamente el uno al encuentro del otro, de tal modo que el niño tiene una rapidez igual a la tercera parte de la rapidez del adulto con respecto a la balsa. ¿Qué distancia recorre la balsa cuando el adulto llegue al extremo opuesto? M=2m¡ =m2 ,no hay fricción con el agua.

\

m -

03 m A)5m B)4m D)1 m E )l,5 m (£(JUn cuerpo choca en una superficie fija y la fuerza de contacto entre ellos varía en el tiempo de acuerdo con la siguiente gráfica. Halle el coefieciente de restitución entre el cuerpo y la pared, si 4A¡=5A2.

m Si un cuérp° recibe una fuerza variable durante su movimiento, ¿qué Indicar verdadero (V) o falso (F): impulso le imprimió esta fuerza ( ) La cantidad de movimiento' es* durante los 8 r^de^u aplicación? una magnitud escalar. A)16N.a 12 •,

( ) Si la resultante de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es nula, entonces la cantidad de movimiento total se conserva. f ) La cantidad de movimiento no depende de la masa de un cuerpo. A) FFF B) FVF C )W F E) F W E) V W Determinar si es verdadero (V) o falso (F) : ( ) Sobre una partícula que tiene un M.C.U. la cantidad de movimiento podemos afirmar que es constante. f ) El impulso aplicado a un cuerpo puede modificar sólo la dirección de la velocidad y no su rapidez. ( ) En un choque elástico (e>l) A) VFF B) FFF D) FVF E) F W Formuladas las proposiciones:

C) W F siguientes

( ) Toda la fuerza define un impulso sobre un cuerpo. ( ) El impulso es una cantidad escalar. f ) En cada rebote que da una pelota, el piso ejerce un impulso sobre la pelota. Señale cuál o cuáles son verdaderas (V) o falsas (F) A) W F B) VFV C) V W

B)48 N.a C)72 N* D)64 N.a t(a)

E)96 N.s -Q

w Un cañón de 100 kg, apoyado sobre una superficie lisa, dispara un proyectil con una velocidad horizontal de 80 m/a. Si la masa del proyectil es de 2 kg, ¿cuánto tiempo le tomará al cañón para retroceder 32 ml A)5a B)10a C)15a D)20a E)25a Un niño de 30 kg que corre a una velocidad de 8 m/a salta sobre un patín de 2 kg, el cual se hallaba en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Calcular la velocidad que adquiere finalmente el niño sobre su patín. A) 9,0 m/a B) 8,5 m/a C) 8,0 m/a D) 7,5 m/a E) 7,0 m/a (f7) Calcular el coeficiente de restitución (e) en la siguiente colisión: 6m/s

i:

Sm/8

A ntes

4m/s

5m fs

D espués

A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 5/8 E) 3/4 (^ C a lcu la r el coeficiente de restitución (e) en la siguiente colisión:

I A ESVJ4'JN>im tcuiA 2012}

6mia

2mía

5m¡a

3m ¿a

r . .

.

Después

A/ites

V

A) 0,5 B) 1 C)0,4 D) 0,2 E) 0,8 En el gráfico se muestran 2 esferas antes y después del choque. Calcular la rapidez de la esfera de masa “2m” después del choque, así como el coeficiente de restitución. Vj=4mla Vx=6m/a

"Antes U¡=6m¡8

U2=¿?

A) 0,5 m/a; 0,5 B) 1 m/a; 0,5 D) 2 m/a; 0,5 O 2,5 m/a; 0,8 E) 0,5 m/a; 1 (Q) Se muestra la colisión de 2 bolitas idénticas. Encuentre la velocidad 44fi¡ ” si el choque tiene un coeficiente de restitución de 0,5 8m/a 4m/a U¡^ U.¿ aJI f

=Éfe

Antea Después A) 1 m/a B) 2 m/a O 3 m/a D) 4 m/a E) 5 m/a lUna pelota de tenis de 50 g es lanzada, con una velocidad de lOmf 8, contra una raqueta. Si luego sale despedida con la misma rapidez, pero en dirección opuesta, determine la variación de la cantidad de movimiento de la pelota. B) 5 Na E) 20 N.a

O 1 N.a

Un hombre y un muchacho de 800 N y 400 N, respectivamente, están sobre un piso liso. Si después que se empujan uno al otro el hombre se aleja con una velocidad de 0,5 m/a respecto al piso, ¿qué distancia los separa luego de 10 a? A) 7J5 m D) 15 m

B) 12 m E) 10 m

Q 18m

(f?) Un carrito de 20 kg se mueve con una velocidad de 0,0 m/a. ¿Qué fuerza será necesaria para detenerlo en 0£ a?

B) 20 N E) 25 N

O SON

Una explosión rompe un objeto inicialmente detenido en 3 partes, una de ellas de 2 kg de masa sale disparada con una velocidad de 20 m/ a formando un ángulo recto con la parte de 3 kg con una velocidad de 10 m/a. ¿Cuál es la velocidad del tercer pedazo de la masa de lkg? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 (Q) En la figura M=9, m=9 kg y L =2 m. Si la bolita al ser abandonada en A, al impactar con el péndulo queda adherido a él, Calcular la altura h hasta la cual se elevan juntos (en cm ). A) 1

spues

A) 10 N.a D) 15 Na

A) 80 N D) 100 N

V=0

g

B) 2 C) 3 D) 4 E )5

"

‘

) J M '

v=o

Una ametralladora dispara balas con una velocidad de 8 0 0 m/a. Las balas tienen una masa de 40 g. Si el tirador soporta una fuerza media de retroceso de 160 N, calcular el número máximo de proyectiles disparados por segundo. A) 5

B) 4

C )3

D )2

E) 1

Una persona de masa **m” está en reposo en el extremo de una tabla de masa “ m/3” y longitud 44L Si caminaba hasta el otro extremo. ¿Qué distancia retrocede la tabla sobre el terreno horizontal liso? m

B)4L/3 E)L/2

03L/4

¿Cuál de las proposiciones es falsa?

siguientes

A)L/4 D)L/3

A)En un choque completamente inelástico, el módulo de la velocidad relativa entre los cuerpos, después del impacto es menor que el módulo de la velocidad relativa antes de dicho impacto. B)Si el coeficiente de restitución entre dos partículas es igual a la unidad entonces la energía cinética total de las partículas antes y después del choque es la misma. C) Cuando los dos cuerpos permanecen unidos después de la colisión el coeficiente de restitución es cero. D)El coeficiente de restitución cumple la siguiente condición en un choque de dos cuerpos: 0 <,e ú l • E)Si el coeficiente de restitución es cero, entonces la energía cinética del conjunto después del choque es cero. Señale verdadero (V) o falso (F):

I) Si en un choque elástico el coeficiente de restitución es e=2; entonces cada móvil tiene la misma velocidad antes y después del choque. II)Si dos cuerpos tienen la misma cantidad de movimiento entonces al chocar tendrán un choque perfectamente elástico. III)El coeficiente de restitución depende de los valores de las velocidades de los móviles antes y después del choque. A )F W B)VFF C)FFF D )W F E)FFV Señale verdadero (V) o falso (F): I) En un choque perfectamente inelástico los cuerpos carecen de movimiento luego del choque. II)En un choque donde e = l , los móviles se mueven en direcciones contrarias con la misma rapidez luego del choque. III) En un choque con e=0, un cuerpo puede detenerse y el otro moverse en dirección contraria con la nueva rapidez después del choque. A)FFV B)FFF C)FVF D )V W E)VFF Cuando una pelota cae a tierra y se queda sobre ésta después de cierto tiempo de haber rebotado, se cumple que: a

A )La can tid ad d e m ovim iento d e la

í pelota se conserva. B)La energía mecánica de la pelota se conserva. C)La cantidad de movimiento y la energía mecánica de la pelota se conservan. D)La cantidad de movimiento del sistema pelota-tierra se conserva. E)La energía mecánica del sistema pelotar-tierra se conserva Dos coches A y B de igual masa chocan en ángulo recto, en la intersección de dos carreteras heladas (p = 0). Los coches quedan empotrados el uno en el otro y siguen juntos en la dirección indicada por «y «. Si Va=60 km/h y ¿ = 30°. Calcular VB. VÁ

B A)40y¡3km/h 060-13 Señale incorrectas:

B)40 D)60yf2 las proposiciones

/JEn todo choque elástico, se conserva la energía cinética del sistema. //JEn todo choque, la energía mecánica se conserva. III) En un^cfeoque cada cuerpo que colisiona» conserva su cantidad de movimiento. A )Iy ü BjSóloI C)Sólo II DjII y n i E)Todas

8853 ~ y « » instante del choque. I) Si el choque es plástico, el sistema no pierde energía porque sus velocidades antes del impacto son perpendiculares. 7/)Si el coeficiente de restitución es e = 0, se conserva la cantidad de movimiento en la dirección vertical. III)Sie=0 la energía cinética perdida por el sistema es 3mvr!4 A)Sólo I D)II y III

B)I y ll O IJ Iy III E)S6lo III

Se dispara un proyectil haciendo un ángulo de 30° con la horizontal. Cuando el proyectil alcanza su altura máxima explota en dos fragmentos de masas iguales, de tal forma que uno de ellos se mueve según la vertical. La explosión hace que la energía cinética inmediatamente después de la explosión es 210% de la ehérg^á cinética inicial. Determine la dirección que sigue el otro fragmento respecto a la horizontal aproximadamente. A)ArcSen

B)ArcSen

C)Are Sen

D)Are Sen

a

a

L a s v e lo c id a d e s d a d a s s o n p a r a e l

atracción gravitatoria sobre él. En esta situación, arroja el objeto aplicándole un impulso de 12 N.s. Considere el sistema astronauta objeto y exprese cuál de las afirmaciones siguientes está equivocada: A)El astronauta recibe del objeto un impulso de magnitud igual a 12 N.s B)El objeto comienza a desplazarse con una cantidad de movimiento con módulo de 12 kg m/s. C)La magnitud de la cantidad de m ovim iento odquirid(£¡folt el astronauta es menor qü¿1.2 kg m/s. D)La cantidad de movimiento del sistema antes de arrojar el objeto, era nula. **A\ E)La cantidad'de movimiento del sistema después de arrojar el objeto, es nula. ,•

• »

*

A un bloque de 15 kg de masa, que se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, se le aplica una fuerza vertical. Determinar el instante en que la velocidad del bloque es 45 j m/s ( g = - 10j m/s2)

Una esfera de 2 kg de masa que se mueve con una rapidez de V= 8m/ 8 impacta sobre un émbolo de 8kg de masa. Si la constante de elasticidad del resorte es K=32N/m y el coeficiente de restitución en el choque A )ls B)2s C)4s D) 6s E)4fls es 0*25. Determinar la máxima altura La figura muestra la trayectoria que sube el émbolo. de una esfera de 1,6 kg al impactar No considere rozamiento. en una pared lisa. La fuerza F de la pared sobre la esfera varia según la gráfica. Determine la velocidad y 0.

(© E l el sistema mostrado, si las velocidades dadas son para el instante del choque; entonces, luego del impacto, podemos afirmar correctamente: Ai Ai

EMCMONES Rt!RIAOS)

(0=53°). (g=10mfs2) F (N )

Y

A)10 cm B)20 cm C)25 cm D)40 cm E)50 cm (Q) Un astronauta que lleva en sus manos un objeto pequeño, se encuentra en reposo en una región del espacio donde no existe ninguna

¥■

A)20m ls

B )( - 9i - 12j)m ts

C )( - 1 6 ¡ - 12j)m/s D )(-1 8 Í-2 4 j)m / s

X

750 (g)U n hombre de masa **m” se encuentra parado sobre un bote de 2m de longitud de masa M =3m . Si camina sobre el bote hasta el otro extremo acercándose al muelle. ¿A qué distancia del muelle se encontrará ahora el hombre? Im

Ll E y a r J W iC M A 2 0 1¿]

C)

B )— L

m

M -m D) M

E)

M -m ')

M -m

(7?) El cañón que se muestra en la figura dispara balas de 1,5 kg con una rapidez de salida de 40m¡8.

y barra es El muelle se comprime mediante el cuerpo en "x09*y luego se deja libre. La distancia del cuerpo hasta el extremo de la barra, en el instante del disparo, es / ,. Hállese la velocidad de la barra una vez que el cuerpo se desprenda de ella.

Calcule el peso del cañón, en Nt para que después de 5 segundos de haber disparado una bala, el cañón choque con la pared vertical. Despreciar todo tipo de rozamiento. A)0t5m D)2m

B)lm E)l,4 m

C)l,5 m

Se asume que no existe fricción entre el cañón y el piso (g=9,8m/ss)

C )Tan0=

m M +m

M M -m

B)Tan&= D )T a n $ =

M M +m

m (kx*xp m g ¿) 2 (M + m )M

B )V =

m kx* M (M -m )

I2m

C )V =

m kx M (M + m)

D }V _ \ m < k x l-2 tim g ¿ ) V

A) 122,5 D)367,5

A)Tan&=

A)V>

40m !s

Una esfera de masa m que se ha dejado caer efectúa un choque elástico con una cuña de masa M que se encuentra en reposo. Si no existe rozamiento, hallar el ángulo o .

«O—

-H

B)245,0 E)490,0

0150, 0

(T?J)Una bola cae desde una altura H sobre un peldaño de una escalera y en los sucesivos rebotes desciende por ella como representa la figura. Calcular el valor de H para que la bola alcance, siempre, la misma altura en cada salto. Siendo el coeficiente de restitución e.

M M +m

M (M + m )

En la figura se muestra 2 discos “A ” y “B ” lisos de masa 4tm ” y "m ” , respectivamente, que se encuentran sobre una mesa horizontal lisa. Si chocan inelasticamente (e = 0,5); determine la rapidez de UA " y **Bff después del choque. (rí=24cm ; r 3=lcm).

H

E)Tan&=

Si el sistema mostrado está inicialmente en reposo y tiene una masa total Mt donde el cañoncito mostrado está apoyado contra una de las paredes del carro, sé dispara hacia la derecha un proyectil de masa “ m ” . ¿Qué distancia recorrerá el carro como resultado de la repercusión cuando la bala haya impactado en la otra pared?

A )€m/8 ; 41 35 3

B )2 5m !a ; 4 1232

C ) 2 0 ,5 m ls ;4 7

D )1 0 t 5 m f8 ;

£

E )5 ,2 5 m / 8 ; 2 4 , 0 3 m fs

!3 B A)

B)

C) 1 -e* l + es ' 2 -e (7?J)E1 sistema mostrado en la figura, se encuentra sobre cierta superficie horizontal lisa. La masa de la barra es "M ”y la masa del cuerpo superior, cuyas dimensiones pueden menospreciarse es **m**. La rigidez del muelle es “k El cuerpo no está fijado al muelle. El coeficiente de fricción entre el cuerpo

$7)La esfera de masa “ 2m ” se mueve sobre una mesa lisa y choca elásticamente y excéntricamente con otra masa Determinar la rapidez de “ m ” luego del choque. V = 4 \ f3

m/s -V=0 y mi ,/r

A )4 4 3 m ¡8

B )4 m ¡8

C )6 4 3 m Í 8

D)8m/s

E)843m/s

[iyiwiL.w r F^Lvimiu

pk

.uoi7.w g.vro

‘t ; Una esfera de masa “ m” se deja caer sobre la cuña de masa M. Si después de chocar elásticamente, se m cumple que: 4TanO= N Hallar: n$

A)15° B)16° C)30° D)3T> E)&> @)Encima de un cuerpo de masa “Ai” que se encuentra en un plano horizontal liso hay un pequeño tejo de masa “ m ” .A este último se le comunicó una velocidad de módulo **V” en dirección horizontal. ¿A qué altura (en relación al nivel primario) asciende el tejo después de separarse del cuerpo “M "? Después el rozamiento.

MV 2 MV D)h= ^ 2g(M - m) ' 2g(M + m) @|Un bloque de masa itM ,t se encuentra unido a un coche de masa "Mtf”por intermedio de un resorte ingrávido de constante “ k ” , todo inicialmente en reposo. Una bala de masa “m ” es disparada, llegando al bloque con velocidad de módulo “ V ” , e incrustándose en él. Despreciando todo tipo de rozamiento, encontrar la máxima deformación del resorte. *

*

Si: m=M=M 0=lkg. Va •Sd) m

k M -w m — M0 I

761 jP 3 2V

v.Jk A) 3k

B,l t

D)

EN

l 6k

EDICIONES KIltlNOS) y C)

impulso.

2k

Una esfera pequeña de 400 g es abandonada en “A”, al impactar en la pared vertical, ésta le ejerce una fuerza (F ), la cual varía según se indica en la gráfica. Determine la altura máxima que logra la esfera luego del impacto. (g =10 mfs") F(N) 0.8m •

•

•

»

Jm

•

•

•

•

i

Sobre una superficie horizontal lisa se encuentran en movimiento dos bloques de masi mi = l/r g y ms=2 kg con rapidez de 6 mis y 3mis respectivamente. Si el segundo bloque tiene un resorte de masa despreciable acoplado y de rigidez 600Njm ¿cuáL^Cs la máxima deformación qtí& fexperimentará el resorte? V j= 6m/8 ^ Vj,=§m[s m A)5 cm D)20 cm

B)10 cm E)30 cm

C)15 cm

Una esffeirá se deja en libertad a una altura h de la superficie terrestre. l La gráfica que mejor expresa la ./ 0,1 A ) 1 0 cm B) 30 cm C) 20jcm _ hi' variación de la cantidad de .y T jT movimiento de la esfera como función D) 50 cm E) 15 cm del tiempo es: Al efectuar saltos verticales un I) II) III) joven de 100 kg alcanza una altura P (N .s ) P (N .s) P (N ,s) máxima de 20 c m . Si el comportamiento de la fuerza entre los pies del joven y el piso, se muestra en la gráfica. El valor máximo de tal t(s) t(s) fuerza es: ...(g=lO m/s") A)Sólo I B)Sólo II F(N) O I y II D)Ninguna E)Falta conocer la masa 1000 m El vagón mostrado de 2 m de masa experimenta un M.R. U. con una rapidez de 5 m/s, por inercia. En —*~t(8) cierto momento se rompe el hilo 1 4,5 horizontal que sostiene a la bolita de A) 1800 N B) 2000 N C) 220 N masa m y esta impacta con la pared D) 2800 N E) 3200 N del vagón quedando adherido a ella, En un día lluvioso, una caja de luego el vagón adquiere una rapidez plástico abierta superiormente, es de: lanzada sobre una superficie horizontal lisa, desarrollando M.R. U. Si la lluvia ingresa verticalmente sobre la caja es cierto que: A) La masa del sistema formado en la caja aumenta, por lo tanto la cantidad de movimiento horizontal aumenta. A) 1 m/s B) 2 m/s O 3 m/s B) La velocidad del cubo aumenta. D) 4 m/s E) 5 m/s C) La cantidad de movimiento (^d)En la parte más alta de un coche horizontal del sistema aumenta. de 4 kg que se encuentra en reposo, D) La cantidad de movimiento del se suelta un bloque de 2 kg. sistema disminuye. E) Las gotas no experim entan Determine la rapidez que adquiere el

752 coche, cuando el bloque lo abandona. Considere superficies lisas. (g=10 mf

A) 1 m/s D) 1,5 mía

B) 2 mis E) 2,5 m/a

(Q) Una bala de 100 g que viaja con una rapidez de 48 m/a, se incrusta en un bloque que tiene forma de L, y de 2,9 kg. Determine la máxima deformación que logra experimentar el resorte de constante de rigidez k = l 200 N/m. Considere superficies lisas. 48m le

C) 3 mía

0BBK508585

En la figura se muestra 2 tablones de 30 kg cada uno y de igual longitud colocados sobre hielo. Los jóvenes de igual masa 70 k g se acercan uno al otro. Cuando llegan al extremo opuesto, los separa 4,2 m. Determine la longitud de cada barra.

A) 4 cm D) 40 cm

B) 20 cm E) 50 cm

C) 30 cm

(Í2) ¿Qué masa de combustible es necesario arrojar con la rapidez 3V con respecto al cohete de masa M para que su velocidad aumente desde V a 1,1 V? M

2012} IA D) 4 m/a E) 16 m/a Si al sistema mostrado, carente de rozamiento se le abandona en la forma mostrada, determine la distancia horizontal que habrá recorrido la cuña cilindrica, cuando la barra homogénea se coloque en forma horizontal. (11= 0,8 m)

A) 0 cm B) 2 cm C) 6 cm D) 8 cm E)10 cm ~

i

(í?J)Una cuña de 2 kg reposa sobre un plano horizontal liso, desde su vértice superior se suelta un bloque de 0,5 kg que desliza hacia abajo. ¿Cuánto avanzará el vértice de A cuando el bloque llegue a dicho punto?

Liso

A) 3 2 m D) 3 m

B) 5 m E) 2,5 m

C) 2,4 m

¿Qué impulso (módulo) debe recibir el bloque de masa M=2,5 kg tal que la barra rígida y de masa despreciable llegue a la posición horizontal (no existe rozamiento)? (g=10 m/as; m=0,5 kg) E&i A) 5 Nxs B) 8 N xs C) 10 N xs

B) M/30 E) M/34

C) M/60

(ííj) Un chorro de cierto líquido choca tal como se muestra, extendiéndose sobre la superficie. Determine la presión sobre la superficie, siendo p la densidad del líquido y la rigidez con la que impacta en las superficies es V. A) pV 2 coa2 0

0 ,3 m

Pin fijo <>

A) M/20 D) M/24

Ig

\0,3m

D) 15 Nxa E) 20 Nxa El sistema (M+m) se abandona t = 0 segundos, luego de un intervalo de tiempo tJt la velocidad de M es ÍOm/a, M=3m=3kg. ¿Qué impulso ha recibido el sistema? rr

B) pV 2coaO C) pV 2aen20 D) pV 28en0 E) pV coa 0 (T$) En la figura mostrada, determine la rigidez de la esfera lisa luego del choque, si la rapidez que adquiere la cufia lisa, es de 2 m/a y sólo se traslada (M = 5m) éfl Liso

A) 10 Nxa

A) 1/3 b D) 1/5 b

B) 1/2 b E) 2/3 b

C) 1/4 b

(0)Una cuña de 200 g con el ángulo de 60° de base se encuentra en una mesa horizontal lisa. Por el plano inclinado de la cuña sube un escarabajo con una velocidad constante de 11 cm/s respecto a la cuña. Calcule la velocidad de la cuña, si el escarabajo tiene 20 g de masa y comenzó a moverse cuando la cuña estaba en reposo. A) 3 cm/a B) 2 cm/a C) 1 cm/a D) 0,8 cm/a E) 0,5 cm/a (Q)Una pequeña esfera de 100 g impacta con una rapidez de 50 m/a contra un dique de 2 kg el cual se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Si la esfera rebota vertical, determine la rapidez que adquiere el dique. g

B) 20 Nxa C) 30 Nxa D) 40 Nxa E) cero

L iso

A) 10 m/a

B) 8 m/a

C) 2 m/a

£j E .v r i x .w » i ' # a . v n a u » A) 2 m/s

» £ .*i o » x *í u k .v

B ) 7 m /s

D)l¿5m/a

C ) 5 m /s

E) 1,5 mis

La barra homogénea de masa 2 m se desvía ligeramente hacia la derecha y se suelta. Determine el ángulo que forma la barra con la horizontal cuando el sistema impacta sobre la superficie inclinada.

j

755

##

A) A -m/a B) D)

Determine el módulo de la fuerza

que la esfera (1) ejerce sobre el plano horizontal liso en el instante en que la barra delgada y de masa despreciable forme 30° con la horizontal. El sistema se deja en libertad cuando la barra estaba dispuesta en forma vertical.

EUICIOXES RUBWOSl m/a

m/a

m/a E)jjm/a

I

1

t

J

Encima de M que descansa sobre una pelota lisa, se tiene un bloque m al cual se le comunica una rapidez V0=6 m/a. ¿A qué altura asaíénde'^* bloque liso respecto al nivel inicial luego de separarse de M =5 m? (g= 10m/a2) V

% •(2)

A) ION B) 20 N C )30N D )4 0 N l

^

A) 1,8 m B) 1,6 m C) 1,5 m D) 1 £ m E) 1,0 m Se deja en libertad a la esfera de masa m. Determine la máxima rapidez que adquiere ella, si el cilindro hueco de radio R y masa M inicialmente se encontraba en reposo (superficies lisas).

E) 80 N Q)Determ ine la rapidez que presenta el bloque C, en el preciso instante en que el bloque B llega al piso, si es abandonado en la posición mostrada. Desprecie todo tipo de rozamiento. (g =10 m/a2)

D)

c a rril

\sOcm

2a

3a

Ya

A) mgt B) 2 mgt C) 1/2 mgt D) 6/2 mgt E)A' -6)2 mgt

Uñ ** joven de 40 kgjsn/reposo, fr sobre una pista de hiel^tieñé en sus manos una esfera kg. Si lanza a la esfera en direóclon horizontal con 10 m/a Determine la rapidez que adquiere eljc^en en ese momento. .

A) 0,5 m/a B) 1 m/a C) 2 m/a D) 2,5 m/a E) 3 m/a

20m/a

IOm/a B

r

liso

j a A) 11 m/a B) 10 m/a C) 5 m/a D) 12 m/a E) 20 m/a

Un joven se lanza horizontalmente sobre el coche con 6m/8$para luego quedar de pie sobre el coche. Determine la rapidez que adquiere el coche. 6mla

A)

2m

ii ii i

Si luego del choque entre las esferas mostradas, la esfera B queda en reposo. Determine la rapidez que adquiere A. mA=mB

(m{= m2=4,9 kg; g=10 m/a2) 8 t

cantidad de movimiento de A hacia B. A ..—•**•••— > i i

Dos rodillos lisos, uno de 0,5 kg y el otro de 2 kg se sueltan sobre una mesa horizontal cuando los resortes idénticos de K =2000 N/m se encuentran estirados lOcm. ¿Qué máxima rapidez adquirirá el rodillo de menor masa? A) 8 m/a B) 6 m/a C) 4 m/a D) 2 mis E) 1 m/a

A) 16° B) 3T C) 45° D) 8° E) 30°

■w

2M gR

Dl

2 m gR

(M + m) SM gR

(M + m)

C)

M gR

(M + m)

E ) J j¡R

Una pequeña esfera de masa «m» es lanzada tal como se muestra. Si el tiempo de vuelo es t segundos, determine el módulo del cambio en la

A) 1 m/a D) 4 m/a

B) 2 m/s E) 5 m/a

El proyectil instante antes de impactar con la cuña tiene una

rapidez de 100 m/a. Si al impactar queda incrustado con la cuña, determine la rapidez que adquiere el conjunto. V=0

B) 6 mía E) 4 m/a

A) 1 m D) 0,4 m

754 B) 0,75 m E) 0,25 m

L í E iV (iY x o r / o M 2012}

C) 0,5 m

Si los bloques pequeños chocan plásticamente. ¿Hasta qué altura se eleva el sistema después del choque? (mA=mB)

C)1 m/a

A) 10 cm D) 35 cm

B) 20 cm E) 40 cm

C) 30 cm

¿Cuál será el menor valor de T " , de tal forma que luego del choque plástico los cuerpos no abandonen la pista lisa semicilíndrica?

B) 4 m/a E) 3 m/a

C) 2 m/a

L ¡

mVh

E)

2 M (R + h ji

Dos esferas de acero de masas “m / y “m; ” están suspendidas como se indica en la figura. La primera se desvía un ángulo de 45° y se suelta. Después del choque la segunda esfera se desvía en 45°. Calcular el coeficiente de restitución, entre las esferas (m¡= 2m j. n

(m =1 kg, g -10 m/a2) EF A) 0,5 m/a D) 2,5 m/a

M R2 mVR

C)M V' R 2 800m

El bloque de masa m es soltado en la superficie del coche. Determine la rapidez del coche en el momento que el bloque abandona al coche horizontalmente con una rapidez de 20 m/a. Desprecie el rozamiento. V=0

2mVh

m 2m Vh A ) M V ' M R2 m mVh

■

.

/$ aa it *

V=0

A

%\ % • t 9

Si todas las colisiones tienen un e=0,5, calcule después de cuánto tiempo de producirse la A) 50 m/a B) 20 m/a C) 12 m/a C)0,5 A) 0,75 B) 0,35 primera colisión se produce la D) 18 m/a E) 15 m/a D) 0,6 E) 0,4 última. Desprecie el rozamiento. (75) El choque que experimentan los @ Determine el mayor ángulo 20m/s cuerpos es elástico. Determine la V=0 V=0 que se desvía u2 M” luego variación que experimenta la energía de la colisión con "M” soltado en {¡¿fr cinética de la pelotita (M>m)(m = “A” (e=0,5). 250 g). lOm

+1

JOm

’

lOm

A) la B) 2a C) 3a D) 4a E) 5a La esfera mostrada se deja en libertad. Si la esfera impacta con el bloque (e = 0,75), determine el recorrido del bloque hasta que se detiene (M=5/2m; g=10 m/a )

4m/a

A) 1 J D) 36 J

2m/s

B) 6 J E) 72 J

C) 12 J

(Q) Sobre el disco homogéneo de masa Af y radio R que se encuentra en reposo, impacta plásticamente una bala de masa m. Considere m < Af, determine la rapidez con la cual se traslada el disco luego del choque y la rapidez angular con la cual rueda. Desprecie todo rozamiento.

A) 37° B) 53° O are aen(2/5) D) are aen(3/4) E) are coa(3/4)

@ El choque de las esferas de igual masa es inelástico (e=0,5). Calcular la máxima desviación angular que experimenta el hilo de 1 m de longitud respecto a la vertical. (g=10m/82)

755

É

las otras 3 que se encuentran en reposo. Si después del choque elástico la esfera B queda en reposo. ¿Qué rapidez adquieren CyD?

^VíÓm /s

± ..S

j^ p

f - u*°

A) 112

tl0cm

/~ V

m 11 M +m

A)

V. =243 cm/a

B)

m

M- m

H

4m* D) M n E) (m+Mf// m+ M

ív" A) 45° B) 60° C) 30° D) 37° £) i5° E l gráfico nos muestra un pedazo de madera inicialmente en reposo y una pequeña esfera sobre una superficie horizontal lisa. Si la esfera estuvo dentro del bloque durante 48, determinar el coeficiente de restitución del choque.

RUBLVO& I

EM CM Om S

[amff m: u PRDim practicaü A) 2 cm/a B) 243 cm/a C) 343 cm/a D) 4jscm/a

E) 543 cm/a

Dos monedas idénticas se desplazan en direcciones opuestas sobre una superficie horizontal lisa. ¿Qué ángulo se desvían las direcciones de su movimiento a causa del phoque elástico (R es el radio de la moneda)?

¡ a i » s¡ •

I

W

W * M

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[fhlITS DELASEfíCXDAPRACII

m 5 )B l f l ) D 1 ) B Í)B 6 )E 2 )É 1 11)8H)HmíJMlá)C 17).lJtyl1I)BN)1 [g«m :s d e l \

tercera pr a c tic ó

m i)A IflJÍ m Í)E 1SjC )>/; »)D n)i' IÍ)Ci;iid fíje íáj.1 íd l')B Mil 19)0MIE UfO23J.18)0 Í))B

B) 1!3 90cm C) 1/4 D) 1/5

-

[CLAVES DE LA CDÍRL1PRACTH

c

80cm/s i

E) 1/8

to» t)lt A) 90° B) 60° C) 30° D) 15°

(Tjt)\Jna esferita de acero se desliza sobre una superficie horizontal lisa con una rapidez de 5 mía e impacta con un aro circular homogéneo liso inicialmente en reposo. Determine la rapidez deparo después del choque elástico. *...

E) 5o

En la figura la esfera de masa m es lanzada en la posición A y hace un choque frontal inelástico con B cuyo coeficiente de restitución es e. Despreciando la fricción, calcule la cantidad de calor que se disipa hasta que se lleva a cabo el n-ésimo choque.

ÍAf = 2nt) b = 0,8R) t i é• %

f=áL m V

A) 2 m/a D) 5 mia

B) 3 m/a E) 6 m/a

C) 4 m/a

@ Se tiene 4 esferas de masa iguales y del mismo material sobre una mesa de billar lisa. La esfera A choca frontalmente con

A) mV2/! - e2) B) 0,5 ni V»fJ - e2n) C) 0,5m V *(l-e*) D) 0,5 mV*(l - e2) E l bloque de masa m se abandona en A para luego chocar elásticamente con el otro bloque. Determine qué altura h logra ascender el bloque de masa Af.

6)£¡7)0|8)E|»)BÍlt)8

tlil Ufí I3il im /ají ííjfl/7)+ fltfiijá w Í1USil 8 )Cityi C1AYES BE IA QTEm PRACTICA } ¡)B W |w i)t: «J fte S)B Hit Blf li)E I1M5JÍ

|/0)f

íl)í 8)Dm PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO En todo lisíem e aislado, es decir, en aquellos sistemas donde la resufcante de fueraas exteínas sobre el sistema es cera se verifica que to cantidad de metimiento del sistema, se mantiene constante en m ódulo y dirección, ya que sólo actúan (urnas internas de acción y reacción. Este principio se cumple durante el choque de cuerpos fcbm. en bis g*piosk>nes. etc. Sistem a A islado « o X ^EXTERNAS s 0

<=>Rustfma c constante +f*2 +P3 + +"fyj «constante CHOQUES En la vida cotidiana, por choque se comprende un fenómeno o acción semejante a la colisión recíproca de las bolas de billar. En física, este fenómeno se entiende en un sentido más amplio. Entendemos por choque o

co lis ió n cualquier breve Interacción entre partículas. La particularidad de la teoría del choque consiste en que no analizamos en forma detallada el mecanismo de la interacción. La causa reside en que el análisis de las fuerzas que surgen durante el choque es muy complicado y: en muchos casos imposible.

e

¡ A fiiY rw xortO L l 20 l¿\

O B J E T IV O S :

E JE M PLO :

* Estudiar los movimientos periódicos, oscilatorios, así como de un M.A.S.

El movimiento de una pequeña esfera sujeta por una cuerda (péndulo), como se muestra en la figura, en la cual la esfera

♦Conocer las características cinemáticas , dinámicas y energéticas en un M.A.S. ♦Analizar el movimiento pendular . IN T R O D U C C IÓ N Z En la naturaleza encontramos muchas cosas que oscilan de una posición fija. Algunas de ellas las podem os captar fácilmente con nuestros sentidos por ejemplo, una hoja de un árbol que se mueve con el viento, el vaivén de la cola de un perro. Otras, en cambio, como el movimiento del átomo de nitrógeno en la molécula de amoniaco, debemos detectarlas con otros medios, los movimientos sísm ico s,..., etc.

cuando desarrolla un m o v im ie n to c o m p le to , p o r e je m p lo c u a n d o la esfera va de un extrem o a otro y luego retorn a al extrem o in icial. M

' *,1 ** 9 •

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s

*M

Q Q)

Q

M} una oscilación completa ....Media oscilación u oscilación simple

MOVIMIENTO PERIODICO Es aquel movimiento que se repite en tiempos iguales, llamado PERIODO. uwiert'anec El hombre también ha fabricado cosas que oscilan alrededor de una posición fija: la aguja de la máquina de coser y el columpio, por ejemplo. Algunos de esos movimientos de vaivén se denominan armónicos sim ples y se estudiarán en este capítulo. ¡Cuántas veces hemos observado las ondas producidas en un estanque de agual ¿Existe alguna relación entre los osciladores (cuerpos que oscilan), y las ondas? La respuesta es afirmativa. Cuando en la superficie del estanque de agua se propaga una onda, las moléculas de agua se comportan como un conjunto de osciladores; por este motivo, en el próximo capítulo está destinado a un breve estudio de las características del movimiento ondulatorio. En un oscilador la energía permanece localizada en él mismo. En un movimiento ondulatorio la energía viaja de un oscilador a otro. Antes de entrar de lleno a analizar y describir el M.A.S., debemos conocer algunos aspectos previos co m o lo que es: un movimiento oscilatorio y un movimiento periódico.

MOVIMIENTO OSCILATORIO Es todo aquel movimiento de vaivén con respecto a un punto fijo o de equilibrio, también se llama movimiento vibratorio.

E JE M P L O : El movimiento de rotación de la Tierra se repite cada 24 horas, así como la Tierra órbita alrededor del Sol, dando una vuelta completa en 365 días y 6 horas (período). .................

T ierra :

GENERALIDADES DE UNM Jl.S La masa sujeta al resorte de la figura (I) está en reposo; la fuerza neta sobre ella es cero (el resorte no está estirado ni comprimido, por lo cual esta posición se llama de equilibrio). Si se separa la masa una distancia a hacia la derecha o hacia la izquierda y se deja libre (Figura II) oscilará alrededor de la posición de equilibrio. Si no existe fricción, las oscilaciones serán simétricas con respecto al punto x =0 y continuarán

(O S C IL A C IO N E S ( P I A .S .)

repitiéndose indefinidamente, (I)

WSH

tbl

E D IC IO N E S

MM

K lJK IÑ O Sij

RE. Posición donde, . el resorte se encuentra sin deform ar

w m m m m A este conjunto (Bloque resorte se le denomina: “Oscilador Armónico99

D eform ación Estática del resorte

RE................... U%=0J

(II)

V=0

RE. J IIIIIMIIIIJ.M .M M.M.MJl ( 11» h

MOMENTO ARMÓNICO SIM PLE (MJÍ.Sm)

iih

Es aquel movimiento rectilíneo realizado por un móvil que es oscilatorio y periódico , donde su aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio y su magnitud es directamente proporcional a la distancia del móvil a la posición de equilibrio (elongación).

x ±0

v=o Jm m m m m

x(-)

+A ♦El M AS. es oscilatorio pues la partícula que lo realiza se desplaza a uno y otro lado de la POSICIÓN DE EQUIUBRIO( RE.) entre dos posiciones extremas (puntos de retorno). * El M.A.S. es periódico pues se repite en intervalos iguales de tiempo; estos intervalos reciben el nombre de períodos. El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación completa, es decir, en partir de una posición cualquiera y retornar a ella después de haber pasado por las dos posiciones extremas. El valor del desplazamiento máximo, respecto de la posición de equilibrio, se denomina amplitud (A) del movimiento y mientras no existe fricción, permanece constante.A este movimiento se le llama ARMÓNICO, pues tanto la posición co m o la ve lo cid a d y la aceleración de la partícula que lo realiza, se describen por medio de las funciones que los matemáticos llaman armónicas, es decir, funciones seno y coseno. *Se d e n o m in a s im p le para d is tin g u ir lo de o tros m o vim ie n to s a rm ó n ic o s tales c o m o el a rm ó n ic o amortiguado y el amortiguado forzado que no serán estudiados en este libro y cuyo tratamiento es más complejo.

=__ .

L

Q

L

RE. 1

.

HA

V=0

L

L

A(+)

P y Q : Extremos E E .: Posición de equilibrio o punto medio de PQ

OSCILACIÓN COMPLETA : Movimiento de ida de P a Q y de regreso de Q a P.

PERIODO (T ) : Tiempo empleado en dar cada oscilación completa. E JE M P L O : En un M.A.S. Por ser este movimiento periódico y a la vez oscilatorio, se determina que el período (T) es el tiempo que debe transcurrir para completar una oscilación. jy 2 T/4

TI4 -A _

O BSERVACIÓ N : Para el caso anteriormente descrito la EE. coincide con aquella posición en la que el resorte está sin deformar, pero ello no siempre se cumple, por ejemplo, si el bloque se encuentra sobre un plano inclinado o se encuentra suspendido de un resorte vertical, dicho bloque en la EE. se encontrará deformado.

a

M U

V=0

L

x(+)

V=0

v=o -Ti

x=0 T12

\*

Ureara

IA

FRECUENCIA ( f ) : Es el número de oscilaciones completas efectuadas en la unidad de tiempo. Matemáticamente la frecuencia es la inversa del período. U nidad: * f : H ertz(H z) * 1 Hz = a 1

ELONGACIÓN (x )

.*

Es la distancia medida desde el punto de equilibrio al lugar donde se encuentra el cuerpo en movimiento en un instante cualquiera. A la elongación “x”se le da convencionalmente un signo, para ubicar la posición del cuerpo con relación al punto de equilibrio.

a m p l it u d

(A) ;

Es la máxima elongación alcanzada por un cuerpo oscilante:

FUERZA DEFORMADORA : Es aquella fuerza exterior que deforma parcial o permanentemente a un cuerpo. Cuando esta fuerza deforma lineal y parcialmente a un cuerpo elástico; su módulo obedece a la Ley de Hooke (F = Kx)

e n c u ’j w e d i A

*E1 signo (-) se debe a que la y contrarias.

2012}

x son de direcciones

¡La FRee es directamente proporcional a la posición Xl K: constante de proporcionalidad. * En nuestro ejemplo, vemos que coincide con la constante de rigidez del resorte. No siempre será así. * La fuerza recuperadora es la tensión o comprensión de los resortes que se oponen a la fuerza externa o deformadora (F = Kx). O B SE R V A C IÓ N Ahora, sabemos que uno de los aspectos más importantes de la descripción de un determinado movimiento, es poder precisar la posición del móvil en cualquier instante de tiempo. Para este caso será necesario precisar la posición del bloque respecto de la *‘P.E."para cualquier instante de tiempo, y no sólo su posición, también su velocidad y aceleración.

Una alternativa es, hacer uso de ciertas “ herramientas” de matemática superior que permitan resolver este problema. Otra forma conveniente sería aprovechar la sincronización y periodicidad entre el m ovim iento circunferencial uniforme (M .C.U.) y el movimiento armónico simple (M.A.S.).

Veamos:

G—tz

FUERZA RECUPERADORA : Fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos elásticos , al ser estirados o comprimidos. EJEM PLO : Analicemos al bloque en un instante cualquiera de su movimiento: RE. -Ti

WMM f

mg

x=0

6 = 0° F ^ F

IHIÍII i p .p . N

A * Al hacer el diagrama de fuerzas, se determina que: Fr = Fd.. Rtc = F ^ - - K x * Como para este caso particular, en la “RE. "el resorte se encuentra sin deformar, entonces el módulo de la posición coincide con el de la deformación del resorte.

x=0

+A

i

• PROYECCIONES CON M*A*S; “ Al proyectar el “ M.C.U.” en un plano horizontal, Be concluye que: la proyección horizontal de M.C.U., es un M.A.S.”

BUS

759

|

ECUACIONES DEL MJL.S. A continuación definiremos las ecuaciones de la posición o elongación, velocidad, aceleración y período de una partícula que realiza un M.A.S. para lo cual analizaremos el movimiento de la proyección ortogonal (P) sobre el diámetro de la circunferencia, que describe un móvil “M ” que se mueve con un M.C.U. ( 0 = d e) de radio :R = A En el gráfico masa-resorte que realiza el M.A.S. se mueve o desplaza en torno a la posición de equilibrio (RE.) en donde: x = 0 , en consecuencia todos los desplazamientos se miden y medirán a partir de este punto. En la circunferencia su centro geométrico coincide con la R Exposición de equilibrio) y el ángulo de rotación ( 0) empezaremos a medirlo a partir de la vertical que pasa por este punto o posición.

ECUACIÓN DE L A POSICIÓN PARA EL MmAmSm A

ft\

o = cté

•Esta ecuación nos permite determinar la posición/*) del móvil en cualquier instante de tiempo (t), donde: A :Amplitud de oscilación, se expresa en "mMo "cm". -: Para el M.C.U., es la rapidez angular pero; para el M.A.S. se denomina: Frecuencia Cíclica y se expresa en (rad.}»). •Además: °> -~ jr= 2 x f -> Donde: * T : Período de oscilación * f : Frecuencia lineal de vibración * 0 : Fase inicial, su valor depende de las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial) se expresa en "rad".

ECUACIÓN D E L A VELOCIDAD PARA EL D*A»Sm Al igual que para determinar la Ecuación para la posición, se puede hacer una analogía con el “ M.C.U.” haremos lo mismo para determinar la Ecuación de la velocidad:

±iüt. VTCO8(0+ÜJÍ)

He . * Tomaremos como línea de referencia el diámetro que pasa por la posición de equilibrio (x = 0) * En la figura adyacente; " 3 "es la fase inicial que nos indica la desviación del cuerpo o partícula de su posición de equilibrio en el instante inicial; t =0 (inicio del movimiento). •Recordando que en el M.C.U. ( a = m t)f y del triángulo sombreado:

x = A s e n ( 0 t + 0)

A t= t

x *0

* En la figura después de un tiempo “ I” , el móvil tiene una velocidad tangencial 4tV T*\ mientras que su proyección que realiza el MA.S. tiene una velocidad

1 V = vt eos (&+ m t )

= 5

* Esta ecuación nos permite determinar la velocidad del móvil en cualquier instante de tiempo.

¡A

E N C irj.a i**:n iA 2012}

♦ Note del gráfico que: ^mas^ o x = - a x ^ á = - a cp sen (a + 0) ♦ Sabemos: a=mt ♦También: acp=m2R = co2A

v r+ ;

V (-)

♦ De la ecuación obtenida, se logra deducir que: V wm a s =Am 71 tt' 1

(En la nP .E .m )

♦Esta ecuación nos permite determinar la aceleración del móvil en cualquier instante de tiempo. ♦ De la ecuación obtenida se logra deducir que: a m a s = A a)2............ (en los extremos) a m in = 0 ................. (e n l a P .E .)

+Ao)

* Además recordando que: x= A sen (m t+ 0)

-Aü) Además, note del fcx que: eos (
~

* Reemplazando en la ecuación: V=m 4 a 2- x 2 ♦Esta ecuación sólo nos permite determinar el módulo de la velocidad (rapidez) conociendo la posición del móvil.

ECUACIÓN DE L A ACELERACIÓN PARA E L MJiJS. Debemos tener presente que siendo el “ M.C.U.” un movimiento donde la rapidez (V) no varía; entonces

la a

ton g*eia t = 0

P°r lo
« e.p.

..............A .............

♦ Se tendrá que: a = - m2x ♦ El signo (-) indica que d y x son de direccioi contrarias. tomando sólo módulos. ♦ Con esta ecuación podem os determ inar la aceleración , conociendo la posición del móvil.

DINÁMICA DEL M J1.S.

*")

a

'

La fuerza resultante ( F r ) que actúa sobre el cuerpo que realiza el M.A.S. se llama FUERZA RECU PERAD O R A. Señala hacia la RE. y su magnitud es directamente proporcional a la elongación. x a

•# PE.

R At=t RE. * Por la 2da Ley de Newton: F ¿ = má Fn = - mo)2x ♦Enla P .E .-> F r = 0

H o $ c iL A fJ o iH s s r i» /a .s .)

B 3

SISTEM A M A S A - RESORTE

K M U CIO XES HUKMÑOál 791 BBB O B S E R VA C IO N E S :

El resorte es de masa despreciable y es elástico. Efectúa el sistema un M A S . si el rozamiento es nulo. N = N o rm a l Fe=Kx

I U ja i

La energía total (E) es: • En el extremo: x = A »

(V=0)

Entonces:

\nlYOYiYOTiIíMíl’l M í RE.

W =P eso Fr = mo)2x

•En el punto de equilibrio: * = 0 y la velocidad es máxima: V17= 1wA

2 Luego : E = -m V m

K x = ma)2x PERIODO(T) : * =

2n

T=

• Por lo tanto, en cualquier punto del M.A.S. se cumple: (se conserva la energía total)

2x 0

FRECUENCIA ( f ) : f = - - > T

ASOCIACIÓN O CONEXIÓN

* Para recordar: (o, T y f sólo dependen de la masa del cuerpo y la constante elástica del resorte.

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA DEL M J l.S . VP= 0

DE RESO RTES Los resortes unidos a masas se pueden conectar a ella, de dos formas básicas: En Serie y en Paralelo. El conjunto de resortes es factible de ser sustituido por un solo resorte equivalente y cuya constante se denomina Constante Equivalente.

CONEXIÓN E N SERIE .»/

E m f e x tr e m o )

/ 'i

. « •

. •>

E mC

Gráfica

< >

E V sx

a) Puede apreciarse en el primer gráfico adjunto que, la tensión que soportan los resortes son iguales (T=Kx). Luego: a) b) El desplazamiento ( x j equivalente es igual a la suma de los desplazamientos de los resortes: (energía total)

.......................d i)

762 el PE.

CONSTANTE EQUIVALENTE (KJ

U

E iV fm o r tL T itl 2012}

Para determinarla reemplazamos (I) en (II): T T T T +— + K2

K

III) Usando

la

relación

trigonom étrica:

:S e n 2Q + C o » 2q = 1

* Simplificando:

S en (w t + 0 ) = *EN GENERAL:

(en serie)

(jjA

y de las relaciones:

x

C O N E X IÓ N E N P A R A L E L O Se deduce:

K3

TV) Cuando el movimiento se inicia en los extremos es conveniente usar la forma cosenoidal; y cuando se inicia en la PE. la forma senoidal.

O

EJEM PLO •^

■ ••••

P.E.

i)

t= 0

•MS+|£4-

+A

m

m

[ x = A C o s üj t j

ii)

а) En este caso la deformación (x) es igual en todos los resortes. б) La tensión equivalente (TJ es igual a: f x - —A C os ui t

Te = Tt +T 2 + T3

P.E. t= 0

Donde la tensión es una fuerza elástica (Kx) . i ii)

CONSTANTE EQUIVALENTE (KJ Esto se determinará reemplazando los módulos de las fuerzas elásticas (tensiones) en (a):

m

-A

K ex = K xx + K 2x + K 3x => K e = K 2 + K 2 + K 3

+A

^ x —ASenu) t ^

P.E. i t= 0

iv) EN GENERAL:

(en paralelo)

OBSERVACIONES : I) Si la referencia del desplazamiento angular esta en el extremo derecho se recom ienda utilizar las siguientes ecuaciones : x = ACos [w t+ 6 ) V ——LvASen{(jjt + 6 ) a = —uj2ACos(ut + 0) 27) Si la referencia al desplazamiento angular esta en

'M -A

+A * — - ASenu; t j

V) Recuerde en términos de desplazamiento angular. —rad

T I r —rad

[OSCMEACMONESl(9M*A~S~y Entonces, por ejemplo el caso anterior ( u ) se escribirá. —rad 2 extrem o

t=0

u¡t

i

RE.

-___ “

derecho

——

K O / C IO iV E S H U H W O M

* Cuando se realice el balance energético tener presente la definición de energía de oscilación * Sí oscila unido a un resorte.

r... i

:—

MI

iI

F obc. - F k + Epe oac.

—rad

2 2 • Si la referencia es el extremo derecho : +A X =

ACos(wt +7T / 2

2)

+7T /

• Si la referencia es la P E :

RE.

x —ASen{u>t +ir 12+ n 12)

MOVIMIENTO OSCILATORIO VERTICAL El análisis cinemático del M A S . se hará de modo similar al movimiento oscilatorio en la horizontal. La oscilación es en torno a la posición de equilibrio (PE.).

•A

•Al igual que en el movimiento horizontal en los extremos la Ep9oMC es máxima y en la RE. la Ejj es máxima.

9

1 +A

•La energía de oscilación no es la misma que la energía total del sistema; puesto que el bloque hasta la posición de equilibrio, deformo « $ » al resorte.

P.E.

0 -A

P É N D U L O S IM P L E Las ecuaciones a usar se escribirán; dependiendo donde está el referente angular. I)Si se mide respecto a la RE*

Es aquel sistema constituido por una masa de pequeñas dim ensiones suspendidas de un hilo inextensible y peso despreciable, que puede oscilar alrededor de su posición de equilibrio; con un movimiento que es aproximadamente un armónico simple.

y = ASen (u;t + 0 ) V = u>ACo8 (u?f + 0 ) a ——uj2ASen(u)t + 0) II) Si se mide respecto al extrem o positivo. y = ACos(u>t + 0 ) V = —ojASen(wt + 0) a = -u f 2ACos(u)t + 0) Recordar siempre (en caso de resortes) que en la posición de equilibrio,en la masa oscilante se cumple:

1

Ft = mg *

Kó = mg Ó : deformación inicial del resorte.

O I

1 ...I

O M A T E M Á T IC O

A este sistema se le denom ina: “ P é n d u l o Sim ple”

L/

V g ./

\V=0

_ •ya mg

RE*

* El movimiento pendular en realidad no es armónico sin embargo restringiendo la amplitud singular n$ n hasta 3°, podemos alcanzar posiciones por el orden del 99%

M

I J ENCJ€X.ortJ P lA 2012) demostrar que:

e \ tcr min o d t corrección

L /

♦ Para ángulos pequeños 0 < g ° el “ término de corrección"es prácticamente nulo y no lo tomamos en cuenta, con ello el error que se comete no excede ni siquiera el Í%.

vL

L E Y D E IS O C R O N IS M O í En el péndulo simple el período es independiente de la amplitud angular.

-x —

* Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, observemos que sobre la partícula que se mueve en un arco de círculo de radio “ L ", actúan el peso mg y la tensión “ T ” de lá cuerda, del gráfico adjunto se ve que: FT = - m g sen 0....................................( I ) ♦Donde el signo ( - ) se debe a que se opone al desplazamiento **x"

♦ Notar que para el cálculo del período no interviene la masa «m».

♦ Por la segunda Ley de Newton:

♦ El período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud (L)\ luego:

Ft = maT .

(I )

Si L:aumenta

♦ Considerando movimiento pendular « M.A.S

•T: aumenta *f: disminuye •La oscilación se hace más lenta.

(II ) ♦Igualando (I) y (II): at2x = g sen 6.................................................. (III) ♦ De la figura: x=Q L ............................. (IV)

Si g:aumenta

•T: disminuye •f:aumenta • La oscilación se hace más rápida.

♦ Se denomina pén d u lo b a te segundos a aquel péndulo cuyo p eríod o es dos segundos.

♦ Para amplitudes pequeñas: 0 ^ 15' ♦ Se cumple que: sen 0 * 0 ♦En (IV): x - LsenO........................

♦Respecto de la aceleración de la gravedad (g), cumple.

(IV)

En(II): a)1 { f i e ú O g p e f í O

♦Note que el período con el cual oscila un péndulo simple no depende de la masa de la esfera ni de el ángulo que forme la cuerda con la vertical, sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la aceleración de la gravedad. ♦ Si el ángulo " 0 " ya no es tan pequeña entonces el período de oscilación 6Í dependerá de" 0 Hy se logra

NOTA :

Una de las utilidades del “ péndulo" es que permite precisar el valor de la aceleración de la gravedad (g) en cualquier lugar del planeta. Además también es utilizado en minería con la finalidad de encontrar yacim ientos m ineros ya que debido a la gran concentración de minerales el valor de “ g " se verá afectado localmente.

ECUACIONES CINEMÁTICAS DE MOVIMIENTO PENDULAR Se deducen a partir de las ecuaciones del M A S.; por ello sus ecuaciones son análogas a la misma, pero con variables referidas al movimiento angular.

[O S C U tA C ia ¡m S U 9 M J k .S .>

760

E B IC IO X E S

H U B iÑ O $ j

♦Cuando se hace un análisis dinámico, la fuerza recuperadora apunta siempre hacia la posición de equilibrio. -fQmáx. S+Ówd» $ 9

*En la posición de equilibrio la velocidad angular es máxima. ♦En la posición extrema la aceleración angular es máxima. En la posición de equilibrio:

*$#

í>

L En la posición extrema:

=tA También: En el AfA.S:

♦ Para el balance energético, de modo análogo al M A S.; se hará en términos de su amplitud angular y su masa.

PERIODO D EL PÉNDULO SIMPLE EN UN SIST E M A ACELERADO

En el m ovimiento pendular: Si tomamos como referente angular la PE. e = e máx.Sen(u)t + )rad n = u £ máxC o 8(u>t + 4 ))r a d ! s at = —u;2OmáxSen(u:t + )rad 182 Donde: O: Desplazamiento angular de la masa pendular (rad). ¿7 : Velocidad angular de la masa pendular (rad/s). a : Aceleración angular de la masa pendular (rad/s9). Qméx. •Amplitud angular (rad). (jj: Frecuencia singular de oscilación (rad/s) Ángulo de fase inicial (ra d ); se mide en la circunferencia que se usa para el análisis cinemático del M AS. ,r j