Seminario Especial de Matemática
Semestral UNI
SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA SEMESTRAL UNI – 2010
Aritmética 1.
A) 11
B) 10
D) 8
C) 12 E) 14
Indique la secuencia correcta de veracidad (V) o falsedad (F) respecto a las
4.
siguientes proposiciones.
El resultado de dividir los términos de la fracción irreductible
I. Al simplificar [( A ∪ B c) ∩ ( Ac – B)] ∪ B,
abnb
30
en base n
es aea, 5( d + 1); y en la base siguiente
se obtiene A ∪ B.
II. Si n( A ∆ B)=1, entonces, n( A ∆ C )=1 )=1
es a00,
o n( B ∩ C )=1 )=1
( c − 1) ad . c
Calcule el valor de a+ b+c+ d + e. Si n
III. Si A ⊂ B c ∧ B ⊂ C c, entonces, C ⊂ Ac.
es par.
A) FVF
B) VVV
A) 22
B) 23
D) 24
C) VFF
C) 25 E) 20
D) FFF 5.
E) VVF
Un grupo de a obreros realiza el 50% de una obra en m días; otros b obreros,
2.
Se sabe que
50% más eficientes que los anteriores,
abc28 – 2cba8=(c –1)(c+1) d 38 y
hacen la tercera parte de lo que falta de la obra en n días. Si para concluir
abc= dexye n, además, b < c. Calcule el
la obra solo trabajan x obreros del se-
valor de a+ b+c+ d + x+ y+ n.
gundo grupo ( x < b), terminando lo
A) 25
D) 24 3.
B) 27
restante en 12 días, además, n posee 3
C) 28 E) 30
divisores, calcule
Si la cantidad de divisores compuestos
A)
de 4000 y abca(a+ b) están en la relación de 3 a 4, respectivamente, siendo
D)
dos de sus divisores primos del segundo numeral b y (a+ b). Calcule a+ b+c. –1–
x
6 m 18
B)
a b
6 m
.
C) E)
18
m
9 m
Academia
6.
César Vallejo
Fabiola tiene una letra que vence dentro de 10 meses, descontada al 10% bimestral. Si el ahorro que obtendría por liberarse de su deuda 6 meses antes de su vencimiento en lugar de 4 meses antes lo impusiera al 10% cuatrimestral al cabo de 10 meses se convertiría en S/.2100,25. Halle el valor nominal de dicha letra. A) S/.84 100 B) S/.1866 D) S/.18 401
7.
C) S/.16 802 E) S/.8401
De un grupo de 8 varones y 6 mujeres, dentro de los cuales se encuentran Mariano y Delia, se escogen a 3 varones y 3 mujeres; luego de esto se le hace una entrevista a cada uno de los elegidos por un lapso de 5 minutos. Si los que realizan la entrevista siempre la hacen intercalando el género de las personas, halle la probabilidad de que los dos últimos entrevistados sean Mariano y Delia. A) 1/48 D) 1/22
B) 2/9
Si hay 99 varones que ganan menos de S/.150 semanales, ¿cuál es la diferencia aproximada entre el salario promedio de los varones y mujeres?
A) 4,09
B) 1,46
D) 6,54
E) 4,48
Álgebra 9.
Si P( x)= x2+
2
2
1+ 3 e
x+ e
,
tal
que
x1 ∧ x2 son las raíces del polinomio,
entonces, determine el valor de P
( ) 3 x 1
−P
( ) 3 x 2
A) e
B) 1
C) 0
D) e2 − 1 10.
E) e − 1
Dadas las siguientes proposiciones respecto a la ecuación de incógnita x 3 x+8+ n2=6
C) 1/24 E) 3/16
C) 1,52
2
x− 1 +
2
n
x
indique la secuencia correcta de veracidad (V) o falsedad (F).
8.
La siguiente gráfica muestra los salarios semanales que tienen un grupo de obreros.
I. Es compatible para cualquier valor real de n. II. Es compatible determinado para un único valor de n.
Nº de obreros
III. Existe un n ∈ Q tal que la ecuación mujeres varones
148
presente solución.
n
A) VVV m
75% 0
B) FVF
50%
60%
C) VVF
80%
120 14 140 0 16 160 0 18 180 0 20 200 0
D) FFF
salario semanal (S/.)
E) FVV –2–
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Semestral UNI
11.
Si se tiene que f( x )
=x
2
A) 3 n+1
e x − e− x sgn 2
B) 3 n C) n( n –1)
halle la gráfica de f (1– x)+1.
D) n2 E) n( n+1)
Y
13.
A) X
Y
Determine la región en el plano complejo correspondiente al siguiente con junto. z −1 − 2 A= z− i ≥ 0 2 z − 1 − 1
B) Im
X
A)
1 Re
Y
–1
C) X
Im 1
B) Y
Re –1
D)
X Im
C) Y
0 –1
1
Re
E) X
Im
12.
D)
Dada la matriz
1 Re –1
0 A = −7 3
1 2
0
0 1 1
Im
calcule el valor de
1
E)
Re –1
n ( −1 )3 k Traz ∑ −11 A k=1 –3–
Academia
14.
César Vallejo
Dadas las siguientes proposiciones res-
A) e e –1
pecto a un problema de programación
B) e
lineal, indique la secuencia correcta de
C) elog e
veracidad (V) o falsedad (F).
D) log e e
I. La región factible siempre es un re-
E) e2 e
cinto convexo con un número finito
Geometría
de puntos extremos. II. Si la región factible es no acotada, entonces, la función objetivo alcan-
17.
recto en B. Se traza la altura BH , tal que
za su valor óptimo en un vértice.
la circunferencia inscrita en el triángulo
III. Si la región factible es acotada, enton-
BHC es tangente a AC en su punto me-
ces, el máximo y mínimo valor de la
dio. Si AO interseca a BH en E , BE =a y
función objetivo están determinados.
EH = b, calcule AB. (O: es el centro de la
circunferencia inscrita en BHC ). ).
A) FVF B) FFV
A) a+2 b
C) VFF
B) b+2a
D) VFV
C) 2(a+ b)
E) VVF 15.
D) 2a+3 b E) 2a – b
Si f ( x; y; z)=( x+ y) z ∧ x ≠ y ∧ { x; y; z} ⊂ Z+
está sujeta a las restricciones siguientes
2 x+ 3 y+ 5 z > 23 2 x− y+ 5 z < 13 y − z > 1 y < 4 halle el valor de f
x; y;
A) 8
18.
Del gráfico, ABCD es un rombo. Calcule m HC .
H
M 1 .
α
z
N
C) 2 E) 3
A
D
Se define la sucesión ( x n) como
A)
x n+1= x n+ e – n; n ∈ Z+ ∧ x1=2
B) 2a
halle el valor de convergencia de la
C) 3a
sucesión (a n) si se cumple que
D) 4a
log x n an
= − log
C
B
B) 1
D) 4 16.
Se tiene un triángulo rectángulo ABC ,
e
−1 e; si n ≥ 2 ∧ a1= e 2 e−1 e
–4–
E)
a
3α 2
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Semestral UNI
19.
En un triángulo ABC , de circuncentro O,
interseca a AC en M , tal que
BO
A) VFF
D) FVF
B) VVF
C) FFV E) FFF
OM = MC ; además, m MBC =q.
Calcule m ABO.
22. Del gráfico, se muestran un tetraedro
regular y un cubo. Calcule la razón de
A) 90º – 2 q
sus volúmenes.
B) 90º – 3q C) 90º – 4q D) 90º – q E) 2q 20. Se tiene un triángulo ABC , de ortocen-
tro H y circuncentro O, donde OB=a y ( BH )( )( HD)= b2 ( D es la intersección de
BH
A) B) C) D)
y AC ). Calcule OH . 2 2 a −b
2 2 b − 2a
21.
B)
2 2 a − 2b
C)
2 2 a +b
D)
2 2
E)
A)
a +b
2
E)
4
Indique la secuencia correcta de veracidad (V) o falsedad (F) respecto a
2 3 6 4
3 3 3 4 2 6
23. Se tiene un prisma regular ABCDEF -
los siguientes enunciados.
MNPQRS. Si la medida del diedro entre
I. Si una recta es perpendicular a un
las regiones MNPQRS y ABPS es 45º,
plano, entonces, cualquier recta que
calcule la medida del ángulo entre
pase por su pie será perpendicular a
y el plano MPR.
ella. A) 15º
II. Si dos rectas son paralelas a un plano, plan o, entonces, el plano determinado por
B) 53º/2
ellas será paralelo al plano inicial.
C) 37º/2 D) 30º
III. El ángulo triedro es un conjunto
E) 37º
convexo. –5–
BS
Academia
César Vallejo
24. Se tiene un cono, al cual se traza un
26. Si sen2 x= n
y
sen2 y= m, calcule
plano secante y paralelo a la base del
(cos( x+ y)+sen( x – y))2 en términos de
sólido. Si los sólidos parciales son equi-
m y n.
valentes, calcule la razón de alturas de dichos sólidos. A) D)
A) (1 – n)(1 – m) 3
1
B)
3
2
C)
3
1 3
E)
2 −1
B) (1+ n)(1+ m)
1 3
3
2
C) (1 – n)(1+ m)
2
D) (1 – m)(1+ n)
3
E) m2 n2
Trigonometría
27.
Del gráfico, calcule el área de la región sombreada si AB=6 y MN =4. =4.
25. Del gráfico, calcule
(4
5
− 5 )tanq+8
si T , A y B son puntos de tangencia,
M
además MN =1 =1 y RP RP=2. M N
2θ
A
θ
B
N
T A
A)
θ
R
B
P
B) A) 3
5
B) 2
5
C) 4
5
C) D)
2
(
21 + 3 u
(
21 + 3 u
(
21 + 2 u
(
97
+7
) u2
(
97
+7
) u2
3 4 3 4 3 2 3
)
2
)
2
)
2
D) 5 E)
E) 5 5
–6–
4 3
Seminario Especial de Matemática
Semestral UNI
28. En la circunferencia trigonométrica
30. Calcule el dominio de la función defi-
nida por
mostrada, halle ab en términos de q. Y
f ( x )
=
4 + arctan 3 − arctan( 2 x) 11 7 π 2arccos( sen 2arc cos(2 2 x ) − 3
arctan
(a; b)
3 1 1 1 A) − ; − − ; 2 2 4 4
X θ
1 1 3 1 B) − ; − − ; 2 2 4 4 A)
−
B)
−
1 1 1 C) − ; − − 2 2 4
{ }
cos θ 2
3 1 1 D) − ; − 2 2 4
senθ 2
C) – cosq
1 1 E) − ; − {0} 2 2
D) –senq E) senqcosq 31.
Resuelva la ecuación π
(tan α )arcsen x
29. Determine el rango de la función f ,
cuya regla de correspondencia es f( x) =
1 − 8 cos 2 xc co os2
=
(cot α)
2 (c (cot α)arcsen( x 2 )
Considere a constante.
x + tan x
A)
2π 3π si x ∈ ; . 3 4
B) A) − 3; 1 B) [0; 1] C) − 3; 0
–7–
3 3
3 3 ±
D)
−
E)
3
−
C)
D) [– 1; 1] E) − 3;
−
3 3 1 2
1 2
Academia
César Vallejo
32. En el gráfico se muestra una parábola
en el sistema X ’Y ’, ’, cuyo vértice es V y foco F . Halle la ecuación de la parábola en dicho sistema.
A) ( x '− 1)2
1 = − y '− 6
B) ( x '− 1)2
1 = 6 y '− 6
Y X '
Y ' V (1; (1;
C) ( x ' 1)2 −
1/6)
37º
8 7 F ; – 5 15
=
y'
1 −
6
D) ( x '− 1)2
1 1 = y '− 6 6
E) ( x '− 1)2
1 = −6 y '− 6
X
Lima, 10 de agosto de 2010
–8–
