Ficha de Trabalho - Método de Indução Matemática

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Matemática A – 11.º Ano

FICHA

DE

TRABALHO - MATEMÁTICA A – 11.º ANO MÉTODO

DE

INDUÇÃO MATEMÁTICA

“A demonstração é um ídolo aos pés do qual os matemáticos se torturam a eles próprios.” Sir Arthur Eddington

1. Mostre, utilizando o método de indução matemática, as seguintes igualdades: 1.1. 2  5  8  11 



2k  3 n   n , n  k 3 3



2 1  3  n , n  k 3 3

n

1.3.

 3n  1 

k 1

3n2  n , n  2

k 0



 2n1  2n  1 , n 

n

1.4.

2k   n 2  n , n 

k 1

n

1.5.

1.2. 1  2  4  8 

1.6. 6n  3n  2n , n 

1.7. 4n  n2 , n 

1.8. 3  5  7  9 

1.9. 64n  1  múltiplo de 9, n 

1.10. n!  nn , n 

1.11. 1 1  1  2   2  1  3   3  1 

1.12. 12  22  32  42 

 n2 

 n   n  1 

n  n  1 2n  1 6

n  n  1 n  2  3

 2n  1  n2  2n , n 

, n 

, n 

u  6 2. Considere a sucessão  un  definida por recorrência do seguinte modo  1 . un 1  un  2n  4, n  1

2.1. Determine u2 e u3 . 2.2. Utilizando o método de indução matemática, prove que un  n2  3n  2 , n  . v1  4  v definida por . Mostre, utilizando o método de indução  n 1  vn  vn 1  , n 1  2  matemática, que n  , vn  1 .

3. Considere a sucessão

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Ficha de Trabalho – Método de Indução Matemática – 1



4. Considere a sucessão  un  definida por u1  indução matemática, que n  , un  2 

2 n 1

3

16 9

 un 1 

4  un , n  . Mostre, utilizando o método de 3

.

5. Considere as sucessões  an  e  bn  de termos gerais an  2n e bn  n  1 . Mostre, utilizando o método de indução matemática, que an  bn , n  . 6. Considere a sucessão de números triangulares Tn  e a sucessão de números quadrados  Qn  , definidas respectivamente por: T1  1  Tn  Tn 1  n, n  2

Q1  1  Qn  Qn 1  2n  1, n  2

e

Na figura em baixo encontra uma representação dos números triangulares e outra dos números quadrados.

1

3

6

10

1

4

9

16

Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que: 6.1. Qn1  Tn1  Tn , n  6.2. Qn  n2 , n  6.3. Tn 

n  n  1 2

, n 

 w1  1  7. Seja  wn  a sucessão definida por  . Mostre, utilizando o método de indução matemática, wn  wn 1  1  2w , n  1 n  que n  , wn  0 .





 x1  4  8. Seja  xn  a sucessão definida por  . Mostre, utilizando o método de indução matemática, 3  2 xn xn 1  , n 1  3  que n  , xn  3 .

9. Seja  zn 

 z1  4  a sucessão definida por  . Mostre, utilizando o método de indução matemática, 1  zn 1  2 zn  1, n  1 n

1 que zn  4     2 , n  . 2 10. Usando o método de indução matemática, mostre que 2n  n , n  . *11. Considere a sucessão  un  definida recursivamente por u1  1  u2  2  un  un1  un2 , n  . n

1 5  Utilizando o método de indução matemática, mostre que un    , n  .  2 

12. Considere a sucessão  an 

a1  1  definida por recorrência da seguinte forma  2 an 1  3 an  1, n  1

Utilizando o método de indução matemática, mostre que: n

2 12.1. n  , an  3  3    . 3

12.2. n  , an  3 .

13. Seja  vn 

v1  4  a sucessão definida por  un2  2 , n  vn 1  3 

. Utilizando o método de indução matemática,

mostre que 1  un  2 , n  .

14. A sucessão

 wn 

2   w1  3 tem a seguinte definição por recorrência  . Mostre, 1 w  w  , n  IN n 1 n n 2  5n  6 

utilizando o método de indução matemática, que wn 


n 1 , n  . n2




b1  1  15. Seja  bn  a sucessão definida por  . Mostre, utilizando o método de indução matemática, bn bn 1  1  b , n  1 n  que n  , bn  0 .

16. Considere a sucessão  an 

a1  2  definida por recorrência da seguinte forma  . Utilizando o 2 an 1  3n  an , n  1

método de indução matemática, mostre que an 

**17. Considere a função f , definida em

3n  1 , n  . 3n 1

\ 1 , por f  x  

x . Utilizando o método de indução matemática, x 1

 1  n! , n mostre que a derivada de ordem n da função f é f    x   n  . n 1  x  1 n 1

18. Considere a sucessão de termos positivos  un  definida por u1  2

 un1  2  un , n  .

Utilizando o método de indução matemática, mostre que: 18.1.  un  é monótona crescente. 18.2. n  , un  2 . 19. Seja  vn  a sucessão de termos positivos definida por v1 

1 1  v n1   v n2 , n  . 4 4

Utilizando o método de indução matemática, mostre que: 19.1.  vn  é monótona crescente. 19.2. n  , vn 

1 . 2

20. Seja  bn  a sucessão definida por u1  1  u2  2  un1  método de indução matemática, que un 1  un   1


n 1



1 2

n 1

un  un1 , n  . Mostre, utilizando o 2

, n  .


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