FICHA 1 – MATEMÁTICA 5to Núcleo Común
2017
1) FUNCIONES POLINÓMICAS Definiremos una función polinómica de dominio y codominio Real a aquella cuya expresión analítica es de la forma: f(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, con an ≠0
indica el nombre de la función polinómica. f indica
es la variable independiente. x es
números reales a los que denominaremos coeficientes del polinomio. En particular al an an-1 ...... a2 a1 a0 son números an≠0 , le llamaremos coeficiente principal por ser el coeficiente del término de mayor grado.
Los exponentes de x son números naturales
Por ejemplo:
f(x) = 5x +1 es una función polinómica de primer grado. g(x) = -3x2 + 2x -7 es una función polinómica de segundo grado. 3 2 j(x) = 7x – 5x + 2 es una función polinómica de tercer grado. h(x)= - x4 + 5x3 + 2x es una función polinómica polinómica de cuarto grado.
Función polinomica nula: Consideramos un polinomio especial, al N (x) = 0, lo llamaremos polinomio nulo o cero. Podríamos escribir al polinomio N (x) = 0 x n+ 0 x 0 x n-1+ ......+ 0 x 0 x 2+ 0x 1+ 0. Ejemplo 1 : Las siguientes gráficas corresponden a polinomios de tercer grado. Estudiaremos en cada gráfico algunos de los conceptos ya vistos. Observemos la raíces, el signo y la ordenada cuando el gráfico corta al eje y.
1
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2017
2) FUNCIÓN POLINÓMICA DE TERCER GRADO Sea f:R→R, decimos que f es una función polinómica de tercer grado SI Y SÓLO SI f:f ( x ) = ax 3+ b x 2+ cx + d , (a≠0) con a, b , c y d números reales.
Ejemplo 2: A continuación se da la función de dominio y codominio Real tal que su forma es: p(x)= x3- 2x2- 5x + 6 Como ayuda te brindamos un bosquejo gráfico donde le faltan partes, ayúdate con una tabla de valores (realiza la tabla de valores del lado derecho de la gráfica) para completar la representación gráfica de la función.
A continuación completa con signos de + , - , o con un 0, la tabla según el comportamiento de las imágenes de f(x) f(-3)
f(-2,5)
f(-2)
F(-1)
F(0)
F(1)
F(1,5)
F(2)
F(2,8)
F(3)
F(√ 10)
Al calcular los valores numéricos de -2, 1 y 3, ¿cuánto da? Repasemos una definición importante para toda función. Def.: Raíz de una función polinomica: Es aquel número real para el cual su valor numérico es 0:
es un número real
es raíz de f(x)
f ( ) 0
Practica
I) Se considera la función polinómica f de 3er grado cuyas raíces son -1 , 1 y 2 , con a>0 y f(0)=2. a) Estudia el signo de la función. b) Realiza un bosquejo que represente la función. c) En el bosquejo y signo, investiga el signo de las imágenes de: f(-2) II) Se considera la función polinómica g de 3er grado cuyas raíces son -2 , 1 y 3 , con a<0 y g(0)= -6. a) Estudia el signo de la función. b) Realiza un bosquejo que represente la función.
2
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Teniendo en cuenta esta definición de raíz de una función polinómica realizaremos los siguientes ejercicios:
1) Hallar a sabiendo que 2 es raíz de la función polinómica g. g : g ( x)
3x 2 3x a
2) Hallar b sabiendo que -1 es raíz de la función polinómica h. h : h( x) x3 3x 2 bx 5
3) Hallar a y b sabiendo que la ordenada en el origen es - 4 ( o sea t(0) ) y que tiene raíz es 4 t : t ( x)
x
3
3 x2 bx a
4) Hallar a y b sabiendo que 2 y -1 son raíces de j, siendo j un polinomio de 3er grado j : j ( x) ax 3 2x 2 bx 6
5) Hallar m y n sabiendo que la función polinómica es de 3er grado y que una raíz es -3 f : f ( x) mx4 x3 3x 2 nx 12
Soluciones: 1) a= -6 2) b=7 3) a= - 4 y b= - 3 , 4) a=1 y b= -5 , 5) m=0 y n=4
3) RAÍCES EVIDENTES Algunas raíces para las funciones polinómicas se comportan de forma especial, para las raíces: 0, 1 y -1, encontraremos una forma particular de detectarlas. Dada la función polinómica f : f ( x) ax3 bx 2 cx d 1) ¿Qué condición debe de tener un polinomio para que el 0 sea raíz? (demostramos en clase aplicando definición de raíz) 2) ¿Qué condición deben de cumplir los coeficientes para que 1 sea raíz? (demostramos en clase aplicando definición de raíz) 3) ¿Qué condición deben de cumplir los coeficientes para que -1 sea raíz? (demostramos en clase aplicando definición de raíz) 4) ¿Si fuera un polinomio de grado n, las afirmaciones anteriores son válidas? En resumen:
Raíz evidente de una función polinómica: (completa)
0 es raíz si el término independiente es ……..
1 es raíz de un polinomio si la suma de los coeficientes es ………..
-1 es raíz de un polinomio si la suma de los coeficientes de los términos de grado …….. es igual a la suma de los coeficientes de gr ado …….. (al grado 0 se considera grado par)
Ejercicios: 1) Indica respondiendo SI O NO en el siguiente cuadro, si alguna de las siguientes funciones polinómicas presenta alguna raíz evidente, sin calcularlas previamente (usando lo visto anteriormente): Función polinómica ¿Tiene raíz 0? ¿Tiene raíz 1? ¿Tiene raíz -1? 2 3x 2 p( x) 5 x
q( x) 10x 2 10x z ( x) 4 x 3 3x 1
3
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2) Indica respondiendo SI O NO en el siguiente cuadro, si alguna de las siguientes funciones polinómicas presenta alguna raíz evidente, sin calcularlas previamente (usando lo visto anteriormente): Función polinómica ¿Tiene raíz 0? ¿Tiene raíz 1? ¿Tiene raíz -1? r ( x)
x
3
5 x 2 3x 9
( ) 3 x3 5 x2
s x
8
t ( x) x3 12 x 2 41x 30 ( ) 2 x3 x2 x
v x
EJERCICIOS DE OTRAS SUMATIVAS
SUMATIVA 5to H NOC. 2016 Ejercicio 1: i) Dado el gráfico de una función polinómica h de tercer grado, responde si son Verdaderas o Falsas las siguientes proposiciones JUSTIFICANDO: a) El coeficiente principal de la función h es positivo. b) Una de sus raíces es 0. c) La imagen de - 3 es positiva. ii)
Dado el signo de una función polinómica g de tercer grado: 0 0
-
+
-
-3
2
Realiza un bosquejo gráfico de g sabiendo además que la ordenada en el origen es - 6 y que g(1) = - 2 Ejercicio 2:
a) Halla el valor de m real, sabiendo que la función polinómica f tiene raíz - 2 f: f(x) = x 3 + mx2 + 2x – 4 b) Investiga si la siguiente función polinómica g, tiene raíces evidentes. Muestra todo tu procedimiento: g: g(x) = x3 + 4x2 – 5x
SUMATIVA 5to B NOC. año 2016 1er Sem Ejercicio 1: a) Bosqueja una función polinómica h de tercer grado conociendo: su signo: y que h (-2)= -1 0 0 0
+
-
-3
-
+
0
2
b) Halla el valor de k real, sabiendo que la función polinómica f admite raíz - 2
f:f(x)= x3 + 2x2 + kx + 2 Ejercicio 2:
a) Indica si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Falsas explicando cada una de tus respuestas. a) -2 es raíz de f:f(x)= 2x3 b)
- 7x + 2 g:g(x)= - 3x4 + 5x3- 2x2- x +1 tiene raíz evidente -1 4
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c) Dada una función polinómica de tercer grado cuyas raíces son -1, 2 y 3, y su coeficiente principal negativo. Puedo afirmar que la imagen de - 4 es negativa
b) Investiga si la siguiente función polinómica g, tiene raíces evidentes. Muestra todo tu procedimiento:
g: g(x) = - x3 + 5x2 + x - 5
4) ESTUDIO DE RAÍCES EN UN POLINOMIO DE TERCER GRADO Ejemplo 3: Las siguiente funciones polinómicas están expresadas en su descomposición factorial. En la expresión se pueden visualizar fácilmente la/ s raíces de cada una de ellas. Asociemos a sus respectivos gráficos i:
f ( x)
1 2
( x 2)( x 1)( x 3)
g ( x )
1 3
( x 1) 2 ( x 3)
h( x)
( x 1)3
j ( x)
1 2
( x 4)( x2 1)
Una propiedad importante y muy útil para calcular raíces en polinomios totalmente factorizados (expresados como factores) es la denominada Hanckeliana: A.B=0 sí y sólo si A=0 ó B=0 Sea f:f(x) = (mx 2+nx+p)(ax+b) con m≠0 y a≠0 Para hallar las raíces planteamos la ecuación: (mx 2+nx+p)(ax+b)=0 Y por propiedad Hankeliana: (mx2+nx+p)=0 ó (ax+b)=0 Las posibilidades de mx2+nx+p=0 son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales y ninguna raíz real. Por otra parte, la expresión: ax+b=0 puede tener una raíz real. En resumen: Vistos los ejemplos podemos deducir que un polinomio de tercer grado siempre tendrá al menos una raíz real . Ya que se puede formar como el producto de: un polinomio de grado 2 y un polinomio de grado 1. Nuestro polinomio de grado 2 puede tener: dos raíces reales y distintas, una raíz doble o ninguna raíz real.
Practica:
Sea la función f, f:R→R/f(x)=(x2+x-2)(x-2)
i) ii) iii)
¿Cuáles son las raíces de f? ¿Cuál es el signo de f? Hallar las imágenes (aproximadamente) para esta tabla de valores: ( usa tu calculadora científica para realizar los cálculos) x f(x)
5
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-1 0 0,5 1,5 Dibujar un gráfico aproximado de f (ayudándote con los valores anteriores, las raíces y el signo)
5) DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS Hemos visto en los repasos las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios. Quedó pendiente la división. Para eso recordemos la definición de división entera para números. Por ejemplo: 30/7 (en el pizarrón). Definición de División entre polinomios. Dados los polinomios A(x) (dividendo) y D(x) (divisor) con D(x) no nulo, existen el cociente Q(x) y el resto R(x) de la división A(x) por D(x) verifican: 1) A(x) D(x) . Q(x) + R(x) 2) El grado de R(x) es menor al grado de D(x) o R(x) N (x) (polinomio nulo) Utilizando el esquema tradicional de la división, tenemos: A(x)
D(x)
R(x)
Q(x)
Verifica: 1) A(x) D(x) . Q(x) + R(x) 2) El grado de R(x) es menor al grado de D(x) o R(x) es el polinomio nulo
Definición: En el caso que R(x) es el polinomio nulo, diremos que la división es exacta, que A(x) es divisible por D(x)
Ejemplo 4: i) Dados A(x)= 6x+8 , D(x)= x+2 Podemos observar planteando el esquema de división que: 6x+12 │ 2x+4 0
3
ii) Dados A(x)= x2 +3x, D(x)= x+3 Podemos observar que planteando el esquema nos queda: x 2 +3x │x+3 0
x
Verifiquen ambos casos con la definición. Observen el grado del Resto en relación al Divisor.
Ejemplo 5: Usemos un algorítmo para efectuar la división entera entre dos polinomios. 5x2 + 2x - 1 -5x2 - 5x 0
- 3x -1 3x + 3 0
+ 2
│x + 1
Divido 5x2 (término de mayor grado del dividendo) entre x (término de m ayor grado del divisor)
5x - 3 ubico el resultado cociente debajo del divisor. Reali zo 5x.(x+1) y escribo el o puesto debajo del término de igual grado del dividendo) (sumo término a término) (realizo el mismo proceso dividiendo -3x entre x) (efectúo la multiplicación -3.(x+1) y voy colocando el opuesto) (ya no puedo seguir porque el grado es menor que el divisor)
Verifiquemos que la división cumple con la definición: ¿5x2 + 2x - 1= (x+1)(5x-3)+2? Aplicando distributiva en el segundo
miembro y reduciendo llegamos a la igualdad. Practica: En cada caso, hallar el cociente y resto entre D(x) y C(x) (usando el esquema tradicional)
D(x) = x3 - 4x2 + 5x – 6
C(x) = x – 2
D(x) = -2x3 + 5x2 -7x + 4
C(x) = x2 - 1
D(x) = -x3 + 5x – 4
C(x) = x – 4 6
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6) ESQUEMA DE RUFFINI (Paolo Ruffini Italia 1765 – 1822) Luego de practicar divisiones con el esquema tradicional visto en el punto 5) nos adentraremos en el aprendizaje de un algoritmo más particular y sencillo, que permite encontrar el cociente y resto de una división entre polinomios. Este algoritmo, surge de la división tradicional entre un polinomio (de cualquier grado) y un divisor de primer grado cuyo coeficiente principal es 1, veamos: Ejemplo 6
│ x - 1
8x3 - 10x2 + 3x + 1 -8x3 + 8x2
8x2 - 2x + 1 (observemos que el grado del cociente es uno menor al del dividendo)
- 2 x2 + 3x + 1 + 2 x2 - 2x
.
+1 x + 1 -1x + 1 +2 Traslademos alguna información al siguiente esquema: en la primer fila ponemos los COEFICIENTES de cada término del polinomio (sin escribir la variable x). En la segunda fila comenzamos colocando el opuesto del término independiente del divisor (raíz del divisor), de esta forma nos aseguramos que una vez realizada la distributiva, sumamos el opuesto, con lo cual realizamos la resta indicada en el algorítmo tradicional de la división. 8 1 8
-10
3
1
8
-2
1
-2
1
2
En la tercer fila obtenemos los coeficientes del cociente cuyo grado es uno menor al dividendo (ordenados según las potencias decrecientes de x), y el resto de la división (que es el último número de esa fila). Nuestro cociente es: q( x) 8 x 2 2 x 1 Nuestro resto es: r(x)= 2 (un grado menor que el divisor) Practica:
1) Usando el esquema de Ruffini hallar en cada caso el cociente y resto entre D(x) y C(x):
2)
D(x) = x3 - 4x2 + 5x – 6
C(x) = x – 2
D(x) = -2x3 + 5x2 -7x + 4
C(x) = x + 1
D(x) = -x3 + 5x – 4
C(x) = x – 4
Dado el siguiente esquema:
P(x) R(x)
│D(x)
(D(x) no nulo)
Q(x)
a) Si el grado de P(x) es 5 y el grado de D(x) es 2. ¿De qué grado son Q(x) y R(x)? b) Relaciona P(x), D(x), Q(x), y R(x). c) Si el grado de D(x) fuera 3 y el grado de Q(x) es 3. ¿de qué grados son P(x) y R(x)?
7) HALLAR RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA DE TERCER GRADO O MÁS Hallar las raíces de funciones polinómicas es uno de los temas más importantes del curso. Con los polinomios de primer y segundo grado no hemos tenido inconvenientes para hallar sus raíces, pero en polinomios de tercer grado o más debemos buscar alguna estrategia. Mostraremos mediante ejemplos formas de hallar l as raíces en polinomios de tercer grado. 7
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Ejemplo 7 Hallemos todas las raíces de f ( x) x 3 2x 2 5x 6 Sabiendo que f(x) es divisible entre (x + 2). Nuestro dato adicional es que nuestro resto es 0. Planteando el algorítmo de Ruffini obtenemos que: 1 -2 -5 6 -2 1 Nuestro cociente es:
C ( x)
x
2
-2
8
-6
-4
3
0
4x 3
Y nuestro resto es: 0 Aplicando la definición de división entera de polinomios, tenemos que: f ( x) (x 2)( x 2 4 x 3) Aplicando la propiedad Hanckeliana para calcular raíces de f(x) tenemos que igualar su expresión a 0.
x 2 0 x 2 (raíz dato del ejercicio) ( x 2)( x 2 4 x 3) 0 4 (4)2 4.1.3 2 x 4 x 3 0 x 2.1 De esto último obtenemos que las raíces son: 3 y 1. Agregando la raíz 2, obtenemos todas las raíces de f. Pero está no es la única forma de hallar las raíces de un polinomio de tercer grado, también podíamos investigar si tenía raíces evidentes. A partir de este ejemplo, explicaremos un Teorema muy importante y útil para hallar raíces. Es el Teorema de Descartes: Teorema de Descartes (sólo enunciado, sin demostración) Un polinomio P(x) es divisible entre (x – α) ⇔ P(x) tiene raíz x=α Este operador matemático ⇔ implica que se cumple tanto la lectura directa (de izquierda a derecha) como la inversa (o indirecta) (de derecha a izquierda). Aplicaciones: i) Dado el polinomio f ( x) x
3
2x 2 5x 6
a) Sabiendo que f(x) es divisible entre (x-1), mostrar aplicando el teorema de Descartes que 1 es raíz. b) Sabiendo que 3 es raíz, mostrar aplicando el teorema de Descartes que f(x) es divisible entre x-3. ii) Dado a( x) x3 5 x2 mx 16 a) Halla m para que a(x) sea divisible entre (x+2) b) Con el valor de m hallado, encuentra todas las raíces de a. iii) Efectúa la división entre P(x)= x 3 – 5x2 + 9x -9 y Q(x) = (x-3). ¿Qué puedes afirmar sobre P(x) y Q(x)? iv) Dada f(x) = x 3 + ax2 - 8x +5, halla a sabiendo que 2 es raíz de f. v)
Dado t(x)= x3 - x2 + ax -10 , se sabe que es divisible entre x-2 . Halla el valor de a. Justifica.
8
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Otro teorema muy importante es uno que se desprende del teorema de Descartes, y se llama Teorema del Resto. Teorema del Resto (Sólo enunciado, sin demostración) El resto de dividir un polinomio P(x) entre otro de la forma (x- α) es igual al valor numérico del polinomio para x=α o sea P(α)=r.
Ejemplo 8: 1) Halla el resto de dividir H(x) entre (x-1) (aplicando el teorema anterior) 3 2 H ( x) x 3 x 2 x 6 . 2) Hallar el resto de dividir P(x)= x 3 - x2 + 11x -10 entre (x+2) usando el teorema del Resto.
8) EXPRESAR LA FUNCIÓN POLINÓMICA COMO FACTORES. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Ejemplo 10 Cuando hallamos todas las raíces de F ( x) x3 2 x 2 5 x 6 Estás fueron: 3, 1 y 2. Escribimos f como una descomposición entre dos factores: F ( x) ( x 2)( x
2
4 x 3)
Y este último lo podemos factorizar nuevamente como: (x-3).(x-1) , comprueba realizando la distributiva Entonces nuestro polinomio se puede escribir como
F ( x )
( x 2)( x 3)( x 1)
Teorema de Descomposición Factorial (sólo enunciado, sin demostración) Sea P(x) un polinomio de tercer grado P(x)=ax3 + bx2 +cx + d, y que tiene como raíces reales: α, β y δ. La descomposición factorial es P(x) = a.(x-α).(x-β).(x-δ) (a coeficiente principal de P). Si nuestro polinomio de 3er grado tiene una raíz doble y una sencilla, ¿se puede escribir su descomposición factorial? Si α = β la descomposición factorial es:
() = . ( − )2. ( − )
Si α = β = δ la descomposición factorial es: () =
. ( − )3
Si tiene una única raíz real α y el resto de las raíces son no reales (discriminante menor a 0) se escribe: () = . ( − ). ( 2 + + ) (no teniendo 2 + + = 0 raíces reales) Aplicación:
Sabiendo que una función polinomica h tiene raíces -1, 2 y 5, y que su coeficiente principal es 3. Escribe su descomposición factorial. 1)
Dado p(x)= 2x3 + 3x2 - 8x -12, halla la tercer raíz sabiendo que 2 y -2 son dos de sus raíces. Escribe su Descomposión Factorial.
2)
3)
Dada k(x)= 3x3 – (10+m)x – 4 – 6m i)
Halla m para que k(x) sea divisible entre (x-2).
ii)
Encuentra todas las raíces que admite k.
Dada h(x)= x3 + 2ax + b – a , halla a y b sabiendo que h(1) = 3 y que h(-2) = 6 (realiza este ejercicio de dos formas distintas, ¿qué teorema vincula estas dos formas?) 9
FICHA 1 – MATEMÁTICA 5to Núcleo Común 4)
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Escribe la descomposición factorial de las funciones polinómicas asociadas a los gráficos de la hoja 1 (si no puedes hallar el coeficiente principal llámale a)
5)
Escribe la descomposición factorial de las siguientes funciones polinomicas: p:p(x)= - 4x3 + 28x +24 q:q(x)= 2x3 + x2 -3x t:t(x)= -2x3 + 2x2 + 8x -8
6)
Estudia el signo de cada una de las funciones polinomicas del ejercicio anterior.
7)
Encuentra la expresión analítica de cada uno de los siguientes polinomios de tercer grado, a partir de los datos proporcionados. i) Q(0)= - 1 raíces: α = -3; β = 4; δ = 2 ii) α = 2 es raíz doble; P(1) = 3; P(0) = 8
ii
Ejemplos extraídos del Libro Matemática Núcleo Común 2do Bachillerato del Grupo ABBACARE Ed. Fin de Siglo, Montevideo 2014
EJERCICIOS EXTRA PARA PRACTICAR
1) Hallar a en la expresión analítica de la función p: p(x) = 2x 3 + ax2 – 7x + 13 , si la imagen de1 es 6. 2) Considera la función h: h(x) = 4x 3 + (3m – 1)x2 + (1 – 2m)x – 9. Hallar m sabiendo que h(2) = 1. 3) Sea la función T: T(x) = 2x 4 – 3x3 + ax2 – 5x + 1. Determinar a en los siguientes casos: a) Si T(2) = 0 b) Si –1/2 es raíz de T. c) Si T(-2) = 3. 4) Hallar a y b en el polinomio f(x) = x 3 + 2ax + b – a , para que f(1) = 3 y f( –2)=6. 5) * Hallar a y b en el polinomio P(x) = x3 + 2x2 + (a-1).x +2b , para que P(-2) = -5 y 2.P(1) – 1 = 13. 6)
** Dado el polinomio T(x) = x 3 + ax2 + 2x + 3b; determinar T(x) sabiendo que: 2T(-2) – 1= 33 y T(-1) – T(1) = 2 – a
7) a) Dado f(x) = 2x.(x 2 – 5x) + 2px + q – 1 ; determina p ; q y f(x) sabiendo que: f(1) = -240 ; f(x) es divisible por (x + 5) b) Determina todas las raíces de f(x) ; realiza un bosquejo del gráfico de f. 8) Dado P(x) = x3 + x2 - 4x – 4, determinar las raíces y su descomposición factorial, sabiendo que P(x) admite raíz x = 2 Estudia el signo de P(x) y representar su gráfico de forma aproximada. 9)
A) Considera el polinomio P(x) = 3x3 – x2 + ax + b
i) Calcula los valores de a y b, sabiendo que P(x) es divisible por (x – 2) y que el resto de dividir P(x) por (x – 1) es –10.
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FICHA 1 – MATEMÁTICA 5to Núcleo Común
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ii) Halla todas las raíces de P(x) y plantea su descomposición factorial o realiza un bosquejo del gráfico de la función asociada a P(x). B)
Utilizando el teorema del resto, calcula el resto de dividir P(x)=(x+2) 5 – (x+2)2 – 10
por (x+1). C)
Analiza la veracidad de la afirmación: “La suma de dos polinomios de tercer grado es otro polinomio de tercer grado”. Muestra ejemplos en tu justificación.
¿Dicha suma puede ser el polinomio nulo?, justifica.
11
