M´etodo eto doss Num´ Num´erico eri coss para para Ecuac Ecuacio ione ness en Derivadas Parciales Luis Ferragut Canals Mabel Asensio Sevilla
3 de septiembre de 2007
´Indice general
1. Espacios de Sobolev
6
1.1. 1.1. Noci Nocion ones es sobr sobree teor teor´´ıa de dist distri ribu buci cion ones es . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. El espaci espacioo de Sobole Sobolev v H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. 1.3. El espac espacio io H 01(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Un teorema de la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1. Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2. Caso B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. 1.5. Apli Aplica caci cion ones es del del teor teorem emaa de la traz trazaa . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Un resultado de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7. Los espac espacios ios de de Sobolev Sobolev H m(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Formulaci´ ormulaci´ on d´ ebil de problemas el´ıpticos
30
2.1. 2.1. Pro Problem blemaas variac riaciionales ales abst bstract ractoos . . . . . . . . . . . . . . . 30
− . 34 Problema de Neumann homog´eneo eneo asociado al operador operado r − + I d 37
2.2. Problema de Dirichlet Dirichlet homog´eneo eneo asociado al operador op erador 2.3.
2
´ INDICE GENERAL
2.4. Problema de Dirichlet Dirichlet no homog´ homog´eneo eneo asociado al operador op erador
−
40
2.5. Problema de Neumann no homog´ homog´eneo eneo asociado al operador op erador + I d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
−
2.6. Problema de contorno asociado a un operador el´ el´ıptico de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7. Un ejemplo sin unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8. Deforma Deformaci´ ci´ on on el´ astica astica de un s´ olido . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3. Aproximac Aproximaci´ i´ on on num´ erica erica mediante el M´ etodo etodo de Elementos Finitos 58 3.1. Aprox Aproxima imaci´ ci´ on variacional abstracta . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. Construc Construcci´ ci´ on o n de espa espaci cios os de Elem Elemen ento toss Fin Finit itos os . . . . . . . . . 61 3.2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. 3.2.2. 2. Concep nceptto de Elemento Finito nito . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.3. 3.2.3. Elemen Elementos tos Finit Finitos os de Lagrange Lagrange en un d simplex . . . . 65
−
3.2.4. 3.2.4. Un m´etodo etodo general general para construir construir a partir partir de un eleˆ toda una familia de elementos mento finito (Tˆ , Pˆ , Σ) finitos (T,P, (T,P, Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.5. 3.2.5. Construc Construcci´ ci´ on on de subespacios de H 1 . . . . . . . . . . . 76
4. An´ alisis alisis num´ um´ erico erico del M´ etodo etodo de Elemen Elementos tos Finito Finitoss
81
4.1. Resultados Resultados generales generales de de aproximaci aproximaci´ on o´n en en espac espacio ioss de Sobol Sobolev ev . 81 4.2. Aplica Aplicaci´ ci´ on on al an´alisis ali sis num´erico eri co del d el M.E.F M .E.F.. en proble pro blemas mas el´ el´ıptiıpt icos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3
´ INDICE GENERAL
5. Aspectos pr´ acticos y programaci´ on del M.E.F. 5.1. Un M´ etodo de Elementos Finitos para el problema de Poisson
96 96
5.2. C´ alculo de la matriz del sistema de ecuaciones y del segundo miembro: Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3. Un m´etodo general para el c´ alculo de matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4
´Indice de figuras
3.1. Ejemplo de triangulaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2. tri´ angulo de seis nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3. funci´on p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4. funci´on p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5. funci´on p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6. funci´on p4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7. funci´on p5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8. funci´on p6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1. Ejemplo de triangulaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2. Ejemplo de una funci´on base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3. funci´on λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.4. funci´on λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5. funci´on λ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.6. Triangulaci´ on del cuadrado [0, 1]
× [0, 1]
. . . . . . . . . . . . 103
5.7. Curvas de nivel de la funci´ on ϕ41 . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5
´ INDICE DE FIGURAS
5.8. Soporte de la funci´ on ϕ41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.9. Estrella asociada a la ecuaci´ on 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6
Cap´ıtulo 1 Espacios de Sobolev 1.1.
Nociones sobre teor´ıa de distribuciones
Sea Ω un abierto no vac´ıo de Rd.
Definici´ on: compacto en Ω.
D(Ω) es el espacio de funciones de clase C ∞(Ω) con soporte
Utilizaremos la siguiente notaci´ on para las derivadas en
D(Ω) y α = (α , . . . , α ) ∈ N 1
d
d
es un multientero, con α = α1 + . . . + αd ,
||
denotamos
∂ ∂ ϕ = ∂x 1 α
Pseudotopolog´ıa en
α1
∂ ... ∂x d
αd
∂ |α| ϕ ϕ = α1 ∂x 1 . . . ∂ xα2 d
D(Ω)
Definici´ on: si ϕn es una sucesi´on de
{ }
en
D(Ω): si ϕ ∈
D(Ω) diremos que
D(Ω) si:
l´ım ϕn = ϕ
n
→∞
1. el soporte de ϕn permanece en un compacto fijo K de Ω n, 2.
∀α ∈ N
d
se tiene convergencia uniforme, es decir, sup
∈Nd
x Ω,α
∈
α
α
|∂ ϕ (x) − ∂ ϕ(x)| −−− →0 →∞ n
n
7
∀
1.1. NOCIONES SOBRE TEOR ´ IA DE DISTRIBUCIONES
Definici´ on: Se denomina espacio de distribuciones sobre Ω, (Ω), al dual topol´ ogico de (Ω), es decir, el espacio de las formas lineales continuas sobre (Ω).
D
D
D
Pseudotopolog´ıa en
D(Ω)
{ } D(Ω) diremos que en D (Ω) si T , ϕ −−−→ T, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω). →∞ Definici´ on: si T n es una sucesi´on de n
l´ım T n = T
n
→∞
n
Ejemplos: 1. Delta de Dirac: Sea a Ω, la delta de Dirac en a, δ a se define δ a , ϕ = ϕ(a) ϕ
∈
2. Espacio de funciones L2 (Ω): Recordemos que L2 (Ω) = f : Ω
{
→ R medibles :
∀ ∈ D(Ω).
Ω
f 2 dx <
espacio de Hilbert con el producto escalar (f, g)0,Ω = la correspondiente norma asociada f
Ω
∞} es un
f (x)g(x)dx y
2
1/2
= f (x) dx . Adem´as D(Ω) es denso en L (Ω). A cada f ∈ L (Ω) le asociamos la distribuci´on T definida por: T , ϕ = f (x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω). La aplicaci´on L (Ω) → D (Ω) que asigna a cada funci´ on f la correspondiente distri2
f
0,Ω 2
f
Ω
Ω
2
buci´on asociada T f as´ı definida es inyectiva y continua. Derivaci´ on en el sentido de las distribuciones
Definici´ on: Sea T
∈ D(Ω) una distribuci´on, se define la derivada de
T respecto a xi en el sentido de las distribuciones,
∂T , ∂x i
como la siguiente
distribuci´on: ∂T ∂ϕ , ϕ = −T, ∂x , ∀ϕ ∈ D(Ω). ∂x De manera general, sea T ∈ D (Ω) una distribuci´ on y α ∈ N i
i
se define:
α
α
α
∂ T, ϕ = (−1)| |T, ∂ ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω). Propiedades: 8
d
un multientero,
1.2. EL ESPACIO DE SOBOLEV H 1 (Ω)
1. Si f
1
∈ C (Ω), su derivada cl´asica coincide con su derivada en el sentido
de las distribuciones, es decir, T ∂f = ∂x i
2. La aplicaci´ on
∂ ∂x i
∂T f . ∂x i
D(Ω) → D(Ω) es continua.
:
3. Una distribuci´ on es infinitamente derivable en el sentido de las distribuciones. (Ω) es continua α Nd . 4. La aplicaci´ on ∂ α : (Ω)
D
1.2.
→D
∀ ∈
El espacio de Sobolev H 1(Ω)
Sea f L2 (Ω) que puede ser o no derivable en el sentido cl´ asico, pero (Ω), podemos derivarla en el sentido entendida como distribuci´on, T f
∈
∈D de las distribuciones ∈ D(Ω), 1 ≤ i ≤ d. En general, esta distribuci´on no est´ a en L (Ω), pero si existe una funci´ on g ∈ L (Ω) tal que T = entonces podemos escribir g = ∈ L (Ω) en el sentido de las distribuciones, ∂T f ∂x i
2
2
∂f ∂x i
g
∂T f ∂x i
2
cumpliendose,
∂T f gϕdx = T g , ϕ = ,ϕ = ∂x i Ω
−
∂ϕ T f , = ∂x i
−
f
Ω
∂ϕ dx, ∂x i
∀ϕ ∈ D(Ω)
Definici´ on: Se llama espacio de Sobolev de orden 1 sobre Ω al espacio, ∂v { ∈ L (Ω), ∂x ∈ L (Ω), 1 ≤ i ≤ d}
H 1 (Ω) = v
2
2
i
donde las derivadas son en el sentido de las distribuciones. Se dota a este espacio del siguiente producto escalar,
d
(u, v)1,Ω =
(uv +
Ω
i=1
∂u ∂v )dx, ∂x i ∂x i
y la correspondiente norma asociada,
d
u
1,Ω
=
1/2 (u, v)1,Ω
2
u +
=(
Ω
9
(
i=1
∂u 2 1/2 ) dx) . ∂x i
1.2. EL ESPACIO DE SOBOLEV H 1 (Ω)
Teorema: H 1 (Ω) es un espacio de Hilbert con la norma
·
1,Ω .
Demostraci´on: Recordemos que un espacio de Hilbert es un espacio vectorial dotado de un producto escalar que es completo para la norma asociada, es decir, que toda sucesi´ on de Cauchy es convergente. Basta pues demostrar que en H 1 (Ω) toda sucesi´ on de Cauchy es convergente para la norma 1,Ω .
·
Sea vm ∞ on de Cauchy en H 1 (Ω), por lo tanto, m=1 una sucesi´
{ }
− − −−−−→ d
vm 21,Ω
v − n
lo cual implica,
=
2
vm) +
((vn
Ω
Ω
(
i=1
vm)2 dx
(vn
n,m 2
d ∂v n ∂v m i=1 ( ∂x i ∂x i )
Ω
Por lo tanto, las sucesiones vm ∞ m=1 y
{ }
∂v n ∂v m 2 ) )dx ∂x i ∂x i
→∞
dx
0 −−−−→ →∞ n,m
0,
0. −−−−→ →∞ n,m
∂v m ∂x i m=1
{ }∞
para i = 1, . . . , d, enten-
didas como sucesiones de L2 (Ω) son de Cauchy. Como L2 (Ω) es un espacio completo, estas sucesiones son convergentes en este espacio, es decir, existen funciones v y vi , 1 i d, en L2 (Ω), tales que,
≤ ≤
vn
v, −−−→ →∞ v , 1 ≤ i ≤ d. −−−→ →∞
n ∂v n ∂x i n
Basta demostrar que vi =
∂v , ∂x i
i
≤ i ≤ d, en el sentido de las distribuciones. Puesto que la inclusi´ on can´ onica de L (Ω) en D (Ω) es continua, la convergencia de las sucesiones en L (Ω) implica la convergencia en D (Ω), es 1
2
2
decir,
T vn
T , −−−→ →∞ T , 1 ≤ i ≤ d. −−−→ →∞
T ∂vn ∂x i
v
n
n
vi
Por otro lado, la continuidad de la derivada en el sentido de las distribuciones implica, ∂T vn ∂T v , 1 i d. ∂x i n→∞ ∂x i
−−−→
≤ ≤
10
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
Como adem´ as
∂T vn ∂x i
u ´ nico, entonces vi =
= T ∂vn , 1
n
∂x i
∂v ∂x i
1
≤ i ≤ d por ser v ∈ H (Ω), y el l´ımite es , 1 ≤ i ≤ d, en el sentido de las distribuciones.
Teorema: H 1(Ω) es separable, es decir, tiene una parte densa numerable. Demostraci´on: La demostraci´ on de este resultado se basa en las siguientes propiedades de los espacios separables: 1. el producto cartesiano de espacios separables es separable, 2. un subespacio cerrado de un espacio separable es separable. L2 (Ω) es un espacio de Hilbert separable, entonces el espacio producto (L2 (Ω))d+1 con la estructura hilbertiana producto es separable. Por otro lado, la aplicaci´on, J : v
→ (v, ∂x∂v , . . . , ∂x∂v ) 1
d
de H 1 (Ω) en (L2(Ω))d+1 es una isometr´ıa, puesto que, d
Jv
(L2 (Ω))d+1
=( v
2 0,Ω ) +
i=1
∂v ∂x i
2 1/2 0,Ω )
= v
1,Ω .
Identificando H 1(Ω) con J (H 1(Ω)), al ser este un subespacio cerrado del espacio separable (L2 (Ω))d+1, es separable, y por tanto H 1(Ω) es separable.
1.3.
El espacio H 01 (Ω) 2
1
D(Ω) es denso en L (Ω) y H (Ω) es un cierto subespacio de L (Ω). Nos preguntamos si D(Ω) es denso en H (Ω), en general NO, pero si Sabemos que
2
1
Ω = Rd entonces si es cierto.
11
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
Definici´ on: Se define H 01 (Ω) como la adherencia de decir, H 01 (Ω) =
Teorema:
D(Ω)
H 1 (Ω)
1
D(Ω) en H (Ω), es
.
D(R ) es denso en H (R ), es decir, H (R ) = H (R ). d
1
d
1 0
d
1
d
Demostraci´on: La demostraci´ on de este resultado se divide en dos partes: truncamiento y regularizaci´ on. Con la regularizaci´ o n demostramos que el espacio (Rd ) es denso en el espacio de las funciones de H 1 (Rd) con soporte compacto, y con el truncamiento demostramos que este espacio es denso en
D
H 1 (Rd ). 1- Truncamiento Queremos aproximar las funciones de H 1 (Rd ) por funciones de H 1 (Rd ) con soporte compacto. Para ello introducimos una funci´ on M
∈ D(R ) tal que: d
M (x) = 1 para x 1 0 < M (x) < 1 para 1 < x < 2 M (x) = 0 para x > 2
| |≤ || ||
Ahora, para todo n´ umero real R > 0, definimos la funci´on M R por: x x x1 xd M R (x) = M donde = ,..., . R R R R
∈ D(R ) dada d
∈ H (R ), la funci´on M ·v ∈ H (R ) y es de soporte compacto pues su soporte es el de M . Veamos ahora que M · v −−−→ v en H (R ) y →∞ 1
Entonces, si v
d
1
R
d
R
R
1
R
habremos concluido. Para ello tenemos que demostrar dos cosas:
1- M R v 2-
v · −−−→ →∞ · −−−→ →∞
R ∂M R v ∂x i R
en L2 (Rd ) en L2 (Rd ) para i = 1, . . . , d
∂v ∂x i
1- Tenemos que ver que M R v
0, en efecto, · − v −−−→ →∞ 0,Rd
R
2
M · v − v = (M · v − v) dx = | | (M · v − v) dx + | |≥ (M · v − v) dx 0 | |≥ (M · v − v) dx ≤ | |≥ v dx −−−→ →∞
R
0,Rd
x
R
x
R
R
2 2
Rd
12
R x
R
x
R
2
R
2
R
d
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
2- Calculemos
∂M R v ∂x i
· en el sentido de las distribuciones.
·
∂M R v ∂M R = ∂x i ∂x i
·
v + M R
∂v · ∂x
i
El segundo t´ermino evidentemente converge a 0 cuando R primer t´ermino. Tenemos que se tiene que l´ımR→∞ supx∈Rd
· Rd
∂M R v ∂x i
2
∂M R (x) ∂x i
∂M R (x) ∂x i
dx
|
1 ∂M x R ∂x i R
=
→ ∞. Veamos el , por tanto ∀i = 1, . . . , d,
= 0 . As´ı podemos concluir
≤ sup | ∂M ∂x
R 2
i
∈Rd
x
v 2 dx
Rd
0 −−−→ →∞ R
2- Regularizaci´ on Queremos demostrar que toda funci´ o n de H 1 (Rd ) con soporte compacto se puede escribir como l´ımite en H 1 (Rd ) de funciones v definimos una funci´ on ϕ
∈ D(R ) tal que: d
≥
∈ D(R ). Para ello d
ϕ 0 ϕ(x) = 0 si x > 1 ϕ(x)dx = 1 Rd
||
Ahora, para cada > 0, construimos la funci´ on ϕ ϕ (x) =
1 ϕ( x ) d
que verifica:
≥
∈ D(R ) definida por d
ϕ 0 ϕ (x) = 0 si x > ϕ (x)dx = 1 Rd
||
Consideramos la funci´ on regularizada v = ϕ v, es decir, v (x) =
ϕ (x
Rd
− y)v(y)dy
Como v y ϕ son de soporte compacto, v tambi´en es de soporte compacto. Por las propiedades del producto de convoluci´ o n y por ser ϕ que v es C ∞ diferenciable.
−
13
∈ D(R ) tenemos d
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
Por u ´ltimo, utilizando el resultado del lema que demostramos a continuaci´ on, tenemos: v v en L2 (Rd )
−−→ →
∂v ∂x i
Y as´ı tenemos que v
Lema: Si f
0
= ϕ
∂v ∂x i
−−→ → 0
∂v ∂x i
en L2 (Rd)
v en H (R ). −−→ → 1
∈ L (R ) ⇒ ϕ 2
d
0
d
f
f en L (R ). −−→ → 2
d
0
D(R ) es denso en L (R ), se puede considerar una f en L (R ) y escribir, ∈ D(R ) tal que f −−−→ →∞ d
Demostraci´on: Como d
sucesi´on f n
2
n
ϕ f
2
d
d
n
− f = ϕ f − ϕ f + ϕ f − f + f − f Tomando la norma · , ϕ f − f ≤ ϕ f − ϕ f + ϕ f − f + f − f
n
n
n
n
0,Rd
0,Rd
n 0,Rd
n
n 0,Rd
0,Rd
n
Por un lado, por las propiedades del producto de convoluci´ o n, y por ser ϕ 0,1,Rd = 1, tenemos,
ϕ f − ϕ
f n
0,Rd
= ϕ (f
− f ) ≤ ϕ 0,Rd
n
0,1,Rd
0 f − f −−−→ →∞ n 0,Rd
Por otro lado, obviamente, 0 f − f −−−→ →∞ 0,Rd
n
Por u´ltimo, multiplicando por
n
− − Rd
ϕ (x
y)dy = 1
(ϕ f n f n)(x) = Rd ϕ (x y)f n (y)dy f n (x) = ϕ (x y)f n (y)dy ϕ (x y)dyf n (x) = Rd Rd ϕ (x y)(f n(y) f n (x)dy = Rd |x−y|≤ ϕ (x y)(f n(y) f n (x)dy,
− − −
−
− −
−
−
−
tomando valor absoluto,
|(ϕ
f n
− f )(x)| ≤ | − |≤ |ϕ (x − y)||(f (y) − f (x)|dy ≤ | − |≤ |(f (y) − f (x)| | − |≤ |ϕ (x − y)|dy = | − |≤ |(f (y) − f (x)|
supy: x supy: x
n
x y
y
n
y
n
n
x y
n
14
n
n
n
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
|
Tenemos que supy:|x−y|≤ (f n (y)
|(ϕ
f n
− f (x)| −−− → 0 uniformemente, por tanto →∞ n
− f )(x)| −−− → 0 uniformemente. Adem´as ϕ →∞ n
y f n tienen soporte
compacto, luego su producto de convoluci´ on tambi´en tiene soporte compacto. Sea K = sopϕ sopf n , entonces,
|
∪
ϕ f n
Rd
2
− f | dx ≤ n
|ϕ | − |≤ sup
y: x y
(f n (x)
− f (x) n
| 2
1dx
K
−−→∞ −→ 0,
es decir, tambi´ en tiende a 0 el t´ermino que faltaba para completar la demostraci´on. ϕ f n f n 0,Rd 0.
− −−→∞ −→
Teorema (de prolongaci´on): Si v
1 0
∈ H (Ω), la funci´on v, prolongaci´on
de v por 0 en Rd Ω, es una funci´on de H 1 (Ω).
\
Demostraci´on: Para esta demostraci´ on utilizaremos repetidamente el teorema de prolongaci´ on de aplicaciones lineales continuas: Sea E un subespacio de un espacio normado E , con E denso en E , B un espacio de Banach y f : E B una aplicaci´ on lineal continua, entonces existe una prolongaci´ on
→ f : E → B lineal y continua. Sea ϕ ∈ D(Ω), evidentemente ϕ prolongaci´on de ϕ por 0 en R \ Ω es una funci´on de D (R ) pues ϕ en la frontera de Ω es 0. Por tanto ϕ sigue siendo de soporte compacto y C ∞ −diferenciable en todo R . Adem´as ϕ = ϕ provisto D(Ω) de la norma inducida por la de H (Ω). Por tanto, la siguiente
d
d
d
1
aplicaci´on es lineal y continua:
1,Rd
1,Ω
D(Ω) −→ D(R ) ⊂ H (R ) ϕ −→ ϕ d
1
d
Por otro lado, (Ω) es denso en H 01 (Ω), entonces utilizando teorema de prolongaci´on de aplicaciones lineales continuas, esta aplicaci´ on se prolonga a una aplicaci´on lineal continua,
D
H 01 (Ω) v
−→ H (R ) −→ v 1
15
d
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
Para concluir tenemos que ver que v es la prolongaci´on por 0 en Rd Ω. En efecto, sea ϕn una sucesi´ on de funciones de (Ω) que converge a v en H 01 (Ω), en particular converge en L2 (Ω). Por la continuidad de la aplicaci´ on
{ }
\
D
ampliada, ϕn converge a v en H 1 (Rd ) y tambi´en en L2 (Rd ). Entonces podemos extraer una subsucesi´ on ϕm que converja a v casi por todas partes en
Rd , y por tanto,
si x si x
{} \
∈ Ωse tiene que ϕ (x) = ϕ (x) → v(x) = v(x) ∈ R Ωse tiene que ϕ (x) = 0 → 0 = v(x) m
d
m
m
F´ ormula de Green para funciones de H 01 (Ω):
∂v u dx = ∂x i Ω
1 0
∀u, v ∈ H (Ω) se tiene
−
∂u vdx ∂x i Ω
∀i = 1, . . . , d
Demostraci´on: La demostraci´ o n de basa en la f´ o rmula de Green para funciones de (Ω) (integraci´ on por partes) y la densidad de (Ω) en H 01(Ω).
D
D
Por la densidad de (Ω) en H 01 (Ω), existen dos sucesiones un ∞ n=1 y vn ∞ (Ω) que convergen respectivamente a u y v en la norma de n=1 de H 1 (Ω), por tanto, i = 1, . . . , d,
{ }
D
D
{ }
∀
∂u n ∂x i n ∂v n ∂x i n
−−−→ →∞ −−−→ →∞
∂u ∂x i ∂v ∂x i
en L2 (Ω), en L2(Ω).
Aplicando la f´ormula de Green cl´ asica a las funciones de
∂v n un dx = ∂x i Ω
−
∂u n vn dx + Ω ∂x i
D(Ω),
unvn γ i ds
Γ
Como son funciones de soporte compacto, la integral sobre la frontera es nula, y pasando al l´ımite se concluye.
Definici´ on: Se define la siguiente seminorma sobre H 1 (Ω):
d
v
→ |v|
1,Ω
=(
(
i=1
16
Ω
∂v 2 1/2 ) dx) ∂x i
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
Esta aplicaci´ o n es s´ olo seminorma porque hay funciones de H 1(Ω) que no son nulas pero sus derivadas si lo son.
Teorema (Desigualdad de Poincar´ e): Si Ω es un abierto acotado de Rd , existe una constante C = C (Ω) > 0 tal que, d
∀v ∈
H 01 (Ω)
v ≤ C (Ω)( 0,Ω
i=1
∂v ∂x i
2 1/2 0,Ω )
Demostraci´on: Por la densidad de (Ω) en H 01 (Ω), basta demostrar este resultado para funciones v (Ω), luego tomando sucesiones convergentes queda demostrado v H 01 (Ω).
D
∈D
∀ ∈
Como Ω est´a acotado, podemos suponer que est´ a contenido en una banda x = (x , xd ), x = (x1 , . . . , xd−1 ), a xd b . Sea v (Ω) y v su prolon-
{
≤ ≤ } ∈D \ Ω. Obviamente v ∈ D(R ), y se tiene por la desigualdad
gaci´o n por 0 en Rd de Cauchy-Schwarz,
d
≤ | |≤ − ≤ − | | ≤ − | | | | ≤ − ≤ − − xd
v (x , xd) =
a
xd
∂ v (x , ξ )dξ ∂x d
a
∂ v 2 (x , ξ ) dξ ∂x d
xd
1/2
2
1 dξ
1/2
.
a
Tomando el cuadrado del valor absoluto, xd
v (x , xd ) 2
∂ v 2 (x , ξ ) dξ ∂x d
a)
(xd
a
∞ ∂ v 2 a) (x , ξ ) dξ, −∞ ∂x d
(xd
integrando respecto a la variable x , v (x , xd ) 2 dx
a)
(xd
Rd−1
Rd
∂ v 2 (x) dx, ∂x d
finalmente, integrando respecto a la variable xd , b
2
v (x , xd ) 2 dx dxd
v (x) dx =
Rd
a
Rd−1
1 (b 2
a)2
Rd
∂ v 2 (x) dx, ∂x d
obteniendo, v
2 0,Ω
= v
2 0,Rd
≤
1 (b 2 1 (b 2
−
a)2 a)2
2 ∂ v (x) dx = 12 (b ∂x d d ∂ v 2 1 i=1 ∂x i 0,Ω = 2 (b
Rd
e
e
17
a)2 a)2 v
∂ v 2 ∂x d 0,Ω 2 1,Ω .
− ||
e
1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)
b a 2
≤ | √ − | |v|
Tomando ra´ız cuadrada, concluimos v
0,Ω
1,Ω .
Observar que en la demostraci´ on anterior basta exigir que Ω sea acotado en una direcci´ on. Supongamos que Ω es acotado y definimos v tal que v(x) = 1, x
∀ ∈ Ω,
esta funci´ o n es de H 1 (Ω) pero no verifica la desigualdad de Poincar´e. Por tanto, podemos concluir el siguiente resultado:
Corolario: Si Ω es un abierto acotado de Rd , entonces H 01 (Ω) es un subespacio propio de H 1 (Ω), es decir, H 01 (Ω)
⊂ H (Ω). = 1
Corolario: Si Ω es un abierto acotado de Rd , entonces la seminorma es una norma sobre H 01 (Ω) equivalente a la norma inducida por decir, existen constantes C 1 y C 2 tales que C 1 v
≤ |v| ≤ C v 1,Ω
1,Ω
2
1,Ω
·
|·|
1,Ω ,
1,Ω
es
1 0
∀v ∈ H (Ω)
Demostraci´on:
1. Es evidente que C 2 = 1, en efecto,
≤ d
2 1,Ω
|v|
=
Ω
i=1
∂v ∂x i
2. Como Ω es acotado y v
2
d
∂v ∂x i
2
dx
v +
Ω
i=1
2
dx = v
2 1,Ω
1 0
∈ H (Ω), utilizando la desigualdad de Poin-
≤
car´e obtenemos C 1 = 1/ C 2(Ω) + 1 despejando de: d
v
2 1,Ω
= v
2 0,Ω +
i=1
∂v ∂x i
2
0,Ω
d
2
(C (Ω)+1)
18
i=1
∂v ∂x i
2 0,Ω
= (C 2 (Ω)+1) v
2 1,Ω
||
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
1.4.
Un teorema de la traza
Sea Γ = ∂ Ω, dada una funci´ on v la frontera Γ. Para d = 1, se tiene H 1 (I )
1
∈ H (Ω), queremos definir su valor en 0
⊂ C (I ), entonces como toda finci´on v ∈
H 1(I ) tiene un representante continuo en I , basta tomar el valor de este representante en los extremos del intervalo I para definir v Γ . Sin embargo,
|
para d 2, las funciones de H 1(Ω) no son en general continuas y hacen falta argumentos m´ as sofisticados para definir su valor en la frontera.
≥
Nuestro objetivo es estudiar si (Ω) es denso en H 1 (Ω), para as´ı poder prolongar por continuidad la aplicaci´ on γ 0 ,
D
γ 0 :
D(Ω) −→ v −→ ⇓ γ : H (Ω) −→ v −→ 1
0
C 0 (Γ) γ 0 v = v L2 (Γ) γ 0 v = v
|
Γ
|
Γ
y as´ı dar sentido al valor de las funciones v H 1 (Ω) en Γ. Esta aplicaci´on ´ TRAZA, y el valor de γ 0v de una funci´on prolongada se llama APLICACION
∈
v
1
∈ H (Ω) se llama TRAZA de v en Γ. D(Ω) ser´a denso en H (Ω) para Ω un abierto acotado de R 1
d
con frontera Γ suficientemente regular . Veamos cu´ ales son estas condiciones de regularidad suficientes.
1.4.1.
Caso A
Consideremos el caso m´ as simple, Ω = Rd+ donde Rd+ = x = (x , xd )
{
d
∈ R ,x
d
>0 .
}
Entonces, la frontera de Ω es el hiperplano Γ = x = (x , 0)
{
19
∈ R , x ∈ R − }. d
d 1
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
Teorema:
D (R
d) +
es denso en H 1(Rd+ ).
Demostraci´on: De nuevo, esta demostraci´ on se divide en fase de truncamiento y fase de regularizaci´ on. 1- Truncamiento Queremos aproximar las funciones de H 1 (Rd+ ) por funciones de H 1(Rd+ ) con soporte compacto en Rd+. La demostraci´ on es igual que en el caso anterior. 2- Regularizaci´ on Queremos demostrar que toda funci´ o n de H 1 (Rd+ ) con soporte compacto se puede escribir como l´ımite en H 1 (Rd ) de funciones v (Rd+). Se procede de nuevo mediante regularizaci´ on por convoluci´ on, pero en este caso se plantean algunas dificultades.
∈D
Sea v
∈
H 1(Rd+ ) con soporte compacto en Rd+ , para aplicar convolu-
ci´on necesitamos que sea una funci´ on ampliada de todo Rd y luego volver a restringir a Rd+ el producto de convoluci´ on. Sin embargo, si prolongamos por 0 a todo Rd , la funci´on prolongada no pertenece a H 1 (Rd ). Para resolver esta dificultad trasladamos la funci´ on. v
∈ H (R 1
d +)
Sea wh la siguiente funci´ on τ −h v = wh(x , xd) = v(x , xd +h), definida para
v en H (R ), para ≥ −h, y consideremos v = w | . Veamos que v −−→ → ello basta ver que v −−→ v en L (R ) y observar que τ − = (τ − v). → Para demostrar que v −−→ v en L (R ), por densidad, basta demostrarlo → para v ∈ D(R ). xd
h
h
h
Rd +
2
h
h
h
h
2
d +
0
∂v h ∂x i
d +
0
h
1
∂ ∂x i
h
d +
0
d +
∈ D (R
Sea v
d + ),
por tanto tiene soporte compacto dentro de Rd+ , luego
podemos ampliarla por 0 en Rd Cauchy-Schwarz, tenemos,
− τ −h v
v (x) = v (x , xd + h)
1 2 h dt 0
1/2
1 0
∂ v (x ∂x d
e
, xd
\R
d +
y la funci´on ampliada v
1 0
− v(x, x ) = h + th) dt ≤h d
1/2
2
20
(Rd ). Por
∈ D
∂ v (x , xd + th)dt ∂x d 1/2 2 1 ∂ v (x , x + th) dt d 0 ∂x d
e
e
≤
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
integrando el cuadrado en todo Rd ,
− ≤ ≤ || −−→ | − ≤ − −−→ − − 2
Rd
h2
1
y finalmente, siendo vh = τ −hv vh v
∂ v (x , xd + ∂x d 2 ∂ v (x) dx ∂x d
e e
τ −h v v (x)dx h2 Rd 0 1 e (x) 2 dx = h2 d ∂ v dt d ∂x d R R 0
0,Rd+
=
Rd +
Rd +
(vh v)2 dx =
2
th) dtdx = h2 v 21,Rd h
→0
0
, tenemos,
Rd +
(τ −hvh v )2 dx
Una vez que hemos demostrado que vh
Rd
−−→ → h
0
(τ −h vh v )2dx
h
→0
0
0 en H 1 (Rd+), podemos
limitar nuestro estudio a funciones v que son restricciones a Rd+ de funciones w
∈ H (R− ) y de soporte compacto. 1
d
h
∈ D(R− ) tal que ψ = 1 en el sopv y ψ = 0 cuando x ≤ −h/2. Naturalmente ψw ∈ H (R− ), se anula en un entorno de la frontera de Sea ψ
d
d
h
h
1
d
h
o n por 0 a todo Rd , ψwh , pertenece a H 1 (Rd ). Ahora ya Rd−h y su prolongaci´
estamos en condiciones de aplicar regularizaci´ on por convoluci´ on, por tanto,
−−→
existe una sucesi´ on de funciones ϕ ψw h tales que ϕ ψwh
→0
ψwh en
o n, a partir de un H 1(Rd ). Por las propiedades del producto de convoluci´ suficientemente peque˜ no, se tiene,
⊂ ⊂ | −−→ | −−→ | | ∈ D sopϕ ψwh
sopϕ + sopψwh
Rd−h
por tanto, tomando restricciones a Rd−h , ϕ ψwh
Rd −h
→0
ψwh en H 1(Rd−h ),
y tomando restricciones a Rd+ , ϕ ψw h
Rd +
donde naturalmente ϕ ψwh
→0
ψwh
Rd +
(Rd+)
Rd +
21
en H 1 (Rd+ ),
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
D (R
d) +
on v de Lema: Para toda funci´
v(·, 0)
0,Rd
∈ D (R
d ), +
Demostraci´on: Sea v integral,
|v(x, 0)|2 =
−
∞ ∂
0
∂x d
1
−
se tiene la desigualdad
≤ v
1,Rd+
por el teorema fundamental del c´ alculo
−
∞
|v(x, xd)|2dxd = 2
v(x , xd )
0
∂v (x , xd )dxd , ∂x d
utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
|v(x, 0)|2 ≤ 2
|
y la desigualdad 2ab
∞
v(x , xd )|2 dxd
0
≤a
2
|
∞ ∂v
1/2
0
∂x d
(x , xd)|2 dxd
1/2
,
+ b2 ,
|v(x, 0)|2 ≤
| ∞
| | ∂x∂v (x, x )| dx ,
v(x , xd ) 2 +
0
d
d
2
d
de modo que concluimos integrando en x ,
|
v(·, 0) = |v(x , x )| + | 0,Rd−1
d
Rd +
2
v(x , 0) 2 dx ∂v (x , xd ) 2 dxd ∂x d
Rd−1
|
|
≤ ≤ v
2 . 1,Rd+
Corolario (Teorema de la traza en Rd+ ): La aplicaci´on lineal continua
D (R
d +)
v
−→ D(R − ) ⊂ L (R − ) −→ v(·, 0) d 1
2
d 1
se prolonga por continuidad a una aplicaci´ on lineal continua H 1 (Rd+ ) v
−→ L (R − ) −→ v(·, 0)
∀ ∈ H (R ) v(·, 0)
verific´ andose adem´ as v
1
2
d 1
≤ v
1,Rd+ .
d +
0,Rd
1
−
22
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
1.4.2.
Caso B
Definici´ on: Un abierto Ω de Rd se dice que es 1-regular si es acotado y su frontera Γ es una variedad de clase C 1 de dimensi´on d 1.
−
Esto significa que existe un n´ umero finito de abiertos acotados θi de Rd , 0
≤ i ≤ I , tales que θ
0
est´a incluido en Ω, θi
I i=0
{ }
es un recubrimiento abierto
de Ω, y para todo i = 1, . . . , I existe una aplicaci´ on invertible de clase C 1 ϕi : x y = ϕi (x) de θi en B, bola abierta de Rd de radio 1, cuya aplicaci´ on
→
1 inversa ϕ− tambi´en es de clase C 1 y tal que i d +
d
∩ Ω) = B ∪ R = {y = (y, y ) ∈ R , |y| < 1, y > 0}, ϕ (θ ∩ Γ) = {y = (y , y ) ∈ R , |y | < 1, y = 0}. Diremos que {θ , ϕ } es un sistema de cartas locales que definen Γ. ϕi (θi
i
i
i
I i i=1
d
d
d
d
d
Vamos a demostrar el teorema de la traza para Ω Rd abierto 1-regular, pero tambi´en se puede generalizar a abiertos acotados con frontera de clase C 1 a trozos.
∈
La demostraci´ on se hace en varias etapas, a trav´ es de los siguientes lemas.
Lema 1: Si Ω es 1-regular, existe un operador P lineal continuo llamado on P : H 1 (Ω) de 1-prolongaci´ H 1 (Rd), tal que
→
1
∀v ∈ H (Ω)
Pv = v
casi por todas partes en Ω.
Demostraci´o n: Veamos primero el caso de Ω = Rd+ y luego por cartas locales y partici´on de la unidad lo extenderemos al caso de Ω un abierto 1-regular. Caso: Ω = Rd+ Si v
∈ D(R
d ), +
sea P v su prolongaci´ on por reflexi´on, P v(x , xd ) =
v(x , xd ) si xd 0 v(x , xd) si xd < 0
−
23
≥
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
P v es continua, est´ a en H 1(Rd ) y se tiene, ∂P v (x , xd ) = ∂x i
−
∂v (x , xd ) ∂x i ∂v (x , xd ) ∂x i ∂v (x , xd ) ∂x i
si xd 0 si xd < 0 y 1 si xd < 0
≥
− ≤i≤d−1 − √ de donde se deduce que P v = 2v que nos da la continuidad de la aplicaci´on P : D (R ) −→ D (R ) ⊂ H (R ). D (R
d) +
1,Rd+
d
d +
Como
1,Rd
1
d
es denso en H 1 (Rd+), esta aplicaci´ on se prolonga por conti-
nuidad a todo H 1 (Rd+ ), verificando que P v(x) = v(x) casi por todo Rd+ . Caso: Ω abierto 1-regular Sea αi I i=1 una partici´ on de la unidad subordinada al recubrimiento θi
{ }
es decir, αi
I i=1 θi
∈ D(θ ), ∀i = 0, . . . , I y i
= 1. Si v
I i=1 ,
{ }
1
∈ H (Ω), escribimos,
I
v=
αi v,
i=1
y para cada i = 0, 1, . . . , I definimos P (αi v) de modo que, I
Pv =
P (αi v).
i=1
Por un lado, P (α0v) = α0 v, prolongaci´ o n de α0v por 0 en Rd
lado, para i = 1, . . . , I , consideramos la funci´on wi B+ = B
{y ∈ ∂B
∩R
+ ; yd
d +.
Se tiene que wI
∈
\ Ω. Por otro = (α v) ◦ (ϕ− | ), donde i
i
1
B+
H 1 (B+) y es nula en un entorno de
> 0 , entonces podemos prolongar wi por 0 en Rd+
}
obtener una funci´ on wi a una funci´on wi
∈ ∈
\B
+
y
H 1 (R+ ), y ´esta a su vez prolongarla por reflexi´ on
H 1(Rd ) de soporte compacto en B. Finalmente, wi
◦ϕ
i
definido en θi se prolonga por 0 en Rd θi de modo que w on i ϕi es una funci´
\
◦
de H 1 (Rd ). De este modo definimos P (αi v) = w i ϕi para i = 1, . . . , I .
◦
Ahora es f´acil verificar que la aplicaci´ on v condiciones del lema.
24
−→
I i=0
P (αi v) verifica las
1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA
1
Lema 2: Si Ω es 1-regular,
D(Ω) es denso en H (Ω).
∈ H (Ω) y P v ∈ H (R ) su prolongaci´on a todo R . Como D (R ) es denso en H (R ) existe una sucesi´ on {w }∞ ∈ D(R ) tal que w −−−→ P v en H (R ). Sea v = w | , la sucesi´on {v }∞ es una →∞ sucesi´on de D (Ω) tal que v −−−→ v en H (Ω). →∞ 1
Demostraci´on: Sea v
d
d
n
1
1
1
d
d
d
n n=1
d
n
n
n Ω
n n=1
1
n
n
Para el tercer lema utilizaremos la siguiente notaci´ on dσ denota la medida superficial sobre Γ, inducida por la medida Lebesgue dx. As´ı definimos L2 (Γ) el conjunto de las funciones definidas sobre Γ medibles para la medida dσ y de cuadrado integrable, con la norma v
0,Γ
=
v 2 dσ 1/2.
Γ
De manera equivalente, utilizando la p` artici´o n de la unidad, podemos definir, L2 (Γ) = vΓ
{ → R,
1 (αi v) ϕ− i ( , 0)
2
d 1
· ∈ L (R − ),
◦
1
≤ i ≤ I }
con la norma I
[ v[ 0,Γ =
| |
1 (αi v) ϕ− i
◦
i=1
2 0,Rd
1
−
1/2
que es equivalente a la anterior, es decir, existen constantesC 1 y C 2 tales que C 1[ v[ 0,Γ v 0,Γ C 2 [ v[ 0,Γ .
| | ≤ ≤ | |
Lema 3: Si Ω es 1-regular, existe una constante C > 0 tal que
∀v ∈ D(Ω) γ v ≤ C v 0
1,Ω .
0,Γ
I i i=1 ,
Demostraci´on: Sea v
∈ D(Ω), utilizando la partici´on de la unidad {α } las funciones w = (α v) ◦ ϕ− , para 1 ≤ i ≤ I . Sea w
definimos en B+
i
i
i
1
i
su
prolongada por 0 a todo Rd+ . Seg´ u n el teorema de la traza en Rd+ , se tiene que wi ( , 0)
· ≤ w , y por las propiedades de α y ϕ , se deduce w ≤ C v . Finalmente, por la equivalencia anterior de normas, se
i 1,Rd+
0,Rd
1
−
i
1,Ω
i 1,Rd+
i
25
i
1.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE LA TRAZA
concluye,
I i=1
γ v ≤ C [|γ v[| = C ≤ C C = C v 0
0,Γ
2
2
0
0,Γ
I i=1
2
2 1/2 i
(·, 0) w
2 0,Rd
i
1/2
1
−
1,Ω
≤
El teorema de la traza es consecuencia directa de estos tres resultados.
Teorema (de la traza): Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces 1
D(Ω) es denso en H (Ω) y la aplicaci´on lineal continua γ : v → γ v = v| de D(Ω) en L (Γ) se prolonga por continuidad a una aplicaci´on lineal continua 0
0
Γ
2
de H 1 (Ω) en L2 (Γ), que denotamos tambi´en γ 0 , llamada aplicaci´on traza.
1.5.
Aplicaciones del teorema de la traza
F´ ormula de Green para funciones de H 1 (Ω) Denotamos por γ i la i-´esima componente del vector normal unitario exterior de Ω.
Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces u, v H 1 (Ω) se tiene, ∂v ∂u u dx = vdx + uvγ i dσ, i = 1, . . . , d . ∂x ∂x i i Ω Ω Γ
∀
−
∈
∀
Demostraci´on: Si u, v H 1(Ω), entonces existen sendas sucesiones un ∞ n=1 y vn ∞ (Rd ) tales que convergen respectivamente a u y v en H 1(Ω). n=1 en
∈
{ }
D Para u , v ∈ D(R ) es v´alida la f´ormula de Green, ∂v ∂u u dx = − v + u v γ dσ, ∀i = 1, . . . , d . ∂x ∂x n
{ }
d
n
n
n
i
Ω
Ω
n i
n
n n i
Γ
Se concluye pasando al l´ımite, puesto que por la continuidad de la aplicaci´ on traza, un Γ y vn Γ convergen respectivamente a u n y v n en L2 (Γ).
|
|
|
26
|
1.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE LA TRAZA
Caracterizaci´ on del espacio H 01(Ω) El teorema de la traza tambi´ en nos permite caracterizar de forma m´as sencilla el subespacio H 01 (Ω) de H 1 (Ω).
Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces H 01 (Ω) es el n´ ucleo de la aplicaci´on traza γ 0 : H 1 (Ω)
2
→ L (Γ), esto es, H (Ω) = {v ∈ H (Ω) : v | = 0} 1 0
Demostraci´on: Sea v
1
Γ
1 0 1
∈ H (Ω), entonces existe una sucesi´on {ϕ }∞
n n=1
de
v en H (Ω). Por la continuidad de la aplicaci´on traza, D(Ω) tal que ϕ −−−→ →∞ γ v en L (Ω). Como γ ϕ − γ v ≤ C ϕ − v , de donde γ ϕ −−−→ →∞ las funciones ϕ son de soporte compacto en Ω, entonces γ ϕ = 0 ∀n, y por n
0
n
0
n
0,Γ
n
1,Ω
0
n
2
0
n
n
0
n
tanto γ 0 v = 0 en Γ.
La demostraci´ on del rec´ıproco es m´ as delicada. Lo demostraremos para Ω = Rd+ , pues por cartas locales y partici´ on de la unidad se generaliza al caso Ω abierto 1-regular.
∈ {v ∈ H (R 1
Sea pues v
: γ 0 v = v( , 0) = 0 y queremos demostrar que
·
}
∈ D (R ). Buscamos una sucesi´ on {ϕ }∞ de funciones de D (R ) tal que ϕ −−−→ v →∞ v
∈ H (R
d +)
1 0
d + ),
d +
es decir, que se puede aproximar por funciones ϕn d +
n n=1
n
n
1
en H (v).
Sea v la prolongaci´ o n por 0 de v a todo Rd. Es f´acil ver que v
L2 (Rd ) y tambi´en
Obviamente v
∈ ∀ ∂ v ∂x i
e =
∂v , ∂x i
∈
∂v ∂x i
∈
L2 (Rd ), i = 1, . . . , d. Basta de-
∀
H 1(Rd ). En
i = 1, . . . , d y tendremos que v
∈ ∀ ∈D · ∀ − − −
mostrar que
H 1 (Rd ).
efecto, ϕ (Rd), aplicando la f´ormula de Green y teniendo en cuenta que v( , 0) = 0, tenemos que i = 1, . . . , d, ∂ v ,ϕ ∂x i
e
v,
=
∂ϕ ∂x i
=
{(x ,0),x ∈Rd } vϕγ i dσ =
1
−
Rd
Rd +
∂ϕ v ∂x dx = i ∂v ϕdx ∂x i
27
=
Rd +
Rd
∂ϕ v ∂x dx = i
∂v ϕdx ∂x i
=
Rd +
∂v ϕdx ∂x i
∂v ,ϕ ∂x i
−
1.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE LA TRAZA
Como en los casos anteriores, tenemos que hacer producto de convoluci´ on por una sucesi´ on regularizante, ϕ (Rd ), pero de nuevo el soporte de ϕ v puede estar fuera de Rd+. Para evitarlo nos trasladamos una magnitud h definiendo τ h v (x , xd ) = v (x , xd h). Ya demostramos que τ h v v y que
∈D
− −−→ ⊂ | −−→ | ⊂ −−→ | −−−−−→ | | ∈ D
Rd+ ,
adem´as sopτ h v
por tanto τ h v
Rd +
→0
Rd+ y como ya vimos ϕ τ h v
sop(ϕ τ h v )
cosas, ϕ τ hv
Rd +
→0,h→0
v
Rd +
v
Rd +
→0
1
en H
(Rd+ ).
→0
Por otro lado,
τ h v en H 1 (Rd ). Con ambas
en H 1 (Rd+ ), siendo ϕ τ h v
(Rd+) la
Rd +
sucesi´on buscada.
Construcci´ on de subespacios de H 1 (Ω) de dimensi´ on finita Otra aplicaci´on muy u´til es la construcci´ on efectiva de subespacios de dimensi´o n finita de H 1 (Ω). Sea Ω = N o n de Ω tal r=1 Ωr una descomposici´ que:
∪
Ωr es un abierto de Rd contenido en Ω con frontera Γr de clase C 1 , para todo r = 1, . . . , N , Ωr
∩ Ω = ∅ para r = s. s
C 0(Ω) tal que la restricci´on v Teorema: Sea v 1, . . . , N , entonces v H 1 (Ω).
∈ ∈
| ∈ Ωr
H 1 (Ωr ) r =
∀
Demostraci´on: Sea v C 0 (Ω) con v Ωr H 1 (Ωr ), r = 1, . . . , N . Evidentemente v L2 (Ω), veamos que tambi´en las derivadas en el sentido de las
∈
distribuciones vi
∈
∂v ∂x i
| ∈
∀
son tambi´en funciones de L2(Ω), i = 1, . . . , d. Definimos
2
∈ L (Ω) tal que v |
∀
∂v , ∂x i Ωr
| ∀r = 1, . . . , N , veamos que v = sentido de las distribuciones. En efecto, ∀ϕ ∈ D(Ω), se tiene, v dx = , ϕ = −v, = − v dx = − ϕdx − vϕγ dσ = ϕdx v ϕdx = v ϕdx = v , ϕ. Entonces ∈ L (Ω) y por tanto v ∈ H (Ω). i Ωr
=
i
∂v ∂x i N r=1 N r=1
∂v ∂x i
∂ϕ ∂x i
Ω
∂v Ωr ∂x i
Ωr
i
∂ Ωr
Ω
N r=1
∂ϕ ∂x i
∂ϕ Ωr ∂x i N ∂v r=1 Ωr ∂x i
i
i
i
2
1
28
∂v ∂x i
en el
1.6. UN RESULTADO DE COMPACIDAD
1.6.
Un resultado de compacidad
El siguiente resultado se llama teorema de Rellich, y ser´ a u ´ til para las sucesiones pues nos permite afirmar que en las condiciones del teorema de la traza, dada una sucesi´ on acotada en H 1 (Ω), podemos extraer una subsucesi´ on convergente en L2 (Ω).
Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces la inyecci´on can´ onica de H 1 (Ω) en L2 (Ω) es compacta, es decir, todo subconjunto acotado de H 1(Ω) es relativamente compacto en L2 (Ω).
1.7.
Los espacios de Sobolev H m (Ω)
Generalicemos la definici´ on del espacio de Sobolev H 1 (Ω).
Definici´ on: Para todo entero m orden m sobre Ω al espacio H m (Ω) = v
2
≥ 1 llamamos espacio de Sobolev de α
2
{ ∈ L (Ω), ∂ v ∈ L (Ω), |α| ≤ m},
dotado del producto escalar,
∂ α u∂ α v dx,
(u, v)m,Ω =
Ω
la norma asociada,
u
m,Ω
α m
≤
2
1/2
= (u, u)m,Ω =
∂ α u dx ,
Ωα m
≤
y la seminorma,
|u|
m,Ω
=
2
∂ α u dx ,
Ω α=m
Teorema: H m (Ω) es un espacio de Hilbert separable para la norma m,Ω .
29
·
1.7. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV H M (Ω)
La demostraci´ on es id´entica al caso m = 1.
Caso particular H 2 (Ω) Si Ω es 1-regular, se puede definir la traza de una funci´ on v
2
∈ H (Ω), γ v = v | . Por otro lado, si v ∈ H (Ω) entonces ∈ H (Ω), 1 ≤ i ≤ d, y por tanto tambi´en se pueden definir las trazas de estas funciones γ = |, 1 ≤ i ≤ d, que pertenecen a L (Γ). La funci´ on γ | es entonces una 0
∂v ∂x i
2
Γ
1
∂v 0 ∂x i
∂v ∂x i Γ
∂v i ∂x i Γ
2
funci´on de L2(Γ) por ser producto de una funci´ on de L∞ (Γ) y otra de L2 (Γ), y podemos definir la derivada normal, ∂v Γ = ∂γ
|
d
γ i
i=1
∂v ∂x i
|
Γ
como una funci´ on de L2 (Γ). Sea ∆u = u
2
d ∂ 2 u i=1 ∂x 2i
el Laplaciano de una distribuci´ on u. Entonces si 1
∈ H (Ω), se tiene para toda funci´on v ∈ H (Ω),
−
d
(∆u)vdx =
Ω
− i=1
∂ 2 u vdx = 2 Ω ∂x i
d
i=1
∂u ∂v dx Ω ∂x i ∂x i
− Γ
∂u vγ i dσ , ∂x i
de donde se obtiene la f´ ormula de Green generalizada.
Teorema: (F´ ormula de Green generalizada) Si Ω es 1-regular, para toda funci´on u de H 2(Ω) y toda funci´ on v de H 1 (Ω), se tiene:
−
(∆u)vdx =
Ω
→ − → − − ∇ ·∇ − u
vdx
Ω
Γ
∂u vdσ. ∂γ
Nota: para m > d/2 las funciones de H m(Ω) son continuas, en particular, si Ω es un abierto de R2 o R3 , entonces H 2 (Ω)
30
0
⊂ C (Ω).
Cap´ıtulo 2 Formulaci´ on d´ ebil de problemas el´ıpticos 2.1.
Problemas variacionales abstractos
Vamos a introducir un marco abstracto bien adaptado para problemas de contorno asociados a ecuaciones en derivadas parciales. Sean: 1. V un espacio de Hilbert sobre R de norma
· ,
× V → R continua, es decir, existe una ≥ ∀ ∈ V, a(u, v) ≤ M uv, y V -el´ıptica, es decir, existe una constante α > 0 tal que ∀v ∈ V, a(v, v) ≥ αv , 3. y una forma lineal L : V → R continua, es decir, ∀v ∈ V, |L(v)| ≤ L · v, donde L = sup ∈ 2. una forma bilineal a( , ) : V constante M 0 tal que u, v
··
2
L(v) v V,v =0 v
Consideramos el siguiente problema variacional: (P ) Hallar u
∈ V tal que a(u, v) = L(v) ∀v ∈ V
La existencia y unicidad de la soluci´o n de este problema nos la da el teorema de Lax-Milgram. 31
2.1. PROBLEMAS VARIACIONALES ABSTRACTOS
Teorema de Lax-Milgram: Si se verifican las condiciones 1, 2 y 3, el problema P tiene soluci´ on u´nica. Observar que si suponemos que la forma bilineal a( , ) es adem´as sim´etrica, entonces a( , ) es un producto escalar en V con norma asociada v E =
a(v, v)
1/2
··
··
, que es equivalente a la norma
· de V . En este caso, la exis-
tencia y unicidad de la soluci´on del problema (P ) viene dada por el teorema de Riesz-Frechet. Demostraci´on: Introducimos el siguiente operador, A : V u
−→ V −→ Au
definido por (Au,v) = a(u, v) v V donde ( , ) designa el producto escalar en V . Esta aplicaci´on est´ a bien definida pues fijado u, la aplicaci´on v a(u, v) es lineal y continua de V en R, y por el teorema de Riesz-Frechet se puede representar dicha aplicaci´ o n por un u´nico elemento de V que llamaremos Au.
∀ ∈
··
→
Evidentemente la aplicaci´ on A es lineal y continua por serlo a( , ), y adem´as verifica,
··
Au = sup ∈ (Av,v) ≥ αv
v V,v =0 2
a(u,v) v
≤ M u
Por otra parte, al ser L una forma lineal continua sobre V , aplicando de nuevo el teorema de Riesz-Frechet, existe un u´nico τ L V tal que v V se tiene L(v) = (τL,v).
∈
∀ ∈
Observar que esto define una biyecci´ on lineal, τ : V L
−→ V −→ τL
que es una isometr´ıa puesto que,
τ L =
(τL,v) L(v) = sup = L v v∈V,v =0 v∈V,v =0 v sup
32
2.1. PROBLEMAS VARIACIONALES ABSTRACTOS
Entonces el problema (P ) se puede escribir de la siguiente forma, Hallar u
∈ V tal que (Au,v) = (τL,v) ∀v ∈ V,
esto es, Hallar u
∈ V tal que Au = τL.
Para demostrar que este problema, en su ultima ´ versi´on, tiene soluci´ on u ´ nica utilizaremos el teorema de Punto Fijo de Banach para contracciones estrictas. Para ello, dado un ρ > 0 que elegiremos m´ as adelante de forma apropiada, escribimos nuestro problema de la siguiente forma, Hallar u
∈ V tal que u = u − ρ(Au − τL).
De este modo, tenemos definida una aplicaci´ on, T : V v
−→ V −→ v − ρ(Av − τ L)
cuyo punto fijo ser´ıa soluci´ on de nuestro problema. Para demostrar que esta aplicaci´on tiene un u ´nico punto fijo bastar´ a demostrar que es una contracci´ on estricta puesto que al ser V un espacio de Hilbert y por tanto completo, podremos aplicar el teorema de Banach que asegura en este caso la existencia de un u ´ nico punto fijo. En efecto, se tiene que, 2
2
T v − T v = v − v − ρ(A(v − v )) = v − v − 2ρ(A(v − v ), v − v ) + ρ A(v − v ) ≤ (1 − 2αρ + ρ )v − v 1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
luego para que T sea una contracci´ on estricta basta tomar ρ de modo que 1 2αρ + ρ2 < 1, y esto es cierto para 0 < ρ < 2α/M 2 .
−
Por tanto para cada ρ entre 0 y 2α/M 2 hemos demostrado que existe una soluc´on del problema (P ), veamos que esta es u ´nica independientemente del valor de ρ elegido. Supongamos que existen u1 y u2 dos soluciones de (P ), entonces, a(u1 , v) = L(v) a(u2 , v) = L(v) 33
∀v ∈ V, ∀v ∈ V.
2.1. PROBLEMAS VARIACIONALES ABSTRACTOS
Restando a(u1 u2 , v) = 0, v
∀ ∈ V , en particular, a(u −u , u −u ) = 0, y por la V -elipticidad de la aplicaci´ on bilineal, 0 = a(u −u , u −u ) ≥ αu −u . −
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
Por tanto u1 = u2 .
Cuando la aplicaci´ on bilineal a( , ) es adem´ as sim´etrica, el problema (P ) es equivalente a un problema de optimizaci´ on.
··
Teorema: Si se verifican las condiciones 1, 2 y 3, y adem´as a( , ) es ssim´etrica y verifica a(v, v) 0 v V , entonces el problema (P ) es equivalente al siguiente problema de optimizaci´ on,
··
≥ ∀ ∈
(Q) Hallar u donde J (v) = 12 a(v, v)
∈ V tal que J (u) = m´∈ın J (v) v V
− L(v).
Demostraci´on: Sea u soluci´on del prolema (P ). Sea v v = u, es decir, v = u + w con w = 0, entonces,
J (v) = J (u + w) = 12 a(u + w, u + w) 1 a(u, u) + a(u, w) + 12 a(w, w) L(u) 2 J (u) + a(u, w) L(w) + 12 a(w, w).
−
−
∈ V cualquiera con
− L(u + w) = − L(w) =
Como u es soluci´on de (P ), entonces a(u, w) = L(w), por otro lado a(w, w) 0, por tanto, 1 J (v) = J (u) + a(w, w) J (u), 2
≥
≥
y esto es cierto v
∀ ∈ V con v = u.
Veamos la demostraci´ on del rec´ıproco. Sea u soluci´o n del problema de optimizaci´on (Q), entonces v V y λ > 0,
∀ ∈
J (u) J (u + λ(v u)) J (u) 12 a(u + λ(v u), u + λ(v u)) L(u + λ(v u)) 2 J (u) 12 a(u, u) + λa(u, v u) + λ2 a(v u, v u) L(u) 2 0 λa(u, v u) + λ2 a(v u, v u) λL(v u) 0 λ2 a(v u, v u) + a(u, v u) L(v u).
≤ ≤
≤ ≤ ≤
− −
−
−
−
−
− − − − − − − − − − − − − 34
− λL(v − u)
´ 2.2. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
Tomando el l´ımite cuando λ
−
+
→→ 0 , tenemos, 0 ≤ a(u, v − u) − L(v − u). Como esta desigualdad es cierta ∀v ∈ V , podemos tomar v + u en lugar de u, de donde,
≤ a(u, v) − L(v), ∀v ∈ V, y de la misma forma, tomando−v en lugar de v, 0 ≥ a(u, v) − L(v), ∀v ∈ V, 0
de donde se deduce, a(u, v) = L(v),
∀v ∈ V.
2.2.
Problema de Dirichlet homog´ eneo asociado al operador
−
Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PDH1) Dada f
2
∈ L (Ω), hallar u definida en Ω y soluci´ on de, −u = f en Ω u = 0 sobre Γ
Supongamos que u es suficientemente regular de modo que la ecuaci´ on anterior tenga sentido, por ejemplo u H 2 (Ω), entendiendo las derivadas en el sentido de las distribuciones. Multiplicando la primera ecuaci´ o n por una funci´on test v H 01 (Ω) e integrando en Ω,
∈
∈
− uvdx =
Ω
fvdx.
Ω
35
´ 2.2. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
−
Utilizando la f´ormula de Green, teniendo en cuenta que v
− ∇ · ∇ uvdx =
u
Ω
|
Γ
= 0, tenemos,
vdx,
Ω
de modo que la ecuaci´on anterior queda,
∇ · ∇ u
vdx =
1 0
fvdx,
Ω
∀v ∈ H (Ω).
Ω
Esta ecuaci´ on tiene sentido aunque u no est´e en H 2(ω), basta con que u
∈
H 1 (Ω). Por otro lado, al ser u = 0 sobre Γ y por las propiedades de Γ tenemos que u
1 0
∈ H (Ω). As´ı podemos reemplazar el problema anterior por
´ VARIACIONAL O el siguiente, que recibe el nombre de FORMULACION ´ DEBIL, (PDH2) Dada f
2
1 0
∈ L (Ω), hallar u ∈ H (Ω) tal que,
∇ · ∇ u
vdx =
1 0
fvdx,
Ω
∀v ∈ H (Ω).
Ω
Teorema: El problema anterior tiene soluci´ on u ´nica. Demostraci´on: Basta demostrar que se verifican las condiciones del teorema de Lax-Milgram, siendo, V = H 01 (Ω), a(u, v) = Ω u L(v) = Ω fvdx.
∇ · ∇
vdx,
Evidentemente a( , ) es bilineal. La continuidad se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, en efecto,
··
∇ · ∇ ≤ ≤ a(u, v) =
Ω
d i=1
Ω
= u 1,Ω v
1,Ω
u
d ∂u ∂v i=1 Ω ∂x i ∂x i dx 1/2 d ∂v 2 dx i=1 Ω ∂x i
vdx =
1/2 ∂u 2 dx ∂x i
| | | | ≤ u v 1,Ω
1,Ω .
36
=
´ 2.2. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
−
La V -elipticidad se obtiene por la equivalencia de normas en H 01(Ω), por ser Ω acotado, ya que en este caso se verifica la desigualdad de Poincar´e, en efecto,
d
a(v, v) =
i=1
∂v 2 dx = v ∂x i
Ω
Ω
Ω
2 1,Ω .
→ R con L(v) = fvdx, es evidentemente lineal, fvdx ≤ f v ≤ f v , y por tanto conti-
Finalmente L : H 01 (Ω) y adem´as L(v) = nua.
2 1,Ω
| | ≥ αv
0,Ω
0,Ω
0,Ω
1,Ω
Comentarios: 1. Observar que evidentemente una soluci´ on del problema fuerte (PDH1) es soluci´on del problema d´ebil (PDH2). Rec´ıprocamente, si u H 01 (Ω) es soluci´on del problema d´ebil (PDH2), entonces podemos recuperar las ecuaciones de la formulaci´ on fuerte en el sentido de las distribuciones y el teorema de la traza. En efecto, como (Ω) es denso en H 01(Ω), tenemos que la ecuaci´ on de la formulaci´ on d´ebil tambi´en es cierta ϕ (Ω),
∈
D
D
∇ · ∇ u
ϕdx =
Ω
fϕdx,
∀ ∈
∀ϕ ∈ D(Ω),
Ω
que interpret´ andolo como productos de dualidad entre equivale a, u, ϕ = f, ϕ , ϕ (Ω),
D(Ω) y D(Ω),
∇ ∇ ∀ ∈ D
y aplicando la definici´ on de derivada en el sentido de las distribuciones,
−∆u, ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω). De este modo recuperamos la primera ecuaci´ on en el sentido de las distribuciones, ∆u = f, en (Ω),
−
en particular, como f
D
2
∈ L (Ω), se tiene, −∆u = f, en L (Ω), 2
37
´ 2.3. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
− + ID
y por las propiedades de las funciones de L 2 (Ω)
−∆u = f,
en c.t.p. de Ω.
Por u´ltimo, por las condiciones de la frontera del dominio, podemos aplicar el teorema de la Traza de modo que, al ser u H 01 (Ω), entonces u Γ = 0.
∈
|
2. Observar tambi´en que al ser la aplicaci´ on bilineal de este caso sim´etrica, el problema d´ebil es equivalente al siguiente problema de optimizaci´ on, Dada f
2
1 0
∈ L (Ω), hallar u ∈ H (Ω) tal que, J (u) = m´ın J (v) v V
∈
donde J (v) =
2.3.
1 2
− d i=1
Ω
∂v 2 dx ∂x i
Ω
fvdx.
Problema de Neumann homog´ eneo asociado al operador + Id
−
Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PNH1) Dada f
2
∈ L (Ω), hallar u definida en Ω y soluci´on de, −u + u ∂u ∂γ
= f en Ω = 0 sobre Γ
Supongamos que u es suficientemente regular, por ejemplo u H 2(Ω). Multiplicamos la primera ecuaci´ o n de (PNH1) por una funci´ o n test v
∈
H 1 (Ω) e integramos en Ω,
− uvdx +
Ω
uvdx =
Ω
38
fvdx.
Ω
∈
´ 2.3. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
Utilizando la f´ormula de Green, teniendo en cuenta que
− ∇ · ∇ uvdx =
Ω
u
∂u ∂γ Γ
|
− + ID
= 0, tenemos,
vdx,
Ω
de modo que la ecuaci´on anterior queda,
∇ · ∇ u
vdx +
uvdx =
Ω
fvdx,
Ω
Ω
1
∀v ∈ H (Ω).
Podemos reemplazar el problema anterior por la correspondiente FOR´ VARIACIONAL O DEBIL, ´ MULACION (PNH2) Dada f
2
1
∈ L (Ω), hallar u ∈ H (Ω) tal que,
∇ · ∇ u
vdx
Ω
uvdx =
Ω
fvdx,
Ω
1
∀v ∈ H (Ω).
Teorema: El problema anterior tiene soluci´on unica. ´ Demostraci´on: Se demuestra aplicando el teorema de Riesz-Frechet siendo, V = H 1 (Ω), a(u, v) = di=1 Ω L(v) = Ω fvdx.
∂u ∂v dx ∂x i ∂x i
+
Ω
uvdx = (u, v)1,Ω ,
donde como vimos antes L( ) es lineal y continua, y como la aplicaci´ on bilineal
·
a( , ) es directamente el producto escalar en H 1 (Ω), aplicando directamente el teorema de Riesz-Frechet, tenemos que el problema (PNH2) tiene soluci´ on u ´nica.
··
Comentarios: 1. Es evidente que una soluci´ o n del problema fuerte (PNH1) es soluci´on del problema d´ ebil (PNH2). Veamos en que medida una soluci´on del problema d´ebil (PNH2) es tambi´en soluci´ o n del problema 39
´ 2.3. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
− + ID
fuerte (PNH1). Si u es soluci´ on del problema d´ebil (PNH2), como (
D(Ω) ⊂ H Ω), se verifica,
∇ · ∇ u
ϕdx +
Ω
uϕdx =
Ω
fϕdx,
∀ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Interpretando las integrales como productos de dualidad entre (Ω), podemos escribir,
D
D(Ω) y
∇u, ∇ϕ + u, ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω), y como por definici´on de derivada en el sentido de las distribuciones u, ϕ = ∆u, ϕ , podemos recuperar la ecuaci´ on de la formulaci´on fuerte en el sentido de las distribuciones,
∇ ∇ −
−∆u + u = f De hecho, como f
en
D(Ω).
2
∈ L (Ω), se tiene, −∆u + u = f
en L2 (Ω).
Para recuperar la condici´ on de contorno se necesita cierta regularidad en la soluci´on. En efecto, si suponemos que u H 2 (Ω), tiene sentido integrar por partes en la ecuaci´ on de la formulaci´on d´ebil tenemos,
∈
−
( ∆u + u)vdx +
Ω
Γ
pero como ya hemos recuperado
Γ
Como u
fϕdx,
Ω
2
−∆u + u = f en L (Ω), entonces,
∂u vdσ = 0, ∂γ ∂u ∂γ Γ
2
∂u vdσ = ∂γ
1/2
∀v ∈ H 2
(Γ). 1/2
∈ H (Ω) entonces | ∈ L (Γ), y al ser H L (Γ), se tiene que | = 0 en L (Γ). 2
∂u ∂γ Γ
(Γ) denso en
2
Observar que para recuperar la condici´ on de contorno es imprescindible la hip´otesis de regularidad u H 2 (Ω).
∈
40
´ 2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
−
2. Al ser a( , ) el producto escalar en H 1(Ω), es sim´etrico, y tenemos la equivalencia del problema (PNH2) con el problema de optimizaci´on,
··
Dada f
2
1
∈ L (Ω), hallar u ∈ H (Ω) tal que, J (u) = m´ın J (v) v V
∈
donde J (v) =
1 2
− d i=1
Ω
∂v 2 dx ∂x i
+
Ω
uvdx
Ω
fvdx.
3. En el problema de Neumann las condiciones de contorno se recogen directamente en la formulaci´ on variacional, mientras que en el problema de Dirichlet aparecen en el espacio funcional elegido para resolver el problema.
2.4.
Problema de Dirichlet no homog´ eneo asociado al operador
−
Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PD1) Dada f de,
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H
(Γ), hallar u definida en Ω soluci´ on
= f en Ω u = g sobre Γ
−u 2
Supongamos que u
∈ H (Ω), multiplicamos la primera ecuaci´on de (PD1) por una funci´ on test v ∈ H (Ω) e integramos en Ω. Aplicando la f´ormula de 1 0
Green obtenemos que la funci´on u verifica,
∇ · ∇ u
Ω
vdx =
fvdx,
Ω
1 0
∀v ∈ H (Ω).
Esta formulaci´ o n no encaja en el marco abstracto del teorema de LaxMilgram puesto que u H 1 (Ω) con u Γ = g y v H 01 (Ω). Sin embargo, como
∈
|
41
∈
´ 2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
−
g H 1/2 (Γ), existe una funci´ on u0 H 1(Ω) tal que u0 Γ = g. Sea w = u u0 , entonces w Γ = 0, y si u es soluci´on de la ecuaci´ on anterior, entonces w lo es de la siguiente,
∈
∈
|
|
∇ · ∇ − ∇ w
vdx =
fvdx
Ω
1 0
u0
Ω
−
· ∇vdx, ∀v ∈ H (Ω).
Ω
De esta forma hemos trasladado el problema al caso homog´eneo, de modo que el problema variacional es, 2
(PD2’) Dada f
Ω
1/2
1 0
∈ L (Ω) y g ∈ H (Γ), hallar w ∈ H (Ω) tal que, ∇w · ∇vdx = fvdx − ∇u · ∇vdx, ∀v ∈ H (Ω)
donde u0
Ω
1
1 0
0
Ω
∈ H (Ω) con u |
= g. Resuelto este problema, la solucci´ on que buscamos es u = w + u0 . Por tanto, el problema variacional que realmente resolvemos es, (PD2) Dada f
0 Γ
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H ∇u · ∇vdx = u| = g
(Γ), hallar u
Ω Γ
1 0
∀v ∈ H (Ω)
fvdx,
Ω
1
∈ H (Ω) tal que,
on u ´nica. Teorema: El problema anterior tiene soluci´ Demostraci´on: Sea u0 H 1 (Ω) tal que u0 Γ = g y w soluci´on del problema (PD2’), veamos que w existe y es u ´ nica. Si demostramos que la siguiente aplicaci´on, R H 01 (Ω) v u0 vdx Ω
∈
|
−→ −→ ∇
·∇
es lineal y continua, estaremos en las condiciones del teorema de Lax-Milgram como en el caso homog´eneo. Evidentemente es lineal, la continuidad se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz y al hecho de ser u0 fijo, en efecto,
∇ · ∇ ≤ ≤ ≤ Ω
u0
vdx =
d i=1 Ω
= u0
∂u 0 ∂x i
d ∂u 0 ∂v i=1 Ω ∂x i ∂x i dx 1/2 2 d dx i=1
| | |v| ≤ |u | v 1,Ω
1,Ω
0 1,Ω
1,Ω
42
Ω
1/2 ∂v 2 dx ∂x i
=
´ 2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
− + ID
Por tanto tenemos, V = H 01 (Ω), a(u, v) = Ω u L(v) = Ω fvdx
∇ −· ∇ ∇
vdx, bilineal, continua y H 01 (Ω)-el´ıptica u0 vdx, lineal y continua. Ω
·∇
y por el teorema de Lax-Milgram existe una u´nica w H 01 (Ω) soluci´ on del problema (PD2’). Entonces u = w + u0 es soluci´on del problema (PD2), pero como la elecci´ on de u0 no es u ´ nica, tenemos que demostrar la unicidad de u.
∈
Sean u1 y u2 dos soluciones del problema (PD2), entonces se verifica,
∇ |∇ Ω u1 Γ Ω u2 Γ
|
u1 =g u2 =g
· ∇vdx = · ∇vdx =
Ω
fvdx,
Ω
fvdx,
1 0
∀v ∈ H (Ω) ∀v ∈ H (Ω) 1 0
restando las dos expresiones,
∇ Ω
(u1 tomando v = u1 C u1
· ∇vdx = 0, ∀v ∈ H (Ω)
− − | 1 0
− u ∈ H (Ω), resulta, 2
2 2 1,Ω
2 2 1,Ω
− u ≤ |u − u |
por tanto u1
2.5.
1 0
(u1 u2 ) u2 ) Γ = 0
2 2 1,Ω
−u
1
=
∇
(u1
Ω
− u ) · ∇u − u dx = 0, 2
1
2
= 0 en H 1 (Ω), luego u1 = u2 en H 1 (Ω).
Problema de Neumann no homog´ eneo asociado al operador + Id
−
Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: 43
´ 2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO AL OPERADOR
− + ID
(PN1) Dadas f de,
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H −u + u
= f en Ω = g sobre Γ
∂u ∂γ
Supongamos que u por una funci´ on test v Green obtenemos,
2
∈ H (Ω), multiplicamos la primera ecuaci´on de (PN1) ∈ H (Ω) e integramos en Ω. Aplicando la f´ormula de 1
∇ · ∇ − u
(Γ), hallar u definida en Ω y soluci´ on
vdx +
Ω
uvdx
Ω
Γ
∂u vdσ = ∂γ
1 0
fvdx,
∀v ∈ H (Ω).
Ω
El correspondiente problema variacional o formulaci´ on d´ebil es, (PN2) Dadas f
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H
(Γ), hallar u
∇ · ∇ u
Ω
vdx +
uvdx =
Ω
fvdx +
1
∈ H (Ω) tal que,
gvdσ,
Ω
Γ
1
∀v ∈ H (Ω).
on u ´nica. Teorema: El problema anterior tiene soluci´ Demostraci´on: La demostraci´ on es como en el caso homog´eneo, aplicando el teorema de Riesz-Frechet donde, V = H 1 (Ω), ∂u ∂v a(u, v) = di=1 Ω ∂x dx + i ∂x i L(v) = Ω fvdx + Γ gvdσ.
−→ −→ ·∇ Ω
uvdx = (u, v)1,Ω ,
Basta demostrar que la siguiente aplicaci´ on es lineal y continua, H 1 (Ω) v
R
Γ
gu 0
vdσ.
Evidentemente es lineal, veamos la continuidad, que se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, al teorema de la traza y al hecho de ser g fijo, en efecto,
≤ gvdσ Γ = g 0,Γ v
1/2
g 2 dσ Γ C g 0,Γ
v 2 dσ Γ v 1,Ω
≤ 44
0,Γ
1/2
=
2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN
Por tanto, estamos en condiciones de aplicar el teorema de Riesz-Frechet que nos asegura la existencia y uniicidad de la soluci´ on.
2.6.
Problema de contorno asociado a un operador el´ıptico de segundo orden
Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. Sea V un subespacio cerrado de H 1 (Ω) tal que, H 01 (Ω) Sean ai,j , 1
≤ i, j ≤ d y a
0
1
⊆ V ⊆ H (Ω).
funciones medibles y acotadas en Ω, es decir,
funciones de L∞ (Ω). Definamos la siguiente aplicaci´on, a( , ) : V V u, v
··
×
−→ R −→ a(u, v) =
Ω
d i,j=1
∂u ∂v ai,j ∂x + a0 uv dx j ∂x i
que es una forma bilineal y continua en H 1 (Ω) H 1(Ω). Supongamos que ai,j , 1 i, j d y a0 verifican las hip´otesis de elipticidad:
≤
≤
×
1. Existe un n´ umero real α > 0 tal que, d
d
∀ξ ∈ R ,
ai,j (x)ξ i ξ j
i,j=1
2
≥ |ξ | ,
c.t.p. en Ω.
2. Existe un n´ umero real α0 tal que,
∀x ∈ Ω, a (x) ≥ α , 0
0
c.t.p. en Ω.
De estas hip´ o tesis se deduce que a( , ) es V -el´ıptica si α0 > 0. Cuando
··
V = H 1(Ω) la condici´ on α0 > 0 es necesaria y suficiente para que la forma bilineal a( , ) sea V -el´ıptica. Por el contrario, cuando V = H 01 (Ω), para que
··
45
2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN
la forma bilineal a( , ) sea V -el´ıptica, basta que α0 0, o incluso es suficiente que α0 > C 2α(Ω) , donde C (Ω) es la constante de la desigualdad de Poincar´e.
−
··
Finalmente, sea f
≥
2
∈ L (Ω) y definamos, L(·) : V −→ R v −→ L(v) =
que es lineal y continua en V .
Ω
fvdx
Definamos el siguiente problema, (PV) Dadas a( , ) y L( ) definidas sobre V como antes, hallar u tal que,
··
·
a(u, v) = L(v)
1
∈ H (Ω)
∀v ∈ V.
Si la forma bilineal a( , ) es V -el´ıptica, el teorema de Lax-Milgram nos da la existencia y unicidad de la soluci´on de (PV).
··
Veamos como recuperar el problema fuerte a partir de esta formulaci´ on variacional. Si elegimos una funci´ on ϕ (Ω) en lugar de v V , utilizando las reglas de derivaci´on en el sentido de las distribuciones, obtenemos,
∈D
∈
a(u, ϕ) = Au,ϕ ,
donde A es el operador diferencial el´ıptico de segundo orden con coeficientes variables definido por, d
Au =
−
∂ ∂u ai,j + a0 u. ∂x ∂x i j i,j=1
Por otra parte, L(ϕ) = f, ϕ . Por tanto, se verifica la ecuaci´ on en derivadas parciales de segundo orden, Au = f
en el sentido de las distribuciones sobre Ω. Pero como f L2 (Ω), entonces la distribuci´on Au L2 (Ω), y la igualdad anterior es cierta en L2 (Ω), y en consecuencia, Au(x) = f (x) c.t.p. en Ω.
∈
∈
46
2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN
Teniendo en cuenta que Au = f a(u, v) =
2
∈ L (Ω), deducimos tambi´en,
Auvdx
∀v ∈ V,
Ω
relaci´on que tenemos que traducir en t´erminos de condiciones de contorno. Para esto es para lo que necesitamos suponer que la frontera Γ de Ω es de clase C 1 a trozos, es decir, que estamos en las condiciones del teorema de la traza. Supongamos adem´ as que las funciones ai,j , 1 i, j d son funciones de C 1 (Ω) y que u
1
∈ H (Ω), por tanto las funciones
≥
d j=1
≥
∂u ai,j ∂x ,1 j
≤ i ≤ d,
pertenecen a H 1 (Ω). Entonces, aplicando la f´ ormula de Green generalizada, tenemos que u
2
− Ω
= =
1
∀ ∈ H (Ω) y ∀v ∈ H (Ω), Auvdx = − frac∂∂x a d i,j=1
Ω d ∂u i,j=1 ai,j ∂x j frac∂v∂x i dx Ω ∂u a(u, v) vdσ, Γ ∂γ A
donde el operador
∂ ∂γ A
d i,j=1
=
asociada al operador A.
− ∂u i,j ∂x j
vdx + + Ω a0 uvdx Γ i
Ω
a0 uvdx = d ∂u i,j=1 ai,j ∂x j γ i vdσ =
ai,j ∂x∂ j γ i se denomina derivada conormal
Por lo tanto, despejando, a(u, v) =
Auvdx +
Ω
Γ
∂u vdσ, ∂γ A
por lo que podemos deducir que,
Γ
∂u vdσ = 0, ∂γ A
∀v ∈ V.
Observar que si las hip´ otesis de regularidad no se verifican, la derivada conormal no tiene sentido. En resumen, la soluci´ on u de (PV) verifica:
u V, Au = f en Ω, a(u, v) = Ω Auvdx
∈
47
∀v ∈ V,
2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN
donde esta u´ltima ecuaci´ on, en condiciones de regularidad suficientes se puede sustituir por, ∂u vdσ = 0, v V. Γ ∂γ A
∀ ∈
Veamos que problema fuerte estamos resolviendo seg´ un la elecci´ on de V . ´ 1. V = H 01 (Ω) PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO El problema resuelto es,
⇒
En este caso α0
≥0oα
0
Au = f en Ω, u = 0 sobre Γ. α > C −2(Ω) es suficiente para que el problema
variacional tenga soluci´ on u´nica. ´ 2. V = H 1 (Ω) PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO El problema resuelto es,
⇒
Au = f en Ω, ∂u = 0 sobre Γ. ∂γ a
En este caso es necesario suponer α0 > 0 para que el problema variacional tenga soluci´ on u´nica. 3. V = v H 1 (Ω); v = 0 sobre Γ0 El problema resuelto es,
{ ∈
} ⇒ PROBLEMA MIXTO
Au = f en Ω, ∂u u = 0 sobre Γ0 , ∂γ = 0 sobre Γ1 , a
∪
donde Γ0 y Γ1 son dos partes de la frontera Γ tales que Γ = Γ0 Γ1 y con interiores disjuntos. La aplicaci´ on composici´ on de la aplicaci´ on traza H 1 (Ω) L2(Γ) y de la
→
aplicaci´on restricci´ on de L2(Γ) sobre L2(Γ0 ) es evidentemente continua de H 1 (Ω) en L2 (Γ0 ). Es sencillo comprobar que V es un subespacio cerrado de H 1 (Ω) y por lo tanto espacio e Hilbert con la norma inducida 48
2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN
por la de H 1 (Ω). Si suponemos que α0 > 0 entonces la aplicaci´ on bilineal a( , ) es V -el´ıptica y el correspondiente problema variacional tiene soluci´ on u´nica. Este resultado se puede generalizar al caso α0 0 si suponemos que Ω es conexo y la parte de la frontera con condiciones de tipo Dirichlet Γ0 , tiene medida no nula, pues en este caso la V -elipticidad de la aplicaci´ on bilineal a( , ) es consecuencia del siguiente teorema.
··
≥
··
Teorema: Si Ω es un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos y Γ0 una parte de la frontera de medida superficial no nula, entonces la seminorma 1,Ω induce una norma sobre el espacio
|·| V = {v ∈ H (Ω); v = 0 sobre Γ } equivalente a la norma · 1
1,Ω .
0
Demostraci´on: Veamos que la siguiente aplicaci´ on es una norma sobre V ,
−→ R v −→ |v | V
1,Ω
=
Basta demostrar que si v
d i=1
∂v 2 ∂x i 0,Ω
1/2
∈ V es tal que |v| = 0 entonces v = 0. En efecto, si |v | = 0 entonces = 0 en Ω, ∀i = 1, . . . , d, por tanto v es constante en Ω en virtud de su conexidad, pero como adem´as v | = 0, 1,Ω
∂v ∂x i
1,Ω
Γ0
entonces v = 0 en Ω. Veamos ahora la equivalencia de las normas, es decir, que existen dos constantes C 1 y C 2 positivas tales que v V ,
∀ ∈ C v ≤ |v | ≤ C v 1
1,Ω
1,Ω
2
1,Ω .
Evidentemente, la segunda desigualdad es cierta para C 2 = 1. La primera desigualdad se deduce por reducci´ on al absurdo. Supongamos que esta desigualdad no es cierta, entonces n entero positivo, existe una funci´on wn V tal que wn 1,Ω > n wn 1,Ω . Sea vn = wn/ wn 1,Ω , as´ı obtenemos unan sucesi´ on vn V tal que vn 1,Ω = 1 y vn 1,Ω < 1/n.
∈
{ }⊂
∀ | |
| |
Por el teorema de Rellich, la inyecci´ on can´ onica de H 1 (Ω) en L2 (Ω) es compacta, por tanto, podemos extraer una subsucesi´on convergente vµ convergente en L2 (Ω),
{ }
vµ
v −−−→ →∞ µ
49
en L2(Ω).
2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD
Pero tenemos que vµ se tiene
∂v µ ∂x i
0, por tanto para i = 1, . . . , d, | | < 1/µ −−−→ →∞ < 1/µ −−−→ 0, es decir, . Luego v es constante en Ω →∞ 1,Ω
µ
∂v ∂x i
µ
y como v Γ0 = 0, entonces v = 0 en Ω, pero esto no es posible porque v 1,Ω = l´ımµ→∞ vµ 1,Ω = 1.
|
Ejemplo:Problema
´ n de transmimixto asociado ala ecuacio
´ n de calor. sio
Consideremos el problema de la determinaci´ on de la distribuci´on de la temperatura u de un cuerpo que ocupa una regi´on Ω del espacio Rd , siendo d = 1, 2 o´ 3. En f´ısica e ingenier´ıa se conoce con frecuencia la temperatura de una parte Γ0 de la frontera de Ω, y en el resto de la frontera Γ1 , se conoce sino el flujo de calor, una relaci´on que liga ´este con la temperatura en Γ1, que suele ser una condici´ on de transmisi´on de calor por convecci´ on en la frontera y que depende de un coeficiente h de convecci´ on. Las ecuaciones que rigen este fen´ omeno son,
−
d ∂ i,j=1 ∂x i d i,j=1
−
∂u K i,j ∂x = f j ∂u K i,j ∂x γ i = h(u j u =g
− u∞)
en Ω sobre Γ1 sobre Γ0
∈ L∞(Ω) es el tensor de conductividad, que se supone el´ıptico, es decir, existe una constante α > 0 tal que − K ξ ξ ≥ α|ξ | ∀ξ ∈ R . Si donde K i,j
d i,j=1
i,j i j
2
d
K = kI d, se dice que el medio es is´otropo, es decir, el calor se transmite igual en todas direcciones. h L∞ (Γ1 ), es el coeficiente de convecci´ on, u∞ L2 (Γ1 )
∈
es la temperatura ambiente, f es la temperatura en Γ0 .
2.7.
2
1/2
∈ L (Ω) es la fuente de calor y g ∈ H
(Γ0 )
Un ejemplo sin unicidad
Observemos el problema de Neumann asociado al operador de Laplace, 50
2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD
(P1) Dadas f de,
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H −u ∂u ∂γ
(Γ), hallar u definida en Ω y soluci´ on
= f en Ω = g sobre Γ
En caso de que tenga soluci´ on, ´esta no ser´ıa u´nica pues cualquier soluci´ on m´as una constante ser´ıa tambi´en soluci´ on. En el caso no homog´eneo podemos caracterizar el conjunto de soluciones. Razonemos desde el punto de vista f´ısico de la ecuaci´ on del calor, u representa la temperatura de un cuerpo, f L2 (Ω) son las fuentes volum´ etricas
∈
de calor, y g L2 (Γ) las fuentes superficiales de calor. Estamos buscando una soluci´ on estacionaria, es decir, independiente del tiempo, pero si el aporte global de calor al cuerpo es positivo (resp. negativo), la temperatura del mismo aumentar´ a (resp. disminuir´ a) con el tiempo y por tanto la soluci´ on no ser´ıa estacionaria. Luego parece un requisito indispensable para que nuestro problema tenga al menos una soluci´ on, que el aporte global de calor sea nulo, lo que matem´aticamente se expresa,
∈
fdx +
Ω
gdσ = 0
Γ
El correspondiente problema variacional, procediendo como de costumbre, es, (P2) Dadas f
2
1/2
∈ L (Ω) y g ∈ H
(Γ), hallar u
∇ · ∇ u
vdx =
Ω
fvdx +
Ω
gvdσ,
Γ
1
∈ H (Ω) tal que, 1
∀v ∈ H (Ω).
Inicialmente nuestro espacio de trabajo ser´ıa V = H 1 (Ω), y la forma bilineal a(u, v) =
∇ · ∇ Ω
u
vdx, que no es el´ıptica sobre H 1 (Ω), y por tanto
no podemos aplicar el teorema de Lax-Milgram. Sin embargo, el hecho de que una soluci´on venga determinada salvo constantes, nos lleva a introducir un nuevo espacio de clases de funciones, el 51
2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD
espacio cociente V = H 1(Ω)/R, cuyos elementos son clases de equivalencia u, donde dos funciones u1 , u2 H 1 (Ω) pertenecen a la misma clase de equivalencia si u1 u2 = cte.
−
∈
Este espacio cociente V , es un espacio vectorial normado con la suma, producto por escalares y norma habituales, u + v = u + v, λu = λu, u V = inf u∈ue u
1,Ω .
Adem´as V es un espacio completo por ser H 1 (Ω) completo con la norma 1 1,Ω y R un subespacio cerrado de H (Ω).
·
Por otro lado, podemos definir un producto escalar en V ,
∇ ·∇ ∈ ∈ || || (u, v )V =
u
vdx,
Ω
con u
uyv
v , y su correspondiente norma asociada, d
u V =
(u, u)1/2 V
∂u 2 dx ∂x i
=
i=1
Ω
1/2
.
Teorema: La norma u V = (u, u)1/2 V es equivalente a la norma cociente en V = H 1 (Ω)/R. Demostraci´on: En concreto, vamos a demostrar que u V = u
||
Primero observemos que u
∀ ∈ u, se tiene,
|| ≤ ∀ ∈ || ≤ d
u
2 V
=
i=1
y como es u
Ω
∂u 2 dx ∂x i
d
i=1
Ω
∂u 2 dx + ∂x i
u, tomando ´ınfimos, u 2V
inf u∈ue u 52
1,Ω
= u
V .
u2 dx = u
Ω
V .
2 1,Ω ,
2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD
Rec´ıprocamente, por reducci´ on al absurdo, supongamos que no es cierta la desigualdad inversa, es decir, que para todo entero positivo n, existe una clase wn tal que wn V < wn V /n. Denotemos un = wn / wn V , formando una sucesi´ on un V tal que un V = 1 y un V < 1/n. Como un V = ´ınf u∈ue u 1,Ω , existir´a, cualquiera que sea n, un ε > 0 y un representante 1 + ε. Entonces un forman una sucesi´ on un un tales que un 1,Ω
{|}⊂| ∈ ≤ ||
| | { }
acotada en H 1 (Ω), por tanto existe una subsucesi´ on uν en L2 (Ω), sea u su l´ımite. Por otra parte, como uν V < 1/ν
{ }
→ 0, tenemos que
∂u ν ∂x i
→ 0 en
L2 (Ω), y por la continuidad de las derivadas en el sentido de las distribuciones, ∂u ∂x i
= 0, i = 1, . . . , d. Por tanto, u es constante, luego,
∀
u
ν V
= ´ınf
uν uν
∈f
u ≤ u − u → 0, ν 1,Ω
pero esto no es posible porque uν u V u V , u V .
| | ≥ ∀ ∈
ν
1,Ω
= 1. Por tanto es cierta la desigualdad
V
Por tanto, V = H 1 (Ω)/R es un espacio de Hilbert en el que son normas equivalentes.
·
V
y
|·|
V
Por otro lado, definamos la siguiente forma lineal, ψ : V v
−→ R −→ ψ(v) =
∀ ∈ ∈ − − Ω
fvdx +
Γ
gvdσ,
v
v.
Es f´acil comprobar que est´ a bien definida, en efecto, sean v1 , v2 f (v1
v2 )dx +
Ω
g(v1
v2 )dσ = C (
Γ
fdx +
Ω
v , entonces,
gdσ) = 0.
Γ
La linealidad es trivial, y la continuidad se obtiene por la desigualdad de Cauchy-Schwartz y el teorema de la traza, en efecto,
|ψ(v)| ≤ | fvdx| + | gvdσ| ≤ f v ≤ (f + C (Ω)g )v , ∀v ∈ v, Ω
0,Ω
Γ
0,Ω
0,Γ
1,Ω
0,Ω
+ g
v ≤ 0,Γ
0,Γ
y como esta desigualdad sigue siendo cierta tomando ´ınfimos en v mos, ψ(v ) ( f 0,Ω + C (Ω) g 0,Γ ) v V .
|
|≤
53
∈ v, tene-
´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO
Por tanto, simplemente aplicando el teorema de Riesz-Frechet en V , tenemos la existencia y unicidad del problema siguiente, Hallar una clase u
∈
2.8.
V = H 1 (Ω)/R unica ´ que verifica (u, v )V = ψ(v ),
v
∀ ∈
V.
Deformaci´ on el´ astica de un s´ olido
Consideremos un cuerpo s´ olido que se deforma el´ asticamente bajo la acci´o n de fuerzas exteriores. El cuerpo ocupa una regi´ on Ω del espacio Rd (d = 2, 3). Supongamos que una parte de la frontera Γ0 , de medida no nula en Rd−1 , se mantiene fija. En el resto de la frontera Γ1 = Γ Γ0 , supongamos
\ →g = (g , . . . , g ) ∈ L (Γ) . En Ω que se ejercen unas fuerzas superficiales − −→ se ejercen unas fuerzas volum´ etricas f = (f , . . . , f ) ∈ L (Ω) . Debido a −→ →g , el cuerpo se deforma y cada punla acci´on de estas fuerzas exteriores f y − →u = (u , . . . , u ). Al deformarse, se generan en to sufre un desplazamiento − 1
1
1
d
d
2
2
d
d
d
el cuerpo unas tensiones el´ asticas, caracterizadas por el tensor de tensiones σi,j ( u ), hasta que se logra un equilibrio con las fuerzas exteriores.
−→
Las ecuaciones que rigen este fen´ omeno se estudian en la teor´ıa de la elasticidad y son,
−
d ∂ j=1 ∂x j σi,j (
−→u )
= f i ui = 0 d j=1 σi,j ( u )ν i = gi
−→
en Ω, sobre Γ0, sobre Γ1,
i = 1, . . . , d , i = 1, . . . , d , i = 1, . . . , d .
Las primeras y u´ltimas ecuaciones representan el equilibrio entre las fuerzas exteriores y las fuerzas el´ asticas. Las segundas ecuaciones representan que en la parte de la frontera Γ0 no hay desplazamiento. El tensor de tensiones viene dado por la ley del comportamiento del material o ley de Hook,
−→
−→
−→
σi,j ( u ) = (div u )δ i,j + 2µεi,j ( u ) 54
´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO
donde,
− → →u ) = (−
(div u ) =
1 2
d ∂u i i=1 ∂x i ∂u i i + ∂u ∂x j ∂x i
εi,j δ i,j = 1, si i = j, 0, resto, (delta de Kronecker), λ, µ 0, coeficientes de Lam´e.
≥
Los coeficientes de Lam´e dependen del material, est´ an directamente relacionados con el m´ odulo de Young y el coeficiente de Poisson del material. Veamos la correspondiente formulaci´ on variacional. Consideramos el es-
pacio H 1 (Ω) producto,
d
= H 1 (Ω)
d ...
1
× × H (Ω), que es un espacio de Hilbert con el
→u , −→v ) (−
d
(ui , vi )1,Ω .
=
d
H 1 (Ω)
i=1
El espacio donde buscamos la soluci´ on, llamado espacio de desplazamientos admisibles es, V =
{−→v ∈
H 1 (Ω)
d
: vi = 0 sobre Γ0 , i = 1, . . . , d .
} →v ∈ V , inteMultiplicando escalarmente el primer grupo de ecuaci´ o n por − grando en Ω y aplicando la f´ ormula de Green, tenemos,
d
∂v i σi,j ( u ) dx ∂x j Ω i,j=1
−→
− d
σi,j
Γ1 i,j=1
→u )ν v dσ = (− j i
d
f i vi dx.
Ω i=1
−→
Teniendo en cuenta que σi,j ( u ) es sim´etrico, y utilizando el tercer grupo de ecuaci´on, queda,
−→ −→ −→ ∈ −→ ∈ −→ ∈ −→ −→ d
d
d
σi,j ( u )εi,j ( v )dx =
i,j=1
Ω
f i vi dx +
i=1
Ω
i=1
gi vi dσ.
Γ1
Por tanto, el correspondiente problema variacional a resolver es, (PE) Dadas f
L2 (Ω)
d
y g
d
L2 (Γ) , hallar u
d
d
d
σi,j ( u )εi,j ( v )dx =
i,j=1
V tal que,
Ω
f i vi dx +
i=1
Ω
55
gi vi dσ,
i=1
Γ1
∀−→v ∈ V.
´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO
−→ ∈
Esto significa que la posici´ on de equilibrio se obtiene para u V verificando esta ecuaci´ on para cualquiera que sea v V . Es lo que se conoce en f´ısica como principio de trabajos virtuales : el primer miembro representa el trabajo de las fuerzas el´asticas y el segundo miembro el trabajo de las fuerzas exteriores.
−→ ∈
Para poder demostrar la existencia y unicidad de la soluci´on de este problema se necesitan los siguientes resultados.
Lema (Desigualdad de Korn): Supongamos que Ω es un abierto acotado de Rd de frontera Γ de clase C 1 a trozos. Entonces,
{−→v ∈
−→ ∈ L (Ω), i, j = 1, . . . , d} = →v ∈ H (Ω) y existe una constante C = C (Ω) > 0 tal que ∀− E =
d
L2(Ω) ; εi,j ( v )
d
1
−→
εi,j ( v )
i,j=1
2
2 0,Ω
−→v
=
d
,
2 0,Ω
2 1,Ω .
−→ d
2 0,Ω
d
H 1 (Ω) ,
−→ ≥ C −→v
+ v
Se han utilizado sobre los espacios L2 (Ω) bertianas,
v
2 0,Ω
1/2
d
y H 1 (Ω)
d
las normas hil-
d
,
v
i=1
2 1,Ω
v
=
2 1,Ω
1/2
.
i=1
La desigualdad de Korn no es en absoluto trivial pues el primer miembro s´olo hace intervenir ciertas combinaciones lineales de las primeras derivadas, mientras que en el segundo miembro intervienen todas las derivadas. Como consecuencia de la desigualdad de Korn, tenemos el siguiente resultado que nos va a permitir demostrar la existencia y unicidad de la soluci´ on del problema variacional de la elasticidad (PE).
Teorema (Corolario de la desigualdad de Korn): Supongamos que Ω es un abierto acotado de Rd de frontera Γ de clase C 1 a trozos. Entonces 56
´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO
existe una constante C 0 > 0 tal que, d
−→ ≥ C −→v
εi,j ( v )
i,j=1
∀−→v ∈ V , 2 0,Ω
2 1,Ω .
0
Como consecuencia de estos dos resultados tenemos la existencia y unicidad de la soluci´on del problema variacional de la elasticidad (PE). on u´nica. Teorema: El problema (PE) tiene soluci´ Demostraci´on: Denotemos,
− −→ → −→
−→ −→
a( u , v ) = di,j=1 Ω σi,j ( u )εi,j ( v )dx, ψ( v ) = di=1 Ω f i vi dx + di=1 Γ1Γ gi vi dσ. Por tanto el problema (PE) se escribe ahora,
−→ ∈ V tal que a(−→u , −→v ) = ψ(−→v ), ∀→ −v ∈ V. Es f´acil ver que ψ(·) es lineal y continua, y que a(·, ·) es bilineal y continua. Hallar u
La V -elipticidad es consecuencia del corolario de la desigualdad de Korn, en efecto,
−→ −→ ≥ −→
−→ −→
a( v , v ) = λ Ω (div v )2 dx + 2µ Ω 2µ di,j=1 εi,j ( v ) 20,Ω 2µC 0 v
≥
d i,j=1 (εi,j ( 2 1,Ω .
−→v )) dx ≥ 2
Y en estas condiciones, el teorema es consecuencia del Lax-Milgram.
Equivalencia con un problema de optimizaci´ on. La forma bilineal a( , ) es sim´etrica, por tanto,
··
−→
Teorema: La soluci´on u del problema (PE) verifica,
−→
−→
J ( u ) = − m´ın J ( v ), → v V
∈
57
´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO
donde,
d
1 J ( v ) = 2 i,j=1
−→
σi,j
Ω
→v )ε (−→v )dx (− i,j
− d
f i vi dx +
i=1
Ω
d
i=1
gi vi dσ.
Γ1 Γ
La formulaci´ on del problema de elasticidad de esta forma se conoce en f´ısica como el principio de m´ınima energ´ıa, e indica que el estado de equilibrio de un cuerpo el´ astico se corresponde al de la m´ınima energ´ıa. La aplicaci´ on bilineal a( , ), representa el trabajo de deformaci´ o n el´astica, la aplicaci´ on
··
−→
lineal ψ( ), el trabajo de las fuerzas exteriores, y el funcional J ( v ), la energ´ıa
·
−→
total del sistema correspondiente al estado v .
58
Cap´ıtulo 3 Aproximaci´ on num´ erica mediante el M´ etodo de Elementos Finitos 3.1.
Aproximaci´ on variacional abstracta
Consideremos el siguiente problema abstracto: Sean V un espacio de Hilbert
× V :→ R bilineal continua y el´ıptica < l, . >: V → R lineal y continua a(., .) : V
Hallar u
∈ V tal que a(u, v) =< l, v >
∀v ∈ V
(P )
El correspondiente problema aproximado ser´a: Sea V h dimensi´on finita de V . Hallar uh
∈ V
h
(3.1.1)
⊂ V un subespacio de
tal que a(uh , vh ) =< l, vh > 59
∀v ∈ V h
h
(P h )
(3.1.2)
´ VARIACIONAL ABSTRACTA 3.1. APROXIMACI ON
´nica. Teorema El problema aproximado (P h ) tiene soluci´on u Demostraci´on: a(., .) es bilineal, continua y el´ıptica sobre V h y < l, . > es lineal y continua en V h . Resoluci´on Pr´ actica Sea [ϕ1 ,...,ϕN ] una base de V h. (P h ) se escribe Hallar uh =
N j j=1 uh ϕ j
tal que
N
a(ϕ j , ϕi )u jh =< l, ϕi >
i = 1,...,N
(3.1.3)
j=1
Es decir, un sistema algebraico lineal de ecuaciones.
Teorema de aproximaci´ on: lema de C´ ea Existe una constante C > 0 independiente de V h tal que
||u − u || ≤ C ´ınf ||u − v || ∈ h
(3.1.4)
h
vh V h
Demostraci´on: a(u, v) =< l, v >
∀v ∈ V ∀v ∈ V
a(uh , vh ) =< l, vh > tomando en la primera v = vh a(u
∈ V
h
h
h
y restando
− u , v ) = 0 ∀v ∈ V h
h
h
h
de donde α u
|| − u || ≤ a(u − u , u − u ) = a(u − u , u − v ) ≤ M ||u − u ||.||u − v || h
h
h
h
h
h
||u − u || ≤ M ||u − v || ∀v ∈ V α h
h
60
h
h
h
´ VARIACIONAL ABSTRACTA 3.1. APROXIMACI ON
y finalmente ´ınf ||u − v || ||u − u || ≤ M α ∈ h
h
vh V h
Comentarios: 1. Si a(., .) es sim´etrica, se puede mejorar el resultado anterior. En efecto, para todo vh V h
∈ a(u − v , u − v ) = a(u − u + u − v , u − u + u − v ) = a(u − u , u − u ) + 2a(u − u , u − v ) + a(u − v , u − v ) h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
En el segundo miembro, el segundo t´ermino es nulo y el tercero es mayor o igual que cero. De donde α u
2
2
|| − u || ≤ a(u − u , u − u ) ≤ a(u − v , u − v ) ≤ M ||u − v || h
h
h
h
h
h
y finalmente
|| − || ≤ || − || − || ≤ u
es decir
u
.
M u α
uh
vh
|| ∀v ∈ V h
M ´ınf u α vh∈V h
uh
h
|| − v || h
2. Si a(., .) es sim´etrica la soluci´ o n obtenida es la mejor posible en el sentido de la norma v A = a(v, v)1/2
|| ||
En efecto: a(u
− u , v ) = 0 ∀v ∈ V ||u − u || = a(u − u , u − u ) = a(u − u , u − v ) ≤ ||u − u || .||u − v || 2 h A
h
h
h
h
h
h
h
h
h A
h A
y finalmente
||u − u ||
h A
= ´ınf
vh V h
∈
||u − v ||
h A
Interpretaci´ on geom´etrica: uh es la mejor aproximaci´ on de u en el espacio V h , con respecto a la norma .
|| ||
A.
61
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
3.2.
Construcci´ on de espacios de Elementos Finitos
El m´etodo de Elementos Finitos consiste en elegir un subespacio de V h y m´as precisamente una base de este subespacio en el que la funciones de dicha base son de peque˜ no soporte.
3.2.1.
Generalidades
Sea Ω Rd , un abierto poli´edrico de Rd (un pol´ıgono si estamos en R2 ) de frontera Γ.
⊂
Vamos a considerar una descomposici´ on finita de Ω: Ω=
∪ ∈T T T
h
tal que:
T es un poliedro de R de interior no vac´ıo. 2. Los interiores de dos poliedros distintos de T son disjuntos. 3. Toda cara de un poliedro T ∈ T es o bien una cara de otro poliedro 1. Cada elemento T de
d
h
h
1
h
T 2 , en cuyo caso T 1 y T 2 son adyacentes, o bien una parte de la frontera Γ de Ω
on de Ω verificando las propieades anteDefinici´ on: Toda descomposici´ riores se llama triangulaci´ on de Ω. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo. Notaci´on: h designar´a en general una triangulaci´ o n de Ω tal que h = m´axT ∈T h hT donde hT es el di´ametro del poliedro T .
T
Un subespacio de V h de dimensi´on finita de H 1(Ω) se puede construir, como se ver´ a m´as adelante, tomando por ejemplo, V h = v
0
{ ∈ C (Ω); v| ∈ P ∀T ∈ T } T
k
h
done P k designa un espacio de polinomios de grado k en el poliedro T . 62
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
Figura 3.1: Ejemplo de triangulaci´ on
3.2.2.
Concepto de Elemento Finito
Un Elemento Finito es una terna (T,P, Σ) donde 1. T Una parte compacta T de Rd conexa de interior no vac´ıo. 2. P es un espacio vectorial de dimensi´on finita N cuyos elementos son funciones de T en R. 3. Σ es una base del espacio dual de P , es decir, N funciones lineales de P en R linealmente independientes. Base asociada a un elemento finito La base dual de Σ en P es la base asociada, es decir si Σ =
N i i=1
{L } , la base asociada al elemento finito (T,P, Σ) ser´ a el conjunto { p } ⊂ P tal que L ( p ) = δ . N j j=1
i
j
ij
Elementos Finitos de Lagrange 63
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
Definici´ on: Se dice que el conjunto a j
N j=1
{ }
si, dados N escalares reales cualesquiera α j p del espacio P y una sola tal que p(a j ) = α j
1
1
es P unisolvente si y solo
−
≤ j ≤ N , existe una funci´on
≤ j ≤ N
Un Elemento Finito de Lagrange es entonces un Elemento Finito (K,P, Σ) en el que Σ = P unisolvente.
−
N i i=1
{a }
y donde ai
N i=1
{ }
es un conjunto de puntos de T ,
Interpretemos la definici´ on: Los puntos ai formas lineales del dual de P , en efecto
{ }
ai : P p
N i=1
se pueden considerar como
−→ R −→ a ( p) = p(a ) i
i
Un Elemento Finito de Lagrange es entonces una terna (K,P, Σ) donde 1. T es una parte compacta de Rd conexa de interior no vac´ıo. 2. Σ = a j
N j=1
{ }
es un conjunto finito de N puntos P unisolvente de T
−
3. P es un espacio vectorial de dimensi´on finita y compuesto por funciones definidas sobre T a valores reales. Dado un elemento finito (T,P, Σ) se llaman funciones de base a la base dual de Σ, es decir, a las N funciones pi 1 i N definidas por pi (a j ) = δ ij
≤ ≤ 1 ≤ j ≤ N
Comentario : Una condici´on necesaria para que el conjunto Σ sea P unisolvente es que la dimensi´on de P sea igual al cardinal de Σ = N . Una vez verificada esta condici´ on, tenemos dos criterios sencillos que aseguran la P unisolvencia de Σ.
−
−
64
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
1. Basta verificar que la u ´nica funci´ on p P que se anula en Σ es la funci´on nula. En efecto, cuando esta propiedad se satisface, la aplicaci´ on lineal
∈
L:
P p
N
−→ R −→ ( p(a )) j
N j=1
es inyectiva y por lo tanto biyectiva pues P es de dimensi´on N 2. Basta hallar las funciones pi N i=1 del espacio P verificando pi (a j ) = δ ij para probar la P unisolvencia. En efecto, si estas funciones existen, a todo conjunto de N escalares reales α j 1≤ j≤N le asociamos la funci´on
{ }
−
{ }
p =
α j p j
Esta funci´ on es una funci´on de P tal que p(a j ) = α j prueba que la aplicaci´ on
L:
P p
1
≤ j ≤ N . Esto
N
−→ R −→ ( p(a )) j
N j=1
es sobreyectiva y por tanto biyectiva.
Definici´ on: Operador de P interpolaci´on sobre T .
−
Se llama operador de P interpolaci´on de Lagrange sobre T al operador que a toda funci´ on v definida en T le asocia la funci´on ΠT v definida por ΠT v = v(ai ) pi . ΠT v se llama la funci´on interpolada de v.
−
La funci´ on ΠT v verifica ΠT v(a j ) =
v(ai ) pi (a j ) =
v(ai )δ ij = v(a j ) 1
Es pues la u ´nica funci´on p de P verificando p(a j ) = v(a j ). 65
≤ j ≤ N
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
3.2.3.
Elementos Finitos de Lagrange en un d simplex
−
Vamos aconstruir una clase de elementos finitos de Lagrange (T,P, Σ) donde T ser´a un d simplex de Rd . Recordemos la noci´ on de d simplex:
−
−
Consideremos d +1 puntos a j = (aij )di=1
∈R
d
1
≤ j ≤ d +1 no situados
en un mismo hiperplano de Rd , es decir, que la matriz
A=
a1,1 a1,2 ... a1,d+1 a2,1 a2,2 ... a2,d+1 ... ... ... ... ad,1 ad,2 ... ad,d+1 1 1 ... 1
sea no singular. Se llama d simplex T de v´ertices a j a la envolvente convexa de los puntos a j . Si d = 2 se llaman tri´angulos y si d = 3 tetraedros.
−
Coordenadas baric´entricas: Todo punto x de Rd de coordenadas cartesianas xi 1 i d, est´a caracterizado dando d + 1 escalares λ j = λ j (x) 1 j d + 1 definidos como soluci´ on del sistema lineal
≤
≤ ≤
≤
d+1
aij λ j = xi
j=1
d+1
λ j = 1
j=1
cuya matriz es precisamente la matriz regular A. Los escalares λ j (x) 1 j d+1 se llaman las coordenadas baric´entricas del punto x con respecto a los puntos a j . Cada una de estas funciones es una
≤ ≤
funci´on afin de Rd en R y se tiene para todo x d+1
x=
λ j (x)a j
j=1
66
∈R
d
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
El d simplex T definido por los v´ertices a j est´a caracterizado por
−
d+1
d
{ ∈R ;
T = x
x=
λ j (x)a j
0
j=1
Observemos que λi (a j ) = δ ij
para 1
≤ λ (x) ≤ 1, j
1
≤ j ≤ d + 1}
≤ i, j ≤ d + 1.
Ejemplos 1. Tria-p1-c: K : Tri´angulo. P : Polinomios de grado 1. Σ: Los tres v´ertices del tri´ angulo. Es el ejemplo que hemos estudiado. Las funciones de la base local son pi = λi . 2. Tria-p2-c: K : Tri´angulo. P : Polinomios de grado 2. Σ: Los tres v´ertices y los puntos medios de las aristas. Las funciones de P son pues funciones de la forma p(x, y) = a+bx+cy+ dxy + ex2 + f y2 . P es un espacio de dimensi´ on seis. La base asociada de P estar´a formada por las seis funciones pi verificando pi (a j ) = δ ij . Para hallar las seis funciones de la base, podemos proceder de la manera siguiente: Llamemos ai , i = 1, 2, 3 los tres v´ertices y ai , i = 4, 5, 6 los tres puntos medios de las aristas (ver figura 3.2). Para hallar p1 , es decir una funci´ on que verifique p(a1 ) = 1 p(a j ) = 0 j = 1
Observemos que λ1 la coordenada baric´entrica que vale 1 en el nodoa1 y cero en a2 , a3, a4 no se anula en a5 , a6 donde vale λ1 (a5 ) = λ1 (a6 ) = 1/2. Por tanto si tomamos p1 = λ1 (2λ1 1)
−
verifica las propiedades requeridas. An´ alogamente las otras dos funciones asociadas a los v´ertices ser´ an p2 = λ2 (2λ2 67
− 1)
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
p3 = λ3 (2λ3
− 1)
Busquemos ahora p4 , p5 y p6, las funciones asociadas a los puntos medios de los lados. Basta observar que la funci´ on λ2 se anula en la recta a1 a5 a3 , y λ3 se anula en la recta a1 a6 a2 , por lo tanto λ2 λ3 se anula en todos los puntos de Σ salvo en a4 donde vale λ2 (a4 )λ3(a4 ) = 1/2,1/2 = 1/4, de donde finalmente la funci´ on
− −
− −
p4 = 4λ2 λ3 ser´a la funci´ on base asociada al nodo a4. An´alogamente obtenemos p5 = 4λ1 λ3 p6 = 4λ1 λ2 En las figuras 3.3,3.4,3.5,3.6,3.7 y 3.8 se representan las gr´aficas de las funciones de la base pi , i = 1, ..., 6 en el tri´ angulo de referencia de v´ertices (0, 0), (1, 0), (0, 1). 3. Tetra-p1-c: K : Tretraedro. P : Polinomios de grado 1 de tres variables. Σ: Los cuatro v´ertices del tetraedro. Las funciones de la base local son pi = λi , i = 1, 2, 3, 4.
3.2.4.
Un m´ etodo general para construir a partir de ˆ toda una familia de un elemento finito (Tˆ, Pˆ , Σ) elementos finitos (T,P, Σ)
ˆ de Rd , convexo y de interior no Consideremos un conjunto compacto T ˆ en Rd. Supongamos que T = F (T ) ˆ es una parte vac´ıo. F una aplicaci´ on de T compacta, conexa y de interior no vac´ıa (por ejemplo exigiendo que F sea ˆ en T ). biyectiva y bicontinua de T on F es biyectiva. Entonces si Teorema : Supongamos que la aplicaci´ ˆ es un elemento finito de Lagrange, la terna (T,P, Σ) donde T = (Tˆ , Pˆ , Σ) 68
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
a
3
3
a
4
2.5
a
2
2
a
5
1.5
1 a
6
0.5
0 0
a
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
Figura 3.2: tri´ angulo de seis nodos
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2 1 0.5 0
0
0.2
0.4
0.6
Figura 3.3: funci´ on p1
69
0.8
1
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 3.4: funci´ on p2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 3.5: funci´ on p3
70
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
1 0.8
0 0.6
0 0.2
0.4
0.4 0.6
0.2 0.8 1
0
Figura 3.6: funci´ on p4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 3.7: funci´ on p5
71
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 3.8: funci´ on p6 ˆ y donde P = p : T F (T ) finito de Lagrange.
{
ˆ es un elemento → R p ◦ F ∈ P ˆ } y Σ = F (Σ)
ˆ un elemento finito donde Σ ˆ = aˆ j Demostraci´on: Sea (Tˆ , Pˆ , Σ) ˆ conjunto de N puntos distintos de T .
N j=1
{ }
es un
Pongamos a j = F (ˆa j ) 1 Entonces Σ = a j
N j=1
{ }
≤ j ≤ N 1 ≤ j ≤ N
ˆ en T = F (T ) ˆ Puesto que F es biyectiva de T ˆ = dim(P ) ˆ = dim(P ) card(Σ) = card(Σ) para demostrar que Σ es P -unisolvente basta obtener las funciones de base correspondientes a (T,P, Σ). Sean pˆi entonces
ˆ i = 1, ...N las funciones de base correspondientes a (Tˆ , Pˆ , Σ), pi = pˆi F −1
◦
i = 1,...,N
son las funciones de base correspondientes a P , en efecto pi pi F = pˆi F −1 F = pˆi
◦
◦
◦
72
∈ P ˆ
∈ P pues
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
y adem´as si ai
∈Σ pi (a j ) = (ˆ pi F −1 )(a j ) = pˆi (ˆa j ) = δ ij
◦
ˆ y (T,P, Σ) se Definici´ on: Dos elementos finitos de Lagrange (Tˆ , Pˆ , Σ) ˆ en T dice que son equivalentes si existe una aplicaci´ on F biyectiva de T verificando: ˆ P = p : T R, p = pˆ F P
{
→
◦ ∈ }
ˆ Σ = F (Σ) Cuando se puede elegir como aplicaci´on F una aplicaci´ on af´ın, los elementos finitos se llaman af´ın equivalentes. ˆ y (T,P, Σ) dos elementos de Lagrange equivaTeorema : Sean (Tˆ , Pˆ , Σ) ˆ en T verificando la condici´ lentes y F una biyecci´ on de T on de equivalencia. ˆ es el operador de P -interpolaci´ ˆ ˆ el operador Π de P Si Π on sobre Σ, interoplaci´ on sobre Σ est´ a caracterizado por ˆ (Πv) F = Π(v F )
◦
◦
para toda funci´ on v definida en T .
Ejemplo 1 Veamos como podemos construir una familia de elementos finitos (T,P, Σ) ˆ siguiente: af´ın equivalentes al elemento finito (Tˆ , Pˆ , Σ) ˆ Tri´angulo de R2 de v´ertices (0, 0), (1, 0), (0, 1) T : ˆ Polinomios de grado 2 en T . ˆ P : ˆ a Σ: ˆi
ˆ ya donde aˆ1 , a ˆ2 , a ˆ3 son los tres v´ertices de T , ˆ4 , a ˆ5 , a ˆ6 son los ˆ puntos medios de los las aristas de T .
{ }
6 i=1 ,
73
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
ˆ a Consideremos la aplicaci´ on afin F que lleva los v´ertices de T , ˆi i=1,2,3 a los v´ertices ai i=1,2,3 de T respectivamente. Esta aplicaci´ o n es f´a cil de construir. Observemos que
{ }
{ }
ˆ1 = 1 λ
− xˆ − yˆ ˆ 2 = xˆ λ
ˆ 3 = yˆ λ Entonces
x=
−− − − x y
ˆ1 =λ
x1 ˆ2 +λ y1
=
x1 y1
x2 ˆ3 +λ y2
x3 y3
x2 y2
x1 x3 y1 y3
+
−
x1 +ˆx y1
= (1 x ˆ yˆ)
−
x1 y1
x2 +ˆ y y2
xˆ yˆ
x = F (x ˆ) = b + Bˆ 2.5
a
3
2
a
T
2
1.5 F
1 a
1
0.5 ~
T
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
La aplicaci´ on F es af´ın y lleva los v´ertices a los v´ertices. Por otra parte ˆ i F −1 , para i = 1, 2, 3 son si definimos sobre T las funciones pi = λ polinomios de grado 1. Resulta
◦
ˆ i F −1 )(a j ) = λ ˆ i (ˆa j ) = δ ij pi (a j ) = (λ
◦
74
x3 y3
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
ˆ i (ˆ Por lo tanto pi = λi para i = 1, 2, 3. Tenemos pues que λi (x) = λ x) donde ˆ y los puntos medios de las aristas van a parar x = F (ˆ x). Es decir T = F (T ) ˆ y la familia a los puntos medios de las aristas. Es inmediato ver que (Tˆ , Pˆ , Σ) (T,P, Σ) compuesta por T , tri´angulos, P , polinomios de grado 2 en T y Σ la uni´on de v´ertices y puntos medios de las aristas son af´ın-equivalentes.
Ejemplo 2: Familias equivalentes a elementos finitos paralel´otopos ˆ = [ 1, +1]d . Construiremos elementos Consideremos el cubo unidad K ˆ , (K, ˆ Q, ˆ Σ). ˆ Un elemento finito paralel´ finitos sobre K otopo ser´ a un elemento
−
ˆ Q, ˆ Σ). ˆ finito af´ın-equivalente a (K,
Ejemplo 2.1 ˆ = [ 1, +1]2 K
−
ˆ = pˆ : K ˆ Q
{
ˆ= a Σ ˆi
4 i=1 ,
{ }
→ R;
p(ˆ ˆ x, yˆ) = a + bˆ x + cˆ y + dˆ xyˆ
}
ˆ. los cuatro v´ertices de K
ˆ (dual de Σ): ˆ Veamos cu´ ales son las funciones de la base de Q ˆ = card(Σ) ˆ = 4. Observando que la ecuaci´on de la recta Tenemos dim(Q) a ˆ3 a ˆ4 es yˆ = 1 y de la recta a ˆ3aˆ2 es xˆ = 1 resulta,
−
−
1 pˆ1 = (1 + x ˆ)(1 + yˆ) 4 y an´alogamente 1 pˆ2 = (1 4
− xˆ)(1 + yˆ)
1 pˆ3 = (1 4
− xˆ)(1 − yˆ)
1 pˆ4 = (1 + xˆ)(1 4
Ejemplo 2.2 75
− yˆ)
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
ˆ = [ 1, +1]2 K
−
ˆ=Q ˆ2 = Q
{ pˆ : K ˆ → R;
p(ˆ ˆ x, yˆ) = a + bˆ x + cˆ y + dˆ xyˆ + eˆ x2 + f ˆ y2 + gˆ x2 yˆ + hˆ xyˆ2 + kˆ x2 yˆ2
}
ˆ = a ˆ ya Σ ˆi 9i=1, donde aˆ1 , ..., aˆ4 son los cuatro v´ertices de K ˆ5 , ..., a ˆ8 son los puntos medios de los lados, y ˆa9 es el centro del cuadrado. Tenemos pues que ˆ2 Q ˆ 2 P ˆ4 P
{ }
⊂ ⊂
La base ser´ a:
pˆ1 = 14 (1 + xˆ)(1 + yˆ)ˆ xyˆ pˆ2 = 14 (1
− xˆ)(1 + yˆ)ˆxyˆ
pˆ3 = 14 (1
− xˆ)(1 − yˆ)ˆxyˆ
pˆ4 = 14 (1 + xˆ)(1
− yˆ)ˆxyˆ
pˆ5 = 12 (1 + xˆ)(1
− xˆ)(1 + yˆ)ˆy
pˆ6 = 12 (1
− xˆ)(1 + yˆ)(1 − yˆ)ˆx
pˆ7 = 12 (1
− xˆ)(1 + xˆ)(1 − yˆ)ˆy
pˆ8 = 12 (1 + xˆ)(1 + yˆ)(1 pˆ9 = (1 + xˆ)(1
− yˆ)ˆx
− xˆ)(1 + yˆ)(1 − yˆ) 76
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
2
1.5 a
a
a
1
5
2
1
0.5 a
a
a
6
8
9
0
−0.5
−1 a
a
a
4
7
3
−1.5
−2 −2
3.2.5.
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Construcci´ on de subespacios de H 1
En primer lugar veremos como se pueden construir funciones de H 1 (Ω) a partir de funciones definidas a trozos sobre sunconjuntos de Ω.
Teorema : ¯= Sea Ω
∪
N ¯ r=1 Ωr
¯ tal que una descomposici´ o n de Ω
1. Ωr es un abierto de Rd contenido en Ω de frontera Γr todo r = 1,...,N . 2. Ωr
C 1 a trozos para
∩ Ω = ∅ para r = s s
¯ tal que la restricci´on v Sea v una funci´ on continua en Ω H 1(Ωr ), para todo r = 1,...,N . Entonces v
1
∈ H (Ω).
¯ tal que v Demostraci´ on: Sea v continua en Ω mente v
2
∈ L (Ω). Hemos de ver que
Para ello veamos que
∂v ∂x i
= vi
∂v ∂x i 2
2
∈ L (Ω)
Ωr
1
pertenece a
| ∈ H (Ω ); EvidenteΩr
r
para i = 1,...,d
∈ L (Ω) donde v | 77
|
i Ωr
=
∂ (v Ωr ) ∂x i
|
2
∈ L (Ω ). r
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
En efecto, para toda funci´ on ϕ
∈ D(Ω), tendremos
− − − − − ∂v < , ϕ >= ∂x i N
r=1
∂ϕ < v, >= ∂x i
∂ϕ = v Ωr ∂x i N
Ωr
r=1
N
r=1
N
(
r=1
Ω
∂v ϕ ∂x i
∂ϕ = ∂x i vϕν i ) =
∂ Ωr
N
∂v ϕ ∂x i
∂v ϕ= ∂x i
Ωr
Ωr
v
vϕν i =
r=1
∂ Ωr
N
vi ϕ =< vi , ϕ >
r=1
Ωr
pues v es continua. Vamos ahora a construir subespacios de H 1 (Ω) de dimensi´on finita. Sea Ω un abierto poli´edrico (para simplificar) de Rd . ¯= Ω
∪ ∈T T , siendo T una triangulaci´on de Ω Suponemos adem´ as que cada poliedro T de T est´a asociado a un elemento finito de Lagrange (T , P , Σ ) tal que P ⊂ H (T ) T
h
h
h
k
k
1
k
Definimos el espacio de dimensi´ on finita ¯ { ∈ C (Ω); ∀T ∈ T , v| ∈ P } 0
V h = v
h
T
k
As´ı en virtud del teorema anterior V h es un subespacio de H 1 (Ω). Sin hip´otesis suplementarias sobre los elementos finitos (T, P T , ΣT ) no es en modo alguno evidente la determinaci´ o n de una base de V h (pues V h es isomorfo a un subespacio propio de ΠT ∈T h P T ). Por otra parte resulta natural introducir el operador de interpolaci´ on Πh que a toda funci´ on continua ¯ le hace corresponder la funci´ definida en Ω on Πhv de L2 (Ω) definida por
∀T ∈ T , ∀x ∈ T ˙ h
78
Πh v(x) = ΠT v(x)
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
donde ΠT es el operador de P T -interpolaci´on sobre ΣT . En general sin hip´ otesis suplementarias sobre el elemento finito (T, P T , ΣT ), la funci´on Πh v no es ¯ y no pertenece a V h . Para evitar esta situaci´ en general continua sobre Ω on otesis de compatibilidad entre dos elementos finitos: se introduce una hip´
Supondremos que para todo par T 1 , T 2 de poliedros adyacentes de de cara com´ un T = T 1 T 2 , tenemos
{
∩
1. P T1 2. ΣT 1
|
T
= P T2
|
}
T , h
T
∩ T = Σ ∩ T T 2
Adem´as necesitaremos la definici´ on siguiente:
Definici´ on: Sea T un poliedro de Rd ; Un elemento finito (T,P, Σ) se llama de clase C 0 si las dos condiciones siguientes se satisfacen: 1. P
0
⊂ C (T )
2. Para toda cara T de T , el conjunto Σ = Σ T es P -unisolvente donde P = p T ; p P .
{|
∩
∈ }
¯ y sea (T, P T , ΣT )T ∈T una famion de Ω Teorema: Sea h una triangulaci´ h lia de elementos finitos asociada. Suponemos que las condiciones de compatibilidad (1) y (2) anteriores se satisfacen y que para todo T h , (T, P T , ΣT ) es un elemento finito de clase C 0 y P T es un subespacio de H 1(T ). Entonces el operador de interpolaci´ on Πh , definido por
T
∈ T
Πhv(x) = ΠT v(x)
∀x ∈ T˙
T
∈ T h
¯ Dicho de otro modo y de manera de C 0 en L2 (Ω) tiene su imagen en C 0 (Ω). m´as precisa ¯ V h = Πh v; v C 0 (Ω)
{
∈
}
¯ la restricci´ on Demostraci´ on: Sea v una funci´on continua definida en Ω; a un elemento cualquiera T de h de la funci´on Πh v pertenece al espacio P T ,
T
79
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
subespacio de C 0(T ). Para demostrar que Πh v pertenece a V h basta verificar que Πhv es continua sobre toda cara T com´ un a dos elementos adyacentes T 1 y T 2 de h , es decir, que tenemos
T
ΠT 1 v Como la funci´ on w = ΠT 1 v T P T 1 T = P T 2 T tal que a Σ
|
∀ ∈
= ΠT 2 v
T
|
T
es una funci´ on del espacio P = w(a) = 0 donde Σ = ΣT 1 ∩T = ΣT 2∩T , los
| − Π v|
|
|
T 2
T
elementos finitos son de clase C 0 y Σ es P -unisolvente, deducimos w = 0. ¯ es decir Πhv; v C 0 (Ω) ¯ En consecuencia Πhv es continua sobre Ω, V h .
{ ∈ }⊂ ¯ Rec´ıprocamente, sea v ∈ V = {v ∈ C (Ω); v | ∈ P }, tenemos v | ∈ P , entonces v | = Π v as´ı pues v = Π v y v es continua pues v ∈ V . 0
h
T
T
T
T
T
T
h
h
Construcci´on de una base de V h Introduzcamos el conjunto de nodos de los elementos finitos
∪ ∈T Σ = {a } ≤ ≤ card(Σ) = I 1 ≤ i ≤ I , designamos ϕ la funci´on de V ϕ (a ) = δ 1 ≤ j ≤ I
Σh = Para todo entero i
T
h
T
i 1 i I
i
i
j
h
tal que
ij
¯ tenemos evidentemente Si v es una funci´ on continua sobre Ω, I
Πh v =
v(ai )ϕi
i=1
Corolario: Con las hip´otesis anteriores el conjunto de funciones ϕi constituyen una base de V h y toda funci´ on v de V h se escribe
{ }
I i=1
I
v=
v(ai )ϕi
i=1
Definici´ on: Los escalares v(ai ) funci´on v de V h .
{
I i=1
}
80
se llaman grados de libertad de una
´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON
Observemos que las funciones ϕi tienen peque˜ no soporte. M´ as precisamente, el soporte de ϕi es el conjunto de elementos T de h que contienen al nodo ai . Adem´as la restricci´ on de ϕi a cada uno de estos elementos T es una funci´on de la base del elemento finito (T, P T , ΣT ).
T
Ejemplos
1.
T , triangulaci´on de Ω¯ construida mediante d-simplex. Dado un entero k ≥ 1, se asocia a todo T de T el d-simplex de tipo (k), (T, P , Σ ). P h
h
k
k
k
es el espacio de polinomios de grado k en T . Entonces todo (T, P k , Σk ) es de clase C 0 y se verifican las condiciones de compatibilidad siendo aplicable el teorema anterior.
T
2. An´alogo al anterior construyendo h mediante paralel´ otopos y elementos finitos del tipo (K, Qk , Σk ), siendo Qk el espacio de polinomios de grado k obtenido mediante producto tensorial del espacio de polinomios de grado k en cada variable. 3. Mezclando los dos anteriores de manera que en una cara com´ un a un tri´angulo y a un paralel´otopo se cumplan las condiciones de compatibilidad.
81
Cap´ıtulo 4 An´ alisis num´ erico del M´ etodo de Elementos Finitos 4.1.
Resultados generales de aproximaci´ on en espacios de Sobolev
Si (T,P, Σ) es un elementos finito de Lagrange, a toda funci´ on v definida en T , le hemos asociado una funci´ on Πv, funci´on P -interpolada de Lagrange de v sobre Σ. Vamos a estudiar en este apartado el error de interpolaci´ on v Πv. Para los problemas el´ıpticos de orden 2, estaremos especialmente interesados en una mayoraci´ o n de este error en la norma de H 1 (T ), v Πv 1,T .
−
|| −
||
Empezamos por dar algunos resultados generales de aproximaci´ on en los espacios de Sobolev. Sea T una parte compacta de Rd , conexa y de interior ˙ donde T ˙ es el no vac´ıa. Para simplificar denotamos H m (T ) al espacio H m(T ), interior de T . Si E es un subespacio de H m(T ), el espacio cociente H m (T )/E es el conjunto de clases de equivalencia v˙ de funciones de H m (T ) m´odulo la relaci´on de equivalencia v1
v2
⇐⇒ v − v ∈ E 1
2
Cuando E es un subespacio cerrado de H m (T ), el espacio H m (T )/E provisto 82
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
de la norma cociente
||v˙ ||
= ´ınf v
H m (T )/E
|| ||
v v˙
∈
m,T
es un espacio de Hilbert (Dem: ejercicio). En particular, para todo entero, k 0, el espacio P k de los polinomios de grado menor o igual que k sobre
≥
T es un subespacio de dimensi´on finita de H k+1 (T ), de manera que podemos introducir el espacio cociente H k+1 (T )/P k ; vamos a dotar a este espacio de una norma m´as manejable que la norma cociente. Para ello, habr´ a que suponer adem´ as que la inyecci´ on can´ onica de H 1 (T ) en L2 (T ) es compacta; puesto que T es un acotado de R2 , esta propiedad se verifica siempre que la frontera ∂T es de clase C 1 a trozos.
Teorema : Sea T una parte compacta de Rd , de frontera C 1 a trozos. Entonces para todo entero k 0 la aplicaci´on
≥
v˙
→ |v˙ |
k+1,T
= v
||
k+1,T
=(
|
∂ α v 2 )1/2
|α|=k+1
T
|
donde v es un representante cualquiera de la clase v˙ en H k+1 (T ), es una norma sobre H k+1 (T )/P k equivalente a la norma cociente.
Demostraci´ on: Sea v˙ una clase de equivalencia de H k+1 (T )/P k y sea v v. ˙ El valor de v˙ k+1,T no depende del representante elegido. En efecto,
||
∈
|
∀ p ∈ P |v| k
k+1,T
= v + p k+1,T
|
|
Tenemos evidentemente
|v˙ | en efecto, para todo v ∈ v˙ |v˙ |
k+1,T
≤ ||v˙ ||
H k+1(T )/P k
| | ≤ ||v|| y tomando el ´ınf para todo v ∈ v˙ obtenemos el resultado. k+1,T
= v
k+1,T
83
k+1,T
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
Para obtener la equivalencia de normas resta establecer la existencia de una constante C tal que
||v˙ ||
H k+1 (T )/P k
≤ C |v˙ |
k+1,T
para todo elemento v˙ de H k+1 (T )/P k . Empezamos por demostrar la existencia de una constante C tal que
||v||
k+1,T
2 k+1,T
≤ C {|v|
+
∂ α vdx)2
(
|α|≤k
T
1/2
}
para toda funci´ on v H k+1 (T ). Razonamos por reducci´ on al absurdo. Supongamos que para todo entero positivo n existe una funci´ on v˜n tal que 1 ( ∂ α v˜n dx)2 < 2 v˜n 2k+1,T v˜n 2k+1,T + n T
∈
| |
|| ||
|α|≤k
poniendo vn =
v˜n
||v˜ ||
n k+1,T
obtenemos una sucesi´ on vn verificando
{ } ||v ||
n k+1,T
2 n k+1,T
|v |
+
=1
∂ α vn)2 <
(
|α|≤k
T
(4.1.1) 1 n2
(4.1.2)
Si la inyecci´o n de H 1 (T ) en L2 es compacta, tambi´ en la inyecci´ o n de H k+1(T ) en H k (T ) es compacta. Entonces de (4.1.1), deducimos la existencia de una subsucesi´ on vµ convergente en H k (T ). Por una parte de (4.1.2) resulta
|v |
µ k+1,T
<
1 µ
de modo que vµ
→v 84
en H k (T )
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
∂ α vµ
∀α, |α| = k + 1
en L2 (T )
→0
por la continuidad de la derivaci´ on en el sentido de las distribuciones tambi´en ∂ α vµ ∂ α v
→
para todo α, v
k+1
∈ H
α
|α| = k + 1. De modo que ∂ v = 0 para |α| = k + 1 y
(T ). Por otra parte d
∀α ∈ N ,
| |≤ | →∞ | |≤ α
T
pasando al l´ımite cuando µ d
∀α ∈ N ,
α
1 µ
∂ α vµ <
k
|
∂ α v = 0
k
T
como T es una parte convexa de Rd, las relaciones ∂ α v = 0
∀ α | α| = k + 1
implican que v es un polinomio de grado k sobre T . Y de las relaciones
∂ α v = 0
∀α |α| ≤ k
T
deducimos v = 0. Pero esto contardice la elecci´ on vn
|| ||
Finalmente consideremos v˙
k+1
∈ H
k+1,T
= 1.
(T )/P k y sea v¯ un representante
cualquiera de v˙ en H k+1 (T ). A esta funci´on v¯ le podemos asociar el polinomio p P k definido de manera u´nica por las relaciones
∈
d
∀α ∈ N |α| ≤ k,
α
∂ p =
T
−
∂ α v¯
T
Entonces v = v¯ + p es el representante de v˙ tal que
∀α ∈ N Para este v tendremos
||v||
k+1,T
d
| |≤
2 k+1,T
≤ C {|v|
α
∂ α v = 0
k
T
+
∂ α v)2
(
|αlek
85
T
}
1/2
= C v
||
k+1,T
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
y deducimos
||v˙ ||
H k+1 (T )/P k
≤ ||v||
k+1,T
lo que termina la demostraci´ on.
≤ C |v|
k+1,T
= C v˙
||
k+1,T
A partir del teorema anterior obtenemos el siguiente teorema general de aproximaci´ on en los espacios de Sobolev.
Teorema de Aproximaci´on I: Sea T una parte compacta y conexa de Rd de frontera C 1 a trozos y sea Π un opeardor lineal continuo de H k+1(T ) en H m(T ), 0 m k + 1, tal que
≤ ≤
∀ p ∈ P ,
Π p = p
k
Entonces existe una constante c = c(T, Π) tal que k+1
∀v ∈ H (T ) ||v − Πv|| ≤ c|v| Demostraci´ on: Sea v ∈ H (T ), de la hip´otesis hecha sobre Π, para todo p ∈ P v − Πv = v + p − Π p − Πv = (I − Π)(v + p) m,T
k+1,T
k+1
k
de donde
||v − Πv|| ≤ ||I − Π||∗||v + p|| donde ||.||∗ designa la norma en el espacio L(H (T ), H ||v − Πv|| ≤ C ´ınf ||v + p|| = C ||v˙ || ∈ m,T
k+1,T
k+1
m,T
1
k+1,T
p P k
m
1
(T )). Resulta
H k+1(T )/P k
con C 1 = I
|| − Π||∗. Finalmente gracias al teorema anterior ||v − Πv|| ≤ C C |v| ∀v ∈ H (T ) m,T
1
k+1
k+1,T
El teorema queda demostrado tomando c = C 1 C .
El siguiente paso consiste en poner en forma expl´ıcita la dependencia de la constante c en funci´ on de las caracter´ısticas geom´etricas de T . Para ello ˆ de Rd , conexa y de frontera C 1 a vamos a introducir una parte compacta T 86
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
trozos, que nos va a servir de dominio de referencia. Suponemos que existe una transformaci´on af´ın invertible x = F (ˆ x) = Bxˆ + b,
x
d
∈R ,
x ˆ
d
∈R ,
b
d
∈R ,
B, matriz d
×d
ˆ tal que T = F (T ). Adoptamos las siguientes definiciones: A toda funci´ on v definida sobre T , le asociamos biun´ıvocamente la ˆ por las relaciones funci´on vˆ definida sobre T
∀xˆ ∈ T ˆ
vˆ(ˆ x) = v(x) es decir, vˆ = v F .
◦
Introducimos las siguientes caracter´ısticas geom´etricas
•h •ρ
T
ˆ = di´ametro de T ). ˆ = di´ametro de T (resp. h
= di´ametro m´ aximo de las esferas (c´ırculos si d = 2) contenidas ˆ en T (resp. ρˆ di´ametro m´ aximo de las esferas contenidas en T ). T
Podemos estimar las normas espectrales B y B −1 en funci´ o n de las ˆ recordemos que la norma de una matriz caracter´ısticas geom´etricas de T y T ;
|| || || ||
B est´a definida por
||B|| =
sup ξ
∈Rd,ξ=0
|Bξ | = |ξ |
sup ξ
∈Rd ,ξ≤1
|Bξ | =
sup ξ
∈Rd ,|ξ|=1
donde ξ designa la norma eucl´ıdea del vector ξ de Rd .
||
Lema: Se verifican las siguientes mayoraciones
||B|| ≤ 1
hT ρˆ
||B− || ≤
ˆ h ρT
87
|Bξ |
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV
Demostraci´ on on: Podemos escribir
||B|| = ρ1ˆ |sup |Bξ | | ξ =ˆ ρ
Sea ξ un ξ un vector de Rd tal que ξ = ρˆ; por definici´ definicion o´n de ρˆ, di´ametro ametro m´ aximo aximo de ˆ, existen dos puntos yˆ y z ˆ tales que ξ = yˆ z las esferas contenidas en T , T zˆ de T zˆ .
||
−
Entonces
Bξ = Byˆ
F (yˆ) − F ( F (z zˆ ) = y − z − Bz zˆ = F (
donde los puntos y y z pertenecen a T ; T ; por definici´ on on de hT resulta
|Bξ | = |y − z | ≤ h Esta desigualdad es v´ alida alida para todo ξ con |ξ | = ρˆ, por tanto, tomando el T
supremo y dividiendo por ρˆ
||B|| ≤ hρˆ
T
ˆ Lo que prueba la primera desigualdad. Intercambiando los papeles de T y T se obtiene la otra desigualdad. ˆ una parte compacta y conexa de o n II: Sea T Teorema de Aproximaci´on ˆ un operador lineal continuo de H k+1 (T ) ˆ) Rd de frontera C 1 a trozos y sea Π T ˆ), 0 m k + 1 tal que en H m (T ), T
≤ ≤
∀ pˆ ∈ P
k
ˆ pˆ = pˆ Π
Si T es una parte de Rd tal que existe una transformaci´ on on af´ın ın invertib inver tible le F ˆ) y el operador Π est´ de Rd en Rd para la cual T = F ( a definido por F (T ) T k+1
∀v ∈ H
ˆv (T ) T ) Πv = Πˆ
Entonces existe una constante C independiente independiente de F tal que k+1
∀v ∈ H
(T ) T )
|v − Πv| ≤ m,T
88
hkT +1 C m v ρT
||
k+1,T +1,T
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV
ˆ y por tanto de d, de Π ˆ y por tanto de k y La constante C depende de T de m; la novedad reside en que la constante C es independiente de F y por tanto de las caracter´ cara cter´ısticas ıstica s geom´etricas etric as de T . T . Para la demostraci´on on ser´ a util u ´til utilizar la noci´on on de diferencial de Fr´echet echet de una funci´ on. Recordemos, si v es una funci´on o n definida en un entorno de un punto Rd y diferenciable (en sentido cl´ x asico) asico) l veces, se denota Dl v (x) a su
∈
diferencial de orden l que es una forma l-multilineal -multilin eal sim´etrica etric a sobre Rd Dl v (x) : Rd
d
× ... × R −→ R D (v (x)(ξ )(ξ ,...,ξ ) ∈ R ξ ∈ R i = 1,...l )(ξ ,...,ξ )| |D v(x)(ξ sup ||D v(x)|| = |ξ |...|ξ | ∈ donde |ξ | designa desig na la norma eucl´ıdea ıdea de ξ ∈ R . Por otra parte recordemos la notaci´ on |α| = α + ... + α , y l
1
l
d
i
l
l
ξ1 ,...,ξl
Rd ,
1
1
ξ1 ,...,ξl =0 =0
l
l
d
1
d
∂ α v (x) = Dl v (x)(e )(e1 , .(α1 veces) ., e1 ,...,ed , .(αd veces) ., ed ) donde ei es el i-´esimo esimo vector de la base can´ onica onica de Rd . Demostraremos primeramente primeramente el siguiente siguiente
Lema: Existen dos constantes γ 1 = γ 1 (l, d) y γ 2 = γ 2 (l, d) mayores que cero tales que T ) ∀v ∈ D(T )
γ 1 v
||
l,T
≤ ||
Dl v (x) 2 dx) dx)1/2
(
||
T
≤ γ |v| 2
l,T
Demostraci´ on on: Sea α un multientero y α = l, se tiene α
l
|∂ v(x)| =≤ ||D v(x)|||e |. 1
α1 (veces)
|| .|e |...|e |. 1
d
αl (veces)
d
de modo que (
|
|α|=1
T
∂ α v (x) 2 )1/2
|
≤ || (
|α|=1
89
T
l
|e | = ||D v(x)||
Dl v (x) 2 )1/2
||
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV
de donde donde (
|
≤ C (
|
T
|α|=1 donde C =
∂ α v (x) 2 )1/2
card α; α = l y γ 1 =
{ || }
l
||D v(x)|| =
poniendo ξ i =
1 . C
||
d k k=1 ξ i ek
||
T
Por otra parte l
sup ξ1 ,...,ξl
Dl v (x) 2 )1/2
...=|ξl |=1 ∈Rd |ξ |=...= 1
)(ξ ,...,ξ )| |D v(x)(ξ 1
i = 1,...,l
d
d
Dl v (x)(ξ )(ξ 1 ,...,ξ l ) =
l
ξ 1k1 ...ξ lkl Dl v (x)(e )(ek1 ,...,ekl )
=
k1 ,...,kl =1
ξ 1k1 ...ξ lkl ∂ α v (x)
k1 ,...,kl =1
donde ∂ α v (x) designa una de las derivadas parciales de v de orden α = l.
||
d
l
)(ξ ,...,ξ )| = |D v(x)(ξ 1
l
d
|
ξ 1k1 ...ξ lkl ∂ α v (x)
k1 ,...,kl =1
|≤|
k1 ,...,kl =1
|
d k 2 k=1 (ξ i )
d
k1 ,...,kl =1
α =l
|
d
k i
d
ξ 1k1 ...ξ lkl
|| | |
∈ R i = 1,...,l son de norma = 1 resulta |ξ | ≤ 1 para k = 1,...,d e i = 1,...,l, ,...,l,
ahora bien, como los vectores ξ i = (ξ i1 , ...ξ ...ξ id ) unidad, es decir, de modo que
ξ 1k1 ...ξ lkl m´ax ax ∂ α v (x)
|≤ |
d
ξ 1k1 ...ξ lkl
k1 ,...,kl
|≤
1 = γ 2(l, d)
k1 ,...,kl
as´ı pue pu es: l
α
ax ax |∂ v (x)| ||D v(x)|| ≤ γ (l, d) m´ || 2
α =l
de donde donde (
|| T
Dl v (x) 2 )1/2
||
≤ γ (l, d)( 2
(m´ax ax ∂ α v (x) )2)1/2
T
|α|=l
|
90
|
≤ γ (l, d)( 2
|
∂ α v (x) 2 )1/2
|α|=l
T
|
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
(T ) y vˆ = v F donde F es una Demostraci´ on del teorema: Sea v aplicaci´on af´ın invertible, es decir, x = F (ˆ x) = Bxˆ + b, siendo B una matriz invertible de orden d d. Aplicando la regla de la cadena tenemos:
∈D
◦
×
Dl vˆ(ˆ x)(ξ 1 ,...,ξ l ) = Dl (v F )(ˆ x)(ξ 1 ,...,ξ l
◦
= Dl (v(F (ˆx)))(Bξ 1 ,..., Bξ l ) = Dl v(x)(Bξ 1 ,..., Bξ l ) de donde l
||D vˆ(ˆx)|| = |
l
sup ξ1 =...= ξl =1
|
| |
|D vˆ(ˆx)(ξ ,...,ξ )| = | 1
l
sup
l
ξ1 =...= ξl =1
|
| |
|D v(x)(Bξ , ..., Bξ )| 1
l
l
≤ ||D v(x)||||B||
l
y finalmente
|| ˆ T
l
2
D vˆ(ˆx) dˆ x
||
≤ || || || B
2l
ˆ T
D(F (ˆ x)) 2 dˆ x
||
utilizando la f´ ormula del cambio de variable bajo el signo integral
|| ˆ T
l
2
2l
D vˆ(ˆ x) dˆ x
|| ≤ ||B||
|detB|−1
||
Dl v(x) 2dx
||
T
Obtenemos as´ı, aplicando el lema anterior l
1/2
∀v ∈ D(T ) |vˆ| ≤ γ ||B|| |detB|− |v| ˆ l,T
donde γ = Como
γ 2 γ 1
l,T
> 0, γ = γ (l, d). l
D(T ) es denso en H (T ), deducimos ∀v ∈ H (T ) |vˆ| ≤ γ ||B|| |det B|− |v| l
l
ˆ l,T
1/2
l,T
ˆ obtenemos an´ intercambiando los papeles de T y de T , alogamente ˆ |v | ≤ γ ||B− || |det B| |vˆ| ∀vˆ ∈ H (T ) l
Sea finalmente una funci´ on v v Πv
−
1 l
l,T
k+1
∈ H
1/2
ˆ l,T
(T ), aplicando el u´ltimo resultado a
1 m
1/2
|v − Πv| ≤ γ (l, d)||B− || |det B| |vˆ − Πv| m,T
91
ˆ m,T
´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV
ˆv por el teorema de aproximaci´ on y como Πv = Πˆ
|vˆ − Πv|
ˆ m,T
ˆ v| | − Πˆ ≤ C |vˆ|
= vˆ
ˆ m,T
ˆ k+1,T
ˆ T ). ˆ Como donde C = C (Π,
|vˆ|
ˆ k+1,T
k+1
1/2
≤ γ (k + 1, d)||B|| |det B|− |v|
k+1,T
resulta ˆ T )γ ˆ (l, d)γ (k + 1, d)||B− || ||B|| |v | |v − Πv| ≤ C (Π, 1 m
m,T
y como B
|| || ≤
hT , ρˆ
1
||B− || ≤
k+1
ˆ h ρT
|v − Πv| ≤ m,T
hk+1 C T m v ρT
||
ˆ T )γ ˆ (l, d)γ (k + 1, d) hˆkm donde C = C (Π, . ρˆ +1
k+1,T
Corolario: Consideremos ahora todos los valores l, 0 operadores Πl = I Π definidos por
◦
Πl : H k+1 (T ) v
k+1,T
m
≤ l ≤ m y los
l
−→ H (T ) −→ H (T ) −→ Πv −→ Πv
entonces
|v − Πv|
l,T
= v
| − Π v| ≤ l
l,T
l=0 l=1
l=m
hk+1 C T l v ρT
||
k+1,T
k+1
∀v ∈ H
(T )
|v − Πv| ≤
hk+1 C 0 T 0 v ρT
k+1,T
|v − Πv| ≤
hk+1 C 1 T v ρT
k+1,T
|v − Πv| ≤
hk+1 C m T m v ρT
k+1,T
0,T
1,T
m,T
92
|| || ||
...
∀l,
0
≤l≤m
´ AL AN ALISIS ´ ´ 4.2. APLICACI ON NUM ERICO DEL M.E.F. EN ´ PROBLEMAS ELIPTICOS DE SEGUNDO ORDEN
elevando al cuadrado, sumando y sacando la raiz cuadrada
||v − Πv|| ≤ m,T
hk+1 C ∗ T m v ρT
||
k+1,T
2(m l)
−
2 donde C ∗ = ( m )1/2 . La constante C ∗ se puede mayorar por una l=0 C l ρT constante independiente de las caracter´ısticas geom´etricas de T, si consideramos solo elementos T suficientemente peque˜ nos, por ejemplo de di´ ametro inferior a 1, para los cuales evidentemente el di´ ametro de la circunferencia inscrita ser´ a menor que 1.
4.2.
Aplicaci´ on al an´ alisis num´ erico del M.E.F. en problemas el´ıpticos de segundo orden
Consideraremos el caso de Ω un abierto poli´edrico de R.
{T }, triangulaciones de Ω, seg´un se ha definido en el Cap´ıtulo 3 subh
secci´on 3.2.1.
(T, P T , ΣT )T ∈T h una familia de elementos finitos asociada a cada ˆ af´ın equivalentes a un elemento finito de referencia (Tˆ , Pˆ , Σ). h = m´axT ∈T h hT para cada
T , h
T . h
{T } ser´a una familia regular de triangulaciones , es decir, existe una constante σ ≥ 1 tal que h
∀T ∈ {T } h
h
hT ρT
≤σ
ˆ es un tri´ angulo la u ´ltima propieComentario : En dimensi´on d = 2 si T dad es equivalente a la existencia de un ´angulo θ0 > 0 tal que
∀T ∈ T
h
93
θT
≥θ
0
´ AL AN ALISIS ´ ´ 4.2. APLICACI ON NUM ERICO DEL M.E.F. EN ´ PROBLEMAS ELIPTICOS DE SEGUNDO ORDEN
donde θT es el a´ngulo menor del elemento T . ˆ de P -interpolaci´ ˆ ˆ es lineal continuo on sobre Σ Comentario : El operador Π ˆ en H m(T ) ˆ si k 1, d 3 y P ˆ H m (T ). ˆ En efecto, si d 3 la de H k+1 (T ) aplicaci´on
≥
≤
⊂
ˆ H k+1(T ) v es continua y v ˆ Πv
∈ P ˆ ⊂ H
|| ||
m
ˆ Πv
|| ||
ˆ m,T
=
≤
ˆ −→ C (T ) −→ v 0
k+1
∞,T ˆ ≤ ||v||k+1,T ˆ . Adem´as para todo v ∈ H
0,
ˆ tenemos (T )
ˆ En consecuencia (T ).
||
v(ai )φi
||
ˆ m,T
≤ |
v(ai ) . φi
| || || ≤ C ||v|| ˆ m,T
0,
∞,T ˆ ≤ C ||v||k+1,T ˆ
ˆ es un espacio de polinomios se verifica que P ˆ Observemos que si P
m
⊂ H
ˆ (T ).
P de la forma a(u, v) =< l, v > ∀v ∈ V u ∈ V
Consideremos un problema modelo
donde supondremos que V = H ( Ω) o V = H 01 (Ω) o un espacio intermedio entre los dos. Con las hip´otesis sobre a(., .) y < l, . > del teorema de LaxMilgram. El problema aproximado h ser´a
P
a(uh , vh ) =< l, vh >
donde
∀v ∈ V u ∈ V h
h
h
h
¯ v | ∈ P ∀T ∈ T } { ∈ C (Ω);
V h = X h = v
0
T
T
h
o bien V h = X h
1 0
∩ H (Ω)
o bien V h = X h
∩ V
en caso de que V sea un espacio intermedio entre H 1 (Ω) y H 01 (Ω). 94
´ AL AN ALISIS ´ ´ 4.2. APLICACI ON NUM ERICO DEL M.E.F. EN ´ PROBLEMAS ELIPTICOS DE SEGUNDO ORDEN
||u − u ||
El objetivo es estimar el error C ´ınf vh∈V h u
|| − v ||
Como Πh u
h 1,Ω .
h 1,Ω .
∈ V
Sabemos
tenemos
h
||u − u || ≤ C ||u − Π u|| h 1,Ω
h
||u − u || ≤ h 1,Ω
1,Ω
∪
donde Πh es el operador de interpolaci´ on definido sobre Σ = T ∈T h ΣT . Esto es factible si podemos construir Πh u. Para ello necesitamos cierta regularidad de u.
Teorema : sea Ω un abierto poli´edrico de Rd , d 3. Sea h una trian¯ asociada a un elemento finito de referencia (Tˆ , Pˆ , Σ) ˆ de clase gulaci´on de Ω
≤
C 0 . Supongamos que existe un entero k P k
{T }
≥ 1 para el cual tenemos
ˆ ⊂ P ˆ ⊂ H (T ) 1
Entonces el M´etodo de Elementos Finitos es convergente, es decir, la soluci´ on uh del problema aproximado converge hacia la soluci´ on u del problema ( )
P
en la norma de H 1 (Ω): l´ım u
|| − u ||
h
→0
h 1,Ω
=0
Adem´as, si la soluci´on u de ( ) pertenece al espacio de Sobolev H k+1 (Ω) tenemos
P
k
||u − u || ≤ Ch |u| h 1,Ω
k+1,Ω
Se dice entonces que el m´etodo es de orden k.
Demostraci´ on: Empezamos demostrando el caso en que u H k+1(Ω). ¯ para k Si u H k+1 (Ω) entonces u C (Ω) 1, d 3. Entonces podemos construir el operador de interpolaci´ on Πh . Tenemos
∈
∈
≥
≤
∈
||u − u || ≤ C ||u − Π u|| h 1,Ω
con C 1 = tenemos
M . α
1
h
1,Ω
Considerando la restricci´on Πh u T = ΠT u para todo T
|
||u − Π u|| h
1,Ω
=(
|| − u
T
∈T h
95
ΠT u
||
2 1/2 1,T )
∈ T
h
´ AL AN ALISIS ´ ´ 4.2. APLICACI ON NUM ERICO DEL M.E.F. EN ´ PROBLEMAS ELIPTICOS DE SEGUNDO ORDEN
Por el teorema de aproximaci´ on II, existen dos constantes C 2 y C 3 que deˆ tales que penden u´nicamente del elemento de referencia (Tˆ , Pˆ , Σ)
|u − Π u| ≤ T
1,T
hk+1 C 2 T u k+1,T ρT
||
hk+1 C 3 t 0 u k+1,T = C 3 hk+1 u k+1,T T ρ
||u − Π u|| ≤ || || Como la triangulaci´ on T es regular ≤ σ, es decir ≤ |u − Π u| ≤ C σh |u| ¯ ||u − Π u|| ≤ C diam(Ω)h |u| T
0,T
hT ρT
h
T
T
1 ρT
1,T
k T
2
0,T
σ , hT
de donde
k+1,T k T
3
k+1,T
y
2 1,T
2 1,T
2 0,T
||u − Π u|| = |u − Π u| + ||u − Π u|| ¯ h |u| ≤ (C σ + C (diam(Ω)) ||u − Π u|| ≤ C h |u| T
T
2 2 2
2 3
T
1,T
T
2 2k T
k 4 T
2 k+1,T
k+1,T
¯ 2 )1/2 Finalmente donde C 4 = (C 22σ 2 + C 32 (diam(Ω) k
||u − Π u|| ≤ C h |u| h
1,Ω
4
k+1,Ω
Para demostrar que el m´etodo converge aunque la funci´on u no sea regu¯ si V = H 1 (Ω) o intermedio entre H 1 (Ω) y H 1(Ω). lar, tomemos = (Ω) 0 1 Tomamos = (Ω) si V = H 0 (Ω). Entonces es denso en V y Πh est´a definido en , Πh : V h . Tenemos por la primera parte de la demostraci´ on
V D V D V V V −→ ∀v ∈ V ||v − Π v|| ≤ Ch|v| es decir l´ım → ||v − Π v || = 0. Por otra parte como V es denso en V , para todo ε > 0 existe un elemento v ∈ V tal que ε ||u − v|| ≤ 2C y para este v, existe un n´ umero h(ε) > 0 tal que ∀h ≤ h(ε) ||v − Π v || ≤ h
h
0
h
1,Ω
2,Ω
1,Ω
1,Ω
h
ε . 2C
1,Ω
Entonces para h suficientemente peque˜ no
||u−u || ≤ C ||u−Π u|| ≤ C (||u−v|| h 1,Ω
h
1,Ω
96
||v−Πv||
1,Ω +
1,Ω )
ε ε + )=ε ≤ C ( 2C 2C
Cap´ıtulo 5 Aspectos pr´ acticos y programaci´ on del M.E.F. 5.1.
Un M´ etodo de Elementos Finitos para el problema de Poisson
Consideraremos el siguiente problema de Dirichlet para la ecuaci´ o n de Poisson:
−u = f
en Ω
(5.1.1)
u = 0 sobre Γ
(5.1.2)
donde f es una funci´ on dada, definida en Ω. Un gran n´ umero de problemas en f´ısica y mec´ anica se modelan mediante esta ecuaci´ on. u puede representar por ejemplo la temperatura de un cuerpo, el potencial electromagn´etico, el desplazamiento de una membrana el´astica fija en su contorno y sometida a una fuerza. Siguiendo los pasos en el tratamiento del problema modelo unidimensional del cap´ıtulo 1, introduciremos una formulaci´ on d´ebil del problema (5.1.15.1.2). Para ello introducimos un espacio de funciones definidas en Ω y para las cuales tengan sentido las operaciones que vamos a realizar, en este caso, V = H 01 (Ω). 97
´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON
Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´ on (5.1.1) por una funci´ on v V cualquiera e integrando aplicando la f´ ormula de Green resulta teniendo en cuenta que v = 0 en Γ que u es soluci´on del siguiente problema:
∈
Hallar u
∈ V tal que verifique,
∇ ∇
u v dx1 dx2 =
Ω
para toda funci´ on v
fv dx1 dx2
(5.1.3)
Ω
∈ V
Evidentemente toda soluci´ on del problema (5.1.1-5.1.2) ser´ a soluci´on de (5.1.3). Rec´ıprocamente si u es soluci´ on del problema (5.1.3) entonces u ser´a soluci´on del problema de partida (5.1.1-5.1.2), interpretando las derivadas en el sentido de las distribuciones. Vamos a construir un m´etodo num´ erico para calcular en la pr´ actica una aproximaci´ o n de la soluci´ o n de (5.1.3). Empezamos introduciendo un subespacio de V que sea de dimensi´on finita y elegiremos una base de este espacio de modo que las funciones del mismo sean f´ aciles de manejar. Para simplificar supondremos que la frontera Γ del dominio Ω es poligonal. Construyamos una triangulaci´ on h de Ω, subdividiendo Ω en un conjunto de tri´ angulos h = T e e=1,...,E de modo que ¯ = Ω T e , que los tri´angulos no se superpongan, y que las aristas de
T
T { }
e=1,...,E
cada tri´ angulo sea bien la arista de otro tri´ angulo o una parte de la frontera poligonal Γ. Ver un ejemplo en la figura 5.1. A cada mallado o triangulaci´on h le asociamos el par´ametro h = m´axT ∈T h diam(T ), donde diam(T ) = di´ametro de T = lado mayor de T .
T
Definimos ahora V h como sigue: V h = v : Ω
{
→ R, continuas, v | ∈ P (x , x ), v h K
1
1
2
h
}
= 0 enΓ
donde P 1 (x1 , x2 ) designa el conjunto de polinomios de grado 1 de dos variables. El espacio V h consiste en todas las funciones continuas que son lineales en cada tri´ angulo de la triangulaci´ on h y que se anulan en la frontera Γ. Observemos que V h V . Como par´ametros para describir una funci´ on vh de V h elegimos los valores vh ( pi ), i = 1,...,M de vh en los puntos pi , i = 1,...,M , v´ertices de la triangulaci´ on h , excluyendo los v´ertices situados en la frontera Γ, puesto que vh = 0 sobre Γ. Las correspondientes funciones de la base
T
∈
T
98
´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON
Figura 5.1: Ejemplo de triangulaci´ on
ϕ j
∈ V , j = 1, ...M , est´an definidas por h
ϕ j ( pi ) =
1 if i = j 0 if i = j
Una funci´on t´ıpica de la base se representa en la figura 5.2 Estamos en disposici´ on de formular el correspondiente problema aproximado del problema(5.1.3): Hallar uh V h tal que verifique,
∇ ∇
∈
uh vh dx1 dx2 =
Ω
para toda funci´ on vh
f vh dx1 dx2
(5.1.4)
Ω
∈ V . h
En la pr´ actica el problema (5.1.4) se reduce a resolver el siguiente sistema lineal algebraico de ecuaciones:
Au = b donde Aij =
∇ ∇ Ω
ϕi ϕ j dx1 dx2 , bi =
(5.1.5)
Ω
f ϕi dx1 dx2 y el vector solu-
ci´on u = (ui )i=1,...,M , donde ui = uh ( pi ) son los coeficientes de la combinaci´o n lineal de elementos de la base de V h representando uh, es decir, uh(x1 , x2 ) = i=1,...,M uh ( pi )ϕi (x1, x2), siendo pi , i = 1,...,M los v´ertices de
la triangulaci´ on que no est´an en la frontera Γ. 99
´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 5.2: Ejemplo de una funci´ on base
El c´alculo de los t´erminos de la matriz A y del segundo miembro b se realiza sumando las contribuciones de la integral en cada elemento T de la triangulaci´on, as´ı:
Aij =
AT ij
T
∈T h
donde
AT ij
∇ ∇
ϕi ϕ j dx1 dx2
=
T
y
bi =
bT i
T
∈T h
donde
bT i =
T
T Γ f ϕi dx1 dx2
Los pasos a dar en la resoluci´ on de un problema mediante el m´etodo de elementos finitos con la ayuda de un ordenador son: 1. Entrada de datos f , Ω, etc. 100
´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON
2. Construcci´ on y representaci´ on de la triangulaci´on o mallado. 3. C´alculo de las matrices elementales AT y de los vectores segundo miembro bT 4. Ensamblaje de la matriz global del sistema A por suma de las matrices elementales AT y del vector segundo miembro b por suma de los vectores elementales bT . 5. Resoluci´ on del sistema algebraico Au = b. 6. Presentaci´ on y visualizaci´on de resultados. Vamos a precisar con algo m´ a s de detalle el paso 3 y el 4. En primer lugar para calcular las integrales AT on expl´ıcita de ij necesitaremos la expresi´ las funciones de la base ϕi , o m´as concretamente, la restricci´ on a T de las funciones ϕi . Observemos primero que s´ olamente un n´ umero reducido de las funciones de la base son distintas de cero en cada tri´ angulo T , en efecto, la funci´on ϕi ser´a distinta de cero en el tri´ angulo T si y s´olo si pi es un v´ertice de T . Para fijar las ideas, consideremos un tri´ angulo gen´erico T de v´ertices ai = (xi , yi ), i = 1, 2, 3 (para no manejar un excesivo n´ umero de ´ındices utilizar´e aqu´ı la notaci´ on (x,y) para designar las coordenadas cartesianas en olo hay tres funciones de la base de V h cuya restricci´ on a T sea distinta R2 ). S´ de cero. Son las funciones λi , i = 1, 2, 3, polinomios de dos variables de grado 1 en T y que verifican (figuras 5.3, 5.4, 5.5) λi (a j ) = δ ij
i, j = 1, 2, 3
. La funci´ on λ1 = a + bx + cy se puede determinar resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas, a, b, c,
a + bx1 + cy1 = 1 a + bx2 + cy2 = 0 a + bx3 + cy3 = 0 101
´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON
1
1
0.8 0.8
0.6 0.4
0.6
0.2 0.4
0 0
0.1
0.2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.9
1
Figura 5.3: funci´ on λ1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 5.4: funci´ on λ2
102
´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1 0.8
1 0.6
0.8 0.6
0.4 0.4 0.2
0.2 0
0
Figura 5.5: funci´ on λ3
y an´alogamente para las funciones λ2 y λ3 . Observemos que si K es el tri´angulo de v´ertices a1 = (0, 0), a2 = (1, 0) y a3 = (0, 1), entonces las funciones on muy sencilla, pues, λ1 = 1 x y, λ2 = x λi , i = 1, 2, 3 tienen una expresi´ y λ3 = y. Las funciones λ1 , λ2 , λ3 asociadas a un tri´ angulo T , se llaman coordenadas baric´entricas y toman valores entre 0 y 1 en los puntos interiores de T y mayores que 1 o menores que 0 en los exteriores, y el valor 0 o 1 en los puntos frontera. Se tiene adem´ as i=1,2,3 λi (x, y) = 1 en todo punto
− −
(x, y)
5.2.
∈R . 2
C´ alculo de la matriz del sistema de ecuaciones y del segundo miembro: Un ejemplo
Vamos a calcular expl´ıcitamente el sistema (5.1.5) en el caso sencillo correspondiente al problema (5.1.4) en un dominio cuadrado con la triangulaci´on de la figura 5.6. Calcularemos la i-´ esima ecuaci´ on del sistema (en las figuras, la ecuaci´ o n n´ u mero 41 que es la que corresponde al centro del cuadrado). En la figura 5.7 se han dibujado las curvas de nivel de la corres103
´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO
Figura 5.6: Triangulaci´ on del cuadrado [0, 1]
× [0, 1]
pondiente funci´ on base ϕ41 y en la figura 5.8 se ha resaltado el soporte de dicha funci´ on. Empecemos calculando los t´erminos de la matriz. La fila 41 de dicha matriz solo tendr´ a algunos t´erminos no nulos, concretamente y “a priori los t´erminos Aij correspondientes a los valores de indices i = 41 y j = 32, 33, 40, 41, 42, 49, 50, pues solo para estos valores de los ´ındices los soportes de las funciones ϕi y ϕ j tendr´an intersecci´ on no vac´ıa (ver la figura 5.9). Vamos a calcular los t´erminos AT angulo T de la figura ij para cada tria´ 5.9. De hecho bastar´ a hacerlo para uno de ellos (por ejemplo el de v´ertices a41 = (0.5, 0.5), a42 = (0.6, 0.5), a50 = (0.5, 0.6)) y por permutaci´ o n de sus t´erminos obtendremos el resultado para los otros tri´ angulos. De forma algo m´as general consideremos un tri´ angulo de v´ertices (y utilizando numeraci´ on local para simplificar la escritura, es decir, utilizando valores para los 3 ´ındices 1,2 y 3, en lugar de 41,42 y 50) a1 (x1 , y1 ), a2(x2 = x1 + h, y2 ) a3 = (x3 = x1, y3 = y1 + h), la restricci´on de las funciones base a este tri´ angulo ser´ an λ1 = 1
− x −h x − y −h y , 1
λ2 =
x
1
−x , 1
h
104
´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO
Figura 5.7: Curvas de nivel de la funci´on ϕ41
Figura 5.8: Soporte de la funci´on ϕ41
105
´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO
49
50
40
41
42
32
33
Figura 5.9: Estrella asociada a la ecuaci´ on 41
λ3 =
y
−y . 1
h
En efecto, las anteriores funciones verifican λi (a j ) = δ ij para i, j = 1, 2, 3. Los gradientes respectivos son:
∇λ
1
= [ 1/h, 1/h]t ,
−
−
t
∇λ = [−1/h, 0] , ∇λ = [0, 1/h] . 2
t
3
De donde, los correspondiente productos:
∇λ .∇λ 1
1
= 2/h2
2
1
2
2
1
3
1
2
1
2
2
= 1/h2
3
2
=0
∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ ∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ 2
2
∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ = −1/h 3
∇λ .∇λ = 0 ∇λ .∇λ = 1/h 2
3
3
3
2
Integrando en el tri´ angulo T , teniendo en cuenta que son t´erminos constantes y que a ´ rea(T ) = h2 /2 resulta,
AT =
− −
1 1/2 1/2
−1/2 −1/2 1/2 0
106
0 1/2
´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO
y an´alogamente para los otros tri´ angulos del soporte de ϕ41 . Para construir la matriz global A estas contribuciones se han de sumar adecuadamente en la posici´ on fila-columna correspondiente, as´ı el t´ermino AT a a sumarse en la 1,1 ir´ posici´ on A41,41 de la matriz global, el t´ermino AT a en la posici´ on 1,2 , se sumar´ a en la posici´on A41,50 y as´ı sucesivamente. A41,42 , el t´ermino AT 1,3 , se sumar´ Los t´erminos de A, distintos de cero, correspondiente a la ecuaci´ o n n´ umero 41 ser´ an (fila 41 de la matriz) :
A41,32 = A41,40 = A41,42 = A41,50 =
−1
A41,33 = A41,49 = 0 A41,41 = 4 Calculemos el segundo miembro. El t´ermino de la ecuaci´ on 41 es: b41 = fϕ41 dx1 dx2 , la integral la calcularemos utilizando integraci´ on num´erica. Ω
La f´ormula siguiente de Newton-Cotes que integra exactamente polinomios de grado 1, es suficiente:
f (x, y) dxdy
T
≈
a ´rea(T ) f (ai ) 3 i=1,2,3
donde ai i = 1, 2, 3 son los 3 v´ertices del tri´ angulo. En nuestro caso, la funci´on a integrar es fϕ41 , que vale 1 en el v´ertice 41 y 0 en los otros. Por tanto,
f ϕ41 dxdy
T
f (a ≈ a´rea(T ) 3
41 )
sumando las contribuciones de los seis tri´angulos de la estrella (ver la figura 5.9) y teniendo en cuenta que el ´area de cada tri´ angulo es igual a h2 /2, resulta
fϕ41 dxdy
T
2
≈ h f (a 1) 4
La ecuaci´ on 41 del sistema se escribe:
−u − u 32
40
+ 4u41
−u −u 42
107
50
= h2 f (a41 )
(5.2.1)
´ ´ 5.3. UN M ETODO GENERAL PARA EL C ALCULO DE MATRICES Y VECTORES ELEMENTALES
que coincide con el m´etodo cl´ asico de diferencias finitas. Naturalmente el m´etodo de elementos finitos es mucho m´ as general pues se aplica sin dificultad a dominios mucho m´ as generales, con triangulaciones no tan estructuradas como la del ejemplo anterior. Veremos tambi´en como se puede, sin grandes dificultades, utilizar polinomios de grado m´ as alto, lo que permite en la pr´actica mejorar la precisi´ on del m´etodo.
5.3.
Un m´ etodo general para el c´ alculo de matrices y vectores elementales
Vamos a desarrollar un m´etodo de c´ alculo de las matrices y vectores elementales que se pueda aplicar a situaciones m´ as generales que la correspondiente al caso anterior. Por ejemplo en mallados m´ as generales de dominios cualesquiera, con elementos finitos de orden mayor que 1, y en problemas el´ıpticos m´as generales como los que veremos en el cap´ıtulo siguiente. Desarrollaremos con detalle el ejemplo correspondiente al c´ alculo de t´erminos:
d
AT ij
=
Dkl
K
kl
∂ϕ j ∂ϕ i dx1 ...dxd ∂x k ∂x l
(5.3.1)
donde Dkl k, l = 1,...,d son funciones reales definidas en Ω. Con notaci´ on matricial se escribe: AT ij =
∇
t
ϕ j D ϕi dx1 ...dxd
∇
T
(5.3.2)
El c´alculo de estos t´erminos se hace generalmente pasando a un elemento de referencia y utilizando integraci´ on num´ erica. Supongamos para fijar las ideas que Ω R2 , es decir d = 2 y consideremos un tri´ angulo gen´erico T de v´ertices a1 = (x1 , y1 ), a2 = (x2 , y2) y a3 = (x3, y3 ) definido en un plano ordinario de ejes x y. Introducimos ahora una transformaci´ on af´ın cuya ˆ de v´ertices aˆ1 = (0, 0), aˆ2 = (1, 0) y aˆ3 = (0, 1) en el imagen del tri´ angulo T
∈
−
plano de ejes ξ η sea precisamente el tri´ angulo dado T . Dicha transformaci´on af´ın es f´acil de encontrar, en efecto, utilizando las coordenadas baric´entricas ˆ del tri´angulo T ,
−
ˆ1 = 1 λ
− ξ − η
108
´ ´ 5.3. UN M ETODO GENERAL PARA EL C ALCULO DE MATRICES Y VECTORES ELEMENTALES
ˆ 2 = ξ λ ˆ3 = η λ la imagen [x, y]t de un punto [ξ, η]t viene dada por
−− x y
o bien
x1 y1
=
x y
(1
=
x2 y2
η) +
ξ
x21 x31 y21 y31
ξ η
ξ +
x3 y3
η
x1 y1
+
donde x21 = x2 y21
−x , =y −y , 2
o bien llamando
1
x31 = x3
1
y31 = y3
x21 x31 y21 y31
c=
B= y
resulta
x y
−x , −y 1
1
x1 y1
= F (ξ, η) = B
ξ η
+c
La tranformaci´ on de coordenadas F induce una tranformaci´ on de funciones, as´ı, una funci´ on ϕ definida en el plano x y induce una funci´ on ϕˆ en el plano ξ η mediante la composici´ on de funciones
−
−
ˆ η) = (ϕoF )(ξ, η) = ϕ(F (ξ, η)) = ϕ(x, y) ϕ(ξ, Por otra parte las derivadas se transformar´ an seg´ un la regla de la cadena:
∂ ˆ ϕ ∂ξ ∂ ˆ ϕ ∂η
=
∂x ∂ξ ∂x ∂η
109
∂y ∂ξ ∂y ∂η
∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y
´ ´ 5.3. UN M ETODO GENERAL PARA EL C ALCULO DE MATRICES Y VECTORES ELEMENTALES
o bien, observando que
∂y ∂ξ ∂y ∂η
∂x ∂ξ ∂x ∂η
t
B = con notaci´ on matricial,
t
∇ϕˆ = B ∇ϕ de donde, t
∇ϕ = B− ∇ϕˆ Finalmente, teniendo en cuenta que
−
1 B −1 = det B y por tanto
B−t =
1 det B
y31 y21
−x
y31 x31
−y
−
31
x21
21
x21
aplicando el teorema del cambio de variable bajo el signo integral AT ij =
∇
t
T
1 = detB
ϕ j D ϕi dxdy
∇
∇ t
ˆ T
ϕˆ j
y31 y21
−
−x
31
x21
D11 D12 D21 D22
y31 x31
−
−y
21
x21
∇
ϕˆi dξdη
En el caso en que los t´erminos de la matriz D sea funciones constantes por elemento, introduciendo la matriz
C=
y31 y21
−
−x
31
x21
D11 D12 D21 D22
y31 x31
−
−y
21
x21
el c´alculo de AT on ij se simplifica. En efecto, con la notaci´
C=
c11 c12 c21 c22
la matriz AT se escribe
AT ij
1 = detB
∇
t
ˆ T
2
1 ϕˆ j C ϕˆi dξdη = ckl detB k,l=1
∇
110
∂ ϕˆ j ∂ ˆ ϕi dξ 1 dξ 2 ˆ ∂ξ k ∂ξ l T