2 de agosto de 2017
TEOR´IA DE LO LOS S CIR CIRCUIT CUITOS OS I
Arag Aragu´ u´ as as & Perez Paina
Guia 5. Fasores asores
1. Utilizando el metodo fasorial, encontrar la respuesta de estado estable de la tensi´on on en el capacitor vC (t) del circuito de la figura 1 1..
cos(4t)[A] i(t) = 10 cos(4
4Ω
0,25F
vC (t)
Figura 1: R´ 1: R´egimen egimen permanente perman ente fasorial. fasoria l.
2. Encontrar Encontrar la respuesta respuesta de estado estable de la corriente corriente i(t) del circuito de la figura 2 figura 2 y las tensiones en cada elemento. 1000 000Ω
10mH 10mH
i(t)
cos(100t)[V] v (t) = 1000 cos(100
5µF
Figura 2: R´ 2: R´egimen egimen permanente perman ente sinusoidal. sinusoida l.
3. Encontrar la iT (t) del nudo de la figura 3, construir el diagrama fasorial de corrientes y determinar la diferencia de fase que existe entre cada fasor ¯I1 , ¯I2 e ¯I3 . cos(ωt + 45 ) i1 (t) = 14,14 cos( ◦
cos(ωt i2 (t) = 14,14 cos(
iT (t)
− 75 ) cos(ωt − 195 ) i (t) = 14,14 cos( 3
◦
◦
Figura 3: Sumatoria 3: Sumatoria fasorial de corrientes.
4. Para el circuito de la figura 4 se pide a )
calcular calcular la impedancia impedancia total equivalent equivalentee Z T construir diagrama fasorial completo completo de tensiones tensiones y corrientes corrientes b ) construir ¯ T y ¯IT . determinar la diferencia diferencia de fase entre V c ) determinar
5. Un circuito circuito RC paralelo como el de la figura 5 figura 5 tiene tiene una admitancia equivalente 1 Y = RP + j X CP . Determinar el valor de cada elemento del circuito serie que 1 tenga una impedancia de Z = Y . 6. En un circuito circuito serie serie RC con R = 8Ω y C = 30µF alimentado alimentado con un generador de frecuencia variable se desea que la corriente adelante 30 a la tensi´on. on. Calcular a que frecuencia f debe oscilar el generador para producir dicho adelanto. ◦
1
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1
j 1
¯IT
2
Arag Aragu´ u´ as as & Perez Paina
− j2
2
Figura 4: Impedancia 4: Impedancia equivalente y diagrama fasorial. RS
RP
X CP
X CS
Y
Z
Figura 5: Circuitos 5: Circuitos serie-paralelo equivalentes.
7. Dadas las tensiones tensiones en los elemen elementos tos de la figura 6 figura 6,, aplicand ap licando o el m´etodo eto do fasori f asorial al se pide a )
calcular la tensi´on on vT (t) y corriente iT (t),
b)
determinar la lectura del volt´ volt´ımetro,
c )
construir construir el diagrama fasorial completo. completo.
iT
Z1
v1 (t) v1 (t) = 70,7sen(ωt + 30 )[V] ◦
vT (t)
Z2
v2 (t)
V
v2 (t) = 28,3sen(ωt + 120 )[V] ◦
cos(ωt + 30 )[V] v3 (t) = 14,14 cos( ◦
Z3 = 6 + j 10
v3 (t)
Figura 6: R´ 6: R´egimen egimen permanente perma nente senoidal. senoida l.
8. Encontrar Encontrar la impedancia impedancia total equivalen equivalente te del circuito de la figura 7 figura 7 y y construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. 9. Para el circuito de la figura 8 se pide: aplicando m´etodo etodo fasorial encontrar el fasor de corriente ¯IT y su correspondiente iT (t) (utilizar fasores eficaces), ¯ T, V ¯ R1 , V ¯ L, V ¯ R2 = V ¯ C ) y de b ) trazar diagrama fasorial de tensiones (V corrientes (¯ IT , ¯Ia , ¯Ib ),
a )
c )
construir el tri´angulo angulo de potencias del circuito. 2
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j 8
10
150
− 120
◦
¯ I
10
− j 10
j 3
Figura 7: Impedancia equivalente y diagrama fasorial. R1
L
Datos iT (t)
R1 = 150Ω
ia ib R2
50 cos(200t + 70 )[V] ◦
C
R2 = 100Ω C = 60µF L = 500mH
Figura 8: C´ alculo fasorial de tensiones y corrientes.
10. Dado el circuito de la figura 9 se pide aplicar c´alculo fasorial para a ) b)
encontrar el fasor de corriente ¯I y su correspondiente i(t) calcular la tensi´on eficaz V AB
c )
hacer el diagrama fasorial considerando una Z eq entre los puntos A y B
d )
deducir y calcular la potencia activa P entregada por la fuente.
40 cos(500t)[V]
5Ω
100µF
i(t)
500µF
A V AB
16mH
B Figura 9: C´ alculo de potencia y tensi´on eficaz.
11. Encontrar el valor de capacidad C que produce un atraso de corriente de 30 respecto de la tensi´on aplicada en el circuito de la figura 10. Hallar el fasor corriente correspondiente a i(t) y construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes completo. ◦
12. La corriente de r´egimen que circula por un circuito serie RLC excitado por una fuente v in (t) est´a retrasada 30 respecto a la tensi´on aplicada. El valor m´aximo de la tensi´o n en la bobina es el doble de la correspondiente al capacitor y vL = 10 sen(1000t)V. ◦
Hallar los valores de L y C sabiendo que R = 20Ω. 3
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C =?
√
vT (t) = 5 2 sen(10t)[V]
i(t)
0,2H
5Ω
Figura 10: Hallar el valor de C .
Hallar la corriente del circuito i(t), y la fuente de excitaci´on vin (t). 13. Dado el diagrama fasorial de la figura 11 se pide determinar: par´ametros del circuito equivalente serie Rs y Ls par´ametros del circuito equivalente paralelo Rp y Lp Para ambos casos la frecuencia es de 50Hz . Im
¯ V 0 5 1 ◦
45 3 3
−13
◦
Re
¯ I Figura 11: Diagrama fasorial.
14. A un circuito serie RLC con R = 5Ω, L = 0,02H y C = 80µF, se aplica una tensi´on senoidal de frecuencia variable, determinar los valores de ω para los que la corriente a )
adelanta 45 a la tensi´on,
b)
est´a en fase con la tensi´on y
c )
atrasa 45 a la tensi´on.
◦
◦
15. Encontrar el valor de R1 en el circuito de la figura 12 para que el factor de potencia sea de 0,891 en adelanto.
¯ 1 del circuito de la figura 13 tal que la corriente por la 16. Calcular el valor de V resistencia sea nula ¯ AB e indicarla en el diagrama fasorial de tensiones del 17. Encontrar la tensi´ on V circuito de la figura 14. 4
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R2 = 4Ω R1 =? C = j 5Ω
−
Figura 12: Factor de potencia. 20
2 j
¯1 V
42 ¯IR
−2 j
5 j
10 10
¯ 1 tal que ¯IR = 0. Figura 13: Calcular V 5 A 10 120 10
◦
j 12
− j 10
B ¯ AB en r´egimen permanente sinusoidal. Figura 14: Tensi´on V
¯ un ´angulo ϕ. 18. En el circuito de la figura 15 la corriente ¯I atrasa a la tensi´on V Bajo esta condici´on a )
dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes, ¯ AB . on V b ) indicar en el diagrama fasorial de tensiones la tensi´ R1
A
L1
¯ V
R2
L2
C
B ¯ AB . Figura 15: Diagrama fasorial y tensi´on V
19. Para el circuito de la figura 16 se pide construir el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes para C = 1,66mF y C = 5mF. 20. Un sistema capacitivo alimentado con excitaci´on senoidal disipa una potencia P = 7200W con un factor de potencia f p = 0,334. Se sabe que los valores de 5
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2H
16Ω
C
√ 2 sen(6t)
Figura 16: Circuito RLC con fuente de corriente.
resistencia y capacidad del sistema son R = 2Ω y C = 470µF respectivamente. Se pide a )
calcular la frecuencia de la fuente de alimentaci´on senoidal,
b)
calcular la tensi´on eficaz de la fuente, la ca´ıda de cada elemento, y la corriente eficaz,
c )
construir el diagrama fasorial de tensiones y corriente, considerando la tensi´on de alimentaci´on con fase 0 . ◦
21. Sobre un circuito RLC serie se miden las siguientes tensiones V T = 220V, V C = 220V y V L = 438,2V. Sabiendo que la componente resistiva del circuito es de 10Ω, se pide a )
calcular el cos ϕ, el fasor de corriente ¯ I y construir el diagrama fasorial de tensiones,
b)
construir el tri´angulo de potencias,
c )
si se modifica el valor de C para que el cos ϕ sea de 0 ,95 en atraso ¿c´omo se modifica el tri´angulo de potencias?
22. Sean dos impedancias en serie tal que Z T = 1 + j 2Ω (figura 17). Sabiendo que las tensiones son v2 (t) = 31,6cos(ωt + 73,4 ) y vT = 20 cos(ωt 35 ), se pide
−
◦
◦
a )
¯ 1, calcular el fasor V
b)
deducir que medir´ a un volt´ımetro colocado en los bornes de Z 1 , Z 2 y Z T ,
c )
construir el diagrama fasorial de tensiones,
d )
construir el tri´angulo de potencias. Z1 v1 (t) vT (t)
v2 (t)
Z2
Figura 17: Impedancias en serie.
6
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23. Mediante la conexi´ on de capacitores en paralelo se modifica el f.p. desde 0 ,65 en retraso a 0,90 en retraso de una carga de 300W conectada a la distribuci´on domiciliaria (220V-50Hz). Se pide a ) b)
calcular la capacidad C de los capacitores agregados en paralelo, construir los tri´angulos de potencia antes y despu´ es de la correcci´on.
24. Se quiere encontrar las constantes R y L de una bobina real. Para esto se utiliza una resistencia patr´on de RP = 10Ω. Al conectar la resistencia patr´on en serie con la bobina real y alimentar el circuito se miden las siguientes tensiones: on, V bobina = 22,4V en los bornes de la V Rpatron = 20V en la resistencia patr´ bobina y V T = 36V la tensi´on de alimentaci´on. Si la frecuencia de alimentaci´on es de f = 50Hz, calcular R y L del inductor real. 25. La corriente que circula por un circuito serie RLC est´a retrasada 30 con respecto a la tensi´on aplicada. El valor m´aximo de la tensi´on en la bobina es el doble de la corresponiente al capacitor y vale vL (t) = 10 sen(100t)[V]. Se pide hallar los valores de L y C sabiendo que R = 20Ω. ◦
26. Siendo ZA = 9,6 51,3 = 6 j 7,5, ZB = 8,93 26,6 = 8 + j 4 y ZC = 6,7 65,3 = 2,8 + j 6,1 en el circuito de la figura 18, se pide: ◦
−
−
◦
◦
a )
la corriente total ¯I, y las corriente en las impedancias Z A y Z B ,
b)
la potencia activa en cada impedancia y la potencia activa total con su verificaci´ on,
c )
el factor de potencia del circuito,
d )
diagrama fasorial completo. ¯ I ¯ 120 0 V =
◦
ZB
ZA
ZC
Figura 18: Calcular corriente y potencia activa de cada elemento.
27. Dado el circuito de la figura 19 se pide: a )
encontrar i(t),
¯ R1 , V ¯ C, V ¯ L, V ¯ R2 , construir el diagrama fasorial completo de tensiones (V ¯ ) y corrientes (¯ V I, ¯IL , ¯IR2 ), ¯ y ¯I, c ) determinar la diferencia de fase entre V
b)
d )
construir el tri´angulo de potencias. 7
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4µF
150Ω i(t)
√ 100 2 sen(1000t + 30 )[V]
200mH
◦
270Ω
Figura 19: C´ alculo de potencia en r´ egimen permanente sinusoidal.
28. El diagrama fasorial de la figura 20 se obtiene al aplicar una tensi´on sinusoidal v (t) = 15 cos(10t) a un circuito serie, los valores son V R = 8V, V L = 1,03V y V C = 8V. Determinar a partir de ´este:
| |
| |
| |
el valor de los elementos pasivos que conforman el circuito, el cos ϕ del sistema, el tri´angulo de potencias utilizando el m´ etodo de potencia compleja y comprobando con el c´alculo de la potencia en cada elemento. 1,03V 8V
8V ¯I = 1A
Figura 20: Diagrama fasorial de tensiones.
29. Demuestrar que la capacidad en paralelo necesaria para corregir el factor de potencia de un sistema viene dada por C =
P (tan ϕ0 tan ϕf ) V 2 ω
−
(1)
con P la potencia activa y V la tensi´on de alimentaci´on del sistema, y cos ϕ0 y cos ϕf los factores de potencia inicial y final respectivamente. 30. En el circuito de la figura 21 se dan valores arbitrarios a R y jX L . Se pide: a )
demostrar anal´ıticamente que para cualquier par de valores de R y jX L el valor eficaz de la diferencia de potencial V AB es siempre 50V,
b)
construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes para un par cualquiera de valores de R y jX L , ¯ AB . c ) se˜ nalar en el diagrama fasorial el fasor V
31. Para el circuito de la figura 22 se pide: a )
¯ AB , calcular la tensi´on V 8
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10Ω A
100 0
◦
Aragu´ as & Perez Paina
R
B 10Ω
jX L
¯ AB de valor eficaz constante. Figura 21: Tensi´on V b)
construir el diagrama fasorial completo (tensiones y corrientes), ¯ AB , c ) indicar en el diagrama fasorial la tensi´ on V
d )
construir el tri´angulo de potencias,
e )
calcular la potencia en los elementos resistivos. R1 = 2
¯I 10 + j 10
C 1 = j 4
A
L2 = j 4
B
−
¯I1
¯ I2
R2 = 4
L1 = j 2
¯ AB . Figura 22: Calcular V
32. El circuito de la figura 23 es el equivalente de un motor as´ıncrono en r´egimen permanente nominal. Z e y Z r representan respectivamente las impedancias del estator y rotor. La resistencia Rc representa las p´erdidas en el hierro y X M la reactancia de magnetizaci´ on. En estas condiciones de funcionamiento el motor consume una potencia de 25KW con un cos ϕ = 0,77. Se pide: a )
calcular los valores de Rc y X M ,
b)
determinar la potencia de p´ erdida en el hierro (potencia en Rc ),
c )
calcular la potencia reactiva necesaria para llevar el f.p. a 0 ,9 en atraso. Ze = 0,5 + j 0,2 220V, 50Hz
jX M
Rc
Zr = 3 + j 3,7
Figura 23: Potencia y factor de potencia.
33. Una carga inductiva de 22KVA y f p = 0,8 conectada a la l´ınea de distribuci´on domiciliaria se corrige con un capacitor real como se muestra en la figura 24. 9
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Luego de la correcci´o n el factor de potencia pasa a valer 0 ,9 en atraso y la potencia aparente 20KVA, adem´as el valor eficaz de la corriente total disminuye de 33A a 30A. Para estas condiciones se pide: a )
construir el tri´angulo de potencias de cada rama y del circuito,
b)
calcular los valores de Rc y X c de la correcci´on,
c )
construir el diagrama fasorial de corrientes, considerando como referencia una tensi´on gen´erica V 0 . ◦
¯ IT
Rc
Z ¯IZ
¯ IRC
jX c
Figura 24: Potencia y factor de potencia.
10
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Soluciones
Ejercicio 1 Soluci´ on El fasor de tensi´on es
√ 2(10 + j ) = 6,86 −75,96 V
¯ C = V ¯C V
(2)
1 4
(3)
◦
y la respuesta en el dominio del tiempo vC (t) = 9,7 cos(4t
◦
− 75,96 )[V]
(4)
Ejercicio 2 Soluci´ on El fasor de corriente es
¯ I =
√ 2
¯ I = 353
1000
1 + j 100 0,01 +
× 10
·
3
−
1 j100·5×10
6
−
89,97 A ◦
(5)
(6)
y la respuesta en el dominio del tiempo i(t) = 0,5cos(ωt + 89,97◦ )[A]
(7)
Ejercicio 3 Resoluci´ on Num´ erica Los fasores de corriente de cada rama son
¯ I1 = 10 45 A ¯ I2 = 10 75 A ¯ I3 = 10 195 A.
(8)
◦
− −
(9)
◦
◦
(10)
seg´ un LKC, en el nudo la suma ser´a
¯ IT
− ¯I − ¯I − ¯I 1
2
3
= 0A
(11)
¯ IT = 10 45 + 10 ◦
−75
◦
+ 10
−195 A. ◦
(12)
Para sumar estos fasores, los escribimos en su forma binomial
¯ IT = (7, 0711 + j 7, 0711) + (2, 5882 ¯ IT = 0A. 11
− j 9,6593) + (−9, 6593 + j2, 5882)
(13) (14)
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Aragu´ as & Perez Paina
El resultado obtenido es l´ogico, pu´es si se observan estas corrientes tienen todas la misma amplitud y est´an defasadas 120 entre s´ı. Es decir que se trata de tres fasores sim´etricos que se anulan mutuamente (v´ease el diagrama fasorial de la figura 25). Este tipo de corrientes se obtiene por ejemplo al excitar un sistema trif´ asico de cargas equilibradas con una se˜nal sim´etrica . ◦
Im
¯I1 −95
45
◦
◦
¯ I3
Re
¯ I2 −195
◦
Figura 25: Diagrama fasorial de corrientes del ejercicio 3.
on Ejercicio 6 Soluci´
f = 1148,6Hz
(15)
Ejercicio 8 Soluci´ on num´ erica La impedancia equivalente es
Zeq = 13,9 + j 9,16Ω,
(16)
y la la corriente ¯I
¯ I =
−8,05 − j4,03A
(17)
Para construir el diagrama fasorial de la figura 26a se calculan las tensiones en los elementos
¯ R10 = 80,54 j 40,35V V ¯ pRL = 11,75 j 55,04V V ¯ pRC = 17,29 j 34,52V. V
− −
12
− − −
(18) (19)
(20)
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Las corriente en el paralelo RL son
¯ IRLR = 1,17 j 5,5A ¯ IRLL = 6,88 + j 1,47A,
−
(21)
−
(22)
las del paralelo LC
¯ ILCL = 11,5 j 5,76A ¯ ILCC = 3,45 + j 1,73A,
−
(23)
−
(24)
el diagrama fasorial de las corrientes se muestra en la figura 26b. Im
Im
¯ IRL
R
206 61
◦
,
Re
¯I
Re
¯IRL
¯p V
C
ILC
¯p V
L
¯I ¯ ILC
LC
LC
¯p V
RL
L
¯p V
RL
¯R V
1
¯ V
¯ V (a)
(b)
Figura 26: Diagrama fasorial de tensiones (a), y corrientes (b) del ejercicio 8.
Ejercicio 9 Planteo Para encontrar la corriente ¯IT buscamos primero la impedancia total equivalente del circuito.
ZT = R 1 + jω L +
1 R2
1 + jωC
= R 1 + jωL +
1 R2 jωC
R2 + jω1C
(25)
entonces el fasor corriente ser´a
¯T V ¯ . IT = ZT
13
(26)
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Aragu´ as & Perez Paina
Con la corriente ¯IT se pueden obtener cada una de las ca´ıdas de tensi´on en los elementos
¯ R1 = R 1¯ V IT ¯ L = j ωL¯ V IT ¯ paralelo = V ¯ R2 = V ¯ C = V
R2 jω1C R2 +
(27)
1 jωC
(28)
¯ IT .
(29)
Con la tensi´on del paralelo se obtienen las corrientes de las ramas a y b
¯ paralelo V ¯ Ia =
(30)
R2
¯ paralelo V ¯ = . Ib 1
(31)
jωC
Las potencias activa, reactiva y aparente ser´an
¯T P = V
| | · |¯I | · cos(ϕ) ¯ | · |¯ Q = |V I | · sen(ϕ) ¯ | · |¯ S = |V I |, T
(32)
T
T
(33)
T
T
(34)
siendo ϕ, el ´angulo de desfasaje entre la tensi´on y la corriente, igual al argumento de la impedancia total equivalente Z T .
Resoluci´ on num´ erica El fasor eficaz de tensi´on correspondiente a la fuente de alimentaci´on es
¯ T = 50 70 = 35,36 70 V V 2
√
◦
(35)
◦
y, con ω = 200 rad , la impedancia total equivalente s
ZT = 150 + j 200 500
3
−
× 10 + = 150 + j 100 + (40,98 − j 49,18) ·
1
1 + j 200 100
ZT ZT = 190,98 + j 50,82 = 197,63 14,9 Ω
· 60 × 10
6
−
(36) (37) (38)
◦
entonces el fasor corriente es 35,36 70 = 0,17892 55,1 A 197,63 14,9 ◦
¯ IT =
◦
◦
14
(39)
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Im
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¯R V
55 1
◦
,
Aragu´ as & Perez Paina
¯T V
1
¯ IT
¯ IT ¯ Ib
Im
¯L V 145 1
◦
94 91
,
70
◦
,
55 1
◦
◦
,
¯ paralelo V
¯Ia
Re
(a) Diagrama fasorial de tensiones
Re
(b) Diagrama fasorial de corrientes
Figura 27: Diagrama fasorial de tensiones (a) y corrientes (b) del ejercicio 9.
Las tensiones en R1 , en L y en el paralelo son
¯ R1 = 150 0,17892 55,1 = 26,84 55,1 V V ¯ L = 100 90 0,17892 55,1 = 17,89 145,1 V V ¯ paralelo = 64,02 50,19 0,17892 55,1 = 11,45 4,91 V, V
·
◦
· − ◦
◦
◦
(40)
◦
(41)
◦
·
◦
◦
(42)
y finalmente las corrientes en las ramas a y b 11,45 4,91 ¯ = 0,1145 4,91 A Ia = 100 11,45 4,91 ¯ = 0,1375 94,91 A. Ib = 83,33 90 ◦
(43)
◦
◦
◦
−
◦
(44)
En las figuras 27a y 27b se trazan los diagramas fasoriales de tensi´on y corriente respectivamente. Las potencias del circuito son P = 35,36 0,17892 cos(70◦
◦
(45)
◦
◦
(46)
· · − 55,1 ) = 6,1139W Q = 35,36 · 0,17892 · sen(70 − 55,1 ) = 1,6268VAR S = 35,36 · 0,17892 = 6,33VA. El tri´angulo de potencias correspondiente se muestra en la figura 28.
15
(47)
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Aragu´ as & Perez Paina
P = 6,1139W 14 9
◦
,
Q = 1,6268VAR
S = 6 ,33VA
Figura 28: Tri´angulo de potencias del problema 9.
Ejercicio 12 Soluci´ on num´ erica Los valores de los elementos L y C del circuito serie son L = 20,94mH
(48)
C = 95,493µF
(49)
La corriente i(t) = 447,46 sen(1000t
◦
− 90 )mA
(50)
y la tensi´on de excitaci´on vin (t) = 10,77 sen(1000t
◦
− 62,36 )V.
(51)
Ejercicio 13 Soluci´ on
Rs = 2,41Ω,
Ls = 12,27mH
(52)
Rp = 8,58Ω,
Lp = 17,06mH
(53)
Ejercicio 15 Soluci´ on
R1 = 7,05Ω
(54)
Ejercicio 20 Planteo A partir del f p del circuito se calcula el argumento ϕ de la impedancia Z T del circuito, y de esta la reactancia capacitiva X C ϕ = cos−1 (f p) X C = tan(ϕ) R
(55)
⇒ X = R tan(ϕ).
16
C
(56)
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La frecuencia angular ω se obtiene de la relaci´on entre X C y C , y de aqu´ı la frecuencia f X C =
1 ωC
=
1
1 ⇒ f = . 2πf C 2πX C
(57)
C
El valor eficaz de la corriente y la resistencia determinan la potencia activa 2 P = I ef R,
(58)
(59)
por lo tanto I ef =
P . R
El m´odulo del fasor tensi´on total aplicado V ef puede calcularse a partir de los m´odulos de los fasores de tensi´on del capacitor y la resistencia V ef =
V R2 + V C2 =
(RI ef )2 + (X C I ef )2 .
(60)
Para construir el diagrama fasorial se deben calcular los fasores de tensi´on y ¯ T ser´a corriente total, el fasor V
¯ T = V ef 0 , V
(61)
¯ IT = I ef
(62)
◦
y el de corriente
−ϕ.
Las tensiones en los elementos ser´an
¯ R = R¯ V IT , ¯ C = jX C¯ V IT .
(63)
−
(64)
Resoluci´ on num´ erica Reemplazando los valores de resistencia, capacidad y factor de potencia seg´un los datos ϕ = cos−1 (0,334) =
◦
−70,5
X C = 2 tan( 70,5◦ ) = 5,64Ω.
−
(65)
(66)
Obs´ervese que de los dos valores de ´angulo que se obtienen del c´alculo del cos 1 (uno positivo y otro negativo) se toma el ´angulo negativo por tratarse de una impedancia capacitiva. −
17
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La frecuencia f es f =
1 2π 5,64 470
·
·
× 10
6
−
= 60Hz,
(67)
la corriente eficaz I ef =
7200 = 60A, 2
(68)
y la tensi´on eficaz
·
(2 60)2 + (5,64 60)2 = 359,26V.
V ef =
·
(69)
Por u ´ ltimo se calculan los fasores para construir el diagrama fasorial de la figura 29
¯ IT = 60 70,5 A, ¯ T = 359,26 0 V, V ¯ R = 2 60 70, 5 = 120 70,5 V, V ¯ C = j 5,64 60 70,5 = 338,4 19,5 V. V
(70)
◦
(71)
◦
· −
Im
◦
·
(72)
◦
−
◦
◦
(73)
¯IT 70 5
¯T V
◦
,
−19 5
¯R V
◦
,
70 5
Re
◦
,
¯C V
Figura 29: Diagrama fasorial de tensiones del ejercicio 20.
Ejercicio 21 Planteo a. La soluci´on se obtiene de aplicar la LKV al circuito serie ¯ T = V ¯ R + V ¯ L + V ¯ C, V
(74)
pero como se tienen s´olo los m´odulos de las ca´ıdas de tensi´on como dato, entonces se debe resolver trigonom´etricamente. Como se sabe que las 18
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ca´ıdas en los elementos reactivos est´an desfasadas 180 entre s´ı, se puede encontrar el m´odulo de la ca´ıda de tensi´on en ambos elementos simple¯ X , su mente por diferencia de sus m´odulos. Si llamamos a esta tensi´on V m´odulo ser´a ◦
V X = V L
− V . C
(75)
Adem´as, se sabe que esta tensi´on en los elementos reactivos tiene una diferencia de fase de 90 respecto de la ca´ıda de tensi´on resistiva, y con la tensi´on total aplicada se forma un tri´angulo rect´ angulo. Teniendo entonces los m´odulos de la tensi´on total y de la tensi´on en los elementos reactivos, se obtiene el ´angulo ϕ ◦
ϕ = sen−1
V X V T
= sen
1
−
V L
− V
C
V T
.
(76)
Como no se conoce ningun ´angulo de fase de los fasores de tensi´on, se puede considerar que la ca´ıda de tensi´on resistiva tiene una fase cero, por lo que tambi´en tendr´a fase nula la corriente total, lo que facilita mucho el ¯ R tiene fase cero, V ¯ L como V ¯ C tendr´an fase 90 y c´alculo. Entonces, si V 90 respectivamente, y el fasor V T se obtiene con la (74) ◦
−
◦
¯ R = V R 0 V ¯ L = V L 90 V ¯ C = V C 90 . V
(77)
◦
(78)
◦
−
◦
(79)
La corriente total se obtiene de la ca´ıda de tensi´on en la resistencia
¯R V ¯ . IT =
R
(80)
angulo de potencias se calcula la potencia compleja S b. Para construir el tri´
¯ T¯ S = V IT , ∗
(81)
P = Re S
(82)
(83)
de donde
{} Q = Im {S} S = |S|.
(84)
o n en la resistencia con fase cero, c. Considerando nuevamente a la tensi´ seg´ un el nuevo factor de potencia la tensi´on aplicada ser´a
¯ T2 = V T ϕ, V
19
(85)
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y la tensi´on en la resistencia
¯ R2 = V T cos(ϕ), V
(86)
por ende el fasor corriente V R ¯ 0 . IT2 =
◦
R
(87)
Finalmente la nueva potencia compleja y las potencias activas, reactivas y aparente se obtienen de
¯ T2¯ S2 = V IT2 P 2 = Re S Q2 = Im S S 2 = S2 . ∗
{} {} | |
(88)
(89)
(90) (91)
Resoluci´ on num´ erica El siguiente c´odigo de Octave permite obtener la resoluci´on num´erica de este problema. Para obtenerlo copiar el c´odigo en un archivo resolv.m y ejecutar en una terminal $ octave resolv.m. % Declaracion de constantes conocidas R = 10; mod_V_T = 220; mod_V_L = 438.2; mod_V_C = 220; cos_phi2 = 0.95 % C´ alculo de phi en radianes. phi = asin( (mod_V_L - mod_V_C) / mod_V_T ); % C´ alculo del m´ o dulo V_R. Se deja sin ; para que % se muestre el valor por pantalla mod_V_R = mod_V_T * cos( phi ) % Se calculan V_R = mod_V_R V_L = mod_V_L V_C = mod_V_C V_T = mod_V_R
V_R, V_L, V_C y V_T, considerando a V_R con fase cero * i * (-i) + ( mod_V_L - mod_V_C) * i
% Muestra de V_{T} en forma polar
20
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% m´ odulo abs( V_T ) % y argumento arg( V_T ) * 180/pi % C´ alculo de la corriente I_T = V_R / R % en forma polar, m´ odulo abs( I_T ) % y argumento arg( I_T ) * 180/pi % C´ alculo de la potencia compleja S S_compleja = V_T * conj( I_T ) P = real( S_compleja ) Q = imag( S_compleja ) S = abs ( S_compleja ) % el factor de potencia cos_phi = P / S % C´ alculo del nuevo phi2 phi2 = acos( cos_phi2 ) % Nueva ca´ ıda de tensi´ on en R, considerando su fase cero V_R2 = mod_V_T * cos_phi2 % Nueva corriente I_T2 = V_R2 / R % Nueva tensi´ on V_T2 V_{T}2 = mod_V_T * ( cos( phi2 ) + sin( phi2 ) * i ) % Muestra de V_T2 en forma polar % m´ odulo abs( V_T2 ) % y argumento arg( V_T2 ) * 180/pi
% Nueva potencia compleja, y potencias activa, reactiva y aparente S_compleja2 = V_T2 * conj( I_T2 ) P2 = real( S_compleja2 ) Q2 = imag( S_compleja2 ) S2 = abs ( S_compleja2 )
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Ejercicio 22 Planteo y resoluci´ on num´ erica La suma de las tensiones a lo largo de la malla es vT (t) = v 1 (t) + v2 (t)
¯ T = V ¯ 1 + V ¯2 V
(92)
(93)
de donde
¯ 1 = V ¯T V ¯2 V ¯ 1 = (11,5846 j 8,1116) (6,3836 + j 21,4133) = 5,2010 V ¯ 1 = 29,98 80,01 V. V
−
−
−
◦
−
(94)
− j 29,5249V
(95) (96)
Las tensiones medidas por un volt´ımetro a bornes de cada impedancia ser´ an los m´odulos de los fasores eficaces V 1 = 29,98V
(97)
V 2 = 22,35V
(98)
V T = 14,14V.
(99)
Con los fasores obtenidos se construye el diagrama fasorial de la figura 30. Im
¯2 V −80 01
◦
,
Re
¯T V
¯1 V
Figura 30: Diagrama fasorial de tensiones del ejercicio 22.
22
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Para construir el tri´angulo de potencias se puede calcular la corriente total
¯T V ¯ IT = ZT 11,5846 j 8,1116 ¯ = IT = 1 + j 2 ¯ IT = 6,32 98,43 [A]
−
−
(100)
−0,92773 − j 6,25614A
(101) (102)
◦
de donde
¯ T¯ S = V IT S = (11,5846 j 8,1116) ( 0,92773 + j 6,25614) S = 40 + j 80, ∗
−
·−
(103) (104) (105)
es decir, la potencia activa P = 40W, la potencia reactiva Q = 80VAR y la potencia aparente S = 89,44VA. El factor de potencia del sistema es cos ϕ =
P = 0,4471 S
(106)
en retraso. En la figura 31 se construye el tri´angulo de las potencias correspondiente. P = 40W
Q = 80VAR S = 89,44VA
Figura 31: Tri´angulo de potencias del ejercicio 22.
Ejercicio 31 Soluci´ on num´ erica ¯ AB es La tensi´on V ¯ AB = 12,02 56,31 V. V ◦
23
(107)
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En la figura 32a se muestra el diagrama fasorial completo de tensiones y co¯ AB . El circuito es de caracter inductivo por lo rrientes, y se indica la tensi´on V ¯. tanto la corriente ¯I atrasa a la tensi´on aplicada V En la figura 32b se muestra un detalle de las tensiones en los elementos que ¯ L2 adelanta forman el paralelo. En este diagrama puede verse como la tensi´ on V ¯ L2 = V ¯ paralelo , y que en la rama RC la 90 a la corriente ¯I1 , de modo que V tensi´on en la resistencia R2 est´a en fase con la corriente ¯ I2 mientras que la tensi´o n en C 1 atrasa 90 respecto de la misma corriente ¯ I2 . En esta ´ultima ¯ R2 + V ¯ C1 = V ¯ paralelo . rama se ve tambi´en que V ◦
◦
Im
Im
¯R V
¯ paralelo A V ¯ V AB
1
¯ V
¯ I2 ¯ VR 2
¯C ¯ V Vparalelo ¯L V 1
2
¯L V
1
56 3
◦
¯ I
,
¯ I2
B
Re
Re
¯ I1
¯ I1
(a)
(b)
Figura 32: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes (a), y detalle de las tensiones del paralelo (b) del ejercicio 31.
La potencia compleja S del circuito es
¯¯ S = V I = 16,667 + j 16,667 ∗
(108)
por lo que P = 16,667W
(109)
Q = 16,667VAR
(110)
S = 23,57VA.
24
(111)
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Finalmente, la potencia activa en los resistores R1 y R2 ser´a P R1 = (1,667)2 2 = 5,55W P R2 = (1,667)2
(112)
· · 4 = 11,11W,
(113)
verificando que P = P R1 + P R2 . En la figura 33 se muestra el tri´angulo de potencias del circuito en atraso del ejercicio 31. P = 16,667W
45
◦
Q = 16,667VAR
S = 23,57VA
Figura 33: Tri´angulo de potencias del ejercicio 31.
Ejercicio 32 Planteo La potencia total consumida por el motor est´a dada por
¯ ¯ P = V I cos ϕ
| || |
(114)
por lo tanto
|¯I| = |V¯ | P cos ϕ
(115)
luego el fasor de corriente ser´a
¯ I =
P
|V¯ | cos ϕ ϕ.
(116)
Para determinar la resistencia de p´ erdida e impedancia de magnetizaci´ o n se calcula primero la tensi´on sobre el paralelo
¯ p = V ¯ V
25
− Z ¯I e
(117)
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para lo cual se considera que la fase inicial del fasor tensi´on aplicada es cero, ¯ = 220 0 . Luego, es decir V ◦
¯ ¯ p (YM c + Yr ) I = V ¯ I c = ¯ Yr , V
(118)
−
YM donde Y M
1 c = Rc
−
−
−
+ jX 1M y Y r =
1 Zr
(119)
.
Conocido el valor de Rc se determina la potencia de p´erdida en el hierro P c =
|V¯ | p
Rc
2
.
(120)
Para determinar la potencia reactiva necesaria para el nuevo factor de potencia se calcula primero la potencia reactiva actual (o inicial) Qi = P tan(ϕ),
(121)
y la potencia aparente correspondiente al nuevo f.p. (cos( ϕf )), sabiendo que la potencia activa no cambia con la correcci´on S f =
P . cos(ϕf )
(122)
Luego la potencia reactiva final ser´a Qf = S f sen(ϕf ),
(123)
(124)
de donde QC = Q i
−Q . f
Resoluci´ on num´ erica
¯ I = 113,636 j 94,162 = 147,58 39,65 A ¯ p = 144,349 + j 24,354 = 146,39 9,57 V V YM c = 0,52622 j 0,60034✵ Rc = 1,9Ω X M = 1,66Ω P c = 11,27KW QC = 20716 12108 = 8608VAR.
−
−
−
−
26
◦
◦
(125) (126) (127) (128) (129) (130) (131)
