1. Definir los siguientes conceptos tomados del libro de Balazarini se aclara que para la presente actividad el estudiante debe consultar el capítulo dos variables aleatorias y probabilidades probabilidades y el capítulo tres tres modelos probabilísticos. Espacio muestral: Conjunto de datos, valores o resultados posibles que puede asumir en un estudio de tipo aleatorio. El espacio muestral se denota con la letra omega (). (Balzarini, 2013)
Punto muestral: Se denomina punto muestral a los distintos resultados posibles de un estudio aleatorio, es decir a cada elemento del especio muestral. (Balzarini, 2013)
Evento muestral: Este concepto se define como cualquier subconjunto de elementos provenientes del especio muestral. (Balzarini, 2013)
Explique en sus propias palabras el experimento experimento aleatorio del dado deben deben descargar el CODIGODADO disponible en la siguiente columna. El estudiante debe entender que, aunque no es un experimento experimento agropecuario nos ayuda a entender los conceptos planteados: Este ejercicio consiste es determinar las probabilidades de obtener diferentes resultados a lanzar dos dados. Al lanzar los dos dados existen 36 posibilidades de obtener resultados ejemplo los dados pueden caer 1-1, 1-2, 2-2, 2-4 y así sucesiv amente hasta llegar a las 36 diferentes resultados, a esos 36 resultados posibles se les denomina espacio muestral. Por otra parte al lanzar los dados existen otras posibilidades, las cuales son de obtener dos números impares (3-5) o dos números pares (2-4) y por ultimo tenemos la probabilidad de sacar dos números iguales (6-6), l a cual es más remota, este conjunto de resultados pueden ser denominados como subconjuntos o eventos. Para el caso de los números iguales se pueden obtener un total de seis combinaciones diferentes (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6) esos 6 resultados los divididos en el total de los resultados que son 36 y así obtenemos la probabilidad (6/36=0, 166), seguido al multiplicarlo por 100 obtenemos 16,6% de probabilidades de obtener dos números iguales al lanzar dos dados.
Variable aleatoria: Esta variable representa la asignación de números reales a cada uno de los e lementos del espacio muestral, luego se asignaran a cada valor probabilidades de ocurrencia. Dependiendo del tipo de espacio muestral así mismo será su variable aleatoria. (Balzarini, 2013)
¿Qué significa que el espacio muestral de una variable aleatoria continua es no contable?:
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De lo anterior podemos decir que significa que en rela ción con dos valores de la variable, pueden realizarse un número infinito de otros valores, es decir no tendrán fin alguno.
¿Que son variables aleatorias discretas proporcionales y que son variables aleatorias discretas de conteo no acotado? De ejemplos este tipo de variables: Las variables aleatorias discretas proporcionales son aquellas las cuales provienen de conteos que nos pueden superar el número de elementos evaluados. Un ejemplo de una variable discreta expresada como proporción es el número de semillas germinadas en cajas de Petri con 25 semillas cada caja; los resultados se expresan como proporciones porque existe un denominador natural: natural: la cantidad de semillas por caja. (Balzarini, 2013) Por su parte las variables aleatorias discretas de conteo no acotado son aquellas en las cuales no se posee un denominador de origen natural, ejemplo de ello es la cantidad de pústulas o manchas de roya encontradas en una determinada superficie superficie de cultivo de café.
Existe dos conceptos de probabilidad el clásico y concepto frecuencial, defina cada uno, en el caso del frecuencial explique el experimento de germinación de una semilla cuál es el experimento aleatorio, aleatorio, cuál es el evento, cuántos puntos muéstrales tiene: El concepto clásico de probabilidad se relaciona con la tendencia a infinito del espacio muestral, basado así en la observación observación de los elementos del mismo. (Balzarini, 2013) La definición frecuencial de probabilidad tiene que ver con una serie repetida de estudios de carácter aleatorio. También está dada cuando el espacio muestran es infinito y de esta forma no pueden enumerarse todos los resultados obtenidos producto del estudio. (Balzarini, 2013) Para ejemplificar lo anterior recurriremos al ejemplo de la germinación de semillas, para este caso se tiene un lote de semillas, de la cual sacaremos la probabilidad de que la semilla germine óptimamente. Cogemos una semilla y la plantamos esperando que germine, pero este proceso lo repetiremos 500 veces, osea se usaran 500 semillas, este número de repeticiones será N, tengamos en cuenta que para lograr obtener la probabilidad debemos debemos saber el número de veces que el evento ocurre en la cantidad de las repeticiones y lo denotaremos . La probabilidad de germinación de una semilla en la totalidad de las repeticiones repeticiones la denominaremos P(A). P(A). Si de las 500 500 repeticiones (N) se observó una germinación de 300 semillas ( ), diremos que la probabilidad de que una semilla germine se representa por:
P(A) = P (observar una semilla germinada) =
=N = 300/500= 0,6 y esta es la
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El experimento aleatorio es la semilla, el evento es la probabilidad de que la semilla germine y la cantidad de puntos muéstrales es uno que depende de la cantidad de semillas germinadas en la totalidad de repeticiones.
¿Qué diferencia existe entre el concepto de frecuencia relativa y el de probabilidad?: La frecuencia relativa se da cuando el número de repeticiones de un determinado experimento no es grande o elevado, por su parte para considerar una función como probabilidad, se debe asignar a cada evento del espacio muestral un número real entre 0 y 1. (Balzarini, 2013) 2013)
¿Que son eventos mutuamente excluyentes?, como es la intersección de dos eventos mutuamente excluyentes, si son excluyentes, dado un evento A y uno B, a que es igual la P (AꓴB)?: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los cuales c ada evento cuenta o está formado por puntos muéstrales totalmente diferentes, lo que significa que no existe ningún punto punto muestral en la intersección de los subconjuntos. (Balzarini, 2013) La intersección de dos eventos mutuamente excluyentes conforma un nuevo conjunto, el cual posee puntos muéstrales pertenecientes tanto al subconjunto A como al B, la intersección entre dos conjuntos se denota A B, pero si A y B son excluyentes, la intersección es vacía por lo tanto P(AB), es igual a cero. (Balzarini, 2013)
∩
P(AB), es igual a la suma de las probabilidades de cada evento.
En el caso de distribuciones de variables aleatorias cuando una variable es continua y simétrica que modelo se usa: Para el caso de variables continuas simétricas es usual la implementación del modelo normal.
¿Para una variable de conteo no acotado que modelo se utiliza?: Para una variable de conteo no acotado se utiliza el modelo de Poisson.
Para variables de proporciones que modelo se utiliza?: Para el caso de variables de proporción es común la utilización de modelos.
Que variables tienen función de probabilidad y que variables tienen función de densidad: Para el caso de variables con función de probabilidad encontramos las variables discretas. Como variables con función de densidad podemos encontrar las variables continuas. ¿Cuáles son los parámetros más usados en estadística para estudiar y utilizar funciones de distribución de variables aleatorias?:
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Por otra parte tenemos el parámetro de varianza, el cual formaliza la incertidumbre y la idea de precisión más varianza indica más incertidumbre sobre el fenómeno y menor precisión de las conclusiones que podemos elaborar elaborar desde los datos que lo caracterizan. (Balzarini, 2013) ¿Qué es la esperanza matemática de una variable aleatoria, como se denota?: Es considerada como un promedio de los valores asumidos por la variable, allí cada valor es ponderado por la probabilidad de su ocurrencia. Esta se denota con la letra griega µ.
Que es la varianza de una variable aleatoria, como se denota?: La varianza de una variable es una medida de dispersión y es denotada con la letra griega sigma (2 ).
¿Qué tipo de histograma se selecciona en un modelo probabilístico para una variable aleatoria continúa cuando se tienen datos de esa variable?: Se debe seleccionar un histograma de variables de tipo relativas, posteriormente se debe hacer una observación de la forma del mismo. Se pueden aplicar modelos teóricos y funciones matemáticas que permiten ajustar o aproximar el histograma. (Balzarini, 2013). Formula de densidad para distribución normal:
¿Qué es la estandarización, cuál es su fórmula?: Es una función que nos permite llevar una función de distribución carácter normal a una distribución de carácter normal estándar. Esta función la representa la siguiente formula:
= −µ√ 2
(Balzarini, 2013)
¿Qué tipo de conteos se trabajan con la distribución Binomial?
Se establecen dos tipos de conteos en la distribución dist ribución binomial, estos representan el éxito éxit o y fracaso. Formula de densidad de distribución binomial.
− ( ) 1 ;, = { 0 = 0, 1, … . ,
En la distribución binomial que es n y que es P:
En la distribución binomial n hace referencia al número de experimentos, y P hace referencia a la probabilidad de ocurrencia o éxito.
A que es igual la esperanza y la varianza en esta distribución: La esperanza en esta distribución distr ibución es igual al número de repeticiones del experimento,
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¿Qué tipos de conteos se trabaja con la distribución de Poisson? Con la distribución de Poisson se trabajan conteos que hacen referencia al número de veces que un evento ocurre en una unidad de tiempo o espacio determinada. Como por ejemplo: hora, metro cuadrado, cuadrado, metro cubico, planta, entre otros. (Balzarini, 2013) Formula de densidad distribución de Poisson.
− ,, = ! = ,, ,, …
¿En agronomía se usa para que tipo de conteos?:
En agronomía es utilizado principalmente para determinar el número de insectos sobre una planta, en un golpe de red, el número de manchas defectuosas en un mosaic o, o en un metro cuadrado de piso, el número de colémbolos en 100 g de suelo, o en 1000 cm3 de suelo o el número de coliformes en 1 ml de agua, entre otros conteos de interés. (Balzarini, 2013)
¿Cómo se denota el único parámetro de esta distribución?, ¿a que es igual la media y la varianza?: El parámetro de la distribución de Poisson se denota con . La varianza de poisson aumenta a medida que aumentan los conteos y esta es función de la media.
Revisando el ejercicio de la tabla 3.1 del libro de Balzarini como se obtiene este caso a que es igual la media y la varianza.
λ en
En este ejercicio para obtener λ primero que todo se multiplica el número de granos granos de arroz partidos que se encontraron en cada muestra , por el total de muestras en las la s que se identificó esa cantidad de granos partidos, luego se suman las multiplicaciones y se dividen en el total de muestras. En este caso la varianza es igual a la cantidad de granos partidos que s e pueden encontrar en un kilogramo de arroz.
2. Aplicación de conceptos. Estudie el ejercicio de velocidad del viento de la del texto y explicar por p or qué hay un sitio mejor para el objeto del estudio, pueden tomar pantallazos del gráfico. En el estudio de velocidad del viento se puede identificar claramente que teniendo en cuenta las ubicación e instalación de los molinos de viento, as í mismo serán los resultados en cuanto a generación de electricidad para bobeo de agua subterránea. Se debe tener en cuenta que para garantizar un óptimo funcionamiento y mayor generación de electricidad se deben garantizar vientos promedio de al menos 26 km/h. si se tiene en cuenta el
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que significa que la zona norte es la mejor opción para lograr la mayor generación de energía y así lograr la extracción de agua subterránea.
Desarrolle el ejercicio 2.1 del texto de Balzarini y en el caso del punto e revise la presentación de probabilidad en R. En este caso se requiere obtener la tabla de frecuencias relativas f(y) y la tabla de frecuencias relativas acumuladas que es la misma F(Y), este ejercicio se puede desarrollar en una tabla de Word. Ejercicio 2.1: Supongamos que se toma una muestra aleatoria con reposición de tamaño n=2 a partir del conjunto {1, 2, 3} y se produce el siguiente espacio muestral con 9 puntos muéstrales: Ω=
{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Supongamos además que definimos la variable aleatoria alea toria Y=suma de los dos números, que conforma un nuevo espacio probabilístico y que estamos interesados en los siguientes eventos: Ω (y)
= {2, 3, 4, 5, 6}
El evento A conformado por los puntos muéstrales cuya suma sea un número par, es decir, A= {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3)} y P (A)= 5/9 = 0,56 El evento B conformado por los puntos muéstrales cuya suma sea un número impar, siendo B= {(1,2), (2,1), (2,3), (3,2)} y P (B)=4/9 = 0,44 El evento C conformado por los elementos cuya suma es 5. C= {(2,3), (3,2)} y P (C)=2/9 = 0,22
Tabla de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Y
f(y)
F(y)
2
f(2) = 1/9
F(2) = 1/9 = 0,11
3
f(3) = 2/9
F(3) = f(2)+f(3) = 1/9+2/9 = 3/9= 0,33
4
f(4) = 3/9
F(4) = f(2)+f(3)+f(4)= 1/9+2/9+3/9= 6/9= 0,67
5
f(5) = 2/9
6
f(6) = 1/9
(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 1/9+2/9+3/9+2/9= 8/9 = 0,89 (6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)= 1/9+2/9+3/9+2/9+1/9= 9/9 = 1
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Preguntas: a) ¿Qué tipo de concepto de probabilidad aplicaría para calcular probabilidades? El concepto de probabilidad trabajado es de tipo clásica. b) Los eventos A y B, ¿son independientes? No, pues la intersección entre los eventos A y B tienen elementos en común pues pues a su vez se están tomando puntos muéstrales del espacio es pacio muestral y se están sumando su mando en los eventos tanto A como B, bien sea para obtener números pares como impares respectivamente. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? La probabilidad de que ocurra A o B es de 1. Osea que la probabilidad de que ocurra A es igual a que ocurra B pues esta se denota como P=A U B, que es igual a la la probabilidad que ocurra A o B. d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra B o C? La probabilidad de que ocurra B o C es de 0,66 o 66 %. e) Representar tabularmente a F(Y). y 0,11 0,33 0,67 O,89 1
F(y) 0,11 0,33 0,67 O,89 1
Desarrolle el ejercicio 2.3 del texto de Balzarini, para el desarrollo de este punto puede usar Excel y es una variable discreta, la cantidad de días es la frecuencia absoluta, hay que sacar f(y) que es la frecuencia relativa , de las frecuencias relativas salen las probabilidades de cada valor de la variable número de tractores vendidos, en el caso de tres o más más se suma la de tres y la de cuatro pues no hay más . Ejercicio 2.3: Los siguientes datos corresponden a la venta de tractores que registra una empresa de maquinarias agrícolas en los días laborables del último año:
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0
Cantidad de días. (Fr. Absoluta) 110
0,42307692 42,3076923
110
1
80
0,30769231 30,7692308
190
2
35
0,13461538 13,4615385
225
3
25
0,09615385 9,61538462
250
4
10
0,03846154 3,84615385
260
Total.
260
No. Tractores vendidos.
Fr relativa
1
% Fr.Absoluta probabilidad acumulada
100
En la tabla de frecuencias de la variables discreta número de tractores, teniendo en cuenta la cantidad de tractores vendidos en un número determinado de días. Se obtiene la frecuencia relativa que significa la cantidad de tractores que se vendieron al cabo de esos días, posteriormente se obtiene la probabilidad que es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por el 100 por ciento. Preguntas: a) ¿Cuál es la variable en estudio? Variable discreta. b) ¿Cuántos resultados posibles tiene la variable? ¿Qué tipo de variable es? La variable tiene 260 resultados posibles, Variable cuantitativa. c) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy no venda ningún tractor? La probabilidad de que hoy no venda ningún tractor es de 0,42 o del 42 por ciento. d) ¿Cuál es la probabilidad que un día, seleccionado al azar dentro de los días laborables del año, venda 3 o más tractores? La probabilidad de un día cualquiera vender 3 tractores es de 0,09 o del 9 por ciento. e) ¿Cuál es la probabilidad que en los próximos dos días venda 3 tractores? La probabilidad de vender 3 tractores en los próximos dos días es de 0,13 o 13
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El estudiante debe descargar en su carpeta de trabajo el archivo Excel PROBABILIDAD.csv y el código CODIGOPROBABILIDAD, debe verificar lectura de la carpeta y correr el respectivo código. En este caso el código explica como seleccionar las variables y el programa programa las lee del archivo PROBABILIDAD PROBABILIDAD Cada estudiante debe correr el modelo para una variable discreta y una continua dando conclusiones de lo encontrado acorde a su profesión. ¿Cuál es conteo de más alta probabilidad? En el caso de la variable continua el 50% de los datos de su variables serán serán menores o iguales a que a valor? Variable cuantitativa cuantitativa discreta.
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En los anteriores pantallazos se observa la realización del procedimiento en el programa R, además de eso se identifica claramente los conteos con mayor probabilidad de ocurrencia.
Gráfico de barras CONTEO
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En el gráfico de barras podemos identificar claramente que para la variable ACAROS10 el conteo de más alta probabilidad es el de 2 y 3 respectivamente, con una frecuencia de 15 %.
FRECUENCIAS FRECUENCIAS RELATIVAS CONTE O 0 2. 0
5 1. 0 s a vi t la e r s
0 c
0
1. ia n e u c e r F 5 0. 0
0 .0 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
En el gráfico de frecuencias relativas rela tivas nos confirma que los conteos 2 y 3 presentan mayor probabilidad con un 15 % como se observa en la imagen.
0
.8
1
0.
FRECUENCIAS FRECUEN CIAS RELATIVAS ACUMULADAS CONT EO
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Variable cuantitativa continúa. pH2.
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0 4
y c n e u q e r F
0 3
0 2
0 1
0
3.96
4.22
4.48
4.75
5.01
5.27
5.54
5.80
6.06
Class limits
En el histograma de frecuencias absolutas de pH2 se pude identificar que los mayores resultados se presentan en un rango igual o menor a 5.
4 . 0
y
3 . 0
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Polígono de frecuenc f recuencias ias absolutas.
0 4
y c n e u q e r F
0 3
0 2
0 1
0
3.96
4.22
4.48
4.75
5.01
5.27
5.54
5.80
Class limits
Se observa la mayoría de los resultados en un rango igual o menor a 5.
Polígono de frecuencias relativas acumuladas.
0 0 1
0 8
6.06
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Distribución empirica 0 . 1
8 . 0
a ci ri p
6 . 0
m e n ói c u
4 . 0
bi rt is D
2 . 0
0 . 0
2000
2500
3000
3500
pH2 pH 2
En conclusión tenemos que para la variable pH2 los valores est án igual o menor a al valor de la mediana (5), en un 50% o más de probabilidad.
En este punto se pretende que el estudiante aprenda a aplicar modelos probabilísticos debe revisar en el capítulo tres modelos probabilísticos, en este los ejercicios de aplicación aplicación de los modelos normal, normal, binomial y Poisson, para lo cual cual el estudiante debe descargar el código MODELOS y ubicarlo en la carpeta estadística descriptiva, para correrlo desde el programa R. MODELO NORMAL Deben revisar en el texto el ejercicio de las vacas del tambo en el texto, en el código
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En los anteriores pantallazos podemos observar el desarrollo del ejercicio de las vacas del tambo, en la cual primero se trabajó con dos medias diferentes (23-28) y una varianza igual (10). Luego se realizó el trabajo t rabajo con dos varianzas diferentes (10-8) (10 -8) y una media igual (32). Se obtuvieron los siguientes resultados.
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Al cambiar los valores de la media en el ejercicio se observó en el grafico que aumento la producción de leche diaria en las vacas pero su densidad se mantuvo gracias a que la varianza sigue siendo la misma. ión de Distribución Distribución N(VAR (VARIAN IANZA.VA ZA.VAR RIAN IANZA1 ZA1 E N ROJO,MISM ROJO,MISM 4 . 0
3 . 0
) x ( F
2 . 0
1 . 0
0 . 0
10
15
20
25
30
35
40
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Función de Distribución N(media.sigma)
5 0 . 0
4 0 . 0
) x ( F
3 0 . 0
2 0 . 0
1 0 . 0
0 0 . 0
20
40
60
80
100
x
En el grafico anterior se observa la probabilidad de ocurrencia en el rango de valores entre 45 y 59.
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En el pantallazo anterior se observa la realización del ejercicio de germinación de semillas en el cual se calculó la probabilidad de germinación de 5 semillas, al menos 4 y a lo sumo 4 semillas. -
Probabilidad de germinación de 5 semillas = 0.0583992 Probabilidad de germinación de al menos 4 semillas = 0,9218731 Probabilidad de germinación a lo sumo 4 semillas = 0,07812691
Por su parte se obtiene la varianza varianz a de esta variable que es de 2,5 y la varianza que es de 1,875.
MODELO POISSON El estudiante debe revisar del texto el ejercicio de las picaduras del Gorgojo, correr el código MODELOS que está con los datos del texto, y adicionalmente determinar cuantas de 100 semillas tendrán 3 picaduras y cuantas 6 o más, en este caso saque las probabilidades de 0,1,2,3,4,5 las suma y se las resta a uno.
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En el anterior pantallazo se calculan calc ulan las probabilidades de que una semilla escogida al azar tenga desde cero picaduras hasta cinco picaduras. -
La probabilidad de no tener picaduras es de 0,819. La probabilidad de que tenga una picadura es de 0,017. La probabilidad de que tenga dos picaduras es de 0,164. La probabilidad de que tenga tres picaduras es de 0,180. La probabilidad de que tenga cuatro picaduras es de 0,181. La probabilidad de que tenga cinco picaduras es de 0,181.
Ahora bien se suman las probabilidades y se las restamos a 1. El resultado de la suma es 1,542. 1-1,542 = -0,542. Si la probabilidad de que una semilla tomada al azar tenga 3 picaduras es de 0,180, se espera que de 100 semillas tan solo 18 semillas cumplan esta condición. Por su parte se espera que aproximadamente 2 de 100 semillas tengan 6 picaduras o