´ nonc´e E
` Probleme eme
´ Etude d’une famille de matrices esi gne l’alg` l’a lg`ebre ebr e des matric mat rices es carr´ car r´ees ees d’ordr d’o rdree 3 a` coeffic co efficient ientss r´eels. eel s. M (R) d´esigne 3
a b c b a + c b On note E le sous-ensemble de e des matrices matri ces M (a,b,c) = 3 (R) form´ c b a sont trois r´eels eels quelconques. On pose I = M (1, 0, 0), J = M (0, 1, 0) et K = M (0, 0, 1).
M
, o`u
a,b,c
PARTIE I
1. Montrer Montrer que que E est un sous-espace vectoriel de En donner la dimension et une base.
M (R). 3
2. Calcule Calculer, r, en fonction fonction de I , J, J , K les les produits J 2 , K 2 , J K et K J . 3. Montrer Montrer que que E est muni d’une structure d’anneau commutatif. PARTIE II
1. Expimer Expimer det( det(M (a,b,c)) comme un produit de trois facteurs lin´ lin´eaires eaires par rapport a` a, a, b, c. 2. A quelles condition conditionss M (a,b,c) est-elle inversible dans 3 (R) ? Montrer alors, sans la calculer, que sa matrice inverse est dans E .
M
3. Montrer Montrer que le sous-ensemble sous-ensemble de E form´ for m´e des matric mat rices es M (a,b,c) de rang ran g inf´erieur eri eur ou ´egal ega l a` 2 est la r´eunion eunion de trois plans vectoriels 1 , 2 et 3 dont on donnera une base (on notera 1 celu ce luii de ces ce s plan pl anss qui qu i est es t cara ca ract´ ct´eris´ er is´e par pa r l’´egal eg alit´ it´e a = c ).
P P P
P
4. Montrer Montrer que le sous-ensemble sous-ensemble de E form´ for m´e des matric mat rices es M (a,b,c) de rang ran g inf´erieur eri eur ou ´egal ega l a` 1 est la r´eunion eunion de trois droites vectorielles 1 , 2 et 3 , que l’on pr´ecisera. ecise ra. Montrer que ces droites sont les intersections deux a` deux des plans 1 , 2 et 3 .
D D D
P P P
5. On consid` c onsid`ere ere toutes les matrices matrice s M de 1 qui sont effectivement de rang 2. 3 On leur associe un endomorphisme f M (rap (r appo port´ rt´e a` sa base canonique). M de R Montrer que tous ces endomorphismes ont le mˆeme eme image et le mˆeme eme noyau.
P
PARTIE III
Soient a et c deux r´eels. eels. On pose pos e N = aI + cK , A = 21 (I + + K ) et B = 21 (I
− K )
1. (a) (a) Calc Calcul uler er AB , BA , et pour tout entier n 1, An et B n . (b) Montrer qu’il existe deux r´eels eels x et y tels que N = xA + yB . (c) En d´eduire, eduire, pour tout n de 2. Soit f l’endomorphisme de
R
3
N,
l’expression de N n .
dont la matrice est N dans la base canonique.
(a) Montrer que ε1 = (1, 0, 1), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (1, 0, 1) forment une base de (b) D´eterminer eter miner la matrice ma trice N de f dans cette base.
(c) En d´eduire, eduire, pour tout n de
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N,
−
3
R
.
l’expression de N n .
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Page 1
Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e PARTIE I
1. Pour tous r´eels a, b, c, on a : M (a,b,c) = aI + bJ + cK . Ainsi E est le sous-espace vectoriel de
M (R) engendr´e par les matrices I , J, K . On voit a` l’´evidence que aI + bJ + cK = 0 ⇒ M (a,b,c) = 0 ⇒ a = b = c = 0. 3
La famille I , J, K est donc libre, et elle est une famille g´en´eratrice de E . Elle est donc une base de E , et ainsi dim( E ) = 3.
0 2. On a J = 1 0
1 0 0 1 1 0
0 et K = 0
0 1 1 0
1 0 0
. On trouve facilement J = I +K, K = I JK = K J = J 2
2
3. On sait que (E, +) est un groupe ab´elien. D’autre part la matrice identit´e est dans E . Enfin, pour toutes matrices M (a,b,c) et M (a , b , c ) de E , on a :
M (a,b,c)M (a , b , c ) = (aI + bJ + cK )(a I + b J + c K )
= (aa + bb + cc )I + (ab + ba + bc + cb )J + (bb + ac + ca )K
= M (aa + bb + cc , ab + ba + bc + cb , bb + ac + ca )
= M (a , b , c )M (a,b,c)
Ainsi E est stable pour le produit de
M (R). 3
On voit aussi que la restriction de ce produit a` E est commutative. Toutes ces propri´et´es font que E est un sous-anneau commutatif de 3 (R). a = c 4. M (a,b,c) est inversible dans det(M (a,b,c)) = 0 3 (R) a + c = 2 b Supposons donc que M (a,b,c) soit inversible dans 3 (R).
M
M ⇔ | | √ | |
⇔
M
Il reste a` v´erifier qu’il existe M (a , b , c ) telle que M (a,b,c)M (a , b , c ) = I . aa + bb + cc = 1 D’apr`es (I.2), cela ´equivaut a` ba + (a + c)b + bc = 0 ca + bb + ac = 0 C’est un syst`eme lin´eaire aux inconnues a , b , c , et qui poss`ede une solution unique car son d´eterminant est det(M (a,b,c)) = 0. Ainsi M 1 est dans E .
−
5. Soit M = M (a,b,c) dans E . On a rg(M ) 2
⇔ det(M (a,b,c)) = 0.
Cela signifie qu’on est dans l’un des trois cas suivants : — Premier cas : a = c .
Cette condition s’´ecrit M = a (I + K ) + bJ , avec (a, b) On obtient le plan
2
∈R .
P dont une base est form´ee de M = I + K et N = J . 1
1
1
√ 2
— Deuxi`eme cas : b = 2 (a + c). √ 2 √ 2 Cette condition s’´ecrit M = a I + 2 J + c K + 2 J , avec (a, c) √ √ On obtient le plan
P dont une base est M = I +
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2
2
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2
∈R .
2 2 2 J, N 2 = K + 2 J .
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Probl` eme
— Troisi`eme cas : b =
√ 2
−2
Corrig´e
(a + c).
− √ + 2 2 J
Cette condition s’´ecrit M = a I
√ 2 K − 2 J √ 2
c
, avec (
2
a, c)
∈R . √
− 22 J . Les matrices non inversibles de E forment donc la r´eunion des plans P , P , P . On obtient le plan
P dont une base est M = I − 3
3
2 J, N 3 = K
1
2
3
6. Soit M = M (a,b,c) dans E . On a rg(M ) 1
⇔ tous les d´eterminants d’ordre 2 extraits de M sont nuls. b2
a a
b a
c
b2
c a
a2
c 2
= ( + ) = ( − )=0 Cela ´equivaut a` , c’est-`a-dire a` : = ( + ) =2 = = = c
c
b2
c
c
a
c
√ ou b = a 2
On obtient donc trois possibilit´es : — Premier cas : c =
a
a2
ou
= − c
b = 0
a
√ ou b = −a 2
−a et b = 0.
a
= − c
a
b = 0
On trouve les matrices M = a (I
− K ), avec a dans R. C’est une droite D . √ — Deuxi`eme cas : c = a et b = −a 2. √ On trouve les matrices M = a (I − 2J + K ), avec a dans R. C’est une droite D . √ — Troisi`eme cas : c = a et b = a 2. √ On trouve les matrices M = a (I + 2J + K ), avec a dans R. C’est une droite D . c = a√ c = a On a M (a,b,c) ∈ P ∩ P ⇔ ⇔ b = a√ 2 ⇔ M (a,b,c) ∈ D 2 b = 2 (a + c) La droite D est donc l’intersection des plans P et P . On constate de mˆeme que D = P ∩ P et que D = P ∩ P . 1
2
3
1
2
3
3
1
1
2
3
7. Par hypoth`ese, on peut ´ecrire M =
u = (1, 0, 1) v = (0, 1, 0)
2
2
a
b
a
b
2a
b
a
b
a
1
3
, et dim ker f = 1 et dim Im f M
M
engendrent le plan Im f M , ´egalement engendr´e par
= 2.
(
a,b,a ) = au + bv
(b, 2a, b) = bu + 2 av
D’autre part, le vecteur (1, 0, 1) est visiblement dans ker f M .
−
On voit donc que Im f M et ker f M sont ind´ependants de M , si M
∈ P et rg(M ) = 2. 1
PARTIE III
1. (a) On sait que K 2 = I . On en d´eduit AB = B A = 41 (I 2
2
− K ) = 0.
On a A2 = 41 (I 2 + 2K + K 2 ) = 21 (I + K ), donc An = A pour tout n de De mˆeme B 2 = 41 (I 2
− 2K + K ) = 21 (I − K ), donc B 2
(b) On a N = aI + cK = a (A + B ) + c(A
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n
N∗ .
= B pour tout n de
− B) = (a + c)A + (a − c)B. Donc
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N
∗
.
x = a + c y = a
−c Page 3
Probl` eme
Corrig´e
(c) A et B commutent donc on peut utiliser la formule du binˆ ome pour calculer N n . Mais AB = B A = 0 donc Ak B n
−k
= 0 pour tout entier k compris entre 1 et n
− 1.
Pour tout n 1, il en r´esulte N n = (xA + yB )n = x n An + y n B n = x n A + y n B . Ainsi N n = (a + c)n A + (a
2.
n
− c) B pour tout n de N (c’est vrai si n = 0.) (a) On a αε + βε + γε = (α + γ , β , α − γ ). −→ Il est alors ´evident que αε + βε + γε = 0 ⇒ α = β = γ = 0. 1
2
3
1
2
3
Les trois vecteurs ε1 , ε2 , ε3 sont libres dans R3 , donc ils en forment une base.
(b) On a 0
a
c
Ainsi
1 1 0 0 = (a + c) 0 et 0
0 a + c 0
c
a
1
a
1
f (ε1 ) = (a + c)ε1 f (ε2 ) = (a + c)ε2
c
. De mˆeme f (ε3 ) = (a
0 0 0 1 = (a + c) 1
0 a + c 0
c
− c)ε .
(c) Pour tout n de
N
0
3
La matrice de f dans la base (ε1 , ε2 , ε3 ) est donc N =
, on
0
a
f n (ε1 ) = (a + c)n ε1
a + c
0 a + c 0
0 0
0 0 a
−c
.
f n (ε2 ) = (a + c)n ε2 (simple cons´equence de ce qui pr´ec`ede.) f n (ε3 ) = (a
n
− c) ε
3
Les vecteurs de la base canonique v´erifient e1 = 21 (ε1 + ε3 ), e2 = ε 2 , e3 = 21 (ε1 On en d´eduit successivement : 1 1 f n (e1 ) = 2 (f n (ε1 ) + f n (ε3 )) = 2 ((a + c)n ε1 + ( a
= 21 ((a + c)n (e1 + e3 ) + ( a
− ε ). 3
n
− c) ε ) 3
n
− c) (e − e )) = 21 ((a + c) + (a − c) ))e + 21 ((a + c) − (a − c) )e De mˆeme f (e ) = 21 ((a + c) − (a − c) ))e + 21 ((a + c) + (a − c) )e . n
1
3
n
n
n
1
n
n
3
n
n
3
n
1
3
Enfin f n (e2 ) = (a + c)n e2 . La matrice de f n dans la base canonique est donc
( + ) a
1
N n = 2
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c
n
(a + c)n
+ (a 0
n
− c)
0 (a + c )n
n
− (a − c)
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0
(a + c )n
n
− (a − c) 0
(a + c )n + (a
n
− c)
Page 4
