I.
INTRODUCCION El cálculo del sólido de revolución en superficies irregulares presenta dificultad que
puede ser resuelta si se plantea una función de la superficie en mención y luego se aplica integrales. Si se cuenta con la función que determina el contorno de la superficie, se puede recurrir a la integración de la función aplicando los diferentes métodos aprendidos en clase. El presente informe tiene por objetivo determinar el área de la región, volumen, longitud de arco, área de la superficie mediante los diferentes métodos. Escogiendo como modelo un peón de ajedrez. Para ello, se a presentado el contorno y luego se a determinado su ecuación, integrando luego mediante método anal!tico, puesto que se cuenta con las coordenadas de la superficie. El volumen encontrado, as! como la superficie lateral están sujetos a criterios seg"n la realidad nos e#ige y es por ello que este resultado encontrado es referencial. Sin embargo, nos brinda un resultado de bastante e#actitud y nos permite dar una idea del valor a encontrar.
II.
PARTE TEORICA II.1.
TITULO DEL PROYECTO DISEÑO DE UNA LOCION EN FORMA DE PEON DE AJEDREZ
II.2.
DATOS
$os datos del contorno de un peón de ajedrez se muestran en el siguiente gráfico%
II.3.
OBJETIVOS GENERALES &
'plicar la integral definida en el dise(o de un peón de ajedrez.
ESPECIFICOS &
)tilizar método del disco en vol"menes de revolución para procesar las ecuaciones que se obtienen.
&
*eterminar el área lateral que es base para calcular la cantidad de material a usarse.
&
+allar la longitud de arco.
&
+allar el área de la región.
II.4. MARCO TEÓRICO. II.4.1. AREA DE LA REGION Para allar el área limitada de una función en puntos , se procede a integrar la función con los intervalos de dicos puntos
Eje!"#$ y = 4x − x 2 y el eje OX.
II.4.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DE ROTACION MEDIANTE EL METODO DEL DISCO. 'ora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingenier!a y en procesos de producción. Son ejemplos de
%&"'(#% (e )e*#"+,'&-% ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. En el siguiente grafico%
y
fx
x a
x
b
-uando el elemento diferencial gira sobre el eje #%
rfx
x Si giramos una región del plano alrededor de una l!nea, el sólido resultante es conocido como %&"'(# (e )e*#"+,'&- y la l!nea como eje (e )e*#"+,'&-. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
olumen del disco/ π0∆#
*onde 0=f (#) es el radio del disco y ∆# es la ancura. Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. -uando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
∆/π0 ∆#
Si apro#imamos el volumen de un sólido por n de tales discos de ancura ∆# y de radio 01# i2, tenemos
n
2 ∑ [ R( x )] ∆x π
olumen del sólido ≈
i
i =1
3omando el l!mite 44 ∆44 → 5 1n→ ∞2, tenemos n
olumen de un sólido /
Lim n →∞
2 ∑ [ R( x )] ∆x π
i
i =1
Esta e#presión corresponde a la suma de 0iemman, que es el concepto de la integral definida% b
/π
2 [ R ( x)] dx ∫
II.4.3. LONGITUD DE ARCO En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
'l considerar una curva definida por una función
y su
respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b] , la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación %
II.4.4. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION )na superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta llamada eje de rotación, la cual se alla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son% -
)na superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una l!nea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo6 esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución6 la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
-
)na superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante6 la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
-
)na superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semic!rculo alrededor de su diámetro6 ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
-
)na superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ning"n punto6 esta superficie encierra el sólido de revolución llamado toroide 1o simplemente toro2.
$a utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, as! como en el diseño, cuando se dise(an objetos
digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.
III.
CALCULOS 3.1.
DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN CONTORNO DEL PEON. Superponemos es esquema del peón en un eje de coordenadas%
F(1)
F(2) F(3)
F+-,'#- 1$
7ase de la botella% circulo de radio $a recta tiene pendiente% m/
3 −2,5 0−1
y&y5/m1#4 ⇒ y&9/&5,81#&52 ⇒
/&5,8, por tanto su ecuación% y/9&5,8#
5≤#≤:
F+-,'#- 2$ $a sección curva es una parábola de ecuación. 1y&.82 /;1#&:2
P1<,:2
⇒ 1:&,82 /;1<&:2
⇒ ;/=><
*e donde% 1y&.82 /
9 28
1#&:2
⇒
y/,8&
F+-,'#- 3$ ?unción constante% *e donde%
y/ < ≤#≤=
√
9 ( x −1 ) 28
:≤#≤<
1#&852 /&851y&@,82
f1#2/
3.2.
{
⇒
3−0,5 x
2,5 −
√
y/@,8&
( x −50 )
2
<≤#≤=
50
0 x 1
9 ( x −1 )
1 x 8
28
8 x 9
2
CALCULO DE LA REGION PLANA. b
AR/0 AR/0
8
0
AR/0
a
[
∫ ( 3 −0.5 x) dx +∫ 2,5 −√ 1
1
[3 x −
0.5 2
x
2
|
]
1
A
0
AR/0 2. 1. AR/0 1.2 ,2 •
∫ f ( x) dx
[
9 ( x −1 ) 28
]
9
∫ 2 dx
dx +
8 3
2,5 x −
( X −1 )2 √ 7
2
]|
|
8 + 2 X 9 1 8
Por lo tanto la región la plana seria 95.8 cm
3.3.
CALCULO DEL VOLUMEN
Si este contorno gira alrededor del eje #,
obtenemos el volumen de la botella mediante el método del disco. x f (¿)
V0
¿ ¿2 ¿ ¿ b
∫¿ a
1
V0
∫ y 0
8
2 1
dx
∫ y 1
9
2 2
dx
∫ y dx 2 3
8
8
∫ ( 3 −0,5 x) dx
V0
2
[
∫ 2,5 −√
1
0
1
8
∫ (0.25 x − 3 x +9 ) dx
V0
0
1
V0
[
V0
.53
2
0.25 X
2
−
3
3 X 2
+ 9 X
]|
1 0
28
]
2
[
∫ 6,25 −2 √
1
2
9 ( x −1 )
[
16.62
9
∫ 2 dx
dx
2
8
9 ( x −1 ) 28
+
9 ( x −1 ) 28
]
3
6,25 x −
5 √ 9 ( x −1 ) 3 √ 28
2
+
9 ( x
2
9
∫ 4 dx
dx +
8
]|
− x ) 28 ( 2 )
|
8 + [ 4 x ] 9 1 8
4
V0 55.615 ,3 3.4.
CALCULO DE LA LONGITUD DEL ARCO$
$/
{
2,5 −
f1#2/
$/
3−0,5 x
√
∫√
{
0 x 1
9 ( x −1 ) 28
⇒ fB1#2/
1 x 8 8 x 9
2
( )
1+
56
dy dx
2
dx
−0,5 −9 9 ( x −1 )
√
0 x 1 1 x 8
28 0
8 x 9
∫ √ 1 +0,25 dx +∫ √1 + 112 ( x−1 ) dx +∫ √ 1 +0 dx 1
8
0
1
9
9
8
$ / :,::<59 A C,C8@< A : / =,9=98:cm
3.. CALCULO DEL AREA DE LA SUPERFICIE$
f1#2/
{
3−0,5 x
2,5 −
√
9 ( x −1 ) 28 2
0 x 1 1 x 8 8 x 9
⇒ fB1#2/
{
56
−0,5 −9 9 ( x −1 )
√
0 x 1 1 x 8
28 0
8 x 9
Si este contorno gira alrededor del eje #, obtenemos el área lateral de la botella. '/π
∫
√ ( )
2
dy f ( x ) 1+ dx dx
1
'/π
∫ ( 3 −0,5 x) √ 1+ 0,25 dx 0
Aπ
(
∫ 25− √ 9 ( x28−1 ) 8
1
9
∫ 2 √ 1 + 0 dx 8
'/:=.9:<9A:5=<.:@A@ π/::95.58 cm
IV.
MATERIAL7 METODO Y PROCEDIMIENTOS.
8. MATERIAL. 9. METODO. ,. PROCEDIMIENTOS.
)√
1+
9 112 ( x −1 )
dx A π
V.
CONCLUCIONES.
•
El volumen allado es la capacidad del envase y corresponde a 99,@ cm de loción.
•
$a parte superior representa la cabeza del peón y no tiene mayor efecto en el dise(o que ser elemento ornamental. Es la tapa de la botella. El material para elaborar el recipiente en forma de peón es 99,@ cm .
•
VI. :.
BIBLIOGRAFIA $arson, 0on y +osteler, 0obert P%. 155D2. Solidos en 0evolucion. En El -alculo18D & D52. e#ico, *.?% cFraG&+ill.
.
Espinoza 0amos, Eduardo. 155:2. Solidos, etodos de los discos. En 'H'$ISI '3E'3I-J II para estudiantes de ciencias e ingenieria 1959&9:2. $ima, Peru% Servicios Fraficos KK.S'.
9.
ttp%>>descartes.cnice.mecd.es>7acL-HS3L>$aLintegralLdefinidaLyLlaLfuncionLarea>inde#.tm
INDICE I. II.
III.
IV.
V. VI.
Introduccion……………………………………………1 Parte Teorica ………………………………………….2 II.I Titulo del Proyecto……………………… 2 II.II atos…......……………………………… 2 II.III !b"etivos.…………………………..…… 2 II.IV #arcoTeorico ………………………….. 2 $alculos ………………………………………………. % III.I eter&inacion de la función contorno del peon .. % III.II $alculo de la 'e(ion Plana …………… ) III.III $alculo del *olu&en …………………… ) III.IV $alculo de la +on(itud del rco ………. III.V $alculo del rea de la uperficie …….. #aterial, #etodo y Procedi&ientos………………….1/ IV.I #aterial……………………………………1/ IV.II #etodo……………………………………1/ IV.III Procedi&ientos…………………………..1/ $onclusiones ……………………………………….. 1/ 0iblio(rafia ………………………………………….. 11
