APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ADMINISTRACIÓN E INTERPRETACIÓN. EJEMPLOS PRACTICOS EN EL ÁREA. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. MÁXIMO Y MINIMO EN TODO SU DOMINIO Y EN UN INTERVALO: COSTO MARGINAL Cuando las empresas o compañías calculan sus costos, suelen evaluar también los costos marginales. El costo marginal es uno de los conceptos más importantes de la microeconomía, es el costo de producir una unidad adicional. El costo marginal y se define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una unidad más del producto. Este costo se conoce como el costo marginal (CM). En formula:
Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes está dado por C=Q(x,y), entonces las derivadas parciales de c son las funciones de costo marginal, así: ∂C/∂x= Costo Marginal con respecto a x
∂C/∂y= Costo Marginal con respecto
ay Ejemplo: En la función de de costo costo de producción dos artículos artículos x e y es: C=Q(x.y)= x² y ² - 3xy+y+8. Determine el costo marginal con respecto a “x” y el costo marginal con respecto a “y”
Desarrollo: y – 3x= Costo Marginal con respecto a x ∂C/∂ y = ∂Q(x,y)/∂x = 2x² y y – 3x+1= Costo Marginal con respecto a y ∂C/∂ y = ∂Q(x,y)/∂x = 2x² y Si x =3 y = 4 se tiene ∂C/∂x = 84, ∂C/∂y = 64, esto quiere decir, si “y” se mantiene constante e igual a 4, al producir una unidad adicional de “y” aumentará aumentará 64 unidades monetarias al costo total.
Ejemplos:
Una empresa hotelera tiene la función de costos totales: C= 9,17.27+0.058556x, donde x es el número de servicios vendidos de un año. Calcule la razón de cambio promedio y diga cuál es la interpretación económica de esta fracción. Solución
C(x+∆x)=9,119.27+0.058556(x+∆x)=9,119.27+0.058556x+0.05856∆x
∆C ∆x
= 9119.27+058556x+0.58556∆x-(9119.27+0.58556x) ∆x
∆C = .058556∆x ∆x ∆x
= 0.58556 es el costo marginal ( el costo de producir una unidad más)
ANALISIS MARGINAL: El término Análisis Marginal, en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables. Supongamos que la producción diaria Q, de una fabrica depende de la cantidad K de capital invertido (medido en unidades de 1.000 dólares) en la fabrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horastrabajador) En economía las derivadas parciales ∂Q / ∂k y ∂Q / ∂L se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. ∂Q / ∂L es el producto marginal del trabajo, que es el ritmo al que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo k de capital invertido, por lo tanto ∂Q / ∂L es aproximadamente el cambio en la producción que resulta ei el capital invertido se deja fijo y el trabajo se aumenta en una horatrabajador. En forma similar, ∂Q / ∂k es el Producto Marginal del capital, que es aproximadamente el cambio en la producción que resulta si el tamaño de la fuerza de trabajo se deja fija y el capital invertido se aumenta en 1.000 dólares. Se estima que la producción semanal de una cierta fabrica viene dada por la función f(x,y)=1200+500y+x²y-y³ unidades, donde x es el número de trabajadores expertos e es el número de trabajadores inexpertos empleados en la fábrica, actualmente la fuerza de trabajo está formada por 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores inexpertos. Use el Análisis Marginal para estimar el cambio de producción semanal que resultaría de la adición de un trabajador experto, más si el número de trabajadores inexpertos no cambia. Desarrollo: ∂f(x,y) / ∂x= 1200+2xy-3x² es la derivada parcial y representa el ritmo de cambio de la producción con respecto al número de trabajadores expertos, para cualquier valor de x e y. Esto es una aproximación al número de unidades adicionales que se producirán cada semana si el número de trabajadores expertos aumenta de x a x+1 mientras que el número de trabajadores inexpertos se deja fijo en y. En particular, si la fuerza de trabajo se aumenta de 30 trabajadores expertos y 60 inexpertos a 31 expertos y 50 inexpertos, el cambio resulta en la producción es aproximadamente. ∂f(30,60) / ∂x= 1200+2(30)(60)-3(30)²=2100
PRODUCTIVIDAD MARGINAL La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada principalmente por dos factores: el monto del capital invertido en la planta productiva y la mano de obraempleada en la fabricación del artículo. Sean:
Q la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo). K el monto del capital invertido en la planta productiva ($). L el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios
pagados). Se establece entonces una función de dos variables: Q (K , L ), llamada función de producción, donde K y L son los insumos de producción, como por ejemplo: Productividad marginal del capital:
Es la derivada parcial de Q con respecto a K , es decir ∂Q / ∂K, y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de obra. Productividad marginal de la mano de obra:
Es la derivada parcial de Q con respecto a L , ∂Q / ∂L, y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva. Ejemplo: Para la función Q(K,L) = 8L+4K+3LK-L²-2K², calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L = 3 y K = 5. Solución: ∂Q / ∂K= 4+3L-4K = 4+3(3) – 4(5) = 4+9-20 = -7 unidades / unidad adicional de capital. ∂Q
/ ∂L = 8+3K-2L= 8+3(5) -2(3) -8+15-6 = 7 unidades / unidad adicional de mano de obra.
DEMANDAS MARGINALES Ciertos productos en el mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro.
FUNCIONES DE LA PRODUCTIVIDAD:
Productividad puede definirse como la relación entre la cantidad de bienes y servicios producidos y la cantidad de recursos utilizados. En la fabricación la productividad sirve para evaluar el rendimiento de los talleres, las máquinas, los equipos de trabajo y los empleados. Productividad en términos de empleados es sinónimo de rendimiento. En un enfoque sistemático decimos que algo o alguien es productivo con una cantidad de recursos (Insumos) en un periodo de tiempo dado se obtiene el máximo de productos.
La productividad en las máquinas y equipos esta dada como parte de sus características técnicas. No así con el recurso humano o los trabajadores. Deben de considerarse factores que influyen. Además de la relación de cantidad producida por recursos utilizados, en la productividad entran a juego otros aspectos muy importantes como: Calidad: La calidad es la velocidad a la cual los bienes y servicios se producen especialmente por unidad de labor o trabajo. Productividad = Salida/ Entradas Entradas: Mano de Obra, Materia prima, Maquinaria, Energía, Capital. Salidas: Productos. Misma entrada, salida mas grande Entrada mas pequeña misma salida Incrementar salida disminuir entrada Incrementar salida mas rápido que la entrada Disminuir la salida en forma menor que la entrada. Si La cantidad z de un artículo se produce utilizando las cantidades x e y respectivamente de dos factores de la producción, en tal caso la función de producción final z cuando se usan de manera simultánea las cantidades x e y de los insumos respectivamente, para que la representación z=f(x,y) tenga significado en economía, las cantidades de los insumos pueden venir sin restricción por lo menos en el intervalo que interesa y que la función de producción sea continua. PRODUCTIVIDAD MARGINAL:
La productividad marginal muestra el aumento de producción obtenido al agregar una unidad más del factor de producción que se analiza en cada caso.
Si z=f(x,y) es la función de producción, entonces la derivada parcial ∂z/∂x es la productividad marginal de x, mientras que la derivada parcial ∂z/∂ y es la productividad marginal de y. Si la función de producción esta dada por: z²+4x²+5y²-12xy = 0 en la cual z es la cantidad producida, x e y son las cantidades de los insumos: Hallar la productividad marginal. Desarrollo: Por calcular ∂z/∂x = productividad de x, y ∂z/∂ y = productividad marginal de y. Las derivadas parciales las calcularemos por derivación implíicta. Sea F(x,y,z) = z²+4x²+5y²-12xy, de donde. ∂F / ∂x = 8x-12y ∂F / ∂x = 10y-12x ∂F / ∂z = 2z La productividad marginal de x es: ∂z/∂x = ∂F / ∂x = 8x-12y = 6y -4x 2z z ∂F / ∂z La productividad marginal de y es: ∂z/∂y = ∂F / ∂x = 10y-12x = 6x -5y ∂F / ∂z 2z z INGRESOS. El Ingreso Total de
la empresa es el resultado de multiplicar el precio por el número de unidades producidas y vendidas. El Ingreso Marginal es el aumento de los ingresos totales cuando se vende una unidad de producto más. Como esta unidad es vendida al precio de mercado, para una empresa en libre competencia el ingreso marginal es igual al precio. Los Ingresos Medios son el resultado de dividir los ingresos totales entre el número de unidades producidas; si todas las unidades se han vendido al mismo precio es evidente que el ingreso medio será igual al precio.