Exercices chapitre 6 : le dipôle RC Exercice 1 Utiliser la loi d’additivité des tensions On souhaite réaliser l’étude de la charge d’un condensateur initialement déchargé à l’aide du montage ci-contre. Un système d’acquisition permet d’acquérir simultanément la tension u G aux bornes du générateur de tension continue, la tension u BM aux bornes du conducteur ohmique de résistance R. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K. 1. Représenter sur le schéma les tensions u AB et u BM.. 2. La masse du montage étant en M, représenter sur le schéma ci-contre les connexions à l’ordinateur permettant de visualiser les tensions u G et uBM .. 3. Comment à l’aide du logiciel peut-on déduire de u G et u BM les variations de la tension u AB aux bornes du condensateur. Justifier. 4. On obtient sur l’écran de l’ordinateur le graphe ci-contre. 4.1 Associer à chaque courbe la tension qui lui correspond. Justifier. 4.2. A la date t = 2,0 s déterminer les valeurs des tensions u G , u AB et u BM.. Ces valeurs sont-elles cohérentes avec la loi d’additivité des tensions ? 4.3. En appliquant la loi d’Ohm, justifier le sens du courant dans le circuit ainsi que le signe des charges accumulées sur armatures du condensateur.
Exercice 2 capacité.
i(t)
Repérer la charge et la décharge d’un condensateur : détermination de la
On réalise le montage du document ci-contre comportant un dipôle RC. On étudie les variations de la tension aux bornes du condensateur ainsi que les variations de l’intensité du courant dans le circuit lors de la charge, puis lors de la décharge du condensateur.
A
Le condensateur est initialement déchargé. A la date t = 0, l’interrupteur est basculé en position 1. Un dispositif informatisé permet d’acquérir simultanément la tension u AB aux bornes du condensateur et u BN aux bornes du conducteur ohmique. Le condensateur étant complètement chargé, on bascule l’interrupteur en position 2 et le dispositif informatisé acquiert alors à nouveau simultanément les tensions u AB et uBN . On appellera également t = 0 la date du début de la décharge du condensateur. Données : uPN = 6,0 V ; R = 2000 . 1. Indiquer, en justifiant la réponse, laquelle de ces tensions u AB ou uBN représente à un coefficient près : a. la charge qA de l’armature A du condensateur. b. l’intensité i du courant. 2. Etablir la relation entre i et uAB à une date t quelconque. 3. Après traitement des acquisitions obtenues à la charge et à la décharge, on obtient les 4 graphes A, B, C et D. représentés ci-après. En vous aidant si nécessaire, des conditions initiales de c harge ou de décharge, de la loi d’Ohm, de la loi d’additivité des tensions, de la relation établie en 2 ou de la continuité de la tension aux bornes du condensateur, justifier quel est le graphe qui correspond : a. b. c. d.
à à à à
la tension la tension l’intensité l’intensité
u AB aux bornes du condensateur u AB aux bornes du condensateur i du courant dans le circuit lors i du courant dans le circuit lors
lors de la décharge ; lors de la charge ; de la charge ; de la décharge.
On précisera les unités utilisées sur les axes des ordonnées des graphes, en s’appuyant sur des données ou sur un calcul.
4.
Déterminer la capacité C du condensateur.
Exercice 3 Décharge d’un condensateur dans une résistance : établissement de l’équation différentielle ; dissipation d’énergie. Un condensateur, chargé depuis un temps très long sous une tension de E = 6,0 V est placé dans le circuit ci-contre. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur ( non représenté sur le schéma ). Données : R = 2000 : C = 200 F. 1. Quelle est la valeur de la charge initialement emmagasinée par l’armature A du condensateur. Placer sur le schéma, les signes des charges déposées sur les armatures. 2. Calculer l’énergie initialement emmagasinée par le condensateur. 3. Etablir une relation entre les tensions u C et uR . 4. Etablir la relation entre i et u C à partir des relations charge-intensité et charge-tension. 5. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u C (t). 6. On propose comme solution de l’équation différentielle u C(t) = A exp ( - t / de A et en fonction de R, C et E. 7. 8. 9.
). Etablir les expressions
Calculer la constante de temps du dipôle RC. Etablir l’expression de i en fonction du temps t, de E, de R et de C. Quelle est en mA, la valeur de i(0) ? Interpréter le signe de i(0) ?
10. Quelle sont les limites de u C et de i lorsque t tend vers l’infini. 11. Tracer les allures des courbes représentant u C (t) et i(t) pour t variant entre les particularités des fonctions u C (t) et i(t) au passage par la date t = 0s?
et +
. Quelles sont
12. Déterminer l’énergie dissipée par le condensateur ? Sous quelle forme s’est-elle dissipée à votre avis ? Comment peut-on expliquer la particularité que présente u C(t) au passage par la date t = 0 s.
1
Exercice 4 Décharge d’un condensateur dans un autre condensateur Le circuit ci-contre comprend en parallèle deux condensateurs 1 et 2 initialement déchargés de capacités respectives C1 = 1,0 F et C2 = 3,0 F et un générateur de tension continue délivrant à ses bornes une tension u G = 12,0 V.
2 K
+ uG
C2
C1 -
On charge dans un premier temps le condensateur 1 en plaçant l’interrupteur K en position 1. Puis on place l’interrupteur en position 2. On admet que dans cette opération, il n’y a pas de perte de charges électriques. 1. Calculer la charge Q1 portée par le condensateur 1 à la fin de sa charge puis l’énergie E1 qu’il a emmagasiné. 2. A la fin du processus de décharge un état d’équilibre électrique est atteint. Calculer dans ces conditions : a. b. c.
la tension U aux bornes des deux condensateurs. les charges finales Q’1 et Q’2 portées par les condensateurs 1 et 2. l’énergie totale E emmagasinée par le système des deux condensateurs.
3.
Comparer E à E1. Interpréter.
Exercice 5 Etude énergétique de la charge d’un condensateur On réalise le montage de la figure ci-contre dans le but d’étudier les transferts d’énergie lors de la charge du condensateur d’un dipôle RC. Initialement en position 2 pendant un temps suffisant, le commutateur est basculé en position 1 à la date t = 0. Grâce à un système informatisé, on réalise l’acquisition de la tension u C aux bornes du condensateur. Données : R = 2000
; C = 400
i 1
F
1. Un logiciel de traitement de données permet, à partir de la tension u C(t), de tracer i(t) puis la puissance P(t) électrique transférée au condensateur. 1.1. Quelle relation existe-t-il entre i(t) et u C(t) ?
2
1.2. Quelle est la relation permettant au logiciel de calculer P(t), à partir de i(t) et u C(t) ? 1.3. L’énergie acquise Ee(t) par le condensateur au cours du temps peut être calculée par la relation : Ee(t) =
t 0
P ( t') d t' . Montrer que Ee(t) =
1 C u 2 (t) . C 2
2. Le document ci-après représente trois courbes sans indications de la grandeur représentée en ordonnées.
temps (s)
2.1. Attribuer à chacune des grandeurs u c(t), i(t) et P(t), la courbe qui lui correspond et préciser les unités employées sur les axes des ordonnées des graphes i(t) et P(t) sachant que sur le graphe u c(t) la tension est exprimée en volt. Justifier. 2.2. Indiquer sur le graphique approprié comment on pourrait déterminer graphiquement l’énergie emmagasinée par le condensateur à la date t = 2,0 s. 2.3. Déterminer graphiquement la constante de temps théorique.
du condensateur et comparer à la valeur
3. Le document ci-contre représente l’évolution temporelle de l’énergie condensateur
Ee emmagasinée
par le
3.1 Sachant que la puissance instantanée P(t) reçue par le condensateur est la dérivée de Ee(t), expliquer l’allure du graphe P(t). 3.2. Déterminer graphiquement la valeur de l’énergie emmagasinée par le condensateur lorsque la charge est terminée. 3.3. Calculer à partir des données l’énergie finale emmagasinée par le condensateur . Comparer les deux valeurs obtenues.
Exercice 6 Tension triangulaire aux bornes d’un condensateur On a réalisé le montage ci-contre et l’on visualise sur l’écran d’un oscilloscope : la tension u C aux bornes du condensateur de capacité C ( tension triangulaire ) sur la voie 2
C
la tension u R aux bornes du conducteur ohmique de résistance R = 1,0 k . sur la voie 1. On obtient l’oscillogramme ci-après. 1. Indiquer les connexions du montage à l’oscilloscope pour visualiser les tensions u C et u R : on indiquera la masse du montage et l’on indiquera quelle voie il faudra « inverser » ( changement de u en - u ). 2. Quelle relation existe-t-il entre l’intensité i du courant dans le circuit et la tension u R ? 3. Quel est l’intérêt de visualiser la tension u R ? 4. Quelle est l’expression de l’intensité i du courant en fonction de la tension u C aux bornes du condensateur ? 5. On s’intéresse à l’intervalle de temps [T1 ; T2 ] . 5.1. Comment évolue u C(t) sur cet intervalle de temps ? 5.2. Calculer
duC dt
.
5.3. Justifier la forme de l’oscillogramme de u R (t). 5.4. Calculer la valeur de l’intensité i du courant. 5.5. Calculer la capacité du condensateur. 6. Justifier le changement de signe de i après la date T2 . Données Sensibilité verticale : voie 1 : 0,5 V/DIV ; voie 2 : 2 V/DIV Sensibilité horizontale : 1 ms/DIV.
R
Exercice 7 Tension en créneaux appliquée à un dipôle RC Une cellule RC est constituée d’un condensateur de capacité C = 10 nF et d’un conducteur ohmique de résistance R = 2,2 k . Elle est soumise à une tension créneaux (0, 5V ), de fréquence 1 kHz. ( cf schéma ci-contre ). On réalise le montage ci-contre. Un oscilloscope permet de visualiser la tension d’entrée u e sur la voie 1 et la tension de sortie u S sur la voie 2. A. l’interrupteur K est ouvert. 1. Représenter les connexions à l’oscilloscope pour visualiser les tensions u e et u S . 2. Lorsque la tension u e prend la valeur 5V à la date t = 0 le condensateur, initialement déchargé, se charge. 2.1. Justifier, en utilisant la loi d’additivité des tension et la loi d’Ohm comment évolue l’intensité du courant dans le conducteur ohmique pendant l’intervalle de temps [0, T/2 ] et préciser la valeur initiale de la tension de sortie u S . 2.2. Calculer la constante de temps de la cellule RC et la comparer à la durée T/2 de la phase de charge. Conclure. 2.3. Représenter, l’allure du graphe uS (t) pendant l’intervalle de temps [0,T/2] 3. A la date T/2, la tension u e du générateur passe brutalement à la valeur 0V. Dans l’intervalle de temps [T/2 ; T ], le condensateur se décharge. 3.1. Expliquer pourquoi la tension de sortie u S devient négative à la date T/2. Décrire, en justifiant, l’évolution de u S (t) dans l’intervalle de temps [T/2 ; T ]. 3.2. Compléter alors sur le schéma de la figure 1.3, le graphe u S (t) dans l’intervalle de temps [T/2 ; T ]. 3.3 Représenter l’allure du graphe uS (t) dan s l’intervalle de temps [0, 4T ]. 3.4. Représenter , au dessous du graphe de la question 2.3, le graphe de u C(t) aux bornes condensateur en convention récepteur dans l’intervalle de temps [0, 4T ]. B. On ferme l’interrupteur K La diode est supposée idéale ce qui signifie qu’elle se comporte comme un fil sans résistance lorsqu’elle est passante ( la tension à ses bornes est alors nulle ) et comme un interrupteur ouvert lorsqu’elle est bloquée. 4. Comment est modifié l’oscillogramme de la tension de sortie dans l’intervalle [0, 4 T ] ? Représenter son allure.
Exercice 8 : stockage d’énergie : le flash électronique L’énergie libérée en un temps très bref par l’éclair d’un flash est au préalable stockée dans un condensateur de grande capacité, chargé par quatre piles en série équivalente à un générateur de f.é.m. U = 6V. Elles peuvent fournir une énergie totale e = 18 kJ lorsqu’elles sont neuves. On admettra que pour un fonctionnement optimal, la moitié de cette énergie est transférable au condensateur. Au-delà, les piles doivent être changées. Le mode d’emploi du flash Minolta 5400 HS indique, pour une alimentation par quatre piles alcalines de type AA : Autonomie
Temps de recharge après un éclair
( en nombre d’éclairs ) 100 à 3500
( en secondes ) 0,2 à 11
L’autonomie indique le nombre d’éclairs possibles avant de changer de piles. La durée de l’éclair peut être limitée par un circuit électronique, ce qui explique les fourchettes de données. Les indications en gras correspondent à des éclairs d’intensité lumineuse et de durée maximales, résultant de la décharge du condensateur.
1. En utilisant les données du mode d’emploi, calculer la valeur de l’énergie libérée par un éclair d’intensité lumineuse et de durée maximales. 2. En déduire la capacité C du condensateur qui a été chargé sous la tension constante U’ = 300 V qui est une tension amplifiée grâce à un dispositif électronique approprié. 3. En utilisant les données du mode d’emploi, donner un ordre de grandeur de la constante de temps du circuit de charge. 4. En déduire l’ordre de grandeur de la résistance à travers laquelle s’est chargé le condensateur.
Exercice 9 : principe de fonctionnement d’une minuterie L'objet de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'une minuterie permettant d'éteindre une lampe automatiquement au bout d'une durée t0 réglable. Le montage du circuit électrique est constitué : d'un générateur idéal de tension, de force électromotrice E = 30 V. d'un interrupteur K. d'un conducteur ohmique de résistance R. d'un condensateur de capacité C. d'un bouton poussoir P qui joue le rôle d'un interrupteur: il est fermé seulement quand on appuie dessus. d'un composant électronique M qui permet l'allumage de la lampe L tant que la tension aux bornes du condensateur est inférieure à une tension limite, caractéristique du composant, notée U (dans tout l'exercice on fixera U à une valeur constante égale à 20 V). Le composant électronique M possède une alimentation électrique propre (non représentée sur le schéma) qui lui fournit l'énergie nécessaire à l'allumage de la lampe. De ce fait, on admettra que le composant électronique M ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC, c'est-àdire que la tension aux bornes du condensateur est identique que M soit présent ou non dans le circuit.
A
K R
+ E
–
B P
C
u C
M
L
D
I - Étude du circuit RC A l'instant initial (t = 0 s), le condensateur est déchargé. On ferme l'interrupteur K, le bouton poussoir P est relâché (voir schéma ci-dessus). 1. On souhaite visualiser les variations de la tension u C aux bornes du condensateur en fonction du temps à l'aide d'un oscilloscope à mémoire. Indiquer les branchements à réaliser (voie 1 et masse) sur le schéma du montage. 2. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension u C(t) aux bornes du condensateur en fonction du temps est de la forme : u c(t) + RC
duc (t) =E dt
3.a. En vérifiant que la fonction du temps u c(t) = A (1 - e-t/ ) est solution de l'équation différentielle précédente montrer que A = E et que = R.C. 3.b. Quelle est la valeur de u C en régime permanent ? 3.c. Quel est le nom donné à la constante .
? A l'aide d'une analyse dimensionnelle, donner l'unité de la constante
4. La représentation graphique de la fonction u C(t) est donnée sur la figure ci-contre. Faire apparaître sur ce graphe sans aucune justification : - la tension E, -
la constante , les régimes permanent et transitoire.
5. Calculer la valeur de la constante pour R = 100 k et C = 200 µF. 6.a. Donner l'expression littérale de la date t0 à laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur limite U en fonction de U , E et . (t0 est la durée d'allumage de la lampe). 6.b. Calculer la valeur de t0 et vérifier la validité du résultat à l'aide du graphe u C(t) ci-avant. 6.c. On a fixé U à 20 V pour obtenir une durée d'allumage t0 voisine de . Pour quelle raison choisir t0 très supérieur à , n'aurait pas été judicieux pour un tel montage ? 7. Quel(s) paramètre(s) du montage peut-on modifier sans changer le générateur afin d'augmenter la durée d'allumage de la lampe ?En fixant C = 200 µF quelle valeur doit-on donner à la résistance R pour obtenir une constante de temps d'une minute ? 8. On appuie sur le bouton-poussoir. Que vaut la tension aux bornes du condensateur ? La comparer à U . Que se passe-t-il pour la lampe dans les cas suivants : 8.a. la lampe est déjà allumée ? 8.b. la lampe est éteinte ? II - Méthode d'Euler On se propose maintenant de résoudre numériquement l'équation différentielle établie à la question I-2, R et C conservant les valeurs R = 100 k et C = 200 µF . duc(t) et la tension u C(t). dt duc(t) La méthode d'Euler permet de calculer successivement les valeurs de u C(t) et de à des intervalles de temps dt
1. A partir de cette équation différentielle, donner la relation entre la dérivée
réguliers notés
t appelé le pas. En prenant un pas suffisamment petit on peut écrire la relation : u C(t + t) = u C(t) +
duc(t) . dt
t
Pour cette étude, on prend un pas égal à t = 2 s. 2. Justifier la relation précédente en considérant que pour le pas choisi, on peut assimiler la dérivée de u C(t) au point d’abscisse t , au taux de variation de la fonction u C(t) entre les dates t et t + t. 3. En utilisant l'expression littérale ci-dessus, compléter, dans le tableau ci-après, les colonnes correspondant aux dates t = 2 s et t = 4 s.
6
8
10
12
…
20
0
8,14
10,3
12,3
14,1
…
19,6
1,50
1,09
0,99
0,89
0,80
…
0,52
t (s)
0
uC (t) duc(t) dt
2
4
4. Le document ci-après représente un agrandissement de la courbe u C(t) de la courbe expérimentale u C (t). Tracer sur ce graphe la partie du graphe u C(t) correspondant à ce tableau. Que constatez-vous ?
5. On peut améliorer la précision de la méthode d'Euler en modifiant la valeur du pas t. Quelle modification pourrait-on apporter à la valeur du pas t ? Quel serait l'inconvénient de cette modification ?
