Exercícios Resolvidos.Distribuição Normal

Exercícios Resolvidos Alexandre Schuler Schuler

INTRODUÇÃO

Este Caderno de Exercícios destina-se a auxiliar o estudante na compreensão do conteúdo teórico explicitado no texto básico elaborado para as seguintes disciplinas: Estatística Estatística Aplicada aos Processos Químicos , Controle Estatístico (do

curso de Química Industrial) e Controle

Estatístico Estatístico de Qualidade Qualidade (do curso de Engenharia Química).

São quarenta e cinco exercícios, sendo quatro sobre Probabilidade, treze sobre Testes Estatísticos, vinte e quatro sobre Gráficos de Controle e quatro sobre Inspeção de Qualidade. Todos os exercícios estão resolvidos, mas recomenda-se ao Leitor que tente resolvê-los antes de ver a resposta e que ao fazê-lo acompanhe atentamente as explicações. Especial atenção deve ser dada ao último exercício, que é resolvido por tentativas, podendo ter outras soluções. Além disso, recomenda-se fortemente o conhecimento de aplicativos como o Excel e o Origin,

INTRODUÇÃO

Este Caderno de Exercícios destina-se a auxiliar o estudante na compreensão do conteúdo teórico explicitado no texto básico elaborado para as seguintes disciplinas: Estatística Estatística Aplicada aos Processos Químicos , Controle Estatístico (do

curso de Química Industrial) e Controle

Estatístico Estatístico de Qualidade Qualidade (do curso de Engenharia Química).

São quarenta e cinco exercícios, sendo quatro sobre Probabilidade, treze sobre Testes Estatísticos, vinte e quatro sobre Gráficos de Controle e quatro sobre Inspeção de Qualidade. Todos os exercícios estão resolvidos, mas recomenda-se ao Leitor que tente resolvê-los antes de ver a resposta e que ao fazê-lo acompanhe atentamente as explicações. Especial atenção deve ser dada ao último exercício, que é resolvido por tentativas, podendo ter outras soluções. Além disso, recomenda-se fortemente o conhecimento de aplicativos como o Excel e o Origin,

ÍNDICE 1. Probabilidade, 1 2. Testes Estatísticos, 3 3. Gráficos de Controle, 10 4. Inspeção de Qualidade, 24 5. Tabelas Úteis, 29 Obs.: Os Capítulos 1 e 2 são destinados à disciplina Estatística Estatística Aplicada aos Processos Químicos . Os Capítulos 3 e 4 são específicos para as disciplinas: Controle Estatístico (Química Industrial) e Controle de Qualidade Industrial (Engenharia Química), a cujos alunos o Autor recomenda rever o assunto dos capítulos anteriores.

1. PROBABILIDADE (uso da Tabela 1 de Distribuição Normal) Estes quatro exercícios pretendem auxiliar na compreensão dos conceitos relacionados com a curva de distribuição normal. Observem a gradativa mudança no texto, aproximando-se do objetivo final (aplicação em controle industrial). Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com

µ = 150 e σ = 30. Determinar as

probabilidades: a) P(X ≤ 202,5); b) P(120 < X < 165); c) P(180 < X < 210) . Resposta: Calcular o valor da variável z (= (X - µ)/ σ; equação 1.1) e encontrar na Tabela 1 o valor correspondente de A (área sob a curva normal delimitada pelos valores limites de X). a) Para X = 202,5 ⇒ z1 = (202,5 – 150)/30 = 1,75. Na tabela 1 encontra-se A(z=1,75) = 0,4599 ≈ 0,46. Como cada metade da curva vale 0,50 (50%), fica: 0,50 + 0,46 = 0,96 = 96% (figura 1). b) Para X = 120 ⇒ z1 = (120 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 Para X = 165 ⇒ z2 = (165 – 150)/30 = 0,5 ⇒ A ≈ 0,19

ii

Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler

Exercício 1.3. Verificar se a média amostral X = 5,75 mm, de n = 5 diâmetros de eixos representa diferença estatisticamente significativa em relação à média da população normal, com µ = 5,60 mm e

σ = 0,10 mm. Resposta: OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, pretende-se verificar se o valor 5,75 pertence à população representada pelo par µ,σ. Agora, a equação 1.1 toma a forma da equação abaixo, por se tratar de uma média. Logo, z = (5,75 – 5,60).√5/0,10 = 3,36

z=

( X − µ) n

(equação 1.2)

σ

Como o valor 5,75 está distante de 5,60 em mais de 3 σ, conclui-se que a diferença d = 5,75 – 5,60 = 0,15 mm, para n = 5, é estatisticamente significativa. De fato, consultando a Tabela 1, observase que a probabilidade de 5,75 pertencer àquela população é muito baixa (P = 1 – 0,9996 = 0,0004 ou 0,04%). Exercício 1.4. Num processo industrial tem-se µ = 10,00 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se

encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que: a) 10,03 ?

b) 10,04 ?

iii


b) A probabilidade de se encontrar um pacote com qualquer peso maior que 1015 g é dada pela integral (área sob a curva normal) no intervalo colorido de cinza da figura 1. O cálculo é realizado como segue: P(X >1015) ⇒ z = (1015 – 1000)/10 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68%

Figura 1 Exercício 1.6. Calcular os coeficientes da reta e o coeficiente de correlação do fenômeno abaixo (a

correlação entre concentração do analito e o sinal de um instrumento analítico). Verificar onde termina a linearidade, admitindo que o coeficiente de correlação não pode ser menor que 0,999. # 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Conc. 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 Sinal 321 643 1597 3207 6394 16054 32090 64268 142250 228456 Resposta: a) Para calcular os coeficientes da reta de regressão e o coeficiente de correlação, preenche-se o quadro abaixo:

iv


b = (Σx.Σy - nΣx.y)/[(Σx)2 - nΣx2] = {[(1,888 × 103) × (4,9528 × 105)] – 10 × 3,1662 × 108)}/[(1,888 × 103)2 – 10 × 1,303 × 106)] b = (9,3509 × 108 – 3,1662 × 109)/(3,5645 × 106 – 1,303 × 107) = - 2,2311 × 109 /- 9,4658 × 106 b = 2,357 × 102 = 235,7 a = (Σy - bΣx) / n = [(4,9528 × 105) – (2,3559 × 102 × 1,888 × 103)]/10 = [(4,9528 × 105) – (4,4500 × 105)]/10 a = 0,5028 × 104 = 5028 Equação da reta: y = 235,7x + 5028 O Coeficiente de correlação (r) é calculado com auxílio da equação: r=

nΣxi.yi - ΣxiΣyi {[nΣxi - (Σxi) 2 ][nΣyi 2 - (Σyi) 2 ]}1 / 2 2

Resolvendo, fica: r = [(10 × 3,1662 × 108) - (1,8880 × 103 × 4,9528 × 105)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 7,7899 × 1010 – (4,9528 × 105)2]}1/2 r = [(3,1662 × 109) - (9,3509× 108)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 7,7899 × 1010 – (4,9528 × 105)2]}1/2 r = (2,2311 × 109)/[(9,4655 × 106)(5,3369 × 1011)]1/2 r = 2,2311 × 109 /2,2476 × 109

v


2. TESTES ESTATÍSTICOS Exercício 2.1. Antes de realizar um tratamento estatístico de dados experimentais, é necessário

ordená-los e aplicar o teste Q para eliminação de eventuais erros grosseiros. Examine o seguinte conjunto de dados: 1,752; 1,760; 1,758; 1,762; 1,757; 1,761 e 1,759. Resposta: Ordenando, fica: 1,752; 1,757; 1,758; 1,759; 1,760; 1,761 e 1,762. O dado aparentemente discrepante é o menor (1,752). Aplicando o Teste Q, fica: Q1

=

X 2 − X 1 X n − X 1

⇒

Q1

=

1,757 − 1,752 0,005 = = 0,50 1,762 − 1,752 0,010

Para n = 7, Qtab = 0,56 (Tabela 2). Conclusão: o dado 1,752 não pode ser rejeitado. Como a diferença Xn – Xn – 1 é menor que X2 – X1, não há necessidade de aplicar o teste Q para o valor mais alto. Obs.: só os extremos podem estar discrepantes (dotados de erro grosseiro). Exercício 2.2. Em relação à questão anterior, se mais leituras fossem realizadas, encontrando-se todos os novos valores entre 1,757 e 1,762, determinar a partir de qual valor de n poder-se-ia concluir que

1,752 é dotado de erro grosseiro ?

vi


iv) Segunda estimativa do desvio padrão (procurar o valor de Kn na Tabela 3):

sR = kn.R = 0,3249 X (7,21 – 7,07) = 0,3249 X 0,14 = 0,04549 (comparar com s) Exercício 2.4. Numa análise de cádmio, realizada por dois analistas, foram encontrados os seguintes

resultados: Analista 1 3,88 3,90 3,92 3,94 X 1 = 3,91 R1 = 0,06

Analista 2 3,83 3,84 3,86 3,87 X 2 = 3,85 R2 = 0,04

Comparar a exatidão e a precisão relativa entre eles (como n = 4 << 10, usar a segunda estimativa do desvio padrão). Como seria a exatidão absoluta de cada analista se o valor verdadeiro (µ ) fosse 3,95? Resposta: a) Precisão: sR = Kn.R, onde K(n = 4) = 0,4857 s R

= 0,06 x 0,4857 = 0,029142 ⇒

s R2 1

= 0,000849

vii


c) Exatidão absoluta: i) do analista 1 t =

X 1

− µ

n

s R

=

(3,95 − 3,91) 4 0,04 x 2 0,08 = = = 2,745 0,029142 0,029142 0,029142

Conclusão: Como ttab = 3,182 > tcalc = 2,74, o Analista 1 é exato. ii) do analista 2: t =

X 2

− µ s R

n

=

(3,95 − 3,85) 4 0,10 x 2 0,20 = = = 10,294 0,019428 0,019428 0,019428

Conclusão: Como ttab = 3,182 < tcalc = 10,294, o Analista 2 é inexato. Exercício 2.5. Em uma amostra contendo cromo foram encontrados os seguintes resultados:

4,0; 4,3; 3,2; 4,1 Pergunta-se: algum desses resultados está dotado de erro grosseiro ? Resposta:

viii


Exercício 2.7. Calcular os limites de confiança (LC) com 95% de probabilidade para os seguintes resultados experimentais (análise de cobre): n = 4; X = 8,27%; s = 0,17%.

Resposta: A relação a ser utilizada é LC = X ±

t .s n

Para n = 4, com 95% de probabilidade, ttab = 3,182. Logo, LC = 8,27 ±

3,182 × 0,17 4

LC = 8,27 ± 0,27 ⇒ (8,00    8,54)

Exercício 2.8. Se houvessem sido realizadas 12 repetições, quais seriam os limites de confiança do

exercício anterior ? Resposta: Para n = 12, ttab =2,201. Logo, LC = 8,27 ± 2,201 x

0,17 ou LC = 8,27 ± 0,11 ⇒ (8,16 – 8,38) 12


ix

Exercício 2.11. Dois analistas foram avaliados durante um procedimento de credenciamento do

laboratório, encontrando-se os seguintes resultados: Analista No de repetições Média desvio-padrão 1 4 83,88 0,24 2 6 83,13 0,11 Sabendo que o valor verdadeiro (µ) é 83,54%, pergunta-se: a) Quem foi mais preciso? b) Quem foi mais exato? Resposta: Como somente pode ser realizada uma comparação em termos de exatidão quando dois conjuntos de dados possuem a mesma precisão, é necessário primeiro responder à pergunta (a): Aplicando o teste F aos dois analistas, encontra-se: s12 (0,24) 2 0,0576 = = 4,76 F= 2 = s 2 (0,11) 2 0,0121 Como o Ftabelado é 5,4 a maior probabilidade é de que ambos sejam igualmente precisos. Prosseguindo, aplicando agora o teste t (pergunta b), comparando cada um com o valor verdadeiro, fica:

x


Resposta: a) Cálculo da média e da dispersão Equipamento 1 8,37 X R 0,04 SR 0,01720 Obs.: Kn = 0,4299

Equipamento 2 8,40 0,06 0,02579

b) Comparação entre os equipamentos: i) Exatidão relativa (ttab = 2,776) t =

8,40 − 8,37

=

0,03 = 1,94 0,0155

(0,0172)2 + (0,02579)2 4 Conclusão: Como ttab > tcalc, os dois equipamentos apresentam a mesma exatidão. ii) Precisão (Ftab = 6,4)

(0,02579)2 0,00066512 = = 2,25 F = (0 0172)2 0 00029584


xi

Realizando as análises em triplicata, o perito encarregado do caso, trabalhando com um nível de confiança de 95% como critério de dúvida, concluiu que as duas amostras diferem em composição, pois dois elementos apresentam-se em A com concentrações estatisticamente diferentes das encontradas em B (padrão). Quais são esses elementos? Dica: Trabalhar com limites de confiança. Não esquecer de aplicar corretamente as regras de arredondamento.

Resposta: LC =

X

± t.s/ n ; X é o valor verdadeiro, ou seja, do padrão (o vaso; amostra B).

Como n = 3,

n

= 1,732 e t = 4,303. Aplicando à equação acima, fica:

Calculando para cada elemento: As: LC = 122 ± 4,303 x 2/1,732 = 122 ± 5  (117 – 127). Co: LC = 0,61 ± 4,303 x 0,026/1,732 = 0,61 ± 0,06  (0,55 – 0,67). La: LC = 3,60 ± 4,303 x 0,2/1,732 = 3,60 ± 0,50  (3,1 – 4,1). Sb: LC = 2,77 ± 4,303 x 0,26/1,732 = 2,77 ± 0,65  (2,12 – 3,42). Th: LC = 0,75 ± 4,303 x 0,044/1,732 = 0,75 ± 0,11  (0,64 – 0,86).

xii


Xi 0,89 0,94 1,01 1,02 1,11 1,07 0,92 1,08 0,95 1,11 X = 1,01

di 0,12 0,07 0,00 0,01 0,10 0,06 0,09 0,07 0,06 0,10

di2 0,0144 0,0049 0,0000 0,0001 0,0100 0,0036 0,0081 0,0049 0,0036 0,0100 2 ∑ d i = 0,0596

Resposta: 2

d a) s = ∑ i

n −1

⇒s

=

0,0596 = 0,08138 9

Fórmulas a empregar: erro absoluto = ∆ = t ⋅ s

n ; erro relativo percentual (coeficiente de variação) = L

b) Cálculo (montagem do quadro com a memória de cálculo):

= 100∆ µ

xiii


Resposta: Leitura X

R SR

t =

18,5 − 17,7

(0,344)2 + (0,344)2 4

Am. 1 17,7 0,8 0,344

=

Am. 2 18,5 0,8 0,344

0,8 = 3,29 > ttab = 2,776 0,2432

Conclusão: as duas amostras são estatisticamente diferentes, em teor de ferro. Entretanto, se ambas as amostras são provenientes de um mesmo lote (sub-amostras), deve-se concluir que a homogeneização não foi bem feita. Nesse caso, para haver uma maior representatividade, é necessário extrair-se um número maior de sub-amostras e calcular a média aritmética dos teores encontrados nas n sub-amostras. Como achar o número ideal de sub-amostras? Solução: Aplicar o raciocínio empregado no exercício anterior.

xiv


3 – GRÁFICOS DE CONTROLE Exercício 3.1. Os valores de x observados em amostras de n = 4 itens constam do quadro abaixo. Construir o gráfico da média X (GC-X), empregando a amplitude R para o cálculo dos limites de

controle (norma desconhecida; sistema americano). AMOSTRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x1 40 49 39 41 47 48 45 42 40 42 35 39 41 40 40 39

MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 44 39 46 48 41 39 42 43 45 46 43 44 42 37 42 36 42 40 39 41 45 39 40 41 45 42 44 38 36 37 41 42

x4 45 44 44 36 46 36 40 37 36 37 38 38 46 38 39 40

X

R

42,00 46,75 40,75 40,50 46,00 42,75 41,00 39,25 39,50 39,75 39,25 39,50 43,50 40,00 38,00 40,50

6 5 5 7 2 12 8 6 6 5 10 3 5 6 4 2

xv


AMOSTRA 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 25

x1 40 39 41 48 45 42 40 42 35 39 41 40 40 39 44 43 38 40 40 42 42

MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 44 41 42 43 42 42 42 39 45 40 45 44 36 41 45 45 44 39 40 36 39

39 39 43 44 37 36 40 41 39 41 42 38 37 42 41 41 38 39 35 39 40

x4

X

R

45 44 36 36 40 37 36 37 38 38 46 38 39 40 43 42 42 40 42 37 42 MÉDIAS

42,00 40,75 40,50 42,75 41,00 39,25 39,50 39,75 39,25 39,50 43,50 40,00 38,00 40,50 43,25 42,75 40,50 39,50 39,25 38,50 40,75 40,55

6 5 7 12 8 6 6 5 10 3 5 6 4 2 4 4 4 1 7 6 4 5,46

Exercício 3.2. Com os valores do exercício anterior, construir o gráfico da amplitude (GC-R).

Resposta:

xvi


Resposta:

Como n=5, temos: Equações: Média: LM = ; LC = ± A2 (A2 = 0,577) Amplitude: LM = ; LIC = D3 e LSC = D 4 (D3 = 0 e D4 = 2,115) Cálculos: Média: LM = 249,8; LC = 249,8 ± 0,577 X 2,8 = 249,8 ± 1,6 ⇒ LIC = 248,2 e LSC = 251,4 Amplitude: LM = 2,8; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 2,8 = 5,9 Conclusão: o processo está sob controle. Exercício 3.4. Construir o GC da fração defeituosa de um processo que forneceu os seguintes

resultados, tendo sido examinados n = 100 itens em cada lote (amostra): Lote 1 2 3 4

d 11 9 15 11

d/n 0,11 0,09 0,15 0,11

Resposta: Como n = 100 e N = Σn = n × k

Σn = n × k = 100 X 25 lotes = 2500 itens. Equações:

xvii


A Figura 6 mostra que agora todos os pontos encontram-se dentro dos novos limites. Gráfico de Controle da Fração Defeituosa

Gráfico de Controle da Fração Defeituosa

0,25

0,25 pontos fora de controle LSC

0,20

0,20 LSC

0,15 a r u t i e L

0,15

LM

0,10

0,05

a r u t i e L

0,10

LM

0,05 LIC

0,00

LIC

0,00 0

5

10

15

20

25

Número da amostra

Figura 5

0

5

10

15

20

25

Número da amostra

Figura 6

Exercício 3.5. Construir o GC de defeituosos de um processo que forneceu os seguintes dados

(tamanho da amostra = n = 100): Amostra 1 2 3 4 5 6

d 8 7 12 5 18 2

Resposta:

Como n = 100, ∑n = 100 X 10 amostras = 1000. Equações: LM = n = n ∑d/ ∑n

xviii


LC1 = 9,8 ± 1,96 X 2,973 = 9,8 ± 5,827. Logo: LIC = 3,973 ≅ 4 e LSC = 15,627 ≅ 16. Examinando a distribuição normal, vemos que 34% dos 10 pontos (3 pontos) podem estar entre LC1 e LC2. Examinando os dados, vemos que exatamente 3 pontos (amostras 5, 6 e 8) estão na região de advertência. Logo, temos uma distribuição normal. Exercício 3.7. Numa fábrica de sabonetes foram colhidas do processo k = 25 amostras com n = 50 itens. Dizer, usando o gráfico da fração defeituosa:

a) o processo está sob controle? b) se o comprador aceitar partidas com no máximo 2,5% de defeituosos, o processo atende a isso? Dados: nas 25 amostras foram encontrados os seguintes números de defeituosos: 1, 2, 5, 6, 3, 5, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0. Resposta: x d d/n

1 1 0,02

2 2 0,04

3 5 0,10

4 6 0,12

5 3 0,06

6 5 0,10

7 2 0,04

8 1 0,02

9 1 0,02

10 0 0,00

11 0 0,00

12 1 0,02

x d d/n

13 0 0,00

14 1 0,02

15 0 0,00

16 2 0,04

17 1 0,02

18 0 0,00

19 0 0,00

20 1 0,02

21 1 0,02

22 0 0,00

23 0 0,00

24 1 0,02

∑ ∑

∑

25 0 0,00

xix


dia defeituosos Resposta: 1 110 Equações: 2 117 3 112 LM = n = n ∑d/ ∑n = n ∑d/(nk) 4 105 LC = n ± 3 [n (1- )]1/2 5 130 6 120 Cálculos: 7 119 8 113 LM = n = 2800 X 926/(2800 X 8) = 926/8 = 115,75⇒ = 115,75/2800 926 ∑ LM = 0,0413 LC = 115,75 ± 3 [115,75 (1-0,0413)]1/2 = 115,75 ± 3 (115,75 X 0,9587)1/2 = 115,75 ± 3 X 10,53 LC = 115,75 ± 31,59 LIC = 84,16 LSC = 147,34 Conclusão: examinando os dados, observamos que todos estão abaixo do Limite Superior de Controle. Logo, o processo está sob controle. Exercício 3.9. Numa determinada indústria existem duas linhas de produção. Após análise com 5

repetições de um total de 10 amostras de cada linha, foram obtidos os seguintes resultados. Interprete-os. AMOSTRA

LINHA 1 LINHA 2 LEITURA R LEITURA R

Resposta:


xx

LM2 = 7,6; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 7,6 = 16,1 Conclusões: Média e Amplitude: Ambos estão sob controle e ambos os conjuntos de dados também estariam sob controle se usados os limites de controle trocados. Observe-se que aplicação dos testes t e F mostra que suas diferenças (média e desvio-padrão) são estatisticamente insignificantes: sR1 = 7,2 X 0,4299 = 3,095; sR1 = 7,6 X 0,4299 = 3,267 F = (3,267)2 /(3,095)2 = 10,67/9,58 = 1,11 < Ftabelado = 3,0 t = (5,63 – 5,62)/[(10,67+9,58)/9] = 0,01/0,12 = 0,08 < ttabelado = 2,228 Exercício 3.10. Numa fábrica de lâmpadas foi examinado um grande lote, encontrando-se uma vida

média de 1627 horas. com um desvio padrão de 230 horas. Sabendo que a partir de então o processo vai ser controlado por exame de amostras com n = 4 lâmpadas, calcular os limites de controle. Resposta: LC = LM ± 3 σ / n½ LM = 1627; σ = 230 LC = 1627 ± 3 X 230/41/2 = 1627 ± 345


xxi

Resposta: LSE = 14,85 > LSC = 14,56 LIE = 13,95 < LIC = 14,12 Logo, o processo, enquanto sob controle, atende à especificação (seus limites ficam dentro dos limites de especificação). Exercício 3.13. Da inspeção de 30 amostras com n = 4 obtiveram-se Σ X = 12660 e Σs = 945. Supor o

processo sob controle. Pede-se: a) b) c) d)

os limites do GC-X; os limites do GC-s; a estimativa do desvio-padrão do processo; a porcentagem das amostras que ficarão fora da especificação, se LIE for igual a 400.

Respostas: a) b) c) d)

LC = 12660/30 ± 1,88.945/30 = 422 ± 59; LIC = 363 e LSC = 481 (A1 = 1,88; Tabela 6). LIC = 0 e LSC = 2,266.945/30 = 71 (B3 e B4; Tabela 7) s = c2.σ (ver Tabela 7) ⇒ σ = s/c2 = 31,5/0,7979 = 39,5 Obs.: confrontar com o exercício 1.1.

i) Cálculo do σ:

xxii


No GC-R: LIC = 0 e LSC = 117,2 b)

σ = (431-384,5)/3 = 15,5 LIE = 400; LSE = 460 z1 = (431-400)/15.5 = 2 ⇒ 47,72% Logo, P1 = 50 – 47,72 = 2,28% de probabilidade de sair abaixo do LIE. z2 = (460-431)/15.5 = 1,87 ⇒ 46,78% Logo, P2 = 50 – 46,78 = 3,22% de probabilidade de sair acima do LSE. Conseqüentemente, há uma probabilidade de 2,28% + 3,22% = 5,5% de saírem produtos fora da especificação. Exercício 3.15. Construir, para amostras com 5 itens, o GC-s de um processo com µ = 5,60 e σ = 0,05.

Resposta: LM = µs = c2.σ = 0,8407 x 0,05 = 0,042 LIC = B1.σ = 0 LSC = B2.σ = 1,745 x 0,05 = 0,089 Exercício 3.16. Uma fábrica tem 6 linhas de produção. Análise das mesmas forneceu os seguintes

resultados (n = 50):


xxiii

LIC = B3. s ; LSC = B4. s (Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10) B3 = 1 - 3/ 2n = 1 - 3/ 100 = 1 – 0,3 = 0,7 B4 = 1 + 3/ 2n = 1 + 3/ 100 = 1 + 0,3 = 1,3 LIC = 0,7 x 0,12 = 0,084 LSC = 1,3 x 0,12 = 0,156 Comparando os dados com os limites de controle: a) do GC-X: A linha 3 está produzindo com um valor médio inferior a LIC. b) do GC-s: As linhas 2 e 3 estão com uma variabilidade muito grande. Exercício 3.17. Sabe-se que um GC(X) tem um LSC = 3,4 e um LIC = 0,6 e que um GC (R) tem um LSC

= 4,6 e um LIC = 0. As respectivas linhas médias valem X = 2 e R = 2 e os referidos gráficos servem para o controle de um processo no qual se tiram amostras de tamanho 4. No controle posterior do processo, obtiveram-se os resultados abaixo: Localizar esses valores no GC-X e no GC-R. O que está ocorrendo? Resposta: Como o ponto 4 está fora de controle (abaixo de LIC), é preciso recalcular os limites. Os novos valores

xxiv


HORA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x1 1,7 0,8 1,0 0,4 1,4 1,8 1,6 2,5 2,9 1,1 1,7 4,6 2,6 2,3 1,9 1,3 2,8 1,7 1,6 1,7

MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 2,2 1,9 1,5 2,1 1,4 1,0 -0,6 0,7 2,3 2,8 2,0 1,1 1,0 1,5 1,6 1,8 2,0 0,5 1,1 3,1 3,6 2,5 2,8 3,5 2,8 3,2 2,1 2,1 1,6 1,8 2,0 3,9 1,6 0,6 3,6 0,9 0,6 1,0 1,0 0,5

x4 1,2 0,9 1,3 0,2 2,7 0,1 2,0 1,2 2,2 1,6 1,8 1,9 1,5 1,7 1,4 0,8 0,2 1,5 0,8 2,2 MÉDIAS

X

R

1,75 1,33 1,18 0,18 2,3 1,25 1,53 1,78 1,9 1,73 2,4 3,2 2,53 2,05 1,68 2 1,3 1,93 1 1,35 1,72

1,0 1,3 0,4 1,3 1,4 1,9 1,0 1,3 2,4 2,0 1,9 2,7 1,7 0,6 0,5 3,1 2,6 2,7 1,0 1,7 1,63


xxv

Exercício 3.19. Calcular os limites de controle para o GC-np com os mesmos dados acima.

Resposta: LM = n p ; LC = n p ± 3 n p (1 − p ) = 50 x 0,064 ± 3 3,2 x 0,936 = 3,2 ± 5,2 LIC = 0 e LSC = 8,4 e o processo está sob controle. Exercício 3.20. Na inspeção de 25 veículos foram encontrados os defeitos tabelados abaixo. Calcular

os limites de controle do GC-u (n = 1). Resposta: u=

278 = 11,12 ; LM = 11,12 e LC = 11,12 ± 3 11,12 = 11,12 ± 10,00 25 LIC = 1,12 e LSC = 21,12

O veículo 20, com 27 defeitos, deve voltar à linha de montagem. Recalculando os limites: u=

251 = 10,46 ; LM = 10,46 e LC = 10,46 ± 3 10,46 = 10,46 ± 9,70 24 LIC = 0,76 e LSC = 20,16

Agora, o veículo 15, com 21 defeitos, também deve voltar à linha de montagem. Recalculando mais uma vez os limites: u=

230 = 10,00 ; LM = 10,00 e LC = 10,00 ± 3 10,00 = 10,00 ± 9,49 23


c=

xxvi

119 = 6,26 ; LC = 6,26 ± 3 6,26 = 6,26 ± 7,50; LIC = 0 e LSC = 13,76 19

Exercício 3.22. É muito importante a definição da dimensão da amostra (não confundir com tamanho, n). Se, por exemplo, houvessem sido examinados 20 peças de fio com apenas 10 metros de

comprimento, poderiam ter sido encontrados os seguintes resultados: PEÇA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

c PEÇA c 45 2 12 2 Resposta: c = = 2,25 ; LC = 2,25 ± 3 2,25 = 2,25 ± 4,5; LIC = 0 e LSC = 5 13 3 20 3 14 2 6,75 2 15 1 0 16 4 Nesse caso, o item 2 passaria pelo teste! 1 17 0 4 19 4 0 19 1 4 20 3 4 TOTAL 45 0

Exercício 3.23. Uma fábrica começou com uma produção muito baixa, aumentando-a com o tempo. O

Controle de Qualidade registrou o tamanho do refugo ao longo de todo esse tempo (Quadro abaixo). Interpretar os resultados.

xxvii


Figura 7

xxviii


4. INSPEÇÃO DE QUALIDADE Exercício 4.1. Numa partida de N = 50, com D = 2, qual a probabilidade de aceitação (PA) e a

probabilidade de rejeição (PR), inspecionando-se uma amostra com n = 10 e a = 1 ?: Resposta:

A equação

pode ser escrita como abaixo:

que pode ainda ser escrita como:

onde as letras maiúsculas indicam valores do lote e as letras minúsculas indicam valores da amostra. A probabilidade de aceitação (PA) é dada pela relação: F (a) = P (0 ≤ d ≤ a) e a probabilidade de rejeição (PR) é dada pela relação:


xxix

Refazendo o cálculo para a = 1, fica f (d) = 0,326. Logo, PA = 0,637 + 0,326 = 0,963 ou 96,3%. Finalmente, PR = 1 – 0,963 = 0,037 ou 3,7%. Exercício 4.2. Foram extraídas 50 amostras de um lote de tamanho 1000, cuja fração defeituosa

conhecida é P = 0,04. Calcular PA e PR para a = 2, a = 3 e a = 6. Usar a distribuição binomial. Resposta:

equações: F(d) = ∑ n!/d!(n-d)! x Pd x Q(n-d), onde Q = 1 – P Cálculos: Para d = 0: f(d) = 50!/0!(50-0)! x (0,04)0 x (1 – 0,04)(50 – 0) = 1 x 1 x (0,96)50 = 0,130 Para d = 1: f(d) = 0,270 Para d = 2: f(d) = 0,276 Para d = 3: f(d) = 0,184 Para d = 4: f(d) = 0,090 Para d = 5: f(d) = 0,034 Para d = 6: f(d) = 0,010 Fazendo o somatório, fica: Para a = 2: F (a) = 0,130 + 0,270 + 0,276 = 0,676


xxx

Para d = 5: f(d) = 25 x 0,135/5! = 0,036 Para d = 6: f(d) = 26 x 0,135/6! = 0,012 Somatórios: Para a = 2: PA = 0,135+0,270+0,270 = 0,675; PR = 0,325 Para a = 3: PA = 0,675+0,180= 0,855; PR = 0,145 Para a = 6: PA = 0,855+0,090+0,036+0,012= 0,993; PR = 0,007 Sugestão: comparar estes resultados com os anteriores. Exercício 4.4. São dados:

N = 5000 P1 = NQA = 1% P2 = NQI = 8% α = 5% β = 10% O Plano empregado é o de inspeção simples, com Nível de Inspeção I. Determinar n e a. Em seguida, empregando a distribuição de Poisson, recalcular o plano. Resposta:

a) Na Tabela 9 encontra-se a Letra J; na Tabela 10: n = 80 e a = 2.


xxxi

Comparemos os resultados encontrados até agora com os valores desejados: Situação Valor de a Valor de n Valor de α Valor de β esperada 2 80 5 10 tentativa 1 2 80 4,5 4,7 tentativa 2 2 60 2,1 14,5 A tentativa 1 forneceu um valor para α muito próximo do desejado. Além disso, forneceu um valor de β muito menor, o que deveria agradar ao comprador. Entretanto, com um tamanho de amostra igual a 80, o custo poderá ficar muito alto. Por isso foi feita a tentativa 2. Infelizmente, ela elevou o valor de β consideravelmente, levando-nos a tentar trabalhar com um valor de n intermediário (70). Para o fabricante: PA = {[(70 x 0,01)0 /e(70 x 0,01)] x 1/0!} + {[(70 x 0,01)1 /e(70 x 0,01)] x 1/1!} + {[(70 x 0,01)2 /e(70 x 0,01)] x 1/2!} PA = 1/e0,7 + 0,7 x 1/e0,7 + 0,49 x 1/e0,7 x ½ PA = 0,4976 + 0,7 x 0,4976 + 0,49 x 0,4976/2 = 0,4976 + 0,3483 + 0,1219 = 96,8% ⇒ α = 100 – 96,8 = 3,2% < 5% Para o comprador: PA = {[(70 x 0,08)0 /e(70 x 0,08)] x 1/0!} + {[(70 x 0,08)1 /e(70 x 0,08)] x 1/1!} + {[(70 x 0,08)2 /e(70 x 0,08)] x 1/2!} PA = 1/e5,6 + 5,6 x 1/e5,6 + 31,36 x 1/e5,6 x ½ PA = 0,00376 + 0,021056 + 0,05896 = 0,0838 = 8,4% ⇒ β = 8,4% < 10%. Plano: N = 5000; n = 70; a = 2; P1 = 1%; P2 = 8%; α = 3,2% e β = 8,4%.


xxxii

2) P = 0,5% = 0,005

m = 100 x 0,005 = 0,5 PA = (0,50 /e0,5) x 1/0! + (0,51 /e0,5) x 1/1! + (0,52 /e0,5) x 1/2! + (0,53 /e0,5) x 1/3! + (0,54 /e0.5) x 1/4! + (0,55 /e0,5) x 1/5! + (0,56 /e0,5) x 1/6! + (0,57 /e0,5) x 1/7! + (0,58 /e0,5) x 1/8! + (0,59 /e0,5) x 1/9! + (0,510 /e0,5) x 1/10! PA = (1/1,649) x 1/1 + (0,5/1,649) x 1/1 + (0,25/1,649) x 1/2 + (0,125/1,649) x 1/6 + (0,0625/1,649) x 1/24 + (0,03125/1,649) x 1/120 + (0,015625/1,649) x 1/720 + (0,0078125/1,649) x 1/5040 + (0,00390625/1,649) x 1/40720 + (0,001953125/1,649) x 1/362880 + (0,0009765625/1,649) x 1/3628800 PA = 0,6064 x 1 + 0,3032 x 1 + 0,1516 x 0,5 + 0,0758 x 0,1667 + 0,0379 x 0,04167 + 0,01895 x 0,008333 + 0,009475 x 0,001389 + 0,0047375 x 0,0001984 + + (0,00390625/1,649) x 1/40320+ 0,001184375 x 0,000002756 + 0,0005921875 x 0,0000002756 PA = 0,6064 + 0,3032 + 0,0758 + 0,01264 + 0,001579 + 0,0001579 + 0,00001316 + 0,0000009399 + 0,00000005875 + 0,000000003264+ 0,0000000001632 PA = 1,00 = 100,00% 3) P = 1% = 0,01

m = 100 x 0,01 = 1


xxxiii

5. TABELAS ÚTEIS As tabelas apresentadas a seguir deverão ser utilizadas para a melhor compreensão dos exercícios, bem como a resolução de exercícios equivalentes.

xxxiv


TABELA 1 (Capítulo 1)

ÁREAS zo

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26

A 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026

A(zo) = P (0 ≤ z ≤ zo) para zo = (x - µ)/ σ (ramo positivo da curva)4

zo

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86

A 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051

zo

1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46

A 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279

zo

1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06

A 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803

zo

2,40 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49 2,50 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66

A 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961

zo

3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26

A 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994


xxxv

xxxvi

Controle Estatístico - Alexandre R. P. S chuler


Valores Críticos de Q para Eliminação de Erros Grosseiros

P(%)

n–1 90

95

99

3

0,886

0,941

0,988

4

0,679

0,765

0,889

5

0,557

0,642

0,760

6

0,482

0,560

0,698

7

0,434

0,507

0,637

8

0,330

0,390

0,550

9

0,275

0,320

0,490

xxxvii



Valores de Kn para Cálculo da Segunda Estimativa do Desvio Padrão (sR)

n

Kn

eficiência*

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,8862 0,5908 0,4857 0,4299 0,3946 0,3698 0,3512 0,3367 0,3249

1,00 0,99 0,98 0,96 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85

(*) Eficiência com que Kn estima o desvio padrão.

xxxviii



Valores de F para Avaliação da Precisão Relativa de Dois Conjuntos de Dados

(n -1) de B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161 18,5 10,1 7,7 6,6 6,0 5,6 5,3 5,1 5,0

2 200 19 8,6 6,9 5,8 5,1 4,7 4,5 4,3 4,1

(n - 1) PARA O MÉTODO A 3 4 5 6 7 8 216 225 230 234 237 239 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 9,9 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 6,6 6,4 6,3 6,2 6,1 6,1 5,4 5,2 5,1 5,0 4,9 4,8 4,8 4,5 4,4 4,3 4,2 4,2 4,4 4,1 4,0 3,9 3,6 3,7 4,1 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 3,1

9 241 19,4 8,8 6,0 4,8 4,1 3,6 3,3 3,1 3,0

10 242 19,4 8,8 6,0 4,8 4,1 3,6 3,3 3,1 3,0

xxxix



Valores de t para Avaliação da Exatidão

n-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

90 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746

P(%) 95 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120

99 63,657 9,925 5,841 4,608 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921

xl



Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Média n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 2,121 1,732 1,500 1,342 1,225 1,134 1,061 1,000 0,949

A1 3,760 2,394 1,880 1,596 1,410 1,277 1,175 1,094 1,028

A2 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308

Fórmulas: a) Norma conhecida: LM = µ LC = LM + A σ b) Norma desconhecida: LM = X LC = LM + A 1.s ou LC = LM + A 2.R


Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC do Desvio Padrão n 2 3

c2 B1 0,5642 0,000 0,7236 0,000

B2 1,843 1,858

B3 0,000 0,000

B4 3,267 2,568

Fórmulas: a) Norma conhecida:

xli



Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Amplitude n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078

D1 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,205 0,387 0,546 0,687

D2 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469

D3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,076 0,136 0,184 0,223

D4 3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777

Fórmulas: a) Norma conhecida: LM = d2.σ; LIC = D1.σ; LSC = D2.σ b) Norma desconhecida: LM = R; LIC = D3. R ; LSC = D4. R

xlii



Código de letras dos níveis de inspeção, para uso das Tabelas 9, 10 e 11.a,b,c. Tamanho do lote (N) 000.002 a 000.008 000.009 a 000.015 000.016 a 000.025 000.026 a 000.050 000.051 a 000.100 000.101 a 000.150 000.151 a 000.300 000.301 a 000.500 000.501 a 001.000 001.001 a 003.000 003.001 a 010.000 010.001 a 035.000 035.001 a 150.000 150.001 a 500.000 500.001 acima

I B B B C C D E F G H J K L M N

Níveis de Inspeção II III S-1 S-2 S-3 B B B B B B C B B B C D B B B D E B B B E F B B C F G B B C G H B C D H J B C D J K C C E K L C D E L M C D F M N C D F N P D E G P Q D E G Q R D E H

S-4 B B B C C D E E F G G H J J K

Exercícios Resolvidos.Distribuição Normal

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