Caderno de Exerc´ıcios
Diego A. Oliveira - Vit´oria oria da Conquista/BA
Exerc´ Exerc´ıcios Resolvidos: Resolv idos: Limite de Fun¸ c˜ coes o ˜es Trigo ri gono nom´ m´ etric etr icas as Com Descontinuidade Contato: Contato:
nibbledie nibblediego@gm
[email protected] ail.com om
Atualizado em 06/03/2016 Como calcular?
Normalm Norm almente ente ´e neces n ecess´ s´ario ario o conhecimento de duas coisas para resolu¸c˜ cao a˜o deste tipo de limite: algumas algumas rela¸ c˜ c˜oes oes trigonom´ t rigonom´ etricas etricas e o resultado de outros limites conhecidos como limites fundamentais.
Limites Resolvidos Por Meio de Rela¸c˜ oes oe s Trigon rig onom´ om´ etric et ricas as Alguns limites exigem o uso de algumas rela¸c˜ coes o˜es trigon tri gonom´ om´etricas etr icas..
Encontre lim Exemplo 1: Encontre
x→0
1 − cos( cos(x) sen( sen(x)
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
1 − cos( cos(x) sen( sen(x)
= lim
= lim
x→0
x→0
(1 − cos( cos(x)) sen( sen(x)
·
1 cos2 (x) sen( sen(x)(1 + cos + cos((x))
−
(1 + cos + cos((x)) (1 + cos + cos((x))
Como cos Como cos 2 (x) + sen + sen2 (x) = 1 ent˜ ent˜ ao: ao:
lim
x→0
1 cos2 (x) sen( sen(x)(1 + cos + cos((x))
−
= lim
x→0
Exemplo 2: Determ Determine ine lim
x→π/ 4
sen2 (x) sen( sen(x)(1 + cos + cos((x))
sen( sen(x) − cos( cos(x) 1
tg (x) − tg(
Solu¸ c˜ cao: ˜
Como t Como tgg(x) =
sen( sen(x) ent˜ ao: ao: cos( cos(x)
1
= lim
x→0
sen( sen(x) 1 + cos + cos((x)
=
sen(0) sen(0) =0 1 + cos + cos(0) (0)
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sen( sen(x) − cos( cos(x)
= li m
cos( cos(x)(sen )(sen((x) − cos( cos(x))
= li m
lim
x→π/ 4
= lim
x→π/ 4
lim
x→π/ 4
1
cos( cos(x)
tg (x) − tg(
sen(x) − sen(
cos( cos(x)(cos( cos(x) − sen( sen(x))
= li m
cos(x) − sen( sen(x)) −(cos(
Exemplo 3: Encontre Encontre lim
x→0
x→π/ 4
x→π/ 4
sen( sen(x) − cos( cos(x) 1 − sen( sen(x) cos( cos(x) −cos( cos(x)(cos )(cos((x) − sen( sen(x)) cos( cos(x)
x→π/ 4
cos( cos(x) −1
x5 + 2x 2x3 tg( tg (x) sen( sen(x)
−
sen(x) − sen(
= lim ( cos( cos(x)) = x→π/ 4
−
−cos (π/4) π/4) = −
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
x5 + 2x 2x3 tg( tg (x) sen( sen(x)
−
Como tg(x) =
= lim
x→0
4
2
x(x + 2x 2x )
tg( tg (x)
sen(x) − sen(
x + 2x 2x tg( = lim tg (x) − sen( sen(x) 4
2
x→0
x
sen( sen(x) ent˜ ao: ao: cos( cos(x)
x + 2x 2x x + 2x 2x tg( lim = lim tg (x) − sen( sen(x) sen( sen(x) 1 4
2
4
x→0
x→0
x
x
= 0 = 0 = 0 x + 2x 2x lim sen( sen(x) sen(x) 1 · 1 + 1 2 · 1 + sen( 4
2
x→0
x
cos( cos(x)
x
Encontre lim Exemplo 4: Encontre
x→0
sen( sen(x) − cossec( cossec(x) x
− cotg2(x)
Solu¸ c˜ cao: ˜
Como cotg(x) =
cos( cos(x) 1 e cossec( cossec(x) = ent˜ ao: ao: sen( sen(x) sen( sen(x)
2
· cos( cos(x)
sen( sen(x) + 2
x
√
2 2
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1 sen( sen( sen(x) − sen(x) − cossec( cossec(x) sen( sen(x) lim = lim x − cotg (x) cos (x) x− 2
x→0
2
x→0
sen2 (x)
2
2
sen (x) − 1 sen (x) − 1 sen( = lim sen( (x) sen(x) = lim x · sen sen (x) − cos (x) x · sen (x) − cos (x)
2
x→0
2
2
x→0
sen2 (x)
sen2 (x)
= lim
x→0
sen2 (x) 1 x sen2 (x) cos2 (x)
− −
·
Encontre tre lim Exemplo 5: Encon
x→ 2
π
=
0
− 1 = −1 = 1 0·0−1 −1
1 − sen( sen(x) 1
cos(x) − cos(
Solu¸ c˜ cao: ˜
Como 1
− cos( cos(x) = 2sen 2 sen2
x ent˜ao: ao: 2
= lim x→ 2
π
1
1 − sen( sen(x) x
− 2sen2
1 sen(90 sen(90 ) = = 1 2sen2 (45 ) 1
− −
2
◦
◦
−
3
2
1 1 0 = =0 2( 2/2) 2
−√
√
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Limites Resolvidos Resolvido s Atrav´ Atrav´ es es de Limites Fundamentais
Limites Fundamentais:
sen( sen(ax) ax) lim = 1 (1) (1) ax tg( tg (ax) ax)
x→0
lim
Exemplo 1: Encontre Encontre lim
x→0
= 1 (2) (2)
ax
x→0
sen(3 sen(3x x) sen(5 sen(5x x)
Solu¸ c˜ cao: ˜
sen(3 sen(3x x) sen(3 sen (3x x ) sen(3 x 3 3x sen(3x x) lim = lim = lim sen(5 sen(5 sen(5x x) sen(5x x) sen5 sen5x
x→0
x→0
x→0
5
x
Usando Usando (1)
sen(3 sen(3x x) 3 = 3 · 1 = 3 3x lim 5 sen(5 sen(5x x) 5 · 1 5
x→0
5x
2
Exemplo 2: Encontre Encontre lim
x→0
2 · tg (x) x2
Solu¸ c˜ cao: ˜
4
5x
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2
sen( sen(x) 2 · tg (x) 2 cos( 2 · sen (x) cos(x) lim = lim x x = lim x · cos (x) sen( 1 sen(x) 2
2
2
x→0
2
x→0
2
x→0
2
2
= lim (2) lim x→0
·x
· xlim0
x
0
→
→
cos2 (x)
Usando Usando (1)
· · 11 = 2
=2 1
Exemplo 3: Mostre que lim
x→0
sen(2 sen(2x x) 3x
=
1 3
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
sen(2 sen(2x x) 3x
1 = lim 3 x 0
·
→
sen(2 sen(2x x)
2 = lim 3x 0
x
→
sen(2 sen(2x x) 2x
Usando Usando (1) 2 lim 3 x 0
·
Encontre lim Exemplo 4: Encontre
x→0
→
sen(2 sen(2x x) 2x
=
2 2 1= 3 3
·
sen( sen(x) tg(5 tg (5x x)
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
sen( sen( sen(x) sen(x) tg(5 x = lim x = lim tg (5x x) 5 · tg(5 tg (5x x) tg(5 tg (5x x) x 5x sen( sen( sen(x) sen(x) lim lim x x 5 · tg(5 = = tg (5x x) tg(5 tg (5x x)
sen( sen(x)
x→0
x→0
x→0
lim
x→0
x→0
5 lim
·x
5x
0
→
Usando Usando (1)
5
5x
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sen( sen(x) lim x tg(5 = tg (5x x)
x→0
5 lim
·x
5x
0
→
5 lim
x→0
1tg(5 tg(5x x 5x
Usando Usando (2)
5 lim
·x
0
→
1 1 1 tg(5 = = tg (5x x 5·1 5 5x
Encontre lim (x cossec( cossec(x)) Exemplo 5: Encontre
·
x→0
Solu¸ c˜ cao: ˜
Como cossec Como cossec((x) =
1 ent˜ ao: ao: sen( sen(x)
lim (x cossec( cossec(x)) = lim
x→0
·
x→0
x sen( sen(x)
1 sen( = lim sen(x) x→0
x
lim (1) 1 1 sen( lim = = sen(x) sen( sen(x) sen( sen(x) x→0
x→0
lim
x
x
x→0
lim
x→0
Usando Usando (1)
lim
x→0
1 1 sen( = =1 sen(x) 1 x
6
x
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Limite Limitess Resolv Resolvido idoss Por Meio Meio de Rela¸ Rela¸ c˜ coes o ˜es Trigonom´ etricas etricas e Limites Fundamentais
tg( tg (x) − sen( sen(x)
Exemplo 1: Encontre Encontre lim
x3
x→0
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
tg( tg (x) − sen( sen(x) x3
= lim
sen(x) − sen( − · sen( sen ( x ) cos( cos ( x ) sen( sen ( x ) = lim x x cos( cos(x)
sen(x) cos(x)
3
x→0
= lim
x→0
3
x→0
sen( sen(x)(1 − cos( cos(x)) x3 cos( cos(x)
N˜ao ao ´e poss´ os s´ıvel ıve l faze fa zer: r:
sen( sen(x)
lim
x
x→0
· xlim0 →
1 − cos( cos(x) x2 cos( cos(x)
pois lim x2 cos( cos(x) = 0. x→0
Assim devemos continuar procurando.
lim
x→0
= lim
x→0
senx(1 senx(1 − cos( cos(x)) x3 cos( cos(x)
sen( sen(x)(sen )(sen2 (x)) x3 (cos( cos(x) + cos + cos2 (x)) = lim
x→0
=
−
= lim
sen( sen(x) x
sen( sen(x)(1 cos( cos(x))(1 + cos + cos((x)) sen( sen(x)(1 cos2 (x)) = x3 cos( cos(x)(1 + cos + cos((x)) x3 (cos( cos(x) + cos + cos2 (x))
x→0
sen3 (x) x3 (cos( cos(x) + cos + cos2 (x)
3
· xlim0 →
−
1 cos( cos(x) + cos + cos2 (x)
7
3
= lim
x→0
= 13
sen (x) x3
· 1 +1 12 = 21
·
1 cos( cos(x) + cos + cos2 (x)
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Exemplo 2: Encontre Encontre lim
x→0
cos( cos(x) − 1 x
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim
x→0
cos( cos(x) − 1 x
= lim
x→0
(cos( cos(x) − 1)(cos 1)(cos((x) + 1) x(cos( cos(x) + 1)
Como cos Como cos 2 (x) + sen + sen2 (x) = 1 ent˜ ent˜ aaoo lim
x→0
cos2 1 x(cosx + cosx + 1)
−
= lim
x→0
sen2 x x(cosx + cosx + 1)
senx lim sen(x)) · lim · lim (sen( x
x→0
x→0
x→0
1 cos( cos(x) + 1
· · 1 +1 1 = 0
=1 0
Exemplo 3: Encontre Encontre lim (x cotg( cotg(x)) x→0
·
Solu¸ c˜ cao: ˜
lim (x cotg( cotg (x)) = lim
x→0
·
= lim
= lim
x→0
x→0
x→0
x · cos( cos(x) sen( sen(x)
x sen( sen(x)
cos(x)) = lim · xlim0 (cos( x 0
x sen( sen(x)
x sen( = lim x sen(x)
→
→
x sen( sen(x)
x→0
x
(1) 1 limsen( = =1 sen(x) 1
x→0
= lim
x→0
x
8
·1
2
= lim
x→0
2
cos (x) − 1 x(cos( cos(x) + 1)
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Limites Resolvidos Com o Teorema do Confronto Enunciado:
Se lim f ( f (x) = lim g(x) = L e L e f ( f (x) x→0
x→0
Exemplo 1: Calcule lim
x→0
4
x cos
ao lim h(x) = L ≤ h(x) ≤ g(x) ent˜ao x 0 →
2 x
Solu¸ c˜ cao: ˜
Sabe-se que:
2 −1 ≤ cos x ≤ 1 2 −x4 ≤ x4cos
x
4
x→0
x→0
4
−x = lim x = 0, ent˜aoao pelo T.C. 2
Como lim
lim
≤ x4
x4 cos
x→0
x
=0
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para ao. ao.
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ Para encontrar esse e outros exerc´ exerc´ıcios resolvidos de matem´atica atica acesse: www.number.890m.com
9
