1
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE CURVAS HORIZONTAIS SIMPLES 1. Calcul Calcular ar o menor raio que pode pode ser usado com com segurança segurança em uma curva curva horizonta horizontall de rodovia, com velocidade de projeto igual a 60 km/h, em imediações de cidade.
Rcmin mi n =
Vp2 127 12 7 × (emá x + ftmáx má x)
Considerando imediações de cidade como área urbana, onde o tráfego é mais lento, tem-se emáx = 6%. De acordo com a tabela da página 16 tem-se f tmáx= 0,15. Rcmin min =
602 127 127 × (0,06 + 0,15 )
Rcmin = 134,98 m
2.
Calcular a superelevação, pelo método da AASHTO, no trecho circular das seguintes curvas, sendo Vp= 100 km/h e emáx= 10%. Rc2 = 345,00 m Rc 1 = 521,00 m
Rc3 = 1.348,24 m
Para determinar os valores de superelevação foi utilizado o gráfico da figura 5.1 (página 41 da apostila – capítulo 5 – Superelevação) e os valores do grau da curva:
G1
=
1146 Rc1
=
1146 521 52 1
=
2,2o
G2
=
1146 Rc2
=
1146 345 34 5
=
3,3o ⇒ e2= 10,0%
G3
=
1146 Rc 3
=
1146 1348,24
=
⇒
e1= 8,8%
0,85o ⇒ e3= 4,0%
3. Para Para a curva curva 1 do exercíc exercício io anterior anterior,, calcula calcular: r: a) o coeficiente coeficiente de atrito que efetivamente efetivamente está sendo usado; usado; b) a superelevação superelevação e o coeficiente de atrito quando da operação operação na condição condição de maior conforto.
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
2
2
Rc
Vp
=
127 × (e + f t )
Colocando f t em função dos demais parâmetros
f t
Vp2
=
127 × R c
−
×
e
127 × R c
a) Para os valores de V= 100 Km/h, Rc= 521,00 m e e = 0,88% temos que: f t
1002
=
127 × 521 × 0,088 127 × 521
−
⇒
f t = 0,063
b) A operação na condição de maior conforto acontece quando f t= 0.
e
=
1002
127 × 521 × 0,0 127 × 521
−
e = 0,15
⇒
e = 15%
⇒
Para este valor de f t obtemos e = 15%, que é superior ao valor máximo determinado pela AASHTO (emáx= 10%). Dessa forma, deve ser “recalculado” o valor de f t, considerando e =emáx = 10%. Portanto, e = 10%. f t
4.
1002
=
127 × 521 × 0,10 127 × 521
−
⇒
f t = 0,051
Em uma curva circular são conhecidos os seguintes elementos: PI = [148 + 5,60 m], AC = 22 o e Rc = 600,00 m. Calcular a tangente, o desenvolvimento, o grau e as estacas do PC e PT, sendo uma estaca igual a 20 metros. PI
AC
PC
T
=
Rc
D
=
G
=
×
AC
tg
×
AC = 600,00 x tg 11o 2
Rc
×π
180
1146 Rc
=
PT
1146 600
= ⇒
22 × 600 × π 180
→
⇒
T = 116,63 m
D = 230,38 m
G = 1,91o
Est [PC] = Est [PI] - T = [148 + 5,60] - (116,63)
⇒
Est [PT] = Est [PC] + D = [142 + 5,71] + (230,38)
Est [PC] = 142 + 8,97 m ⇒
Est [PT] = 153 + 19,35 m
5. Calcular a tabela de locação para a curva do exercício anterior. est[PC] = 142 + 8,97 m
→
est[PT] = 153 + 19,35 m G = 1,91 o ds1
=
⇒
a = 8,97 m
→
b = 19,35 m
G = 114,6’
(20 − a) ×
G 40
=
(20 − 8,97) ×
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
114,6 40
⇒
ds1 = 31,60’ ⇒ ds1 = 00o31’36”
3
6.
G 114,6 = 19,35 × 40 40 114,6
dsPT
=
b×
ds
G 2
=
=
2
⇒
⇒
dsPT = 55,44’ ⇒ dsPT = 00 o55’26”
ds = 57,30’ ⇒ ds = 00 o57’18”
Estaca
Deflexões sucessivas
Deflexões acumuladas
PC = 142 + 8,97
00 o00’00”
00 o00’00”
143
00 o31’36”
00 o31’36”
144
00 o57’18”
01 o28’54”
145
00 o57’18”
02 o26’12”
146
00 o57’18”
03 o23’30”
147
00 o57’18”
04 o20’48”
148
00 o57’18”
05 o18’06”
149
00 o57’18”
06 o15’24”
150
00 o57’18”
07 o12’42”
151
00 o57’18”
08 o10’00”
152
00 o57’18”
09 o07’18”
153
00 o57’18”
10 o04’36”
PT = 153 + 19,35
00 o55’26”
11o00’00” = AC/2
Em um trecho de rodovia tem-se duas curvas circulares simples. A primeira começando na estaca (Est PC 1 = 10 + 0,00 m) e terminando na estaca (Est PT 1 = 20 + 9,43 m), com 300,00 m de raio, e a segunda começando na estaca (Est PC 2 = 35 + 14,61 m) e terminando na estaca (Est PT 2 = 75 + 0,00 m), com 1.500 m de raio. Desejando-se aumentar o raio da primeira curva para 600,00 m, sem alterar a extensão total do trecho, qual deve ser o raio da segunda curva ? Alongamento da curva 1 (a) a= D’ 1 - [2x (T’ 1 – T1)] - D 1 D1 = Est [PT 1] - Est [PC 1] = [20 + 9,43] – [10 + 0,00]
D1
π × =
AC1 × Rc1 180o
⇒
209,43=
π ×
⇒
AC1 × 300,00 ⇒ AC1 18 0o
D1 = 209,43 m =
AC1 40o ⇒ T1= 109,19 m = 300,00 × tg T1 = Rc1 × tg 2 2 AC1 40o ⇒ T’ T’ 1 = Rc’ 1 x tg = 600,00 x tg 1 = 218,38m 2 2 o π × AC1 × Rc'1 π × 40 × 6 00,00 ⇒ D’ D'1 = = 1 = 418,88 m 180 o 180 o a= D’ 1 - [2x (T’ 1 – T1)] - D 1 a = 418,88 – [2x (218,38 – 109,19)] - 209,43
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
209 ,43 × 180 o π × 300,00
⇒
AC1 = 40o
4
a = - 8,93 Encurtamento da curva 2 (e) e = D2 - [2x(T 2 – T’ 2) ] – D’ 2 D2 = Est [PT 2] - Est [PC 2] = [75 + 0,00] – [35 + 14,61]
D2
π × =
AC2 × Rc2 180o
⇒
π ×
785,39=
AC2 × 1500,00 18 0o
⇒
D2 = 785,39 m
⇒
AC2
=
785 ,39 × 180 o π × 1500,00
⇒
AC2 30o ⇒ T2 = 401,92 m T2 = Rc2 × tg = 1500,00 × tg 2 2 AC2 T’ 2 = R2 x tg = R’ 2 x tg 15o ⇒ T’ 2 = 0,26794919Rc’ 2 2 o π × AC 2 × Rc'2 π × 30 × Rc'2 D'2 = = ⇒ D’ 2 = 0,52359878Rc’ 2 180 o 180o e = D2 - [2x(T 2 – T’ 2) ] – D’ 2 e = 785,39 - [2x(401,92 – 0,26794919Rc’ 2)] - 0,52359878Rc’ 2 e = 785,39 - 803,84 + 0,535898938Rc’ 2 - 0,52359878Rc’ 2 e = -18,45 + 0,01229961Rc’ 2 Considerando alongamento da curva 1 = encurtamento da curva 2: a = e - 8,93 = –18,45 + 0,01229961Rc’ 2 0,01229961Rc’ 2 = 9,52
⇒
Rc'2
=
⇒
- 0,01229961Rc’ 2 = –18,45 + 8,93
9,52 0,01229961
⇒
Rc’ 2 = 774,00 m
7. No traçado abaixo, sendo as curvas circulares, calcular a extensão do trecho. 2141,25 m PI1
1080,00 m
AC 1 = 46 o Rc 2 = 1600,00 m
Rc 1 = 1200,00 m PI 2
Est Zero
1809,10 m
Curva 1:
T1
=
D1
=
Rc1 × tg π×
AC1 2
=
AC1 × Rc1 180o
1200,00 × tg π× =
46o
×
46 o 2
1200,00
180o
T1= 509,37 m
⇒
⇒
D1= 963,42 m
Curva 2:
AC2 T2 = Rc2 × tg 2
AC 2 = 30o
30o = 1600,00 × tg 2
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
⇒
T2 = 428,72 m
AC2 = 30o
5
D2
π× =
AC2
×
Rc2
o
π× =
30o
180
×
1600,00
180o
⇒
D2= 837,76 m
Extensão do trecho = E = 1080,00 + 2141,25 + 1809,10 – 2T1 – 2T 2 + D1 + D2 E = 1080,00 + 2141,25 + 1809,10 – (2x509,37) + 963,42 – (2x428,72) + 837,76 E = 4955,35 m 8.
Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme esquema abaixo, desejando-se fazer R 1= R2: a) qual é o maior raio possível? b) qual é o maior raio que se consegue usar, deixando um trecho reto de 80,00 m entre as curvas? 720,00 m AC 1 = 40 o AC 2 = 28 o T1
=
R1 × tg 20o → T1 = 0,364 xR1
T2
=
R2
×
tg 14o → T2 = 0,249xR2
a) O maior raio possível acontece quando PT 1 = PC2 (R1 = R2 = Rmáx) T1 + T2 = 720,00 0,364xR1 + 0,249xR2 = 720,00 0,613xRmáx = 720,00
→
→
0,364xRmáx + 0,249 xRmáx = 720,00
Rmáx = 1173,98 m
b) Deixando-se um trecho de 80,00 m entre as curvas ( R1 = R2 = Rmáx) T1 + T2 + 80,00 = 720,00
→
T1 + T2 = 640,00
0,364xR1 + 0,249xR2 = 640,00 0,613xRmáx = 640,00
9.
→
→
0,364xRmáx + 0,249 xRmáx = 640,00
Rmáx = 1043,54 m
Deseja-se projetar um ramo de cruzamento com duas curvas reversas, conforme figura abaixo. A estaca zero do ramo coincide com a estaca 820 e o PT 2 coincide com a estaca [837 + 1,42 m] da estrada tronco. Calcular os valores de R 1, R2, PI1 e PT2.
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
6
Est 820 + 0,00 m
Est 837 + 1,42 m o
AC1 = 45
PT2
Rc1
Rc2 PT1 = PC2
Est PC1 = 0+0,00 m
o
PI2
Segundo a figura, tem-se: AC1= 45o AC2= 135o PI 1PT 2
=
T2
T1 + T2 = [837 + 1,42 m] – [820 + 0,00 m] = 341,42 m T1
+
PI 1PT 2
=
341,42
m
Rc1= T2 e Rc2= T1 Curva 1: PC1 = PT1 – T1 PT1 = PC1 + D1
T1
=
D1
=
Rc1 × tg π ×
AC1 2
=
AC1 × Rc1 180o
Rc1 × tg π × =
45o 2
⇒
45 × Rc1 180o
T1 = 0,414 Rc1
⇒
D1 = 0,785 Rc1
Curva 2: PC2 = PT2 – T2 PT2 = PC2 + D2
AC2 T2 = Rc2 × tg 2
D2
π × =
135o = Rc 2 × tg 2
AC2 × Rc2 180o
π × =
⇒
135 × Rc2 180o
Rc1= T2 e Rc2= T1
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
T2 = 2,414 Rc2
⇒
D2 = 2,356 Rc2
100,00 = 0,414xRc1
AC2 = 135
7
T1 + T2 = 341,42 m Rc2 + 2,414xRc2 = 341,42 341 ,42 Rc 2 = → Rc2 = 100,00 m 3,414
Rc1 = 241,42 m Rc2 = T1 T1 = 100,00 m = 5 + 0,00 m T1 + T2 = 341,42 m T2 = 241,42 m = 12 + 1,42 m
D1= 189,61 m = 9 + 9,61 m D2= 235,62 m = 11 + 15,52 m
Est [PT1] = Est [PC 1] + D1 = [0 + 0,00] + [9 + 9,61]
⇒
Est [PT2] = Est [PT 1] + D2 = [9 + 9,61] + [11 + 15,52] Est [PI1] = Est [PC 1] + T 1 = [0 + 0,00] + [5 + 0,00]
⇒
Est [PI2] = Est [PT 1] + T2 = [9 + 9,61] + [12 + 1,42]
Est [PT 1] = 9 + 9,61 m ⇒
Est [PT 2] = 21 + 5,23 m
Est [PI1] = 5 + 0,00 m
⇒
Est [PI 2] = 21 + 11,03 m
10. A figura abaixo mostra a planta de um traçado com duas curvas circulares. Calcular as estacas dos pontos notáveis das curvas (PC, PI e PT) e a estaca inicial do traçado, sabendo que a estaca do ponto F é 540 + 15,00 metros. 2200,00 m PI 1
1000,00 m
AC 1 = 40 o Rc2 = 1500,00 m
Rc 1 = 1100,00 m PI
A
F
AC 2 = 35 o 1800,00 m
Est PA = Est PF – E E = 1000 + 2200 + 1800 – T1 – T2 – T3 – T4 + D1 + D2
T1
=
π×
D1
=
T2
=
D2
Rc1 × tg
AC1 × Rc1
Rc 2 × tg
1100,00 × tg
=
π× =
180 o
π × =
AC1 2
AC2 2
=
AC2 × Rc2 180 o
⇒
T1 = 400,37 m
40 o × 1100,00 180 o
15 00,00 × tg π × =
40o 2
35o 2
⇒
35o × 1500,00 180 o
⇒
D1 = 767,94 m
T2 = 472, 95 m
⇒
D2 = 916,30 m
E = 1000 + 2200 + 1800 – T1 – T2 – T3 – T4 + D1 + D2 E = 1000 + 2200 + 1800 – 2x(400,37) – 2x(472,95) + 767,94 + 916,30 = 4937,60 m E = 246 + 17,60 m Est [PA] = [540 + 15,00] – [246 + 17,60]
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
⇒
Est [PA] = 293 + 17,40 m
8
Est [PI1] = Est [P A] + 1000 = [293 + 17,40] + [50 + 0,00] Est [PC1] = Est [PI 1] - T1 = [343 + 17,40] – [20 + 0,37]
⇒
Est [PT1] = Est [PC 1] + D1 = [323 + 17,03] + [38 + 7,94] Est [PC2] = Est [PT 1] + x = [362 + 4,97) + (1326,68)
⇒
⇒
Est [PI 1] = 343 + 17,40 m
Est [PC1] = 323 + 17,03 m
⇒
Est [PT 1] = 362 + 4,97 m
Est [PC2] = 428 + 11,65 m
x = 2200,00 – T1 – T2 = 2200,00 – 400,37 – 472,95 = 1326,68 m Est [PT2] = Est [PC 2] + D2 = [428 + 11,65] + [45 + 16,30] Est [PI2] = Est [PC 2] + T2= [428 + 11,65] + (472,95)
Exercícios de Curvas Horizontais Simples
⇒
⇒
Est [PT 2] = 474 + 7,95 m
Est [PI 2] = 452 + 4,60 m