Un oscillateur électrique est constitué des dipôles suivants associés en série : Un résistor de résistance R Une bobine d’inductance L et de résistance interne r Un condensateur de capacité C Un générateur basse fréquence (G) impose aux bornes de ce circuit une tension sinusoïdale u(t) = Um sin(2π πNt) de fréquence N variable et d'amplitude Um maintenue constante . Soit uc(t) la tension aux bornes du condensateur . Un oscilloscope convenablement branché permet de visualiser simultanément les tensions u(t) et uc(t) .
1°) Indiquer sur la figure -1- de la page -4- « à remplir par le candidat et à remettre avec la copie » les connexions à établir avec l'oscilloscope bicourbe afin de visualiser u(t) et uc(t) .
Entrée (1)
Entrée (2)
Figure -1-
(G)
A
∼ 2°) Pour une fréquence N0 , l’ampèremètre indique un courant d’intensité efficace de valeur I0 = 2 2 .10-2 A et l’oscilloscope fournit deux oscillogrammes (S) et (S') représentés sur la figure -2- . Tensions ( en V )
(S)
6 (S')
4
Figure -20
t
T0 = 6.10-3 s Page 1/10
2°) En utilisant les oscillogrammes de la figure -2- : a) Montrer que l'oscillogramme (S) correspond à la tension uC(t) . b) Déterminer l’amplitude Um de la tension u(t) , l’amplitude UCm de la tension uC(t) , la fréquence N0 et le déphasage de u(t) par rapport à uC(t) . Déduire la valeur de la capacité C . c) Le circuit est-il inductif , capacitif ou équivalent à une résistance pure ? d) Calculer alors le facteur de surtension Q . 3°) A partir de cette valeur N0 , on fait varier la fréquence N de la tension π excitatrice u(t) jusqu’à rendre cette dernière en avance de par rapport à i(t) . 6 La nouvelle fréquence est N1 = 204,5 Hz et l’ampèremètre indique un courant -2 d’intensité efficace de valeur I1 =2,43.10 A . a) Dire , en le justifiant , si le circuit est inductif ou capacitif . di(t ) b) L'équation reliant i(t) , sa dérivée première et sa primitive ∫i(t)dt est : dt di( t ) 1 Ri(t) + ri(t) + L + ∫i(t)dt = u(t) . C dt Nous avons tracé ci-dessous deux constructions de Fresnel ( figure-3-a et figure-3-b ) .
incomplètes
Echelle : 2 cm
1V
Um +
+ O
R.Im
O
R.Im
Um
Figure-3-a
Figure-3-b
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Montrer , en le justifiant , laquelle parmi ces deux constructions celle qui Correspond à l'équation décrivant le circuit . c) Compléter la construction de Fresnel choisie en traçant , dans l'ordre suivant et selon l'échelle indiquée , les vecteurs de Fresnel représentant ri(t) ,
di( t ) 1 ∫i(t)dt et L . C dt d) En déduire les valeurs de R , de r et de L .
1°) Entrée (2)
Entrée (1)
(G)
∼
2°) a) UC(t) → (S) car UC(t) est toujours en retard par rapport à U(t) . b) Um = 4 V
UCm =
UCm = 6 V
1
Im ⇒ C =
Cω 0
N0 =
=
UC
m
soit Q =
T0
2.I 0 2.π.N 0 .U
c) ϕU – ϕi = ϕU – ϕUC + ϕUC – ϕi d) Q
1
soit N0 = 166,67 Hz -6
soit C = 6,37.10 F
Cm
π π π = + ϕq – ϕi = – soit 2 2 2
6 = 1,5 4
Um 3°) a) U(t) en avance par rapport à i(t) ⇒ circuit inductif
D
ϕU – ϕi = 0 ⇒ circuit résistif Um
+
b) Circuit inductif ⇒ fig-3-a c) d) R.Im = 2,75 V ⇒ R =
π 2
ϕU – ϕUC = rad
A
2,75 2 .I1
soit R = 80 Ω
R.Im
r.Im
B
AB = 1,4 cm ⇒ r.Im = 0,7 V 0,7 ⇒ r= soit r = 20,4 Ω 2 .I1 UCm =
Im
=
2 I1
= 4,2 V ,
2.π.N1 .C 2.π.N1 .C donc BC = 8,4 cm
CD = 12,4 cm ⇒ L.ω1.Im = 6,2 V ⇒L=
6,2
soit L = 0,14 H
2.π.N1 . 2 .I1
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C
Au cours d’une séance de travaux pratiques , on dispose du matériel suivant : - Un oscilloscope bicourbe . - Un générateur basse fréquence (G) pouvant délivrer une tension sinusoïdale :
(G)
u(t) = Um.sin(2π πNt + ϕu) de fréquence N réglable ; u(t) étant exprimée en volts . - Un résistor de résistance R = 60 Ω : - Un condensateur de capacité C :
(B)
- Une bobine (B) d'inductance L et de résistance propre r : - Des fils de connexion .
1°) Compléter le schéma du montage représenté par la figure 1 de la (à remplir par le candidat et à remettre avec la copie) en ajoutant les connexions nécessaires avec l'oscilloscope afin de visualiser u(t) et uR(t) .
Entrée (X)
Entrée (Y)
Figure 1
A
(G)
∼ 2°) Lorsqu'on ajuste la fréquence N à la valeur 50 Hz , on observe sur l’écran de l’oscilloscope les oscillogrammes (S) et (S') représentés sur la figure 2 . Tensions ( en V ) 10 3
(S)
Figure 2 (S’) t
0
T = 2.10-2 s
En utilisant les oscillogrammes de la figure 2 :
a) Montrer que l'oscillogramme (S) correspond à la tension u(t) . Quelle grandeur électrique , autre que la tension , peut être déterminée à partir de l'oscillogramme (S') ? Page 4/10
b) Déterminer le déphasage ∆ϕ = (ϕ ϕu - ϕi) de la tension u(t) par rapport au courant i(t) = Im.sin(2π πNt + ϕi) parcourant le circuit électrique alimenté par le générateur (G) . Déduire si ce circuit électrique est inductif, capacitif ou résistif . c) Etablir les expressions de u(t) et de i(t) .
3°) L'équation reliant i(t) , sa dérivée première Ri(t) + ri(t) +L
di( t ) et sa primitive ∫ i( t )dt est : dt
di( t ) 1 + ∫i(t)dt = u(t) . dt C
Nous avons tracé ci-dessous deux constructions de Fresnel incomplètes où figurent les vecteurs de Fresnel associés aux tensions uR(t) , u(t) et la tension uB(t) aux bornes de la bobine ( figure 3-a et figure 3-b ) . Echelle : 2 V 1 cm
Um UBm
UBm
+
+
URm
URm
Um
Figure 3-a
Figure 3-b
a) Montrer , en le justifiant , laquelle parmi ces deux constructions celle qui correspond à l’équation décrivant l’état du circuit . b) Compléter la construction de Fresnel choisie selon l’échelle indiquée .
c) En déduire les valeurs de r et L et C . Page 5/10
1°) Entrée (1)
Entrée (2)
(G)
∼
2°) a) On montre que Um > URm ⇒ (S) → u(t) et (S’) → uR(t) → i(t)
2πΔt 2π × 2 π π = = rad . Donc , ϕu - ϕi = - rad T 12 3 3 u(t) est en retard de phase par rapport à i(t) ⇒ circuit capacitif
b) ∆ϕ =
i=0 sinϕi = 0 ⇒ ⇒ di cosϕi > 0 >0 dt π π = - rad ⇒ ϕu = - rad 3 3
c) A t = 0
ϕu - ϕi N=
ϕi = 0
URm 1 3 soit N = 50 Hz . URm = R.Im ⇒ Im = = = 0,05 A . D’où i(t) = 0,05.sin( 100πt) T R 60
(A) Donc , u(t) = 10.sin( 100πt -
π ) (V) 3
3°) a) u(t) en retard de phase par rapport à i(t) ⇒ figure 4-b b) d) r.Im = 2 V ⇒ r =
2
Im
soit r = 40 Ω
UBm URm
L.ω ω.Im
+
L.ω.Im = 7,2 V ⇒ L =
7,2 ω.I m
soit L = 0,46 H
r.Im
Um
1 .Im C.ω
Im 1 .Im = 15,9 V ⇒ C = soit C = 10-5 F C.ω 15,9.ω
Au cours d’une séance de travaux pratiques , on dispose du matériel suivant : - Un oscilloscope bicourbe . - Un générateur basse fréquence (G) pouvant délivrer une tension sinusoïdale :
(G)
u(t) = Um.sin(2π πNt) de fréquence N réglable ; u(t) étant exprimée en volts . Page 6/10
- Un résistor de résistance R = 60 Ω : - Un condensateur de capacité C :
(B)
- Une bobine (B) d'inductance L et de résistance propre r : - Des fils de connexion . 1°) Compléter le schéma du montage représenté par la figure 1 « à remplir par le candidat et à remettre avec la copie » en ajoutant les connexions nécessaires avec l'oscilloscope afin de visualiser u(t) et uC(t) .
Entrée (X)
Entrée (Y)
Figure 1
(G)
A
∼ 2°) Lorsqu'on ajuste la fréquence N à la valeur 50 Hz , l’ampèremètre indique un courant d’intensité efficace de valeur 3,5.10-2 2 A et , sur l’écran de l’oscilloscope , on observe les oscillogrammes de la figure 2 correspondant aux tensions u(t) et uC(t) . Tensions ( en V ) T = 2.10-2 s
10
0
u(t )
uC(t)
t
Figure 2
-13,1
a) Déterminer l’amplitude Um de la tension u(t) , l’amplitude UCm de la tension uC(t) et le déphasage de u(t)par rapport à uC(t) . En déduire la valeur de la capacité C . π b) Montrer que la tension u(t) est en retard de par rapport à i(t) . 4 Le circuit est-il inductif , capacitif ou équivalent à une résistance pure ?
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3°) Effectuer la construction de Fresnel sur la figure 3 « à remplir par le candidat et à remettre avec la copie » . En déduire la valeur de r et celle de L .
Echelle : 2 V 1 cm
+
Figure 3
Axe origine des phases
4°) On agit sur la fréquence N du (G.B.F.) tout en gardant Um constante , de manière à rendre uC(t) en quadrature retard de phase par rapport à u(t) . a) Quel est le phénomène observé ? Justifier votre réponse . b) Préciser , en le justifiant , si l’on doit augmenter la valeur de N ou la diminuer pour atteindre cet objectif .
1°) Entrée (1)
Entrée (2)
(G)
∼
2°) a) Um = 10 V et UCm = 13,1 V ∆ϕ =
2πΔt 2π × 1 π = = rad . T 8 4
D’autre part , u(t) est en retard de phase par rapport à uC(t) Donc , UCm = b)
ϕu - ϕc =
π rad 4
1 2 .I -5 .Im ⇒ C = soit C = 1,7.10 F C.ω 2πN.UCm
π π π π + ϕq - ϕi = soit ϕu - ϕi = - rad 4 4 2 4 u(t) est en retard de phase par rapport à i(t) ⇒ circuit capacitif
ϕu - ϕi = ϕu - ϕuC + ϕuC - ϕi =
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3°) L.ω ω.Im (R+r).Im = 7 V ⇒ r =
7 2I
- R soit r = 40 Ω
+
(R+r).Im
L.ω.Im = 6 V ⇒ L = 45°
1 UCm = .Im C.ω
6 2π.N. 2 .I
soit L = 0,27 H
Um
Axe origine des phases π π π 4°) a) ϕu - ϕi = ϕu - ϕuC + ϕuC - ϕi = + ϕq - ϕi = soit ϕu - ϕi = 0rad 2 2 2 Donc , u(t) et i(t) sont en phase ⇒ résonance d’intensité 1 b) Le circuit était capacitif ⇒ Lω < ⇒ ω < ω0 Cω ⇒ N < N0 ⇒ il faut augmenter la fréquence N
On monte , en série , un résistor de résistance R = 50 Ω , une bobine d'inductance L
µF . On applique entre les et de résistance r et un condensateur de capacité C = 1µ bornes A et M du dipôle ainsi obtenu une tension alternative sinusoïdale de fréquence N réglable . On relie la voie I , la voie II et la masse d'un oscilloscope bicourbe respectivement aux points A , B et M du circuit (figure 1) .
figure 1
M
Masse
R
r,L
B
C
A
Voie II
Voie I
I/ Pour une fréquence N1 de la tension d’alimentation , on obtient sur l’écran de Tensions ( en V ) l’oscilloscope les courbes (a) et (b) de la figure 2 : 1°) Identifier chaque sinusoïde de 6 l’oscillogramme . Justifier votre réponse ; 2°) Déterminer le déphasage ∆ϕ = (ϕ ϕ u - ϕ i) de
la
u(t) par rapport i(t) = Im.sin(2π πNt + ϕi)
tension
au courant parcourant le circuit électrique alimenté par le générateur . Déduire si ce circuit électrique est inductif, capacitif ou résistif .
5
a
0
0,4
t (ms)
0,8
b
figure 2 Page 9/10
3°) Déterminer l’intensité maximale Im du courant et l’impédance Z du circuit . 4°) Faire la construction de Fresnel en tenant compte des données et déduire les valeurs de la résistance r et de l’inductance L de la bobine . II/ On fait varier la fréquence N du G.B.F. . 1°) Pour quelle valeur de la fréquence , les deux sinusoïdes deviennent-elles en phase ? 2°) Quel est l’état du circuit ? 3°) Définir et calculer le facteur de surtension . Conclure . 4°) Quelle est la valeur indiquée par un voltmètre entre les bornes A et B ?
I/ 1°) On montre que Um > URm ⇒ (a) → u(t) et (b) → uR(t)
2πΔt 2π × 1 π π = = rad . Donc , ϕu - ϕi = - rad T 12 6 6 u(t) est en retard de phase par rapport à i(t) ⇒ circuit capacitif
2°) ∆ϕ =
3°) URm = R.Im ⇒ Im = Um = Z.Im ⇒ Z = 4°) cos N=
π = 6
A.N. : Im =
R
Um
(R + r).Im Um
URm
Im
A.N. : Z =
⇒r=
Um Im
cos
5 soit Im = 0,1 A 50
6 soit Z = 60 Ω 0,1
L.ω ω.Im
3 π 6 - R A.N. : r = - 50 soit r = 2Ω 6 0,1 2
1 1 = = 1250 Hz . T 0,8.10 -6
1 ( - Lω).Im Um π Cω π 1 1 sin = ⇒L= ( sin ) soit L = 0,012 H 6 2 π N 2 π NC 6 Um Im II/ 1°) U(t) et UR(t) en phase ⇒ N = N0 =
1 1 A.N. : N0 = 2π LC 2π 0,012x10 -6
+
(R+r).Im
1 .Im C.ω
π 6 Um
soit N0 = 1452Hz
2°) Il s’agit de la résonance d’intensité : Le circuit est résistif 3°) Par définition , Q =
Ucm Um
=
1 Cω 0 (R + r)
A.N. : Q =
On a phénomène de surtension . 4°) A la résonance d’intensité ; U = ( R + r ).I et UAB = r.I
1 soit Q = 2,11 2πx1452X52X10 -6
(1) (2)
UAB (2) r r Um ⇒ = ⇒ UAB = soit UAB = 0,16 V (1) U R+r R+r 2
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