Exerc. Cálc. Finac. Resol

Instituto Superior de Engenharia do Porto Curso de Engenharia Informática

AULAS PRÁTICAS EXERCÍCIOS DE CÁLCULO FINANCEIRO RESOLVIDOS I - CAPITALIZAÇÃO E ACTUALIZAÇÃO EM REGIMES DE JURO SIMPLES E COMPOSTO EXERCÍCIO I.4 Dois indivíduos investiram uma certa quantia em regime de capitalização simples durante um ano: o primeiro, à taxa semestral de 2,5% e o segundo à taxa anual de 6%. Sabe Sabend ndo o que que o inve invest stime iment nto o do segu segund ndo o exce excede deu u o do prim primeir eiro o em 250, 250,00 00 EUROS e que o juro recebido pelo segundo excedeu o do primeiro em 27,50 EUROS, determine as importâncias do investimento de cada um.

RESOLUÇÂO

Co –

Capital inicialmente investido (momento (momento zero) zero)

Co A – Capital inicial investido pelo individuo A (1.º indivíduo) Co B – Capital inicial investido pelo individuo B (2.º indivíduo) i a = Taxa de juro aplicada ao investimento de A i b = Taxa de juro aplicada ao investimento de B

= 2,5 % ao semestre =

Jn a = Juro acumulado

recebido do investimento A

Jn b = Juro acumulado

recebido do investimento B

6 % ao ano

n = 1 ano

Co B = Co A + 250,00 € J1 b = J1 a + 27,50 € Jk =Juro =Juro do período período k = Capital Capital investido investido no no período período k

* taxa de juro juro relativa relativa ao

período k K = 1,2,3, .., k

J1 a = Co A * i a = Co A * ( 2,5 % Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

*2)

Nota = No ano há 2 semestres 1/38


J1 b = Co B * i b = Co B * 6 % Fazendo as substituições, teremos o sistema :

Co B * 6 % = Co A * 5 % + 27,50 Co B = Co A + 250,00 € RESOLUÇÃO:

Co A = 1.250,00 € Co B = 1.500,00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização capitalização - simples ; período de capitalização. Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro Regime Regi mess de Capitalização Puro simples Dito simples Nao há Não há No fim de cada No fim do período último período No fim do No fim do último período último período Co Co

Juros de juros Pagamento de juros Pagamento do Capital Capital inicial K = 1,2,3,4,5,...n Capital acumulado Co * I * n

Co * i * n

Composta Há No fim do último período No fim do último período Co* (1 + i )^k Co * (1 + I ) ^n

K – períodos K1 : período 1 ; K2 : período 2 ; .... K n : período n n - duração do processo de capitalização (n.º de períodos do processo) NOTA : O Capital acumulado até ao final do período n = Capital inicial do período n+1 EXERCÍCIO I.5 Um indivíduo contraiu um empréstimo em regime de capitalização simples à taxa anual de 5% com duração de 18 meses. Passado algum tempo pediu ao respectivo credor credor que lhe lhe concedes concedesse se um novo empré empréstimo stimo de 1.100.0 1.100.000,00 00,00

EUROS, EUROS, no

mesmo regime e à mesma taxa.

Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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J1 b = Co B * i b = Co B * 6 % Fazendo as substituições, teremos o sistema :

Co B * 6 % = Co A * 5 % + 27,50 Co B = Co A + 250,00 € RESOLUÇÃO:

Co A = 1.250,00 € Co B = 1.500,00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização capitalização - simples ; período de capitalização. Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro Regime Regi mess de Capitalização Puro simples Dito simples Nao há Não há No fim de cada No fim do período último período No fim do No fim do último período último período Co Co

Juros de juros Pagamento de juros Pagamento do Capital Capital inicial K = 1,2,3,4,5,...n Capital acumulado Co * I * n

Co * i * n

Composta Há No fim do último período No fim do último período Co* (1 + i )^k Co * (1 + I ) ^n

K – períodos K1 : período 1 ; K2 : período 2 ; .... K n : período n n - duração do processo de capitalização (n.º de períodos do processo) NOTA : O Capital acumulado até ao final do período n = Capital inicial do período n+1 EXERCÍCIO I.5 Um indivíduo contraiu um empréstimo em regime de capitalização simples à taxa anual de 5% com duração de 18 meses. Passado algum tempo pediu ao respectivo credor credor que lhe lhe concedes concedesse se um novo empré empréstimo stimo de 1.100.0 1.100.000,00 00,00

EUROS, EUROS, no

mesmo regime e à mesma taxa.


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a) Sabendo que este novo empréstimo motiva um acréscimo de juros na importância de 55.000,00 55.000,00 EUROS, EUROS, determine determine o número número de de meses meses decorridos decorridos entre o início início do primeiro e o início do segundo empréstimo. b) Determine o valor do empréstimo inicial, sabendo que o valor global dos juros é de 242.500,00 EUROS.

RESOLUÇÃO Regime de capitalização = simples C a = 1.º empréstimo ou ou empréstimo inicial inicial i = taxa de juro anual = 5 % Prazo de capitalização = 18 meses = 1,5 anos C b = Novo empréstimo = 1.100.000,00 € i = taxa de juro anual do novo empréstimo = 5 %

J a = juro acumulado do empréstimo inicial J b = juro acumulado do novo empréstimo = 55.000,00 a)

55.000,00 = 1.100.000,00 € * 5 % * t b R:tb=1 t n – período de capitalização total = 18 meses t a – período de capitalização do empréstimo Ca, até ao novo empréstimo t b = período de capitalização do novo empréstimo = 1 ano ou seja 12 meses Logo t a = período de capitalização capitalização total – periodo periodo do novo empréstimo = 18 meses – 12 meses

R: b)

ta = 6 meses = 0,5 ou ½ ano

Jn b = 55.000, 00 € Jn a + Jn b = 242.500,00 € Então

Jn a = 187.500,00

J a = C a * 5 % * 1,5 anos 187.500,00 = C a * 5 % * 1,5

C a = 1.500.000.00 € Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização capitalização - simples ; período de capitalização. Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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EXERCÍCIO I.6 Um empréstimo de 5.000,00 EUROS deve ser ser amortizado amortizado em 5 anos, através de um reembolso reembolso no fim de cada ano de 1.000,00 EUROS. Junto Junto com este pagamento serão satisfeitos os juros à taxa anual de 5%. Quais os pagamentos efectuados no fim de cada ano, reunindo juros e amortização do capital?

RESOLUÇÃO Juro do período K = Capital no início do período k * taxa de juro desse mesmo período k Taxa de juro inalterada ao longo do período = 5 % Período

Capital em dívida

Juro do período

Pagamento Capital Pagamento Pagamento Total

no início período ======

K

=============

Ck

( reembolso ) ===========

============== =============

Ck*5%

1.000,00 €

Pag.to capital + juro

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

5.000,00

250,00

1.000,00

1.250,00

2

4.000,00

200,00

1.000,00

1.200,00

3

3.000,00

150,00

1.000,00

1.150,00

4

2.000,00

100,00

1.000,00

1.100,00

5

1.000,00

50,00

1.000,00

1.050,00

---------------------------------------------

Juro do período 1 = 5.000,00 * 5 % = 250,00 € período = 5.000,00 € Juro do período 2 = 4.000,00 * 5 % = 200,00 € período = 4.000,00 € 3.000, 0,00 00 * 5 % = 150, 150,00 00 € Juro do período 3 = 3.00

Capital

em

dívida

início

Capital

em

dívida

início

Capi Capita tall

em

dívi dívida da

iníc início io

Capital

em

dívida

início

Capital

em

dívida

i ní c i o

período = 3.000,00 €

Juro do período 4 = 2.000,00 * 5 % = 100,00 € período = 2.000,00 € Juro do período 5 = 1.000,00 * 5 % = 50,00 € período = 1.000,00 €


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RESOLUÇÃO em (1) = 1.250,00 € ; em (2) =1.200,00 € ; em (3) = 1.150,00 € ; em (4) = 1.100,00 € ; em (5) = 1.050,00 €

Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - simples ; período de capitalização; duração da capitalização (prazo). Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro EXERCÍCIO I.12 Dois irmãos, um de 15 e outro de 13 anos, receberam uma herança de 3.500,00 EUROS. Estipulava o testamento que aquela quantia deveria ser partilhada pelos dois herdeiros de forma que, investidas as partilhas num depósito, resultassem iguais os respectivos valores capitalizados quando cada um dos irmãos atingisse 21 anos. Se a taxa de remuneração do depósito for de 5% ano, qual deve ser o montante de cada partilha?

RESOLUÇÂO Co A = Valor inicial da Herança do irmão mais novo (13 anos) Co B = Valor inicial da Herança do irmão mais velho (15 anos)

Cn A = Valor acumulado pela herança Co A Cn B = Valor acumulado pela herança Co B Regime de capitalização composta, porque vai haver produção de juros sobre juros. Nota : A herança do mais novo (herança A) vai capitalizar durante 8 anos ( = 21 anos – 13 anos) A herança do mais velho (herança B) vai capitalizar durante 6 anos ( = 21 anos – 15 anos) i = taxa de juro anual = 5 % Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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Cn A = C n B Co A + C o B = 3.500,00 € Co A*(1+5%)^8=CoB*(1+5%)^6

RESOLUÇÃO :

C o A = 1.664,69

€

C o B = 1.8535,31 € Noções aplicadas : Capital inicial; Regime de capitalização - composto ; período de capitalização (anual); Juro ; Juro periódico; Juro acumulado; Taxa de Juro EXERCÍCIO I.13 Num empréstimo de 25.000,00

EUROS, com capitalização semestral e taxa de

juro anual de 5%, convencionou-se que o devedor faria o primeiro e único pagamento só ao fim do 5º ano, liquidando então todo o capital acumulado. Sabendo que o devedor veio a pagar 32.002,11 EUROS, pergunta-se : 5% foi a taxa de juro efectivamente praticada?

RESOLUÇÂO Pagamento pelo devedor = Pagamento do empréstimo ( capital) + juros do empréstimo. Para se poder responder temos que , primeiro, saber qual o regime de capitalização adoptado : a)

Não pode ser o regime de capitalização “puro simples “ uma vez que sómente há pagamento juros no final do período

b)

No caso de se tratar do regime de capitalização “dito

simples”, em que não há produção de juros de juros e em que os juros são pagos no fim do processo , teremos :


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Co = Capital inicial investido = 25.000,00 € i = taxa de juro anual = 5 % n = número de período anuais = 5

Juros acumulados = Co*( 1 + i * n) = 25.000,00 (1+ 5 % * 5) = 31.250, 00 € ≠

32.002,11

Também não pode ser já que o valor dos juros recebidos é diferente. c)

No caso de regime de capitalização composta (há produção de juros de

juros) teremos •

capitalização anual = 25.000,00 * ( 1 + 5 % ) ^ 5 = 31.907.04 32.002,11 , logo também não é

≠ •

capitalização semestral .

temos que conhecer a taxa semestral correspondente à taxa de juro anual nominal de 5 % , ou seja i ´= 5 %/2 = 2,5 %, sendo n = 10 períodos semestrais (5 anos x 2) , pois o ano absorve 2 períodos semestrais. Então = 25.000,00 * ( 1 + 2,5 % ) ^ 10 = 32.002,11 , coincide.

RESOLUÇÃO A taxa efectivamente praticada é a taxa efectiva semestral em regime de capitalização composta ( capitalização semestral à taxa de juro anual nominal de 5 % ) .

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de capitalização e prazo da operação Capital incial e capital acumulado Regimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto. EXERCÍCIO I.14 Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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Um capital de 200.000,00

EUROS foi investido à taxa anual de 5%, durante 4

anos. Construa, para cada uma das alternativas seguintes, um quadro que mostre os valores anuais assumidos pelo capital periódico inicial, juro e capital periódico final. a) Em regime de capitalização simples. b) Em regime de capitalização composto. c) Em regime de capitalização “dito” simples (sem entrega dos juros simples de cada ano).

RESOLUÇÂO

Regime “ puro simples “ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Periodos

Capital início

Juro períodico

do periodo

Pagamentos

Dídida no fim

no período

do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

200.000,00

10.000,00

10.000,00

200.000,00

2

200.000,00

10.000,00

10.000,00

200.000,00

3

200.000,00

10.000,00

10.000,00

200.000,00

4

200.000,00

10.000,00

10.000,00

200.000,00

5

200.000,00

10.000,00

210.000,00

0

Regime “ dito simples” --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Periodos

Capital início

Juro períodico

do periodo

Pagamentos

Dívida mo fim

no período

do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

200.000,00

10.000,00

0

210.000,00

2

200.000,00

10.000,00

0

220.000,00

3

200.000,00

10.000,00

0

230.000,00

4

200.000,00

10.000,00

0

240.000,00

5

200.000,00

10.000,00

250.000,00

0

Regime “composto” Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Periodos

Capital início

Juro períodico

do periodo

Pagamentos

Capital em dívida

no período

no fim do período

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

200.000,00

10.000,00

0

210.000,00

2

210.000,00

10.500,00

0

220.500,00

3

220.500,00

11.025,00

0

231.525,00

4

231.525,00

11.576,25

0

241.101,25

5

241.101,25

12.055,06

253.156,31

0

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de capitalização e prazo da operação Capital incial e capital acumulado Regimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto. EXERCÍCIO I.15 Se aos 50 anos de idade quiser dispor de um capital de 100.000,00 EUROS, que quantia deve investir em capitalização composta uma pessoa que presentemente tem 25 anos? A taxa de juro semestral é de 2,25%.

RESOLUÇÃO Cn = capital acumulado em n períodos C o = Capital inicialmente investido C n = 100.000,00 € i = taxa de juro semestral = 2,25 % n = número de períodos semestrais = 25 * 2 = 50

C n = C o * ( 1 + i ) ^ n (capitalização composta) 100.000,00 € = C o * (1 + 2,25 % ) ^ 50 Co = 100.000,00 * (1 + 2,25 % ) ^ - 50 NOTA IMPORTANTE : O período de referência da taxa de juro (semestral) e o período de capitalização (semestral) têm que ser o mesmo ( semestral/semestral). É por isso que se converte o n.º de perídos anuais (25 anos) em períodos semestrais ( 50 semestres), utilizando a relação 1 ano = 2 semestres.

RESOLUÇÃO Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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C o = 32.872,61 € Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de referência da taxa de juro e período de capitalização Capital incial e capital acumulado EXERCÍCIO I.16 Determinado investidor subscreveu uma aplicação financeira com as seguintes características: - depósito a prazo remunerado à taxa de juro anual nominal de 5,5%, com vencimento semestral de juros; - transferência dos juros semestrais vencidos no depósito a prazo para um depósito à ordem que vence juros à taxa anual nominal de 1,5% (regime de capitalização composta). O montante aplicado pelo investidor foi de 50.000,00 EUROS. a) Qual o regime de capitalização implícito no depósito a prazo? Porquê? b) Qual o capital acumulado do depósito a prazo ao fim de dois anos (após a transferência do juro para a conta à ordem)? c) Qual o capital acumulado do depósito à ordem ao fim de dois anos (após a transferência do juro vencido no depósito a prazo)?

RESOLUÇÃO a)

Regime de capitalização simples já que os juros ao serem pagos “saem” do processo de capitalização

b)

Capital inicial é sempre igual ao longo do período ( regime de capitalização simples) . Logo ao fim de 2 anos o capital mantem-se igual ao capital inicial = 50.000,00 Euros

c)

taxa de juro anual nominal = 5,5 % taxa de juro equivalente semestral á taxa de juro anual nominal = 5,5 % / 2 = 2,75 % Juro produzido semestralmente = 50.000 * 2,75 % = 1.375,00 € Semestralmente é transferido , para depósito á ordem, um juro de 1.375,00 € que é capitalizado à taxa de 0,75 % ao semestra (taxa equivalente semestral de taxa de juro anual nominal de 1,5 % )


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fim do 1ª semestre

= 1.375,00

fim do 2ª semestre

= 1.375,00 * (1+0,0075) + 1.375,00 = 1.375,00 *(1,0075+1) = 1.375,00 * 2,0075

fim do 3ª semestre

= 1.375,00 * 2,0075 * (1+0,0075) + 1.375,00 = 1.375,00 * 3,022556

fim do 4º semestre

= 1.375,00 * 3,022556 * (1,0075) + 1.375,00 = 1.375,00 * 4,045225 = 5.562,185

RESOLUÇÃO Juro acumulado = 5.562,19 €

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de capitalização e prazo da operação Capital incial e capital acumulado. Equivalência das taxas de juro : em função dos regimes de capitalização (simples ou composto) e em função do tipo de taxa ( nominal ou efectiva)

EXERCÍCIO I.17 O senhor A pediu emprestados 25.000,00 ao senhor B por um período de “n” anos e três meses. Convencionaram que a dívida venceria juros compostos à taxa semestral de 3%, excepto nos últimos três meses em que se aplicaria o regime de capitalização simples. O senhor A aceitou uma letra de valor nominal igual ao montante calculado naquelas condições. O senhor B descontou a letra 18 meses antes do seu vencimento, em regime de capitalização composta, à taxa trimestral de 1,75%, tendo recebido o montante de 30.730,65 .

Calcule “n”.

C n = Capital acumulado ao fim de n anos + 3 meses Taxa de juro semestral = 3 % taxa de juro trimestral (regime simples) = 3 % / 2 = 1,5 %

NOTA : Um trimestre é metade do semestre 18 meses = 6 períodos de 3 meses , pois a capitalização é trimestral , em que a taxa é de 1,75 % Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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(1) C n = 25.000,00 * ( 1 + 3 % ) ^ 2n

* ( 1 + 1,5 % )

e

(2) C n = 30.730,65 * (1 + 1,75 %) ^ 6 = 34.101,88 então resolvendo a equação anterior, teremos : 34.101,88 / (25.000,00 * (1+1,5 %) = ( 1 + 3 % ) ^ 2n ( 2n ) * log (1,03 ) = log ( 34.101,875 /25.000,00 * 1,015)

n= 5

RESOLUÇÃO n = 5 anos

Noções consideradas : Juro períodico e Juro acumulado; Período de capitalização e prazo da operação. Capital incial e capital acumulado Regimes de capitalização : simples; “dito simples” e composto. Cálculo logaritmico EXERCÍCIO I.20 Considere um processo de capitalização a juros compostos que, tendo-se iniciado com 40.000,00, EUROS em 2 anos produziu um juro acumulado de 4.100,00 EUROS. A taxa de juro foi de 7% ao ano nos 3º, 4º e 5º anos, tendo sido alterada para 8% no início do 6º ano. Sabendo que a duração do processo foi de 7 anos, calcule: a) A taxa de juro anual que vigorou nos 2 primeiros anos. b) O juro do 4º período. c) O capital no início do 5º período. d) O juro do 6º ano. e) O capital acumulado ao fim de 6 anos. f) O juro total vencido em 7 anos.

RESOLUÇÃO Juros acumulados = Capital inicial * (1 + taxa de juro) ^ n 4.100,00 = 40.000,00 *{ (1+ i) ^ 2 – 1}

i.

b)

Taxa de juro i = 5 % Juro períodico = Capital no início do período * taxa de juro de período


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C 4 = Capital no início do período 4 * taxa de juro do período = C 3 * 7 % taxa de juro do período = 7 % Capital inicio 4º período = Capital acumulado no fim do 3º período

C 3 = C2 * ( 1 + 7 %) = 44.100,00 *1,07. Então J 4 = ( 44.100,00 * 1,07) * 7 % = 3.303,09 NOTA : Capital acumulado no final período n igual ao capital inicial no c)

inícial no período n+1 Capital início do 5 º = Capital acumulado no fim do 4º período.

C 4 = C o * ( 1 + 5 %) 2 * (1, 07 ) 2 = 44.100,00 * (1,07) 2 = 50.490,09 € d)

juro 6º ano = capital acumulado fim do 5º ano (=início do 6º ano) * taxa de juro do 6.ª ano taxa de juro do 6º ano = 8 %

e)

Juro do 6º ano = C o * (1,05) 2 * (1+7 %) 3 * 8 % = 44.100,00 * 1,07 3 * 8 % = 4.321,95 €

f)

J total = Cn – Co = 40.000,00*(1,05) 2 * (1,07) 3 * (1,08) 2 - 40.000,00 = 63.014,06 – 40.000,00 = 23.014,06 Euros

II - TAXAS DE JURO EXERCÍCIO II.1 Considere a taxa anual de 8%. a) Em regime de capitalização simples: a1) Qual é a taxa anual nominal? a2) Qual é a taxa anual efectiva? a3) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização? b) Em regime de capitalização composta, com capitalização trimestral: b1) Considerando que a taxa de 8% é nominal? b1.1) Qual a taxa anual efectiva b1.2) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização? b2) Considerando que a taxa de 8% é efectiva? b2.1) Qual a taxa anual nominal b2.2) Qual é a taxa efectiva referida ao período de capitalização?


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RESOLUÇÃO NOTA : Em regime de capitalização simples passa-se , sempre, de uma taxa referida a

um determinado período de capitalização , para uma outra taxa referida a um período de capitalização diferente, utilizando a regra da proporcionalidade , qualquer que seja o tipo de taxa –ou seja, não há distinção entre taxa nominal ou taxa efectiva. Em regime de capitalização composta :

(i)

Passa-se de uma taxa nominal referida a uma determinado período de capitalização para uma taxa referida a um período de capitalização diferente, utilizando a regra da proporcionalidade ; i = i ´/ n n – n.º de periodos 1 ano tem 2 semestres

3 quadrimestres 4 trimestres 6 bimestres 12 meses (ii)

etc Passa-se de uma taxa efectiva referida a um determinado período para uma taxa referida a um período diferente, utilizando a regra da equivalência , ou seja (1 + i ) = ( 1+ i´) n

a 1) = 8 % a 2) = 8 % a 3) = 8 % b.1.1.) i (4) = taxa anual nominal com capitalização trimestral = 8 % Passa-se de taxa anual nominal para taxa trimestral nal utilizando-se a regra

da proporcionalidade n = 4 ( o ano tem 4 períodos trimestrais) A taxa trimestral = 8 % / 4 = 2 % Como o regime é de capitalização composta , temos que taxa efectiva trimestral i = ( 1 + 2 %) ^ 4 – 1 = 8,2432 % Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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NOTA : o trimestre repete-se 4 vezes no ano. b.1.2) Taxa efectiva trimestral = regra da proporcionalidade = 8 % / 4 = 2 % b.2.1) i = taxa efectiva i=8% Passa-se de uma taxa anual efectiva para uma taxa equivalente trimestral utilizando a regra da equivalência . Conhecida a taxa trimestral efectiva passa-se para taxa anual nominal utilizando a regra da proporcionalidade i (4) = 4 * ( (1+8 %) ^1/4 –1 = 7,7706 % b.2.2) i (1/4) = taxa trimestral equivalente à taxa de juro anual efectiva. Utiliza-se a regra da equivalência = ( 1 + 8 %) ^1/4 – 1 = 1,9427 % (última casa decimal arredondada )

Noções consideradas : Regimes de capitalização ( simples e composto) Tipos de taxas ( nominais e efectivas) Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxas EXERCÍCIO II.4 Um capital de 1.500.000,00

EUROS foi investido em regime de capitalização

composta, com vencimento de juros mensal. Qual o juro o juro total/acumulado, ao fim de 10 anos, à taxa anual de 5 % ? a) Admita que 5% é a taxa efectivamente paga. b) Interprete a taxa de 5% como taxa anual nominal.

RESOLUÇÃO

C o = capital inicial = 1.500.000,00 Capitalização mensal (composta)

J n (acumulado) = juro total a)

i = 5 % ------- >

taxa efectiva anual

taxa equivalente mensal à taxa efectiva anual = (1+ 5 %) ^1/12

- 1

i ´= 0,4074 % Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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n = períodos = 120 , pois 10 anos tem 120 meses J t = C n – C o = C o * (1+ i´ ) ^ n

- C o

= C o * ((1 + i´) ^n - 1) = 1.500.000,00 *( (1,004074) ^120 - 1 ) = b)

i = 5 % ------- >

943.31,94 €

taxa nominal anual

taxa mensal de taxa anual nominal = (1+ 5 %/ 12)

- 1

i ´= 0,00416(6) n = períodos = 120 , pois 10 anos tem 120 meses

J t = C n – C o = C o * (1+ i´ ) ^ n - C o = C o * ((1 + i´ ) n - 1) = 1.500.000,00 *( (1,004166) ^120 - 1 ) =

970.514,25 €

Noções consideradas : Regimes de capitalização ( composta ) Tipos de taxas ( nominais e efectivas) Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxas EXERCÍCIO II.5 Uma instituição de aforro remunera os depósitos a prazo superiores a um ano à taxa anual de 5,25%, sendo pago bimestralmente o juro ao depositante. Quanto produzirá de juro bimestral um depósito de 500,00 EUROS? a) Admita que a taxa declarada é efectivamente paga. b) Interprete a taxa declarada como sendo nominal.

RESOLUÇÃO C o = capital incial investido = 500,00 Capitalização bimestral n = periodos bimestrais = 12/2 = 6 a)

i = taxa de juro anual efectiva = 5,25 % i ´= taxa equivalente bimestral = ( 1 + 5,25 %) ^1/ 6 - 1 = 0,8565 % j = juro do periodo = Capital no início do período * taxa de juro referida ao mesmo período. j = 500,00 * 0,8565 = 4,2


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b)

i = taxa de juro anual nominal = 5,25 %

i ´= taxa equivalente bimestral = ( 1 + 5,25 % / 6)

- 1

= 0,875 % j = juro do periodo = Capital no início do período * taxa de juro referida ao mesmo período. j = 500,00 * 0,875 = 4,38

Noções consideradas : Tipos de taxa (nominal e efectiva) Juro do período Regra de proporcionalidade e de equivalência de taxas EXERCÍCIO II.6 Determinado investidor depositou 10.000,00

EUROS em regime de capitalização

composta à taxa anual nominal de 6 %, com capitalização quadrimestral. Dois anos depois a taxa de juro quadrimestral foi alterada, tendo o investidor decidido depositar nessa data mais 2.000,00 EUROS. Sabendo que passado um ano após a alteração da taxa de juro o montante total obtido foi de 13.935,82 EUROS, calcule a nova taxa de juro.

RESOLUÇÃO i = taxa de juro anual nominal = 6 % capitalização quadrimestral = 3 vezes no ano

C o = 10.000,00 € taxa de juro equivalente quadrimestral = 6 % / 3 = 2 %

NOTA : Ano tem 3 quadrimestres Cn = C3 = Co * ((1+i) 3.2 + 2.000) * (1 + i´) 3.1 13.935,82 = ( ( 10.000,00 * (1,02) ^ 6) + 2.000,00 ) * ( 1 + i /3) ^ 3 i=5%

Noções de equivalência de taxa; Regime de capitalização (composta); capital acumulado. EXERCÍCIO II.7 A que taxa de juro é necessário capitalizar para triplicar, ao fim de 30 anos, um capital investido em regime de capitalização composta (com capitalização anual)? Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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RESOLUÇÃO 3 * C o = C o * (1+ i ) ^30 3 = (1 + i ) ^30 i = 3, 7299 %

Noções de Regime de capitalização (composta); capital acumulado

EXERCÍCIO II.8 Um capital de 2.500,00 EUROS foi investido em regime de capitalização composta a determinada taxa quadrimestral durante 3 anos. O capital acumulado obtido foi depois depositado a prazo num banco que oferece a taxa anual nominal de 5 %, com capitalização semestral. Sabendo que decorridos dois anos, o valor acumulado no depósito a prazo é de 3.155,22

EUROS, determine a taxa a que foram investidos inicialmente os

2.500,00 EUROS.

RESOLUÇÃO C n = valor acumulado = 3.155,22 € C o = 2.500,00 € períodos = 9

= (3 anos são 9 quadrimestres)

i (3) = ? = taxa quadrimestral 3.155,22 = (2.500,00 * ( 1 + i (3) ) ^ 9 ) * ( 1 + 5 % / 2 ) ^ 4 i (3) =1,5 % i = taxa anual nominal = 4,5 %

Noções de Regime de capitalização (composta); capital acumulado; equivalência de taxas EXERCÍCIO II.9 1. É dada uma taxa de juro efectiva de i 1/m referida a 1/m do ano.


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a) Qual a taxa anual efectivamente correspondente? Qual a taxa anual nominalmente correspondente? b) Concretize para m = 2 e i 1/2 = 3%. 2. É dada uma taxa de juro anual efectiva de i. a) Se a capitalização se fizer m vezes no ano, qual é a taxa anual nominal? b) Concretize para m = 4 e i = 5%. 3. É dada uma taxa de juro anual nominal i

(m),

quando a capitalização se faz m

vezes no ano. a) Qual é a taxa anual efectiva? b) Concretize para m = 12 e i

(12)

= 6%.

RESOLUÇÃO 1.a)

Taxa anual efectiva : i = (1 + i 1/m) m

-1

Taxa anual nominal = i m = m * i 1/m b)

Taxa anual efectiva = (1 + 3 %) ^ 2 - 1 = 6,09 %

2. m

=m* i

m * (( 1 + i )1/m - 1)

a)

i

b)

i 4 = 4 * (( 1 + 5 %) ¼ - 1 ) = 4,9089 %

1/m

3. ) m - 1 = ( 1 + i m /m )^ m - 1

a)

i=(1 + i

b)

i = (1+ 6 % / 12) 12 - 1 = 6,1678 %

1/m

EXERCÍCIO II.10 Uma pessoa contrai hoje uma dívida de 18.235,20 EUROS e vai liquidá-la através de dois pagamentos iguais de 12.500,00 EUROS, o primeiro efectuado daqui a 4 anos, o segundo daqui a 8 anos. Supondo que os cálculos foram efectuados em regime de capitalização composta, calcule a taxa de juro utilizada. Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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RESOLUÇÂO Temos que reportar todos os valores ao mesmo momento do tempo. Assim se seleccionarmos como mesmo momento do tempo , hoje, temos que determinar qual o valor, hoje, dos diversos valores futuros, ou seja : -

qual o valor, hoje, dos 12.500,000 € pagos daqui a 4 anos:

R : 12.500,00 * ( 1 + i ) -

-4

qual o valor, hoje, dos 12.500,000 € pagos daqui a 8 anos:

R : 12.500,00 * ( 1 + i )

-8

Nota : Introduziu-se o conceito de Actualização ou Desconto que representa o inverso da Capitalização Actualização : processo de permite saber o valor actual (hoje) de um capital futuro Co

Cn

|---------------------------------------------------------------------------| 0

Co = Cn * (1+ i)

n -n

ou Co = Cn / (1+i) n

Como Cn é valor acumulado de capital e juros, ao fazermos a actualização iremos conhecer apenas o CAPITAL. Capitalização : processo que permite conhecer o valor futuro de um capital actual Co

Cn

|---------------------------------------------------------------------------| 0

Cn = Co * (1+ i) n Como Cn é valor acumulado de capital e juros produzidos, ao fazermos a capitalização transformamos o Capital Inicial em (Cpaital+Juros). Logo

J n = Cn – Co

( J n – juros acumulados) Assim teremos : Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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18.744,27 = 12.500,00 * ( 1 + i ) - 4 + 12.500,00 * ( 1 + i )

-8

Se fizermos X = ( 1 + i ) – 4 transformamos a equação anterior numa equação do segundo grau ( exclui-se a raiz negativa já que , por definição, não há juros negativos) X = 0,822702385 i=5%

III - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EXERCÍCIO III.1 Qual é, daqui a 1 ano e com uma taxa de avaliação anual de 4%, o valor do conjunto de capitais 250,00 EUROS, 500,00 EUROS, 1.250,00 EUROS, 750,00 EUROS e 175,00 EUROS, vencíveis respectivamente dentro de 2 anos, 9 meses, 5 anos, 6 meses e 1 ano?

RESOLUÇÃO 750

500

175

250

1.250

!----------------!---------!---------!-------------!-----------------------! 0 6 9 12 24 60 meses

C6 = valor da aplicação ao mês 6

=

750,00 €


=

500,00 €


=

175,00 €


=

250,00 €


=

1.250,00 €

Dois conjuntos são equivalentes no momento 0 (ou eventualmente outro), quando as somas dos valores actuais referidos àquele momento, dos capitais que compõem cada conjunto, forem iguais. Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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Por Capital único (Ct) ou Vencimento Comum, no momento t, entende-se o valor do capital vencível no momento t, que substitui um conjunto de capitais C1, C2, .....Cn, vencíveis nos momentos t1, t2,.....tn, para uma dada taxa de juro i. Vamos determinar qual o valor de cada um dos capitais reportado à mesma data, ou seja daqui a um ano. Nestes termos, terermos operações de capitalização (C6, C9) e outras de actualização (C24 e C60), á taxa de avaliação de 4 %. No capital

(C12) não mexemos porque ele já está reportado ao momento do tempo pretendido Valor de C6 daqui a um ano

= 750 * ( 1 + 4 %) 1/2

764,85

=

Entre 6 meses e um ano irá decorrer 6/12 = 1/2 ano (capitalização) Valor de C9 daqui a um ano

= 500 * ( 1 + 4 %) 3/12 =

504,93

Entre 9 meses e um ano irá decorrer 6 meses ou 3/12 ano (capitalização) Valor de C12 daqui a um ano

= 175 * ( 1 + 4 %) 0

=

175,00

12 meses = um ano. O capital jáestá no momento do tempo pretendido. Valor de C24 daqui a um ano

= 250 * ( 1 + 4 %) –1

=

240,38

Entre 24 meses e um ano irão decorrer 12 meses ou 1 anos (actualização) Valor de C60 daqui a um ano

= 1.250 * ( 1 + 4 %) – 4 =

1.068,51

Entre 60 meses e um ano irão decorrer 48 meses ou 4 anos (actualização) t = 12 meses = 1 ano

C12 = C6 * (1+i) 1/2 + C9 * (1+i) 3/12 + C12 + C24 * (1+i) -12/12 + C60 * (1+i) -48/12 V 12m = 764,85 + 504,93 + 175,00 + 240,38 + 1.068,51 = V 12m = 2.753,67 € EXERCÍCIO III.2 Pretende-se substituir as seguintes três dívidas por uma única de montante igual a 500,00

EUROS: (i) 200,00

EUROS, com vencimento a 2 anos, (ii) 150,00

EUROS, com vencimento a 3 anos, (iii) 171,25 EUROS, com vencimento a 1 ano. Adoptando uma taxa de juro anual de 4,5%, qual há-de ser o vencimento da dívida única?


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RESOLUÇÃO Pretende-se conhecer qual o momento do tempo, em que o somatório daqueles 3 vencimentos somam 500,00 € Capital comum = 500,00 x ( 1+ 4,5 %)

t

=

(200,00 (1,045 ) – 2 + 150 * (1,045) - 3 + 171,25 ( 1,045 ) – 1

500,00 x (1,045) ^ t ( 1,045) ^ t

= ( 183,15 + 131,44 + 163,88 )

= 1,045

t = 1 ano

R : O Vencimento do capital que substitui o anterior conjunto ocorre ao fim de 1 ano EXERCÍCIO III.3 Determinada empresa tem as seguintes dívidas: 2.500,00 EUROS com vencimento a 1 ano; 5.000,00

EUROS com vencimento a 4 anos; 3.500,00

EUROS com

vencimento a 6 meses. Adoptando uma taxa de avaliação de 4%, pergunta-se: Se a empresa pretender liquidar as três dívidas por meio de dois pagamentos x e y, o primeiro duplo do segundo, e vencíveis respectivamente dentro de 3 anos e 5 anos, quais deverão ser os montantes de x e y?

RESOLUÇÃO 3.500 2.500 5.000 |-------------|---------------|------------------|--------------|-------------|-----------|-------½

1

2

3 X = 2Y

4

5

anos

Y

Y * (1,04) – 5 + 2 Y * (1,04) – 3 = 3.500 * (1,04) – ½ + 2.500 * (1,04) – 1 + 5.000 * (1,04) – 4

Y = 3.888,54 Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

X = 2Y = 7.777,08 23/48


EXERCÍCIO III.4 Duas dívidas: 10.000,00 EUROS e 15.000,00 EUROS, vencem-se dentro de 1 e 3 anos respectivamente. O devedor propõe ao credor o endosso de uma letra (seu saque sobre um cliente, a vencer dentro de 2 anos, de valor nominal igual a 24.000,00 EUROS, devendo ser feita qualquer correcção eventual por entrega, no momento actual, da quantia necessária para tornar equivalentes as duas situações. Determine o quantitativo x dessa correcção, utilizando a taxa de juro de 5% ao ano.

RESOLUÇÃO: 10.000,00 15.000,00

|----------------------------|--------------------------!------------------------| 1 2 3 0

24.000,00 Momento actual = momemto 0 (zero)

X - correcção a efectuar no momento zero i = taxa de juro anual = 5 % O capital de 10.000 Eur actualiza um ano ; O capital de 15.000 Eur actualiza 3 anos ; E a nova dívida actualiza 2 anos Então para o emomento zero 10.000,00 * (1,05) – 1 + 15.000,00 (1,05) – 3 = 24.000,00 (1.05)

-2

+X

X = 9.523,81 + 12.957,56 – 21.768,71 X = 712,66 (6)

R : Vai ter entregar mais 712,66 Euros

IV - RENDAS Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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EXERCÍCIO IV.11 No início do ano lectivo, a Secção de Gestão do ISEP - Instituto Superior de Engenharia do Porto negociou uma linha de crédito bonificado para os alunos do curso de informática, destinada à aquisição de equipamento informático. Aproveitando esta oportunidade, um(a) aluno(a) do curso de informática decidiu contrair um empréstimo de 6.000,00

EUROS, para aquisição de equipamento

informático, nas seguintes condições: - 18 semestralidades iguais e postecipadas; - taxa de juro anual efectiva de 6% (regime de juro composto). Após a liquidação da 10ª semestralidade, que ocorreu por alturas da “Queima das Fitas”, o aluno(a) vê-se confrontado com dificuldades financeiras que o impossibilitam de cumprir com o seu compromisso. Recorre, então, a um amigo(a), este mais comedido nas despesas efectuadas aquando da “Queima das Fitas”, que lhe empresta a quantia estritamente necessária à liquidação total da dívida registada nesse momento, nas seguintes condições: - 20 trimestralidades iguais e antecipadas; - taxa de juro anual efectiva (para amigos) de 10% (regime de juro composto). a) Determine o valor de cada semestralidade (devida à instituição de crédito). b) Determine o valor de cada trimestralidade (devida ao amigo(a)). c) Determine o montante de juros pagos à instituição de crédito e ao amigo(a).

RESOLUÇÃO: S

S

S .......................................................

S

|-------|--------|--------|-----------------------------------------------------| 1

2

3

......................................................

18

taxa anual efectiva = 6 %

taxa equivalente semestral em regime de juros compostos = ( 1,06 ) 1/2 - 1 = 2,9563 %


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Valor da dívida = 6.000,00 =

a)

Valor actual

de uma renda de 18 termos semestrais, iguais e postecipados S 6.000,00 Eur = S * A 18 A

=

18

2,9563 %

2,9563 %

( 1-(1+ 2,9563 %) – 18 ) / 2,9563 % = 13,80446

Sememstralidade = 434,642 € b)

6.000,00

S

S

S = 434,64

S

| --------------|-----------|------/////-- -----|-------|------|------//////--------|

1

2

10

11

12

18

CD 10 CD10 = ??? - valor da dívida no final do 10.º semestre = Valor Actual de uma renda de 8 termos iguais e postecipados de valor = 434,64 Eur/cada, à taxa de juro semestral de 2,9563 % CD 10 = 434,64 * A 8

A

2,9563 %

= (1-(1+i)n /i = 7,03265

CD 10 = 3.056,69 Eur

3.056,69 T T T T | --------------|-----------|----------//////////-----------------|--------- | 1 2 19 20 Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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taxa anual efectiva = 10 % taxa equivalente trimestral (ano tem 4 trimestres ) = (1,1) ¼ - 1 = 2,4114 %

3.056,69 = T *

A 20

2,4114 %

A

= 15,72048

T = 199,44 € J a = Juros pagos ao amigo

c)

J a = 20 * T – CD 10 = 20 * 194,44 - 3.056,69 = 3.888,79 – 3.056,69 = 832,11 J t = Juros totais J t = ( 10 * S + 20 * T ) - 6.000,00 € = 10 * 434,64 + 20 * 199,44 - 6.000,00 = 2.235,22 J b = Juros pagos ao Banco Jt = Ja + Jb Jb = Jt - Ja = 2.235,22 - 832,11

= 1.403.11 ou

S * 10 + CD10 – 6.000,00 = 1.403,11

Conceitos : Equivalência de taxas; Juro acumulado (total); Renda imediata de termos semestrais/trimestrias, iguais e normais ou postecipados

EXERCÍCIO IV.12 O accionista de determinada empresa, sabendo que a sociedade enfrentava graves dificuldades financeiras, decidiu conceder-lhe um financiamento no valor de 75.000,00 EUROS. O financiamento foi efectuado em 25 de Junho de 2001, tendo sido acordado com os restantes accionistas uma taxa de 7,5% anual nominal, Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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capitalizável trimestralmente. Ficou ainda estabelecido que o pagamento da dívida seria efectuado em 12 trimestralidades, vencendo-se a primeira em 25 de Dezembro do mesmo ano. Sabendo que as dificuldades financeiras se irão concentrar especialmente na fase inicial do empréstimo, e procurando facilitar o pagamento da dívida, ficou também estabelecido que as primeiras 6 trimestralidades seriam iguais entre si, sendo as restantes seis iguais ao dobro das primeiras. a) Qual o montante de cada trimestralidade? b) Qual a importância que a empresa deverá entregar ao accionista caso pretenda liquidar toda a dívida após o pagamento da 6ª trimestralidade?

RESOLUÇÃO: T

T

T

T

T

T

2T

2T

2T

2T

2T

2T

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-1º 2º 25/6/01

6º

7º



12º termo

25/12/01

Trata-se de um renda de termos trimestrais, iguais e sucesivos, normais ou postecipados, com 1 trimestre de diferimento : de 25/6/2001 a 25/09/2001 Taxa anual nominal = 7,5 % ---->Taxa trimestral = 7,5 % / 4 = 1,875 %

Renda = valor actual do empréstimo. 75.000,00 =

T *

a 6

*

( 1,01875 )

- 1

1,875 %

+ 2T* *

a 6

* (1,01875 ) - 7 1,875 %

T = 4.870,10508 2T = 9.740,21015 Conceitos : Renda ; termos trimestraisconstantes/iguais ; termos normais ; diferimento EXERCÍCIO IV.13 Um(a) aluno(a) do curso de Engenharia Informática do ISEP, com o objectivo de efectuar um Mestrado depois de terminar o curso, decidiu depositar mensalmente (no fim do mês) determinada quantia por forma a que passados 3 anos o valor do capital acumulado fosse de 25.000,00 EUROS. Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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O valor depositado mensalmente durante o segundo ano foi o dobro do valor depositado mensalmente durante o primeiro ano e o valor depositado mensalmente durante o terceiro ano foi o triplo do depositado mensalmente durante primeiro ano. O depósito foi remunerado à taxa de juro anual efectiva de 5%. a) Qual o montante depositado mensalmente durante o primeiro, segundo e terceiro ano? b) Contrariamente ao que tinha previsto, o(a) aluno(a) terminou a licenciatura passados 2 anos. Assim, tendo decidido realizar o Mestrado de imediato, levantou o montante que tinha depositado até esse momento. Qual o valor desse montante?

RESOLUÇÃO a) D

D

D

2D

2D

2D

3D 3D

3D

|-------|------|---------------|------|------|----------|------|------|---------------|---0

1

2

12

13

14

24

25

26

36

Taxa de juro mensal equivalente i 12 = ( 1 + 5 % ) 1/12 -1 = 0,4074 % Capital acumulado no momento 36 = 25.000 Eur. Temos 3 rendas : uma de 12 termos D que termina no fim do 1.º ano . Será capitalizada durante 24 perídos ( 36 meses – 12 meses = 24 meses)

uma de 12 termos 2D que termina no fim do 2.º ano. Será capitalizada durante 12 perídos ( 36 meses – 24 meses = 12 meses) uma de 12 termos 3D que termina no fim do 3.º ano.

25.000 = D * S 12

* (1,004074) 24 + 2 D * S 0,4074 %

12

* (1,04074) 12 + 3 D* S 0,4074 %

12

0,4074%

D = 328,4259 Eur 2 D = 656,8519 Eur 3 D = 985,2778 Eur b)

C24 = depósitos acumulados nos primeiros 24 meses ( 2 anos)


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D = 328,43 = 12 primeiros depósitos 2D = 656,86 = 12 depósitos feitos no 2.º ano C 24 = 328,426 * S 12

* (1,04074) 12 + 656,852 S 0.4074 % 12

0.4074 %

= 12.293,43 ou ( 25.000 – 985,29 * S 12

) * (1,05) - 1 0, 4074 %

= 12.293,43 Conceitos : Capitalização e Actualização; Taxa equivalente; Renda de termos mensais, imediatos, iguais e normais ou postecipados. EXERCÍCIO IV.14 Um pai, no dia de nascimento do seu filho, decidiu constituir um fundo que lhe permitisse pagar os futuros estudos universitários em 10 semestralidades de 2.800,00 EUROS cada. Para tal depositou uma quantia de 6.500,00 EUROS e irá fazer depósitos semestrais adicionais até à data do 18º aniversário do filho. Sabendo que esse fundo será remunerado à taxa anual efectiva de 5%, e que o primeiro pagamento será efectuado no dia do 19º aniversário da criança, determine o valor de cada depósito semestral necessário.

RESOLUÇÃO 6.500

D

D

D

D

D 2.800

2.800

2.800

2.800 |-------|----|----|----|---------//////------|-----|---|---------|------|------------|----------|---------/////-| 1

2

3

18

---------------------------------------


30/48


1ª

2ª

3ª - 

10ª * (1+0.024695) 1

A 10 taxa de juro equivalente semestral =

2,4695%

(1,05) ½ -1 = 2,4695 %

Vamos considerar como momento comum os 19 anos (quando começa a receber a 1.ª semestralidade) 6.500,00 € * (1,024695)

38

+ D

S 36

D =

*1,024695) 2 =

A

2,4695 %

* (1,024695) 1

10

2,4695 %

145,8912

Conceitos : Capitalização; Taxa equivalente; Renda de termos antecipados Valor actual e Valor acumulado EXERCÍCIO IV.15 Um professor do ISEP decidiu constituir um Plano Poupança Reforma por forma a complementar a pensão de reforma que lhe será atribuída pela Caixa Geral de Aposentações. Sabendo que: - o professor efectuou um depósito inicial foi de 5.500.,00 EUROS - efectuou depósitos trimestrais e postcipados no valor de 600,00 EUROS, durante 5 anos; - a aplicação financeira é remunerada à taxa de juro anual nominal de 5,5%; a) Qual o saldo do depósito ao fim de 5 anos? b) Sabendo que ao fim de 5 anos, em conjunto com o depósito trimestral: - o professor fez um reforço do no valor de 3.000,00 EUROS; - passou a efectuar depósitos mensais e antecipados no valor de 750,00 EUROS, durante 5 anos; - a aplicação financeira passou a ser remunerada à taxa de juro anual efectiva de 4,5%; Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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Calcule o montante do depósito ao fim de 10 anos.

RESOLUÇÃO 1

2

3

19

20

|--------------|-------------|--------------|-----/////////-------|-------------| 5.500,00

600,00

600,00

600,00

600,00

600,00

taxa de juro trimestral = 5,5 % / 4 = 1,375 % n.º de prestações = 4 * 5 = 20 trimestres a) C 20

=

5.500,00 * (1,01375)

20

+ 600 *

S 20

1,375 %

= 20.932,09 €

b) 600

C 20 = 20.932,09 €

600

|-------|------|-------|-------|------| 5500

+ 3.000

59 M

60 M

|----|-----|-----////---------|------|-------|--> 750 750 750 Taxa equivalente mensal = (1,045 )

1/12

… 750

- 1 = 0,3675 %

Capital acumulado = ( 20.932,09 + 3.000,00) * (1,003675) 60 750 * S 60

750 750

+

* (1,003675) 0,3675 %

= 80.252,19 €

Conceitos : Capitalização; Taxa equivalente; Renda de termos antecipados Valor acumulado Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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EXERCÍCIO IV.16 Um capital de 60.000,00 EUROS foi depositado à taxa de juro anual de 6 %. Qual o montante a receber ao fim de 25 anos no caso de se efectuar um levantamento anual de 5.000,00 EUROS e o primeiro deles ser feito no fim do segundo ano.

5000

5000

5000

5000

|-----------|---------|---------|----------------------------|----------| 60.000,00

1

2

23

24

X = ( 60.000* (1,06) 25 ) – 5.000 * S 24

6%

= 3.434,36 € Conceitos : Capitalização; Renda de termos normais Valor acumulado

EXERCÍCIO IV.17 Um empréstimo de 75.000,00

EUROS é reembolsado através de uma única

prestação de capital e juro ao fim de 4 anos, sendo a taxa anual nominal acordada de 6% ao ano, com capitalização semestral. Passado um trimestre, para fazer face ao pagamento no final dos 4 anos, o mutuário decidiu constituir um fundo em que fazia depósitos trimestrais antecipados. A taxa anual nominal negociada para este depósito seria de 5,5% para os primeiros três depósitos e de 6,5% para os restantes. Determine a quantia a colocar trimestralmente no fundo para que, na data de pagamento do empréstimo, o valor acumulado no fundo permita a sua liquidação integral.

RESOLUÇÃO |-------|------|--------|--------|--------|-------|------|--------| 0

1

2


3

4

5

6

7

8 semestres

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|---|---|----|----|-----------------------------------------------------|----1 2 3 4

5

16 trimestres

taxa semestral = 6 % / 2 = 3 % Valor da dívida = Cn =75.000 * (1,03)

8

= 95.007

,76 €

taxa trimestral = 5,5 % / 4 = 1,375 % taxa trimestral = 6,5 % / 4 = 1,625 % T*S

(1,01375) * (1,01625)

3

1,375 %

13

+T*S 12

*(1,01625) 1,625 %

= 5.560,096 € Conceitos : Capitalização; Renda de termos antecipados

EXERCÍCIO IV.18 Determinado indivíduo contraiu uma dívida pela qual se compromete a pagar imediatamente 2.500, 00 EUROS e prestações mensais postecipadas de 750,00 EUROS durante 5 anos, com remuneração à taxa anual nominal de 7,5%. Sabendo que pelo facto de ter deixado de pagar as 6 primeiras prestações o credor lhe irá exigir o pagamento integral na 7ª prestação, diga qual o montante que o indivíduo deve, nessa data, entregar.

RESOLUÇÃO 750

750

750

750

750

|----------|----------|---------|----/////----|-------------------------------------| 2.500,00

M1

M2

M3

M7

M 60

PRESTAÇÕES = 60 mensalidades Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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taxa mensal = 7,5 % / 12 = 0,625 % CD = capital em dívida

CD 7 =

750 *

S 7

+ 750 * 0,625 %

A 53

0,625 %

= 39.097,52 €

V - REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EXERCÍCIO V.15 Um(a) aluno(a) finalista do curso de Engenharia Informática, terminado o curso, decide efectuar um Mestrado. Para tal contrai um empréstimo, como complemento de uma bolsa, nas seguintes condições: - valor do empréstimo: 17.500,00 EUROS; - amortização do capital em 4 prestações anuais iguais; - vencimento da primeira prestação um ano após a contratação do empréstimo; - amortização dos juros totais numa única prestação, a liquidar em conjunto com a última prestação de capital; - taxa de juro anual (regime de juro composto): 6,5%. Qual o montante de juros a pagar pelo empréstimo.

RESOLUÇÃO Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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17.500

4375

4375

4375

4375

|-----------------|-------------------|-----------------|-------------------| 0

1

2

3

4

Jn taxa de juro anual = 6,5 % Valor actual do empréstimo = valor actuaç dos pagaemntos de capital + valor actual do pagamento dos juros 17.500 = 4.375 * A 4

+

Jn * (1,065)

-4

6,5 %

Jn = 3.231,77 Períodos

1 2 3 4 TOTAL

Capital

Taxa de

Juro do

Reembolso

inicio Do período 17.500 13.125 8.750 4.375

Juro 6,5 % 6,5 % 6,5 % 6,5 %

Período 1.137,50 927,06 702,95 464,25 3.231,77

De Capital 4.375 4.375 4.375 4.375 17.500

Prestação

Capital fim

4.375,00 4375,00 4.375,00 7.607,77 20.731,77

Do perído 14.263,50 10.814,56 7.142,51 0

Conceitos : Taxa de juro periódica; Reembolso de capital e pagamento de juros. Dívida no fim de um determinado perído = dívida no início do período seguinte. EXERCÍCIO V.16 Determinada empresa, por forma a financiar investimentos de expansão do negócio, decide contrair um empréstimo junto de uma instituição financeira nas seguintes condições:- montante de 125.000,00 EUROS; - reembolso do capital em 4 semestralidades iguais, vencendo-se a primeira um ano após a contratação do empréstimo; - pagamento do juro total no momento de contratação do empréstimo; - taxa de juro anual efectiva de 7,5% (regime de juro composto). O director da empresa, consultando o Mapa de Amortização do Empréstimo, constatou que a instituição financeira teria cometido um erro no cálculo dos juros. O referido erro residia no facto dos juros serem pagos no inicio do prazo do empréstimo mas calculados como se fossem pagos no fim. Pelo que, o director da Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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empresa reformulou o Mapa de Amortização do Empréstimo, corrigindo o erro referido. a) Qual o montante de juros a pagar que constava do Mapa de Amortização elaborado pela instituição financeira? b) Qual a diferença entre o montante de juros calculados pelo director da empresa e o montante apresentado pela instituição financeira?

RESOLUÇÃO 31.250

31.250

31.250

31.250

Jn |----------|---------|-------------|-------------| Jn 125.000 Valor de cada semestralidades de capital = 125.000 / 4 = 31.250 taxa de juro anual efectiva = 7,5 % taxa de juro equivalente semestral = (1,075) ½ - 1 = 3,6822 % a) Cálculo efectuado pelo Banco 125.000 = 31.250 * a 4

+ Jn * (1,036822)

-4

3,6822 %

J n = 12.377,94 € b) Cálculo reformulado pela empresa 125.000 = Jn + 31.250 a 4

3,6822 %

J n = 10.711,04 Diferença = 12.377,94 – 10.711,04 = 1.666,91 €

EXERCÍCIO V.17 Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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A empresa ALFA_BETA – Sistemas Informáticos, S.A., tendo em vista a troca dos seus computadores Pentium II por computadores da nova geração, decidiu contrair um empréstimo de 150.000,00

EUROS nas seguintes condições:

- período de carência de capital durante dois anos, período durante o qual serão pagos juros anuais postecipados à taxa de 6,25%; - reembolso de capital e juros em três prestações iguais à taxa de juro de 5,75% ano, vencendo-se a primeira prestação um ano após terminado o período de carência (três anos após a data do empréstimo). Elabore o Mapa de Amortização do Empréstimo.

RESOLUÇÃO T T T |-----------|------------|----------------|-------------|---------------| J1 J2 |...................................|

|...............................................................|

6,25 %

5,75 %

J 1 = J 2 = C o * i = 150.000 x 6,25 % = 9.375 € 150.000 = T a 4 5,75 % T = 55.857,10 € Capital inicial Períodos

Juros

Reembolso

Anuidade

Períodicos

de Capital

periodo 150.000 150.000 102.767,90

1 2 3

150.000 150.000 150.000

9.375 9.375 9.375

47.232,10

55857,10

4 5 Total

102.767,10 52.819,95

5.909,15 3.037,15 36.321,30

49.949,95 52.819,95 150.000,00

55.857,10 55.857,10 186.321,30

Capital fim

52.819,95 0

Conceitos : Juro periódico; Renda imediata de termos normais Carência ( paga juros mas não paga capital). Como paga os juros o valor da dívida mantêm-se. EXERCÍCIO V.18 Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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A empresa “Sistemas de Informação - ConsulSoft, SA”, contraiu um empréstimo de médio/longo prazo, para a aquisição de novos equipamentos de desenvolvimneto, nas seguintes condições: - montante: 650.000,00 Euros - prazo: 5 anos - taxa de juro: 5,25% anual nominal - pagamento de juros: anual - reembolso de capital: em cinco anuidades iguais e postcipadas No momento de pagamento da segunda anuidade, dificuldades de tesouraria impossibilitavam a empresa de cumprir com as suas responsabilidades. Por isso, decidiu contrair um empréstimo de curto prazo por forma a ultrapassar as dificuldades financeiras que supostamente eram momentâneas. As condições do empréstimo foram as seguintes: - prazo: 1 ano - taxa de juro anual nominal: 6,75% - pagamento do juro total no momento de contratação do empréstimo - reembolso do capital em prestações mensais iguais a) Construa o mapa de amortização do empréstimo de médio longo prazo. b) Sabendo que o objectivo da empresa ao contrair o empréstimo de curto prazo era obter (naquele momento) a quantia necessária para a liquidação da segunda anuidade (componente capital) do empréstimo de médio/longo prazo, qual o montante pedido emprestado? c) Qual o montante de cada mensalidade do empréstimo de curto prazo?

RESOLUÇÃO: Reembolso de capital = 650.000/5 = 130.000,00 € a) Períodos

1 2 3 4 5 Total

Capital no

Juros

início do

Periódicos

período 650.000 520.000 390.000 260.000 130.00


34.125 27.300 20.475 13.650 6.825 102.375

Reembolso de Capital 130.000 130.000 130.000 130.000 130.000 650.000

Prestação

Capital no

anual

fim do

(Anuidade) 164.125 157.300 150.475 143.650 136.825 752.375

período 520.000 390.000 260.000 130.000 0

39/48


b) Montante necessário = 130.000,00 € (empréstimo curto prazo até 1 ano) Os juros são pagos à cabeça, pelo que : Valor a receber pela empresa = Empréstimo – J 0 = 130.000,00 € taxa de juro equivalente mensal = 6,75 % / 12 = 0,5625 % C = J 0 + C/12

*

a 12

0,5625 %

C - J 0 = 130.000

C = 134.802,00 NOTA : O Banco vai ter que emprestar não só o valor do Reembolso de Capital como o valor dos juros pagos à cabeça. VALOR DE CADA MENSALIDADE = 134.802,00/12 = 11.233,50 € K =Períodos

Dívida

Taxa Juro

Juro

Reemb Capital

Inicio K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

134.802,00 123.568,50 112.335,00 101.101,50 89.868,00 78.634,50 67.401,00 56.167,50 44.934,00 33.700,50 22.467,00 11.233,50

Dívida fim do Período K

0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625% 0,5625%

754,02 687,32 621,34 556,08 491,53 427,68 364,53 302,08 240,31 179,22 118,81 59,08 4.802,00

11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 11.233,50 134.802,00

123.568,50 112.335,00 101.101,50 89.868,00 78.634,50 67.401,00 56.167,50 44.934,00 33.700,50 22.467,00 11.233,50 0,00

Juros actualizados para o início do período Cálculo Financeiro e Contabilidade Exercícios de Cálculo Financeiro

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EXERCÍCIO V.19 Um investidor decidiu subscrever acções de determinada empresa no âmbito de uma operação de privatização. Para tal, recorreu a uma linha de crédito criada por um banco especialmente para a operação em causa. As condições de financiamento oferecidas pelo banco eram as seguintes: - financiamento integral do capital necessário à aquisição das acções; - reembolso de capital e pagamento de juros em prestações semestrais, constantes e postcipadas; - prazo do empréstimo: 3 anos; - taxa de juro: Taxa de Juro 6 Meses; a taxa de juro de referência será a que vigorar na data da privatização; - penhora das acções durante o prazo do empréstimo (decorrendo daqui que o empréstimo terá de ser reembolsado na totalidade caso se pretenda vender as acções antes de atingidos os três anos). As condições de mercado na data da privatização eram as seguintes: - Preço das acções: 25,00 EUROS - Taxa de Juro 6 Meses: 5% (anual nominal) a) Supondo que o investidor comprou 1.000 acções, qual o valor da prestação semestral a pagar ao banco? b) Elabore o mapa de amortização do empréstimo.

c) Determine o montante que o investidor deverá pagar ao banco no caso de pretender vender as acções passado um ano. d) No caso de o investidor vender as acções passado um ano, qual o montante de juros pago ao banco?

RESOLUÇÃO: 3 anos = 6 semestralidades

|-------------|--------------|-----------------------------------------------------| 1

C0

2

6

= 25,00 € * 1.000 acções = 25.000,00 € (valor do empréstimo)


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Taxa de juro equivalente semestral a= 5 % / 2 = 2,5 % . Como a taxa é nominal aplica-se a regra da proporcionalidade. Vamos calcular o valor da prestação (reembolso de capital + pagamento dos juros) relativos ao empréstimo obtido. Trata-se de uma Renda, temporária, imediata, de termos normais 25.000, 00 =

X

* A 6

2,5 %

X = 4.538,75

b) Capital em

Juros

Reembolso

Prestação

Capital em

Período

dívida no início

períodicos

de capital

(Semestralidade)

dívida no fim

1 2 3 4 5 6

do período 25.000,00 21.086,25 17.074,66 12.962,77 8.748,09 4.428,04

c)

625,00 527,16 426,87 327,07 218,70 110,70

3.913,75 4.011,59 4.111,88 4.214,67 4.320,05 4.428,05

4.538,75 4.538,75 4.538,75 4.538,75 4.538,75 4.538,75

do período 21.086,25 17.074,66 12.962,77 8.748,09 4.428,04 0

passado um ano , como são semestralidades estamos situados no fim do 2º periodo ou início 3º período. Então a dívida é o valor actual de uma renda de termos normais, com 4 termos postecipados. C2 = 4.538,75 *

A 4

2,5 %

Valor da dívida ao fim de um ano = 17.074,66 d)

Juros 1.º ano = juro 1º semestre + juro 2º semestre = 625,00 + 527,16 = 1.152,16 EUROS


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EXERCÍCIO V.20 A empresa SoftNet, SA contraiu um empréstimo de médio/ longo prazo nas seguintes condições: Montante: 1.750.000,00 EUROS. Reembolso de Capital: em 4 prestações semestrais constantes e postecipadas Pagamento de Juros: semestral Taxa de Juro: 5,5% anual nominal Para além das condições acima indicadas foi ainda negociado um período de carência (deferimento) de capital pelo prazo de um ano; desta forma o primeiro reembolso de capital será efectuado um ano e meio após a contratação do empréstimo. As condições do empréstimo incluíam ainda uma cláusula de opção que conferia à empresa a possibilidade de liquidar o empréstimo na totalidade após o reembolso da segunda prestação de capital. Desta forma, a empresa poderia aproveitar eventuais descidas da taxa de juro. a) Elabore o mapa de empréstimo b) Imediatamente após a liquidação da segunda prestação de capital, uma outra instituição bancária ofereceu à empresa o seguinte negócio: empréstimo do capital necessário para a empresa exercer a cláusula de opção que detinha, nas seguintes condições: Reembolso de Capital: em 2 prestações semestrais constantes e postecipadas Pagamento de Juros: antecipado, na totalidade Taxa de Juro: 4,4% anual efectiva Sabendo que a empresa no momento não dispõe de liquidez, e utilizando como critério de decisão apenas os juros pagos em cada um dos empréstimos, aconselharia a empresa a exercer a cláusula de opção?

RESOLUÇÃO: a)

Reembolso anual de capital : 1.750.000,00 € / 4 = 437.500,00 € taxa de juro equivalente semestral = 5,5 % / 2 = 2,75 % Capital em no


Juros

Reembolso

Capital fim 43/48


Períodos 1 2 3 4 5 6

início do período 1.750.000,00 1.750.000,00 1.750.000,00 1.312.500,00 875.000,00 437.500,00

períodicos de capital Semestralidade 48.125,00 0 48.125,00 48.125,00 0 48.125,00 48.125,00 437.500,00 485.625,00 36.093,75 437.500,00 473.593,75 24.062,50 437.500,00 461.562,50 12.031,25 437.500,00 449.531,25 216.562,50 1.750.000,00 1.966,562,50

do período 1.750.000,00 1.750.000,00 1.312.500,00 875.000,00 437.500,00 0

b) Capital em dívida após a liquidação do 2.º reembolso de capital = 1.750.000,00/4 * 2 = 875.000 Eur Reembolso de capital = 1.750.000,00 / 2 = 875.000,00 Eur

|-----------------------------------|-----------------------------------| 875.000

Co / 2

Co/2

- Jo Jo – juros pagos à cabeça. Valor do financiamento = 875.000,00 € Taxa de juro equivalente semestral = 1,044

½

- 1 = 2,1763 %

C o = J o + C o / 2 * ( 1,021763) – 1 + C o / 2 * (1,021763) - 2 C o = 875.000,00 + J o C o = 903.666,67 Jo =

28.666,67

Para podermos comparar temos que conhecer os juros que teria que pagar se continuasse com o 1.º empréstimo e conhecer também os juros que teria de pagar se mudar para a proposta alternativa.

Juros do 1º empréstimo = 24.062,50 + 12.034,25 = 36.093,75 € Juros do 2º empréstimo = 28.666,67 €


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A empresa deve exercer a cláusula de opção já que paga menos juros (único critério de decisão). Ou seja vai pedir dinheiro emprestado a outro Banco para liquidar a dívida uma vez que lhe fica mais barato. EXERCÍCIO V.21 O Senhor João Antunes contraiu um empréstimo, junto duma instituição financeira, destinado à construção da sua habitação, nas seguintes condições: •

Montante global do empréstimo = 125.000,00 EUROS, a utilizar nas seguintes datas e nos seguintes montantes: 12.500,00 EUROS em

30/09/2004

12.500,00 EUROS em

31/03/2005

25.000,00 EUROS em

30/09/2005

o restante em

30/09/2006

Durante os dois primeiros anos do empréstimo, foram apenas pagos juros trimestrais. • •

O prazo global do empréstimo é de 20 anos Após a data de 30/09/96 o empréstimo passou a ser reembolsado através de prestações mensais constantes de capital e juros, posticipa das;

• •

A taxa de juro anual nominal do contrato é de 8 %; O contrato previu a possibilidade de efectuar amortizações antecipadas através da cláusula seguinte “No caso do cliente pretender liquidar antecipadamente o empréstimo, ficará sujeito a uma penalização, correspondente a 2 % do valor da dívida à data, no valor mínimo de 2.500,00 EUROS”.

Decorridos 5 anos da data de 30/09/2006

e face às melhores condições

financeiras oferecidas por um seu familiar, o Senhor João accionou a cláusula de amortização antecipada e contraiu novo empréstimo, no montante necessário para liquidar o valor em dívida ao banco, incluindo a respectiva penalização. As condições acordadas com o seu familiar foram as seguintes : 

Taxa de juro anual efectiva 6,5 %;


45/48


 

Período do empréstimo: tempo que faltava para o fin al do empréstimo ao banco. Prestações mensais, constantes de capital e juro, sendo a primeira liquidada no mês imediatamente seguinte.

Pretende-se: a) O montante de juros pagos nos dois primeiros anos ao banco; b) O valor da prestação mensal que vinha sendo paga ao banco; c) O montante em dívida ao banco na data em que accionou a cláusula de amortização antecipada; d)

O valor das prestações mensais do segundo empréstimo;

e)

Construir o mapa do serviço da dívida para os nove primeiros trimestres do empréstimo ;

f)

Saber se terá sido vantajoso para o Snr João ter accionado a cláusula de amortização antecipada. (justifique convenientemente usando critérios estritamente financeiros).

RESOLUÇÃO : 12.500

12.500

25.000

75.000

C

C

|-------|---------|------|------|-----|-----|------|-----|------ ------|-----//////////-------| 1T 30/9/04

2T

3T

31/3/05

4T 5T

6T

30/9/05

7T 8T 30/09/06

30/10/96

30/9/2014

taxa de juro anual nominal = 8 %

taxa de juro trimestral = 8 % / 4 = 2 % a)

J 1,2 = 12.500 * 2 % * 2 = 500,00 juros dos 1.º e 2.º trimestres J 3,4 = 25.000 * 2 % * 2 = 1.000,00 juros dos 3.º e 4.º trimestres J 5,8 = 50.000 * 2 % * 4 = 4.000,00 juros dos 5.º a 8.º trimestres ----------5.500,00 Juros acumulados dos 1.º a 8.º trim.

b)

C o = 125.000,00 € n = 18 anos


46/48


nº de mensalidades = 18 * 12 = 216 taxa mensal = 8 % / 12 = 0,666 % Emprétimo = Valor actual de uma renda imediata, de 216 termos mensais, postecipados, à taxa de juro mensal de 0,666 % 125.000,00 = T *

A 216

0,666 %

T = 1.093,70 € c)

18 anos – 5 anos = 13 * 12 meses = 156 mensalidades

CD = 1.093,70 * A 156

0,666 %

= 105.868,83 Total a pagar = CD + Penalização Calculo da penalização = 2 % * 105.868,83 = 2.117.38 €

ou seja 2.5000,00 que é valor mínimo logo total a pagar = 105.868,83 + 2500,00 = 108.368,83 € d)

taxa equivalente mensal = (1+ 6,5 %) 1/12 -1 =

nova prestação = 108.368,83 = M

0,52617 %

A 156

0,52617 %

M = 1.020,073 e) Períodos 1 2

Capital em no

Juros

Reembolso

início do período 12.500,00 12.500,00

períodicos 250,00 250,00

de capital 0 0


Capital fim Prestação 250,00 250,00

do período 12.500,00 12.500,00 47/48

Exerc. Cálc. Finac. Resol

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