Butées des coudes - AEP - Ouvrage annexeDescription complète
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EXEMPLES D’APPLICATIONS
Faculté Faculté du Génie de la Construction Construction Département de Génie Civil S3 M2 Académique (Option CM)
CALCUL DES SILOS
EXEMPLE D’APPLICATION N°1 : 34°
Surface équivalente
Soit le silo de la figure ci-contre avec les données suivantes : h = 25 m D = 10 m Matière ensilée : Blé
25 m
Nature de la paroi : acier doux au carbone lisse lis se
Questions :
1-
Déterminer Déterminer l’unité l’unité de volume volume à utiliser utiliser pour pour le calcul de de la capacité capacité de stockage stockage du silo silo et déterminer sa valeur. 2- Calcul Calculer er le poids poids total du solide solide pour le calcul structur structural al et détermin déterminer er la hauteu hauteurr de la surface effective du solide. 3- Pour Pour les conditio conditions ns de la valeur valeur maxima maximale le de la pressio pression n normale normale sur la paroi paroi vertical verticale, e, identifie les valeurs appropriées du coefficient de frottement, rapport de pression latérale et le poids unitaire à utiliser. 4- Déte Déterm rmin iner er la valeu valeurr au rempl rempliss issag agee de la pressio pression n normal normalee maxim maximal alee sur sur le mur à la base du silo. sil o.
Solution : Question 1 :
Calcul du poids total du solide pour le calcul de la capacité de stockage du silo : La capacité volumétrique du silo pour le calcul de la capacité : inf 7. 7.5kN / m3 Angle de repos du solide ide : r 34 (du tableau) Hauteur Hauteur du sommet sommet du cône du solide stocké : hc rtan r 5.0 tan34 3.372 m Capacité Capacité volumétrique volumétrique du silo :
1
25.85 m
EXEMPLES D’APPLICATIONS
V R 2 ( h hc / 3) 5.02 (25 3.372 / 3) 2052 m3
Valeur minimale de la capacité de stockage du silo :
C 2052 7.5 15390 kN 1539 tonnes
Question 2 :
Calcul du poids total du solide pour le calcul structural et de la hauteur de la surface effective du solide.
sup 9.0kN / m3 La capacité volumétrique du silo pour le calcul structural : V R 2 ( h hc / 3) 5.02 (25 2.548 / 3) 2030 m3
C 2030 9.0 18270 kN 1827 tonnes Hauteur à la base de la surface effective : V 2030 / ( r 2 ) 25.85 m
Question 3 :
Valeurs appropriées du coefficient de frottement, rapport de pression latérale et le poidsunitaire pour le calcul de la pression normale maximale sur la paroi à la base du silo : Classe de rugosité : Matériau ensilé : blé Silo : acier doux au carbone lisse : → Tableau : Classe de rugosité D2 inf 0.38 /1.16 0.327
;
k k sup 0.54 1.11 0.599
;
sup 9.0kN / m3
Question 4 :
La valeur au remplissage de la pression normale maximale sur le mur à la base du silo : pvf ( A / k U) 1 e zU / (Ak )
Le rayon hydraulique : phf kpvf
/ U R 2 / 2 R R / 2
Phf ( R / 2 ) 1 e z /( R /2 k )
phf p0 1 e z /z 0 p0 C z 2
EXEMPLES D’APPLICATIONS
La pression asymptotique : p0 R / 2 9.0 5.0 / (2 0.327) 68.8kN / m
2
La hauteur caractéristique de Janssen : 0
R / 2 k 5.0 / 2 0.327 0.599 12.76 m
La hauteur de la surface effective à la base du silo : 25.85m Le coefficient de pression : C z 1 e z / z 0 1 e (25.85/12.76) 0.8681
La pression normale sur la paroi à la base du silo : phf C z p0 0 .8681 68.8 59.72kN / m 2
3
EXEMPLES D’APPLICATIONS
EXEMPLE D’APPLICATION N°2 :
Soit un silo cylindrique de 12.0 m de diamètre et 18.0 m de hauteur construit avec des parois en acier inoxydablepoli destiné à stocker du sucre.Le chargement est concentrique et la décharge s’effectue à travers une ouverture légèrement excentrée de e0=1.2m par rapport à l’axe du silo. Déterminer la position z pde la pression localisée (patch load) due au chargement. Déduire la valeur de la pression localisée de chargement et de déchargement. Surface équivalente
38°
Solution :
La position de la pression localisée est donnée par la relation : z p min( z0 , hc / 2) 0
18 m
R / 2 k hauteur caractéristique de Janssen.
hc 18.0m
e0
Classe de rugosité : Matériau ensilé : sucre Silo : paroi en acier inoxydable polie → Tableau : Classe de rugosité D1 inf 0.46 / 1.07 0.429
;
k k sup 0.5 1.20 0.6
;
sup 9.5kN / m3
i inf 32/ 1.19 27 0
R / 2 k 6.0 / 2 0.429 0.6 11.65 m la hauteur caractéristique de Janssen
hc / 2 18.0 / 2 9.0 m p
min(11.65, 9.0) 9.0 m (à mi-hauteur du silo)
Calcul de la valeur de la pression normal de chargement sur la paroi au niveau de l’application de la pression localisée : phf p0 1 e z /z 0 p0 C z
La pression asymptotique :
p0 R / 2 9.5 6.0 / (2 0.429) 66.43kN / m 2 La hauteur de calcul de la pression : z z p 9.0m
4
EXEMPLES D’APPLICATIONS
Le coefficient de pression : C z 1 e z / z 0 1 e (9.0/11.65) 0.5382
La pression normale sur la paroi : phf C z p0 0 .5382 66.43 35.75kN / m 2
La pression localisée de chargement est donnée par la relation : p Pf 0.2 phf
où :
1 4ei / d c
Le chargement est concentrique : ei 0 donc : 1.0
p Pf 0.2 phf 0.2 35.75 7.15kN / m 2 La dimension verticale de la pression locale est : s 0.2d c 0.2 12 2.4 m La force horizontale totale due à la pression localiséeest donnée par la relation : F pf ( / 2) s.d c pPf F pf ( / 2) s.d c PPf ( / 2) 2.4 12.0 7.15 323.45kN
Calcul de la pression normale de déchargement (à la vidange) P he : phe Ch phf
Où :
Ch C 0 1.40 : est le coefficient de pression d’écoulement pour le sucre (voir tableau).
phe Ch phf 1.40 35.75 50.05kN / m 2 Valeur de la pression localisée de déchargement :
p Pe 0.2 phe
5
EXEMPLES D’APPLICATIONS
Où : 1 emax / d c et :
emax max (ei , e0 ) e0 1.2 m
1 1.2 / 12 1.10 p Pe 0.2 phe 0.2 1.10 50.05 11.01kN / m 2
La force horizontale totale due à la pression localisée de déchargement est donnée par la relation : F pe ( / 2) s.d c pPe ( / 2) 2.4 12.0 10.62 480.44 kN
Caractéristiques des matières granulaires
6
EXEMPLES D’APPLICATIONS
EXEMPLE D’APPLICATION N°3 :
Soit un silo circulaire en aluminium de diamètre d c 8.3m ayant une trémie conique faisant un angle de 20° par rapport à l’axe verticale du silo. Le produitstocké est le maïs avec un poids volumique unitaire de : 8.5kN / m3 . Le chargement est concentrique et le déchargement se fait à travers une trémie conique avec un demi angle : 20 (voir figure). La contrainte verticale au niveau de la transition est de : pvft 45.2kN / m pour les propriétés 2
appropriées suivantes du matériau stocké : ( k 0.45 et 0.268 ). 1-
Déterminer le rapport de pression dans la paroi de trémie F f pour le chargement.
2-
Déterminer la valeur de la pression normale de chargement pnf dans la trémie au niveau de la transition : à ( hn ).
3-
Déduire la valeur de la pression normale de déchargement pne dans la trémie avec les caractéristiques suivantes : w 15 (angle de frottement de la paroi de la trémie) et i 28 (angle de frottement interne du solide)
Solution :
1-
Calcul durapport de pression dans la paroi de trémie F f pour le chargement :
Calcul de la pression normale de chargement pnf dans la trémie au niveau de la transition : à ( x hn ).
pnf Ff pvf
pvf : pression verticale de chargement dans la trémie à la hauteur x de l’apex du cône de la
trémie. n n x hh x x pvf pvft n 1 hh hh hh
Où : n 2( F f cot F f 1)
Ou bien : n 2(1 b) cot
La valeur de la pression normale de chargement à la transition est donnée par la relation : pvft Cb . pvf
Où : pvf : est la valeur de la pression verticale de chargementdonnée par la relation de Janssen: pvf (1 / k ) phf
phf p0 1 e z /z 0 p0 C z
C b : coefficient d’amplification de charge à la transition. C b 1.2 : silos de classe 2 et 3 C b 1.6 : silos de classe 1. Dans notre cas : pvft 45.2kN / m
2
(valeur donnée)
à ( x hn ) : pvf
hh
1.0 1.0 p n 1 n
vft
1.0 n pvft 45.2 kN / m 2
pnf Ff pvf 0.915 45.2 41.4 kPa
8
EXEMPLES D’APPLICATIONS
3-
Calcul de la valeur de la pression normale de déchargement pne dans la trémie :
pne Fe pve n n hh x x x pve pvft n 1 hh hh hh
pvft 45.2kN / m 2 à ( x hn ) : pve
hh
1.0 1.0 p n 1 n
vft
1.0 n pvft 45.2 kN / m 2
Le rapport de pression F e dans la paroi de trémie à la vidange est donné par la relation: F e
1 sin cos 1 sin cos(2 )
Avec :
sin w 1 sin15 15 sin 15 33.46 48.46 sin sin 28
w sin 1
F e
1 sin cos 1 sin cos(2 )
1 sin 28 cos 48.46 1 sin 28 cos(2 20 48.46 )
1.328
La pression normale à la vidange au niveau de la transition (sommet de la trémie x hn ) pne Fe pve 1.328 4 5.2 60.0 kN / m2
9
EXEMPLES D’APPLICATIONS
EXEMPLE D’APPLICATION N°4 :
Soit un silo cylindrique de 12 m de diamètre et 18 m de hauteur, fabriqué en acier doux de limite d’élasticité de 230 Mpa et de module d’élasticité de 2x105Mpa. Le chargement est concentrique. Les contraintes résultantes évaluées sur les différents niveaux de la paroi du silo sont montrées dans le tableau ci- contre. ( F 1.25 ) Cas de charge et position dans le mur du silo
Pression interne ph
Pression maximale à 10m Frottement maximale à 10m Pression maximale à 12.5m Frottement maximale à 12.5m
kPa
Valeur de calcul de la contrainte résultante circonférentielle
Valeur de calcul de la contrainte résultante méridionale
F . N Sd ( kN / m )
F . N xSd ( kN / m )
59.2
444
160
52.6
395
201
68.2
511
205
59.3
445
230
1- Si l’épaisseur du silo à z = 10 m est de t = 6 mm, déterminer la marge de sécurité vis-à-vis de la rupture par effondrement en utilisant le coefficient de résistance partiel M 1.10 . 2- Si l’épaisseur du silo à z = 12.5 m est de : t = 8 mm, calculer la marge de sécurité visà-vis de la rupture par flambement en utilisant le coefficient de résistance partiel M 1.10 . (le silo est de haute qualité de fabrication).
Solution : 1-
Vérification à la résistance du à la pression maximale dans le silo: vSd
N vRd
2 N vSd ( N 2Sd N Sd N xSd N xSd )
La contrainte circonférentiellepondérée de membrane : Sd
444kN / m
La contrainte méridionale pondérée de membrane : xSd
160kN / m
vSd
(444 2 444 160 1602 ) 389kN / m 10
EXEMPLES D’APPLICATIONS
N vRd ( f y .t / M ) vRd
230 6 / 1.1 1254 kN / m
Vérification à la résistance : Critère de rupture de Llyushin
N vRd
vSd
389kN / m 2
1254 kN / m 2
La marge de sécurité vis-à-vis de la rupture :
1254 / 389 3.23 → grande marge de sécurité.
2-
Vérification au flambement du au frottement maximal dans le silo : xSd
N xRd
xRd
( xRk / M ) t
xRk x . f y
:
La résistance caractéristique de flambement
x 1
Si
x 0
Si
0
Si
p x
0 x 1 x p 0 x
2 x
avec :
x
0
x
p
0 0.2 et les valeurs recommandées de 1.0
et 0.6
f / : L’élancement sans dimension y
xRc
xRc 0.605 E
p
t r
2.5 0
:
La contrainte critique élastique :
L’élancement limite
0.62 1 1.91 ( wok / t )
1.44
: Le facteur d'imperfection méridional de réduction élastique
11
EXEMPLES D’APPLICATIONS
wok
t
r
Q
t
:
La caractéristique d’imperfection d’amplitude
La contrainte méridionale pondérée de membrane : xSd
230kN / m
Valeurs du paramètre de qualité Q de tolérance de fabrication Classe de qualité de fabrication Classe A Classe B Classe C
Description
Q
Excellente Haute Normale
40 25 16
Le facteur d'imperfection méridional de réduction élastique : 0 0
0.62 1 1.91 ( wok / t )
1.44
0.62 1 1.91 ( wok / t )
1.44
0.62 1 1.9 1.0(8.76 / 8.0)
1.44
0.195
Où :
wok : est la caractéristique d’imperfection d’amplitude donnée par : wok
wok
t
r
Q
t
t
r
Q
t
8.0 6000 8.76mm 25 8.0
1.0 : cas de compression méridional uniforme. Q 25 : valeur du paramètre de qualité de tolérance de fabrication (voir tableau)
La contrainte critique élastique est donnée par la relation : xRc 0.605 E
t r
xRc 0.605 2 10 5
8.0 6000
161.33 pa E 200000 Mpa
La résistance caractéristique de flambement est donnée par :
12
EXEMPLES D’APPLICATIONS
xRk x . f y
x 1
Si
x 0
Si
0
Si
p x
0 x 1 x p 0 x
2
x
x
p
0 0.2 et les valeurs recommandées de 1.0
avec :
et 0.6
L’élancement sans dimension :
x
f /
x
230 /161.33 1.194
y
xRc
L’élancement limite :
p
2.5 0
p
2.5 0.195 0.698
x
p
→
x / x2 (0.195 / 1.194 2 ) 0.137
La résistance caractéristique de flambement est donnée par : xRk x . f y 0.137 230 31.46 Mpa
La résistance au flambement est donné par : xRd
( xRk / M ) t
xRd
(31.46 /1.1) 8.0 228.8 kN / m
xSd
230 kN / m N xRd 228.8 kN / m
La marge de sécurité contre le flambement est de : 228.8 / 230 0.995 → sécurité instable
