Excitación estructuras con CA

Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna. Lazo de histéresis de un núcleo ferromagnético

Excitación de Estructuras con CA

Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto Transformadores Transformadores y Máquinas Eléctricas

Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

ITCR- Transformadores Transformadores y Máquinas Eléctricas Eléctricas

a) p.ejemplo p.ejemplo AlNiCo 160 12% Al, 24% Ni, 12% Co 5% Cu, 48% Fe Br = 0,64 T H c = 50000 A/m

b

B

Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna

Brb Bra

a

Deformación de la corriente en un núcleo ferromagnético con bobina conectada a una fuente de tensión rígida

B~

-Hcb -Hca El produc producto to Br ·Hc es un indicador para la energía almacenada por unidad de volumen.

Hcb

-Bra -Brb

Hca

~u

H H~i

b) p.ejemplo: Lámina para transformadores y máquinas eléctricas: Br 0,15 ...1,5 T H c 10 ... 25 A/m

i(t)

a) Material magnético duro H ca > 100 A/m b) Material magnético blando H cb < 10 10 A/ A/m m ITCR- Transformadores Transformadores y Máquinas Eléctricas Eléctricas

t Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

ITCR- Transformadores Transformadores y Máquinas Eléctricas Eléctricas



Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna W =

Energía almacenada en un núcleo ferromagnético

dW = p (t ) dt con ui = N dW = N

d Φ


p (t ) = ui (t ) ⋅ i (t ) d Φ

= B ⋅ A

Θ ⋅ d Φ

⇒

r

F MM = H ⋅ l

r

r

Φ

r

r

dΦ = A ⋅ d B

,

Φ =Φi

Φ =0

Otras expresiones para W r

dt

∫

dF MM = l ⋅ d H

r

r

Por lo tanto :

i (t ) = N ⋅ i (t )

d Φ

dt dW = Θd Φ ⇒

W =

∫

dt

Φ = Φi

Φ =0

dt = F MM d Φ

W B =

Φ =Φi

∫

Φ =0

F MM ⋅ d Φ = Bi

∫

Así w B =

ΘdΦ ⇒

0

Bi

∫

0

V

0

H ⋅ dB

H ⋅ dB es la densidad de energía wΦ

La co − energia se define como : W H =

Area bajo la curva definida entre la curva y la

Φ =Φi

∫

Φ =0

variable de integración Φ

Φ ⋅ dF MM

Bi



ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas

Hi

= ∫ B ⋅ A ⋅ l ⋅ dH = V ∫ B ⋅ dH {

0

y su densidad es : w H =


{

Bi

∫

H ⋅ l ⋅ A ⋅ dB = V

V Hi

∫

0

0

B ⋅ dH


Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna Energía suministrada por la fuente Energía recuperada por la fuente durante el semiciclo positivo durante el semiciclo positivo


Pérdidas de energía (por histéresis) en un núcleo ferromagnético

La energía total almacenada en un núcleo con varias ramas en serie o paralelo es : W Btot =

n

∑ V ∫

B χ

χ

χ =1

W Htot =

n

0

∑V ∫

H χ

χ

χ =1

0

W histeresis = W h = W ac + W cd + W df + W fa =

H χ dB y la coenergía total

W h = V ( wac + wcd + wdf + w fa ) = B χ dH

W h = V (área del anillo de histéresis) F sB ⋅ F sH

Caso especial : Para una curva B - H lineal : 1 1 1 F MM W Btot = W Htot = F MM ⋅ Φ = Rm ⋅ Φ 2 = 2 2 2 Rm

en donde F B , F H son los factores de escala

2

de B y H Energía suministrada por la fuente durante el semiciclo negativo Energía recuperada por la fuente durante el semiciclo negativo






Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna.

Pérdidas de energía (por histéresis) en un núcleo ferromagnético

Corrientes parásitas en el núcleo ferromagnético

Material blando Menos pérdidas

Fórmula empírica de Steinmetz (1892) wh ≈ η ( Bmax ) n Material duro, mayores pérdidas

por unidad de volumen η = Coeficiente de Steinmetz. Depende del

material y del sistema de unidades n = exponente de Steinmetz 1,6 < n < 2,4 La potencia de pérdidas por histéresis es : P h ≈ f ⋅ V ⋅η ( Bmax )

n



Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna.

Laminación del núcleo ferromagnético para reducir las pérdidas por corrientes parásitas



Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna. Lazo de histéresis dinámico

Reducción de pérdidas por corrientes parásitas

π 2 Bmax ⋅V ⋅ f 2 w2 2

P ip =

6 ρ

en donde w = espesor de la lámina y ρ la resistividad del material ferromagnético





B

Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna. Lazo de histéresis rectangular (saturable)

H

Determinación experimental de la curva virgen (Curva característica de magnetización)de un núcleo toroidal con una bobina a la que se aplica una tensión alterna de amplitud variable.





Inducción electromagn ética Homogéneo en todo el espacio

B

++ ++ + + + ++ Eind

F m = Q(v x B ) r

r

r

n

-

Fm = Q(v x B) Fm

Fe

Fm

v

+

B

v

Por medio del movimiento de un conductor en un

B

campo magnético con inducción B se induce un

v

-

r

r

r

Eind causa tanto Esec como la fuerza Fe En equilibrio Fm + Fe = 0 r

Fm Esec

U12

r

campo eléctrico E ind = v x B.

-e·(v x B) = - Fe = -(- e·Esec)

- - - - - - - - -o

Eind = - Esec

La tensión inducida en el conductor será : U 12 =

∫

2

1

E sec ⋅ d s = Q(v x B ) = E sec ⋅ l = E ind ⋅ l = vlB r

r

r


r

porque v ⊥ B r

r




+

La ley de inducci ón

+ v

l

-

Esec

Eind

x

x En general:

Fm

-

b(t)

-

v

U12 B

Ø = B·A con B A

Calcule la tensión U12 que se mediría como consecuencia de la variación del flujo



U12 -

Esec

Eind

Eind

+

B

v

l

+

+

B

b(t)

En el instante t0: 0 = b ·l ·B con A = b · l

En el instante t0+ t : = (b- x) · l ·B 0=> =v ·x ·tl ··B l ·B

x con v = t => x = v· t

t =B·l·v

Expresado en forma diferencial:

d dt = B · l · v

Vs m m2 · m · s = V

d Más general: dt = l ·(v x B) = l · Eind = - U12 Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


Inducción rotatórica e inducción transformatórica Ley de inducción: Si la espira tuviese N-espiras o N-vueltas:

El voltaje inducido en una espira con N vueltas es igual al producto de N con la variación del flujo magnético enlazado con esa espira en el tiempo

Uind = - N · ddt

uind = - N· d = - N· d (B·A) = - N · B dA + A dB dt dt dt dt Inducción rotatórica: B = constant, A varía con la posición de la espira giratoria en medio del CM

= B·A

B

El área efectiva de la espira en el CM (t) = ·t cambia con el ángulo A( ) = Â·cos = B·Â·cos = B·Â·cos( t)

b l

Area A

u(t) =- N· y = cos x; y‘ = -sin x ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas


B


d = + B·Â· ·sin( t) dt u(t) = û·sin( t) Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

Inducción rotatorica

Inducción transformatórica

uind = - N · ddt

B = constante, A cambia en t,

u(t), (t)

A = constante, B cambia en t, Una bobina estática está presente en un flujo variable en t

^

(t) = B·Â·cos( t) Area A

t

u(t)

La tensión alcanza su máximo valor durante la máxima variación del flujo en t, o sea cuando el lado activo de la espira es perpendicular al CM o cuando el plano de la espira es || al CM ! Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

u (t ) = − N φ ˆ ω cos(ω t )

(t) = ^ ·sin( t)

d u(t) = - N dt

u(t) = - û·cos( t) ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas

Inducción transformatórica A = constante, B cambia en t, Una bobina estática está presente en un flujo variable en t

= B·A ^ ·A·sin( t) (t) = B

d(sin( t)) u(t) = - N· ^· dt ^ u(t) = - N· · ·cos( t)

u(t) = û·sin( t)


B(t) = B·sin( sin( t)


Inducción transformatórica A = constante, B cambia en t, Una bobina estática está presente en un flujo variable en t

u(t), (t)

^

(t) = ·sin( t)

u (t ) = −uˆ cos(ω t ) ⇒

uind = - N · ddt

uˆ = N φ ˆ ω

Area A

t

u(t) U RMS = U eff =

2π 2

f N φ ˆ = 4,44 f NA Fe Bˆ

u(t) = - û·cos( t) La tensión alcanza su máximo valor cuando se presenta la máxima variación del flujo en t!





Recuerde:

uind = - N ·

d dt

El signo negativo en la ecuación arriba, es una consecuencia de la Ley de Lenz, o bien de la Ley de Conservación de la Energía e indica siempre la polaridad de la tensión eléctrica inducida se opone al cambio de la variación del flujo encerrado por la espira. Si el flujo está creciendo, se opone al crecimiento, creando un flujo que se opone a ese crecimiento. Si el flujo está disminuyendo, se opone a la disminución del flujo creando un flujo con el mismo sentido del flujo de tal modo que lo apoye y NO disminuya. Así las bobinas son elementos activos (generadores!). La ^ representación senoidal abajo dibujada y otras anteriores está equivocada!!!!!

t

uind = N ·

d dt

La posición correcta de las dos curvas dibujadas es:

t

(t) = ·sin( t)

u(t) = û·cos( t)

u(t) = - û·cos( t)

(t) = ·sin( t) ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas


Ejemplo de cálculo de un núcleo con varias bobinas




Un núcleo de material ferromagnético con curva característica B-H lineal es excitado con tres arreglos de bobinas ideales como se indica. En los tres casos se aplica en mismo voltaje y la misma frecuencia. Si la inducción magnética para el caso a) es Ba y la corriente es i a, encuentre estos valores para los casos b) y c).






Ejemplo de cálculo de un núcleo con varias bobinas Núcleo con las dos bobinas en paralelo

Núcleo con la bobina a solamente Φb, Φa,

Ba

Bb

U ia = K ⋅ Ba max = U ib = K ⋅ Bb max

ib

i(t)=ia

⇒ Ba max = Bb max =

i1 Uia

U i max = 4,44 ⋅ f ⋅ N ⋅ A Fe ⋅ Bmax = K ⋅ Bmax

Uia

N

N

por simetría

Bb max =

i2

Bb max =

Uia

N i1 =

2Φ1 A Fe

Φ Tot A Fe

=

Φ1 + Φ 2 A Fe

=

= Φ 2 e i1 = i 2 N ⋅ i1 + N ⋅ i2 = = A Fe ⋅ Rm A Fe ⋅ Rm

Φ1

F MM 1 + F MM 2

=

N (2i1 ) A Fe ⋅ Rm

= Ba max =

N (ia ) A Fe ⋅ Rm

ia

e iTot = ia 2 O sea no hay ninguna diferencia con respecto al caso a) Moraleja : No se obtiene ninguna ventaja desde el punto de vista magnético al conectarlas en paralelo, excepto porque la corriente en los bobinados es la mitad!!!





Núcleo con las dos bobinas en serie Φc,

Bc



Núcleo con las dos bobinas en serie Φc,

U i max = 4,44 ⋅ f ⋅ N ⋅ Bmax = K ⋅ Bmax

Bc

U i max = 4,44 ⋅ f ⋅ N ⋅ Bmax = K ⋅ Bmax

ic

ic U ic =

Uia/2

N

2

= K ⋅ Bc max =

⇒ Bc max = Φ1 = Φ 2 =

Uia Uia/2

U ia

N

Bc max = Bc max = ic =


Ba max

Φ c max 2 A Fe ⋅ Rm

=

El análisis se puede hacer también reuniendo

⇒

Φ a max

Uia/2

=

N ⋅ ic + N ⋅ ic

Ba max

2

A Fe ⋅ Rm

=

N

2

las dos bobinas en una sola con N c = 2N. K c = 2K a U ic = U ia = 2 K ⋅ Bc max = K ⋅ Ba max ⇒

e i1 = i 2 = i c (bobinas en serie)

F MM 1 + F MM 2

2 N (ic )

2

⇒ Φ c max =

2

A Fe ⋅ Rm

K ⋅ Ba max

=

N (ia )

2 A Fe ⋅ Rm

ia

Uia Uia/2

⇒ Bc max = N

Bc max = Ba max 2 ic =

4 Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


=

Ba max 2

F MM c A Fe ⋅ Rm

⇒ Φ c max = = Bc max =

N (ia ) 2 A Fe ⋅ Rm

=

Φ a max

2 2 N (ic )

A Fe ⋅ Rm

2 N (ic ) A Fe ⋅ Rm

=

⇒

ia 4 Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


El transformador ideal

Núcleo con las dos bobinas en anti-paralelo ic

Φd,

Bd

i2

i1

Bobina ideal?

RL

u1

¿?

N

Uia/2 Uia

ic

2.2.- La Lareluctancia reluctancia del del núcleo núcleo ferromagnético ferromagnético es es RRmm == 0. 0.

u2

R

Us(t)

L

1

N

Uia/2

En En el el transformador transformador ideal: ideal: 1.1.- No Noexiste existe dispersión dispersión de de flujo flujo yy el el flujo flujo que que enlaza enlaza las las bobinas bobinas es es == 11 == 22

=

2

3.3.- Las Lasresistencias resistencias ohmicas ohmicas de de los los bobinados bobinados RR11 yy RR22son sondespreciables. despreciables.

=

Definiciones: Bobinado primario: absorbe (toma) energía eléctrica de la red Bobinado secundario: entrega energía al consumidor conectado (R L)



i2

i1 u1

u

RL



i2?

i1 u1

u2

2

Primario

Secundario

Cuando i1 aumenta en t, la FMM Θ1 = i1·N1 y con ello el flujo magnético tiene pendiente positiva. Esto causa que la corriente i 2 que fluye a través de la carga RL por efecto de la Ley de Lenz trate de anular la causa que la produce. La corriente i 2 produce la FMM Θ2 = i2·N2, que se opone a la FMM Θ1 . El flujo magnético resultante Φ es el flujo neto Φ = Φ1 - Φ2. Pero en vista de las características ideales del transformador, Φ = 0. De esta reflexión se derivan las cuatro características principales de un transformador: Relación de transformación de 1.- la corriente i 2.- La tensión u 3.- Las potencias 4.- Las resistencias o impedancias ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas


Primario

RL

Secundario

Ley de Lenz Todo proceso de transformación de energía en la naturaleza, se lleva de tal modo que el efecto en dicho proceso, trata de anular la causa que lo produce.



Núcleos ferromagnéticos con corriente alterna Puntos de polaridad en transformadores i1

i1

i2

N2

N1

U1

u1 = -N1·

Φ1

Φ1

U2

U1

Relación de transformación de la corriente

Relación de transformación del voltaje

d dt

u2 = -N2·

d dt

El transformador ideal no tiene pérdidas

p1 = p2

i2

N1

N2

u1·i1 = u2·i2

N1 u1 u2 = N2

U2

N u2 N1 i1 = u2·i2 2

El voltaje en cada bobinado es directamente proporcional al número de espiras de su bobinado

N a = N1 2 a = Relación de transformación Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


Transformación de impedancias Transformador ideal

I1

U1

Transformador ideal P1 = P2

I12·Z1 = I22·Z2 I 2

Z1 = I2 2 ·Z2 1 ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas


Para tratar matemáticamente de una mejor manera un circuito con un transformador, se hace necesario convertir esa red con separación galvánica en otra sin ella

Transformador ideal I1 I

I1

2

Z2

La impedancia de carga para la fuente U 1 es: Z1 = a2 ·Z2 Se dice que la impedancia Z2 vista desde el preimario es: Z1 Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

N 1 = N2 = a 1

La corriente en cada bobinado es inversamente proporcional al número de espiras de su bobinado


I2

a

i1 i2

a

U1

Z2

U1

aU2

a2·Z2

Ejemplo: U2 = 10V, I2 = 2A, Z 2 = 5 , a = 10 U1 = a·U2 = 100V I1 = 1/a·I2 = 0,2 A =>Z1 = U1 /I1 = 500 = a2·Z2 ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas


Autoinducción, inductancia propia Obsérvese un lazo conductor sin resistencia eléctrica en el cual se impregna una corriente eléctrica i(t).

H(t) i(t) uind

i(t)

Ley de Hopkinson Leyde deinducción induccióno(Faraday) Hopkinson:: Ley Ley de Faraday

Φ=

Θ Rm

ui = − N

B(t) =

H(t) =

Según la Ley de Ohm u(t) = i(t)•R = 0 Sin embargo se puede comprobar que u(t) ≠ 0 porque existe una uind ≠ 0 !

(t) A ·nA B(t)

0

Para una bobina con núcleo de aire, B(t), H(t) son

Ley de Hopkinson: = /Rm = N·I/Rm

proporcionales a la corriente i(t)

aquí: (t) = N ·i(t)/Rm Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


Definición de la inductancia dada en el Congreso Internacional sobre Electrotecnia celebrado en Chicago en 1893:

L =

Rm

dt

ui = − L

di dt

dt

= − N

dNi

Rm dt

=−

2

N di Rm dt

Las 2 ecuaciones son idénticas!

 N µ A  Hm unidades : [ L ] =   = 2 = H = Ωs  l m  m 2

2

L es la inductancia propia de la bobina, del conductor, de cualquier forma y depende de la geometrìa de la misma y del material que tiene en su seno Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


El cálculo de la inductancia en bobinas de forma cualesquiera

Φ = L ⋅ I

o bien

I

Así la inductancia es la constante de proporcionalidad entre el flujo magnético (causa) y la corriente eléctrica (efecto) que lo produce. En forma general se define la inductancia como:

∫ B ⋅ d S Φ 2 S = N = N L = Rm Θ ∫ H ⋅ d l r

r

2

r

r

S


2

N

ui = − N

Rm

d Φ

d Φ

puede ser muy difícil de realizar, pues se deben resolver las

Φ

N 2

L =

=

Ni


integrales siguientes:

∫

r

H ⋅ d l y r

l

∫

r

B ⋅ d S r

S

Inductancias en el sector Energía: • bobinas de motores • bobinas de transformadores • inductancias de filtro, etc. Inductancias en el sector Telecomunicaciones:

• transformadores de pulsos, • bobinas con núcleo de aire • líneas de transmisión, etc.



Sentido del bobinado y su flujo La inductancia L de una bobina es directamente proporcional al cuadrado del número de espiras N y a la conductancia magnética del material de núcleo de la bobina. La inductancia L es análoga a la capacitancia C en el campo eléctrico.

Vs Unidad: 1 Henry = 1 A L Símbolo: ideal

R

u1

1


1

N1 B

Con sentido invertido de bobinado

n2 u2


u1

N1

Con igual sentido de bobinado

real

Bobinas con con núcleo de hierro: 1...100H Bobinas en artefactos receptores de radio(Circuitos resonantes) 1nH...1mH Línea de transmisión pareada l = 25m, b = 0,2m, d = 2mm: ca. 50 H

n1

n1

B L

i1

i1

2

i2 B

i2

n2

u2

2

N2

N2

B



Sentido del bobinado acoplado magnéticamente

i1

i1 n1 u1

1

n1 u1

1

N1

N1

Con igual sentido de bobinado Con sentido invertido de bobinado

i2

n2 u2

2

i2 B

N2

n2 u2 B

2

N2

Corriente y Voltaje según convención pasiva de signos i, n, Φ con sentido del tornillo de rosca derecha ITCR- Transformadores y Máquinas Eléctricas




Excitación estructuras con CA

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