Examen Parcial Cálculo de Una Variable 2014-2 USIL

CÁLCULO DE UNA VARIABLE  – FC EXAMEN PARCIAL 2014  – 02 Profesor(a) : TODOS Instrucciones:

Bloque: TODOS

Duración: 120 minutos

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Se permite el uso de calculadora.

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Se prohíbe prohíbe el uso uso de todo tipo de material de consulta.

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El plagio se sanciona con la suspensión o expulsión de la Universidad. Reglamento de Estudio art. 60 inciso (g) y art. 62

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 1. [3p] Use la información de la tabla y la gráfica de la función   : salto finito negativo 0

2 salto infinito cóncava hacia abajo

punto mínimo −3 cóncava hacia arriba

derivable punto de inflexión positivo

Reproduzca Reproduzca el siguiente párrafo en su cuadernillo y complete los espacios en blanco de modo que las proposiciones sean verdaderas. a. En el intervalo ]3;+∞[, la función es _____________ y  ′() tiene signo _____________. b. Se observa que el mínimo valor de la función es _______ y que en  = −2 existe un  ___________  ___________ c. La función tiene una discontinuidad del tipo ____________ en  = 1   y el punto (−3;0) −3;0) no es  ______________.  ______________. 2. [2p] En su cuadernillo, justifique la falsedad de las siguientes proposiciones. a. Si función  es continua en ];[, entonces  es derivable en ];[. b. Si  ()   existe y puede trazarse una recta tangente a la gráfica de   en  =  , entonces necesariamente ´() existe.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO 3. [3p] Modele la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función   definida por  (  ( ) =   + 3  − 4 + 1 en el valor de  donde la segunda derivada es igual a cero. 4. [2p] Se va a instalar una tubería desde una refinería hasta los tanques de almacenamiento (como se muestra en la figura). El costo de instalación es de 15 000 dólares por km sobre el pantano y 10 000 dólares por km sobre tierra. Modele una expresión que permita calcular el costo total de instalación de la tubería en términos de .

CONTINÚA . . .

RESOLUCION DE PROBLEMAS 5. Con la información de la pregunta 4, se le pide: a) [2p] Determine la derivada de la expresión “costo total de instalación”, con respecto de  . b) [3p] Calcule el valor de “  ” de modo que el costo total de instalación de la tubería sea el menor posible. Justifique su resultado con la segunda derivada.

6. El forro aislante de un trozo de cable metálico subterráneo tiene la forma de un cilindro hueco. En la figura se muestra un pedazo de forro aislante de 10 cm de longitud. Se sabe que, a consecuencia del efecto joule, la parte metálica eleva la temperatura del cable, por lo que el radio del agujero del cilindro aumenta a razón de 0,01 /. forro aislante  

  

a) [2,5p] Calcule la rapidez (en /) a la que disminuye el volumen del trozo de forro aislante cuando  = 0,5 cm. b) [2,5p] Calcule el cambio aproximado correspondiente al volumen del trozo de forro aislante cuando el radio cambia de  = 0,5  a  = 0,51 .