Resumen del capítulo I. La distribución probabilística normal es una del tipo continuo, con las características que siguen: A. Es acampanada, acampanada, y la media, la mediana mediana y la moda son son iguales. B. Es simétrica. C. Es asintótica, lo que signiica que la cur!a se apro"ima al e#e X, pero nunca lo toca. $. %ueda descrita completamente por la media y la des!iación est&ndar. E. E"iste una amilia de distribuciones normales. Cada !e' que cambien la media o la des!iación est&ndar, se origina una nue!a distribución normal. II. II. La distribución normal est&ndar es un caso especial de la del tipo normal. A. (iene una media media de ).)) ).)) y una des!iación des!iación est&ndar de * .)). .)). B. Cualquier distribución normal puede con!ertirse a una del tipo normal est&ndar mediante la siguiente órmula: Z
x
−
µ
=
σ C. Estandar Estandari'an i'ando do una distribuc distribución ión normal, normal, se puede apreciar apreciar la distancia distancia desde desde la media media en unidades unidades de la des!iación est&ndar. III. III. La distri distribuc bución ión normal normal puede puede utili' utili'ars arse e para apro"i apro"imar mar una distrib distribución ución binómic binómica a o binomi binomial, al, ba#o ciertas ciertas condiciones. A. n π y n +* π- deben ser ambos por lo menos iguales a . * . n es el n/mero de obser!aciones. 0. n es la probabilidad de un é"ito. B. Las cuatro condiciones para una distribución binomial son: * . 1ay sólo dos resultados posibles. 0. π permanece igual de un ensayo a otro. 2. Cada Cada ensay ensayo o es inde indepen pendie dient nte e de los los otros otros.. 3. La distribución resulta de un conteo del n /m /mero de é"itos ensayos. C. La media y la !ariancia de una distribución binomial se calculan como sigue: µ nπ
en
una
cantidad
i#a
de
=
σ
2
=
nπ
(1
−
π )
$. El actor de corrección por continuidad, de )., sir!e para ampliar en media unidad el !alor continuo X, en ambas direcciones. Esta corrección compensa estimar una distribución discreta por medio de una distribución continua.
Ejercicios del capítulo. 0*. La empresa BallBearings, Inc. produce co#inetes de bolas en orma autom&tica en una m&quina 4ronar BB5. 6ara uno de tales rodamientos, la media aritmética del di&metro se determina como 0).)) mm. La des!iación est&ndar de la producción durante un largo período se calcula como ).*) mm. a7%ué 7%ué porce porcenta nta#e #e de de los los co#i co#inet netes es tendr& tendr& di&met di&metros ros entre entre 0).) 0).)) ) mm mm y 0).08 0).08 mm9 b) 7%ué porcenta#e de tales elementos tendr& di&metros de 0).08 mm o m&s9 c) 7%ué porcenta#e de los co#inetes tendr& di &metros entre *.; mm y 0).2) mm9 d- 7< qué porcent porcenta#e a#e de ellos ellos tendr& un di&metro di&metro de de *.* mm o menos9 menos9 00. 00. El depar departa tamen mento to de contab contabili ilidad dad en =est =eston on,, un abri abrica cante nte naciona nacionall de gara# gara#es es para para ane"a ane"arr a las casas, casas, descubrió que la distribución de los tiempos que necesitan dos traba#adores para construir un modelo est&n distribuidos apro"imadamente en orma normal, con una media de 20 >oras +>- y una des!iación est&ndar de 0 >. a- 7%ué porcenta#e porcenta#e de los gara#es necesitan necesitan entre 20 20 y 23 >oras para ser ser construidos9 construidos9 b) 7%ué porcenta#e de las coc>eras requiere 0;.8 >, o bien menos, para su construc ción9 ción9 c- 7%ué porcenta#e porcenta#e de los gara#es necesita necesita entre 0 y 23 >oras >oras para ser construido9 d) $e las coc>eras, 7qué n/mero de >oras o m&s se necesitan para construir el ?9 02. 02. Las !entas !entas netas netas y el n/mero n/mero de empleados empleados en montado montadoras ras de element elementos os de aluminio aluminio con caract caracterís erístic ticas as similares, ueron organi'ados en distribuciones de recuencias. Ambos !alores estaban normalmente distribuidos. 6ara las !entas netas, @ *;) mdd +millones de dólares- y σ 0 mdd. 6ara el n/mero de empleados, @ * )) y Clarion tu!o !entas de *8) mdd y * ;) traba#adores. traba#adores. σ *0). La empresa montadora Clarion a- Con!ierta las !entas y el n/mero de empleados de esa compaía, a !alores '. '. b) Localice los dos !alores ' en una distribución normal est&ndar.
c- Compare las !entas y el n/mero de traba#adores de Clarion con los de otras compaías. 7%ué porcenta#e de las empresas tienen m&s !entas que Clarion9 7< m&s empleados9 03. na prueba de aptitud mec&nica diseada para estudiantes de ingreso a estudios superiores, tiene una media de * ))) y una des!iación est&ndar de *). n e"amen de I% +coeiciente de inteligencia- diseado para alumnos de uni!ersidad, tiene una media de **) y una des!iación est&ndar de *). D>an Bucci, una estudiante, obtu!o * 2*) en la prueba de aptitud mec&nica, y *00 en la de I%. E!al/e sus puntuaciones con respecto a las de otras personas que reali'aron también tales e"&menes. 0. n estudio reali'ado en la empresa Furniture =>olesales, Inc. respecto al pago de acturas re!eló que, en promedio, una actura se liquidó 0) días después de que ue recibida. La des!iación est&ndar ue de días. a- 7%ué porcenta#e de dic>as cuentas se pagó dentro de los * días de >aber sido recibidas9 b) 7Cu&l es la probabilidad de seleccionar una actura y >allar que ue saldada entre *; y 0G días después de que se recibió9 c- La administración de tal empresa quiere estimular a sus clientes a pagar sus acturas mensuales tan pronto como sea posible. 6or consiguiente, anunció que un 0? de reducción en el precio, se concedería a los compradores que pagasen dentro de 8 días >&biles después del recibo de la actura. Duponiendo que los pagos se distribuyen normalmente, de 0)) clientes con los que se trató durante un cierto mes, 7cu&ntos podrían normalmente apro!ec>ar dic>a reba#a9 0G. Las comisiones anuales por !endedor laborante en la empresa Hac>ine 6roducts, abricante de maquinaria ligera, promediaron 3) ))) +dólares-, con una des!iación est&ndar de ))). 7%ué porcenta#e de los !endedores ganó entre 20 ))) y 30 )))9 08. Los pesos de las latas de cierta marca de conser!a de peras, normalmente est&n distribuidos con una media de * ))) g +gramos- y una des!iación est&ndar de ) g. Calcule el porcenta#e de las latas que pesan: a- ;G) g, o menos. b) entre * ) y * *)) gramos. 0;. La e"periencia con respecto a la cantidad de pasa#eros en el buque Queen Elizabeth II, que orece tra!esías de una semana por el Caribe, re!eló que el n/mero medio de !ia#eros es * ;0), y la des!iación est&ndar de la distribución normal, es *0). a- 7%ué porcenta#e de las tra!esías tendr&n entre * ;0) y * 8) pasa#eros9 b) 7%ué porcenta#e de los recorridos tendr&n * 8) !ia#eros o m&s9 c) 7%ué porcenta#e de las tra!esías por el Caribe tendr&n * G)) o menos pasa#eros9 0. La gerencia de la empresa Jordon Electronics est& considerando adoptar un sistema de bonos o primas para incrementar la producción. na opción consiste en pagar un bono sobre el ? m&s alto de la producción con base en la e"periencia. Los registros indican que, en promedio, durante una semana se elaboran 3 ))) unidades de un pequeo ensamble. La distribución de la producción semanal es, apro"imadamente, normal con des!iación est&ndar de G) unidades. Di la prima se paga sobre el ? superior de la producción, 7este bono se pagar& con respecto a cu&ntas unidades o m&s9 2). La empresa Fast Der!ice (rucK Lines utili'a el camión Ford Duper *2*) en orma e"clusi!a, y eectuó un estudio de costos de mantenimiento utili'ando una muestra. (al an&lisis re!eló que la media aritmética del n/mero de Kilómetros recorridos por camión durante el ao, ue G) ))). Las distancias recorridas se distribuyeron en orma normal y la des!iación est&ndar de la muestra ue 0 ))) Km. a- 7%ué porcenta#e de los camiones recorrió G 0)) Km o m&s9 b- ecuérdese que la empresa posee 2 )) camiones Duper *2*). Con base en lo obtenido de la muestra, 7cu&ntos recorrieron ))) Km o menos9 c- 7Cu&ntos recorrieron G0 ))) Km o menos durante el ao9 2*. Los ingresos anuales de un gran grupo de super!isores de la empresa Belco siguen una distribución normal, con media de 0; ))) +dólares- y una des!iación est&ndar de * 0)). Los tiempos de ser!icio de los mismos super!isores también se distribuyen normalmente, con media de 0) aos y des!iación est&ndar de aos. Muan Hartíne' gana 2) 3)) al ao y tiene *) aos de ser!icio. a- Compare su ingreso con el de los otros super!isores. b) Compare su tiempo de ser!icio con el de los dem&s super!isores. 20. n e#ecuti!o de la empresa =esting>ouse conduce su auto desde su casa en los suburbios de 6ittsburg, a su oicina en el centro de la ciudad. Los tiempos de recorrido, en minutos, se distribuyen en orma normal con media de 2 y des!iación est&ndar de ;. a- 7En qué porcenta#e de los días necesitar& 2) min o menos para llegar a su traba#o9
b)
cde-
7En qué porcenta#e de los días requerir& 3) min o m&s para llegar a su oicina9 E"plique por qué >ay una probabilidad de casi N de que necesite e"actamente 3) min para llegar a su destino.
abr& accidentes o alg/n otro impre!isto, de manera que el recorrido tardar& m&s de lo acostumbrado. 7Cu&nto tiempo necesitar&n los !ia#es del *)? m&s prolongados9
22. n gran establecimiento de !entas al menudeo, orece una política de aceptar de!oluciones sin discusión. El n/mero medio de clientes que de!uel!en artículos es de *).2 por día, con una des!iación est&ndar de 0.0 clientes por día. a- 7En qué porcenta#e de los días >ay ; o menos compradores de!ol!iendo artículos9 b) 7En qué porcenta#e de los días >ay entre *0 y *3 clientes de!ol!iendo mercancía9 c- 7E"iste alguna posibilidad que alg/n día no >aya de!oluciones9 23. n estudio reciente mostró que un 0)? de los traba#adores cometen robos a su compaía cada ao. Di una empresa emplea a ) personas, 7cu&l es la probabilidad de que: a- menos de traba#adores roben9 b) m&s de empleados lo >agan9 c- e"actamente laborantes cometan robos9 d- m&s de pero menos de * empleados roben9 2. n estudio reciente re!eló que el G3? de los >ombres estadounidenses mayores de *; aos, consideran a la nutrición la pri oridad en su !ida. De seleccion ó una muestra de G) !arones. 7Cu&l es la probabilidad de que: a- 20 o m&s consideren importante la dieta diaria9 b) 33 o m&s estimen que la alimentación es esencial9 c- m&s de 20 pero menos de 32 consideren importante el aspecto dietético9 d- e"actamente 33 consideren undamental la alimentación9 2G. 6ara en!asar un reresco se utili'an botellas de pl&stico de dos litros que se en!ían en lotes de *)). Dupong a que los lotes tienen ? de deectos: algunas botellas tienen ugas, otras son demasiado pequeas, etc. a) 7Cu&l es la probabilidad de que una remesa de botellas contenga ; o m&s deectuosas9 b) 7Cu&l es la de que entre ; y *) botellas tengan deectos9 c) 7Cu&l es la de que e"actamente ; sean deectuosas9 d) 7< cu&l es la de que no >aya botellas con desperectos9 28. En la uni!ersidad Casper Dtate College, el 0)? de los estudiantes desertan de la materia de Estadística B&sica, la primera !e' que se matricul an. Este semestre >a y ) estudiantes inscritos en la clase de Estadística de un conocido proesor. $etermine las siguientes probabilidades. a- 7Cu&l es la probabilidad de que por lo menos ; de#en la clase9 b) 7Cu&l es la de que e"actamente ; la abandonen9 c- 7Cu&l es la probabilidad de que ; o menos deserten9 2;. Duponga que racasa *)? de los estudiantes que toman la parte estadística del e"amen +en Estados nidos- para caliicar como contadores p/blicos certiicados +C6A, de Certiied 6ublic Accountant-. Desenta estudiantes presentar&n el e"amen este s&bado. a) 7Cu&l es la probabilidad de que e"actamente dos de ellos no aprueben el e"amen9 b) 7Cu&l es la de que por lo menos dos estudiantes allen9 2. El departamento de tr&nsito de un condado (riDtate +en EA- reportó que 3)? de los casos de automó!iles que !an a alta !elocidad concluye en un accidente de poca o muc>a importancia. $urante un mes en el que ocurrieron ) casos de alta !elocidad, 7cu&l es la probabilidad de que 0 o m&s resulten en un accidente de importancia mayor o menor9 3). En la línea na!iera 6oyal OiKing se inorma que ;)? de sus camarotes se ocupa, durante el mes de septiembre. En el caso de un na!io que tenga ;)) dormitorios, 7cu&l es la probabilidad de que GG o m&s sean ocupados en dic>o mes9 3*. La meta en los aeropuertos de Estados nidos que mane#an !ia#es internacionales, es que cada !uelo salga dentro de los siguientes 3 min después de su llegada a ese país. De interpreta esto como que ? de los !ia#es aéreos son inspeccionados en los citados 3 min, de modo que ? de los mismos toman m&s tiempo para su re!isión. Dupóngase también que la distribución de los tiempos es normal. a- Di la des!iación est&ndar del tiempo para inspeccionar un !uelo internacional !ale min, 7cu&l es el tiempo medio para re!isar un !ia#e aéreo9 b) Dupóngase que la des!iación est&ndar es a>ora de *) min, en !e' de los min de la parte a. 7Cu&l es el
nue!o !alor medio9 c- Di una e#ecuti!a tiene 2) min después del aterri'a#e para llegar a su automó!il, considerando la inormación de la parte b, 7cu&l es la probabilidad de que ella salga a tiempo de la inspección9 30. n estudio de la Fuer'a Aérea indicó que la probabilidad de un desastre como la e"plosión del transbordador espacial C>allenger ocurrida el 0; de enero de *;G, era de * en 2. tilice la apro"imación normal a la binómica para calcular la probabilidad de que ocurra al menos un desastre en 0 misiones. 32. El secretario de la ni!ersidad Elmood estudió los promedios de caliicaciones escolares +6CE- de los estudiantes, correspondientes a muc>os aos. $escubrió que la distribución es apro"imadamente normal, con una media de 0.;) y una des!iación est&ndar de ).3). a- 7Cu&l es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al a'ar tenga un 6CE desde 0.)) >asta 2.))9 b) 7%ué porcenta#e de alumnos est& a prueba, es decir, tiene un 6CE menor que 0.))9 c- La población de escolares en dic>a institución es de *) ))). 7Cu&ntos estudiantes est&n en la lista del decano de la uni!ersidad, es decir, tienen un 6CE de 2.8 o mayor9 d- 6ara obtener una beca, un alumno debe estar dentro del *)? superior del con#unto de escolares. 7%ué 6CE debe tener un estudiante para tal obtención9 33. Mon Holnar terminar& este ao el ciclo de preparatoria. 6resentó un e"amen de admisión para estudios superiores denominado 6rueba para ni!ersidades Estadounidenses, y obtu!o una caliicación de 2). El director de la institución preparatoria inormó que sólo el 0? de los estudiantes que >icieron el e"amen recibió puntuaciones m&s altas. La caliicación media para los estudiantes e"aminados ue de *;.2. Los amigos de Mon, 4arrie y Jeorge, también presentaron la prueba, pero el director no les dio otra inormación, sal!o sus caliicaciones. 4arrie obtu!o 0, y Jeorge *;. Con base en estos datos, 7qué rangos Jentílicos +categorías Jentílicas- obtu!ieron 4arrie y Jeorge9 7%ué >ipótesis es necesaria9
